Часть VII. Приложения

В третьем томе впервые на русском языке публикуется перевод заключительных параграфов из 4-го исправленного английского издания 1976 г. знаменитой монографии Дирака «Принципы квантовой механики». По сравнению с предшествовавшим ему изданием 1958 г. автор не только отредактировал текст, но и специально написал два новых параграфа, в которых отражена эволюция его научных предпочтений. Тем самым, нами сделан вклад в преодоление распространенного в мире заблуждения, согласно которому в этой версии монографии не содержится ничего нового. Мы надеемся, что отечественным читателям будет интересно ознакомиться с этим шедевром Дирака в окончательной авторской редакции.

В данный том не были включены очень интересные и никогда ранее не публиковавшиеся «Лекции по квантовой механике и релятивистской теории поля», прочитанные в Индии в 1955 г. Было признано целесообразным опубликовать их в четвертом томе данного издания вместе с другими циклами его лекций послевоенных лет.

В Приложения включены заключительный раздел статьи Б.В. Медведева «П.А.М. Дирак и логические основы квантовой теории», в котором дана глубокая оценка ряда указанных выше фундаментальных послевоенных трудов Дирака. Кроме того, там же приведена большая часть мемориального очерка Р. Далица и Р. Пайерлса, содержащего как подробное изложение биографии великого ученого, так и обзор большинства его научных работ, включенных в третий том, а также библиография трудов Дирака (на языке оригинала). В качестве еще одного приложения публикуется комментарии ответственного редактора к некоторым фрагментам текста, отмеченным цифрами в квадратных скобках.

При подготовке к изданию третьего тома почти без изменений были использованы переводы ряда работ Дирака, выполненные В.П. Павловым и Н.Я. Смородинской и вошедшие в ранее изданные сборники под редакцией Б.В. Медведева и Я.А. Смородинского х). Абсолютное большинство из остальных работ Дирака, включенных в третий том, переведено впервые А.Г. Башкировым, А.В. Берковым, Ю.Г. Рудым, Ю.П. Рыбаковым и В.И. Санюком при участии и под редакцией А.Д. Суханова. Редакция отмечает, что высокопрофессиональная работа переводчиков заслуживает признательности читателей.

Редакция выражает глубокую благодарность В.Я. Файнбергу за неизменную поддержку данного издательского проекта. Подготовка к изданию третьего тома была связана со значительными трудностями, которые удалось преодолеть только благодаря исключительной отзывчивости многих почитателей творчества Дирака. В связи с этим, прежде всего, приносим благодарность А.А. Гиппиусу, Л.И. Беловой и сотрудникам библиотеки ФИАН, А.Н. Сисакяну, В.И. Калининой, М.В. Студеновой и сотрудникам библиотеки ЛТФ ОИЯИ (Дубна) за неоценимую помощь в организации подбора и копирования многих оригинальных статей Дирака. Огромные усилия по обеспечению максимальной полноты издания работ Дирака по квантовой теории, не имевшего прецедентов, увенчались успехом только благодаря интенсивному содействию в поиске наиболее труднодоступных публикаций его работ А.Г. Борисова, В.П. Визгина, А.Д. Гладуна, А.Е. Дорохова, А.И. Карташова, П.Б. Медведева, И.Е. Овчаренко, Ю.Г. Рудого и Е.В. Шикина. Наконец, нельзя не отметить, что существенную роль в определении окончательной структуры данного тома и оценке научного наследия Дирака в целом сыграли плодотворные беседы ответственного редактора с В.Г. Кадышевским, В.А. Рубаковым и Д.В. Ширковым.

Следует также подчеркнуть, что вся работа по организации переводов, редактированию издания и подготовке текста комментариев была бы невозможна без плодотворного участия О.Н. Голубевой. Предлагаемая читателям книга увидела свет исключительно благодаря энтузиазму всего коллектива редакции издательства ФИЗМАТЛИТ во главе с М.Н. Андреевой.

Москва А. Суханов 20 апреля 2004

Дирак П.А.М. К созданию квантовой теории поля. Сборник трудов / Под ред. Б.В. Медведева. — М.: Физматлит, 1990; Дирак П.А.М. Воспоминания о необычайной эпохе / Под ред. Я.А. Смородинского. — М.: Физматлит, 1990.

Часть I

Фундаментальные проблемы релятивистской квантовой физики (1948-1972)

1

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЛОКАЛИЗУЕМЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ)

Динамическая система называется локализуемой в том случае, когда ее волновая функция может быть выражена в терминах переменных, каждая из которых относится к физическим условиям лишь в одной точке пространства-времени. Эти переменные могут быть заданы в точках на любой трехмерной пространственноподобной поверхности.

Проведены исследования общего характера о том, как изменяется волновая функция при произвольных изменениях поверхности. Изменение волновой функции задается уравнениями типа Шредингера, содержащими некоторые операторы Нп (и), которые играют роль гамильтонианов. Получены коммутационные соотношения для этих операторов (формулы (50), (51)). Теория оперирует с релятивистскими понятиями и дает некоторый образец общего характера, с которым должна согласовываться любая релятивистская квантовая теория поля при условии, что динамическая система является локализуемой.

Введение

Локализованной динамической переменной является величина, описывающая физические условия в одной точке пространства-времени [1]. Примерами являются полевые величины и производные любого порядка от полевых величин, а также положение точечной частицы в конкретный момент времени и спиновые переменные точечной частицы в конкретный момент времени. Примерами динамических переменных, которые не являются локализованными, в квантовой теории служат импульс точечной частицы в данный момент времени [2], а также спиновые переменные тела конечных размеров в данный момент времени как в классической, так и в квантовой теории.

В квантовой теории динамическая система будет считаться локализуемой тогда, когда можно задать такое представление для волновой функции, в котором все динамические переменные являются локализованными. Следовательно система составленная из некоторого числа точечных частиц, взаимодействующих с полями, является локализуемой. Представление будет называться локализованным представлением.

Для фиксации состояния движения динамической системы обычно задают волновую функцию в конкретный момент времени. Если динамическая система является локализуемой, а представление — локализованным, то каждой точке из области определения волновой функции будет отвечать множество точек в пространстве-времени для данного момента

времени. Это множество может быть бесконечным и может состоять из всех точек (пространства) в фиксированный момент времени. Волновая функция в таком случае определена в точках плоской трехмерной поверхности в пространстве-времени. Состояние движения при этом определяется лишь той физической информацией, которая имеет отношение к точкам этой плоской трехмерной поверхности.

Общие требования теории относительности говорят о том, что физические условия в одной точке не могут влиять на условия в другой точке, находящейся вне светового конуса исходной точки. Поэтому следовало бы ожидать, что состояние движения должно определяться в том числе и физической информацией, исходящей из точек на любой искривленной трехмерной поверхности, продолжающейся до бесконечности, при условии, что эта поверхность везде является пространственноподобной, т.е. направление вдоль линии, соединяющей любые две точки на этой поверхности, лежит вне светового конуса. Таким образом, следует считать возможным задание волновой функции локализованных динамических переменных, связанных с точками на произвольной трехмерной пространственноподобной поверхности S. Можно ожидать, что это будет общим свойством, характеризующим локализуемые динамические системы.

Само собой возникает важный вопрос. Являются ли атомные системы в действительности локализуемыми в вышеуказанном смысле? В настоящее время дать ответ на этот вопрос нельзя. Вполне возможна ситуация, когда состояния атомных систем могут задаваться волновыми функциями, определенными лишь на плоских поверхностях в пространстве-времени, благодаря тому, что атомный мир обладает такими свойствами, которые не могут быть описаны с помощью локализованных динамических переменных. Верно то, что все атомные модели, используемые в настоящее время и считающиеся релятивистскими, являются также и локализуемыми. Однако все эти модели приводят к серьезным трудностям при попытке их дальнейшего развития. Многие считают, что эти трудности напрямую обусловлены локализуемостью этих моделей, и пытаются построить новые теории в терминах величин, которые не являются точно локализуемыми. Гейзенбергова теория S-матрицы х) является характерным исследованием в данном направлении.

Проблема задания нелокализуемой динамической системы, которая в то же время должна быть релятивистской, представляется очень сложной и неуклюжей. Ни в одной из работ в данном направлении не было достигнуто какого-либо заметного прогресса. В свете указанных трудностей я не думаю, что в настоящее время от локализуемых моделей следует отказываться.

При исследовании локализуемых динамических систем в большей части работ в основном использовались волновые функции и динамические переменные, заданные на плоских поверхностях в пространстве-времени, которые отвечают отдельным моментам времени в некоторой лоренцевой системе отсчета. Таким образом, эти исследования не являются релятивистскими. Чтобы показать, что теория является релятивистской, необходимо изучить преобразования волновых функций и динамических переменных при изменении направлений данных плоских поверхностей в

1) Heisenberg W. // Zs. Phys. 1943. Bd. 120. S. 513, 673.

пространстве-времени и убедиться в том, что все физические результаты не зависят от выбора направления. Это было проделано Гейзенбергом и Паули 1) для электронов, взаимодействующих с электромагнитным полем. Однако для большинства теорий взаимодействующих частиц (например, для различных мезонных теорий) этого не было проделано и неизвестно, являются ли такие теории релятивистскими.

В нижеследующей работе исследуются локализуемые динамические системы с наиболее общих позиций, при этом используются только релятивистские идеи. В работе найден критерий для проверки того, является ли любая из теорий взаимодействующих частиц релятивистской, и даны условия, которым должна удовлетворять любая новая теория.

Обобщенные уравнения Шредингера и Гейзенберга

Пусть S обозначает любую трехмерную пространственноподобную поверхность, простирающуюся на бесконечность. Полагаем что состояние нашей динамической системы задается волновой функцией ^(q), содержащей переменные q, каждая из которых локализована на S. Переменные q могут состоять из нескольких дискретных переменных, обозначающих положения частиц на поверхности S, а также их спины, если частицы ими обладают. Кроме того, они могут представлять собой трехмерные бесконечные совокупности переменных, обозначающие полевые величины на поверхности S. При наличии любых переменных подобного типа функцию 3 следует рассматривать как функционал. Волновая функция должна допускать возможность ее нормирования в соответствии с уравнением, которое схематически можно записать в виде

/ I以q)『歯=1. (1)

Если переменные q включают трехмерную бесконечную совокупность, то следует выполнить преобразование, редуцирующее их к некоторому счетному множеству (к примеру, преобразование к переменным частиц), чтобы была возможность придать смысл операции интегрирования в формуле (1).

Поверхность S играет здесь ту же роль, какую в нерелятивистской теории играет время. Можно сказать, что в данной теории мы располагаем очень большим количеством временных переменных, а именно таким, которое необходимо для задания поверхности S. Далее следует изучить, как будет изменяться волновая функция при произвольных изменениях поверхности S, подчиненных лишь условию, что она при этом должна оставаться пространственноподобной.

Возьмем две поверхности S, скажем S] и S2, и пусть волновыми функциями на этих двух поверхностях будут 耽(必)и 耽(0)соответственно. Следует использовать разные переменные qi и 42 как аргументы двух волновых функций по той причине, что они обозначают различные множества динамических переменных, локализованных на поверхностях Si и S2 соответственно. Согласно принципу суперпозиции квантовой механи-

1) Heisenberg W., Pauli W. // Zs. Phys. 1929. Bd. 56. S. 1.

ки, каждая из функций ⑺]и 必 определяет вид другой в соответствии с линейным законом. Поэтому эти две функции связаны между собой уравнением вида

耽(02)= W1(Q1), (2)

где R — линейный оператор, который может действовать на функцию от переменных 勿 и переводит ее в функцию от переменных ©• Оператор R зависит лишь от рассматриваемой динамической системы и от двух поверхностей Si и S2, а также должен быть унитарным, чтобы сохранять нормировку волновой функции.

Если операторы 7?, связывающие любые две поверхности, известны, то волновая функция ^^(qi), заданная на конкретной поверхности Si, определяет вид волновой функции 肌q) на произвольной пространственноподобной поверхности S. Данную волновую функцию можно рассматривать как функцию ^(qS) от двух наборов переменных: переменных, требуемых для задания поверхности S, и переменных q, причем последние переменные являются сами по себе зависимыми от S. Такая функция ^(qS), зависящая от S, представляет собой аналог зависящей от времени волновой функции в нерелятивистской квантовой теории.

Рассмотрим линейный оператор X], который действует на волновую функцию 耽(仇)на поверхности Si и переводит ее в другую функцию тех же переменных 仇,которую можно рассматривать как другую волновую функцию на поверхности Si，Например, X] может быть алгебраической функцией переменных Qi и операторов дифференцирования по переменным qi. Такой линейный оператор соответствует некоторой динамической переменной на поверхности S> Безусловно, это не должна быть локализованная динамическая переменная, поскольку она может включать в себя переменные qi, локализованные в различных точках.

Предположим, что линейный оператор X] переводит волновую функцию Mi(qi) на поверхности Si в волновую функцию Х1(41) на S> Волновая функция 耽(仇)на Si будет задавать S-зависимую волновую функцию ^(qS) и, аналогичным образом, Х1(41) будет определять S-зависимую волновую функцию x(qS). Теперь можно рассматривать X] как линейный оператор, переводящий S-зависимую волновую функцию ^(qS) в S-зависимую волновую функцию X(qS). Несмотря на то, что X] относится к конкретной поверхности S, а именно — к Si, он может таким же путем действовать на волновую функцию, не отнесенную к какой-либо конкретной поверхности S, а являющейся функцией от S в общем случае.

Такой способ рассмотрения динамических переменных на отдельных поверхностях позволяет складывать и перемножать динамические переменные, заданные на разных поверхностях. Например, динамическую переменную Xi на поверхности Si и динамическую переменную “ на поверхности S2 можно рассматривать как линейные операторы, действующие на S-зависимую волновую функцию 以历)и порождающие другие подобные волновые функции. Поэтому сумма Х± + “ этих операторов и их произведения Х]“，"X] сразу могут быть интерпретированы как аналогичные линейные операторы. Динамические переменные, определенные на различных поверхностях, все вместе образуют некую алгебру.

Чтобы изучить следствия линейной зависимости (2) между волновыми функциями на различных поверхностях, возьмем Si и S2 такими, чтобы

они отличались на бесконечно малую величину порядка £. В таком случае поверхность S2 является результатом применения деформации порядка s к поверхности Si，Из уравнения (2) в таком случае имеем

次(3)-如(饮)=—辽40i(qi), (3)

где А является линейным оператором, связанным с предыдущим оператором R соотношением

R=l-辽 4 (4)

Левая часть уравнения (3) — это сумма функции от переменных 勿 и функции от переменных q? и не имеет какого-либо смысла как отдельная величина. (К примеру, не имеет какого-либо смысла говорить о том, что левая часть уравнения (3) обращается в нуль.) В целях развития теории необходимо установить связь между областями определения функций B—qi) и ^2(42) с тем, чтобы две такие функции можно было складывать для получения другой подобной функции. По заданной функции от переменных qi мы должны уметь придать смысл такой же функции от переменных 0・

Наиболее очевидный способ выполнения этого заключается во введении общего набора криволинейных координат 〃i, 〃2, 〃з на поверхности Si и смежного набора криволинейных координат под теми же обозначениями 〃1, 〃2, 〃з на поверхности S?. Он позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между точками на поверхностях S] и S2, а также между направлениями на Si в точках поверхности Si и направлениями на S2 в точках поверхности S?・ Имея заданную волновую функцию на Si, описывающую состояние нескольких частиц, находящихся в некоторых точках с некоторыми значениями координат 〃 и некоторыми спинами, можно определить такую же функцию на S2, описывающую такие же частицы в точках на S2 с теми же значениями координат 〃 и обладающие спинами в соответствующих направлениях, отнесенных к новой системе координат. Если волновая функция на Si зависит от полевых переменных, то такая же функция на S2 должна таким же образом зависеть от соответствующих полевых переменных с теми же значениями координат и.

Таким образом, функции от переменных Qi можно отождествить с функциями от переменных ©, так что можно опустить индексы и записывать и ту и другую просто как функции от q. Оператор А становится при этом оператором, который можно представить в виде квадратной матрицы, переводящей некоторую функцию в другую функцию того же типа. Из условия унитарности оператора R вытекает требование, что оператор А должен быть эрмитов.

Введенный выше метод отождествления функций накладывает требование, чтобы все переменные q, возникающие в качестве аргументов волновой функции ^^(q) на Si, были заданы относительно координатной системы 〃, введенной на S]. Если изменяется координатная система, то изменяется смысл переменных q и, таким образом, претерпевает изменение волновая функция для конкретного состояния. Уравнение (3) дает правило изменения волновой функции ^^(q) при любых малых изменениях поверхности Si или координатной системы на ней.

На данном этапе удобно использовать обозначение S для параметризованной поверхности, т.е. для поверхности с системой координат 〃i, 〃2, 〃3 на ней. Состояние движения динамической системы теперь задается

волновой функцией 次(q) на любой параметризованной поверхности S> Именно параметризованная поверхность в действительности играет роль времени в нерелятивистской теории, а не поверхность без координатной системы.

Можно рассмотреть малую деформацию поверхности Si, которая не изменяет самой поверхности, а только изменяет на ней систему координат и. Такая деформация приведет к достаточно тривиальному изменению волновой функции 吵1(4)・ Следовательно, оператор А такой деформации будет тривиальным и не будет содержать каких-либо членов, отвечающих взаимодействию между различными частицами динамической системы. Операторы А деформаций, которые изменяют поверхность, будут наиболее важными и будут содержать члены, ответственные за взаимодействие.

Параметризованная поверхность Si задана, если дано точное определение четырех координат 力从 пространства-времени (// = 0,1, 2, 3) для любой точки на поверхности как функции параметров иг (г = 1, 2, 3), т.е. она задается четырьмя функциями

力从=力〃,(")•

Малая деформация поверхности Si определяется заданием вариации Sx^ координат в некоторой точке с любым заданным параметром и:

8力从=<5 力〃,(〃).(5)

Можно разделить смещение В力从 на часть, лежащую на поверхности Si, и на часть, нормальную к поверхности Si. Первая часть соответствует вариации параметров и на поверхности, скажем вариации Зиг = Вторая часть представляет собой смещение величины еап, скажем в направлении единичной нормали п^ в каждой точке и поверхности Si, где п” определяется соотношениями

п^дх^/диг) = О,П0“ = 1, по > 0.(6)

В таком случае полное смещение будет

Sx^ = (дх^ / диг)еаг + п^ап，(7)

Деформация поверхности Si может быть задана точным определением еаг и wa九 как функций параметров и. Использование такого задания деформации вместо предлагаемого в формуле (5) имеет два преимущества. Во-первых, малыми деформациями, где аг^ ап — любые дифференцируемые функции по параметрам % можно непрерывным образом воздействовать на пространственноподобную параметризованную поверхность Si и она всегда будет оставаться пространственноподобной. Во-вторых, точное определение смещений еаг, еап позволяет сразу отделить те деформации, при которых изменяется только координатная система % что соответствует тривиальным изменениям волновой функции.

С помощью метода определения деформаций через смещения еаг, еап возникает возможность по любой заданной деформации применительно к конкретной поверхности S придать смысл такой же деформации, примененной к любой другой поверхности S. Тогда можно ввести оператор деформации, скажем е/, связанный с этой деформацией. Данный оператор деформации обладает следующим свойством: если F(Si) — любая

функция на Si, т.е. любой функционал от функций х^(и\ задающих Si, то такая же функция Р($2)на деформированной поверхности S2 будет даваться соотношением

P(S2)- F(S1) = -i^F^)(8)

в первом порядке по б. Если F(S) и / в соответствующей алгебре считаются некоммутативными величинами, то предыдущее уравнение заменяется на

P(S2)- F(S1)={/F(S1) - F^S^}.(9)

С помощью этих обозначений уравнение (3) приобретает вид

Wi(qi) = 401(外)■

Если ^(qS) считать волновой функцией, заданной на произвольной поверхности S, то получим уравнение

/以 qS) = 4 以 qS),(10)

в котором / является оператором, действующим на S-переменные, а А — оператор, действующий на переменные q. Данное уравнение подобно обычному уравнению Шредингера нерелятивистской квантовой теории

i^^qt^h^H^qt^(П)

где 区 стоит вместо id/dt^ а А вместо Ь'Н. Однако здесь имеется важное различие, поскольку в нерелятивистской квантовой теории имеется лишь одно уравнение Шредингера (11), в то время как в данной теории имеется очень большое число таких уравнений: по одному для каждого вида деформаций, применимых к параметризованной поверхности S. Настоящая теория более близка к многовременной теории электронов, взаимодействующих с электромагнитным полем, в которой также имеется много волновых уравнений вида (11): по одному для каждого электрона. Тем не менее и здесь имеется различие, поскольку в данной многовременной теории все операторы id/dt коммутируют друг с другом, в то время как в предлагаемой теории различные операторы /〉отвечающие различным видам деформации, в общем случае не коммутируют.

Динамическая переменная в предлагаемой теории соответствует линейному оператору, который действует на переменные q в волновой функции и не зависит от переменных, задающих поверхность S. Линейный оператор, который зависит от переменных, задающих S, является более общим понятием. Он аналогичен функции от динамических переменных, включая явно время в нерелятивистской квантовой теории.

Отождествление функций от переменных qi на Si с функциями от переменных q2 на S2 позволяет отождествлять линейные операторы, действующие на волновые функции на Si, с линейными операторами, действующими на волновые функции на 外 Это означает, что динамическая переменная на Si может быть отождествлена с динамической переменной на $2・ Используя язык, заимствованный из нерелятивистской квантовой теории, можно сказать, что, если задана некоторая динамическая переменная «в момент времени 61»)то можно придать смысл такой же динамической переменной в «момент времени S?».

Ранее был определен способ сложения, а следовательно, и вычитания, динамических переменных в различные моменты времени Si и S2 путем рассмотрения этих переменных как операторов, действующих на S-зависимую волновую функцию (данный процесс независим от выбора параметризации) .Воспользуемся им для вычисления разности между динамической переменной в момент времени Si и такой же динамической переменной в момент времени S2.

Выберем динамическую переменную X〉и пусть X】будет ее значением в момент времени Si, а Х2 будет ее значением в момент времени S?. Оператор Xi переводит волновую функцию 吵 на Si в другую волновую функцию, которую можно обозначить как Х“ на S> Из уравнения (2) видно, что действие оператора Xi на S-зависимую волновую функцию приводит к тому же эффекту, что и действие оператора, переводящего R^ на S2 в RX2 на S2, что эквивалентно преобразованию 風 на S2 в RX^ на S?. Таким образом,

X1R 吵=НХ2 九

так что

X1R = RX&(12)

Если S2 отличается от Si на бесконечно малую величину, то, используя выражение (4), получаем

Х2 — Х1 =—辽(Х14 - 4X1)

в первом порядке по е. Вводя обозначение коммутатора

XY -YX = i[X, У], можно записать этот результат в виде

Х2-Х1=&Х1，川.(13)

Это уравнение является аналогом уравнения движения Гейзенберга в нерелятивистской квантовой теории. Оно имеет вид, подобный уравнению (9), за исключением замены знака.

Выберем величину общего вида 畳 на Si, зависимую от динамических переменных на Si, а также от переменных, задающих поверхность S> Тогда при переходе от Si к S2 величина 登 будет подвержена изменениям, обусловленным двумя причинами. Поскольку данная величина содержит динамические переменные, то это приведет к ее изменениям по формуле (13), а поскольку она явным образом зависит от переменных поверхности S, то это вызовет изменения по формуле (9). Таким образом, полное изменение 登 будет иметь вид

& —登=^[€1М - »]•(14)

Это уравнение соответствует уравнению

d^/dt=[^H] + (d^dt)

в нерелятивистской квантовой механике для величины £〉являющейся функцией динамических переменных и содержащей явную зависимость от времени.

Коммутационные соотношения

Будем полагать пространство-время плоским, как и в обычной квантовой теории. Допустим, что в это плоское пространство вложена искривленная трехмерная пространственноподобная поверхность S, параметризованная координатами 〃l 〃2, 〃з・ Квадрат элемента длины на этой поверхности задается в виде

—dx浊 dx" = —(dx^/dur^dx^/dus) dur dus = 7r5 dur duSj

= _^dx^/dur^dx^/dusY (15)

Таким образом, совокупность величин 7Ts определяет метрику на поверхности.

Геометрические свойства поверхности (например такие, как ее кривизна) не определяются полностью метрикой 7Ts. Требуется ввести и некоторые другие величины

C『s = (5п^/диг^дх^/ди^ = —п^^х^/диг dus) = С$『. (16)

Величины C『s не являются независимыми от метрики)『$, а связаны с ней некоторыми соотношениями, найденными Гауссом, Майнарди и Ко- дацци1).

При деформациях поверхности S величины 7 и Q также претерпевают изменения. Это означает, что величины 7 и Q не коммутируют с операторами деформаций, подобным /. Продолжим отыскание наиболее важных коммутационных соотношений.

Возьмем несколько определенных значений для параметров и, задающих точку 力从(〃)на поверхности S. Оператор деформации / изменяет жДu) на величину 五从=冃/,力/

задаваемую уравнением (9). Приравнивая это выражение правой части формулы (7), получаем

И,力 j = ^аг+ п^ап. (17)

Продифференцируем данное уравнение по us. Оператор / нечувствителен к такому дифференцированию, поскольку никак не связан с выбранными ранее значениями параметров и. В результате получим

диг dusдиг dus+ Т …IS，+ Т …IS，(18)(18)

диг dus

диг dus

+ Т …IS，

+ Т …IS，

(18)

(18)

Следовательно, из уравнения (15) имеем

ас"(a2/〃a/从dat I 3т从зa九

диг I dut dus t dut dus dus n “ dus

A?.дхи datQj^十 дщ диг дщ дигA?.дхи datQj^十 дщ диг дщ диг

A?.дхи dat

Qj^十 дщ диг дщ диг

A?.дхи dat

Qj^十 дщ диг дщ диг

=子俐 +礬 + ys 礬一^san (土 = 1, 2, 3). (19)

Обозначим через 7 детерминант метрического тензора)『а через 7Ts — сомножитель (кофактор) элемента 7Ts в данном детерминанте, де-

*仅+ 2)(等UUt\ UUt*仅+ 2)(等UUt\ UUt(20)(20)ленный на 7. Тогда

*仅+ 2)(等

UUt\ UUt

*仅+ 2)(等

UUt\ UUt

(20)

(20)

Пл] = W^rshrSy

Уравнение

приводит к соотношению

[/,俨)as] = 0,

илиили俨[»,7〃s] + [МУ%〃5 = 0.俨[»,7〃s] + [МУ%〃5 = 0.

или

или

俨[»,7〃s] + [МУ%〃5 = 0.

俨[»,7〃s] + [МУ%〃5 = 0.

Таким образом,

(21)(21)[/〉》s]=方力)施[/〉7〃s] = ~^rt^US [^, ^U\•

(21)

(21)

Используя соотношение (19), с помощью формулы

[j^/, ^rs] = —%力^tts[j^/, ^rs] = —%力^ttsотсюда получаем

[j^/, ^rs] = —%力^tts

[j^/, ^rs] = —%力^tts

av +)历也+俨也-2^иаД =дии dutJ

=— 7ws —方力 + 2Qr5an. (22)

Теперь следует получить коммутационное соотношение между / и ?г从. Получим его, применяя оператор » к уравнению (6), которое служит определением п^. Это дает

К九/汇=一九川 а такжеК九/汇=一九川 а также决力"дапдпц дхЗа?

К九/汇=一九川 а также

К九/汇=一九川 а также

=-Пиаг -=—-——ar ---

“ dur dusdusdur dutdu,

[^.п^п^ = 0.

Приведенных четырех уравнений достаточно для определения четырех величин [^г/, п^], и, как легко проверить, в результате получаем

「1 driu, .a力〃 dan「1 driu, .a力〃 dan(23)(23)

「1 driu, .a力〃 dan

「1 driu, .a力〃 dan

(23)

(23)

Теперь введем другой оператор малых деформаций £%〉который смещает каждую точку 力从(〃)на поверхности S на величину

sbr + n^ebn.

Таким образом,

(24)(24)留=含r +叫^.

(24)

(24)

Вычислим далее коммутатор операторов / и %.

Применяя оператор / к уравнению (24) и используя соотношения (18) и (23), получим

И, [^,力 J] = 反 券]bs + 九从瓦=

dUr dus。“sdUr dus。“s++

dUr dus。“s

dUr dus。“s

+

+

Меняя местами операторы / и % и вычитая, получим

[и,纽，力 м = и, [^, *]-[%」/,力/] = Т (* & — Ц %) +[и,纽，力 м = и, [^, *]-[%」/,力/] = Т (* & — Ц %) +

[и,纽，力 м = и, [^, *]-[%」/,力/] = Т (* & — Ц %) +

[и,纽，力 м = и, [^, *]-[%」/,力/] = Т (* & — Ц %) +

Коммутатор двух операторов деформаций £» и £% является еще однимоператором деформации, скажем 金2[/, %] = 3%、который согласно выра-жению (25) смещает каждую точку 力从(〃)на поверхности S на величину^^сг+п^

где

(26)(27)(26)(27)

(26)

(27)

(26)

(27)

Оператор деформации 穹 имеет несколько иную природу, чем операторы / и %, по той причине, что, если смещения а『,Ьг являются функциями только параметров и, то смещения сг являются как функциями элементов метрики 方s, так и явными функциями параметров и. Смещения сг в общем случае не коммутируют с операторами деформации, как это видно из уравнения (22). Таким образом, набор операторов деформации вида / и 多 не образует группы Ли. Если же ограничиться такими операторами М 纽 которые не изменяют саму поверхность Si, а только ее параметризацию, так что ап = Ьп = 0, то, как следует из выражения (26), смещения сг будут независимыми от метрики 7, а соответствующий оператор 穹 будет еще одним оператором той же природы. Таким образом, в указанном ограниченном случае операторы деформации образуют группу Ли. В общем случае можно получить группу Ли, если взять все возможные деформации, для которых смещения аг^ ап являются функциями общего типа от величин 7 и Q, а также от их производных, одновременно будучи явными функциями параметров и.

Оператор деформации / должен зависеть линейным образом от функций а『(〃), ап(и^ которые задают смещения в каждой точке х^^и) на поверхности S. Таким образом, оператор / должен быть связан с функциями аг(и\ ап{и) уравнением вида

/ = /{аг(и)1Г(и) + ап^и)^1^} d3u (d% = du\ d〃2 ^3), (28)

где Пг(и), И九(〃)являются операторными функциями и. Величины П представляют собой операторы элементарных деформаций, посредством которых любой оператор деформации может быть выражен линейным образом.

Можно ожидать, что уравнение вида (28) будет выполняться также и для более общих операторов деформации /, для которых смещения а『,ап являются функциями от величин 7 и Q. Здесь возникает вопрос о том, в каком порядке следует располагать два множителя а и И в правой части выражения (28), поскольку данные два множителя больше не коммутируют друг с другом. Чтобы имелась возможность применения этих более общих операторов деформации к функциям, заданным на S в соответствии с формулой (8), необходимо, чтобы все П в выражении (28) всегда располагались справа от своих коэффициентов а. Это обеспечивает возможность получения формулы (8) из формулы (9) вместе с условием, что применение каждого из операторов П к чему-либо, не зависящему от S)дает нуль. Следует заметить, что для получения непротиворечивой схемы нужно предположить, что коммутатор от двух таких более общих операторов М у которых все П расположены справа от их коэффициентов, является другим таким оператором со всеми П справа от их коэффициентов, поскольку дополнительные члены в коммутаторе, возникающие вследствии некоммутативности величин Пиа, будут представлять собой линейные функции от П с коэффициентами, расположенными слева от них. Операторы П вместе с величинами 7 и Q в таком случае образуют алгебру с самосогласованными коммутационными соотношениями.

Коммутационные соотношения для операторов элементарных деформаций П могут быть легко получены из ранее полученных коммутационных соотношений, содержащих интегралы от П. Например, подставляя / = /{ar(uf)Hr(uf) + an(uf)Hn(uf)} Su1

(с коэффициентами а『)ап, независимыми от 7 и Q) в уравнение (17) и приравнивая коэффициенты при ar(uf\ 0^(〃'), получаем

^{и'^х^и)] = (9力从/а〃т)Ь(〃 - J),(29)

\nn(uf\x^u)] = п^{и - г/).(30)

Аналогичным образом из уравнения (19) имеем

[nf(u9,Y5W]=手 “〃 一J) +)"(〃)+)加(〃)叱-吟,(3i)

UUtOilsuur

\nn(uf\yrsM] = ~^rsS(u - d),(32)

а из уравнения (20) выводим

”，)〃(〃)]=礬-〃‘) + 2m")吗一。 (33) outout

[Пп(и9,7Ы] = —2)Cjb(〃 - J)(34)

и т.д.

Для получения коммутатора от двух операторов П заметим, что из выражений (26) и (27), а также в силу правила о том, что коэффициенты

всегда следует располагать слева от операторов П:

И, Я = /{(礬 ％-譬 ％ ++

丿 I 、 C)U s。"s。"s。"s /

+（鸞小嘗。加小弘

Подставляя сюда выражение для /, данное формулой (28), и

для оператора % и выбирая коэффициенты при ar(u)bs(uf\ ar(u)bn(u!\ ап{и)Ъп(иг\ получаем

(35)(36)(37)(35)(36)(37)[Пг(и),П5(и9]=—也二Sir®) - a*"”) IT®),dusдиг

(35)

(36)

(37)

(35)

(36)

(37)

[1Г(〃),1Г(т/)] = _*； ”')1Г(〃),

[1Г(〃),1Г(т/)]=— J) {»s®1r⑺ +»s®)1r⑺}.

Таким путем получаем все свойства операторов П.

Оператор А в уравнении Шредингера (10), соответствующий выбору оператора / в виде (28), также должен выражаться линейным образом через функции аг(и\ ап(и\ например

4 = /{аг(и)Рг(и) + апРп(и)} #〃，(38)

где Рг(и) и Рп(и) являются операторами, действующими на переменные q в волновой функции. Они, конечно, эрмитовы. Уравнение Шредингера (10) для волновой функции 吵 теперь принимает вид

У{агХГ + апПп} #〃吵=У{arPr + апРп} Su^.(39)

Поскольку данное волновое уравнение должно выполняться для любых малых деформаций, отвечающих произвольным функциям а『(〃), ап{и)^ то сама волновая функция 吵 должна удовлетворять соотношениям

1Г(〃)吵=Рг(и^,(40)

Пп(и^ = Рп(и)^.(41)

Так выглядят волновые уравнения, выраженные через элементарные операторы П, Р.

Операторы Рп{и) являются гамильтонианами данной теории и уравнение (41) — важное волновое уравнение. Для каждой точки на поверхности S имеется одно из этих уравнений. Уравнение (40) в основном описывает, как изменяется волновая функция при изменении системы координат 〃，а операторы Рг(и) являются разновидностью операторов импульса, которые достаточно просты и могут быть легко выведены для любой заданной динамической системы.

Рассмотрим в качестве примера динамическую систему, составленную из некоторого числа частиц без спина, где m-й частице будут отвечать координаты um. Переменные um можно взять в качестве аргументов q волновой функции, так что она будет иметь вид ^(〃小).Изменение параметризации, обусловленное смещениями еаг(и\ сводится к тому, что координаты и данной точки на поверхности S уменьшаются на величину £&(〃)，так что координаты частицы 〃『заменяются на 〃『—еаг(ит). Оператор, просто обеспечивающий данное изменение в аргументах волновой функции, это —£ £ 0丁(〃小)(3/3〃了). Однако этот оператор не является

эрмитовым. Его следует заменить на

-^e{。Г俨)/ +笠内俨)}•(42)

Данный оператор не только требуемым образом изменяет переменную um в волновой функции, но еще и домножает волновую функцию на подходящий множитель, так что при изменении параметризации сохраняется ее нормировка. Далее можно положить

/м〃)РГ(〃)挤=三e{每們)為+ ^每(〃叫，

откуда следует, что

产(〃)=4 Em”吟忌+蒜"" 〃叫=

n+(43)

Iourm 2 our 丿

Уравнения (40) и (41) можно объединить в единственное уравнение

{IF(〃)- Р“(〃)}吵=0 (а = 1, 2, 3, п).

Из данного уравнения и уравнения

{И。®) - P^uf)}^ = 0(/3 = 1,2,3, п)

можно сделать вывод

[IF(〃) - Ра(и),П^(и9 - Р^и^ = 0.(44)

Теперь коммутационные соотношения (35), (36), (37) можно записать как

[Па(и),П^(и9] = / 上尸。(〃,认〃〃 )1Г (〃〃)#〃〃(7 = l,2,3,n),(45)

где величины к являются некоторыми функциями переменных и, 〃「〃“, которые могут содержать зависимость от элементов метрики 7Ts в Этих точках. Из соотношений (44), (45) и следующих волновых уравнений

{Ш(〃〃)一 Р)(〃〃)}吵=0

получаем

{ / 认 и^Р^^) #〃〃 —

-\^^^^^] - [Р^^^^] + [Р^^.Р^и1^ = 0. (46)

Все четыре члена в фигурных скобках здесь действуют только на аргументы q функции ^, а не на переменные поверхности S. Это очевидно в отношении первого и последнего членов, а в отношении других это легко доказывается. Выбирая, например, второй член, на основании соотношений (29) и (30) имеем равенство

^^,P^u%x^uff)] = \^^^^uf%P^uf)] = 0, показывающее, что выражение [!!“(〃)，「。(〃')] коммутирует со всеми величинами 力从(〃〃), которые определяют S)а следовательно, не действует на параметры поверхности S. Таким образом, уравнение (46) является условием на волновую функцию 吵 только для одной поверхности S.

Обычно в квантовой механике волновая функция для одного конкретного значения времени является произвольной. Имеются несколько специальных динамических систем, для которых она не является произвольной, и ограничения на волновую функцию для конкретного значения времени известны как дополнительные условия. Будем полагать, что в предлагаемой теории нет дополнительных условий. В таком случае отсутствуют ограничения на волновую функцию для одной конкретной поверхности S, а поэтому оператор в выражении (46) должен обращаться в нуль. Таким образом,

/ к^^ ип^{ип) Sun - [na(u), P^uf)-

—[pa(〃),E(J)] + [Р^^^^)] = 0. (47)

Используя соотношение (45), данный результат можно представить в виде

[1Г(〃) - Ра^^^)-严(J)] = У Kya^u,uf,uff){W(uff) - P^^}Sun.

(48) Словесно он может быть выражен следующим образом: коммутационные соотношения между величинами !!“(〃)— Ра(и) в точности такие же, как и между величинами !!“(〃). Аргументация, на основании которой был получен данный результат, подобна аргументации, на основании которой в многовременной теории электронов, взаимодействующих с электромагнитным полем, используя условие, что все операторы типа d/dt коммутируют между собой, мы делали вывод о том, что все гамильтонианы должны коммутировать.

При значениях величин к, задаваемых выражениями (45)—(47), из уравнения (47) получаем

尸(叫产①]+ [T(J)尸(")]-[IT (叫产(J)]=

=变匕0Р(〃，) +变 Л(49)

dusдиг

[Pr^,Pn^] + [IT(J),P『(〃)]—[IT(〃),Р%/)]=吗3 严(吟(50) OUp

[Pn^,Pn{u,]] + [Пп(и9,РпИ] - [nn(u),Fn(u9]=

=" ) {^rs(u)Pr{u) + »s(J)P『(J)}. (51)

Уравнения (49) дают коммутационные соотношения между различными операторами Рг и должны выполняться автоматически при условии, что Рг вычислены правильно. Легко проверить, что они выполняются для операторов из (43). Уравнения (50) и (51) связаны с гамильтонианами Рп{и) и являются фундаментальными коммутационными соотношениями данной теории.

В нерелятивистской квантовой механике, если динамическая система не находится под воздействием внешних сил, то ее оператор Гамильтона не должен зависеть от времени. Соответствующее условие должно присутствовать и в данной теории. На первый взгляд можно подумать, что данное условие должно заключаться в том, что операторы Рг, Рп должны быть независимы от переменных поверхности S. Однако это не так, поскольку оно приводит к противоречию. При таком условии все величины вида [П^(и), Р^(и9] обращаются в нуль, так что в итоге левая часть выражения (51) будет независимой от S-переменных, в то время как правая часть не является независимой от них, поскольку содержит величины 7Ts. Следует принять более слабое условие, согласно которому операторы Fr, Рп могут включать в себя лишь те функции от S-переменных, которые описывают геометрические свойства параметризованной поверхности S и не зависят от ее положения и ориентации в пространстве-времени. Таким образом, они могут включать в себя величины 7 и Q, а также их производные, но не должны содержать переменных х^(и\ дх^^и)/диг^ за исключением тех случаев, когда эти переменные содержатся в определении величин 7 и Q.

Скаляры и тензоры

Рассмотрим некоторую динамическую переменную X на поверхности S. Она изменяется с изменением S в соответствии с уравнением Гейзенберга (13). Может случиться так, что X остается неизменной при всех изменениях S, при которых поверхность и ее параметризация неизменны в окрестности конкретной точки 〃'. В этом случае динамическая переменная X является локализованной в точке 〃' на поверхности S или в точке 力从(〃') пространства-времени. Последнее является математическим условием того, что динамическая переменная локализована в конкретной точке.

Кроме того, вполне возможно, что переменная X остается неизменной при всех изменениях поверхности S таких, при которых точка 力从(〃') остается при этом фиксированной. Это значит, что поверхность S всегда проходит через фиксированную точку пространства-времени, где локализована переменная X〉а параметры 〃' данной точки остаются неизменными, несмотря на то что направление на S в этой точке может быть изменено. В этом случае X называется скаляром. В общем случае динамическая

переменная X〉локализованная в точке 力从(〃')〉будет претерпевать изменения при изменении S, удовлетворяющие условию, что сама точка 力从(〃') остается фиксированной. В таком случае X будет компонентой тензора, отнесенного к координатам 〃 и нормали к поверхности S как к системе координат. Тензорный характер величины X будет определяться законом ее преобразования при изменениях поверхности S.

Обсуждавшиеся выше изменения в динамической переменной требуют отхода от обычной концепции «динамической переменной в конкретный момент времени» [3]. Прежде всего, динамическая переменная определена как линейный оператор, действующий на волновую функцию на конкретной поверхности S, скажем на Si. Интерпретируя линейный оператор как оператор, действующий на S-зависимую волновую функцию, замечаем, что линейный оператор становится зависимым от Si, и в результате приходим к гейзенберговой картине динамических переменных. В гейзен- берговой картине нерелятивистской квантовой механики динамическая переменная, локализованная в конкретной точке Р пространства-времени, является хорошо определенным оператором. В предлагаемой теории это не так до тех пор, пока такая переменная не является скаляром. В общем случае динамическая переменная будет зависеть от направления на поверхность Si в точке Р, где локализована динамическая переменная, а ее изменения по мере изменения данного направления будут описываться уравнением типа уравнения движения Гейзенберга. Она может также зависеть от параметризации поверхности Si в окрестности точки Р, однако это может привести лишь к достаточно тривиальным изменениям. Динамическая переменная может даже зависеть от кривизны поверхности Si в точке Р. С точки зрения гейзенберговой картины представляется более разумным считать различные линейные операторы, соответствующие динамической переменной, локализованной в точке Р, и отнесенные к разным поверхностям S, проходящим через точку Р, различными динамическими переменными. Однако это приведет к отходу от обычной взаимосвязи между гейзенберговой и шредингеровой картинами [4].

Определим величины

(52)(52)/* = /{аг1Г + апПп} д3*А* = j {arPr + anPn}Su

(52)

(52)

для функций а『〉ап, которые обращаются в нуль в одной конкретной точке и из области их определения. Тензорная природа динамической переменной X, локализованной в точке 力从(〃)〉определяется по ее коммутатору с оператором А* в соответствии с соотношением (13). Таким образом, скаляр коммутирует с А*. Аналогичным образом тензорная природа любой функции Е от динамических переменных и переменных, определяющих поверхность S〉которые все локализованы в точке 力从(〃)〉определяется по ее коммутатору с оператором А* — /* в соответствии с соотношением (14). Таким образом, скалярная функция £ коммутирует с А* — /*:

£/* _j^*] = 0.(53)

Четыре величины дхц/ди31 п^ при конкретном значении 从 и при s = =1, 2, 3 образуют четыре компоненты ковариантного вектора по отноше-

нию к системе формул (18) инию к системе формул (18) икоординат и. Их коммутаторы с оператором А* — /* в силу (23) имеют вид

нию к системе формул (18) и

нию к системе формул (18) и

L dus」 dur dus 片 dus

L M，J Z dur dus

Любая четверка величин £ с подобными коммутационными соотношениями задает четыре компоненты ковариантного вектора. Таким образом, коммутационные соотношения для ковариантных векторов ^^n в общем случае записываются как

[『*-/*]=，礬 + 8 咨OUgOUg

OUs

Коммутационные соотношения для величин другой тензорной природы могут быть естественным образом получены из данных.

Из соотношения (20) следует, что

[?М* — »*] = 27 dat/dut.

Таким образом, детерминант 7 в соответствии с принятым здесь определением не является скаляром. Величину р с таким же коммутационным соотношением, как и для 71/2, а именно

辰 4* - /*] =pdat/dut, можно назвать скалярной плотностью (в трехмерном смысле), поскольку интеграл от такой величины по всем 〃ь 〃2〉〃з не зависит от параметризации поверхности S. Любой скаляр, домноженный на 71/2, дает скалярную плотность. Аналогичным образом тензор, домноженный на 71/2, можно назвать тензорной плотностью.

На основании этого можно предположить, что операторы Р\ Р" являются компонентами плотности Т тензора второго ранга, где Рг является компонентой Тгп, а Рп является компонентой Тпп. Данное предположение приведет к некоторым другим простым коммутационным соотношениям между операторами Рг и Рп. Однако я не вижу каких либо подтверждений для данного предположения в общем случае. Оно приводит к трудностям в присутствии частиц со спином 方/2〉вследствие того, что такие спины не могут быть описаны напрямую относительно косоугольных координатных осей.

блеме получения наборов операторов「九(〃)〉удовлетворяющих соотношениям (50), (51). Если не удается найти подходящие примеры, свободные от несовместимости и достаточно сложные для того, чтобы соответствовать взаимодействию между элементарными частицами, то отсюда можно сделать вывод о том, что атомные системы не являются локализуемыми.

Теория поля, сравнимая с представленной теорией, была предложена П. Вейсом 1). Вейс начинает с классической лагранжевой функции, содержащей полевые переменные q〉которая приводит к интегралу действия, ограниченному произвольной пространственноподобной поверхностью S. Затем Вейс вводит импульсные переменные р на поверхности S, сопряженные с переменными q〉а также вводит гамильтонианы и, наконец, совершает переход от классической теории к аналогичной квантовой теории.

Теория Вейса применяется к динамическим системам, которые являются локализуемыми. По этой причине они являются предметом изучения для представленной здесь теории. В его теории предложен метод получения гамильтонианов Рп, удовлетворяющих требуемым коммутационным соотношениям. Получаемые таким путем гамильтонианы не являются выражениями наиболее общего вида, а ограничены двумя условиями. Во-первых, метод применим только к динамическим системам, описываемым с помощью динамических переменных, удовлетворяющих стандартным коммутационным соотношениям для канонических переменных q и р. Таким образом, он неприменим к электронам или другим частицам, подчиняющимся статистике Ферми и для которых полевые переменные удовлетворяют антикоммутационным соотношениям. Во-вторых, переменные q в теории Вейса должны быть скалярами, не зависящими от направления на поверхности S. Только импульсы р могут зависеть от этого направления )

Другая квантовая теория полей была недавно предложена Томона- гой). Эта теория, подобно представленной здесь, имеет дело с волновыми функциями на произвольных пространственноподобных поверхностях, однако использует другой критерий для отождествления волновых функций на различных поверхностях, базирующийся на волновых уравнениях для невзаимодействующих частиц. В теории Томонаги волновая функция 耽(qi) на поверхности Si считается равной волновой функции 吵2(42)на поверхности S2 в том случае, если волновая функция 吵1(41) на Si переходит в волновую функции 吵2(夕2)на S2 в соответствии с волновым уравнением для частиц без взаимодействия. Такой метод отождествления волновых функций позволяет избежать необходимости параметризовать поверхности S. В нем волновая функция будет изменяться при переходах с одной поверхности S на другую только за счет энергии взаимодействия, так что гамильтонианы в теории Томонаги содержат только энергию взаимодействия. Томонага развил свою теорию лишь для случая, когда все гамильтонианы коммутируют, однако, возможно, его метод может быть обобщен.

1) Weiss Р. // Proc. Roy. Soc. А. 1938. V. 169. Р. 102.

2

ФОРМЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКИ)

Для целей атомной теории необходимо объединить специальный принцип относительности с гамильтоновой формулировкой динамики [1]. Это объединение ведет к появлению десяти фундаментальных величин для каждой динамической системы, а именно — полной энергии, полного импульса и 6-вектора, три компоненты которого равны компонентам полного момента. Обычная форма динамики выражает все через динамические переменные в один момент времени, что приводит к особенно простым выражениям для шести из этих десяти величин, а именно — для компонент импульса и момента. Существуют другие формы релятивистской динамики, в которых другие из этих десяти величин особенно просты, в соответствии с различными подгруппами неоднородной группы Лоренца. Эти формы исследуются и применяются к системе взаимодействующих частиц и к электромагнитному полю.

Введение

Великое свершение Эйнштейна — принцип относительности — налагает условия, которым должны удовлетворять все физические законы. Оно глубоко влияет на всю физическую науку, начиная от космологии, которая имеет дело с очень большим, вплоть до учения об атоме, имеющего дело с очень малым. Общая теория относительности требует, чтобы физические законы, выраженные в криволинейных координатах в пространстве-времени, были инвариантны относительно всех преобразований этих координат. Это автоматически привносит в физическую теорию гравитационные поля и правильно описывает влияние этих полей на физические явления.

Гравитационные поля особенно важны при рассмотрении явлений большого масштаба, как в космологии, но почти пренебрежимы в другом пределе, при изучении атома. В атомном мире отклонение пространства- времени от плоского столь поразительно мало, что не имеет смысла принимать его во внимание в настоящее время, когда многие большие эффекты все еще не объяснены. Поэтому естественно работать с координатной системой простейшего рода, для которой определяющий метрику тензор g^ обладает компонентами

g°° = -gU = -g22 = -g33 = 1,g“" = о для 从 # %

Специальный принцип относительности Эйнштейна приобретает теперь первостепенное значение, требуя, чтобы физические законы были инвари-

антны относительно преобразования одной такой координатной системы в другую. Преобразование такого рода называется неоднородным преобразованием Лоренца. Координаты 〃从 преобразуются линейно согласно уравнениям 吨=2 心 с = (1) где а и /3 — постоянные.

Преобразование типа (1) может включать отражение координатной системы в трех пространственных измерениях, а может также включать и временное отражение, когда направление duo в пространстве-времени меняется от будущего к прошлому. Я не думаю, чтобы для физических законов было необходимо оставаться инвариантными при таких отражениях [2], хотя все до сих пор известные точные законы природы и обладают такой инвариантностью. Специальный принцип относительности возник из требования, чтобы законы природы были независимы от положения и скорости наблюдателя, а любое изменение, которое наблюдатель, сохраняя с собой свою координатную систему, может сделать в своем положении и скорости, приведет к такому преобразованию (1), которое может быть построено из бесконечно малых преобразований и не может содержать отражения. Поэтому кажется, что специальный принцип относительности будет удовлетворен, если потребовать, чтобы физические законы оставались инвариантными относительно бесконечно малых преобразований координатной системы типа (1). Такие бесконечно малые преобразования задаются выражением

"从="从 + aм + 6从 Uy c 6从^ =一(2) где а и 6 — бесконечно малые постоянные.

Второе общее требование для динамической теории было извлечено на свет открытием квантовой механики Гейзенбергом и Шредингером — это требование, чтобы уравнения движения можно было выразить в гамильтоновой форме. Оно необходимо, чтобы переход к квантовой теории был возможен. Поэтому в атомной теории мы имеем дело с противостоянием этих двух требований. Проблема их согласования друг с другом образует предмет настоящей работы.

Все существующие теории взаимодействия элементарных частиц и полей неудовлетворительны с точки зрения одного или другого. Несовершенство вполне могло бы возникнуть из-за использования для представления атомных явлений неправильных динамических систем, т.е. неверных гамильтонианов и неверных энергий взаимодействия. Поэтому приобретает большое значение предложение новых динамических систем 〃 рассмотрение того^ не будут ли они лучше описывать атомный мир. При предложении новых динамических систем с самого начала сталкиваются с двумя требованиями — релятивистской инвариантности и наличия гамильтоновых уравнений движения. Настоящая статья имеет целью положить начало этой работе, заготовляя простейшие методы для одновременного удовлетворения этим двум требованиям.

Десять фундаментальных величин

Теория какой-либо динамической системы строится в терминах некоторого числа алгебраических величин, называемых динамическими переменными, каждая из которых определена по отношению к системе коор-

R E V 1 E W S CF M О D E R N P II Y S 1 C S

V Q J . %「M M ? J N / M В !• il 吝

J I； L V , J 0 4 »；

Forms of Relativistic Dynamics

Г. A. V.

SL John's College, Cambrige, EHglam!

For the yurprjM.*s of atomic theory h. is necesswy to combine the restricted principle of rdativity with 慘匸 Hamjhimian hirmuJalion of dynamics. This £< mi hi rial ion le:«5s t<)т he 諄務貝爆詳灯乳富 of ten fundamental rpuinhiit?» for each tiynamical system, nan wily the total tnerfi)1； the total гжмвспШш and I he (j-vectur which has ihree <'um|Kmw)ts equal to the total angular monjeutum. rrhc usual form of dynamics expresses every thing in ifrms of dynaniical variabh» at one instant of time, which results in specially sim^dc expressions ferr six 加 these ten, namely the crjuifxjrients trf monientum азк! of angular Tiwmciitum. I'here are о I he г forms 仃宵 reknbistic dynamics in which Olliers of the h;n are spcrially sim|')k'f €ttrre?,f»nding to various sub-groups of the inlwmogfnt'ous Lorentz groufi. These fcirnis are jnvesLigatcd and applied Io a system of parriefcs in interaciicjn and t偉 rise electnimagiiclic йМ.

I. ir；TR>：)DUC；-!JQN

Fp L\x："r[<l.X\S 1ГГГ..И： кн'УСн:.г：1-. tliv p-rniHplc

kiws have to sat«My. Il jjroitmndJy triHuences the,whole of physioil science, from cosmology-j which deals with the very large, to the Mudy nf the atom, wbicli deals with t he very small. (Jenera I relativity recoil ires that pliysital hiws? Expressed, in terms of a system of curvi- 巾於;，.：« ：：■■!rd'<мH'S hi 、:」;》:「！ im『，sis'!К %’ ii' v.iriujit under all transformations of the coordinates. И brings gravitational fields automatically into physical theory imd describes correctly the influence of these ftelils 皿 physical phenomena.入“

(iravitalicjnal fields are spcch-ihy imporlant when 6覽

but are quite ncgligilite at the oilier extreme, (lie stud｝' 川・ Inc aJoin., lr； gu ;±t；⑴储，'.'.；，"<；d厅■1'-р;：г'Пгг й1 s[!：.；ct： b'nc frori: H：u. ih.ss 尸 m ш：：宀i'j.'g >m：iH 巾：" tlrerc wuuld. 1：h： n-j \»>u\- ir, 1<.ik::ig ：l. irHj.i ；：u： r：..u；н. ；d s in- 11 rise г И Un-n;, vJ'.r：i ：ушг i:i「M： Ti『：・—⑺imrx- |il4"3. Thu『，，仁「П.!! li：；l Ну 注，：.£；、V. J '•! Kt Siirj'JjS- kind 3 5Hm上n:zif* sy>(crH„ :七，「倉" 山M ilcli'ic：-- trie mcuic has l；：,. > и!Г1)л.；.!д-its

^^^^S叔 ^™:, ”》™； ^Г^й■ j「

V" 1( I г “宀

支川m3У1飞reslricluH ":外;:屮后 3tekitivJy ism不 川 ^'urarnoujit i"屮⑴：l.；"】.t. rrqnirhig liiai ]内户心匚 l；iws shaJi he iisv-irutul шкЬ.т ?nsusf>ц-гц；!uc.nis 三％死】，⑷貯 such ciK>r(Hn.itc systcin io ;irH)d-i'r. A ；rr«k「m;”.kg uf Hdm lend ls t上hM ⑴i*1卜：川：，孤，:："，：•小* %m・：l?.m:亦3：七]；;卜 tiem. 'Tlie conrdinairr； ий mshds »m ;i「I｝•山小出土片 ё>：；> LJie ecfuatkHis.

3也"Li

瓦斤^ kg%J

山г七！ and p,s Lrciiig(T鹏2小：.

n.H:ii.!ct.ii..m ut i：.h.<? i..｛：-：H-i：l!!：.：!/<: svstern i【：l.ht：忆「由：：屮造U;M

diriHTiskms лги! Si. m；》匸「门：，底七汽 urrsr г<-Глч；1 ：м>л 匸仪 ilirecHun 山f* к ^[glcc liiiic h.iiigii:.^ fmm tin- h'Aure 5 Hj? |j；f.s:. [ /〃 nE 3mw・产；｝?：，, 「；№：； for

｛山戶i「W kivvs t.：j be isiviuKH'J. u：〕，.h・「1%.：讨」刊川屮 Miht：，《H」式M die CXLlCl gj，№ I'f '｝>.ilAYV SI) f；L「кНЙ'Л!- i\u I-IHVC this ir;：varhi!.ce. 'г：｝u以个匕e门产:厂内门产沁 N 也•齿 uv Л у :тв* 左，:川 I li--r ii”w"；『w】M 1 i'lLt th- hiw > nf 1ШШ1- sh(.Hjid In?匚i，.k”t"hK nF the 俨,不田川]Hnl vcbK：iiy rjf ilie un-si：] vri, rind ;•；：!)■ «.■fsuiigij tin? i?l..server ;注少 mu. к и in Lis户，户貝川由；”3 velucii. vr tiMn匕】通； CO (..rd illite SVSl l.! ri'! wilis ;jiiri, v-ill \'^\ >.i ：l !r-l.r,<fi .r-iu- E ⑴i ill 仆 f ;l Mini lhi；-t сан he L，l:山 isj 3：：，h；匚川：大仆，旧〕,/ IrxHshnTmUMUN ;н:Н【："]"川 iiivn-vr j n、Te•门 3n 门⑴* it :屮产以TN dl：H !-<■>!.riCI.crl n；i!!.d\ ily wiJ hr s；ih< 1(4.1 hv 「仇 хрнМттнТ. ih⑴ pi I у sb： ./i I：；'.A ч :、匕川 |ц： ii：v.iri,4n； iHK'cr iiHinhcsnnjl Irii-iSlnrril.il/'ors，if Нн/ !7;-,1Г<Н.П；.Ис svsiurn oi thr ty卩炉 iJ i. Xu"： E； i川川MemU 1ге・：Нм- niaib.m is gi\ ci: i?y

kith心；

lh《：uX and //s 1.ц\.!!：;; !H： !Hhj.'S-：:ri;.i! ■;. и：к-.1；сн s.

5f LtYH 丨，口*.出畐：，」！忆6 1团",冷6 ihv diSi i.-verv uf "mtutuTi rmxh⑴匸lf k，1[u"1：4，Г二：e，I S; hi，"」⑴以■r：. uuntk ：hu n■中 1汽力2七1 ":;г M金「屮!：「.ki/ ♦：/ h：e:匚е $：匕内 he r:q:.rrss?:.He ：:i thr U.i!y；gui#i hm l h;：- is lK.4i:<<；；ry la J. 1 rnrisil. !ГГ, b;. ：M：;.屮：UM 匸u Hic:；-rv |M L< I>ossible. In atomic trieory one thus has two over-riding ^^[iiitriHcins, 'T'i'L- jH!?!.iii.7H i；l 「I⑴门二 кнк ty: 1g I”门心 lii.；.^ ：si!.hirt. i. i.>l tin： j!rc-；i-i：i '；：「*".

The existi'ng- dieorics of the ijiteracLkm of clcmeiitaryi :脑｝ u中 M，и“и； г，」г

,」.Шк『 W:「：；口中"，门屮.Ymn*⑴：厅 *T」；б也「「зн dir n：-i- и( 7/т：.：нц dyn:iir.i'.:;.i- >y>ivii^ :，」屮「>：*川.，山xui「у!н.：・ i!H!.：h/!l；l, !.. '. v г. П j ;Lj： [ .：｛, j ?•：! li h i 1 ： ； 11 - S. U Г1 ： > aV i'5 i! 1! ： Li! ； (： !'；! < 1 i«HI

energies. // thus becomes a mailer q/ great importawe fo sd 幫段 мет dynaniical systems &wd 苫况?/ they юШ belter 心％,Fk "w "，M%”： •;：；"£•/. [..-.1 SCI I.injr <)11 ；■■..!<!I ；I. ；H.'W

Первая страница статьи П.А.М. Дирака«Формы релятивистской динамики»

динат в пространстве-времени. Обычные динамические переменные — это координаты и импульсы частиц в отдельные времена и полевые величины в отдельных точках пространства-времени [3], однако допустимы (и появятся ниже) и величины другого рода.

Чтобы динамическая теория могла быть выражена в гамильтоновой форме, необходимо, чтобы любые две динамические переменные, £ и 〃〉 имели бы СП (скобку Пуассона) [^,ту], подчиняющуюся следующим законам:

后用=一阮&

£〃 + 4 =后用+ £c⑶

[£〃](] + [切〈同 +用=о.

Некоторое количество физических констант можно считать специальным случаем динамических переменных, которые обладают той особенностью, что их СП с чем угодно обращаются в нуль.

Динамические переменные изменяются, если изменяется система координат, относительно которой они определены, и должны совершать это таким образом, чтобы СП соотношения между ними оставались инвариантными. Это требует, чтобы при бесконечно малом изменении координатной системы (2) каждая динамическая переменная £ изменялась по закону £* = £ + £印，⑷

где F — бесконечно малая динамическая переменная, не зависящая от § и зависящая только от включающей ее динамической системы и изменения системы координат. Итак, мы приведены к тому, чтобы связать каждую F с каждым бесконечно малым преобразованием координат.

Применим последовательно два бесконечно малых преобразования координат. Предположим, что первое переводит динамическую переменную £ в согласно

£* = £ + [£网 а второе переводит в £+ согласно

£+ = §* + £园=§* +陰码*.

Оба преобразования вместе переводят £ в £+ согласно

€+ = € + [€,^1] + [€,^2] + [[€^2]^1]

с точностью до членов порядка 乃卫(и в пренебрежении членами порядка 比 и 碣).Если эти два преобразования применены в обратном порядке, то они переводят £ в £++ согласно

e++ = £ +£码+ £吊]+也用],码.

Поэтому

£++ = Г + 也 F^F^-ll^ F^F,] =Г + 陰及码]

с учетом первого и последнего уравнений (3). Это дает изменение динамической переменной, связанное с тем изменением координатной системы,

которое является коммутатором двух предыдущих изменений. Оно имеет стандартную форму:

£++=£+ + [£+,司

с F, равной скобке Пуассона 吊 и 刃〉связанных с двумя предыдущими изменениями координат. Итак, коммутационные соотношения между различными бесконечно малыми преобразованиями координат соответствуют СП соотношениям между связанными с ними F.

Связанная с преобразованием (2) динамическая переменная F должна линейно зависеть от определяющих преобразование бесконечно малых чисел а从 и Ь^. Поэтому мы можем положить

F = -Р从a从+ *М宀叫(5)

где「从 и М^ — конечные динамические переменные, не зависящие от преобразования координат.

Десять величин 厶〉М^ характерны для любой динамической системы. Они будут именоваться десятью фундаментальными величинами. Они устанавливают, как все динамические переменные затрагиваются такими изменениями координатной системы, какие встречаются в специальной теории относительности. Каждая из них связана с некоторым типом бесконечно малого преобразования из неоднородной группы Лоренца. Семь из них имеют простую физическую интерпретацию, а именно: Д)— это полная энергия системы, Рг (г = 1, 2, 3) — ее полный импульс, Mrs — полный момент относительно начала. Оставшиеся три MrQ не соответствуют какой-либо столь же привычной физической величине, однако в равной мере существенны в общей динамической схеме.

Из коммутационных соотношений между отдельными бесконечно малыми преобразованиями координатной системы мы сразу получим СП соотношения между десятью фундаментальными величинами:

[Р^ч Р/ = 0〉

[^/1以 Рр] = ~ Slip Ру + g”P閲)(6)

[^/1厶 ^рсг] = —— g^MpU + gyaMp^.

Чтобы построить теорию некоторой динамической системы, надо получить удовлетворяющие этим СП соотношениям выражения для десяти фундаментальных величин. Проблема нахождения новой динамической системы сводится к проблеме нахождения нового решения этих уравнений.

Элементарное решение строится по следующей схеме. Возьмем четыре координаты q从 точки в пространстве-времени за динамические координаты, и обозначим через р从 их сопряженные импульсы, так что

[0从)q J = °)[0从)qj = °)[0从)qj = g叫

Эти q будут преобразовываться при бесконечно малом преобразовании координатной системы так же, как и и в (2). Это ведет к

Pfi = Рцч—电0从(7)

и обеспечивает решение СП соотношений (6). Решение (7) не представляется обладающим практическим значением, однако, как покажут следующие три пункта, оно может быть использовано в качестве основы для получения других решений, обладающих практической важностью.

Предыдущее обсуждение требований на релятивистскую динамическую теорию можно несколько обобщить. Мы можем работать с динамическими переменными, связанными одним или несколькими соотношениями для всех тех состояний движения, которые реализуются физически. Такие соотношения называются дополнительными условиями [4]. Будем записывать их в виде

А^О, (8)

чтобы отличать их от динамических уравнений. Они менее сильны, чем динамические уравнения, так как из динамического уравнения можно получить другое, взяв СП от обеих его сторон с любой динамической переменной, в то время как с дополнительным условием этого, вообще говоря, делать нельзя. Более слабое предположение, что из двух дополнительных условий 4 7 0 и 8 7 0 можно вывести третье

[ДВ]^о, ⑼

будет, однако, сделано.

Дополнительное условие должно оставаться дополнительным условием после любого изменения координатной системы. Это дает нам право заключить из (8), что

[“，川弋 О, [М^,А]^0. (Ю)

Динамическая переменная обладает физическим смыслом, только если ее СП с любым дополнительным условием снова дает дополнительное условие, т.е. ее СП с А из (8) должна в дополнительном смысле исчезать. Такая динамическая переменная будет называться физической переменной. СП двух физических переменных есть снова физическая переменная. Уравнения (10) показывает, что десять фундаментальных величин являются физическими переменными.

Одни только физические переменные и являются действительно существенными. Можно было бы совсем исключить нефизические переменные из теории, и, значит, превратить дополнительные условия в динамические уравнения. Исключение, однако, может оказаться неуклюжим и может искалечить некоторые свойства симметрии схемы уравнений, так что желательно сохранить возможность дополнительных условий в общей теории.

Мгновенная форма

Для встречающихся на практике динамических систем десять фундаментальных величин обычно таковы, что некоторые из них особенно просты, в то время как остальные сложны. Сложные будут называться гамильтонианами [5]. Они в совокупности играют роль единственного гамильтониана нерелятивистской динамики. Так как СП двух простых величин является величиной простой, то простые из числа десяти фундаментальных величин должны быть связаны с некоторой подгруппой неоднородной группы Лоренца.

В обычной форме динамики работают с динамическими переменными, относящимися к физическим условиям в некоторый момент времени (мгновенье), т.е. к координатам и импульсам частиц в это мгновенье. В

2 П. Дирак. Т. III

релятивистской четырехмерной картине мгновенье — это плоская трехмерная поверхность, содержащая лишь направления, лежащие вне светового конуса. Простейшее отнесенное к координатной системе и мгновенье задается уравнением

“о = 0. (11)

В результате работы с динамическими переменными, относящимися к физическим условиям в это мгновенье, должны стать особенно простыми те из фундаментальных величин, которые связаны с преобразованиями координат, оставляющими мгновенье инвариантным, а именно Pi,尸2)乌〉儿出〉 А/з1, Л/12- Остальные, Д), А/ю, М20, М30 будут, вообще говоря, сложными и будут гамильтонианами. Мы получим, таким образом, форму динамики, связанную с подгруппой неоднородной группы Лоренца, которая оставляет мгновенье инвариантным, и которая может быть подходяще названа мгновенной формой.

Возьмем в качестве примера одну единственную частицу. В этом случае десять фундаментальных величин хорошо известны, однако мы получим их тут заново, чтобы проиллюстрировать метод, который может быть использован и в других формах динамики.

В качестве динамических переменных выберем три координаты частицы в мгновенье (11). Называя эти координаты 分〉мы можем основывать нашу работу на схеме (7) с дополнительным условием

Q0 7 0. (12)

С этим условием 目。не имеет более смысла. Мы должны поэтому так изменить заданные (7) выражения для десяти фундаментальных величин, чтобы исключить из них ро без нарушения СП соотношений (6).

Добавим к выражениям для десяти фундаментальных величин члены, кратные рара — т2, где т — константа, т.е. положим

Рц = Р開 + 入乩(Р°Ро — п )〉 M^jy = q^p” — q^Pb + ^/1^ {paPa — m )〉(13)

где

и коэффициенты А являются функциями дир которые не могут стать бесконечно большими, если положить рара — т2 = 0 с р°〉0. Поскольку рара — ш2 обладает нулевой СП со всеми выражениями (7), то измененные выражения (13) должны по-прежнему удовлетворять СП соотношениям (6) с точностью до величин, кратных рара — т2, при любом выборе А. Если мы теперь выберем А так, чтобы сделать 厶 и М^ в (13) не зависящими от рсь то СП соотношения (6) должны будут удовлетворяться с точностью до членов, не зависящих от 夕仇 равно как и кратных рара — т2. Такие члены должны исчезнуть, так что на этом пути мы получаем решение нашей задачи.

Коэффициенты А имеют значения

Аг = 0, Ад =>==,

Ро + y/PsPs +(]4)

^sr = О, %0 = —/,

Ро + "PsPs +

и формулы (13) приобретают с помощью (12) вид

Рт = Рг-) Mrs = QrPs — QsPr-)(15)

Лэ = y/psPs + m2, MrQ = qry/psPs + m2.(16)

Уравнения (15) и (16) дают нам все десять фундаментальных величин для частицы с массой т. Величины, задаваемые (15), являются простыми^ задаваемые (16), — гамильтонианами.

Для динамической системы, составленной из отдельных частиц, Рг и Mrs будут просто суммами их значений для каждой частицы в отдельности,

Рг — ^^Р『〉 Mrs =〉：(q『Ps — QsPr) •(17)

Гамильтонианы Д), MrQ будут состоять из суммы их значений для отдельных частиц плюс члены взаимодействия:

Лэ = £+ К MrQ = £ qry/PsPs + m2 + %.(18)

Функции V должны быть выбраны так, чтобы Pq и MrQ удовлетворили всем СП соотношениям (6), в которых они присутствуют.

Некоторые из этих соотношений линейны по V и легко удовлетвори- мы. СП соотношения для [Мг±^ Д)] и [MrSl М^ будут выполнены, если V — трехмерный (в пространстве “ь “2〉"з) скаляр, a Vr — трехмерный вектор. СП соотношения для [/^, Д)] будут выполнены, если V не зависит от положения начала в трехмерном пространстве “1〉“2〉"з・ СП соотношения для [MrQ^ Ps] будут выполнены, если

Vr = qrV + V^(19)

где qr — координаты одной из частиц, а 匕 не зависят от положения начала координат в трехмерном пространстве.

Оставшиеся условия на V являются квадратичными, содержащими [V, Vr] или [%〉匕].Эти соотношения не могут быть легко удовлетворены и представляют действительную трудность в задаче построения теории релятивистской динамической системы в мгновенной форме.

Точечная форма

Можно построить динамическую теорию, оперирующую с динамическими переменными, относящимися к физическим условиям на трехмерной поверхности, отличной от мгновенья. Поверхность должна удовлетворять тому условию, чтобы мировая линия каждой частицы встречала ее, так как иначе частица не могла бы описываться переменными на поверхности, и, предпочтительно, встречала бы ее только один раз — ради единственности.

Чтобы получить теорию простой формы, надо было бы выбрать поверхность так, чтобы она оставалась инвариантной относительно некоторой подгруппы неоднородной группы Лоренца. Возможной подгруппой будет группа вращений относительно некоторой точки, скажем, начала 2*

координат и^ = 0. За поверхность может быть тогда выбрана пола гиперболоида

ирир = х2, зд > 0,(20)

где х — константа. Фундаментальные величины, связанные с бесконечно малыми преобразованиями подгруппы, именно М^^ будут тогда особенно просты〉в то время как другие, именно "〉будут вообще говоря сложными и будут гамильтонианами. Так получается новая форма динамики, которую можно назвать точечной формой^ поскольку она характеризуется тем, что связана с подгруппой, которая оставляет инвариантной точку. Чтобы проиллюстрировать новую форму, возьмем снова пример единственной частицы. Динамические координаты должны установить место, где мировая линия частицы встречает гиперболоид (20). Пусть четыре координаты этой точки в системе координат и будут q^. Только три из них независимы, но вместо того, чтобы исключить одну из них, удобнее работать со всеми четырьмя и ввести дополнительное условие

q諸.(21)

Тогда необходимо допустить, чтобы десять фундаментальных величин — и вообще все физические переменные — имели нулевую СП с qpqp. Условием того будет требование, чтобы они содержали импульсы р только в комбинации q間р^ — q^p从.

Десять фундаментальных величин можно получить методом, параллельным методу предыдущего пункта, с дополнительным условием (21) на месте условия (12). Мы опять примем анзац (13), и теперь выберем А так, чтобы сделать нулевыми СП правых частей с qpqp. Получающиеся выражения для десяти фундаментальных величин будут снова удовлетворять СП соотношениям (6), в чем можно убедиться с помощью рассуждений, аналогичных проведенным в предыдущем пункте.

Сразу находим

=0.

Чтобы получить А^, проще не непосредственно подстраивать 口〉стараясь обратить его СП с qpqp в нуль, а добиваться, чтобы нулевую СП с qpqp имели。从旦-q“P開 и Р^Р也.Тогда

q^P丿-q^P)uL = q^p丿-q^p^ + (分儿-q”入n)(р ра -))

так что должно быть

и, следовательно,

=q从8,

где 8 — некоторая динамическая переменная, не зависящая от //. Далее,

P^Pfi = {沙 + q開Bf^po —病)}{夕从 + QMB(^% - m2)}=

=m2 + {1 + 2沙q从8 + 产方石气严夕。一m2)}(pppp - m2).

Чтобы РЬР間 имело нулевую СП с qPqp〉мы должны положить

Q + 27A卢 + q^q^^pa - m2) = 0,

так что

В(р°р。- ш2) = — {,(犷彰)2 — q^qx(p^pa - m2) -

Правая часть здесь стремится к нулю как (р°ро — m2) Т 0, так что она кратна рара — т2, как оно и должно было быть. Мы получаем теперь окончательно:

口 = Рм + 3 0从{,(犷电产一“2(pbpo —俏—p"qj,(22)

M開"=方Р^ -电Р从〉

где выражение для 厶 упрощено с помощью (21).

Позволительно выбрать х = 0 и получить таким образом световой конус вместо гиперболоида. Выражение для 8 становится тогда намного проще и дает

Р叫『й(23)

вместо первого из выражений (22).

Для динамической системы, составленной из отдельных частиц, М^ будут просто суммой их значений для каждой частицы в отдельности:

=〉：(方p^ -电P从).(24)

Гамильтонианы 厶 будут суммой их значений для отдельных частиц плюс члены взаимодействия:

"=e仞从+方8(严Р。一 m2)} +以•(25)

Члены взаимодействия 以 должны быть выбраны так, чтобы 厶 удовлетворяли правильным СП соотношениям. Соотношения для [М^^ РД будут выполнены, если 勿 суть компоненты 4-вектора. Оставшиеся соотношения, которые требуют, чтобы 厶 имели нулевые СП друг с другом, ведут к квадратичным условиям для 勿.Они вызывают действительную трудность в задаче построения теории релятивистской динамической системы в точечной форме.

Фронтальная форма

Рассмотрим трехмерную поверхность в пространстве-времени, образованную фронтом плоской волны, распространяющейся со скоростью света. Ради краткости такая поверхность будет называться фронтом. Пример фронта дается уравнением

"о — 〃з = 0-(26)

Мы можем построить динамическую теорию, в которой динамические переменные относятся к физическим условиям на фронте. Это сделает особенно простыми те из фундаментальных величин, которые связаны с бесконечно малыми преобразованиями координат, оставляющими фронт

инвариантным, и даст третью форму динамики, которая может быть названа фронтальной формой.

Если А^ — некоторый 4-вектор, то положим

Aq + A3 = А+, Aq - Аз = А_.

Мы получим удобные обозначения, свободно используя индексы + и — в качестве тензорных индексов вместе с индексами 1 и 2. Их можно поднимать с помощью

g++=g—— = 0, g+一 = 1/2, gE+ = g"=O для г = 1,2, что можно проверить, заметив, что компоненты тензора д приводят к правильной величине для g^A^A^^ если при суммировании индексы //иг/ пробегают значения 1, 2, +,—.

Уравнение фронта (26) приобретает в этих обозначениях вид

и_ = 0.

Фундаментальные величины Pi, /^, Р_, М\2)М^__, М\_ и М^~ связаны с преобразованиями координат, которые оставляют фронт инвариантным, и будут особенно простыми. Оставшиеся 耳〉М^ и М^ будут, вообще говоря, сложными и будут гамильтонианами.

Разберем снова пример единственной частицы. Динамическими переменными будут теперь 仇〉© и Q+・ Снова примем анзац (13) и присоединим к нему уравнение q_ = 0. Теперь мы должны выбрать А так, чтобы сделать правые части (13) не зависящими от р+. Тогда получающиеся для десяти фундаментальных величин выражения будут снова удовлетворять требуемым СП соотношениям.

Найдем

，+ = —1/ Р—,%+ = ~Qi/P—i

остальные А исчезают. Таким образом,

Р- =Р-,

М\2 = qip2 - q2PL М-=伍Р—〉М^_ = Q+p_,(27)

К = "+Pl+吟 m+ = %就+01 +病)+ q母.(28)

Р-Р-

Уравнения (27) дают простые фундаментальные величины. Уравнения (28) дают гамильтонианы.

Для динамической системы, составленной из отдельных частиц, Р%〉Р_, Л/12, Мд__, Mi- будут просто суммой их значений для каждой частицы в отдельности. Гамильтонианы 耳〉М+ будут суммой их значений для отдельных частиц плюс члены взаимодействия,

Р+ = 彼+ ^2 +к М+ = Г "'就+优+ ")+%•(29)

р_р

Функции V должны удовлетворять определенным условиям, чтобы сделать гамильтонианы удовлетворяющими правильным СП соотношениям.

Как и раньше, некоторые из этих соотношений линейны, а некоторые — квадратичны. Линейные условия на функцию V требуют, чтобы она оставалась инвариантной относительно всех преобразований координат “ь “2〉

“+ на фронте, за исключением таких, при которых d“+ умножается на число, а при этих последних V должна получать тот же множитель. Линейные условия на Vi требуют, чтобы они имели вид

Vi = qiV + V^ (30)

где qe — координаты 1 и 2 какой-либо частицы, а V- обладают теми же свойствами, что и V, относительно всех преобразований трех координат на фронте, исключая связанные с М^ вращения, относительно которых V- ведет себя как двумерный вектор. Квадратичные условия для функций U не могут быть легко удовлетворены и порождают действительные трудности в построении теории релятивистской динамической системы во фронтальной форме.

Электромагнитное поле

Чтобы ввести динамическую теорию полей в рамки представлений, которые обсуждались в трех предыдущих пунктах, можно взять в качестве динамических переменных трижды бесконечное число полевых величин во всех точках мгновения, гиперболоида или фронта и использовать их вместо конечного числа переменных в теории частиц. Из них надо построить десять фундаментальных величин 口〉口^〉удовлетворяющих тем же СП соотношениям, что и ранее.

Для поля, которое допускает волны, движущиеся со скоростью света, с точечной формой теории возникает трудность из-за того, что может существовать волновой пакет, вообще не встречающий гиперболоида (20). Таким образом, физические условия на гиперболоиде не могут полностью описать состояния поля. Приходится, кроме полевых величин на гиперболоиде, вводить еще и некоторые особые динамические переменные. Похожие трудности, в менее серьезной форме, возникают и во фронтальной форме теории. Волны, движущиеся со скоростью света точно в направлении фронта, нельзя описать физическими условиями на фронте, и для обращения с ними приходится вводить некоторые особые переменные.

Альтернативный метод построения динамической теории полей получается при работе с динамическими переменными, которые описывают фурье-компоненты поля. У этого метода есть ряд преимуществ. Он избавляет от трудностей с дополнительными переменными и обычно лучше подходит для прямой физической интерпретации. Он приводит к выражениям для десяти фундаментальных величин, которые могут быть использованы со всеми тремя формами. Для поля самого по себе тогда между тремя формами нет разницы, но различие, конечно, появляется, если поле взаимодействует с чем-либо. Динамические переменные поля надо тогда понимать как фурье-компоненты, которые получило бы поле после выключения взаимодействия, если бы взаимодействие было вдруг выключено в мгновенье, на гиперболоиде или на фронте.

Возьмем в качестве примера электромагнитное поле, сперва без всякого взаимодействия. Мы можем работать с четырьмя потенциалами 4入(“)〉 удовлетворяющими дополнительному условию

込® 7 0. (31)

d3kкоd3kко(32)(32)Их фурье-разложение будет иметь вид

d3kко

d3kко

(32)

(32)

&(“)= У{А,ле^+А+е-^

с

^о = у ^1 + ^2 + 碌 d% = dki </出 dk3・

Введенный в (32) множитель 1/ко приводит к более простому закону преобразования для коэффициентов Фурье 4用入〉поскольку дифференциальный элемент d3k/kQ лоренц-инвариантен. Мы примем теперь 4用入 и 4玄 за динамические переменные.

При преобразовании координат (2) потенциал А\(и) в некоторой точке и изменяется в потенциал в точке с теми же самыми значениями и в новой координатной системе, т.е. в точке с координатами и^ — а^ — bju” в первоначальной координатной системе. Это вызывает изменение А\{и) на величину

-(a从 + b^Uy)

Есть еще и дальнейшее изменение, на величину Ъ\ Av^ обязанное изменению в направлении осей. Итак, из соотношений (4) и (5) следует, что [&(“)，—「％ 从 + I М^ъД = АдИ*- АдИ =—做 + 吋加)詮 + b^Ay и, следовательно,

(зз) ["入("),="从舒 -舞 +-g》/什

Беря теперь фурье-компоненты от (32), получим

[^~кА, Рр\ =匕к乩 Ак入)

где 4用入〉в целях применения к ним дифференциального оператора кп,

从 дк^ дк^ ，

можно рассматривать как функцию от четырех независимых компонент к.

Теория Максвелла дает для энергии и импульса электромагнитного поля выражение

"= -4/ /(35)

丿Kq

где знак — нужен для того, чтобы поперечные компоненты вносили положительную энергию. Чтобы это выражение согласовывалось с первым из уравнений (34), необходимо иметь СП соотношения:

[4用Л\)^-к,|Ji\ =。〉

[4*4总]=-裁例8(厄-瓦)"后-乂)"品-丛).(36)

Второе из уравнений (34) ведет тогда к

М^ = 47A / {а玄(％ 詣—瓦計)4' + %4l ^^m} *• (37)

Выражения (35) и (37) определяют десять фундаментальных величин.

Для электромагнитного поля, взаимодействующего с заряженными частицами, десять фундаментальных величин будут суммами их значений для одного поля, задаваемыми (35) и (37), и приведенных в одном из трех предыдущих пунктов их значений для частиц с членами взаимодействия, включающими наряду с переменными частиц и переменные поля 4》и А^д. Обычно принимают, что между частицами нет прямого взаимодействия, а есть только взаимодействие между каждой частицей и полем. Десять фундаментальных величин принимают тогда форму

厶=+ £ 写，М^ = №『+ £(38)

где 口F и М/ — вклады чистого поля, даваемые (35) и (37), a PJ и М^а — вклады а-й частицы, состоящие из членов, относящихся к самой частице, и членов взаимодействия. Для точечного заряда члены взаимодействия включают переменные поля только через значение Ад(^) и его производные в той точке q〉где мировая линия частицы встречает мгновенье, гиперболоид или фронт. Выражения для PJ и М^а для этого случая могут быть легко получены с помощью обобщения метода трех предыдущих пунктов следующих образом.

Предположим для простоты, что есть только одна частица. Мы должны заменить формулы (13) на

а = Р^ +р^ + АМ(7Г6Т7ГСТ - т2),(39)

m呻=М^ + q必^ -电P从+ (认n开。-m2),

где тга = pa — eAa(q\ a 口и М/ — правые части (35) и (37). Из соотношений (33) имеем

[Ау^.Р^ +р^\ = О,

[4》(q), М^ + q^ - q“0从]=gA^(q)-目^厶从匂) и, следовательно,

K*pJ +夕小=о,

阮* М" + q必"-РуР^ = gx^y - g^vr*

Отсюда вытекает, что 7гатга обладает нулевой СП с каждой из величин F『+ р乩 и М/ + q^py — q^p^. Теперь, с помощью тех же самых аргументов, что и в случае отсутствия поля, можно заключить, что если А в (39) выбраны так, чтобы 口, М^и имели нулевые СП с q。〉qpqp или q_, то все СП соотношения (6) удовлетворятся. Такой выбор А вместе с одним из уравнений q° = 0〉qpqp 弋 к? или q_ = 0 предоставляет нам десять фундаментальных величин для заряженной частицы, взаимодействующей

с полем в мгновенной, точечной или фронтальной форме соответственно. Дополнительное условие (31) должно быть изменено, если присутствуют заряды.

В качестве иллюстрации рассмотрим точечную форму. В этом случае мы сразу получаем 入从^ = 0. Величины 入从 удобно получить, устроив так, чтобы комбинации

q^P.-P^-Q^-P^

и

{рм _ рeA^q)}{P,-从(q)}

имели нулевые СП с qpqp. Первое условие дает 入从=q開В. Второе дает тогда

1 + 2开勺从8 +产方8气广开。-m2) = 0.

Поэтому окончательно

DD F I,，(穴"q〃)2 — 〃2(7rb7rb — 7n2)

厶=厶 +Pм + ^—一-一才"电，(40)

M即"=м^^ + 方Р^ -电Р从♦

Изложенная теория точечного заряда подвержена той обычной трудности, что в решениях уравнений движения возникнут бесконечности из-за бесконечной электромагнитной энергии точечного заряда. Преимущество настоящей трактовки перед обычной трактовкой электромагнитных уравнений состоит в том, что она предоставляет более простые возможности для отступления от модели точечного заряда для элементарных частиц.

Обсуждение

Были даны три формы, в которые может быть вложена релятивистская динамическая теория. Для частиц без взаимодействия возможна любая из трех. Для частиц со взаимодействием может оказаться, что все три по- прежнему возможны, или может оказаться, что возможна только одна, в зависимости от рода взаимодействия. Когда хотят строить новый род взаимодействия между частицами, чтобы исправить атомную теорию, то сначала надо избрать одну из трех форм, а затем стараться найти члены взаимодействия V или непосредственно найти гамильтонианы, удовлетворяющие требуемым СП соотношениям. Возникает вопрос, какую форму лучше всего взять для этой цели.

Мгновенная форма обладает тем преимуществом, что она наиболее привычна для всякого человека, однако я не думаю, чтобы она была бы внутренне лучшей по этой причине. Четыре гамильтониана Д), MrQ образуют слишком неуклюжую комбинацию.

Точечная форма обладает тем преимуществом, что в ней происходит очень чистое отделение тех из фундаментальных величин, которые просты, от тех, которые суть гамильтонианы. Первые являются компонентами 6-вектора, вторые — компонентами 4-вектора. Поэтому четыре гамильтониана можно легко рассматривать как единое целое. Все уравнения в этой форме можно изящно и сжато выразить в четырехмерных тензорных обозначениях.

Фронтальная форма обладает тем преимуществом, что она требует только трех гамильтонианов, вместо четырех в других формах. Это делает ее математически наиболее интересной формой и делает задачу отыскания гамильтонианов существенно более простой. Фронтальная форма обладает еще и тем преимуществом, что в гамильтонианах (28) нет квадратного корня, что означает возможность избавиться от отрицательных энергий частиц подходящим выбором значений динамических переменных на фронте, не делая специального соглашения относительно знака квадратного корня. Поэтому исключение отрицательных энергий в квантовой теории может оказаться более простым. Это преимущество появляется также и в точечной форме теории с х = 0, когда в (23) нет квадратного корня.

Решающего аргумента в пользу выбора одной или другой из форм нет. Даже если можно было бы решить, что одна из них наиболее удобна, она не была бы обязана быть той, которую выбрала природа, в случае, если только одна из них возможна для атомных систем. Поэтому надо разрабатывать дальше все три формы.

Обсужденные в этой статье условия для релятивистской динамической системы являются необходимыми, но не достаточными. Необходимо некоторое дополнительное условие, чтобы обеспечить, что взаимодействие между двумя физическими объектами становится малым, если эти объекты оказываются далеко друг от друга. Неясно, как можно сформулировать это условие математически. Существующие атомные теории включают предположение о локализуемости, которое достаточно, но, весьма вероятно, слишком строго. Это допущение требует, чтобы теория была построена из динамических переменных, каждая из которых локализована в некоторой точке пространства-времени, так что две переменные, локализованные в двух точках, лежащих каждая вне светового конуса другой, обладают нулевой СП. Адекватным может оказаться менее решительное допущение, что существует фундаментальная длина А, такая, что СП двух динамических переменных должны исчезать, если они локализованы в двух точках, отделенных пространственно подобным и большим А интервалом, но не должна, если интервал меньше А.

Я еще надеюсь вернуться к переходу к квантовой теории в другом месте.

3

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КЛАССИЧЕСКОЙ И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКОЙ)

Классическая механика фактически является механикой Ньютона. Эта теория была значительно развита Лагранжем, Гамильтоном и другими; сравнительно недавно основные идеи классической механики были модифицированы благодаря появлению теории относительности. Я буду использовать термин «классическая механика», понимая под ним также те модификации теории Ньютона, которые были введены для выполнения требований относительности.

Квантовая механика является новой системой механики, которая описывает атомный мир, — она необходима для описания очень малых объектов. Квантовая механика в ряде фундаментальных отношений отличается от предшествующей механики Ньютона и Эйнштейна. Необходимость в отходе от механики Ньютона-Эйнштейна стала очевидной с появлением новой универсальной константы — постоянной Планка, или кванта действия 瓦 которая играет фундаментальную роль во всех динамических процессах на малых масштабах. Не существует естественного способа введения подобной универсальной постоянной в схему классической динамики, и именно поэтому приходится вносить изменения в основополагающие понятия. Новая механика подразумевает введение некоторых совершенно новых физических понятий. Эти понятия довольно трудно оценить и усвоить. Однако подобно всем понятиям в математике к ним можно привыкнуть, так что спустя некоторое время с ними можно обращаться весьма легко и даже полагать, что мы поняли их.

Различие между классической и квантовой механикой во многом сводится к различным способам применения уравнений. Между двумя схемами механики существует значительное формальное сходство, так что при использовании подходящих обозначений многие уравнения выглядят вполне одинаково в обоих видах механики. Однако при детальном изучении применения этих уравнений к конкретной проблеме возникают значительные расхождения. Нам предстоит рассмотреть как те аспекты, в которых квантовая и классическая механика обнаруживают сходство, так и те, в которых они различаются.

Прежде всего, я хотел бы упомянуть о тех аспектах, в которых эти две схемы сходны. В обоих случаях мы начинаем с рассмотрения динамической системы в определенном состоянии в определенный момент времени. Кроме того, у нас имеются уравнения движения, позволяющие вычислять состояния в последующие моменты времени, если известно состояние в начальный момент. Эти уравнения движения обладают определенным сход-

ством в обоих типах механики. В обоих случаях мы имеем дело с динамическими координатами, описывающими положение частиц, а также с импульсными переменными. Однако между двумя схемами механики имеется весьма глубокое различие. Оно состоит в том, что в классической механике координаты и импульсы являются обычными алгебраическими величинами (при желании мы можем дать им определенные численные значения), тогда как в квантовой механике эти переменные являются алгебраическими величинами более общей природы. Именно, они подчиняются алгебре, в которой коммутативный закон умножения в общем случае не выполняется. Если имеется координата q и импульс р^ то в квантовой теории qp не равно pq. Например, если в классической теории мы вполне можем определить состояние, в котором q = 5 единицам, а р = 7 единицам, то в квантовой теории этого сделать нельзя, поскольку 5 • 7 = 7 • 5, и мы бы пришли к противоречию с некоммутативностью.

В классической теории мы описываем состояние в определенный момент времени, задавая численные значения всех координат и импульсов. Однако в квантовой теории мы уже не можем описывать состояние подобным образом. По своему усмотрению мы можем задать q = 5 единицам или, напротив, положить р = 7 единицам. Мы можем сделать либо то, либо другое [1], однако мы не можем сделать то и другое одновременно, поскольку это привело бы к противоречию. Общий способ описания состояния состоит в задании волновой функции (определенной функции величин q или величин р)〉причем волновая функция имеет лишь статистическую интерпретацию. Мы можем выбрать состояние, в котором q = 5〉и тогда мы можем говорить о величине р лишь в статистическом смысле. Теория позволяет нам утверждать, что имеется определенная вероятность того, чтобы р приняло конкретное значение. В частности, если дано, что q = 5〉 то, согласно теории, любые значения р равновероятны; аналогично, если 0 = 7〉то равновероятными являются все значения q. Эти утверждения являются примерами применения принципа неопределенности Гейзенберга, согласно которому тот факт, что в атомной механике величины q 瓜 р не принимают определенные численные значения одновременно, является общим законом Природы.

Таким образом, в описании состояния в квантовой и классической теории существует указанное серьезное различие. Однако в обеих теориях имеется сходство в уравнениях движения. Эти уравнения таковы, что если имеется состояние в данный момент времени, то состояние системы в более поздний момент времени также определено, если только система остается невозмущенной. В том, что касается формы уравнений движения, имеет место полный детерминизм. Индетерминизм в квантовой теории появляется только при рассмотрении физических свойств данного состояния, поскольку при этом мы можем говорить только в терминах вероятностей.

Эта черта квантовой теории, а именно то, что в ней допустимо рассматривать значения координат и импульсов в каком-либо состоянии лишь на статистической основе, многократно обсуждалось и столько же критиковалось. Огромное число людей недовольно этим обстоятельством — они рассматривают его как уродливое свойство теории. Я полагаю, что с этим следует согласиться. В том виде, как это описано, эта черта теории (а именно, необходимость иметь дело с вероятностями вместо строгого детерминизма классической теории) является некрасивой. Однако имеются

и компенсации. В квантовой механике имеются определенные очень красивые черты, возникающие в формальной математической схеме. Я полагаю, что они полностью «искупают» отмеченное несовершенство, так что в окончательном итоге вся схема в целом ничуть не более некрасива, чем классическая теория.

Те, кто возражает против индетерминизма квантовой механики, полагают, что ее дальнейшее развитие приведет эту теорию вновь к детерминизму, сходному с существующим в классической теории. Разумеется, сейчас весьма вероятно, что в будущем у квантовой теории появится серьезное развитие. Я полагаю, что почти наверное понадобятся некоторые фундаментальные изменения, однако я все же не думаю, что станет возможным вернуться к детерминизму классической теории. Мы могли бы частично сделать шаг в этом направлении, однако если бы мы поступили подобным образом, нам пришлось бы «заплатить» за это ценой еще больших отклонений от классических идей в некоторых других отношениях. Разумеется, это всего лишь спекуляции по поводу будущего, и мы не можем здесь с какой-либо пользой входить в детали [2].

С экспериментальной точки зрения мы не стремимся к детерминизму классической теории в атомных процессах, поскольку наши экспериментальные результаты не всегда являются детерминистскими. Обычно они представляются в виде вероятностей — например, если у нас есть какая- либо мишень, и мы «выстреливаем» по ней частицей, то из эксперимента можно получить вероятность того, что частица рассеется в каком-либо направлении или же с ней произойдет какой-либо другой процесс. Эксперимент скажет нам лишь о вероятностях происходящих конкретных событий, и вполне удовлетворительно иметь теорию, позволяющую нам рассчитать именно то, что могут наблюдать экспериментаторы, — и не более того. Идеалом было бы иметь теорию, которая в точности предсказывает то, что можно наблюдать, — не более и не менее того.

Квантовая механика в своем современном виде была введена Гейзенбергом и Шредингером в 1925-1926 годах. Сформулированная ими теория весьма удивительна, и она сразу добилась больших успехов. Она была применена к атомам и молекулам, были рассчитаны спектральные термы, интенсивности спектральных линий, а также решены различные иные физические и химические проблемы. Эта теория привела Гейзенберга к предсказанию двух видов молекулы водорода, существование которых было впоследствии подтверждено экспериментом (в этом состоял один из больших успехов теории).

На какое-то время все были очень счастливы от появления новой квантовой механики и полагали, что обладают объяснением всего. Однако через несколько лет стали видны ограничения теории. Они возникают тогда, когда хотят применить ее к частицам, движущимся с высокими скоростями или же к процессам, в которых важную роль играет электромагнитное излучение. Вообще говоря, затруднения встречались в тех случаях, когда теория применялась к ситуациям, в которых был существен принцип относительности. В результате становилось ясно, что имелась лишь удовлетворительная нерелятивистская квантовая механика, однако отсутствовало ее удовлетворительное релятивистское обобщение.

Трудности возникали прежде всего тогда, когда делались попытки получить точное описание движения заряженной частицы в электромагнит-

ном поле. Оказывалось, что применение обычных понятий и идей в рамках волнового уравнения Шредингера приводило к нежелательным результатам; очень часто для величин, которые должны были быть конечными, получался бесконечный результат. Наиболее простой путь, на котором проявляются трудности, — это определение энергии заряженной частицы. Теория работает с зарядами, сосредоточенными в точках, а точечный заряд имеет бесконечную кулонову энергию в своей окрестности. Эту конкретную бесконечность удается исключить посредством специальных приемов. Однако существуют и другие бесконечности сходной природы (но более сложные), которые не удается устранить столь просто.

Как можно видеть, конкретная трудность наличия бесконечностей, связанных с точечным зарядом, отнюдь не присуща квантовой теории, поскольку в точности та же трудность имеет место и в классической теории. Лоренц хорошо знал об этом и предложил модель электрона, в которой заряд не сконцентрирован в точке, но распределен по небольшой сфере. Трудность, возникающая при построении строгой математической теории на основе этой идеи Лоренца, состоит в том, что нам понадобилось бы знать что-то относительно сил, удерживающих на месте заряд электрона. Это необходимо для того, чтобы можно было определить, каким образом деформируется электрон, когда ему внезапно сообщают ускорение. Проблема построения подобной теории устойчивости электрона не была решена удовлетворительным образом. Действительно, подобный подход, по-видимому, нельзя считать хорошим, поскольку он предполагает обсуждение детальной структуры электрона, в ходе которого приходится полностью отойти от того, что может быть проверено в эксперименте.

Далее, мы имеем ограничения, налагаемые квантовой механикой Гейзенберга и Шредингера, которые проявляются при применении теории, в частности, к вопросам, касающимся затухания при излучении ускоренно движущихся частиц. Вообще складывается впечатление, что трудности возникают всегда, когда мы имеем дело с «предельной» структурой элементарных частиц в Природе и пытаемся получить точную формулировку, касающуюся взаимодействия этих частиц с полями. По-видимому, трудностей следует ожидать в связи с тем, что основные используемые нами идеи не являются по-настоящему релятивистскими. Немного ранее я говорил о том, каким образом вычислить состояние в более поздний момент времени, если оно известно в определенный более ранний момент времени. Но ведь понятие данного момента времени является существенно нерелятивистским, так что мы должны заменить его чем-либо иным, если мы хотим построить релятивистскую теорию. Поэтому с общей методологической точки зрения вовсе неудивительно, что мы непременно столкнемся с трудностями, когда захотим объединить квантовую теорию с релятивизмом.

В течение последней пары лет был достигнут значительный прогресс в проблеме квантовой теории заряженных частиц, взаимодействующих с электромагнитным полем. Этот прогресс был достигнут прежде всего Лэмбом и в дальнейшем развит Бете, Швингером и Фейнманом. Они построили методы устранения бесконечностей из уравнений. Точнее, они сформулировали определенные правила, которые в рамках своей применимости, являются логическими правилами и могут применяться непротиворечивым образом. Вычисления, приводящие к бесконечным результатам, могут быть обработаны согласно этим правилам. В результате бесконеч-

ности вычитаются таким образом, что остающиеся величины являются конечными и хорошо определенными. На основе этой схемы названным исследователям удалось вычислить (в первом порядке по точности) поправки к определенным физическим результатам, обусловленным влиянием радиационного затухания на движение электронов. В особенности детально было рассчитано влияние этого радиационного затухания на тонкую структуру атома водорода, а также на величину магнитного момента электрона. Эти результаты были подтверждены экспериментом. Прежде всего было получено подтверждение сдвига уровней энергии в тонкой структуре спектра водорода (это было сделано в лаборатории Лэмба). Затем некоторые экспериментальные результаты по сверхтонкой структуре дали информацию относительно изменения магнитного момента электрона по сравнению со значением, следующим из элементарной теории. Эти экспериментальные результаты находятся в очень хорошем согласии с теоретическими вычислениями упомянутых выше физиков.

Вся эта деятельность последнего времени представляет собой поистине замечательное достижение атомной теории — по существу основное за послевоенное время, и мы вправе быть весьма удовлетворены этим. Однако я все же не склонен думать, что этот блестящий успех способствует действительному решению существующих трудностей, касающихся объединения квантовой механики и релятивизма. Я полагаю, что лучше всего изложить мои соображения с помощью аналогии.

Существующее положение в атомной теории, как мне представляется, по своим проблемам и трудностям вполне аналогично ситуации в начале 20-х годов XX века. В то время теория атома Бора работала очень хорошо для атома водорода и других атомов, в которых по существу был важен один электрон. Для более сложных атомов, в которых существенны два или более электронов, теория Бора не приводила к определенным результатам. Более того, она приводила к усложнениям и неоднозначностям. Было неизвестно, каким образом адекватно применить эти идеи. В то время предпринимались вполне определенные усилия улучшить теорию Бора. Эта теория была основана на представлении об электронах, движущихся в стационарных состояниях согласно законам классической механики, и было совершенно неясно, каким образом атомы должны были совершать «скачки» из одного стационарного состояния в другое. Предпринимались попытки развить теорию Бора и получить из нее больше информации. С этой целью вводились гипотезы о том, каким образом атом мог совершать «скачки» из одного состояния в другое, проходя при этом через промежуточные состояния. Эта деятельность принесла определенный успех; в некоторых случаях получались результаты, приближенно согласующиеся с экспериментом. Однако когда в 1925 и 1926 годах Гейзенберг и Шредингер достигли действительного продвижения, стала очевидна бесплодность всех этих попыток улучшить теорию Бора путем введения в нее уточнений и усложнений. Стало ясно, что настоящий прогресс возможен лишь при полном отказе от фундаментальных идей теории Бора. В этой теории электроны рассматривались как движущиеся согласно законам классической механики в стационарных состояниях и подверженные при этом лишь некоторым квантовым ограничениям. В действительности оказалось, что необходим совершенно новый математический аппарат, основанный на некоммутативной алгебре.

Утверждая это, я отнюдь не имею в виду как-либо дискредитировать теорию Бора. Я полагаю, что именно Бор совершил самый трудный шаг из всех тех, что привели нас к сегодняшней квантовой теории. Именно Бор впервые сформулировал точные уравнения движения, которые можно было применить в атомном мире, тем самым впервые сделав атомный мир объектом применения математики. Я бы сказал, что Бор по отношению к механике атома занимает то же место, что Ньютон по отношению к механике макроскопических тел. Существенный отход от идей теории Бора в 1925 году как раз иллюстрирует общую черту развития науки. Она состоит в том, что как бы хороша ни была какая-либо теория, мы всегда должны быть готовы к тому, что она будет превзойдена еще лучшей теорией.

Деятельность Лэмба и Швингера в настоящее время является, с моей точки зрения, сходной с той, которая предпринималась по улучшению теории Бора незадолго до открытия квантовой механики Гейзенбергом и Шредингером. Работы Лэмба и Швингера действительно представляют собой блестящий успех, поскольку они дают хорошее согласие теории с экспериментом, причем теория не содержит каких-либо произвольных и искусственных предположений. Однако эта теория некрасива и сложна, причем с большой определенностью можно утверждать, что эти качества теории будут лишь усиливаться по мере ее развития. В итоге эта теория не приведет к существенным изменениям в идейных основаниях, которые по моему ощущению необходимы для того, чтобы по настоящему преодолеть фундаментальные трудности.

Мое мнение состоит в том, что путь к фундаментальным изменениям следует искать не только в сегодняшней квантовой механике, но в равной степени и в механике классической. Поскольку квантовая и классическая механика тесно связаны, мы вполне можем найти новое в развитии классической механики. В этом отношении мое мнение отличается от мнения некоторых физиков-теоретиков, в частности Бора и Паули. Эти физики находятся под большим впечатлением того, каким образом оказываются связанными между собой все трудности, с которыми мы сталкиваемся сегодня в атомной теории. Складывается впечатление, что все эти трудности неразрывно связаны друг с другом, и какая-либо идея, способная помочь в преодолении одной из них, может каким-то образом принести пользу; в итоге тормозится настоящее развитие, на которое мы надеемся. Эта взаимосвязь трудностей производит на некоторых физиков глубокое впечатление, и они полагают, что выход будет найден кем-то, кто «прикосновением мастера» устранит одновременно все трудности. Я склонен не согласиться с этой точкой зрения. У меня создается ощущение, что этих трудностей в действительности слишком много, чтобы в пределах мощи человеческого разума было разрешить их все «одним мановением руки». Мое личное убеждение и мой метод подхода к этому вопросу основан на том, чтобы попытаться насколько возможно отделить эти трудности друг от друга. Это нелегкое дело, и в значительной степени оно основано на спекуляциях. Однако если бы в этом деле удалось преуспеть, то мы смогли бы преодолевать трудности по очереди одну за другой, а это было бы проще, чем то, с чем мы имеем дело сегодня.

Некоторые трудности, возможно, связаны с тем фактом, что электрический заряд всегда квантован, как мы это наблюдаем в Природе: электрический заряд всегда является целым кратным заряда электрона. По-видимому, в этом состоит точный закон Природы, однако для

него отсутствует удовлетворительное теоретическое объяснение. Недавно я предложил одно объяснение, предположив, что могут существовать отдельные магнитные полюса — монополи. Под этим понимается, что могут существовать сами по себе именно не диполи, состоящие всегда из неразрывно связанных друг с другом северного и южного полюсов, но лишь один полюс (например, северный), принадлежащий данной частице. Если предположить существование подобных монополей, то применение квантовой механики к динамическим системам, содержащим эти монополи и электрические заряды, приводит к квантованию электрического заряда. При этом можно получить последовательную теорию, если только предположить, что все электрические заряды являются целыми кратными определенной единицы заряда, а также предположив, что все интенсивности магнитных полюсов также являются целыми кратными некоторой величины. Эта идея является шагом в нужном направлении, однако все еще не удовлетворительна, поскольку не указывает способа вычисления величины заряда электрона. По этой причине может оказаться, что эта идея совершенно неверна, или же она должна быть чем-то дополнена. По-видимому, здесь мы имеем дело с одной трудностью, которую вполне можно отделить от других и попытаться преодолеть ее отдельно.

О другой трудности я уже упоминал ранее: каким образом следует представлять себе способ «скрепления» заряда электрона, если не предполагать его сосредоточенным в одной точке. Эту трудность в конечном итоге можно преодолеть, введя универсальную постоянную размерности длины. Подобная константа безусловно должна существовать, и ее можно построить на основе экспериментальных данных относительно массы электрона, а также других констант. Механика, которой мы располагаем сегодня, не дает никакого способа ввести подобную универсальную константу. Хотелось бы найти какой-либо естественный способ ввести эту константу —столь же естественный, как способ введения постоянной Планка в квантовую механику. Создание такого способа потребует некоторых фундаментальных изменений в теории, и это будет еще одна трудность, которую вполне можно четко выделить из всего конгломерата трудностей.

Остается несколько сомнительным и спекулятивным, каким образом само введение универсальной постоянной размерности длины может помочь в устранении бесконечностей, которые сегодня появляются в теории. Возможно, что эта универсальная постоянная автоматически устранит все бесконечности, но возможно также, что эти бесконечности окажутся третьей проблемой, для разрешения которой понадобится дополнительная идея, отличная от двух идей, упомянутых выше.

Мне представляется, что следует указанным образом отделять трудности друг от друга — настолько, насколько это окажется возможно, а затем преодолевать их одну за другой. В ходе этого «штурма» трудностей мы в ряде случаев вполне можем работать с понятиями классической механики. Мы хотим найти новые идеи, и я полагаю весьма вероятным, что некоторые из искомых идей можно выразить и понять просто на основе классической механики, не прибегая для этого к понятиям квантовой механики. Если это действительно так, то следовало бы пытаться решить эти проблемы, прежде всего, с классической точки зрения. В этом отношении я расхожусь с Паули, который полагает, что классическая механика больше не способна ничему нас научить в контексте квантовой теории. Далее, он полагает, что для дальнейшего продвижения следует иметь де-

ло с наиболее развитой сегодня формой квантовой механики, пытаясь и далее усовершенствовать ее. Мое мнение состоит в том, что работа с наиболее развитой формой теории (которая по необходимости является и наиболее сложной формой) ограничивает наши возможности в выдвижении новых идей. Если существуют новые идеи, которые могут быть поняты на классической основе, следует пытаться их разработать, просто оставаясь в рамках классической теории. Лишь после этого их можно переносить в квантовую теорию, используя уже хорошо установленную взаимосвязь между классической и квантовой механикой

Новые идещ которые^ по моему мнению^ мы должны пытаться най- mit) могут потребовать фундаментального изменения в описании даже тех явлений^ которые мы очень хорошо можем описывать в рамках существующей квантовой механики. Этого утверждения следовало ожидать на основе аналогии, о которой я упоминал выше. Достижения Гейзенберга и Шредингера потребовали переформулировки проблемы вычисления стационарных состояний атома водорода, хотя эти состояния вполне удовлетворительно описывались теорией Бора. Поэтому вполне может оказаться, что мы столкнемся с подобной ситуацией в будущем. Когда появится столь долгожданное развитие квантовой механики, станет очевидно, что оно требует переформулировки нерелятивистской квантовой механики, которая сегодня выглядит вполне удовлетворительной [3].

По этой причине я полагаю, что следует пристально изучить даже элементарные и удовлетворительные свойства нашей сегодняшней квантовой механики. Их следует критиковать и пытаться модифицировать, поскольку в них могут быть заключены недостатки теории. Единственный путь, на котором есть надежда на продвижение, состоит в анализе основных черт современной квантовой теории со всех возможных точек зрения. Две точки зрения могут быть математически эквивалентны, и по этой причине можно подумать, что если мы понимаем одну из них, нам не следует беспокоиться о другой, так что вторую точку зрения можно просто игнорировать. Однако может оказаться, что одна из точек зрения содержит возможности к дальнейшему развитию, а другая нет. Поэтому, хотя обе точки зрения в современном состоянии теории являются равноправными, они могут привести к различным возможностям в будущем. Таким образом, я полагаю, что не следует отбрасывать ни одну из возможных точек зрения для анализа квантовой механики, в особенности касающейся ее связи с классической механикой. Любая точка зрения, представляющая какое-либо интересное свойство и содержащая любую новую идею, должна быть тщательно исследована на предмет того, не содержит ли она какой-либо модификации или возможности развития теории в новых направлениях.

Одна из естественных точек зрения состоит в изучении того, насколько тесно может быть установлена связь между классической и квантовой механикой. Это по существу чисто математическая проблема, состоящая в том, насколько тесную связь можно установить между алгеброй некоммутативных переменных и обычной алгеброй коммутативных переменных. В обоих случаях можно производить сложение, умножение, деление, а также можно образовать функцию от переменной. Различия между двумя алгебрами проявляются, когда мы пытаемся произвести дифференцирование. В квантовой механике вполне могут существовать две величины 力 и g

такие, что ху — ух = /（力）.Если мы теперь попытаемся продифференцировать это уравнение по 力）мы не получим разумного результата. Таким образом, невозможно определить какую-либо общую самосогласованную процедуру дифференцирования в некоммутативной алгебре. Существуют, однако, определенные случаи, в которых мы можем делать нечто, соответствующее дифференцированию в некоммутативных алгебрах. Предположим, что вместо /（力）стоит число, например, 1. Тогда естественный процесс дифференцирования, примененный к левой части, должен дать нуль, что вполне согласуется с тем, что мы получили бы при дифференцировании правой части. Это свойство выполняется при дифференцировании как по 力）так и по у. Таким образом, при работе с переменными, удовлетворяющими коммутационному соотношению

ху — ух = 1,

можно ввести самосогласованную процедуру дифференцирования.

Переменные, соответствующие координатам и импульсам, с которыми мы имеем дело в квантовой механике, удовлетворяют соотношениям указанного типа, поэтому для них можно ввести операцию дифференцирования. Эта операция может быть в общем виде выражена с помощью скобок Пуассона. В этом смысле можно получить ограниченный процесс дифференцирования в квантовой теории, соответствующий аналогичному процессу в классической теории. В квантовой теории имеются скобки Пуассона, соответствующие скобкам Пуассона в классической теории.

Возникает также вопрос о введении в общую теорию функций более чем одной переменной. Если имеется две некоммутирующие величины （такие как упомянутые выше величины 力 и д）〉то в какой мере можно говорить об общей функции от 力 и д? Наиболее общая процедура, изобретенная к настоящему времени, была впервые введена Йорданом и содержит понятие так называемых хорошо упорядоченных функций [4].

Предположим, что у нас имеется один набор переменных 力^ 力2,力з, попарно коммутирующих друг с другом, и другой набор переменных У1〉沙2〉Уз〉• • •〉также попарно коммутирующих друг с другом. Возьмем далее некоторую функцию переменных х и умножим ее на функцию переменных у. Таким образом, мы получим функцию переменных ж и ?/, в которой все переменные х расположены слева от всех от переменных у. Можно взять несколько таких функций переменных 力）каждая из которых умножена на функцию переменных у и затем просуммировать или даже проинтегрировать их и получить общую функцию переменных 力 и д〉 в которой все переменные х расположены левее переменных у в каждом произведении. В результате мы придем к тому, что называется хорошо упорядоченной функцией переменных 力 и д:

£ 九（力）gMu） = F（Xg）・

Понятие хорошо упорядоченной функции — лучшее из имеющихся в квантовой механике понятий, соответствующих общему понятию функции, имеющемуся в классической механике. Его можно использовать для того, чтобы получить в квантовой теории нечто, аналогичное тем процессам дифференцирования, имеющимся в классической механике, которые нельзя выразить с помощью скобок Пуассона и которые, следовательно,

не могут быть перенесены непосредственно в квантовую теорию способом, обсуждавшимся выше. Имея хорошо определенную функцию F(力〉g) и другую алгебраическую переменную X〉можно тремя способами определить умножение X на F(力〉д). Можно образовать величины XF или FX) но можно и вставить переменную X между сомножителями в каждом слагаемом, получив тем самым еще один вид произведения X и f а именно F(xXy) = £九(力)Xg^g).

Этот новый вид произведения появится в нашей алгебре функций общего вида от некоммутирующих величин на основе понятия хорошо упорядоченной функции.

С помощью трех описанных выше видов умножения можно определить в квантовой теории аналоги некоторых уравнений классической теории, для которых иным образом этих аналогов получить нельзя: речь идет об уравнениях, выражающих контактные преобразования. При наличии в классической теории некоторых импульсных переменных р и некоторых координатных переменных q〉мы должны иметь возможность ввести другие переменные Р и Q, которые связаны с р и q определенным преобразованием, которое называют контактным преобразованием. Уравнения, описывающие это преобразование, в простейшей форме имеют вид

=asg,Q) р = as

Pr dqr '『dQr'

где S = S(q〉Q). Здесь мы имеем дело с уравнениями классической механики, которые можно перенести в квантовую механику, взяв функцию S в качестве хорошо определенной и использовав понятие «среднего» типа умножения (в отличие от «левого» или «правого»). Тогда в квантовой теории в качестве аналогов классических уравнений мы получаем уравнения следующего вида:

_ SQirQ) — PtS р _ S(qPrQ) - SPrрГ _一一， r --一.

Таким образом иллюстрируется возможное развитие аналогии между квантовой и классической механикой. Однако в представленном пока виде этого недостаточно, поскольку в классической теории, если величины Р)q> Р)Q вещественны, то и величина S также должна быть вещественной. Соответствующее условие не характерно для квантовой теории. Очевидно, должно было бы иметься некоторое условие, согласно которому преобразование должно быть вещественным. Однако условие вещественности S не приводит к вещественности преобразования в квантовой теории. Для этого необходимо несколько иное условие, формулировка которого в алгебраических терминах остается пока еще не решенной проблемой. В этом состоит один из способов, посредством которого можно рассматривать развитие взаимосвязи между классической и квантовой механикой и который мог бы привести к новым идеям.

Выше я обсуждал метод, в котором мы существенно затрагиваем различия между квантовой и классической механикой и пытаемся эти различия сгладить. Теперь следовало бы сказать о другом направлении поисков, о котором я недавно размышлял. Здесь мы работаем с идеями, для

которых различия между классической и квантовой механикой совершенно несущественны, и эти идеи мы можем применить с равным успехом как в классической, так и в квантовой механике. При подобных условиях мы, разумеется, рассмотрим эти идеи в классических терминах, поскольку это будет самым простым способом обсуждения этих идей. Затем, после овладения ими, их можно будет при желании перенести в квантовую теорию.

Ранее я упоминал о фундаментальном противоречии между идеями квантовой механики (или механики вообще) с релятивизмом. Оно возникает, когда имеют дело с состоянием в данный момент времени (обычно используют условия в данный момент времени для нахождения условий в более поздний момент времени); но понятие момента времени не является релятивистски инвариантным. Проблема достижения взаимного соответствия между динамикой и релятивизмом приводит нас к необходимости модификации понятия момента времени или его обобщения таким образом, чтобы находиться в согласии с основными идеями принципа относительности.

Специальный принцип относительности требует представления мира событий как четырехмерного пространства. В этом пространстве имеются определенные направления, соответствующие траекториям луча света; эти направления образуют конус (световой конус) с вершиной в каждой точке. Любое направление внутри этого конуса должно быть равноправным любому другому внутри конуса; каждое такое направление должно быть возможной осью времени для некоторого наблюдателя.

Далее, момент времени представляется плоским трехмерным пространством в четырех измерениях, которое ортогонально оси времени рассматриваемого наблюдателя. Различные наблюдатели будут изображать свои моменты времени плоскими пространствами, ориентированными в различных направлениях. Чтобы построить релятивистскую динамическую теорию, мы должны поступить следующим образом. Следовало бы ввести уравнения движения такого типа, что при задании состояния в любой момент времени относительно данного наблюдателя, мы можем затем вычислить соответствующее состояние в любой другой момент относительно любого другого наблюдателя. Это означает, что мы должны начать с условий в плоском пространстве, а затем иметь возможность вычислить по ним условия в другом плоском пространстве, которое может двигаться относительно первого произвольным образом. В частности, это плоское пространство может двигаться вперед во времени, но может и изменять направления своего движения. Единственное ограничительное условие состоит в том, что нормаль к этой плоской поверхности должна оставаться внутри светового конуса. Подобным образом можно построить динамическую теорию. Тогда мы получим то, что я называю «мгновенной формой динамики», поскольку в ее основе лежит понятие момента времени, или «мгновенья».

Если имеется любое состояние движения динамической системы, можно получить из него другое состояние движения, в котором исходное состояние окажется как-либо смещенным в пространстве-времени. Это смещение включает в себя какой-либо сдвиг в любом из четырех направлений в пространстве-времени или какое-либо вращение (в смысле Лоренца) в пространстве-времени. У нас имеется возможность для описанного вы-

ше изменения состояния, которое, в свою очередь, соответствует изменению всех динамических переменных. Это изменение динамических переменных математически выражается посредством контактного преобразования. Эти замечания остаются справедливыми в самом общем случае.

Вернемся теперь к мгновенной форме динамики. Пусть наше состояние определено в данный момент времени. Если мы изменим состояние, сместив его таким образом, что этот момент времени останется неизменным, мы произведем лишь тривиальное изменение динамических переменных или, иными словами, совершим лишь тривиальное контактное преобразование. Если мы произведем смещение состояния более общим образом, то совершим нетривиальное изменение, так что нам понадобится решить уравнение движения, чтобы найти новое состояние в другой момент времени. Таким образом, мы имеем все операторы сдвига и вращения в пространстве-времени ,соответствующие контактным преобразованиям. Один из операторов соответствует тривиальным контактным преобразованиям (а именно тем, которые сохраняют неизменным момент времени), а другие —нетривиальным контактным преобразованиям, которые являются действительно важными. Рассмотрение важных контактных преобразований могло бы образовать структуру нашей динамической схемы.

Существуют и другие способы, с помощью которых можно было бы попытаться сделать динамику релятивистской. Ограничение анализа состояний системы только на плоской трехмерной поверхности выглядит весьма искусственным [5]. Можно было бы вместо этого выбрать любую искривленную трехмерную поверхность, которая удовлетворяет условию, что она является всюду пространственноподобной, так что нормаль к ней всегда находится внутри светового конуса и может быть выбрана в качестве возможной оси времени для некоторого наблюдателя. Можно предположить, что удалось бы определить состояние на любой из таких искривленных пространственноподобных поверхностей. Кроме того, можно было бы предположить наличие уравнений движения, которые позволяют вычислить состояние системы на любой другой искривленной пространственноподобной поверхности, если известно начальное состояние. Тогда мы приходим к другой форме релятивистской динамики, которую я буду называть «формой с поверхностью общего вида». Именно эту форму я столь детально обсуждал в своих лекциях на этом семинаре. Эта форма достаточно сложна для анализа, поскольку существует очень много способов вариации поверхности. Поверхность имеет существенно больше степеней свободы, чем один момент времени, который может двигаться лишь четырьмя независимыми способами: один из них — параллельно самому себе, а три других соответствуют трем независимым видам вращений, которые можно к нему применить. В форме поверхности общего вида имеется бесконечное число способов движения поверхности, соответствующих различным деформациям этой поверхности, а это, в свою очередь, означает наличие сложного набора уравнений движения. В этом случае необходимо иметь контактные преобразования, выражающие изменение физических условий при каждой возможной деформации поверхности.

Существуют и другие пригодные для анализа формы релятивистской динамики, которые не обладают усложнениями формы поверхности общего вида. Они столь же просты, как мгновенная форма динамики, но в ряде аспектов отличаются от нее. Мгновенная форма такова, что в ней имеются определенные трансляции и вращения в пространстве-времени,

образующими подгруппу неоднородной группы Лоренца, соответствующую тривиальным изменениям динамических переменных. Можно было бы также рассматривать динамическую схему, в которой имеются преобразования некоторой другой подгруппы неоднородной группы Лоренца, вызывающей только тривиальные изменения динамических переменных. Тогда общие преобразования, не принадлежащие этой подгруппе, вызовут сложные изменения, которые выражаются уравнениями движения.

Можно было бы, например, выбрать подгруппу, которая оставляет инвариантной одну точку в пространстве-времени. Тогда единственные изменения, которые мы можем производить — это вращение вокруг точки, остающейся неподвижной. При этом световой конус с вершиной в этой точке также будет оставаться инвариантным; можно изобразить гиперболические поверхности, которые также остаются инвариантными. Тогда можно вместо ранее использованной точки использовать такую гиперболическую поверхность. Можно было бы предположить, что при анализе нашей динамической системы нам следует начать с состояния, которое своими физическими условиями задано на гиперболической поверхности. От этого состояния с помощью уравнений движения мы должны перейти к состоянию на другой гиперболической поверхности. Зададим гиперболическую поверхность уравнением

(х^-а^Хх^ + а^) =КЛ力о + а()〉О,

где а从一четыре координаты точки, остающейся инвариантной. Гиперболоид имеет размер К (в том же смысле, в каком имеет размер сфера в обычном пространстве). Можно было бы предположить, что у нас имеется динамическая теория, позволяющая переходить от одной гиперболической поверхности к другой того же размера. Это означает, что мы должны были бы иметь динамическую теорию, в которой появляется универсальная постоянная размерности длины (величина /^обладает размерностью длины).

На этой основе можно было бы построить теорию, которая в ряде отношений была бы более простой и естественной, чем теория, построенная на понятии момента времени. Преимущества новой теоретической схемы можно увидеть, рассматривая вопрос о движении в данный момент времени: описывать его математически не очень удобно, поскольку одним из движений является трансляция, а другими тремя — вращения. Четыре степени свободы для данного момента времени образуют весьма несимметричную комбинацию. Используя гиперболическую поверхность, мы вновь имеем дело с четырьмя степенями свободы. Однако теперь все эти степени свободы являются трансляциями, и вместе они образуют естественную группу. Этот факт проявляется в уравнениях движения, принимающих особенно простую форму; именно, становится очень легко представить все уравнения движения в тензорной форме. Таким образом, мы приходим к третьей возможности получения релятивистской схемы. Я называю ее точечной формой динамики, поскольку она характеризуется заданием состояния системы на поверхности, фиксированной определенной точкой в пространстве-времени.

Имеется еще одна схема, о которой следовало бы упомянуть в этом списке форм динамики. Мы могли бы взять еще один вид поверхности,

на которой можно было бы описывать физические условия. Именно, мы могли бы взять плоскую поверхность, движущуюся со скоростью света; эта плоская поверхность могла бы, например, описываться уравнением

力о —力з = const.

Я называю такую плоскую поверхность фронтом, по-прежнему имея в виду под поверхностью трехмерную поверхность. Плоский волновой фронт, распространяющийся со скоростью света, в точности охватит все пространство. Можно было бы построить динамическую теорию, в которой мы задаем начальные физические условия на одном выделенном фронте, а затем используем уравнения движения для вычисления соответствующих условий на любом другом фронте. Это вновь даст нам релятивистскую схему динамики, которую я называю «фронтальной формой».

Таким образом, имеется в целом четыре формы: точечная, поверхности общего вида, мгновенная и фронтальная, и возникает вопрос, какая из этих форм является адекватной описанию реальной динамики, существующей в Природе. Можно построить математические теории, используя любую из этих форм, однако нам неизвестно, какую из этих форм использовала Природа (если использовала их вообще). У различных форм имеются определенные преимущества и недостатки. Я уже обсуждал форму поверхности общего вида. Ее недостаток состоит в чрезвычайной сложности, однако она представляет и очень большую свободу описания. Все другие формы страдают одним и тем же серьезным недостатком: в любой из этих форм — точечной, мгновенной или фронтальной взаимодействие между различными объектами не обязательно становится малым, когда эти объекты находятся далеко друг от друга. В физическом мире, однако, мы имеем дело как раз с противоположным свойством, но условие его выполнения не следует естественным образом ни из одной из упомянутых форм динамики (точечной, мгновенной или фронтальной). Это условие следовало бы вносить с помощью какого-либо дальнейшего ограничения, которое в настоящее время выглядело бы произвольным дополнением к теории. Какой-либо естественный способ введения подобного ограничения неизвестен. Таким образом, за избежание усложнений, связанных с произвольным видом поверхности, приходится платить необходимостью введения указанного искусственного ограничения.

Если кто-либо решит использовать одну из трех простых форм динамики, возникнет вопрос о том, какую из них следует предпочесть. До сих пор в основном использовалась мгновенная форма, и это вполне естественно, если иметь в виду обычного наблюдателя. Эта форма легко поддается физической интерпретации, однако с математической точки зрения она наиболее громоздка и некрасива из всех трех. Точечную форму легче всего развить, и она приводит к простейшим уравнениям в рамках существующих математических методов, основанных на тензорном анализе. С этой точки зрения можно было бы склониться к тому, чтобы считать точечную форму наилучшей. Наконец, фронтальная форма обладает одним серьезным преимуществом перед остальными; именно, фронт обладает лишь тремя степенями свободы, тогда как мгновенная и гиперболоидная формы обладают четырьмя.

Уменьшение на единицу числа степеней свободы по сравнению с мгновенной формой вызвано тем, что во фронтальной форме поверхность, по условию, движется со скоростью света. В динамике степени свободы дол-

жны соответствовать уравнениям движения в форме контактных преобразований. Поэтому при уменьшении числа степеней свободы на единицу, мы соответственно уменьшаем сложность динамических уравнений. Тем самым, фронтальная форма приводит к простейшим (в чисто математическом смысле) уравнениям движения, и я склонен думать, что по этой причине фронтальная форма является наиболее интересной. Однако для того, чтобы работать с этой формой, следует развить весьма модифицированную форму тензорного анализа. Обычный тензорный анализ дает уравнения, инвариантные относительно всех вращений, и он особенно хорошо приспособлен к точечной форме динамики. Здесь нам понадобился бы тензорный анализ, в котором мы сосредоточились бы на вращениях, оставляющих инвариантным направление одного луча света; мы изучили бы, какие векторные и тензорные величины существуют при этих условиях. Таким образом, фронтальная форма в некоторых отношениях является наиболее интересной и в то же время наименее изученной.

Я привел здесь элементарные формы, в которых можно пытаться получить релятивистскую динамику, положив в основу нерелятивистскую динамику и приведя ее в соответствие со специальной теорией относительности. Все эти идеи могут быть применены в равной степени как в квантовой, так и в классической теории. Я мог бы также заметить, что универсальная длина, которую мы вводим в точечной форме динамики, могла бы быть полезной в квантовой теории, но этот вопрос в настоящее время представляется, конечно, вполне спекулятивным.

4

ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ*)

Вторичное квантование представляет собой метод, применяемый в квантовой механике при изучении совокупности тождественных частиц. Этот метод не является новым. Почти двадцать лет тому назад [1] он был применен для построения теории излучения, однако сегодня его можно возродить заново, придав ему форму, позволяющую наилучшим образом выявить его красоту.

Фок был первым, кто показал в двух своих заметках, крайне мало известных и посвященных соответственно гармоническому осциллятору и теории излучения, как можно усовершенствовать метод вторичного квантования ).

Настоящая лекция основана на этой работе Фока. Вначале я изложу наиболее фундаментальные идеи и результаты, а затем покажу, как можно построить релятивистское обобщение теории и применить ее к проблеме излучения.

Обозначения. Для исследования общих проблем квантовой механики я ввел специальные символические обозначения, которые мне представляются удобными и хорошо приспособленными именно для этого вида задач.

В квантовой механике используются операторы, которые соответствуют динамическим переменным и подчиняются обычным алгебраическим законам за исключением коммутативности умножения. Они могут действовать как налево, так и направо и в каждом случае на свой определенный тип векторов.

Назовем векторы первого типа левыми векторами и обозначим символом 〈|. Операторы действуют на них справа налево. Аналогично правыми векторами назовем векторы второго типа и обозначим символом |〉[2].

Каждый вектор, левый или правый, будет характеризоваться одним или несколькими буквами (индексами), помещаемыми в центральной части символа, например, {Р\ или |Q〉.

Каждому левому вектору соответствует некоторый правый вектор, являющийся его комп лексно- сопряженным и обозначаемый той же буквой; например, комп л ексно- сопряженным к〈Р| является \Р}.

Эти векторы соответствуют различным состояниям рассматриваемой динамической системы. Более точно, состояниям соответствуют направления векторов. В самом деле, если заданный вектор умножить на некоторое комплексное число (за исключением нуля), то состояние, описываемое

*) La Seconde Quantification 〃 Ann. Inst. Henri Poincare. 1949. V. 11, fasc. 1-5. P. 15-47.

этим вектором, не изменится. Вектор (Р\ и его комплексно-сопряженный вектор соответствуют одному состоянию.

Каждому левому вектору (Р\ и правому вектору |Q〉отвечает их скалярное произведение, обозначаемое (P\Q) и являющееся в общем случае комплексным числом. Справедливы следующие общие соотношения:

〈PQ =而，(1)

(Р\Р) > 0 для〈Р|#0.(2)

С помощью векторов (Р|, |Q〉и операторов а, /3 можно построить, например, векторы〈Р|а)a^\Q) и числа {P\a\Q\ (P\a^\Q). Умножение всегда ассоциативно и дистрибутивно. Мы видим, что в рамках этого символьного формализма всякая величина, заключенная между двумя скобками 〈〉)всегда является числом, тогда как величина, содержащая только одну скобку〈 или ), есть вектор. Именно эти общие результаты и делают вводимые обозначения удобными.

Из левого вектора〈Р| и правого вектора |Q〉можно образовать второе произведение \Q){P\^ которое является оператором. В самом деле, если умножить его на некоторый левый вектор {X |, то получится другой левый вектор, а именно, (X\Q}{P\^ равный, кстати, левому вектору (Р|, умноженному на число (X\Q). Если же умножить его на некоторый правый вектор |У〉)то получится другой правый вектор, а именно, \Q)(P\Y).

Введем теперь некоторый базис состояний, отвечающий некоторому набору базисных векторов, т.е. некоторой полной системе ортонормиро- ванных векторов |ai〉/a)…

Условие ортонормированности записывается в виде

(aT［华)= 6rs.(3)

Если, кроме того, говорится, что эта система векторов полна, то это означает, что любой правый вектор \Р) может быть выражен как линейная функция базисных векторов

с некоторыми комплексными коэффициентами рг. Умножая это уравнение слева на (as\, находим

(aS1р〉=〉： рT=〉［PT3sT = Psr丁

и также

|Р〉=〉： \аг}Рг =〉： \аг} {аг\Р}'

Так как этот результат верен для любых правых векторов |Р), отсюда можно вывести, что

^2 %〉SI =⑷

т.е. оператор £%〉5| равняется единичному оператору. Уравнения (3) и (4) представляют собой два фундаментальных условия, которым удовлетворяют векторы всякого базиса состояний.

Числа (аг\Р) являются представляющими элементами, или кратко, «представителем» вектора \Р}. Они составляют компоненты волновой функции Шредингера в представлении, определяемом базисом |仰〉/例〉〉… Функция, комп лексно- сопряженная к волновой функции, есть {Р\аг}.

В используемых обозначениях волновое уравнение Шредингера записывается в виде

汤"殳= e〈出戶風〉д以p〉，

где {ar\H\as} есть представитель гамильтониана Н. С помощью (4) можно упростить это уравнение, записав его как

历吗fl = {ar\H\P\

а так как это уравнение верно для всех (аг\^ его можно записать в форме

历* = Н\Р).(5)

Уравнение (5) представляет собой символическую форму волнового уравнения Шредингера. Оно показывает, как вектор |Р), отвечающий состоянию динамической системы, изменяется со временем.

Гармонический осциллятор согласно теории Фока. В задаче о гармоническом осцилляторе вводятся две вещественные переменные q и р, удовлетворяющие соотношению

qp — pq = 〃瓦

где К есть постоянная Планка, деленная на 27r. Гамильтониан при этом записывается в виде

если опустить некоторые постоянные, не столь важные для общей теории. Положим

〃 =(2%)т/2(р + ^), 力=(2%)T/2(0 -匂).

В методе Фока применяются комплексные переменные 〃 и 力 вместо вещественных переменных дир.

Из вышеприведенного соотношения можно вывести, что

力〃-〃力=1

и, более общо,

初九—〃九力=期)九一*(6)

где п есть целое положительное число. Эти коммутационные соотношения показывают, что 力 эквивалентно оператору d/d〃. Также имеем

н = М而+1)=方(初-I).⑺

Обозначим через Л наименьшее собственное значение оператора энергии Н. Если |0) есть правый собственный вектор, отвечающий этому собственному значению, то

Я|0) = Л|0〉.

Отсюда вытекает

方而I0〉= (a - g 矶0〉，

方沥力|0)=(入一3%)力2〉，

и также

h力I。〉=(入一方方1。〉.

Это уравнение показывает, что 力 |0〉есть собственный вектор оператора энергии, относящийся к собственному значению Л —瓦 которое ниже Л. Но так как, по предположению, Л есть наименьшее собственное значение Н) это невозможно, и с необходимостью должно быть

力I。〉= 0.⑻

Из этого уравнения мы можем вывести, что

方而|0〉= 0,但一3矶0)= 0,(Л_3矶0)= 0,

и, как следствие, Л =；瓦 т.е. хорошо известный результат.

Построим теперь систему векторов

|0), 〃|0〉，力|0〉，消0〉，，7n0)，⑼

Согласно (6) и (8), имеем

r]Г)n\^ = 72〃九-110).

Поэтому

hrjfirf1^ = nhrin\0)

и

Я^|0)= (п+|)^|0).

Мы вскоре увидим, что вектор 〃九 |0〉не является нулевым, а совпадает с собственным вектором оператора энергии, отвечающим собственному значению (п + 1/2)%. Последовательность (9) дает нам все собственные векторы оператора энергии Н.

Если определить п соотношением

Н= (п+%

то можно рассматривать п как динамическую переменную, имеющую собственные значения 0,1, 2, 3,..., определяющие номер стационарного состояния. Более удобно работать с п, чем с Н. Согласно (7),

n = 〃力.(10)

Допустим, что вектор |0) нормирован, т.е.

〈3。〉=

и вычислим длины других векторов системы (9). Согласно (6), квадрат длины вектора 〃九 |0〉равен

(01f7V|0) =(01彳-1(〃九力+ mfT)10).

В силу (8) находим

〈01力々九|0)=似0|时-%时1)10)，

откуда

(0|f7V|0) = n! (0|0) =n!.(11)

Аналогичное вычисление дает для m > n

(01力07門0)=加(01力力一九|0)= 0

и для т < п

(01ifbf |0)=而元声6 = 0.

Отсюда следует, что векторы (9) ортогональны, как и должно быть, поскольку они являются собственными векторами энергии. Результат (11) можно записать в более общем виде:

(01 力叫П0)=加%Ш.(12)

Векторы (9) образуют базис, хотя они и не нормированы. Произвольное состояние осциллятора, соответствующее вектору |Х〉)можно выразить как сумму

|Х〉= {со + Q〃 +。2〃2 + …}|0〉，(13)

где 0〃 являются комплексными числами. Состояние полностью определяется рядом

с0 + Q〃 +02力 + • • •=吵(〃)

и может рассматриваться как представленное функцией 吵(〃).

Таким образом, мы получили представление Фока для состояний гармонического осциллятора. Оно отличается от обычных представлений квантовой механики тем, что волновая функция является функцией от комплексной переменной ту, тогда как обычно она является функцией от вещественных переменных. Представление Фока более удобно, чем обычно используемое Q-представление. В самом деле, в первом представителем стационарного состояния является всего лишь 〃九)тогда как во втором это есть функция ехр(—q2/2%)〉умноженная на полином Эрмита по q.

Квадрат вектора |Х〉，заданного рядом (13), есть J2п- 1сп|2- Чтобы функция 吵(〃)была нормированной, должно быть

e*寸=1.(14)

п

Если это условие выполнено, то вероятность того, что энергия имеет значение (п + i/2)瓦 т.е. что осциллятор находится в n-м собственном состоянии, равна

Рп = п\ \сп^.(15)

Таким образом, у нас имеется представление для каждого правого вектора |Х〉. Каким же будет представление для левого вектора〈Х|? Уравнение, сопряженное с уравнением (13), имеет вид

〈Х| = (0|{с0 + 己例 + ⑦力2 + . . .}(16)

и показывает, что вектор〈Х| определяется рядом

Со + crri + с^ + ...=中⑺.

Таким образом, можно сказать, что {Х\ представлено функцией ⑺ от 力. Мы можем следующим образом представить {Х\ функцией от ту, а не от ту.

Определим оператор 〃一】уравнениями

1巾0〉=矿「0〉

〃= 0.

Из них выводится

”〃九10)= “0) (n > 0)

и

〃-” =1.(18)

Но

行1次1,

так как

37Tl0〉_ q

Таким образом, 〃一】в самом деле не является обратным к 〃. Оператор 〃 не имеет истинного обратного, и задание оператора 〃一】уравнениями (17) является наилучшим из возможных.

Запишем степени оператора ту-1 в виде 〃一？, 〃一з,〃—九.Согласно (18), 〃-九〃-口=r)m~n.

Уравнение

rfrf =炉+s

справедливо теперь в общем случае для целых положительных или отрицательных г и s за исключением случая г > 0, s < 0.

Отсюда имеем

(0切-九〃勺0)=(0切小-九10).

Это число равно нулю при m < п, согласно второму уравнению (17), и также равно нулю при m > п, согласно уравнению, сопряженному с (8). Таким образом, вектор (Q\r)~n ортогонален всем векторам системы (9) за исключением r)n\Q} и в таком случае, с точностью до множителя, он должен быть равным вектору, сопряженному rjn\O). Полагаем

Для определения ап имеем соотношение

1 = (O\rj~nrin\O) = ап(^\гГг]п\^ = а 九成

вытекающее из (11). Таким образом, ап = п!-1 и

(0切-九=川-1(01力九.(19)

Теперь уравнение (16) дает нам

〈Х| = (0|{с0 + ；1〃т + 2! c^rf2 + •••}•

Положим

的〃T + 切2 + 2!力3 =少+(#,

так что

〈x1 =(01少+(〃)〃.

Следует отметить, что

〈Х| 步(0|^+(?7),

при этом правая часть равна нулю. Функция 炉(г[) определяет вектор〈Х|, и мы назовем ее представителем〈Х|.

Для общего левого вектора (У|, выражаемого в виде

си =〈з{历+瓦〃 т+匕2〃一2 + •••} = ei ①(〃)〃(20)

где

①(〃)=历尸 + 瓦厂2 + b2〃-3 + . . . ,(21)

функция ①(〃)является представителем (У |. Для нормированности (У | необходимо, чтобы

£瓦『加! = i.(22)

Таким образом, в теории Фока правый вектор представляется рядом из возрастающих степеней ту, а левый вектор — рядом из убывающих степеней 〃 начиная с ту」Из (14) видно, что ряд 以〃)из возрастающих степеней должен сходиться для всех комплексных значений ту, тогда как из (22) следует, что ряд ①(〃)из убывающих степеней не обязательно сходится при любом значении 〃. По этой причине в данной теории представление левых векторов не является столь важным и в общем случае используется только представление правых векторов.

Можно построить более общую теорию представления левых векторов. В самом деле, можно добавить к представителю ①(〃)вектора (У | члены некоторого возрастающего ряда

6—1 + 6—2〃 + 6—з〃2 + . •-=①—(〃)，(23)

где Ь—ь 6-2, Ь-з,... являются произвольными числами. Эти члены дали бы дополнительный вклад во вторую часть уравнения (20):

(0|{Ь-177 + %2〃2 + 6—3〃3 +

который исчезает в силу свойства〈0|〃 = 0. Эти члены не внесли бы никакого вклада в ряд (22), поскольку п! = сю при отрицательном п. Для

3 П. Дирак. Т. III

правых векторов подобного обобщения не существует, так как при продолжении ряда (14) в область отрицательных п дополнительные члены были бы бесконечно большими.

Интересной формулой задается скалярное произведение двух векторов. Допустим, что ряд (21), представляющий вектор (У|, сходится для значений 〃,при которых |〃|〉R)так что функция ①(〃)существует в области 切I〉R.

Из формул (20) и (13) имеем

〈y1x〉=(01｛历 + 瓦〃 T + b2〃一2 + • •.｝｛。0 + Q〃 +。2〃2 + • •.｝10)=

=ЬОcО + 瓦Q + 62。2 + • • • = ^： J ①(〃)以〃)7 (24)

где интеграл берется по замкнутому контуру, охватывающему начало координат в области |〃|〉R.

Подобным методом мы можем построить и представление, связанное с переменной 力.В этом представлении левый вектор задается рядом с возрастающими степенями ту, а правый вектор — рядом с убывающими степенями ту, начиная с ту」

Система многих осцилляторов. Можно легко обобщить построенную теорию гармонического осциллятора, чтобы применить ее к системе многих осцилляторов. Введем для каждого осциллятора г операторы 小 и 力『.Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям

｛

小小-小小=0,

%力-九% = 0,(25)

〃T小-小〃 T = ^rs-

Обобщением формулы (10) является

〃т〃т 九т ♦(26)

Стационарное состояние системы определяется собственными значениями всех пг и соответствует правому вектору вида

瞰唠…①(27)

где |0) есть нормированный вектор, отвечающий нормальному состоянию со всеми исчезающими пг. Квадрат длины вектора (27) дается выражением

(01力?力第吋 1 嘴2⑺=m!h2!(28)

вытекающим из (11). Обобщением (8) является уравнение

%|0〉= 0,(29)

справедливое для всех г.

Общее состояние системы соответствует правому вектору |Х〉，который можно задать с помощью ряда

|Х)= e 0moП2〃?力第…I。〉=以〃)1。〉，

九1九2…

в котором rji являются целыми неотрицательными числами. Тем самым это состояние представляется функцией 2⑺)т.е. рядом с положительными степенями для всех 〃. Члены этого ряда отвечают различным образом возбужденным осцилляторам, в соответствии со степенями 77T.

Чтобы вектор \Х} был нормирован, необходимо, чтобы

〉］|°九1°九2 • • • I ^1 • ^2 • • • • = 1 •

п

При выполнении этого условия мы получаем, обобщая результат (15), что вероятность нахождения всех осцилляторов соответственно в состояниях П1, П2,... равна

Рп\Т12 …=|°九1°九2 • * • I ^1 •九？! • • •

Совокупность бозонов. Рассмотрим совокупность и одинаковых частиц. Если первая частица находится в состоянии а, вторая — в состоянии 仇 третья — в состоянии с, ..., то состоянию совокупности частиц отвечает правый вектор, который мы можем обозначить \abc.. .д}. Мы можем изменить порядок перечисления частиц, и при этом никакого наблюдаемого изменения в состоянии совокупности частиц не произойдет. Применение операции перестановки Р, т.е. определенного изменения в порядке перечисления частиц, даст нам для совокупности частиц новый правый вектор, который мы обозначим P\abc... д〉・ Здесь оператор Р принадлежит к тому же типу операторов, которые соответствуют динамическим переменным.

Положим

S =

где сумма берется по всем 〃！ перестановкам. Вектор S\abc …g〉всегда симметричен по отношению ко всем частицам, поэтому S можно назвать оператором симметризации. Это вещественный оператор, т.е. S = S.

Если частицы удовлетворяют статистике Бозе, то мы должны использовать только симметричные векторы. Я называю такие частицы бозонами.

Возьмем для одного бозона некоторый ортогональный базис состояний «1, «2, ^з, • • • и предположим, что все прежние состояния а〉Ь)с> д являются элементами этого базиса. Тогда вектор \abc... ^) превращается в \aras ... az}. Применение оператора симметризации дает нам векторы S\aras ... az)^ образующие базис состояний для совокупности бозонов.

Допустим, что вектор \aras …％〉нормирован, так что

〈a『asI dip diga^；〉— 1.

В результате имеем

〈а『а$ ... z I ^ . SI а『а$ ... ^z］〈。丁а$ . •. ^z | ^^^^ | а『^s • • • ^z•(3°)

Р,Р'

Когда все состояния аг, as,..., аг различны, все члены в двойной сумме исчезают, кроме тех, для которых PPr = J, вследствие ортогональности состояний аг, as,..., аг. Число ненулевых членов равно и!, и каждый из них равен 1. Таким образом, правая часть в (30) равна 1, и вектор S\aras …@〉 нормирован.

з*

Рассмотрим теперь общий случай, когда не все состояния аг, as,..., аг различны. Предположим, что имеется п】состояний ai,九2 состояний а? и т.д. Последовательность ar, as,... ,az определяет числа ni, П2,... согласно уравнению

а『+ & + •.. + g =九 1。1 + 九 2a2 + •… (31) Теперь все члены в двойной сумме исчезают, кроме тех, для которых PPf = Psi где Ps есть перестановка, которая меняет местами бозоны, находящиеся в одном состоянии. Число перестановок Ps равно ni! П2! ... Таким образом, число ненулевых членов в двойной сумме равно и! ni! П2! ..., и мы получаем общую формулу:

{aras.. .az\S . S\aras ... @〉= ni!П2!… (32)

Можно легко обобщить предыдущую теорию на случай переменного числа бозонов. В таком случае в качестве базисных векторов для нашей совокупности частиц следует взять

I， а『I〉， SI а『а$〉， S |а『as ... а ^^) (33)

Первый член |) соответствует состоянию, когда нет ни одного бозона, члены %〉соответствуют состояниям с одним бозоном, члены S\aras} соответствуют состояниям с двумя бозонами и т.д. Общее состояние будет соответствовать сумме всех членов последовательности (33) с произвольными коэффициентами.

Разумеется, не следует различать тех двух членов этой последовательности, которые отличаются только порядком состояний а, — числа п, определяемые уравнением (31), в этом случае одинаковы.

Все члены этой последовательности ортогональны, и длина каждого из этих векторов дается соотношением (32).

Теперь мы можем сравнить векторы (33) и (27). Каждый вектор (33) соответствует некоторому вектору (27), именно тому, для которого числа п задаются соотношением (31). Согласно формулам (32) и (28), длина вектора (33) равна длине соответствующего вектора (27), и все векторы (27) ортогональны, как и векторы (33). Следовательно, обе системы векторов обладают в точности одинаковыми свойствами, и их можно приравнять, т.е. можно положить

S\aras= П，時...|0〉. (34)

Таким образом, нам удалось установить соответствие между состояниями совокупности бозонов и стационарными состояниями некоторой системы осцилляторов.

Применим это соответствие к случаю одного единственного бозона. Уравнение (34) принимает вид

\аг) = т]г\0). (35)

Это уравнение показывает, что вектор %〉，который соответствует бозону в состоянии аг^ есть результат применения оператора 77T к вектору |0), соответствующему состоянию без бозонов. Таким образом, можно рассматривать оператор 小 как оператор рождения бозона в состоянии аг.

Вектор, соответствующий одному бозону в некотором общем состоянии, представляется в виде £ crr)r\Q}. Если мы подействуем на этот вектор

оператором %, то согласно (29) и (25) будем иметь

小〉]CrTJr |0) =〉]。丁 (％小一小小)|°〉=〉] 0Tbsт I °〉=盛 |°〉•

Таким образом, мы получаем вектор, который не соответствует никакому бозону. Это показывает, что оператор 九 есть оператор уничтожения бозона. Более точно, f]s есть оператор уничтожения бозона в состоянии as, поскольку он дает нулевой результат, если первоначально в состоянии as бозон отсутствовал, т.е. было cs = 0.

Рассмотрим теперь вектор П；1 喧?…I。〉〉который соответствует состоянию со многими бозонами. Действуя на этот вектор оператором 〃乙 мы увеличиваем на единицу число бозонов в состоянии а『,а действуя на него оператором 力乙 мы получаем, согласно (29) и (6),

%〃？嘴2…展"…I。〉=吋1成2…(力展"一展"%) • • • I。〉=

= nr^^(36)

Таким образом,力『уменьшает на единицу число бозонов в состоянии аг. С математической точки зрения, действие оператора 力『эквивалентно действию оператора дифференцирования д/дт]г.

Общее состояние совокупности бозонов соответствует вектору

e2…吋1喈 …I。〉=以〃)|0〉

и тем самым представляется функцией ^(ту). Различные члены суммы ⑺ имеют точную физическую интерпретацию: сумма показателей степени в каком-либо члене есть полное число бозонов, а показатели степеней различных 〃 совпадают с числами бозонов в тех состояниях, которые соответствуют этим 〃.

Изучим теперь уравнения движения при отсутствии взаимодействия между бозонами. Допустим сначала, что базисными состояниями 仰〉皿 … для отдельного бозона являются стационарные состояния с соответствующими уровнями энергии Е\)Е?)... Векторы %〉изменяются со временем по закону

Сделаем предположение, что вектор |0) не зависит от времени, и поэтому в силу (35)

Г]г〜 6-Е石Г力/方(37)

Таким образом,小 изменяется со временем по тому же закону, что и гармонический осциллятор с частотой Er/h. Этот результат показывает, что совокупность невзаимодействующих бозонов математически тождественна системе гармонических осцилляторов с частотами Er/h.

Полная энергия системы имеет вид

Н = £九丁 ^еT — 、^ Em而(38)

Можно использовать Н как гамильтониан системы и вывести с его помощью уравнения движения (37) для 〃.

Если базисные состояния а】〉。2〉... не являются стационарными, то отвечающие им векторы изменяются согласно уравнению Шредингера. В момент времени 土 = 0 это изменение задается уравнением (5), в котором вместо \Р) стоит %〉：

访^%〉= Н\аг) = £ \as)Hsr^(39)

где

Hsr = {(Is l-^l^r) •

Таким образом, в силу (35)

访 *|0〉= £ 小区"0〉(40)

и

访粤=e小&Т・(41)

Уравнение (41) не обязательно следует из уравнения (40), так как мы можем добавить к (41) члены, содержащие 力$〉не нарушая справедливости (40), однако такие члены привели бы к противоречиям в описании совокупности бозонов.

Уравнения движения (41) принимают обычную форму

访普=H小_小8,(42)

если положить

Н =〉］小，sr%・(43)

rs

Таким образом, Н является гамильтонианом для совокупности бозонов. Мы работаем в квантовомеханической картине Шредингера, в которой состояния представлены векторами, изменяющимися со временем, и, следовательно, знак в уравнении (42) отличается от знака уравнения движения в картине Гейзенберга.

Уравнение (41) имеет ту же самую форму, что и уравнение (39), но совсем другой смысл. Уравнение (39) применимо в случае одной единственной частицы. Если мы умножим его на фиксированный левый вектор (Р|, то получим уравнение

访^〈р%〉= £〈р|4〉&『，

связывающее числа {Р\а^^ тогда как уравнение (41) связывает операторы, относящиеся к задаче для совокупности бозонов. Переход от уравнения (39) к уравнению (41) и есть в точности то, что называют вторичным квантованием. Этот переход состоит в замене чисел {Р\аг} на операторы % которые вместе с сопряженными им операторами удовлетворяют коммутационным соотношениям (25). Числа {Р\аг} являются компонентами комплексно-сопряженной волновой функции одной частицы и в результате вторичного квантования становятся операторами рождения 小.

Когда между бозонами имеется взаимодействие, гамильтониан принимает наиболее общую форму:

Н =〉］ 77sHsт?7T +〉］ "Qr^S ^TSUV^U^V •(44)

rsrsuv

Наконец, когда наблюдаются явления испускания или поглощения бозонов, необходимо еще добавить к Н члены, содержащие в качестве сомножителей некоторое количество операторов 〃 и 力.

Совокупность фермионов. Можно модифицировать предыдущую теорию, используя вместо оператора симметризации S оператор антисимметризации А, определенный соотношением

/ = 〃厂1/2£ 土P,

где знак + относится к четным перестановкам, а знак — к нечетным. Таким образом, мы получаем теорию совокупности частиц, подчиняющихся статистике Ферми, при описании которых необходимо использовать только антисимметричные векторы. Я называю такие частицы фермионами.

Чтобы вектор A\aras ... az) не исчезал, необходимо, чтобы все а были различными. В таком случае вектор A\aras ... az} всегда нормирован, если исходный вектор \aras ... az) сам нормирован.

Чтобы построить теорию для совокупности переменного числа фермионов, обратимся к базису, составленному из векторов

II〉) /|aTaS)) • • •, j4JaTas...az))(45)

аналогичному (33). Общее состояние соответствует сумме всех членов последовательности (45) с произвольными коэффициентами.

Введем операторы ту и ту, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям

{

小小+小小=О,

小力+九% = 0,(46)

Vr^S + "Qs^r = ^rs-

Для каждого базисного состояния аг фермиона имеются операторы 小 и 力『. Уравнения (46) похожи на уравнения (25), но со знаком + слева вместо знака —. Из уравнений (46) вытекают соотношения:

^ = 0,^ = О-

Положим по аналогии с (26)

〃т〃т九т ♦(47)

Имеем

Этот результат показывает, что единственными собственными значениями оператора пг являются 0 и 1.

Операторы п образуют семейство взаимно коммутирующих наблюдаемых, имеющих общие собственные векторы. Возьмем нормированный собственный вектор |0), которому соответствуют нулевые собственные значения всех п, так что

(0|0) = 1,*0〉= 0.

Из второго выписанного уравнения выводим

〈0®77Tl0〉= 0.

Левая часть этого уравнения представляет собой квадрат длины вектора 方 |0〉〉и поэтому этот вектор должен исчезать:

%|0〉= 0,(48)

т.е. получаем соотношение, аналогичное (29).

Имеем

(01%方10)= (0|1 -小%10)=(010)= 1,

и поэтому вектор *0〉нормирован. Кроме того,

TlrTjr |0)= ПтНтПт'б =小(1 —小％)|。〉=小 |°〉〉

и, следовательно, r)r\Q} является собственным вектором оператора пг с собственным значением 1. Этот вектор является также собственным вектором всех остальных п, отвечающим собственному значению 0. Более общо, легко установить, что для всех различных 小)小〉…)％ вектор

小小...〃z|0〉(49)

является общим нормированным собственным вектором операторов п, принадлежащим собственному значению 1 для пг)п§)п% и собственному значению 0 для всех остальных п. Отсюда следует, что все векторы (49) ортогональны.

Векторы (49) находятся во взаимно-однозначном соответствии с векторами (45), при этом те и другие обладают в точности одинаковыми свойствами и антисимметричны по г, s,..., г. Поэтому их можно приравнять:

AI Qjr(is...。之〉=〃丁〃 s • • • 〃z|。〉〉(5。)

что дает нам аналог уравнения (34).

Общее состояние соответствует правому вектору

〉］Ors...z力小• • •|°〉〉

который можно рассматривать как представленный функцией

少(〃)=£ss・・・z小小• •

антикоммутирующих переменных 〃 с нулевыми квадратами. Это приводит к удобному представлению для описания совокупности фермионов. Степень какого-либо члена в ㈠⑺ соответствует полному числу фермионов, а входящие множители 〃 указывают, какие состояния заняты.

Операторы 〃 и 力 являются операторами рождения и уничтожения одного фермиона. Когда взаимодействие между фермионами отсутствует, операторы 〃 удовлетворяют уравнениям движения, имеющим ту же форму (41), что и для бозонов, и можно легко проверить, что форма (43) гамильтониана по-прежнему справедлива.

Отметим еще раз то сходство, которое обнаруживается между компонентами комп лексно- сопряженной волновой функции отдельной частицы и операторами рождения при описании совокупности частиц. Мы опять называем «вторичным квантованием» переход от этих компонент к операторам, но здесь пойдет речь о другом сорте квантования, применимом к фермионам, а не к бозонам, в котором коммутационные соотношения будут иметь вид (46) вместо (25).

Теория с вещественными векторами. Существует и другая версия теории вторичного квантования, более простая с математической точки зрения. Она исходит из рассмотрения двух вещественных векторов, имеющих скалярное произведение, которое, разумеется, является вещественным числом. Следует рассмотреть два случая:

Скалярное произведение двух векторов антисимметрично, т.е.

(ab) = —(Ьа).(51)

Скалярное произведение симметрично, т.е.

(ab) = (Ъа) и (аа)〉0.(52)

Обычные векторы соответствуют, разумеется, второму случаю.

Введем систему эрмитовых операторов &,&,…，которые находятся в линейном соответствии с векторами а, :

£(а+Ь) = & +、

U =(53)

где х — некоторое действительное число. Допустим, что эти операторы удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

&& - && =分(а, 6) (в первом случае),(54)

&& + && = (。〉6) (во втором случае).(55)

Легко видеть, что соотношения (54), (53) и (51) непротиворечивы, как и соотношения (55), (53) и (52). В правой части (54) введен множитель г, так как левая часть является мнимой.

После небольших модификаций мы сможем установить соответствие между векторами а,仇...и состояниями динамической системы. Векторы (I и I) в квантовой механике всегда должны быть комплексными, иначе возникло бы рассогласование с экспериментом. Поэтому необходимо будет допустить, что наши векторы а,仇…могут умножаться на комплексные числа. Мы можем рассматривать один из этих векторов, умноженный на некоторое комплексное число, как правый вектор | J, а его комплексносопряженный —как левый вектор (|. В первом случае необходимо заново определить скалярное произведение (ab) как мнимое число, равное (ab) из уравнения (51), умноженное на —г, чтобы это уравнение согласовывалось с (1). Тогда множитель i в правой части (54) исчезнет.

Назовем динамическую систему, определенную такими векторами |) и 〈I, примитивной системой. Тогда использование операторов £ и приводит к вторичному квантованию примитивной системы.

Для сравнения этого нового метода вторичного квантования с методами, изложенными в пп. 4 и 5, нам необходимо будет ввести некоторый базис. Допустим, что число независимых векторов является четным и равно 2п (если бы это число было нечетным, сравнение было бы более трудоемким). В первом случае мы можем выбрать базис из векторов а】, а?,..., а^, а，心，...，畸 таких, что

(а『а$) = 3 (а^а^) = 0, (а『а^) = —(а^а『)=iSrs,

где

% s = 1, 2,..., п,

при условии, что не существует вектора, скалярное произведение которого с каким-либо другим вектором исчезает.

При выполнении сказанного операторы &〉^+, которые соответствуют этим базисным векторам, удовлетворяют соотношениям

Если теперь мы введем комплексные операторы 〃门 力门 положив

& 一片結=V^小〉 & +分結=〉

то найдем, что 〃 и 力 удовлетворяют коммутационным соотношениям (25). Таким образом, мы возвращаемся к варианту вторичного квантования п. 4 для совокупности бозонов, однако с тем отличием, что число состояний одного бозона составляет только половину числа состояний примитивной системы.

Во втором случае мы можем выбрать базисные векторы ai, й2, • • •, «2п обычного типа, для которых

(d/dm) = Bim (Z, ш = 1,2,..., 2п).

Операторы £厶 которые соответствуют этим базисным векторам, удовлетворяют соотношениям

&&2 + &2& = 51m.

Введем теперь комплексные операторы 〃门 力乙 положив

&『+ 〃&『—1 = л/^т]г , &『一〃&『—1 = л/^小(г = 1〉2〉.

Мы находим, что эти операторы 〃 и 力 удовлетворяют коммутационным соотношениям (46). Таким образом, мы возвращаемся к варианту вторичного квантования п. 5 для совокупности фермионов, но подчеркнем еще раз, что число состояний одного фермиона составляет только половину числа состояний примитивной системы.

Релятивистская теория (волновое уравнение, линейное по d/dt). Выясним теперь, какие изменения необходимо внести в теорию пп. 4 и 5, чтобы сделать ее релятивистской. Разумеется, мы можем браться за эту задачу только в случае отсутствия взаимодействия между частицами, так как до настоящего времени не существует свободной от противоречий релятивистской теории многих взаимодействующих частиц.

Если релятивистское волновое уравнение для одной частицы линейно по d/dt^ то теория пп. 4 и 5 остается верной без изменений. В этой теории вводятся операторы рождения ту“ некоторой частицы в состоянии г в момент времени t и соответствующие операторы уничтожения 力“.Эти операторы удовлетворяют условиям (44) и также (25) или (46). Речь идет о том, чтобы придать этим условиям релятивистскую форму.

Начнем с возможности рассмотрения операторов 〃“〉力“ как релятивистских объектов. Для этого требуется, чтобы базисные векторы (ai|,〈。2|〉... были собственными векторами координат 力1〉力2〉力з частицы, что является необходимым условием реализации симметрии между 力 1〉力2〉

力з и временем t. В результате вектор (аг \ принимает вид (х^х^х^^^ где 力：, 力$〉力! являются собственными значениями 力1〉力2〉力3〉а а есть дополнительная переменная, учитывающая спин частицы, если таковой имеется. Тогда оператор 〃『/力'превращается в Пх'х"3t3 •

Введение этих операторов 〃 превращает уравнение движения (41) в инвариантное относительно преобразований Лоренца, поскольку оно имеет ту же форму, как и волновое уравнение (или скорее, как уравнение, сопряженное к волновому уравнению). Однако коммутационные соотношения (25) или (46) не имеют релятивистской формы, так как в них оба оператора 〃 или 力 относятся к одному моменту времени I. Поэтому необходимо обобщить эти уравнения таким образом, чтобы они приводили к общим коммутационным соотношениям для двух операторов, относящихся к разным моментам времени. Эти соотношения будут определены из уравнений движения (41).

(57)(58)(59)(57)(58)(59)Полагая

(57)

(58)

(59)

(57)

(58)

(59)

Лх^х^х^а, - 〃)〃叫吗力""a" 一 〃)

имеем

J rfrf ± т/牙=0, t亍力"土力"亍=0 и легко находим, что

т/力〃 ±亍力=G(x[xf2xf3tfaf xf[xf^

где функция G по переменным 力;〉力& 力& У〉а' является решением волнового уравнения со значением

8(" —澱州("-达州(孤一成州ad〃(60)

в момент времени，=，‘. Знак + в (58) и (59) относится к случаю фермионов, а знак — к случаю бозонов.

Функция G является релятивистской функцией, т.е. при преобразовании Лоренца она преобразуется как некоторый тензор (или как спинор по переменным а[ а〃). Обобщенные коммутационные соотношения (58), (59) также имеют релятивистскую форму. Вместе с уравнением движения они составляют фундаментальные уравнения релятивистского вторичного квантования.

Можно построить правые векторы

也〃...е(61)

Такой вектор соответствует состоянию, для которого одна частица находится в положении 力;力$ 力! в момент времени 〃〉вторая частица находится в положении х^х^х^ в момент времени tff и т.д. Разумеется, различные векторы (61) не являются независимыми, так как операторы 〃 в некоторый определенный момент времени，зависят от операторов 〃 в другой момент времени，‘.

Релятивистская теория (волновое уравнение второго порядка). Релятивистское волновое уравнение второй степени по d/dt было предложено Клейном и Гордоном. На самом деле известно, что это уравнение не применимо к электрону, так как оно не дает правильного значения

спина, но оно полезно, в случае m = 0, как основа теории фотона. Имея целью построение теории излучения, было бы полезно исследовать применимость метода вторичного квантования к этому уравнению.

Теория пп. 4 и 5 неприменима к волновому уравнению второй степени по d/dt и ее необходимо модифицировать.

В теории Клейна-Гордона с m = 0 волновая функция ⑺ удовлетворяет волновому уравнению

= 0,(62)

где

а力 2а说 3/|3/|

Два решения 2a и ⑺匕 уравнения (62) определяют плотность вероятности 票现一九羽，(6з)

которая не всегда положительна при 2al =⑺匕.Здесь мы встречаемся с главной трудностью теории Клейна-Гордона: существованием отрицательных вероятностей, что мешает дать этой теории прямую физическую интерпретацию.

Полная вероятность, определяемая решениями ^ и ^5, имеет вид интеграла

+ Ш也，(64)

力二const

который должен браться по произвольной поверхности t = const в четырехмерном пространстве. При этом в силу волнового уравнения (62) любой выбор константы для поверхности приводит к одному и тому же значению интеграла (64). Для сокращения запишем выражение (64) в виде

* / 九(1 -厂)现 d3x,(65)

где и означает операцию d/dt^ примененную влево, г — операцию d/dt^ примененную вправо, a d^x = dx\ d力2 d力з・ Выражение (65) является инвариантом, определяемым решениями ^ и ^.

Пусть х означает совокупность четырех переменных 力^ 力2〉力3〉t. Можно рассматривать волновую функцию ^(х^, заданную в некоторой точке, как скалярное произведение левого вектора〈х[ и некоторого правого вектора \Ь):

现(х‘)=〈х個，(66)

где〈х[ зависит только от точки х\ а \Ь} зависит только от волновой функции ⑺匕.Поскольку нас интересуют только функции удовлетворяющие уравнению (62), всегда будем иметь

口〈х|6〉= О,

и в качестве допущения можно принять

(х| = 0.(67)

Используя те же обозначения, положим

九(火)=(a"),

где

|х〉= 0.(68)

Скалярное произведение (а\Ь) должно тогда совпадать с инвариантом (65). Таким образом, получаем

+ /®х〉「一厂)〈x|Scftr= {a\b}.(69)

С учетом этого определения скалярного произведения уравнение (1) выполняется, а уравнение (2) — нет. Так как уравнение (69) справедливо для любого левого вектора〈а| и любого правого вектора |Ь), то имеем

+ / Н^ - ^Hd3x = 1,(70)

где справа стоит единичный оператор.

Введем инвариантную функцию Паули-Иордана Д(х), определяемую как

△(х) =」“г —/) —Ь(г + /)},(71)

г

где

「= © +)! +圖 I

Эта функция обладает следующими важными свойствами:

△(х) = 0,(72)

и при 力=0

= 4开")1州(力2州(力3).(73)

dt

С учетом этих свойств можно вывести, что для любой функции ^(х), удовлетворяющей уравнению (62), справедливо соотношение

，一//0(x)(_i — г)Д(х — х‘)Sx = —4тг/0(х,),(74)

в котором интеграл берется по поверхности t = tf.

Для вычисления скалярного произведения〈х|х'〉подставим в формулу (69) вектор |х'〉вместо \Ь) и найдем

(гх =(гх =

(гх =

(гх =

Из сравнения с (74) при ^(х) = (а|х) выводим, что решение этого уравнения имеет вид

〈х|х) = —гД(х — х，).(75)

Векторы〈х［〉|х'〉исполняют функции базисных векторов, хотя и не являются независимыми. Они удовлетворяют фундаментальным условиям (70) и (75), заменяющим условия (4) и (3). Уравнение (70) позволяет нам

выразить произвольный правый вектор |Р) в виде функции от векторов |х):

厂)〈x|P〉d3%.

47rz 丿

Теперь, в той форме, которую мы ей придали, теория Клейна-Гордона вполне готова для применения к ней вторичного квантования. Для этого нам будет необходимо ввести еще операторы тух и 7/х, которые отвечают соответственно правым |х) и левым (х| векторам и удовлетворяют некоторым коммутационным соотношениям, приводимым чуть ниже.

По аналогии с теорией пп. 4 и 5 положим

Iх) = 〃х|。〉〉(76)

厶 I0)=0,(77)

где |0) всегда есть правый вектор, отвечающий состоянию системы, не содержащей ни одной частицы. Используя (68) и (76), выводим отсюда 口厶=0.(78)

Уравнение, сопряженное с уравнением (76), имеет вид

〈х| =〈0 阮х|・(79)

Из соотношений (76), (79) и (75) мы выводим

〈。阮х%/|0〉=〈X*〉= -гД(х - х9，

и с учетом уравнения (77) получим

〈0阮х〃х，士 〃хОх|。〉= -гА(х - х‘).

Можно заключить, что коммутационные соотношения для 〃 и 力 должны иметь вид

'〃х〃х，士 〃х，〃х = 0,

< 〃х〃х，士 ПмПх = 0,(80)

、力x〃力 士 〃力力X = -га(х - x‘)，

со знаком + для фермионов и знаком — для бозонов.

Оператор 〃х，есть оператор рождения частицы в состоянии с волновой функцией

住切力|0〉=〈х|х) = -гД(х - W).

В этом состоянии частица определенно находится в точке 力：〉力$〉力! в мо-мент времени 〃. Существует еще одно состояние, для которого частица вмомент времени 〃 определенно находится в точке 力：〉力$〉力& именно, этосостояние, которое соответствует вектору ——и волновой функции住1鳥仅1。)=一 分加_W).

Операторы тух и все линейные функции от тух являются операторами рождения, и точно так же операторы 力х и линейные функции от 力х являются операторами уничтожения.

Как и в нерелятивистской теории, мы можем построить правые векторы 〃х〃х%〃…I。〉〉которые соответствуют состояниям многих частиц.

Общее состояние совокупности частиц соответствует правому вектору, являющемуся суммой или интегралом от таких векторов. Таким образом, это состояние представляется некоторой функцией от операторов 〃х・ С формальной точки зрения, эта теория похожа на ту, которая представлена в пп. 4 и 5, за исключением того, что в общем случае неравенство (2) не выполняется.

Предыдущая теория непригодна к непосредственному применению из- за появляющихся в ней отрицательных вероятностей, приводящих к нарушению неравенства (2). Несмотря на это мне удалось использовать ее для построения теории излучения ).

Сначала необходимо уточнить, что эта последняя теория непосредственно применима к некоторой гипотетической Вселенной, в которой имеет смысл говорить об отрицательном числе частиц. Однако обнаруживается, что в этом гипотетическом мире вероятностные коэффициенты всегда положительны. Под вероятностным коэффициентом понимается отношение частоты некоторого микропроцесса к частоте столкновения падающих частиц. Только эти вероятностные коэффициенты на самом деле и представляют интерес, и с этой точки зрения, окончательные результаты теории могут рассматриваться как разумные.

Теория Паули и Вайскопфа. Можно избежать трудностей с отрицательными вероятностями и с гипотетической Вселенной, о которых шла речь в предыдущем пункте, если применить здесь теорию из вещественных векторов п. 6. Двум волновым функциям Клейна-Гордона сопоставляется антисимметричное произведение, задаваемое формулами (64) или (65). Поэтому, следуя результатам п. 6, мы можем построить теорию бозонов с помощью эрмитовых операторов &〉которые соответствуют вещественным волновым функциям т^а и удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

&& - && = * / 恥С 一 厂)现 d3x.(81)

В качестве базиса для этих волновых функций мы примем

唳=cos(kx), 喔=sin(kx),(82)

где k есть вектор в четырехмерном мире, со свойством

— к^ — kl — kl = 0, к。〉0.

Функции (82) соответствуют операторам &〉£亡〉удовлетворяющим коммутационным соотношениям

&& - 6^& =占/ ⑺k「-厂)叫t，d3x =

= j /{k° sin(kx) sin(k'x) + k$ cos(kx) cos(k'x)} d^力=

=j /{；(" + 砲 cos(k — k\ x) — I (^o —砲 cos(k + k[ x)}酒力.

Чтобы оценить выписанный интеграл, положим 力=0 и найдем

&& - && = 27r2泳о"к]—耳州(出-乂州(кз —丛)•

Это уравнение заменяет третье из уравнений (56).

Вводя операторы 〃к и 力к с помощью соотношений

& 一 0况=〃匕 & + 〃比=力m находим

力k〃k/一加力k = 4万%0"к1 一瓦州(后-乂州(к3 -丛).(83)

Это уравнение заменяет третье из уравнений (25).

Функции В в правой части (83) возникают естественно, так как переменные к изменяются непрерывно. В правой части (83) появился также коэффициент 47r2ko. Однако, поскольку этот коэффициент всегда положителен, его можно исключить с помощью нормировки операторов %, так что он не имеет фундаментального значения. Операторы ту, которые мы ввели, обладают такими же свойствами, как и операторы 〃 в методе вторичного квантования, изложенном в п. 4, и тем самым позволяют описывать совокупность бозонов.

Построенная нами теория есть теория вторичного квантования Паули и Вайскопфа х). Она не связана с теорией частицы Клейна-Гордона столь же непосредственно, как теория п. 8, но обладает тем преимуществом, что допускает физическую интерпретацию без введения отрицательных вероятностей.

Сверх того она обладает и вторым преимуществом. Оператор рождения 〃к = & — 〃轴 является оператором рождения бозона в состоянии, которому соответствует волновая функция

cos(kx) — zsin(kx) = e-^kx\

и энергия для этого состояния положительна. Таким образом, в этой теории все бозоны имеют положительные энергии, тогда как в теории п. 8 их энергии бывают также и отрицательными.

Таким образом, имеются два метода вторичного квантования для волнового уравнения Клейна-Гордона: метод, изложенный в п. 8, и метод Паули и Вайскопфа. С точки зрения физической интерпретации, теория Паули и Вайскопфа имеет все преимущества, но она приводит к слишком сложным уравнениям для рассматриваемой системы, для которых пока еще не найдено решений. Поиск же решений в случае теории п. 8 значительно упрощается благодаря симметрии между положительными и отрицательными решениями.

Применение к фотонам. Чтобы применить теорию п. 8 или п. 9 к фотонам, нужно ввести дополнительную переменную, описывающую поляризацию. Волновая функция фотона должна иметь четыре компоненты, соответствующие четырем электромагнитным потенциалам, т.е. она должна записываться в виде ^(х), где /1 = 0,1, 2, 3. Скалярное произведение двух таких волновых функций 2a и ⑺匕 будет определено выражением, имеющим релятивистскую форму:

一爲 / 中从a(i -「)%b d3x.(84)

1) Paul% Weisskopf // Helv. Phys. Acta. 1934. V. VII. P. 709.

Компоненты ⑺从а и ⑺从ь, для которых 从=1, 2, 3, дают в (84) вклад того же знака, как и в (65), а компонента /1 = 0 дает вклад противоположного знака.

Совершенно ясно, как следует обобщать теорию п. 8, и нет необходимости уточнять детали. Операторы рождения являются теперь функциями не только от х, но также и от /1, и их следует писать 〃乂从・ Вместо третьего из уравнений (80) у нас будет теперь релятивистское уравнение 〃х从〃х" ± 〃х①〃х从=〃g〃^a(x — x ).(85)

Общее состояние будет представляться функцией от всех 〃х从.

Путь обобщения теории Паули и Вайскопфа не представляется таким ясным, потому что, если не принимать мер предосторожности, то не избежать появления отрицательных вероятностей.

В рамках такого обобщения операторы рождения 〃乂从 удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

力kMk/ - 4k"力k从=一4万2g从*()8(任-瓦州(历-乂州(屈一丛).(86)

В правой части появляются знак + для 从 и 沙〉равных 1, 2 или 3, и знак — для 从 и 沙〉равных нулю. Как следствие, операторы 4kL 7k2〉〃кз являются операторами рождения, как и операторы ту в п. 4, и, сверх того,力ко есть также оператор рождения.

Если не допускать существования в теории отрицательных вероятностей, то больше нельзя представлять правый вектор рядом по возрастающим степеням 4kL 17k2〉〃кз〉4ko и необходимо будет обратиться к ряду по возрастающим степеням 4kL 17k2〉〃кз и 力к(ъ или же — к ряду по возрастающим степеням 4kL 17k2〉〃кз и убывающим степеням для 4ko • Второе из этих представлений более удобно.

Рассмотрим одно единственное значение к, чтобы иметь только четыре переменные тд〉〃2〉〃з s 〃о・ Волновая функция будет иметь в этом случае вид

^2 "九(87)

где n, r〉s, t принимают значения 0,1, 2,, сю. Параметр п может также принимать и отрицательные значения —1, —2,..., но все соответствующие члены дают исчезающий вклад, так же как и члены (23).

Интересно исследовать, как преобразуется выражение (87) при применении преобразований Лоренца. Разумеется, коэффициенты Anrst преобразуются по линейному закону, и их, следовательно, можно рассматривать как компоненты обобщенного бесконечномерного тензора. Я называю такой обобщенный тензор экспансором.

Можно легко проверить, что квадратичная форма

eП!一%!6!廿 \Anrst\2

является инвариантом 1). Эта форма всегда положительна. Компоненты экспансора задают некоторое унитарное представление группы Лоренца.

Дополнительные условия. В квантовой электродинамике существуют дополнительные условия

=О,=О,(88)(88)

=О,

=О,

(88)

(88)

которым должны удовлетворять все векторы |Р), отвечающие реальным состояниям. Операторы /从 в (88) являются электродинамическими потенциалами, a Q есть некоторая функция от х, зависящая от электрических зарядов. Пусть 〃卜从 и 力к从 являются компонентами Фурье потенциалов /从. Применяя к уравнению (88) метод разложения в ряд Фурье, имеем

Г {^W6k}|P) = о,

l{^w-W|P) = o,'丿

где 6k зависят от электрических зарядов.

Зададим представление вектора |Р) функцией ⑺ от операторов 4k从〉 имеющей вид степенного ряда с возрастающими степенями для 4kL 17k2〉 〃кз и убывающими степенями для 4ko • С целью упрощения записи предположим, что векторы к принимают дискретные значения и коммутационное соотношение (86) заменено на следующее:

〃к从〃к‘гУ 一 〃к’гУ〃к从=-9n战3k复)

где с — некоторое положительное число, которое может зависеть от к. В таком случае имеем представление

и уравнения (89) принимают вид

{依依儿-限}少=0,(90)

^г + 几}" = °-(91)

Рассмотрим уравнения (90) и (91) для некоторого фиксированного значения к. Решением уравнения (90) является

少=(№〃“ 一 6к)т»(92)

где х — некоторая функция от операторов 4kL 17k2〉〃кз〉имеющая вид степенного ряда с возрастающими степенями, и где под (к从〃к从—匕卜)〜нужно понимать степенной ряд, содержащий возрастающие степени для 4kL 17k2〉 〃кз и убывающие — для 4ko• Функция (92) в самом деле является решением уравнения (90), так как после ее подстановки в левую часть (90) там остается только функция у, не содержащая членов с отрицательными степенями 4k0〉4Tо〉таким образом, эквивалентно нулю. Чтобы сохранить релятивистскую форму (92), в х следовало бы добавить члены, содержащие положительные степени 4k0〉хотя они и не приводят к более общему решению.

Подставляя решение (92) в уравнение (91), находим

0 =卜时金+ 6k)(依孤从一近)一改=(依孤儿_6k)T(时金+瓦)X

и поэтомуи поэтому

и поэтому

и поэтому

Поскольку х не содержит 4k0〉решение этого уравнения есть

Х = ехр("|^)①(г = 1,2,3),(93)

где Ф — некоторая функция от 4kL %2, 〃кз〉удовлетворяющая уравнению

(94)(94)кг -^5- = 0.

(94)

(94)

Уравнение (94) показывает, что Ф зависит только от поперечных компонент векторов 4kL %2, 〃кз・

Таким способом мы сможем разрешить все уравнения (90), (91) для различных значений к и тем самым учесть дополнительные условия. Результат задается формулой

XX^к^г^кг)① к^с /^к^г^кг)① к^с /

X

X

^к^г^кг)① к^с /

^к^г^кг)① к^с /

где Ф — некоторая функция от поперечных компонент векторов 4kL 17k2〉 〃кз・ Можно рассматривать Ф как волновую функцию в новом представлении, которое относится только к поперечным компонентам электромагнитного поля. По существу, в этом состоит процесс устранения продольных компонент, открытый Ферми, но записанный в представлении, которое получается при обобщении теории Фока на релятивистский случай.

5

ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ)

В течение многих лет развитие теории элементарных частиц было приостановлено в связи с появлением бесконечностей в решениях точных уравнений, описывающих движение этих частиц. Для устранения бесконечностей были предложены различные методы, наиболее совершенным из которых стал метод Лэмба, Швингера и др., точность которого позволяет вычислять малые остаточные эффекты, возникающие после устранения бесконечностей. Эти остаточные эффекты — лэмбов сдвиг в водородном спектре и поправка к магнитному моменту электрона — согласуются с экспериментом и служат блестящим подтверждением теории.

Столь большой успех заставляет думать, что метод Лэмба-Швингера устранения бесконечностей является наилучшим из возможных и что вряд ли стоит ожидать существенного прогресса на этом пути. Однако этот метод не составляет удовлетворительной основы для окончательной теории элементарных частиц, будучи слишком искусственным и неудобоваримым с математической точки зрения. Вполне приемлемо, когда фундаментальная физическая теория опирается на простые первичные математические понятия, такие, например, как понятие о кривизне пространства-времени, лежащее в основе теории гравитации Эйнштейна. Однако этого нельзя сказать о теории, которая сначала вводит бесконечности, а затем их устраняет, следуя специальным рецептам.

Итак, мы приходим к мысли, что следует стремиться к построению столь хорошей теории, в которой бесконечности не появлялись бы вовсе. Чтобы придти к такой теории, необходимо отказаться от модели элементарной частицы в виде точечного заряда, поскольку эта модель и является первичным источником бесконечностей. Нужно попытаться найти новую модель, т.е. новый гамильтониан или новые коммутационные соотношения между динамическими переменными. Можно было бы предположить, что в новой модели элементарной частицы электрический заряд был бы распределен в некотором конечном объеме и удерживался бы там некоторой новой силой — для такой модели не так легко придумать наглядный физический образ, но вполне можно было бы подобрать подходящие уравнения для ее математического описания.

Можно было бы предложить немало гипотез, служащих отправной точкой для новой теории, но все они все же слишком искусственны. В этих условиях представляется более интересным не выдвигать какой-либо частной гипотезы, а сначала развить теорию, которую можно было бы при-

менить к любой модели, что предполагает наиболее общее исследование квантовой релятивистской механики. К настоящему времени досконально изучена теория только свободных элементарных частиц, но мало что сделано для построения теории общей динамической системы взаимодействующих частиц. Создание такой теории будет полезным вне зависимости от того, какую конкретную модель частицы придется использовать.

Во всякой общей теории прежде всего должен быть указан способ задания состояния^ согласованный с релятивистскими принципами. В общем случае это достигается заданием достаточного числа физических условий в некоторый момент времени и по отношению к некоторому наблюдателю. Представим себе момент времени как трехмерную гиперплоскость в пространстве-времени ,нормаль к которой ориентирована внутри светового конуса. Целью построения релятивистской динамики является установление соотношений между состояниями в разные моменты времени и для разных наблюдателей.

Теперь возникает вопрос о том, возможно ли фиксировать состояние заданием физических условий в общем случае на некоторой трехмерной искривленной гиперповерхности в пространстве-времени. Ограничимся пространственноподобной гиперповерхностью, нормаль к которой в любой точке ориентирована внутри светового конуса, так что не возникает никаких причинных отношений между физическими условиями, относящимися к различным частям поверхности.

Так как указанная проблема чисто физическая, то невозможно получить надежный ответ на поставленный вопрос путем умозрительных рассуждений. В рамках современных моделей элементарных частиц получается утвердительный ответ: действительно, можно фиксировать состояние путем задания физических условий на произвольной пространственноподобной гиперповерхности трех измерений, однако сами по себе эти модели не могут нас удовлетворить. Мы надеемся, что возможно будет представить новые модели, которые позволят получить наилучшее описание в атомной области, но в рамках этих моделей, разумеется, поставленный выше вопрос будет неуместным. Во всяком случае, если потребовать независимости задания физических условий в двух точках пространства-времени, каждая из которых расположена вне светового конуса другой точки, то следует ожидать, что малое искривление пространственноподобной гиперповерхности незначительно изменит ситуацию. В итоге можно было бы зафиксировать состояние, хотя бы приближенно, на всей искривленной пространственноподобной гиперповерхности, кривизна которой была бы всюду слабой. Анализируя этот результат более детально, видим, что можно было бы задать состояние на некоторой общей искривленной пространственноподобной гиперповерхности при условии, что мы имели бы дело с явлениями, для которых существование некоторой универсальной длины никак бы не проявлялось. В противном случае можно было бы ограничиться радиусами кривизны, большими по отношению к этой универсальной длине.

Разумеется, нет никакой необходимости использовать состояния, заданные на искривленных поверхностях. Работая с какой-либо заданной моделью, всегда можно получить требуемый практикой результат, используя только состояния, заданные на гиперплоскостях. Единственная причина введения в теорию искривленных поверхностей связана с тем, что возможность определения состояний на таких поверхностях накладывает

некоторые очень жесткие условия на форму гамильтониана, и эти условия оказываются полезными при поиске новой модели, так как они ограничивают число вариантов.

В данном сообщении будет развита динамическая теория, в которой состояния могут быть заданы на общих трехмерных пространственноподобных гиперповерхностях. Хотя нет никакой уверенности в том, что эта теория может быть применена для описания явлений, в которых проявляется некоторая универсальная длина, все же такая теория должна быть достаточной для исследования большей части атомных явлений.

Общая динамическая теория, в которой состояния задавались на некоторой искривленной трехмерной гиперповерхности в пространстве-времени, была впервые предложена Вейсом (Weiss // Proc. Roy. Soc. A. 1938. V. 169. P. 102; P. 119). Вейс исходил из классического интегрального действия и показал как вводятся координаты и канонические импульсы на поверхности — теперь их можно заменить на операторы и таким образом получить основу для квантовой теории. Динамические переменные Вейса подчиняются уравнениям движения, которые можно рассматривать как обобщение уравнений движения Гейзенберга в нерелятивистской квантовой механике. Однако Вейс не сумел развить свою теорию в той мере, чтобы она включала в себя волновое уравнение Шредингера. Именно такое расширение теории нам и необходимо.

Волновая функция 吵 в современной теории должна зависеть от соответствующих физических переменных, определенных на искривленной поверхности. Эти переменные могут быть полевыми функциями пространственно-временных точек на поверхности, или они могут описывать положение точек пересечения с поверхностью мировых линий частиц. Эти переменные должны обладать свойством перестановочности друг с другом, а их число должно быть достаточным, чтобы описать физические условия на всей поверхности и тем самым полностью определить квантовое состояние.

При этом необходимо иметь уравнение, подобное волновому уравнению Шредингера, которое определяет изменение 吵 при произвольной деформации поверхности, не меняющей ее пространственноподобного характера. Это уравнение должно задавать вариацию 河 волновой функции ^, отвечающую малой произвольной деформации поверхности. Но прежде, чем раскрывать содержание такого уравнения, необходимо уметь сравнивать значения волновых функций 吵 на двух близких поверхностях. Нам необходимо иметь эталон сравнения, такой, что если волновая функция 吵 задана на некоторой поверхности, то можно было бы говорить о той же самой функции 0 на близкой поверхности.

Отклонение волновой функции 吵 на близкой поверхности от этого эталона и может быть определено как вариация 河.

Не существует очевидного способа установить такой эталон сравнения, поскольку сравниваемые волновые функции 吵 являются функциями двух различных наборов переменных и нельзя каким-либо естественным способом установить взаимно-однозначное соответствие между этими наборами. Эталон сравнения, используемый обычно в релятивистской квантовой механике, получается путем введения так называемого представления взаимодействия.

Для определения указанного эталона зададим волновую функцию 吵 на некоторой начальной поверхности и выразим 吵 как функцию импульсов всех присутствующих частиц — электронов, фотонов и т.д., — а затем предположим, что все эти частицы эволюционируют без взаимодействия, т.е. их импульсы остаются постоянными и новые частицы не возникают, а старые — не исчезают. Тогда волновая функция 吵 на деформированной поверхности ничем не отличается от начальной волновой функции 吵.Как только мы примем во внимание взаимодействие, волновая функция 吵 на деформированной поверхности станет другой и в волновом уравнении появится разность 河.По свойствам такого эталона, приращение волновой функции обусловлено исключительно взаимодействием частиц и исчезает вместе с ним.

Представление взаимодействия дает очень удобный способ релятивистского описания современных атомных моделей. Впрочем, я не считаю его подходящим для поиска новых моделей, так как в качестве отправной точки здесь берутся невзаимодействующие частицы, а само взаимодействие вводится в последующем. Хотелось бы иметь такую теорию элементарных частиц, в которой взаимодействия возникали бы автоматически и не было бы необходимости их искусственного введения — так, например, спин электрона появляется в релятивистской теории автоматически, и его не нужно добавлять к бесспиновому электрону. В такой теории нельзя было бы представить себе частицы, не взаимодействующие между собой, и тогда представления взаимодействия просто бы не существовало.

Следовательно, при поиске лучших моделей желательно было бы использовать другой эталон сравнения волновых функций 吵 на соседних поверхностях, который не требовал бы введения понятия невзаимодействующих частиц, возможно, лишенного смысла. Для получения наиболее общего эталона необходимо ввести некоторую параметризацию поверхности, т.е. некоторую систему криволинейных координат 〃l 〃2)〃з)охватывающую всю поверхность. Тогда малая деформация поверхности всегда сопровождается малой деформацией системы координат. Таким образом, мы получаем взаимно-однозначное соответствие между точками начальной поверхности и точками деформированной поверхности, причем сопоставляемые точки имеют одинаковые координаты и. Кроме того, имеется соответствие и между направлениями на поверхности, заданными в сопоставляемых точках. Естественным образом указанное соответствие распространяется на все физические величины, определенные в соответственных точках. Следовательно, если заданы некоторые физические условия на начальной поверхности, то можно придать смысл и утверждению о том, что те же самые физические условия выполняются и на деформированной поверхности: теперь мы знаем, что представляет собой та же самая волновая функция 吵 на деформированной поверхности.

Однако использование параметризации поверхностей приводит к новому усложнению в теории, которого не возникало в представлении взаимодействия. Это усложнение мне представляется неизбежным, если мы хотим иметь достаточно мощный общий метод, учитывающий будущее развитие теории взаимодействия элементарных частиц. Усложнение это оказывается не слишком значительным, если использовать подходящий метод исследования.

Динамические переменные

Будем пользоваться системой пространственно-временных координат х^ (/1 = 0,1, 2, 3), в которых метрика принимает вид

ds2 = dxQ — d%； — d力 I — dx^.

Правую часть можно записать в виде dx^ dx^, понимая под этим суммирование по четырем значениям 从〉при дополнительном знаке «минус» в членах с /1 = 1, 2, 3. Можно также записать д^ dx^ d力厶 где д^ принимает обычные значения: д。。= 1, 911 = 922 = 9зз = — 1〉а остальные компоненты равны нулю.

Трехмерная гиперповерхность, на которой задается состояние, может быть определена, если приписать четырем координатам у从(〃)точки параметры 〃l 〃2)〃з со всеми их возможными значениями. Величины у^и) можно рассматривать как динамические координаты. Мы получим удобную динамическую теорию, если будем их рассматривать как равноправные с другими динамическими координатами. Это соответствует тому методу в нерелятивистской динамике, в котором время рассматривается как дополнительная динамическая координата, входящая симметрично, наряду с другими динамическими координатами. Помимо величин Уц(и\ рассматриваемых как динамические координаты, мы должны ввести и сопряженные им импульсы. Обозначая их w乩(и))мы получим обычные коммутационные соотношения:

= 0,[w^u),w^uf)] = 0,⑴

[y^u^w^u)] = g^S(u - J).

Метрика на трехмерной гиперповерхности задается величинами

TS 二皿皿=12,3.(2)

Так как детерминант метрической матрицы 7Ts отрицательный, обозначим его —Г2. Тогда элемент «поверхности» для гиперповерхности трех измерений представляется в виде Г d〃i d〃2 d〃3 = Г Su.

Пусть теперь 7Ts обозначает минор матрицы ^rs поделенный на ее детерминант. Тогда имеем соотношение

方"=理(3)

позволяющее использовать)『，yrs для поднятия и опускания индексов у параметров и.

Пусть 1ц(и) означает единичный вектор нормали к поверхности в некоторой точке и，〃2)〃з・ Он удовлетворяет соотношениям

〃厶=1,%粤^ = 0.⑷

Все величины ^rsГ,)『$〉1^ являются функциями от у^и) и поэтому коммутируют со всеми у从(〃). Их скобки Пуассона с w/u) могут быть легко вычислены.

Помимо указанных динамических переменных, для описания физических условий на поверхности нам нужны также и другие переменные. Например, мы можем иметь поле V, описываемое динамическими переменными 『(〃)〉заданными в каждой точке и поверхности. Обычно принимается, что поля『(〃)〉взятые при разных значениях 〃〉коммутируют друг с другом, но в общей теории такая гипотеза не является необходимой. Если поля『(〃) коммутируют, то можно ввести обычные сопряженные им импульсы U(и)^ удовлетворяющие соотношениям

\V(u\V{u)] = 0, \U(u\U{u)] = О,

|V(〃), U(〃')] = 8(〃 — 〃')•

Можно располагать различными полевыми переменными V, которые могут быть не только скалярами по отношению к преобразованиям Лоренца, но также и компонентами тензоров или спиноров, и для всех них нужно вводит соответствующие сопряженные им импульсы. Кроме того, мы можем располагать и другими переменными, фиксирующими, например, координаты частиц на нашей поверхности или их спин.

В каждом случае мы должны добиваться того, чтобы скобки Пуассона для фундаментальных физических переменных были числовыми функциями параметров и^ и\ но не зависели от метрических функций 7Ts. 丁。叫@ можно принять, что все физические переменные коммутируют с переменными у и w. Если бы некоторые из скобок Пуассона зависели от переменных )『s)то мы пришли бы к противоречию, допустив, что все физические переменные коммутируют с w, а так как их скобки Пуассона с w оставались бы в таком случае неизвестными, мы бы не построили фундамента для динамической теории.

Уравнения движения

Для изучения уравнений движения займемся сначала классической теорией, в которой образы происходящих событий представляются более ясно. Если классические уравнения привести к удобной гамильтоновой форме, то переход к квантовой теории превращается в формальность.

В том случае, когда в классической динамике время рассматривается как дополнительная динамическая координата, необходимо принять, что все наши динамические переменные зависят от некоторой новой независимой переменной г, считающейся произвольной. Самое главное в этом подходе — совсем не значение переменной г, а знание того, какие значения принимают все остальные переменные при заданном значении г. Удобно представлять себе синхронное изменение всех других переменных, в котором г выполняет роль параметра, фиксирующего какой-либо этап этого непрерывного изменения.

Применяя этот образ к нашей теории, представим себе поверхность, задаваемую переменными у从(〃)〉изменяющимися вместе с г, а также заданные на поверхности физические переменные, которые также изменяются вместе с г. Мы видим, что движение не может быть зафиксировано с помощью начальных условий, поскольку поверхность может всегда изменяться произвольно, как и ее параметризация. Этот произвольный характер изменений математически выражается в том, что общее решение

уравнений движения, определяемое заданными начальными условиями, содержит некоторое число произвольных функций.

В общем виде гамильтонова динамическая система, наиболее общее решение которой при заданных начальных условиях содержит некоторые произвольные функции, возникает в результате наложения некоторого числа связей между координатами и импульсами:

Ha(p)q) ^3 а = 1,2,3,…，4(6)

Эти уравнения, как и все вытекающие из них, не соблюдаются внутри скобок Пуассона. Такие уравнения я называю слабыми и записываю со знаком 7, чтобы отличать от обычных или сильных уравнений [1]. Предположим теперь, что уравнения движения имеют вид

=⑺

для любых функций £ от q и Р)где va являются произвольными функциями г, независимыми от £. Тогда в общем решении уравнений движения при заданных начальных значениях ди© имеется ровно А произвольных функций, по одной для каждой На. Функции На аналогичны гамильтонианам, и я назову уравнения (6) Н-уравнениями динамической системы. Чтобы уравнения движения были совместными, необходимо, чтобы уравнения

= 0

Jr

выполнялись для всех значений, и как следствие

[На,нь]^о

или

[Ha,Hb] = ^bHc,(8)

где 7 — некоторые коэффициенты, которые могут зависеть от q и @.

Для квантования этой классической схемы мы рассматриваем ди© как операторы, удовлетворяющие обычным перестановочным соотношениям, и предполагаем, что каждое из К-уравнений порождает свое волновое уравнение Шредингера:

ЯаФ = 0.(9)

Для совместности системы необходимо располагать квантовые /f-функции таким образом, чтобы в уравнениях (8) все коэффициенты 7 стояли слева. Независимая переменная г в квантовой теории не появляется.

Если мы применим этот метод к нашей задаче, то мы увидим, что нам необходимо иметь бесконечное число /f-уравнений, чтобы они соответствовали всякому произвольному движению. Если считать, что каждое у从(〃)может произвольно меняться вместе с г, то нам необходимы 4 х ос3 уравнений. Из них ос3 обеспечат общее движение поверхности, а 3 х ос3 обеспечат общее изменение параметризации поверхности. Последние уравнения всегда имеют простую форму и легко решаются.

Пусть £(〃) является динамической переменной, описывающей условия в точке 〃i)〃2)〃з на поверхности. Когда мы совершим малое изменение параметризации, точка с параметром иг перейдет в точку с параметром иг + Еа^ где а — некоторые функции от 〃〉а е — бесконечно-малое

число. Предположим, что в результате этого изменения £(〃) переходит в £*(〃 + wa). Тогда /£-функция, связанная с этим изменением параметризации, должна удовлетворять соотношениям

[貿〃),Н] = £*(〃 + wa)=貿〃).(10)

Эта Н будет линейно зависеть от функций а『(〃)и представится в виде

Н = £ ]①『(У)ат(У)产认(11)

где Фг(иг) выступают как элементарные /£-функции, связанные с изменениями параметризации, не зависящими от функций аг.

Рассмотрим некоторую величину 〃(〃')〉которая зависит только от точки 〃'и предполагается независящей от параметризации в окрестности данной точки. Это означает, что 〃(〃') инвариантно относительно всякого изменения параметризации, не меняющего точки 〃'. Я называю такую величину и-скаляром в точке 〃' (это скаляр только в трехмерном пространстве поверхности).

Предположим, что £(〃) есть u-скаляр в точке 〃〉а тогда £*(〃 + га) есть скаляр, отвечающий точке 〃 + га, и должен совпадать с £(〃 + wa). В таком случае уравнения (10) и (11) дают

[&〃),/ Фг(и^аг(и') /〃] = 3 (&〃 + га) —&〃))=券 аг. (12)

Полагая, что а『(〃)=6(и — 〃') для какого-то значения т и аг(и) = 0 для других значений г, получаем

КЗ),①『(〃/)] =礬(13)

Уравнение (13) является фундаментальным соотношением, определяющим скобку Пуассона для “-скаляров.

Когда в теорию вводится полевая функция『(〃)〉ее можно считать u-скаляром. Однако если принять, что и сопряженный импульс U(〃) также является u-скаляром)то возникнет противоречие с соотношением (5). Чтобы в этом убедиться, применим условие (12) к『(〃)и найдем соотношение

[『(〃),/ ^{u^a^u^Su^ =登”.

Вычисляя скобки Пуассона с U(〃‘) в обеих частях равенства и используя тождество Якоби, найдем

^V(u), [^(^), У ^r(uf)ar(uf)d3uf^ = ^^ и аг =

=3 3(" 〃)％(〃))=卜(〃),貝. ourL оиг」

С другой стороны, можно вычислить величину

口(J), / ①『3〃)а『3〃) #〃[=言(U( J)a『( J)),(14)

которая отличается от результата вычислений согласно (12). В частности, вместо (13) получим

[и(")炉(心]=*。"…/)).(15)

Если £(〃) есть u-скаляр)то выражение / ^Г d^u должно быть инвариантным при всяком изменении параметризации, не меняющем границ области интегрирования. Таким образом, найдем

[/ 江Фг(и^аг(и^с13и^ =0,

или после применения (12):

/ £/〃『,/ ^{u^a^Su^ = - lr^Lard3u = / £ 嗤^u.

Так как это соотношение верно для всякого u-скаляра £〉то отсюда следует соотношение

[г,/ Ф7^>г(^)^] =^^^(16)

по форме совпадающее с (14). Комбинируя (14) с (16), находим

/ ①『(〃)&(〃) /=型包I г-1 - Ui 5d = WL)

Ldurdur dur 乙

откуда следует, что UV~^ есть u-скаляр. Можно назвать U “-скалярной плотностью.

Таким образом, сопряженные импульсы к ?/-скалярным полевым переменным являются и-скалярными плотностями. Координаты Уц(и\ определяющие поверхность, очевидным образом являются u-скалярами)а сопряженные к ним импульсы w^u) — и-скалярными плотностями.

В том случае, когда единственными динамическими переменными являются определяющие поверхность переменные у^^ w^, а также некоторые переменные『и их сопряженные U)нетрудно убедиться, что

①T=必争+ eu(17)

где суммирование распространяется на все полевые величины. Именно структура (17) приводит к правильным коммутационным соотношениям для всех п-скаляров 沙从〉V, w^r-1, С7Г-1. Если же в рассматриваемом случае имеются и другие динамические переменные, мы должны добавить к ①丁 надлежащие новые члены. Как только получены величины Фг, можно в классической теории накладывать слабые связи:

①『(〃)7 0,(18)

а в квантовой теории писать волновые уравнения Шредингера:

①飞〃 )3 = 0.(19)

Эти уравнения позволят учесть произвольные изменения в параметризации.

Если в некоторой точке поверхности в пространстве-времени задан 4-вектор 4从)его можно разложить на нормальную часть 〃^4^ и касательную:，一，，/ 、

4从-I ma” = 4 一从.(20)

Касательная часть связана с проекциями 4『4-вектора на направления иг вдоль поверхности:

(22)(22)4一⑵)

(22)

(22)

dur “ dur “

Уравнения (17) и (18) позволяют выразить касательную часть 4-вектора w^ как слабую функцию других динамических переменных:

(23)(23)

(23)

(23)

/f-уравнения, отвечающие движению поверхности, должны определять нормальную часть 4-вектора w^ как слабую функцию других динамических переменных: / 、

7 Я, (24)

где Н является функцией тех динамических переменных, которые не зависят от w.

Для каждой точки и поверхности существует своя функция Н. Эти функции являются важными величинами, соответствующими гамильтониану нерелятивистской динамики. Для их определения необходимо знать все силы, действующие на нашу динамическую систему.

Если задан интеграл действия, то для определения Н сведений вполне достаточно. Метод состоит в следующем. Предположим, что 必 есть плотность действия в пространстве-времени. Величина полного действия, которая отвечает области между поверхностями, соответствующими значениям г и г + Jr, после деления на 8т представляется в виде

Е = / 必 1^開 Тс^и,

где точка означает производную по г. Эта величина может быть интерпретирована как обычный лагранжиан и выражена как функция от динамических координат, которые включают в себя координаты у从(〃)〉 определяющие поверхность, и такие физические величины, как полевые функции『(〃) на поверхности, а также от их скоростей 少⑷ V. Рассматривая вариацию Е по скоростям, как коэффициенты при соответствующих вариациях мы определяем сопряженные импульсы

6L6L

6L

6L

которые тождественны импульсам, найденным Вейсом.

Поскольку полученные уравнения определяют импульсы как функции от координат и скоростей, эти уравнения должны рассматриваться как слабые, и из них следует исключить скорости. Возникающий таким образом набор слабых уравнений будет содержать при этом и уравнения (18) и (24). Возможно появление и других уравнений, относящихся к дополни-

тельным Н-уравнениям, что означало бы наличие других степеней свободы в общем решении уравнений движения, помимо тех, которые отвечают произвольному выбору движения поверхности и ее параметризации.

В последующей части работы мы исследуем несколько примеров и для каждого из них выпишем 足уравнения. Для краткости вывод этих уравнений опускается, но он всегда вытекает из общего метода, изложенного выше.

Примеры

Скалярное мезонное поле. Все известные релятивистские теории поля без труда могут быть представлены в рамках вышеизложенного формализма. Простейшим является пример скалярного мезонного поля, для которого плотность действия имеет вид

В этом случае мы получаем следующие /^-уравнения:

w_M + UV^ ^ 0,(1.2)

厶心 + I 炉r-1 + I (m2V2 -忆从忆从)「7 0.(1.3)

Здесь V-n обозначает касательную часть 4-градиента поля Очевидно, что она представляет собой функцию только динамических координат, не зависящую от скоростей.

Электромагнитное поле без зарядов. Электромагнитные потенциалы А^и) на поверхности выступают как динамические координаты. Пусть 8从(〃)суть их сопряженные импульсы, удовлетворяющие соотношениямГ \Г八/、

以从("))8"(" )] = 9从》(" - " )•(2.1)

В качестве плотности действия мы можем взять

дАи也 аб从дxидАи也 аб从дxи(2.2)(2.2)

дАи也 аб从дxи

дАи也 аб从дxи

(2.2)

(2.2)

При таком выборе плотности действия выясняется, что нормальная составляющая /从8从 4-вектора В^ исчезает. В стандартной теории это приводит к трудности, требующей модифицировать плотность действия, как это предлагал Ферми, и в результате возникают некоторые дополнительные условия. В рамках предлагаемого нами метода подобной трудности не возникает и нет необходимости модифицировать плотность действия. При этом уравнение, выражающее факт исчезновения нормальной составляющей /从2从)является слабым уравнением, т.е. ничем иным, как дополнительным Н-уравнением.

Полный набор /^-уравнений для такой плотности действия принимает вид,/ 、

^一从 + ВуАу-^ 7 0,(2・3)

/从^从 + I F-^-yF-^-yV + B^lyAy-^ — I В^В^Г 10,(2.4)

/川В/х 7 о,(2.5)

(8从「一1)一从70,(2.6)

где индекс —//в последнем члене обозначает касательную часть производной. Легко проверить, что касательная часть F_从_^ тензора поля 耳^ является функцией динамических координат, не зависящей от скоростей. При таком подходе к описанию электромагнитного поля появляются два дополнительных /^-уравнения: (2.5) и (2.6). Они приводят к дополнительным степеням свободы в общем решении уравнений движения. Когда параметр г изменяется, возможны произвольные изменения поверхности и ее параметризации, кроме того, может быть переменной и калибровка. Таким образом, (2.4) соответствует произвольному движению поверхности, (2.3) — произвольному изменению параметризации, (2.5) — произвольному изменению нормальной составляющей /从/从 4-вектора /从.Наконец, (2.6) соответствует произвольному изменению трехмерного вектора 4〉не затрагивающему его ротора.

Когда мы переходим к квантовой теории, первые члены в каждом из уравнений (2.3)—(2.5) и (2.6) при действии на Ф должны давать нуль. Два последних из этих уравнений:

厶 = 0,(8尸)一3=0

показывают, что Ф не зависит от I間А^ и от той части трехмерного вектора Аг^ которая не входит в его ротор. Следовательно, Ф не зависит от всех продольных полевых переменных. Квантовая электродинамическая теория, представленная здесь, отличается от соответствующей теории Ферми тем, что в последней задаются точные уравнения движения для продольной части поля и требуется, чтобы Ф зависело от продольных переменных специальным способом. В нашем же случае движение продольной части поля может быть произвольным, а Ф не зависит от продольных полевых переменных. В нашей теории возможны более общие калибровочные преобразования, чем в теории Ферми, поскольку в последней потенциалы подчинены условию [2]

= О,

которого в нашем случае нет. После исключения продольных волн теория Ферми становится эквивалентной нашей теории, так что обе формы теории всегда дают одинаковые физические результаты.

Электромагнитное поле с непрерывным распределением заряда. Исследуем теперь возможность введения в теорию электрических зарядов. Обычный метод состоит в использовании классического образа точечных зарядов и тотчас же приводит к трудностям, связанным с сингулярностями поля. Другой метод, избегающий этих трудностей, состоит в использовании классического образа непрерывного распределения заряженной материи.

Мы можем, например, исходить из классического образа изолированной среды, содержащей непрерывное распределение зарядов. Если для упрощения мы пренебрегаем упругими силами в среде, то каждый элемент среды будет перемещаться просто в соответствии со своими инерционными свойствами под действием электромагнитных сил, действующих на несомый им заряд. Таким путем мы получаем удобную исходную точку для

построения электромагнитной теории, хотя я и не развил ее достаточно далеко, чтобы убедиться, что она приводит к удовлетворительной теории электрона (возможно, придется ввести упругие силы, способные удерживать электрон как единое целое). Но эта теория обладает несколькими интересными чертами, которые могут иметь общую ценность для электродинамики и которые в обычной теории маскируются сингулярностями, связанными с моделью точечного заряда.

Если мы рассматриваем состояние среды на некоторой трехмерной гиперповерхности в пространстве-времени, то видно, что каждый элемент среды помечается параметрами 如，〃2〉〃з поверхности. Удобно принять, что, когда поверхность изменяется, ее параметризация изменяется таким образом, чтобы каждый элемент среды сохранял те же самые значения и. Изменение параметризации не является больше произвольным для той области поверхности, где находится среда — носитель заряда, так что в этом случае у нас нет больше /^-уравнений типа (18).

Пусть 卩炉乜 и pd^u обозначают соответственно массу и заряд элемента среды, занимающего участок поверхности du± d〃2 d〃3 =酒〃.Тогда 从 и 0 являются функциями 〃 и в соответствии с законами сохранения они не изменяются с изменением поверхности, так что

〃 = 0, 0 = 0. (3.1)

Плотностью массы является 从「一\ а плотностью заряда — рГ-1. Получается интересная теория, если предположить, что р{и) для каждого значения 〃 является динамической переменной той же природы, что импульс. Тогда необходимо ввести сопряженные переменные 8(〃)〉удовлетворяющие соотношениям 0〃)/m)] = 0, 依"),饵力=0,

[0(и^ р(и)] = 8(〃 — и).

Чтобы 0 было постоянным, необходимо, чтобы 8 не появлялось в 7?-урав- нениях.

Чтобы выяснить физический смысл 仇 мы должны вернуться к модели точечного заряда. Если использовать обычный классический гамильтониан

^ = — ({夕从 + ^АЛУ)}{Р^ + еА^у)}-т2)^0 (3.3)

для частицы в точке у с зарядом е, рассматриваемым как переменная импульса, то найдем, что сопряженная переменная 8 удовлетворяет уравнению

^ =察=^仇+叫)丄=票&(/ (3・4)

В рамках модели точечного заряда этому уравнению нельзя придать точного смысла из-за сингулярности /从(д)〉но в теории с непрерывно распределенным зарядом его можно переписать в следующей форме:

0 = UfiA開. (3.5)

В справедливости этого уравнения можно убедиться, проверив его следствия (это означает, что интеграл действия, к которому оно приводит, дает правильные уравнения движения).

Мы должны интерпретировать (3.5) как выражение того, что одна из составляющих /从〉а именно, составляющая в направлении движения вещества, совпадает со скоростью и не является динамической координатой. Мы должны выразить /从 как функцию от четырех ковариантных компонент А1, А2, А3, Ат, относящихся к системе координат 〃ь 〃2〉〃з〉〃「：

^ = А^ А" = Аау^(3.6)

и рассматривать, как и обычно, А1, Л2, А3 как динамические координаты, тогда как составляющую Ат = 8 — как скорость. Электромагнитное поле, относящееся к этой системе координат, есть

j-iab84“ ЭАа 71 о о

F = —— — —〉 a^b = 1, 2, 3, г, = т〉(3.7)

OUa0"ь

и зависит только от динамических координат и скоростей, но не от ускорений.

Плотность действия получается, если к обычному выражению добавить кинетический член:

必=—丄 FabFab + К(3.8)

4Г 1(тУ(т

Взаимодействие поля и зарядов учитывается правильно, если описанным выше способом рассматривать Fab как функцию от координат /『и скоростей в. В этом методе ни одна из координат не появляется в лагранжиане, если в нем нет соответствующей скорости, так что ни один из сопряженных импульсов не исчезает.

В этой теории можно выписать и /^-уравнения:

(WM + h^FrsFrs-乎国BRT_ 8『0/ 2 —小 у о, (3.9)

диг

Их не так много, как в теории без зарядов, поскольку: (1) у нас нет больше произвольных изменений параметризации и (2) у нас нет больше координат Ат, для которых соответствующие скорости не появляются в лагранжиане, а сопряженные импульсы исчезают.

Теория упрощается, если мы выберем наши поверхности не произвольно, а так, что 8 = const. Для всех значений г можно определить множество поверхностей

6 = т.(3.11)

Тогда получаем уравнение

0=1.(3.12)

Чтобы ввести условие (3.12) в теорию, мы должны исключить из уравнений (3.9), (3.10) те из них, которые приводили бы к изменению 0, не согласующемуся с (3.12). Последнее означает, что должно быть исключено уравнение (3.10), кроме соотношения

(3.13)(3.13)…

(3.13)

(3.13)

4 П. Дирак. Т. III

которое сводится к следующему:

/ pd3u^Q.(3.14)

Это /^-уравнение не влияет на изменение каких-либо других переменных, кроме & так что им можно пренебречь. Остаются лишь уравнения (3.9).

В данной окончательной форме теории остаются лишь уравнения, отвечающие произвольным изменениям поверхности, и ни одно из калибровочных преобразований не может быть осуществлено независимо от движения поверхности. Если мы сделаем калибровочное преобразование

то, согласно (3.5), 0 переходит в

ё^ё + у^ = ё + з,

а 8 переходит в

в в + S + const.

Все сводится к некоторому изменению в семействе поверхностей (3.11).

Разумно принять, что релятивистская электродинамика должна удовлетворять двум условиям: (I) она должна допускать произвольные калибровочные преобразования и (II) она должна допускать определение состояний на произвольных пространственноподобных гиперповерхностях. В нашей теории эти два условия сводятся к одному: с каждым калибровочным преобразованием сопоставляется некоторое преобразование поверхностей, что может свидетельствовать о фундаментальной взаимосвязи калибровочной и релятивистской инвариантностей.

Дискуссия

Паули выражает свое согласие с исходными идеями, послужившими основой доклада Дирака.

Однако введение пространственноподобных поверхностей приводит к ненужному усложнению математического аппарата. Представление Гейзенберга ему представляется предпочтительным: оно позволяет бесконечно более просто и релятивистски-инвариантным способом описывать явления.

Дирак отвечает, что на самом деле использование поверхностей не является неизбежным, если вначале задаться рабочей моделью. Это становится небезразличным, если предполагать поиски модели. В таком случае введение поверхностей служит полезным рабочим инструментом. Можно заметить, кроме того, что использование обычной системы Лоренца на плоскости в общем случае приводит к тому, что взаимодействия не исчезают, если расстояния между частицами стремятся к бесконечности.

Паули тем не менее считает, что изучение моделей следует проводить с помощью лагранжианов, без привлечения каких-либо поверхностей.

6

СУЩЕСТВУЕТ ЛИ ЭФИР?)

В прошлом веке идея универсального и всепроникающего эфира [1] была весьма популярна в качестве основания, на котором следовало строить теорию электромагнитных явлений. Ситуация резко изменилась после открытия Эйнштейном в 1905 году принципа относительности, из которого следует необходимость четырехмерной формулировки всех физических законов. Вскоре было обнаружено, что наличие эфира невозможно согласовать с основами теории относительности, и поскольку последняя была хорошо обоснована, от эфира пришлось отказаться

Физическое знание с 1905 года существенно расширилось — главным образом, с открытием квантовой механики, в связи с чем ситуация вновь изменилась. Если рассмотреть ее с точки зрения сегодняшнего уровня знаний, легко обнаружить, что эфир уже не исключается требованиями теории относительности и можно выдвинуть убедительные аргументы в пользу постулирования эфира.

Рассмотрим простейшую форму старого аргумента, приводимого в пользу необходимости отказа от эфира в соответствии с теорией относительности. Выберем область пространства-времени, представляющую собой идеальный вакуум, т.е. не содержащую ни вещества, ни полей. Согласно принципу относительности, эта область должна быть изотропна в ло- ренцевом смысле: все направления внутри светового конуса должны быть эквивалентны друг другу. В соответствии с гипотезой эфира, в каждой точке рассматриваемой области должен находиться эфир, движущийся с некоторой скоростью (предположительно меньшей скорости света). Эта скорость задает некоторое предпочтительное направление в пространстве- времени внутри светового конуса, и это направление должно обнаружиться в подходящих экспериментах. Таким образом, мы приходим к противоречию с релятивистским требованием эквивалентности всех направлений внутри светового конуса.

Этот аргумент представляется неоспоримым с позиций физики 1905 года, но в настоящее время он нуждается в модификации, поскольку к эфиру следует применить квантовую механику. Скорость эфира, подобно другим физическим величинам, подчиняется соотношениям неопределенностей. Для конкретного физического состояния скорость эфира в определенной точке пространства-времени не всегда является хорошо определенной величиной. Эта скорость будет распределена по различным возможным значениям в соответствии с вероятностным законом, полученным путем возведения в квадрат модуля волновой функции. Можно выбрать такую волновую функцию, для которой все значения скорости эфира рав-

невероятны. Подобная волновая функция может успешно представлять идеальное вакуумное состояние в соответствии с принципом относительности.

К аналогичной проблеме можно придти, рассматривая атом водорода и пренебрегая при этом спинами электрона и протона. С классической точки зрения этот атом, казалось бы, не может находиться в состоянии сферической симметрии (любое S-состояние в спектроскопии является таким состоянием). При этом квантовая теория дает соответствующее объяснение, допуская сферически-симметричные волновые функции, для каждой из которых все направления прямой, соединяющей электрон и протон, равновероятны.

Таким образом, мы видим, что переход от классической теории к квантовой приводит к резкому изменению наших представлений о симметрии.

Объект, который не может быть симметричным в классической модели, вполне может быть симметричным после квантования. В этом состоит способ примирить нарушение лоренцевой симметрии в пространстве-времени, обусловленное наличием эфира, с принципом относительности.

Имеется один аспект, в котором аналогия с атомом водорода несовершенна. Сферически-симметричное состояние атома водорода является в полном смысле собственным состоянием и волновая функция, соответствующая ему, может быть нормирована. Это, однако, не имеет место для лоренц-симметричного состояния эфира. Предположим, что четыре компоненты 少从 скорости эфира в любой точке пространства-времени коммутируют друг с другом. Тогда мы можем построить представление с волновой функцией, зависящей от всех компонент ^. Эти четыре компоненты вектора и можно наглядно представить себе, как определяющие точку на трехмерном гиперболоиде в четырехмерном пространстве; последний описывается уравнением

2222 -|7 c1、

Uo — ^1 — V2 一 из = 1, Vq〉0.

Волновая функция, представляющая состояние с равновероятными значениями всех скоростей эфира, должна быть независима от компонент ^, т.е. должна являться постоянной величиной на гиперболоиде (1). Если мы образуем квадрат модуля такой волновой функции и проинтегрируем его по всей трехмерной поверхности (1) лоренц-инвариантным образом (что означает приписывание равных весов всем элементам поверхности, которая может быть преобразована в другую поверхность преобразованием Лоренца), то результат будет бесконечным. Таким образом, такая волновая функция не может быть нормирована.

Состояния, соответствующие волновым функциям, которые могут быть нормированы, — это единственные состояния, которые можно реализовать практически. Состояние, соответствующее волновой функции, которая не может быть нормирована, следует рассматривать как теоретическую идеализацию. Его никогда невозможно реализовать практически, однако можно сколь угодно точно приблизиться к нему. Подобные идеализированные состояния очень полезны в квантовой теории, и мы не смогли бы обойтись без них. Например, любое состояние, в котором существует частица с определенным импульсом относится к этому типу [2]. Описывающая его волновая функция не может быть нормирована, поскольку в силу принципа неопределенности она должна была бы быть распределена по всей Вселенной. Однако такие состояния необходимы в задачах рассеяния.

Теперь нетрудно видеть, что мы вполне можем допустить наличие эфира, подчиняющегося квантовой механике и согласующегося с теорией относительности, если только мы намерены рассматривать идеальный вакуум как идеализированное состояние, недостижимое на практике. С экспериментальной точки зрения подобное допущение, по-видимому, не вызывает возражений. Нам необходимо произвести достаточно глубокое изменение своих теоретических взглядов на вакуум. Теперь это уже не тривиальное состояние; оно требует детального математического анализа для своего описания.

Недавно' я выдвинул новую теорию электродинамики, в которой потенциалы /从 ограничены условием

/从/从=廿)

где к — универсальная постоянная. Из свойства непрерывности Ад следует, что эта величина должна всегда иметь одинаковый знак, который можно принять положительным. Далее можно положить

к 1/从=u儿) (2)

получив тем самым величины ^, удовлетворяющие условию (1). Эти величины определяют некоторую скорость. Ее физический смысл в теории состоит в том, что если имеется некоторый электрический заряд, то он должен «течь» с этой скоростью, а в тех областях, где заряд отсутствует, он мог бы течь с этой скоростью, если бы был туда помещен.

Итак, мы имеем теперь скорость вида (2) во всех точках пространства- времени, которая играет фундаментальную роль в электродинамике. Естественно рассматривать ее как скорость некоторого реального физического объекта. Таким образом, с введением новой теории электродинамики мы просто вынуждены ввести и эфир.

Литература

Proc. Roy. Soc. А. 1951. V. 209. Р. 291.

* * *

В своем недавнем сообщении' профессор П. Дирак утверждает, что в его новой формулировке электродинамики ^ преимущественное (выделенное) движение имеется в каждой точке пространства.

Подобное выделенное движение имеется также в каждой точке пространства согласно космологически наблюдениям (кажущаяся изотропия удаленных эффектов красного смещения).

Представляет интерес, связаны ли с этим космологически предпочтительным состоянием движения какие-либо локальные физические эффекты. Аналогичный вопрос может быть поставлен и относительно формулировки Дирака. Мы уже отмечали что на первый вопрос можно ответить в рамках теории непрерывного рождения (или, что то же, стационарного состояния Вселенной), когда выделенное направление отождествляется с

направлением скорости вновь рожденных частиц. На второй вопрос Дирак дает ответ, который сводится к тому, что небольшой заряд, помещенный в вакуум, приобрел бы определенную скорость в соответствии со значениями потенциалов в его теории. Представление о введении заряда в вакуум в отсутствие полей, разрушающих этот вакуумный характер данной области, становится физической реальностью в теории непрерывного рождения.

Литература

Dirac Р.А.М. // Nature. 1951. № 168. Р. 906.

Dirac Р.А.М. // Proc. Roy. Soc. А. 1951. V. 209. Р. 291.

Bondi Я., Gold Т. 〃 Mon. Not. Roy. Astro. Soc. 1948. V. 108. P. 252.

Л Бонди, T. Голд

Несколько замечаний могут прояснить взаимосвязь между скоростями эфира в теориях Б он ди-Го л да и моей. Там, где вещество существует, обе теории требуют от него наличия скорости эфира. Там, где вещество отсутствует, Бонди и Голд интерпретируют скорость эфира как скорость вещества, которое возникает в результате рождения в предлагаемом ими процессе непрерывного рождения. Я интерпретирую эту величину как скорость небольшого электрического заряда, которую он бы приобрел, если бы был помещен в эту точку. Поскольку никакой новый электрический заряд не может быть помещен куда-либо без нарушения закона сохранения электрического заряда, можно поставить вопрос о том, имеет ли предлагаемая скорость какой-либо смысл.

Современная динамическая теория основана на вариационных принципах. Вариационный принцип требует произвести небольшое изменение в физических условиях, тем самым нарушая некоторые законы Природы, и далее изучить влияние этого изменения на уравнения движения. Чем более общий и мощный вариационный принцип мы рассматриваем^ тем большее число законов Природы могут оказаться нарушенными.

В рамках моей новой теории некоторые из подобных нарушений включают в себя рождение малых электрических зарядов. Теория не разрешает скорости подобных зарядов иметь произвольную величину, но вполне однозначно определяет ее, тем самым приводя к понятию скорости эфира.

П.А.М. Дирак

* * *

В одном из выпусков журнала Дирак приводит интересный вывод из своей новой электродинамики, а именно необходимость «реанимации» понятия эфира. У меня имеются некоторые сомнения относительно необходимости подобного шага. Действительно, если мы исключим коэффициент Л из уравнений Дирака, то получим следующую систему уравнений

/м^ =/从/ 一 /%儿〉(1)

Случай (1):Случай (1):detk-^P°-detk-^P°-Рассматривая уравнение (2) с алгебраической точки зрения, легко выделить два возможных случая

Случай (1):

Случай (1):

detk-^P°-

detk-^P°-

В этом случае уравнения (2) приводят к /°"尸=0, или к уравнениям Максвелла в случае отсутствия заряженных частиц.

Случай (2):I

Уравнение (4) означает в точности, что /从4从=/с2. Это условие должно быть выполнено только тогда, если мы ищем решение, для которого

廿Л = Ар产 J # 0,

廿 Л = Ар#* = 0.廿 Л = Ар#* = 0.т.е. для которого заряды присутствуют. Таким образом, уравнение ⑷ не обязано выполняться для вакуума или, вообще, для любой области, для которой

廿 Л = Ар#* = 0.

廿 Л = Ар#* = 0.

Что касается формулировки Дирака, то замена уравнения

А^ -к2 = 0

уравнениемуравнениемЛ(4/м —廿)=оЛ(4/м —廿)=о

уравнением

уравнением

Л(4/м —廿)=о

Л(4/м —廿)=о

оставляет все физические выводы его электродинамики неизменными и, по-видимому, устраняет необходимость в «реанимации» понятия эфира.

Л. Инфелъд

Инфельд показал, каким образом полевые уравнения моей новой электродинамики могут быть записаны в таком виде, чтобы введения понятия эфира можно было бы избежать. Однако этого недостаточно для построения законченной динамической теории. Необходимо сформулировать принцип действия и прийти к гамильтоновой формулировке уравнений, пригодных для целей квантования, а для этого требуется ввести скорость эфира.

Разумеется, существование эфира не доказано, поскольку моя новая электродинамика еще не оправдала себя. Возможно, ее следует модифицировать посредством введения спиновых переменных, прежде чем из нее может быть получена удовлетворительная квантовая теория электронов. Лишь после того, как эта программа будет выполнена, можно будет дать определенный ответ на вопрос о существовании эфира.

П.А.М. Дирак

7

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА И АБСОЛЮТНОЕ ВРЕМЯ)

Эфир. Одной из главных вех в развитии физики является открытие Лоренцем преобразования, названного его именем. Важность этого преобразования была установлена Эйнштейном, который выдвинул принцип относительности, требующий чтобы все законы физики были инвариантными относительно преобразований Лоренца. Тем самым преобразование Лоренца пронизывает всю физическую теорию. Его следует учитывать всегда при анализе явлений с высокими скоростями, и потому преобразование Лоренца играет определяющую роль в атомной теории.

Принцип относительности приводит к четырехмерной картине физического мира, где все четыре измерения рассматриваются по существу на едином основании. В идеальном вакууме, т.е. области пространства- времени, не содержащей наблюдаемого вещества или полей, все направления внутри светового конуса должны быть эквивалентны друг другу. Любое из них с равным успехом может служить в качестве оси времени.

До этих открытий Лоренца и Эйнштейна среди физиков было популярным понятие эфира, который считался средой, необходимой для распространения электромагнитных явлений. Эфир описывался с помощью непрерывного распределения материи определенного вида, находящейся повсюду — в том числе заполняющей пространство и в вакууме. Тем самым понятие эфира вошло в противоречие с теорией относительности. Эфир должен обладать определенной скоростью, и потому его движение приводит к наличию предпочтительного (выделенного) направления в пространстве-времени даже в условиях вакуума. Однако эксперименты по обнаружению скорости эфира дали отрицательный результат. Это привело к установлению теории относительности и сопровождалось вынужденным отказом от гипотезы эфира.

Ситуация резко изменилась с появлением квантовой механики, которая должна быть применима к эфиру, как и ко всем прочим формам материи или энергии. Поскольку эфир предположительно очень легок и восприимчив, следует ожидать серьезных ошибок, к которым нас может привести пренебрежение квантовой механикой при описании эфира — ведь чем легче объект, тем важнее для него квантовая механика.

Однако квантовая механика требует, вообще говоря, отсутствия у скорости эфира в любой точке пространства-времени определенного значения —как и все другие динамические переменные, скорость эфира подчиняется соотношениям неопределенности.

Для данного физического состояния скорость эфира будет иметь различные возможные значения, соответствующие вероятностному закону, который определяется квадратом модуля волновой функции, описывающей это состояние. Вакуумное состояние можно описать релятивистским образом, принимая все значения скорости эфира равновероятными, т.е. лоренц-инвариантным образом. В этом случае уже не останется какого- либо расхождения между гипотезой эфира и релятивизмом.

Гипотеза эфира математически означает предположение о наличии поля скоростей во всем пространстве-времени. Можно также предположить, что это поле взаимодействует с другими полями обычного типа лоренц- инвариантным образом; тем самым была бы создана теория, в которой все физические законы были бы лоренц-инвариантными. После квантования подобная теория вполне могла бы описывать физический мир.

Предстоящая теория описанного типа приписывает значительную сложность вакууму. Существующая в настоящее время атомная теория уже прошла определенный путь в направлении сложного вакуума: она требует, чтобы математическое описание вакуума включало в себя заполненное электронами распределение состояний с отрицательными энергиями, а также нулевые флуктуации различных полевых величин. Мы предлагаем здесь теорию, которая продвигается еще на один шаг в направлении усложнения описания вакуума, поскольку, как легко видеть '〉пока еще не удается ввести волновую функцию, которая бы представляла нормированное вакуумное состояние.

Эта математическая черта теории физически означает, что вакуум — это состояние, которое нельзя реализовать практически [1]. Однако возможно сколь угодно приблизиться к такому состоянию способом, соответствующим математическому предельному переходу. По-видимому для подобного представления о вакууме отсутствуют какие-либо возражения с экспериментальной точки зрения.

Абсолютное время. Зайдя столь далеко в противоречие с обычно принятыми требованиями теории относительности и приняв существование эфира, мы можем сделать теперь и следующий шаг. Построим в какой-либо точке пространства-времени элемент трехмерной поверхности, ортогональной (в лоренцевом смысле) направлению скорости эфира. Этот элемент поверхности дает нам локальное определение одновременности. Предположим теперь, что эти элементы поверхности интегрируемы, так что мы можем заполнить пространство-время множеством трехмерных пространственноподобных поверхностей, которые в каждой точке ортогональны скорости эфира. В этом случае все точки одной и той же поверхности будут одновременными в абсолютном смысле.

Может возникнуть мысль о том, что понятие абсолютной одновременности обязательно нарушает теорию относительности, однако квантование вновь спасает ситуацию. Применив квантовую механику, уже нельзя, вообще говоря, утверждать, что одна из точек пространства-времени одновременна с другой — можно лишь говорить об определенной вероятности одновременности между ними. Можно ввести плотность вероятности, инвариантную относительно преобразований Лоренца и описывающую вакуум.

Введя абсолютную одновременность, мы можем небольшими шагами продвинуться еще далее. Предположим, что существует какой-либо естественный способ параметризации поверхностей с абсолютной одновре-

менностью с помощью монотонно возрастающего параметра, например г. В этом случае г является мерой времени. Временная переменная подобного типа необходима в космологии.

Разумеется, приведенные выше рассуждения не доказывают существования скорости эфира, абсолютной одновременности или абсолютного времени. Эти рассуждения лишь указывают на то, что все выше перечисленные понятия могут быть включены в лоренц-инвариантную теорию с помощью квантовой механики, так что нет причин отвергать их на основании требований теории относительности. Воспользовалась ли Природа каким-либо одним из этих понятий (или сразу всеми), можно установить лишь на основе детального исследования.

Любая динамическая теория (прежде, чем мы сможем прокванто- вать ее) должна быть представлена в гамильтоновой форме. Поэтому в настоящее время представляют физический интерес лишь системы уравнений движения, которые можно представить в гамильтоновой форме. В нерелятивистской механике построить системы уравнений движения в гамильтоновой форме чрезвычайно просто. Мы выбираем любые динамические переменные с определенными между ними выражениями для скобок Пуассона (согласующимися с тождеством Якоби), а затем принимаем в качестве гамильтониана любую функцию этих динамических переменных. Тем самым фиксируется математически возможная система уравнений движения в гамильтоновой форме. В выборе конкретного гамильтониана имеется очень большая свобода, которую можно использовать для того, чтобы наша схема давала согласие с экспериментом.

Установить гамильтоновы уравнения в релятивистской теории, не содержащей абсолютного времени, — значительно более сложная задача. В качестве динамических переменных следует выбрать все физические величины на трехмерной пространственноподобной поверхности в пространстве-времени и установить соотношения типа скобок Пуассона между ними. В этом случае нам понадобится много гамильтонианов, каждый из которых соответствует любой возможной малой деформации поверхности, так что они должны удовлетворять специальным условиям самосогласова- ния. Единственный известный в настоящее время метод получения гамильтонианов, удовлетворяющих этим условиям, основан на использовании принципа действия. Плотность действия следует выбирать достаточно простого вида. В противном случае переход к гамильтониану приводит к сложным уравнениям, не поддающимся решению, и весь метод становится непригодным. Таким образом, возможности получения гамильтоновых уравнений движения весьма ограничены.

Простота построения гамильтоновых уравнений движения в нерелятивистской механике связана с существованием единственной переменной времени. Эта простота сохраняется в релятивистской теории с абсолютным временем, например той, что обсуждалась выше. Тем самым идея абсолютного времени становится весьма привлекательной, поскольку она дает значительный рост возможностей построения гамильтонова описания физических событий при высоких скоростях. Существующая в настоящее время атомная теория, работающая в релятивистской области без абсолютного времени, пришла к серьезным трудностям, так что вполне возможно, что отмеченный выше рост возможностей теории поможет выходу из этих трудностей.

Невращающиеся электронные потоки без абсолютного времени. Ниже мы дадим простое приложение идеи абсолютного времени. Прежде всего будет построена теория невращающихся потоков электронов, которая является релятивистской в обычном смысле и не использует при этом понятия абсолютного времени. Затем эта теория будет модифицирована посредством введения абсолютного времени естественным образом и будет показано, что новая теория является физически осмысленной.

Пусть F^ (从，沙=0,1, 2, 3) — тензор электромагнитного поля, который получается из потенциалов А^ обычным образом:

F叩=дАУ/дх^ - дА^/дху.

В качестве интеграла действия примем

Ftl"F^^x+\j K^A^-^d^x.(1)

где Л — переменная, характеризующая другое поле, к — универсальная постоянная. Первое слагаемое здесь является обычным выражением для действия электромагнитного поля. Второе слагаемое приводит к одному из уравнений поля следующего вида:

А^А^ - fc2 = 0.(2)

Это уравнение устраняет неопределенность в выборе электромагнитных потенциалов.

Введем в пространстве-времени трехмерную пространственноподобную поверхность посредством уравнений

力从=g从("))

где у^ — функции от трех параметров “〉обозначающих положение произвольной точки на поверхности. Предположим, что построенная поверхность зависит от переменной г таким образом, что при возрастании г поверхность монотонно движется в будущее, неизменно оставаясь пространственноподобной .Тогда часть действия между поверхностями г и г + dr^ отнесенная к dr^ может быть использована в качестве лагранжиана.

Удобно разложить 4从 на две составляющих, одна из которых 4/ ортогональна поверхности, а другая имеет ковариантные компоненты

Аг = А^ду^1диг (г = 1,2,3),

касательные к поверхности. Далее можно использовать уравнение (2) для исключения 4/ в качестве независимой переменной, после чего отпадает необходимость во втором слагаемом в интеграле действия (1).

Теперь лагранжиан принимает вид

где yi — компонента, ортогональная к поверхности компоненты вектора скорости у^ = dy^/dr^ а величина Г определена так, что Г d3u и есть элемент трехмерной «площади» поверхности. Лагранжиан следует рассматривать как функцию величин ^{и)^ 沙从(“)во всех точках и поверхности

(эти величины являются динамическими переменными), а также производных этих величин по г (соответственно, динамических скоростей).

Перейдем далее к гамильтониану с помощью следующих стандартных правил 2. Введем во всех точках поверхности импульсные переменные Вг(и) и w^(u)^ сопряженные соответственно А^(и) и у^и). Эти величины равны коэффициентам при вариациях скоростей в выражении для SL. Прямое вычисление дает

Вг = F%M(4)

w"=(仪％如4叮)-FUBAjax。- I F^F^V.(5)

Здесь lr — единичный вектор, ортогональный поверхности в любой ее точке, верхний индекс т у какой-либо величины обозначает ее производную по иг. Из полученных уравнений можно исключить скорости. Тогда после некоторых упрощений приходим к тождествам

Фr = wr + BsFrs - В/Аг = 0,(6)

①И + ： FrsFrsV - I 瓦炉厂1 -瓦2/ = о,(7)

где

仅『=w^J, wi = w^Z^,

prs — J^sr _ 4Ts

Величины 4/ следует рассматривать как функции величины Аг, определенные уравнениями (2), так что

4 =(廿 _ 44)1/2.⑻

Величины Фг и Ф/, определенные выражениями (6) и (7), являются гамильтонианами теории. Полный гамильтониан равен тогда

Н =Н =

Н =

Н =

где коэффициенты а являются произвольными функциями и. Уравнения движения имеют теперь стандартную гамильтонову форму. Для любой динамической переменной

d^/dr =咚 Я] = У £ 仪® + агФг] d3u = /{仪£ ®] + %£ Фг]}(13и. (10)

Заметим, что уравнения Ф/ = 0,①『=0 могут быть использованы лишь после того, как вычислены скобки Пуассона. Уравнения движения таковы, что если начать вычисления с начальными условиями, удовлетворяющими этим уравнениям, они будут выполняться и далее при всех временах.

Полагая £ = у^ в уравнении (10), получаем

勿1 = a/Q + %限.

Отсюда видно, что произвол в выборе коэффициентов а приводит к произволу в движении поверхности. Скорость любой точки поверхности имеет

составляющую а/〉ортогональную поверхности, и компоненту а『)касательную к ней. Поэтому для описания произвольного движения поверхности достаточно лишь первого слагаемого в выражении (9) для Н. Второе слагаемое приводит лишь к тому, что произвольное движение поверхности сопровождается произвольным изменением параметризации этой поверх

ности переменными и.

Физическое значение изложенной выше схемы обсуждалось нами в другой работе з. Она описывает уравнения Максвелла для электромагнитного поля, взаимодействующего с непрерывным распределением заряда, образованным потоком электронов, движущихся в соответствии с уравнениями движения Лоренца. Следует положить к = т/е. Скорость потока электронов равна к~^А^.

Поток электронов, даваемый настоящей теорией, не является вполне общим; он имеет простой вид, который можно охарактеризовать как невращающийся '.

Невращающийся поток электронов с абсолютным временем. В релятивистской теории с абсолютным временем (например, типа предложенной в п. 2) движение поверхности не должно быть произвольным, но, напротив, должно быть фиксировано заданными начальными условиями, в том числе заданной начальной поверхностью. Для получения подобной теории мы должны устранить неопределенный коэффициент а/ в Н^ заменив его какой-либо определенной функцией динамических переменных. Произвольные коэффициенты аг должны сохраниться, поскольку мы хотим сохранить возможность произвольного изменения параметризации по

верхности.

Интересным представляется предложение заменить 仪 на Л^1. Тогда полный гамильтониан примет вид

я = / 4厂1(如я = / 4厂1(如(11)(11)+ : FrsFrsV - I BsBsr~^ Su + / %巾『d\

я = / 4厂1(如

я = / 4厂1(如

(11)

(11)

где Фг по-прежнему дается выражением (6).

Подобная замена повлияет на теорию двояким образом. Прежде всего, движение поверхности станет определенным; кроме того начальные условия примут более общий вид. Действительно, до сих пор начальные значения динамических переменных должны были удовлетворять уравнениям (6) и (7), тогда как теперь им достаточно удовлетворять лишь уравнению (6). Таким образом, теперь условие (6) должно выполняться при всех временах, тогда как условие (7) вообще не должно выполняться. Следовательно с новым гамильтонианом (11) появится большее разнообразие движений.

На основе нового гамильтониана, разумеется, допустимо стартовать с начальными значениями динамических переменных, удовлетворяющими обоим соотношениям (6) и ⑺.Указанные соотношения в этом случае выполняются при всех временах, и изменение динамических переменных будет в точности таким же, как и возможное движение с гамильтонианом (9). Следовательно, уравнения поля будут отличаться лишь наличием дополнительных условий, которые фиксируют движение поверхности. В итоге мы вновь получим невращающийся поток электронов, который движется в электромагнитном поле в соответствии с уравнениями Максвелла и Лоренца.

Далее ясно, что гамильтониан (11) не изменится, если мы изменим знак всех 4『и 8『；следовательно, из любого решения уравнений движения можно получить другое решение, изменив знак у 4『и Вг. Применив эту процедуру к решению, удовлетворяющему уравнениям (6) и (7), мы получим решение, удовлетворяющее уравнению (6), а также уравнению wz + | FrsFrsV - I 品加厂1 + Bs$Ai = 0.(7)

Физический смысл этого решения состоит, очевидно, в том, что оно описывает невращающийся поток позитронов, движущихся в электромагнитном поле согласно уравнениям Максвелла и Лоренца.

Общее решение уравнений движения с гамильтонианом (11) представляет собой два невращающихся потока — электронов и позитронов соответственно. Плотности зарядов, обусловленные этими двумя потоками, равны соответственно

(12)(12)BsBsr~^ +

(12)

(12)

и

-|+ : FrsFrsV - I BsBsr~^ + I 瓦-(13)

В теории с абсолютным временем полный гамильтониан

А^^ + J Г"耳sP - I BSBSV-^

представляет собой величину (вообще говоря, отличную от нуля), которая должна быть интегралом движения. Тогда плотность гамильтониана должна быть плотностью сохраняющейся величины; в то же время она в точности равна разности двух величин (12) и (13). Сумма этих величин также должна с необходимостью быть сохраняющейся величиной (поскольку она равна полной плотности заряда). Следовательно, каждая из величин (12) и (13) по отдельности также должна быть сохраняющейся величиной. Таким образом, в предложенной теории отсутствует рождение или уничтожение электронов и позитронов.

Теперь можно видеть значение того, что мы должным образом ввели в нашу физическую теорию абсолютное время. Лоренц-инвариантность законов природы оказалась ненарушенной. Физическое содержание теории возросло, тогда как вид гамильтониана упростился. Благодаря условию (7) в нем исчез член, содержащий 8ss в выражении (9). Все это достигнуто благодаря тому, что удалось придать физический смысл выбранной поверхности, что в любом случае необходимо при использовании гамильтонова метода.

Предложенная здесь теория, разумеется, является лишь простейшим возможным вариантом, и нельзя ожидать получения от нее слишком многого в том виде, какой она имеет в настоящее время. Она может служить отправной точкой, оттолкнувшись от которой можно пробовать строить более глубоко разработанные теории с абсолютным временем (включающие спин электрона), что позволяет надеяться на улучшение существующей теории квантовой электродинамики.

Литература

Dirac Р.А.М. // Nature. 1951. № 168. Р. 906.

Dirac Р.А.М. // Can. J. Math. 1951. V. 3. Р. 1.

Dirac Р.А.М. // Proc. Roy. Soc. А. 1951. V. 209. Р. 291.

Dirac Р.А.М. // Proc. Roy. Soc. A. 1952. V. 212. P. 330.

Дискуссия

Пайс. О тождеств ление постоянной к с m/е, по-видимому, отдает некоторое предпочтение электрону. Каким образом можно согласовать это с существованием других частиц с отличающимися от данного отношениями массы к заряду?

Дирак. Я полагаю, что имеется один вид заряженных элементарных частиц, который более фундаментален, чем все остальные, а именно электрон вместе с сопряженной к нему частицей — позитроном. Таким образом, можно надеяться на возможность построения простой теории электронов и позитронов, взаимодействующих с электромагнитным полем в отсутствие каких-либо других частиц.

Миссис Эренфест. Что является физическим эквивалентом абсолютного времени? Можем ли мы определить его посредством какого-либо эксперимента?

Дирак. По-видимому, абсолютное время не имеет какого-либо прямого физического смысла, который бы давал возможность проявить его с помощью эксперимента. Однако динамически сопряженный ему импульс обладает физическим смыслом: он представляет собой не что иное как полную плотность частиц.

Фоккер. Вам необходимо абсолютное время для построения основы теории. Но подвержено ли это абсолютное время существенной неопределенности?

Дирак. Абсолютное время является строго определенной динамической переменной. После квантования оно, подобно любой другой динамической переменной, становится оператором, входящим в волновое уравнение Шредингера; соответственно оно может быть представлено матрицей. Если рассматривать абсолютное время в связи с выделенным квантовым состоянием, то для него возникнет соотношение неопределенностей.

8

МЕСТО ЭФИРА В ФИЗИКЕ)

Старые представления об эфире

Среди физиков прошлых столетий было широко распространено представление об эфире. Ему противостояло представление о действии на расстоянии. В последнее, однако, мало кто верил, поскольку казалось совершенно неразумным, что нечто может оказывать непосредственное влияние на то, что находится вдалеке. Допуская существование эфира — еще одной формы материи, заполняющей все пространство, — можно было освободиться от этого маловероятного предположения и принять, что каждая частица эфира оказывает влияние только на соседние частицы, те, в свою очередь, влияют на своих соседей и т.д., так что в результате возникает непрерывная передача физического воздействия.

Гипотеза об эфире укрепила свои позиции после установления того, что законы электричества и магнетизма, представленные Максвеллом в весьма общей и точной форме, допускают только такие связи между электрическими и магнитными силами в соседних точках, которые приводят к распространению электромагнитного воздействия. Оказалось, что электрические и магнитные силы можно успешно описать как натяжения эфира.

Однако затем гипотеза эфира столкнулась со все более и более возраставшими трудностями, которые в конечном итоге привели к отказу от этого понятия. Дело в том, что если мы рассматриваем эфир как некую материальную сущность, то он должен обладать определенной скоростью. Физики должны были установить эту скорость, точнее говоря, измерить скорость эфира относительно Земли или скорость Земли относительно эфира. С этой целью было проделано много разных экспериментов, наиболее известным и убедительным из которых был опыт Майкельсона-Мор- ли. Однако результат всех экспериментов был отрицательным. Ни в одном случае скорость эфира не оказывала влияния на физические явления. Казалось, эксперименты свидетельствуют о том, что Земля в своем движении вокруг Солнца увлекает за собой эфир, однако это не согласовывалось с астрономическими наблюдениями.

Чтобы разрешить противоречие, Лоренц и Фитцджеральд предположили, что при движении сквозь эфир тела так изменяют свою форму, что полностью вуалируют физические проявления этого движения, и оно не может проявиться в опытах типа опытов, проведенных Майкельсоном и Морли. Эта гипотеза выглядела довольно искусственной, однако она стала основой дальнейшего развития. Лоренц установил, что законы электродинамики не имеют никакого отношения к проблеме скорости эфира.

Их можно математически сформулировать так, что эта скорость вообще не будет в них входить, а гипотеза Лоренца заключается как раз в требовании, чтобы взаимодействующие за счет электромагнитных сил тела изменяли свою форму указанным способом.

После работы Лоренца Эйнштейн построил свою великую теорию относительности и установил, что все законы физики не зависят от скорости эфира. Поэтому не следует удивляться неудачам экспериментов по измерению этой скорости, а нужно рассматривать этот факт как один из основополагающих законов природы.

Относительность

Согласно теории относительности мы должны изменить сформулированные Ньютоном законы механики, заменив их на целый ряд новых законов релятивистской механики. До тех пор, пока мы имеем дело с медленно движущимися телами, различие мало и несущественно. Однако с ростом скорости тел оно становится все более существенным, и когда эти скорости приближаются к скорости света, новые законы становятся совсем непохожими на старые.

Несмотря на революционные изменения, произведенные теорией относительности в прочно устоявшихся научных представлениях, она за короткий срок стала общепринятой среди физиков. Тому были две важные причины: 1) согласие с экспериментом; 2) красота лежащей в ее основе математической теории, придававшей теории относительности необычайную привлекательность. О второй причине мало говорилось, однако, с моей точки зрения, она важнее первой.

Дело в том, что при всех стремительных изменениях, которым сегодня подвергается физическая теория, лишь один утес стоит незыблемо, выдерживая каждый штурм и позволяя всегда на себя опереться, — утверждение, что основополагающие законы физики должны описываться величественной математической теорией. Под этим подразумевается теория, которая, используя красивейшие дополнительные математические идеи, становится настолько простой, что работа с ней доставляет истинную радость. Когда физик-теоретик создает такую теорию, то сбываются его самые заветные мечты. Если возникает расхождение между предсказаниями теории и результатами эксперимента, то сначала следует предположить наличие ошибки в экспериментальных исследованиях, и только после исчерпывающей перепроверки решиться на гипотезу, что теория требует расширения, т.е. что следует начать поиск теории с еще более широкой математической основой.

Тот, кто хочет хорошо понять математическую красоту, лежащую в основе теории относительности, должен представить себе мир погруженным в четырехмерное пространство, в котором четвертым измерением является время. Красота заключается в том, что между всеми четырьмя измерениями существует большая симметрия. В четырехмерном пространстве-времени существуют отличающиеся особыми свойствами определенные направления, а именно те, по которым распространяются световые лучи. Подобные исходящие из одной точки направления образуют так называемый световой конус. (Пытаясь все это мысленно вообразить, при-

ходится отбросить по крайней мере одно пространственное измерение, и представлять себе мир в трех измерениях.)

Главное утверждение теории относительности можно лучше всего сформулировать следующим образом: все направления внутри светового конуса равноправны. Каждое из этих направлений можно также принять за направление временной оси, причем существует простое преобразование, называемое преобразованием Лоренца, которое связывает одно направление с другим.

Помимо такого привлекательного математического фундамента теория относительности хорошо выдерживает все дополнительные экспериментальные проверки, так что в настоящее время эта теория обоснована очень хорошо.

Если эфир существует, то его скорость, вероятно, меньше скорости света, и поэтому она соответствует определенному направлению внутри светового конуса на пространственно-временной диаграмме. Согласно теории относительности, выбор такого направления не может влиять на физические явления, поэтому скорость эфира не может воздействовать на физические эксперименты и, следовательно, не может наблюдаться. Однако то, что никогда не может наблюдаться, с точки зрения физика и не существует. Тем самым, поскольку скорость эфира следует считать несуществующей, то можно не рассматривать и сам эфир. С помощью таких рассуждений теория относительности устранила эфир.

Покончив с эфиром, мы совершенно не должны поневоле возвращаться к действию на расстоянии. Можно построить теории, в которых физическое воздействие происходит чисто локально, в определенном месте, так что тела оказывают влияние только на свое окружение, и физическое воздействие непрерывно распространяется во все стороны. Единственное отличие заключается в том, что оказывающие влияние на соседние тела силы не предполагают наличия скорости эфира. Все эти силы должны обращаться в нуль при условии, что рассматривается полностью пустое пространство. Скорость эфира будет исключена, потому что она отвечала бы линии на пространственно-временной диаграмме, которая не может исчезнуть.

Физики нашего столетия использовали главным образом такие локальные теории, в которых признается справедливость теории относительности и исключено существование эфира.

Квантовая механика и неопределенность

Другой великий переворот в основополагающих физических представлениях был вызван созданием квантовой теории. Как впервые установил Планк, привычные законы механики оказались непригодными для описания поведения очень маленьких тел, с которыми приходится иметь дело в мире атомов. Начиная с работы Планка, стала выстраиваться новая механика, получившая в 1925 г. точную формулировку в работах Гейзенберга и Шредингера и названная квантовой механикой. Я не хочу здесь вдаваться в подробности, а остановлюсь на одном важном моменте, который пригодиться в последующем изложении, а именно на соотношении неопределенностей Гейзенберга. Согласно этому закону, частица очень малой массы не может одновременно находиться в определенном месте и

обладать определенной скоростью. Чем точнее установлено значение одной из этих величин, тем менее определено значение другой, так что произведение двух неопределенностей всегда не меньше постоянной Планка, деленной на массу частицы. Не существует ограничений на точность, с которой могут быть измерены положение или скорость частицы. Однако сам процесс измерения вносит необходимую неопределенность в другую величину, с тем, чтобы удовлетворить основному соотношению. Неравенство становится тем сильнее, чем легче частица. Для массивных тел неопределенность ничтожна и поэтому мы ее не замечаем в повседневной жизни.

Однако для легких тел в соответствии с требованиями квантовой механики это неравенство становится существенным, причем нет надежды на то, что его сможет устранить улучшение экспериментальных методов или развитие теории. Поэтому квантовая механика допускает лишь статистическую интерпретацию и результатом расчета в ней может быть утверждение не о наступлении определенного события, а только о вероятности его наступления. Для сравнения с экспериментом нам нужны статистические данные такого сорта. Радующей особенностью теории является то, что она позволяет получить лишь такие результаты, которые допускают сравнение с экспериментом.

Несмотря на это хорошее свойство, все же соотношение неопределенностей является некрасивым и довольно искусственным ограничением на использование понятий положения и скорости. Однако за этим кроется хорошая математическая теория, объединяющая понятия частицы и волны и являющаяся ключом к построению квантовой механики. Благодаря своей красоте и совпадению выводов с экспериментом в большом числе испытаний эта теория завоевала всеобщее признание физиков.

Остается еще одна трудность в точном понимании смысла соотношения неопределенностей, а именно, вопрос о том, относится ли это соотношение к самой физической реальности, или к нашему знанию физической реальности. На эту дилемму указывал Эйнштейн. В настоящее время не существует удовлетворительного ответа на этот вопрос, так как создается впечатление, что для описания различных физических явлений с помощью квантовой механики нужно, смотря по обстоятельствам, использовать то один, то другой взгляд. Однако эта трудность причиняет физикам мало беспокойства, так как они не сталкиваются с какими-либо двусмысленностями в расчетах, проведенных с помощью квантовой механики, или в толковании полученных результатов. Все, что физик действительно желает получить от теории, — это определенный ряд правил, позволяющий ему вычислить величины, которые можно сравнить с экспериментом, и с этим квантовая механика во всех случаях справляется.

Пример: атом водорода

Для пояснения глубинного влияния, оказываемого квантовой механикой на описание очень легких тел, я хотел бы обсудить простой пример — атом водорода. Этот атом состоит из одного протона и одного электрона, взаимодействующих друг с другом. Мы можем не учитывать спины протона и электрона, так как они не существенны для последующего обсуждения.

Протон — сравнительно массивная частица, поэтому мы можем, не сталкиваясь с серьезными трудностями, не учитывать для него соотношение неопределенностей. Можно предположить, что протон находится в состоянии покоя в определенной точке. Следовательно электрон совершает движение вокруг этой точки.

Электрон — довольно легкая частица, так что в этом случае мы не можем пренебречь соотношением неопределенностей. Это означает, что мы должны отказаться от представления, что электрон движется по определенной траектории, как планета вокруг Солнца, так как в этом случае он имел бы в каждый момент времени определенные значения положения и скорости. Все, что мы можем, — представить себе электрон как некое облако, окутывающее протон.

Когда мы проводим эксперимент по определению положения электрона, то можно говорить только о вероятности того, что электрон находится в определенном месте в окрестности протона. Эту вероятность можно наглядно представить как плотность электронного облака. Чтобы ее вычислить, нужно обратиться к теории, задав при этом физическое состояние атома водорода. По тем же причинам можно говорить о вероятности того, что электрон имеет определенную скорость, определенное значение компоненты момента импульса или определенное значение любой другой динамической переменной. Все эти вероятности можно наблюдать в соответствующих экспериментах и вычислить с помощью теории.

Может оказаться, что облако имеет сферическую форму с протоном в центре, так что электрон с равной вероятностью может наблюдаться в любом направлении от протона. В этом случае атом водорода находится в сферически-симметричном состоянии, и его можно представить как круглый биллиардный шар. Если не учитывать спинов протона или электрона, то всякое измерение, которое можно произвести над атомом, будет давать сферически-симметричные вероятности.

Как раз таким является наиболее устойчивое состояние атома водорода, называемое иначе нормальным. Можно возбудить атом, разрушив сферическую симметрию, но предоставленный самому себе он скачком перейдет в нормальное сферически-симметричное состояние. Поэтому атом водорода ведет себя как биллиардный шар из материала, легко изменяющего форму, но как только его оставляют в покое, он сразу же возвращается к своему нормальному виду.

Мы приходим к ошеломляющему выводу. С точки зрения обычной механики невозможно представить себе сферически-симметричный атом водорода, образованный одним протоном и одним движущимся вокруг него электроном. Но с точки зрения квантовой механики это вполне возможно. Такая перемена взгляда связана с соотношением неопределенностей и статистическими основаниями теории. Общим отличительным свойством квантовой механики является то, что она допускает симметрии, невозможные с точки зрения обычной механики.

Квантовая механика и теория относительности

Первоначально квантовая механика была построена как нерелятивистская теория, включавшая в свои основные уравнения абсолютное время. Эта теория имела невероятный успех до тех пор, пока она имела дело с

обычными физическими и химическими явлениями. Но как только теорию хотели применить для рассмотрения очень быстро движущихся частиц, скорости которых приближались к скорости света, возникали трудности. Таким образом стало необходимо объединить квантовую механику с релятивистской механикой. Однако выяснилось, что две механики, справедливые каждая в своей области, не допускают естественного объединения, чтобы на пересечении двух областей можно было создать приемлемую механику. Причина этой трудности принципиальна. Основы квантовой механики требуют для своей математической формулировки наличия абсолютной временной переменной, но именно такое абсолютное время полностью отвергается теорией относительности.

Чтобы преодолеть эту трудность, было построено обобщение квантовой механики, так называемая квантовая теория поля, в которой, по существу, рассматривается очень большое число временных переменных, которые можно выбрать так, что они будут удовлетворять требованиям теории относительности .Этот успех дался, однако, ценой потери математической наглядности и вскоре привел к дальнейшим трудностям. Дело в том, что в этой теории частицы возникают как сингулярные точки поля, и из-за этого в процессе вычислений часто возникают бесконечно большие числа. Поэтому вычисления не позволяют получить ни одного разумного ответа.

Только в последние годы в решении этой проблемы достигнуты определенные успехи. Лэмб и за ним Швингер, Фейнман, Дайсон и другие разработали технику вычислений, позволяющую устранить бесконечные числа. Оставшиеся числа, если они не слишком малы, можно сравнить с экспериментом. При этом обнаруживается хорошее согласие, в частности для лэмбова сдвига уровней энергии атома водорода и для дополнительного магнитного момента электронов. Это является блестящим подтверждением как теории, так и эксперимента.

Однако некоторые другие аспекты теории не вызывают такого удовлетворения. Она применима в ограниченной области, и все попытки ее обобщения с тем, чтобы построить полную и точную атомную теорию, оказались безуспешными. Применение к мезонам также не принесло ни единого успеха. Поэтому возникли сомнения в значимости всего здания квантовой теории поля и техники устранения бесконечностей.

Перед созданием квантовой механики Бор предложил для описания движения электронов в атомах теорию, приводившую к очень хорошим результатам в простых случаях, но не годившуюся для сложных. Эта теория стала ценным первым шагом к созданию пришедшей ей на смену квантовой механики.

Я полагаю, что квантовая теория поля в современном виде должна рассматриваться как аналог теории Бора. Хотя она приводит к успешным результатам в ограниченной области, можно предположить, что для достижения заметного успеха должны быть изменены основы этой теории. Она представляет сейчас лишь первый шаг к какой-то будущей теории, идущей ей на смену.

Это предположение находит сильное подтверждение в том замечании, что современная теория сложна и некрасива. Она пока что не обладает простотой и красотой, которыми должна обладать любая хорошая физическая теория. Эти свойства в заметной степени присущи как релятивистской, так и квантовой механике по отдельности, но в современных способах объединения этих теорий красота и простота исчезают.

Новое представление об эфире

В этом месте вернемся к эфиру. Когда возникла теория относительности, мы вынуждены были отбросить понятие эфира, основываясь на рассуждении, вытекающем из соображений симметрии. Однако, поскольку квантовая механика изменяет возможности использования симметрий, вопрос следует рассмотреть заново.

Если существует эфир, то он должен представлять собой очень легкую и хрупкую форму материи, в противном случае он был бы наблюдаем. Так как эфир очень легок, он должен строго подчиняться соотношению неопределенностей. Мы не можем себе представить, чтобы частичка эфира имела определенное место в пространстве и обладала определенной скоростью, как это было у протона в обсуждавшемся выше атоме водорода, а должны представлять ее в виде облака, как электрон. Скорость эфира не имеет какого-то определенного значения, а будет, согласно соотношению неопределенностей, иметь с разной вероятностью то или иное значение из многих допустимых. Предыдущие возражения против эфира, заключавшиеся в том, что определенная скорость эфира несовместима с теорией относительности и не согласуется с наблюдениями, теперь теряют свою силу.

В настоящее время наши знания об эфире недостаточны для того, чтобы мы смогли выразить соответствующие соотношения неопределенностей в точной математической форме, что необходимо, если мы хотим связать закон распределения вероятностей для скорости эфира с таким же законом для других физических величин. Всякое обсуждение вынуждено поэтому ограничиваться общими местами. Тем не менее, можно уверенно утверждать, что скорость эфира всегда меньше (или, возможно, в предельном случае равна) скорости света, так как теория относительности не допускает того, чтобы любая форма материи распространялась быстрее, чем свет.

Мы хотим представить, что эфир находится в таком состоянии, в котором для каждой его частички возможны значения скорости, не превышающие скорость света. Иными словами, отвечающее скорости эфира направление на пространственно-временной диаграмме должно с равной для любой скорости вероятностью находиться где-то внутри светового конуса. Такое состояние эфира никак не выделяет какое-то направление в пространстве-времени внутри светового конуса. Оно обладает симметрией, похожей на невозможную без квантовой механики сферическую симметрию атома водорода.

Подобное состояние эфира, когда при этом вдобавок отсутствует обычная материя, полностью удовлетворяет условиям, которые физики приписывают полному вакууму. Таким образом, понятие эфира может быть полностью согласовано с теорией относительности.

Следует обсудить еще один вопрос. Когда мы говорим, что в обычном пространстве все направления равновероятны, то совершенно ясно, что под этим имеется в виду. Однако в четырехмерном пространстве-времени теории относительности это ясно лишь в том случае, когда установлен определенный масштаб для расширения области соседних направлений по отношению к заданному направлению, соответствующий реальному углу в обычном пространстве. Лежащая в основе теории относительности ма-

тематика позволяет определить такой масштаб. Однако это приводит к столь большому расширению области соседних направлений вблизи светового конуса, что общее расширение всех непересекающихся областей направлений внутри светового конуса оказывается бесконечным. Но если все направления внутри светового конуса равновероятны, отсюда следует, что вероятность того, что данное направление находится в определенной области, чрезвычайно мала. Таким образом, не существует такого распределения вероятностей, согласно которому некоторое направление с равной вероятностью находится где-то внутри светового конуса. Тем не менее, мы можем приблизится к такому распределению, причем постепенно приблизиться неограниченно близко. Согласно нашей теории эфира, состояние полного вакуума не может существовать, однако можно приблизиться к этому состоянию сколь угодно близко [1].

Недостижимость полного вакуума — это все, что остается от старого конфликта между эфиром и теорией относительности. Это не встречает возражений со стороны экспериментальных данных. Однако это требует значительных изменений в математических методах, используемых физиками, работающими в области квантовой теории поля, так как они всегда рассматривают в качестве исходного вакуумное состояние, и лишь затем изучают отклонение от него.

Абсолютное время

Раз уж мы зашли так далеко и вместо соблюдения общих требований теории относительности допустили существование эфира, то можно сделать еще один шаг вперед. Прежде чем применить к эфиру процедуру квантования, мы можем использовать скорость эфира для того, чтобы дать определение одновременности. Два близких друг к другу события в пространстве-времени будут определены как одновременные в абсолютном смысле, если они одновременны с точки зрения наблюдателя, скорость которого совпадает со скоростью эфира в окрестной области.

Такое определение одновременности может оказаться расширительным и позволит придать определенный смысл одновременности событий, не находящихся близко друг от друга. Это произойдет в том случае, когда скорости эфира в разных точках будут удовлетворять определенным условиям. Мы сможем тогда ввести абсолютное время, которое будет принимать то же значение для двух произвольных точек, что и определенное указанным выше способом.

Понятия абсолютной одновременности и абсолютного времени, так же как и представление об эфире, запрещены теорией относительности, но опять квантовая механика спасает ситуацию. При использовании квантовой механики соотношение неопределенностей уберегает нас от необходимости рассматривать какое-то определенное событие в пространстве- времени как одновременное с другим, а позволяет рассматривать только вероятность одновременности двух событий. Мы сможем снова так определить распределение вероятностей, что полный вакуум станет состоянием, для которого все направления внутри светового конуса рассматриваются на равных основаниях, и снова найдем, что совершенный вакуум недостижим, но к нему можно подойти сколь угодно близко.

При обсуждении заданного физического состояния соотношение неопределенностей устраняет всякое представление об абсолютном времени. Однако абсолютное время остается точной математической переменной, которую можно использовать при формулировке уравнений движения. Это приносит огромную пользу, так как возвращает релятивистской квантовой механике заложенную в ней простоту — приятную черту, которой обладает нерелятивистская квантовая механика, и мы можем избежать больших сложностей квантовой теории поля. Все это делает представление об абсолютном времени весьма привлекательным.

Заключительные замечания

Я хотел бы подчеркнуть, что представленное рассмотрение не доказывает существования ни эфира, ни абсолютного времени. Оно лишь показывает, что эти понятия не являются несовместимыми с релятивистской теорией, если заключить их в оправу квантовой механики, и нет безусловных причин для отказа от такого рассмотрения. Совершенно другой вопрос, использовала Природа на самом деле эту возможность или нет.

Я не верю, что на этот вопрос можно ответить с помощью общих философских рассуждений. Его можно решить только с помощью кропотливых математических исследований и затем сравнить, в каком случае — с эфиром или без него — описание Природы получается лучше.

Прошло немало лет с тех пор, как была создана исключавшая эфир физическая теория. Эта теория имела большой успех. Нужно разработать столь же понятную теорию существования эфира и добиться еще большего успеха, для того чтобы существование эфира стало общепринятым. Эфир целиком зависит от такого научного исследования.

Хотя я в своем выступлении много говорил об эфире, я совершенно не имел в виду, что безоговорочно расположен к нему. Я охотно откажусь от любого представления об эфире, если будет создана удовлетворительная теория, доказывающая его отсутствие. Но поскольку физики всего мира в течение многих лет интенсивных исследований не могут создать такую теорию, я вынужден прийти к выводу, что не содержащая эфира основа физической теории достигла предела своих возможностей, и, может быть, в признании эфира видна новая надежда на будущее [2].

9

СИММЕТРИЯ В АТОМНОМ МИРЕ)

Атомный мир управляется законами механики, отличной от механики Ньютона, которой подчиняется мир в больших масштабах. Она называется квантовой механикой.

В квантовой механике, как правило, невозможно представить частицу, помещенную в определенную точку. Ее следует представлять размазанной по некоторой области пространства, чем-то напоминающей облако. Это облако часто обладает волноподобной структурой с несколькими горбами и впадинами, так что математики описывают его с помощью волновой функции.

Вы можете спросить — насколько велико это облако? Это зависит от обстоятельств — что именно нам известно о данной частице. Согласно принципу неопределенности Гейзенберга, чем точнее мы знаем импульс частицы, тем менее точно нам известно ее положение. Тем самым, облако, с помощью которого мы могли бы ее представить, оказывается больше, и наоборот. Если импульс частицы известен особенно точно, то соответствующее облако чрезвычайно велико. Наоборот, если это облако мало, то импульс частицы должен быть весьма неопределенным.

Когда частица попадает на экран и поглощается им, соответствующее облако следует представлять падающим на экран и порождающим вероятность появления частицы в различных точках экрана, причем эта вероятность пропорциональна плотности облака (или квадрату амплитуды волновой функции). Иными словами, плотность облака имеет физический смысл плотности вероятности.

В качестве простейшей иллюстрации возьмем пластинку с двумя отверстиями в ней и выстрелим по ней частицей. Отдельные доли связанного с ней облака проходят при этом через каждое из отверстий. Поэтому после того, как частица проникает сквозь пластинку, ее следует представлять в виде облака, состоящего из двух отдельных частей. Эти части распространяются далее и накладываются друг на друга. Учитывая их волноподобную структуру, они интерферируют, гася друг друга в одних местах и усиливая в других. Если их спроецировать на экран, появляется типичная интерференционная картина.

Интерференционную картину можно наблюдать на опыте (например, если в качестве частицы выбрать фотон). При этом оказывается, что для ее описания необходимо пользоваться волновой функцией. Окончательный результат можно понять только в том случае, если допустить, что частица частично проходит через каждое из отверстий.

Традиционно считалось, что некий предмет не может быть одновременно в двух разных местах. Квантовая теория учит нас тому, что это

утверждение справедливо не всегда. Предмет может быть одновременно в двух местах, если он достаточно легкий, а сами места расположены близко ДРУГ от друга.

Теперь мы можем убедиться в том, что появляются новые возможности для проявления симметрии. Например, можно выбрать два отверстия одинакового размера и расположить аппаратуру симметрично относительно них. Тогда частица будет проникать сквозь оба отверстия симметрично.

Предыдущее изложение основано только на общих принципах механики и потому применимо к частицам любого сорта. Просто для массивных частиц длина волны соответствующих волн чрезвычайно мала, так что интерференционную картину было бы нелегко обнаружить.

В качестве другого примера рассмотрим атом водорода. Согласно модели Резерфорда-Бора он состоит из протона в центре, вокруг которого движется электрон. Будем пренебрегать спинами электрона и протона.

Представим электрон как облако вокруг протона и допустим, что имеется состояние атома водорода, в котором это облако распределено сфери- чески-симметричным образом. В этом состоянии атом водорода сфериче- ски-симметричен. Он выглядит столь же круглым, как биллиардный шар, что следует из результатов всех выполненных над ним экспериментов.

Здесь мы имеем яркий пример симметрии, проявляющейся в квантовой механике, но абсолютно невозможной в классической механике. То, что такая симметрия возможна, действительно удивительно. Если бы подобные симметричные состояния атома водорода были бы открыты до того, как была выдвинута модель Резерфорда-Бора, это совершенно сбило бы физиков с пути истинного и серьезно затруднило бы развитие атомной теории.

В сферически-симметричном состоянии электрон не обладает моментом импульса относительно протона. Общий закон квантовой механики гласит: любой объект в состоянии с нулевым моментом импульса обладает сферической симметрией.

Казалось бы, этот результат находится в явном противоречии со здравым смыслом. Рассмотрим текст статьи, лежащий на столе напротив нас. Он находится в состоянии покоя и потому имеет нулевой момент импульса. Однако при этом он находится очень далеко от того, что можно было бы назвать сферически-симметричным состоянием.

Разрешение данного парадокса состоит в том, что данный объект обладает нулевым моментом импульса лишь с той точностью, с которой мы в состоянии применить изложенный выше закон. Текст статьи находится в состоянии теплового равновесия с окружением. Он непрерывно подвергается ударам молекул воздуха и стола, на котором он лежит. Любая из этих молекул, сталкиваясь с этим текстом, передает ему долю момента импульса, достаточно большую с квантовой точки зрения.

Чтобы убедиться в справедливости сформулированного выше закона, необходимо охладить данный предмет до температуры, гораздо ниже тех значений температуры, что уже были достигнуты. Если бы текст статьи удалось удерживать при столь низкой температуре, то он оказывался бы в сферически-симметричном состоянии.

Разумеется, мы не смогли бы увидеть такой предмет в сферически- симметричном состоянии. Чтобы это можно было сделать, следовало бы направить на него луч яркого света. В итоге даже единственный фотон из пучка света, столкнувшись с текстом статьи, мог бы серьезно возмутить его состояние с нулевым моментом импульса.

По этой причине закон, согласно которому отсутствие момента импульса соответствует состоянию сферической симметрии, не очень полезен с практической точки зрения, если его применять к большим объектам. Однако он важен, когда он применяется к элементарным частицам или атомным системам.

Далее мне хотелось бы упомянуть о некоторых явлениях, связанных с симметрией, возникающей в системе, содержащей две частицы одного и того же сорта, например два электрона.

Рассмотрим атом гелия, состоящий из центрального ядра и двух электронов, движущихся вокруг него. Атом гелия может находиться в состоянии, в котором его волновая функция симметрична относительно перестановки двух электронов. В этом состоянии направления спинов электронов должны быть противоположны друг другу. В то же время атом гелия может быть и в таком состоянии, в котором его волновая функция антисимметрична относительно перестановки двух электронов, т.е. она меняет знак, если положения двух электронов в пространстве взаимно меняются. В этом случае направления спинов обоих электронов должны совпадать. Иными словами, существуют два типа состояний атома гелия. Атом гелия переходит из состояния одного типа в состояние другого типа отнюдь не легко. Поэтому ситуация такова, что на практике фактически приходится иметь дело с двумя сортами атомов гелия.

Эта ситуация наблюдалась на опыте задолго до того, как ей было дано объяснение в рамках представлений о симметрии волновой функции. Было установлено, что гелий обладает двумя различными и совершенно независимыми спектрами так, как будто они присущи двум совершенно различным сортам атомов. Они были названы атомами парагелия и ортогелия соответственно [1].

Заслугой Гейзенберга является то, что он сумел применить те же самые аргументы к системе из двух протонов, входящих в молекулу водорода. В результате Гейзенберг предсказал, что в природе должны встречаться два сорта молекул водорода. В одном из таких сортов, в параводороде, молекула описывается волновой функцией, симметричной относительно перестановки протонов, у которых спины имеют противоположные направления. В другом сорте, в ортоводороде, молекула описывается волновой функцией, антисимметричной относительно перестановки протонов, обладающих параллельно направленными спинами. По предсказанию Гейзенберга обычный газообразный водород представляет собой смесь газов из молекул обоих сортов в отношении три части ортоводорода к одной части параводорода.

Газообразный водород — это вещество, известное физикам и химикам на протяжении столетий, причем они всегда считали его однородным. Поэтому было очень удивительно, когда Гейзенберг предсказал, что это вещество представляет собой смесь двух сортов газа. Вопрос состоял в том, нельзя ли каким-либо образом проверить это предсказание экспериментально.

Если охладить газообразный водород до температуры, близкой к его температуре сжижения, и удерживать его при этой температуре достаточно долгое время, то следовало ожидать, что все молекулы постепенно перейдут в состояние с наинизшей энергией, которым является состояние параводорода. Если затем нагреть этот газ до комнатной температуры, то

удалось бы получить чистый параводород, который должен был бы мало отличаться от обычного водорода.

Подобный эксперимент был выполнен и результат его оказался успешным. Было установлено, что процесс перехода в наинизшее состояние па- раводородного типа можно весьма ускорить, если использовать для этого некоторые катализаторы. В результате весь эксперимент не потребовал слишком большого времени. Этим способом удалось приготовить чистый параводород и установить, что он обладает свойствами, все же несколько отличными от свойств привычного газообразного водорода, например, имеет другую удельную теплоемкость. Чистый параводород — это довольно стабильный газ, который только спустя несколько дней постепенно вновь превращается в обычную смесь газов из молекул орто- и параводорода. Предсказание Гейзенбергом наличия в природе двух различных сортов газообразного водорода явилось впечатляющим успехом новой квантовой механики.

Я хотел бы еще обсудить некоторые проблемы симметрии, возникающие в тех случаях, когда приходится иметь дело с несколькими частицами одного и того же сорта, так что возможно применение к ним статистических методов. Для упрощения ситуации я ограничусь примерами, когда имеются только две частицы и только два состояния, в которых они могут находиться.

В этом случае возможны три конфигурации:

обе частицы в первом из двух состояний;

по одной частице в каждом состоянии;

обе частицы во втором из двух состояний.

Согласно обычным идеям статистики, точнее классической статистики, конфигурация 2 должна встречаться вдвое чаще, чем конфигурация 1 или 3, поскольку ее можно реализовать двумя способами, помещая любую из двух частиц в первое состояние.

Существует другой тип статистики, впервые предложенный Бозе. В нем все три конфигурации рассматриваются как равноправные, так что каждая из них может осуществляться с равным успехом. Установлено, что она применима к частицам определенного сорта, например к фотонам. Частицы, подчиняющиеся статистике Бозе, принято называть бозонами.

Существует еще один тип статистики, впервые предложенный Ферми. В этом случае предполагается, что две частицы никогда не могут оказаться в одном и том же состоянии, так что конфигурации 1 и 3 исключаются. Было также установлено, что эта статистика применима к частицам определенного сорта, например, к электронам. Частицы, подчиняющиеся статистике Ферми, называются фермионами. Все известные в физике микрочастицы подчиняются либо статистике Бозе, либо статистике Ферми. В атомном мире классическая статистика никогда не реализуется.

В случае системы фермионов обнаруживается новый тип симметрии. Каждое состояние может быть либо в точности заполнено одной частицей, либо быть пустым, так что существует симметрия между понятиями «заполненный» и «пустой». Единичное пустое состояние среди множества занятых состояний, образующее то, что называется дыркой, аналогично единичному занятому состоянию среди множества пустых состояний. Иными словами, если мы имеем дело с фермионами, дырка подобна частице.

Эта идея составляет основу теории позитрона. Электрон в некоторых состояниях обладает положительной, а в некоторых состояниях — отрицательной энергией. Предположим, что почти все состояния с отрицательной энергией заняты и среди них существуют всего несколько незанятых состояний —дырок. Эти дырки можно трактовать как частицы, и поскольку каждая из них соответствует отсутствию отрицательной энергии, они должны обладать положительной энергией. Эти дырки можно интерпретировать как позитроны.

В заключение я хотел бы показать, как новые идеи симметрии, возникающие в квантовой механике, приводят нас к необходимости пересмотра наших представлений об эфире. Идея эфира была отброшена физиками в начале текущего столетия, поскольку возобладала уверенность в ее несовместимости с принципом относительности. Аргументация при этом была таковой.

Если существует эфир, то он должен обладать некоторой скоростью. Наблюдатель, движущийся с той же скоростью, что и эфир, является предпочтительным наблюдателем. Для него законы природы выглядят проще, чем те же законы выглядят для других наблюдателей, движущихся с различными скоростями. Теория относительности требует, чтобы предпочтительных наблюдателей, а значит и эфира, не существовало. Все эксперименты по измерению скорости эфира не дали положительных результатов.

С появлением квантовой механики ситуация изменилась. Скорость эфира становится неопределенной в той же мере, что и положение электрона в атоме водорода. Точно так же, как присутствие электрона не должно нарушать сферическую симметрию атома водорода, наличие у эфира скорости не должно нарушать симметрию относительно выбора наблюдателей, требуемую теорией относительности. Тем самым, существование эфира не является более исходно несовместимым с принципом относительности.

Конечно, еще нет оснований утверждать, что эфир существует, а можно подозревать только то, что он может существовать. Физики успешно обходились без эфира последние пятьдесят лет. В настоящий момент физики-теоретики встретились с рядом серьезных трудностей и вполне возможно, что предположение о существовании эфира поможет их преодолеть.

10

УСЛОВИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ РЕЛЯТИВИСТСКУЮ ФОРМУ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ)

Основная проблема

Квантовую теорию поля можно построить на базе классического принципа действия. Если записать действие в лоренц-инвариантной форме, то классическая теория должна стать релятивистской. При этом, следуя стандартной процедуре, можно привести классические уравнения движения к гамильтоновой форме. Эти уравнения имеют дело с понятием состояния в некоторый фиксированный момент времени, которое является нерелятивистским. Поэтому они уже не выглядят очевидно релятивистскими. Тем не менее, ясно, что они по сути своей должны быть релятивистскими, поскольку они получены на базе лоренц-инвариантных допущений.

При переходе к квантовой теории делаются дополнительные допущения, например, предполагается определенный порядок некоммутирующих сомножителей в произведениях. В итоге требования лоренц-инвариантности оригинального действия уже недостаточно для того, чтобы сделать теорию релятивистской. Необходимо провести специальное исследование, чтобы выяснить, что требуется для обеспечения релятивистского характера квантовой теории поля.

В основу квантовой механики положен принцип суперпозиции состояний. Мы должны рассматривать состояния как вложенные в пространство-время. Если пространство-время плоское, то оно удовлетворяет группе операций из трансляций и вращений, т.е. неоднородной группе Лоренца (НЕГЛ). Применение этих операций к одним состояниям дает другие состояния, так что эти состояния образуют представление НЕГЛ, а законы квантовой механики требуют, чтобы это представление было унитарным. Таким образом, каждая динамическая система в квантовой теории соответствует унитарному представлению НЕГЛ.

Альтернативный подход состоит в том, чтобы каждое состояние соотнести с некой системой координат (прямоугольной и ортогональной) и описывать его волновой функцией, связанной с этой системой координат. Если мы изменим систему координат с помощью трансляции или вращения, то получим другую волновую функцию. Полученные таким образом различные волновые функции для одного конкретного состояния также образуют унитарное представление НЕГЛ; по сути это то же представление, что и полученное ранее. Этот второй подход и будет использован для построения излагаемой здесь теории.

Если бы кто-то установил все унитарные представления НЕГЛ, то тем самым он бы получил, согласно принятым законам квантовой механики, теорию всех динамических систем.

Проблему получения всех унитарных представлений НЕГЛ рассматривал Вигнер х), исходя из математической предпосылки, что любые два представления эквивалентны, если они связаны унитарным преобразованием. Он разложил представления на неприводимые части и нашел, что эти неприводимые части дают теории элементарных частиц с различными спинами. При этом какое-либо взаимодействие между частицами не учитывалось.

Чтобы учесть взаимодействие, необходимо отказаться от точки зрения, согласно которой два представления, связанные унитарным преобразованием, являются эквивалентными. С этой точки зрения все унитарные преобразования являются тривиальными. Для физика некоторые унитарные преобразования действительно являются тривиальными, в то время как некоторые другие (например, S-матрица) далеко не тривиальны. Поэтому физик не может считать два состояния, связанные унитарным преобразованием, обязательно эквивалентными. С этой точки зрения проблема нахождения всех унитарных преобразований НЕГЛ остается широко открытой. Здесь мы ограничимся рассмотрением таких представлений, которые могут служить квантовыми теориями поля [1].

Процесс интегрирования

Мощным средством при выводе представлений группы является использование инфинитезимальных операторов. Для НЕГЛ существует десять независимых инфинитезимальных операторов: операторы трансляций 口 и вращений М^ = —М叩(〃,沙=0,1, 2, 3). Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

Р/ = 3 [“〉Мрсг] = д^рРо - д^оРр)

\^[1ич ^-ра\ = —дьрМ^о + д ьоМ“ + Qi/pM^a — д^оМ即.

После того как мы узнаем действие каждого из инфинитезимальных операторов на волновую функцию, нам придется осуществить интегрирование для определения влияния конечных трансляций или вращений. Если представление соответствует динамической теории, то подобный процесс интегрирования должен играть роль интегрирования динамических уравнений движения.

В обычной динамике мы начинаем с начального состояния в некий момент времени, связанный с неким наблюдателем, а интегрирование уравнений движения приводит к состоянию в другой момент времени, связанный с тем же или другим наблюдателем. Чтобы связать эту форму динамики с теорией представлений, мы выразим динамику исключительно в терминах состояния в момент 力о = 0 и рассмотрим, как изменяется состояние в 力о = =0 при изменении системы координат. В результате изменения, сдвигающего гиперплоскость 力о = 0 в пространстве-времени, мы получим новое состояние, а интегрирование динамических уравнений движения устано-

Wigner Е. // Ann. Math. 1939. V. 40. Р. 149.

вит связь между этим новым состоянием и начальным. Подобное интегрирование соответствует интегрированию относительно инфинитезимальных операторов группы Д)и MrQ. Изменения системы координат, не сдвигающие гиперплоскость 力° = 0, не приводят к новому состоянию, а лишь переписывают начальное состояние в других координатах 力i,力2〉力3〉4To является тривиальным изменением. Оно соответствуют интегрированию относительно инфинитезимальных операторов группы, содержащих только 吕 и Mrs (г, s = 1, 2, 3).

Таким образом, мы видим, что представление НЕГЛ должно обладать определенным свойством, а именно, интегрирование относительно операторов Рг и Mrs должно быть тривиальным. Тривиальные операторы образуют подгруппу. Разумеется, выделение такой подгруппы нарушает четырехмерную симметрию. Оно возникает не в результате какого-либо нарушения симметрии фундаментальных законов природы, а лишь вследствие выбранного нами способа их рассмотрения.

Можно было бы попытаться построить некую форму динамики, соответствующей такому представлению, для которого некоторые другие подгруппы операторов оказались бы тривиальными. Различные варианты такой альтернативы были рассмотрены автором х). Они не были достаточно развиты и не будут здесь рассматриваться.

Локальные переменные

Нам предстоит выяснить, как найти такое представление НЕГЛ, для которого интегрирование относительно Рг и Mrs будет тривиальным. Мы можем сделать это, пользуясь языком полевых величин, локализованных в трехмерном пространстве 力о = 0. При этом сразу становится ясно, как будет изменяться каждая из них при изменении системы координат 力 力2)力3・

Законы, описывающие действие инфинитезимальных операторов Рг и Mrs на полевую величину V, имеют вид

[匕4]=匕一⑵

[К Mrs\ = xrV^s -xsV^r + x『s〉(^3)

где 匕『означает dV/dxr или —dV/dxr. Дополнительный член x『s в (3) описывает влияние на V вращения осей. Он зависит от тензорного или спинорного характера V и легко может быть найден в каждом конкретном случае. Так, если V скаляр, то x『s равен нулю. Если V является компонентой At вектора (土 = 1, 2, 3), то

X『s = —^rt^s + ^st^r •(4)

Чтобы убедиться в этом, продифференцируем (3) по у, считая в нем V скаляром, a x『s нулем, и подставим 匕力=At，Если V является компонентой четырехкомпонентного спинора 九 описывающего электрон со спиновой матрицей %, то

X『s = ~ (а『а$ — %%)吵.(5)

Dirac P.A.M. // Rev. Mod. Phys. 1949. V. 21. P. 392.

Эти законы позволяют выразить инфинитезимальные операторы Рг и Mrs через полевые величины, что будет продемонстрировано ниже.

Обычно предполагается, что полевые величины удовлетворяют локальным коммутационным соотношениям, так что коммутатор (или антикоммутатор) любых двух из них, относящихся, соответственно, к точкам 力 и 力' трехмерного пространства, обращается в нуль, если только 力 и 力'не находятся очень близко друг от друга, чему соответствует функция 8(力一力') и ее производные. Этим условиям удовлетворяют операторы Рг и Mrs в форме

Рг = Кг с/3ж,

Mrs = /gKs — xsKr) Sx^(6)

где Kr — локальная полевая величина, имеющая физический смысл плотности импульса. В любом конкретном случае ее нетрудно представить в явном виде.

Если полевые величины выражены через канонические пары £〉〃〉удовлетворяющие соотношению

£〃[ = 6(х - ж),

то

К『=〉]騎疗 +°『s〉s〉(7)

где суммирование производится по всем каноническим парам, a 6rs учитывает вклады всех нескалярных канонических полевых величин. Видно, что из (7) следует формула (2) при V, равном любой из величин £ или 〃. Отсюда также следует формула (3) при условии

[К ^r5 - ^sr] = —X『sb(% — ")•(8)

Из этой формулы можно вывести вклад в drs для любой нескалярной полевой величины. Так, для канонических векторов Аг^ В5, удовлетворяющих соотношению

Bfs] = SrsS(x — “)，

вклад равен

&s (вектор) = —ArBs^(9)

а для четырехкомпонентного спинорного поля, удовлетворяющего соотношению

^а^ь + ^а^ь =(力一力')(ab = 1,2, 3,4),

он равен

drs (спинор) = —ih I ^{aras — asar)^.(10)

Видно, что плотность импульса зависит только от геометрической природы полевых величин, фигурирующих в теории. Это просто сумма вкладов, порождаемых различными базисными полевыми величинами, без членов с взаимодействием. Какое бы то ни было физическое взаимодействие между полями никак здесь не проявляется.

Сама плотность импульса также должна удовлетворять уравнениям (2), (3) и (4), так что

[к力〉Рг\ = к力严〉[к力〉^^rs] = gK力〉s —HsKt)T —s^tKs + 6stKr. (ii)

5 П. Дирак. T. Ill

Эти уравнения совместно с (6) сразу приводят к коммутационным соотношениям (1), в которых индексы 从,沙 ограничены значениями 1, 2, 3.

Плотность энергии

Для завершения построения представления мы должны получить оставшиеся инфинитезимальные операторы Д) и М^з удовлетворяющие (1). Это можно сделать путем введения соответствующей полевой величины U)полагая

Д)= У U/力，妬。=/ xrUSx.(12)

По своему физическому смыслу U является плотностью энергии и должна быть выбрана таким образом, чтобы Д)и MrQ удовлетворяли точным коммутационным соотношениям.

Разумеется, U должна быть трехмерным скаляром. Следовательно она удовлетворяет соотношениям

[а Рг\ = а『〉[и〉a/"『s] = н^и)s —xsu^r.

Отсюда следует

[-Fb, Рг] =。〉[-^tO, Рг] = ^rtPQ^

[Д), Mrs] = 0,[珊 о〉Mrs] = —SrtMSQ + bs 力腸0・

Таким образом, новые инфинитезимальные операторы Д)и М^д удовлетворяют правильным коммутационным соотношениям с введенными ранее операторами Рг и Mrs.

Теперь остается только обеспечить, чтобы они удовлетворяли правильным коммутационным соотношениям между собой. Отсюда вытекают дополнительные условия второго порядка по U

〃 xr[U, U[ = I Кг 产力， (13)

〃 xrxfs[U, Uf] ^х^^ = - У(xrKs - xsKr) Sx.(14)

Коммутатор [U, Uf] содержит функцию 8(力一力')и ее производные, например

[U, U[ = aS(х —力')+ brS^r (力—“)+ crsS^rs (力—“)+ drstS^rst (力一力')+ … (15) Коэффициенты a, br)嘉$〉厶$力... можно считать функциями лишь полевой координаты 力)поскольку в случае появления в них полевых величин с координатой xf их можно исключить с помощью соответствующих преобразований. То обстоятельство, что [U〉Uf] антисимметричен по х и ж\ налагает некоторые ограничения на коэффициенты. Меняя местами 力 и 力' в (15), получаем

[U , U] = ab — Ь/-\~crs6^rs —drs^-6^rs^ + ...=

ab — (b『b)〉『Ч-(^crs6^rs —(drstb))rst + ... = (a — br +c『ab — (b『b)〉『Ч-(^crs6^rs —(drstb))rst + ... = (a — br +c『s〉『ss〉『s—dr st)T st •••)8 +—dr st)T st •••)8 ++ (—br + 2c『s〉s+ (—br + 2c『s〉s—3d『s力）s力.—3d『s力）s力...)8疗 +(c『s — 3d『s力巾...)b〉『s + •…(16)..)8疗 +(c『s — 3d『s力巾...)b〉『s + •…(16)

ab — (b『b)〉『Ч-(^crs6^rs —(drstb))rst + ... = (a — br +c『

ab — (b『b)〉『Ч-(^crs6^rs —(drstb))rst + ... = (a — br +c『

s〉『s

s〉『s

—dr st)T st •••)8 +

—dr st)T st •••)8 +

+ (—br + 2c『s〉s

+ (—br + 2c『s〉s

—3d『s力）s力.

—3d『s力）s力.

..)8疗 +(c『s — 3d『s力巾...)b〉『s + •…(16)

..)8疗 +(c『s — 3d『s力巾...)b〉『s + •…(16)

Полагая сумму выражений (15) и (16) равной нулю, находим

2a — br ,r -\~crs ,r5 —九st〉тst.. • = 0〉

2c『s〉s —3d『s力〉s力..• = °〉

2cps — dr st)t.. • = 0〉

и т.д. Уравнение (18) является следствием (19).

(17)(18)(19)(17)(18)(19)гдегде2a『=Ьг — c『s〉s +d『s力〉s力• • •2a『=Ьг — c『s〉s +d『s力〉s力• • •(20)(20)Уравнение (17) свидетельствует о том, что

(17)

(18)

(19)

(17)

(18)

(19)

где

где

2a『=Ьг — c『s〉s +d『s力〉s力• • •

2a『=Ьг — c『s〉s +d『s力〉s力• • •

(20)

(20)

Уравнение (18) свидетельствует о том, что %,$ может быть выражен через вторые производные. Тогда из уравнения (20) следует, что разность 2а『— —Ьг также выражается через вторые производные. Отсюда вытекает

Итак, имеемИтак, имеем/ xs(2ar —丛)d3x = 0./ xs(2ar —丛)d3x = 0.(21)(21))-а - а力，力)-а - а力，力

Итак, имеем

Итак, имеем

/ xs(2ar —丛)d3x = 0.

/ xs(2ar —丛)d3x = 0.

(21)

(21)

)-а - а力，力

)-а - а力，力

ии力=/ xrat^t Sx = I力=/ xrat^t Sx = I力力(22)(22)

и

и

力=/ xrat^t Sx = I

力=/ xrat^t Sx = I

力

力

(22)

(22)

/ 力s[3 U ] d^х = xsol^^ —bs.

Подставляя эти выражения в (13) и (14), получаем из (20)

(23)(23)(24)(24)Общее решениеОбщее решение卅=2К"т + Brs)s卅=2К"т + Brs)s(25)(25)

(23)

(23)

(24)

(24)

Общее решение

Общее решение

卅=2К"т + Brs)s

卅=2К"т + Brs)s

(25)

(25)

и

/(xsKr — xrKs) Sx = / g(力$а力力一％) Sx = /{xras — xsar — xrbs) d?力.

С помощью условия (21) это приводит к

/{xsKr — X『Ks) Sx = ； /(力s^r — Xrbs) Sx.

Очевидное решение уравнений (22) и (23) имеет вид

6丁 — 丁 •

включает в себя некоторую функцию /3『$)удовлетворяющую равенству/(力力一^r^st-)t) d3力=0

или

(26)

Отсюда следует, что антисимметричная часть /3『$ должна представлять собой дивергенцию.

Любая плотность энергии U)удовлетворяющая коммутационному соотношению (15) с Ьг)удовлетворяющим (25) и (26), приводит к инфинитезимальным операторам 口, М^, удовлетворяющим всем коммутационным соотношениям (1).

При решении проблемы определения явного вида U можно прибегнуть к помощи со стороны классической теории. Можно взять любой лоренц- инвариантный принцип действия. Тогда вытекающая из него форма U наверняка будет удовлетворять требуемым условиям в первом порядке по К. В случае удачи мы сможем потом обеспечить, чтобы она точно удовлетворяла этим условиям.

Пример: электродинамика Борна—Инфельда

Электродинамика Борна-Инфельда х) представляет собой модификацию электродинамики Максвелла. Различие между ними существенно лишь при очень сильных полях и приводит к конечной полной энергии для точечной сингулярности поля. Выраженная в гамильтоновой форме, электродинамика Борна-Инфельда описывается векторными полевыми величинами В и D, т.е. магнитной и электрической индукциями, удовлетворяющими уравнению

lBr,Ds\ =金S也力(力一

где erst ——антисимметричный тензор с €123 = 1- Плотность энергии, найденная из лоренц-инвариантного действия, имеет вид

C/ = {1 + B + D2 + (Bx D)2}i/2. (28)

Сразу видно, что U удовлетворяет (15), в котором все коэффициенты, кроме а и %〉обращаются в нуль. В классическом пределе Ьг должен иметь точное значение (24), которое в данном случае принимает вид 6rstBsDt.

При квантовании теории мы имеем дело с коммутатором Вг и Dt в одной точке пространства. Согласно (27) он должен быть равен c『s力8卄(0). Эта величина выглядит несколько обескураживающе, но, исходя из соображений симметрии, кажется вполне резонным считать ее равной нулю. В таком случае связанные с нею проблемы исчезают. При этом порядок сомножителей В и D в (28) уже не имеет значения, и коэффициент Ьг должен и в квантовой теории иметь правильное значение.

Более строгие условия, необходимые при квантовании теории в криволинейных координатах, не выполняются 2). Поэтому электродинамика Борна-Инфельда может быть проквантована в рамках специальной теории относительности, но она не согласуется с общей теорией относительности.

Заключение

Выше были проанализированы условия, которым должны удовлетворять инфинитезимальные операторы 厶〉М^ в связи с их коммутационными соотношениями. Эти условия необходимы, но не достаточны для

Born М., Infeld L. // Proc. Roy. Soc. London. A. 1934. V. 144. P. 425.

построения удовлетворительной квантовой теории. Вследствие бесконечного числа степеней свободы может оказаться, что, решив проблему этих условий, мы будем не в состоянии проинтегрировать уравнения движения, чтобы установить, как влияет движение гиперповерхности 力о = 0 на волновую функцию. Все попытки добиться этого приводят к расходящимся интегралам. В этом случае мы действительно не имеем представления НЕГЛ.

Физики разработали способ обращения с расходящимися интегралами —метод перенормировок, который во многих случаях оказался успешным, приводя к вполне разумным физическим результатам, которые могут быть сопоставлены с экспериментом. Однако этот метод может рассматриваться лишь как временная мера, поскольку он не вытекает логически из установленных физических законов. Удовлетворительное решение проблемы, если от него ожидается подтверждение принятых основных законов квантовой механики, должно приводить к некоему представлению НЕГЛ, а процедура перенормировок этого не дает.

Поскольку трудности возникают только из-за интегрирования относительно инфинитезимальных операторов, можно избежать их, обойдясь без процесса интегрирования. Для этого нужно обходиться без инфинитезимальных операторов, а иметь дело только с теми интегралами, которые необходимы для сравнения с экспериментом. В последние годы была проделана большая работа в этом направлении. Однако не похоже, что эта работа способна привести к завершенной теории. Такое впечатление, что процесс интегрирования является существенной особенностью динамической теории.

Оказывается, что наиболее обнадеживающей перспективой выглядит попытка получить представления НЕГЛ неким более общим путем, продолжая работать с инфинитезимальными операторами и используя процесс интегрирования для получения конечных операторов. Имеется несколько вариантов того, как можно было бы попытаться обобщить рассмотренный здесь метод. Например, можно отказаться от локальной формы плотности энергии или от локальных коммутационных соотношений для основных полевых величин. Если подобные попытки не удадутся, можно попробовать рассмотреть видоизменения фундаментальных законов квантовой механики, которые позволили бы найти некоторые новые принципы, заменяющие современное использование представлений НЕГЛ.

Выводы

Квантовая теория поля, согласующаяся со специальной теорией относительности, может быть построена на базе инфинитезимальных операторов трансляций и вращений. Эти операторы могут быть выражены через плотности импульса и энергии. Плотность импульса определяется геометрическими свойствами рассматриваемых полей. Плотность энергии должна удовлетворять коммутационным соотношениям, для которых должны выполняться некоторые условия, задаваемые уравнениями (15), (25), и (26).

ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ)

В условиях, когда квантовая теория поля столкнулась с глубочайшими трудностями, оказались под подозрением основания квантовой механики, установленные более тридцати лет назад. Обсудим эти основания и посмотрим, нельзя ли их улучшить.

Квантовая механика в том виде, в котором она была предложена Гейзенбергом в 1925 году, содержала динамические переменные, которые не подчинялись аксиоме коммутативности умножения и удовлетворяли уравнению движения Гейзенберга

ihdu/dt = иН — На, (1)

где Н — гамильтониан. Первоначально эти динамические переменные были представлены матрицами. Позднее было установлено, что их можно рассматривать в качестве операторов, действующих на векторы гильбертова пространства. Векторы гильбертова пространства удобно обозначать через |Л), а результат действия динамической переменной на и как и\А).

Вскоре после открытия Гейзенберга была предложена другая версия квантовой теории, независимо открытая Шредингером и основанная на совершенно других идеях. В ней внимание было сосредоточено на физических состояниях, представленных волновыми функциями. Волновые функции также можно рассматривать как векторы в гильбертовом пространстве. Поэтому их также можно обозначать символами |4). От векторов в картине Гейзенберга эти векторы отличаются тем, что они изменяются со временем в соответствии с волновым уравнением Шредингера

md\A)/dt = Н\А), (2)

тогда как векторы в картине Гейзенберга от времени не зависят.

Некоторое время физики были вынуждены иметь дело с двумя версиями квантовой теории. Однако вскоре было доказано, что между ними имеемся простая связь, демонстрирующая их эквивалентность. Оказалось, что гамильтониан Н — один и тот же оператор в обеих теориях. Динамические переменные и векторы гильбертова пространства в них связаны унитарным преобразованием

"S = е-гН^инегШ/\ |4s) = е-ш^\Ан), ⑶

где индексы S и Н относятся к шредингеровой и гейзенберговой картинам соответственно. Таким образом, было установлено, что имеется единствен-

ная квантовая механика, которую можно рассматривать либо в гейзенберговой, либо в шредингеровой картинах.

Возникшая квантовая механика привела к чрезвычайным успехам при решении простейших проблем физики микромира. Однако она столкнулась с серьезными трудностями при попытке использовать ее в точной релятивистской теории, включающей поля. Эти трудности оказались особенно впечатляющими в электродинамике. Другие поля в микромире не были сколько-нибудь хорошо известны, так что связанные с ними трудности можно было обойти в рамках нашего неполного знания соответствующих сил. Но электродинамика была очень хорошо изучена на классическом уровне. Поэтому было столь трудно допустить, что квантовая теория к ней неприменима.

Чтобы сосредоточить внимание на соответствующей трудности, представим ее в простейшей форме. Рассмотрим систему электронов и позитронов, взаимодействующих с электромагнитным полем. Для нее можно выписать гамильтониан Н. Очевидно, что этот гамильтониан Н в основном правилен, ибо при использовании его в уравнениях движения Гейзенберга типа (1) получаются разумные уравнения поля, согласующиеся по форме с уравнениями, которые следовало бы ожидать из классической электродинамики. Однако если тот же гамильтониан Н подставить в волновое уравнение Шредингера (2), то не удается получить никаких решений, даже приближенных. По-видимому, подобные решения не существуют. С физической точки зрения можно было бы ожидать, что существует хотя бы тривиальное решение, соответствующее вакуумному состоянию. Но даже такое тривиальное решение отсутствует.

Мы имеем здесь дело с дилеммой, которая в течение более трех десятилетий препятствовала развитию теоретической физики. Существует простой путь избавиться от нее. Очевидно, что шредингерова картина непригодна вовсе, но гейзенбергова картина не столь плоха. Можно высказать утверждение: картина Гейзенберга — пригодная картина^ тогда как картина Шредингера вовсе непригодна. Эти две картины неэквивалентны [1].

Читатели могут немедленно спросить: «Каково обычное доказательство эквивалентности двух картин?» Рассмотрим это доказательство и убедимся в его логичности. Оно основано на унитарном преобразовании, связывающем в согласии с формулами (3) две картины. Подобное унитарное преобразование существует, если, конечно, существуют операторы е?""% и e-iHt/h^ Поскольку гамильтониан Н)с которым мы имеем дело, достаточно сложный оператор, то отнюдь нельзя немедленно утверждать, что экспонента от него имеет смысл. На основе первых принципов можно проверить, существует ли оператор е-гЯ^^. Для этого достаточно выбрать некий вектор в гильбертовом пространстве, скажем |В), и установить, принадлежит ли ему вектор 6一旧〃勺8). Если принадлежит, то мы сразу увидим, что этот вектор должен быть решением уравнения Шредингера (2). Однако подобного решения не существует. Тем самым напрашивается вывод, что оператор не существует, и привычное доказательство эквивалентности этих картин терпит крах.

Проведем более тесное сопоставление двух картин, чтобы убедиться в преимуществах гейзенберговой картины. В электродинамике взаимодействие между частицей и электромагнитным полем можно рассматривать

как некое возмущение, и затем искать решение уравнения в виде ряда по степеням i/方с

Если пытаться этим способом решить уравнение Шредингера, то получится разложение в ряд, каждому члену которого соответствует диаграмма Фейнмана. Все члены этого ряда, за исключением нескольких первых содержат расходящиеся интегралы. Среди них имеется несколько членов, соответствующих переходам вакуум-вакуум, в которых внешние линии в диаграммах Фейнмана отсутствуют. Соответствующие выражения оказываются самыми плохими. Именно они препятствуют получению решения, представляющего вакуумное состояние. С расходящимися интегралами в остальных членах можно иметь дело, используя процедуру перенормировок.

Уравнения движения Гейзенберга также можно пытаться решить аналогичным методом возмущений. Тогда вновь получится совокупность членов, которые соответствуют диаграммам Фейнмана, содержащим аналогичные расходящиеся интегралы. Но в них уже отсутствуют вакуумные члены. Причина такого различия состоит в том, что если начать с нуля в гейзенберговой картине, то он останется нулем. Между тем, если начать с состояния вакуума в шредингеровой картине, то оно не останется вакуумом. Таким способом в рамках гейзенберговой картины удается избежать наихудших трудностей, возникающих в шредингеровой картине. Те трудности, что все еще остаются, т.е. расходящиеся интегралы в других членах разложения, помимо членов вакуум-вакуум, могут быть устранены предельным процессом, соответствующим процедуре перенормировки.

В рамках шредингеровой картины возмущение оказывается столь сильным, что если начать с некоторого вектора в гильбертовом пространстве, представляющего начальное состояние, то он оказывается вытолкнутым из гильбертова пространства за любощ даже очень короткий промежуток времени. За это обстоятельство отвечают члены разложения вакуум- вакуум. Благодаря такому сильному возмущению шредингерова картина является полностью непригодной.

В гейзенберговой картине столь сильные возмущения не наблюдаются. Однако гейзенберговы динамические переменные нельзя более рассматривать в качестве операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Они должны быть чем-то более общим, но их точная природа в данный момент неизвестна. Будем называть их q-числами. Все, что о них известно, это то, что они - некоммутирующие величины, удовлетворяющие определенным коммутационным соотношениям. Вычисления в гейзенберговой картине сводятся к алгебраическим выкладкам на основе коммутационных соотношений, которые выполняются независимо от математической природы величин, с которыми приходится иметь дело.

Предшествующая дискуссия показывает, что квантовую теорию поля следует основывать всецело на гейзенберговой картине, а все ссылки на шредингерову картину следует отбросить. В этом случае, однако, возникает большая проблема нахождения физической интерпретации результатов расчетов в рамках гейзенберговой картины. Традиционная интерпретация квантовой механики существенно связана со шредингеровой картиной. В ней квадрат модуля волновой функции интерпретируется как вероятность, но теперь эту интерпретацию нельзя использовать. Я предлагаю следующую новую интерпретацию [2].

Каждое физическое состояние в любой момент времени соответствует некоему решению гейзенберговых уравнений движения. Оно представляет собой q-число)скажем Kt^ являющееся функцией гейзенберговых динамических переменных в момент времени t и, кроме того, содержащее аргумент t явно. Величина К± ——константа движения, так что

dKtdtdKtdt=噤+照网=0.=噤+照网=0.

dKtdt

dKtdt

=噤+照网=0.

=噤+照网=0.

Для каждого значения t величина К力 является функцией операторов рождения различных частиц 〃力 и соответствующих операторов уничтожения 勿 и, кроме того, явно зависит от I. Будем предполагать, что q-числа могут действовать на векторы более общего типа |4)〉чем векторы гильбертова пространства. Для каждого момента времени t можно ввести вакуумный вектор I%)〉удовлетворяющий условиям 勿|%) = 0 для всех операторов уничтожения 勿.Тогда вектор Kt\Vt) можно интерпретировать подобно волновой функции в момент времени t в прежней теории. Величину К力 можно представить в виде суммы членов, каждый из которых содержит все операторы 〃 левее всех операторов п. Все члены суммы, содержащие операторы ту, после действия на вектор |匕)дают нуль. Коэффициенты в остальных членах физически осмысленны. Квадраты их модулей характеризуют вероятности того, что некие частицы присутствуют в данный момент времени t.

Видно, что при описании в один и тот же момент времени новая интерпретация в точности соответствует старой, если только допустить, что вектор〔%) соответствует вакуумному состоянию, а вектор К|%) — произвольному состоянию. При изменении времени t новая теория оказывается совершенно другой, поскольку ни вектор |%)〉ни вектор 衣力|匕)не являются решениями уравнения Шредингера. Наиболее яркое отличие от старой теории состоит в том, что величина 衣力|%)〉играющая роль волновой функции в момент времени t〉никак не связана с величиной К]%)〉играющей роль волновой функции в момент времени 〃. Это обусловлено тем, что при фиксированном значении t условие К力|%) = 0 может выполняться без того, чтобы сама величина К力=0 и〉таким образом, без того, чтобы было справедливо условие К；|%) = 0. В теории Шредингера для волновой функции нет более никакого детерминизма и последний имеет место только для q-числа Kt.

Стандартная формулировка квантовой электродинамики представляет собой совокупность рабочих правил, а вовсе не логическое следствие общих принципов квантовой механики. Она достигла большого успеха в предсказании правильных значений лэмбова сдвига уровней атома водорода и аномального магнитного момента электрона.

Теперь мы в состоянии сформулировать квантовую электродинамику как логическое следствие из гейзенберговой квантовой механики с использованием изложенной выше физической интерпретации. Такой подход позволяет получить те же самые результаты для простейших задач, связанных с радиационными переходами. При этом все вычисления будут существенно те же, что и прежде. При этом вакуум-вакуумные члены во взаимодействии автоматически исчезают, так что их не следует произвольно отбрасывать. Я проверил, что новая теория приводит к правильному значению лэмбова сдвига и аномального значения магнитного момента

электрона в расчетах порядка е?/%。. Таким образом, эти успехи квантовой электродинамики можно подтвердить на более серьезном логическом основании, которые нам обеспечивает ее новая версия.

В заключение я хотел бы подчеркнуть, что представленное здесь развитие квантовой теории не следует трактовать как умаление значения идей Шредингера. Использование шредингеровой картины оказывается очень плодотворным для решения тех задач, в которых существенно только конечное число степеней свободы. В этих проблемах электромагнитное взаимодействие представлено кулоновыми силами. Указанная картина будет продолжать интенсивно использоваться, поскольку ее применение в этих условиях оказывается проще и удобнее, чем применение гейзенберговой картины. Только для систем с бесконечным числом степеней свободы можно показать, что шредингерова картина неадекватна ситуации, тогда как гейзенбергова картина остается вполне справедливой.

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ КАРТИН ШРЕДИНГЕРА И ГЕЙЗЕНБЕРГА)

Г. Перлман. В недавнем переосмыслении 1 оснований квантовой механики Дирак среди прочего утверждал, что картины Гейзенберга и Шредингера в рамках квантовой электродинамики неэквивалентны. Это происходит вследствие того, что унитарный оператор, связывающий обе картины, а именно ^Ht^^ где

Н = HDirac field + ^Maxwell field + ^interaction,

полный гамильтониан в картине Шредингера, не существует. Цель данного сообщения — поставить под сомнение это утверждение.

С самого начала предполагаем, что Я, как и все наблюдаемые в квантовой механике операторы, является самосопряженным оператором. Иными словами, Н = Н* и Он = ^я+ ? где Он и ^я+ — это области определения Н и сопряженного ему оператора в гильбертовом пространстве 美 системы. Соответственно, если {石(X)} — проекторы, вмещающие разложение единицы, относящееся к Н)и если F(X) — произвольная комплекснозначная функция А, то оператор F(H) с областью определения £)尸 может быть задан 2 с помощью интеграла Радона-Стилтьеса

+оо

俚|F(H)2〉= / F(X)d^\EW\^)

— ос

для всех |Ф) в X и всех |Ф) в совокупности Df всех векторов в 先 таких, что существует интеграл

+оо

/ |F(X)『d(|倒Х)|⑦『).— ос

Отсюда следует, что если F(X) = е"〃匕 то £)尸一это совокупность всех векторов |Ф) таких, что существует интеграл

+оо

/ d(l倒Х)|⑦『)•

Поскольку пределы

lim 硏》)2)= 10) И lim 石(1)13)=№)

А—一осА—^+ос

существуют для всех |Ф) в X, то очевидно, что Dj? = X D Он- Тем самым оператор и""% определенно существует. Также, используя равенство '

+оо

俚|G+(H)F(H)2〉= / G^X)F{X)d^\E{X^l— ос

нетрудно убедиться в том, что оператор и""% унитарен и потому оператор Н один и тот же в обеих картинах.

Таким образом, картины Шредингера и Гейзенберга эквивалентны просто вследствие самосопряженности оператора Н.

Л Перлман

Г. Перлман утверждает, что Н — это самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве. В квантовой электродинамике это предположение несправедливо. Оператор Н)как и другие динамические переменные, в этом случае действует на векторы некоего пространства, более широкого, чем гильбертово. Природа этого пространства неизвестна.

Литература

Dirac Р.А.М. // Nature. 1964. №203. Р. 115.

Stone М.Н. Linear Transformations in Hilbert Space. — N.Y.: A.M.S., 1932.

П.А.М. Дирак

ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА)

Когда организаторы конференции обратились ко мне с просьбой прочитать вечернюю лекцию, я приступил к планированию того, что мне хотелось бы рассказать. После этого я начал размышлять о подходящем названии лекции и предложил заглавие «Теория относительности и квантовая механика» [1]. Я буду говорить о проблемах релятивистской теории и квантовой механики, но буду излагать эти вопросы с моей личной точки зрения, выражая такое отношение к существующим трудностям теории, которого, по моему мнению, следует придерживаться.

Начнем с роли физики в прошлом столетии. Имелась очень ясная и хорошо оформленная структура, основанная на уравнениях Ньютона и уравнениях Максвелла для электромагнитного поля, и большинство физиков того времени были абсолютно счастливы в этой ситуации, полагая, что имеют прочную основу для полного понимания Природы. Однако к концу того столетия возникли определенные проблемы. Одним из первых, кто осознал серьезность этих проблем, был лорд Кельвин, который открыл температурную шкалу, шкалу абсолютных температур. Сообщалось о том, что в последние годы своей жизни он был глубоко несчастлив и чрезвычайно подавлен из-за тех трудностей, с которыми столкнулась наука. Он умер в 1907 году. В действительности не стоило быть подавленным состоянием науки. Как бы то ни было, в этом не было его вины, но он обладал предвидением необходимости чрезвычайно фундаментальных изменений и не был охвачен общим самодовольством физиков того времени.

Действительно, предстояли чрезвычайно глубокие преобразования всей основы физики, которые начались в начале этого столетия. Речь идет о теории относительности и квантовой теории. Теория относительности требует от нас другого понимания Вселенной, принятия представления пространства-времени как четырехмерной картины, в которой отсутствует абсолютное время. Различные наблюдатели, движущиеся друг относительно друга, должны по-разному воспринимать время. Они должны пользоваться различными осями времени, и все они будут правы в равной степени, так как Природа не отдает предпочтения ни одной из них по сравнению с остальными. Впервые эта идея была полностью осознана Эйнштейном, хотя и многие другие подходили к этой идее. Она согласуется со многими различными экспериментами. Некоторые из них весьма изощренны, и их непросто понять рядовому человеку. Например, при очень быстром движении человека его часы замедляются, и течение времени, относя-

щееся к этому движущимуся наблюдателю, кажется неподвижному наблюдателю очень медленным. Этот аспект теории относительности поразительным образом подтверждается свойствами некоей частицы, именуемой мю-мезоном или, кратко, мюоном, имеющей очень малое время жизни, порядка двух миллионных долей секунды. Если здесь имеется мюон, то через две миллионные доли секунды он превращается во что-то иное. Эти мюоны появляются в верхних слоях атмосферы, спускаются вниз и детектируются на уровне моря. Как это возможно, если они живут две миллионные доли секунды? Они движутся со скоростью, близкой к скорости света, но даже при такой скорости они могут пролететь лишь несколько сотен метров за столь малое время. Ответ заключается в том, что время жизни мюона является его собственным временем, а оно очень сильно увеличивается. Наблюдателю, путешествующему вместе с мюоном, на самом деле покажется, что путь от верхних слоев атмосферы до уровня моря занял лишь две миллионные доли секунды. Тем самым столь радикальное отличие от обычных представлений о пространстве и времени непосредственно проверяется экспериментально. Имеется много подобных подтверждений теории относительности, в результате которых она получила общее признание у физиков. Хотя и могут существовать скептики, считающие, что можно ограничиться небольшими модификациями, общая идея является общепринятой.

Другим великим преобразованием текущего столетия стала квантовая механика — новый вид механики, представляющей собой необходимую в мире атомов модификацию стандартной механики Ньютона. Эта новая механика имеет две формы: Гейзенберга и Шредингера. Она была открыта двумя этими исследователями независимо друг от друга около 1925 года. Первоначально они предложили две теории, которые выглядели совершенно различными, но позже оказались эквивалентными. Обе эти формы квантовой механики исходят из уравнений движения. Идея уравнений движения состоит в том, что вы описываете состояние мира в какой-то момент времени на языке некоторых математических переменных и вводите уравнения, которые описывают, как изменяются эти переменные со временем. Путем интегрирования этих уравнений вы сможете узнать состояние мира в будущем, после чего можете сравнить полученные результаты с экспериментом. Вы видите, что здесь я использовал понятие времени в абсолютном смысле, который отрицается теорией относительности. Здесь мы встречаемся с серьезной трудностью. Мы имеем теорию относительности и квантовую теорию — две очень хорошо обоснованные теории — каждая в своей хорошо очерченной области применимости; и тем не менее они противятся взаимному примирению. Если обе теории справедливы, то можно было бы подумать, что они без особых проблем должны объединяться в единую схему. Однако, это не так в случае с теорией относительности и квантовой механикой. Между ними имеется определенный конфликт. Этот конфликт и был в течение последних сорока лет основной проблемой физики.

Можно сказать, что все главные усилия физиков вращались вокруг вопроса примирения теории относительности и квантовой теории. Была проделана огромная работа в этом направлении, но решения пока не видно. Разумеется, в результате проделанной работы был достигнут прогресс в некоторых второстепенных направлениях, не касающихся существа реальной проблемы. Можно успешно решать задачи с одной частицей, даже если

она движется под влиянием полей, и вывести уравнения, включающие три координаты частицы, а также время. Эти уравнения содержат четыре переменных и могут быть приведены к форме, симметричной относительно этих четырех переменных, как этого требует теория относительности. Тем самым может быть получена удовлетворительная релятивистская квантовая теория для одной частицы, но дальнейшее продвижение по этому пути не очевидно.

Предположим, что у нас имеется две частицы. Что ж, можно было бы попробовать работать с математическими уравнениями, содержащими восемь переменных, поскольку каждая частица имеет три координаты и свое собственное время, что в сумме дает восемь, но как тогда вы учтете взаимодействие между частицами? Нерелятивистская квантовая механика обеспечивает вполне удовлетворительное решение проблемы двух взаимодействующих частиц, например двух взаимодействующих электронов, предположив существование мгновенного кулонова взаимодействия между ними. При этом нужно лишь семь переменных, одна временная переменная для обеих частиц и по три пространственных переменных для двух координат. Их достаточно для описания кулонова взаимодействия. С точки зрения квантовой теории двух частиц получается вполне удовлетворительная теория, обеспечивающая высокую степень точности. Однако разумеется, она не имеет никакого отношения к теории относительности, ибо в ней имеется полный разрыв между временными и пространственными переменными. Если вы хотите получить релятивистскую теорию, у вас не должно быть мгновенного взаимодействия на расстоянии. Вам следует заменить его на взаимодействие через полевую среду, т.е. взаимодействие, которое может распространяться только со скоростью света. Физики-теоретики пытались построить квантовую теорию, в которой частицы взаимодействуют через полевую среду, и взаимодействие распространяется со скоростью света. Им удалось добиться существенного прогресса в этом направлении. Они получили систему уравнений, которые можно было бы считать правильными. Казалось, что эти уравнения удовлетворяют общим требованиям, выполнение которых необходимо, чтобы уравнения были релятивистскими, и соответствуют основным идеям квантовой механики. Однако при попытке решить эти уравнения оказалось, что они не имеют решений. Проблема заключается в том, что при этом совершается переход к бесконечному числу степеней свободы. Поля, передающие взаимодействие от одной частицы к другой, рассматриваются как динамическая система, обладающая бесконечным числом степеней свободы. Поскольку вы сталкиваетесь с бесконечностью, присущей теории, встает вопрос, сходятся ли суммы и интегралы, связанные с этой бесконечностью, или они просто расходятся — приводят к бесконечностям, возникающим в уравнениях, что исключает применение этих уравнений. Оказывается, что именно так и происходит с уравнениями, полученными в релятивистской квантовой механике частиц, взаимодействующих через полевую среду. Разумеется, если ваши уравнения не имеют решений, проблема остается нерешенной в целом и вам нужно все начинать сначала.

Эти трудности были осознаны около сорока лет тому назад. С тех пор прошло уже много времени. Огромное число физиков-теоретиков работали над этими проблемами, и в итоге удалось добиться значительного продвижения. При этом использовались различные методы. Некоторые

из этих методов предлагают правила исключения расходимостей из уравнений. Ваши уравнения приводят к бесконечностям, а бесконечностей не должно быть. Подумаем, как отделаться от этих бесконечностей и попытаемся выяснить, можно ли разработать теорию, основанную на неких модифицированных уравнениях.

Действительно, были достигнуты значительные успехи в развитии квантовой электродинамики, т.е. квантовой теории взаимодействующих частиц, в которой взаимодействие осуществляется через электромагнитное поле. Удивительно, что теоретики нашли четкие правила исключения бесконечностей, с помощью которых им удалось получить результаты, обеспечивающие замечательное согласие с экспериментом. В настоящее время большинство теоретиков совершенно удовлетворены положением дел. Они говорят, что раз у вас имеются правила проведения вычислений, результаты которых согласуются с экспериментами, то что еще нужно? Напротив я полагаю, что в этой ситуации ни в коей мере не следует считать, что все в порядке. Я считаю, что непозволительно пренебрегать бесконечностями, появляющимися в ваших уравнениях. Общепринято пренебрегать малыми величинами. Это то, что всегда делают инженеры, более того, хорошего инженера или хорошего физика характеризует именно умение оценить, какие величины являются малыми и могут быть отброшены без ущерба. Но здесь делается противоположное — отбрасывается нечто бесконечно большое только потому, что нам не нравится его наличие в уравнениях [2].

Мой собственный взгляд на эту проблему сводится к тому, что просто не следует отказываться от стандартного математического подхода. Было бы лучше для начала ограничиться теорией, которая лишь приближенно будет релятивистской. Это можно сделать. Можно ли с помощью приближений отделаться от бесконечностей, заменив их конечными величинами? Если это удастся, то вы получите квантовую теорию, которая будет лишь приближенно релятивистской, т.е. лишь приближенно согласовываться с теорией относительности, но вы сможете обеспечить, чтобы эта теория находилась в хорошем согласии с теорией относительности для процессов с малыми энергиями, а серьезно рассогласовывалась лишь для процессов с большими энергиями. Сделав это, вы получите теорию, которая, согласен, не слишком вдохновляющая, но на данный момент, полагаю, может считаться наилучшей. Лучше иметь пусть не вдохновляющую, но основанную на логике теорию, чем вовсе отказаться от логики. Здесь, по крайней мере, имеется основа для работы по дальнейшему развитию этой теории по пути ее расширения на все более и более высокие энергии. Однако в настоящее время сохраняется ситуация, при которой мы продолжаем работать с теорией, имеющей совершенно неудовлетворительное обоснование, и каждому, кто проработал некоторое время в этой области, совершенно очевидна необходимость очень решительных перемен.

По-видимому, мы, подобно лорду Кельвину, должны чувствовать, что наша современная теория вовсе не так хороша, как нам хотелось бы о ней думать. Нам вовсе не следует самодовольно заблуждаться на этот счет. Следует осознавать, что в этой теории предстоит произвести некие чрезвычайные изменения. Невозможно сказать, когда произойдут эти изменения. Однако в данное время не следует слишком тесно связывать свою работу с существующим формализмом, потому что вполне возможно появле-

ние подобных изменений раньше, чем могут быть преодолены имеющиеся трудности.

Я думаю, что для понимания общего положения, сложившегося в настоящее время, было бы неплохо попытаться представить, как пошло бы развитие теоретической физики, если бы не было гениев Гейзенберга и Шредингера, размышлявших о квантовой механике. До 1925 года физики работали с боровскими орбитами. Было достигнуто немало результатов, относящихся к боровским орбитам. Была создана вполне удовлетворительная нерелятивистская картина одноэлектронных атомов, в которой было существенно наличие лишь одного электрона. Бор ввел идею уравнений движения в теорию атомов и обнаружил, что в дополнение к уравнениям Ньютона необходимо ввести некоторые дополнительные условия, названные квантовыми условиями. При этом удалось зафиксировать орбиты так, чтобы каждый электрон имел свою боровскую орбиту. Но при этом возникли большие трудности в понимании того, как взаимодействуют два электрона. Разумеется, эти трудности совершенно иного рода, чем те, о которых говорилось ранее, когда я упомянул о трудностях описания этого взаимодействия в теории относительности. Эти трудности существуют уже в нерелятивистской теории. Наиболее ярко они проявились, когда теоретики попытались вычислить спектр гелия. В то время молодые исследователи пытались посчитать спектр гелия, развивая теорию взаимодействия боровских орбит. Безусловно, они продолжали бы работать в этом направлении, если бы не Гейзенберг и Шредингер. Возможно, эти люди в течении десятилетий продолжали бы разрабатывать теорию взаимодействий между боровскими орбитами. Над этой проблемой работало бы большое число людей, непрерывно модифицируя свои допущения и сравнивая результаты своих вычислений с совершенствующимся экспериментом. При этом обнаруживалось бы, что некоторые допущения приводят к результатам, разумно согласующимися с экспериментом. Эти допущения становились бы в большей или меньшей степени общепринятыми, и теоретики продолжали бы развивать на их основе все более совершенные версии теории, рассматривающие взаимодействие более детально. На работах такого рода многие получили бы докторские степени.

Вы можете себе представить, что бы было после десятилетий работы в таком направлении. Я полагаю, что в результате получилось бы то же самое, что имеет место в настоящее время в квантовой теории поля. Может быть они даже пришли бы к бесконечностям, которыми они научились бы пренебрегать, пользуясь определенными правилами. Но вы можете убедиться, что подобная деятельность вряд ли привела бы к действительно важным достижениям. Можно себе представить, что появились бы некоторые исследователи, которые, выбрав аксиоматический подход, изучали бы все допущения, сделанные в теории боровских орбит, а затем критиковали эти допущения. Возможно, они пытались бы модифицировать их, разрабатывая следствия из них путем развития нелогичных идей. По-видимому, такая работа представляла бы некую аналогию с современным аксиоматическим развитием квантовой теории поля [3].

Однако Гейзенберг и Шредингер выдвинули фундаментальную идею, которая заключалась в том, что необходимо работать с некоммутативной алгеброй. Некоммутативная алгебра означает, математический аппарат, в котором 力• g не то же самое что у • х. Людям, изучавшим боровские орбиты на базе аксиоматического подхода, никогда и в голову не при-

шло бы ввести в свои работы математику такого рода. Мне кажется, что сейчас нам необходимо некое дальнейшее продвижение, столь же радикальное, как введенное Гейзенбергом и Шредингером. Нужен настолько неожиданный рывок, что бессмысленно пытаться выдумать его, занимаясь непосредственным перечислением аксиом существующей теории, даже если это перечисление аксиом сопровождается критикой. Личность должна обладать необходимым интеллектом, чтобы сделать такой гигантский скачок, какой необходим для преодоления существующих трудностей.

Можно ли помочь разрешению сложившеся ситуации раздумьями о том, как было сделано последнее крупное достижениев атомной теории? Можно ли извлечь какой-либо полезный урок? Да, таким уроком будет заключение, что не следует надеяться на решение проблемы прямой атакой. Ответом на трудности, возникшие перед людьми при работе с боровскими орбитами, явилось введение совершенно новой математики. С древнейших времен при изучении природы люди пользовались обычной алгеброй, в которой х • у есть то же самое, что и g •力.Очевидно, что так им и следовало делать, поскольку им нужны были уравнения, которые соответствовали бы наблюдениям. Результаты наблюдений всегда выражались в обычных числах, ну а для обычных чисел х • у всегда совпадает с g •力.Затем происходит переход к иному сорту математики — абстрактной математике некоммутирующих величин, а такой скачок в абстракцию не может быть сделан при прямом штурме проблемы. Попытаемся представить, как в действительности появилась эта грандиозная абстракция введения некоммутативной алгебры в атомную физику.

Действительно, Гейзенберг начал с идеи необходимости построения атомной теории только в терминах наблюдаемых величин. Такая идея звучит довольно философически. Весьма иронично, что подобное звучание приземляет такую революцию в сознании, такую абстрактную идею как некоммутативная алгебра. И это оказалось возможным лишь потому, что Гейзенберг не слишком строго придерживался своей идеи работать целиком лишь в терминах наблюдаемых величин. Он придерживался ее лишь отчасти. Действительно, если бы вам удалось делать открытия, всего лишь сохраняя верность наблюдаемым величинам, то делать открытия было бы слишком просто. В теории должны появляться ненаблюдаемые величины, и самое сложное заключается в том, чтобы понять, что же представляют собой эти ненаблюдаемые величины. Гейзенберг продолжил свой путь, раскритиковав предыдущие работы по боровским орбитам. Теоретики занимались фурье-анализом боровских орбит. Разумеется, фурье-коэффициенты боровских орбит никак не связаны с экспериментом. Гейзенберг предложил идею замены этих коэффициентов величинами, более тесно связанными с экспериментом, величинами, которые могли бы ассоциироваться с радиационными переходами, т.е. такими переходами при которых атом поглощает или испускает излучение. Тем самым эти введенные им новые величины оказались связаны с двумя состояниями, поскольку согласно теории Бора радиационные переходы обязательно связаны с двумя состояниями. Он заменил фурье-коэффициенты боровских орбит на новые величины, связанные с двумя состояниями [4]. Далее, при рассмотрении этих величин, каждая из которых связана с двумя состояниями, вам нужно каким-то образом представить их совместно. Естественным образом это можно сделать в форме матричной структуры. Тем самым Гейзенберг при-

шел к идее матриц, а подставив матрицы в уравнения, он получил алгебру, в которой х • у отличается от у • х.

Именно таким образом Гейзенберг волей-неволей оказался перед необходимостью иметь дело с некоммутативной алгеброй. Он с очень большой неохотой пошел на это, так как эта идея была совершенно чужда всем представлениям физиков того времени. Когда она впервые возникла у него, он решил, что в его теории что-то неправильно и попытался исправить ее, но в конечном итоге оказался просто вынужденным принять эту идею. Итак, вы видите, что некоммутативность проникла окольным путем. Сначала появились матричные элементы, а затем обнаружилось, что матрицы подчиняются некоммутативной алгебре. Конечно, матричные элементы не столь непосредственно связаны с наблюдениями, но можно взять квадраты их модулей и использовать их для получения вероятностей процессов перехода, при которых происходит излучение или поглощение фотонов.

Подход Шредингера был абсолютно иным. Он работал совершенно независимо. Его идея состояла в том, что атом следует рассматривать как своего рода колебательную систему, имеющую энергетические уровни. Они определяются как собственные значения этой колебательной системы с помощью методов, используемых в других задачах математической физики. Размышляя таким путем, он пришел к волновому уравнению, описывающему атомные состояния. Это волновое уравнение содержит различные операторы, операторы дифференцирования. Когда вы изучаете это волновое уравнение и пытаетесь понять, как оно связано с физической реальностью, вы обнаруживаете, что эти операторы связаны с динамическими переменными. Операторы обычно являются некоммутирующими величинами, так что Шредингер оказался перед необходимостью появления теории, содержащей некоммутативное умножение. В обоих случаях некоммутативность возникла как конечный результат цепочки рассуждений, идущих совершенно различными путями. Я думаю, что великая новая идея, которая необходима для разрешения трудностей современной атомной физики будет выдвинута подобным образом, но не теми, кто непосредственно занят поисками этой идеи, а теми, кто следует некоему своему пути, который выведет их на дорогу, ведущую к великой цели.

В итоге некоммутативная алгебра, управляющая уравнениями, стала великой новой идеей квантовой механики. На самом деле удивительно, что можно взять уравнения Ньютона, слегка модифицировав их таким образом, чтобы внести в них некоммутативность ясным и изящным путем [5]. Разумеется, после того, как вы получили теорию, содержащую некоммутативность, возникает вопрос, как вам следует использовать ее для получения экспериментальных результатов. Вы не можете сразу говорить, что эти некоммутирующие величины представляют наблюдаемые явления, потому что наблюдаемые явления всегда выражаются через числа, а числа безусловно удовлетворяют обычной алгебре.

Общая интерпретация квантовой механики была разработана через несколько лет после открытия этих уравнений, и оказалось, что она имеет статистический характер. Можно вычислить вероятности происходящих атомных процессов, а затем сравнить полученные вероятности с результатами наблюдений. Получаемое при этом совпадение и дает нам столь твердую уверенность в правильности нерелятивистской квантовой механики. Конечно, существование лишь статистической интерпретации не дает пол-

ного удовлетворения, особенно, если сравнивать с полным соответствием математики и физического наблюдения, которое имело место в детерминистических теориях прошлого столетия. Нам предстоит перейти к новой стратегии мышления, в которой приходится считаться с вероятностями [6]. И, действительно, многие люди не удовлетворены такой ситуацией. Я должен признаться в том, что сам принадлежу к школе, которая не вполне удовлетворена этим. Однако следует согласится с тем, что это безусловно наилучшее, чего можно достичь в существующих рамках квантовой механики. Этому вопросу посвящено много исследований. Ученые перепробовали все возможные альтернативы в поисках более тесного соответствия, но эти альтернативы не работают. Приходится смириться с этим статистическим соответствием.

Возникает вопрос, действительно ли некоммутативность является главной новой идеей квантовой механики. Ранее я всегда полагал, что это так, но недавно я начал сомневаться в этом и думать, что, может быть, с физической точки зрения некоммутативность не является единственной важной идеей, и, возможно, существует некая более глубокая идея, некое более глубокое изменение наших обычных представлений, которое привносит квантовая механика. Если вернуться к теории Гейзенберга, то вы знаете, что основными величинами в его формулировке были матричные элементы. Матричные элементы не являются непосредственно наблюдаемыми, но можно взять квадрат модуля матричного элемента, а матричный элемент обычно представляет собой комплексное число. Мы можем взять квадрат его модуля и получить вещественное число, и этот квадрат модуля определяет вероятность процесса излучения или поглощения. Если вы теперь перейдете к теории Шредингера, то вы имеете волновое уравнение для волновой функции. Волновая функция также является комплексным числом при конкретных значениях своих переменных и непосредственно не наблюдаема. Но мы можем взять квадрат ее модуля и получить вероятность. Возведя в квадрат модуль волновой функции Шредингера, мы получаем для электронов вероятность находиться в некоторых положениях или обладать определенными значениями импульса. Мы видим, что здесь просматривается начало новой идеи. Вероятности, с которыми мы имеем дело в атомной теории, появляются в форме квадрата модуля некоторого числа, которое представляют собой более фундаментальную величину. И это продолжается и в последующем развитии квантовой механики. Продолжается вычисление вероятностей, но прежде, чем получить вероятность, необходимо иметь некую другую величину, модуль которой возводится в квадрат. Эта другая величина называется амплитудой вероятности. Я 几о- лагаю^ что понятие амплитуды вероятности^ по-видимомуявляется наиболее фундаментальным понятием квантовой теории [7].

Амплитуда вероятности есть комплексное число, и нам приходится взять квадрат его модуля, чтобы найти вероятность какого-либо события в атомном мире. Это приводит к понятию вероятности, существенно отличающемуся от обычного понятия вероятности. Вы приходите к этому обычному понятию на примерах типа метания кости. Результат любого конкретного броска вы можете вычислить математически. При этом ваша математика даст вам непосредственно саму вероятность. Она не дает вам некой величины, модуль которой вам необходимо возводить в квадрат. Здесь же мы имеем дело с совершенно новой идеей, которая приводит к тому, что атомный мир оказывается радикально отличным от нашего

повседневного мира. Вероятности, вычисляемые в атомном мире, всегда определяются с помощью этой особой математической процедуры. Ничего, соответствующему ему в случае обычных повседневных вероятностей, нет. Непосредственным следствием наличия амплитуд вероятностей является возникновение интерференции. Если некий процесс может происходить различными путями, или, как принято говорить, по различным каналам, то мы должны вычислить амплитуду вероятности для каждого из этих каналов, после чего сложить все амплитуды вероятностей. Лишь после этого суммирования следует возвести модуль полученного результата в квадрат, получив, наконец, полный результат для вероятности рассматриваемого процесса. Вы видите, что полученный результат совершенно отличен от того, что мы получили бы, если бы брали квадрат модуля отдельных членов, относящихся к разным каналам. Именно это отличие порождает явление интерференции, которое столь распространено в атомном мире. Простейший пример такого рода вы получите, если представите себе поток частиц, направленный на экран, в котором имеется два отверстия. Те частицы, которые проходят сквозь отверстия, попадают на другой экран, расположенный позади первого. Имеются амплитуды вероятностей для прохождения частицы сквозь каждое из этих двух отверстий. Складывая эти амплитуды вероятности, мы получим полную амплитуду вероятности удара частицы в определенное место второго экрана. Как следствие того, что мы должны складывать амплитуды вероятности, а не сами вероятности, возникает интерференционная картина.

Поэтому, если кто-либо спросит меня, что можно считать основной особенностью квантовой механики, то сейчас я склонен ответить, что это отнюдь не некоммутативная алгебра. Это — наличие амплитуд вероятностей, которые присущи всем атомным процессам. Действительно, амплитуда вероятности связана с экспериментом, но лишь отчасти. Квадрат ее модуля —вот, что мы наблюдаем. Экспериментаторы на опыте находят вероятность. Но кроме нее имеется еще фаза — число, модуль которого равен единице, его изменение не влияет на квадрат модуля. Эта фаза важна, поскольку она является источником всех интерференционных явлений, но ее физический смысл неясен. Поэтому можно сказать, что в действительности гениальность Гейзенберга и Шредингера проявилась в открытии существования амплитуды вероятности, содержащей фазу, которая очень глубоко скрыта в природе. Последнее объясняет то, почему раньше ученые не задумывались о квантовой механике.

Если вы пройдетесь по современным теоретическим работам, чтобы посмотреть, что делают теоретики, вы обнаружите, что они продолжают придерживаться этой идеи об амплитуде вероятности. Из нерелятивистской квантовой теории мы усвоили фундаментальную идею существования амплитуды вероятности, и никто не склонен критиковать ее. Теоретики полагают, что они занимаются созданием строительных блоков, необходимых для атомной теории. В настоящее время существует большое число физиков, придерживающихся точки зрения Гейзенберга — теорию следует строить только в терминах наблюдаемых величин, но они не придерживаются этому строго. Они говорят: попробуем построить теорию в терминах амплитуд вероятностей, которые связаны с наблюдаемыми вероятностями. Современные трудности теоретической физики относятся к процессам при высоких энергиях, процессам, в которых играют роль чрезвычайно малые расстояния. В подобных экспериментах с высокими энергиями бе-

рется мишень, в которую выстреливаются некие частицы, после чего рассматривается, что происходит с мишенью. Экспериментальные результаты представляют собой определение вероятностей различных явлений, появляющихся, когда производятся различные действия. Экспериментальные результаты выражаются в терминах вероятностей, связывающих конкретные частицы на выходе с конкретными частицами на входе. Существует школа, полагающая, что следует иметь дело только с этими наблюдаемыми вероятностями или, более того, с амплитудами вероятностей, связанными с ними, и они пытаются понять, что можно сделать с этими вероятностями. Если говорить о них в целом, то они занимаются математическим аппаратом, называемым теорией S-матрицы. Эта S-матрица действительно содержит всю информацию, которая необходима для описания процессов перехода, в которых вы имеете некие набегающие частицы, падающие на мишень и порождающие убегающие частицы. Теоретики достигли большого совершенства в этой теории S-матрицы, вводя различные допущения, которые кажутся вполне разумными. Они предположили, что теория должна быть релятивистской и удовлетворять принципам причинности и унитарности. Они также предположили еще один действительно запрещающий принцип, согласно которому S-матрица должна быть аналитической функцией входящих в нее переменных. Последнее предположение никто не может достаточно ясно объяснить в обычных терминах, но оно является очень мощным математических средством. Они прошли длинный путь развития теории S-матрицы, и при этом они, разумеется, постоянно прибегали к помощи экспериментальных результатов. Когда обнаруживается, что эксперименты с чем-то не согласуются, производится изменение допущений, и находится новое обоснование для дальнейшего продолжения. Такова эта школа S-матрицы. Я чувствую, однако, что в целом они не движутся по правильному пути. Теория, над которой они бьются, не может получиться совершенной. S-матрица должна появиться в результате неких вычислений. В основе теории должно быть что-то типа уравнений движения. Следует провести некое интегрирование этих уравнений и в конце вычислений получить S-матрицу.

Что включают в себя эти вычисления? Было бы разумно предположить, что в них должны фигурировать величины, близкие по своей природе амплитудам вероятности. В качестве обоснования такой догадки может служить тот факт, что в нерелятивистской квантовой механике, независимо от того на чью точку зрения вы опираетесь, Гейзенберга или Шредингера, вы всегда имеете дело с математическими величинами типа амплитуд вероятностей. С другой стороны, вероятности, связанные с этими амплитудами, обычно отличаются от тех величин, которые наблюдаются непосредственно. Это — вероятности результатов гипотетических экспериментов. Вы берете волновую функцию Шредингера, вычисляете квадрат ее модуля и интерпретируете его как плотность вероятности того, что различные электроны в атоме будут находиться в некоторый момент времени в некоторых положениях. В настоящее время не существует такого эксперимента, который вам точно скажет, какова вероятность того, что частицы будут находится в определенных положениях в определенный момент времени. Те вероятности, которые воображались как строительные кирпичи полной теории, являются гипотетическими вероятностями, и не имеют отношения к практическим экспериментам, но все еще используются для построения некой схемы.

Мне кажется, что в настоящее время необходимо создать релятивистскую квантовую теорию, включающую амплитуды вероятностей. Они должны быть подогнаны таким образом, чтобы удовлетворять основным идеям теории относительности. Необходимо представить их как вероятности гипотетических процессов, воображая неких экспериментаторов, которые могли бы провести реальные специальные эксперименты, пусть совершенно непрактичные, но реализующие гипотетические процессы. Мы могли бы объединить их в полную и унифицированную схему. Тогда в конце этой схемы появится S-матрица. Гипотетические амплитуды вероятности окажутся внутри схемы. Снаружи ее будут те, что относятся к вероятностям, которые можно наблюдать и которые позволяют сравнивать теорию с экспериментом. Я полагаю, что продвижение в таком направлении будет значительно менее спекулятивным подходом, чем попытки угадать, чем следует заменить общую математическую схему, используемую в настоящее время. Лишь после того как будут установлены эти амплитуды вероятности и найдены правильные соотношения между ними, возможно проявятся некоторые общие черты возникающей теории. Может быть это будут какие-нибудь очень простые символические уравнения, которые составят основу новой теории, и которые все начнут изучать после того, как будет совершен следующий рывок.

Разумеется, можно попытаться найти короткий обходной путь в этой работе, попробовав угадать, как могут выглядеть новые уравнения. Некоторые люди попытались сделать это, но, разумеется, безуспешно. Я сам немного принял в этом участие. Одним из первых сделанных предположений была идея использовать неассоциативное умножение. При этом было получено некое обобщение обычной алгебры, которое оказалось очень удобным для описания нерелятивистской атомной теории. Почему бы не сделать еще один шаг в этом направлении? Впервые это было предложено Иорданом в 20-е годы, но ни к чему не привело. В конечном итоге это направление могло оказаться правильным, но в нем существует много брешей, которые необходимо заполнить, прежде чем станет ясно, что это правильная идея. Я сам попытался установить некоторые новые уравнения, основанные на существовании эфира. Идея эфира была отвергнута, когда теория относительности получила признание, так как, если существует пронизывающий все эфир, он должен иметь определенную скорость. Эта скорость породила бы предпочтительную временную ось. В результате можно было бы представить, что наблюдатель, движущийся со скоростью эфира, будет видеть законы природы в более простой форме, чем любой иной наблюдатель. Такая ситуация противоречила бы основному принципу теории относительности, согласно которому все наблюдатели должны быть равноправны. Однако квантовая механика вводит неопределенность, так что возможен эфир, скорость которого неопределенна. Вполне возможна конечная вероятность существования конечной скорости эфира. В таком случае идея эфира с конечной скоростью не противоречила бы теории относительности. Скорость эфира стала бы просто новым видом поля. В настоящее время физики используют все виды полей для описания новых физических частиц, но до сих пор они не нашли никакого применения полю скоростей, которое появилось бы, если бы была постулирована идея эфира. Идея эфира не мертва. Однако это всего лишь идея, которая еще не нашла применения, и пока фундаментальные проблемы остаются нерешенными, необходимо держать ее в уме.

Что ж, я думаю, мне следует завершить выступление на этом пункте. Я мог бы только добавить, что нужно сохранять свой ум полностью открытым для будущего. Я совершенно уверен в том, что изменения, необходимые для преодоления существующих трудностей, с которыми столкнулась квантовая теория и которые возникли из сопротивления объединению квантовой теории и теории относительности, будут столь же радикальными как и переход от боровских орбит к квантовой механике Гейзенберга и Шредингера. Следовательно, не надо слишком держаться за современную квантовую механику. Не следует строить всю свою философию на том, что современная квантовая механика является последним словом. Если кто-либо делает это, то он оказывается на очень шатком фундаменте, и в ближайшем будущем будет вынужден полностью изменить свою позицию [8].

Часть II

Теория магнитных монополей (1948-1978)

14

ТЕОРИЯ МАГНИТНЫХ ПОЛЮСОВ)

Если предположить, что частица с единичным магнитным полюсом может существовать и что она взаимодействует с заряженными частицами, то законы квантовой механики ведут к тому требованию, что электрические заряды должны быть квантованы — все заряды должны быть целыми кратными единичного заряда е, связанного с интенсивностью полюса g формулой eg =方с/2. Поскольку известно, что электрические заряды квантованы, и этому пока не было предложено никаких объяснений помимо существования магнитных полюсов, то мы получаем важный довод в пользу того, чтобы принимать магнитные полюсы всерьез. Тот факт, что они до сих пор не наблюдались, может быть отнесен за счет большой величины кванта магнитного заряда полюса.

В 1931 г. я уже предлагал примитивную теорию х), описывавшую движение полюса в поле заряженной частицы, движение которой задано, или же движение заряженной частицы в поле полюса, движение которого задано. Настоящая работа выдвигает общую теорию заряженных частиц и полюсов, взаимодействующих через посредство электромагнитного поля. Идея, которая позволяет сделать это обобщение возможным, состоит в том предположении, что каждый полюс — это конец ненаблюдаемой струны —линии, вдоль которой электромагнитные потенциалы сингулярны, и во введении динамических координат и импульсов для описания движения струны [1]. Тогда вся теория получается применением стандартных методов. Есть нерешенные трудности, относящиеся ко взаимодействию точечного заряда или точечного полюса с полем, которое он сам порождает,— такие же, как появляются во всех динамических теориях взаимодействующих полей и частиц.

Введение

Полевые уравнения электродинамики симметричны в отношении электрических и магнитных сил. Однако симметрия электричества и магнетизма разрушается тем фактом, что у частицы может оказаться отдельный электрический заряд, в то время как не было наблюдено случаев, когда у частицы оказался бы отдельный магнитный полюс. В настоящей работе будет развита теория, в которой у частицы может оказаться отдельный магнитный полюс и диссимметрия между электричеством и магнетизмом будет состоять лишь в том, что наименьший полюс, который может встретиться, будет много больше наименьшего заряда. Это будет иметь следст-

г II v S ] <- А I 火 h V [ к *г II v S ] <- А I 火 h V [ к *T"L LT К 7& К НМ Н」，М 7T"L LT К 7& К НМ Н」，М 7；"："F ： ： i< 1 .:. '； 4 Л；"："F ： ： i< 1 .:. '； 4 Л

г II v S ] <- А I 火 h V [ к *

г II v S ] <- А I 火 h V [ к *

T"L LT К 7& К НМ Н」，М 7

T"L LT К 7& К НМ Н」，М 7

；"："F ： ： i< 1 .:. '； 4 Л

；"："F ： ： i< 1 .:. '； 4 Л

The Theory of Magnetic Poles

У.工 U. Uk.',，；：

:K<4.-c：Vl-d Ji:me 21, lUJS.

If Ed >ii[j[Kisf,. ihdi л p：iriir[c wilh ^. siruje 11 口小：cn rxb-,1 .jtuI i.li..ii it iir：rr.b>. !> wilk rki.и-.,：/-J [Kii iK ii--, ihf Li"% ，/ 4Hxr：nu空 inerh;iii!rs l<-;i<l K.i：r•屮iixmmfl

ih.aL Ilir i...b?cnir rh.iiL-.r.-.印/： I”•屮i.“"izd Ml「lui共匕； miist Ik：注'：飞旧1 hi u! I； I ■.!./■： oi a m工и t:2"工；『.「一：ь⑴「门屮t 川ih the м，к :川七吋内：；E ihc h.HiiiiiLi r.：; - !./j>：. Sii л., v i.'lectnc i'h..!! <<•< лгг ksbiX', !! U' l-,c . |ii;<rir；zei.i “n 门，，宀卜：：・ k「diix ha：-, у el 百士".；小叶，，A"：<1 ,修.|口：■<)："；', tlu s:d”：；tr"x ui m；Ll；nvi：J..? |H. 'AC h.lVr ；!.i.Tr .- гчлг.-ги f. T l.ilJ-l;； "!；»； neiic f.ndr.s ^-кулАу. [ h・ Lr二力н i】，・\』；Lvr mJ「：□“「」 口1，'、屮、十，丨；FIY I A' ；i»,i-Til«-il iL. I he Li! ：i.；e v.-hir vA :%〉屮貝⑺切：社 П1 [И./ll'.

In 】飙浦 l ：4；；«с ；I. jHhrrj.iw Uhcurv 'A 11 id 5 He-,c ri. Ik-ri 卄… Kb.W”x 1“，｛ pul Г in ill.：- iH.hi у A ；i chary,rd p/『；i「k wh ■：■)■■：<■ чкли.：!|| i.--, i-ivcn, iSr ?hc iri.riion nf % ch.」【：,*」" ixtnLJi- hi iln.：

ftdd o( a pole whose motion is given. The present p屮r MY：「屮 &中，:"'；/ lIlCDSV ：：i. I И.. I： I-I'd pL；! ! ivb.'S ：!.!iJ ?，山” ill ink4.：ij：.'r："ii i!ni：-ii：.'h. I he ii!i?d.i.：im ，，l ;%• Ce u，，【；门工：*七？ lii'M.. ,n1r idL/ ，*hi，k iH/kr." 士什•力•小i、也.£ii「.小 口：1・■：川通： c，，i*：i*：：」i ：71屮…Ji屮 仙匸工|"山■1,「小1|吃「行? tJ ;丄П 1川

observable 品仃亩后 wliicli is tiw line along which the electro- ill;%;”.七十沙，*1匸：,丄、，m・.1：；!：:不"i，」・；.<wg ds- n；nui<:：J 门，『仙巾1「- “"「! in..^：：■.■：■!!I.!. 1,一k”门院•山r iiu，：；.“ii of the strings. Ilie whole theory then conics out by the ⑶；，М"：пк;“1 口「 -<iti|ld.4：-<[ |1ICllb.i：l< "%，.”「 НГl' IIII^^Ia Cil 'i^Hi:111屮」*1 山 I lie，/ .：1 r-i>iiii.

d】，“屮「，v .1 「，，”… 产：小 《if 仃2 k，ld j- |F”，'ko； и<г1Г, :，U「h /:； 5：■门1rM，H 小.ihrsKf nl hrld.:^ J：B!. |\:Г- ikk”.；｝ inie[...rii<.ii

I. I?rr.RODl)CTlON

'"I “IE h』：l ftiiLilioiis of eli4-1.r(xly：!Mrnics ；l..l"r 丄symrn г ir ic.il 1>г1--л uc £「「к cl nc ：л\и1 иьщгнм it：

R「，c：. '['In.； s\ in.mci r\! l)vi v, Г.-П1 l，r uG3iy arid H｝」*ncdniu is.. 1мм*『丫｛审.由К1：「1м，:1 by Ни..' f；nu Hi.： I. и. м.пць,- U「H「c 匚心；“貝：rrsay fnxjj r nn ；l 户L「由仙，wlnb- a wi」w：k KKi^MYk ]H：，Q 1j;is 目3f ].K r...-；i. ol'iscrv.-u w tfCT'i.n- on ；1 卩;m；：k，， 仆 I Lie 『门rwm [у.цц-r ；i 汁储:仆口wiH. 1м: Lkx】门”口d hi v/iiirli 円 wZ*k rn.i：L；nehc pole 广切 occur on ；i. j'；H tit le, ；""」 the di.ss\-.m]Hclry 丨屮3“tn ｛出 tric.-'ity 3” u・g二uEhhe wH! rcH^ist orilv 2 th《， ；4：!ialh..'st ]nj七 win.c11. tzn осслил. bt'：in；< m’m.X L',fC；itcr tj;in Lhv sinaib/st 匸h”屮：，Thix will result in -rn e]h.)rH.ioi:is『巾叮匕、l?ririe;巾‘门沁M in ,pn..H.ki.(.v a. [!；i.rljcli； witli. a shi；<]<■ pok；, wliieji can Yt.、ry wu<[ explain why surh p：L「"，: l，.亭 hc*‘c not Lk-ch(：il>s(-rvcd 〔屮 1门 Ch： ]*「以TdJ

'I'ha.c ；：uc sux-cv.；d ki;ids of 廿，，门.i「k” i；

mriHal. J )1 и'sir's 储「whie 1^ ywh — nr 讣「。「"唱 rk HOL yu〔.【xk〔,⑴” tH；c ：l：!MV ucriHiei- Wil J. I i;； Ik： vabju »f pctsl.iiLil Н1ц ;-i, quik nev: к Hid of j，;i.「£kh for whii-li tkry к 屮…不中犷吊仁⑴；il 「*•'”■ 山tmy\ ;⑺，:l 1丨川：；工门门鼠瓜力仁；l (игИит <-<>]ii])li.cn

Uchi inl.o du- sm?.Iv <jf t■1г：1.ъ：чи.：iry |)jrtirt^s. 'Vh^ \ntmsi nf rh<' i；h'nr\' r.i< i:u；iuii<-u.- |H>h,-s is that !l "нт?" и M，ml R「U『I；屮乙山”n r if 1 lb..' I1SC；|I cicrlrodx HrimH.^, ；uii.|门『门3・・切门片，?.『”"上门忆丿" * f力'门.7■兑立 3"с гип н-l 1屮，小：Н:：:i：E，n: 「屮：，｛匚9心 W <!.n<iiit нгп iiydI；⑴7' fp Mn ""2山二%门. 3f a 川山：3f.f；； u.「h an "山"门「 「小小「*」也

<Jiih' |：r-ovi<li4：:

眩=»? 舐，(1)

vJicu/ /г ]S ,чп. iiLi.^..：：<?r. rtiiis rile mrrr- c-m.st,(4：ici?： of I)!：!.? pole Lif >： rrilt^Vj .^ WO'.iia Г，гц｝и1<- лИ <4.：.；(■■- irk，：h;i【MLf » 1* ⑴ 1；汽川小：J i：-i 川小兰(ji J；hf/'v- ；4!'1<1, siini!；ir!\\ ihf rxi'hmrr з[ un廿「hjj&#f ."uld п.'.(|1..ягс ;i 1 j)i^e!.-- io be c：|i.i.；：irJized. "Vhv(ju.u)tiz.i liori of clcclrrnlv is n：h. С)\ ihu rriiibl f ин ft-i 1 Cid и I ；ii'sH slrikiri- fc/rrnrrs uf /Нонне pJjvsii's, aruj then- seerjjs to 1：ч- nt：> cx])L：m；!.l ior； for ii ;屮」门 fmm llz |h「"「V uf ]，nh”.」1"：T 】>门 F\"|「r 5i ИНГ g ;(./U lids hii L「k：AFT JI ihr<)f i.J.CSi.：- I M aj.'S.

iu 1"31」1h「ilitxK、E тк・п I，"“貝产｛工 I w；is \ч-г\- irii"o!i?ji|.i-|<.\ .и- i： [imvidrU. <?ri|\- 1 lie cqi.i；i.l ioils oi ⑴ “I inn furj ш..11：.^сйг pedr ^i I： hr ：[.-hl uf .-ijjr^v-il r；Hli「hf wlinsr :иodc'ii 尸]"'，.「"，n「i Ihj t.：q;3M.it"»：r jH r.Hi.i：:；<fi)for ,；「li：m：「d pj.rib. lr ii： Hir fi.«.-b.l oE iiKP.jic-ir JJUJU-. v. hu：-i- riir.'t ini'! i”，：i v「n .'卜卜广口门：；- C1：|( d<:\-i!li)p!nr；!.1 p|-(i\idcs. .JI I in- xqu；山.72 川

Первая страница статьи П.А.М. Дирака«Теория магнитных полюсов»

вием огромную энергию, необходимую, чтобы создать частицу с отдельным полюсом, что может очень хорошо объяснить, почему такие частицы не наблюдались до настоящего времени ).

В экспериментальной физике уже есть ряд частиц, для которых пока не существует удовлетворительных теорий. Поэтому удивительно, зачем понадобилось постулировать частицы совсем нового сорта, на существование которых нет никаких экспериментальных указаний, вводя тем самым дальнейшие усложнения в изучение элементарных частиц. Теория магнитных полюсов интересна тем, что она образует естественное обобщение обычной электродинамики и приводит к квантованию электричества. Последовательные уравнения квантовой механики для взаимодействия полюса силы g с электрическим зарядом е можно построить, только если eg = I nhc,(1)

где п — целое. Поэтому одно только существование единственного полюса интенсивности g потребовало бы, чтобы все электрические заряды были квантованы в единицах 方c/(2g)〉и аналогично, существование единственного заряда потребовало бы, чтобы были квантованы все полюсы. Квантование электричества — это одна из самых основных и поразительных особенностей атомной физики, и кажется, что для него нет никакого объяснения, кроме теории полюсов. Это дает некоторое основание надеяться, что такие полюсы существуют.

Впервые я выдвинул идею о магнитных полюсах в 1931 г. Теория, которую я предложил тогда, была весьма незаконченной, ибо она содержала только уравнения движения магнитного полюса в поле заряженной частицы, движение которой задано, или уравнения движения заряженной частицы в поле магнитного полюса, движение которого задано. Предлагаемое теперь усовершенствование позволяет получить все уравнения движения для магнитных полюсов и заряженных частиц, взаимодействующих друг с другом через посредство электромагнитного поля в соответствии с квантовой механикой, и позволяет получить полную динамическую теорию, исключая обычные трудности с появлением расходящихся интегралов в решениях волнового уравнения, возникающих из-за обратного действия на частицу того поля, которое она сама создает. В предлагаемой теории эти трудности совершенно той же природы, что и в обычной электродинамике.

Классические уравнения движения

Мы все время будем работать с релятивистскими обозначениями, используя, чтобы указать точку в пространстве-времени, четыре координаты 力从(/1 = 0,1, 2, 3) и принимая скорость света равной единице. Электромагнитное поле в какой-либо точке образует 6-вектор 耳=—理从.Нам

понадобится использовать обозначение 6-вектора (F^)^, дуального к 6- вектору 歹心〉определяемого

(口)01 =f23,(口)23 = -^01,

вместе с уравнениями, получаемыми отсюда циклической перестановкой 1, 2, 3. Заметим, что

и что с другим 6-вектором

(С W = Р^Г.

Обычные уравнения Максвелла — это

dF^/дх^ = -47rJM,(3)

где J^ — вектор, образованный плотностью заряда и током, и

ат^дх” = о.(4)

Уравнение (4) утверждает обращение в нуль дивергенции магнитного потока и должно быть модифицировано в теории, допускающей отдельные полюсы. Плотность полюсов и ток полюсов образуют вектор к从一магнитный аналог J^, и (4) надо будет заменить уравнением

a(R)“/a^ = —4тг%・(《)

Мировая линия частицы может быть описана, если четыре координаты z从 точки на ней задать как функции измеренного вдоль нее собственного времени

2間=2/i(S)・

Частица с точечным зарядом е порождает такой вклад в J^, который бесконечен на мировой линии и равен нулю во всех других местах. Мы можем выразить его с помощью 8-функции и получим тогда для четырехмерного вектора заряда-тока в произвольной точке 力

加(力)=e ё /替位(力-z)曲，(5)

где функция 位 определена как

位(力)=8(力0)8(力1)8(力2州(%3), а £ означает сумму по всем заряженным частицам. Аналогично, если полюсы g сосредоточены в точках, то

к小吟=eg J崇40 - 2)曲，(6)

где £ означает сумму по всем частицам с полюсами. Уравнения (3), (4‘)〉 g

и (6) фиксируют поле, если движение частиц и падающее излучение известны.

Движение заряженной частицы задается уравнением Лоренца:

Мы можем принять аналогичное уравнение и для движения полюса:

Появляющиеся здесь полевые величины 巧^(z) должны быть взяты в точке г, где расположена частица, и поэтому бесконечно велики и сингулярны. Таким образом, эти уравнения в действительности не имеют никакого смысла. Чтобы обойти бесконечности, становится необходимым сделать в них небольшие изменения. Часто используемый прием состоит в том, чтобы отойти от модели точечного заряда, заменяя 84-функцию в формуле (5) приближающейся к ней сглаженной функцией. Похожую процедуру можно было бы применить и к полюсам в формуле (6). Этот метод, однако, для частиц приводит к дополнительной массе, которая не преобразуется в соответствии с требованиями теории относительности. Возможно, лучший метод состоит во введении предельного процесса, немного изменяющего уравнения поля таким образом, что дополнительная масса для частиц в пределе не появляется. Получающаяся теория не лоренц-инвариантна до выполнения предельного перехода, но лоренц-инвариантна в пределе. Этот последний метод и будет принят здесь. Он потребует, чтобы в уравнениях (3) и(7) вместо 巧^ появилась бы слегка модифицированная функция поля F^ так что мы придем к четырем уравнениям движения:

dF^/дху = -4тг £ & / * 4(力-z) ds,(8)

3(尸％〃班= -4тг £ g / * <М力-z} ds,⑼

g

m^=edz^F ^(10)

для заряженных частиц и

⑶(11)

as2 as

для частиц с полюсами. Эти уравнения, вместе с уравнениями, связывающими F с F*)которые линейны и будут приведены далее, образуют полную систему уравнений движения. Они справедливы при произвольных значениях е и g у различных частиц.

Электромагнитные потенциалы

Чтобы получить теорию, которая может быть перенесена в квантовую механику, нам нужно привести уравнения движения к форме, вытекающей из принципа действия, а для этой цели нам потребуются электромагнитные потенциалы. Обычный путь их введения состоит в том, что полагают

но это более невозможно, когда есть магнитные полюсы, так как (12) приводит к уравнению (4) и, таким образом, противоречит (9). Поэтому выражение (12) необходимо видоизменить.

Если рассмотреть фиксированный момент времени, то выражение (12) и уравнение (4) требуют, чтобы полный магнитный поток, пересекающий любую замкнутую поверхность в этот момент времени, был бы нулем. Это неверно, если внутри замкнутой поверхности есть магнитный полюс. Уравнение (4) должно тогда нарушиться где-либо на такой поверхности, и мы можем предположить, что оно нарушается только в одной точке. Тогда уравнение (4) будет нарушаться в одной точке на каждой окружающей полюс замкнутой поверхности, так что оно будет нарушаться на некой линии точек, тянущейся из полюса наружу, которую мы будем называть струной. Струна может быть произвольной кривой линией, тянущейся из полюса к бесконечности или же к другому полюсу равной и противоположной силы. Каждый полюс должен находиться на конце такой струны.

Переменные, которые нужны, чтобы фиксировать положения струн, будут рассматриваться как динамические координаты, а сопряженные им импульсы будут введены ниже. Эти переменные нужны для динамической теории, но они не соответствуют чему бы то ни было наблюдаемому, и их значения в конкретных задачах всегда произвольны и не затрагивают физических явлений. Их можно назвать нефизическими переменными.

Нефизические переменные и ранее появлялись в динамической теории. Например, в обычной электродинамике дополнительные переменные, которые нужны для описания потенциалов, когда поля фиксированы — это нефизические переменные. Более простой пример предоставляет азимутальный угол вращающегося тела, симметричного относительно его оси вращения. Нефизические переменные всегда можно исключить подходящим преобразованием, но это может ввести в теорию такую потерю симметрии, что игра не будет стоить свеч. (Описывающие струны нефизические переменные можно было бы исключить наложением того условия, что струны всегда должны тянуться из каждого полюса к бесконечности в направлении оси х±. С фиксированными таким образом струнами не потребовалось бы никаких переменных для их описания, но симметрия уравнений относительно трехмерных вращений была бы полностью испорчена. Физические же следствия теории не были бы затронуты.)

Каждая струна прочерчивает в пространстве-времени двумерную полосу. Эти полосы будут областями, где не справедливо выражение (12). Каждую полосу можно описать, выражая общую точку у从 на ней как функцию двух параметров, то и ri：

^ =以

Допустим для определенности, что каждая струна тянется до бесконечности. Тогда можно так устроить параметры то и 口)что л = 0 на мировой линии полюса и растет до бесконечности, если следовать до бесконечности по струне, а то меняется от —ос до +сю при переходе от бесконечно прошлого к бесконечно будущему.

Выражение (12) следует заменить на выражение вида

3許-"注"3許-"注"(13)(13)

3許-"注"

3許-"注"

(13)

(13)

где каждая (G^^ — это полевая величина, которая исчезает всюду кроме одной из полос, а суммирование выполняется по всем полосам, связанным по одной с каждым полюсом. Подставляя (13) в (9), найдем, учитывая (2),

чточто(14)(14)

что

что

(14)

(14)

Это уравнение, которое определяет G^.

Легко проверить, что решение уравнения (14) есть

(15)(15)

(15)

(15)

проинтегрированное по всей полосе. В самом деле, (15) дает сразу

dG^8力"dG^8力"Согласно теореме Стокса для любых двух функций U и V на полосеСогласно теореме Стокса для любых двух функций U и V на полосе7. dV7. dV(16)(16)

dG^

8力"

dG^

8力"

Согласно теореме Стокса для любых двух функций U и V на полосе

Согласно теореме Стокса для любых двух функций U и V на полосе

7. dV

7. dV

(16)

(16)

где в левой части интеграл берется по любой области на полосе, а в правой части — по ограничивающей эту область кривой. Полагая U = 84(力一у)〉 V = у^ ^ применяя теорему ко всей полосе, так что единственная часть границы не на бесконечности — это мировая линия полюса, получаем

что согласуется с (14), поскольку ^(tq, 0) = z^s)^ где tq ——некоторая функция s.

Для заданных мировых линий частиц то решение уравнений поля (8) и (9), для которого нет падающего поля, называется запаздывающим полем. Оно связано с выражением (13) запаздывающими потенциалами. Запаздывающие потенциалы состоят из вкладов от каждой частицы, зависящих только от мировой линии этой частицы и, в случае, если частица имеет полюс, — от присоединенной к ней полосы. Эти вклады можно удобно выразить с помощью лоренц-инвариантной функции J(力工 определяемой как "丁、= [28(力从力从)для ж0 > 0,()

для < 0

или как

J(力)=丁 一 1“ с 0 - T), Г =(%;+ 力^ + 力^ 尸 〃•

Функция Паули-Йордана △(%) связана с J(x) соотношением

(18)(18)△（力）=J（X）- J（一%）.

(18)

(18)

6 П. Дирак. Т. III

Легко проверить, что

J(力)=47rB4(力).(19)

(Этот результат можно проверить вблизи начала координат, выражая интеграл от □/(力)по малому четырехмерному объему вокруг начала как трехмерный поверхностный интеграл по границе этого объема.)

Вклад заряженной частицы в запаздывающие потенциалы есть, согласно формуле Льенара-Вихерта,

+оо

4；(力)ге = е / J(x —力胆二上 ds.(20)

丿ds

(В левую часть вставлено 4* вместо А, поскольку в (8) фигурирует поле F*.) Соответствующая формула для вклада полюса — это

4О)ге = gE办叫 〃 М Г д— “) dTo dry(21)

с интегрированием по всей полосе, где 金^入。。——антисимметричный тензор четвертого ранга с eoi23 = 1- Чтобы проверить формулу (21), заметим, что она ведет к

ox^J J ото on

Используя

^〃"先办晔=以^户』+ 5p2"В + 8/以 а8/ - 3/3), где символ —(q/З) означает, что надо вычесть все предыдущие члены с переставленными а и /3〉получим с помощью теоремы Стокса (16), (19) и (15):

^.цуа^ 94 ге — дх^

=g伏也л 竺+也亠竺+竺虻

丿丿 I дтоду/з дп дпдуа ^т0 дт0 дп)

(а/3) = g /尸厂叫 子曲—3/3) + 47TG叫 丿 L Оув 」y=z ds

Согласно формуле (13) это приводит к запаздывающему полю

(р]\^ —严^8 °4 re _ 47rG&Q =

丝(22)

丿 。/万 as。/万 oxa

гдеа

Втг =g l{x-z)^-ds.(23)

Из аналогии между выражением (23) и потенциалом Льенара-Вихерта (20) видно, что это правильное выражение для создаваемого полюсом запаздывающего поля.

В обычной электродинамике потенциалы ограничены условием

也=0 или 也=0.дхидхи也=0 или 也=0.дхидхи(24)(24)

也=0 или 也=0.

дхидхи

也=0 или 也=0.

дхидхи

(24)

(24)

Это условие можно сохранить и в настоящей теории, поскольку оно удовлетворено для запаздывающих потенциалов (20), (21). Обе формы условия (24) эквивалентны благодаря линейной связи между полями со звездочкой и без звездочки (см. (29)).

Принцип действия

Интеграл действия обычной электродинамики можно выразить в виде суммы трех членов /] + 厶 + ‘3〉где /] — это интеграл действия для одних частиц,

厶/ds,

，2 ——интеграл действия для одного поля,

，2 = (16тг)-1 / F^F開"d% (d% = dx()d力 1 d力2 d力з), a /3 — вклад взаимодействия зарядов с полем,

/з = £е/厶"⑶窦 ds.(25)

Поля F^ в /2 рассматриваются как функции потенциалов.

Тот же интеграл действия подойдет нам и в настоящей теории, если только расширить сумму в /1 так, чтобы она включала не только частицы с зарядами, но в равной мере и частицы с полюсами

厶/曲.(26)

e+g

Для взаимодействия между полюсами и полем не нужно дополнительного члена, оно будет учтено в 厶〉если рассматривать теперь в нем 巧 как функцию потенциалов и струнных переменных ^(tq, л), задаваемую формулами (13) и (15).

Чтобы избежать в уравнениях движения бесконечностей, возникающих из бесконечных полей, создаваемых точечными зарядами и полюсами, сделаем небольшое видоизменение уравнения поля, заменяя 厶 на

/2 = (16тг)-1 ^ Fw(x，FN"(xh(x — X，d"x d"x\

где 7(ж) — функция, которая приближает функцию 84(力)и притом так, что стремится к 84(力)в пределе. Мы примем, что

)(-%)=)(%)，(27)

и примем другие свойства )(力)〉которые потребуются впредь, но точная форма 7(ж) останется произвольной. Мы можем записать /$ как

总=(167г)-1 / F^(x)F^(x) d%,(28)

используя то обозначение, что для любой полевой величины U(力)

и^х) = / и(#Н(力-力)d%/.(29)

Проверим теперь, что варьирование

/ =厶+与+ /з

приводит к правильным уравнениям движения. Вариация 厶 хорошо известна и дает

8厶=—£ пг / * ds.(30)

e+g

Варьирование /3 может быть проведено так же, как и в обычной электродинамике, и дает

В" = £ еВ?" + ^A^S^fds. (31)

л 丿 IL ох^ охи」x=z丿 ds

е

Варьирование /$ дает, с помощью (27),

b/$ = (87г)-1 〃 々^("州f从气力))(力-")d%d%/ =

=(8тг)т/ F^(x)SF^(x)d4x.

Подставляя для F^ его значение, задаваемое уравнением (13), получим 词=-(47г)-1 / %* (^) ^ + I Е / F^5^Yy d% =(32)

(33)(33)

(33)

(33)

С помощью (15) для второго члена дальнейшим применением теоремы Стокса (16) fgjg

旺g 〃g宀為黑一黑驾旺g 〃g宀為黑一黑驾++++▼祟祟6叭KdT\▼祟祟6叭KdT\旺g小g旺g小gдто ^tiдто ^tiд^^ду^ ду^871 дгод^^ду^ ду^871 дго

旺g 〃g宀為黑一黑驾

旺g 〃g宀為黑一黑驾

+

+

+

+

▼祟祟6叭KdT\

▼祟祟6叭KdT\

旺g小g

旺g小g

дто ^ti

дто ^ti

д^^ду^ ду^

871 дго

д^^ду^ ду^

871 дго

дур \ дто dridri дтодто ^n / J

= eg/(R)3 ⑶^ 紧曲一

少〃("少〃("I a(尸f) дуI a(尸f) ду+综⑺复а宀T皿./ ОТО ОТ1+综⑺复а宀T皿./ ОТО ОТ1(34)(34)

少〃("

少〃("

I a(尸f) ду

I a(尸f) ду

+综⑺复а宀T皿.

/ ОТО ОТ1

+综⑺复а宀T皿.

/ ОТО ОТ1

(34)

(34)

Полная вариация 31 дается суммой (30), (31), (34) и первого члена в (33).

Приравнивая нулю коэффициент при В/从(力)в 5/, мы получаем в точности уравнение (8). Приравнивая нулю коэффициент при bz从 для заряженных частиц, получаем

Это совпадает с уравнением движения (8), если только заряженные частицы не лежат на какой-либо из струн, так что G^^ = 0. Приравнивая нулю коэффициенты при bz从 для полюса, мы получаем в точности (11). Уравнение (9) — это следствие уравнений (13) и (15), которые выражают F^ через потенциалы и струнные переменные. Таким образом, все уравнения движения (8), (9), (10) и (11) следуют из принципа действия 31 = 0, если только мы наложим то условие, что струна никогда не должна проходить сквозь заряженную частицу.

Приравнивая нулю коэффициент при вариации by从 струнной переменной, найдем

а(尸 f)〃"* + а(尸f)"。* + а(尸 f)w* = 0дур ду^ ду" 〉

или

что должно выполняться во всех точках полосы. Благодаря (8) это выполняется автоматически, если только струна никогда не проходит через заряженную частицу. Поэтому принцип действия не приводит ни к каким уравнениям движения для струнных переменных в соответствии с нефизической природой этих переменных.

/ — правильный интеграл действия, и его можно использовать в качестве основы электродинамической теории. Однако в гамильтоновой формулировке уравнений движения он ведет к некоторым неудобствам, так как импульс, сопряженный Aq, исчезает тождественно. Это неудобство можно обойти с помощью метода, предложенного Ферми и состоящего в

добавлении к интегралу действия дополнительного члена

Он даетОн даетЬ/4 =Ь/4 =04* аб4 d4力= дх^ дхи04* аб4 d4力= дх^ дхи=_(4 开)т/=_(4 开)т/且包二b/从d^x дхидх^且包二b/从d^x дхидх^(35)(36)(37)(35)(36)(37)

Он дает

Он дает

Ь/4 =

Ь/4 =

04* аб4 d4力= дх^ дхи

04* аб4 d4力= дх^ дхи

=_(4 开)т/

=_(4 开)т/

且包二b/从d^x дхидх^

且包二b/从d^x дхидх^

(35)

(36)

(37)

(35)

(36)

(37)

и приводит к добавочному члену —д^А^/дх^дх^ в левой части уравнения (8). Этот добавочный член в (8) не влияет на уравнения движения, поскольку он пропадает благодаря дополнительному условию (24), но в гамильтоновой формулировке необходимо проводить различие между такими уравнениями, которые выполняются только в силу дополнительных условий, и такими, которые от дополнительных условий не зависят. Поэтому мы должны сохранить этот член в (8), чтобы иметь уравнение последнего рода. Тогда с помощью (13) и (15) уравнение (8) может быть записано как

(力)= 4тгее / 紧位(力一z) ds + 4万 e "吸^*. (38)

Метод перехода к гамильтоновой формулировке

Когда имеются уравнения движения динамической системы в форме принципа действия, то в качестве следующего шага в процессе квантования надо перевести их в гамильтонову форму. Общая процедура этого состоит в том, чтобы взять интеграл действия сперва для определенного времени t и затем образовать его вариацию, разрешая t меняться. Эта вариация окажется линейной функцией dt и вариаций bq динамических координат в момент времени & а все остальные члены уничтожатся, если использовать уравнения движения. Вводят полную вариацию конечных q:

△q = Sq + qSt

и выражают 61 через Д^г и Bt. Это выражение полагают равным

SI = ^prAqr -WSt(39)

(или соответствующему выражению с интегралом вместо суммы) и определяют таким образом импульсы рг и энергию W. При этом рг и W появляются как функции координат qr и скоростей @『)и поскольку число переменных в наборе 夕乙 W на единицу больше числа скоростей @『)то должно существовать соотношение между pr^ W и координатами типа

W - Я(^) = 0.(40)

Переменные рг и —W суть частные производные / по Qr и /;, так что (40) дает дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет /, называемое

уравнением Гамильтона-Якоби. От этого уравнения можно перейти к волновому уравнению квантовой механики, применяя определенные правила. Может оказаться больше одного уравнения, связывающего pr^ qr nW] в таком случае будет больше одного уравнения Гамильтона-Якоби, ведущих больше чем к одному волновому уравнению.

Чтобы сделать описанную выше процедуру релятивистской, надо взять интеграл действия по всему пространству-времени, предшествующему некоторой трехмерной пространственноподобной поверхности S)простирающейся до бесконечности. Затем надо образовать его вариацию, подвергая общему варьированию как S)так и предшествующие S динамические координаты, и выразить результат через общие вариации различных динамических величин на S. Это снова даст уравнение типа (39), и можно будет снова определить коэффициенты в нем как импульсы и построить уравнение Гамильтона-Якоби.

Существуют разнообразные способы модификации этой процедуры, которые могут быть удобны в частных задачах. Вместо того, чтобы резко останавливать интеграл действия на определенном времени или на определенной трехмерной пространственноподобной поверхности S)можно остановить разные члены на различных временах. Можно описать остановку интеграла действия, предполагая, что динамическая система перестает существовать некоторым неестественным способом, и рассматривая полное действие, пока она не перестанет существовать. Чтобы остановить разные члены интеграла действия в разные времена, надо представить себе, что разные части динамической системы перестают существовать при разных временах. После того как некоторые части уже перестали существовать, оставшиеся части продолжают двигаться в соответствии с уравнениями движения, которые следуют из сохранившихся членов интеграла действия, пока они в свой черед не перестанут существовать. Различные способы остановки интеграла действия ведут к различным уравнениям Гамильтона-Якоби (40), которые в равной степени выполняются и отличаются одно от другого контактными преобразованиями.

Когда есть частицы, взаимодействующие с полем, то удобным способом остановки интеграла действия будет допущение, что сперва частицы прекращают существование в точках пространства-времени, лежащих вне взаимных световых конусов, а затем поле останавливается при значительно более позднем времени. Этот остановленный интеграл действия меняют, варьируя точки z^ в пространстве-времени, где частицы перестают существовать, а также поверхность Sf〉на которой перестает существовать поле. Приравнивая нулю ту часть вариации остановленного интеграла действия, которая не содержит граничных вариаций, получают для частиц (до того, как они перестают существовать) те же самые уравнения, что и получавшиеся из неостановленного интеграла действия, и получают уравнения поля, которые продолжают управлять полем после того, как частицы перестали существовать. Из-за того, что вариации △%从 в точках z^ происходят в пространственно-временных областях, полностью погруженных в поле, получаются уравнения, работать с которыми гораздо удобнее, чем с получаемыми обычным методом, в котором принимается, что частицы и поле перестают существовать одновременно.

В новой электродинамике мы примем, что все частицы, а также и относящиеся к полюсам струны перестают существовать на трехмерной

пространственноподобной поверхности Sp и что электромагнитное поле перестает существовать на расположенной значительно позже поверхности Sf・ Это означает, что задаваемые (25), (26) интегралы /1, /3 должны быть остановлены, когда мировая линия достигает Sp, и что интеграл по полосе в (15) должен быть остановлен, когда полоса достигает Sp, в то время как задаваемые (28), (35) интегралы 1^ /4 должны быть остановлены на границе Sf・ Остановка этих интегралов не затронет уравнений движения для частиц и поля раньше Sp, а именно уравнений (10), (11), (38), и, далее, уравнение (38) будет продолжать выполняться и на Sp и позже, вплоть до Sf・

Допустим, что связь (29) между полевыми величинами U и U* такова, что значение одной из них в точке х определяется значениями другой в пространственно-временных точках вблизи х. Поэтому, если одна из них обращается в нуль в некоторой области пространства-времени, то вторая тоже обращается в нуль в этой области, кроме как, возможно, в точках вблизи границы.

Поскольку Gw исчезает всюду, кроме полос, то теперь и G^ должна исчезать в области между Sp и Sf〉исключая точки, вблизи которых струны перестают существовать. В этой области у нас обратится в нуль и первая сумма в правой части уравнения (38), поскольку интегралы останавливаются на Sp. Поэтому мы можем заключить из (38), что

口4*(力)= 0.(41)

Такими же рассуждениями мы можем заключить, что

ОА^х) = 0(42)

в области между Sp и Sf〉кроме тех точек, вблизи которых перестают существовать заряженные частицы.

В областях, где выполняются уравнения (42) и (41), мы можем разложить 4(力)и А^(х) в интеграл Фурье:

4⑺=e/”济叽「如，(43)

用о

4*(力)=E/ 4从%2恤*1产E(44)

用0

где

(k 力)=kQXQ — k±xi —倉2力2 — кз 力 з,

d% = dk± dk2 dk^ и ко = 土(kJ + k^ + кз?)"?〉

a £ означает сумму по обоим значениям к° для данных ki)倉2〉倉3• Множи- 用о

тель kji введен потому, что к^1 d?k есть лоренцев инвариант. То условие, что А^х) и А^^х) вещественны, дает

а—k開=一/用从) a—k開 =一/用从•(45)

Пусть фурье-разложением функции)(力)будет

7(ж) = (2тг)—4 /)6(阮)d^l

сс7-z = 7z-

с

с

Условие )(—力)=7(ж) дает

7-z = 7/,(46)

так что 7/ вещественно. Тогда прямым интегрированием найдем, что

^к|1 = 7用/用从♦(47)

Нам понадобится, чтобы фурье-разложение (43) выполнялось в каждой точке г, где перестает существовать заряженная частица, и чтобы фурье- разложение (44) выполнялось в каждой точке у〉где перестает существовать струна. Кажется вероятным, что этого можно добиться подходящим выбором функции 7, поскольку точка у никогда не бывает очень близкой к точке z. Примем, что полевая величина U(力)определяется значениями U* (力')в точках 力-лежащих вблизи х и вне светового конуса х. Тогда A^z) будет определяться значениями А^*^) в точках 力-для которых справедливо фурье-разложение (44), так что фурье-разложение для A^z) тоже будет выполняться. Аналогично, фурье-разложение А^^у) будет выполняться, если U*(x) определяется значениями U(x) в точках 力-лежащих вблизи х и вне светового конуса х.

Дополнительное условие (24) в области между Sp и Sf претерпевает изменение. Если интегралы (20), (21) остановлены на Sp, то записывая 〃 для z(s')〉мы найдем, что

дхиJ dxu ds‘

e —ос

=空产小 s=—£eJ(x —办(48)

厶1 J 0现 as,厶1

e —ooе

Эта величина отлична от нуля, если х лежит на световом конусе будущего одной из точек г, где перестает существовать заряженная частица. Уравнения (41) и (48) показывают, что потенциалы А^ приводят между Sp и Sf к полю типа Вентцеля х).

Гамильтонова формулировка

Образуем вариацию интеграла действия, ограниченного, как то указано выше, при изменении Sp, но не Sf, и вычислим в 31 член, связанный с поверхностью. Члены, возникающие из 31± и 8/3〉一 такие же, как и в обычной электродинамике:

£ т 乎△%〃 + £ £//)△/(49)

e+gе

Свойства такого поля приведены, например, в работе Dirac Р. // Ann. Inst. Henri Poincare. 1939. V. 9. P. 23.

где △%从一полное изменение координат точки, где частица перестает существовать. При образовании 5/^ мы не можем более пользоваться (32), но должны использовать вместо этого

Sf

6为=一師尸/卄"*+F“*}d4c +

J I0 /^OX p 丿

—ос

Sf

+ |E / {F^S(G^ + &»9屮“*}d^ (50) g —ОС

Второй член здесь равен

ОС

g —ОС

если только поверхность Sf расположена существенно позже, чем Sp, так что)(力一力')=0 для х более ранних, чем Sp, и 力]более поздних, чем Sf・ Мы можем теперь использовать вычисления, которые привели нас к (34), с интегралами по полосам, распространенными только на предшествующие Sp части полос. Это даст дополнительные члены, возникающие из-за применения теоремы Стокса, как интегралы по контурам, образованным линиями пересечения полос с поверхностью Sp. Устраивая параметризацию на полосах таким образом, что линия, по которой полоса встречает Sp, задается уравнением tq = const, и линия, по которой варьированная полоса встречает варьированную Sp, задается уравнением то = той же самой константе, получаем для этих линейных интегралов

Линии интегрирования — это положения струн, когда они перестают существовать. Образуя 5Д, мы не можем более пользоваться (36), но должны использовать вместо него

Sf

8/4 = (8开厂1染).(52)

/I a/从дxиа力从дxи J

Это величина такого же строения, как первый член в правой части (50), и оба вместе дают, путем интегрирования по частям, граничный член в форме интеграла по трехмерной поверхности Sf, который можно записать как

—П 丕 SA^ + 妙 SA^ ] dS[(53)

87r 丿 I dx-dx- J ?

где dS" — элемент этой поверхности. Все остальные члены в 61 уничтожаются при использовании уравнений движения, если только Sf не очень близка к Sp, так что мы остаемся с 8, равной сумме выражений (49), (51) и (53).

С этим выражением для 61 мы еще не можем прямо ввести импульсы согласно формуле (39), поскольку /从)/从*〉вариации которых входят в (53), не независимы и поскольку мы не варьировали Sf・ Удобный способ работы состоит в том, чтобы перейти к фурье-компонентам потенциалов, для которых мы можем использовать фурье-разложения (43) и (44), ибо в выражении (53) мы имеем дело с потенциалами на поверхности Sf・ Будем считать, что варьированное движение удовлетворяет уравнениям движения, так что фурье-разложения (43), (44) справедливы на Sf и для варьированного движения. Тогда выражение (53) принимает, с помощью (47), вид

(87г)уe 加瓦(伙+加)4>4奴%(3叽「四耳T*dSJ

Если мы выберем ради простоты поверхность Sf, равную 力о = const (любая пространственноподобная поверхность должна дать тот же конечный результат), оно превратится после интегрирования по 力1〉力2 s 力з в

тА £ 〃(伙 + т#А科收а5з(к + 〃)#к^т 产从

где Ьз(к) означает 8的州的州的).Множитель 83(6 + к') здесь показывает, что подынтегральное выражение пропадает, кроме как для % = —% (г = =1, 2, 3), что влечет за собой 友$ = 土友°. Поэтому выражение сводится, с помощью (46), к

—2^2〃 £ / ^kAk^A_k^Sk + 用о

+ 7А £ / 6к + 7 砧—結)4/4。—广产^喩「d3k 用о

Второй член здесь можно записать в виде полного дифференциала

用0

и потому его можно отбросить. Первый же член можно, если мы ограничим ко условием быть > 0 и используем (45) и (46), записать как

2тЛ / 伙(40N J - Ак^Ак^к^ d3k =

=27r2〃b / ТкА^АУк； d3k=27r2〃b / ТкА^АУк； d3k—47r 勺—47r 勺/ 7用4用从b/Jk。d^к./ 7用4用从b/Jk。d^к.(54)(54)

=27r2〃b / ТкА^АУк； d3k

=27r2〃b / ТкА^АУк； d3k

—47r 勺

—47r 勺

/ 7用4用从b/Jk。d^к.

/ 7用4用从b/Jk。d^к.

(54)

(54)

Первый член в (54) — это опять полный дифференциал, который можно отбросить. Мы приходим таким образом к тому конечному выводу, что 5/, с точностью до полных дифференциалов, равна сумме (49), (51) и второго члена из (54).

Мы выберем в качестве динамических переменных координаты z^ частиц, когда они перестают существовать, координаты у从(丁1) точек на струне, когда она перестает существовать (образующие одномерный континуум координат для каждого полюса и каждого значения 从))и фурье- компоненты А^^ с к°〉0 потенциалов, после того как все частицы и струны перестали существовать. Коэффициенты при вариациях этих координат в выражении для 5/, даваемом суммой выражений (49), (51) и второго члена в (54), будут сопряженными импульсами. Поэтому импульсы заряженной частицы — это

p从=皿普+山⑶，(55)

для частицы с полюсом —

PN = m(56)

ds

Импульсами, сопряженными струнным переменным у从(丁1) (назовем их /3从(71)), будут

/yq)=g(A)d(57)

ап

и импульсами, сопряженными А^будут

一4开2^灰从妬1.(58)

Струнные импульсы /?从(丁1) образуют одномерный континуум переменных, соответствующий одномерному континууму координат у从(口工 а полевые импульсы (58) образуют трехмерный континуум, соответствующий трехмерному континууму координат поля.

Мы можем ввести скобки Пуассона обычным образом. Для координат и импульсов каждой частицы получим

[0从)zv\ =gw(59)

Для координат и импульсов струны получим

[/?从= g^b(n —公)，(60)

а для полевых переменных получим, в соответствии с (58)

Й^, 4用力]=“47f2)Tg^)Jkob3(k - А/).(61)

Все остальные СП равны нулю.

В пределе)(力) т 84(力)получится)用 т 1 и (61) даст обычные СП соотношения для фурье-амплитуд электромагнитных потенциалов. Если мы выберем)[1 = cos(GA)〉где Л — малый 4-вектор, удовлетворяющий условию Л2 > 0, и сделаем предельный переход Л т 0〉мы придем к предельному процессу, который уже использовался в электродинамике, классической и квантовой, и который дает возможность преодолеть некоторые из трудностей, связанных с бесконечными полями, вызываемыми точечными частицами. Это выражение для)用 могло бы оказаться пригодным в настоящей теории, однако я не исследовал, в какой мере оно было бы совместным со всеми требованиями на функцию )(力).

Мы можем исключить из уравнений (55) и (56) скорости dz从/ds и получить

{夕从-eA^z)}{p^ - eA^(z)} - m2 = 0(62)

для каждой заряженной частицы и

夕从沙—m2 = 0(63)

для каждой частицы с полюсом. Эти уравнения должны быть объединены с (57) или с

g(A〃*匂)礬=0.(64)

Если A^z) в уравнении (62) и (F^^(y) в уравнении (64) выражены через фурье-компоненты А^, 4用从(законность этого была обсуждена перед концом предыдущего пункта), то (62), (63) и (64) суть уравнения, содержащие только динамические координаты и импульсы. Они будут дифференциальными уравнениями, которым удовлетворяет интеграл действия /, если рассматривать импульсы как производные от /, и они будут уравнениями Гамильтона-Якоби настоящей теории. Поскольку известно, что они имеют решение, именно, сам интеграл действия /, мы можем заключить из теории дифференциальных уравнений, что все СП их левых частей должны обращаться в нуль, что можно проверить и прямой выкладкой, исходя из соотношений (59), (60) и (61).

На этом этапе следовало бы ввести дополнительные условия (48) и трактовать их как дальнейшие уравнения Гамильтона-Якоби. Различные уравнения (48), получаемые выбором разных полевых точек 力)не независимы от уравнений движения и друг от друга. Мы получим из них полный набор независимых уравнений, выполняя разложение Фурье в области между поверхностями Sp и Sf・ В этой области мы можем, в силу (18), заменить функцию J(力一z) на △(力—г), фурье-компоненты которой даются формулой

△(力 _ %) = -г(47г2)-х £ / е泳/т)к「酒汽(65)

так что фурье-разложение (48) в этой области даст, при к°〉0,

廿— (4М)Т £ ee—^N) = 0,(66)

0.(67)

Эти уравнения включают только динамические координаты и импульсы, так что они имеют правильную форму, чтобы образовать уравнения Гамильтона-Якоби. Легко проверить, что они вместе с предыдущими уравнениями Гамильтона-Якоби (62), (63), (64) образуют совместную систему дифференциальных уравнений для убедившись, что все СП их левых частей обращаются в нуль.

Квантование

От приведенной выше гамильтоновой формулировки классической электродинамики можно перейти к квантовой электродинамике, применяя обычные правила. Для этого заменяют динамические координаты и импульсы классической теории операторами, удовлетворяющими коммутационным соотношениям, соответствующим СП соотношениям (59), (60) и (61). Далее заменяют уравнения Гамильтона-Якоби волновыми уравнениями, которые получают, приравнивая нулю левые части уравнений Гамильтона-Якоби (содержащие теперь операторы для динамических переменных) ,примененные к волновой функции ⑺.Полученные таким образом волновые уравнения будут совместны друг с другом, поскольку действующие на М операторы в их левых частях коммутируют, что можно заключить из обращения в нуль СП левых частей уравнений Гамильтона- Якоби.

Такое прямолинейное квантование приводит для всех частиц к волновым уравнениям типа К лейна-Гордона, что соответствует отсутствию у них спина. Чтобы иметь дело с электронами, надо было бы заменить эти волновые уравнения волновыми уравнениями, соответствующими спину 方/2. Мы не обладаем никакой информацией касательно спина полюсов и можем предварительно принять, что их спин тоже равен 方/2, ибо это дает простейшую релятивистскую теорию. Переход от нулевого спина к спину 方/2 не затрагивает взаимной совместности волновых уравнений.

Теперь у нас получается следующая схема волновых уравнений, выраженная через набор обычных спиновых матриц оа, а^^ аз, ат для каждой частицы:

{ро - eA^z) - ar[pr - eAr(z)] - amm}^ = 0(68)

для каждой заряженной частицы;

{ро - %0T - amm}^ = 0(69)

для каждой частицы с полюсом;

{历⑴-g(A)小®)黒卜=0(70)

для каждой струны и

{4臼% — £…(叫少=0,

е 、(71)

{4万2廿n& 一 E/("z)}⑺=0

для переменных поля. Волновая функция ⑺ может быть выбрана как функция описывающих частицы переменных z从,подходящих спиновых переменных для каждой частицы, струнных переменных ^(л) с 0 < ri < сю и полевых переменных А^. Она определена, только если все точки z从, 沙从(丁1) лежат вне световых конусов друг друга.

На первый взгляд, уравнение (69) наводит на мысль, что электромагнитное поле не действует на полюсы. Однако оно действует, как то видно из (70), на струны, и поскольку полюсы связаны со струнами, будучи их

концами, то поле влияет на движение полюсов. То, что оно влияет на него на самом деле, можно вывести из аналогии с классической теорией, в которой полюсы движутся согласно уравнению (11).

Единичный заряд и полюс

Интеграл действия / классической теории можно рассматривать как функцию тех точек z^ в пространстве-времени, где перестают существовать частицы, линий y^^ri) в пространстве-времени, где перестают существовать струны, и подходящих переменных поля. Он определен только при условии, что струны не проходят ни через одну из точек, где заряженные частицы перестают существовать. Он, однако, не является однозначной функцией этих переменных, что можно показать следующим образом.

Проведем непрерывное изменение переменных в / в соответствии со следующей процедурой. Мы будем держать все точки частиц z从,а также — все струны, кроме одной, фиксированными. Эту последнюю мы будем менять непрерывно, держа ее все время на трехмерной поверхности Sp, и окружим ею одну из точек z从,где находилась заряженная частица непосредственно перед тем, как она перестала существовать, возвращая струну обратно в ее исходное положение. В это время потенциалы /从(力)меняются непрерывно, так чтобы все время сохранялось выполнение соотношений (13), (15) для фиксированного значения поля 巧^(力)〉и возвращаются обратно к их первоначальным значениям вместе со струной. Мы получили здесь непрерывную деформацию переменных в интеграле /, которая возвращает их к их исходным значениям, и эту деформацию нельзя непрерывно стянуть так, чтобы никакой деформации не было бы вовсе, поскольку мы не можем заставить струну пройти через заряженную частицу. Струна будет заметать замкнутую двумерную поверхность, скажем а, лежащую в Sp, и окружающую точку z从,где находится заряд, и эта поверхность ст не может быть непрерывно стянута в нуль, поскольку она не должна проходить через заряд. Поэтому можно ожидать, что в процессе такой деформации / изменится, и его вариацию DI можно легко подсчитать следующим образом.

Малая вариация струн и потенциалов при фиксированных точках частиц Zr ведет к вариации /, задаваемой суммой правых частей (50) и (52). Под действием описанного выше замкнутого процесса деформации первый член в правой части (50) даст нуль, поскольку F^^ ⑪^* держатся фиксированными, а /从)/从* возвращаются обратно к их исходным значениям. Правая часть (52) также даст нуль, поскольку она дает полную вариацию Д, а /4 возвращается обратно к своему исходному значению. У нас остался только второй член в правой части (50). Он равен выражению (51) и дает для замкнутого процесса деформации

DI = gj\F>Jd 叫

где da^ — элемент двумерной поверхности, заметаемой струной. Стоящий здесь интеграл есть, согласно (8), как раз полный поток электрического поля, выходящий из замкнутой поверхности а, и равен поэтому умножен-

ному на 47r заряду е, окруженному поверхностью. Поэтому

DI = 47rge.

Мы можем закручивать любую из струн вокруг любого из зарядов любое число раз, так что полная неопределенность в / — это сумма

(72)(72)47r £ TUgegCge

(72)

(72)

по всем зарядам е и по всем полюсам g с произвольными целыми коэффициентами mge в каждом члене.

Явление неоднозначности интеграла действия встречается в механике часто. Простейший пример предоставляет динамическая система, состоящая из вращающегося вокруг фиксированной оси твердого тела, для которой интеграл действия равен просто моменту, умноженному на азимутальный угол, так что неопределенность в интеграле действия есть умноженный на 27r момент. Правило квантования теории Бора состоит в том, что неопределенность в интеграле действия приравнивается целому кратному h. Применяя это правило к неопределенности (72), получим

47rge = nh(73)

(где п — целое) для каждого полюса g и заряда е. Это тот же результат,

что и (1), только скорость света положена равной единице.

Результат (73) можно получить и из квантовой электродинамики п. 7 без боровского правила квантования, используя то условие, что волновая функция должна быть однозначна. Перестановочные соотношения (60) по

казывают, что /?从(丁1) есть умноженный на ih оператор функционально

ние (70) естьние (70) естьволновоеволновоеуравне-(74)уравне-(74)го дифференцирования по отношению к у从(口), так что

ние (70) есть

ние (70) есть

волновое

волновое

уравне-

(74)

уравне-

(74)

ih——— = g^F^ujy* (у)^-^ф.

Это уравнение показывает, как меняется ^, когда меняется положение струны. Когда струна заметает, перемещаясь, двумерную поверхность а, уравнение (74) показывает, что функция ⑺ умножается на

喷卜电/(口)"*37斗(75)

если только операторы (F^)^*, появляющиеся здесь в различных точках подынтегрального выражения, все коммутируют. (Можно легко устроить так, чтобы аккуратно удовлетворить этому условию, в случае, когда а лежит на плоской трехмерной пространственноподобной поверхности Sp, за счет подходящего выбора функции 7, а в случае общей Sp отсутствие коммутативности стремится к нулю, когда )(力)Т 84(%)〉и поэтому не приводит к неправомерности выкладки.) Применим теперь использованную выше процедуру закручивания струны вокруг заряда с возвращением ее к исходному положению. Поскольку функция ⑺ однозначна, мы обязаны вернуться к ее первоначальному значению, так что множитель (75) должен быть единицей. Это требует, чтобы

g J (F»w*doW 战=2тт

с целым п, что снова дает условие (73).

Мы приходим к тому важному выводу, что квантование уравнений движения заряженных частиц 〃 частиц с полюсами возмошсно^ только если заряды 〃 полюсы суть целые кратные единичного заряда во 〃 единичного полюса go, удовлетворяющих уравнению

eogo = I 方с (76)

Теория не фиксирует значений во и go, а дает только их произведение.

Обсуждение

Настоящая работа предлагает общую теорию частиц с электрическими зарядами и магнитными полюсами во взаимодействии с электромагнитным полем. Это не завершенная теория, поскольку взаимодействие частицы с ее собственным полем не трактуется удовлетворительно. Это видно из того, что в теории постоянно используется функция)(力),которая не определена точным образом — приведены только некоторые желательные для нее свойства. Но даже если бы была приведена удовлетворительная функция 7, не все трудности были бы разрешены, так как все еще остались бы бесконечности, появляющиеся в волновой функции при попытках разрешить волновое уравнение. Однако эти трудности появляются и в обычной электродинамике электронов без полюсов, и если их разрешение будет найдено в обычной электродинамике, то оно, вероятно, будет применимо и для более общей электродинамики с полюсами. Появление этих трудностей не представляет аргумента против существования магнитных полюсов.

Возникает вопрос, может ли элементарная частица обладать сразу и зарядом, и полюсом. Классические уравнения движения, приведенные в п. 2, можно немедленно распространить на этот случай, но гамильтонова теория сталкивается с определенными трудностями, связанными с точной формой функции 7, Дать надежный ответ на этот вопрос не кажется возможным, пока не достигнуто удовлетворительное описание взаимодействия частицы с ее собственным полем.

Развитая в настоящей работе теория существенно симметрична по отношению к электрическим зарядам и магнитным полюсам. Есть кажущееся существенным различие в трактовке зарядов и полюсов, которое, в первую очередь, проявляется через введение потенциалов согласно (13). Можно было бы, однако, с равным успехом работать, поменяв роли зарядов и полюсов. Тогда появились бы струны, приписанные зарядам, и надо было бы — вместо (13) — работать с потенциалами 8从,определенными уравнением

c G^, равными нулю везде, кроме как на полосах, прочерчиваемых новыми струнами. Конечным результатом оказалась бы эквивалентная квантовая электродинамика, только отнесенная к другому представлению.

Хотя с точки зрения общей теории между зарядами и полюсами есть симметрия, есть и существенное практическое различие за счет различных численных значений кванта заряда и кванта полюса. Если мы возьмем

экспериментальное значение постоянной тонкой структуры

и 137 то сможем вывести значение go：

go =右 а

Итак, величина go много больше, чем с。. Она соответствует постоянной тонкой структуры 137/4. Силы радиационного трения должны быть очень существенны для движения полюса с заметным ускорением.

Большое различие между численными значениями во и go объясняет, почему электрические заряды создаются легко, а магнитные полюсы — нет. Два одноквантовых полюса противоположного знака притягивают друг друга с силой, в (137/2)2 раз большей силы между двумя одноквантовыми зарядами на том же расстоянии. Поэтому должно быть очень трудно разделить полюсы противоположного знака. Чтобы оценить нужную для этой цели энергию, мы могли бы предположить, что элементарные частицы с полюсами образуют существенную составную часть протонов и имеют массу 从 порядка, скажем, половины массы протона. Энергию связи двух таких частиц нельзя вычислить аккуратно без более реалистической теории радиационного трения, чем существующая теперь, но из формулы Зоммерфельда для уровней энергии водорода с учетом релятивистских эффектов можно было бы ожидать, что эта энергия связи была бы порядка 儿。2 или, скажем, 5 • 108 эВ. Следовало бы поискать частицы с полюсами в атомных процессах, в которых доступна энергия такого порядка. Они появились бы как сильнейшим образом ионизующие частицы и отличались от обычных заряженных частиц тем свойством, что создаваемая ими ионизация не возрастала бы по направлению к концу их пробега, а оставалась примерно постоянной [2].

МАГНИТНЫЙ монополь)

Законы природы обнаруживают большую степень подобия между электрическим и магнитным полями. Уравнения поля, установленные Дж. Максвеллом, одни и те же для обоих полей. Имеется, однако, одно большое различие. Частицы с электрическими зарядами, положительными и отрицательными, постоянно наблюдаются в природе, они создают в окружающем пространстве кулоново электрическое поле. Магнитные же заряды, ни положительные, ни отрицательные, никогда не наблюдались по отдельности. Магнит всегда имеет два равных по величине полюса на двух своих концах — положительный и отрицательный, и магнитное поле вокруг него есть результирующее поле обоих полюсов.

Законы классической электродинамики допускают существование частиц с одним магнитным полюсом — магнитных монополей и дают для них определенные уравнения поля и уравнения движения. Эти законы не содержат никаких запретов, в силу которых магнитные монополи не могли бы существовать.

В квантовой механике ситуация несколько иная. Непротиворечивые уравнения движения для заряженной частицы, движущейся в поле магнитного монополя, и для магнитного монополя, движущегося в поле частицы, можно построить только при условии, что электрический заряд е частицы и магнитный заряд 从 магнитного монополя связаны соотношением

ем = I九方仇 (*)

где h — постоянная Планка, с — скорость света, п — положительное или отрицательное целое число. Это условие возникает вследствие того, что в квантовой механике частицы представляются волнами и появляются интерференционные эффекты в движении частиц одного типа под влиянием частиц другого типа. Если магнитный монополь с магнитным зарядом 从 существует, то формула (*) требует, чтобы все заряженные частицы в его окрестности имели заряд е, равный целому кратному величины 方。/2/1. Таким образом, электрические заряды должны быть квантованы.

Но именно кратность всех наблюдаемых зарядов заряду электрона является одним из фундаментальных законов природы. Если бы существовал магнитный монополь, этот закон имел бы естественное объяснение. Никакого другого объяснения квантования электрического заряда не известно.

Принимая, что е — заряд электрона, величина которого определяется соотношением е2/he = 1/137, можно из формулы (*) получить наименьший магнитный заряд 从()монополя, определяемый равенством 从^/方。=137/4.

Таким образом,从（）значительно больше е. Отсюда следует, что трек быстро движущегося магнитного монополя в камере Вильсона или в пузырьковой камере должен очень сильно выделяться на фоне треков других частиц. Были предприняты тщательные поиски таких треков, но до сих пор магнитные монополи не были обнаружены. Магнитный монополь — стабильная частица и не может исчезнуть до тех пор, пока не встретится с другим монополем, имеющим равный по величине и противоположный по знаку магнитный заряд. Если магнитные монополи генерируются высокоэнергичными космическими лучами, непрерывно падающими на Землю, то они должны встречаться повсюду на земной поверхности. Их искали, но также не нашли. Остается открытым вопрос, связано ли это с тем, что магнитные монополи очень редко рождаются, или же они вовсе не существуют.

ТЕОРИЯ МАГНИТНЫХ МОНОПОЛЕЙ)

Заряды и монополи

Уравнения Максвелла для пустого пространства симметричны в отношении электрического и магнитного полей Е и Н. Можно заменить Е на Н и Н на —Е, а уравнения при этом не изменятся. Можно внести дополнительные члены в уравнения поля, учитывающие присутствие электрических зарядов и токов. Если затем ввести уравнение Лоренца, описывающее движение заряженной частицы,

m + eF^ =(I」)

as2

то получим полную систему уравнений обыкновенной классической электродинамики.

Другой путь обобщения уравнений в вакууме состоит во введении членов, отвечающих магнитным зарядам и токам. Можно задать уравнение, аналогичное лоренцеву, описывающее движение частицы, несущей магнитный монополь

+ gF* = o,(1.2)

as2产

где д — магнитный заряд монополя, а знак обозначает величину, дуальную к 6-вектору F^. Получающаяся в результате система уравнений с математической точки зрения не менее логична, чем обычная. Однако она не является столь же широко применимой по той причине, что в то время как электрические заряды наблюдаются постоянно, магнитные заряды не наблюдались никогда (или почти никогда).

Теория допускает совместное сосуществование зарядов и монополей, взаимодействующих друг с другом. Если попытаться проквантовать такую теорию, то возникают трудности, связанные с тем, что в квантовой теории для описания движения заряженной частицы не используется непосредственно уравнение Лоренца (1.1), содержащее полевые величины F^〉 а применяется уравнение Шредингера, включающее потенциалы /从.Векторный потенциал удовлетворяет соотношению

Н = rot А,(1.3)

из которого вытекает требование

divH = 0.(1.4)

В таком случае, если имеется магнитный монополь, то уравнение (1.4) не может выполняться для всей его окрестности. Должна быть (как минимум) одна точка на любой поверхности, заключающей внутри себя монополь, где уравнение (1.4) нарушается и где, соответственно, не могут быть введен потенциал, удовлетворяющий соотношению (1.3). Точки, в которых нарушается соотношение (1.3), в любой момент времени образуют линию, либо продолжающуюся от монополя на бесконечность, либо заканчивающуюся на монополе того же или противоположного заряда. Мы называем такую линию струной.

Положение струны является произвольным, подчиняющимся лишь условию, что она должна иметь корректную конечную точку или конечные точки. Когда мы меняем одно из ее положений на другое, то мы изменяем потенциалы без изменения полевых величин, так что мы проделываем калибровочное преобразование.

Изменение калибровки

Выберем в качестве примера монополь с зарядом д в начале координат. Магнитное поле равно

Нх = gxsr~3 (s = 1,2,3).(2.1)

Возможный выбор потенциалов имеет вид

"1 =，Г2 У “2 =у “3 = 0.г(г + Жз)г(г + Жз)

Легко проверяется, что отсюда приходим к полю вида (2.1) везде за исключением точек, где 厂 + 力з = 0. Это означает, что х\ + х^ = 0,力з < 0. Таким образом струна простирается вдоль оси 力i + 力2 = 0 от начала до 力 з = —сю.

Другой возможный выбор потенциалов имеет вид

4 =А2 = —4 = о.

для которого струна простирается вдоль оси 力i + 力2 = 0 от начала до 力з = ос. Перевод струны из одного положения в другое соответствует следующему изменению потенциалов

△4亠［丄+丄

△/2 = ^^,△4 = o.

Это есть калибровочное преобразование вида

△/s = dS/dxs(2.2)

при1 竹

S = 2gtg—i" = 2g0,(2.3)

где ф — азимутальный угол точки (力i,力2,力з) относительно оси х± + Х2 = 0.

Мы видим, что функция S, производящая данное калибровочное преобразование не является однозначной. При обходе по замкнутому контуру, соединяющему два последовательных положения струны, изменение функции S равно 47rg. Данный результат характерен для любого изменения положения струны. Калибровочное преобразование всегда генерируется многозначной функцией S с многозначностью, равной 47rg.

В теории Шредингера, когда производится калибровочное преобразование, подобно преобразованию (2.2) посредством функции S)волновая функция домножается на е*''/方.Это является следствием того, что в уравнении Шредингера к импульсным переменным

0s = —ihd/dxs

добавляются члены вида eAs. Чтобы волновая функция могла быть однозначной при S, задаваемой формулой (2.3) и содержащей неоднозначность, равную 4тг^, необходимо, чтобы

4тгед = 27m 瓦

где п есть некоторое целое число. Можно заключить, что если монополь с магнитным зарядом д взаимодействует с зарядом е по законам квантовой механики, то тогда имеет место соотношение

ед =；九九 (2.4)

При заданном значении е должны быть только квантованные значения для д, а при заданном значении д должны быть только квантованные значения для е.

Можно обсуждать данную проблему и без проведения калибровочных преобразований, как это было сделано автором 1. Результатом явились те же самые квантовые условия (2.4), связывающие значения сид.

Если использовать экспериментальные данные для заряда е электрона е2 =行/137,

то для наименьшего значения д при п = 1 получим

Наименьшее значение для заряда монополя существенно превосходит, таким образом, значение заряда электрона. Этим можно было бы объяснить, почему монополи встречаются так редко. При данных значениях для сид между монополями и зарядами, естественно, нет никакой симметрии.

Желательно иметь полевую теорию взаимодействия электрических зарядов и монополей. Для теории, основанной на принципе действия, можно использовать стандартные правила квантования.

При работе с точечными частицами возникают трудности, состоящие в том, что полевые величины не являются вполне определенными в точках, где располагаются сами частицы. Следовательно, не являются вполне определенными и правые части уравнений (1.1) и (1.2). Указанную трудность можно обойти, работая с протяженными частицами.

Рассмотрим частицу с непрерывным распределением заряда и при этом допустим, что каждый элемент заряда движется в соответствии с лорен- цевым уравнением (1.1) с локальным значением величины 巧^. В таком

случае эти элементы должны отдаляться друг от друга под влиянием ку- лонова отталкивания, так что частица должна была бы взрываться. Однако это длится короткое время, впрочем достаточное для того, чтобы успеть обсудить ее уравнения движения. Происходящая отсюда теория с математической точки зрения более удовлетворительна, чем любая теория, включающая плохо определенные величины.

С монополем следует обращаться таким же образом. Его следует рассматривать как протяженное распределение магнитного заряда, каждый элемент которого движется в соответствии с уравнением (1.2). Он также может взрываться подобным образом. При введении потенциалов мы должны получить уравнение (1.3), которое будет нарушаться вдоль нитей, тянущихся от каждого элемента магнитного заряда. Исходящая из монополя струна в данном случае будет иметь определенную толщину, будучи составленной из пучка нитей, каждая из которых является при этом математической линией.

Метод задания принципа действия для протяженной частицы был дан автором 2 [1]. В указанной работе метод был применен к заряженной частице, движущейся в электромагнитном и гравитационном полях. Здесь мы пренебрежем гравитационным полем и обобщим подход так, чтобы ввести в теорию монополи.

Кинематика

Будем рассматривать непрерывное распределение чего-нибудь в пространстве-времени и определим, как оно будет изменяться, когда каждый его кусочек сдвигается из точки 力从 в точку 力从 + 6从 при малом Ь^. Задача содержит только кинематические соотношения.

Прежде всего возьмем распределение точек в 4-мерном пространстве с плотностью р, являющейся скаляром. При сдвиге получим для изменения р, взятой в конкретной точке 力从〉формулу

“=-(»)/. (3.1)

Далее рассмотрим пыль в 3-мерном пространстве и предположим, что каждая пылинка движется вдоль мировой линии. Получим распределение мировых линий в 4-мерном пространстве. Их плотность задается контрава- риантным вектором 〃从)совпадающим по направлению с мировыми линиями и таким, что число линий, пересекающих элемент объема dx1 dx2 dx3^ равное числу пылинок в данном объеме, суть

〃° d力 1 dx2 dx3. (3.2)

Если каждая пылинка снабжена элементарной массой т, то в качестве плотности энергии-импульса будем иметь тп匕 Аналогичным образом, если каждая пылинка обладает элементарным электрическим зарядом е, то в качестве плотности заряда-тока будем иметь е〃从.Величины m и е здесь являются очень малыми (на математическом языке — бесконечно малыми), намного меньшими чем масса и заряд физических частиц.

Мы представляем протяженную физическую частицу в виде такого распределения мировых линий, для которого 〃从 тривиален всюду за исключением объема, занимаемого частицей. Когда пыль сдвигается из точ-

ки 力从 в точку х^ + Ъ^ находим, что

8〃从= —(〃”")/ + 〃％〃/.(3.3)

Здесь первый член в правой части соответствует уравнению (3.1), а второй член связан с дополнительным эффектом, возникающим из-за вращения векторов и^.

Если количество пыли сохраняется, так что мировые линии являются бесконечными,тоимеем、

沙山=0.(3.4)

В таком случае формула (3.4) сводится к

ЗУ=(犷屮一У/)/.(3.5)

Это согласуетсясрезультатом(2.3) болееранней статьи 2.

Монополи также должны рассматриваться как протяженные частицы. В таком случае струна, вытягивающаяся из монополя, становится пучком нитей, когда по одной нити вытягивает из каждого элемента магнитного заряда. Нити образуют распределение 2-мерных листов (слоев) в 4-мерном пространстве. Плотность их распределения задается 6-вектором

w^ = —*.

В соответствии с формулой (3.2), общее число листов, пересекающих элемент объема d力 1 dx2 dx3 в некоторый момент времени сегментами нити, задается контравариантным вектором (в 3-х измерениях)

w5° dx1 dx2 dx3 (s = 1, 2, 3).

Связь между электромагнитными потенциалами и полевыми величинами имеет вид/、

= /从/ - А/山 +(3・6)

где знак обозначает величину, дуальную к 6-вектору, а д — элементмагнитного заряда, приписываемый нити. Релятивистскую формулу (3.6)легко проверить, применив ее для одной из компонент магнитного поля%2 = 4,2 — ^2,1 + ^W03,

что демонстрирует эффект от учета нити в озадачившем нас уравнении (1.3).

Когда листы сдвинуты из точки 力从 в точку х^ + Ъ^^ это дает изменение величины на

Sw^ = ~(w^bx\x + w^bN + w 開”入.(3.7)

Это выражение является естественным обобщением формул (3.1) и (3.3).

Условие, допускающее безграничность листов и соответствующее условию (3.4), имеет вид

= 0.(3.8)

Это позволяет записать изменение (3.7) в виде

8沙"=-(w^6A + ^办5 + 凉"")入(3.9)

Заметим, что величина w^6A + ?77"'6从 + vu入缉 антисимметрична по индексам А, /1 и Z7.

В случае когда условие (3.8) не выполняется, положим

f =产(3.10)

Неисчезающие величины q从 возникают на концах нитей, которые находятся там, где имеется магнитный заряд. Величина q匕 определяемая соотношением (3.10), задает магнитные заряд и ток, таким же путем как величина 〃从 определяет электрические заряд и ток. Из определения (3.10) вытекает закон сохранения для магнитного заряда

户山=3

который в данном случае следует автоматически из того, что магнитный заряд был ассоциирован с концами нитей.

В случае когда условие (3.8) не выполняется, выражение (3.9) следует исправить на

Sw^ =入 + q^b^ -(3.11)

Это приводит к выражению

В疗=(才屮一疗/)“(3.12)

которое соответствует формуле (3.5) для величины 8〃从.

Принцип действия

Вклад от инерции частицы в действие равен

1т = -т ](и"и)/2 d"x.(4.1)

В результате варьирования вектора и^ получаем

51m = —т /{уУи^^^и^ ди^ d^x.(4.2)

П°ЛОЖИМ一

Здесь и从 является вектором скорости, удовлетворяющим условию

Ми 从=1.(4.3)

Безусловно, он определен только там где 〃从 # 0, т.е. внутри частицы. Из уравнения(4.3) вытекает

= 0.(4.4)

Используя в формуле (4.2) значение для 8〃从 из формулы (3.5), получим

31m = —m / v^^b^ — """)/認力=m ] u从/(""阱—""")d^x =

=m ] 〃％从/屮 d%, (4.5)

где мы воспользовались соотношением (4.4).

Если частица обладает электрическим зарядом, то соответствующий вклад в действие равен

/е = —е У А^и^ d^x.(4.6)

Таким образом,

8/е = —6 / SA^ d^x-e J /从(犷阱-〃”")/ d% =

=—e / SA^ d% + e /(SA^ - 4山)〃"屮 d%. (4.7)

Предположим, что струна и заряженная частица никогда не перекрываются, так что w^ = 0 внутри заряженной частицы. Тогда в силу (3.6) второй член в выражении (4.7) приобретает вид

е / F^W d^x.(4.8)

Получим уравнения движения для частицы путем добавления данного члена к выражению (4.5) и приравнивания нулю полного коэффициента при Ь^. В результате получим

m^v^ + eFwU” = 0.(4.9)

Здесь мы можем заменить вектор 〃” в каждом члене на v\ который ему пропорционален, а затем использовать соотношение

d v^ /ds = и从“и •

В результате придем к уравнению лоренцева вида (1.1), что свидетельствует о том, что каждый элемент заряда в частице двигается правильно. Выберем действие для электромагнитного поля в обычном виде

If = ~У F^F^ d^x,

где мы пренебрегли множителем (4тг)-1. Таким образом

87> = — ；/ F^8F^ d^x =

=—/ F^8A^y d% + ； g / F^dw^ d% = / 戸［»4 d% +

+ ^g j F^{-(w^bx + ^办阱 + wx^\x + q^ -疗/} d^x, (4.10) где мы воспользовались выражением (3.11). Приравнивая нулю коэффициент при SA^ в выражении 8{1е + 1р\ получим уравнения для электромагнитного поля. Они имеют вид

F^ - eu^ = 0,(4.11)

что согласуется с теорией Максвелла для плотности заряда-тока в виде 6й从.

Первый член в скобке { } в выражении (4.10) преобразуется к виду

_； g /域力®^М +旷"从+疗从/) d% =

=~\g I {F^x + F^y + F：x^w^(4.12)

Величина (F^x + F^ ^ + F^ ^) очевидным образом исчезает в случае, когда любые два индекса /1, z/, А равны между собой. Чтобы найти ее значение, когда все индексы /1, z/, А различны, возьмем случай, когда они равны 1, 2, 3. Тогда

^,3 + 殮,1 + %,2 = ^033 + F% + ^022.

Согласно уравнению поля (4.11), это выражение равно плотности заряда и обращается в нуль при условии, что струна не должна перекрываться с заряженной частицей. Другие компоненты выражения (4.12) обращаются в нуль подобным же образом.

Обращение в нуль данной части действия dip означает, что уравнения движения для струн отсутствуют. Струны могут двигаться произвольным образом, при соблюдении условия, что их концы закреплены на монополях, а также при условии, что они не должны проходить через заряды.

Остаток выражения Sip имеет вид

g / F^b^x.(4.13)

Заметим сходство данного выражения с (4.8).

Для монополя с элементом массы m\ прикрепленном к концу каждой нити, инертный член типа (4.1) будет иметь вид

Im' = —т/ /(q&ji/2 d%.(4.14)

Мы должны проварьировать это выражение, добавить к нему член (4.13) и приравнять нулю полный коэффициент при Ъ^. Вычисления проводятся в точности так же, как и для электрического заряда, а результат подобен уравнению Лоренца (1.1), где вместо т стоит т7, вместо е стоит д и вместо 当^ стоит F/ Это является проверкой того, что принцип действия правильно задает движение каждого элемента магнитного заряда.

Следует заметить, что в действие не содержится никакого члена, напрямую задающего взаимодействие монополя с электромагнитным полем и отвечающего члену (4.6)в случае электрического заряда. Силы, действующие на монополь, возникают просто за счет того, что он вынужден располагаться на конце струны, а также за счет струнных переменных, возникающих в выражении для действия поля.

Когда имеется принцип действия, то можно ввести гамильтониан и перейти к квантовой теории. Гамильтониан поставляет определенное выражение для полной энергии. Иногда некоторые сомневаются в том, будет ли в действительности захватываться ферромагнетиком монополь, потерявший свою кинетическую энергию. Однако существование полной энергии говорит о том, что он должен захватываться, при условии что его энергия покоя достаточна для того, чтобы его нулевые колебания не смогли бы вывести его за пределы ферромагнетика.

Литература

Dirac Р.А.М. // Proc. Roy. So с. А. 1931. V. 133. Р. 60.

Dirac Р.А.М. // J. Gen. Rei. Grav. 1974. V. 5. Р. 741.

17

КОНЦЕПЦИЯ монополя*)

Введение. Элементарная теория

В научных исследованиях часто случается так, что ищешь что-то одно, а это приводит тебя к открытию чего-то другого, неожиданного. Именно так случилось со мной в связи с концепцией монополя. В то время я не занимался поисками чего-либо подобного монополям. Что меня занимало, так это известный факт, что электрический заряд всегда наблюдается в виде целого кратного заряду электрона е, и я хотел найти этому некоторое объяснение. В природе должна быть какая-то фундаментальная причина, почему это должно быть именно так, а также должна быть некоторая причина, по которой заряд е имеет именно то значение, которое он имеет. Он имеет то значение, которое делает величину he/е приближенно равной 137. И я пытался найти какое-либо объяснение этому числу 137.

Этим вопросом в то время также активно занимался и А.С. Эддингтон. Он выдвинул цепочку аргументов, которые привели его к заключению, что это число должно быть целым, в точности равным 137. Боюсь, что аргументы Эддингтона на самом деле необоснованы. Я так и не смог проследить их до конца и не думаю, чтобы кто-нибудь еще смог сделать это. Я не думаю, что они представляют какой-либо интерес в настоящее время. К тому же имеются вполне надежные экспериментальные подтверждения тому, что это число не равно в точности 137.

Я придерживался иной аргументации, которая не привела к какому- либо значению для этого числа. По этой причине мои доводы представлялись мне неудачными и я в них разочаровался. Однако они привели к новой идее монополя, понятию, представляющему огромный математический интерес и допускающему далеко идущие обобщения.

Сам факт, что я искал объяснение заряду е, отражен в названии статьи, которую я написал по данному предмету, «Квантовые сингулярности в электромагнитном иоле» х). Результаты квантования оказалось отличными от того, что я ожидал встретить.

Проблема объяснения данного числа 方。/е? до сих пор остается полностью нерешенной. Почти 50 лет прошло с тех пор. Я думаю, что она является наиболее фундаментальной нерешенной проблемой в настоящее время, и я сильно сомневаюсь в том, будет ли достигнут какой-нибудь действительно существенный прогресс в понимании основ физики до того, как эта проблема будет решена.

*) The Monopole Concept // Int. J. Theor. Phys. 1978. V. 17, №4. P. 235-247.

(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)Итак, если рассматривать аргументы, которым я следовал в то время, то нужно начать с уравнений Максвелла:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

анcdtанcdt=—rot E,=—rot E,——rot U, cdt

ан

cdt

ан

cdt

=—rot E,

=—rot E,

divE = 0,

divH = 0.

Эти уравнения справедливы для вакуума. Можно легко ввести электри

Добавляются член —Добавляются член —в уравнениев уравнение(1.1)(1.1)ческие заряды, добавляя подходящие члены в правые части уравнений.

Добавляются член —

Добавляются член —

в уравнение

в уравнение

(1.1)

(1.1)

и член 47r0 в уравнение (1.3),

где 3 и 0 — плотности электрических токов и зарядов соответственно.

Далее, вакуумные уравнения являются симметричными в отношении электрического и магнитного полей Е и Н. Можно подставить Е вместо Н и —Н вместо Е. Поэтому можно соответствующим образом ввести магнитный заряд и магнитный ток. Для этого потребуются дополнительные члены —^^ в уравнении (1.2) и 4тгсг в уравнении (1.4), где к будет плот- с

ностью магнитного тока, а ст — плотностью магнитного заряда. Просто начиная с уравнений в вакууме и замечая, что они симметричны, будем из теоретических соображений постулировать наличие магнитного заряда ровно таким же образом, как и наличие электрического заряда. Однако в действительности магнитный заряд никогда не наблюдался.

Теперь, если вы введете частицы с магнитным зарядом, называемые монополями, то вы можете установить для них вполне определенные уравнения движения. Для частицы с электрическим зарядом е у нас имеются уравнения движения Лоренца. В релятивистских обозначениях они имеют вид2

п * =(L5)

as2as

имеют видимеют видгде v^ — 4-вектор скорости, s — собственное время, измеряемое вдоль траектории частицы, a F^ — 6-вектор, компонентами которого являются Е и Н. Для монополя с магнитным зарядом 从〉соответствующие уравнения

имеют вид

имеют вид

(1.6)(1.6)J2fM °〜dvuтп^ 〃&『“/

(1.6)

(1.6)

"*从"ds

где F^ — 6-вектор, дуальный к F叫 который получается подстановкой Е вместо Н и —Н вместо Е. Здесь мы имеем вполне определенные классические уравнения движения для монополя.

Далее, при переходе к квантовой теории возникает трудность в силу того, что уравнения квантовой теории влекут за собой использование электромагнитных потенциалов. Магнитные потенциалы А, если просто рассматривать их с нерелятивистской точки зрения, вводятся следующим образом:

Н = rot А, (1.7)

и эти уравнения не могут выполняться во всех точках пространства в окрестности монополя.

Можно придерживаться следующего набора аргументов — я просто коротко пройдусь по ним — которые приводят к концепции монополя, возникающей как некоторая возможность в квантовой теории. Имеет место квантованное значение для интенсивности монополя, которое вовсе нельзя получить в классической теории.

Для описания движения частицы используем волновую функцию, которую назовем 吵.Она является комплексной величиной, а ее смысл состоит в том, что |^|2 можно интерпретировать как плотность вероятности для частицы, находящейся в любом месте. Теперь мы можем произвести замену фазового множителя в функции 九 полагая

Ф = /)吵

при любой вещественной величине 7. В таком случае квадрат модуля Ф является таким же, как и квадрат модуля исходной функции ^, и задает такую же плотность вероятности. При этом волновое уравнение, которому удовлетворяет функция Ф, будет существенно отличаться от того, которому удовлетворяет функция поскольку

aб从 \ dx^ aе从/

Это означает, что тогда как Ф удовлетворяет некоторому волновому уравнению, включающему д/дх^^ функция “ будет удовлетворять аналогичному уравнению, в котором оператор д/дх^ заменен в соответствии со схемой

且一金+(1.8)

Далее, если вы хорошо знакомы с описанием движения заряженных частиц, то вам известно, что, имея уравнения для заряженной частицы в отсутствие электромагнитного поля, вы получите соответствующие уравнения для частицы в присутствии поля путем замены операторов импульса

(1.9)(1.9)夕从т р从+ § А^.с

(1.9)

(1.9)

(1.10)(1.10)Вы проделываете это как в классической теории, выраженной в гамильтоновой форме, так и в уравнении Шредингера в квантовой теории. В уравнении Шредингера 夕从 соответствует оператору —分方(3/3力从)〉так что замена по формуле (1.9) приводит к

(1.10)

(1.10)

дхц дхц he

Это выражение соответствует (1.8) при отождествлении д^/дх^ т {e/hc)A^. В таком случае похоже, что если вы возьмете волновое уравнение для Ф и произведете замену в фазе функции Ф, то вы получите соответствующее уравнение с какими-то другими потенциалами /从)которых у вас до этого не было. Однако данная замена весьма тривиальна, поскольку потенциал /从 изменяется на градиент скаляра, что означает отсутствие изменений в полевых величинах Е и Н.

Сейчас я хочу представить идею более общих изменений фазы, когда 7 не является интегрируемой функцией положения. Другими словами,

(1.П)(1.П)если вы знаете значение 7 в одной точке, то значение 7 в соседней точке является вполне определенным. Однако связь между 7 в соседней точке и 7 в исходной точке такова, что, если вы обходите по замкнутому контуру, производя корректные замены вдоль всего пути, то конечное значение 7 будет не таким, как исходное. В этом состоит идея неинтегрируемой функции. В этом случае анализ, приводящий к выражению (1.8), будет по-прежнему применим, за исключением того, что д^/дх^ в этом случае заменяется на 庆从)которое более не является градиентом скаляра. Из выражений (1.10) и (1.8) получим

(1.П)

(1.П)

Если взять интеграл от 7 по замкнутому контуру (будем представлять его в данном случае просто трехмерным), то из (1.11) получим

/ 庆т dxr = ^ ] Ат dxr = } /(rot A, dS),

庆丁 doCf — ~~ /(H,dS).庆丁 doCf — ~~ /(H,dS).(1.12)(1.12)где dS — элемент площади поверхности, для которой данный замкнутый контур является периметром. В таком случае это равно (e/方。)/(H,dS)〉 так что

庆丁 doCf — ~~ /(H,dS).

庆丁 doCf — ~~ /(H,dS).

(1.12)

(1.12)

Это означает, что изменения фазы при обходе по замкнутому контуру связаны с потоком магнитного поля через контур, умноженным на коэффициент e/hc.

Тем не менее, это все просто новая математическая картина для уравнения Шредингера, не содержащая никакой новой физики. Вместо введения поля обычным способом мы можем просто задать поле посредством неинтегрируемого фазового множителя в волновой функции.

2斤八+ /仟Т dxr =2斤八+ /仟Т dxr =Теперь я собираюсь придать новое качество излагаемым аргументам, а именно заметить, что фаза 7 не является вполне определенной величиной, поскольку ее можно изменить на любое, кратное целым 2тг, значение, не нарушая волновой функции Ф. Поэтому в выражении для изменений 7 при обходе по замкнутому контуру следует принять во внимание, что сам по себе множитель 7 всегда определен лишь с точностью до добавления к нему любого значения, кратного целым 27r. Поэтому в формуле (1.12) нам следует добавить 2开八〉где п — неизвестное целое число. В итоге получаем уравнение

2斤八+ /仟Т dxr =

2斤八+ /仟Т dxr =

(1.13)

связывающее изменение фазы при обходе по замкнутому контуру с потоком магнитного поля через контур.

Применим это к малому контуру. Если выбрать просто очень маленький контур, то магнитный поток через него при обычных физических условиях будет близок к нулю. Поэтому правая часть уравнения (1.13) близка к нулю. В этом случае, если волновая функция Ф является непрерывной в обычном смысле, то кг будет малым. Тогда множитель 7 будет таким, что он не сможет сильно измениться при обходе по малому замкнутому контуру. Поэтому величина / 庆『dxr будет близка к нулю, так что при таких обычных условиях мы будем иметь п просто равным нулю.

Однако имеется возможность появления исключительного случая, а именно, в окрестности точки, где Ф = 0. Даже при том, что функция Ф непрерывна, ее фаза может претерпеть достаточно большое изменение при обходе по замкнутому контуру. Наиболее отчетливо это видно на примере. Положим

3 =力1 +分力2

и выберем малый контур, охватывающий ось х± = х^ = 0. Тогда данная функция Ф вполне непрерывна в окрестности Ж1 = а?2 = 0, однако ее фаза такова, что она изменяется на 2тг, когда мы используем маленький контур вокруг этой оси. Поэтому когда мы встречаемся с данным типом сингулярности, то мы имеем возможность получить п = 1 в уравнении (1.13). В таком случае мы имеем дело с ситуацией, когда интеграл от кг не является малым даже для малого контура.

Я хотел бы продолжить дальше и рассмотреть поверхность, которая не является малой, и применить уравнение (1.13) к ней. Тогда, если мы обнаружим этот феномен для кг или что электромагнитные потенциалы ведут себя как и выше, то будем иметь то, что мы можем назвать узловой линией, прорезающей поверхность, и мы можем иметь феномен с п ^ 0.

Предположим, что мы имеем поверхность, периметр которой стянут в нуль, другими словами — замкнутую поверхность, подобную поверхности сферы. Тогда интеграл по контуру в левой части уравнения (1.13) равен нулю. Однако /(Н, dS) — интеграл, взятый по поверхности сферы, не равен нулю. Он соответствует некоторому магнитному заряду, оказавшемуся внутри сферы. Это приводит к идее магнитного заряда монополя.

Теперь величина этого магнитного заряда является таковой, что полный поток магнитного поля, проходящий через поверхность сферы, равен 4тг, умноженному на величину магнитного заряда. Если мы назовем 从 величиной магнитного заряда, то получим (е/%с)4тг/1 для правой части уравнения (1.13). Полагая интеграл в левой части равным нулю, получаем

2开八=—4тг/1.he

Отсюда следует формула

叩=；八方以 (1.14)

Этот аргумент приводит к заключению, что имеется квантованное значение для е в том случае, когда имеется всего лишь один монополь, или наоборот, имеем квантованное значение для 从 при наличии любой частицы с зарядом е. Мы получаем это условие, связывая квантованные сингулярности электромагнитного поля. Как видите, оно не похоже на условие для величины hc/e1. Оно не фиксирует ни какого значения для е.

Из этой теории следует, что если существует всего лишь один монополь во Вселенной, то все электрические заряды вынуждены быть такими, чтобы величина е, умноженная на заряд этого монополя, равна (1/2)八方以 При этих условиях все электрические заряды будут квантованными. Это удовлетворяющий нас результат, однако он ничего не говорит нам о значении е, поскольку 从 неизвестно.

Такова элементарная теория магнитного монополя. Имеются различные способы ее изложения, но они всегда приводят к данной формуле (1.14). Данная работа была выполнена в 1931 г.

7 П. Дирак. Т. III

Развитие общей теории

Более недавняя работа связана с развитием этой теории и, в частности, с получением уравнений движения для заряженных частиц и взаимодействующих монополей. В настоящий момент имеются вполне серьезные трудности при обращении к данной проблеме, поскольку трудности заключаются уже в самом факте отсутствия монополей. Даже если вы просто рассматриваете электрические заряды, взаимодействующие с электромагнитным полем, то уже здесь имеются фундаментальные трудности, поскольку в имеющееся уравнение движения Лоренца вы должны вводить полевые величины 耳^, которые относятся к полю в той точке, где расположена частица. И, конечно, поле там бесконечно, также как бесконечна и кулонова сила для точечной частицы в точке, где расположена сама частица. Это приводит к глобальной проблеме в квантовой электродинамике.

Существенное развитие этой темы в квантовой электродинамике происходило на основе процедуры, благодаря которой, несмотря на то что попытки решения основных уравнений приводят к бесконечностям, эти бесконечности могут быть поглощены с помощью технических приемов, называемых перенормировкой. Эти приемы можно рассматривать просто как замены значений m на m + Зт и значений е на е + 5е, так что физические значения этих величин m и е отличны от тех математических параметров, которые фигурируют в уравнениях. Это вполне разумная идея. Однако при этом добавочные члены Зт и Зе должны быть бесконечно большими и это уже неразумно.

Несмотря на трудности, развитие идей в этом направлении самоуверенно продолжалось и были установлены рабочие правила обращения с такими бесконечностями. В этом направлении были достигнуты весьма существенные усовершенствования. Это та теория, которая совсем мне не нравится, поскольку для математиков вполне нормально пренебрегать малыми величинами. Однако для них совсем ненормально было бы пренебрегать бесконечно большими величинами только по той причине, что они не хотят их иметь в уравнениях. Я чувствую, что это неверно по существу, несмотря на все успехи, достигнутые теорией перенормировок.

Успехи действительно весьма значительны. При обращении с бесконечностями по этим правилам получаются малые остаточные эффекты типа лэмбова сдвига спектральных линий атома водорода, для которого теория дает исключительно хорошую согласованность с данными наблюдений. Не просто хорошую в среднем, а исключительно хорошую. Большинство физиков весьма удовлетворены такой ситуацией. Однако я не могу быть удовлетворен любой теорией, которая отступает от правильной математики, и я уверен в том, что фундаментальная физическая теория не сделает никаких важных продвижений до тех пор, пока она следует в направлении, использующем неправильную математику.

В течении нескольких последних лет я занимался созданием альтернативной теории, в которой вы отходите от идеи точечных частиц. Вместо этого у вас имеется частица, представляющая собой ограниченное распределение заряда и составленная из элементов, каждый из которых движется в соответствии с уравнением Лоренца. Если вы проделываете все это, то, безусловно, каждый элемент заряда будет связан с окружающим его полем, которое будет воздействовать на него силами кулонова отталкива-

ния, так что элементы частицы не могут удерживаться вместе. Различные элементы такой протяженной частицы будут разлетаться, ускоряясь под воздействием кулонов а отталкивания. Это будет нечто типа взрывающейся частицы. Однако при всем при том, что частица взрывается таким образом, ее движение продолжается конечное время, так что можно исследовать уравнения движения частицы. Можно увидеть, что они вполне разумны, за исключением того факта, что их решения в целом нефизич- ны, в силу того что элементы частицы не удерживаются вместе должным образом. Можно построить теорию с вполне разумными уравнениями движения и при таких условиях. Сейчас я отчетливо понимаю, что эти уравнения движения несколько отличаются от того, что хотелось бы физику, но я думаю, что данный недостаток теории предпочтительнее, чем недостаток, связанный с игнорированием бесконечных величин.

Я хотел бы поговорить более подробно об этой теории протяженных частиц и показать вам, что как только вы можете согласиться с тем фактом, что частицы не являются в действительности устойчивыми, а наоборот — взрываются, во всем остальном теория работает очень хорошо и именно таким образом, каким бы вы хотели чтобы она работала. Вы можете установить уравнения движения для электрона при таких условиях и вы можете установить соответствующие уравнения для магнитного монополя. Далее, вы можете сформулировать принцип действия, который задает правильные уравнения движения для электрически заряженных частиц и для монополей, и этот принцип действия можно использовать в качестве основания для квантования.

Я не могу вдаваться в детали этих уравнений — они оказались бы слишком сложными и заполнили бы всю доску целиком. Однако я хотел бы рассказать вам, в чем состоят основные идеи. Мы рассматриваем наши частицы как протяженные в пространстве и для внутренних точек частицы мы имеем определенный 4-вектор скорости v開.Мы можем ввести другой 4-вектор 〃从)направленный таким же образом, как и и^. При этом и^ указывает не только направление движения элемента частицы, но и имеющиеся здесь количества массы и заряда, в соответствии с формулой mu° d力 1 dx2 dx3

для количества вещества, проходящего в заданный момент времени через малый элемент объема dx1 dx2 dx3^ а также формулами вида

mu1 d力 1 dx2 d力з,

задающими поток материи. Имеются аналогичные формулы, содержащие коэффициент е вместо т, для плотности заряда и потока заряда. Таким образом, и^ соединяет в одном 4-векторе величину массы и заряда, а также его направление [1].

Мы можем задать действие, связанное с массой, т.е. инертную часть действия

1щ = -m /("从"从)1/2战力.(2.1)

Знак минус требуется для того, чтобы действие увеличивалось при более быстром движении материи. Имеется также действие, описывающее взаимодействие материи с электрическим полем, которое имеет вид

/е = —е У и^АМ%.(2.2)

Существует также обычное выражение для действия электромагнитного поля:1 (

= —(2.3)

В отсутствии каких-либо других вещей, вы просто берете в качестве полного действия сумму указанных трех членов, а затем можете применять вариационный принцип и выводить уравнения движения.

В данном методе все дело состоит в том, чтобы правильно применить варьирование. Вариация должна соответствовать каждому элементу вещества, расположенному в некоторой точке 力从)при его сдвиге в точку 力从 + 匕从 при малых 6从.Мы должны вычислить, как изменяется действие при таком смещении. Просто из кинематических соображений находим, что

= —(〃”" —犷卄)(2.4) Это приводит к

в1Ш = m / 期战力，(2.5)

а такжег

SIe = e F^W d^x.(2.6)

Здесь мы имеем дело с полностью новой техникой работы с эффектами варьирования такого рода. Получаются некоторые любопытные уравнения, которые совсем легко выводятся и к которым нужно привыкнуть.

В случае присутствия монополей, как мы можем включить их в рассмотрение? Конечно, каждый монополь должен опять рассматриваться как протяженная частица. Каждый кусочек магнитного заряда является концом того, что мы можем назвать струной, концом линии сингулярности в трех измерениях, где нарушается формула (1.7). Имеется множество струн, исходящих из каждого кусочка протяженного монополя.

Каждая струна заметает двумерную поверхность в пространстве-времени. Она будет описываться посредством 6-вектора w^ = — w^. Эти переменные w^, описывающие струны, подобны переменным 〃匕 описывающим протяженную частицу. Когда мы производим сдвиг 力从一力从 + 6从〉то находим, что изменения величин w^ даются формулой, достаточно похожей на формулу (2.4), только с большим числом членов:

bi = _(鹏丛)△+凉然+沙"

Это опять чисто кинематическая формула.

Теперь, если магнитные монополи возникают на концах струн, то мы получаем соотношение

严

описывающее плотность и поток протяженной магнитной частицы, подобно тому как переменные и^ делают это для протяженной электрической частицы. Отсюда автоматически имеем закон сохранения

矗,从"=0.

Электромагнитные полевые величины теперь задаются формулой

巧心=4从/ _ /"/儿+ 9wn^^

состоящей из обычного выражения поля через потенциалы плюс добавочный член, зависящий от плотности струн, с числовым коэффициентом д.

Знак ^ опять обозначает дуальный 6-вектор. Мы должны использовать данное выражение для 耳^ в действии /尸 для электромагнитного поля, заданном формулой (2.3).

Для полной теории мы возьмем сумму трех действий (2.1), (2.2) и (2.3), а также введем один дополнительный член, который требуется для учета инертных свойств магнитного полюса. Этот член будет такого же вида как и член (2.1), с переменными q вместо переменных и. Полное действие будет состоять из этих четырех членов.

Здесь имеется одно странное свойство, которое вы заметите, а именно то, что здесь имеется член (2.2), отвечающий за взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным полем. Но здесь нет соответствующего члена, отвечающего за взаимодействие монополей с электромагнитным полем. Вы получаете правильные уравнения движения, просто используя те члены в действии, которые я здесь описал, без дополнительного члена, относящегося к монополям. Это означает, что электромагнитное поле не действует непосредственно на монополь, оно действует только на струны. Оно действует на струны в силу того, что F^ содержит зависимость от переменных w^, в свою очередь зависящих от переменных струны. Монополи в таком случае вынуждены находиться на концах струн.

Теория, которая получается в результате варьирования полного действия, правильно задает уравнения движения: уравнение Лоренца (1.5) и соответствующее магнитное уравнение (1.6). Все они следуют из одного принципа действия. Здесь нет симметрии, поскольку воздействие поля на монополи обеспечивается просто через действие поля на струны и, кроме того, монополи вынуждены располагаться на концах струн.

Уравнения, следующие из принципа действия, никоим образом не говорят нам о том, как изменяются струны. Струны произвольны во всем, кроме того факта что их концы должны быть зацеплены за монополи. Это отражено в том, что уравнения движения не оказывают никакого влияния на движения струн.

Однако имеется одно условие, которое следует соблюдать, а именно, что струны не должны проходить через области, в которых присутствуют электрические заряды. Вы должны иметь монополи и электрические заряды, занимающие различные области пространства. Струны, которые выходят из монополей, могут простираться куда угодно, подчиняясь лишь условию, что они не должны проходить через области, в которых присутствуют электрические заряды. Уравнения нарушаются в случае несоблюдения данного условия.

Я не думаю, что имеется какой-либо смысл углублятся в детали этой теории более подробно, поскольку уравнения слишком сложны и нужно просто изучать их более детально, выбирать самые разнообразные члены в принципе действия и смотреть, что с ними можно сделать. Подробности можно найти в списке литературы, приведенном в конце статьи.

Экспериментальная ситуация

Сейчас я хотел бы сказать несколько слов об экспериментальной ситуации. Два года назад вышла статья Прайса, Ширка, Осборна и Пинского, где они говорили, что, по их мнению, у них имеются экспериментальные

свидетельства наличия монополя. Все, что они сделали, это подняли на большую высоту на воздушном шаре-зонде стопку пластин Лексана, а затем, когда пластины вернулись обратно на Землю, провели их травление. Когда ионизирующие частицы проходят сквозь пластины, они оставляют некоторые повреждения, которые появляются как травильные метки на пластинках.

Если взять обычную заряженную частицу, то с потерей энергии она будет увеличивать степень ионизации. Причиной этому является то, что при прохождении через вещество она действует с некоторой силой на электроны вещества вокруг себя, и импульс, сообщаемый при этом электрону, будет зависеть от того, как долго действует эта сила. Для быстродвижу- щейся частицы сила не действует слишком долго и импульс будет малым. Для медленно движущейся частицы импульс будет больше, поскольку частица тратит больше времени на прохождение. Результат состоит в том, что для обычных заряженных частиц степень ионизации возрастает, как только частица движется более медленно.

С другой стороны, для магнитнозаряженной частицы сила, с которой она воздействует на электроны в окружающих ее атомах, зависит от скорости. Когда частица движется более медленно, то происходит уменьшение этой силы, которое примерно компенсирует то обстоятельство, что более медленно движущаяся частица обладает большим временем для воздействия на окружающее вещество. Результат состоит в том, что степень ионизации, производимой магнитнозаряженной частицей, можно считать независимой от скорости.

Итак, Прайс и Ширк вместе с другими обладали стопкой пластин Лексана, и они обнаружили, что степень повреждения, производимая одной конкретной частицей, проходящей через данные пластины, была примерно независимой от скорости частицы. Травильные метки оказались во многом схожими на всем пути до дна стопки. На этом основании они утверждали, что имеется свидетельство прохождения магнитнозаряженной частицы, возможно являющейся монополем.

Они вычислили, каким должен быть заряд монополя. Они допустили некоторые ошибки в своей предварительной статье, которая писалась в большой спешке. Однако даже после исправления этих ошибок результаты довольно хорошо согласуются, но не для монополя с минимальным зарядом, отвечающим значению п = 1 в формуле (1.14), а для монополя с п = 2.

Возражение против интерпретации данной частицы, которую они наблюдали, как монополя состоит в том, что предпринимались другие весьма обширные поиски монополей и их результаты полностью отрицательны. Поэтому шансы на то, что они в действительности наблюдали монополь, равны одному на много миллионов или даже миллиардов и, таким образом, представляется очень сомнительным то, что они наблюдали монополь.

Если в льющихся на нас космических лучах присутствуют монополи, то они должны где-то оставаться. Монополь сохраняется точно так же, как сохраняется электрический заряд. Он не может исчезнуть. Если частица- монополь распадается на другие частицы, то один из продуктов распада должен содержать монополь. Для монополя нет другой возможности исчезнуть, кроме как путем аннигиляции с другим монополем равного или противоположного магнитного заряда. Проведены обширнейшие поиски

таких монополей, включая скалы и остаточные породы на дне морей и в высокоширотных местах поблизости от магнитных полюсов Земли. И неизменно получался нулевой результат.

Вполне возможно, что монополи пронизывали Землю и уходили на очень большую глубину. Это может служить одной из причин, по которой монополи никогда не наблюдались. Если имеются монополи на огромной глубине, то способом детектирования их будет обнаружение потока магнитного поля, выходящего из земной поверхности сразу во всех точках поверхности Земли, а затем посмотреть будет ли величина этого потока отлична от нуля. Насколько мне известно, такая работа с достаточной точностью пока не проводилась. Слишком много нерегулярностей в магнитном поле Земли. Однако я убежден в том, что это следует сделать.

Как только было объявлено об эксперименте Прайса и Ширка, ученые его начали обсуждать. Вместе с другими противоположное мнение высказал, в частности, Альварец. Альварец считал что такие результаты могли возникнуть при наблюдении некоторой более обычной частицы, такой как ядро платины. Атомное ядро будет давать кривую, которая смещается вправо по мере продвижения вниз. Альварец предположил, что в подходящем месте ионизирующая частица претерпевает фрагментацию (распад), в результате которого она теряет некоторую часть своего заряда, что дает более близкую к вертикальной кривую. Однако одной фрагментации может оказаться недостаточно и может потребоваться две.

Я недавно беседовал с Б. Прайсом и спросил его о самых последних данных в связи с этим экспериментом. Он сказал, что получил некоторую дополнительную информацию, поскольку, когда он писал свою исходную статью, он еще не завершил травление всех пластин. Самая верхняя и самая нижняя пластины в стопке держались в резерве, но за прошедшее время они были протравлены и результаты, которые они дали, не соответствуют объяснению Альвареца. И даже сам Альварец вынужден был отказаться от такого объяснения. Последующие «точки» вверху и внизу оказываются слишком далеко от такого рода кривой.

Как в таком случае можно объяснить такую частицу? Похоже что она представляет собой очень экзотическую частицу, некоторую частицу, которая в настоящее время неизвестна физикам. Это может быть супертяжелое атомное ядро, частица с зарядом, скажем, где-то около 110, и с очень большой массой. Если рассмотреть такую частицу, то пунктирная линия станет более близкой к вертикальной, поскольку частица с большей массой не будет испытывать таких больших изменений в скорости при прохождении через лексановы пластинки и в таком случае не будет сдвигаться так далеко вправо. Она может быть такой супертяжелой.

В качестве альтернативы можно допустить, что это может быть частица антиматерии, с зарядом, возможно, меньшим, чем требуется в случае обычного вещества. Если это антивещество, то заряд может быть что-то около 80. Я слышал, что Альварец предпочитает идею антивещества — это очень хорошо согласуется с данными наблюдений. Однако было бы слишком необычно иметь такую частицу, и Альварец, в любом случае, думает, что не следует верить в это просто на базе данного одного результата. Необходимо получить следующие подтверждения.

Прайс надеется провести дальнейшие эксперименты на орбитальных аппаратах. Это предстоит в будущем. Все, что можно сказать об этом в настоящий момент, так это то, что они безусловно нашли очень странную

частицу, которая не может быть объяснена как одна из обычных частиц в физике. Нам следует подождать дальнейших свидетельств, прежде чем мы сможем понять уверенно, что это такое.

У них было несколько черенковских детекторов, но, к сожалению, они не дали достаточно определенной информации. Черенковские детекторы должны сообщать о скорости частицы и эти результаты анализировались в течении долгого времени. Однако до сих пор они так и не пришли к какому-либо определенному заключению. Это все, что можно сказать в настоящее время. Безусловно, здесь есть что-то очень интересное, даже в том случае если это не монополь [2].

Литература

New Pathways in High-energy Physics / Ed. A. Perimutter. — N.Y.: Plenum Press, 1976. V. 1. P. 1-14.

Deeper Pathways in High-energy Physics / Ed. A. Perimutter. — N.Y.: Plenum Press, 1977. P. 1-11.

Часть III

Обобщенная гамильтонова механика (1949-1964)

18

ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА)

Введение

Уравнениям динамики придал общий вид Лагранж, записавший их в терминах набора обобщенных координат и скоростей. Альтернативный общий вид в терминах координат и импульсов позднее был дан Гамильтоном. Рассмотрим сравнительные достоинства этих двух форм.

В лагранжевой форме очень легко удовлетворить требованиям специальной теории относительности, просто взяв лоренц-инвариантным действие, т.е. интеграл лагранжиана по времени. Так просто сделать релятивистской гамильтонову форму нельзя.

При построении квантовой теории следует исходить из гамильтоновой формы. Имеются прочно укоренившиеся правила перехода от гамильтоновой динамики к квантовой динамике путем превращения координат и импульсов в линейные операторы. В простых случаях эти правила приводят к однозначным результатам, и хотя в сложных примерах без неоднозначностей не обходится, практическая пригодность правил установлена.

Таким образом, в настоящее время каждая из форм имеет собственную ценность, и пользоваться следует обеими. Обе формы тесно связаны. Исходя из любого лагранжиана можно ввести импульсы, и в случае, когда импульсы суть независимые функции скоростей, можно получить гамильтониан. Настоящая статья посвящена построению более общей теории, применимой и в ситуации, когда импульсы не являются независимыми функциями скоростей. Получена более общая форма гамильтоновой динамики, которую по-прежнему можно использовать для квантования и которая оказывается специально приспособленной для релятивистского описания динамических процессов.

Сильные и слабые уравнения

Рассмотрим динамическую систему с N степенями свободы, описываемую обобщенными координатами qn (п = 1,2,..., ^) и скоростями dqn/dt или qn. Возьмем лагранжиан L, который пока может быть произвольной функцией координат и скоростей

Е 三 E(q,@). (1) Определим импульсы соотношением

Рп = dL/dqn. ⑵

GENERALIZED HAMILTONIAN DYNAMICS

■ A. BL DIRAC

L tatrodiictt». The equations of dynamics were put into a 1clic*4 ‘方 by Lagrange, who expressed them in t轉ew of a set of generanzed E^diM* •*H(i velccities. An alternative general form wras later given by НовВ00* terms of coordinates and momenta. Let gs consider the relative roerit»o* 如 t： шч> forms*

With the [jigrangian form the requirements of special relativity can *^ easily Ы uatisOed. simply by taking the action, ie the time integral 或斗 Ijigrangian, to be Lorentss invariant. There is no such simple way of 加俱后悶 the lianiiltonian form relativistic.

For the purpose of setting up a quantum theory one myst work from the Hamiltonian form. There are well-establishaJ roles for passing from. Hamilton e dynamics to quantum dynamics, by making the coordinates and тонкий into linear operators. The rules lead to definite results in simple ca«s 謝严i although they cannot be applied to complicated examples without 鼓mWgwty* they have proved to be adequate for practical purposes.

Thus 'both forms have their special values at the present time and one must

work with both. The two forms are closely connected. Starting with any Lagrangian one on introduce the momenta 誡nd* tn the case when the momenta are independent functions of the velocities, one can obtain the Hapiiltonian» The present paper is concerned with setting up a more general theory which ('遭门 be' applied also when the momenta are not independent functions of the velocities^ A more general form of Hamiltonian dynamics is obtained, which can still be used for the purpose of quantization^ and which turns out to be Specially well suited for a relativistic description of dynamical processes,

产 Strong and weak е^вайопз. We consiclcr a dynamical system of N degrees of freedom» described in terms of generalized coordinates §£幫=1一2車.猿 * N) 饑nd velocities d^/dl or @顆” We assume a Lagrangian £t which for the present £鹏门 be eny function of the coordinates and vuloeities

⑴L ^ £(gt f).

We cietmc the momenta by

d)d к dL/dqn.

卜<>『the development of the thg『y 務* introduce 其 variation procedure, ^'^iryirig each of the quantities дя, ^„,储 independently by a small quantity ^<?п» M』不Dn 门f cwdt_*『« and working to the accuracy of n As a result of this

Thi* 再“圮r $『h誤yi on the first half of a course of lectures given at the Cavidian Math^ -rTtittr.i! ^tnio.tr in X^nconvcr in Augusl 1949.

Первая страница статьи П.А.М. Дирака«Обобщенная гамильтонова динамика»

Для развития теории введем вариационную процедуру, варьируя каждую из величин Qn, Qn, рп независимо на малую величину 8qn^ 8рп порядка £ и работая с точностью до е. В результате такой вариации уравнение (2) нарушится, так как его левая часть будет отлична от правой на величину порядка б. Теперь нам придется различать два сорта уравнений: уравнения типа (2), которые оказываются нарушенными на величину порядка £ после применения вариации, и уравнения, остающиеся справедливыми с точностью до £ под действием вариации. Уравнение (1) будет этого второго сорта, поскольку вариация Е будет по определению равна вариации функции L(q, q). Уравнения первого сорта мы будем называть слабыми уравнениями и писать их с обычным знаком равенства =, а уравнения второго сорта будем называть сильными уравнениями и писать их со знаком = [1].

Мы имеем следующие правила, регулирующие алгебраические действия со слабыми и сильными уравнениями:

если А = 0, то 8А = 0;

если X = 0, то 8Х # 0.

Из слабого уравнения X = 0 мы можем заключить, что

6Х2 = 2Х8Х = 0, так что получится сильное уравнение

Х2 = 0.

Аналогично из двух слабых уравнений Х± = 0 и X? = 0 мы можем вывести сильное уравнение

Х1Х2 = 0.

Может оказаться, что все N величин dL/dqn в правой части (2) являются независимыми функциями N скоростей «九.В этом случае уравнения (2) определяют каждую « как функцию аргументов дир. Об этом случае будем говорить как о стандартном^ и именно его обычно рассматривают в динамической теории.

Если dL/dq не являются независимыми функциями скоростей, можно исключить « из уравнений (2) и получить одно или более уравнений

夕(ZP)= 0,(3)

содержащих только переменные q 瓜 р. Мы можем считать уравнение (3) записанным так, что вариация меняет g на величину порядка б, так как если она меняет g на величину порядка б^, то следует лишь заменить в (3) g на gi/用〉и желаемое условие окажется выполненным. Теперь вариация нарушает уравнение (3) на величину порядка б, так что оно правильно пишется как слабое уравнение.

Нам потребуется использовать полный набор независимых уравнений типа (3), например

夕m(dP)= 0, m = 1,2,... ,М.(4)

Условие независимости означает, что ни одну из g нельзя представить в виде линейной комбинации остальных с коэффициентами, зависящими

от q и р. Условие полноты означает, что любая функция аргументов q и Р)обращающаяся в нуль вследствие уравнений (2) и меняющаяся при вариации на величину порядка б, может быть представлена как линейная комбинация функций 夕小 с коэффициентами, зависящими от q и р.

Мы можем следующим образом описать соотношение между сильными и слабыми уравнениями. Возьмем Замерное пространство с координатами 4 « и р. В этом пространстве найдется 2№-мерная область, в которой уравнения (2) удовлетворяются. Назовем ее областью R. Уравнения (4) также удовлетворяются в этой области, поскольку они следуют из (2). Рассмотрим теперь все точки 3^-мepнoгo пространства, которые удалены от R не далее чем на расстояния порядка б. Они образуют ЗМмерную область, подобную оболочке с толщиной порядка б. Назовем ее областью R£. Слабое уравнение выполняется в области 7?, сильное уравнение выполняется в области R£.

Гамильтониан

Гамильтониан Н определяется соотношением

H=pnqn-L,(5)

где подразумевается суммирование по всем значениям повторяющегося в одном члене индекса. Имеем

8H = 6(pnqn - Ь) = pn6qn + qn6pn - (dL/dqn)6qn - (dL/dqn)6qn =

=qn^Pn - (dL/dqn)Spn. (6)

Мы обнаруживаем, что SH не зависит от Sqn. Этот важный результат справедлив вне зависимости от того, стандартный у нас случай или нет.

Уравнение (5) дает определение Н как функции q, q и р, справедливое во всем 3^-мepнoм пространстве Q, « и р. Мы будем пользоваться этим определением только в области 7?е, а в ней справедлив, с точностью до первого порядка, результат (6). Это означает, что если мы оставим постоянными q и р и возьмем вариацию первого порядка у Q, вариация Н будет второго порядка. Таким образом, если мы сохраним постоянными q и р и возьмем конечную вариацию у Q, оставаясь все время в области R£ (что возможно, когда случай не стандартный), вариация Н будет первого порядка. Если же мы остаемся в области R)вариация Н будет равна нулю. Следовательно, в области R гамильтониан Н является функцией только q и р. Обозначив эту функцию *(q)p))мы имеем слабое уравнение

Н = ”р),⑺

справедливое в области R. В стандартном случае функция 赞一это обычный гамильтониан.

Отправляясь от точки в 7? и совершая общую вариацию, из (6) мы

Таким образом, 8(Н —赞)зависит только от Sq и Вр. Если вариация такова, что мы остаемся в области R)то, конечно, 8(Н —赞)=0. Таким

образом, 8(Н —赞)обращается в нуль для любой вариации дир такой, что можно выбрать dq сохраняющими уравнения (2). Это налагает на dq и Sp единственное ограничение — чтобы они сохраняли уравнения (4), т.е. приводили к 3屮 1m = 0 для всех т. Таким образом, 8(Н —赞)равна нулю для любых величин 84 Вр, которые дают 8夕小=0, а следовательно, для произвольных 84 Sp

В(Н —旅)=9тВ(рт(8)

с подходящими коэффициентами vm. Эти коэффициенты будут функциями q, q и р, а с помощью (2) их можно представить функциями только q и «. Теперь из (8) и (4) мы получаем

В (Н — г^7 — ^т^т) = 8(7^ — г^7) — 9m5 屮 т — ^т^^т =。

и, следовательно,

Н三％ + 屮(9) Мы имеем здесь сильное уравнение, справедливое с точностью до первого порядка в области R£^ в противоположность слабому уравнению (7), справедливому только в R.

Уравнение (8) дает

Сравнивая это с (6), мы получаем

Qn = —+^т(10)

0@九upn

ol a赞丄。，a9小z-i -1 \

Уравнения (10) выражают q через 4 p и и; (10) и (11) показывают, что 2N переменных Qn, qn можно выразить через 2N + М переменных Qn, рп, vm. Между этими 2N + М переменными имеется М соотношений (4). Любых других соотношений между этими переменными быть не может, иначе 2N переменных Qn, qn не были бы независимыми. Таким образом, каждая из и не должна зависеть от Q, р и остальных и. Сами и можно считать переменными типа скорости, служащими для фиксации тех 處 которые нельзя выразить через дир.

Работая с гамильтоновой формой динамики, мы используем в качестве основных переменные q^ р и v^ которые предполагаются связанными некоторыми соотношениями (4), а в остальном — независимыми. Мы будем называть их гамильтоновыми переменными.

Уравнения движения

Обычные лагранжевы уравнения движения мы считаем слабыми уравнениями

Рп = dL/dqn.(12)

Подставляя в (12) значения р из (2), мы получаем уравнения, содержащие ускорения qn. В стандартном случае эти уравнения определят все q как

функции q и «. В случае с М уравнениями (4) уравнения движения дадут нам только N — М уравнений для q. Остающиеся М уравнений движения покажут нам, как меняются со временем 夕小.Для самосогласованности 夕小 должны остаться нулями. Эти условия самосогласованности будут исследованы позднее.

С помощью (11) уравнения движения (12) принимают вид

Рп =(13)

oqn oqn

Уравнения (13) вместе с (10) образуют гамильтоновы уравнения движения. Их задают функция 赞 и уравнения 夕小=0. Гамильтоновы уравнения движения выражают « и % через гамильтоновы переменные q〉化 v. Они не дают прямой информации о 力)но исследование условий самосогласованности даст нам некоторую косвенную информацию.

Гамильтоновы уравнения движения выглядят проще, если воспользоваться понятием скобки Пуассона (СП). Для любых двух функций £ и 〃 аргументов дир СП 陰用 определяется соотношением

后用(14) oqn opn opn oqn

Легко проверить, что СП остается инвариантной относительно такого преобразования к новым q и р, при котором новые q — любые независимые функции первоначальных q〉а новые р определяются новыми уравнениями (2) с L, выраженным через новые q и их производные по времени. СП приобретает свое значение благодаря этому свойству инвариантности.

СП обладает следующими свойствами, легко проверяемыми из определения:

e用=一阮日

厚/(力出2,...)]=粵2]+(15)

С]] + 阮陰 €]] + 6 £ 用]=0.

Во втором из этих свойств / — любая функция набора величин 〃2)• • •〉 каждая из которых зависит от q и р. Третье свойство, называемое тождеством Якоби, справедливо для любых трех функций & ту,点 зависящих от q ир・

Желательно расширить понятие СП на функции, зависящие от скоростей Q, которые нельзя выразить только через дир. Мы примем, что эти более общие СП обладают свойствами (15), а в остальном произвольны. Напротив, мы можем предположить, что « произвольным образом зависят от q и р〉а свойства (15) тогда можно вывести для £〉〃 и《〉зависящих и от «.

Из сильного уравнения А = 0 мы можем вывести слабые уравнения

дАПдА ПдА П

—=и,— = и,— = и

dqndqnдрп

и, следовательно, с использованием второго из свойств (15)

陰川=0

для любой & Может оказаться, что [^, А] = 0 (например, когда А = 0 по определению), но в общем случае это не так. Из слабого уравнения X = 0 не следует общего заключения, что [^, X] = 0.

Если g — любая функция q и р, из (10) и (13) мы имеем

g =g =dg fd^ dqn 〈 дрпdg fd^ dqn 〈 дрп+ ^m+ ^mdgdpn 〈 dqndgdpn 〈 dqn+ ^m+ ^m=[g,赞]+ ^m[g,^m]- (16)=[g,赞]+ ^m[g,^m]- (16)

g =

g =

dg fd^ dqn 〈 дрп

dg fd^ dqn 〈 дрп

+ ^m

+ ^m

dg

dpn 〈 dqn

dg

dpn 〈 dqn

+ ^m

+ ^m

=[g,赞]+ ^m[g,^m]- (16)

=[g,赞]+ ^m[g,^m]- (16)

Это общее гамильтоново уравнение движения. С помощью (4) его можно переписать в виде

g = [g〉^\ + vm[S^ ^т] + [g〉^ml^m = [g〉H], (17) в точности совпадающем с обычным гамильтоновым уравнением движения, записанным через СП.

Однородность по скоростям

Теория принимает особенно простой вид в случае, когда лагранжиан однороден первой степени по скоростям. Тогда определяемые соотношением (2) импульсы однородны нулевой степени по q и зависят поэтому только от отношений «. Поскольку имеется N импульсов р и только ^ — 1 независимых отношений Q, теперь р не могут быть независимыми функциями 處 а должно существовать хотя бы одно соотношение (4), связывающее дир. Случай, когда имеется только одно соотношение между q и р, можно считать теперь стандартным.

Из теоремы Эйлера мы имеем

L = qndL/dqn(18)

и, следовательно,

Е = QnPn->

так что

Я = 0.(19)

Это слабое уравнение, справедливое в области R、позволяет нам взять 赞=0, так что (9) переходит в

Н = 9m 屮 т・(2°)

Общее уравнение движения (16) теперь имеет вид

g = vm [g*, (fim].(21)

Гамильтоновы уравнения движения полностью фиксированы теперь уравнениями 夕m=0.

Правая часть уравнения (21) однородна по и. Взяв любое решение уравнений движения, можно получить из него другое решение, умножив все и на множитель 7, произвольно меняющийся со временем. Скорость изменения всех динамических переменных в новом решении будет умножена на 7. Новое решение получится из предыдущего, если время t заменить новой независимой переменной г такой, что dt/dr = 7. Новая независимая переменная совершенно произвольна: она может быть любой функцией t〉

а также q и «. Итак, взяв любое решение уравнений движения, мы можем получить из него другое решение, заменив t произвольной г, так что уравнения движения не дают нам никакой информации о независимой переменной. В этом состоит важная черта динамической теории с однородностью по скоростям, предоставляющая особые удобства для релятивистской формулировки.

Лагранжиану любой динамической системы можно придать однородность по скоростям, взяв время t дополнительной координатой qq и воспользовавшись уравнением «о = 1)чтобы добиться однородности первой степени по всем скоростям, включая qq- Как было показано автором х), после этого можно вывести новые лагранжевы уравнения движения для всех q. Так мы можем получить новую формулировку в «однородных скоростях» для общей динамической системы. Новая формулировка даст все уравнения старой, за исключением уравнения «о = 1. Если в новой формулировке желательно его иметь, мы можем считать его дополнительным условием, не выводимым из уравнений движения, но согласованным с ними. Однако мы вполне можем обойтись и без него, так как его роль сводится лишь к фиксации независимой переменной, которая без этого в «однородной» формулировке была бы произвольной.

Таким образом, мы можем без потери общности ограничиться теорией с однородностью по скоростям. Поскольку она приводит к несколько более простым уравнениям, в дальнейшем мы это и сделаем. Точка будет обозначать дифференцирование по произвольной независимой переменной г.

Условия самосогласованности

Для самосогласованности уравнения движения должны сохранять нулем каждую из 夕小.Таким образом, подставив 夕小，вместо g в (21), мы получаем「

Предположим, что уравнения (22) приведены к наиболее простому виду с помощью набора уравнений (4). При этом допускается сокращение множителей, когда их можно считать не обращающимися в нуль. Получившиеся уравнения должны быть одного из четырех типов.

Тип 1. Уравнение содержит некоторые из переменных и.

Тип 2. Уравнение не зависит от и〉но содержит некоторые из переменных р и q. Таким образом, оно имеет вид

Х(50)= О(23)

и не зависит от уравнений (4).

Тип 3. Уравнение сводится к 0 = 0.

Тип 4. Уравнение сводится к 1 = 0.

Уравнение типа 2 приводит к новому условию самосогласованности, так как х должна сохранять нулевое значение. Подставив в (21) х вместо g, мы получаем

Dirac P.A.M. Homogeneous variables in classical dynamics // Proc. Camb. Phil. Soc.

1933. V. 29. P. 389.

Это уравнение, приведенное к наиболее простому виду с помощью уравнений (4) и уже имеющихся уравнений (23), снова будет принадлежать к одному из четырех типов. Будучи уравнением типа 2, оно приведет еще к одному новому условию самосогласованности. Эта процедура продолжается для каждого уравнения типа 2, пока она не приведет к уравнению другого типа.

Если одно из полученных таким образом уравнений — типа 4, то уравнения движения противоречивы. Этот случай не представляет никакого интереса и в дальнейшем не рассматривается. Уравнения типа 3 удовлетворяются автоматически. В итоге в нашей теории остаются уравнения типов 1 и 2.

Обозначим полный набор уравнений типа 2:

Хк^ЪР) = 0, к = 1,2,К. (25)

Мы можем полагать, что функции 天斩 подобно 夕小 в (4), выбраны так, что их вариации порядка б. Тогда уравнения (25) корректно записываются как слабые уравнения. Эти новые слабые уравнения сужают область R)в которой слабые уравнения справедливы, понижая ее размерность до 2N — К. Окажется суженной и область R£, так как теперь она будет состоять из точек, удаленных не более чем на расстояния порядка £ от новой области R.

Для изучения уравнений типа 1 удобно ввести некоторые новые понятия. Назовем одну из величин 夕小 величиной первого рода^ если ее СП со всеми 夕 и х обращаются в нуль. Таким образом,夕小，—первого рода, если

[^т7, ^ш] =3 т = 1,2,..., М〉 (26) [夕Хк] = 3 к = 1,2,..., К.

Эти уравнения обязаны удовлетворяться только в слабом смысле, т.е. только как следствия уравнений 夕小=0〉天用=0・ Таким образом, каждая из левых частей (26) должна равняться в сильном смысле некоторой линейной комбинации 夕小 и Хк・ Величину(/?, не удовлетворяющую всем этим условиям, мы называем величиной второго рода.

Мы можем подвергнуть величины g линейному преобразованию вида

夕ттг = 1ymm¥т\ (27)

где 7 — любые функции дир такие, что их детерминант не обращается в нуль в слабом смысле. Тогда для всех целей теории величины g и д* эквивалентны.

Проделаем преобразование такого типа, с тем чтобы обратить в величины первого рода как можно больше д. Получившиеся тогда g первого рода обозначим 屮.、a 屮 второго рода —夕小 где /3 = 1,2, ...,Виа = В + 1, 8 + 2, ..., 7W.

Если 夕小/ — первого рода, то уравнение (22) удовлетворяется автоматически. Далее, в уравнениях (22) и (24) мы можем оставить только 夕小 второго рода, поскольку 夕小 первого рода дают нулевой вклад. Таким образом, в уравнениях (22) и (24) выживают только члены

呼 И?“夕]=3 В〉В = '2 В, (28) 呼 Зе Хк] = 0, к = 1,2, • • •〉К.

Это и есть все уравнения типа 1. Они показывают, что либо все 呼 обращаются в нуль, либо матрица

О [^1,^2]…Ы^в] [^1,Х1]…2lXk]

[^2,^1] оУр2^в\ [^2,Х1](29)

Wb^\\ кв“2〕о [^В,Х1] 2bxк]

имеет ранг, меньший 8 (в слабом смысле).

Сейчас будет показано, что реализуется первая из альтернативных возможностей. Предположим, что матрица (29) имеет ранг U < В.

Образуем детерминант

夕 10[^1,^2]•••Ы^и]

D =D =(30)(30)92[夕2,夕1]0...[з2,д0]

D =

D =

(30)

(30)

夕 U+1 [夕 U+l“l][夕 U+l“2〕… [夕 U+l“u]

Он — линейная комбинация 夕。и поэтому обращается в нуль в слабом смысле. СП любой величины f с D равна сумме детерминантов, образованных взятием СП каждого из столбцов (30) с /. За исключением детерминанта с СП первого столбца с /, все они обращаются в нуль в слабом смысле, поскольку все элементы их первого столбца — нули в слабом смысле. Таким образом,

[^ь/] о[^1,^2]...[<^1, Ы

[3/] =[3/] =(31)(31)[^2,/][^2,^1]0心2“田

[3/] =

[3/] =

(31)

(31)

[9U+b/][夕U+l"l][з0+1"2] … [W+h W]

Если взять в качестве / любую из 屮^)первый столбец в (31) обращается в нуль, и поэтому [D,(/?а] = 0. Если взять в качестве / любую из 夕。или у, то либо детерминант (31) имеет два одинаковых столбца и поэтому обращается в нуль, либо он есть минор матрицы (29) с U + 1 строками и столбцами и обращается в нуль, поскольку ранг этой матрицы по предположению равен U. Таким образом, D имеет нулевую СП со всеми ди*

Может оказаться, что D обращается в нуль в сильном смысле — из-за того, что обращаются в нуль в слабом смысле алгебраические дополнения всех элементов его первого столбца. В этом случае мы возьмем другой детерминант D, со столбцами помимо первого, отвечающими любым U столбцам (29), и строками, отвечающими любым U + 1 строкам (29). Благодаря предположению, что (29) имеет ранг U)мы всегда можем выбрать такой детерминант D, что не все алгебраические дополнения элементов его первого столбца обращаются в нуль. Таким образом, мы получаем D, являющийся величиной первого рода и одновременно линейной комбинацией д. Это противоречит предположению, что ранее мы сделали величинами первого рода максимально возможное число д.

Мы можем заключить, что если мы сделали величинами первого рода максимально возможное количество 夕〉то обращаются в нуль все и, ассоциированные с g второго рода. Тогда гамильтониан (20) сводится к

Н = Va^Pa^ (32)

а общее уравнение движения (21) приобретает вид

g = %[g“a]・(33)

Обращение в нуль ^ и уравнения (25) гарантируют, что все условия самосогласованности удовлетворяются; va остаются полностью неопределенными. Каждый из них дает начало свободе в движении — произвольной функции в общем решении уравнений движения. В стандартном случае имеется в точности одна 夕 которая с необходимостью — первого рода, и поэтому имеется одна произвольная функция в общем решении уравнений движения. Это связано с произволом в независимой переменной г.

Дополнительные условия

Имея дело с конкретной динамической системой, мы можем пожелать, чтобы координаты и скорости подчинялись уравнениям, добавочным к уравнениям движения, которые следуют из лагранжиана. Такие дополнительные условия должны вводиться в теорию как еще одни слабые уравнения.

С помощью уравнений (10) (с 赞=0) дополнительные условия можно записать как соотношения между g 0 и и. Они могут привести к уравнениям только между q 瓜 р. Такие уравнения следует трактовать как новые у-уравнения и присоединить к набору (25). Они приведут к новым условиям согласованности, с которыми следует обращаться так же, как и с предыдущими, и это может дать следующие новые у-уравнения. g первого рода следует теперь определять как имеющие нулевые СП и с этими новыми х〉так что дополнительные условия могут понизить число связей g первого рода. Тогда это вызовет снижение числа степеней свободы.

Те из дополнительных условий, которые не дают у-уравнений, дадут условия на переменные и. Как правило, эти последние условия будут более сложного вида, чем просто требования обращения в нуль некоторых и〉как это всегда было с условиями на и〉следовавшими из условий согласованности. Они приведут к дальнейшему снижению числа степеней свободы, понизив его до величины, меньшей числа g первого рода.

Преобразования гамильтоновой формы

Возьмем набор зависящих от q и р функций 仇(s = 1, 2,..., S) таких, что детерминант

0

△=

[^2,^1]

0

[^2, ^з] • ■

(34)

餌&]

0

не обращается в нуль в слабом смысле. Это значит, что S должно быть четным. Пусть с55/ обозначает алгебраическое дополнение [05, 8$/]〉деленное на Д, так что

^ssf = —C$1 s

И

^-s's\Ps' 4 ^s"\ = ^ss" '(35)

Тогда для любых двух величин £ и 〃 мы можем определить новую СП [£〉〃]* формулой

=陰用 + [€,^]w[^,^]- (36)

Легко видеть, что новая СП обладает первыми двумя из свойств (15), а в справедливости третьего, тождества Якоби, убеждает прямая выкладка (см. приложение). Новая СП дает для любой

£&]* = £甸 + £es/]q/s〃[°s〃/s] = £及]— £%]%$ = о. (37)

Чтобы понять значение новых СП, возьмем случай, когда набор 0 состоит из (1/2)S координат q и сопряженных им импульсов р. Тогда мы видим, что новая СП получается вычеркиванием из суммы по п в определении (14) всех членов, содержащих производные по этим дир. Таким образом, новая СП относится к системе с ^ — (1/2)S степенями свободы. Взяв в качестве 0 не в точности некоторые q и р, а любые независимые функции этих q и р, мы получаем ту же самую новую СП. Для таких общих 0 новые СП по-прежнему будут относиться к системе с N — (1/2)S степенями свободы, но редукция числа степеней свободы более сложна и не сводится к простому вычеркиванию некоторых дир.

Предположим, что в качестве 0 выступают все g или х (夕 должны быть второго рода, так как иначе Д = 0). Тогда мы имеем [0S, Н] = 0 для всех s и, следовательно,

[g,HY = [g,H]=g, (38) где g — любая функция дир. Таким образом, с помощью новой СП можно записывать гамильтоновы уравнения движения. Таким путем мы получаем новую форму уравнений движения, более простую, поскольку эффективное число степеней свободы понизилось.

Теперь каждая из 0 обращается в нуль в слабом смысле. Работая только с новыми СП, мы без риска вступить в противоречие можем полагать, что каждая из 0 обращается в нуль в сильном смысле, потому что согласно (37) обращается в нуль новая СП 0 с чем угодно. Тогда мы можем использовать сильные уравнения 0S = 0, чтобы упростить гамильтониан.

Назовем х величиной первого рода, если она имеет нулевую СП со всеми(/? и у, и величиной второго рода в противном случае. Мы можем проделать над х линейное преобразование вида

Хк = ^кк'Хк' + 1кт屮 (39)

где)и У — любые функции дир такие, что детерминант 7 не обращается в нуль в слабом смысле; тогда новые х* эквивалентны старым для всех целей теории. Проделаем преобразование такого типа с тем, чтобы обратить в величины первого рода как можно больше у, и получившиеся тогда х первого рода обозначим Хе а второго рода — уд.

Мы можем взять в качестве 0 все gg и %д. Тогда детерминант △ не обращается в нуль. Доказательство этого факта аналогично доказательству того, что ранг матрицы (29) равен В: предположив, что △ имеет ранг Т < S, и построив детерминант вида

仇 0 [&，&]…[&/т]

& [&〉&] 0 [в2, От]

следует убедиться, что △ является величиной первого рода по отношению к g и х и одновременно — линейной комбинацией gg и %д, так что это противоречит предположению, что величинами первого рода сделано максимальное число g и х・

Такой выбор 0 дает максимальное в описанном методе упрощение гамильтоновых уравнений движения. Мы получаем новую схему, в которой все уравнения для gg и хд сильные. Мы можем использовать эти уравнения для полного исключения из теории некоторых дир.

Вид новой схемы неоднозначен, поскольку неоднозначны gg и хд・ Просто заменив gg и хд линейными комбинациями их самих, мы не изменим окончательного вида. Однако мы можем добавить к gg любые линейные комбинации да〉а к хд — любые линейные комбинации ^ра и Ха・ Это не изменит △ или css/, но, вообще говоря, изменит [£〉〃]*〉так что вид гамильтоновой схемы внешне изменится. Конечно, внешне отличающиеся схемы должны быть эквивалентны, поскольку все они дают одни и те же уравнения движения.

В качестве применения описанного метода рассмотрим случай, когда лагранжиан не содержит некоторых скоростей. Предположим, что L не содержит qj (J = 1, 2,... J < N). Тогда каждый pj в слабом смысле равен нулю, а в сильном — g. Предположим, что ни одна линейная комбинация pj не является величиной первого рода. Тогда мы можем считать, что pj суть gg. Возьмем теперь в качестве половины набора 0 эти 勿 а в качестве другой половины — подходящие g или х второго рода, так, чтобы △ не обращался в нуль. Эти другие 0 назовем Oj. Легко видеть, что при таком выборе 0 именно новые СП и получились бы применением определения (14) к тем степеням свободы, для которых из числа q исключены qj> причем каждый pj считается сильно равным нулю, а каждая qj — сильно равной функции остальных q и р, заданной уравнениями Oj = 0. Таким путем мы получаем новую гамильтонову схему (не обязательно максимально упрощенную, поскольку могут существовать другие gg и %д, не включенные в число 0), в которой qj и pj не появляются как независимые динамические переменные.

Новую схему можно было бы получить и более прямым путем, с самого начала не считая 例 координатами и вообще не вводя сопряженных им импульсов. Посмотрим, какие модификации внесло бы это в развитие теории.

Обозначим через п те и только те значения индексов, для которых q не есть %・，т.е. значения J + 1, J + 2〉..., N. Тогда уравнения (2) и (5) остаются в силе, а уравнение (6) следует заменить на

ЬН = ап6рп - dL/dqn • Sqn - dL/dqj • 8%, (41) поскольку мы допускаем варьирование qj. Уравнения

dL/dqj = 0 (42)

мы можем считать при этом дополнительными условиями. Тогда уравнение (41) сводится просто к (6). Мы можем заключить, что Н имеет вид (20), где 夕小 зависят от qn и рп, не зависят от q^ и обращаются в нуль как следствие уравнений (2). В дальнейшем теорию можно развивать, как

и ранее, в терминах(/? и у, не зависящих от qj. Те же из уравнений для g и х〉которые содержат 奶 можно считать определяющими %• через другие переменные, и в дальнейшем они не играют в теории никакой роли.

В такой форме теории мы имеем лагранжиан, содержащий зависящие от импульсов переменные qj. Появление импульсных переменных в лагранжиане аналогично появлению скоростей va в гамильтониане.

Гамильтониан как исходное понятие

Вместо того, чтобы начинать с лагранжиана и получать из него гамильтониан, можно начинать с гамильтониана. Мы полагаем, что имеются некоторые динамические переменные qn и рп (п = 1,2,..., N) и, возможно, другие динамические переменные, между которыми определены СП, обладающие свойствами (15), и что их связывают некоторые слабые уравнения в качестве (/^-уравнений. На таком пути нет оснований различать g и х・ По крайней мере, одна из g должна быть первого рода, т.е. иметь нулевые СП со всеми 6 иначе не будет непротиворечивого движения. Предположим затем, что гамильтониан есть линейная комбинация 屮.(g первого рода) с новыми переменными va в качестве коэффициентов, а гамильтоновы уравнения движения имеют вид (17) или (33). Сами и могут быть произвольными функциями независимой переменной г.

Прежнюю схему уравнений движения, выведенных из лагранжиана и включающих как(/?, так, возможно, и у, следует считать примером настоящей схемы, в котором некоторые из и обращены в нуль дополнительными условиями. Тогда 屮&)отвечающие этим %〉суть х первого рода в прежней схеме. Такие дополнительные условия, да и любые дополнительные условия, содержащие и〉ничего не дают в применениях теории к релятивистской динамике, рассматриваемых в следующем пункте, и не могут быть перенесены в квантовую теорию, так что в дальнейшем они исключаются. Дополнительные же условия, не содержащие и〉суть в точности (/^-уравнения.

СП двух g первого рода есть g первого рода, в чем можно убедиться следующим образом. СП [^,(paf] слабо обращается в нуль и поэтому в сильном смысле равна линейной комбинации 夕一единственных величин, слабо равных нулю в настоящей схеме. Мы должны показать, что ее СП с любой g слабо равна нулю. Из тождества Якоби следует, что

[б [夕со 夕о/]] = [[б 夕а]〉夕о/] — [[б 夕о/]〉夕а]・ (43)

Поскольку(/?а — первого рода, то [夕,夕&] слабо равна нулю и потому в сильном смысле есть линейная комбинация д〉откуда ее СП с 屮& первого рода слабо обращается в нуль. Аналогично слабо обращается в нуль второй член в правой части (43), — и необходимый результат доказан.

Предположим, что имеется А независимых g первого рода и М всех независимых д. В фазовом пространстве (2^мерном пространстве переменных qn ирп) имеется (2^ — А/)-мерное подпространство, в котором выполнены все (/^-уравнения. Назовем его (2^ — М)-пространством. Состояние динамической системы при данном значении г фиксируется заданием переменных q и р, удовлетворяющих всем (/^-уравнениям, т.е. представляется точкой Р в — М)-пространстве. Движение системы, исходным для

которого является это состояние, представляется в (2^ — А/)-пространстве кривой с началом в Р. Благодаря произвольности А переменных va эта кривая может уходить в любом направлении в малом пространстве А измерений, охватывающем Р. Для каждой точки (2^ — А/)-пространства имеется такое малое A-мерное охватывающее пространство. Покажем теперь, что эти малые пространства интегрируемы.

Предположим, что в интервале времени Sr = Si обращаются в нуль все и〉за исключением va^ равной 1, в следующем интервале Вт = £2 —— все и〉за исключением va>^ также равной 1. Тогда любая функция g, зависящая от q и р, в конце первого интервала переходит в

В конце второго интервала, с учетом членов порядка S1S2, но в пренебрежении членами порядка £ и £§〉она переходит в

g + / [g,夕"+ £2[g + / [g,夕",夕a〃]•(44)

Если эти два движения совершаются в обратной последовательности, g переходит в

g + £2[g,夕а〃] +^l[g + £2[g,夕a〃],夕"•(45)

Разность между (44) и (45) благодаря тождеству Якоби равна

S£2[g」0a“a〃]]・(46)

Выше было показано, что [夕^〉Ва〃] есть g первого рода, так что (46) есть возможное изменение g, описываемое уравнениями движения при подходящем выборе V и поэтому отвечающее повороту в малом A-мерном пространстве вокруг начальной точки. Это и есть условие интегрируемости.

Если в дополнительные условия войдут и〉то эта интегрируемость может подпортиться. Таким образом, для выведенных из лагранжиана уравнений движения интегрируемость не обязательно имеет место.

Объединение малых пространств образует набор лежащих в (2^ — М)- пространстве A-мерных пространств таких, что движение всегда происходит только в одном из них. Назовем эти пространства А-пространствами. Каждая кривая в A-пространстве представляет возможное решение уравнений движения. Каждая точка (2N — А/)-пространства лежит в некотором А-пространстве, содержащем все начинающиеся в этой точке траектории. Полным решением уравнений движения допустимо считать само А-пространство, а не кривую общего положения в нем.

Точку данного A-пространства можно фиксировать А координатами, каждая из которых есть некоторая функция дир. Обозначим эти координаты ta (а = 1,2,..., А). Они будут играть роль временных переменных. Само A-пространство можно описать, задав зависимость всех q и р от ta. Если g есть любая ив q и р или их функция, то мы имеем

g = iadg/dta,(47)

поскольку зависимость g от г можно считать порожденной зависимостью ta от г. Используя гамильтоновы уравнения движения (33) для g и 力 мы получаем

夕а] = %隰，^a\dg/dta.

Это уравнение выполняется для произвольных ^, так что

[g“a] = [ta^a]dg/dta.(48)

Уравнения (48) можно считать общими уравнениями движения, фиксирующими А-пространство. В теории с однородностью по скоростям именно они наиболее похожи на обычные гамильтоновы уравнения движения. Если А = 1, то мы можем взять в качестве времени единственную переменную ta> и (48) сведется в точности к обычным гамильтоновым уравнениям движения.

Чтобы перейти от гамильтониана к лагранжиану, мы введем скорости qn уравнениями

Qn = ^а д^а/9рп^(49)

а затем определим L:

Ь = pnqn - Н = pnqn 一 ％夕а・(50)

Это задает L как функцию q, Q, р и 〃 причем линейную ио @ и и. Взяв независимые вариации bq, b@, Ьр, 8〃 мы получаем

BE = qndpn + pndqn -(paSva 一 ^(5^/5^ • 6qn + d^ajdpn •切九)=

=Pn5qn - Vad(pa/dqn • Sqn. (51)

Таким образом, SL не зависит от Зрп и 3vn. Этот результат следует сопоставить с (6).

Если уравнения (49) вместе с ^-уравнениями выражают @ как независимые функции р и и, позволяя тем самым считать р и и функциями q и 厶 то (51) показывает, что L есть функция только q и @ в сильном смысле. Эта функция должна быть однородной первой степени по q. Ее частные производные по q и q дают

dL/dqn = рп^

dL / dqn = —^ад^а/dqn = pn.

Это обычные лагранжевы уравнения.

Если уравнения (49) вместе с ^-уравнениями не выражают @ как независимые функции р и 〃 то они приводят к некоторым соотношениям, связывающим только q и 處 скажем,

R3(50) = 0, j =\2 …J(53)

Rj однородны no q, и мы выбираем их так, чтобы однородность была первой степени. Дальнейшие действия аналогичны методу п. 3, но с переменой ролей у р и @. Мы получаем аналогичный (9) результат

Е 三必 + Л3Ab(54)

где 必 зависит только от q и @ и должен быть однородным первой степени по Q, а коэффициенты Xj зависят от q〉р и и.

Если Л считать независимыми переменными при частном дифференцировании L)а L тогда однороден первой степени по Q, то мы возвращаемся к уравнениям (52). Таким образом, мы имеем лагранжиан, содержащий импульсные переменные; нечто подобное обсуждалось в конце предыдущего пункта, причем тогдашние %〉отвечают теперешним Aj, а дополнительные условия (42) — уравнениям (53).

Приложение к релятивистской динамике

В обычной нерелятивистской динамике работают с состояниями динамической системы в данный момент времени, причем это состояние характеризуется заданием значений дир. Имеются уравнения движения, позволяющие по состоянию в один момент времени вычислить состояние в другой момент. Гамильтонова форма этих уравнений движения в случае однородности по скоростям требует только одной g первого рода.

Чтобы получить динамическую теорию, удовлетворяющую специальному принципу относительности, мы должны построить схему уравнений, равно применимых для наблюдателей со всеми скоростями. Если мы работаем с мгновеньями, мы должны охватить мгновенья относительно всех наблюдателей. Тогда мгновенье — это любая плоская трехмерная поверхность в пространстве-времени, нормаль к которой лежит внутри светового конуса. Чтобы описать общее мгновенье, нужны четыре параметра — три для фиксации направления нормали (скорости наблюдателя) и четвертый, чтобы различить разные мгновенья для одного наблюдателя.

Включая понятие мгновений, релятивистская динамика должна позволять по заданному состоянию в любое из этих мгновений вычислять состояние в любое другое. Мы должны располагать уравнениями движения, показывающими, как меняются динамические переменные с изменением этих мгновений. Мы должны допустить произвольные изменения мгновений —как трансляции в пространстве-времени, так и изменения в направлении нормали, и все это должны суметь описать уравнения движения. Таким образом, нам нужны четыре g первого рода, чтобы породить четыре степени свободы в изменении мгновенья.

Четыре параметра, описывающих мгновенье, следует понимать как Q, подчиняющиеся наряду с другими дир уравнениям движения (17) или (33). Их отличие от других дир состоит в том, что именно их удобно взять в качестве переменных t в уравнениях движения (48). Тогда эти уравнения явно показывают, как меняются любые дир при данном изменении мгновенья.

Есть другие формы релятивистской динамики, не использующие мгновений, как то обсуждалось автором ). Есть точечная форма, в которой состояние определяется относительно точки в пространстве-времени. Для этой формы также нужны четыре 夕 первого рода, соответственно четырем степеням свободы движения точки. Далее, есть фронтальная форма, для которой нужны три g первого рода, соответственно трем степеням свободы движения фронта. Наконец, мы можем задавать состояние на произвольной трехмерной пространственноподобной поверхности в пространстве-времени. Тогда число g первого рода должно быть бесконечным, соответственно всем деформациям, которые можно сделать с этой поверхностью. В каждой из этих форм переменные, описывающие точку, волновой фронт или произвольную пространственноподобную поверхность, следует понимать как Q, подчиняющиеся уравнениям движения (17) или (33) и предпочтительно удобные для выбора в качестве переменных t в уравнении (48).

Обсуждавшиеся выше g первого рода минимально необходимы для построения релятивистской динамики в соответствующих формах. Могут быть и другие. Например, электродинамика, допускающая калибровочные преобразования даже после фиксации начальных значений всех q и р, должна обладать добавочными степенями свободы, для порождения которых будут нужны добавочные g первого рода.

Квантование

Чтобы проквантовать динамическую систему, получившую классическое описание, нужно построить систему линейных операторов, соответствующих классическим динамическим переменным q и р и их функциям. Ни классическим переменным и〉ни переменным типа скорости вообще, ни комбинациям, явно содержащим т, — нет соответствий среди операторов. Все операторы действуют на векторы ⑺ гильбертова пространства, представителями которых в любом представлении являются волновые функции, характеризующие состояния в квантовой теории. Вещественным классическим переменным соответствуют самосопряженные операторы.

Аналогия между линейными операторами и их классическими двойниками должна удовлетворять двум общим принципам. С обозначением одинаковыми символами обоих партнеров-двойников, эти принципы суть:

СП соотношения между классическими переменными соответствуют коммутационным соотношениям между операторами согласно формуле

[£〉用 соответствует 27r (£〃 — 〃£)/〃九；

слабые уравнения между классическими переменными соответствуют линейным условиям на векторы ⑺ согласно формуле

X(q〉p) = 0 соответствует Х^ = 0.

Процедура перехода от классической к квантовой теории не вполне определена математически, поскольку всякий раз, когда классическое выражение содержит произведение двух множителей, СП которых не обращается в нуль, есть произвол в порядке, в котором должны появиться эти два множителя в соответствующем квантовом выражении. В простых реальных примерах этот вопрос решается без труда. В сложных примерах может оказаться невозможным так выбрать порядок в каждом месте, чтобы сделать непротиворечивыми все квантовые уравнения, — а тогда и вовсе неизвестно, как проквантовать теорию. Все современные методы квантования являются по сути практическими приемами, основанием для применения которых служат соображения простоты.

Имеются некоторые общие соображения, которые следует иметь в виду при переходе к квантовой теории, чтобы сразу не столкнуться с тривиальной противоречивостью квантовых уравнений. В классической теории мы имеем некоторое число (/^-уравнений (включая в него на равных правах у-уравнения), которые в квантовой теории следует трактовать в соответствии с принципом (ii). Для классических g мы можем провести линейное преобразование (27), и новые g будут ничем не хуже старых. Проводя

соответствующее преобразование в квантовой теории, мы должны озаботиться тем, чтобы все коэффициенты 7 стояли слева от д. Общая g в квантовой теории есть линейная комбинация исходных g с коэффициентами слева.

Из двух квантовых уравнений, полученных по (/^-уравнениям согласно принципу (ii),

з1少=0,g2少=0,

мы можем заключить, что

夕2夕1少=0,夕1夕2少=0,

а отсюда согласно принципу (i)

[夕1"2侬=0.

Это соответствует классическому слабому уравнению

[91"2]= 0.

Мы можем заключить, что если переход к квантовой теории возможен, то все g должны быть первого рода.

Квантовую теорию можно построить и по классической теории с g второго рода, — предварительно превратив все ^-уравнения в сильные уравнения с помощью преобразования, описанного в п. 8. Квантовым эквивалентом сильных уравнений будут уравнения между операторами, по которым одни из них можно определить через другие.

Квантовые уравнения 夕少=0, полученные из классических (^-уравнений применением принципа (ii) к g первого рода, представляют собой волновые уравнения Шредингера. Обычная классическая динамика с единственной g первого рода приводит к единственному уравнению Шредингера. В общей теории каждой классической степени свободы, характеризующей произвол в движении, отвечает свое уравнение Шредингера. В этих уравнениях все операторы соответствуют динамическим переменным при одном и том же значении г. Операторы, относящиеся к различным значениям г, принадлежат разным алгебраическим системам, и, по-видимому, в квантовой теории нет ничего похожего на т-зависимость классических переменных.

Однако описываемая уравнением (48) зависимость классических величин от параметров t имеет квантовый аналог, если только t выбраны так, что их взаимные СП равны нулю, и поэтому в квантовой теории им можно одновременно придать числовые значения. Предпочтительные t различных форм релятивистской динамики, обсуждавшихся в предыдущем пункте, удовлетворяют этому условию. Непосредственно перенести в квантовую теорию уравнения (48) мы не можем, поскольку, как легко проверить, получившиеся уравнения не были бы инвариантны при общих линейных преобразованиях g (27). Сначала мы должны привести уравнения (48) к стандартному виду. Преобразованием (27) мы образуем новый набор 6 скажем 夕① находящихся в таком взаимно однозначном соответствии С 土а〉ЧТО

[力= ^аа' •(55)

Для таких g уравнения (48) сводятся к

[g“a] = dg/dta.(56)

Эти уравнения уже можно перенести в квантовую теорию, и тогда они станут гейзенберговыми квантовыми уравнениями движения в нашей обобщенной динамике.

Приложение

Доказательство тождества Якоби для новых СП, определенных уравнением (36).

Воспользуемся индексами г, s, 3 ... для идентификации различных в. Мы имеем по определению

[£〃]*<]*=[陰用 + [£©]%[&〉〃](] + [陰用 + [€, ^r\crs \0s, 7)], et] Ctu [OuX]=

=[£用,4 + [£%],44 sms，用 + l^or][crsx][os^] +

+ e命55也用(]+ [£次仇]。K%(] +

+ [[€, ^r], ^t]crs [^s, "n]ctu[^u^ C] + £ 0 THss> 仇 П&> 用。K%〉С] +

+ £ 飼Ss[&, 〃],»&/%(]• (57)

Пусть оператор X означает суммирование по трем циклическим перестановкам величин £〉〃〉《.Тогда мы должны доказать, что

订陰用*<]* = 0・

В применении к первому члену (57) X дает нуль благодаря обычному тождеству Якоби. Применение X ко второму, четвертому и пятому членам дает

E55历用{[后加4 + КМ同+ [%G%]} = 0

снова благодаря обычному тождеству Якоби. Применение к шестому и восьмому членам (57) дает, после циклической перестановки г〉п〉s〉t в восьмом,

55。力"注@出][%(]{[E%])仇]+ [[%日%]}=

=-crsctu^[os^] I^U.C] [[^r, ^t]^]- (58)

Из (35) можем заключить, что

[。施[%)创〉W] = 3

или

lctu^] [^r^t] + Ctu[[^r^t]^] = 0.(59)

Таким образом, (58) сводится к

crs [вг, et] s [6S ,Г]][виХ] [ctu, €]=订价加仇(][%〉£]

после еще одного использования (35). Это выражение сокращается с результатом применения X к третьему члену (57). Применение X к остающемуся, седьмому члену (57) дает

£ °т] [〃 °sHC> %] {。力"©S〉创 +。力丁[。5"/力]+ Qs [^itr^t] }•(6。)

Обозначив ^rsu результат суммирования по циклическим перестановкам индексов г, s, и и одновременно индексов r\ s', 〃[ мы имеем благодаря обычному тождеству Якоби

^TSU^rr' Css，^ии' [[^rz , ^Sf]l ^и'\ =0. (61)

Замена £ на 也/ в (59) дает

[。丁戸〉^и'~\ \Pf〉仇4 + crrf [[%‘〉0Sf ]〉e“/] = о〉 так что из (61) следует

^rsu^ss' ^ии' \Pr' , ^s' ] [crrf , 0uf ] = 0.

С помощью (35) это сводится к

^rsu^uu' [crs, ^и'\ = 3

что свидетельствует об обращении (60) в нуль. На этом доказательство завершается. Все выписанные выше уравнения можно понимать как сильные, поскольку слабых уравнений в доказательстве не использовалось.

19

ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА ПОЛЕВОЙ ДИНАМИКИ*)

Введение

В классической динамике обычно предполагалось, что если решены уравнения движения, то сделано все, что положено. Однако благодаря вызванному открытием квантовой механики углублению понимания общей динамической теории пришлось поверить в то, что это не так. По-видимому, необходимо сделать кое-что еще, а именно сгруппировать решения в семейства (при этом каждое семейство отвечает одной главной функции ), удовлетворяющей уравнению Гамильтона-Якоби). С точки зрения ньютоновой механики семейство ничем не выделено, но именно оно отвечает одному состоянию движения в квантовой теории, так что выделение семейств имеет некоторое, еще не достаточно понятое, глубокое значение в природе [1].

Значение семейства обнаруживается шредингеровой формой квантовой механики, но не гейзенберговой. Последняя, в прямой аналогии с классическими гамильтоновыми уравнениями движения, не требует никакой группировки решений. Шредингерова форма идет дальше, подчеркивая важность концепции квантового состояния, удовлетворяющего принципу суперпозиции и описываемого решением волнового уравнения Шредингера. Для проведения аналогии с классической механикой эта концепция вынуждает ввести семейство решений, причем само уравнение Шредингера оказывается аналогом уравнения Гамильтона-Якоби.

Релятивистскую динамическую теорию можно строить исходя из ло- ренц-инвариантной функции действия, зависящей от полевых величин. Требование, чтобы полное действие было стационарным при произвольных малых вариациях тех полевых величин, которые играют роль динамических координат во всех точках пространства-времени, приводит к релятивистскому набору уравнений поля, выступающих в качестве уравнений движения. Эти уравнения можно привести к гамильтонову виду, а затем перейти от них к гейзенберговой форме квантовой механики. Это уже сделано Вейсом 1. В настоящей статье речь идет о дальнейшем математическом развитии схемы, связанном с группированием решений в семейства, что необходимо для перехода к шредингеровой форме квантовой механики.

Динамические переменные гамильтоновых уравнений движения должны быть набором переменных, способным служить начальными данными, —они должны быть независимы друг от друга и достаточны для

*) The Hamiltonian Form of Field Dynamics // Can. J. Math. 1951. V. 3, №1. P. 1-23.

фиксации состояния движения. В нерелятивистской теории в качестве них берут физические величины, относящиеся к фиксированному моменту времени. С релятивистской точки зрения концепция фиксированного момента времени выглядит несколько искусственно. Ее образом является плоская трехмерная поверхность в четырехмерном пространстве-времени такая, что направление ее нормали лежит внутри светового конуса. В релятивистской теории было бы естественнее заменить плоскую поверхность произвольной искривленной, но всюду пространственноподобной, т.е. потребовать, чтобы нормаль в каждой ее точке лежала внутри светового конуса. Тогда появляется возможность оперировать динамическими переменными, относящимися к физическим условиям на такой искривленной поверхности, как это сделал Вейс.

Конечно, использование искривленной поверхности вместо плоской повышает сложность математических уравнений. В реальных примерах всегда возвращаются к плоской поверхности, чтобы по возможности максимально упростить вычисления, тем более что именно плоской поверхности достаточно для описания всех экспериментальных результатов. Искривленная поверхность предпочтительнее в общей теории, куда она привносит гибкость описания и мощный математический аппарат. Она выделяет трансформационные свойства гамильтоновой теории в применении к полевой динамике. Искривленная поверхность имеет преимущества в любой задаче, нацеленной не на выяснение свойств данной системы, а на построение новой, поскольку она вносит в математику больше условий и тем самым сужает область поисков.

Искривленная поверхность будет описываться некоторыми математическими переменными, которые мы будем называть переменными поверхности. (Фактически, как выяснится в следующем пункте, они будут набором функций.) Уравнения движения будут задавать изменение динамических переменных при движении поверхности в пространстве-времени. Во время движения поверхность может испытывать произвольные изменения ориентации и деформации — лишь бы она всегда оставалась пространственноподобной .Таким образом, уравнения движения задают изменение динамических переменных при любом изменении переменных поверхности. Как было показано Вейсом, эти уравнения можно преобразовать из лагранжевой формы в гамильтонову, и тогда между динамическими переменными возникнут соотношения в скобках Пуассона (СП соотношения).

Посмотрим теперь, что еще нужно сделать, чтобы оказалось возможным сгруппировать решения уравнений движения в семейства. Аналогия с нерелятивистской динамикой показывает, что семейства определяются решениями уравнения Гамильтона-Якоби, которое является дифференциальным уравнением первого порядка в частных производных как динамических координат, так и переменных поверхности. Таким образом, оно трактует переменные поверхности на равных правах с динамическими координатами. Это — решающее для нас обстоятельство. Мы должны привести динамическую теорию к виду^ в котором переменные поверхности выступают равноправно с динамическими координатами. Должны существовать сопряженные им импульсы и СП соотношения, связывающие их с остальными динамическими переменными. Сделав это, мы сможем сразу ввести уравнение Гамильтона-Якоби, а тем самым подготовить почву для шредингеровой формы квантования.

8 П. Дирак. Т. III

Теперь главным назначением уравнений движения следует считать управление совместным изменением всех динамических переменных, включая переменные поверхности: если задать подходящие начальные условия, то все они окажутся функциями некоторой независимой переменной, скажем г. При этом переменные поверхности могут зависеть от г произвольным образом. Это следует учесть, полагая, что общее решение уравнений движения должно включать некоторые произвольные функции (или функционалы). Произвол в движении переменных поверхности следует тогда связать с «неожиданным» появлением этих произвольных функций в решении уравнений, которое, вообще-то, в нормальной ситуации фиксировало бы движение полностью.

Обобщение гамильтоновой динамики, необходимое для того, чтобы в решении уравнений движения могли появиться произвольные функции, было дано в предыдущей работе автора 2. Настоящая статья есть прямое применение развитого там метода.

Общая пространственноподобная поверхность

Пространство-время мы описываем четырьмя координатами 力从(从= =0,1, 2, 3) прямолинейной ортогональной системы координат. Для простоты все векторы в этой координатной системе мы будем записывать в контравариантном виде а从 и примем соглашение

d^ь^ =仅)历—a!bi - a2b2 -a363)пользуясь им каждый раз, когда в произведении повторяется один из этихконтравариантных индексов.

Общую трехмерную поверхность в пространстве-времени можно описать, задавая координаты 力从 любой точки на ней как функции трех пара-

⑴⑴метров иг (г = 1, 2, 3):

⑴

⑴

Это подразумевает введение параметризации 〃 на поверхности. Параметризация не имеет физического содержания и привносит некоторые дополнительные математические усложнения. Их можно обойти, используя другой метод описания поверхности: задавая 力о как функцию Ж1,力2〉力з・ Однако это подпортит релятивистский способ обращения с четырьмя х. Ради сохранения релятивистской формы кажется предпочтительным использовать метод (1), а возникающие из-за параметризации дополнительные осложнения при должной аккуратности не так уж серьезны.

Условие того, что поверхность должна быть пространственноподобной, означает, что единичный вектор нормали 1^ в каждой ее точке должен удовлетворять соотношениям

‘从%t = 3/从/从=1〉/0〉0)‘从%t = 3/从/从=1〉/0〉0)⑵⑵

‘从%t = 3/从/从=1〉/0〉0)

‘从%t = 3/从/从=1〉/0〉0)

⑵

⑵

где у^ — краткая запись для производной dy^/dur] /从 следует считать зависящими от параметров и.

Параметры и образуют систему координат на трехмерной поверхности. Отнесенная к этим координатам метрика поверхности есть

ds = dg从 dg从=g从 dur у^ dus =) dur dus,

гдегдеу5=уг=^(3)

где

где

Для пространственноподобной поверхности эта ds? отрицательна, и поэтому отрицателен и детерминант матрицы yrs. Обозначим его —Г2, где Г положительна. Тогда, например, элемент трехмерной «площади» поверхности есть

Г dui d〃2 d〃3 = Г Su.

Пусть 7Ts — алгебраическое дополнение элемента 7Ts в определителе, деленное на детерминант, так что

俨=в/.

Матрицы)『s)Rts можно использовать для поднятия и опускания индексов векторных и тензорных величин в трехмерном пространстве поверхности. Условимся обозначать производную величину по иг (обычную, не ковариантную производную) добавлением верхнего индекса г к символу величины. Таким образом, если《 一 любая функция и, то ^ = 3《/3〃丁〉а тогда & = »s,s. Мы имеем =产，но^ вообще говоря, (^rs # (^sr.

Имеем

дГ2/дир = Г2 уrsdyrs/dup, и, следовательно,

Пусть а从一любой 4-вектор в точке на поверхности. Его нормальная компонента

a从/从=a厶

а контравариантная компонента в направлении иг на поверхности

а从

Ковариантные компоненты вдоль направлений на поверхности можно ввести как ar = yrsas. Теперь легко видеть, что

(а从—а〃从—а『д/)/从=О,

(а从—а〃从—^гУ ^^У fj8 = 3

так что все компоненты 4-вектора а从—а"从—агу^ — нормальные и в направлениях иг — обращаются в нуль. Это значит, что равен нулю сам вектор, т.е.

а从=а〃从+ а『У从•(5)

Это уравнение дает разложение вектора а从 на его нормальную и касательную составляющие. Для краткости удобно обозначить касательную составляющую aryj как а_从.

Скалярное произведение двух 4-векторов а从 и 6从 есть

а从匕从=а/6/ +。一从6—从=。/匕/ + а『У从 bsU从 =。/匕/ + ) cirbs = а/b/ +(irb . (6)

Этот результат можно представить в виде

g从г/°从М =。从/从ЬгДг/ + а/“рЬ典^ •

Поскольку это справедливо для произвольных а从 и 6^, мы можем заключить, что

ё^и = /从 %г/ + У 从 тУ/；(7)

эта фундаментальная формула часто оказывается полезной.

Для любой функции V(и), заданной на поверхности, дифференцированием, мы можем получить 3-вектор dV/dur = Vr. Мы можем затем образовать Vry 11r =匕从 и считать эту комбинацию 4-вектором в пространстве- времени. Если V — полевая функция, заданная как на поверхности, так и вне ее, то мы можем образовать dV/dx^ и, меняя знак у пространственных компонент, получить контравариантный 4-вектор 以.Тогда введенная выше VL从一не что иное, как касательная составляющая 以.

Дифференцируя уравнения (2) по %〉мы получаем

(8)

〃炉=0.(9)

Уравнение (8) показывает, что

〃“ =//川.

Определим

(10)

Это — тензор кривизны. Его можно представить в четырехмерной форме С—从一г/ = yiirVus^ = У/irУиз^аГУа§ =沙从"「(g” 一 Мсг)〉 воспользовавшись (7). Теперь с помощью (9) получаем

QQ一从一г/一从一г/I.I.(11)(11)

Q

Q

一从一г/

一从一г/

I.

I.

(11)

(11)

Мы можем сделать вывод, что

(12)

Заметим, что здесь при d3u нет множителя Г, так что эта В-функция относится к параметризации поверхности, а не к метрике. Если ввести в (13)

множитель Г, то получилась бы 8-функция с более непосредственным физическим смыслом, но она не была бы столь удобной для динамической теории, поскольку не обладала бы нулевыми СП с вводимыми ниже переменными w.

У динамических переменных у^^и) есть сопряженные импульсы w^(u), причем выполняются стандартные СП соотношения. Если для краткости писать ?中 眩 вместо у^(и^ у从(〃')и аналогично w^, w^ вместо w^(u), w^u1^ то эти соотношения примут вид

检的或]=0,[w^, w^] = 0,似⑷ w^] = g从》(〃 - 〃')•(14)

Можно представить себе, что импульсы связаны со смещениями и деформациями параметризованной поверхности. При этом линейной комбинации £ / a^w^ d3u, где а从 зависит от u, а е мал, отвечает смещение, при котором у^ переходит в у^ + ga从 для всех значений и. Таким образом, начальная составляющая w* = w/ связана с движением поверхности в направлении, нормальном к ней самой, а касательные составляющие w/J = wr — просто с изменениями параметризации.

Из фундаментальных СП соотношений (14) можно вывести несколько полезных СП соотношений, связывающих переменные w с функциями переменных поверхности и друг с другом. Некоторые из этих соотношений были получены ранее автором 5, исходившим из связи переменных w с деформациями, а также Чангом ^, использовавшим более непосредственный метод, аналогичный используемому ниже. Заметим, что Пг, ЁР этих двух статей равны минус wr)w/ настоящей статьи, а)『* yrs в? равны минус 7T Ks в настоящей статье.

При выводе СП следует прежде всего заметить, что все величины, зависящие только от поверхности и ее параметризации, являются функциями только динамических координат 沙从(〃)и поэтому имеют нулевые СП друг с другом. Таким образом, у从)/从)yj)П『$ для всех и и все их производные по и имеют нулевые СП друг с другом.

Из первого из уравнений (2) мы имеем

О =厶 gj,此]=[l^w^y^ + I ^[y^.w^].

Теперь

^4]=似⑷ ^4F = g^sr(u - J).(15)

Следовательно,

[l^.w^y^ = —/»『(〃 -J).

Далее, из второго из уравнений (2) получаем

Тогда, ввиду ⑺，

卩* 此]=[心此](〃厶 + “沙丁)= f”户(〃-〃')=-Z^J_A(u - u9. (16)

С помощью (15) мы имеем

H5,wL] = у；\у^^ + у^^М =沙/岁(〃 -J) + ^第『(〃 _ J). (17)

Следуя методу, которым выведено (4), получаем

『，此]=1%5ь:此]=^rsyyrS^u - d)=

=2r2g^sBs(〃 — uf) = 2Г2 J_^(u — u^, или

[Г,此]=FB—认〃 -〃').(18)

Далее, из (17) имеем

bpr^^rs = —)wb『7T〃 = —у蚱岁(〃-〃')一渥％(〃 - 〃‘，

так что

bw^J = —Уир^г(^ — 〃 ).(19)

Мы будем использовать добавление штрихованного индекса г' или — ^ к любой функции Х(〃‘) в следующем смысле:

х" = ах/а心 х『/ = »s(t/)xs[ x_^f = y^Xr^ (2o)

Из (16) мы получаем

卩* 州]=—以》—入(〃 -〃')=-{lyl^^u - 〃')}—入 + lfJy-x8(u - J)=

=-{"»(" - ^)}—д + 2房广入8(" - "‘)= -8_入(" -"‘). (21)

Опять-таки из (16) следует

[/* 疗 1 = 一或尢8—(〃 - и) = -{у^1у8(и - 〃，)}—入 + 理7吁入8(〃 - 〃‘)=

=y^ly-xS^u — и) = y^lx-yS^u — и) = 1\8{и — г/). (22)

Аналогично из (18) получаем

[Г, w^] = /；Р8_认〃 —uf) = Г {l^S^u — t/)}j = Vl^-^S^u — 〃')〉(23)

и снова из (18)

[r,w^]=理ТВ~(〃 - d) = Р{理‘8(〃 - т/)}-=

=F(gJ)—»(〃 - J) + Гу^д-^^и - J).

Теперь из (4)

(“)〃=吋宀宀=y.sry^Ps =淞Sg/)770s = b770s = Г/Г. (24) Следовательно,

[Г, wfr]=『8(〃 - 〃')+ ГУ(и - 〃')= {F“〃 - 〃')}『.(25)

Чтобы получить СП для w/, wr мы находим

H，w^]= 攸从〃必力力=W^^W^ +厶774 M从力]=w[^，w，] +^u⑷力]•

Согласно (21) это равно

血,州]=-w^d-^u - г/) + wl」，(n - г/).(26)

Далее, с помощью (22) получаем

H,w,r] = [w^l^w^] = w^^w^] + Z^[w^,^]=

=w^l^d^u - J) + 1皿)\3r(u - J).

Это дает

[whwfr] = w^l^S^u - t/) + ^{w^S^u - 〃/)}『={wi8(u - u')}r.(27)

Далее,

[wr,wfs] = \w^^w'v^\ = w^ [y^.w^ + [w^y^y^w^ =

=w^sr(u - J) 一 心g/f(" -J)=

=w^y^S^u-u^ + 川不(〃 —J)}—心也實 8(〃 — J) + yf^8s，(u-uf)}=

= wsSr(u-uf)-wfrSs\u-uf). (28)

Еще несколько полезных соотношений получаются с помощью (7):

[д从S)此]=[方54从\此]=

=Ksg从 г/8『(“ —и ^ — У^ {Ууг ^s (^ — 〃)+ Уиз^г (^ — 〃)}=

=I 削1 丿 5 s(и — 〃)一 Ui^sB - “(и — 〃 )； (29)

[y^s^^] = Уу {I^lyd^u - 〃')- У^у^^и - 〃')}=

=理‘厶{44(" - J)-总8(" - "‘)}一

-g从0^s{gJ°“〃 - 〃') + g//(〃 - и')}=

=-l^vryvS8{u - J) + ygy尸n^s3(u - J) - SrsS_^u - J)=

=Ui/ydu - J) + уgy 17ydи - 〃')- SrsS_^u - J)=

=y^sr8(u - t/) - 8^8_^ - t/). (30)

Изменения параметризации

Используя для динамических уравнений формулировку с однородностью по скоростям, мы имеем гамильтониан, общий вид которого описывается уравнением (20) статьи Z Здесь 夕一функции динамических координат и импульсов, а и зависят от производных по г тех величин, которые могут произвольно меняться с изменением г. У нашей теперешней динамической системы произвольным образом зависеть от г могут переменные поверхности у^^и^ и в качестве и мы можем взять их производные

по г. (Вообще говоря, в качестве и мы могли бы взять любой полный набор независимых функций от у^\ получилась бы эквивалентная, но менее удобная формулировка.) Если они — единственные произвольным образом зависящие от г величины, то их производные по г — единственные V)и гамильтониан имеет вид

Я = У У^^и) Su, (31)

где 夕从(〃)——некоторые функции динамических координат и импульсов, слабо равные нулю для всех значений и. Если произвольным образом могут зависеть от г и другие величины, то в гамильтониане появятся дополнительные члены. Условимся пока их не рассматривать, поскольку они не повлияют на развиваемую сейчас аргументацию.

Благодаря (6) мы можем переписать (31) через нормальные и касательные компоненты 皆从 и 夕从：

Н =Н =(32)(32)

Н =

Н =

(32)

(32)

Теперь gz и 夕丁 一 функции динамических координат и импульсов, слабо равные нулю.

Согласно уравнению (21) статьи' уравнение движения для произвольной динамической переменной g имеет вид

@ = / ^[g,^] d3u,(33)

или

@ = /yi[g^l] ^u + /Уг[ё^Г] ^u'(34)

Здесь второй член описывает изменение g при условии, что yi = 0, т.е. когда сама поверхность не движется, а меняется только ее параметризация. Таким образом, для малых изменений параметризации

dg = j\dy%[gMr\ #〃.(35)

Малое изменение параметризации есть

иг иг + еаг(36)

и означает, что точка на поверхности с параметрами иг становится точкой с параметрами иг + еаг^ где аг зависит от 〃, а £ — малое число. Это дает для изменения у^и):

dj从=g从(" + 画)-д从(")=£y^ar,

откуда

(dy)r = у从Т dy从=2at.

Таким образом, изменение g при таком изменении параметризации есть

(37)(37)(37)(37)

(37)

(37)

(37)

(37)

поскольку 屮т = 0. Ответ (37) или (37‘) остается верным, даже если аг зависит от любых динамических переменных. Теперь мы видим, почему важны 屮т: их СП с любой динамической переменной дает изменение этой переменной при изменении параметризации.

Величину, отнесенную к точке uf на поверхности и инвариантную при любом изменении параметризации, оставляющем точку uf на месте, я называю u-скаляром в точке 〃'. Величину, инвариантную при любых произвольных изменениях параметризации, я называю u-инвариантом. Понятия и-скаляра и u-инварианта относятся только к зависимости от ^-преобразований, а не к тому, как ведет себя величина при преобразованиях Лоренца; и-скаляр и u-инвариант вполне могут оказаться компонентами вектора или тензора, если речь вдруг зайдет о преобразованиях Лоренца.

Теперь у从(〃') для данного значения 从一очевидно, и-скаляр в 〃'. То же можно сказать о /从(〃'). Любая функция u-скаляров в и! есть и-скаляр в г/. Если S(〃‘) — любой u-скаляр в 〃「то / S(uf)rf d^uf — u-инвариант.

Пусть S(u) — и-скаляр в и. При изменении параметризации (36) он перейдет в тот же самый и-скаляр в и + sa, а именно в S(〃 + sa), так что

dS = S(〃 + ga) — S(〃)=衿5『.

Таким образом, из (37):

arSr = / <[S,(pfr]d3uf.

Поскольку функции аг{и) произвольны, мы можем заключить, что

5"1 = S3(〃 —г/).(38)

Именно это уравнение выражает условие того, что S есть и-скаляр в и.

Пусть Q — и-инвариант. Из (37) мы видим, что

[Q,“q = O(39)

должно выполняться для всех г/. Положив Q= SF (ги^ мы получаем

/ S[F“q d3u = - I F[S“q d3u = - I FS3(〃 - u) d3u =

=/ S{F“〃一 J)『Su.

Поскольку это должно выполняться для любого и-скаляра S)мы видим, что

= {「"〃一 〃/)}『•(40)

Предположим, что после интегрирования уравнений движения полевая величина V (力)принимает определенные здачения в каждой точке ж пространства-времени. Значения V(力)на поверхности дадут нам ос3 чисел, которые можно «перенумеровать» параметрами 〃 и задать таким образом функцию V(〃). Величины V(〃) для всех значений 〃 будут динамическими переменными, обладающими нулевыми СП со всеми переменными у q W) так что[^,И = о, ®М = о.(41)

Они могут быть динамическими координатами, и в этом случае будут нулевыми их СП друг с другом:

[К『]=0.(42)

Тогда будут существовать динамические переменные, скажем U(и), образующие набор сопряженных к V(п) импульсов и удовлетворяющие СП соотношениям

[小 = 0, [wM, U〔 = 0,

[С/, и1] = 0,\V,U,] = 8{u-u，Y(丿

По своему физическому смыслу V (〃) не должны зависеть от изменений параметризации, сохраняющих точку и, т.е. должны быть и-скалярами в и. Однако сопряженный импульс U(〃) 一 уже не и-скаляр, поскольку 8{и — 〃') в (43) зависит от параметризации. Чтобы для V могло удовлетвориться условие (38) и-скалярности, должно быть

“三少不+ "+,(44)

где(//+ обладает нулевой СП со всеми V. Мы можем считать, что(//+ имеет нулевую СП и со всеми U; это простейшее предположение, ведущее к самосогласованной схеме. Тогда

[U, cp,r] = U[〃 丿勺=Ur8r(u - /) = {Ш(и - т/)『.(45)

Теперь из (40) мы получаем

[u「—\ “q = {us(u - J)}tt - ur~2{rs(u - J)『={ur^YS^u - J), что в соответствии с (38) показывает, что С7Г-1 есть и-скаляр в и. Сам U мы можем назвать и-скалярной плотностью. Утверждение, что u-скалярной полевой величине динамически сопряжена и-скалярная плотность, ранее было получено Чангом .

Будучи u-скалярами, динамические координаты 沙从(〃)могут быть обработаны тем же способом, что и V(〃)выше. В соответствии с (44) мы можем заключить, что,

(/三例+ 三 7^ + 夕:(46)

где 屮т* обладает нулевой СП со всеми у. Мы можем считать, что у д『* нулевая СП и со всеми w. Непротиворечивость этого предположения легко проверяется. Таким образом, задав(// формулой (46), мы видим, что СП соотношение (22) приводит к условию u-скалярности 2入(уравнению (38) с 厶 в качестве S); СП соотношение (25) приводит к (40); наконец,

心以"q = w^g^^u - J) = {wy8(u - u)F показывает, что w^ является u-скалярной плотностью.

Для динамической системы, единственными динамическими координатами которой служат у и некоторое число полевых функций 匕(〃)(а = =1,2,...), сопряженными импульсными переменными будут w и Ua(u\ а(// примут вид

(47)

если пренебречь несущественными членами, имеющими нулевые СП со всеми динамическими переменными.

Если S(〃) — u-скаляр в и, мы должны ожидать, что S_从 = 等世£ — также и-скаляр в и, поскольку его конструкция из S(u) не зависит от параметризации. Формальное доказательство этого результата проводится следующим образом. Мы начинаем с условия (38) для S(u). Дифференцируя обе части этого уравнения по 必〉мы получаем

[Ss^fr] = Srs8(u - d) + Sr8s(u - d).

Таким образом, из (30) имеем

y^[Ss^,r] = {(货^5)Т一S“"u - d) + SТ呢,岁(" -d)=

={(S_)『—贷呢J}“〃 - d) + S『8_(〃 - d)=

Следовательно,

[s 一“叮=呢sFMdq + ss®5 dq =(s_Mp(u- d), что и есть условие u-скалярности для S_从.

Переход от лагранжиана к гамильтониану

Рассмотрим динамическую систему, для которой плотность действия 必 в пространстве-времени есть функция некоторых полевых переменных V и их первых производных dV/dx^ =勿〉

必三必(匕%).

Для краткости в уравнениях этого пункта будет выписываться только одна V. Тогда действие есть

/三/必d%.

Элемент четырехмерного «объема» пространства-времени d'x можно представить в виде произведения элемента трехмерной «площади» поверхности Г d3u и элемента расстояния по нормали к поверхности l^y^ dr = =yi dr. Тогда

I = ]] ^У1Х d3u dr так что лагранжиан есть

L = dl/dr = / ^Г /〃.(48)

Теперь этот лагранжиан будет рассмотрен в соответствии с общим методом статьи 2〉и ив него будет получен гамильтониан. При этом все уравнения пп. 2 и 3 можно использовать как сильные уравнения.

Сначала мы должны выразить L через динамические координаты и скорости, переменные q и « статьи 2. Переменные 沙从(〃)〉V(и) суть q. Касательные производные у^ и V, такие как yj〉Vr 忆从〉являются функциями q. Не чисто касательные производные, такие как 勿〉зависят не только от Q, но могут быть представлены как функции q и «. Из (5) мы имеем

立三%^三（%〃 +忆从）如.

Таким образом,

%三e士出(49)

yi

так что

Vfl = V^ + lflVl = V^+ JU /…(50)

Здесь V^ выражены через 匕 и 少中 имеющие смысл q и V_開)Z^, являющиеся функциями q. Теперь Е стал функцией q и «. Заметим, что 以 однородны нулевой степени по скоростям, так что Е однороден первой степени по скоростям, как и требуется для формулировки динамических уравнений с однородностью по скоростям.

Варьируя « и оставляя постоянными q, мы получаем из (50):

〃0匕一忆》沙")_ i^W - v 用Qbm = j(bR -%8^)

yi诉yi

снова воспользовавшись (50). Тогда вариация L, заданного формулой (48), есть

8Е = /{誥 8勿初+2<^}「d3“ =

=/{w1^ - V^ + ^l-b^^u' (51)

Из определения импульсов w^^u^ U(〃)〉 сопряженных соответственно g从(〃)и V(и) (уравнение (2) статьи ^ в применении к непрерывному множеству степеней свободы), мы имеем

"=/{"^ + USV} #〃.(52)

Сравнивая (51) с (52), находим

昨紀5，(53)

Wp = -|^+ ZIA = —U% + 纟 J(54)

Это слабые уравнения, выражающие импульсы через q и «.

Следуя методу статьи { мы исключим « из уравнений (53) и (54) с тем, чтобы получить слабые уравнения, содержащие только р (т.е. w и U) и q. Это(/?-уравнения. Уравнение (54) лучше всего разбить на нормальную составляющую, умножив его на 彳储

wi + UVi-^V = 0,(55)

и касательную составляющую, умножив на 沙二：

wr + UVr = 0.(56)

В (56) нет q, так что уже само (56) есть (/^-уравнение. Его левая часть есть как раз(// из формулы (47), связанная с изменением параметризации, причем знак суммирования в (56) подразумевается.

Уравнения (53) и (55) содержат производные 勿〉которые можно выразить через VL从 и 匕.Тогда q появляются в (53) и (55) только через 匕〉 т.е. благодаря (49) только в комбинации (V — V_yyy}/yi，

Для многих динамических систем (см. ниже, пример 1) уравнения (53) можно решить — одно такое уравнение имеется для каждой полевой функции V, — получив все V[ как функции U и q. Этот случай мы будем называть стандартным случаем полевой динамики; ему отвечает ситуация обычной динамики с однородностью по скоростям, в которой все отношения скоростей могут быть выражены через 0 Hq.

В стандартном случае нельзя получить (/^-уравнений из одних только уравнений (53), хотя в других случаях это сделать можно. В стандартном случае (/^-уравнения можно получить из (55) с помощью (53), а именно в виде

W + 赞=0, (57)

где * — результат подстановки в UVi — ^V выражения Vi через U и q〉 взятого из (53). Тогда единственными ^-уравнениями будут уравнения (57) и (56), взятые для всех и. В других случаях, как будет показано ниже, из (55) с помощью (53) можно все еще получить (/^-уравнение типа (57). Оно вместе с (56) и (/^-уравнениями, следующими только из (53), образует тогда полную совокупность (/^-уравнений.

ния поляния поляВариацией интеграла действия обычным образом получаются уравне

ния поля

ния поля

(58)(58)金丝_丝

(58)

(58)

дх^ aVg dV

Их следует проанализировать на предмет того, не дадут ли они каких-либо уравнений только между 0 Hq. Такие уравнения были бы у-уравнениями. С помощью (7) и (53) уравнение (58) можно записать в виде

zM J ди _ 丝 а”)麻一Ж dx^zM J ди _ 丝 а”)麻一Ж dx^金丝=丝диг 9力"dV金丝=丝диг 9力"dV(59)(59)

zM J ди _ 丝 а”)

麻一Ж dx^

zM J ди _ 丝 а”)

麻一Ж dx^

金丝=丝

диг 9力"dV

金丝=丝

диг 9力"dV

(59)

(59)

и, следовательно, оно содержит нормальную производную U. В стандартном случае все U — независимые функции скоростей, и их нормальные производные нельзя исключить из (59), так что у-уравнений не может быть. Однако в других случаях вполне могут быть у-уравнения (см. примеры 2 и 3 ниже).

Получив все(/? и у, мы должны посмотреть, какие из них первого рода, т.е. имеют нулевые СП со всеми ди* Это всегда можно выяснить, вычисляя СП с помощью результатов п. 3; однако о принадлежности некоторых g к первому роду можно заключить легче, увидев, что, появившись в гамильтониане, они дают начало произвольным функциям в общем решении уравнений движения.

По определению (5) статьи ' гамильтониан есть

я = у ®从妖 + UV-必初：Г) #〃.(60)

Его можно представить в виде

Я = У{wryr + w而+ U(屮"-V—力讥-必初门产〃=

=/{yi^ + UVi- ^Г) + yr{wr + UVr)} d3u =

=/ yi^i + UVi-必：Г) /〃 + / yr^r d\ (61)

где(// заданы уравнением (47) и подразумевается знак суммирования. Согласно общей теории статьи Н должен в сильном смысле быть равен линейной комбинации g первого рода типа (31) или (32), с добавочными слагаемыми, если помимо переменных поверхности у从(〃)имеются другие величины, способные произвольно зависеть от т. В (61) и (32) стоят одни и те же 屮‘〉следовательно мы можем заключить, что они должны быть первого рода. Наличие в Н этих g первого рода приводит к произвольным изменениям параметризации во время движения.

В стандартном случае единственным (/^-уравнением помимо ^-уравнений (56) является уравнение (57). Поэтому (57) должно быть тождественным с уравнением д/ = 0. Мы можем заключить, что левая часть (57) должна быть первого рода, а также что уравнение

* 三 U% —必 1\(62)

необходимое, чтобы первый член в (61) перешел в первый член правой части (32), выполняется в сильном смысле, а не только в слабом, как это мы знали ранее. Далее, мы можем заключить, что в стандартном случае в Н нет добавочных членов помимо одного, появляющегося в (32), так что, помимо переменных поверхности, нет иных величин, которые могут произвольным образом зависеть от г.

В других случаях должно быть еще одно (/^-уравнение (57), выводимое из (55) с помощью (53), такое, чтобы его левая часть могла быть g первого рода, чье присутствие в Н приводило бы к произвольному движению поверхности, нормальному ей самой. Уравнение (62) сохраняет свой сильный смысл, если в Н нет дополнительных членов (см. пример 2 ниже). Однако если в Н имеются дополнительные члены, как это случается, когда имеются выводимые только из (53) (/^-уравнения с g первого рода, — первый член в (61) более не совпадает в сильном смысле с первым членом правой части (32), и поэтому (62) больше не выполняется в сильном смысле. Тогда * не определяется однозначно, поскольку к нему можно добавить

любую линейную комбинацию g первого рода, получающихся только из (53) (см. пример 3 ниже).

Чтобы подготовить теорию к квантованию, мы должны, как это обсуждалось в п. 8 статьи'〉разделить все (/? и у на величины первого и второго рода, а затем переопределением СП превратить все уравнения для величин второго рода в сильные уравнения. Далее, мы должны превратить х первого рода в g первого рода, добавив их к гамильтониану с произвольными коэффициентами. Это изменение привнесет лишь увеличение количества решений уравнений движения, но не повлияет на уже существующие решения (см. пример 3 ниже, где обсуждается физический смысл такого изменения).

Теперь мы остаемся с набором слабых (/^-уравнений первого рода, из которых мы можем получить уравнения Гамильтона-Якоби, положив каждую импульсную переменную р равной dS/dq^ так что они становятся дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка для S. Их взаимная совместимость следует из условий принадлежности первому роду. Каждое из их решений дает семейство решений уравнений движения.

Теперь переход к квантовой теории можно сделать в соответствии с правилами п. 11 статьи2. Каждое из слабых (/^-уравнений первого рода дает одно волновое уравнение Шредингера.

Пример 1. Скалярное мезонное поле. Теперь согласно методу настоящей статьи будут разобраны несколько простых примеров, чтобы проиллюстрировать различные черты теории. Начнем со скалярного мезонного поля. В этом примере есть одна полевая функция V, лоренцев скаляр, а плотность действия

必三:勿勿一；而片，(63)

где т — константа.

Уравнение (53) дает для импульса U

U =//.(64)

Это уравнение можно решить, выразив V[ через U и q〉так что мы имеем стандартный случай. Таким образом, у-уравнений не может быть, а единственной (/?, помимо(//〉будет (57). Чтобы получить здесь заметим, что (62) и (63) дают

^ = UVi-^(ViVi + V-^ - m2V2)r.

Из слабого уравнения (64) мы можем вывести сильное уравнение

О = ^(U - ViV^p-1.

Добавляя его к предыдущему уравнению, мы получаем

苏三;U2「t - I (忆从忆从-т2У2)Г.(65)

Нормальная производная Vi исчезла из этого выражения для *〉так что оно, поскольку содержит только U и q〉пригодно, чтобы фигурировать в (/^-уравнении (57).

Приведенный выше вывод * показывает, что можно исключить V[ из правой части (62), пользуясь только сильными уравнениями. Это подтверждает, что уравнение (62) для * — сильное, как то и необходимо в стандартном случае.

Пример 2. Векторное мезонное поле. Предположим, что четыре полевые функции V образуют лоренцев вектор 4从〉и возьмем плотность действия в виде

必三一：耳^耳〃 + I从4从〉必三一：耳^耳〃 + I从4从〉(66)(66)

必三一：耳^耳〃 + I从4从〉

必三一：耳^耳〃 + I从4从〉

(66)

(66)

где

f開^ = 4^从一4从以= aa^/a力".

В рассмотрении этой задачи возникают значительные различия [2] в зависимости от того, равна константа т нулю или нет. В настоящем примере мы ограничимся отличной от нуля т.

Пусть Вц — импульс, сопряженный 4从〉а его знак определен так, что

[4⑷ 8力=g^S(u - J).(67)

Тогда (53) дает

品=Fj^lJ.(68)

Мы можем заключить, что

(69)(69)8/ = ^凡=0.

(69)

(69)

Это уравнение содержит только р и g так что представляет собой д-урав- нение. Отсюда следует, что этот случай не стандартный. Легко видеть, что только из (68) не выводится больше никаких (/^-уравнений, так что остальными ^-уравнениями будут только (56), которые сейчас имеют вид

^ = W^ + В^ = 0,(70)

и (57), которым мы займемся ниже.

Уравнения поля (58) дают

(71)(71)(F“)/i = m /■夕

(71)

(71)

(72)(72)Дифференцированием по 力厶 используя условие m ^ 0, мы можем вывести, что

(72)

(72)

Ауу = 0.

Кроме того,

(f叩)—開=一〃?сг(р“)сг + m 4厶 так что с учетом (12)

Теперь из (68)Теперь из (68)l^Fw = —BpV 1 = —8—从]? *l^Fw = —BpV 1 = —8—从]? *

Теперь из (68)

Теперь из (68)

l^Fw = —BpV 1 = —8—从]? *

l^Fw = —BpV 1 = —8—从]? *

так что мы получаем

(8—从「1)-从 + m^4 =。・(8—从「1)-从 + m^4 =。・(73)(73)

(8—从「1)-从 + m^4 =。・

(8—从「1)-从 + m^4 =。・

(73)

(73)

Это уравнение содержит только р и q и поэтому является у-уравнением.

Легко видеть, что 8/ имеет нулевую СП с первым членом (73), но не со вторым, благодаря m ^ 0. Таким образом, 8/ должна быть g второго родщ а (73) — х второго рода. Таким образом, помимо(// и ⑺ нет g первого рода, так что в Н нет других дополнительных членов, кроме появляющегося в (32). Следовательно, уравнение (62) выполняется в сильном смысле, т.е.

* = в^ + :夕心歹心「- I 病44口(74)

Теперь мы можем получить * как функцию р и q〉исключив из (74) нормальную производную от 4从.При этом мы должны заботиться о том, чтобы пользоваться только сильными уравнениями, — иначе можно заработать в выражении для * дополнительные члены с 8/ в качестве множителей. Уравнение (57) с такими дополнительными членами в * осталось бы корректным (/^-уравнением, но его левая часть не была бы величиной первого рода и не совпадала бы с 夕厶 фигурирующим в Н.

Пусть F-^-y — касательная составляющая 耳^〉определяемая, в соответствии с естественным обобщением (5), формулой

F-从一= F叩一L^F間I - l^Fiy^F-从一= F叩一L^F間I - l^Fiy^(75)(75)

F-从一= F叩一L^F間I - l^Fiy^

F-从一= F叩一L^F間I - l^Fiy^

(75)

(75)

гдегде

где

где

F/ =—月从=LFpo.

Подставляя в (75)

Fp^ = Ау—ц — Ац—у + 〃4以一2^4以,

F仰=10 Ao■―乩 + l^l^Afji — A^i, после некоторых преобразований мы получаем

(76)

Поскольку нормальная производная A^ здесь не появляется, F_从_^ зависит только от 0 и q.

Мы имеем из (75)

下一从一^下一从一^ = fнuр-н-u =巧^ - 2 及/耳/.(77)

Тогда (74) принимает вид

* = В間А/ + I F-^-^F-^-^r + I Р^Р^Г — I т2АцАцГ.(78)

Из (68) мы получаем сильное уравнение

0 = -| (8从-Fg® - Р^Г-1.

Добавляя его к (78), мы получаем

光=В小А叩—I ВцВцГ 1 + I F-^-yF-^-yV — I т2АцАцГ.(79)

Уравнение (72) можно записать в виде

^4以 + Ау_у = 0.(80)

Из него мы можем вывести сильное уравнение

8/G4 以 + 4吁^) = 0

и, следовательно,

—BiAy_y.—BiAy_y.В «“А” 間=В ply Ау_^ + Bil^A^i = В—ply Ау_

—BiAy_y.

—BiAy_y.

Таким образом, (79) принимает вид

光=В—ply Ау光=В—ply Ау—从—从—BiA^r — I ВцВцГ 1 + I F-^-yF-n-yV — I w?A^ApV.

光=В—ply Ау

光=В—ply Ау

—从

—从

(81) Теперь нормальная производная A^ исчезла, и мы имеем для * корректное выражение, годное для подстановки в (57).

Чтобы приспособить теорию к квантованию, мы должны методом п. 8 статьи 2 так переопределить СП, чтобы уравнения (69) и (73) для g и х второго рода выполнялись в сильном смысле. Возьмем в качестве 8 статьи 2 левые части (69) и (73). Таким образом, для каждого значения и имеются две & скажем

е =(8_「т)一 + 病4,尹=Bi. (82)

Их СП имеет вид

[&е[ = о, [е+/+[ = о,[仇е+[ = m2j(u — 〃').

Коэффициенты с должны определяться из уравнения (35) статьи { причем сумма по s интерпретируется как сумма по 0 и 0+ вместе с интегрированием по всем значениям и. Решение будет следующим: с, связанный с 0{и) и е+(〃')〉равен т~2д(и — 〃')〉а остальные с обращаются в нуль. Тогда формула (36) статьи 2 дает при той же, что и выше, интерпретации сумм по s и

陰用* =后用 + 皿一2 /e (8—从「-1)—从 + m2Ai][Bh 用 d3u -

-皿―2 /陰 8/] [(8一「T)—从 + п^А^ 产汝(83)

Новое определение СП делает нулевыми СП величин

В[> (В_МГ-1)_М + т2 Ai

с чем угодно, так что можно положить их равными нулю в сильном смысле без каких бы то ни было противоречий. Считая новые СП двух данных величин £ и 〃〉удобно сначала ликвидировать их зависимость от 4/ и 8/ подстановкой

4 =中 Bi = 0.(84)

Если теперь они не зависят от переменных w, мы имеем £8/] = [〃8/]= =0, так что новые СП равны старым. Поэтому формула (83) необходима только для подсчета новых СП величин, зависящих от переменных w.

При переходе к квантовой теории сильные уравнения (84) становятся уравнениями между операторами. Слабые (/^-уравнения (70) и (57) с *〉 задаваемым формулой (81), порождают волновые уравнения Шредингера,

причем динамические переменные в этих уравнениях обладают новыми СП соотношениями.

Пример 3. Электромагнитное поле. Мы получим электромагнитное поле, положив m = 0 у векторного мезонного поля. Этот случай обладает особенностями, которые требуют отдельного исследования.

Теперь мы имеем 必三一扌年亦叫.(85)

Уравнения (67)—(70) сохраняют силу, а (69) остается ^-уравнением. Уравнение (71) превращается в

(理从)从 = 0.(86)

Уравнение (72) теперь вывести нельзя. В обычной электродинамической теории, впервые приведенной к гамильтоновой форме, близкой к подходу настоящей статьи, в работе Ферми 5, уравнение (72) считается дополнительным условием. В настоящем подходе такого предположения не делается.

В соответствии с (73) теперь мы имеем у-уравнение

X 三(8屮Г-1)屮=0.(87)

Легко видеть, что

[瓦 Bi] = 3 [м х1 = 3 凤 х1 = 0.(88)

Поскольку 8/ и х имеют нулевые СП с остальными(/?, а именно с(// и 夕厶 как это следует из принадлежности(// и д/ первому роду, мы видим, что 8/ и х должны быть первого рода. Таким образом, теперь все g и х — первого рода. В этом заключается существенное различие между настоящим примером и предыдущим.

Посмотрим, как выразить Н в виде линейной комбинации g первого рода. Используя анализ, приведший к (79), можем представить (61) в виде

Н = j^ yi ^w/ + 1小叩Вц — I В開BJ 1 + I F_乩―”F_乩_”4 d3и +

+ / Ут^ d3u = / yi(pi Su + / yilyA^Bi Su + / yr^(^и, (89)

где 夕/ определена формулой

g,三^, + L^Ajy一開b一開-I b从8从]?_i + If一乩一鹏一乩一A. (90)

Это выражение для д/ не содержит нормальной производной А^ и поэтому зависит только от р и q. Отличаясь от левой части (55) лишь членом, пропорциональным В()оно слабо обращается в нуль и поэтому есть д. Оно должно быть первого рода, поскольку сейчас все 夕一первого рода. Таким образом, (89) представляет Н в виде линейной комбинации g первого рода.

Введенную выше ⑺ можно рассматривать как 夕 порождающую движение поверхности, нормальное к ней самой. Однако мы могли бы взять другую 夕厶 отличающуюся от (90) на любую функцию р a q〉пропорциональную Bi и поэтому слабо обращающуюся в нуль; мы могли бы в равной

мере считать ее за 夕 порождающую движение поверхности, нормальное к ней. Дадим один особо любопытный пример.

Подставив 4 вместо V в (49) и введя гарантированно непротиворечивое обозначение 4j для производной дА】]дт)мы получаем

4"—贪 4f = У1^и = yi^y^ui + /以 4J・(91)

Подставив g： вместо V в той же самой формуле, получаем

У1Уу1 三％ — %% •

Умножив это на 必 получаем

一加或必=贺X + ysvtil =刃.

Умножив еще и на 4 и вычитая (91), получаем

~^1 + Уг^1 三外/『一У1^^1-

Благодаря этой формуле второй член (89) принимает вид

/ UMA1ABi Su 三 /(%■ — A^yr + gAQBi Su =

=/ A；Bi 产"-/ 切«8/ 产“ -/ 加(48尸 Su.

Итак, (89) можно представить в виде

Я = У 电屮;由乜 + / A[BZ Su + / 少“+『/%(92)

W犷三例—(48尸(93)

из+Т三"一4瓦(94)

Сейчас Н выражен через g первого рода: gj, В/, д+『. Мы можем рассматривать gj как альтернативную Lpi^ порождающую движение поверхности, нормальное к ней, а 夕+『一как альтернативную д\ порождающую изменение параметризации. Следует заметить, что gj и д+『имеют нулевые СП с А/. Мы имеем из (67)

[А^^В^^^и-и^

Поскольку А/, будучи “-скаляром, удовлетворяет условию (38), по которому [А/,(pfr] = Ai 3(и — и!\ в итоге имеем

[Ah^fr]=0.(95)

Далее, благодаря (21)

[4〜厂]=Ax[lx^i]-厶[4*(4瓦)"]=

=—Ax6-x(u — и) — 1\{^1^{4 — u}Y = 0. (96)

Помимо членов, порождающих произвольные изменения поверхности и ее параметризации, гамильтониан содержит дополнительный, а именно

второй член в (89) или (92). Этот дополнительный член порождает дополнительный произвол в движении. Он допускает произвольную зависимость А/ от г, поскольку уравнение 4j = [А^ Н] удовлетворяется тождественно, как это следует из представления (92) для Н с учетом (95) и (96).

Этот дополнительный произвол физически соответствует возможности изменения калибровки в процессе эволюции. Начальные условия, фиксирующие начальную поверхность и потенциалы и их нормальные производные на ней, не ограничивают калибровку в пространственно-временных точках вне этой поверхности. Можно сделать калибровочное преобразование , , с с 、

4 т 4 + dS/dx^ (97) где S — произвольная функция четырех х^. Таким образом, можно выбрать S так, чтобы условия на начальной поверхности не изменились, а изменение калибровки в остальной части пространства-времени было произвольным. Это изменение повлияет на динамические переменные при последующих значениях г и породит произвольные функции в решении уравнений движения, даже если движение поверхности задано.

В обычной электродинамической теории имеется дополнительное условие (72), вследствие которого S из (97) ограничена в своем произволе необходимостью удовлетворить уравнению

S 从从=0. (98)

Тогда уже нельзя менять калибровку, не повлияв на потенциалы или их нормальные производные на поверхности, так что дополнительного произвола в движении больше нет. Настоящая электродинамическая теория отличается от обычной, допуская более общие калибровочные преобразования, но две теории эквивалентны для всех калибровочно-инвариантных эффектов, а потому для всех эффектов, представляющих физический интерес.

В связи с настоящей теорией возникает вопрос, возможно ли движение, в котором калибровка меняется, а поверхность и ее параметризация — нет. Из формулы (92) для Н сразу очевидно, что такое движение возможно, ибо в этом выражении для Н можно положить yi = yr = Q^ и второй член в Н выживает, допуская тем самым темп изменения & произвольным. Общее изменение калибровки включает независимые изменения нормальной компоненты /从)т.е. А/, и трехмерной дивергенции ее касательной компоненты, т.е. /_从—从)на поверхности. Таким образом, допускаемое нашими уравнениями движения изменение калибровки в ситуации, когда поверхность не меняется, — не самое общее.

Если мы потребуем, чтобы траектории движения образовывали в фазовом пространстве интегрируемые подпространства, как то обсуждалось в статье { нам нужна возможность проводить общее изменение калибровки без изменений поверхности, поскольку такого изменения можно добиться, сначала сдвинув поверхность и сделав некоторое изменение в калибровке, а затем сдвинув поверхность назад и сделав еще одно изменение в калибровке, не компенсирующее предыдущее. Чтобы получить уравнения движения, допускающие общие изменения калибровки без каких бы то ни было изменений поверхности, мы должны добавить к Н еще один член, а именно /

收酒生 (99)

где х задана уравнением (87), а коэффициент и произволен. Это означает, что х понимается как g первого рода. Модифицированный таким образом гамильтониан нельзя вывести из плотности действия, но он все же будет допустимым гамильтонианом динамической системы, приводящим к непротиворечивым уравнениям движения при условии, что х — первого рода. Модификация Н просто увеличивает количество решений уравнений движения, не влияя на уже существующие решения, которые оказываются частным случаем нового набора решений при и = 0. Таким образом, модификацию можно считать не переходом к новой динамической системе, а лишь расширением толкования первоначальной системы.

Теперь мы можем перейти к квантовой теории, превратив в волновое уравнение Шредингера каждую g первого рода, включая х первого рода, обращенные в g первого рода в результате удовлетворения условию интегрируемости. Таким образом, мы получаем волновые уравнения

gj 吵=0, 宀=0, 8 侬=0, (8—JT)_从吵=0. (100)

Последние два из этих уравнений показывают, что волновая функция ^, рассматриваемая как функция продольных и поперечных компонент А на поверхности, не зависит от продольных компонент. Таким образом, продольные полевые переменные входят в нее отличным от обычной квантовой электродинамики образом.

Литература

Weiss Р. On the Hamilton-Jacobi theory and quantization of a dynamic continuum // Proc. Roy. Soc. A. 1938. V. 169. P. 102.

Dirac P.A.M. Generalized Hamiltonian dynamics 〃 Can. J. Math. 1950. V. 2. P. 129.

Dirac P.A.M. Quantum theory of localizable dynamical systems 〃 Phys. Rev. 1948. V. 73. P. 1092.

Chang T.S. Quantum mechanics of localizable dynamical systems 〃 Phys. Rev. 1950. V. 78. P. 592.

Fermi E. Quantum theory of radiation // Rev. Mod. Phys. 1932. V. 4. P. 87. [Pyc. пер.: Ферми 9 Научные труды. T. 1. — М.: Наука, 1971. С. 375-427.]

НОВЫЙ СМЫСЛ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ )

Разработана динамическая теория электромагнитного поля, взаимодействующего с полем Паули-Вайскопфа, в которой состояния определены на произвольных пространственноподобных поверхностях в пространстве-времени. Использован метод, позволяющий совершать калибровочные преобразования общего вида Ам т Ам + + dS/дх^ с произвольной функцией S. Затем вводится новое предположение, связывающее калибровку с поверхностями, на которых определены состояния. Гамильтониан принимает упрощенный вид, в котором члены взаимодействия принадлежат совершенно иному по сравнению с обычной теорией типу.

Введение

В релятивистской полевой динамике состояние системы описывается физическими условиями на пространственноподобной трехмерной поверхности в четырехмерном пространстве [1]. Когда поверхность любым образом движется в пространстве-времени, оставаясь при этом пространственноподобной ,уравнения движения определяют изменение этих физических условий. Предположим, что поверхность непрерывно изменяется как функция независимой переменной г, оставаясь все время пространственноподобной .Тогда физические условия на поверхности приводят к динамическим переменным, непрерывно изменяющимся как функции г. Как было показано в двух статьях автора х), которые ниже будут цитироваться как I и II соответственно, уравнения движения для этих динамических переменных могут быть сформулированы в гамильтоновой форме, от которой можно перейти к квантовой теории.

Предположим, что с увеличением г каждый элемент поверхности всегда движется в будущее. Тогда через каждую точку пространства-времени проходит только одна поверхность, и все множество поверхностей для всех значений г можно определить уравнением

7 = /(力0,)1,力2,力3),(1)

где / — однозначная функция четырех координат х в пространстве-времени. Принцип относительности требует, что все физические законы не должны зависеть от выбора поверхностей. Следовательно, можно с тем же успехом иметь дело с другим множеством поверхностей, скажем,

7 = 9(力0,)1,力2,力3),(2)

где g — любая однозначная функция, для которой все поверхности пространственноподобны .Поэтому должно быть возможно преобразование

динамических уравнений от формы, относящейся к поверхностям /, к форме, относящейся к поверхностям д. Это определяет широкую группу преобразований, которым должны подчиняться динамические уравнения.

Приведенные соображения применимы к любой релятивистской теории поля. В случае электродинамики есть еще одна группа преобразований, которым должны подчиняться динамические уравнения, а именно, калибровочные преобразования. В работе II была предложена динамическая теория электромагнитного поля в отсутствие зарядов, не содержащая обычного дополнительного условия дА^/дх^ = 0, так что уравнения движения д^А^/дхудху = 0 уже не выполняются. В такой теории можно совершить калибровочные преобразования

А^А^- as/班匕 ⑶

где S — произвольная функция х. При наличии зарядов также можно сформулировать соответствующую динамическую теорию с этими общими калибровочными преобразованиями.

В электродинамике было бы ненужным усложнением иметь независимо обе эти группы преобразований. Разумно принять гипотезу [2], что два типа преобразований связаны между собой так^ что когда бы мы не совершали преобразование поверхностей от (1) к (2), мы одновременно совершали бы калибровочное преобразование (3), в котором S определяется формулой

g- f = eS, (4) и наоборот. Здесь е — некоторая универсальная постоянная, которую удобно выбрать равной заряду электрона. Если принята указанная гипотеза, теория все еще остается релятивистской, так как мы можем произвольно изменять поверхности, и калибровочно-инвариантной, так как мы все еще можем применять калибровочные преобразования (3). Таким образом, единственная группа преобразований соответствует обоим требованиям.

Новая гипотеза требует определенных ограничений калибровочных преобразований. При заданных поверхностях (1), единственными разрешенными калибровочными преобразованиями станут те, для которых определенная в (4) функция д приводит только к пространственноподобным поверхностям. Это ограничение не сильное, оно не влияет на порядок числа калибровочных преобразований. Нужно отметить, что функция S) характеризующая преобразование, может зависеть от состояния, т.е. S может быть функцией как 力)так и динамических переменных.

Новая гипотеза допускает геометрическую интерпретацию калибровочных преобразований. Еще одним преимуществом является то, что она вносит значительные упрощения в динамическую теорию, имеющую дело с состояниями на произвольных пространственноподобных поверхностях. При уменьшении числа независимых преобразований, относительно которых должны быть инвариантны уравнения, несколько облегчается проблема избавления от бесконечностей в квантово-полевой динамике.

В данной работе показано, как можно установить требуемую новой гипотезой связь между калибровкой и поверхностями для случая электромагнитного поля, взаимодействующего с ансамблем электронов Паули- Вайскопфа (т.е. электронов без спина, подчиняющихся статистике Бозе). Вероятно, существует соответствующая теория и для электронов со спи-

ном, подчиняющимся статистике Ферми, но она не так проста, поскольку статистика Ферми не столь близка к классической теории, и такая теория до сих пор не построена.

Электромагнитное поле в отсутствие зарядов

Ниже изложение следует общим методам и обозначениям работ I и II. Мы заново рассмотрим электромагнитное поле в отсутствие зарядов. При рассмотрении этого примера в II в качестве динамических координат использовались четыре потенциала 4从.Вместо этого, в новом подходе [3] в качестве динамических координат используются компоненты /『=у^ А^ и 4/ 三 /从/从 потенциала А. Преимущество состоит в том, что динамические координаты А/ и сопряженные им импульсы выпадают из гамильтоновой формулировки.

Разница между двумя подходами нетривиальна, так как сопряженные поверхностным переменным у^ импульсы w^ различны. В первом подходе скобки Пуассона w^ с Ау равны нулю, следовательно, отличны от нуля скобки Пуассона w^ с Аг и А/, которые, напротив, должны быть равны нулю в новом подходе. Разница переменных w^ в двух случаях связана с их разным геометрическим смыслом. В первом случае w^ ассоциируется с деформациями поверхности и ее параметризацией, оставляющей инвариантными 4^(“)〉во втором случае — с деформациями, оставляющими инвариантными 4『(и) и 4/(").

Как альтернативу обозначениям с точкой, будем использовать верхний индекс г для обозначения производной какой-то величины по г. Имеем:

'4/ 三(〃/сг + У[лгУаГ)^аГ =

< 三 WaAay- larAa} - ninJAJ — y^A,三 (5) 、=Z^Af — 11110TA° + y^A^ — УмЗГ A。.

Согласно уравнениям (48) и (85) из II, лагранжиан равен

L 三]F^F^yiT d?u.

Удерживая неизменными динамические координаты и варьируя скорости в L, получим

BE = / F^^SA^yi - : F^dy^V d3u.

Из следующего за уравнением (50) в II выражения, в котором V заменено на А^, находим

Используя значение (5) для А^ получаем наконец:

BE = / F^{^(〃b4「一 liiAa8laT + Ум5Агт _ у^А^у^ — A^aya)—

-I电场卜d3u =

=/{F^l.y^ArTV + (F^y^rAavySya - F^A^V -

--FwFwJ50aг} d^u.

Импульсы w” Br)Bi)сопряженные соответственно ya^ Ar, 4厶 определены так, что

Следовательно,Следовательно,⑹ ⑺⑹ ⑺BE = /{waSya + BrS^ + BiSAiT} Su.

Следовательно,

Следовательно,

⑹ ⑺

⑹ ⑺

Вт = Fij^l^y 卩尸)

Bi = ^

^сг =田冲Iу可 АьС — F^ylyy^A^V — - F^yF^yl^V ==(BrAay — В開A”。— I F^yF^ylfyV.

Уравнения (6) и (7) согласуются с уравнением (68) из II, показывая тем самым, что импульсы В в обоих подходах одинаковы.

Уравнение (7) является Ф-уравнением в смысле, определенном в I. Вычисляя проекцию (8) на касательное направление путем умножения на ysr получим

wr = yar(BsAay -B^r.(9)

Это также Ф-уравнение. Перепишем его через величины /『и А/ вместо /从. Тогда

yar(BsAay = (yarBsAay - yarsBsAa = (BsAry -沙「鬲/力

BrAJ = (l^ + %/瓦)/J =

=/卢M4 + 鼠 AsY + 8s{(川/ J —川『/}=

=8/4『+ 几BiyJAs + BsAsr - В$涼f開.

Отсюда выражение (9) становится равным

” =(BsAry - 8闯-^Biy^As - BsAsr.

Теперь видно, что если определить

旷三 “ + В[А丁 + BsAsr - (В^у.(10)

то с помощью уравнения (7) получим

①『=0.

Величины Фг, определенные в (10), относятся к первому роду, связанному с изменениями в параметризации поверхности. Они имеют стандартную форму (47) из II с дополнительным слагаемым — (8$/『)$. Это слагаемое необходимо, так как /『(“') не является “-скаляром в точке а изменяется в результате изменения параметризации, оставляющей точку “' инвариантной и поворачивающей “-оси в окрестности “'. При изменении

параметризации (36) из II, дополнительное слагаемое порождает дополнительное изменение в /Qu') (q = 1, 2, 3) на величину, которая, согласно формуле (37) из II, равна

d/q(J)= —w[/q(J),/а^в^уа3^ ="/q(J)J а/в^ Sv^ = =e3qs / ars3(u — u1)^ d3u = earq(u,)Ar(u,).

Это как раз равно изменению /『(“')за счет вращения “-осей в окрестности

Гамильтониан, соответствующий выражению (61) из II, имеет вид

，Н 三]{wryr + wM + Bs(As儿 + /s一)^ +

+ Bi(Aul^ + Ai—Jg^ —必初「} d% =

=J^ У1(W + BsAsi + BiAu + I F^FQ^ d3и +()

+ / 贪®『+ BsAsr + 8/4『)Su.

Этот гамильтониан следует записать линейно по Ф. Определим

Frs = А- = @/4从厂一@J4从厂=yJ4J — уJА鼠=鼠贯小"(i2)

и

4s = 7rp7sqFPq.

Тогда

F叩F叩=(/从/р + У从『U J) ('г/% + УизУ^^Р'^Р'ра = ^^рУизУ(jSF'fiuF'per + FrsFrS.

Из выражения (6) можно вывести сильное уравнение

О = 2(“ 爆 + 8sL)(%" + 8sL).

Следовательно

F^F^ - FrsFrs = —2瓦8sL2 _ ^i^b^ =

=_2瓦炉丁2 + 4瓦小/小一4从gJ»T =

=—2瓦8sL2 + ^Bsi^ _ 屋从 + A^^V-1.

Теперь можно записать некоторые слагаемые в выражении (11) для Н в виде

"8s/> + 沁〃电「) /" 三

三 / 初(：耳sL'F - I 8s8'「т + Bsl^s + BM^S^) #“.

С помощью уравнения (49) из II, в которое вместо V подставлены yys последнее слагаемое принимает вид

三一/{(8sAJs^ + BsAuyJsyr} d3u =

三—/{(8s4)s&M + У/需)+ BsAyyJsyr} Su =

=-j{{BssAy + BsA”血 + (BsArYyr} Su.

Теперь гамильтониан (11) становится равным

Н = 1 У1^ + ^ 耳sF^r _ 1 BsBsT-r _ В/A)Su +

+ / ^Фг d3u + / yi^ d\ (13)

где ①『определены формулой (10).

Коэффициенты при yi и уг в первых двух слагаемых являются функциями только динамических координат и импульсов и являются величинами Ф первого рода, связанными с движением поверхности, нормальным к ней самой, и изменениями параметризации. Последнее слагаемое содержит величины Ф первого рода 8/ и порождает изменения калибровки без всякого движения поверхности, так как можно предположить, что yiAu конечно при 少厶 равном нулю. Это слагаемое становится более значимым, если переписать гамильтониан в виде

Н = 1 yi(wi + ^ 耳sL'f _ I BsB^ _ В/A)#“ +

+ / yr^r d3u + / AiTBi d\ (14)

где ①*『определено как Фг с опущенным слагаемым, содержащим А/ и 8厶 т.е.

①*『=wr + BsAsr - (В^У = 0.(15)

Теперь последнее слагаемое определяет произвольную скорость изменения 4 без движения поверхности.

Из уравнений движения можно получить, что

(8—Ю_ = 0,(16)

что совпадает с уравнением (87) из II. Это у-уравнение в смысле, определенном в I. Его можно представить в более удобной форме. Имеем:

如門宀三 12£S 三 17w®jgj)s 三 I)W)"S 三 r-1^,

ИЛИ

g什(%?rT)Т三0・ Отсюда

(81)—从=у^у^У = у№у 宀 т = BssV-\ (17)

Таким образом, можно положить

X = в/ = 0.(18)

Легко видеть, что это у, как и (16), принадлежит первому роду.

Прежде чем иметь возможность квантовать теорию, необходимо обобщить уравнения движения, заменив х первого рода на Ф первого рода. Как объяснено в работе II, это обобщение позволит совершать произвольные изменения калибровки без всякого движения поверхности. Обобщение достигается путем добавления в гамильтониан слагаемого вида (99) из II, или, используя теперешние у, вида

/ vBss Su.(19)

с произвольным коэффициентом и.

Если добавить такое слагаемое в выражение (14) для Н)то можно опустить последний член в коэффициенте при 少厶 так как он может быть поглощен в (19). Остается выражение для Н)из которого исчезли А/ и 8厶 если не считать последнего слагаемого / $Bi(]^u. Влияние этого слагаемого на уравнения движения заключается лишь в том, чтобы придать А/ произвольное движение. Оно не влияет на движение любой из остальных динамических переменных. Поэтому можно отбросить это слагаемое, и вообще устранить из теории переменные 4 и 8/. Окончательное выражение для Н имеет вид

Н = У yi (wi + J FrsFrsr - 38s8'РТ)d3u + / угФ*г Su + / vBss Su.

42(20)

Электромагнитное поле, взаимодействующее с полем Паули—Вайскопфа

Ансамбль электронов Паули-Вайскопфа описывается комплексной полевой функцией 吵[4]. В дополнение к плотности действия одного электромагнитного поля, плотность действия для этих электронов, взаимодействующих с электромагнитным полем, равнах)

必 + 三 g (@从一 ieA帥)34 + ieA帥)一| m2^.(21)

Чтобы в простейшей форме получить представление о новых идеях, излагаемых в данной статье, будем работать с такой плотностью действия классически, интерпретируя уравнения как относящиеся к описываемому функцией 吵 классическому полю, взаимодействующему с электромагнитным полем. Так как все уравнения записаны в гамильтоновой форме, можно с помощью обычных правил совершить переход от них к квантовой теории.

1) Pauli W., Weisskopf V. // Helv. Phys. Acta. 1934. V. 7. P. 709. См. уравнение (37). В данной статье мы положили константы /г и с равными единице и для удобства ввели дополнительный множитель 1/2 в плотность действия.

Заменим комплексное поле 吵 двумя вещественными полями, положив 吵=7? exp [—г0],

где 7? и 8 вещественными. Плотность действия (21) принимает вид

必 + = I RfiRfi + I 铸(% _ 64)(% _ e/从)-I ^2^2-(22)

Рассматривая R и 6 как динамические координаты, мы должны ввести сопряженные им импульсы, скажем, Ри? Согласно формуле (53) из II, они даются выражениями

P = *〃F = R「(23)

。=岩〃F = # (仇-64)「(24)

Сопряженные к Аг и А/ импульсы Вг и 向 будут даваться, как и ранее, выражениями (6) и (7). В соответствии с формулой (54) из II, импульсы w” сопряженные к уа^ будут равны сумме выражения (8) и дополнительных членов, а именно,

-Р& -隰 + 必+/J,(25)

Дополнительные слагаемые в wa порождают дополнительные слагаемые

Р皮+陷(26)

которые следует вычесть из правой части выражения (9) и добавить в правую часть (10). Дополнительные члены в Фг приводят к правильным изменениям и-скаляров R, 8 и и-скалярных плотностей Р)р в результате изменений параметризации. Необходимо также добавить дополнительные слагаемые (26) к выражениям ①*\ определенным формулой (15).

Теперь гамильтониан будет даваться выражением (11) с имеющими новый смысл величинами w и дополнительными слагаемыми

/{P(Ril, + R一肪 + 0(仇^ + е一历"-必+"} d3u =

=/ Vi^PRi + О仇一必+门 d3u + /需(PR + ^)产汝(27)

Второе слагаемое в (27) будет поглощено вторым слагаемым в выражениях (13) и (14) для Н)что придаст новый смысл Фг и ①*。Первый член в (27) должен быть преобразован так, чтобы коэффициент при 初 содержал только динамические координаты и импульсы, после чего этот член должен быть добавлен к первому члену в выражениях (13) и (14).

Коэффициент при yi в (27) в сильном смысле равен

PRl + 0仇一

—；{府 + 必皮 + 岳(仇—£4)2 + r2© — c4)(e『-е/『)-П?#}。(28)

Из формул (23) и (24) получаем сильные уравнения

|(F- R^r-1 = 0,^{р-爾(仇 _ eAi^R^r-1 = 0.

Добавляя левые части этих тождеств к (28), получаем

j р2р-1 — j RrBrr + j 027r2р — 1 — I 冗2@ — e4)® — eAr^r +

+ ^^^ + epAh (29)

Это выражение имеет желаемую форму и должно быть добавлено к коэффициенту при yi в (13) или (14), чтобы получить в данной теории Ф, связанные с движением поверхности, нормальное к ней самой.

Уравнения поля (58) из II, примененные к Ау с теперешней плотностью действия, дают

(理从)从=-6R2(30)

Это уравнение можно сравнить с уравнением (71) из II. Следуя рассуждениям, которые привели к выражению (73) из II, получаем теперь с помощью (24)

(8—江-1)_从=e爾(仇—ea^ = ^г-1.(31)

Используя (17), находим

8ss -ep = Q.(32)

Это у-уравнение данной теории. Используя те же аргументы, что и в рассмотренном в работе II случае отсутствия зарядов, легко проверить, что оно относится к первому роду.

Следует отметить физический смысл уравнения (31) или (32). Из уравнения (6) видно, что электрическое поле на поверхности равно В_^Г-1. Трехмерная дивергенция этого поля равна левой части уравнения (31). Согласно уравнению Паули-Вайскопфа (42) с учетом дополнительного множителя 1/2 в рассматриваемой сейчас плотности действия, плотность электрического заряда на поверхности равна еВ2^^^ — е/^) или правой части уравнения (31). Таким образом, уравнение (31) или эквивалентное уравнение (32) — это уравнение Максвелла, связывающее плотность электрического заряда с div Е.

Чтобы подготовить теорию к квантованию, мы должны опять заменить у-величины первого рода на (^-величины первого рода, допустив, таким образом, произвольные изменения калибровки без какого либо движения поверхности. Эта замена осуществляется добавлением к гамильтониану слагаемого

/ v{Bss -ер) Su(33)

с произвольным коэффициентом и. В результате получаем гамильтониан, представляющий сумму выражения (14), в котором к коэффициенту при yi добавлено (29), и выражения (33). Слагаемые в этом гамильтониане, содержащие А/ и Вц равны

/ yi{-Bss + 叩)4 酒〃 + / 4「向 #〃.(34)

Первый член здесь может быть поглощен в (33), и в результате мы имеем гамильтониан, из которого исчезли Л/ и 8厶 за исключением слагаемого

У A『Bi d%. Как и ранее, влияние этого слагаемого на уравнения движения заключается лишь в том, что оно позволяет сообщить А/ произвольное движение. Поэтому это слагаемое можно опустить, тем самым вообще устранив переменные 4 и В/ из теории.

Для дальнейшего развития теории удобно подставить в Н выражение е^В/ для р. Эта подстановка изменяет Н на величину, кратную интегралу по и от Bss — ср) которая может быть поглощена в (33). В результате Н 三 / ^{⑷ + ： /尸干-I 8sgspT + I p2p—i — I 丛皮p +

+ I e^^B^R-^-1 - I T?2@ — 64)(6r — еАг)Г + | т2Т?2г} Su +

+ / 贪①*『产" + / v{Bss -用)产".(35)

Величина и в (35) имеет простой смысл. Уравнение движения для 8 имеет вид

@= [0,Я]=需夕—еи.(36)

Кроме того,

° =也/% = Уг^г + 初仇〉 так что отсюда можно вывести, что

б0 =—初仇.

Связь калибровки и выбора поверхностей

До этого момента пространственноподобные поверхности, на которых определены состояния, были совершенно произвольными. Сделаем теперь предположение, что поверхности следует выбирать так^ чтобы на каждой из них полевая функция 8 была постоянна. Подходящим выбором независимой переменной г можно затем устроить так, чтобы уравнение всех поверхностей имело вид:

6 = т.(37)

Под действием калибровочного преобразования функция 8 изменяется согласно формулам

a^^ а^ + as/a® 匕 е^е + es,(38)

так как это оставляет инвариантной плотность действия (22). В рассматриваемой сейчас динамической теории можно считать S произвольной функцией 力,так как коэффициенты Af в (34) и и в (35) находятся полностью в нашем распоряжении при любых значениях т. Таким образом, изменение 8 может быть любой функцией 力,и поверхности, задаваемые уравнением (37), могут меняться произвольным образом. Теперь следует установить связь между калибровкой и поверхностями типа той, которая обсуждалась во введении. Мы должны выдвинуть ограничение, что разрешены только такие калибровки, для которых задаваемые уравнением (37) поверхности являются пространственноподобными.

Новое предположение приводит к существенному упрощению гамильтониана. Переменные ®(〃) для различных значений и уже не являются

независимыми динамическими координатами, а все равны друг другу, и поэтому задают только одну координату в. Если положить все 6(〃) равными, можно ограничиться рассмотрением только величин, скобки Пуассона которых со всеми разностями ®(〃) — 8(〃') равны нулю. Величина

Q三/ pd3u(39)

удовлетворяет этим условиям и является единственной независимой функцией 0〉обладающей этим свойством. Это сопряженный импульс к единственной оставшейся в теории динамической координате в.

Так как 8 постоянна на поверхности, имеем

ег = о.(40)

Из уравнения (37) находим 0=1, так что из (36) получаем ev = —1. Последнее слагаемое в выражении (35) с учетом (39) принимает вид

-е-1 /(8s$ - с。)d3u = Q,(41)

если пренебречь интегралом от дивергенции, который можно преобразовать так, чтобы он содержал только переменные на бесконечности. Можно опустить в Н слагаемое (41) и сделать так, чтобы переменные 8 и Q выпали из теории, не повлияв при этом на уравнения движения любой другой динамической переменной. Оставшееся выражение имеет вид

Я= / yi{wi + - FrsFrsr - - В^Г-1 + - р2「т —丄 Rr^y + 丄皿2諸「+

+ I e^^B^R^r-1 - ； e^I^Ar^V^ Su + / 需①*『产〃.(42)

Выражение для ①*『(15) с дополнительными слагаемыми (26) сводится к выражению

①*『=wr + BsAsr - (8s/『)s + PRr.(43)

Формулы (42) и (43) определяют окончательный вид гамильтониана рассматриваемой теории.

Вытекающие из этого гамильтониана уравнения движения все еще допускают произвольное движение поверхности вдоль нормали к себе, связанное с (^-величиной первого рода, являющейся коэффициентом при yi в (42), и произвольные изменения параметризации, связанные с ①*『.Этим свобода исчерпывается. Причина заключается в том, что когда движение поверхности фиксировано, уже нет произвола в выборе калибровки.

Для практических целей естественно выбрать поверхности максимально простым образом. Можно считать, что это плоские поверхности, нормальные оси времени, например поверхности 力° = 丁, после чего фиксировать параметризацию, выбрав 〃i =力1〉〃2 =力2〉〃з =力3・ После отбрасывания несущественного более слагаемого w/ гамильтониан (42) сведется к выражению

Я= И-FrsFrs - - BSBS + - F2 - - Rp + - n?R2 +

丿2222

+ I £-2(8))27r2 _ 1 £2r2441d3〃.(44)

9 П. Дирак. T. Ill

Слагаемые ①*『исчезли, так как в параметризации уже отсутствует произвол.

Гамильтониан (44) содержит слагаемые, не зависящие от е, которые в точности совпадают с обычными слагаемыми для электромагнитного поля и вещественного поля Паули-Вайскопфа, представляющего незаряженные частицы. Кроме того, гамильтониан содержит слагаемые

(45)(45)/ ^e~2(Bss)2R-2 - I c2r2441dз〃,

(45)

(45)

ответственными в данной теории за взаимодействие. Они существенно отличаются от обычных слагаемых взаимодействия, с которыми мы сталкиваемся в теориях электродинамики, так как один из них содержит коэффициент е-2 и не становится автоматически малым при малых е. Отсюда вытекает, что уравнение Шредингера данной теории не может рассматриваться с помощью обычных приближенных методов, в которых взаимодействие рассматривается как возмущение, влияние которого представляется в виде степенного ряда по е.

Обычный метод теории возмущений в квантовой электродинамике неудовлетворителен, так как взаимодействие вносит бесконечный вклад в собственную энергию электронов и поэтому не может на законных основаниях рассматриваться как малое возмущение. Данная теория, даже формально не допускающая, чтобы взаимодействие рассматривалось как возмущение, может привести к новому подходу в рассмотрении этих трудностей. Этот подход требует разработки нового метода обращения с уравнением Шредингера.

Связь данной теории с обычной можно суммировать следующим образом. Теория электродинамики начинается с задания полного набора динамических переменных для описания электромагнитного поля, а также заряженных частиц. Это приводит к появлению большего, чем необходимо, числа переменных, так как знание положения зарядов несет некую информацию о поле. Существование избыточного числа динамических переменных проявляется в появлении в динамической теории дополнительных условий. В обычной теории поле разделяется на продольные и поперечные волны, после чего исключаются динамические переменные, описывающие продольные волны на языке корпускулярных переменных. В настоящей теории вместо этого исключаются некоторые корпускулярные переменные, а именно, 8 и 0〉выраженные через продольные переменные поля, при этом не требуется разделения поля на продольную и поперечную части. Это является преимуществом, так как подобное разделение представляет нефизическую процедуру, портящую релятивистский вид теории.

21

КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ )

Калибровочные преобразования для заданного электромагнитного поля. Рассмотрим четырехмерное пространство специальной теории относительности [1]. Пусть х^ (从=0,1, 2, 3) обозначают четыре координаты, а д〃" 一 метрический тензор с компонентами

д11 = д22 = ^33 = -1, д^ = 0 для 从 # %

⑴⑴Электромагнитное поле описывается антисимметричным тензором второго ранга F^ =—理从(从,沙=0,1, 2, 3). Этот тензор удовлетворяет уравнениям Максвелла

⑴

⑴

dxp дх@a 力〃

dF^ _.

F—=一加 OX у

где ^从—вектор плотности электрического заряда и тока. Дифференци

руя (2) по 力从〉находим уравнение

выражающее закон сохранения электрического заряда, который является, таким образом, следствием полевых уравнений Максвелла.

Для заданного электромагнитного поля F^ уравнение (1) показывает, что можно ввести потенциалы /从,положив

⑷⑷р _ 34 _ BAr

⑷

⑷

""9力从dxu

В результате уравнение (2) принимает вид

dx^dx" dxvdx^ “

Таким образом, потенциалы /从 полностью не определяются полем 巧^. Мы можем, не меняя 巧厶 заменить А^ на /从 + dS/дх^где S — некоторая функция от четырех координат 力从.Преобразование

4 - 4 +豎⑹

называется калибровочным преобразованием^ по предложению Вейля, который хотел придать этим преобразованиям геометрический смысл в рамках общей теории относительности.

На потенциалы /从 можно наложить релятивистское условие

沪⑺

с учетом которого уравнение (5) принимает более простую форму:

□/"从=3 从.(8)

Калибровочное преобразование (6), сохраняющее форму уравнения ⑺, должно удовлетворять условию

□S = 0.(9)

Таким образом, если наложить условие (7), то множество калибровочных преобразований оказывается более ограниченным.

Чтобы получить описание физических явлений, нужно установить систему динамических уравнений, в которой значения компонент поля в разных точках фигурируют как динамические переменные, включенные во взаимодействие как между собой, так и с переменными частиц. Затем следует придать этим уравнениям гамильтонову форму и проквантовать их, чтобы получить квантовую электродинамическую теорию.

Общепринятая квантовая электродинамика, построенная Фермих), опирается на уравнения (4), (7) и (9) и использует только ограниченные калибровочные преобразования, удовлетворяющие условию (9). Теория, которую я обсуждал в моих лекциях 1939 года в Институте Анри Пуанкаре, относится к тому же типу ). На этот раз я хотел бы здесь показать, как можно построить квантовую электродинамическую теорию, основанную на уравнениях (2) и (4) без условия (7) и допускающую также общие калибровочные преобразования с произвольной функцией S. Таким образом, мы получим математически более мощную теорию, которая позволит нам писать уравнения совсем в другой форме.

Функция действия. Наиболее простой метод получения релятивистской динамической теории в гамильтоновой форме состоит в том, чтобы с самого начала выбрать функцию действия инвариантной относительно преобразований Лоренца. В качестве функции Лагранжа можно взять производную действия по времени и по хорошо известным правилам перейти к функции Гамильтона.

Функция действия представляет собой интеграл по всему четырехмерному пространству:

/ = / 必 £х)

где d4x = dx()d)i d力2 d力з d力4. Плотность действия 必 есть функция от полевых переменных『и их первых производных dV/дх^. Будем писать『从

1) Fermi // Rev. Mod. Phys. 1932. V. 4. P. 87.

вместо 8V/дхц для сокращения записи и в общем случае будем добавлять верхний индекс 从 к какой-либо локализованной величине, обозначая производную от нее по х^. Таким образом, имеем

必=必（К『从）.

Уравнения поля получаются, если положить 61 = 0, взяв вариацию действия при вариации полевых переменных V. Имеем

В/ = 丝 8『"+ 丝产力=О,J \dV^ dV J '

что дает

/{-(蘇)

Таким образом, уравнения поля имеют вид

(丝)丁丝.(10)

\dV^ J dV' 丿

Для чистого электромагнитного поля можно просто взять

必=V = I (4从-A^)A^.(П)

Когда имеется взаимодействие материи с электромагнитным полем, к плотности действия нужно добавить дополнительный член:

% = -；Ц〃,(12)

материю, содержитматерию, содержитгде ^# есть некоторая функция от переменных, описывающих и от потенциалов А^, причем в общем случае эта функция не

материю, содержит

материю, содержит

=/■从=/■从(13)(13)(14)(14)производных от потенциалов А^.

=/■从

=/■从

(13)

(13)

(14)

(14)

При выборе плотности действия (12) и полевых переменных『 уравнения поля (10) дают

7?! V

Это уравнение согласуется с уравнением Максвелла (2), если взять 加—一办.

Уравнение (7) не является необходимым в этой теории.

чистого элек-(А^)2. Такимчистого элек-(А^)2. ТакимВ электродинамике Ферми к плотности действия (11) тромагнитного поля добавляется дополнительный член —- образом, вместо (11) имеем

чистого элек-

(А^)2. Таким

чистого элек-

(А^)2. Таким

必=I (4厂 А,^ - I (//К =+ I {А^А.Г - I (А//产

Z厶厶厶厶

(15)

Здесь последние два члена можно опустить, поскольку они не дают вклада в интеграл I. Теперь в случае электромагнитного поля, взаимодействующего с материей, вместо (12) будем иметь

(16)(16)必=；А^А^ +

(16)

(16)

При таком выборе плотности действия и V = /从 уравнения поля (10) дают

в полном согласии с (8), если опять принять (14). Теперь уже уравнение (7) является необходимым для получения уравнений Максвелла (2). Оно не является следствием принципа стационарного действия В/ = 0〉и его необходимо вводить в теорию в качестве дополнительного условия.

Чтобы это дополнительное условие согласовывалось с уравнениями поля, необходимо, чтобы функция ^# имела форму, совместимую с калибровочными преобразованиями. Это можно выполнить, если ввести полевую переменную 仇 явно не входящую в ^#, так, чтобы ее производные 尹 и потенциалы /从 появлялись в только в виде комбинации /从 + 0^, и тем самым функция ^# оставалась бы инвариантной при преобразовании (6), дополненном преобразованием

ете — s.(18)

Тогда имеем соотношение

而=(19)

Теперь уравнение поля (10) при выборе V = в дает

=0.

С помощью (17) получаем уравнение

□Л/ = 0,

которое показывает, что если в начальный момент времени выполняются уравнение ⑺ и его производная по времени, то они будут выполняться всегда.

Мы приходим к следующим заключениям:

Если функция ^# имеет форму, совместимую с калибровочными преобразованиями, то, используя плотность действия (12), можно построить электродинамику, допускающую общие калибровочные преобразования.

Если функция ^# имеет форму, совместимую с калибровочными преобразованиями, то, используя плотность действия (16) и вводя дополнительное условие (7), можно построить электродинамику, допускающую ограниченные калибровочные преобразования.

Если функция ^# не имеет формы, совместимой с калибровочными преобразованиями, то, используя плотность действия (12), всегда можно построить электродинамику, согласующуюся с уравнениями Максвелла, но не допускающую калибровочных преобразований.

Если функция ^# не имеет формы, совместимой с калибровочными преобразованиями, то, используя плотность действия (16), мы не можем построить электродинамику, так как даже закон сохранения электрического заряда будет нарушен.

Переход к гамильтоновой форме. Трудности. Пусть функция Лагранжа

Е = / ^d3x,(20)

где с?3ж = dxi dx2 с?жз, является функцией динамических координат q и скоростей 0 в заданный момент времени. В данной теории координатами q являются потенциалы /从(力i,力2,力з) в заданный момент времени и динамические переменные, необходимые для описания материи. Скоростями @ являются производные от потенциалов по времени 4从° (力 1〉力2〉)з)・ Другие производные от потенциалов /从,т.е. /从『(力i,力2〉力з) при г = 1, 2, 3, являются, разумеется, функциями от q.

Чтобы определить сопряженные импульсы р, нужно выполнить в L вариацию скоростей Sq и положить

8e=e%或(21)

где сумма по необходимости может быть заменена на интеграл. Обозначим 8从(力L 力2〉力з) сопряженный импульс для /从(力匕 力2〉力з)・ Тогда, используя плотность действия (12), имеем

В^ = F^q.(22)

Таким образом,

Во = 0.(23)

В обычном методе перехода от функции Лагранжа к функции Гамильтона все импульсы должны быть независимыми функциями от скоростей, чтобы можно было выразить последние как функции от импульсов и динамических координат. В нашей теории это условие не выполнено из-за уравнения (23), откуда следует, что обычным методом построить гамильтониан нельзя.

Именно из-за этой трудности Ферми и использовал плотность действия (16), для которой вместо (22) имеем

8 从=-V，(24)

что и позволяет строить гамильтониан обычным методом.

Чтобы построить электродинамику, основанную на плотности действия (12), необходимо сначала развить метод перехода от функции Лагранжа к функции Гамильтона, для которого уравнения типа (23) не служили бы препятствием. Предпочтительно вначале выяснить, как выглядит этот метод, в первую очередь в общей механике, а затем применить его к электродинамике.

Сильные и слабые уравнения. Рассмотрим динамическую систему с N степенями свободы, описываемую обобщенными координатами qn (п = 1,2,..., ^) и скоростями dqn/dt или qn. Предположим, что существует лагранжиан, который на первых порах может быть некоторой функцией от координат и скоростей:

Е 三 E(q力)•(25)

Определим импульсы с помощью соотношения

(26)

Построим вариационную процедуру, состоящую в независимом изменении каждой из величин Qn, Qn, рп на малые приращения Bq九,J^n, дрп

порядка * и ограничимся приближением первого порядка по £. После такой вариации равенство (26) не будет больше выполняться, так как его левая часть будет отличаться от правой на величину порядка £. Впредь мы будем различать два сорта равенств: равенства типа (26), в которых различие левой и правой частей после выполнения вариации имеет порядок s, если пренебречь величинами порядка £? и выше, и равенства, которые при тех же условиях остаются верными.

Уравнение (25) принадлежит к последнему типу, поскольку, по определению, вариация Е будет равна вариации L(q, q). Мы назовем уравнения первого типа слабыми уравнениями и будем для них использовать знак 7, а уравнения последнего типа — сильными уравнениями^ и для них мы сохраним обычный знак равенства =. В результате уравнение (26) принимает вид

Рп 7(27)

Правила алгебры для сильных и слабых уравнений выглядят следующим образом:

если А = 0, то имеем

SA и 0;

если X ^ 0, то в общем случае имеем

Из слабого уравнения X 7 0 можно вывести

8X2 у 2ХВХ у 0,

что позволяет вывести сильное уравнение

X2 = 0.

Аналогично, из двух слабых уравнений X] 7 0 и X?弋 0 можно вывести сильное уравнение

Х1Х2 = 0.

С учетом сказанного может случиться, что все N величин dL/dqn в правой части (27) являются независимыми функциями от N скоростей qn. В этом случае уравнения (27) позволяют определить каждую из qn как функцию от 0 Hq. Этот случай будет называться обычным случаем: только этот случай обычно и рассматривается в аналитической динамике.

Если выражения dL/dqn не являются независимыми функциями скоростей, то можно исключить qn из уравнений (27) и получить одно или несколько равенств

а(5Р)7 0,(28)

которые содержат только 0 Hq. Можно принять, что форма уравнения (28) такова, что его вариация имеет порядок е. В самом деле, если бы эта вариация имела порядок £用,то достаточно было бы в (28) заменить Q на Q1/^, чтобы упомянутое условие было бы выполнено. В полученном в результате варьирования уравнения (28) новом уравнении левая и правая его части отличаются на величину порядка s: следовательно, это слабое уравнение, и мы правильно записали его, применив знак 7.

Нам придется использовать полную систему независимых уравнений типа (28):

。小(仏(m = 1, 2,..., M).(29)

Независимость уравнений означает, что ни одна из функций Qm не может быть представлена в виде линейной комбинации других таких функций, коэффициентами в которой являются некоторые функции от р и q.

Полнота системы уравнений означает, что всякая функция от 夕 и q〉которая исчезает в силу(29) и имеет вариацию порядка % может быть представлена как линейная комбинация Qm с коэффициентами в виде некоторых функций от р и q.

Можно следующим образом представить себе структуру отношений между сильными и слабыми уравнениями. Пусть имеется 3^-мepнoe пространство, координатами точки в котором являются q〉« и р. В этом пространстве существует 2№-мерная область, в которой удовлетворяются уравнения (26). Назовем эту область R. Уравнения (29) тоже удовлетворяются в этой области, поскольку они являются следствиями уравнений (26). Рассмотрим теперь все точки нашего 3^-мepнoгo пространства, удаленные от R на расстояние порядка £. Эти точки образуют 3^-мepнyю область — своего рода панцирь толщиной s, — которую мы обозначим R£.

Можно сказать, что всякое слабое уравнение выполняется в области R, а всякое сильное уравнение — в области R£.

Переход к гамильтоновой форме. Общий метод. Гамильтониан Н определяется соотношением

Н = Рп^п - Ь.(30)

В формулах такого рода суммирование будет производиться по всем повторным индексам. Согласно (30), имеем

1

5Н у 3(pnQn — Е) *

7 Qn^Pn —萌-Sqn 7(31)

7 PnQn + Qn^Pn — -—°«九•

oqn oqn

Как видно, ЗН не зависит от 3qnj и этот важный результат справедлив во всех случаях, а не только в обычном.

Уравнение (30) задает определение Н как функции от q, « и р, верное во всем Замерном пространстве переменных q〉@ 迈 р. Мы будем пользоваться эти определением только в области R£j в которой соотношение (31) выполняется в первом порядке. Это означает, что если зафиксировать q и @, а скорости « варьировать в первом порядке, то вариация Н будет иметь второй порядок. Следовательно, если фиксировать q и р, а скорости « менять конечным образом, все время оставаясь в области R£ (что возможно, так как мы не рассматриваем обычный случай), то вариация Н будет иметь первый порядок. Если мы будем оставаться в области 7?, то вариация Н будет исчезать. Отсюда вытекает, что в области R гамильтониан Н является функцией только от q и р.

Если обозначить последнюю функцию /3(^,р), то имеем слабое уравнение

Н^ 队q,p),(32)

справедливое в области R. В обычном случае /3 является обыкновенным гамильтонианом.

Начиная с некоторой точки в 7? и вычисляя общую вариацию, из (31) выводим

' дрп/ \oqn dqn/

Таким образом, 3(Н — /3) зависит только от 3q и Ьр. Если вариация такова, что мы не покидаем области R〉то, разумеется, имеем 3(Н — /3) = 0. Таким образом, Ь(Н — /3) исчезает для всяких вариаций ©иди поэтому можно так выбрать Ь«, чтобы удовлетворялись уравнения (27). Единственное ограничение, которое этим требованием накладывается на 3q и Ьр, состоит в сохранении уравнений (29), т.е. для рассматриваемых вариаций 3q и Зр должны выполняться условия Qm = 0 для всех т. Таким образом,

— /3) исчезает для всех значений Sq и Ьр, которые влекут за собой 5Qm = 0, и следовательно, для произвольных значений bq, Ь@ будем иметь

"8 — /3) у vm8^m(33)

при подходящих коэффициентах vm. Эти коэффициенты будут функциями от q, « и 夕 и с помощью (27) могут быть выражены как функции только от q и «. Из соотношений (33) и (29) выводим

8(8 - /3 - ??m5Qm) у 5(Я — /3) — Ут^т -。小8少小弋 0, откуда

8 = 0 + U小0小.(34)

Мы в результате имеем сильное уравнение, которое выполняется в первом порядке в области R&)в противоположность слабому уравнению (32), которое удовлетворяется только в области R.

Уравнение (33) дает

5H 7 5/3 + fm5Qm 7 Spn + 6qn + vm (6pn +•

。@九OQn' 0@ndqn 丿

В результате сравнения с (31) отсюда получаем

小(35) 00九орn

dL а/3 丄。,^Qm

—丁 = 丁.(36)

Уравнения (35) задают q как функции от q, p и v. Они показывают, что 2N переменных Qn, qn могут быть выражены через 2N + М переменных Qn, Pm fm, между которыми существуют М соотношений (29). Других соотношений между этими переменными не может быть, так как в противном случае 2N величин Qn, qn не были бы независимыми. Каждое и должно быть, таким образом, независимым как от других 仏 так и от q и @. Эти параметры и могут рассматриваться как своего рода скорости, служащие для фиксации тех Q, которые не могут быть выражены как функции q и 然

Когда используется динамика в гамильтоновой форме, в качестве основных переменных используются q,夕 и и, между которыми, по предположению, существуют соотношения (29), а во всем остальном они независимы. Эти переменные мы назовем гамильтоновыми переменными.

. dL. dLПримем, что обычные лагранжевы уравнения движения

. dL

. dL

(37)

являются слабыми уравнениями. Заменяя в (37) импульсы р их значе

ниями согласно (27), получаем уравнения, содержащие ускорения qn. В обычном случае эти уравнения позволяют вычислить все qn как функции от q и «. В том случае, когда имеются М уравнений (29), уравнения движения дадут нам только N — М соотношений для определения ускорений q. Оставшиеся М уравнений движения определят закон изменения со временем функций Qm. Для замкнутости теории функции Qm должны оставаться равными нулю: условия для выполнения этих связей будут исследованы далее.

С учетом (36) уравнения движения (37) принимают вид

Рп^~Рп^~дрdqnдрdqn一^m一^m50mdqn50mdqn(38)(38)

Рп^~

Рп^~

дрdqn

дрdqn

一^m

一^m

50mdqn

50mdqn

(38)

(38)

Соотношения (38) и (35) составляют гамильтоновы уравнения движения. Они определяются функцией /3 и связями Qm = 0 и позволяют вычислить «и / как функции от гамильтоновых переменных q^ р и v. Они не дают нам прямых сведений о 方,но когда мы будем исследовать условия замкнутости, некоторую косвенную информацию об этих величинах они предоставят.

Использование специальных обозначений для скобок Пуассона позволяет более удобно записывать гамильтоновы уравнения движения.

Скобка Пуассона [£〉〃] для двух произвольных функций £ и т7 0Tq и р определяется следующим образом:

e用=e用=线9〃 线а〃dqn дрп дрп dqn线9〃 线а〃dqn дрп дрп dqn(39)(39)

e用=

e用=

线9〃 线а〃dqn дрп дрп dqn

线9〃 线а〃dqn дрп дрп dqn

(39)

(39)

Легко проверить инвариантность скобок Пуассона относительно преобразований q и р, в которых новые q являются независимыми функциями старых 4 а новые р определены уравнениями (27), в которых Е выражено как функция от новых q и их производных. Именно в силу этой инвариантности скобки Пуассона и имеют столь большое значение.

Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, которые легко проверяются исходя из вышеприведенного их определения:

I，/(5出2,…)=2]+(40)

I C]] + 切」以 €]] + 6 £ 用]=0.

Во втором соотношении (40) / является некоторой функцией от величин 〃L 〃2〉• • •〉которые сами являются функциями от q и @. В третьем соотношении (40), известном как тождество Якоби, рассматриваются три произвольные функции £〉％ С от q и р.

Из сильного уравнения 4 = 0 выводятся слабые уравнения

dа е ——7 0, dqndа е ——7 0, dqndа е ——7 0, дрпdа е ——7 0, дрп

dа е ——7 0, dqn

dа е ——7 0, dqn

dа е ——7 0, дрп

dа е ——7 0, дрп

из которых с учетом второго соотношения (40) вытекает

для произвольного £. Иногда возможно, что [^, А] = 0 (например, когда А = 0 по определению), но с необходимостью это не всегда так. Из слабого уравнения X 7 0 в общем случае нельзя вывести, что [£〉X] 7 0.

Из уравнений (35) и (38) для произвольной функции g от q и р выводим ”旧例+。小回。"⑷)

Однородные скорости. Теория принимает особенно простую форму, когда лагранжиан является однородной функцией первой степени по скоростям. В этом случае импульсы, определенные соотношением (27), являются однородными функциями нулевой степени по скоростям и, следовательно, зависят только от отношений последних. Так как имеется N импульсов р и только ^ — 1 независимых отношений скоростей, то импульсы р не могут быть все независимыми функциями от « и должно существовать, по крайней мере, одно соотношение (29) между дир. Если же случай «обычный», то имеется единственное соотношение этого типа.

Используя теорему Эйлера, имеем

Е =(42)

откуда L qnpn^ и поэтому

Я^О.(43)

Это верное в области R слабое уравнение позволяет взять /3 = 0, и (34) принимает вид

Н = ^m^m-(44)

Общее уравнение движения (41) оказывается теперь следующим:

д(45)

Гамильтоновы уравнения движения полностью определяются связями = 0.

Правая часть уравнения (45) однородна по vm. Если имеется некоторое решение уравнений движения, то из него можно вывести другое решение путем умножения всех и на множитель 7, произвольно зависящий от времени. Скорость изменения со временем этого нового решения будет отличаться от скоростей всех динамических переменных на множитель 7. Это новое решение могло бы быть выведено из первого решения путем замены в нем времени t на новую независимую переменную г, такую, что dt/dr = 7. Новая переменная г совершенно произвольна: она может быть произвольной функцией от & q и «. Таким образом, если задано некоторое решение уравнений движения, то из него можно вывести другое решение путем замены времени t на произвольное г, т.е. уравнения движения не дают нам никакой информации о независимой переменной. Это свойство динамики, однородной по скоростям, очень важно и делает ее чрезвычайно удобной для приведения к релятивистской форме.

Можно удовлетворить условию однородности по скоростям в случае произвольной лагранжевой динамической системы, если рассматривать

время t как дополнительную координату qo и использовать уравнение «о = =1, чтобы сделать лагранжиан однородной функцией первой степени по всем скоростям, включая qo-

Как уже нами было показано х), можно вывести новые уравнения движения Лагранжа для всех координат q и получить новую формулировку законов движения для общей динамической системы на языке однородных скоростей. Эта новая формулировка содержит все прежние уравнения, за исключением «о = 1. Если мы хотим включить и это уравнение, то его можно будет рассматривать как дополнительное условие, которое нельзя вывести из уравнений движения, но которое им не противоречит. Однако можно спокойно оставить его, поскольку его единственной ролью является фиксация независимой переменной, которая иначе была бы произвольной.

Следовательно, без потери общности можно ограничиться теорией с однородными скоростями. В дальнейшем мы изберем именно этот путь, так как он приводит к самым простым уравнениям, и будем использовать точку для обозначения производной по некоторой произвольной независимой переменной т.

Условия замкнутости. Для замкнутости необходимо, чтобы каждая функция Qm сохраняла свое нулевое значение при выполнении уравнений движения. Заменяя в уравнении (45) д на Qm/, получаем

vm[Qm, 7 0.(46)

Предположим, что уравнения (46) максимально упрощены с учетом связей (29). Такое упрощение может иногда включать сокращение на некоторые множители, если можно допустить, что они не обращаются в нуль. Каждое из окончательных уравнений будет принадлежать к одному из следующих четырех типов:

Тип 1. Уравнение содержит некоторое количество переменных и.

Тип 2. Уравнение не содержит переменных и, но содержит некоторое количество переменных р и q. Оно имеет вид

Х(50)7。(47)

и не зависит от связей (29).

Тип 3. Уравнение сводится к 0 = 0.

Тип 4. Уравнение сводится к 1 = 0.

Уравнения типа 2 приводят к дополнительному условию замыкания, поскольку х должно оставаться равным нулю. Заменяя в уравнении (45) д на у, имеем:

^m[^m,X] - 0.(48)

Это уравнение, упрощенное по мере возможности с помощью связей (29) и уже известных соотношений (47), будет принадлежать опять к одному из перечисленных четырех типов. Если оно относится к типу 2, то оно приведет к новому условию замыкания — этот процесс будет продолжен до тех пор, пока все уравнения типа 2 не приведут нас к уравнениям другого типа.

1) Dirac Р.А.М. // Proc. Camb. Phil. Soc. 1933. V. 29. P. 389.

Если какое-либо из полученных таким образом уравнений относится к типу 4, то мы должны будем заключить, что система уравнений движения не является замкнутой. Этот случай не представляет интереса и в последующем рассматриваться не будет. Уравнения типа 3 удовлетворяются автоматически. Нам остается лишь включить в теорию уравнения типа 1 и 2.

Запишем полную систему уравнений типа 2 в виде

xMdP)7。 (к = 1,2,К).(49)

Можно принять, что функции Хк выбраны таким образом, чтобы их вариации имели порядок s, как и функции Qm в (29). В таком случае уравнения (49) записаны корректно, со знаком 巨 как слабые уравнения, и они еще больше уменьшат область А, в которой верны слабые уравнения и размерность которой будет теперь 2N — К. Область Re также уменьшится, так как она будет содержать все точки, расположенные на расстоянии порядка £ от новой области R.

Для изучения уравнений типа 1 удобно ввести несколько новых понятий. Среди связей Qm определим те Q, для которых скобки Пуассона с каждой из функций Сих исчезают, как связи первого рода. Например, О* будет относиться к первому роду, если

[Qm, Qm] 7 0 (ш =

[^т, Хк] 7。(友=1〉2,, К).

Достаточно, чтобы эти соотношения были справедливы только в слабом смысле. Это означает, что они выполняются только как следствия уравнений Qm 0, Хк 7 0・ Поэтому левые части уравнений (50) должны будут в сильном смысле равны некоторой линейной комбинации функций Qm и Хк・ Всякая связь Q, которая не удовлетворяет всем этим условиям, будет называться связью второго рода.

Мы можем применить к функциям Q линейное преобразование вида

^m,(51)

где элементы матрицы 7 являются такими функциями от р и Q, чтобы ее детерминант не исчезал в слабом смысле. В таком случае во всех применениях теории функции Q^ будут эквивалентны функциям Q.

Выполним преобразование такого типа с тем, чтобы перевести максимально возможное число связей Q в связи первого рода. Назовем эти связи Qq,, а оставшиеся связи Q второго рода — Q^, где /3 = 1, 2,..., В, а а = 5 + 1, 5 + 2, ..., М.

Уравнение (46) автоматически удовлетворяется, если Qm/ принадлежит к связям первого рода. Более того, мы можем считать, что связи Qm в (46) и (48) относятся к связям второго рода, так как если бы они относились к связям первого рода, то автоматически обратились бы в нуль. Оставшиеся уравнения (46) и (48) запишутся поэтому в виде

*[0伪 fm 7 0 (仇。=12.「8),(52)

^д[%, Хк] О (А: = 1,2,, К).

Все эти уравнения относятся к типу 1. Они показывают, что или все функции V。исчезают, или матрица

0

[^1,电]

[Qi, Q3]..

• • [Qi, Qb]

[^1,X1]…

• • [^ЬХк]

[^2, ^1]

0

[Л2,^з]

..[^2^в]

[02)%1]• '

[О2,Хк]

[Ов〉^1]

[оВ)电]

[Qb,^s]

..0

[^B,X1]

•• [^в,Хк]

(53) имеет в слабом смысле ранг, меньший В.

Покажем, что реализуется именно первое предположение. В самом деле, допустим, что ранг U матрицы (53) таков, что С7 < В, и составим опре

делитель

Qi

0

[^1, ^2]

[01)03].'

• • [Qi, ^u]

D =

[^2, ^1]

0

[Q2, ^3]• ■

..[Q2, ^t/]

• (54)

[Qu+ь ^1]

[Qu+l ^2]

[^u+i, ^3] • ■

• • [Пи+1$и]

D есть линейная функция от Q^ и, следовательно, исчезает в слабом смысле. Для всякой функции / ее скобка Пуассона с D равна сумме определителей, получающихся, если брать скобки Пуассона / с каждым столбцом в (54). За исключением определителя, составленного таким способом из элементов первого столбца, все такие определители исчезают в слабом смысле, так как все элементы их первых столбцов равны нулю в слабом смысле.

В результате будем иметь

[^i,/]

0

[Qi, Q2]

[Qi, Q3]..

. .[01〉Qu]

[^2,/]

[^2, ^1]

0

[Q2, ^3]…

[Qu+l ^1]

[Qu+l ^2]

• • [^u+i, ^u]

(55)

Если мы заменим / в (55) на одну из функций 0&, то первый столбец обратится в нуль, и следовательно, [D, Qq,] у 0. Если мы заменим / на Q^ или на X〉то определитель будет иметь либо два одинаковых столбца и поэтому обратится в нуль, либо он совпадет с одним из миноров матрицы (53), имеющим U + 1 строк и U + 1 столбцов, и тоже обратится в нуль, так как мы предположили, что ранг этой матрицы равен U. Отсюда следует, что скобка Пуассона определителя D с любой из функций Q или х обращается в нуль.

Возможно, что D обращается в нуль и в сильном смысле из-за того, что все миноры элементов его первого столбца в слабом смысле равны нулю. В таком случае мы возьмем другой определитель, у которого U столбцов, следующих за первым, соответствуют каким-то столбцам матрицы (53), а U + 1 его строк также соответствуют каким-то ее строкам. Мы всегда можем выбрать определитель D таким образом, чтобы миноры, отвечающие элементам его первого столбца, не были бы все равными нулю, поскольку мы допустили, что ранг матрицы (53) равен U. Таким образом, мы получаем определитель О, который задает новую связь Q первого рода и в то

же время является линейной функцией от Q^. Этот результат противоречит нашему предположению о том, что мы отнесли максимальное число связей к первому роду.

Отсюда мы заключаем, что если мы отнесли к первому роду максимальное число связей Q, то все функции и, относящиеся к связям второго рода^ обратятся в нуль.

Гамильтониан (44) сводится тогда к следующему:

Н = vaQai (56)

а общее уравнение движения (45) принимает вид

g^va[g^a]. (57)

Все условия замкнутости удовлетворяются в силу уравнений (49) и обращения в нуль функций V0. При этом функции va остаются полностью произвольными, и каждая из них соответствует некоторой степени свободы в движении системы, когда в общем решении уравнений движения появляется произвольная функция. В обычном случае имеется только одна связь Q, обязательно первого рода, и поэтому в общем решении уравнений движения присутствует только одна произвольная функция. Она связана с произвольностью независимой переменной г.

Интегрируемость движения в фазовом пространстве. Всякая функция от q и @, которая слабым образом обращается в нуль или в силу уравнений движения, или в силу дополнительных условий, которые можно внести в теорию, рассматривается как функция у. При этом функции Q относятся к специальному классу функций у, слабо обращающихся в нуль в силу уравнений (27).

Будем говорить, что функция х задает связь первого рода, если ее скобка Пуассона со всеми Q и всеми х равна нулю; в противном случае она задает связь второго рода. Мы можем выполнить преобразование функций м：

Хк = ^кк'Хк' + 1кт＞。人 (58) в котором элементы матриц)и)' являются такими функциями от q и /), что определитель матрицы 7 либо не равен нулю, либо обращается в нуль в слабом смысле. Новые функции х будут тогда эквивалентны первоначальным функциям х・ Осуществим преобразование такого типа с тем, чтобы иметь максимально возможное число новых связей Хк первого рода. Назовем эти новые связи первого рода Хе а все остальные — уд.

Всякая связь Q первого рода является линейной функцией связей 0&, а всякая связь х первого рода является линейной функцией связей Qq, и х&・

Докажем следующую теорему: скобка Пуассона от двух функций у, задающих связи первого рода)есть функция у, задающая связь первого рода. Возьмем две такие функции х： Ха и Хо/・ Их скобка Пуассона [хе Ха'] слабо обращается в нуль и поэтому является одной из функций у. Если Х1 является одной из функций у, то согласно тождеству Якоби имеем

[Х1」Хе Ха，]] = [[XL Ха], Х" - [[ХЬ ХсД Ха]・ (59)

Поскольку Ха задает связь первого рода, то [хьХа] слабо обращается в нуль и поэтому является функцией у, скобка Пуассона которой с Хо/ слабо равна нулю. Таким образом, первый член в правой части (59)слабо

обращается в нуль. По той же причине обращается в нуль и второй член. Поэтому скобка Пуассона произвольной функции х с [Ха, Xaf] равна нулю в слабом смысле. Это показывает, что [Ха〉Хо/] задает связь первого рода.

Если две функции у, задающие связи первого рода, являются функциями Q, то необязательно, чтобы их скобка Пуассона приводила к связи Q первого рода. Известно только, что она должна быть одной из функций у, задающих связь первого рода.

В фазовом пространстве, т.е. в 2^мерном пространстве qn и 夕九,существует подпространство 2^ — М — К измерений, в котором все связи х удовлетворяются и которое мы назовем пространством 2N — М — К. Состояние динамической системы для некоторого значения г фиксируется, если переменные р и q принимают значения, удовлетворяющие всем связям х и, следовательно, представимые некоторой точкой Р в пространстве 2^ — М — К. Движение системы, начинающееся в этом состоянии, изображается в указанном пространстве кривой, исходящей из Р. Пусть А есть число связей 0&. Так как А переменных и& являются произвольными, то эта кривая может выходить в любом направлении, выбираемом в маленьком объеме А измерений, окружающем точку Р. Каждая точка в пространстве 2^ — М — К окружена таким маленьким объемом А измерений. Выясним, интегрируемы или нет эти маленькие объемы.

Допустим, что в интервале Вт = Е] переменной г все функции и обращаются в нуль за исключением функции va^ равной единице, и примем, что в последующем интервале Вт =金2 равны нулю все функции и, кроме и&〃, которая равна единице. При этих условиях в конце первого интервала некоторая функция д от р и q переходит в

а в конце второго интервала, с точностью до /實 и в пренебрежении е； и ^2, она примет значения:

g + а 回。"+ £2 [g + а 旧 а", а&〃] • (6。)

Если же поменять местами порядок этих движений, то функция д примет значения

g + £2 旧 а&〃] + ^i[g + £2 旧。&〃], Q". (61)

С учетом тождества Якоби разность выражений (60) и (61) записывается в виде

/22回0Q/3"]. (62)

Для интегрируемости бесконечно малых объемов необходимо, чтобы при подходящем выборе функций и выражение (62) представляло изменение, разрешенное уравнениями движения. Для этого необходимо, чтобы функция [Qq,/, Qaff] была связью Q первого рода. Согласно доказанной нами теореме, функция [Qq,/, Qq,//] является функцией у, задающей связь первого рода, но не обязательно функцией Q. Поэтому в общем случае условие интегрируемости не выполнено.

Можно, однако, заключить, что для всякой динамической системы^ не имеющей связей х&, т.е. для всякой системы^ в которой все функции у, не совпадающие с функциями Q, задают связи второго рода^ условие интегрируемости в фазовом пространстве выполнено.

С физической точки зрения, желательно, чтобы условие интегрируемости было выполнено, так как было бы удивительно, что изменение динамических переменных вида (62) не может быть осуществлено непосредственно, когда оно может быть результатом движения по замкнутому пути. Оказывается, что небольшим изменением уравнений движения всегда можно добиться того, чтобы это условие выполнялось.

В самом деле, будем рассматривать все связи х первого рода как связи Q первого рода. Тогда все функции Ха превращаются в дополнительные функции Qq,, которые должны возникать в гамильтониане (56) с новыми произвольными коэффициентами и. Таким образом, свобода движений увеличивается. Больше не остается связей х первого рода, которые бы не были связями Q, и условие интегрируемости выполняется.

Модификация уравнений, которую мы осуществили, заключается в том, что каждое решение первоначальных уравнений движения является также решением и новых уравнений. Мы только увеличили число решений, не изменив решений, которые уже существовали. Во всяком случае, новый гамильтониан вполне удовлетворителен, так как он приводит к совместным уравнениям движения, хотя функция Лагранжа, с которой мы начинали, не в состоянии больше обеспечить получение всех решений уравнений движения.

Преобразования скобок Пуассона. Возьмем систему функций 0S (s = l,2,...,S) от q и р, таких, чтобы определитель

(63)(63)О [&,&] [&,&]…[&,甸△ = 口 2,&]0[02, ^з][^2, ^s]

(63)

(63)

… О

не обращался в слабом смысле в нуль, откуда вытекает, что S должно быть четным. Обозначим через cssf минор элемента [0S, 0S/], деленный на Д, так что

^ss' = —^s's

И

Qs，[°S〉°S〃] = ^s's" •(64)

Используя эти обозначения, можно определить новый тип скобок Пуассона £〃]* двух величин £ и 〃 с помощью формулы

陰用* =陰用+ ERs&sd%,亦(65)

Легко видеть, что новые скобки Пуассона обладают первыми двумя свойствами (40), а после некоторых выкладок можно также убедиться и в том, что они обладают и третьим свойством, т.е. удовлетворяют тождеству Якоби. Для всякого £ имеем

£ &]* = £ &] + £ 匆&抬 〃[&〃, 0s] = £ e$] — £ &也抬=o. (66)

Чтобы понять смысл этих новых скобок Пуассона, возьмем случай, когда в качестве переменных 0 выступают S/ 2 координат q и их сопряженные импульсы р. Видно, что новые скобки получаются в согласии с определением (39), если в сумме по п опустить члены, содержащие производные по этим S переменным дир. Следовательно, новые скобки относятся к системе с N — S/2 степенями свободы. Такие же скобки получатся, если в

качестве переменных 0 рассмотреть не сами q и р, а произвольные независимые функции от этих q и р. В общем случае новые скобки Пуассона тоже относятся к некоторой системе с N — S/2 степенями свободы, но уменьшение числа степеней свободы осуществляется не простым выбрасыванием части q и р〉а более сложным способом.

Предположим теперь, что в качестве 0 выступают все функции связей Q и у (все они должны принадлежать ко второму роду, иначе △ 7 0). Тогда будет [е$, Qq,] у 0 для всех s и ^① откуда

у у д (67)

для всякой функции g от q и р. Итак, новые скобки Пуассона можно использовать для записи гамильтоновых уравнений движения. Таким путем получается новая форма уравнений движения, более простая, так как число степеней свободы уменьшилось.

Все переменные 0 теперь обращаются в нуль в слабом смысле. Если мы будем использовать только новые скобки Пуассона, то без опасности получить противоречие сможем предположить, что каждая переменная 0 обращается в нуль даже в сильном смысле, так как согласно (66) новые скобки 0 с произвольными величинами обращаются в нуль. В таком случае для упрощения гамильтониана мы можем использовать сильное равенство & = 0.

Мы можем взять в качестве 0 совокупность Q^ и у^. В таком случае определитель △ отличен от нуля. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству того, что ранг матрицы (53) равен В и состоит в допущении того, что ранг Т матрицы определителя △ удовлетворяет неравенству Т < S. Тогда, образовав определитель

0

&

0...

[^2, ^т]

,(68)

[0T+L&]

出+1,出] •••

видим, что он

задает

связь Q

или х первого

рода и является линейной

функцией от Q^ и у^, а это противоречит предположению о том, что к

связям первого рода отнесено максимально возможное число связей Q и у.

Этот выбор переменных 0 позволяет добиться наибольшего упрощения уравнений движения, какое только можно получить этим методом. Таким образом, получается теория, в которой все уравнения связей Q^ и у^ являются сильными уравнениями. Использование этих уравнений при необходимости даст возможность полностью исключить некоторые дир.

Квантование. Для квантования динамической системы, которую мы изучали в классической механике, необходимо подобрать систему линейных операторов, соответствующих классическим динамическим переменным q и р и функциям от них. В общем случае не существует операторов, соответствующих классическим переменным и или скоростям, или же произвольному выражению, которое содержит г. Все операторы действуют на векторы Ф гильбертова пространства, задаваемые в некотором представлении волновыми функциями, которые в квантовой теории определяют состояния. Вещественным классическим переменным соответствуют самосопряженные операторы.

Соответствие между линейными операторами и классическими переменными должно быть установлено в согласии с двумя общими принципами. Если использовать одну и ту же букву для обозначения соответствующих друг другу величин, то эти принципы можно сформулировать следующим образом.

Скобкам Пуассона двух классических переменных соответствуют коммутационные соотношения между операторами, что выражается формулой:

соответствует 2тг ——. ih

Слабым уравнениям относительно классических переменных соответствуют линейные условия, которым подчинены векторы Ф, что выражается формулой:

X(q,p) 7 0 соответствует Х^ = 0.

Процесс перехода от классической теории к квантовой плохо определен математически, поскольку каждый раз, как в некотором классическом выражении содержится произведение двух множителей, для которых скобка Пуассона не равна нулю, порядок, в котором эти множители должны появляться в соответствующем квантовом выражении, не определен. На практике, как видно из простых примеров, не составляет никакого труда зафиксировать этот порядок. Однако в более сложных примерах может так случиться, что оказывается невозможным таким образом установить этот порядок, чтобы все квантовые уравнения составляли замкнутую систему, и в таком случае проквантовать теорию нельзя. Все современные методы квантования представляют собой своего рода практические правила, применимость которых в каждом случае определяется лишь критериями простоты.

Чтобы сильно не нарушать замкнутость квантовых уравнений, следует во всяком случае учитывать некоторые общие свойства перехода от классической теории к квантовой.

В классической теории существует некоторое число связей Q (при этом связи х и связи Q считаются равноправными), которые должны переноситься в квантовую теорию в согласии с принципом 2. С помощью преобразования (51) мы можем линейно преобразовать классические связи Q и использовать эти новые связи точно так же, как и старые. Однако, выполняя то же самое преобразование в квантовой теории, мы должны побеспокоиться о том, чтобы все коэффициенты 7 размещались слева от Q. Итак, в квантовой теории общая связь Q есть линейная комбинация заданных связей Q с коэффициентами, расположенными слева.

Из двух квантовых уравнений, получаемых с помощью принципа 2:

出⑺=0,电⑺=0,

можно вывести

^2^1^ = 3^1^2^ = 3

и поэтому, согласно принципу 1,

[Q1, Q2侬=。.

Это соотношение соответствует слабому классическому уравнению

[Qi, Q2] у 0.

Отсюда можно заключить, что для возможности перехода к квантовой механике все связи должны быть первого рода.

Если имеется классическая теория со связями Q и у второго рода, то из нее можно получить квантовую теорию, выполнив сначала преобразование типа описанного в п. 9, которое переводит все уравнения связей Q^ и у^ в сильные уравнения. В квантовой теории последние уравнения отвечают соотношениям между операторами, которые служат для выражения некоторых из них как функций от остальных.

Квантовые уравнения

Q 少=0, х^ = О,

получаемые в результате применения принципа 2 к связям Q и у первого рода, представляют собой волновые уравнения Шредингера [2]. Обыкновенная классическая динамика с единственной связью Q первого рода приводит к одному уравнению Шредингера. В общей теории для каждой степени свободы классического движения имеется свое уравнение Шредингера. В этих уравнениях все операторы соответствуют классическим динамическим переменным, взятым при одном и том же значения г. Операторы, которые относятся к другим значениям г, не принадлежат к той же алгебраической системе, и представляется, что в квантовой механике нет ничего похожего на зависимость г от классических переменных.

Итак, утверждается, что при квантовании уравнения связей Q и у первого рода выступают как равноправные. Квантовая теория не может различать связи Q и у, и это показывает, что она соответствует модифицированной классической теории, которую мы построили в п. 8, чтобы обеспечить выполнение условия интегрируемости в фазовом пространстве. Классическая теория, для которой это условие не выполнено, не имеет аналога в квантовой теории.

Применение к релятивистской механике. В обыкновенной нерелятивистской динамике рассматривается состояние системы в некоторый выделенный момент времени, которое определяется заданием значений дир. При этом составляются уравнения движения, позволяющие находить состояние системы в любой момент времени по состоянию, заданному в начальный момент. Эти уравнения движения, записанные для однородных скоростей и в гамильтоновой форме, требуют наложения всего лишь одной связи Q первого рода.

Для построения динамики, удовлетворяющей требованиям специальной теории относительности, мы должны получить совокупность уравнений, которые могли бы в равной степени использоваться всеми наблюдателями, со всеми возможными скоростями. Если работать с моментами времени, то необходимо также рассмотреть времена, относящиеся ко всем этим наблюдателям. Момент времени в этом случае будет представляться плоской трехмерной поверхностью в пространстве-времени с нормалью, расположенной внутри светового конуса. Такой момент времени описывается четырьмя параметрами: тремя — для фиксации направления нормали или скорости наблюдателя и четвертым параметром, позволяющим одному наблюдателю отличать различные моменты времени.

Релятивистская динамика, рассматривающая такие моменты времени, должна позволять находить состояние системы в любой из этих моментов, если известно состояние в какой-то другой момент. При этом предлагаемые уравнения должны описывать закон изменения динамических переменных

с изменением момента времени. Кроме того, уравнения движения должны быть применимы и в случае произвольного смещения момента времени, выражающегося в переносе поверхности в пространстве-времени и в изменении направления нормали. В результате нам потребуются четыре связи Q первого рода^ чтобы реализовать четыре степени свободы в изменении момента времени.

Четыре параметра, описывающие момент времени, должны рассматриваться как координаты Q, которые, как и другие переменные q и ^, подчиняются уравнениям движения (41) или (57). Они отличаются от других переменных q и 0 в том отношении, что лучше других подходят на роль времени t в уравнениях движения, непосредственно определяющих закон изменения дире изменением момента времени.

Существуют и другие формы релятивистской динамики, не обращающиеся к понятию момента времени: они обсуждались автором в статье, опубликованной в журнале ^Reviews of Modern Physics》(1949. V. 21. P. 392). Например, существует точечная динамика, в которой состояние определяется по отношению к точке в пространстве-времени. Здесь также требуется ввести четыре связи Q первого рода, отвечающие четырем степеням свободы точки. Существует форма, которую можно назвать фронтальной и в которой требуется ввести три связи Q первого рода, соответствующие трем степеням свободы волнового фронта. Наконец, мы можем определить состояние на общей трехмерной пространственноподобной поверхности в пространстве-времени. Это определение требует введения бесконечного числа связей Q первого рода, соответствующих всем деформациям, которым может подвергаться такая поверхность.

Во всех этих формах динамики переменные, описывающие точку, фронт или пространственноподобную поверхность, должны рассматриваться как координаты q и должны подчиняться уравнениям движения (41) или (57), будучи предназначенными исключительно для исполнения роли времени t в уравнениях движения.

Количество связей Q первого рода, указанное выше, представляет собой то минимальное число связей, которое необходимо для построения релятивистской динамики соответствующего типа. Однако могут существовать и другие, дополнительные связи Q. Например, в электродинамике, которая допускает возможность калибровочных преобразований, осуществляемых после фиксации начальных значений q и 0〉с необходимостью должны иметься другие, дополнительные степени свободы, которые порождают новые связи Q первого рода.

Применим эту общую теорию к изучению калибровочных преобразований в электродинамике. Чтобы упростить изложение насколько возможно, рассмотрим только состояния, определенные на плоских поверхностях, т.е. в некоторые моменты времени для заданного наблюдателя. Нетрудно обобщить теорию, включив в нее искривленные поверхности, однако полученные уравнения оказываются более сложными и менее удобными для исследования интересующих нас эффектов.

Поскольку мы выбрали теперь вполне определенную переменную времени G то удобно применить форму теории без однородных скоростей. Тогда гамильтониан будет иметь вид (34). Связь Q или х первого рода должна удовлетворять условию обращения в нуль ее скобки Пуассона с любой функцией Q или у, а также с /3.

Для замкнутости уравнений движения необходимо еще, чтобы связи /3 и Q в (34) также принадлежали к первому роду.

Уравнение движения для некоторой динамической переменной д имеет, согласно (41), следующий вид:

"g = [g〉例"力 + [g〉^m]^m "力.

Переменные и можно выбрать бесконечно большими с тем, чтобы vm dt = dvm не обращалось в нуль при dt = 0. Таким образом, мы заключаем, что возможно существование изменения динамических переменных, определяемого уравнением

"д = [d ^m] ^m,(69)

при произвольном dvm^ которое не сопровождается соответствующим изменением времени t. Наши привычные представления о механике, согласно которым динамическая координата или скорость в заданный момент времени всегда имеет вполне определенное значение, должны быть изменены. Эти величины оказываются неопределенными, заданными с точностью до результатов преобразований (69).

Электромагнитное поле в вакууме . Применим развитую общую теорию к электродинамике. Рассмотрим сначала свободное электромагнитное поле в вакууме, взяв функцию Лагранжа

Импульсы 8从)сопряженные с динамическими координатами А^, имеют вид

々я).(70)

Фундаментальные скобки Пуассона выглядят так:

I [4从,8力=9^S3(x -力

где введены обозначения:

4从=4从(力1,力2,力3),4^ = 4从力1,力2,)3),

庐(力-力‘)=“力1 - *)8(力2 -力6州(力3 — 必).

Согласно (70), имеем

Во * 0.(72)

Это уравнение не содержит скоростей А^ и поэтому определяет связь Q.

Уравнения поля, которые теперь следует записывать как слабые уравнения, имеют вид

“ у 0.(73)

Полагая 从=0〉находим

FqZ ^ 0 (г = 1,2,3)

и, следовательно,

BJ 7 0.(74)

Это уравнение также не содержит скоростей и поэтому определяет связь у. Нетрудно видеть, что уравнения (72) и (74) представляют собой все уравнения связей Q и у, содержащиеся в теории.

Функция Гамильтона имеет вид

Н = J (В^ + : F^F^ #力.(75)

Если мы исключим из этого выражения скорости с помощью уравнений (70), полагая Bq ~ 0 и Аго 弋 4丁0 — Вг, то получим функцию /3, которая в слабом смысле равна Н. Таким образом, имеем

(76)(77)(76)(77)/3 = Д| FrsFrs - I BrBr + Br^ /力.

(76)

(77)

(76)

(77)

Используя (71), находим

[Во,区]=0, [8八禺]=0, [Brr^BssY] = о,[BQ^] = Brr^0, [B/,/3] = o.

Поэтому функции /3, Bq и Вгг принадлежат к первому роду.

Согласно общей теории, мы знаем, что гамильтониан Н должен иметь вид

Н = В — J и80 dз力，(78)

где V является функцией параметров 力^ 力2〉力з・ Интересно проверить, можно ли вывести (78) непосредственно из определения(75) гамильтониана Н. Так как уравнение (78) является сильным, то при его выводе необходимо будет использовать только сильные уравнения. Слабое уравнение (70) дает нам сильное уравнение

(8『 — /)(8『 —尸°) = 0.

Таким образом, имеем

Н = J[В^ + : F^ - I (Вг - Fr^{Br -尸°)}产力=

=/^B^ + : FrsFrs - I BrBr + BrFr^ d3x = ^ + / B^ #力，(79)

где В определяется выражением (76). В результате получается желаемое выражение (78), в котором и = А00.

Уравнения движения не определяют указанного значения v. Мы видим, что согласно (71) гамильтоново уравнение движения

才О=因。,例 + / 囲0,足](4。0)％3"

удовлетворяется тождественно при любом 4°°. Таким образом, когда заданы все начальные условия, включая начальные значения 4°(力 1,力2,力з)〉 изменение 4° остается произвольным.

Можно даже считать, что А0 может изменяться без сопутствующего изменения времени. Используя уравнение (69) общей теории, получаем изменение динамических переменных

(80)(80)dg= v[g,B^ d3x,

(80)

(80)

которое может осуществляться без изменения времени в общем решении уравнений движения. Это изменение задает неопределенное изменение А0, не сопровождающееся каким-либо изменением других динамических переменных. Таким образом, начальные условия, которые являются необходимыми для определения какого-либо решения уравнений движения, не должны включать начальных значений 4°.

Неопределенное изменение 4° существует благодаря калибровочным преобразованиям. Калибровочное преобразование, которое не меняет начальных условий, имеет вид (6), где в начальный момент функция S обращается в нуль. Оно не меняет начальных значений Аг, но меняет начальные значения 4° и значения А^ в другие моменты времени. Таким образом, калибровочное преобразование обеспечивает в точности ту же самую свободу, которая вытекает из гамильтониана (78).

Уравнения движения, которые выводятся с помощью функции Гамильтона (79), не удовлетворяют условиям интегрируемости в фазовом пространстве, поскольку, как это можно видеть из уравнений (77)〉условие принадлежности функций Bq и /3 к первому роду выполняется только при учете уравнений (74), относящихся к связям у. Чтобы обеспечить выполнение этого условия интегрируемости (а это необходимо для того, чтобы квантование было возможным), нужно рассматривать связи у, относящиеся к первому роду, как дополнительные связи Q первого рода и добавить их к гамильтониану с неопределенными коэффициентами (力i,力2,力з)・ Таким образом, вместо (78) мы получаем гамильтониан

8 = 0 + у vBQ d3x + /产力.(81)

Влияние дополнительного члена в If на уравнения движения состоит в том, что в общем решении динамические переменные могут испытывать дополнительное изменение (80), никак не связанное с изменением времени:

dg = J^ v[g^ Bq] d3x + / v~[g^ Brr] d3x.

Таким образом,

dAs = / 广[4* (8J)[ #力=―广t

Такое изменение As приводит к неопределенному изменению Assне влияющему на

pTS — 4sT _ 4Ts

Теперь мы получили такое изменение потенциалов А^, которое соответствует общему калибровочному преобразованию, и это может объяснить, почему гамильтониан (78) не был удовлетворительным с физической точки зрения. Причина кроется в том, что он приводил к уравнениям движения, допускающим только те калибровочные преобразования, для которых

функция S исчезала в начальный момент времени. Мы избавляемся от этого ограничения на S)обобщая гамильтониан и придав ему новую форму (81). Гамильтониан (81) можно упростить. В самом деле, мы можем записать его в виде

8 = /{:片sL$ - I BrBr - Brr^ d3x + / ибо Sx + / 广8J Sx =

=/｛部产=/｛部产I BrBrj d3x + / vBQ d3x + / 万8J d3x, (82)

=/｛部产

=/｛部产

введя новый неопределенный коэффициент 万.Динамические переменные 4° больше не появляются в (82), а их сопряженные переменные Bq входят только в член / и80 d?力)который приводит к неопределенным изменениям 4° и никак не влияет на другие динамические переменные. Таким образом, мы можем полностью пренебречь динамическими переменными А0 и Bq и записать гамильтониан в форме

h = /{部产h = /{部产(83)(83)

h = /{部产

h = /{部产

(83)

(83)

никак не модифицировав уравнений движения. Переменные 4° и Bq больше не имеют физического значения.

Электромагнитное поле, взаимодействующее с полем Паули—Вайскопфа. После квантования поле Паули-Вайскопфа описывает заряженные бесспиновые частицы, удовлетворяющие статистике Бозе. Возможно, что такие частицы существуют в природе в виде мезонов. Эти частицы относятся к наиболее простым заряженным частицам, и именно по этой причине мы с их помощью начнем изучать взаимодействие частиц с электромагнитным полем.

Поле Паули-Вайскопфа описывается полевой переменной ^, являющейся комплексным скаляром. Обозначим через ⑺ поле, комплексно сопряженное к ⑺.Плотность действия для этого поля, взаимодействующего с электромагнитным полем, имеет вид

必=(九-在4从@)®"+在4"明-m2迹0 - : F^F^, (84) где параметры вит после квантования будут описывать заряд и массу соответствующих частиц.

Варьируя в функции Лагранжа скорости ⑺。)^0, А^находим

ЬЕ = /{(@о -在4()@州少 + ®о + ieAQ^3^Q + F^8A^} d3x. (85)

Величины х〉%, 8从〉которые сопряжены с динамическими координатами ^, ^, А^, в слабом смысле равны коэффициентам при 5^°, 5^°, 8А^\

х7叭)一在4)我 又 7次)+在4)次 8从7巧0.(86)

У нас опять имеется связь типа Q: Bq 0.

Полагая в уравнениях поля (10) V = А^, выводим

及/ 7 在{(必-ieA^)-"以 + ieA^)}.

Положив здесь 从=0〉найдем

(87)(87)+ 在(х少-中X)7 0.

(87)

(87)

Это уравнение не содержит скоростей и поэтому представляет собой связь х〉обобщающую уравнение (74). Легко убедиться, что связи Q и у относятся к первому роду.

Гамильтониан имеет вид

я = я1 + я2,

где Hi есть гамильтониан электромагнитного поля в вакууме, задаваемый выражениями (75) или же (78) и (76) , а часть % задается как

% = /{х^о + Х^о - (@从-在4从#)侬"+ ieA^^) + m2^} #力.(88)

Можно следующим образом привести гамильтониан к форме (78), в которой новая функция /3 не содержит скоростей. При этом мы должны использовать только сильные уравнения. Именно, используя (86), имеем

(中0 -在4)中-Х)(次)+ ieA^ 一 х) = о.

Добавляя эту величину к выражению (88) для части гамильтониана Н?) находим

я2 = У{хх -(必-ieAr^)(^r + геАг^) + m2狐 + ieA^x - 丫0)} d3x.

(89) Это выражение для % имеет уже желаемый вид, так как не содержит скоростей. При этом % по-прежнему определяется формулой (79). Таким образом, Н имеет форму (78), в которой к функции /3 добавлено выражение (89) для 丛.

Чтобы уравнения движения удовлетворяли условию интегрируемости в фазовом пространстве, необходимо вновь рассматривать связи х как связи Q первого рода и добавить их к If с неопределенными коэффициентами. Итак, следует добавить к Н член

(90)(90)v~{Brr + 在(Y0 - @Х)} d3x.

(90)

(90)

Таким образом, мы получаем гамильтониан, который приводит к уравнениям движения, допускающим калибровочные преобразования общего вида.

Члены гамильтониана Н)содержащие А0, имеют вид

-X* + 8T4°'}产力=/ А0{ге(^х - х* - Вг} #力.

Эти члены могут входить в выражение (90) с некоторым новым коэффициентом V. Таким образом, переменные 4° исчезают из На переменные Bq содержатся только в члене / vBq d?力)порождающем неопределенные изменения в 4°. Мы можем вновь пренебречь переменными А0 и Bq и работать

с гамильтонианом

Н = l{lFrsFrs-^BrBr + xx~^rН = l{lFrsFrs-^BrBr + xx~^r+ 在(Y0 - @Х)}с?з力.+ 在(Y0 - @Х)}с?з力.(91)(91)

Н = l{lFrsFrs-^BrBr + xx~^r

Н = l{lFrsFrs-^BrBr + xx~^r

+ 在(Y0 - @Х)}с?з力.

+ 在(Y0 - @Х)}с?з力.

(91)

(91)

В рассматриваемом движении опять имеется неопределенность, вызванная произвольным коэффициентом v в Н. Эту неопределенность можно устранить, введя в теорию дополнительные условия. Эти условия будут задаваться слабыми уравнениями, которые можно рассматривать как дополнительные связи Q, и они должны быть такими, чтобы все связи (87) превратились в связи второго рода, а выражение (91) для Н принадлежало бы при подходящем выборе коэффициентов 万 к функциям, задающим связи первого рода. Разумеется, существует много разных вариантов выбора дополнительных условий. Мы рассмотрим два интересных примера.

Прежде всего мы можем принять следующие дополнительные условия:

А/ 7 0.(92)

Если разложить потенциалы Аг в ряд Фурье, то можно разделить Аг на продольную и поперечную части. Уравнение (92) выражает тот факт, что продольная часть Аг обращается в нуль. При помощи уравнений (92) и (87) можно исключить динамические координаты, относящиеся к продольной части Аг^ и сопряженные к ним переменные. Таким образом, мы добиваемся исключения продольных электромагнитных волн, что и осуществил Ферми в своем варианте квантовой электродинамики.

С помощью наших общих методов можно, без разложения электромагнитного поля в ряд Фурье, построить теорию, эквивалентную схеме с указанным исключением продольных волн. Совершим преобразование скобок Пуассона по методу п. 9, взяв в качестве переменных 0 левые части в уравнениях (87) и (92). Таким образом, у нас будут две переменные 0 для каждого значения 力 ^ 力2〉力з：

& = 8J + ге(у^ —中 X),& = 4。(93)

Каждый из коэффициентов с п. 9 относится к двум переменным 仇 и их следует писать как

Cn(W), 012(力力‘)，C21(W),022(力力‘)，

где 力 и 力'означают соответственно 力i)力2〉力з и 力;)力$)力!. Эти коэффициенты должны удовлетворять условиям (64) п. 9, имеющим вид

/{Q1 (力力‘)[&,%] +。21(力力)[&,%‘]}/力=庐① _ 力〃}

/{c^xx,^x.o'^] +。22(力力‘)[出,%1}酒力=0,

К3(94)

/ {Q1(力應 +。21(力力‘)[出,削}酒力=0,

В результате имеем

'[&,弘]=0, [&,的=О,

俐=-[%%]=[8二(4»]=

=~9rs 豆騎7 庐(力-B) = —X72b3(力 _ В).

Подставляя эти значения в формулы (74), находим Cn(W) =c22(力力‘)=0,

Q2(力力')=-с^хх1) = — |ж -力\

где \х — xf\ означает расстояние между точками 力，力2〉力з и 力;)力$)力!. Новые скобки Пуассона имеют вид

£用* = e用+青少 {£&]解，用一£出]必用}I力-力1-1/力酒".(96)

Следовательно,

‘8寸* = grs^x 一 ")—丄 0

47r dxrdxs \x — x'\

< A 言 尼(97)

47r oxs \x — x'\

[认gs]* =竺砂m

、47r dxs \x — x'\

Те из основных скобок Пуассона, которые не зависят от выписанных в результате данного преобразования, не изменяются.

С помощью новых скобок Пуассона можно превратить уравнения (87) и (92) в сильные уравнения. Таким образом, второе слагаемое в выражении (91) для Н исчезает. Мы получаем такую форму теории, в которой кулоново поле проявляется в уравнениях в виде изменения скобок Пуассона.

Вместо дополнительных условий (92) можно выбрать условия

⑺—⑦ 7 0,(98)

с тем, чтобы переменную ⑺ считать вещественной. Можно еще раз выполнить преобразование скобок Пуассона, взяв в качестве переменных 0 левые части уравнений (87) и (98). Однако проще сначала перейти от динамических переменных ^ и ^ к вещественным переменным 7? и 7, определяемым соотношением

⑺.(99)

Переменные Р и р, сопряженные с 7? и 7, удовлетворяют условиям

Р dR + pd^ = xd^ + xd^ = X(dR — Ri d^e~11 + x(dR + №d))e7

откудаоткуда

откуда

откуда

(ЮО)(ЮО)P = "T)+ Xe7

(ЮО)

(ЮО)

О = -iRxe~^ + iRxe^ = -г(у^ —又仍•

С переходом к новым переменным уравнения (87) и (98) принимают вид

В/ - ер 0,(101)

7^0.(102)

С помощью этих уравнений можно полностью исключить из теории сопряженные переменные 7 и р. С учетом формул (99) и (100) гамильтониан (91) принимает вид

Н = [{|Fr5F--|B； + |(F2 + 片五-2)_

-[Rr -分冗(方-б4)][皮-iRB - еУГ)] + n?R2} ^х + /万(gj -叩)^x ==/ {|f^5-|b; + |f2 + | 2r一2(8J)2一

—RrTC — e2R2ArAr + rn^R2^ d3x + / viyd3x + / ^(BJ - ep) #% (103)

где vi и V2 — некоторые коэффициенты. Мы должны так выбрать %、чтобы условие (102) всегда выполнялось. Отсюда следует, что。2 弋 0, и поэтому последний член в выражении (103) обращается в нуль в сильном смысле. Предпоследний же член в выражении (103) проявляется в уравнениях движения только в том, что приводит к таким изменениям переменной р, чтобы всегда выполнялось условие (101). Поэтому этим членом можно пренебречь, когда переменные 7 и р будут устранены. Таким образом, окончательно гамильтониан принимает вид

Н = I \^FrsFrs - I В； + J F2 + J 27r2目)2 _

-R国-窿碎47r +皿2a2}产力.(104)

Итак, мы получили новую форму теории взаимодействия поля Паули- Вайскопфа с электромагнитным полем, в которой поле Паули-Вайскопфа описывается вещественной функцией R. Эта форма замечательна тем, что гамильтониан содержит член, пропорциональный е-2, который не уменьшается при убывании электрического заряда е. Следовательно, обычная теория возмущений, использующая разложения в ряды по положительным степеням е, в ней больше не применима.

Конечно, в классической механике новая форма теории эквивалентна обычной, так как приводит к тем же самым уравнениям движения. После квантования эквивалентность двух форм теории уже не очевидна, так как упорядоченность сомножителей в Н может стать препятствием для перехода от одной формы к другой.

Электромагнитное поле во взаимодействии с электронами, наделенными спином [3]. Рассмотрим поле, описываемое функцией ⑺ с четырьмя комплексными компонентами, взяв в качестве плотности действия

必=Rej^GV^ + 64°^) + ^ar(t^r + ^厶丁少)+ m&m% — | F^F"工(105)

где Re означает «вещественная часть от», а а суть матрицы 4x4, описывающие спин электрона. Матрицы а умножаются слева на ^, а справа на ^ в соответствии с правилом матричного умножения. Поэтому порядок сомножителей ^, а и ^ в (105) оказывается важным. С помощью этой плотности действия составим гамильтониан. Квантование этого гамильтониана на основе применения к полям ⑺ и их сопряженным антикоммутационных соотношений вместо коммутационных даст нам теорию электромагнитного поля, взаимодействующего с электронами, наделенными спином.

Варьируя скорости ⑺。，吵°, А^ в функции Лагранжа, находим

SL = У{Re^5^° + F^8A^} Sx = ^|| #5< + ^0 + ^0^°} d3x.

(106) Переменные у, у, 8从)сопряженные с динамическими координатами ^, ^, 4匕 совпадают в слабом смысле с коэффициентами при 5^°, 5^°, 8А^и поэтому

(107)

8从 р Fg・(108)

Разумеется, х имеет четыре компоненты, которые соответствуют четырем компонентам функции 认 Уравнения (107) не содержат скоростей и поэтому принадлежат к уравнениям связи типа Q.

Из (108) видно, что имеется еще одно уравнение связи типа Q:

Во у 0,(109)

так как оно тоже не содержит скоростей.

Полагая в уравнениях поля (10) V = 4°, найдем

Поэтому имеем

8J + е逐0 7 0.(ПО)

Это уравнение не содержит скоростей и поэтому представляет собой уравнение связи типа х・ Легко видеть, что связи (109) и (110) относятся к первому роду. Напротив, связи (107) относятся ко второму роду, так как скобка Пуассона какой-либо составляющей х —；吵 с соответствующей составляющей х + 吵 не обращается в нуль.

Гамильтониан есть Н = Н± + 办〉где Н] совпадает с гамильтонианом собственно электромагнитного поля, задаваемым выражениями (78) и (76), а % имеет вид

»2 = /{х^0 + Х^0 — Re^f^0 + еА。^ + %(泌『+ eN* + тат^ф]} d3x.

(Ш) Из этого выражения необходимо, используя только сильные уравнения, исключить скорости.

Полагая в уравнениях поля (10) V равным одной из составляющих ^, получаем слабое уравнение

—I 讪口 — I iar^r 弋 I 分矽。+ е4°@ — I iar^r + ^^丁厶丁⑺ + ma^^ которое сводится к следующему:

汕0 + 8屋⑺-ar{i^r + 84t⑺)+7 0.(112)

Таким образом, с учетом первого из слабых уравнений (107) мы получаем сильное уравнение:

⑵ X + ^}{i^ + ^屋⑺—ar(i^r + ^厶丁⑺)+ mam^} = 0.(113)

Складывая вещественную часть левой части уравнения (113) с выражением (111) для Н?、найдем, что получившееся выражение

Н? = j Re 分^{еа^ ++ mam^} d3x (114)

не содержит скоростей.

Прежде, чем можно было бы проквантовать эту теорию, необходимо избавиться от связей Q второго рода. С этой целью выполним преобразование скобок Пуассона в духе п. 9, взяв следующие переменные в:

&а = Ха - I °, &а = Ха — } 〃^а 弋 0,(П5)

где индекс а относится к четырем компонентам ⑺ или у. Эти переменные 0 имеют следующие скобки Пуассона:

[&е %" = 0, [6>2а, 02b] = 0,阴①役匕]=—分^匕歩(力-力').(П6)

Каждый из коэффициентов с относится к двум переменным 仇 и поэтому их следует записывать в виде

Clalb(xxf\ Qa2bO"), C2albO"), 02a2b(力力')•

Они удовлетворяют уравнениям (94), в которых индексы а,仇…расставлены там, где это необходимо. Легко найти, что

Qalb(力力)=°〉。2a2b(力力)=°〉

Qa2b(力力)=一c251a(XX )=分“1Ь8(力一力).

Таким образом, новые скобки Пуассона имеют вид

后用* = 后用一分 e /{е&ап&a,用一£&а][&a,用}/力， n

и поэтому

(П7)(П7)[恥，噸厂=0, [Фа^ьГ = 0,、[%,弘]* = -iSabS3(x -力).

(П7)

(П7)

Если работать с новыми скобками Пуассона, то можно рассматривать уравнения (107) как сильные. С помощью сильных уравнений можно исключить из теории переменные у и у, и в результате выражение (114) принимает вид

Н? = У — Re ^{аА^^ + ar (i^r + е^^} + тат^} d3x. (118)

Теперь фундаментальными скобками Пуассона, которые необходимы, остаются только скобки (117) и скобки для переменных электромагнитного поля.

Чтобы уравнения движения удовлетворяли условию интегрируемости в фазовом пространстве и чтобы они допускали общие калибровочные преобразования, необходимо рассматривать уравнение связи (110) как связь Q первого рода. Поэтому следует добавить к гамильтониану член

/ v~(Brr — е^) d3x (119)

с некоторым неопределенным коэффициентом и~. Члены в гамильтониане 瓦 содержащие переменные А0, таковы:

/{-^еА> - ВМ°3 d3x = - I А°(е^ - 8J)酒力.

Эти члены могут быть включены в выражение (119) с помощью нового коэффициента 万.В результате переменные 4° из Н исчезают, а переменные 8° сохраняются только в члене / vBq d^力,который приводит к неопределенным изменениям в 4°. Поэтому можно вновь пренебречь переменными А0 и Bq, и гамильтониан принимает вид

ВГВГ — Re 帆％ (泌丁 + + mam^] | d3x +

+ / v(Brr — e^) d3x. (120)

Как и в случае поля Паули-Вайскопфа, в движении всегда имеется неопределенность, обусловленная неопределенным коэффициентом 行 в Н, и мы можем исключить ее, введя дополнительные уравнения. Мы сможем вновь наложить дополнительные условия (92) и использовать их для исключения продольных электромагнитных волн.

Имеются ли другие дополнительные условия, которые соответствуют условиям (98) или (102) в случае поля Паули-Вайскопфа? Разумеется, в подобном условии не должно наблюдаться какого-либо нарушения симметрии между четырьмя составляющими ^, и поэтому не так-то легко найти комплексную функцию, которая могла бы заменить единственную функцию ⑺ в условии (98). Из четырех составляющих ⑺ невозможно построить комплексную функцию, которая была бы инвариантной относительно преобразований Лоренца, но можно построить функцию, являющуюся временной составляющей четырехмерного вектора. Эту функцию можно использовать в данной теории без противоречий с теорией относительности, так как ось 力° определяется трехмерными поверхностями, на которых заданы наши состояния.

10 П. Дирак. Т. III

В этом месте удобно воспользоваться спинорными обозначениями. Четыре составляющие ⑺ эквивалентны двум спинорам, один из которых имеет составляющие 耽〉耽〉а другой — составляющие 妈，妈.Искомой функцией, совпадающей с временной составляющей четырехмерного вектора, является

z =如肌+耽妈.(121)

Поэтому в качестве дополнительного условия, заменяющего условие (98), можно взять

z-(122)

В результате мы найдем новую форму гамильтониана, задающего взаимодействие электромагнитного поля с электронами.

Следует изучить самые разные формы теории, чтобы выяснить, имеют ли некоторые из них какие-либо преимущества при обсуждении проблемы расходимостей. В классической теории все эти формы эквивалентны, но после квантования в их эквивалентности больше нет уверенности, так как могут появиться различия в выражениях, содержащие в качестве множителя h.

22

ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА В ПОЛЕВОЙ ДИНАМИКЕ)

Тензор энергии-импульса не полностью определяется обычно накладываемыми на него условиями. Однако если рассмотреть гамильтонову формулировку полевых уравнений на произвольных пространственноподобных поверхностях в пространстве-времени, то можно связать плотность гамильтониана (при условии, что она удовлетворяет определенным условиям независимости от кривизны) с тензором энергии-импульса, тем самым полностью зафиксировав последний. И обратно, если гамильтонова формулировка задана только на плоских поверхностях и, кроме того, задан тензор энергии-импульса, то можно использовать его для получения гамильтоновой формулировки на произвольных поверхностях, при условии, что скобки Пуассона для компонент тензора энергии-импульса удовлетворяют определенным условиям, эквивалентным независимости от кривизны.

Введение

Для замкнутой динамической системы полные энергия и импульс являются хорошо определенными понятиями и образуют в релятивистской теории 4-вектор Р“(卩=0,1, 2, 3) [1]. В полевой динамике можно локализовать энергию и импульс, введя в каждой точке в некоторый момент времени плотность энергии-импульса, обозначаемую Tg так что

% = / Т^ dxidx2 dx3.(i)

Из законов сохранения энергии и импульса вытекает требование dP从/ dx()= О,

откуда следует, что ЗТ^о/З力о должно быть равно трехмерной дивергенции —дТ^г/дхг (г = 1, 2, 3). Отсюда

дТ^/дх, = 0.(ii)

Введенные таким образом величины 几丁 совместно с 几。образуют тензор второго ранга Т^ называемый тензором энергии-импульса.

Другим хорошо определенным понятием является полный момент импульса. В релятивистской теории он образует три компоненты 6-вектора М^у = — А/^, три другие компоненты которого связаны с лоренцевыми преобразованиями. Этот 6-вектор выражается через плотность энергии- импульса Т図 формулой

71厶心=/ [хрТу^ — ХуТ^(^ d力]d力2 d力з,(iii)

которая показывает, каким образом М^ строится из локализованных величин.

Закон сохранения момента импульса — это часть закона сохранения тензора М^^ который требует, чтобы dM^/dx^ = 0. С помощью (iii) и (ii) отсюда получаем, что

Т^у =貝从. (iv)

Четыре условия (i)-(iv) являются фундаментальными условиями, которым обязан подчиняться тензор энергии-импульса. Однако их недостаточно для того, чтобы определить этот тензор полностью. Условие (i) определяет Tg с точностью до произвольной трехмерной дивергенции, а остальные условия не полностью ликвидируют такой произвол. Это можно видеть, заметив, что, не нарушив ни одного из указанных условий, к Т^ можно добавить величину

= ^Sfdx^d^ - ^ д231дхадха

с произвольной скалярной функцией S.

Таким образом, чтобы зафиксировать Т^^ нужно какое-то дополнительное условие. Обычно для получения полевых уравнений используется принцип наименьшего действия. В этом случае можно простым образом определить 几^ через лагранжиан 必 и его частные производные по полевым переменным, удовлетворив при этом всем четырем условиям (см. Belinfante F.J. // Physica. 1939. V. 6. Р. 887). В таком подходе определение 4^ завершается после добавления требования простоты.

Розенфельд усовершенствовал эту процедуру (Rosenfeld L. // Mem. Acad. Roy. Belg. 1940. V. 18, fasc. 6). Он рассмотрел произвольное гравитационное поле и определил 几^ = д^/дд^у в рамках подходящего вариационного процесса, приводящего к определенному, не зависящему от любых предположений о простоте, тензору энергии-импульса. Однако в атомной физике гравитационное поле не представляет интереса, так что метод Розенфельда вносит ненужные усложнения и в целом неудобен.

В атомной физике важнейшими понятиями являются гамильтониан и соотношения между полевыми величинами в виде скобок Пуассона. Настоящая работа посвящена установлению связи тензора энергии-импульса с этими понятиями, завершающей его определение.

В гамильтоновом подходе к уравнениям движения рассматривается состояние в определенный момент времени и обсуждается изменение этого состояния с течением времени. С целью сделать рассмотрение релятивистским, необходимо иметь дело с состояниями в определенный момент времени относительно произвольного наблюдателя. Такое состояние должно изображаться заданием физических условий на плоской трехмерной «поверхности» в четырехмерном пространстве-времени. Подходит любая плоская поверхность, нормаль к которой лежит внутри светового конуса. Гамильтоновы уравнения движения должны устанавливать, как изменяются физические условия при любом малом движении поверхности, будь то параллельный перенос или вращение.

Ограничение плоскими поверхностями представляется теперь нежелательным, так как оно не позволяет осуществлять малое изменение направления нормали к поверхности без большого сдвига поверхности на больших

расстояниях. В результате это приводит к нефизической теории, поскольку влияние условий на больших расстояниях слишком важно.

В результате мы приходим к необходимости расширения гамильтоновой формулировки, чтобы иметь дело с состояниями на произвольных искривленных трехмерных пространственноподобных поверхностях (условие пространственноподобности означает, что нормаль всегда находится внутри светового конуса). Такая произвольная поверхность определяется заданием четырех координат у^ любой точки на ней как функций трех параметров иг. Функции у開(и) могут быть произвольными функциями U) подчиняющимися условию, что в каждой точке и существует лежащая внутри светового конуса единичная нормаль l^u).

Условия (i) и (iii) сформулированы на плоской поверхности 力° = const и должны быть теперь обобщены на случай произвольной кривой поверхности. Они принимают вид

« = / T^d\ (ia) = /(у从 Ко — у^Т^с)尸 F d% (iiia)

где Г таково, что Г Ей является элементом объема. В такой форме эти условия релятивистские. Величина 几^广F является здесь плотностью энергии-импульса на поверхности, причем слово «плотность» относится к единичной вариации параметров и. Плотность энергии на поверхности равна теперь Т^1^1УГ.

Имея дело с произвольными поверхностями в рамках гамильтонова подхода, мы требуем, чтобы гамильтониан порождал изменение физических условий, возникающее за счет любой малой деформации поверхности. Если деформация локальна, гамильтониан должен также быть локальным, так что существует плотность гамильтониана. Учитывая общую связь гамильтониана с энергией, мы вынуждены предположить, что плотность гамильтониана равна плотности энергии T^l^l^V.

Главной целью данной работы является проверка этого предположения. Мы увидим, что оно приемлемо, если только плотность гамильтониана удовлетворяет определенному условию независимости от кривизны поверхности и ее параметризации. Тогда гамильтонов формализм фиксирует одну из компонент 几^)что в релятивистской теории достаточно для фиксации всех компонент.

Сдвиги и вращения

Для рассмотрения произвольных пространственноподобных поверхностей используем методы, описанные в предыдущей работе (Dirac Р.А.М. // Can. J. Math. 1951. V. 3. Р. 1), немного изменив обозначения.

Физические условия на поверхности будут описываться некоторыми базисными динамическими переменными, являющимися функциями параметра и. Назовем их ^-переменными. В любой гамильтоновой теории между этими переменными существуют определенные соотношения в форме скобок Пуассона (СП).

Величины g从)фиксирующие поверхность, рассматриваются как дополнительные динамические переменные. Их СП с р-переменными и друг с другом равны нулю. Теперь необходимо ввести канонически сопряженные к у^ динамические переменные w^, удовлетворяющие условиям, что их СП с р-переменными и друг с другом равны нулю, и, кроме того,

［小此］=8. ⑴

Здесь В — сокращенное обозначение трехмерной J-функции 8(“ 一 “').

Полный набор базисных динамических переменных состоит теперь из р-переменных, ynw. Любая возникающая в теории динамическая переменная должна быть функцией этих базисных переменных и их производных по и.

Произвольное движение поверхности и параметризация получаются, если придать величинам dy^/dr = у^ произвольные значения. Описывающие такое изменение гамильтоновы уравнения движения для любой динамической переменной £ имеют вид

d^dr=［^H］, (2)

где

8 = /応小(3) и 光у — заданная функция динамических переменных, слабо равная нулю:

Х-0.(4)

Условие слабого равенства нулю означает, что уравнение можно использовать только после того, как уже вычислены все СП. Из уравнений (2), (3) и (4) имеем

df/dT7 / 北(5)

Полагая £ = Н“)получаем условие согласованности

［財，盟］7 0.⑹

Полагая £ = у^ видим, что

［加盟］=8.⑺

Сравнивая с формулой (1), получаем

Ж/ = + 儿,(8)

где СП В” с у^ равна нулю, т.е.丸 есть функция только у и р-переменных и их производных по всем и.

Теперь видно, что условие (6) может быть усилено до условия

［^,＜］ = 0,⑼

поскольку из формулы (8) следует, что левая часть должна быть не зависящей от w, а единственными объектами в теории, которые равны нулю не строго, а в слабом смысле, являются линейные функции Н)которые должны включать w.

Сдвинем всю поверхность на малый вектор а从 в пространстве-времени, сохраняя при этом неизменными параметризацию и физические условия на поверхности. Это приводит к тому, что р-переменные не изменяются, а переменные у^ сдвигаются на постоянные величины а从.Предположим, что переменные w также не изменяются. Тогда изменения, произошедшие во всех динамических переменных описываются инфинитезимальным контактным преобразованием

(10)(10)Генератор этого преобразования

(10)

(10)

является оператором смещения поверхности для сдвига а从.

Оператор

а从/ 財 #г/(11)

генерирует инфинитезимальное контактное преобразование, в котором вся поверхность смещается на а从)а р-переменные остаются неизменными в соответствии с тем, что уравнения движения отвечают фиксированному физическому состоянию движения. Поэтому разность выражений (11) и (10) или

%歩/(12)

генерирует инфинитезимальное контактное преобразование, в котором поверхность не изменяется, а р-переменные изменяются так, чтобы соответствовать смещенному на —а从 физическому состоянию движения. На основании общей динамической теории, связывающей сдвиг с энергией и импульсом, выражение (12) должно быть равно а^Р^^ так что

口 = /(13)

Эти соотношения станут более понятными, если сравнить их с аналогичными выражениями в нерелятивистской динамике частиц. В этом случае имеется функция Гамильтона H(q^p)^ порождающая уравнения движения для динамических переменных дир. Время t можно считать дополнительной динамической координатой и ввести сопряженный ей импульс W)после чего оператор F = Н + w порождает уравнения движения для всех переменных. Теперь видно, что слабо равный нулю оператор F — это аналог / 陷'd^uf, w ——аналог / Wq Su! и Я — аналог / 闻/J.

Соответствующие соотношения связывают вращения с моментом импульса. Для обсуждения вращений удобно выбрать р-переменные так, чтобы не привязываться к направлениям осей х/ на какие бы направления эти оси не указывали, это должны быть направления по нормали к поверхности и к “-осям на ней. Такие р-переменные всегда можно выбрать. Тогда любая не зависящая от w динамическая переменная может содержать индекс 从 только за счет зависимости от у^ или каких-то производных g从 по и.

Если теперь совершить малое вращение всей поверхности в четырех измерениях вокруг начала координат 力从=0, сохранив физические условия на поверхности неизменными относительно самой поверхности, то изменение всех динамических переменных дается инфинитезимальным контактным преобразованием

где т^ = —т^ — определяющий вращение малый 6-вектор. Генерирующий преобразование оператор

I / (眩M-或%)d3“/I / (眩M-或%)d3“/(14)(14)

I / (眩M-或%)d3“/

I / (眩M-或%)d3“/

(14)

(14)

—это оператор вращения поверхности.

Оператор

I М /〃М -认財)"3“/(15)

генерирует то же самое вращение поверхности одновременно с изменением р переменных, которое необходимо для сохранения фиксированного физического состояния движения. Разность выражений (15) и (14), или

(16)(16)

(16)

(16)

не генерирует никаких изменений поверхности, но приводит к изменению физических условий на ней, соответствующих применению операции малого вращения —т^ к состоянию движения. С учетом общей связи вра

щений и момента импульса, выщений и момента импульса, выОтсюдаОтсюда以" = /(眩g一%% d3uf.以" = /(眩g一%% d3uf.(17)(17)ражение (16) должно равняться | т^М^.

щений и момента импульса, вы

щений и момента импульса, вы

Отсюда

Отсюда

以" = /(眩g一%% d3uf.

以" = /(眩g一%% d3uf.

(17)

(17)

Свойства инвариантности динамических переменных

Рассмотрим ряд свойств инвариантности, которыми может обладать динамическая переменная & находящаяся в данной точке и на поверхности.

Возможен случай, когда на £ не влияет никакое изменение параметризации поверхности в окрестности точки “〉не включающее сдвиг самой точки и. В таком случае £ называется и-скаляром. Было получено математическое условие этого (Can. J. Math. 1951. V. 3. Р. 10, где использовалось обозначение g вместо Н))имеющее вид

(18)

Если £〉деленное на Г, есть “-скаляр〉то £ называется “-скалярной плотностью. В этом случае математическое условие таково:

£赞/[= (&)『.£赞/[= (&)『.(19)(19)

£赞/[= (&)『.

£赞/[= (&)『.

(19)

(19)

Динамическая переменная £ может быть не зависящей от поверхности^ т.е. не меняющейся при любой деформации поверхности, при которой точка и остается неподвижной. Условие независимости от поверхности сильнее условия, что £ является а-скаляром, поскольку необходимо, чтобы £ оставалось неизменной при изменении направления нормали к поверхности. Условие того, что величина £ является не зависящей от поверхности, является необходимым и достаточным условием того, что она является имеющей физический смысл величиной, находящейся в данной точке пространства-времени, т.е. полевой величиной.

Математическое условие того, что £ является не зависящей от поверхности, заключается в том, что d^/dr должна обращаться в нуль для любого движения поверхности, при котором 少^ = 0 в той точке % в которой находится £. Из формулы (5) следует, что это условие принимает вид

陰用=а»(20)

с некоторым коэффициентом ау. Важным свойством этого уравнения является отсутствие слагаемых с производными ^-функции.

В случае произвольного движения поверхности с произвольными 弘 для всех мы должны иметь

dg/d/т =少^&〉

где & — это dg/d力^ в точке и на поверхности. Сравнивая это соотношение с правой частью формулы (6), получим

£М]=&8,(21)

что раскрывает смысл коэффициента а^. С физической точки зрения очевидно (и может быть без труда проверено математически путем применения тождества Якоби), что & также не зависит от поверхности.

Математическое условие независимости от поверхности (21) можно разделить на два условия:

e陷1 = /&8 =

Первое — это условие того, что £ является ^-скаляром, а второе — условие независимости £ от направления нормали к поверхности.

Более слабым, чем свойство независимости от поверхности, является свойство независимости от кривизны. Величина £ является не зависящей от кривизны, если она не изменяется при любой деформации поверхности, оставляющей неизменной величину у^ и ее первые производные у『в той точке “)где находится g. С помощью тех же рассуждений, которые привели к формуле (20), можно найти математическое условие независимости от кривизны

[е,<] = м + ^ж,(2з)

с некоторыми коэффициентами а^ и ЪУГ. Важным свойством этого выражения является отсутствие слагаемых со второй и более высокими производными В.

Переход от гамильтониана к тензору энергии—импульса

Предположим, что задана гамильтонова форма теории поля на произвольных поверхностях, так что нам даны функции /3田 определенные в (8). Они образуют плотность гамильтониана, которая генерирует изменения физических условий, возникающие от локальной деформации поверхности и ее параметризации. Нормальная компонента 伪 соответствует движению элемента поверхности по нормали к самой себе, а касательная компонента /3『соответствует локальному изменению параметризации. Это склоняет нас к предположению, что указанные компоненты равны соответственно плотности энергии и плотности момента импульса на поверхности, так что 班=人Л「(24)

Если принять это предположение, то выражение (13) действительно перейдет в условие (ia), и выражение (17) — в (iiia).

Чтобы исследовать законность такого предположения, следует проверить, можно ли ввести 几^)удовлетворяющий условию (24) и одновременно не зависящими от поверхности. Будет показано, что это возможно, если предположить, что /3从 не зависит от кривизны.

Некоторые условия, необходимые для того, чтобы /3从 было не зависящим от кривизны, с необходимостью выполняются в силу условий совместности ⑼.Из них следует, что

［盟,赞y =［盟,以］/ =mе

откуда видно, что Н世 является “-скалярной плотностью. Поскольку w^ — также “-скалярная плотность, их разность /3从 является “-скалярной плотностью, т.е.

瓦(25)

Таким образом, остается допустить единственное дополнительное условие, что ［/?从〉为［имеет форму правой части выражения (23), т.е.

瓦,陷1 = Q从8 +心片(26)

Предположим, что мы рассматриваем замкнутую динамическую систему такую, что Hi не может включать сами g从)а только их производные по и. Тогда

［/ 陷［=0.

Теперь и, следовательно,

［р^Ч＜］ =0.(27)

Отсюда вытекает, что q^ должны обращаться в нуль, так что выражение (26) сводится к

瓦，陷1=心『(28)

Нам понадобится получить ряд следствий выражений (25) и (28), в которых индекс 从 несуществен. Поэтому удобно отбросить временно этот индекс и переписать указанные выражения в виде

[仇赞У = 0g(29)

[/?,<]=(30)

Положим

|п门陷[=ar8 + brs8s + crst8st + ...(31)

Тогда

[[仇陷 1,陷〃]=И,陷〃]歩 3 — J) = <д _&$△*'+ С^Д^-..., (32) где

△ = 8(“ 一 uf)S(uf — u")(33)

и индексы, содержащиеся в выражении (32), обозначают производные по соответствующим переменным и. Заметим, что △ симметрична относительно “)“'и “〃. Меняя местами “' и игг в формуле (32), получаем

畛陷〃]，陷 1 = <д -b^s，+(34)

Далее,

昆[陷1陷勺=一同< +比〃]a® — "〃)=

=4川〃8Г3 — “〃)｝戸(J _ "〃)= ^^A^-C^A-； (35)

Если теперь образовать выражение (34) + (35) — (32), то в силу тождества Якоби левая часть обращается в нуль, и остается выражение

0 =(脸。+ &$)△" —(喝/3〃 + bf^s，-drst^ 《А*/(36)

Производные △ связаны тождеством

△『++= 0(37)

и тождествами, получающимися дифференцированием (37), но в остальном независимы. Эти тождества не устанавливают никакой связи между теми производными Д, которые возникают в выражении (36), не считая демонстрации того, что △『$ + △『$ = — △『$ и поэтому симметричны по г и 6. Можно заключить, что все коэффициенты в (36) обращаются в нуль по отдельности. Следовательно, с и последующие коэффициенты в разложении (31) должны обращаться в нуль и

b『s = —7гз/3,(38)

так что выражение (31) принимает вид

|п门陷[=arS — Its136s.(39)

Дальнейшее использование тождества Якоби позволяет увидеть, что Пту/ является “-скалярной плотностью. Имеем

M陷1,赞〃 \ = [/3」照，,赞〃[]+加赞〃*陷[,

откуда

[心 赞〃 1<Г(" - г/) = [^^WXu1 - 〃〃) + [/?〃,陷 1^3 - “〃)=

=片歩(“-“〃)戸(J — “〃)+ nfrSr，\uf -"〃州SQ -"〃)=

=片—力△八==

=n^r{u - J)产(J — “〃)-力矿3 - J)尸(г/ — “〃). Следовательно,

[<,赞〃S] = n^Xu1 - “〃)-力臂炉'(г/ — “〃).

Поэтому

[гг『％Л 赞У = %/(成，岁一矶臂严)+ %(%/"『=%7S»)s + nry,sr6 =

=S用丿犷)(40) что и требовалось доказать.

Определим £ равенством

Щ = Bl“ — nryJ・(41)

Из (40) следует, что £ должно быть “-скаляром. Далее, из формул (30) и (39) получаем

[IX,陷 1 =必"-ВМ - У^Ы - 7гзЖ)-九『(節厂=

={n^ly - aryj - nrLJM (42) что в комбинации с формулой

Г 陷1 = 1УГ»(43)

приводит к выражению

Р[К,陷 1 = W% - a，yj - гг"J - VT^rr)S.(44)

Отсутствие производных от В показывает, что £ удовлетворяет условию (22) и поэтому является величиной, не зависящей от поверхности.

Восстановим теперь индекс /1. Выражение (41) принимает вид

「厶^ =户从^ -n卩用J(45)

и образует вместе с определяющим п^г выражением (28) определение тензора энергии-импульса Т^. Компоненты Т^ = T^ly даются выражением (24), а компоненты 4『=Т^у^ даются формулой

瓦，陷 1 = -(「〃》『(46)

Проанализируем условие независимости 6从 от кривизны, т.е. выражение (26). Имеем

[w；, w^] = wy [Z^, y\ =—'从^V*『 и аналогично

Вычитая, находим

[М〉％ + 瓦山=-уз田.

Таким образом, условие (26) приводит к выражению

l^w；] = eS + frSr(47)

с некоторыми коэффициентами е, fr. Это означает, что величина /3/, рассматриваемая как функция у^ и р-переменных, а также их производных по и^ не должна содержать никаких производных у^ выше первой степени.

Итог этого раздела: показано, что когда условие (47) удовлетворяется, можно ввести не зависящий от поверхности тензор энергии-импульса Т^ с помощью выражения (45) или выражений (24) и (46).

Законы сохранения

Общее утверждение, содержащееся в законах сохранения, состоит в том, что определенные формулами (13) и (17) величины 口 и М^ одинаковы для всех поверхностей. Изучим справедливость этих законов и посмотрим, как они приводят к условиям (ii) и (iv) для тензора энергии- импульса.

Чтобы Р開 и М^ могли быть инвариантными относительно любой деформации поверхности, их СП с 光© должны быть равны нулю:

[X,F^] = o, [Х,ад = 0.

Эти уравнения могут быть разложены на тангенциальные составляющие

[赞=[赞\％J = 0,(48)

и нормальные составляющие

[^Р^ = ^(49)

KMJ = 0・(50)

Уравнения (48) всего лишь утверждают, что 口 и М叩 инвариантны относительно изменения параметризации поверхности, и не имеют физического содержания. Они очевидным образом удовлетворяются с учетом того, что подынтегральные выражения в (13) и (17) являются и-скалярными плотностями. Уравнение (49) непосредственно вытекает из формулы (28) и является следствием замкнутости динамической системы, т.е. отсутствия внешних полей. Уравнение (50) требует дальнейшего рассмотрения.

Из формулы (9) получаем

Легко проверить, что

®/(心此一认心)酒"[ = 0,(51)

откуда условие (50) принимает вид

辰/(眩此-必心)"[=0.(52)

Это означает, что величины 伪 не должны изменяться при применении операции вращения к переменным у^.

Ранее было получено условие, что величины 6/ могут включать у^ только через первые производные yj. Выражение (52) накладывает дополнительное условие, что они должны включать такие первые производные только в комбинациях, не содержащих свободный индекс 从〉по которому нет свертки. Такими комбинациями могут быть только у『у£ = yrs.

В релятивистской теории 伪 могут включать величину gj〉только если эта величина умножается на некоторый множитель, также содержащий индекс 禺 так что по этому индексу производится свертка. Предположим, что ни одна из базисных р-переменных не содержит индекс /1, так что таким множителем может быть только другая из величин у^3. Тогда условие (52) удовлетворяется, и сохранение М呻 обеспечено.

Иная ситуация возникает, если какие-то р-переменные содержат индекс № например, если некоторые из них являются потенциалами /从) описывающими электромагнитное поле. В этом случае аргументы, приводящие к выражению (17), потеряют силу и формула для М^ будет содержать ряд дополнительных слагаемых. Для доказательства сохранения этого М^ требуется дополнительная работа. Наиболее удобный путь действий заключается в том, чтобы совершить контактное преобразование к новым базисным переменным 4T = А^у^ А[ = A^Z^, которые будут включать изменение переменных w, а затем использовать формулу (17) и приведенное выше доказательство сохранения М^.

Законы сохранения можно выразить как локальные условия, имеющие вид (ii) и (iv). Чтобы вывести (ii), начнем с уравнения (44), в котором опущен индекс 卩.Имеем

Р[£, 〃陷 1 = 5J - /30J)£(53)

Так как £ является ^-скаляром, то

「[£,%$,赞 7 = F%s£" = F%s{(/3^ —九『以『)/门"={MV — n/7Z}^, (54) где использована формула

^Д^7Г)5 = 0,(55)

вытекающая из

гг/г = I = y^y^yst = g/s%s・(56)

Складывая выражения (53) и (54) и восстанавливая индекс 从〉получаем r\T^lf^f + y^fs]=0,

или

[小=0.

С учетом формулы (21) получаем уравнение (ii).

Чтобы вывести (iv), заметим, что из выражения (28) следует

加儿一 у^В^陷1 = М3 +g从5“"Т一历脑-以5从»г=

Интегрируя по находим

(57)

Таким образом, закон сохранения (50) непосредственно приводит к условию (iv).

Этим завершается доказательство того, что введенный в предыдущем разделе тензор энергии-импульса Т^ удовлетворяет всем требуемым условиям. Этот тензор определяется не зависящей от кривизны гамильтоновой формой уравнений движения на произвольных поверхностях. Тензор энергии-импульса не обязательно однозначно определен, поскольку может существовать более чем одна не зависящая от кривизны гамильтонова форма уравнений движения, причем все эти формы связаны друг с другом контактными преобразованиями. Каждой гамильтоновой форме соответствует свой тензор энергии-импульса.

Переход от тензора энергии—импульса к произвольному гамильтониану

Мы рассмотрели задачу о том, как, исходя из гамильтоновой формулировки теории на произвольных кривых поверхностях, можно ввести тензор энергии-импульса q厶 выраженный через плотность гамильтониана /3从. Рассмотрим теперь обратную задачу. Предположим, что задана гамильтонова формулировка теории только на плоских поверхностях, и пусть задан тензор Т^^ удовлетворяющий четырем условиями (i)-(iv). Можно ли тогда рассматривать величину 々/Г как плотность гамильтониана /3从 для гамильтоновой формулировки теории на произвольных кривых поверхностях?

Предположение о том, что задана гамильтонова формулировка теории на плоских поверхностях, означает, что заданы определенные полевые величины, удовлетворяющие данным уравнениям поля, для которых заданы СП. Кроме того, заданы полные энергия и импульс 办 и 6-вектор М^^ такие, что для любой полевой величины £

1a -m从^1a -m从^£ %] = &〉 (58)

1

a -m从^

1

a -m从^

[^, М^ равно изменению £ при применении к ней малого вращения

т^. Все заданные СП должны быть, конечно, совместными, т.е. должны удовлетворять тождеству Якоби.

Введем произвольную искривленную поверхность и выберем в качестве

динамических переменных g从)которые определяют поверхность и различные полевые величины на ней. Предполагается, что у^ имеют нулевые СП с полевыми величинами и друг с другом. Введем теперь дополнительные динамические переменные которые, по предположению, удовлетворяют условиям

ии(59)(60)(59)(60)陷，m]=0

и

и

(59)

(60)

(59)

(60)

£財]=^^

где £ есть g从 или любая полевая переменная. Легко проверяется, что такие соответствующие СП совместны, если принять, что СП между полевыми величинами совместны с полевыми уравнениями. Уравнения (59) и (60) определяют J^ с точностью до фиксации их СП с любой величиной. Сделаем еще одно предположение, что J^/ слабо равна нулю. Тогда эта величина определена столь же полно, что и любая величина в гамильтоновой теории.

Предположим, что задан 几^)удовлетворяющий четырем условиями (i)-(iv). Из них можно вывести условия (ia) и (iiia). Определим теперь 九 формулой历=厶儿 F(61)

и определим далее w^ как

=囱-(62)

Теперь легко видеть, что у нас имеются все условия для гамильтоновой формулировки полевых уравнений на произвольной поверхности за исключением условия[心此]=0.(63)

Сейчас будет доказано, что условие (63) выполнено, если считать, что СП величин /3 имеют вид

[0从〉0J =。从» + b^yr,(64)

не содержащий производных В выше первой. Предположение (64) играет роль предположения о независимости от кривизны, которое потребовалось в п. 4.

Соотношение (60), примененное к полевой переменной Т^^ принимает ВВД[勿,/]=〃％(65)

Далее, \la^ J^] и [Г, J^] не содержат производных В выше первой, так что из формулы (61) следует, что [/3^, J^] также не содержит таких производных. Из формулы (62) находим

[%必=陷,М]-瓦,m]-陷闻+瓦闻.

Следовательно предположение (64) приводит к выражению

М 从，w^] = h^yd + к^匕 5r(66)

с некоторыми коэффициентами 九 и к.

Сохранение Ру задано, поскольку условие (ii) предполагается выполненным. Следовательно,

=0,

и выражение (59) приводит к

陷 J wt d?^ =0.(67)

Интегрируя выражение (65) по 〃 и вычитая примененную к £ = Т^ формулу (58), где 从 заменено на z/, получим

d3d = 0.

Отсюда

(68)(68)=0.

(68)

(68)

Из уравнений (67) и (68) находим:

Следовательно коэффициент h в (66) должен обращаться в нуль, и мы приходим к выражению

w^] = k^r6r.(69)

Если в выражении (69) поменять местами 从〉z/, а также и, 〃- получим [w^w^ = -k(/ = _(瓦什"。

Чтобы это выражение согласовывалось с выражением (69), должны выполняться равенства

к@ъ>т = ки^г(70)

и

=0.(71)

Рассматривая влияние малого поворота, примененного к 厶。〉находим

[^осг, ^^LtJ = Vii^gcru + 9。从^Lcr + доцТ” —〉

где знак — в конце правой части означает, что нужно вычесть все предыдущие слагаемые с заменой 从 на г/ и наоборот. Применяя к Т^ формулу (60),

[Т06 /(眩^^/‘-认^^) d3d = у^гдаЪ> -.[Т06 /(眩^^/‘-认^^) d3d = у^гдаЪ> -.имеем

[Т06 /(眩^^/‘-认^^) d3d = у^гдаЪ> -.

[Т06 /(眩^^/‘-认^^) d3d = у^гдаЪ> -.

Совершая вычитание, получаем

(72)(72)[丁06 / (%^)—北^7)#"[ = -ддpгуа - g(j 卩"—.

(72)

(72)

Теперь легко видеть, что

и

так что выражение (72) приводит к

(73)

(74)(74)Имеем

(74)

(74)

瓦,先]=EK。伍先]=Fг%Za +гТ“4g纱-Igy.sW^

Формула (55) показывает, что (「为$产 кратно 以 Отсюда следует

{^T^^l^gs — l@n(js)}s = F(T“Zb)Sges —「(KbZjgcs =

=^TU(7S (layQS — l^y^s) =「(£%厶—T^cfcfIq).

Таким образом, с помощью (ii) выражение (74) принимает вид 瓦，先]={^Т^у^ - 16уМ\

так что из (59) имеем

Это даетЭто дает[J^>,此]=—VTy(J(layQS —，。沙^州'.

Это дает

Это дает

此8 + У^Т^(1аУбз - IqVctsW}酒 J =

=一g0从^^ - F^Lcr(Zcrg0s - I gу(Уs)у fi = 一g0从^^ - g r*“ + 1Tw1@.

Вычитая из этого уравнения результат перемены местами индексов 从 и % и вычитая затем (73), находим

—gв№ + 9"^从・—gв№ + 9"^从・

—gв№ + 9"^从・

—gв№ + 9"^从・

(69) вычислить левую часть этого выражения,(69) вычислить левую часть этого выражения,0.0.1“к”г = 0,1“к”г = 0,(76)(76)Если теперь с помощью получим

(69) вычислить левую часть этого выражения,

(69) вычислить левую часть этого выражения,

0.

0.

1“к”г = 0,

1“к”г = 0,

(76)

(76)

Отсюда

так что из (69) и (70) следует

(77)(77)Z从W从,J =。。

(77)

(77)

Этот результат достаточно силен, чтобы иметь возможность вывести желаемые СП (63) без дальнейшего подробного вычисления. Если записать (63) через нормальные и тангенциальные компоненты, получим

[w/, w；] = —2叫歩—wrrJ,(78)

Н, w,s] = OS)*(79)

[wr,wfs] = ws8r + (wr8y.(80)

Уравнения (78) и (79) непосредственно вытекают из (77). Далее, из (79) видно, что ws обладают желаемыми СП с wj, так что из тождества Якоби следует, что ws должны иметь желаемые СП с [wj, w^]. Подставляя в [wj, wfi] его значение согласно (78), видим, что ws также должны иметь желаемые СП с w,r, т.е. выполнено (80).

Проделанная в данном разделе работа показывает, каким образом с помощью тензора энергии-импульса Т叩〉удовлетворяющего базисным условиям (i)-(iv), можно получить гамильтонову формулировку полевых уравнений на произвольных искривленных поверхностях, исходя из формулировки на плоских поверхностях, если при этом выполнено дополнительное условие (64). Результат полезен, так как установить гамильтонову формулировку на искривленных поверхностях с помощью описанного метода может оказаться проще, чем с помощью лагранжиана или непосредственно путем проверки СП между всеми 赞.

Дополнительное условие (64) означает, что СП [，。，気^] не должны содержать производных J-функций выше первой. Представляется, что это

необходимое условие, которому должен удовлетворять тензор 几^, чтобы быть приемлемым тензором энергии-импульса в гамильтоновой теории.

Влияние калибровочных преобразований

Предыдущие рассуждения не подходят для полевой теории, включающей электромагнитное поле, ибо в этом случае в игру вступают калибровочные преобразования, усложняющие некоторые доказательства. Теперь полный гамильтониан имеет вид

h = /｛以岗+ Л令｝ #"， (81)

где 令(〃)一дополнительный слабо равный нулю гамильтониан, рассматриваемый наравне с 赞,а Л(〃) 一 произвольный коэффициент, рассматриваемый наравне с у^. Выбирая 少从=0 и Л # 0, получаем гамильтониан Н) не порождающий никакого движения самой поверхности, но приводящий к изменению полевых переменных на поверхности. Это изменение и есть калибровочное преобразование.

Для согласованности в дополнение к равенству (6) должны выполняться соотношения

［照，岁］7 0, 銘岁］7 (82)

Из слабого уравнения (6) невозможно более получить сильное уравнение (9), так как в правой части (9) вполне может стоять линейная функция 令.

Если игнорировать соображения простоты, то величины 赞 в (81) плохо определены, поскольку к ним можно добавить любую линейную функцию 乡.Таким образом, величины /3从)определяемые выражением (8), тоже плохо определены. Однако неопределенность в значениях /3 слабо равна нулю, так что она не влияет на их значения, а затрагивает только некоторые СП.

Величины, имеющие физическое значение, калибровочно инвариантны. У таких величин их СП с 令 слабо равны нулю.

Изложенная в п. 3 теория и-скаляров и не зависящих от поверхности и от кривизны величин по-прежнему остается в силе при условии, что мы ограничиваемся калибровочно инвариантными величинами, ибо для таких величин возникающая из-за неопределенности в J^ неопределенность в СП этих величин с J^ должна слабо равняться нулю.

Предположим, что /3口 калибровочно инвариантны. Тогда для связи /3从 с 几^ разумно установить соотношение (24). Если бы /3从 не были калибровочно инвариантными, мы не могли бы этого сделать, поскольку хотим, чтобы тензор 4^ было калибровочно инвариантным.

Приняв, что % калибровочно инвариантны, можно продолжать рассуждения, как и выше, и показать, что Т^ не зависит от поверхности. Неопределенность в /3从 приводит к тому, что 厶^ определено с точностью до прибавления к нему линейной функции 令.Эта неопределенность слабо равна нулю, так что она влияет не на значение 几^)а только на СП 几^ с калибровочно неинвариантными величинами.

23

ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА*)

Предложенная автором процедура перехода от лагранжиана к гамильтониану в ситуации, когда импульсы не являются независимыми функциями скоростей, приведена к более простой и практичной форме, причем основные результаты получены прямым решением уравнений, вытекающих из требований самосогласованности. Показано, как (при некоторых условиях) можно исключить часть степеней свободы и тем самым добиться существенного упрощения гамильтонова формализма [1].

Обычная процедура перехода от лагранжевой формы уравнений движения к гамильтоновой форме требует, чтобы импульсы были независимыми функциями скоростей. На практике имеется ряд важных случаев, когда это условие не выполнено, например в релятивистской теории поля, и возникает необходимость обобщить процедуру. Один из способов сделать это был предложен автором 1). В настоящей статье этот способ приводится к более простому и практичному виду.

Альтернативный подход к проблеме дан Андерсоном и Бергманном ). Будучи приложим только к квадратичным по скоростям лагранжианам, их метод менее общий, чем настоящий. В настоящем методе лагранжиан может быть любой функцией скоростей и координат, при единственном ограничении, чтобы лагранжевы уравнения движения не приводили к несовместности.

.屮-уравнения

Рассмотрим динамическую систему, описываемую в терминах координат qn (п = 1,2,..., ^) и скоростей «九,с лагранжианом L = E(q, @). Как обычно, определим импульсы

Рп = dL/dqn.(1)

Может оказаться, что р не являются независимыми функциями q. Если среди р имеется только N — М независимых функций Q, возникнет М независимых соотношений

^m^Pt Q)= 0, ш =М,(2)

М может быть любым — от 0 до N.

*) Generalized Hamiltonian Dynamics // Proc. Roy. Soc. A. 1958. V. 246. P. 326-332.

Dirac P.A.M. // Can. J. Math. 1950. V. 2. P. 129.

Лагранжевы уравнения движенияd dL _ dLdi dqn dqn

задают теперь N — М функций, зависящих от ускорений Qn, и дают М уравнений, связывающих только координаты и скорости. Может оказаться, что дифференцированием по времени (однократным или, возможно, многократным) мы можем получить некоторые новые независимые уравнения, содержащие ускорения. Если таких уравнений недостаточно, чтобы задать все ускорения, то общее решение уравнений движения с данными начальными значениями q и @ будет содержать несколько произвольных функций времени.

Сделаем произвольные малые вариации Bq^〉dqn координат и скоростей. Они приведут к вариациям Вр九,сохраняющим уравнения (1). Эти вариации должны сохранять и уравнения (2), являющиеся следствием (1),

так чтотак что

так что

так что

Уравнения (4) будут единственными ограничениями на вариации Jpn, учитывающими уравнения (2) в том смысле, что независимые вариации первого порядка у р и q дают вариации первого порядка у д.

Мы имеем

^(PnQn 一 Е) = Priori + Чп^Рп 一妙 8%1 —洋 8al = qn8pn -妙 8qn. (5)

Поскольку члены c dq сокращаются, вариация по Q, сохраняющая уравнения (1) в отсутствие вариаций по q и р, оставляет неизменной pnQn — Ь. Это означает, что pnqn — Е является функцией только q и р, так что мы можем положить

Рп^п — Е = Н(5Р)・(6)

Конечно, функция H(q,p) определена неоднозначно. Мы можем сделать замену

Н —> Н + ст(рт^(7)

где ст — любые функции q и р. В случае, когда Е однороден первой степени по Q, мы можем взять Н = 0.

Теперь уравнение (5) дает

дН £ дН £. £ dL е-

где вариации 3qn)6рп ограничены уравнением (4), а в остальном произвольны. Поэтому

9рп Орп

dL _ дН д屮т

где ит — некоторые коэффициенты. При преобразовании (7) к ит добавляются функции, зависящие только от q и р, а именно (—ст).

Уравнения (8) показывают, что @ заданы через q^ N — М независимых переменных р и М новых переменных и. Таким образом, вместо q и @ мы можем взять в качестве основных динамических переменных q, р и 〃. Это и есть гамильтоновы переменные.

С помощью (9) уравнения движения (3) принимают вид

Рп = -^-ит^.(10)

oqn oqn

Если обычным образом определить скобку Пуассона (СП)

А8]=型理-生吗(n)

dqn дрп дрп dqn

то для любой g, зависящей от q и р, имеем

g = [g〉耳 + ит[ё^ ^т]•(12)

Одно это уравнение охватывает все уравнения (8) и (10). Оно есть общее гамильтоново уравнение движения.

Определение СП (11) требует, чтобы дир считались независимыми переменными. Любые соотношения, ограничивающие, подобно уравнениям (2), независимость q и р, не должны использоваться до взятия СП, иначе СП потеряют однозначную определенность. Чтобы помнить об этом при работе с некоторыми из наших уравнений, удобно назвать такие ограничивающие уравнения слабыми уравнениями и записать их в виде

7 0.

х-уравнения

Дифференцируя по времени (2) и используя (12), мы получаем

[^Рт,)^Рт]=。・(13)

Если не все эти уравнения сводятся к 0 = 0, они уменьшат число гамильтоновых переменных Q, р, % выявив некоторые соотношения между ними.

Может оказаться, что уравнения (13) приводят к некоторым соотношениям только между q и р, независимым по отношению к (^-уравнениям. Они должны быть слабыми уравнениями, поэтому запишем их в виде

H(dP)7。^ = 1,2,...).(14)

Дифференцируя по времени каждое из уравнений (14), получаем

[Хк^ Н] +[Хк^ ^т] = 0.(15)

Эти уравнения могут приводить к новым соотношениям только между q ир, т.е. к новым уравнениям (14), которые, в свою очередь, могут привести к новым уравнениям (15). Продолжим эту процедуру до тех пор, пока она идет, получив таким образом все уравнения (14) и (15), являющиеся следствиями (2) и общего уравнения движения (12). Пусть полный набор описывается индексами к = 1,2,К・ Таким образом, число независимых р и q мы свели до 2^ — М — К)а и ограничили уравнениями (13) и (15), если только эти уравнения не сводятся к 0 = 0 или к у-уравнениям.

Рассмотрим уравнения (13) и (15) как уравнения для неизвестных ит с коэффициентами, заданными как функции q и р. Они должны иметь решение

= Umlq〉Р)〉(16)

поскольку из отсутствия его следовала бы противоречивость лагранжевых уравнений движения (3). По смыслу решения (16) уравнения

〉Н] + Urn [(Рт,)^Рт] 7

[Хк^ Н] + Um[Xk“wJ 7。

выполняются вследствие (2) и (14).

Вообще говоря, решение (16) неоднозначно. Мы можем добавить к Um любое решение Vm = Vm(q^p) уравнений

^гп\^т' •)^т]0, ^т[Хкч ^т]0.(18)

Пусть Vam (а = 1, 2,..., А) — все независимые решения уравнений (18). Тогда общее решение уравнений (13) и (15) есть

^m = Um + VqVami(19)

где va — произвольные коэффициенты.

С помощью уравнений (19) можно исключить переменные um, так что в качестве основных гамильтоновых переменных мы имеем 2^ — М — К (оставшихся независимыми после учета уравнений (2) и (14)) переменных q и р, а также А переменных va. Полное число этих переменных может быть значительно меньше первоначального числа 2^ независимых переменных, поскольку уравнения движения могут сократить его.

Андерсон и Бергман называют (^-уравнения первичными связями, а у-уравнения — вторичными связями. Во многих аспектах g и х выступают как равноправные, и поэтому удобно их все обозначать как 先(J = =1, 2,..., А/ + К). С гамильтоновой точки зрения, существенно то различие между ними, что g фигурируют в общем уравнении движения (12), а х нет.

Условие принадлежности первому роду

По определению, зависящая от q и р функция есть величина первого рода、если все ее СП с Н и с д^ обращаются в нуль. Достаточно, чтобы это обращение было слабым, т.е. с использованием уравнений (2) и (14). Зависящая от q и р функция, не удовлетворяющая этим условиям, называется величиной второго рода.

Теорема. СП двух величин первого рода есть величина первого рода.

Пусть X и У — первого рода, так что

[х,%・][К%・]

Эти слабые уравнения означают, что

[X, х" = xjj'Xj\[К х"=次方‘X少

с некоторыми коэффициентами 力方/ и g方，.Следовательно,

”, У], %•] = ”, х", У] - [[У, Х7], X] 7 力加勺,Y]-y3jl\x3l, X]。0.

Аргументация сохраняет силу, если заменить хд на Н)откуда [[X, У], Н] 7 7 0. Следовательно, [X, У] — первого рода.

Положим

я + ит^т = Н‘.(20)

Уравнения (17) показывают, что СП Н‘ с любой Xj слабо обращается в нуль. Далее,

из первого из уравнений (17), умноженного на 0m/. Таким образом, Н‘ — первого рода. Заметим, что гамильтониан Н‘ может быть получен из Н преобразованием ⑺.

Любая линейная комбинация g с коэффициентами, зависящими от q и р, может рассматриваться как другая д. Положим

Ихт^т = За・(21)

Уравнения (18) показывают, что СП(ра с любой Xj слабо обращается в нуль. Мы только что видели, что СП(ра с Н1 обращается в нуль, так что СП ее с Н также должна обращаться в нуль. Следовательно,(ра — первого рода.

Благодаря (19) общее уравнение движения (12) принимает вид

g = [g^Hf]+va[g^a].(22)

Теперь оно содержит гамильтониан первого рода Hf kp первого рода(ра. Коэффициенты %, отвечающие этим g первого рода, никак не ограничиваются уравнениями движения. Таким образом, в общем решении уравнений движения с данными начальными условиями каждый из них приводит к произвольной функции времени.

Каждая g первого рода имеет вид Um(pm^ где Um удовлетворяют (17). Поэтому каждая независимая g первого рода должна появиться в (22). Следовательно, число независимых функций времени в общем решении уравнений движения равно числу независимых g первого рода. Следует считать, что все решения уравнений движения, различие которых при данных начальных условиях вызвано разным выбором произвольных функций времени, отвечают одному и тому же физическому состоянию движения, по-разному описываемому в зависимости от выбора некоторых не имеющих физического значения математических переменных (например, от выбора калибровки в электродинамике или координатной системы в релятивистской теории).

На практике инвариантные свойства интеграла действия обычно позволяют узнать, какие произвольные функции времени имеются в общем решении уравнений движения. Это знание помогает выделить g первого рода из набора всех д, не прибегая к трудоемкому вычислению всех СП. Любая переменная скорости, отбрасывание которой не сказывается на физическом состоянии, должна появиться как коэффициент 切⑦ связанный с g первого рода, в гамильтоновом уравнении движения (22).

Редукция числа степеней свободы

Предположим, что некоторые g первого рода содержат импульсные переменные лишь линейно с числовым коэффициентом. Хотя математически это — очень специальный случай, на практике он появляется часто и поэтому важен.

Тривиальной заменой переменных мы можем привести эти g первого рода к виду

Рг ~ fr 0, г = 1, 2,..., 7?,(23)

где fr зависят только от q. Условие принадлежности первому роду требует, чтобы СП величин рг — fr слабо обращались в нуль. Эти СП могут зависеть только от q. В предположении, что нет д^, зависящих только от q, эти СП должны обращаться в нуль сильно. Следовательно,

Л = dF/dqr.

где F — некоторая функция, зависящая от q. Добавим теперь к лагранжиану член

弟=券脸；(24)

dt dqn

это не изменит уравнений движения. К рг добавится dF/dqr^ так что (^-уравнения (23) примут вид

рг у 0.(25)

Продолжим работу с новым лагранжианом. Любую из д^, не попадающую в (25), назовем % (分=1,2, • • •,儿^ + К — 冗)；Xi могут быть как первого, так и второго рода. Не теряя общности, можно предположить, что % не зависят от переменных рг. Можно предположить, что и 〃 не зависит от 济，поскольку преобразованием ⑺ к другому Н‘ первого рода всегда можно добиться этого.

Поскольку рг — первого рода, мы имеем

[хе,Рт] 7 0, llXi,Pr],Prf] 7 0(26)

и т.д. Следовательно, если у хе вообще есть зависимость от q『)она может быть лишь в виде

Xi = ВнМн(27)

где х* слабо обращаются в нуль и не зависят от q『)так что qr появляются только в коэффициентах 氏?. Это означает, что условия Хе 弋 ° эквивалентны условиям х* 7 °, не затрагивающим переменных qr. Число х* должно быть равно числу хе(X* по количеству не могут превышать хз поскольку все условия у* ^ 0 суть следствия условий Хе 弋 ° плюс условий (26), которые сами являются следствиями хе 弋 0)・

Если Xi — первого рода, применение теоремы предыдущего пункта к % и рг показывает, что хе выражается через х* только первого рода, т.е. что коэффициенты 氏? в (27) можно сделать ненулевыми лишь для у*, первого рода.

Проделав над Н‘ такую же работу, как над хз мы находим, что

Hf = Hff + ^xt(28)

где Н〃，как и у*, не зависит от qr. Поскольку Н‘ — первого рода, мы можем заключить, что Нп первого рода и что любые из фигурирующих в (28) х* — первого рода.

Посмотрим теперь, какой вид примет уравнение движения (22). Для g, совпадающей с одной из q~ мы обнаруживаем, что qr произвольна, так что qr меняется произвольно. Для g, зависящей от переменных qs^ ps (s = =7? + 1,..., ^), мы получаем уравнение движения вида

g = [g,H[ +wjg,x 北 (29)

где у* суть х* первого рода. (В их число не обязательно попадают все х* первого рода.) Переменные рг в этом уравнении не появляются, а от qr могут зависеть лишь коэффициенты wa.

Предположим, что произвольные вариации wa можно получить, варьируя qr и те из коэффициентов va в (22), которые связаны с иными, чем pr)g первого рода. На практике это предположение обычно оправдывается. Тогда мы можем считать wa в (29) произвольными коэффициентами, которые вместе с qs и ps образуют основные гамильтоновы переменные. В общем уравнении движения (29) qr и рг больше не появляются. По своему характеру это уравнение столь же фундаментально, что и (22), но относится только к степеням свободы qs^ ps. Таким образом, степени свободы Qr, рг выпали из теории.

Может оказаться, что некоторые из у*, фигурирующих в (29), содержат импульсные переменные лишь линейно с численными коэффициентами. Тогда мы можем повторить всю процедуру и добиться дальнейшей редукции числа эффективных степеней свободы.

24

ГАМИЛЬТОНОВЫ МЕТОДЫ И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА)

Общая динамическая теория впервые была создана, когда Ньютон предложил свои законы движения. Важные усовершенствования этой теории были последовательно сделаны Лагранжем и Гамильтоном. В настоящее время законов Ньютона вполне достаточно для полного описания движения системы частиц в том случае, когда все силы известны. Так что усовершенствования Лагранжа и Гамильтона не дополняют теорию Ньютона, которая сама собой является уже полной для данного сорта динамических систем. В чем, в таком случае, состоит ценность этих усовершенствований [1]?

В первую очередь, они имеют математическую ценность. Они позволяют работать в терминах более общих математических переменных. Используя законы Ньютона, работу проводят в терминах декартовых координат частиц. Пользуясь методом Лагранжа, можно выбрать в качестве динамических координат любые функции от декартовых координат. Каждой из обобщенных динамических координат соответствует переменная скорости, а вместе координаты и скорости образуют рабочие переменные теории.

В методе Гамильтона скорости заменяются импульсными переменными. При этом возрастает симметрия уравнений движения, а также допускается применение мощной теории преобразований. Можно перейти к новым динамическим координатам и импульсам, функциям от исходных координат и импульсов таким образом, что вид уравнений движения останется неизменным.

Данные усовершенствования Лагранжа и Гамильтона увеличивают мощность математических средств при обращении с уравнениями движения и за счет этого дают возможность расширять область применимости динамической теории. Они дают возможность ввести в теорию поля, взаимодействующие друг с другом или с частицами.

В таком случае поля являются динамическими системами с бесконечным числом степеней свободы; в действительности эта бесконечность может быть более чем несчетной и равна числу точек трехмерного пространства. Тем не менее формализм Лагранжа или Гамильтона легко справляется с такими бесконечностями. Следует заменить суммы по всем степеням свободы, возникающим в динамике частиц, на интегралы и все можно устроить таким образом, что дальнейшая работа будет вестись в полной аналогии со случаем одной частицы.

Гамильтон произвел дальнейшее усовершенствование динамической теории. Он построил формализм, который описывает не отдельно взятое решение уравнений движения, а целиком все множество решений. Эти решения связаны между собой особым способом. Все они определяются по главной функции S Гамильтона, или функции действия, зависящей от динамических координат q и времени 力 такой, что каждый импульс равен pr = dS/dqr. Такое множество решений может быть названо семейством.

В то время, когда Гамильтон создал свою теорию, не было каких-либо физических причин, по которым следовало бы интересоваться семейством решений вместо одного отдельного решения. Последнее представлялось вполне достаточным для описания Природы. Гамильтон должен был быть вдохновлен сознанием того, что его работа была важной. Он показал, что имеет место аналогия между его динамической теорией и геометрической оптикой (более точно той частью оптики, в которой пренебрегают эффектами, возникающим из-за конечной величины длины световой волны). Однако указанная аналогия в то время представлялась просто математическим курьезом, не имеющим физического значения.

Потребовалось сто лет прогресса в физике для того, чтобы выявить значение работы Гамильтона. Оба усовершенствования динамической теории, сделанные Гамильтоном, имеют огромное значение для квантовой механики и, таким образом, требуются для описания Природы на атомных масштабах.

Первое усовершенствование Гамильтона, выражающее уравнения движения в терминах динамических координат и импульсов, приводит к теории преобразований координат и импульсов и особенно выделяет те величины, которые инвариантны относительно преобразований. Речь идет о скобках Пуассона. Для любых двух гамильтоновых динамических переменных 〃 и и определена скобка Пуассона, записываемая как [%и]. С помощью скобок Пуассона уравнения движения приобретают особо простой вид, а именно, для любой динамической переменной д

dg/dt =[д,Н], (1)

где Н — гамильтониан, представляющий собой полную энергию, выраженную в терминах гамильтоновых переменных.

В квантовой механике динамические переменные являются величинами, которые не удовлетворяют коммутативному закону умножения. Они могут быть представлены в виде матриц или операторов. Для любых двух таких величин 〃 и и определен коммутатор uv — vu^ в общем случае не равный нулю. Данный коммутатор соответствует скобке Пуассона в теории Гамильтона с точностью до постоянного множителя. Имеем

uv — vu = ih\u^ и]. (2)

Данное уравнение лежит в основании взаимосвязи между классической и квантовой механиками. Если скобка Пуассона интерпретируется указанным образом, то уравнение движения (1) можно перенести в квантовую теорию, где оно будет в таком случае уравнением движения Гейзенберга. Понятие скобки Пуассона является связью первостепенной важности при переходе от классической к квантовой механике, и это понятие входит в классическую механику только в гамильтоновом варианте данной теории.

Существует и другое скобочное выражение, связанное с преобразованиями в гамильтоновой теории — скобка Лагранжа, однако в отличие от скобки Пуассона, она не имеет какого-либо значения для квантовой механики.

Вскоре после открытия Гейзенбергом в 1925 г. матричной формы квантовой механики Шредингером была независимо открыта вторая форма квантовой механики. Изначально это были различные теории, но позднее было показано, что шредингерова теория математически эквивалентна гейзенберговой. Действительно, эти две теории дополняют друг друга, образуя исчерпывающее целое.

Формализм Гейзенберга является очень абстрактным, оперирующим с некоммутативными величинами, которые не могут быть отчетливо представлены непосредственно. Их связь с наблюдаемыми величинами является достаточно отдаленной и осуществляется наилучшим образом при помощи теории Шредингера в качестве посредника. Теория Шредингера основана на волновой функции ^, представляющей атомные состояния. Эти волновые функции легко представить себе мысленно и они обеспечивают довольно непосредственную связь с наблюдаемыми.

ниинииНыне теория Шредингера связана со вторым усовершенствованием Гамильтона, с введением семейств решений. Шредингерова волновая функция 吵 связана с главной функцией S Гамильтона. В первом приближе

нии

нии

吵=&lh.

Этот результат имеет огромное значение для физики [2]. Он означает, что атомное состояние соответствует не отдельно взятому решению классических уравнений движения, а семейству решений. Семейства, которые были математическим курьезом во времена Гамильтона, в настоящее время проявляют свою истинную значимость.

Шредингерову форму квантовой механики можно рассматривать как волновую механику, которая является естественным обобщением гамильтоновой теории семейств в том же самом смысле, в котором волновая оптика является обобщением геометрической оптики. Если бы Гамильтон знал о том, что имеется какая-нибудь потребность в обобщении механики его времени, то он мог бы сделать этот шаг просто следуя оптической аналогии и таким путем мог бы открыть квантовую механику. В действительности исторический курс был совсем другим и квантовая механика была открыта только окольным путем с помощью многих намеков из эксперимента.

Теперь я хотел бы поговорить о недавних усовершенствованиях динамической теории, связанных с ее приспосабливанием к теории относительности. Если эта теория может быть как-нибудь полезна для нас в получении релятивистской квантовой теории, то мы должны иметь ее в гамильтоновой форме, чтобы ее можно выразить в терминах скобок Пуассона. Замена этих скобок Пуассона на коммутаторы является в таком случае существенным шагом при квантовании.

Классическое гамильтоново уравнение движения (1) включает временную переменную 力 относящуюся к одному конкретному наблюдателю. Следует каким-то образом изменить уравнение так, чтобы оно относилось ко всем наблюдателям на одних и тех же основаниях. Это требует обобщения базисных идей гамильтонова формализма. Удобно проделать все это в два этапа.

Первый этап

Согласно уравнению движения (1) гамильтониан Н является константой движения. Если первоначально он равен нулю, то и всегда будет оставаться нулем. Предположим, что в Природе возникают только такие состояния движения, для которых Н равен нулю. В таком случае в нашей теории есть уравнение, выражающее тот факт, что Н равно нулю, но которое мы можем использовать только после вычисления скобок Пуассона. Такого сорта уравнение запишем в виде

Я^О (4)

и назовем его слабым уравнением. Безусловно, мы не должны использовать его прежде, чем вычислим скобки Пуассона, так как в противном случае мы должны получить dg/dt = 0 для всех д.

В обычной теории динамическая система характеризуется функцией Гамильтона Н)которая полностью определяет движение для любых заданных начальных условий. В новой теории динамическая система характеризуется не функцией Гамильтона, а гамильтоновым уравнением типа (4). Мы можем умножить Н слева на любую неисчезающую функцию от переменных дир скажем у, так что это уравнение приобретет вид

Я*^0, (5) где

Я* = хЯ. (6)

Тогда уравнение (5) будет столь же хорошо, как и уравнение (4), характеризовать динамическую систему, так что функция Н* оказывается на равных с функцией Н.

Посмотрим, какому уравнению движения удовлетворяет функция Н*. Заметим, что (6) является сильным уравнением в отличие от слабого уравнения (5), так что для любой динамической переменной д имеем

А Н*]=旧 Xя] = xh Я] + [g, х]Я 7 х[д, Н] = х dg/dt = dg/dt\ (7) где 力* — динамическая переменная, такая что

dt/dC = *

Теперь у нас имеются уравнения движения, которые не относятся к абсолютному времени как к независимой переменной. Любая динамическая переменная 力* может служить в качестве независимой переменной при условии что dt/df не равно нулю.

Можно подумать, что представленный гамильтонов формализм является более частным, чем предыдущий, поскольку он был введен наложением условия Н 7 0. Однако он является таким же общим. Любая динамическая система, описываемая в рамках предыдущего формализма, может быть перенесена в новый формализм, если время t рассматривается как добавочная динамическая координата Qo? а также вводится импульс 夕仇 сопряженный к ней. Далее берется более общая функция Н)зависящая от ро точно так же, как и от остальных дир.

Второй этап

Можно записать уравнение движения (7) в виде

dg/dr = v[g,H^],

где и — произвольный коэффициент (один и тот же для всех д)〉а г, которое играет роль времени, зависит от и и от коэффициента х в функции Н*. Данное уравнение может быть обобщено так, чтобы оно относилось к нескольким гамильтонианам Н]〉Н?, • • •, Нт^ каждый из них слабо равен нулю. В таком случае уравнение читается как

dg/dr = s[g, Hr] + v2[g, Я2] + ... + vm[g, H",(8)

где набор коэффициентов и является произвольным, но одним и тем же для всех д.

Мы требуем, чтобы уравнения

Нг 0, г = 1, 2,..., т,(9)

выполнялись в слабом смысле. Они называются связями динамической системы. Они представляют собой ограничения на начальные значения переменных q и р и должны выполняться в любой момент времени. Это накладывает некоторые условия на функции Нг^ а именно

О 7 dHr/dr = ^2 vs [Hr, Hs]^

и поскольку коэффициенты и произвольны, то должно быть

[Hr,Hs]^0.(10)

Из этих слабых уравнений следуют сильные уравнения

[Hr,Hs] = ^CrstHt,(11)

t

где коэффициенты с могут быть любыми функциями от переменных дир. Любой набор функций Нудовлетворяющий этим условиям, может быть выбран в качестве гамильтонианов динамической системы.

Коэффициенты и в уравнении (8) могут быть выбраны в виде любой функции временной переменной г. Таким образом, общее решение уравнений движения содержит в себе т произвольных функций. У нас больше нет обычной в динамике ситуации, когда начальные условия полностью определяют движение. Вместо этого имеет место произвол в движении, при этом с каждой из связей Нг 7 0 ассоциируется отдельный тип произвола. Данный произвол не может иметь физического значения, но должен появляться из-за математического описания движения, например из-за выбора системы отсчета.

Обобщенный гамильтонов формализм может быть выведен из лагранжиана или принципа наименьшего действия 1. В таком случае оказываются возможными связи другого типа, не связанные с каким-либо произволом в движении, возникающим в теории. Я не буду здесь вдаваться в эти сложности, поскольку это не существенно для понимания процесса квантования, за исключением некоторых специальных примеров.

Квантование

Связь между классической гамильтоновой теорией и квантовой теорией является такой естественной, что те усовершенствования классической теории, которые рассматривались выше, могут быть без каких-либо проблем перенесены в квантовую теорию. Превратим динамические переменные в матрицы или операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям, соответствующим классическим скобкам Пуассона в соответствии с формулой (2). Гамильтонианы Нг в таком случае становятся матрицами или операторами. Классические слабые уравнения (9) заменяются в квантовой теории условиями на волновую функцию

Н" = 0, (12) в то время как сильные классические уравнения остаются неизменными в квантовой теории, обеспечивая возможность судить о правильном порядке перемножения сомножителей в различных произведениях.

Уравнения (12) являются условиями, которым должна удовлетворять волновая функция ^, чтобы она могла представлять состояние, которое может возникнуть в Природе. Каждое из них является линейным условием подобно волновому уравнению Шредингера, а в простых случаях одно из этих условий является в точности волновым уравнением Шредингера.

Мы должны выяснить вопрос о том, являются ли различные условия (12) согласованными. Из этих условий можно вывести, что

HrHs^ = 0, HsHr^ = о,

Последнее не должно быть независимым условием на ^ и поэтому должно иметь место соотношение

[Hr,Hs] = ^CrstHt(13)

t

при любых коэффициентах с. Условие согласованности является в результате таким же, как и в классическом случае (11), за исключением того, что в квантовой теории коэффициенты с должны стоять слева от гамильтонианов Нв то время как в классической теории, безусловно, порядок не имеет значения.

Применение к теории относительности: классическая теория

Обобщенный гамильтонов формализм может быть непосредственно применен для установления динамической теории, согласующейся с теорией относительности.

Рассмотрим динамическую переменную д в некоторый момент времени по отношению к конкретному наблюдателю. Нам требуются уравнения движения, показывающие каким образом д изменяется со временем по отношению к данному наблюдателю, а также как она изменяется относительно другого наблюдателя, двигающегося равномерно по отношению к первому. Таким образом, нам требуется четыре произвольных параметра в движении переменной д〉соответствующих четырем направлениям, по которым она может претерпевать инфенитезимальные изменения, допустим,

видавидаdg/dr = с°[^,Р0] + ^[д, Мг0],dg/dr = с°[^,Р0] + ^[д, Мг0],(14)(14)

вида

вида

dg/dr = с°[^,Р0] + ^[д, Мг0],

dg/dr = с°[^,Р0] + ^[д, Мг0],

(14)

(14)

где суммирование идет по г = 1, 2, 3. Здесь Pq задает изменения переменной д во времени для исходного наблюдателя, a MrQ задает изменения д в том случае, когда наблюдателю придается малая скорость в направлении хг.

Здесь г является только лишь неопределенным параметром, служащим в качестве независимой переменной. Потребуем чтобы из уравнений движения становилось понятно, какому моменту времени и какой скорости наблюдателя соответствует каждое значение г при заданном выборе коэффициентов с. Для обеспечения этого выберем в качестве динамических координат собственное время и скорость наблюдателя и введем сопряженные к ним импульсы. Эти новые базисные динамические переменные в таком случае следует трактовать на равных с физически значимыми динамическими переменными. Допускается их появление в гамильтонианах Д), MrQ наряду с физически значимыми динамическими переменными. Тогда, если в качестве одной из базисных динамических переменных взять переменную д〉то получим уравнение, которое будет определять значение д для каждого значения г при заданном выборе коэффициентов.

Исследуя свойства уравнения движения (14), замечаем, что в представленном виде оно не является согласованным, поскольку различные операции инфенитезимальных преобразований, которые можно применять к д и которые соответствуют различным гамильтонианам Д), MrQ^ не образуют группу. Таким образом, условия согласованности в виде (10) или (11) не могут быть удовлетворены. Чтобы сделать теорию согласованной, мы должны расширить класс инфенитезимальных изменений функций д так, чтобы все вместе взятые такие преобразования образовывали бы группу. При этом добавленными будут изменения, соответствующие трансляциям и вращениям в трехмерном пространстве с координатами 力i,力2〉力з・ Полная группа в таком случае содержит десять инфенитезимальных операций; четыре трансляции и шесть вращений в пространстве Минковского. Она называется неоднородной группой Лоренца.

Допустим, что гамильтонианами, соответствующими операциям трансляций, являются 厶(从=0,1, 2, 3), а те из них, что соответствуют операциям вращений, есть М^ = —М”. Тогда полное уравнение движения ИМеСТ ВВД dg/dr =成旧 口] + 产厶 Al/ (15)

с произвольными десятью коэффициентами а匕 b^ = —/从.Десять гамильтонианов 厶)М叩 равны нулю в слабом смысле

(16)(16)“7 0, М^ 7 0.

(16)

(16)

Они удовлетворяют СП соотношениям, соответствующим коммутационным соотношениям между операторами трансляций и вращений неоднородной группы Лоренца, а именно

[Р/1〉Р/ = 3 [Pm〉Mo。] = д^рРо -

[^//厶-^-ра] = —дьрМ^ь + g 从 ьЛ^р + д^рМ^о — g^oMьр.

Это и есть условия согласованности (11).

Все коэффициенты с здесь являются просто числами. Данный факт позволяет сделать существенное упрощение теории, а именно — отделить

11 П. Дирак. Т. III

эталонные переменные от физических переменных [3]. Мы можем положить

“ =(18)

где члены Р^ М% содержат лишь физические переменные, а члены 乜) М；開 зависят только от эталонных переменных. Физические составляющие между собой удовлетворяют таким же СП соотношениям, как и (17), равно как и эталонные составляющие между собой, в то время как СП от какой- либо физической составляющей с любой эталонной составляющей равна нулю.

Если теперь взять функцию д〉зависящую только от физических динамических переменных, то уравнение движения для нее будет иметь вид

dg/dr =成旧 PJ] + b^[g. МмЛ, (19) в котором возникают лишь физические составляющие гамильтонианов. Эти физические составляющие являются, таким образом, весьма существенными. Они являются величинами, которые не обращаются в нуль в слабом смысле и выступают в роли единственной гамильтоновой функции нерелятивистской теории.

В результате проблема построения динамической теории специальной теории относительности в гамильтоновой форме сводится к проблеме отыскания таких физических гамильтонианов Р^ М，間)которые удовлетворяли бы СП соотношениям (17).

Общая теория относительности

Для получения гамильтоновой динамики, согласующейся с принципами общей теории относительности [4], мы располагаем такими же общими методами. В данном случае имеется искривленное пространство-время, а на роль момента времени следует выбрать пространственноподобную поверхность 力。=const общего вида. Будем работать с динамическими переменными, заданными на этой поверхности, и нам потребуются уравнения движения, которые будут показывать, как изменяется каждая из этих переменных при всевозможных деформациях поверхности. Таким образом, нам требуется по гамильтониану, слабо равному нулю, для каждого вида деформаций поверхности, а все вместе они составят бесконечное число гамильтонианов вместо десяти в специальной теории относительности.

Здесь будут также определены СП соотношения между гамильтонианами, соответствующие коммутационным соотношениям между различными деформационными процессами. Эти СП соотношения будут иметь вид (11), однако коэффициенты с не будут более в них участвовать. Таким образом, мы будем далее лишены возможности упрощения теории путем отделения эталонных переменных от физических. Действительно, в теории чисто эталонных переменных больше нет. Вместо них мы имеем метрику д^у и сопряженные ей импульсы, которые являются физическими переменными, описывающими гравитационное поле.

Оказывается, что можно так переформулировать теорию, что единственными гравитационными переменными, возникающими в ней, являют-

ся шесть элементов метрики grs (г, s = 1, 2, 3) и сопряженные к ним величины, вместо десяти элементов д^ и сопряженных им величин.

Указанные приложения к теории относительности демонстрируют огромную мощь гамильтоновых методов. Создается впечатление, что их можно адаптировать к любой ситуации, которая только может возникнуть в физике. При включении в теорию электромагнитного поля возникает возможность совершать калибровочные преобразования. Это означает, что для некоторых динамических переменных возникает дополнительный сорт вариаций. Данные дополнительные вариации легко включаются в этот формализм. Для этого просто вводятся некоторые дополнительные гамильтонианы, равные нулю в слабом смысле, которые вносят необходимые дополнительные члены в уравнения движения.

Квантование релятивистской теории

Квантование вышеуказанной релятивистской гамильтоновой теории должно проводиться в соответствии с правилами квантования общей гамильтоновой теории, которые были приведены ранее. В случае специальной теории относительности ситуация оказывается особенно простой в силу того, что все коэффициенты с в СП соотношениях (11) являются в таком случае числами, так что и в квантовой теории не имеет значения стоят ли они в выражениях слева или справа. В результате в квантовой теории нам требуются физические гамильтонианы Р^ М%〉удовлетворяющие тем же коммутационным соотношениям, что и инфенитезималь- ные операторы неоднородной группы Лоренца. Таким образом, они соответствуют некоторому представлению неоднородной группы Лоренца. Из необходимых в физической теории условий вещественности следует, что данное представление должно быть унитарным.

Для общей теории относительности ситуация оказывается более сложной, поскольку коэффициенты с являются в таком случае функциями гравитационных переменных. До сих пор не выяснено, можно ли выбрать квантовые гамильтонианы так, чтобы все условия (13) были удовлетворены в случае, когда коэффициенты находятся слева.

Локальные теории

Большинство релятивистских теорий построено в конце концов в терминах физических величин, каждая из которых локализована в некоторой точке пространства-времени. Они могут быть полевыми величинами, или они могут описывать точечную частицу или границу протяженной частицы. Взаимодействие возникает только между величинами, расположенными в соседних точках пространства-времени.

Можно задать исчерпывающий принцип действия, который будет давать все полевые уравнения и все уравнения движения частиц. Выбирая действие в виде лоренц-инвариантного выражения в специальной теории относительности и выражения, инвариантного относительно общих координатных преобразований в общей теории относительности, можно гарантировать, что все полевые уравнения и уравнения движения частиц будут релятивистскими.

Имеются некоторые трудности при рассмотрении точечных частиц, взаимодействующих с полями, в силу сингулярностей, производимых частицами в полях. Однако эти трудности не являются фундаментальными. Они просто требуют осторожного подхода при выборе основных динамических координат q. Эти координаты должны быть выбраны так, чтобы для любых малых вариаций bq переменных q вариация действия была линейной функцией вариаций bq. С физической точки зрения выбор переменных q должен быть таким, чтобы при изменениях q и смещениях частицы полевая сингулярность должна сдвигаться вместе с частицей и не оставаться позади нее. Это просто дело техники устроить так, чтобы переменные q удовлетворяли этим условиям, и никаких физических трудностей в этом нет. Примеры даны в моих статьях 幺 2 При наличии только полей, взаимодействующих друг с другом, данная проблема не возникает.

Для подходящего инвариантного принципа действия получаем удовлетворительную релятивистскую классическую теорию. Возникает вопрос, имеется ли в таком случае соответствующая релятивистская квантовая теория. Для ответа на него прежде всего следует привести классическую теорию к гамильтоновой форме.

Имеются определенные правила для выполнения этого, применимые к любому принципу действия, дающего согласованные уравнения движения. В результате имеем гамильтонов формализм того типа, который рассматривался выше и для которого все условия согласованности (11) обязательно выполнены.

Для квантования теории попытаемся получить квантовые гамильтонианы из классических так, чтобы они удовлетворяли квантовым условиям согласованности (13). При этом будем делать подходящий выбор всякий раз, как только возникает произвол в установлении порядка сомножителей в любом произведении. Оказывается, что это возможно для простых примеров с простыми видами взаимодействий.

Таким путем можно удовлетворить формальным требованиям, предъявляемым к релятивистской квантовой теории. Однако встречаются трудности с интерпретацией. При попытке получить волновую функцию, удовлетворяющую условиям (12), для описания физического состояния встречаются расходящиеся интегралы, не позволяющие получить математически осмысленное решение, за исключением тех тривиальных теорий в которых нет взаимодействия.

Несмотря на эту трудность, которая является весьма серьезной, формализм позволяет получить полезные результаты. Для электродинамики и некоторых других полевых теорий физики нашли хорошо определенные правила для сокращения бесконечностей, при которых в уравнениях остаются только конечные члены, которые затем можно сравнить с экспериментом. В случае электродинамики согласие с экспериментом чрезвычайно хорошее, показывающее, что должно иметь место некоторое обоснование данного метода.

Нелокальные теории

В последнее время было предпринято много попыток для устранения трудностей, связанных с бесконечностями в квантово-полевых теориях. Бесконечности возникают в силу локального характера динамических пе-

ременных, используемых в теории. Это породило у некоторых исследователей надежды на то, что эти трудности могут быть устранены если основывать теорию на нелокальных переменных — переменных, каждая из которых не задается физическими условиями в единственной точке пространства-времени .Метод Гамильтона способен достаточно хорошо справиться и с этим более общим вариантом теории.

В рамках специальной теории относительности имеется проблема задания гамильтонианов /^〉М^ как функций нелокальных переменных так, чтобы при этом удовлетворялись коммутационные соотношения (17). Примеры таких гамильтонианов, описывающих частицы с непосредственным взаимодействием между ними, т.е. взаимодействием не через полевую среду были разработаны в недавней статье Фонга и Сучера (1963).

Однако эти авторы обнаружили, что коммутационных соотношений (17) не достаточно для гарантии того, чтобы теория была релятивистской. Они нашли примеры, описывающие две взаимодействующие частицы, для которых все условия (17) выполнены, но тем не менее S-матрица, задающая сечения рассеяния, не является лоренц-инвариантной. Очевидно требуются некоторые дополнительные условия для того, чтобы сделать теорию релятивистской [5].

В качестве дополнительного условия Фонг и Сучер предположили, что S-матрица должна быть лоренц-инвариантной. Они смогли построить примеры, для которых это дополнительное условие выполняется, хотя эти примеры являются несколько искусственными.

Коммутационные соотношения (17) гарантируют тот факт, что мы имеем дело с представлением неоднородной группы Лоренца и, таким образом, то, что физические состояния можно считать вложенными в пространство-время Минковского. Тем не менее я нахожу удивительным то, что они не являются достаточными для того, чтобы сделать динамическую теорию релятивистской. Удивительные вещи могут случаться в теориях с полностью нелокальными переменными. Похоже, для того, чтобы теория имела физический смысл, требуется некоторая приближенная локализуе- мость переменных и возможно, что этого достаточно, чтобы теория была релятивистской в том случае, когда выполнены условия (17).

Нелокальные теории до сих пор находятся на примитивной стадии развития и об их возможностях не так много известно. Возможно, что основной задачей здесь является математическая формулировка условия приближенной локализуемости, которая была бы физически подходящей.

Некоторые исследователи считают, что трудности с бесконечностями в квантово-полевых теориях следует устранять путем отказа от гамильтониана. Они создают теории, где фигурируют результаты интегрирования уравнений движения без точного упоминания о каких-либо уравнениях движения. Они достигли существенного прогресса, опираясь просто на общие принципы квантовой теории и теории относительности, а также используя условие причинности. В такого рода деятельности непрерывно возникают параметры, значения которых не определяются теорией, а должны быть взяты из эксперимента.

Надежды людей, разрабатывающих этот метод, состоят в том, что в конце концов они будут иметь достаточное количество условий, полученных из общих принципов, чтобы фиксировать все параметры так, что в итоге они будут обладать полной теорией атомных процессов. Я не верю в

то, что такие надежды оправданы. Похоже, фундаментальным положением физической теории является то, что прежде чем получать результаты, сравнимые с экспериментом, мы должны проводить некоторый процесс интегрирования. В противном случае мы будем получать наши результаты слишком дешевым способом. Уравнения, которые мы должны интегрировать, по своей сути будут уравнениями движения. Имеются веские причины верить в то, что они должны иметь гамильтонову форму.

Моя лекция имела целью продемонстрировать вам ту фундаментальную роль, которую играют гамильтоновы методы в квантовой теории. Когда Гамильтон развивал свои методы, конечно, он и не думал о том, что они приобретут такую значимость. Единственное, что могло служить ему в качестве путеводного маяка при выполнении этой работы, была математическая красота уравнений. То, что он сумел оценить важность своей работы несмотря на отсутствие в то время каких-либо ее практических применений, свидетельствует о его великом гении.

Я надеюсь, что мы извлекли мораль для дальнейшего развития физической теории. В силу фундаментального и общего характера трудностей в сегодняшней квантово-полевой теории, безусловно требуются некоторые решительно новые шаги в ее развитии. Мы можем попытаться достигнуть прогресса, идя по следам Гамильтона. Это означает выбрать в качестве путеводного маяка математическую красоту и создавать теории, которые будут интересны прежде всего исключительной красотой своей математики. В таком случае мы можем надеяться, что такие уравнения в конце концов докажут свою значимость в физике. Эта надежда основана на вере в то, что формулировка законов Природы требует математической красоты.

Литература

Dirac Р.А.М.//Proc. Roy.Soc. А.1958.V.246.Р.326.

Dirac Р.А.М.//Proc. Roy.Soc. A.1960.V.257.P.32.

Dirac Р.А.М.//Proc. Roy.Soc. A.1962.V.268.P.57.

Fong R.〉Sucker J. // Univ,of Maryland Dept, of Physics. Tech. Rep. №319. 1963.

Часть IV

Проблемы математической физики (1955-1984)

ЗАМЕЧАНИЕ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ НЕОРТОГОНАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ

В ВЫЧИСЛЕНИЯХ ПО ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ)

Предложен метод получения первого приближения для описания процессов столкновения, включающих химические и ионные изменения, таким образом, что функции энергии взаимодействия различны в начале и в конце процесса столкновения.

В квантовой механике имеется много задач о квантовых переходах, когда начальное и конечное состояния принадлежат двум различным множествам ортогональных состояний, так что при выполнении вычислений приходится иметь дело со смесью волновых функций, принадлежащих двум различным множествам ортогональных состояний. В таких случаях для получения соответствующего базиса для вычислений возникает необходимость учитывать отсутствие ортогональности у данных волновых функций.

В качестве примера можно рассмотреть столкновение двух атомов, в результате которого электрон из одного атома переходит в другой. В начальном состоянии имеется нейтральный атом А и положительно ионизованный атом В+, каждый из которых движется с определенным импульсом, а в конечном состоянии оказываются атомы 4+ и В, имеющие опять определенные импульсы, такие, что суммарный импульс сохраняется.

Рассмотрим полную энергию Н с двух разных точек зрения

Я = Я(А) + Я(В+) + И =(1)

= H^ + H{B) + V2.(2)

где 8(4), Н(^В+\ ... — собственные энергии атомов А, В+,...,匕一энергия взаимодействия между А и В+, a V2 ——энергия взаимодействия между атомами 4+ и В. Первоначально состояние системы является собственным состоянием оператора Н^А) + 8(8+) и в начале взаимодействия возмущающей энергией является 匕.Однако конечное состояние системы является собственным состоянием оператора Н(А^) + 8(8) и перед завершением взаимодействия возмущающей энергией является 眩.

Волновое уравнение имеет вид

Н0 =

где Е — число, выражающее полную энергию состояния, которое нас интересует. Начальная волновая функция 吵。удовлетворяет уравнению

{H(A) + H(B^q = E^

Таким образом, полагая

吵=次)+吵1,

имеем

(Я -石)次=-(Я -石)次=一匕次.(3)

Пусть ф\ обозначают собственные функции оператора Н(А) + Н(В+)) описывающие атомы А и В+, каждый из которых находится в стационарном состоянии и обладает определенным импульсом, так что полный импульс системы равен требуемому значению. Следовательно

{8(4) + 8(8+)}办=e1入办，(4)

где 石1入 является числом. Разные собственные функции различаются разными значениями индекса Л. Аналогичным образом пусть х〃 обозначают собственные функции оператора Н(А^) + Н(В))так что

{Н^ + Н{В)}х^Е2^(5)

где 石2从 также является числом.

Множество собственных функций ф\ является далеко не полным для заданного полного импульса системы, поскольку оно не включает в себя каких-либо волновых функций, описывающих состояния со свободным электроном. Даже объединенные вместе два множества ф入)х〃 возможно не будут обладать полнотой, так что произвольную волновую функцию нельзя разложить по этим функциям. Однако любую волновую функцию, такую как —Vi^o? можно представить в виде разложения

一匕呪=£ / ахф\ dA + £ / Ъ^ d^ + ^res,(6)

где остаточный член ^res является малым настолько, насколько это возможно, чтобы удовлетворять требованию его ортогональности к каждой из функций фх и

Подставив разложение (6) в (3), получим

хФх 壮入 + £ / М" ^ + 2res・(7)

До настоящего момента наши результаты являются точными. Далее попробуем получить приближенное решение уравнения (7). Отбросим сразу все члены 吵侬〉так что выражение (7) можно записать в виде

次=£/aNH-Ey'c^dX + f /b^H-E^x^d^

Пренебрегая возмущением 匕 в отношении функций 0* из уравнения (4) получим

(Я -石尸办=伊⑷+ 8(8+)-码Т公=

=(石^ -(8)

Аналогично, пренебрегая возмущением 眩 в отношении функций х田 из уравнения (5) получим

(8 -石厂仪从=(后2从一石厂仪从・(9)

Таким образом, приближенным решением уравнения (7) является

次=Е / 州(Ed - К)"办 dA + £ / b^E^ - Е『хь 必. (10)

Решение (10) описывает как падающие, так и уходящие волны. Из него стандартным образом можно получить решение, описывающее только уходящие волны, путем замены обратного выражения (Ех\ —石)一】на

- Е)т - iTvS(Elx -石)

и аналогичной замены для (石2从—石)一L Различные члены данного решения будут тогда представлять различные рассеянные волны, возникающие в процессе столкновения. Коэффициенты при этих членах ад и 6从)после возведения их модулей в квадрат и домножения на подходящие множители, будут задавать вероятности перехода в различные конечные состояния.

Для вычисления коэффициентов ад и 6从 умножим выражение (6) на 3入 и проинтегрируем по всем значениям переменной q〉возникающим в волновых функциях, так что

+ e 〃好灰X从必.+ e 〃好灰X从必.Полагая, что функции ф\ нормированы таким образом, чтоПолагая, что функции ф\ нормированы таким образом, что

+ e 〃好灰X从必.

+ e 〃好灰X从必.

Полагая, что функции ф\ нормированы таким образом, что

Полагая, что функции ф\ нормированы таким образом, что

сведем предыдущее выражение к виду

(И)

где

5从=/灰X从歯.

好+ e /外n1人小=一 /以匕次歯,好+ e /外n1人小=一 /以匕次歯,(12)(12)Аналогичным образом, домножая выражение (6) на 彳从 и интегрируя, получим

好+ e /外n1人小=一 /以匕次歯,

好+ e /外n1人小=一 /以匕次歯,

(12)

(12)

где

心=/ Х^Ха dq =⑪*.

Уравнения (11) и (12) могут быть разрешены в отношении ад и Ь^. Удобно представить эти уравнения в виде одного матричного уравнения. Введем квадратную матрицу

и будем считать, что числа а* 6从 образуют матрицу Y из одного столбца, а числа / ^дИ^О dq〉/ X从匕吵0 dq образуют матрицу Z из одного столбца.

Тогда уравнения (11) и (12) могут быть записаны в виде (1 + Q)y = —Z.

Следовательно, его решением будет

У = _(1 + П)т%.(14)

Для успешного применения метода существенно, чтобы матрица 1 + Q имела обратную. Условием для этого является отсутствие совокупности чисел ад, 6^, среди которых не все равны нулю, удовлетворяющей соотношениям

ах + У2 з入同如=О,

(15)

а 从入 а；\ dX + /3 从=О,

или такой, что справедливо равенство

£ / «A<^A dA + £ / 阮^ = 0.(16)

Это означает, что волновые функции。入〉х〃 должны быть все независимы. Если данное условие не выполняется, то разложение (6) не является единственным и коэффициенты ад, b从 не являются определенными.

Не похоже, что имеются какие-нибудь простые способы доказательства независимости функций ф入)х~ в практически важных примерах. Это вопрос для дальнейшего изучения. Если обнаруживается, что для конкретного примера функции ф* х〃 не являются независимыми, то и в таких случаях есть возможность сохранить метод, работая с меньшей совокупностью функций ф入)х〃〉которые являются независимыми. Можно получить меньшую совокупность, например, отбрасыванием таких функций ф* у^, которые относятся к одному из атомов, находящемуся в крайне возбужденном состоянии.

Сокращение числа функций ф* х〃〉с которыми приходится работать, имеет преимущество не только в том, что возрастает перспектива для того, чтобы функции быть независимыми, но и в том что упрощаются вычисления, поскольку сокращается число строк и столбцов в матрице 1 + Q, для которой требуется находить обратную матрицу. Недостаток такого подхода состоит в возможном уменьшении точности метода, поскольку это ведет к увеличению 吵侬・

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ )

Формулировка релятивистского уравнения для электрона в терминах эрмитовых матриц имеет ряд преимуществ. В статье рассматривается обобщение такой формулировки на случай риманова пространства, позволяющее ввести гравитационное поле наиболее прямым из возможных способов. Обсуждается также физическая интерпретация волнового уравнения.

Введение

Если воспользоваться системой единиц, в которой постоянная Планка равна 2тг, то релятивистское уравнение для электрона в свободном от полей пространстве имеет вид

〃侬 о + а『沙)+ ^т^ = 0, (1)

где 吵。=3吵/3力。)吵丁 = 8心Iд" для г = 1, 2, 3, а а и /3 являются 4 х 4-матрицами, антикоммутирующими друг с другом, квадрат которых равен единице. Уравнение может быть также записано в виде

〃)"％ + ^^ = 0, (2)

где 从= 0,1, 2, 3, а 7° = /3, 7T = /Заг. Матрицы 7 удовлетворяют соотношению

7^7" + Y 寸=2〃从「 (3) где 〃从"一фундаментальный (метрический) тензор специальной теории относительности, т.е.

严犷1=产=产=一1,1

4ab _ q дЛЯ a Ъ.

Для описания электрона, движущегося в гравитационном поле, необходимо обобщить волновое уравнение таким образом, чтобы его можно было применять в римановом пространстве с более общим метрическим тензором g〃J Именно эта задача была решена многими исследователями (см. ссылки в конце статьи). Результат обычно выражается в виде обобщения уравнения (2), записываемого через матрицы 7^, удовлетворяющие соотношению

7^ + 7^ = 2^, (5) представляющего собой естественное обобщение соотношения (3) на случай риманова пространства.

В некотором смысле предпочтительнее работать с волновым уравнением, записанном в виде (1), а не в виде (2), что позволяет вообще не пользоваться матрицами 7. Матрицы а『и /3 являются эрмитовыми, так что оператор, действующий на в уравнении (1), также является эрмитовым. Благодаря этому обстоятельству теория приобретает некоторую симметрию, полезную при получении числовых значений, нуждающихся в физической интерпретации. При записи уравнения в виде (2) данные симметричные свойства не проявляются столь явным образом, а следовательно, и их физическая интерпретация не является столь явной.

Как будет показано ниже, если начинать с уравнения в виде (1), то аргументы, требуемые для отыскания вида волнового уравнения в римановом пространстве, могут быть выражены достаточно просто. Никоим образом не используется аналогия между соотношениями (3) и (5), на чем основан метод Фока 2. Предлагаемый здесь метод является существенно более прямым, чем метод Фока.

Преобразования Лоренца

Для краткости удобно ввести а° = 1)так что уравнение (1) может быть записано в виде

沁。％ + /Зт^ = 0,(6)

где а = 0,1, 2, 3. Свойства матриц а и /3 приводят к соотношению

аа^ + abf3aa = 2^6/3,(7)

заменяющему соотношение ⑶.

Пусть S будет некоторым степенным рядом в отношении а1, а2, аЗ с вещественными коэффициентами. Он может быть представлен в виде

S = saaa = aasa,(8)

где

причем иа и va — вещественные числа. Сопряженная эрмитова матрица имеет вид

S+ = где

s^ = иа — Uo,a а а = f3saf3.

Далее предположим, что

= I-(9)

Тогда из соотношения (7) следует

S/3S+ = %&%寸£ = sasbaaPab = | %%(&%/ + £巾)=仇 (Ю)

Подобным образом

Очевидно, что выражение S*o1as является степенным рядом по а1, а2, аЗ с вещественными коэффициентами, и поскольку оно является эрмитовым, то должно представлять собой линейную комбинацию относительно 1, а1, а2, а3. Таким образом,

S+MS = %£(12)

где /。匕一вещественные числа. Используя соотношения (10), (7) и (11), имеем

S^^SISS^o^S + S+3SBSFS = S^^^ + ab^aa)S =

=27fbs+/3s = 2俨仇

Тогда в силу соотношения (12) получаем

产/辰内^ +泅眦)=2严仇

или

产=产(13)

Уравнение (13) означает, что /% генерируют преобразования Лоренца. Таким образом видно, что каждая матрица S)удовлетворяющая условию (9), соответствует одному из преобразований Лоренца. Поскольку каждая матрица S содержит шесть независимых вещественных параметров, то таким путем мы получаем все преобразования Лоренца, за исключением отражений. Можно считать, что элементы матрицы S генерируют и преобразования функции ⑺ в соответствии с правилом

⑺=S“.(14)

В таком случае мы будем располагать и преобразованиями ^, отвечающими каждому из преобразований Лоренца.

Переход к риманову пространству

С целью установления вида уравнения для электрона в римановом пространстве введем «четырехножку», т.е. набор четырех ортогональных нормированных векторов, в каждой точке пространства [1]. Одна из «ножек», которую обозначим индексом 0, будет иметь времениподобное направление, а три других будут иметь пространственноподобные направления и обозначаться индексами 1, 2, 3. В каждой точке пространства четырехножка может быть выбрана произвольным образом, непрерывно изменяясь при непрерывном движении точки, так что можно подчинить четырехножки вращениям, меняющимся от точки к точке. Физическое уравнение должно быть инвариантно не только относительно общих преобразований координат, но и в отношении произвольных вращений четырехножек.

Для удобства обозначений будем использовать латинские индексы а, 6 в тех случаях, когда обозначаются «ножки», и греческие индексы 从〉v для обозначения четырех координат х. Любой вектор обладает компонентами Аа относительно четырехножки в той точке, где он задан, и компонентами В^ относительно системы координат 力从.Индекс а поднимается и опускается посредством фундаментального тензора специальной теории

относительности 〃°匕〉заданного соотношениями (4). Индекс 从 поднимается и опускается посредством фундаментального тензора д^ риманова пространства. Связь между компонентами двух сортов имеет вид

/а = h^aB^^

где коэффициенты 九从① фиксирующие положение четырехножек в отношении системы координат, удовлетворяют условиям

九匕俨=^, h^ah^b = Ш-

При вращении четырехножек коэффициенты h% претерпевают преобразование Лоренца в отношении индекса а, например вида

h^arb =讶勺,(15)

где /°6〉являющиеся теперь функциями координат 力)удовлетворяют соотношению (13). При заменах координат коэффициенты h% преобразуются подобно контравариантным компонентам вектора в отношении индекса /1.

Четыре матрицы аа, упоминавшиеся в предыдущем пункте (одна из которых равна 1), ассоциируются с четырьмя ножками. Именно по этой причине в предыдущем пункте использовались индексы а, 6 вместо индексов 禺ZA

Рассмотрим волновое уравнение

汾%aа(叫+ /3勺*+例7碑=0,(16)

где

勺=I ^аКъ^^.(17)

Запятая перед дополнительным индексом 从 обозначает ковариантную производную, в отличие от дополнительного индекса без запятой, который обозначает обыкновенную производную. Данное волновое уравнение является очевидным образом инвариантным в отношении преобразований координат в силу того, что оно имеет явную тензорную форму относительно греческих индексов. В дальнейшем будет видно что оно также инвариантно и в отношении вращений четырехножек, обеспечивая правильные законы преобразования функции 认

В том случае, когда четырехножки вращаются в соответствии с правилом (15), функция ⑺ должна преобразовываться по закону (6), где матрица S (которая теперь является функцией координат д) связана с матрицами /% согласно соотношению (12). Таким образом, получаем

h^aS+aaS = h!“.(18)

В результате уравнение (16) преобразуется к виду

ih^aS^aa{S^ + S評 + В” 心 + S+BSm^ = 0.

С помощью соотношений (10), (11) и (18) оно записывается как

加勺 £(山 + Ж39 + /Зт/ = 0,(19)

где

龜=S+BS開 + S+/S.(20)

Далее, справедливо равенство

S/3S+ + Sm/3S+ = (S/3S+)从=班=о,

показывающее, что выражение S^S^ равно своему эрмитово сопряженному со знаком минус. Кроме того, каждый член в выражении S/3S^ должен содержать матрицу /3 и может содержать матрицы ai)*〉аз с вещественными числовыми коэффициентами. Следовательно, матрица S/3S^ должна быть линейной функцией от 0^/3〉虱小)аз^ OL^a^^ о^аз/З〉а^а-^/З. Каждый из этих членов коммутирует с двумя из величин ai)。2〉аз и антикоммутирует с третьей из них. Отсюда имеем

aTSBS^ar = S/3s小

где в левой части происходит суммирование по г = 1, 2, 3 и в результате имеем

aaSf3S^aa = 0.(21)

Теперь получим соотношение

S+aaSf3(S+aaS^ = SFSBS+qE = S+aaf3aaS^ = 4S+/3S*

Подставляя его в выражение (20), получим

龜=:S2S队SF儿 + J h^ah^S+aa^S =

=J h\S+aaSp{h^S+abS^ + h^S+abS}=

= ^h\S+aaS^bS+abS)^

поскольку величины, такие как S+a^S〉т.е. содержащие только латинские индексы, ведут себя как скаляры в отношении ковариантного дифференцирования. Из соотношения (18) теперь получим

龜= М%%мХ 仇也(22)

Сравнивая выражения (22) и (17), замечаем, что h,yа входит в выражение для К，точно таким же образом, как и 九％ входит в выражение для К^. Следовательно, уравнение (16) остается инвариантным в отношении произвольных вращений четырехножки и, соответственно, является допустимым физическим уравнением.

Физическая интерпретация

Чтобы показать, что выражение (16) может служить в качестве волнового уравнения для электрона в римановом пространстве, необходимо также проверить, что к нему применима стандартная физическая интерпретация. Из выражений (14) и (18) видно, что

h"222 =九匕“+s+aas“ =

Это свидетельствует о том, что выражение h%炉01a@ не изменяется при вращениях четырехножки. Таким образом, это выражение является вектором, отнесенным к данной системе координат, и его, с точностью до числового коэффициента, можно принять в качестве четырехмерного вектора тока в соответствии со стандартной физической интерпретацией.

Следует рассмотреть также вопрос о законе сохранения этого вектора, который непосредственно связан с эрмитовым характером операторов в волновом уравнении. Из соотношения (17) имеем равенство

勺 + К^ = ： ^ah^ + h\h^aa^ab = J (九匕九加,即％£ = 0, (23)

показывающее, что оператор iK閲 является эрмитовым. Однако выражение io1aВК^ которое также действует на функцию ⑺ в уравнении (16), не является эрмитовым.

Используя те же аргументы, что привели нас к равенству (23), находим что

I Мah^b/OL。呢。6心 + Эрмит, сопр. = 0.

Таким образом,

I 九％源仇从(2〃℃ — 01е(Заа+ эрмит. сопр. = 0,

или

- Q673KM -鹏』=0.(24)

Домножим уравнение (16) слева на функцию ⑺十 и вычтем из полученного выражения комплексно сопряженное уравнение. В результате получим

h^aM+aa^ 開 + ^^^ + 2* да 84 + К^/За。)砂} = 0.

С помощью соотношения (24) последнее выражение сводится к h%{3F吟"+九""/^仇从少+a"0} = 0,

что дает

(九%少+a。少)心=0.

Таким образом, выполнение закона сохранения подтверждено. Следует заметить, что

84 = : h"ahg歩а。廿枝=I h"ahgg£.

Таким образом, матрица ВК~ содержит лишь а】〉а^〉аз)на что было указано Фоком. Это означает, что в волновом уравнении (16) матрица /3 возникает лишь в членах с массой т. При применении данной теории к описанию нейтрино полагают m = 0, в результате чего все матрицы /3 из рассматриваемого уравнения исчезают. В таком случае оказывается возможным представить м〉*〉аз в виде 2 х 2-матриц, так что можно получить теорию двухкомпонентных нейтрино в гравитационном поле.

Литература

Cartan Е. Legons sur la Theorie des Spineurs, Paris 1938.

Fock 丿.〃 Zs. Phys. 1929. Bd. 57. S. 261.

Infeld £., van der Waerden B.L. // Sitzungsber. PreuB. Akad. Wiss. 1933. S. 380.

Riesz M., Douzieme C.R. // Congres d. Math. Scandinaves. 1953. P. 241.

Schouten J.A. // J. Math. Phys. 1931. V. 10. P. 239.

Schrodinger E. // Sitzungsber. PreuB. Akad. Wiss. 1933. S. 105.

Tetrode Я. // Zs. Phys. 1928. Bd. 50. S. 336.

Weyl H. // Zs. Phys. 1929. Bd. 56. S. 330.

27

ДИСКУССИЯ НА XII СОЛЬВЕЕВСКОМ КОНГРЕССЕ «ТЕОРИЯ ПОЛЯ»)

Дискуссия по докладам В. Гайтлера и Р. Фейнмана

Дирак. Я хотел бы кратко изложить мою точку зрения на теорию поля. Основой атомной физики является принцип суперпозиции, согласно которому состояния носят такой характер, что они могут, складываясь, приводить к другим состояниям той же природы. Эти состояния следует представлять себе вложенными в пространство-время. Это означает, что если какое-либо состояние задано, то к нему можно применять различные операции вращений и трансляций, получая при этом другие состояния. Эти операции образуют группу — неоднородную группу Лоренца. Тем самым, каждое из состояний реализует некое представление неоднородной группы Лоренца. В итоге проблема формирования квантовой теории сводится к проблеме нахождения определенного представления неоднородной группы Лоренца.

Можно попытаться решить эту проблему штурмом, рассмотрев все представления неоднородной группы Лоренца. Этому методу следовал Вигнер в 1939 году. Он выразил все представления через неприводимые представления. Неприводимые представления соответствуют неким частицам, рассматриваемым сами по себе. Взаимодействующим частицам также соответствуют представления, но уже приводимые. Всю работу, что была проделана в квантовой теории поля до сих пор, можно рассматривать как попытки получить подходящие представления неоднородной группы Лоренца, соответствующие физической реальности. Эти попытки потерпели неудачу из-за наличия бесконечностей и потому не имеют никакого математического смысла.

Я думаю, что не следует жалеть времени на то, чтобы подойти к проблеме с более общих математических позиций. На их основе было бы необязательно строить необходимые представления, используя полевые величины, применяемые в существующих физических теориях. Задачей первостепенной важности является получение правильных математических соотношений. Затем можно будет вновь вернуться к физической интерпретации различных величин, которые могут появиться в новой математической схеме.

Дискуссия по докладу Г. Челлена

Дирак. Я хотел бы добавить несколько замечаний к тому, что я сказал вчера о квантовой теории поля, чтобы точнее сформулировать мою мысль [1]. Некоторые из моих коллег, мыслящих математически, говорили мне о том, что все представления неоднородной группы Лоренца давно известны. Под этими словами неявно подразумевается, что они знают все представления, необходимые в квантовой теории поля.

Однако эти математики предполагают, что два представления эквивалентны, если они связаны унитарным преобразованием. При этом подразумевается, что нахождение любого унитарного преобразования тривиально. Огромные усилия в атомной физике сосредоточены на попытках найти S-матрицу, которая, будучи унитарным преобразованием, при этом отнюдь не является тривиальной.

Нам следует принять физическую точку зрения, согласно которой два представления, связанных унитарным преобразованием, не обязательно должны быть эквиваленты друг другу. Тогда количество различных представлений значительно возрастет, так что возникнет проблема выбора правильного представления из этой огромной совокупности. В подобных исследованиях нам придется пользоваться любыми математическими методами, которые мы только сможем придумать. Например, нам не следует ограничиваться использованием только тензоров конечного ранга, но могут потребоваться и тензоры бесконечного ранга, соответствующие всем возможным представлениям однородной группы Лоренца.

28

ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 3 + 2 ГРУППЫ ДЕ СИТТЕРА)

Среди инфенитезимальных операторов 3 + 2 группы [1] де Ситтера имеются четыре независимых циклических оператора, один из которых отделен от трех остальных. Получено представление, в котором данный оператор обладает целыми собственными значениями, в то время как остальные три имеют полуцелые собственные значения, или наоборот. Представление имеет особенно простой вид, если волновая функция зависит только от двух переменных.

Введение

Рассмотрим [2] группу вращений пяти вещественных переменных xi, 力2〉力3〉力4〉力5〉оставляющих инвариантной квадратичную форму

х^ + х^ + х^ — х^ — xl，(1)

Инфенитезимальными операторами группы являются таъ = — т^ (а, 6 = = 1, 2, 3, 4, 5). Всего имеется десять независимых операторов. Они удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям, которые в обозначениях £ 用=£〃 一 〃£ имеют вид

[m^ab〉m^cd] =。〉(2)

где все а, 6, с, d отличны друг от друга. Если все индексы а, 6, с различны и по а нет суммирования, то

На5, Wc] = 儿 для а = 4, 5,=—тьс для а = 1, 2, 3.

Будем рассматривать только унитарные представления, так что у оператора гта5 все собственные значения вещественны для любых значений а, Ь.

Некоторые из базисных вращений та5 являются циклическими (или круговыми), а некоторые — гиперболическими. Круговые вращения соответствуют операторам mi2, Ш2з,恤1〉^45, а гиперболические — операторам mi4, W4, ^34〉^15〉W5, ^35- Если оператор таъ ——гиперболический, то соответствующий оператор im^ обладает непрерывной областью собственных значений, а если оператор та5 — циклический, то спектр собственных значений оператора гта5 — дискретный, состоящий из целых или полуцелых чисел.

Если зададим волновые уравнения в 3 + 2 пространстве де Ситтера с метрикой

力;+ 力^ + 力^ 一力^ —力^ = _r2(4)

для различных волновых функций тензорного или спинорного характера, то получим различные представления группы де Ситтера. Однако все они будут такими, что для всех циклических операторов ma5, im^ эти операторы будут иметь целые собственные значения, или же все они будут обладать полуцелыми собственными значениями. Для таких «прямолинейных» представлений никогда не возникает какого-либо смешения целых и полуцелых собственных значений.

В данной статье рассматривается несколько более примитивное представление, в котором операторы zmi2, 277123, гтзх обладают полуцелыми собственными значениями, в то время как у оператора im^ собственные значения целочисленные. В таком смешении нет никакой несовместимости, поскольку вращения, отвечающие оператору 77145, являются полностью отделенными от вращений, связанными с операторами mi2,77123, ^31・ Действительно, при переходе от 3 + 2 группы де Ситтера к ее накрывающей группе отделенность Ш45-вращений позволяет оператору 277145 иметь любые вещественные собственные значения, независимо от того какими собственными значениями обладают операторы других вращений. Общая теория представлений такой накрывающей группы была дана Эрманом ).

7-матрицы

Рассмотрим 4 х 4-матрицы, все элементы которых вещественны. Таких имеется 16 независимых матриц. Выберем их некоторым образом и назовем 7-матрицами. Одна из них является единичной матрицей 70- Остальные 15 выбраны таким образом, чтобы они были либо симметричными, либо антисимметричными матрицами, при этом квадрат каждой симметричной матрицы равен 7d квадрат каждой антисимметричной матрицы равен —)d а произведение любых двух таких матриц равно 土 некоторой третьей из этих матриц. Указанные 15 матриц могут быть записаны как 7лв = —7ва, где А и В два различных индекса, пробегающих значения от 1 до 6.

Правила умножения для матриц 7厶в следующие. Будем использовать обозначения tabTcd = Iabcd и т.д. для произведений более чем двух сомножителей. Таким образом, любое произведение представляется как 7 с четным числом индексов. Имеют место два общих правила:⑴ любые два различных индекса можно поменять местами, если при этом умножить результат на —1; (ii) индекс А, возникший на двух последовательных позициях, может быть опущен при одновременном умножении на —1 в тех случаях, когда А = 4, 5 или 6. Таким образом, например, для а, 6 = 1,..., 5

7а6)Ь6 = 7а6Ь6 = —7аЬ66 = 7ab •(5)

При опускание всех индексов получаем 70-

Как следствие из этих правил находим, что)^石=7о, если один из индексов А, В принимает значения из набора 1, 2, 3, а другой — из набора 4, 5, 6, так что матрицы 7лв в таком случае симметричны. В противном случае)^石=—70 и матрицы 7лв антисимметричны. Выясняется также, что матрицы 7лв ^ 1сD коммутируют, если все их индексы А, 8〉С)D

различны между собой, и что они антикоммутируют в том случае когда один из индексов А, В совпадает с одним из индексов С)D. Таким образом, все матрицы из набора пяти матриц)厶历 у которых один из индексов является общим одним и тем же, антикоммутируют между собой. Далее находим, что2

7123456 = 7о, так что

7123456 = ±7о-

Условимся, что

7123456 = 70-⑹

Данное уравнение позволяет нам сводить выражение ?abcd к матрице 7 с двумя индексами в том случае когда все А, В, С, D различны. Например, домножив уравнение (6) на —)56〉получаем

71234 = —756-

Редукция выражения ?abcd к двухиндексной матрице 7 в случае, когда два индекса из А, В, С, D совпадают, осуществляется непосредственно по правилам (i) и (ii), как это проиллюстрировано на примере (5).

Результат взаимной смены мест строк и столбцов в любой матрице а будет записываться как а*. Имеем ^в = ±7лв, где знак + появляется когда /в = 7о, а знак когда ^в = -70-

Каждая матрица)厶в имеет равную нулю сумму диагональных элементов (след)

〈Х4В〉= 0.

Для доказательства этого пусть а будет некоторой 4 х 4-матрицей, имеющей обратную. Тогда

厶 В〉=〈7厶 ВС。—1〉= "

Выбирая в качестве а одну из 7 матриц, антикоммутирующих с 7лв, получаем/\/\

ПАВ) = —厶

Представление конформной группы

Введем четыре переменные 〃，” 〃з〉〃4)соответствующие четырем строкам 7 матриц. Они могут быть записаны в виде матрицы-столбца и в таком случае будем обозначать их символом и. С другой стороны, они могут быть записаны в виде матрицы-строки и в таком случае обозначаются как 涼.

Пусть。1〉。2〉。3〉。4 представляет собой другой такой набор четырех переменных. С помощью произвольной 4 х 4-матрицы а и матричного умножения мы можем образовать выражение v^au^ являющееся 1 х 1-матрицей или числом. Очевидным образом имеем

v^au =(8)

Введем четыре дифференциальных оператора дп = д/дип (n = 1, 2, 3, 4). Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

[5n, unf] = 6n^nf.(9)

Их можно записать в виде матрицы-столбца д или в виде матрицы-строки 3*. Если подставить д вместо v в выражение (8), то уравнение перестает выполняться в силу отсутствия коммутативности между матрицами дни. Из соотношения (9) легко находится, что

ЗЬ〃 = и^о^д +〈а〉.(10)

Из соотношений (8) и (9) находим также, что для любых 4 х 4-матриц а и /3

[и^ад^ и^/Зд] = и^[а^ /3]д.(11)

Для каждой матрицы)厶в определим дифференциальный оператор

ХАВ = j и^лвд.(12)

Из соотношения (11) получаем

[ХАВ, Хсл] = : u\^ABCD - 7CDAB)d.

Отсюда следует, что когда все индексы А, В, С, D различны,

[xab.Xcd] = 0,(13)

а если различны все индексы А, В, С, без суммирования по А, то

[хав, Хас] = Хвс для А = 4,5, 6,

=~Хвс для А = 1,2,3.

Коммутационные соотношения (13), (14) подобны коммутационным соотношениям (2), (3), с той лишь разницей, что индексы в них могут принимать шесть значений вместо пяти. Они показывают, что операторы Хав можно рассматривать в качестве инфенитезимальных операторов группы вращений шести вещественных переменных 力^ ...〉力6〉оставляющих инвариантным выражение

力:+力^ +力^ -力^ 一力^ 一力^.(15)

Это конформная группа четырехмерного пространства. Она содержит в себе 3 + 2 группу де Ситтера в качестве подгруппы.

При ограничении на переменные 〃 принимать только вещественные значения, операторы Хав задают представление конформной группы, для которого волновые функции являются функциями @(〃1〉〃2〉〃з〉〃4)от четырех вещественных переменных и. Представление является унитарным, поскольку из формул (10) и (7) следует, что сопряженным оператору Хав является оператор

~1д^АВи = -ХАВ

Если функции ⑺ выбраны так, что / |^|2 d4u сходится, то такой интеграл будет левоинвариантным в отношении произвольного инфенитезимально- го вращения функции 认

В соответствии с формулой (12) определим

Хо = j ^So5 = j и^д.

Из соотношения (11) видно, что оператор хо коммутирует с каждым из операторов Хав- Таким образом, можно положить, что хо равно некоторому числу, скажем а. Условие хо = а означает, что волновая функция ⑺ является однородной по переменным 〃 со степенью однородности 2a. Введем в u-пространстве сферические переменные . &〉似 ®з)где р =(涼〃尸/乙 а &〉似 & — три независимых функции от отношений переменных и. Тогда функция ⑺ имеет вид

少= °2а 少](&,&/з).(16)

Чтобы сохранить унитарный характер представления, потребуем чтобыi(ud^ + 3*〃) =вещественное число.

Тогда

и^д + 3*〃 = 2〃切 + 4 = 4(хо + 1).

Таким образом,

Хо = —1 +汝(17)

где 6 является вещественным числом. Уравнение (16) принимает вид

少=0—2+256耽(е).(18)

Волновая функция ⑺ не является теперь квадратично интегрируемой, будучи собственной функцией оператора хо с непрерывным спектром собственных значений. Имеем

/ |^|2 d^u = / \^\2p2 dQdp〉

где dQ является элементом трехмерного телесного угла в и-пространстве, т.е. величиной кратной d®i d®2 ^з- Подставляя в это выражение функцию ⑺ в виде (18), получаем

ОСОС

/ М2 d4〃 = /р-1 dp/ l^il2 dQ.(19)

—ooО

Теперь мы можем опустить переменную р из нашего представления, что влечет за собой работу с волновой функцией ^1(0) и отбрасывание бесконечного множителя / р-、dp из формулы (19) для квадрата длины волновой функции.

Возвращаясь назад к волновым функциям ⑺ общего вида, которые не являются собственными функциями оператора х(Ъ рассмотрим волновые функции вида

少=Р(〃ь 〃2, 〃з, 〃4)/0),(20)

где Р представляет собой степенной ряд по переменным и, а /(0)выбрана таким образом, чтобы ⑺ была квадратично интегрируемой. Немедленно находим, что

[хав.Р2] = иЦлви.(21)

Если вращение ХАВ является циклическим, матрица)厶в — антисимметрична и, таким образом, Хав коммутирует с р. Следовательно применение кругового вращения к волновой функции вида (20) оказывает действие только на степенной ряд Р и оставляет инвариантным множитель /(/>)•

Пусть ряд Р будет линейным по переменным 〃 и предположим, что он является собственной функцией некоторого конкретного циклического оператора Хав • Тогда его собственное значение является собственным значением матрицы (1/2)7лв и в таком случае равно ±(1/2)〃. Отсюда легко сделать вывод, что если ряд Р является однородным со степенью однородности п по переменным и и, в то же время, является собственной функцией некоторого конкретного циклического оператора ХАВ^ то собственное значение оператора ixAB есть целое или полуцелое число, в зависимости от того является п четным или нечетным.

Четность степенного ряда Р является инвариантом относительно всех вращений, как гиперболических, так и циклических. Данная четность определяет целочисленный или полуцелочисленный характер собственных значений каждого из операторов круговых вращений. Следовательно, в рассматриваемом представлении не имеет места смешение целочисленных и полуцелочисленных собственных значений, которое возникает в замечательном представлении, являющемся предметом нашего поиска.

Некоторые свойства операторов *

Лемма. Для любой симметричной 4 х 4-матрицы S справедливо равенство

712s)12 + 723s)23 + 731s)31 = s —〈S〉7d(22)

или аналогичным образом

745s)45 + 756s)56 + 764s)64 = S —⑻箍(23)

Для доказательства равенства (22) заметим, что у любой симметричной матрицы 7лв один из индексов равен 1, 2 или 3, а другой равен 4, 5 или 6 и по этой причине эта матрица коммутирует с одной из трех матриц 712, 723, 731 и антикоммутирует с двумя остальными. Таким образом, если такую матрицу 7лв подставить вместо S в выражение (22), то два из членов в левой части равенства будут равны S)а третий — —S, а след〈S〉в правой части равенства равен нулю. Равенство (22) выполняется и для S = )0, так что оно выполняется для любой симметричной матрицы S. Доказательство равенства (23) аналогично.

Лемма позволяет уменьшить число квадратичных соотношений между операторами у. Из формулы (10) имеем

2Х4В = и^лвд = д^\ви.

Следовательно,

-4(Х12 + Х23 + Х31) = ^712^712 5 + ^723^723^ + ^731^7315.

Умножение ассоциативно, так что можно в середине каждого из членов в правой части равенства выделить комбинацию ии^ и рассмотреть ее как некоторую 4 х 4-матрицу. Эта матрица симметрична, так что можно взять ее в качестве матрицы S в равенстве (22) и получить

—4(x12 + 忑3 + Хз1) = д^ии^д — дЦии^)д = {и^д + 4)г?3 — и^ид^д — 2г?3.

Таким образом, имеем

Х12 + 忑3 + Хз1 = —Хо(Хо + 1) + I и^ид^д.(24)

Аналогичным путем получаем

Х45 + Хбб + Хб4 = —Хо(Хо + 1) + I и^ид^д.(25)

Следовательно,

Х12 + 忑3 + Хз1 = Х45 + Хбб + Хб4-(26)

Более общий результат может быть получен следующим образом: Пусть 7р и 7q будут какими-либо двумя 7-матрицами, т.е. каждая из них является либо матрицей 7d либо матрицей)厶в. Полагая в равенстве (22) S = ии^ и умножив слева на 3*)^ и справа на 7q5, получим

%}12〃疝 7127q3 + %方23〃涼 723)q3 +

+ 3t7^731""t7317Q3 - d^^uu^Qd = -d^^(uu^yQd =

=-u^ud^p]Qd - 2u^p]Qd,

где 7PtQ обозначает 7pt7Q- С помощью соотношений (10) и (12) это выражение приводится к виду

{xi2P + I〈)12P〉}xi2Q + {х23Р + I〈)23P〉}x23Q +

+ {хз1Р + I(731F)}x31Q + {хр + I〈Tp〉}xq =

=:u^ud^p]Qd + Xp]Q. (27)

Далее 〈712P〉исчезает во всех случаях кроме 712Р = ±7о, но в данном случае 712 =干7P = ±)pt・ Таким образом,

bl2P)X12Q = |(712F)|XptQ-

Рассматривая подобным образом другие члены в выражении (27), содержащие (7), в конечном счете получим

X12PX12Q + X23PX23Q + X31PX31Q + XPXQ =

={1 - I 1(712Р + 723P + 731F + )Р〉|}xptQ + I u^ud^p]Qd. (28)

Аналогичным образом можно показать, что

X45PX45Q + X56PX56Q + X64PX64Q + XPXQ =

={1 - I I(745F + 75 6P + 76 4P + TP〉丨}xpQ + I 〃*〃％рдЗ. (2 9)

Следует заметить, что последние члены в выражениях (28) или (29) исчезают в случае, если матрицыили)pq являются антисимметричными.

Общие формулы (28) или (29) имеют множество приложений. При 7P = =7q = 7о опять возвращаемся к формулам (24) и (25). При 7P = 7о, 7Q = =)56 из формулы (28) получаем

Х12Х34 + Х23Х14 + Х31Х24 = —(1 + Xo)%56-(30)

При 7р = 712,)q = 745 из формулы (28) получаем

—Х0Х36 + Х31Х16 + Х32Х26 + Х12Х45 = Х36 — ： и^идЦзвд. (31)

При 7р = 7з1,7q = 716 из формулы (29) получаем

Х26Х32 + Х24Х51 + Х25Х14 + Х31Х16 = —Хзб —:门〃3*736a.(32)

Вычитая выражение (32) из выражения (31) и принимая во внимание некоммутативность операторов *26 и Х32)получим

Х12Х45 + Х24Х15 + Х41Х25 = (1 + Х0)Х36-(33)

Уравнения (30) и (33), а также подобные им уравнения могут быть записаны в виде общей формулы

XABXCD + XBCXAD + XCAXBD = (1 + X^XABCD-(34)

где все индексы А, В, С, D различны.

При 7р = 7q = 745 из формулы (28) получаем

Хзб + Х16 + 忑6 + Х45 = Хо + I и^ид^д.(35)

Вычитая выражение (25) из выражения (35), получим

Х16 + Х26 + Хзб — Х46 — Хбб = Хо(Хо + 2).(36)

В общем случае для каждого значения В имеем

£ ХавХАВ = —Хо(Хо + 2),(37)

где при подымании индекса возникает знак минус в тех случаях когда индекс равен 4, 5 или 6. Суммируя по всем В, получаем

£ £ Х4ВХ，В = -Зхо(Хо + 2).(38)

А В<А

Замечательное представление

Определим операторы с индексами 从〉v = 1, 2, 3, 4

= X/i以^//5 = С(X/15 — 〃X/i6)〉(39)

где О — оператор, переводящий числа в их комплексно-сопряженные. Он обладает алгебраическими свойствами

С2 = 1, Ci = —(40)

а также О коммутирует со всеми производными & переменными 〃 и матрицами 7，Таким образом, он коммутирует со всеми операторами у.

Следует проверить удовлетворяют ли операторы та5, определенные соотношениями (29), коммутационным соотношениям (2),⑶.Из формулы (14) очевидно, что все эти соотношения удовлетворяются за исключением таких как [т^^ т^], где 从 # гл Ив формулы (34) при А, В, С, D = =/1, г/, 5, 6 имеем

[^/15, ^г/б] = O(X/15 — 〃Х/16)О(Х^5 — 〃Х^6)— О(Х^5 — 〃X^6)O(X/15 — ^X/i6)=

=(X/15 + 〃X/16)(X^5 — 〃Мб) —(Xz^5 + 〃X^6)(X/15 — ^X/i6)=

=[X/i5〉X^5〕+ [X/16, Х^б] + 2〃(X/16X^5 — X/i5X^6)=

=2%^ + 2г{—%^%56 + (1 + Х0)Х//^5б}・

Таким образом,

Н/15,т^] = Хм^ 一 2i%^(Х56 + ； 〃) + 2以从"56(1 + Хо)・ (41)

Рассмотрим волновую функцию @)удовлетворяющую двум дополнительным условиям

(X。+ 1)少=0,(42)

(Х56 + ； 〃)少=。・(43)

Условия являются согласованными, поскольку хо и Х56 коммутируют между собой. Операторы хо + 1 口 Х56 + (1/2)г, фигурирующие в этих условиях, коммутируют со всеми операторами та5. Это очевидно в отношении оператора хо + 1- Также очевидно что оператор Х56 + (1/2)〃 коммутирует с т^^ а тот факт, что этот оператор коммутирует с т卩5)можно доказать следующим образом:

m^5(Х56 + ； 〃) = С(Х^5 - ^ХМ6)(Х56 + ； 〃)=

=°{x56(X/i5 -匕Xg - Х/16 - 〃X/i5 + I “Х/15 - 〃Хмб)}=

=С(Х56 — ； 〃)(Х/15 -以从6)=(Х56 + I 〃)^从5・

Таким образом, дополнительные условия выделяют набор волновых функций ⑺〉которые инвариантны в отношении любых операций, задаваемых 77%»

Для данного набора функций ^, выражение (41) сводится к

[^/15, ^г/б] = т^ь〉

так что операторы та5 удовлетворяют всем коммутационным соотношениям (2),⑶.Они, таким образом, задают представление 3 + 2 группы де Ситтера. Представление является унитарным, поскольку все операторы та5 равны своим сопряженным со знаком минус. В случае оператора т曲 это следует из того, что операторы С и Ci являются самосопряженными.

Далее выведем некоторые свойства данного представления. Из формул (30) и (42) имеем

77112 77134 + 7712 3^14 + ^31^24 = 0.(44)

Соответствующие соотношения, содержащие другие наборы четырех индексов из возможных 1, 2, 3, 4, 5, также выполняются.

Условие (43) означает, что оператор 勿Х56 имеет только одно собственное значение — 1/2. Это следует из обсуждений, проведенных в отношении свойств четности формулы (20), что любой циклический оператор ХАВ^ до- множенный на г, обладает полуцелыми собственными значениями. Таким образом, операторы zmi2, гт2з, 〃^31 имеют полуцелочисленные собственные значения. В таком случае следует, что

771^2 + т^з + m^i = —k(k + ])〉(45)

где к имеет полуцелочисленные собственные значения.

Из формул (39) и (14) при учете соотношение (26) следует, что

^45 =(x45 + 分X46)(x45 一 分x46)= %45 + %46 一 以56 =

=%12 + 忑3 + %31 - %56 - 〃Х56. (46)

Таким образом, при дополнительном условии (43) и с помощью соотношения (45) находим, что

т45 = т12 + т23 + т31 - р(47)

(Ц(48)

Отсюда следует, что оператор im^ обладает целочисленным спектром собственных значений. Таким образом, данное представление дает некоторую смесь целочисленных и полуцелочисленных спектров собственных значений для операторов круговых вращений.

На оператор G)введенный посредством уравнения (45), можно наложить ограничения так, чтобы он имел только положительные собственные значения. Из равенства (48) в этом случае следует, что спектр оператора ТП45 не содержит нулевого собственного значения.

Из факта отсутствия нулевого собственного значения следует, что представление можно свести к двухкомпонентному представлению, включающему в себя собственные функции оператора im^ с положительными и отрицательными собственными значениями соответственно. Для доказательства этого результата заметим, что действие операторов mi2, Ш2з или тз1 на собственную функцию оператора im^ не изменяет собственного значения последней, в то время как действие на нее операторами тг4 (г = 1, 2, 3) ведет к умножению собственного значения на ±1 в силу коммутационных соотношений

[[тГ4,т4б]] = -W4-(49)

Таким образом, любое применение операторов т^ к некоторой собственной функции с положительными собственными значениями дает линейную комбинацию собственных функций с положительными собственными

значениями, так как они не могут совершить скачок от 1 до —1. Легко проверяется, что указанные две компоненты представления неприводимы.

Собственные функции оператора im^ могут быть получены следующим образом. Из формул (46) и (25) имеем

^^少=｛一x奈一以56 - х0(х0 +1) +1 疝〃атз｝少=：(一1 + 疝"атa)认(50)

Теперь предположим, что функция ⑦ имеет вид

⑺(51)

где ф является однородной функцией степени п. Данная функция ⑺ удовлетворяет условию (42). Далее полагаем, что ф является гармонической функцией, т.е.

д^дф = 0.(51)

Тогда уравнение (50) приводится к виду

^45^ = -| 5+ 1产认(52)

Условие (43) записывается в виде

(Х5б + ；〃)0 = О・(53)

Таким образом, любая гармоническая функция 0〉удовлетворяющая условию (53), задает в соответствии с формулой (51) функцию ^, являющуюся собственной функцией оператора im^ с собственными значениями ±(1/2)(?г + 1). Конечно п должно быть нечетным целым числом. К этому выводу можно прийти непосредственно, заметив, что формула (51) имеет тот же вид, что и (20), с функцией ф вместо Р, а из условия (43) следует требование, чтобы функция ф была нечетной.

Неоднородная форма представления

Представление, заданное формулами (39), включает в себя однородным образом четыре переменные и, в том смысле что каждый оператор т^ является выражением нулевой степени по переменным и. Можно использовать два дополнительных условия (42), (43) для исключения двух из четырех переменных в волновой функции, так что останутся только две переменные, которые будут входить в функцию неоднородным образом. Получающийся при этом вид представления оказывается более удобным для задач, требующих подробных вычислений.

Прежде всего перейдем от четырех вещественных переменных и к двум комплексным переменным. Положим

。1 = 〃1 + Ш2,。2 = 〃з + 沁 4・

Комплексно-сопряженные равенства имеют вид

о； = 〃1——分〃 2〉 。曰 =〃з——分〃 4・

Операторы d/dv\^ d/dv^ для краткости будем записывать как 山〉с?2)и они будут иметь вид

* =；(力-〃%),d2 =；(a-分为).

Сопряженными к ним операторами являются

硏=:(力+泌)，⑥=；(決+泌).

Можно выбрать 7-матрицы таким образом, что для операторов у, заданных соотношением (12), будем иметь

Х14 —勿 Х23 = —。2dl —。血2〉

Х15 -勿Х16 =若山-川С?2,

X24 - Ш1 = 一〃®2dl -0也2),

X25 -勿X26 = “若* + 川С?2),X34 -勿X12 =。"1 - 02d2,X35 -勿Х36 =川山 + 0*2,X0+ 分x56 =。"1 +02d2,X45 -勿X46 =。曰di - 6d2•

Приведенные восемь комплексных уравнений дают шестнадцать вещественных уравнений, определяющих шестнадцать 7-матриц. При этом определенные таким образом 7-матрицы обладают всеми желанными свойствами.

Дополнительные условия (42), (43) могут быть записаны в виде

(Хо + 〃Х56)В = —认

1(55)

(ХО — 2X56)^ = —5 认

В новых обозначениях они приобретают вид

(01由 +02d2)^ = 一^九

I(56)

(臂硏+川卷)⑺九

Отсюда видно, что ⑺ является однородной функцией со степенью —1/2 по переменным。，。2 s однородной функцией со степенью —3/2 по переменным 若〉о$. Таким образом, функция ⑺ имеет вид

少=。丁"о； —3/2〃z, %*),(57)

где

Z = О]/。?.

Разбивая z на ее вещественную и мнимую части:

Z = Xi+ 力 2,

12 П. Дирак. Т. III

имеем

吵—3/2g(力力2).(58)

Волновая функция 吵 определена посредством функций / или д, зависящих от двух переменных. Таким образом, в качестве волновой функции для нового вида представления можно взять / или д.

Посмотрим, что является квадратом длины волновой функции в этом новом виде. Условие (42) показывает, что функция 吵 имеет вид (18), где 6 = 0, так что для ее квадрата длины вновь получаем выражение типа (19) и опять должны отбрасывать бесконечный множитель / р-1 dp. Можно определить новые переменные 01,。2,。3 посредством уравнений

S = \^1\егв1 = osin&e”

。2 = 1^21 б^2 = Р COS 03 e^2 .

Таким образом, |z| = |^1/^2| = tg&・

В таком случае имеем

d^u = Е| d\v^\ d& Ml d|u2〔曲2 = |。1||。2| pdpdd^ d& 曲2 =

=p3 dp sin03 cos 03 d& 曲2 曲з = p3 dp cos4 & d& 曲2 |^| d\z\.

Следовательно, для функции 吵 вида (58)

Функция д содержит зависимость только от |z| и & — &〉так что можно перейти от переменных 队仞 к переменным 01 + 62 и @i — 02〉а затем проводить интегрирование по переменной 01 + ^2- В результате после отбрасывания бесконечного множителя / 0~^ dp〉имеем

；/ \д\2 d(仇 + 甸 d(仇-出)|z| d|z| = 7Г / \д\2 dx\ d力2・(59)

Таким образом, мы должны находить квадрат длины новой волновой функции обычным путем с весовым множителем 1.

Определим операторы

D = v№\) 。* =川硏， G = C"/u2.(60)

Заметим, что G^ = 1,

GzG = * GOG = О*.(61)

Для функции 吵 вида (57) имеем

D2 =。” 2。厂 3/2 刃 ®,D*2 =犷&丁3/2刃/а*

g…宀一3/2广‘丿

Таким образом, применение операторов D, D*, G к функции 吵 вида (57) дает другие функции 吵 данного вида и оказывается эквивалентным применению операторов d/dz^ d]dz*> а также операции комплексного сопряжения к функции У，Поэтому три этих оператора возникают в выражениях для та5 в представлении нового вида.

Из формул (54) с помощью условий (56) находим

Ш14 - гт23 =(2? - 1)。- 2(и"1 + и2d2)= (%2 - 1)。+ Iты + гт23 = (z*? — 1)0* - z^v^ + 川啰)=(г*2 - 1)0* + | z*,77124 — 〃^31 = —〃№ + 1)。+ iz(v±di + U2d2)= —〃(2? + 1)。一 | 没〉m24 + гт31 = 〃(z*2 + 1)。* - iz^v^ + 川啰)=〃(z*2 + 1)。* + | 没*,тз4 — imi2 = 2zD — sdi — и2d2 = 2z。+

2 R(63)

m34 + zmi2 = 2z*O* -臂硏-川卷=2z*O* +

mi5 = Ci{(z + z^D - u"i - 02d2} = C^(z + z^D + ；}, ^25 = —Ci〃{(z - 2*)0 - sdi - U2d2} = —C1〃{(2 - z^D + II， m35 = Ci{(l - zz*)。+ z*(u"i +。2d2)} = &{(1 — zz*)。一 | z*}, m45 = G{(1 + zz*)。- z*(sdi + 02d2)} = &{(1 + zz*)O + | z*}. Эти уравнения задают операторы 加诚 в новом виде. Легко проверяется, что они равны своим сопряженным со знаком минус, как это и должно быть в силу формулы (59) для квадрата длины.

Преобразование переменных

Произведем преобразование операторов г, г*, D, D*)возникающих в выражениях (63) для операторов та5, и получим их новое представление. Определим операторы《,《*, А, △* согласно соотношениям

1 = 20,С*2 = —2。*,(64)

△ = —〃， А* = Сг*.(65)

Операторы《и《* коммутируют и будут приняты в качестве базисных переменных, посредством которых будут выражаться новые волновые функции. Они являются сопряженными операторами, так что они образуют пару сопряженных комплексных переменных. Имеем

[A,C2] = -2H,D] = 2C

так что а также = 0・

Таким образом, оператор △ можно рассматривать как оператор д/д^. Оператор △* равен сопряженному к Д со знаком минус, так что его можно рассматривать как д/д^.

Из формул (61)

,*2 = _*e2* = _09])2.

Можно предположить, что

?* =心4(66)

и это согласуется с другими уравнениями. В таком случае из уравнений (65) получаем, что

△* = iC^zCi

=-а»「&.

Поскольку оператор △* коммутирует с《〉то имеем

△* = -г^С^С^С^ =—北2厶。2,

(67)

где

e2 =

(68)

Оператор С? имеет свойства

统=1,

e2〃 = 一 〃e2.

(69)

Из формулы (67) следует, что

С2С1 =込.

(70)

Из формулы (66) получаем

02702 =

027*02 =一《

(71)

Из формул (69), (70) и (71) следует, что оператор С? коммутирует с каждым из следующих выражений:

гДД*,勿(《*△ —《△*), 《*△ +《△*.(72)

Из формулы (66) вновь получаем

&с* == сеч

или

Таким образом, альтернативным видом выражения (68) является

e2 = 3〃其1(73)

В терминах новых операторов《〉《*〉А, △*, С? уравнения (63) принимают вид

W4- гт23 = I {(△「『 —1}Т — I ДС1 = I (А2 - Т),

^24 - 〃^31 = —g〃(42 + ,2)，

^34 - ^12 =- I，

плюс три сопряженных уравнения. С помощью равенства (73) также имеем^15 = I &{(-△「】 +《*-必*)《2 + 1} = | С2г(С*Д -《△*),

и аналогичным образом

т25 = |с2(СД + СД*),тз5 = -|с2г(ДД* + СС),ТП45 = ”(△△*-“*)•

Поскольку оператор С? коммутирует с выражениями (72), он коммутирует с операторами mg. По этой причине он должен также коммутировать с т^〉которые являются просто коммутаторами операторов mg. Определим новые инфенитезимальные операторы mfab по формулам

771从^ =^从 5 = c2^ 从5♦

Сразу видно, что операторы mfab также удовлетворяют коммутационным соотношениям (2), (3) и, таким образом, задают некоторое представление 3 + 2 группы де Ситтера. Оператор G не появляется среди операторов m'ab)каждый из которых в основном представляется как квадратная функция от переменных &《*〉А, △*.

Новое представление может стать более понятным, если вместо комплексных переменных《,《* обратиться к вещественным переменным. Положим

c = 2T/2(也 + 池)，c* = 2T/2(外一池)，

一込=2-1/2(01 -必)， 一込* = 2-1/2(01 + 必).

Таким образом, qi, 42, Pl, 02 являются эрмитовыми операторами, удовлетворяющими соотношениям

©L01]=自2,02]= 分，

притом что все другие их коммутаторы исчезают, так что они подобны каноническим переменным в квантовой механике. Теперь получим

2 = g(0102 - 001),

О^бз = I(0； + Q1 — ^2 — Q2)5

^31 = -| (仇02 +0102),

〃加L4 = I(010-0102),

〃m$4 = I(Qi — 2)i — Q2 + 0»

^34 = I(0101 +0202),

*5 = -| (仇02 + 001),^25 = -| (仇01 - 302),

=：(届+虑一房—0注^45 = j (^1 + Ql + ^2 + 或).

Имеется десять независимых квадратичных функций от четырех переменных qi, Q2, 01, 02 и подходящие линейные комбинации из этих десяти дают выражения для операторов mfab.

Алгебраические соотношения (39) или (63) между операторами в новом представлении и операторами предыдущего представления гарантируют то, что новые операторы удовлетворяют таким же алгебраическим соотношениям, как и ранее, т.е. коммутационным соотношениям (2), (3), и различным квадратичным соотношениям, таким как (47). Однако новое представление не является эквивалентным предыдущему.

Новое представление может сведено к двухкомпонентному представлению, в котором волновые функции ^(qi, 0)являются четными или нечетными функциями переменных q, соответственно. Легко можно проверить, что эти компоненты являются неприводимыми.

Видно, что оператор гт^ обладает целочисленным или полуцелочис- ленным спектрами собственных значений в зависимости от того является функция 吵 четной или нечетной. Далее, выражение для оператора гт^ похоже на выражение для половинной энергии двух гармонических осцилляторов. Четные волновые функции приводят к полуцелочисленнному спектру собственных значений для оператора гт^, а нечетные волновые функции ведут к целочисленному спектру собственных значений. Таким образом, для каждой из компонент представления один из операторов im'i2)^45 имеет целочисленные собственные значения, а другой — по- луцелочисленные собственные значения. Компонента, для которой спектр im^ ——полуцелочисленный, а спектр гт^ — целочисленный, эквивалентна компоненте из равенств (39) или (63), для которой оператор im^ имеет положительные собственные значения.

Таким образом, новое представление является более фундаментальным, чем предыдущее, по двум обстоятельствам: оно отделяет отрицательные собственные значения оператора im^ от положительных; а также допускает обе альтернативы как целых, так и полуцелых собственных значений для оператора im^. Еще большие возможности дает новому представлению введение посредством формул (64) новых переменных, равных квадратному корню из предыдущих переменных.

Квадратичные функции от четырех переменных 必，©〉01〉02 являются инфенитезимальными генераторами группы линейных преобразований этих переменных, которые оставляют инвариантными их коммутационные соотношения. Как было указано мне Р. Иостом, данная группа является просто 4-мерной симплектической группой, которая эквивалентна 3 + 2 группе де Ситтера. Эти результаты легко устанавливаются на основании следующих аргументов.

Для удобства положим pi = Q3)Р2 = Q4・ В таком случае следует рассматривать линейные преобразования четырех переменных q, которые

оставляют инвариантными коммутаторы [Qm, Qn] (m, n = 1,2, 3,4). Пусть am обозначает набор из четырех чисел, преобразующихся контравариант- ным образом к четырем переменным q, так что комбинация amqm остается при этом инвариантной, и пусть Ьт будет другим таким набором четырех чисел. Положим

W^mn = ^mьп 一电1"？1♦

Таким образом, каждое линейное преобразование переменных q порождает линейное преобразование наборов чисел а и 仇 которое, в свою очередь, порождает линейное преобразование величин W.

Имеем

[ttmQm, ^nQn] = ^m^n[Ятч Qn] = 2〃(W13 + W24)• Это выражение инвариантно. Также имеет место равенство

W12W34 + w23w14 + W31W24 = 0.

Положим

Ж2 =力1 +力2) 忆3 =#2 +力3)=力3 +力6)

*4 =力1 —力4) Ж4 =/2 -力5) 忆4 =力3 -力6・

В таком случае шесть переменных 力 подвергнуты линейным преобразованиям, которые оставляют инвариантной 力6 и сохраняют квадратичную форму

Х^ + Х2 + х^ — х^ — х^ — х^ = 0.

Это и есть в точности 3 + 2 группа де Ситтера.

ДИСКРЕТНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ)

Многие интересовались тем, не связаны ли трудности физики высоких энергий с непрерывным характером пространства-времени, в котором протекают физические процессы, и рассматривали возможность работы с четырехмерной решеткой из точек вместо континуума [1]. Такая решетка преобразуется сама в себя под действием некоторых дискретных операторов трансляций. Обычно какие-либо лоренцевы преобразования, которые переводят решетку в себя, находятся с большим трудом. Однако бывают ситуации, когда таких лоренцевых преобразований достаточно много. Комбинируя их с трансляциями, получаем достаточно широкую дискретную подгруппу группы Пуанкаре.

Сначала получим достаточно широкую дискретную подгруппу группы Лоренца. Затем определим дискретные трансляции, в комбинации с которыми элементы лоренцевой подгруппы могут образовывать группу.

Дискретная подгруппа группы Лоренца

Рассмотрим однородное преобразование двух комплексных переменных 生。

и" = аи + bv〉

v^ = си + du,

где а, 仇 с, d — комплексные коэффициенты, с детерминантом

ad — be = 1.(2)

Эти преобразования образуют группу. Она находится в соответствии (1-2) с группой Лоренца, из которой исключены отражения. Если изменить знаки коэффициентов а,仇 с, & то полученное преобразование соответствует тому же самому преобразованию Лоренца.

Обратное к (1) преобразование имеет вид

П = du* -历*,/、

*丄3

v = —си + av .

Будем называть комплексное число целым, если его вещественная и мнимая части являются целочисленными. Суммы и произведения целых комплексных чисел являются целыми.

Предположим теперь, что а, 6, с, d являются целыми комплексными числами, удовлетворяющими соотношению (2). Преобразования Лоренца,

соответствующие преобразованиям вида (1), будем теперь называть целыми преобразованиями Лоренца. Сразу видим, что произведение двух целых преобразований Лоренца является целым преобразованием Лоренца, а из выражения (3) следует, что обратное к целому преобразованию Лоренца также является целым преобразованием Лоренца. Таким образом, целые преобразования Лоренца образуют группу, которая является дискретной подгруппой группы Лоренца.

Имеется много возможностей такого выбора коэффициентов а,仇 с, d, что будучи комплексными целыми числами они будут удовлетворять соотношению (2). Например, мы можем выбрать 6 и с в виде произвольных комплексных целых чисел. В таком случае нам нужно разбить выражение 1 + Ьс на два сомножителя для отыскания and. Это всегда может быть сделано выбором одного из сомножителей в виде ±1 или ±〃, а если 1 + Ьс не является простым числом, то имеются и другие возможности выбора. Таким образом, группа целых преобразований Лоренца является достаточно широкой группой с бесконечно большим числом элементов.

Собственными значениями преобразования (1) являются числа х, удовлетворяющие уравнению

Сумма этих чисел равна a + d, а их произведение равно ad — be = 1.

Рассмотрим преобразование Лоренца, которое оставляет некоторые временные оси инвариантными, так что оно просто является трехмерным вращением в некоторой лоренцевой системе отсчета. Такое преобразование Лоренца является циклическим, т.е. повторное применение такого преобразования переводит точку назад в положение, близкое к начальной точке. Для такого преобразования Лоренца мы должны иметь х = е'° с вещественным ф. Такое условие для циклических преобразований Лоренца является необходимым, но не всегда достаточным.

Если одно из собственных значений есть е'°, то другое будет 6一‘°, а их сумма

a + d = 2 cos ф. (4)

Таким образом, а + d является вещественным числом. Для целого преобразования Лоренца мы должны иметь a + d=±2, ±1 или 0. Отрицательные значения задают те же самые преобразования Лоренца, что и положительные.

При а + d = 2 мы имеем。= 0. В данном случае получаем тождественное преобразование, или по-другому — нециклическое преобразование с двумя совпадающими собственными значениями х = 1.

При а + d = 1 мы имеем 0 = тг/З. В таком случае преобразование (1), примененное трижды, изменяет знаки переменных а и и и соответствует тождественному преобразованию Лоренца. При а + d = Q мы имеем ф = =7г/2. В этом случае преобразование (1), примененное дважды, изменяет знаки переменных а и и и соответствует тождественному преобразованию Лоренца. Таким образом, единственными трехмерными вращениями, которые порождаются с помощью целых преобразований Лоренца, являются повороты на углы в 120 или 180°.

Расширение до группы Пуанкаре

Через переменные а и и, преобразующиеся по правилам (1), определим четыре вещественных величины 力力〉g〉z с помощью соотношений

t + z ="伙 t — z = ug, x — iy = w,(5)

которые при этом будут преобразовываться подобно компонентам 4-вектора. Эти преобразования имеют вид

土* + z* = (au + bv)(au + bv)=

=aa{t + z) + bb(t — z) + 疝(力—iy) + ba^x + iy)>

土* — z* = (cu + dv)(cu + 近)=

____

=cc(t + z) + dd{t — z) + cd(力—iy) + dc(x + iy)>

力* — iy* = {au + bv)(cu + 近)=

=ac{t + z) + bd(t — z) + ad^x — iy) + 玩(力 + iy).

Из равенств (5) следует, что 土？一力？ 一 g? — z? = 0 и преобразования (6) получены для величин 力 力,g, г, удовлетворяющих данному условию. Однако можно просуммировать несколько таких наборов 力力〉g, z и применить преобразования (6) к полученной сумме. Следовательно преобразования (6) справедливы и в общем случае.

При целочисленных преобразованиях (1) и при условии, что t + z^t — z^ 力,у являются вещественными целыми числами, мы видим, что 土* + z*, 土* — г*, ж*, g* являются вещественными целыми числами. Мы можем взять для величин 力力,g, z в качестве значений такие дискретные смещения в пространстве Минковского, которые в комбинации с целыми преобразованиями Лоренца будут давать элементы дискретной подгруппы группы Пуанкаре.

Конечно, эти смещения должны выражаться в некоторых стандартных единицах длины. Замечаем, что смещения в направлениях 力 и g являются целыми кратными единиц длины, в то время как смещения в направлениях 土 и z являются либо оба целыми кратными, либо оба полуцелыми кратными единиц длины.

Вторая дискретная подгруппа группы Лоренца

Введем матрицы

. Г 0-г!. ГО -11Г-г

力=[一分 0 ] 5卜° 小

соответствующие трем мнимым единицам кватернионного исчисления. Тогда мы можем положить

W q 『00 一淞—m-02]⑺

Lc d\ — [-ipi +P2 Pq + ip3 J ?

так что левая матрица представляется как комплексный кватернион

Р = 00 + 01 力 + 0232 + 03力・(8)

Коэффициенты р являются комплексными числами, задаваемыми соотношениями

00 二

Pl =

二 g (а + d)〉 =l^b + c\

03 = g〃(" d), 04 = |(с-Ь).

⑼

Условие (2) приводит к

равенству

2^0 + ^1 + ^2 + ^з = 1・(1。)

Теперь каждое преобразование (1) соответствует комплексному кватерниону (8), удовлетворяющему условию (10). Когда перемножаются два преобразования вида (1), соответствующие кватернионы также перемножаются, а обратное к (1) преобразование соответствует обратному кватерниону.

Выберем вещественный кватернион

Q = 00 + Q1J1 + 332 + Q3J3,

в котором коэффициенты q являются вещественными числами. Мы будем называть его целым кватернионом, если все четыре коэффициента q являются целыми или полуцелыми числами. Легко проверяется, что на основании данного определения суммы и произведения целых кватернионов являются целыми кватернионами ).

Комплексный кватернион Р может быть выражен как Р = Qi + 勿Q2〉 где Qi и Q2 являются вещественными кватернионами. Мы определяем, что он будет целым в том случае, когда Qi и Q2 оба являются целыми. Тогда суммы и произведения целых комплексных кватернионов будут целыми. Целые комплексные кватернионы подразделяются на четыре класса: (i) все элементы кватернионов Qi и Q2 являются целыми; (ii) элементы Qi являются целыми, а элементы Q2 являются полуцелыми; (iii) элементы Qi являются полуцелыми, а элементы Q2 являются целыми; (iv) все элементы кватернионов Qi и Q2 являются полуцелыми.

Рассмотрим теперь те преобразования вида (1), которые соответствуют целым комплексным кватернионам, удовлетворяющим соотношению (10). Они образуют группу. Соответствующие преобразования Лоренца образуют достаточно широкую дискретную подгруппу группы Лоренца. Она не является той же, что и предыдущая дискретная подгруппа. Мы называем элементы этой новой подгруппы целыми преобразованиями Лоренца второго рода.

Условия (10) запрещают кватерниону Р принадлежать к классу (iv). Чтобы убедиться в этом, заметим, что если р()имеет вид (т + 1/2) + + г(п + 1/2), где тип — целые числа, то вещественная часть р^ имеет вид т{т + 1) — п(п + 1) и является целым четным числом. Подобным образом вещественные части р；〉р^ и р^ являются целыми четными числами, а потому условие (10) не может быть удовлетворено.

Можно взять кватернион Р, принадлежащий к любому другому классу и удовлетворяющий условию (10), как показано на примерах

класс ⑴ ро = 2, pi =夕2 = Рз = 3

класс (ii)夕。=1 + ；〃，勿=1 一 ；〃，P2 = Рз = | ^,

класс (iii) Po = Pi =夕2 = 0з = ；•

Целочисленные преобразования Лоренца второго рода могут как принадлежать, так и не принадлежать к преобразованиям первого рода. Как видно из выражения (7), примеры из класса (i) являются преобразованиями первого рода, тогда как примеры из классов (ii) и (iii) не являются таковыми. Напротив, могут иметь место целочисленные преобразования Лоренца первого рода, которые не являются преобразованиями второго рода, как это следует из примера, когда а = 6 = d = 1, с = 0. Из соотношений (9) следует, что коэффициенты

Ро = 1, Pl = ；3 Р2 = -У Рз = 0,

т.е. не удовлетворяют условиям целочисленности комплексных кватернионов.

Чтобы целые преобразования Лоренца второго рода были циклическими, вновь имеем условие (4). Из соотношений (9) тогда имеем ро = cosф^ так что ро — вещественное число. Оно должно быть целым или полуце- лым. Для углов ф получим те же значения, что и ранее, так что опять получаем 3-х мерные повороты на углы в 120 и 180°.

матричных обозначенияхматричных обозначенияхВторое расширение до группы Пуанкаре

матричных обозначениях

матричных обозначениях

Преобразования (6) могут быть записаны в в виде

+ z*力*—勿g*] _ Га 61 [t + z x-iy] [a c-

b* + 沙 -z^ [c d\ [x + iy t-z\ \b

и в таком случае представимы как преобразования матрицы

[t + z х - гул+ iy t - z \ '

Данная матрица соответствует комплексному кватерниону

土 + 〃力无 + iyj2 + izj3.(И)

Если наложить требование, чтобы он был целым комплексным кватернионом, то и результат преобразования будет целым комплексным кватернионом.

Для величин 3 力〉g〉z у нас имеются условия, при которых они будут дискретными смещениями, которые можно комбинировать с целочисленными преобразованиями Лоренца второго рода так, чтобы они образовывали группу.

Рассматривая выражение (11) в качестве кватерниона ро + piji + + P2J2 + РзЗз^ замечаем, что мнимая часть ро равна нулю. Так что мнимые части компонент pi〉夕2〉Рз должны быть целочисленными. Таким образом, ж, у^ z должны быть целочисленными. С другой стороны, вещественные части компонент 九 加 Рз равны нулю, так что вещественная часть р() должна быть целочисленной. Таким образом, t является целочисленной величиной.

Мы получили простейший тип решетки в четырех измерениях как расширение кубической решетки в трех измерениях. Она обладает симметриями по отношению к величинам х^ у и z^ не похожими на симметрии нашей прежней решетки.

Подгруппы группы Пуанкаре, рассмотренные в данной работе, обладают интересными математическими свойствами и, возможно, заслуживают более детального изучения. Мне не известно, имеют ли они какие- нибудь физические приложения.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ)

Я счастлив данной возможности поговорить с вами о математических основаниях квантовой теории. Это позволяет мне выразить мои собственные взгляды по данному предмету. Они некоторым образом отличаются от взглядов большинства физиков.

Я хочу подчеркнуть необходимость правильных математических основ для любой фундаментальной физической теории. Какими бы ни были философские идеи, они играют только подчиненную роль. До тех пор пока такие идеи не имеют математической основы, они всегда будут безрезуль- тативными.

В качестве примера философской идеи без точных математических основ я хотел бы упомянуть принцип Маха. Эйнштейн утверждал, что он многим обязан этому принципу в той цепочке его рассуждений, которая привела его к общей теории относительности. Однако я не вижу, как это могло быть. Я не вижу, как этот принцип можно сформулировать достаточно определенным образом так, чтобы он имел какое-нибудь значение для поисков конкретной физической теории.

В поисках новой теории следует придерживаться правила, что преобладающей должна быть потребность в правильной математической основе. Любые имеющиеся физические или философские идеи должны быть скорректированы так, чтобы они отвечали математике, а совсем не наоборот.

Слишком многие физики склонны начинать с некоторых предвзятых физических идей, а затем пытаются развить их и найти ту математическую схему, которая включала бы эти идеи. Не похоже чтобы подобный подход привел к успеху. Как правило, возникают трудности и не находится разумного выхода из них. В таком случае приходится признать, что вся стратегия подхода не верна целиком и нужно искать новую отправную точку, базирующуюся на правильной математике.

Необходимость ставить математику во главу угла восходит к ее более строгой природе. Можно возиться с какими бы то ни было физическими или философскими идеями, чтобы привести их в соответствие с математикой. Однако с математикой нельзя возиться. Она подчиняется совершенно непреклонным правилам и жестко ограничивается четкой логикой.

Причина, по которой я чувствую себя правым в отношении мнений, выраженных выше, заключена в том успехе, который был достигнут мной на этой основе в прошлом. Моя ранняя исследовательская работа в начале 20-х годов основывалась на боровских орбитах и была полностью

безуспешной. Я воспринимал боровские орбиты как физическую реальность и пытался построить математику для них. Боровские орбиты применимы к отдельным электронам, а для атома, содержащего несколько электронов, требуется теория взаимодействующих боровских орбит. Вместе с другими я очень много работал над этой проблемой.

Теперь мы видим насколько бесполезной была эта работа. Гейзенберг показал, что здесь требовалась совершенно новая математика, включающая некоммутативную алгебру. Орбиты Бора были неверным физическим понятием, и их не следовало использовать в качестве основания для теории.

Тогда я получил урок для себя. Я научился относиться с недоверием ко всем физическим идеям в качестве основания для теории. Вместо этого следует довериться математической схеме даже в том случае, когда на первый взгляд эта схема не представляется каким-либо образом связанной с физикой. Следует сконцентрироваться на получении интересной математики.

Некоммутативная алгебра была развита и вскоре было найдено, как связать ее с динамикой с помощью аналогии между коммутатором и скобкой Пуассона в гамильтоновой форме механики. Была построена общая квантовая механика, красивая и мощная теория.

Основные уравнения теории были выведены прежде, чем был найден их физический смысл. Физический смысл вынужден был следовать позади математики. Полная физическая интерпретация была найдена только через несколько лет после создания математической основы. Она содержала вероятности, ведущие к соотношениям неопределенностей.

Новая теория была удовлетворительной во всех отношениях кроме одного: она была нерелятивистской. Она даже не согласовывалась со специальной теорией относительности Эйнштейна, так что была неприменимой к частицам с высокими скоростями. Важной особенностью теории было волновое уравнение, которое должно было быть линейным в отношении оператора d/dt и, таким образом, обходиться с временной координатой иначе, чем с пространственными координатами.

Данная трудность не беспокоила многих физиков в то время. Они работали с волновым уравнением, основанном на релятивистском операторе @2@2@2@2

С2 a力2дх2ду2 а%2 '

так называемом уравнении К лейна-Гордона. Однако вероятности, к которым приходили на основе такого уравнения, не были положительно определенными, что было нелепо. Только уравнения, линейные по производной d/dt^ давали вероятности, являющиеся положительно определенными.

Однако физики в то время не приходили в уныние. Они просто говорили: давайте заменим плотность вероятности на плотность заряда. Плотность заряда может быть отрицательной или положительной.

Я посчитал такое развитие совершенно неприемлемым. Это означало отход от фундаментальных идей нерелятивистской квантовой механики, идей, которые требовали, чтобы волновое уравнение было линейно по производной d/dt. Это означало отказ от всей красивой математической схемы ради введения некоторых физических идей.

Моя неудовлетворенность взглядами, которые разделялись большинством физиков, заставила меня озаботиться данной проблемой и в конеч-

ном счете найти новое волновое уравнение, удовлетворяющее как требованиям теории относительности, так и условию линейности по производной d/dt. Оно оказалось волновым уравнением, пригодным для описания электрона со спином 1/2.

Удивительно, но оказалось, что с частицей со спином 1/2 обращаться проще, чем с частицей без спина. Казалось бы, что сначала следует решить задачу для частицы без спина, а затем впоследствии ввести спин. Однако математика показала обратное. Математика вела за собой.

Появление данного уравнения не решило общей проблемы превращения квантовой механики в релятивистскую. Оно применимо только к задаче с одиночным электроном, а не к нескольким взаимодействующим частицам.

Были попытки построения общей теории, в которой собиралось вместе несколько частиц и вводилось взаимодействие между ними путем введения в уравнения членов, отвечающих за взаимодействие. Члены взаимодействия выбирались из тех, что предлагает классическая электродинамика, но подправленные для согласованности со специальной теорией относительности.

Получившаяся в результате теория не была удовлетворительной. Имелось определенное уравнение Шредингера, но когда его пытались решать, используя стандартные методы теории возмущений, то всегда получали расходящиеся интегралы. Оказалось, что подобное волновое уравнение не имеет решений.

Такое состояние дел не остановило физиков-теоретиков. Они приступили к разработке правил по отбрасыванию бесконечностей и продолжают совершенствовать свои уравнения в терминах конечных величин. Отбрасывание может быть выражено в виде перенормировки фундаментальных физических констант. Результаты вычислений были вполне определенными. Как оказалось, они находятся в согласии с данными наблюдений.

Многие физики весьма удовлетворены данной ситуацией. Они утверждают, что если имеются правила для проведения вычислений и если результаты согласуются с данными наблюдений, то это и все, что требуется.

Однако это совсем не все, что требуется. Требуется единственная исчерпывающая теория, применимая ко всем физическим явлениям. А не так, чтобы одна теория имеет дело с нерелятивистскими эффектами, а другая отдельная теория имеет дело с некоторыми релятивистскими эффектами.

Более того, теория должна быть основана на здравой математике, в которой пренебрегается только величинами, являющимися малыми. Не позволительно пренебрегать бесконечно большими величинами. Идея перенормировок разумна только в том случае, когда она применяется для конечных перенормировочных множителей, а не для бесконечных.

По этим причинам я нахожу нынешнюю квантовую электродинамику совершенно неудовлетворительной. Не следует благодушно относиться к ее недостаткам. Согласие с данными наблюдения предположительно является просто совпадением, точно таким же как согласие при первоначальных расчетах спектра атома водорода на основе боровских орбит. Такие совпадения не являются аргументом для того, чтобы закрывать глаза на недостатки теории.

Квантовая электродинамика во многом подобна уравнению Клейна- Гордона. Она была построена исходя из физических идей, которые не были корректным образом включены в теорию, и она не имеет разумных математических оснований. Нужно искать новую релятивистскую квантовую механику и первичной заботой должно быть то, чтобы она основывалась на правильной математике. Как можно приступить к ее отысканию?

Пренебрежем гравитационной силой. Рассмотрим только иные силы в физике: электромагнитные, сильные и слабые ядерные силы. Похоже только они являются силами, имеющими значение в атомной физике.

В таком случае будем работать в пространстве специальной теории относительности — пространстве Минковского. Оно подвержено действию некоторой группы — группы Пуанкаре.

Примем фундаментальный принцип квантовой механики — принцип суперпозиции состояний. Согласно этому принципу состояния любой квантовой системы задают некоторое представление группы Пуанкаре. Мы пришли к математическому аппарату представлений группы Пуанкаре.

Для изучения группы мы можем работать с инфенитезимальными операторами. Имеется десять независимых операторов: четыре оператора трансляций 厶(/1 = 0,1, 2, 3) и шесть операторов вращений вокруг точки М^у = —М叩.Они удовлетворяют определенным коммутационным соотношениям

[Рц') Ру] = о, [P/х〉^vp\ = д^Рр - д~рР^>

\^ijlu-)^рсг] = —9 [ip-^I-и о- + д^рМ呻 + д ь(уМ^р — g^tjM~р.

Любое представление группы Пуанкаре поставляет десять операторов, удовлетворяющих этим коммутационным соотношениям. И наоборот, любой набор из десяти операторов, удовлетворяющих данным соотношениям, задает представление группы Пуанкаре (при условии, что выполняется некоторое глобальное требование: чтобы последовательное применение ин- фенитезимального вращения, такого как М\2〉приводящее к полному обороту, давало в результате 1 или —1). Десять операторов в таком случае обеспечивают математический базис для динамической системы в релятивистской квантовой механике.

Основная проблема релятивистской квантовой механики, которая десятилетиями сдерживала развитие теоретической физики, сводится к отысканию подходящих наборов из десяти операторов, удовлетворяющих этим коммутационным соотношениям.

Можно посмотреть на проблему с чисто математической точки зрения. Математики построили все неприводимые представления группы. Однако неприводимые представления в точности соответствуют лишь изолированным частицам [1] и не приводят к чему-то большему.

Чтобы иметь дело с интересными физическими системами, включающими взаимодействующие частицы, нам требуются представления, которые сильно отличаются от неприводимых. Проблема отыскания физически важных представлений является огромной нерешенной задачей.

Один из путей наступления на эту задачу состоит в том, что нужно выбрать подгруппу группы Пуанкаре и для начала задать представление подгруппы тривиальным образом, отвечающее нескольким частицам без взаимодействия между ними. Затем следует дополнить группу, вводя подходящие члены, отвечающие за взаимодействие.

Этот метод приводит к разным формам теории при различных выборах подгрупп. Каждая подгруппа отвечает нескольким, оставляемым инвариантными, геометрическим объектам пространства Минковского.

Можно выбрать подгруппу, которая оставляет инвариантным одно из мгновений времени, скажем 力о = 0.兌 называю возникающую в результате теорию мгновенной формой. Можно выбрать подгруппу, которая оставляет инвариантной некоторую точку в пространстве Минковского. Я называю такую теорию точечной формой. Наконец, можно выбрать подгруппу, которая оставляет инвариантным волновой фронт, распространяющийся со скоростью света, такой как трехмерная поверхность 力о —力з = 0. Я называю возникающую в результате теорию фронтальной формой.

Мгновенная форма является именно той, которая обычно используется физиками. Она подразумевает установление выражений для операторов Mrs (r)s = 1, 2, 3) в терминах динамических переменных частиц без членов, отвечающих за взаимодействие,

4 =〉—力sP『)〉 где переменные pr, хг относятся к отдельным частицам.

Остается определить Д)и MrQ. Положим

Ро =〉］ Ро + U〉 МтО = ^^ 力『ро + Vr,

где U и % являются членами, задающими взаимодействие и содержащими зависимость от динамических переменных всех частиц. Проблема состоит в отыскании четырех величин U〉%. Они должны быть выбраны так, чтобы 口〉М^ удовлетворяли требуемым коммутационным соотношениям.

Некоторые из условий, накладываемых на эти четыре величины являются линейными. Они легко удовлетворяются. Они просто будут говорить о том, что U является трехмерным скаляром, a Vr — трехмерным вектором. Остальные условия являются квадратичными. Именно эти условия выполняются с большими трудностями, что представляет реальную проблему.

Делались попытки догадаться о виде операторов U и Vri исходя из физической интуиции. Именно такие догадки и привели к квантовой электродинамике. Однако математика не является верной и коммутационные соотношения в действительности не удовлетворяются.

Если мы работаем в рамках точечной формы, то по-существу мы получаем ту же самую ситуацию. Вновь мы имеем четыре неизвестные величины, чтобы выразить взаимодействие. И опять они должны удовлетворять некоторым линейным условиям, на самом деле достаточно простым, а также некоторым квадратичным условиям, которые достаточно трудны.

Другая ситуация возникает для случая фронтальной формы. В этом случае операторами из подгруппы, оставляющей инвариантной поверхность 力о —力з = 0〉являются следующие:

А, 「2〉Лэ —「3〉

М\2)Л/оз, Mqi — М31, Mq2 — Л/з2・

Здесь их насчитывается семь вместо шести, которые мы имели при выборе мгновенной и точечной форм динамики.

Единственными оставшимися неопределенными операторами группы Пуанкаре являются

Р0 + Р3〉Mqi + М31,М02 + М^2-

Их всего три, и они содержат только три неизвестных члена, описывающих взаимодействие, вместо четырех, которые возникали при выборе мгновенной и точечной форм динамики.

Таким образом, при работе с фронтальной формой динамики задача с математической точки зрения существенно упрощается.

Процесс работы с фронтальной формой динамики [2] является незнаком физикам. Тем не менее, я чувствую, что наиболее важны здесь привносимые этой формой математические упрощения. Я рассматриваю этот метод как многообещающий и в последнее время активно занимаюсь его исследованием. Он предлагает новые возможности, в то время как известная всем мгновенная форма динамики похоже выходит из игры.

ОЧАРОВАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА)

В теориях частиц, две из которых описаны в статье, важно математическое изящество [1].

Значительная часть моей исследовательской работы в физике отнюдь не сводилась к поиску решения некоторых частных задач. Я просто изучал математические величины, используемые в физике, и пытался рассматривать их все вместе с какой-либо интересной точки зрения безотносительно к любому применению, которое могли бы найти полученные результаты. Это было просто изучение очаровательной математики. В дальнейшем могло оказаться, что проделанная работа имеет какое-либо применение. Тогда это была бы большая удача.

Я мог бы привести хороший пример подобной процедуры. Однажды в 1927 году я занимался эквилибристикой с тремя матрицами 2x2, квадраты которых равны единице и которые антикоммутировали друг с другом. Обозначив их。1,。2,。3, w заметил, что если домножить каждую из них на соответствующую компоненту импульса, то получится величина bipi + +。2夕2 +。3夕3〉квадрат которой в точности равен р^+ Р^+ Рз* Это был удивительный результат, но какое он мог бы найти применение?

Выражение bipi +。2夕2 +。3夕3 можно было бы использовать в качестве гамильтониана в уравнении Шредингера, решение которого представляло бы собой двухкомпонентную волновую функцию, на которую могли бы действовать матрицы а. Тогда бы оно приняло вид релятивистского волнового уравнения, но при этом оно описывало бы только частицу с нулевой массой. Чтобы получить теорию для частицы с ненулевой массой, нужно было иметь четыре матрицы, антикоммутирующих друг с другом. Однако подобных матриц не было. С точки зрения описания электрона, что было главным предметом моих интересов, эти мои занятия оказались бесполезными. Поэтому свои изыскания я оставил.

Прошло не так уж много недель, прежде чем я понял, что нет никакой необходимости ограничиваться матрицами 2x2. Если перейти к матрицам 4 х 4, то указанная задача легко решается. В ретроспективе кажется странным, что можно было так долго задерживаться по столь элементарному поводу.

Полученное волновое уравнение для электрона оказалось очень перспективным. Оно приводило к правильным значениям спина и магнитного момента, что было совершенно неожиданно. Ведь все эти результаты следовали просто из изучения очаровательной математики без какого-либо предварительного намека на существование у электрона этих физических свойств.

Другой пример очаровательной математики привел к идее магнитного монополя. Когда я занимался этим вопросом, я надеялся найти какое- нибудь объяснение постоянной тонкой структуры Кс/е1. Но этого не получилось. Математика неумолимо привела к монополю.

С теоретической точки зрения хотелось бы верить в то, что монополи должны существовать, поскольку соответствующая математика очень изящна. Предпринимались многочисленные попытки их обнаружить, но все они оказались безуспешными. Тем самым, приходишь к выводу, что очаровательная математика сама по себе не может служить подходящим основанием для того, чтобы Природа отдала предпочтение какой-либо физической теории. Мы еще многому должны научиться, прежде чем сможем постичь основные принципы устройства Природы.

Мне хотелось бы обсудить еще одно применение очаровательной математики, приведшее к релятивистской теории частицы, которую я предложил в 1970 году. В ней волновая функция имеет только одну компоненту вместо привычных четырех. Однако частица обладает внутренними степенями свободы, соответствующими двум гармоническим осцилляторам. Обозначим координаты этих осцилляторов через Qi, 42〉а сопряженные импульсы —через Q3, Q4, так что все четыре удовлетворяют коммутационным соотношениям (с 方=1):

贝闯匕一QbQa = Bab〉 。〉匕=1,2,3, 4,

где В — матрица вида

/0о10\

О 0 0-1

—1ООО•

\ 01оо /

Заметим, что матрица /3 кососимметрична и 俨=一 1・

Будем рассматривать совокупность четырех переменных q как матрицу-столбец, так что q обозначает матрицу-столбец с четырьмя элементами. Далее постулируем волновое уравнение

{%g=3⑴

I dt oxr 丿

где ar — матрицы 4x4, квадраты которых равны единице. Они антикоммутируют друг с другом и с матрицей /3. К тому же выбираем матрицы а так, что бы все их элементы были вещественны. Данное волновое уравнении внешне очень похоже на обычное волновое уравнение для электрона. Различие между ними связано только с тем, что в уравнении (1) входит матрица q^ с однокомпонентной величиной ⑺ вместо обычной четырехкомпонентной волновой функции

Формула (1) содержит четыре уравнения, соответствующие четырем компонентам ». Оказывается, среди них только три независимы. Чтобы одна функция ⑺ удовлетворяла трем независимым уравнениям, необходимо выполнение определенных условий совместности. Мною было установлено, что им можно удовлетворить. В результате они обеспечивают то обстоятельство, что функция ⑺ удовлетворяет уравнению де Бройля (с m = 1) при всех значениях внутренних переменных. Также было показано, что это уравнение имеет релятивистскую форму и, что соответствующая масса должна быть положительной. Эти результаты прелестны, и

было бы удивительно, если бы подобная теория не смогла описать хоть одну частицу, встречающуюся в Природе.

Такой частице, однако, нельзя было приписать заряд и описать ее взаимодействие с электромагнитным полем путем обычной замены

访"一т 访-^- +

а* дх^J

ибо в этом случае уравнения оказываются несовместными. Условия совместности являются столь ограничительными, что в рамках этой теории практически ничего нельзя добиться. Мне не удалось найти пути для ее развития в направлении каких-либо приложений.

Недавно Сударшан с соавторами предложил обобщение этой теории. Они увеличили число внутренних степеней свободы частицы, заменив

для каждого из четырех значений а. Для каждого значения г переменные 以 подобны оригинальным переменным 击〉описывающим два гармонических осциллятора. Однако переменные ^ для данного значения г антикоммутируют с теми же переменными для другого значения г. В этих условиях, как показал Сударшан, уравнения теории все еще совместны и сохраняют необходимую релятивистскую форму.

Это поистине замечательный результат. Он делает данную теорию много привлекательней. В ней становится возможным ввести стандартным образом взаимодействие с электромагнитным полем, следуя процедуре (2). Вновь появляется надежда на то, что развиваемая теория может быть применена к описанию некоторых частиц в Природе. Однако для этого нужно еще проделать огромную работу.

В рамках аналогичного подхода к новой теории можно надеяться на появление новых физических качеств, которые никогда не смогут обнаружиться, если честно следовать направлению развития, предписываемому старыми теориями.

Литература

Dirac Р.А.М. // Proc. Roy. Soc. А. 1971. V. 322. Р. 435-445.

Sudarshan Е. С. G. et al. // Proc. Roy. Soc. A. 1982. V. 379. P. 103-112.

БУДУЩЕЕ АТОМНОЙ ФИЗИКИ)

Мы имеем теорию, в которой при попытке решить соответствующее уравнение появляются различные бесконечности. Эти бесконечности устраняются процедурой перенормировки. В итоге появляется теория, не основанная на строгой математике, а представляющая собой совокупность рабочих правил.

Многие физики счастливы в этой ситуации, поскольку она приводит к определенному числу успешных результатов. Но этого отнюдь не достаточно. Физика должна быть основана на строгой математике. Отсюда можно заключить, что фундаментальные идеи существующих теорий ошибочны. Для них нужна новая математическая основа.

Ситуация весьма напоминает ситуацию начала 20-х годов, перед тем, как Гейзенберг в 1925 году осуществил свой интеллектуальный прорыв. Тогда мы работали на основе теории боровских орбит. Эта деятельность оказалась весьма успешной при решении некоторых задач, в которых можно было ограничиться рассмотрением только одного электрона в атоме. Но эти успехи были весьма ограничены. Метода, учитывающего взаимодействие электронов в атоме, не существовало. Всемерные усилия предпринимались для исправления этого недостатка за счет введения подходящего взаимодействия между боровскими орбитами. Но эти усилия вели в никуда.

Сегодня нетрудно видеть, насколько безнадежны были все эти усилия. Чтобы добиться реального прогресса, была нужна новая математика, включающая некоммуникативную алгебру. Соответствующую идею выдвинул Гейзенберг в 1925 году.

Ныне мы вновь находимся в ситуации, когда необходима новая математика. Многие физики, осознавшие это обстоятельство, пытаются развивать теорию поля. Но довольно сомнительно, чтобы подобное развитие было достаточно глубоким. Теории поля в искривленном пространстве нужны, если мы имеем дело с гравитацией. Но гравитация в рамках атомной физики является очень слабой, так что кажется маловероятным, что она будет играть в ней ведущую роль. Тем самым следует ожидать прогресса в чем- нибудь еще.

Нам следовало бы сконцентрировать усилия на специальной теории относительности Эйнштейна, а не на его общей теории относительности. Иначе говоря, необходимо разобраться с представлениями группы Лоренца. Эти представления активно изучались в прошлом и можно было бы думать, что мы знаем о них все. Однако этот тезис находится весьма далеко от истины. Конечно, все неприводимые представления этой группы известны, но для физики могут оказаться важными произвольные пред-

ставления. Поэтому те дополнительные особенности, что они вносят в теорию, следует принимать в расчет.Рассмотрим вначале неприводимые представления. Каждое из них соответствует некоторой величине, меняющейся по определенным правилам при преобразованиях Лоренца. В последовательности представлений они соответствуют скалярам, векторам и тензорам различных рангов с учетом имеющейся симметрии. Кроме того существуют двузначные представления, включающие величины, изменяющие свой знак при повороте на полный оборот вокруг любой пространственной оси. Все эти представления можно скомбинировать в приводимые представления.Однако этим не исчерпываются подобные представления [1]. Среди них существуют и такие, матрицы которых можно записать в видеставления. Поэтому те дополнительные особенности, что они вносят в теорию, следует принимать в расчет.Рассмотрим вначале неприводимые представления. Каждое из них соответствует некоторой величине, меняющейся по определенным правилам при преобразованиях Лоренца. В последовательности представлений они соответствуют скалярам, векторам и тензорам различных рангов с учетом имеющейся симметрии. Кроме того существуют двузначные представления, включающие величины, изменяющие свой знак при повороте на полный оборот вокруг любой пространственной оси. Все эти представления можно скомбинировать в приводимые представления.Однако этим не исчерпываются подобные представления [1]. Среди них существуют и такие, матрицы которых можно записать в виде4 ОL 84 ОL 8(1)(1)Здесь все элементы в верхнем правом квадранте равны нулю, а диагональные элементы А и В, а также элементы в левом нижнем квадранте Е остаются неопределенными. Если перемножить две такие матрицы по правилам матричного умножения, то мы получим другую матрицу:Здесь все элементы в верхнем правом квадранте равны нулю, а диагональные элементы А и В, а также элементы в левом нижнем квадранте Е остаются неопределенными. Если перемножить две такие матрицы по правилам матричного умножения, то мы получим другую матрицу:А0Ь181А0Ь181厶20工2马厶20工2马40Ьз8з40Ьз8з44 = 4,e142 + 8@2 = Ь3,8182 = 8з・44 = 4,e142 + 8@2 = Ь3,8182 = 8з・Из уравнения (3) следует, что элементы А образуют одно из обычных представлений группы Лоренца. Аналогично из уравнения (5) следует, что элементы 8 также образуют одно из обычных представлений группы Лоренца. Однако уравнение (4) — это уравнение нового типа. Из него следует, что если мы имеем его решение и умножаем все элементы Е на какое-либо число А (не равное нулю), то получаем другое решение того же уравнения.Чтобы разобраться в смысле представлений такого типа, разделим волновую функцию 吵 на две части 2A и ^в, соответствующие таким частям, в которых матрицы-ряды или матрицы-столбцы разделены. В результате функция 吵 представляется в видеИз уравнения (3) следует, что элементы А образуют одно из обычных представлений группы Лоренца. Аналогично из уравнения (5) следует, что элементы 8 также образуют одно из обычных представлений группы Лоренца. Однако уравнение (4) — это уравнение нового типа. Из него следует, что если мы имеем его решение и умножаем все элементы Е на какое-либо число А (не равное нулю), то получаем другое решение того же уравнения.Чтобы разобраться в смысле представлений такого типа, разделим волновую функцию 吵 на две части 2A и ^в, соответствующие таким частям, в которых матрицы-ряды или матрицы-столбцы разделены. В результате функция 吵 представляется в виде

ставления. Поэтому те дополнительные особенности, что они вносят в теорию, следует принимать в расчет.

Рассмотрим вначале неприводимые представления. Каждое из них соответствует некоторой величине, меняющейся по определенным правилам при преобразованиях Лоренца. В последовательности представлений они соответствуют скалярам, векторам и тензорам различных рангов с учетом имеющейся симметрии. Кроме того существуют двузначные представления, включающие величины, изменяющие свой знак при повороте на полный оборот вокруг любой пространственной оси. Все эти представления можно скомбинировать в приводимые представления.

Однако этим не исчерпываются подобные представления [1]. Среди них существуют и такие, матрицы которых можно записать в виде

ставления. Поэтому те дополнительные особенности, что они вносят в теорию, следует принимать в расчет.

Рассмотрим вначале неприводимые представления. Каждое из них соответствует некоторой величине, меняющейся по определенным правилам при преобразованиях Лоренца. В последовательности представлений они соответствуют скалярам, векторам и тензорам различных рангов с учетом имеющейся симметрии. Кроме того существуют двузначные представления, включающие величины, изменяющие свой знак при повороте на полный оборот вокруг любой пространственной оси. Все эти представления можно скомбинировать в приводимые представления.

Однако этим не исчерпываются подобные представления [1]. Среди них существуют и такие, матрицы которых можно записать в виде

4 О

L 8

4 О

L 8

(1)

(1)

Здесь все элементы в верхнем правом квадранте равны нулю, а диагональные элементы А и В, а также элементы в левом нижнем квадранте Е остаются неопределенными. Если перемножить две такие матрицы по правилам матричного умножения, то мы получим другую матрицу:

Здесь все элементы в верхнем правом квадранте равны нулю, а диагональные элементы А и В, а также элементы в левом нижнем квадранте Е остаются неопределенными. Если перемножить две такие матрицы по правилам матричного умножения, то мы получим другую матрицу:

А

0

Ь1

81

А

0

Ь1

81

厶2

0

工2

马

厶2

0

工2

马

4

0

Ьз

8з

4

0

Ьз

8з

44 = 4,e142 + 8@2 = Ь3,8182 = 8з・

44 = 4,e142 + 8@2 = Ь3,8182 = 8з・

Из уравнения (3) следует, что элементы А образуют одно из обычных представлений группы Лоренца. Аналогично из уравнения (5) следует, что элементы 8 также образуют одно из обычных представлений группы Лоренца. Однако уравнение (4) — это уравнение нового типа. Из него следует, что если мы имеем его решение и умножаем все элементы Е на какое-либо число А (не равное нулю), то получаем другое решение того же уравнения.

Чтобы разобраться в смысле представлений такого типа, разделим волновую функцию 吵 на две части 2A и ^в, соответствующие таким частям, в которых матрицы-ряды или матрицы-столбцы разделены. В результате функция 吵 представляется в виде

Из уравнения (3) следует, что элементы А образуют одно из обычных представлений группы Лоренца. Аналогично из уравнения (5) следует, что элементы 8 также образуют одно из обычных представлений группы Лоренца. Однако уравнение (4) — это уравнение нового типа. Из него следует, что если мы имеем его решение и умножаем все элементы Е на какое-либо число А (не равное нулю), то получаем другое решение того же уравнения.

Чтобы разобраться в смысле представлений такого типа, разделим волновую функцию 吵 на две части 2A и ^в, соответствующие таким частям, в которых матрицы-ряды или матрицы-столбцы разделены. В результате функция 吵 представляется в виде

После умножения матрицы (1) на такую волновую функцию мы получимновая 吵厶=Аф а〉

новая 吵5 = Ia/ja + В^д.

Тем самым новая функция 吵厶 задается исходной функцией 吵厶.В то же время новая функция 仙 фиксируется обеими исходными функциями 吵厶 и ^в- Иными словами данное преобразование Лоренца, действуя на 2а) превращает ее в величину, зависящую только от 吵厶.Если же оно действует на ^в, то возникает величина, зависящая и от 吵厶 и от 吵历 Короче говоря,

функция 2A влияет на функцию 吵历 тогда как функция ^д на функцию 办4 не влияет.

Конечно, можно было бы подумать, что подобная ситуация является совершенно нефизической. Согласно Ньютону, если объект А воздействует на объект В, то и объект В воздействует на объект А. Однако законы Ньютона относятся к классической механике, так что в квантовой механике ситуация может быть иной. Возможно, например, что функция 2A соответствует радиоактивному атому, способному к спонтанному распаду, а функция 2в описывает то, что испускается в результате распада. Исходный атом определенно влияет на продукты распада. Однако эти продукты разлетаются и не оказывают какого-либо воздействия на испустивший их атом. Это типичная физическая ситуация, надежно описываемая математически.

Представления типа (1) называют патологическими. Я готов предположить, что подобные представления группы Лоренца будут отвечать будущей физике.

Рассмотрим простой пример патологического представления группы Лоренца. Исследуем решение волнового уравнения 口吵=0. Взяв его любое решение, мы можем применить преобразование Лоренца относительно начала отсчета и получить другое его решение. Выберем в качестве частного решения функцию 吵。)определенную следующим условием:吵。=1 в будущем световом конусе t〉Г)г = (ж2 + у2 + г2)1/2;耽=—1 в прошлом световом конусе t < —г;吵。=t/r вне светового конуса —г < t < г. Приведенная диаграмма представляет функцию 吵。при всех значениях 土 и 力.

Такая функция 吵。удовлетворяет уравнению 口吵=0. Для двух областей t > г и t < —г этот факт очевиден. Также в этом нетрудно убедиться в области вне светового конуса —г < t < г. Кроме того заметим, что функция 吵。непрерывна на будущем световом конусе ^ = г и на прошлом световом конусе t = —г. Затем можно показать, что уравнение О^о = 0 выполняется на всех световых конусах. Чтобы в этом убедиться, ограничимся случаем сферически-симметричных функций 吵：

⑹

Для функции 吵。вблизи будущего светового конуса имеем

О для t > г и —t для t < —г.О для t > г и —t для t < —г.=0 для ^ > г и 0 для t < —г.=0 для ^ > г и 0 для t < —г.m也=

О для t > г и —t для t < —г.

О для t > г и —t для t < —г.

=0 для ^ > г и 0 для t < —г.

=0 для ^ > г и 0 для t < —г.

dr

Отсюда следует, что

дг \

Таким образом, второе слагаемое в уравнении (6) обращается в нуль и тем самым первое слагаемое в нем очевидно равно нулю. Аналогичные аргументы справедливы по отношению к прошлому световому конусу.

К функции 呪 можно применить любое преобразование Лоренца относительно начала отсчета. В результате такого преобразования получится функция ^, равная нулю внутри будущего и прошлого световых конусов и отличная от нуля вне светового конуса. Можно применить к ней преобразование Лоренца еще раз, и в результате всегда будет получаться функция ^, равная нулю внутри будущего и прошлого световых конусов и отличная от нуля только вне светового конуса. Мы никогда не сможем вернуться к такой функции ^, которая подобно функции 吵。имела бы ненулевые значения внутри будущего и прошлого световых конусов. Мы имеем дело с типичным случаем патологического представления. Функция 吵。определяет обе части 吵厶 и 吵石 полной волновой функции, а совокупность функций ^, обращающихся в нуль внутри будущего и прошлого световых конусов, определяет только часть 吵右 той же функции. Часть 吵右 может быть получена с помощью преобразований Лоренца, примененных к функции 呪,но функция 呪,содержащая часть 2A, не может быть получена с помощью тех же преобразований, примененных к части 吵右 полной функции.

Это простейший пример патологического представления группы Лоренца. Он обеспечивает естественное значение для произвольного коэффициента А, появляющегося в патологическом представлении общего вида.

Вполне может случиться так, что подобное патологическое представление будет существенно для будущей физики. Тогда мы окажемся не в состоянии совершить сколько-нибудь серьезное продвижение вперед, не используя его.

Остается открытым вопрос, имеет ли какой-либо смысл деятельность, основанная на обычных представления группы Лоренца, которой заняты физики сегодня. Хотя я убежден в том, что существенные продвижения вперед могут быть достигнуты только с помощью патологических представлений, вполне может оказаться так, что сегодняшняя работа все же приведет к побочных открытиям. Ситуация в этом смысле опять-таки похожа на ситуацию накануне 1925 года, когда все работали в рамках теории боровских орбит. Хотя в этих рамках существенное продвижение было невозможно, физики смогли выработать правильное представление о статистиках Бозе и Ферми. Это были очень важные, хотя и побочные открытия. Следует быть очень внимательным к сравнимым по значимости открытиям, вытекающим из ведущихся сейчас дискуссий.

Часть V

Поиск последовательной интерпретации квантовой электродинамики (1948-1976)

К ТЕОРИИ ТОЧЕЧНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ)

Я хотел бы ответить на некоторые критические замечания, которые Т. Льюис (1945) сделал по поводу моей работы о гамильтоновой формулировке классических уравнений движений для точечных электронов. Я проведу это обсуждение применительно к случаю одного электрона, взаимодействующего с электромагнитным полем (подобно тому, как это делает Льюис в большей части своей работы) [1].

Ситуация, описанная Льюисом в верхней части с. 536, не вполне верна. Вариация величины /1 самой по себе дает уравнения движения, не включающие реакцию электрона на свое собственное поле, однако эти уравнения применимы лишь к случаю, когда 4M + 4Mt = 0. Для одиночного электрона это означало бы прямолинейное движение. Добавление величины "необходимо для описания общего случая с произвольными значениями А^.

При варьировании интеграла действия (2.9) в работе Льюиса, посредством чего получается уравнение движения электрона, необходимо правильно учитывать вариацию полей. С физической точки зрения, казалось бы, следует рассматривать величины А^ как независимые от электрона и положить 34^ = 0. Так, собственно, Льюис и поступает. Однако для получения правильного уравнения движения следует в качестве величины, независимой от электрона, выбрать сумму А^ + 4靠力 так что в каждой точке пространства-времени:

"徳+ 蜀1t) = 0 или

Тогда мы приходим в точности к уравнению (2.5) работы Льюиса. Иначе говоря, только принимая в качестве независимого поля 4^ + 4為力 можно получить уравнения движения в гамильтоновой форме.

Основная часть возражений Льюиса связана с ролью переменных собственного времени в моей теории. Льюис не понял основной структуры моей теории, и поскольку другие читатели также могут испытать подобные трудности, я постараюсь объяснить это более подробно.

Мировая линия электрона определяется релятивистским образом посредством указания четырех координат — z^ как функций собственного времени s, иными словами, посредством задания четырех функций zc(s). Мировая линия определяет запаздывающие потенциалы 4^( во всех точ-

ках пространства-времени. Таким образом, запаздывающие потенциалы в любой точке х, а именно 4胃(х) являются функционалами четырех функций z^s)] то же верно и в отношении опережающих потенциалов.

Для применимости гамильтоновой формулировки необходимо выбрать определенную точку на мировой линии (например, заданную значением собственного времени s'). Запаздывающие и опережающие потенциалы в данной точке не зависят от значения s' (поскольку эти потенциалы были определены до того, как было введено значение s'). Поэтому имеют место равенства

d4et(X)— q d4adv(x) — q

ds' ' ds'

Параметр s' является независимой переменной в гамильтоновой формулировке, так что уравнения движения Гамильтона имеют вид

где F — функция Гамильтона. Зависимые переменные (обозначенные в общем виде символом《)включают в себя координаты электрона z(s') в момент времени У, импульсы р^^) в момент времени s' и некоторые переменные потенциала А^(х), зависящие от s'. В этом состоит отличие этих потенциалов от всех потенциалов, встречающихся в обычной формулировке электродинамики, поскольку последние не зависят от s'. В настоящем изложении следует рассматривать 4从(х) просто в качестве определенных математических величин, не зависящих от электронных переменных z从(s') и 0(s‘) и необходимых лишь для учета тех степеней свободы, которыми обладает динамическая система благодаря наличию поля. Физический смысл этих величин становится яснее лишь после интегрирования уравнений движения, когда они могут быть связаны с обычными потенциалами. Гамильтониан F является функцией величин z从(s'，р从(s') и 4从(x) и приводит к хорошо определенным уравнениям движения, если только известны скобки Пуассона для всех этих величин.

На этом этапе мы можем без опасения снять штрих у s' и записывать эту переменную просто как s. В результате обозначения совпадут с обозначениями со статьей Льюиса, а также моих работ, на которые он ссылается.

Прежде всего следует зафиксировать скобки Пуассона для всех динамических переменных z从〉р从 и 4从(х). Для этой цели можно ввести канонические координаты и импульсы (предположив, что динамические переменные являются определенными функциями от них) и затем получить скобки Пуассона с помощью обычных классических формул. Однако в действительности нет необходимости в столь «окольном» пути. Вполне допустимо постулировать любой вид скобок Пуассона, удовлетворяющих следующим соотношениям:

=一也党

[〃i2m = мт + мт,["1〃2 m = U!^.v] + "2["1,必[〃,Е w]] + ЕМ, и]] + [w, [и, и]] = 0.

Если эти условия действительно выполняются, то, как известно, становится возможным ввести канонические координаты и импульсы, приводящие к постулированному виду скобок Пуассона; при этом нет необходимости приводить конкретные примеры канонических координат и импульсов. Более того, при столь общей процедуре нет необходимости выражать гамильтониан как функцию координат и импульсов. В частности, гамильтониан может быть выражен как функция любых динамических переменных (например, скоростей), для которых известны выражения для скобок Пуассона.

Я предполагаю наличие скобок Пуасссона следующего вида:

[%从〉％ J = о, \Pii4 Pv\ = о) [0从〉％ j = g 从厶)

[z 从〉/^(x)] = 0, [p 从,4^(x)] = 0,J (3)

[A^.A^)] = I ^{A(x — W + Л) + A(x — W — Л)} J

Легко видеть, что эти соотношения совместимы с соотношениями (2), с помощью которых можно установить скобки Пуассона для любых функций динамических переменных.

Гамильтониан дается выражением (4.1) из работы Льюиса, а уравнения движения — соответственно уравнениями (4.5) и (4.6) из той же работы, а также уравнением

"^(z) = - еи从{△(х — z + Л) + Д(х — z — Л)}.(4)

曲 2

Для получения величин dA^z) /ds следует подставить z вместо х в уравнение (4), а также добавить в правую часть слагаемое, обусловленное z и зависящее от s. В результате справедливо равенство

屮=I £%{△(* + △(—Л)} + ^ 醬 J•(5)

ds 2ихи lx=z

Далее, поскольку предполагается, что Л — времениподобный 4-вектор, справедливо равенство △(*) = △(—Л) = 0 и уравнение (5) сводится к уравнению (4.8) из работы Льюиса. Отсюда сразу следует и его уравнение (4.9). Таким образом, уравнение (4.9) из работы Льюиса может быть получено без тех трудностей, о которых упоминает Льюис.

Интегрируя уравнение ⑷)находим

S

4从(х) = ；е / ^(У){Д(х - г(У) + Л) + Д(х - г(У) - Л)}ds + а^(х), (6) — ос

где а从(х) — константы движения, которые здесь имеют смысл величин, не зависящих от s (или ранее выбранной переменной s'). Примем, что эти константы равны

а 从(х) = 4 从 т(х).(7)

Этот выбор допустим, поскольку правая часть соотношения (7) не зависит от s. Падающие потенциалы появляются, таким образом, в качестве постоянных интегрирования некоторого уравнения движения.

Полагая х = z в (6) и используя свойства функции А, приходим к соотношению

4 从(Z)= 4 从広色)+ — {4 从 ret(Z — A) — 4 从 adv(Z — *)}〉 которое в пределе Л=0 дает

4t(z) = 4从 in(z) + — {А^ ref(Z)— &1adv(z)}・ (8)

Таким образом, уравнение (4.9) из работы Льюиса является правильным уравнением движения электрона с учетом радиационного затухания. Запаздывающие и опережающие потенциалы, входящие в (8), не влияют на применимость вывода этого уравнения движения, которое прямо следует из выражений (3) для скобок Пуассона и формы гамильтониана F. Уравнение (3.4) из работы Льюиса вполне верное, и оно следует из наших уравнений (8) и (1) при замене s на s'.

Выражения для скобок Пуассона, связывающих А^ ret(x) и 4从 adv (х) с другими динамическими переменными, неизвестны и не могут быть легко получены, поскольку 4从 ret (х) и 4从 adv (х) зависят от электронных переменных в разные времена. Поэтому для получения подобных скобок Пуассона следовало бы прежде проинтегрировать уравнение движение для электронов. Если бы даже это оказалось возможным, результат должен был согласовываться с другими уравнениями развитой схемы.

Физический смысл потенциалов /从(х) становится определенным на основе уравнений (6) и (7). Он может быть, грубо говоря, описан так, как это сделано Льюисом в верхней части с. 540 его работы, и не является противоречивым, если вспомнить о полной независимости координаты поля х и координаты электрона z(s). В последнем случае переменная s в гамильтоновой формулировке является независимой, тогда как в первом величина х представляет собой просто набор параметров, определяющих одну из зависимых переменных Л^(х). Не следует, однако, ограничивать их, как это предлагает Льюис, своим соотношением (6.9), поскольку могут потребоваться потенциалы в точках поля х, сколь угодно близко расположенных к точкам нахождения электронов z(s).

Литература

Lewis Т. 〃 Phil. Mag. 1945. V. XXXVI. Р. 533-541.

34

ДИСКУССИЯ НА VIII СОЛЬВЕЕВСКОМ КОНГРЕССЕ «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ» )

По докладу Р. Оппенгеймера «Теория электронов»

Дирак. Оппенгеймер представил нам обзор существующего состояния теории электронов. Однако имеется еще один аспект, который не был им упомянут, но который мне хотелось бы обсудить. Все те расходимости, что непрерывно нас беспокоят, возникают тогда, когда мы используем теорию возмущений, т.е. пытаемся представить решение волнового уравнения в виде разложения в ряд по степеням заряда электрона. Между тем, если рассматривать те же уравнения, не пользуясь теорией возмущений, то окажется, что какие-либо предпосылки к появлению расходимостей отсутствуют. Задача решения соответствующих уравнений без использования теории возмущений математически, конечно, очень сложна, но в ряде простых случаев ее можно осуществить. Например, для одиночного электрона, который рассматривается сам по себе, решение можно получить очень легко, не пользуясь теорией возмущений, и эти решения не будут содержать расходимости. Я убежден, что это также верно для системы из нескольких электронов и, вероятно, справедливо в общем случае. Мы не должны сталкиваться с расходимостями, если сможем решить волновые уравнения без помощи теории возмущений.

Если взглянуть на решения, которые мы получаем этим путем, то мы встретимся с другой трудностью, а именно появляются электроны, движущиеся вспять. Большинство членов в наших волновых функциях оказывается соответствующими электронам, движущимся вспять в том смысле, который мы обсуждали ранее, и они не могут соответствовать чему-либо физическому. Поэтому в соответствии с существующими представлениями почти все члены в волновых функциях следует отбросить. Только малая часть полученной волновой функции имеет физический смысл. Тогда мы сталкиваемся с проблемой выделения очень малой физической части из точного решения волнового уравнения. Эта проблема все еще не решена. Я надеюсь обсудить ее подробнее в будущем.

Если рассматривать тривиальный пример одиночного электрона самого по себе, не возмущаемого каким-либо полем, то не представляет труда отделить часть волновой функции, соответствующую движению вспять, от других ее частей. В этом случае получится просто то, что следовало ожидать, т.е. описание электрона, движущегося с постоянной скоростью и имеющего массу, равную исходному массовому параметру, входящему в волновое уравнение.

Если подойти к проблеме таким способом, то никакой перенормировки массы не возникает. Это, по-видимому, весьма общий результат. Вполне возможно, что все те члены, которые в изложении Оппенгеймера были получены в результате перенормировки массы или заряда, должны появиться и вне теории возмущений, но как члены, которые можно исключить благодаря тому, что они соответствуют движениям вспять. В этом случае появляются более убедительные доводы для исключения подобных членов. Можно надеяться на то, что на этом пути появится лучший критерий для отделения существенных членов в решении от тех, что должны быть опущены.

Оппенгеймер. Я думаю, что эти замечания Дирака затрагивают вопросы, на которые многие из присутствующих хотели бы отреагировать. Мне кажется, что прежде всего существует реальное различие между электродинамикой, в которой вы что-то решаете, и той электродинамикой, которую мы обсуждали; Л-процесс — это реальное изменение, и он меняет ситуацию. Я сомневаюсь в том, что немодифицированные уравнения строго разрешимы.

Паули. Я только хотел бы высказать несколько замечаний в адрес Дирака. По моему впечатлению, утверждение Дирака о существовании строгих решений в квантовой электродинамике некорректно, поскольку подобные строгие решения для одного одиночного электрона в рамках квантовой теории получаются только в том случае, если в теории допускаются фотоны с отрицательной энергией. Но такая теория не имеет никакого отношения к Природе. Я никогда не встречал доказательства того, что даже если вы допускаете применение Л-процесса, то в этом случае существует строгое решение для одного одиночного электрона в рамках квантовой теории. Ни одной работы, где бы такое доказательство было дано, не существует. Я буду считать, что подобное доказательство отсутствует, пока не смогу убедиться в противоположном. Я также хотел бы подчеркнуть, что после исключения из решения тех частей, что соответствуют движению вспять, оставшаяся его часть не имеет отношения к решению исходного уравнения.

Дирак. Решение, в котором фотоны с отрицательной энергией отсутствуют, содержится в опубликованной мною работе . В ней я привел результаты приближенного рассмотрения на основе одномерного решения волнового уравнения. Однако это приближение не мешает убедиться в том, что соответствующее приближение существует и в трехмерном случае.

Литература

35

ТЕОРИЯ ПОЛЯ)

Профессор Дирак представил обзор его новых идей в теории поля. Он убежден в том, что необходимо сформулировать некоторые новые фундаментальные концепции и что с наибольшей вероятностью их удастся установить, изучая частицы, которые нам больше всего известны, т.е. фотоны и электроны, а вовсе не менее понятные сегодня мезоны.

Наиболее общая динамическая проблема, классическая или квантовая, состоит в том, чтобы сформулировать уравнения движения, полностью описывающие изменение состояния системы от одной пространственноподобной поверхности к другой, следующей за нею. Подобные поверхности, характеризуемые параметром г, описываются уравнениями

丁(力0〉力1〉力2〉力з) = const.

Функция г должна удовлетворять определенным условиям, вследствие которых нормаль к выбранной поверхности всегда является времениподобным вектором, расположенным в будущем световом конусе, и последовательные поверхности не пересекаются.

Классическая теория электромагнитного поля может быть получена из плотности действия

必=_丄F = —- (%

4 从"4 < дхи дх„ 丿•

Однако этой теории нельзя немедленно придать гамильтонову форму ввиду отсутствия вклада, содержащего дA81dt. Чтобы этого добиться, Ферми модифицировал данную теорию, введя в лагранжиан 必 еще один

1 член -21 член -22

1 член -

2

1 член -

2

и наложив дополнительное условие дА^/дх^ = 0. В исход-

ной теории имело место, однако, неравенство 口4从 # 0. Обе теории физически эквивалентны и отличаются только описанием продольных волн.

Кроме того, в исходной примитивной теории допустимо произвольное калибровочное преобразование

тогда как в теории Ферми возможно только калибровочное преобразование с □$ = 0.

Обычные теории инвариантны относительно всех преобразований поверхности г и группы калибровочных преобразований независимо. Дирак предложил ограничить дозволенные преобразования, по отношению к которым теория должна оставаться инвариантной, сцепленными преобразованиями функции г и группы калибровок. В частности, предполагается,

что любое калибровочное преобразование S должно быть сцеплено с преобразованием поверхности

Дирак впервые разработал подобную схему для заряженного изолированного «желе», что было доложено им в Париже х), а теперь сформулировал аналогичную теорию для электронов Паули-Вайскопфа (заряженных скалярных мезонов). Последняя описывается на классическом языке плотностью лагранжиана

которая в результате преобразования ⑺=Rd° принимает вид

I {R从R从+足(% - 6丄)2} - I而比-:f^F叱

В своей теории Дирак предполагает, что состояния могут быть определены только на поверхностях 0 = const. Отсюда следует, что поверхностные и калибровочные преобразования оказываются правильно сцепленными, если в качестве параметра г выбрать в. Калибровку можно всегда выбрать так, чтобы величина 0 была пространственноподобной, и затем применять только такие калибровочные преобразования, которые обеспечивают сохранение этого свойства.

Если теперь принять, что ur (г = 1, 2, 3) — это совокупность координат на поверхности 0 с элементом объема dV = Г du\ d〃2 d〃3〉а 4『一соответствующие компоненты потенциала, то плотность гамильтониана принимает вид

-S-- А『7ТТ + - т2Т?2Г - - ^^ + -耳 sF『s「- - ^/^「厶厶『+ 丄

2222 Г 422 e2A2r

Здесь первые пять слагаемых соответствуют полям при отсутствии взаимодействия (В, S сопряжены с А, 7?), тогда как вторые два слагаемых — это члены, описывающие взаимодействие. Константа связи появилась как в числителе, так и в знаменателе, так что обычная теория возмущений здесь не может быть применена.

Дирак показал, что с классической точки зрения эта новая теория совпадает по содержанию с обычной теорией. Он убежден, что в квантовой версии, если удастся найти путь решения соответствующего уравнения, то расходимости удастся устранить, ограничившись некоторым классом калибровочных преобразований. Если в развиваемой теории плотность заряда определить формулой

Р =足г(% - 64), то мы получим дополнительное условие или дополнительное уравнение Шредингера(В/- ер^ = 0.

В последовавшей дискуссии были заданы вопросы, не получившие окончательных ответов, о физическом содержании новой теории, особенно об ее основном предположении, фиксирующем калибровку единственным образом, а также о смысле двух членов взаимодействия в гамильтониане, рассматриваемых по отдельности.

1) La Seconde Quantification 〃 Ann. Inst. H. Poincare. 1949. V. 11. P. 15-47.

36

НОВАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОНОВ)

В теории электромагнитного поля без зарядов потенциалы не фиксированы полем, но подвержены калибровочным преобразованиям. Таким образом, теория содержит больше динамических переменных, чем это физически необходимо. Посредством отказа от калибровочных преобразований оказывается возможным придать лишним переменным физический смысл и описать электрические заряды. Таким способом можно построить упрощенную теорию классических электронов, которая представляется более подходящей, чем обычная теория, в качестве основы для перехода к квантовой теории.

Введение

Классическая электродинамика основана на уравнениях Максвелла для электромагнитного поля и уравнениях движения Лоренца для электронов. Эта теория является приближенной и пригодной лишь в том случае, когда ускорения электронов малы. Попытки сделать эту теорию корректной вновь возвращают нас к проблеме структуры электрона, которая еще не нашла какого-либо удовлетворительного решения. Если принять, что заряд электрона сосредоточен в точке, то мы приходим к бесконечной собственной энергии, что не имеет физического смысла. Если же предположить, как это сделал Лоренц, что электрон размазан по малому объему, то мы приходим к большим сложностям при попытке рассматривать ускорение электрона релятивистским образом.

Одно время сохранялась надежда на то, что квантовая механика устранит эти трудности, однако эта надежда не оправдалась. Модели, в которых заряд электрона не локализован, оказались слишком сложны и неудобны для квантования, тогда как точечная модель электрона приводит к бесконечностям, устранить которые в квантовой теории еще труднее, чем в классической. Недавняя работа Лэмба, Швингера, Фейнмана и других была очень успешной в установлении правил обращения с бесконечностями и их вычитании. В результате этого оставались конечные величины, которые можно сравнивать с экспериментом. Однако окончательная теория оказывается весьма некрасивой и неполной, так что ее нельзя рассматривать как решение проблемы электрона.

Трудности современной квантовой электродинамики должны быть приписаны, на мой взгляд, не ошибкам в общих принципах квантования, но тому факту, что мы исходим из неверной классической теории. Поэтому для продвижения вперед необходимо пересмотреть классическую теорию электронов и попытаться улучшить ее. В настоящее время для этого существуют лучшие предпосылки, чем это было во времена Лоренца. Они связаны с тем уроком, который преподнесла нам квантовая теория, а именно: гамильтонова форма уравнений движения является наиболее важной.

В настоящей работе предлагается радикально новая теория движения электронов, более простая (с гамильтоновой точки зрения), чем теория Лоренца. Эта теория приводит к точным уравнениям движения вообще без каких-либо предположений о структуре электрона.

Электромагнитное поле без зарядов

В отсутствие зарядов уравнения Максвелла для электромагнитного поля имеют вид (в релятивистской записи):

dF^/dxx + dFy\/dx^ + dF^/dx" = 0,(1)

9F^/dxy = 0.(2)

Уравнение (1) позволяет выразить полевые величины F^ через потенциалы согласно соотношениям

f^ = дАу/дх^ - 34/а力J(з)

Потенциалы А^ не полностью определяются выражением (3). Они могут быть преобразованы к виду А*, где

А； = А^ - dS/dx^(4)

для любой функции S; при этом величины 当^ не изменятся. Подобные преобразования называются калибровочными.

Можно ограничить произвол в выборе потенциалов (и, соответственно, калибровочных преобразований), введя дополнительное условие

дА^/дх^ = 0.(5)

Это ограничение обычно используется в электродинамике, однако я полагаю, что оно привносит в теорию нежелательные черты. Можно получить более интересную и мощную математическую теорию, если отказаться от этого условия. Поэтому мы сохраним возможность проведения калибровочных преобразований с произвольной функцией S.

Введение потенциалов А^ автоматически удовлетворяет уравнениям Максвелла (1) и позволяет получить уравнение (2) из принципа наименьшего действия:

В / 必 dxQ dxi d力2 d力з = 0,⑹

где

必=—：F^v = I (34/a力从-34/3力"田4从/3^.(7)

Таким образом, уравнение (2) является уравнением движения Лагранжа с функцией Лагранжа

L = У ^£ dx± dx2 dx3^(8)

где А^ и дА^/дхо в различных точках в данный момент времени представляют динамические координаты и скорости. Это полезно в качестве

первого шага на пути получения уравнений в форме Гамильтона, что необходимо для возможности перехода к квантовой теории.

Обычный метод перехода от лагранжиана к гамильтониану нельзя использовать в случае лагранжиана (7) и (8), поскольку сопряженные к 4° динамические координаты оказываются равными нулю и потому неприменимы. Выход из ситуации был найден Ферми (1932), который модифицировал лагранжиан добавлением к 必 слагаемого

_1妙也

2 дх^ дхи

Модифицированный лагранжиан приводит к подходящим импульсным переменным и, кроме того, приводит к правильным уравнениям движения — при условии применения дополнительного условия (5). Таким образом, указанное условие (5) является существенным для метода Ферми представления уравнений в гамильтоновой форме.

Недавно (1950, 1951) мною была развита более общая теория перехода от лагранжиана к гамильтониану, в которой не следует беспокоиться о том, что какой-либо из импульсов окажется равным нулю. Старый метод Розенфельда (1930) также вполне применим в этом случае. Применяя один из указанных методов, вполне можно работать с лагранжианом (8) и (7), получая из него гамильтониан, пригодный для перехода к квантовой теории. Таким образом удается построить электродинамическую теорию без использования дополнительного условия (5). При этом получается более мощная теория, которую можно преобразовать в большое число различных форм, что позволяет получить хорошие перспективы для удовлетворительного введения электрического заряда.

Существование в теории калибровочных преобразований означает, что в математической структуре теории имеется больше переменных, чем это необходимо с физической точки зрения. В теории Ферми «лишние» переменные описывают продольные электромагнитные волны, отсутствующие в физической реальности; их можно устранить преобразованием уравнений, причем калибровочные преобразования исчезают в результате этого процесса. В теории, где не используется дополнительное условие (5), «лишние» переменные не описывают продольные волны, но они могут произвольным образом изменяться во времени. Таким образом, они оказываются в некотором смысле в нашем распоряжение и, как мы увидим, это обстоятельство не останется бесполезным: его можно будет применить при описании электронов [1].

Электромагнитное поле с зарядами

Обычный способ введения в теорию электрических зарядов состоит в пополнении математической схемы динамическими переменными, описывающими электроны, а также в добавлении к интегралу действия слагаемых, содержащих эти переменные. Более простой и прямой путь состоит в использовании «лишних» переменных в теории без зарядов именно с целью введения этих зарядов; при этом вообще нет необходимости во введении каких-либо новых переменных. При этом калибровочные преобразования должны быть нарушены, поскольку пока они сохраняются,

«лишние» переменные в теории без зарядов по-прежнему не будут иметь никакого физического смысла [2].

Рассмотрим простейший релятивистский способ нарушения калибровочной инвариантности, состоящий в наложении дополнительного условия

А^ =廿，(9)

где к — универсальная постоянная. Мы увидим, что это условие является единственным, которое необходимо для появления в теории классических электронов.

Условие (9) должно быть наложено на потенциалы в принципе наименьшего действия (6), (7). Это условие удобно учесть, добавляя соответствующее слагаемое к функции L, которая принимает вид

必一：电屮+1 a“从-后)，(10)

где Л — неизвестная функция, которую можно рассматривать как еще одну полевую величину.

Уравнение поля, вытекающее из нового принципа наименьшего действия (6), (10), имеют вид (9) и

dF^/dxy = ЛЛ^.(11)

Очевидно, в качестве плотности тока зарядов ^从 следует принять

加=-入/.(12)

Тогда (11) правильно описывает обобщение уравнений Максвелла (2) при наличии зарядов. Из (11) и (12) следует сохранение электрического заряда: dj^/dx^ = 0.(13)

Уравнения (9) и (11) представляют собой фундаментальные уравнения поля в новой теории. Имеется пять уравнений для определения пяти полевых величин 4从〉Л, так что решения этих уравнений определены, если заданы подходящие начальные условия.

Рассмотрим физические следствия этих уравнений. Прежде всего, очевидно существование решений с Л = 0. Эти решения удовлетворяют уравнениям Максвелла в отсутствие зарядов. Для этих решений новая теория эквивалентна обычной в отношении полевых величин F叫 Единственное отличие состоит в том, что потенциалы не могут теперь выбираться произвольно, удовлетворяя лишь уравнениям (3), — они должны также удовлетворять условию (9). Это условие не приводит к каким-либо физическим эффектам, поскольку потенциалы не являются наблюдаемыми.

Возьмем решение с Л = 0, отвечающее отсутствию зарядов, и слегка изменим его, внеся небольшие заряды, а затем изучим движение этих зарядов. С этой целью примем величину Л в (11) бесконечно малой. Пусть 当^ — исходное поле, в котором нет зарядов. Новое поле будет отличаться от него на бесконечно малую величину, которой мы можем пренебречь. Пусть Л* — любой из потенциалов, дающий поле F^ согласно выражению №)= д^/дх^ - д^/дху.

Потенциалы А^ нашей теории должны быть связаны с А* калибровочным преобразованием (4), причем функция S должна быть выбрана так, чтобы А^ удовлетворяли условию (9). Выражая А^ через А* в (9), мы получаем

(as/а 力从 + ^{ds/dx^ + а^^ =廿.(14)

Из решения (14) мы находим возможное движение зарядов (удовлетворяющее требованиям теории), полагая

加=一A(as/a 廿+ 4D.(15)

Здесь Л может быть выбрано в виде произвольной бесконечно малой величины в какой-либо момент времени; тогда значение Л в другие моменты времени будет определено законом сохранения (13).

Направление движения зарядов в пространстве-времени дается 4-вектором dS/dx^ + Л*. Тогда уравнение (14) представляет собой не что иное, как уравнение Гамильтона-Якоби для электрона, движущегося согласно уравнениям Лоренца в поле с потенциалами Л* при условии, что универсальная константа к связана с зарядом и массой электрона соотношением к = т/е.(16)

В указанной интерпретации уравнений (14) 4-вектор энергии-импульса электрона имеет вид

夕从=edS I дх\ тогда как 4-вектор скорости имеет вид

(夕从 + eA*)/m = e(dS/dx^ + ^)/т.

Направление последнего вектора в пространстве-времени совпадает с направлением движения зарядов, определяемым (15). Отсюда можно заключить, что новая теория требует〉чтобы бесконечно малые заряды двигались в соответствии с уравнениями Лоренца для движущихся в этом поле электронов причем влиянием поля самих электронов пренеб- регается.

Для изучения движения зарядов, не являющихся малыми, можно использовать метод последовательных бесконечно малых изменений, вносимых в решения уравнений. Каждое подобное бесконечно малое изменение может быть рассмотрено тем же методом, что и ранее. Мы заменяем F^ например на F^ (поле в присутствии уже существующих зарядов), выражаем последнее через Л* и вновь приходим к уравнению (14). Решение этого уравнения дает нам возможность изменения зарядов на величину 5J^, равную правой части (15), где Л выбирается как бесконечно малая величина в данный момент времени. Уравнение (14) все еще может быть интерпретировано как уравнение Гамильтона-Якоби, однако теперь оно относится к электрону, движущемуся в поле уже существующих зарядов. Можно заключить, что любое бесконечно малое изменение заряда должно двигаться в соответствии с уравнениями Лоренца для электронов^ движущихся в поле уже существующих зарядов.

Для получения гамильтониана новой теории наиболее удобно использовать лагранжиан (8), (7) и применить уравнение (9) для исключения

динамических координат Ад с помощью А, /2)/3. Затем можно применить обычный метод перехода от лагранжиана к гамильтониану. Импульс Вг, сопряженный к динамической координате /『(г = 1, 2, 3), выражается функциональной производной

Я =—-—=耳 о,(17)

дА^/дх^

так что Вг представляет собой как раз электрическое поле. Гамильтониан теперь принимает вид

Н = [ Вгd力 1 d力 2 d力 з — Ь =

J дхо

=/{^耳sF『s - j BrBr - (4/s + 廿)1/2 嘗} dxi d力2 d力з・(18)

Обсуждение

Новая теория представляется адекватной для описания движения электронов, когда квантовые эффекты [3] не учитываются. Она правильно описывает движения пучка электронов в электромагнитном поле и дает отклонение пучка этим полем. Кроме того, если пучок достаточно плотный, может быть описано также расхождение различных частей пучка, вызываемое объемными зарядами.

Данная теория не дает детального описания индивидуальных электронов пучка в том виде, как это делает обычная теория электронов. Подобная детальная теория не является необходимой, если не рассматриваются квантовые явления. Следовательно, указанная детализация не должна возникать в классической теории и тем самым ее отсутствие в новой теории является достоинством последней. Это преимущество проявляется и в математической форме новой теории, содержащей меньшее число динамических переменных, что приводит к ее существенно более простому виду.

Новая теория требует непрерывной зависимости скорости электрона от его положения в пучке. Это требование непрерывности описывается следующим условием: одно решение уравнения Гамильтона-Якоби определяет движение всех электронов. Можно ввести в функцию Гамильтона-Якоби S коротковолновые осцилляции, которые приведут к появлению флуктуаций скорости электрона в зависимости от его положения в пространстве. Однако указанные флуктуации сильно ограничены по сравнению с дозволяемыми обычной теорией, и мы не сможем получить электроны, сколь угодно близко расположенные друг к другу и при этом обладающие большим разбросом скоростей. Это ограничение является необходимым следствием уменьшенного числа динамических переменных в новой теории. Насколько я могу судить, эта теория не находится в противоречии с классическими экспериментами.

Важная черта новой теории состоит в том, что она содержит лишь отношение е/m, но не е и m по отдельности. Именно этого следует ожидать в чисто классической теории. Существование е следует рассматривать как квантовый эффект, и заряд е должен появиться в теории только после

квантования (его наличие не является свойством классических электронов).

В обычной электродинамической теории в качестве первого приближения принимается то, в котором полагают е = 0. В результате получают электроны, которые не взаимодействуют с электромагнитным полем, после чего взаимодействие вводится как возмущение. Подобная процедура невозможна в новой теории, где отсутствует величина е, которую можно было бы положить равной нулю. В новой теории электрон невозможно рассматривать в отрыве от его взаимодействия с электромагнитным полем.

Развитая в данной работе теория сформулирована в качестве основы для перехода к квантовой теории электронов. С этой целью, по-видимому, придется заменить квадратный корень в гамильтониане (18) чем-либо, содержащим спиновые переменные; кроме того, придется ввести также статистику Ферми для электронов. Это может быть трудной проблемой, но можно надеяться, что ее правильное решение приведет к квантованию электрического заряда, а также к его выражению через h. Можно также надеяться на улучшение ситуации с точки зрения избавления от бесконечностей, поскольку в новой классической теории вопросы взаимодействия электрона с самим собой уже не возникают.

Литература

Dirac Р.А.М. // Canad. J. Math. 1950. V. 2. Р. 129.

Dirac Р.А.М. // Canad. J. Math. 1951. V. 3. P. 1.

Fermi E. // Rev. Mod. Phys. 1932. V. 4. P. 87.

Rosenfeld L. // Ann. Phys., Lpz. 1930. V. 5. P. 113.

НОВАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОНОВ. II)

Дан анализ движения потока электронов, подчиняющихся уравнениям Лоренца. Этот анализ приводит к более общему принципу действия, чем полученный в предшествующей работе. Он содержит вихревую структуру электронного потока, причем по-прежнему величины е и m входят лишь в виде отношения е/т.

Дан вывод уравнений в гамильтоновой формулировке.

Введение

Тот факт, что электрические заряды появляются лишь в виде величин, кратных заряду электрона е, является по-видимому, квантовым явлением и потому оно не должно возникать в классической электродинамике. Чтобы получить потоки электронов, движущихся в соответствии с уравнениями Лоренца, необходимо лишь появление в теории отношения заряда электрона к его массе и нет необходимости в их появлении порознь. Последнее желательно потому, что в этом случае есть надежда на то, что в конце концов появится метод квантования, который дает одновременно величины е и 瓦 причем в соотношении, фиксирующем постоянную тонкой структуры е?/%。.

В предшествующей работе ' я предложил классическую теорию такого типа, содержащую только отношение т/е = к. Д. Габор указал мне, что моя теория допускает лишь потоки электронов специального вида, для которого 4-вектор скорости v^ электронного потока имеет вид (см. уравнения (14), (15) указанной работы)

v^k-^dS/dx^ + A^,

где А* — электромагнитные потенциалы с произвольной калибровкой. Отсюда следует, что вектор kv^ — А* должен быть безвихревым. Это возможно, например, для облака электронов, покоящихся в магнитном поле, причем плотность электронов должна быть достаточно малой, чтобы можно было пренебречь взаимным отталкиванием электронов. Подобное распределение электронов не могло быть описано в рамках моей теории.

Настоящая работа посвящена обобщению теории с тем, чтобы сделать возможными вихревые потоки электронов; при этом мы сохраняем фундаментальную идею о том, что в теории появляется лишь отношение т/е. Уравнения теории записываются в виде принципа действия; кроме того, вводится гамильтониан в качестве необходимого условия квантования.

Выводы из уравнений Лоренца

Уравнения Лоренца для электрона, движущегося со скоростью и从 в электромагнитном поле имеют вид

kdv^/ds =(1)

где к = m/е, а заряд электрона равен (—е). Если имеется поток электронов, то можно рассматривать и从 как непрерывную функцию четырех координат ｛力｝〉определяющих точку в пространстве-времени. Тогда уравнение (1) принимает вид

^ dv^/dx^ = v^F^.(2)

Из условия vyvy = 1 следует, что

vy dv^/dx^ = О,

так что (2) может быть записано в виде

=0,⑶

где

Y + M—泠(4)

Уравнение (3) показывает, что в каждой точке пространства-времени существует 4-вектор v^ такой, что

5 ^livp(jf^ =u0"(7 -(5)

где s^pa — антисимметричная тензорная плотность 4-го ранга, неисчезающие компоненты которой равны ±1 (этот результат можно без труда проверить, выбрав лоренцеву систему отсчета, для которой и。= 1)г^ = =°2 =禽=0). Ив уравнения (4) следует, что

产="(- g …⑹

0力从UXy

где /从一потенциалы с произвольным выбором калибровки. Тогда

e^Padf^/dxp = 0,(7)

так что из (5) следует

d^VpUa - vaup)/dxp = О,

или

диаdvaдирdvp心

q 丁一曲丁 = 0。尸一мт⑻ uX pС/Х pUX pС/Х p

Последнее уравнение имеет простую геометрическую интерпретацию. Она показывает, что если е — бесконечно малое число, то изменение вектора 2"。при смещении дхр = еир отличается от изменения вектора 2“。 при смещении дхр = &% в е? раз. Эту величину следует умножить на правую часть уравнения (8), которая представляет собой вектор, лежащий в плоскости векторов “。и и。. Отсюда следует, что векторы “。〃 va

лежат на интегрируемых двумерных поверхностях в пространстве-времени. Электрические силовые линии, т.е. линии в пространстве-времени, определяемые уравнениями dx^/ds = и从)принадлежат этим поверхностям.

Пусть £ и 〃 一 две независимых функции переменных 力)постоянные на этих поверхностях, так что

%%线дха线дха=иа=иа夾 дха夾 дха=0.=0.

%

%

线дха

线дха

=иа

=иа

夾 дха

夾 дха

=0.

=0.

Тогда из условия (5) имеем

OXOX

откуда видно, что 6-вектор 产"имеет вид

产 = а(空匹一至⑼ 力从 dxv dxv дх^ /

где а — некоторая функция переменных х. Подставляя (9) в (7), находим

д& дт] да с&wpo -一 -一-一 = 0-少力从С/Хр С/Хр

Последнее уравнение показывает, что векторы 3£/3力从)3〃/3力^〉да/дхр являются коп ланарными, откуда следует, что а есть функция только величин £ и 〃.

Введем новые переменные £* и 〃*〉которые являются функциями исходных переменных £ и 〃 причем якобиан имеет вид

3(£*出*)/女f出)=以

Тогда

дхц дхи дхи дхц

В дальнейшем мы будем работать только с этими новыми переменными, и потому опустим звездочки. Тогда мы получим

Сравнивая это выражение с соотношением (6), мы видим, что при подходящем выборе калибровки имеет место соотношение

AN = к^ + £迎.(11)

Это соотношение для потенциалов лежит в основе предлагаемой теории. В моей предшествующей работе /从 просто равно ku从.Дополнительное слагаемое £3〃/3力从)появляющееся в (11), обеспечивает вихревой характер электронного потока. Переменные ^ и ту в (11) определены неоднозначно и могут быть заменены любыми двумя функциями этих переменных при условии, что соответствующий якобиан равен единице.

Принцип действия

Рассмотрим плотность действия

必=-lF^ + j Х(%М -1),(12)

в котором F^ получены с помощью потенциалов (11), а в качестве независимых полевых переменных используются v\ £〉〃.

Варьируя интеграл действия

/ = / 2 d%,(13)

взятый по всему пространству-времени, получаем

в/ = / [f^ Г + х°0М + ；(。心从-1)办} d% =

=/{—含 G'M + 礬 B£ + £ 謂)+ Хи0М + j e〃M - i)sx}d4x =

=/{一学(kbu从 + 券 8£ 一券 8〃) + Xv^ + j (0从0从-1)81} d^x.

Условие стационарности I дает

W = 1,(14)

k3F从 ^/3力^ = A^,(15)

hf叩 ^п_ = °,°九 = о.(16)

дхи дхцдхи дх間

Уравнение (15) приводит к полевым уравнениям Максвелла, если отождествить плотность тока-заряда с выражением

加=-…%(17)

Уравнения (16) могут быть заменены (при А ^ 0)

и 从 dr]/дх^ = 0,и从夾/дх^ = 0,

и с помощью (11) они приводят к уравнению

которое возвращает нас к уравнениям Лоренца (2).

Таким образом, принцип действия воспроизводит все уравнения движения правильно.

Следует заметить, что плотность действия содержит только полевые переменные и匕 £〉ту, А и их первые производные (вторые производные 〃 сокращаются). Тогда интеграл действия (13), вычисленный по конечной области пространства-времени, будет стационарным (в предположении о том, что выполняются уравнения (14), (15) и (16), тогда как и〃, £, ту, А на границах сохраняются фиксированными).

Альтернативный принцип действия

Можно было бы взять несколько полевых переменных £а (а = 1,2,...), каждая из которых связана с полевой переменной 7/а, и положить

/从=ku从 + £ Садг)а/дх^(18)

После проведения вариационной процедуры с этим — более общим — выражением для /从 вместо (11) в плотности действия (12), мы находим, что уравнения (14) и (15) остаются неизменными, а уравнения (16) имеют место для каждого & и 77a. Нетрудно видеть, что эти уравнения все еще остаются в согласии с теорией Максвелла-Лоренца. Они не могут описывать физически более общее движение потому, что, как мы видели в п. 2, потенциалы (11) адекватны для описания более общего электронного потока. Поэтому эти уравнения являются всего лишь более сложным описанием того же самого физического движения. Этот результат послужит своего рода ступенькой для более содержательного изменения принципа наименьшего действия.

Каждая из величин ^а, 77a остается постоянной вдоль линий тока потока. Принцип действия, основанный на уравнениях (12) и (18), требует, чтобы каждая из этих величин ^а, rja сохраняла постоянные значения на границах (лишь при этом условии интеграл действия останется стационарным) .Тогда, если по крайней мере три из этих величин являются независимыми, конечные точки линий тока должны быть фиксированы. Можно было бы подумать, что в этом случае уже не обязательно поддерживать фиксированными значения скоростей и从)и этот вывод подтверждается расчетом. Таким образом, мы приходим к принципу действия, в котором независимые полевые переменные определяют положения линий тока, но не скорости на них (если только не вычисляются их производные).

Удобный способ описания всех линий тока состоит в том, чтобы выразить координаты каждой точки пространства-времени как функции четырех параметров 也"2〉"3〉丁〉например

力从=如3"),

где величины и являются постоянными вдоль линий тока. Тогда эти величины служат своего рода «индексами», определяющими данную линию тока, а параметр г — параметром, определяющим положение точки на этой линии. Мы будем рассматривать г как временную переменную и обозначать производные по ней точкой.

Вектор и从 совпадает по направлению с вектором у从)так чтоu从=勿伪3")t/2.

Из уравнения (11) следует, что

/"и 从=к,(19)

ИЛИЛ^ = к&力I。-(20)

При заданных направлениях линий тока потенциалы имеют произвольные значения, ограниченные только условием (20).

Переменные /从)у^ будут рассматриваться как независимые полевые величины для нового принципа действия. Чтобы обеспечить выполнение

условия (20) для этих величин, следует принять в качестве плотности действия1

=+ Х{А^ - М^У)1/2}・(21)

Смещая все линии тока на величины Sy^ (зависящие от ж), получаем

=(22)

Величины 8少从 в (22) обозначают изменения величин у^ для данных значений “ит. Если же мы обозначим через 8少从 изменения у^ для данных значений 力)что соответствует другим величинам В в вариационной процедуре, то нам придется заменить(22) выражением

8% +"б^ = ^¥・(23)

ОХ рОХу

Тогда мы получаем

8/ = 8/必d% = /{%賢+以崛-k®3个7办+

+務④/从+入田一к&犷尸勺R * -然涿]"% =

=一学8/从+以州从-用伪3个勺办+ №0/从- 丿 L OX р

-3从(/从-k』® - n/从-k叫性дуЛ d%,

OXp0Xp 丿

при условии, что вариации В/从 и Sy^ обращаются в нуль на границе. При этом условия стационарности интеграла действия сводятся к (20),

dF^/дх, = А^(24)

И:从(/从-kM)^] + А(А"-卜旷)讐=0.(25)

Уравнение (24) соответствует уравнениям Максвелла с плотностью заряда-тока 加=—Ху^. Из (24) находим

д(Хуиудху = 0,(26)

после чего (25) сводится (при условии А ^ 0) к уравнению

* (4从-k叫+ (/" - k吟啓=0.

оХy0力从

Поскольку (/" — ku")少^ = 0, последнее можно представить в виде

貝g 貝g = 0, (JXy。力从

что приводит к уравнению Лоренца (2). Таким образом, новый принцип действия правильно воспроизводит все уравнения движения.

Этот принцип, возможно, более фундаментален, чем рассмотренный в п. 3, поскольку новый принцип относится непосредственно к линиям тока

электрического заряда и приводит к трактовке и从 как скоростей. Кроме того, новый принцип действия можно рассматривать как естественное обобщение обычного интеграла действия для одного электрона, именно I = F^F^ d% + / е/从^ ds- ] mds.(27)

Члены XA^y^ и -к》①^少"产/2 в (21) соответствуют второму и третьему слагаемым в правой части (27) соответственно. Они точно совпадают с теми выражениями, в которые должны перейти указанные слагаемые, если одиночный электрон заменяется электронным потоком.

Гамильтониан

Прежде чем рассматривать квантование теории, следует получить уравнения движения в гамильтоновой форме. Стандартные методы перехода от лагранжиана к гамильтониану могут быть применены к принципам действия, сформулированным в п. 3 и п. 4, и приводят к двум гамильтонианам, которые выглядят весьма различными, но, разумеется, должны быть эквивалентны. Неясно, какой из двух гамильтонианов окажется более удобным для квантования. Для иллюстрации метода мы рассмотрим один из них - тот, который получается из принципа действия в п. 3.

Для получения гамильтониана в ковариантном виде следует использовать физические величины, определенные на пространственноподобной поверхности общего вида в пространстве-времени; эти переменные определяют физическое состояние на этой поверхности. Общий математический метод работы с этими поверхностями был дан ранее '; мы будем следовать установленным там правилам, сохраняя те же обозначения. В соответствии с этим поверхность будет описываться четырьмя функциями у从(")〉зависящими от трех параметров иг.

Лагранжиан имеет вид

= ~У F^F^ytrd\(28)

где F^ получаются из потенциалов (11). Второе слагаемое в плотности действия (12) опущено, поскольку теперь удобно рассматривать (14) как сильное уравнение и считать, что нормальные компоненты vi вектора и从 тождественно равны функции тангенциальных компонент

&三(1 -(29)

Тогда L является функцией независимых динамических координат у田 и\ £〉〃 для всех значений величин “〉а также для всех их производных по г, а именно скоростей.

Предпочтительнее выбрать Аг в качестве основных динамических координат вместо vr. Это приводит к более удобным выражениям для импульсов. Подобное изменение не может повлиять на уравнения движения, которые следуют из принципа действия, поскольку уравнение

Ар = kvr + ^rf,(30)

связывающее Аг и vr, содержит только динамические координаты и вообще не содержит скоростей.

Для получения импульсов мы должны проварьировать скорости в (28), сохраняя динамические координаты неизменными. Выражая F^ через его нормальные и тангенциальные компоненты, получим

Ь = - /{：4sLs + gF"，}"d3“.(31)

Здесь величины

prs _ {ST — J4Ts

вообще не содержат никаких скоростей, так что

SFrs = 0.(32)

Кроме того,

8初=尸8爲

Простейший способ вычислить SFri состоит в нахождении формы

少箱"三^川(4"-a^)三^Л- - g/4吋三& AU -(鼠A*三 ^{уа^ + ш-^т. (33)

где верхний индекс г какой-либо величины означает ее производную по г (в отличие от обычного обозначения с помощью точки). Варьируя обе части (33) и используя (32), получаем

У1^гг + F^Sy^ = (kZB^ + 5「)『一(L4"

В результате вариация (31) дает

BE = — / {FriSF^yt + (^FrsFrs + ^FrlFr^8y^V^u =

=/ {Fri{F^8ya + М-)Г + (/IT(W^^ + &"竿―

-(J FrsFrs + I FrtF^VrSy^d3^

Импульсы Br, q, /3, wa^ сопряженные соответственно к Ar, ^, ту, ^, определены так, чтобы вариация SL имела вид

"=/{8»/" + аВ? + 36叩 + waSya} Su.

Сравнивая коэффициенты, находим

Вг =片匸(34)

а = 0,(35)

/3 =(耳 *)3(36)

w" = FrlFraV + k(FrlVyva - (J FrsFrs + | FrlFr^l\ (37)

Из этих уравнений, связывающих импульсы, координаты и скорости, для получения 0-уравнений следует исключить скорости. Уравнение (35) в этом виде уже является (^-уравнением. Из (34) и (36) получаем еще одно (^-уравнение, которое представляет собой

в - 8J£ = 0. (38)

Тангенциальная составляющая (37) дает

_ BrFrs - Brr(As - 5$) = 0.(39)

Наконец, нормальная часть (37) дает

w/ + - EsF『sp - - ВгВ^-1 - kBrrvi = 0.

42

Исключая 仞 с помощью (29) и (30), получаем еще одно 0-уравнение:

{w/ + I FrsFrsr - I 以8ь-1}2 一(以Т)2{后一(4 — 5s)(/s —切)} = 0.

(40) Все эти уравнения относятся к 0-уравнениям и легко видеть, что у-урав- нения отсутствуют.

За исключением особого случая Вгг = 0 0-уравнения (35) и (38) относятся ко второму классу, поскольку СП их левых частей не обращаются в нуль. Остающиеся 0-уравнения (39) и (40) должны принадлежать к первому классу или, в любом случае мы должны быть способны получить (^-уравнения, относящиеся к первому классу, с помощью (35) и (38). Это обусловлено тем, что эти уравнения должны привести к произвольным изменениям параметризации поверхности и, соответственно, к движению поверхности нормально самой себе.

Для получения гамильтониана, пригодного для квантования, следует свернуть 0-уравнения второго класса в сильные уравнения и ввести новые СП, согласованные с этими уравнениями, в качестве сильных. Общий метод для выполнения этой процедуры дан в работе 1 (см. п. 8), однако рассматриваемый случай столь прост, что результат просто очевиден. Именно следует рассмотреть (35) и (38) как сильные уравнения и предположить, что связанные с а и £ степени свободы не дают вклада в СП. Можно использовать (35) и (38) для исключения переменных а и £ из других (^-уравнений, после чего вообще «забыть» о переменных а и £. В итоге мы получим следующие уравнения:

ws + /3〃s + 8『/『s - (BrAs)r = 0,(41)

+ {BrrAs - ^S}{B/AS - Bn$} - {Brr^l^ = 0. (42) Уравнение (41) как раз является ожидаемым (^-уравнением, приводящим к изменениям параметризации поверхности, при котором независимые полевые функции — это скаляр 〃 и 3-вектор Аг на поверхности. Уравнение (42)представляет собой гамильтониан в данной теории и определяет эволюцию всех динамических переменных по мере движения поверхности в пространстве-времени.

6. Выводы

Основная проблема с классической теорией изложенного выше типа состоит в том, чтобы при переходе к квантовой теории возникло также и квантование электрического заряда. Это, по-видимому, требует, чтобы динамические переменные, сопряженные с электрическим зарядом во всех

точках поверхности, должны иметь циклический характер. В настоящей теории отсутствует что-либо, обеспечивающее эту цикличность, поэтому необходимо дальнейшее усовершенствование теории. Этой цели могло бы способствовать введение магнитных полюсов, но это не привело бы к фиксированию значения постоянной тонкой структуры а = е?/%。； таким образом, полное решение этой проблемы не было бы достигнуто.

Важная черта новой теории, отличающая ее от обычных полевых теорий в атомной физике, состоит в наличии поля скоростей и从 с условием u〃u" = 1- Благодаря этому условию нельзя положить все полевые величины равными нулю даже в идеальном вакууме. Там, где имеется электрический заряд, v^ является его скоростью. Рассмотрим смысл величины v^ в тех точках, где заряд отсутствует.

Для области пространства-времени, где заряд отсутствует, уравнения движения, вытекающие из принципа действия, изложенного в п. 3, оставляют величины v^ неопределенными, поскольку уравнения (16) удовлетворяются автоматически. Уравнения движения, следующие из принципа действия, изложенного в п. 4, также оставляют величины v^ неизменными, поскольку а = 0〉так что уравнение (25) также удовлетворяется автоматически. Таким образом, может показаться, что величины и从 не имеют смысла там, где заряды отсутствуют.

Однако более разумно для получения уравнений движения выбрать гамильтониан (42), поскольку гамильтониан с квантовой точки зрения является крайне необходимым атрибутом. Гамильтониан (42) не вполне эквивалентен принципам действия, поскольку при этом уравнения (35) и (38) становятся уравнениями первого класса. С точки зрения гамильтонова подхода в эволюции гамильтоновых динамических переменных не может быть никакого произвола за исключением того, что связано с (^-уравнениями первого класса. В данном случае это означает произвольное движение поверхности и ее параметризацию. Там, где Вгг обращается в нуль, уравнение(38) показывает, что одновременно обращается в нуль и /3. Тогда для того, чтобы исключить какую-либо произвольность в эволюции 〃 (определяемой гамильтонианом (42)), необходимо, чтобы отношение /3/8J имело определенное значение. Тогда с учетом соотношения

Ar = kvr + ^r/Bss (43) будет определена и скорость vr. Таким образом, гамильтонова формулировка требует определенного значения и从 во всем пространстве-времени.

Можно представлять себе v^ как скорость некоторого эфира. Здесь нет противоречий с релятивизмом, поскольку все уравнения лоренц-ин- вариантны. В теории после квантования идеальный вакуум должен быть областью, в которой все направления для и从 равновероятны, так что не существует выделенной оси времени [1].

Литература

Dirac P.A.M. I I Can. J. Math. 1950. V. 2. P. 129.

Dirac P.A.M. // Can. J. Math. 1951. V. 3. P. 1.

Dirac P.A.M. I I Proc. Roy. Soc. A. 1951. V. 209. P. 291.

38

НОВАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОНОВ. III)

В работе рассмотрены несколько взаимопроникающих электрических потоков, движущихся согласно уравнениям Максвелла и Лоренца. Формулируется принцип действия, после чего проводится переход к гамильтоновой форме уравнений движения. Гамильтониан обладает значительным сходством с гамильтонианом для точечных заряженных электронов, однако все же отличается от него.

Введение

В двух предшествующих статьях ' ' я предположил, что теория электронов должна быть построена на основе классической теории движения непрерывного потока электричества, а не на теории движения точечных зарядов. Тогда можно было бы рассматривать существование дискретных электронов как квантовое явление. Таким способом мы получаем более надежное обоснование электродинамической теории, поскольку трудности с бесконечностями, всегда присущие теории с точечными зарядами, уже не возникают с самого начала.

В предыдущих частях этой работы рассматривалась теория отдельного электрического потока. Нет уверенности в том, что подобная теория достаточно обща для того, чтобы служить основой квантовой теории электронов, поскольку классическая модель не содержит ничего, что соответствовало бы электронам с различными скоростями с малым разбросом в их значениях. С целью расширения теоретического базиса здесь предлагается теория нескольких взаимопроникающих электрических потоков [1].

Каждый поток движется под влиянием электромагнитного поля в соответствии с уравнениями Лоренца и создает электромагнитное поле в соответствии с уравнениями Максвелла. Между потоками отсутствует прямое взаимодействие — имеется лишь косвенное, обусловленное действием друг на друга посредством порождаемых ими полей.

Прежде всего уравнения движения будут представлены в форме принципа действия, после чего будет произведен переход к гамильтоновой форме. Чтобы сохранить теорию явным образом релятивистской, гамильтониан будет определен для состояний на пространственноподобных поверхностях произвольного вида в пространстве-времени.

Теория могла бы быть применима к движению потоков заряженных частиц в вакуумной трубке в пренебрежении соударениями этих частиц. Для подобных практических целей нет необходимости в усложнении, связанном с гамильтоновой формой. Оправданием для вычислений гамильтоновой форме может служить надежда на то, что эта форма может помочь нам угадать уравнения новой квантовой теории электронов. Для этого необходимо применить процедуру квантования классических уравнений, введя соответствующим образом спин электрона и статистику Ферми.

Одна из основных проблем современной атомной физики состоит в получении теории электронов с фиксированным значением е?/方& т.е. теории, пригодной только при одном значении этой величины. Представляется безнадежным решать эту проблему с физической точки зрения, поскольку отсутствует «ключ» к новым физическим идеям, необходимым для этой цели. Однако можно быть уверенным в том, что новая теория будет содержать некоторую весьма красивую математику, и именно на пути ее поиска можно надеяться на решение проблемы. Я полагаю, что требуемая математика будет более тесно связана с уравнениями, описывающими непрерывные электрические заряды, чем с теми, которые в настоящее время применяются для описания точечных зарядов.

Принцип действия

Пусть имеется несколько электрических потоков, которые мы будем обозначать буквой а (а = 1, 2,...). Линии тока в пространстве-времени для каждого потока а обозначаются тремя параметрами г]аг (厂=1, 2, 3), имеющими постоянные значения вдоль каждой линии тока. Линии тока определяются заданием указанных выше параметров как функций четырех координат 力从(从= 0,1, 2, 3) точки в пространстве-времени,

^аг = "Лаг (^) •

Разумеется, можно заменить 〃如 любыми тремя их независимыми функциями, так что при этом может измениться лишь способ обозначения линий тока, но не они сами.

Определим 4-вектор qafl выражением

q(щ = £从1叩(7出(11 刀a2P刀(13°)(1)

где е^ро = ±1〉если 从〉z/, р、а являются соответственно четной или нечетной перестановкой чисел 0, 1, 2, 3 (в остальных случаях значения компонент тензора £ равны нулю). Верхний индекс v при переменной обозначает ее производную по ж^; по повторяющимся нижним индексам предполагается суммирование (если только это не индекс а, обозначающий один из электрических потоков.

Уравнение (1) дает

% 从〃 ат" = 0〉 откуда видно, что величина 仇丁 постоянна вдоль мировой линии, направление которой совпадает с направлением Qa^. Тогда направление q。从 совпадает с направлением 4-вектора скорости %从 потока а, так что

% 从=% 从/|%|〉|%| = (% 从

Предположим, что плотность действия имеет вид

必=-\F^ + £(а/叩/从-f3a\qa\l⑵

где аа и ^а — две новые полевые переменные, постоянные вдоль линий тока в потоке а и, следовательно, зависящие только от 77aL 77a2〉〃аЗ・ Покажем,

что уравнения поля, следующие из такой плотности действия, являются правильными уравнениями движения.

Уравнения поля для любой полевой величины К)входящей в 必 вместе со своей производной К，имеют вид

\дк^) — ~дК

Выбрав в качестве К один из электромагнитных потенциалов / и, вспоминая, что F^ = 4"从—А^ получаем

Fw =〉： а/а从.

Q

Это приводит нас к уравнениям Максвелла, если мы интерпретируем аа так, что aaqaQ является электрической плотностью потока а.

Выбрав в качестве К величину 77aL получим

{(a/从-仇疗)^"勿2°仏3°}= 醬qa"A“ - 辱1击1. OT]alOT]al

Это уравнение сводится к

(Q/从-时=粤 q^ -<|q|,а力dm

где индекс а для краткости не указан явно. Умножим это уравнение на 〃丿 и сложим с соответствующими уравнениями для 小 口 〃з・ Тогда получим: (с^а^ -В吟仆入ё呻р。 +畸2从5 +然恥^)小儿犷疗=Qq仪-px\q\.

Применив общую формулу

6 к& 叩 р(т + ^ц^урак, + &户 рощл + 6 pWoRfib + 台^金凡从 г/р = 0,(5)

справедливую ввиду наличия у нижних индексов всего лишь четырех значений, получаем

(а/从-严囲叩-心и”)= а\^ - /Л

Используя далее уравнения a^vy = 0, ^vy = 0, выполняющиеся ввиду постоянства а и /3 вдоль линий тока, находим окончательно

^人飞 + а(/办-aх^ = 0.(6)

Это и есть уравнения движения Лоренца для потока заряженных частиц, для которых заряд и масса находятся в отношении а :区

Таким образом, принцип действия (2) приводит к правильным уравнениям движения. Мы можем использовать их в разных ситуациях. Например, если отношение а : /3 одинаково для всех потоков, эти уравнения будут описывать движение нескольких взаимопроникающих потоков электронов. Если же отношение а : /3 будет различно для различных потоков, то удастся описать потоки частиц различной природы. Математически допустимо даже принять отношение а : /3 изменяющимся от одной линии тока к другой в пределах того же самого потока. Однако подобное обобщение, по-видимому, не представляет какого-либо физического смысла.

Переход к гамильтониану

В качестве предварительного шага перед квантованием следует привести уравнения движения к гамильтоновой форме. Желательно провести это последовательным (и явно выраженным) релятивистским образом, для чего следует рассмотреть состояние на трехмерной пространственноподобной поверхности общего вида в пространстве-времени. Необходимо получить гамильтониан, дающий изменение рассматриваемого состояния по мере любого изменения поверхности, сохраняющего ее пространственноподобной. Принцип действия непосредственно дает уравнения для такого изменения состояния в лагранжевой форме, от которой мы можем затем перейти к гамильтоновой форме стандартными методами.

Используя обозначения части II этой статьи, запишем лагранжиан

Е三/必少讨酒"，

который можно представить в виде

L = LF +

где

Е尸三 V /F^^^u.Ma = /9徹叩/从-f3a\qa\)yiVd3u.

Динамические координаты — это полевые величины 刀现 и 厶从 на данной поверхности. Предпочтительно выбрать вместо четырех величин /从 в качестве основных динамических координат тангенциальные и нормальные компоненты этого 4-вектора — а именно Аг и А/ (как это было сделано ранее в части II). Эта замена влияет на определение сопряженных импульсов.

Для получения импульсов следует проварьировать динамические скорости в L, что означает варьирование производных динамических координат в любом направлении, отличном от тангенциального к поверхности. Для получения вариации в Е мы можем действовать, как и в части II, начиная с уравнения (28), однако без использования уравнений (30) или (11). Тогда вместо (33) мы получаем новое уравнение

УаР^ =⑨丿^ — /『

а вместо следующего за ним уравнения — новое уравнение

+ F^6ya = (4“^)『一

В результате имеем

SLf = /[Frl(F^3ya + ЗАГТ)Г + (FrlryAa3ya -

-(J FrsFrs + I F^F^VrSy^ d3u. (7)

Для получения 5Ma, вновь опуская нижний индекс а, находим

bq从=-£叩р(т(& 邑力=1, 2, 3).

Используя кинематическую формулу

= l弋КТ -К肾加,(8)

пригодную для любой полевой переменной К)получаем

O，bq从=；ё№。尸小叫「®『 - "J6谪, и, следовательно,

8М = У{(аА^ - В吟2PMst%PnJ®J _ 〃/в以)+

+ (a%/“ - (3\д\)Г6уа}Г(13и. (9)

Импульсы Br,瓦 &『)w。)сопряженные к Аг, Ар,仇乙 Уа соответственно, равны коэффициентам в вариации L, так что

BE = /{BrSArT + 8m4「+ £&内仇」+ wady^ Su.(10)

Сравнивая коэффициенты в ⑺)(9) и (10), находим8T =片4Г = I (а/从-В吟沁р。戸％Р%°「“ =FrlF^V + (片讨)沙-(J FrsFrs + j 耳尸，IT7 ---时^/戸仍『小。-(效从4从-Сравнивая коэффициенты в ⑺)(9) и (10), находим8T =片4Г = I (а/从-В吟沁р。戸％Р%°「“ =FrlF^V + (片讨)沙-(J FrsFrs + j 耳尸，IT7 ---时^/戸仍『小。-(效从4从-qq1± 1± 1±1± 1± 1±гг

Сравнивая коэффициенты в ⑺)(9) и (10), находим

8T =片4

Г = I (а/从-В吟沁р。戸％Р%°「

“ =FrlF^V + (片讨)沙-(J FrsFrs + j 耳尸，IT7 -

--时^/戸仍『小。-(效从4从-

Сравнивая коэффициенты в ⑺)(9) и (10), находим

8T =片4

Г = I (а/从-В吟沁р。戸％Р%°「

“ =FrlF^V + (片讨)沙-(J FrsFrs + j 耳尸，IT7 -

--时^/戸仍『小。-(效从4从-

q

q

1± 1± 1±

1± 1± 1±

г

г

где £ обозначает суммирование по всем потокам. Упрощая последнее уравнение с помощью предшествующих и разделяя тангенциальные и нормальные компоненты, получаем

ws = BrFrs + BrrAs — £y〃J,(14)

毋=瓦4 - j "Т泞 + j BrB^-1 + ^(-^^1 + 效从4红-/31巾).

(15)

Далее следует получить уравнения, содержащие только динамические координаты и импульсы, т.е. уравнения, не зависящие от динамических скоростей. Уравнения (12) и (14) уже относятся к этому типу. Еще одно может быть получено из уравнений (13) и (15), а последнее может быть выведено из полевых уравнений ⑷)как показано ниже.

Уравнение (4) после умножения на 1^ дает

£сед = l^\ = l^syys + F^^.

Вследствие антисимметрии тензора F^ и симметрии тензора кривизны l^y^s по /1 и z/ это уравнение принимает вид

£&S = (l^syys = (Flry^sy^

Далее имеем

гг-1 =

так что宀(IW = O・

Тогда из (11) следует

реат =(.Г/Тp弘5户=-Bss.(16)

Далее из (1) получаем уравнение

S = e""""(〃1厶 + 〃1Тg以)(〃2"0 + 42sgps) (〃3，сг _|_ 〃3力g。力)=

=^^l^^rj/yvrypsyat, (17)

в которое входят только тангенциальные производные величин 〃 и поэтому эта величина зависит только от динамических координат. Тем самым (16) содержит только динамические координаты и импульсы.

Умножая формулу (5) на 771^772^3^, находим

—(ЬВ^рСГ 凡从 + ^1УРак)тктрлза = ； £从”产力〃/小 р〃”・

Умножая этот результат далее на а/从—^v^l^r и используя (1) и (13), получаем

从-f3\q\)lXV — (а/入-0介q* = У小、

Тангенциальные и нормальные части этого уравнения имеют вид соответственно

eV = -M5-/3^)QAr,(18)

£r%l = ^q^ - /3|^|)Г - {aAi - /3仞)“•(19)

Подставляя (19) в (15) и используя (16), находим величины

W/ = -| 4sF『sp + I BFb' — ffBviqi,(20)

содержащие динамические скорости только через 仞.Из (18) имеем

俨仞2 =俨(1 _。5必)=俨—е小％—1р—1 + aA^^q-^V-1 + &4). (21) Подставляя квадратный корень из (21) для /3仞 в (20), приходим к уравнению, содержащему только динамические координаты и импульсы.

Все уравнения (12), (14), (16), а также (20) и (21) являются независимыми и содержат только динамические координаты и импульсы. Они играют роль гамильтонианов. Иными словами, если записать их в виде Н = 0)то Н может быть использован для генерирования непрерывных изменений каждой динамической переменной X в соответствии со стандартной формулой

dX/dr = [Х.Н].

Гамильтониан (12) приводит к изменению в А/, тогда как остальные динамические переменные остаются неизменными; таким образом, этот гамильтониан тривиален. Гамильтониан (14) приводит к изменению параметризации поверхности с помощью величин % но это просто математическое изменение, не имеющее физического смысла. Гамильтониан (16)

вызывает изменение калибровки тангенциальной части потенциалов As. Гамильтонианы (20) вместе с (21) приводят к изменениям всех динамических переменных, сопровождающих движение поверхности нормально к самой себе. Таким образом, именно (20) и (21) являются существенными гамильтонианами, вызывающими изменение физического состояния со временем.

Упрощение гамильтониана

В предыдущих разделах проводилась параметризация поверхности с помощью "乙 а также параметризация линий тока для каждого потока с помощью rjar. Последнюю параметризацию можно опустить, изменив переменные, и тем самым упростив уравнения. Первое из них нельзя исключить до тех пор, пока мы рассматриваем состояния на искривленной поверхности общего вида.

Плотность р〉относящаяся к единичной вариации параметров 九 〃2) 〃3)связана с соответствующей плотностью 0*〉относящейся к единичной вариации параметров и±, ” "3〉соотношением

0* =03(小,小,〃3)/3("1, "2, "3).(22)

1000/о h h ，з0力1力2力3Уо1 Uli U21 Уз10小1小2小3伙)2 勿2g22g320 г/з1疗疗УОЗ У13 У23 Узз1000/о h h ，з0力1力2力3Уо1 Uli U21 Уз10小1小2小3伙)2 勿2g22g320 г/з1疗疗УОЗ У13 У23 УззПервый из этих определителей совпадает с якобианомПервый из этих определителей совпадает с якобианомИз (17) можно выразить величины ① в виде произведения двух определителей

1000

/о h h ，з

0力1力2力3

Уо1 Uli U21 Уз1

0小1小2小3

伙)2 勿2g22g32

0 г/з1疗疗

УОЗ У13 У23 Узз

1000

/о h h ，з

0力1力2力3

Уо1 Uli U21 Уз1

0小1小2小3

伙)2 勿2g22g32

0 г/з1疗疗

УОЗ У13 У23 Узз

Первый из этих определителей совпадает с якобианом

Первый из этих определителей совпадает с якобианом

3(小,小,〃3)/9("1,"2,"3).

Второй определитель, будучи умножен на транспонированный определитель (при условии введения знака минус во второй, третий и четвертый РЯДЫ), Дает]000

07и712713=_г-2

о721722723—'

07317327зз

так что он в точности равен Г-1. Тогда

S = Г-1а(771,772, 〃з)/а("1, "2, ”з),(23)

а (22) принимает вид

0*=做尸.(24)

Интерпретируя уравнение ⑷)мы видели, что aq从 является плотностью электрического заряда и тока одного из потоков в системе отсчета х^. Поэтому aqiV является плотностью электрического заряда в пространстве поверхности, относящемуся к единичной вариации параметров иг. Следовательно, а является плотностью электрического заряда, относящейся к единичной вариации параметров 77T. Следовательно, а является переменной, которую следует исключить при исключении //-параметризации.

Вместо а следует тогда использовать плотность электрического заряда а* = aqiV^ относящуюся к параметрам иг. Аналогично, /3 является плотностью массы, относящейся к параметрам % и также должна быть опущена. Вместо нее следует использовать /3* = /3团「т.е. плотность массы, относящуюся к параметрам иг.

Переменные Г]аг и сопряженные к ним &『встречаются в гамильтонианах только в комбинации ^JЛат8• Положим

= ^ "Лаг81(25)

и будем рассматривать Pas как новые динамические переменные. С их помощью гамильтоновы уравнения (14), (16), (20) и (21) можно записать в виде

ws - BrFrs - BrrAs + £ 产=0,(26)

瓦' + £&* = 0,(27)

w/ + - FrsFrsr - - BrB^-1 - £{/3*2 - (ps + a^As){Ps + a^A^}1/2 = 0.

42(28)

Здесь все ссылки на //-параметризацию отсутствуют.

Тогда в качестве динамических переменных, описывающих поток а и входящих в гамильтонианы, остались только Pas а「и /3「. Чтобы убедиться в том, что эти переменные образуют самосогласованный набор, нам следует проверить, что скобки Пуассона для любой пары этих переменных вновь выражаются через эти же переменные.

Используем основную скобку Пуассона

где штрих у переменной обозначает ее значение в точке “'. Тогда находим

[Pr, PI = [€%\€，4S,] = М(“ — 鸣£°力’ + 犷 3=

=М(“ - d)产 + 8s{и - 7)Р\ (29) а также

[a, Pfs] = [% Р$]3а/а 小=b(〃 — u)r]rsda/dr]r = b(u — u)as.

После некоторого упрощения находим

[3(力,小,〃з)/а("1, "2, "3), Р[ = {"〃 - 7)3(力,小,〃з)/а("1, "2, "3)}M (30)

так что

[a\Pfs] = {S(u-uf)a*}s.(31)

Аналогично

[/3*,ps] = {8Q —沙)^*}*(32)

и, наконец,

к, a7*] =0, [/3*,。*] = 0, [a*,。*] = 0.

Таким образом, скобки Пуассона величин Ps, а* и /3* всегда выражаются вновь через эти же величины и образуют, таким образом, замкнутый набор. Эти переменные достаточны для описания одного из электрических потоков и являются наиболее удобными для этой цели переменными в гамильтоновой теории.

Обсуждение

Гамильтонианами являются теперь левые части уравнений (12), (26), (27) и (28). Следует отметить, что кроме уравнения (12) остальные уравнения не содержат переменных А/ и В/. При этом единственная роль гамильтониана (12) состоит в том, чтобы порождать произвольные изменения в А[. Таким образом, мы можем опустить динамические переменные 4 и Bi из теории и работать только с гамильтонианами (26), (27) и (28). Исчезновение нормальной компоненты потенциалов и сопряженного к ней импульса является, по-видимому, общей чертой любой теории электродинамики, выраженной в гамильтоновой форме.

Существенный гамильтониан, приводящий к движению поверхности в направлении, нормальном по отношению к ней самой, — это гамильтониан (28). Если опустить в нем слагаемое, содержащее w^ то (28) оказывается равным полной плотности энергии на поверхности. Различные слагаемые здесь соответствуют тому, что хотелось бы иметь. Первые два слагаемых представляют собой магнитную и электрическую части плотности электромагнитной энергии. Остальные слагаемые описывают плотности энергии каждого из индивидуальных потоков. Эти слагаемые имеют вид квадратных корней, напоминающих кинетическую энергию электрона как точечного заряда. При этом /3* играет роль массы, а* — заряда, а F5 — импульса. Таким образом, оказывается, что Р5 следует интерпретировать как плотность импульса потока.

Из уравнения (18) следует

ps = ^vs -a^As,(33)

что следует сравнить с уравнением

ps = mvs — еА5

для точечного электрона. Очевидно, между плотностью импульса и скоростью потока сохраняется обычное соотношение.

Весьма удивительно, что для переменных Р5 их скобки Пуассона друг с другом отличны от нуля. На этом этапе аналогия с точечным электроном теряет пригодность. Можно получить несколько более простые соотношения типа скобок Пуассона, если использовать импульс, отнесенный к единице массы (т.е. величину Р5//?*), вместо плотности импульса Ps. После ряда упрощений находим

\P]B*,ps0*\ = S(u-uf){(Pr/^y - (Ps/^)r}/^\

что проще соотношений (29), полученных с помощью скобок Пуассона для Р$ поскольку уже не содержит производных от 3(и — uf). Однако и здесь все еще отсутствует аналогия с точечным электроном.

Литература

Dirac Р.А.М. // Proc. Roy. Soc. А. 1951. V. 209. Р. 291 (part I).

Dirac Р.А.М. // Proc. Roy. Soc. A. 1952. V. 212. P. 330 (part II).

39

КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ *)

Электродинамика сформулирована так, чтобы быть явно инвариантной относительно произвольных калибровочных преобразований. Это сделано путем использования при построении только калибровочно-инвариантных динамических переменных. Квантование теории может быть проведено с помощью обычных правил и сталкивается с обычными трудностями.

Найдено, что калибровочно-инвариантная операция рождения электрона включает одновременное рождение электрона и окружающего его кулонова поля. Требование явной калибровочной инвариантности не позволяет использовать понятие электрона, отделенного от его кулонова поля.

Калибровочные преобразования

Калибровочное преобразование электромагнитного поля изменяет потенциалы 4从(从=0,1, 2, 3) согласно правилу

N1 т AfdS[dx 田(1)

В обычной формулировке электродинамики потенциалы ограничиваются условием

дА^/дх^ = 0.(2)

Чтобы преобразование (1) сохраняло это условие, необходимо, чтобы

d^S/dx^ = 0,⑶

т.е. калибровочные преобразования ограничены.

Возможно обойтись и без условия (2), и в этом случае S может быть произвольной функцией четырех координат х. В результате получается формулировка электродинамики с произвольными калибровочными преобразованиями. Такая формулировка имеет ряд преимуществ:⑴ она в определенном смысле проще, так как не использует ненужного условия; (ii) она накладывает более жесткие ограничения на любые изменения, которые можно сделать при попытке исправить теорию.

Ниже будет показано, каким образом можно построить электродинамику без условий (2), (3) и проквантовать ее, все время придерживаясь такой формулировки, при которой инвариантность относительно общих калибровочных преобразований будет явной.

*) Gauge-invariant Formulation of Quantum Electrodynamics // Canad. J. Phys. 1955. V. 33. P. 650-660.

Лагранжиан и гамильтониан

Мы должны рассмотреть динамические переменные на пространственноподобной трехмерной поверхности в пространстве-времени и установить, каким образом они связаны с динамическими переменными на соседней поверхности. Эти связи образуют уравнения движения. Для простоты будем иметь дело только с плоскими поверхностями 力° = const, отвечающими определенным моментам времени. Обобщение на произвольные пространственноподобные поверхности может быть без труда сделано, но требует сложных обозначений.

В лагранжевой формулировке переменные, с которыми мы работаем,— это координаты и скорости поля, а именно А0, /『（г = 1, 2, 3）, 3/°/3力о） ЖIдхз а также переменные, подходящие для описания электронов. Эти переменные следует брать во всех точках трехмерного пространства при фиксированном 力°）так чтобы они являлись функциями трех параметров хг.

Посмотрим, как калибровочные преобразования влияют на полевые переменные. Имеем:

'А0 А0 + dS/dx^ Ar ^Ar + dS/dxr,

дА°/дхо т дА°/дх（）+ 3”/3力^, д^fdx^ т д^fdx^ + d2S/дхгдх（）.

⑷ Если выбрать S и dS/dx（）равными нулю во всех точках трехмерного пространства в рассматриваемый момент времени, то величины А0, Аг и З/77ag не изменятся. Однако в нашем распоряжении остается еще 52S/5xq, так что мы можем совершить произвольное изменение 3/°/3力°. В этом состоит важное отличие от обычной формулировки, в которой выполнено условие （3）, благодаря чему, если S и dS/dx（）обращаются в нуль, то и d2S/dxQ должно обращаться в нуль. В рамках данной теории закон изменения А0 со временем остается совершенно произвольным^ а не фиксируется уравнениями движения и начальными условиями.

Переход от лагранжиана к гамильтониану может быть осуществлен стандартными методами. Эта работа была проделана мною ранее ' и не требует пересмотра. Однако мы отметим основные свойства такого перехода, чтобы показать отличия от обычной теории.

Для электронов со спином, описываемых четырехкомпонентной волновой функцией ⑺〉взаимодействующей с электромагнитным полем, лагранжиан имеет вид

L = ]{Re历⑺侬。+ ar^r） + 6以/° + ar^）^ + m2alm2 — | F^Fw}酒力， 4（5）

где R означает вещественную часть следующего за ним слагаемого, а индексы 0 или 厂）добавленные к полевой переменной вроде ^, означают производные этой переменной по 力° или хг. В обычной теории последнее слагаемое в подынтегральном выражении заменяется на

-|^^-（6）

Разность этих двух слагаемых, проинтегрированная по всему пространству-времени, обращается в нуль в силу (2), так что оба лагранжиана приводят к одинаковым уравнениям движения.

Импульсы 8从(力 1,力2〉力з)〉сопряженные координатам /从(力i,力2〉力з)〉вводятся обычным способом как коэффициенты при SA^ в вариации лагранжиана. Однако лагранжиан (5) не содержит А00, поэтому 瓦 обращается в нуль. Это обстоятельство не приводит к трудностям, а должно просто рассматриваться как дополнительное условие в гамильтоновой системе уравнений. Другие компоненты Вг равны компонентам электрического поля F^u.

В обычной теории со слагаемым (6) в лагранжиане 8° не обращается в нуль, и четырьмя В являются 8从=—А^. Эти В не являются калибровочно-инвариантными величинами, как в новой теории.

Гамильтониан, следующий из лагранжиана (5), имеет вид

⑺⑺8 = /{-Reifi^ar^r - 6中％/『少-т^ат^ + : FrsFrs - | BrBr^ 酒力.

⑺

⑺

(8)⑼(8)⑼Его следует использовать совместно с дополнительными условиями

(8)⑼

(8)⑼

8о у 0〉

Вгг + е阿 7 0.

Второе из них есть следствие полевых уравнений, и поскольку оно содержит только динамические координаты и импульсы, это условие должно учитываться в гамильтоновой схеме. Все дополнительные условия совместны, поскольку их левые части обладают нулевыми скобками Пуассона друг с другом и с гамильтонианом.

В обычной теории два последних члена в подынтегральном выражении ⑺ заменяются на

(ю)

и под интеграл должен быть добавлен еще один член

—е/。阿，(11)

представляющий потенциальную энергию электронов. Дополнительное условие (8) следует заменить на

Во - А/ 7 0,(12)

которое вытекает из условия (2), а дополнительное условие (9) остается в силе.

Важным свойством новой теории является то, что переменные A0, Bq не входят в гамильтониан ⑺.Отсюда следует, что эти переменные не имеют физического значения и могут быть выкинуты из теории. Это упрощение не возникает в обычной теории, в которой А0 и Bq входят в слагаемые (11) и (10).

Дополнительные условия можно рассматривать как гамильтонианы, порождающие допустимые изменения динамических переменных в какой- то момент времени. В рассматриваемом случае эти изменения являются калибровочными преобразованиями.

14 П. Дирак. Т. III

Дополнительное условие (8) приводит только к произвольному изменению А0 при неизменных остальных динамических переменных. Оно есть одно из калибровочных преобразований (4), в котором в рассматриваемый момент времени равно нулю S)но не dS/dx(). Подобные калибровочные преобразования автоматически разрешены в теории, если переменные А0 и Bq отброшены.

Чтобы увидеть изменения, порожденные дополнительным условием (9), будем исследовать произвольную линейную комбинацию (9) во всех точках трехмерного пространства, например

G = / д(Вгг + е^)产力弋 0,(13)

где д — произвольная функция трех х. Дополнительное условие (13) приведет к изменению динамических переменных как функций некоторого параметра г по правилу

dd№ = [Ar, G] = I d[/工 Bsfs，+ 6** 产"=/ d8(力-"了产"=-/.

(14) Если индекс а нумерует одну из четырех компонент 认 то

d^a/dr = [%, G] = / д'[фа, Bsfs，+ е弘嘅]d3xf =

=-ieh~r6ab У gS(x -吟⑺力川力‘ =-ietTrg^a, (15)

Величина ⑺ будет изменяться как функция г в соответствии с комплексно-сопряженным уравнением, а остальные динамические переменные не изменятся.

При г, изменяющемся от 0 до 1, выражение (14) есть просто калибровочное преобразование ⑷)причем в рассматриваемый момент времени д равно —S. Уравнение (15) показывает, как при этом калибровочном преобразовании изменяется 必.

Калибровочно-инвариантные величины

Наша задача — построить электродинамику, которая была бы явно инвариантна относительно калибровочных преобразований типа (14), (15). Этого можно достичь, если работать только с калибровочно-инвариантными величинами.

Калибровочно-инвариантная величина удовлетворяет условию, что ее скобка Пуассона с левой частью формулы (13) или (9) равна нулю во всех точках трехмерного пространства. Примерами такой величины являются электрическое поле Вг и магнитное поле Frs во всех точках. Кроме того существует содержащая ⑺ калибровочно-инвариантная величина, которую мы должны сейчас вычислить.

Рассмотрим величину

也(力)=%(力)62(%(16)

где С — линейная функция Аг, заданная во всем трехмерном пространстве, являющаяся к тому же функцией трех координат хг. Поэтому С имеет вид

С{х) = / 書(力力‘)4『(力')d%[(17)

где cr(xxf) — число. Подходящим выбором cr(xxf) можно сделать величину (16) калибровочно-инвариантной.

Имеем

[心 G]=[恥,Gd° + 渺а^п /cr(xxf)[Ar(xf), G] Sx .

Используя результаты (15), (14), получаем отсюда

%,G]= 也{е/Г% + / cr(xxf)gfr，d3xf^ =

=—i^^efT1 g — / cr(xxfy' gf d?x^.

Таким образом, % является калибровочно-инвариантной, если cr(xxf) удовлетворяет условию

cr{x^Y = е%—%(力—力').(18)

Это означает, что сг(хх'^ рассматриваемая как функция 力)есть вектор, дивергенция которого обращается в нуль везде, за исключением точки х1 = =ж, в которой эта величина имеет сингулярность вида J-функции.

Уравнение (18) имеет много решений. Одно из них — это сферически- симметричное решение

сг(хх)=—抬—S . (19) 4乃方 \х' — ж|3

Любое другое решение отличается от него на вектор, дивергенция которого по xf везде равна нулю. Такой вектор имеет вид &$/加,где 6"="(力')— некоторая векторная функция от 力]а символ £『$力 равен ±1, если г, S) t образует четную (нечетную) перестановку индексов 1, 2, 3, и нулю во всех остальных случаях. Изменив подобным образом Сг^хх1^ получим, что изменение С равно

/ Erses' А'г 产"=—/ erstbftAfrsf Sx\ (20)

что включает только калибровочно-инвариантные величины /『$ — Asr = =psr Таким образом, различный выбор сг(也也')приводит к разным ^*, которые отличаются друг от друга на калибровочно-инвариантные множители, включающие магнитное поле.

Только переменные ^*, отвечающие определенному выбору сг(хх'^ вместе с им комплексно-сопряженными переменными ^*, а также величины электрического и магнитного полей являются независимыми калибровочно-инвариантными величинами. Калибровочно-инвариантная теория должна включать только эти динамические переменные и функции от них. Это означает, что где бы ни появлялась величина ^, она должна сопровождаться множителем е'。〉который превращает ее в ^*.

Важной калибровочно-инвариантной величиной, связанной с дифференцированием 认 является

(汤^ + e/5 *(21)

Для проверки ее калибровочной инвариантности заметим, что она равнаih^s + @*М + еА5) = ih^s + 仪/{方書О")' + е^5(ж - x^}^ 产".

Коэффициент при Afr является вектором по отношению к индексу г, и дивергенция этого вектора по переменным xf обращается в нуль в силу (18). Следовательно, интеграл похож на выражение (20) и калибровочноинвариантен. Отсюда вытекает, что выражение (21) также калибровочноинвариантно.

Калибровочная инвариантность гамильтониана (7) становится теперь очевидной, так как он может быть записан в виде

ВгВг^х,

(22)

содержащем только величины типа (21) и другие калибровочные инварианты.

Квантование: общая теория

Для квантования динамической теории следует превратить динамические переменные в линейные операторы, удовлетворяющие должным коммутационным или антикоммутационным соотношениям, соответствующим скобкам Пуассона динамических переменных. Так построенные линейные операторы действуют на кет-векторы, представляющие разные физические состояния.

Удобный способ описания кет-векторов состоит в том, чтобы отнести их все к одному стандартному кет-вектору, например |S〉)представляющему определенное стандартное состояние. Кет-вектор \S) математически задается определенными линейными условиями, например

^л|^) = 0, (23)

где параметр Л введен для того, чтобы отличать разные условия. Условия (23) должны быть совместны, откуда следует, что коммутатор или антикоммутатор двух к должен быть линейной функцией к вида

с коэффициентами v\ слева. Кроме того, условия (23) должны быть достаточны для полной фиксации \S) с точностью до численного множителя. После того как выбран стандартный кет-вектор, любой другой кет- вектор \Р) можно представить как результат действия на \S) некоторого линейного оператора ф:

|P〉= 0|S〉.

Можно ограничить ф условием, что он является функцией некоторого полного набора коммутирующих или антикоммутирующих динамических переменных, и тогда ф называется волновой функцией. Однако необязательно ограничивать ф таким образом. В общем случае 0〉соответствующий заданному |Р), определен неоднозначно, так как любые два оператора 0, отличающиеся на величину вида (24), отвечают одному и тому же \Р).

Если в классической теории имеется ряд дополнительных условий /3 7 ^ 0, то в квантовой теории эти условия проявляются как ограничения на представляющие физические состояния кет-векторы |Р):

/?|Р〉= 0.(26)

Стандартный кет-вектор \S) должен удовлетворять этим ограничениям: ^\S)= 0.(27)

Это означает, что операторы /3 должны быть включены в набор операторов к*

С помощью выражения (25) ограничение (26) можно записать как/ад = 0

или, учитывая (27)〉как

［仇=0.

Следовательно, если ограничиться такими 0〉которые содержат только величины, коммутирующие с /3, то кет-вектор ф\3) с необходимостью удовлетворяет условиям (26) и представляет физическое состояние. Чтобы получить все физические состояния, достаточно рассматривать только такие ф.

Квантование: электродинамика

В электродинамике естественный способ выбора стандартного кет- вектора |S〉заключается в том, чтобы взять его соответствующим вакуумному состоянию, в котором нет электронов, позитронов или фотонов. Возникающая здесь трудность состоит в том, что мы не знаем, какие математические условия(23) следует взять для такого кет-вектора.

Обычная процедура — произвести фурье-разложение разных полевых величин ⑺〉^, 8『)Frs и интерпретировать различные коэффициенты как операторы испускания и поглощения электронов, позитронов и фотонов. Затем определяется вакуумное состояние как такое состояние, при действии на которое любого оператора поглощения получается нуль. Возражение по поводу такой процедуры состоит в том, что так определенное вакуумное состояние не удовлетворяет уравнениям движения. Если начать с этого состояния, то по прошествии времени возникнут электроны, позитроны и фотоны, образующие то, что обычно называют вакуумными флуктуациями электромагнитного поля. Это физически некорректно. Вакуумное состояние должно оставаться неизменным.

В обычной формулировке электродинамики возникает та же трудность, что и в теперешней калибровочно-инвариантной формулировке. Это должно означать, что гамильтониан в каком-то фундаментальном смысле неверен. На сегодняшний день лучшего гамильтониана мы не знаем. Таким

образом, создалась ситуация, когда мы не в силах аккуратно определить вакуумное состояние. Поэтому мы вынуждены работать с плохо определенным стандартным кет-вектором \S). Однако многие вычисления можно осуществить без использования аккуратных условий (23), и именно на этом пути достигнуты все успехи квантовой электродинамики.

Проигнорируем эту трудность и предположим, что вакуумное состояние представляет стандартный кет-вектор |S〉. Тогда любой другой кет- вектор может быть представлен как ф\3)^ где ф — некоторый оператор. Перенесем теперь гамильтониан (7) или (22) и дополнительные условия (9) в квантовую теорию. С этой целью мы должны выразить все полевые величины в (7) или (22) и (9) через операторы испускания и поглощения, и затем упорядочить множители в любом произведении операторов испускания и поглощения так, чтобы все операторы испускания стояли левее всех операторов поглощения. Это упорядочивание приводит к тому, что к гамильтониану (7) или (22) и левой части выражения (9) добавляются некоторые бесконечные величины, которые мы обозначим кн и к(力). Величина к(力)должна быть константой, а кн может также содержать слагаемые, линейные по А.

Дополнительные условия имеют теперь вид

{Вгг + ^ + к)ф\3} = 0(28)

для всех х. Им должен удовлетворять стандартный кет-вектор |S〉：

(8J + e@B + k)|S〉= 0.(29)

Мы видим теперь, что условие (28) удовлетворяется, если ф коммутирует с Вгг + е阿) т.е. если ф калибровочно-инвариантен.

Если ф содержит только переменные электромагнитного поля 8『)Frs то в состоянии 0|S〉нет электронов и позитронов, а есть только фотоны. Чтобы получить состояние с одним электроном, следует взять ф линейным по калибровочно-инвариантным операторам ^(ж), т.е.

创 S〉= / za(x)^x)d3x\S),(30)

где коэффициенты za(x) могут включать Br(x'^ Frs(xf) для всех значений 力'.Аналогично, чтобы получить состояние с двумя электронами, нужно взять ф квадратичным по 川* и т.д. Для позитронов следует заменить ^* на ^*.

Такое представление состояний неоднозначно, т.е. существует много 0〉 соответствующих данному состоянию. До тех пор, пока нет хорошо определенного кет-вектора |S〉)невозможно точно сформулировать, какие операторы ф соответствуют одному и тому же состоянию.

Оператор испускания электрона

Кет-вектор也⑺|S〉=%⑺产⑺|S〉Кет-вектор也⑺|S〉=%⑺产⑺|S〉(31)(31)

Кет-вектор

也⑺|S〉=%⑺产⑺|S〉

Кет-вектор

也⑺|S〉=%⑺产⑺|S〉

(31)

(31)

представляет состояние, в котором имеется один электрон, расположенный в точке х. Проанализируем электрическое поле вокруг этого электрона. Из

формулы (17) имеем

区也F〉=也区1s〉+历［区，也］|s〉=厩区1s〉— n^B^cws}^

=也{区+方备(力")}f).(32)

Физическая интерпретация этого результата состоит в том, что значение электрического поля 8『(力')для состояния 也 |S〉превышает его значение для вакуумного состояния \S) на величину 方。『(力力').Если для cr(xxf) взять сферически-симметричное решение (19), то дополнительное электрическое поле с учетом используемой здесь системы единиц (заряд электрона равен +е) будет в точности кулоновым полем электрона в точке х. При выборе любого другого решения для cr(xxf) дополнительное электрическое поле будет равно сумме кулонов а поля и поля чистого электромагнитного излучения.

Теперь видно, что оператор ^{х} является оператором рождения электрона вместе с его кулоновым полем или, возможно, оператором поглощения позитрона вместе с его кулоновым полем. Это нужно сравнить с оператором ^(ж), порождающим или поглощающим голую частицу. В теории^ использующей только калибровочно-инвариантные операторы^ электроны и позитроны всегда сопровождаются окружающим их кулоновым 几о- лем〉что весьма разумно с физической точки зрения.

Выбирая различные решения (18) для cr(xxf\ можно получить кет- вектор (31), представляющий состояние одного электрона в точке х вместе с его кулоновым полем и различными возможными распределениями фотонов. Однако указанным образом могут быть описаны не все распределения фотонов, сопровождающие электрон, а только определенный класс простейших распределений. Чтобы получить произвольное распределение фотонов, нужно умножить выражение (31) на функцию от Bfr и Ffrs во всех точках ".

Кто-то может решить работать всегда со сферически-симметричными сг(хх'^ задаваемыми выражением (19). Тогда удобно разбить электрическое поле Вг на часть, содержащую только поперечные волны В^ дивергенция которых равна нулю, и часть, содержащую только продольные волны 8.)ротор которых равен нулю. Легко проверить, что если cr{xxf) сферически-симметрично, то 8； коммутирует со всеми ⑺*. Следовательно, после перемены местами 力 и 力］выражение (32) принимает вид

跳{跳+ ^^^}［S).(33)

Если бы мы могли определить вакуумное состояние так, чтобы в нем не было частиц, то следовало бы ожидать, что в нем нет и продольного электрического поля, так что

8〃S〉= 0.(34)

Тогда выражение (33) сводится к

耳必必 *|S〉.(35)

Это означает, что состояние 吆*|S〉с электроном, расположенным в точке 力「является собственным состоянием продольной части электрического поля во всех точках, а собственные значения равны просто кулонову полю. Этот результат можно легко распространить на любое распределение электронов. При этом 8± всегда равно полному кулонову полю.

Слагаемое, отвечающее в гамильтониане электрической энергии, принимает вид

I / BrBr酒力=g /(耳耳+耳耳)酒力，(36)

причем перекрестные члены обращаются в нуль. Когда мы применяем этот оператор энергии к кет-вектору ф\3}^ представляющему любое распределение электронов без позитронов, то предыдущий результат показывает, что продольная часть | / BrBr Sx просто равна энергии кулонова поля электронов. Эту энергию можно выразить в проинтегрированной форме как сумму энергий взаимодействия е2/4тгг каждой пары электронов вместе с бесконечной собственной энергией каждого электрона. Итак^ теория становится идентичной обычной квантовой электродинамике, в которой проведено устранение продольных электромагнитных волн.

Теперь видно значение обычного метода устранения продольных волн. Он подразумевает, что каждый электрон всегда рассматривается как окруженный сферически-симметричным кулоновым полем, а любые отклонения от этого поля приписываются существованию фотонов. Метод предоставляет нам основу для проведения вычислений, однако видно, что он не всегда удобен физически.

Предположим, например, что мы рассматриваем состояние электрона, движущегося с определенной скоростью в отсутствие фотонов. (Под скоростью подразумевается средняя скорость без учета эффекта «дрожания» (Zitterbewegung).) Разумно связать с электроном не сферически-симмет- ричное кулоново поле, а поле, подвергнутое отвечающему скорости электрона сокращению Лоренца-Фицджеральда. Таким образом, мы должны выбрать для cr(xxf) решение (19), искаженное сокращением Лоренца- Фицджеральда. При так определенном ⑺* и выборе коэффициентов za(x) в (30), отвечающих плоским волнам, мы придем к наилучшему из возможных представлению одноэлектронного состояния в данной неполной теории. Такая теория неполна, поскольку кет-вектор, представляющий как одноэлектронное, так и вакуумное состояние, не удовлетворяет уравнениям движения.

Импульс

Полный импульс Мг обладает тем свойством, что для любой полевой величины е(%)

(37)

Легко проверить, что если взять

AT = /(BsAsr + Re 历审疗)酒力，(38)

то он обладает нужным свойством для ^ = As, Bs,⑺ или ^, например

[А5, Мг] = /[А5,纟4з + Re历方m口 #" =/ b；b(力-")4"#" =A5r.

Этого свойства достаточно для фиксации Мг с точностью до произвольной аддитивной константы. Такая константа фиксируется требованием, что оператор Мг)действующий на вакуумное состояние, должен давать нуль. Таким образом, Мг полностью определен.

Нужно проверить, что выражение (38) для Мг калибровочно-инвариантно. Это выражение можно записать в виде

АГ = /(BsFrs + 鬲厶^ + Re 历审少)Sx =

=/{8sFТs + Re 歹(历“ + 64^)/°}#力一/ ^(B^ + e^d3x. (39)

Первое слагаемое здесь очевидно калибровочно-инвариантно. Второе обращается в нуль после учета классического дополнительного условия (9). Однако если учесть добавочное бесконечное постоянное слагаемое в квантовом дополнительном условии (28), то второе слагаемое не исчезает, так что возникает трудность. Очевидно, что в теории должны быть произведены какие-то изменения, включающие более аккуратное обращение с расходимостями, так, чтобы второе слагаемое обратилось в нуль и в квантовой теории.

После этого первое слагаемое в (39) определяет полный импульс. Его часть / BsFrs Sx дает импульс электромагнитного поля, описываемый вектором Пойнтинга. Оставшаяся часть должна быть равна импульсу электронов.

Дискретные фарадеевы силовые линии

Уравнение (18) обладает определенным дискретным типом решений, представляющих большой интерес. Выберем

Г C1(W) =-"州(力2 -必州(力з -抬)，

[ 尊(力力')=03(力力‘)=0,

где функция £(力)равна

£(力)=1 для ж > 0,

=0 для ж < 0.

Выражение (40) есть решение уравнения (18), и для С получается линейный интеграл

С =/ 厶1("力2力з) d".(41)

—ос

В более общем случае, можно взять для С любой линейный интеграл

X

С= _£%т / Afr dxfr, (42)

—ос

вычисляемый в пределах от бесконечности до точки 力,в которой находится электрон. При таком С оператор 砂*(力)=^ф(х)егС калибровочноинвариантен.

Каждый выбор С соответствует выбору электрического поля вокруг электрона. Выбор (42) соответствует электрическому полю, сконцентрированному в единственной фарадеевой силовой линии, идущей от электрона в бесконечность. Более конкретный выбор (41) отвечает фарадеевой силовой линии, идущей по прямой линии в отрицательном направлении вдоль оси 力］.

Одним из наиболее фундаментальных необъясненных явлений современной физики является тот факт, что электрический заряд всегда возникает как величина, кратная заряду электрона е. Разумная попытка объяснения могла бы основываться на предположении, что квантование электромагнитного поля приводит к электрическому полю, состоящему из дискретных фарадеевых силовых линий, связанных с зарядом е, так что на каждом заряде е оканчивается только одна силовая линия. Эти линии стали бы тогда элементарными понятиями, в терминах которых могла бы быть построена вся теория электронов и электромагнитного поля. Замкнутые линии интерпретировались бы как фотоны, а концы открытых линий интерпретировались бы как электроны и позитроны.

В такой теории было бы, конечно, необходимо отказаться от обычного выражения для энергии электрического поля, определяемого последним слагаемым подынтегрального выражения (7), так как для дискретной фарадеевой силовой линии это выражение имело бы бесконечное значение. Мы видели, что в любом случае гамильтониан нуждается в модификации, и здесь мы имеем возможную базу для поиска нового гамильтониана. Представление дискретных силовых линий может быть получено с помощью операторов “(％), в определении которых С имеет вид (42).

Литература

1. Dirac Р.А.М. // Ann. Inst. Henri Poincare. 1952. V. 13. P. 1.

40

ЭЛЕКТРОНЫ И ВАКУУМ)

Я рад посетить Советский Союз и встретиться с советскими физиками, с которыми хорошо знаком и чьи достижения высоко ценю.

Я хочу рассказать вам о современном положении теоретической физики и об основных проблемах, стоящих сейчас перед ней. Над этими проблемами мы работаем. Речь пойдет в основном об электронах — частицах, известных нам лучше других частиц, хотя и в отношении электронов есть ряд вопросов, не вполне понятных до настоящего времени.

Некоторые из вас могли бы спросить: что такое электрон? Можно попытаться ответить на этот вопрос: электрон — это частица, переносящая наименьшее количество электричества. Такой ответ немедленно вызовет новый вопрос: что такое электричество? Единственный ответ на второй вопрос: электричество есть то, что переносится электроном.

Естественно, нельзя было бы достигнуть прогресса, стремясь получить на такие прямые вопросы прямые ответы. В действительности вопрос заключается в том, как движется электрон и как он взаимодействует с другими частицами.

Физики и работают над выяснением законов движения электронов и их взаимодействия с другими частицами. Если бы мы смогли ответить на вопрос, каковы эти законы, то больше бы ничего не требовалось, чтобы полностью понять поведение электронов.

Мне кажется, что полезно провести аналогию между проблемами, над которыми работают физики, и шахматной игрой. Различные частицы, с которыми приходится иметь дело физикам, можно уподобить различным шахматным фигурам. Совершенно естественно, что при этом несущественно, из чего сделаны шахматные фигуры. Это может быть кусок дерева, слоновая кость или символ на бумаге, — не в этом дело, важно, по каким законам должны эти фигуры двигаться.

Для того чтобы следить за игрой в шахматы и понимать шахматные ситуации, вполне достаточно знать только законы движения фигур. Аналогично этому все, что мы должны знать в атомной физике, это законы, по которым движутся атомы.

Если это будет известно, то мы сможем предвидеть и будущее поведение систем частиц.

Можно задать другой вопрос: какая разница между тем, чем занимаются физики-экспериментаторы и физики-теоретики? Вы скажете, что физики-экспериментаторы делают опыты и из их результатов хотят получить информацию о том, как ведут себя частицы.

Но вас может смутить вопрос о том, как работают физики-теоретики. Может быть, они с помощью бумаги и карандаша рассчитывают получить информацию о законах природы?

Физики-теоретики применяют различные методы работы. Один из них заключается в том, что исходят из результатов эксперимента. Результаты теоретики обрабатывают и стараются вывести из них общие законы движения частиц. Этот способ легко представить себе. Однако большинство великих открытий достигнуто физиками не этим способом. Законы природы требуют для своей формулировки использования высших разделов математики, и этот метод математических гипотез с развитием науки приобретает все большую силу.

Я не думаю, что можно задаваться вопросом, почему это так, но, по- видимому, наша Вселенная построена на математических основаниях. Люди, которые имеют много дела с математикой, в конце концов приобретают чувство математического изящества используемых приемов, они становятся способными чувствовать математическую красоту теорий. Естественно, что такое изящество нелегко усвоить. Это скорее эмоция, хорошо известная тем, кто ее испытывает.

Представляется, что общие законы природы, когда они выражены в математической форме, обладают математической красотой в очень высокой степени. Это дает физику-теоретику могучий метод, руководящий его действиями. Если он видит, что в его теории имеются уродливые части, то он считает, что именно эти части неправильны и что он должен сконцентрировать на них свое внимание. Их нельзя игнорировать, но тем более нельзя создавать для них искусственную «красоту», так как природа может ее опровергнуть и разоблачить.

Этот прием изыскания математического изящества является, с моей точки зрения, наиболее существенным для теоретиков. В этом смысле согласие с экспериментальными данными менее существенно, хотя, конечно, в конце концов выводы из теории нужно сопоставлять с экспериментом, чтобы убедиться в том, что мы идем по правильному пути. Таким образом, для физика-теоретика исходным является не столько модель, сколько математические гипотезы и методы расчета. Эксперимент же играет решающую роль в признании правильности математической теории.

Чтобы проиллюстрировать этот метод, я хочу обратиться к одному из величайших открытий XX века, к созданию Эйнштейном его теории тяготения. Эйнштейн не имел и своем распоряжении никаких новых экспериментальных данных. Все экспериментальные данные, которыми он располагал, были уже известны Ньютону. Основной прием, которым он руководствовался, было стремление выразить закон тяготения в наиболее изящной математической форме. Именно это стремление и привело его к понятию о кривизне пространства, которое является основным в теории тяготения.

Как известно, теория тяготения Эйнштейна была подтверждена в дальнейшем новыми экспериментальными фактами, но я считаю, что основная мощь теории тяготения Эйнштейна заключается в ее исключительной внутренней математической красоте.

Я не хочу, конечно, сказать, что требование изящества теории является единственным принципом, на основании которого можно было бы делать физические открытия.

Разные физики работают различными методами, и это приводит к более успешному развитию науки, но математические методы занимают в современной теоретической физике ведущее положение, в то время как эксперимент сохраняет решающее значение для доказательства правильности теории.

Я перехожу теперь к изложению современной ситуации в области атомной физики.

К частицам атомного масштаба ньютоновы законы механики неприменимы. Они подчиняются особой механике, так называемой квантовой механике, которая была открыта одновременно двумя физиками — Гейзенбергом и Шредингером. Они шли разными путями к своим открытиям, и окончательные результаты были ими получены тоже в различной форме; однако в дальнейшем оказалось, что эти две формы эквивалентны.

Путь Гейзенберга был такой: он очень хорошо знал имеющиеся экспериментальные данные об атомных спектрах. Его цель состояла в том, чтобы уложить фактические данные в наиболее красивую математическую схему, которая и получила название квантовой механики.

Путь Шредингера был другой: у него не было широких сведений об атомных спектрах. Его путь был в значительной степени чисто математическим. Руководящая идея Шредингера заключалась в том, что должны существовать определенные уравнения собственных колебаний. И Шредингер считал, что, если ему удастся вывести уравнение, то из него получится нужный результат.

Шредингер работал таким способом в течение многих лет. Ему помогали идеи де Бройля, согласно которым с движением частиц связаны определенные физические свойства. Идеи де Бройля были достаточными для того, чтобы дать Шредингеру правильную общую руководящую идею.

Шредингер работал этим путем в течение ряда лет, и в конце концов ему пришло на ум уравнение, изящество которого он сразу ощутил. Будучи очень взволнован этим обстоятельством, он хотел поскорее выяснить, можно ли отсюда получить правильные результаты, согласующиеся с опытом. Путь, к которому обычно прибегают в таких случаях физики- теоретики, таков: берут наиболее простой случай, смотрят, как получатся из него наиболее простым способом окончательные результаты, и сравнивают их с реальным экспериментом. Шредингер в качестве объекта выбрал атом водорода, в котором мы имеем протон с одним электроном. Ядро можно считать неподвижным по отношению к электрону, и в этом случае задача является наиболее простой и реальной. Дело, однако, усложняется тем, что электрон движется в атоме водорода со столь значительной скоростью, при которой законы обычной ньютоновой механики недостаточно точны, и необходимо обратиться к эйнштейновой механике, основанной на теории относительности и применимой к скорости, сравнимой со скоростью света.

Шредингер хотел сделать свою теорию по возможности хорошей и поэтому исходил из релятивистской механики. Он составил соответствующее уравнение и вывел из него закон движения электронов в атоме водорода. При этом он обнаружил, что получающиеся таким образом результаты оказались неправильными, они противоречили имеющимся данным о спектре атома водорода. Естественно, Шредингер был чрезвычайно разочарован тем, что его изящное уравнение приводит к неправильным ре-

зультатам. Он подумал, что вся его теория неправильна и бесполезна. Он был настолько разочарован, что прекратил даже занятия в этой области и перешел к другим вопросам.

Прошло несколько месяцев, прежде чем Шредингер вернулся снова к своему уравнению. Вместо того чтобы исходить из точной эйнштейновой механики, он взял в качестве основы более простую ньютонову механику, которая не вполне точна, однако может служить некоторым приближением к истине.

Шредингер заново развил всю теорию и в результате снова получил уровни энергии водорода, но заметил, что получающиеся таким образом результаты находятся в хорошем согласии с экспериментом с той точностью, при которой релятивистские эффекты, связанные с теорией относительности, можно не учитывать. Тогда он опубликовал свою работу в этой менее точной нерелятивистской форме, и в таком виде уравнение Шредингера предстало перед миром.

Мы знаем теперь, почему первоначальный вариант теории Шредингера был неправильным. Эта неправильность связана с тем, что электроны обладают так называемым спином. В то время когда Шредингер приступил к своей работе, спин не был известен, Шредингер не мог исходить из факта его существования. Мы знаем теперь, что результат теории Шредингера был бы правильным по отношению к частице, не обладающей спином. Если включить спин в первоначальное релятивистское уравнение Шредингера, то можно получить результаты, находящиеся в согласии с экспериментальными данными.

Таковы пути, по которым два физика пришли к открытию квантовой механики. Их результаты были сформулированы вначале в двух различных формах — в виде матричной механики и волновой механики, но обе эти формы, как оказалось в дальнейшем, являются совершенно эквивалентными. Мы видим, что создание квантовой механики сразу привело к ряду успехов, в особенности, когда она применялась к электронам, как частицам с минимальной массой. Именно для них влияние квантовой механики более существенно, чем для других частиц, обладающих большей массой.

Квантовая механика привела к очень большим успехам, особенно в спектроскопии. Первое впечатление было таково, что квантовая механика может дать правильный ответ на все вопросы, связанные с атомными явлениями. Однако с течением времени выяснилось, что не все обстоит благополучно и есть проблемы, которые не удается разрешить.

Первая из этих проблем — как объединить квантовую механику с эйнштейновой механикой. Основную трудность составляло то, что согласно Эйнштейну, выражение для энергии содержит квадратный корень, а когда есть этот корень, то имеется всегда возможность использовать два знака — плюс или минус. Таким образом, в квантовой механике энергия частицы может иметь оба знака. Естественно, что частицы с отрицательной энергией не наблюдаются. Получился бы абсурд, если бы такие частицы существовали. Поэтому необходимо было придумать какой-то принцип, который мог бы исключить их существование в природе.

До тех пор, пока мы остаемся на базе классической механики, все характеристики движения должны меняться непрерывным образом. В частности, это относится к энергии. Поэтому если исходить из классической механики, было бы достаточно предположить, что с момента, когда мир

возник, все частицы обладали положительными энергиями и они всегда будут обладать положительными энергиями. Следовательно, в классической механике существовал простой способ исключить отрицательные энергии. Однако в квантовой механике этот метод не является правильным, так как в квантовой механике такие величины как энергии не обязательно должны меняться непрерывным образом, а могут испытывать скачки, меняясь от одного значения к другому.

Итак, если предположить, что электроны начали свое существование с положительной энергией, то мы пришли бы к результатам, противоречащим эксперименту, так как частицы с отрицательной энергией в природе не наблюдаются.

Мы можем попытаться найти выход из положения путем применения принципа Паули, согласно которому в одном и том же состоянии не могут находиться две частицы типа электрона. Если состояние занято одной частицей, то другая частица в это состояние не может войти. Предположим теперь, что все состояния с отрицательной энергией заняты электронами. При таком положении, если имеется некоторое количество электронов в состоянии с положительными энергиями, эти электроны не могут перейти в состояние с отрицательными энергиями, поскольку все эти состояния уже заняты. Электрон с положительной энергией будет вести себя как обычный, никогда не переходя в состояние с отрицательной энергией. Отсюда мы приходим к основной идее, которая может помочь нам понять, каким образом электроны находятся всегда в состоянии положительной энергии. Эта идея приводит в дальнейшим к совершенно новому представлению о вакууме как о пустом пространстве.

Оказывается, что вакуум не просто пустота, а объем, заполненный огромным количеством электронов в состояниях с отрицательной энергией. Мы можем при таком положении подвергнуть вакуум внешнему воздействию и заставить некоторые из электронов, находящиеся в состоянии с отрицательной энергией, перейти в состояние с положительной энергией. В результате этого события мы получим картину, в которой имеется один электрон с положительной энергией, т.е. обычный электрон, и, кроме него, еще остается дырка, т.е. состояние с отрицательной энергией. До тех пор, пока все электроны находятся в состояниях с отрицательной энергией, мы можем рассматривать эту совокупность электронов как нечто ненаблюдаемое, поскольку образуется совершенно однородное распределение. Однако, как только образовалась одна дырка, возникает некоторое нарушение однородности, и мы имеем основание ожидать, что это нарушение однородности приведет к наблюдаемому явлению. В целом это представит новое физическое явление.

Естественно, что все это в целом будет вести себя как нечто, обладающее положительной энергией, поскольку уже не хватает отрицательной энергии, а нехватка отрицательной энергии есть положительная энергия. Нечто будет восприниматься как частица с положительной энергией, а также с положительным зарядом, поскольку оно заменяет место, откуда удален отрицательный заряд. Это будет частица с положительным зарядом, если электрон обладает отрицательным зарядом, а знак дырки — обратный заряду электрона; она будет обладать массой электрона. Такая частица была экспериментально открыта и известна под названием позитрона.

Проблема объединения квантовой механики с теорией относительности привела к предсказанию существования позитронов и дала основание для создания теории позитронов.

Согласно этой теории, может происходить возникновение электронов одновременно с позитронами, иначе говоря, образование позитрон- электронной пары, в результате чего возникают одна частица с положительной энергией и отрицательным зарядом и одна дырка, т.е. частица с положительной энергией и положительным зарядом.

Может существовать, конечно, и обратный процесс, при котором электрон с положительной энергией занимает свободное место, в результате чего он как бы растворяется в океане электронов с отрицательной энергией, и обе частицы исчезают или, как говорят, аннигилируют.

Я попытаюсь описать новые представления о физическом вакууме. Согласно этим новым представлениям, вакуум не является пустотой, в которой ничего не находится. Он заполнен колоссальным количеством электронов, находящихся в состоянии с отрицательной энергией, которое можно рассматривать как некий океан. Этот океан заполнен электронами без предела для величины отрицательной энергии, и поэтому нет ничего похожего на дно в этом электронном океане. Те явления, которые интересуют нас, это явления, происходящие у поверхности этого океана, а то, что происходит в глубине, ненаблюдаемо и не представляет интереса. До тех пор, пока океан совершенно однороден, пока его поверхность плоская, он ненаблюдаем. Но если взять пригоршню воды из океана и поднять, то получающееся нарушение однородности будет тем, что наблюдается в виде электронов, представляющихся в этой картине, как поднятая часть воды и остающаяся на ее месте дырка, т.е. позитроны.

Когда я двадцать лет назад впервые высказал идею об этом электронном океане, я предполагал, что благодаря своей однородности он ненаблюдаем, и лишь стремление отклонения от однородности представляет собой то, что можно наблюдать в природе. Тот факт, что однородное распределение ненаблюдаемо, представляется вполне разумным предположением. Такое предположение, однако, не вполне точно. Имеется закон квантовой механики, который можно применить к этому электронному океану, чтобы вычислить его плотность. И при таком применении закона квантовой механики оказывается, что его плотность не постоянна, а весьма быстро и сильно осциллирует вокруг некоторого среднего значения. Эти интенсивные флуктуации электронной плотности влекут за собой столь же интенсивные флуктуации поля.

На первый взгляд могло бы казаться, что теория, приводящая к таким интенсивным флуктуациям плотности, не может рассматриваться как правильная. В действительности это не так, так как эти флуктуации могут фактически иметь место, если есть достаточно мощные источники энергии. А если таких источников энергии нет, то и флуктуации тоже происходить не могут.

Для иллюстрации этого положения представляется удобным обратиться к аналогии с обычным атомом. Как известно, всякий атом может находиться в основном состоянии, т.е. в состоянии с наименьшей энергией. В этом состоянии с ним ничего не может происходить до тех пор, пока от внешнего источника мы не сообщим ему дополнительную энергию. Однако это основное состояние отнюдь не является состоянием покоя. Электроны движутся внутри атома со значительными скоростями, причем это дви-

жение описывается согласно законам квантовой механики. Это движение ненаблюдаемо, потому что атом не обладает энергией, с помощью которой он мог бы проявить себя во внешних эффектах.

Вакуум надо представлять себе в известном смысле аналогичным образом. Это — состояние, в котором имеется весьма значительное интенсивное движение, но в то же время это есть состояние с наименьшей энергией, возможной для пустого пространства, и поэтому такой вакуум не наблюдается во внешних эффектах.

Я изложил эту картину о вакууме в применении к электронам. Этой картине приходится верить, так как она приводит к аннигиляции электронов и позитронов, которая действительно наблюдается экспериментально.

Это согласие теории с экспериментами вселяет в нас уверенность в том, что мы находимся на правильном пути. Возможно, есть еще существенные трудности впереди, но мы можем считать, что двигаемся в правильном направлении.

Возникает вопрос: как же быть с такими частицами, как протон и нейтрон, к которым также надо применять квантовую механику и теорию относительности, когда они движутся с большой скоростью? Не будут ли относиться к ним те же представления о вакууме? В этом месте надо учесть то основное обстоятельство, что все существующие в природе частицы можно разделить на две категории. К одной из них относятся те частицы, которые подчиняются так называемому принципу Паули, о котором уже шла речь. Согласно этому принципу, в одном и том же состоянии не может находиться одновременно больше одной частицы. Такие частицы принято называть фермионами. Наряду с ними существуют частицы другого рода, называемые бозонами, отличающиеся тем, что любое число частиц такого рода может заполнять одновременно одно и то же состояние.

До тех пор, пока мы имеем дело с фермионами, вне зависимости от их конкретной природы, мы можем применять к ним все те суждения, которые применялись к электронам. Таким образом, можно справиться с затруднениями, связанными с отрицательными состояниями для всех тех частиц, к которым относится принцип Паули, т.е. для всех частиц, относящихся к группе фермионов. Что же касается бозонов, то к ним непосредственно эти методы неприменимы, и нужны другие, весьма сложные подходы, на которых я сейчас не имею возможности останавливаться.

Но до тех пор, пока мы имеем дело с фермионами, мы можем считать, что для каждого из родов частиц, относящихся к этой категории, имеется свой океан, заполненный этими частицам в состояниях отрицательными энергиями, т.е. у нас имеется ряд океанов для каждого рода частиц в отдельности, и эти океаны накладываются друг на друга. Для каждого из родов этих частиц можно из соответствующего океана поднять частицу в состояние с положительной энергией, и, таким образом, возникает наблюдаемая частица и на свободном месте — дырка, которая будет наблюдаться как частица, в некотором смысле неизвестная, которую можно считать античастицей, т.е. для каждого рода фермиона существует соответствующая ему античастица. В частности, к фермионам относятся протоны, и, таким образом, согласно этим представлениям, наряду с протонами должны существовать антипротоны, которые представляют собой «дырки» в океане протонов с отрицательными энергиями.

Примерно год тому назад антипротон, действительно был обнаружен экспериментально и, таким образом, это обстоятельство подтверждает излагаемую концепцию.

Причина того, почему антипротон был найден спустя столь значительное время после открытия позитрона, заключается в том, что для создания протонно-антипротонной пары, требуется значительно большая энергия, чем для создания позитронно-электронной пары. Чтобы создать антипротон, потребовалась весьма большая энергия, которая могла быть получена на большом ускорителе в Калифорнийском университете в Беркли. Энергия, получаемая на этом ускорителе, достаточна для того, чтобы создать антипротоны, и она создает их в небольшом количестве. В Беркли имеются экспериментаторы, которые смогли справиться с таким количеством частиц. В вашей стране в районе Волги построена в настоящее время машина, дающая значительно больше энергии, и поэтому мы надеемся на то, что с ее помощью можно будет получить антипротоны в значительно больших количествах и этим самым сильно облегчить задачу экспериментаторов по исследованию свойств этих частиц.

К категории фермионов относятся и нейтроны. Поэтому следует ожидать, что для них также должны существовать соответствующие частицы —антинейтроны. Действительно, недавно мы получили известие об открытии антинейтронов с помощью большой машины в Беркли.

Мы имеем теорию позитронов, с помощью которой можно рассчитать теоретический процесс образования пар электронов и позитронов. Результаты расчета по этой теории совпадают с экспериментальными данными. Соответствующее решение для протонов не столь удовлетворительно. Протон не является столь простым объектом, как электрон. В его поведении имеется ряд усложняющих обстоятельств, связанных с мезонами. Именно благодаря этому осложняющему обстоятельству мы не можем теоретически рассчитать экспериментальные данные, полученные в Беркли. Эти данные не могут быть получены с помощью обычной теории.

Таким образом, в настоящее время теорию электронов надо считать продвинутой значительно дальше, чем это достигнуто в теории других частиц. В теории электронов мы можем рассчитать все эффекты с большой точностью, чего мы не можем сделать в отношении других частиц, положение которых является неясным, и, по-видимому, требуются какие-то новые фундаментальные идеи в этой области.

Я говорил, что теория электронов и позитронов является хорошей теорией. Однако я не говорил, что она является идеальной теорией. Когда мы пытаемся подходить с большой степенью математической точности, мы наталкиваемся на значительное количество вопросов, остающихся еще неясными. Возможно, что эти трудности в теории электронов связаны каким- то неизвестным образом с другими частицами. Многие физики-теоретики придерживаются этого взгляда. Однако я думаю, что трудности в теории электронов являются специфическими для самой теории и не имеют отношения к частицам других родов.

История развития науки показывает, что время от времени, когда тот или иной ученый выдвигает идею, оказывается возможным объяснить целый ряд фактов. Однако всегда остаются категории других фактов, которые с помощью этой идеи не могут быть истолкованы и для объяснения которых требуется какая-то новая идея. Такая ситуация имела место при создании квантовой механики. Она объяснила целый ряд явлений, и

физики надеялись, что с ее помощью можно будет описать все атомные явления. Однако уже скоро наступило разочарование, когда выяснилось, что имеется целая категория явлений, которая не может быть описана с помощью квантовой механики.

За последнее время я сконцентрировал внимание на теории электрона в надежде, что здесь удастся продвинуться вперед, в частности на проблеме вакуума. До настоящего времени имеются существенные затруднения с описанием физического вакуума. Я уже упоминал об интенсивных флуктуациях электронов. Я указывал, что, возможно, сами флуктуации не создают новых трудностей, поскольку существование флуктуаций требовало бы внешних источников энергии, а если такого источника нет, они бы и не проявлялись.

Но трудность заключается в другом. Дело в том, что при всех условиях состояние физического вакуума есть основное состояние, т.е. состояние с наименьшей энергией. Основным состоянием должно быть стационарное состояние, не зависящее от времени. Но в квантовой механике не может быть такого стационарного состояния: оно должно описываться тем или иным соответствующим решением уравнения Шредингера. До сих пор никому не удалось построить такого решения этого уравнения, которое дало бы возможность описать состояние физического вакуума.

За последнее время мне удалось сделать некоторые шаги в этом направлении, а именно: достичь описания физического вакуума с несколько большей точностью, чем это делалось до сих пор. Однако в этом направлении остается еще весьма длинная дорога, по которой следует двигаться. Проблема точного описания вакуума, по моему мнению, является основной проблемой, стоящей в настоящее время перед физиками. В самом деле, если вы не можете описать правильно вакуум, то как можно рассчитывать на правильное описание чего-то более сложного? Основной метод при решении этой проблемы должен быть, по моему мнению, чисто математическим, а руководящим должен быть принцип, согласно которому следует сделать теорию по возможности настолько математически изящной, насколько это возможно.

Поскольку над вакуумом нельзя ставить эксперименты, нельзя рассчитывать и на появление экспериментальных данных, которые помогли бы нам продвинуться в этом направлении.

Итак, в современной физике основная трудность заключается в вакууме. Имеется еще и дальнейшая трудность, когда мы рассматриваем дополнительные частицы и стараемся получить точное описание систем с помощью волновых уравнений квантовой механики. Эти дальнейшие трудности в теории электронов связаны с тем, что мы в настоящее время не располагаем пригодной схемой точечных электронов. Вблизи такого заряда электромагнитные поля будут бесконечно велики, и в соответствии с этим с электромагнитным полем будет ассоциирована большая масса. Следовательно, модель точечного электрона связана с существенными трудностями. Может быть, придется исходить из модели Лоренца, согласно которой электрон распределен внутри некоторой небольшой сферы. Но представление о протяженности электрона приводит к существенным затруднениям, когда мы пытаемся облечь его в математическую форму.

Все успехи теории электронов, достигнутые в настоящее время, связаны с моделью точечного электрона. Затруднения при использовании этой модели обходятся физиками путем введения бесконечно большой отрица-

тельной массы, которая должна быть вычтена из положительной массы, чтобы дать конечную разность, которая согласуется с экспериментально наблюдаемой массой электрона. Этот метод весьма интенсивно развивался и в настоящее время привел к возникновению новой области теоретической физики, которую можно назвать «вычитательной» физикой.

Эта новая отрасль теоретической физики привела за последнее время к возможности производить расчеты физических явлений с огромной степенью точности. Так, на опыте наблюдается значение энергии атома водорода, весьма незначительно отличающееся от того, к которому приводит обычная квантовая теория, основанная на уравнении Шредингера с введением в нее спина. Это небольшое смещение прекрасно описывается современной вычитательной физикой. Я хотел бы подчеркнуть, что это смещение является чрезвычайно слабым эффектом и требуется весьма значительная степень развития экспериментального мастерства и экспериментальной техники, чтобы возникла возможность наблюдения этих явлений.

Результаты, к которым приводит вычитательная физика, оказываются вполне точными даже при указанной степени ничтожности всего явления.

Эта вычитательная физика в значительной степени не является строго логической теорией, поскольку она вводит бесконечность только для того, чтобы после этого исключить ее путем искусственного введения другой бесконечности. Дальнейшее развитие теории лишь усилило возражения против этой вычитательной физики. Таким образом, перед физиками создалась ситуация, при которой мы имеем рецепт для расчета полученного эффекта с весьма значительной степенью точности. Но в этом рецепте отсутствуют элементы логики и не вполне ясна сущность физических явлений, лежащих в основе этого метода.

Таково удивительное положение, в котором в настоящее время находится вычитательная физика, дающая хорошие результаты в случае с электронами. Оно приводит к тому, что в отношении других частиц мы не можем предсказать соответствующих явлений, так как для них вычитательная физика приводит к неправильным результатам.

Я хотел бы упомянуть еще об одной существенной проблеме, стоящей перед физиками, а именно: почему все электроны имеют вполне определенный электрический заряд? Ведь все другие заряды, с которыми нам приходится встречаться и в теории и на практике, всегда являются целыми кратными этого элементарного электрического заряда. Итак, мы стоим перед физическим принципом, объяснения которого в настоящее время мы еще не имеем. Я думаю, что будущая физическая теория должна разрешить и эту проблему и дать возможность вычислить заряд электрона. Я думаю, что пока эта проблема не будет решена, мы не будем иметь полной теории электронов.

На этом я закончу. Надеюсь, что я создал понимание того, что в настоящее время мы имеем теорию электронов и связанную с ней теорию вакуума и позитронов. Однако, когда мы повышаем требования к математической точности, мы сталкиваемся с новыми фундаментальными затруднениями, для преодоления которых потребуется введение в экспериментальную физику новых идей.

41

ВАКУУМ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ )

На счету квантовой электродинамики имеется много успехов, однако она содержит и ряд фундаментальных противоречий. Ученые сосредоточили свое внимание на переходах, порожденных взаимодействием электронов и позитронов с электромагнитным полем, и вычислили различные следствия таких переходов, которые можно сравнить с экспериментом. Вычисления производились в рамках картины взаимодействия, в котором изменения волновой функции порождаются только энергией взаимодействия.

Однако переходы существенны лишь в тех случаях, когда состояния, между которыми они происходят, приближенно стационарны. В квантовой электродинамике это не выполняется. Даже то состояние, которое принимается за вакуум, далеко от того, чтобы быть стационарным. Для этого состояния существует вероятность того, что через короткое время возникнет электрон-позитронная пара. Такая вероятность пропорциональна малому числу е2//гс, умноженному на расходящийся интеграл, так что вероятность оказывается бесконечной.

В данной работе рассматривается проблема получения более хорошего приближения для вакуумного состояния. Для этого не следует использовать картину взаимодействия, а нужно перейти к обычной картине Шредингера в терминах динамических переменных, не содержащих времени явно.

Мы рассмотрим определенный класс простых состояний и выберем самое лучшее из них как приближение к вакуумному состоянию. Это состояние таково, что по прошествии короткого времени вероятность возникновения пары электрон-позитрон равна нулю, а отлична от нуля только вероятность одновременного появления двух пар. Такая вероятность пропорциональна (с?/%。)？〉опять умноженному на расходящийся интеграл.

Наличие расходящегося интеграла показывает, что задача аккуратного представления вакуумного состояния еще далека от своего разрешения. Однако можно ожидать, что новое приближение будет удобнее обычного в качестве основы для расчетов в квантовой электродинамике, так как переходы, включающие одновременное появление двух пар, более отдаленно связаны с наблюдаемыми эффектами.

Гамильтониан

Будем работать с состояниями, заданными в определенный момент времени t. Необходимые для описания состояний динамические переменные состоят из различных полевых величин £力〉заданных в момент времени &

где х — сокращенное обозначение совокупности 力i,力2〉力3〉представляющей произвольную точку трехмерного пространства. Будем использовать обозначения

£力『=~^х = -д^х/дхг,

где г = 1, 2, 3. Положим также с = 1,方=1.

Переменные, которые описывают электроны, это величины 2ax и им сопряженные величины 2axi где а — спиновый индекс, принимающий четыре значения. Эти величины удовлетворяют антикоммутационным соотношениям

"Фах'Фьх1 + 2bx‘ 2 ax = 3 "Фах"Фъхг + "Фьх'^Фах = bab^ (力—力).(1)

Пользуясь этими величинами, удобно использовать матричные обозначения. Пусть 2ax для всех а и 力 образуют матрицу из одного столбца, а 2ax для всех а и 力一матрицу из одной строки. Тогда, если А квадратная матрица с элементами Хах,Ъх' ? то матрица ⑺入⑺ имеет лишь один элемент и является поэтому простым числом. Будем использовать символ t для обозначения транспонированной матрицы, так что ^^ будет матрицей из одной строки, ^^ — матрицей из одного столбца, a 2txф* — матрицей из одного элемента.

Соотношение (1) приводится к виду

^А^ + 川入*加=(А),(2)

где (А) обозначает сумму диагональных элементов А

〈》〉=/ 入а/,а/ /力，

причем подразумевается суммирование по а. Будем использовать обозначение

何*я = I办少-1少以1■中t =办少一 ；〈，〉•⑶

Когда (А) бесконечно, то обычно оказывается, что {^А^} — хорошо определенная величина, а ⑺入⑺ нет.

Чтобы избежать несущественных усложнений в теории, выберем форму электродинамики без скалярного потенциала. Динамическими переменными, которые описывают электромагнитное поле, будут тогда векторный потенциал Агх и электрическое поле Егх. Они являются динамически сопряженными величинами, удовлетворяющими коммутационному соотношению

[/■『/〉^sxf] = —b『sb(力一x ).(4)

Гамильтониан состоит из четырех частей:

Н = Не + Щ + Н^ + Яс.(5)

Здесь Не — энергия отдельных электронов, имеющая в матричном обозначении вид

Не = ^{ar^r + amm)^.(6)

Величины а — матрицы типа А с элементами

^-aх^x, = Gabb(力一力))

石г力=居力+ Ux , % и и© aSrx = 0.石г力=居力+ Ux , % и и© aSrx = 0.ТогдаТогда%『『=м%『『=ми「= Ми「= М

石г力=居力+ Ux , % и и© a

Srx = 0.

石г力=居力+ Ux , % и и© a

Srx = 0.

Тогда

Тогда

%『『=м

%『『=м

и「= М

и「= М

где аа5 обозначают элементы обычной спиновой матрицы, а рг — матрица типа А с элементами

(0『)а/,Ьт = —〃babb(力—力).

Часть гамильтониана Н[ представляет собой энергию взаимодействия и в матричном обозначении имеет вид

⑺⑺Н{ = e^arAr^.

⑺

⑺

Здесь Аг — матрица A-типа с элементами

{^^г^ах^Ьх' =^ab^-rx^ ^ —力).

Часть гамильтониана %h является энергией фотонов, а Нс — энергия кулонова поля. Вместе они равны

⑻⑻Hph + Нс = / (工 FtsXFtsX + — ErxErx^ d^x^

⑻

⑻

где Frsx — магнитное поле Arxs — Asxr. Чтобы разделить эти энергии, мы должны разложить электромагнитное поле на поперечную и продольную части.

Положим

4r/=圆^力+ %) где VJ и Uxr — градиенты скаляров

что приводит к выражениям

К = —(4тг)т У |ж - х'^А^' d3xf,Ux = —(4тг)-1 / |力—力[—1 耳/' d%.

Легко проверяется, что переменные 必© 爲© описывающие поперечную часть поля, коммутируют с переменными 匕 и %〉описывающими продольную часть поля, и кроме того

(10)(10)\Vx,Erx'r ] = 8(力-В).

(10)

(10)

Энергия электрического поля разбивается на две части:

I / ЕГХЕГХ 酒力=；/ 爲力爲力"% + ； / UJUJ Sx.

Второе слагаемое — кулонова энергия

ЯС = -|У U^^^x =耳 JZd'l 力一硏 т# 力 #/(11)

Следовательно, энергия электрического поля

Hph = / (工 FrsXFrsX + -爲力爲力)d^x.

Гамильтоновы уравнения движения следует использовать совместно с дополнительными условиями, по одному в каждой точке х:

Егхг + е何叁吻 у 0.(13)

Здесь матрица плотности рх — это матрица типа А с элементами

^Q^ax'bx11 = ^ab^^ —力)8(力—X ).

Операторы рождения и уничтожения

Динамические переменные ⑺ и 少 можно выразить через операторы рождения и уничтожения электронов и позитронов. Пусть

Pq = (т2 +「2)1/2.

Положим

^7 = - {1 + (с^грг + а小m加二}九

<:](14)

С = - {1 - (а『р『+ ашт)р^ }认

Следовательно 力 и《являются матрицами с одним столбцом, сумма которых равна 认 Комплексно-сопряженные уравнения имеют вид

(15)(15)〃 =；^{1 + {агрг + атт)р^},С = I 中{1 - (ат/ + атт)р^},

(15)

(15)

где 〃 и《一матрицы с одной строкой, сумма которых равна ⑺.

Чтобы придать смысл величине р^1 в этих уравнениях, следует записать их в импульсном представлении. Это включает работу с матричными элементами 2ap переменной ^, которые даются выражением

恥0 = (2#—3/2 / …"Mx.(16)

Тогда из уравнений (14) и (15) можно найти матричные элементы 力吵)Cap? 7]叩 Сар- Интерпретация этих матричных элементов такова: т]ар — оператор рождения электрона с импульсом 0〉&。一 оператор рождения позитрона с импульсом (—0)〉力ар и Сар ——соответствующие операторы уничтожения.

Легко получить антикоммутационные соотношения для этих операторов. Они имеют вид

'"Пар^ър' + Vbp^ap = I {1 + ^rpr + ашт)р^}аЪ8{р - “)， _一1/(17)

、Сар^Ър' +《bp С ар = 5 {1 — {^rPr + ^Ш^)Р^ }ab^{P — Р ), а остальные соотношения в правой части содержат нуль.

Из уравнений (14) и (15) имеем

〃0历=I 中(00 + arPr + ашт)^ф,(18)

《0оС =；中(00 - QrPr - ашт)^ф.(19)

Транспонируя матрицы в (19), получаем из соотношения (2):

'С"о《‘ =加(00 - а『р『-amm^^ =

1(2。)

、=一3 肌р? - arpr - amm)^ + -(00е〉■

Тогда из уравнений (18) и (20) находим

Не = ПРО办 + С“о不一I〈00〉.(21)

Последнее слагаемое здесь является бесконечной постоянной и обязано своим происхождением морю электронов с отрицательными энергиями.

Поперечные полевые переменные 路力 и 爲力 можно выразить через операторы рождения и уничтожения фотонов. Получаем

<ж = ^ 开-3/2/ 67(叫(万泌 + 亏№)/к/肉，(22)

爲，=3/2 / e-i(xk)^rk _ 亓d3k(23)

Из поперечности 必力 и 爲力 следует, что

к『7г 泌=0,(24)

так что 贞仆 для каждого значения к имеют только две независимые компоненты. Это операторы рождения фотона импульсом к и им комплексносопряженные операторы уничтожения.

Легко вывести коммутационные соотношения для 穴仆 и ^гк- Они имеют вид_

[^гкч ^sk'\ =。〉[万泌〉^skr] = ikrs\k\8{k — k )〉(25)

где

к?§ ^= b『s крkg^к .(26)

Множитель krs в выражении (25) необходим для обеспечения совместности с выражением (24).

С помощью уравнений (22) и (23) выражение (12) для энергии фотона переходит в выражение

Hph = ~ / (万泌穴泌 + ^rk^rk} d"= <2(27)

=У "泌"泌dm

где мы пренебрегли несущественной бесконечной постоянной.

^гх = ^ГХ + 幽^гх = ^ГХ + 幽Можно положить

^гх = ^ГХ + 幽

^гх = ^ГХ + 幽

где J2^ и 團^ — части, относящиеся к рождению и уничтожению фотонов соответственно. Таким образом, например,

(29)(29)石=；7Г—3/2 / ei(xk)-rk d3k^k^

(29)

(29)

Представление состояний

Динамические переменные 2ах)Uax〉4『力〉石『力 являются операторами, действующими направо на векторы, называемые кет-векторами в отличие от других векторов, и обозначаемые |). Кет-вектор, удовлетворяющий дополнительным условиям

(石『力Т+ 6何0力少｝)］〉= 0,(30)

представляет физическое состояние.

Состояние в момент времени t задается кет-вектором \t)^ зависящим от t согласно уравнению Шредингера

id\t)/dt = H\t).(31)

Вакуумное состояние | V) стационарно и поэтому должно удовлетворять уравнению

Я|П = С|П,(32)

где С — число.

В большинстве работ по квантовой электродинамике авторы преобразуют гамильтониан в картину взаимодействия, что приводит к выпадению из гамильтониана слагаемых Не и %h・ Однако это преобразование включает время t и бесполезно для изучения стационарных состояний. Поэтому мы должны сохранить Н в том виде, как сейчас, и попытаться решить уравнения (32) и (30).

Чтобы представить кет-векторы, определим сначала подходящий стандартный кет-вектор |S〉с помощью ряда линейных условий, скажем

死"S〉= 0.

Все эти условия должны быть совместны друг с другом, и их должно быть достаточно для того, чтобы полностью зафиксировать |S〉за исключением произвольного численного множителя. Затем любой кет-вектор |Р) можно выразить как

F〉= W|S〉，(33)

где Ф — некоторая функция динамических переменных. Эта функция определена неоднозначно, пока мы не наложим определенные ограничения на входящие в нее динамические переменные, так как мы можем заменить ее на Ф + ап^п^ где ап — произвольные функции динамических п переменных.

В электродинамике удобно принять такой набор условий для |S〉)который превращает его в вакуумное состояние для случая е = 0, т.е.

力 ap|S〉= 0, Сар 1*5) = 3(34)

^rk\S) = 0, Erxr\S) = 0.(35)

Эти условия совместны, так как все операторы 死 коммутируют или антикоммутируют, и достаточны, так как все динамические переменные можно выразить через 死 и им сопряженные динамические переменные. Конечно, такое состояние |S〉не представляет реальное вакуумное состояние. Оно не удовлетворяет дополнительному условию (30), и поэтому вообще не представляет какое бы то ни было состояние.

Теперь можно выразить любой кет-вектор в форме (33), где Ф — функция только тех переменных, которые не обращаются в нуль при действии на |S〉)а именно

3=з(〃如)&0)万泌)%)•(36)

Как будет видно, удобнее работать с несколько более общими функциями Ф, а именно

田=屮(2ax〉2ax〉穴Tk〉Vx) •(37)

Рассмотрим простые кет-векторы вида

q =cTs〉.(38)

В общем случае, чтобы придать смысл таким кет-векторам, нужно разложить экспоненту и применить к \S) последовательные слагаемые. Для представляющих интерес A-матриц эта процедура обычно приводит к расходимостям, так что в результате мы не получим хорошо определенный кет-вектор \Q). Однако в следующем разделе будет показано, что если предположить^ что все матричные элементы А коммутируют друг с другом^ то во многих случаях можно придать смысл \Q) без разложения экспоненты, так что \Q) можно рассматривать как хорошо определенную величину, даже несмотря на то, что разложение приводит к расходимостям.

Ряд теорем о матрицах

Для упрощения записи в этом разделе мы заменим два индекса а, ж в операторе 2ax на один индекс А, который, по предположению, принимает дискретные значения. Тогда выражение (1) примет вид

2A2в + 2в2A = о, 2A2в + 2в2A = ^ав^

Нас будут интересовать теоремы, связывающие матрицу из одного столбца ^, матрицу из одной строки ⑺ и квадратные матрицы А, /1, элементы которых Алв,从厶в коммутируют со всеми ⑺。)⑺。〉но могут включать другие некоммутирующие величины.

Так как ⑺入⑺一матрица из одного элемента, или просто число, то произведению этого числа и любой матрицы можно придать смысл независимо от того, стоит ли она в произведении справа или слева. Так, например, 3入唸2 имеет смысл матрицы с одним столбцом, элементы которой равны (2入％2А)а 3入2)N имеет смысл квадратной матрицы с элементами (中X*也4В.

Теорема 1.

〃[九⑺入0]=人0.

Доказательство. Левая сторона равенства есть матрица с одним столбцом и элементами

%[Фа〉2入叭=2а2в入вс2c - 2в入вс2c2A = За2в + 2в2а)入вс2c =

=X AC2c.

Теорема 2.

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 1.

Теорема 3. Если элементы А коммутируют с элементами 从〉тогда

[中川人中入W =叭mN2■

Доказательство. Поскольку элементы А коммутируют с элементами % то

[生办少]=0.

Отсюда

[⑺从⑺,⑺》⑺]=2卩№ ⑺入⑺]+ [^, 2人叭卩2 =一分⑺从入⑺+ 讪入卩2=叭№*⑺.

Теорема 4. Если элементы А коммутируют друг с другом, тогда

6办吵视一办吵=6一入认

Доказательство. Введем матрицу Re с одним столбцом, определяемую как

Re =鹏办吵奴-师号

где 0 — число. Тогда из теоремы 1 следует, что

dRe/dd =『办吵{@入少川-以审A^)}e-碑^ = —6碑^ХТ^一却》以

Так как элементы А коммутируют друг с другом, то ⑺入⑺ коммутирует с А. Отсюда

dRe/dO =—1似办吵少6一e内吵=一入R+

Решение этого дифференциального уравнения для R。с начальным условием R?=屮 дает

Re =6一"认

Приравнивая два выражения для R。и полагая 0 = 1, получим желаемый результат.

Теорема 5. Если элементы А коммутируют друг с другом, то

6办吵呢一办吵=观~

Доказательство. Аналогично теореме 4.

Теорема 6. Если элементы X и 从 коммутируют друг с другом, то

6"'吵⑺从⑺6一"'吵=㈠小吃一入2.

Доказательство следует непосредственно из теорем 4 и 5 и того факта, что ⑺入⑺ коммутирует с /1.

Предположим, что все элементы матрицы А коммутируют друг с другом. Пусть Р — матрица из одного элемента, коммутирующая со всеми @厶〉 2A и такая, что [F, Алв] коммутирует с 入cd для всех А, В, С, D. (Эти условия можно реализовать, например, взяв Хав в виде функций каких-то динамических координат q, а Р — в виде линейной комбинации сопряженных импульсов р.) Конечно, можно придать смысл величине Р, умноженной слева или справа на любую матрицу. Теперь имеем следующую теорему.

Теорема 7.

е办吵办吵—р = ^(елРе-л - Р)认

Доказательство. Введем матрицу с одним элементом S^ определенную как

Se =搀入2

где 0 — число. Тогда из теоремы 6 следует, что

dSe/d6 =入2P - Р^А^)е-^ =部卄0Р - РХ)⑺е—睇^ =

= ^Л(АР-РА)е-^.

Следовательно,

dt 曲

Интегрируя по 0 в пределах от 0 до 1, получаем желаемый результат.

Приведенные теоремы позволяют во многих случаях рассматривать кет-вектор |У), выраженный через известный кет-вектор |Х), как

|у〉= а^\Х，(39)

где все элементы А коммутируют, как хорошо определенный, даже несмотря на то, что при разложении экспоненты встречаются расходимости. Например, предположим, что одно из уравнений, определяющих |Х〉〉линейно по ^ и ^ и имеет поэтому вид

(а ⑺ + 中 6)|Х〉= О,

где а и 6 — матрицы с одной строкой и одним столбцом соответственно, элементы которых коммутируют с элементами ⑺ и 认 Тогда

*^(а 少 + ^b)e~^\Y) = 0.(40)

Если элементы матриц а и 6 коммутируют с элементами матрицы А, то(а^^е~^ + е 办吵呢-办叱)|У〉= 0.

Из теорем 4 и 5 получаем теперь:

(ae~x^ + ^exb)\Y) = 0,(41)

что представляет собой свободное от расходимостей уравнение для |У). Если с помощью аналогичных приемов свести каждое из уравнений, определяющих |Х〉〉к свободному от расходимостей уравнению для |У), то |У) следует рассматривать как хорошо определенную величину.

Можно повторить процесс и положить

считая, что все элементы матриц 从 и X коммутируют друг с другом. Необходимость коммутации элементов 从 с элементами А возникает из-за того, что элементы 从 должны коммутировать с элементами коэффициентов ⑺ и ⑺(41), а элементы А должны коммутировать с элементами а и 6 в (40).

Первое приближение к вакуумному состоянию

Величину А из предыдущего раздела можно положить равной —геУ, так как все ее элементы —ie6ai,Vx5(x —力')коммутируют друг с другом. Величину Р из теоремы 7 можно положить равной 力、после чего получим:__

e-ie^Erxreie^ —马『=^^-ieV^r^eV —马 J)沙

Коммутационное соотношение (10), записанное с помощью матрицы А-типа V, имеет вид

[К(42)

так что

[e-ieV,Erxr] = -ieQxe-ieV.

Отсюда

е-ге^ЕгхГеге^ =马j(43)

Из формулы (3) имеем

/e{gK0} _ ^e^V^е-(\/^е(у}

и поэтому

e-ie{^}Erxreie{^} = е(1/2)Ее①(e『j +^р^)£-(l/2)Ee〈V〉=

=E『J - 5 e(0力)+ 8⑺0力⑺=E『J + "少0力少}.(44)

Второе из уравнений (35) дает теперь

(耳J + 6т叁吻){m呐s〉= 0.

Полагая_

|匕〉=eT{W呐 S〉，(45)

видим, что вектор |匕〉удовлетворяет дополнительным условиям (30) и поэтому представляет физическое состояние. Это есть первое приближение к вакуумному состоянию.

Для любой динамической переменной £ положим

Если £ коммутирует с элементами V, можно также записать

§* — ^ie2V 2 gp-ie2V @

Имеем_

H\V^) = e~ie^v^H^\SY

Если |Vi) достаточно точно представляет вакуумное состояние, из уравнения (32) получим

H^\S) = O|S〉.(46)

Мы исследуем степень неточности этого уравнения.

Элементы рг коммутируют с элементами V, хотя сами матрицы удовлетворяют коммутационному соотношению

[К闲=『•(47)

Поэтому можно применить теорему 6 и получить

Я： = ^V^{агрг + а小明6一图亚吻=中/ё[％% + Q小咽6-^少=

=^{arpr — eVr + amm}^.

Отсюда

Я* + 环=审{%仇 + е^) + атт}^.(48)

Из выражения (27) следует, что

Hph = Rph = / 万泌万泌 d%.(49)

Уравнение (44) приводит к выражению

Егх'* = Егхг - е{фдх^ф}.Егх'* = Егхг - е{фдх^ф}.(50)(50)

Егх'* = Егхг - е{фдх^ф}.

Егх'* = Егхг - е{фдх^ф}.

(50)

(50)

Следовательно, из формулы (11) имеем

Я：Я：（8тг）т〃 （现Z — e何叁吻）（我J - e何叁砂｝）|力一硏一1酒力产".

Я：

Я：

(51) Собирая все результаты, получаем с помощью формул (21), (34) и (35): Я*|5) = -|Ы1^ + ^Ч+^|^ +

+ 岱开)—％? 〃{^Qx^}{^gxf^}\x —力[Т d?xd?x'\S}. (52)

Во втором и третьем слагаемых можно положить 矽=勿 + £ ⑺= 〃 +《 и затем с помощью (34) сократить ряд слагаемых. Выжившие слагаемые указывают на степень неточности в (46).

Главный вклад в эту неточность проистекает из второго слагаемого в правой части (52). Его присутствие в уравнении Шредингера (31) порождает переходы, в которых вместе с фотоном рождается электрон- позитронная пара, причем вероятность перехода пропорциональна е?/%。.

Следует отметить, что выражение (52) не включает продольных полевых переменных 匕〉％. Преобразование от Н к Н* эквивалентно обычному преобразованию, устраняющему продольные волны в квантовой электродинамике, а кет-вектор |匕〉дает то приближение к вакуумному состоянию, которое можно использовать после этого устранения.

Таким образом, можно быть уверенным в общем методе использования кет-векторов, определенных уравнениями типа (39). Хотя уравнение (45), определяющее кет-вектор |吒〉〉имело бы бесконечности после разложения экспоненты в ряд, сам этот кет-вектор является хорошо определенной величиной, так как обладает определенными алгебраическими свойствами. Этот вектор играет фундаментальную роль в обычной квантовой электродинамике.

Второе приближение для вакуумного состояния

Рассмотрим кет-вектор 泾〉вида

眩 I〉= e-^y^e-^|S),眩 I〉= e-^y^e-^|S),(53)(53)

眩 I〉= e-^y^e-^|S),

眩 I〉= e-^y^e-^|S),

(53)

(53)

где элементы матрицы А включают только динамические переменные 穴山〉 но не 亓『к. Тогда элементы А удовлетворяют условию коммутации друг с другом и с элементами V. Эти условия необходимы для того, чтобы |眩〉 был хорошо определен.

Из формулы(44) имеем

(耳 J + е 何叁吻)泾〉=e-^v^Erxre~^\S) = О,

так как Erxr коммутирует с элементами А. Следовательно, |眩〉представляет физическое состояние.

Для любой динамической переменной £ положим

g** _ 6方入3g*6一/入3 — 帥入2产仲^%gp_ie陋V@}e一皿入2

ТогдаТогдаH\V^H\V^_ e-%e@v@}£-皿入@н** \ S)_ e-%e@v@}£-皿入@н** \ S)

Тогда

Тогда

H\V^

H\V^

_ e-%e@v@}£-皿入@н** \ S)

_ e-%e@v@}£-皿入@н** \ S)

Выберем А так, чтобы как можно больше слагаемых в H^\S) обратилось бы в нуль. Тогда |眩〉будет давать наилучшее приближение к вакуумному состоянию.

При теперешнем выборе А можно применить теорему 7, взяв 亓泌 в качестве Р. Тогда с помощью коммутационных соотношений (25) получим

亓获=£内吵亓泌办吵=亓泌+ ^(ex7irke~x - 7ггк)^ =

=亓泌 + ^ex(de~x/d7vsk)^krs\k\. (54)

ef I 呢®")⑺亓泌 Sk/\k\,ef I 呢®")⑺亓泌 Sk/\k\,Из выражений (48), (28) и (29) находим

ef I 呢®")⑺亓泌 Sk/\k\,

ef I 呢®")⑺亓泌 Sk/\k\,

Я* + Н* =审{а『(р『+ е 必+) + amm}^ +

где е = - етг 3/2, а рассматривается как матрица А-типа. Следовательно, 4

из теоремы 6 находим

Я：* + 田** = ^ex{ar(pr + е<+) + &小^}&7 ⑺ +

Из формулы (49) следует, чтоЯ^ = /тг泌亓获/к.Теорема 3 показывает, что ⑺入⑺ коммутирует с 加力认 Поэтому из формулы (51) имеемИз формулы (49) следует, чтоЯ^ = /тг泌亓获/к.Теорема 3 показывает, что ⑺入⑺ коммутирует с 加力认 Поэтому из формулы (51) имеем+ ef I呢2(秋)6一'⑺亓获Sk/\k\.

Из формулы (49) следует, что

Я^ = /тг泌亓获/к.

Теорема 3 показывает, что ⑺入⑺ коммутирует с 加力认 Поэтому из формулы (51) имеем

Из формулы (49) следует, что

Я^ = /тг泌亓获/к.

Теорема 3 показывает, что ⑺入⑺ коммутирует с 加力认 Поэтому из формулы (51) имеем

Я

** 口*

Собирая результаты, получаем

H**\S) = 20《0^5『+ е 必+) + amm}e~x^\S) +

+ ez У ^exe^xk^e~X/ip)^ex(de~x/d7vsk)^krs d3k\S) +

+ /тггк^ех(de~x/d7rsk)^krs\k\ d3k\S) +

+ (8万)-%2 〃{中叁吵}{中0M少}1力-"1T 酒力/"IS〉. (55)

Выберем теперь А так, чтобы

е'{а『(р『+ е必+) + amm}e~x + /^rk^(de~x/d7rsk)krs\k\ d3k = arpr + amm.

(56)

Тогда выражение (55) сводится к выражению

H^\S) = -| (р0)|5) + ef f ^ехе^е-х^е\де-х/дтг8к^ d3k\S) +

+ (8тг)-1е2 〃{фдх^}{фдх^}\х -力［Т SxSx^S}, (57)

в котором исчезли слагаемые, билинейные по операторам ^ и ^.

Проанализируем уравнение (56) для А. Лучше всего рассматривать его как уравнение для неизвестной квадратной матрицы е~х. Предположим, что она задана в представлении, в котором импульсные переменные рг, а также переменные arpr + amm диагональны, так что

{^rPr + ^m^)ap^bp' = ^ab^^P — Р )%夕°〉

где s& равно 1 для двух значений 6 и —1 для двух других значений. Тогда, умножая выражение (56) слева на 6一' получаем

［{аг{рг + е^) + ашт}е~х + /тггкех(де~х/d7isk)krs\k\ 产倉］匕 / =

=(e ^ap^bp' sbPo- (58)

15 П. Дирак. Т. III

Это уравнение распадается на ряд отдельных уравнений, по одному на каждый столбец матрицы е~х. Столбец 6一' аналогичен волновой функции отдельного электрона. Обозначая ее как д, т.е. полагая (е~х)ар^ = Вар при известных 6 и р[ имеем

{а『(р『+ £必+) + атт - sbpfQ{а『(р『+ £必+) + атт - sbpfQ=0.=0.(59)(59)

{а『(р『+ £必+) + атт - sbpfQ

{а『(р『+ £必+) + атт - sbpfQ

=0.

=0.

(59)

(59)

Решение этого уравнения для g можно получить в виде степенного ряда по переменным ^г^. Оно должно удовлетворять начальному условию

(60)(60)^ар = ^ab^(Р — Р ) ДЛЯ ^гк = °・

(60)

(60)

Чтобы осознать значение уравнения (59), пренебрежем в нем сначала последним слагаемым. Тогда оно превращается в волновое уравнение для отдельного электрона, движущегося с энергией si,pfQ в постоянном во времени магнитном поле, описываемом потенциалами J2^. Все потенциалы в разных точках коммутируют, так что волновое уравнение похоже на уравнение для электрона, движущегося в заданном поле, и решение этого уравнения не содержит расходимостей. Потенциалы комплексны, так что волновое уравнение не представляет реальной физической задачи, однако решение этого уравнения в виде степенного ряда по переменным тг泌 будет выглядеть одинаково вне зависимости от того, является ли потенциал действительным или комплексным. Условие (60) показывает, что необходимое нам решение есть просто волновая функция, описывающая рассеяние начальных электронов с импульсами рг и энергиями，匕夕$ магнитным полем.

Чтобы понять влияние последнего слагаемого в (59), решим уравнение с точностью до членов, линейных по иг^. Положим

夕ар = ^ab^^P — Р ) + ^ap^rk^rk d%〉

где Zap,rk — неизвестные коэффициенты, зависящие от заданных индексов b и р'. Подставляя это выражение в формулу (59) и пренебрегая степенями 7г『к выше первой, получим

(а『р『+。小??！ 一 SbP())ac / Zq?,泌万泌 /к + 6(a『J2^+ )ap,5p, +

+ ] К『к2ap,skkrs\k\d k = 0.(61)

ИмеемИмеемМожно предположить, что kszap^ = 0, так что из формулы (26) получим^rs^ap^sk = ^ар^гк'

Имеем

Имеем

((4+V = (2тг)—з/ 刃心歩―0‘)“3力=

Отсюда, извлекая коэффициент при 穴山 в (61), получаем

{^гРг + &тт — %夕0 + \к\}ас^ср,гк + & (%)/同 8(倉一Р + 夕)=0.(62)

Это уравнение определяет 2吵泌.

Последнее слагаемое в уравнении (59) приводит к слагаемому с \к\ в коэффициенте при zap^^ и показывает, что рассеянные волны в 夕 ассоциируемые с рождением фотона с энергией \к\^ удовлетворяют волновому уравнению, соответствующему потере количества энергии \к\. Это показывает, каким образом квантование поля влияет на решение уравнения (59).

Обсуждение

Кет-вектор |眩〉〉полученный в предыдущем разделе, вероятно, является наилучшим представляющим вакуум состоянием, которое можно получить с помощью действия на | S〉операторов типа е吵'吵.Если подействовать оператором Н на 泾〉〉то все непостоянные слагаемые будут содержать множитель е2. Предположительно, такие слагаемые причиняют меньше беспокойства, чем возникающие в обычном вакуумном кет-векторе |匕〉 слагаемые, содержащие е.

Эти члены порядка е2 порождают переходы, включающие одновременное рождение двух электрон-позитронных пар. Вероятность перехода пропорциональна (е?/%。)？〉но все еще содержит расходящийся интеграл. Таким образом, связанные с вакуумным состоянием расходимости не устраняются предлагаемой теорией, а лишь убираются со сцены.

Помимо того, что мы имеем исправленный кет-вектор |眩〉для представления вакуума, у нас есть исправленные кет-векторы для представления других стационарных состояний, например, тг『к|眩〉для представления однофотонного состояния и

e-ie^v^e-^T]ap\S) (63)

для представления одноэлектронного состояния. В последнем случае кет- вектор удовлетворяет дополнительным условиям (30) и поэтому представляет не голый электрон, а реальный электрон вместе со своим кулоновым полем. (См. Dirac Р.А.М. // Can. J. Phys. 1955. V. 33. Р. 650.) Он также представляет в первом приближении любой фотон, связанный с движением электрона, так как все поправки ——порядка е .

Данная работа оставляет ряд проблем для дальнейшего исследования. В первую очередь, это вопрос о том, является ли |眩〉релятивистским состоянием. Полевые уравнения квантовой электродинамики, из которых выводится гамильтонов формализм, являются релятивистскими. Поэтому можно было бы ожидать, что решение этих уравнений, представляющее с определенной степенью точности вакуум, также будет релятивистским. Однако было бы желательно непосредственно проверить, остается ли |眩〉 инвариантным относительно преобразований Лоренца.

Во-вторых, есть вопрос о том, принадлежит ли |眩〉〉являющийся приближенным собственным кет-вектором Н)минимальному собственному значению Н. Кет-вектор |眩〉является результатом преобразования, примененного к кет-вектору |S), а последний очевидно является состоянием с наименьшей энергией в случае отсутствия взаимодействия, когда е = 0. Однако этого недостаточно для уверенности в том, что 泾〉аппроксими-

рует состояние с наименьшей энергией при е # 0. В классической теории возможна очень большая отрицательная энергия взаимодействия между электроном и полем, что приводит к явлению самоускорения электрона. В квантовой теории возможен аналогичный способ получения отрицательной энергии взаимодействия между морем электронов с отрицательными энергиями и полем, что может существенно понизить полную энергию.

Наконец, остается главная проблема получения аккуратного выражения для вакуумного кет-вектора. Существуют два пути для атаки этой проблемы. Очевидный путь состоит в том, чтобы рассматривать более сложные типы кет-векторов и попытаться найти один подходящий. Альтернативно можно попытаться модифицировать гамильтониан так, чтобы кет-вектор того типа, с которым мы имеем дело, стал точным собственным кет-вектором этого гамильтониана. Вероятно, нетрудно совершить такую модификацию Н)не нарушив согласие теории с экспериментом, поскольку причиняющие беспокойство слагаемые в Н не имеют непосредственной связи с наблюдаемыми эффектами. Однако будет трудно провести эту модификацию релятивистским образом.

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ

ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОНА)

Развитие релятивистской теории электрона можно рассматривать сейчас примером того, как неверные доводы приводят иногда к ценному результату.

Эти доводы основывались на общем требовании квантовой механики, чтобы преобразование, связывающее волновую функцию, отнесенную к определенному времени, с волновой функцией, отнесенной к более позднему моменту времени, было унитарным. Лишь при унитарных преобразованиях можно быть уверенным, что интерпретация теории никогда не приведет к отрицательным значениям вероятностей. Поэтому было сделано допущение, что в корректной теории электрона должно существовать унитарное преобразование [1], связывающее волновую функцию, описывающую электрон в определенный момент времени, с волновой функцией, описывающей его в более поздний момент времени. Было найдено, что такой закон преобразования, объединенный с принципом относительности, приводит к электрону с полуцелым спином (^/2), а также к магнитному моменту электрона, согласующемуся с экспериментом. Эти выводы были весьма удовлетворительны.

Однако недостатки этой аргументации стали проявляться при дальнейшем развитии теории. Для того чтобы дать интерпретацию состояниям с отрицательной энергией, которые вытекают из этой теории, приходится рассматривать пары электрон-позитрон, которые образуются и аннигилируют. Следовательно, мы имеем уже не теорию одной частицы, а теорию многих частиц, в которой число частиц непрерывно меняется.

Необходимо, чтобы полная волновая функция, описывающая многие частицы, изменялась в зависимости от времени, согласно закону унитарного преобразования. Однако из этого ни в коем случае не следует, что волновая функция отдельного электрона должна изменяться согласно этому закону, и поэтому электрон вовсе не должен обладать полуцелым спином. Последовательно развивая эту новую возможность, Паули и Вайскопф показали, что можно построить логически непротиворечивую релятивистскую теорию многих частиц для электронов, не обладающих спином.

Унитарный характер закона преобразования одноэлектронной волновой функции является, следовательно, математическим свойством, кото-

рое не находит применения в полной теории. Это положение я нахожу довольно неожиданным. Возможно, что оно лишь временное. Современная теория электронов, взаимодействующих с электромагнитным полем, в целом далеко не удовлетворительна вследствие искусственных правил, которые приходится вводить для того, чтобы уравнения обладали сходящимися решениями. Очень возможно, что когда эта трудность будет устранена, унитарные преобразования окажутся существенными в окончательной теории, и мы вновь будем иметь доводы в пользу того, что электрон должен обладать полуцелым спином.

ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

БОРНА-ИНФЕЛЬДА *)

Электродинамика, предложенная Борном и Инфельдом в 1934 году для случае очень сильных полей, отличается от электродинамики Максвелла и дает конечное значение полной энергии поля в окрестности точечного заряда. В то время еще мало было известно о динамической теории полей, но последние достижения в этой области позволяют получить более совершенную формулировку теории Борна-Инфельда. Основой может служить общий принцип действия, определяющий как полевые уравнения, так и уравнения движения заряженных частиц. На основе этого принципа действия получена гамильтонова формулировка, и разработаны различные ограничения на гамильтониан. Найдено, что классическая теория полностью удовлетворяет всем требованиям. При переходе к квантовой теории возникают проблемы, которые кажутся совершенно непреодолимыми при современных методах квантования.

Введение

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля были проверены лишь для полей, которые очень слабы по сравнению с полем на поверхности классического электрона. Основная идея электродинамики Борна- Инфельда состоит в такой модификации полевых уравнений для сильных полей, чтобы полная энергия сингулярности поля стала конечной. Можно надеяться, что таким путем удастся избежать трудностей теории Максвелла, связанных с точечным зарядом.

В новой теории сохраняется идея о том, что электромагнитное поле описывается четырьмя потенциалами /从)а также представление о том, что плотность действия 必 является функцией только полевых величин 九^ = /幺从—/从/• Тем самым обеспечивается сохранение градиентной инвариантности. Обычное выражение для плотности действия

必=一:九"产" (1)

заменяется на некую другую функцию от 九厶 совпадающую с (1) при малых 九^ (за исключением, возможно, дополнительной постоянной, которая несущественна), но значительно отличающуюся при немалых 九^. Получающиеся при этом полевые уравнения оказываются нелинейными, за исключением случая слабых полей )

*) A Reformulation of the Born-Infeld Electrodynamics // Proc. Roy. Soc. London. A. 1960. V. 257. P. 32-43.

Для сохранения релятивистской инвариантности теории 九^ должна входить в 必 только в форме одного из (или обоих) инвариантов 九^/从" и 九^/*“" (/* является сопряженной величине /). Борн (1934) сначала предложил 1/2

Позже Борн и Инфельд (1934) предпочли выражение

^ = -{i + |WM"-(| 九力 (3)

В каждом из этих выражений 九^ означает некую абсолютную единицу напряженности поля, создаваемой полем на поверхности классического электрона.

Борн и Инфельд показали, что оба выражения (2), (3) обеспечивают конечность окрестности сингулярности как полной энергии, так и потенциалов и их первых производных. Правда, первые производные в сингулярности теряют непрерывность.

Чтобы перейти к квантованию, необходимо привести теорию к гамильтоновой форме, для чего сначала нужно получить принцип действия для уравнений движения. Это должен быть всесторонний принцип действия^ позволяющий получить все уравнения движения, как частиц, так и поля. Такой всесторонний принцип действия до настоящего времени не был установлен, что и будет предметом первой рассматриваемой ниже задачи.

С помощью этого принципа становится возможным точный анализ уравнений движения частицы, проведенный в п. 3. В п. 4 будет показано, как в качестве приближения появляются обычные уравнения движения Лоренца. Вплоть до этой стадии работа проводится для произвольного 必)удовлетворяющего требованиям релятивистской и градиентной инвариантности, и приводящего к сингулярностям такого же рода, что и ⑵и⑶。

Последующая работа посвящена переходу к гамильтониану. Для этого необходимо перейти к конкретному 必.Имеется не так уж много вариантов 必)которые приводят к решаемым уравнениям. Простейший из них представлен в (3), он был принят Борном и Инфельдом и будет здесь использован.

Всесторонний принцип действия

Достаточно рассмотреть одну частицу, поскольку при анализе большего числа частиц не возникает никаких новых особенностей. Пусть е будет зарядом частицы, а М — частью массы покоя, не имеющей электромагнитной природы. Можно положить М = 0, что, возможно, соответствует случаю электрона.

Обозначим через 2从 координаты точки на мировой линии частицы. Введем некий произвольный параметр г, определяющий некоторую точку на мировой линии, так что 2从 становятся функциями от г, и эти функции определяют мировую линию.

Представим теперь действие в форме суммы трех членов:

I = h + h + /3〉

гдегде厶=/必不力，（4）

где

где

厶=—е / A^z^dz11 /dr） dr,（5）

I3 = -M I ds.（6）

Интегрирование в /］〉разумеется, должно включать сингулярность. Она дает конечный вклад в функцию 必 предложенной Борном и Инфе ль дом, в отличие от функции Максвелла （1）, для которой он был бы бесконечен. Кроме того, в /2 входят величины A^z）^ т.е. потенциалы в точках сингулярности, которые конечны и хорошо определены для сингулярности типа Борна-Инфельда, но не для максвелловской сингулярности.

Для проведения вариационной процедуры необходимо выбрать некие независимые переменные q〉ввести произвольные малые их вариации 8q） и найти соответствующую вариацию 81. Переменные q должны быть выбраны таким образом^ чтобы 81 зависела линейно от q.

Можно попытаться качестве переменных q можно взять А^х） и z開⑺. Однако в этом случае 61 не будет линейно зависеть от В/从（力）и 82从（丁）. В этом можно убедиться рассмотрев частный случай В/从（力）=0. Тогда выражение для 8A^z\ входящее в В"〉не зависит линейно от Bz从）поскольку производные от А^х） должны быть непрерывны в точке х = z.

Эту трудность можно преодолеть следующим образом. Будем рассматривать наш интеграл действия в общей системе криволинейных координат 力从.Будем сохранять 2从（丁） постоянной и варьировать мировую линию варьированием системы координат. Такая вариация совместно с вариацией 8А^{х\ равной некоей несингулярной функции от 力从）означает сдвиг мировой линии вместе с сингулярностью поля в ее окрестности и приводит к значению J, линейно зависящему от параметров, определяющих вариацию системы координат, и от 8А^{х}. Таким образом, мы получаем вариацию, которая по своему физическому смыслу является наиболее общей допустимой вариацией. Она удовлетворяет требованию фиксирования всех уравнений движения и получена без какой-либо вариации 2从（丁）. Можно, например, выбрать такую систему координат, чтобы частица находилась в ее начале г1 = г2 = г3 = 0 и оставалась в нем при вариации.

Вариация системы координат включает в себя вариацию g叫 Рассмотрим теперь общую вариацию g叫 поскольку она приводит к гравитационному полю. Ограничимся такими ^^, которые соответствуют плоскому пространству и будем рассматривать лишь те вариации 6д^ которые сохраняют пространство плоским.

Удобным способом, обеспечивающим учет этих ограничений, является введение системы ортогональных прямоугольных координат дк〉которые сохраняются фиксированными. Тогда криволинейная система координат будет определяться функциями дк （力）〉а ее вариация — величинами Вук（力）• Мы получаем д^ук^Ук,^^ где суммирование по К подразумевается со знаком + для К = 0 и знаком — для К = 1, 2, 3. Тогда

6д^ = Ж,м dyK^ + ук^бук*（7）

и мы приходим к JJ, зависящему линейно от В/从 и Вук при любых （力）.

В электродинамике Борна-Инфельда имеет место сингулярность типа /，(力)= ar dz^/ds + менее сингулярные слагаемые,(8)

где а — константа, а г — расстояние по перпендикуляру от полевой точки 力 до мировой линии частицы. Эта сингулярность включает в себя контра- вариантный потенциал 4从 и поэтому сохраняется при вариации, состоящей из несингулярной Зук⑺ и несингулярной SA^^x). Такая вариация приводит к В/从(力)с сингулярностью типа разрыва первой производной. Несмотря на эту сингулярность, 81 может быть представлена в форме линейного выражения от SA^ и дк и это выражение удобнее для работы, чем аналогичное выражение через 8/从(力)и ук-

Плотность действия 必 в (4) является функцией только 九^ и д^. Итак

(9) где

= ~Р^ = 2 d^/df^(Ю)

= Т^ =-2 d^/dg^.(П)

В релятивистской теории 必 должна быть скалярной плотностью. Это условие приводит к

(12) что следует из слегка модифицированной формулы (4.5) из статьи Борна и Инфельда (1934) или из применения общего результата Розенфельда (1940, формула (29).

Точные уравнения движения

613 = -М613 = -М竺竺dr dr竺竺dr drdr =dr =

613 = -М

613 = -М

竺竺dr dr

竺竺dr dr

dr =

dr =

Продолжим изучение вариации действия Л + /2 + ^з- С учетом (9) и

⑺ имеем

8厶=—/{@^84也"+ Ук^8ук^}胪力=

(13)

=/{呦В/ + (ук^Уук} d%.

(14)

Опять

В" = —е У SA^z^dz11 /dr) dr =

=—e ] v也 ds ] S^x — z^dA^x) d4x,

(15)

где。从=dz^/ds. Отметим, что четырехмерная 8-функция 84(力—z) является функцией s через г, являющейся функцией от s. И, наконец,

= --M2= --M2

= --M2

= --M2

=-M / yK^{d8yK/ds) ds = MI{d(yK^v^/ds}SyK ds. (16)

Здесь после варьирования мы перешли от г к параметру с, определяющему точку на мировой линии.

Приравнивая нулю коэффициент при SA^ в сумме выражений (14), (15) и (16), получаем

严w = е У v^S^x — z) ds.(17)

Это — полевые уравнения Борна и Инфельда, обобщенные с учетом наличия точечного заряда при х = z.

Приравнивая нулю коэффициент при бук в сумме выражений (14), (15) и (16), получаем

—®к戸"”)/ = м f {d{yK^)/ds}8^x - z) ds.(18)

Теперь, из (12) следует

У К,а (ук^т^) ?гУ = (УК,аУК,/1Т^)^ — УК^а^УК^Т^ =老衣一-д^^Т^ =

С помощью (10) и (11), а также равенства /吋产 +『叫р + fyp^ = 0 это соотношение переходит в

Ук^^Ук^Т^)^ = р"Р “『стр.(19)

В итоге (18), умноженное на ук,а^ с помощью (17) приводится к виду

efop^P = Мук,。d^yK^yds = Mgap{dvp/ds + 以/Muz/),(20)

где Г^ — символ Кристоффеля.

Теперь мы имеем уравнение движения частицы. Оно похоже на уравнение Лоренца для поля fap^ действующего на заряд е. Однако его левая часть не вполне определена, поскольку fap не является непрерывной в точке ж = г. Следовательно, это уравнение нуждается в усовершенствовании.

Ошибка возникла при переходе от (13) к (14), поскольку интегрирование по частям неприемлемо, если область интегрирования содержит линию сингулярности. Для исправления этой ошибки необходимо обрезать область интегрирования на малом расстоянии б от линии сингулярности. Обусловленная таким обрезанием ошибка стремится к нулю при с т 0〉поскольку подынтегральное выражение в (13) не имеет сингулярностей типа 8-функции. Обрезание приводит к появлению в (14) дополнительного слагаемого в форме поверхностного интеграла по трехмерной поверхности в виде трубки, окружающей сингулярную линию. Оно имеет вид

/{р^6Ау + ук^дУк} dS“.(21)

Припишем каждой точке поверхности три параметра s, 〃，” где s имеет то же значение, что и для некоторой точки на мировой линии на расстоянии порядка б. Тогда

dSy =ds d〃i d〃2 = ds do厶(22)

ds a〃2

где, скажем,

7_ дха 8/万 А/'

= е“сфт ——-—-—.

OS OU1 OU2

Мы можем пренебречь вариацией В/从)Вук на расстояниях порядка б, поэтому можно заменить эти величины в (21) на их значения в точке s на сингулярной линии и получить

/ ds^8A^ /р^у da^ + 8ук / Ук^Т^ da^.(23)

Выражение (23) должно быть добавлено к предыдущему выражению для Л, т.е. к сумме уравнений (14), (15), (16). Приравнивая нулю суммарный коэффициент при SA^s^ получаем

(24)

Это выражение согласуется с (17) и содержится в нем.

Приравнивая нулю суммарный коэффициент при Вук")〉получаем

-/ УК戸^ 加，=М d{yK^/ds.(25)

Умножив это выражение на ук,а^ пренебрегая членами порядка б, получаем

/РрУ fap dav = Мук,。d®K山M)/ds = Mgap{dvp/ds + 以/МУ).(26)

Сомножитель 夕°" в подынтегральном выражении здесь порядка б-2, и с точностью до величин этого порядка его значение совпадает с тем, какое бы оно было в случае движения частицы, находящейся в точке s, с однородной скоростью. Сомножитель fap оказывается порядка единицы, так что весь интеграл порядка единицы.

Можно выразить fap в виде суммы двух слагаемых

f = fsing. I 产 em.

J op — J ap 丁 J op )

где основной частью будет сингулярность, включенная в первое слагаемое, а оставшаяся часть непрерывна и имеет определенное значение на сингулярной мировой линии. Мы можем обеспечить определенное значение 力扌多 на трубке, пренебрегая членами порядка б, полагая ее равной полю /стр, порождаемому частицей в точке s, движущейся с однородной скоростью в отсутствие какого-либо внешнего поля. Тем самым /；声.становится определенной. При этом левая часть уравнения (26) принимает вид

Первое слагаемое этого выражения такое же, как и для частицы, движущейся с однородной скоростью, и поэтому равно нулю вследствие симметрии. Таким образом, с учетом (24), уравнение (26) принимает вид

е 瑋m•廿=Mgap(dvP/ds + 以/М/)・(27)

Тем самым мы получили интерпретацию неоднозначного выражения, стоящего в левой части уравнения (20) и пришли к хорошо определенным уравнениям движения частицы.

Уравнения движения в приближении Лоренца

Уравнения движения (27) очень похожи на уравнения Лоренца, но отличаются от них в двух отношениях. Во-первых, масса М имеет исключительно неэлектромагнитную природу. Во-вторых, поле /；声，не равно внешнему полю. Поле, приходящее извне и действующее на частицу, существенно модифицируется при прохождении через область в окрестности сингулярности вследствие нелинейного характера полевых уравнений. В результате чего /；声・ в центре существенно отличается от того поля, какое было бы там в случае отсутствия заряженных частиц.

Вычисление /；广\ как правило, оказывается очень сложным и приводит к уравнениям (27), которые трудно использовать для практических примеров. Можно построить приближенные уравнения движения, не содержащие /；广\ которые будут справедливы в случае слабого внешнего поля и содержать только волны с большой длиной волны, так что ускорение частицы будет малым. Здесь будет разработан первый этап такого приближения.

Выберем длину д〉малую по сравнению с длиной падающих волн и радиусом кривизны мировой линии, но большую по сравнению с классическим радиусом частицы. Построим вторую трубку с радиусом д вокруг мировой линии.

Проинтегрируем уравнение (25) в малом интервале значений s, скажем, △s. Тогда с учетом (22) оно принимает вид

-/ Ук^ dSu = AsMd(yK^/ds), (28)

где в левой части подразумевается интегрирование по малой длине трубки, соответствующей △，. Подынтегральное выражение имеет расходимость, которая, согласно (19) и (17), имеет место только на сингулярной мировой линии и нигде более. Следовательно, мы можем заменить поверхность интегрирования любой другой поверхностью с той же границей, при условии, что область между поверхностями не содержит никакой сингулярной мировой линии. Пусть второй такой поверхностью будет поверхность трубки 7 длиной △，с двумя ограничивающими поверхностями, соединяющими концы отрезка трубки б с концами трубки 7.

Интеграл по поверхности трубки 7 может быть исследован тем же способом, который использовался ранее для трубки б (здесь уравнения могут быть только приближенными, поскольку мы не можем перейти к пределу 7 0), с кулоновым полем, выступающим в роли 力扌& и внешним полем f^\ выступающим в роли f^^. Добавив сомножитель у к,а, получаем этот член в форме

С точностью до первого порядка по 7 мы можем вычислить интеграл по одной из концевых поверхностей, пренебрегая внешним полем и ускорением частицы. Находим его как —тукм\ где т — масса поля вокруг стационарного заряда е. В поле типа Борна-Инфельда эта масса конечна. Следовательно, вклад обоих концевых поверхностей выглядит как

-Asmd(yK^v^/ds.

Таким образом, уравнение (28), умноженное на дк,从 и разделенное на As, принимает вид

ef^'vp = (М + т)уК1(Т(1(ук^)/а8 = (М + m)gap(dvp/ds + 以/Ми").

(29) Это уравнения движения Лоренца. Ранее они были получены другими методами другими авторами, например Борном и Инфельдом (1934), Френкелем (1934), Финбергом (1935) и Прайсом (1936). Настоящая работа свидетельствует о том, что они являются приближенными следствиями всестороннего принципа действия. Если проделанную выше работу произвести с большей точностью, то должен появиться член затухания Лоренца, поскольку здесь точно соблюдается сохранения энергии и импульса.

Гамильтониан в отсутствие зарядов

Будем далее следовать разработанному автором (1951) и (1958) общему методу перехода от принципа действия к гамильтоновой формулировке уравнений движения. Поверхность 力。=const будем считать пространственноподобной и будем рассматривать состояния на этой поверхности. Величины UK)厶从 для всех ж1, ж2, ж3 при заданном 力。являются основными динамическими координатами теории, а их производные по 力。一 скоростями.

Будем работать с плотностью действия, предложенной Борном и Инфельдом (1934), которая чрезвычайно просто выглядит в криволинейных координатах, что и объясняет ее предпочтительность. Положим

и пусть детерминант матрицы Л^^ будет равен —Л2. Тогда плотность действия будет 必=—А. В прямоугольных координатах она переходит в (3). Лагранжиан L определяется как

/ = / Ld^.

и, следовательно,

Е = — / A d^x.

Произведя общую вариацию матрицы Л从⑺ находим

"=一；/a上"办从厶(30)

где 上从^ — матрица обратная 入叫 так что

К叩入閥Р =廿《次=图(31)

Таким образом, варьируя скорости ук^^ 4从,0〉из (7) получаем

BE = £ / А{—(内从 + ^ук^ук^ + (◎-火°)8/也°} /力.

Импульсы wk и О匕 динамически сопряженные координатам ук、/从 соответственно, определяются выражением

5L = J{wkBukq + D^SA^q} #х.

Сравнивая коэффициенты, получаем

wK = -^K^ + ^yK^(32)

0从=；а(上о从 —上次).(33)

Уравнения (32) и (33) приводят к неким не зависящим от скоростей соотношениям между динамическими координатами и импульсами. Они служат дополнительными условиями в теории Гамильтона. Одно их них очевидно:

О。= 0.(34)

Используя латинские индексы, принимающие значения 1, 2 и 3, из (31) находим

wKyK,r = -| А(内从+火°)(入叩+入陋)=~[Ч^ -火°)(工从-У)

Отсюда ^кПк,т + frSDs = 0,(35)

что дает нам наиболее важные условия. Далее, из (32) имеем

wKwK = |л2(^ + 上次)(内"+ 宀叩=|л2(^ + 上次)(к°" + У°)Л^, и аналогично из (33)

grsDrDs = : Л2(^ -仆М _ К”呼

Складывая эти два уравнения, с учетом (31) получаем

wKwK + grsDrDs = I Л2(^^ + 上次к"°)Л^ = Л2^00.(36)

Величина (36) равна (со знаком минус) детерминанту ЛГ5. Ее разложение приводит к соотношению

八2川0 = ^ _grsBrB^

где —Г2 — детерминант grs и

Br = ^crstu

erst антисимметричный тензор с б123 = 1. Таким образом, (36) приводит к wKwK + grs{DrDs + BrBs) - Г2 = 0,(37)

что представляет собой другое важное условие.

Можно придать уравнению (37) альтернативную форму. Разложим вектор wk на тангенциальные и нормальную поверхности 力。=const. Тангенциальными компонентами являются, скажем, ткПк,т = wr. А нормальной компонентой будет ^кУк^д^^д^)-1^ = wnor.• Уравнение (35) выражает тангенциальные компоненты через другие гамильтоновы переменные, а (37) может быть приведено к подобной форме, выражающей wnor. через другие гамильтоновы переменные. Имеем

WW = (Wor.)2 + e^w^Ws,

где ers является обратной матрицей по отношению к grs. Поэтому (37) и (35) приводят к

wnor. + {Г2- gTs(D『DS + 8『gs)_ £『s 加》% 〃о〃}1/2 = 0(38)

Здесь можно отметить физический смысл различных величин. Величина Dr есть 0°『из (10) и является электрической индукцией, в то время как Вг является магнитной индукцией. Величина — wnor>, определяемая выражением (38), есть плотность энергии, а величина —w^ определяемая выражением (35), есть плотность импульса, или вектор Пойнтинга.

Поскольку скорость Aq,o не входит в L, мы получим лагранжевы уравнения движения, если проварьируем 4° в Е и положим коэффициент при ЗА。равным нулю. Согласно (30), вариация приводит к

辽=—；/ А(а - ^8A^r d3x = -1 Dr8A^r "3力=/ D\rSAQ 演力， так что мы приходим к уравнению

О' = 0.(39)

Это уравнение не содержит никаких скоростей и, следовательно, является второстепенным.

В данной теории уравнения (34), (35), (37) или (38), (39) представляют собой единственные независимые связи. Разумеется, для каждой точки ж1, 力)力° имеется по одной связи каждого рода.

Гамильтоновы переменные ук^ wx, 4从〉°从 удовлетворяют СП стандартного вида

Остальные СП обращаются в нуль. Здесь т]кк — метрика системы координат ук・

Связи (34), (35), (37) или (38), (39) принадлежат к связям первого рода, т.е. все СП их левых частей обращаются в нуль. Это утверждение сразу очевидно для (34) и (39), в то время как для вывода остальных необходимо потребовать, чтобы скорости ук,о не были ограничены уравнениями движения.

Гамильтониан должен быть линейной комбинацией всех связей первого рода, коэффициенты которой являются функциями скоростей, не подчиняющихся уравнениям движения. Нетрудно определить эти коэффициенты путем подгонки к некоторым простым уравнениям движения. Записав

для краткости связи (35), (38) в виде

(41)(41)+ Хт = 0〉 ^ПОГ. + Хпог. = 0,

(41)

(41)

находим гамильтониан

8 = /{(严)T/2 Wnor. + Xnor.) + grQers(ws + Xs) + 4,0。°}酒力.(42)

Последним слагаемым в подынтегральном выражении можно пренебречь, поскольку оно относится к физически несущественным степеням свободы.

Гамильтониан при наличии частицы

При наличии заряженной частицы нам необходимо добавить к действию член /2 + /3)определяемый выражениями (5) и (6). В рамках гамильтонова подхода можно для удобства считать г = г°. Величины zr следует рассматривать как заданные функции от г°, а не динамические координаты. Производные dzr/dr = г q также являются заданными функциями от г°, а не динамическими скоростями. Наличие частицы не вносит дополнительных динамических координат и скоростей, и, следовательно, дополнительных импульсов.

Дополнительный лагранжиан имеет вид

工2 + 工3 = —&4 ⑶ 2“,0 — Л^{д 屮(Z)z",Oz[o}l/2.(43)

Его вариация по скоростям ук,а)4,0 приводит к

8(1/2 + Ьз) = -M{gpGzp ^zG ^l2z^ ^yK^z}byK^ =

=—МУ / yK^(x)S3(x - z^yK^x) /力.

Следовательно, уравнение (33) для D^ остается неизменным, в то время как уравнение (32) для wk переходит в

W = -| А(内"+ 炉)UK# - Ми%к,0з(岔-%)•(44)

Вариация выражения (43) по 4° приводит к

8(1/2 + Ьз) = —eSA()(z) = —е / Ьз(力—z)SAq(x) d3x^ вследствие чего лагранжевы уравнения движения (39) переходят в

Dr ^г — еЬз(力—г) = 0.(45)

Это связь второго рода.

В соответствии с (35) в обозначениях (41) получаем

W + Хг = -Мдг^63(х - z).(46)

При М ^ 0 правая часть зависит от скоростей, поэтому уравнение не является связью. Однако в действительности (46) представляет собой большое число уравнений, по три для каждой точки хг но при хг 次 zr правая

часть обращается в нуль и тем самым не порождает связей. Совокупность связей, полученных таким образом, удобно записать в виде

/ ar (wr + Хт) d3x = 0, (47) где аг являются функциями от хг на которые наложено требование обращения в нуль при xr = zr. Эти связи — первого рода. Они относятся к возможности совершения произвольных изменений трехмерной системы координат 力\ сохраняющей точку xr = zr инвариантной.

Аналогичным образом, в соответствии с последним из уравнений (41) можно получить

^nor. + Хпог. = —Л^ипог.Ьз (力—Z)〉 (48) где Unor. представляет собой нормальную компоненту вектора и^. Это соотношение порождает связи

/ b(^nor. + Xnor.) d^х = 0, (49) где b является функцией от хг ограниченной требованием обращения в нуль при xr = zr. Эти связи соответствуют связям первого рода. Они относятся к возможности совершения произвольных деформаций поверхности 力° = const, сохраняющей точку 力从=гм инвариантной.

Нам нужна еще одна связь первого рода, соответствующая возможности движения точки 力从=2从 вдоль установленной мировой линии частицы. Чтобы получить эту дополнительную связь, необходимо исключить скорости из левых частей (46) и (48) в точке xr = zr. Результатом будет

/®пог. + Xnor.) d3x /®：ог. + Х：ог.)齐"+

+ ers(z) /®т + Хт) d3x /®； + X；) /# - М2 = 0. (50) Областью интегрирования в каждом случае служит область, охватывающая точку хг = zr.

В случае М ^ 0 связи (47), (49), (50), (45) и (34) являются единственными независимыми связями, а гамильтониан представляет собой линейную комбинацию их левых частей. Случай М = 0 существенно отличен от рассмотренного и требует дополнительного исследования.

Квантование

Мы получили классическую теорию в гамильтоновой форме со всеми связями первого рода. Для квантования этой теории необходимо сделать динамические переменные операторами, удовлетворяющими классическим СП соотношениям, а также преобразовать каждую связь, например фп = 0^ в условие, налагаемое на волновую функцию

加3=0.

Для обеспечения взаимной согласованности этих условий необходимо выбрать соответствующим образом некоммутирующие множители в функ-

циях ф с тем, чтобы

[Фп^ Фт] =〉] Спткфк〉 (51) к

где все коэффициенты с^тк стоят слева от соответствующих ф.

В электродинамике Борна-Инфельда не видно способа, позволяющего обеспечить упорядочивание функций 0〉удовлетворяющего условиям (51), даже в отсутствие заряженных частиц. Если выбрать выражение типа (38) для некоторых 0〉выражающих wnor. через другие динамические переменные, то появятся квадратные корни, приводящие к безнадежным сложностям в коммутаторах. Ближе всего можно подойти к удовлетворению условий (51) если работать не с (38), а с рациональным выражением (37), но оно не совсем подходит.

Электродинамика Борна-Инфельда совершенно удовлетворительна как классическая теория. Она позволяет обойти все мучительные бесконечности теории Максвелла, связанные с точечностью зарядов. Кроме того, она дает выражение для плотности энергии — wnor>, которая положительно определена, о чем свидетельствуют (38) и (48). Величины в квадратных скобках в (38) также положительно определены. Отсюда следует, что у уравнений движения заряженных частиц не может быть никаких расходящихся решений (согласно которым частица непрерывно ускоряется в отсутствие внешнего поля), как это имеет место в теории Максвелла-Лоренца.

Однако электродинамика Борна-Инфельда не может быть прокванто- вана современными способами квантования даже в отсутствие зарядов. Для получения на ее основе квантовой теория необходимо произвести некую фундаментальную перестройку, возможно, с введением в описание поля антикоммутирующих величин и последующего их применения с целью избежать появления квадратных корней в выражении для энергии.

Литература

Born М. I I Proc. Roy. Soc. А. 1934. V. 143. Р. 410.

Born М., Infeld L. // Proc. Roy. Soc. A. 1934. V. 144. P. 425.

Dirac P.A.M. Ц Canad. J. Math. 1951. V. 3. P. 1.

Dirac P.A.M. Ц Proc. Roy. Soc. A. 1958. V. 246. P. 326.

Feenberg E. // Phys. Rev. 1935. V. 47. P. 148.

Frenkel J. // Proc. Roy. Soc. A. 1934. V. 146. P. 930.

Podolsky B., Schwed P. Ц Rev. Mod. Phys. 1948. V. 20. P. 40.

Pryce M.H.L. // Proc. Roy. Soc. A. 1936. V. 155. P. 597.

Rosenfeld L. // Acad. Roy. Belg. 1940. V. 18, fasc. 6.

44

ЭЛАСТИЧНАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОНА)

Предложено рассматривать электрон с классической точки зрения как заряженную проводящую поверхность с поверхностным натяжением для предотвращения его разлетания под действием электростатических сил отталкивания. Такой электрон обладает состоянием устойчивого равновесия со сферической симметрией, при нарушении которого его форма и размеры осциллируют. Уравнения движения выводятся из принципа наименьшего действия, а также развит гамильтонов формализм. По методу Бора-Зоммерфельда вычислена энергия первого возбужденного состояния, обладающего сферической симметрией, и найдено, что она примерно в 53 раза больше энергии покоя электрона. Сделано предположение, что первое возбужденное состояние можно рассматривать как мюон. В предлагаемой теории отсутствует спин электрона, так что она не может давать результаты, точно совпадающие с экспериментом.

Модель

Концепция электрона конечных размеров достаточно стара и впервые была предложена Абрахамом и Лоренцем. Это наиболее естественная концепция, которая приводит к конечности полной энергии кулонова поля электрона.

Недавно появились новые факты, свидетельствующие в пользу конечных размеров электрона, связанные с открытием мюона, имеющего настолько близкие к электрону свойства, что его можно рассматривать просто как электрон, находящийся в возбужденном состоянии. В теории, использующей модель электрона в виде точечного заряда, для мюона нет места. Однако, если предположить что электрон имеет конечные размеры, без наложенных ограничений на его размеры и форму, то можно сделать так, что вариации размеров и формы будут устойчивыми осцилляциями относительно равновесного положения, а затем предположить, что наи- низшее возбужденное состояние является мюоном.

Данная статья посвящена развитию простейшей из моделей указанного типа. Предполагается что электрон обладает заряженной проводящей поверхностью. Снаружи данной поверхности выполняются уравнения Максвелла. Внутри поверхности поле отсутствует. Для предотвращения разлетания электрона под действием кулонова отталкивания между поверхностными зарядами предполагается наличие не-максвелловой силы типа поверхностного натяжения. Таким образом, электрон можно представить как некоторый пузырь в электромагнитном поле.

Далее будут выведены классические уравнения движения для данной модели. Они применимы также и для описания нескольких взаимодействующих между собой электронов, при условии что никакие пары электронов никогда не соприкасаются.

В работе Лиза (1939) предложена в некотором смысле подобная теория. Лиз учитывает также наличие гравитационного поля, а вместо поверхностного натяжения он вводит ограничения на форму и размеры электрона, что исключает возможность появления возбужденных состояний.

Удобным способом для обеспечения правильных граничных условий на поверхности электрона является следующий: считать потенциалы равными нулю внутри (поверхности) и непрерывными на самой поверхности. В случае нескольких взаимодействующих электронов можно принять потенциалы равными нулю внутри каждого из них, если опустить условие дА@ 1dxi1 = 0. В таком случае граничные условия для полевых величин снаружи поверхности будут обычными условиями для проводящих поверхностей, а именно: тангенциальные составляющие электрического поля и нормальная составляющая магнитного поля равны нулю в системе отсчета для которой элемент поверхности в данный момент покоится.

Принцип действия

Уравнения движения должны выводиться из принципа действия, с тем чтобы быть подходящими для квантования. При этом должен быть просто один исчерпывающий принцип действия, задающий уравнения поля снаружи электрона и уравнения движения для поверхности электрона. Последние будут обеспечивать как уравнения движения для электрона в целом, так и уравнения, описывающие изменения формы и размеров электрона.

Будем работать в рамках четырехмерной релятивистской картины, в которой поверхность электрона представляется в виде трубки с трехмерной поверхностью. Действие / состоит из двух членов: четырехмерного интеграла /о, определенного на пространстве снаружи трубки, и трехмерного интеграла /5, определенного на поверхности трубки. Пространство внутри трубки не дает вклада в действие.

В качестве /о возьмем обычное действие для поля Максвелла

47r" = —F^F^d^x,

f乩“ =—

где &从 обозначает д^/дх^. Хотелось бы, чтобы член /5 приводил к силам подобным поверхностному натяжению и это получится, если взять его в виде константы, умноженной на трехмерную «площадь» трубки.

Для задания принципа действия следует выразить действие / в терминах переменных Q, описывающих физические условия во всем пространстве и времени и являющихся такими, что малым вариациям всех переменных q отвечает вариация действия 5/, выраженная в виде линейной функции от вариаций bq.

Наиболее очевидным способом выбора переменных q является следующий. Для описания поверхности трубки введем параметры 〃i, 〃2, 〃з) задающие произвольную точку на этой поверхности, а затем в качестве переменных q возьмем четыре координаты х^(и) каждой из точек этой поверхности. В качестве переменных q следует также взять и 4-потенциалы Ац для всего пространства-времени. Тогда будет достаточно переменных q для полного задания физических условий, однако 31 не является

при этом линейной функцией вариаций bq. Если рассмотреть вариацию В力从（〃工 отвечающую поверхности слегка выдавленной наружу, то вариация 5/, взятая со знаком минус, не будет равна вариации 31 для —Зх^（и^ соответствующей поверхности, слегка вдавленной внутрь за счет того, что поле снаружи поверхности будет отличаться от поля внутри поверхности. Таким образом, такой выбор переменных q не подходит.

Данной трудности можно избежать, если работать с общими криволинейными координатами х^. Пусть поверхность трубки задается в этих координатах уравнением /（力）=0, так что /（力）〉0 для наружной области. Теперь не будем изменять функцию /（力）в вариационном процессе, а будем производить произвольную вариацию поверхности за счет варьирования координатной системы.

С тем чтобы найти удобный способ описания координатной системы и ее вариаций, введем вторую координатную систему 丿〉которую будем держать фиксированной в ходе процесса варьирования, и используем функции у^（х） для описания 力-й координатной системы в терминах g-й координатной системы. Для того чтобы различать данные две системы, будем использовать прописные индексы в отношении g-й системы и строчные индексы в отношении 力-й системы. Для простоты возьмем у-ю систему прямолинейной и ортогональной, так что метрика в 力-й системе будет иметь вид

9冲=?n,眼\. （1）

В данном случае в качестве переменных q возьмем 4从（/） и 沙八（力）для всех 力）для которых /（力）》0. Этих переменных q вместе с фиксированной функцией /（力）достаточно для задания уравнения поверхности относительно g-й системы, а также поля снаружи поверхности относительно д-й системы. Таким образом, эти переменные определяют все, что существенно с физической точки зрения. Они также задают кое-что, несущественное с физической точки зрения, а именно криволинейную систему координат снаружи поверхности. Это некоторое усложнение, однако не причиняющее никакого вреда принципу действия. Оно представляется неизбежным, если мы хотим чтобы 61 было линейной функцией вариаций bq.

В принципе функцию /（力）можно выбрать в виде чего-либо совместимого с некоторой непрерывной системой криволинейных координат 力从 в наружном пространстве. При наличии только одного электрона наиболее удобным выбором является

/（力）=力* （2）

который оказывается совместимым с деформированной системой полярных координат.

Граничные условия имеют вид

4从（力）=0 для /（力）=0. （3）

Эти выражения не содержат производных, а потому не могут возникнуть в качестве уравнений движения, следующих из вариационного принципа. Поэтому их следует учитывать как ограничения （связи）, сохраняющие свою действительность в ходе вариационного процесса. При выборе функции / в виде （2）, из граничных условий следуют условия на поле снаружи

поверхности (электрона)

Fab = 0,(4)

где а, b принимают здесь и в последующем значения 0, 2, 3.

В терминах новых переменных q с учетом выбора (2) для функции / действие выражается в виде

4тг7п =4тг7п =4万，=4万，=—g у М dxQ dx2 d^ 力i=o—g у М dxQ dx2 d^ 力i=o⑹⑹

4тг7п =

4тг7п =

4万，=

4万，=

—g у М dxQ dx2 d^ 力i=o

—g у М dxQ dx2 d^ 力i=o

⑹

⑹

где через — J? обозначен детерминант g从厶 а через М2 — детерминант д^^

так что для них выполнено соотношение

⑺⑺М = J(-宀产,

⑺

⑺

g является положительной массу электрона.g является положительной массу электрона.константой, задающей равновесный размер и

g является положительной массу электрона.

g является положительной массу электрона.

Уравнения движения

Вариации по А^х) и ^八(力)приводят к следующим выражениям, в которых четырехмерные интегралы берутся по области ж1 > 0, а трехмерные интегралы — по поверхности ж1 = 0:47rblо = ~У 火产产F/Fp。+ g^F^FpaSg^ ++=/j{产网"^=/ j{f^sap^ += -/{(""4+Вариации по А^х) и ^八(力)приводят к следующим выражениям, в которых четырехмерные интегралы берутся по области ж1 > 0, а трехмерные интегралы — по поверхности ж1 = 0:47rblо = ~У 火产产F/Fp。+ g^F^FpaSg^ ++=/j{产网"^=/ j{f^sap^ += -/{(""4+力力战战1 - 41 - 4--1 - 41 - 4力力染染++

Вариации по А^х) и ^八(力)приводят к следующим выражениям, в которых четырехмерные интегралы берутся по области ж1 > 0, а трехмерные интегралы — по поверхности ж1 = 0:

47rblо = ~У 火产产F/Fp。+ g^F^FpaSg^ +

+

=/j{产网"^

=/ j{f^sap^ +

= -/{(""4+

Вариации по А^х) и ^八(力)приводят к следующим выражениям, в которых четырехмерные интегралы берутся по области ж1 > 0, а трехмерные интегралы — по поверхности ж1 = 0:

47rblо = ~У 火产产F/Fp。+ g^F^FpaSg^ +

+

=/j{产网"^

=/ j{f^sap^ +

= -/{(""4+

力

力

战

战

1 - 4

1 - 4

-

-

1 - 4

1 - 4

力

力

染

染

+

+

+ / J(FJFC — I F^F^gC'yk/yk dxQ dx2 dx\ (8)

где использовано граничное условие SAp = 0. Обозначим через 0ab матрицу обратную к %ь・ Тогда

47rb厶=—；以 / Mc^b8gab dxQ dx2 dx3 = &/ {^^Ук^.ъ^У^ ^ж° dx2 dx3.

2⑼

Приравнивая нулю коэффициенты при 6Ар для 力】〉0 в выражении (8), получим

=0.(Ю)

Эти уравнения являются уравнениями Максвелла для внешнего пространства. Приравнивая нулю коэффициенты при bg^ для 力】〉0 в выражении (8), получим

p(勿心-:F^g^y^「0.

Умножая на g^ и используя равенство (1), можно свести последнее уравнение к виду '

理亦％。8^。^= 0,

или

(I JF^F^g^p = 0.

С помощью соотношения

(以/^)力=2F開BF唱p- 2FJF/w

оно принимает вид

FJJF耶),в + I JFRF…F^, - F唱p).

Таким образом, данное выражение является следствием уравнений Максвелла и не дает нам ничего нового.

Наконец, приравнивая нулю коэффициенты при Sy^ на поверхности в формулах (8) плюс (9), получим

J(F『F* — : F^g^y^ + 3(Mcabg,b = 0.

Умножая это выражение на у^ получим

J^F^ - J F^g^ + 3(МсаЬдар),ь =

=ЗМ产у\,аУ^рЬ = I ^М^Ь9ab.p = ®Мр・

Для 0 * 1 с учетом условий на поверхности (4) последнее соотношение сводится к равенству 0 = 0. Для 0 = 1 с помощью соотношения из него получается

I FalFal = зГ《Мд\Ь/д%,ь + MJ = 3J〕Mg巾心什(12)

Это выражение является уравнением движения для поверхности электрона. Его левую часть, с учетом граничных условий (4), можно записать в альтернативном виде как (1/4)巧^尸从".Правая часть уравнения имеет простой геометрический смысл. За исключением множителя g она представляет собой выражение для полной кривизны поверхности.

Сферически-симметричное решение

Применим уравнение движения (12) к сферически-симметричному электрону, центр которого покоится и для которого отсутствует падающее излучение. Пусть р обозначает радиус электрона и является функцией времени t. Мы используем полярные координаты и выбираем х1 = г — р^ 力2 = °)力з = 0〉так что уравнение поверхности записывается как ж1 = 0. Тогда имеем

ds2 = d产—(d力 1 + 0 必)2 —(力 1 + о)?曲2 —(力 1 + о)? sin2 0dg2,(13)

что дает

^оо = 1 - Р2, 911 = -1, 910 = —А

922 = —(力1 + 0)2, дзз = 一(力 1 + 0)2 sin2 仇

при том что остальные компоненты д^ тривиальны. Из этих соотношений следует

J — (^ + 0)2 sin"

М = (1 — О?)】/?(力 1 + 0)2 Sin 仇

g22 = 一() 1+0厂2,成3 =一()1+0厂2S由一2仇

Далее находим, что на поверхности ж1 = 0

丄=1g3+。)/+(1 j212(力工0)20 =

J 卜 gll Ам (力】+0)2 dt (1—02)1/2 (歩 +夕)2 dx1 V“

—d 02

dt (1 -綻)1/2 p(l -p2)l/2-

Снаружи электрона поле является в основном кулоновым, так что практически сразу за поверхностью имеем F^F^ = б2//?2. Таким образом, уравнение движения (13) приобретает вид

•2Q

ddt ——^——=-——-——.(14)

(1-02)1/223°4 砲―02)1/2' 丿

Полагая р = 0, для равновесного значения радиуса электрона а получаем

а3 = &2/4G.(15)

Для электрона, покоящегося в данное мгновение, полная энергия Е состоит из двух частей: электростатической энергии кулонова поля, а именно &2/20〉и энергии поверхностного натяжения, пропорциональной />2, скажем /З/А Таким образом,

Е = i/zo + o".(16)

Минимальное значение энергия Е должна принимать при р = а^ когда

е2/2а2 = 2/За,

откуда следует, что /3 = а. Далее замечаем, что в состоянии равновесия поверхностная энергия равна половине электростатической энергии. Следовательно, полная энергия, которая (при с = 1) должна быть равной т, составляет Зе2/4а и, таким образом,

а = Зе2/4т. (17)

Для малых осцилляций относительно равновесного состояния из уравнений (14) и (15) получаем

0 =考 _ 2 = 2 {0= -б(р-。)/。2.(18)

Таким образом, частота 沙 таких осцилляций определяется как

27rzy = д/ё/а.

Энергия одного кванта с такой частотой равна

九沙=\^Qh/a = (4，ё/3)тЛ/е2 = 448m.

Это дает правильный порядок величины для энергии мюона. Однако одноквантовые осцилляции являются безусловно слишком малыми, и использованное нами при выводе уравнения (18) приближение не является верным для них. Для получения более подходящей теории нам требуется гамильтонов формализм.

Гамильтониан общего вида

Возвращаясь к движению в общем случае, нам следует перейти к гамильтоновой форме его описания с помощью стандартного метода. Для максимально возможного упрощения выкладок будем рассматривать только такие системы координат х\ для которых 力。=g°. Это допустимо по той причине, что такое условие можно совместить с условием (2) без наложения каких-либо ограничений на поверхность электрона.

Формула (1) в таком случае приводится к виду

(19)(19)д 開》=國或 + yR,^y^

(19)

(19)

(индексы R)г, s принимают значения 1, 2, 3). Из формулы 9^ = {дх^/дух^дх^/ду^

получаем g°° = 1, а это показывает, что J = К)где —К2 — детерминант матрицы grs.

Динамическими координатами являются функции Ац(х^уп(х^ где под х понимаются наборы ж1, ж2, ж3, для которых ж1 > 0, а также поверхностные переменные yR{x2^ ж3), где ж1 = 0. Производные этих переменных по ж0, а именно 4也о)疵〉являются скоростями. Лагранжиан выраженный посредством этих координат и скоростей, имеет вид

4тгЬ = -| / KF^F^ Sx - cj / Mdx2 d^.(20)

ж1 >0力 1=0

Для введения импульса проварьируем скорости в лагранжиане L, что приводит к выражению

4тг" = / K{F^dA^ + F^F^yR^yR^} d3x - с<; / M^yR^yR^dx2 dx^ Будем полагать, что

6L = I(B^6A^ + wR6yR^ 产力 + / WR6yR^ dx2 d/,(21)

так что 8从 и wr представляют собой импульсы, сопряженные переменным А^ и yR во внешнем пространстве, a Wr — импульс, сопряженный yR на поверхности электрона. Импульсы 8〃 и wr являются функциями координат ж1, ж2, ж3, для которых ж1 > 0, a Wr является функцией, зависящей только от 力2 и 力з Сравнивая два выражения для 5L, находим

47rgM = К 尸Л(22)

^wR = KF^F%rn(23)

^WR = -шМ^у^.(24)

Для получения первичных связей гамильтонова формализма из данных уравнений следует исключить скорости. До тех пор пока дело касается внешнего (наружного) пространства ж1 > 0, эти связи являются обычными для максвеллова поля, заданного в криволинейных координатах ж1, ж2, ж3, а именно

В0 = 0,(25)

^冗沙^ - BrFrs = 0.(26)

Имеется также и вторичная связь

8； = 0,(27)

следующая из полевых уравнений. Из соотношения (24) имеем

^WRyR^ = 一学入1。叫%从_gj或)•(28)

Правая часть последнего соотношения исчезает при /1 = 2 или 3, поскольку матрица саЬ является обратной к матрице д^. Следовательно, имеем соотношения

WRy^ = 0, WRy^ = 0,(29)

означающие, что тангенцальные компоненты W равны нулю вдоль всей поверхности электрона в любой момент времени.

В соответствии с определениями, данными в работе (Dirac 1958), все связи в соотношениях (25), (26), (27), (29) являются связями первого рода. Они связаны с произволом в выборе калибровки и системы криволинейных координат 力丄)х )力

Гамильтониан, выраженный через динамические координаты и импульсы, имеет вид

Н = ](В開А禺и + ^冗涼)d3x + / WRy^ dx2 dx3 - L

и представляет собой сумму двух частей: объемного интеграла На по всему наружному пространству и пространственного интеграла Hs. Объемный интеграл равен

47гЯ0 = / К^АГ^ + 4。尸。(％0 —或)+ ： F^y Sx =

=/ K^A^r - 4。尸。+ J ^F^p3x. (30)

Член / KFrQAoiT d^力 можно (с помощью граничных условий 4° = 0 на поверхности электрона) преобразовать к виду —4тг / 8[4。d^力)откуда ясно, что этот член исчезает в силу (27). Для того чтобы выразить оставшуюся часть выражения (30) через динамические координаты и импульсы, введем матрицу 6rs)обратную к матрице grs. Для нее выполняется соотношение

аналогичное соотношению (11) при g°° = 1. В таком случае имеем

戸認耳力冗〃 =“а - д5М - ^g^F^F^ = F^ - 2仃尸°, что приводит к выражению

4тгЯ0 = /^-^2K-xgrsBrBs + : KersetuFrtFsu^ Sx. (31)

Оно является обычным гамильтонианом для максвеллова поля, записанного в криволинейных координатах ж1, ж2, ж3.

Поверхностная часть гамильтониана приобретает вид

47rHs = /{^WRy^ + шМ) dx2 dx3 = ш I Me00 dx2 d力3,(32)

если использовать выражение (28) с индексом /1 = 0. Но тогда

Л^2С00 = ^22^33 - ^232(33)

и не зависит от скоростей, но при этом Л/с00 зависит от скоростей, а это значит, что требуются дополнительные рассуждения. Из соотношения (24) получаем

167r2^^ = /m。叫叫g就-Ы = /^2{产)2 _即}.

Следовательно,

47rHs = /{16tv2WrWr + ^M2^}1/2 dx2 dx3 =

=/{^2WrWr + /(922933 - ^232)}1/2 dx2 dx3, (34)

что дает выражение для Hs через динамические координаты и импульсы.

Можно исключить из Hs тангенциальную составляющую переменной Wr^ которая обращается в нуль в силу соотношения (29). Из соотношения

6TSg凡 tUs,s = -5rs

получаем

WrWr = - ers WRy^r Wsys.s = —凡 1)乙 а также замечаем, что

-К2^1 = 922933 - ^232,

аналогично соотношению (33). Таким образом, получаем

47rHs = У{(47rWRyR^/K)2 + ^2}1/2(д22дзз — ^232)1/2 d力2 dx3 (35) в качестве альтернативного выражения для Hs.

Полный гамильтониан, состоящий из выражения (31) плюс (34) или (35), является положительно определенным, так что в данной теории отсутствуют выходящие из под контроля движения электрона.

Гамильтониан частного вида

Имея дело с электроном, центр которого покоится или почти покоится, удобно использовать сферические координаты с началом в некоторой фиксированной точке внутри электрона. Таким образом, возьмем

ж1 = г — р, ж2 = 0, ж3 = 0,(36)

где 0 — некоторая функция от 仇。и & такая, что уравнение поверхности электрона имеет вид г = р. Величины 0(®, 0) при заданном значении t являются в данном случае динамическими координатами. Все предыдущие динамические координаты ^(ж1, ж2, ж3) оказываются функциями от р(в〉ф))заданными соотношениями

У1 = S +力 Deos®, 、

沙2 =(0 + 力1) sin 0 cos(^), >(37)

Уз =(0 + %i)sinesin。.，

Такого рода фиксация ж-й системы координат влечет за собой наложение некоторых связей второго рода в соответствующей гамильтоновой теории, уменьшающих число эффективных степеней свободы. Среди всех прежних степеней свободы yR эффективными остаются лишь те из них, которые связаны с динамическими координатами /)(仇。).Сопряженные им импульсы, скажем Р(0, ф\ должны удовлетворять соотношениям

以仇办Р(/ ")] = “0 -夕州з-").(38)

Из этих соотношений следует, что

m么 0), p(/ “)] =(dyR/dp)3(e-夕州(0 - ")= UR田e -夕州(0-")， откуда очевидно, что можно положить

Р = WRy^.(39)

Если произведено преобразование координат ж2, ж3, тогда р будет скаляром, а Р будет скалярной плотностью. Следовательно, Р/К также будет скалярной величиной.

При выборе координат в виде (37) находим, что

К = р2 sin 0,1

922933 - 923?=片{片 sin2。+ р,22 sin2。+ p,32}J40

Таким образом, поверхностный гамильтониан (35) приобретает вид 4тг& = /{(47rF/psin0)2 + cj2p2}1/2{p2 sin2 в + p^ sin2 8 + p^}1^2 dO Нф.

(41)

Сферически-симметричный гамильтониан

Для сферически-симметричного движения величины р и Р/К оказываются независящими от 8 и 0. Уравнения, выражающие данную независимость, являются связями второго рода и ведут к дальнейшему уменьшению числа эффективных степеней свободы. В результате остается только одна эффективная динамическая координата р. Сопряженный к ней импульс, обозначим его ту, должен быть определен с помощью сильного равенства广

〃 =Р dd %

для того чтобы из соотношений (38) получалось правильное скобочное соотношение

MG0),用=/ а0 —夕州(0— “)曲 J" = 1.

С помощью выражений (40) и связей, выражающих независимость величин 0 и Р/К от 8 и 0〉можно вывести слабые равенства

〃 =(P/К) /衣曲沟=47r(Р/К"2 = 4тгР/sin0.

Подставляя их в выражение (41), получим гамильтониан Н$)выраженный через эффективные динамические переменные р и ту:

47rHs = / (〃2 + Cj2/)4)l/2 sin ® 曲 d0 = 47rm 2 + ^1>

Для получения полного гамильтониана следует добавить к Hs энергию кулонова поля, что дает

Я = (ту2 + / 夕 4)1/2 + е2/2р(42)

в соответствии с формулой (16) при ту = 0.

Квантование сферически-симметричного движения

Классическому гамильтониану (42) отвечает волновое уравнение вида ihd^/dt = {(ту? + 口2/)4)1/2 + е2/2р}^^(43)

в котором волновая функция ⑺ является функцией от р и ^, а ту имеет смысл —гКд/др. Однако здесь имеется некоторый произвол, поскольку

оператор (ту2 + cj2/)4)1/2 можно заменить на другой оператор с тем же классическим аналогом, например

{(〃 + 分g片火〃 - 分CJ/)2)}l/2 ИЛИ (〃 + 分802)1/2(〃 -心 f?▽.

Развитая здесь классическая теория не может сделать выбор в пользу одной из этих возможностей.

При указанной неоднозначности, не позволяющей прийти к точной квантовой теории, тем не менее мы можем получить грубую квантовую теорию, используя метод квантования Бора-Зоммерфельда. Из него для одноквантового состояния радиальных осцилляций получается квантовое условие вида

Л = 2 У " dp〉(44)

где интеграл берется от минимального до максимального значений переменной р, что соответствует половине полного колебания. Связь между переменными 〃 и 0 задается выражением (42), если рассматривать Н как некоторую константу, так что

〃2 = (8 — е2/2р)2 — cj2/p4 = (e2/4a)2{(fc — 2/ж)2 — ж4},

где использована формула (15) при 力=р/а^ а также

к = 4аН/е2.(45)

Таким образом, условие (44) приобретает вид

2Л/е2 = /{(к — 2/力)2 —力4}i/2 dx.

Для больших значений к интеграл приближенно равен

炉/2

/ (к2 — /)1/2 dx>(46)

о

что приводит к следующему ответу:

1

兴/2 /(1 —沙4尸/2 dy = 0,87 fc3/2.

о

Отсюда следует, что

2Л/e2 = 0,87兴/2, откуда получаем

к = 158.(47)

Легко проверить, что данное значение для к является достаточно большим, чтобы принятое при выводе (46) приближение выполнялось.

Применяя совместно формулы (47)〉(45) и (17), получаем

Н = - кт = 53m.

3

Так что предлагаемая здесь теория приводит к значению массы для мюона, составляющему одну четверть от наблюдаемой массы.

Представленная теория является лишь грубым приближением, поскольку в ней электрону не сообщается какого-либо спина. Она нужна, лишь чтобы указать как можно рассматривать мюон, считая его электроном, возбужденным радиальными колебаниями. Она приписывает мюону ту же сферическую симметрию, что и электрону, так что мюон не может распадаться на электрон и фотон, а будет обладать лишь малой вероятностью распада на электрон и несколько фотонов. Для исправления недостатков теории и внесения в нее спина, по-видимому, потребуется заменить квадратный корень в выражении для гамильтониана некоторой рациональной функцией, зависящей от спиновых переменных.

Литература

Dirac Р.А.М. // Proc. Roy. Soc. А. 1958. V. 246. Р. 326.

Lees А. // Phil. Mag. 1939. V. 28. Р. 385.

45

КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА БЕЗ ГНИЛИ)

В квантовой электродинамике можно получить гамильтониан, приводящий к разумным полевым уравнениям в картине Гейзенберга, но не позволяющий найти решения волнового уравнения для описания физических состояний в картине Шредингера. Отсюда делается вывод, что гейзенбергова картина является хорошей, а шредингерова картина — плохой, причем эти два описания неэквивалентны [1]. Обычное доказательство эквивалентности двух картин терпит неудачу, так как в шредингеровой картине вектор состояния не остается в гильбертовом пространстве. Можно сформулировать квантовую электродинамику, используя только гейзенбергову картину, и избежать, таким образом, наибольших трудностей, с которыми сталкиваются в шредингеровой картине. Теория становится не просто собранием рецептов, а приобретает логическую форму. Эту теорию можно применить для вычисления аномального магнитного момента и лэмбова сдвига, и она оказывается похожей на обычные вычисления этих эффектов с той разницей, что удается отбросить значительную часть всякой гнили. Остается проблема, связанная с общей интерпретацией квантовой механики в той ситуации, когда нельзя использовать картину Шредингера. Предложены некоторые идеи для ее решения.

Связь между картинами Гейзенберга и Шредингера

Квантовая механика была независимо создана Гейзенбергом и Шредингером. Они предложили две теории, которые на первый взгляд выглядели совершенно различными. В теории Гейзенберга предполагалось, что динамические переменные являются матрицами. Поэтому они не удовлетворяют коммутативной аксиоме умножения. Изменение динамических переменных со временем происходит согласно гейзенбергову уравнению движения

ih{du/dt) =иН - Ни,(1)

где Н — матрица, представляющая гамильтониан или полную энергию. В теории Шредингера для представления атомных состояний предлагалось иметь дело с волновыми функциями ⑺.Они менялись со временем в соответствии с уравнением Шредингера

ih{d^/dt) = Я^,(2)

где Н — оператор, представляющий гамильтониан.

Некоторое время физики работали с двумя квантовыми теориями, однако вскоре было обнаружено, что между ними есть простая связь, которая, как тогда считалось всеми, приводит к эквивалентности обеих теорий. Теории могут быть записаны в абстрактной форме, позволяющей более явно выразить связь между ними.

Матрицы в теории Гейзенберга можно заменить линейными операторами, действующими на векторы в гильбертовом пространстве. (Я использую термин «гильбертово пространство», имея в виду «сепарабельное» гильбертово пространство, которое может быть натянуто на бесконечное счетное множество векторов.) Удобно использовать обозначение |4〉для вектора в гильбертовом пространстве с меткой А и обозначение “|4〉для результата действия динамической переменной и на |4〉. Гейзенберговское уравнение движения (1) не меняет своего вида, независимо от того, рассматриваются в качестве динамических переменных матрицы или линейные операторы.

Волновую функцию в теории Шредингера можно рассматривать как координаты вектора в гильбертовом пространстве, который часто называют вектором состояния. Тогда динамические переменные в теории Шредингера становятся операторами в гильбертовом пространстве, как и в теории Гейзенберга. Волновое уравнение Шредингера (2) становится уравнением, описывающим изменение во времени вектора состояния, т.е.

ihd\A)/dt = Н\А).(3)

Как мы видим, обе теории имеют дело с векторами в гильбертовом пространстве и действующими на них операторами. Разница между ними состоит в том, что в гейзенберговой теории динамические переменные изменяются со временем согласно уравнению (1), а векторы в гильбертовом пространстве фиксированы. В теории Шредингера динамические переменные являются фиксированными операторами, а векторы в гильбертовом пространстве изменяются со временем согласно уравнению ⑶.

Две теории можно связать уравнениями

аh = ……拼气(4)

14〉=е—沮吋 4н〉，(5)

где индексы S s Н относятся к шредингеровой и гейзенберговой теориям, соответственно. Можно легко проверить эту связь, заметив, что при постоянной величине “s в силу формулы (4) “н меняется со временем согласно уравнению (1), а при постоянном векторе |4н〉в силу (5) вектор |厶〉меняется со временем согласно уравнению (3). Уравнения ⑷ и (5) представляют решения гейзенбергова и шредингерова уравнений движения, связывающие переменную “н и вектор |As) в момент времени 土 с их начальными значениями согласно формулам

аh ⑴=ё沮"％h(0)6-沮" С(6)

1人力=6一沮屮人0.⑺

После того, как две теории связаны указанным образом, становится ясно, что существует, на самом деле, одна квантовая механика, которую можно рассматривать двумя способами — в представлении Шредингера или в представлении Гейзенберга. Два представления связаны математическим преобразованием ⑷)(5).

Трудности

Эта квантовая механика продемонстрировала невероятные успехи при применении к простейшим задачам атомного мира, но столкнулась с серьезными трудностями при попытке сформулировать аккуратную релятивистскую теорию, включающую поля. Наиболее острые проблемы возникли в электродинамике, так как другие атомные поля были не слишком хорошо известны, и всегда можно было приписать трудности в их рассмотрении недостаточным знаниям об участвующих в их описании силах. В то же время электродинамика было так хорошо известна на классическом уровне, что провал квантовой теории для ее описания казался совершенно загадочным.

В электродинамике мы ограничимся рассмотрением электронов и позитронов, взаимодействующих с электромагнитным полем. Тогда нетрудно получить гамильтониан Н. Можно быть уверенным в том, что этот гамильтониан Н по существу правилен, так как если подставить его в гейзен- бергово уравнение движения (1), получатся разумные полевые уравнения в согласии с тем, что можно ожидать на основании классической электродинамики. Однако, если подставить этот гамильтониан Н в волновое уравнение Шредингера (2), то не удается найти никаких, даже приближенных, решений, представляющих интересующие нас физические состояния. Можно было ожидать, что имеется хотя бы тривиальное решение, соответствующее вакуумному состоянию, но даже такого тривиального решения не существует. Мы сталкиваемся с дилеммой, в течение трех десятилетий препятствовавшей развитию теоретической физики.

Тот факт, что физики не могли решить уравнение Шредингера, не останавливал их в борьбе с этим уравнением. За последние восемнадцать лет были предприняты не приведшие к заметным успехам героические попытки извлечь из уравнения Шредингера хоть какую-нибудь полезную информацию.

Метод, которому следовали ученые, заключался в рассмотрении взаимодействия электронов с электромагнитным полем как малого возмущения и поиске решения уравнения Шредингера в виде разложения в ряд по константе связи е?/%。. Решение в таком случае представляется в виде суммы бесконечного числа слагаемых, каждое из которых соответствует определенной фейнмановой диаграмме. Проблема состоит в том, что все эти слагаемые, за исключением нескольких первых, содержат расходящиеся интегралы.

Среди всех фейнмановых диаграмм есть несколько, которые описывают переходы v-v (вакуум-вакуум) и не содержат внешних линий. Эти диаграммы могут возникать как сами по себе, так и как части полных диаграмм. Все слагаемые, отвечающие таким диаграммам, содержат бесконечности. Эти члены наихудшие, так как именно они не позволяют получить решение, представляющее хотя бы вакуумное состояние.

Обычная процедура, используемая физиками в квантовой теории поля, заключается в том, чтобы полностью пренебречь такими слагаемыми, сказав для самооправдания такого шага, что эти члены не могут соответствовать никакой наблюдаемой величине. Такое пренебрежение находится в полном противоречии с логикой. Оно меняет весь характер теории, заменяя логическую дедукцию простым установлением набора рецептов.

Другие члены в разложении, соответствующие фейнмановым диаграммам без v-v вставок, могут также содержать расходящиеся интегралы. Но с ними можно разобраться с помощью техники перенормировки, которая может быть в определенной степени обоснована в случае электродинамики, где константа связи мала.

Рассмотренное в указанном духе уравнение Шредингера позволяет вывести ряд практических результатов, в частности, получить значения лэм- бова сдвига и аномального магнитного момента электрона, оказавшихся в очень хорошем согласии с экспериментом. Таким образом, не вызывает сомнений блестящий успех теории. Но цена, которую нужно заплатить за этот успех, заключается в отказе от логических выводов и замене их рецептами. Это очень большая цена, и ни один физик не согласен ее платить.

Неэквивалентность картин Гейзенберга и Шредингера

Вновь рассмотрим основы квантовой механики и попробуем обнаружить то место в приложении к электродинамике, где дела начинают идти плохо. У нас имеется гамильтониан Н)дающий разумные результаты в представлении Гейзенберга, но который нельзя использовать в представлении Шредингера. Из этого, по-видимому, следует, что картина Гейзенберга является хорошей^ а картина Шредингера — плохой^ и вопреки общепринятому мнению физиков, эти два представления неэквивалентны.

Конечно, существует связь (4), (5) между двумя представлениями. Если мы принимаем представление Гейзенберга за хорошее, из него можно получить с помощью преобразования (5) векторы \А^) представления Шредингера. Эти векторы изменяются со временем согласно уравнению (7)и удовлетворяют уравнению Шредингера (3).

Далее, шредингерова волновая функция ⑺ состоит из координат вектора |А), удовлетворяющего уравнению (3). Оказывается, что мы можем получить вектор |А), удовлетворяющий (3), но не можем найти ⑺.Это должно означать, что удовлетворяющий уравнению (3) вектор |4〉не может быть представлен своими координатами. Любой вектор в гильбертовом пространстве можно представить координатами. Поэтому вектор |А) должен находиться в каком-то более общем пространстве, имеющем значительно больше измерений, чем гильбертово пространство.

Таким образом, мы вынуждены следующим образом рассматривать электродинамику в шредингеровом представлении. Взаимодействие является столь сильным, что если мы зададим для описания начального состояния определенный вектор состояния в гильбертовом пространстве, он выбивается из этого пространства за любой, сколь угодно малый промежуток времени. Этот вектор перемещается в какое-то более общее пространство, в котором его нельзя представить координатами, и, следовательно, невозможно построить шредингерову волновую функцию. Эти более общие векторы можно назвать «кет-векторами».

Динамические переменные в гейзенберговом представлении не могут теперь быть операторами в гильбертовом пространстве, а должны действовать в более общем пространстве кет-векторов.

Модельный гамильтониан

Чтобы проиллюстрировать связь между гейзенберговым и шрединге- ровым представлениями, можно рассмотреть модельный гамильтониан, который достаточно прост, чтобы можно было точно решить уравнения, но при этом содержит характерные особенности, соответствующие главным трудностям квантовой электродинамики.

Возьмем в качестве динамических переменных в любой момент времени бесконечный набор операторов испускания фермионов % (г = 1,2,..., сю) и сопряженных им операторов поглощения ту*. Они удовлетворяют соотношениям

小小+小小=0,

小优+优小=3rs.

Возьмем гамильтониан в виде

Н = ；%s®小-〃；〃)

где ars — действительные числа и ars = —asr. Такой гамильтониан Н физически действителен.

Введем кет-вектор |S〉, удовлетворяющий условию

峭 S〉= o(10)

для всех г. Попробуем получить решение уравнения Шредингера (3) при условии, что вектор состояния |4〉изначально равен \S). Имеем

H\S)=三ars%r]s\S),

H^\S) = 丁。『5。09小小〃0%IS〉- —(^гз^рдПг^1з^1р^1(1\^'

Второе слагаемое сводится к виду

Коэффициент при |S〉вполне может быть бесконечным, даже для ограниченной матрицы а. В качестве простого примера можно выбрать а такой, что ее квадрат равен взятой с отрицательным знаком единичной матрице. (Минус необходим, так как матрица а кососимметрична.) При таких условиях H2\S} не существует.

Таким образом, не существует решения уравнения Шредингера (3) с вектором |А), изначально равным |S〉, если |4〉ограничено условием, что этот вектор лежит в гильбертовом пространстве, определяемом действующим на |S〉рядом по степеням 〃. Имеется ли решение в случае, когда на |4〉не наложено таких ограничений? Согласно формуле (7), решение должно иметь вид

e-iHt/^sy (11)

так что вопрос звучит так: «Можно ли придать смысл этой величине, несмотря на провал такой попытки, когда мы разлагаем экспоненту?»

Будем работать в гейзенберговом представлении. Гейзенберговы уравнения движения приводят к уравнениям

访加=-|a0虱小啸嗚-啸需小)=—аГр成)

так что

方力『=^rp^pq^lq'

В частном случае, когда а2 = —1, отсюда получаем уравнение

% 力『=—T]r,

решение которого при любом начальном условии имеет вид

小⑴=cos(〃方)小(0) + 〃 sin(〃％)a『s〃；(0)・

Таким образом, решение гейзенберговых уравнений движения не приводит к бесконечностям.

Можно ввести связанный с гейзенберговыми переменными 〃『(力)〉〃^ (力) в момент времени t кет-вектор \St}^ удовлетворяющий уравнению

捕⑴ 18〉= 0(12)

для всех г. Это можно сделать для каждого значения t. Определим связь между значениями |SQ для разных значений t.

Из уравнения (6)

唄方)=ё沮力小喇0)6-沮"

поэтому из формулы (12) следует

^^e-^/^St) = Q.

Далее,

磋(O)|So〉= O,(13)

так что в результате с точностью до произвольного численного коэффициента получаем

团"近吋So〉.

Вектор I So〉в формуле (13) — это тот же вектор, что и \S) в выражении (10) в представлении Шредингера, так что |S_Q есть величина (11), являющаяся решением уравнения Шредингера. Следовательно, мы можем придать смысл величине (11). В гейзенберговом представлении она имеет тот же смысл, что и величина |Sq), и просто относится к другому моменту времени. Таким образом, гейзенбергово представление приводит к необходимости ввести кет-векторы более общего вида, чем гильбертовы векторы, определенные формулой (12).

Хотя не удается получить решение уравнения Шредингера в гильбертовом пространстве с начальным вектором |У), можно получить решение с другим начальным вектором. Рассмотрим кет-вектор |S〉, удовлетворяющий уравнению

^ + аг^\Г) = 0.(14)

Различные условия, отвечающие разным г, в данном случае совместны, так как нетрудно проверить, что величины 77* + arsr）s и 破 +。。乌〃^ антикоммутируют.

Находим:

h =；（小+aw啸）m;+%s%）-1 （小〃；+〃；小）.

Последнее слагаемое в этом выражении является бесконечной постоянной и может быть отброшено. Тогда H\Y} = 0 и постоянный вектор |S〉является решением уравнения Шредингера.

Необходимость гейзенберговой картины

Гамильтониан квантовой электродинамики по существу эквивалентен гамильтониану этой простой модели. Интересующие нас физические состояния похожи на физический вакуум, в котором заняты все состояния электронов с отрицательными энергиями. Это соответствует кет-векторам, похожим на векторы |S〉модели. В представлении Шредингера такие кет- векторы не остаются в гильбертовом пространстве. Кет-векторы, близкие векторам \Y） из модели, соответствуют тем состояниям в электродинамике, в которых заняты почти все состояния электронов с отрицательными энергиями. Такие состояния слишком отличаются от физической реальности, чтобы их можно было использовать для расчетов физических задач.

Таким образом, мы видим, что в электродинамике невозможно использовать шредингеровы волновые функции. Но гейзенберговы уравнения движения остаются пригодными, хотя, конечно, они существенно сложнее, чем в модели.

В гейзенберговом представлении динамические переменные нельзя представить в виде матриц или операторов в гильбертовом пространстве. Они представляют какую-то более общую структуру, точная математическая природа которой неизвестна. Назовем их Q-числами. Все, что известно об этих числах, это то, что они являются некоммутирующими величинами, удовлетворяющими определенным коммутационным соотношениям. Вычисления в гейзенберговом представлении можно проводить путем алгебраических выводов из коммутационных соотношений. Это можно делать и без знания математической природы тех величин, с которыми мы работаем.

Недостаток знаний о том, что такое Q-числа, не дает возможности сформулировать их теорию с математической строгостью. Мы не можем определить пределы q-чисел и поэтому не можем придать в применении к ним точный смысл процедурам интегрирования или дифференцирования. Но хотя и невозможно возвыситься до полной строгости, можно сформулировать теорию, которая удовлетворяет разумному практическому стандарту логичности в том духе, как это делают инженеры. Они не стремятся к полной строгости. В своих вычислениях они постоянно пренебрегают величинами, которыми, как им кажется, можно пренебречь без ущерба для результатов, и основывают свое убеждение на предыдущем опыте или, может быть, просто на интуиции. Физик, работающий с Q-числами, должен развить аналогичную интуицию в отношении того, чем можно пренебречь.

Используя в квантовой электродинамике гейзенбергово представление, можно попытаться решить уравнения методом теории возмущений, аналогичным тому, который был использован для уравнения Шредингера, и разложить все величины по степеням е1 /Нс. Мы получим решение в виде суммы бесконечного числа слагаемых, которые снова соответствуют фейн- мановым диаграммам и содержат те же расходящиеся интегралы. Вычисления во многом аналогичны тем, которые проводятся в представлении Шредингера, но существенная разница состоит в том, что слагаемые, соответствующие v-v диаграммам, более не возникают.

Причина этого в том, что если в гейзенберговом представлении мы начинаем с нуля, то он так и остается нулем, но если мы задаем в начальный момент вакуум в представлении Шредингера, он не остается вакуумом. Таким образом, в гейзенберговом представлении удается избежать главных трудностей шредингерова представления. Остающиеся трудности — расходящиеся интегралы в отличных от v—v членах — можно преодолеть с помощью предельных процессов, включающих перенормировку.

Теперь видно, что если мы желаем построить логичную квантовую электродинамику, нам следует работать исключительно с Q-числами в гейзенберговом представлении. Все ссылки на шредингеровы волновые функции должны быть вырезаны как гниль. Шредингеровы волновые функции включают связанные с v-v диаграммами Фейнмана на бесконечности, которые разбивают всякую надежду на логику.

Решение гейзенберговых уравнений движения

Можно рассматривать два типа решений.

Можно решить уравнение （1） непосредственно и получить и как функцию времени t и констант движения, которые назовем а. Конечно, эти а являются Q-числами п da/dt = 0. В какой-то стандартный момент времени to константы а могут совпадать с q и р или могут быть другими константами.

Если рассматривать этот метод в рамках релятивистской теории, он выглядит следующим образом. Берем полевую величину F（力）в произвольной точке пространства-времени 力о）力，力2〉力з и выражаем ее через константы движения и четыре параметра х. Константы движения являются q-числами. Возникает вопрос, как их следует выбирать? Имеются две интересные возможности.

I-а. Можно выбрать эти константы как полевые величины в некоторый стандартный момент времени t（）.

I-б. Можно принять эти константы равными входящим {или исходящим） полям.

Выбор I-а имеет то преимущество, что известны простые коммутационные соотношения между константами движения, в то время как преимущество выбора I-б состоит в том, что он приводит к явно релятивистским решениям. В случае выбора I-б коммутационные соотношения между входящими полевыми величинами нужно вычислять путем последовательных приближений.

Можно найти такое q-число К）явно зависящее от времени, а также зависящее от гейзенберговых динамических переменных, которое будет

константой движения. В этом случае К удовлетворяет уравнению

ihdK/dt = ihdK/dt + KH-HK = Q.(15)

В релятивистской теории К будет включать полевые величины, заданные в момент времени 力о для всех 力，力2,力з, а также зависеть от 力о явно.

В случае II, как и в случае I-а, результат не будет явно ковариантным. Преимущество выбора II по сравнению с I-а состоит в том, что в решение входит только одна временная переменная. В случае I-а есть два времени — время в точке, где задано поле, и стандартное время 力().Выбор II имеет еще и то преимущество, что в поисках простого интеграла гей- зенберговых уравнений можно придти к физически значимой величине, например, оператору одновременного рождения в определенный момент времени частицы и связанных с ней окружающих частиц.

Я обнаружил, что выбор II является наиболее удобным методом работы, несмотря на отсутствие явной ковариантности. Этот метод можно сформулировать в рамках представления взаимодействия, аналогичного известному представлению взаимодействия в шредингеровой картине.

Пусть гамильтониан имеет вид

Я = Яо + V,

где Hq — энергия отдельных электронов и собственная энергия электромагнитного поля, а V — энергия взаимодействия. Предположим, что каждое q-число £ преобразуется к новому q-числу gt по формуле

广=eiH0/h^e-iH0/fit

Существование унитарного оператора егН°^ не вызывает сомнений, так как Hq — достаточно простой оператор.

Явная зависимость gt от /;, конечно, отличается от этой зависимости у £. Связь между ними имеет вид

访嘗=e沮。优(访^ -碗+ e瓦)

Если выбрать £ как К из уравнения (15), то преобразованное К^ удовлетворяет уравнению

历也=俨川—(16) dt'丿

Единственная явная зависимость К^ от I вызвана взаимодействием.

Если считать V малым, то можно решить уравнение (16) по теории возмущений, положив

К^ = К^ + К1■⑴ + 小2) + ...

Тогда

dK^/dt = 0,(17)

ШдК^п+^/dt = AKtS) - K^V\ n = 0,l,2,...,(18)

откуда последовательными интегрированиями можно получить разные КМ^). Затем можно совершить обратное преобразование и найти разные

k⑺.Из уравнения （17） следует, что Kt（°）является динамической переменной в момент времени 力 не содержащей времени явно. Начав с любой такой величины к№）〉можно затем вычислить К^ и К.

Приложение к аномальному магнитному моменту и лэмбову сдвигу

Энергия взаимодействия между электронами и электромагнитным полем равна / A^F d?/. Чтобы вычислить аномальный магнитный момент, нужно предположить, что имеется статическое магнитное поле. Для вычисления лэмбова сдвига нужно предположить наличие статического электрического поля. Статические поля можно описать потенциалами, обозначаемыми 21 从,которые являются функциями 力］〉力2,力з, но не зависят от времени. Таким образом, потенциалы являются не динамическими переменными, а с-числами. Они приводят к появлению в гамильтониане дополнительного члена / 21 从 1y #х）который следует включить не в возмущение V, а в Hq.

В качестве рабочих динамических переменных возьмем фурье-компоненты А^^ 4^к электромагнитных потенциалов, определенных в каждый момент времени формулами

厶“ =/ {A/e—Mkx） + А^&кх）}歩瓦dA^x/dx. = i / \k\{A^k^ - ^k^}d?k,

где индекс ж в левой части означает совокупность 力，力2〉力з・ Введем также переменные ^п,⑺^, относящиеся к испусканию и поглощению электрона в статическом потенциале 21 从 с переходом в различные стационарные состояния.

Так как нас интересует одноэлектронная задача, мы выбираем в качестве Kt（°）оператор испускания электрона в некоторое состояние с положительной энергией ^. При таком выборе КТ（°）удовлетворяет уравнению （17）. Далее вычисляем К^^ и К^2\ Отсюда мы находим К* а следовательно и К, с точностью е1 /Нс.

Мы получили К как функцию рабочих динамических переменных 4从左, 4^k，⑺九）V^・ Они являются некоммутирующими величинами, т.е. q-числами, и поэтому форма К зависит от порядка расположения этих переменных. Чтобы получить стандартную форму 衣,мы должны в каждом члене К упорядочить q-числа в нормальном порядке. Мы предполагаем, в согласии с обычной практикой, что этот нормальный порядок состоит в расположении всех операторов испускания левее всех операторов поглощения. Операторами испускания являются 4从左 для всех 从,% для состояний с положительной энергией и ^п для состояний с отрицательной энергией.

Приведя К к стандартному виду, выделим в нем те члены, которые относятся к испусканию одного электрона и не содержат никаких других операторов испускания или поглощения. Мы обнаружим, что такие члены

кратны начальному оператору испускания ^*. Изменение коэффициента во времени фиксирует тогда энергию испущенного электрона. Мы находим, что К^ не дает никакой поправки к энергии, а К^ вносит поправку порядка i/方с

Подобным образом можно в представлении Гейзенберга вычислить изменение энергии электрона, вызванное возмущением / 4从^从 ^х. Результаты аналогичны тем, которые получаются с помощью обычных вычислений в представлении Шредингера с отбрасыванием v—v членов. Для свободного электрона имеется логарифмическая расходимость, которую можно устранить путем перенормировки массового параметра в гамильтониане. При вычислении лэмбова сдвига возникает дополнительная логарифмическая расходимость, которую можно устранить путем перенормировки параметра заряда в гамильтониане. Оставшиеся слагаемые приводят к обычным значениям аномального магнитного момента и лэмбова сдвига в порядке е2/Не.

Расчеты в гейзенберговом представлении вполне последовательны, за исключением возникновения бесконечностей, которые можно устранить путем перенормировки. Чтобы теория стала полностью последовательной, нужно обрезать высокоэнергетическую часть взаимодействия с тем, чтобы сделать 8т и де конечными. Поскольку расходимости только логарифмические, можно выбрать обрезание при достаточно большом значении энергии, скажем, порядка 109 эВ, что приводит к малому значению величин бт/т и де/е порядка 3%, так что их вполне обоснованно можно рассматривать как малые поправки.

Конечно, обрезание приводит к теории, которая не является релятивистской. Однако отклонение от лоренц-инвариантности становится серьезным только для процессов, происходящих при энергиях, сравнимых с энергией обрезания, а в любом случае нет оснований ожидать, что квантовая электродинамика точна при энергиях много больше 108 эВ, так как она пренебрегает мезонами и нейтрино. Таким образом, гамильтониан квантовой электродинамики неизбежно неполон, и обрезание не слишком сильно уменьшает область его применимости.

Физическая интерпретация

У нас есть уравнения квантовой электродинамики в гейзенберговом представлении. Чтобы получить полную физическую теорию, необходимо сформулировать какой-то общий способ их физической интерпретации. Обычная интерпретация квантовой механики включает шредингерову волновую функцию и не может быть использована. Нужно найти другую интерпретацию. Предыдущие вычисления аномального магнитного момента и лэмбова сдвига использовали для своей физической интерпретации некоторые специальные предположения, которые нам следует обобщить.

Важным свойством проведенных вычислений было нормальное упорядочивание различных множителей в каждом слагаемом. Нормальное упорядочивание q-числа становится существенным, когда это число умножается на кет-вектор «〉）так что каждый оператор поглощения в момент времени t дает после умножения на |0力〉нуль. Тогда при умножении q-чис-

ла на |0力〉выживают только те члены в нормально упорядоченном выражении, которые вообще не содержат операторов поглощения.

Можно считать, что кет-вектор |0力〉представляет вакуумное состояние в момент времени I. Это состояние относится к моменту времени t относительно определенной лоренцовской системы отсчета.В данной теории нет универсального вакуумного состояния. Конечно, кет-вектор |0力〉не удовлетворяет уравнению Шредингера.

Чтобы дать общую физическую интерпретацию теории, я выдвигаю два предположения.

Каждое физическое состояние соответствует q-числу К)являющемуся константой движения в представлении Гейзенберга. Величина К может быть выражена как функция динамических переменных в момент времени /; и самого времени t явно и удовлетворяет уравнению (15).

То, что можно наблюдать в момент времени t в состоянии, отвечающем К)определяется произведением К|0/. Таким образом, К выражается через операторы испускания и поглощения в момент времени t и приведен к нормальной форме, так что во что-то наблюдаемое вносят вклад только члены без операторов поглощения. Остальные члены в момент времени t не проявляются. Каждое слагаемое без операторов поглощения связано с определенными частицами в определенных состояниях. Можно предположить, что квадрат модуля коэффициента при операторах рождения является интенсивностью наблюдения этих частиц в момент времени t.

Я использую слово «интенсивность» вместо обычного термина «вероятность», поскольку эти величины нельзя нормировать. Если отнормировать их в один момент времени, они не останутся нормированными дальше. Эти величины связаны с вероятностями в том смысле, что если интенсивность равна нулю, то и соответствующая вероятность равна нулю, если интенсивность велика, то и вероятность велика. Я не могу в настоящее время сделать понятие интенсивности более определенным. Поэтому интерпретация квантовой механики в представлении Гейзенберга является довольно туманной.

Читателя может разочаровать теория, уравнения которой вполне определены, а физическая интерпретация неясна. Но если вы обратитесь к истории развития обычной квантовой механики, вы увидите, что уравнения возникали до их физической интерпретации. Как в теории Гейзенберга, так и в теории Шредингера первыми были написаны уравнения. Затем они были применены к ряду простых примеров, для которых не составляло труда угадать физическую интерпретацию. Потребовалось несколько лет и значительно число успешно рассмотренных примеров, прежде чем ученые пришли к полному пониманию соотношений неопределенностей и общей физической интерпретации. В данном случае переформулировки основных уравнений можно ожидать, что снова потребуется несколько лет исследований и ряд успешных примеров, прежде чем физическая интерпретация уравнений станет полностью ясной.

Предложенную выше интерпретацию в представлении Гейзенберга следует сравнить и сопоставить с обычной картиной в представлении Шредингера. Рассматриваемый сейчас кет-вектор |0力〉играет роль обычного вакуумного кет-вектора |0), с той разницей, что теперешний вектор зависит от времени, а обычный — нет. Величина К|0/ в данной теории соответствует обычной волновой функции в момент времени t. В соответствии

с обычными правилами обе эти величины определяют то, что наблюдаемо в момент времени I. Однако в противоположность волновой функции для К|0/ нет детерминизма. Значение К|0/ в момент времени t не определяет значения К|0；〉в момент времени，. Это можно продемонстрировать на простом примере. Мы можем выбрать К просто как оператор поглощения в определенный момент времени 力().Тогда К|0力о〉= 0. Но при t ^ to вполне можно иметь К|0/ 步 0. Таким образом, данная теория содержит значительно больше индетерминизма, чем обычная квантовая механика.

Калибровочная инвариантность

В электродинамике существуют некоторые ограничения на гамильтониан, связанные с калибровочной инвариантностью теории. В использованной выше в разделе об аномальном магнитном моменте и лэмбовом сдвиге фермиевской форме теории ограничения имеют вид

АтиIа岂開 7 о, справедливый во всех пространственно-временных точках. Они записаны как слабые уравнения, со знаком ^, поскольку их нельзя использовать свободно, как тождества. В классической теории их нельзя использовать внутри скобок Пуассона. В квантовой теории, в общем случае, их можно умножать на какие-то множители слева, но не справа.

Рассматривая гейзенбергово представление с такими ограничениями, вводят подмножество кет-векторов |Р), удовлетворяющих условию

дАти/дх^\Р) = 0

во всех пространственно-временных точках, и подмножество q-чисел, коммутирующих с дА^/дх^ во всех пространственно-временных точках. Эти кет-векторы и q-числа калибровочно-инвариантны. Они являются единственными физически значимыми величинами в теории.

Можно устранить из гамильтониана калибровочно-неинвариантные величины. Это так называемый переход к кулоновой калибровке. Переменные, описывающие продольные компоненты электромагнитного поля, исчезают из гамильтониана, и вместо них мы получаем кулонову энергию взаимодействия электронов. Преобразование можно осуществить без ссылок на представление Шредингера, так что оно применимо и в данной теории.

В нашем вычислении аномального магнитного момента и лэмбова сдвига мы начали с задания оператора Kt ⑼=не являющегося калибровочно-инвариантным и относящимся к испусканию голого электрона. Было бы лучше начинать с модифицированного калибровочно-инвариантного ^*, относящегося к испусканию электрона вместе с его кулоновым полем. Этот модифицированный оператор * можно определить так, как это сделано в моей работе ). Аналогично мы работали с калибровочнонеинвариантным кет-вектором |0力〉.Было бы лучше работать с модифицированным калибровочно-инвариантным кет-вектором, что более подходит для описания физического вакуума в момент времени t.

Вычисления с помощью этих калибровочно-инвариантных величин более сложны, так как в уравнениях возникает много новых членов. В порядке е?/%。эти члены — не того сорта, чтобы повлиять на энергию, так что результаты вычислений сохраняются. Однако, появление этих новых членов в уравнениях не вызывает удовлетворения, так как их физический смысл неясен.

Источник этих усложнений состоит в том, что, хотя наш полный гамильтониан калибровочно-инвариантен, мы разбили его на две части Hq и V, которые по отдельности калибровочно-неинвариантны, а затем предположили, что V мало. Не слишком хорошо строить технику теории возмущений, основываясь на предположении о малости величины / A^j^ d?力） которая калибровочно-неинвариантна. Однако из результатов видно, что для одно-электронных задач такое предположение работает. В двухэлектронных задачах, в которых важна кулонова сила, это предположение уже работать не будет.

Дальнейшее развитие теории требует лучшего понимания того, какие величины можно предполагать малыми.

Заключение

Данная теория, основанная на представлении Гейзенберга, тесно связана с обычной теорией, основанной на представлении Шредингера. В деталях расчетов в обеих теориях много общего. Однако есть фундаментальное различие, заключающееся в том, что данные вычисления логически следуют из определенных общих предположений относительно подходящего гамильтониана, в то время как предыдущие вычисления использовали рецепты без всякой логической связи между ними.

Представленное здесь рассмотрение квантовой электродинамики не поднимает целину. Оно вычищает гниль в старых основах, демонстрируя существенные хорошие свойства теории и позволяя избежать трудностей и ошибочной логики, возникающих в основном из-за использования неправильного представления. Все ослепительные успехи старой теории сохраняются.

Конечно, предложенное здесь развитие квантовой теории не следует рассматривать как принижение ценности работы Шредингера. Представление Шредингера очень хорошо для всех тех задач, в которых эффективно участвует только конечное число степеней свободы, например, задач, в которых электромагнитное взаимодействие можно представить кулоно- выми силами, и будет продолжать широко использоваться, так как оно проще и удобнее гейзенбергова представления. Но когда вы переходите к бесконечному числу степеней свободы, обнаруживается, что представление Шредингера неадекватно, а представление Гейзенберга имеет более фундаментальную справедливость.

46

ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ )

Введение. В квантовой электродинамике мы имеем дело с электронами и позитронами, взаимодействующими с электромагнитным полем. Когда к этой динамической системе применяется квантовая механика, из- за бесконечного числа степеней свободы возникают трудности, связанные с расходимостями. Для величин, которые должны быть конечными, получаются расходящиеся интегралы, и непосредственное применение обычных правил квантовой механики становится невозможным.

В течение долгого времени эти трудности препятствовали дальнейшему продвижению. Лэмб и другие открыли, что можно установить определенные правила для устранения бесконечностей из уравнений, причем остающееся конечное выражение будет соответствовать физическим эффектам. Таким образом удалось вычислить сдвиг спектральных линий водорода, так называемый лэмбов сдвиг, и поправку к магнитному моменту электрона — аномальный магнитный момент. Оказалось, что полученные результаты блестяще согласуются с экспериментом.

Разумеется, процедура вычислений с пренебрежением бесконечностями совершенно неприемлема с математической точки зрения. Пренебрегать можно только малыми величинами. Однако из-за очень хорошего согласия с опытом появляется подозрение, что в такой процедуре есть что-то от истины. Возникла задача так модифицировать процедуру вычислений, чтобы сделать ее логичной, сохранив в то же время полученные хорошие результаты.

Может показаться, что теория развивается по странному пути: сначала формулируются некоторые непоследовательные правила, дающие правильные ответы, а затем эти правила включаются в более логичную схему. Однако и развитие обычной квантовой механики происходило примерно таким же образом. Первоначальные уравнения Гейзенберга и Шредингера в свое время казались непоследовательными, но обнаружилось, что их можно с успехом использовать в задачах. Лишь постепенно были выработаны общие методы и найдена общая интерпретация этих уравнений. Может быть, это вообще наиболее практичный путь к математическому объяснению основных законов Природы: сначала добиться успеха, а затем, отталкиваясь от них, двигаться к более полному пониманию.

Возникновение бесконечностей. Легко построить гамильтониан квантовой электродинамики, выбирая его так, чтобы получить нужные полевые уравнения. Он имеет вид Н = Hq + Hq^ где Hq — сумма энер-

гий свободных электронов и позитронов и свободного электромагнитного поля, a Hq — энергия взаимодействия. Эта энергия имеет вид

8q = —е/ A^a^Sx.(1)

Здесь, в соответствии с теорией вторичного квантования, полевые величины А, Ф, Ф выражаются через операторы рождения и уничтожения частиц. Пусть символы С и О обозначают соответственно операторы рождения и уничтожения. Поле Ф содержит уничтожение электронов и рождение позитронов:

田=〉］°е1 +〉］ Cpos〉

а Ф — рождение электронов и уничтожение позитронов:

田=〉］+〉］ 0Pos・

Поперечная часть поля А выражается через операторы рождения и уничтожения фотонов:

4г =〉］ Cph +〉］ Oph・

Можно ввести состояние, не содержащее частиц, и представить его кет- вектором |0). Такое состояние удовлетворяет условиям

All。〉= о, DposlO) = 0, OphlO〉= 0.(2)

Чтобы быть физически допустимым состоянием, оно должно удовлетворять также дополнительным условиям

(34/3力从)10)= 0.(3)

Эти условия относятся к продольной части поля А. Условия (2) и (3) вместе достаточны для определения этого состояния.

Рассмотрим результат применения оператора Hq к состоянию |0), т.е. Hq\O). Из формулы (1) видно, что Hq является суммой членов, каждый из которых есть произведение трех множителей типа С или D. Если среди этих множителей есть хоть один типа D, то этот член обращает состояние |0) в нуль. Однако если все три множителя будут типа то мы получим неисчезающий член CeiCposCphl。〉〉соответствующий состоянию, в котором одновременно рождаются электрон, позитрон и фотон.

В результате таких процессов состояние без частиц перестает быть состоянием без частиц, значит, оно нестационарно и, следовательно, не является вакуумным состоянием. Нам приходится отказаться от обычной картины вакуума как состояния, не содержащего частиц.

Теорию, описывающую переходы в квантовой механике, можно применить, чтобы вычислить скорость процесса одновременного рождения электрона, позитрона и фотона. Результат получится бесконечно большим. Таким образом, уравнение Шредингера с начальным состоянием |0) не имеет решения. Теория здесь терпит крах.

С физической точки зрения это не должно нас удивлять. Бесконечность обусловлена процессами при высокой энергии. Между тем в области высоких энергий квантовая электродинамика не замкнута. Здесь в игру

вступают другие частицы, и в соответствии с этим оператор Hq следовало бы модифицировать для высоких энергий. У нас еще нет достаточной информации об этих других частицах, чтобы решить, как надо модифицировать Hq , но причину неудачи современной теории следует искать именно в этом.

Нам надо удовлетвориться попыткой построить квантовую электродинамику, которая была бы применима к области низких энергий. Так как неизвестно, как следует модифицировать Hq для высоких энергий, лучшее, что мы можем сделать, это обрезать в этом операторе члены, соответствующие высоким энергиям.

Обрезание. Идея обрезания в математике носит весьма общий характер. Если надо просуммировать ряд, который не обладает абсолютной сходимостью, то мы можем получать различные результаты, суммируя его различными способами. Различные способы суммирования отвечают разным типам обрезания. Обрезание — это просто прием, позволяющий заменить бесконечный ряд конечной суммой, и прием такого рода всегда необходим, если нет абсолютной сходимости. Вместо сумм можно работать с интегралами, и тогда будут применимы те же соображения.

В этих математических примерах мы выбираем метод обрезания, а затем отодвигаем верхнюю границу все дальше и дальше, чтобы найти предел суммы или интеграла на бесконечности. В физической теории мы также могли бы отодвигать верхнюю границу все дальше и дальше, чтобы получить предел. Но бывает и так, что верхняя граница не может быть большой, если мы хотим сохранить ее физический смысл. Это означало бы, что теория носит временный характер, и обрезание нужно из-за того, что нам неизвестны члены более высокого порядка. Такое ограниченное обрезание довольно некрасиво, однако может оказаться неизбежным, когда мы имеем дело с незамкнутой физической теорией. В квантовой электродинамике мы не можем сделать верхний предел бесконечно большим, его следует положить равным какой-то определенной энергии, которую мы обозначим g. Это энергия, при которой становится существенным вклад других частиц; можно считать, что она порядка нескольких сотен мегаэлектрон-вольт. Такое обрезание нарушает релятивистскую инвариантность теории, но этот порок неизбежен на современном этапе развития физики. Мы не знаем, на каком уровне следует выбирать параметр д и как следует вводить обрезание. При таких условиях можно придавать смысл только тем вычислениям, которые не чувствительны к обрезанию.

Вакуумное состояние. Если обрезание выбрано, то уравнение Шредингера с начальным состоянием |0) будет иметь решение. Однако такое решение будет весьма чувствительно к обрезанию, так что и этот путь бесполезен. Кет-вектор |0) не будет постоянным даже приближенно. Следовательно, его нельзя рассматривать как приближение для вакуумного состояния. Вакуум должен быть стационарным состоянием, поэтому его надо описывать кет-вектором |V), который удовлетворяет уравнению

(HQ + HQ)\V) = a\V^

где s — некоторое число. Вакуум — стационарное состояние с низшей энергией, поэтому он соответствует решению с минимальным возможным а. Можно предположить, что вакуум представляется в виде

1П = Фо|О),

где Фо — некоторый степенной ряд по операторам рождения С. Вакуум содержит много частиц в связи с высокочастотными флуктуациями. Вероятность того, что в данном состоянии присутствует определенное число частиц, определяется квадратом модуля соответствующего коэффициента в 田0〉в соответствии со стандартной физической интерпретацией квантовой механики.

Для вычисления оператора Фо нельзя использовать теорию возмущений, так как энергия взаимодействия Hq слишком велика. В настоящее время нет даже приближенного метода вычисления Фо- Во всяком случае, такое вычисление не принесло бы особой пользы, так как результат сильно зависел бы от обрезания. Мы не в состоянии вычислить вакуумное состояние, но с физической точки зрения это, к счастью, не нужно. В вакуумном состоянии нечего наблюдать, и физика интересуют прежде всего отклонения от него. Такие состояния будут обозначаться K\V).

Картина Гейзенберга. В квантовой электродинамике уравнение Шредингера бесполезно, так как его решения чувствительны к обрезанию. В рамках картины Гейзенберга можно вычислять величины, не чувствительные к обрезанию. При этом удается обойти трудности с флуктуациями вакуума. В картине Гейзенберга каждое состояние описывается постоянным кет-вектором. В частности, кет-вектор вакуума | V) постоянен. Кет- вектор K\V) может описывать состояние, если оператор К не зависит от времени:

dK/dt = 0, или 访 dK/dt + КН — НК = 0) (4)

где К рассматривается как функция времени t и динамических переменных системы, взятых в момент t. Всякий оператор К)удовлетворяющий этому уравнению, определяет некоторое состояние. Два оператора Ki и К2)для которых K\\V}=衣2丨『〉〉определяют одно и то же состояние. Однако, так как кет-вектор | V) нам неизвестен, мы не можем учесть это обстоятельство и должны перечислить все возможные К)как если бы они определяли различные состояния. Таким образом, мы пришли к тому, что в квантовой электродинамике состояния задаются линейными операторами, в отличие от обычного подхода, когда состояния задаются кет- векторами.

Для решения уравнения (4) можно воспользоваться теорией возмущений, считая Hq малым. Прежде всего перейдем к представлению взаимодействия, полагая

К* = exp(iHQt/К)К exp{-iH^t/K).

что дает

ihdKydt + К*К$ - 8$К* = 0.(5)

Положим далее

К^ = К^ + К{ + К^ + ..., где последовательные члены имеют различные порядки малости. В результате

а屛/出=о,(6)

ihdK^/dt = я^С-i - U—i»3 п>о.(7)

Из уравнения (6) следует, что Kq не имеет явной зависимости от t. При заданном выборе К。другие члены ряда определяются интегрированием уравнений ⑺.

В задачах о лэмбовом сдвиге и об аномальном магнитном моменте электрона нас интересует энергия отдельного электрона в статическом электрическом или магнитном поле. Поэтому К^ нужно взять в виде оператора рождения электрона в статическом поле. Затем последовательно вычисляются операторы К； и К^.

Нормальный порядок. При вычислении динамической переменной типа К)в которую входят некоммутирующие величины, результат имеет различный вид в зависимости от порядка входящих в каждый член некоммутирующих сомножителей. Для того чтобы получать определенные числовые коэффициенты и иметь возможность давать результату четкую физическую интерпретацию, необходимо установить некоторый стандартный способ упорядочивания множителей. Пренебрежем динамическими переменными, связанными с продольными составляющими поля А, так как их присутствие только усложнит вывод, не меняя ничего по существу. Тогда нашими динамическими переменными будут операторы типа С и D. Как оказалось, для того чтобы получить правильные результаты для лэмбова сдвига и аномального магнитного момента, мы должны в каждом члене так упорядочить операторы, чтобы все операторы С стояли левее всех D. Это называется нормальным упорядочиванием. Если в решении уравнений движения Гейзенберга принято нормальное упорядочивание, то детали вычислений близки к соответствующим вычислениям в картине Шредингера, если пренебречь бесконечностями, и эта аналогия приводит к тому, что оба подхода дают одни и те же результаты для лэмбова сдвига и аномального магнитного момента электрона.

При нормальном упорядочивании один из членов в К^ представляет собой исходный оператор К^ умноженный на некий коэффициент. Этот член соответствует изменению энергии рождаемого электрона, а коэффициент при нем непосредственно дает лэмбов сдвиг или аномальный магнитный момент. Результат не зависит от обрезания, хотя обрезание, пусть и не слишком большое, все же требуется, чтобы не лишать смысла дальнейшие вычисления.

Эти вычисления в картине Гейзенберга целиком следуют из стандартной квантовой теории, за исключением одного предположения, а именно нормального упорядочивания. Это предположение существенно для получения результата, и надо попытаться понять его физический смысл.

Физическая интерпретация. В картине Гейзенберга кет-вектор |0) изменяется со временем, поэтому его следует записывать в виде Q〉. Он определяется уравнением О力 10力〉=0, где О力一оператор уничтожения в представлении Гейзенберга, взятый в момент времени t.

Нормальное упорядочивание становится существенным для динамической переменной К)когда мы применяем оператор。力 к кет-вектору |0力〉. При этом единственные неисчезающие члены в кет-векторе KQ〉порождаются членами в К)которые не содержат операторов уничтожения. Они будут иметь вид

KQ〉= %(C)Q〉，

где Ф1 — некоторый ряд по операторам рождения.

Если следовать общепринятым принципам квантовой механики, то оператор К надо применять к кет-вектору |У), а не к |0力〉，и в результате получится

К|『〉=КЗо(С)|О。= К32(С)|М〉，

где 田2 ——некоторый новый степенной ряд по операторам рождения. При этом квадраты модулей коэффициентов в ряде Ф2 можно интерпретировать как вероятности существования различных частиц в момент времени I. Это частицы, существующие в вакууме, определяемом рядом Фо? из которого убраны одни частицы и добавлены другие. Однако в этой интерпретации не используется нормальное упорядочивание в операторе К)и мы не можем никак его использовать, потому что не знаем Фо-

Очевидно, приходится умножить К на |0力〉.Кет-вектор |0力〉можно рассматривать как некую часть | V) за вычетом вакуумных флуктуации. Можно сказать, что умножая К на |0携 мы исключаем или сглаживаем вакуумные флуктуации, т.е. прибегаем к процедуре, которую должны использовать, если эти флуктуации нам неизвестны.

Теперь представляется естественным все время работать с кет-векто- ром |0) вместо K\V) и интерпретировать квадраты модулей коэффициентов в ряде Ф1 как вероятности существования различных частиц в момент & в соответствии с обычными правилами, которые в стандартной интерпретации применяются к ряду 屯2・ Таким образом, мы получаем общую физическую интерпретацию для квантовой электродинамики (а может быть, и для других квантовых теорий поля), которая несколько отлична от общепринятой. Эту интерпретацию можно назвать примитивно^ так как она упрощает формализм, убирая вакуумные флуктуации.

Здесь надо принять во внимание одну новую особенность. Нормировка кет-вектора К|0力〉не сохраняется во времени. При вычислении вероятностей эта нормировка должна каждый раз вычисляться отдельно.

Дальнейшее развитие. Если мы принимаем примитивную интерпретацию, то еще остаются некоторые трудности, связанные с дальнейшим развитием квантовой электродинамики. Можно применить теорию возмущений к решению уравнений движения Гейзенберга, в которых в качестве Kq принят оператор рождения фотона. Тогда оказывается, что в К^ после нормального упорядочивания содержится член, отвечающий массе фотона. Более того, этот член велик, порядка ^2.

Разумеется, у фотона нет массы. Поэтому необходимо модифицировать гамильтониан, введя туда контрчлен, чтобы избавиться от этой массы. Такой контрчлен будет иметь порядок ^2, так что его нельзя считать малым, и это нарушит всю принятую нами технику теории возмущений.

Мы встречаемся здесь с неразрешимой трудностью, которая, вероятно, в наибольшей степени побуждает придерживаться логического подхода к квантовой электродинамике. Так как эта проблема возникает уже при совсем малых энергиях, требуется, по-видимому, довольно фундаментальное изменение теории.

47

ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ)

76. Шредингеровы динамические переменные

В качестве основы теории, учитывающей взаимодействие, мы должны использовать шредингеровы динамические переменные, заданные в определенный момент времени [1]. Взаимосвязи между такими переменными в один и то же момент времени, т.е. соответствующие СП, не зависят от введения взаимодействия. В то же время взаимосвязи между шрединге- ровыми переменными в различные моменты времени, включая уравнения поля, а также СП таких переменных, очень существенно зависят от наличия взаимодействия. Шредингеровы переменные в фиксированный момент времени соответствуют нерелятивистской концепции, но она представляет собой важнейшую концепцию гамильтоновой теории [2].

Независимыми динамическими переменными в определенный момент времени в случае электромагнитного поля служат 4从 и дА^/дх^ при любых значениях 力i)力2〉力з и фиксированном значении xq. Высшие производные по времени d2A^/dx^ ... не являются независимыми. Положим

8从=件・ (29)

Тогда 4从х〉8从х с индексом х, обозначающим Ж1,力2〉力3〉будут шредингеро- выми переменными в определенный момент времени. Разложение Фурье этих переменных имеет, согласно (3) и ⑼)вид

广 卜 (30)

B^ = i J k)£T(kx) d3k

Преобразование Фурье можно обратить и выразить величины 4从к + 厶从,一к и 4从к — 4也一к через Л^х и В^х соответственно. Таким образом, величины 4从к и 4从к определяются значениями Л^х и В^х при всех значениях х (и при фиксированном 力о). Соотношения, связывающие А^^ 4从к с Л^х, 8从х не содержат времени явно. Тем самым величины А^^ 4从к составляют альтернативную совокупность шредингеровых динамических переменных, равноправную с совокупностью Л^х, В^х.

Qu.aritu.ir] mecrKiriics nuiy be definecl as th匕 application. tjfiqn“tionr 3f motion to atomic particles. It was first shown that atomic particles are sn'ljject to e（.juation.s of motion when Bohr set up his tli.eo.r\r（）f tin* liydr（）geii atom. 'I'1 lie big develupm巳nt was. rnade when H切占匕nbri& discovered the need for iion-commntati ve multiplication. Thi domain «И' ajjplicul.）i]ity of t lie theory is mainl\- the trea.tment of electrons and. other charged particSx interacting with 111e eIectroma-g11ctiс Iie 1（ a. domain which includes most of low-energy pliysics and chemistry.

No*v tkierc are other kinds of interactions, which are reveah?（l in riigli-energy physics and are in.rp（）rtajit for the desci'i],）t.ion of（；Lt..oniic huuIci. Tiiest* int（TMClitjii8 a.re not at present, sufficient 1\= well u.iider- stood to be iiicurporated into a system of cqua..lion.8 of." motion. Theories of tliem have been set up and much developed and useful re suits obtained from tliem. But in the absence of equations of motion tiiese theories cannot be presented as a 1 ogical developmei11 of thB principles set up in this book,. We атв effectively in the pre-Bohr 匕飞 with regard to these other interactions.

It is to lie hop6d that with increasing knowledge a way will eventual l^y be found for adapting the higlp-energy theories into a scheme leased on equations of motion, and so unifying them with tho^e of low-erierg}^ physics.

Последняя страница 4-го исправленногоиздания монографии П.А.М. Дирака«Принципы квантовой механики»

Физические переменные

В качестве гамильтониана теории мы можем использовать вместо Н оператор Н* [3]. Это приведет к тому же уравнению Шредингера для физического кет-вектора, поскольку если |Р) представляет физическое состояние, то

Я*|Р) = Н\Р).

Аналогично это приведет к тем же самым гейзенберговым уравнениям движения для физических переменных, поскольку если £ — физическая переменная, то

Тем самым по отношению к физическим величинам Н* и Н — эквивалентные гамильтонианы, а все остальное не имеет существенного значения.

Оператор Н* содержит только физические переменные. Переменные, относящиеся к продольным компонентам электромагнитного поля, в него не входят. Вместо них в формуле (114) присутствует последнее слагаемое, представляющее собой в точности энергию взаимодействия любых присутствующих зарядов. Появление подобного слагаемого в релятивистской теории выглядит довольно странно, поскольку соответствующая энергия ассоциируется с мгновенным распространением взаимодействия. Оно появилось в результате проведенного нами многоэтапного преобразования теории от исходной гейзенберговой формы, в которой релятивистская инвариантность теории была явной.

Можно было бы построить некоторое представление, взяв в качестве стандартного кет-вектора произведение двух стандартных кет-векторов: определенного формулами (61) и (62) кет-вектора |0尸〉для электромагнитного поля и определенного формулой (74) кет-вектора |0р) для электронов и позитронов самих по себе. Это представление, однако, не будет удобным, поскольку его стандартный кет-вектор не удовлетворяет второму из дополнительных условий (107).

Более удобное представление получится, если взять за основу другой стандартный кет-вектор |Q〉)удовлетворяющий условиям

(Во + 4J)|Q〉= 0, (divS - 4tt%)|Q〉= 0, (115) 行『klQ〉= о,京 p|Q〉= 0, CpIQ〉= 0. (116)

Эти условия совместны, поскольку все операторы, действующие в них на кет-вектор |Q〉)коммутируют или антикоммутируют друг с другом. Кроме того, число таких условий достаточно для определения кет-вектора |Q〉 с точностью до численного множителя, так как это число равно числу условий, налагаемых на произведение |0р〉|0р〉・ Соотношения (115) показывают, что кет-вектор \Q) удовлетворяет дополнительным условиям и, следовательно, представляет физическое состояние. Соотношения же (116) показывают, что кет-вектор \Q) представляет состояние, в котором фотоны, электроны и позитроны отсутствуют.

Любой кет-вектор |Р), который удовлетворяет дополнительным условиям (107) и, тем самым, представляет физическое состояние, может быть получен путем умножения некоторой физической переменной на кет- вектор \Q). Единственными независимыми физическими переменными,

дающими при действии на кет-вектор |Q〉отличный от нуля результат, являются 〃匕 霖р〉Ср- Следовательно, имеем

|р)= ф«кЛ：Р,аР)|д).(117)

Таким образом, кет-вектор \Р) представляется волновым функционалом Ф, содержащим переменные ^г^ ^*р, ^*р. Этот функционал имеет вид степенного ряда по указанным переменным, причем различные члены в нем соответствуют наличию различных чисел фотонов, электронов и позитронов вместе с кулоновым полем вокруг электронов и позитронов.

Если исходить из представления (117) совместно с гамильтонианом Н*) то мы будем иметь дело с такой формой теории, в которой условие (115) можно проигнорировать, поскольку на кет-векторы (117) они не влияют. Однако условие (116) следует сохранить. Тогда продольные компоненты электромагнитного поля больше в теории не появятся.

Интерпретация

Представленное изложение содержит основные уравнения квантовой электродинамики [4]. Существуют две формы этой теории, исходящие из гамильтонианов Н и Н* соответственно. Теперь нам необходимо рассмотреть интерпретацию и приложения данной теории. Для определенности выберем форму теории с гамильтонианом Н*. Аргументация при этом в существенном будет той же, что и в форме теории с гамильтонианом Н.

Стандартный кет-вектор \Q) представляет состояние, в котором нет ни фотонов, ни электронов, ни позитронов. Можно было бы думать, что это состояние является абсолютным вакуумом. Однако этого не может быть, поскольку оно не является стационарным. Если бы оно было стационарным, должно было бы выполняться равенство

H^\Q} = C\Q},

где О — число. Но оператор Н* содержит члены

—е / 2**@т必Г/ф* #х + ； [[「зох； #х #х\(118)

которые при действии на кет-вектор \Q) не дают числовых множителей и поэтому нарушают стационарный характер кет-вектора |Q〉.

Напомним, что состояние Q, представленное кет-вектором |Q), — это состояние без частиц в фиксированный момент времени. Если начать рассмотрение с такого состояния, то со временем оно без частиц не останется. Частицы начнут рождаться там, где их не было, а их энергия будет определяться частью гамильтониана, ответственной за взаимодействие.

Чтобы исследовать спонтанное рождение частиц, следует выбрать в качестве исходного кет-вектора в шредингеровой картине кет-вектор \Q} и рассмотреть слагаемые, входящие в формулу (118), как возмущение. Благодаря ему появляются отличные от нуля вероятности перехода из состояния Q в какое-либо другое состояние в согласии с теорией, изложенной в

п. 44. Разложение в интеграл Фурье первого слагаемого в выражении (118) содержит часть

-еЫаЪ II "ZGp鼠p+k/id3kdЗр (119)

вызывающую переходы с испусканием фотона и одновременным рождением элетрон-позитронной пары. Спустя короткий промежуток времени вероятность перехода будет пропорциональна квадрату длины кет-вектора, полученного при умножении (120) на исходный кет-вектор \Q). Результат умножения таков:

e2(^-r)ab(as)cd jjjj{Q\^^^h^bp^r^^S^lp'C^^ d3kd3pd3kf d3pf = =e2(ar)ai,(as)cd jjjj〈QI访“％ 加i］胤p£p〃 +應,p+k勿 Qp—k/zJ + IQ〉*

x d3kd3p d3kf d3pf.

Пользуясь выражениями для СП и антикоммутаторов (4), (16), (72), (73), получим подынтегральное выражение, которое для больших значений к и к' будет зависеть от переменных к, к' по закону |к|-15(к — к'). Это приведет к расходящемуся интегралу, так что вероятность такого перехода бесконечна.

Разложение в интеграл Фурье второго слагаемого в выражении (118) содержит выражения типа Е"怎＞%&+р—р〃〉приводящие к переходам с одновременным рождением двух электрон-позитронных пар. Вероятность такого перехода можно рассчитать, как и выше, и она опять оказывается бесконечной. Из этих вычислений можно заключить, что состояние Q нельзя считать стационарным даже приближенно.

Теория, приводящая к бесконечным значениям вероятностей переходов, разумеется, не может быть правильной. Тем самым приходится заключить, что с квантовой электродинамикой не все в порядке. Этот результат не должен нас смущать, ибо квантовая электродинамика не обеспечивает полное описание Природы. Из опыта мы знаем, что существуют и другие сорта элементарных частиц, которые способны рождаться, когда становится возможным обмен большими порциями энергии. Все, что можно было бы ожидать от квантовой электродинамики, — быть теорией, справедливой для процессов, в которых не выделяется достаточно много энергии, чтобы проявилась способность к рождению в подходящем количестве всех этих других частиц, скажем, до энергий порядка несколько сотен МэВ. Тем самым часть энергии взаимодействия (118), отвечающая высоким энергиям, совершенно ненадежна. Но именно эта высокоэнергетическая часть ответственна за появление расходимостей.

Таким образом, проблема состоит в том, чтобы модифицировать эту высокоэнергетическую часть взаимодействия. В данный момент не существует сколько-нибудь основательной теории, описывающей другие элементарные частицы, и поэтому невозможно предугадать, как следует провести подобную модификацию. Поэтому самое лучшее, что можно сделать, — это исключить область высоких энергий из теории в целом, и таким образом устранить из нее расходимости. Точная форма процедуры обрезания по энергиям и само значение энергии, которое позволяет

ее осуществить, остаются при этом неконкретизированными. Разумеется, процедура обрезания нарушает релятивистскую инвариантность теории. Этого недостатка нельзя избежать на нынешней стадии, когда приходится игнорировать процессы, происходящие при высоких энергиях [5].

Даже при использовании процедуры обрезания по энергиям состояние 0 не содержащее частиц вообще, приближенно нестационарно. По этой причине, оно очень сильно отличается от вакуумного состояния. Вакуумное состояние должно содержать множество частиц, и его можно представить как состояние их мимолетного существования с бесконечными флуктуациями.

Чтобы представить себе вакуумное состояние, введем кет-вектор \V). Он имеет смысл собственного кет-вектора гамильтониана Н*)соответствующего наинизшему значению энергии. Здесь и ниже под оператором Н* будем подразумевать выражение (114), модифицированное с учетом обрезания. Можно было бы попытаться вычислить кет-вектор \V} как некое возмущение кет-вектора \Q). Однако такой подход имел бы сомнительную ценность, поскольку различие между кет-векторами \V} и |Q〉весьма существенно. Сколько-нибудь удовлетворительный способ вычислении кет-вектора \V) не известен. В любом случае результат должен сильно зависеть от обрезания, и поскольку величина обрезания не фиксирована, вычисление не должно приводить к определенному ответу.

Отсюда следует, что нам придется развивать теорию в условиях, когда кет-вектор \V) не известен. Это не очень большая беда, поскольку вакуумным состоянием мы не очень-то интересуемся. Главным образом нас интересуют состояния, которые отличаются от вакуума тем, что в них присутствуют несколько частиц помимо тех, что связаны с вакуумными флуктуациями. При этом мы хотели бы знать, как ведут себя эти дополнительные частицы. С этой целью мы сконцентрируем внимание на операторе К)описывающем рождение таких дополнительных частиц. В итоге состояние, которое нас будет интересовать впредь, имеет вид K\V).

Нам неизвестно, как изменяется со временем кет-вектор \V} в шре- дингеровой картине, поскольку мы не знаем, чему равно наинизшее собственное значение оператора Н*. Чтобы обойти эту трудность, мы отдаем предпочтение гейзенберговой картине, в которой кет-вектор \V} постоянен. Поэтому мы потребуем, чтобы кет-вектор K\V) представлял другое состояние в гейзенберговой картине и, тем самым, был другим постоянным кет-вектором. Это приводит к условию

dK/dt = 0. (120)

Обычно оператор К зависит от времени явно и, кроме того, зависит от динамических переменных, так что из условия (120) следует уравнение

ihdK/dt + КН* - Н*К = 0. (121)

Теперь каждое физическое состояние определяется решением уравнений (120) или (121) для оператора К. Этот результат получен нами без использования какой-либо информацию о кет-векторе \V). Поэтому вполне возможно продолжать изучение оператора К)не зная кет-вектора \V). Единственная информация, которую мы могли бы получить об операторе К)если бы нам был известен кет-вектор |V), состояла бы в следующем. Два оператора К)скажем К] и М〉соответствуют одному и тому же со-

стоянию, если выполняется соотношение

(К1-k2)旧)=0.

Однако мы можем обойтись без дополнительной информации и рассчитать выражения для всех операторов К)удовлетворяющих уравнению (121) и соответствующих различным состояниям.

Таким образом, мы подошли к коренному изменению одного из фундаментальных концепций квантовой механики, а именно к представлению состояния с помощью линейного оператора^ а не с помощью кет-вектора [6]. Это изменение обусловлено трудностями применения квантовой механики к полю и нашим стремлением к исключению из анализа процессов при высоких энергиях.

Тривиальное решение уравнений (120) или (121) имеет вид К = 1)что очевидно соответствует вакуумному состоянию.

Общее решение этих уравнений должно представлять собой явную функцию t и динамических переменных в тот же момент времени t. Для обозначения всех операторов рождения в момент времени t будем использовать символ 〃加 Иначе говоря, символ 〃力 обозначает одну из переменных 必匕 £р)徹р в момент времени t в гейзенберговой картине. Соответствующие операторы уничтожения обозначим через 勿.Тогда общее решение уравнения (121) можно записать как

K^fit^t). (122)

Нам потребуется новая физическая интерпретация состояния, представленного таким оператором К)поскольку обычная физическая интерпретация, принятая для него в квантовой механике и требующая, чтобы любое состояние было представлено кет-вектором, более не годится. Для этого придется сделать кое-какие новые предположения.

Переходя к гейзенберговой картине, мы вводим в каждый момент времени t кет-вектор \Qt)^ удовлетворяющий условиям (116) относительно гейзенберговых динамических переменных в тот же момент времени. Теперь эти условия можно записать в виде

勿 IQ» = 0.

Кет-вектор |QQ соответствует тому, что в момент времени t никаких частиц в рассматриваемом состоянии нет, так что он может служить стандартным кет-вектором при рассмотрении произвольных состояний в момент времени t.

Для любого состояния, фиксированного решением К уравнения (121), образуем кет-вектор K\Qt) и предположим, что этот кет-вектор определяет^ что именно можно наблюдать в момент времени & а затем интерпретировать результаты согласно стандартным правилам. Мы получим оператор К в виде (122) и затем перестроим его так, чтобы в каждом члене все операторы уничтожения 勿 находились бы правее всех операторов рождения 农 Принято говорить, что тем самым оператор записан в нормальной форме. В этом случае любой член в операторе К)содержащий оператор уничтожения, не дает вклада в кет-вектор K|Q力〉.Сохранившиеся члены в кет-векторе K|Q力〉будут содержать только операторы рождения, как например (117). Каждый из оставшихся членов можно ассоциировать

с наличием некоторых частиц в специфических состояниях. Предполагается, что квадрат модуля соответствующего коэффициента (с подходящими множителями п!), если в одном и том же состоянии присутствует более, чем один бозон, после соответствующей нормировки имеет смысл вероятности существования этих частиц в данных специфических состояниях в момент времени t.

Теперь мы располагаем общим методом физической интерпретации, весьма сходным с обычным, но имеющим от него важные отличия. Любой член в операторе К)содержащий оператор уничтожения справа, не будет давать вклад в кет-вектор K\Qt} и тем самым сказываться на любой наблюдаемой в момент времени t. Можно было бы назвать его «скрытым» членом в момент времени t. Однако подобный член исключить совсем как несущественный нельзя, ибо он может давать вклады в наблюдаемые эффекты в другие моменты времени. Такие «скрытые» члены представляют собой качественно новую особенность рассматриваемой теории и могут быть истолкованы как свидетельство неполноты описания состояния с помощью только тех частиц, присутствие которых явно наблюдается в нем в определенный момент времени.

Вследствие наличия «скрытых» членов кет-вектор K\Qt)^ будучи нормирован в какой-то один момент времени, обычно не будет нормирован в другие моменты времени. Тем самым, чтобы иметь дело с вероятностями, необходимо осуществлять нормировку в каждый момент времени по отдельности.

82・ Приложения

Существуют два важных приложения представленной теории [7]. В ее рамках удается рассчитать некоторые эффекты, которые нельзя получить в более примитивной теории. Эти приложения относятся к описанию поведения одиночного электрона, находящегося в постоянных электрическом или магнитном полях. Вследствие взаимодействия электрона с электромагнитным полем его уровни энергии оказываются слегка отличными от тех значений, что удается получить из элементарной теории. Эти важные случаи таковы.

Электрон в кулоновом поле протона. Данная теория приводит к сдвигу уровней энергии атома водорода. После открытия на опыте он был назван лэмбовым сдвигом.

Электрон в однородном магнитном поле. Здесь дополнительная энергия интерпретируется как результат появления у электрона дополнительного магнитного момента, названного аномальным магнитным моментом.

Чтобы учесть наличие постоянного поля, достаточно просто ввести для его описания соответствующие потенциалы и добавить их к тем потенциалам, что входят в гамильтониан. Потенциалы статического поля зависят только от координат 力^ 力2〉力з・ Числа, соответствующие каждой из координат 力l 力2〉力3〉не являются динамическими переменными, так что их введение не увеличивает число степеней свободы.

Вычисления лэмбова сдвига и аномального магнитного момента довольно сложны. Они проведены подробно, исходя из гамильтониана Н)в

книге автора ^Лекции по квантовой теории поля^ (1966)х). Эти результаты находятся в хорошем согласии с экспериментом, что служит подтверждением излагаемой здесь теории.

Все эти вычисления были проведены полностью в рамках гейзенберговой картины. Можно было бы также попытаться исследовать квантовую электродинамику в рамках шредингеровой картины, основываясь на решении уравнения Шредингера. Для этого необходимо выбрать в качестве исходного кет-вектора в теории возмущений кет-вектор без частиц или кет-вектор, соответствующий наличию нескольких частиц, и применить к ним стандартную процедуру вычислений. Однако оказывается, что интересующие нас старшие члены ряда теории возмущений велики и сильно зависят от обрезания или вообще бесконечны, если обрезание не использовать. В этих условиях применение теории возмущений логически неоправданно.

Тем не менее теоретики подробно разработали этот метод и сформулировали рабочие правила для исключения бесконечностей неким систематическим способом (в варианте теории, где обрезание отсутствует), после применения которого остаются некие конечные эффекты. Эта процедура описана во многих книгах, например, в книге В. Гайтлера ^Квантовая теория излучениям (1954 г.) ). Оригинальные вычисления лэмбова сдвига и аномального магнитного момента были выполнены подобным способом много раньше соответствующих расчетов в гейзенберговой картине. Результаты расчетов обоими методами совпадают.

Я не вижу способа, каким эти вычисления, основанные на шредингеровой картине и дополненные некими рабочими правилами, можно было бы представить в качестве логического развития стандартных принципов квантовой механики. Шредингерова картина непригодна к использованию в квантовой электродинамике, поскольку в ней столь доминирующую роль играют вакуумные флуктуации [8]. С этими флуктуациями связаны серьезные математические трудности и, кроме того, они не имеют физического смысла. При использовании гейзенберговой картины их удается обойти. Тогда появляется возможность сконцентрировать внимание на величинах, имеющих физический смысл.

Квантовую механику можно определить как приложение уравнений движения к атомным частицам. Применимость уравнений движения к описанию атомных частиц впервые была продемонстрирована тогда, когда Бор выдвинул свою теорию атома водорода. Большое дальнейшее продвижение в теории произошло после того, как Гейзенберг установил необходимость использования некоммутативного умножения. Областью применения возникшей на этой основе теории стало, главным образом, описание электронов и других заряженных частиц, взаимодействующих с электромагнитным полем. К этой области относится большинство проблем физики низких энергий и химии.

Ныне известны другие типы взаимодействия, проявляющие себя в физике высоких энергий и существенные для описания атомных ядер. Сегодня эти взаимодействия поняты еще недостаточно хорошо, чтобы их можно было включить в описание Природы, основанное на системе уравнений движения. Относящиеся к ним теории были выдвинуты и достаточно серьезно разработаны, что способствовало получению из них полезных результатов. Однако в отсутствие уравнений движения эти теории не могут рассматриваться как логическое развитие принципов, выдвинутых в этой книге. По отношению к описанию этих взаимодействий мы эффективно находимся в предборовской эпохе [9].

Можно надеяться, что с возрастанием наших знаний постепенно удастся найти путь к приспособлению упомянутых выше теорий физики высоких энергий к схеме, основанной на уравнениях движения, и тем самым к объединению их с соответствующими теориями физики низких энергий.

Часть VI

Развитие квантовой теории поля и теории элементарных частиц (1969-1984)

48

МОЖНО ЛИ ПРИМЕНЯТЬ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ?)

Данная конференция посвящена взаимодействиям фундаментальных частиц при высоких энергиях. Экспериментаторы достигли в последнее время исключительных успехов и накопили огромное количество информации. Физики-теоретики заняты обработкой этой информации и пытаются создать теорию, объясняющую все это. Существуют различные методы различной степени успешности, и обсуждение этих методов еще предстоит на этой конференции.

С самого начала возникает один важный вопрос, состоящий в том, можно ли применять метод, основанный на уравнениях движения? Здесь следует уточнить, что я имею в виду под уравнениями движения. Рассмотрим какое-либо физическое состояние в определенный момент времени и будем описывать его математически с помощью некоторых величин, совокупность которых я обозначу символом А. Эти величины могут быть любой природы, и мы пока оставим этот вопрос открытым.

Если у нас имеются уравнения движения, то это означает, что имеются уравнения вида

⑷ (1)

at

где F(A) — некоторая функция А. Если имеются подобные уравнения и нам известны начальные условия для А, мы можем проинтегрировать (1) и получить значение А в некоторый более поздний момент времени. Таким образом будет описано изменение физического состояния во времени. Разумеется, подобные уравнения предполагают наличие причинности.

Мы все согласны с тем, что причинность не всегда имеет место в атомном мире, однако она нарушается лишь при некоторых достаточно исключительных условиях. У нас имеется квантовая механика, которая работает очень хорошо для явлений при низких энергиях. В частности, она указывает на то, как обстоит дело с вопросом причинности; именно, причинность имеет место до тех пор, пока динамическая система остается невозмущенной. Когда мы возмущаем систему, мы вносим воздействие (или возмущение), которое не может быть полностью предсказано; тем самым оно вносит неопределенность в результаты наблюдений. Однако в интервалах между наблюдениями причинность все же имеет место.

Возникает вопрос, имеются ли аналогичные уравнения движения для физики высоких энергий. Над этим вопросом работали многие физики и обнаружили при этом много трудностей. По существу эти трудности столь серьезны, что многие физики склонны вообще прекратить усилия в этом направлении. При этом они утверждают, что уравнения движения непри-

менимы к физике высоких энергий, и пытаются создать альтернативную теорию, которая не нуждается в подобных уравнениях.

Те, кто придерживается этой точки зрения, вполне разумно утверждают, что, работая с уравнениями движения, мы рассматриваем величины, не очень тесно связанные с экспериментальными результатами. Величины, с которыми мы работаем — величины А, или динамические переменные, относятся к одному моменту времени, так что величины А лишь отдаленно связаны с наблюдениями. Нам следует провести интегрирование уравнений движения, и лишь тогда мы получим результаты, которые можно надеяться сравнить с экспериментом.

Многие считают, что нам следует строить нашу теорию исключительно в терминах величин, тесно связанных с наблюдениями. Это вполне разумный и правильный аргумент. Именно этот аргумент с удивительным успехом был применен Гейзенбергом в 1925 году.

В то время, предшествующее квантовой механике, в соответствии с теорией Бора изучались орбиты. При этом теоретики пытались связать переменные, описывающие эти орбиты, с экспериментальными результатами и приходили к противоречиям. Гейзенберг разрубил «гордиев узел», заявив, что следует работать лишь с величинами, тесно связанными с экспериментальными результатами. Указанные величины он описал с помощью матриц, и это привело его к матричной механике. После этого блестящего успеха Гейзенберга стало ясно, что метод действительно хорош. Более того, сформулированный на его основе общий принцип — строить теорию лишь на результатах, тесно связанных с наблюдениями, — был положен в основу обобщения этого метода на физику высоких энергий.

С чем мы имеем дело в физике высоких энергий? Мы работаем с частицами, которые испускаются и поглощаются, а также рассеиваются, и мы хотели бы знать вероятности всех этих различных процессов перехода. Основываясь на наших знаниях квантовой механики при низких энергиях, мы полагаем, что эти вероятности даются квадратом модуля некоторой амплитуды, а все амплитуды совместно образуют то, что называется S-матрицей. Таким образом, S-матрица содержит всю информацию о вероятностях процессов при высоких энергиях.

Если мы знаем S-матрицу, а также обладаем необходимым знанием относительно индивидуальных частиц (а именно, об их массах и спинах), то тем самым мы знаем все, что необходимо с экспериментальной точки зрения. Поэтому утверждается, что достаточно иметь дело исключительно с S-матрицей и при этом отбросить все, что связано с уравнениями движения. Если бы нам были известны уравнения движения и мы могли бы проинтегрировать их, мы смогли бы рассчитать S-матрицу. Однако возможно и то, что эти уравнения движения вообще не существуют и нам следует работать исключительно с S-матрицей. В этом состоит одна из школ физического мышления, которую можно было бы назвать «школой отрицания уравнений движения».

Эта школа уже достигла очень больших успехов. В ее рамках удается получить очень много информации об S-матрице (предполагая, разумеется, лоренцеву инвариантность и причинность). Представители этой школы делают также предположение об аналитичности — очень сильное предположение, которое представляется верным. Затем берутся экспериментальные результаты и используются для получения детальной информации

относительно S-матрицы. Таким образом мы получаем далеко идущий метод, который является вполне успешным. Те, кто использует этот метод, надеются, что S-матрица будет полностью определена и тем самым будет получен ответ на все вопросы в области физики высоких энергий.

Несмотря на значительный прогресс, которого удалось достичь описанным выше методом, я не считаю, что он дает ответы на все вопросы физики высоких энергий. Причина этого состоит в том, что я верю в единство всей физики в целом [1]. Физика высоких энергий представляет собой лишь очень малую часть всей физики. Достаточно подумать о других областях физики — например физике твердого тела, спектроскопии, теории связанных состояний, атомах и молекулах, взаимодействующих друг с другом, а также о химии. Все эти области физики образуют разделы, значительно превосходящие по объему физику высоких энергий. При этом все они допускают формулировку на основе уравнений движения. Следует думать о физике как о едином целом, и потому следует также иметь одинаковый основополагающий базис, основанный на уравнениях движения во всех ее разделах.

Уравнения движения очень важны в подавляющем большинстве ситуаций, которые обсуждаются в физике. Поэтому я чувствую, что физика высоких энергий также будет находиться в согласии с остальной физикой, что позволит сформулировать ее на основе уравнений движения. Если бы у нас имелась иная основа для построения физики высоких энергий, то мы бы согласились с тем, что вся физика будет сформулирована на этой основе (когда мы будем лучше ее понимать).

В этом случае нам пришлось бы столкнуться с проблемой построения физики высоких энергий без уравнений движения. Если представить себе, каким образом следует преподавать студентам физику низких энергий, не используя уравнений движения, можно сразу увидеть, насколько это трудно.

Мы можем допустить значительную свободу в природе величин А, возникающих при описании состояния в определенный момент времени. Уже в физике низких энергий имеется два вида уравнений движения, а именно уравнения движения Гейзенберга, в которых величины А представляют собой некоммутирующие динамические переменные, а также уравнения движения Шредингера, в которых функция А является линейной функцией.

Если мы примем, что физика высоких энергий должна быть основана на уравнениях движения, мы с самого начала увидим трудность: каким образом согласовать эти уравнения движения с требованиями теории относительности .Последняя утверждает, что время должно рассматриваться как одно из четырех измерений, по отношению к которому остальные три являются исходно полностью симметричными. Уравнения движения записываются в существенно нерелятивистском виде. Поэтому любая теория, основанная на уравнениях движения, не будет в явном виде лоренц- инвариантной (во всяком случае, очевидным образом или следующим из простых рассуждений).

Может случиться так, что уравнения движения фактически будут ло- ренц-инвариантными, однако это потребует достаточно сложного доказательства. Подобная ситуация была бы вполне приемлемой. Мы все верим в то, что лоренц-инвариантность должна иметь место, однако нет ника-

ких причин полагать, что это может проявляться очевидным или вообще каким-либо прямым образом.

Если мы подходим с точки зрения теории S-матрицы, то мы можем ввести лоренц-инвариантность с самого начала очевидным образом и столь же очевидным образом сохранять ее во всех дальнейших уравнениях. В этом состоит преимущество теории S-матрицы, однако это преимущество не является решающим. Примем некую теорию, в которой лоренц-инвариантность не вполне очевидна, но должна быть доказана более или менее косвенной процедурой. Тогда мы должны сделать следующий шаг и сказать, что строгая лоренц-инвариантность может быть применима, лишь если у нас имеется полная физическая теория, включающая все элементарные частицы, встречающиеся в физике высоких энергий.

Если у нас имеется лишь частная теория, в которой мы имеем дело только с некоторыми из частиц (и при этом игнорируем другие), мы получаем незавершенную теорию, причем такая теория уже не должна быть лоренц-инвариантной. Рассмотрим в качестве примера такой теории электродинамику, в которой имеются электроны и позитроны, взаимодействующие с электромагнитным полем. Такая теория, разумеется, не является законченной, и потому она не обязана быть лоренц-инвариантной.

В настоящее время еще слишком много требуется от полной теории, включающей все частицы в физике высоких энергий. Может существовать большое число еще не открытых частиц, относительно которых мы находимся в полном неведении, и совершенно безнадежно строить какие- либо спекуляции на этот счет.

Поэтому представляется, что нам следует ограничиться неполными теориями, для которых нет необходимости настаивать на строгой лоренц- инвариантности. Нам следует приспособить эти теории для получения хороших результатов при низких энергиях, а затем развивать их для применимости ко все более высоким энергиям. Получаемые при низких энергиях результаты должны быть, разумеется, лоренц-инвариантными с высокой степенью точности, но не абсолютно точно. Тот факт, что в уравнениях движения не обнаруживается лоренц-инвариантности, не будет тогда слишком беспокоить нас.

С этой точки зрения мы можем ввести во взаимодействия высокой энергии некое обрезание и при этом дополнительно не испортить ситуацию. Если, например, рассмотреть квантовую электродинамику, то мы можем обрезать взаимодействие между электроном и электромагнитным полем при очень высоких энергиях.

В любом случае, мы не знаем, каким образом точно рассматривать процессы очень высокой энергии. Поэтому мы можем полностью опустить их без того, чтобы «взорвать» теорию. Следовательно, нас не должно особенно беспокоить введение обрезания в наши уравнения.

Эта процедура избавляет нас от всех трудностей, связанных с расходящимися интегралами, которые преследовали физиков-теоретиков в течение десятилетий. Эти трудности возникают исключительно потому, что нам хочется иметь строгую лоренц-инвариантность в неполной теории. Подобные претензии вполне могут быть вообще нереализуемыми. Это означает, что соответствующие претензии чересчур завышены, и их следует несколько снизить. Не следует требовать строгой лоренц-инвариантности, и тогда нас не будет смущать процедура обрезания.

Возникает вопрос о том, какую именно энергию следует ввести в теорию в качестве энергии обрезания и каким образом провести эту процедуру. На эти вопросы мы не можем ответить и в настоящее время они должны остаться открытыми. Это означает, что когда мы переходим к детальным вычислениям и встречаемся при этом с вычислениями, очень чувствительными к процедуре обрезания, нам следует считать их малообещающими. Мы должны искать такие вычисления, которые нечувствительны к процедуре обрезания — только при этом условии мы можем надеяться, что за такими вычислениями действительно стоит какой-либо физический смысл.

Рассмотрим теперь более детально, наличие какого рода уравнений мы могли бы ожидать в физике высоких энергий. Мы имеем дело с теорией более или менее релятивистской, и потому нам следует использовать поля. Все динамические переменные, встречающиеся в теории поля, могут быть интерпретированы как операторы поглощения или испускания частиц. Поэтому у нас появятся уравнения, содержащие очень много переменных (назовем их ту), относящихся к испусканию частиц, а также сопряженных им переменных 力)относящихся к поглощению соответствующих частиц.

Можно ожидать, что нам придется применять в области высоких энергий уравнения, сходные с теми, что имеют место в квантовой механике низких энергий. Это лучшее из того, что мы можем сделать в настоящее время. Следовательно, нам следует установить уравнения движения, включающие гамильтониан Н и содержащие операторы рождения и уничтожения 〃 и 力.Этот гамильтониан включает в себя полную энергию Е всех частиц плюс энергию их взаимодействия V. Полная собственная энергия будет иметь вид

e =〉： 3n • 〃九〃九, (2)

п

где шп — энергия стационарного состояния той частицы, которой соответствуют операторы рождения и уничтожения 〃 и 力.Сумма должна включать в себя все состояния каждой из частиц, встречающихся в теории. Величина V будет представлена некоторой функцией общего вида от всех операторов испускания и поглощения, разложимой в степенной ряд по этим операторам

展г仇,反)・ (3)

Иногда мы можем использовать гамильтониан

H = E + V (4) в духе теории возмущений, когда величина V рассматривается как малая. На такой основе можно, например, рассматривать электродинамику. Однако мы столкнемся и с такой ситуацией, когда V нельзя будет все время рассматривать как малое возмущение.

В рамках подобной теории мы можем ввести состояние, в котором вообще отсутствуют частицы. Назовем это состояние «состоянием без частиц» и обозначим его кет-вектором |0). Это состояние удовлетворяет условию, что действие не него любого оператора уничтожения 力 дает нуль:

"0〉= 0・ (5)

Если мы имеем дело с квантовой электродинамикой, имеются также некоторые дополнительные условия, необходимые для фиксации физиче-

ского состояния, но я бы не хотел здесь останавливаться на этих деталях, поскольку они несущественны для общего хода рассуждений.

Если мы возьмем любое другое состояние — например, состояние, соответствующее кет-вектору |Р), то \Р} всегда можно представить в виде некоторой функции переменных ту, примененной к вакуумному кет-век- тору

|р〉= ”т)е⑹

Функция 吵(〃)является степенным рядом по переменным 〃. К этому результату приводит общая теория вторичного квантования. Далее мы можем использовать функцию 仙 для получения физической интерпретации состояния |Р). Для этого необходимо разложить функцию 吵 в степенной ряд, а затем выбрать каждый из его коэффициентов и возвести его модуль в квадрат. Это даст нам вероятность найти соответствующие частицы в состоянии |Р).

Далее, кет-вектор |Р) будет изменяться со временем в соответствии с уравнением Шредингера:

ih^\P^ = H\P,t).⑺

Можно выразить решение |Р,力 уравнения в терминах зависящей от времени волновой функции 2m 土)〉умноженной на вакуумный кет-вектор |0):

1p,力=少(0方)10).⑻

Если мы знаем 吵(〃，土) в начальный момент времени, мы сможем найти ее значения в более поздние моменты, решая соответствующее уравнение Шредингера.

Рассмотрим случай, когда начальный кет-вектор был вакуумным состоянием |0), или, иначе говоря,吵(〃，0) = 1. Тогда

历^|0)=(石+г)10)=丿|0〉・⑼

ot

Это означает, что если мы начинаем с вакуумного состояния, то по ходу времени оно не остается таковым. Частицы порождаются благодаря члену взаимодействия V в гамильтониане.

Это весьма обескураживающий результат, поскольку он означает, что состояние «без частиц» не может совпадать с вакуумным состоянием. Обозначим его кет-вектором \V). Поскольку это состояние стационарное, оно удовлетворяет уравнению

呜 УЛ〉，(10)

где Л — некоторая вещественная константа, равная энергии вакуумного состояния.

Можно было бы определить вакуумное состояние как состояние с наи- низшей энергией. Это определение было бы разумным, если бы любое отклонение от вакуумного состояния с необходимостью вело к увеличению энергии. Все известные в физике поля, за исключением гравитационного, обладают положительной энергией. Мы можем пока полностью выпустить из рассмотрения гравитационное поле, поскольку в физике высоких энергий гравитационные силы совершенно не важны ввиду своей исключительной слабости. Если отвлечься от гравитационных сил, можно определить

соответствующее состояние с наинизшей энергией, соответствующее такому кет-состоянию, которое удовлетворяет уравнению (10) с наименьшим значением Л.

Это вакуумное состояние совершенно отлично от состояния без частиц. Поэтому если мы собираемся работать с уравнениями движения, нам следует привыкнуть к мысли о том, что существуют два совершенно различных состояния: состояние без частиц и вакуумное состояние. Эти состояния даже приближенно не совпадают друг с другом. Можно обратиться к случаю электродинамики, когда величина V мала; при этом оказывается, что даже в этом случае кет-векторы \V) и |0) не совпадают даже приближенно.

Можно взять вакуумный кет-вектор \V) и выразить его подобно общему кет-вектору |Р) в виде (6)

V〉=现(〃)|。〉.(11)

Здесь 吵一некоторая функция переменных ту, изменяющаяся во времени согласно уравнению

(12) dt

так что

次(0方)ос(13)

Если бы мы смогли вычислить 吵。)то тем самым нам удалось бы определить, какие частицы имеются в вакуумном состоянии. Это распределение частиц должно быть постоянным, поскольку единственное изменение в его коэффициентах сводится к изменению в фазовых множителях.

Если мы выберем электродинамику и попытаемся вычислить величину 吵。)то мы обнаружим, что нам следует поместить в нее V-обрезающий множитель во избежание появления бесконечностей. При наличии обрезания должна существовать и величина ^о- Однако вычислить ее очень трудно — во всяком случае, я не знаю такого метода. Метод возмущений здесь явно не подходит, поскольку при попытке его применения оказывается, что более высокие члены разложения играют более важную роль, чем предшествующие.

Однако все равно очевидно, что 呪 будет существенным образом зависеть от процедуры обрезания. Поэтому подобные вычисления вообще не представляются полезными. Мы не можем придавать серьезного физического значения конкретному значению 呪〉которое соответствует конкретному обрезанию. Возможно, когда-либо в будущем, когда мы будем знать значительно больше о физике высоких энергий и будем уверены в каком-либо конкретном способе обрезания, указанная программа станет разумной.

В состоянии нашего сегодняшнего незнания лучшее, что нам остается — это сказать, что 吵。一это некая величина, которую мы не знаем и которую нет смысла вычислять. Поэтому попробуем продолжить построение теории, не располагая величиной ^о- В конце концов, вакуумное состояние не представляет большого физического интереса. Оно не соответствует чему-либо, что наблюдается экспериментально — ведь экспериментаторы наблюдают только отклонения от вакуума.

Мы получим отклонение от вакуумного состояния, если возьмем кет- вектор, представимый в качестве действия некоторого линейного операто-

ра К на вакуумный кет-вектор V〉. Применим уравнение Шредингера к этому кет-вектору K\V):

что приводит кчто приводит к历嘗 V〉= (НК - KH)\V).历嘗 V〉= (НК - KH)\V).(14)(15)(14)(15)ih^K\V)=HK\V),

что приводит к

что приводит к

历嘗 V〉= (НК - KH)\V).

历嘗 V〉= (НК - KH)\V).

(14)

(15)

(14)

(15)

Последнее соотношение удовлетворяется, лишь если

= НК- КН.

dt

Уравнение (14) является следствием уравнения (15), но не наоборот. Однако мы можем изучать уравнение (15) само по себе, причем это возможно в отсутствие какой-либо информации о вакуумном состоянии. Уравнение (15) является уравнением движения Гейзенберга. Мы можем попытаться искать его решения и таким образом строить теорию, нимало не смущаясь отсутствием у нас знания относительно вакуумного состояния.

Предположим теперь, что нам удалось получить решение К уравнения движения Гейзенберга. Что мы можем сделать с ним? Нам необходимо получить какую-либо физическую информацию в результате нашего интегрирования уравнений движения. Если мы примем стандартную физическую интерпретацию квантовой механики (известную нам из теории низких энергий) и применим ее к данному случаю, то нам следует взять кет-вектор K\V) и выразить кет-вектор «без частиц» (назовем эту функ- 口 ию次(疝 kq =次⑺⑺. (16)

Тогда при условии соответствующей нормировки функции ^i мы возьмем ее коэффициенты и получим с их помощью вероятности существования различных частиц в тех или иных конкретных состояниях. Мы можем сравнить эти вероятности с соответствующими вероятностями для вакуумного состояния. При этом мы обнаружили бы в данном состоянии некоторые дополнительные (по сравнению с вакуумным состоянием) частицы, но также обнаружили бы и отсутствие некоторых других частиц. В этом состояла бы правильная физическая интерпретация кет-вектора K\V}.

Несмотря на то, что этот метод является логическим следствием известных принципов, он, очевидно, практически непригоден, поскольку нам совершенно неизвестна величина 耽.Поэтому нам не удается интерпретировать полученный нами интеграл К из уравнений движения Гейзенберга обычными методами.

Я бы хотел предложить здесь новый метод подобной интерпретации, который является, по крайней мере, практически пригодным. Этот метод не может быть обоснован с помощью ранее принятых принципов, однако он все же выглядит наилучшим методом, заполняющим «брешь», который мы можем использовать в настоящее время. Метод состоит в том, чтобы подействовать оператором К на состояние без частиц, а не на вакуумное состояние, а затем выразить результат в терминах другой функции переменных 〃 которую мы назовем 小2〉причем

К|о〉=少 2(〃)|0〉・ (17)

Используем теперь функцию 吵2 в соответствии с обычным методом физической интерпретации. Это означает, что мы будем рассматривать квадраты модулей коэффициентов в его разложении как вероятности наличия

различных частиц в этом состоянии, соответствующем интегралу движения К уравнений движения Гейзенберга. Эта процедура существенно отличается от обычной, поскольку выражения 吵2(〃) и 吵1(〃) существенно различны.

Указанное различие очень четко проявляется в том случае, если мы обратимся к нормировке этих выражений. Если величина изначально нормирована, она остается таковой согласно общим принципам квантовой механики. Этим свойством не обладает, однако, величина 吵2・ Нам будет необходимо нормировать 吵2 по отдельности для каждого момента времени, когда может понадобиться его интерпретация.

Метод, выраженный уравнением (17), и его интерпретация могут быть успешно использованы в квантовой электродинамике. При этом используется принятая в квантовой электродинамике величина V с соответствующим обрезанием, что приводит к возможности вычисления лэмбова сдвига и аномального магнитного момента электрона.

Подобные вычисления проводились уже давно, однако они не имели никакого логического обоснования. Они включали в себя бесконечности, с которыми обходятся по определенным практическим правилам; бесконечностей удается избежать, если ввести процедуру обрезания. Однако даже при этом условии указанные практические правила не становились более логическими. Чтобы придать теории логический смысл, следовало бы дополнить ее некоторым предположением, которое эквивалентно выше упомянутому изменению интерпретации. В любом случае необходимо что-то предпринять, что соответствует физической интерпретации, не использующей представления о вакуумных частицах.

Представленное выше как раз показывает, какие предположения следует принять для того, чтобы вычислить лэмбов сдвиг и аномальный магнитный момент. При этих предположениях можно применять лишь стандартную математику, в которой пренебрегается лишь малыми величинами. Обычно делают так: находят решение уравнения (15) методом возмущений, в котором член нулевого порядка представляет рождение электрона в статическом электрическом или магнитном поле. При этом можно видеть, каким образом энергия электрона изменяется под влиянием взаимодействия.

Оказывается, что необходимо перенормировать параметры m и е, входящие в гамильтониан. Подобная перенормировка логически безупречна при том условии, что изменения величин m и е малы, а они действительно малы, если используется процедура обрезания. Теория в целом логически вытекает тогда из метода, основанного на уравнениях движения.

По моему мнению, это исходная точка для уравнений движения в физике высоких энергий. Это дает теорию, которая будет справедлива для энергий вплоть до нескольких сотен миллионов электронвольт. Далее будет необходимо развить теорию путем модификации гамильтониана, введения других частиц соответствующим образом и попытках получить информацию о взаимодействиях различных частиц для высоких энергий.

Таков вкратце предлагаемый метод, который можно предложить в качестве альтернативы теории S-матрицы. Я верю в то, что подобный метод, основанный на уравнениях движения, является единственным, который приведет к окончательным ответам на все вопросы физики высоких энергий.

Дискуссия

Симанзик. Я хотел бы обратить внимание на то, что использование уравнения вида (15) лежит в основе частично вполне успешного подхода к решению проблем квантовой теории поля рядом людей с диаметрально противоположными взглядами, в том числе Глиммом, Джаффе и Сигалом. Они называют это операторным автоморфизмом. Он отображает операторы в один момент времени на другой момент, и действительно это вполне разумно и продуктивно по сравнению с дифференциальным методом, если речь идет о конечном интервале времени. Однако в этом подходе все еще остаются проблемы с вакуумом, и эти проблемы по-видимому связаны скорее с бесконечностью пространства, нежели с ультрафиолетовыми расходимостями, которые возникают при построении волновой функции вакуума.

Дирак. Разрешите спросить: трудность, о которой Вы упомянули, связана с бесконечностью пространства? Имеете ли Вы в виду инфракрасную катастрофу?

Симанзик. Я имею в виду бесконечность пространства. Обычно в качестве упражнения используется теория, не содержащая частиц с нулевой массой.

Сударшан. Я хотел бы спросить о следующем. Пусть рассматривается нерелятивистская теория подобного рода, лишь немного отклоняющаяся от релятивистски инвариантной. Не обнаружим ли мы в ней небольшие, но конечные отклонения в поведении величин, подобных сечениям рассеяния под действием преобразований Лоренца, от обычно ожидаемого поведения.

Дирак. Разумеется, это могло бы произойти, и хотелось бы приспособить метод обрезания так, чтобы избежать расхождения с экспериментом.

Сударшан. Оказывается, что нам следует тогда предложить эксперименты, в которых мы будем искать подобные отклонения в поведении экспериментальных сечений рассеяния.

Дирак. Разумеется, это была бы определенная помощь теоретикам. Однако мне хотелось бы сделать одно замечание. Я не уверен в том, что подобная экспериментальная информация была бы большой помощью для теоретиков. У меня ощущение, что в действительности для теоретиков значительно важнее попытаться (и действительно найти) такую теорию, которая обладала бы математической красотой. Разумеется, подобная теория могла бы включать в себя некоторые существенные отклонения от используемой нами гамильтоновой формулировки; кроме того, она бы не сводилась лишь к дополнению некоторыми членами для более точного описания эксперимента.

В качестве примера я мог бы сослаться на ситуацию, имевшую место в гравитации до появления теории Эйнштейна. Задолго до этого было известно, что движение Меркурия не описывается законами Ньютона. Пусть некто установил, что если заменить закон обратных квадратов для сил таким законом, в котором сила обратно пропорциональна расстоянию в степени 1,93, то удается достичь согласия теории с экспериментом. Данное конкретное вычисление привело бы к согласию с наблюдениями, однако реально не дало бы никакого развития теории. Никто не поверит в

этот закон «степени 1,93», поскольку он слишком уродлив. Кроме того, я склонен верить в то, что если вы получите дополнительную экспериментальную информацию и будете искать, как «сварганить» гамильтониан, описывающий эту информацию, вы придете к теории, подобной «теории 1,93», которая никого не заинтересует.

Действительная проблема, стоящая перед теоретиками, состоит в нахождении некоторых уравнений, обладающих математической красотой. Я не думаю, что при этом теоретики могут рассчитывать на получение большой помощи от экспериментаторов. Одни только более точные наблюдения движения планет никогда бы не привели к мысли о теории Эйнштейна. Требуется реальный гений, подобный Эйнштейну, способный найти новую основу, на которой можно построить новую теорию.

Гольдбергер. Вы упомянули о том, что интуитивно привлекательно верить в то, что теория, подобная квантовой электродинамике электронов, позитронов и фотонов могла бы логически содержать параметр обрезания в том смысле, что эта теория является несовершенной, поскольку не содержит большого количества взаимодействий. Мне кажется привлекательным повернуть проблему «наоборот». Пусть у вас имеется теория, в которой сильные взаимодействия рассматриваются как в основном известные. Считаете ли Вы философски возможным или разумным потребовать от этой теории (в которой пренебрегается электромагнетизмом, или слабыми взаимодействиями, или гравитационной теорией), чтобы она была лоренц-инвариантной?

Дирак. Я чувствую себя здесь крайне неуверенно, поскольку уже известные нам сильные взаимодействия могут оказаться не самыми сильными. Могут иметь место еще более сильные взаимодействия, которые проявят себя, когда мы сможем перейти к энергиям более высоким, чем достигнутые сегодня. Возможно, при этих более высоких энергиях удастся, например, разделить кварки.

Гольдбергер. Допустим, что мы уже достигли этого. В действительности я хочу спросить вот о чем: если мы отбросили электромагнетизм, теория станет несовершенной, но должна ли она быть лоренц-инвариантной?

Дирак. Я не считаю, что любая несовершенная теория должна быть обязательно лоренц-инвариантной — она должна быть лишь приближенно таковой. Если мы исключим электромагнетизм, то это приведет к приближению нового типа, с которым мы еще не знакомы. Этот путь мог бы быть возможным путем исследования проблемы, однако мне он представляется ненадежным, поскольку мы не вполне уверены в том, какое из взаимодействий в действительности является самым сильным.

Сударшан. Я хотел бы сделать небольшое замечание и задать вопрос. В обычной теории высоких энергий всегда стремятся придать ей явно ковариантный вид. Частично это объясняется убеждением некоторых людей в том, что теории должны быть ковариантны в любой момент времени. Однако с более практической точки зрения это делается для того, чтобы всегда можно было провести следующий этап приближений. Если у Вас имеется теория без электромагнетизма, Вы можете ввести электромагнетизм с помощью простой процедуры, причем теория останется лоренц-инвариантной .Однако, если Вы стартуете с теории, которая лишь приближенно лоренц-инвариантна, то даже приближенная лоренц-инва-

риантность может быть серьезно нарушена, если мы вводим новое взаимодействие. Правильно ли я понял Ваше предположение, что мы будем вынуждены перейти к новой теории, пытаясь добавить к имеющийся все новые и новые объекты?

Дирак. Да, это действительно так. Я полностью согласен с Вами. Я хотел бы обратить внимание не тот факт, что квантовая электродинамика не вполне удовлетворительна при низких энергиях, поскольку в своей сегодняшней формулировке она приводит к бесконечной собственной энергии фотона. Чтобы избежать указанной бесконечности можно было бы проводить некоторые дальнейшие модификации в гамильтониане. Насколько я могу видеть, подобные модификации выглядят весьма искусственно. Я не нашел никакого способа сделать это вполне удовлетворительно.

Рорлих. В физике имеется много теорий, имеющих лишь ограниченную применимость — например, ньютоновская теория гравитации или специальная теория относительности. Кроме этого хорошо осознаваемого факта, теория все же предполагается (и обычно является) сама по себе математически замкнутой. Мой вопрос состоит в том, не меняем ли мы «правила игры» в тот момент, когда мы ищем математически последовательную ло- ренц-инвариантную теорию, признавая в качестве таковой лишь теорию, описывающую все частицы и все взаимодействия сразу. При введения в теорию обрезания вы предполагаете, что теория в своем изначальном виде математически непоследовательна и Вы относите эту непоследовательность на счет ограниченной применимости.

Дирак. Я не вполне согласен с Вами. Когда мы вводим обрезание, мы не вносим какой-либо непоследовательности. Мы можем работать совершенно последовательно с уравнениями движения, следующими из гамильтониана с обрезанием. Как раз тогда, когда мы пытаемся избежать обрезания, мы попадаем в область непоследовательностей. Обрезание всего лишь нарушает лоренцеву инвариантность, однако никоим образом не затрагивает самосогласованность уравнений.

Фактически мне удалось найти способ введения обрезания, который точно сохраняет калибровочную инвариантность. Нет необходимости нарушать калибровочную инвариантность. В моих ранних попытках нарушалась как калибровочная, так и лоренц-инвариантность, однако теперь я знаю, как строго сохранить калибровочную инвариантность, нарушая лишь лоренц-инвариантность.

Эмх. Я бы хотел отметить два предположения, которые неявно были сделаны в докладе профессора Дирака и которые могли бы лежать в основе трудностей, затрагиваемых при попытке избавиться от всяких обрезаний. Первое предположение состоит в том, что мы имеем дело с теорией, изначально формулируемой как теория операторов в одном гильбертовом пространстве. Со времен работы Ван Хова мы знаем, что векторы состояния, которые мы хотели бы рассматривать (например, «голые» и «одетые» вакуумные состояния), не обязательно принадлежат к одному и тому же гильбертову пространству. Кроме того, гильбертово пространство, в котором мы реализуем наши теории, по существу зависит от тех состояний, которые мы хотим рассматривать Этот факт лежит в основе так называемого алгебраического подхода, в котором гильбертовы пространства целесообразно вводятся лишь на поздней стадии теории.

Дирак. Могу я спросить, понимаете ли Вы под «гильбертовым пространством» сепарабельное гильбертово пространство?

Эмх. Сепарабельность не представляется мне здесь основным пунктом; основной пункт состоит в том, что в общем случае гильбертово пространство, сопоставляемое свободным полям, не совпадает с тем, которое единственным образом сопоставляется с взаимодействующими полями.

Дирак. Вы всегда можете сложить два гильбертова пространства и получить еще одно гильбертово пространство.

Эмх. Это верно и связано с моим вторым замечанием. В связи с первым замечанием я хотел бы напомнить, что если Вы согласны рассмотреть возможность работать в различных гильбертовых пространствах, то Вы можете исключить такие эффекты, как перенормировку бесконечной энергии, с которыми Вы сталкиваетесь в обычных теориях при попытке устранить обрезание в целях восстановления пространственно-временной симметрии теории.

Далее, второе неявное предположение, содержащееся в теориях, подобных услышанной нами от профессора Дирака, состоит в том, что мы можем перейти от любого вектора состояния к любому другому вектору состоянию посредством последовательного действия на первый из них операторами рождения и уничтожения. Математически это означает, что представление канонических перестановочных соотношений является неприводимым. Последнее предположение является, как оказалось, весьма опасным (например, это было показано Пауэрсом для одной из моделей фермионов). Этот результат был обобщен моим студентом (господином Синха), на случай бозонов. Общий итог этих недавних исследований, по-видимому, состоит в том, что неприводимость является наиболее грубым из всех предположений теорий поля — в том случае, если мы хотим получить возможность выхода за пределы релятивистских (обобщенных) свободных полей.

Дирак. Я охотно обобщил бы математику в любом желательно для Вас направлении. Я лишь настаиваю на существовании некоторых уравнений движения, лежащих в основе любой теории. Далее, я хотел бы сказать, что я не до конца прочувствовал, что тот метод, которому Вы следуете, изучая аксиомы (на предмет их возможного обобщения), обещает успех. Можно в связи с этим вспомнить о соответствующей ситуации, имевшей место до квантовой механики, когда все работали с теорией орбит Бора. Если бы кто-то попытался перечислить все аксиомы теории орбит Бора и посмотреть, от каких из них следует отказаться, то мы никогда не могли бы даже подумать о некоммутативной алгебре. Возможно, и сейчас действительно мы нуждаемся в чем-либо подобном, а именно в каком-либо новом удивительном продвижении (возможно, очень простом), о котором просто пока никто не думал и к которому нельзя прийти, если просто заниматься перечислением предположений существующей теории.

49

НАДЕЖДЫ И ОПАСЕНИЯ)

У всякого исследователя, активно развивающего некоторую идею из области фундаментальных проблем физики, имеются, конечно, большие надежды на то, что его идея приведет к важному открытию. Но одновременно его терзают большие опасения — а не появится ли внезапно нечто, что не оставит от его открытия камня на камне, и ему придется вновь вернуться к исходной точке исследования, чтобы искать путь, по которому следует двигаться дальше. Надежды всегда сопровождаются опасениями, и в научных исследованиях опасения, по-видимому, оказываются доминантными факторами.

Испытывая эти эмоции, исследователь вовсе не подчиняется независимому логическому мышлению, чего можно было бы ожидать от всякого человека, получившего научное образование. Вместо этого он подчинен различным ограничениям и запретам, которые затрудняют достижение им успеха. Он может откладывать осуществление существенного шага, позволяющего быстро открыть карты, и может предпочесть сначала решить второстепенные вопросы, обеспечивающие шанс на достижение немногих незначительных успехов, чтобы приобрести уверенность перед столкновением с кризисом.

По этим причинам первооткрыватель новой идеи — не всегда лучший человек для ее развития. Кто-либо другой, у кого нет опасений, владеющих им, может применить более смелые методы и достичь успеха быстрее. Ниже будут даны некоторые примеры, которые иллюстрируют эту ситуацию.

Любой, кто изучал специальную теорию относительности, должно быть, задавался вопросом, почему же случилось так, что Лоренц, получив формулы своих преобразований, не сделал совершенно естественного следующего шага. Ему следовало бы рассмотреть все инерциальные системы отсчета как равноправные и прийти к выводу об относительности пространства и времени. История не оставила свидетельств того, что удержало Лоренца от этого шага. Но это могло быть только некоторое опасение, возможно подсознательное. Он не посмел мысленно шагнуть в область, абсолютно чуждую тому, что мог себе до него вообразить любой человек. Он предпочел оставаться на твердом основании математических преобразований, где его позиция была неприступной. Потребовалась смелость более молодого человека типа Эйнштейна, чтобы сделать решающий шаг в новую область.

Первооткрывателем существующей квантовой механики был Гейзенберг. Когда специалисты по атомной физике мучались с орбитами теории Бора-Зоммерфельда, чувствуя потребность в решительном изменении

основных принципов этой теории, Гейзенберга осенила блестящая идея строить новую теорию в терминах наблюдаемых величин, связанных с атомными спектрами. Эти величины относились к двум состояниям атомов и естественным способом выражались в виде матриц. Таким образом, Гейзенберг предложил рассматривать матрицы как динамические переменные.

Он не продвинулся сколько-нибудь далеко в развитии этой идеи прежде, чем он заметил, что его динамические переменные не будут удовлетворять коммутативному закону умножения. Это было наиболее тревожащим обстоятельством. В те дни в физике невозможно было представить, чтобы динамические переменные могли быть чем-то иным, кроме как обычными алгебраическими величинами. С появлением некоммутативности Гейзенберг стал опасаться, что его красивая идея может быть похоронена.

Когда я читал первую статью Гейзенберга по этому вопросу, то имел преимущество перед ним в том, что не разделял его опасений, поскольку под угрозой была не моя собственная идея. Поэтому я был способен смотреть на вопрос с более независимой точки зрения. Мне потребовалась только неделя или две, чтобы понять, что некоммутативность, которая встревожила Гейзенберга, была в действительности доминирующей особенностью новой теории. Идея построения теории полностью в терминах экспериментально наблюдаемых величин, хотя очень заманчивая с философской точки зрения, имела только вторичное значение для установления новой динамики.

Моя ранняя работа по квантовой механике была, таким образом, сконцентрирована на проблеме включения некоммутативности в динамическую теорию. Это не было в действительности очень трудно, потому что предыдущая атомная теория, теория орбит Бора и Зоммерфельда, базировалось на гамильтоновой динамике, которая, как оказалось, была особенно подходящей для того, чтобы приспособиться к некоммутативной алгебре.

Гейзенберг продолжал в Геттингене развивать свою теорию в сотрудничестве с другими людьми. Я работал независимо от них, если не считать ознакомления с исходной идеей Гейзенберга. Мы опубликовали свои статьи приблизительно в одно и то же время, заложив основы квантовой механики. Стили наших работ были различны из-за расхождения точек зрения, которых мы придерживались. Моя основывалась на некоммутативности, а позиция Гейзенберга — на использовании матриц, конструируемых из наблюдаемых величин.

Квантовая механика была открыта совершенно независимо Шредингером, следовавшим другим путем. Но он столкнулся с собственными трудностями. Он размышлял над математической связью между волнами и частицами, которые были обнаружены незадолго до этого де Бройлем, и в конечном счете он нашел способ обобщить эту зависимость, с тем чтобы применить ее к электрону, движущемуся в электромагнитном поле. Он тогда получил очень красивое волновое уравнение, соответствующее теории относительности. Он попробовал применить его электрону в атоме водорода, и его худшие опасения оправдались. Результаты оказались в противоречии с наблюдениями.

Теперь мы знаем, что несовпадение происходило из-за наличия у электрона спина, который был неизвестен Шредингеру в то время, хотя экспериментаторы уже начинали подозревать об этом. Для Шредингера возникла угнетающая ситуация. Она привела к тому, что он на несколько

месяцев вынужден был прекратить работу. В конечном счете, он опубликовал ее только в нерелятивистском приближении, в котором упомянутое выше несоответствие не обнаруживается. Релятивистское уравнение было позже открыто Клейном и Гордоном, которые не в пример Шредингеру не побоялись его опубликовать, несмотря на разногласие с наблюдениями. Теперь это уравнение названо их именами. Оно имеет значение для описания заряженных мезонов с нулевым спином.

Вскоре было установлено, что квантовая механика Шредингера эквивалентна первоначальной квантовой механике Гейзенберга, несмотря на то, что на первый взгляд они столь отличны друг от друга. Основные уравнения новой механики были надежно установлены, и стало необходимо найти для них физическую интерпретацию. Ввиду использования некоммутативной алгебры это не могло быть сделано столь же непосредственно, как принято в классической теории. Все же общая физическая интерпретация была найдена, но оказалось, что она может быть только статистической. Она сводилась к тому, что можно было вычислять только вероятности, но не предсказывать события с однозначной уверенностью.

В связи с релятивистским уравнением Клейна и Гордона появилась новая трудность. Эта теория иногда давала отрицательные вероятности. Она была удовлетворительной только в нерелятивистском приближении. Я ломал голову над этим в течение некоторого времени и в конечном счете додумался до нового волнового уравнения, которое не приводило к отрицательным вероятностям. Я нашел, что оно автоматически давало спин электрона, что было наиболее впечатляющим результатом. Я предложил применить его к атому водорода, принимая во внимание релятивистские поправки только первого порядка, чтобы упростить вычисления, и убедиться в его согласии с экспериментом.

Естественно, что на этой стадии следовало бы распространить вычисления и на более высокие порядки, но я не сделал этого. Я опасался, что они могут разойтись с опытом.

Я поспешно написал статью, содержащую расчеты только первого порядка, и отослал ее в печать. При этом я чувствовал, что достиг определенного успеха, и даже если бы расчеты с более высокими порядками оправдали мои опасения, надо было все равно их обосновать. Эта работа досталась Дарвину, который не разделял моих опасений. Он смело выполнил вычисления с более высокой точностью и понял, что результаты в полном порядке.

В моей первой статье на эту тему (Proc. Roy. Soc. А. V. 117. Р. 610) приведено уравнение

Знаток теории относительности, если он посмотрит на это уравнение в настоящее время, скажет, что в нем — явная ошибка. Вместо знаков + перед вторым и третьим слагаемыми справа должны стоять знаки —. Он, возможно, задастся вопросом, как это такая существенная ошибка осталась незамеченной при редактировании. Он будет еще больше удивлен, когда ту же самую ошибку он увидит увековеченной в последующих уравнениях.

Объяснение состоит в том, что в действительности здесь нет никакой ошибки, и формулы были напечатаны в том виде, в котором автор со-

знательно записал их. Знаки + выражают некие опасения автора. Тогда теория относительности была все еще недостаточно известна, и читателям приходилось непрерывно мысленно спотыкаться об идею симметрии пространства и времени. Но эта симметрия становится безупречной, если используется переменная времени, которая отличается от обычного времени умножением на д/—1. При этом соответствующая замена делается во всех 4-векторах. С учетом этого замечания в моем уравнении нет никаких ошибок. Оно часто использовалось в то время, и я не считал необходимым комментировать его всякий раз, когда оно употреблялось, если из контекста все было понятно. Получение нового волнового уравнения вскоре вынудило отказаться от этого обозначения вовсе, поскольку оно стало слишком неуклюжим.

Новое волновое уравнение привело к новым трудностям, поскольку оно допускало состояния с отрицательной энергией для электрона. Отрицательные энергии никогда не наблюдаются, но тем не менее их нельзя было игнорировать в теории. Я думал о способе справиться с ними, а именно, предположил, что в физическом мире все, или почти все состояния с отрицательной энергией уже заняты. Получалось так, что обычные электроны с положительной энергией не могли оказаться в них. Но если где-то обнаруживалось незанятое состояние с отрицательной энергией — дырка, то оно должно восприниматься как частица, обладающая положительной энергией и положительным зарядом.

С самого начала я чувствовал, что между дырками и электронами должна быть симметрия. Это чувство усиливалось тем, что в теории химической валентности есть определенная симметрия в описании электрона, находящегося вне заполненной атомной оболочки, и дырки внутри ее. Однако я не желал замечать этой симметрии. Ведь тогда считалось, что единственно возможной частицей с положительным зарядом был протон, а протон намного тяжелее электрона. Так что я, с одной стороны, надеялся, что нарушение симметрии между дырками и электронами может быть объяснено кулоновым взаимодействием между электронами. С другой стороны, одновременно я боялся, что, если эта надежда не оправдается, придется оставить всю идею. Участь сделать смелое утверждение о том, что из математического требования симметрии следует равенство масс электрона и дырки, выпала другим, в частности Вейлю и Оппенгеймеру.

С учетом этих соображений теория одиночных частиц была полностью разработана. Там оставались только проблемы, связанные с взаимодействием. Если точные релятивистские уравнения получены, нетрудно видеть, что взаимодействие настолько сильно, что эти уравнения не имеют никаких решений. Возникшие трудности все еще удовлетворительно не решены до сих пор, и они вызывают потребность в будущем решительно изменить основы атомной теории.

50

РАЗВИТИЕ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ)

Я очень благодарен за то, что меня первым наградили премией Оппенгеймера. Благодарю Университет Майами за оказанную мне таким обрезом честь. Благодарю доктора Курсуноглу за сказанные им обо мне весьма лестные слова. Может быть, мне удастся до некоторой степени разъяснить то, что за ними кроется.

Меня особенно радует присуждение мне премии Оппенгеймера именно потому, что я был большим другом и почитателем Оппенгеймера. Я знал его на протяжении более чем сорока лет. Было время, когда мы оба — молодые ученые — жили в одном пансионе в Геттингене. У нас были одинаковые интересы, мы посещали одни и те же лекции и обнаружили, что нас занимают еще и другие вещи, помимо лекций. Мы любили совершать далекие пешеходные прогулка и иногда уходили за город на весь день. Впоследствии я встречался с Оппенгеймером много раз и видел, какими он обладал превосходными качествами, особенно как председатель во время дискуссий или коллоквиумов. У него был быстрый ум, позволявший ему схватывать главную суть вопроса, и если докладчик не мог достаточно хорошо что-либо объяснить или если какой-нибудь слушатель не умел четко сформулировать вопрос, Оппенгеймер часто вмешивался и точно излагал именно то, что было необходимо для ясного понимания вопроса каждым и для продолжения дискуссии.

Его ранняя смерть была большой потерей для науки и для всех нас, особенно для меня: ведь нас связывала большая личная дружба.

Я хотел бы рассказать вам в общих чертах о своей научной работе и думаю, что моя речь в данном случае должна носить отнюдь не профессиональный характер. Итак, я вложу в нее несколько иное содержание, попытаюсь дать вам некоторое представление о том, что чувствует исследователь, когда он поглощен работой и надеется достигнуть важных результатов, которые окажут глубокое влияние на развитие физики. Вы можете подумать, что хороший исследователь, находящийся в таком положении, оценивает полученный результат совершенно спокойно, без малейшего волнения, рассуждая, вполне логично и развивая дальше свою мысль вполне рациональным путем. Это далеко не так. Исследователь — только человек и, если он питает великие надежды, то он испытывает и великие страхи. (Не думаю, что вообще можно было питать большие надежды, которые бы не сочетались с большими страхами.) В результате этого деятельность исследователя сильно отклоняется от правильного пути. Он не в состоянии сосредоточить свое внимание на одном логическом направлении развития.

Я буду говорить вам, главным образом, о том, что я знаю по собственному опыту. Однако из бесед со многими физиками, иногда весьма именитыми, я понял, что то, о чем я собираюсь вам рассказать, — явление довольно обычное, и вы можете принять его за общее правило, которое распространяется на всех исследователей, занимающихся основами физической теории. Они в чрезвычайно сильной степени находятся под влиянием своих страхов.

Я полагаю, что такие страхи возникают и в других случаях, относительно которых у нас нет прямых свидетельств. В связи с этим я, в частности, хотел бы указать на Лоренца. Каждый изучавший теорию относительности, несомненно, удивлялся, почему Лоренц, которому удалось правильно построить все основные уравнения, необходимые для установления относительности пространства и времени, оказался не в состоянии сделать последний шаг, фактически устанавливающий относительность. Он проделал всю тяжелую работу — все действительно необходимые математические расчеты, но оказался не в состоянии пойти дальше, и вы спросите: «Почему?».

Я думаю, что его удержали страхи, своего рода нерешительность. В самом деле, он побоялся вступить в совершенно новую область, поставить под вопрос общепринятые с незапамятных времен идеи. Он предпочел остаться на твердой почве своих математических расчетов. Пока он на ней оставался, его позиция была неуязвима; если бы он пошел дальше, неизвестно, какую критику это вызвало бы. Я думаю, что у него победило желание оставаться на совершенно безопасной почве.

Чтобы сделать необходимый шаг вперед и сказать, что время и пространство связаны между собой, понадобилось еще много лет и смелость Эйнштейна. Теперь этот шаг кажется очень маленьким шагом вперед, но в те дни сделать его было очень трудно.

То, что я сейчас сказал, конечно, только предположение, но я думаю, что оно должно довольно точно соответствовать фактам. Я не вижу иного объяснения тому, как можно подойти столь близко к великому открытию и все же в конце не суметь сделать последний небольшой шаг.

Перейдем к рассмотрению развития квантовой механики. Этому развитию положила начало блестящая мысль Гейзенберга. Она заключалась в том, что надо попытаться построить теорию, исходя из величин, полученных на основе эксперимента, а не строить ее, как это делалось раньше, взяв за образец классическую частицу, что вовлекало в теорию многие не поддающиеся наблюдению величины. Эта блестящая мысль Гейзенберга фактически положила начало новой философии — философии, считающей, что физика, физическая теория, должна быть тесно связана с данными, полученными экспериментально, а не исходить из использования величин, имеющих лишь очень отдаленную связь с наблюдениями.

Эта мысль Гейзенберга замечательна. Сравнение различных экспериментальных данных, касающихся атомных спектров, привело его к построению матриц, которые затем он стал рассматривать как отражение существующих в атоме физических переменных, таких как положения и скорости электронов. Гейзенберг еще не успел глубоко развить свою мысль, как заметил, что она приведет его к тому, что его физические величины не будут подчиняться коммутационному закону умножения: при наличии двух величин А и В, как правило, А, умноженное на В, будет отличаться от В, умноженного на А.

Заметив это, Гейзенберг испугался. Это был чрезвычайно странный результат. Физики прежних времен всегда думали, что физические переменные, которыми они пользовались, были величинами, подчинявшимися обычным алгебраическим законам. Было совершенно непостижимо, что две физические величины при умножении в одном порядке дают не тот же результат, что при умножении в другом порядке. Это больше всего и смущало Гейзенберга. Он боялся, что в этом заключается основной недостаток его теории и что от всей его великолепной идеи, вероятно, придется отказаться.

Я получил экземпляр первой работы Гейзенберга незадолго до ее опубликования и начал ее изучать. Через неделю или две я понял, что главной особенностью новой теории Гейзенберга, действительно, было нарушение коммутативности. Это и в самом деле было более важно, чем мысль Гейзенберга о построении теории на основе величин, тесно связанных с результатами экспериментов. Поэтому я сосредоточил свое внимание на мысли о некоммутативности, стремясь понять, как следует изменить обычную динамику, которой до сего времени люди пользовались, чтобы включить эту идею в теорию.

На этом этапе у меня было перед Гейзенбергом то преимущество, что я, в противоположность ему, не испытывал страха. Я не боялся того, что теория Гейзенберга потерпит неудачу. Ее провал не задел бы меня так сильно, как он задел бы Гейзенберга. Мне не пришлось бы все начинать сначала.

Я думаю, автор новой мысли, как правило, — не самый подходящий человек для ее развития, потому что его страх перед какими-нибудь неувязками слишком велик и мешает ему оценить метод вполне объективно.

У меня было это преимущество перед Гейзенбергом. Было у меня еще и другое большое преимущество. В то время я был исследователем, не имевшим никаких других обязанностей, кроме исследовательских. Я благодарен судьбе, что родился вовремя: будь я старше или моложе на несколько лет, мне не представились бы столь блестящие возможности. Казалось, все благоприятствовало мне.

Что касается проблемы изменения обычной динамики для включения некоммутативности, то я был знаком с более ранней теорией Бора и Зо- ммерфельда — теорией атомных орбит, причем оказалось, что теория эта тесно связана с механикой в форме Гамильтона, открытой им почти на столетие раньше. Гамильтонова форма механики оказалась как раз наиболее подходящей формой для включения некоммутативности, и не столь уж трудной задачей было найти способ сочетать обе эти мысли.

Я работал над этим вопросом совершенно независимо от Гейзенберга, после того как ознакомился с его первоначальной идеей. Гейзенберг продолжал развивать свою идею в Геттингене совместно с другими лицами. Там находился его учитель Борн и еще один молодой исследователь по фамилии Иордан. Думаю, что они сильно помогли ему преодолеть свои страхи. В результате Геттингенская школа тоже быстро преуспела в развитии основных положений квантовой механики. Мы независимо друг от друга опубликовали свои работы приблизительно в одно и то же время. Если вы просмотрите эти ранние труды, то увидите, что они имели совершенно различное направление: в моей работе главная мысль была связана с нарушением коммутативности; в трудах Геттингенской школы главная мысль заключалась в использовании величин, тесно связанных с резуль-

татами экспериментов, а вопрос о некоммутативности фигурировал как второстепенный и производный. И все же, несмотря на различные точки зрения, никаких реальных расхождений у нас не было, и мы достигли одних и тех же основных результатов.

Другая форма квантовой механики была совершенно независимо от других открыта Шредингером. Он исходил из иных идей и наталкивался на свои затруднения. В основе его идеи лежала удивительная связь между волнами и частицами, которую несколько раньше открыл де Бройль; эта связь, установленная де Бройлем, была великолепно доказана математически и согласовывалась с теорией относительности. Она казалась весьма таинственной, но ее математическое великолепие говорило о том, что между волнами и частицами должна существовать какая-то глубокая связь, иллюстрированная математическим способом.

Идеи де Бройля были применимы только к свободным электронам. Шредингер столкнулся с задачей модификации уравнения де Бройля, чтобы сделать его применимым к электрону, движущемуся в поле, и, в частности, к электронам в атомах. Проработав некоторое время, Шредингер смог получить уравнение, очень стройное и красивое, с общей точки зрения казавшееся верным.

Разумеется, было необходимо проверить, пригодно ли оно на практике. Шредингер применил его в задаче, связанной с электроном в атоме водорода, и получил спектр водорода. Его результат не совпал с экспериментом. Шредингер испытал большое разочарование. Это был пример того, как исследователь, находящийся накануне открытия, убеждается, что все его худшие опасения оправдались: такая прекрасная и так много обещавшая теория оказалась непригодной на практике.

Как же поступил Шредингер? Он был очень огорчен и, как мне рассказывал, на несколько месяцев все бросил. Затем, немного оправившись от огорчения, он вернулся к этой работе, причем заметил, что если он применяет свой метод с меньшей точностью, не принимая в расчет релятивистских эффектов, то при такой степени точности его теория совпадает с наблюдением. Тогда он опубликовал свою работу; ему удалось установить, что его теория совпадала с наблюдением.

Таким путем он выработал альтернативную форму квантовой механики. Люди, работавшие над этим вопросом, вскоре обнаружили, что в основном она была эквивалентна форме, созданной Гейзенбергом. Это было просто два аспекта одной и той же теории, которая и представляет собой нашу нынешнюю квантовую механику.

Шредингер проявил излишнюю робость, отказавшись от своего первого релятивистского уравнения, не совпадавшего с наблюдениями водородного спектра. Несколько позднее это уравнение было вновь открыто Клейном и Гордоном, которые опубликовали свою работу, несмотря на расхождение с наблюдением. Причина, по которой первоначальное уравнение Шредингера оказалось непригодным, заключалась в том, что в нем не принимался в расчет спин электрона. В то время спин электрона еще не был установлен. Имелись кое-какие экспериментальные намеки на спин, но они были очень неясными. Шредингер, вероятно, не знал о них.

Клейн и Гордон опубликовали релятивистское уравнение — фактически то же самое, которое ранее открыл Шредингер. Единственной заслугой Клейна и Гордона здесь было то, что они оказались достаточно отважными и их не смутило отсутствие совпадения между уравнением и наблюдены-

ем. В конечном результате уравнение это известно теперь как уравнение Клейна-Гордона, несмотря на то, что годом или двумя раньше оно было открыто Шредингером. Это уравнение представляет собой некоторую ценность для описания частиц без спина, например некоторых видов мезонов, но совершенно неприменимо к электрону.

Таков путь возникновения квантовой механики. Вначале мы располагали вполне определенной математической теорией и медленно шли к правильной интерпретации уравнений. Это должна была быть статистическая интерпретация. Над этим работало много исследователей. Фактически задача не столь уж трудна, когда твердо установлена исходная точка. Серьезных трудностей не возникало, пока ученые не обратились к рассмотрению уравнений, учитывающих требования теории относительности. Как я уже говорил, уравнение Шредингера имело силу только в приближении, в котором релятивистскими поправками надо было пренебречь. Когда пробовали работать с релятивистским уравнением, носящим название уравнения Клейна-Гордона, возникало не только расхождение с наблюдением, но и расхождение с логической интерпретацией уравнения. Если применять обычные правила, установленные для квантовой механики, то уравнение Клейна-Гордона, по-видимому, привело бы нас к отрицательным вероятностям, которые, конечно, совершенно абсурдны.

Уравнение Клейна-Гордона нуждалось в какой-то модификации. В течение некоторого времени оно приводило меня в недоумение, а затем я подумал о другом уравнении, которое преодолело бы логические трудности отрицательных вероятностей. Вскоре я убедился, что это новое уравнение правильно давало спин и магнитный момент электрона. Все это было очень приятно.

Затем возник вопрос, сможет ли оно удовлетворительно объяснить спектр водорода. Я работал над этим, приняв в расчет лишь релятивистские поправки первого порядка, и получил совпадение с экспериментом в этом первом порядке. Естественным было бы рассмотреть более высокие порядки и проверить, совпадут ли результаты с экспериментом. Но я не сделал этого просто из страха. Я боялся, что может не получиться. Если бы оказалось, что уравнение неверно для более высоких порядков, пришлось бы отказаться от всего обоснования этой мысли, и я просто не мог примириться с такой возможностью. Поэтому я спешно написал статью, где в первом приближении показал, что, по меньшей мере при такой точности, теория совпадала с наблюдением. Таким образом, я закрепил ограниченный успех, который явился бы неким твердым основанием независимо от того, что даст будущее. При таких обстоятельствах человек чувствует большую необходимость в закреплении успеха, и я очень торопился опубликовать это первое приближение, прежде чем случится что-нибудь такое, что все опрокинет.

Дарвину оставалось заполнить оставленный мною пробел. Понимаете, Дарвин мог подойти к вопросу без тех страхов, какие испытывал я. Он сделал необходимые вычисления для всех степеней точности и установил, что они правильны. Узнав об этом, я почувствовал большое облегчение.

Если вы просмотрите мою первую работу по этому вопросу (не знаю, станет ли теперь кто-нибудь это делать, кроме историков науки), вы не сможете не заметить одной вещи. Там есть записанное мною уравнение,

содержащее комбинацию следующих знаков:

7询+场+威

И вот, если вы посмотрите на это выражение (и вообще что-нибудь знаете), то вы скажете, что оно неверно. Перед всеми р должен стоять минус. И вы решите, что в статье допущена опечатка. Это очень серьезная опечатка, и вы, быть может, удивитесь, как я мог пропустить ее. В те дни я всегда внимательно читал гранки.

Но это вовсе не опечатка, и вид этого уравнения опять-таки есть проявление страха. Эта работа проведена в 20-е годы, когда вся идея относительности была еще очень молода. Она всколыхнула научный мир только после окончания Первой мировой войны, причем всколыхнула весьма сильно. Об относительности говорили все — не только ученые, но и философы, и авторы газетных статей. Мне кажется, что ничто в истории науки не привлекло такого сильного общественного интереса, как теория относительности в те далекие дни, когда, по окончании трудной войны, напряжение уменьшилось.

Основная мысль теории относительности заключалась в симметрии между пространством и временем. Но это не вполне совершенная симметрия. Чтобы сделать ее совершенной, надо изменить знаки в некоторых уравнениях. Эти необходимые изменения знака можно внести посредством введения квадратного корня из минус единицы в некоторые физические величины. (Там, где у нас имеются четырехмерные векторы, мы должны ввести в некоторые координаты д/—1.) При таких изменениях получается полная симметрия.

В первое время все занимавшиеся теорией относительности находились под сильным впечатлением этой, симметрии между пространством и временем и хотели сохранить ее во что бы то ни стало. И они часто пользовались этим обозначением, содержащим д/—1, просто для достижения полной симметрии. Результатом были выражения, подобные вышеуказанному. Это обозначение было совершенно обычным. По своим старым заметкам я вижу, что я постоянно пользовался им. Оно было настолько обычным, что авторы даже не заботились о том, чтобы упомянуть о нем; пользуясь им в своих статьях, они считали его само собою понятным. Из знаков в выражении было видно, следует вводить д/—1 в основные переменные или не следует, и не было надобности терять время на объяснения. Таким образом, то, что кажется опечаткой теперь, когда люди не чувствуют необходимости в сохранении симметрии между пространством и временем, было вовсе не ошибкой, а историческим следствием того пути, по котором развивалась теория относительности.

Как после этого шло дальнейшее развитие квантовой теории? Мы располагали пригодным релятивистским уравнением. Оно давало совпадение с экспериментом с большой точностью в простейшем случае атома водорода. Но вскоре появилась новая трудность: при работе с этим уравнением оказалось, что электрон имеет состояния с отрицательной энергией. Частица, находящаяся в состоянии с отрицательной энергией, — это, разумеется, нечто кажущееся совершенно немыслимым. При экспериментах, несомненно, этого не наблюдалось никогда. Итак, преодолев одну трудность, мы застряли в другой.

В развитии науки часто случается, что, преодолев одну трудность, тотчас же сталкиваешься с другой и на первый взгляд кажется, что никакого реального успеха не достигнуто. Но в действительности успех достигнут, так как новая трудность меньше первой. Когда разберешься в положении более внимательно, обыкновенно становится понятным, что новая трудность фактически существовала в течение всего времени. Ранее она просто была скрыта, ее заслоняла более явная трудность, а когда эта более явная трудность устранена, внимание сосредоточивается на новой трудности.

Эта новая трудность, относящаяся к состояниям с отрицательной энергией, —пример появления по существу совсем не новой трудности. Она была все время. Эта трудность возникает в любой теории относительности, даже в старой классической теории Лоренца. Но при тех условиях она не имела значения, потому что тогда электрон никак не мог перейти в одно из состояний с отрицательной энергией. Существовала непрерывность, не допускавшая подобных скачков. Однако по новой квантовой теории такие скачки могли происходить, и эту трудность нельзя было игнорировать, как это делали раньше.

Я обнаружил, что найти выход из этого тупика на самом деле не так уж трудно. Идею мне подсказала химическая теория валентности, при которой привыкаешь к мысли, что электроны в атоме, находящиеся на целиком заполненных уровнях, не участвуют в создании валентных связей. Принимают участие в валентных связях электроны незаполненных оболочек и дырки в сплошном заполнении нижних уровней.

Ту же мысль можно применить к состояниям с отрицательной энергией и предположить, что при нормальных условиях все состояния с отрицательной энергией заполнены электронами таким же образом, как ими заполнены нижние уровни в химическом атоме. Тогда обыкновенный электрон с положительной энергией не сможет перейти в состояние с отрицательной энергией. Однако можно предположить, что при некоторых условиях в состояниях с отрицательной энергией может быть дырка, и этим дыркам надо было найти объяснение.

Сразу видно, что такая дырка проявится как частица. Это будет частица с положительным зарядом и положительной массой. Когда у меня возникла эта мысль, мне с самого начала казалось, что между дырками и электронами должна существовать симметрия и, следовательно, дырки должны иметь ту же массу, что и электроны. Как же тогда объяснить дырки? Это частицы с положительным зарядом. Единственными частицами с положительным зарядом, известными в то время, были протоны. В течение десятков лет физики строили свою теорию материи, всецело исходя только из электронов и протонов. Наличие этих двух основных частиц вполне их удовлетворяло. Электроны несут отрицательный заряд, протоны — положительный. Это все, что требовалось. Резерфорд выдвинул заманчивую мысль, что может существовать еще и третья частица — нейтрон. Это было просто предположение, о котором время от времени говорили, но никто не относился к нему действительно серьезно.

На том основании, что единственными частицами в природе являются электроны и протоны, я полагал, что дырки должны быть протонами. И это сильно осложняло дело, так как протоны обладают совсем другой массой, чем электроны. Они гораздо тяжелее. Как же объяснить различие в массе.

Я некоторое время искал причину, которая позволила бы это объяснить. Я надеялся, что, может быть, сила взаимодействия между электронами, установленная Кулоном, приводит к некоему взаимодействию между всеми электронами, находящимися в состояниях с отрицательной энергией, что, в свою очередь, привело бы к различию в массе, хотя я не мог понять, как это может произойти. Однако я считал, что моя основная мысль должна содержать нечто разумное, и потому опубликовал статью, в которой преподнес ее в виде теории электронов и протонов, но совершенно не объяснил, как протоны могут иметь совсем не такую массу, какую имеют электроны.

Мою мысль подхватил Герман Вейль. Он смело сказал, что дырки должны иметь такую же массу, какую имеют электроны. Но Вейль был математиком, а вовсе не физиком. Его интересовали только математические выводы из этой мысли, разработка того, что можно вывести из различных симметрии. И этот математический подход прямо привел к выводу, что дырки должны иметь такую же массу, как и электроны. Вейль опубликовал статью, прямо утверждавшую, что дырки имеют такую же массу, как электроны, и не снабдил свою статью какими-либо комментариями насчет значения такого утверждения для физики. Быть может, он действительно не думал об этом. Он просто хотел произвести последовательные математические вычисления.

На этом этапе развития теории в нее сделал свой вклад Оппенгеймер. Он согласился с выводом Вейля, что дырки и электроны должны иметь одинаковую массу, и его ничуть не смутила физическая реальность, что на практике дырки не наблюдаются. Оппенгеймер только сказал, что существует какая-то непонятная причина, не позволяющая наблюдать дырки. Он согласился с тем, что дырки не могут иметь ничего общего с протонами и что поэтому должна существовать какая-то таинственная причина, по которой они не возникают в природе.

Итак, выдвинув свою гипотезу, Оппенгеймер действительно был очень близок к цели. Причина, по которой дырки не наблюдались, состояла просто в том, что экспериментаторы не искали их там, где надо, или, если и искали, то не узнавали того, что видели.

Припоминаю, как в эти давние времена, даже незадолго до появления теории электронов и протонов, я беседовал с людьми, работавшими в лаборатории Кавендиша, и наблюдал путь частиц в магнитном поле; они говорили, что иногда наблюдают, как электрон возвращается в источник. Они полагали, что это случайные явления. Никто не считал нужным присмотреться к ним поближе. Предположение, что из источника исходит новая частица (а не просто обыкновенный электрон возвращается в источник), было тогда совершенно чуждо общепринятому образу мыслей. Не думаю, чтобы у кого-нибудь возникало малейшее подозрение о такой возможности. У экспериментаторов было перед глазами доказательство существования этих новых частиц с положительным зарядом и такой же массой, как у электронов, но они не были в состоянии оценить то, что они видели.

Понадобилось несколько лет работы, прежде чем был установлен факт существования позитронов. Первым твердое доказательство существования позитронов фактически получил Блэкетт, но не решился его опубликовать. Он хотел подтверждения и был сверхосторожен. В результате

доказательство существования позитрона первым опубликовал Андерсон и пожал славу открытия позитрона.

Когда мысленно возвращаешься к тому времени, с изумлением обнаруживаешь, с какой неохотой исследователи высказывали предположение о существовании новой частицы. Это относится и к теоретикам, и к экспериментаторам .Кажется, они скорее готовы были искать любое объяснение, чем предположить наличие новой частицы. Им были нужны самые очевидные и неопровержимые доказательства, прежде чем они будут вынуждены высказать предположение о существовании новой частицы. С тех давних времен обстановка совершенно изменилась, Теперь непрерывно в огромном количестве предполагаются и предлагаются новые частицы. В настоящее время в обращении находится целая их сотня или еще больше. Люди с великой готовностью публикуют доказательства существования новой частицы — независимо от того, добыта она путем эксперимента или же благодаря какой-нибудь плохо обоснованной теоретической идее. Первый шаг к признанию позитрона был очень труден. Далее последовало открытие нейтрона, подтвердившее гипотезу, несколькими годами ранее выдвинутую Резерфордом; затем были открыты нейтрино и различные мезоны.

В те далекие дни были заложены основы квантовой механики. Был заложен фундамент теории, которая оказалась очень хорошей для объяснения всех атомных явлений, если не касаться явлений, связанных со слишком малыми расстояниями или со слишком высокими энергиями. Когда идешь дальше по этим направлениям, то сталкиваешься с новыми трудностями и чувствуешь, что основные идеи, необходимые, чтобы избежать этих новых трудностей, еще не разработаны.

Работа, проделанная после появления этих основных идей, была значительной, но не всегда носила одинаково фундаментальный характер. Последовательно разрабатывались прежние идеи; проверялось, как далеко они поведут, прежде чем трудности станут серьезными. Трудности происходят вследствие того факта, что взаимодействия между элементарными частицами и полями действительно чересчур интенсивны, чтобы можно было создать какую-нибудь удовлетворительную теорию. Приходится прибегать ко всякого рода ухищрениям, чтобы развивать теорию дальше. Приходится придумывать теории, более или менее вспомогательные и не имеющие под собой твердой основы.

При нынешнем положении вещей эти основные трудности все еще существуют. Для преодоления их понадобится какой-нибудь новый Гейзенберг. Экспериментаторы непрерывно добиваются успехов, и теоретические трудности не смущают их. Они продолжают накапливать доказательства и требуют от физиков-теоретиков создания пригодных теорий. Беда здесь в том, что эксперименты обходятся крайне дорого, но несмотря на это экспериментальной работе способствует международное соперничество и работа идет вперед в различных центрах.

Мои собственные труды, предпринятые впоследствии, не имели большого значения, и я не думаю, чтобы о них стоило говорить подробно. Могу только сказать, что после того как я установил существование позитрона, я пришел к мысли о существовании новой частицы — магнитного монополя. Это обосновывается замечательными по красоте математическими вычислениями, и мы будем счастливы, если окажется, что монополи действительно существуют в природе и великолепные математические расче-

ты будут иметь применение. Однако я нисколько не боюсь за эту теорию, даже если монополи не будут открыты. Если окажется, что данные математические расчеты неприменимы к Природе, это фактически не столь уже важно, так как работа ведется совершенно изолированно и прекращение ее не повлияет на главные принципы квантовой теории.

Когда кто-нибудь ставит под сомнение главную идею, испытываешь большое волнение и сильный страх, как бы что-нибудь не пошло не так, но подобных волнений с тех давних времен мы не испытали ни разу.

Период, длившийся несколько лет, начиная с 1925 г., можно назвать золотым веком физики. Тогда быстро развивались наши основные идеи, и у всех было полно работы. Теперь стали совершенно ясны пределы идей, выдвинутых в этом золотом веке, и все мы надеемся, что начнется новый золотой век, которому положит начало какая-нибудь новая мощная идея, которая вновь приведет к периоду быстрого развития физики с его великими надеждами и великими страхами.

МОЖНО ЛИ ИСПОЛЬЗОВАТЬ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФИЗИКЕ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ?)

Формализм, который с таким успехом применялся в классической физике, возможно, приведет к плодотворной и красивой теории элементарных частиц.

Достижения физики высоких энергий стимулировали развитие нескольких новых математических подходов, предназначенных для вычислений и объяснения экспериментальных результатов. Многие из этих подходов слабо связаны с методами, используемыми в других областях физики, многие неполны или обладают теми или иными недостатками. Использовались они с переменным успехом. Методы, основанные на уравнениях движения, столь необходимые в физике низких энергий, были в основном отброшены как непригодные для этой новейшей области физики. И все же, если мы верим в единство физики, надо полагать, что одни и те же основные идеи одинаково применимы во всех ее областях. Почему же нам тогда не следует пользоваться уравнениями движения в физике высоких энергий так, как мы пользуемся ими в физике низких энергий? Я считаю, что следует. У теории, обладающей математической красотой, больше шансов быть правильной, чем у уродливой теории, подогнанной под некоторые экспериментальные данные.

Уточним прежде всего понятие уравнений движения. Для описания физического состояния в определенный момент времени нужно ввести набор некоторых чисто математических величин А. Тогда уравнения движения имеют вид

dA/dt = функция от А. (1)

Интегрируя эти уравнения, можно выразить величины А в последующий момент времени через начальный набор значений А.

Детерминизм, который содержат уравнения движения, в атомном мире, вообще говоря, не справедлив. Однако существует квантовая механика, основанная на уравнениях движения, справедливых для низких энергий, в которой детерминизм существует в промежутках между наблюдениями и нарушается только при наблюдениях. Вопрос состоит в том, существует ли аналогичная теория, основанная на уравнениях движения, которая справедлива также для физики высоких энергий.

До сих пор использование уравнений движения не приводило к существенному прогрессу в физике высоких энергий, за исключением ограниченной области электродинамики. Трудности, с которыми приходится сталкиваться при введении уравнений движения в теорию, которая должна быть релятивистской, настолько серьезны, что многие теоретики склонились к тому, чтобы оставить эти попытки строить теорию, независимую от уравнений движения.

Теория ^-матрицы. Некоторые физики отмечают, и вполне обоснованно, что величины, входящие в уравнения движения, т.е. динамические переменные, отнесенные к фиксированному моменту времени, не связаны непосредственно с экспериментальными результатами. Они полагают, что теория должна непременно выражаться через величины, наблюдаемые непосредственно. Это довольно сильный аргумент. Именно он привел в 1925 году Вернера Гейзенберга к построению матричной механики, которая развилась в современную квантовую механику.

В физике высоких энергий мы сталкиваемся с вычислением вероятностей испускания, поглощения и рассеяния частиц. Если исходить из тех же общих принципов, которые так хорошо работают в физике низких энергий, то эти вероятности определяются как квадраты модуля некоторых чисел, называемых амплитудами вероятности. Амплитуды вероятности, собранные вместе, образуют S-матрицу. Таким образом, в S-матрице содержится вся информация, необходимая для физики высоких энергий.

Если бы у нас были уравнения движения, то, проинтегрировав их, мы получили бы S-матрицу. Не исключено, однако, что S-матрицу можно построить независимо от существования уравнений движения. Вера в это, принесшая немалый успех, сформировала целое направление в физике, отрицающее уравнения движения. Некоторые свойства S-матрицы известны из общих физических принципов, довольно большая информация о ней может быть также получена из экспериментальных данных. Физики, работающие в этом направлении, надеются, что в конце концов удастся получить информацию, достаточную для полного определения S-матрицы.

Несмотря на успех теории S-матрицы, я верю, что физика высоких энергий должна быть основана на уравнениях движения, потому что они очень необходимы для понимания явлений, происходящих при низких энергиях. Физика высоких энергий составляет лишь небольшую долю физики в целом. В большинстве областей, таких, как физика твердого тела, спектроскопия атомов и молекул, химическая физика, теория основывается на уравнениях движения и дает вполне удовлетворительные результаты. Мы верим в единство физики. Уравнения движения, столь плодотворные в большей части физических дисциплин, нельзя просто отбросить в одной области физики. Хотя эти уравнения, может быть, и нуждаются в модификации, во введении различных типов переменных, следует ожидать, что основная структура уравнения (1) должна быть сохранена. В результате получатся дифференциальные уравнения для развития во времени, и, проинтегрировав их, можно получить результаты, пригодные для сравнения с опытом.

Лоренц-инвариантность. Теория, основанная на уравнениях движения, в которой время входит не так, как пространственные координаты, не обладает явной лоренц-инвариантностью. Это вовсе не значит, что такая теория неверна. Мы требуем, чтобы результаты теории были лоренц-ин- вариантны, и мы должны доказать, что теория приводит к инвариантным результатам, прежде чем принять ее в качестве правильного исходного пункта. Такое доказательство может стать довольно сложным, но это не имеет значения.

Более того, вполне вероятно, что требование релятивистской инвариантности применимо только к полной теории, учитывающей все физические частицы и все взаимодействия между ними. Неполная теория, ограниченная лишь частицами определенного типа, не обязана обладать реляти-

вистской инвариантностью. Все современные теории являются неполными. Вполне вероятно, что мы еще не знаем всех существующих элементарных частиц. Может быть, и не следует требовать релятивистской инвариантности от современных теорий.

Если считать, что уравнения движения приложимы к физике высоких энергий, то естественно взять уравнения, хорошо работающие в области низких энергий, и попытаться развить и обобщить их, чтобы сделать пригодными для описания процессов, происходящих при все более и более высоких энергиях. Не обязательно при этом требовать точной лоренц- инвариантности. Надо требовать приближенной инвариантности в низкоэнергетических приложениях и стремиться к постепенному увеличению ее точности.

Этот подход существенно отличается от принятого в теории S-матрицы. Там лоренц-инвариантность существует с самого начала и сохраняется на всех этапах развития теории.

Квантовая электродинамика. Физика низких энергий определяется квантовой электродинамикой, которая описывает заряженные частицы, взаимодействующие с электромагнитным полем. Можно ожидать, что она применима ко всем физическим процессам, происходящим при энергиях до нескольких сотен мегаэлектрон-вольт, пока еще невозможно рождение других частиц. Поэтому прежде всего надо привести к удовлетворительному виду уравнения квантовой электродинамики. При этом возникает ряд проблем.

Теория Максвелла вместе с релятивистской теорией электрона приводит к определенным уравнениям движения. Эти уравнения можно решать методом теории возмущений, считая малым взаимодействие между электронами и полем. Решения выражаются через степенные ряды по константе связи, с?/方& которая является малым числом. Однако вскоре возникают расходящиеся интегралы.

У. Лэмб, X. Бете и другие предложили определенные правила для устранения бесконечностей из уравнений, такие, чтобы остаток был конечен. Их результаты объяснили некоторые физические эффекты (лэмбов сдвиг и аномальный магнитный момент электрона) с высокой точностью. Обычная квантовая электродинамика, полученная этой процедурой, удовлетворила многих физиков. Я вообще не нахожу ее удовлетворительной.

Если мы хотим построить теорию по уравнениям движения, то надо пользоваться ими в соответствии со стандартными математическими законами, пренебрегая лишь теми величинами, которые малы, а не бесконечно велики. Что же получится, если мы попытаемся действовать методами стандартной математики?

Из-за присутствия бесконечностей в квантовой электродинамике уравнения движения не имеют решений, и их надо изменить. Бесконечности возникают от процессов при высоких энергиях, когда теория заведомо неприменима, поскольку она не учитывает других частиц, которые могут быть существенны в этой области. Так как мы не обладаем достаточной информацией об этих других частицах, чтобы ввести их в уравнения движения, мы вынуждены вообще исключить из рассмотрения процессы при высоких энергиях, чтобы иметь возможность получить какой-то результат. Бесконечности устраняются, но нарушается лоренц-инвариантность. Этот недостаток — меньшее зло, чем отказ от стандартной математики.

Формулировка метода. Динамические переменные, применяемые в этой работе, — это операторы рождения и уничтожения электронов и фотонов в различных состояниях. Пусть 〃九一оператор рождения, причем п обозначает стационарное состояние для некоторых изолированных частиц. Тогда операторы уничтожения имеют вид 诡.Запишем гамильтониан Н в виде Н = Е + V^ где Е — собственная энергия всех частиц. Она выражается суммой

e

где cjn — энергия данной частицы в состоянии п. Второй член V — энергия взаимодействия, которая может быть записана в виде ряда гю 〃 и 〃*. Процедура, основанная на теории возмущений, подразумевает, что энергия V мала.

Существует такое состояние |0), в котором нет ни одной частицы. Оно удовлетворяет условию

喟 о〉= о

при всех п. Любое состояние |Р) записывается в виде

户〉=以〃)|0〉，⑵

где 吵(〃)一степенной ряд по операторам рождения 〃. Если состояние |Р) нормировано, то квадраты модулей коэффициентов в 吵(〃)дают вероятности того, что в данном состоянии присутствуют данные частицы в определенном количестве.

В картине Шредингера эволюция состояния |Р) описывается уравнением

ihd\p)/dt = н\р).

Это уравнение определяет, как |Р) изменяется со временем. Если мы запишем |Р)=吵(〃,土)|0〉)то можно вычислить, как меняются со временем вероятности.

Предположим, что при 土 = 0 состояние |Р) было «пустым», т.е. не содержало ни одной частицы:

\P)t=Q = |0).

Тогда получим

ih(d\P)/dt)t=Q = H\0) = V\0).

Это выражение не равно нулю. Таким образом, коль скоро V содержит операторы рождения и уничтожения, мы приходим к выводу, что частицы должны рождаться. С течением времени |Р) уже не будет состоянием, не содержащим частиц, с которого мы начали. Следовательно, не содержащее частиц состояние нестационарно.

Вакуумное состояние. Обычно вакуумное состояние |и〉определяется как стационарное состояние с низшей энергией. Оно удовлетворяет уравнению

ihd\v)/dt =

где А — вещественное число, принимающее минимальное значение. Это определение разумно при условии, что все отклонения от вакуумного состояния увеличивают его энергию. Вакуумное состояние действительно

обладает этим свойством во всех известных областях физики, кроме гравитации, которая не играет роли в атомной физике.

Таким образом, мы приходим к выводу о том, что вакуумное состояние —это нечто совершенно отличное от состояния, не содержащего частиц. Согласно уравнению (2), эти два состояния связаны формулой

Iu〉=现(〃)1。〉，

где ⑺。меняется со временем по закону ехр (—分入力/方).

Если мы выберем Н и введем соответствующее обрезание, чтобы исключить бесконечности, то сможем найти ⑺。и вычислить вероятности обнаружения в вакуумном состоянии определенного числа частиц. Это вычисление было бы весьма трудным, потому что нельзя пользоваться теорией возмущений, так как члены более высокого порядка более существенны, чем члены более низкого порядка. Хотя такое вычисление должно быть возможно в принципе, от него было бы мало пользы, так как результат сильно зависит от обрезания. Пока мы не знаем, где и как вводить обрезание, существенны могут быть только те результаты, которые не чувствительны к нему.

Может быть, следовало бы попытаться построить теорию без ⑺。〉так как экспериментаторов интересует не сам вакуум, а только отклонения от него. Состояние, отличное от вакуумного, можно представить в виде K\v\ где К — некоторый оператор. Уравнение Шредингера дает

叫 WHK\呜,(З)

или

访竽 W = HK\v} -ihK ^\v} = {HK - KH)\v}.

Это уравнение выполняется при условии, что оператор К выбран в согласии с гейзенберговым уравнением движения

ihdK/dt = НК - КН.(4)

Если удастся найти решения этого уравнения, то мы сможем решить уравнение Шредингера (3), даже не зная вакуумного состояния \v}.

Интерпретация решения. Предположим, что у нас есть решение уравнения Гейзенберга (4); как мы им воспользуемся? Нужна какая-то физическая интерпретация. Согласно обычной интерпретации квантовой механики, надо представить состояние K\v} в виде формулы (2):

К®〉=如(#1。〉

и вычислить ⑺]в произвольный момент времени. Тогда по волновой функции 耽 можно вычислить вероятности обнаружить в данном состоянии различные частицы. Используя волновую функцию ⑺。〉можно сравнить полученные вероятности с аналогичными для вакуумного состояния и выяснить, какие дополнительные частицы присутствуют в состоянии K\v} или каких не хватает по сравнению с вакуумом. Однако такой метод интерпретации решения требует знания функции 2b и потому не может быть использован в рассматриваемом случае.

Можно предложить другой способ интерпретации. Построим состояние К|0〉)представив его в виде

К10)= ^(^)^),

и вычислим 必 в произвольный момент времени. Если состояние нормировано, то функция 必 определяет распределение вероятностей для частиц. Нет необходимости знать ⑺仇 нужно лишь знать нормирующий множитель для каждого распределения вероятности.

Хотя этот способ физической интерпретации и не согласуется с общепринятыми законами квантовой механики, он все же представляется разумным в качестве временной процедуры, которой можно воспользоваться немедленно. В сущности, таким образом мы сглаживаем сложные эффекты вакуумных флуктуации.

Предлагаемым методом можно вычислить лэмбов сдвиг и аномальный магнитный момент. При этом оператор К соответствует рождению электрона в статическом электрическом или магнитном поле в определенный момент времени. Решение уравнения (4) не чувствительно к обрезанию в этом случае. Проводя все вычисления последовательно, мы отойдем от общепринятых принципов только в том, что будем применять новый способ физической интерпретации.

Взяв в качестве К оператор рождения фотона в определенный момент времени, можно попытаться провести аналогичное вычисление. В этом случае решение уравнения (4) существенно зависело бы от обрезания. Оно соответствовало бы фотону с большой массой покоя, стремящейся к бесконечности при устранении обрезания. Этот существенный недостаток теории должен быть исправлен изменением гамильтониана. Прежде чем распространить теорию на высокие энергии, надо включить в нее все остальные частицы и взаимодействия.

18 П. Дирак. Т. III

РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ)

Релятивистские волновые уравнения, используемые в настоящее время в физической теории, симметричны относительно состояний с положительной или отрицательной энергией. Здесь предлагается новое релятивистское волновое уравнение для частиц с ненулевой массой, допускающее только положительные значения энергии. Имеется большое формальное сходство этого уравнения с обычным релятивистским волновым уравнением для электрона, но физический его смысл существенно отличен. В частности, новое уравнение приводит к целочисленному значению спина [1].

Волновое уравнение

Внутренние степени свободы подразумеваются в форме двух гармонических осцилляторов [2]. Обозначим динамические переменные, описывающие эти осцилляторы, через qi)pi)42〉02・ Для краткости записи удобно положить pi = %〉02 = 44〉так что динамические переменные записываются одной буквой qa (а = 1, 2, 3,4). Их коммутационные соотношения имеют вид (если мы положим 方=1)

[Яа^ Qb\— = QaQb — QbQa = ^аЬч(1」)

где В представляет собой матрицу

0 0-00 0-0ОООООО0\

0 0-0

0 0-0

ООО

ООО

扑(L2)

О/

Отметим, что /3 кососимметрична и 斤=—1.

Новое волновое уравнение для частицы с единичной массой имеет вид 3= 0.(1.3)

I UXqUXr 丿

Индекс г принимает значения 1, 2, 3, а аг являются 4 х 4-матрицами, коммутирующими друг с другом и с /3, квадрат каждой из них равен единице. Волновая функция ⑺ имеет только одну компоненту, но является функцией двух коммутирующих 4 например qi и 42〉а также четырех х. Теперь можно придать смысл каждой q* действующей на ⑺.Под величиной q в (1.3) подразумеваются четыре элемента Q/, 42〉4з)Q4- Таким образом, q2 будет матрицей-колонкой с четырьмя элементами q、2)42⑺〉4з中)44砂. Эта матрица-колонка перемножается обычным способом с 4 х 4-матрицами а『)/3.

Уравнение （1.2） сильно напоминает обычное волновое уравнение. Если опустить сомножитель q и считать, что ⑺ имеет четыре компоненты, соответствующие 4 х 4-матрице, оно точно переходит в обычное волновое уравнение. Однако это сходство не более, чем поверхностное. Рассматриваемая здесь волновая функция лишь с одной компонентой и двумя внутренними переменными q радикально отличаются от обычной волновой функции.

В излагаемой здесь теории на матрицы аг необходимо наложить некоторые дополнительные условия, которые не требуются для обычного волнового уравнения. А именно, они должны быть симметричны, и их элементы должны быть вещественны. Удовлетворить этим условиям несложно. Например, можно взять

因=因=-1О о оо о о 1о О-1О-1О о оо о о 1о О-1Оо 1 о оо 1 о оООО - о О-1О о 1 о о 1 о о оООО - о О-1О о 1 о о 1 о о о1±1±