V. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

И ПЛАЗМЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИМАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЫ

В. Н. ОРАЕВСКИЙ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ НЕУСТОЙЧИВОСТЯХ ВОЛН В ПЛАЗМЕ

Параметрические неустойчивости волн в плазме ведут свою родословную от распадной неустойчивости, обнаруженной в 1962 г. [1]. Эти неустойчивости обычно имеют пороги по амплитудам волн накачки и основаны на резонансном взаимодействии волн. В простейшем случае соответствующий резонанс есть пространственно- временной резонанс собственных мод с основной или высшими гармониками волны накачки, его условия можно записать в виде [2]

/Z(Oo = O)i-J-(O2; 72ko = ki+k2, 72=1, 2, 3 . . ., (1) где coo, ко — частота и волновой вектор волны накачки; oi, k^ o)2^ k2 — соответствующие величины для волн, возбуждаемых при неустойчивости.

Условия (1) напоминают законы сохранения энергии и импульса, выполняющиеся при распадах квазичастиц, поэтому, начиная с работы [1], соответствующие неустойчивости получили название распадных. Практический интерес для волн накачки не слишком большой амплитуды представляют распадные неустойчивости первого порядка и в случае, когда они отсутствуют,—второго [3]. Это связано с тем, что, во-первых, инкремент неустойчивости тг-го порядка пропорционален n-й степени амплитуды, во-вторых, порог неустойчивости увеличивается с ростом п.

Хотя первой обнаруженной распадной неустойчивостью была неустойчивость электростатической волны * в изотропной плазме

[1], на первом этапе (1962—1964 гг.) изучались в основном параметрические неустойчивости магнитоактивной плазмы [4—8], и это неудивительно. Магнитоактивная плазма представляет собой уникальную волновую среду—в ней легко возбуждается и слабо затухает множество волн различных поляризаций и пространственно-временных масштабов. А ведь чем больше типов колебаний, тем легче удовлетворить резонансным условиям типа условий (1) и, таким образом, параметрически возбудить, «раскачать» новые колебания исходной волной, поэтому в магнитоактивной плазме могут возникать все известные разновидности параметрических неустойчивостей: распадная [1], модуляционная [9], неустойчивость модифицированного распада [10, 11], взрывная [12, 13], тепловая [14] и ряд других [15, 16].

Уместно отметить, что практически одновременно с началом изучения параметрических неустойчивостей в плазме в нелинейной оптике в том же 1962 г. были обнаружены явления вынужденного комбинационного рассеяния волн [17, 18]. Хотя деление на спонтанные и вынужденные (индуцированные) волновые процессы было проведено еще Энштейном, вопрос о том, как протекают процессы вынужденного рассеяния, оставался до 1962 г. неисследованным. Между тем при распадной параметрической неустойчивости, описывающей вынужденное комбинационное рассеяние волн, проявляются такие особенности этих процессов, как экспоненциальное (а не линейное!) нарастание амплитуд не только рассеянной, но и падающей волны! Это является прямым следствием возникновения положительной обратной связи рассеянной и падающей волн, распространяющихся на фоне волны накачки. Уравнения, описывающие такую связь, можно интерпретировать как пространственно-временное обобщение уравнений Хилла (в простейшем случае — Матье). Естественно, соответствующие неустойчивости были отнесены к разряду параметрических.

Однако не всегда параметрические неустойчивости могут описываться простыми математическими моделями типа обобщенных уравнений Хилла — Матье. Характерный тому пример — неустойчивости альвеновских волн произвольной (в частности, большой) амплитуды с пилообразным профилем магнитных силовых линий (рис. 1) [19]. Подход к изучению дисперсионных свойств системы плазма — альвеновская волна был аналогичен излагаемому .обычно в учебниках по квантовой механике, когда дисперсионные\вой- ства электронов, находящихся в периодическом поле кристаллической решетки, изучаются в модели периодически повторяющихся прямоугольных потенциальных ям и барьеров. Условия периодичности и непрерывности на соответствующих скачках позволяют определить дисперсионные свойства системы и соответствующие инкременты. Отличие от схемы квантовомеханических вычислений состоит в том, что необходимо учитывать малые смещения между областями с постоянным магнитным полем. На этом примере можно проследить, как параметрические неустойчивости высоких порядков возникают наравне с неустойчивостями низких порядков. 8

Решенная задача была первым исследованием неустойчивости плазмы в поле волны накачки большой амплитуды. Вместе с другой весьма важной модельной задачей — исследованием устойчивости в поле электрического колебания большой амплитуды с частотой, близкой к плазменной [10, 11] (подробно об этом см.

Рис. 1. Альвеновская волна с пилообразным профилем силовых линий магнитного поляРис. 1. Альвеновская волна с пилообразным профилем силовых линий магнитного поля[20]), — эта задача позволила осветить основные особенности параметрических неустойчивостей волн накачки большой амплитуды.

Рис. 1. Альвеновская волна с пилообразным профилем силовых линий магнитного поля

Рис. 1. Альвеновская волна с пилообразным профилем силовых линий магнитного поля

Следует подчеркнуть, что распадные параметрические неустойчивости (РПН) имеют пороги по амплитуде волн накачки: неустойчивости возникают, если амплитуда пре

вышает определенное значение. В приближении однородной плазмы эти пороги определяются декрементами дублета волн, возбуждаемых при РПН [21]. В неоднородной плазме при определении порогов РПН существенную роль играет вынос волн из зоны резонансного взаимодействия, где выполняются условия (1) [22—25]. Это связано с тем, что РПН, как правило, относятся к классу конвективных, а не абсолютных неустойчивостей.

Рассматривая влияние поглощения волн на РПН, подчеркнем, что порог неустойчивости определяется произведением декрементов возбуждаемого дублета волн. Когда одна из волн практически не затухает, а вторая обладает сильным затуханием, существует возможность возникновения параметрической неустойчивости, сходной с РПН. Так, в изотермической плазме (где звук сильно затухает) возможна неустойчивость волны (с частотой ш0^юр) по отношению к «распаду» на плазмон (o>i, kJ и низкочастотный отклик, свойства которого определяются частицами, резонансными с биением (cd0—o)i, к0—kJ [И].

К весьма интересным результатам приводит учет нелинейности в диссипативных слагаемых. Если эти нелинейности преобладают над стрикционными, то соответствующие параметрические неустойчивости имеют весьма низкие пороги. Так, в низкотемпературной плазме нелинейность в слагаемом, описывающем увеличение температуры за счет джоулева нагрева плазмы, может быть ответственной за возникновение РПН и неустойчивости модифицированного распада. Неустойчивость такого типа получила название тепловой параметрической неустойчивости [14], она играет важную роль в параметрическом нагреве нижней ионосферы и связанном с ним расслоении плазмы [26, 27].

Своеобразно протекают параметрические неустойчивости с участием волн с отрицательной энергией *. Если волна накачки есть волна с отрицательной энергией, то одновременно нарастают амплитуды всех трех участвующих в распадном взаимодействии

* Волны ме, см. § 5.

с отрицательной энергией могут возникать в

неравновесной плаз-

мод [12]. Причем в приближении, соответствующем распадному, решение уравнений носит взрывной характер — амплитуды триплета волн стремятся к бесконечности за конечное время — время «взрыва» [13]. В реальных условиях бесконечный рост амплитуды могут останавливать как нарушение временного синхронизма, возникающее за счет нелинейного сдвига частот взаимодействующего триплета волн [30], так и нарушение пространственного синхронизма, связанное с конвективным выносом мод из зоны взаимодействия [31].

До сих пор мы говорили о параметрических неустойчивостях в безграничной плазме. Такое приближение, строго говоря, справедливо лишь для коротковолновых (в сравнении с размерами системы) мод. Поэтому количественное сравнение с экспериментальными данными результатов, полученных в приближении безграничной плазмы, зачастую весьма затруднительно. Влияние границы на распадные взаимодействия и РПН рассмотрено вначале на примере взаимодействия объемных и поверхностных волн в плоском слое с размытой границей [28]. Затем была разработана общая методика расчета трехволновых взаимодействий с участием объемных и поверхностных волн в цилиндрических системах с учетом возможных колебаний границы [29]. Методика применялась для исследования РПН магнитогидродинамических волн в плазменном цилиндре, удерживаемом магнитным полем. Основные особенности РПН в ограниченных системах определяются: 1) отсутствием трансляционной инвариантности (в направлении границ); 2) существованием широкого класса волн (поверхностных), неучитываемых в приближении безграничной плазмы; 3) нелинейностью граничных условий. Все это увеличивает возможности параметрического возбуждения флуктуационных мод.

Теория параметрических неустойчивостей тесно переплетается с теорией турбулентности плазмы [2], и это неудивительно. В турбулентных процессах параметрические неустойчивости «вступают в игру» естественным путем, и часто их роль в развитии этих процессов является определяющей. Причем речь идет не только о тех случаях, когда главенствующее значение параметрических неустойчивостей практически очевидно (как в бесстолкновительном нагреве различных видов плазмы с помощью электромагнитных волн накачки разных частот [20]), но и о таких, например, как бесстолкновительный нагрев плазмы электронными пучками, образование бесстолкновительных ударных волн с турбулентной структурой и т. п.

РАСПАДНЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

В СРЕДЕ С ВОЛНОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ ФАЗОВОЙ СКОРОСТИ (ВЛИЯНИЕ ЧАСТОТНОЙ РАССТРОЙКИ, ЗОНЫ НЕУСТОЙЧИВОСТИ, ПОРОГИ)

Волновой аналог уравнения Матье. Изложение теории параметрических неустойчивостей волн накачки естественно начать с рассмотрения РПН. При этом удобно выбрать модель, близкую к реальности и обладающую достаточной простотой, чтобы проследить на этой модели основные качественные закономерности, которым подчиняются распадные параметрические неустойчивости. Нетрудно выбрать саму модель. Если в колебательных системах изложение параметрических неустойчивостей начинается с анализа решений уравнения Матье, то в нашем случае для волновой среды, такой как плазма, удобно обратиться к следующему- уравнению (см. [54]):

дЩдР— У2Ф [Ц-6 cos fat—М ] d2tz/dx2+a (и) =0,(2)

где а (и)—линейный по и оператор, описывающий небольшое отклонение закона дисперсии от линейного ®=^УФ.

Очевидно, что (2) можно рассматривать как одно из простейших обобщений уравнения Матье на волновые среды. В отсутствие слагаемого, пропорционального 8, такие уравнения в линейном приближении описывают многие хорошо известные волны: акустические, магнитозвуковые, альвеновские и т. п. Так, для линейных акустических волн в однородной плазме из уравнений:

dp (dt + ^ди^дх = 0;|

роди/д/ —— др/дх; р/рт = const, J^

где р, и, р — соответственно плотность, массовая скорость и давление; у — показатель адиабаты; индексом нуль отмечены невозмущенные величины, следует уравнение

dWP—V^ufdx^O,(4)

где V2v=S2=?po/po (5 — скорость звука).

Предположим, что нас интересуют альвеновские волны малой амплитуды. Обозначив h магнитное поле волны, распространяющейся в постоянном магнитном поле Но, из уравнений

ди/д/ = (1 /4тср0) [rot hHJ; 1

dh/d^ = rot [uHJ j(5)

получим

d2iz/d/2-V2vd2iz/dx2=0; У2ф=Ра=//2о/4лРо.(6)

Здесь ось х направлена вдоль Н, а и обозначена любая из компонент массовой скорости, перпендикулярная Но. Если в уравне-

ниях движения учесть, например, эффекты конечности ларморовского радиуса ионов [32], то (6) дополнится малой добавкой, которую можно представить в виде aw.

Пусть плотность ро промодулирована синусоидальной волной накачки небольшой амплитуды, тогда

S2 — S20 [1 4-е cos (%/— М)]; V2 = V2J1 4-е cos ^t — ^х)].

Формальная подстановка этих значений в (3) и (6) приводит к уравнениям типа (2). При строгом выводе уравнений, описывающих распространение звуковых или альвеновских волн в среде с волновой модуляцией плотности, возникнут дополнительные гармонические слагаемые, связанные с другими нелинейными слагаемыми (такими, например, как слагаемое обязанное переносной скорости). Указанное обстоятельство заметно осложняет уравнения, но не меняет характера параметрической связи, поэтому для качественного анализа достаточно ограничиться выбором модельного уравнения (2). Можно сказать, что (2) описывает волновую среду, в которой влияние волны накачки сводится к модуляции фазовых скоростей волн.

РПН, зоны неустойчивости. Рассмотрим, как возникает параметрическая связь дублета волн (o)i, ki; со2, к2), описываемых (2). Нетрудно видеть, что в отсутствие волны накачки (е=0) уравнение (2) описывает независимые пространственно-временные гармоники с законом дисперсии (о(^)=&У(р4",а(^), где а(А)—вклад в частоту слагаемых, объединенных в (2), в a(w).

Чтобы исследовать связь волн, удобно в (2) перейти к фурье- компонентам по пространственным переменным Vk= — j w(x) exp Цкх^йх и перенести слагаемое, учитывающее влияние волн накачки, в правую часть уравнения. Тогда

dW^dt* + (О2 (^ Vkl = - (s/2) (^ - кх? V^VVkx exp (- i ®оО -

- (s/2) (А, + кху V^ V^, exp (- i (7)

Мы получили систему уравнений для связанных осцилляторов V41, Vitg^h, и т. д. Эту систему можно укоротить, пользуясь малостью е. Прежде всего отметим, что в нулевом по 8 приближении все Vh осциллируют с собственными частотами ®(й). Малая связь не меняет существенно частоты осциллятора. Однако в том случае, когда стоящая в правой части (7) вынуждающая сила попадает в резонанс с собственной частотой, осциллятор может возбуждаться. Условие резонанса для первого слагаемого в правой части (7) имеет вид: ©о—<й(ко—^i)=<o(^i), для второго: ®o+<»(^i+ +&0) — ю(М). Пусть выполнено первое условие, тогда второе слагаемое является нерезонансным и им можно пренебречь *. В свою

* В магнитоактивной плазме иногда имеет место вырождение, когда одновременно могут быть выполнены оба условия. Такие случаи рассмотрены в ра- -ботах [33—35].

12

очередь, фурье-компонента V^o_^, входящая в резонансную часть уравнения (7), описывается уравнением

d*Vi-kJdf + (О2 (fc0 - к.) VVk = -(е/2) ^f V20 exp (i ^ Vkt -

- (s/2) (2&, - ку V20 exp (- i %0 У2^„(8)

В этом уравнении резонансным является также лишь первое слагаемое. Следовательно, учитывая лишь резонансное взаимодействие осцилляторов, получаем следующую укороченную систему:

^Ж + ^^У^-^/г^^ | ^2/^ + 0?(^)V,2 = -(s/2)^V20exp(i«V)y61, ]

где введено обозначение &2=^о—^ь Учитывая резонансные условия по частотам, можно сказать, что параметрически связанными являются волны, частоты и волновые векторы которых удовлетворяют условиям 0)0—<о(&2)=Со(^1), ^0—^1=^2, ИЛИ

(Оо^СО] (1^1) н~(02(^2) , ^0—^1“Ь^2, (10) т. е. распадным условиям, или, как принято говорить в нелинейной оптике, условиям пространственно-временного синхронизма.

В соответствии со сказанным выше решение (9) будем искать в виде Vk. = di (0 exp [— i wz (ki) t\, где щ — медленно меняющиеся во времени амплитуды связанных волн. Тогда

— 2i ^dajdt = — (s/2) &2 Vyoa2 exp (— i A®/); 1

— 2io)2^2/^= — (s/2) fei V^! exp (i A(d^), A(d = (d0 — o^ — <d2. J

Легко видеть, что решением (И) являются:

я^ехр (— 1"^^ + ^; ^*2~ехр Q "^^^» (12) где

v = Ky^ —(А®)74; X2D^k\k\V*Ji6<»A. (13)

Это решение описывает распадную параметрическую неустойчивость первого порядка. Из (13) следует, что при нулевой частотной расстройке, т. е. при Асо=0 [это означает строгое выполнение распадных условий (10)], амплитуды волн ах и а2 экспоненциально нарастают с инкрементом ^=^п* При этом необходимо выполнение соотношения <oi(o2>0, что вместе с распадными условиями дает соо/"‘со 1, <о2.

Иными словами, при распадной неустойчивости возбуждаются волны с частотами, меньшими частоты волны накачки (красные сателлиты) *. Следует отметить, что в пренебрежении диссипацией

Однако при наличии вырождения, когда возможно одновременное выполнение условий too—<01=10)2 и odo+'COi^ods, РПН приводит к возбуждению также и фиолетовых сателлитов {33—35].

сразу после сведения задачисразу после сведения задачиРис. 2. Зоны неустойчивости (матье-зоны)Рис. 2. Зоны неустойчивости (матье-зоны)

сразу после сведения задачи

сразу после сведения задачи

Рис. 2. Зоны неустойчивости (матье-зоны)

Рис. 2. Зоны неустойчивости (матье-зоны)

инкремент распадной неустойчивости пропорционален первой степени амплитуды волны накачки: у^^е.

Соотношение (13) определяет ширину зоны неустойчивости первого порядка п=1. При расстройке |Ао/2|>ув неустойчивость исчезает. Это означает, что ширина первой зоны РПН пропорциональна первой степени амплитуды волны накачки.

Зная теорию параметрического резонанса в колебательных системах (см., например, [36, 37]), этот вывод можно было сделать

к решению укороченных уравнений (9), которые описывают систему двух параметрически связанных осцилляторов.

Подчеркнем, что система укороченных уравнений получена с помощью условий не только временного (соо=о) 1+0)2), но и пространственного (k0=ki+k2) резонанса.

Аналогия (2) с уравнением Матье, а также метод получения систем укороченных уравнений (основанный на пространственно-временном резонансе мод) позволяют сделать качественные выводы относительно РПН более высокого порядка и соответствующих зон неустойчивости.

Очевидно, для волн относительно малой амплитуды (в нашем примере брСро) инкремент РПН n-го порядка уп^еп. Это означает, что выполнены условия (1). Соответствующим образом сужается зона неустойчивости с ростом п, так как |Ао)п|/2=уп, где ^ton=ntoo—coi—o)2. На рис. 2 представлены зоны РПН n-го порядка [2]. В связи с уменьшением инкрементов и сужением зон не

устойчивости с ростом п практически важны неустойчивости первого и второго порядков. РПН второго порядка проявляются в тех

случаях, когда РПН первого порядка не возникают в связи с невозможностью выполнения условий (10). Как показано в [3] (на примере звуковых волн), в системах, где отсутствуют РПН пер

вого порядка, обычно выполняются условия для возникновения РПН второго порядка.

Пороги РПН. Как уже отмечалось, РПН имеют пороги по амплитуде волн накачки: неустойчивости возникают, когда амплитуды превышают определенные значения. В приближении однородной плазмы эти пороги определяются декрементами возбуждаемого дублета волн [21], что можно показать, введя в уравнение (9) слагаемые, учитывающие диссипацию. Это нетрудно сделать, если ввести малые мнимые добавки к собственным частотам o)z по схеме o)z—HOi+iyi, где уг — декременты соответствующих волн. Полагая А(о = 0 и проделывая простые выкладки, получаем следую-

щее выражение для инкремента РПН vp с учетом диссипации:

^ = - (Ъ + YJ/2 + Wo + (L - Г//4.(14)

что дает выражение для порога неустойчивости в общем виде: у2опор=Т1Т2(15)

или для модельной задачи (2):

(16)

Из (15) следует, что при стремлении к нулю хотя бы одного из декрементов возбуждаемого дублета волн порог исчезает.

В неоднородной плазме пороги РПН определяются конвективным выносом колебаний из зоны резонансного взаимодействия [22—25]. Как известно, при распространении линейных волн в неоднородной плазме неизменна частота, а закон изменения волнового вектора определяется из уравнения o)z(x, ^i)=const. Это означает, что временной резонанс сохраняется, но происходит постепенное нарушение пространственного резонанса. Здесь мы имеем дело уже не с временной, а с пространственной задачей о параметрически связанных осцилляторах. Нетрудно понять, как получить укороченную систему уравнений в рассматриваемом случае. Для этого нужно в (11) произвести замену daildt—^Vtdaijdx, где Vi=dmildk—соответствующие групповые скорости, а —iAco/—нА^х. Такая замена приводит к тому, что пространственный инкремент распадной неустойчивости хр определяется формулой

2

.,2 ЧD/

>vD = (17)

tdto^dk) dto^jdk

Видно, что вместо (13) можно записать следующее выражение для пространственного инкремента х, учитывающее пространственную расстройку №.

(18)

Теперь нетрудно решить вопрос об усилении волн в области взаимодействия, которое определяется выражением ехр Г= =expZ^ xn(x)dxl. 1Как видно, для этого необходимо определить

loJ

длину зоны взаимодействия Ахо. Ее можно найти из условия прекращения раскачки волн, когда %D=A&/2, где Д&= (d/dx) (k^—кх— —&г)Ахо— расстройка пространственного резонанса за счет неоднородности. Проделав простые выкладки, получим

или, используя (17) и (19):

(20)

ТЕОРИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙМАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЛН

В § 2 качественно описаны процессы, возникающие при РПН. Здесь же на примере магнитной гидродинамики излагается общая схема построения количественной теории РПН, а затем анализируются основные выводы этой теории.

Напомним, что уравнения магнитной гидродинамики могут применяться для описания не только столкновительной плазмы, но и плазмы бесстолкновительной [32, 38, 39].

Вывод уравнений для взаимодействующих МГД-волн. РПН альвеновских волн. Итак, запишем уравнения идеальной магнитной гидродинамики для состояний, не очень далеких от равновесных. Представим массовую плотность р, гидродинамическую скорость V, давление р и магнитное поле h в виде

p=po+'dp; V=dV; р^Ро+бр; H-H0+6h,(21)

где ро, ро, Но — постоянные величины, характеризующие равновесное состояние однородной неподвижной магнитоактивной плазмы. Будем считать, что отклонения dp, 6V, др, 6h от равновесных значений не велики, и удержим в уравнениях слагаемые, квадратичные по отклонениям, пренебрегая слагаемыми третьего и более высоких порядков. Тогда система уравнений гидродинамики легко преобразуется в следующую:

д ^fdt + Ро div (SV) = - div (8р 8 V);(22)

S2 _ — [rot (8h) Но] = - (8Vv) SV - S2 (у - 2)+

dtPo 4”PoP%

+ [rot (8 h) 6h] - -1- ^ [rot (8h) H.];(23)

4тса04тср0 p0

-^- - rot [8 VH0] = rot [8VSh],(24)

где S2=yp0/p0; у — показатель адиабаты.

Изучая динамику волн в однородной плазме, удобно в уравнениях (22) — (24) перейти к переменным рь, Vk, Ьд, являющимся фурьс-компонентами по пространственным переменным от величин dp, 6V, dh. Тогда (22) —(24) можно записать в виде

5 pk.kVv<25>

ki+k2=k

‘"--к5,^ + т^!|кКк1Н.] =

= 5 {(VkA)vk, + S441k.pkiPti-

ki+k2=k

(26)(27)(26)(27)- T- llk>hk ] hJ + TV №4J H»l I;

(26)

(27)

(26)

(27)

4np0 K1 K2 4тср20)

i—к +lk[VkH0]]=- J] [k[VkhkJ],

ki~|—k2==k

Уравнения (25) —(27) можно переписать в матричной форме:

i <5ф«/^ —/7^ фэ = т£1) ( 2 (ф61, ф»,)Ь(28)

Здесь компоненты вектора-столбца фа есть соответственно массовая плотность, проекции скорости и магнитного поля, так что

Ф1 — Р^ ^2.3,4 — ^X,ytz\ ^и,Ч”^мд.(29)

Матрица оператора Н^ в системе координат, в которой ось г

направлена вдоль постоянного

магнитного поля Но, i

шеет вид:

0^хРо^РоМо000

S2^^A^хУА

кх000- ,0

РоГ 4лроК 4лр0

S2kzVA k„V.

ку—0000—-JLA.

Н^ = РоК4я?0 К4”р» , (30)

кг —000000

Ро

0— кгН000000

00— к2Н6 0000

0кхЩкуЩ0000

где Ул = Яо/)/4тср0 — альвеновская скорость. Нетрудно видеть,

что собственные векторы матрицы Н^ описывают линейные

МГД-волны. В самом деле, в линейном приближении U^ следует положить равными нулю, тогда уравнение (28) приобретает вид: i d^/dt — Н^ ф9 = 0..(31)

Его решение можно искать в виде фурье-разложения по времени. Очевидно, что для фурье-компонент по времени уравнение (31) преобразуется следующим образом:

»ф« -Жз’ф^О-(32)

Условие разрешимости (32) дает хорошо известное дисперсионное уравнение для частот МГД-волн, являющихся, как видно из (32), собственными числами оператора Д<°>:

(®° _ ^ Уд) {<о4 - о>2&2 (Ул + S2) + й2^ У^2} = 0.(33)

Для плазмы низкого давления

(₽

р\Н%/^

< 1 ) решения (33), ка

известно, приобретают простую форму:

(i)a— dz^zVA) (dm— d^kVа\ (ds—'AzkzS.(34

В соответствии с (32) и (33) нетрудно записать векторы, описы вающие собственные колебания плазмы и соответствующие аль веновским, быстрым и медленным магнитозвуковым волнам:

фа = сава exp (— i (»/); ф™’5 = cm’s e™’s exp (-- i ^ty, (35

ea (&, co) =ea (&, co) =V PoV Poоkg4kx40кукгН 0k^H 0^to00оkg4kx40кукгН 0k^H 0^to00emem00кхкгН (кхкгН (kLkVA kykzH "T^VA k^ HQkLkVA kykzH "T^VA k^ HQ^J PoкхкУд кд®т кукУд к I wm^J PoкхкУд кд®т кукУд к I wmPo/S00ksStoskx^SH,k^AkykzSH.£lsh6'^7(36)Po/S00ksStoskx^SH,k^AkykzSH.£lsh6'^7(36)

ea (&, co) =

ea (&, co) =

V Po

V Po

о

kg

4

kx

4

0

кукгН 0

k^H 0^to0

0

о

kg

4

kx

4

0

кукгН 0

k^H 0^to0

0

em

em

0

0

кхкгН (

кхкгН (

kLkVA kykzH "T^VA k^ HQ

kLkVA kykzH "T^VA k^ HQ

^J Po

кхкУд кд®т кукУд к I wm

^J Po

кхкУд кд®т кукУд к I wm

Po/S

0

0

ksS

toskx^SH,k^A

kykzSH.

£lsh6

'^7

(36)

Po/S

0

0

ksS

toskx^SH,k^A

kykzSH.

£lsh6

'^7

(36)

Векторы ea, em, es не являются ортогональными при стандартном

7

определении скалярного произведения, когда <0, V>= ^UaVa- а=1

Однако их можно ортогонализовать обычными приемами, определяя скалярное произведение следующим образом *:

7

(х, у}^ 2 Ха^у^(37)

а, 3=1

[в дальнейшем, как обычно, знак суммы в выражениях типа (37) будем опускать]. Матрица уар есть матрица, переводящая собственные векторы eQ оператора Й^ в собственные векторы ё° сопряженного оператора Й^*. Иными словами:

* Аналогичное определение скалярного произведения дается в релятивистской квантовой механике для уравнения Дирака.

18

е°^= ?pZа,S2ро0000000Ро20000000Ро20000гДе Yg, =000Ро 20000000-18л000000018л000000018лНетрудно проверить,чтостд^aYag^p= §°81 «^Г-е°^= ?pZа,S2ро0000000Ро20000000Ро20000гДе Yg, =000Ро 20000000-18л000000018л000000018лНетрудно проверить,чтостд^aYag^p= §°81 «^Г-(38)(38)(39)(39)(40)(40)

е°^

= ?pZ

а,

S

2ро

0

0

0

0

0

0

0

Ро

2

0

0

0

0

0

0

0

Ро

2

0

0

0

0

гДе Yg, =

0

0

0

Ро 2

0

0

0

0

0

0

0-

1

8л

0

0

0

0

0

0

0

1

8л

0

0

0

0

0

0

0

1

8л

Нетрудно проверить,

что

стд

^aYag^p

= §°8

1 «^

Г-

е°^

= ?pZ

а,

S

2ро

0

0

0

0

0

0

0

Ро

2

0

0

0

0

0

0

0

Ро

2

0

0

0

0

гДе Yg, =

0

0

0

Ро 2

0

0

0

0

0

0

0-

1

8л

0

0

0

0

0

0

0

1

8л

0

0

0

0

0

0

0

1

8л

Нетрудно проверить,

что

стд

^aYag^p

= §°8

1 «^

Г-

(38)

(38)

(39)

(39)

(40)

(40)

где d®6 — символ Кронекера.

Следует указать, что матрица уар определяется, как известно, с точностью до общего постоянного множителя. В (39) этот множитель выбран так, что |-ф® 12= | сст |21 <о® ] = е®, где 8 — энергия соответствующей МГД-волны. Это позволяет интерпретировать | са|2 — квадрат модуля амплитуды соответствующей МГД-моды— как число квазичастиц (МГД-волн) № в состоянии а, так как

(41)(41)|са|2 = М®=8®/|(0®|'

(41)

(41)

Для получения уравнений, описывающих изменение во времени амплитуд МГД-волн са вследствие нелинейного взаимодействия волн, необходимо вернуться к уравнению (28). Из уравнений (25) — (27) нетрудно определить UaW;

^1+^2=^^1+^2==^I

-^^[[k.he.lhfcJ + ^-nk.h^JH^№)

Теперь, используя (28), (42), можно получить уравнения для амплитуд са. С этой целью представим полный вектор гр(&, /),

описывающий состояние плазмы в МГД-приближении, в виде разложения по собственным векторам линейной задачи ■ф0', (35)

ф (&, f) = 2 с“ ехР (— *^ е°-(43)

Подставляя (43) в (28), умножая затем скалярно [в соответствии с (28) и (29)] полученную систему на собственный вектор е“ и используя (32), (40), получаем следующую систему уравнений для амплитуд взаимодействующих волн:

i ^-57^ =5 ^.к^.к*», ca4kv tVa4kv 0 exp(—i(co«—“«.Xb (44)

где

V^M.^ = (^ №). U1 (eai №), ^2 (£2)))/ I «>a W |.(45)

В (44) быстроосциллирующими слагаемыми можно пренебречь. Иными словами, в правой части (44) остаются лишь резонансные слагаемые, связанные с амплитудой волны са условиями:

ka = к?1 + к2а 2; (Оа = «Г1 + О)22(46)

(в дальнейшем индексы а, характеризующие тип и поляризацию волны, будем, как правило, опускать). Эти условия в физике плазмы принято называть распадными [1], в нелинейной оптике — условиями пространственно-временного синхронизма [17]. Отметим, кроме того, что уравнения (44) иногда называют уравнениями для связанных мод;V^,^ называют обычно коэффициентами -связи между модами или матричными элементами, описывающими взаимодействия трех волн.

Подчеркнем, чтс V^,^обладают определенными свойствами симметрии, впервые отмеченными в работе [6]:

Vi,^,^ = V>,^/, V*,*.,^ = V-6, _hXl -k^ )/дух

Vk.ht = V^,-k„k sgn [® (A,) * (&2)].J

Первое из условий довольно очевидно — оно отражает симметрию по отношению к перестановке волн c(£i) и c^Y Второе условие, как нетрудно показать, следует из действительности плотности, массовой скорости, напряженности магнитного поля, описывающих МГД-волны. Наконец, третье условие справедливо для тех триплетов волн, для которых выполняются распадные условия (46). Это условие можно рассматривать как следствие закона сохранения энергии и импульса при трехволновых взаимодейст-

виях. В самом деле, из (44) при условии (46) можно получить:

(d,dt) (Nk | ®к | -\-Nk || <%| ) =

= 2sin 6 VNkNklNk, [V6,»,,62 sgn (®fe®k — V^k,-к, sgn (^J ®ki —

- V_kl _k, kl sgn (®J <»J,(48)

где 6 = y&-<p6i-^; ck = V"N~kexv^^kY Imy6 = 0.

Левая часть (48) обращается в нуль (сохранение энергии при трехволновых взаимодействиях). Следовательно, в нуль должна обращаться и правая часть (48), причем независимо от относительной фазы взаимодействующих волн 6. Если подставим в (48) хй^к^ из (46), то получим третье свойство симметрии коэффициентов связи мод в (47).

Хотя рассмотрение проводилось для МГД-волн, можно понять, что уравнения, описывающие взаимодействие волн других типов в плазме, будут подобны уравнениям (44), а соответствующие коэффициенты связи будут обладать свойствами симметрии (47). В самом деле, в пренебрежении затуханием волн мы фактически имеем дело с эрмитовыми операторами, описывающими линейные колебания плазмы. Это приводит к уравнениям типа (44) независимо от вида нелинейности.

Уравнения (44) позволяют довольно просто описать распадную параметрическую неустойчивость.

Пусть мы имеем синусоидальную волну малой (но конечной) амплитуды. Малость амплитуды позволяет, с одной стороны, в первом приближении не учитывать эффекты самовоздействия волны, а с другой стороны, воспользоваться системой уравнений (44) для исследования устойчивости волны. При исследовании устойчивости обычно считают исходное состояние системы плазма — синусоидальная волна заданным и рассматривают, как на этом фоне развиваются малые возмущения. Это означает иначе, что амплитуду исходной синусоидальной волны следует считать постоянной (как уже говорилось, такую волну называют волной накачки). Тогда, учитывая в (44) лишь резонансные слагаемые, нетрудно получить систему двух уравнений для амплитуд флуктуационных волн (малых возмущений) ci(o)i, ^i, /) и с2(со2, ^2, 0> связанных с постоянной амплитудой исходной волны распадными условиями (46)

дс.^, ^, /)/^=У*1Л».-^А(-юг> -^ 0;1 f4q

^2(——^2- t'),dt = v_kl,_ke>klce(—®. — ^сД®,, J

Эта система имеет простое решение. Учитывая, что С/(—со/, —hi) =c*i(toit ki) (условие действительности амплитуд), а также,

21

что V-^.-^^Vk^ko.-fev получаем:

Ah. ^- 0 = с- (со,, кх, 0) exp <-4D^-Vct ^> К- 0)ехр(уо/);

■^2(-“г- -А> ^ = c-<-®v -kv 0)exp(-YD/)+(50).

.+^?(-ю2- -й=. °)exp(yD0>

гдегдеТ2= | Уй1Л,_б2 |2| с0 |2>0.Т2= | Уй1Л,_б2 |2| с0 |2>0.(51)(51)

где

где

Т2= | Уй1Л,_б2 |2| с0 |2>0.

Т2= | Уй1Л,_б2 |2| с0 |2>0.

(51)

(51)

Итак, показано, что исходная волна конечной амплитуды неустойчива — флуктуации экспоненциально нарастают. Это происходит тогда, когда в плазме имеются флуктуации, частоты и волновые векторы которых связаны с частотой и волновым вектором исходной волны распадными условиями (46).

Отметим, что резонансное взаимодействие возникает и для колебаний, связанных с исходной волной условиями

u>0 = <02 —со,; k0 = ks —к,.

Однако такая связь между флуктуационными волнами ведет лишь к сдвигу их частот, а не к неустойчивости [6]. В самом деле, в этом случае ^D = — Vk^ k* | cQ |2 < 0. Таким образом, задача об устойчивости волн сводится к нахождению тех триплетов, для которых выполняются распадные условия, и последующему вычислению коэффициентов связи или матричных элементов, описывающих взаимодействия этих триплетов.

В качестве конкретного примера рассмотрим исследование устойчивости синусоидальной альвеновской волны не слишком большой амплитуды [5]. Известно, что в магнитной гидродинамике жидкостей и плазмы альвеновские синусоидальные волны являются точным решением нелинейных уравнений (эффекты укру- чения и ангармонизма для таких волн отсутствуют из-за их поляризации и несжимаемости их движения). В связи с этим длительное время считалось, что альвеновские волны могут бесконечно долго распространяться без искажения своей формы в МГД-среде без поглощения. Покажем, что альвеновские волны неустойчивы по отношению к возмущениям, содержащим не только альвеновские, но и магнитозвуковые волны. Путем простых алгебраических вычислений нетрудно проверить, что распадные условия (46) выполняются для следующих триплетов с участием исходной альвеновской волны: Д-^Л/+52; 4->Mi+S2; A-^Ax-\-M^ где A, S, М обозначают соответственно альвеновские, медленные и быстрые магнитозвуковые волны. Причем максимальные инкременты распадной параметрической неустойчивости альвеновских волн в плазме малого давления (Р<С1) относятся к неустойчивости с возбуждением дублета альвеновской и медленной магнитозвуковой волн. Вычисляя в соответствии с изложенной методикой Va^Ao, —s2> не- 22

трудно найти выражение для инкремента неустойчивости [5]:

ъ- (»VV',/16 [ I + () ]} X

ч ( to2? cos d 1 to.

^ ^ттр-^ — 4 sin y sin (Y + 8) I - ’ (52)

где 6 и v — углы между плоскостями ко, Но и kb Но, а также kb Но и к2, Но соответственно; ось у выбрана перпендикулярно Но в плоскости к2, Но. Этот инкремент имеет порядок $V а!У8VдЗ) соо. Так же, как для других типов распадных неустойчивостей, в пренебрежении диссипацией инкремент пропорционален амплитуде исходной волны.

Если в возмущение вместо альвеновской волны входит быстрая магнитозвуковая волна, то, как нетрудно показать, инкремент неустойчивости несколько меньше, хотя и того же порядка, что и определяемый (52). Инкременты для возмущений других типов много меньше (52).

Неустойчивость альвеновских волн большой амплитуды. Можно ожидать, что параметрическая связь волн, вызывающая РПН, приводит к неустойчивости волн не только малой, но и большой амплитуды. Для волн большой амплитуды задача осложняется тем, что нельзя применить изложенную ранее теорию возмущений, поскольку невозможно рассматривать однородную плазму как фон, на котором развиваются все остальные события — распространяется волна малой амплитуды, параметрически возбуждающая затем новые дублеты волн. Очевидно, что волны не малой амплитуды существенно меняют дисперсионные свойства среды. Нахождение этих свойств для волн произвольной амплитуды и формы, допускаемых уравнениями, — задача настолько трудная, что в настоящее время не видно путей ее решения в общем виде. Поэтому исследования были направлены на поиск задач, с одной стороны, поддающихся решению, с другой стороны, представляющих общефизический интерес.

Вначале была решена задача об устойчивости альвеновских волн произвольной амплитуды с пилообразным профилем силовых линий магнитного поля (см. рис. 1 [19]). (Как уже говорилось в § 1, альвеновские волны рассматриваемого профиля являются точным решением уравнений идеальной магнитной гидродинамики при произвольной амплитуде.) Задача сводится к нахождению частот и инкрементов собственных колебаний рассматриваемой МГД-среды. С этой целью удобно перейти в систему координат, связанную с исходной волной.

В такой системе координат в областях, где магнитное поле постоянно, решение ищут в виде суперпозиции собственных колебаний среды (альвеновская, магнитозвуковые и энтропийная волны). Кроме того, необходимо учитывать малое смещение границы между областями с постоянным магнитным полем. Условия непрерывности потоков массы, энергии, импульса, нормальной к разры-

23

ву составляющей магнитного поля и тангенциальной составляющей электрического поля, позволяют найти со и, следовательно, решить задачу об устойчивости. Используя пространственную периодичность коэффициентов в уравнениях магнитной гидродинамики для малых возмущений, можно представить возмущения скорости V, магнитного поля h и плотности pi в виде

ф/=at (г) ехр (—ico/+ipr) , (53) где индекс i относится, как и ранее, к компонентам вектора ф, описывающим pi, V, h; Ui(r) — периодические (с периодом исходной волны) решения уравнений; со — частота соответствующего возмущения.

Линеаризуем относительно малых возмущений условия непрерывности. Тогда, выбрав ось х вдоль невозмущенного магнитного поля Но, а ось у вдоль направления колебаний гидродинамической скорости 6V исходной альвеновской волны, можно записать;

{pJ = O; {Vxz + M(4W/2} = 0;

^Ну + hxH^ = 0; {Vy + kv ^V>^ 3D} = 0,

где 6D — возмущение скорости границы между областями с постоянным магнитным полем; 6Н = —(4лро) 1/26V — магнитное поле альвеновской волны; посредством фигурных скобок обозначена разность значений возмущенных величин с обеих сторон поверхности разрыва. При получении (54) рассматривались лишь адиабатические возмущения. Кроме того, использована связь между возмущениями скорости границы с ее смещением g:

8D=—nog (у, г); g(y, г)—exp ^у + 1кгг). (55)

Для простоты ограничимся случаем, когда скорость и магнитное поле возмущений лежат в плоскости хОу (см. рис. 1). Тогда решения в областях с постоянным магнитным полем можно представить в виде суперпозиции медленной и быстрой магнитозвуковых волн. (Естественно, связь величин pi, V, h находится из МГД-уравнений.)

Пусть —Ь<х<0, тогда решение

ф=[с1ехр (i/e~i%)+c2exp (i%~ix)+^exp (i&-2x) +

+с4ехр (i#“2x) ] exp (—icoZ+i^y),(56)

где ^1,2 — составляющие волновых векторов вдоль оси х для медленной и быстрой магнитозвуковых волн соответственно; к ли к— линейно независимые решения для данной частоты со.

В интервале 0<х<а аналогично имеем

ф = [с5ехр (i^+ix) +с6ехр (i^ix) +^7ехр (i^+2x) +

+^ехр (i^2x) ] exp (—icoZ+i^y).(57)

Индексы i у ф и коэффициентов с здесь и в дальнейшем опущены.

Решение в области а<х<а-^Ь получаем из условия периодичности:

ф= {б^ехр [i^~i (х—a—b) ] +с2ехр [i£~i (x—a—b) ] +

+с3ехр [i&“2 (х—а—&) ] +с4ехр [i#“2 (%—а—6) ]} X

Хехр [—itot+ikyy+^P (^+^) ] •(58)

Подставив (56) —(58) в граничные условия (54) и учтя связь между компонентами вектора ф/, даваемую уравнениями магнитной гидродинамики, получим систему линейных уравнений для восьми коэффициентов сь ..., с8. Из условия разрешимости этой системы получаем дисперсионное уравнение для со = (о(р, ^). В общем случае оно имеет весьма громоздкий вид, поэтому приведем его для наиболее интересного случая волны большой амплитуды (6Ка^>Яо/]/4т:ро = Va), распространяющейся в среде мало го давления (ScVa<C6Va, S — скорость звука):

Sin S? S*n ^7 {C°S ^ ^ + 6^ ~ C°S (^ C0S ^^"

+ y —3 + -y sin (y/?) sin (^+a) I =\ ^2^2

-^- sm177F 1cos iTTiT ^ cos (fe a) sin (fe 6) + tool/a ^а^Уа I

— p (a-\-b) k£ sin (^a) —— p (a-\-b) k£ sin (^a) —+ ^ sin (^a) cos (fe 6)] — cos f^"^/ Va a

— p (a-\-b) k£ sin (^a) —

— p (a-\-b) k£ sin (^a) —

L v a

— COS— COStoA"kySVytoA"kySVyc SVO .— 6 —— sinwSVac SVO .— 6 —— sinwSVaVa toSa Va6VaVa toSa Va6Va^ [^2 cos (^a) sin (^2 6) +^ [^2 cos (^a) sin (^2 6) +

— COS

— COS

toA"kySVy

toA"kySVy

c SVO .

— 6 —— sinwSVa

c SVO .

— 6 —— sinwSVa

Va toSa Va6Va

Va toSa Va6Va

^ [^2 cos (^a) sin (^2 6) +

^ [^2 cos (^a) sin (^2 6) +

. ,+ . .,+ .toSb ,+ . /,+ x /w kybVa

+ ^2 Sin (^2 «) COS (fe2 6)] COS ^2 Sin (^2 ») COS ( —

VaSVa\ Va

(59)(59)f co—Ru6Va1 ]

(59)

(59)

— &2 sin(&2 b) COS [^^b — p ((2 + &)J |,

где

^±2=ь= (0)/6Va) (l±2ky6VaM) 1/2.(60)

Уравнение (59) в пренебрежении правой частью имеет действительные корни, которые можно классифицировать следующим образом. Корни, соответствующие первым двум сомножителям, относятся к медленной магнитозвуковой волне и имеют вид, соответствующий квантованию волновых чисел в резонаторе ^toS,Va6Va= =пп!а, м=0, ±1, ±2, ...). Третий сомножитель относится к быстрой волне и по форме совпадает с уравнением для. уровней электрона в периодическом поле решетки. Учет правой части дает поправку к частотам в нулевом приближении. Если в нулевом

приближении два корня, соответствующие быстрой и медленной МГД-волнам, совпадают, то квадрат поправки к этой частоте отрицателен, что означает появление неустойчивого решения, характеризуемого инкрементом

^Va/a.(61)

Эта неустойчивость напоминает РПН альвеновской волны малой амплитуды, в результате которой возбуждаются быстрая и медленная магнитозвуковые волны. Однако если при РПН осуществляется резонанс первого порядка, то здесь в игру равноправно вступают кратные гармоники.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ГЕЛИКОНОВ(РПН, МОДУЛЯЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ, НЕУСТОЙЧИВОСТЬМОДИФИЦИРОВАННОГО РАСПАДА)

Электромагнитные волны с частотами в интервале (дш^ахС «С^не (^ни (Оле —ионная и электронная гирочастоты) хорошо известны в физике ионосферы (свисты) и в физике твердого тела (геликоны). Их групповые скорости возрастают с частотой, так что принимаемый сигнал имеет понижающийся тон, отсюда и название —свисты. Основы линейной теории этих волн заложены в работах [40, 41]. Здесь изложим теорию параметрических неустойчивостей волн накачки геликонного типа. Результаты этой теории имеют несомненную ценность для многих прикладных задач, но не только это побудило автора обратиться к параметрическим неустойчивостям геликонов. На этом примере удобно показать взаимную связь параметрических неустойчивостей различных типов [2].

Прежде всего получим уравнение, описывающее параметриче- екую связь геликонов с низкочастотными возмущениями. Ограничимся возмущениями, содержащими колебания звукового типа. Как и ранее, задачу будем решать методом теории возмущений. В данном случае невозмущенная система состоит из однородной плазмы [плотность No, давление р0 (52=уРо/ро)] и волны накачки геликонного типа, распространяющейся вдоль однородного магнитного поля Но (ось г вдоль Но). Итак, гидродинамические величины, описывающие возмущенное состояние плазмы, можно представить в виде

Н^-НН^, 0 + Ь±(г, 0>(62)

Е = 8Е± (г, /) + е± (2, ty(63)

V = 8V±(z, 0+V±(z, O + Vn(z, ty(64)

N=N0+n(z, 0-

Величины 8Hj_, 8Е±, 8Vj_ характеризуют геликон накачки. Напомним, что это циркулярно поляризованная волна, так что от х и у — 26

поперечных компонент — можно перейти к величинам 6V:

бУд—16^=6Уехр(—i(o0^+i^)+K. с.

Аналогичную процедуру можно проделать для электрического и магнитного полей. При этом связь б V с 636 и бе определяется линейными уравнениями движения электронной жидкости и уравнениями Максвелла:

—i (соо+^н) 67= — (е/т) бе; kQ636= — ^neNQlc) 6 V—i (cdoAO бе;

&06e = i (оо/^) 636,

где частота геликона накачки (о0 определяется хорошо известным соотношением

W2 = s((o0), N = kQc/%, а = 1 — (о2р/(»((о4-а^

<0н=(0не, to2p = 4nne2/m.

кон накачки):5VЦ (dt + (S^N^dnldz = - (d/dz) (h^S Н±)/4W,(65)dnldt-VKdV^dz = O;(66)mdVJdt + e {e± + (1 /с) [VjH,]} == -mVl( (^)8V1-(e/c)[Vll8HJ;(67)roth± — (Ifc^deJdt-^^NoeVJc = — A^eriWJc;(68)rot e±+ (!/<?) dhJdt = O.(69)кон накачки):5VЦ (dt + (S^N^dnldz = - (d/dz) (h^S Н±)/4W,(65)dnldt-VKdV^dz = O;(66)mdVJdt + e {e± + (1 /с) [VjH,]} == -mVl( (^)8V1-(e/c)[Vll8HJ;(67)roth± — (Ifc^deJdt-^^NoeVJc = — A^eriWJc;(68)rot e±+ (!/<?) dhJdt = O.(69)Нетрудно составить систему уравнений, описывающих возмущения первого порядка относительно фона (система плазма — гели

кон накачки):

5VЦ (dt + (S^N^dnldz = - (d/dz) (h^S Н±)/4W,(65)

dnldt-VKdV^dz = O;(66)

mdVJdt + e {e± + (1 /с) [VjH,]} =

= -mVl( (^)8V1-(e/c)[Vll8HJ;(67)

roth± — (Ifc^deJdt-^^NoeVJc = — A^eriWJc;(68)

rot e±+ (!/<?) dhJdt = O.(69)

кон накачки):

5VЦ (dt + (S^N^dnldz = - (d/dz) (h^S Н±)/4W,(65)

dnldt-VKdV^dz = O;(66)

mdVJdt + e {e± + (1 /с) [VjH,]} =

= -mVl( (^)8V1-(e/c)[Vll8HJ;(67)

roth± — (Ifc^deJdt-^^NoeVJc = — A^eriWJc;(68)

rot e±+ (!/<?) dhJdt = O.(69)

Очевидно, уравнения (65), (66) описывают возмущения звукового типа, а (67) —(69) — геликонного. В отсутствие волны накачки эти волны распространяются независимо. Волна накачки связывает их, что отражается в слагаемых, записанных нами в правых частях уравнений (65) —(69).

Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим плазму малого давления ^ = S2JV2a<^ 1). Тогда уравнения можно упростить. Поскольку рассматривается геликон малой амплитуды (6Я/Я0<^1), можно считать, что величины /г, Vв, а также hj_ и Vj_ связаны между собой почти линейными соотношениями. Поэтому из трех слагаемых в уравнениях (67), (68), описывающих связь геликона с низкочастотным возмущением звукового типа, главным является слагаемое 4^zz§Vx/f в (68). Это соображение позволяет упростить систему (65) —(69). Переходя к фурье-компонентам по пространственной переменной, а также представляя величины, описывающие геликоны, в виде произведения медленно меняющейся части и быстроосциллирующего сомножителя, пропорционального ехр (—io)r, f), получаем следующую систему уравнений:

(5^ + *%S2 ) Пк5 (0 = (&г - коу ■ 4^г ■ exp (- i ш/ + i <о/); (70)

г &2ГС2г &2ГС2(71)(72)(71)(72)e(®r) hk^ = k?^exp (Urt — i w^.

г &2ГС2

г &2ГС2

(71)

(72)

(71)

(72)

kr — K>+ ks.

Заметим, что при выводе (70) не использовалось условие близости низкой частоты к частоте звуковой волны. Уравнения (70), (71) позволяют исследовать параметрически связанные волны. Как и прежде, параметрически связанными оказываются две волны. Рассмотрение такой связи удобно начать с резонансного случая tiks (0 exp (i Q0’ ^^ws-

Распадная неустойчивость геликонов. При резонансном взаимодействии геликонов с звуковыми волнами (®r=®oH-®s) уравнения (70), (71) можно переписать в матричной форме:

кг56^* 4тсЛ4-^^e^.+Q)кг56^* 4тсЛ4-^^e^.+Q)(73)(73)

кг56^* 4тсЛ4

-^^e^.+Q)

кг56^* 4тсЛ4

-^^e^.+Q)

(73)

(73)

Решение системы (73) ищем по теории возмущений: Q = ®s+6Q. Тогда

(74)(74)

(74)

(74)

и условие разрешимости (74) дает следующее выражение для по правки к частоте 6Q:

6Q2= —(^2^0yg/8o)s) [^р^^^ (75)

где Vg=dtor/dk — групповая скорость. Нетрудно видеть, что неустойчивость развивается (6Q2<0) при кг^—к0) ks^Lk^ cos<O, т. е. нарастают «красные» сателлиты исходного геликона. Это и есть РПН геликонов.

Модуляционная неустойчивость геликонов. Модуляционную неустойчивость геликонов можно описать аналогично резонансному взаимодействию геликонов со звуковой волной. ^Отличие состоит, во-первых, в том, что здесь необходимо рассматривать возмущения с частотами, близкими не к звуковым, а к частотам несобственных колебаний электронной плотности (Q^Mcor/d^). При этом возмущения геликонного типа состоят из пары волн, амплитуды магнитных полей которых h± соответствуют волновым векторам k±=ko±k. Поэтому в правую часть (70) слёдует ввести слагаемое, соответствующее к., а также добавить к системе (73) уравнение для h_, аналогичное (71). Послё указанных дополнений 28

система уравнений выглядит следующим образом:

/ Q2 _ £2 С2(А — & \2 2^1.& )2\

г d^zf у (со0 Ц- 2)2,1

N*k+c2

X А+ =0.(76>

Чтобы получить дисперсионное уравнение, следующее, как обычно,, из условия разрешимости (76), необходимо линейные дисперсионные выражения для геликонов: к^— [ ((o±Q)2/&±c2]e((o±Q) разложить по малой разности Q-— kdtoo/dko и учесть следующие в таком разложении поправки, пропорциональные к2д2№О/дк2о. Тогда получим

Q2 &232 = I ^^ Iе

(Q — ^(ов/^0)2 — k4^dTtoQ/dk\Y 8лр0

Возмущения, описывающие модуляционную неустойчивость, нарастают с инкрементом

Im X У а т 6’ (78>

где а=&о(<Х/<%о)/4p0[S2—(д<оо/<%о)2]. В рассматриваемом пределе (PC 1)а^—^/ро(^о)о/^о) <0. Нетрудно показать, что условие*' неустойчивости есть д2^дк2й>0 и оно выполняется для частот со< (1/4) |(0н|.

Заметим, что а — коэффициент пропорциональности, связывающий нелинейный сдвиг частоты геликона с квадратом амплитуды волны накачки. Как мы видели для неустойчивости, произведение ad2too(dk2o должно быть отрицательным. Это является отражением общего критерия модуляционной неустойчивости,, полученного Лайтхиллом [42]. В самом деле, для волн малой амплитуды а нелинейная добавка к частоте со пропорциональна квадрату амплитуды, так что

to (к, a)=toQ(k)^aa2.(79)

Покажем теперь, что не только при отрицательных, но и при: положительных а (но в этом случае при отрицательных d2to]dk2^ возникает модуляционная неустойчивость. Для этого рассмотрим уравнение переноса энергии [43], которое в общем виде можно- записать следующим образом:

da2!dt+ (№) (У^2)=0.da2!dt+ (№) (У^2)=0.(80)(80)

da2!dt+ (№) (У^2)=0.

da2!dt+ (№) (У^2)=0.

(80)

(80)

Уравнение (80) следует дополнить уравнением, связывающие изменение во времени волнового вектора (определяемого как. 29-

^/дх, где ф —- фаза волны) с изменением частоты (определяемой как —дф/д/). Нетрудно видеть, что это уравнение есть

dk[dt= —д^/дх= — Vgdkjdx—ада21дх.(81)

Пусть на монохроматическую волну с волновым числом ко и амплитудой а0 наложена малая модуляция:

к=к0-^к'ехр (—iQ^+ixx); а=а0+6аехр (—4й/+^)> так что Q<C(Oo, х^^о- Тогда, линеаризуя (80) и (81), легко получить дисперсионное уравнение:

Q = у^Vgldk^aV(82)

Очевидно, неустойчивость имеет место при adVgidk<0. Нетрудно понять смысл неустойчивости. Пусть а>0. Тогда в областях максимальных амплитуд (точки А и А^ фазовая скорость больше, чем в областях минимальных амплитуд (точка В) (рис. 3). Это означает рост числа узлов с приближением к области минимальных амплитуд и падение его при удалении от нее, так что если групповая скорость будет иметь отрицательную производную по к, то колебания в области а отстают, а в области b убегают вперед, тем самым увеличивая рост амплитуды и углубляя ее ми

нимум. Это и есть модуляционная неустойчивость.

Неустойчивость модифицированного распада. Рассматривая выражение (75) для инкремента распадной неустойчивости и сравнивая его с частотой звуковых колебаний, можно заметить, что при

| dS^21 /4лр0>4521 tos/koVg |(83)

формально инкремент распадной неустойчивости превышает частоту звуковых колебаний о>5. Это означает, что теория возмущений для звуковой волны неприменима. Тем не менее, как нетрудно видеть, система уравнений (70), (71) справедлива и для таких амплитуд, лишь бы отношение 65^/Я0 было малым. Это означает, что в (73) для рассматриваемого случая относительно больших амплитуд величиной k2sS2 можно пренебречь в сравнение с й2. Тогда из условия разрешимости (73) получаем следующее выражение:

О = 1(1 ± i /3)/2]| 8^ |78Яр0)1/3.(84)

Как видно из (84), неустойчивость носит почти апериодический характер, поэтому ее иногда называют апериодической параметрической неустойчивостью. Она относится к той же зоне, что и распадная, но возникает при больших амплитудах, вследствие чего ее обычно называют неустойчивостью модифицированного распада.

ВЗРЫВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЦИКЛОТРОННЫХ волн

С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ И ЕЕ СТАБИЛИЗАЦИЯ ЗА СЧЕТ НЕЛИНЕЙНОСТИ И НЕОДНОРОДНОСТИ

Волны с отрицательной энергией получили такое название в- связи с тем, что рост их амплитуды (при постоянстве энергии среды) приводит к уменьшению полной энергии системы среда — волна. Б. Б. Кадомцев, А. Б. Михайловский и А. В. Тимофеев [44] впервые обратили внимание на возможность появления в плазме волн с отрицательной энергией. Когда же такие волны возникают?

Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к известному выражению для энергии электромагнитной волны W в среде с дисперсией:

Г=(1/8л) Н<№ (юе)<£2>+(№) W<H2>Y (85)

Здесь е и р — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды: угловые скобки означают усреднение по осцилляциям. Пусть для простоты мы имеем дело с электростатическими волнами, тогда из (85) следует, что энергия волн определяется знаком d^ldm^ В термодинамически равновесной среде в соответствии с соотношениями Крамерса — Кронига знак d^jd^ определен — он положителен. Это означает, что волны с отрицательной энергией могут возникать лишь в термодинамически неравновесной плазме. Можно показать, что в изотропной плазме, пронизываемой моноэнер- гетическим пучком, плазменные волны с фазовыми скоростями, близкими к скорости пучка, являются волнами с отрицательной энергией. В магнитоактивной плазме волны с отрицательной энергией возникают при большой анизотропии температур (Гц/Т^—^О).

Волны с отрицательной энергией обладают рядом особенностей. Так, учет диссипации приводит не к затуханию, а к самовозбуждению этих волн. В самом деле, диссипация должна вызывать увеличение энергии среды, но ведь полная энергия системы среда— волна остается постоянной. Следовательно, увеличение энергии среды должно быть компенсировано ростом отрицательной энергии волны, а это, в свою очередь, означает рост амплитуды волны. Математически такая ситуация описывается следующим образом.. Используя методику вывода уравнений для взаимодействующих волн, изложенную в § 2, нетрудно показать, что обобщением уравнений для связанных мод на случай произвольного знака энергии в системах с диссипацией энергии являются уравнения

Sidcddi^-^^t-Vi^V^c^k,(86)

где Sz = sgn (dfd^s (со) |w=z0),.

В линейном слагаемом, описывающем диссипацию энергии, ^i положительно. Легко видеть, что в этом случае, когда второй член в правой части (86) отсутствует, решение уравнения есть ci= = Ci^^^-—^itlSi^ т. е. в диссипативных средах волны с поло-

31:

.жительной энергией затухают, а с отрицательной — растут. Матричный элемент нелинейного взаимодействия вычисляют по правилам, изложенным в предыдущих параграфах. Описанную выше неустойчивость можно рассматривать как неустойчивость, связанную с отводом энергии из волны с отрицательной энергией в другие части общей системы. Если общая система, помимо среды и волны с отрицательной энергией, содержит другие волны, то, как мы знаем, параметрическая связь дает перекачку энергии из волны накачки в волны, связанные с ней распадными условиями (1). Рассуждения, аналогичные приведенным выше для линейного приближения, показывают, что при параметрической передаче энергии от волны накачки к возбуждаемым волнам амплитуда волны накачки с отрицательной энергией сама должна нарастать! Такая неустойчивость получила название взрывной. Впервые одновременный рост амплитуд трех волн был описан с помощью кинетического уравнения, корректно учитывающего взаимодействия волн со случайными фазами и разными знаками энергии [12].

Затем А. В. Тимофеев [45], анализируя вспышки циклотронного излучения в экспериментах по удержанию плазмы в зеркальных ловушках, связал это излучение с циклотронными волнами отрицательной энергии и обратил внимание на взрывной характер неустойчивости, оценив при этом время «взрыва». Однако последовательная теория взрывной неустойчивости, в которой показано, что амплитуда всех трех волн в трехволновом приближении стремится к бесконечности за конечное время (время взрыва), была построена в работах [13, 46]. .

Взрывная неустойчивость циклотронных волн. В качестве примера рассмотрим магнитоактивную плазму с анизотропным распределением ионов по скоростям. При этом анизотропию будем -считать достаточно сильной (Гц/7Д-+0). .Диэлектрическая прони- даемость для волн с частотами, близкими к ионной циклотронной, определяется следующим образом:

s _ 1 _ Р II*11(О2&2(^k^V £2 ’

где Г„ = In (bj_) exp (— b^ (6_l = k^T(МЙн; /„ — модифицированная «функция Бесселя тг-го порядка). Нетрудно видеть, что ионно-циклотронные волны действительно есть волны с отрицательной энергией ■

Рассмотрим распадное взаимодействие це^лны накачки с отрицательной энергией с волнами, имеющими положительную энергию. Здесь уже нельзя ограничиться двумя уравнениями лишь для новых волн, а необходимо рассматривать динамику всех трех волн —■ ведь амплитуда волны накачки также должна расти. Тогда .из (86) получим:

dck[dt = — "х syк, к1, к1ск, ск1; )

(87)(87)> J) =-i У^.-щ cbck\\

(87)

(87)

дсЦд1 = — \5кук1,к1,_кСкскх\ ■

Считая волну амплитуды ск волной с отрицательной- энергией и вводя вместо с^ новые переменные по схеме с*. = мг exp (i?,), из (87) найдем, что

dujdt = -|- V U1U1 cos Ф;

дщIdt^^ cos Ф;

duJdt = VUoU1 созФ;

дФ(д1 — — V (и^и, + и„иг!их + utujut) sin Ф,

где V= [ VM1,ftJ; Ф = у, - - ?2 + л/2-

Система (88) имеет очевидные интегралы движения: mi = «20—M2i = const; m2=u2o—u22=const;

m0=u2i—u22=const,(89)

которые являются не чем иным, как известными соотношениями Мэнли — Роу для рассматриваемой системы. Учитывая, что при использовании первых трех уравнений системы (88) последнее уравнение можно свести к виду

dO/d/=tgO(d/d/) In (ti0«i«2),(90)

а также используя (89), первое уравнение можно переписать следующим образом:

«’»(<)

2W = f v.^(91)

J Ки\ (.Л — т^ (иг0 — от,)

0*0 (0)

Полагая u22>mi>ni2 и переходя к переменной y(t) =miI/2/w, можно преобразовать интеграл (91) в эллиптический:

VVmxt=- f —=^—,(92)

^(0)

где х^Цт^т^. Отсюда следует, что

“о (О = т1/2/^1^ (0) — sn ^Vm^^Y(93)

Поскольку волна с амплитудой и0 была волной накачки, т. е. и0 — наибольшая из амплитуд, то Uo>m;/2. Это означает, что при стремлении к некоторому te амплитуда и0-^оо по закону (£—^)-1, а вместе с ней в соответствии с (89) по такому же закону стремятся к бесконечности амплитуды волн ау и и2. Следовательно, неустойчивость носит взрывной характер.

Стабилизация взрывной неустойчивости вследствие нарушения пространственно-временного синхронизма. Взрывная неустойчивость в различных условиях стабилизируется либо за счет нелинейных эффектов, либо за счет выноса волн из зоны взаимодействия в неоднородной плазме. Простейшим нелинейным эффектом, приводящим к стабилизации, является рост нелинейного сдвига частот взаимодействующих волн при развитии взрывной 3—3283qq

неустойчивости [30]. Нелинейный сдвиг частот возникает в. следующем порядке в разложении по амплитуде взаимодействующих волн, вследствие чего этот эффект проявляется раньше других нелинейных эффектов. Можно показать, что учет нелинейного сдвига частот изменяет уравнения (87) следующим образом:

d^+icja. | ^ГН-®, | cj2 + a, | c6i |2] = - i SkVckCk;,

(94)(94)dcjdt + i cki [а'. | c^ I2 4- a', | c^ |2 4- a'21 ^ |2] = - i S^Vc^

(94)

(94)

dc.jdt-V'xc. fa" | c. |24аГ | ck Г + аг' I ck Pl= ~ * Sk Vc,ck, Ri' I №g L 11 «о **< Ai ••2 * Rt i 1Ra "1

где в системах без диссипации энергии а, и V — действительные числа. Используя введенные ранее переменные щ, нетрудно показать, что первые уравнения для амплитуд щ системы (88) не изменяются, поэтому и соотношения (89) Мэнли -— Роу остаются неизменными. Четвертое уравнение из (88) надо заменить следующим: дФ/д/+6со («/) = — VYuyU^u^u^u^Ux^u^ sinO, (95) где

8®(и<) = ^ ^гь 0, = ®;-®',-»".(96)

i=0,l,2

Для простоты рассмотрим случай Mi=M2. Тогда из первых трех уравнений (88) и уравнения (95) получим систему двух уравнений:

dnldt = 2V/z3/2cos Ф;)/л7ч

(d/dZ) (zz3/2sin^) =— /г5/2усозФ, J'

где y=SPz; п=и20 — число квазичастиц, соответствующих волне, с отрицательной энергией. Из этих уравнений нетрудно найти еще один интеграл движения:

п3/251пФ= -у/4 Уп2+Г,(98)

где Г —константа. Характер решения для п^ не зависит от выбора Г [30], поэтому можно в простейшем случае считать Г=0. Тогда (97) приводится к уравнению

dn/dt=±i2V <-Л^А^т]=у2/16У,(99)

которое можно записать в форме, часто используемой в теории солитонов (см. статью А. А. Галеева и Р. 3. Сагдеева в дополнительном томе):

(1/2) (dn/dt) 2+ U (п) = 0,(100)

где U(п) = 2У2(т]М4—-п3). Его трактуют как закон сохранения энергии при движении частицы-аналога в потенциальном поле U (х) (п=х — координата частицы-аналога). При этом удобно использовать график потенциала U(х) (рис. 4,а). Тогда при -q^O решение, соответствующее нулевой полной энергии частицы-аналога, имеет фазовую траекторию (рис. 4,6), описывающую финитное движение частицы-аналога. Это означает, что рост п ограничен некоторым предельным значением (рис. 5). Иными словами, вве- 34

дение нелинейной частотной расстройки вызвало автостабилизацию взрывной неустойчивости. Заметим, что уравнение (99) имеет простое решение

п^-Гп-т/и-О2]"1, (101)

где

tXe= П-1 [Л (0) J"1/2 [ 1 -Tin (0) ] V2,(102)

а максимальное значение п достигается при t=t\e:

Пмакс — П^е)^- —ЮУ2/?2.(ЮЗ)

Из (101) —(103) видно, что при т)-*-0 мы имеем взрывную неустойчивость с характерным временем /е= V-1[n(0)]-1/2.

Рис. 5. Развитие взрывной неустойчивости при учете нелинейного сдвига частотыРис. 5. Развитие взрывной неустойчивости при учете нелинейного сдвига частоты

Рис. 5. Развитие взрывной неустойчивости при учете нелинейного сдвига частоты

Рис. 5. Развитие взрывной неустойчивости при учете нелинейного сдвига частоты

В неоднородной плазме необходимо учитывать вынос колебаний из зоны неустойчивости. Пространственная задача о стабилизации взрывной неустойчивости за счет указанной расстройки пространственного синхронизма была решена методом, подобным изложенному [31]. Было показано, что, как и при расстройке временного синхронизма, в указанном случае возможна стабилизация взрывной неустойчивости.

ТЕОРИЯ РПН ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ МГД-ВОЛНВ ПЛАЗМЕННОМ ЦИЛИНДРЕ, УДЕРЖИВАЕМОМ МАГНИТНЫМПОЛЕМ (СИСТЕМА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ)

Рассмотренные выше РПН хорошо описываются полученными ранее формулами до тех пор, пока справедливо приближение безграничной плазмы. В таком приближении, естественно, не учитывается изменение дисперсионных характеристик волн из-за наличия границ, влияние нелинейности граничных условий на 3*

взаимодействие волн и отбрасывается широкий класс волн — так называемые поверхностные волны. Это затрудняет сравнение экспериментальных результатов с выводами теории, а иногда делает такое сравнение невозможным.

Изложим общие принципы построения теории взаимодействия волн в ограниченных системах [29] на примере взаимодействия волн в магнитогидродинамическом плазменном столбе с резкой подвижной границей, а также проанализируем общие результаты теории, относящейся к РПН. При рассмотрении проведем последовательный учет нелинейности граничных условий. Покажем, что такая нелинейность играет особенно существенную роль в трехволновых процессах, когда хотя бы одна из взаимодействующих волн является поверхностной.

Внутри плазменного цилиндра справедливы уравнения (22) — (24), в которых все величины снабдим дополнительным индексом I.1

Вне плазменного цилиндра необходимо использовать уравнения Максвелла для электрического Е<е> и магнитного Н<е> полей:

(l/c)^E(e7^=[VH(e)];(104)

— (1 /с) д Н^ /дЬ= [ V Е^],(105)

а также граничные условия, которые для плазмы, удерживаемой магнитным полем, сводятся к равенству сил давления плазмы и магнитного поля:

Ж92/8к + рк h = //(^)2/8л| , о(106)

г — a§

и непрерывности тангенциальной компоненты электрического поля

Е<е)= -(1/с) [VH]Jr = a + |(107)

на подвижной границе, т. е. в точке r=a-|-g, где а — радиус плазменного цилиндра; | — малое смещение границы, возникающее при исследуемых волновых процессах.

Для получения уравнений, описывающих МГД-моды плазменного цилиндра, необходимо вначале решить линейную задачу и построить соответствующую ортогональную [в смысле (37)] систему собственных векторов. Затем, разложив полный вектор системы по этим векторам и учтя возможное появление ортогональной добавки к этим собственным векторам , необходимо спроектировать квадратичные по амплитудам уравнения на соответствующее «направление» — собственный вектор в линейной задаче.

Дальнейшее изложение построим следующим образом. Вначале приведем общие результаты теории взаимодействия МГД-мод в плазменном цилиндре применительно к РПН, проанализируем эти результаты и лишь после этого дадим строгий вывод приведенных формул. Это, по нашему мнению, позволит читателю увидеть в целом физические явления за сложными' математическими выкладками, а тот, кто не интересуется строгими выкладками, может отбросить при чтении заключительную часть параграфа.

Как следует из линейной теории, для волн внутри цилиндрических систем все величины (возмущение плотности, массовая скорость, давление и напряженность магнитного поля) пропорциональны некоторым функциям

Xi = Jm (М ехР ( — i ^ — i ^) 4(108)

и их производным, где /т — функция Бесселя; г —радиус цилиндра; <р —азимутальный угол; ось х направлена вдоль оси цилиндра. Величины

к\^ ^-k\VA^ V^k2xS2M^^(109)

определяются с помощью сложных трансцендентных уравнений, полученных из граничных условий (106) и (107). Если к2т>^ то волны являются объемными. При к2т<^ ^тт пропорциональны функциям Бесселя от мнимого аргумента, а соответствующие волны являются поверхностными. Снаружи и объемные и поверхностные волны описываются произведением модифицированных функций Бесселя (дающих экспоненциальное затухание с увеличением радиуса) на exp (—im<p—ikzx).

МГД-волны плазменного цилиндра поддаются довольно простой классификации в предельных случаях кта<^1 и кта^>1. Так, в плазме малого давления (0<^1) альвеновские волны имеют такую же дисперсию, как в безграничной плазме [см. (34)]:

toA=kzVA.(110)

Они распространяются, не возмущая плазмы. Частоты магнитозвуковых волн имеют следующую дисперсию:

(OjК 2 k2VA, | кг | а ^ 1, m ф 0;

to«^k2S,яг=0;

11(111)

<о3 ^ k2S, \kr\a^l, m — произвольное;

со4^ Vk2r + к2^А , \kr\a^>\t tn — произвольное.

Здесь о)1 — частота поверхностной волны, остальные частоты — объемных волн. Дисперсия частот медленных магнитозвуковых волн со3 такая же, как и для безграничной плазмы. Отличие дисперсии частот быстрых магнитозвуковых волн 0)4 от дисперсии частот в безграничной плазме состоит в том, что к2г дискретно: к2г (п л /а) 24-т2 /а2.

Для всех этих линейных мод строится система ортогональных собственных векторов, что, как известно, означает независимость соответствующих состояний- мод. Затем по процедуре, указанной выше, учитывается нелинейная связь мод. В результате этого система уравнений для амплитуд параметрически связанных МГД-волн плазменного цилиндра имеет вид:

^С ка^^ = (^а, к'а?» кнан 4* ^ка, к'а», к''а'^ Ск'а,Ск'f а'' СхР ((^Ла

(Н2)

где, как и ранее, с^а— амплитуда волны, квадрат модуля которой равен числу квазичастиц Nfea, т. е. cfea = yNka exp (i уДв), где Nkx=$kJ\ акл | (^—энергия волны); ^а — фаза волны.

В (112) матричные элементы ^a, ^/a,f ^,/а,/ описывают объемное взаимодействие рассматриваемого триплета мод, они выражаются через интегралы вида

а

У faa'a'' (^)a'^/72''а''^’(ИЗ)

0

где faaza,/(г) — рациональная функция г; величины гта линейно выражаются через *qanv ^am±1, характеризующие объемные иЛи поверхностные волны.

Матричные элементы S^a ^a,t ^,ам описывают поверхностное взаимодействие мод. Эти величины могут быть выражены через слагаемые типа

^та1 ^т'л'* гтмам\г=а*Щ4)

Поверхностное взаимодействие мод возникает из-за нелинейных граничных условий. Для линейных граничных условий S^a ^,а, £//а// = 0.

Ниже будет показано^ что полный матричный элемент 1Г6а, ^,а,# д,,а„, определяемый как

^ка, к'а', кпам 1=8 ^ка, к'»*, кмаи + ^ка, к'»', kMani(^ ^)

обладает теми же свойствами симметрии, что и матричные элементы в безграничной плазме. Значит, общие выводы относительно РПН, сделанные ранее, справедливы и для ограниченной плазмы.

Следует отметить весьма существенное отличие ограниченной плазмы от безграничной, которое связано с изменением условий пространственного синхронизма. В рассматриваемой здесь цилиндрической геометрии распадные условия, соответствующие сохранению квазиимпульса, изменяются. Лишь по оси z условия остаются неизменными:

к^г^^кху^-к^х.(116)

Синхронизм по углу ф приводит к равенству

/По=^1+^2.(117)

Матричные элементы^а ^,а, ^,,а,, обладают резонансными по радиусу свойствами лишь при kia*>\. Они максимальны при

kr,”krAkrv(118)

Это означает, что если Vka^ к,а, кНаМ^ Ska k,ati кМаН (т. е. объемное взаимодействие является основным), то с учетом (117) можно сказать, что приближенно выполняется также закон сохранения квазиимпульса в плоскости, перпендикулярной оси z. Однако, когда хотя бы одна из волн триплета имеет к^а ^ 1, резонансные свойства у Vka к,^, кмам по г отсутствуют и, кроме того, поверхностнее взаимодействие становится сравнимым с объемным, т. е. Vka< к,а, к,,а,,

Ska,k>a', к”а"- В СЕ0Ю очередь, $ка,^а,.кмам в этом случае также не обладает резонансными свойствами. В результате (118) не выполняется даже приближенно. То, что хотя бы для одной из компонент отпадает требование пространственного синхронизма, ведет, как нетрудно понять, к заметному увеличению возможностей осуществления параметрической связи между волнами. (При этом в спектре частот РПН наряду с красными сателлитами появляются и фиолетовые.)

В таблице, приведенной в конце статьи, суммируются результаты расчета инкрементов РПН в магнитогидродинамическом плазменном столбе для процессов с участием поверхностных волн.

В турбулентном режиме, когда фазы волн уда становятся случайными, уравнения типа (112) с учетом симметрии IT^ к,а, кмам ведут к известным кинети- 38

чёским уравнениям для числа квазичастиц (см. статью А. А. Галеева и Р. 3. Сагдеева в т. 3).

Перейдем теперь к изложению строгого вывода динамических уравнений для амплитуд МГД-волн (112). С этой целью представим исходные уравнения в виде, аналогичном (28):

(id/^+^ip+^i^, -ф)=0.(119)

Как и ранее, здесь прежде всего необходимо решить линейную задачу:

О^/ал-^о)'Ф=о,(120)

т. е. определить собственные векторы оператора Но. В силу цилиндрической симметрии зависимость собственных векторов от продольной и азимутальной координат можно выбрать в виде exp (i£zZ-Hzn<p). Тогда оператор Но можно записать следующим образом:

для внутренней области

„1 °

0 Vd7r

т г

—— ^

0

0

0

0

0

0

^А

1 0

д дг

Н0^ =

0

0

0

0

W

т

г

V^A

(121)

-^З2

0

0

0

0

0

0

0

^2

0

0

0

0

0

0

0

^z

0

0

0

0

i

д

т

0 7

17r

— г

0

0

0

0

компоненты КЭТ-вектора фР) связаны с МГД-величинами следующим образом:

= др/рв;

Фг, з,

4 —' 7, <Р, Z’

ф£Х

i^M0;

(122)

для внешней

области

0

0

0

0

^2^

тс

— г

0

0

0

'0

д ~^с дг

0

0

0

тс

i с д

0

(<?) ад —

0

— &

тс

0

0

0'

(123)

0

д icW

0

0

0

тс г

1 с

" г

д

д?г 0

0

0

0

компоненты вектора ф(е) связаны

с электрическим

и магнитным

полями:

'1, 2, 3 —

н^ Г, <р, 2

г/^О '4,5,6”

(124)

Уравнения (121)—(123) задают оператор Йо совместно с граничными условиями (106), (107), которые во введенных переменных записываются следующим образом:

З^ + ^'фЮ^у^)^; ф^)=сф(е). ф^>=0.(125)

В (125) все величины следует выбирать, вообще говоря, на смещенной границе г=а-|-§. Однако в рассматриваемой линейной задаче величины берутся при г—а (тем не менее колебания границы плазмы учитываются, поскольку Vr^0 в точке г=а).

Как и в случае безграничной плазмы, МГД-волны делятся на два типа: магнитозвуковые и альвеновские (для них ip<e>i=0). Для магнитозвуковых волн компоненты собственного вектора, или вектора состояния определяются следующими соотношениями:

.ptO^p^/nd^rl^expt — itoZ + i^ + imy), klr> 0;

1( cs/m(Prlr)exP(—i«i + i^2z +imy), klr<0;

ф<о= —^L_. ф<-) = ^.ф(о . ф(о=А52ф(-).

*2 j(o dr ’cor *» *4 <o *1 ’

(0(127)

ф(0 _ { А-!!—. ф(О _ _1кгт ф(/). ф(0 —Хф«)

*5 — 1 ю2 ar . *60>2r П ■ *7 ~ Л*1 ,

где Jm и 1т — обычная и модифицированная функция Бесселя, описывающие соответственно объемную и поверхностную волны;

w2—^S2^32

“= к*г :К=1— о2 •

Во внешней области компоненты вектора^ состояния такие:

ф(е) = с^ Кт (I * | Г) exp ( — i tot + \kzz + i m^;

ф(«)jф(е) — HL Ь-ф(е).

П1 x« dr •*2 — r x2 *3 ■(128)

, (el mto , (ex . (el 1 w ^З^

где Kmdxlr) —функция Макдональда; и2=62г—со2/с2.

Сшивая с помощью граничных условий (125) внутреннее решение (126), (127) с внешним решением (128), получаем уравнение

MW») I kf I xV^K™ (| xI a) *(129)

которое вместе с (109) полностью определяет дисперсию МГД-волн в плазменном цилиндре с подвижной границей. В (129) штрих означает дифференцирование по аргументу функции.

Можно сказать, что приведенные в (111) выражения для частот магнитозву- ковых волн в предельных случаях длинных и коротких волн (&ra<U, ^rO^l) удовлетворяют уравнениям (111) и (129).

40

1 о1 о(131)(131)(132)(132)(133)(133)exp [ — i ^0, +exp [ — i ^0, ++ “„" — о>а) /].+ “„" — о>а) /].

1 о

1 о

(131)

(131)

(132)

(132)

(133)

(133)

exp [ — i ^0, +

exp [ — i ^0, +

+ “„" — о>а) /].

+ “„" — о>а) /].

Для того чтобы собственные векторы, определяемые (126) —(129) и (109), образовывали ортогональную систему, необходимо; как и ранее, ввести оператор Yo перехода от решений (126) и (128) прямой задачи к решениям сопряженной задачи. Нетрудно показать, что у0 для внешней и внутренней областей описывается матрицами

^ = 8i^

0 О

(130)

о о

Определяя скалярное произведение векторов состояния с помощью (37), где под "у0 понимаются матрицы (130), можно показать, что собственные векторы магнитозвуковых волн образуют ортонормированный набор векторов. Они ортогональны" ^векторам состояния альвеновских волн. Для альвеновских волн, не возмущающих плотность плазмы, *ф<е>г = О, а собственные функции во внутренней области для аксиально-симметричной моды (ттг=О) такие:

Ф^’ = ф^ = ф<'> = 0;Ф^’ = ф]0 = 0;

Ф^ = f (г) ехР ( —*+ 1 ^У, Фб^ = ~ (W®>) Фз^>

а для т ф 0:

Ф^ = ф^) = 0. ф(О = 0; ф^ = = (г — a} g (г) exp (— i tot + 1 kzz + i m^;

где f(r) и g^—произвольные ограниченные функции г. Значит, что для альвеновских волн существует вырождение, поэтому для них необходимо произвести дополнительное разложение по некоему ортонормированному набору.

Для цилиндрических систем удобно при построении ортонормированного базиса альвеновских векторов взять за основу функции Бесселя. В приложении показано, как можно построить такой базис. Теперь с учетом ортонормировки собственных векторов Ло можно искать решение нелинейных уравнений (119) с учетом (121) и (125) в форме

Ф = ^а (0 ^ка + Ф'*«) ®ХР ( — ^ка1 + j ^ + 1 Жф),

где Ф'^а —ортогональная к исходным векторам добавка, которая возникает вследствие нелинейного взаимодействия волн, связанного с нелинейностью граничных условий.

Подставляя (133) в (119) и проецируя вновь полученное уравнение на вектор выбранного состояния, находим, используя самосопряженность оператора Л©:

"i‘dF<^> ^>=(соРа+ 7j са,са„<Фа, ^(Ф^ Ф„„)

(134)

41

Здесь а=(к, а). Вычисление второго слагаемого в фигурных скобках правой части (134) хотя и громоздко, но вполне аналогично вычислению матричных элементов для безграничной плазмы, поэтому не будем на нем останавливаться. Величина Р д имеет вид:

Р, = 2м <>2’ ^ + Ф^У) + (D^V + ^jV) +P2' +

+ с^/Н^^Ж + ^^^V- ^^V - Ф'^Рз )]r=- (135)

Как нетрудно видеть, если предположить, что ортогональная добавка фга удовлетворяет тем же уравнениям, которым удовлетворяют собственные векторы линейной задачи фа, то Р* обратится в нуль^ Это означает, что для определен- ния вклада ортогональной добавки в (134) и (135) следует в граничных условиях учесть нелинейные — квадратичные по амплитудам волн — слагаемые. Тогда получим:

4^' = сФ^ + 5 (^г) (сф^ — Ф^}) + Ф^Ф^ — Ф^Ф^; сф^'-ф^ф^-ф^

(136)(136)РФР' + фР' = (1/2) (ЯР///Р)2(2фР' + фр*+ Ф^Ч+ ФР‘) + $ (d/dr) UH^iHW^^ - Фр -?Фр] -

(136)

(136)

-(1/2) (ф£>4 ФРЧ ФР*) - (3/2) ст — 1) фР’.

откуда после длинных, но простых алгебраических выкладок найдем

РА= 2 kPo.a..o..-VPa.a,iO,,V„ca„,(137)

где

рт,„, = 2Лв {Фр; ^р 2/а>') (а/dr) (Ф<р 2 - сфр;5) +1 фр, ^р 4 -

-1 фР, 7^'2 2) + ^p5* к*/2) (фР Ж, + фР 2фР, 2+фР 3фР, 3 -

- *P 5*P, 5 - Фр 6*P.6 - ФР 7+^i. 7) + (Фр г/®') (W) (ФР, 7 -

- $\ з)] - 1 ЖЖ2 - Фр зФР, 1)} I Г=а- (138)

В (138) опущены слагаемые, связанные с малостью 0. До сих пор амплиту-

дыдыSSбыли нормированы не на число квазичастиц:

ды

ды

S

S

к,.|г=2еа./?о^л<фа., Фа>. (139)

Чтобы перейти к общепринятому формализму, нужно нормировать | са |2 = = eCT./|toa J. Не меняя обозначений для амплитуд мод, нетрудно получить уравнение (112) для амплитуд саЛ нормированных на число квазичастиц. При этом

(141)(141)2toatoo,too,,

(141)

(141)

VoV?a n <% %>

В выражениях (140) и (141) под || подразумевается произведение величин с индексами а, а', а". Выражение для матричного элемента <Фа, Н^ (Фа,, Фа,,}> в общем виде довольно громоздко, поэтому нс будем его приводить*. Лишь для ряда конкретных случаев дадим значения вычисленных матричных элементов.

В соответствии с (126) и (127) для магнитозвуковых волн получаем сравнительно простое выражение для нормы <Фа, Фо>:

2^2ю2 Г/ 2^2S2\,21] .

<фа. Ф,,>т = Ю2_^22у2д Н1 — to2 у — JmJ т) + ^д JmJ ту

(142) Приложение также позволяет вычислить норму для альвеновских ортонормиро- ванных мод:

для объемных*.

<Ф,. ^>AV = ^ay?-Ill"l-IlJ'dMY.(143)

для поверхностных*.

<^ K>AS^^/l+X*(144>

В заключение приведем несколько примеров РПН, которые отсутствуют в приближении безграничной плазмы.

Взаимодействие поверхностных магнитозвуковых волн, описываемых дисперсией <0^ ]Л2 k^A ПРИ ^^О, естественно, отсутствует в приближении без^ранич^ ной плазмы. Для простоты рассмотрим случай то=2, тогда mi=m2=l. Матричные элементы после громоздких вычислений можно привести к простому виду:

<Ф„, ^1(Ф^. Ф-) > = - (3"/4) <м2;<Ф„, ^1(Ф^. Ф-) > = - (3"/4) <м2;р - + Р - О1^е7а ^Оя^ор - + Р - О1^е7а ^Оя^о— <м2 (1 — *z/2fczz);— <м2 (1 — *z/2fczz);еГ1Т0<г3 2/2 2еГ1Т0<г3 2/2 2’ 1 Ф^ ^Ро ^Zi^Z8’ 1 Ф^ ^Ро ^Zi^Z81/21/2(145)(146)(147)(145)(146)(147)

<Ф„, ^1(Ф^. Ф-) > = - (3"/4) <м2;

<Ф„, ^1(Ф^. Ф-) > = - (3"/4) <м2;

р - + Р - О1^е7а ^Оя^о

р - + Р - О1^е7а ^Оя^о

— <м2 (1 — *z/2fczz);

— <м2 (1 — *z/2fczz);

еГ1Т0<г3 2/2 2

еГ1Т0<г3 2/2 2

’ 1 Ф^ ^Ро ^Zi^Z8

’ 1 Ф^ ^Ро ^Zi^Z8

1/2

1/2

(145)

(146)

(147)

(145)

(146)

(147)

Как видно из сравнения (145) и (146), слагаемое, возникающее из-за нелинейности граничных условий, внесло в матричный элемент такой же вклад, как и слагаемое, обусловленное нелинейностью уравнений. Только учет обоих сла-

* Как следует из- уравнений (22) — (24) и (104), (105): £(е> 1 = 0;

i?8pV

Н^ 1 =Н^ 1 =dV

Н^ 1 =

Н^ 1 =

18? (VV) V + i8p -^ 4- IS2 (г - 1) »pvp + il7^ [8hV8h]

— i Cv [veh]j.

1.у/'^ т =2

^ог тй = 1

2.

mQ = 1

47ся4р0

^о

к? к.

5.тй=^ \

“I т„ = 1

ms = 0 kzsa<\

I8^a2pogf

3.

U)q

ms = Q ш« kzsa<\

9л^ л2р% Уд

т» = 1 ^01 = 1 ms = О ^r^ ^* ^

l^io |2 = |^б12

^А5

UJq

^D£^z?^4^2р0

т0 = 1

кга > 1

12.

<a)Sl т0 = 1 kfsv0^ ^ krsa^>l

<М2г, Г

I Г. Р ^ оо-^- к2 а 1 41 32ялрв [ 2о

1 + cos(fersa) I2

1^8|2

I^ij^irj2

гаемых привел к тому, что матричный элемент W^ ^— обладает свойствами симметрии, полученными ранее для безграничной плазмы:

W - = Г .(148)

^1^072С2аО^1

Это означает, что для инкремента РПН справедливо уже известное выражение

I,lc-l'-<|49>

Подставив (147) в (149), получим, что РПН поверхностной магнитозвуковой волны накачки, приводящая к возбуждению таких же поверхностных волн, описывается инкрементом

<*>о

(150)

Не выписывая выкладок для РПН с участием поверхностных волн, приведем лишь результаты расчетов в табличном виде (см. табл, на с. 44 и [29]).

Обозначения: |U7|2 = v2/^a — вероятность процесса; у — инкремент распадной неустойчивости; ^а— число квазичастиц в исходной волне; а*0^У*2кг VA* <»M^r^^zVд» tos^hzS\ индекс AS относится к поверхностной альвенов- ской волне, индекс А/—к объемной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках настоящего обзора автор ставил цель изложить основные идеи и методы теории параметрических неустойчивостей. Однако вне рамок обзора остался некоторый круг теоретических работ и работ, связанных с прикладными задачами. Для ознакомления с этими работами можно рекомендовать читателю обзоры и монографии [2, 43, 46—54].

Автор благодарен Р. 3. Сагдееву за обсуждение вопросов, рассмотренных в обзоре.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПОСТРОЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО БАЗИСА СОБСТВЕННЫХВЕКТОРОВ ОПЕРАТОРА ДЛЯ АЛЬВЕНОВСКИХ ВОЛН

Разложим в ряд линейную комбинацию компонент скорости V, и Рф:

(151)(151)^+1^ = 2 ^// (fe г) + с0Ул^ггУ;

(151)

(151)

1 = 11

аргг(Уг+1Уф)/; ^аргг(Уг+1Уф)/; ^aJ drr(Vr+IVv) ^krry0aJ drr(Vr+IVv) ^krry0VA J drr Ui ^r^о1VA J drr Ui ^r^о1(152)(152)VA j drr^ryi0VA j drr^ryi0

а

ргг(Уг+1Уф)/; ^

а

ргг(Уг+1Уф)/; ^

a

J drr(Vr+IVv) ^krry

0

a

J drr(Vr+IVv) ^krry

0

VA J drr Ui ^r^о1

VA J drr Ui ^r^о1

(152)

(152)

VA j drr^ryi

0

VA j drr^ryi

0

где kr =4i/a; ЬГв= X ] a\ Z—любое целое положительное отличное от нуля число (если / = 0, то и со = О); yz— корни уравнения

xFiW/LW^l.(153)

45

Покажем, что такое разложение обеспечивает ортогональность собственных ректоров, т. е.

2<Чг Ч->-2<%. н>\,(,54)

где индексом / обозначены компоненты вектора Ф^ ; кт характеризует радиальный профиль волны.

В самом деле, нетрудно убедиться в справедливости равенства

аа

оо

1 с д

(156)(156)-тгр^^Н.'Ч)-о

(156)

(156)

Ч+,Ч и"Ч+,Ч и"В силу граничного условия Vr(a) = 0 последнее слагаемое этого равенства

Ч+,Ч и"

Ч+,Ч и"

обращается в нуль. Если теперь в (155) взять в качестве

= 1,2) два любых слагаемых разложения (151), то получим равенство (154).

Явные выражения для компонент вектора состояния альвеновских волн получим из (152):

Vrk

о

fez

0

(156)

где Vrkri = llr 1 J dr' —^?p— ;— Цк^У-1 (1 — krry, ct и c0 опреде-

o

лены выражениями (153). В случае аксиально-симметричных (т= 0) волн следует в (156) положить Vrk . = Vrk^ = 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. — Жури. техг. физ., 1962, т. XXXII,. с. 1291.

Sagdeev R. Z., Galeev A. A. Nonlinear Plasma Theory. — N. Y.; Amsterdam: W. A. Benjamin Inc., 1969.J

Захаров В. E. — Жури. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 51, с. 1107. 1

Ораевский В. Н. — Прикл. мех. и техн, физ., 1962, № 5, с. 39.

Галеев А. А., Ораевский В. Н. — Докл. АН ССОР, т. 147, с. 71.

Галеев А. А., Карпман В. И. —Журн. эксперим. и теорет. физ.» 1963, т. 44, с. 592.

Oraevsky V. N. — Nucl. Fusion, 1964, vol. 4, p. 263.

Ораевский В. H. — Атомная энергия, 1963, т. 16, с. 441.

Веденов А. А., Рудаков Л. И. — Докл. АН СССР, 1964, т. 159, 6. 767.

Силин В. П. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1965, т. 48, с. 1669.

Du Bois D., Goldman M. W. — Phys. Rev. Lett., 1965, vol. 14, p. 544.

Дикасов В. M., Рудаков Л. И., Рютов Д. Д. — Жури, эксперим. и теорет. физ., 1965, т. 48, с. 913.

Coppi В., Rosenbluth М. N., Sudan R. — Ann. Phys., 1969, vol. 55, p. 207.

Миронов В. A. — Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1969, т. 12, с. 1765.

Андреев Н. Е., Кирий А. Ю., Силин В. П. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1969, т. 57, с. 1024.

Karpliuk К. S., Oraevsky V. N., Pavlenko V. Р. — Plasma Phys., 1973, vol. 15, p. 113.

Kroll N. — Phys. Rev., 1962, vol. 127, p. 1207.

Woodbary E. J., Ng W. K. — Proc. IRE, 1962, vol. 50, p. 2367.

Галеев А. А., Ораевский В. H. — Докл. АН СССР, 1964, т. 154, с. 1069.

Силин В. П. Параметрическое воздействие излучения большой мощности на плазму. — М.: Наука, 1973.

Nishikawa К. — J. Phys. Soc. Jap., 1968, vol. 24, p. 916, 1152.

Rosenbluth M. N. — Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 29, p. 565.

Piliya A. D. — In: Phenomena in Ionized Gases. (Proc. 11th Intern. Conf, in Oxford), 1971, p. 287.

Галеев А. А., Ораевский В. H., Сагдеев Р. 3. — Письма в ЖЭТФ, 1972, т. 16, с. 194.

Perkins F. М., Flick J. — Phys. Fluids, 1971, vol. 14, p. 2012.

Грач С. M., Трахтенгерц В. Ю. — Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1975, т. 18, с. 1288.

Литвак А. Г., Миронов В. А. — Там же, с. 828.

Sudan R. N., Cavaliere A., Rosenbluth М. N. — Phys. Rev., 1967, vol. 158, N 2, p. 387.

Karpliuk K. S., Kolesnichenko Ja. I., Oraevsky V. N. — Nucl. Fusion, 1970, vol. 10, p. 3.

Oraevsky V. N., Pavlenko V. P., Wilhelmsson H., Kogan E. Ya. — Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 30, p. 49.

Давыдова T. А., Ораевский В. H. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1974, т. 66, с. 1613.

Oraevsky V. N., Chodura R., Feneberg W. —-Plasma Phys., 1968, vol. 10, p. 819.

Карплюк К. С., Ораевский В. Н. — Письма в ЖЭТФ, 1967, т. 5, с. 451.

Ораевский В. Н., Цытович В. Н. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1967, т. 53, с. 1116.

Ораевский В. Н., Павленко В. П. — Журн. техн, физ., 1969, т. XXXIX, с. 1799.

Minorsky N. Nonlinear Oscillations. — N. Y.: D. Van Nostrand, 1962.

Боголюбов H. H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Физматгиз, 1963.

Chew G., Goldberger М., Low F. — Proc. Roy. Soc., 1956, vol. 236, p. 112.

Рудаков Л. И., Сагдеев P. 3. — В кн.: Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. Т. 3. — Mj Наука, 1958, с. 268.

Storey L. R. О. — Philos. Trans. Roy. Soc., 1953, vol. 246, p. 113.

Aigrain R. — In: Proc. Intern. Conf, on Semiconductor Physics, Prague, 1960, p. 427.

Lighthill M. J. — J. Inst. Appl. Math., 1965, vol. 1, p. 269.

*3. Кадомцев Б. Б., Карпман В. И. — Успехи физ. наук, 1971, т. 103, с. 193.

Кадомцев Б. Б., Михайловский А. Б., Тимофеев А. В. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1964, т. 47, с. 2266.

Тимофеев А. В. — Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 4, с. 48.

Вопросы теории плазмы: Сб. статей/ Под ред. М. А. Леонтовича. Т. 4—7, 10.—М.: Атомиздат, 1964—1978.

Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1976, с. 238.

Ситенко А. Г. Флуктуации и нелинейное взаимодействие волн в плазме.— Киев: Наукова думка, 1977.

Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. — М.: Атомиздат, 1971.

Weiland J., Wilhelmsson Н. Coherent Nonlinear Interaction of Waves in Plasmas. — Oxford: Pergamon Press, 1976.

Заславский Г. M., Мейтлис В. П., Филоненко Н. Н. Взаимодействие волн в неоднородных средах. — Новосибирск: Наука, 1982.

Galeev A. A., Sagdeev R. Z.— Nucl. Fusion, 1973, vol. 13, p. 603.

Porkolab M.— Physica, 1976, vol. 82C, p. 83.

Арцимович Л. А., Сагдеев P. 3. Физика плазмы для физиков. — М.: Атомиздат, 1979.

КОЛМОГОРОВСКИЕ СПЕКТРЫ В ЗАДАЧАХСЛАБОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

В. Е. ЗАХАРОВ

ВВЕДЕНИЕ

Понятие турбулентности, возникшее в гидродинамике, давно уже приобрело общефизический смысл. Под турбулентностью понимают неупорядоченное, хаотическое движение любой непрерывной среды (или вообще системы с большим числом степеней свободы), требующее статистического описания. Подобная же задача возникает и в статистической физике, однако между теорией турбулентности и статистической физикой имеется принципиальное различие. Именно статистическая физика и примыкающая к ней неравновесная статистическая механика изучают системы, находя» щиеся в состоянии термодинамического равновесия или вблизи него. В отличие от них в теории турбулентности рассматривают системы, предельно далекие от термодинамического равновесия. Основной физический процесс, происходящий в турбулентной среде — необратимая передача энергии из степеней свободы, в которых происходит возбуждение, в степени Свободы, где происходит затухание. Можно сказать, что теория турбулентности так же относится к статистической физике, как теория, описывающая водопад, — к гидростатике. Неравновесной статистической механике в рамках этой аналогии будет соответствовать теория малых колебаний вблизи равновесия. z

Турбулентность надо описывать в совершенно других терминах, чем те, которыми оперируют статистическая физика. К турбулентному состоянию абсолютно неприменимо, например, понятие температуры (которое можно сравнить с уровнем жидкости в гидростатике). Вместо него фундаментальную роль приобретает понятие потока энергии по спектру (для водопада это будет расход жид- 48

кости). Как мы увидим ниже, спектры турбулентности вполне адекватно описываются в терминах потоков энергии, числа квазичастиц и других сохраняющихся величин.

Одним из примеров спектров данного типа является выражение,, найденное А. Н. Колмогоровым и А. М. Обуховым [1, 2], для распределения энергии по волновым числам развитой турбулентности несжимаемой жидкости

= ар2/з^-и/3) (1) где а —абсолютная константа; Р— поток энергии по спектру в область больших к. Выражение (1) называют колмогоровским спектром; будем называть колмогоровским любой спектр, полностью определяемый потоками одной или нескольких сохраняющихся величин.

Формула (1) хорошо подтверждается экспериментально, однако- ее нельзя полностью обосновать теоретически. При ее выводе использована гипотеза о локальности турбулентности, т. е. о том, что существенно между собой взаимодействуют только величины одного порядка. Эта гипотеза до сих пор строго не доказана. Причина этого состоит в том, что турбулентность в несжимаемой жидкости относится к числу наиболее трудных с точки зрения описания типов турбулентности, поскольку в ней отсутствует какой-либо малый параметр. Такого рода турбулентность будем называть сильной.

Существуют, однако, физические среды, турбулентность в которых значительно более доступна для описания. Это среды, динамику которых можно представить себе как распространение и взаимодействие волн, обладающих дисперсией. Если амплитуды этих волн малы, так что взаимодействие этих волн достаточно слабое, то для описания турбулентности можно применять кинетические уравнения для квазичастиц, подобные используемым в теории конденсированных сред.

В этом случае турбулентность называется слабой. В рамках слабой турбулентности построение колмогоровских спектров сводится к решению кинетических уравнений. Вопрос о локальности здесь можно проверить непосредственно.

Слаботурбулентные колмогоровские спектры впервые были построены в [3—6]. Эти спектры играют важную роль во многих задачах плазменной турбулентности. Особенно интересно и важно применение теории слаботурбулентных колмогоровских спектров к задаче о турбулентности поверхностных волн, в частности —- к теории морского волнения. Колмогоровские спектры естественно появляются и в некоторых задачах физики плазмы.

СЛАБАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СРЕДАХ С РАСПАДНЫМЗАКОНОМ ДИСПЕРСИИ

Для того, чтобы описывать явления в различных средах с единой точки зрения, будем использовать аппарат гамильтонов- ского формализма. Пусть в среде существует единственный тип 4—3283 49

-волн с законом дисперсии сок. Волны можно описывать при помощи комплексной амплитуды ак^, подчиняющейся уравнению

xdab/dt=&H/ha*k,(2)

-где Н— гамильтониан среды; Н=Но-^Нцд — гамильтониан линеаризованной задачи

Я. = j W*A(3)

■^int — гамильтониан взаимодействия, разлагающийся в ряд по степеням ак, а*к. Запишем первые члены разложения

// = (1 /2) С (V.. . а+й аь 4- V* . ака\ а\ )И . . dkdkxd^ +

+ (1/3) C (U.. . afeab ab + U*bb b a*ka\ a*. ) 8 . . dkdk^dk^ +• ' / / i яя^кг ” Ri Яг l ккукг R Ri кг^ к^ЯхА-Яг 12 1

+ (1/2) f Wbb b ba*ka\ аьаЛм k kdkdkxdk4dkv (4)

Характер взаимодействия волн и свойства турбулентности зависят лрежде всего от вида функции юк. Рассмотрим уравнение

ki + kz к, 1 к:х '

Пусть N — число пространственных измерений рассматриваемой •среды. Тогда к — вектор в А^-мерном пространстве. Ниже всюду рассмотрен случай N>1 (т. е. N=2, 3). Уравнение (1) задает гиперповерхность размерности 2N—1 в 2^-мepнoм пространстве. Если эта поверхность действительно существует (вещественна), закон дисперсии юк будем называть распадным. Если (5) не имеет вещественных решений, закон дисперсии будем называть нераспадным. Если юй —функция только от |к| (среда изотропна) и <й(0)=0, то можно сформулировать критерий распадности закона дисперсии: закон дисперсии распаден, если <й"к>0, и нераспаден, если й"к<0.'

Существует еще промежуточный случай <й"к=0. При этом распады возможны, однако только при условии k2||ki. Это же верно для более общего закона диспепсии, зависящего от углов = =/(n) |к|, где п — единичный радиус-вектор в ^-пространстве. Этот случай — вырожденный, и его надо рассматривать отдельно.

При статистическом описании волновое поле ak(t) описывают набором корреляционных функций, первая из которых имеет в однородной среде вид:

<»м (О а\, (/)> = пк ^ 6к^к„

Величину пк несколько условно называют числом квазичастиц с данным волновым вектором к (эта терминология заимствована из квантовой механики — в системе единиц, где постоянная Планка А=1, величина Пк действительно имеет смысл плотности числа 50

квазичастиц со спектром (од в фазовом пространстве). Для статистически однородного поля гамильтониан Яо бесконечен. Однако плотность гамильтониана Н^ в единице объема ^ конечна и имеет вид S—J ^udk, Wk=tokith. Таким образом, nk = Wk(tok имеет смысл плотности адиабатического инварианта волн в фазовом пространстве.

Строго говоря, Пк входят вместе с высшими корреляционными функциями в бесконечную систему уравнений. Однако при определенных условиях эту бесконечную систему можно редуцировать до одного уравнения на величину Пк. Это уравнение называют кинетическим. Необходимое условие применимости этого уравнения — малость взаимодействия Hint^Ho. Вывод кинетического уравнения и достаточных условий его применимости выходит за рамки настоящей статьи. Приведем только ответ. В случае распадного закона дисперсии кинетические уравнения

dnk(dt = st (пк, пку|

st ^Пк, J|

где ^^W^W-k.-k^^-^ X

Достаточные условия применимости уравнений (6) зависят от вида функции пк. Если пк «широкая» функция, т. е. единственным характерным масштабом в ^-пространстве является к0, то достаточно'

IV I

Ч " 8<>

Если же Пк представляет собой спектральный пик с максимальной шириной Хк, сосредоточенной вблизи к=к0, то условие (7) модифицируется к виду

(8)

Если пк сосредоточена вблизи линии или поверхности в ^-пространстве, условия применимости можно изучить специально [25].

и по отдельности каждое из слагаемых в (6). Например, при пк= — Т/®к

(Ю)

Покажем, что уравнение (6) имеет и другие решения, для которых условие (9) уже не выполняется.

Пусть рассматриваемая среда, кроме однородности, обладает еще свойством изотропии. Тогда матричный элемент VteA инвариантен относительно поворотов в ^-пространстве и, следовательно, может считаться функцией только модулей волновых векторов k , |ki|, |к2|. Закон дисперсии <ак также есть функция только от к . В такой среде уравнение (9) имеет изотропное решение п= =л(|к|). Воспользовавшись формулой

8 (к — кт — к2)=-^рг J ехр[1 (5, к-к.-к,)]^,(11)

где п=2, 3 — размерность среды, усредним выражения 6 (к—ki — к2) по углам в пространствах &ь ^2. Имеем в двумерном случае

ОО

<8 (к — к, — к2)> = 2^ W6 ^ 3, ^ За (^) = -^-,(12)

о

где площадь треугольника, образованного векторами к, кь к2,

Д2 = (1/2) /2 ^к\ + к"к\ + к\к\^ — к4 — к\ - к\.

В трехмерном случае

<8 (к - к, - к2)> = ^ f sin^sin^sinM ^ ^^^.

О

Функции \п(к, к\, k2) не зависят от знаков слагаемых в аргументе 6-функции, инвариантны относительно перестановок своих аргументов. Функции Дл(&, кх, к-^ отличны от нуля, если из векторов с длинами к, кх, к2 можно образовать треугольник.

От переменных к, к\, к2 целесообразно перейти к переменным со, o>i, о>2. Уравнение (6) примет вид:

(13)(14)(13)(14)^ ■ ^ ж=П №...,..,-<....-<.,. jа*-

(13)

(14)

(13)

(14)

о о

R». •„ „, = Uto, „„ Ш26 (® - ®1) 6 (<О - о>2) 8 (ш — о>2 — Ю2) Уп^п^ -

- «Л, - mJ;

и«, .„ «, = WM №Г (dkld^ (dkjd^) (dkjd^.

Умножим обе части уравнения (13) на ф. Величина <2№’4wkn-1X. ^"^ п^> = ®°> нредставляет собой усредненную по углам плотность

(

оо

Очевидно, §>— j* @tod® пред- 6

ставляет собой пространственную плотность турбулентной энергии.J Уравнение (13) представим в виде

dSto/dt+dP/dto = O,(15)

где для трехмерной среды

Р = - f <о'd®' ( f d^d®, (R ,— R , —R , )(16)

112 \ X(O,(O1<O2(JDiCD'GD.jV /

00 0

(для двумерной среды нужно заменить 4л на 2л). Проводя перестановки во втором и третьем слагаемом в (16) coi^-^<joz и (О2-*-^о/, получаем

P = ^M'do>’ j №(®\—(17)

Если nto не имеет сингулярности при со=О, то Р(0)=0. Интегрируя (15) в пределах (0, со), приходим к выводу, что Р(со) — поток энергии волн из области частот (0, со).

В рассматриваемом сферически-симметричном случае стационарное уравнение (9) сводится к уравнению

Р(о)=Ль(18)

где Ро — произвольная константа.

Термодинамически равновесное решение Рэлея —Джинса в наших переменных имеет вид nto = T/to, для которого, как следует из (17), Ро=О (что физически вполне очевидно).

Однако (18) при подходящих условиях может иметь решение и при PQ^0. Пусть среда, кроме свойств однородности и изотропии, обладает некоторой масштабностной инвариантностью, именно пусть закон дисперсии и матричный элемент V^ ^ — однородные функции своих аргументов о)й = Г, V,^.^^ = 8^^. Тогда ^ тоже однородная функция:

W = a)Tf (<о,/ю ),

где f(g) — некоторая структурная функция, характеризующая взаимодействие волн.

Уравнение (18) имеет точное решение

гг^аР^®, v = (« + p)/a.(19)

Подставляя (19) в (18) и меняя в (17) порядок интегрирования, выполним одно из интегрирований. Получим

00

(20) J s U "г <u

Функция f(£) существенно положительна. Если v>l, то выражение в квадратных скобках в (20) также существенно положительно. Поэтому при V>1 уравнение (18) имеет степенное решение (19) при положительных Ро. Аналогично при v<l Ро должно быть отрицательно. Ниже будем рассматривать только случай v>l как физически наиболее интересный.

Решение (19) имеет смысл, если а конечно. Условие конечности а есть условие сходимости интеграла (20) при ^0, оо.

Пусть f(g) при g->-0 имеет асимптотику f(|)^-^p. Функция 1Г(<в, о/) симметрична: 1Г(<в, о/) = №(0/, ю).

С учетом требования ее однородности имеем f^=^"3f(W^.(21)

Поэтому при g-^-OO f (^)->^2v^3-p.

Используя (21), убеждаемся, что условие v<p+3(22)

является одновременно условием сходимости интегралов в (20) при |->-0, оо и, следовательно, условием физической реализуемости решения (19).

Распределение Рэлея — Джинса может иметь физический смысл тогда, когда интегралы в (13) сходятся при п=Т/®. Пользуясь (21), найдем условие этой сходимости v<24-p/2.(23)

Это условие является более жестким, чем (22), и во многих случаях не выполняется.

Пусть, однако, оно выполнено. Тогда уравнение (9) имеет два изотропных степенных решения п = Т/&, п = аР1^21^. Ясно, что общее сферически-симметричное решение уравнения (9) должно зависеть от констант Т и Ро- Из соображений размерности оно имеет вид:

п=п(®, Ро, Т) = №№о/<№-^.(24)

Здесь glx)—некоторая положительная функция. При Ро=О решение (24) должно переходить в распределение Рэлея — Джинса. Отсюда g(0) = l. При Т-*-0 решение должно перейти в распределение (19), откуда g(х)-*ах1/2 при х->оо. Разлагая функцию g(x) в ряд до членов первого порядка, при х->0 получаем g=l + +Яо^+- • •, n=T/to-VgoPo/T^-x-Y. • •(25)

Разложим g^ при х—*-оо в асимптотический ряд g(x)«=ax1/2(l + 4-с/ах4~...), получим при Т-*-0'

’n=(aPW^H(cT/P0^-4. • • ■(26)

Существует другой способ, чтобы убедиться в том, что (19) есть точное решение уравнения (9). Подставим в (13) пю=1/<о5. При этом ^(<в, соь ©г) становится с учетом 6-функции однород- 54

(27)(27)ной функцией степени y=2v—2s—1. Проведем замену переменных во втором слагаемом уравнения (13):

(27)

(27)

(01 — (оЗ/со'г, 0)2== СО/2(о/(О/ь

Якобиан этого преобразования д(соь o)2)/d(o/i, со'г) =—(co/co'i), причем также меняются пределы интегрирования по соь Заметим, что о)=(о/10/(о/ь таким образом, можно аналогично преобразовать третий член. Окончательно получим

Подынтегральное выражение в (28) в согласии с предыдущим обращается в нуль лишь при s=l и s=v и знакопостоянно при всех остальных s. Это доказательство того, что найденные здесь решения являются единственными степенными решениями уравнения (9).

Можно показать, что если подставить в (13) nto в виде nto=T/to-\-g/tov+..., nto=aPQX^lti^^c/toz-V...

и линеаризовать (13) по малости g, с, то окажется, что единственно возможными значениями для у, z являются y=2v—1, z=l— v в полном соответствии с (25), (26).

уравнении (20). Если неравенство (22) выполняется, то в рассматриваемом случае гарантируется локальность турбулентности.

В реальной среде, в которой может развиваться турбулентность, в области больших частот обычно имеется сильное затухание. Оно делает невозможным существование теплового резервуара. В соответствии с идеологией Колмогорова вид этого затухания не входит в выражение для спектра, однако в присутствии затухания необходимо положить Т=0.

Итак, в задачах о турбулентности единственное решение изотропного уравнения (9), имеющее физический смысл, — решение (19). Его можно назвать колмогоровским спектром.

В других физических ситуациях, например в твердом теле при температуре выше дебаевской, может иметь смысл и точное решение (24).

В реальных случаях турбулентность возбуждается за счет развития неустойчивости, которая характеризуется инкрементом у(&); с учетом неустойчивости уравнение (15) приобретает вид:

^Idt-VdP^^^^^. (29)

Величина у^)^ представляет собой распределение выделенной энергии по частотам. При достаточно больших со значение у (со) отрицательно и растет, поскольку в области высокой частоты во всех физически разумных случаях происходит затухание волн.

Стационарный спектр в присутствии у (со) задается уравнением дР/дт^^)^^ (30)

Это уравнение можно решить, если принять, что при всех о осуществляется колмогоровский спектр с переменным потоком Р; Уравнение (31) имеет решение P=R^^ /^, при котором

Тогда

^r=TSp,!,W' К^^^^-(31)

о

Уравнение (31) имеет решение Р=^2(со)/4, при котором nto=aR (со) /2cov, ^^=bR (со) /со8.(32)

Обычно область положительности инкремента у ограничена областью малых волновых чисел со<соо. В точке со = соо поток Р достигает максимума. В этой точке у = 0. Область со<соо можно считать областью возбуждения. В области больший волновых чисел существенно затухание. Наиболее сильное затухание происходит в области со—(оь где P(coi)=O. Формула (32) справедлива, если coi3>coo. В этом случае область coi>co>coo можно считать инерционным интервалом, поток в ней — медленно меняющаяся функция со, а при у (со) =0 он постоянен.

В большинстве рассмотренных случаев $>1. Это классическая колмогоровская ситуация. В этом случае область <о—чоо является энергосодержащей. Однако в принципе может иметь место и случай s<l, когда энергосодержащая область не совпадает с областью возбуждения, и основная энергия сосредоточена в области со—соь

Знак величины s—1 существенным образом определяет так же и характер установления стационарных спектров. Уравнение (15) имеет автомодельное решение

n= (l//x)n.0((o/^)(зз)

причем

x=l+y(2v-l+6), 6 = п/а.(34)

Функция по^ при ^=а)М подчиняется уравнению

g6 <хп^у^дп/д^ +дР/д^=0.(35)

Подставим в уравнение (35) п^~\/^- Видно, что при s=v— д>1 член дР/д^ превалирует в области больших £, тогда как при s<l он является главным при ^->0. Это означает, что при $<1 автомодельное решение может иметь колмогоровскую асимптотику только в области малых волновых чисел, что, в свою очередь, возможно, если при ^=0 расположен источник волновой энергии. Если этот источник имеет постоянную интенсивность, то энергия в системе растет линейно со временем. Тогда из условия

о

найдем %=(б+1)у— 1, откуда с учетом (34)

y=l/(l-s), X = v/(l-s).(36)

При (о-^0 это решение стремится к независимому от времени пределу п^—аРх^1^. Оно представляет собой сферически-симмет- ричную «тепловую волну», распространяющуюся в ^-пространстве в область больших волновых чисел. При этом энергосодержащая область расширяется со временем по закону to^tx^x-s\

При s—1 скорость расширения этой зоны катастрофически увеличивается и при s=l обращается в бесконечность. Это означает, что при s>l скорость передачи энергии по спектру настолько велика, что энергия уходит в бесконечность за конечное время. Автомодельное решение с индексами (36) при этом теряет смысл.

При s>l уравнение (15) также имеет автомодельное решение, но с другим физическим смыслом. Это решение описывает асимптотическую стадию эволюции произвольного начального условия в среде без подкачки энергии и затухания. В соответствии со сказанным выше это решение при со-^оо имеет колмогоровскую асимптотику п^аРх^1«^. Однако Р меняется со временем, убывая как неизвестная степень t. Чтобы определить эту степень (найти индексы х, у), необходимо решить нелинейную задачу на собственные значения (35) при дополнительном условии положительности функции п^ при 0<^<оо.

Поскольку при (о-^оо nto—аРх/21(^. поток энергии при со=оо отличен от нуля, полная энергия в системе волн не сохраняется, а уменьшается. Отсюда можно сделать оценку значения индекса у.

Из условия

о находим соотношение ,1

2(s— 1) *

Таким образом, при $>1, у<0 и в процессе эволюции автомодельного решения энергосодержащая область смещается в сторону малой частоты.

При s<l асимптотическое поведение начального условия также описывается автомодельным решением. Однако теперь энергия сохраняется, поэтому индекс у определяется однозначно: у= = 1/2 (1-8).

По-прежнему энергосодержащая область увеличивается с ростом ty причем это происходит тем быстрее, чем ближе $ к единице. Такое решение нигде не имеет колмогоровской асимптотики, поскольку при со->О и со-^оо поток энергии равен нулю.

Рассмотрим установление стационарного решения типа (32) при условии, что область накачки co^too и область затухания co^coi сильно разнесены. При этом в области too<Cco<Ctoi должен устанавливаться колмогоровский спектр с некоторым постоянным потоком Р. Однако характер этого установления зависит от знака величины s—1. Если $<1, то установление происходит при распространении рассмотренной выше Автомодельной «тепловой волны», распространяющейся по области прозрачности g)o<g)<o)i. Если же s> 1, то установление носит не автомодельный характер. При включении накачки по мере нарастания спектра в энергосодержащей области происходит и нарастание его сразу во всем интервале прозрачности в виде колмогоровского спектра с некоторым потоком Р. Пусть N — характерное значение nto в области накачки со—'too- Тогда поток энергии в среду за счет накачки имеет порядок Р ^ у^у1^. Поток энергии в область большой частоты Определяют из условий сшивки N-aP1/2lto^, т. е. он имеет порядок Р^ ~^N2!a2^ too; когда N достигает значения^ a^too64-1-^, оба потока выравниваются, и дальнейший рост N прекращается.

Изложенные выше представления о характере установления спектров были частично проверены в численном эксперименте, описанном в [26]. В этом эксперименте решали систему дифференциальных уравнений

м м

+(38)

пх=\ пй=\

где

Рис. 1. Колмогоровский :пектр, полученный в [26] численным решением уравнений (38), (39)Рис. 1. Колмогоровский :пектр, полученный в [26] численным решением уравнений (38), (39)

Рис. 1. Колмогоровский :пектр, полученный в [26] численным решением уравнений (38), (39)

Рис. 1. Колмогоровский :пектр, полученный в [26] численным решением уравнений (38), (39)

R = 2^U N N 8MlblhП1+П8,П1,Па П, П1 П—П1—П,

при n<_nv п<<п4;

Rn,n.,n.=° ПРИ «>«1 И П>ПУ

Функцию ^П11Пя = пг J (-^"^ предполагали однородной второй степени: U7 = U, где f (х) = х2 (1 — х)2. Величина ч„

Пх^ПгПх + П^П^Пъ1 х <х'

имеет вид:.

что соответствует включению неустойчивости в области п-—По и бесконечно большому затуханию для п>М.

В конкретных экспериментах выбирали л=10, М=100.

Рассматриваемая задача моделирует уравнение (13) при условии со=&, 6=1, у= =2. Согласно (19) оно должно иметь колмогоровское решение Nn—Р^п^2, осуществляющееся в области п0<п<М. Асимптотическое при t—иоо и независящее, как показывает эксперимент, от t решение уравнения (38) приведено на рис. 1. Видно, что в области По<п<М действительно устанавливается колмогоровский спектр, причем переходная зона между областью его реали- ации и энергосодержащей областью удивительно мала.

Характер установления этого спектра также согласуется с тем, который был описан выше.

РАЗМЕРНОСТНЫЕ ОЦЕНКИ

Рассмотрим теперь более общий случай однородной, но не обязательно изотропной среды, в которой закон дисперсии и матричный элемент взаимодействия являются однородными функциями волновых векторов

0)(&&) =8а0)(&), У(е&, 8^1, 8&2)=$^(^, ^ь &2).(39)

При а>1 закон дисперсии распадный, и турбулентность описывается кинетическим уравнением (6).

Предположим, что в области малых волновых чисел имеется источник энергии и что спектр турбулентности описывается един-

59

ственной константой — потоком энергии Р. Из соображений размерности имеем

Р^®кпккп1х,(40)

где т —- величина, имеющая размерность времени.

Гамильтониан (4) дает возможность построить при данном пк две величины размерности времени: тг—1 !^к и тг, где

1/т2^| V\2knnkjtok.(41)

Очевидно, т2 — характерное время изменения спектра, определяемое из кинетического уравнения. Из соображений размерности имеем

1/т~(1/т2)й(т1/т2),(42)

где h^) —некоторая неизвестная функция. Тем самым для среды, описываемой гамильтонианом (4), невозможно в отличие от случая гидродинамики несжимаемой жидкости определить спектр турбулентности, задав поток энергии Р.

Однако при малой нелинейности из применимости кинетического уравнения следует, что нужно подставить т^т2. Это позволяет определить спектр. Имеем

^=(^1/76^)^),(43^

где г(п) —некоторая функция от направлений. Для ее определения соображений размерности недостаточно и нужно решать точно уравнение st(n, п)=0. В рассмотренном выше изотропном случае r(n)=const=a.

Решение (43) имеет смысл, если только выполнено условие локальности, аналогичное условию сходимости интегралов (20).

Физический смысл решения (43) — колмогоровский спектр, осуществляющийся в области прозрачности, между накачкой и затуханием. Очень существенно отношение констант аир. При а>р энергосодержащей областью является область больших волновых чисел, в которой сосредоточено затухание волн. При а<р энергосодержащей является область малых волновых чисел — область накачки. В этом случае осуществляется подлинно колмогоровская ситуация, аналогичная ситуации в турбулентности несжимаемой жидкости. При этом (что соответствует рассмотренному выше случаю s>l) кинетическое уравнение хотя и имеет формально вид закона сохранения энергии и импульса

S = у ^п^к;(44)

Р = у knkdk,(45)

но на самом деле энергия при этом не сохраняется, так как при к-^оо устанавливается конечный поток энергии. Можно сказать, что эта энергия затухает в области бесконечно больших волновых чисел в результате механизма, детали которого не оказывают воздействия на процессы, происходящие при конечных волновых числах.

Наряду с потоком энергии Р можно ввести поток импульса R— количество импульса, диссипируемого в единицу времени в единице объема среды. Имеем

К=кпккп1т.

Можно представить спектр, целиком определяемый потоком импульса R. Пользуясь размерностным соотношением Rjk^P/^h, для такого спектра находим

/ \ V2 pl/2 /R k \

■ И')

где W — некоторая функция направлений R и к. В изотропной среде U^= W7(Rk//?^)—общее колмогоровское распределение числа квазичастиц по волновым векторам должно определяться потоками Р и R. В изотропной среде спектр, определяемый однимг потоком Р, является изотропным. Из-за малого потока импульса происходит анизотропия. Из потоков R и Р можно в изотропной среде составить единственную безразмерную, линейную по R комбинацию (Rk)(Ob/P&2. Поэтому слабоанизотропный спектр имеет вид:

Можно показать [10, И], что выражение (47) с точностью до членов порядка X2 удовлетворяет уравнению st(n, п)=0. Распределения типа (47) называют дрейфовыми колмогоровскими распределениями.

КАПИЛЛЯРНАЯ И АКУСТИЧЕСКАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

Характерный пример-распадной слабой-турбулентности колмогоровского типа — турбулентность капиллярных волн на поверхности жидкости [5]. Закон дисперсии этих волн (£>& =>

где сг — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, а р— плотность (положим их равными единице), удовлетворяет распадным условиям и изотропен. Глубина жидкости считается бесконечной.

Течение жидкости считаем потенциальным 1у=УФ. Его удобно* описывать, задавая форму свободной поверхности 2=г| (г, /) и потенциал на поверхности Ч7—Ф^^. После задания этих переменных Ф во всем объеме определяется из решения первой краевой задачи для уравнения Лапласа при дополнительном условии* дФ/dz-^O при —оо.

Переменные 13, Т [27] канонические — уравнения движения для них имеют вид:

дц/д1=6Н№ dWldt=—6H/^(48)>

где полная энергия жидкости

+](/Ыг + 1- 1]^.+](/Ыг + 1- 1]^.dr J [(фФ)2^

+](/Ыг + 1- 1]^.

+](/Ыг + 1- 1]^.

—оо

Переход к нормальным переменным ак осуществляется по формуле

+^=-^(а,-а*_4).(49)

где цк = -^- J т) exp (inr) dk и V6 — фурье-образы канонических переменных. Для матричного элемента взаимодействия волн имеем v»..^=^{l<k.k.) + t,6,l(e-^),',-[-№) + 6y (^)''* -

— Г—(кк.) + ЙА,1 (^-)’'4 I;(50)

Уь.ы.дг — однородная функция степени 9/4. Итак, а=3/2, р=9/4. В соответствии с изложенным выше кинетическое уравнение для Ли ^Пк6к-к'=<ака*к'> должно иметь точное решение п,к = = Р^^к^/\ v=17/4.

Соответствующее распределение энергии по частотам, опреде- -ляющееся соотношением

2л№/2п^=еаб/(о,

имеет вид ^^Р^2/^^, s=7/6. Поскольку s>l, энергосодержащая область расположена в малых частотах, и степенный спектр является колмогоровским в строгом смысле. Условие его локальности, как легко проверить, выполняется с большим запасом.

Следующий важный пример—это акустическая турбулентность. Рассмотрим нелинейную среду, в которой могут распространяться -звуковые волны. Если эти волны имеют малую амплитуду и среда изотропна, то можно воспользоваться стандартным уравнением d^ld^—^—e^^^ii2,(51)

где член еА2м описывает дисперсию звука — зависимость его скорости от волнового числа. Скорость длинных звуковых волн положена равной 1.

Закон дисперсии звука

^k^V^ "V’^k4(52)

является распадный, если е>0, и нераспадным, если е<0. При е=0 закон дисперсии — чисто линейный. При выводе (51) предполагается гк2<^Л»

К каноническим переменным переходят по формуле ak = ^lV^k ^^кА^кУ

Для матричного элемента взаимодействия получаем

V = .1кк^к^

^ 4л/Г (^«^)1/2'(53)

Распадное кинетическое уравнение применимо только, если 8>0^ и 1/т<е&3, где т — характерное время изменения спектра, следующее из кинетического уравнения. Поэтому при 8=0 кинетическое уравнение области применимости не имеет. Однако если условие- применимости кинетического уравнения выполнено (уровень нелинейности достаточно мал), то в первом приближении надо положить е=0. При этом (о^=^ ™ однородная функция первой степени и-

— однородная функция степени 3/2. Итак, а=1, (3 = 3/2 и кинетическое уравнение должно иметь решение

пк = аР'!2 /k912, 4=aPX12 j^12.

Как следует из (17) и (53), W(co, <di)=n®2®2i(<io+®i)2 и соответственно уравнение (20) имеет вид:

= «- Ц. (55).

о

Интеграл в (55) сходится при ^=0 и при §=оо, так что турбулентность является локальной. При вычислении интеграла (55) находим а = 0,46.

Рассматриваемая акустическая турбулентность имеет одну особенность. Резонансное условие со^=со ^ + ^^ при е&2<С1 описывает тонкую веретенообразную поверхность, которой является вектор к. Характерный поперечный размер поверхности порядка е&3 и при 8->0 стремится к нулю. Таким образом, при 8=0 взаимодействуют только акустические волны, волновые векторы которых строго параллельны. При этом волны, у которых разные направлет ния, не взаимодействуют. В результате при 8=0 кинетическое уравнение имеет более общее точное решение, именно, можно положить, что поток энергии в область больших волновых чисел Р" является произвольной функцией направления волнового вектора п:

^=ар1/2(п) ^9/2? n = k^.(56).

При конечном, но малом еА2 кинетическое уравнение (6) описывает два различных по времени процесса — быстрое установление* спектра по модулю волнового вектора |к| и медленную диффузию по направлениям. Характерное время диффузии в (е*2)2 раз больше времени установления спектра по модулю.

В акустической турбулентности есть еще одна область &^<1/т<^,(57) з

в которой нелинейность еще мала, так что уравнение (51) применимо, но эффекты дисперсии звука несущественны (еД2ц<^Ды2). В этой области кинетическое уравнение неприменимо, и спектр турбулентности надо определять из других соображений. В [7] 634

было высказано предположение, что и в этой области спектр определяется потоком энергии Р. В сжимаемой среде с плотностью р из-за наличия величины с размерностью скорости — скорости звука соображений размерности недостаточно для однозначного определения спектра через поток энергии. Можно утверждать только, что распределение энергии по волновым числам имеет вид:

<58>

тде f(^)-—некоторая неизвестная функция. В случае слаботурбулентной плазмы имеем из кинетического уравнения ^^р1/2, что дает распределение (54). Аналогичный результат можно получить и в области нелинейностей (57), где кинетическое уравнение неприменимо. Рассмотрим уравнение (51) при е = 0 в канонических переменных ак. Имеем

dak!dt + i | к | ак = - i j V^ kaka^k_kx_^ + Ъа\ак ^к1_к1 +

(59)

Ядро V^ задают формулой (54). В низшем порядке теории возмущений звуковые волны взаимодействуют, подчиняясь условиям резонанса сок = а>к + юк ’ ^ —К+к^ которые в случае линейного закона дисперсии выполнены лишь для коллинеарных векторов. Поэтому можно считать, что с волной, имеющей волновой вектор ко, взаимодействуют только волны, лежащие в весьма узком конусе с осью к0. Для оценки ширины этого конуса перейдем в систему отсчета, движущуюся в направлении к0 со скоростью звука, и разложим |к| вблизи к0. Линейная часть (59) примет вид:

*+1(|к|-|к.|)«^:(б6„+4-^)а1.

Далее заменой переменных ак = ак exp (—18^^) устраним член IS^a^. Теперь определим ширину конуса взаимодействия 8^, сравнивая по порядку величины линейный и квадратичный члены в (59)

(^кй Jk^a^ Va2k\,

откуда ^k2^~Vak4o. Далее, в (59) при оценке характерного времени нелинейного взаимодействия следует ограничиться только интегрированием по резонансному конусу. Имеем

\h~Vak^k\ ^^(к^а?к\.(60)

'Оценка (60) совпадает по порядку величины с оценкой (41), получаемой из кинетического уравнения. Это и приводит в области (57) к спектру (54), хотя константа а здесь может быть совершенно другой.

>64

Приведенный вывод подвергся критике в [8], где указано что за счет образования ударных волн должно происходить дополнительное поглощение энергии звуковых волн, благодаря чему спектр оказывается спадающим более быстро: n^l/^5; е/^1Д2. Эти рассуждения правомерны лишь тогда, когда эффекты вязкости превышают эффекты дисперсии. В чисто консервативной среде условия (57) быстро нарушаются, так как в результате укручения фронтов за счет нелинейности будут образовываться солитоны, для которых эффекты нелинейности и дисперсии имеют один порядок. Возникающая при эюм солитонная турбулентность совершенно не изучена.

СУЩЕСТВЕННО АНИЗОТРОПНЫЕ СПЕКТРЫСЛАБОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Существует случай, когда в анизотропной среде колмогоровские спектры можно явно вычислить [9, 17]. Пусть среда обладает аксиальной симметрией вокруг выделенного направления п. Выразим компоненту волнового вектора, параллельную и, через р, перпендикулярную— через q и предположим, что закон дисперсии имеет вид:

®(р, q^=paqb,(61)

а матричный элемент взаимодействия однороден по переменным pi и qz:

V^p» гр\, spt, ptq, jLtqi, №) =

= 8wptvV(p, pi, p2, q, qi, q2).(62)

Проведем усреднение по углам вокруг оси п. Получим

о ^Пр, q’ fD .D

Р2> q> qi> q^ р^р» р^ Я1> q* q*

-^.Pt.p.q^.qWMdqxdq,,

где

^Р* Pi. pi, q. qx. q%р, pi, pi, q, qi, qi ^pi, q^pi, Qi ^Pq^pi, qi

~ ^P. ^p2, qi ^ ^ " Pi - P^ 8 W ” P^P^ ” /^2)-(63)

He ограничивая общности, можно считать, что U зависит только (2п)31 V |2

от модулей qz. Тогда U=^^9172 — функция, однородная

по pt степени и и по qt степени и. Кроме того, U=0, если из q, qi, q^ нельзя составить треугольник. Таким образом, интегрирование в плоскости qi, q^ идет по области, изображенной на рис. 2.

Будем искать стационарное решение уравнения (62) в виде степенных функций

(64)65(64)65n=nQ/pxq'u.

(64)

65

(64)

65

О

<1

Преобразуем второй член (62) — перейдем к новым переменным

Px=P2/p'i, P^PlPWa;

qx=q2!q'x, q2=(q/q'x)q’2- Кроме того, очевидно, что P=(P/P'i)p'b q=(q!q'i)q'i.

(65)

(66)

(67)

Можно проверить, что (66) преобразует область интегрирования по q\, q^ в себя. При ?гэтом второй член в (62) с точностью до

множителя преобразуется в первый. Совершая аналогичное преобразование и с третьим членом, получаем уравнение

Рис. 2. Область интегрирования в уравнении (68) (заштрихована)

%-Р1-Р?- р^А - ра^ х

111

крхРгУ^Ш» IppiV^iV vpp^kqqt^

(68)

где Xi—2(1+«—х)—a; yi=2(24-v—у)—6.

Уравнение (68) имеет четыре решения. Два из них, tty^Cy/p, n2=C2;paqb, являются предельными случаями более общего термодинамически равновесного решения

п=Т/[<о(р, ^)+«Р]-

Два других решения имеют индексы

х^ — а;ух = — Ь\ |(69)

х— 1 +</ = 2 + у; J

хх —1;Ух= 0;1™q.

x = (3 + 2u-a)/2;у = (4 + 2у-6)/2./

Если сравнивать с результатом § 4, следует, что решение (69)

-_ АРХ^

ПР' Я ^l+«^+VI

соответствует постоянному потоку энергии Р, а решение (70)

4^(3-a)/2+u ^(4—b)/2+vV

постоянному потоку импульса R. Оба потока распространяются вдоль оси п; Д, В — некоторые константы.

Локальность распределения эквивалентна сходимости интегралов в выражении (68) во всех особенностях подынтегрального выражения и должна проверяться непосредственно.

66

Для примера можно рассмотреть [9] ионно-звуковые волны в плазме, помещенной в сильное магнитное поле. Групповая скорость таких волн направлена вдоль магнитного поля (пусть оно параллельно оси 2). При этом волны, бегущие в противоположных направлениях, взаимодействуют слабо, поэтому можно ограничиться рассмотрением волн, бегущих в одну сторону. Их описывают уравнением

4^-+с$4-Ь + ^(^+^п)+4^п^г+4-—1у2=°-

di 1 s dz (12 v 11 1 2 D dz* 1 2 cs J z

(73)

где cs — скорость звука ионов; rH, Xd— ларморовский и дебаевский радиусы плазмы ионов; иг — продольная скорость ионов.

Пусть ^н^Хв. Тогда для волн, фазовые скорости которых образуют с магнитным полем не слишком малый угол (6>Хс/Гн), можно пренебречь членом X D • Переходя в систему отсчета, движущуюся со скоростью cs, и к безразмерным переменным

1,

и— -^х)г;с5, получаем

6^/ Л I 2 \Л \

+(74)

Уравнению (74) соответствует закон дисперсии со(р, q)=pq2. При этом предполагается, что существуют только волны с положительными значениями р.

Введя канонические переменные по формуле

«^(а^а'.,),(75)

убедимся, что (74) есть гамильтонова система с гамильтонианом (4), где №=0, U=0;

v,= 7VTT ^р-р-Х’ 6 <Р> • w ’ <P.V<76)

Закон дисперсии и матричный элемент (76) являются однородными функциями от pi и qt. При этом а= 1, 6=2, и—3)2, и = 0. Таким образом, кинетическое уравнение (62), соответствующее матричному элементу (76) и закону дисперсии to=pq\ имеет два степенных решения: колмогоровский спектр по энергии

n=APV2lp*l2q2<П>

и колмогоровский спектр по импульсу

n=BRU2ip5/2qi(78)

При исследовании интеграла (68) на решениях (77), (78) видно, что он сходится при pi, qr>0, оо. Таким образом, оба распределения являются локальными и могут быть реализованы в физической ситуации.

5*67

СЛАБАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СРЕДАХ С НЕРАСПАДНЫМЗАКОНОМ ДИСПЕРСИИ

Пусть закон дисперсии (0& таков, что уравнение (5) не имеет вещественных решений. Тогда, когда о>й зависит только от модуля (среда изотропна), это имеет, например, место, если о/Х), (oz/<O. Такой закон дисперсии можно назвать нераспадным. Таким законом дисперсии обладают ленгмюровские волны в плазме соь = — сор1 ^1 + ”(^^)8^ ,где (^Я,^)2^1, а также гравитационные волны на поверхности жидкости (ofe=^ th й/г.

В консервативной среде с нераспадным законом дисперсии основной механизм взаимодействия волн — их рассеяние друг на друге. Это рассеяние описывается уравнениями

к 1 к. ка ‘ к8 I(79)

к 4" к1 = к2 4~ к3.(

Консервативная нелинейная среда с нераспадным законом дисперсии описывается следующим гамильтонианом:

Н = f tofeafea*fedk4-~^- С Тьь. . а. а. 8.,. , ь dkdkx dk^dk.. (80)

Соответствующие уравнения движения (2) имеют вид:

^-=\®kak -Н ^Т. ььа*каьа.6.,. k .dk^dk^dk.. (81) 0tR R \1 ккгкгка RT кг k-Vkt—кг—кй 123\/

Если в исходном гамильтониане среды (4) есть кубические члены V.. . ^0, U.. „^0,(82)

они должны быть исключены преобразованием

ak^ak~ Гь ьdk.dk. —

J ^k— ^кх — ^кг к1 ^ в—£1—*312

- 2 fа* а. 8. . . dkxdk„ -

J — (Од — 00^ — (0^^1 & k+ki— кг 12

С и

(83)(83)- — жкх— , , 8 dkxdk4.

(83)

(83)

С точностью до старших членов преобразование (83) является каноническим. Для ядра Tteikiki имеем

и*-к-к„ №1 U-ky-k%, k^h, _ U*-k-kv, ккР-к^-к», к»кг khxkji»м к+и 4. Шк + мА1®Ss+*s + 0^ + «>к»

'7*ki-vks, к,кУкл-кх, ккх krths.kik^k-vkx.kkx

“ tok+kx -<»к-®кх®к.+к,-»к. -®к, —

2' Mi, к-кУ*к*х, к^кх 2'/tos. к-кУ*кДх, к,-кх

»*г_*1 + ®к1 - ®к, '№к1_к1 + о>А1 - e»fe

ovI/*

Поскольку уравнение (4) не имеет решений, знаменатели в (84) нигде не обращаются в нуль. Ядро Т ^^ удовлетворяет очевидным условиям симметрии

^661, М3 = ^Хк, ktka " ^kkt, к8кй = ^^ка, кк^(^5)

Очень важная черта гамильтониана (80), отличающая его от исходного гамильтониана (4), — существование дополнительного интеграла движения. Из (80) можно убедиться, что он сохраняет величину

N = j |aJM£-(86)

Эта величина имеет смысл «числа квантов» поля, сохраняющегося в процессах типа (1). Она имеет размерность действия, поэтому ее можно назвать интегралом волнового действия.

При переходе к статистическому описанию введем величину мк кпкЧ-к’ = <^ak%/>V подчиняющуюся кинетическому уравнению

^=4Т j I г 8 ^ + к - кг - к^ 8 ^к +-

- X - ю0 ^ХХХ + ^Л - пкПкпк1 - пкпкпк) dk^dk^dk^. (87) Уравнение (87), кроме интегралов энергии и импульса, имеет еще интеграл

/ = J nkdk,(88)

имеющий смысл пространственной плотности N. Интеграл I также назовем волновым действием.

Проведем в уравнении (87) усреднение по углам. Получим ^ ОО ОО ОО

-^-" I I I U (п п п + п п п — п п п — п п п ) X^^ j J I сос<>1, (о^сбд ' <01 соа <Og ■ со ш2 (Одto ®i <0gсо Wj ®j' '

ООО

X 8du^de^d®-.(89)

« + <0!—О)2—60g188\ Л

Здесь U^ <0^3 результат усреднения по углам функции

Z Н ^!,Мз1 икАгкх-кг-кЛККхК1Кз) dto dtoi dtoa dto% » выраженный через переменные ш£.,

«о 47 Й© <0

есть плотность волнового действия по частотам.

Сравнение (81) допускает подстановку ah->-ahexp(itoo^), поэтому <йк определено в (87) [но не в (84)] с точностью до прибавления произвольной постоянной. Будем полагать <в(0)=0.

Усредненное по углам уравнение (89) имеет два интеграла движения

Уj wI> = у <§^(6.(90)

000

Существование двух законов сохранения позволяет сделать важные выводы относительно кинетики слабой турбулентности рассматриваемого типа. Кинетическое уравнение должно описывать приближение к состоянию термодинамического равновесия, каким

Рис.Рис.3. Область интегрирования в3. Область интегрирования вуравнениях (89), (94) (заштрихована)уравнениях (89), (94) (заштрихована)для классического волнового поля является равнораспределение по степеням свободы. Поэтому в процессе эволюции спектра должны появляться волны, имеющее сколь угодно большую частоту.

Рис.

Рис.

3. Область интегрирования в

3. Область интегрирования в

уравнениях (89), (94) (заштрихована)

уравнениях (89), (94) (заштрихована)

Однако средняя частота волны (<0)=^// в процессе эволюции сохраняется. Это значит, что в системе должны накапливаться волны, имеющие малую частоту. Появление одного кванта у которого частота в N раз превышает среднюю, сопровождается полной потерей энергии у ^квантов, имеющих среднюю частоту. Такие кванты перехо

дят в соответствии с нулевой частотой, которое можно назвать конденсатом. Итак, эволюция спектра должна описывать два процесса — появление малого количества волн в состояниях с большими частотами и конденсации остальных в состоянии с со—0. Асимптотически при t—>оо значение интеграла I сосредоточено в точке <о=О, все значение интеграла Н— в бесконечно малом числе частиц С (0=оо.

Рассмотрим колмогоровские решения стационарного уравнения (87). Их можно вычислить в изотропной среде, если закон дисперсии и ядро 7^ ^ — однородные функции своих аргументов <о = = к"’ Г,»..»,..^.^8^,*,»,- ТогДа из соображений размерности, аналогичным изложенным в § 4, легко установить, что они должны иметь вид!

(91)(92)(91)(92)п J- ?§Z±nk = aQll3lk 3 ;nk = bPx,ajknW\

(91)

(92)

(91)

(92)

(93)(93)где Q — поток волнового действия; Р— поток энергии. В соответствии со сказанным выше поток Q направлен в область малых, а поток Р — в область больших частот. Рассмотрим еще термодинамически равновесное решение уравнения (87)

(93)

(93)

^к— РI (ц-рСОй) ,

где Т — температура; ц — химический потенциал. При всех Т, ц полная энергия для распределения (93) расходится в области больших к.

Покажем, что распределения (91), (93) являются решениями стационарного кинетического уравнения. Последнее можно записать в виде

п п , п псо Фг + ^з—00 ф2 ш3п п , п псо Фг + ^з—00 ф2 ш311^ф3 + о>8—(О^ф3 + о>8—(О1^21^211

п п , п п

со Фг + ^з—00 ф2 ш3

п п , п п

со Фг + ^з—00 ф2 ш3

1

1

^ф3 + о>8—(О

^ф3 + о>8—(О

1

^2

1

^2

1

1

(94)

Интегрирование ведется по области Q, изображенной на рис. 3.

Эта область разбивается на четыре подобласти (рис. 3).

Будем искать решение уравнения (94) в виде п=\/а>х. Про

ведем замену переменных в подобласти 2

to (О'; to —>::; to 2 + to 3 °23 Ю 2 + °> 3 Wto (О'; to —>::; to 2 + to 3 °23 Ю 2 + °> 3 Wа в областях 3, 4 to2 to—> —— ;<0 2а в областях 3, 4 to2 to—> —— ;<0 2to ,to ,<о —>—т—а/ ; (О —>—— со' ; со.3 to 232 tof з 23to ,to ,<о —>—т—а/ ; (О —>—— со' ; со.3 to 232 tof з 23СО2"^7СО2"^7(95}(96)(95}(96)

to

(О'; to —>::; to 2 + to 3 °23 Ю 2 + °> 3 W

to

(О'; to —>::; to 2 + to 3 °23 Ю 2 + °> 3 W

а в областях 3, 4 to2 to—> —— ;

<0 2

а в областях 3, 4 to2 to—> —— ;

<0 2

to ,to ,

<о —>—т—а/ ; (О —>—— со' ; со.

3 to 232 tof з 23

to ,to ,

<о —>—т—а/ ; (О —>—— со' ; со.

3 to 232 tof з 23

СО2

"^7

СО2

"^7

(95}

(96)

(95}

(96)

при этих преобразованиях подобласти 2, 3, 4 переходят в подобласть L

Функция 17^ ,подчиняется тем же условиям симметрии (85),

что и функция V^,^. Кроме того, [/^^^ однородная функция:

U= ^U ; y — |(28-4-Зп)/а1 — 4.

ею, ес»1, еа>2, е<о3coa)lt togtog’ • IA г I /I J

Уравнение (94) после замены переменных (95), (96) преобразуется к виду,

to, to2 + to8to, COj, togto* (to2 4” tog (£>) XtoX2toX3to, to2 + to8to, COj, togto* (to2 4” tog (£>) XtoX2toX3К+^г + ^з — *)* —К+^г + ^з — *)* —

to, to2 + to8to, COj, tog

to* (to2 4” tog (£>) XtoX2toX3

to, to2 + to8to, COj, tog

to* (to2 4” tog (£>) XtoX2toX3

К+^г + ^з — *)* —

К+^г + ^з — *)* —

VX 1 Г 1 I / tog —tog — to \ 3X 3 7

_ o/2 _ I + I)—

/ to2 \3я—3—7/ to8 \ Зя—3—7*1

- —тг )~ —d®,d®..(97)

\ to )\ to I123\ Z

Интегрирование в (97) ведется по подобласти 1.

Подынтегральное выражение в (97), обращается в нуль в четырех точках

х=0; %=1; Зх—3—у = 0; Зх—3—у=1

и вследствие положительности функции U знакопостоянно при остальных х. Поэтому уравнение (94) имеет четыре степенных решения:

(98)(99)71(98)(99)71n=Cijto; п=с2;

(98)

(99)

71

(98)

(99)

71

/z=c3/g)(W)/3; n=C4ltoW)/3.

Решения (98)—термодинамически равновесные. Они являются предельными случаями решений (93) (при р=0 и при Т=с2, р,->оо). Решения (99)—колмогоровские, после пересчета степеней они совпадают с (91) и (92).

Решения (91) и (92) имеют смысл, если интегралы в (97) сходятся, т. е. турбулентность локальна.

Представим уравнение (89) в виде

QIto/dt=d^S/dto\(100)

где

S (со) = С ((0-4-0) — (О_О) ) U ,X

X [^+<^Л/^+W-, - ^«.-«Л^ К + M d^d*-

(101)

Интегрирование в (101) ведется по области cc>i>0, о>2>О, со3>О (01 <С (Ог+соз <С (O-f-Gh.

Из (100) следует, что поток волнового действия в область малых частот Q = dS/dm. Из (91) следует

д д ,д / сdS \

dt ю dt wdo удю )

Итак, для потока энергии в область больших частот Р имеем

Р=S—wdS / do) = S—со Q.(102)

Общее стационарное решение (101)

S = P+(oQ.(103)

Физический смысл этого решения состоит в том, что при (о=О имеется источник энергии интенсивностью Р, а при (о = оо источник волнового действия интенсивностью Q. Если интенсивность одного из этих источников равна нулю, (103) имеет степенное решение, совпадающее с решениями (91), (92). Из (103) можно получить и явные выражения для констант а и Ь, из-за их громоздкости они не приведены. Из анализа этих выражений видно, что обе константы положительны, что согласуется с изложенными выше представлениями о знаках потоков.

Если выполнено условие

2£/3>а,(104)

то интеграл энергии на распределении (92) расходится в область малых волновых чисел. В этом случае турбулентность будет колмогоровской по энергии, а интеграл энергии фиктивный и не сохраняется, так как осуществляется поток энергии в область больших волновых чисел.

Если выполнено условие

а>2р,(105)

то интеграл волнового действия вычисленный по распределению (91) расходится в области больших волновых чисел. В этом случае 72

турбулентность будет колмогоровской по волновому действию. Интеграл волнового действия становится фиктивным из-за конечного потока действия в область малых волновых чисел, где происходит диссипация энергии (так происходит с ленгмюровскими волнами, механизмом диссипации для которых является ленгмюровский коллапс), или в консервативной среде—накопление энергии в состоянии с волновым вектором, равным нулю, — бозе-кон- денсация. При этом интеграл волнового действия переходит в бо- зе-конденсат.

В промежуточной области

2р/3<а<2р,(106)

оба интеграла — энергии и волнового действия являются сохраняющими.

Уравнение (87) допускает автомодельную подстановку

п= (1/t^n^lt^, %= (1/2)+у(1р+/г—а/2).(107)

Неизвестную константу можно найти в зависимости от способа интерпретации решения (107).

Пусть решение (107) описывает асимптотическую стадию эволюции начального возмущения в среде без источников. В колмогоровской энергии (104) ситуации сохраняется интеграл волнового действия, откуда следует

х=(п+а)у; #=1/(За—2|3).(108)

Максимум энергетического распределения перемещается со временем в область малых волновых чисел.

В колмогоровской по волновому действию (105) ситуации сохраняющимся является интеграл энергии. Отсюда х=(/г+а)у,

у= 1/(За—2р), х=(п+а) / (За—2р).(109)

Максимум энергетического распределения перемещается в область больших волновых чисел.

В промежуточной области (106) должны сохраняться оба интеграла, но для автомодельного решения это невозможно, поэтому эволюция носит неавтомодельный характер.

Пусть теперь в среде имеется неустойчивость, описываемая добавлением в правую часть уравнения (87) члена ^^пк. Пусть у (6) — изотропная функция с максимумом при к^к^. В области к^ко за конечное время порядка 1/у устанавливается стационарный спектр. Однако характер установления спектра при k<^kQ и при к^>к0 зависит от соотношения аир.

В колмогоровской по энергии области (104) при к*>кй быстро устанавливается спектр (92). В области к<.к0 автомодельное решение типа «тепловой волны» распространяется в область малых к. Все волновые действия, рождающиеся в области к~^о, уходят в область малых к, где волновое действие возрастает пропорционально t.

Итак, x=ny—V откуда

(НО)73(НО)73У=—3/ (2р—а).

(НО)

73

(НО)

73

В колмогоровской по волновому действию (105) ситуации картина обратная. В области малых волновых чисел устанавливается стационарный спектр (91), тогда как в область больших к распространяется тепловая волна. В эту волну попадает вся произведенная в области неустойчивости энергия. Таким образом,

x=(n+a)y—1, у=3/(3а—2р). (111)

В промежуточной области (106) картина комбинированная — в область малых к распространяется автомодельное решение (НО), в область больших к — решение (111).

В средах с нераспадным законом дисперсии в отличие от случая распадного закона при условии стационарной накачки осуществляется альтернатива — либо энергосодержащая область расположена б области затухания (в зависимости от ситуации в коротких или длинных волнах) либо спектр турбулентности — существенно нестационарный. В реальной задаче эта нестационарность может ограничиваться конечными размерами рассматриваемой физической системы.

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ

Наиболее важный физический пример слабой турбулентности в средах с нераспадным законом дисперсии — турбулентность гравитационных волн на поверхности глубокой жидкости [4, 10, 11]. Если движение жидкости в этих волнах потенциально, то их описывают уравнениями (48), где

H=-L^r j№A4g№<I12>

—ОО

где g — ускорение силы тяжести, гамильтониан (112) описывает гравитационные волны с законом дисперсии ч»к—ДЛ^к. Ниже пола- таем 5=1, to — Vh. Итак, а=1/2.

После перехода к нормальным переменным по формулам

^=^й1/4(^ + а*_,);'^=^й1/4(^ + а*_,);'(ИЗ)(ИЗ)

^=^й1/4(^ + а*_,);'

^=^й1/4(^ + а*_,);'

(ИЗ)

(ИЗ)

получим гамильтониан (4), где V^^=1) ^^ к» * пРичем (см- [27])и“.‘. = dr {1(кЛ)+ад (т-)1,1 +|<кк1)+кЦ dT ++ [(kk,) + «,](-^y'’ };(114)

Г (^1Мз)1/2][Р JuR — R — R ^Р^^ &2^3 |_162*^^1» ^2^3 * kiki, kki kkz, klkz ^3,6163

——’(115)

— Ikt — kJ— lkt—k,IJ.

Ядро кинетического уравнения выражается через (114), (115) при помощи (83). Явный вид ядра не выписан из-за его громоздкости. Оно обладает теми же свойствами однородности, что и W^ ^ Итак, р=3, и кинетическое уравнение имеет степенные решения

пк = aQAH(k23'6; ga = 2roQ1/3/«>n/3;(116)

nk = bPl,3lk\ Й^^Ь^13)^.(117)

Спектр (117) соответствует постоянному потоку энергии в область больших частот, тогда как спектр (116)—постоянному потоку волнового действия в малые частоты. Из анализа видно, что оба спектра — локальные. Поскольку а<2р/3, энергия расходится в области малых со, так что осуществляется колмогоровская по энергии ситуация. Поэтому для волн на воде интеграл энергии фактически не сохраняется. Это же относится и к интегралу импульса. Лишь интеграл волнового действия является действительно сохраняющейся величиной.

Согласно результатам § 7 затухание гравитационных волн должно осуществляться по автомодельному закону (108), причем у=—2/11. Отсюда для энергетического распределения находим решение (с учетом &=со2)

(118)

при изотропном распределении средняя частота затухающего свободного волнения (зыби) должна убывать как M/1J.

Накачка гравитационных волн осуществляется ветром, при этом наиболее эффективно растут волны, фазовая скорость которых существенно меньше скорости ветра. В область длинных волн распространяется автомодельное решение типа «тепловой волны»

^=^((0/3/11).(119)

Характерная частота о о, на которой сосредоточено это решение, убывает как f~3/11. При g)>o)o устанавливается колмогоровский спектр (116). Эти выводы удовлетворительно согласуются с экспериментом.

Характеристика нелинейности гравитационных волн — отношение высоты и длины волны. Это отношение не может быть больше предельного, при котором угол в вершине волны составляет 120°. При больших углах происходят опрокидывание волны и диссипация ее энергии. Именно этот эффект и отвечает в конечном итоге

75

за несохранение в системе гравитационных волн энергии и им- лульса. Он является главным механизмом диссипации энергии волн. Эта диссипация (образование «барашков») происходит в области больших волновых чисел, где нелинейность велика, и кинетическое уравнение неприменимо. В этой области устанавливается спектр, не зависящий от потока энергии

' Sw^a-pg2 }to5,

известный как спектр Филлипса [14]. В инерционной же области, непосредственно прилегающей к энергонесущей, осуществляются более медленно убывающие спектры (116) или (117).

СТЕПЕННЫЕ СПЕКТРЫ ЛЕНГМЮРОВСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПЛАЗМЫ

Интересный, хотя и несколько искусственный, пример нераспадной слабой турбулентности— турбулентность ленгмюровских волн в плазме с бесконечной массой ионов [6]. Такая плазма описывается гидродинамическими уравнениями для электронов

+(vv) v = — з«>2 я2 v# —- w

dt 1 vPm(120)

-^—Hdiv(nv) = 0; Ду = 4^ (я — n^.,

Потенциальные движения, описываемые уравнениями (120), суть ленгмюровские волны с законом дисперсии

^ = <”pz(l + -f-^8o) ПРИ ^<Е(121)

Переход к нормальным переменным осуществляется по формулам

\ V(122)

Переменные ак подчиняются гамильтоновским уравнениям (2)—(4), причем (MD<C1)—'

гт w1/ <®pi Г (k]ki)A I (kkjfe; I (kks)^ "I ,,aa.

— 16яз/2[ hxht * ^i ~ J* ''

Поскольку закон дисперсии — нераспадный, можно перейти к уравнению (81) при £Хд<1, в значениях выражения (83) можно пренебречь членами порядка (кКпУ- Для Т^^ получим

Т — 1 Г 9V V — V —

Ые, — ®pl I *+Ъ. **/ 4,+i„ к„ к, 3 У -к-кг, ккх

— ^-к-кх.кхк» -ккч.к-кУкх.кх.кх-кх” 2^kk,.к-кУкхк„ 6,-4, —

-2У44 . ,У. . . ,-2V. . , 4У4 4 4 41.(124)

А, *<, «а—А «1, А», «1—AgA, Ag, Ag—A Ai,Ag>Ai—A# Ix /

Выражение (124) удовлетворяет свойствам симметрии (85) и является однородной функцией степени 2. Для закона дисперсии после вычитания константы имеем

с^=(3/2)(дрДШ)2.(125)

В гидродинамическом приближении турбулентности ленгмюровских волн описываются нераспадным кинетическим уравнением (87), из которого следует, что характерное время эволюции спектра

(126)

где W/nT — отношение энергии ленгмюровских колебаний к тепловой энергии плазмы. В плазме еще имеет место процесс индуцированного рассеяния ленгмюровских волн на электронах с характерным временем

lltHH^topi^XDyWlnT.(127)

Поэтому четырхплазменное кинетическое уравнение справедливо в области

W/nT>kXD.(128)

Фактически это уравнение справедливо лишь при еще больших амплитудах. В плазме с конечной массой ионов в области (128) выполнены условия существования коллапса ленгмюровских волн. Коллапс развивается за время Ткол, где

1/ 7Wg IT \U2 .

ткол р1 \ 1^1 ^ /

Поэтому необходимо, чтобы выполнялось неравенство т<тКол, что дает

Wd)8^ пТ <^//3 \mi )•

Ограничение на W/пТ сверху следует из условий применимости «укороченного» уравнения (81).

Итак, четырехплазменное кинетическое уравнение, учитывающее только электронные нелинейности, применимо в не слишком реалистической области (130). В этой области оно, однако, имеет колмогоровские решения. Как следует из (124), (125), а=2, р = 4, так что а<2/3р, и имеет место колмогоровская по энергии ситуация. Кинетическое уравнение (87) имеет колмогоровские степенные решения

(-132)(-132)(131>

(-132)

(-132)

первое из которых соответствует постоянному потоку Р энергии в область больших к, второе — постоянному потоку Q волнового действия в область малых к. Оба спектра являются локальными [ядро (124) обращается в нуль для чисто одномерной задачи, когда все векторы к, параллельны]. Временная кинетика спектров

77

имеет качественно тот же характер, что и для волн на глубокой воде. Рассмотрим противоположный предельный случай, когда выполняется неравенство (плазма предполагается изотермической)

1/ mt W 1/ W V ,-Г те

В этой области параметров электронными нелинейностями, а также индуцированным рассеянием на ионах можно пренебречь. Главный нелинейный процесс взаимодействия плазмонов — обмен виртуальными ионно-звуковыми колебаниями. Гамильтониан, соответствующий этому процессу [15], имеет вид (80), где

Т^kkJ (k, kJ + (к,kJ (ккД.

В этом случае р=0, а=2. Ситуация является колмогоровской по волновому действию. В области малых волновых чисел устанавливается спектр.

n^aQV^iy^(134)

соответствующий постоянному потоку волнового действия в область малых 6. В этой области происходит поглощение ленгмюровских волн в результате коллапса. Границу области затухания ks можно оценить из условия

j tfnkdk ЦаоУ,(135)

откуда0

,/ Q W /4^pZ\3/4

\ nT /*

Спектр (134) является единственным локальным колмогоровским решением кинетического уравнения. Второе решение пк—b'P^/k3 не осуществляется из-за логарифмической расходимости интегралов в столкновительном члене.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные примеры не исчерпывают возможных областей применения концепции колмогоровских спектров к задачам слабой турбулентности в плазме и других средах с дисперсией. Можно отметить задачу о турбулентности в системе взаимодействующих высокочастотных и низкочастотных волн (например, ленгмюровских. и ионно-звуковых [13]), альвеновскую и магнитозвуковую турбулентность [16, 17]. Соображения о слабой турбулентности, в первую очередь рациональные преобразования в пространстве частот, позволяющие вычислять спектры, применялись к задаче о турбулентности в несжимаемой жидкости [18—21].

Распределения колмогоровского типа были найдены и для частиц (электронов) как дополнительные точные решения кинетического уравнения Ландау [21—23]. Колмогоровские распределения будут встречаться еще во многих плазменных задачах.

78

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Колмогоров А. Н.— Докл. АН СССР, 1941, т. 30, № 4, с. 299.

Обухов А. М. — Изв. АН СССР. Сер. Географ, и геофиз., 1941, т. 5, № 4, 5, с. 453.

Захаров В. Е. — Прикл. мех. и техн, физ., 1965, № 4, с. 35.

Захаров В. Е., Филоненко Н. Н. — Докл. АН СССР, 1966, т. 170, № 6, с. 1292.

Захаров В. Е., Филоненко Н. Н. — Прикл. мех. и техн, физ., 1967, № 5, с. 62.

Захаров В. Е. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 51, № 3, с. 688.

Захаров В. Е., Сагдеев Р. 3. — Докл. АН СССР, 1970, т. 192, с. 297.

Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И. — Докл. АН СССР, 1973, т. 20, № 4, с. 794.

Кузнецов Е. А. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972, т. 62, с. 584.

Кац А. В., Конторович В. М. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1973, т. 64, с. 153.

Кац А. В., Конторович В. М.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1973, т. 65, № 1(7), с. 206.

Захаров В. Е. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972, т. 62, с. 1745.

Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1973, т. 65, с. 904.

О. М. Phillips. — Fluid Meeh., 1960, 9, р. 193.

Захаров В. Е. Коллапс и самофокусировка ленгмюровских волн. Наст, сборник, с. 79.

Ирошников Р. С. — Астрономический журнал, 1963, т. XI, № 4, с. 742.

Кузнецов Е. А. Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук/ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск, 1973.

Kuznetsov Е. A., Lvov V. S. On Kolmogorov turbulent spectrum in direct interaction model. Preprint IAE. S. B. A. S. Novosibirsk, 1977.—Phys. Lett. 64A.157.

Захаров В. E., Львов В. С. Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1975, т. 28, № 10, с. 1470.

Львов В. С. К теории развитой гидродинамической турбулентности. Препринт ИАиЭ СО АН № 53. Новосибирск, 1977.

Кузнецов Е. А., Носков Н. Н. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1978, т. 75, № 4, с. 1309.

Кац А. В. и др.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1976, т. 71, с. 177.

Карась В. И., Моисеев С. С., Новиков В. Е. — Журн. эксперим. и теорет. физ., т. 71, с. 1421.

Кац А. В^ Конторович В. М. — Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1973. т. 20, с. 1112.

Львов В. С., Рубенчик А. Н. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1977, т. 72, № 1, с. 1271.-

Захаров В. Е., Мушер С. Л. —Докл. АН СССР, 1973, т. 209, с. 1063.

Захаров В. Е. — Прикл. мех. и техн, физ., 1968, № 2, с. 89.

КОЛЛАПС И САМОФОКУСИРОВКАЛЕНГМЮРОВСКИХ ВОЛН

В. Е. ЗАХАРОВ

ВВЕДЕНИЕ

При нагреве плазмы импульсными методами —- лазерным излучением, пучком электронов — энергия первоначально передается ленгмюровским колебаниям. При этом возникает состояние с высоким уровнем возбуждения ленгмюровских волн — ленгмюровская

79

турбулентность плазмы. Турбулентность в сплошных средах делится на слабую и сильную. Слабую турбулентность описывают кинетическим уравнением для квазичастиц (в данном случае для ленгмюровских плазмонов), вид этого уравнения определяется механизмом взаимодействия квазичастиц. При этом турбулентность представляет собой суперпозицию монохроматических плоских волн с различными волновыми векторами, фазы этих волн, с точностью до малых членов, случайны и статистически независимы. Сильная турбулентность положительного определения не имеет — сильной является любая турбулентность, не являющаяся слабой.

В любой среде при достаточно высоком уровне нелинейности корреляция фаз между волнами с различными волновыми векторами становится настолько большой, что турбулентность нельзя считать слабой. Однако встречаются ситуации, когда даже при малом уровне нелинейности условия применимости слабой турбулентности нарушаются. Это связано с возникновением в среде специфических пространственно-временных структур, в которых происходит интенсивная диссипация энергии. Примерами таких структур являются ударные волны в газовой динамике или барашки на поверхности жидкости. Эти структуры локализованные, поэтому их удобно изучать в координатном пространстве.

Для ленгмюровской турбулентности эффектом, нарушающим слаботурбулентную картину, является эффект образования областей локализации сильных электрических ВЧ-полей. Из этих областей-каверн или кавитонов плазма выталкивается ВЧ-давлением, так что плотность плазмы в них понижена.

В результате ВЧ-поле оказывается «запертым» в областях пониженной плотности. Уровень энергии ВЧ-поля в этих областях может на несколько порядков превосходить средний по объему.

Области локализации ВЧ-колебаний наблюдали в экспериментах [1—3] и они были интерпретированы как плоские стационарные образования — солитоны. Впоследствии солитоны в многочисленных работах использовали для построения теории сильной ленгмюровской турбулентности, в том числе для описания нелинейной стадии различных плазменных неустойчивостей [4, 5]. Эти построения имеют, однако, один существенный недостаток. Как видно из результатов вычислений, в плазме без магнитного поля, где затухание ленгмюровских волн достаточно мало, плоские солитоны должны быть неустойчивы относительно нарастания поперечных модуляций j^6], и поэтому не могут осуществляться.

Естественно было бы предположить, что ВЧ-поле в этих случаях локализуется в кавернах, ограниченных во всех трех направлениях. Однако можно показать, что стационарные трехмерные солитоны еще более неустойчивы, чем плоские, и имеют тенденцию к неограниченному схлопыванию. Таким образом, локализацию ВЧ-полей и в плазме следует представлять себе как существенно нестационарный процесс. ВЧ-поле локализуется в кавернах, первоначальный масштаб которых имеет порядок длины, ленгмюровской 80

волны. Затем каверны неудержимо сжимаются, достигая размера нескольких дебаевских радиусов, после чего из-за сильного затухания Ландау поглощается заключенная в них ВЧ-энергия. '

Это явление можно назвать коллапсом ленгмюровских волн [7]. Коллапс очень существен в кинетике ленгмюровской турбу- летности, являясь главным механизмом поглощения энергии ленгмюровских колебаний.

В физике нелинейных волн универсальный эффект — это самофокусировка волн [8, 9]. При самофокусировке происходит самопроизвольный захват энергии волн в ограниченные области пространства, сопровождающийся образованием особенностей их интенсивности (фокусов). Можно установить аналогию между самофокусировкой и коллапсом. Самофокусировке подвержены и ленгмюровские волны — при этом в областях концентрации волн плотность плазмы также понижена, так что и эти области тоже можно назвать кавернами. Однако размер каверн при самофокусировке значительно превышает длину волны (самофокусировку иногда называют «коллапсом огибающих»). По мере развития самофокусировки и повышения плотности энергии ВЧ-волн внутри зоны самофокусировки возникают многочисленные каверны с размером порядка длины волны — «коллапс огибающих» переходит в обычный коллапс. В настоящей работе коллапс и самофокусировку ленгмюровских волн рассматривают с единой точки зрения. Это оказывается возможным, если воспользоваться приближенным динамическим описанием плазмы, усреднив по периоду ленгмюровских колебаний, что рассмотрено в § 1.

В § 2 объяснена недостаточность слаботурбулентного подхода— показано, что в рамках теории слабой турбулентности возникает трудноразрешимый парадокс «ленгмюровского конденсата». В § 3 дано решение важной динамической задачи о неустойчивости ленгмюровской волны конечной амплитуды. Самофокусировку и коллапс можно рассматривать как нелинейную стадию развития этой неустойчивости. Изложению теории самофокусировки и коллапса, а также задачи о неустойчивости солитона посвящены § 4—6. В § 7 показана качественная картина сильной турбулентности с участием коллапса ленгмюровских волн как основного механизма диссипации энергии ленгмюровских колебаний. Характер происходящего при этом нагрева плазмы рассмотрен в § 8.

На этом следует остановиться особо. Принципиальная характерная черта коллапса как механизма затухания ленгмюровских волн — это то, что при коллапсе энергия передается небольшому числу горячих электронов, из-за чего появляются ускоренные «хвосты» на функции распределения. Поэтому с точки зрения проблемы УТС коллапс — нежелательное явление, которого следует избегать. Несмотря на обилие косвенных подтверждающих данных, прямое экспериментальное доказательство существования явления коллапса пока отсутствует. Тем не менее концепция коллапса подтверждается большим количеством численных экспериментов, некоторые из которых обсуждены в заключении к настоящей работе.

81816-3283

81

81

УСРЕДНЕННОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ

Для описания сильной турбулентности плазмы недостаточно пользоваться кинетическим уравнением для ленгмюровских волн. Необходимо исходить непосредственно из динамических уравнений * плазмы. Однако эти уравнения — система уравнений Власова для частиц и Максвелла для полей — являются слишком сложными и должны быть упрощены [7]. Возможность упрощения основана на том, что процессы, происходящие в плазме, можно разделить на быстрые и медленные. Если плазма достаточно однородна (длина неоднородности L существенно превышает характерную дисперсионную длину с/(dpi), магнитное поле мало (электронная ларморова частота И/ много меньше ленгмюровской частоты (dpi), уровень нелинейности не слишком велик (достаточно, хотя и не необходимо, чтобы осцилляционная скорость электронов была меньше тепловой) и интенсивные высокочастотные поперечные электромагнитные волны отсутствуют, то самым быстрым процессом в плазме окажутся ленгмюровские колебания с периодом х^Л^рь

В однородной плазме без магнитного поля следующим временным масштабом оказывается период ионно-звуковых колебаний, минимальное значение которого в Ут^Ше раз больше т (пц— масса иона, те — масса электрона). Упрощение динамических уравнений представляет собой усреднение по быстрому времени т. В дальнейшем будем рассматривать только длинноволновые колебания, фазовые скорости которых значительно превышают тепловые, и не будем учитывать квазилинейные эффекты. Поэтому можно использовать гидродинамические уравнения для электронов. Пренебрежем взаимодействием ВЧ-колебаний между собой, это позволит нам для их описания воспользоваться линеаризованными гидродинамическими уравнениями

■^ 8^ + div(/^ + 8n)v5 = 0;

dt е ГТе V ^ т

и уравнениями Максвелла

^ Е + rot rot Е + ^ (n. + Sn)= 0.(2)

Предположим, что в (1) и (2) плотность электронов имеет вид: n = nQ-\-bn-V^es bn, 5пе<СПо,

где Ьп— заданная низкочастотная (квазинейтральная) неоднородность плазмы; Ьпе — вариация плотности, связанная с ленгмюровскими колебаниями. В (1) коэффициент 3v2Te перед членом v у- выбран таким, чтобы получить правильное выражение для линейного закона дисперсии ленгмюровских волн

^к = ^р1-\-^ТеЬ?.

Подставляя (1) в (2), используя условие квазинейтральности движений и пренебрегая малыми членами порядка — ^1£_,

НЧ-по-НЧ-по-лучаем

НЧ-

по-

НЧ-

по-

^(^ + <zE)+rotrotE=-3^Vd^^Е = 0.(3)

При Sn=0 уравнение (3), кроме ленгмюровских, описывает электромагнитные вшщы с законом дисперхсии со^ = V^Pi + №с\

Здесь рассмотрены только колебания с частотой, близкой к плазменной. (Для электромагнитных волн это означает к? с2 j to2-pi«C <С1). Поэтому можно представить напряженность электрического поля в виде

(4)(4)Е = (1/2) [Ё exp (— i<Dp(/) +Ё*ехр (i<op^)],

(4)

(4)

где Е — медленно меняющийся вектор (dE/d/Co)PzE). Подставляя (4) в (3 ) и пренебрегая второй производной d2E/dt2, получаем окончательно [10]

— 2i —+ rot rot Е — 3^- v div Е + <о2 z — E = 0.(5)

сг dt 1i2 v 1 p1 n0x '

При учете нелинейных членов в (5) произошла бы генерация колебаний на удвоенной плазменной и нулевой частотах, из-за чего

XD Д12 |22

в (5) появились бы члены типа <o2pZ—, пренебрежимо ма

лые, если характерное время процессов, описываемых (5), удовлетворяет весьма мягкому условию

1Л »<ор/^/(81те0теиф)8,

где Уф — характерная фазовая скорость ленгмюровских колебаний.

Для замыкания уравнения (5) необходимо связать 6п и Е. Несмотря на квазинейтральность, НЧ-колебания создают некоторый электростатический потенциал фец влияющий на усреднение движение электронов. Кроме того, на электроны действует ВЧ-сила

^2с потенциалом Ф = ^-^^2с потенциалом Ф = ^-^выталкивающая их из областейвыталкивающая их из областейс повышенной интенсивностью колебаний. Можно считать, что электроны распределены по Больцману в суммарном поле этих сил

^2

с потенциалом Ф = ^-^

^2

с потенциалом Ф = ^-^

выталкивающая их из областей

выталкивающая их из областей

п = п ехп Г — ^~ф 1. 8п--. е^е1-Ф < !

[у J1 е

(6)(6)Ионная функция распределения Д подчиняется уравнению Власова в потенциале ^ei

(6)

(6)

Условие квазинейтральности имеет вид:

8«i = f № — It» = ^ ^е1 — Ф)-

Она замыкает систему уравнений (5), (6). В нерелятивистской плазме величина (^те/с)2 является малым параметром, позволяющим разделить потенциальные и непотенциальные колебания. Полагая E=V4f и беря дивергенцию от обоих частей уравнения (5), получаем

△ (2i®pZTt + Зу‘ГеДТ) = <o=pz div ^- v^.(7)

Уравнение (7) имеет интеграл движения No: ^=^\^\^г(8)

с точностью до множителя, совпадающий с числом ленгмюровских квантов или с полным адиабатическим инвариантом плазмы.

Уравнение (5) сохраняет аналогичный интеграл N0=f\E\2dr. Он имеет смысл полного числа ленгмюровских и электромагнитных плазмонов.

Уравнение (6) учитывает нелинейное взаимодёйствие ВЧ-полей между собой, которым в большинстве случаев можно пренебречь, осуществляя линеаризацию уравнения (6). После линеаризации можно выразить вариацию плотности 6п через ВЧ-потенциал. Эту -связь удобно записать, совершив преобразование Фурье

8«х, 8 = ТГТзТГ ( ехР I1 ^ - °}8п ^г' 2) drdt

Она имеет вид:

Ч,. = х(9)

где Фк,а — фурье-образ ВЧ-потенциала. Функцию GK,a можно назвать НЧ-функцией Грина плазмы. Функция Грина выражается через диэлектрическую проницаемость Сх,о=(ее/е)—1, где ее — электронный вклад вей непосредственно через функцию распределения ионов

G 8 L =- f (10)

Функция Грина обладает очевидным свойством симметрии

GX1q = G*_X, —Q.

Она допускает аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость й и меет там полюс

Q=Qk+iTfe, соответствующий ионно-звуковым волнам. Если плазма устойчива относительно раскачки ионного звука, то Im Gx,o>0. Соотношение 84

(9) после совершения обратного преобразования Фурье представляет собой в общем случае интегральное соотношение между Ьп и Ф. В двух простых случаях эту связь можно сделать локальной. Пусть характерные времена нелинейных процессов настолько велики (т"1^^^ ), что ионы успевают распределяться по Больцману в низкочастотном электрическом поле

^ninQ=—e^ei/Ti.

Из (4) и (7) получим

йп ^Ф| ИI2

Te-VTt -167^(7^ +Л) *

В потенциальном .случае уравнение (8) в рамках приведенного «статического» приближения имеет вид:

4(1V, +4 .„XV’ )+ „„^^ diV (I VVIW =0. (11)

Из (И) следует оценка

т-1'—(Opz^ 1^Те—'topik2VD.

Отсюда видны условия применимости статического приближения W[nTe< {melmi)Ti/Te.

В противоположном предельном случае т-1^>кит для НЧ-движения справедливо гидродинамическое приближение

(12)a y$ — его(13)(12)a y$ — его(13)^ j_2ysX — с\Д'j= —1—Д|^Р.

(12)

a y$ — его

(13)

(12)

a y$ — его

(13)

Здесь cs =Здесь cs =затухание. При этомзатухание. При этомot* ' ,s dt s I16 ЛОТ/ 1 1

Здесь cs =

Здесь cs =

затухание. При этом

затухание. При этом

— скорость ионного звука,

Gx,q=x2c2s/(Q2—x2c2s+2rys£2),

В изотермической плазме (12) применимо при достаточно боль- щих амплитудах (W/nTe>klD VrUelm,, если ^2Х2о>те/тг, WlnTe>melmi, если ^2Х2о</пе/т,). При этом можно пренебрегать инерционным членом и затуханием (djdl^>^s, d2!dt2^>c2s\Y В изотермичной плазме (Т^Л.) критерий применимости (12) альтернативен критерию применимости статического приближения. При Т^Те.к^пОПе/т, и (7VTe)fne//ni<W/пТ <jne/mi из (12) следует статическая формула

6n/n0 = —1£|2/ 16пПоТе.

Таким образом, фактически в области ^^ <^- при любом соот

ношении температуры справедливо уравнение (11).

СЛАБАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

Полученные в § 1 усредненные динамические уравнения можно использовать для получения кинетических уравнений, описывающих слабую ленгмюровскую турбулентность плазмы. Определим число заполнения квантов ленгмюровских плазмонов в й-простран- стве Пк через корреляционную функцию ВЧ-.потенциала по формуле

4я<оп/,

<^* > = —^nkbk .,.14)

Приведем без вывода кинетическое уравнение для изотермической плазмы, когда можно учитывать ионно-звуковые волны как самостоятельные степени свободы. Она имеет вид [16]:

^- = Чпк (-1\4- f Т..,пкДк'\ + 4* f | Т... к 1=8 (А -к кх - кг -

OtR \ я ।। кк’ к' у i I 1 кк1к4ка I \ i i 2

dk^dkjikydk^dkjiky— к Л 8 к>ъ + Шк — <ОЬ — <пь)ПьПкПьПь f— +— +—J-^

dk^dkjiky

dk^dkjiky

7 vкг кг V * кг к» к.^ пк 1 ^ ' ^ П^ )

(15)

Здесь

О^кг-к,.О^кг-к,.®кг ~ Юк) +®кг ~ Юк) +(кк8) (кк2)ккгкйк3(кк8) (кк2)ккгкйк3G (кг — кг, <о61 — <О^)G (кг — кг, <о61 — <О^)(16)(17)(18)(16)(17)(18)т = ^Г№НЩ_^М 4п0Ге [ ккгк^кг

О^кг-к,.

О^кг-к,.

®кг ~ Юк) +

®кг ~ Юк) +

(кк8) (кк2)ккгкйк3

(кк8) (кк2)ккгкйк3

G (кг — кг, <о61 — <О^)

G (кг — кг, <о61 — <О^)

(16)

(17)

(18)

(16)

(17)

(18)

_<оа„, (кк'У

Тьь, = Im Tbb, bb, — тг-^р ттлт Im G (k — kf, (o^ — <»,,). кк1kk^kk’ ^п^Т к%к,й xR

T кк, удовлетворяет условию антисимметрии

T — — Т • 1 кк'

Гд — декремент затухания ленгмюровских волн. Первый член кинетического уравнения описывает затухание ленгмюровских волн и их индуцированное рассеяние на ионах. Этот член является главным в области (к\п)2>те1 mi. Второй член описывает четырехплазменное рассеяние. Он доминирует в области малых волновых чисел (^%п)2<те/т/, особенно при Ti<cTe. В этом случае для функции Грина можно пользоваться статическим приближением.

Кинетическое уравнение (15) применимо, если следующее из него характерное время изменения спектра ленгмюровских волн т удовлетворяет очевидным критериям

1/т<(3/2)(орг(Ш)2(19)

(в противном случае нет смысла говорить о ленгмюровских плазмонах как о слабовзаимодействующих частицах), а также

ir^Ys,(20)

где y$ — затухание звука ионов. В противном случае необходимо включать ионно-звуковые волны как независимые степени свободы,

86

при этом получаем условия

W/nT^ ^кХвУ при ^hXDy<me/mt\(21)

^ <при (Un)2> тп^пц.(22)

Пусть 1\=0. Тогда кинетическое уравнение имеет интеграл движения

^ = J nkdk,(23)

совпадающий с определенным ранее интегралом числа ленгмюровских квантов. Кроме того, есть неравенство

§ = »pl^klDynfedk.(24)

Величину 8 можно несколько условно назвать свободной энергией системы плазмонов. Полная энергия системы плазмонов

W=S-VtoptN,(25)

при (^Xd)2C1 первый член в (25) много меньше второго.

При индуцированном рассеянии на ионах и электронах теряется энергия ленгмюровских волн и уменьшается значение величины $. При четырехплазменном рассеянии сохраняется значение 8, но появляются некоторые плазмоны с большими волновыми числами. При этом свободная энергия в любой конечной области ^-про- странства стремится к нулю.

Это означает, что среднее значение волнового числа й0 в процессе эволюции в рамках кинетического уравнения (15) стремится к нулю. Это явление можно назвать бозе-конденсацией (или просто конденсацией) ленгмюровских волн. При конденсации энергия ленгмюровских волн почти не меняется (уменьшается только свободная энергия ^У Поэтому критерии применимости кинетического уравнения (21) неизбежно нарушаются, что и означает принципиальную недостаточность теории слабой турбулентности.

Для детального изучения процесса конденсации необходимо построение решений кинетических уравнений, причем кинетика конденсации может сильно варьировать в зависимости от условий возбуждения ленгмюровских волн. Отметим только одну характерную особенность. Если возбуждаются достаточно короткие волны Мв< V^el^i' гак что кинетическое уравнение имеет вид:

^=2»,(-rs + j7-„^).(26)

и если область возбуждения волн (в которой 1\<0) достаточно мала (так, например, обстоит дело при параметрическом возбуждении волн), то стационарное решение (26) имеет вид системы дискретных пиков, расположенных в ^-пространстве на прямой, проходящей через начало координат и область возбуждения [16]. Характерное расстояние между пиками порядка Лгщ Vme!mo ха~

8?

рактерная амплитуда — пика Wn — согласно (22) должна удовлетворять условию

WnjnT < knlD V^i(27)

Кинетическое уравнение применимо, если пики достаточно широки, 6й„— ширина и-го пика — должна удовлетворять условию

(28)

Кинетическое уравнение (28) описывает [16, 17] сужение пиков (д^п~^0), которое можно рассматривать как прямой аналог бозе- конденсации.

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ВОЛН [7, 18, 40]

Согласно теории слабой турбулентности следствием эволюции спектра турбулентности должна была быть конденсация, приводящая к появлению в плазме монохроматических волн или «ленгмюровского конденсата» областей однородного электрического поля, осциллирующего на плазменной частоте. Ленгмюровский конденсат можно рассматривать как монохроматическую волну с нулевым волновым вектором. В действительности этого не происходит. Ни в лабораториях, ни в численных экспериментах монохроматические ленгмюровские волны как результат развития турбулентности не наблюдаются. Причиной этого служит неустойчивость монохроматических волн. Поэтому задача об этой неустойчивости имеет для построения теории ленгмюровской турбулентности первостепенное значение. Монохроматическая волна есть решение уравнения (7) вида

V = т, = (Л/^о) exp [i (kor) - i»^],(29)

где f»^ — -y®Pih1AtD — частота ленгмюровской волны. Подставим Т в виде ^ = Wo-|-8Ф (8Ф <g; We) в уравнения (7), (9). Представим 6ЧГ в виде ST ^ exp [i (х, г)-]-О]. На и и Q получим дисперсионное уравнение

. , “pz г г (k„ к„ + х)81,

п<1Те я [ к\ | к0 + х |=+

где №=|Л|2/8л.

Уравнение (30) описывает различные типы неустойчивости в зависимости от W/nTe, ко, х и от свойств плазмы, влияющих на вид GK,a. Неустойчивости можно классифицировать по соотношению х и к. При %<Ско будем говорить о модуляционной неустойчивости, при х^^о о распадной или модифицированной распадной неустойчивости, при x>fa о неустойчивости конденсата. Неустойчивость конденсата во многом подобна модуляционной.

Начнем со случая х^^о. Рассмотрим сначала изотермическую плазму. В этом случае функция Грина имеет при всех х большую положительную мнимую часть. В дисперсионном уравнении основной — это второй член в квадратных скобках, а в аргументе функции Грина можно заменить Q~>(o^o —^Ко_^ Уравнение 30 примет вид:

о ।. °>р/ (ко. кв-х)2

— (D ДToG(x, (о, —(О, J=0.

I Ло—хко I 4 ПйТе £2в|к0 — X |2 х ^0^0—

Это уравнение описывает неустойчивость с инкрементом

^2^=iX^2^=iX(31)(31)topi (ко. к0 х)$ W

^2^=i

X

^2^=i

X

(31)

(31)

т = ~ KTv^^F ^77 m G

Видно, что инкремент совпадает с матричным элементом индуцированного рассеяния на ионах, введенным в предыдущем разделе: ^о,2у (&0, х)-

Это совпадение — не случайно индуцированное рассеяние и есть, в сущности, вполне динамический процесс.

В неизотермичной плазме можно использовать для функции Грина гидродинамическое приближение (13)

, , "pl W с^^ Г(к„ k. + x)21

+ 4 пТ 22-*4% |Л’. | к, + х р -Й + о^х - % +

(32)(32): (к,, к, —X)21

(32)

(32)

Г^» | к0 — х р 2 + w^, — «^

Пусть волны являются короткими kXD^>V^ejml. По-прежнему при умеренных амплитудах основным является второй член в квадратных скобках. Уравнение (32) имеет вид:

№2 - х8<.) (й + ^ - %) + ^ ^ zVscos2 & = 0;(33)

COS&COS&(k„ k0 + x)

COS&

COS&

| fee 11 k0-4-х | 1

Если WjnT <1гХоУт.в[т1, то возможно дальнейшее упрощение (33)

(Й - ис^ (Й + <ойо_х - «^ + ^ ^ сД* cos8 & = 0, (34) уравнение (34) описывает неустойчивость, инкремент которой положителен в слое вблизи резонансной поверхности

к0к0—х 1 5,1к0к0—х 1 5,1(35)(35)

к0к0—х 1 5,1

к0к0—х 1 5,1

(35)

(35)

На поверхности (35) он равен

(36)(36)'topic sxW2-У/2

(36)

(36)

T"cos &)

Это — распадная неустойчивость ленгмюровской волны на ленгмюровскую и ионно-звуковую. Ее инкремент максимален для распада назад, когда х^2к0.

Уравнение (34) справедливо, пока ^<^xcs. При W/nT^ ~кХв Vmjm^ это условие нарушается при всех х. При больших значениях амплитуды надо использовать уравнение (33), пренебрегая в нем членом х2с2$. Вблизи поверхности <%_*==<% имеем неустойчивость с инкрементом

V"? ( topi W 2 22 Q А1/3

т = — ^^-ХС$С05»;(37>

Это — модифицированная распадная неустойчивость. Она имеет место и при малых амплитудах W/nT<kXD Ут^пц если х/к достаточно мало, то ^x^cop^UZ/nT^cos2^ Поскольку с\=Т1ть инкремент модифицированной распадной неустойчивости не зависит от температуры электронов. Не зависит он и от температуры ионов — эта неустойчивость одинаково развивается в изотермичной плазме. Модифицированная неустойчивость имеет место вплоть до амплитуд порядка

^lnT^Vmilme> ЦгМ4-(38)

При больших амплитудах модифицированная распадная неустойчивость переходит в неустойчивость однородного осциллирующего поля (ленгмюровский конденсат), которую рассмотрим ниже.

Возьмем в (30) &о-И). Получим

(^ - с2^ (- й2 + А ^р1+

+4 <i w ^ ^со$2»=°’<39)

где Ф — угол между волновым вектором х и направлением электрического поля к0. Неустойчивость имеет место для всех волновых векторов х, удовлетворяющих условию

u2VD< (W/nT)cos2О.(40)

Для волн малой амплитуды W[nT<.meimi можно пренеречь Q2 по сравнению с c2sv?. Тогда

Y = ®Pi V(3/4) W W cos2» - (9/4) (хЛд)4.(41)

Максимальный инкремент y=(l/4)®pz(l^ftiT) достигается при (хХо)2= (1/6) (W/пТ) cos2 ^. При больших амплитудах W/nT> ">melmi и малых хХд имеем

■Y=&®pzxXd[(9/4) ^jnT^ (me/zn^cos2^]1/4,(42)

при хХ#—[(zne/mz) ^WlnT^cos2^^ инкремент достигает значения

<oPz[(^M)cos2O]1/2,(43)

Рис. 1. Области различных типов неустойчивостей монохроматическойленгмюровскойволны:/ — распадной; II — модифицированной; III— однородного осциллирующего поля (ленгмюровского конденсата); IV — модуляционнойРис. 1. Области различных типов неустойчивостей монохроматическойленгмюровскойволны:/ — распадной; II — модифицированной; III— однородного осциллирующего поля (ленгмюровского конденсата); IV — модуляционнойуравнение для модуляционной неустойчивости имеет вид:уравнение для модуляционной неустойчивости имеет вид:

Рис. 1. Области различных типов неустойчивостей монохроматическойленгмюровской

волны:

/ — распадной; II — модифицированной; III— однородного осциллирующего поля (ленгмюровского конденсата); IV — модуляционной

Рис. 1. Области различных типов неустойчивостей монохроматическойленгмюровской

волны:

/ — распадной; II — модифицированной; III— однородного осциллирующего поля (ленгмюровского конденсата); IV — модуляционной

уравнение для модуляционной неустойчивости имеет вид:

уравнение для модуляционной неустойчивости имеет вид:

которое практически не меняется до границы устойчивости (хХд)2—\W/nT) cos2 О, вблизи которой инкремент резко падает до нуля.

Неустойчивость описанного типа может иметь место не только

для однородного поля ленгмюровских волн, но и для произвольного неоднородного (в частности для монохроматической волны),

если интенсивность его достаточно велика.

Пусть характерный обратный размер неоднородности — &0. Характерное обратное время постоянства фазы внутри области с размером 1/&0 есть 1/т^Угр^о^^^^йоХр)2; если &о<х; f^y, где х и у — волновое число и инкремент неустойчивости однородного поля, то внутри области с размером 1/&о развивается неустойчивость типа неустойчивости конденсата. Можно

проверить, что для короткой монохроматической волны это происходит при W]nT> ^ГПг/те) (khD)\

Рассмотрим теперь неустойчивость, при которой х<^^о- Такая неустойчивость представляет собой катастрофи-

ческое нарастание модуляции исход

ной волны и поэтому называется модуляционной. Дисперсионное

(Й - Зуг rDx2)2 - -^р/ (хЯд)41 (й2 - х2с\) = ^^р1 ^р (ХЯО)2Х2У2$.

(44)

Рассмотрим вначале случай длинных волн малой амплитуды W/nT<^ (кХпУ<те/ть

В этом случае Q2<^x2c2s и инкремент имеет вид:

Y - V(3/4) ^pi ^W (xXDy - (9/4) .?pl (х^Л (45) весьма напоминающий (41). Действительно, при W)nT—\кКпУ эта модуляционная неустойчивость переходит в неустойчивость конденсата.

Для коротких волн ^кХпУ^^е^тц с модуляционной неустойчивостью конкурирует распадная (или индуцированное рассеяние н> ионах). Для одиночной волны распадная неустойчивость сильнее модуляционной, однако для стационарного спектра (системы спектральных пиков) распадные неустойчивости скомпенсированы, и модуляционная неустойчивость становится снова важна. Она развивается преимущественно в поперечном направлении (хко)=О, дисперсионное уравнение

(й2 - 4 ^ (^д)4) (^ - ^ = (3/4) ^p[ <W№ ^с\и\(46)

исследуется так же, как уравнение (39). Максимальный инкремент умакс^(1/4) (W^nT^topt при W/nT<melmi и умакс^^Х XV^ 1пТ)пге1 тД1/2 при W !nT>me/mi. Этот инкремент меньше инкремента модифицированного распада; при W lnT^{mi/me) X X^d)4 инкременты сравниваются и неустойчивость переходит в неустойчивость конденсата. На рис. 1 показано расположение различных типов неустойчивости монохроматической волны на плоскости.

ЛЕНГМЮРОВСКИЕ СОЛИТОНЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ

В настоящем параграфе рассмотрен только случай неизотермичной плазмы, когда ленгмюровские колебания описываются уравнениями (7) —(12) при ys=0.

Введем в этих уравнениях безразмерные переменные (для простоты обозначим их теми же буквами, что и исходные)

,4 тР ,3 8п т?

г = 4 1/^4 ; vT= 4 7<47>

3 v mi KD N 8 те V/2х '

Уравнение (7) запишем в виде

А №+АФ) =div п ?Ф,(48)

а уравнение (12) -—в виде

пи-\п=\\Ч^\\(49)

уравнение (49) можно переписать в виде системы

П/+АФ=0; ф.+n+l ?Ф|2 = 0, '(50)

где Ф — потенциал НЧ-скоростей.

Уравнения (48), (49) сильно упрощаются в одномерном случае

\Et-VExx=nE\ ntt—nxx = (|£|2)хх.(51)

Уравнения (51) имеют важное частное решение — ленгмюровский солитон

Е=Е0 (х—sQexp[ (is/2)x+i (V—s2/4)/].(52)

Ленгмюровский солитон представляет собой пример тех каверн, о которых говорилось во введении. Для него вариация плотности имеет вид:

п=— 2V / [ch2 (х—st—х0) ].(53)

Солитон представляет собой движущуюся одномерную яму плотности плазмы, в которой «заперты» ленгмюровские колебания. Скорость движения солитона не превышает скорости ионов.

Затухание звука ионов оказывает на солитон тормозящее действие [19]. Однако «стоячие» солитоны могут существовать в плазме со сколь угодно сильным затуханием звука, в частности в изотермической плазме. Поэтому их изучение представляет особый интерес.

,92

Солитоны неоднократно использовали при построении моделей сильной ленгмюровской турбулентности [4]. Поэтому очень интересна задача об устойчивости солитона [6, 20—23]. Ограничимся случаем стоячего солитона малой амплитуды ^/пТ<^1пе]т^, для которого можно взять статическое приближение п= —|VT|2 и свести системы (48), (49) к одному уравнению

А(1^+АФ)+^| VT|2VW=0.(54)

Стационарному солитону соответствует решение

Ф — Фо = ]/2 exp (il2£) arcsin th lx,(55)

где xo = O.

Будем искать решение (54) в виде Ф=Ф0+ехр (й2/)бФ+ где возьмем

бТ'х.ехрЫ-Й^-Ык^))].?^); г± = (у, л).

Линеаризуя уравнение (54) и полагая k2-^, получаем следующую задачу на собственные значения

ЬЬобЕ^ЧЬгМ+МЬоН^ЧбЕ, (56) описывающую развитие возмущений с поперечным размером, намного превышающим толщину солитона, здесь Li, Lq, М — операторы:

' Ь6 = дйА-Е\-Х"

М6Е — J(2d2-ZsоМ6Е — J(2d2-Zsо+£’.) ^Edx. (57)о+£’.) ^Edx. (57)о

М6Е — J(2d2-Zsо

М6Е — J(2d2-Zsо

+£’.) ^Edx. (57)о

+£’.) ^Edx. (57)о

L, =d2 + 3f2,-Z3 '

В (57)

Ее = дЧЦдх = /2l/ch Хх-, 6Е=А^_ ф*)_

Причем Lo, Li — самосопряженные операторы. Они удовлетворяют очевидным соотношениям

Lofo^O; LId£'oM=2X£O)(58)

откуда следует L0LidE0(dX=X.(59)

Будем искать решение (56) в виде ^E=Eq^-Ex -|- .. для Ех получим [с учетом (58)]

(60)9а(60)9аЦиЕх=<к2ЕхМ-\-й-^Е0;

(60)

9а

(60)

9а

Умножая обе части (60) на дЕ0(дХ и интегрируя по х в пределах (—оо, оо), получим

Я^2/,(61)Я^2/,(61)

Я^2/,(61)

Я^2/,(61)

где / — константа:

V1,00макс|Е|2=33,50V1,00макс|Е|2=33,50t=1,10накс|Е|2 = 56,70t=1,10накс|Е|2 = 56,70t = 1,20t = 1,20макс | Е |z = /55макс | Е |z = /55

V1,00макс|Е|2=33,50

V1,00макс|Е|2=33,50

t=1,10накс|Е|2 = 56,70

t=1,10накс|Е|2 = 56,70

t = 1,20

t = 1,20

макс | Е |z = /55

макс | Е |z = /55

Рис. 2. Развитие неустойчивости плоского ленгмюровскогосолитона (дозвуковое приближение). Показаны линии уровняJ/7—|2. Геометрия двумерная

При вычислении на ЭВМ получаем 7 = 3,6. Поскольку константа 7>0, солитон неустойчив. Неустойчивость плоского стоячего солитона изучали на численном эксперименте [23, 41] путем решения плоских (х, у, /) нестационарных уравнений (54) (рис. 2) и полной системы (48) (рис. 3). Была рассмотрена задача с периодическими граничными условиями по у; начальное условие выбирали в виде

Е = ^=(1+0,1 sin icy//),(62),

дх Ch(x/K2) '’ 'х '

где I — период, превышающий характерный размер солитона в несколько раз.

На рис. 2, 3 показаны линии уровня величины IVT|2. Начальное условие (рис. 3) выбирали таким, что осуществлялся фактически обратный предельный случай к пределу малых амплитуд (см. рис. 2).

W 1*2,20макс\Е\г = 230

Рис. 3. Развитие неустойчивости плоского солитона с учетоминерции ионов. Геометрия двумерная

Видно, что между ними нет качественного различия. Начальная модуляция возрастает, приводя к собиранию всего отрезка солитона в малую область. Это —- характерный пример явления коллапса ленгмюровских волн, описанного ниже.

Из соображений размерности ясно, что максимальный инкремент осуществляется для возмущений, размер которых совпадает по порядку величины с поперечным размером солитона.

САМОФОКУСИРОВКА ЛЕНГМЮРОВСКИХ ВОЛН [7, 24]

Перейдем к аналитическому изучению нелинейной стадии неустойчивости монохроматической волны. Рассмотрим только два случая — модуляционную неустойчивость и неустойчивость однородного поля.

Изучение модуляционной неустойчивости начнем с упрощения уравнений (48), (49). Пусть

Т= (1 /&)ф(я, /)exp[i(&x—Ю1Д(63)

(в рамках рассматриваемых уравнений \дк = к2>). Здесь ф— медленно меняющаяся (по сравнению с к и со) функция координат и времени, имеющая размерность напряженности электрического поля.

Подставляя (63) в (48), (49), получаем, учитывая главные члены по £2,

1(<Р, + 2(А:7)<р)-ЬД? = 7гф;1,ь4)

(^г-д^^дМ2./

При &С1 |ф|2<^1, что в физических переменных соответствует условиям (^Хр)2<те/тг; W/nT<i (kXDy. Система (64) преобразуется к одному уравнению, которое можно непосредственно получить из (54):

i (ф^+2 (к V) ф) +Аф+1 ф 12ф=0.(65)

Переходя в движущуюся со скоростью 2к систему отсчета, получаем

1ф; + Аф+ | ф | 2ф = 0.(66)

Уравнение (66)—нелинейное уравнение Шредингера — получено здесь для случая, когда А — трехмерный лапласиан. Однако если k^>V kXD^ V ^е!П1и то в системе (64) основными будут почти двумерные решения с (6У)ф = 0. Тогда при |ф|2<^1, W/nT<C ^т^гт из (64) следует уравнение (66), но с двумерным лапласианом. Поэтому рассмотрим (66) для произвольной пространственной размерности п.

Прежде всего установим, что (66) имеет интегралы движения

ЛГ=^|<р|2^г;(67)

Р = i j (<?V?* — ?*V?) dr;

tf=J(W-4-l?0 dr‘<68>

Этим исчерпываются все интегралы уравнения (66) при п>1, тогда как при п=1 существует дополнительно бесконечный набор интегралов, содержащих высшие производные от <р (см. [55]). Уравнение (66) имеет точное решение

y = «(r-vOexp[i [я2 - "^~) ^ —|-(i/2) (vr) ], (69)

аналогичное решению (52). Функция в (69) удовлетворяет уравнению

—Vu+Aw+u3=0.(70)

Убывающие во всех направлениях решения уравнения (69) будем по аналогии с одномерным случаем называть солитонами (двумерными или трехмерными). В противоположность одномерному случаю двумерные и трехмерные солитоны могут иметь различную форму [54]. Солитоны максимальной симметрии (цилиндрические или сферические) описываются уравнением

— Х2а + игг + ^y-i иг + и? = 0

с граничным условиемс граничным условиемUf |г=0 — ^Uf |г=0 — ^и—>0;и—>0;Г —> ОО.Г —> ОО.

с граничным условием

с граничным условием

Uf |г=0 — ^

Uf |г=0 — ^

и—>0;

и—>0;

Г —> ОО.

Г —> ОО.

Это уравнение имеет счетный набор решения с последовательно возрастающими значениями интеграла N. ^-е решение имеет на оси г равно к нулей. Уравнение (70) имеет также антисимметричные решения и решения вида и—ехр(шф). Наименьшее значение интеграла N осуществляется при отсутствии нулей. Двумерный солитон такого типа называют стационарным волноводом.

Изучение двумерных и трехмерных солитонов представляет принципиально меньший интерес, чем изучение одномерных солитонов, поскольку они еще более катастрофически неустойчивы, чем одномерный солитон. Действительно, одномерный солитон устойчив относительно плоских возмущений, сохраняющих его симметрию [уд->0 при к-^0 в (61)]. В отличие от этого двумерный и трехмерный солитоны неустойчивы даже относительно возмущений, сохраняющих их симметрию [25, 28]. Не будем рассматривать этот вопрос, покажем только, что двумерный и трехмерный солитоны не могут быть асимптотическими состояниями для широкого класса начальных условий.

Умножая (70) на и и интегрируя по всему пространству, получим

_ VN—T+t7=0,(71)

здесь, как и прежде,

N = J uMr:, Т — ^ ^uydr; U = J иМг.

Заметим, что Н=Т—(1/2) U.

7—32 8397

Умножим теперь (70) на (rV^) и проинтегрируем по объему, затем получим

(п/2)^Я+[(тг/2) —1]Т-Нл/4)^(72)

Из (71) и (72) следует

Н=V [ (л-2)/ (4—л) ] N.(73)

Итак, в одномерном случае Н=—^V/^N, в двумерном Я=0, в трехмерном H=VN'>0. Интеграл Н не является положительно определенным. Если L — характерное значение масштаба его изменения, то при ^^YlL интеграл Н является отрицательным.

Возникает вопрос о том, как должно вести себя начальное условие с отрицательным Н. Ясно, что оно не може^хприйти к одному или системе стационарных солитонов. С другой ^дороны, оно не может излучиться в бесконечность, так как для малых <р при сохранении L интеграл Н является положительным. Невозможен и колебательный режим — при нем происходило бы излучение, приводящее к дальнейшему уменьшению и без того отрицательного Н. Единственный выход состоит в предположении, что эволюция такого начального условия окончится с возникновением особенности. В рамках уравнения (66) это можно доказать строго [29, 30].

Рассмотрим величину Л=/г2|Чг|2dr и вычислим ее вторую производную по времени. После некоторых выкладок получим

<дг1дН А = ^пН - 2 (я - 2) J | v^ |2 dr.(74)

Таким образом, при л^2

(д2 [д^^А^^пН;(75)

A^nHt2-Vc\t-\-^(76)

где А — положительная величина; Ci, с2 — константы; Н — интеграл движения. Если Я<0, то неравенство (76) должно нарушиться при некотором конечном t. Это означает, что в решении появится особенность. При л=2 в (75) имеет место равенство, и условие Я=0 дает разумную границу начальных условий, эволюция которых приводит к особенности. При л=3 условие Я<0 является слишком сильным; фактически особенность образуется уже при H<.X2N, где X — характерный обратный размер начального условия. Перейдем теперь к изучению характера возникающей особенности. Из соображений симметрии особенность можно считать «сферически-симметричной. Уравнение (29) допускает следующее автомодельное решение [7]:

^-^w^TiW (77)

где функция V удовлетворяет уравнению

[-«+ (i/2)] V+ (i/2)^+Д V+1 V|2 V=0;(78)

Среди решений уравнения (78) наибольший интерес представляет решение, для которого |V| —монотонно убывающая функция при 98

0<g<oo. При |->oo, оставляя только главные члены, получаем(-. + 4-)v+4-ev£=o.

отсюда У=с/^+21а. При этом ^^с)^2'^ |ф|2->к12А2, где с — некая константа.

Таким образом, в асимптотической области электрическое поле и плотность при t-^to стремятся к постоянному пределу. При этом все пространство становится асимптотической областью. Эволюцию решения (77) можно представить себе как возникновение в плазме особенности-—ямы плотности Ьп->-~~. Эта особенность при

г->0 является интегрируемой только в трехмерном случае, когда решение (77) только и может иметь смысл. Расходимость интеграла от вариации плотности при больших г не имеет значения, так как решение (77) применимо лишь в ограниченной области г.

Предположение о том, что в трехмерном случае особенность в рамках уравнения (29) описывается решением (77), подтверждается многочисленными экспериментами на ЭВМ [26, 31].

Итак, развитие модуляционной неустойчивости длинной &%р< ^V^el^i монохроматической волны малой амплитуды (WjnK. <.т€/т^ можно представить себе следующим образом.

Первоначальная волна разбивается на области размером L, такие, что (ХпЩ2—WlnT. Внутри каждой из этих областей образуется яма плотности плазмы, причем эта яма катастрофически углубляется в центре. При этом от центра плотность распределена по закону bnjnQ^—L2/у2. Рост плотности в центре происходит до тех пор, пока значение бл/по не сравнивается с (kXDP. Таким образом, минимальный размер каверны г—Ь^кХп). По достижении этого размера условия применимости уравнения (65) перестают выполняться. После этого в центре каверны развивается неустойчивость однородного осциллирующего поля. Нелинейная стадия модуляционной неустойчивости коротких (&Хр> У^^ГИ^ волн носит несколько другой характер. Развиваются возмущения, сильно вытянутые вдоль направления распространения волны. Возникающие каверны имеют цилиндрическую форму, так что развитие особенности носит квазидвумерный характер. Пока интенсивность волны в каверне достаточно мала ^[пТ<те/т^ можно использовать уравнение (65), в котором производные берут по поперечным координатам. При больших амплитудах необходимо использовать полную систему (48), (49). При достижении внутри каверны предельной амплитуды W/пТ^^гХьУ начинается развитие неустойчивости однородного поля с размером, меньшим длины волны.

КОЛЛАПС ЛЕНГМЮРОВСКИХ ВОЛН

Рассмотрим основной вопрос настоящей статьи — задачу о развитии неустойчивости однородного осциллирующего поля. Поскольку это развитие носит локальный характер, можно ограничиться задачей об эволюции локализованного пакета ленгмюров- 7*9»

ских волн, имеющего большую интенсивность. Будем рассматривать ее в рамках системы уравнений (48), (49) или (для малой амплитуды) в рамках уравнения (48).

Анализ этих уравнений во многом аналогичен анализу, проделанному в § 5 для самофокусировки. Уравнения, кроме N= =Л V^"|Vr, сохраняют интеграл движения'//, где

Н = J^AT|=--L|vV^dr,(79)

для уравнения (54) и

Н = J (I Дф I2 + п IVV Г + 4"^ + 4 ^Ф) j^r(80)

для системы (48), (49). В обоих случаях интеграл Н не является положительно определенным (из-за возможной отрицательности л).

В обоих случаях уравнения имеют стационарные решения вида

W=exp(iV/)$/(r),(81)

в случае (48), (49) ф/=0; п— — |V<p|2. Для функции ср (г) имеем уравнение

A(-^+A<p)+div| V<p|2V(p = 0.(82)

Теперь Н дается формулой (79) с заменой Т на ср.

Умножая (82) на (rV<p*), складывая с комплексно-сопряженным и интегрируя по всему объему, получаем формулу

Н=Цп—2)/(4—nHW, совпадающую с (73).

Итак, для стационарных решений в двумерном случае Н=0^ в трехмерном H=VN. Поэтому аргументы, совпадающие с изложением в § 5, приводят к выводу о том, что эволюция возмущения, обладающего в начальный момент времени отрицательным, интегралом Н, должна закончиться особенностью. Если Н отрицательна, то J= Jn\W12dr тем более отрицательна: |/|>Я. Отсюда по теореме о среднем имеем

min max | п | '>\H\/N.(83)

Здесь максимум берется по координатам, а минимум —• по времени. Из (83) ясно, что при Я<0 раз возникшая яма плотности не может исчезнуть в результате эволюции ленгмюровского волнового пакета.

Перейдем к систематическому описанию ленгмюровского коллапса. Прежде всего заметим, что сферически-симметричные модели коллапса не реалистичны. В сферически-симметричном случае потенциал имеет экстремум в начале координат, так что электрическое поле там равно нулю и ВЧ-давление минимально. Поэтому из начала координат плазма не только не будет выталкиваться, плотность там будет возрастать. Сферически-симметричный коллапс возможен только в виде «коллапса сферического слоя», имеющего локальную структуру плоского солитона [23]. Такой коллапс, 100

однако, неустойчив относительно возмущений, нарушающих сферическую симметрию.

Реалистическая модель коллапса имеет аксиальную симметрию относительно оси %, направленной вдоль направления исходного электрического поля [32—35]. При этом будем предполагать, что электрический потенциал антисимметричен относительно начала координат:

«•(г, _-Х)=-Ф(Г, Л); r^V^j^.(84)

При этом предположении электрическое поле и вместе с ним ВЧ- давление максимальны в начале координат, поэтому плазма должна выталкиваться оттуда, образуя необходимую для коллапса яму плотности.

Рассмотррш случай W (пТ <.melmt, соответствующий условиям применимости уравнения (54). Подобно уравнению (29) уравнение (54) имеет автомодельное решение:

Ф = exp [— i22 In (^ — #)1 ? (г/ К^о — 0-(85)

Функция <р(£) удовлетворяет при этом уравнению

A[-.V<p+(i/2)§V<p+A<p]+div| V<p|2V<p=0,(86)

при больших ^(^^>1/Л) уравнение (86) упрощается до вида

(i/2) (§¥)ф=Л2ф.(87)

Это уравнение Эйлера однородных функций степени — 2i.V. Таким образом, при |g|~>oo

где фо(—п)=—фо(^) — некоторая антисимметричная функция углов. Как и в случае самофокусировки, потенциал ф в любой фиксированной точке г вблизи особенности при l-Ио имеет вид У-^г-21^ фо (я). Распределение плотности при этом имеет вид:

6п=- (1/г2) {4V [фо(П) 12+?пфо (П) 12}.

Как и прежде, интегрируемая особенность плотности имеет место- только в физически наиболее интересном случае п=3. Заметим еще, что из автомодельной подстановки (85) следует, что для рассматриваемого решения

причем интеграл для Н сходится при больших г, т. е. конечен. Из сохранения Н следует /7=0. Отрицательность интеграла Н «набирается» за счет отклонения реального решения от автомодельного.

Уравнения (54) в аксиально-симметричной геометрии решалось численно [35, 36]. Результаты численного эксперимента подтверждают гипотезу об антисимметричности потенциала внутри каверны и об ее автомодельном характере. Типичные картины эволюции каверны изображены на рис. 4.

- Применимость уравнения (54) нарушается, когда интенсивность поля в центре W/nT достигает me[mi. После этого коллапс продолжается, но соотношение bn[n^WlnT перестает соблюдаться. При WjnT>*me/mi системы (48), (49) можно упростить другим способом. Именно, форма ямы плотности будет определяться инерцией ионов. Поэтому можно пренебречь членом Ln по сравнению с Пц, а в уравнении (48) перейти к «адиабатичному приближению», положив V^expt-—IV (/) ]ф, где ф подчиняется уравнению

(88)

А (—А,2(/)ф+Аф)=(Иу^Уф.А (—А,2(/)ф+Аф)=(Иу^Уф.Рис. 4. Развитие коллапса аксиально-асимметричного пакета ленгмюровских колебаний (дозвуковое приближение)Рис. 4. Развитие коллапса аксиально-асимметричного пакета ленгмюровских колебаний (дозвуковое приближение)Функция времени V^ определится как наименьшее собственное число спектральной задачи (88). Уравнение (49) упрощается до вида

А (—А,2(/)ф+Аф)=(Иу^Уф.

А (—А,2(/)ф+Аф)=(Иу^Уф.

Рис. 4. Развитие коллапса аксиально-асимметричного пакета ленгмюровских колебаний (дозвуковое приближение)

Рис. 4. Развитие коллапса аксиально-асимметричного пакета ленгмюровских колебаний (дозвуковое приближение)

x<(=A{V<p|2.

Полученная система допускает автомодельное решение

п—!— v f\

(/.-о4/3 Vto-tF)-

Функция V, R удовлетворяют уравнениям

-L(7 + 2§V)(2 + §V)V = A|v^|2;(90)

A(^V0/?+A7?)=div WR,(91)

при |е|->оо уравнение (90 )имеет вид:

(7+2£V)(2+EV)V=0.

(92)

Ему удовлетворяет решение

V=-^f(n)=4f(n),

не зависящее при t-*t0 от времени. Здесь f(n) —некоторая функция углов. Из (90) следует

fV<=0.(93)

Будем искать решение (91) в виде ряда

^+^. - -^р2 - 4 №+-).

здесь ^х направлена вдоль оси х: p2 = ^2y+^2z. При подстановке в (90) получаем

V|i=o = -(9/4)/?o(3/?1+/?2).

При осуществлении автомодельного решения (89) скорость уменьшения размера каверны превышает скорость звука и стремится при t-^to к бесконечности. Поэтому такой коллапс можно назвать сверхзвуковым, хотя скорость плазмы при нем меньше скорости звука.

При g->oo решение R уравнения (91) убывает как 1/g2. Это означает, что при любом фиксированном £ Е->0 при t->tQ. Таким образом, при сверхзвуковом коллапсе вся энергия электрического поля, заключенного в каверне, стягивается в точку. Если сверхзвуковой коллапс начинается из дозвукового (из W ;nT<.meimiY то характерное значение этой энергии ^

AS ntTl’D Vtnjme.(94)

Если же начальная амплитуда волнового пакета настолько велика (W/nT> V^d^eY что сразу начинается сверхзвуковой коллапс, то количество энергии, попавшей в каверну, зависит от ее начального размера и варьирует в пределах

Zn.JTD ^W)1/2 < AS < ^П’п ^пТ^1 ^Jm^4.(95)

При звуковом коллапсе рост вариации плотности плазмы отстает от роста плотности ВЧ-энергии. Поэтому, когда плотность ВЧ-энергии становится порядка тепловой ^07 (пТ^ху вариация плотности еще мала ^n/n^^melmiV^) (для первоначально дозвукового коллапса). Размер каверны имеет порядок T^Xn^i/^eV^, т. е. составляет несколько дебаевских размеров.

По мере сжатия каверны возрастает роль затухания Ландау. Каверна сжимается до тех пор, пока не достигнет минимального размера, при котором характерный темп сжатия I/t^co^X X ^^ ^"У^ (^макс — максимальная плотность ВЧ-энергии в каверне) не сравняется с затуханием Ландау. После этого ленгмюровские колебания в каверне быстро поглощаются и ВЧ-давление на плазму исчезает. Эта энергия излучается в виде ускоренных

электронов и составляет почти всю энергию, заключенную первоначально в ленгмюровских волнах. Часть энергии передается ионам, ускоренным при выталкивании плазмы из каверн. Из сохранения интеграла Н можно получить, что эта энергия 4

А^^А^^/Гмин)2, (96)

все еще довольно значительна. В момент затухания ленгмюровских волн она сосредоточена главным образом в виде кинетической энергии плазмы, разлетающейся из каверны. Поскольку в сверхзвуковом режиме давление плазмы при образовании каверны несущественно и образованию каверны препятствует только инерция ионов, разлет ионов продолжается и после поглощения ленгмюровских волн. Каверна продолжает углубляться, и максимальная вариация плотности для первоначально звукового коллапса составляет дп^Пс(те1 ШгУ/6. Такйм образом, основное углубление каверны происходит уже после поглощения ленгмюровских волн. Поэтому низкие дополнительные механизмы (электронная и ионная нелинейность, затухание звука ионов и т. д.), не учтенные здесь, не могут остановить коллапс.

КОЛЛАПС И ТУРБУЛЕНТНЫЕ СПЕКТРЫ

Явление коллапса имеет очень большое значение для кинетики ленгмюровской турбулентности. Если учитывать только линейные механизмы затухания (затухание Ландау и столкновительное), то окажется, что при &%d<1 во многих реальных ситуациях это затухание очень мало.

Единственный нелинейный механизм, приводящий к поглощению ленгмюровских волн, — слияние двух или нескольких ленгмюровских волн в электромагнитную волну. Однако обратная величина времени этого процесса немеет малостьуг/с, и фазовый объем для него мал. Кроме того, он невозможен, если размер системы, в которой происходит взаимодействие, сравним с длиной электромагнитной волны. В остальных нелинейных процессах сохраняется число ленгмюровских волн и происходит их монохроматизация или перекачка в область малых волновых чисел. С другой стороны, существуют линейные процессы, такие как пучковая или параметрическая неустойчивость, которые быстро накапливают ленгмюровские волны. Возникает вопрос, носящий характер парадокса, — каков механизм затухания ленгмюрских волн?

Явление коллапса дает принципиальный ответ на этот вопрос. Коллапс вносит сильное затухание в систему ленгмюровских волн. Пусть имеется ленгмюровская турбулентность, характеризующаяся волновым числом к и интенсивностью ^(пТ. Если IF/nT> (йА,р)2 и если (Мв)2<М/т% то такую турбулентность можно считать совокупностью волновых пакетов, внутри каждого из которых будет развиваться ленгмюровский коллапс. Он будет приводить к поглощению энергии турбулентности. Проще всего оценить коэффи-

* Или WlnT>melmi(kKD)4 при ^XDy>me!mi.

цйёнт поглощения, если амплитуда волн достаточно велика: WInT^melmi. В этом случае внутри каждого волнового пакета развивается сверхзвуковой коллапс, приводящий к поглощению всей энергии, попавшей в каверну. Поэтому характерное обратное время затухания турбулентности совпадает по порядку значения с инкрементом неустойчивости однородного поля

1/т~(ор;[(Ц7/пТ) (me/mi)V12.(97)

При W/nT~\ это время имеет порядок периода ленгмюровских колебаний ионов. Если W/nT<imelmi, то развивается дозвуковой коллапс. При этом нельзя оценивать декремент затухания по инкременту неустойчивости, так как при развитии особенности поглощается лишь часть энергии. Из каверны с начальным размером L, где (Xp/L)2~ ^?!nTs за время т (1/т~toptW/пТ) поглощается 3 /

энергия А^—пТ^ у тгь^те. Это дает для декремента затухания Тэф - 0)pZ (W/пГ) ^2 (mi/me) ^(98)

Если спектр турбулентности представляет собой в ^-пространстве совокупность узких пиков с характерной шириной Ьк, если (6k^n)2<W/nT<z (k^n)2f то развитию коллапса предшествует развитие модуляционной неустойчивости, приводящей к самофокусировке волн. При самофокусировки развиваются большие каверны, содержащие много длин волн. Однако впоследствии, когда интенсивность монохроматической волны в центре большой каверны достигает критического значения, внутри большой каверны развивается неустойчивость однородного осциллирующего поля, приводя- дящая к появлению множества каверн размером порядка длины волны. Поскольку инкременты модуляционной неустойчивости имеют тот же порядок, что и инкременты неустойчивости однородного поля, и автомодельные законы в обоих случаях совпадают, для поглощения за счет комбинированного эффекта самофокусировки и коллапса справедливы оценки (97) и (98).

Из-за развивающихся при коллапсе каверн уменьшаются пространственные масштабы ленгмюровской турбулентности, т. е. эффективно уширяется спектр в ^-пространстве. При самофокусировке увеличивается ширина спектральных пиков.

При слаботурбулентных механизмах происходят обратные эффекты. Пусть спектр турбулентности вначале широкий, такой, что VT/nTc (^Хр)2, и не имеет явно выраженных спектральных пиков. Эволюция этого спектра под действием индуцированного рассеяния на ионах, а также четырехплазмонного рассеяния приводит к уменьшению среднего волнового числа к. Число ленгмюровских волн при этом сохраняется, поэтому даже при стягивании всех плазмонов в точку к=0 потеряется (перейдет в тепло, рассеется в большие волновые числа) лишь малая часть энергии, составляющая (kXD)2 полной энергии.

Этот процесс (процесс ленгмюровской конденсации) будет, однако, остановлен коллапсом. Когда волновое число уменьшится’ настолько, что будет выполнено условие W/nT~ (кХ^ в плазме

возникнут коллапсирующие каверны. В них произойдет затухание части ленгмюровских волн, а также уширение спектрй. Таким образом, все время будет выполняться условие

(99)(99)W/nT-<kXDy.

(99)

(99)

Характерное обратное время изменение спектра (1/W) (dW/dt) при этом должно иметь порядок затухания, вносимого коллапсом,

dW/df7эф^.

Значение уЭф задается в зависимости от W/пТ формулой (97) или (98). При WlnT>me/mi решение этого уравнения дается

формулой W пТ

птТwp‘(~Т) ’

tu (< + М'о\пт /

при WjnT*

<-^ ИМеем WjnT^WJn'H—b—УХ

Таким образом, даже для плавных спектров, не имеющих резких спектральных пиков, эволюцию турбулетности нельзя описать без участия коллапса. ,

Еще большее значение имеет коллапс при эволюции спектров, имеющих в ^-пространстве резкие пики. При этом из-за слаботурбулентных эффектов пики неудержимо обостряются. Когда пики сузятся настолько, что ширина Ъкп и интенсивность Wn пика окажутся связанными соотношением ^кпХвУ ^Wn/nT, начнется модуляционная неустойчивость волн, составляющих спектральный пик. Она перейдет в самофокусировку, затем в центре самофокуси- ровочной каверны разовьется неустойчивость однородного поля, переходящая в коллапс, приводящий к поглощению волн. Из-за самофокусировки и коллапса произойдет уширение спектрального пика.

Таким образом, при наличии спектральных пиков эффекты сильного поглощения ленгмюровских волн скажутся задолго до выполнения условия (99). Рассмотрим вопрос о стационарных спектрах ленгмюровской турбулентности, генерируемой за счет неустойчивости (пучковой, параметрической и т. д.), создающей в плазме ленгмюровские волны. Пусть такая неустойчивость описывается инкрементом у(&), который имеет максимальноех значе- чение Умакс в области к~к^. Если уМакс достаточно велико, то коллапс может оказаться основным механизмом, определяющим уровень турбулентности плазмы. Развитие турбулентности можно представить себе следующим образом. В результате неустойчивости нарастают волны с характерным волновым числом k^k^ Пусть инкремент умакс настолько велик, что волны нарастают до уровня,, на котором начинается неустойчивость однородного поля. Тогда . в. плазме возникают многочисленные коллапсирующие ка- 106

верны, в которых происходит поглощение энергии ленгмюровских волн. Это поглощение и останавливает неустойчивость. Произведем грубые оценки этого процесса.

Пусть (коХв)8<те/т1. Здесь коллапс, останавливающий неустойчивость, может быть дозвуковым. Приравнивая инкремент неустойчивости и декремент затуханйя за счет коллапса, получим

ХМакс/<оРг ~ (W/nT)а№ (mi/т/)1/2,

откуда для характерной интенсивности волн имеем

^/пТ~ (умакс/topz)2/3 (m»/mi)1/3-

Эта интенсивность должна быть достаточно велика, чтобы выполнялось условие коллапса W/nT> (6оХр)2. Отсюда имеем условие на инкремент неустойчивости

Тмакс/^р/ > (fe,lDy (mJmeyi2.

Это довольно небольшой уровень неустойчвиости.

При Х,макс/<»р/-~ lO^-s-lO-3 коллапс становится сверхзвуковым.

Если умакс/юрг'—т^/т^ то коллапс, ограничивающий неустойчивость, с самого начала является сверхзвуковым. Приравнивая получаем

^/пТ~ (умаксl^^milme.

Условие W 1пТ> У^квУпи!т& теперь дает

Умакс/G)pZ> (Ып)2.

В зависимости от к^кв это значение меняется в пределах 10"1—10"3. Описанная картина соответствует в чистом виде сильной турбулентности плазмы. При более слабой неустойчивости эффекты комбинируются со слаботурбулентными эффектами. Последние могут либо уменьшить путем нескольких последовательных перекачек по спектру характерное волновое число турбулентности, облегчая условия возникновения неустойчивости однородного поля, либо, что более типично, привести к сужению спектров в ^-пространстве. В этом случае на узких пиках развивается модуляционная неустойчивость, приводящая к самофокусировке, которая затем переходит в коллапс. Лишь весьма слабую неустойчивость, при которой максимальный инкремент всего в несколько раз превышает декремент столкновительного затухания ленгмюровских волн, можно последовательно описать в рамках слабой турбулентности без привлечения эффектов коллапса и самофокусировки.

Полная теория слабой турбулентности с учетом коллапса его далека от своего завершения.

Ленгмюровскую турбулентность удобно описывать при помощи величины Р— потока энергии или нагрева единицы объема плаз-

НО?

мы. Если поглощение энергии осуществляется за счет коллапса, то

Д£,(100)

где т — время развития коллапса; п— число каверн в единицах объема; Д^Г — энергия, поглощаемая в одной каверне. Значение Р во всех реальных ситуациях непосредственно известно из эксперимента.

Поскольку коллапс —самоубыстряющийся процесс, можно положить 1/т~уЭф. Величина п зависит от того, насколько сильной является турбулентность. При предельно сильной турбулентности, -соответствующей случаю (100), можно считать, что коллапсирующая каверна развивается в каждом объеме порядка куба длины волны. Тогда n~k\ Для дозвукового коллапса, подставляя в (98) .(100), имеем

Г12/5

WlnT^P^nT^ .(101)

Из требования W/пТ <me/mi имеем уравнение применимости дозвукового коллапса

P-CtopinT (me/mi)2..

При больших потоках осуществляется сверхзвуковой коллапс. Полагая l/x^topi^W (nT^me/miy!2, получаем

W/nT~ (Р/toptniyi® Vmi/me>х'\(102)

Формулы (101), (102) дают непосредственную оценку интенсивности сильной турбулентности через энерговклад в плазму.

Для применимости (101), (102) необходимо, чтобы волновое число ^о, на котором осуществляется максимальное выделение энергии, удовлетворяло условию (^с)2<№/пТ, где W/nT берется из (101), (102). Л

Спектр сильной турбулентности, определяющийся коллапсом, может быть найден в асимптотической области к^ко, где ко — характерный энергонесущий масштаб турбулентности. Этот спектр определяется единственным параметром — потоком энергии Р. Определим спектральную функцию к нормировкой JIkdk—W. Тогда из соображений размерности P^hk/x, где т — характерное время переноса по спектру энергии с обратным масштабом.

В асимптотической области коллапс является сверхзвуковым. Из автомодельной подстановки (89) следует х2/х2о~као/ка, где т0 и ко—начальное время развития и обратный размер каверны. "Пусть коллапс начинается из дозвукового состояния W/nT< <Zme/mt. Тогда в момент перехода в сверхзвуковой режим

1 /т0 ~ (>)pime/mr, кДи ~ (me/m,)1/2.

И для спектра имеем

к~l(W(W6/2l • (ЮЗ)

Если же коллапс начинается из состояния с 'WblnT>melmi, то

1/^Д(—)-^]'/2; kM^WnT^.

L x ^1 / ^* .

Ik^Wrn^HWJnT)^ (PI^IdI^I2 .(104)

При полностью развитой сильной турбулентности имеем из (103)

Ik - (РДыпГ)7/6 (mi/me} ^WT/ (Ыъ) ^2.(105)

КОЛЛАПС И НАГРЕВ ПЛАЗМЫ [38, 48, 49]

Как было уже сказано, энергия ленгмюровских волн, попадающая в коллапсирующие каверны, диссипирует благодаря затуханию Ландау. Введем величину ^у=Р/пТ. Очевидно, она имеет смысл «эффективной частоты столкновений» — характерного обратного времени нагрева плазмы при помощи коллапса.- Если vH>VKyn, где Мкул — кулоновская частота столкновений, то нагрев плазмы осуществляется главным образом за счет коллапса. Рассмотрим, как происходит этот нагрев. Пусть Ik — спектр энергии ленгмюровских волн. Поведение электронов можно описывать усредненной функцией -распределения /(у, /). Она удовлетворяет кинетическому уравнению

— = — — у’£> (у) —+($9™,(106)

dtди ' ’ ди х /кул*х ’

где

(5/)'кул Vct (Ут/у) 3f(Ю7)

ут — тепловая скорость электронов; vCT — частота столкновений.

Уравнение (106) учитывает квазилинейную диффузию электронов за счет ленгмюровских волн:

D (у) — _1_ С / § (со — fc0^ dk &— / (^Л .

х 7 пге J R х pl 7 men v \ v /

Функцию распределения f(y t) для упрощения считают сфери- чески-симметричной. Поскольку здесь рассматривается ленгмюровская турбулентность, для которой &%d<C1, функция D^ имеет максимум в области очень больших скоростей, сильно превышающих тепловые. Поэтому для квазилинейной диффузии наиболее важно знать функцию Z)(y) в асимптотической области у—Ч), соответствующей пределу ^-^оо. В этой области спектр турбулентности определяется автомодельно коллапсирующими кавернами и задается в зависимости от потока Р формулами (104) или (105). Коэффициент диффузии при этом имеет вид:'

гдегде£)(у)=ау3/2,(108)

где

где

а~ {mi/meY^VnV^12 при vH/(opZ< ^е/т^2;(109)

а~ ^рг^/^р^при vH/topz> (^Пе/т^2. (НО)

109

Формула (107) справедлива, если у>Умий, Где Умин— минималь- пая скорость частиц, участвующих в поглощении энергии, попавшей в каверну. Величина ^мин ~ гМин<«Ы поставляет несколько тепловых скоростей. Если 2)(умин) > (5#)куЛ, то для всех электронов, участвующих в поглощении ленгмюровских волн, кулоновскими столкновениями можно пренебречь. Для первоначального дозвукового коллапса это дает из сравнения (107) и (108)

(111)(111)VH>VcT(/ne//nO 1/4(УтДмин)7/2.

(111)

(111)

Из (111) следует вывод, что даже если время нагрева плазмы на два порядка превышает время кулоновских столкновений, коллапс остается основным фактором, определяющим форму электронной функции распределения. При невыполнении условия (111) квазилинейные эффекты могут быть тем не менее важны для электронов, имеющих достаточно большие скорости, хотя число таких электронов в этом случае мало.

Рассмотрим вопрос о характере кинетики электронов за счет коллапса. Эта кинетика описывается уравнением

d^/dt= (а/o') (д/д«) и^/ди,(112)

которое должно решаться при дополнительном условии

(„3)

о

где Р — поток энергии в плазму.

Уравнение (112) имеет автомодельное решение

Ml/OW),(114)

удовлетворяющее условию (113).

Функция F^ ^=и/12) удовлетворяет уравнению

— = 0,(115)

имеющему в области ^->0 асимптотическое решение

F-*c/^9/2=c/y9/2,(116)

при t-^oo |->0, и таким образом при всех у df/9v-*-0. Это означает, что эволюция функции распределения при t-^-oo сводится к появлению «хвоста» энергичных электронов, забирающих всю поступающую в плазму энергию. При у<уМИн Р(у)=0, поэтому решение (113) нужно при у~уМин сшить с неподвижной максвелловской функцией распределения.

Появление «хвостов» у функции распределения приводит к появлению затухания Ландау. Имеем

/ df \topi7.2

•Л 2 k•Л 2 k(П7)(П7)^р=—^cos(%-

•Л 2 k

•Л 2 k

(П7)

(П7)

При ^-*-0 это затухание весьма мало и существенно не влияет на эволюцию каверны, которая сжимается до размера порядка гМИн.

Появление ускоренных электронов можно представить себе следующим образом. Каждая ленгмюровская каверна представляет собой сжимающийся квазиплоский резонатор, поле которого, осциллируя на частоте co^z, имеет дипольный характер. Плазма с этими кавернами представляет собой аналог стохастического линейного ускорителя для электронов. Электроны, скорость которых такова, что за время их пролета через каверну электрическое поле в ней не меняет знак, в среднем ускоряются: — после прохода М-й каверны их энергия возрастает в VN раз. При пролете через большие каверны, у которых г*>и/(дРь электроны в среднем сохраняют свою скорость, поскольку за время пролета каверны электрическое поле там несколько раз меняет знак. По мере ускорения электроны взаимодействуют со все более крупными кавернами, находящимися на более ранних стадиях своего развития. В конечном итоге вся энергия коллапса передается небольшой группе сильноускоренных электронов. Это неприятное с точки зрения нагрева плазмы явление нередко наблюдается в экспериментах по лазерному нагреву (хотя механизм появления ускоренных электронов в этом случае окончательно не расшифрован). С точки зрения теории коллапса, есть два пути для его избежания. Один из них состоит в том, чтобы производить нагрев плазмы достаточно медленно, так, чтобы электроны успевали в процессе этого нагрева максвеллизоваться за счет столкновений. Для этого время нагрева должно в сотни раз превышать время кулоновских столкновений. Другая возможность состоит в использовании магнитного поля. Как было показано в [50], если в плазме присутствует магнитное поле, то максимальная энергия, до которой ускоряются электроны, имеет порядок гмакс ~TtoPi/Qe.

Таким образом, при 52е—'co^z ускорения электронных хвостов происходит.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Коллапсирующая каверна развивается за время порядка нескольких сотен или даже десятков ленгмюровских колебаний. Поэтому обнаружение коллапса в достаточно плотной, полностью ионизованной и незамагниченной плазме — трудная экспериментальная задача. В незамагниченной плазме низкой температуры наблюдалась [1, 2] локализация высокочастотных электрических полей в виде плоских солитонов. Эти эксперименты не противоречат концепции, поскольку в условиях достаточно сильного затухания ленгмюровских волн, осуществляющихся в этих экспериментах, солитоны могут быть и устойчивыми. Тем не менее концепция ленгмюровского коллапса не имеет пока прямого экспериментального подтверждения.

Эта концепция, однако, прекрасно подтверждается численными экспериментами. Некоторые из этих экспериментов подтвердились непосредственно методом частиц в ячейках [39, 46, 47], однако наиболее четкое подтверждение концепции коллапса получено

111

Рис. 6. Развитие коллапса аксиально-симметричного пакета ленгмюровских волн дозвукового приближения (ро=13,О, ^=37,89, Н=—369,03)Рис. 6. Развитие коллапса аксиально-симметричного пакета ленгмюровских волн дозвукового приближения (ро=13,О, ^=37,89, Н=—369,03)

Рис. 6. Развитие коллапса аксиально-симметричного пакета ленгмюровских волн дозвукового приближения (ро=13,О, ^=37,89, Н=—369,03)

Рис. 6. Развитие коллапса аксиально-симметричного пакета ленгмюровских волн дозвукового приближения (ро=13,О, ^=37,89, Н=—369,03)

в экспериментах по численному решению усредненных уравнений (5) — (12) [32, 36], а также уравнений (54) и системы (48) — (50) [32—34, 36, 41—45, 48, 51]. Приведем результаты некоторых из этих расчетов. На рис. 2 приведена взятая из [23] эволюция решения уравнения (54) с начальным условием (62). В "начальный момент времени £’20= 13,40. На рис. 2 представлены линии уровня величины E^=^x"V^-y в последовательные моменты времени. Геометрия является двумерной.

Рис. 5. Поперечные и продольные распределения квадрата полного поля в коллапсирующей каверне

На рис. 3 приведена эволюция Того же начального условия в рамках системы (48) — (50). При этом считали, что в начальный момент времени п=— [Wp, Ф=0. В процессе эволюции быстро осуществляется ситуация, когда условия статического приближения нарушаются, так что n< | WP.

На рис. 2, 3 показано развитие неустойчивости солитона. Дна- логичные результаты были получены в [41].

На рис. 4 видна эволюция аксиально-симметричного изолированного пакета ленгмюровских колебаний в рамках уравнения (54) [34, 36, 48]. Начальное условие имело дипольный характер, так что электростатический потенциал в течение всего расчета удовлетворял условию (84).

112

Начальное условие имело вид:

p0]/w sin ~^—Оp0]/w sin ~^—ОПри &>>0;При &>>0;при &у<0.при &у<0.р^ДФ;р^ДФ;

p0]/w sin ~^—О

p0]/w sin ~^—О

При &>>0;

При &>>0;

при &у<0.

при &у<0.

р^ДФ;

р^ДФ;

где ро — константа, значение которой в экспериментах менялось. При достаточно малых ро начальное условие расплывается, и коллапсирующей каверны не образуется. Изображенный на рис. 4 случай ро=6,О соответствует приблизительно границе коллапса. Интегралы N и Н имеют значение N= 16,84, Я=4,3, так что кол-

Рис. 7. Поперечные и продольные распределения квадрата напряженности полного поля в коллапсирующей каверне (р0=13Д 7V = 37,89, Н= = —369,03)Рис. 7. Поперечные и продольные распределения квадрата напряженности полного поля в коллапсирующей каверне (р0=13Д 7V = 37,89, Н= = —369,03)012 Г - 1234 z012 Г - 1234 zлапе начинается еще при положительных значениях Н. На рис. 4 приведена картина линий уровня функции £2=Т2*+ЧГ2У в разные моменты времени. Поперечное и продольное распределения величины Е2 при /=0,50 изображены на рис. 5. Рисунки 6, 7 относятсялапе начинается еще при положительных значениях Н. На рис. 4 приведена картина линий уровня функции £2=Т2*+ЧГ2У в разные моменты времени. Поперечное и продольное распределения величины Е2 при /=0,50 изображены на рис. 5. Рисунки 6, 7 относятсяРис. 8. Развитие коллапса аксиально-симметричной каверны с учетом инерции» ионов (ро=9,0, N=37,8, Я=—38,5)Рис. 8. Развитие коллапса аксиально-симметричной каверны с учетом инерции» ионов (ро=9,0, N=37,8, Я=—38,5)

Рис. 7. Поперечные и продольные распределения квадрата напряженности полного поля в коллапсирующей каверне (р0=13Д 7V = 37,89, Н= = —369,03)

Рис. 7. Поперечные и продольные распределения квадрата напряженности полного поля в коллапсирующей каверне (р0=13Д 7V = 37,89, Н= = —369,03)

012 Г - 1234 z

012 Г - 1234 z

лапе начинается еще при положительных значениях Н. На рис. 4 приведена картина линий уровня функции £2=Т2*+ЧГ2У в разные моменты времени. Поперечное и продольное распределения величины Е2 при /=0,50 изображены на рис. 5. Рисунки 6, 7 относятся

лапе начинается еще при положительных значениях Н. На рис. 4 приведена картина линий уровня функции £2=Т2*+ЧГ2У в разные моменты времени. Поперечное и продольное распределения величины Е2 при /=0,50 изображены на рис. 5. Рисунки 6, 7 относятся

Рис. 8. Развитие коллапса аксиально-симметричной каверны с учетом инерции» ионов (ро=9,0, N=37,8, Я=—38,5)

Рис. 8. Развитие коллапса аксиально-симметричной каверны с учетом инерции» ионов (ро=9,0, N=37,8, Я=—38,5)

к той же задаче, но при ро=13,О (Л/=37,89, Н=—369,03). Видно,, что при увеличении ро рост коллапса увеличивается, а каверна становится более плоской.

На рис. 8 изображено развитие коллапса в рамках полной системы уравнений (48) —(50), при том же распределении (ро=9,О, 8—3283 ИЗ

JV=37,8, H=—38,5) потенциала и дополнительном условии п= —— [VT)2, Ф=0. На рис. 9 показаны профили функции |£|2 и п. Видно, что условие п=—| V Ф |2 с течением времени перестает выполняться—в согласии с результатом § 6 в сверхзвуковом коллапсе рост вариации плотности отстает от роста плотности энергии ВЧ-поля.

Рис. 9. Поперечные и продольные профили квадрата полного поля и плотности при коллапсе аксиальносимметричной каверны с учетом ро=9,О, М=37,8, //=—38,5Рис. 9. Поперечные и продольные профили квадрата полного поля и плотности при коллапсе аксиальносимметричной каверны с учетом ро=9,О, М=37,8, //=—38,5

Рис. 9. Поперечные и продольные профили квадрата полного поля и плотности при коллапсе аксиальносимметричной каверны с учетом ро=9,О, М=37,8, //=—38,5

Рис. 9. Поперечные и продольные профили квадрата полного поля и плотности при коллапсе аксиальносимметричной каверны с учетом ро=9,О, М=37,8, //=—38,5

If!2200100ОПЧООIf!2200100ОПЧОО

If!2

200

100

О

П

ЧОО

If!2

200

100

О

П

ЧОО

Рис. 10. Влияние учета затухания /ленгмюровских волн на коллапс

Рис. 11. Множественное появление коллапсирующих каверн в результате развития параметрической неустойчивости осцил-. лирующего электрического поля. Частота накачки равна плазменной. Верхний рисунрк линии уравня |Е|2, нижний — ’линии уровня вариации плотности

На рис. 10 [51] показано, как влияет на коллапс затухание ленгмюровских волн. Последнее учтено при замене в уравнении (48)

На рис. 10 приведены графики зависимости Е2 и п от времени в центре каверны, а также N^ при разных значениях уг- Характерно, что пЦ^ достигает максимума существенно позже, чем Е2^, что согласуется с представлением об инерционном углублении каверны. Начальное условие — то же, что на рис. 8, 9.

В [51] изучено возникновение коллапса в результате параметрической неустойчивости в плазме. Для этого уравнения (48) — (50) заменили на систему

A (2iT«—ЙТ+АФ) =div (и VT) + (До V»);пи-Нги—An=A| VT|2+(VT*, До) +

+ (VT, Д*оШ(л X, 0,

где До—амплитуда внешнего электрического поля, частота этого поля co=-^-Q-|-©Pz; у — затухание звука; Дг, х, t) —малый случай

ный внешний шум. Задача решалась в цилиндрической геометрии. Рисунок 11 соответствует нулевой расстройке внешней частоты относительно плазменной £2=0; у=50; .Д2о=9,0. На нем изображены линии уровня Д2 при <=4,3.

Рисунок 12 соответствует положительной расстройке, £2=50 (у=50; |£'oj2=9,O), изображен момент времени <=3,3. Видно, что в обоих случаях результатом развития неустойчивости является появление множества коллапсирующих каверн, что и подтверждает важную роль коллапса в нелинейной стадии развития параметри- 116

ческой неустойчивости в плазме, соответствующие оценки проделаны в [52, 53]. Роль коллапса как фактора, определяющего нелинейную стадию плазменных неустойчивостей, нуждается в дальнейшем изучении.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Stenzel R., Wong A. Y., Kim Н. С. — Phys. Rev. Lett. 1974, vol. 32, p. 654.

Kim H. C., Stenzel R., Wong A. Y. — Phys. Rev. Lett. 1974, vol. 33, p. 886.

Антипов С. В. и др. — Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 23, вып. 11, с. 613.

Thornhill S. G., Ter-Haar D. Phys. Reports, 1972, vol. 43С, р. 43.

Альтеркоп Б. А., Волокитин А. С., Тараканов В. П. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1976, т. 71, с. 547.-

Захаров В. Е., Рубенчик А. М. — Жури, эксперим. и теорет. физ., 1973, т. 64, с. 997.

Захаров В. Е. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972, т. 62, с. 1945.

Аскарьян Г. А. — Успехи физ. наук, 1973, т. III, с. 249.

Луговой В. Н., Прохоров А. М. — Успехи физ. наук, 1973, т. III, с. 203.

Кузнецов Е. А—Журн. эксперим. и теорет. физ., 1974, т. 66, с. 2037.

Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. — Ядерный синтез, 1961, № 1, с. 82.

Кадомцев Б. Б. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 4. — М.: Атом- издат, 1964.

Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. — М.: Наука, 1971.

Valeo Е., Oberman С., Perkins Е. W. — Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28, p. 340.-.

Брейзман Б. H., Захаров В. Е., Мушер С. Л. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1973, т. 64, с. 1297.

Захаров В. Е., Мушер С. Л., 'Рубенчик А. М.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1975, т. 69, с. 155..

Галеев А. А., Сагдеев Р. 3. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 7.— М.: Атомиздат, 1973.

Ichikawa Y. Н., Suzuki Т., Taniuti Т. — Journ. Phys. Soc. Jap., 1973, vol. 34, p. 1089.

Рудаков Л. И. — Докл. АН СССР, 1972, т. 207, с. 821.

Yajima N. Prog. — Theor. Phys. 1974, v. 52, p. 1066.

*21. Laedke E. W., Spatchek K. BE— Phys. Rev. Lett. 1978, vol. 41, p. 1798,

Schmitt G. — Phys. Rev. Lett. 1975, v. 34, p. 724.

Дегтярев JI. M., Захаров В. E., Рудаков Л. И. — Журн. эксперте, и теорет. физ., 1975, т. 68, с. 115.

Ichikawa Y. HL, Imamura Т., Taniuti Т. — Journ. Phys. Soc. Jap., v. 33, p. 189.

Захаров В. E., Соболев В. В., Сынах ВЛС.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1971, т. 60, с. 136.

Захаров В. Е., Соболев В. В., Сынах В. С. — Прикл. мех. и техн. физ.,. 1972, вып. 1, с. 92.

Derrick G. Н. — Jorn. Math. Phys., 1964, v. 5, p. 1952.

Колоколов A. A. — Прикл. математ. и механика, 1974, т. 38, с. 970.

Власов В. Н., Петрищев В. А., Таланов В. Н. — Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1970.

Жибер А. А. Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук/ М.: МИЭМ, 1975.

Буднева О. Б., Захаров В. Е., Сынах В. С. — Физика плазмы, 1975, т. 1, вып. 4, с. 606.

Захаров В. Е., Мастрюков А. Ф., Сынах В. С. — Письма в ЖЭТФ, 1974. т. 20, с. 7.

Дегтярев Л. М., Захаров В. Е. — Письма в ЖЭТФ, 1974, т. 20, с. 365.

Дегтярев Л. М., Захаров В. Е. — Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, с 9.

Захаров В. Е., Мастрюков А. Ф., Сынах В. С. — Физика плазмы, 1975^ т.1,вып.4,с.614.

Дегтярев Л. М., Захаров В. Е., Рудаков Л. И. — Физика плазмы, 1976, т.2,вып.3,с.438.

Колоколов А. А., Вахитов Н. Г. — Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1973, т. 16, вып. 7, с. 1020.

Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., Сигов Ю. С. и др.— Физика плазмы, 1975, т. 1, с. 10.

Полюдов А. Н., Сигов Ю. С. — Proc. 12th Intern. Conference on Phenomeno in Monized Gases Eindhoven 1975, p. 392.

Веденов А. А., Рудаков Л. И. — Докл. АН СССР, 1964, т. 159, с. 767

Pereira N. R., Sudan R. N., Denavit G. — Phys. Fluids. 1977, v. 20, p. 936.

Nicholson D. R., Goldman M. V. — Phys, of Fluids 1978, v. 21, p. 1766.

Goldman M. V., Nicholson D. R._— Phys. Rev. Lett. 1978, v. 41, p. 406..

Nicholson D. R., Goldman M. V., Hoyng R. — Astrophysical Journal, 1978,.

V. 223, p. 605.'

Goldman M, V., Ryndal K., Hafizi B. — Phys, of Fluids, 1980, v. 23, p. 388.

Полюдов A. H., Селяндин Б. Д., Сигов Ю. С. — Докл. АН СССР, 1978,. т. 246, № 1, с_

Захаров В. Е., Сигов Ю. С. — Proc, of the Int. Cont. on Phenomena Ionized Gases, Grenoble, 1979, p. 703.

Дегтярев Л. M., Захаров В. E. — Препринт ИПМ АН СССР, 1974, № 106.

Горев В. В., Кингсен А. С., Яньков В. В. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1976, т. 70, с. 3.

Захаров В. Е., — Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, с. 479.

Горбушина Т. А«, Дегтярев Л. М., Захаров В. Е., Равинская В. Н.— Препринт ИМП АН СССР, 1975, № 128.

Захаров В. Е., Львов В. С., Рубенчик А. М. — Письма в ЖЭТФ, 1977, т. 25, с. 11.

Львов В. С., Рубенчик А. М. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1977, т. 72, вып. 1, с. 127.

Янкаускас Э. К* — Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1966, т. 9, с. 412.

Захаров В. Е., Шабат А. Б. — Журн. эксперим. и- теорет. физ., 1971,

СИЛЬНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

В. Д. ШАПИРО, В. И. ШЕВЧЕНКО

ВВЕДЕНИЕ

Проблема турбулентности, т. е. описание стохастического взаимодействия большого числа волновых движений различных масштабов, является центральной для многих разделов физики — газодинамики, теории жидкости, плазмы.

На характер турбулентности существенно влияет дисперсия образующих ее волн, т. е. зависимость фазовой скорости от длины волны.

В отсутствие дисперсии, например, для звуковых волн основной тип нелинейных движений — это простые волны, или волны Римана, в которых нелинейность проявляется в укручении и опрокидывании фронта волны. Еще один пример недиспергирующей среды— несжимаемая жидкость. Турбулентность в такой среде можно представить как наложение вихрей различных масштабов. Нелинейные взаимодействия приводят к непрерывному дроблению масштабов вихрей, происходящему до тех пор, пока при малых масштабах диссипация, обусловленная вязкостью, не останавливает этот процесс.

В средах с дисперсией (плазма, волны на воде) по мере роста крутизны волнового фронта важную роль начинают играть дисперсионные эффекты. Дисперсия останавливает укручение, так как высшие гармоники, образующиеся за счет нелинейности, движутся со скоростью, отличной от скорости движения основной волны. Турбулентность в таких средах можно рассматривать как результат суперпозиции и взаимодействия установившихся волновых движений, вообще говоря, нелинейных.

Изложение теории нелинейных волн в диспергирующих средах можно найти, например, в обзорных статьях [1, 2].

Еще одна важная особенность волн в плазме связана с тем, что в динамике таких волн существенную роль играет взаимодействие с резонансными частицами — излучение, поглощение, рассеяние на частицах. Такое взаимодействие в равновесной плазме является причиной бесстолкновительного затухания волн (затухания Ландау). *

Если амплитуда волн в плазме достаточно мала, то произвольные волновые движения можно представить в виде суперпозиции волновых мод линейной теории. Амплитуда этих волн медленно меняется со временем в результате взаимодействия между ними — рассеяния волн на волнах и на частицах. Такой подход принято называть слабой турбулентностью. В настоящее время теорию слабой турбулентности можно считать завершенной. Обзор современного состояния теории дан в статье А. А. Галеева и Р. 3. Сагдеева (см. т. 1 настоящего издания).

линейное взаимодействиелинейное взаимодействие\ Теория слабой турбулентности, однако, не является замкнутой. Это проще всего пояснить на примере турбулентности ленгмюровских волн — высокочастотных колебаний плотности заряда в плазме, которым и посвящен данный обзор. В теории слабой ленгмюровской турбулентности имеется известный парадокс — образование конденсата плазменных колебаний. Его суть состоит в следующем, В отличие от гидродинамической турбулентности, в которой не-

линейное взаимодействие

линейное взаимодействие

ПлазмоныПлазмоныПлазмаПлазмаЛ/Рис. 1. Образование потенци-альной ямы для плазмоновпри • модуляционной неустой-чивостиЛ/Рис. 1. Образование потенци-альной ямы для плазмоновпри • модуляционной неустой-чивостиприводит к непрерывному дроблению масштабов, в слабой турбулентности ленгмюровских волн основные нелинейные процессы вызывают появление потока энергии в область длинных масштабов, т. е. больших фазовых скоростей. В этой области в бесстолкновительной плазме отсутствуют механизмы поглощения волновой энергии Непрерывный приток энергии в длинноволновую плазменную турбулентность, например из-за неустойчивости пучка в плазме или в результате параметрической неустойчивости мощной электромагнитной волны, и отсутствие эффективных механизмов стока обус- „ловливают накопление длинноволновых плазмонов-квантов плазменных колебаний и образование их конденса-

Плазмоны

Плазмоны

Плазма

Плазма

Л/

Рис. 1. Образование потенци-альной ямы для плазмоновпри • модуляционной неустой-чивости

Л/

Рис. 1. Образование потенци-альной ямы для плазмоновпри • модуляционной неустой-чивости

та в области малых волновых чисел ^^0.

Рассматривались различные схемы решения этого парадокса в рамках слабой турбулентности, например, в результате нелинейной трансформации длинноволновых плазмонов в электромагнитное излучение, однако все эти схемы не обладают достаточной универсальностью.

Модуляционная неустойчивость. Реальный путь решения парадокса был предложен в работе [3]. Он основан на использовании модуляционной неустойчивости интенсивных плазменных колебаний и обусловленном такой неустойчивостью механизме диссипации плазмонов.

Еще в 1964 г. А. А. Веденов и Л. И. Рудаков [4] показали, что достаточно интенсивный газ плазмонов неустойчив относительно вариаций плотности газа. Механизм возникновения неустойчивости весьма прост (рис. 1). В местах скопления плазмонов плазма выталкивается под действием силы высокочастотного давления. Образующиеся при этом вариации плотности плазмы квазиней- тральны и изменяются со временем, определяемым инерцией ионов, т. е. достаточно медленно.

Уравнения движения плазмонов на фоне таких вариаций плотности можно записать в гамильтоновой форме:

(1)(1)dr/dt=dtok /дк; dk/dt——дйр/дг.

(1)

(1)

В этих уравнениях cok=(Op[l +(3/2) ^2г2р] —частота плазмонов ^гп= ^Г IW^Y12— дебаевский радиус]; top^ — ^ne^nljymy12— локальная ленгмюровская частота. Из (1) следует, что в местах провала плотности плазмы — кавернах — образуются потенциальные ямы для плазмонов. В результате в кавернах происходят дальнейшее нарастание плотности плазмонов, углубление ям плотности. Таким образом развивается неустойчивость автомодуляции распределения плазмонов.

Следуя [5], можно провести качественный анализ неустойчивости, не прибегая к громоздким решениям дисперсионных уравнений. Действительно, рассмотрим равновесный газ плазмонов. По аналогии с максвелловским распределением частиц по скоростям f (у)=/г0(/п/2лТ)3/2ехр (—/пу2/27)

запишем следующий закон распределения плазмонов по волновым числам:

^(к)=^(1/я<^2>)3/2ехр <—к?/<№>У(2)

где No — равновесная плотность плазмонов; V <Ск?^>—дисперсия волновых чисел. Пусть в плазме, в которой возбуждены ленгмюровские колебания, возникло возмущение плотности bn(t, г). Если такое возмущение изменяется со временем достаточно медленно, то плазмоны на его фоне приобретают квазистатическое распре- 1 деление

N (k) = N. ) ехр;,2Х 2 ,(3)

0 U(62>/\ (&2) з /

которое является аналогом распределения Больцмана частиц в силовом поле и (г):

f (v) =по (т/2пТ) W ехр [— (1 /7) (mv2/2+ V) ].

Эта аналогия станет очевидной, если учесть, что при наличии вариации плотности 6n(t, г) энергия отдельного плазмона

соk=(ор0 [ 1 + (3/2) k^n-V (£п/М) ],(4)

где соро —ленгмюровская частота, соответствующая невозмущенной плотности плазмы, т. е. постоянный уровень, от которого отсчитывается энергия плазмона. Два следующих слагаемых в этой формуле имеют смысл кинетической и потенциальной энергии плазмона.

Из формулы (3) следует, что в местах провала плотности плазмы 6/г<0 нарастает плотность плазмонов, а следовательно, и высокочастотное давление

®вч=5 вч exD г _ _^15 вч /i _8п

• ехр[ 3(k2>r>Dn6 \ с » \ Зи0 (fe2) г3д j ’ вч

где#9,, — равновесное значение высокочастотного давления. Как уже отмечалось, это и есть причина неустойчивости.

Суммарное давление в плазме складывается из газокинетического и высокочастотного, поэтому

83» = W(J^ г^.(5)

В том случае, когда при увеличении концентрации плазмы суммарное давление растет (б^’/6п>0), возмущения плотности имеют характер звуковых волн, распространяющихся со скоростью <о/^ = ]/(1/Л1) ^^(^п?). Если же б^/бц^О, то звуковые колебания переходят в апериодическую неустойчивость, приводящую к растущей со временем модуляции плотности плазмы и пространственного распределения плазмонов. Условие возникновения неустойчивости имеет вид:

(6)(6)^1п.т>з^ггп.

(6)

(6)

При значительном превышении порога неустойчивости инкремент неустойчивости

диди1fЛГ^ШР V ”ЗЛ4"й^*1fЛГ^ШР V ”ЗЛ4"й^*(7)(7)

ди

ди

1f

ЛГ^ШР V ”ЗЛ4"й^*

1f

ЛГ^ШР V ”ЗЛ4"й^*

(7)

(7)

Наконец, для применимости использованного в проведенном рассмотрении квазистатического распределения плазмонов (3) необходимо, чтобы скорость роста возмущений уД оставалась существенно меньше скорости плазмонов З^ЛоОр. Комбинируя формулы (6) и (7), нетрудно показать, что это условие выполняется для достаточно интенсивного газа плазмонов:

вч

^0 jnQT>m)M.„ :(8)

Основные уравнения и законы сохранения. Простая и в достаточной степени универсальная система уравнений, описывающих модуляционную неустойчивость, была получена В. Е. Захаровым [6] путем усреднения гидродинамических уравнений плазмы по быстрому времени масштаба периода плазменных колебаний 1/(ор. В данной статье рассмотрены в основном колебания плотности заряда в изотропной плазме. В этом случае, вводя в рассмотрение комплексную амплитуду Е(/, г) электрического поля ленгмюровских колебаний Ер:

Ер = Е ^’ г> ехР 1 юр^ + к'с" <> можно записать для Е(/, г) следующее уравнение:

divdiv1 ЭЕ 3.а>„,1Т ТГ + — V д V div Е - ^ 8«е] = 0.1 ЭЕ 3.а>„,1Т ТГ + — V д V div Е - ^ 8«е] = 0.а>,а>,(Ю)(Ю)

div

div

1 ЭЕ 3.а>„,1

Т ТГ + — V д V div Е - ^ 8«е] = 0.

1 ЭЕ 3.а>„,1

Т ТГ + — V д V div Е - ^ 8«е] = 0.

а>,

а>,

(Ю)

(Ю)

ваются уравнением ионно-звуковых колебаний с вынуждающей силой, обусловленной давлением плазмонов:

(д^/д/2- (Те+Л) ММ^Ьп= (1 / 16лМ) А | Е |2,(11)

где |Е|2/16л= ^Ч —давление газа плазмонов. Более подробный вывод системы уравнений (10) и (11), являющейся основной при исследовании сильной ленгмюровской турбулентности, можно найти в статье В. Е. Захарова «Коллапс и самофокусировка ленгмюровских волн», включенной в настоящий сборник.

В отсутствие поля накачки (задача о динамике начального распределения плазмонов) уравнения (10) и (11) имеют интегралы, соответствующие законам сохранения полного числа ленгмюровских квантов, импульса и энергии взаимодействующих колебаний, отсчитанной от уровня (оРо/о:

= 1ЕГ*<12>

Л = у J (Е div Е* - Е* div Е) dr+8« Ором J 8/г -g- dr;(13)

/2 = Зг2ру|4{уЕ|Мг+у-^|£|2^ + + 4TOoMj[(^J-y + ^±b(div|)2]dr,(14)

где | — вектор смещения частиц в низкочастотных колебаниях; ^п/по = —div

Постоянно действующую длинноволновую накачку, инициирующую плазменную турбулентность, естественно ввести с помощью условия'

<Е> = Е0 exp(-iAo)/),(15)

где угловые скобки соответствуют усреднению по объему плазмы; Ео — постоянная во времени амплитуда накачки; Асо — ш—(Оро— расстройка между частотой волны накачки и плазменной. Приведенное условие означает, что в стационарной плазме диссипация энергии длинноволновой накачки в турбулентность компенсируется источником поступающей энергии, например энергии непрерывно падающей на плазму электромагнитной волны. Возможность введения накачки с помощью условия (15) основана на естественном разделении пространственных масштабов в задаче о плазменной турбулентности, инициируемой электромагнитной волной — макроскопического масштаба порядка длины электромагнитной волны 2лс/(о и микроскопического масштаба плазменной турбулентности гп=^т/^р. Более подробно этот вопрос обсуждается в § 4.

При наложении условия (15) сохраняются только интегралы /1, /2, а вместо интеграла /0 получим уравнение, определяющее изменение числа ленгмюровских квантов под действием накачки:

f | Е |2 dr = i Ео exp (i AW) f 8/г Edr -f- к.с. (16)

В квазистационарной турбулентности приток энергии в турбулентность компенсируется затуханием ленгмюровских и звуковых колебаний на частицах. Такое затухание описывается добавлением в левые части уравнений (10) и (11) слагаемых—(l/i)FE, ^^dbnidty Вид декрементов — сложных функционалов функций распределения резонансных с колебаниями частиц — зависит от механизма затухания и рассматривается в § 2, 3.

Система уравнений (10) и (И) описывает, в частности, параметрическое взаимодействие высокочастотных и низкочастотных колебаний, приводящее к исследованному впервые В. Н. Ораевским и Р. 3. Сагдеевым [7] распаду ленгмюровской волны на ленгмюровскую и звуковую. При таком распаде часть энергии исходных ленгмюровских колебаний уносится ионно-звуковой волной, и распад, как обычно в слабой турбулентности, приводит к перекачке ленгмюровской энергии в длинноволновую часть спектра. '

Для достаточно большой интенсивности плазменных волн существен другой эффект, также описываемый уравнениями (10) и (И), а именно рефракция на неоднородностях плотности, созданных низкочастотными движениями плазмы. При глубокой модуляции плотности

6nln0 > Зб2^ (17) плазмоны оказываются запертыми в областях пониженной плотности (кавернах), и дальнейшее вытеснение плазмы из каверны сопровождается коротковолновой перекачкой запертых плазмонов. Оценивая глубину модуляции плотности в образующихся кавернах из баланса давлений 6п^( 1/Г)6 З^4, получаем из (17) условие возникновения модуляционной неустойчивости (6).

При исследовании модуляционной неустойчивости весьма полезной оказалась аналогия с явлением самофокусировки волновых пакетов [см. (11) и (12)] [8, 9].

Самофокусировка возникает при распространении мощного луча лазера в оптически прозрачной среде и связана с нелинейным изменением показателя преломления. В тех случаях, когда показатель преломления N увеличивается с ростом амплитуды, скорость движения волнового фронта c/N в его центральной части меньше, чем на краях. Волна становится сходящейся, и энергия волны фокусируется к центру. Примером среды, в которой возможна самофокусировка, может служить изотропная плазма с показателем преломления N^^ V1—со^/со2. Нелинейное изменение такого показателя преломления обусловлено вытеснением частиц плазмы силой высокочастотного давления. Легко видеть, что показатель преломления увеличивается с ростом амплитуды волны.

Аналогия с модуляционной неустойчивостью очевидна с той лишь разницей, что в модуляционной неустойчивости вследствие отсутствия выделенной системы отсчета каверны зарождаются во всем объеме плазмы, в то время как при самофокусировке затяги- 124

вание волн происходит только в центральной части волнового фронта.

. Коллапс ленгмюровских волн. Основной нелинейный эффект при модуляционной неустойчивости — захват плазмонов в каверны— нельзя описать в рамках слабой турбулентности, т. е. в приближении слабой связи мод. Отсюда происхождение самого термина — сильная плазменная турбулентность. Последовательную теорию сильной турбулентности удалось сформулировать в [10, 11] на основе идеи В. Е. Захарова о коллапсе ленгмюровских волн. В. Е. Захаров построил решение, описывающее динамику каверньг с запертыми в ней плазмонами, причем локализация электрического поля в каверне и вытеснение из нее плазмы сопровождается уменьшением характерного размера каверны одновременно с длиной волны запертых плазмонов:

(18) и как следствие еще большей локализацией ленгмюровской энергии. Тогда рост амплитуды поля в каверне и углубление ямы плотности носят характер взрыва, и в математическом решении за конечное время достигается особенность |6я|->оо, /=0. Это означает, что । схлопывание — коллапс каверны — продолжается до тех пор, пока длины волн запертых в ней плазмонов не достигают малых значений, при которых становится существенной диссипация энергии ленгмюровских волн.

Можно привести высказанные Р. 3. Сагдеевым простые соображения, которые иллюстрируют возможность коллапса при различной геометрии каверн. Эти соображения основаны на соотношении (18), и инварианте /о, примененном к изолированной каверне (постоянство числа запертых в ней плазмонов).

Из последнего условия следует, что при коллапсе высокочастот- - ное давление в центре каверны возраствает обратно пропорционально ее объему: IjEp^l//8 (s=l, 2, 3 — размерность каверны). В то же время для коллапса необходимо преодолеть давление вытесняемой из каверны плазмы 6пТ [как и в формуле (5), высокочастотное давление плазмонов приводит к модуляционной неустойчивости и к углублению ям плотности, в то время как газокинетическое давление играет стабилизирующую роль]. Газокинетическое/ давление при коллапсе изменяется, как 1/12, поэтому в одномерном случае при некотором I обязательно установится баланс давлений, и коллапс прекратится. В этих условиях модуляционная неустойчивость приводит к образованию солитонов —- статических ям плотности с ленгмюровским наполнением [12]. При s = 2 возможность коллапса зависит от начальных условий: если вначале высокочастотное давление превышало газокинетическое, то в дальнейшем процесс коллапса остановить нельзя. Наконец, в трехмерном, случае коллапс представляется неизбежным — каверны с плазмонами схлопываются со все возрастающей скоростью вплоть до достижения малых размеров, при которых становится существенной: диссипация энергии ленгмюровских волн..

Рис. 2. Рассеяние плазмонов на флуктуациях плотностиРис. 2. Рассеяние плазмонов на флуктуациях плотностиСильная ленгмюровская тур-^ булентность. В интенсивном газе плазмонов из-за модуляционной неустойчивости рождается большое число случайным образом ориентированных каверн, находящихся на различной стадии коллапса. Теория сильной ленгмюровской турбулентности, описывающая соответствующее состояние плазмы, включает в себя три основных элемента: возбуждение

Рис. 2. Рассеяние плазмонов на флуктуациях плотности

Рис. 2. Рассеяние плазмонов на флуктуациях плотности

плазменных колебаний накачкой в длинноволновой области источника, простирающейся до масштабов, соответствующих порогу мо- щуляционной неустойчивости (6): ^о^(1/гв) V Wj3ntiT ^W= = | Е|2/8л —- энергия плазменных колебаний), перекачку возникших плазмонов к еще более малым масштабам и их последующее

поглощение.

Диссипация энергии накачки в длинноволновой области источника в значительной степени аналогична стохастическому нагреву [13] и связана с изменением фазы длинноволновых плазмонов, рождающихся из волны накачки, при рассеянии на флуктуациях .плотности в кавернах (рис. 2). Эффективная частота рассеяния

х^эф^^^о / lo^^top^/] пТ

(■Ugo^kor^Dtop — групповая скорость плазмонов Zo^l/^o) определяет скорость диссипации. Коротковолновая перекачка плазменных колебаний осуществляется в результате коллапса каверн с запертыми в них плазмонами. Вместе с тем в неизотермической плазме (Те^>1\) коллапсирующие каверны, в которых энергия плазмонов поглощается при достижении достаточно малых масштабов, являются источником интенсивной слабозатухающей ионно-звуковой турбулентности. Наряду с коллапсом конверсия плазмонов на коротковолновых звуковых колебаниях также обеспечивает перекачку ленгмюровской энергии в области поглощения [11,14]. Последний механизм доминирует при достаточно высоком уровне энергии плазменных колебаний.

Наконец, при очень большой энергии ленгмюровских волн (W^ -—пТ) вообще отпадает необходимость в механизмах коротковолновой перекачки, поскольку в этом случае плазмоны, рождающиеся за счет модуляционной неусточивости из накачки, сразу же попадают в область поглощения — сверхсильная плазменная турбулентность [15].

Возможные механизмы диссипации энергии плазмонов в коротковолновой области — пересечение электронных траекторий в результате собственной нелинейности легмюровских волн и резонансное поглощение таких волн быстрыми электронами плазмы — затухание Ландау. Для реальных параметров ленгмюровской турбулентности основным является затухание Ландау плазменных коле- 126

баний, приводящее к образованию хвостов на электронной функции: распределения. Впервые это обстоятельство было отмечено в работе [4].

Баланс между накачкой энергии при больших масштабах плазменной турбулентности и ее поглощением при малых масштабах в конечном счете приводит к установлению квазистационарного турбулентного состояния. Исследованию основных характеристик: такой квазистационарной плазменной турбулентности и посвящен настоящий обзор.

ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МОДУЛЯЦИОННОЙНЕУСТОЙЧИВОСТИ

Настоящий параграф посвящен линейной теории модуляционной неустойчивости и исследованию динамики отдельной каверны, образующейся на ее нелинейной стадии. Детальное изложение линейной теории можно найти в обзорных статьях К. Мимы, К. Нишика- вы и В. Н. Ораевского, включенных в настоящее издание. Мы же- ограничимся тем, что приведем краткую сводку основных результатов в той формулировке, которая понадобится нам в дальнейшем при построении теории турбулентности.

Дисперсионное уравнение модуляционной неустойчивости. Распад ленгмюровской волны. Рассмотрим устойчивость монохроматической ленгмюровской волны с комплексной амплитудой электрического поля

Е(/, r)=E0 exp (iqr—i6q/), 6q= (3/2)^2г2го)р(19)

относительно возбуждения связанной системы высокочастотных иг низкочастотных возмущений

№№Е = ехр (— i 8q7) {Е+ exp [i (k + q) r — i co/] +

№

№

E„ exp [i (q — k) r -|— i ^]};

bn = (1/2) bn^ exp [i (kr — co/)] -^k.c.

воз- дис-(21)рас-воз- дис-(21)рас-Линеаризуя исходные уравнения (10) и (11) по амплитуде мущений, можно с помощью стандартной процедуры получить персионное уравнение модуляционной неустойчивости:

воз- дис-

(21)

рас-

воз- дис-

(21)

рас-

2 у 2 Т52£20^2 / COS2@+COS20-\

со — к — = — —।।в

М%mMtop \ д+ — сод_ + с» /

Здесь cos 0±=q(q±k)/^|q±k|—углы между направлением

пространения сателлитов и направлением основной волны; 6±= = (3/2) o)pr2D[ (k±q)2—q2^ — расстройка частоты сателлитов относительно частоты основной волны, T=Te+Ti.

Как уже отмечалось во введении, дисперсионное уравнение (21)' должно описывать обычный распад ленгмюровской волны на ленгмюровскую и звуковую. Как известно, при распаде должны выполняться следующие условия:

(о±—о)о = 6±=±(о6; k±—q=±k(22)

12Z

(w$ = kVT[M—частота ион но -звуковой волны), соответствующие законам сохранения энергии и импульса участвующих в распаде квантов волн.

- Без ограничения общности можно считать, что в распаде участвует только Юдин из ленгмюровских сателлитов. Введение второго сателлита, для которого также должны выполняться распадные условия (22), существенно ограничивает фазовый объем участвующих в распаде волн и поэтому не представляет интереса <(в одномерном случае распад с одновременным рождением двух сателлитов вообще невозможен, в двумерном он возможен лишь в точке на плоскости волновых векторов к и .т. д.).

Анализ дисперсионного уравнения (21) показывает, что распад «ленгмюровской волны происходит только с рождением длинноволнового сателлита со-Ссоо, инкремент распадной неустойчивости

(23)(23)Y ^V®^ ^«i^n.J'') cos3 0_,

(23)

(23)

Модифицированный распад. При превышении некоторого порогового значения амплитуды волны накачки

E\^W0T>Vm;MkrDE\^W0T>Vm;MkrD(24)(24)

E\^W0T>Vm;MkrD

E\^W0T>Vm;MkrD

(24)

(24)

Рис. 3. Зависимость инкремента модуляционной неустойчи- ®ости от волнового числа в дозвуковом пределеРис. 3. Зависимость инкремента модуляционной неустойчи- ®ости от волнового числа в дозвуковом пределеше является обязательнымше является обязательным

Рис. 3. Зависимость инкремента модуляционной неустойчи- ®ости от волнового числа в дозвуковом пределе

Рис. 3. Зависимость инкремента модуляционной неустойчи- ®ости от волнового числа в дозвуковом пределе

ше является обязательным

ше является обязательным

инкремент распадной неустойчивости (23) оказывается больше частоты звуковой волны. При этом волна накачки полностью опре

деляет дисперсию низкочастотной ветви. Распад в этих условиях получил название модифицированного. Как будет ясно из дальнейшего анализа, такой распад вполне эквивалентен модуляционной неустойчивости ленгмюровских волн, механизм которой описан

во введении.

Одну из особенностей модифицированного распада можно указать сра- Ьу. При модифицированном распаде первое из распадных условий (22) уже (уширение резонанса в результате не

устойчивости превышает частоту звуковой волны). Вследствие это- то введение второго сателлита вообще не ограничивает фазовый

-объем волн, участвующих в распаде, и возможно одновременное рождение коротковолновой и длинноволновой ленгмюровских ъолн к±.

Обычно при исследовании линейной и нелинейной стадий неустойчивостей, возникающих при модифицированном распаде, выделяют два предельных случая: дозвуковой (характерная фазовая скорость низкочастотных возмущений существенно меньше скоро

сти звука, (о/^^КТ/УИ) и сверхзвуковой.

В дозвуковом пределе решение дисперсионного уравнения (21) не представляет труда, неустойчивость является апериодической (рис. 3).

Для простоты считаем-,что^^>^, когда 6+=5-, в+=0_. Максимум инкремента

Тмакс=<ор (^о/^лмо^) cos26 (25) достигается при ^rD ^:К(^2е/48лп0Г) cos2 6. Таким образом, дозвуковой распад происходит только при достаточно малых амплитудах волны накачки

^о^кп^Т ^ш/М. (26)

В обратном предельном случае модифицированный распад становится сверхзвуковым (|<о| (к^ УТ)Му Именно при этом применим качественный анализ модуляционной неустойчивости, проведенный во введении. Точное же решение дисперсионного уравнения оказывается весьма громоздким, поэтому ограничимся исследованием предельных случаев — коротковолновой и длинноволновой накачки.

Если длина ленгмюровской волны существенно меньше, чем у звукового возмущения (^С^), то инкремент модифицированной распадной неустойчивости линейно растет с к:

Т = (3/2) ®pkqrD (/2/27 q^ - 1), (27)

где k<q<q; q=(l/rD) [(m/M) (Е20/16лп0Т)]^.

Эта формула была получена в [4] при исследовании модуляционной неустойчивости газа плазмонов с длиной волны, существенно меньшей, чем у возмущений плотности. В этой работе впервые был введен термин модуляционная неустойчивость и выяснена физика этой неустойчивости.

Для нас существенно больший интерес представляет длинноволновая накачка ^q<Cky когда модифицированный распад описывается получаемым из (21) биквадратным уравнением для со, решение которого имеет вид:

0)29 £4 4( ( 9 jL4 *V 9 £6 6 m I 3 *4~4 8 V/2 /ЛО\

=К Fd — I I R Fd\к Fd "I Q Fd] e ю2р 8\ \ 8/412x

График y(fe) для этого случая приведен на рис. 4.

При малых к (k<q) так же, как в формуле (27), имеет место линейный рост инкремента с волновым числом. При k>q имеем следующую асимптотическую формулу для инкремента:

22 r£2ocosie m m «о 24/ ЕЧ cos2 0 mх

у2 = <о2п —5k^FD—. (28а)

р[ Шп6Т М М8U44 \ 8тгп0Г М/ J

Максимум инкремента достигается при волновых числах, определяемых соотношением

№mr2D^^/^ уп[Му/ЧЗЕ20/8лп^(29)

максимальное значение инкремента

»—£2°772 h ч2/3 ( m ^n0TVl3 1

Тмакс- p2W м О£2J

1291299-3283

129

129

Рис. 4. Зависимость инкремента модуляционной неустойчивости от волнового числа в сверхзвуковом пределеРис. 4. Зависимость инкремента модуляционной неустойчивости от волнового числа в сверхзвуковом пределечивости, определяемым изчивости, определяемым изПоскольку два последних слагаемых в уравнении (28а) малы, за точкой максимума инкремент выходит примерно на плато, значение инкремента в области плато меньше максимального на малую величину порядка [(т/Л1)Х ХВл/гоТ/^о] V3e Пренебрегая ей, получаем инкремент в области платр

Рис. 4. Зависимость инкремента модуляционной неустойчивости от волнового числа в сверхзвуковом пределе

Рис. 4. Зависимость инкремента модуляционной неустойчивости от волнового числа в сверхзвуковом пределе

чивости, определяемым из

чивости, определяемым из

Y2о^ю2р (т(М) (Е2о/24ллоГ).

Верхняя граница по волновым числам этой области фактически совпадает с порогом возникновения неустой- (28а):

Зй2оГ2р^(Е2о/8лПоТ) cos2 0. (30а)

Отметим, что в области плато инкремент уо и порог неустойчивости согласуются с точностью до множителя порядка единицы с соответствующими величинами, полученными при качественном анализе модуляционной неустойчивости [ср. с (6) и (7), для монохроматической волны и\ — Ей1№тД.

Хотя максимум инкремента приходится на относительно длинноволновые колебания к^кт [см. (29)], основная доля фазового объема возбуждаемых при модуляционной неустойчивости колебаний в реальном, трехмерном, случае соответствует области плато. Инкремент этих колебаний близок к максимальному, и именно эти колебания, длины волн которых определяются соотношением (30а), а инкременты — соотношением (30), играют главную роль в динамике трехмерной плазменной турбулентности.

В заключение подчеркнем следующее. В литературе для неустойчивой ветви колебаний, описываемой дисперсионным уравнением (28) и впервые рассмотренной В. П. Силиным [16], используют различные термины: апериодическая неустойчивость, осциллирующая двухпотоковая неустойчивость. Однако, как следует из проведенного здесь рассмотрения, фактически каждый раз речь идет о модификации все той же модуляционной неустойчивости [4] в пределе длинноволновой накачки.

Параметрическая неустойчивость электромагнитной накачки. Для дальнейшего весьма существенным окажется еще один тип параметрической неустойчивости, описываемой уравнением (21), а именно неустойчивость длинноволновой электромагнитной накачки, которая приводит к рождению ленгмюровских сателлитов.

В этом случае меняется смысл отдельных обозначений в дисперсионном уравнении (21), а именно расстройка б±= (3/2) (k+q)2r2<xdP—с2^2/2соР; 0±— углы между векторами электрического поля сателлитов в электромагнитной накачке. По сравнению с распадом ленгмюровских волн распад электромагнитной волны с частотой, сильно отличающейся от плазменной, может приводить к рождению существенно более коротковолновых плазменных колебаний, для которых ^^п^Е^/^ппоТ.

Теория такого распада детально изложена в статьях К. Мимы, К. Нишика- вы и В. Н. Ораевского из настоящего тома, мы же ограничимся приведением основных результатов.

При малых амплитудах накачки Е20/8лnQT<VmlMkrD рождение плазменных колебаний связано с обычным распадом электромагнитной волны. Возбуждается ленгмюровский сателлит с частотой, меньшей, чем у накачки. Абсолютное значение расстройки весьма мало: |б_ | До р^&гп^ т[М, так что длина волны возбуждаемых при неустойчивости плазменных колебаний определяется соотношением

где соо— частота накачки. Инкремент неустойчивости

._ ( Е^ л.^' У/2

Yd - wp \v64m07’ V М kro)

При больших амплитудах накачки Е2о/8>л.ПоТ^Ут/М hrD имеет место модифицированный распад с одновременным возбуждением двух ленгмюровских сателлитов с волновыми числами k±. Поскольку накачка длинноволновая (#<&), расстройки б± для обоих сателлитов оказываются примерно равными

6^(3/2)^2r2Dtop—c^l^top.

При б<0 распад связан с так называемой периодической неустойчивостью. Неустойчивость возникает в интервале значений б:

( Е2 т \1/з

-»1<5<0; 8, = 2юр-(33)

Максимальный инкремент в этом интервале имеет вид:

Y^c=2,/3»i.(33а)

Если <б>0, то развивается уже упоминавшаяся выше апериодическая неустойчивость. Максимальное значение инкремента для этой ветви

(2)Г±«2Т/3',Q,X

YMaKC — тР [ м кг 5 64лпо7']- 25/3

соответствует значению расстройки б —22/3^i. Однако наибольший фазовый объем неустойчивых колебаний приходится на относительно большие значения расстройки 5Дор^Е2о/8лпо7\ Характерное значение инкремента для этих колебаний

у =5= top V т/№krD.

Зависимость инкремента модифицированного распада электромагнитной волны от расстройки показана на рис. 5.

9*131

Рис. 5. Инкремент модифицированного распада электромагнитной волныРис. 5. Инкремент модифицированного распада электромагнитной волныЛенгмюровский коллапс. Автомодельные решения. Вернемся к рассмотрению модуляционной неустойчивости. На нелинейной стадии модуляция электрического поля накачки в результате неустойчивости приводит к образованию каверн — областей локализации электрического поля с вытесненной из них плазмой. Исследование модуляционной неустойчивости существенно продви

Рис. 5. Инкремент модифицированного распада электромагнитной волны

Рис. 5. Инкремент модифицированного распада электромагнитной волны

нулось в 1972 г., когда, используя уже отмечавшуюся во введении аналогию модуляционной неустойчивости с явлением самофокусировки света, В. Е. Захаров дал строгое доказательство существования коллапса каверн с плазмонами. Это доказательство было получено для дозвукового режима, когда вариация электрического

поля и амплитуда электрического поля в каверне связаны условием баланса давлений:

(35)(35)бп=—|Е|2/16лГ

(35)

(35)

(доказательство см. в статье В. Е. Захарова «Коллапс и самофокусировка ленгмюровских волн», приведенной в этом томе). Сформулируем окончательный результат. Рассматривая сферически-сим- метричные каверны, можно показать, что решение задачи Коши для возмущений с /2<0 существует только конечное время и при некотором /=/0 приводит к образованию особенности электрического поля. Существенно, что условие коллапса /2<0 [см. (14)] по порядку совпадает с условием возникновения модуляционной неустойчивости [соотношение (30а) при 0 = 0].

Динамика коллапса описывается автомодельным решением, впервые полученным в [6]:

expFi К2 С dt/(tQ —г \

£(,'г>—4^—ЧтЫ-<36)

Асимптотика электрического поля при больших ^ — r(Vt0 — t имеет вид S^p-1"21^, так что при больших р поле в каверне, определяемое по формуле (36), не зависит от автомодельного времени:

ЕЕr-l-2iX2r-l-2iX2

Е

Е

r-l-2iX2

r-l-2iX2

Из (35) и (36) следует, что вариация плотности в каверне имеет следующее качественное поведение: в каждой точке г вариация плотности 6п вначале растет со временем, а потом стремится к конечному пределу, тем большему, чем ближе точка г к центру:

5/7^1 /г2.

В трехмерной каверне интеграл /0, определяющий число плазмонов, изменяется со временем какК/в — t . Такая каверна непрерывно теряет плазмоны 132

при коллапсе (каверна не изолирована, интеграл /0 расходится при г-^оо). формально это означает, что к моменту коллапса энергия ленгмюровских колебаний, захваченных в каверну, обратится в нуль. Однако следует учесть, что дозвуковой коллапс происходит с нарастающей скоростью, определяемой получаемым из (25) и (36) соотношением

(37)(37)^макс | //0, /£20/0

(37)

(37)

к Г to — t ~2"ТгУ 12лП07 t0 — f

При выполнении условия

to/(t —t^^m/M) ^лп0Т/£20) скорость коллапса сравнивается со звуковой — коллапс переходит в звуковой режим. К этому времени амплитуда электрического поля в каверне определяется из соотношения

в1Е\ tom

8тп6Т 8кп«Т t, — t М 1w

Интересно, что то же условие перехода в сверхзвуковой режим было получено выше при рассмотрении линейной теории модуляционной неустойчивости [ср. с. (26)].

Динамика сверхзвукового коллапса каверны описывается следующим автомодельным решением:

Е (t г)ехо Гil2 f dt1;

ь^г)^ехР^ Jj te_t ,

(для общности это решение записано в случае s-мерной каверны).

Основные характеристики приведенного решения легко установить по виду исходных уравнений (10) и (11). Как уже отмечалось выше, при коллапсе каверны с плазмонами ее характерный размер изменяется как l/]/|8zz|. Тогда из уравнения (И) имеем, что амплитуда электрического поля в каверне при сверхзвуковом коллапсе нарастает по закону Е—1/(/о—/)•

Закон изменения 6п^ следует из условия постоянства числа плазмонов в каверне |£|2 /S = const. При наличии накачки изменение числа плазмонов в отдельной каверне определяется интегралом (16). Подставляя в правую часть этого интеграла автомодельное решение (39), получаем, что в трехмерной каверне (s = 3) число плазмонов J\E\2dv постоянно с точностью до слагаемых порядка (Zo—ty^.

Таким образом, по мере выхода каверны в автомодельный режим накачка как бы отключается от каверны, и в интересующем нас трехмерном случае решение (39) описывает также автомодельный коллапс каверны при наличии накачки.

Асимптотика электрического поля при больших р, получаемая из уравнения (10): S—ехр(—|А,|р), действительно соответствует отдельной каверне. Асимптотика плотности при р->оо также без труда получается из уравнения (11):

т)^(0)/р2, т. е. 6^(0)/r2, f>0.

Такая положительная вариация плотности образуется в результате вытеснения из каверны плазмы (хвост каверны).

Решение (39) описывает динамику коллапса во времени, пространственная структура каверн при этом остается неопределенной, за исключением некоторых общих пространственных асимптотик, приведенных выше. Для нахождения пространственной структуры необходимо решить систему уравнений для S (р), п(р), следующую из (10), (11). Эта задача осложняется тем, что в сверхзвуковом режиме отсутствуют физически разумные решения такой системы уравнений, обладающие достаточно высокой степенью симметрии, например сферически-симметричные [17].

Можно показать, что наиболее простая геометрия коллапсирующих каверны — двумерная [^, T] = f(x, у)] или трехмерная аксиально-симметричная [^, 'n=KrJ_’z)l- Однако уже в таког! геометрии аналитическое решение задачи об автомодельном коллапсе наталкивается на значительные математические трудности и до сих пор не получено,

В этой связи важное значение приобрели численные решения, описывающие динамику сверхзвукового коллапса [18, 19]. В них показано, что начальные распределения электрического поля и плотности, для которых /2<0, „приводят к формированию коллапсирующей каверны. Рассмотрены дипольные каверны, для которых так называемый высокочастотный заряд р= (1/4л) div Е имеет форму диполя. Для таких каверн в сверхзвуковом режиме (^/ЗлггТ^т/М) исследована динамика перехода к автомодельному решению и установлено, что на конечной стадии коллапса автомодельное решение (39) выполняется с большой степенью точности, так что в настоящее время существование сверхзвукового коллапса является бесспорным.

ПЛАЗМЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

Область источника, эффективная частота столкновений. Рассмотренная в конце предыдущего параграфа каверна с запертыми в ней плазмонами является как бы элементарной ячейкой плазменной турбулентности, осуществляющей коротковолновую перекачку ленгмюровских волн. В плазме с развитой турбулентностью модуляционная неустойчивость приводит к рождению большого числа таких каверн, случайным образом ориентированных в пространстве и находящихся на различных стадиях коллапса.

Аналитическое исследование процесса возникновения турбулентности— крайне сложная задача, и здесь полезным оказалось обращение к численному моделированию, которое пока удалось провести только для одномерной задачи. На рис. 6—8, полученных при численном моделировании одномерной ленгмюровской турбулентности [20], показана динамика возникновения турбулентного состояния под действием длинноволновой накачки с постоянной во времени амплитудой.

На начальной стадии (см. рис. 6) из накачки возникает периодическая решетка каверн-солитонов; период такой решетки совпа- 134

^/Лд^/ЛдООtopi = 3,6-10topi = 3,6-100,10,1ОО7,57,5Рис. 7/Турбулизация пространственной структуры электрического поля и вариации плотности при развитии модуляционной неустойчивостиРис. 7/Турбулизация пространственной структуры электрического поля и вариации плотности при развитии модуляционной неустойчивости

^/Лд

^/Лд

О

О

topi = 3,6-10

topi = 3,6-10

0,1

0,1

О

О

7,5

7,5

Рис. 7/Турбулизация пространственной структуры электрического поля и вариации плотности при развитии модуляционной неустойчивости

Рис. 7/Турбулизация пространственной структуры электрического поля и вариации плотности при развитии модуляционной неустойчивости

Рис, 6. Начальная стадия модуляционной неустойчивости в численном моде-лировании одномерной ленгмюровской турбулентности, образование перио-дической решетки солитонов

-0,25 -

if 17^7/^?

(7,2

Рис. 8. Характерное распределение электрического поля и вариации плотности в состоянии развитой турбулентности

дает с длиной волны наиболее неустойчивой моды. В дальнейшем коротковолновая перекачка локализованной в солитонах ленгмюровской энергии, обусловленная коллапсом солитонов под действием накачки и их взаимодействия между собой (подробнее см. [20]), и включение затухания Ландау приводят к разрушению решетки. С течением времени картина становится все более турбулентной (см. рис. 7 и 8), в конечном счете ленгмюровская энергия оказывается локализованной в большом числе случайно расположенных солитонов различной амплитуды; наряду с солитонами на графиках idn(х) присутствует коротковолновая модуляция, соответствующая звуковым волнам, излученным из коллапсирующих каверн-солитонов.

При анализе развитой турбулентности удобно от координатных представлений (рис. 8) перейти к спектральным, определяющим распределение энергии ленгмюровской и низкочастотной турбулентности по масштабам:

(40)(40)lFk —_|— Je(^» г) exp(i kr)dr^ = -^£•1 J^2)exp (i kr)dr

(40)

(40)

В плазме без магнитного поля турбулентность в достаточно малых масштабах изотропна: U^k, ^sk=f(^)’ изотропия обеспечивает

ся случайной ориентацией каверн.

Следуя общим представлениям,* изложенным в уже упоминав

шейся статье В. Е. Захарова, в спектре ленгмюровской турбулент

Рис. 9. Спектр плазменных волн и функция распределения резонансных частиц для сильной ленгмюровской турбулентностиРис. 9. Спектр плазменных волн и функция распределения резонансных частиц для сильной ленгмюровской турбулентностиности выделим три области (рис. 9): / — длинноволновая область, в которой производится накачка энергии в турбулентность (область источника); каверны с плазмонами 'первоначально возникают в области источника; II — инерционный интервал, разделяющий область ис- гочцика и коротковолновую область поглощения; перекачка ленгмюровской энергии через инерционный ин-

Рис. 9. Спектр плазменных волн и функция распределения резонансных частиц для сильной ленгмюровской турбулентности

Рис. 9. Спектр плазменных волн и функция распределения резонансных частиц для сильной ленгмюровской турбулентности

тервал осуществляется за счет коллапса каверн; III — коротковолновая область, в которой становится существенной диссипация энергии плазменных волн. Ниже спектры

турбулентности определяются во всех трех интервалах.

Так же, как и в гидродинамической турбулентности, описание области источника оказывается наиболее сложным. В этом пункте изложены модельные представления о плазменной турбулентности в области источника, развитые первоначально в работе [И]. Основным для излагаемой модели является предположение о том, что

длинноволновые плазменные колебания, рождающиеся из волны накачки, стохастически изменяют свою фазу при рассеянии на флуктуациях плотности, созданных случайным образом расположенными кавернами. Для электрического поля и вариаций плотности в длинноволновой области источника можно использовать следующие фурье-разложения;

1

(41)(41)Е (Л г) — Ео + S Ек (0 exp [i (кг — 8kt) — i Фк (01; к

(41)

(41)

т" - 21к ехр ^к|) К‘с'к;

Здесь и далее, за исключением § 4, рассматривается случай, когда частота накачки совпадает с плазменной й=0; §к=(3/2)Х Х&2г2л<ор— дисперсионная добавка к частоте плазмона; Фк (/)— случайная фаза, которая в соответствии со сделанным выше замечанием удовлетворяет корреляционным условиям:

ехр 0Фк) = О; exp |i Фк (0 — Фк, (/')] = 6Кк' ехР (~ vkoP I ^ — ^ I) (42)

(черта соответствует усреднению по ансамблю случайных значений фазы). Характерное время размешивания фаз в формуле (42) определяется частотой рассеяния длинноволновых плазмонов на флуктуациях плотности, созданных кавернами. Таким образом, vKop—’Vg/k, где 'Ug^k^Dtop — групповая скорость плазмона (&о— характерное значение волнового числа в области источника); /0— расстояние между рассеивающими кавернами. Очевидно, что 1^ ^1/йо (см. рис. 2), и окончательно имеем для vKOp приближенную формулу

V кор^й) р&2 оГ2 D-(43)

Коэффициенты фурье-разложения электрического поля определяются из исходного уравнения (10):

\t

Ek (0 = - J dt’ Ьк E. exp[i Фк (f) + i 8кГ]+

H“ З^Е^^ exp [i (8k — 8k_k,)^'-|-i Фк (£') — i Фк_к? (f)]}. (44) k'

Наша основная цель состоит в нахождении эффективной частоты столкновений Vэф, определяющей скорость роста энергии в ленгмюровской турбулентности под действием волны накачки. Для энергии ленгмюровских колебаний имеем интеграл (16). Подставляя в правую часть этого интеграла фурье-разложения для электрического поля (41) с амплитудами (44) и проводя усреднение

137

по случайным фазам плазмонов, приходим к следующему уравнению:

Физическая причина возникновения диссипации — стохастическое размешивание фаз длинноволновых плазмонов. Ее механизм аналогичен стохастическому нагреву частиц ВЧ-полем [13].

Уравнение для фурье-амплитуд вариаций плотности можно получить из исходного уравнения (11). Перейдем в этом уравнении к ^-представлению, используем фурье-разложения для электрического поля и процедуру усреднения по случайным фазам плазмонов. Предположив, что характерное время изменения фурье-амплитуд т]^, Е^ велико по сравнению с корреляционным временем 1/vkop, получим следующее простое уравнение для ц^:

d2^ __^toPX [ ^2q cos2ф0

"^r + ^k ~"16^Й2(dk + ivKO7J +

^kk' $k'' Vk0-d^kk' $k'' Vk0-dcos2 фcos2 ф(46)(46)

^kk' $k'' Vk0-d

^kk' $k'' Vk0-d

cos2 ф

cos2 ф

(46)

(46)

где Фо — угол между векторами к и Ео; Ф — угол между к' и к—к'.

В пренебрежении последним слагаемым в правой части уравнение (46) переходит в дисперсионное уравнение модуляционной неустойчивости длинноволновой (^->0) накачки, модифицированное с учетом стохастического изменения фаз плазмонов [ср. с (21)]. Последнее слагаемое в (46) соответствует тому очевидному обстоятельству, что вся длинноволновая часть спектра плазменных колебаний может выполнять роль накачки, амплитуда которой модулируется в результате неустойчивости. Ниже показано, что основной вклад в энергию плазменной турбулентности связан с длинноволновой областью источника, причем энергия турбулентности W существенно превышает энергию волны накачки Е20/8л. Тогда в уравнении (46) можно пренебречь слагаемым, пропорциональным амплитуде накачки Ео. Определяемые из этого уравнения характерные значения длины волны неустойчивых колебаний и инкремента амплитуды возмущений соответствуют формулам линейной теории (30) и (30а) с очевидной заменой £2o/^->4F:

(4?)

В квазистационарном состоянии турбулентности уравнение (46) можно также использовать для нахождения спектра ленгмюровских волн в области источника.

Предположим, что выполняется условие vKop/6<1, это существенно упрощает математические выкладки, качественно не изменяя физической картины. По 138

той же причине ограничимся рассмотрением одномерной модели. Тогда интегральное уравнение для определения ленгмюровского спектра |£\|2, получаемое из (46) При d^k/dt—O, приобретает вид:

макс । £Lt |2

к (k — W^ г2к (k — W^ г2— dk' = 24к2ц0Г.(48)

к (k — W^ г2

к (k — W^ г2

D

^макс

С помощью подстановки

\Ек |^=96л3По^максГ21)(р(^)

это уравнение сводится к известному уравнению профиля крыла самолета [21]:

(49>

где использованы безразмерные переменные к' (к^акс-У; kftk^^c—^ (здесь ^макс — верхняя граница спектра ленгмюровских колебаний). Решая уравнение (49) с очевидным граничным условием ф(х=1/2)=0, получаем следующую формулу для спектральной плотности энергии ленгмюровских колебаний в длинноволновой области:

|£^2 = 96Н0П’максГ2В^/2^(50)

где

1

^^^макс! У —интеграл в смысле главного значения).

Фактически формула (50) становится неприменимой уже при меньших к "^ *^к0> когда существенна коротковолновая перекачка ленгмюровских волн, обусловленная коллапсом, т. е. эффект, выходящий за рамки уравнения (46). Значения к*^ ко соответствуют инерционному интервалу, спектр при таких к рассматривается в следующем параграфе.

Остановимся на интегральных характеристиках квазистацио- нарной ленгмюровской турбулентности. Амплитуду длинноволновых флуктуаций плотности можно оценить из условия захвата плазмонов в потенциальные ямы:

~ W[n0T-(51)

Уравнение (45) для энергии плазменных колебаний с помощью соотношений (43) и (51) записывается в следующей форме:

dWldl=^E2oj8^(52)

где введена эффективная частота столкновений

Vэф^a(Op W (ПоТ.(53)

Числовой коэффициент а нельзя определить, используя изложенные здесь качественные соображения. Моделирование ленгмюровской турбулентности на ЭВМ [23] подтверждает справедливость

139

Рис. 10. Зависимость энергии плазменных колебаний от амплитуды электрического поля накачкиРис. 10. Зависимость энергии плазменных колебаний от амплитуды электрического поля накачкиуравнений (52) и (53), при этом параметр а оказывается медленно меняющейся функцией W и изменяется от а^1 при WlnT^m[M до а^0,5 при W)nT^0,\.

Рис. 10. Зависимость энергии плазменных колебаний от амплитуды электрического поля накачки

Рис. 10. Зависимость энергии плазменных колебаний от амплитуды электрического поля накачки

Знание эффективной частоты столкновений позволяет определить энергию плазменных колебаний как функцию амплитуды волны накачки. При этом исходим из условия энергетического баланса; вся энергия, поглощаемая из волны накачки, локализуется в кавернах и передается коллапсирующими кавернами волнам с малой длиной, для которых существенна диссипация.

Характерное время возникновения каверн в длинноволновой области определяется инкрементом неустойчивости (47), поток энергии, переносимый коллапсирующими кавернами, равен уо^, а условие энергетического баланса имеет вид:

v9$£20/8n = y0U7. (54)

Отсюда получаем искомое соотношение:

WlnQT^<M/m^4E^I^Ty. (55)

График зависимости И7(£20) приведен на рис. 10. Зависимость W(£40), следующая из (55), имеет место только при W^noT, зависимость W(Е2) при больших амплитудах накачки рассматривается в следующем параграфе.

Инерционный интервал и область поглощения, сверхсильная турбулентность. Из зависимости (55) следует, что при не слишком больших амплитудах волны накачки

E\IW6T

энергия плазменных колебаний остается намного меньше тепловой: W<C^o£. В этом случае между областью источника ^о^(1/гр)Х Х^^/^о^) и областью поглощения к-—\/rD находится инерционный интервал. Коротковолновая перекачка ленгмюровской энергии в пределах инерционного интервала осуществляется в результате коллапса каверн с запертыми в них плазмонами. Спектр плазменной турбулентности в этой промежуточной области, как обычно, находится с помощью гипотезы Колмогорова о постоянстве потока энергии:

N (k)dkfdt(k) =const. (56)

Здесь N^k)dk — число каверн с характерными обратными масштабами (к, k-^dky а зависимость времени перекачки энергии от больших масштабов по спектру турбулентности к меньшим Цк) определяется временем коллапса каверн в указанном интервале. Для 140

определения времени коллапса можно воспользоваться автомодельным решением, которое, как показано в § 1, остается асимптотически точным и в том случае, когда коллапс трехмерной каверны происходит на фоне постоянно действующей длинноволновой накачки. Из этого решения имеем

dt/t^-dV^/ky^A. (57)

Поскольку в квазистационарной турбулентности все каверны в области источника образуются примерно с одним и тем же содержанием энергии, которая сохраняется в процессе коллапса, спектральная плотность энергии ленгмюровских колебаний пропорциональна числу каверн в данном интервале масштабов турбулентности, что и позволяет определить ленгмюровский спектр в пределах инерционной области:

Whdk^N^k^dk/k™. (58)

Обратимся теперь к вопросу о механизмах диссипации энергии ленгмюровских колебаний в коротковолновой области. Диссипация может быть связана или с резонансным поглощением на электронах плазмы (затухание Ландау), или с собственной нелинейностью ленгмюровских колебаний, приводящей к пересечению электронных траекторий. Так как при коллапсе перекачка плазмонов происходит от длинноволновых колебаний к коротковолновым, резонансное поглощение в первую очередь должно включаться для так называемых хвостовых электронов со скоростями, заметно превышающими тепловую. В результате в области поглощения параметр kr^vrlv^ остается малым, что позволило авторам работы [3] уже на начальной стадии исследования сильной ленгмюровской турбулентности считать затухание Ландау основным механизмом диссипации энергии коротковолновых плазмонов. В дальнейшем детальный анализ, основанный на автомодельном решении (39), в целом подтвердил эту точку зрения.

Остановимся подробнее на возможной роли различных механизмов диссипации. Собственная нелинейность ленгмюровских колебаний характеризуется возникновением нелинейной поправки к частоте

Д(о^й)р^2г2Е (59)

^FE—eEfm^p — амплитуда высокочастотного смещения электронов). Нелинейность существенна, если нелинейная поправка превышает дисперсионную:

г2е^гЧ т. е. £2/8лпГ>1. (60)

Следует также иметь в виду, что формула (59) приведена для изотропных плазменных колебаний, когда нелинейность особенно существенна. В обратном предельном случае одномерного спектра нелинейная поправка к частоте плазмона (59) вообще отсутствует и роль собственной нелинейности пренебрежимо мала.

Как показало численное моделирование ленгмюровского коллапса [19], образующаяся в процессе коллапса дипольная кавер-

141

на сильно анизотропна (02—к^кЧ—0,1, z— ось диполя). Спектр плазмонов в такой каверне близок к одномерному, за счет чего в формуле для нелинейной поправки к частоте появляется малый множитель, пропорциональный 04, а порог возникновения электронной нелинейности существенно возрастает:

£2/8ллТ>1/04.(60а)

В то же время характерное значение волнового числа, при котором становится существенным резонансное поглощение плазмонов частицами, можно найти из условия энергетического баланса в коротковолновой области: поток энергии по спектру, определяемый условием (54), при малых длинах волн должен компенсироваться затуханием Ландау:

уо^Г^^.(61)

В этом уравнении 1\*— декремент затухания Ландау; W'^ ^W^^k^k^y^ — энергия коротковолновых ^к*^ к*) плазменных колебаний, определенная с помощью спектрального распределения (58). Из (61) имеем:

Г6. Юр (zn/M)i/2 WlWyi* ^*rD^ .-(62)

Поглощение плазмонов частицами приводит к ускорению резонансных частиц и смещению области поглощения к малым к. Если даже пренебречь этим эффектом и считать функцию распределения резонансных электронов максвелловской, что соответствует

Гд. = <о l/"-^-exp (—3/2)—5-5-exp f(63) рГ 84*3r3D 2k*VDJ v 7

то и в этом случае характерное значение параметра k*rD в области поглощения окажется достаточно малым:

191 Г 1 । М 4/ W 1

k*VD —^2п[~ |/ — у(63а)

т. е. fc*VD^ 1/10-4-1/12.

Связь между амплитудой электрического поля в коллапсирующей каверне и характерным волновым числом запертого в ней плазмона определяется автомодельным решением (39). В трехмерной каверне коллапс является сверхзвуковым, так что коротковолновая перекачка плазмонов происходит медленнее, чем рост поля:

(64) nJ Vo—ч nJ \ 8л®7 )

При достижении порога (60), соответствующего возникновению электронной нелинейности, параметр ^^D-^tWInyTy^, а с учетом анизотропии спектра в коллапсирующей каверне

кЧ^ (1/@8/з) (w/n0T) Уз.

При WlnvT>mlM это значение &2г2р заведомо лежит выше границы области поглощения A*2r2D, определяемой соотношением (63а). В этих условиях резонансное взаимодействие плазменных колебаний с электронами является доминирующим механизмом диссипации энергии ленгмюровских колебаний в коротковолновой области.

Спектр плазменных колебаний в этой области следует находить совместно со спектром резонансных частиц. Соответствующая система уравнений состоит из квазилинейного уравнения для электронной функции распределения и уравнения для спектральной плотности энергии ленгмюровских волн, в котором учтены спектральный перенос энергии, обусловленный коллапсом, и резонансное поглощение колебаний электронами. В предположении об изотропии спектров волн и частиц эти уравнения приобретают следующий вид:

dt т> и2 du и J &3 dudt т> и2 du и J &3 du(65)(65)

dt т> и2 du и J &3 du

dt т> и2 du и J &3 du

(65)

(65)

dti^/d^d/dti) ^kdk/dt^ =—2IWh, (66) где Гь= (4лМй)2Р//п^3)/((др/^) —декремент резонансного поглощения. Приведенная система уравнений имеет решение с постоянным потоком резонансных частиц в область больших скоростей. Из (65) следует, что поток частиц определяется интегралом

^ = m2y J й3 Wk dv •V°^ = m2y J й3 Wk dv •V°(67)(67)

^ = m2y J й3 Wk dv •

V°

^ = m2y J й3 Wk dv •

V°

(67)

(67)

В рассматриваемом решении df/d/=O, d^/du = 0 в интервале скоростей и^ ^имакс(0> где УМакс(0—верхняя граница хвоста спектра скоростей резонансных частиц (см. рис. 9). Спектр плазмонов также стационарен, dWk/dt=0. Тогда из уравнения (66) в предположении, что и в области поглощения коллапс каверн остается автомодельным, получаем

1\^т-1(&), т=/о—t,

что соответствует функции распределения резонансных электронов /(и)-1/иЧ(1/и).(68)

Спектр плазмонов, определяемый из условия OSf /ди=0, имеет вид:

(69)

В первоначальном варианте теории сильной ленгмюровской турбулентности [10, 11] использовалось предположение о том, что закон коллапса каверн в коротковолновой области поглощения остается таким же, как и внутри инерционного интервала. Недавно Пеллейтеру [23] удалось более корректно рассмотреть этот вопрос. Ниже изложены результаты его работы.

Напомним, что закон роста электрического поля в центре коллапсирующей со сверхзвуковой скоростью каверны получается из

143

уравнения (11) для медленных вариаций плотности и поэтому остается неизменным при включении поглощения ленгмюровских колебаний:

^макс/^Т 1 ('&)

[ср. с (39)].

В то же время электрическое поле в центре каверны можно представить следующим образом:

маке /з j \ ^/''

где Sk — энергия в каверне с характерным размером 1^\!к. Очевидно, что Wk^Nk^k» Nk — плотность каверн в ^-пространстве. По-видимому, и в области поглощения должна быть верна гипотеза о постоянстве потока каверн по спектру, хотя каждая каверна при коллапсе в этой области теряет энергию за счет затухания Ландау плазменных колебаний. Поэтому

Nk-^WIk

[ср. с (56)], и из (70) следует, что

Сравнив этот результат с соотношением (69), получим закон коллапса каверны в области поглощения:

к^гЧ^, а также следующие спектральные распределения для плазменных волн и резонансных электронов в этой области:

117^1/^7/2. /(v)^l/v7/2.(71)

Интересные особенности имеет плазменная турбулентность при больших значениях параметра WJn^T, когда колебания, возникающие в области источника из-за модуляционной неустойчивости, имеют длины волн, для которых существенно поглощение и отпадает необходимость в коротковолновой перекачке колебаний, обусловленной коллапсом. Турбулентность в этих условиях естественно назвать сверхсильной [15]. В этом случае плазменные колебания, возникающие в области источника с характерными длинами волн, которые определяются соотношением (47), с ростом параметра Wln0T смещаются к еще меньшим значениям длин волн, что приводит к быстрому увеличению числа резонансных частиц. Именно этим объясняется существенное возрастание числа ускоренных электронов в экспериментах с плазменной мишенью при переходе от неодимового лазера к лазеру на СО2, т. е. при уменьшении на два порядка критической плотности п^ [24].

В спектральном распределении сверхсильной плазменной турбулентности отсутствует характерный участок степенного спектра, соответствующего инерционному интервалу, а спектральный закон (50), полученный для области источника, простирается до верхней границы волновых чисел &Макс. Из уравнения энергетического 144

баланса

(72) к

следует, что условие применимости спектрального распределения (50)Гк<$:§к, v3$ выполняется при всех W^E^j&x. Уравнение (72) можно использовать для нахождения зависимости W (E2q) при больших накачках. Будем считать, что при больших накачках область локализации плазменных колебаний настолько узкая, что резонансные частицы успевают покинуть ее раньше, чем произойдет существенная деформация их функции распределения. Соответствующее условие имеет вид:

А гсор/и < п^ти 2/W,

где Аг — толщина турбулентного слоя; гл—(3-^-4) vT— характерная скорость резонансных частиц. При выполнении этого условия функция распределения резонансных частиц остается максвелловской, а декремент 1\ определяется уравнением (63). Подставляя в (72) W^ из (50) и проводя интегрирование по &, получаем зависимость W (Е2о) в сверхсильной турбулентности для одномерной модели:

0,34 К WfnJ exp (- nJ 11,4U7) = aE\ISwiJ, (73) соответствующую насыщению зависимости энергии плазменных колебаний от амплитуды накачки при Аммане М> 7^0,3.

В заключение отметим, что все проанализированные в обзоре особенности ленгмюровского спектра наблюдались и в численном моделировании одномерной ленгмюровской турбулентности [20].

10—328310—3283Рис. 11. Спектр плазменных колебаний, полученных при численном моделировании одномерной ленгмюровской турбулентности для относительно небольших амплитуд накачки, когда 1Г/ло7<С1:л —номер гармоникиРис. 11. Спектр плазменных колебаний, полученных при численном моделировании одномерной ленгмюровской турбулентности для относительно небольших амплитуд накачки, когда 1Г/ло7<С1:л —номер гармоники145145

10—3283

10—3283

Рис. 11. Спектр плазменных колебаний, полученных при численном моделировании одномерной ленгмюровской турбулентности для относительно небольших амплитуд накачки, когда 1Г/ло7<С1:

л —номер гармоники

Рис. 11. Спектр плазменных колебаний, полученных при численном моделировании одномерной ленгмюровской турбулентности для относительно небольших амплитуд накачки, когда 1Г/ло7<С1:

л —номер гармоники

145

145

На рис. 11 показан полученный при численном моделировании ленгмюровский спектр. В спектре четко прослеживаются три участка — область источника с приблизительно равномерным распределением энергии по гармоникам, инерционный интервал со степенным спектром и, наконец, коротковолновая область, где спектральная плотность убывает по экспоненте. В одномерной модели аналитический спектр в инерционном интервале имеет вид W\~l/&3/2, эту зависимость легко получить из условия Колмогорова (56) и закона автомодельного коллапса (39) с s=l. Соответствующая аналитическая зависимость показана на рис. 11 пунктиром, она близка по форме к зависимости, наблюдавшейся в численном эксперименте.

Экспоненциальный характер спектра в области поглощения объясняется тем, что численное моделирование проводилось при заданной (максвелловской) функции распределения резонансных электронов. В этом случае вследствие быстрого

Рис. 12. Спектр плазменных колебаний при больших амплитудах накачки, когда W/п^Т ~ 1, в спектре исчезает инерционный интервал со степенной зависимостью Wh от к

роста декремента 1\ с волновым числом все каверны-солитоны, достигшие области поглощения, имеют примерно один и тот же размер. Ленгмюровский спектр, возникающий в результате спектрального разложения таких одномерных солитонов, при к>к* действительно оказывается экспоненциальным: ^ехр (—к,к*^ [12].

В численном моделировании удалось также проследить эволюцию ленгмюровского спектра при переходе к большим накачкам. Типичный спектр ленгмюровской турбулентности, полученный при больших уровнях W, показан на рис. 12.

В спектральном распределении исчезает инерционный интервал, спектр характерен для ^же описанной выше сверхсильной турбулентности, когда область источника, соответствующая равномерному распределению энергии по гармоникам, доходит до длин волн, при которых становится существенным поглощение плазменных колебаний.

НАКОПЛЕНИЕ КОРОТКОВОЛНОВОГО ЗВУКА И ЕГО ВЛИЯНИЕ НА ПЛАЗМЕННУЮ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

Выше мы пренебрегли одной важной особенностью коллапса ленгмюровских волн. При достижении каверной с запертыми в ней плазмонами достаточно малых размеров, при которых начинается поглощение плазменных волн, происходит нарушение равновесия между высокочастотным и газокинетическим давлениями. Высокочастотное давление резко падает, и избыточная вариация плотности «сбрасывается» в виде излучаемых из каверн звуковых волн. В изотермической плазме (Те=Л) коротковолновые звуковые колебания быстро затухают в результате взаимодействия с резонансными ионами, и эффект излучения звуковых волн не

Рис. 13. Спектр звуковых колебаний, полученный при численном моделировании одномерной ленгмюровской турбулентности в неизотермической плазме с медленным затуханием звуковых волн: спектр имеет максимум при волновых числах, соответствующих интервалу поглощения

существен. В неизотермической плазме (Те)>Т,), когда возможно только медленное затухание звуковых волн на электронах, непрерывное рождение звуковых пульсаций в коллапсирующих кавернах приводит к накоплению коротковолновой звуковой турбулентности—накачка энергии в такую турбулентность происходит с характерным инкрементом модуляционной неустойчивости, а затухание на резонансных электронах существенно более медленно.

Накопление коротковолнового звука иллюстрируется рис. 13. Спектр, приведенный на рис. 13, получен для той же амплитуды накачки, что и ленгмюровский спектр, показанный на рис. 12. Видно, что спектр звуковых колебаний имеет максимум при малых длинах волн, для которых существенно поглощение плазменных волн электронами.

Обратимся теперь к количественной стороне явления [11]» В отдельной коллапсирующей каверне доля энергии плазменных 10* 147

волн, которая трансформируется в низкочастотное движение (кинетическую энергию колебаний ионов), мала в отношении к^г^в*.

«7 =2^ f (-^-Гйг^Л! Г /2 — ^dr^2 J / J"

~=-^j‘-4riEi’-,r»6*^-<74>

{Мы воспользовались соотношением ^п]п^=—div| и уравнением (11) для Ьп, где учли, что коллапс каверны происходит в сверхзвуковом режиме.]

Учитывая (74), имеем, что поток энергии в коротковолновую звуковую турбулентность, создаваемый коллапсом каверны, равен YoTO*2r2D. Этот поток должен компенсироваться в результате затухания коротковолновых звуковых колебаний на электронах; соответствующее условие баланса имеет вид:

^k*^D^sWs.(75)

Здесь ys^ojs У mlM=^P (mlM)k^rD— декремент поглощения зву- П»Т V

ковых волн электронами; Ws —V—^энергия этих волн.

к

Определяемый из уравнения (75) уровень коротковолновых звуковых пульсаций весьма высок:

y2^1„2^V'Z|/^6-ro.(76)

о \ п.Т ) V тп dv 7

k

Наличие интенсивных коротковолновых звуковых колебаний приводит к стабилизации коллапса. Этот эффект связан с возникновением дополнительного канала коротковолновой перекачки плазмонов в результате их прямой конверсии на звуковых пульсациях.

Если звуковая турбулентность является изотропной и слабой в общепринятом смысле:

кк1Ч£П2о1Ч£П2о^fD.^fD.

к

к

1Ч£

П2о

1Ч£

П2о

^fD.

^fD.

то характерный инкремент, определяющий скорость конверсии, Тконв 18 L п\ ^^ >(

гдеГк —декремейт резонансного поглощения коротковолновых плазмонов, характерное его значение определяется из соотношения (62).

Анализ динамики ленгмюровского коллапса при учете конверсии плазмонов, проведенный в [11], показывает, что стабилизация 148

коллапса происходит тогда, когда инкремент коротковолновой перекачки плазмонов, обусловленной конверсией, превышает инкремент модуляционной неустойчивости. Действительно, при учете конверсии энергия длинноволновых плазмонов затухает по закону |£|2^ехр (—2уКонвО- Тогда с помощью уравнения (10) нетрудно показать, что яма плотности, создаваемая высокочастотным давлением, при условии уконв^Уо оказывается недостаточно глубокой для захвата плазмонов и создания коллапсирующей каверны:

16^ | Мо^^2о^2ву2о/у2конв<^%Г2Р.

Поэтому в неизотермической плазме с Te^>Ti проведенный выше анализ ленгмюровской турбулентности (в пренебрежении эффектом конверсии) применим при относительно небольших уровнях энергии ленгмюровских волн W, когда определяемая из соотношения (76) интенсивность коротковолновых звуковых пульсаций соответствует условию уо>уКонв. Условие для U7 имеет вид:

W^Wn^nJ ^\т^^(78)

и выполняется при амплитудах накачки, удовлетворяющих неравенству

W8jK(n0T/a) ^mlM^k*rD.(78а)

При больших накачках коротковолновые звуковые колебания существенно влияют на динамику ленгмюровской турбулентности. Полная стабилизация коллапса при этом произойти не может, так как именно в коллапсирующих кавернах рождаются коротковолновые звуковые колебания. В результате устанавливается режим, в котором энергия звуковых пульсаций поддерживается на уровне, определяемом из порогового условия уКОНв=уо:

2 l8”k|W. ~ 18 №.Tf14 к* Ч^.(79)

к

Условие слабости коротковолновой звуковой турбулентности

к совпадает с условием существования инерционного интервала ко<к*.

При 1Г>№пор конверсия на коротковолновых звуковых колебаниях является основным механизмом перекачки плазмонов из области источника k^k^ в область поглощения k^k*. Энергия коротковолновых плазменных колебаний, создаваемых конверсией

при учете (79) оказывается той же, что и в режиме малых W (режим коллапса):

W'^W^/k*^(80)

с той лишь разницей, что в результате конверсии колебания попадают в коротковолновую область непосредственно из области источника, минуя инерционный интервал. Сам же коллапс как механизм коротковолновой перекачки плазмонов через инерционный интервал разрешен только в той степени, какая необходима для поддержания энергии звуковых пульсаций на уровне, задаваемом соотношением (79). В этих условиях уравнение баланса (75) определяет ту часть потока плазмонов в коротковолновую область, которая переносится коллапсирующими кавернами:

I=^pW^mlMy^ ^*г^ ^ (по? !^у!\(81)

Поскольку скорость коллапса отдельной каверны в длинноволновых масштабах по-прежнему определяется инкрементом модуляционной неустойчивости у0> этот поток можно представить в виде уо^кав, где №Кав — энергия длинноволновых плазмонов, запертых в коллапсирующих кавернах. Из уравнения (81) тогда имеем

^кав^Г^Г^пор,(82)

т. е. в режиме развитой конверсии М^Т^пор только малая часть плазмонов захватывается в кавернах.

Накопление коротковолновых звуковых колебаний и конверсия на них плазменных колебаний приводят также к изменению эффективной частоты столкновений Vэф. Такое изменение связано с двумя различными механизмами. Прежде всего согласно изложенной в § 2 модели значение Vэф определяется уровнем длинноволновых флуктуаций плотности, и, следовательно, в формулу (53) входит только та часть энергии плазмонов, которая заперта в кавернах и приводит к модуляции плотности, т. е. И7кав. Кроме того, конверсия накачки на коротковолновых звуковых колебаниях создает новый канал диссипации энергии, и втЭф появляется новое слагаемое, равное уКонв. Таким образом, окончательно получим следующую приближенную формулу для Vэф в режиме развитой конверсии:

^УМ ( т W yiaуэф^:а<Ор+ юр(^.(83)

^Зф /^р^Зф / (Dp

j . *2 2 ,

Еq (Sat HqTE0(89tn0T

Рис. 14. Эффективная частота столкновений как функция амплитуды накачки при Те = 1\ (а) и при Те^Тг, когда существенна конверсия (б)

Здесь мы рассматриваем не слишком большие значения W: W /n0T<k*2r*D, когда существует инерционный интервал. В этом случае последнее слагаемое в формуле для Vэф мало, и им можно пренебречь. Тогда, используя условие баланса (54), которое при этом означает, что диссипация энергии волны накачки компенсируется коротковолновой перекачкой плазмонов, обусловленной конверсией, придем к окончательным формулам, определяющим зависимость от амплитуды накачки энергии плазменных колебаний и эффективной частоты столкновений в неизотермической плазме с конверсией:

W/nJ % [9« (fe*rD)3/2 Е^/ 8tw07]4/5 ; 1

/"m ( ВЧ ( (84) V лГ (^rD)3/2J6/5 ( %шйТ ) ' J

На рис. 14 показана зависимость эффективной частоты столкновений от амплитуды накачки. Видно, что конверсия существенно уменьшает эффективную частоту столкновений, величина которой в этом случае не превышает ионную плазменную частоту.

ПЛАЗМЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ, ИНИЦИИРУЕМАЯ ВОЛНОЙ НАКАЧКИ С ЧАСТОТОЙ, ОТЛИЧНОЙ ОТ ПЛАЗМЕННОЙ.

ПЛАЗМЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ОКРЕСТНОСТИ РЕЗОНАНСА

<о^2о)р

До сих пор мы исследовали случай резонанса, когда частота накачки, создающей турбулентность, совпадает с плазменной Q= =0. Для многих приложений, в первую очередь для лазерного термоядерного синтеза, необходимо рассматривать динамику плазменной турбулентности при iQ^ 0.

В этом случае параметрическая неустойчивость электромагнитной накачки (см. § 1) приводит к возникновению коротковолновых плазменных колебаний krD^ ^(2/3) Q (напомним, что й= = ((о—о)р)/о)р — безразмерная расстройка частоты волны накачки относительно плазменной).

При анализе нелинейной динамики этих колебаний, так же как в линейной теории (см. § 1), следует особо рассмотреть предельные случаи больших и малых расстроек. При Q<(Al/m)a2X X (-E^/SnzzoT)2 возбуждение плазменных колебаний накачкой связано с модифицированным распадом. Из соотношения (55) для энергии колебаний следует, что плазменные колебания в резонансной с накачкой области волновых чисел модуляционно неустойчивы. Динамика турбулентности в этом случае качественно та же, что и при Q=0: плазменные колебания накапливаются в резонансной области до подключения модуляционной неустойчивости, в дальнейшем образование каверн и их коллапс приводят к перекачке колебаний в область еще меньших длин волн и в конечном счете к их поглощению частицами.

Более сложен для анализа обратный случай больших расстроек, Q>(Al/m)a2 (^о/Зл^Т)2, когда плазменные колебания в резонансной области возбуждаются или в результате обычного распа-

151

Рис. 15. Спектр плазменных колебаний, возбуждаемых электромагнитной волной с большой расстройкой частоты относительно плазменного резонанса:скобкой показана область модуляционной неустойчивости; здесь и на рис. 16 А = £2Рис. 15. Спектр плазменных колебаний, возбуждаемых электромагнитной волной с большой расстройкой частоты относительно плазменного резонанса:скобкой показана область модуляционной неустойчивости; здесь и на рис. 16 А = £2да, или вследствие индуцированного рассеяния на ионах. Спектр этих колебаний модуляционно устойчив, так что становится существенной спектральная перекачка в область малых волновых чисел в рамках слабой турбулентности.

Рис. 15. Спектр плазменных колебаний, возбуждаемых электромагнитной волной с большой расстройкой частоты относительно плазменного резонанса:

скобкой показана область модуляционной неустойчивости; здесь и на рис. 16 А = £2

Рис. 15. Спектр плазменных колебаний, возбуждаемых электромагнитной волной с большой расстройкой частоты относительно плазменного резонанса:

скобкой показана область модуляционной неустойчивости; здесь и на рис. 16 А = £2

Начнем с рассмотрения изотермической плазмы ^Те=Т^. В такой плазме звуковые колебания сильно затухают, и рождение плазменных колебаний накачкой связано с индуцированным рассеянием. Характерный инкремент этого процесса (см. статью К. Мимы, К. Нишикавы из этого тома)

у,=(1)р£,2о/64л/гоТ.

Как обычно, в слабой турбулентности накопление плазменных колебаний в резонансной с накачкой области происходит до тех пор, пока энергия колебаний не сравняется с энергией накачки:

=-А_ (^-У'2.

J8л ’ 3rD \ М )

Ч

Последующее рассеяние плазменных колебаний на ионах приводит к спектральной перекачке в область малых к. Из условия рассеяния <о&—(0м=[к-мх)Тг следует, что при krn^VMIm в каждом акте рассеяния участвуют только колебания в узком сферическом слое толщиной Ък (в одномерном случае—распространяющиеся навстречу друг другу колебания |k+ki| ^д^). Энергия плазменных колебаний в слое 6^ имеет порядок E2d&n, так что индуцированное рассеяние приводит к возникновению характерного для слабой турбулентности сателлитного спектра ленгмюровских колебаний с примерно равномерным распределением энергии плазмонов по спектру и спектральной плотностью (рис. 15)

W^^MWoVMl^.(85)

Если полная ширина спектра велика по сравнению с М, то его эволюция с достаточной степенью точности описывается уравнением дифференциальной перекачки:

(86)(86)dWfe =16 _ Wk 8Wk ,

(86)

(86)

dt 27 К2л n»MvTe 1% dk

С учетом соотношения (85) поток энергии плазмонов в область малых волновых чисел, описываемый уравнением (86), оказывается равным примерно 2yz-£2o/8n. Этот поток достигает длинновол- 152

новой области, где существенна модуляционная неустойчивость, и там захватывается коллапсирующими кавернами. Очевидно, что эффективная частота столкновений, определяющая скорость диссипации энергии накачки, в этих условиях становится равной ^ь

Чэф^ЮрЕ2о/32лп0Т.(87)

Характерные значения волновых чисел для длинноволновой области спектра, в которой возникает модуляционная неустойчивость, определяются из условия неустойчивости (47):

W. ~ (Е20 /8л) k.rD VM^ « neTkVD.R

т. е. korD^^M(m^^ E^J^T-nJ1. Энергия этих колебаний Й7О ^(Mjm) (Е2о18лпоТ)2поТ, однако полная энергия в спектре плазменных волн значительно больше:

W ж (£20/8л) VMlmkrD.W ж (£20/8л) VMlmkrD.(89)(89)

W ж (£20/8л) VMlmkrD.

W ж (£20/8л) VMlmkrD.

(89)

(89)

Озр! ^рОзр! ^рЕд /8л п0 ТЕд /8л п0 ТРис. 16. Зависимость эффективной частоты столкновений от амплитуды электромагнитной волны при больших расстройках ее частоты относительно плазменнойРис. 16. Зависимость эффективной частоты столкновений от амплитуды электромагнитной волны при больших расстройках ее частоты относительно плазменной

Озр! ^р

Озр! ^р

Ед /8л п0 Т

Ед /8л п0 Т

Рис. 16. Зависимость эффективной частоты столкновений от амплитуды электромагнитной волны при больших расстройках ее частоты относительно плазменной

Рис. 16. Зависимость эффективной частоты столкновений от амплитуды электромагнитной волны при больших расстройках ее частоты относительно плазменной

Из-за большого значения инкремента модуляционной неустой

чивости колебания в длинноволновой части спектра остаются все

время на пороге неустойчивости. Энергию плазмонов, переносимую в область малых длин волн коллапсирующими кавернами, можно оценить из следующего условия баланса:

^кав^ (^эф/умод) Е%(8л~Е20/8л < W^

Малость отношения №кав/№0 объЯС' няет скачок при переходе из режима малых расстроек в режим больших (рис. 16). В последнем случае перекачка плазменных волн становится как бы двухступенчатой: длинноволновая эстафетная перекачка в область модуляционной не-

устойчивости с последующей перекачкой плазменных волн коллапсирующими кавернами в коротковолновую зону поглощения. Малая

скорость первого из этих процессов и приводит к уменьшению Vэф. Скачок vэф при переходе к большим расстройкам равен

</v> = й^™ ~ VMlmkrD » 1.

В неизотермической плазме с холодными ионами Те^Тг существен распад волны накачки на плазменную и звуковую. Последующая эволюция спектра происходит примерно так же, как в рассмотренном выше случае изотермической плазмы, с той лишь разницей, что теперь величина Vэф при больших расстройках совпадает с инкрементом соответствующего распадного процесса (см. § 1):

। оУэф^Мр ^§4—7"। оУэф^Мр ^§4—7"(90)

। о

Уэф^Мр ^§4—7"

। о

Уэф^Мр ^§4—7"

Интересно, что все основные черты динамики ленгмюровской турбулентности при больших Q наблюдались в численном моделировании [20]. Как отмечалось выше, в этой работе рассматривалась неизотермическая плазма (Ге^>Тг) с малым затуханием звуковых волн. Исследовался распад электромагнитной волны с расстройкой Q^0,037. В этом случае распад электромагнитной волны накачки приводит к возбуждению монохроматических ленгмюровской и звуковой волн с номером гармоники По=38 (рис. 17). Последующая перекачка по спектру реализуется в результате распада ленгмюровских волн на ленгмюровские и звуковые. Из распадных условий (22) следует, что шаг эстафетной перекачки для плазменных волн д& = (2/3) (1/r.o) ^nlM или (в используемых в [20] безразмерных единицах n=krD[^ VМ/т) kn=4. В одномерном случае, который иссле-

Рис. 17. Динамика спектров плазменных и звуковых колебаний, возбуждаемых электромагнитной волной с большой расстройкой частоты от плазменной: спектры получены при численном моделировании одномерной ленгмюровской турбулентности

довался в работе [20], взаимодействуют между собой распространяющиеся навстречу друг другу плазменные волны, и в результате эстафетной перекачки последовательно возбуждаются ленгмюровские (/21=34, /г2=30) и звуковые (nsv = =П1+по=2по—4=72, ns2=/i2+^i=2/ii—4 = 64) сателлиты. При больших временах в ленгмюровском спектре уже может быть выделено большое число сателлитов, а к концу этапа эстафетной перекачки вся длинноволновая часть спектра равномерно заполнена колебаниями с амплитудами Ек^(1,3ч-1,5)£о, при этом спектральное распределение звуковых колебаний сосредоточено в области ns>38. В дальнейшем становится существенной модуляционная неустойчивость длинноволновых ленгмюровских колебаний, приводящая к образованию каверн-солитонов и как следствие к «заполнению» спектра звуковых возмущений в длинноволновой области ns<3§.

Предшествующее рассмотрение относилось к окрестности резонанса со^сор. Максимальная расстройка, при которой возможно возбуждение плазменной турбулентности за счет этого резонанса, определяется из условия стабилизации соответствующей параметрической неустойчивости t—H-V-s (или индуцированного рассеяния t—я/4-i) с помощью затухания Ландау. Это условие имеет вид (подробнее см. статью В. Н. Ораевского из этого тома):

1Y-. Te^Tf, } (91) Q«(3/2)&*V2fl. J

При еще большем увеличении расстройки возможен резонанс другого типа: (о^2(ор, когда плазменная турбулентность возбуждается в результате распада электромагнитной волны накачки на два плазменных колебания (^—>2Z). Система уравнений, описывающая плазменную турбулентность, в этом случае состоит из уравнения для вариации плотности в низкочастотных колебаниях, которое по-прежнему совпадает с (И), и уравнения для комплексной амплитуды электрического поля ленгмюровских колебаний, которое по сравнению с (10) модифицируется следующим образом:

г 2 дЕ гте с , 5/г ,d,''[T^Tr-^Vd1vE+ — E +

+^ûР(E'V)E.]=O. (92)

Последнее слагаемое в этом уравнении — источник плазменной турбулентности, возникающей при распаде длинноволнового кванта электромагнитной накачки на два летящих в противоположные стороны (к, —к) плазмона, волновые числа которых кгп~ У&'/3. В уравнении (92) расстройка ^^((о—2(ор)/(ор; Ео— комплексная амплитуда электромагнитной волны накачки, считающаяся постоянной во времени, что, как уже отмечалось выше, моделирует ситуацию, возникающую при непрерывном падении электромагнитной волны на плазменную мишень.

Как следует из (92), инкремент распада /—*2/ максимален при угле 0=45° между волновыми векторами накачки к0 и плазмона к, максимальное значение инкремента

(93)(93)у™кс ^ Шр /3£20/256та0тс2.

(93)

(93)

Накопление энергии в плазменных колебаниях в результате распада электромагнитной волны накачки в конечном счете должно приводить к возникновению модуляционной неустойчивости. Последующая динамика ленгмюровской турбулентности та же, что и в окрестности резонанса (о—(ор: коротковолновая перекачка

Рис. 18. Зависимость W (сплошная линияр и Ws (пунктир) от времени при возбуждении плазменной турбулентности электромагнитной волной в окрестности удвоенного плазменного резонанса

плазмонов коллапсирующими кавернами и включение затухания Ландау. В состоянии развитой турбулентности плазмоны испытывают случайные скачки фазы при рассеянии на длинноволновых флуктуациях плотности (см. § 2). Характерное время «расцепления» фазовых корреляций

t = v~‘ = v"1 = ^n.TjaW.кор эф р ° 1

Скачки фаз плазмонов приводят к тому, что инкремент распада t—>2/, определяющий скорость накачки энергии в плазменную турбулентность, уменьшается до значения y2d/vKop. Мощность, поглощаемую турбулентностью из электромагнитной волны, в этом случае можно представить в виде

dIF/J^(2y2d/vKop) W^wp (Т]тс2)Е2^п,(94)

что соответствует следующей эффективной частоте столкновений при о)=2о)р (см. также [25]):

VQ^topT[mc2.(94а)

Из условия энергетического баланса в длинноволновой области v^£2o^^YMofl^, неоднократно использовавшегося выше, имеем простое соотношение, связывающее энергию плазменных колебаний с амплитудой накачки:

1F^(№) ^ЧТИс^ЧЕ%1^п^(95)

Динамика турбулентности показана на рис. 18, который получен в результате численного моделирования процессов, происходящих при co=2(oP [26]. На начальной стадии энергия плазменных колебаний, возбуждаемых за счет распа-

да Z->2Z, при постоянной амплитуде накачки экспоненциально растет со временем. Рост продолжается до возникновения модуляционной неустойчивости и связанного с ней эффективного механизма диссипации энергии плазменных колебаний. В конечном счете устанавливается квазистационарное турбулентное состояние, в котором накачка и диссипация энергии компенсируют друг друга. Как показало численное моделирование, это квазистационарное состояние не зависит от начальной стадии возникновения турбулентности, основные характеристики квазистационарной турбулентности W и v/эф с вполне удовлетворительной точностью укладываются в простой аналитический скейлинг, определяемый соотношениями (94а) и (95) (рис. 19).

Динамика спектров турбулентности показана на рис. 20, также взятом из работы [26].

(сплошная кривая) и Vэф (пунктир) в стационарном состоянии от амплитуды накач(сплошная кривая) и Vэф (пунктир) в стационарном состоянии от амплитуды накачки:линии — аналитические зависимо-сти, определяемые формулам»(94а) и (95); кружки и треугольни-ки — результаты численного экспе-риментаки:линии — аналитические зависимо-сти, определяемые формулам»(94а) и (95); кружки и треугольни-ки — результаты численного экспе-риментаНа начальной стадии электромагнитная накачка с частотой <о=2а)Р приводит к возбуждению длинноволновых плазменных колебаний с ^Td^Q1/3. В дальнейшем в результате модуляционной неустойчивости происходит коротковолновая перекачка плазмонов, и в квазистационарном состоянии в спектре ленгмюровской турбулентности, кроме длинноволновой области источника, четко прослеживаются инерционный интервал со степенным спектром и коротковолновая; область, в которой существенно резонансное поглощение плазмонов.

(сплошная кривая) и Vэф (пунктир) в стационарном состоянии от амплитуды накач

(сплошная кривая) и Vэф (пунктир) в стационарном состоянии от амплитуды накач

ки:

линии — аналитические зависимо-сти, определяемые формулам»(94а) и (95); кружки и треугольни-ки — результаты численного экспе-римента

ки:

линии — аналитические зависимо-сти, определяемые формулам»(94а) и (95); кружки и треугольни-ки — результаты численного экспе-римента

Рис. 20. Спектры ленгмюровской турбулентности,, возбуждаемые в окрестности резонанса /гс/4: а — распад электромагнитной волны накачки; б — спектр квазистационарной турбулентности

Хотя приведенное выше рассмотрение относилось к случаю строгого резонанса со=2(ор, в действительности описанная здесь картина турбулентности имеет место при всех со—2(ор<^Эф. При больших расстройках, так же как и в случае резонанса о) = (Ор, имеет место эстафетная перекачка по каналам слабой турбулентности (/—^V-\-s или I—^Z'+O в длинноволновую область, где включается модуляционная неустойчивость.

Частота vKOp, определяющая скорость размешивания фаз плазмонов, в слабой турбулентности определяется соотношением

юр V l5zzk*2 2 ws ^р

Vk°P3’

Здесь ^^((ds/cop) W— энергия звуковых колебаний (W — энергия ленгмюровских колебаний). Подставляя W из (88), получаем, что ^кор^Юр^о/ЗлпоТ. При хэтом эффективная частота столкновений v^^yVvkop с точностью до числового множителя совпадает с оценкой (94а). Максимальные значения расстройки со—2(ор, при которых возможно возбуждение плазменной турбулентности электромагнитной накачкой на удвоенной плазменной частоте, определяются из условия стабилизации распада затуханием Ландау плазменных колебаний:

(96)(96)ГА. ^ v,Эф; 3F 2г2о = («> — 2<ор)/<ор.

(96)

(96)

ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ МОЩНОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ

Для иллюстрации возможного применения изложенной в предыдущих параграфах теории сильной ленгмюровской турбулентности рассмотрим механизм бесстолкновительного поглощения мощной электромагнитной волны в неоднородной плазме. Этот вопрос в последние годы приобрел важное значение в связи с исследованием импульсных термоядерных реакций, инициируемых лазерным лучом в плазменной дейтерий-тритиевой мишени. Поглощение электромагнитной волны и нагрев плазмы в основном локализованы в окрестности так называемой критической точки, в которой частота падающего на плазму электромагнитного излучения совпадает с плазменной частотой ^п^тцу^не^.

В этой области механизм диссипации энергии электромагнитного излучения в плазме связан с плазменной турбулентностью, инициируемой электромагнитной волной. Наличие в рассматриваемой задаче двух сильно различающихся пространственных масштабов— микроскопического масштаба плазменной турбулентности 1Х порядка дебаевской длины rD и макроскопического масштаба /2 порядка длины электромагнитной волны 2лс/со позволяет разбить задачу на две части.

Первая часть — теория плазменной турбулентности, создаваемой однородной в масштабе турбулентности электромагнитной накачкой. Изложению этой теории посвящен настоящий обзор. Вторая часть — распространение электромагнитной волны в среде с эффективной диэлектрической проницаемостью, модифицированной с учетом турбулентности, — относится уже к проблеме лазерного термоядерного синтеза. Уравнения для макроскопического электромагнитного поля надо решать совместно с гидродинамическими уравнениями, описывающими разлет плазменной мишени. 158

Подход, основанный на численном интегрировании точных уравнений для плазменной турбулентности и электромагнитного поля, оказался весьма сложным, и до настоящего времени он реализован только в одномерной постановке для весьма узкого интервала параметров плазменной мишени и электромагнитной волны [27]. Использование концепции эффективной диэлектрической, постоянной существенно упрощает задачу о поглощении электромагнитного излучения в турбулентной плазме, впервые эта концепция была применена в работе [28]. Покажем, как путем последовательного разделения в уравнениях Максвелла двух описанных выше масштабов можно получить исходные уравнения для макроскопического электромагнитного поля.

Вблизи критической точки параметр Q= (со—(Ор) /со мал, и можно следующим образом выделить «быструю зависимость» от времени в электрической и магнитной компонентах поля:

Е=(1/2)Е(/, г) ехр (—1(о/)+к. с.; Н=(1/2)Н(/, г) ехр (—ioO+к. с. [по сравнению с (9) здесь удобно сразу ввести частоту электромагнитного излучения со в фазовый множитель для поля].

Проводя усреднение в уравнениях Максвелла по расстояниям,, удовлетворяющим неравенству /1<^/<С/2, получаем следующую- систему уравнений для усредненных амплитуд поля:

rot < Е> = (ico/c) < Н >; rot < Н>= (1 (с) < (5/^Е>• (97)

Оператор диэлектрической проницаемости с точностью до членов первого порядка по Q имеет вид:

_ со —о a

е=2:— — -I- Зг2 v divе(98)

top\top dt хПо\/

Здесь 6n(t, г), как обычно, — медленные квазинейтральные вариации плотности, создаваемые плазменной турбулентностью. Опуская во втором из уравнений Максвелла (97) квадратичные по» Q слагаемые, можно записать эти уравнения в виде

rot Ео= (ico/c) Но; rot Но=—i (со/с) 8ЭфЕо,(99)

где Ео(/, г) и Но(/, г) —усредненные амплитуды электромагнитного поля и введена эффективная диэлектрическая постоянная 8Эф„ причем

со — ton/ §пЕ \

5эфЕ0 = 2 — Ео — у = (sl + гыд Ео(100)

Последнее слагаемое в правой части приведенной формулы— вклад плазменной турбулентности в поляризуемость среды.

Мнимую часть введенной таким образом диэлектрической постоянной можно выразить через уже известную эффективную» частоту столкновений с помощью обычного соотношения

Im 8эф=|\7эф/(Ор.

Величина Vэф определяет скорость диссипации энергии в турбулентность dWjdt—\m еэфСОрЕ^/Зл, и, таким образом, из соотноше-

1591

ния (100) действительно следует уравнение (16) для изменения со временем энергии плазменных колебаний в турбулентности.

Что же касается вещественной части нелинейной диэлектрической постоянной, то, как показывают численные расчеты [29], она существенно меньше мнимой. Поэтому основной вклад турбулентности в вещественную диэлектрическую постоянную связан с деформацией макроскопической плотности плазмы под действием силы высокочастотного давления, создаваемой турбулентными колебаниями и пропорциональной VW, т. с. с изменением первого слагаемого в правой части уравнения (100).

Уравнения (99) и (100) являются исходными при нахождении амплитуд электромагнитного поля, меняющихся на характерных расстояниях масштаба /2. Они получены в предположении, что непрерывное действие электромагнитного поля на критическую точку и диссипация энергии, обусловленная плазменной турбулентностью, приводят к стационарному распределению макроскопических амплитуд электромагнитного поля Е0(г), Н0(г) в Окрестности критической точки, как это, впрочем, имело место и в линейной теории трансформации [30].

Систему уравнений (99), (100) следует дополнить уравнениями для плазменной турбулентности. Поскольку на расстояниях масштаба /1 поле колебаний можно считать чисто продольным, система уравнений для плазменной турбулентности совпадает с уравнениями (10) и (11) с дополнительным условием

<Е(/, г)>=Е0(г).

Именно эти уравнения были приняты за исходные при построении теории сильной ленгмюровской турбулентности в настоящей статье. Знание интегральных характеристик этой турбулентности позволяет восстановить еэф как функцию Ео.

Решением нелинейной системы уравнений (99) с известной еЭф можно найти распределение усредненных амплитуд электромагнитного поля вблизи критической точки.

Как уже отмечалось выше, систему уравнений (99) и (100) надо решать совместно с гидродинамическими уравнениями для разлетающейся плазменной мишени. Детальный анализ этих уравнений выходит за рамки настоящего обзора. Все же с иллюстративной целью рассмотрим решение простейшей задачи о нормальном падении электромагнитной волны на мишень. Пусть на сферическую мишень п^=п^^ падает электромагнитная волна, которая распространяется по радиусу: £0=£0(г), ЕЦ—Н^гу

В линейной теории электромагнитная волна при нормальном падении полностью отражается от критической точки, какая-либо диссипация в пренебрежении парными столкновениями отсутствует. В нелинейной теории диссипация связана с возбуждением плазменной турбулентности.

Уравнение для амплитуды макроскопического электрического поля £о= Е^ имеет вид:

(101)(101)d2£0/dr2-^(2/r) dE^dr-\-^(c^ еЭф£о=О.

(101)

(101)

Гидродинамическая система уравнений для плазменной мишени состоит из уравнения непрерывности'

7=иоиг2=const(102)

и уравнения движения, которое с учетом (102) записывается следующим образом:

(Mv - — 14" k (W3)

v ) dr 4тю2 dr к 9 '' 1 гх 7

Первые два слагаемых в правой части уравнения (103) соответствуют учету, высокочастотного давления электромагнитной волны и плазменной турбулентности, последнее слагаемое связано со сферической геометрией мишени.

Эффективная диэлектрическая постоянная определяется соотношением (100). В соответствии со сделанным выше замечанием будем учитывать только мнимую часть нелинейного вклада в диэлектрическую постоянную, т. е. Vэф.

Рассмотрим изотермическую плазму Те=^Тг. При малых расстройках 62= = (со—Юр)/(Ор^^эф/юр зависимость W и v9$ от амплитуды накачки Ео определяется формулами (53) и (55). При больших расстройках реализуется режим слабой турбулентности, и для W и Vэф имеем соответственно формулы (89) и (87) или (90). Наконец, предельные значения расстойки, при которых выключается механизм возбуждения турбулентности и и7=уЭф —0, определяются формулой (91).

Система (101)—(103) с известной вЭф полностью определяет распространение и поглощение электромагнитной волны при нормальном ее падении. Остановимся на результатах решения этой системы уравнений. В пренебрежении диссипацией, обусловленной турбулентностью, эта система уравнений исследовалась В [31]. Учет диссипации проведен в {29]

Уравнение (103) легко интегрируется:

\,2\,2(103а)(103а)Ми1 Т и2 _Ah% 1

\,2

\,2

(103а)

(103а)

2 - 22 "2^

Результаты графического решения этого уравнения показаны на рис. 21. На нем приведена зависимость левой части уравнения (103а) от скорости плазмы и, минимум соответствует движению плазмы со звуковой скоростью и = УТ]1Л. Уравнение (103а) имеет два решения. Если пренебречь высокочастотным давлением, то в первом из этих решений движение плазмы остается все время дозвуковым, и плазменный поток тормозится на пе- . риферии, во втором движение все время сверх- f i звуковое с ускорением на периферии. Физический смысл имеет решение, в котором движение на периферии плазменной мишени происходит со сверхзвуковой скоростью (волна разрежения).

Рис. 2 Г. Графическое решение уравнения (103а)* ^максЧ-^омакс/Зл — ZlcTfln (Т fMv\) 4"стрелка показывает изменение пра-+41П (Гс/Го) — 1],+«cMp2o,(104) вой части Уравнения (103а) приРис. 2 Г. Графическое решение уравнения (103а)* ^максЧ-^омакс/Зл — ZlcTfln (Т fMv\) 4"стрелка показывает изменение пра-+41П (Гс/Го) — 1],+«cMp2o,(104) вой части Уравнения (103а) приПри учете высокочастотного давления' становится возможным переход от дозвукового движения плазмы к сверхзвуковому. Условие .^ такого перехода:

Рис. 2 Г. Графическое решение уравнения (103а)* ^максЧ-^омакс/Зл — ZlcTfln (Т fMv\) 4"стрелка показывает изменение пра-

+41П (Гс/Го) — 1],+«cMp2o,(104) вой части Уравнения (103а) при

Рис. 2 Г. Графическое решение уравнения (103а)* ^максЧ-^омакс/Зл — ZlcTfln (Т fMv\) 4"стрелка показывает изменение пра-

+41П (Гс/Го) — 1],+«cMp2o,(104) вой части Уравнения (103а) при

где rc — критический радиус мишени; /г(гс)=Лс. При больших амплитудах электромагнитной волны возникают скачки в распределении плотности (аналог ударных волн при движении газа в сопле Лаваля).

В том случае, когда мощность в электромагнитной волне меньше определяемой условием (104), движение плазмы остается все время сверхзвуковым. Учет высокочастотного давления приводит к торможению плазмы в окрестности критической точки и как следствие к более пологому распределению плотности по сравнению со случаем, когда высокочастотным давлением можно пренебречь. Тем самым создаются наиболее благоприятные условия для развития плазменной турбулентности.

Рис. 22. Распределение амплитуды поля и плотности в плазменной мишени, облучаемой неодимовым лазером, при гс = ЮЛ:а — малые мощности лазерного излучения, когда в падающей волне £о2/16лло7'=1О~3; б — £о2/16ЛЛ0Т=3-1О-2Рис. 22. Распределение амплитуды поля и плотности в плазменной мишени, облучаемой неодимовым лазером, при гс = ЮЛ:а — малые мощности лазерного излучения, когда в падающей волне £о2/16лло7'=1О~3; б — £о2/16ЛЛ0Т=3-1О-2

Рис. 22. Распределение амплитуды поля и плотности в плазменной мишени, облучаемой неодимовым лазером, при гс = ЮЛ:

а — малые мощности лазерного излучения, когда в падающей волне £о2/16лло7'=1О~3; б — £о2/16ЛЛ0Т=3-1О-2

Рис. 22. Распределение амплитуды поля и плотности в плазменной мишени, облучаемой неодимовым лазером, при гс = ЮЛ:

а — малые мощности лазерного излучения, когда в падающей волне £о2/16лло7'=1О~3; б — £о2/16ЛЛ0Т=3-1О-2

Конечно, при этом должен быть превзойден порог модуляционной неустойчивости (6). Используя для оценок решение уравнения (101) в ВКБ-прибли- жении

520dCKC £2о/Уе 1 h^Wc^t, E^kr/rc

(Ео— амплитуда электрического поля в падающей волне; &r^A/k— размер области плазменного резонанса), получаем, что порог модуляционной неустойчивости в окрестности критической точки весьма низок:

(Ю5)(Ю5)Е2о/8лпоТ ^ (37 [тс2^ с^Ге.

(Ю5)

(Ю5)

На рис. 22 и 23 показаны самосогласованные распределения поля и плотности плазменной мишени, полученные численным интегрированием уравнений (101) — (103) с известными ^ и т»ф. Мощности излучения в падающей волне выбирались существенно превосходящими порог (105):

2-1О-3<£2о/8шгоГ<6ЧО-2,

что для неодимового лазера и температуры плазмы Т=\ кэВ соответствует мощности лазерного луча, изменяющейся в следующем интервале:

6-Ю12 Вт/см2<Р<2-1014 Вт/см2.

Рис. 22 соответствует случаю более крутого, рис. 23 — более пологого (гс= =30Х) распределения плотности.

Учет силы давления плазменных колебаний приводит к более пологому распределению плотности плазмы и к расширению области плазменного резонанса. Область резонанса, где происходит возбуждение плазменной турбулентности ЬМ=/=О), выделена на рис. 22 и 23 пунктирными линиями. Размер этой области (2—6)Х, или для рассматриваемых параметров плазменной мишени (400— 1200) го, так что плазменную турбулентность действительно можно считать ква- зиоднородной. Турбулентность создает эффективный механизм диссипации энергии электромагнитной волны в окрестности критической точки. Коэффициент поглощения достаточно слабо зависит от мощности и изменяется в пределах 80—90 %. Следует также иметь в виду, что в плазменной мишени возможна еще одна область эффективной диссипации — окрестность точки пс/4, где частота электромагнитной волны со близка к удвоенной плазменной частоте 2юр и возбуждение плазменной турбулентности связано с распадом кванта электромагнитной накачки на два плазмона. Эффективная частота столкновений для этого механизма и размер соответствующей резонансной области были вычислены в конце предыдущего параграфа. Используя полученные там результаты, нетрудно оценить коэффициент поглощения электромагнитной волны в окрестности резонанса го^2(оР:

X ^ргс/с) к*2 T^DTlmc\(106)

причем к* определяется из уравнения Г^^юрТ/тсг.

В определенных условиях (плавные градиенты, нагретая плазма) поглощение в области со^2<ор также может стать существенным. 11*

Рис. 24. Форма ленгмюровской каверны, образующейся в результате развития модуляционной неустойчивости в достаточно сильном магнитном полеРис. 24. Форма ленгмюровской каверны, образующейся в результате развития модуляционной неустойчивости в достаточно сильном магнитном поле

Рис. 24. Форма ленгмюровской каверны, образующейся в результате развития модуляционной неустойчивости в достаточно сильном магнитном поле

Рис. 24. Форма ленгмюровской каверны, образующейся в результате развития модуляционной неустойчивости в достаточно сильном магнитном поле

КОЛЛАПС И ПЛАЗМЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬВ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Ленгмюровские колебания. Построение теории сильной плазменной турбулентности в магнитном поле—задача значительно более сложная, чем для изотропной плазмы. Прежде всего

плазменная турбулентность в магнитном поле существенно анизотропна. Кроме того, магнитное поле, изменяя дисперсию колебаний, приводит к появлению большого числа новых ветвей колебаний, и далеко не всегда можно рассматривать турбулентность какой-либо изолированной ветви.

Не будем рассматривать здесь общую теорию плазменной турбулентности в магнитном поле и ограничимся решением существенно более простой задачи. Исследуем две наиболее важные ветви колебаний плазмы в магнитном поле — электронные плазменные колебания и колебания на ча-

стотах, близких к так называемому нижне-, гибридному резонансу. Для каждой изэтих: ветвей имеет место коллапс, аналогичный описанному выше ленгмюровскому коллапсу в изотропной плазме. Ниже изложены теория коллапса для обеих ветвей и основанная на этом явлении качественная картина турбулентности.

Начнем с рассмотрения ленгмюровских колебаний. Закон дисперсии этих колебаний имеет вид:

< (1 + + <к\(к^

где к^ — составляющая волнового вектора в плоскости, перпендикулярной магнитному полю; ын=еН1тс — циклотронная частота электронов. Приведенный закон дисперсии соответствует росту обеих компонент волнового вектора (&t|, &±) в областях пониженной плотности плазмы и, следовательно, образованию в этих областях потенциальных ям, в которых локализуются плазмоны.

Влияние магнитного поля на модуляционную неустойчивость, описывающую процесс локализации, становится существенным при выполнении условия

х^н!^ ^ bnln^WInJ, (107)

т. е. в уже достаточно слабых полях. Так же как и в изотропном случае, модуляционная неустойчивость приводит к образованию каверн. В магнитном поле, напряженность которого существенно превышает напряженность, определяемую условием (107), каверны имеют форму «блинов», сплюснутых в направлении поля (рис. 164 -

24). Продольный размер каверн не зависит от напряженности магнитного поля:

l^k-^rDVl*\,(Ю8)

в то время как поперечный размер пропорционален напряженности поля:

l^r^l, ^p)VnJ\^\.(109)

Из (109) следует, что в процессе коллапсирования, и роста (бп| восстанавливается симметричная форма каверны, и как только амплитуда вариации плотности возрастает до величины |6га|/по—^hI^p, магнитное поле перестает влиять на коллапс.

При построении количественной теории будем, следуя [22], исходить из следующей системы уравнений для комплексной амплитуды потенциала электрического поля <р(Е=—V<p) и вариации плотности 6га:

3\ to^rrtoy

(ПО)(ПО)^-дГ^^ ^ -^'М^ 2^dlv (8"V<P);

(ПО)

(ПО)

d^df - (Te/M) Д3га = (1/16иЛ1) Д |v?|2.

Так же как уравнение изотропной ленгмюровской турбулентности, система уравнений (ПО) -имеет интегралы /о, /2, соответствующие сохранению числа плазмонов и энергии волн, отсчитанной от уровня /0.

В рассматриваемом случае о)рЗ><оя интеграл /0 остается таким же, как в изотропной плазме, интеграл /2 отличается, добавлением положительного слагаемого (о)2я/2(о2р) ,Vj_?|2» возникающего в результате изменения дисперсии ленгмюровских волн в магнитном поле.

Дисперсионное уравнение модуляционной неустойчивости монохроматической ленгмюровской волны, получаемое из системы уравнений (ПО), отличается от соответствующего уравнения в отсутствие магнитного поля (21) лишь тем, что в расстройках 6± появляются новые слагаемые, связанные с изменением закона дисперсии плазменных волн в магнитном поле:

± рНЧ-Гк? Я j г to2p |q±k|2 q2 ) Характерные значения инкремента неустойчивости и продольного волнового числа возбуждаемых плазмонов те же, что и в отсутствие поля:

Т«КWM) EMWJ; кг r~x VE^nJ,

однако магнитное поле приводит к тому,, что неустойчивость развивается в достаточно узком интервале углов относительно направления волны накачки:

Да^^/ш^) VEVWJ.

С последним обстоятельством фактически связана блинообразная форма каверн, образующихся в результате модуляционной неустойчивости волны накачки, параллельной магнитному полю.

Строгого доказательства коллапса как нелинейной стадии модуляционной неустойчивости в магнитном поле не существует. Однако численными методами в [32] показано, что начальная локализация электрического поля, для которой выполнено условие /2<0, с течением времени превращается в каверну, коллапсирующую со сверхзвуковой скоростью (рис. 25). Заключительная ста-

Рис. 25. Линии уровней электрического поля в дипольной каверне при ^не(^2ре=Х[^ в различные моменты времени.Рис. 25. Линии уровней электрического поля в дипольной каверне при ^не(^2ре=Х[^ в различные моменты времени.

Рис. 25. Линии уровней электрического поля в дипольной каверне при ^не(^2ре=Х[^ в различные моменты времени.

Рис. 25. Линии уровней электрического поля в дипольной каверне при ^не(^2ре=Х[^ в различные моменты времени.

дия коллапса описывается полученным в [22] автомодельным решением уравнений (НО):

рт /2r I \рт /2r I \(Ш)(Ш)

рт /2r I \

рт /2r I \

(Ш)

(Ш)

Решение (111) соответствуеткаверне, непрерывно теряющей плазмоны при коллапсе: 7о^ V ^о—t. Начальные размеры каверны, возникающей на фоне ленгмюровской турбулентности с уровнем энергии U7, определяются формулами (108) и (109) с 6п!п^

W/n^T} в дальнейшем при коллапсе поперечный размер уменьшается быстрее продольного и к моменту времени /0—^о—’ —WQTW^ восстанавливается симметричная форма каверны. Последующие стадии коллапса описываются автомодельным решением (39), полученным в отсутствие магнитного поля и соответствующим коллапсу с постоянным числом плазмонов. Доля плазмонов, остающихся в каверне к этому времени, порядка VW^r^pH-

Следует иметь в виду, что исходная система уравнений (НО) в дозвуковом режиме, когда применима формула (35) для 6м, имеет также решение в виде трехмерных стационарных солитонов, впервые полученных в [33]. Так же как и в отсутствие магнитного поля, дозвуковой режим dzl41t<VTel М соответствует 166

достаточно малым значениям ^1п0Т<т[М. Автомодельное решение (111) реализуется в обратном случае Wln^mlM, когда начальная скорость коллапса больше скорости звука либо сравнима с ней. Коллапсируя в дальнейшем с нарастающей скоростью dzJtiMlV /„-/.каверна уже никогда не сможет перейти в стационарный солитон, и коллайс будет продолжаться вплоть до достижения каверной размеров, сравнимых с масштабами области поглощения.

Ниже,, основываясь на изложенных результатах, проведен качественный анализ .сильной ленгмюровской турбулентности в диапазоне магнитных полей

представляющем интерес для ряда приложений, например для исследований ионосферной плазмы. В области источника спектр плазмонов существенно анизотропен: к^кУкв^У^ !пйТ, k^^ ^(1/го) ('(ор/(оя) ^/^Т. Скорость диссипации энергии накачки в длинноволновой области источника определяется^ как в изотропном случае, частотой рассеяния плазмонов на длинноволновых флуктуациях плотности ,

[ср. с (43)]. Подставляя /ц^^Ац, l^^Xjk^ и используя соотношения (45) и (51), получаем для v^:прежний результат (53).

Зарождение каверн в длинноволновой области происходит с характерным инкрементом модуляционной неустойчивости (47). Последующая коротковолновая перекачка плазмонов, как обычно, обусловлена коллапсом каверн, описываемым автомодельным решением (111). Возможность применения этого решения, полученного в отсутствие накачки, связана с тем, что волна накачки «отключается» от каверны в процессе коллапса.

Действительно, изменение числа плазмонов в каверне за счет накачки по-прежнему определяется формулой (16). С помощью этой формулы и решения (111) можно показать, что изменение числа плазмонов в каверне под действием накачки имеет порядок £ dt Sn Edr.'^'(i0—()3/2> т- е- пренебрежимо мало к моменту коллапса t^Q. -

При коллапсе по закону (111) каверна теряет плазмоны, однако, как следует из решения (111),-плотность энергии электрического поля в плазмонах, покинувших каверну, оказывается выше пороговой: ■'

Е21^я,пТ>к2ггйв.

В результате сброшенные плазмоны образуют новую каверну с меньшими масштабами заключенных в ней высокочастотных пульсаций, коллапсирующую по тому же закону. Это дает основание ввести, как и в изотропном случае, инерционный интервал в спектральном распределении плазмонов с постоянным потоком энергии плазменных колебаний.

Соответствующее уравнение непрерывности для плотности плазмонов Мк^, kz) запишется в виде

(д[дкг) (Nk’M + V/kJ (d/dkj ^N^J = О, (112) где подставлены скорости спектральной перекачки dkjdt, dhjdt из (111); кт~■ (1 ffn)6»hI<»i> — волновое число, при котором скорости перекачки по обоим. измерениям сравниваются. Решение уравнения ^112) определяет спектр плазмонов в инерционном интервале:

dk I dk»

Wfedk dkz ^ N (k кг) dk dk2 ^ ^ z ^ (6),(113)

-L-L-L.rv 2

где ^=(2^^—k^k^k^h^ конкретный вид функции определяется сшивкой решения (ИЗ) с областью источника. Характеристики уравнения (112) g=const приведены на рис. 26. В длинноволновой области источника спектр плазмонов существенно анизотропен, о ростом к происходит разворот спектра по к^ и, наконец, при кг^кт спектр становится изотропным, а магнитное поле перестает влиять на турбулентность.

Рис. 26. Характеристики уравнения непрерывности плотности плазмонов В=constРис. 26. Характеристики уравнения непрерывности плотности плазмонов В=constРис. 27. Примерные линии уровня электрического поля в каверне, образующейся в результате модуляционной неустойчивости нижнегибридных колебанийРис. 27. Примерные линии уровня электрического поля в каверне, образующейся в результате модуляционной неустойчивости нижнегибридных колебаний

Рис. 26. Характеристики уравнения непрерывности плотности плазмонов В=const

Рис. 26. Характеристики уравнения непрерывности плотности плазмонов В=const

Рис. 27. Примерные линии уровня электрического поля в каверне, образующейся в результате модуляционной неустойчивости нижнегибридных колебаний

Рис. 27. Примерные линии уровня электрического поля в каверне, образующейся в результате модуляционной неустойчивости нижнегибридных колебаний

Колебания и волны в окрестности нижнегибридного резонанса. Рассмотрим прежде всего электростатические колебания плазмы на частоте так называемого нижнегибридного резонанса. Эти колебания происходят под углом 0^л/2 к магнитному полю (^ *>кх^ их закон дисперсии имеет вид:

g)=(olh [l+№+W/n)^W].(114)

В этой формуле ^LH — ^pdV 1 А-^реКне — нижнегибридная частота; R — параметр длины, определяющий дисперсию колебаний:

jZ3 -у-гОг, сильное поле, toHe^>^Pe\

—^—гНе, плотная плазма, ^ре^^нг'

где rDe=UTe!tope; гНе=^Те/(дне — соответственно дебаевский и ларморовский радиусы электронов.

Так же как и в случае ленгмюровских колебаний в магнитном поле, для рассматриваемой ветви колебаний имеют место явления модуляционной неустойчивости и коллапса. В местах, где высокочастотное поле приводит к вытеснению плазмы, растут компоненты волнового вектора и образуется потенциальная яма для плаз- моновд в конечном счете приводящая к образованию коллапсирующей каверны. При этом в отличие от ленгмюровских колебаний в магнитном поле каверны сильно вытянуты вдоль поля (&2^& j_ X

X RVmIM, рис. 27).

Модуляционная неустойчивость и коллапс на частоте нижнегибридного резонанса описываются следующей системой уравнений для комплексной амплитуды потенциала и амплитуды медленных вариаций плотности [34, 35]:

д 1 М . М

1 ~ ~ 11Г М«М; (115)

. i—v[v?v?*L- (116)

д1Л М toLH Н^С 12 \ /

Уравнение для высокочастотного поля получается по аналогии с линейной теорией нижнегибридной моды, однако при его выводе учитывается нелинейность, связанная с медленной модуляцией плотности. При наличии такой модуляции дрейф замагниченных электронов со скоростью vD=c [ЕН]/№, удовлетворяющей условию divvp=0, приводит к возмущению электронной плотности dn^/di^Nn^n, что и учтено в правой части уравнения (115).

Уравнение для медленных модуляций плотности (116) получено в предположении о том, что характерный инкремент модуля- ции ^<^kxx)Te. Для электронов в этих условиях устанавливается баланс сил, действующих вдоль магнитного поля. Нелинейность связана с силой — m<(veV)u€z>, где угловые скобки, как обычно, соответствуют усреднению по быстрому времени и так же, как в (115), существен дрейф электронов.

Случай колебаний, одномерных в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, является вырожденным, так' как при' этом нелинейность возникает только при учете дрейфа электронов в направлении электрического поля, т. е. в следующем порядке по параметру ^1^не, и соответственно этому нелинейность в каждом из уравнений (И5) и (116) оказывается bVMjm раз меньше.

(117)169(117)169Детальный анализ модуляционной неустойчивости нижнегибридных колебаний проведен в [34, 35]. Приведем основные результаты этого анализа. Условие возникновения неустойчивости имеет вид:

(117)

169

(117)

169

WLH[naT> kmlMyk?R2to2Helto2pe,

где WLH— энергия нижнегибридных колебаний; к — характерное значение их волнового числа. По сравнению со случаем ленгмюровских колебаний существенно наличие малого параметра т)М в правой части условия (117). Характерное значение инкремента неустойчивости

YLH^O)LH(Al/m) (WbHltlQT^^peJ^He. (И8)

Эффективная частота столкновений vэф, определяющая скорость диссипации энергии в турбулентность, вычисляется по той же схеме, что и для ленгмюровских колебаний [см. вывод (45) и (53)]. В результате получим, что для нижнегибридных колебаний т9ф—уьн [см. (118)], а из условия баланса (54) имеем в этом случае W ьн^Е2018л,.

Модуляционная неустойчивость приводит к локализации энергии колебаний в кавернах с размерами

t (Ц9)

± у Л4 WLH tope ’ II R f т v 1 Последующий коллапс каверн описывается автомодельным решением, найденным в [35]:

/ Г . Z \ 1 / Г I 2 \

V^"P у=-> т=г); ^^F^T^fv^T’ Г=тУ <12°)

Коллапс происходит с потерей нижнегибридных плазмонов отдельной каверной по закону J J^l2^—t^—t, однако поскольку сброшенные плазмоны, как легко видеть, удовлетворяют условию модуляционной неустойчивости, они локализуются в новых кавернах и перекачиваются в процессе коллапса каверн до размеров порядка масштабов области поглощения.

Вследствие замагниченности электронов условие резонансного поглощения на электронах атакуйте (а^З-^-4—числовой коэффициент, появление которого связано с тем, что поглощение обусловлено «хвостовыми» электронами) может оказаться более жестким по сравнению с условием резонансного поглощения ионами со^ ^акиТг. Действительно, из автомодельного решения (120) имеем

®ьн1Мте VTdTek\lkR^LytoTi,(121)

и поскольку параметр kR<\ по крайней мере в плазме с горячими ионами (Гг>Те), поглощение нижнегибридных колебаний происходит в основном на ионах и приводит к образованию хвоста на ионной функции распределения.

С проблемой коллапса нижнегибридных колебаний тесно связан вопрос о механизмах диссипации энергии магнитозвуковых волн. Частота этих волн несколько меньше нижнегибридной, закон дисперсии определяется из уравнения

(122)(122), _ 2 кЧг + (М/m) №гсг [k*c*/ Ц^с1 + му ] Ю Ю LH кЧ» + (M/m) М=ре ^Чн^Н^

(122)

(122)

Особенность этого закона дисперсии связана с тем, что хотя частота квантов поля растет в местах их локализации и поэтому возможно развитие модуляционной неустойчивости, однако максимальная вариация плотности и соответственно максимальная амплитуда поля при коллапсе (£—ноо) области локализации ограничены условием

16ц | ^ (соьн—од) 1д^ън1дп.

Коллапс в этом случае невозможен, а коротковолновая перекачка энергии магнитозвуковых волн связана только с модуляционной неустойчивостью. Колебания перекачиваются в область малых длин волн

b^kLH^McR)W(123)

где рассматриваемая ветвь магнитозвуковых волн сшивается с ветвью нижнегибридных колебаний (рис. 28) и становится су

Рис. 28. Дисперсионная кривая магнитозвуковых волн в окрестноети нижнегибридного резонансаРис. 28. Дисперсионная кривая магнитозвуковых волн в окрестноети нижнегибридного резонансащественной диссипация, обусловленная коллапсом этих колебаний. Именно такая схема турбулентности магнитозвуковых волн была предложена и исследована в [36]. Изложим основные результаты этой работы.

Рис. 28. Дисперсионная кривая магнитозвуковых волн в окрестноети нижнегибридного резонанса

Рис. 28. Дисперсионная кривая магнитозвуковых волн в окрестноети нижнегибридного резонанса

При получении исходной системы уравнений можно считать,

что для магнитозвуковых волн выполнено условие ко><дре. Тогда эти волны близки к электро-

статическим (вихревая компонен

та электрического поля пренебрежимо мала), и для поперечных

компонент электрического поля в волне можно ввести потенциал

— v± ф. Система уравнений, описывающих магнитозвуковую турбулентность, отличается в этом приближении от (115) и (116) только тем, что в левой части уравнения для ф появляется новое слагаемое:

—-(/И/щ) (<02pe/to2He) (®2ьн/С2)<Р,

описывающее дисперсию магнитозвуковых волн (бсо— — &~2).

Как уже отмечалось выше, коротковолновая перекачка энергии, поглощаемой от волны накачки с частотой, меньшей нижнегибридного резонанса, осуществляется только за счет модуляционной неустойчивости. Дисперсионное уравнение, опйсывающее модуляционную неустойчивость накачки с частотой wq, волновым

вектором q и амплитудой Eq, получается по стандартной схеме линейной теории и имеет вид:

уг^ьг-г Г Е\[kg]^1/11 V1 11 ИОН

^глПоГ 62|k + qp toiLH ( qW ~ (k + q)ac2 j !]

(уравнение для возмущений с кг=0 в области волновых чисел k<kLHy

Рассмотрим случай, когда амплитуды накачки удовлетворяют условиям

tosItoLH^^^E^Tcn^T) (Mfmy<i)2pe,to2He<L (125)

Первое из этих условий соответствует применимости приближения сильной турбулентности к рассматриваемой задаче, второе означает, что за счет модуляционной неустойчивости в первую очередь должна происходить изотропизация спектра в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, а перекачка энергии по мо

дулю волнового числа должна иметь место в достаточно узком интервале частот вблизи частоты накачки Ao=|(o — со I. В этом

случае область нижнегибридного резонанса может достигаться только в результате многоступенчатой эстафетной перекачки.

Так же как для ленгмюровской турбулентности [см. вывод уравнения (46)], уравнение для эстафетной перекачки в магнитозвуковой турбулентности получается в предположении о случайных фазах волн, причем механизм размешивания фаз по-прежнему состоит в рассеянии на, флуктуациях, созданных медленными движениями плазмы. Стационарный спектр магнитозвуковых волн, устанавливающийся в результате эстафетной перекачки, определяется в этом случае из интегрального уравнения

(126)(126)С„, W2sin2O " l£k'l2 ^lh .

(126)

(126)

J кг 2 + 2№ cos Ф 16тс4п0Г с2

Как и в дисперсионном уравнении (124), здесь рассматриваются возмущения с Мья, kz=0 и область частот, отстоящая достаточно далеко от накачки, когда вкладом последней в уравнение (126) можно пренебречь; Ф — угол между векторами к и к'. В предположении об изотропии спектра в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, решение уравнения (126) имеет вид:

со2,

\ЕкА\г1^пйТ -^1п-* (^/<»ре)(127)

и соответствует приблизительно (с логарифмической точностью) равномерному распределению энергии магнитозвуковых волн по частотам, когда на интервал частот До (шаг эстафетной перекачки) приходится энергия Е\[3п. Полная энергия магнитозвуковых волн в таком спектре '

кьнI22

f dk.k —^4- « j-«О7т 2 •(128)

J 1 116ft2 8ft ° M ю1Не 4- w2pex 1

^^ c

Приведенное решение соответствует постоянному потоку энергия в сторону больших волновых чисел /^мод^^/бл (умод — инкремент эстафетной перекачки за счет модуляционной неустойчи- 172

вости). Такой поток соответствует эффективной частоте столкновений

'Уэф^умод^^оСз-(129)

Поток энергии достигает области нижнегибридного резонанса, где диссипируется в результате коллапса. Энергию колебаний в этой области можно оценить из условия постоянства потока энергии по спектру I=*v^WLh, где тэф^у^н— эффективная частота столкног вений в области нижнегибридного резонанса [см. (118)]. Итак, имеем:

■WbH^n^T (т/М) (^М^М №>М 1/2.( 1 30)

Из сравнения этой формулы со (128) следует, что основной энергосодержащей областью является длинноволновая область магнитозвуковой турбулентности.

Одно из возможных применений изложенных здесь результатов—теория бесстолкновительных , ударных волн, распространяющихся поперек магнитного поля [1]. Коротковолновая перекачка по спектру, обусловленная модуляционной неустойчивостью, и последующее поглощение на частицах создают эффективный механизм диссипации энергии нелинейной магнитозвуковой волны: Порог возникновения этого механизма существенно ниже, чем для токовых неустойчивостей на фронте волны. Структура образующейся при этом ударной волны определяется соответствующими формулами, приведенными в статье Р. 3. Сагдеева (см. [1]), с заменой частоты парных столкновений у величиной Vэф [см. (129)].

В заключение отметим, что экспериментальное наблюдение ленгмюровского коллапса стало возможным только благодаря существованию макроскопических следствий этого явления.

Мы качественно рассмотрели одно из возможных следствий коллапса — возникновение .бесстолкновительной диссипации мощной электромагнитной волны в неоднородной плазме. Не менее важны и другие его макроскопические следствия — влияние модуляционной неустойчивости и созданного ею механизма диссипации на релаксацию сильноточных электронных пучков в плазме и на генерацию электромагнитного излучения такими пучками (солнеч^ ные вспышки третьего рода).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Сагдеев Р. 3. — В кн.: Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леонтовича. Вып. 4. — М.: Атомиздат, 1964, с. 20.

Кадомцев Б. Б., Карпман В. И. — Успехи физ. наук, 1971, т. 103, с. 193.

Галеев А. А., Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. — Письма в ЖЭТФ, 1972, т. 16, с. 194.

Веденов А. А.. Рудаков Л. И. — Докл. АН СССР, 1964, т. 159, с-. 767.

Sagdeev R. Z. — Rev. Mod. Phys., 1979, vol. 51, № 1, p. 1.

Захаров В. E. — Журн. эксперим. й теорет. физ., 1972, т. 62, с. 1745.

Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. —Журн. техн, физ., 1962, т. 32, с. -1219.

Аскарьян Г. А. —Журн. эксперим. и теорет. физ., 1962, т. 42, с. 1567.

Луговой В. Н., Прохоров А- М. — Успехи физ. наук, 1973, у. 111, с. 203.

173

Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., Сигов Ю. С., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Физика плазмы, 1975, т. 1, с. 10.,

Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1977, т. 73, с. 1352.

Рудаков Л. И, —Докл. АН СССР, 1972, т. 207, с. 821.

Басс Ф. Т., Файнберг Я. Б., Шапиро В. Д, — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1965, т. 49, с. 329.

Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Письма в ЖЭТФ, 1976, т 24, с. 25.

Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И.—Физика плазмы, 1980, т. 6, с. 377.

Силин В. П. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1965, т. 48, с. 1679.

Дегтярев Л. М., Захаров В. Е., Рудаков Л. И. —Там же, 1975, с. 68, с. 115.

Дегтярев Л. М., Захаров В. Е. — Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, с. 9.

Дегтярев Л. М., Захаров В. Е., Рудаков Л. И. — Физика плазмы, 1976, т 2 с 438

Дегтярев Л. М., Сагдеев Р. 3., Соловьев Г. И., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Там же, 1980, т. 6, с. 485.

Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Гостехтеориздат, 1959.

Красносельских В. В., Сотников В. И. — Физика плазмы, 1977, т. 3, с. 872.

Pelleiter G. — Phys. Rev. Lett., 1982, vol. 49, p. 782.

Kindel J. M., Bezzerides B., Forslund W. e. a. — In: Proc. 10th European Conf, on Controlled Fusion and Plasma Physics. Contribut. papers. Vol. 1. — M., 1981, p. F 12.

Рубенчик A. M. Препринт № 125 Ин-та автоматики и телеметрии СО АН СССР. Новосибирск, 1980.

Соловьев Г. И., Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И., Юсупов И. У. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1982, т. 82, с. 125.

Андреев Н. Е., Силин В. П. — Физика плазмы, 1978, т. 4, с. 908.

Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Успехи физ. наук, 1975, т. 116, с. 546.

Дегтярев Л. М., Сагдеев ,Р. 3., Соловьев Г. И., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. Препринт ИКИ Пр-768. М., 1983.

Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме.— М.: Физматгиз, 1960.

Mulser Р., Van Kessel С. — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 38, p. 902.

Липатов A. C. — Письма в ЖЭТФ, 1977, т. 26, с. 516.

Петвиашвили В. И. — Физика плазмы, 1976, т. 2, с. 450.

Мушер С. Л., Стурман Б. И. — Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 22, с. 537.

Сотников В. И., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Физика плазмы, 1978, т. 4, с. 450.

Сагдеев Р. 3., Сотников В. И., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Письма в ЖЭТФ, 1977, с. 26, с. 747.

ПЕРЕНОРМИРОВКИ В ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ*

ДЖОН А. КРОММЕС

ВВЕДЕНИЕ

При подготовке данного обзора по применению перенормировок в физике плазмы я столкнулся с двумя довольно неприятными фактами. Хотя общая теория перенормировок, видимо, достаточно

обоснована (несмотря на то, что не решены отдельные важные и трудные вопросы), случаи успешного (т. е. получившие признание) применения общего формализма на практике удивительно редки, если вообще есть. Конечно, начиная с первых дней квазилинейной теории, многократно производились вычисления, включающие некоторые аспекты перенормировок и имеющие прикладную направленность. Каждое из этих вычислений добавляло к нашему пониманию стохастичности и турбулентности в плазме. Но, к сожалению, пока обоснованность большинства первых расчетов была неясна или сомнительна, у научной общественности в целом возникло предубеждение к любым статистическим вычислениям, которые пытаются выйти за рамки регулярной теории возмущений. В некоторых случаях скептицизм поднимался до догмы: «Теория перенормировок в плазменной турбулентности не может ничего предложить практику относительно законов подобия и процессов переноса в реальных устройствах».

Прежде чем попытаться исправить это впечатление, позвольте мне упомянуть второй неприятный момент, который не связан с первым. Внимательное изучение основных работ по перенормировке и турбулентности в физике плазмы показывает их недостаточный контакт (замечательный в историческом плане) с идеями и методами других областей, особенно динамики жидкости. (Я не собираюсь утверждать, что одни только специалисты по физике плазмы несут ответственность за этот недостаток.) Есть, конечно, некоторое оправдание: до тех пор, пока плазма рассматривается как система слабовзаимодействующих волн и частиц, а простая жидкость Навье — Стокса как система сильновзаимодействующих быстро распадающихся вихрей, математический и физический анализ этих двух систем будет представляться совершенно различным. Однако перенормировка в физике плазмы требуется главным образом для описания неволновых явлений: низкочастотных гидродинамических возбуждений (конвективных ячеек), грануляции в фазовом пространстве (образование кластеров) и т. д. Для этих явлений различие физической природы и математического анализа между плазмой и жидкостью в значительной мере стирается. Тем не менее взаимный обмен идеями между этими областями был слабее, чем следует. Так, возможно, одним из наиболее важных приближений в классической нелинейной физике является приближение прямого взаимодействия (ППВ). Впервые оно было введено для жидкостей в 1958 г., для общих систем с квадратичной нелинейностью — в 1961 г. и специально для бесстолкновительной плазмы —в 1967 г. Несмотря на это, оно, по-видимому, почти иолностью игнорировалось большинством теоретиков плазмы до тех пор, пока совсем недавно, в 1976 г. автор, так же как и другие, не оценили возникающую благодаря ППВ эффективную унификацию и общность многих разнообразных теорий. По-видимому, только сейчас к ППВ обращено наконец-то должное внимание. Другие стандартные методы динамики жидкости, критических явлений и других областей современной физики также сле-

дует проверить относительно возможности их применения в физике плазмы. Можно надеяться, что тенденция к унификации сохранится и в дальнейшем. Любой другой путь был бы плачевным в научном плане и в итоге, вероятно, вредным для нормального, развития исследований по управляемому термоядерному синтезу/ астрофизики и других дисциплин, в которых важны основы физи-" ки плазмы.

- Позвольте мне вернуться к проблеме достоверности теории. По моему мнению, хотя многое из раннего скептицизма было оправдано, в последние годы резко усилились наша способность делать разумные приближения," а также наше понимание общей структуры и смысла перенормированных теорий. Например, ППВ или другие, родственные ему, дают обоснованную точку отсчета для многих практических приложений. Правда, ППВ и подобные процедуры, замыкания , достаточно сложны, и могут потребоваться дальнейшие приближения. Однако они дают по крайней мере подходящую основу. Смогут или нет простые эвристические и размерностные рассуждения дать соответствующие законы подобия в частных прикладных задачах, наше новое понимание структуры теории в итоге явится (я утверждаю)_ тем, что убедит нас в правильности этих законов. В любом случае только последовательно выведенные уравнения дают возможность получать точные числа. Этот момент нельзя игнорировать, учитывая очень значительные усилия, которые были сделаны для точного определения порогов, линейной устойчивости.

Позвольте мне привести здесь несколько слов о самой статье. Вследствие жесткого ограничения объема статьи я не пытался развивать какой-либо вопрос со всей полнотой. История вопроса дается вкратце, представлены, как методы, так и попытки практических вычислений. Тем не менее историческое развитие было существенно для настоящего состояния теории; я прошу понимания и прощения у тех многих авторов, кто не- был мною упомянут.

Статья содержит мало нового материала и предназначена для неспециалиста. По замыслу уровень трудности колеблется значительно (хотя, надеюсь, не чрезмерно). В статье подчеркиваются скорее основы методов и их идещ чем приложения/ Здесь специально не выявляется связь между описываемыми методами и проблемами термоядерных исследований —- области, которая, с - точки зрения турбулентности, разработана слабо и недостаточно. Далее, несмотря на их важность, я существенно или полностью опустил несколько широких тем, включая приближенные методы для силь- но'взаимодействующей плазмы, ленгмюровскую турбулентность, насыщение параметрических неустойчивостей, большинство аспектов гидродинамического равновесия и дискретность частиц. Однако ссылки на литературу по этим вопросам приведены, и если техника, обсуждаемая в этой статье, усвоена, то эти работы окажутся доступны.

Наконец, я хочу поблагодарить всех тех, кто содействовал или моему пониманию физики, или подготовке данной рукописи. За [76

последнее я особенно благодарен Бобу Кливе, Майку Котшенрей- теру, Герри Майнику и Филиппу Симилону, которые тщательно прочли первый вариант рукописи и предложили много значительных усовершенствований. Специального упоминания заслуживает Карл Оберман, который-был сначала консультантом, а затем стал соавтором и другом; он пробудил во мне интерес к данной области и указал на необходимость и важность твердых основ теории. Он был для меня постоянным источником вдохновения, терпения и настойчивости, за что я всегда буду благодарен ему.

ПЕРЕНОРМИРОВКА И ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

Рассмотрим задачу измерения свойств классической плазмы. В идеальном эксперименте можно ввести точечные зонды, совершенно не возмущающие плазму. Это позволит измерить распределение некоторой величины Q, например локального электромагнитного поля, плотности частиц или температуры, как функции времени. Конечно, из-за неизбежных флуктуаций, имеющихся во всех системах, зондовые записи, вероятно,, будут крайне нерегулярными, с мелкой или неразличимой когерентной структурой. Пусть теперь эксперимент повторится много раз. Если эксперимент определяется небольшим числом макроскопических параметров (например, полным давлением, температурой стенки, током омического нагрева и т. д.) и если зонд измеряет микроскопические' величины, то зондовые записи каждой реализации будут совершенно различны в деталях. Тем не менее средние по ансамблю реализаций значения будут давать гладкую информацию, воспроизводимую, если проводится другой ансамбль идентичных макроскопических экспериментов. Может оказаться, что среднее значение <Q> равно нулю, а двухвременная корреляция С^ f) = = <6Q(/)6Q(//)> (гДе SQ = Q—<Q>) — функция только разности времен T=t—f (статистическая стационарность). Очень часто С(т) спадает до нуля с ростом т. Структура С(т) и, в частности, скорость распада корреляций будут связаны с линейными и внутренними нелинейными свойствами плазмы и, таким образом, вероятно, окажутся полезны для диагностики. С более общей точки зрения будем называть средние по ансамблю, подобные С, «наблюдаемыми». Эта терминология квантовой механики; здесь мы намереваемся предложить усреднение,, с помощью .которого исключается нежелательная в общем случае микроструктура системы и возникает несколько производных («наблюдаемых») чисел, подобных скорости распада корреляций или коэффициентам переноса. Теперь можно сказать, что теория перенормировок-^ это наука правильного вычисления наблюдаемых. Как мы увидим, простейшая теория возмущений неудовлетворительна в этом отношении, предсказывая наличие нефизических особенностей. Таким образом, перенормировка как" метод оказывается действенней теории возмущений. t

В последующих параграфах перенормировка используется в ряде сложных, но-* важных приложений: -сильнотурбулентная бес- 12-^3283 177

столкновительная плазма, сильнотурбулентная жидкость типа Навье — Стокса, стохастические магнитные поля и т. д. Здесь полезно рассмотреть несколько простых примеров, в которых физические и математические проблемы, возникающие в перенормированной теории, могут быть разрешены точно при минимуме сложности. Рассмотрим сначала слабозатухающий осциллятор

x±2vsgn/x+<B2oX=O, х(0) = 1, х(0) =0,(1)

где v/®o<Cl (близкий, хотя и более сложный пример обсуждается Мартином и др. [1, примечание 22]). Смещение х может физически представлять собой амплитуду электрического поля некоторой плазменной волны. Для решения уравнения (1) удобно ввести односторонние переменные

хД^=Н^хЦУ x-(t)=H(-t)x(t)(2)

{где Н(Z) — функция Хевисайда], так что

х(/)=х+(/)+х-(/).(3)

Тогда х+ удовлетворяет уравнению

x++2vx++<02oX+=6'(O+2v6(O,(4)

а его решение, которое легко получается фурье-преобразованием, есть

х+ (t) = Н ^ exp (—vf) cos(Qo/) + -^- sin(Q,/)l;(5)

Q0^«-v2)1/2.(6)

Из уравнений (1) и (2) следует х-^ =х+(—/), так что находимИз уравнений (1) и (2) следует х-^ =х+(—/), так что находимх ^ = exp (—v 1t1) cos (Qo() -]- 4vto20v^ — (to2—co2,) +4v2w2 ="2Tх ^ = exp (—v 1t1) cos (Qo() -]- 4vto20v^ — (to2—co2,) +4v2w2 ="2TsinQ, p |sinQ, p |22,—to(to_2o)2 + v222,—to(to_2o)2 + v2«x[8 (co— Qo) + 8 (^+ $<>)]•«x[8 (co— Qo) + 8 (^+ $<>)]•(7)(8)(9)(7)(8)(9)

Из уравнений (1) и (2) следует х-^ =х+(—/), так что находим

Из уравнений (1) и (2) следует х-^ =х+(—/), так что находим

х ^ = exp (—v 1t1) cos (Qo() -]-

4vto20v

^ — (to2—co2,) +4v2w2 ="2T

х ^ = exp (—v 1t1) cos (Qo() -]-

4vto20v

^ — (to2—co2,) +4v2w2 ="2T

sinQ, p |

sinQ, p |

22,—to

(to_2o)2 + v2

22,—to

(to_2o)2 + v2

«x[8 (co— Qo) + 8 (^+ $<>)]•

«x[8 (co— Qo) + 8 (^+ $<>)]•

(7)

(8)

(9)

(7)

(8)

(9)

Итак, ^спектр» состоит из двух линий равной высоты л и ширины v, смещенных от частоты незатухающего осциллятора на величину 6(0о/с0о = (Йо—СОо) /(Оо^—V2/(i)2o«(Ю)

(Обычно спектр определяется в терминах статистического среднего от интенсивности осциллятора. Это техническое различие несущественно для вводного примера.) Ширину и сдвиг линии вычислить в регулярной теории возмущений при малых л нелегко. Действительно, в теории возмущений первого порядка

^14*<о2оХ1 = 2vsgn/x0= 2vcoosin (jQ>o I ^ 1) (11)

появляется резонанс на невозмущенной частоте (о0, так что Xj. имеет особенность, хотя в первом порядке

хс^ (1— v | £ | )cos(coo^). (12)

В общем случае в n-м порядке теории возмущений в результате- получаются первые п+1 членов разложения Тейлора решением (8) около v = 0. Это никак не приводит к сдвигу линии и указывает на верное значение ширины только через масштаб, на котором образуется особенность. Мы говорим, что результат (8), не имеющий особенность, перенормирован вследствие затухания v. Если попытаться получить ответ с помощью регулярной теории, возмущений, то, чтобы получить перенормированный результат без особенности, придется суммировать бесконечные ряды, каждое слагаемое которых расходится. В физических задачах коэффициент трения v часто появляется вследствие статистических эффектов нелинейного взаимодействия с ансамблем других осцилляторов, например нормальных мод плазмы. Главная цель этой статьи — показать, как, обходясь без громоздкого суммирования рядов, обращаться с этими нелинейными и в особенности случайными взаимодействиями и получать физически разумный, перенормированный результат, аналогичный (8).

Рассмотрим теперь более реальный эксперимент, в котором зонды возмущают плазму. Например, вокруг зонда могут образовываться слои, которые физически перенормируют размер, форму и характеристики зонда. Чтобы в этом случае интерпретировать, показания зонда, придется понять линейные и нелинейные процессы, ведущие к перенормировке, и затем «обратить» результат. В качестве простого примера таких процессов рассмотрим статическое дебаевское экранирование. В линейной теории распределение потенциала вокруг статического пробного заряда

ф(г) = Qexp(—гДл)/г (13) может быть записано в терминах «перенормированного заряда» Q(r):

v(r)=Q(r)/r; (14)

Q(r)=Qexp(—r/Xo). (15)

В эксперименте измеряется <р(г). Определить величину Q голого пробного заряда можно только при условии, что известны его положение и соответствующий закон дебаевского экранирования. Далее, хотя в линейном случае дебаевское экранирование хорошо известно, оно модифицируется, если включить нелинейные эффекты. При этом более удобно работать в фурье-пространстве. Полный потенциал в первом порядке по величине пробного заряда

^k=^uQk\k\ Q^ = Q/e(k, 0), (16) где 8 (к, со) — диэлектрическая проницаемость плазмы. Перенормированный закон для пробных зарядов получается тогда из (перенормированной) теории низкочастотной диэлектрической проницаемости. Мы покажем, как находить е при наличии турбу- 12*' 179

лентности и как извлекать из этого пользу. Можно заметить также, что при конечной частоте е дает главную часть нелинейного описания нормальной волны в плазме и, таким образом, видна связь с предыдущим примером.

Другой случай перенормировки возникает в теории низкочастотных, длинноволновых «гидродинамических» колебаний плазмы, которые адекватно описываются уравнениями жидкости. При наличии неустойчивостей колебания легко могут дорасти до уровня, при котором энергия флуктуаций контролируется нелинейными процессами. Тогда для описания наблюдаемых и средней скорости обмена энергией между различными масштабами турбулентности требуется понимание того, как отдельный элемент жидкости сжимается и растягивается всеми другими. Поскольку деформации нелинейные и случайные и в общем случае их временные масштабы более коротки по сравнению с временами линейной вязкости или омической диссипации, перенормировка оказывается важной^

Турбулентные деформации жидких элементов аналогичны хаотическому движению элементов фазового пространства, описываемого полным уравнением Власова. Фундаментальным процессом здесь является стохастическая неустойчивость, ответственная за случайные блуждания отдельных траекторий и их экспоненциально быстрое расхождение. Для описания этих по своей сути нелинейных и статистических явлений существенна перенормировка.

Далее статья организована следующим образом. В § 2 описана точно решаемая модель — стохастический осциллятор, на примере которого со всеми деталями могут быть продемонстрированы многие проблемы и методы перенормировки в статической теории. В § 3 и 4 в простых терминах обсуждается использование перенормировки в нескольких представляющих физический интерес приложениях: диффузия , пробных частиц —в § 3, несколько гидродинамических примеров —в § 4. В § 5, следуя оригинальным работам, выводят приближение прямого взаимодействия (ППВ), которое в некотором смысле есть самое главное приближение всех перенормировок. Далее по всей статье Л ПВ образует центральный момент изложения. В § 6, наиболее трудном с технической точки зрения, обсуждаются некоторые аспекты последовательных методов, развитых для построения и оправдания различных перенормировок, включая ППВ. В § 7 рассматриваются более детально некоторые задачи гидродинамики плазмы, включая качественное и количественное описание каскадной перекачки энергии в инерционном интервале. В § 8 показано, как вычислять перенормированную диэлектрическую проницаемость, затем, кратко описаны главные особенности нескольких прикладных задач. В § 9 дано детальное описание уравнений самосогласованных флуктуаций в турбулентной бесстолкновительной плазме, а также их насыщение. Кроме того, здесь обсуждается концепция грануляции, в фазовом пространстве. В § 10 коротко упоминаются различные приложения и методы, включая задачу описания стохастических магнитных по- 180

лей. В § 11 содержится несколько заключительных комментариев. В приложении А обзор теории кумулянтов, которые широко используются по всей статье. В приложении В собраны обозначения фурье-преобразования и связанные с ним формулы.

СТОХАСТИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Введение. В этом разделе с разумной полнотой обсуждается уравнение-прототип, которое включает многие особенности и трудности любой статистической задачи, требующей перенормировки, но которое точно решается. Точное решение служит точкой отсчета, с которой можно сравнивать приближенные теории. Данная модель — один из вариантов уравнения, впервые обсуждавшегося Крейчнаном [2] и Кубо [3] (см. имеющиеся там ссылки):

»+М)ф(г) = 0. (17)

Здесь со —- стационарный центрированный гауссов стохастический процесс, не зависящий функционально от ф. Ансамбль начальных условий мы задаем так, что ф является стационарным процессом с нулевым средним, имеющим одновременные гауссовы моменты —- в частности, <|ф(0) |2>=и20. (Таким образом, настоящая формулировка слегка, но не существенно отличается, от даваемой первоначально, в которой требовалось ф(0)=1. Наш выбор ближе к задачам, описываемым уравнениями Власова и сходными с ними.) Цель —найти статистическое решение уравнения (17). В общем случае это подразумевает определение всех многовременных моментов ф. Однако мы сосредоточимся на определении двухточечной корреляционной функции С(/, t') =бф(06ф* (О = C(t—t') и определенной ниже функции Грина R(t; t'). Важно заметить, что, поскольку случайный коэффициент со входит в уравнение (17) мультипликативно, статистика ф в общем случае не является гауссовой, а скорее нелинейно зависит от статистики со. Мы говорим, что уравнение (17) статистически нелинейно, отличая его таким образом от задач с динамической нелинейностью, в которых случайный коэффициент сам зависит функционально от ф. Практическими примерами динамически нелинейных уравнений являются уравнения Навье —- Стокса (см. § 4 и 7) и Власова (§ 8 и 9), в то время как практической задачей, содержащей стохастическую нелинейность, является описание переноса частиц в стохастических магнитных полях, создаваемых заданными внешними возмущениями (см. п. 10.1).

В п. 2.2 уравнение (17) решено точно. Однако в практических задачах функции со заменяется сложным интегродифференциаль- ным оператором, и обычно общее решение невозможно получить в обозримом виде. Вместо точного решения первым очевидным приближением будет усреднение уравнения (17) по независимым распределениям (о и ф(0):

. . . 4r<^>Vx<^>-Q. (18)

(То, что здесь <ф> равно нулю тождественно, не уменьшает общности последующих рассуждений; подобные процедуры возможны и с корреляционными функциями.) Мы можем разложить оба процесса о и ф на среднюю и флуктуирующую составляющие

0) = <G)> + 6to, ф = <ф> + бф,(19)

так что

-^-<^>H-i <№><Ф>Ч-1 <S(oS<P> = °-(20)

По предположению <(о> = 0. Однако уравнение (20) не является замкнутым для <ф>; наоборот, появилась неизвестная смешанная двухточечная корреляция <6(о6ф>. Уравнение (20) фактически является первым в иерархии уравнений подобной известной цепочки ББГКИ в физике многих тел (см. статью С. Р. Обермана, Е. А. Вильямса в т. 1), в которой n-точечные корреляции определяются (n+1)-точечными. Это хорошо известная проблема замыкания. Чтобы продвинуться далее, ищут приближенное выражение некоторой n-точечной функции через функции низшего порядка, получая таким образом замкнутую систему связанных уравнений для этих функций. Большинство теорий перенормировки связано с эффективным и аккуратным использованием этой процедуры.

В дальнейшем мы будем часто использовать так называемые кумулянтные функции (возможно, лучше известные специалистам по кинетической теории многих тел как «кластерные функции» или «непреводимые части»). Они определены и обсуждаются в приложении А. Читателя, незнакомого с кумулянтами, отсылаем к приложению А.

Стохастический осциллятор. Точное решение. Поскольку обратимость во времени подразумевает, что С(—т)=С(т), то достаточно вычислить С(т) для т>0. Поэтому определим одностороннюю функцию

С+(т)=Я(т)С(т).(21)

Используя уравнение (17), находим

4i" С+ Н + i <8» (г) 8ф (г) Зф* (0)> = 8 (т) С (0).(22)

Точные начальные условия несущественны в структуре уравнения (21). Мы избавимся от них, если определим R— стохастическую «функцию^отклика» на малые возмущения согласно

R^n=^t^W^.(23)

[здесь г](0 — неслучайный источник, введенный в правую часть уравнения (17)] и среднюю функцию отклика R

R(t; f)=<R(^ п>.(24)

Величина Д удовлетворяет уравнению

dR । io) (т) R (т) = 8 (т)

и, таким образом, является функцией Грина уравнения (17), так 182

что эволюция ^(t) от ее начального значения при t=0 дается согласно

(26)(26)W=£tt 0)ф(0).

(26)

(26)

Тогда вследствие предположенной независимости ® от ф(0) находим

С(т)=<^(т; 0)><^(0)1|,*(0)>==2?(т)С(0) (т>0).(27)

Это соотношение вытекает также непосредственно из уравнения (22), если заметить, что R— функция Грина этого уравнения.

(28)(29)(28)(29)Точное решение уравнения (25) есть [3]

(28)

(29)

(28)

(29)

R^= Н (t) expR^= Н (t) exp

R^= Н (t) exp

R^= Н (t) exp

Определим ковариантную матрицу

F(t, H—^to^Mt'^ — Flt-t').

Тогда кумулянтное разложение, (см. приложение А) или прямое усреднение по предполагаемому для со .распределению Гаусса приводит к

R^ = Н (т) ехрR^ = Н (т) ехр

R^ = Н (т) ехр

R^ = Н (т) ехр

(30)(30)— Н (т) ехр

(30)

(30)

о

Примем для определенности, что

F (т) = Р2ехр (—Т/Тас) ,(31)

где ^=<Ь(дЧУ12 и Тас (время автокорреляции) являются заданными числами. Тогда динамическое поведение задается безразмерным параметром — так называемым числом Кубо —- К=^тас Если мы нормируем время на тас

т=т1%ас,(32)

то получаемR (^ = Н (т) ехр [—№ (т — 1 + е-х)].(33)

Таблица 1. Пределы функции отклика стохастического осциллятора с гауссовым коэффициентом

Область определения

Функция отклика

безразмерная

размерная

< 1 (tOac)

ехр ( — 1/2^7)2

ехр (—1/2^?)

т > 1 (т > тас)

ехр ^ — КЧ^

ехр (— &Част)

В табл. 1 даны предельные значения этого выражения при больших и малых временах. Можно записать по-другому:

Я (и) = Н ^ ехрЯ (и) = Н ^ ехр— j dV-v (V) . о— j dV-v (V) . о(34)(34)

Я (и) = Н ^ ехр

Я (и) = Н ^ ехр

— j dV-v (V) . о

— j dV-v (V) . о

(34)

(34)

где

(35)(35)v(x) = №(l -е~х).

(35)

(35)

Рассмотрим поведение R, а следовательно, и С при временах, больших времени автокорреляции (т>1). В этом пределе v(t)-> -^Л2^const и R затухает экспоненциально:

^ехр(-ЛЧ).(36)

Теперь теорема Дуба (см. [4]) позволяет нам считать, что в этом пределе Ф приближенно гауссовский процесс. Дело в том, что быстрые флуктуации в ансамбле приводят к декорреляции за времена Тас. Таким образом, если мы огрубим систему, разделив временную ось на интервалы Дт, удовлетворяющие ТаС^Ат<ср-1, то состояние системы в момент т не будет зависеть от детального хода процесса на предшествующем интервале времени, .и в дискретном времени система будет гауссовой (см. [4]). Все это подразумевает возможность моделирования нелинейного слагаемого включением гладкого трения v(oo) =v(v=v/toc) и источника белого шума Ц1) ^+v^7(0 ^>0).(37)

Интенсивность / задается требованием, чтобы вынужденные колебания <|ф(012) согласовались с предполагаемой интенсивностью С(°)

<ГЬ) №) > = 2«2.v8 (т) .(38)

В § 5 и 10 обсуждается, как приближенно найти представление типа Ланжевена для формулы (38), не имея полного знания точного решения.

Из уравнения (34) видно, что для всех времен можно записать

(39)

Уравнения в форме (39), в которых R(t) зависит только от R, в тот же момент времени т часто называются марковскими. Существует формальная техника [5], позволяющая найти марковское представление для любого данного уравнения общего вида (17). В общем случае, однако, это не так. Уравнение (39) не является «огрубленным» по времени и описывает точную динамику, включая влияние событий в прошлом на настоящее; уравнение (37) записано в «грубом» времени и не содержит никаких нелокальных эффектов.-

1*84

При бесконечном времени автокорреляции или бесконечно большом числе. Кубо, /?—ехр(—1/2£2/2), в этом пределе статистика ф оказывается сильно не гауссовой. Как видно из дальнейшего, этот предел представляет особенно трудный тест для приближенных теорий. Дело в том, что при К-^оо в уравнении (17) доминирует нелинейный член, и стандартная теория возмущений совершенно несостоятельна. Этот предел является прототипом турбулентности Навье—Стокса при больших числах Рейнольдса.. Мы будем иметь возможность изучить в плазме оба предельных случая малого и большого времени автокорреляции. Системы с малым Час содержат волноподобные флуктуации с широким спектром (см. § 3), в то время как большие Тас возникают в теории гидродинамических возбуждений (см. § 4 и 7)<

Приближенные теории для стохастического осциллятора. В пределе малых К можно попытаться решить уравнение (17) с помощью регулярной теории возмущений. Таким образом, как легко видеть, получается разложение Тейлора точного решения [2]. Поскольку любое обрезание конечного порядка этого разложения содержит сингулярности, эта процедура не приводит к успеху при вычислениях для физически интересных времен до тех пор, пока мы не научились суммировать ряды возмущений вб всех порядках—это в общем случае трудная задача. Суть проблемы можно показать решением в марковском пределе 1>тас. В теории возмущений часто удобно работать в фурье-пространстве, поэтому рассмотрим фурье-преобразование уравнения (36):

^^[-i^+iv)]-1.(40)

Если считать v малым_и раскладывать R» в ряд по v, приходим к

^ = ^0)-^<0) + -.(41)

где

^^[-Цш + Ю)]-1.(42)

После обратного фурье-преобразования уравнение (42) приводит к =+(43)

тейлоровскому разложению выражения (36). Конечно, трудность этого подхода заключается в том, что выражение (40) есть резонансная функция

R^=;(ico+v) / (co2+v2).(44)

Частоты около резонанса o><v невелики по сравнению с v. Поскольку из принципа неопределенности следует, что низкие частоты определяют характерное поведение при больших временах, мы ожидаем, что долговременное поведение плохо описывается конечным порядком высокочастотного разложения (41). Этот вывод находится в соответствии с точным результатом.

Более полезным приближением является построение статистического анзаца. Построим интегральную форму точного уравнения (17) и подставим результат в уравнение (21)

W + J dV <«, (г) <о (х') R (V)> = 8 (г).(45)

О

Тройная корреляция имеет следующее кумулянтное разложение (приложение А, [2]):

<0> (т) <0 (V) R (т')> = <0) (т)> <<0 (t')> <R ^')> -]-

-|—<8<d (т) 8<i) (т')> <R (^У> + <6«> (t) SR (т')> <® С1')/” +

+ <® (х)> <^д (т') ^R (т')> +

+ <® (т) ® 0е') R Х/^ = F (t — t’) R (г') + <?>/>.(46)

Если предположить, что совместная статистика со и ф приближенно гауссова, так, что тройной кумулянт можно не учитывать, то приходим к так называемому приближению Буре [6, 7]

Я ^ + J d^F (7) R (г - г") = 8(г).(47)

о

С помощью теоремы о свертке уравнение (47) можно решить, используя фурье-преобразование

R w = У ^ ехР (-i<0T) Ню+(F+U"<48>

где, как обычно, F+ (т) = Н (т) F (г). В специальном случае (31) находим

R^ = H^ expf-^X

ch(|%h) -1-4- (|«,J x^-^shdojx) (/<>1/2);(49а)

АIcos^x)-4-А (ш,^)-1 sin (а>от) (7<<1/2),(496)

где 0)о^(^-1/4г;с2)1/2.(50)

При К <^1/2 l^ol2^ "4" ^ (1 — 2/<2) и нетрудно проверить, что

в пределе больших времен равенство (49а) согласуется с истинным ответом [см. уравнение (36) и табл. 1]. Однако равенство (496) оказывается совершенно неверно в случае /С^>1/2, когда Р-1 — самый короткий масштаб времени. Здесь, при рт ^ 1 правильный ответ есть /?^ехр f§-р2тН’ вместо которого в (496)

вследствие гипотезы о гауссовой статистике неверно получаются колебания с частотой соо—р. В пределе /С->оо приближенное решение R—cos^t и совершенно не затухает. Видно, однако, что ку- мулянтное разложение правильно дает первые два члена точного результата, /^l —1/2£2т2.

Чтобы эвристически получить улучшенные уравнения для R в пределе больших К, введем функцию Грина нулевого порядка

RW^=H^(51)

[ср. уравнение (42)] и перепишем уравнение (45) в виде

R « + J^<“ ^ RW ^ - V) <» (г') R^> = 8 (г).(52)

О

Теперь кумулянтное разложение уравнения (46) будет

<о) (г) R^ (х - ^ Ю (х') R (V)> =

= R^ (х — х') F (х — х') R (V) -]~ <^to(oR^>.(53)

Мы знаем, что при больших К нельзя пренебрегать третьим кумулянтом, так как статистика нс гауссова. Однако появление в уравнении (53) в режиме сильной нелинейности невозмущенного пропагатора Rw есть что-то незаконное. Эвристически* можно утверждать, что одно из следствий содержащейся в <Cco(o£i> нелинейности состоит в перенормировке функции отклика согласно R^-^R, так что уравнение (53) можно переписать по-другому:

О (х) R^ (х - х') о) (V^R (х')> = R (х - х') F (х - х') R (х') + С\,(54)

определяя, таким образом, некоторый остаточный кумулянт С'3. Если опустить С'3 без дальнейшего обоснования, то придем к нелинейному уравнению

^R^V^R^F^W-7) = 8(t).(55)

О

Проведенная выше важная процедура замыкания называется приближением прямого взаимодействия (ППВ), которое было выведено впервые при рассмотрении стохастического осциллятора Крейчнаном [2]. Можно дать более глубокий и последовательный вывод ППВ (см. § 5 и 6). Здесь следует подчеркнуть, что для задач, содержащих динамическую нелинейность, ППВ оказывается более сложным. Более детально это обсуждается далее.

Ясно, что ППВ сводится к приближению Буре, если i/?(r) спадает медленнее, чем F^, т. е. при К<С1. Однако в противоположном пределе они различаются значительно. Крейчнан рассмотрел экстремальный случай /С=оо, в котором ^(т)^^2, и уравнение (55) решается точно с помощью фурье-преобразования:

/?(т)=Я(т)Л(2рт)/рт.(56)

187

В работе [2] приведен график формулы (56) совместно с точным решением. В отличие от приближения Буре в ППВ R^t) спадает за истинное характерное время р-1, хотя и осциллируя, причем огибающая спадает скорее алгебраически, чем экспоненциально. Однако площадь под кривой

ОО

Л=у^ехр(—(57) о

очень хорошо с погрешностью до 20% аппроксимируется ППВ:

(58)

О

Данное согласие имеет важное значение. Во многих приложениях коэффициенты переноса определяются временными интегралами от функции отклика или корреляционной функции и более чувствительны к глобальным свойствам, подобным площади под кривой, чем к детальной структуре.

Крейчнан показал [2], как получить ППВ для стохастического осциллятора, суммируя определенные последовательности рядов теории возмущений. Он использовал также эту технику для проведения различных перенормировок высших порядков. Одна из* них оказалась очень удачной и дала превосходное согласие с точным решением; другие расходились очень сильно, хотя, на первый взгляд, казались так же хорошо мотивированными, как и первая. К этому вопросу мы вернемся в § 6, где будем строить последовательную теорию перенормировок. Там же мы обсудим успешную перенормировку высокого порядка и попробуем привести некоторые интуитивные соображения, объясняющие, почему другие аппроксимации оказались неудачными. Однако в следующих двух разделах мы сначала обсудим различные физические приложения эвристической - перенормировки.

Дополнительная литература по материалу этого раздела приведена в статьях Лесли [8], Фриша и Буре [9] и Кука [10].

ДИФФУЗИЯ ПРОБНОЙ ЧАСТИЦЫ В ДИСКРЕТНОМ СПЕКТРЕ

Введение. Элементарные сведения о диффузии пробных частиц в слаботурбулентной плазме были известны в форме квазилинейной теории (КЛТ) [11,\12] почти с самого начала теоретических исследований по физике плазмы. Однако только в последние годы полностью были поняты закладываемые как физические, так и математические фундаментальные предположения; фактически здесь до сих пор остаются отдельные вопросы. В этом разделе делается введение в эту проблему (см. также [13J). Лежащим в основе КЛТ физическим процессом является стохастическая неустойчивость, ее фундаментальное математическое обоснование включает перенормировку.

Предположим, что в одномерной плазме длиной L существуют электромагнитные волны, имеющие однородный стационарный дискретный спектр флуктуаций, описываемый-

<6E6E>k,to=2л<6£2>,6 [о)-(о (&) ].(59)

Основная гипотеза КЛТ состоит в том, что резонансные частицы диффундируют в пространстве скоростей в соответствии с коэффициентом диффузии- t

D (у) — it (qlmf 2 <6f2>feS [(ti (&) — H(60)

или в пределе непрерывного спектра L-^oo (относительно обозначений см. приложение Б)

D^ = T^qlm^ ^<^>^Ц<Ц^-Н(61)

Формулы (60) и (61) далеко не эквивалентны, даже в пределе,, когда L->oo. Формула (60) описывает очень сингулярную функцию скорости, конечную при резонансе волна — частица и равную- нулю вне его. Однако коэффициент диффузии (61) есть гладкая функция скорости. Как будет объяснено ниже, фактически эта формула правильна даже для дискретного спектра. Далее будет показано, что диффузионное описание справедливо только в случае, когда перекрываются острова в пространстве скоростей. При этом нелинейное перемешивание стохастически неустойчивых траекторий дает уширение резонанса, которое перенормирует пропагатор линейной теории и сглаживает имеющиеся в (60) сингулярности, так, что интегральное выражение (61) является хорошим приближением даже в случае дискретного спектра.

Стохастическая неустойчивость и диффузия пробных частиц. Природа стохастической неустойчивости детально рассматривается в ряде работ ([14, гл. 3.5, 15—17] и см. имеющиеся там ссылки). Здесь мы суммируем фундаментальные результаты, которые далее нам понадобятся. Движение пробной частицы в дискретном спектре колебаний описывается гамильтонианом:

Н (х, р; f) — р^пгYq^^k ехРi [^ — ш (&) П•(62)

к

Чтобы выявить .структуру траекторий в фазовом пространстве^ выделим члены, соответствующие одному резонансу волна —- частица:,

//A, = p2/2/n+2^(p^cos [&х—со (6) /].(63)

Поскольку Ни не сохраняется, удобно перейти в систему отсчета волны, используя производящую функцию [18]

S(x, Р) = (Р+тУф) (х—уФ0, '(64)

где иф = (о/^. Если переопределить нуль энергии так, чтобы включить в него кинетическую энергию 1/2ти2ф преобразования Галилея, то преобразованный гамильтониан примет вид:

k^q, /))=//6+-^+4-my2«=^+2^c^(65>

где

Q=x—Уф/, P=mV, V=v—«ф.(66)

189

Поскольку К не зависит от времени, то

V=± (2/т) I/2 [К—2^008 (^Q)] №(67)

.Мы видим, что одиночный резонанс делит фазовое пространство на две области, пролетную и захватную, причем сепаратриса опре- .деляется условием K=2q<pk или

V = 2 (2^6/ти)1/2 sin ^ ^) •(68)

Отсюда ширина острова, или области захвата,

A V=4 (2^/^) V2=4vtr,(69)

где vtr — скорость захвата, связанная с частотой колебаний со^ около эллиптической точки покоя соотношением Vtr=^trlk.

Вернемся теперь к первоначальному гамильтониану со множеством резонансов. Как хорошо известно [16, 17, 19, 20], стохастич- ность возникает, если соседние острова перекрываются по порядку величины или если параметр стохастичности

S =(70)

-Здесь 6У — расстояние в пространстве скоростей между соседними резонансами, которое дается соотношением

yg = da> (£) !dk; иф = o> {k^k. J

Численное исследование (см. [17] и имеющиеся там ссылки) "уверенно подтверждает, что в стохастическом пределе появляется .диффузия в пространстве скоростей. Определим коэффициент диффузии по скоростям как

D = lim<[o(0 — у0]>/2^(72)

^->00

где среднее берется по фазам волн и ансамблю частиц, которые 'имеют одинаковую начальную скорость Уо, но однородно распределены в пространстве. Тогда

D = ^d-^^,(73)

о

где С(т)—корреляция лагранжевых (взятых вдоль траектории) ускорений:

С (t) = (qlmy <^Е (х ^, ^ № (х (0), 0)> =

= (9И2^ <8^W^-(0)expi И^ЭДУ (74)

Обычно в ЦЛТ предполагается, что частицы движутся по невозмущенным траекториям: х(т)=х(0)-[-ит. Тогда усреднение по начальным условиям и по 190

фазам волн производится раздельно и дает

C(t) = (9/m)22 <^£2 >Аexp 1 [йи — <o(fe)J т.(75>

к

Интегрирование уравнения (75) по времени приводит к ответу (60), содержащему сингулярности. Физическое значение этих сингулярностей заключается в том, что они возникают вследствие квазипериодичности в формуле (75). Учитывая это, удобно рассматривать формулу (75) как описывающую взаимодействие волнового пакета, движущегося с групповой скоростью ug с частицей, имеющей скорость и=и^, резонансную с некоторой типичной фазовой скоростью. Если Кк — ширина волнового пакета в ^-пространстве, то корреляция частицы с пакетом нарушится за время автокорреляции

'ас 33 р^йДд* •(76>

Однако вследствие периодических граничных условий в случае дискретного спектра в системе отсчета, где групповая скорость равна нулю, пакет восстановится, пройдя расстояние L=2n/6^=2nWA^, где N— число волн в пакете.. Таким образом, если пренебречь возможностью соударения частиц со стенками потенциальной ямы, то они будут испытывать последовательно толчки через; каждый период

Tt^NtQc(77)

и для резонансных частиц интеграл от С(т) по времени не существует.

Для более конкретной количественной оценки рассмотрим волны с законов дисперсии, подобным встречающемуся в ленгмюровской турбулентности

(o^cdo-j-aZe2,(78)

где (о0 и а — константы. Пусть частица находится в резонансе с некоторой типичной волной, имеющей волновое число к0: i)='toolko-\-a-ko. Тогда если = к—ку, то показатель экспоненты в формуле (75) становится равным

б£[и—Ug^ko)— а.б£}г.(79)

Если и—x)g=^y!ky—io^o достаточно велико, то можно пренебречь слагаемым1 аб^ в выражении (79). Если предположить, что в некотором интервале А^’ спектр практически плоский, то появится сумма

Ап/ 2.

sin*^)=5«&>{80).

п=—Ап/2

где N=&n-\-l. При т*^Гас и N^l выражение (80) можно приближенно представить как

sin(«T ЧаЛ

Это выражение описывает начальную расфазировку частицы и пакета за время’ автокорреляции. Однако согласно нашей эвристической аргументации через время восстановления корреляций (77) функция (80) повторяется.

Данный эффект восстановления корреляции связан как с дискретностью спектра, так и с предположением о невозмущенных. траекториях. Как только совершается переход к континууму при:

191

L-^oo, время восстановления также стремится к оо и получается формула (61). Однако в случае дискретного спектра, интересном с точки зрения эксперимента, предотвратить восстановление корреляции можно только включением нелинейных эффектов. Действительно, из теории стохастической неустойчивости мы знаем [16], что экспоненциально, быстрая расходимость близких.траекторий и их последующее перемешивание в фазовом пространстве дают нелинейный необратимый распад корреляций за время тк порядка обратной величины- колмогоровской энтропии. В § 9 мы оцениваем скорость расходимости траекторий и находим

тк— (кЧ))-^(82)

где D — коэффициент квазилинейной диффузии (61). Теперь формулу (75) можно модифицировать следующим образом:

с (г) = kqlmy^<^E4>fe exp {i [to — o> (&)h}r ^^ас\(83)

где г(т)—функция, описывающая нелинейные эффекты, которая спадает экспоненциально и удовлетворяет условию г(0)=1. Примем для оценки

г(т)^е"т.(84)

Время нелинейного распада сравним с временем восстановления корреляции. Если воспользоваться оценкой

ОН^)2<6£2>т«с,(85)

которая вытекает из формулы (61) и также равенств (76) и (69) — (71), то отсюда следует просто

тг/тк^54/3.(86)

Так как рассматривается, по предположению, стохастический предел S>>1, то нелинейное перемешивание всегда препятствует восстановлению. корреляции, и коэффициент дйффузии оказывается хорошо определен. При S<gl К-энтропия исчезает, и ничто не препятствует восстановлению корреляции. Наличие сингулярностей в формуле (60) в этом случае сигнализирует о существовании захвата частиц, который должным образом не включен в квазилинейное описание.

Поскольку дискретная природа спектра проявляется только за время восстановления корреляции, наличие нелинейного перемешивания означает, что суммирование по волновым векторам мож- .но заменить интегрированием. Такую процедуру можно оправдать формально, если результат суммирования по к мало изменится при добавлении одного члена к сумме. При этом в показателе в линейной теории появляется величина уЦки—со)т=66ит, которую следует сравнить с нелинейным затуханием т/тк:

^М (кЧ)) из=Тк(Тт< j,(87)

так, что интегрирование оказывается законным. Вследствие того, что из:за перемешивания фаз С(т) распадается за время тОс, то до Щ2

тех пор,, пока Тас^тк, можно пренебрегать нелинейным слагаемым. Это дает верхнюю границу уровня турбулентности или параметра стохастичности, ниже которой справедлива квазилинейная теория

TK2>Tac=Tr/^-*-Tr/TK<jV.(88)

Таким образом, КЛТ справедлива в области 1<S<№/4. Тогда

С (г) (9 imy J -g- <8f2> (6) exp i [to - <о (^] г,(89)

и согласно уравнению (83) интегрирование по времени приводит к формуле (61).

Квазилинейная теория и перенормировка. Выполним перенормировку, введя К-энтропию для описания перемешивания и распада корреляций. Действительно, интегрируя уравнения (83) по времени, можно написать:

D = ^/т? 2 < 8£= >kg*fe, „ (fe) .(90)

Здесь введен перенормированный пропагатор частицы:

gfe, ® s1 (<° — to + i^’)]-1 .(91)

Чтобы оправдать континуальное представление (61), с тем же успехом можно исходить из выражения (91). Вывод формулы (90) совместно .с (91) из первых принципов чрезвычайно труден сейчас. Мы придерживаемся мнения, что до сих пор он не был выполнен удовлетворительно; в § 9 мы „опишем возможный подход к этому после того, как будет развита более мощная техника вычисления. Для полноты картины приведем здесь два последних соображения, хотя и не строгих, но способствующих пониманию физики.

Чириков оценил /(-энтропию [16], используя свою концепцию перенормированных резонансов. Он утверждал, что, когда голые резонансы сильно перекрываются, то они накладываются друг на друга таким образом, что образуются новые, «макро» или «перенормированные» резонансы шириной (A(o)s, едва касающиеся друг друга. Затем для оценки /(-энтропии он взял обратное время захвата й2 в типичном перенормированном резонансе.

Детальный закон суперпозиции голых резонансов зависит от фазовых соотношений их амплитуд. Мы пишем, что

(92)

где Qq, — это частота захвата в типичном голом резонансе; А — интервал по частоте между голыми резонансами, а п должно быть определено; (А(о)2/А— число голых резонансов, содержащихся в одном перенормированном. Поскольку Йф пропорционально корню квадратному из возмущения, то п=4 для случайно сфазированных амплитуд. Ширина острова (Ао>)2 подчиняется зависимости, подобной равенству (92):

(93)

19319313—3283

193

193

Г (Дю). ,l/(«-D[ Д J vГ (Дю). ,l/(«-D[ Д J v(94)(94)Здесь (Д<в)ф— ширина острова голого резонанса. Комбинируя равенства (92) и (93), находим

Г (Дю). ,l/(«-D

[ Д J v

Г (Дю). ,l/(«-D

[ Д J v

(94)

(94)

в поле стохастических волн можно принять йф—(Ао))ф^в поле стохастических волн можно принять йф—(Ао))ф^Для движения пробной частицы с точностью до числового множителя

в поле стохастических волн можно принять йф—(Ао))ф^

в поле стохастических волн можно принять йф—(Ао))ф^

—a)tr. Также оказывается A=6^(Ug—Уф) = (Л/гтас)~1. Замечая, что коэффициент диффузии пропорционален D—(q/m)2NE2kXac и (о/г— —К^)^]1^, а также полагая п=4, из уравнения (94) можно найти .

й^(^£))1/з (95)

в качестве полученной Чириковым оценки /С-энтропии для спектра со случайными фазами. С формулой (95) согласуются другие методы, которые будут развиты позже, в том числе и прямая оценка скорости расходимости соседних траекторий.

В последнее время наиболее популярный в литературе приближенный подход к перенормировке резонанса волна — частица основывается на работе Дюпри о диффузии траекторий [21, 22]. Если вернуться к уравнению (74) и принять гипотезу независимости, т. е. предположение слабой корреляции движения частиц с Фурье-амплитудами волн, то находим

С (т) = ^(mf 2<8£2>а exp {i \ки — го (6) т} exp [i^Sx (т)], (96) ’ к '

где бх(т)—отклонение положения частицы от невозмущенного значения. До тех пор, пока т>тОс, частица диффундирует в пространстве скоростей и в предположении гауссовой статистики ку- мулянтное разложение дает

<ехр рЗл (т)]> = ехр (—^v) 1/3 (x>tac). (97) Это соображение вводит диффузионное время

Ч = (-L (98) которое, как видно, порядка тк. Если принять Та^чк и пренебречь сильной кубической зависимостью распада от времени, то остальное доказательство континуального представления производится, как и прежде.

Трудность, которую следует преодолеть в этом выводе, заключается в гипотезе независимости; уравнение (96) оказывается неверно. Как следует из физических соображений, определяемая в терминах скорости расходимости пар траекторий К-энтропия т-1к [23] не может возникнуть законным образом в статистической теории траекторий одной частицы, а именно это вводит приближение (96). Действительный вывод формулы (74) не тривиален. Соответствующий формализм будет введен в § 6 и 9, хотя решение там не получено. В настоящее время есть уверенность, что приближенные формулы (96) и (97) верны для времен, больших тд, тогда как детальная временная зависимость 194

выражения (74) неизвестна для времен, меньших Td. Поскольку важно только поведение на нелинейном масштабе времени, то эти детали имеют малое практическое значение, особенно если время автокорреляции мало. Однако любые результаты, чувствительные к зависимости т3, следует рассматривать с осторожностью.

Некоторые утверждали, что поправки к простому результату КЛТ, которые дают перенормированные теории коэффициента диффузии, подобные теории Дюпри, пренебрежимо малы (см. [23]). Следует заметить, что эти авторы используют интегральное представление в ^-пространстве (и в этом случае их комментарии верны при тос<тк); они не учитывают, однако, важной роли, которую играет перенормировка в теории дискретного спектра.

Множество ссылок, относящихся к приближению Дюпри, можно найти в § 8. .

ГИДРОДИНАМИКА I

Введение. В квазилинейной теории эффективное число Кубо тас/тк<1. Хотя для необратимости существенна неисчезающая /(-энтропия, тк никогда не входило в окончательное выражение для коэффициента диффузии и перенормировка была более или менее удачна. В противоположность изложенному выше в этом разделе мы введем в рассмотрение задачи, в которых велика нелинейность и перенормировка становится существенной. Эти примеры взяты из гидродинамики плазмы и являются сильно идеализированными. Они, однако, очень полезны, поскольку при минимуме усилий демонстрируют определенные физические особенности и математическую технику.

Рассмотрим вначале сильнозамагниченную плазму без шира, частицы которой движутся поперек поля вследствие ЕхВ дрейфа [24]. Предполагая, что он существует, оценим коэффициент поперечной диффузии. Можно воспользоваться оценкой теории случайных блужданий

D^kx^M(99)

если сумеем определить фундаментальные шаги Ах и М. Предположим для этого, что возникают некоторые флуктуации плотности заряда бр, однородные вдоль магнитного поля и имеющие характерный размер Ах поперек. С наличием бр связаны два типа перпендикулярной скорости — возможная скорость переноса флуктуации как целого, которая нас не интересует, и внутренняя скорость деформации Ау. Флуктуация стремится разорвать себя на части, т. е. распределить свою энергию по различным пространственным масштабам за время

А^Дх/Ду.(100)

Так как в этой модели частицы движутся совместно с жидкостью, то согласно (99) и (100) коэффициент диффузии частиц вследствие флуктуаций масштаба Ах оказывается порядка

В^АхАу.(101)

Поскольку Ду есть скорость поперек неоднородности, то ее можно определить через локальный градиент электрического поля

Ду^(с/В) V6(p—(с/В)6ф/Ах,(102)

где 6ф — характерная флуктуация потенциала поперек структуры. Любопытно, .что неизвестный масштаб Дх выпадает из (101) и остается

< 8V>f/2 - {-§-} ((^у2. (ЮЗ)

Этот результат имеет скейлинг Бома по В, как можно ожидать, исходя из анализа размерностей [24]. Выше предполагалось, что уровень флуктуаций известен либо из эксперимента, либо из дополнительных теоретических соображений.

В данной простой оценке содержится множество физических представлений. Прежде всего важно подчеркнуть предположение о двумерности флуктуаций. Если возникают флуктуации со структурой вдоль поля, что было бы при развитии неустойчивостей с конечным к ц, то течение параллельно магнитному полю будет служить дополнительным механизмом быстрого разрушения корреляций и, вероятно, оценка (100) будет неверна. Она не дает также понимания механики деформаций, и мы не знаем величин М и D. Более того, заметим, что можно представить время корреляции как M~-kx2[D, так что А/— это время поперечной диффузии жидкого элемента на Ах. Данное описание хотя и стандартно, но в настоящем контексте бедно и приводит к заблуждениям.

В обычной картине Ланжевена диффузия устанавливается только за время, много большее корреляционного. Здесь, однако, нет нужного разделения масштабов времени. Скорость и детали деформаций жидкого элемента, приводящих к возникновению переноса, определяются самим переносом самосогласованным образом. Процесс сильно нелинеен, и можно ожидать, что свойства деформации и разрушение корреляции описываются операторами, нелокальными во времени и пространстве. Более того, мы должны допускать возможность того, что величина D, которая входит в определение Ы, может отличаться от действительного коэффициента диффузии жидкого элемента. ,

Сильнозамагниченная плазма. В п. 4.1 разбирался метод, пригодный для последовательного рассмотрения намеченных выше задач. Однако здесь мы поступим проще и последуем эвристической процедуре, разработанной Тейлором и Макнамарой [24] и др. (см. [25]). Как обычно, можно записать

,00

D = JdtC(t);(104)

. о

С<т)^(ХВ)2< [6Е(т)Х^ [8E(0)X^ > = (XB)2<dE±h)-8E1(0)> =

= кс/Ву 2 <6Е ,к(г).ЗЕ±к,(0)ехр1[к.х(т)+k'.x(0)]>.(105)

k, k'’

Часто используемым приближением является гипотеза независимости [26]

Сф»(с/В)*2 < 6Е±(т)»Е±(0)>к< exp [ik8x(x)J >.(106)

к

Вследствие тесного взаимодействия, существующего между частицами жидкости в модели ведущих центров [27], оправдать это приближение здесь гораздо труднее, чем в квазилинейном случае. Наиболее заметный недостаток описы- 196

ваемого подхода состоит в том, что он мало что дает для понимания природы и величины опускаемых членов. В § 6 мы глубже проникнем в суть приближения, когда обсудим последовательные способы перенормировки; проблема, однако, чрезвычайно сложна и пока удовлетворительно не разрешена. Возможно, что лучшее априорное утверждение, которое можно сделать относительно гипотезы независимости, состоит в том, что она, очевидно, не нелепа.

Предположим, что спектр статических флуктуаций поля <6£2>к задан. Разумно также предположить, что турбулентное движение жидкости вызывает распад корреляций поля, так что можно положить

^E^SEjOi^^^expt-^^^^ ’ (107)

где «турбулентную вязкость» ц следует еще определить. В окрестности т=0 формула (107) не верна, так как показывает зависимость с изломом, но это не очень важно. Кроме того, для пробных частиц мы принимаем гауссову гипотезу

<ехр 1кбх(т)>=ехр (—^2В|т|).(108)

Тогда

D = ^^Ву^^^^к^^4^(109)

1 ок

В отсутствие лучшей информации мы положим цт^О.

Тейлор и Макнамара точно рассмотрели случай термического равновесия, в котором

<д£2>(^)1/27

8тс - 1+ (^)2 •

Если выполнить интегрирование по времени в формуле (109) и преобразовать, то для D получаем точное выражение

D — 4к(с/В) Т J-(2^ 2^ТГ+7^Й] *

Введем двумерный плазменный параметр .

-8р = ^пХ^-^пе2,!(112)

(п — это поверхностная плотность частиц в плоскости, перпендикулярной S) и возьмем интеграл в выражении (111) по азимутальному углу, тогда

(ОО) 1/2

D=j сТ \ рР1'/2 j Гdk/k '

(TFJ^f IJ i + W20

При больших длинах волн интеграл в (113) логарифмически расходится. Это указывает на нарушение предположения Ланжевена о разделении масштабов; перенос оказывается слишком нелокальг ным, а распад корреляций слишком медленным, чтобы существовал не зависящий от волнового числа коэффициент диффузии. Ес-

197

ли ввести искусственное длинноволновое обрезание при k<^kD) то

(И4)(И4)j£LU2^V/2lni/2 / [i + (Mo)2J1/2 \еВ / Нл /| к^

(И4)

(И4)

Большинство-авторов избавлялось от расходимости квантованием в «ящике» размером L [24, 25, 28] (хотя несколько несогласованно придерживаясь интегрального представления), считая при этом, что ^ будет наименьшим разрешенным волновым числом: к< 2тс/Л. Однако это ведет к иллюзорному впечатлению, что существует постоянный коэффициент диффузии, связанный с марковским описанием переноса. Как объясняется в § 7, это утверждение оказывается неверным. Лучший подход заключается в том, чтобы полностью избежать марковского описания. Это можно аргументировать тем, что заданный масштаб к-х диффундирует только из-за более коротких масштабов, и считать к<^к. В итоге по

лучается коэффициент D(k), который зависит от волнового числа и определяет нелокальный закон переноса:

£>78ф(х)-*78£>78ф(х)-*78- ОООО'Jt/X j*-^J„(^|x-x)D(fe)—оо0'- ОООО'Jt/X j*-^J„(^|x-x)D(fe)—оо0'Ф(х).Ф(х).(115)(115)

£>78ф(х)-*78

£>78ф(х)-*78

- ОООО'

Jt/X j*-^J„(^|x-x)D(fe)

—оо0'

- ОООО'

Jt/X j*-^J„(^|x-x)D(fe)

—оо0'

Ф(х).

Ф(х).

(115)

(115)

Здесь мы не будем пытаться сделать формулу для D (k) более точной (см., однако, § 7). Закон переноса в общем случае нелокален во времени, так же как и в пространстве, и для того чтобы удовлетворительно определить вид Щк, со), требуется осуществить детальное приближенное замыкание.

Конвективные ячейки. Термин «конвективные ячейки» плазменно-физической общественностью использовался во множестве случаев вплоть до полного исчезновения его обозначающей функции. Подразумеваются по крайней мере три объекта: 1) когерентные гидродинамические движения плазмы, кото-; рые вызываются амбиполярным потенциалом или блуждающими статическими полями, связанными, к примеру, с внешними удерживающими мультипольными устройствами; 2) специфические низкочастотные моды двумерных уравнений жидкости; 3) любые низкочастотные, преимущественно поперечные, движения замагниченной плазмы. В литературе в настоящее время доминирует третье значение, особенно при интерполяции моделирования на ЭВМ; широкая спектральная активность около <о = 0 обычно признается как свидетельство наличия конвективных ячеек [29, 30]. К сожалению, литература, связанная с этим обобщенным определением, слишком обширна для ее должного обсуждения в данной статье. Вместо этого кратко рассмотрим исследования специальных конвективных ячеек, относящихся ко второму моменту.

жима* 1) классический режим для очень малых В, в котором D -пропорционально 1/В2; 2) режим плато при больших В, в котором нет зависимостей D от В; 3) режим подобный бомовской диффузии при очень больших В, в котором D пропорционально 1/В, как и в Модели ведущих центров. Даусон и Окуда выдвинули простые соображения о характере случайных блужданий, подобные данным в пп. 4.1 и 4.2, которые позволили объяснить наиболее важные аспекты их наблюдений, включая зависимость от магнитного поля. Однако они не пытались обсуждать строгий подходов котором нарушается классическая теория. Кроммес и Оберман [32] рассмотрели этот вопрос с точки зрения -флуктуационной теории (см. статью С. Р. Обермана и Е. А. Вильямса в т. 1) и смогли получить кинетическое уравнение, решение которого, по крайней мере в принципе, дает гладкий переход между классическим 1-ми аномальными 2-м, 3-м режимами. Хотя методы, используемые этими авторами, были достаточно примитивны, для того времени они существенно продвинулись в развитии теоретической технологии, имеющейся в наличии специалистов по физике плазмы.

Кратко, основные моменты их аргументации следующие. Как хорошо известно, классический перенос получается из решения Чепмена — Экскога кинетических уравнений Балеску — Ленарда. (Обзор литературы можно найти в [33].) Возникающий при этом интеграл по волновым числам обрывается при ko^kD\ в противоположном пределе линейная диэлектрическая проницаемость 8<°, приводящая к экранированию голых кулоновских сил, становится большой, если пренебречь возможностью вклада нормальных мод в этом режиме. Однако если магнитное поле увеличивается так, что сос><ор, простые оценки, основанные на флуктуационно-диссипативной теореме [28], показывают, что энергия флуктуаций смещается к низкочастотным длинноволновым модам. В частности, диэлектрическая проницаемость, получающаяся из анализа классических линеаризованных 2—D жидкостных уравнений, предсказывает существование шировой моды, отсутствующей в линеаризованной теории, дисперсионное соотношение для которой есть (см. [28, 32, 34]) .

to = - jM2± /(1 + < $<^ • (116)

Здесь цс — классическая столкновительная вязкость сдвига, относящаяся к двум измерениям [33].

Кроммес и Оберман заметили, что линейная диэлектрическая проницаемость появляется вследствие использования теории возмущений, которая в гидродинамическом режиме в действительности нарушается, т. е. в обычной иерархии приближений пренебре- гаётся тройным кумулянтом (см. статью С. Р. Обермана и Е. А. Вильямса в т. 1). Получающееся в результате решение для парной корреляции вводит диэлектрическую проницаемость и, будучи введено в уравнение для одночастичной функции распределения, приводит к появлению оператора Балеску — Ленарда. Получающееся самосогласованное уравнение для пропагатора — на-

зываемое приближением самосогласованного поля Кроммеса — Обермана — было фактически ППВ в рассматриваемом специальном случае термического равновесия.

Перенормированное кинетическое уравнение правильно описывает классический перенос в режиме слабого магнитного поля. В режиме сильного поля Кроммес и Оберман воспользовались методом проекционного оператора (см. п. 10.2) и разложением по собственным функциям, чтобы вывести нелинейное уравнение для вязкости в виде

ц (й, ю) * PD\ fdpdqг-Т^ГГ^Г^’(11?а)

716 PJ 4 —ito+r[p.(/2, 05) р2 4- р-(^, О))#2]Х 7

где

г^ (1 +gWp) -1;(1176)

Dp^^WnnY^(117в)

и М^, q)—определенная безразмерная функция от своих аргументов.

Уравнения в форме (117) можно получить также посредством детальной процедуры замыкания, подобной ППВ, прикладываемой непосредственно к нелинейным уравнениям жидкости. Решение уравнения (117) для р, показывает гладкий переход между режимами плато и ведущего центра и является слабо нелокальным по обоим к и <о; оно, по-видимому, хорошо согласуется с экспериментальными данными.

После того, как в § 5 и 6 вычислительный аппарат будет разработан глубже, в § 7 мы обсудим другие задачи гидродинамики.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ПРЯМОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Введение. В § 2 мы ввели приближение прямого взаимодействия путем нестрогих эвристических рассуждений. Обоснование приближения, однако, гораздо более необходимо, чем можно было предполагать из вводного обсуждения. Поэтому следующий параграф посвящен наиболее глубокому пониманию основ теории, достигнутому сейчас. Здесь мы кратко рассмотрим некоторые первоначальные положения, выдвинутые гидродинамиками. Каждое из них определяет различные аспекты ППВ.

Для простоты и точности в последующем обсуждении мы рассмотрим модельную динамическую систему, служащую прототипом обоих видов уравнений, Навье — Стокса и Власова, но которая позволяет опустить часть не относящихся к делу детален этих систем. Эта модель (см. {34]) — нелинейная система N действительных переменных ма(0 с квадратичным взаимодействием, которая эволюционирует согласно

/ d \П

(dr+v4и^= 2j(118)

а + р + т=О

Под индексами можно понимать обобщенные волновые числа; они также могут представлять векторные индексы, скорости и т. д. Действительные постоянные va представляют вязкое затухание, неустойчивость или в общем слу-

чае.линейную динамику. Функции faW позволяют ввести внешние силы подобно тому, как это делается для течения по трубе; для консервативной системы (у=0) все fa равны нулю. Можно предполагать, что коэффициенты взаимодействия мод Ма^ симметричны по двум последним индексам МаРт= =МатР. Дополнительные допущения, предполагаемые для достижения соответствия с реальными течениями, следующие: М=0, если равны между собой любые два его аргумента или равен нулю какой-либо один, а также если

^7 + ^Тоср + ^gia " 9*^7 + ^Тоср + ^gia " 9*(119)(119)

^7 + ^Тоср + ^gia " 9*

^7 + ^Тоср + ^gia " 9*

(119)

(119)

(120)(120)И, наконец, мы предположим, что «энергия»

(120)

(120)

i/^S ^2«

конечна. Учитывая равенство (119), можно легко проверить, что нелинейное взаимодействие сохраняет 8.

Теория Крейчнана. Как обычно, нас интересует статистическое решение уравнения (118), в котором статистика может входить либо через начальные условия на(0), либо через внешнюю силу f. Так как статистика wa(0) или f может быть произвольно сложной, то и статистическое решение уравнения (118) будет чрезвычайно сложным, и про него.мало что можно сказать в общем случае. Однако Крейчнан в своих пионерских работах о ППВ [35, 36] ввел два фундаментальных предположения о «максимальной случайности» и «слабой зависимости», которые достаточно ограничивают класс решений, таким образом, что может быть проведен полезный анализ. Максимальная случайность предполагает, что «...статистическая зависимость среди [wa] полностью индуцируется нелинейным членом в уравнении (118), а вовсе не начальными условиями или возможно действующими внешними силами... Существенное качественное содержание принципа слабой зависимости заключается в том, что эффективное динамическое взаимодействие и статистическая взаимосвязь между любыми несколькими индивидуальными амплитудами, соответствующими различным [ia], очень слабы, если [i/V] очень велико». Здесь не делается попыток охватить всю широту очень полного и выразительного первоначального обсуждения Крейчнана; мы убедительно предлагаем серьезным ‘читателям обратиться к первоисточнику

Наводящими являются два примера слабой зависимости, в которых мы следуем Крейчнану [36]. Пусть а, р и у различны. В этом случае слабая зависимость устанавливает, что

~ 2 . 1/2 . 9 ^ I/O—:—ГТ2*0 (N—> ooV(121а)

<и2аи2^>>\<и2а><и2^> (N>оо).(1216)

Предельные выражения* отвечают гауссовому распределению иа. Однако следует отличать пределы от равенств. Легко показать, что истинное равенство для всех а в. уравнениях (121) противоречит уравнению (118). (С точки зрения физика .можно ска-

201:

зать, что если уравнения (118) были бы уравнениями Навье — Стокса, то идентичное исчезновение тройных корреляций приводило бы к невозможности нелинейной перекачки энергии, что было бы странно.) Тем не менее можно совместить правую часть (1216) со стремлением левой части (121а) как некоторой отрицательной степени N. Давайте рассмотрим для примера «физическую» (суммированную по всем модам) величину

5= 2 <иаи?ич>,

а + р+7=0

которая при соответствующей нормировке описывает так называемый фактор асимметрии и. Если заметить, что (поскольку е ограничено) <и?а>—[см. (119)], то нетрудно определить, что s остается конечным, если правая часть предела (121а) мала так же, как 7V-1/2.

f d х \ dt ’ V/f d х \ dt ’ V/Обозначим Ua^=Ua, Ua^t,^=U,a и т. д. и рассмотрим эволюционное уравнение ковариации U^t, У) = <иаи'а>:

f d х \ dt ’ V/

f d х \ dt ’ V/

ил» п= 2 ^^<«лы'т>+<^'а>- (122) т

Согласно гипотезам максимальной случайности и слабой зависимости в пределе N—>-ос вклад любого конечного числа мод в сумму в уравнении (122) становится бесконечно малым. (Однако пренебречь им нельзя.) Крейчнан показал, что очень слабая остаточная корреляция фаз между модами а, р и у возникает вследствие прямого взаимодействия между иа, и^ и и^, т. е. из-за слагаемого Ma^u^ и его циклических перестановок. Чтобы количественно определить эффекты прямого взаимодействия, последуем Крейчнану и введем Диа как разность между точным решением уравнения (118) и величиной йа, которую это решение приняло бы, если в правой части уравнениия (122) опустить вклад прямого взаимодействия М^и^, т. е. решением уравнения

f-^r+vJiT^y’M „.КС -М.„ иТи" (123) у at 1 «у ОСар7 3 7а07 3 7*х 7

(Более точно здесь следовало бы писать что-то подобное ^иа^в Однако из контекста будет ясно, какая именно триада рассматривается.) В соответствии с принципом слабой зависимости Аиа инфинитезимально. Записывая йа=иа—Диа и используя уравнение (Н8), в низшем порядке находим

f^и “— М и.и(124)

ydtXa]^«37 37«97 3 7ех 7

Уравнение (124) можно решить с помощью точной инфинитезимальной функции отклика Rakh ^^ которая описывает изменение 202

и (h в результате импульсного возмущения моды а в момент времени f и удовлетворяет уравнению

(^+».)R.№ l)-^M.,A®«IIV>=il‘~n. (125)

Из уравнения (124) тогда получаем

= Vt"Ra^nM^u"%u"v(126)

—оо

Этот результат можно подставить в уравнение (122), замечая при этом, что вклад прямого взаимодействия в тройную корреляцию в низшем порядке есть

<«^0 = <kU^U'a> + <“^U/a> + <U^U'e>.

Выполняя усреднение по ансамблю, можно воспользоваться принципом слабой зависимости, чтобы, например записать

<1Шf^U^t; t^Ua^\ f^

(127)

где R=<R>—средняя функция отклика. Слагаемое, содержащее fa в уравнении, можно вычислить аналогично. Таким образом, получаем окончательное уравнение ковариации

t

7-ОО

р, т-ОО

+ ^df'RJt', t’^F^X Л,(128)

— oo

где мы воспользовались симметрией М при комбинировании двух слагаемых и где

F^t; П^<М№кП>.(129)

Вследствие равенства (119) нелинейные члены в уравнении (128) сохраняют полную энергию .Ua(t, t)—это очевидное условие согласованности, которому должна удовлетворять любая разумная процедура замыкания.

Чтобы найти независимое уравнение для пока еще неизвестной средней функции отклика, обратимся к точному уравнению для отклика oua на бесконечно малое возмущение

(4“+v«)<4> = ^М^<и^> = 6^ - f). (130) ел

Так как возмущается мода а, то слабая зависимость подразумевает, что 6z/p и 6и^ должны быть бесконечно малы по сравнению с 6иа. Правильное в первом порядке по бт] уравнение для 6«v принимает вид:

где штрих указывает, что здесь выделяются два определенных последних члена; вследствие слабой зависимости вклад от них в би^ может быть опущен. В очевидных обозначениях решение уравнения (131) имеет вид:

Su^df-R^t; ПМ^и'^и"а.(132)

Мы снова используем слабую зависимость, чтобы факторизовать усреднение по ансамблю, которое необходимо в уравнении (130). Поступая так, можно заменить <R'> на R, поскольку в пределе N-—>оо пренебрегается вкладом членов, исключенных из суммы в уравнении (131). Окончательное уравнение для Ra(t; t'^ = = <6uaWJ&^> принимает вид:

t

XU^HRJf'; П =,(133)

Уравнения (128) и (133) образуют связанную и полную систему, хотя и сложную, которая определяет R и U.

Полезно спросить теперь, почему ППВ не совершенно точно, несмотря на то, что при выводе пренебрегалось только лишь членами высокого порядка по бесконечно малым амплитудам. Дело в том, что таких членов очень много и их сумма при N—>-оо может дать конечный вклад, хотя каждый из них в отдельности мал. Размер этого вклада можно вычислить в терминах параметра асимметрии, введенного в § 6. В данном контексте, однако, ППВ должно быть юправдано на другом основании. В самом деле, даже качественное поведение решений для Р и U не ясно из рассмотрения уравнений (128) и (133). Например, не видно, окажется ли иаУ, t), как должно, положительным. Подобные требования называются ограничениями по возможности реализации. Оказывается, что выполнение этих ограничений очень трудно подтвердить непосредственно из статистических уравнений. Крейчнан, однако, заметил [2, 37], что если можно найти модельную динамическую систему, которую ППВ описывает точно, то многие из ограничений удовлетворяются просто по необходимости, поскольку модельная система должна иметь статистическое решение. Несколько Таких1 «стохастических моделей» было открыто. Их мы опишем в следующих двух пунктах.'

■ ■ 5.3. Обобщенное представление Ланжевена. Чтобы мотивировать наше обсуждение, запишем уравнения (133) и (128) в форме

t'

О +(134)

t

—00

tf

= ^dt''R^n\F^ta'W(135)

—00

где

z.«. <") - - 2 «.„ M„. R, №П V, «■ П:d36)

FJ^ t"^\^M\^U^t,t"W^t,'t"Y(137)

T

Ясно, что член с 2a в уравнении (134) описывает нелинейную релаксацию отклика в моде а при ее взаимодействии со всеми другими модами. Такой же член появляется в уравнении (135) и описывает нелинейную утечку энергии в моде а. Этот эффект при наличии fa компенсируется подводом (подкачкой) энергии и описывается- Fa' в той же мере, как и источником Fa', который определяет потери энергии из-за взаимодействия мод.

" Мы будем искать обобщенное, уравнение Ланжевена, которое содержит физические характеристики, описываемые уравнениями (134) — (137), Обобщенное уравнение Ланжевена является линейным динамическим уравнениём вида [33, 38]

(-^-+vJ"«+=(138)

''—00

где 9а и /+ выбираются так, чтобы надлежащим образом представить нелинейное воздействие всех мод на моду а, а также чтобы статистическое решение было согласовано с точной или приближенной статистикой начальной системы. Ясно, что для согласия с левой частью уравнения (135) мы должны выбрать [34, 39]

•Mt, П=2а(Л п. '(139)

-Завершим представление Ланжевена, приняв

.k(tM4W<(140)

где

Случайные поля g и g+ выбираются статистически независимыми друг от друга, от поля начальных скоростей wa(0) и от fa, и имеют ту же ковариацию, что и истинные скорости [39]:

^«ma^^^MniMn-u^t, гу(М2)

Легко проверить, что

<иСП> = Р> П(ИЗ)

и решение уравнения (138) согласуется с уравнениями (134) и (135).

. Модели случайного взаимодействия. Исторически первым модельным представлением ППВ была так называемая модель случайного спаривания. В своей первоначальной формулировке Крейчнан '[37] модифицировал уравнение (118) так:

/ d \

^ + v«)“«W = 1/2 2j+(144>

а + р + 7=0

Появившийся здесь множитель Фарт полностью симметричен по а, р и у и инвариантен к преобразованию a—►-—а и т. д. Кроме того, предполагается, что он принимает значение +1 случайно для каждой тройки (а, р, у). Итак, в этой модели фундаментальное тройное взаимодействие случайно сфазировано в отличие от исходной системы, которая сфазирована когерентно. Когда формируются ряды возмущений для ковариации и функций отклика, можно показать, что дополнительная случайность приводит к тому, что все слагаемые, кроме членов ППВ, исчезают при М—>оо. В работе [2] Крейчнан показал, что влияние Ф«рт можно понять в терминах фиктивных случайно сфазированных взаимодействий между бесконечным числом копий истинной системы (118).

Поскольку взаимодействия триад случайно сфазированы, из этого следует, что в ППВ нельзя учесть индивидуальные потоки или пространственно-фазовые структуры, подобные солитонам (которые, по определению, описываются только с привлечением когерентного взаимодействия мод). По этой же причине ППВ не описывает правильно захват в фазовом пространстве или перенос мелкомасштабных флуктуаций крупномасштабными (см. [35, 37]; п. 7.3). ППВ получает поддержку со стороны представления случайных взаимодействий как «наиболее гауссовое приближение, согласующееся с нелинейностью».

Применение теории Крейчнана к бесстолкновительной плазме можно найти в [40].

.чОбращение рядов. В работе [41] обсуждался еще один способ вывода уравнений ППВ, а также другие, более изощренные приближения. Его идея основана на хорошо известном методе обращения рядов,, который применяется здесь к рядам функций, а не чисел. Этот подход пояснен на примере функции отклика, для которой он состоит в разложении невозмущенной (линейной) функции отклика R^ (t; I'") по степеням перенормированной функции Ra(t; И- 206

Начнем с точного уравнения для стохастической функции отклика П« [см. уравнение (130)]:

V^W^ О~2 M^u^R^t; t') = 4t-t-y (145) в. т

Если обращаться с нелинейным членом формально как с малым и предположить на время, что иа задана, то можно разложить Па в ряд как функционал от Ra№ и иа:

R^ П = ^ ^ О + J dtR^ (t; t^Ma^ R^ (t; V3, T

(146)(146)-HdTR^ П 2 MT9,r«9,(7)^0)^;.

(146)

(146)

Гe'-rJ

Усредняя уравнение (146) и полагая <и>=0, находим для R представление в виде функционального ряда от RW и ковариации U:

Ra V; О = R^ (t; t') + J dtR^ (f, t) 2 Mtt3T М1 „ X

T

X^R^^U^t^R^kt- /') + „.(147)

Этот ряд можно обратить, чтобы выразить R^ через Ra:

R^V; ^ = Ra^ f^^RMMRUR-Y...(148)

В итоге мы подставляем (148) в каждое слагаемое уравнения (146), собираем члены с одинаковыми степенями М, подставляем результат в уравнение (145) и усредняем. Эта процедура тривиальна в низшем порядке и приводит точно к уравнениям ППВ (134). Так же, хотя и сложнее, проводится обращение рядов для ковариации, и в низшем порядке получается уравнение (135).

Как было показано здесь, метод обращения рядов есть нечто большее, чем эффективный алгоритм вывода ППВ и, возможно, приближений более высокого порядка. Последние могут плохо сходиться, если не сделана дальнейшая перенормировка. Поэтому следует искать дополнительное физическое основание для обрезания обращенных рядов. (Относящуюся к этому разделу дополнительную информацию смотри в следующем пункте.) Наибольшее достижение метода обращенных рядов состоит, возможно, в том, что был дан систематический алгоритм создания так называемых лагранжевых схем, предложенных впервые Крейчнаном [42], на основе более или менее эвристической модификации ППВ. Опишем основной метод только в главных чертах, так как лагранжевы схемы мало использовались в плазме.

Одна из трудностей приложения ППВ к жидкости Навье — Стокса состоит в том, что оно не инвариантно к случайным пре-

207

образованиям Галилея. Это приводит к неверному энергетическому спектру в инерционном интервале (см. п. 7.3). Крейчнан свел эту проблему к использованию эйлеровых функций в стохастическом описании и предложил, что улучшенная трактовка получается при рассмотрении расширенной функции u(x, qs) —скорости в момент измерения s жидкого элемента, который прошел точку х в заданное время t. Величина u(x, t\t)—это обычная эйлерова скорость, в то время как u(x, 0|s)—общепринятая лагранжева скорость. С и связана обобщенная функция отклика R(x, /|s; х', /'|s'). Крейчнан недавно заметил [41], что обобщенная функция отклика нулевого порядка на самом деле не зависит от времени измерения:

№(х, /]s; х', /' | s') =RW (х, t\t; х\ t^f).

Это означает, что можно произвольно изменить времена измерения в каждом R^\ входящем в соответствующее уравнению (146) разложение R(x, /|s; х', /']s'), не меняя при этом величину всего ряда. Однако процедура обращения ряда с последующим обрезанием его в конечном порядке чувствительна к изменению времени измерения, т. е. форма обращенных рядов не является единственной. Крейчнан использовал эту свободу, чтобы показать, каким образом две разумные модификации времен измерения дают так называемые лагранжево ППВ и сокращенное лагранжево ППВ в качестве первых членов определенных систематических разложений, инвариантных с случайным преобразованием Галилея во всех порядках. Это значительно улучшило эйлерову перенормировку. (Более подробное обсуждение приведено в [41].)

В приложении лагранжевых замыканий к плазме фактически ничего не было сделано. Мы считаем, что это плодотворная область дальнейших исследований, но предупреждаем, что, видимо, инвариантность к случайным преобразованиям Галилея вызывает меньше беспокойства при исследовании типичных видов плазменной турбулентности в лаборатории, чем для сильнотурбулентных течений Навье — Стокса.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕНОРМИРОВОК

В предыдущих параграфах мы познакомились со следующими методами перенормировки:

суммирование теории возмущений во всех порядках;

кумулянтное разложение и обрезание рядов;

обращение рядов возмущений;

эквивалентные лагранжевые представления;

модели случайного взаимодействия.

Методы 1—3 в принципе могут дать точное представление решения (если оно аналитическое; смотри контрпример i[43]); на практике, однако, разложения достаточно сложны и необозримы, так что возможно выделить только перенормировку низкого порядка, подобную ППВ. Четвертый и пятый методы имеют еще один недостаток: непосредственно не видно никакого способа улучшить результат низшего порядка. (Однако в этом направлении Крейчнан выполнил некоторую работу [39].), Таким образом, природа перенормированных 208

приближений остается несколько таинственной. В самом деле, какие физические- процессы не учитываются, например, в ППВ? Фактически необходимо только» получить полезное представление точного ответа, например, обобщенное интегральное представление, из которого последовательно методами теории возмущений или другим путем строятся полезные приближения. Следует подчеркнуть сразу, что пока еще не было предложено полностью удовлетворительного- формализма. Тем не менее уже что-то достигнуто. В этом параграфе описана важная работа Мартина и др. (1], в которой сделан заметный шаг вперед, в понимании основ теории. (Так как процедура (см. ниже) распространяет хорошо известные методы квантовой теории поля [44] на классическую область, то можно было бы сказать, что в этой работе сделан квантовый скачок назад.)

Вследствие ограниченного объема статьи мы не можем полностью обосновать ни идеи, ни математические методы, лежащие в основе [1]. Поэтому мы предлагаем серьезному читателю изучить оригинальные работы [1, 45], а также [46, 47], которые очень глубоки и содержат богатую информацию. В нашем изложении мы следуем этим работам, но используем и другие.

Рассмотрим случайную функцию ф, зависящую от набора координат в фазовом пространстве, которые все вместе обозначаются символом «1». Набор «1» может включать как непрерывные величины, подобные времени ^, положению Xi и скорости vi, так и дискретные индексы, подобные указателю типа частиц, компонент вектора и т. п. Будем придерживаться обычного соглашения об интегрировании (суммировании) по повторяющимся аргументам. Пусть ф подчиняется уравнению вида

^ф(1) = (7(1)+17(1, 2)ф(2)+4-^(1. 2, 3)Ф(2)Ф(3),(149)

где коэффициенты взаимодействия, или «голые вершины» [/„ = (7(1, 2,..., и) — известные неслучайные функции, локальные во времени [так, U (1, 2, 3)~ ^’6(^1—у 6(^1—Ш Предполагается, что при t—t0 заданы гауссовы начальные условия, и надо определить статистическое поведение ф для t>tQ. Важным примером уравнения (149) является система Власова — Пуассона

^f + v-v/+ Edf = 0*;(150)

Е= —у?? ч^ = ^'^nq J dvf,(1506)

для которой можно конкретно указать, что

ф(1) = f (1); ^(1) = 0; (7 = _V1-v^(l-2);

(7(1. 2. 3) = [Е(1, 2)-д,»(1 —3) + (2»3)];1(151)

E(l, 2)s —v,|Xj —XjI-’^sSC;, —^). J

Развиваемый ниже подход можно обобщить таким образом, что его можно применить в следующих практически важных ситуациях: для случайных U (включая случайную внешнюю силу U^ [46, 48, 49]; для полиноминальных нелинейностей произвольного порядка [50] и для негауссовых начальных условий [49, 51].

Наметим кратко задачи, возникающие при построении статистической теории уравнения (149), и проследим схему методов перенормировки, которой мы будем придерживаться, изучая эти задачи. (Здесь мы несколько выйдем за рамки работы Мартина и др. [1].) Разложим ф на среднюю и флуктуирующую части и используем кумулянтные обозначения, приведенные в приложении А. Предположим для анализа разномерностей, что при t=t0 <^ф2^> = 1, <^ф3>=0 в соответствии с начальным гауссовым состоянием. Тогда можно 'Схематично записать при ^^о первые несколько членов кумулянтного разложения уравнения (149):

[^-^+ 1/2Z73 <ф >] < Ф> — 4’^<^>-<^(0)> + ^п (152а)

№ — U^<^> — -^-иа<^> = 1;(1526)

(д,—t/^XI3>-U3 <Ф2>2 —-^- <Ф4> = 0,(152в)

где введен линеаризованный оператор среднего поля

UW2=U2+U3<^>.(153)

Теперь при условии, что система все время остается гауссовой, тройные кумулянты исчезают, а флуктуации ^ф2» = <бф2> развиваются квазилинейно в среднем поле, что не представляет большого интереса. Однако так как <^ф2^>2 определяет Сф3^, то с течением времени всегда должны появиться негауссовы тройные корреляции. Учитывая это, можно испытать «квазинор- мальную гипотезу, согласно которой четвертый кумулянт равен нулю, как и в гауссовом случае; в соответствии с (152в) этим определяется неисчезающий тройной кумулянт

< Ф3 > ^ U < Ф2 >2/ ^t - Up ^<^>qn.(154)

Если Сф3>дп мало, то в низшем порядке по Сф3> получаем

<y>^Vdt-UWrxs^>ql,(155)

т. е. квазилинейное приближение. Иттерируя (1526) совместно с (154) и (155), получаем уравнение

№ - up)^ ф2 >1 + -L й=8/ (dt-Upy,(156)

которое определяет <ф2> в терминах безразмерного параметра U23l(dt—UW2p и дает разумное приближение, если этот параметр мал. Данный подход в обычном приближении «случайных фаз» приводит к слабой плазменной турбулентности |[13]. Параметр разложения, однако, не мал в нескольких важных ситуациях. Во-первых, если нелинейное взаимодействие существенно велико, USIU^^X, например в уравнениях Навье — Стокса при достаточно большой накачке и малой вязкости. Во-вторых, если нелинейное взаимодействие остается малым, но есть резонансы, такие, что dt — U^ -* 0. Это может происходить либо при наличии линейных резонансов dt—U2=0, либо из-за подпитки нормальной моды полным средним полем, возникающим из-за слагаемого и3<^>. 210

В качестве примера можно привести линейную функцию отклика плазмы [52]

^’ro^l v') = J dv5k<o(v; v) ld<v — v') + (4”ik/A‘)-df(v) X

X {е(г))-‘(к<о)^ (m?)rJ dvg4> ю (v; v')];(157a)

gk Jv: v')— [ — 4ю — kv + id)]-,d(v — v');(1576)

S

<»2p (*dfW

-y- J dvdvgki M(v, v)k-^.(157b)

•s

где 6 — положительная бесконечно малая величина. Особенности в RW возникают либо из-за невозмущенного пропагатора gW, который описывает резонансные частицы, либо из-за е(/>— линейной диэлектрической проницаемости, которая (при действительных со) почти равна нулю при частотах нормальных мод.

Сингулярности, имеющиеся в линейной теории, в значительной степени сглаживаются нелинейно благодаря наличию двух эффектов. Во-первых, в турбулентном, или стохастическом, состоянии корреляция и функции отклика затухают из-за нелинейного перемешивания; это затухание проявляется в (обобщенном) уширении резонанса, которое снимает упомянутые выше особенности (dt—t/^)-1. Во-вторых, правильной безразмерной мерой степени негауссовости является скорее не «Сф3^2/^^2^3, а параметр асимметрии

т=552’(,58)

который измеряется с учетом «истинных» (полностью нелинейных, взаимодействующих) флуктуаций. В определенных ситуациях параметр асимметрии и другие наблюдаемые могут быть малы, даже если наивная теория возмущений оказывается несостоятельной. Перенормируемая теория, которая здесь будет рассматриваться, использует параметр асимметрии и другие определенные статистические функции высших порядков в качестве определяемых самосогласованно малых параметров разложения.

Развивая любую перенормируемую теорию, следует помнить один очень важный технический момент:

Если какая-либо функция проявляет резонансное поведение, то следует делать аппроксимацию функции, обратной этой.(159)

Итак, в перенормированной теории эффекты уширения резонанса следует рассматривать, имея дело не с функцией <Сф2^>, а с обратной ей; тогда уравнение (1526) запишем в виде

<Ф2>-] — (dt—1/^)вД<^фа ^>-* =(160)

Тем самым внимание переносится к определяемому здесь так называемому «массовому» оператору

S=—U2U3«^3»I«V>.(161)

14*14*который представляет отклонение ^ф2^*-1 от ее значения в отсутствие взаимодействия. Теперь при конечных 2 величина <ф2» хорошо определена. Про-

14*

14*

211

'стейшая оценка 5 приводит к квазинормальному (называемому также квазилинейным) ответу

(162) следующему из уравнения (154). Отсюда находим перенормированный массовый оператор

—U3<^2>U3)(163)

который получается, если вместо оператора (dt—U^-1 в уравнении (154) эвристически подставить его перенормированное значение (dt—UW^h)”1:

«ф3» ~U3<^>3-(164)

Уравнения (160) и (163) дают возможность полностью самосогласованно определить <ф2^> и являются не чем иным, как ППВ. (В нашем несколько схематичном изложении мы не различаем адекватно функции отклика и корреляции.) Ниже мы покажем, что эвристическая процедура, использованная для получения ППВ, может быть формализована.

ППВ можно представлять в определенном смысле как гауссово приближение, согласованное с нелинейностью, т. е. рассматривая уравнения (152в) и (164), мы видим, что четвертый кумулянт приводит к двум эффектам: уширению резонанса (оператора, действующего на <Сф3^>), которое обеспечивает согласно уравнению (1526) полную самосогласованность флуктуаций <сф2:>, и проявлению «врожденных негауссовых» свойств, которые представляют собой все остальное. Уточним это утверждение, вводя новую функцию К, такую, что

Сф3> 1/2Г37«ф2» ;(165)

^ =—U2U3KU3.(166)

Сравнивая уравнения (165), (164) и (1526), можно записать

К=<ф2>2+<ф4>п^<ф2»2+АК.(167)

Теперь перенормировка сводится к определению негауссовой части АТС от К. (Можно было быожидать, что kK=K—<Сф2>2будет содержать при

<С'ф2> множитель 3, а не 1. Но этого не происходит, в частности потому, что при переходе от моментов к иерархии кумулянтов уходит один множитель <Сф2> и частично из-за способа, которым нормировано и симметризировано К. Это, однако, не снимает интерпретации АТС как негауссовой поправки.)

В соответствии с правилом (159) фактически мы должны аппроксимировать К-х. Для этого проведем обезразмеривание, определяя

.G = « ф2 >; 7 = G3/2 U„ К= G-2K.(168)

Тогда из уравнений (164) и (165) получаем

-Г^-1; S ^(TK-^G-\(169)

где естественным образом появляется обратное. Можно записать

^-i-l =Д (^-^{Т},(170)

так что основной проблемой является определение функциональной формы негауссовой поправки.-

212

Уравнение (170) называется уравнением Бете—Солпитера (УБС) (см. [53]). УБС является самосогласованным уравнением для К, так как из уравнения (169) следует, что Г и К связаны согласно соотношению ^ = Г/Y. Имея точную функциональную форму A (X-1), можно надеяться получить самосогласованное уравнение для ^, раскладывая ее в ряд степеням Г = К Y или аппроксимируя другим способом. Тогда УБС определяет вид К {у}, который мы запишем, возвращаясь к размерным переменным и для дальнейшего удобства заменяя иг на у:

Ъ=Ц-ЦС, Т}=Y>Y- (171)

Этим завершается определение массового оператора, включая негауссовы поправки к уширению резонанса. Нет необходимости повторять, что решение окончательного уравнения для G представляет очень трудную задачу.

Перенормированные уравнения Мартина, Сиггиа и Роуза. Здесь будут рассмотрены более подробно обсуждавшиеся выше перенормированные уравнения. Мы просим читателя принимать здесь на веру определенные технические утвердждения, благодаря чему мы сможем, насколько это возможно, не отклоняться от схемы изложения. К техническому обоснованию подхода мы вернемся в следующем разделе. Следует подчеркнуть вначале один важный момент, который, видимо, впервые был выяснен Крейчнаном [35—37]: для эффективного замыкания статистических уравнений необходимо рассматривать не только функции флуктуаций, т. е. С== <6ф(1)6ф(2) >, но также и функции отклика, т. е. средний отклик на бесконечно малое внешнее возмущение. Оба типа величин фактически уже рассматривались в п. 6.1—например, (dt—UW^-1 есть линейная функция отклика, хотя мы сознательно там не выделяли различия. Дело в том, что любые мгновенные флуктуации можно рассматривать как источник, на который откликается среда. В некотором смысле вероятность флуктуации (излучения) описывается с помощью С, а отклик (поглощение) с помощью R. Так как отклик среды должен быть самосогласованным и поскольку R описывает отклик на бесконечно малое возмущение, а флуктуации конечны, то соотношение между С и R не получается непосредственно; мы найдем нелинейно связанные уравнения для С и R.

Отклик на бесконечно малый источник, добавленный ю уравнению (149), определяется так:

5(1; Г)^§Ф(1)/^(1')к(1?2)

4=0

и подчиняется уравнению

^(1; H)=t7(l. 2)^(2; 1<) + -^£7(1, 2, 3)[Ф(2) ^(3; 1') +

+ #(2; П)ф(З)] + 6(1 — И)(173)

(хотя оба члена в скобках одинаковы, данная форма записи выбрана для дальнейшего удобства). Определение (172) оказывается неудобным, так как не очевидно, что средний отклик R=<R> сопряжен (или симметричен) С= ^<бфбф>. Рассмотрим, однако, оператор ф, который не коммутирует с ф [см. (])] и образует комбинацию

f(l; l')^/7(t-/')^(l), ф(Г)],

где [Л, 5]=ЛВ—В А. Уравнение движения для г есть

^<1; !') = //(<-/') ^(1, 2)[Ф(2), Т(Г)] 4-

+4-^(1, 2, 3)[Ф(2)Ф(3), Ф(1')]{ +8(/-В)[ф(1, О- Ф(1'. О- С74)

Вспоминая, что U локальны по времени, и замечая, что [ДВ, С]=Д[В, С]-]- + [Д, С] В тождественно, получаем

^(1, 1') = Щ1, 2)7(2; Г)+4щ1, 2, 3)[Ф(2)7(3; 1') +

+ 7(2; Р)ф(З)]+а(/-Г) [ф(1, О, ф(1', ОЬ(175)

Итак, если выбрать гр так, что удовлетворяется каноническое коммутационное соотношение при равных временах

[Ф(Л 0. ^Ur, ^ = Ц1-Г^(176)

то уравнение (175) формально идентично уравнению (173). Это позволяет делать очень интересные предположения, однако мы не можем заключить, что f=R. Функция R есть с-число и коммутирует с гр; с другой стороны, г есть оператор, который в общем случае не коммутирует с гр. Тем не менее можно показать [45], что при подходящем определении гр и операции .-усреднения < ... > средние г и R согласуются:

<7(1; Г)> = <^(1; И)>^^(1; 1').(177)

Мы сможем также показать, что среднее от любого произведения гр операторов гр и гр', в котором слева стоит гр, исчезает:

<гр...>=0,(178)

так что

<7(1; Н)> = //(/-Г)<ф(1)ф(Г)>=Я(/-Г)<ф(1)ф(1')>. (179)

Последнее равенство вытекает из <гр>=0. Удобно ввести операцию упорядочения по времени Т:

т{Д(/)В(П]НЛ(05№^

= Н(1-^ПА^В^ +

'4-РЦГ—t)B(t')A(t).*(180)

Используя уравнение (178), уравнение (179) можно записать компактно следующим образом:

R(V 1') = <гр(1)ф(1')>+.(181)

Далее, поскольку (гр(^), гр(/')] = О, упорядочение по времени относится только к функциям от гр, и мы получаем

С(1, 1')^<6гр(1)бгр(1')>=<гр(1)гр(1')>+.(182)

Из сравнения уравнений (181) и (182) становится ясной связь между С и R. Можно провести дальнейшую,симметризацию, собирая гр и гр в двухкомпонент- 214

ный векторный оператор

p(I) 1(9+(1)1

(183)(184)(183)(184)6(1)=U(i) } I 8-(1)|<9(1)>.{<^>}

(183)

(184)

(183)

(184)

и определяя матрицу G флуктуации и функций отклика:

G(l, 1')^<6(1)9(1')>+=^^1')) ^ ^^(185)

[6_,_=0, так как <‘ф(1)ф(1/)>= 0 согласно уравнению (178)]. Мы расширим обозначения для функций, подобных G (1, 1'), так что «1» включает «спиновые» индексы «+» или «—». При этом соглашении G полностью симметрично, G(l, Г)=О(Г, 1).

Как оказывается (см. п. 6.3), 6 подчиняется векторному уравнению, похожему по виду на уравнение (149):

— 1^8(1) = ^(1, 2)8(2) + 4"Т(1- 2- 3)8(2)6(3),(186)

где

(0 1)( 1, 2 )1 1, 2, 3 )-

^{-lohL +НЩ1’ 2);+, +/=^-2,3) (187)

и матрицы у могут быть взяты полностью симметричными, с неисчезающими компонентами, которые включают только один «—» спиновой индекс. Поскольку О не коммутирует, симметризация не совсем тривиальна. Теперь наша цель — найти удобный способ обращения с моментами уравнения (186). С помощью очевидного расширения рассмотренных в приложении А функционалов, генерирующих кумулянты для функций флуктуаций, определим функционал

S = exp[9 (1)т] (1)](188а)

и обобщенный производящий функционал кумулянтов

^{ц} = ln<S>+.(1886)

Величина ц=(т]+, т]_) является с-числим. Теперь основные наблюдаемые получаются так:

<Ф(1)> = д1Г/д7!л(1)|ч=0 ;

C(l, l') = 5W^(l)^+(l')l4=0 ;(189)

1?(1; 1') = 88И7/б1)+(1)дт)_ (!'). и в общем случае

<8(1)... 9(/г)04(1,, „)1ч=0 ;

6*1(1, ... n)sS"r/8T)(l) ... 8-^ = 86*1(1, ... , п — 1)/8т)(л).(190)

Уравнение движения для < 6 ^>*1 есть

^<8(1) >*1 = 1=т)(1) +<^8(1)S>+/<S>+,(191)

215

в котором явное выражение через т] возникает при дифференцировании по времени функции Хевисайда, появляющейся при операции упорядочения по времени. Например, посредством двух слагаемых

S^l+6(1)7)(1)

^<8 (1)S>+^^ [<8(1)> + <8 (1)8(Т)>+7)(Т)] = <^8(1)> +

+ ^ [//(/-0<в(1)8(Т)>+//(7-0< 8(Т)6(1)>]7)(Г) =

= <«W)S> + 6(t-r)[8(l), 8(7)]т)(Т).(192)

Для <Э('0 мы используем правую часть уравнения (186). Замечая, что (ia)-,= =—io и

<8(1)8(2)S>+6|< 8(1)8 >+) , f<8(l)S>+) ,

<S>+— d^(2)\ <S>+<S>+

+ ^<5 >>+} ^^O- ^H-^^O^^e^^^(193>

получаем фундаментальное уравнение движения в виде

-i^< 0(1)>^ = Y(l) + ^(1) + Y(l, 2)<6(2)>^ +

+ 1А(1, 2, 3)[<6(2) >^< 6(3) >^ +0^(2, 3)].(194)

Последовательное функциональное дифференцирование уравнения (194) по 1] производит иерархию кумулянтов в О-пространстве, например,

— i^G^l, 1') = 6(1, P) + y(1, 2)6^(2, Р) +

+ y(1, 2, 3)<6(2)»^(3, Н) + 1/2у(1, 2, 3)G^(2, 3, 1').(195)

Если следовать прямо в этом направлении, то можно было бы достичь только симметричного представления иерархии уравнений, которые с помощью стандартных методов получаются непосредственно из уравнений (149) и (175). Однак,о хотелось бы эффективно замкнуть цепочку уравнений, выражая G3 через G2 (здесь индекс указывает на число аргументов). Для этого поступили с корреляционными функциями при п^2 как с функционалами не от т), а скорее от <С0О\ Это позволяет полностью исключить *q из теории. Дело в том, что т) служит в качестве зонда системы. (В п. 6.3 мы узнаем, что производящая функция W может быть формально интерпретирована как системный функционал распределения в представлении взаимодействия, причем 6(1)т](1) представляет возмущающий гамильтониан.) Когда *q изменяется, все моменты <^6^>\ G^ , G^ ... изменяются совместно. Так, приращение д^б^11 — ~ (д <^ 6 ^>4/6т])6^=02611 связано с приращениями 6Gn ^ 2. При этом подразумевается, что уравнения в функциональных производных существуют среди наблюдаемых. Поскольку г) не появляется явно в этих уравнениях, можно безнаказанно положить его равным нулю.

Формально переход от переменной т] к <6*» выполняется с помощью преобразования Лежандра [48]. Представим его так:

L { <6 >} = №Ь)}— < е (1) > Т1 (1) -(196)

Определим перенормированную вершинную часть Г через производные от L по <0>:

^(^’ л)^8 < 9(1)> ... д < 6(л)> ’(19?)

Г(1)= — 4(1);(198а)

8^(1)^<9(2)>)-1

Г(Ь 2)- -г<ж>=} = "G"1(h 2); (198б)

86-41, 2)

г^2»<198в>

Так как из 66_1=1 вытекает 6G-1=—G-X6GG-X и_ поскольку 6/6<6>= =G-x6I6k\, мы, также имеем

Г(1, 2, 3)=6~1(1, Об-^З, 2)G-43, 3)G(T, 27 3).(199)

Матрица 63/2Г3.= Г3 обобщает введенный ранее параметр асимметрии.

Подставляя (199) в (195), находим уравнение Дайсона

■(_i,a^(i_2)—у(1, 2)—у(1, 2, 3)<6(3)>+S(l, 2)]6(2, l') =

=6(1, Г),(200)

где

2(1, Г) = —1/2т(1, 2, 3)6(2, 2)6(3, 3)Г(3~ 2, Г).(201)

Согласно (159) уравнение Дайсона следует рассматривать как уравнение для Г2=—G-1. Независимое уравнение для Г3 получается дифференцированием уравнения Дайсона:

86-41, 2)82(1, 2)

Г,(1, 2, 3) = — s <2 0(3)> ^(L 2> 3) — б< 6(3)>*<202)

В общем случае это уравнение в функциональных производных, которое определяет Г. Подробное рассмотрение [45, 49] показывает, что, когда начальные условия являются гауссовыми, 2 зависит от <6>» только не явно вследствие зависимости от 62. В этом случае

82_ [86) f 82 )/82

д<9>—)д<6>/ pG/=GGr (дО

= GGT ТОГ + GG= GGT ТОГ + GG/ У1 (8G/ У1 (8G(203)(203)

= GGT ТОГ + GG

= GGT ТОГ + GG

/ У1 (8G

/ У1 (8G

(203)

(203)

Итак, мы вывели для гауссовых начальных условий точную систему уравнений

Г=7— (6S/6G) ООГ;

(204a)

5=(—1/2)уССГ;

(2046)

G-i={G(°)}-i— Y<e>+S;

(204b)

0= {Gt»)}-1 < 6> — 1/2T <9>2— 4" yG.

(204г)

где

(205)217(205)217{б^-Ц!, 2) =—1^6(1, 2)—у(1, 2).

(205)

217

(205)

217

Если последний член в (202) был бы в некотором смысле мал, то

Г(1, 2, 3)~f(l, 2, 3).(206)

Это есть фактически ППВ в матричной форме

2ппв ^( — 1/2^GG^.(207)

Для большей определенности распишем матричные компоненты. Уравнение для R=G-^_ следует из (—, —) компоненты уравнения (200):

^5(1, 2)-^(1, 2)-М 2, 3)<Ф(3)>+5-4Д1; 2)] ^^^ Р) = д(1-Г);

<208)

Е- + (1, Т) = — £7(1, 2, 3)Я(2, 2)С(3, 3)^(2, 3*, Г).(209)

Здесь мы воспользовались тем, что G_,_=0 и у симметричны и содержат точно один «—». Подробно этому С получается из (—, -]-) компоненты:

[^6(1, 2)-(7(1, 2)-Г(1, 2, 3)<ф(3)>++S-+(1, 2)]С(2, Г)+

+2--(1, ^R4^ 1')=0,(210)

где

RHL 2)=R(2, 1)(211)

и

Е__(1, Т) = — 1/277(1, 2, 3)С(2, 2)С(3, ^U^V 2, 3).(212)

В § 8 и 9 рассмотрены следствия ППВ для плазмы более конкретно.

Если нелинейность слабая, наиболее очевидный способ улучшить уравнение (206) — это разложить уравнение (204а) по степеням у:

Г=у+у6уб6у4-...(213)

Однако при сильной нелинейности оказывается (см. пп. 6.4 и 6.5), что такая теория возмущений плохо мотивирована и имеет плохое поведение.

Согласно Мартину и др. ,[1] лучше раскладывать уравнение (204а) по степеням Г, т. е. голую (ненаблюдаемую) вершинную часть разложить по степеням (наблюдаемой) перенормированной вершиной части

, у=Г—Г6ГС(/Г+...(214)

Эту процедуру мы обсудим более детально позднее. Она удовлетворительна до третьего порядка по Г3, но не далее. В п. 6.5 рассмотрим еще более изощренную процедуру замыкания, которая обобщает уравнение (214).

Оператор ф и некоторые другие подробности функционального приближения. Каноническому коммутационному соотношению (176) удовлетворяет (в некоторый произвольный момент времени (=0) следующая реализация оператора ф [45, 46]:

ф(1, /.=0)^--6/бф(1, (=0).(215)

Так как ф(() эволюционирует определенным образом от ф((=0), то действие ф(/=0) на любую (дифференцируемую) функцию от ф(() хорошо определено. Определим временную зависимость ф так, чтобы одновременные коммутационные соотношения удовлетворялись для всех времен. Затем можно написать 218

уравнение движения в гамильтоновой форме, близкой к квантовой механике:

.^(1, 0=^(1, 0; нш(216)

где

H^^^t /) [^(1? /)+6/2(Т, t; 2)ф(2)+

~(-1/2(7з(1, ^‘, 2, 3)ф(2)ф(3)J (нет суммирования по /).(217)

Тогда искомое уравнение движения для д^ф есть

;^Ф(1, 0 = [Ф(1> 0, ^(0Ь(21^)

что можно проверить, если заметить, что

<МФ(Л 0.М О) = [[Ф(Л'О- //J- Ж О] + [Ф(Л 0. [Ф(2, 0^)1 =

= -№U. i). %2, 01, Щ-Ц!-^, //]-0.(219)

Итак,' * •

^9(1)=|[0(1, /), Я(0].(220)

для любой функции от 0, которуюдля любой функции от 0, которуютерминах начальных условий, введемтерминах начальных условий, введемФактически такой же закон справедлив - можно разложить в ряд Тейлора.

для любой функции от 0, которую

для любой функции от 0, которую

терминах начальных условий, введем

терминах начальных условий, введем

Чтобы разрешить (220) формально в функции

U-4tv t^sTexpU-4tv t^sTexpU^tv t^^T* expU^tv t^^T* exp— ^ dt'H(t')— ^ dt'H(t')^ dt'H^^ dt'H^(221а)(221а)(2216)(2216)

U-4tv t^sTexp

U-4tv t^sTexp

U^tv t^^T* exp

U^tv t^^T* exp

— ^ dt'H(t')

— ^ dt'H(t')

^ dt'H^

^ dt'H^

(221а)

(221а)

(2216)

(2216)

где Т* — обратный оператор временного упорядочения. Эти функции подчиня

ются уравнениям

и (A, ьж ^=и<А> ;3);(222)

dtUA t^=UA, t^H^Y(223а)

dtU-4t, t0)=—H(t)U-'(t, to)(2236)

и взаимообратны, как следует из 5([1/(^ /о)!/-*(/, ^^(ищи-'—и(HU-1')=0.(224)

Теперь решение уравнения (220) есть

0(f) =U"4t, 0)0 (0) U(/, 0),(225)

что можно проверить, замечая, что оно удовлетворяет одновременно начальным условиям и уравнениям движения:

dtQ^=-AH^U-^t, 0)]0(0)1/(/, 0)+

+t/->(<, 0)0(0)(7(<, 0)H^=<6VY ^(01-(226)

'219

Из рассмотрения изменения в О вследствие изменения гамильтониана 6//(//^ = Н0^Щ вытекает полезная форма для функций отклика системы. Определим решение в отсутствие возмущения Оо(О вместе с соответствующей ему функцией U0(t, /0), так что

^(^^^(О, Н^Ш(227)

(Заметим, что «0» функции описывают полную нелинейную динамику невозмущенной системы.) Чтобы найти решение 6 в присутствии возмущения, удобно перейти к представлению взаимодействия, т. е. ввести

^7(^ t^^U^t, t^U^t, ^о),(228)

и изучить UV Если заметить, что для любой функции Л {6} выполняется

л^^-ЧА о)Л{е(о)}С7^, о)=

.= ([/')-i(^, ОН^У-МЛ О)Л{6(О)}^о(/, 0)](/'(/, 0) =

^^^у, ^A^o^U^t, 0),(229)

то уравнение движения для (/' можно определить следующим образом:dtU-UoH»^ U'-+UodtU'=

==[///{O}=t/ot7'(Z7o{OH^ .(230)

Отсюда, используя уравнение (229), получаем

.dtU^-H0^U4U4m -1 (//о(6о}+

+б//{6о}(/-1]=5//{6о}Г7/;

Г tГ tUr (^) = Т ехрUr (^) = Т ехрf dt^H^”)_6f dt^H^”)_6(231)(231)

Г t

Г t

Ur (^) = Т ехр

Ur (^) = Т ехр

f dt^H^”)

_6

f dt^H^”)

_6

(231)

(231)

Из (229) тогда находим

Ф(о =Ф(о =t^dt'SH^ оt^dt'SH^ оdVSH^dVSH^(232)(232)

Ф(о =

Ф(о =

t

^dt'SH^ о

t

^dt'SH^ о

dVSH^

dVSH^

(232)

(232)

и функции отклика получаются разложением Тейлора этой формулы до тре

буемого порядка. Во втором порядке, например, имеем

tt

оооо8ф(0 = ^dt' [Ф(/), 6/7O+ +рГс»''[[Ф(О, §//(/')]. 8^(<")] + - (233)

о

о

о

о

где индекс «0» опущен. Наиболее интересный случай включает возмущения

т]_ (1) и т]_ + (1, 2) к Н. Для таких возмущений

(234)(234)8/7(О = Ф(Л 0^-(Л о +’)-+(/. 2, W» W

(234)

(234)

И

^(1; Г)^дф(1)/дт)_(Г) = //(/-^)[ф(1), ф(Н)] + ;(235)

R(\; 1', 1")~^ф(1)/^_(1')^_(1")=:

-ну-ччщмч №(/)?(/')], tuM)U;(236>

W> ty.^_+U\ 7", t^ = Н^-^П^МУ t(W")k-(237>

В п-м порядке функции отклика являются функциями от ф(/) и ф(/) и таким образом функционалами от ф(/=0) и ф(/=0). Для любой функции; Л{ф(0, ф(/)} введем следующее определение усреднения:

<Л{ф, Ф}>^рФ(/ = 0)Л {ф(0, Ф(/)}^{Ф(^ = О)},(238)

где Р{ф}— распределение начальных значений, и каждый оператор ф(/) должен быть записан в терминах ф (^=0)=—б/6ф (/=0), которые затем действуют на величины, находящиеся справа от них. Это определение имеет следующие- важные свойства [45]:-

когда А является функцией только от ф, этот способ сводится к обычному определению усреднения;

временная зависимость <Л> совместна с уравнениями движения;

для разумных Р среднее от <ф(/)4{ф, ф}> равно нулю тождественно. В момент ^=0 последнее свойство следует прямо из уравнения

J^(°) {бж}-р{^°)> = 0-(239>

В следующие моменты времени оно получается по индукции, если заме-- тить, что ф (t)=U~!ф (0) U и Н^ действует слева на ф.

Итак,.

#(/; r) = ^(/-i')<[Ф(^), Ф(Г')1 > = <Ф(0- Ф(П>+;(240а),

КЦ; V, <")=<ф(0 ?(<W")>+■ '(2406).

и т. д. Так же‘

<6ф(0Мп- +(^ t'')>=<^^(t^^(241)-

Смысл этой функции отклика можно понять, если заметить, что в уравнении' Власова внешнее, бесконечно малое возмущающее электрическое поле Ее приводит к возникновению дополнительного взаимодействия вида

П- + (h 2)=-Ее(1)д1 6(1—2).(242).

Таким образом, формула (241) описывает бесконечно малый отклик систе-- мы на внешнюю силу, если ф — функция распределения. Эта интерпретация будет полезной в § 8, где вычисляется перенормированная диэлектрическая про-- ницаемость плазмы.

Итак, осталось доказать использованную в (186) симметризацию. В общем; случае

//(O = Y(l)0(l) + 4~Y(h 2)0(1)0(2) +

+"5?Y(k 2, 3)9(1)9(2)9(3) (нет суммирования ио /),(243)*

где у еЩе не обладают специальной симметрией, кроме единственно вытекающей из уравнения (217). Уравнение для <0>*1 имеет вид:

d,<8>4--ia^ + C [6, H\S>^/<8>+. (244)

Теперь [6//] состоит из суммы произведений 0 в равные времена. Давайте условимся, что временной аргумент любой функции ф(/) должен интерпретироваться как ^+е, где е—>-0+. Тогда легко убедиться, что в <[0, Я]5> + можно коммутировать 6 произвольно, оставляя результат неизменным. Например,

<Ф(Л 1Ш2, t + ^S>+ = <H2, t + W. П5>+. (245) Это означает, что только симметричные части у дают вклад в упорядоченные по времени ожидания, в терминах которых развивается теория, и тем самым процедура п. 6.2 оправдана.

Новый подход к стохастическому осциллятору. Используем задачу о стохастическом осцилляторе, описанную в § 2 для иллюстрации перенормированных уравнений, которые мы обсудили выше. Представленный далеко развитый формализм в действительности неприложим к стохастическому осциллятору, поскольку функциональные уравнения описывают скорее динамическую, чем стохастическую нелинейность. Возможно, однако, так расширить функциональную технику, чтобы включить последний, асимметричный случай. Мы только наметим это расширение, поскольку расширенная процедура [48] близка к процедуре для динамической нелинейности.

Уравнение-прототип для стохастической нелинейности имеет вид:

(246)(246)^^(1)=[/'(1, 2, 3)(d(2)cd(3),

(246)

(246)

где предполагается, что со — гауссово распределенная случайная величина. Спинорные обозначения надо расширить, чтобы включить индекс «0», отмечающий случайный коэффициент со. Расширенный вектор состояния 0 будет 0=(ф, ф, о), и ковариантная матрица

|С(1, 2) R^V, 2) <дф(1)6ю(2) >А

G(l, 2) = j/?(2; 1) 0 0 I (247) 1<8со(1)8ф(2)> 0 < 8®(1)8<о(2)> I

Функциональные уравнения выводятся из производящего функционала вида, идентичного (188). (Теперь 0 и q имеют три компоненты каждая.) Уравнения подобны уравнению (204), за исключением того, что матричное уравнение Дайсона больше не является квадратным. (Поскольку статистика со задана, то не может быть независимого эволюционного уравнения для со.) Так как определенные трехточечные кумулянты тождественно равны нулю, определенные вершинные части также исчезают. Используя (199), можно показать, что

Оз (-, -, -) - О^Г (+, +, +) = 0;(248а)

G3(— _ 0)=0->-Г(+, +, 0)=0;(2486)

G3(—, 0, О)=О-*Г(+, 0, 0)=0.(248в)

Если ограничить наше внимание стохастическим осциллятором с бесконечным числом Кубо, соотношения упрощаются далее, особенно для функции отказа R.

222

Можно показать, что уравнение Дайсона для R определено, как только Г_о+ известна, и уравнение вершинной части для Г-о+ замкнуто в терминах Г-о+, /? и известной величины <6<о2> = р2. Более того, поскольку со не зависит от вре4- мени, то сюда входит только редуцированная величина оо

г dv /3) = г (<, - /3) = j dt Г-,+ (tv tt. td—00

и удобно произвести фурье-преобразование по переменной разности времен. В ППВ получаем

Гт~'Гш= -i.(249)

так что '(250а)

поскольку — Ye/?a₽2rw =& ОД2, то

3Ю = ОД2 (ППВ).(2506)

Легко проверить, что вместе с уравнением (2506) уравнение Дайсона

(-1<о + ОД/?ш=1(251)

согласуется с фурье-преобразованием уравнения (55).

Чтобы выйти за рамки ППВ, мы должны понять, каким образом аппроксимировать уравнение (204а). Это обсуждается в некоторой общности в следующем разделе; здесь мы проиллюстрируем вершинное разложение, описанное в конце п. 6.2. Давайте нормируем время к р-1. Разложение голого взаимодействия у [ср. с уравнением (213)] дает

i Гш= 1 — ^ +.(952)

Поскольку | уад | = 1, можно ожидать, что такая процедура не обоснована. Более точно безразмерным параметром разложения выше является R^Xw Для больших со имеем Рш 1,со<: 1, и в этом пределе уравнение (252) может быть адекватно. Однако большие частоты соответствуют коротким временам, что в общем-то неинтересно. Для малых со в точном выражении R^^ 1 и в ППВ R^^ 1, так что в этом режиме (соответствующем длительным временам) разложение (252) не корректно. Это особенно заметно в специальном случае со — 0, для которого система (252) и (250а) предсказывает наличие комплексных корней для Р, что сильно нарушает известное ограничение реализуемости, которое требует [36] чтобы R^—q было действительно и положительно.

Как видно из п. 6.1, подходящим безразмерным параметром для уравнения (204а) является обобщенная асимметричность, которую мы определяем здесь с помощью

х^1^Гш.(253)

Полезность х вытекает из ее поведения при со = 0. Записывая уравнение (251) в форме

—itoR+xR = 1,(254)

видно, что ха>=0= 1/Яш=0- Поскольку в тотном решении Rto=0> 1, то xto=0 будет меньше единицы и, таким образом, становится возможный (хотя и не слишком 223;

удовлетворительным) параметром разложения, Иттерируя уравнение (204а) по % (формально, раскладывая известную функцию уш по степеням неизвестной величины Гш, так же как в уравнении (214), находим разложение

/?ш = х + х3+ .... (255) жоторое дает лучшую аппроксимацию, чем уравнение (252); так как х<1. Если исключить х, выражая ее через R и используя уравнение (254), то придем к уравнению, полученному впервые Крейчнаном [36]:

R^ - i со (1 - со2) /?3Ю + (Зю2 - 1) R\ - 3 i u>Rto - 1 = 0. (256) -Легко проверить из уравнения (256), что Rw=0 = [ (1 + V"5 )/2]1/2 с^1,27. Это число следует сравнить с (л/2) V^l^S для точного решения и с 1 для ППВ. Таким образом, в настоящем приближении |хю_0| = [(Кб—1)/2]1/2^0,79<1 (со=О— наихудший случай). Решение уравнения (256) сравнивается с точным решением и с ППВ в работе Крейчнана [36]. Видимо, эта вторая перенормиров- .ка дает существенное усовершенствование ППВ и должна рассматриваться как успешная.

Хотя разложения уравнения (204а) по степеням истинной асимметрии до <О(Г3), по-видимому, успешны, оказывается, что их обрезание на О (Г3) и в более высоких порядках не корректно. Корректное обобщение последовательности перенормированных приближений является более изощренным. Эти вопросы обсуж- .даются в следующем разделе.

Уравнение Бете—Солпитера и перенормировки высшего порядка. Геометрия и интуитивное содержание перенормированной теории подчеркиваются тем, что действия производятся не с Г, а с определенной четырехточечной функ- щией К, иногда называемой двухчастичной матрицей рассеяния [53]. Чтобы было -удобней обсуждать двухчастичные функции, введем производящий функционал

(257)(257)W ^v Ъ} In /ехр Г9 (1) (1) + 4" 9 ^ " (2) (^ 2)

(257)

(257)

Жудем полагать F=GX, G=G2. «Подходящим» двухчастичным обобщением одно-

-частичной функции G тогда будет-

-56(1,2)

(258)

-Аналогию можно увидеть более ясно, если ввести преобразование Лежандра [53]

цр, G}^W{^ r^-ThW^n-T^l, 2)6(1, 2)(259)

ш построить перенормированные вершинные части согласно

SnL

= oGt (1) SGi (n)'(26°)

В частности, мы имеем

Г,(1)=—i]i(l);(261а)

Г2(1, 2)=—4^(1, 2);(2616)

(1)

Г, (1, 2) = -67 (2)16 = -G^('- 2);(262а)

:22.4

Г,(1, 2; Р, 2') = -^(Л^Йи^ С- 2i Г- 2')i(262б>

86-41,2)_

Г^!, 2, 3) = —8f(3) |G i(2оЗа)

8К-1 (1, 2; 1', 2')

Г2 (1, 2; 1', 2', 1", 2") = -2")|™ •(2636)

Уравнение для К возникает после дифференцирования уравнения Дайсона (2046) '[1, 53]_

К(1, 2; 1', 2') + G (1, П О (2, 2) /(1, 2; Г, 2') К(1, 2; 1', 2') = = [G(1, l')G(2, 2')]s^l/2 [G(l, l')G(2, 2') + (l'*-»-2')].(264)

Здесь

dS (1, 2)

/(1, 2; 1', 2')<265)

и мы использовали правило цепи 6S/6t]2= (62/60) (66/6142) • Уравнение (263) или его альтернативная форма

K-^G-iG-^s+I(266)

называется уравнением Бете — Солпитера (УБС) [53]. Ядро взаимодействия I, которое описывает «врожденные» двухчастичные корреляции, уже было введено при изучении Г. Действительно, сравнивая уравнения (264) и (204а) и используя (265), видно, что

^(l, 2; Г 2) Y (Г 2^3) = G(1, 1) G (2, 2) Г (Т, 2, 3),(267)

и, следовательно, имеем симметричное представление

2(1, Т) ~ --^у(1, 2, 3) К (2, 3; 3, 2) у (3, 2, Г).(268)

Если в уравнении (265) полностью пренебречь Z, то отсюда получается ППВ. Решение получающегося в результате «неперенормированного» УБС

K^GG)»(269)

аналогично в определенном смысле приближению G^G^, выведенному из уравнения Дайсона при пренебрежении 2. Лучшая перенормировка получается, если оставить /, но аппроксимировать его форму, т. е. аппроксимировать функцию, обратную К. В частности, мы пишем

d / I \1/5К"1 \1

= - 80 ^~ ^J ^ tK к~8О")- r.GG^GGr,, (270)

что следует сравнить с уравнением (268). Уравние для Гг получается дифференцированием уравнения (266):

Г2= —-^-(G-^-'G-1^ —S//6G.(271).

Если пренебречь перенормировкой двухчастичной вершинной части и оставить только первый член в уравнении (270), то придем к уравнению

15—328315—3283Z (1,2; 1 ',2') =—Г (1,3,2) G (3,3) Г (1 ',3,2').Z (1,2; 1 ',2') =—Г (1,3,2) G (3,3) Г (1 ',3,2').(272)225(272)225

15—3283

15—3283

Z (1,2; 1 ',2') =—Г (1,3,2) G (3,3) Г (1 ',3,2').

Z (1,2; 1 ',2') =—Г (1,3,2) G (3,3) Г (1 ',3,2').

(272)

225

(272)

225

Сложность результирующего самосогласованного уравнения (266) для К подобна в пространстве двухчастичных функций сложности ППВ, которое описывает одночастичные функции.

Мы можем найти точки соприкосновения с предыдущими выводами в п. 6.2, если умножим уравнение (264) слева на G~XG~V и на у справа, и затем используем уравнения (272) и (267). Таким образом,

Г-чГСГ66Г=у,(273)

что как раз есть результат, полученный при обрезании разложения (214) в третьем порядке. Однако, если проигнорировать очевидный резонанс в уравнении (266), то можно записать

К= (1+GGZ)-1(GG)S^(GG)8-GGZGG.(274)

Подходящее выражение для I в этом приближении получится, если продифференцировать уравнение (266) и использовать уравнение (274)

Z^yGy.(275)

Получаем в результате разложение, которое с помощью уравнения (267) можно записать в форме

r^y-^yGyGGy,(276)

что точно соответствует обрезанию разложения (213) в третьем порядке. Поскольку оно нарушает фундаментальное правило (159), неудивительно, что это плохое приближение.

Следующее состоятельное приближение включает предположительно трехчастичные функции и вершинные части, причем перенормировка трехчастичных вершин не проводится. Насколько нам известно, это приближение никогда не исследовалось ввиду его очевидной сложности, по-видимому, практическая ценность этого приближения нулевая. Однако здесь имеется некоторый академический интерес. Важно, что прямое разложение любого столкновительного оператора S, I ... раскладывает резонанс в некотором пространстве n-тел и приводит к.уравнениям, содержащим расходимости. Последовательность приближений, которую мы развиваем, есть один из способов представления продолженных частей статистики, как это можно видеть из записи точной системы Дайсона — Бете — Солпитера в символической форме:

’+ 2(G-'G-^ + Z

Объем статьи не позволяет рассмотреть другие аспекты формализма работы [1], включая использование представлений функциональных интегралов, приложения группы перенормировок, и трактовку негауссовых начальных условий. Относительно последних мы отсылаем читателя к работе Роуза [51], которая появилась недавно и не обсуждается здесь должным образом. Заметим, однако^ что Роуз показал, как правильно обращаться с дискретностью частиц, которая приводит вследствие эффектов самокорреляции к сильной негауссовости статистики.

В заключение мы предупреждаем, что формализм Мартина и др. [1] не спасает от всех бед. Важным препятствием для некоторых приложений является 226

то, что он основан на эйлеровых уравнениях, в то время как с определенными статистическими корреляциями удобно обращаться к лагранжевой системе (см.

п п. 7.3). Сейчас представляется, что этот формализм наиболее систематический из всех приводящих к рабочим процедурам замыкания. Остается посмотреть, будет ли этот подход адекватен практическим приложениям, которые встречаются в лабораторной и космической плазме. Несколько результатов в этом направлении рассмотрены в § 7—10.

ГИДРОДИНАМИКА II

Введение. В этом разделе мы исследуем приложения техники перенормировок к практическим задачам, включающим жидкостную динамику плазмы. В частности, обсудим некоторые особенности уравнений Хасегавы — Мимы [54], которые, как предполагалось, охватывают определенные существенные элементы нелинейной динамики дрейфовых волн. Обсуждение физической состоятельности этих уравнений выходит за рамки данной статьи. Заметим только, что в этой модели не учтен ряд интересных физических явлений (что признают авторы). Однако это упущение затеняется для настоящих целей простотой результирующей модели.

Наше исследование не будет полным как вследствие ограниченного объема, так и из-за того, что много работы пока еще не сделано. Выделим режим сильной турбулентности в рассматриваемой модели и проведем параллель с традиционным анализом уравнений Навье — Стокса обычных жидкостей. Здесь же обсудим возможность каскадной перекачки почти сохраняющихся величин и возможное образование спектра в инерционном интервале. В этом контексте мы узнаем, что у ППВ есть один потенциально серьезный недостаток: оно не инвариантно относительно случайных преобразований Галилея (которые определяются в п. 7.3) и, следовательно, не способно правильно описать спектр в инерционном интервале. Этим мотивировано краткое обсуждение некоторых предлагавшихся приближений, близких к ППВ.

В безразмерной форме уравнения Хасегавы—Мимы имеют вид:

(278)

k=p+q

где

^klp.q^^ + ^’^-^Xq)^-^);

^к|р, q — ^k| q, р-(279)

Здесь время и пространственные координаты нормированы К ®ei-1 .(®сг^еВ/7Пге) И ps= (TelmiYI^&ei СООТВСТСТВеННО, фк = = e9k/Te, где 6fe — электростатический потенциал, и о, (к) = = [^ycTe/eB£n<Oci(l +&2)], in— характерный масштаб изменения плотности. Возможно наличие вязкости или затухание Ландау, а также действие внешней силы, но они явно не выписаны в уравнении (278). Предположим, что Af=O, если только сумма их двух 15*227

последних аргументов не равна первому. Далее замечаем, что <1 + ’)"к|Г.ч4Л1+ЛЛСр|ч.к + (|+Л«_,|к.р^ (280а) ^(^^■^l,,. q + ^O+P'^-pfq,Р==°'

(2806)

Уравнение (278) имеет два квадратичных интеграла движения ( dx (f + Ivv Г) = ^ 3 (1 + Л I ?k I2;(281a)

k

U = px [| V? I2 + (A2V)2] = L2 2 (1 + ^г) ^ I ? I2.(2816)

k

Здесь пространственное интегрирование производится по двумерной ячейке со стороной L. Единица в члене 1+^2 возникает вследствие сжимаемости параллельного движения электронов [54] и, таким образом, представляет важное физическое различие между уравнением (278) и двумерным уравнением Навье — Стокса. Все же между ними много сходства. Так, если пренебрегать сжимаемостью в уравнениях (281), то W и U сводятся соответственно к энергии и энстрофии *, Е и Q — интегралам уравнения Навье — Стокса без вязкости.

Точные следствия уравнений Хасегавы—Мимы и родствен» ных им уравнений. Здесь обсудим точные результаты и физические явления, связанные с уравнением (278). Хотя эти моменты не имеют непосредственного отношения к перенормировке, важно разобрать их для того, чтобы оценить, какие величины следует вычислять в перенормированных теориях. Обсудим сначала равновесное состояние, описываемое уравнением (278).

Важность квадратичных интегралов состоит в том, что они сохраняются при любом обрезании уравнения (278), которое убирает все члены, включающие любой волновой вектор, значение которого превышает некоторое произвольное значение верхнего вектора отсечки к> или меньше, чем произвольный вектор нижней отсечки. Это свойство можно использовать в сочетании с теорией равновесной статистической механики (см. [55] и другие цитированные там работы), чтобы предсказать свойства равновесного ансамбля для уравнения (278). Действительно, если рассматривать в усеченной системе действительную и мнимую части <рк как независимые (или эквивалентно <рк и у*к), то равновесное распределение есть [54]

Р {cpk}=^V exp {-а№—р 17},(282)

где N — нормировочный множитель. Обратные «температуры» а и

Р должны быть ограниченными, так что N конечно. Отсюда следует равновесный спектр

< I ?k 12>= (1 +^2) -1 («+^2) -1.-(283)

Соотношение между аир для заданных сохраняющихся величин W и U получается с помощью прямых алгебраических выкладок, если использовать уравнения (281). Сюда можно перенести непосредственно результаты Крейчнана [55, 56], который рассматривал аналогичное двумерное уравнение Навье — Стокса. В частности, если положить U=k2xW и выбрать &i близким к низшей моде системы, то спектр в длинноволновой области имеет резкий пик. Отсюда вытекают некоторые следствия для неравновесной

динамики, которые будут обсуждаться далее.

Неравновесное состояние, описываемое уравнением (278), может возникнуть вследствие способа, с помощью которого система приготавливается, или вследствие баланса накачки и диссипации. Хасегава и Мима постулировали существование длинноволновой моды большой амплитуды, которая входит в уравнение (278) благодаря взаимодействию мод Mv.. Рассмотрим более общий

к | p,q

случай и не будем уточнять вид накачки, а единственно предположим, что W и U постоянно впрыскиваются при некотором вол

новом числе к\, при этом мы сохраним порядковое соотношение U.^k2xW. Мы также предположим, что в уравнения добавлены диссипативные члены, которые становятся важными при малых длинах волн. Здесь возникает общий вопрос: достигается ли асимптотически равновесное состояние, в котором устанавливается баланс диссипации и накачки, и, если так, какова будет в результате зависимость <| ?к |2> от волнового числа.

(284)(284)Обсуждение этого вопроса полезно начать с рассмотрения знаменитой гипотезы Колмогорова о спектре энергии в инерционном интервале [57] (см. также [58] и указанную там литературу). Для того чтобы получить классическую задачу Навье — Стокса, пренебрегаем временно сжимаемостью в уравнениях (278), так что W—>Е, U—hQ, и также пренебрегаем коллективными колебаниями с со* (которые могут оказаться важными при больших длинах волн). Запишем

(284)

(284)

EID = j* dkE (куо

Давайте временно пренебрежем сохранением U и предположим, что энергия Е инжектируется со скоростью е. Если ^-пространство разбито на октавы, кп=2пК<, то плотность энергии Еп в п-й зоне пропорциональна Еп~и2п, где un—^п <рк (ЕХВ— скорость в безразмерных переменных) и под ип понимается разность скоростей в точках, разделенных характерным пространственным масштабом ku-V Предположим, что инерционный интервал существует, 229

т. е. есть область волновых чисел, в которой нет ни прямой подкачки, ни заметной диссипации. Предположим далее, что перекачка энергии между зонами локальна, т. е. прямое взаимодействие существует только между соседними зонами.- При этом, как только значительная энергия попадает в инерционный интервал, скорость перекачки энергии между соседними зонами должна быть постоянной и равна е, которая может быть оценена как г^Е^т^ где «время оборота вихря» тп—(бп^п)-1 есть время, за которое сдвиг скоростей на масштабе кп-х поворачивает вихрь этого масштаба 1 раз. Тогда un^^lk)1/3, и поскольку локальность подразумевает, что энергия в n-й зоне порядка кЕ^, то

Е^^№"^\ (285)

Мы получили знаменитый колмогоровский спектр энергии. Заметим, что о размерности пространства не делалось никаких предположений. Было сделано два существенных предположения: о существовании единственного интеграла движения и о локальности каскадной перекачки. (В той мере, как энергия в n-й зоне появляется через конечное число этапов перекачки, локальность не может быть строгой. Это приводит к интересному вопросу о дискретности. Дальнейшие детали — см. [58] и указанную там литературу.)

Направление потока энергии при колмогоровском подходе не определяется. В классических моделях энергия подводится к длинным волнам и предполагается, что она поглощается с той же скоростью в коротких волнах, создавая асимптотически по времени стационарное состояние. Этот результат, «прямая» перекачка к коротким волнам, согласуется с видом абсолютно равновесного ансамбля для этого случая, которым является равностепенной спектр Е (к)/£=const. Таким образом, согласно уравнению (285) коротковолновые моды находятся гораздо ниже равновесного уровня, что предполагает перекачку подводимой энергии к этим модам.

Эти рассуждения не оправдываются, если допускается второй квадратичный интеграл 1{7 или Q [56]. Простая перекачка энергии к коротким волнам будет сопровождаться перекачкой энстрофии; однако это несовместимо с постоянством Q, вклад коротких волн в которую наибольший. (Это проще рассматривать в контексте начальной задачи, когда вся энергия и энстрофия сосредоточены около волнового числа накачки, а не в контексте асимптотически стационарного состояния.) Если сохранить некоторое предположение о локальности, то единственный возможный вывод такой: энергия перекачивается вниз от к\ с колмогоровским спектром, в то время как энстрофия перекачивается вверх со спектром

Е^^\^к"\ (286)

Здесь т) есть темп перекачки (или подвода) энстрофии, и зависимость (286) вытекает из анализа размерностей, подобного при- 230

веденным выше рассуждениям Колмогорова. Снова можно думать, что существование каскадной перекачки есть результат безуспешного стремления системы достичь абсолютного статистического равновесия. В частности, признаком нисходящей перекачки энергии в двумерном пространстве является резкое обострение равновесного спектра в окрестности малых волновых чисел накачки к\.

Введенное только что свойство двойной направленности каскадной перекачки качественно не меняется при включении сжимаемости. «Обратная» перекачка энергии имеет, таким образом, важные следствия для теории насыщенной, стационарной дрейфовой турбулентности. Хотя коротковолновая диссипация будет успешно отводить энстрофию, в настоящей модели нет механизма поглощения энергии в длинных волнах. Следствием этого является то, что турбулентность не насыщается (это составляет предмет важной проблемы о существовании асимптотического каскада, которую мы обсуждаем в следующем разделе). Подходящим механизмом затухания длинных волн является магнитный шир, обсуждение этого, однако, выходит за рамки данной статьи.

Фактически простая форма (286) каскада энстрофии не совсем корректна. Если мы утверждаем, что среднеквадратичная разность скоростей на масштабе кп пропорциональна кп-2 раз энстрофии Qn в этом масштабе, которую можно оценить, используя уравнение (286), как

fen kn

Q« $ dPP*E (Р) ~ J dplp,

то мы видим, что каждая октава ниже кп дает равный вклад в Qn и, таким образом, каскадная перекачка энстрофии не является локальной. Логическая самосогласованность и некоторая степень локальности могут быть восстановлены модификацией уравнения (286) с помощью логарифмического фактора [56]. Однако низкая, степень локальности каскада энстрофии подразумевает, что должно быть много октав в ^-пространстве, прежде чем асимптотический спектр проявит себя. Для дрейфовой турбулентности это может оказаться нереальным. В коротких волнах нелинейное взаимодействие значительно ослаблено влиянием конечного гирорадиуса ионов; в длинных волнах становятся важными осцилляторные и дисперсионные свойства колебаний и подходящее описание дает теория слабой турбулентности. Тем не менее важно понять, каким образом сформулировать количественно описание каскадной перекачки, так как это даст полезный подход к статистическим свойствам уравнения (278) в динамике и статике. В конце концов приходится обратиться к приближенной процедуре замыкания, подобной ППВ, которая обсуждается в следующем разделе. Удобно, однако, начать с указания определенных точных следствий уравнения (278).

Перейдем к пределу непрерывного изотропного 6-спектра и запишем уравнение (281а) в виде

W(D =^dkW(k),оW(D =^dkW(k),о(287а)(287а)

W(D =^dkW(k),о

W(D =^dkW(k),о

(287а)

(287а)

где

Г(6)=л6(1+62)<|ф(к)|2>.(2876)

(Изотропия не может быть полной при достаточно больших длинах волн.)

Уравнение баланса для №(6) следует из (278), так что имеем

-^- W ДО) — тк (1 -|- 62) J -^ 2 dq8 (k -|~ Р + q) X

X^fk|_P)_qRe<<p(p)y(q)v(k)>Z. = it ^dpdqT(k\p, q), (288)

где

тЩр.д)^^±7?М-кIР, q^е<?(P)VWV(Ю>^- (289)

[Поскольку мы опустили источники и стоки, уравнение (288) верно только в инерционном интервале.] Область интегрирования оп-

Рис, I. Область интегрирования в пространстве абсолютных значений волновых векторовРис, I. Область интегрирования в пространстве абсолютных значений волновых векторовРис. 2. Геометрия фундаментальной тройки волновых векторовРис. 2. Геометрия фундаментальной тройки волновых векторов

Рис, I. Область интегрирования в пространстве абсолютных значений волновых векторов

Рис, I. Область интегрирования в пространстве абсолютных значений волновых векторов

Рис. 2. Геометрия фундаментальной тройки волновых векторов

Рис. 2. Геометрия фундаментальной тройки волновых векторов

ределена на рис. 1 и ограничивает р и q так, что к, р и q образуют треугольник. При получении окончательной формулы (289) воспользуемся геометрией, указанной на рис. 2, предполагая, что тройные корреляции ф изотропны, и заметим, что М^ । можно полностью выразить в терминах волновых векторов через теорему 232

косинусов, а затем использовать результат

Ja'pdqSfk + p + q)/^/?, р, д) =

= ^ pdpqdqF ^ dpdyB (k — р cos у — q cos р) 8 (р sin у — q sin р) = ои

= £ dpdqF(\ sin а |,(290)

д

справедливый для любой функции F, зависящей только от величины волновых векторов. Используя уравнения (280), можно проверить, что '

Т^\Р, q)+T(p\q, k)+T(q\kf р) =0;(291а)

kW\P. q)+P2T(p\qi k)+q^T(q\ky р)=0.(2916)

Эти соотношения являются выражениями детального — по тройкам — сохранения W и U соответственно. Они непосредственно приводят к уравнениям (281), а также могут быть выведены из последних.

При обсуждении каскадной перекачки полезно определить скорости, с которыми W и U перекачиваются через заданную поверхность в ^-пространстве. Так, к_

4г Н’!+«-№

dt J\и^ )1Л(А) |

Выкладки с использованием уравнений (291) показывают, что

оок

к0

коо

(293)(293)J ^{^ } ^dpdqT(k\p, qy

(293)

(293)

0к

Фактор сжимаемости «1» осложняет анализ каскада. В дальнейшем обсуждении интервалов подобия мы будем игнорировать эту единицу как в целях простоты иллюстрации, так и потому, что мы ожидаем, что истинный ответ окажется качественно подобен. В этом случае анализ сводится к уже проделанному Крейч- наном [56] для перекачки энергии и энстрофии в двумерных уравнениях Навье — Стокса. Мы постулируем самоподобное решение для перекачки энергии

гдегде(294)(295)233(294)(295)233E(ak)/E ^=а-п,

где

где

(294)

(295)

233

(294)

(295)

233

£(^)=л&2<ф(^)2>»

Анализ размерностей показывает, что

Т^аЦар, aq)/T(k\p, q)=a-^^/2e(296)

Тогда можно показать, что для того, чтобы обеспечить равенство П(&) и е независимо от к, необходимо выбрать п = — 5/3, и в этом случае

1 ОО

6 = j dv ^ dw»x (у, w; 5/3; Т (1| у, w),(297)

О к

где

<о,(у, w; 5/3) 1_2__/ 1 Ь

<о2 (у, ty; 3)/7)

-(^-1){ И In (у1) ^0.(298)

Соответствующее выражение для Л(^) оказывается равным нулю. Аналогично для перекачки энстрофии ^-независимость Д(&)=т] приводит к п=3 и к

к оо

т] = у dv J dw^ (у, w; 3) Т (11 у, ty).(299)

0 к

В этом случае равен нулю ассоциированный поток энергии П(&). Интегралы по у и w в уравнениях (297) и (299) выражают вклад в перекачку соответствующей величины в терминах всех возможных видов треугольников векторов, в то время как фактор со возникает при интегрировании по размерам треугольников. Детальный вид Т(1|у, йу) должен определяться при приближенном замыкании.

Процедуры приближенного замыкания и инвариантность относительно случайных преобразований Галилея. Рассмотрим сначала ППВ для уравнения (278), которое может быть немедленно выписано, если использовать формулы, данные в § 5 и 6. Уравнение баланса энергии приводит к формуле

t

Т^Р’^ = Щ^~^ ^\^МР,?Д1, F^t, F)Rk^;F)-

—ОО

-bMp,qCq(t, ^ЗД, W, ^-b^J^t, t)Cp(t, t^R^t; 7)1, (300)

где

| -,. -q 4-Ip,(1 + Г: (301a)

- 2Mk I -,. -q"-p I q. k 0(1 + 6')-; (3016)

c^l, i) = (l+4W>«.(302)

Заметим соотношения

“»1,.,= 1/2<6л„4+»е|„);(ЗОЗа)

(l+f)»»l,.,= (l+P!)»,,t.,-<3036)

В стационарном состоянии можно строго написать, что

СДМ^С^-^(304)

при некоторых Ср(т) и Ср = Ср(0), так что уравнение (300) сводится к z

(^ I Р' ^) ~ 2л | Sina I ^ ^ак | р, q^k’ Р’ qCp^q ~^k\р, q^P* q* tPq^k

„ОД;(305)

e„.иод.(зов)

0

В принципе временная зависимость с(т) и /?(т) в ППВ получается прямым решением связанных двухвременных уравнений для С и R (которые мы здесь не выписываем детально). В качестве менее детальной процедуры можно предположить простую функциональную форму для С и R, включающую несколько неизвестных коэффициентов, и попробовать определить эти коэффициенты. Обычный выбор, точный в абсолютном равновесии, состоит в том, что предполагается с^(т) =/?^(|т|). В качестве функции отклика можно выбрать

^(т) =ехр{[—ico* (^) — ог^т}.(307)

В инерционном интервале можно предполагать, что о^ доминирует над со* (6), и в этом случае

Qk,p,q — (^“Ь^рЧ"0*^)”1*(308)

Если гипотеза Колмогорова верна, то нелинейная частота Ок должна иметь масштаб порядка обратного времени оборота вихря:

{

81/3 &2/3 (энергетический каскад);^^^

т)1/3 (каскад энстрофии).

Уравнение для <тд следует из интегрирования по времени уравнения для R. Это уравнение совместно с формулой (304) и уравнениями (292) и (305) дает пару связанных уравнений для подразумевающихся безразмерных констант в (309), (285) и (286), если законы подобия в инерционном интервале, которые мы предположили, согласуются с динамикой ППВ. Однако если, подставить формулу (285) в нелинейный член уравнения для функции отклика, то интеграл по волновым числам расходится в длинных волнах. Источник этой расходимости, который сейчас хорошо понят (см. [8, 59, 60] и имеющиеся там ссылки), представляет существенный физический недостаток ППВ.

В целях иллюстрации рассмотрим в качестве прототипа нелинейной задачи уравнение ведущего центра (см. п. 8.4)

f+vEv7 = 0,(310)

где V—-скорость ЕХВ дрейфа. Рассмотрим теперь эффект добавления к каждому члену статистического ансамбля постоянного во времени и пространстве поля скоростей уА. Если поле уА постоянно по величине и направлению по ансамблю, то его можно исключить одновременно для всех членов ансамбля с помощью преобразования Галилея, которое подразумевает, что статистическая динамика ансамбля остается полностью неизменной. Однако вместо этого предположим [60], что Уд имеет гауссово распределение по величине и направлению. Предположим также, что первоначальный поток скорости vE очень слаб по сравнению с Уд, так что приближенно

—=—ikv р .(311)

dt А к7

Поскольку уравнение (311) есть просто стохастический осциллятор (ср. § 2), ясно, что двухвременные статистические функции будут подвергаться влиянию случайных галилеевских преобразований vA и размешиваться по фазе со скоростью, пропорциональной &<и2>1/2. Рассмотрим таким же образом тройные корреляции

S(k, t; р, f; q, Г) = <^k, ОНР, О АрЪ Л>,(312)

где S также подчиняется уравнению (3.11). S является одной из форм, встречающихся в уравнении баланса энергии для действительной турбулентности, в модели (311) ее временная зависимость имеет вид:

S exp (—ik-vZ — ip-vf — iq-vf') = exp^—~ <02> | kf-|-+ pr + qr|2).(313)

Для времен, неравных между собой, S распадается вследствие конвективной расфазировки. Однако тройная корреляция при одинаковых временах S^t, t, t) инвариантна к случайной конвекции, если мы потребуем выполнения ограничения треугольника к+р+ -f-q=O. Такое поведение является простейшей математической идеализацией физического утверждения, что мелкомасштабные структуры потока будут просто сноситься крупномасштабными флуктуациями, без какого-либо внутреннего разрушения (или же /Только с передачей энергии к другим малым масштабам). Это предположение, одна из форм свойства локальности в fe-простран- стве, подразумевалось в нашем выводе закона Колмогорова и является значительно более общим, чем в приведенном выше примере. Однако оно нарушается ППВ. В ППВ перекачка энергии П 236

или Л выражается в виде интеграла от двухвременных функций. Поскольку на последние влияет (правильно) конвективный перенос мелкомасштабных структур крупномасштабными, то П и Л также испытывают влияние (неправильно). В итоге из-за неспособности ППВ правильно отразить стохастическую галилеевскую инвариантность возникает расходимость в уравнении для £ при со* = 0. Интеграл в уравнении энергии сходится. Заметим также, что расходимость возникает в пределе нулевой дисперсии. Это приближение в задаче о дрейфовых волнах не выполняется (равномерно по &), хотя, по-видимому, должно быть адекватным в некоторых других задачах (см. [61]).

Имеется несколько способов «подправить» ППВ, чтобы сделать его инвариантным к стохастическим преобразованиям Галилея. Простейшее, но наиболее произвольное приближение заключается в ограничении расходящегося интеграла по р до p>ah, где а=0(1) [59, 60]. Похожее приближение мы использовали в нашем обсуждении сильнозамагниченной плазмы в п. 4.2, утверждая на основе идей о броуновском движении, что только более короткие, чем ^~*, масштабы будут давать вклад в ослабление корреляций. Крейчнан [62] развил модель пробных полей, которая дает физически мотивированный, но квазисистематиче- ский способ вычисления сг^, который эффективно сохраняет вид уравнения отклика, но модифицирует форму bh,P>q так, что только среднеквадратичный сдвиг, а не полная энергия в длинноволновых флуктуациях влияет на передачу энергии в инерционном интервале. Если ППВ производится по лагранжевым траекториям, как было кратко описано в п. 5.5, проблема со стохастической инвариантностью к преобразованиям Галилея исключается по построению; по-видимому, в определенных приложениях это приближение будет совершенно точным [63].

Корреляции, которые сохраняют стохастическую инвариантность к преобразованиям Галилея, описываются в основном перенормировкой вершинных частей, описанной в '§ 6. Крейчнан рассмотрел применение первой перенормировки вершин (273) к идеализированным уравнениям конвекции (311) [60]. Он пришел к выводу, что перенормировка вершинных частей значительно уменьшает погрешность в двухвременных функциях и уменьшает, но не исключает вызывающую большие беспокойства погрешность в одновременных функциях. Он указал, что из-за неизбежного влияния между двух- и одновременными функциями галилеева инвариантность будет проблематична в любом порядке эйлеровой перенормировки, и, настаивая на лагранжевом описании, Дюпри показал [27], что если подходящим образом сделать марковскими уравнения Бете — Солпитера, то это приводит к галилеевски инвариантному результату; однако, так как переход к описанию с помощью марковского процесса был произвольным (так же как и несколько нефизическим), то, по-видимому, это не дает количественного улучшения по сравнению с простым обрезанием интеграла по волновым числам или с моделью пробных полей. Вайнсток предложил [64] очень детальную и сложную процедуру замыкания, основанную на трехточечных функциях, которая, по- видимому, пока еще не обратила на себя большого внимания.

Возможное отсутствие стохастической галилеевой инвариантности является серьезной проблемой только в случае существования хорошо развитого инерционного интервала. Таким образом, она доставляет меньше беспокойства в теориях, где он мал, скажем в дрейфовой турбулентности, чем в теории течений

Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса. Когда масштабы турбулентно- сти сравнимы (как это более или менее выполняется для дрейфовой турбулентности), конвекции без деформации нет, и можно утверждать, что ППВ будет количественно достаточно точно. Это еще один рример общеизвестного мнения,, что ППВ более подходит для плазмы, чем для обычных жидкостей.

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ОТКЛИК В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙПЛАЗМЕ

Введение. Роль диэлектрической функций е(к, со) в описании поляризационных эффектов и коллективных осцилляций хорошо известна как в общей теории диэлектрической среды [14], так и в линейной теории плазмы [65]. В этом разделе мы разовьем перенормированную теорию е и опишем некоторые ее свойства и следствия. Приложения, в которых использовалась правильная форма перенормированной диэлектрической проницаемости, довольно редки; в значительной степени это область активных исследований. Однако мы кратко обсудим две модельные задачи — сильно- замагниченную плазму и определенную модель дрейфовых волщ которые служат как информативные прототипы дальнейших вычислений в сильной и слабой турбулентности соответственно. Исторически первые попытки получить перенормированную диэлектрическую проницаемость основывались на развитой в линейной теории интуиции. В электростатическом приближении линейная диэлектрическая проницаемость есть (при В=0)

S

eo2 Г k-df(a)/dv

Vj-^J-v + ur *3|4>

Часто фактор причинности 16 интерпретируют как следствие малой доли турбулентных столкновений. В ранних перенормированных теориях [21, 22, 66] заключалось, что этот член следует заменить конечной шириной линии бу, связанной с турбулентной диффузией. Функция f(0), появляющаяся в линейной теории, остается также и в нелинейной, но интерпретируется в смысле среднего распределения <f>. Таким образом, утверждалось, что нелинейная диэлектрическая проницаемость может быть получена из линейной согласно правилу

е (к, а; {ф}=еи)(к, ю+16Тк; {</>}),(315.)

где в двух хорошо известных пределах 6ук есть

(^£))>/3 (незамагниченная диффузия в пространстве

$тскоростей);(316)

^лР (сильнозамагниченная диффузия в х-прост-

ранстве).

Если корни линейного дисперсионного соотношения e(Z) (к, ®)=0 есть

(317) то уравнение (315) приводит к следующему нелинейному дисперсионному соотношению:

+— 5Ъ)-(318)

В этом приближении турбулентность дает нелинейное затухание бу^ во всех модах, так что система полностью стабилизируется, когда уровень турбулентности станет таким, что

.^к^^к (все(319)

Если доминирует диффузия поперек поля в реальном пространстве, как в случае ЕХВ турбулентности, то уравнения (319) и (3166) приводят к следующему критерию насыщения:

^Y^i-(320)

Иногда это выражение можно использовать, чтобы найти спектр турбулентности в насыщении, если известна формула для D в терминах <ф2>.

Формула (320) устанавливает, что система приходит в насыщение, когда частицы диффундируют на одну длину волны за время усиления поля в е раз. Аргументы этого типа использовались в оценках времен удержания и законов подобия для устано* вок с удержанием плазмы [67]. Однако, хотя такие оценки могут быть полезны в некоторых целях, необходимо подчеркнуть, что представленные выше предписания имеют несколько значительных физических недостатков. Наиболее важно, что в «теории резонансного уширения» в общем случае не сохраняется энергия [68-—70], т. е. нелинейный отток энергии от всех мод (связанный с бу&) не проявляется в виде нагрева резонансных частиц и не может быть отнесен еще к чему-нибудь; это противоречит факту изолированности системы. Эта трудность возникает, потому что уширение пропагатора, который приводит к уравнению (315), описывает воздействие турбулентной среды на частицы и не описывает обратную реакцию этих частиц на среду. Эта обратная реакция, необходимая для сохранения энергии, должна быть отнесена к перенормировке функции распределения частиц, которая не рассматривается примитивной теорией, замещающей f(0) линейной теории на </>. Мы кратко выведем точное выражение для перенормированного распределения.

Отсутствие отклика среды в теории резонансного уширения отвечает также и за другую проблему: детальный вид резонансного уширения (316) не верен. Уравнение (316) описывает диффузию голых частиц, однако точно так же, как и в теории слабой турбулентности, поляризационные поля, связанные с диэлектрическим экранированием этих частиц, уменьшают чистый диффузион-

23»

ный эффект турбулентности. В и. 8.4 при исследовании сильноза- магниченной плазмы мы приведем точный, хотя и несколько искусственный, пример.

Другим недостатком теории резонансного уширения является то, что, если принять буквально предложенный механизм уширения, то из него вытекает, что на пороге устойчивости останется только линейно неустойчивая мода, а остальные затухнут. Такое одномодовое состояние в общем несовместимо с предположением стохастичности или турбулентностью. В конечном итоге из теории стохастической неустойчивости ясно, что описание в терминах диффузионных коэффициентов подходит только для стохастической части фазового пространства. Формулы, такие как уравнение (315), не учитывающие зависимость фазового пространства от бу, являются, таким образом, в лучшем случае приближениями, которые следует оправдывать. Приходится признать, что трудно построить аналитическую теорию, которая правильно описывает обе, адиабатическую и стохастическую, области, так же как и переходную зону между ними; однако этой проблемой нельзя пренебрегать. <

Не следует заключать, что ранние теории перенормировок содержали только правдоподобные аргументы. Наоборот, математически они были столь детальны, что природа пренебрегаемых членов была несколько неясна (так же, как в ранних выводах ППВ), В своем изучении самосогласованной турбулентности бесстолкновительной плазмы Дюпри [21] разложил спектр на множество «фоновых» Волн плюс малое число «пробных» волн. (Разложение было несколько произвольным; в частности, пробные и фоновые волны были физически неразличимы.) Затем он формально проинтегрировал точное уравнение Власова, рассматривая пробные волны как источник. Окончательно он усреднил результат и воспользовался определенной процедурой замыкания. В целом его построение не было непохоже на первоначальный вывод ППВ Крейчнаном. Было, однако, одно очень важное различие: в подходе Дюпри поля и пробные волны предполагались заданными до самого конца вычислений, в котором вступало в действие уравнение Пуассона. Это означает, что самосогласованность трактовалась некорректно (что легко проверить, замечая, что не получается правильный предел слабой турбулентности); фактически процедура была более подходящей к задаче стохастического ускорения. Хотя мы не станем задерживаться на этом, однако отметим, что дело в том, что инфинитезимальная функция отклика R и точный оператор интегрирования по траекториям U не в точности одно и то же; статистические корреляции, которые можно интегрировать в низшем порядке теории для R, могут? оказаться важны в теории такой же сложности для <U>. Вайнсток сформули-- ровал задачу о турбулентности бесстолкновительной плазмы в терминах определенных проекционных операторов [71, 72] (см. п. 10.2), которые осуществляют статистическое усреднение. Обрезание его разложений в низком порядке также нарушает самосогласованность (хотя, в принципе, вся физика включена в его формальное представление решения). Л. И. Рудаков, В. Н. Цытович вычислили. [73] массовый оператор, добавляя неизвестный «оператор эффективных соударений» v к обеим сторонам флуктуационного уравнения Власова и затем выбирая v так, чтобы исключить наличие особенностей до определенного порядка. Хотя их процедура является определенным улучшением, такие методы (см. также (74]) сталкиваются с трудностью, состоящей в том, что в перенормированной. Й40

теории трудно определить понятие «порядок», действительно, они не получила всех членов данного порядка в обобщенной асимметричности.

Функциональная техника, развитая нами, идеально подходит, однако, длят того, чтобы иметь дело с проблемами самосогласованности, так же как и с другими недостатками теории резонансного уширения. Действительно, вариация уравнения Власова относительно внешнего источника дает вклад E’^Sf + SE-dfr оба слагаемых которого возникают из-за симметризации, которую мы наложили^ на U. Только первый член остается в обычных приближениях теории резонансного уширения, делая ясной ее '^связь с задачей стохастического ускорения.

Перенормированная диэлектрическая проницаемость. Чтобы определить диэлектрическую проницаемость, представим зондирование турбулентной бесстолкновительной плазмы внешним неслучайным полем Ее. В результате возникнет индуцированное поле Е,:

Е,= Е(№}-№=0}).Е,= Е(№}-№=0}).(321),(321),

Е,= Е(№}-№=0}).

Е,= Е(№}-№=0}).

(321),

(321),

Выразим возмущение полного среднего поля плазмы в виде функционального ряда по степеням Ее:

8(Еа)) = Егф + Еа, l)^g^Ee(2) +

(322))(322))+ Е о, I) (^Ёд^ед^:^Ё<43) 4- • • •

(322))

(322))

Значок «1» обозначает состояние «1» с исключенной скоростью v^

Мы может теперь определить функцию диэлектрического отклика 8 как коэффициент пропорциональности между внешним: полем и откликом первого порядка:

(323),(323),.-(!_,_2) = 6(l-2) + E(L 1)7^

(323),

(323),

Эта наблюдаемая содержит эффекты всех порядков в фоновой турбулентности.

Мы можем вычислить 6f/6Ee, используя формализм функций отклика § 6. Из формул (241) и (242)

8<f(l)>=-<f(l)7(2)f(3)>A(2)'W(324а)

8 <f (1) >/8Ее (2) = - Jdv. <f(l)T(2) dj (3) >+ |3=2.(3246).

Записывая тройной момент в терминах тройного кумулянта и вспоминая, что <f>=0, получаем

<f(l)f(2)/(3)>+ = <8f(l)8?(2)>+<f(3)> +

24 К24 К+ <8f(l)8f(2)8f(3)>+=/?(l; 2)<f(3)> + 6 {^ Д +)•<325>'

24 К

24 К

16—3283

Итак,

е-1^; 2) = ЗП — 2) —(1_, l)pv2 ^(1; 2)d2<f(2)> +

+d3G{+d3G{1, 2,1, 2,++33(326)(326)

+d3G{

+d3G{

1, 2,

1, 2,

+

+

3

3

(326)

(326)

•Это выражение можно переписать в терминах перенормированных вершинных частей, используя уравнение (199). Применяя очевидные операторные обозначения, находим

е~*=1—E^-df,"(327)

где

r-<f> + §h(328а)

W, 2) = C^v2 [д2С(2, 2)Г ( Ь 2, зь J LI » г > г /

+ дг/?(2, 2) Г { ^ ^2)].(3286)

При получении (3286) мы заметили, что слагаемое

С(1, W^V' ^,71}№ 2)13=2(329)

тождественно равно нулю вследствие причинности. Поскольку

° {+ 1 3 } ^^П; 0г{т’ + +]^(^; 2)#(3; 3), (ззо) получаем

(С/?Г)(1, 2) = Qp, 2’ 3Ч Я-1(3'; 3)С(3, 1) = 0,(331)

I ~~ / 13=2

вспоминая соглашение упорядочения времени, которое мы приняли в п. 6.3.

Можно упростить уравнение (327) далее, заменяя функцию отклика на другую функцию, так называемый пропагатор частицы g. Заметим, что так как

2(1, T) = S(T, 1)= —1/2Г(1, 2, 3)0(2, 2)0(3,73) у(3, 5 1), (332) мы имеем

—Г f 19 Ч 1—

S_+(h 1) = -|Г{_. +,+}С(2, 2) +

+ Г| L ^ ^|/? (2; 2)]/?(3, 3)1/(3, 2, 1). (333) .Используем далее форму U, данную в уравнении (151), и определим Sz как ту часть 5, которая не содержит Е оператор, действующий направо:

S'(l',~l) = jr 1^ ^’ +jE(3, 2)С(2, 2) +

^ +)е(3, 2)/? (2; 2)j/?(3; 3)-d_8(3- 1).(334)

Теперь пропагатор частицы определяется так, что он удовлетворяет J = [{g^+rj^L (335)

Теперь

уравнение функции отклика может быть записано

в терми-

нах g;

g-tR~V-dJ/ER=L

(336 р.

Из уравнения (336) следует

ER=(l + Eg-dJ)^Eg,,

(337),

так что

можно переписать уравнение (327) так:

e-^l-U + Eg-d/HEg-df

или

e=l + Eg-df,

(338)'

откуда

£^=8-! Eg;

(339).

R=g^-di-^Egy

(340).

Формулы (338)—-(340) имеют структуру, идентичную соответствующим результатам линейной теории. Сравним уравнение (340) с (157а). Мы видим фактически, что правильная процедура, которая преобразует линейную диэлектрическую проницаемость в пе-- ренормированную, состоит в замене

g^g;(341а)

(3416)

РН*(341 в)

Диэлектрическая проницаемость и пропагатор в приближении прямого взаимодействия и редукция к теории слабой турбулентности. В ППВ мы имеем Г=у. По построению единственные неисчезающие у содержат точно только один «—» индекс, так что* в ППВ

г/1, 2; ® I = v Р ’ 2- 3)^(1 2 3)(342а)

Г(- -, +)=0.(3426),

Затем, если определить корреляцию полей

<8(1, 2) = <8E(1)8E(2)> = E(LT)E(2, 2)С(Т, 2),

то согласно [75] находим

Г(1, Т) = -д,. [Я(1; 3)^(3, l) + E/?(L3)<6E(3)8f(l)>lX

(343>(343>Х^ЦЗ- 1);

(343>

(343>

d8f (1, 2) = Jdv2[d2<8f(2)8E0)>.d_J?.(1^2) +

+»,д_С(2,Т).Е«Г1; 2)]:.(344).

16*16*243-

16*

16*

Возвращаясь к уравнениям (339) и (340), мы распознаем два типа членов в уравнениях (343) и (344): содержащие точный множитель е-1 и не имеющие такого множителя. По причинам, которые вскоре станут ясны, мы называем эти последние члены «диффузионными» и обозначаем их индексом d, мы называем первый тип «поляризационными» членами и помечаем их р. Таким образом, запишем [76]

s/=S(d)+2(P);(345)

87=87(d’+87<p),(346)

где

^ (1 Л) = - d.. [? (1, 2) S (2, 01. д2а (2 - I);(347а)

2(^(1, Г) = —д. ЛСе-^) (1, 2) <8Е (2) 8/(1) > —

- W - 'Eg) (1, 2) @ (2, 0]. д2а (2 - Т);(3476)

d87(d) (1, 2) = - J dv. [д8 <8/ (2) 8Е (Т) >1 • dlg (Г, 2);(348а>

dS7W(T, 2)=-Jdv2W_C(2, T)].(s-,Eg)(O 2) —

-d2<8f(2)8E(O>].[dI(gd7s-'-Eg)(1, 2)].(3486)

Чтобы увидеть, что IL^ заслуживает своего названия, рассмотрим действие S(d) на

(Eg) (1, 1') = J dx j dp J dv^d>> (p, t, v; v)g (p — p, т — т, v; v'). 0 —oo —oo

(349)

Если И^ имеет пик по p и т относительно g и если g в S(d) берется примерно пропорциональным 6(v2—v'), мы может свести уравнение (349) к марковскому согласно

Eg — d D(V) dg(p, т, v; v');(350)

D (v) = J dt J dp ^dv2g(p, t, v; v2)<§(p, t) = 0 —oo —oo

= JJ ^v2 2 gk_q (^ v; v8) qJqq.(351)

o —oo q

Предел выражения (351) при k->0 есть коэффициент диффузии, используемый в теории резонансного уширения. ^^ является единственным членом, сохраняющимся в задаче стохастического ускорения, где Е задается стохастически. Однако для самосогласованной задачи члены ^р\ 6]^ и bf^ одинаково важны.

Чтобы продемонстрировать связь формул (338) и (345) —(348) с обычной теорией слабой турбулентности, разложим уравнение (338) по степеням интенсивности флуктуаций [53, 75, 76]. Из урав- 244

нения (335) находим

^[{^’J-'+ST'^-^W. -,(352)

здесь разложение законно вне резонанса волна — частица. Уравнение (338) преобразуется тогда в

е=1 + Е^°).дф+Е5(0)- (dbl-S'g№d<j>H. • -(353)

где 5f и S' должны быть вычислены до низшего нетривиального порядка по <6Е2>. В этом месте мы используем линейную версию уравнения для <6f6f),

'{£«»}-’C+d<f>.EC~0,(354)

чтобы найти

<8f(l)8E(l')>=-6rO(l, 1)д_</><8Е(Г)8Е(1')>; (355а)

<8f(l)8f(l')> = gW (I, f)d_<f>g(»)(l', 2) X

х d- < f > < 8Е (Г) 8Е (2) >.(3556)

Подставляя эти результаты в уравнения (347) и (348), т. е. в (353), и симметризируя окончательно, мы приходим к выражению для диэлектрической проницаемости, верному до порядка Е2. Если это выражение подвергнуть фурье-преобразованию, то получается обычный результат теории слабой турбулентности

e=eW+e<"),(356)

где

^=i-W^-O<f>(357)

— линейная диэлектрическая проницаемость и

^ = 2 V [в<3> (6 I q, к. - 9) - 2s(2) (k I q, к - ?) в"1 s<2> X

X(k-q\-q, k)]I4(358)

— нелинейная диэлектрическая проницаемость с точностью до О(Е2);

s^^l^, й2) = 4?6(1)^0)(1; 2)[k.d2^(2; 3)k8.d,<f(3)> +

+(^<"*М;(359)

e<3>(q^, kv k^-L^g^\; W0,^(2; 3)Х

X [k2-^J(3; 4)k,-d4<f (4)>+(360)

To, что связь с теорией слабой турбулентности может быть установлена так просто, есть важное достоинство настоящего формализма.

В уравнениях (358)-—(360) Т»^ приводит к появлению первого члена в е(3), в то время как 6/(d) ответственно за правильную сим

245

метризацию 8(3). Поляризационные члены £^> и 6f^ вместе ответственны за слагаемые в 8(2\ Конечно, хорошо известно [77, 78], что в теории слабой турбулентности слагаемое в е(3), описывающее комптоновское рассеяние (на голых частицах), в длинных волнах частично компенсируется слагаемым в е(2), описывающим нелинейное рассеяние (на экранирующем облаке). В следующем разделе мы покажем, что подобная компенсация может появиться и в перенормированной теории.

Диэлектрическая проницаемость сильнозамагниченной плазмы. В общем случае выражения (347) и (348) чрезвычайно сложны вследствие их нелокальной зависимости от скорости. Чтобы проиллюстрировать важность введенных для самосогласованное™ дополнительных членов ^р\ bf^^ и 6f(p) для перенормированных теорий, рассмотрим нетривиальный пример, в котором зависимость от скорости отсутствует. Этим примером является уравнение Лиувилля для флуктуирующей плотности заряда р плазмы ведущих центров (сильнозамагниченной плазмы)

dt р 4- vE • 7^= 0; (361 а)

v£=(c/B)nXV<p;(3616)

у2ф = —4лр.(Зб1в)

Если установить соответствия

f-^p;(362а)

<p^4n/F;(3626)

d^(c/S)nXV = (c/B)nX(ik)>(362в)

то уравнения (347) и (348) могут быть прямо перенесены на этот случай. Подробности представлены в работе [79], где показано, что 2(с?) и S(^ сочетаются таким образом, что порядок 5/ повышается на (&Хр)2 по сравнению с порядком S(d). Подобным образом комбинируются и 6f^ и 6fkp\ В специальном, но интересном случае термического равновесия результат может быть записан в. форме

* = 1 + I 11 +' (363>

|— ito ++ I j k’Dh j

где Dk — медленно меняющаяся функция от к, которая имеет ту же пропорциональную зависимость, что и подобный бомовскому результат (103). Дисперсионное соотношение, ассоциируемое с уравнением (363), есть

to = _\№Dk.(364)

что вполне разумно указывает на диффузионное затухание возмущений. Если не учитывалось 6f, то остался бы только вакуумный член «1». Формула (363) согласуется по виду с результатом Тейлора [80], который использовал совершенна другую технику. При 246

приложении теории резонансного уширения к вычислению неадиабатической части распределения [81] множитель k^ol^Vn-V^ заменится единицей. Соответствующее дисперсионное соотношение будет

<o=-i(^ + ^)Z)|fe=0,(365)

где со стремится к постоянной величине при &->0 в противоречии как с численным экспериментом, так и с интуитивными соображениями о диффузии вихрей.

Некоторые свойства диэлектрической проницаемости для дрейфовых волн. Методы перенормировок в основном в виде теории резонансного уширения прикладывались в течение многих лет к важной задаче нелинейной теории дрейфовых волн. Поскольку, как можно оценить [22], трехволновое взаимодействие в качестве механизма насыщения относительно неважно, внимание фокусировалось на диэлектрическом отклике. Мы опишем несколько характерных черт этих вычислений. Детальным вычислениям предшествует рассмотрение существующих в литературе дискуссий о правильной формулировке перенормированной теории дрейфовых волн.

Дюпри заметил [22], что в модели с однородным градиентом магнитного поля без шира волны в линейной теории удерживаются в интервале фазовых скоростей un^tofk^ute, чтобы избежать сильно стабилизирующего эффекта взаимодействий волна — частица. Однако при наличии турбулентности спектр фазовых скоростей может расшириться, достигая ионной функции распределения, и в этот момент существенная ионная стохастичность и диффузия ослабят рост амплитуд волн и, возможно, окончательно насытят его. Требуемое уширение оказывается порядка Su^Ud—Uti—”0^ где x)d= (cT/eBLn) — скорость диамагнитного дрейфа. И так как флуктуации скорости возникают из-за ЕХВ дрейфа, то можно получить, что

<(^/Те)=>,/2^(^)-1(366)

есть верхняя оценка уровня флуктуаций в насыщении, которая соответствует также флуктуациям градиента плотности порядка основного.

Дюпри попытался оценить коэффициент диффузии ионов, связанный с уравнением (366). В марковской теории, которая пренебрегает поляризационными слагаемыми, он нашел [82]

k\D[k\D[f(/?2-l), (Я2^1);

k\D[

k\D[

I 0(/?<!),

где R — эффективное число Рейнольдса, по сути отношение линейного времени когерентности к нелинейному времени: R пропорционально скг^<.^*>1121<»В. Тогда при y(Z) С® аргументы, основанные на формуле у = у(6 — k^J), приводят к/?^1,что соответствует (376) и очень малому D. Однако для R">\ D^wR/к2^^ 247

^(с7уеВ)<(сф/Т^)2>^ —ре3ул^^ близкий результату, который был получен Бомом или получается в теории сильной турбулентности. Переход осуществляется при R»—2.

При у^^ю мы будем иметь в насыщении 1<В^2. Потен* циальная проблема, связанная с изложенными выше оценками, состоит в том, что система может оказаться слишком замкнутой для осуществления перехода к турбулентности и, следовательно, для того, чтобы эта простая статистическая теория оказалась верной. Мы здесь не может углубляться в эту проблему, которая для плазмы практически не исследована.

' Кроммес попытался спасти полученные результаты [83], доказывая, что для /?<1 резонансы индуцированного рассеяния на биениях дают необходимую ■стохастичность в ионном распределении, но вопрос, по-видимому, пока еще не ясен.

В теориях Дюпри [22, 82] энергия не сохранялась. К этому вопросу впервые обратился Галеев [68], который показал, что в правильной теории необходима учитывать df. Дюпри и Тетролт [70) повторили этот вывод для задачи дрейфовых волн и вычислили эффективно df^X Они пришли к заключению, что нелинейное затухание в каждой моде ослабляется в (^цУп/со)2 раз относительно простой ^2j_D оценки. Кроммес пересмотрел этот вопрос [83], включив более аккуратно зависимость S<d> от волнового числа, и пришел к выводу, что затухание отдельной моды не такое, как предсказывали Дюпри и Тетролт. Действительно, для того чтобы выполнялось сохранение энергии, некоторые уд по необходимости должны быть положительными, в то время как другие отрицательны. Однако результирующий обмен энергии волна — частица, пропорциональный —5 (Im е)&2< |фд| >2/4л, в соответствии с предсказанием Дюпри и Тетролта уменьшался в (^ц х)и^У раз, где ^^ —типичное продольное волновое число. Вычисления Кроммеса также указали на тенденцию к перекачке энергии в длинные волны, ставя тем самым вопрос о способности системы достичь насыщения. Однако Кроммес, так же как и Дюпри и Тетролт, пренебрегал поляризационными слагаемыми, шумом или взаимодействием волн в F (см. § 9) и динамикой электронов.

Хиршман и Молвиг рассмотрели универсальную неустойчивость в неоднородной плазме с широм [84] в .случае, про который в линейной теории известно, что он устойчив. Они следовали работе Катто [85] (и, по сути, Галееву [68]), применяя теорию уширения резонансов к неадиабатической части электронной функции распределения. Они пришли к выводу, что малая величина турбулентности будет дестабилизировать колебания, а большая величина стабилизирует их. Подобная теория [86], будучи приложена к дрейфовым волнам с конечным р, оказалась в хорошем согласии с рядом характерных черт нескольких экспериментов по удержанию плазмы.

Здесь не обсуждается детальное соответствие между перенормированными уравнениями и описанием резонансного уширения только неадиабатных распределений. Однако на примере плазмы ведущих центров легко видеть, что последнее вытекает из первого, если включить только 6f. Сейчас можно показать, что Хиршман и Молвиг включили только часть 6pd>; они полностью опустили поляризационные слагаемые. Во время написания статьи все еще остается задача доказать в деталях их стимулирующие предсказания.

САМОСОГЛАСОВАНИЕ ФЛУКТУАЦИИ И УРАВНЕНИЕ ' БАЛАНСА

Некогерентный шум и уравнение баланса. Диэлектрический отклик, который обсуждался в последнем разделе, был определен в терминах приложенного источника бесконечно малого электрического поля. Однако, как было подчеркнуто в § 6, внутренние флуктуации также могут играть роль источника, на который откликается среда. Этот отклик будет самосогласованный и нелинейный одновременно. Уравнение, описывающее результирующие флуктуации, иногда называют уравнением баланса. В этом разделе мы выведем уравнение баланса и дадим его физическую интерпретацию. К сожалению, нельзя сделать это исчерпывающим образом, поскольку это уравнение для плазмы понятно пока еще совсем недостаточно; большинство из интересных приложений еще предстоит выполнить.

Очень полезно обсудить самосогласованные флуктуации в понятиях, известных из теории отклика пробных частиц и суперпозиции (см. статью С. Р. Обермана и Е. А. Вильямса в т. 1). Будем считать флуктуации б/ состоящими из двух частей, «когерентной части» б/(с) и «некогерентного шума» д/ (см. [53, 75, 87]):

&f=6f(c^i(368)

Когерентные флуктуации описываются индуцированным откликом на внутреннюю флуктуацию 6Е и определяются соотношением [87]

й^>=— gdf-№-(369)

(Дюпри фактически использовал </> вместо /.) Некогерентные флуктуации будут представляться как голый жидкий элемент, который ассоциируется с некогерентным полем 6Е, связанным с полным полем плазмы посредством диэлектрического экранирования, т. е. в соответствии с уравнением (368) полное поле

6E=E6f(c)+6E(370)

Вспоминая определение (338) диэлектрической проницаемости, находим

бЕ=6Е/е.(371)

Далее мы постулируем, что флуктуация д/ распространяется согласно одночастичному пропагатору g (естественное обобщение потока пробных частиц в простейших линейных теориях), так что g~'6f представляет «начальное» некогерентное возмущение. Мы можем совместно с этой интерпретацией использовать уравнения (369) и (370), чтобы найти

M-RUT^f),(372)

т. е. плазменный отклик на некогерентное возмущение развивается согласно с полной функцией отклика R. Конечно, мы должны еще дать точную формулу для 6/.

Надо подчеркнуть, что данные выше формулы являются в некотором смысле лишенными смысла, поскольку мы смешали наблюдаемые величины g, R, е со случайными переменными. Однако эти соотношения приобретают точное значение, когда строятся корреляционные функции. Так, например, уравнение (371) приводит к уравнению

^ = < 8Е 8Е > = ^^,(373)

которое утверждает, что истинный (измеримый) спектр экранируется некогерентным спектром. Основная корреляционная функция в этом приближении есть C=<d/6f>. Среда откликается на С согласно уравнению (372), давая спектр полных флуктуаций в виде

(374)

Мы можем определить точную формулу для С, сравнивая уравнение (374) с формальным решением уравнения Дайсона, которое выведено ранее. Действительно, уравнение (210) может быть записано так:

C=RFRS(375)

где F=—5__. [Сравни уравнение (375) с (135)]. Затем, сравнивая уравнения (374) и (375), мы определяем

C=gFgt.(376)

Такое соотношение впервые было получено Кроммесом [53], Так как для определения вида F имеется в наличии вся функциональная техника, соотношение (376) вместе с уравнениями (375) и (373) образует формально точное (не по теории возмущений) утверждение первоначальных эвристических идей о когерентном и некогерентном отклике, которые были впервые развиты Дюпри.

Чтобы подчеркнуть согласованность наших определений, давайте построим смешанную корреляцию <6fdE>:

< 8f8E > = RF (е - ’Eg/ = (gFg^ (s-‘E/-

- # e -1E ^gFg^ (s - 'ЕУ ^ < SfdE > + < 8f8E >.(377)

Это выражение совместимо с уравнением (368). Второй член также может быть записан в виде

< 6 Ед/(с) > = е-1 Е < 6f6fc>.(378)

Основываясь на своей интерпретации д/ как чрезвычайно случайной функции, Дюпри утверждал [87], что <.6f6j^>> должно равняться нулю. Этот аргумент оказывается некорректен [53, 88] ввиду самосогласованности: поскольку когерентный отклик связан с экранированным некогерентным

6/М=— gdf-e^Ebf,6/М=— gdf-e^Ebf,(379)(379)

6/М=— gdf-e^Ebf,

6/М=— gdf-e^Ebf,

(379)

(379)

то <676f<c>> пропорционально <6f67>#=0. Отсюда вытекают важные следствия для определенных «кластерных» теорий.

Корреляция некогерентного шума С может быть определена только через точное решение связанных уравнений Дайсона для С и R. Однако, рассматривая различные приближения к F, можно проникнуть в суть дела далее. В ППВ имеем

P=S :ddC+d-<6f6E>-d<6E6f>.(380)

Подставляя (375) в формулу

С = < 8/<c)8f(c> > + < 8f(c)8f> 4- < SfSfM >4-С,(381)

получаем [75]

F = § : дд <8f(c)8f(c) >4-d <8fН8Е> д<8Е8[(С) >4-

<§: dd < Sft^Sf > 4- д • <8f(c)8E > d < 8E8f> 4

§: дд < 8f8f(c) > 4- д ■ < 8/8Е >• д < 8Е8( <с) > +

4-S:ddC4-d-<8f8E>.d<8E87>.(382)

Если пренебречь возможностью того, что производные по скорости могут изменить номинальный порядок членов, то когерентные части уравнения (381) доминируют, так как Р~^2, С—S-. Оставляя только когерентные части, находим

7Ч1Л)~^-РЛ^7)(1. 2ЯХ

X[d-W)(i. 2)][S(1, 1)8(2, 2)4-<§(1, 2)<g(2, ГД. (383).

Смысл этого выражения наиболее просто распознать с помощью построения ассоциированного некогерентного поля, предполагая стационарную турбулентность, так что можно строго выполнять фурье-преобразование. Вводя очевидную симметризацию, находим

<8?’>* = 2 2 \^ЧЦкх, ШЧк^,(384)

^i 4* ^я™ г

что в случае, когда К аппроксимируется как 2л/к d[(o--(o(k)], легко сводится к обычному трехволновому распадному члену слабой турбулентности. Соответствующее кинетическое уравнение волн, подходящее для слабо неоднородной во времени и пространстве среды, введено в [76].

Грануляция в фазовом пространстве. Рассмотренное в последнем разделе приближение взаимодействия волн не содержит никаких намеков на стохастическую неустойчивость траекторий частиц, т. е. в уравнениях (383) или (384) не видно экспоненциальной расходимости соседних элементов фазового пространства. Как указал Дюпри [87] (в другой интерпретации), эта информация содержится в тех членах F [уравнение (382)], которые явно

включают некогерентные флуктуации. Давайте запишем F=Fm-V A~Pr и рассмотрим уравнение для С в форме

g^C-F'g^F^.(385)

В целях размерностного анализа аппроксимируем

Р'~8:ддС.(386)

(Другие слагаемые F' в 6р равно важны; члены в <dfd/<c>> представляют поляризационные эффекты, которые также могут быть важны, особенно в длинных волнах.) Для стационарной турбулентности Дюпри в марковском приближении получил

■ (/"gW (х, V, т; v)^ — d-D(x, v) X!

ХдС(х, v, т; v);(387)

D (x, v) = 2 exp (iq • x) q4qg*q.(388)

q

Если восстановить слабую зависимость от среднего времени Т и рассмотреть эволюцию С(т=0|Т), то получим уравнение вида g;4T)C(0\T) = (FmgW),(389)

где g2— двухчастичный пропагатор, приближенно получаемый здесь с помощью

[^-+vrV.+v,«V8 +

-/-] g2(l, 2, Т; 1', 2', T'V-"-dvj J 6 2 v7

= 1/2 [8 (/ - Г) 8 (2 - 2') + 8 (/ - 2') 8 (2 - Г)\ 8 (Г - Г), (390)

где Dij^D^Xi—Xj)..

Удобно для понимания физики, содержащейся в g2) ввести относительные и центральные координаты в обоих пространствах скоростей и положений:

v_ = Vj — v2;х_ = х, —- х2;

v+ = 1/2^ + v,); х+ = 1/2(х, + хг).

Тогда уравнение (390) становится д . д , дд п v ।

дТ "г v - * ^Х- + V+ * dx+ /J dv^ dv^ J ®

v, рь= + ,—-

= 1/2 [8 (%_ - ^_) + 8 (Х_ 4- Х'_)] 8 (Х+ - Х'^ 8 (Г - Гу (392) где vY^fx, v} и

D_ ^D1X + Z)22 - (P12 + D2I);(393a)

= 1 /2 ]P„ - Ои ^ ф14 - D,,)];(3936)

D+ = l/4(Pn + Dll+D11+D„).(393b)

О1г-*0;(394?>D_-*2D;(3946)(M- »1)D+D_ + ->0;(394b>D+\{2D(394r).Die(395a).D_—*0;(3956)<« 1)D+(395b).D+— D.(395r).О1г-*0;(394?>D_-*2D;(3946)(M- »1)D+D_ + ->0;(394b>D+\{2D(394r).Die(395a).D_—*0;(3956)<« 1)D+(395b).D+— D.(395r).ии^+(1, Т=0; Г^Ц-Гу^+(1, Т=0; Г^Ц-Гу(397а>(3976)(397а>(3976)

О1г

-*0;

(394?>

D_

-*2D;

(3946)

(M- »1)

D+

D_ + ->0;

(394b>

D+

\{2D

(394r).

Die

(395a).

D_

—*0;

(3956)<

« 1)

D+

(395b).

D+

— D.

(395r).

О1г

-*0;

(394?>

D_

-*2D;

(3946)

(M- »1)

D+

D_ + ->0;

(394b>

D+

\{2D

(394r).

Die

(395a).

D_

—*0;

(3956)<

« 1)

D+

(395b).

D+

— D.

(395r).

и

и

^+(1, Т=0; Г^Ц-Гу

^+(1, Т=0; Г^Ц-Гу

(397а>

(3976)

(397а>

(3976)

Из-за зависимости DV2 от х_ коэффициенты диффузии ведут себя различно в пределах больших и малых х_. Если пренебречь зависимостью коэффициентов диффузии от скорости и если Ао — типичное волновое число турбулентности, то находим предельные формы

Вследствие свойства (394а) в пределе большого относительного удаления решение уравнения (392) распадается на произведение одночастичных пропагаторов, что означает независимую диффузик> двух элементов фазового пространства:

g^h 2, Т; Г, 2')^4-[^+(/, Т; ДОДЗ, Т; 2')+ (12)] И (Г),

(396),

где U^ определяется через

Однако при малых х_ физика более интересна и описывает скоррелированную диффузию.

При &о%_<С1 мы можем пренебречь D+_ и D- + в уравнении. (392). Решение результирующего уравнения есть

g2 = (/+(X+, Т; X'+)U-(X^ Т; Х'_)Н(Т),(398)-

где относительный пропагатор U^ подчиняется уравнениям

+7-;^.) = 0;(399а).

идх_, Т=0; ХД = Д\ЦХ_ - ХД ДЦХ_ ДХД\. (399б)з

Пропагатор £7+ описывает обычную турбулентную диффузию в-, центральных координатах. Заметим, что, если два жидких элемента первоначально совпадают (Л'/_=0), они остаются совпадающими бесконечно долго, поскольку их начальное относительное дви-

25$-

жение отсутствует (v_=0), и они испытывают действие одной и той же силы (х_=0)—математически

идх_, Т; ,¥'_)=-L[S(x_ -v_T-x'_)8(v_ -v'_) +

4~8(х_ — v_T + x'_) 8 (v_-|-v'_)] (D_=0);(400)

U_<X_, T; X,_)=6(x_)(dv-)(v_=x_=0).

Чтобы понять движение в случае, когда два элемента чуть-чуть -отделены друг от друга, мы аппроксимируем D_ первым неисче- .зающим членом в его разложении в ряд Тейлора около х_=0

ПДх_^АМ-УОг\ k\D" = d^D_(dxV\x^ (401)

п рассмотрим первый и второй моменты результирующего уравне- :ния для U_. Для этого определим операцию усреднения с помощью

<а(х_, v_, Т)> = ^dx_dv_a(x_, у_)иДх_, v_, Т; Х'_, v'_).

(402)

Тогда находим из уравнений (399а) и (401), что ,<1> = 1, т. е. вероятность должным образом сохраняется, и что <х_> = _=<v->=0. Ограничиваясь для простоты одним измерением, на- .ходим также, что

^<x2_>-2<x_v_ > = 0;(403а)

^-<x_v_ > — <v2_ > = 0;(4036)

^r<v2_>-2£V)"<xL> = 0,(403в)

откудаz/ /Z '

^<x,->-!v}’<x:->=0-(404)

где

TK=(l/2feW,)“1/3.(405)

Уравнение (404) впервые было получено Дюпри [87]. Характерный инкремент при <%2->^exp(sT) для уравнения (404) есть

5 = 2^ {1, -1/2(1 ±1^3)}-(406)

Мы идентифицируем растущее решение <х2_>—ехр(2Т/тк) с экспоненциальной расходимостью траекторий, которую мы ожидаем, и, таким образом, отождествляем т-1к с /(-энтропией. Точное решение уравнения (404) получается непосредственно, но неинтересно. Асимптотически [87]

<%2_>— 1 /3[ (x'_)2+2x'_V_tk+

+2(^.)¥к] ехр (2Т/тк).(407)

Это решение верно при &20<х2-> <С 1. Последуем Дюпри [87] и: определим «время жизни кластера» tci как время, за которое две первоначально раздельные траектории разойдутся на одну длину волны, ^2о<х2->,~/1. Тогда

С1 [ о^е1 <тк).

'(408>

Уравнения (403) имеют простой физический вывод (см. [89], где детально выполнены аналогичные вычисления для задачи стохастических магнитных полей). Рассмотрим точные уравнения для бесконечно малых расхождений Ах, Av между двумя соседними траекториями

-~- Ax = Av;(409а)-

4} Дд.(4096).

Вторые моменты уравнений (409) подчиняются уравнениям

■^-<Дхг> = 2<ДхДу>;(410а)-

5Р< Дл:Ду> = < Ду* > + <(<7/7п) 2? Дл:2 >;(4106).

-^ < Ду2 > = 2 < (д/т) Е'ДхДи >;(410в>

где Ег^ = дЕ[х(0, lAldxtt). Если Аи в уравнении (ИОв) выражено в терминах Е'^х с помощью интегрирования уравнения (4096) и если делается квазинормальное приближение, то получаются уравнения (403) при пренебрежении Cf'Ax2^ (которое мало в отношении тас/тк) при

D" = (9/zn)2(411).

J \( d^WJ / ( <?[М(0)] //7

о

Итак, мы можем суммировать наши исследования двухчастичного пропагатора следующим образом. Элементы фазового пространства, разделенные более чем на характерную длину волны, движутся независимо, каждый подвергается турбулентной диффузии от траектории свободного потока. Элементы фазового пространства, расположенные ближе, чем на длину волны, расходятся с экспоненциальной скоростью вследствие стохастической неустойчивости за характерное время tci^tk.

Здесь мы не станем обсуждать попытки практических вычислений, основанные - на уравнении (385), в частности из-за некоторой видимой несогласованности: между точками зрения, представленными нами [75, 90] и Дюпри [87], относи-

25Sv

дельно лучшего способа вычисления некогерентного шума. Дюпри проверил роль кластеров в ионно-акустической [91] и дрейфовой турбулентности [92]. Численное моделирование поддерживает ряд физических утверждений о кластерах и грануляции [93, 94].

РАЗНОЕ

Перенормировка и стохастические магнитные поля. Здесь кратко прокомментируем следующее приложение, которое, очевидно, важно как'для термоядерного синтеза, так и для астрофизических исследований: это перенос частиц в стохастических магнитных полях (см. [88, 89] и имеющиеся там ссылки). Предполагается, что в некоторой области существует равновесное и стабильное магнитное поле с тиром. В простейшей задаче это равновесие нарушается очень малым продольным возмущением, не самосогласованным с равновесием, которое находится в резонансе с многими соседними поверхностями. Если амплитуда возмущения достаточно ъелика, то резонансы будут перекрываться и, как хорошо известно, ноля станут стохастическими. Представляет интерес определить -скорость диффузии полей так же, как и пробных частиц, помещенных в данную конфигурацию полей.

В более сложных ситуациях диффузия частиц должна быть самосогласована с магнитными возмущениями. К таким задачам можно подходить, используя статистические методы, уже развитые нами. Однако, поскольку в этом направлении работы не проводилось, здесь не обсуждаются такие приложения. (См. некоторые предварительные вычисления в [95, 96].)

Часто используется квазилинейное описание силовых линий [97]. Обоснование этого подхода подобно данному для задачи диффузии частиц в стохастических волновых полях, обсуждавшейся в § 3. Магнитное поле описывается гамильтонианом, каноническими уравнениями которого являются dxXB=0. Возмущающий гамильтониан выражается в терминах суммирования по продольным волновым числам &ц=к-В/В. Находится ширина области захвата около каждой рациональной поверхности p||t(x)=0] и определяется критерий стохастичности. ^энтропия полей определяется с помощью техники, подобной описанной в § 9, а именно: находятся уравнения для расхождений между двумя бесконечно близкими линиями, и статически анализируется поведение второго момента расхождения как функция вдоль пути по невозмущенной линии. Различие между пробной частицей и задачей Q силовых линиях проявляется в вычислении линейного распада корреляций. В обоих случаях это определяется шириной Ай спектра волновых чисел. Однако в случае электростатических волн Ай определяется в итоге дисперсионными свойствами волн, которые ограничивают спектр в й-простран- стве. В случае силовых линий, однако, Ай определяется степенью пространственной локализации фурье-компонент около йн =0 через соотношение неопределенности между расстояниями попе- ^56

рек и вдоль силовых линий. Теория квазилинейной диффузии линий тогда будет справедлива, если длина корреляции 2^/Ай(| меньше длины экспоненциального роста. Мы пишем < z\%2 > =2Z)m 121.

Теперь добавим пробные частицы к, стохастической конфигурации поля и перейдем к приближению ведущих центров, при котором частицы в отсутствие столкновений движутся строго по силовым линиям.

Если частицы совсем не сталкиваются, то время и продольное расстояние связаны согласно г = х)х^, и коэффициент диффузии пробных частиц D^D^u^ | [98]. Однако если столкновения важны, так чтог2^2Он^ примитивная оценка приводит к kx^t^D^D^f^2’ таким образом, не существует никакого асимптотического коэффициента диффузии. Частицы могут также, однако, из-за диффузии поперек поля потерять связь с данной силовой линией. Если это принять во внимание, то* можно определить коэффициент диффузии [99]. Все же время декорреляции тс не просто Tj_ = (^х^)"1’ потому что вследствие стохастической неустойчивости экспоненциальная расходимость преобладает, и тс того же порядка, что и тк, будучи чувствительно к ^ только логарифмически [89, 90].

ППВ будет не верно предсказывать тс~^, потому что в его основе лежит гауссова факторизация К. Теория, которая дает тс^тк, должна сохранить неизбежные двухчастичные корреляции для • того, чтобы описать корреляцию частицы с отдельной линией (которая стохастически неустойчива). В более общем случае любая задача, природа которой основана на конечной К-энтропии, должна сохранить присущие двухчастичные эффекты, потому что К-энтропия является двухчастичной величиной. Требуется нетривиальное замыкание на уровне уравнений Бете — Солпитера. Основные принципы описаны Кроммесом и др. [89]; подробные количественные разработки продолжаются (Котшенрейтер и Кроммес, не опубликовано).

Метод проекционного оператора. В этом и следующем разделах упоминаются некоторые из альтернативных способов, которые использовались для эффективной перенормировки плазменной динамики. Мы не надеемся обосновать здесь технические детали этих подходов; наша основная цель состоит в том, чтобы привести литературные источники.

Рассмотрим сначала динамическое уравнение вида

М(/)=Р(0ф(0, (412)

где «оператор эволюции» L линейный и ф может быть вектором, зависящим, к примеру, от координат, скорости и индексов типа частиц. Уравнения (150) и (220) имеют вид (412) с LF=^F, Н] для произвольного F. Разделим ф на две части, искомую «наблюдаемую» часть Рф и не представляющую интереса или «скрытую» часть Уф:

(413)257(413)257ф = Рф+Уф-

(413)

257

(413)

257

17—3283

Мы предположим, что Р и Q ортогональные проекционные опера

торы, удовлетворяющие P+Q=V(414)

Р2 = Р; Q^ = Q; PQ = QP=0.(415)

Двумя важными реализациями Р являются операторы:

РР^ = <Р^>,(416)

который, будучи применен к ф, дает ее среднее, и

РР^^^О^ф^ЖО)^1^^(417)

который дает ковариацию ф(/). Легко проверить, что оба определения устанавливают линейный проекционный оператор Р, не зависящий от времени ([df, Р]=0).

Будем искать уравнение для наблюдаемой Рф. Для этого применим оба Р и Q последовательно к уравнению (412), получая таким образом уравнения

P^PL^P+QH;(418)

Q^QL^Q+P^(419)

где мы воспользовались тождеством (414). Уравнение (419) можно формально разрешить для скрытой части Qip:

t

Оф = и* (t, 0) Оф (0) + J dt'U* (t, f) QL ^') Рф (f),(420)

0

где f t\

U*^, t'^exp+Udt'-QL^QV(421)

U'J

Подставляя уравнение (420) в уравнение (418), находим t

dtP^ ^ = - iQ ^ Р^ ^ + j dt^ (t, t')P^ (f) + PL (0 U* (t, 0) 0ф (0), о

(422) где операторы Q и Ф определяются с помощью

—хй^=РЬ^Р\(423а)

ф(/, t'^PL^QU#:^, f)QL(t')P.(4236)

Часто система может быть приготовлена так, что Оф (0)=0. [Это автоматически удовлетворяется при построении (417).] В этом случае уравнение (423) формально замкнуто для наблюдаемой Рф. Чтобы лучше понять содержание уравнения (423), определим f*(t^QL^(O)(424)

и воспользуемся определением (417). Простые преобразования уравнений (417) и (420) тогда приводят к

1^ + 1® (01 Ф (0 + [ ^'м (I, Г) ф (О =f* (t),(425)

где

со (/) = 1<ф (0)L (/)ф (0) > <ф (0)ф (0) >"4(426а)

^^ ^)=_f*(/)f*(r)><^^(4266)

Уравнение (425) называют обобщенным уравнением Ланже- вена [38], так как оно является по форме простым обобщением уравнения, встречающегося в элементарной теории броуновского движения. Хороший обзор сделан Кубо [100]. Другие выглядящие знакомыми соотношения есть

ГОф(0)>=0,(427)

которое следует из уравнения (424), и

\dt + i® (01 < Ф (0 Ф (0) > + J ^'v (О П < Ф 1П Ф (0) > = 0, (428) о

вытекающее из уравнений (425) и (427). Уравнение (4266)—это обобщенное соотношение Эйнштейна.

Уравнения (428), (422) или (425) имеют недостаток, заключающийся в том, что они чрезвычайно формальны. Действие модифицированного оператора эволюции очень трудно вычислить точно из-за наличия ортогонального проектора Q. Однако можно построить разложение в формальный степенной ряд [101]. Мори [102] развил интересное представление решения в виде непрерывной дроби. Обобщенное уравнение Ланжевена успешно использовалось для построения динамических моделей в теории многих тел (см. обзор Берне [103}). Используя определение (416), Вайнсток [71, 72] дал описание турбулентности бесстолкновительной плазмы в терминах проекционных операторов.

Исследователи Брюссельской школы развили технику проекционных операторов существенно дальше, чем описано выше. Так как их подход детально описан (см. [104]), мы здесь не станем углубляться далее. Мисквиг написал ряд очень детальных статей, описывающих их приложения к плазменной турбулентности [5, 105—108].

Канонические преобразования. Новый и очень стимулирующий подход к статистическим теориям был предложен Деваром [109]. Идея состоит в том, чтобы ввести гамильтониан, соответствующий рассматриваемой (консервативной) системе, и затем искать канонические преобразования к новым переменным, таким, что статистическая теория трансформированной системы будет проще и, возможно, лучше сходиться. (Мы имеем в виду обычный гамильтониан, функцию канонических переменных, а не операторную гамильтоновскую функцию расширенных полей в процедуре [1].) Например, можно попытаться исключить колебательное движение нерезонансных частиц. Девар утверждал, что этот подход может быть особенно полезен для задач с частичным захватом. Он пришел к ряду интересных заключений, но много работы предстоит еще выполнить. Одна 17*259

трудность метода состоит в том, что некоторая информация «скрыта» в производящей функции канонического преобразования и должна быть извлечена, если желательно представление результатов в лабораторных координатах. Другая — в том, что способ выбора «лучшего» канонического преобразования еще адекватно не систематизирован. Тем не менее теория перенормированных канонических преобразований, по-видимому, — плодотворная область для дальнейших исследований.

Дополнительная литература. Перечислим здесь несколько дополнительных источников по затронутым вопросам, не отмеченным должным образом в тексте. Хороший обзор по теории турбулентности жидкости дан Крейчнаном [110]. Обзор многих аспектов теории резонансного уширения проведен Пеллетиером [111]. Ишимару [112] и Кук [113] обсуждают приложения перенормировок к плазме высокой плотности и жидкостям. Использование теории резонансного уширения для описания определенных неустойчивостей в токамаках обсуждается Эстом [114].

ПОСЛЕСЛОВИЕ

Сейчас ясно со всеми ожиданиями, что перенормировка важна в ряде интересных и практически важных задач физики плазмы. Однако, хотя мы указали общие рамки, в которых могут трактоваться эти проблемы, мы преуспели в достижении определенного решения только в относительно малом числе случаев. Так, мы не можем сказать, что понимаем количественно турбулентность дрейфовых волн при числе Рейнольдса порядка единицы. Также только частично понята количественно, и даже менее, чем количественно, детальная динамика в фазовом пространстве, связанная со стохастически нестабильными системами. Дальнейшие исследования этих вопросов будут как стимулирующими, так и волнующими. Эти вопросы важны по своему значению и для самой науки как проблемы нелинейной статистической физики. С более практической точки зрения, перенормированные теории плазменной турбулентности нужны для успешного детального компьютерного моделирования лабораторных разрядов и, в итоге, для создания работающего термоядерного реактора. Возможно, что ни в одном другом случае симбиоз между фундаментальными и практическими исследованиями не является столь необходимым и таким близким.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

КУМУЛЯНТЫ

Рассмотрим одномерное распределение вероятности Р(х) случайной переменной х. Моменты Р определяются как

00

<хп> г ^dxxnP^.(^.1)

—ОО

Предположим, что Р имеет фурье-преобразование Рк*.

ОО00 .

Р^ = ^ dx exp ( — i кх^ Р (х) = <-хр (— i кх) > = J dx Jj ^--^— хпР (х) =

—оол=0

п=0

Перестановка интегрирования и суммирования, которую мы произвели, обычно оправдана на практике. Из уравнения (А.2) вытекает, что Рк есть «производящая функция моментов» для Р\

дп

<^п> = а1^гтку1рк\к-()(А-З)

Вообще, даже физически простые распределения содержат моменты всех порядков. Например, гауссово распределение.

Р (х)= (2лА2) “V2 ехр [— (х—х0) 2/2А2]

имеет все четные центрированные моменты'

<(х—Хю)2п> = (2п—1)!!А2п (гауссиан).(А.4)

Более того, в безразмерных единицах эти моменты в общем случае быстро растут с номером и, таким образом, бесполезны в качестве параметров разложения. Этим мотивировано альтернативное описание распределения в терминах параметров, которые часто могут быть малы.

Давайте определим «производящую функцию кумулянтов» Wk, значение которой вскоре будет ясно с помощью

(А.5)(А.5)Wfe = ln Рк,

(А.5)

(А.5)

где Wk имеет свое собственное формальное разложение в ряд Тейлора, Z-й коэффициент которого мы называем Z-м кумулянтом и обозначаем <Схг^>:

оо

^=^ -^Г"''<А-6>

/=10101

<х<> = д ( _ i ку V*|6=0 = д _ j ку In ^4=0 .(А.7)

Воспользуемся уравнениями (А.2), (А.5) и (А.6) и запишем

<ехр ( — i кх^> = ехр<ехр ( — i кх^> = ехр(А.8)(А.8)

<ехр ( — i кх^> = ехр

<ехр ( — i кх^> = ехр

(А.8)

(А.8)

так что кумулянтное разложение предлагает способ — очень полезный на практике — для перестановки усреднения и вычисления экспонент. Более того, так как фурье-преобразование гауссиана есть снова гауссиан:

(А.9)(А.9)Рк = ехр (—i^x0— 1 /2^2А2) (гауссиан),

(А.9)

(А.9)

мы видим, что

<х>=х0;

<х2^>=Д2 (гауссиан);(А. 10)

<х^>=0 (Z>3).

Если распределение почти гауссово, результат, часто гарантируемый центральной предельной теоремой, — третий. Более высокие кумулянты будут малы и, таким образом, становятся потенциально полезными параметрами разложения.

Общие законы, связывающие моменты и кумулянты, вытекают из разложения уравнения (А.8) в его формальный ряд Тейлора и сравнения разложения с результатом (А.2). Ясно, что Z-й кумулянт определяется моментами не выше, чем Z, и наоборот. Общее правило устанавливает, что п-й момент определяется всеми возможными суммами произведений кумулянтов порядка п и ниже, таких, что полное число х-в в произведении есть п, и каждое слагаемое входит с комбинаторным множителем, который дает число различных комбинаций х в произведении:

2 / ^—м2 / ^—м(А.11)(А.11)

2 / ^—м

2 / ^—м

(А.11)

(А.11)

где цт— это число одинаковых / в наборе {Zb ..., Zm}. Так, до четвертого порядка

(А.12а)(А.126)(А.12а)(А.126)•<х>=<х>;

(А.12а)

(А.126)

(А.12а)

(А.126)

<х2> = <х>2+<х2»;

<х3> = <х>3+3<х> <х2> + <х3>;

<х4> = <х4>-|-3<х><О3>+6<х>2<х2>4-3<х2»2+<х4>. (А.12г)

Из уравнения (А. 126) видим важный результат: второй кумулянт есть ковариация флуктуаций

<х2>=<(х—<х>)2> = <бх2>.(А.13)

Заметим также, что точное разложение центрированного гауссиана

(2/2)!.

<х™> = ^W <Х">П ^п-ХуЛЬ™(А. 14)

согласуется с (А.4).

Кумулянтное разложение можно очевидным образом обобщить на распределении л-переменных

<ехр ( — i k«x)> = exp<ехр ( — i k«x)> = expвсе Z^Oвсе Z^Oмм-г^^^!1^2--^)- (A-15)-г^^^!1^2--^)- (A-15)

<ехр ( — i k«x)> = exp

<ехр ( — i k«x)> = exp

все Z^O

все Z^O

м

м

-г^^^!1^2--^)- (A-15)

-г^^^!1^2--^)- (A-15)

Для различных x разложение по моментам в терминах кумулянтов особенно наглядно, потому что все комбинаторные множители становятся равными единице 262

тождественно. Например, четвертый момент центрированного процесса становится

<Х1Х2Х3Х4>= <Х1Х2> <Х3Х4»+'^Х1Х3> <х2х4» +

+ <^4> <Х2Хз» + <Х1Х2ХзХ4».(А.16)

Окончательно мы можем описать случайную функцию 6(1) от непрерывного параметра «Ь, заменяя дискретные суммы в уравнении (А.15) на интегралы обычным способом. Мы можем, таким образом, определить производящий функционал с помощью

Г^вЦехр рЬ(1)в(1)}(А.17)

(общепринято опускать множитель „—i“), в терминах которого

6И№ {-п)

|AJ8)

Здесь 6/бт] обозначает функциональную производную [бт](1)/6'п(2)=б(1—2)], известную из вариационного исчисления и прекрасно описанную Бераном [115]. Формулы (А.16) и (А.17) широко используются в § 6.

Полезное обсуждение кумулянтов можно найти у Кубо [116].

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, ОБОЗНАЧЕНИЯ

Основное соглашение о записи фурье-преобразовании состоит в

£ (x) = 2£Aexp(i to).(ВЛ)

к

Мы записываем амплитуды для дискретного спектра как Еь, для непрерывного— как Е(&). Для одномерного дискретного спектра с интервалом между модами ^k^2n[L выполняются в дополнение к (ВЛ) следующие соотношения:

L

С dx

Ек = J ^77 ехр (— 1 to) Е (х);о

<ЕкЕк> = 8^, <ЕЕ>к; < | Екг\> = <ЕЕ>к.

Обозначение <ЕЕ>к обозначает преобразование стационарной корреляции <Е ^х-^) Е (х) > относительно р. Также

L

J dxA (х) В (х) = L 2 А^В_^.

ок

Переход к непрерывному одномерному спектру выполняется с помощью

E^=LEk;

[ dk/6k.

В этом случае выполняются следующие соотношения:

ОО

Р dk

EW= 1 27exp(i &х) £(£);

—оо

ОО

£ (&) = J dx exp ( — i кх) Е (х);

—ОО

<Е (к)Е (к') >=2лб (к^к') <EE>(k)\

<\E(k)\2> — L<EE> (к);

00оо

СГdk

\ dx А (х) В^= \^AVW- к).

-—оо—оо

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Martin Р. С., Siggia Е. D., Rose И. A.— Phys. Rev., 1973, vol. А8, р. 423.

Kraichnan R. H. — J. Math. Phys., 1961, vol. 2, p. 124.

Kubo R. — Ibid., 1963, vol. 4, p. 174.

Wang M. C., Uhlenbeck G. E. — Rev. Mod. Phys., 1945, vol. 17, p. 323.

Misguich J. H., Balescu R. — Physica, 1975, vol. 79C, p. 373.

Bourret R. C. — Nuovo cimento, 1962, vol. 26, p. 1.

Van Kampen N. G. — Phys. Rep., 1976, vol. 24, p. 171.

Leslie D. C. Developments in the Theory of Turbulence. Oxford, Clarendon Press 1973.

Frisch U., Bourret R. — J. Math. Phys., 1970, vol. 11, p. 364.

Cook I. — Plasma Phys., 1978, vol. 20, p. 349.

Vedenov A. A., Velikhov E. P., Sagdeev R. Z. — Nucl. Fusion, 1961, vol. 1, p. 82.

Drummond W. E., Pines D. — Nucl. Fusion Suppl., 1962, pt 3, p. 1049.

Галеев А. А., Сагдеев P. 3. — В кн.: Вопросы теорий плазмы. Вып. 7/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1973.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1957.

Заславский Г. М., Чириков Б. В. — Успехи физ. наук, 1971, т. 105, р. 31.

Чириков Б. В. Исследования по теории нелинейного резонанса и сто- хастичности. Препринт 267, ИЯФ СО АН СССР, Новосибирск, 1969.

Chirikov В. V. —Phys. Rept, 1979, vol. 52, р. 263.

Goldstein Н. Classical Mechanics. Massachusetts, Addison — Wesley, Reading, 1950.

Заславский Г. M., Филоненко И. Н. Журн. эксперим. и теорет. физ., 1968, т. 54, с. 1590.

Greene J. — J. Math. Phys., 1979, vol. 20, p. 1183.

Dupree T. H. — Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 1773.

Dupree T. H. — Ibid., 1967, vol. 10, p. 1049.

Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.-M. — Phys. Rev., 1976, vol. Al4, p. 2338.

Taylor J. B., McNamara B.— Phys. Fluids, 1971, vol. 14, p. 1492.

Montgomery D., LiuС.-S., Vahala G. — Ibid.,1972, vol. 15, p. 815.

Weinstock J. — Ibid.,1976, vol. 19, p. 1702.

Dupree T. H. — Ibid.,1974, vol. 17, p. 100.

Okuda H., Dawson J.M. — Ibid., 1973, vol.16, p.408.

Cheng C. Z., Okuda H. — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 38, p. 708.

Cheng C. Z., Okuda H. — Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 587.

Dawson J. M., Okuda H., Carlile R. N. — Phys. Rev. Lett, 1971, vol. 27, P 32. Krommes J. A., Oberman C. — J. Plasma Phys., 1976, vol. 16, p. 229.

Krommes J. A. On Renormalized Theories of Transport Due to Hydrodynamic Fluctuations in Strongly Magnetized Plasma. Ph. D. Thesis. Princeton University, 1975, unpublished.

Krommes J. A., Oberman C. — J. Plasma Phys., 1976, vol. 16, p. 193.

Kraichnan R. H. — Phys. Rev., 1958, vol. 108, p. 1407.

Kraichnan R. H. — J. Fluid Meeh., 1959, vol. 5, p. 497.

Kraichnan R. H. A Theory of Turbulence Dynamics. — In: Second Symposium on Naval Hydrodynamics. Office on Naval Research Report ACR-38, 1958, p. 29.

Mori H. — Prog. Theor. Phys., 1965, vol. 33, p. 423.

Kraichnan R. H. — J. Fluid Meeh., 1970, vol. 41, p. 189.

Orszag S. A., Kraichnan R. H. — Phys. Fluids, 1967, vol. 10, p. 1720.

Kraichnan R. H. — J. Fluid Meeh., 1978, vol. 83, p. 349.

Kraichnan R. H. — Phys. Fluids, 1965, vol. 8, p. 575.

Kraichnan R. H. Invariance Principles and Approximation in Turbulence Dynamics. — In: Dynamics of Fluids and Plasmas. Ed. by S. I. Pai. Lond., Academic Press, 1966, p. 239.

DeDominicis C., Martin P. C. — J. Math. Phys., 1964, vol. 5, p. 14.

Rose H. A. Aspects of the Statistical Dynamics of Classical Systems. Ph. D. Thesis, Harvard University, 1977, unpublished.

Phythian R. — J. Phys., 1975, vol. A8, p. 1423.

Phythian R. — Ibid., 1976, vol. A9, p. 269.

Deker U., Haake F. — Phys. Rev., 1975, vol. All, p. 2043.

Deker U.— Ibid., 1979, vol. A19, p. 846.

Deker U., Haake F. — Ibid., 1975, vol. A12, p. 1629.

Rose H. A.— J. Stat. Phys., 1979, vol. 20, p. 415

Ichimaru S. Basic Principles of Plasma Physics — A Statistical Approach. Massachusetts, Benjamin, Reading, 1973.

Kvommes J. A. Turbulence, Clumps, and the Bethe — Salpeter Equation.— In: Theoretical and Computational Plasma Physics. Vienna, International Atomic Energy Agency, 1978, p. 405.

Hasegawa A., Mima K. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 87.

Kraichnan R. H. — J. Fluid Meeh., 1975, vol. 67, p. 155.

Kraichnan R. H. — Phys. Fluids, 1967, vol. 10, p. 1417.

Колмогоров A. H. —Докл. АН СССР, 1941, т. 30, с. 301.

Rose H. A., Sulem P. L. — J. Phys. (France), 1978, vol. 39, p. 441.

Kadomtsev В. B. Plasma Turbulence. Ed. by M. G. Rusbridge. Massachusetts, Academic Press, Reading, 1965.

Kraichnan R. H. — Phys. Fluids, 1964, vol. 7, p. 1723.

Sudan R. N., Keskinen M. — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 38, p. 966.

Kraichnan R. H. — J. Fluid Meeh., 1971, vol. 47, p. 513.

Kraichnan R. H. — Ibid., 1970, vol. 47, p. 525.

Weinstock J. — Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 1631.

Krall N. A., Trivelpiece A. W. Principles of Plasma Physics. N. Y., McGraw-Hill, 1973.

Sleeper A. M., Weinstock J. — Phys. Fluids, 1972, vol. 15, p. 1507.

Dean S. O., Callen J. D., Furth H. P. e. a. Status and Objectives of Tokamak Systems for Fusion Research. USAEC Report WASH-1295. Washington, U. S. Government Printing Office, 1974.

Galeev A. A. — Phys. Fluids, 1967, vol. 10, p. 1041.

Галеев A.A. — Жури. эксперим.итеорет.физ.,1969,т.57,с.1361.

Dupree Т.Н., Tetreault D. J. — Phys. Fluids,1978,vol.21,p.425.

WeinstockJ. — Ibid., 1969, vol. 12,p.1045.

WeinstockJ. — Ibid., 1970, vol. 13,p.2308.

Rudakov L. I., Tsytovich V. N. — Plasma Phys., 1971, vol. 13, p. 213.

Horton W., Choi D.-L— Phys. Kept, 1979, vol. 49, p. 273.

DuBois D., Espedal M.— Plasma Phys., 1978, vol. 20, p. 1209.

Krommes J. A., Kleva R. G. Aspects of a Renormalized Weak Plasma Turbulence Theory. — Phys. Fluids. (November), 1979.

Цытович В. H. — Успехи физ. наук, 1972, т. 108, с. 143.

Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. — М.: Атомиздат, 1971.

Krommes J. A., Similon Р. Dielectric Function of Guiding Center Plasma. Princeton Plasma Physics Laboratory Report, 1979.

Taylor J. B. — Phys. Rev. Lett., 1974, vol. 32, p. 199.

Lee Y. C., Liu C. S. —Ibid., 1973, vol. 30, p. 361.

Dupree T. H. — Phys. Fluids, 1968, vol. 11, p. 2680.

Krommes J. A. Renormalized Compton Scattering and Nonlinear Damping of Collisionless Drift Waves, Princeton Plasma Physics Laboratory Report 1543, 1979.

Hirshman S. P., Molvig K. — Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 42, p. 648.

Catto P. J. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 147.

Molvig K-, Hirshman S. P., Whitson J. C. — Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 43, p. 582.

Dupree T. H. — Phys. Fluids, 1972, vol. 15, p. 334.

Krommes J. A. — Suppl. Progr. Theor. Phys., 1978, vol. 64, p. 137.

Krommes J. A., Kleva R. G., Oberman C. Plasma Transport in Stochastic Magnetic Fields I: Geperal Considerations and Test Particle Transport. Princeton Plasma Physics Laboratory Report 1389, 1978, to be published.

Krommes J. A. Incoherent Noise and Self — Consistency in Stochastically Unstable Plasmas. Princeton Plasma Physics Laboratory Report, 1979.

DupreeT. H. — Phys. Rev. Lett., 1970, vol.25, p. 789.

DupreeT. H. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21,p. 783.

Hui В.H., Dupree T. H. —Phys. Fluids,1975, vol.18, p.235.

DupreeT. H., Wagner С. E., ManheimerW. M.—Ibid., 1975, vol. 18,.

p. 1167.

Kleva R. G., 1979.

Kleva R. G., Krommes J. A., Oberman C. Turbulent Evolution of the Collisionless Tearing Mode in the Presence of Stochastic Magnetic Fields. Princeton Plasma Physics Laboratory Report 1574, 1979.

Rosenbluth M. N., Sagdeev R. Z., Taylor J. B., Zaslavskii G. M. — NueL Fusion, 1966, vol. 6, p. 297.

Jokipii J. R., Parker E. N. — Astrophys., 1969, vol. 155, p. 777.

Rechester A. B., Rosenbluth M. N. — Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 40, p. 38.

Kubo R. Response, Relaxation and Fluctuation. — In: Lecture Notes in Physics: vol. 31, Transport Phenomena. Ed. by J. Ehlers e. a. Berlin, Springer Verlag, 1974, p. 74.

Birmingham T. J., Bornatici M. — Phys. Fluids, 1974, vol. 14, p. 2239.

Mori H. — Progr. Theor. Phys., 1965, vol. 34, p. 399.

Berne B. J. Time — Dependent Properties of Condensed Media. — In: Physical Chemistry. Vol. 8B. Ed. by D. Henderson. N. Y., Academic Press, 1971, p. 539.

Balescu R. Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics. N. Y., Wiley — Interscience, 1975, chaps, 14—21.

Misguich J. H., Balescu R. — J. Plasma Phys., 1975, vol. 13, p. 385. '

Misguich J. H., Balescu R. — J. Plasma Phys., 1977, vol. 19, p. 611.

Misguich J. H., Balescu R. — J. Plasma Phys., 1978, vol. 19, p. 147.

Misguich J. H., Balescu R. — Ibid., vol. 20, p. 781.

Dewar R. L. — J. Phys. 1976, vol. A9, p. 2043.

Kraichnan R. H. — Advances in Math., 1975, vol. 16, p. 305.

Pelletier G. — J. Plasma Phys., 1977, vol. 18, p. 49.

Ichimaru S. — Phys. Rev., 1977, vol. A15, p. 744.

Cook 1. — Plasma Phys., 1978, vol. 20, p. 73.

Ehst D. A. — Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 2076.

Beran M. J. Statistical Continuum Theories. N. Y., Interscience Publishers, 1968

Kubo R. — J. Phys. Soc. Japan, 1962, vol. 17, p. 1100.

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯАБСОЛЮТНЫХ И КОНВЕКТИВНЫХ

ПЛАЗМЕННЫХ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ

Л. Берс

ВВЕДЕНИЕ

Одной из важнейших характеристик линейных неустойчивостей в плазме является тип эволюции малого начального возмущения от заданного равновесного состояния. Линеаризованные динамические модели плазмы, описывающие неустойчивость, неприменимы, когда амплитуда возмущений возрастает настолько, что становятся существенными нелинейные эффекты, не учитываемые в начальной модели. Для того чтобы понять, каким образом линейные неустойчивости изменяют заданное равновесие на нелинейной стадии, необходимо разобраться в динамике их развития в пространстве и во времени. Такие исследования линейных неустойчивостей в непрерывных средах проводились в конце 40-х — начале 50-х годов в связи с исследованиями в различных областях физики и техники, а именно: разработкой усилителей и генераторов в микроволновом диапазоне, основанных на взаимодействии электронных пучков с волной; попытками понять механизм генерации шумов в радиодиапазоне на Солнце; работами по классической гидродинамической турбулентности; изучением плазменных неустойчивостей, связанных с исследованиями по термоядерному синтезу и астрофизике.

Твисс [1] и Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц [2] впервые заметили, что в неустойчивой среде локализованное возмущение может развиваться двумя способами:

импульс может нарастать и при этом удаляться от места возникновения так, что в конечном счете в любой фиксированной точке пространства возмущение затухает во времени — конвективная неустойчивость;

нарастающий импульс охватывает все большую и большую часть пространства, так что через достаточно большой промежуток времени в каждой точке пространства возмущение нарастает со временем — так называемая абсолютная неустойчивость.

Рисунок 1 иллюстрирует динамику развития импульсов в перечисленных двух случаях в одномерной задаче. Оригинальные результаты Старрока [3], формализовавшего эти идеи, переоткрыва- ются заново различными и независимыми способами примерно каждые 10 лет [4—19]. В некоторых из этих работ рассматриваются специфические частные случаи или конкретные плазменные неустойчивости, в других разрабатываются общие критерии разделения неустойчивостей на абсолютные и конвективные. По этим последним работам выпущен ряд обзоров [20—22].

Эта статья основана на предыдущих обзорах автора [21, 22] и дополнена конкретными примерами, иллюстрирующими способы применения общей теории к анализу пространственно-временной эволюции плазменных неустойчивостей. Кроме того, в нее включены результаты исследований по теории устойчивости в неоднородной плазме, выполненных за последние 10 лет, в частности обобщены результаты исследований по неустойчивостям взаимодействующих мод.

Начнем с -изложения схемы общего анализа устойчивости в линейном приближении, следуя работам [8, 17], в которых разрешен ряд трудностей, возникших в теории, и развит новый, более общий подход к анализу устойчивости. Как видно из рис. 1, для решения вопроса о типе неустойчивости, абсолютная она или конвективная,

необходимо рассмотреть отклик непрерывной среды на локализованный импульс. Для неустойчивых возмущений (когерентных и шумовых), имеющих в начальный момент времени малую ампли- туду, достаточно определить пространственно-временной отклик среды, т, е. функцию Грина для данной системы уравнений. Это в общем случае справедливо как для однородных, так и для неоднородных сред. Для однородных сред можно развить достаточно общую и в то же время детальную аналитическую теорию, не конкретизируя модель плазмы и тип неустойчивости. Этим мы и займемся в первую очередь.

Динамика возмущений малой амплитуды в бесконечной однородной плазме в линейном приближении полностью описывается тензором проводимости, задающим связь между фурье-компонентами плотности тока и электрического поля:

J(k, o)=a(k, o)E(k, <о). (1)

Точный вид матрицы а (к, со) зависит от выбора модели плазмы и здесь нас интересовать не будет. Уравнение (1) совместно с уравнениями Максвелла, куда включены внешние источники, да- 268

ет соотношение

D(k, <о)Е(к, ®) = Sext(k, го),(2)

где (в системе МКС)

D= (с2/®2) (кк—£26) +

+ (6+ia(k, и)/®8о);(3)

Sext (к, to)—фурье-компонента вектора источника (с— скорость света; ео—проницаемость вакуума). Решив это уравнение, найдем вектор напряженности электрического поля

Е(г(4)

LF.

где

D(k, О) = det[D(к, о)].(5)

Здесь Dadj — матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы D; D(k, to) —дисперсионное соотношение; уравнение £>(к, со) = = 0 дает неявную зависимость частоты от волнового вектора.

Из уравнения (4) видно, что удобно ввести функцию Грина для плазмы

G (г, 0 = J ^ ехр (- i®/) J ^ exp (ikr) -^ -J-(6)

LF"

которая, можно сказать, описывает отклик плазмы на внешнее возмущение, поэтому ее поведение определяется корнями дисперсионного уравнения D(k, со) =0.

Для простоты рассмотрим сначала одномерную задачу. Уравнение (6) приобретает вид:

G<z'^ = ^ехр (_ Ы) J ^ ехр W "W^’(7)

где D^k, со) =0 — соответствующее дисперсионное соотношение. Интегрирование в (7) следует выполнять по контурам, расположенным в областях, где интеграл абсолютно сходится в комплексных плоскостях со и к. Контуры можно выбрать следующим образом. Так как отклик может быть отличен от нуля как в области 2>0, так и в области 2<0, в комплексной 6-плоскости интеграл абсолютно сходится в полосе, изображенной на рис. 2. Полоса .должна включать действительную ось к, так как в любой конечный момент времени физический отклик имеет конечное значение в любой точке пространства и, естественно, не имеет особенностей. Кроме того, необходимо выполнение принципа причинности 6(2, £<0)=0.для любой точки 2; в комплексной со-плоскости в качестве области абсолютной сходимости можно взять полуплоскость. Если выбрать в качестве нее часть верхней полуплоскости комплексной плоско-

сти со, как показано на рис. 2,6, то в эту область попадут как устойчивые отклики, так и неустойчивые, которые могут нарастать с инкрементом, меньшим или равным инкременту на нижней границе области. Контуры внутри этих областей абсолютной сходимости в общем случае нельзя выбрать независимо, так как функция D^k, со) почти никогда не бывает произведением функции от со на функцию от к. Предположим, что мы выбрали контур F в уравне-

Рис. 2. Области абсолютной сходимости функции Грина в комплексных плоскостях к (а) и со (б)

хнии (7) вдоль действительной оси к, как показано на рис. 3,а. Чтобы понять, как выбирается контур L в плоскости со, рассмотрим функцию

JехР (- <8> L

Особые точки подынтегрального выражения неявно определяются уравнением

D(^kT, со)— 0(9)

или (эквивалентно) в явном виде ветвями

0)(^г) =(0г(^г) + 1соД£г),(10)

которые изображены на рис. 3,6. Это позволяет выбрать контур L так, чтобы выполнялся принцип причинности: контур должен

Рис. 3. Контур интегрирования при преобразовании Лапласа в комплексной плоскости к (сплошная линия) и возможные замыкания контура \F при преобразовании Фурье (пунктирные полуокружности), когда |£|->оо при z>0 и z<0 (а), а также отображение действительной оси к на комплексную плоскость со (сплошные линии), выбор контура L при преобразовании Лапласа и его замыкание по полуокружностям (пунктирные линии) при |(®]->оо, когда /<0 и />0 (б)

располагаться выше самой верхней из ветвей о (ку) (рис. 3,6). Для выбранного таким образом контура L его отображение на комплексную плоскость к, заданное уравнением

D^ g)L)=0,(И)

т. е.

^(col) =кг(ыы, (oLi) +1^(й)ы, (On),(12)

не может иметь каких-либо ветвей, пересекающих действительную ось плоскости к. Поэтому интегрирование по к в (7)

J^expG^)^1^(13)

F

приводит к разделению на моды, возбуждаемые при 2>0 и 2<0.

После этого интеграл (7) определен однозначно, и в принципе можно говорить о том, что функция G( 2, t) задана для любых 2 и I. Практически же D( ку со) редко бывает достаточно простой функцией, чтобы интегрирование можно было выполнить до конца аналитически. Но для решения вопроса об устойчивости или неустойчивости того или иного отклика не требуется знать детальный вид функции G( 2, /)• Необходимо знать лишь асимптотику функции 0(2, /) при /-^оо для всех 2. Прежде всего из рис. 2,6 видно, что если Все ветви со (кт) имеют отрицательную мнимую часть (для любых ку), то контур L можно поместить ниже оси сог, поэтому

limG(z, £)—>0(14)

t-^QO

для любых 2. Это соответствует устойчивому равновесию плазмы по отношению к малым возмущениям.

В обратном случае, если какая-либо из ветвей (й(кт) имеет мнимую часть toi(kr)>0 для некоторых значений кт, равновесие плазмы неустойчиво по отношению к малым возмущениям. Заметим, что заданное кт подразумевает пространственно-периодическое возмущение для всех 2(—оо^2^+°°)> и поэтому этот критерий не является достаточным для описания пространственно-временной эволюции неустойчивости, такой как изображенная на рис. 1. При неустойчивом равновесии возмущения могут развиваться как абсолютные или как конвективные. Чтобы определить тип эволюции возмущений, полезно рассмотреть асимптотику функции Грина при /~>оо в двух случаях: для покоящегося наблюдателя (в некоторой фиксированной точке 2) и для наблюдателя, движущегося со скоростью нарастающего импульса [его координату обозначим 2v(01- Неустойчивость будет абсолютной, если

lim 0(2, ^)-—* оо(15)

Z—>00

для любого 2 как в покоящейся, так и в движущейся системах. Неустойчивость будет конвективной, если

limG(z, /)—>0(16а)

^->00

для любого конечного фиксированного г, но limG(zv, /)—>оо.(166)

^—>00

Строгое определение zv(0 мы дадим позже, при подробном рассмотрении этих вопросов. Следует заметить, что для устойчивых возмущений и при z=zv(O справедливо уравнение (14), а не (166). Значительное место в данном обзоре будет отведено тому, как, зная конкретный вид дисперсионного соотношения, определить свойства временных асимптотик функции Грина.

Важность разделения неустойчивостей на абсолютные и конвективные станет очевидной, если посмотреть на рис. 1. Так как эти неустойчивости линейны, такое разделение важно в первую очередь для перехода к нелинейному режиму, который сильно отличается для конвективных и абсолютных неустойчивостей, поскольку в последнем случае в каждой точке пространства возмущения нарастают до больших амплитуд. Как будет видно из дальнейшего, абсолютная неустойчивость является неустойчивой нормальной модой и в этом смысле представляет собой раскачиваю- ~ щийся осциллятор, в то время как конвективная неустойчивость может служить усилителем сигналов и шумов. Кроме того, так как интересующие нас системы имеют конечные размеры, очень важно знать, каким образом локализованные возмущения достигают границ. Дело в том, что при наличии точек отражения конвективная неустойчивость (усилитель) может стать абсолютной (осциллятором). И наоборот, абсолютная неустойчивость в ограниченной системе может оказаться стабилизированной и будет возможен лишь конвективный рост возмущений. Поэтому в неустойчивой среде необходимо знать, в каком направлении распространяются волны; далее будет показано, что способы, обычно используемые для определений этого направления в устойчивой среде (с помощью знака групповой скорости), неприменимы для неустойчивой среды.

Существенное влияние на динамику развития неустойчивостей в пространстве и во времени могут оказать неоднородность плазмы и ограниченность рассматриваемой системы, особенно если эти факторы действуют совместно.

В § 1 показано, что абсолютные неустойчивости являются собственными модами линейно неустойчивой среды, и указано, как определить, будет ли неустойчивость в однородной бесконечной плазме абсолютной, в пп. 1.1 —1.4 приведены для иллюстрации различные примеры.

В § 2 описаны и приводятся примеры (пп. 2.1, 2.2) конвективных неустойчивостей и распространения сигналов в конвективно неустойчивой среде. В § 3 показано (на примерах), как определить асимптотический вид функции Грина для неустойчивых возмуще- ний.х В § 4 рассмотрено влияние неоднородности и ограниченности системы на динамику развития неустойчивостей, эти эффекты проиллюстрированы на примере (линейных и параметрических) 272

неустойчивостей взаимодействующих мод колебаний. Динамика неустойчивостей в ограниченной неоднородной плазме (неустойчивые дрейфовые волны, МГД-моды) в этом обзоре не рассмотрена.

АБСОЛЮТНЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ —НЕУСТОЙЧИВЫЕСОБСТВЕННЫЕ МОДЫ

Чтобы показать, что абсолютные неустойчивости существуют, рассмотрим особенности в подынтегральном выражении (7). Пусть-

G(z, t^ — ^yx ^dw exp (— iw/) I (2, gj),(17),

L

где

/(Z, <0)= f(18)

x z J 2л D(k, to)v л

F

Изменение во времени асимптотического вида функции G(z, t) (нарастание) определяется полюсами подынтегрального выражения в плоскости о), расположенными между контуром L и действительной осью tor (рис. 3,6). Именно эти особые точки могут воспрепятствовать расширению области абсолютной сходимости интеграла на нижнюю полуплоскость со. При аналитическом продолжении функции /(2, <й) вниз от исходного контура L мы доходим до ветвей to(kry пересекать которые нельзя (не нарушая принципа причинности) и которые поэтому образуют линии разрыва функции /(z, со). Однако эти линии разрыва можно деформировать, пользуясь тем, что контур F не обязательно должен лежать на действительной оси, а должен липщ находиться в области абсолютной сходимости (см. рис. 2,а). Поэтому особые точки будут давать вклад в интеграл лишь при тех значениях со, для которых контур F (при соответствующих £) не удается деформировать, с тем чтобы сместить контур ниже. Для наглядности вычислим интеграл в уравнении (18) в явном виде для простейшего случая. Предположим, что: a) D-x— однозначная функция, имеющая только простые полюсы; б) ИтД-^О, по крайней мере, как к~х или ^->оО

быстрее. Тогда для со из области абсолютной сходимости интегрирование в уравнении (18) можно выполнить, замкнув контур при |£|->оо в верхней полуплоскости к при 2>0 и в нижней полуплоскости при 2<0 и воспользовавшись теоремой о вычетах. В результате получим

>19>

bи

где и(2) — ступенчатая функция: и^=\, 2>0; w(2)=0, 2<0. В выражении (19) вычеты берутся в предположении, что все полюсы в плоскости к первого порядка, если со принадлежит к области абсолютной сходимости интеграла (см. рис. 2,6). Например, 18—3283273

при o) = o)l эти значения к задаются уравнением (12); обозначим их символами ки, если ki(toL)>0» и кь если ^(col)<0 (рис. 3,а). Для других со, принадлежащих к области абсолютной сходимости, •особенности в плоскости к могут, разумеется, оказаться полюсами более высокого порядка, их вычеты можно вычислить, совершая предельный переход, когда две точки, принадлежащие к различным ветвям ^(со) [&Дсо) и ^/(со)], сливаются друг с другом.

Из рис. 3,а видно, что каждый член в выражении (19) представляет собой убывающую функцию |2| как при 2>0, так и при 2<0. Если попытаться расширить область абсолютной сходимости в плоскости со ниже верхней из кривых ю^к/), то при этом, разумеется, обнаружатся нарушение принципа причинности и, кроме того, скачкообразное изменение числа мод при 2>0 и 2<0. Избежать этого можно заменой контура F контуром F так, что кривая

Рис. 4. Деформация контура F (а) в F (б) и F (в) при преобразовании Фурье и соответствующее смещение контура L в L и L при преобразовании Лапласа, где отображение L на комплексную плоскость k имеет особую точку типа точки ветвления при k=k0 (контур F), соответствующая ^о точка на плоскости <о = соо

<о(&г), в которую перейдет со(&г), окажется в плоскости со ниже контура L. Иллюстрацией этому служат рис. 4,а, б. Такую деформацию контура не удастся выполнить, когда при некотором со=со0 контур F оказывается «зажатым» между двумя (или более) контурами £ при к=к^ как показано на рис. 4,в [23]. Именно в этом случае функция /(2, со) будет иметь особенность при со = соо, так как для того, чтобы при к=к0 был кратный корень, требуется одновременное выполнение равенств D = 0 и (dD/dk)=Q. Следует особо отметить, что точка со, в которой (6016^=0, является осо- 274

бой точкой функции /(2, <о) лишь в том случае, если при соответствующем значении к контур F зажат между кривыми ки^ ) и L

Ц^~У^. е. эта точка является и точкой ветвления функции Цю).

В дальнейшем мы будем называть такие точки особыми точками, типа точки ветвления. Слияние двух корней ки или Ц хотя при этом также выполняются соотношения D=0 и (dD/dk) =0, не приводит к образованию особенности функции /(2, со). Таким образом, среди всех кратных корней к дисперсионного уравнения, которые существуют при со, расположенных ниже кривой col, и для которых одновременно выполняются соотношения D = 6 и ^dDJdk)=O, особыми точками функции /(2, со) будут лишь такие, где деформированный контур F касается одновременно кривых ^и((о) и ^/(о)). Чтобы получить более точные оценки, рассмотрим аналитически поведение функции /(2, со) в окрестности такой особой точки. Пусть такой точкой будет (д=соо, к=Ц тогда №/^„,, = 0;(20)

О(^о, too) =0.(21)

В этом простейшем случае в окрестности особой точки со и к ведут себя таким образом, что при приближении со (сверху) к соо два корня к, расположенные по разные стороны от кривой F, сближаются друг с другом и при k —ко сливаются (рис. 5); заметим, что ко — седловая точка функции <Цк) при oj = coo, а соответствующая ей точка соо — точка ветвления функции Цю). Вблизи кратного корня к при некотором (о = (0о ряд Тейлора функции D (как по к, так и по со) приводит в низшем порядке к следующему дисперсионному соотношению:

(к—ко)2=С2(ю—юо))(22)

где С2= — 2 (dD/дю) of (d2D/dk2) — комплексное число, при этом использованы равенства (20) и (21). В предположении, что кратный корень при к=Ц образуется при слиянии одного из значений ки с одним из значений Ц функцию D(k, ю) вблизи точки (Ц соо) можно записать в виде

D (£, о) = Yk~ku (со) ] Yb-kt W ] R (£, о),(23)

где

ки = К 4-С («> - %)1/2; к^к.-^- ®0),/2.(24)

а функция R^k, to) регулярна вблизи точки (&0, too). Подставив (24) в (19), найдем

/ (2, „) = .i“(^)exp(iM , tok-zW^y + , (2> ю) (25) ’ 2CR<to—tooyi2 2С/?(«—<oo)I/2 R

где функции 7?o=/?o(^o, ®o) и Л в окрестности точки ©о- Первыйгде функции 7?o=/?o(^o, ®o) и Л в окрестности точки ©о- ПервыйОмГОмГРис. 5. Отображение контуров интегрирования на плоскости <о в контуры на плоскости к в окрестности простой особой точки типа точки ветвления ко и соответствующей ей точки <ОоРис. 5. Отображение контуров интегрирования на плоскости <о в контуры на плоскости к в окрестности простой особой точки типа точки ветвления ко и соответствующей ей точки <Ооехр (— ico^) / (2, со).ехр (— ico^) / (2, со).

где функции 7?o=/?o(^o, ®o) и Л в окрестности точки ©о- Первый

где функции 7?o=/?o(^o, ®o) и Л в окрестности точки ©о- Первый

ОмГ

ОмГ

Рис. 5. Отображение контуров интегрирования на плоскости <о в контуры на плоскости к в окрестности простой особой точки типа точки ветвления ко и соответствующей ей точки <Оо

Рис. 5. Отображение контуров интегрирования на плоскости <о в контуры на плоскости к в окрестности простой особой точки типа точки ветвления ко и соответствующей ей точки <Оо

ехр (— ico^) / (2, со).

ехр (— ico^) / (2, со).

где Ir — вклады от остальных полюсов &и и ki, причем соответствующие ки и ki не близки к ко. Так как u(—z) — 1—u(z), в пределе со->®о, к„-*к0 и км-кй уравнение (25) принимает следующий вид:

,/_ Л iexp(i^z)

Цг-

(26)(26). Ao®0. Ao®0\u(z\ /-1Гехр№]1т“М|й[ —i/? j(

(26)

(26)

. Ao®0

. Ao®0

(2, (Do) по определению регулярны член определен при всех (как положительных, так и отрицательных) 2 и имеет корневую особенность при о)=б)о. Второй член является полюсом второго порядка по к при k=k$ и регулярен по переменной со, так же как и последний член.

Из приведенного рассмотрения видно, что при слиянии двух корней ки или двух корней кг особенности в уравнении (26) не возникнет, так как оба корня имеют сомножителем либо и (2), либо w(—2). Таким образом, решение уравнений (20) и (21) в точке (Do является- особой точкой функции /(2, (D) только в том случае, если соответствующий кратный корень к находится в точке касания деформированного контура F с кривыми ки и кг. Продолжая деформировать контур, можно обнаружить все особые точки такого типа функции Цг, cd). Предполагая, что они найдены, вычислим функцию 6(2, /), взяв интеграл вдоль контура Е, изображенного на рис. 6:

(27)

Асимптотика функции Грина при t->oo определяется контурным интегралом вокруг особой точки (Do, имеющей максимальную мнимую часть. Предполагая, что это та точка, для которой справедливо выражение (26), получаем для любых значений (как 276

положительных, так и отрицательных) z:

И™6(г.С^ехр)-^) J2Pti^^exp(iM "Р'^ . (28)

4->х>J 2тс(to —to0)1/zt

где контурный интеграл берется вокруг линии разреза и точки ветвления при о)=о)О (рис. 6). Если точка о>о находится в верхней полуплоскости со, то анализ асимптотического вида функции Грина (28) показывает, что она нарастает во времени в каждой точке пространства, т. е. неустойчивость абсолютная.

Чтобы понять, как возникает абсолютная неустойчивость, рассмотрим переход к асимптотике (28). Для этого изобразим путь полюсов в плоскости к от их начальных положений, когда со ле

жит на кривой L, к точке их слияния на кривой F, когда со при

надлежит к L, как показано на рис. 4, где последовательные положения этих точек обозначены О, б и О. Рассмотрим точки со, на кривой L, соответствующие ’ точечному источнику возбуждения

среды, локализованному при 2 = =0. Тогда, если со находится в точке О на кривой L, функция отклика определяется точками Ои и Оь обе они дают убывающие функции, одна при 2>0, другая при 2<0, так как они находятся по разные стороны от кривой F (см. рис. 3,а). Убывание функций обусловливается принципом причинности. Требуя его выполнения, мы и расположили L выше верхней из кривых <о (^кр^.

Таким образом, хотя в среде и могут быть нарастающие во времени (неустойчивые) отклики, возбуждение их локализованным

Рис. 6. Деформация контура при преобразовании Лапласа для оценки асимптотики функции Грина при /—>-ооРис. 6. Деформация контура при преобразовании Лапласа для оценки асимптотики функции Грина при /—>-ооисточником, даже если его интенсивность достаточно быстро нарастает во времени, дает лишь убывающий в пространстве отклик (рис. 7). Кроме того, заметим, что при 2=0 производная от функции отклика претерпевает разрыв, так как вклады в интеграл от точек Оц и О/ спадают в разных направлениях и к в этих точках имеют различные действительные части (рис. 8). Причиной разрыва при 2=0 является наличие источника. При деформации конту- раРвРиЬвЕ (см. рис. 4) временной инкремент интенсивности источника может уменьшиться от значения в точке О до значения в О без нарушения принципа причинности; тогда функция отклика будет определяться точками би и Ot при 2>0 и 2<0 соответственно. При этом функция при 2>0 нарастает в пространстве, так как

Рис. 6. Деформация контура при преобразовании Лапласа для оценки асимптотики функции Грина при /—>-оо

Рис. 6. Деформация контура при преобразовании Лапласа для оценки асимптотики функции Грина при /—>-оо

хотя точка Ои и лежит выше кривой F, но ее мнимая часть отрицательна. Возникновение нарастающего в пространстве отклика можно также увидеть на рис. 4 и 7; так как временной инкремент интенсивности источника в точке О меньше, чем наибольший инкремент верхней из ветвей со(^г), отклик от точки Ои в этом случае возрастает с z при 2>0. Вклад от точки О/ при 2<0, так как в этом случае не пересекается действительная ось &, является по-прежнему убывающим, и по-прежнему при 2=0 производная функции отклика имеет разрыв (рис. 8). При выполнении последней деформации ^в^иГвЬна кривой Е возникает точка ежа* тия О, или особая точка типа точки ветвления, и функция отклика становится гладкой при 2=0 [см. также (28)]. С приближением

АмплитудаАмплитудаИсточник о)оИсточник о)оСобстбенныйСобстбенныйоткликоткликДвижущийся откликДвижущийся откликOi и Ои к О скорость убывания последней сравнивается со ско-

Амплитуда

Амплитуда

Источник о)о

Источник о)о

Собстбенный

Собстбенный

отклик

отклик

Движущийся отклик

Движущийся отклик

мени:мени:Рис. 7. Схематическое изображение изменения амплитуды в пространстве-вре-

мени:

мени:

показано, что вклад точки со, лежащей на кривой L (О на рис. 4), и соответствующей ей Ои в плоскости £ убывает в пространсг-

ве. а вклад точки <о, лежащей на L (О на

рис. 4), и соответствующей ей О4 возрастаетв пространстве

ростью нарастания первой, и их пространственные осцилляции совпадают (рис. 8). Так как разрыв производной при 2=0 исчезает, нет необходимости считать, что в начале координат есть

источник, поэтому точка О отвечает собственной моде среды.

Собственная мода с наибольшей мнимой частью частоты определяет асимптотическое поведение функции отклика при /~>оо. Если мнимая часть этой частоты больше нуля, то собственная мода является возрастающей функцией времени для всех точек пространства, что мы и называем абсолютной неустойчивостью. Тот факт, что абсолютно неустойчивые моды есть собственные моды, означает, что они представляют собой «распад на осцилляции» неустойчивой системы, т. е. раскачивающийся осциллятор; ясно, что, начав с теплового шума или какого-либо начального возбуждения, мы достигнем конечного состояния, возможно равновесного, которое будет определяться нелинейными эффектами. Совершая описанные преобразования контура в комплексных плоскостях к и со, можно найти все собственные моды, отвечающие таким точкам. Их число должно быть равно числу независимых начальных данных, которые необходимо задать, и их суперпозиция представляет собой линейный отклик среды в общем случае независимо от того, устойчива она или нет.

Примеры абсолютных неустойчивостей. Рассмотрим для иллюстрации ряд примеров абсолютных неустойчивостей для конкретных дисперсионных соотношений. В частности, опишем некоторые технические приемы нахождения особых точек типа точек 278

ветвления и покажем, чем отличаются решения уравнений (20) и (21) для особых и неособых точек.

Абсолютная неустойчивость связанных мод. Выпишем и проанализируем общее дисперсионное уравнение для взаимодействия двух ветвей колебаний. Простейшее дисперсионное уравнение, описывающее абсолютную неустойчивость, выглядит следующим образом:

Щк, со) ^л^-ю2-^(29)

где у2— действительное положительное число. Уравнение (29) является также дисперсионным уравнением для свободных тахионов (частиц с мнимой массой

Рис. 8. Три пространственных отклика, соответствующих паре /г-корней дисперсионного уравнения, когда со перемещается из точки О на контуре L в О на t

и О на L (см. рис. 4)

в модели Клейна — Гордона [24]). В первую очередь заметим, что если у2 действительное и отрицательное, то неустойчивости не будет, так как ш(^г) действительна для всех действительных k—kr. При действительном и положительном у2 есть диапазон действительных значений к, к2г<^, для которых toi(^r)> >0; при таких кт возникает неустойчивость. Временной инкремент максимален при к=0 и toim=^.

Следующий шаг — нахождение решений системы уравнений (20), (21) при использовании в качестве D выражения (29), т. е. определение положения кратных корней в плоскости к [седловых точек функции со(&)] и соответствующих им со [точек ветвления функции &(<о)]. Точки найти легко:

кй1 = 0,= i y ;|

>(30)

^о2 = О, too2= — iy. I

Является ли точка ^оь cdoi особой точкой типа точки ветвления? Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что, когда со выше, чем со;™, т. е. со лежит в области абсолютной сходимости, корни уравнения (30) в плоскости к находят-

ся по разные стороны от действительной оси. Так как каждому значению со соответствуют лишь два значения к, точка cooi является особой точкой типа точки ветвления, поэтому xooi=rY— временной инкремент абсолютной неустойчивости.

В приведенном простом примере особая точка находится на действительной оси к (контур F неизменен) и временной инкремент абсолютной неустойчивости равен максимальному временному инкременту при действительных значениях к. Это связано со специальным симметричным как по со, так и по к видом дисперсионного соотношения. В общем случае временной инкремент абсолютной неустойчивости равен временному инкременту при действительных значениях к или меньше его. Дисперсионное соотношение (30) настолько простое, что можно определить аналитически функцию Грина для всех г и Л В результате интегрирования уравнения (23) получим

G(z, О = (1/2)/о(уК/^=Г?)и(^-«)«(^ + г), (31) где /о — модифицированная функция Бесселя первого рода; и^—ступенчатая функция. В пределе Z->oo уравнение (31) имеет ту же асимптотику, которая получается при решении задачи методом перевала.

Встречные пучки. Дисперсионное уравнение для электростатических возмущений двух одинаковых встречных электронных пучков на фоне неподвижных ионов дается в одномерном случае В0 = оо в модели холодной плазмы выражением

где top/К2— плазменная частота; и0— направленная скорость, одинаковая для каждого из пучков. (Это дисперсионное уравнение также симметрично по со и к» но-симметрия здесь четвертого порядка по каждой из переменных.) Легко показать, что в области действительных к, ^2Г< (соР/ио)2 два корня уравнения (32) дают чисто мнимые значения частоты со разного знака, поэтому одно из них лежит в верхней полуплоскости со и отвечает неустойчивости. Максимальный временной инкремент для действительных значений к легко находится и равен “Zm= (^/^8 ) при йг = + (3/8)1/2 (<ор/уо). •

Для определения типа неустойчивости рассмотрим решения уравнений (20) и (21), используя в качестве D выражение (32), и найдем, что в верхней полуплоскости со находятся лишь два решения этой системы уравнений:

^0 = ±(3/8) (<Ор/уо); 0>0 = i top/V8 . (33)

Чтобы определить, являются ли эти точки особыми точками типа точек ветвления, учтем, что при со->-j-ioo (эта точка, разумеется, расположена в области абсолютной сходимости) два решения уравнения (32) находятся выше действительной оси к, а два ниже. Точка к=к0 будет особой точкой типа точки ветвления при условии, что кратный корень при к=к^ возникает при слиянии двух корней, приближающихся к действительной оси к с разных сторон при движении точки со—^-соо сверху (из области абсолютной сходимости). Полагая со = too-j-id, где (до дается выражением (33), легко показать [из решения уравнения (32) относительно £], что в пределе б->0 одна пара корней сходится к действительной оси при ^=^о, а вторая пара при к=—к0. В этом примере опять временной инкремент абсолютной неустойчивости совпадает с максимумом вре- 280

менного инкремента для действительных значений к, т. е. особые точки находятся на действительной оси к.

Кратный корень в плоскости к (седловая точка), который не является особой точкой типа точки ветвления. Рассмотрим следующее чисто математическое дисперсионное уравнение

D(k, co)=i£4-3i/?—ico—1=0, (34)

для которого будем искать асимптотику функции Грина. Ясно, что для действительных к точки со находятся в верхней полуплоскости и toi = + l, поэтому неустойчивость есть. Решая уравнения (20) и (21) совместно с (34), находим одно решение в верхней полуплоскости

&oi=ij tooi=3i. (35)

Однако эта точка не является особой точкой ветвления, так как она находится выше самой верхней (в данном случае единственной) ветви to(kT). Столь же легко показать, что седловая точка при ktf=i образована при слиянии двух корней дисперсионного уравнения, которые при toi = + ioo находятся в верхней полуплоскости к. Поэтому седловая точка функции при &oi = i и соответствующая ей точка ветвления функции £(со) при <x>oi=3i не являются особыми точками типа точек ветвления подынтегрального выражения (17). Таким образом, асимптотика функции G(z, t) выглядит не так, как в случае абсолютной неустойчивости.

Существует другое решение уравнений (20), (21) и (34), которое находится в нижней полуплоскости со:

- ко2=—i; too2=—Г (36)

Это особая точка типа точки ветвления (седло при к02 образовано одним корнем ки и одним fe), однако ее вклад устойчив — он имеет затухающую асимптотику функции Грина для фиксированной точки z. Из (24) мы уже видели, что неустойчивость есть, ъ е. №г^Л>^, по характеру она является конвективной. Как будет показано, функция Грина уравнения (39) удовлетворяет уравнениям (16а), (166). .

Пучок и диссипативная среда, движущиеся навстречу друг другу. Примером физической системы, в которой есть седловые точки, соответствующие как особой типа точки ветвления, так и неособым, у которых мнимая часть частоты toi больше нуля и которые расположены ниже кривой со(^г), может служить система, описываемая следующим дисперсионным уравнением:

D (6, to) = 1 - to2p/(to - кийУ + i toa/(to + ki^ = 0, ’ (37)

где toa =Q0/e0 — частота релаксации в диссипативной среде; ио—скорость движения этой среды. Дисперсионное уравнение (37) в зависимости от соотношения параметров юо/юр=С и иа/и0=№ описывает различные типы неустойчивостей. При действительных значениях к одна из ветвей (Цкт) находится в верхней полуплоскости со, т. е. при любых конечных С и W в системе есть неустойчивость. Из вида решений уравнений (20), (21) и (37) следует, что в общем случае есть две пары кратных корней к). При W<C/2 один из них находится в верхней полуплоскости со и частота чисто мнимая, однако эта точка не явля-> ется особой, вот почему в данном случае абсолютная неустойчивость отсутствует.

При С/2<№<3 К""ЗС/8 частоты, соответствующие кратным корням, находятся в верхней полуплоскости со (обе они чисто мнимые) и они заключены в петле, образованной кривой о(^г) в верхней полуплоскости to. При этом одна из таких точек (имеющая большую мнимую часть) не относится к особым типа точки ветвления, а другая относится. Таким образом, при C/2<I^<3V ЗС/8 неустойчивость является абсолютной и чисто апериодической, а ее инкремент равен мнимой части частоты tooi нижней из точек ветвления. Ситуация в некотором смысле аналогична предыдущему математическому примеру, в котором седловая точка, соответствующая большому значению юОг, образуется двумя ки, в то время как седловая точка, соответствующая меньшему значению со.Ог, образуется точками, принадлежащими к ветвям &и и кг, и представляет собой поэтому точку типа точки ветвления. В отличие от предыдущего математического примера здесь оба значения too; положительны, и неустойчивость может быть абсолютной.

При Г>зКзС/8 обе седловые точки в плоскости к являются особыми, соответствующие им частоты to имеют одинаковую положительную мнимую часть, действительные части частот равны по модулю и имеют разные знаки — это пример абсолютной неустойчивости, когда действительная часть частоты не равна нулю. Таким образом, видно, что седловые точки в зависимости от параметров плазмы могут взаимодействовать друг с другом, в результате чего особые точки могут возникать или исчезать. Ниже мы еще встретимся с этим эффектом.

Особые точки типа точки ветвления и типа бесконечно удаленной точки — существенно особые точки. Итак, мы рассмотрели особые точки типа точки ветвления, через которые контур F проходит при конечных значениях к. Для этого необходимо, чтобы два (или более) корня, совпадающих в точке, принадлежали к кривым, расположенным по разные стороны от действительной оси к, когда точка со находится на контуре L. Особая точка типа точки ветвления может оказаться и в бесконечно удаленной точке плоскости к. При этом существуют два возможных варианта. Если точкам кт= = + оо соответствуют конечные значения о, т. е. это особые точки на концах интервала, и сливаются точки, принадлежащие к различным ветвям ки и ki, то они будут приближаться к бесконечно удаленной точке ветвления с разных сторон действительной оси к. Другая возможность состоит в том, что при к-^оо частота со располагается ниже верхней из кривых со(&). В этом случае особая точка типа точки ветвления возникает при слиянии двух (или более) корней, расположенных по одну сторону от действительной оси к для точек со, которые принадлежат к кривой L. При этом точка ветвления на бесконечности появляется за счет того, что один из корней к предварительно пересекает действительную ось вместе с деформированным контуром F, в то время как второй контур приходит в бесконечно удаленную точку в своей полуплоскости, не пересекая действительную ось к. Чтобы наглядно представить себе, как возникает такая точка ветвления, нужно рассмотреть кривые на комплексной сфере к, где хорошо видно поведение кривых в окрестностях бесконечно удаленной точки. Возвратив- 282

шись к уравнению (19) и к одномерной задаче, заметим, что особые точки последнего типа будут существовать, когда по крайней мере два значения ки^ или ^(со) становятся бесконечными, а частота со конечна. Эти точки называют существенно особыми точками функции /(2, 0)).

Хотя наличие существенно особых точек указывает на необходимость уточнения модели, описывающей плазму, часто бывает полезно сначала рассмотреть неустойчивость в рамках этой модели. Ниже приведены два примера хорошо известных плазменных неустойчивостей, описываемых довольно простыми дисперсионными уравнениями, в которых возникают существенно особые точки.

Пучковое распределение поперек магнитного поля Во [26]. Известно, что электромагнитные волны в плазме с анизотропным распределением по скоростям неустойчивы. Простой пример представляет собой плазма в постоянном магнитном поле Во с невозмущенной функцией распределения электронов по скорости

(38)(38)

(38)

(38)

Используя релятивистские уравнения Власова и уравнения Максвелла, можно показать, что электромагнитные правополяризованные волны с круговой поляризацией, распространяющиеся вдоль Во, описываются дисперсионным уравнением

(39)(39)/с2^2 \ Г ^р?2^ ]°>2р

(39)

(39)

D (А, <о) = ^ 1 — -^г у [ 1 + 2 (ш — 2) J ш (ы — 2) ’

где со2р = (пйе2/еьте^ ^)— плазменная частота электронов; ^ = у0^/с; 2 = = еВй(те^^ — циклотронная частота электронов [yj_ = (1 — 3j_2) ^2 ]» поэтому ионной динамикой в области высоких частот (м^З), которыми мд интересуемся, можно пренебречь. Приведем краткую сводку результатов полного исследования вопроса об устойчивости этого дисперсионного уравнения [27].

При (Ор/ЙС^З р^есть одна неустойчивая ветвь со (&г) при \kr\<№/c) X X^—topiQ^V"^ с действительной частью частоты <ог, строго большей й. и с максимумом инкремента (Ог при ^=0. Так как физический механизм этой неустойчивости связан с изменением массы электрона (именно поэтому и требуется релятивистское уравнение Власова), назовем эту ветвь релятивистской, или мазерной, неустойчивостью. Есть также другая неустойчивая ветвь при |^г|>(Й/с)(1—сор/2^ К2) , для которой действительная часть частоты существенно меньше Й, инкремент при <ог=й достигает максимума, равного (Di= «^top^^S, и неустойчивость существует при &г =+оо—пример особой точки на бесконечности. Эта неустойчивая ветвь является нерелятивистской (ее можно получить и в рамках нерелятивистского уравнения Власова). Так как физический механизм ее возбуждения связан с магнитным полем волны, назовем ее магнитной ветвью неустойчивости. Решение уравнений (20) и (21) с D^k, о) (39) показывает, что каждая из ветвей имеет неустойчивую особую точку типа точки ветвления (для о из области абсолютной сходимости корни ки и кг относятся к разным ветвям) при kv> соответствующем максимуму мнимой части

частоты: релятивистская ветвь при

А, = о, (<»,()макс = ®р *2 > когда Vй = к’(40)

а магнитная при

£, = ±оо, tooi^to^^/VT, toer = Q.(41)

Последняя, бесконечно удаленная особая точка, как легко увидеть, является существенно особой точкой, и особенность в точке слияния образована точками к, принадлежащими к различным ветвям ки и к[. Особенность при кг= оо исчезнет, если добавить в модель конечную температуру вдоль поля Вс, т. е. если заменить $(оц) в уравнении (38) максвелловским распределением (2лу7 ц) ~^ X X ехр (—у2 || /2у2? у), где у27 ц = кТ ц !те, то увидим, что магнитная неустойчивость полностью стабилизируется при игцХо_£ ^^2 (cop/Q V2 )^2 , а релятивистская неустойчивость, на которой температура вдоль поля не сказывается, тогда становится определяющей [если юр/2<1^2 ^ и максимум абсолютной неустойчивости дается выражением (40)].

Пучково-плазменная неустойчивость. Рассмотрим хорошо известное дисперсионное уравнение, описывающее одномерное электростатическое взаимодействие пучка с плазмой в диапазоне высоких частот, когда движением ионов, можно пренебречь; простейшая модель «холодной плазмы» приводит к дисперсионному соотношению

D^k, со)=1—to2pfoa--to4Hto—киоУ=О,(42)

где top—электронная плазменная частота покоящейся плазмы; юъ — плазменная частота электронов пучка; у0 — скорость относительного движения электронов пучка. Даже не решая уравнений, легко увидеть, что, когда кривая L проходит намного выше действительной оси в плоскости со, оба корня k(tob) находятся в верхней полуплоскости комплексной плоскости к, поэтому функция Цх, со) не может иметь особых точек типа точки ветвления при конечных значениях к. Однако если деформировать контур F в F таким образом, что контур £ будет проходить ниже L вблизи действительной оси <о, то когда <о—>top сверху от действительной оси со, к—>-±Р/2оо, поэтому (о=±(оР— существенно особые точки функции Цх, со). Так как оба корня к принадлежат к одной ветви ки, при слиянии точек контур F оказывается зажатым между ними, но к при этом стремится к бесконечности, один из корней приходит в бесконечно удаленную точку в верхней полуплоскости, а другой сначала пересекает действительную ось к, а затем вместе с деформированным контуром F приходит в бесконечно удаленную точку в нижней полуплоскости плоскости к. Функцию Грина для пучково-плазменного взаимодействия можно найти из уравнений (17), (18) и (42). Выполнив интегрирование по к, получим при 2<0 нуль, а при z>0 выражение [28]

где T='toP (t—z?uoy p(Q)=Q/(Q2—I)1/2; Z=tobz/vo и введено обозначение (o/o)p=Q.

Отсюда видно, что отклик равен нулю и при 2=0 и при t<z!v^ т. е. до прихода фронта импульса в какую-либо точку 2>0. Подынтегральное выражение в (43) имеет существенно особые точки, так как показатель экспоненты содержит функцию p(Q), которая стремится к бесконечности при Q2=l. Асимптотический вид функции G при t—>оо можно получить, взяв интеграл в седловых точках методом перевала. Например, точки перевала функции ЙГ—p(Q)Z в верхней полуплоскости Q находятся при T^Z в точке й=±1-|-(^/^)2/3Х Хехр(2л1/3) /2, и можно выбрать контур Е так, чтобы он прошел через эти- точки в направлении наискорейшего спуска. Поскольку отношение Z/T не мало,, вкладами от особых точек функции p3(Q) можно пренебречь и тогда получим

( Г 3 / Z \

G(Z, 7)^exp<|-iT[14-—(у-) ]}\-^Txi4^y (44)

Это выражение сильно отличается от вклада точек ветвления при конечных значениях к. Здесь функция в каждой точке при 2<0 остается невозмущенной, в то время как в каждой точке при 2>0, куда успел дойти импульс, она растет неограниченно во времени. Кроме того, скорость нарастания изменяется во времени от точки к точке, она максимальна сразу за фронтом импульса и падает на его хвосте.

Заметим, что существенно особая точка находится на действительной оси о) и ее вклад является нарастающей функцией времени. Поэтому можно ожидать, что учет влияния редких соударений в плазме или конечной температуры, которые устранят существенно особую точку с действительной оси со, не помешает развитию неустойчивости до значительных амплитуд. Чтобы показать это„ введем феноменологически малую частоту соударений между электронами плазмы, тогда можно найти максимум асимптотического выражения функции Грина, он равен

| G ^Z, 7') | ехр (3 Кз"r*/3z2/3/4 _ ^7/2Юр) (45) и имеет наибольшее значение exp]^3(®P/v)1/2Z/23/2] при T=V 3®P/2vZ, после чего убывает во времени. Таким образом, при v^coP, хотя неустойчивость и не является больше абсолютной при 2>0, нарастание во времени сохраняется в течение длительного промежутка и амплитуда отклика может стать очень большой почти во всех точках 2>0 пространства.

Обобщенные точки ветвления: совпадение более чем двух корней к в трехмерной задаче и при распространении волн в волноводах. В разложении Тейлора функции D(k, щ) по двум переменным вблизи точки ветвления могут оказаться равными нулю- помимо производной dD/dk и другие частные производные по о> и к. Таким образом, аналитическая зависимость для собственных мод в окрестности точки ветвления в более общем, чем (22), случае может иметь вид:

(46) где п=\, 2, ...; р=1, 2, ... Это соответствует слиянию нескольких (двух или более) корней к, когда щ=(ог-ноо, и точке ветвления, если по крайней мере два из этих корней приближаются к точке к0 с разных сторон деформированного контура при со-хоо по кон-

туру L. Аналогично тому, как из (22) были получены (23) — (28), из уравнения (46) можно показать, что функция /(2, со) имеет особенность вида (со-—coo)-v, где v=n(p+l)/(р+2), т. е. либо простую точку ветвления, либо простой полюс, либо точку ветвления более высокого порядка, либо полюс более высокого .порядка, в зависимости от соотношения пир. Асимптотика функции Грина определяется в этом случае контурным интегралом вокруг coo с наибольшей мнимой частью (см. рис. 6), в результате чего зависимость асимптотики функции G от времени имеет вид ^“!ехр(—icooO-

В качестве примера вернемся к дисперсионному уравнению (37) и вспомним, что при 117=3 ^ ЗС/8 две седлоЬые точки сливаются и образуют седловую точку второго порядка, в которой D = 0, <dD/dk = 0 и d2D/dk2=0. Можно показать [29], что эта седловая точка второго по к порядка, очевидно, является особой точкой типа точки ветвления (см. обсуждение в п. 1.1). Координаты этой точки на плоскости к и соответствующей точки ветвления вида (со—й)о)-2/3 на плоскости со определяются выражениями

b _* toP 1 + (2/3)^

А» —' 1 „ КТ 1 + w ’

т(47)

—1 3/3

Так как в рассматриваемом случае л=1 и р = 1, находим, что динамика этой абсолютной неустойчивости в пределе /-^оо описывается выражением 0(2, /)—Y~1/3exp(i&02—icoo/), где ко и соо даются формулой (47). Собственные моды, связанные с точками ветвления, можно обобщить на более общий случай трехмерной функции Грина, описывающей отклик на точечный источник [30]. При этом простейшая особенность функции /(г, со), соответствующая точке ветвления и возникающая в интеграле по трехмерному пространству в уравнении (22), находится при со=соо и к= = к0, удовлетворяющих уравнениям

<48>

О (ко, Шо)=О.(49)

В этом случае деформацию контура следует одновременно проводить в четырех комплексных плоскостях со, кХ) кд и кг, начав соответственно с контуров L, Fx, Fy, Fz. Теперь эта процедура становится значительно более сложной, так как дисперсионное уравнение D (к, со)=0 дает отображение плоскости со лишь на одну из плоскостей к при фиксированных значениях двух других компонент вектора к. Выбирая контур L выше верхней из ветвей со(^г), чтобы выполнялся принцип причинности, можно узнать, какие из решений уравнений (48), (49) соответствуют особым точкам типа

точки ветвления. Предположим, что четырехмерная точка О(к0, соо) является простой точкой ветвления; тогда, выбрав любые две из трех компонент вектора к действительными (скажем, кх и к^у получим отображение контура L на плоскость третьей компоненты вектора к (например, &2), которое должно состоять из двух ветвей, находящихся по обе стороны от действительной оси; далее деформацией контура L в £, расположенный ниже, получим при пересечении точки соо, что часть кривой, соответствующей одной из ветвей, в комплексной плоскости третьей компоненты вектора k(&z) пересекает действительную ось кг; после этого, перейдя к пределу по двум оставшимся компонентам вектора k(^ и ку), которые мы считали действительными, устремляя их к соответствующим точкам слияния кОх и коУ1 мы должны получить, что две ветви, отображающие кривую L на плоскость кг, в точке к^

Рис. 9. Появление особой точки типа точки ветвления в подынтегральном выражении функции Грина в трехмерной задачеРис. 9. Появление особой точки типа точки ветвления в подынтегральном выражении функции Грина в трехмерной задаче0X4/,2,J кур0X4/,2,J кур

Рис. 9. Появление особой точки типа точки ветвления в подынтегральном выражении функции Грина в трехмерной задаче

Рис. 9. Появление особой точки типа точки ветвления в подынтегральном выражении функции Грина в трехмерной задаче

0X4

/,2,J кур

0X4

/,2,J кур

сольются. На рис. 9 приведены соответствующие этому схемы. Для простоты показано перемещение лишь одной точки кривой L (точка /) в точку О по кривой А (путь ее показан в плоскости кг при фиксированных действительных кх и ки и т. д.). Такие картинки нужно получить для каждой из плоскостей, соответствующих компонентам вектора к. Если в какой-либо одной из этих плоскостей слияния ветвей, отображающих контур L в кривые, расположенные по разные стороны от действительной оси, не произойдет, то* точка соо, определяемая из (48), (49), не будет особой точкой функции /(г, со). Для простейшего случая особой точки типа точки ветвления, полагая, что она имеет наибольшую мнимую часть частоты, можно найти асимптотику функции Грина:

lim G (г, ^) ^ exp (iker) exp (ito,/)/^2. (50) t->QO

Несколько иная ситуация складывается для волновода. Пусть в направлении распространения г плазма однородна и поперечные

287

волновые числа определяются граничными условиями

kx=Bx{kZl со); (51)

ку = Ву^кг, со), (52) где функции Вх и Ву зависят от со и к2. Положение особой точки типа ветвления находим из уравнений

(53)

D^, юо) = О (54) с граничными условиями (51), (52). В простейшей постановке этой задачи, когда система в направлении, перпендикулярном 2, однородна и имеет резкие границы, кх и ку представляют собой -фиксированные собственные числа задачи на собственные значения в этих направлениях и определяются граничными условиями (в случае заполненного плазмой волновода с идеально проводящими стенками). В этой ситуации анализ устойчивости для каждого фиксированного поперечного собственного вектора аналогичен анализу в одномерной задаче.

В более общей постановке задач такого типа функции Вх и Ву трансцендентны, поэтому дисперсионная функция D{kz, со) с учетом граничных условий (51), (52) неоднозначна. Тогда, прежде 'чем выполнять интегрирование в уравнении (18), следует предварительно построить приближенные кривые разрезов от точек ветвления в комплексной ^-плоскости. Результат (на соответствующем листе римановой поверхности) вновь будет иметь вид уравнения (18), но будет содержать дополнительные члены, связанные с интегралами вокруг линий разреза. Поэтому особенности функции 7(2, со) могут возникать как от точек ветвления, определяемых уравнениями (53) и (54), на соответствующем листе римановой поверхности, так и от обхода точек ветвления, связанных с граничными условиями. Неустойчивые точки ветвления могут возникать, когда плазма неоднородна в направлении, перпендикулярном 2 [31]. Этот непрерывный спектр неустойчивых мод характерен для поперечных резонансов в неоднородной плазме; к этому вопросу мы еще вернемся в § 4.

Неаналитические дисперсионные уравнения: модель плазмы, описываемая уравнением Власова. До сих пор мы рассматривали дисперсионные уравнения, которые были аналитическими функциями к и со. Во многих случаях это не так и следует принимать во внимание разрывы и линии разреза, возникающие в комплексных плоскостях к и со в таких ситуациях. Проиллюстрируем это на достаточно общем для плазмы примере, а именно, разрывы в дисперсионном уравнении типа уравнения Ландау, и покажем, как с ними работать при определении типа неустойчивости [5, 10, 16].

Из решения Ландау задачи о линейных плазменных волнах, как известно, следует, что дисперсионное уравнение, возникающее при решении уравнений Власова —- Пуассона, не является анали- "288

тическим при k—kr=O. В данном случае мы имеем два дисперсионных соотношения, одно из которых верно при кг>0, а другое при ^<0. Это связано с особенностью интеграла в дисперсионном уравнении Власова, который для плазмы с магнитным полем имеет в общем случае вид:

+ оо т Г F^dv,ггх

J и — ^-nQ)/k ’ —оо

где п — любое положительное или отрицательное целое число или нуль; й = дВ^т — циклотронная частота; под к и -о понимаются компоненты, параллельные Во.

Разрыв возникает при аналитическом продолжении I из области G)i>0 в область оц<О при к=кг>0 и к = кг<0. В итоге получаем при kr>0 Is—Isp, а при kr<0 Is — Isn и соответственно два дисперсионных уравнения — одно для kr>0: Dp(kr, со)=0, а другое для кг<0: DN(kr, (о)=0. В действительности при всех кг можно Записать единое дисперсионное уравнение: D(|£r|, <о)=0, где функция D не является аналитической в точке кг=0. Такая особенность всегда возникает в дисперсионном уравнении для плазмы, динамика которой описывается уравнением Власова. Чтобы просто решить вопрос о том, устойчивы или нет данные возмущения относительно заданного равновесного состояния плазмы, требуется найти из дисперсионного уравнения комплексную частоту to как функцию действительного кг. Для этого достаточно рассмотреть решения двух уравнений в разных областях при действительных кт. Однако, при определении типа неустойчивости (является она абсолютной или конвективной) необходимо дисперсионное уравнение, верное во всей комплексной плоскости к. В частности, как мы видели, полезно иметь возможность следить за перемещением комплексных корней к при изменении мнимой части частоты со/ от ее значений на контуре L до значений на действительной ОСИ tor.

Чтобы перейти к рассмотрению дисперсионных соотношений, справедливых во всей комплексной плоскости к, заметим, что разрыв в интеграле (55), когда интеграл берется по действительной оси, связан с изменением знака выражения

Im[(to—nQ) /к*\ = [toz^r— (tor—nQ)^z]/|&|2.(56)

Поэтому в комплексной плоскости к дисперсионное уравнение типа уравнения Власова будет иметь разрыв на линии

ki—(dikr/ (tor—ti^,(57)

как показано на рис. 10,а и б, так что найдем два дисперсионных уравнения: при

Im[(to—nQ)/£]>0, Dp^k, со) =0(58)

и при

Im[(to—nQ)/£]<0, DN(k, co)=0.(59)

289

(Oi >о 0)r-n2 >0(Oi >о 0)r-n2 >00)’L >00)’L >0и)г-пй < Ои)г-пй < О

(Oi >о 0)r-n2 >0

(Oi >о 0)r-n2 >0

0)’L >0

0)’L >0

и)г-пй < О

и)г-пй < О

Линия разрыва в комплексной плоскости к, определяемая формулой (57), в действительности является линией ветвления. Это легко показать. Для любой физической функции распределения [^(у) в уравнении (55)] в действительности не может быть частиц со скоростями, превышающими скорость света, поэтому интеграл в (55) следует обрезать при у=±с. Это приведет к появлению членов вида

. \ (пй — to . \ I /п^ — to\|

lor —\_с ) ,

6 Ц к 1 у [ \ к у j

которые имеют точки ветвления и линии разрыва в комплексной плоскости к (рис. 11). Вследствие этого вычисление интегралов в

Рис. 10. Линия разреза в комплексной плоскости \к для плазмы, описываемой уравнением Власова (а и б), и поворот линий разреза с изменением частоты, когда со смещается с кривой L на действительную ось (в и г)

выполняется, как и раньше, но помимо тех членов, которые содержатся в выражении (19), будут дополнительные вклады от интегралов вдоль линии разреза. В пределе с->оо точки ветвления стремятся к началу координат и разрезы переходят в линии разрыва, задаваемые уравнением (57) и изображенные на рис. 10,в, г.

Теперь при перемещении контуров L и F с целью нахождения точек слияния необходимо, очевидно, также перемещать и линию разреза в комплексной плоскости к. В качестве примера, когда со, лежит в верхней полуплоскости со, перемещение линии разреза показано на рис. 10,в, г. Поэтому при рассмотрении перемещений корней к с изменением со от к^^ к k^F) надо учитывать, какие из кц^ь) и ki^F) удовлетворяют уравнению /)р(о)£, к) =0, а какие уравнению DN^u к)=0. Тогда с приближением точек кривой L к действительной оси со следует деформировать не только кон- 290

Рис. 11. Смещение линий разреза при обрезании функции распределения при V=±cРис. 11. Смещение линий разреза при обрезании функции распределения при V=±cfop^u^^p/^nopi^+^pyfop^u^^p/^nopi^+^py(60)(60)

Рис. 11. Смещение линий разреза при обрезании функции распределения при V=±c

Рис. 11. Смещение линий разреза при обрезании функции распределения при V=±c

fop^u^^p/^nopi^+^py

fop^u^^p/^nopi^+^py

(60)

(60)

тур F, как раньше, но и линии разреза так, чтобы корни к оставались с той же стороны разреза (Р или N^ что и вначале. Рисунок 12 иллюстрирует часть возможных ситуаций для трех типов простых корней кр, т. е. решений уравнения Dp(toL) &)=0, один из которых находится в верхней полуплоскости к, когда o)=(dL, а два других в нижней при g)=o)l. В предположении, что соотношение о>г—nQ>0 остается справедливым при уменьшении <0г от значения №ы до нуля, на нижних рисунках показано, как выполнять некоторые возможные перемещения контуров. Смещение

линии разреза соответствует изменению пути интегрирования в плоскости у [в (55)]. Если F (и)—целая ..функция, то это всегда можно сделать, в противном случае необходимо соответствующим образом учесть вклад особых точек в плоскости и — они также дают вклад в функцию Грина, что следует из более общего анализа особых точек, возникающих в уравнениях типа Ландау [32]; эти особые случаи здесь не рассматриваются. '

Встречные пучки в пл а з м е. Дисперсионное уравнение в этом примере вычислим, полагая невозмущенные функции распределения лоренцевыми:

для частиц плазмы с плотностью п^р, где ар характеризует ширину распределения в пространстве скоростей, и- -

fob (у) =fob (у) =(61)(61)(а^2) ПоЬ ,(а^Л2) ПоЬ

fob (у) =

fob (у) =

(61)

(61)

( I V - V0 | 2 + а%)2+( | V + V0 |2 + «V

для частиц пучков, каждый из которых имеет плотность п^ъ» дрейфовую скорость Vo и тепловое уширение вокруг v0 порядка а&. Для электростатических колебаний, у которых k||v0, линеаризованные уравнения Пуассона — Власова дают два дисперсионных соотношения

(1)2НГ11'

Dp (k, со) = 1 —1-—

N(to ± l^ap)2 b L (to — ^Uo ± 1 ^a&)2 ” (to + &U0 ± 1 ^) J

(62) где Dp^k, <о) co знаком плюс при величинах а соответствует случаю Im(to/^)> >0, а DN(k, to) со знаком минус — случаю Im(to/&)<0. Из соображений симметрии следует вывод о том, что уравнения Dp = 0 при кт>^ и DN = 0 при £г<0 определяют одно решение <о(£г). Поэтому анализ устойчивости можно проводить на основе какого-либо одного из дисперсионных соотношений; например, пользуясь уравнением DP=0, можно найти особые точки типа точки вет-

вления при перемещениях контура F в области &г>0, когда совпадают корни ки и кь один из которых пересекает действительную ось при кг>0.

Полный анализ устойчивости системы, описываемой уравнением (62), удается выполнить численно ;[10, 33]. Приведем основные результаты. Отметим, что дисперсионное уравнение (62) может описывать различные физические системы в зависимости от того, что понимается под ю2Р= (е2п0р/трео), ю2ъ = е2Поъ/тьеъ> а именно: встречные электронные пучки на фоне неподвижных ионов; встречные электронные пучки, проходящие сквозь неподвижную электронную компоненту; встречные пучки ионов на фоне покоящихся электронов. Каждый из этих случаев характеризуется своим отношением юР1б)ъ и своим значением а.

Когда ар=а6=0 (холодная плазма и холодные пучки), уравнение (62) справедливо при всех к и <о. В этом случае его можно решить относительно к2 и найти две возможные особые точки типа точки ветвления, обе они могут описывать неустойчивость: одна при to=toP является существенно особой точкой, и совпадение корней происходит в бесконечно удаленной точке плоскости к; в другой при <o = ia)p(l/4—ю2Р/ю2ьУ^2 совпадение корней происходит при конечных значениях к, в этой точке Im со>0 лишь при соР/(о&<1/2. При чоР/й)ь>1/2 асимптотическое поведение функции G определяется существенно особой точкой, при о)Р/о)ь<0,2 поведение асимптотически обусловливается осо-

Рис. 12. Перемещение линии ветвления и контура, когда корень имеет кратностьр при изменении <о от cdl до сог (см. рис. 10,в, г):

в случаях а и в перемещаются как контур F, так и линии ветвления, в случае б необхо-димо переместить лишь контур F

бой точкой типа точки ветвления (можно заметить, что при сор=О имеем случай встречных пучков), а при 0,2<(орДоь<0,5 две точки взаимодействуют и асимптотика функции Грина определяется комбинацией вкладов от этих двух особых точек. К этому вопросу мы вернемся позднее.

Конечные уширения в пространстве скоростей ар и аь приводят к весьма различным эффектам для разных особых точек. При <оР=0 (встречные пучки) нарастание аь приводит к уменьшению инкремента неустойчивости при конечных значениях к до тех пор, пока при «ь=ио неустойчивость не исчезает, что совпадает с критерием устойчивости Пенроуза, поэтому на пороге устойчивости (когда аь чуть меньше, чем ио) неустойчивость по-прежнему абсолютная. При 292

Рис. 13. Допустимые деформации контура неустойчивости:а — контуры F и L, как на рис. 3; б — в результатеРис. 13. Допустимые деформации контура неустойчивости:а — контуры F и L, как на рис. 3; б — в результате

Рис. 13. Допустимые деформации контура неустойчивости:

а — контуры F и L, как на рис. 3; б — в результате

Рис. 13. Допустимые деформации контура неустойчивости:

а — контуры F и L, как на рис. 3; б — в результате

topltob<^U^ увеличение a& быстро ослабляет абсолютную неустойчивость при конечных к, но медленнее, чем в первом случае, поэтому временное нарастание -связано с существенно- особой точкой; увеличение аР дает противоположный эффект, оно может даже увеличить инкремент абсолютной неустойчивости при конечных значениях к. При co^cod > 1/2 увеличение -аь уменьшает инкремент неустойчивости в бесконечно удаленной точке, однако неустойчивость остается абсолютной; конечное значение ар делает неустойчивость конвективной. Подробнее это будет показано в п. 3.3.

КОНВЕКТИВНЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ, ПРОСТРАНСТВЕННОЕУСИЛЕНИЕ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИГНАЛОВ

Обратимся теперь к анализу тех случаев, когда для некоторого кг уравнения (9) и (10) дают значения оц(&г)>О, но все особые точки функции /(z, со) расположены в нижней полуплоскости ок При этом контур F можно деформировать в F, такой, что все ветви to(kF) находятся в нижней полуплоскости со. Это означает, что

при отсутствии абсолютной

деформации F в F появляется воз

ниже действительной оси юг, и тогниже действительной оси юг, и тогможность переместить контур L в L, расположенный

ниже действительной оси юг, и тог

ниже действительной оси юг, и тог

да часть кривой ^u(ti>~ ) оказывается в нижней полуплоскости к, в результате чего по

являются нарастающие в пространстве моды при г>0

область абсолютной сходимости плоскости со можно расширить по крайней мере хотя бы немного ниже оси ^г (рис. 13), а контур L сместить до £, который полностью находится в нижней полуплоскости со. При интегрировании по этому контуру получим

lim G (г, 0 = lim f exp (- Ы) / (г, <о) = 0,(63)

/->00/->ooj

L

откуда следует, что в каждой (конечной) точке пространства в асимптотике устанавливается невозмущенное начальное состоя-

293

ние, а это свидетельствует об отсутствии абсолютной неустойчивости. Однако из рис. 13 следует, что так как часть кривой со(&) лежит в верхней полуплоскости со, одна из кривых к ^3 пересе

чет ось к при замене L-^L\ это означает нарастание волн в пространстве. В примере, приведенном на рис. 13, часть кривой ки^Л находится ниже действительной оси к, что приводит к нарастанию моды колебаний при 2>0. [Аналогично нарастанию моды при 2<0 соответствует положительная мнимая часть &/((ог).]

В том, что в этом случае есть конвективная неустойчивость, можно убедиться, рассмотрев функцию Грина в лагранжевых координатах, т. е. в системе наблюдателя, движущегося со скоростью V. В нашем примере (рис. 13) рассмотрим функцию Грина при z=Vt>0. Взяв в качестве контура £ действительную ось со, получим

G(Vt, ОG(Vt, О(64)(64)

G(Vt, О

G(Vt, О

(64)

(64)

при этом отсутствие абсолютных неустойчивостей обеспечивает аналитичность подынтегрального выражения на действительной оси <ог. Оценку асимптотики выражения (64) можно получить методом перевала. Полагая ktt=kUT-V\ktti, определяем положение точки перевала из уравнения

\ — Vdkur/dtor-iVdkuddtor=O, (65) из которого, полагая

(66)(66)dkuddtor-=0.

(66)

(66)

находим tor=tos (рис. 14), откуда имеем

(67)

Предположив, что d^kuld^r^Q, получим асимптотическое выражение

limG (/) — (1 /^/2) еХр ^-kui (<о5) Vstl, (68) где &ш(со$) — наибольшее отрицательное значение кщ, при действительных значениях со.

Таким образом, несмотря на то, что для любой фиксированной точки 2 отклик обращается в нуль при /~>оо [см. (63)], т. е. абсолютная неустойчивость отсутствует, для наблюдателя, движущегося со скоростью Vs, z=Vst, асимптотика функции отклика неустойчива при t-^oo [см. (68)], если kui^ пересекает действительную ось при стремлении частоты <o=(Ol к (о=о)г. Это и есть конвективная неустойчивость, изображенная на рис. 1. Заметим, что уравнением (64) можно пользоваться для описания динамики шумового спектра, когда равновесие плазмы (при 2>0) конвек- 294

Рис. 14. Интегрирование по (о в точке перевала, позволяю-Рис. 14. Интегрирование по (о в точке перевала, позволяю-щее определить отклик в движущейся системе отсчета, в которой максимален пространственный инкремент к^т (см.также рис. 17,6)щее определить отклик в движущейся системе отсчета, в которой максимален пространственный инкремент к^т (см.также рис. 17,6)т. е. Sext(2, ^)^6(2)exp(—io)e/). Задача о нахождении отклика вт. е. Sext(2, ^)^6(2)exp(—io)e/). Задача о нахождении отклика вэтом случае решается с помощью уравнения (4), где в качестве Sext(^, (о) подставляем (со-ол?)-1. В одномерной задаче откликэтом случае решается с помощью уравнения (4), где в качестве Sext(^, (о) подставляем (со-ол?)-1. В одномерной задаче откликзаписывается в видезаписывается в виде

Рис. 14. Интегрирование по (о в точке перевала, позволяю-

Рис. 14. Интегрирование по (о в точке перевала, позволяю-

щее определить отклик в движущейся системе отсчета, в которой максимален пространственный инкремент к^т (см.

также рис. 17,6)

щее определить отклик в движущейся системе отсчета, в которой максимален пространственный инкремент к^т (см.

также рис. 17,6)

т. е. Sext(2, ^)^6(2)exp(—io)e/). Задача о нахождении отклика в

т. е. Sext(2, ^)^6(2)exp(—io)e/). Задача о нахождении отклика в

этом случае решается с помощью уравнения (4), где в качестве Sext(^, (о) подставляем (со-ол?)-1. В одномерной задаче отклик

этом случае решается с помощью уравнения (4), где в качестве Sext(^, (о) подставляем (со-ол?)-1. В одномерной задаче отклик

записывается в виде

записывается в виде

тивно устойчиво. Из уравнения (68) видно, что максимальное пространственное усиление можно ожидать для колебаний с частотами (о^о)в, а пространственный инкремент равен максимальному кш для действительных значений частоты. Аналогичный анализ можно провести для конвективно-неустойчивых возмущений при 2<0, при этом следует найти максимальное положительное значение ки при действительных

значениях со.

Если плазма абсолютно устойчи-

ва, то можно рассмотреть задачу о ее возбуждении стационарным локализованным внешним источником, действующим на частоте (ое (частота действительная),

К (2, f)= exp (— icor) f exp ^ikz)-,^-77—г.(69)

х 7 J 2л7 J 2л гх 7 (со—ые) D(k, со) х 7

LF

Если функция Грина имеет нулевые асимптотики, как в уравнении (63), то асимптотическое выражение функции отклика будет также иметь частоту о>е при соответствующей деформации контуров L и F (рис. 15) аналогично тому, как это показано на рис. 13. В результате получим

« = J< "К''- S таг мр '“"W г - "•'1+

+S ехр 1^г^1-(70)

Отсюда видно, что возбуждаемые волны с ки1^е^<0 нарастают в пространстве при 2>0, а кц^е>0— при 2<0. Их можно назвать усиливающимися волнами, так как внешние стационарные сигналы могут быть усилены, если их возбуждать в одной точке; а наблюдать (суперпозицию) в другой, где их амплитуда больше.*

Подводя итоги, отметим, что когда контур F деформируется в F, такой, что все ветви to(k~) находятся в нижней полуплоскости со, и контур L можно сместить таким образом, что L будет находиться полностью в нижней полуплоскости (о, при отображении 295

действительной оси со на комплексную плоскость к получим все возможные типы пространственно усиливающихся волн: при 2> 0 — имеющих kUi^r^<Q и расположенных выше контура F, при 2<0— имеющих кц(юг)>0 и расположенных ниже F. Поэтому, если равновесие плазмы неустойчиво, но абсолютные неустойчивости отсутствуют, то найти конвективно-неустойчивые моды можно, решая дисперсионное уравнение D^k, о))=О в следующей последовательности: 1) отыскать ветви к^ь^ и выяснить, есть ли волны ^m/(col)>0 или кц^ь^<0\ 2) провести преобразование col в о)г, т. е. сместить каждый из контуров L до совпадения с действительной осью со. В результате выполнения 2 получим, что ветви йДсог) являются пространственно усиливающимися волнами при 2>0, если киЛ^Л <0, - а ветви &/(сог) — пространственно усили-

Рис. 15. Пространственно нарастающие отклики — вклады от точек кгЛ^ при 2>0 и М^ при г<0 на частоте <ое внешнего источника и деформированные контуры в комплексной плоскости со (а) и плоскости к (б), по которым проводится интегрирование при оценке асимптотики функции Грина

вающимися при 2<0, если ки^Л>0. Очевидно, что если при заданном равновесии плазмы есть конвективно-неустойчивые моды как при 2>0, так и при 2<0 в одном и том же диапазоне частот, то эволюция этого равновесия будет аналогична эволюции абсолютно-неустойчивого равновесия.

Во всех рассмотренных задачах предполагалось, что среда бесконечно протяженная и однородная. Граничные эффекты могут вызвать частичное отражение усиленного сигнала и возбуждение волн, несущих энергию в направлении, противоположном направлению усиливающихся волн. Это может привести к дополнительной подпитке исходной волны, которая, если она будет достаточно интенсивной и иметь соответствующую фазу, может сделать конвективно-неустойчивую моду абсолютно-неустойчивой. К этому вопросу мы еще вернемся в § 4, когда будем рассматривать влияние конечных размеров системы на развитие конвективных и абсолютных неустойчивостей. Кроме того, заметим, что пространственное усиление существенно ограничивается включением нелинейных эффектов, которыми мы до сих пор пренебрегали. Эти эффекты могут также привести к возбуждению других мод, которые, в свою очередь, будут дополнительной подпиткой, в результате чего характер неустойчивости может измениться, из конвективной она станет абсолютной [21]. Ниже будет приведено несколько примеров конвективных неустойчивостей в неограниченной плазме.

Примеры конвективных неустойчивостей. Некоторые из рассмотренных в § 2 задач могут быть примерами как абсолютных, так и конвективных неустойчивостей (в зависимости от параметров плазмы), другим присуще свойство быть либо устойчивыми, либо абсолютно-неустойчивыми; наконец, в специальном примере из п. 1.1 в отсутствие зависимости от параметров среды описана лишь конвективная неустойчивость. В первую очередь рассмотрим последний пример.

В п. 1.1 было показано, что дисперсионное соотношение (34) имеет единственную точку совпадения корней, ее координаты (36). Подставив значения to и к в выражение (28), получим^ как и следовало ожидать, асимптотику функции Грина для любых фиксированных z:.

G(z, t—>оо)~ехр z exp (—t) Цх!2—>0.(71)

Столь же просто получить непосредственно из (34), что одна из трех ветвей к (tor), а именно ки^ь^ находится в нижней полуплоскости к и поэтому является ветвью усиливающихся волн при z>0; максимальный пространственный инкремент равен ^<=0,3473 при tor=0. Кроме того, в этом случае легко найти асимптотику функции Грина при различных фиксированных значениях отношения z,t=V. Выполним сначала интегрирование по to методом перевала, затем оценим интеграл по к, в результате чего получим:

при V<3

р iv t .-. Л- ехр [1 — 2 (1 — 17/3)3/2] Н( ’2[3я(1_1//3)1/2и1/2’(72)

при V>3

- cos [2 (V/3—I)3/2]

С (V, <со) exp (■173)

Из этих выражений видно, что при V^V_ = 3[1—(1/2)3/2] ^1,11 временная асимптотика функции Грина G^V^V-, /—>-оо)—>-0; в то же время G(V>V_y t—^оо)—vco с максимальным временным инкрементом при 1/^3 и максимальным пространственным инкрементом при I/^2,64^Ve.

Примеры систем, которые являются либо абсолютно-неустойчцвыми, либо устойчивыми, приведены в п. 1.1 (абсолютная неустойчивость при взаимодействии между модами колебаний и встречные пучки). В обоих случаях дисперсионное уравнение имеет симметричную форму. В первом случае, если изменять константу связи у2 от отрицательных значений до положительных, система соответственно перейдет от устойчивого равновесного состояния к абсолютно неустойчивому. Во втором примере, если считать, что пучки одинаковы, то при добавлении одинакового конечного теплового уширения в дисперсионный вклад от каждого пучка уменьшится инкремент, но неустойчивость останется абсолютной (см. обсуждение в п. 1.4, когда покоящаяся плазма не учитывается). Таким образом, даже на пороге неустойчивость остается абсолютной.

Остальные примеры § 1 касаются систем, в которых неустойчивость является либо абсолютной, либо конвективной в зависимости от параметров плазмы.

В примере, где рассматривались пучок и диссипативная среда, движущиеся навстречу друг другу (см. п. 1.1), неустойчивость конвективна при достаточно малых скоростях диссипативной среды (W<C/2). В пределе иа—^ уравнение

сводится к хорошо известному уравнению, описывающему «усиление в среде с диссипацией» [34], в котором неустойчивость является чисто конвективной [21].

В случае распределения пучкового типа поперек магнитного поля Во абсолютные неустойчивости, описанные в п. 1.2, становятся конвективными, если частицы имеют компоненту скорости вдоль поля Во, сравнимую с у0^ или большую ее, т. е. если невозмущенная функция распределения несколько отличается от (38) и имеет вид f0(v) = п0§ (^j_ — ^oj_) 5 (у и — уоц )/2wo_l 1271 •

Неустойчивость системы холодная плазма — холодный пучок, описываемая уравнением (42), в которой получена абсолютная неустойчивость при 2>0, станет конвективной, если учесть столкновения покоящейся плазмы, как это было сделано в (45). Однако при v^o)P снос импульса будет слабым, и неустойчивость останется абсолютной при 2>0. Более существенный снос возникает при учете конечной температуры плазмы или при наличии у плазмы дрейфовой скорости в том же направлении, в котором движется пучок (последний случай сводится к хорошо известному «двухпотоковому усилителю» [35]).

Наконец, как уже отмечалось в п. 1.4, неустойчивость встречных пучков в плазме при (Ор/а)ь>1/2 перейдет из разряда абсолютных в конвективную с увеличением температуры покоящейся плазмы. Разумеется, в силу присущей системе симметрии встречных пучков в ней произойдет конвективное усиление шумов как в направлении 2>0, так и в направлении 2<0. Таким образом, несмотря на то, что в плазменной системе может уже больше не быть собственной неустойчивой моды, т. е. абсолютной неустойчивости, симметричная конвективная неустойчивость будет асимптотически во времени охватывать все пространство так же, как абсолютная.

Конвективная неустойчивость при наличии связи между ветвями колебаний. Рассмотрим простую физическую систему, в которой неустойчивость в отличие от системы, описанной в п. 1.1, является конвективной. Пусть дисперсионное уравнение имеет вид:

D^ со) = ((о—2£)((0—ti)4V^ (74)

где у2— действительное положительное число, задающее связь между двумя ветвями, одна из которых имеет групповую скорость, равную 2, а другая 1. Из уравнения (74) легко получить, что при действительных ^ в диапазоне |М<2Т/ ^б" существуют ветвь с <Ог (^г) >0 и соответственно неустойчивость. При б)г—моо оба корня к лежат в верхней полуплоскости к, так что две седловые точки при конечных значениях к и, кроме того, бесконечно удаленные точки не являются особыми. Поэтому в неустойчивой системе, описываемой этим дисперсионным уравнением, абсолютная неустойчивость отсутствует и неустойчивость конвективна. Пространственный инкремент будет максимален при <о=(Ог—0 и равен kt=—iy/K2 при х>0, так как кривая, соответствующая неустойчивой ветви к, при смещении контура L на <ог пересекает действительную ось к, и часть ее из верхней полуплоскости к переходит в нижнюю. Диапазон действительных частот, в котором есть усиливающиеся волны, определяется соотношением |(0г|<уК8 [заметим, что эта полоса уже, чем полоса, в которой <0г(^г)>0], и в общем случае нельзя определить границы конвективных неустойчивостей, пользуясь лишь соотношением <х>г(^г)>0. Дисперсионное уравнение (74) является достаточно простым, и интегрирование в (7) можно вы- 298 '

полнить до конца при любых значениях г к I Результат имеет вид:

G (г, 0 =G (г, 0 =/. [уИТ (/ —z/2)I/2 (г —01/2J, <<z<2Z;

G (г, 0 =

G (г, 0 =

О, х — любые другие значения, где /о — модифицированная функция Бесселя первого рода. Из (74) можно сразу установить, что асимптотически максимум конвективного импульса движется со скоростью Ио=3/2 и нарастает во времени с инкрементом у, а максимальный коэффициент пространственного усиления (у/]/^) будет в системе наблюдателя, движущегося со скоростью V8=4/3 в соответствии с результатами, которые получаются из асимптотических оценок (67) и (68).

Распространяющиеся волны в неустойчивой среде. Свойства распространяющихся волн (решений дисперсионного уравнения, для которых со и к действительны) в неустойчивой плазме могут сильно отличаться от свойств распространяющихся волн в устойчивой среде. В абсолютно-неустойчивой среде бессмысленно говорить о возбуждении распространяющихся волн или даже усиливающихся волн, так как наличие шумовых колебаний (или случайных

Рис. 16. Распространяющаяся волна, у которой направления групповой скорости и потока энергии совпадают, z>0 (о) и противоположны (б)Рис. 16. Распространяющаяся волна, у которой направления групповой скорости и потока энергии совпадают, z>0 (о) и противоположны (б)

Рис. 16. Распространяющаяся волна, у которой направления групповой скорости и потока энергии совпадают, z>0 (о) и противоположны (б)

Рис. 16. Распространяющаяся волна, у которой направления групповой скорости и потока энергии совпадают, z>0 (о) и противоположны (б)

колебаний в момент включения источника) всегда приведет плазму к ее асимптотическому состоянию «осциллятора», характеризуемого особой точкой в плоскости со, с частотой, имеющей наибольшую мнимую часть (и соответствующей точкой ветвления в плоскости к), как показано в § 1. Мы, разумеется, исключаем из рассмотрения случай, когда механизм возбуждения столь мощный, что свойства плазмы изменяются и абсолютная неустойчивость исчезает.

В то же время в конвективно-неустойчивой плазме можем рассматривать возбуждение как усиливающихся, так и распространяющихся волн. Первые обсуждались в предыдущих параграфах, направление их распространения и усиления определялось отображением действительной оси юг на комплексную плоскость к, аналог деформированного контура F; то же можно сказать о распространяющихся волнах. Для того чтобы такие волны существовали, часть действительной оси ког должна отображаться на действительную ось кт й наоборот. Однако перемещение части контура L на действительную ось сог можно провести двумя различными способами в зависимости от существования других ветвей со(&г) между ним и кривой <о(Лр), которая частично отображается на действительную ось <ог. Эти два способа показаны на рис. 16, где точка 2 соответствует возможной распространяющейся волне, т. е. такой волне, у которой действительному значению к соответствует действительная частота

со. Перемещение контура L на действительную ось со, в частности в точку 2, удобно изучать, проследив путь О 12 на комплексной плоскости к (рис. 16,а, 6). В случае, изображенном на рис. 16,а, при прохождении через точку 1 действительная ось к пересекается не той ветвью, к которой принадлежит точка О, в то время как на рис. 16,6 происходит пересечение действительной оси к в точке 1 той ветвью, к которой принадлежит точка О. Как в том, так и в другом случае из-за того, что точка О, лежащая на кривой L в плоскости <о, находится в верхней полуплоскости плоскости к, возбуждение распространяющейся волны в точке 2 возможно лишь в направлении 2>0. Предположим, что, не проводя такого анализа, мы будем следить за знаком групповой скорости для этих распространяющихся волн: (d^dk^- Так как со и к действительны в точке 2, можно было бы ожидать, что знак групповой скорости даст направление распространения волны. Тогда, разложив к вблизи точки <02 в ряд:

k^A-Vtoi^k^-Vitoikdtoldk^^-V ..., (76)

найдем, что в случае, изображенном на рис. 16,а, групповая скорость положительна и дает правильное представление об области возбуждения, а в случае, изображенном на рис. 16,6, групповая скорость отрицательна и видно, что волна возбуждается в области 2<0. Таким образом, в среде, где есть конвективная неустойчивость, область возбуждения сигнала даже для распространяющихся волн не всегда задается направлением групповой скорости этих волн.

Для того чтобы понять, почему в этом случае нельзя пользоваться групповой скоростью для нахождения области возбуждения волны, необходимо тщательно пересмотреть классические представления, согласно которым Скорость распространения импульса равна групповой скорости. Это связано с традиционным предположением, что асимптотическая форма импульса полностью определяется точкой стационарной фазы на действительной оси к. Такое предположение верно лишь для устойчивых сред, где, по-видимому, все асимптотические отклики от точек, лежащих вне действительной оси к, являются убывающими (исчезающе малыми). В неустойчивой среде это не так, так как деформированный контур F может привести к большим вкладам от точек к вне действительной оси, которые будут нарастать, т. е. эти вклады будут основными. Точка стационарной фазы на действительной оси будет давать вклад в асимптотику, лишь если через нее можно провести контур F, это удается сделать в случае, изображенном на рис. 16,6.

Простейший пример, иллюстрирующий рассмотренные выше случаи, представляет собой дисперсионное уравнение, описывающее связь между .ветвями колебаний, когда есть конвективная неустойчивость, т. е. уравнение (74). Заметим, что на границе области связи в плоскостях к, со, т. е. там, где происходит переход и действительным значениям к соответствуют мнимые ко, а дей- ствитедьным со. мнимые к, можно найти решения с действительными ко, к и отрицательной быстро изменяющейся групповой скоростью. Ясно, что эти решения относятся к рис. 16,6, и в этом случае групповая скорость не соответствует области возбуждения сигнала: например, возбуждение происходит в области 2>0 даже тогда, когда dtoldk<Q. С другой стороны, действительные «о и к вне области связи, являющиеся решениями, относятся к рис. 16,а, и групповая скорость характеризует направление их распространения.

Другой пример можно найти в задаче о пучково-плазменном взаимодействии (см. п. 1.2), в которой получается конвективная неустойчивость, если 300

учесть либо малую температуру плазмы, либо редкие соударения (в покоящейся плазме). Для частот, немного превышающих Юр, и действительных к, чуть больших, чем те, для которых частота <о комплексна, можно получить решения, отвечающие распространяющимся волнам с dtoldk<^, в то время как известно, что, когда со лежит на кривой L (это легко увидеть, перейдя к пределу со—>- —ноо), все корни к дисперсионного уравнения находятся в верхней полуплоскости к; это указывает, что все моды возбуждаются при 2>0. Снова получаем распространяющиеся волны типа изображенных на рис. 16,6, для которых величиной dtojdk нельзя пользоваться в классическом понимании групповой скорости в устойчивой свободной от потерь среде. Для частот (oXdp получим распространяющиеся волны типа изображенных на рис. 16,а, для которых dtojdk имеет смысл классической групповой скорости.

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМА ИМПУЛЬСА ПРИ РАЗВИТИИНЕУСТОЙЧИВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Для детального сравнения функций отклика при развитии абсолютных и конвективных неустойчивостей необходимо исследовать для них асимптотический вид функций Грина. Из рис. 1 видно, что в случае абсолютной неустойчивости функция отклика окружает область, где он возник, а передняя и задняя границы движутся, в случае же конвективной неустойчивости импульс при /->оо движется от области, где он возник, а передняя и задняя границы движутся в одном направлении.

Для нахождения асимптотической формы импульса вновь рассмотрим функцию Грина в лагранжевых координатах [17]. (Здесь мы приведем лишь нерелятивистский анализ; обобщение на релятивистский случай достаточно просто.) Подставляя z=Vt-Vzf, получаем из (7)

0(2'+VM = f£=xp(-i-'7)^^£^.(77)

LF

где.

(о^ш—ЙУ;(78)

Dv^ ^=D(^ соЧ^Ю--(79)

Как показано в § 1, в тех же предположениях о функции Dv, что мы делали о D, найдем, что асимптотический вид функции отклика определяется верхней особой точкой с/ типа точки, где совпадают полюсы функции DV) для которой теперь

Dv=0(80)

и dDy/dk=0; ' ' '(81)

Пусть особая точка находится при ф'о( V) =<»or( V)+1<1>оДV), тогда, положив z' = 0, т. е; z= Vt=Zv, получим [см. вывод (28)]

]G(zy, /^<x>)|4V^^(82)

301

и, следовательно,

lg\G^Vl t^oo^^^t. (83)

Таким образом, кривая со'о/(Ю» нормированная на время t (в вертикальном и горизонтальном направлениях), представляет собой одновременно график логарифма амплитуды асимптотического выражения функции Грина как'функции расстояния, т. е. задает асимптотическую форму импульса при развитии неустойчивости. При Г=0 имеем со^ (V=0) =<оо, т. е. особую точку типа точки ветвления с наибольшей мнимой частью частоты a/oi (в лабораторной системе координат), значит, получаем решение уравнений D^k, со)=0 и dD/dk=Oy как в § 1. Итак, особенность типа точки ветвления (о'о^Г^О) >0 соответствует абсолютной неустойчивости, a cozoz(V=O) <0 — конвективной; как в том, так и в другом случае

Рис. 17. Асимптотическая форма импульса абсолютной (а) и конвективной (б) неустойчивостей, полученная с использованием зависимости максимума toOi от V: tog^— временной инкремент абсолютной неустойчивости в лабораторной системе отсчета

при V=0; kim — максимальный пространственный инкремент (см. рис. 14)

наибольший инкремент (о,0/(Г=0) определяет асимптотическое поведение функции Грина в лабораторной системе координат.

Границы асимптотического импульса имеют скорости Г±, для которых мнимая часть частоты в особой точке равна нулю. Таким образом, можно различить два случая, показанных на рис. 17: а) границы импульса движутся в противоположных направлениях, что характерно для импульсов абсолютной неустойчивости; б) границы импульса движутся в одном направлении —- для асимптотической формы импульсов конвективной неустойчивости. Скорости V± границ импульса можно определить из принципа причинности, если его применить к уравнению (17):

G (2, ^) = J^ exp (— icoZ) / (2, (о), (84) L

где функция /(2, со) задана уравнением (1.3). Полагая, что для разных ветвей ^dD!dk^k не имеет существенно особых бесконечно удаленных точек, можно замкнуть контур L в верхней полуплоскости со полуокружностью бесконечного радиуса С+, если при со->С+ есть уверенность, что ехр[ф^—&ш((о)2]->О при 2>0 и 302

ехр[и^—^Z1(to)z]^-0 при z<0. Значит, так как верхняя полуплоскость го, охваченная контурами L и С+, является областью абсолютной сходимости, условия, выписанные выше, дают

G(z, 0=0, V+<z?t<V_,(85)

где следует различать три случая [напомним, что для частот © из области абсолютной сходимости Ki(to)>0 и ^,(<о)<О):-

D^k, со—>С+) =0 выполняется как при к=ки, так и при к= =ki, тогда

V+= lim['D;/^z(«>)]MaKC; а■

«-►С+I

V. = lira ^Jkn-^

D(k, (о^-С+)=0 имеет решение лишь для к=ки, тогда

^+^™ l°i^ui (“^мако )

°~С+(87)

V_ = hm [», /й„г(®ЯмиН;

<о->С+;

D^k, ю-*-С+)=0 имеет решение лишь для k=ki, в этом случае

V+= lim К^Нмакс; )

™"С+(88)

V_ — lim poz/fezi (<о)]мин. I <o-*C_|_J

Для неустойчивых импульсов случай «а» отвечает абсолютной неустойчивости, «б» — конвективной неустойчивости при 2>0 и «в» — конвективной неустойчивости при 2<0. Уравнения (77)-— (88) часто позволяют простейшим и наиболее эффективным способом установить тип неустойчивости: абсолютная она или конвективная.

Возвращаясь к асимптотической форме импульса, которая определяется решениями уравнений (20), (21) в особых точках типа точек ветвления &0(Ю, о)о(У), и рассматривая V как независимую переменную, легко показать, что

d^^/dV—MV^(89)

^0 (V) Id V = - ^Dv/d^ 0/ (d2Dv/dk2) 0.(90)

Уравнения (89) и (90) очень полезны для вычисления о/о^) и £0(Ю, так как они содержат известные для любых значений V функции. Кроме того, уравнение (89) задает прямую связь между величинами о/о(К), &о(У) и решениями уравнений (80) и (81), благодаря этому нам нужно лишь определить («^(К), поскольку тогда ко находится из (89), и, используя (78), можно найти частоту в лабораторной системе: cdo(V) =co'o(V) —(dco'o/^V) V. Заметим, что для каждого значения скорости V решения уравнений (80) и

(81), дающие особую точку типа точки ветвления, будут седловыми точками функции co'o(&) в точке к^ удовлетворяющими равенству do),o/d^o=O, поэтому в лабораторной системе из (78) имеем d^ddk^=V. В конвективно-неустойчивой среде особый интерес представляют две движущиеся системы отсчета, в одной из которых максимален временной инкремент, во второй — пространственный.

Из (89) следует, что максимальный инкремент toim^dto^JdV\ v0 = =0=А01(^о)) окажется в особой точке типа точки ветвления на действительной оси к. Из уравнений (80) и (81) вытекает, что

Рис. 18. Временной инкремент особой точки типа точки ветвления (о)тп с максимальной мнимой частью со при действительных к в системе отсчета, движущейся со скоростью V:приведены дисперсионные кривые со(£г), анализ которых дает значения <й'Огп = (оОг4- +to«m и VDРис. 18. Временной инкремент особой точки типа точки ветвления (о)тп с максимальной мнимой частью со при действительных к в системе отсчета, движущейся со скоростью V:приведены дисперсионные кривые со(£г), анализ которых дает значения <й'Огп = (оОг4- +to«m и VD

Рис. 18. Временной инкремент особой точки типа точки ветвления (о)тп с максимальной мнимой частью со при действительных к в системе отсчета, движущейся со скоростью V:

приведены дисперсионные кривые со(£г), анализ которых дает значения <й'Огп = (оОг4- +to«m и VD

Рис. 18. Временной инкремент особой точки типа точки ветвления (о)тп с максимальной мнимой частью со при действительных к в системе отсчета, движущейся со скоростью V:

приведены дисперсионные кривые со(£г), анализ которых дает значения <й'Огп = (оОг4- +to«m и VD

(do/Idk) =0; используя это свойство в уравнении (78) при действительных V=Vo и к—к0, находим

d®r)dk |6о - Vo + id®; jdk ^=0.(91)

Поэтому

" d^Jdk^O(92)

и

V. = d^dk\k.(93)

Уравнение (92) определяет к^ используя которое вместе с (80), получаем со'om=(Orm+icozm. Уравнение (93) определяет скорость распространения пика асимптотического импульса. Рисунки 18,а, б иллюстрируют расположение особых точек в комплексной" плоскости, а рис. 18,в,г показывают, как найти соответствующие величины непосредственно из решения дисперсионного уравнения для щ (&г), если считать, что имеется лишь одна ветвь со (^г), часть которой лежит (при к=кгу в верхней полуплоскости СО.. .-

Для абсолютной неустойчивости (см. рис. 17,а) юоДУ=О) является инкрементом для покоящегося наблюдателя и поэтому совпадает с инкрементом, найденным в § 1 из уравнений (20) и (21). Для конвективной неустойчивости (см. рис. 17,6) асимптотическая форма импульса, определяемая зависимостью сооДЮ^ также задает значения максимального пространственного инкремента, он равен наклону прямой, проведенной из начала координат так, чтобы она касалась кривой

t»oilVs = d^dV |к$ = - ket (Vs),(94)

где первое равенство задает VS) а второе следует из уравнения (89). Сравнивая ответ с результатами § 2, видим, что ^01^5^ = ==&u/(co$) из уравнения (68), т. е. максимальное отрицательное значение kut для действительных со, которое на рис. 14 обозначено» kim) дается выражением (67). Из сказанного выше (см. также рис. 17) можно установить неравенства:

I^KIIM;(95)

to im! | Vo | <С | kim | < toiml | Vs |,(96),

которые, очевидно, являются следствием того, что o)zrn=o)/oz(Vo) —, это максимум функции coo/(V). Кроме того, если |£im|->oo (существенно особая точка на действительной оси со, см. п. 1.2), то форма импульса такова, что V_=0 (абсолютная неустойчивость в полупространстве) и da/oi/dV\ у_=о = оо.

Как уже отмечалось, после того как положение особой точки найдено для какого-либо одного значения V, уравнения (89) и (90) позволяют проследить за положением особой точки в зависимости от V. Однако в общем случае асимптотическая форма импульса может определяться более чем одной особой точкой — решением уравнений (80) и (81) в зависимости от V; различные ветви cooz будут превалировать при нахождении асимптотической формы импульса в системах отсчета, имеющих разные скорости V (см. п. 3.3).

Динамику асимптотического импульса в трехмерном пространстве и во времени можно получить тривиальным обобщением уравнений (77) —(81); подставляя r=r'+VZ, о/ = со—kV в (6)^ получаем

G (г' + УЛ 0 = J^' exp (- tot) [ ^ exp (ikr') -—L__(97)

LF

гдеDv(k, O —^(k- <o' + kV).(98)

Корни уравнений

Dv(k, <o') = 0(99)

и.

dDvjdk = O,(100)

т. е. k0(V) и (o'o(V), определяю^ асимптотический вид функции Грина в системе наблюдателя, движущегося с (нерелятивистской) •скоростью V, a (o0/(V) задает трехмерную форму импульса при /->оо. Трехмерный аналог уравнений (89) и (90) имеет вид:

Ao^V^dV^—k0(V); (101)

,(102)о,(102)оdk» (V) _ dDv I Л£у_dV dte J dkdk

,(102)

о

,(102)

о

где использована матрично-операторная символика. Обобщение изложенного выше на релятивистский случай очевидно и здесь не приводится.

Далее найдем асимптотическую форму импульса для ряда конкретных дисперсионных соотношений, в которых есть неустойчивости.

Неустойчивость связанных мод. Многие плазменные неустойчивости в пределе имеют вид неустойчивости связанных мод [21]. В случае линейной связи неустойчивость возникает при взаимодействии между волнами с положительной и отрицательной энергиями [36]. Нелинейная связь между волнами второго порядка параметрического типа неустойчива, если волна накачки имеет наибольшую частоту, а две волны, с которыми она связана, имеют энергию одного знака или если накачкой является волна с меньшей частотой, а две другие волны имеют энергии разных знаков. В обоих случаях динамические уравнения для комплексных медленно меняющихся амплитуд приводят к дисперсионному уравнению

2)(k, (^((o-kVi+iyO (co-kV^^ (ЮЗ)

где со и к характеризуют медленные изменения амплитуд во времени и в пространстве; Vi и V2 — групповые скорости; yi и у2- декременты волн без учета связи; у2 определяется механизмом связи. Будем рассматривать только консервативную неустойчивую связь, для которой у2 — действительное положительное число.

‘ В одномерной задаче, в том числе и для связанных волноводных мод, можно считать^ что к¥1)2=&У1,2. Будем различать два случая: a) ViV2<0, связь между волнами, имеющими противоположно направленные групповые скорости; б) ViV2>0, схорости Vi, У2 направлены в одну сторону. Сначала в отсутствие затухания (у1 = у2=0) найдем, что дисперсионное уравнение (ЮЗ) имеет неустойчивые решения cc>z(^r)>0 при |&г| <2у/| 16 —Г2|. При У1У2<0 уравнения имеют особую точку (где корень кратный, D = 0, dD/dk=0), отвечающую абсолютной неустойчивости с временным инкрементом

соо^!^^]1^ (104)

а при ViV2>0 неустойчивость конвективная с максимальным пространственным инкрементом

kim=^lkViV^ (105)

где верхний знак отвечает конвективной неустойчивости при z<0, а нижний — конвективной неустойчивости при z>0. Дисперсионные кривые при yi=Y2=0 как для абсолютной, так и для конвективной неустойчивости изображены на рис. 19.

Когда декременты невозмущенных волн не равны нулю, можно найти пороги неустойчивостей. Порог неустойчивости определяется соотношением

У2>Т1У2=Т2с(Юб)

Если ViV2<0, то есть еще порог существования абсолютной неустойчивости, который дается соотношением

T^W^I+yslVdFAlVi^^a ^1/4)0^^

.+ |а2|)2=т2«,(Ю7)

где ai=Yi/|Vi| и «2=72/1 141 — пространственные декременты для невозмущенных волн. При Чс<4<4& неустойчивость конвективная.

Форму неустойчивого импульса можно найти, используя функ-

Рис. 19. Дисперсионные кривые, отвечающие абсолютной (а) и конвективной (б) неустойчивостям при взаимодействии между модами в одномерной задачеРис. 19. Дисперсионные кривые, отвечающие абсолютной (а) и конвективной (б) неустойчивостям при взаимодействии между модами в одномерной задаче

Рис. 19. Дисперсионные кривые, отвечающие абсолютной (а) и конвективной (б) неустойчивостям при взаимодействии между модами в одномерной задаче

Рис. 19. Дисперсионные кривые, отвечающие абсолютной (а) и конвективной (б) неустойчивостям при взаимодействии между модами в одномерной задаче

цию Dv=D(k, ю'+кУ) и отыскивая особые точки, где Dv=0 и

dDvfdk=O. При Vi>V2>0 получим

(108)(108)', /у.-ЗГ^-П^-^)]'/2 „Y^-^+yHV.-V)

(108)

(108)

а при V2<0<Vi

ю/ zyx 3[(l'i-lW + |V8|)]1/2 „ Y.O'+I^IH^O'i-'O ,.oq

Отсюда, построив график зависимости соо^ от Vt, найдем асимптотический вид импульса. При 7^72=0 очевидно, что скорости границ импульса равны УЦ_=У1 и V_=V2; это также можно найти из уравнений (86) и (87). В обоих случаях максимальный временной инкремент равен <0^=7, он получается при Vo= (V1+Уг)/2.

Для импульса конвективной неустойчивости [см. (108)] максимальный пространственный инкремент дается уравнением (105) и достигается при V=Vs=2ViV2/(Vi4-V2); для импульса абсолютной неустойчивости [см. (109)], «/оДК=0) =®оь выражением (104). Когда затухание невозмущенных волн отлично от нуля, из (108) и (109) легко определить, как изменится форма импульса.

Для трехмерного взаимодействия, описываемого дисперсионным уравнением (103), из (97)—(100) получим

Dv = D (k, <о' + kV) = (®f _ kv, 4- iy,) (to' - kv2 4- iy2) у2, (110)

где V]=Vi—V; v2=V2—V. Условие, определяющее седловую точку dDv/dk=0, накладывает требование коллинеарности векторов vi и v2, т. е. направление скорости неустойчивого импульса совпадает с линией, соединяющей концы векторов Vi и V2 (рис. 20). Тогда можно разложить к по двум направлениям: к|( 4~^’ выбрав за направление, обозначенное символом ||, vi или v2 (скажем Vi), тогда получим эквивалентный одномерный набор уравнений для кратных корней

D'v = (® - к „ о, + i у,) (<о 4- к н у2 + iу,) + у2 = 0(111)

И

dD^ldk^ =0, из которых можно найти сооДУ).dD^ldk^ =0, из которых можно найти сооДУ).(112)(112)Таким образом, мы свели трехмерную задачу к эквивалентной одномерной, которая имеет известное решение [уравнения (107) — (109)]. Форма трехмерного импульса (рис. 20) получается в результате решения эквивалентной одномерной задачи [уравнения (111) и (112)] для всевозможных пространственных ориентаций [37]. В общем случае анизотропной диспергирующей среды несвязанные волны имеют различные свойства, зависящие от направления распространения, поэтому и групповые скорости Vi, V2, и коэффициенты затухания уь у2, и константа связи у2 могут различаться для

dD^ldk^ =0, из которых можно найти сооДУ).

dD^ldk^ =0, из которых можно найти сооДУ).

(112)

(112)

Рис. 20. Нахождение асимптотической формы импульса неустойчивости при взаимодействии между модами в двумерной и трехмерной задачахРис. 20. Нахождение асимптотической формы импульса неустойчивости при взаимодействии между модами в двумерной и трехмерной задачахразных ориентаций действия.

Рис. 20. Нахождение асимптотической формы импульса неустойчивости при взаимодействии между модами в двумерной и трехмерной задачах

Рис. 20. Нахождение асимптотической формы импульса неустойчивости при взаимодействии между модами в двумерной и трехмерной задачах

взаимо-взаимо-уравне- простей- волн вуравне- простей- волн вДисперсионноение, описывающеешее взаимодействие

взаимо-

взаимо-

уравне- простей- волн в

уравне- простей- волн в

ГринаГринатрехмерном случае, уравнение (ПО), приводит к эффективной одномерной динамике асимптотического импульса, который локализован на линии, соединяющей концы векторов V^t и V2Z (рис. 20). Поэтому асимптотическая оценка функции имеет вид:

Грина

Грина

(113)(113)11 m G (Vt, t) =™г™~nr.

(113)

(113)

где

, м 2[(У1-/||)(И||+У2)]'/2 X1(V +У1) + уДУ1-И )

• •(V)=mf

З2 (VJ) — двумерная 8-функция, аргументом которой является двумерная скорость, перпендикулярная vi или v2.

Сингулярность, связанная с У±, легко устранима, если ввести поправки, учитывающие кривизну дисперсионных кривых невзаимодействующих мод в направлении к±[37]. Дисперсионное уравнение (111) в этом случае имеет вид:

t(k, а/) = (а>' -к^ -С1^21 + 1у1)(а>' + й1|У2-|-С2^4-1у2)4-у2=0,

(115) где Ci и С2 •—коэффициенты, характеризующие поправки к закону дисперсии, связанные с кривизной, в полных дисперсионных уравнениях резонансно взаимодействующих волн. Используя уравнение (115), получаем асимптотическую оценку функции Грина

lira G (Vt П =—{(^1+^)1/2 exp [—{^(У)^/?721312

^=0’ '(8Л)3/2 [(^-У^С.-^н +У8)С1][(У1-У1|)(У2 + У||)],/4 ’

(П6) где о/о(У) определяется выражением (114). Это выражение не является сингулярным поУ^и имеет ожидаемую зависимость от времени exp (—io/o^)//3/2> характерную для трехмерной динамики [см. (50)].

Форма импульса в граничных точках и при совпадении полюсов в бесконечно удаленной существенно особой точке к-^оо. Как было показано в п. 1.2, дисперсионные уравнения с точками ветвления корней при к-^оо и конечных значениях со, что отвечает существенно особым точкам функции Цг, со) [уравнение (18)], ■имеют при фиксированных z гораздо более сложные асимптотические функции отклика, чем в случае особой точки типа точки ветвления при конечных значениях к. Однако в системе отсчета, движущейся со скоростью V, исследовать вид неустойчивого импульса значительно проще, и в то же время анализ является достаточно Полным, при этом не нужно вычислять точные значения асимптотических интегралов (как это было сделано в п. 1.2). С одной стороны, вводя движущегося наблюдателя, мы «устраняем» существенно особую точку; если частота, соответствующая

этой точке, действительна [при этом пространственный инкремент бесконечен; см., например, (42)], то ее вклад выражается в том, что асимптотическая функция отклика заостряется к началу координат и имеет в этой точке бесконечный наклон, т. е. неустойчивость фактически является абсолютной (по крайней мере, в полупространстве). С другой стороны, что касается функции lg‘|G(^oo)|, то нахождение формы импульса эквивалентно вычислению интегралов, определяющих асимптотический вид функции Грина. Проиллюстрируем это двумя примерами.

Существенно особая точка на конце интервала. Рассмотрим следующее простое «математическое» дисперсионное уравнение (пример Б. Р. Куссе [38]):

D^k, (о)=(о&—iico—2=0. (Н7)

Очевидно, что для любого конечного k=kr имеем ю)г(^г)>0, поэтому уравнение описывает неустойчивую систему. Так как оно первого порядка по к, ясно, что нет особых точек типа точки ветвления. В действительности легко показать, что все значения. к^ь^=ки лежат в верхней полуплоскости к, и если сместить L так, что itori—><о;=О для любой точки действительной оси

Рис. 21. Асимптотическая форма импульса для дисперсионного уравнения (117): наличие существенно особой точки приводит к бесконечному наклону кривых <Doi(V) при 7=0Рис. 21. Асимптотическая форма импульса для дисперсионного уравнения (117): наличие существенно особой точки приводит к бесконечному наклону кривых <Doi(V) при 7=0Рис. 22. Зависимость асимптотического значения временного инкремента сд'ог от скорости системы отсчета для плазменно-пучковой неустойчивости (пучок и плазма холодные)Рис. 22. Зависимость асимптотического значения временного инкремента сд'ог от скорости системы отсчета для плазменно-пучковой неустойчивости (пучок и плазма холодные)

Рис. 21. Асимптотическая форма импульса для дисперсионного уравнения (117): наличие существенно особой точки приводит к бесконечному наклону кривых <Doi(V) при 7=0

Рис. 21. Асимптотическая форма импульса для дисперсионного уравнения (117): наличие существенно особой точки приводит к бесконечному наклону кривых <Doi(V) при 7=0

Рис. 22. Зависимость асимптотического значения временного инкремента сд'ог от скорости системы отсчета для плазменно-пучковой неустойчивости (пучок и плазма холодные)

Рис. 22. Зависимость асимптотического значения временного инкремента сд'ог от скорости системы отсчета для плазменно-пучковой неустойчивости (пучок и плазма холодные)

Юг, то корень ки пересечет действительную ось к дважды и вернется в верхнюю полуплоскость к при (Of—>-0, и в обычном смысле (см. § 2) это не будет отвечать даже пространственно усиливающимся волнам. Проблема, конечно же, в том, что контур L нельзя переместить на действительную ось (ог, так как при (о=0 функция /(г, <о) имеет существенно особую точку, которая соответствует скорее граничной точке интервала, kr=-Vco, чем точке ветвления в плоскости к. Легко найти явный вид функции Грина для дисперсионного соотношения (117):

G(z,0 = ехр(—z)/,(2 72^)zz(z)u(t), (Н8)

откуда видно, что неустойчивость является абсолютной в полупространстве z>0.

31'0

В системе, движущейся со скоростью V, это дисперсионное уравнение примет вид:

Dv (£, <о') = (<о'+^ V)Л—i (ю^ V) —2=0;(119)

из него видно, что неустойчивая точка типа точки ветвления [решение уравнений (80) и (81)] будет при

— i<o'o = 2K2V —V(120)

(соответствующая этому асимптотическая форма импульса изображена на рис. 21). Теперь можно сравнить его с асимптотикой точного решения. Подставив V=z,t в уравнение (120), получим

ехр ( — i со'о/) = ехр (2 V 2zt— 2)(121)

и из уравнения (118) найдем

G (z, ^ oj ^exp(2K2zi! —z^/n^zf)1/4,(122)

откуда видно, что G^t—^сю) с хорошей точностью совпадает с to'^Vy.

Асимптотический вид импульса для п у ч к о в о - п л а з - мен ной неустойчивости. В п. 1.2 было показано, что эта неустойчивость характеризуется бесконечно удаленной существенно особой точкой к—>оо типа точки ветвления. Асимптотика функции Грина была вычислена методом перевала, в результате чего было получено выражение (44). Асимптотический вид импульса находится намного проще из дисперсионного уравнения, записанного в системе отсчета, движущейся со скоростью V;

Dv(k, о/)=1— to2P[^+кУ) ^(^ь^—к (Уо—У) ]2.(123)

Подставляя это выражение для Dv в уравнения (80) и (81), найдем неустойчивую частоту особой точки типа точки ветвления

\( Vb \ 2/3 13/2

(^)=±(1-П)[1+еХр(1т—pV3] , (124)

где Vb=V!Vo; т=\ или 2 в зависимости от знака перед правой частью (124); N=tiblnp. При ЛР/3<С1 хорошим приближением для большей части неустойчивой области (o'ot>0 импульса будет соотношение

<й'./*>р=\ - vb - (3/4) N^3 V^3 (Д-Уь^3 + i (3 VW/4) Af'/3l/2/3(i _y6)i/3 ,

(125)

Точное (сплошная кривая) и приближенное (точки) выражения для <о'ог(У) при /V^IO-3 графически представлены на рис. 22. Используя уравнение (125) с заменой V—>z]t, легко показать, что ехр(—moV) совпадает с выражением (44), найденным методом перевала.

Можно упомянуть о некоторых интересных -особенностях динамики этой неустойчивости: асимптотический вид импульса таков, что задняя граница является заостренной при 2=0, наклон (пространственный инкремент) здесь бесконечен, но временной инкремент равен нулю, передняя граница движется со скоростью пучка Уо, как и следовало ожидать, при A^V3<^1 в окрестности передней границы импульс нарастает намного быстрее, чем в окрестности задней границы, из уравнения (125) видно, что инкремент максимален при Vb= =2(3 и равен наибольшей из величин (Оог(^г) при Л^1/3^ 1. Все эти особенности изображены на рис. 23. Кроме того, заметим, что инкремент в лабораторной

системе положителен во всех точках 2>0 за фронтом импульса, действительная часть частоты в лабораторной системе почти всюду равна плазменной частоте, в движущейся системе отсчета она равна плазменной частоте с доплеровским сдвигом вниз, тем большим, чем больше скорость системы отсчета, характерные волновые числа определяются непосредственно из уравнений (89) и вида функции <о'о(Г).

Форма импульса при взаимодействии особых точек. Мы уже видели (см. п. 1.1), что в зависимости от параметров плазмы седловые точки могут взаимодействовать, в результате чего могут возникать или исчезать особые точки типа точки ветвления. Аналогично, когда асимптотическая форма импульса в зависимости от скорости наблюдателя может определяться соседними седловыми

Wffit-vLg|0(2,t*oo)[

О (пь/n^ot№*0* vot л-Mt

Рис. 23. График пространственно-временной эволюции асимптотической формы импульса при развитии пучково-плазменной неустойчивости (плазма и пучок холодные) в приближении малой плотности пучка

(особыми) точками, они могут взаимодействовать. Асимптотический вид импульса может в общем случае зависеть от соответствующей комбинации <о'о/(У) в этих точках. Покажем это на двух примерах.

Форма импульса для встречных пучков в плазме. Мы видели (см. п. 1.4), что для холодных пучков и холодной плазмы из диспер-^ сионного уравнения (62) можно найти две особые точки типа точки ветвления при ар— («6=0. На рис. 24 приведены зависимости е/оДГ) для этих двух точек. Если они не взаимодействуют, то форма импульса определяется той из них, у которой больше (Doi(V) при всех значениях V; это будет при О^Г^ ^О,56ио- При этих значениях V начинается их взаимодействие, так что при V^O,56fo точка соогСУ) перестает быть точкой ветвления. Поэтому при У= =О,66ио форма импульса определяется зависимостью o/oi (V) [17].

Для пучков с конечным тепловым разбросом (аь^0) и холодной плазмы (аР=0) форма импульса при различных значениях «р/Уо изображена на рис. 25 [33]. Неустойчивость исчезает при -аь/Уо^1,26.

Взаимодействие и онно-зв ук о в ой и о сци л ляторной двухпучковой параметрической (модуляционной) неустойчивостей. Особенно интересный случай взаимодействующих точек ветвления возникает при взаимодействии лазерного излучения с плазмой, где обычно анализируют по отдельности различные параметрические плазменные неустойчивости, которые могут возбуждаться электромагнитной волной накач- 312

ки. Когда частота волны близка к плазменной, возникают неустойчивости двух типов: распад волны накачки на плазменную и звуковую и взаимодействие двух плазменных волн через виртуальную низкочастотную. Последнюю неустойчивость иногда называют осцилляторной двухпучковой. Обе неустойчивости имеют максимальный инкремент, когда параметрически возбуждаемые электростатические волны распространяются в направлении электрического поля накачки. Поэтому ограничимся обсуждением только этого случая и для простоты пренебрежем затуханием волн.

Рис. 24. Асимптотическая форма импульса при взаимодействии особых точек типа точек ветвления в задаче о взаимодействии холодных встречных пучков с холодной плазмой [17]: форма импульса определяется более толстой сплошной линией, рисунок симметричен относительно прямой и=0Рис. 24. Асимптотическая форма импульса при взаимодействии особых точек типа точек ветвления в задаче о взаимодействии холодных встречных пучков с холодной плазмой [17]: форма импульса определяется более толстой сплошной линией, рисунок симметричен относительно прямой и=0О 0,20,40,60,8 Vh0О 0,20,40,60,8 Vh0Рис. 25. То же, что и на рис. 24, только пучки имеют тепловое уширение (лоренцево), описываемое величиной аь [см. (62)] [33]Рис. 25. То же, что и на рис. 24, только пучки имеют тепловое уширение (лоренцево), описываемое величиной аь [см. (62)] [33]

Рис. 24. Асимптотическая форма импульса при взаимодействии особых точек типа точек ветвления в задаче о взаимодействии холодных встречных пучков с холодной плазмой [17]: форма импульса определяется более толстой сплошной линией, рисунок симметричен относительно прямой и=0

Рис. 24. Асимптотическая форма импульса при взаимодействии особых точек типа точек ветвления в задаче о взаимодействии холодных встречных пучков с холодной плазмой [17]: форма импульса определяется более толстой сплошной линией, рисунок симметричен относительно прямой и=0

О 0,20,40,60,8 Vh0

О 0,20,40,60,8 Vh0

Рис. 25. То же, что и на рис. 24, только пучки имеют тепловое уширение (лоренцево), описываемое величиной аь [см. (62)] [33]

Рис. 25. То же, что и на рис. 24, только пучки имеют тепловое уширение (лоренцево), описываемое величиной аь [см. (62)] [33]

При малой мощности накачки указанные неустойчивости ведут себя по- разному. Распадная неустойчивость приближенно описывается дисперсионным уравнением типа уравнения связанных мод '

(со—&uA) (co-j-^UpJ^y^—O,(126)

где

У2Р= (u0/4uГе)2 (й) А/(0р)(02ре(127)

[у0=е£0//п-(Оо — скорость движения электронов в поле волны накачки £0]; индексами А и Р отмечены групповые скорости и частоты соответственно звуковой и электронной плазменной волн. Аналогично осцилляторная двухпучковая неустойчивость приближенно описывается уравнением

(<о—k'vpx) (со—^/Vp2)+y2o=O,(128)

где Upi^Up2=Up; k'—k—(уо/ир); индекс V отвечает виртуальной волне;

^^^ol^Te^topek^v^Al^v^A—^vY(129)

Асимптотическая форма импульса для каждого из этих взаимодействий имеет такой же вид, как в случае неустойчивости при взаимодействии между модами (см. начало этого пункта). При распадной неустойчивости границы импульса движутся со скоростями |н~ир|<ите, a ua = ±c8, где иге — тепловая скорость электронов, с8— скорость ионно-звуковых волн. Так как cs^uTe, а инкремент абсолютной неустойчивости довольно мал, много меньше ур, конечное затуха-

ние ионно-звуковых волн может изменить как форму импульса, так и характер неустойчивости, сделав ее конвективной. В то же время осцилляторная двухпучковая неустойчивость имеет импульс симметричного вида, скорости границ равны иР1 и —иР2 (значения их почти одинаковы и иР<иТе), инкремент абсолютной неустойчивости равен у0, конечное затухание плазменных волн не изменяет тип неустойчивости.

При больших мощностях накачки, когда' инкремент осцилляторной двухпучковой неустойчивости становится сравнимым с частотой ионно-звуковых волн, неустойчивости взаимодействуют между собой и их нельзя рассматривать как независимые, это видно из выражения (129). Более полная теория [39]

Рис. 26. Взаимодействие особых точек при слиянии ионно-звуковой и осцилляторной двухпучковой параметрической неустойчивостей [39]:

1 — чистая осцилляторная двухпотоковая неустойчивость; 2 — чистая распадная неустойчивость; 3 — реальная асимптотическая форма импульса; 4 — расположение седловых точек; Максимум — при 6-10~4Х XtoL; top, col=O,85

показывает, что соответственно преобразованное общее дисперсионное уравнение, описывающее взаимодействие двух плазменных и одной ионно-звуковой волн, имеет следующий приближенный вид:

(^У2Л - о2) [со2 - (6 - ^)2 D2p] = top (6 - ^) -оркЧ\. (130)

На рис. 26 показана асимптотическая форма импульса неустойчивости, соответствующего этому дисперсионному уравнению (сплошная линия) для некоторого набора параметров, отвечающих экспериментам по лазерному синтезу. Пунктирные линии показывают ряд импульсов, полученных из уравнений (126) и (128). Импульс сильно отличается по форме от импульса распадной неустойчивости и схож с импульсом в случае двухпучковой осцилляторной неустойчивости, хотя ее максимальный инкремент (абсолютной неустойчивости) заметно меньше инкремента осцилляторной неустойчивости [см. (129)], если ее рассматривать независимо.

4. ЭФФЕКТЫ, СВЯЗАННЫЕ С КОНЕЧНЫМ РАЗМЕРОМСИСТЕМЫ И НЕОДНОРОДНОСТЬЮ ПЛАЗМЫ

ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ МЕЖДУ МОДАМИ

Итак, мы рассмотрели пространственно-временную эволюцию неустойчивостей в бесконечной плазме, которая в невозмущенном состоянии была однородной. В зависимости от рассматриваемых пространственно-временных масштабов сделанные выше предположения часто оправданы при линейном описании динамики опреде- 314

ленных неустойчивостей. Ситуация резко осложняется, когда эти предположения несправедливы. Для того чтобы рассмотреть возникающие при этом эффекты с единой точки зрения, сосредоточим внимание на неустойчивостях, приближенно описываемых дисперсионным уравнением при наличии взаимодействия между модами. Это описание справедливо как для многих линейных неустойчивостей, в основе которых лежит связь между волнами положительной и отрицательной энергии, так и для начальной стадии эволюции нелинейных параметрических неустойчивостей [21].

Описание динамики развития неустойчивостей в системе конечных размеров должно, разумеется, включать в себя граничные условия. В плазме эти граничные условия часто бывает трудно моделировать как простые разрывы, кроме того, обычно система в равновесии не является однородной. Однако в принципе анализ устойчивости ограниченной однородной плазмы достаточно прост: если границы резкие, то волновые векторы имеют определенные значения и вопрос об устойчивости сводится к задаче на собственные значения для комплексной частоты: если есть частоты с поло- жительной мнимой частью, то они отвечают неустойчивым собственным модам, в противном случае в системе может быть лишь пространственное усиление шумов или сигналов от одного конца системы к другому.

Наложение граничных условий на однородную плазму может принципиально изменить характер неустойчивостей в ней по сравнению с бесконечно протяженной системой. Так, неустойчивость, бывшая конвективной в безграничной плазме, может стать неустойчивой собственной модой в ограниченной системе, если ввести отражение от границы волны с соответствующей фазой, — это станет очевидным, если воспользоваться идеями, использованными в теории усилителя и (или) осциллятора с обратной связью. В противоположность этому абсолютно-неустойчивая мода бесконечной плазмы может распасться на ряд неустойчивых собственных мод в ограниченной системе; для того чтобы какая-либо мода была неустойчивой, необходимо, чтобы размер системы был достаточно велик, если же размер системы меньше некоторого минимального, то все собственные моды становятся устойчивыми и в системе снова может быть лишь пространственное усиление шумов или сигналов от одного конца плазмы к другому. Ниже все сказанное будет проиллюстрировано на простых примерах [21].

Конвективная неустойчивость в ограниченной однородной плазме. Простейшим примером, иллюстрирующим влияние ограниченности системы, является неустойчивое взаимодействие двух волн. Рассмотрим линейное консервативное взаимодействие волн положительной и отрицательной энергий (аналогичный анализ применим и к нелинейному параметрическому взаимодействию двух волн). Дифференциальные уравнения для медленно изменяющихся амплитуд волн со слабой связью имеют вид [21]:

(d/dZ+vid/d^-j-Yi)ai(z, 0 =7^2(2, t); (131) ^d/dt-V'O^/d^-V^a^z, t)=^a\(z, 0, (132)

315

где Oi, и2— групповые скорости; уь уг— собственные декременты; у — комплексная константа связи. Амплитуды нормированы так, что | «1,212= | avi.af, где w 1,2 — средние по времени плотности энергии волн. Воспользовавшись результатами предыдущего параграфа, можно установить, что при ViV2>0 и |у2|>У1Уг неустойчивость будет конвективной.

Для конвективно-неустойчивого взаимодействия можно не следить за изменением амплитуд во времени, а рассматривать лишь их максимальное пространственное усиление на ограниченном отрезке, скажем от z=0 до z=L. Для простоты пусть у!=у2=0; предположим, что Ui>0, Уг>0 и Яцг^ьг)1/21^^!^, тогда из уравнений (131) и (132) при д/д/=О получим

dbi/dz=ab2;(133)

db2ldz=a*bi,(134)

где a= |у|/(У1О2)1/2 [ср. с (105)]—максимальный пространственный инкремент. Так как обе групповые скорости положительны, оба граничных условия задаются при z=0. Полагая &t(0) =1 и 52(0)=0, находим

6!(z)=ch(az);(135)

^2 (z) = sh (az).(136)

Как следует из дисперсионного уравнения, при а£^>1 эти решения вблизи z ^ L представляют собой нарастающие в пространстве волны.

Однако в более общем случае разрыв во взаимодействии при z=0 и z=L приводит к возбуждению других волн в плазме, помимо тех двух, которые мы рассматриваем. Выбрав другие граничные условия на концах области взаимодействия, можно в общем случае рассмотреть большее, чем две, число волн. Если одна из этих волн распространяется в обратном направлении (от L=z к z=0), то можно получить обратную связь, которая приведет к возникновению неустойчивой нарастающей во времени собственной моды в плазме конечного размера. Так, предположим, что при z=L часть (комплексная) Rl усиленной волны с амплитудой Ьх идет на возбуждение волны, распространяющейся от z=L к z=0. Для простоты предположим, что эта волна не затухает и на указанном промежутке на ее распространении не сказывается присутствие волн с амплитудами bt и Ь2 (она не связана с ними в однородной области между границами). Предположим, что, когда эта волна достигнет точки z=0, часть (комплексная) Ro ее амплитуды будет возбуждать волну с амплитудой bi, которая, в свою очередь, будет усилена в промежутке между z=0 и z=L (за счет связи с Ь2^ и т. д. Условие существования осцилляций (нарастающей во времени собственной моды) в случае обратной связи имеет вид:

(137)(137)/?o^?£ch(aL) = 1.

(137)

(137)

Это условие восстановления амплитуды и фазы конвективно-неустойчивой волны посредством противоположно направленной незатухающей волны.

В общем случае, как установлено в § 1 (см. рис. 3,а), для со из области абсолютной сходимости можно легко определить, какие- комплексные &(со) относятся к области 2>0, а какие к области 2<0, мы называли их ^(со) и &/(о>) соответственно. Считая, что отсутствие абсолютной неустойчивости установлено, получаем условие существования неустойчивой собственной моды в конечной длинной (протяженностью L) плазменной системе:

/?о (со) Rl ((d) exp ^-^i (со) (со) ] L} = 1,(138)

где Ro -— (комплексный) коэффициент возбуждения «-волны /-волной при 2=0; Rl— (комплексный) коэффициент возбуждения: /-волны «-волной при 2=L;&^(о)) =пнп[1т&Д(о)],k1^—

=max[Im^/(co) ]. В принципе уравнение (138) можно использовать для определения частоты неустойчивой собственной моды в неустойчивой плазме конечной протяженности. На-практике вычислить /?о((о) и Rl^ для реальных граничных условий довольнотрудно. В заключение заметим,- что в пределе L-^oo соотношение- (138) можно выполнить при.

—^(со)+^(со)=О\(139)

Это условие удовлетворяется на кривой (или кривых) в комплексной плоскости со. Когда часть4 этих кривых находится вверх- ней полуплоскости ш, то говорят о «глобальной» неустойчивости [20, 40]. Для^существования неустойчивой собственной моды этого недостаточно; необходимо, чтобы выполнялись условия Ro^RlW =0=0 и arg[/?o(co)/?L(6>)] = 2лп, п=0, 1,2... при тех же— L и комплексных частотах; для которых оь>0и справедливо соотношение (139).

Абсолютная неустойчивость ю однородной плазме конечных размеров. Рассмотрим нелинейное параметрическое взаимодействие двух волн положительной энергии,имеющих противоположно^ направленные групповые скорости и связанных друг*с'другом через волну накачки, частота которой больше частот обеих волн. Аналогичный анализ применим также к линейно связанной паре* волн, одна из которых имеет положительную, а другая отрицательную энергию и групповые скорости которых противоположно- направлены [15]. Дифференциальные уравнения, описывающие эти волны, имеют вид [21]:

(d/dt-Vvxd/dz^^aY^z, /)=y«*2(z, /);(140)

(д/д/+п2д/()2+у2)^2(2, /)=уа*1(2, /),(141)

где сохранены обозначения, принятые в (131) и (132). Из результатов п. 3.1 видно, что неустойчивость развивается как абсолютная с инкрементом (109) при К=0.

Рассмотрим ограниченную систему протяженностью от 2=0я до z=L>0, в которой взаимодействие описывается уравнениями

31Г

и (141). Пусть групповые скорости волн У1>0 и «2<0. Тогда граничные условия на at задаются в точке z=0, а на «2 — в точке z=L. В частности, пусть ai(0)=0 и аг(Л)=0. Считая, что решения имеют вид ci—exp (p^-j-ite), а аг — комплексно-сопряженное «1 выражение, получаем уравнение, определяющее к:

, (142), (142)к = — ^ + У» +IТ |г 1 p + Yil-P + Yz

, (142)

, (142)

-±2 \ и, I v21 / у П1НИ 4 ( о, ~ |у2|

которое представляет собой дисперсионное соотношение. Принимая во внимание граничные условия, находим уравнение на собственные значения р:

Ptg[(1 -Р2) >/2а£] + (1 _р2) 1/2=0,(143)

где

Р=Р/Ро+уа/у; а=|у| (У1|у2)1/2.(144)

Рис. 27. Неустойчивость при взаимодействии мод в ограниченной системе, когда групповые скорости противоположно направленыРис. 27. Неустойчивость при взаимодействии мод в ограниченной системе, когда групповые скорости противоположно направленыЗдесь ро — инкремент абсолютной неустойчивости в отсутствие затухания, у1=у2=0 [см. (104)]; уа — пороговый инкремент абсолютной неустойчивости [см. (107)]. При Р=0 уравнение (143) имеет дискретный набор решений, определяемый условиями aL= = (^+1/2)л, n=0, 1, 2, .'.., для каждого п с ростом а£ растет Р, при aL-^oo для всех п ветвей Р=1. График зависимости р/р^ от а£ изображен на рис. 27. Отметим, что существует минимальная длина, ниже которой нет неустойчивых (нарастающих во времени) собственных мод; в отсутствие затухания (у!=у2=0) этот минимум, или критическая длина £с=л/2а, с ростом затухания растет, как показано на рис. 27. При aL-^oo инкремент каждой из собственных мод стремится к инкременту абсолютной неустойчивости в бесконечно протяженной плазме.

Рис. 27. Неустойчивость при взаимодействии мод в ограниченной системе, когда групповые скорости противоположно направлены

Рис. 27. Неустойчивость при взаимодействии мод в ограниченной системе, когда групповые скорости противоположно направлены

Поэтому влияние ограниченности системы на развитие абсолютной неустойчивости сводится в первую очередь к разбиению

спектра на ряд неустойчивых собственных мод, инкремент которых уменьшается с уменьшением размера системы до тех пор, пока все они не стабилизируются, когда L станет меньше Lc. При L<LC в системе все еще может быть пространственное усиление ■сигнала между концами системы (возможно, не экспоненциальное). В отсутствие затухания (yi=V2=0) легко показать, что при L<LC усредненные по времени интенсивности второй волны на концах системы связаны соотношением [21]

s2(0)=s2(£)/cos2(a£).(145)

Заметим, что появлению нормальной неустойчивой собственной моды при L=Lc = 3il2a здесь отвечает бесконечное усиление на конечном отрезке, равном размеру системы.

Неустойчивости связанных мод в безграничной неоднородной плазме. Уравнения, описывающие взаимодействие связанных мод, с учетом эффекта слабой неоднородности легко получить в ВКБ-приближении [21]. Рассмотрим одномерную задачу,, отвечающую параметрической неустойчивости:

\djdt + ^(2) d/dz + y, (z)]ax(z, t) exp Г i£(z')dz'; о

(146}

P/^ + у2 (2) djdz + у2 (z)] а2 (z, t)= у (z)^\(z, /) exp J i к (z^dz1, (147} и

где k{z)=kQ(z)— ^i(z) — k2(z) характеризует изменение сдвига фаз. при быстрых изменениях электрического поля в пространстве (&о —волновое число волны накачки), а все остальные величины определены в уравнениях, приведенных в пп. 4.1, 4.2. Часто расстройка является самым важным эффектом, связанным с неоднородностью. Рассмотрим случай линейной расстройки, к^ = — ^dk/dz^z=kfz\ эффект станет существенным на расстоянии Ld, когда k'Ud^n и в показателях экспонент уравнений (146) и (147) увеличится сдвиг фаз примерно до л. Условие применимости ВКБ-приближения заключается в том, чтобы наименьшее из &o,i,2. было много больше 1/L/, где £/ —характерный масштаб неоднородности, т. е. изменения величин Vi)2, 71,2, ^ ^ к. Поэтому LdlL^ ^^/kLiY^<^\ и уравнения (146), (147) сводятся к следующим-:

[d/d/4-2id/dz+7i]ai (z, ^)=ya*2(z, /)ехр (i^zz2/2); (148)

[d/d^+y25/dz+72]a2(z, /) = 70*1 (z, /)ехр (i£zz2/2). (149)

Решение этих уравнений показывает, что влияние фазовой расстройки, связанной с неоднородностью, приводит к насыщению- амплитуды неустойчивого взаимодействия. К этому результату можно прийти различными способами [41], наиболее полное решение задачи получается, если найти функцию Грина [42]. Приведем здесь решение Чамберса [37].

Взяв в качестве источника возбуждения 6-функцию [скажем, в (149)] при z=0 и /—0 с амплитудой (Щк'У^, выполним преобразование Лапласа в уравнениях (148) и (149) и проведем соответствующую замену переменных. В результате получим уравнение параболического цилиндра с тем же источником в правой части, после этого выполним обратное преобразование Лапласа и методом перевала найдем решения при малых и больших временах. Приведем основные результаты в двух интересующих нас случаях: 1) t>i>0 и в уравнении (149) произведена замена и2->—и2„ тогда в отсутствие изменения сдвига фаз (&z=0) неустойчивость

будет абсолютной; 5)- у2>У1>0, тогда при ^=0 неустойчивость будет конвективной. Критическим параметром, который определяет масштабы времени, будет

Q= (y±l)2V^(vT±Z) (±T+Z)f(150)

где верхние знаки относятся к случаю 1, а нижние—-к 2;

Х= X^VI^Ux^(151)

— параметр, характеризующий изменение сдвига фазы взаимодействия; и=у2/У1; 2=^к'У^г\ Т= ^k'Y^Vxt. При %>1 найдем, что, когда Q—>оо (малые времена), получим для случая 1 такой же тип эволюции, как при абсолютной неустойчивости [см. (109)], а для случая 2 —такой же тип эволюции, как в случае конвективной неустойчивости [см. (108)]. В то же время при А,>1 и Q->0 (большие времена) амплитуда как для случая 1, так и для случая 2 может (когда ^1 = у2=0) достичь лишь некоторого постоянного уровня насыщения; максимальная амплитуда будет равна

аау/ 2 | у,^]’/2 Г тс I У2+ Vx Iу/ 2 | у,^]’/2 Г тс I У2+ Vx IехрехрYi^i и7 + Z (А/)1/2 у ± 1Yi^i и7 + Z (А/)1/2 у ± 1Тг/Уг ± Т + (£')1/2 У± 1 vТг/Уг ± Т + (£')1/2 У± 1 v

а

а

у/ 2 | у,^]’/2 Г тс I У2+ Vx I

у/ 2 | у,^]’/2 Г тс I У2+ Vx I

ехр

ехр

Yi^i и7 + Z (А/)1/2 у ± 1

Yi^i и7 + Z (А/)1/2 у ± 1

Тг/Уг ± Т + (£')1/2 У± 1 v

Тг/Уг ± Т + (£')1/2 У± 1 v

(152)

и импульс простирается от —v^t до v\t в случае 1 (верхние знаки) и от 01/ до Vat в случае 2 (нижние знаки); а — эффективный шумовой уровень возбуждения вблизи z=0 при /=0. Характерный параметр, по которому разделяются малые и большие времена, 'Соответствует Q=l/4. Для случая 1, полагая z=0, отсюда получим 7сг=2Х|/2(1+у)/у, или /Сг=4Х/<йо:, где ®0< — временной инкремент абсолютной неустойчивости в отсутствие затухания [см. (Ю4)]. Из уравнения (152) при z=0 и tCr получаем

(153)

.где уа — пороговый инкремент абсолютной неустойчивости [см. (107)]. Для того чтобы в результате развития абсолютной неустойчивости амплитуда в точке z=0 достигла большого зна- иения, необходимо выполнение условий 7^2уо/л, л%^>1.

В случае 2 рассмотрим область вблизи максимума амплитуды, -следя за динамикой развития конвективной неустойчивости: z= =2о=/(У14-у2)/2 при Z=Z0=T(y-|-l)/2; при Q = l/4 получим Тсг=4(Х/у)1/2 или /ег=4Х/М- Вследствие этого при t"^5 tCT в точке .г0 из уравнения (152) находим

|ei^|« T/AjZiEdTexpUx fl — — (154) I а | " ” Нг — yil I К л hl /J

Поэтому для того чтобы амплитуда достигла большого значе- .ния, в рассматриваемом случае необходимо выполнение неравенств |у| >2(у1+у2)/л и лХ>1.

-320

Отсюда можно сделать вывод, что если затухание волн несущественно, то эволюция одномерной системы, в которой моды колебаний взаимодействуют между собой и фаза взаимодействия медленно изменяется за счет неоднородности, происходит следующим образом. Сначала неустойчивый импульс нарастает и расширяется так же, как и в однородной плазме; на этой стадии систему можно описывать уравнениями с А' = 0 [(108) и (109)] как однородную до тех пор, пока амплитуда не достигнет уровня (если принять за начальный уровень шумовой) порядка ехр(лХ), %= = |y2|/F| p^l. После этого амплитуда поддерживается постоян-

Рис. 28. Динамика неустойчивости при взаимодействии между модами в бесконечной системе при линейном изменении сдвига фаз за счет неоднородности: а — результаты аналитического расчета [41]; б — результаты численного интегрирования [43]

ной, а импульс продолжает расширяться в пространстве со скоростями, равными групповым скоростям двух мод. Эти результаты иллюстрируются рис. 28,а, б.

Изложенные выше результаты были обобщены на случай эволюции неустойчивости связанных мод при линейном изменении фазы взаимодействия за счет неоднородности в двумерном пространстве, когда плазма неоднородна лишь в одном направлении [37]:

^д/d/+vi<Vdr+vi) #1=?я*2 (2, 0 exp (i^'z2/2); (155)

(5/5/+v25/5r+y2) а2=ya*iexp (iFz2/2), (156)

где изменение фазы взаимодействия за счет неоднородности происходит в направлении г. Так же как и в задаче о взаимодействии мод в однородной трехмерной плазме [^/ = 0, см. (ПО)-(Пб)], 21—3283 321

решение этих уравнений получается сведением системы к набору соответствующих одномерных уравнений вида (148), (149). Приведем сводку результатов, полученных Чамберсом [37]. Считая, что групповые скорости V] и v2 лежат в плоскости х, z, и выбирая движущуюся со скоростью v=xVx систему отсчета так, как показано на рис. 29, замечаем, что изменение формы импульса происходит вдоль линии, соединяющей концы векторов vj и v2, т. е. вдоль антипараллельных векторов V^vj—xVx и V2=v2—xVx (рис. 29). Повернув систему координат, перейдем от переменных х, z к v^ Г1Г ПРИ этом Уравнения (155) и (156) примут следующий вид: (д/^ +V^/дГц -НМ = уа*2ехр [!&' (г„ cos 6)8/2|;(157)

(d[dt + У2д/дг „ + у2) а2 = ya*, exp [i к' (г „ cos 6)2/2],(158)

угол 0 показан на рис. 29. Эти уравнения имеют такой же вид, как (148) и (149), решения которых известны [см. (150) —(154)].

Рис. 29. Системы координат в двумерной задаче о развитии неустойчивости при взаимодействии между модами, если есть линейный сдвиг фаз за счет неодно-'родности по ОСИ 2 [37]Рис. 29. Системы координат в двумерной задаче о развитии неустойчивости при взаимодействии между модами, если есть линейный сдвиг фаз за счет неодно-'родности по ОСИ 2 [37]

Рис. 29. Системы координат в двумерной задаче о развитии неустойчивости при взаимодействии между модами, если есть линейный сдвиг фаз за счет неодно-

'родности по ОСИ 2 [37]

Рис. 29. Системы координат в двумерной задаче о развитии неустойчивости при взаимодействии между модами, если есть линейный сдвиг фаз за счет неодно-

'родности по ОСИ 2 [37]

Параметром, характеризующим изменение фазы взаимодействия в двумерном пространстве, по аналогии с уравнением (151) будет

(159)(159)Х= | у |2/kr Vi V2 cos29= | v21 /к' | v 12^221.

(159)

(159)

Изменение формы импульса от начального уровня до уровня насыщения в двумерной задаче дано на рис. 30. Заметим, что если групповая скорость одной из волн строго перпендикулярна направлению неоднородности, то Х=оо и взаимодействие происходит так же, как и в случае, когда изменения фазы нет, остальные эффекты, связанные с неоднородностью, необходимо учитывать.

В заключение отметим, что вследствие выбора направления скорости движения системы отсчета N=xVx перпендикулярно направ* лению неоднородности изменение фазы взаимодействия в эквивалентных рассматриваемым одномерных уравнениях (157) и (158) не зависело от времени. В общем случае при произвольном направлении скорости системы отсчета в плоскости %, z этого не будет. Если линия, соединяющая концы векторов групповой скорости

взаимодействующих волн, не параллельна оси х, в направлении ко

торой плазма однородна, т. е. вектор скорости системы отсчета составляет с осью к некоторый угол, то при переходе от уравнений (155) и (156) к одномерным уравнениям, описывающим динамику в направлении этой оси, в уравнениях появится сомножитель, характеризующий сдвиг фаз, который зависит от координаты и времени. Зависимость от времени сомножителя, описывающего

сдвиг фаз, можно исключить, перейдя к другому набору амплитуд, соответствующим образом изменяющихся в пространстве и во времени [44]. Это приведет к одномерным уравнениям вида (158) и (159), и тогда параметр, характеризующий сдвиг фаз в двумерной задаче, окажется таким же, как в (159).

Неустойчивости взаимодействующих мод колебаний в неоднородной ограниченной систе-

ме. Перейдем к рассмотрению за- Рис 30 Эволюция формы им- дачи В неоднородной ограничен- пульса в двумерной задаче о иеной ВДОЛЬ направления взаимо- устойчивости при взаимодействии действия системе. Для этого вер- между модами, если есть линей- немея к уравнениям, описываю- ныи сд®“г*апП3пР^т “®°ДНОРОД" щим взаимодействие между модами (146) и (147). Рассмотрим

систему, в которой сдвиг фаз отсутствует (&'=()), а интересующие нас эффекты обусловлены медленным изменением константы связи у на конечном интервале 2, вне которого она равна нулю. Группо

вые скорости и декременты волн можно считать также медленно меняющимися функциями:

[d/d#+yl(z)d/dz+Ti(z)]ai(z, /) ==y(z)a*2(z, ty,(160)

[d/dH-y2(z)d/dz+y2(z)] a2(z, 0 = =y(2)a*i(z, ty(161)

В ВКБ-приближении будем искать решение для а, в виде fZ

— i ад/ -|-i С k (z') dz' и комплексно-сопряженное выражение для

а2 соответственно. Это приведет к локальному дисперсионному уравнению

D[£(z), со] =

==(©—^vi+iyt) (го—^y2+iy2) + |v|2=0(162)

с решениями вида (142) с той разницей, что вместо р будет написано —io и все величины не будут зависеть от г. При У1У2>0 соб- 21 *323

ственных мод нет, и неустойчивое взаимодействие приводит к максимальному усилению от начального уровня, пропорциональному ехр | J (a(z)Jz|, где а=|у| (О1уг)1/2 при 71=72=0. При У1О <0 могут существовать решения, соответствующие неустойчивым собственным модам, они удовлетворяют условиям квантования, т. е. условиям на уровни энергии в ВКБ-приближении: -

гт.

f 4"(^+ — hYdz=\n-Y-^p- (163) гг,

где гтхд —точки поворота (где подынтегральное выражение обращается в нуль), которые в общем случае могут быть и комплексными; n=0, 1, ... — решения уравнения (162) [такие же, как решения уравнения (142), с той лишь разницей, что 7, vb v2, 7ь 72 являются функциями z]. Порог для существования неустойчивых собственных мод можно найти, положив й){=р=0 в уравнении (163). В результате получим

+ ^/г + -1)и, (164)

где а= |у|/|ViV2|1/2;'«1=У1/У1; «2=72/1^2! —соответственно максимальный пространственный инкремент и пространственные декременты волн 1 и 2. Условие а2> («1+1 а^\ )2/4 между точками поворота совпадает с локальным условием существования абсолютной неустойчивости [см. (97)]. Уравнение (164) по смыслу — условие на площадь под кривой, представляющей собой зависимость максимального пространственного инкремента от координаты. Им особенно удобно пользоваться, когда эта зависимость является простой монотонной на интересующем нас конечном интервале, вне которого она быстро убывает.

Например, если подынтегральное выражение равно константе на длине системы L и точки поворота находятся на границах, то условие существования нормальных мод приобретает такой же вид, как в п. 4.2:

a2>[(a1+|a2|)/2]4[(n+l/2)n/L]2. (165)

В отсутствие затухания существует, как и раньше, минимальная критическая длина £с=л/2а0, где ао — постоянный инкремент внутри системы. Другой пример, когда инкремент имеет вид а= =аоехр (—4z2/L2). Тогда в отсутствие затухания из условия (164) найдем значение £с=У’'/а0> которое мало отличается от полученного в первом примере, так как площади под кривой в этих двух случаях почти одинаковы.

Теперь рассмотрим изменение сдвига фаз за счет неоднородности в ограниченной системе. Будем считать, что сдвиг фаз меняется линейно в направлении взаимодействия и уравнения, описываю- 324

Рис. 31. Взаимодействие между модами в ограниченной системе при наличии линейного сдвига фаз за счет неоднородностиРис. 31. Взаимодействие между модами в ограниченной системе при наличии линейного сдвига фаз за счет неоднородностиуравнение относительно переменной 2, решения которого выражаются через функции параболического цилиндра. Используяуравнение относительно переменной 2, решения которого выражаются через функции параболического цилиндра. ИспользуяРис. 32. Зависимость мнимой и действительной частей частоты от размера системы в том же случае, что и на рис. 31, при |vi| = |u2| [37, 47]Рис. 32. Зависимость мнимой и действительной частей частоты от размера системы в том же случае, что и на рис. 31, при |vi| = |u2| [37, 47]

Рис. 31. Взаимодействие между модами в ограниченной системе при наличии линейного сдвига фаз за счет неоднородности

Рис. 31. Взаимодействие между модами в ограниченной системе при наличии линейного сдвига фаз за счет неоднородности

уравнение относительно переменной 2, решения которого выражаются через функции параболического цилиндра. Используя

уравнение относительно переменной 2, решения которого выражаются через функции параболического цилиндра. Используя

Рис. 32. Зависимость мнимой и действительной частей частоты от размера системы в том же случае, что и на рис. 31, при |vi| = |u2| [37, 47]

Рис. 32. Зависимость мнимой и действительной частей частоты от размера системы в том же случае, что и на рис. 31, при |vi| = |u2| [37, 47]

щие взаимодействие между модами, имеют вид (148) и (149). На рис. 31 изображен тот случай, когда можно получить точное решение. Его изучали различными методами. Например, пытались получить решение методом ВКБ [45] (однако корректно такой анализ был проведен сравнительно недавно [46]). Вычислить функ

цию Грина в этом случае удается лишь численно [43]. Приведем результаты авторов, которые изучали собственные моды системы [37, 47]. Подставив в (148) и (149) решения в виде ехр (р/), получим обыкновенное дифференциальное

условия, изображенные на рис. 31, можно найти собственные значения р. При ^=9, п2=—и, у1=у2=0 зависимость нормированных комплексных собственных чисел р/1у| от параметра (^z)1/2^ ПРИ заданном значении %=|а|2Д'=2 показана на рис. 32; для сравнения пунктиром показаны собственные значения для однородной системы (^'=0) в зависимости от параметра а£/]/2, который изменяется вдоль той же горизонтальной оси (ср. с рис. 27).

Когда длина системы L мала, неустойчивая собственная мода аналогична по структуре собственной моде в однородной плазме, й в этом случае также есть порог по £, равный £с=л/2|а|. С увеличением L неоднородность системы становится существенной, инкремент по сравнению с инкрементом для однородной системы падает и начинает зависеть от инкремента следующей собственной

моды. Кроме того, возникает новый тип неустойчивых собственных мод [в приведенном примере (£') 1/2L=3,7], когда, две моды сливаются. Этой неустойчивой собственной моде отвечает комплексное собственное значение р, и они существуют в сколь угодно длинной ограниченной системе.

Таким образом, в отличие от бесконечной неоднородной системы, описанной в предыдущем параграфе, где локализованное возмущение дорастало лишь до некоторого конечного уровня, в ограниченной системе, хотя и сколь угодно длинной, могут существовать неустойчивые собственные моды. Чтобы проанализировать эти два случая, нужно рассмотреть функцию Грина, полученную численно [43]. Анализ показывает, что в ограниченной системе локализованное возмущение (вдали от границ) сначала эволюцио-

Рис. 33. Пороги существования неустойчивых собственных мод при наличии линейного сдвига фаз, когда зависимость константы связи от координаты имеет форму распределения Гаусса [44] или ступеньки [48] для случая взаимодействия между модами:

когда у имеет вид ступеньки, граница устойчивой области осциллирует около вертикальной сплошной линии и приближается к ней при а0Г—>ooi штриховкой показана область неустойчивости

нирует, как в бесконечной системе, и достигает некоторого уровня насыщения (см. предыдущий параграф). Однако по прошествии некоторого времени, когда возмущение достигает границ, возникают новые неустойчивые собственные моды, соответствующие комплексным значениям р, и их вклад в функцию Грина доминирует. Как отметил Чамберс, если длина системы велика, то неустойчивые собственные моды локализованы вблизи границ. Это связано с двумя обстоятельствами: а) при линейной расстройке для любого заданного расстояния мы всегда можем подобрать такой ча- 326

стотный сдвиг, т. е. Im р, что моды снова окажутся в фазе; б) вблизи границы нет волны, распространяющейся в противофазе с волной, идущей со стороны границы, которая подавляет развитие неустойчивости, как в случае бесконечно протяженной среды.

Кривые, соответствующие пороговым значениям амплитуд собственных мод, в задаче с линейно меняющимся сдвигом фаз взаимодействующих мод построены для двух случаев (рис. 33). Вычисления, выполненные для незатухающих волн (71=72=0), показали, как взаимодействуют фазовые сдвиги двух типов: связанные с неоднородностью плазмы и с ограниченностью системы; для сравнения они показаны на рис. 33. Предельный минимальный размер системы для существования неустойчивой собственной моды определяется выражением (164) (при ai=a2=0 в этом случае), которое справедливо при к'=0. Верхний предел длины и его изменение в зависимости от сдвига фаз связаны с возможностью развития неустойчивых собственных мод вблизи границы; интуитивно понятно, что существование таких мод зависит от того, насколько резкими являются границы. Аналогичные аргументы можно привлечь, чтобы понять различие верхних пределов фазовых сдвигов [1Д«3,9, когда у постоянна, и 1Д«1,8, когда зависимость 7(2) имеет форму распределения Гаусса], при которых нет собственных мод для системы произвольных размеров. Следует также отметить, что те же пороговые кривые описывают условия существования решений в задаче о нелинейном взаимодействии трех волновых пакетов [49].

Интересно, что если при рассмотрении сдвига фаз при взаимодействии между модами в бесконечной системе неустойчивых собственных мод нет, ^о в ограниченной системе при тех же условиях они могут возникнуть. В этой связи возник интерес к эффектам, связанным с немонотонной неоднородностью, скажем турбулентной или когерентной, в неограниченной среде [43, 50]. Никольсон в этих работах на основе уравнений (146) и (147), описывающих взаимодействие между модами, для случая противоположно направленных групповых скоростей волн в отсутствие затухания численно нашел решения, считая, что, кроме линейного сдвига фаз k^=kfx, есть либо турбулентный длинноволновый сдвиг 66 с амплитудой А и длиной корреляции LT, либо синусоидальный 6к с амплитудой кт и периодом ^Lm. Основной результат в обоих случаях состоит в том, что вместо неустойчивости с насыщением, которая есть при линейном изменении сдвига фаз, наблюдается абсолютная неустойчивость, когда LT или Lm близки к обратному максимальному пространственному инкременту а0“1=|^1^2|/|?о| и амплитуда модуляции А или кт относительно мала, примерно на порядок меньше той, при которой могут возникать точки, где dk/dx=Q. Инкременты абсолютных неустойчивостей очень чувствительны к LT и Lm, они быстро падают до нуля, если длины не удовлетворяют условию aLT,m~ 1.

Неустойчивости в ограниченной неоднородной плазме. Закончим параграф краткими замечаниями, относящимися к влиянию'

327

неоднородности на развитие неустойчивостей в ограниченной плазме. Неоднородность среды может привести к появлению новых типов эволюции неустойчивых возмущений, например, когда есть как дискретный, так и непрерывный спектр неустойчивых собственных мод. Это происходит, когда в ограниченной среде существуют потоки или анизотропия с выделенным направлением, в котором плазма однородна, например 2, и которое совпадает с направлением магнитного поля (однако плазма неоднородна в перпендикулярном, скажем гт, направлении). Хотя можно сделать преобразование Фурье — Лапласа по координатам х и t, т. е. записать возмущения в виде exp (i&2—й>/), полное решение задачи включает в себя решение дифференциального уравнения, зависящего от гт (при соответствующих граничных условиях), причем коэффициенты этого уравнения являются функциями продольной компоненты диэлектрической проницаемости еь(гт, к, со) в магнитном поле. Тогда можно найти, что в дополнение к дискретному набору неустойчивых мод, удовлетворяющих уравнению 8ь(гт, к, со) =0, может существовать и непрерывный спектр неустойчивых мод, удовлетворяющий уравнению D(k, со)=О, т. е. соответствующий так называемым (внутренним) плазменным резонансам в направлении, перпендикулярном тому, в котором плазма однородна [31]. Непрерывный спектр неустойчивых мод приводит к появлению линий разрезов в верхней полуплоскости со. Непрерывный спектр устойчивых мод хорошо известен в МГД-теории, но этого вопроса мы касаться не будем. Не будем также рассматривать интересные результаты (отчасти спорные), полученные в последние годы в теории дрейфовых волн и МГД-неустойчивостей, особенно в сложной геометрии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Twiss R. Q. — Proc. Phys. Soc. (bond.), 1951, vol. B64, p. 654; Phys. Rev., 1951, vol. 84, p. 448; Ibid., 1952, vol. 88, p. 1392.

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Электродинамика сплошных сред. — M.: Гостехиздат, 1953, с. 141.

Sturrock Р. А. — Phys. Rev., 1958, vol. 112, р. 1488.

Buneman О— In: Plasma Physics/ Ed. by J. E. Drummond. — N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1961.

Defier H. — In: Proc. 5th Intern. Conf, on Ionization Phenomena in Gases. Vol. 2. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1961, p. 1423.

Файнберг Я. Б., Курилко В. И., Шапиро В. Д. — Журн. техн, физ., 1961, т. 31, с. 633.

Половин Р. В. — Там же, 1961, т. 31, с. 1220.

Briggs R. J. Ph. D. Thesis, 1964, Dept, of EE, MIT, Cambridge, Mass.; Electron-Stream Interaction with Plasmas. — Cambridge, Mass.: MIT Press, 1964, ch. 2; Bers A., Briggs R. J. Quarterly Progress Report № 71. Cambridge, Mass,: MIT Press, Research Lab. of Electronics, 1963, p. 122; Bull. Amer. Phys. Soc., 1964, vol. 9, p. 304.

Feix M. — Nuovo cimento, 1963, vol. 27, № 5, p. 1130.

Kusse В. R. S. M. Thesis, 1964, Dept, of EE, MIT, Cambridge, Mass.

Convert G. — Ann. Radioelectricite, 1964, vol. 19, p. 300.

Sudan R. N. — Phys. Fluids, 1965, vol. 8, p. 1899.

Rolland P. — Phys. Rev., 1965, vol. 140, p. 767.

Dysthe К. B.— Nucl. Fusion, 1966, vol. 6, p. 215.

Bobroff D. L, Haus H. A.— J. Appl. Phys., 1967, vol. 38, p. 120.

Defier H. — Phys. Lett., 1967, vol. 24A, p. 763.

Hall L. S., Heckrotte W. — Phys. Rev., 1968, vol. 166, p. 120.

Hall L. S. — Phys. Rev. D, 1970, vol. 1, p. 404.

Defier H. — Phys. Rev. A, 1970, vol. 1, p. 1467.

Ахиезер А. И., Половин P. В. —Успехи физ. наук, 1971, т. 104, с. 185.

Bers A.— In: Plasma Physics —Les Houches 1972/ Ed. by C. DeWitt and J. Reyraud. — N. Y.: Gordon and Breach, 1975, p. 113.

Bers A. — In: Survey Lectures — Intern. Congr. on Waves and Instabilities in Plasmas/ Ed. by G. Awer and F. Cap. Innsbruck: Inst, for Theor. Phys., 1973, p. Bl.’

Hadamard J.— Acta Math.,. 1898, vol. 22, p. 55.

Bers A., Fox R., Kuper C. G. — In: Relativity and Gravitation/ Ed. by C. G. Kuper and A. Peres. — N. Y.: Gordon and Breach, 1971, p. 41.

Goddard G. W., Briggs R. J. QPR, № 87, 1967, RLE, MIT, Cambridge, Mass., p. 100; Ibid., № 91, 1968, p. 169.

Weibel E. S. — Phys. Rev. Lett., 1959, vol. 2, p. 83; Железняков В. В.— Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1959, т. 2, с. 14.

Robertson Е. A. S, М. Thesis, 1965, Dept, of ЕЕ, MIT, Cambridge, Mass.; Bers A., Hoag J. K-, Robertson E. A. QPR, № 77, 1965, RLE, MIT, Cambridge, Mass., p. 149; Robertson E. A., Bers A. Ibid., № 78, p. 105; № 79, p. 107.

Buneman O. — Phys. Rev., 1959, vol. 115, p. 503; Briggs R. J. QPR, № 85, 1967, RLE, MIT, Cambridge, Mass., p. 183; Davis J. A. Ph. D. Thesis, 1968, Dept, of EE, Cambridge, Mass.; Davis J. A., Bers A. — In: Proc, of the Symp. on Turbulence of Fluids and Plasmas. — Brooklyn: Polytechnik Press, 1969, p. 87.

Chou S. L, Bers A. MIT, 1968 (unpubk).

Sorbello R. S. S. M. Thesis, 1965, Dept, of EE, MIT, Cambridge, Mass,

Briggs R. J. — In: Advances in Plasma Physics/ Ed. by A. Simon, W. B. Thompson. — N. Y.: John Wiley and Sons Inc., 1971, p. 183.

Weitzner H. — Phys. Fluids, 1962, vol. 5, p. 933; Feix M. — Phys. Lett, 1964, vol. 9, p. 123; Gould R. W. — Phys. Rev., 1964, vol. 136, p. A991.

Arapostathis A. S. B. Thesis, 1976, Dept, of EE, MIT, Cambridge, Mass.

Birdsall С. K., Brewer G. R., Haeff A. V. —Proc. IRE, 1953, vol. 41, p. 865; Birdsall С. K., Whinnery J. R. — J. Appl. Phys., 1953, vol. 24, p. 314.

Haeff A. V. — Proc. IRE, 1949, vol. 37, p. 1.

Bers A., Gurber S. — Appl. Phys. Lett., 1965, vol. 6, p. 27; Кадомцев Б. Б., Михайловский А. Б., Тимофеев A. В. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1965, т. 47, с. 2266.

Chambers F. W. Ph. D. Thesis, 1975, Dept, of Phys., MIT, Cambridge, Mass.

Kusse B. R. Private communication, 1967, MIT, Cambridge, Mass.

Watson D. C. Ph. D. Thesis, 1975, Dept, of EE, MIT, Cambridge, Mass.; Watson D. C., Bers A. QPR, № 113, 1974, RLE, MIT, Cambridge, Mass, p. 59.

Куликовский А. Г. — Прикл. мат. и механика, 1966, т. 30, с. 148.

Piliya A. D. — In: Proc. 10th Intern. Conf, on Phenomena in Ionized Gases. — Oxford, 1971, p. 320; Rosenbluth M. N. — Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 29, p. 565; Laval G., Pellat R., Pesme D.—Phys. Lett., 1973, vol. 464, p. 281.

Rosenbluth M. N., White R. B., Lin C. S.— Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 31, p. 1190.

Nicholson D. R. Ph. D. Thesis, 1975, Dept, of Phys., Univ, of California, Berkeley, Calif.

Reiman A. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 1000.

Du Bois D. F., Forslund D. W., Williams E. W. — Phys. Rev. Lett., 1974, vol. 33, p. 1013.

Fuchs V. — Phys. Fluids, 1979, vol. 20, p. 1104.

Chambers F. W., Bers A. — Ibid., 1977, vol. 20, p. 466.

Fuchs V., Beaudry G. — Ibid., 1978, vol. 21, p. 280.

Каир D. J., Reiman A., Bers A. — Rev. Mod. Phys., 1979, vol. 51, p. 275; Reiman A. — Ibid., p. 311; Reiman A., Bers А., Каир D. J. — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 39, p. 245; 850; Bers А., Каир D. J., Reiman A. — Ibid., 1976, vol. 37, p. 182.

Nicholson D. R., Kaufman A. N. — Ibid., 1974, vol. 33, p. 1207.

Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. T. 2.—М.: Атомиздат, 1980; Tang W. М.— Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, р. 1089.

Wesson J. A. — Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 878; Freidberg J. P.— Rev. Mod. Phys., 1982, № 3.

VI. КОЛЛЕКТИВНАЯ ДИССИПАЦИЯ И АНОМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА

СПОНТАННОЕ ПЕРЕСОЕДИНЕНИЕ МАГНИТНЫХСИЛОВЫХ ЛИНИЙ

В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ

А. А. ГАЛЕЕВ

ВВЕДЕНИЕ

Под процессом пересоединения силовых линий магнитного поля обычно понимают течение плазмы, сопровождающееся изменением топологии пронизывающего ее магнитного поля. Если такое движение происходит под действием внешних сил, то пересоедине- ние называют вынужденным. Простейшим примером вынужденного пересоединения может служить пересоединение силовых линий магнитного поля, создаваемого двумя линейными параллельными токами. Картина течения плазмы в окрестности проводников вместе с пронизывающими ее магнитными силовыми линиями схематически показана на рис. 1 для случая, когда электрическое поле в плазме направлено по току в проводниках. Такая ситуация возникает, например, когда выключаются внешние источники тока и индуцированное в плазме электрическое поле стремится поддержать ток в плазме в том же направлении. В результате ослабления токов в проводниках происходит уменьшение магнитного поля вдали от них за счет течения плазмы, обеспечивающего переход магнитных силовых линий из области 3 в области 1 и 2. Осуществление такого перехода связано с нарушением закона вморожен- ности магнитных силовых линий по крайней мере в той области, где силовые линии, подходящие снизу и сверху из области 3, разрываются, соединяются по-новому, а затем, попав в области 1 и 2, продолжают свое движение к проводникам. Топология магнитных силовых линий в области пересоединения зависит от магнитного числа Рейнольдса и от граничных условий. При не очень больших

магнитных числах Рейнольдса нарушение вмороженности обусловлено конечным сопротивлением плазмы и описывается как диффузия плазмы поперек магнитных силовых линий. Простейшим примером является конфигурация магнитного поля, изображенная на рис. 2. Области с противоположно направленными силовыми линиями магнитного поля здесь разделяются так называемым нейтральным слоем, в котором магнитное поле обращается в нуль. Противоположное направление магнитных силовых линий сверху и снизу от этого слоя обеспечивается током, текущим по нему. Диссипация тока вследствие конечного сопротивления приводит

Рис. 1. Схематическая картина пересоединения магнитных силовых линий около двух проводников с током:

все пространство делится на три области в соответствии с топологией, магнитного поля: области 1 и 2 содержат силовые линии, охватывающие только один из проводников, а область 3— линии, охватывающие оба проводника. Стрелками указаны направления движения плазмы в случае электрического поля, направленного по току

Рис. 2. Конфигурация магнитного поля и модели пересоединения Паркера — Свита

к уменьшению энергии магнитного поля. Темп этого процесса определяется известной скоростью диффузии магнитного поля к нейтральному слою:

ы=с2/4ла6, (1)

где о — проводимость плазмы; 6 — ширина токового слоя. В отсутствие движения плазмы вдоль слоя процесс диффузии является нестационарным, характерная скорость диффузии равна

U=U д/Rem, ' (2)

где Rem = 4ita9AL/c1—магнитное число Рейнольдса; оА=Во/"|/4тр — альвеновская скорость (Во — напряженность магнитного поля вне слоя; р — массовая плотность плазмы).

Процесс диссипации энергии магнитного поля можно ускорить, если допустить вытекание плазмы, поступающей в слой вследствие диффузии, вдоль магнитных силовых линий [1—3]. Такое вытекание переходит под действием избытка давления, возникающего из-за джоулевой диссипации, и под действием силы натяжения пе- ресоединившихся силовых линий магнитного поля. Для нахождения скорости растекания можно воспользоваться, например, балан- 332

сом давления плазмы вне и внутри слоя

В20/8я=р+ру2)(3)

где р— давление плазмы; и — скорость ее растекания вдоль слоя. В центре нейтрального слоя у=0 и все давление магнитного поля уравновешивается кинетическим давлением плазмы. На краю же его можно положить р=0. Тогда получаем, что скорость растекания по порядку величины равна альвеновской: и «и а. Скорость стационарного пересоединения находим, дополнив уравнения (1) и (3) уравнением непрерывности течения плазмы:

uL=u6.*(4)

В результате имеем скорость пересоединения и стационарную ширину нейтрального слоя:

8 = ^R<"И

Заметим, что в описанной модели пересоединение магнитных силовых линий сопровождается диссипацией значительной доли энергии магнитного поля (около половины!), и поэтому здесь иногда говорят не просто о пересоединении силовых линий магнитного поля, а об их «слиянии» или «аннигиляции». Обобщение модели на бесстолкновительную плазму обычно сводится к вычислению аномального сопротивления оа~1, которое зависит от токовой скорости, а следовательно, и от толщины слоя (см. статью А. А. Галеева и Р. 3. Сагдеева в дополнительном томе). Однако токовые неустойчивости, ответственные за аномальное сопротивление плазмы, имеют, как правило, довольно высокие пороги по значению тока, поэтому сама диссипация может происходить лишь в узком слое с шириной, определяемой из условия порога

/=сВ0/4л6^ пеис.(6) '

Как следствие этого даже при максимально быстром вытекании плазмы из слоя (т. е. с альвеновской скоростью) скорость пересоединения оказывается очень малой [4]:

и=ил^/Ц.(7)

Оценка (7) справедлива, если аномальное сопротивление настолько велико сразу за порогом (6), что скорость диффузии плазмы (1) превышает скорость пересоединения согласно этой оценке. Именно в этом случае оправдано предположение, что состояние плазмы соответствует порогу неустойчивости.

Характерные длины 6, соответствующие порогу неустойчивости, обычно намного меньше размеров системы L, и пересоединение в описанной модели является слишком медленным. Так, для ионнозвуковой неустойчивости критическая скорость равна скорости ионного звука: vc=cs= УТ^пг^

Из баланса давления (3) и условия порога (6) находим, что толщина токового слоя равна ионной инерционной длине б=

=с/^рь которая в лабораторной и в космической плазмах оказы- вается на много порядков величины меньше размеров интересующей нас системы. Поэтому скорость пересоединения магнитного поля в плоской конфигурации Паркера—Свита является слишком малой величиной, чтобы объяснить такие наблюдаемые «взрывные» процессы, как вспышки на звездах и магнитосферные суббури.

Именно для этих процессов Петчек [5] предложил модель пересоединения с совершенно другой конфигурацией магнитного поля .z (рис. 3). Суть этой модели заключа- ется в том, что пересоединение про- исходит в области пространства 3, размер L которой настолько мал, что 2= nnnst скорость пересоединения имеет поря-

Рис. 3. Модель пересоединения в конфигурации со стоячими волнами:область пересоединения, в которой нарушается вмороженность магнитных силовых линий в плазму, заштрихованаРис. 3. Модель пересоединения в конфигурации со стоячими волнами:область пересоединения, в которой нарушается вмороженность магнитных силовых линий в плазму, заштрихованадок альвеновской [см. (7)]. Магнитогидродинамическое течение плазмы вместе с вмороженным в него магнитным полем обеспечивает быстрый приток магнитных силовых линий из внешних областей к области пересоединения. При этом оказывается, что области с пересоединенными (2) и непересоединенными (/) магнитными силовыми линиями разделены стоячими альвеновскими ударными вол

Рис. 3. Модель пересоединения в конфигурации со стоячими волнами:

область пересоединения, в которой нарушается вмороженность магнитных силовых линий в плазму, заштрихована

Рис. 3. Модель пересоединения в конфигурации со стоячими волнами:

область пересоединения, в которой нарушается вмороженность магнитных силовых линий в плазму, заштрихована

нами, на которых происходит резкий поворот магнитных силовых линий. В области / вне стоячих волн и области пересоединения 3 можно считать возмущение исходного течения слабым и вследствие этого пренебречь токами в плазме. Тогда магнитное поле удовлетворяет уравнению Лапласа

АВ=0.(8)

Скорость втекания плазмы внутрь области 2 через слабую альве- новскую волну равна скорости волны

“2= В^У-^. (9)

При однородном течении во внешней области магнитное поле в области 2, входящее в это выражение, должно быть постоянным. В результате условие сшивки решений в областях 1 и 2 требует постоянства компоненты Вг в области 1 на стоячей волне. Решение уравнения (8), удовлетворяющее этому условию, есть

Вх«-А In (L/r); В2=Л0,Вх«-А In (L/r); В2=Л0,(10)(10)

Вх«-А In (L/r); В2=Л0,

Вх«-А In (L/r); В2=Л0,

(10)

(10)

где г, 9 — полярные координаты в плоскости г, х.

Поскольку мы предполагали возмущение течения во внешней области 1 слабым, потребуем, чтобы возмущение магнитного поля даже вблизи области пересоединения 3 было небольшим, т. е.

ВХ=А In (L/z.) <В0/2,(П)

где z*— характерная толщина области пересоединения.

334

При пересоединении благодаря нарушению вмороженности из-за классического сопротивления скорость пересоединения велика, если 4лп2*уа/с2^ 1, т. е. 2*^L/Rem. Комбинируя уравнения (9)— (П), находим, что максимально возможная скорость пересоединения в этом случае равна

м=Уа(л/4 In ReM). (12)

Таким образом, при подходящих граничных условиях можно добиться довольно больших скоростей вынужденного пересоединения, когда справедливо магнитогидродинамическое описание (см. обзор Уайта в т. 1). Однако в ряде прикладных задач (плазма в магнитных ловушках типа токамак, солнечные вспышки «и магнитосферные суббурй) не" только нарушается МГД-описание плазмы, но и сама постановка задачи о пересоединении магнитных силовых линий меняется в корне. Дело в том, что в этих задачах плазма и магнитные поля могут длительное время находиться в равновесном состоянии, в котором нет никаких внешних воздействий, вызывающих пересоединение.

Поэтому только внутренние неустойчивости равновесия могут приводить к процессам пересоединения, нарушающим равновесие и вызывающим существенную перестройку конфигурации плазмы. К неустойчивостям такого рода прежде всего относится тиринг- неустойчивость, развивающаяся вблизи нейтральных слоев.

Характер развития ее существенно зависит от вида равновесной конфигурации плазмы и магнитного поля. Поэтому сначала рассмотрим равновесие плазмы в простейшей плоской конфигурации магнитного поля с нейтральным слоем (§ 1) и исследуем ее линейную устойчивость в рамках кинетической теории (§ 2). Затем перейдем к раздельному рассмотрению реальных конфигураций с широм магнитного поля, моделирующих плазму в магнитных ловушках и плазменных петлях в солнечной короне, и двумерных равновесных конфигураций, характерных для хвоста магнитосфер космических объектов и 6-пинчей.

РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО НЕЙТРАЛЬНОГО СЛОЯ

Модель 'равновесия Харриса [6]. Строгое изложение теории спонтанного пересоединения магнитных силовых линий начнем с простейшего случая плоского нейтрального слоя, изображенного на рис. 4,а. Здесь магнитное поле направлено по оси 2, а все величины зависят лишь от одной х. Поэтому магнитное поле задается с помощью одной компоненты векторного потенциала Ау^хУ Решение задачи о равновесии плазмы заключается в нахождении равновесной функции распределения частиц и профиля магнитного поля.

Равновесная функция распределения частиц в бесстолкновительной плазме может зависеть лишь от интегралов движения^ в случае изучаемой конфигурации поля их два: 1) энергия ^=

335

=171^/^ 2) у-компонента обобщенного импульеа Ру=тг)У+ + (еД)Ду(х). Если, кроме того, выбрать распределение частиц по скоростям близким к максвелловскому, то в случае плазмы с током по оси у, поддерживающим существование нейтрального слоя, естественно представить его в виде

\3/2/^i^2

2пТ,) 6Хр~~~277f’

где По, Uj, Tj — некоторые константы. Это распределение нетрудно представить в форме сдвинутого по оси ии максвелловского распределения:

(

т? \3/2( т,)

1^7) ехр (—2771°%+(^-«;)г+«%]);(14)

п (л:) = п» expi^u^ (х^сТД.(15)

Видно, что константы Uj и Т, играют роль токовой скорости и температуры частиц сорта /. Для сохранения квазинейтральности

Рис. 4. Конфигурация магнитного поля в невозмущенном нейтральном слое (а) и при наличии возмущения типа тиринг-моды (б)Рис. 4. Конфигурация магнитного поля в невозмущенном нейтральном слое (а) и при наличии возмущения типа тиринг-моды (б)

Рис. 4. Конфигурация магнитного поля в невозмущенном нейтральном слое (а) и при наличии возмущения типа тиринг-моды (б)

Рис. 4. Конфигурация магнитного поля в невозмущенном нейтральном слое (а) и при наличии возмущения типа тиринг-моды (б)

плазмы необходимо предположить следующую связь между этими параметрами:

u^^cTj/eiBoL.(16)

При таком выборе численного множителя константы 50, L характеризуют напряженность магнитного поля вдали от слоя и толщину слоя соответственно.

Профиль напряженности магнитного поля, а вместе с ним и плотности определяем из уравнения Максвелла для векторного потенциала

б/Му 4тс

— ^e^^Uj.(17)

Будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условьям

(18)(18)^-1=0; А»—>±Вйх при оо.

(18)

(18)

“х I x-Q

Подставляя плотность п из уравнения (15) в уравнение (17), получаем:

^^^^ ^^ехр[-2Л(х)]; Л. = AU\B6L. (19) i

Решение этого уравнения при граничных условиях (18) имеет простой вид

^z = ^0 th С^/^)»1mQY

п (х) = n0/ch2 (x/L). j

Между параметрами п0, Т^ Во имеется простое соотношение, вытекающее из условия выполнения баланса давлений

По(Те№=В%/&1.(21)

Тиринг-неустойчивость плоского нейтрального слоя [7]. Описанная выше конфигурация магнитного поля создается плоским токовым слоем, который можно представить в виде набора элементарных токовых нитей с одинаковым направлением тока в них. Вследствие взаимного притяжения нитей распределенный токовый слой оказывается неустойчивым по отношению к их попарному слипанию (см. рис. 4,а).

Возмущение плазмы, соответствующее такому линчеванию рас* пределенного тока, называют тиринг-модой. При ее развитии конфигурация магнитного поля меняет свою топологию: вблизи ней* трального слоя около спинчеванных токовых нитей образуются области замкнутых магнитных силовых линий — магнитные островки.

Энергию тиринг-моды при этом можно представить в виде суммы энергии магнитного поля и энергии притяжения элементарных токовых нитей. Нетрудно видеть, что в случае формирования про* тяженных сгущений токовых нитей с размером по оси 2, значительно превышающим толщину токового слоя L, выигрыш энергии от слипания токов с избытком компенсирует затраты энергии на создание возмущенного магнитного поля. При этом суммарная энергия плазмы при наличии в ней тиринг-моды меньше энергии невозмущенной плазмы и невозмущенного магнитного поля. Иными словами, энергия тиринг-моды оказывается отрицательной, и поэтому любая диссипация энергии такой моды должна приводить к увеличению ее амплитуды, т. е. к неустойчивости. В бесстолкновительной плазме диссипация энергии происходит вследствие черенковского взаимодействия частиц с волновым возмущением при выполнении условия разонанса o)=k-v. Такое взаимодействие имеет место лишь в узкой окрестности плоскости х=0, где магнитное поле обращается в нуль и поэтому не влияет на движение частиц. Ширину этого слоя находим из условия ее малости по сравнению с локальным ларморовским радиусом. В магнитном поле 22—3283337

с профилем, описываемым уравнением (20), это условие принимает вид:

\x\<dx. = V^, (22)

где ру = vT./(ocf — ларморовский радиус частиц сорта j (vTJ= V2Tj,mj и ^Cj=ejB^/m]C — их тепловая скорость и циклотронная частота соответственно).

Таким образом, при решении задачи об устойчивости надо учесть оба эффекта: адиабатную перестройку конфигурации магнитного поля при слипании токовых нитей и резонансное черепковское взаимодействие. Поскольку конфигурация магнитного поля остается двумерной, ее по-прежнему можно описывать с помощью одной компоненты векторного потенциала. Наличие расту-

Рис. 5. Эффективный потенциал уравнения типа уравнения Шредингера для возмущения векторного потенциала тиринг- моды Ai(x) и форма решения во внешней области: решение во внутренней области показано штриховой линией

щего возмущения при этом приводит к появлению поправки к век- торному потенциалу, зависящей от координат х, г и от времени /:

А1У(х, г, /)=А1(х) ехр (—icoZ+i^).(23)

Задача об устойчивости плазмы сводится к определению собственных решений уравнения для векторного потенциала

^Д1ущ2 -- W^-V Q- (24)

где /^ — адиабатное возмущение тока из-за медленного слипания элементарных токовых нитей; f®® определяется черепковским взаимодействием частиц с волновым возмущением.

Адиабатное возмущение функции распределения по-прежнему описывается уравнением (18), если в обобщенный импульс включен полный векторный потенциал. В результате адиабатную поправку к невозмущенной функции распределения можно получить, воспользовавшись малостью возмущения векторного потен- 338

циала и разложив соответствующую экспоненту по этому малому возмущению:

^-(^{„(х.^А.^х^лу(25)

Вычислив /^ с помощью этого выражения и перенеся соответствующий член в уравнении (24) в левую часть, перепишем последнее в виде

Г2^4тс

—/4- - кг + „ ,г, , ' Л.„ =f”.(26)

dx2 11 L2 ch2 (x/L) J ^ с J iy\ /

В случае слабого резонансного взаимодействия между частицами и тиринг-модой можно пренебречь в этом уравнении правой частью. Тогда получим уравнение, решение которого известно из квантовой механики, поскольку само уравнение совпадает с уравнением; Шредингера, описывающим движение частицы в потенциальной яме Теллера (рис. 5). В этой яме имеется лишь один уровень энергии:

—^2=_ !/£2?

которому соответствует спадающая на бесконечности собственная функция [8]

А ^ = Л1е(0) [1 + th(|л| Щ[Щ exp {-k|х|).(27)

Поправку к току вследствие черенкового взаимодействия находим, решая кинетическое уравнение для функции распределения частиц в узком слое |х|<А/, где можно пренебречь влиянием невозмущенного магнитного поля на движение частиц:

Г д I „„1/« tadx е! dAW„ ^“i .,90ч

М— с dt уи dg(23)

Решение его записываем в виде интеграла вдоль невозмущенной траектории частиц

Li ™i'i — Li""cf7 ^«Aiyfojdt'•(29)'

Основной вклад в интеграл по скоростям при вычислении тока здесь дает полувычет от интегрирования полюса подынтегрального' выражения в точке черенковского резонанса (to=^uz):

Т" 2 ^ Л> Д d5vf»iy\i щ7с3 (® - foA (30> / 1

Здесь мы воспользовались также тем обстоятельством, что функция А(^) почти постоянна в слое x<_dXb поэтому вынесли ее за знак интеграла по траекториям частиц.

С учетом вклада в ток резонансного взаимодействия волна — частица уравнение (26) принимает форму уравнения Шредингера 22* 339

со сложным Потенциалом:

d’MxW-ttf-W^-^Vij^. м1А(-к) = °-(31)

где

Voto=-2/L2ch2№);

А/ (л, к, ®) =А/ (л, к, ®) =— i^^^Z^2) Wl кII x| <dx);

А/ (л, к, ®) =

А/ (л, к, ®) =

0,\x\>dxi.

Видно, что для апериодически нарастающих возмущений (—i(o=y>0) вклад в эффективный потенциал в уравнении Шредингера (31) эффектов резонансного взаимодействия с частицами имеет форму высокого потенциального барьера в центре ямы Теллера. Удобно искать решение этого уравнения отдельно во внешней и во внутренней областях. Решение во внешней области уже найдено [см. (27)]. Решение во внутренней области удается получить лишь в определенных предположениях относительно формы потенциала в ней. Например, если считать форму потенциального горба прямоугольной [9], то в пренебрежении малым вкладом ионов такое решение имеет простой вид

(32)(32)Л, (х) = Дг(0)сЬ(^1вх)- \x\<xe = d3t6.

(32)

(32)

Дисперсионное уравнение для тиринг-моды получаем из условия сшивки логарифмических производных найденных решений

A'^^/VTethd/VTAe).(33)

где

/ 1 Ь2Г 2 \ / Г/ Y \ 1

д' (х \= ( 1\ / 1 I Mil, А

— скачок логарифмической производной внешнего решения на границах внутренней области. В пределе не очень длинных волн (^L2^^) отсюда находим хорошо известное выражение для инкремента ,

(34)(34)7=я1/2(Уге/£) ЫЬ^ЧХА-Тг/Те^ (Д-кЧ?У

(34)

(34)

Для «прозрачных» невысоких барьеров (при У^^о”2) условие сшивки решений во внешней и внутренней областях можно записать в общем виде, не пользуясь предположениями о форме потенциала во внутренней области:

Хо^4-00

^w=4“А’-4- А(*’*.»ж (35)

J(X)U

—Хй—оо

Для иллюстрации физического механизма неустойчивости полезно формальное условие сшивки решений во внешней и внутренней областях переписать в виде уравнения баланса энергии. Для это- 340

го домножим уравнение (31) на А*гу и проинтегрируем по х в бесконечных пределах:

+оО /~2^\+°°

Н^ +6,1л~|=-74НДНг<36>

—ОО—00

где мы воспользовались явным выражением для V0(х) и учли, что ^/^ / с = — VjA^. Первые два члена в левой части здесь предоставляют собой энергию магнитного поля тиринг-моды, в третий — энергию взаимодействия токов. Правая часть равна работе частиц в электрическом поле волны. Черепковское взаимодействие частиц с волной обусловливает диссипацию энергии моды, поэтому рост моды возможен лишь тогда, когда ее энергия отрицательна. Иными -словами, нарастают лишь длинноволновые возмущения, в которых выигрыш энергии благодаря линчеванию токов превышает ее за- тратьг на создание магнитного поля моды. Для количественных оценок полезно вычислить энергию моды в явном виде. Для этого воспользуемся уже известным решением (27) во внешней области и перепишем уравнение (36) в виде, аналогичном уравнению сшивки (35):

+ 00

Д' (х0)| Д (х0)|2= -Р j dxVt (х, <0, k) IД (х) I2.(35а)

— 00

Так как потенциал АДх) во внутренней области приближенно постоянен, уравнения (35) и (35а) совпадают. При этом член в правой части представляет собой затраты энергии на возмущение плазмы во внутренней области.

ПЕРЕСОЕДИНЕНИЕ В ПЛОСКИХ СЛОЯХ С ШИРОММАГНИТНОГО ПОЛЯ

Дрейфово-тиринговые эффекты и критерий стабилизации. Рассмотрим случай, когда в плоском токовом слое вместо изменения направления поля на противоположное (и, следовательно, обращения поля в нуль в центре токового слоя) происходит лишь поворот на конечный угол, меньший 180°. Такая конфигурация магнитного поля характерна для тороидальных ловушек, предназначенных для удержания термоядерной плазмы, и часто реализуется на границе раздела солнечного ветра и магнитосферы Земли. Равновесие плазмы и магнитных полей в этом случае по-прежнему описывается моделью Харриса, в которой следует учесть наличие постоянной компоненты магнитного поля, направленной вдоль равновесного тока, т. е. по оси у:

B=Bx(x)ez+B1Ah(37)

где ez, ev — единичные векторы вдоль осей z и у. Нетрудно видеть, что введение этой компоненты никак ие сказывается на сохранении

341

обобщенного импульса по оси у и полной энергии частицы, так что невозмущенная функция распределения частиц по-прежнему опи-, сывается соотношением (13), а профили магнитного поля и плотности плазмы определяются из уравнения (20).

Формулировка задачи об устойчивости такого равновесия претерпевает существенные изменения. Дело в том, что в случае до* статочно сильного поля By^>BQX Кр//^ для описания движения частиц можно пользоваться дрейфовым приближением во всем объеме плазмы, включая нейтральный токовый слой. Переход к дрейфовому описанию достаточно прост [10], и его можно осуществить прямо в уравнении Максвелла (24) для векторного потенциала. При этом следует учесть, что в замагниченной плазме тиринг-мода может эффективно обмениваться энергией с частицами плазмы только в тех областях, где выполняется условие черен- ковского резонанса с продольным тепловым движением частиц о)=^н (х)пц. Так как частота тиринг-моды очень мала, это условие фактически сводится к условию обращения продольной компоненты волнового вектора в нуль на некоторой магнитной поверхности, в дальнейшем называемой резонансной:

&н ^ = \кяВи^кгВг^\1В = 0. (38)

Это условие легко понять. В замагниченной плазме равновесный и возмущенный токи текут в основном вдоль магнитных силовых линий. Поэтому линчевание токовых нитей наиболее эффективно происходит в плоскости одной и той же магнитной поверхности, где эти токи параллельны, и соответствует возмущениям тиринг- моды желобкового типа, т. е. с к^ (х) = 0. Естественно при этом вместо уравнения (24) использовать проекцию этого уравнения Максвелла на направление магнитных силовых линий. Ситуация значительно упрощается в пределе слабого шира, т. е. Bz^Byi когда направление силовой линии почти совпадает с осью у, поэтому левая часть уравнения (26) остается приближенно правильной. При вычислёнии вклада в это уравнение черенковского взаимодействия мы воспользуемся уравнением (29) с учетом следующих обстоятельств:

траекторию частицы будем описывать приближенным уравнением г=оп t В/В;

в силу необходимости выполнения условия резонанса (38) возмущение в общем случае должно быть двумерным и включать в себя возмущение электростатического потенциала, которым мы пренебрегали ранее для конфигурации с нейтральным слоем; в соответствии с этим электрическое поле принимает вид:

Ei= (ico/c) Ах—ikq)i;

наконец, в общем случае ку#=0 следует учесть доплеровский сдвиг частоты со-хо—kyUj в уравнении (29), соответствующий ло- 342

ренпеву преобразованию полей при переходе к системе координат, движущейся вместе с данной компонентой плазмы.

В результате функция распределения частиц приобретет вид {ср. с (25) и (29)]:

Л/ (А^с — ?,) + ! К® — ^и^Щ (®Л] н (с —

О

(39)(39)— ^ II <Р1) ^ II fo/ j ^ exp [ — i (® — йцУц) т]

(39)

(39)

—ОО

где f0/ (х, 0ц) — равновесная максвелловская функция распределения

по продольным' компонентам скоростей с плотностью п(х) = =n0/ch2(x/L), сдвинутая по у |{ на величину, равную компоненте скорости дрейфа вдоль магнитного поля UjBy/B.

Вычисляя возмущение электрического тока вдоль магнитного поля с помощью (39) и подставляя его в уравнение Максвелла для продольной компоненты векторного потенциала, находим (d2 Г , 2 .2 И .

.(40)

где ж. = ® — ^н (х)ByUjlB.

Вследствие доплеровского сдвига частот на величину, пропорциональную ^Mj, выражение для дрейфовой частоты совпадает с ее обычным определением

к г сТ? d Inn

kyUj — k^x^By^B —^(41)

k^B^^By- ktiB^.

Функция W определяется известным интегралом

4“ qo

—00

В приближении By^Bz скорость вдоль силовых линий не зависит от х, и можно перейти в систему координат, движущуюся с ионами, оперируя лишь частотой со и опуская у нее индекс /. Обычно в теории дрейфовых волн в неоднородной плазме с широм магнитного поля пренебрегают также доплеровской добавкой к частоте из-за движения электронов вдоль магнитных силовых линий. Так как вблизи резонансной поверхности эта добавка действительно мала, в дальнейшем воспользуемся этим упрощением, хотя, строго говоря, ее надо учитывать. Уравнение (40) для векторного потенциала следует дополнить уравнением квазинейтральности плазмы,

dx2 (V to /\&ц uTi )dx2 (V to /\&ц uTi )/ co . X/ co . X(42)(42)

dx2 (V to /\&ц uTi )

dx2 (V to /\&ц uTi )

/ co . X

/ co . X

(42)

(42)

служащим для определения профиля скалярного потенциала ф. Однако при вычислении возмущения плотности заряда плазмы с помощью уравнения (39) необходимо учесть эффекты конечного ларморовского радиуса ионов. Соответствующее уравнение было выведено (см. обзор А. Б. Михайловского в т. 1) для чисто электростатических возмущений:

Здесь учтено, что векторный потенциал Л1П почти постоянен в

области взаимодействия, тогда как электростатический потенциал резко увеличивается при удалении от резонансной поверхности

£//£//Рис. 6. Профиль продольного электрического поля Е ^(х) в области черепковРис. 6. Профиль продольного электрического поля Е ^(х) в области черепковского резонансаского резонанса

£//

£//

Рис. 6. Профиль продольного электрического поля Е ^(х) в области черепков

Рис. 6. Профиль продольного электрического поля Е ^(х) в области черепков

ского резонанса

ского резонанса

(38) и обепечивает обращение в нуль продольной компоненты электрического поля на некотором расстоянии 6Ф от нее (рис. 6). Покажем, что в области существенного изменения потенциала фазовая скорость тиринг-моды находится в интервале

°п<®/^| W°п<®/^| W°Те°Те(43)(43)

°п<®/^| W

°п<®/^| W

°Те

°Те

(43)

(43)

Воспользовавшись известными асимптотическими выражениями для U7(X) в этом пределе, сведем уравнение (42) к виду

со2^- dx2 Х^1со2^- dx2 Х^1|| \ (&2 || c^s& II (X) С Л со2|| \ (&2 || c^s& II (X) С Л со2to—to*-),-k (44)to I х 'to—to*-),-k (44)to I х '

со2^- dx2 Х^1

со2^- dx2 Х^1

|| \ (&2 || c^s

& II (X) С Л со2

|| \ (&2 || c^s

& II (X) С Л со2

to—to*-),

-k (44)

to I х '

to—to*-),

-k (44)

to I х '

где c\=Telmt. Решение этого уравнения в пренебрежении малым вкладом электронов, т. е. членом (<о—®*е) /со, хорошо известно

[П]:

лх/2

to^i || хд"Г х2 cos 9

(45)(45)— У^с 2d2 J ^Sln ® ехр [282

(45)

(45)

О

где

В случае слабонастраивающих мод (ImoxCto) это решение осциллирует вдоль действительной оси %, поэтому корректная сшивка решения во внутренней и внешней областях оказывается' нетривиальной. Условие сшивки решений сводится к приравниванию скачка логарифмических производных во внешней области [см. (27)] к скачку производных во внутренней области, вычисленному с помощью уравнения (40):

to —ы*е toto —ы*е to^H (X) g?i\ to*eA [|^H (X) g?i\ to*eA [|^2 || (х) ^е^2 || (х) ^е' (46)' (46)

to —ы*е to

to —ы*е to

^H (X) g?i\ to*eA [|

^H (X) g?i\ to*eA [|

^2 || (х) ^е

^2 || (х) ^е

' (46)

' (46)

При вычислении этого интеграла воспользуемся упорядочением характерных масштабов

к’ II иТек’ II иТе^' Н иТ1^' Н иТ1(47)(47)

к’ II иТе

к’ II иТе

^' Н иТ1

^' Н иТ1

(47)

(47)

^Ч (^М. (48)с Мц!уге^Ч (^М. (48)с Мц!угесправедливым для умеренного шира (W ^к^пп^л^т^т^. Вклад электронов здесь выражается хорошо известным дисперсионным интегралом

^Ч (^М. (48)с Мц!уге

^Ч (^М. (48)с Мц!уге

г ^1ZL^*£_ (С/У гю2*е И// X

‘'■ I о f I LvvA* / о о VV I f1

to*e \ с / J к \\и Те V || иТе /

—оо

Вычисление вклада ионов требует более детального рассмотрения, так как он представляет собой интеграл от осциллирующей функции. Однако его можно свести к вычисленному в работе [11] интегралу от спадающей экспоненциально функции поворотом линии интегрирования. Следует заметить, что нарастающим во времени модам с Im®>0 при Re©>0 соответствует спадающее по действительной оси х решение (45), если выбран следующий корень уравнения для 6:

8 = ехр(— i тт/4) 8ф, 5у = y"8,Pz (1 4-iIm<o/2<o).(49)

Асимптотическое при х2—>оо поведение этого решения указывает на наличие потока энергии на бесконечность [12, 13]

“А и“А и1 № \«\ /1 № \«\ /exp (—i <о^-[- i кх\ (50)exp (—i <о^-[- i кх\ (50)

“А и

“А и

1 № \

«\ /

1 № \

«\ /

exp (—i <о^-[- i кх\ (50)

exp (—i <о^-[- i кх\ (50)

Действительно, воспользовавшись выражением для б2ф, нетрудно убедиться, что групповая скорость направлена наружу, так как д<о/д(дф~2) <0. Сильное поглощение энергии моды в области черепковского резонанса с ионами (х~б,) обеспечит финитность решения для q>i(x). Поворотом линии интегрирования на угол 345

а=—л/4+аг§6ф (рис. 7) ионный интеграл сводится к ранее вычисленному в [11]

Д',= (®2pi/c2) (l+^/TeKA exp (—1л/4),(51)

где 71=2лГ(3/4)Г(1/4) «0,75. Подставляя (48) и (51) в уравнение (46), получаем дисперсионное уравнение в окончательном виде:

i т1/2 — 1 тсi т1/2 — 1 тсco — ю*е c^bJI w*e I^ре^еco — ю*е c^bJI w*e I^ре^е

i т1/2 — 1 тс

i т1/2 — 1 тс

co — ю*е c^bJ

I w*e I^ре^е

co — ю*е c^bJ

I w*e I^ре^е

Видно, что наличие потока энергии тиринг-моды наружу от резонансной поверхности, где происходит ее взаимодействие с частицами, приводит к стабилизации тиринг-неустойчивости при условии

(тМ) 39 (1 + ОД I. > УТс^'^ре-(53)

Физически стабилизация связана с эффектом оттока энергии тиринг-моды из области резонанса с электронами.

При выводе уравнений (40) и (42) для тиринг-мод использована конкретная модель равновесия плазмы в магнитном поле, когда давление плазмы уравновешивается давлением лишь той компоненты магнитного поля, которая создается током в плазме. Однако эти уравнения остаются справедливыми и в более общем случае равновесия, когда часть давления плазмы уравновешивается давлением компоненты магнитного поля, создаваемой внешними источниками. При этом профиль плотности плазмы уже не связан жестко с профилем компоненты Вг(х), и его следует описывать характерным масштабом неоднородности £п-1 = = Idin n(x)/dx\. Вводя обычное определение длины шира 1^п 1 = ^±/^’ получаем выражения для характерных длин через эти параметры:

а / Ls \ л / LsTe \ а / LsTe V /2/£л\

I )v\1 /

В результате критерий стабилизации (53) принимает вид [13]: РЛ (£s/2£„) V2> ^Te/Ti) ^рД'.(55)

В случае размытого токового слоя ^L*>»pi) бесстолкновительная тиринг-неустойчивость оказывается стабилизированной. Это позволяет надеяться, что дисруптивные неустойчивости плазмы в магнитных ловушках типа токамак, обсуждаемые в обзоре Р. Уайта (см. т. 1), исчезнут при достижении достаточно высоких температур.

В критерий стабилизации (53) входит величина Д', зависящая от длины волны. Для частного случая равновесия Харриса Д' определяется уравнением (33). Она растет с увеличением длины волны и достигает своего предельного значения при kL=b^/Lt Учитывая этот факт и пользуясь явными выражениями для профиля плотности и магнитного поля, критерий стабилизации мод 346

комплекснойкомплексной(сплошная прямая /). Границы секторов Стокса для решения уравнения (44) показаны пунктирными прямыми(сплошная прямая /). Границы секторов Стокса для решения уравнения (44) показаны пунктирными прямымиплоскости хплоскости хс произвольной длиной волны записываем в виде

комплексной

комплексной

(сплошная прямая /). Границы секторов Стокса для решения уравнения (44) показаны пунктирными прямыми

(сплошная прямая /). Границы секторов Стокса для решения уравнения (44) показаны пунктирными прямыми

плоскости х

плоскости х

tg (6/2) sh (2x/L) > 2 V2 /Л 3,76,(56)

где 0 — угол поворота вектора магнитного поля в токовом слое [tg(0/2) =BOz/B!/]. Нарушение устойчивости в центре токового слоя (х=0) связано с обращением в нуль градиента плотности плазмы и исчезновением вследствие этого дрейфовых эффектов. В отсутствие градиента температуры такой максимум плотности должен достигаться в области минимума поля (Bz=0) для сохранения баланса давлений.

При наличии градиента температуры возможен монотонный профиль плотности плазмы, когда баланс давлений поддерживается за счет увеличения температуры в токовом слое. Однако тогда имеется участок плазмы, в котором градиенты плотности и температуры противоположны друг другу. Анализ [13] показывает, что в этом случае опять возможно развитие тиринг-моды.

Стохастичность магнитных силовых линий и диффузия плазмы. Рассмотрим, какое влияние оказывают тиринг- моды конечной амплитуды на поведение магнитных силовых линий и движение частиц в плазме. Для простоты сначала пренебрежем электростатической компонентой. Тогда влияние тиринг-мод сводится к изменению топологии магнитного поля, которую удобно характеризовать с помощью понятия о магнитных поверхностях. Магнитной поверхностью называют поверхность, плотно покрываемую магнитными силовыми линиями, никогда не покидающими ее и принадлежащими только одной этой поверхности. В частности, магнитные поверхности невозмущенного магнитного поля с широм, описываемого уравнением (35), являются бесконечными плоскостями, перпендикулярными оси х. Силовые линии здесь представляют собой прямые, идущие под углом arctg (Bz/By) к оси у. Наложим теперь на это невозмущенное магнитное поле малые, но конечные статические возмущения, х-ком- понента которых в тиринг-моде является основной:

Siz=2fixkcos(^+M)-(57)

к *

Возмущенные магнитные поверхности проще всего рассматривать в сечении некоторой плоскостью. При В^^Вг, Вх в качестве такой плоскости удобно выбрать плоскость х, х. Сечение магнитной поверхности является геометрическим местом точек пересечения этой плоскости магнитными силовыми линиями, навивающимися на

347

данную магнитную поверхность. При этом, если рассмотреть ряд последовательных сечений, данная силовая линия попадает на этих сечениях в различные точки контура магнитной поверхности, поскольку она навивается на магнитную поверхность. Однако контур сечения магнитной поверхности можно получить, рассматривая сечения данной силовой линии на различных расстояниях вдоль нее. Уравнение магнитной силовой линии для одной моды имеет вид:

ds dxdzdy/г^^

cos ^г2 + ^ ~Bz W~Bu ’'

где s — координата вдоль силовой линии. Поскольку наиболее существенное изменение топологии магнитных поверхностей происходит вблизи резонансной невозмущенной поверхности х=хо, где Л (хо)=О, при вычислении фазы тиринг-моды воспользуемся ее разложением около этой поверхности

кгг + куу = к')( (х.) $ (х — х.) ds,(59)

где ^н (x:)=(^,dz-|-Az,dt/)/(Zs=(6zSz(A:)+^J,Sy)/B. В результате уравнение для магнитной силовой линии принимает вид:

cos {*' и J Iх (s) - Х«1ds ’'(6О)

Это уравнение имеет простое решение1

х = х0± j/^(25хк/^п5) {sin [*'ц £ (^—^о)^] + 1 — 2х2}. (61)

В зависимости от константы интегрирования х2 это выражение описывает замкнутые (х2^1) или разомкнутые (х2>1) магнитные поверхности. Сечение магнитных поверхностей плоскостью у= =0 имеет вид магнитных островков, вкрапленных внутрь слабовозмущенных почти плоских магнитных поверхностей. Поскольку положение резонансной поверхности зависит от соотношения ком* понент волновых векторов моды, для различных мод островки возникают в окрестности различных невозмущенных поверхностей. При достаточно большом числе мод появляются возможность перекрытия различных мод и как следствие стохастическое блуждание магнитных силовых линий с одной поверхности на другую. Условие перекрытия двух соседних мод с волновыми векторами ki и к2 имеет вид:

(62) где ^- = 2^В^к’.^ {xQi)B — максимальная полуширина сечения замкнутой магнитной поверхности в окрестности плоскости х=х^ являющейся резонансной для тиринг-моды с Волковым вектором kz, т- е- Ьц\ Cr.J = O.

348

Рассмотрим поведение в пространстве некоторой силовой линии, накручивающейся на центральную силовую линию, расположенную внутри магнитной поверхности, к которой принадлежит исследуемая силовая линия и которая образуется при возбуждении одной тиринг-моды. Если в токовом слое возбуждена вторая тиринг-мода, которая создает цепочку замкнутых магнитных поверхностей, пересекающихся с таковыми для первой тиринг-моды (рис. 8), то нельзя уже однозначно предсказать, сколь долго» исследуемая здесь силовая линия будет по-прежнему навиваться на одну и ту же центральную магнитную силовую линию. Можно» лишь говорить о вероятности перескока ее на некотором расстоянии от исходной точки на некоторую соседнюю магнитную поверхность, двигаясь по которой она будет навиваться на другую центральную силовую линию. Если в токовом слое возбуждено мно-

Рис. 8. Расщепление и перекрытие магнитных поверхностей в случае двух ти- ринг-мод с конечной амплитудой и близкими волновыми векторами

жество тиринг-мод, приводящих к перекрытию .магнитных поверхностей во всей ширине этого слоя, то за счет случайных перескоков с одной магнитной поверхности на другую магнитная силовая линия, начинающаяся по одну сторону от токового слоя, может в конце концов продиффундировать на другой его край. В этом смысле можно говорить о пересоединении магнитных силовых линий.

Строгое математическое описание этого процесса получена в работе [14]. Здесь же для простоты воспользуемся аналогией между уравнением (60) для силовой линии и уравнением движе* ния электрона со скоростью и в поле монохроматической электро* статической волны с амплитудой Е, частотой со и волновым вектором к:

dv)dt= (еЕ/т) cos ^ J [и — ^[к^ dt^.(63)*

Правила соответствия величин в уравнениях (60) и (63) оче< видны [15]:

х*--*о, s^t, В^В ^eEjm, К^-^к.(64),

По аналогии с квазилинейным приближением для электронов перекрытие соседних магнитных островков приводит к стохастическому поведению магнитных силовых линий. Квазилинейное уравнение, описывающее это поведение, легко написать, воспользовавшись правилами перехода (64) в известном квазилинейном уравнении электронов, движущихся в поле ленгмюровских волн со случайными фазами [14]:

dfB__ d V 'B%k'2 тт 1 д^в "57 "57 в" [*А + № (х)]/В dx >

где fs^x, s)—соответствующая функция вероятности для магнитных силовых линий. Продолжая аналогию, можно написать выражение для коэффициента квазилинейной диффузии с учетом эффекта нелинейного уширения резонанса Дюпри [16]:

D=S -5LJexp[-Z^H(^)S-(l/3)^|OS3]^. (66) %’ Ч 0 z

«Физическая интерпретация мнимой части полюса в выражении для коэффициента диффузии (65) менее тривиальна, чем в аналогичном выражении для частиц, так как мы больше уже не можем «апеллировать к соударениям как эффекту, обеспечивающему необратимость.

Отсылая читателя для подробного обсуждения этого вопроса к обзору А. А. Галеева и Р. 3. Сагдеева в т. 1, рассмотрим диффузию плазмы под действием тиринг-турбулентности.

Соответствующее квазилинейное уравнение получаем с помощью уравнения (39) путем обычной процедуры усреднения следующих нелинейных членов в дрейфовом кинетическом уравнении [16]:

1VP д?к'

т^ ь4 И к du у

В результате имеем

dtmsc^T; I dt • Ilk* i ди иkюс: dx )

^H (x) c^k11 k “k^H (x) c^k11 k “k/ dd \

^H (x) c^k

11 k “k

^H (x) c^k

11 k “k

^^k^||du и toe/- dx

-Здесь первый член описывает эффект адиабатической перестройки распределения частиц по скоростям, а второй — квазилинейную диффузию.

350

В пренебрежении электростатической компонентой поля коэффициенты диффузии магнитных силовых линий Df и частиц D^ связаны соотношением DP= jy^ | DF> отражающим тот факт, что^ диффузия частиц происходит в результате их движения вдоль стохастических магнитных силовых линий [17]. Однако, как это хорошо известно, для дрейфовых волн [18] вблизи резонансных поверхностей обе компоненты поля — электромагнитная и электростатическая— тесно взаимосвязаны. Причем для электростатических дрейфовых волн примесь магнитной компоненты уменьшает диффузию плазмы [18, 19]. Точно так же примесь электростатической компоненты в тиринг-моде уменьшает диффузию по .сравнению с ее оценкой на основании уравнения (65).

Рассмотрим сначала диффузию электронов. В области резонансного взаимодействия тиринг-моды с электронами, в результате чего происходит диффузия, электростатическая компонента поля является малой. Уравнение диффузии электронной компоненты плазмы находим, интегрируя (67) по скоростям:

дпе_ д / иТг \ Г1 lBxkl2 s/, , и (^с1т1 । д \ ,ейх dt дх (/~ ) L 52 1:8 ^ И ^ ( kzTs ) Пе‘ (68^

\ 'к

Как следует из дисперсионного уравнения (52), частота моды,, имеющей резонанс в точке х, близка к локальной дрейфовой частоте в этом месте. В результате коэффициент диффузии электронов оказывается значительно меньше, чем х)теОр и даже uTiDp;

^± ^тг^^р^± ^тг^^р(69>(69>

^± ^тг^^р

^± ^тг^^р

(69>

(69>

Последнее связано с тем, что коэффициент диффузии ионов- в силу сильной экранировки продольной компоненты электрического поля тиринг-моды f^ в области резонанса моды с ионами, меньше значения VriDp в отсутствие такой экранировки. Разумеется, что как и в случае дрейфовых мод, диффузия на тиринг-мо- дах является амбиполярной. Чтобы убедиться в этом, вместо асимптотического решения (50) в области прозрачности (бФ^ ^ х<^6г) следует использовать решение, учитывающее экспоненциальное затухание мод при их подходе к области ионного затухания Ландау: .

_МЪ “кЛ н к_МЪ “кЛ н к(70>(70>

_МЪ “кЛ н к

_МЪ “кЛ н к

(70>

(70>

Таким образом, под действием тиринг-мод диффундируют лишь- хвостовые ионы со скоростями v|{ ~о)/^ ^>DTi. При этом их распределение по скоростям может сильно меняться (тенденция к образованию немаксвелловского хвоста), модифицируя это взаимодействие.

Нелинейное насыщение тиринг-неустойчивости. Вычисление зависимости коэффициента диффузии от параметров плазмы связано с определением уровня насыщения тиринг-мод. При этом следует различать режимы отдельных непе- рекрывающихся мод и тиринг-турбулентности. В первом случае нелинейная стадия наступает в момент, когда ширина магнитных островков становится больше ширины области черенкового резонанса с тепловыми электронами:

W= (25^/1 fe'II lB)1/2^8e = l(Mk + iVk)/fe'№rJ-(71)

Внутри образующихся магнитных островков электроны, двигаясь вдоль данной магнитной силовой линии, совершают круговое движение вокруг магнитной оси. Поскольку характерная частота такого движения много больше частоты моды, в кинетическом уравнении для электронов можно провести соответствующее усреднение. Так как при таком усреднении <к ц[*(/)]>=0, эффекты 'теплового движения электронов становятся пренебрежимо малыми и вместо ^48) получаем [20]

Д'е^ (ю2р е/с2) [ (to—to*e) /<о] СУ.(72)

Здесь мы пренебрегли черепковским взаимодействием с медленными электрона- гми (и ц 25= со/ | kr ц I w^vt е). В модели равновесия Харриса моды, развивающиеся в центре нейтрального слоя, являются апериодически растущими, так/как <to*e=0. Поэтому вклад электронов, движущихся внутри магнитного островка, ^стабилизирует неустойчивость. Стабилизация наступает при очень малых амплитудах [21]

t^=(2Bxk/ | ^nisji/z^cW/^.(73)

Все другие моды продолжают расти до тех пор, пока не скажутся квазилинейные эффекты. Поскольку нас интересует вопрос о пересоединении магнитных -силовых линий, в дальнейшем ограничимся случаем перекрытия резонансов большого числа тиринг-мод (особенности дискретных систем см. в [20]). Основным стабилизирующим эффектом здесь служит квазилинейная релаксация анизотропии плазмы по скоростям [16], описываемая первым слагаемым в квазилинейном соударительном члене (67). Пренебрегая медленной диффузией плазмы по координате по сравнению с быстрой релаксацией по скоростям, получаем

fo/ (уц)="«) ex?i ~277"+77 v'”,yii i1—МО] + — Л(х);/:

к

В частном случае равновесия Харриса с помощью этого выражения можно .записать условие стабилизации в виде

Д'^[1-^ (0~№Ш2<0.(75)

'Отсюда находим уровень насыщения длинноволновых мод:

^\Вхк\2/В%г^^/^ре.(76)

к

До сих пор мы не касались следующего фундаментального вопроса: означает ли стохастическое блуждание магнитной силовой линии в пространстве также и то, что диффузия магнитного поля сопровождается диссипацией энергии магнитного поля. Для силовых линий в вакууме ответ на него отрицательный. Однако в плазме с £=1 путем прямого вычисления силы трения электронов - о флуктуирующие поля тиринг-мод [22] можно показать, что скорость дрейфа плазмы под действием этой силы совпадает со скоростью диффузии плазмы вследствие движения ее частиц вдоль разрушенных магнитных поверхностей. Поэтому можно считать, что взаимная диффузия плазмы и магнитного поля действительно происходит и сопровождается диссипацией энергии магнитного поля (вернее только той же составляющей Вг(х), которая создается током в плазме). Это оправдывает использование таких понятий, как пересъеди- нение силовых линий магнитного поля в плоском слое, и позволяет вычислить, например, в модели Паркера — Свита скорость этого процесса (16]. Если в уравнение непрерывности потока плазмы подставить вместо- и* диффузионную скорость плазмы из (69), а в качестве скорости вытекания альвеновскую скорость в поле Вх (так как диссипируется только эта компонента), то оно примет вид:

=(77 >

Отсюда с помощью (69) оценим стационарную ширину L токового слоя с заданной длиной ^ и скорость пересоединения:

Ux=N AxLu]^\ Ln~

= (Р2^) 73 (TeUJTiU) V6.(78)

ПЕРЕСОЕДИНЕНИЕ В ДВУМЕРНЫХ КОНФИГУРАЦИЯХМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Равновесие и устойчивость двумерных конфигураций (ка- чественное рассмотрение). Рассмотрим теперь качественно процесс пересоединения магнитных силовых линий в конфигурациях магнитного поля типа изображенной на рис. 9. Такая конфигурация ч^сто возникает в естественных условиях за счет вытягивания магнитных силовых линий при неоднородном течении плазмы, в которую они вморожены. В случае, протяженных систем магнитное поле почти параллельно токовому слою и меняет знак при пере-' сечении последнего. Ясно, что равновесие плазмы здесь описывается выражениями, получающимися в результате простого обобщения равновесия Харриса [ср. с (20)]:

В = Д th (хЩ йг + Впех; |(79

п (х, z) = /г, (z)/ch2 (x/L). /

Отклонения от равновесия Харриса малы при Вп<сВ0, так как сила натяжения магнитных силовых линий B^BJdx в этом случае тоже мала,, и поэтому ее можно уравновесить слабым градиентом давления ^TeVT^dnjdz [23]. В дальнейшем для простоты' зависимостью «о (2) мы будем пренебрегать. Однако при этом очень важно учесть то, что наличие конечной х-компоненты магнитного. 23-3283353

поля меняет характер движения частиц, вследствие чего существенно меняется диэлектрический отклик плазмы на возмущение типа тиринг-моды, и она становится более устойчивой [24, 25]. Для простоты ограничимся здесь случаем, когда магнитное поле вблизи нейтрального слоя вморожено в электронную компоненту плазмы (другие предельные случаи рассмотрены в [24, 25]). Это имеет место при условии, что ларморовский радиус электрона значительно меньше характерного масштаба изменения магнитного поля:

(80)(80)BnIB.>V?eIL.

(80)

(80)

Если рассматривать тиринг-неустойчивость в терминах слипания токовых нитей, то, кроме энергии магнитного поля и энергии взаимодействия токовых нитей, в баланс энергии теперь следует

Рис. 9. Двумерная конфигурация невозмущенного магнитного поля (сплошные линии):пунктиром показаны силовые линии при наличии синусоидального магнитного поля Blx(z> тиринг-модыРис. 9. Двумерная конфигурация невозмущенного магнитного поля (сплошные линии):пунктиром показаны силовые линии при наличии синусоидального магнитного поля Blx(z> тиринг-моды

Рис. 9. Двумерная конфигурация невозмущенного магнитного поля (сплошные линии):

пунктиром показаны силовые линии при наличии синусоидального магнитного поля Blx(z> тиринг-моды

Рис. 9. Двумерная конфигурация невозмущенного магнитного поля (сплошные линии):

пунктиром показаны силовые линии при наличии синусоидального магнитного поля Blx(z> тиринг-моды

включить затраты энергии на сжатие плазмы в области сгущения магнитных силовых линий (рис. 9).

Для оценки возмущения плотности плазмы воспользуемся уравнением непрерывности электронов

—i®<nie>+i^<UiZ>rto+ (5/dx) :<и1яп(х) >=0.(81)

Поскольку в окрестности нейтрального слоя большинство электронов заперты и совершают колебания вдоль магнитных силовых линий между магнитными пробками с частотой, значительно превышающей обратное время изменения амплитуды тиринг-моды, мы провели усреднение уравнения (81) по этим быстрым колебаниям. Уравнение движения электронов по оси у в пренебрежении их инерцией после аналогичного усреднения выглядит следующим образом:

(82)(82)0=<Е1у>+<«1г>Вп/с—<и1хВг(х) >[с.

(82)

(82)

В результате усреднения эти уравнения описывают движение дрейфовых орбит с учетом ларморовского вращения и колебаний между пробками, аналогично тому как в привычном нам дрейфовом приближении мы имеем дело с движением ларморовских кружков при усреднении только по ларморовскому вращению. Наличие мощных магнитных пробок не разрешает дрейфовым орбитам движение поперек нейтрального слоя в х-направлении. Это соответствует тому, что последние члены в уравнениях (81), (82) исчезают при усреднении ввиду знакопеременности скорости У]* как функции времени. В результате из уравнения (82) находим скорость дрейфа орбит электронов:

с^Е^^/Вп,(83)

которая значительно превышает обычную дрейфовую скорость частиц вне нейтрального слоя, пропорциональную сЕХуВп]В2. Подставляя (83) в уравнение непрерывности (81), получаем возмущение плотности электронов [25, 26]

"<пХе> lnQ=—\k<Axy>]Bn.(84)

Снова из-за усреднения это соотношение выглядит так же, как обычное условие вмороженности плазмы в магнитное поле в случае, когда имеется лишь одна х-компонента.

Протяженность возмущения плотности в х-направлении ограничена, так как изменение фазы векторного потенциала вдоль магнитных силовых линий обусловливает уменьшение возмущения плотности при усреднении по протяженным орбитам, на длине которых фаза меняется больше, чем на л. Чтобы найти эту протяженность, рассмотрим вариации фазы возмущений вдоль магнитных силовых линий. Вблизи нейтрального слоя уравнения для магнитной силовой линии

dx/Bn=dz/Bo (x/L)(85)

имеют простое решение, соответствующее параболической форме силовых линий в плоскости х, z:

z (х) = (Во/В„) ДОЦ +z (0),(86)

где z(0) —положение данной силовой линии в нейтральном слое. В соответствии с этим вариация фазы вдоль магнитной силовой линии представляется в виде.

Ь(х)=?(Ь2—1)+^(0).'(87)

Здесь 9= (^ВП/2ВО) с 1; Ь2=В2 (х) /В2„. Теперь уже усреднение фазового множителя в выражении1' для возмущения плотности можно представить в явной форме:!i

<А> — ~ "57 <Л1 СИ ехР {‘ 7I62 (•*') - !]}> ехР {—i^ +

H-i^-i^tb^x)- 1]},(88)

23*355

где .координата х' под знаком усреднения пробегает все значения между х-координатами точек отражения?от — хт до т\гХт. Вклад в плотность плазмы в точке х>0.дают частицы с точками отражения хт>х. Вычисление ее требует суммирования по всем этим частицам и является довольно ?громоздким [26]. Однако оценку протяженности возмущения плотности по оси х нетрудно получить из условия, что вариация фазы под знаком усреднения в (88) не превышает л/2:..

|х| <х0= (яЬВпДВо) х<\(89)

Энергия, затрачиваемая на сжатие плазмы в процессе пинче- вания тока, вычисляется как работа электрического поля тиринг- моды над током, величина которого находится из баланса сил по оси х:

(Те+Л) \к<пХе>=—1 w^n/c.(90)

В результате получаем [см. (36)]:

2c J I1»— J йХ 2гц e+7 42B\ 8л

(91) Стабилизация тиринг-неустойчивости происходит тогда, когда вычисленные здесь затраты энергии на сжатие плазмы превышают энергию, высвобождаемую в результате линчевания токов в нейтральном слое. Воспользовавшись оценкой (35а) высвобождаемой энергии, запишем условие стабилизации в виде

В работах [24, 25], в которых впервые указано на эффект стабилизации, протяженность возмущений плотности считалась равной размеру области, где Вп ^Вхф^ к e. x^LBJB^. В дальнейшем Ламбердж в 1976 г. получил более правильную оценку х^ а окончательные расчеты ^ыли выполнены в [26].

. В , реальных конфигурациях с конечной длиной $ нормальная к нейтральному слою компонента магнитного поля определяется из условия, что на этой длине практически весь поток магнитных силовых линий перезамыкается через нейтральный слой, т. е. Вп^ ^B^LfS. Так как максимальная длина волны ограничена условием k$<ns согласно уравнению (92) равновесный нейтральный слой с замагниченными электронами может оказаться устойчивым относительно развития тиринг-моды [26]. Следует также отметить, что условие стабилизации (92) для наиболее неустойчивых длинноволновых мод (х0 *^kL^ справедливо лишь по порядку величины. Это связано с тем, что оно было получено в предположении о постоянстве функции Лл(х) во внутренней области, что имеет место только для «прозрачной» внутренней области. В терминах эффективного потенциала условие прозрачности записывается в виде

Vxx%^ (Щс) фи^дА lv)x20< 1.(93)

. Таким образом, при нарушении условия прозрачности (93) эффективная потенциальная яма (см. рис. 5) перегораживается посередине непрозрачным барьером. Так как в половине ямы Теллера не умещается ни одна собственная мода, тиринг-мода не только невыгодна энергетически, но она попросту и не существует.

Дестабилизирующий эффект рассеяния по питч-углу и нелинейная неустойчивость. При рассмотрении устойчивости двумерной конфигурации магнитного поля с нейтральным слоем мы до сих пор пренебрегали эффектами рассеяния частиц, которые, как показано в [26], существенно меняют картину устойчивости. Эффект стабилизации моды в таких конфигурациях обусловлен тем, что при развитии тиринг-моды плотность электронов, запертых в нейтральном слое между магнитными пробками, менялась пропорционально возмущению магнитного поля (рис. 9), причем затраты энергии на сжатие запертых электронов превышали выигрыш энергии от линчевания токов. Если же кулоновские соударения в плазме не редки или имеются флуктуации электромагнитного поля, рассеивающие электроны, то поджатие электронной компоненты плазмы в нейтральном слое будет меньшим из-за рассеяния частиц в конус потерь с последующим рассасыванием возмущения плотности запертых электронов вдоль магнитной силовой линии. Эффект можно оценить количественно, включив в уравнение непрерывности запертых электронов (81) член, описывающий переход запертых частиц в пролетные в результате рассеяния по питч-углу:

(94)(94)—i(O<nie>—i^C<jEiy >^/5^ =—Va$<Mie>,

(94)

(94)

где в случае кулоновских соударений чЭф^ЧегЬ. Здесь фактор b по порядку величины равен пробочному отношению и учитывает дифференциальный характер интеграла соударений Ландау. Отсюда возмущение плотности равно

<пхг><пхг>со хк<Ахи>пй“ + > М 5^со хк<Ахи>пй“ + > М 5^(95)(95)

<пхг>

<пхг>

со хк<Ахи>пй

“ + > М 5^

со хк<Ахи>пй

“ + > М 5^

(95)

(95)

Видно, что уже очень редких соударений (кулоновских или эффективных) достаточно, для того чтобы существенно уменьшить возмущение плотности. Более того, теперь энергия тратится не на обратимое сжатие плазмы, а диссипируется в плазме необратимым образом. Скорость диссипации энергии определяется как работа электричее-кого поля моды [ср. с (91)]:

IfU" ^Г е + Л) По f to

2F^ielti<A\ti>^^^\<A'«>^dx- W

(97)(97)Скорость роста тиринг-моды при этом определяется из уравнения баланса энергии (36), в правую часть которого входит сумма вклада электронов (96) и незамагниченных ионов [см. (30)]: '

(97)

(97)

2t J ViyA^ydX — р|j dx 8я

При достаточно частых соударениях диссипация энергии тиринг-моды происходит в основном в результате черенковского взаимодействия с ионами. В этом случае можно говорить о так называемой ионной тиринг-моде [27]

35?

с инкрементом, определяемым из баланса энергии (36) с учетом уравнения (97):

у=л-1/2(Утг/^) ^LY^+LJT?) V\-^lkL. (98)

Интересно, что флуктуации электрических и магнитных полей, ответственных за рассеяние электронов по питч-углу, могут генерироваться в процессе развития тиринг-моды конечной амплитуды [26]. Это связано с тем, что в областях сгущения (разрежения) магнитных силовых линий увеличивается {уменьшается) не только плотность плазмы, но и поперечная составляющая температуры электронов: '

T^T^-ikA^B». ■ (99) В отличие от возмущений плотности возмущение поперечной составляющей температуры локализовано в малой области |%|<LBn/B, где доминирует х-компонента магнитного поля. Продольная составляющая температуры при этом остается неизменной, так как длина пути электронов между магнитными пробками не меняется. В результате в областях разрежения возможно развитие шланговой неустойчивости даже при достаточно малой -амплитуде тиринг-моды

(^ll - T^^kA.ytl.TejB^BV^, (100)

В областях сгущения при аналогичном условии развиваются зеркальные /неустойчивости (подробнее см. обзор Р. Дэвидсона в т. 1). Нарастание соответствующих неустойчивых мод приведет к сильному питч-угловому рассеянию запертых электронов и тем самым понизит анизотропию температур и сжатие (разрежение) в отдельных участках плазмы. Если считать, что в результате этого состояние плазмы вернется на порог неустойчивости, то затраты энергии на сжатие (разрежение) плазмы будут ограничены условием устойчивости (100), поэтому возмущения типа тиринг-моды с амплитудой, превышающей пороговое значение (100), становятся нарастающими. Иными словами, мы можем говорить о нелинейной тиринг-неустойчивости двумерных конфигураций под действием возмущений конечной амплитуды. "

Взрывной рост тиринг-моды на нелинейной стадии. Существенная особенность тиринг-неустойчивости равновесия Харриса в плоском нейтральном слое заключается в том, что хотя линчевание токового листа ведет к глобальной перестройке конфигурации магнитного поля и благодаря этому к эффективному высвобождению запасенной в виде магнитного поля энергии, однако диссипация этой энергии может проиеходит-ь лишь в узкой окрестнести нейтрального слоя, где выполняются условия резонанса Черенкова. В этих условиях стационарное пересоединение магнитных силовых л-иний предполагает непрерывный приток новых порций магнитных силовых линий к нейтральному слою с последующей диссипацией энергии магнитного поля в узкой окрестности нейтрального слоя. Однако слабое черенковское взаимодействие неспособно обеспечить полную диссипацию энергии магнитного поля (аннигиляцию магнитных силовых линий), а приводит лишь к пересоединению этих силовых линий в окрестности периодически расположенных нейтральных Х-линий.

Пересоединившиеся магнитные силовые линии образуют замкнутые поверхности, вдоль которых выравнивается давление плазмы и, таким образом, устанавливается новое квазистационарное состояние. Приток все новых порций магнитных силовых линий приводит к дальнейшему раздуванию магнитных островов. Развитие неустойчивости описывается линейной теорией до тех пор, 358

пока ширина-магнитных островов не станет больше ширины области диссипации около нейтрального слоя.-

Уравнение "магнитной поверхности при наличии в плазме тиринг-моды имеет вид:

АОу(х, z)4-Aiv(x, 2)—const,(101)

где AOv^x, 2) —B^L In ch(x/L) —-Buz — невозмущенный векторный потенциал; возмущение его Aiv(x, 2) дается уравнением (27). Полуширина магнитного острова (0 определяется как расстояние от нейтральной 0-линии до сепаратрисы, проходящей через соседние X-линии (здесь и в дальнейшей для простоты будем считать Вп—0). Когда ширина острова меньше ширины токового слоя, из уравнения (101) находим

wlL^b1/ (kL) ^\b\! (kL) А-^Ь^ЩЧ2, (102)

где Ьх=кАх(0)/Во>Вп1В0.

(ЮЗ)(ЮЗ)Поскольку в реальных условиях электроны обычно замагничены даже в нейтральном слое, где магнитное поле минимально, нас будет интересовать ионная тиринг-мода. Для нее нелинейный режим начинается при условии

(ЮЗ)

(ЮЗ)

w>dxi x=Kpz£.

Теперь движение частиц в различных областях по оси х (вблизи X- и 0-линий и между ними) оказывается существенно различным. Поэтому энергетический принцип (36), который используется здесь для получения оценки инкремента, перепишем в форме, учитывающей неоднородность плазмы поперек нейтрального слоя и вдоль него [28]:

И d*dz [| ^f + кл A1«V ~ 21 Л‘» |г/Д‘с1,г (т*) J^n dxdzi'vA*1«- (1о°

Следуя работе [29], ограничимся рассмотрением диффузного нейтрального слоя и не очень больших длин волн: (^/^)72<С^<1- Основной вклад в интеграл в левой части уравнения (104) дает внешняя область, где решение описывается уравнением (27). Оценивая этот интеграл, переписываем энергетический принцип в виде

готгот1 - k^L2kL21 - k^L2kL2^1^12с Уj* dx dzixyA* Ху.^1^12с Уj* dx dzixyA* Ху.Интеграл в правой части уравнения (105) оценим отдельно нейтральной Х-линии и в области магнитного острова.Интеграл в правой части уравнения (105) оценим отдельно нейтральной Х-линии и в области магнитного острова.ввВклад в интеграл от окрестности X - л и ни и.Вклад в интеграл от окрестности X - л и ни и.(Ю5)окрестностиМагнитное(Ю5)окрестностиМагнитноеполе в окрестности Х-линии образует остроконечную ловушку для частиц с магнитными пробками — «касп», в которой ионы могут удерживаться конечное время (рис. 10). Полувысота и полуширина области каспа определяются изполе в окрестности Х-линии образует остроконечную ловушку для частиц с магнитными пробками — «касп», в которой ионы могут удерживаться конечное время (рис. 10). Полувысота и полуширина области каспа определяются из

го

т

го

т

1 - k^L2kL2

1 - k^L2kL2

^1^12с Уj* dx dzixyA* Ху.

^1^12с Уj* dx dzixyA* Ху.

Интеграл в правой части уравнения (105) оценим отдельно нейтральной Х-линии и в области магнитного острова.

Интеграл в правой части уравнения (105) оценим отдельно нейтральной Х-линии и в области магнитного острова.

в

в

Вклад в интеграл от окрестности X - л и ни и.

Вклад в интеграл от окрестности X - л и ни и.

(Ю5)

окрестности

Магнитное

(Ю5)

окрестности

Магнитное

поле в окрестности Х-линии образует остроконечную ловушку для частиц с магнитными пробками — «касп», в которой ионы могут удерживаться конечное время (рис. 10). Полувысота и полуширина области каспа определяются из

поле в окрестности Х-линии образует остроконечную ловушку для частиц с магнитными пробками — «касп», в которой ионы могут удерживаться конечное время (рис. 10). Полувысота и полуширина области каспа определяются из

условия незамагниченности ионов:.

\x\<dxl = LV"^TL; \z\<dxl = L^ukLb^l\(103)

(Ю7)359(Ю7)359В направлении оси х ионы удерживаются невозмущенным магнитным полем Bz^, а в направлении оси z— благодаря' компоненте В\х^ магнитного поля тиринг-моды. Поскольку касп имеет четыре конуса потерь, ионы проводят в нем конечное время т. Время удержания по порядку величины равно нескольким временам пролета через касп [30] t-dzi/УТг.

(Ю7)

359

(Ю7)

359

- ; Вследствие конечности времени жизни ионов в ловушке взаимодействие между ионами и тиринг-модой носит необратимый характер. Энергия, набранная ионами в электрическом поле моды за время удержания в каспе, теряется, когда ионы покидают касп. Энергия, расходуемая на нагрев ионов, описывается интегралом в уравнении (105)". Плотность электрического тока в каспе можно записать в виде

Bv=neuxv, (108)

где viv=eYtAivlmtC — скорость ионов, набираемая в электрическом поле моды за время -жизни т. Вклад ионов, удерживаемых в каспе, в интеграл в уравнении (105) нэтом случае равен

4m С С4co2pZ

J J ^ ^Ну^* i^ ^^1 ^^xi^zi I ^i# Р*(Ю9)

Соответствующий вклад электронов в этот интеграл оказывается в (тгГг/теТе) V2 раз меньше.

Явление диссипации энергии тиринг-моды вследствие ее взаимодействия

с ионами, удерживаемыми в каспе конечное время, аналогично поглощению

электромагнитной волны в аномальном скин-слое, возникающем в результате конечности времени жизни электронов в скин-слое.

Вклад в интеграл о-т области магнитного острова. Рас

чет -вклада ионов, движущихся внутри магнитного острова, является сложной

Рис. 10. Конфигурация магнитных силовых линий в окрестности нейтральной Х-линииРис. 10. Конфигурация магнитных силовых линий в окрестности нейтральной Х-линиинизкое давление магнитного полянизкое давление магнитного поляи существенно нелинейной проблемой. Разделим эти ионы на запертые в области минимума поля и свободно циркулирующие вдоль замкнутых силовых линий. Если электрическое поле, тиринг-моды проникает внутрь острова, то электрический дрейф частиц приводит к увеличению плотности частиц и давления в тех частях острова, где магнитные силовые линии становятся гуще.

Рис. 10. Конфигурация магнитных силовых линий в окрестности нейтральной Х-линии

Рис. 10. Конфигурация магнитных силовых линий в окрестности нейтральной Х-линии

низкое давление магнитного поля

низкое давление магнитного поля

Сгущение силовых линий — следствие их притока в результате генерации нового потока на 0-линии и добавления пере- соединившегося в окрестности Х-линий по- гока. Однако в отсутствие связи силовых линий с внешней - плазмой

не в состоянии сдержать избыток давления,

возникающий в предположении о проникновении электрического поля внутрь острова (напомним, что здесь Р>1). Следовательно, можно ожидать, что дав

ление плазмы «подстроится» под локальное давление магнитного поля за время распространения звуковых волн поперек острова. Фактически это означает усреднение плотности тока по площади острова. Простые оценки показывают,

что вклад ионов, удерживаемых внутри магнитного острова, меньше, чем дестабилизирующий эффект линчевания токов.

Взрывной рост тиринг-моды. Таким образом, на нелинейной стадии развития тиринг-мбды - баланс энергии достигается благодаря необратимой диссипации энергии, высвобождаемой при линчевании токов, в окрестности нейтральных X-линий. С помощью уравнений (105) и (109) мы получаем

уравнение для нарастания* нелинейной тиринг-моды:

дЬх^=^х)тг[4Ц^1Ч^^Ге^(НО)

Амплитуда моды возрастает, во времени взрывным* образом по закону

6i(O=Mo)/[i-/M>(in)

где 61(0)—амплитуда моды в начале нелинейной стадии, т. е. 6i(0)^(^L)8< [см. (ЮЗ)]; тд — характерное время взрывного роста: х~лк—^ш>тлНЦ~Х Xsxl2M^ UVT^TiWWL^IkL, гМЧ=^г]Ь.

Возрастание нелинейного инкремента с амплитудой, соответствующее взрывному росту тиринг-моды, объясняется уменьшением области диссипации вблизи Х-линий по мере роста амплитуды. Последнее приводит к увеличению электрического поля, необходимого для диссипации определенного количества энергии, высвобождаемой в результате* линчевания тока. Взрывной рост должен замедлиться или прекратиться, когда ширина острова станет порядка размера токового слоя L, так как к этому моменту будет израсходована большая часть свободной энергии. Используя уравнение (Ю2) для грубой оценки, получаем амплитуду насыщения 61макс^(^)2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Parker Е. N. — J. Geophys. Res., 1957, vol. 62, р. 509.

Parker Е. N. — Astrophys. J. Suppl. Ser., 1963, vol. 8, p. 177.

Sweet P. A. — In: Proc, of the IAU Symp, on Electromagnetic Phenomena in Cosmical Physics, № 6/ Ed. B. Lehnert. — N. Y.: Cambridge Univ. Press, 1958, p. 123.

Haerendel G. — J. of Atmos. Terr. Phys., 1978, vol. 40, p. 343.

Петчек X. E. — В кн.: Солнечный ветер: Пер. с англ. — М.: Мир, 1968, С. 255.

Harris Е. G. — Nuovo cimento, 1962, vol. 23, р. 115.

Laval G., Pellat R., yullemin M. — In: Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. Vol. 2. — Vienna: IAEA, 1966, p. 259.

White R. B., Monticello D. A., Rosenbluth M. N., Waddell В. V. — Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 800.

Dobrowolny M.— Nuovo cimento, 1968, vol. 55B, p. 427.

Galeev A. A., Zeleny L. M. — In: Theoretical and Computational Plasma Physics. IAEA— SMR—31/100. — Vienna: IAEA, 1978, p. 93.

Furth H. P., Killen M. N., Rosenbluth M. N. — Phys. Fluids, 1963, vol 6, p. 459.

Bussac M. N., Edery D., Pellat R., Soule J. L. — Phys. Rev. Lett, 1978, vol. 40, p. 1500.

Coppi B., Mark J. W.-K., Sugiyama L., Bertin G. — Ibid., 1979, vol. 42. p. 1058.

Rosenbluth M. N., Sagdeev R. Z., Taylor J. B., Zaslavsky G. M., —Nucl. Fusion, 1966, vol. 6, p. 297.

Арцимович Л. А., Сагдеев P. 3. Физика плазмы для физиков. — M.: Атомиздат, 1979, с. 207.

Galeev A. A. —Phys. Fluids, 1978, vol. 21, р. 1353.

Rechester А. В., Rosenbluth М. N. — Phys. Rev, Lett., 1978, vol. 40, p. 38.

Галеев А. А., Сагдеев P. 3., Моисеев G Q — Атомная энергия, 1963, т. 15, с. 451.

Inoue S., Itoh K„ Tange T., Nishikawa K., Yoshikawa S. Preprint of Inst, lor Fusion Theory of Hiroshima Univ., HIFT-5, 1978.

Галеев А. А., Зеленый Л. AL—Письма в ЖЭТФ, 1977, т. 25, с 407

Drake J. F., Lee Y. C. —Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 39, p. 453

Ichimaru S. — Astrophys. J„ 1975, vol. 202, p. 528.

Kan J. R.— J. Geophys. Res., 1973, vol. 78, p. 3773.

Галеев А. А., Зеленый Л. M. — Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 22, с. 357.

Галеев А. А., Зеленый Л. М. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1976, т. 70, с. 2133.

Coroniti F. V. — J. Geophys. Res., 1980, vol. 85, p. 6719.

Schindler K. —Ibid., 1974, vol. 79, p. 2803.

Schindler K. — In: Proc, of 7th Intern. Conf, on Phenomena in Ionized Gases. Vol. 2. — Belgrad: Gradevinska Knigga, 1966, p. 736.

Galeev A. A., Coroniti F. V., Ashour-Abdalla M. — Geophys. Res. Lett., 1978, vol. 5, p. 707.

Biskamp D., Schindler K. — Plasma Phys., 1971, vol. 13, p. 1013.

ДРЕЙФОВАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

И АНОМАЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

В. Хортон

ВВЕДЕНИЕ

Плотность и температура плазмы, находящейся в магнитном доле, как правило, оказываются неоднородны впространстве. Наличие пространственных градиентов поперек магнитного поля приводит к возникновению в плазме так называемых диамагнитных дрейфовых токов. Частицы, поддерживающие эти токи, движутся в направлении, взаимно перпендикулярном направлению среднего магнитного поля и градиенту плазмы. Коллективные движения плазмы, возникающие в такой неоднородной замагниченной кулоновской системе благодаря наличию диамагнитных токов, хорошо известны под названием дрейфовых волн; Неустойчивости дрейфовых волн вызывают в плазме движение заряженных частиц поперек магнитного поля. Смещения частиц поперек поля имеют компоненту вдоль направления градиента плазмы и могут во много раз превышать их гирорадиус. В результате участия частиц плазмы в коллективных колебаниях системы возникает эффект переноса плазмы вдоль направления макроскопического градиента. В зависимости от параметров плазмы и магнитного поля и характера основных коллективных мод в ллазме существует целый ряд механизмов переноса, обсуждающихся в этой главе. В самом общем смысле можно сказать, что в макроскопическом масштабе проявление плазменных эффектов связано с возникновением коллективной диссипации в форме аномальной диффузии частиц (тепловой энергии) вдоль градиента плотности плазмы (градиента температуры). Коллективный перенос .не зависит от парных соударений и по величине может превышать столкновительный на много порядков. По этой причине коллективный перенос называется аномальным, хотя по сути дела в высокотемпературной плазме он представляет собой основной механизм переноса. Подробно во-

прос о дрейфовых неустойчивостях в неоднородной замагниченной плазме и их связи с макроскопическими неоднородностями в плазме рассмотрен в статье А. Б. Михайловского (см. т. 1). Дрейфовые колебания представляют собой низкочастотные коллективные осцилляции, электрическое поле которых возникает при дальних нерелятивистских взаимодействиях заряженных частиц, имеет существенную перпендикулярную компоненту и малую продольную. Частота осцилляций оказывается мала по сравнению с ионной гирочастотой, если масштаб плазменных градиентов мал по отношению к ионному гирорадиусу. Перпендикулярное электрическое поле создает ЕХВ дрейф ведущих центров заряженных частиц поперек магнитного поля, что дает один из главных механизмов аномального переноса. Малая компонента электрического поля вдоль внешнего магнитного поля поддерживает осциллирующий плазменный ток, который, в свою очередь, создает малую компоненту магнитного поля, осциллирующую поперек внешнего поля. Движение частиц вдоль микроскопически флуктуирующих магнитных полей создает второй механизм аномального переноса. Явления переноса возникают также в случае, когда какие-либо внешние источники возбуждают в плазме электрические или магнитные поляу по свойствам близкие к коллективным. Многие из формул, полученных ниже в § 2 и 4, могут быть непосредственно использованы,, если подставить в них значения электромагнитного поля в плазме,, созданного, например, радиочастотным нагревом или другими внешними возмущениями.

При достаточно малых давлениях аномальный перенос в основном определяется механизмом, связанным с коллективными электрическими полями. Эти низкочастотные электрические поля можно считать электростатическими (т. е. потенциальными), что сразу существенно упрощает проблему. Аномальный перенос в режиме с малым давлением плазмы рассмотрим в § 2 и 3. Для случая с низким давлением имеется ряд лабораторных экспериментов, которые хорошо иллюстрируют различные особенности теории аномального переноса. Для электростатических коллективных мод существуют нелинейные теории и возможна самосогласованная постановка проблемы. Нелинейные теории, рассмотренные в § 3, позволяют определить амплитуду и спектральные характеристики коллективных полей. Очевидно, что аномальный перенос зависит как от амплитуды, так и от дисперсионных характеристик моды (зависимости «частота — волновое число»). Результирующий перенос определяется как сумма по всем частицам, но значительность вклада от данной частицы определяется тем, насколько сильна ее корреляция с каждой из спектральных компонент поля. Слабонеустойчивые системы в соответствии с предложенной Ландау картиной гидродинамической турбулентности могут быть, как принято считать, описаны несколькими когерентно взаимодействующими модами колебаний. Далеко за порогом неустойчивости в системе развивается широкий спектр слабокоррелирующих осцилляций, и можно считать, что в ней возникает плазменная турбулентность»

До сих пор не делалось попыток описать переходный режим. В п. 2.6 рассматриваются дрейфовые солитоны — когерентные состояния с возмущениями большой амплитуды. Как раз в настоящее время дрейфовая турбулентность стала предметом широких исследований, и в § 3 рассмотрены вопросы нелинейной теории и флуктуационных измерений, связанные с этой проблемой.

В плазме, где тепловое давление составляет заметную долю давления внешнего магнитного поля, коллективные дрейфовые колебания имеют флуктуирующую компоненту магнитного поля, создаваемую осциллирующим плазменным током и по направлению ортогональную внешнему магнитному полю. Явления аномального переноса, связанные с этой компонентой, обсуждаются в § 4. Перенос вновь зависит от корреляции движения частиц с флуктуациями поля. Механизм переноса, связанный с магнитными флуктуациями, оказывается важен в основном для электронов. В п. 4.6 обсуждается основанное на этом механизме явление аномальной электронной теплопроводности. Развитие малых флуктуаций магнитного поля, ответственных за аномальный магнитный перенос, может быть связано с дрейфовой неустойчивостью или коротковолновой дрейфовой тиринг-модой. Перенос плазмы конечного давления за счет развития этих мод до настоящего времени экспериментально не измерялся. Теоретически проблема аномального переноса, связанного с электромагнитными флуктуациями, обсуждается в §4. Следует сказать в заключение, что точной математической теории аномального переноса построить не удается. Это связано с нелинейным и самосогласованным характером явления. В основе нашего понимания процессов аномального переноса лежат вместо этого различные приближенные физические теории, каждая из которых объясняет определенные черты наблюдаемого поведения плазмы.

АНОМАЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ЗА СЧЕТ ДРЕЙФОВЫХ МОДПРИ НИЗКОМ ДАВЛЕНИИ ПЛАЗМЫ

Развитие дрейфовой, неустойчивости связано с модами коллективных колебаний плазмы, удерживаемой в магнитном поле. Линейная теория дрейфовой неустойчивости рассмотрена А. Б. Михайловским (см. т. 1). За развитие дрейфовых неустойчивостей ответственны радиальные градиенты плотности и температуры исходного равновесного распределения плазмы. Неустойчивые моды оказываются сильно вытянутыми вдоль магнитного поля. Поперечная длина волны 2тс/й±может быть как больше, так и меньше ионного гирорадиуса pz=c(m/Ti) ^^В, но всегда мала по сравнению с характерными масштабами неоднородности плотности ги и температуры гт плазмы

1\ dn1\ dT

тпп drrTТ drх '

Параллельная длина водны 2тс/кlf измеряется в масштабах гп

или гт и в типичных случаях оказывается в 50—100 раз короче этих размеров. Если размеры гп и гт велики по сравнению с ионным гирорадиусом, дрейфовые колебания имеют частоты со^ много ниже ионной гирочастоты ^ci=eiB!miC. Частота осцилляций характеризуется диамагнитной дрейфовой частотой со*;, которая определяется выражением

, dni

*1 У е^Вп^ dr - х 7 Диамагнитная дрейфовая частота возникает из-за движения частиц плазмы с диамагнитной дрейфовой скоростью

vdj=cBX Nn^T^e^n^B2,

возникающей в неоднородной плазме при наличии градиента плотности частиц сорта / (см. статью М. С. Рабиновича в т. 1).

Наибольший интерес из этих волн представляет электронная дрейфовая волна, которая имеет в длинноволновом пределе частоту со=соь, где

w*e kyVde — 1 + ^2^ р2 — Г+^у '

Слагаемое в знаменателе (3), содержащее р=с^тгТеу/2,егВ, соответствует дисперсии, связанной с ионной инерцией. В низкочастотном случае учет инерции ионов ведет к появлению в плазме поляризационного тока

jp=(c2n./ni/B2) (JE± fdt^

(см. статью М. С. Рабиновича в т. 1). В электронной дрейфовой волне, описываемой уравнением (3), электроны адиабатически осциллируют в медленном электрическом поле волны подобно тому, как это происходит в ионно-звуковых колебаниях. Благодаря диамагнитному дрейфу дрейфовая мода колебаний, распространяющаяся почти перпендикулярно магнитному полю (так что kX\Cs<^tok<^k^x)ey расщепляется с ионно-звуковой. При конечных р=8лр/В2 дрейфовые колебания распространяются в таком интервале продольных фазовых скоростей с8< ^hik^ <vA [где иА= =В/ (^лп^)^2 и с8=(Те1тгУ/2 соответственно альвеновская и ионно-звуковая скорости], что происходит их расщепление и с альве7 новской модой колебаний. Для р=рлр/В2>1/10—1/5 область нег устойчивости исчезает вообще, за исключением специальных случаев, когда отношение градиентов температуры и плотности принимает некоторые особые значения [1].

Так как частоты рассматриваемых колебаний малы по сравнению с ионной циклотронной частотой, основное движение электронов и ионов поперек*магнитного поля происходит в направлении дрейфа ведущих центров частиц в скрещенных полях

сЕ/В czX^W

с поправками порядка (Ой/toci за счет поляризационного дрейфа ионов. С осцилляциями скорости частиц за счет дрейфа (4) оказываются связаны и локальные флуктуации потока частиц п^е, где пА^, tY РАХ» 0—плотность и Давление частиц [моменты функций распределения f^xvt^Y В первом приближении по амплитуде колебаний усредненный поток от флуктуаций П}\Е равен нулю. Однако во втором порядке по амплитуде дрейфовых колебаний в общем случае уже появляются потоки частиц Г, и тепловые потоки Qj.

В силу того, что эти потоки часто на несколько порядков превышают потоки, связанные с кулоновскими столкновениями частиц (см. статью Хинтона в т. 1), они получили название аномальных. Результирующий поток частиц находится усреднением осциллирующего потока по соответствующему пространственно-временному объему.-‘

Флуктуирующие термодинамические величины nAxtY рАх^А электрическое поле Е(х/), электростатический потенциал <р(х/) в турбулентной плазме наиболее удобно задавать с помощью фурье-разложений

tij (х t) =^nf (6) exp (i kx — io.V);(5)

рДх^^^рД^ехр^к-х — Ы);(6)

a

<p (x7) =2?(^) exP (ik-x — i®7),(7)

ft

где пАЦ, pA^Y ф(^)—фурье-компоненты соответствующих величин (для краткости обозначено &=kw). -Аналогично (5) — (7) по фурье-гармоникам раскладываются и остальные величины Е(х/), бВ(хО и vE(xtY Так как все физические величины действительны, должно быть выполнено условие гаД—k)=n*AkY и под

+ 00

понимается J da)^ . Хотя в теории аномального переноса су- (О—00

ществует много корреляционных функций, для нас в особенности важен km-спектр двухточечной корреляционной функции для потенциала ф(х^). Для спектра флуктуаций потенциала обычно вводится обозначение /(кю), или сокращенно Д,

<<р (R, Г) у (R+r, Т +/)> = ^ I (ka>) exp (ik - г — i wt) =ft

+ оо

=2 J§-/k(®)exp(ik.r-i Ы),(8)

ft —oo

что эквивалентно условию

<<p(kV)<p(kw)>=7k(c»)6k+k, •2лб((o+(o,).(9>

Пространственно-временное усреднение в уравнениях (8) и (9) легко удается выполнить, так как введенные выше пространственно-временные масштабы для дрейфовых волн сильно отличаются от макроскопических пространственных масштабов гп и гт и характерного времени аномальной диффузии Чв—г^п/В, где В = = ^]rH^ (cTjeB) —максимальный коэффициент аномальной диффузии. Корреляционная функция, определяемая усреднением по промежуточному пространственно-временному объему, сохраняет параметрическую зависимость /^(RT) от макроскопических пространственно-временных масштабов RT.

Случай электростатических дрейфовых колебаний. Диффузионный и тепловой потоки. Общее соотношение, связывающее аномальные потоки со спектрами флуктуаций полей и частиц, можно получить, выделяя среднее в локальных выражениях для потоков.

Вычислив средние по пространству времени от потока частиц п^)Е и теплового потока (3/2) р^я, найдем выражения для аномальных потоков

Гу til у ^у Im [ Ге Jк

где амплитуда флуктуирующих полей соответствующим образом нормализована. Коэффициент Вв=сТе1еВ в 16 раз превышает так называемый бомовский коэффициент диффузии. В ранних работах по удержанию плазмы бомовский коэффициент диффузии (1/16) {cTefeB) использовался как характерный масштаб скорости диффузии плазмы, хотя сейчас в это выражение не вкладывают особого теоретического или экспериментального смысла.

В уравнениях (2), (10), (11) использована стандартная система координат, применяемая при исследованиях дрейфовых волн. Направление z выбрано вдоль локального магнитного поля, х берется в направлении градиента плотности \п^ или температуры VT(r), а ось у направлена взаимно перпендикулярно В и Vn(r), т. е. y=zXX дополняет систему координат до правой. Под Pj и Qj в уравнениях (10) и (11) имеется в виду х-компонента этих векторов. Позднее мы покажем, что в общем случае х-компонента оказывается единственной, не обращающейся в нуль. Выражения для потока частиц Г; и теплового потока Qj показывают, что в окончательное выражение для потока дает вклад только та. составляющая флуктуаций давления или плотности, которая находится не в фазе с колебаниями потенциала. На рис. 1 показано, как возникает эта зависимость от разности фаз. В данный момент времени ^ и в данной точке 20 на силовой линии магнитного поля изолинии потенциала [ср(х, у, 20, /o)=rconst] являются линиями

foka для дрейфа ведущих центров частиц поперёк-магнитного поля [уравнение (4)]. При осцилляциях поля с . частотой о ведущие центры колеблются вдоль своей линии. тока с, амплитудой vW(—i<o). При достаточно больших амплитудах электрического поля k-vE~<o ведущий центр проходит, за один период осцилляций всю длину волны колебаний электрического поля. Более типично, однако, что нелинейное насыщение дрейфовой неустойчивости произойдет до того, как будет достигнут этот высокий предел по амплитуде. Так. как поток несжимаем V-Ve=0, начальные неоднородности плотности пДг) и давления pj(r) переносятся за счет ЕхВ- осцилляций вдоль линий тока. Когда вариации биДх/) и брДх/)

Рис. 1. Структура возмущений в дрейфовой волне: -

а — вариации электрического потенциала поперек магнитного поля в определенный момент временя. В плоскости перпендикулярной Bz', контуры <р = сопэ^ . представляют собой линии ЕхВ дрейфа частиц плазмы; б — вариации плотност в дрейфовой волне. Колебания скоррелированы с вариациями ф, но сдвинуты относительно них по фазе; в — вид сверху на линии уровня колебаний потенциала (а), плотности (б) в дрейфовой волне. Изображен случай, когда колебания й?г

и ф происходят в фазе; г — колебания бп и ф сдвинуты по фазе на ф^.ф

находятся в фазе с колебаниями ф(х/), что показано на рис. 1,6? концентрическими линиями уровня ср и 6п^ поток наружу в точности компенсируется потоком внутрь. Напротив, если максимум колебаний плотности сдвинут по фазе на фбп,Ф по отношению к максимуму колебаний потенциала (рис. 1,г), потоки уже не балансируют друг друга, так как плотность потока плазмы, текущего в одном направлении, больше плотности потока, текущего в другом направлении. Например, электронная дрейфовая волна, которая в соответствии с уравнением (3) распространяется в направлении у^=(сГе/^Вгп)у, будет иметь избыточный поток частиц в направлении [—Vne(r)], если колебания плотности опережают колебания потенциала по фазе. Дрейфовая волна, связанная с градиентом температуры ионов, распространяется в направлении Уал— =—^сТг1еВгт№ и имеет избыточный тепловой поток в направлении [—Vpi^r)^ если осцилляция потенциала опережает по фазе осцилляции давления ионов. . -

Вычисление разности фаз в состоянии-нелинейного насыщения представляет собой сложную задачу. В действительности, однако, насыщение-линейного роста неустойчивости обычно бывает связано 368"

С нелинейной динамикой какого-либо одного сорта частиц. Фазовые соотношения для поля определяются при этом частицами-1 другого сорта — фоном, изменения которого хорошо описываются квазилинейными уравнениями. Для электронной дрейфовой волны обычно бывает, что ионная динамика' становится нелинейной, а фазовые соотношения определяются квазилинейным электронным от-' кликом. Это связано с тем, что характерное время корреляции движения электронов с волной 1/Д^нУе оказывается мало по сравнению с временем корреляции для движения ионов 1/Agja,. Поэтому взаимодействие с ионами первым подвергается сильным изменениям при увеличении амплитуды электрического поля. Таким образом, если установлено, что отклик частиц сорта / можно считать квазилинейным, флуктуирующие термодинамические величины /г;(6), рз^ вычисляются непосредственно из низкочастотной (о><^ <^(Ocj) флуктуирующей добавки к функции распределения 6fj(&, v)t- определяющейся выражением

^Jk,V\ = — т+ шт4--г- Л — U't v)U 6), 12).

где /Дх, е, t) — фоновая функция распределения с характерным: масштабом изменения в пространстве и времени соответственно гп. й r\ID и где е=и2/2— кинетическая энергия на единицу/массы.. В уравнении (12) g^(v)—интеграл от флуктуирующего электрического поля по траектории частицы. В простейшем случае бесстолкновительной неоднородной плазмы g-^(v) = (ш— ^г^ -|=-io)“\. Однако для конкретных задач функция §ЛДУ) имеет много различных представлений. В дальнейшем нам понадобятся два основных свойства этой функции (называемой пропагатором), вытекающие из условий действительности и причинности для электрического поля:

g-k(v)=— g*h(v) (13)- И -

-Im^(v)^0. (14)^

Условиям (13) и (14) пропагаторы удовлетворяют также и в конфигурациях с более сложной геометрией и при наличии турбулентного или столкновительного уширения.

Если известна флуктуационная добавка £fj(kt v), то, используя' условие (12), можно рассчитать флуктуации термодинамических: величин п^Ц, рз^ и аномальные потоки Fj и Qj.

При этом, например, входящее в (10) произведение принимает вид:

Im [<р* (ft) П; (Л)] = I <р (k) р J do (^^-+^57) (v). - ‘ (15)

Рассмотрим теперь фазовый сдвиг. электродного отклика 6fek(y). Оценим сначала условия, при которых можно, пренебречь 24—3283 369 >

нелинейным уширением пропагатора ^®a(v), входящего в состав выражений для riei.lt') и ре<^.

Перенормированная квазилинейная теория дает для дрейфовых волн следующие оценки времени нелинейной декорреляции: ^Д^Оц)]1^— за счет продольной диффузии и ^-^ — за счет по. перечной диффузии. При каких условиях нелинейная декорреляция мала по сравнению со скоростью линейной декорреляции &|]У„? Первое условие имеет вид:

(^ HDH ) ,/3/^11Уе = 0JVe = (^0/7е)2/3 « 1 ,

тогда как второе приводит к соотношению

^1^/^=: ^г2» (®-/А||Уе) (eVo/7e)2 < 1

для е%/Те<11к1гп. Здесь % = <<р2 (%/)>'/2- ^ц,^, <о_—средние волновые числа и частоты в спектре флуктуаций. Применимость квазилинейного приближения для электронов, таким образом, оказывается хорошо оправданной, так как максимальная амплитуда рассматриваемых колебаний будет ограничена условием ^^Те^МкдГ^ Теория турбулентности с учетом перенормировок рассмотрена в [2].

Фазовый сдвиг в электронном отклике на дрейфовые флуктуации для двух важных предельных случаев выражается в явном виде. Поскольку время прохождения электроном длины волны в параллельном направлении 2л/^пип мало по сравнению с периодом колебаний, выражение для флуктуаций плотности можно представить в виде

»eW = «e[l-i6eWl^,(16)

1 е*

где первая поправка к синфазному отклику имеет порядок ^/й^)2^!. Аналогичное уравнение справедливой для флуктуаций давления ре(^. Если мы знаем квазилинейную зависимость пе^—ф(&), то аномальный поток может быть представлен в виде

r = «e(§)£W)|-^|2.(17)

Аналогичная процедура позволяет получить подобную же формулу для Qe. Общие выражения будут получены ниже.

Функция 6е(&), входящая в выражения (16) и (17), определяется диссипативной частью электронного пропагатора Img^tO. Если длина свободного пробега электронов Xmfp=Vehe велика по сравнению с параллельной длиной волны, резонансная часть электронного пропагатора имеет вид:

1т5%(у)^--и8(<о-^||У1|).

Если же длина свободного пробега короче параллельной длины волны 2л/ ^н , то электроны уже не движутся свободно вдоль магнитного поля, а диффундируют в пространстве с коэффициентом D^v) =vek2mfp = v2lve. Электронная диссипация определяется теперь членом

1т^% = 1т(о)-^||У|| +iCe)^', где iCe— кулоновский столкновительный оператор. Если использо- вать лоренцево приближение для 1Се, то

Im <5%> =Im (“ + i&2 иу7ve) ’ ‘ в случае ^> й^ и

Im </й> = 1с/(2й||У)

для Ve<^„ye.

Здесь <gek(y)>— усредненная по углам функция электронного отклика и

«ve—2п«ее42Эф In Л/т26и3е.

Кох и Хортон [3], используя лоренцев столкновительный оператор, нашли общее выражение для электронного отклика.

Хортон [4] и Тэнг [5] показали, что дрейфы ведущих центров частиц (градиентного и за счет кривизны) и захват частиц между магнитными пробками необходимо учитывать при вычислении Imgefe(v) в задачах о магнитном удержании плазмы.

Вычислим теперь скорость электронов

fdv(^^_~^1llm<g-i(v)>,

J \ В дх т> ое /

через которую выражается и функция 6е(^). Для найденных выше значений Im <gek> функция 6е(&) имеет предельные представлен ния

(18)(19)(18)(19)

(18)

(19)

(18)

(19)

Здесь имеется в виду, что электроны описываются локальным распределением Максвелла — Больцмана

Д(х, e)=fMe[e, пе^, Те(х)]

и qe обозначает отношение градиентов плотности и температуры:

(20)(20) dTe / (_l_dnA /

(20)

(20)

U ~ Те 57 I l^e dX ) “ Г" ГГ

В заключение укажем, что фазовый сдвиг, показанный на рис. 1, связан с beW соотношением

i|)6n,v=arcsin [^(1+б2е)1/2]

и формула (3) для дрейфовой частоты легко может быть понята следующим образом. Осциллирующая часть ионного уравнения непрерывности дает

wit ^ = ne • ^гц (г) + V • («ЛР) = i ti-i (®*е - ^P2®) (^ WJeY

тде Np — ^mJieiB^^dEJdty, комплексная частота св = o>k 4* ' Y^ = = ^*/[1 + ^2дР2 " i ^?1 может быть найдена теперь из условия квазинейтральности Пг^^Пе^к), где для пе^ использовано выражение (16), а величины ре, о)*е и Ъе были определены выше в этом разделе. Отсюда ясно, что плотность энергии дрейфовых волн состоит из электростатической потенциальной энергии электронов VXI^nee^klTe и кинетической энергии ^M^nim^E^ поперечно- то ЕхВ движения ионов. В сумме эти два вклада дают окончательное выражение для Wk в долях тепловой энергии пТе:

^_-L[l+^ р=] ^ .(21)

Этот результат используется и в квазилинейном и в нелинейном анализе.

Полная энергия флуктуаций

W (k) = ^ J dr [<ра + (v±?)2] к

при этом должна быть мала по сравнению с плотностью тепловой энергии.

Термодинамика аномального переноса. В работах [6, 7] показано, что ^с аномальным переносом частиц и энергии за счет дрейфовых флуктуаций связан некий положительно определенный функционал, соответствующий скорости роста внутренней энтропии. Этот функционал важен для понимания термодинамики и устойчивости переноса в системе. В термодинамической теории устойчивости [8] положительно определенный функционал производства энтропии ■служит функцией Ляпунова, определяющей устойчивость .стационарного состояния системы к тепловым отклонениям.

В общем случае потоки частиц и теплоты возникают в конфигурациях плазмы, где имеются сложные комбинации градиентов плотности и температуры, особенно при наличии сильных градиентов температуры ионов. В работе [9] приведен интересный пример, как в геометрии токамака поток частиц может оказаться направленным внутрь (т. е. по градиенту плотности), в то время как тепловой поток идет наружу .(т. е. против градиента температуры). В бесконечном плазменном слое с противоположно направленными градиентами ^плотности и температуры, возникающем, например, при нагреве на фазе ски- 372

пирования тока, возникает сложная картина противоположно направленный потоков частиц и теплоты По]. в таких ситуациях необходимо убедиться в том, что потоки частиц и теплоты удовлетворяют второму закону термодинамики и не возникает никаких физических противоречий. Физической основой аномального увеличения энтропии служат дальние взаимодействия частиц плазмы за счет коллективного электрического поля.

Уравнения переноса для макроскопической системы можно получить, усредняя микроскопические уравнения по пространству и времени. Аномальный поток частиц Гу и аномальный тепловой поток qy представляются в виде векторов с ненулевой компонентой в направлении макроскопических градиентов. Атомные реакции дают источники заряженных частиц Sy (г, /), а тепловые источники, получаемые за счет атомных реакций, вспомогательного нагрева и радиационного охлаждения, обозначаются РДг, /).

Макроскопические транспортные уравнения после этого имеют вид:дп$ ’'

dF + v-r^S^r, Z)(22)

И

"дГ (Т niTi^ + V • Q/ = pi —(23>

где макроскопические потоки определяются выражениями

Г; = <Л;СЕХВ/В2>;(24)

Q/ = (-Т njTjCE X В/В^=4" T^i + Ч/(25)

И

^=-<^.Е>=(?^-)-(26)

3

Здесь qj — тепловой поток относительно конвективного потока энергии—ГуГу. Поток энергии между флуктуирующим полем и тепловой энергией /-й компоненты плазмы определяется величиной Wj. Рассматривается электростатическое коллективное поле Е=—Уф(г, О- Электромагнитные флуктуации рассмотрены в п. 4.1.

Для дрейфовых колебаний квазинейтральность сохраняется с точностью до ^^VD, как на линейной, так и на нелинейной фазах. Из условия квазинейтральности

?Q=2eA = 0-

i следует, что поток частиц является амбиполярным и суммарный поток мощности обращается в нуль:

2е/г/=°- 2^=°-<27>

Для того чтобы термодинамические величины пДг, /), 7y(r, /) могли обеспечить хорошее и экономное описание плазмы, нам придется ограничиться случаем достаточно частых кулоновских столкновений,' способных поддерживать в плазме

локальное распределение Максвелла — Больцмана ЕмДа2) в течение процесса аномального переноса. Определим этот режим условием ve>v*, где v* — критическая частота столкновений, которую мы найдем в п. 2.7, анализируя эволюцию исходной функции распределения. Эта критическая частота столкновений зависит от уровня флуктуаций. Так как мы считаем, что распределение Максвелла — Больцмана продолжает описывать рассматриваемую нами конфигурацию, характерная микроскопическая частота диамагнитного дрейфа имеет вид:у- ;

еТ!Г / т;и% 3 \ 1

(у2) ~ e.g kXb •+ Х2 у ”2т\”2" j ] ’(28)

где

Xh = tij и ^1t = Tj *(29^

Будем считать, что Хц и X2j параллельны, и определим их отношение как 'H.^Xj^/Xjb

Микроскопическая флуктуационная добавка к функции распределения может быть найдена из кинетического уравнения. В общем случае амплитуда флуктуаций оказывается уже настолько велика, что, как показано в [2], для описания взаимодействия частиц с флуктуациями при вычислении компоненты §hkW необходимо учитывать секулярные вклады высших порядков. Если в общем случае ввести для частиц пропагатор g5k(v), то флуктуирующая часть распределения может быть представлена в виде

f/» (V) = — —7^—= {t =- [® — W* j (о2) ] gift (и)} <8 (£)•(30)>

Перенормированный пропагатор в плоской геометрии, например, выражается; соотношением

(k^V^/tocj^

= to — k^u^-*kyVDj-V^fe *

Т^ Ъ^^ ImjCv^/SejBXdln Вfdx) — скорость дрейфа ведущего центра и ivh — частота резонансного уширения. В работе [И] при рассмотрении явлений переноса использовались пропагатор g4t вычисленный для случая тороидальной геометрии, и лоренцев столкновительный оператор для расчета резонансного' уширения. Общие свойства gjk(v), следующие из условий действительности и причинности gjk(v)=—g3*k(v) и —Img^^O, приведены нами выше [уравнения; (13) и (14)].

Из формул (10), (11) и (24)—(30) можно найти выражения для потока' частиц и теплового потока

Г СкХ^

г, = — пЛ dk I dvl, w F^ (v«) -^g- -gr- [ю-®*, (v:) ] Im 6!k (v);(31)

P Cc^i kXb

q/ = - n,Tj j dk J dvl; ^ F^ (v2) -^g- -^- X

x ("St™ "t) ^ ~ ^ ^iIm ^ ^^

и потока передачи энергии'

Wj = n-Tj ^dk^ dvlj (k) F^ W ю [® - «,/ (o2)] Im g /* (v).(33)

Нормализованная спектральная функция распределения Л(&), входящая в уравнения (13) — (15), определяется условием

<^У(г, n/T^^dkijOY

Из уравнений (31) — (33) следует, что все аномальные потоки представляются в виде суммы вкладов от всех частиц и всех флуктуаций, которые входят с весом —Im g1^ (v), соответствующим интенсивности взаимодействия частиц и флуктуаций.

Возникновение аномальных потоков Г;, q^ и Wj связано с тремя «движущими силами»

Хн=у1ппь X2J=VlnTj и Х3=Т-^—T^w,

где Т№ — эффективная температура плотности энергии флуктуаций W=nwTw и nw — число мод флуктуаций на единицу объема. Во всех представляющих интерес случаях Tw^Tj, так что движущая сила Т-1з—T-1w сводится к Х3=1/Т,.

Каждая компонента изменения энтропии, например создаваемая потоком^ частиц вдоль градиента плотности, может быть как положительной, так и отрицательной. Полное производство энтропии а = — 5 J. Xа, однако всегда

оказывается положительным. Складывая производство энтропии за счет потока частиц °vzl= —ГХ\, за счет теплопроводности <з^т =—q-X^T и за счет энергопередачи dw =—^Х3=—^jTj, легко показать, что полная скорость увеличения внутренней энтропии определяется выражением

о,= — ^dk^dvl W ^(v2) Img/*(v) ^/®X,--§-kXb[x,+

+ *,>0.(34)

Если теперь обратить внимание на то, что для «замороженного» спектра флуктуаций 1^ функционал производства энтропии Gj^) играет роль потенциала, можно прийти к принципу минимума производства энтропии. Из уравнения (17) следует, что

1 даJi = r= —~Г"дхГ:1 даJi = r= —~Г"дхГ:11

1 да

Ji = r= —~Г"дхГ:

1 да

Ji = r= —~Г"дхГ:

1

1

(35)(35)1 да

(35)

(35)

J, = q/7 = —— "дХГ'

J3”^+Q хг2 дХ>"

Потоки в уравнениях (35) приведены к канонической форме /а= =—-^ да/дХа, и отсюда следует, что в состоянии, соответствующем абсолютному минимуму а (Ха), все макроскопические потоки равны нулю.

Уравнения Переноса (22)Уравнения Переноса (22)и (23) можно выразить через обобщенные по

Уравнения Переноса (22)

Уравнения Переноса (22)

токи /а

^L=_v.j, + S;;(36)

дТ;>з

1Г^ -^^-/з + ^-^^у.(37)

В термодинамической теории устойчивости Гленсдорфа и Пригожина [8] устойчивость транспортных систем исследуется с помощью функционала Ляпунова, который удается найтиу используя положительную определенность функции о — производства энтропии

Р ^ = ^\dra W'<38>

Из уравнений (36) и (37) можно получить теперь скорость изменения P(f) благодаря возмущениям стационарного состояния

Так как функционал Р(Ц представляет собой положительно определенное выражение, условием асимптотической устойчивости служит dP(t)ldt<^. Уравнение (32) гласит, что тепловая неустойчивость может возникнуть только за счет

наличия в системе источников и стоков. Уравнение (39) дает достаточные условия тепловой устойчивости в виде параметрической зависимости от функций S (л, Г) — источника частиц и Р(л, Т) — источника теплоты.

Экспериментальное исследование процессов аномального переноса» Как показывают общие экспериментальные исследования, в спокойной, стационарной плазме всегда имеются осцилляции дрейфового типа. Осцилляции идентифицируются как дрейфовые при изучении пара-

Рис. 2.. Результаты экспериментального исследования столкновительных: дрейфовых волн [11, 12]: а —профиль плотности плазмы ле(г): б— амплитуды волны плотности и волны потенциала; в — фазовый сдвиг между волной потенциала и опережающей ее

волной плотности Ф^ ^

метрической зависимости частоты и длины волны от физических параметров, входящих в линейное дисперсионное уравнение. С точки зрения аномального переноса особый интерес представляют эксперименты Хендела1 и др. [11, 12] по столкновительным дрейфовым волнам и эксперименты Брасье и др. [13, 14] по бесстолкновительным дрейфовым колебаниям. В обоих экспериментальных исследованиях измеренные фазовые сдвиги между колебаниями плотности и потенциала хорошо согласуются со значениями, найденными по квазилинейной теории для электронов.

Эксперименты- по столкновительным дрейфовым волнам выполнялись в Q-машинах, в которых T\e = d In Те/d In n^Q,

Диссипация электронной дрейфовой моды при этомюпределяет-

Рис. 3. Результаты экспериментального исследования столкновительных дрейфовых волн [11, 12]:а — поперечные потоки частиц Г(г): F^ — св язанные с дрейфовой турбулентностью, Fe_^r^ связанные с кулоновскими соударениями; б — коэффициенты аномальной диффузии D^rY-' D,t — за счет взаимодействия с дрейфовой турбулентностью, "De-i — за счет столкновительных процессовРис. 3. Результаты экспериментального исследования столкновительных дрейфовых волн [11, 12]:а — поперечные потоки частиц Г(г): F^ — св язанные с дрейфовой турбулентностью, Fe_^r^ связанные с кулоновскими соударениями; б — коэффициенты аномальной диффузии D^rY-' D,t — за счет взаимодействия с дрейфовой турбулентностью, "De-i — за счет столкновительных процессовся конечной проводимостью , плазмы, и электронной теплопроводностью вдоль магнитного поля. Диссипация определяется уравнением (19) с точностыр до константы, которая зависит от коэффициентов, входящих в формулы для тепло- и электропроводности плазмы.

Рис. 3. Результаты экспериментального исследования столкновительных дрейфовых волн [11, 12]:

а — поперечные потоки частиц Г(г): F^ — св язанные с дрейфовой турбулентностью, Fe_^r^ связанные с кулоновскими соударениями; б — коэффициенты аномальной диффузии D^rY-' D,t — за счет взаимодействия с дрейфовой турбулентностью, "De-i — за счет столкновительных процессов

Рис. 3. Результаты экспериментального исследования столкновительных дрейфовых волн [11, 12]:

а — поперечные потоки частиц Г(г): F^ — св язанные с дрейфовой турбулентностью, Fe_^r^ связанные с кулоновскими соударениями; б — коэффициенты аномальной диффузии D^rY-' D,t — за счет взаимодействия с дрейфовой турбулентностью, "De-i — за счет столкновительных процессов

На рис. 2,а показан средний профиль плотности в устойчивом состоянии nOs(r) и при наличии дрейфовых волн nowV^ Амплитуда колебаний плотности к потенциала изображена иа рис. 2,6, и, наконец, на рис. 2,в показан фазовый угол Ф^*, на который волна плотности опережает волну потенциала.

На рис. 3 показан поток частиц r(r)=F^=<nePa>, вычисленный исходя из значений амплитуды и фазы, приведенных на рис. 2. Поток частиц Г (г) оказывается на порядок величины больше, чем столкновительный поток Fe-i, также изображенный на рис. 3. Здесь величины Fe-i,s и Fe-i,w означают столкнови- тельные потоки, вычисленные соответственно для профилей "плотности Поз(г) и nOw (г), изображенных на рис. 2,а. Аномальный поток частиц, показанный на рис. 3,ц, и аномальный коэффициент диффузии D(r), представленный на

Г(г)= — D (г)Г(г)= — D (г)dn (г)drdn (г)drрис. 3,5, связаны простым соотношением

Г(г)= — D (г)

Г(г)= — D (г)

dn (г)dr

dn (г)dr

В экспериментах [13, 14] по бесстолкновительным. дрейфовым волнам в стационарной, спокойной водородной плазме удалось установить природу аномального переноса частиц и теплоты в бесстолкновительном режиме.

В этих экспериментах профиль электронной температуры TeIF) варьируется так, что параметр T)e=d In Teid In /^ изменяется в диапазоне от 0,2 до 1. Возникающие изменения в фазором сдвиге между колебаниями плотности „и лотен-

мых по измеренным амплитудаммых по измеренным амплитудамРис. 4. Результаты, экспериментов [14] с бесстолкновительными дрейфовыми волнами. Показаны равновесная плотность плазмы и амплитуды колебаний плотности, электронной температуры и потенциалаРис. 4. Результаты, экспериментов [14] с бесстолкновительными дрейфовыми волнами. Показаны равновесная плотность плазмы и амплитуды колебаний плотности, электронной температуры и потенциала

мых по измеренным амплитудам

мых по измеренным амплитудам

Рис. 4. Результаты, экспериментов [14] с бесстолкновительными дрейфовыми волнами. Показаны равновесная плотность плазмы и амплитуды колебаний плотности, электронной температуры и потенциала

Рис. 4. Результаты, экспериментов [14] с бесстолкновительными дрейфовыми волнами. Показаны равновесная плотность плазмы и амплитуды колебаний плотности, электронной температуры и потенциала

циала, которые приближенно можно определить с помощью уравнения (18), приводят к уменьшению инкремента неустойчивости и переноса частиц при увеличении параметра т]е. Амплитуда волны и фазовый сдвиг, измеренные в эксперименте, уменьшаются с увеличением т)е, как и предсказывает теория. Измерения осцилляций плотности и электронной температуры показаны на рис. 4. Фазовые сдвиги Ф6л, ф и ф6г> Ъп, полученные в этом эксперименте, изображены на рис. 5. Колебания плотности и электронной температуры опережают колебания потенциала соответственно на 30 и 50°. Вычисление линейного электронного отклика с самосогласованным значением <о/& „ ие объясняет эти измерения фазовых сдвигов.

Аномальный поток в этих экспериментах превышает обычный столкнови- тельный поток на три порядка. Общий массоэнергобаланс эксперимента объясняется при учете аномальных теплового потока и потока частиц, рассчитывае-

Рис. 5. Фазовые сдвиги ф5/г ф — между коле баниями плотности и потенциала и ф§/7 §г — между колебаниями плотности и темпера туры, полученные в экспериментах с бесстолкновительными дрейфовыми волнами [14] (см. также рис. 4)

ВременаВременаи фазам дрейфовых осцилляций.

Времена

Времена

удержания по энергии и частицам те, тр определяются по скорости распада профилей Те и пе после выключения источников плазмы и теплоты. Скорости распада, наблюдаемые в эксперименте, согласуются со скоростями, вычисленными по аномальным потоку частиц Г и тепловому потоку qe.

Дрейфовые волны конечной амплитуды в слабонеустойчивых системах. Для систем, параметры которых находятся не слишком далеко за порогом устойчивости, имеется разработанный алгоритм определения амплитуды насыщения роста неустойчивых колебаний. В основе этого метода лежит картина перехода к турбулентности, предложенная Ландау, в которой для случая небольшой надпороговости системы учитывается развитие только нескольких взаимодействующих друг с другом мод колебаний. Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных 378

для полей <p(xf), &Пз(хГ) и bTj^xt) решаются в этом пределе с помощью разложения по малому параметру А, который соответствует степени надпороговости системы. Разложив по степеням Д1/2 как поля

так и нелинейные операторы

О =:О<0) 4-ДО(2) , а а I а можно получить систему уравнений, которая во втором порядке малости описывает возникновение гармоник и изменение исходной функции распределения, а в третьем порядке дает нелинейное дисперсионное соотношение

ек^Ч- ^(1)12' д)=°-

Условие исчезновения комплексности в нелинейном дисперсионном соотношении определяет нелинейную амплитуду осцилляций | г^С1) 12 = ^(Д) и нелинейный сдвиг частоты колебаний Sco/^^g^A). Такие расчеты были выполнены для ряда проблем, связанных с развитием дрейфовых волн, и, в частности, легко позволили объ- * яснить насыщение роста столкновительной дрейфовой неустойчивости, развитие которой наблюдалось в экспериментах Хендела и др. [И, 12].

Предел роста амплитуды столкновительных дрейфовых колебаний. Критическим параметром, изменения которого приводили к дестабилизации системы, в экспериментах [11, 12] служило магнитное поле А=(В—Вс)/Вс. Порог неустойчивости определялся из условия баланса инкремента

связанного с поперечной инерцией ионов, и декремента Y^^-M.-^p,)4

(где pio=O,3), связанного с ионной вязкостью. Градиент электронной температуры в экспериментах на Q-машине можно считать пренебрежимо малым, г)е~0. Для В^~> В >Ве раскачка превышает затухание для единственной азимутальной моды низкого порядка т0, «во. Гармоника 2/По, 2®о возникает во втором порядке теории возмущений и, как следует из дисперсионного соотношения, не является собственной модой. За счет нелинейной связи эта гармоника поглощает энергию основной моды и испытывает сильное вязкое затухание на 2то. Кроме того, как показано на рис. 1,а, в эксперименте возникает небольшое изменение в профиле плотности плазмы, но это изменение менее существенно, чем затухание гармоники 2т<). Подробно эти громоздкие вычисления выполнены в [15, 16]. В результате получаются довольно простые выражения для амплитуды ак и частоты ю"1 трехмерной дрейфовой моды

пе/пе=ак sin (&хх) sin (k^z) cos (куу—Юк^Ч).

Как частоты, так и амплитуды, найденные в этих расчетах, хорошо согласуются со значениями, полученными в эксперименте. Более простая одномерная теория взаимодействующих мод рассматривалась ранее Стиксом [17]. В [17] были найдены предельные циклы для дрейфовых волн вида

ne[ne=F ^y-Vkz^—tot^.

Амплитуды насыщения, найденные в [17], оказались, однако, чрезвычайно большими и в отличие от трехмерных расчетов не согласуются с экспериментом.

Дрейфовые солитоны. Существует ряд простых бездиссипативных моделей как для локализованных дрейфовых солитонов, так и для когерентных, периодических дрейфовых волн большой амплитуды. Явления переноса отсутствуют в этих моделях, так как они учитывают лишь адиабатический электронный отклик

ne=Noexp (е^/Те).

Как показано в [18], одномерные уравнения для дрейфовых волн содержат член Пефдф/dz/ типа члена, ответственного за укручение фронта волны и гидродинамике. При учете конечной инерции иоиов дрейфовая волна приобретает дисперсию

<Ok=(O»e(l—h2vP2L

что позволяет построить для нее, как это было сделано В. Н. Ораевским и др. [19], решение в форме солитона. Одномерный дрейфовый солитон, найденный В. И. Петвиашвили [20], может быть представлен выражением

^у (х/)ЗиЛ2 Г1

Ф = — F l-g- (y+fez — at) I,(40)

е4evde[J

где A — действительная константа, связанная с азимутальной скоростью и*.

А2= (^—UUde—^C^/U2 И ^(л) = 1/сЬ2(л).

Дрейфовый солитон (40) является решением модельных уравнений

дФ дФдФ ди..

(1 - pV^) -dr+»de-57- №Ф "57 + ^- = 0;

,.(41>

'd2jL=-c= дф .

dt s дх

И. Петвиашвили показал, что одномерный дрейфовый солитон неустойчив относительно распада на возмущения с конечными кх. Двумерные солитоны и их взаимодействие друг с другом позднее исследовались в [21, 22].

7. Квазилинейный предел величины аномального потока. Аномальный поток определяется видом функции распределения частиц плазмы и спектром флуктуаций. Для достаточно низкого уровня дрейфовой турбулентности столкновения (даже если их частота мала по сравнению с дрейфовой) оказываются способны поддерживать в плазме локальное распределение Максвелла — Больцмана по скоростям. Критическую частоту столкновений ve=v*, выше которой их влияние на распределение частиц по скоростям стано- 380

вится доминирующим, можно оценить, сравнивая аномальную* диффузию по параллельным скоростям за счет дрейфовых флуктуаций ' -

^и =1=(еМ)23|£'|| (£)|26>k~ 6пуп)к

с диффузией за счет столкновении ^e^^n^Z^YnNItr^eX)1^ При: анализе диффузии по ун следует помнить, что - резонансные электроны, которые определяют развитие неустойчивости, имеют у^^ ~ уе = (2Те)т^12 и | у |ц<ус = шах (^/^цХ^- Рассеяние резонансных электронов по питч-углам из этого сектора в пространстве скоростей идет СО скоростью ^=Ve(ye/yc)2.

Как впервые показано А. А. Галеевым и Л. И. Рудаковым [23],. при квазилинейном анализе дрейфовой турбулентности критическая частота столкновений v*, определяющаяся конкуренцией квазилинейной диффузии и столкновительного восстановления распределения Максвелла — Больцмана, дается соотношением

где W]nTe— относительный уровень турбулентности, определяющийся уравнением (21), а ус—максимальная параллельная скорость.

В режиме ve>v* инкремент неустойчивости и явления переноса определяются исходя из локального распределения Максвелла — Больцмана, как это делалось нами выше в пп. 2.1 и 2.2. В случае более слабых столкновений ve<v* под влиянием дрейфовой турбулентности происходит изменение электронной функции распределения fe(^, 0±, ун , ty В работах А. А. Галеева и Л. И. Рудакова- [23], Р. 3. Сагдеева и А. А. Галеева [24] получено уравнение, описывающее изменение исходной функции распределения частиц сорта / под действием флуктуаций,

7 k \1,

-^иуц)(43>

II ИМ II ^Уц toCj- дх Iv л

где —jt—=2yk | <pk|2 и Jo = Jo (^v^/w^^.). Дисперсионное уравне

ние в интервале резонансных скоростей

.Св < у n =ajk я ^ис

позволяет найти выражение для инкремента в неустойчивой частит спектра флуктуаций

Y (h — - ^^ f ь " ^ । ^(44Ъ

• к — те | к н |ш»еГ9 к II+ <о« дх ) ’

где

РДх, Уц, /) = ру8(у|( — «^^ИДх, Vr У^ ty (45) Здесь ®к = ^еГ0/[1+г(1-Гв)], где Ге = <J\> = I, (b) ехр (- Ь); '^(^Р-Л г = TejTt.

Следует заметить, что квазилинейные уравнения (43) — (45) могут применяться лишь в случае достаточно широкого спектра флуктуаций, когда ширина интервала параллельных фазовых скоростей Д (ю^/^ц)^ ус велика по сравнению со средней скоростью захваченных частиц Шг= u^W/nT^1/4. Это условие удовлетворяется, если WinJet (Vc/ve)4.

Значение максимальной параллельной фазовой скорости в спектре флуктуаций зависит от конкретных особенностей системы. В бесконечной плоской геометрии, в случае когда отсутствует шир магнитного поля,

Uc^A=Mme№m^^ для ^>те1тг;

ис^е/2 для ^<те1ть

Если, напротив, магнитное поле в системе обладает широм, то, как показано в [25],

ис=Сз(Ь^Гп)1/2 ДЛЯ ^<rn/Ls;

yc=cV'P1/2 Для $>rn/L8.

Для системы без шира, но с конечной длиной Lo v= = max (®k) L„ = cs (Le[rn) < ye.

С ростом уровня турбулентности происходит диффузия элек- тронов, причем по параллельным скоростям она идет более быстро, чем в пространстве. В результате функция распределения эволюционирует к состоянию с «плато»:

Для ®к = ®м и dTe!dx=0 распределение f*1, соответствующее границе устойчивости, совпадает с распределением Максвелла— Больцмана F^ (у). Для шк<а>#е функция распределения, удовлетворяющая (46), имеет более крутую зависимость от ум, что связано с уменьшением параллельной кинетической энергии электронов при излучении волн. Этот интересный эффект «охлаждения» электронного распределения по Уц отчетливо наблюдался в численных экспериментах [26].

Отклонение распределения по продольным скоростям от максвелловской функции ^(Уц) быстро растет с увеличением h^ 382

у рассматриваемых колебаний. Анализ нелинейной трансформации спектра колебаний, к которому мы обратимся ниже в § 3, показывает, что энергия, заключенная в коротковолновом участке спектра k^t = tyi&ltn^12 > 1, эффективно перекачивается в длинноволновую область ^р,^1. Здесь соответственно мы ограничимся рассмотрением спектров |<?к|2, имеющих максимум на таких к^, чт» к^ < 1. Для подобных спектров квазилинейное плато (46) имеет вид:

( те \। . е и у а ,

•в ~е {UJ \ ^Те / I 2^27в А

х[<м'+г(^-4)]}<47>

для Io,, |<ус и f*’=F"(a) для |ап |>ус.

В процессе квазилинейной эволюции по параллельным скоростям от F^e к fepl высвобождается кинетическая энергия

f4-me0aM ф№-^(1У~п-ек— И^ГГ^ 1(48>

J 2 е II 4 е ‘е 1\ Ре / \ 2Ге / I (О— I ’ х Л

где пт=пе^0с1х)е^ —плотность резонансных электронов с параллельной кинетической энергией ~ mev2c. В состоянии с плато плотность энергии турбулентных колебаний составляет

Процесс диффузии к состоянию с плато идет с сохранением величины £=х—ку у2н/2<всео)_, что, как показано в [23], ограничивает смещение резонансного электрона величиной

6х = гп(^-\(49>

\ м е /

В той степени, в какой система достигает состояния с плато, в бесстолкновительной плазме прекращается и процесс аномальной, диффузии.

Теперь, очевидно, необходимо учесть, что столкновения разрушающе действуют на процесс образования плато. Так как резонансные электроны лежат в ограниченном секторе пространства, скоростей! ° и I <Ус и у^^Уе, столкновения преимущественно ведут к питч-угловому рассеянию электронов. Этот процесс можно описать, используя лоренцевский столкновительный оператор

Cfe=ve(y)dx(l-A2)dxfe,(50>

где X = y„/y = cos6, ve(y) = vev (у/о,)

— частота столкновений с учетом зависимости от энергии. Введем

зва

величину. Je — квазилинейный поток в фазовом пространстве:

к ■

-^Un)-^Un)к /к i А_^1.II ди (| I юсв дх Iк /к i А_^1.II ди (| I юсв дх I(51)(51)

-^Un)

-^Un)

к /к i А_^1.

II ди (| I юсв дх I

к /к i А_^1.

II ди (| I юсв дх I

(51)

(51)

Квазилинейный или турбулентный столкновительный «ператор для флуктуаций, имеющих спектр с ^ рг^1, может быть представлен в форме - .

(52)(53J(52)(53Jг — ^е । уч^е

(52)

(53J

(52)

(53J

qle диц ‘ <oceVde дх ’

и полное кинетическое уравнение имеет вид:

В операторе (52) расходимость по У)| оказывается в (ve/vcy раз .важнее расходимости по х, так что функция fe быстро эволюционирует к состоянию, в котором осуществляется баланс

-^_=_^в^дх^-^д^-ич^ ^ [fe-^>)b(54)

Радиальная диффузия определяется оставшимися малыми членами в кинетическом уравнении (53}. Вычисляя моменты функции распределения, вновь придем к уравнениям переноса (22) и (23). Макроскопические потоки Ге и Qe, входящие в эти уравнения, можно выразить через Je*.

Te=-\dN-^-№ -(55)

е J toceyde'

Qe = - ^^^--^-гпЛМе)-(56)

Темп передачи энерии от электронов к дрейфовым колебаниям, как показано в [25], в этих обозначениях может быть представлен в виде

>(57)

Относительная роль обоих механизмов в определении окончательного вида функции fe в уравнении (54) соответствует отношению т* к ve. Для v^>^* распределение fe оказывается почти максвелловским с поправками порядка ^*Ье- Для v*>ve искомое распределение можно представить в виде суммы

где,;

№ = ^ =V4 (У) A- [ff - f” (У)Ь ! (58)

В работе [27] уравнение (58) проинтегрировано по у±. Используя уравнение (46), можно затем показать

дГ!^, =(hX^ (dPWW^Ik^ (^/dx)'

Учитывая теперь соотношения (44), (45), вновь обращаясь к уравнению (58), можно найти связь между инкрементами X^(L) и

у_ (F^ — yM с точностью до множителей порядка единицы это со'

отношение имеет вид:

м

^ft — 1 + Л*/^

Хотя с помощью уравнения (58) нельзя по отдельности определить величины f^ и | <рк |\ можно найти значение их комбинации Je, что достаточно для вычисления аномальных потоков. В первом порядке разложения из уравнений (47) и (58) получаем выражение для J^ • Если 1у„ |-<ус,

ее(59)(59)

е

е

(59)

(59)

Во всем остальном фазовом пространстве /е=0.

Используя уравнения (55) — (57) и найденное выше выражение (59) для потока jw , рассчитаем величины аномальных потоков е

<6о)

»- = -kS£'[-c,(M=+ca1;(«О

®-. = ^2!ZL^y|c.(T1p)--C1i,l,(62)

з

где qe=Qe — — T?e— тепловой электронный поток и

Сп „1/2 J dVlFг (у±) \ ye j v ^J? \ 2 2Те ) ‘^

Для 23ф>1 частота столкновений обратно пропорциональна кубу скорости v(u)^l/u3 и интегралы Сп легко можно рассчитать: Со=С]=1, Сз=^1^.

На границе области сильных столкновений ve=v* формулы (60) — (62) плавно сшиваются с соответствующими выражениями, полученными в пп. 2.1 и 2.2 для ve>v*. Выражение для аномального потока Гв при ve=v„ например, приобретает вид:

Ге necs (WjnT^ (ky?) §_ , где 3_^ (асЧ) 1(£±р)2 - цД.

Выразим аномальные потоки через эффективные коэффициенты переноса

Ге=-О^; qe=-Xed2^. We=^neTe,(64)

где

о=пасд^у-^(65)

Xe = neDAC,-CAk^heV(66)

a Z)o определяется выражением

' а* У -£s^)2^2 ^е*”гп\гп/' а* У -£s^)2^2 ^е*”гп\гп/

' а* У -£s^)2^2 ^е

*”гп\гп/

' а* У -£s^)2^2 ^е

*”гп\гп/

Интегралы Со и С2 положительно определены, знак Сх произволен.

В случае, когда градиенты плотности и температуры направлены противоположно (г]е<0), частицы движутся против градиента плотности, а поток тепловой энергии направлен против градиента температуры. Суммарный поток энергии Qe" ^"Т J -\-qe за счет компенсирующих друг друга вкладов при этом почти полностью исчезает [10]. _

Рис. 6. Коэффициент аномальной диффузии в бесстолкновительной плазме с дрейфовой турбулентностью в зависимости от частоты столкновений. Если ve<v*, квазилинейная релаксация электронной функции распределения ограничивает значение аномального потока

Турбулентная диффузия, таким образом, характеризуется двумя режимами. В случае ve<v* аномальный поток ограничен значением, определяющимся эффективностью столкновительного разрушения плато.

Расстояние б%, на которое резонансный электрон диффундирует между столкновениями, определяется соотношением (49). Резонансные электроны, имеющие плотность пг—пе(ис/ие), рассеиваются столкновениями со скоростью v€(ve/Uc)2. Темп диффузии в этом режиме, как показано в [27], следовательно, составляет:

В случае ve>v* столкновения поддерживают у электронной функции распределения максвелловский наклон в резонансной области. Здесь диффузия резонансных электронов осуществляется при их 386

движении с турбулентной скоростью <v2e> с корреляционным временем у^/со2-, так что коэффициент диффузии имеет вид:

Г) / пг \ Р / с^е \ уе

" Ue ^у Е^'с— гп\еВ) ve Wf ’

где Wf— максимальная плотность энергии турбулентных флуктуаций, которую мы оценим в следующем разделе, рассматривая нелинейное насыщение неустойчивости:

W^neTe^M2.

На рис. 6 показаны оба режима диффузии. Для нелинейного насыщения в режиме сильной дрейфовой турбулентности, где W= —Wf=nTe(p/rn)2, общее выражение для аномального коэффициента диффузии имеет вид:

D^D^'2 / УС \ 3/Cs^е^п — ДЛЯ”\ ие /тп'2 / УС \ 3/Cs^е^п — ДЛЯ”\ ие /тп/ р V / Уе V

D^

D^

'2 / УС \ 3/Cs

^е^п — ДЛЯ”

\ ие /тп

'2 / УС \ 3/Cs

^е^п — ДЛЯ”

\ ие /тп

(68)(68)\ ГП )\ Vc /

(68)

(68)

С / О \ 3 / Г)\ 2'

Гп \ гп ) \ Ус )

Напомним, что ряд значений, которые принимает пара'метр ucfue в зависимости от давления плазмы ip и шира магнитного поля S=rn/Ls, был приведен нами выше [после уравнения (45)].

СПЕКТРЫ ДРЕЙФОВОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Скорость, с которой осуществляется процесс аномального переноса, непосредственно зависит от амплитуды и спектрального распределения флуктуаций электрического потенциала /(ксо). Формирование спектра флуктуаций в плазме определяется целым рядом сложных процессов, и, за исключением некоторых особых случаев, точный вид его найти не удается. Ряд свойств флуктуаций, однако, удается понять, обращаясь к исследованию общей динамики спектра. Рассмотрим здесь физические процессы, ответственные за формирование спектра потенциальных флуктуаций электрического поля. Если параметры системы оказываются лежащими за порогом устойчивости, то с помощью дисперсионного уравнения для дрейфовых колебаний можно найти инкремент возникающей неустойчивости у^, ^, к^), отличный от нуля в широком диапазоне волновых чисел.

Скорость квазилинейной декорреляции для электронных взаимодействий составляет kk^ue, а для ионных Д<ок, где Дк и Д(«к соответствуют ширинам неустойчивого спектра по волновым числам и частотам. Корреляционные времена обычно таковы, что Afe пв^> »Дс»к^ук. Для конфигураций, макроскопические градиенты в которых малы на расстояниях порядка ионного гирорадиуса, плотность энергии, связанная с диамагнитными токами, которая ответ- 25* 387

ственна за развитие дрейфовой неустойчивости, составляет всего малую долю плотности тепловой энергии

Wd = -^гцпц (vdi - odey (p/r„)8 nTe.

Как показал Фаулер [28], максимальная энергия Wf, доступная в качестве источника для возбуждения низкочастотных коллективных флуктуаций с плотностью энергии W, ограничена термодинамической свободной энергией системы

WfnTe^WyjnTe^(AxJrn)2 [или (А%/гт)2 для Гт<Гп].

Здесь <\х2>%<к2х>-х — средний пространственный масштаб флуктуаций.

Рис. 7. Неустойчивые области (заштрихованы) в пространстве волновых чисел. Диаграмма иллюстрирует нелинейную взаимосвязь неустойчивых областей с областями затухания дрейфовых колебаний [33]:

/ — область неустойчивости; II — затухание на ионах; III — затухание на электронах

Общим методом исследования нелинейных дрейфовых волн должна, таким образом, стать статистическая теория плазменной турбулентности, которая учитывает наличие в системе большого количества флуктуаций, слабо взаимодействующих друг с другом. Общая теория турбулентности состоит в разложении нелинейных уравнений по степеням WlnT. Обрезанное разложение, соответствующее приближению слабой турбулентности, становится неприменимым в состоянии, когда дрейфовая турбулентность достигает уровня, при котором темп нелинейной декорреляции <(к-уБ)2>1/2 за счет ЕхВ перемешивающего движения плазмы сравним со скоростью квазилинейной декорреляции.

Если турбулентность достигает уровня, соответствующего упомянутому выше пределу по свободной энергии системы W ^ W^ случайный доплеровский сдвиг за счет ЕХВ движений оказывается сравним с (о*е- В результате для полностью развитой дрейфовой турбулентности при вычислении пропагаторов необходимо выборочно суммировать секулярные вклады высоких порядков. Подобные перенормированные теории дрейфовой турбулентности рассматривались в [2, 29—32]. В перенормированных пропагаторах учитывается декорреляция бесстолкновительного резонанса co^k-v за счет стохастических ЕхВ дрейфов, возникающих в турбулентном коллективном электрическом поле.

Качественная картина дрейфовой турбулентности. Перед тем, как перейти к систематической нелинейной теории дрейфовой неустойчивости, рассмотрим работу В. Н. Ораевского и Р. 3. Сагдеева [33], которая посвящена качественному анализу картины дрейфовой турбулентности и аномального переноса, впервые исследованных на основе приближения слабой турбулентности.

Как показано на рис. 7, линейно неустойчивая зона в ^-про- странстве оказывается ограничена областью /. В зоне больших кххгп (область // на рис. 7) становится существенно сильным бесстолкновительное затухание на ионах. В зоне малых кххгп (область ///) основную роль приобретает бесстолкновительное затухание на электронах. Если амплитуда дрейфовых колебаний превышает некоторое критическое значение, возникает сильная нелинейная перекачка из активных областей ^-пространства в области, где происходит затухание колебаний. Эта перекачка балансирует энергию 2yk W^ , подводимую в дрейфовые колебания при развитии неустойчивости.

Основной подвод энергии происходит при ^р/^1 и <?,« <°^/^ц ОА’ ГДе -

Инкремент неустойчивости ук оказывается пропорционален квадрату градиента плотности и достигает максимума ^k^csrn ПРИ &нг„ = -~ Ф/2)1/2 и к^^^т^те^2. Нетрудно получить элементарную оценку критической амплитуды, при которой линейный рост ук балансируется в уравнении для ионов нелинейным взаимодействием мод

Это выполняется, если ф(&) становится порядка

Т k±rn ' v > где Е^ = — vk^^ky

Из выражения для фазового сдвига 6е(^)'~чо*е/^|| уе—(ktip) X X (meM<P)1/2, приближенного спектра (70) и формулы (17) для аномального потока, учитывая, что в интегралах по спектру зависимость от к^ сокращается, нетрудно найти окончательную оценку коэффициента диффузии

D = ±_/4£W —У'2 (71) гп \ ев ) \т^е / '

для ^e'>TH'elmi и простоD = ^*7") ("^) ДЛЯ ^^^l™1* Более точные оценки спектра и диффузии, выполненные в п. 3.4, показывают, что формула (71) переоценивает коэффициент диффузии на множитель (т<р/т€)1/2.

Теория дрейфовой турбулентности. Строгое количественное исследование нелинейной динамики дрейфовых волн необходимо начать с разложения уравнения Власова в ряд по малой амплитуде электрического поля и вычисления нелинейной плотности заряда. Эта процедура, подробно рассмотренная в [24], позволяет найти нелинейное уравнение для амплитуды

ч^-v >' <’лл+ S &лъм+--=0' <72>

&i+&g—кk 1 + k^+^3=к

где обозначение к заменяет для сокращения записи к<о. Пренебрежем анизотропией исходной функции распределения частиц fj(e, Х') в пространстве скоростей; f, является функцией переменных е = -^- и8, X=x-V->Vyf^.

Линейная и нелинейная диэлектрические проницаемости представляются соответственно в виде

' - Z2 ( ^l+^_^l'i

(73)(73)S^j Р^у df; e\tocj) \ de wci dx / Pm" J<o — ЙЦУЦ + iv

(73)

(73)

2w3/(k'Xk"-z)

6'+»^ =6

m4j®cj

, dfj , b'g dfj ,,dhAk"u dh 01 de toCj дх ю de <i>Cj dx to'— fc'Ц у и + iv co"—^"цУц+iv

(75)

В бесстолкновительном слаботурбулентном режиме слагаемое iv, входящее в пропагатор, представляет собой положительную бесконечно малую величину, соответствующую предположению о медленном включении взаимодействия при 1=—оо. Учет iv гарантирует соблюдение принципа причинности и аналитичность функций диэлектрического отклика. Когда турбулентность достигает такого уровня, что <(k-vE)2>= «^.существенной становится нелинейная декорреляция черепковского резонанса. В пропагаторе при этом необходимо учесть немарковский турбулентный столкно- вительный оператор iv—^i^, который возникает при перенормировке теории турбулентности. Выражение для iv^ найдено *в [2] выборочным суммированием секулярных вкладов высокого порядка при вычислении пропагатора для свободных частиц

(76)(76)с2у ао<к^и^%(^)

(76)

(76)

iVk«/yH’ "a)^-^ Ь^-^'-кЧ -^||)VH + ivA_&,

В области, где значения к« малы по сравнению с максимальными значениями Ъо, в спектре флуктуаций турбулентный столкно- вительный оператор ivfc сводится к k-3) (v)-к, где $ (у) —марковский турбулентный коэффициент диффузии:

(v) вг —

вычисленный Дюпри [31]. В работе [29] оператор турбулентного уширения вводится в другой форме iv. —*tl (ун) (см. п. 3.4).

В работе [29] указывается, что перенормировка пропагатора заметным образом не изменяет значения скорости нелинейной перекачки в уравнениях, описывающих взаимодействие мод. Роль перенормировки скорее заключается в том, чтобы учесть конечность времени корреляции l/vk (v), которое ограничивает длительность нахождения частицы, имеющей скорость v, в резонансе с флуктуацией ко). Укорочение времени взаимодействия при увеличении амплитуды поля, даже если плотность энергии турбулентности W еще весьма мала по сравнению с тепловой, оказывается важным нелинейным эффектом в бесстолкновительной дрейфовой турбулентности.

Как мы обсуждали выше, в теориях дрейфовой турбулентности предполагается, что нелинейное взаимодействие обеспечивает достаточное перемешивание мод, так что для полей ука) возможно применить статистическое описание. Степень случайности полей считается достаточно высокой, так что корреляциями четвертого и более высокого порядков можно пренебречь. Корреляции третьего

391

порядка <?^^2^3>- вычисляются по теории возмущений. Уравнение для спектрального распределения к— двухточечной корреляционной функции потенциальных флуктуаций — можно найти, переходя к статистическому описанию в уравнении (72) для нелинейного взаимодействия мод

к'к'4е(2)е<2>^к', к—к' г—к») кгк-к'4е(2)е<2>^к', к—к' г—к») кгк-к'^к1>^к1>

к'

к'

4е(2)е<2>

^к', к—к' г—к») кгк-к'

4е(2)е<2>

^к', к—к' г—к») кгк-к'

^к1>

^к1>

-У 21 е$.А-й') Г II (78)

Это уравнение хорошо известно и получено, например, в работах Б. Б. Кадомцева [30] и Р. 3. Сагдеева, А. А. Галеева [24]. Обсудим теперь основные результаты, которые следуют для дрейфовой турбулентности из уравнений (72) — (78) о Поскольку не существует общего решения этой нелинейной системы, мы приведем здесь лишь результаты, соответствующие различным предельным случаям.

Рассмотрим сначала две общие предельные формы уравнения (78). В теории слабой турбулентности, в низшем порядке разложения по малой амплитуде, уравнение (78) имеет решение

/ (kto) = / (k, t) 8 (го — ю^),

где зависимость / (к, f) от времени описывает медленное изменение амплитуды за счет нелинейного взаимодействия. Уравнение (78) сводится при этом к уравнению баланса для спектра в к-простран- стве. Мнимая часть уравнения (78), позволяющая определить d/(k, t)ldt, включает в себя вклады от двух основных физических процессов: трехволнового распадного взаимодействия (А. А. Галеев и Р. 3. Сагдеев. Взаимодействие волна — волна в т. 1) и нелинейного бесстолкновительного затухания (см. т. 1, ту же статью).

Существует еще один подход к уравнению (78), впервые рассматривавшийся в [29, 30]. Вернемся к проблеме обрезания корреляций высокого порядка, которое мы провели, переходя от уравнения (72) к уравнению (78). С этой точки зрения можно считать, что уравнение (78) содержит главные члены разложения системы уравнений для 8AnZ и к в ряд по малому параметру W/пТ. Здесь e/inZ — перенормированный пропагатор для флуктуаций, к — спектральное распределение. Б. Б. Кадомцев [30] указал, что такой подход эквивалентен приближению прямого взаимодействия, предложенному Крейчнаном [34] для гидродинамической турбулентности. Ниже, в п. 3.3, рассматривая жидкостный предел уравнений дрейфовой турбулентности, мы убедимся к плодотворности такого подхода.

Следуя работам [30, 35], запишем таким образом систему уравнений для спектрального распределения к и перенормирован- 392

(79)(79)к^к'^кк^к'^к

(79)

(79)

к^к'^к

к^к'^к

ной функции отклика гкпЬ.

(81)(81)

(81)

(81)

(80)

В случае турбулентности Навье — Стокса, когда s^2^3 =0, второе уравнение обычно записывается в виде

8^ — 4 X гк'\к—к’ ^к-к’ к' S-k', к Rk" 1 •

Здесь jRk=l^hnl. Легко видеть, что уравнение (78) представляет собой просто первую итерацию уравнения (80), при которой приближенно считается, что в интеграле взаимодействия Rk,,^l/Skf

Гидродинамический предел описания дрейфовой турбулентности. Ряд частных результатов по динамике нелинейного переноса и форму турбулентных спектров можно получить, рассматривая дрейфовые колебания в гидродинамическом пределе. *

К гидродинамическому приближению для дрейфовой турбулентности легко можно перейти, рассматривая полученную из уравнения Власова функцию нелинейного отклика в пределе А^р,- <С 1 ^цУ/ <С®<^ ^н^- В то же время в качестве исходной может быть взята система гидродинамических уравнений, полученная в дрейфовом приближении, как это сделано в [15, 16]. Гидродинамическая формулировка проблемы особенно уместна в случае,, когда столкновения становятся настолько сильны, что для вычисления потоков вдоль магнитного поля можно использовать уравнения столкновительного переноса, например, тц^ = ЕХХ + ЧххРе!епе Для потока продольного импульса электронов. Гидродинамическое приближение оказывается полезным для описания нелинейного взаимодействия и в бесстолкновительном случае. При этом электронные резонансы, которые определяют фазовый сдвиг и инкремент неустойчивости должны вычисляться по-прежнему с помощью кинетической теории. Переходя к гидродинамическому пределу, несколько переобозначим нелинейные диэлектрические проницаемости (73) —(75): к^^пе^^1—^еьп/. Поскольку в рассматриваемом длинноволновом случае &Л2<1, когда заведомо выполнено условие квазинейтральности, зависимость от дебаевского радиуса удобно исключить.

Диэлектрические функции (73), (74) в гидродинамическом приближении приобретают с учетом этого следующий вид:

(83)(83)

(83)

(83)

I 1 е Ч ।|| II II

~г" ТГЦ totoM "г ЮЛ2 — to to"

£2||о2£2||о2Цк”, । ^н2* w*pH^z)

£2||о2

£2||о2

№№ГГ * to"2 с"”^ to'

Индексы А> В, С в уравнении (83) соответствуют различным типам нелинейностей в гидродинамических уравнениях. В дрейфовых флуктуациях гидродинамической является только ионная динамика. Нелинейный член, обозначенный А, связан с нелинейным поляризационным дрейфом и ЕХВ конвективной нелинейностью. Член, обозначенный 6, возникает из-за ЕхВ конвекции продольной ионной скорости, а член С обязан своим происхождением ЕхВ конвекции ионного давления. Первый член А, пропорциональный (ci/'Vo/'—to'tjto'), обычно оказывается основным для электронных дрейфовых волн, возбуждаемых за счет -qe и (^±Рг)2. Этот член возникает благодаря ЕхВ конвективной нелинейности

и из-за нелинейности поляризационного дрейфа

V («(0)v£-VV£) ос k'Xk” • Г(^2рг)?Л„,

где в обоих членах вклады с к2^ связаны с поляризационным дрейфом. Эти вклады сокращаются при вычислении члена А. Диэлектрическую функцию е<3>(&1, ^2, ^з) легко можно найти в пределе ^<1, к^ю^Х уравнения (75).

Простейшую модель дрейфовой турбулентности можно построить, учитывая в гидродинамических уравнениях только нелинейности, связанные с ЕХВ и поляризационным дрейфами. В этой модели существует поучительная аналогия между дрейфовыми волнами и двумерной гидродинамической турбулентностью. Упростим уравнения (82) и (83) в пределе, когда можно опустить члены i8%, к? ххсг8!^, (d^pi/a), и вернемся к уравнению (72), преобразованному из (о-пространства в /-пространство. В результате возникает квадратичное уравнение для взаимодействия мод

= k'+k"=k 1

где <вА = <о4в/(1+й2±р2). Авторы работы [36], в которой получено уравнение (84), исходили из уравнений ионной гидродинамики без давления и использовали упрощающее предположение об адиабатичности. электронного отклика. Взаимодействие мод, описываемое (84), быстро увеличивается с ростом ^ р и исчезает, если векторы 6'^ и &2 не направлены в различных направлениях. Двумерные уравнения Навье — Стокса для функции тока ф, где их=—дф/ду, 394

•иу=д^(дх, совпадают с уравнением (84) с тем отличием, что ico^—^ v^2_i и члсн ^2дР2 предполагается большим единицы. По» следнее выполняется, кстати, и для рассматриваемых в п. 3.6 конвективных ячеек [уравнение (105)]. Более того, как показал Ха- сегава [37], это соответствие становится еще ближе для уравнений, описывающих двумерные потоки в атмосфере вращающейся планеты. В аналоге уравнения (84) кориолисова сила играет роль магнитного поля, дрейфовая частота заменяется

0>k = k. Z х V In f/(1 + ^±p2g),

где f — переменный в пространстве коэффициент в силе Кориолиса и z — направление оси вращения. Двумерная скорость v — это скорость атмосферных движений в горизонтальной плоскости, которая описывается обычным уравнением движения

dv/d t=—g V h +/ v X ^

где A— перемещение поверхности атмосферы в вертикальном направлении и g— ускорение силы тяжести. Масштаб дисперсии здесь определяется радиусом Россби pg= (gH^)х^. Существует ряд экспериментальных и теоретических исследований волн Россби (например, [38]), в которых исследуются их амплитуды и спектральное распределение энергии. В отличие от плазменных задач для волн Россби уравнение (84) остается справедливым и при ^дР2^^^ если диссипацией можно пренебречь вплоть до масштабов вязкого затухания 2л/ к^.

Нелинейная связь мод в уравнении (84) является консервативной и имеет форму, известную в теории критических флуктуаций, где это уравнение записывается в х-, у-пространстве с помощью скобок Пуассона. Нелинейная взаимосвязь имеет в уравнении (84) форму [ср, V2^], гДе U> gA = VfX^g-^- В таком представлении ясно, что

$ dx<? [<р, v\<p] = рх (v2±?) [?, v2^] = О,

и, следовательно, нормализованная плотность энергии [(см. уравнение (21)]

^^Jdx^ + fVj?)2]

и потенциальная энстрофия

и = 4" Jdx KVj?)2 + (v2±?)2]

являются в нелинейной теории сохраняющимися величинами.

Если в системе присутствует большое количество взаимодействующих мод, в фазовом пространстве у. (/) возникает сильное

перемешивание. В работе [39] эта гипотеза была проверена для двумерной невязкой начальной задачи. Численное интегрирование уравнения для <?к (/) в примере с обрезанным изотропным спектром по к^ с 1<А^р <15 дало результаты, согласующиеся с равновесной статистической теорией, которая требует, чтобы наблюдаемый спектр являлся в фазовом пространстве наиболее вероятным распределением, сохраняющим интегралы движения. Для большого числа взаимодействующих мод наиболее вероятное распределение в фазовом пространстве из удовлетворяющих условию сохранения энергии W и энстрофии U— это распределение типа больц- мановского ^ехр (—a IF—Р'^), где

^=-Г^(1 + ^21)1^|г И ^=4^21(1+^1)1^1|2-

Таким образом, распределение |<р^| в статистическом равновесии для невязкой системы с обрезанным спектром имеет вид:

<1 у^ Г>=тг+^н^м^Т’(85)

с константами а и ip, определяющимися значениями W и U [39]. Распределение (85) расходится при &Макс—>юо

Г^41п(^макс) и

и неприменимо для описания физически наблюдаемых неравновесных спектров.

Форма турбулентных спектров, наблюдаемых в экспериментах, более близка к

Wk^k"^ или <|(р^|\>о< 1/&6± для ^р>1.

Такое распределение можно понять [40] как максимально широкий спектр, совместимый с логарифмической сходимостью энстрофии в пределе 6Макс—>^оо. Эта же форма спектра 1/^ найдена простым способом в [37], где рассмотрены распады, описываемые уравнением (84).

Во время распадного процесса мода с промежуточным волновым числом ^(^iC&sC&s) распадается, отдавая моде кх долю энергии, равную (&23—^2г)/(^2з—&2i), и оставшуюся долю (&22—^21)/(А2з—&2i) передавая моде к^. Моделирование этого распадного процесса методом Монте-Карло показывает, что спектр становится анизотропным в длинноволновой области к2^ р2<<1, где при малых к^ энергия преимущественно идет в ky<^kx. Эта анизотропия согласуется с сохранением плотности действия в длинноволновой области.

Возникновение анизотропии у спектров в ^-пространстве подтверждается экспериментальными наблюдениями волн Россби и их численным моделированием [38]. Оказывается, что основная часть энергии волн Россби заключена в наиболее длинноволновых колебаниях, возможных в данной системе, причем преимуществен- 396

но в модах с конечным кх и к^О. Такое распределение энергии ведет к возникновению крупных зональных потоков, направленных вдоль оси у и периодически изменяющихся вдоль оси х. Развитие таких потоков подтверждается и гидродинамическим моделированием.

При выводе модельных уравнений, описывающих взаимодействие мод, становится заметно, что суш^ ^вует ряд важных моментов, отличающих проблему дрейфов^ \ турбулентности от атмосферных и гидродинамических задач. Существенное отличие связано с тем, что для дрейфовых волн за счет их резонансного обмена энергией с частицами диссипация существенна в широкой области ксо-пространства. Наиболее важным является резонансное взаимодействие колебаний с электронами!^, которое ведет к возбуждению неустойчивости и фазозому сдвигу между осцилляциями п и <р, определяющему скорость аномального переноса. Впервые модельные уравнения для нелинейного взаимодействия дрейфовых мод, основанные на ионной гидродинамике с учетом диссипативного фазового сдвига, были получены Хортоном [3, 4]. В длинноволновой части спектра (^р)2<8е(^) при наличии фазового сдвига нелинейность, связанная с ЕхВ дрейфом, играет в уравнении (84) более важную роль, чем нелинейность за счет конечной инерции ионов.

Нелинейное взаимодействие определяется теперь фактором \п, у] ik'Xk" z (8^,, — ^,)?k/?k„ и по-прежнему идет с сохранением энергии колебаний W = -^- J [ср2 + (Vj_?)2] dx. Энергия колебаний за счет нелинейного взаимодействия может передаваться из областей неустойчивости ^kl^k—^iOO в области, где доминирует бесстолкновительное затухание. Как показал Хортон [3, 4], исследовавший динамику спектра флуктуаций dUkt^jdt, форма спектра определяется из условия баланса подвода энергии к колебаниям Зсоьб^Wn и ее нелинейной перекачки в область поглощения

16e(k±)/ЙКА

Т\ - " <k2xr\>^

Здесь предполагается, что 8е(к±)> 0 и &2±р2<1. Спектр (86) возникает, как указывалось выше, при перекачке энергии из области коротковолновых колебаний в область длинноволновых, где она при ^е^ k^v^vJL поглощается за счет ионного затухания Ландау (L — эффективная продольная длина системы). Если (^р)2О- поглощение энергии колебаний связано уже с затуханием Ландау на электронах.

Передача энергии в длинноволновую часть спектра приводит к сдвигу спектрального максимума. Из положения, соответствующего наиболее быстрому росту амплитуды колебаний [максимум ^бе(&)], он согласно (86) перемещается в точку максимума отно- 397

Более подробно эти вопросыБолее подробно эти вопросы(О./2л, кГц(О./2л, кГцРис. 8. Частотный спектр дрейфовой турбулентности, полученный в АТС экспериментах [42] методом микроволнового рассеяния в сантиметровом диапазоне, ^^ рг^0,6. Направления магнитного поля на рис. а и б противоположны. Соответственно от а к б меняется направление вращения дрейфовых флуктуаций. Пик спектра соответствует ^(0^, а его ширина — частоте доплеровского уширения VhРис. 8. Частотный спектр дрейфовой турбулентности, полученный в АТС экспериментах [42] методом микроволнового рассеяния в сантиметровом диапазоне, ^^ рг^0,6. Направления магнитного поля на рис. а и б противоположны. Соответственно от а к б меняется направление вращения дрейфовых флуктуаций. Пик спектра соответствует ^(0^, а его ширина — частоте доплеровского уширения Vh

Более подробно эти вопросы

Более подробно эти вопросы

(О./2л, кГц

(О./2л, кГц

Рис. 8. Частотный спектр дрейфовой турбулентности, полученный в АТС экспериментах [42] методом микроволнового рассеяния в сантиметровом диапазоне, ^^ рг^0,6. Направления магнитного поля на рис. а и б противоположны. Соответственно от а к б меняется направление вращения дрейфовых флуктуаций. Пик спектра соответствует ^(0^, а его ширина — частоте доплеровского уширения Vh

Рис. 8. Частотный спектр дрейфовой турбулентности, полученный в АТС экспериментах [42] методом микроволнового рассеяния в сантиметровом диапазоне, ^^ рг^0,6. Направления магнитного поля на рис. а и б противоположны. Соответственно от а к б меняется направление вращения дрейфовых флуктуаций. Пик спектра соответствует ^(0^, а его ширина — частоте доплеровского уширения Vh

шения 6е (к)/ку. Более детальный анализ этой модели показывает, что спектральный максимум должен находиться около длинноволновой границы устойчивости Im sk (o>k) ^0. Перенормированная теория турбулентности, которая использовалась при получении спектра (86), предсказывает уширение спектральных линий на частоте с«к за счет

Vfe—сод<к*^ n> (кур)IАку^, (87)

где при выводе (86), (87) предполагалось ^^^jj-

обсуждаются в работе Тэнга [5]. кд_ и со — спектры дрейфовых флуктуаций, возникающих в плазме, удерживаемой магнитным полем, были получены в экспериментах Маццу- като и др. [41, 42] методом микроволнового рассеяния. Эти эксперименты были проанализированы Хортоном [3, 4], который использовал спектральную формулу (86), основанную на учете гидродинамической нелинейности для ионов и линейного кинетического отклика для электронов. Переменный угол рассеяния позволяет определить значение к^ для флуктуаций электронной плотности, ответственных за рассеяние микроволнового сигнала. На рис. 8 показан частотный спектр флуктуаций с ку р—0,6. Максимум спектра вращается с электронной диамагнитной скоростью или даже несколько быстрее за счет удерживающего ионы радиального электрического поля. Из рис. 8 видно, что направление вращения меняется при замене Bz-)—Вх. Ширина спектра флуктуаций оказывается сравнима с сой, что и следовало ожидать при имеющемся уровне турбулентности. На рис. 9 показаны проинтегрированные по частоте спектры по ^i, полученные на различ-

ных углах рассеяния. Кроме того, на рисунке показан спектр (86) ж построенный для параметров, соответствующих экспериментальным. Аномальный перенос, определяющийся уравнением (17), оказывается для подобного спектра весьма значителен. Это связано с тем, что амплитуды флуктуаций еще достаточно велики в той области, где существен фазовый сдвиг. Анализ электронной теплопровод-

Рис. 9. Спектр дрейфовых флуктуаций по полученный в АТС экспериментах [41] с помощью микроволнового рассеяния па шести различных углах. Сплошная кривая рассчитана по формуле Хортона [3, 4] [см. уравнение (86)]

ности как в этом, так и в других экспериментах с микроволновым рассеянием указывает на сильную взаимосвязь дрейфовой турбулентности и аномальных электронных тепловых потерь [7].

Спектр дрейфовых волн, возбуждаемых градиентом ионной температуры. Если в плазме имеется резкий градиент ионной температуры

-q.—dln ЛМ1ППг>2,

то, как следует из дисперсионного уравнения (82), возникает связанная с этим градиентом дрейфовая неустойчивость. Частота и инкремент неустойчивых колебаний имеют в этом случае вид:

_ 1/\2/3.

(88)(88)^2 ^^pi х^ \\^si ^^pi^^to*pb

(88)

(88)

1^3|l/3- x2/3

Yk= — \ u*pi I (^h^s)

Наиболее быстро растущая мода с k?L^ = 1/(1 + ^ и ^нгп^(1~|- 4- т^12 имеет инкремент Тмакс^ £$/(GZr)1/2 • Исследование ЕХВ конвективных нелинейностей в уравнении (83) показывает, что основным нелинейным процессом является конвективное перемешивание градиента ионного давления. Механизм нелинейной перекачки связан теперь с уравнением для давления ионов и, если ввести скобки Пуассона, может быть представлен в форме [<р, piY Такой механизм, по-прежнему являясь консервативным, обеспечивает передачу энергии колебаний из областей нарастания в области затухания. Рассмотрим спектр флуктуаций, оставляя, как указано выше, лишь член, отмеченный С в уравнении (83). Баланс

нелинейной перекачки и линейного подвода энергии достигается, если спектр флуктуаций имеет вид:

eVh _.Т2; =eVh _.Т2; =1 + li1 + li<feV\><feV\>(89)(89)

eVh _.

Т2; =

eVh _.

Т2; =

1 + li

1 + li

<feV\>

<feV\>

(89)

(89)

где fx — величина порядка единицы. При этом мы допускаем, что темп поглощения рассеянных флуктуаций достаточно велик, чтобы компенсировать всю подводимую мощность ^Y^k'

Для дрейфовой неустойчивости, обусловленной градиентом ионной температуры, разность фаз бп—ф оказывается пренебрежимо мала и аномальный поток частиц отсутствует. Фазовый сдвиг р,—ф в линейной области составляет

(90)(90)Pi№ ~ 1 —)2/3 £^.

(90)

(90)

Pi2 у &Пгл/ ^е

В нелинейной области, если отсутствует точный расчет, нелинейный фазовый сдвиг можно оценить исходя из линейного выражения (90), взятого в точке спектрального максимума. В этом приближении аномальный ионный тепловой поток, определяемый уравнением (11), составляет

гт еВ у dx

и ионная теплопроводность с точностью до числового коэффициента соответственно равна

(91)

Аномальный перенос такого рода становится особенно важен, если имеется вспомогательный нагрев ионов, так что It ^ Те.

Z (кш) = / (к, 08(®-«>к),Z (кш) = / (к, 08(®-«>к),Кинетическая теория дрейфовой турбулентности. Гидродинамические уравнения не способны в общем случае дать адекватное описание динамики частиц и флуктуаций при развитии дрейфовой турбулентности. В частности, мы не можем учесть в гидродинамических уравнениях важную роль, которую играют в нелинейных процессах флуктуации с й±р; ~1 и ш^^цО;. Влияние этих кинетических процессов на развитие дрейфовой турбулентности изучалось в работах Б. Б. Кадомцева [29], А. А. Галеева и Л. И. Рудакова [23], Р. 3. Сагдеева и А. А. Галеева [24]. Во всех этих исследованиях предполагалось, что турбулентные поля являются настолько хаотичными и слабо взаимодействующими, что иерархия корреляционных функций может быть замкнута простым отбрасыванием корреляций четвертого и более высокого порядков. В работах [23, 24] частотный спектр был затем аппроксимирован простым выражением

Z (кш) = / (к, 08(®-«>к),

Z (кш) = / (к, 08(®-«>к),

и методами теории слабой турбулентности уравнение (78) было сведено непосредственно к уравнению для спектральной функции dl^dt. В работе Б. Б. Кадомцева [29], напротив, была введена перенормировка проинтегрированного по ^ кинетического уравнения и найдено выражение для частотного спектра флуктуаций. Оба исследования привели, однако, к близким результатам — было установлено, что ионы играют определяющую роль в уравнениях нелинейного взаимодействия и что это взаимодействие ведет к трансформации спектра по к^ из области малых поперечных длин волн к^^^т^ШеУ^ в длинноволновую область, где ^j_Pz^l- В этом разделе мы обсудим основные результаты этих работ.

Основной физический механизм формирования слаботурбулентных спектров связан с индуцированным рассеянием колебаний на ионах [24]. Скорость индуцированного рассеяния определяется мнимой частью ядра нелинейного взаимодействия в уравнении (78). Учитывая одновременно (73) — (75), получаем:

С = iW^nra S (kXk'"^ I^ 2Mk'DXк»

1<й'»—«>*\ -1/2 Г(юк — юк')г "

Х( ®л /1^1 ехр [“Tv^F^vJ’(92)

где М (А±, к'±) — положительно определенная симметричная матрица:

(93)(93)

(93)

(93)

где к"=к—к'. Полное уравнение баланса представляется в виде

<И?к12,,

(94)(94)W(k)+2T"z(k)]|<Pk|2.

(94)

(94)

Для к^ > 1 дрейфовая частота

“к = «W. (&)/[!.+ Te(Ti (1 - е-fr/0)] ® ^r^ V^ ”

почти перестает зависеть от к^, так что трехволновые распадные процессы становятся строго запрещены. Одновременно для больших к^ матрица М (k^, к'^) ^ 1 /(^р) (k'^р) и индуцированное рассея- 26—3283 401

ние для к" ^ ^ 1 становится сильным процессом. В частиэсги скорость нелинейного рассеяния

Y”z (£) ^ -1 a>U*0 ISI е^к,!Те I2 k'V-A k'ap |

превышает максимальный линейный темп нарастания уМакс= = (^з/гп) (me/mtp) ^2, когда W 1пТе^те1т$у/21 <к2х^ Таким образом, как и в гидродинамическом приближении, учет кинетической ионной нелинейности сдвигает спектр в область меньших •fe±pz. В случае к’^^к^^Х индуцированное рассеяние на ионах становится, однако, очень мало. Это объясняется тем, что эффекты от рассеяния волны на самом ионе и окружающей его поляризационной электронной шубе компенсируют друг друга.

Эта компенсация проявляется в уменьшении М^к^ к1 ^^ ^(й±р)2 (^±р)2. Отсюда, не получая точной формулы для |<?к|2, Р. 3. Сагдеев и А. А. Галеев [24] делают вывод, что спектр имеет максимум при £^<^1. Уравнение (94) накладывает ограничение на интеграл от спектра по к -

SSк'к'ечТеечТе2к2. ^L_ , dG)kr2”2к2. ^L_ , dG)kr2”(95)(95)где бш^^ — ^Дк)где бш^^ — ^Дк)иивеличинавеличинау_/§со_ оцененау_/§со_ оцененав максимумев максимуме

S

S

к'

к'

еч

Те

еч

Те

2

к2. ^L_ , dG)kr2”

2

к2. ^L_ , dG)kr2”

(95)

(95)

где бш^^ — ^Дк)

где бш^^ — ^Дк)

и

и

величина

величина

у_/§со_ оценена

у_/§со_ оценена

в максимуме

в максимуме

спектра.

Используя соотношение (95) и оценивая линейную пе—ср разность фаз с помощью формулы (18) [откуда 6e(5)^(me/mzP)1/2], можно вычислить аномальный поток

(96)(96)те Р дТе dneт^ rn еВ dx ’

(96)

(96)

который оказывается в 6е раз меньше ранее приведенной оценки (71), полученной В. Н. Ораевским и Р. 3. Сагдеевым [33].

Как показано в работе [23], выражение (96) для аномального потока применимо лишь в случае достаточно сильных столкновений

Ve>V*^(Oci (рЛп) 3 (т^Л^Р) , способных поддержать в резонансной области наклон функции распределения, близкий к максвелловскому. Для более слабых столкновений ve<v* при вычислении инкремента yk (fe) необходимо использовать квазилинейное, выположенное распределение, найденное в п. 2.7. Отсюда ясно, что окончательное выражение для коэффициента диффузии в этом случае можно по-прежнему получить из уравнения (96), предварительно разделив его на множитель l+v*/ve. В работе [29] найдено другое уравнение для не- 402

линейной перекачки. Здесь учтена перенормировка черепковского резонанса

gk (Уц^к0-Vii + ^M-1’

которая вводится исходя из проинтегрированного по ^ нелинейного кинетического уравнения.

Поскольку (d<^Qz и | ^nln |< 1, зависимость флуктуирующей части нелинейного распределения от и^ выражается через функции Бесселя J0(^y^/Q). Турбулентный столкновительный оператор» полученный Б. Б. Кадомцевым, имеет вид:

ЧЛ)=НгУЕХк'

(97)

где к" = I k. — к'. I, к" = k.. — k'.,, ю"=<о —<о'и Afe — электро- магнитный поляризационный фактор, значение которого приведено в [29]. Если to^k'co', оператор Ч^^н) сводится к оператору i^kto’ УсРеДненному по о^. Физически оператор ^kw описывает декорреляцию в резонансном взаимодействии частицы (имеющей продольную скорость ум) с флуктуацией ко>, вносимую нелинейным сдвигом kv^.

В операторе (97) учтено также, что за счет быстрого циклотронного вращения на орбите частицы происходит усреднение поперечных фазовых вариаций, связанных с флуктуациями к^, kf^ ^н£. Кроме того, в [29] учтена электромагнитная поляризация волны, которая приводит к уменьшению как продольного электрического поля, так и инкремента неустойчивости в случае, когда альфвеновская частота становится сравнимой с дрейфовой (о*е« Эффект электромагнитной поляризации возникает уже в линейном дисперсионном соотношении, и его основное значение связано с тем, что он определяет параллельную длину волны, соответствующую максимуму спектра. В случае melmi<^< ^eln^iY^ спектральный максимум по &п достигается при

к r ^J_ni/2(98)

Сложные спектральные уравнения, полученные Б. Б. Кадомцевым, которые мы для экономии места не приводим здесь, имеют ту же форму, что и система уравнений (79), (80). В физике плазмы эта система уравнений для функции нелинейного отклика eku1 и спектрального распределения К является аналогом приближения пря- 26*403

мого взаимодействия для проблемы гидродинамической турбулентности.

В работе [43] эта система уравнений использовалась для объяснения экспериментов и результатов численного моделирования по динамике дрейфовых волн в слабоионизованной плазме.

Анализируя уравнения спектральной перекачки, предварительно проинтегрировав их по частоте, можно сделать вывод [29], что квазилинейный спектр достигает максимума при^р,^!. Поскольку в этой области матричные элементы, содержащие функции Бесселя, имеют сложную форму, точный вид спектрального распределения в работе [29] также не приведен. Вместо этого из уравнений спектрального баланса можно найти некое интегральное соотношение:

C^2./(k)dk = 4- РЙ‘/2 ,(99)

где для оценки можно считать А-—1/10. Более того, в [29] утверждается что в максимуме спектра фазовый сдвиг 6пе—<р остается таким же, как в случае линейного электронного отклика. Это связано с тем, что насыщение неустойчивости определяется ионными нелинейностями. Линейный фазовый сдвиг де (^) = (л/2) 1/2(о*е/| ^н |уе принимает в спектральном пике значение 6e(k) = (mefmi^y/2. Отсюда, используя уравнение (17), находим аномальный поток частиц

р Ате р сТе dn, । qqx

mi rn eB dx *7

Выражение (100) с точностью до коэффициента совпадает с формулой Сагдеева — Галеева. Для р> ^melm^х^ в линейной теории становится существен резонанс, связанный с \В— магнитным дрейфом ионов

юй = <»\вФГП>

и уравнение (100) оказывается уже не применимо для вычисления аномального потока.

Если известно приближенное выражение для спектра по к, спектр по со можно найти с помощью уравнения (79). Уравнение efe^=0 включает в себя процессы распада флуктуации ко в турбулентной плазме, а правая часть уравнения (79) описывает генерацию флуктуаций ко за счет нелинейного слияния. Если уровень турбулентности не превышает величины (99), то по оценке [29] нелинейный сдвиг от естественной частоты флуктуаций о^ оказывается достаточно мал и спектральная линия имеет лоренцеву форму с шириной

После того как найден к — спектр флуктуаций, можно перейти к анализу уравнения для корреляционной функции К, как это сделано в работе В. Н. Цытовича [35, § 2.7, 2.8]. В области ^Р^ 1, 404

где первичный спектр дрейфовых волн наиболее интенсивен, они имеют нераспадное дисперсионное соотношение. Корреляционное уравнение (79) поэтому дает в этой области сильную генерацию низкочастотных длинноволновых флуктуаций /кй). Никакого определенного соотношения, связывающего к и ко, для этих низкочастотных флуктуаций не существует. Низкочастотный спектр определяется выражением

^кф_к.М^Ъ(2)- К, о>. к)Г[/(к,)]г.

к со 1^ Р </ L^kj J kj, к—к j к i к~—к^

■’(101)

Если уровень турбулентности достигает величины (86) или (99), то уравнение (101) предсказывает широкополосное заполнение низкочастотной части спектра флуктуаций. По-видимому, это обстоятельство может оказаться важным для объяснения широких частотных спектров, наблюдавшихся в экспериментах [42] (см. рис. 8).

Аномальный перенос при образовании конвективных ячеек. Коллективные моды с нулевой частотой и ^^#=0, известные под названием конвективных ячеек, дают важный механизм аномального переноса поперек магнитного поля. Это было показано в теоретических расчетах и работах по численному моделированию, выполненных группой Даусона. Скорость диффузии частиц D и время жизни конвективных ячеек Г^, найденные в численных экспериментах [44, 45], сравнивались там с теоретическими результатами, вывод которых мы обсудим ниже в этом параграфе. Было показано, что для аномальной диффузии, связанно^ со слабозатухающими двумерными конвективными ячейками, результаты теории и численного моделирования хорошо согласуются друг с другом. В длинноволновом пределе ^р/<^1 конвективные ячейки возникают как медленная ветвь дисперсионного уравнения для косых альфвеновских волн в неоднородной плазме

[(«-Н^) (® -- ^ н о2а! = 0-(1°2)

Если ^ц Цл/со*рг~>О, имеются две моды плазменных колебаний: ионная желоб- ковая мода

и конвективная ячейка

to2 ^ — &2 н у\/№*р1 — i^2J_p-,(103)

где со*рг= (kyc/eiiixB) (dpi/dx).

В длинноволновом режиме коллективная мода с конечным к^ и toch= = (02(^_^> £ц) =0 представляет собой крупномасштабный гидродинамический (Е и =0) вихрь, затухание которого определяется ионной столкновительной вязкостью р—0,3vip2i. Поперечные ЕХВ потоки, вызванные этой модой в системе координат, где Ег=0, отличаются от потоков, связанных с дрейфовыми волнами. Мода нулевой частоты вызывает стационарное и замкнутое конвективное движение (ср. с риа» 1). Для дрейфовых волн конвективный поток каждый раз меняет знак, пройдя расстояние уя/©. Гидродинамические моды существуют на уровне тепловых флуктуаций (значение которых определяется слабым затуха-

нием) до тех пор, пока какой-либо механизм не позволит им вырасти до конечной амплитуды.

В работе [46] показано, что существует естественный механизм генерации конвективных ячеек, связанный с параметрическим распадом дрейфовых волн. Теория [46] основана на трехмерном численном моделировании дрейфовых волн, выполненном Чэнгом и Окудой [47, 48]. Результаты моделирования показывают, что на первой стадии насыщения в спектре колебаний доминируют дрейфовые моды с^цУе^со^, но на более поздних стадиях существенная доля энергии флуктуаций заключена в моде с к ц =0 и малым к z

Поскольку частота дрейфовых колебаний (о^=<о(^2^, ^ц) имеет широкий максимум для k^i ^ 1, то, как отмечено в [46], существует много неустойчивых дрейфовых мод, биения которых могут дать флуктуации с нулевой частотой и нулевым к ц.

Используя известные методы, применявшиеся при исследованиях взаимодействия ленгмюровских и ионно-звуковых волн, можно получить уравнения, описывающие взаимодействие дрейфовых волн 6nde^xt) /ne—e^d(xt}[Te и конвективных ячеек bnce(xt) /Пе^ |ефс/Ге|:

[(1-^)4+^-^]°^= 004)

(

д \ сТ2

005)

где <.. .> — означает усреднение нелинейного члена по координатам z и t. Такое усреднение выделяет в нелинейных дрейфовых колебаниях к ц =0, о = 0 компоненту взаимодействия. Уравнения (104) и (105) определяют устойчивость дрейфовой волны с большой амплитудой §n^o exp (ik0-x— iwd^) относительно параметрического распада на дрейфовую волну малой амплитуды

йп\х (t) exp (ikrx — iw^^)

и конвективную ячейку

(Л ехр (ik='x).

где йо = &1+4 Чо = Ч1 и *°^ко = ^ki- ^сли ^2o>^2i> распад осуществляет, ся со скоростью

1 сТеЧк "ёВ" lkiX к0|1 сТеЧк "ёВ" lkiX к0|ТеTiТеTi^2о-^^к2^^2о-^^к2^" ^ Т |1/2 . пе ] J" ^ Т |1/2 . пе ] J(106)(106)

1 сТе

Чк "ёВ" lkiX к0|

1 сТе

Чк "ёВ" lkiX к0|

Те

Ti

Те

Ti

^2о-^^к2^

^2о-^^к2^

" ^ Т |1/2 . пе ] J

" ^ Т |1/2 . пе ] J

(106)

(106)

(107)(107)(Ю8)(Ю8)

(107)

(107)

(Ю8)

(Ю8)

Коэффициент аномальной диффузии связанный с двумерными конвективными ячейками, найден в работах группы Даусона как предел коэффициента диффузии Дюпри [31] при со-И). Мы можем получить это выражение, переходя в формуле (77) к пределу ^ц = 0, k^i = 0:

|^,№|2

«б-ЦГ6 ’ч

где

Г6 = ^±О±.

Если k^^D^^to6^ выражение (107) сводится кЕсли k^^D^^to6^ выражение (107) сводится ксТе / дпс (к .) dl*^b\ ^сТе / дпс (к .) dl*^b\ ^(109)(109)В работе [46] предполагалось, что система достигает квазистационарного турбуВ работе [46] предполагалось, что система достигает квазистационарного турбулентного состояния, в котором энергия, черпаемая из неоднородного электронного распределения, с темпом 2YdhU7dft подводится к дрейфовым волнам и балансируется при их распаде на конвективные ячейки. Баланс энергии в самихлентного состояния, в котором энергия, черпаемая из неоднородного электронного распределения, с темпом 2YdhU7dft подводится к дрейфовым волнам и балансируется при их распаде на конвективные ячейки. Баланс энергии в самихконвективных ячейках достигается в случае, когда их декремент затухания Yck =—^.l^JL компенсирует перекачку энергии из дрейфовой турбулентностиконвективных ячейках достигается в случае, когда их декремент затухания Yck =—^.l^JL компенсирует перекачку энергии из дрейфовой турбулентностиnt <А Те / Г„ V/ W =\1* - (J^p Ti \ Дхс ) \| пг />nt <А Те / Г„ V/ W =\1* - (J^p Ti \ Дхс ) \| пг />. (110). (110)где Дхс — средняя пространственная толщина конвективной ячейки. Условие баланса энергии определяет уровень дрейфовой турбулентностигде Дхс — средняя пространственная толщина конвективной ячейки. Условие баланса энергии определяет уровень дрейфовой турбулентности/I 5nd 2\1/2\| пе //I 5nd 2\1/2\| пе /-fk Л wd— те к-fk Л wd— те к(М2(М2(1И)(1И)где &f ю^— — средняя частота и волновое число в спектре дрейфовых волн. Если магнитное поле не имеет шира , то размер ячейки Дхс = (р^п)1/2, в случае с широмгде &f ю^— — средняя частота и волновое число в спектре дрейфовых волн. Если магнитное поле не имеет шира , то размер ячейки Дхс = (р^п)1/2, в случае с широмВ = Во (z Н ух/is), ^хс = pz (Ks/rn)1/2 • Энергобаланс по всему спектру флуктуаций достигается приВ = Во (z Н ух/is), ^хс = pz (Ks/rn)1/2 • Энергобаланс по всему спектру флуктуаций достигается при2YWd^2YnZ№c,(112)где Wc^2 (^Pz)2 |^с (^j_)/^el2> откуда амплитуда конвективных ячеек к2YWd^2YnZ№c,(112)где Wc^2 (^Pz)2 |^с (^j_)/^el2> откуда амплитуда конвективных ячеек кАномальная диффузия, связанная с конвективными ячейками, достигшими амплитуды (113), обладает коэффициентомАномальная диффузия, связанная с конвективными ячейками, достигшими амплитуды (113), обладает коэффициентом

Если k^^D^^to6^ выражение (107) сводится к

Если k^^D^^to6^ выражение (107) сводится к

сТе / дпс (к .) dl*^b\ ^

сТе / дпс (к .) dl*^b\ ^

(109)

(109)

В работе [46] предполагалось, что система достигает квазистационарного турбу

В работе [46] предполагалось, что система достигает квазистационарного турбу

лентного состояния, в котором энергия, черпаемая из неоднородного электронного распределения, с темпом 2YdhU7dft подводится к дрейфовым волнам и балансируется при их распаде на конвективные ячейки. Баланс энергии в самих

лентного состояния, в котором энергия, черпаемая из неоднородного электронного распределения, с темпом 2YdhU7dft подводится к дрейфовым волнам и балансируется при их распаде на конвективные ячейки. Баланс энергии в самих

конвективных ячейках достигается в случае, когда их декремент затухания Yck =—^.l^JL компенсирует перекачку энергии из дрейфовой турбулентности

конвективных ячейках достигается в случае, когда их декремент затухания Yck =—^.l^JL компенсирует перекачку энергии из дрейфовой турбулентности

nt <А Те / Г„ V/ W =\1* - (J^p Ti \ Дхс ) \| пг />

nt <А Те / Г„ V/ W =\1* - (J^p Ti \ Дхс ) \| пг />

. (110)

. (110)

где Дхс — средняя пространственная толщина конвективной ячейки. Условие баланса энергии определяет уровень дрейфовой турбулентности

где Дхс — средняя пространственная толщина конвективной ячейки. Условие баланса энергии определяет уровень дрейфовой турбулентности

/I 5nd 2\1/2

\| пе /

/I 5nd 2\1/2

\| пе /

-fk Л wd— те к

-fk Л wd— те к

(М2

(М2

(1И)

(1И)

где &f ю^— — средняя частота и волновое число в спектре дрейфовых волн. Если магнитное поле не имеет шира , то размер ячейки Дхс = (р^п)1/2, в случае с широм

где &f ю^— — средняя частота и волновое число в спектре дрейфовых волн. Если магнитное поле не имеет шира , то размер ячейки Дхс = (р^п)1/2, в случае с широм

В = Во (z Н ух/is), ^хс = pz (Ks/rn)1/2 • Энергобаланс по всему спектру флуктуаций достигается при

В = Во (z Н ух/is), ^хс = pz (Ks/rn)1/2 • Энергобаланс по всему спектру флуктуаций достигается при

2YWd^2YnZ№c,(112)

где Wc^2 (^Pz)2 |^с (^j_)/^el2> откуда амплитуда конвективных ячеек к

2YWd^2YnZ№c,(112)

где Wc^2 (^Pz)2 |^с (^j_)/^el2> откуда амплитуда конвективных ячеек к

Аномальная диффузия, связанная с конвективными ячейками, достигшими амплитуды (113), обладает коэффициентом

Аномальная диффузия, связанная с конвективными ячейками, достигшими амплитуды (113), обладает коэффициентом

Для Yd_/со^—^ kmelm&V^ выражение (115) сводится к

D = ^i/r^ WeB^ km^m^ kLs/r^l1 .(116)

Вторичная диффузия (116) за счет конвективных ячеек, возникающих при распаде дрейфовых волн, может превышать диффузию (96) или (100), непосредственно связанную с дрейфовой турбулентностью.

В системе с широм магнитного поля, обладающей двойной периодичностью kyr=m и kTR = l (где т, Z — целые числа), для того, чтобы возбуждать конвективные ячейки, дрейфовые моды должны сильно перекрываться. В работе Бакая [49], где указано на это обстоятельство, исследована возможность образования конвективных ячеек и найдено, что спектр флуктуаций по к ± имеет гауссовскую форму.

АНОМАЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ЗА СЧЕТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХФЛУКТУАЦИЙ

Электростатическая дрейфовая турбулентность, рассмотренная в § 2 и 3, является основным механизмом аномального переноса в плазме, где тепловое давление р достаточно мало по сравнению с магнитным р = 8лр/В2<С 1. В то же время в плазме конечного и высокого давления самосогласованные коллективные моды, как правило, имеют сильную магнитную компоненту, и для описания процесса аномального переноса необходим учет электромагнитного характера флуктуаций. При увеличении давления плазмы возникает большое количество новых низкочастотных неустойчивостей, связанных с пространственной неоднородностью плазмы, которые могут существенно повлиять на транспортные характеристики плазмы. В частности, неустойчивости, связанные с распадом тока на тонкие волокна: тиринг-мода, развивающаяся за счет градиента температуры, — ведут к возникновению в плазме электромагнитной турбулентности и соответствующего аномального переноса. При увеличении р непосредственный ЕхВ перенос, связанный с электронными дрейфовыми флуктуациями, становится менее важен, чем перенос электромагнитный. Роль различных неустойчивостей в поддержании механизмов аномального переноса при конечных и высоких значениях р активно исследуется в настоящее время. Ниже мы обсудим ряд имеющихся принципиальных результатов, не вдаваясь в подробное обсуждение их относительной важности.

При высоком давлении плазмы характеристики аномального переноса рассчитываются исходя из полного спектра электромагнитных флуктуаций. Если раньше нам было достаточно знать только одну корреляционную функцию электростатических колебаний <Ф (г'/') ср (г/) > и ее спектральное распределение /(ксо) [см. уравнение (8)], то теперь спектр определяется шестью корреляционными функциями <Ea(r'f)Ep(rQ >. Для представления электромагнитных флуктуаций используются два основных метода. В первом из них сохраняется электростатический потенциал ф(г/) вместе с соответствующей ему корреляционной функцией и дополнительно вводятся две компоненты векторного потенциала Лп (г/) и а (г/).

Параллельная компонента векторного потенциала Л (г/) описывает электромагнитные возмущения, в которых поперечная компонента электрического поля остается безвихревой vXE^ = 0 и, следовательно, отсутствует сжатие магнитного поля 6^н =0. Флуктуации Л^ (г/), таким образом, приводят к возникновению по. 408

перечных флуктуаций магнитного поля 8В1 = 7ХИц2) = ДЛ||Хг и индукционного продольного электрического поля 5^ = — дА^ ledt. Вторая компонента векторного потенциала а (г/) перпендикулярна к В„ и создает вращательное электрическое поле E± = zXVj_« и продольную компоненту 85н> ведущую к сжатиям—разрежениям магнитного поля 85н = (ic/to) v2^a. Симметричная матрица двухточечных корреляций

<?(гГ), a^ft'Y ЛЦ (гТ))®(?(гО, а(г/), Лу (rf))> . описывает полный набор корреляций, возникающих в такой задаче. В подобной формулировке проблема дрейфовой турбулентности рассматривалась в [50, 51]. Общее представление низкочастотного тензора проводимости для системы с большим р и распределением плазмы вида /Де, х) получено в [51].

Второе представление, также широко используемое при расчетах, связанных с электромагнитными флуктуациями, состоит в выборе

ЕИ^У Вх^ и 85ц ^

в качестве независимых компонент поля. Остальные три компоненты электромагнитного поля Ех, Е\\ и Ву легко найти с помощью однородных уравнений Максвелла.

В ксо пространстве эти соотношения имеют вид:

В,№) = ^Е,№) + ^В,№);}(117)

Вся совокупность корреляций определяется теперь симметричной матрицей двухточечных корреляций

<(Eg№, S,(rV), 6В^ (rr^Ey(rt), Bx(rty 85и(г0)>.

В таком представлении электромагнитная дрейфовая турбулентность изучалась в [52, 53].

Перенос частиц и теплоты при развитии электромагнитной турбулентности. Аномальный перенос частиц, импульса и тепловой энергии определяется парными корреляциями между флуктуирующими термодинамическими переменными и компонентами электромагнитного поля флуктуаций, например <ПзЁу>. То обстоятельство, что парных корреляций оказывается достаточно для расчета аномальных транспортных процессов, связано с тем, что в уравнении Власова член (E+vXВ)-dfjdv, характеризующий взаимодействие, являясь по форме квадратичным, в то же время остается линейным по переменным, описывающим как поля, так и частицы.

Такая билинейность члена, описывающего взаимодействие, приводит к тому, что общие выражения для аномальных потоков в первом порядке по корреляционным функциям удается получить уже из соотношений линейной теории, связывающих флуктуации электромагнитных полей и термодинамических величин. Флуктуации термодинамических параметров рассчитываются при этом исходя из флуктуационных добавок 8f/k(v)xK функциям распределения частиц fj.

Если исходные функции распределения могут быть представлены в виде f^e, X), где е=у2/2— энергия на единицу массы и X—%+(уу—^п^Ь^сз — координата ведущего центра частицы в неоднородной плазме, эти флуктуирующие добавки ^-k(v) могут быть найдены интегрированием возмущающей силы

[Е^о+^хв^о].^/^

вдоль траекторий движения частиц. Эти траекторные интегралы, вычисленные в [51, 52] с учетом VB-дрейфа ведущих центров частиц, имеют вид:

м („X _ XeiE«W д^ / е,«> dfi с dfj Xohkv)mjky de \ mjky де т В dx J

X g’k (у и, у±) exp (ikXv • Г/®с/) [j,^ (6) 4- 2л_ ]#bx (k) -

(118)

где пропагаторы g^k) введенные в п. 3.2, приобретают форму

(у у ) =т-г-:— .(119)

sk(ox IIсо — kyvD- — /г и и ц + iv^х ?

Функции Бесселя 70 и ]х имеют аргументы k^Js^p где «)с/= — e^BImjC. Скорость дрейфа ведущего центра частиц определяется из соотношения v = vD.y-]-унz? где uDj = -L ^Jwcj)(dlnBjdx\

В электростатическом пределе уравнение (118) сводится к формуле (12) для 6/jfe(v) (см. § 2 и 3). Все, что говорилось там относительно роли, которую играет в пропагаторе член iv^ (см. пп. 2.1 и 3.2), сохраняет свой смысл и здесь, однако выражения (76) и (97) [или их марковский предел (77)], полученные ранее для iv^, должны быть обобщены теперь на электромагнитный случай.

Используя уравнение (118), легко вычислить флуктуации плотности частиц, токов:

'4 = $ dv8fik (v) - 4=1(v)(120)

и плотности тепловой энергии

4 ^Т^к = j dv 4 пг^к (V).(121)

В частности, флуктуации термодинамических параметров, использующиеся в теории аномального переноса, определяются соотношениями:

М&)М&)=к— I wv -г—L 1 av ( —г- - д—I-

М&)

М&)

nijky J de I J \т^у иг •

^^е^1^^^’ у±- уц):<122>

Г. (А) = Jdv (-^_-^+^Г ^ gik (v) iy^ (to) FiH (к, y±, у „);

. (123)

Г (fe) = frfv(-^- ^^^-^tLyvjyJ, f^-L^ f> (к, y., yj,

II x 7 J \ т^ку дг Г В дх /3 II 0 \ юсу / х ± II7

(124) где piy — у-компонента силы Лоренца, усредненная по ларморовской орбите

О- оГ и и) = h (^) Еи ^ А-^Н» (^7) Вх -

<125)

Выражение для флуктуаций плотности тепловой энергии имеет вид:

ZTta —^einiEuW . f , /е/ю df/-_L_L ^/^

(niT —2ку’^}^\т/ку де В дх

X^g'k^J^y^ «Г «А'(126)

Не содержащие пропагаторов слагаемые в (122) — (124) вычисляются согласно соотношению

dvdFJda^—n^Xlx)^,

что для максвелловского распределения дает —n^Ti. Аналогично вычисляется и первое слагаемое в уравнении (126).

Предположим, что частицы описываются максвелловской функцией распределения с неоднородной плотностью n^^, температурой ГДх) и параллельной дрейфовой скоростью и^ (х). Интегралы по скоростям, входящие в уравнения (122) — (126), удается тогда выразить с помощью модифицированных функций Бесселя 1п(Ь) ехр (—6), где b = h^JTjlm^p и плазменной дисперсионной функции'

Z [(со - k и и и) /1 к ц. I у;.], где у;. = ^Т; (х)!т,А/2.

Эти результаты можно найти в работе Танге и др. [53].

В общем случае электромагнитных флуктуаций система уравнений аномального переноса оказывается настолько громоздка, что не имеет смысла приводить ее здесь. Общие выражения имеются

в упомянутой выше работе [53]. Все формулы выведены в тех же самых предположениях, что обсуждались выше в § 2. Напомним, что мы предполагали:

поперечный перенос возникает за счет градиентов макроскопических параметров плазмы;

макроскопические неоднородности слабы в масштабах среднего гирорадиуса частиц p^nln^X, ^j\TIT^\\

пространственно-временные масштабы процессов переноса dlnnjldt, ^ Tjlrij существенно отличаются от пространственно-временных масштабов флуктуаций 1/Лш и 1/Д&.

Как только это последнее условие удовлетворено, средние величины, например <ПзЕу*>) возможно естественным образом определить как взятые в пространственно-временных масштабах, малых по сравнению с масштабами макроскопических вариаций, но существенно превышающих соответствующие масштабы для флуктуаций электромагнитного поля.

Основные выражения для аномального потока частиц удается получить, усредняя уравнения баланса для переноса импульса в направлении, взаимно перпендикулярном направлениям внешнего магнитного поля и макроскопических градиентов. Можно показать, что у-компонента силы Лоренца играет в уравнении баланса для импульса более важную роль, чем усредненные инерционные члены и дивергенция тензора напряжений. Отсюда имеем для частиц сорта /

Ц^Е^Г/хйУ) hdv. (127)

Интеграл тДиуС^, стоящий в правой части, учитывает изменение импульса за счет кулоновских столкновений. Эти вклады за счет столкновений частиц друг с другом хорошо известны (см. обзор Ф. Хинтона в т. 1) и сохранены здесь, чтобы легче было представить, в какой именно момент турбулентный перенос начинает доминировать. Согласно уравнению (127) каждый сорт частиц теряет суммарный импульс в у-направлении за счет кулоновских столкновений частица — частица и эффективных турбулентных столкновений частица — волна. Эта потеря импульса балансируется стационарным переносом FXJ частиц этого сорта поперек внешнего магнитного поля. Электроны, например, теряют благодаря электрон-ионным соударениям импульс

/пе J uuCeidvs — щв ^уе -^йу1^хе>

где равновесный диамагнитный дрейф vye—уУ(=—^еВп^Х X(dp/dx) и Te-^^^nr^nee^lnA/Sm^T^ Темп переноса за счет столкновений составляет в этом случае

(128)

Вплоть до конца этой главы мы будем предполагать, что амплитуда турбулентных флуктуаций высока настолько, что переносом за 412

счет обычных кулоновских столкновений можно пренебречь по сравнению с аномальным (не связанным со столкновениями) переносом.

Аномальный поток частиц в направлении макроскопического* градиента

г.= т (("Ге,+4- г,, в, - 4- г,,8В,)).

где флуктуации плотности п^ и токов Гх, Гц связаны с флуктуациями полей посредством уравнений (122) — (124). Пространственно-временное усреднение соответствует здесь отбрасыванию всех слабых корреляций между модами с различными ко). Окойчатель- но аномальный поток частиц, возникающий при развитии электромагнитной турбулентности, имеет вид:

Г. — Г dkdto f dvГ. — Г dkdto f dv6jto dFj mjkti de6jto dFj mjkti dec dF: \^TT IT )Xc dF: \^TT IT )X

Г. — Г dkdto f dv

Г. — Г dkdto f dv

6jto dFj mjkti de

6jto dFj mjkti de

c dF: \^TT IT )X

c dF: \^TT IT )X

(129),(129),xImg\ (v„ ,y±) | l,Ey (k) + ^ 13x ^-^JX6B„ (6) | •

(129),

(129),

В уравнении теплового баланса основные процессы связаны с обобщенным сЕхВ/В2 конвективным переносом, продольным движением частиц вдоль искривленных силовых линий магнитного* поля В+бВ^ и <j-E>— обменом энергией между частицами и флуктуациями. Уравнение (129) можно рассматривать как проинтегрированную по энергетическому спектру суМму ряда независимых процессов поперечного переноса, каждый из которых имеет свою собственную интенсивность, соответственно значениям

FAe- Im

С этой точки зрения ясно, что в зависимости от того, какова энергия частиц, дающих основной вклад в Г;-: больше она тепловой или меньше, результирующий энергетический поток Qj будет соот- 33

ветственно выше или ниже -^-Т^р где -^Т j — средняя тепловая энергия частиц ^—-/ПуУ2 У Полный поток энергии

Xlm^Jv) l.Ey^AXlm^Jv) l.Ey^A6jto dFj ntjky de6jto dFj ntjky deC ^i\ В dx )C ^i\ В dx )у и।2у и।2(130)(130)

Xlm^Jv) l.Ey^A

Xlm^Jv) l.Ey^A

6jto dFj ntjky de

6jto dFj ntjky de

C ^i\ В dx )

C ^i\ В dx )

у и।2

у и।2

(130)

(130)

Поток Qj состоит из двух частей: конвективного переноса -|- TjlV з

и части, связанной с теплопроводностью, qj = Q.— ТУГу.

Наконец, найдем теперь величину резонансного обмена энергией между частицами и флуктуациями

.е2- С С / дР:.е2- С С / дР:। ^у ^} \ (о2* roQj дх ) к?у। ^у ^} \ (о2* roQj дх ) к?у

.е2- С С / дР:

.е2- С С / дР:

। ^у ^} \ (о2

* roQj дх ) к?у

। ^у ^} \ (о2

* roQj дх ) к?у

Х^Ш W^+^A^-^W,^ .(131)

Сами уравнения баланса для частиц и теплоты остаются такими же, как полученные нами в п. 2.2 уравнения (22) и (23).

Как видно из общей структуры формул (129) —(131), аномальные потоки пропорциональны произведению спектральной интенсивности флуктуаций на ксо и величины градиента функции распределения частиц в точке (%, и), причем произведение берется с весом ImgMv), соответствующим силе взаимодействия частиц с флуктуациями. Функции Бесселя нулевого порядка 70 (^^М/) возникают при усреднении значений ^(г7) и Bxtjf>) вдоль ларморовской траектории частицы, тогда как функции первого порядка Л $^х)^ 1^) появляются при вычислении средних по площади ларморовского кружка или, что то же самое, при вычислении контурных интегралов по орбите $Е± (г) -dl. Для квазинейтральных флуктуаций поток заряда

Se^i = К7П В»> ~ <Тх^Вхх >\]В, i

как нетрудно убедиться из уравнения (129), в общем случае обращается в нуль.

Для максвелловского распределения f,0=FMj(e, х) с неоднородной плотностью и неоднородной температурой характерная частота

/, сТ1 1 dni L .(з \ 1

— ku6jB nf dr L V^1'2 У J

’определяет эффект неоднородности. В этом случае выражения для з.

Гу, qj2"Tjr. и Wj удается упростить:

^^р^^^^^1”^^ yH)i2; (132)

_ceiTiCn.3 \ Iю —

qi— В J rfkd«> J ^vF, (s) ^ ^ 2j ^ X

Xlmg^v^pi^, у^ У||)|=;(133)

^/=4f Jdkdm J dvFT(e) v ^ _ °x wi Im£z* w । pi« ^’ ч- yn) i2-

'(134)

Условия, при которых основное распределение имеет форму, близкую к распределению Максвелла — Больцмана, найдены нами ъ п. 2.7.

Рассмотрим теперь введенный в п. 2.2 функционал изменения энтропии Oj в случае плазмы высокого давления. Для максвелловского распределения частиц плазмы плотность энтропии равна 414

Sj(r/)=—nj In ^n^T^y^ и локальная скорость ее изменения вычисляется с помощью транспортных уравнений (22) и (23). Помимо» внешних источников тепла и частиц, введенных в п. 2.2, скорость изменения энтропии составляет

Гу dn- qj dT- г

(135)

Используя формулы (132) — (134), получаем окончательное выражение для

o^-^^dk^ dvF^ep-^И^р-Дк, v^Im^v). Рассмотрим теперь проблему переноса в случае, когда в основном, существенна магнитная компонента флуктуаций.

Поляризационные соотношения для низкочастотных электромагнитных флуктуаций. При конечном, но умеренном давлении, плазмы р<1 низкочастотные флуктуации (дрейфовые колебания^ тиринг-мода) обладают рядом общих поляризационных особенностей, учет которых упрощает анализ процессов переноса. В случае- р^1, наоборот, все три компоненты электрического поля сложным образом связаны между собой, однако дрейфовые колебания в такой плазме оказываются неустойчивы только при весьма специальных условиях, например в случае K\=d\nTjd\nn=—1/2, рассмотренном А. Б. Михайловским и А. М. Фридманом [1].

В плазме с не слишком высоким давлением р<1 флуктуации типа дрейфовых волн или тиринг-осцилляций, обладающие сильной вытянутостью ^^>^11, расцепляются с быстрыми движениями звукового типа с о)2<^2и2А. Поляризация медленных конвективных мод определяется полным балансом давлений поперек магнитного поля

£85 н (^) + 4^±(^) = 0, который поддерживается в масштабах &J1 в ходе медленных осцилляций. Из этого соотношения и формулы для б р^кк) можно» найти сжатие магнитного поля

(136),(136),^B^W _ ! [ i^(^) 1i bv(Ql

(136),

(136),

в2 kyT J2 “ [ 7 J

Выражение (136) справедливо для мод с вращением как в сторону электронного, так и ионного диамагнитного дрейфов.

Изменение напряженности магнитного поля 85 (£) гарантирует отсутствие сжатия плазмы V-Ve=0 в процессе конвекции плазмы поперек распределения с конечным р •

В2 (г) + ^р^ (г) = const.

Вдобавок к диамагнитным дрейфам частиц, которые были введены нами в § 2, в плазме с конечным р необходимо дополнительно учитывать и дрейфы ведущих центров

vDj = (m^v2 J^e^) (d In Bjdx} y,

что также влияет на процессы переноса. Если магнитное поле не слишком сильно искривлено, то

<uDj> = (cP±il^iB*) ^B!^ = - -1 ^iudj (1 +I/)-

Поперечное магнитное возмущение ЬВ^ (&) значительно превышает 65(| (й) и обладает амплитудой и фазой как раз такими, чтобы закоротить продольное электрическое поле

Еи W^-*^^^ -Н^с^ W^0.

Интересная ситуация возникает в случае, когда индукционная часть продольного электрического поля не способны компенсировать потенциальную. Это происходит, если продольная проводимость ан (к, со) оказывается для рассматриваемых флуктуаций ксо аномально низка. Из уравнения (124) для электронного тока Гн (£) найдем

-,z лдм^У <137)

Отсюда ясно, что продольная проводимость будет мдла для флуктуаций с ю^ю^ и ^ное^<о. Из уравнения vX^B^ =4и6/п/(? можно найти, что поперечные флуктуации магнитного поля в этой области составляют

т«й)"’(х)^1Я'<,з8>

где приближенно считалось Еу^^—Xk^^ky

При исследовании дрейфовой тиринг-моды в плазме с конечным Р<1 необходимо иметь в виду, что изгиб силовых линий за счет 65^ (&) связывает параллельный перенос с радиальным движением частиц.

Рассмотрим следующий пример. Пусть искривление силовых линий сначала отсутствует. Из уравнения теплового баланса с

<7 н е ~ Х н е V п ?V где X п е =пеТё1т^е, сравнивая параллельную диффузию и конвекцию, найдем для случая ve>^||Ve флуктуации электронной температуры

• (139)|conv• (139)|conv

• (139)

|conv

• (139)

|conv

Если теперь силовые линии имеют изгиб, то при тепловом переносе вдоль магнитного поля возникают флуктуации

^eWl^е Jconv^eWl^е Jconv(140)(140)6Те^— 1 BXW 1 dTe \

^eWl

^е Jconv

^eWl

^е Jconv

(140)

(140)

Теi&u В Те dx *

Для Вх (k)[B ^ k^rn [^(р (к)[ТД флуктуации температуры за счет параллельного переноса начинают превышать флуктуации, связан- 416

ные с конвекцией. В этот момент амплитуда флуктуаций ЬВ^ (&) = =1^уАц (^) такова, что

e“=-?-'4.Wa(i;)b 'Ml1»

Противоположная четность Л (£) и <р(й) по &(| — общее свойство низкочастотных флуктуаций.

Использование поляризационных соотношений для низкочастотных флуктуаций, связанных с дрейфовыми и тиринг-неустойчи- востями в плазме с р<1, позволяет упростить выражения для ано- -мальных потоков частиц и энергии.

Рассмотрим сначала вклад 8ВН (к) в силу Лоренца F^^k, п^, гн) в уравнении (125). Используя уравнение (136) для связи Ey{k) и 8ВП (&), найдем, что в случае Р/< 1 для произвольных к^

Fie » Еу ^ [/„ + W./^P/)] » Еу ^ ]„ ^^J^.

Определим теперь вклад в Fiy от поперечных флуктуаций ^;В^ (k), величина которых найдена выше [уравнение (138)]:

Р!У^ЕУ1ЛХА-У\\1и^- где ^^^цУд.

Для плазмы с р<1 альвеновская скорость лежит между ионной и электронной тепловыми скоростями, так что магнитная часть силы мала для ионов F^^J^Ey и является основной составляющей для электронов Fey^ (у (j /с) Вх (к).z

Учитывая эти упрощения, получаем:

г,=511"J-v(>+^у ,^Н'« <м «ин

г.= 51 ^Г pv ^+^ %-\ V\ tag'» (v).(142)

Выражения для потока энергии Qj легко получить из (141), (142), включив под интеграл по скоростям кинетическую энергию частиц mji)2/2. Для флуктуаций с достаточно низкими частотами

аномальный поток возникает непосредственно за счет д^[дх.

Качественная картина аномального переноса при наличии магнитных флуктуаций. Низкочастотные флуктуации создают продольное электрическое поле E^ = — dAxJcdt и поперечное магнитное поле 8B± = vAHXz вблизи рациональных поверхностей спирального магнитного поля, используемого для удержания плазмы [55]. Аналогичная ситуация реализуется и вблизи нейтраль- 27— 3283417

ных слоев магнитного поля (например, в хвосте магнитосферы Земли [54]). Развитие магнитных флуктуаций 6В± ведет к аномальному переносу частиц плазмы. Согласно квазилинейной формуле (142) электронный перенос пропорционален <|6ВХ(^)|2> и силе взаимодействия Img^v). Для флуктуаций магнитного поля, зависящих от времени, Каллен [55] описывает этот процесс как перенос за счет «магнитного флаттера». Даже в случае статических магнитных возмущений

/ <|8£^)|> = <|8В±(к)|>8(а>)

добавочный перенос возникает за счет движения частиц вдоль силовых линий. Аномальный перенос, связанный со статическими возмущениями магнитного поля, описан Стиксом [56] как перенос

Рис. 10. Цепочки магнитных островов, возникающие при развитии двух резонансных возмущений kiB=0 и к2В=0 по соседству друг с другом. Магнитное поле обладает широм. Амплитуды дВ^ (к) еще настолько малы, что перекрытия островов не происходит, s 1 [54]

благодаря «магнитному заплетанию». Магнитные возмущения бВ^х), резонансные со спиральным магнитным полем, создают цепочку магнитных островов ширины Ад. Острова возникают вокруг резонансных поверхностей, на которых В-V = i&HS —0.

Представим локальное магнитное поле в виде B=B^(x)y+Boz. Величина шира магнитного поля Lrx=d,B.yjBdx. Толщина островов в таких обозначениях составляет

, /2LsdBx\i/2

\ Ку /

Если в системе возникает несколько (больше 2) магнитных цепочек (рис. 10), то магнитное поле становится эргодичным, сначала вдоль сепаратрисы, а затем, с ростом амплитуды магнитных возмущений, во всей области между магнитными островами. Электроны благодаря высокой скорости своего движения следуют вдоль запутанных силовых линий, что ведет к их переносу поперек внеш- 418

него спирального поля. Магнитные возмущения могут быть обязаны своим происхождением целому ряду причин: распаду токов на волокна при омическом нагреве плазмы, электромагнитным колебаниям, возникающим при нагреве вспомогательными методами, и, наконец, возбуждению в плазме различных коллективных неустойчивостей.

Низкочастотные дрейфовые колебания и тиринг-моды, связанные с неоднородностями плазмы и магнитного поля, ведут к возникновению в системе мелкомасштабных магнитных возмущений. Например, дрейфовые флуктуации, измерявшиеся в экспериментах Маццукато [41] могут, по оценке Каллена [55], дать существенный теплоперенос поперек магнитного поля.

В случае плазмы конечного давления, который рассматривался в [55], 8ВХ(&) в дрейфовых колебаниях исчезает на резонансной поверхности, достигает максимума ^ха пРи ^п^а^^ и спадает, как SBxA(хд1ху для ^цУА>^. Здесь хА — это расстояние от резонансной поверхности к^ =0 до области, где k^vA = kyuAxA]Ls = =(о*е, откуда %а=Р'₽1/2(^з/гп). Толщина магнитного острова, найденная Калленом [55], составляет

если Д^ > хА.если Д^ > хА.kdw(^А^хА \1/3

если Д^ > хА.

если Д^ > хА.

к\ ку В. )

Расстояние Lk вдоль магнитного поля, требующееся силовой линии, чтобы обойти по периметру весь остров, при этом равно

Так как длина Lk превышает Ls, частота дрейфовой моды сок резонирует с частотой электронного транзитного движения вокруг острова ^k=^e!Lk. Каллен [55] учел возникновение амбиполярного потенциала Ф(х), выравнивающего скорости переноса для электронов и ионов, оценил его величину и нашел скорость электронной диффузии

ккюеВ скуТеюеВ скуТе^0;^0;(144)(144)

к

к

юеВ скуТе

юеВ скуТе

^0;

^0;

(144)

(144)

е ^Ф Г\ d In пе d In пеТе dx \"^^ у dx dx

Отсюда ясно, что для электронов существенно в основном электростатическое удержание.

Электронный перенос теплоты Qe=—^ейТе1(1х осуществляется при этом с коэффициентом теплопроводности

=(145)

к

41941927*

419

419

где Ve — частота электронных столкновений и 1/у^— корреляционное время (или время жизни) магнитного острова Ад. Уравнение (145), по сути дела, представляет собой нелинейное обобщение квазилинейной формулы, в которой толщина острова

для дрейфовых волн;

(146)

для тиринг-моды заменяет линейное радиальное смещение частицы у и Вх (k)/B& (® - к • v) =з [5х (£)/£] у п тс, которое входит в уравнения квазилинейной теории [см. уравнение (142)].

Скорость аномального переноса за счет «магнитного запутывания», помимо очевидной зависимости от амплитуды флуктуаций, очень чувствительна ко времени корреляции магнитного возмущения 8В± и движения электрона.

В работе Розенблюта и Речестера [57], чтобы описать конечность этого корреляционного времени тс (или длины Lc вдоль силовой линии), рассмотрен специальный метод стохастических траекторий.

Прежде всего установим статистические свойства магнитного поля при наличии ансамбля стохастических возмущений

8В± = У ^Вк exp (i к • х).

к

Удобно ввести параметр стохастичности

5 = ^(Д*, + Д^/|(гй1-гА,)|.(147)

который сравнивает суммарную толщину двух магнитных островов с расстоянием между ними как это показано на рис. 10. Если значение s превышает единицу, то в области между цепочками островов магнитные поверхности оказываются разрушенными.

В той области, где происходит эргодическое блуждание силовых линий, маленький кружок радиуса /о проектируется вдоль силовых линий в сложную вытянутую фигуру, которая, однако, имеет ту же площадь, что начальный кружок, поскольку V • В=0. Проектирование кружка Zo по магнитному полю изображено на рис. 11. Одна из сторон проектируемой площади при этом вытягивается до

I (2) =/о exp (z/Lc),(148)

где Lc=^RJ\n (л$/2). Это явление получило название стохастической неустойчивости траекторий. Для того чтобы площадь проекции сохранялась ее, толщина 6(2) должна соответственно падать:

6 (2) =/0 exp (—2/Lc),

как это показано на рис. 11,6.

420

Когда вытягивание /(г) превысит поперечную корреляционную длину 6, различные области, разделенные расстоянием б, начнут развиваться независимо друг от друга. Этот процесс показан на рис. 11,в. Это условие /(2) = 6=1/Д&1 и определяет корреляционную длину для данной площади

L^iLdn (6//0).(149)

Если L>>Lc0, то магнитное проектирование эквивалентно случайному блужданию со среднеквадратичным смещением

<^>=2DFL)(150)

где*

(151)

к

— коэффициент диффузии силовых линий магнитного поля. -

Рис. 11. Стохастический режим сильного перекрытия островов s>I. Маленький кружок (а) проектируется вдоль магнитного поля в вытянутое волокно (б). Это явление называется стохастической неустойчивостью траекторий. Дальнейшее проектирование после того, как длина волокна на рис. 8,6 превысит поперечное корреляционное расстояние 6, показано на рис. в [57]

Рассмотрим теперь движение небольшого сгустка электронов, ведущие центры которых следуют вдоль магнитных силовых линий. Сгусток электронов с малым радиусом ге движется вдоль поля, проектируясь в сложные тонкие волоконца толщиной геехр (—z!Lcy до тех пор, пока в среднем на расстоянии 2=Хе= = x)ehe электроны не начнут испытывать столкновений. При условии, что Х>£со, к моменту начала столкновений среднеквадратичный поперечный разброс начального сгустка <iAr2>=2DpX. После столкновения тонкие волокна расширяются до размера ге, и цикл для них последовательно повторяется снова. Такой процесс ведет к диффузии тепловой энергии

Xe=l_^H = UeDF. (152)

Напомним, что при выводе (152) считалось Le^ L^Y ]\к. Мы говорим здесь о переносе электронной тепловой энергии, а не самих электронов, так как перенос частиц нельзя рассматривать без учета возникновения амбиполярного потенциала.

В столкновительном режиме 1<_LC электроны успевают много раз изменить направление движения вдоль поля, прежде чем достигнут области с нескоррелированным магнитным полем.

В ходе продольной диффузии Аг2=Хце/ сгусток электронов за счет столкновений расширяется поперек поля со скоростью (Х^0,/2> тогда как проектирование вдоль поля сжимает era до толщины ехр (—zIL^. Оба процесса компенсируют друг друга, если толщина сгустка становится порядка Lc (^ie/Xi|e)I/2- Малая область с таким радиусом перестает быть полностью коррелированной в момент, когда

4(Xle/Xl|e)V2 ехр(— z(L^ ~ 1/Д^.

Это условие позволяет найти столкновйтельную корреляционную длину

Г » / х V/2 1

, Lr5 = Lcln ) . (153) LC \ Че У J

Характерное время параллельной диффузии отсюда соответственно равно ^=iL2Cd/K||e-f6 можно представить себе как промежуток времени, в течение которого частица вращается вокруг данной силовой линии магнитного поля, перед тем как, испытав столкновение, перескочит на новую некоррелированную силовую линию. Случайное блуждание электронов идет в столкновительном пределе с временным шагом <6 и средним пространственным шагом <Дг2>=/)рЛс6. Теплоперенос в этом случае можно оценить как

(154)

Легко заметить, что бесстолкновительный перенос (152) в Lc/X раз превышает столкновительный результат (154). С точностью до логарифмического множителя столкновительная теплопроводность %е имеет простой вид:

к которому мы независимо придем в следующем разделе, рассматривая перенос за счет магнитной турбулентности в гидродинамическом приближении.

Дрейфовые волны и тиринг-моды с масштабами £|(/?'хД, k^pt—1 имеют в современных экспериментах по удержанию плазмы достаточно высокие амплитуды, чтобы по оценкам [57] попасть в режим сильной стохастичности, где диффузия поля Dy^R<eB\^>IB2, а Хе определяется одним из выражений (152), (154).

Электронная теплопроводность в плазме с магнитной турбулентностью. Гидродинамическое приближение. Проблема ано- 422

мального электронного теплопереноса за счет стохастических магнитных возмущений была рассмотрена Б. Б. Кадомцевым и О. П. Погуце [58] в приближении магнитной гидродинамики. В качестве исходного было взято уравнение

V-q=0,(155)

в котором локальный тепловой поток q определялся столкнови- тельным выражением

q = —Хп h(h vT>) — XiVTV(156>

где продольная теплопроводности хп превышает поперечную хд на несколько порядков величины. Столкновительньте значения этих величин определяются приближенными выражениями

X II = nTelmeve, Х± = nTevJme^ce и Х±/Х н = ^е^сеУ = Л Значения у предполагаются здесь очень малыми. Вектор h вдоль магнитного поля можно представить в виде суммы

h=£+b(157)

постоянного вектора в направлении внешнего магнитного поля и малой стохастической векторной добавки b = 6BjJ5. Из уравнения (156) нетрудно заметить, что для (b2)XH ^Xj_ вклад в поток q за счет параллельного переноса становится сравним с вкладом от поперечной теплопроводности.

Поскольку Во = const, стоуастическое магнитное поле b(rj_z) должно быть бездивергентно 7^-Ь=0. Стохастическая компонента характеризуется:

60=<Ь2>1/2— малым среднеквадратичным значением;

изотропностью в плоскости, перпендикулярной внешнему магнитному полю;

расстоянием 6 — корреляционной длиной в поперечном направлении;

продольной корреляционной длиной Lc.

Для простоты мы будем опускать ниже логарифмические множители, которые отличают Lc, Lc$ и Lc6.

Уравнение для поперечной координаты г^ точки, следующей вдоль силовой линии, имеет вид:

г^(2) = у b [г (г'), 2']^г\(158)

о

В пределе малых &0 квазилинейное приближение при больших значениях 2 дает для (г^ (г))

(ф = 4DFz,(159)

где + оо

Df = ~ f (b(0. z)b(0, O^dz.(160)

—00

Продольную корреляционную длину Lc можно ввести, исходя из соотношения.

DF = -Lb\Lc.(161)

Отсюда процесс квазилинейной диффузии магнитного поля можно представить в простом виде

(f2_) = b\Lcz для z > Lc.

В квазилинейном приближении мы пренебрегли зависимостью от г (2) в уравнении (160). Это справедливо, только если

где б — корреляционная длина в поперечном направлении. Таким образом, если ввести амплитудный параметр

R=bQLc/6,(162)

то применимость квазилинейного описания определяется условием

Для расчета диффузии поля DF в режиме /?>1 Кадомцев и Погуце [58] использовали статистическую теорию турбулентности, развитую в работах Дюпри [31]. Обозначим N(r, z) сохраняющуюся величину — плотность магнитных силовых линий. Условие сохранения дает уравнение для магнитного переноса

^4-b-v^(r., г) = 0.(163)

Расщепляя плотность N на среднее значение N и флуктуирующую часть N', придем к известной системе уравнений для описания турбулентности

^--^W^Dp^N; ^—Dp^N'=_b^N'. '

Отсюда уже нетрудно получить

£>^ = J_ Г . dk,2 J Ua + ^Dp

где множитель 1/2 возникает при угловом усреднении изотропного спектра;

Ь" ^ Ь (0) Ь ^ 6ХР 1 k

— фурье-спектр изотропной корреляционной функции магнитных флуктуаций.

Если kkz> k^Dp, уравнение (164) сводится к квазилинейному выражению (161), где

Dp = №\dkbl (k)8(^) = ^0Lc.

Для больших амплитуд /?>1 основную роль играет поперечная де- жорреляция ^£f>A£z и уравнение (164) дает:

££ = -LJ^Uk = 62,62.(165)

Таким образом, коэффициент диффузии магнитного поля Dp в зависимости от R выражается приближенными соотношениями:

_р2о4 для R = beLj6< 1;Df — (6,8 для R = Ь,ЦЬ > 1.

Обратимся теперь к решению уравнений_(155), (156). Разделяя электронную температуру Те на среднюю Те и флуктуирующую Т'е части, после линеаризации получаем для Т'е^к)

0% 4- у2^) Г/ (к) = i кгЬх (к) ^-.(167)

Среднее значение поперечной компоненты теплового потока при этом составляет

_ ХП р2^^)^ йв(168

2 J Й2г + Т^1 ^Х '1

Если ограничиться рассмотрением не слишком малых амплитуд 60>y=Ve/®ce и считать, что J?<1, то для эффективного переноса в случае Л^>уй± из уравнения (168) можно получить результат Хв=(Х||Х1)'/2 (^) = (-g-j (^),(169)

соответствующий квазилинейному приближению. Здесь

(XnX±)i/2=Z)5 = cTe/^(170)

и предел применимости квазилинейных выражений достигается при 6оЛс=6.(171):

В случае Xj_—>0 формула (169), при выводе которой пренебре- галось членами более высокого порядка по Ь, становится неприменима. В работе [58] рассмотрен и этот нелинейный режим Ь0>^К. Значение аномальной теплопроводности здесь составляет

Хе = Хн (^£)2 для /? = 6О£С/8О<1.(172)

В обеих рассмотренных областях по параметру Хц/Х_|_ аномальная теплопроводность выражается через диффузию магнитного поля

Xe=DPy(173)

и некоторую среднюю скорость v — X^jL*, где L* — характерная длина переноса возмущений температуры. В бесстолкновительном 425

случае г7=ие. С точностью до логарифмических множителей порядка единицы формула (173) с Dp—b\Lc согласуется в этом случае с выражениями (152) и (154) и позволяет экстраполировать результаты для Хе за пределы применимости квазилинейного режима.

* Поскольку плазма обладает высокой электропроводностью, естественно считать, что 85j_ связано со смещениями плазмы ^^

-—б, которые искривляют магнитное поле 6B^B^/LC [58]. Магнитная турбулентность, вызванная такими смещениями, достигает уровня R^X. В этом режиме %е относительно слабо зависит от у= = (Х^/Х]])1/2 и, как следует из уравнений (170) —(173),

tX^IL^ для Xe<Lc;

е Ье(82/4) для Xe>Lc. (174)

Для низкочастотных флуктуаций дрейфового типа естественным масштабом разрушения и пересоединения магнитных силовых линий служит толщина бесстолкновительного скин-слоя 6 = cftope. Это связано с тем, что при достаточно низких частотах магнитные поверхности на этом масштабе вморожены в электронную компоненту. В работе [58] предполагается, что толщина с с!^ре может служить мерой корреляционной длины в поперечном направлении. После этого формула (174) для аномальной электронной теплопроводности принимает вид:

Хе = -^- для Vg < уе/£с) (175) to ре Lc

где корреляционная длина в продольном направлении Lc представляет теперь просто эффективную длину системы. В тороидальных установках с главным радиусом тора R и параметром запаса по винтовой устойчивости q \q носит также название обратного вращательного преобразования) эффективная длина Lc=qR. Б .этом случае выражение (175) согласуется с эмпирической формулой, которая предлагалась Окавой для объяснения зависимости Хе от параметров плазмы, наблюдавшейся в экспериментах по тороидальному удержанию.

* 4.5. Уровни насыщения тиринг-мод и дрейфовых неустойчивостей в плазме с конечным р. Градиент электронной температуры дестабилизирует коротковолновые тиринг-возмущения, называемые также микротиринг-модами-. В результате развития этих неустойчивостей в окрестности резонансных поверхностей к-В=0 возникают заметные поперечные флуктуации магнитного поля дВ1(&). Выше, в п. 4.1—4.4, мы показали, как эти флуктуации связаны с процессами аномального переноса частиц и тепла. .

Обычная длинноволновая тиринг-мода имеет источник своего развития в резервуаре магнитной энергии, созданной бессиловыми плазменными токами j||B (см. статью Р. Вайта в т. 1). Несмотря на то, что перенос, вызванный развитием магнитных возмущений, играет важную роль в динамике подобных систем, этот круг задач лежит несколько в стороне от рассматриваемой нами проблемы аномального переноса за счет макроскопических градиентов параметров плазмы.

Микротиринг-мода, связанная с градиентом электронной температуры, в столк- новительном пределе рассматривалась в [59], где был проанализирован квазилинейный режим, обсуждавшийся в п. 4.2. Турбулентная диффузия ^Те через данный магнитный остров приводит к насыщению неустойчивости, когда магнитная турбулентность достигает уровня

b° ” В^ feA ( гт )b° ” В^ feA ( гт )(176)(176)

b° ” В^ feA ( гт )

b° ” В^ feA ( гт )

(176)

(176)

где ре — гирорадиус электронов и гт — характерный масштаб неоднородности электронной температуры.

Нелинейный анализ механизма стабилизации микротиринг-моды в* полу- столкновительном случае 0)*е^^е, выполненный в [60], показал, что нелинейная перекачка энергии в другие моды за счет члена &j ^Вх компенсирует линейную раскачку с инкрементом

ЧЬ» (to2*e/ve) ^)е ( 1 + — .^е

если амплитуда флуктуаций достигает величины

<6В8Г>Ч2<6В8Г>Ч2(177)(177)

<6В8Г>Ч2

<6В8Г>Ч2

(177)

(177)

В режиме развитой турбулентности, когда толщина острова Ад =В режиме развитой турбулентности, когда толщина острова Ад =пре-пре-ь.

В режиме развитой турбулентности, когда толщина острова Ад =

В режиме развитой турбулентности, когда толщина острова Ад =

пре-

пре-

У вышает расстояние между резонансными поверхностями,- аномальную электронную теплопроводность можно оценить как

(178)(178) Ре е ^е ечеГ~т " ГТ е^ ГТ

(178)

(178)

Эти результаты обсуждаются в работе [60] в связи с современными экспериментальными исследованиями магнитной турбулентности. В работе А. А. Галеева [54] рассмотрена перенормировка резонансного взаимодействия электронов с коротковолновыми бесстолкновительными тиринг-модами. Характерная поперечная длина волны магнитных возмущений, с которыми связана перенормировка, оказывается порядка толщины бесстолкновительного скин-слоя с^ре. Уровень турбулентности, при котором достигается стабилизация, имеет по оценке А. Д Галеева [54] величину

(179)(179)<(^±)> v №±(к) 2 *V2 iв^ = и в - to2 и+Л’/г,) >к

(179)

(179)

где к ц — среднее параллельное волновое число, определяющееся геометрией системы и широм магнитного поля. Интересно, что в обозначениях п. 4.4 уровень насыщения (179) соответствует переходной точке R = boLc/^^X, где считается, что Ь^с/^ре и £с=1/£ц . Тиринг-неустойчивость, стабилизирующаяся на уровне (179), как раз дает пример задачи, в которой аномальная электронная теплопроводность описывается формулой (175), полученной в конце предыдущего раздела.

Уровень насыщения дрейфовой неустойчивости в плазме с конечным р исследовался в работе [61], в которой использовался перенормированный электронный пропагатор и было учтено стабилизирующее влияние шира магнитного поля. Аномальная теплопроводность, найденная в [61], имеет величину

те р/ сТi Г Ls

=0,1 "^гт; ~тв [тдт+тжГ

в (Ьв/Гп)2 раз превышающую перенос, описываемый уравнением (100). Отчасти это связано с более высоким уровнем флуктуаций. Ионные нелинейности, рассматривавшиеся нами в § 3, не учитывались в [61].

4.6. Кинетическая теория переноса при наличии магнитных флуктуаций. Связь процесса аномального теплового переноса с магнитной турбулентностью удается понять более полно, если для описания плазмы использовать кинетическую теорию. Рассматривая перенос за счет развития тиринг-неустойчивостей, А. А. Галеев показал [54], что потоки как частиц, так и теплоты поперек внешнего магнитного поля должны определяться с учетом хаоти- зации (или стохастизации) фазы взаимодействия электронов с флуктуациями. Поперечная диффузия электронов <Дх2>=хет, например в магнитном поле с широм, приводит к расстройке фазы взаимодействия при параллельном движении электронов. Сбой фазы, возникающий за время т, определяется выражением

12 2 у з\

о/

где к 'и = дк „ jdx = kylL6.

Чтобы описать как турбулентную стохастизацию фазы, так и столкновительную диффузию за счет электрон-ионных v^ и элек- трон-электронных vee столкновений, А. А. Галеев и Л. М. Зеленый [62, 63] в качестве исходного взяли перенормированное кинетическое уравнение с интегралом столкновений в форме Батнагара — Гросса — Крука, сохраняющим число частиц и параллельный импульс. Используя это уравнение, авторы [62, 63] вычислили флуктуирующую часть продольного электронного тока ju (k) и затем с помощью уравнения (129) рассчитали поперечный перенос за счет <|6SX(&)12>. В квазистатическом перенормированном квазилинейном режиме

<дк<^эф<^ег(180)

общая формула для вид:общая формула для вид:ХеХекк6В,(к)в6В,(к)в8м ,*эф^| XII в + *»ф8м ,*эф^| XII в + *»ф(181)(181)аномальной теплопроводности приобретает

общая формула для вид:

общая формула для вид:

Хе

Хе

к

к

6В,(к)в

6В,(к)в

8м ,

*эф

^| XII в + *»ф

8м ,

*эф

^| XII в + *»ф

(181)

(181)

где

АМ> = *'Ж)2 (Х1в + Х,),АМ> = *'Ж)2 (Х1в + Х,),(182)(182)

АМ> = *'Ж)2 (Х1в + Х,),

АМ> = *'Ж)2 (Х1в + Х,),

(182)

(182)

причем X и е =: l2evei- и Xj_e = p2eve,- обозначают здесь обычные классические электронные теплопроводности вдоль и поперек внешнего магнитного поля; X^Vehei — средняя длина свободного пробега электронов; pe=ve/o)ce — электронный гирорадиус.

Как следует из уравнения (181), ширина ДЛу корреляционной функции составляет Д£ц = С^ф/Хне)*/2. Отсюда {легко оценить характерную длину стохастизации фазы электронов в поле магнитных флуктуаций

L^lM^U^V'2 . (183) \ ^эф / ' ,

Если ширина спектра 6ВЖ(&) превышает ширину корреляционной функции Д£ц, формулу для аномальной теплопроводности можно привести к виду

Xe = ve^DF, (184) L е

где коэффициент диффузии магнитного поля Dp найден нами выше [см. уравнение (151)].

В бесстолкновительном пределе vei<^, когда длина свободного пробега превышает длину стохастизации фазы, электроны, как это обсуждалось в п. 4.3, диффундируют с той же самой скоростью, что магнитные силовые линии:

Хе=^. (185)

Хотя аномальный перенос и уменьшается за счет множителя Xe!L*e в случае Xe<L*e, непосредственного перехода в столкнови- тельный режим (154) при этом не происходит. Как показали А. А. Галеев и Л. М. Зеленый [62, 63], между столкновительным (154) и бесстолкновительным (185) режимами существует полу- столкновительная область, внутри которой длина свободного пробега велика по сравнению с шировой длиной Ls^'L^ но мала по сравнению с длиной стохастизации фазы >£%. Согласно уравнениям (182), (183) в области амплитуд, таких, что Хе>Х^ Д™на L*e обратно пропорционально зависит от Хе1/2. Выражая L*e через Хе и решая уравнение (181), найдем аномальную теплопроводность Хе на полустолкновительном участке:

Xe = Xl|e^t (186)

где Ьо введена нами в п. 4.4 и ky — среднее волновое число в спектре флуктуаций.

Полустолкновительная формула (186) получена нами в предположениях Хе>Хл„ v^-<vei, или, что то же самое, L*e">X,. Отсюда определяем область применимости режима (186)

Для амплитуды b0, меньшей, чем нижняя граница неравенства (187), теплопроводность Хе определяется классическим значением Xj_e плюс малая добавка за счет магнитной турбулентности. Если уровень флуктуаций превышает верхнюю границу условия (187), длина фазовой стохастизации становится меньше длины свободного пробега электронов и теплопроводность Хе должна описываться бесстолкновительным режимом (185). При еще более высоких амплитудах b0>6ILs для Хе должна использоваться формула Хе= =иеЬ«6х. Эти четыре области показаны в левой части рис. 12.

Рис. 12. Диаграмма Галеева — Зеленого [63] для различных режимов аномаль- ной электронной теплопроводности за счет квазистатической магнитной турбулентности. Диаграмма содержит результаты работ Речестера и Розенблюта [57], Кадомцева и Погуце [58], Галеева и Зеленого [62]

Существенное влияние на аномальный тепловой поток оказывает также конечность корреляционной длины магнитных флуктуаций в поперечном направлении. Введем величину 6х=1/кх как поперечный масштаб, на котором флуктуации магнитного поля еще можно считать коррелированными. Имеются два основных эффекта, связанных с конечностью 6Х. Прежде всего за счет поперечной диффузии на расстояние 6Х дополнительно растет сбой фазы взаимодействия ^эф—^эф+^2х%е. Кроме того, добавочная декорреляция возникает при продольном движении электронов вдоль слегка деформированных за счет 6ВХ силовых линий. Этот эффект описывается нелинейной проекцией к • В= к и о В ^kx6Bx. Что касается первого эффекта, то, сравнив &2х%е с Vэф в уравнении (182), найдем, что поперечная декорреляция становится важнее, если

А->А = йЛ.(188)

Для оценки второго эффекта необходимо принять во внимание, 430

что среднее значение стохастического к ц определяется соотношением

=(189)

откуда ясно, что нелинейное уширение к и играет доминирующую роль при

™^)=^(190)

Оба эти эффекта можно включить в уравнение (181) для аномальной теплопроводности в поле квазистатических магнитных флуктуаций

У У VI Вх (k) I2^эф+^J^

6 к ^ * (^| + ^Х, + ^ф + ^-е

Приближенная замена ^ на его среднее нелинейное значение (^) позволяет, как показано в [63], получить все основные результаты нелинейной теории, обсуждавшиеся в п. 4.4.

Прежде всего, как видно из уравнения (191), в квазилинейном режиме bo<\bxILs при выполнении условия (188) длина стохасти- зации электронной фазы укорачивается по сравнению со (183)

)L\ = Д& ц = [(^ф + к\ Х^) / X „ е\^- кх ^ ц еУ^.

Отсюда в случае Xe<L*e легко найти соответствующую формулу для хе:

(

к4 ТЪ \

(192)

О2* /

Выражение (192) совпадает с формулой (170), полученной Б. Б. Кадомцевым и О. П. Погуце [58], и при Ь»1’Ке=к^х плавно сшивается с выражением (186), найденным в работе А. А. Галеева и Л. М. Зеленого [62]. Область применимости формулы (192) при учете всех указанных ограничений показана на рис. 12. Для того чтобы аномальная теплопроводность Хе превышала классическое значение Xj_e, необходимо, чтобы

Ьй> (ре6ж/Хе£,) 1/2.

В нелинейном режиме b0>bxILs стохастизация фазы продольного движения согласно уравнению (191) уже не играет существенной роли. Очевидно, что в нелинейном режиме bo>6x/Ls в зависимости от нелинейного уширения к2хЬ20Х11е существуют две подобласти. В той из них, что лежит при меньших значениях 60> уравнение (191) сводится к простой формуле

Хе = ХиеЬ%.(193)

Границы подобласти (193) определяются условиями (рис. 12)

-Г<ь»<-Г-

Кг

Если нелинейная продольная декорреляция играет основную роль, то единственно возможное решение (191) существует лишь при к\Ь\*Це ^ &2хХе, откуда вновь Хе = Х1|е620. Этот результат остается справедливым, пока длина свободного пробега Хе мала по сравнению с продольной корреляционной длиной L*e. В нелинейном режиме продольная корреляционная длина L*e определяется условием

[ L* е'^'кх! Ьо boJ\bx«

Таким образом, известное и в некотором смысле „автомодельное* выражение для аномальной теплопроводности Хе^ХНе620 применимо пока Ьй < 6х(Хе. В противоположном случае 60>-^-, -^ аномальный теплоперенос определяется диффузией магнитного поля и может считаться бесстолкновительным:

Xe=UeDF^ Veb^ (194)

Эта область показана в верхней левой части рис. 12.

В заключение заметим, что результат Xe=^iie <i6B2x>/B2 был выше назван автомодельным в том смысле, что он универсален, т. е. реализуется как в случае сильных столкновений, так и для высокого уровня магнитной турбулентности. В пределе сильных столкновений формула %е=Хцв620 была получена Речестером и Розенблютом [57] и обсуждалась нами выше [уравнение (154)]. Однако^ как показывает выполненный в этом разделе кинетический анализ, между бесстолкновительным и универсальным режимами возникает целый ряд практически важных промежуточных областей, показанных на рис. 12, в каждой из которых имеется свое выражение для аномальной теплопроводности.

В заключение стоит подчеркнуть, что для различных параметров плазмы эффективными оказываются разные механизмы аномального переноса. Пока, к сожалению, нет общих правил, чтобы определить, какая именно из приведенных в этом обзоре формул описывает аномальный перенос в конкретной имеющейся плазме. Однако можно сказать, что для плазмы с низким давлением должны применяться формулы (60) — (68) (это подтверждается и экспериментами, обсуждавшимися в п. 2.3). Выражения (86), (87) для формы спектров флуктуаций по к и ширины линии vk подтверждаются экспериментами по микроволновому рассеянию. Выражение (91) для ионной теплопроводности хорошо согласуется с результатами численного моделирования. Для конечных $>те,пц формулы (96) и (100) соответствуют эмпирическому скейлингу (закону подобия), найденному для плазмы, удерживаемой в токамаке. В этом пределе выражения (174), (175), описывающие перенос за счет магнитной турбулентности, дают результаты, близкие к (96), и также могут дать разумное приближение к эмпирическим законам подобия для теплопереноса в токамаке с малым ^. Важное значение может иметь и аномальный перенос, связанный с развитием конвективных ячеек [выражения (115) и (116)].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Михайловский А. Б., Фридман А. М. — Журн. техн, физ., 1967, т. 37, с. 1782.

Horton W., Choi D. — Phys. Rept, 1979, vol. 49, p. 273.

Horton W. — Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 37, p. 1269.

Horton W. — Phys. Lett., 1976, vol. 67A, p. 129.

Tang W. M.— Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 1089.

Horton W.— Phys. Fluids, 1976, vol. 19, p. 711.

Horton W., Estes R. D. — Nucl. Fusion, 1979, vol. 19, p. 203.

Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамические структуры, равновесие, устойчивость: Пер. с англ. — М.: Мир, 1973.

Coppi В., Spight С. — Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 41, p. 551.

Liu C. S., Rosenbluth M. N., Horton C. W.— Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 29, p. 1489.

Hendel H. W., Chu T. I., Politzer P. A. —Phys. Fluids, 1968, vol. 11, p. 2426.

Hendel H. W., Coppi B., Perkins F., Politzer P. A. — Phys. Rev. Lett., 1967, vol. 18, p. 439.

Boissier P., Deschamps P., Graview R., Pellat R., Renand G. — Ibid., 1973, vol. 31, p. 79.

Boissier P. — Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 867.

Hinton F. L., Horton C. W. — Phys. Fluids, 1971, vol. 14, p. 116.

Monticello D. A., Simon A. — Ibid., 1974, vol. 17, p. 791.

Stix T. H. — Ibid., 1969, vol. 12, p. 627.

Tasso H. — Phys. Lett., 1967, vol. 24A, p. 618.

Oraevskii V. N., Tasso H., Wobig H. — In: Proc. 3th Intern. Conf, on Plasma Phys, and Control. Nuclear Fusion Res., Novosibirsk, USSR (International Atomic Energy Agency, Vienna), 1969, vol. 1, p. 671.

Петвиашвили В. И. — Физика плазмы, 1977, т. 3, с. 270.

Manakov S. V., Zakharnov V. Е., Bordag L. A,, Its A. R., Matveev V. В.— Phys. Lett., 1977, vol. 63A, p. 205.-

Петвиашвили В. И., Цвелодуб О. Ю. — Докл. АН СССР, 1978, т. 238, с. 1321.

Галеев А. А., Рудаков Л. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1963, т. 45, р. 647.

Sagdeev R. Z., Galeev A. A. Nonlinear Plasma Theory. N. ¥., W. A. Benjamin, 1969, ch. 3.

Gladd N. T., Horton W. —Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 879.

Lee W. W., Kuo Y. Y., Okuda H. — Ibid., 1978, vol. 21, p. 617.

Галеев А. А., Сагдеев P. 3. Нелинейная теория плазмы. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 7/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1973, с. 3.

Fowler Т. К- — In Advanc. in Plasma Physics. Vol. 1/ Eds A. Simon, W. B. Thompson, N. Y., Wiley, 1968, p. 201—225.

Кадомцев Б. Б. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1963, т. 45, с. 123L

Kadomtsev В. В. Plasma Turbulence. Lond., Academic Press, 1965.

Dupree T. H. — Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 1773; 1967, vol. 10, p. 1049; 1968, vol. 11, p. 2680.

Galeev A. A. — Phys. Fluids, 1967, vol. 10, p. 1041.

Ораевский В. H., Сагдеев Р. 3. — Докл. АН СССР, 1963, т. 150, с. 775.

Kraichnan R. Н. — Phys. Fluids, 1967, vol. 10, р. 1417.

Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. — М.: Атомиздат, 1971, гл. 2.‘,

Hasegawa A., Mima К. — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 39, p. 205; 1978, vol. 21, p. 87.

Hasegawa A., Maclennan C. G., Kodama Y. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 2122.

Williams G. P. — J. Atmos. Sci., 1978, vol. 35, p. 1399.

Fyfe D., Montgomery D. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 246.

Rose H. A., Sulem P. L. — J. Phys. (Paris), 1978, vol. 39, p. 441.

Mazzucato E. — Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 1063.-

Goldston R. J., Mazzucato E., Slusher R. E., Surko С. M. — In: Plaspa Physics and Controlled Nuclear Fusion Research (International Atomic Energy Agency, Vienna), 1977, vol. 1, p. 37L

Sudan R. N., Keskinen M.— Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 38, p. 966.

Okuda H., Chu C., Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1975, vol. 18, p. 243.

Chu C., Dawson J. M., Okuda H. — Ibid., p. 1762.

Сагдеев P. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Физика плазмы, 1978, т. 3, с. 551.

Cheng С. Z., Okuda Н. — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 38, p. 708.

Cheng C. Z., Okuda H. —Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 587.

Бакай А. Г. — Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 29, с. 746.

Rosenbluth М. N., Sloan М. S. — Phys. Fluids, 1971, vol. 14, p. 1725.

Berk H. L., Dominguez R. R. — Plasma Phys., 1977, vot 18, p. 31.

Catto P. J., El Nadi A. M., Liu C. S., Rosenbluth M. N. — Nucl. Fusion, 1974, vol. 14, p. 405.

Tange T. S., Inoue S., Itoh K., Nishikawa K. — J. Phys. Soc. Japan, 1979, vol. 46, p. 266.

Galeev A. A. —Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 1353.

Callen J. D. — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 39, p. 1540.

Stix T. H. — Ibid., 1973, vol. 30, p. 833.

Rechester A. B., Rosenbluth M. N. — Ibid., 1978, vol. 40, p. 38.

Kadomtsev В. B., Pogutse О. P. 1978. — In: Proc. 7th Intern. Conf, on Plasma Phys, and Control. Nuclear Fusion Res. (International Atomic Energy Agency, Vienna), 1978, vol. 1, p. 649.

Hazeltine R. D.T Strauss H. R. — Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 37, p. 102.

Drake J. F. e. a. — Phys. Fluids, 1981, vol. 24, p. 78—87.

Molvig K., Hirshman S. P., Whitson J. C. — Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 43, p. 582.

Галеев А. А., Зеленый Л. M.— Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 29, с. 669.

Galeev A. A., Zeeleny L. М. — Physica, 1981, vol. 2D, р. 90, Space Research Institute Report PR-501 (Academy of Sciences, USSR, Moscow, 1979).

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИИ ДИССИПАЦИЯ ВОЛН В ПЛАЗМЕ

К. МИМА, К. НИШИКАВА

ВВЕДЕНИЕ

Плазма реагирует на внешнее и (или) внутреннее электромагнитное поле как активная диэлектрическая среда. Если амплитуда поля достаточно мала, то с помощью линейной теории отклика можно корректно описывать процессы диссипации энергии и импульса поля. Нелинейности отклика плазмы играют важную роль в случае конечной амплитуды поля. В частности, возбужденное вне плазмы электромагнитное поле нелинейно связано с собственными модами плазмы, вследствие чего внешняя энергия преобразуется во внутреннюю энергию плазмы.

Одним из таких процессов связи является процесс, аналогичный известному параметрическому резонансу, описываемому уравнением Матье [1]. Рассмотрим волну конечной амплитуды, воз-

бужденную в плазме. Эта волна, называемая волной накачки, может приводить к периодической модуляции параметров, характеризующих собственную моду плазмы. Если амплитуда накачки превышает определенное пороговое значение, то собственная мода начинает расти с теплового уровня, поглощая энергию волны накачки. Неустойчивости такого типа называют параметрическими [2].

Простейший тип параметрических неустойчивостей в плазме — распадная неустойчивость [3—5] , при которой волна накачки распадается на две собственные моды плазмы. Если частоты <о; и волновые векторы кг (/=0, 1, 2) волны накачки (/=0) и собственных мод (/=1, 2) удовлетворяют распадным условиям (Oo=<oi+to2 и ko=k!+k2, то неустойчивость возбуждается резонансно даже при очень низких амплитудах накачки. Эти распадные условия могут не выполняться для единственной ветви собственных колебаний плазмы, например для электронной плазменной волны, в то же время они легко удовлетворяются для комбинации различных собственных мод. К примеру, рассмотрим незамагниченную плазму с большим отношением электронной и ионной температур, Те1Т^ 3>1. В такой плазме есть три различные ветви собственных колебаний: электромагнитная, состоящая из фотонов, электронная плазменная, состоящая из плазмонов, и ионно-акустическая, состоящая из фотонов. Используя их, можно сконструировать следующий набор триплетов собственных мод, удовлетворяющих распадным условиям резонансной распадной неустойчивости:

фотон—>фотон+плазмон;-

фотон—нфотон+фонон;

фотон—ньлазмон+плазмон;

фотон—>плазмон+фонон;

плазмон—>фотон+фонон;

плазмон—>-плазмон+фонон.

Из этих шести различных комбинаций 1, 2 и 6-ю можно рассматривать как вынужденное рассеяние волны накачки другой ветвью собственных колебаний. В частности, по аналогии с терминологией, используемой в нелинейной оптике, процессы 1 и 2 называют соответственно вынужденным комбинационным рассеянием и вынужденным рассеянием Мандельштама — Бриллюэна. Процессы 3 и 4 представляются существенными для преобразования внешней энергии во внутреннюю энергию плазмы, в то время как процесс 5 дает вклад в радиационные потери энергии плазмы. Отметим, что в неоднородной плазме для более точной оценки диссипативных и радиационных эффектов следует также учитывать процессы линейной конверсии мод.

В магнитоактивной плазме имеется большое разнообразие нормальных мод с вытекающим отсюда большим выбором при составлении резонансных триплетов собственных мод. Некоторые из

этих процессов существенны для нагрева плазмы в термоядерных ловушках, в то время как другие вредны с точки зрения оптимизации нагрева.

При больших амплитудах накачки параметрическая неустойчивость может приводить к возникновению нерезонансной моды (в том смысле, что один из продуктов распада в параметрической распадной неустойчивости является волной, которая не существует в плазме в отсутствие накачки). Модуляционная неустойчивость в более широком смысле представляет собой типичную нерезонансную параметрическую неустойчивость. Другим примером может служить ситуация, когда одна из волн, возникающих в результате распада, сильно затухает за счет взаимодействия с частицами (нелинейное взаимодействие волна — частица). При индуцированном рассеянии волны накачки сильно затухающей модой этот процесс соответствует нелинейному затуханию Ландау волны накачки. В другом случае имеет место индуцированная конверсия волны накачки. Эти процессы можно исследовать только с помощью кинетического подхода, в то время как обычная параметрическая распадная и модуляционная неустойчивости могут быть изучены в гидродинамическом приближении.

При теоретическом исследовании параметрических неустойчивостей возникают в основном проблемы трех типов. Первая заключается в исследовании общих характеристик параметрических неустойчивостей (таких как порог неустойчивости, сдвиг частоты, инкремент неустойчивости выше порога, геометрические эффекты и т. д.) в терминах линейных дисперсионных характеристик колебаний и коэффициентов нелинейной связи в предположении, что они известны. Эта задача обсуждается в § 1. Вторая проблема — вычисление коэффициентов нелинейной связи для каждого параметрического процесса. Хотя эта задача требует внимательного анализа, который зависит от специфики рассматриваемого процесса, в § 2 дан некоторый общий анализ, полезный для получения необходимой информации. В самом деле, нелинейное взаимодействие волна — частица можно должным образом исследовать, только осуществляя такой анализ. Третьей, наиболее трудной,- проблемой является нахождение нелинейного механизма насыщения параметрической неустойчивости. Краткое описание этой задачи дано в § 3. В § 4 приведены примеры, которые важны при изучении взаимодействия лазерного излучения с плазмой.

ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХНЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ

Здесь постулирован набор уравнений, которые описывают параметрическую связь возбуждаемых волн, и исследованы основные свойства параметрических неустойчивостей. Рассуждения, приведенные здесь, применимы к большой группе наиболее важных параметрических неустойчивостей: единственным существенным исключением является случай, когда один из продуктов распада

распадных неус-распадных неус-Z^q /а) 0Z^q /а) 0Рис. 1. Устойчивые и неустойчивые области для различных значений параметров (2йо/(Оо)2 и е(2йо/соо)2. Заштрихованные области соответствуют неустойчивостиРис. 1. Устойчивые и неустойчивые области для различных значений параметров (2йо/(Оо)2 и е(2йо/соо)2. Заштрихованные области соответствуют неустойчивостиуравнение Матье, записанноеуравнение Матье, записанное

распадных неус-

распадных неус-

Z^q /а) 0

Z^q /а) 0

Рис. 1. Устойчивые и неустойчивые области для различных значений параметров (2йо/(Оо)2 и е(2йо/соо)2. Заштрихованные области соответствуют неустойчивости

Рис. 1. Устойчивые и неустойчивые области для различных значений параметров (2йо/(Оо)2 и е(2йо/соо)2. Заштрихованные области соответствуют неустойчивости

уравнение Матье, записанное

уравнение Матье, записанное

сильно затухает из-за взаимодействия волна — частица. Тогда необходим более точный кинетический подход (см. ниже).

В п. 1.1 рассмотрена модель уравнения Матье и указаны три важных свойства резонансных и тойчивостей: резонансное условие, наличие порога и синхронизации частот для резонансной и нерезонансной распадных неустойчивостей. В п. 1.2 анализ расширен на случай связи различных собственных мод. Пункт 1.3 посвящен некоторым свойствам резонансных распадных неустойчивостей, а также исследованию конвективной и абсолютной природы неустойчивости. В п. 1.4 обсуждается влияние пространственной неоднородности среды и конечности пространственных размеров накачки на резонансную распадную неустойчивость. Наконец, в п. 1.5 рассматривается роль немонохроматичности волны накачки и фоновых флуктуаций.

Предварительный анализ с помощью модели уравнения Матье [5]. Рассмотрим сначала в виде

d^X^jdPWo [1—2ecos (wo/)] Х(/)=0.(1)

При е=0 это уравнение сводится к уравнению простого гармонического осциллятора, характеризуемого частотой Qo. При е^О приведенное выше уравнение описывает периодическую модуляцию Qo частотой коо. Общие периодические решения выражаются через cen(c«W/2, 6iQ2o/8) (п=0, 1, 2, ...) и sen((ooZ/2, eQ^o/S) (п=1, 2, ...), где cen(x, q) и sen(x, q) — функции Матье n-го порядка с модулем q. Если соо/йо попадает в заштрихованную область на рис. 1, то имеет место неустойчивость с возбуждением колебаний Х^ [6]. При малой глубине модуляции, т. е. при е>1, неустойчивые решения ограничены областями

S2o^^coo/2, п = 1, 2, ...,(2)

которые соответствуют распадным или резонансным условиям. Например, если одно из этих условий выполняется, то благодаря модуляции возникает сильная связь между двумя собственными колебаниями X—exp (—iiQoO и X~exp (iQoO» приводящая к усилению собственных колебаний за счет энергии модулятора, который играет роль волны накачки. Отметим, что резонансное условие (2) аналогично условиям брэгговского отражения электронов

в периодическом потенциале в твердом теле [7]. Не проводя общего анализа уравнения (1), ограничимся рассмотрением слабой модуляции, т. е. еС1, и исследуем решение методом возмущений.

Используя преобразование Лапласа

X(/) = J exp (—i <st) X (ш) -^-, 8>0,(3)

—QO+iS

перепишем уравнение (1) в виде

D (ю)^ (to) = — ей2в \X (co — toe) + X (to4-«>e)],(4)

где

П^=«?—йЧ(5)

Левая часть уравнения (4) представляет собой линейный вклад, и соотношение £)((о)=О дает линейное дисперсионное уравнение. Правая часть уравнения (4) описывает связь между модами, которая обусловлена модуляцией частоты собственных колебаний.

Заменяя в уравнении (4) со суммой со+тоо (п=0, ±1, ±2, ...), получаем следующую рекуррентную формулу:

D (<о -|~ №0) X (to -(- №0) =

= - ей\ {А" [со + (« - 1) ®0] 4- X [со + (п + 1) о,.]}.(6)

Из уравнения (6) следует, что для получения точного дисперсионного соотношения для связанных мод необходимо решить бесконечный набор уравнений. Точное дисперсионное соотношение дает собственные значения уравнения Матье. Однако в предположении слабой связи мод можно удержать только несколько основных мод, чтобы выяснить физические процессы, описываемые взаимодействием волна — волна.

А. Рассмотрим сначала случай йо^соо/2, который соответствует п=\ в уравнении (2). При этом сильная связь возникает при выполнении соотношения со^йо, а отклики Х(со) и Х(<о—соо) находятся в резонансе с собственными колебаниями. Таким образом, ограничиваясь только этими двумя модами, получаем дисперсионное уравнение

D (<о) D (<о—<оо)=е^й4о.(7)

Далее, учитывая тот факт, что со^йо и <о—<i)o=—Йо, можно воспользоваться резонансным приближением, которое означает следующую аппроксимацию:

7)(<о) = 2йо(о>—Йо); D(to—(о0)=—2йо(<о—Йо—А),(8)

где А=о)о—2Йо. Величину Д называют сдвигом частоты. Подставляя (8) в (7), получаем

«> = □.+(1/2) (Д±ГАг-е‘ав.).(9)

Две связанные моды Jf(to^f20) и Х(®—©в^—й0) становятся неустойчивыми при выполнении условия

е2>АЖ(Ю)

Линии A/iQ0=±8 дают границу неустойчивости, которая представлена заштрихованной областью а на рис. L Для данного сдвига частоты А величина | A/Q0L представляет собой пороговую глубину модуляции. Реальная частота нарастающих решений

^т^й^А"^^=^<)1^(11)

не зависит от собственной частоты. Это явление называют синхронизацией частот.

Инкремент выше порога определяется соотношением

т= (1/2) (e2Q20—A2)^^(e^JQo.. (12)

Максимальное значение инкремента умакс^ео)^ достигается при отсутствии сдвига А=0. Этот процесс соответствует распаду волны накачки на две собственные моды с частотами ±(Оо/2^±'йо и, следовательно, является частным случаем параметрической распадной неустойчивости.

Б. В качестве следующего примера рассмотрим случай Qq^cdo, который соответствует п=2 в уравнении (2). При этом отклики Х(ю)±-о)о) могут находиться в резонансе с собственной модой при малых <о (<о^0). В общем случае можно положить о)=/соо, чтобы осуществить связь двух резонансных колебаний X [ко—(Z±l)cc>o], /=0, ±1, ±2 ... Так как коэффициент связи порядка е|/|+1, в самом низком порядке связь возникает через моду с /=0. Отметим, что мода Х((о^0) —нерезонансная; таким образом, в отличие от случая А, когда два резонансных колебания были непосредственно связаны между собой, здесь они связаны только через нерезонансную моду. Строго говоря, параметрическая связь в низшем порядке возникает и через моды Х(о)±2о)о). Однако эффект самого низкого порядка, возникающий через моды X (ко+Зоо), состоит просто в появлении самовоздействия каждой резонансной моды ^(ко+юо) или Х(о)—соо) и не дает вклада в связь этих двух резонансных мод. Поэтому для простоты пренебрежем влиянием X(co±2o)o) и учтем только влияние моды Х(ко).

В этом приближении, полагая в уравнении (6) п=0, п=±1, можно получить следующее дисперсионное соотношение:

^[е^Щко)] [1/Що)ЪооШ/Р^(13)

Как и ранее, рассмотрение ведется в резонансном приближении

D (козккоо) ^±2Qq (о)±6),(14)

где б = о)о—Qo — сдвиг частоты. Представляя приближенно D^ В виде £)(0) =—Q20, получаем уравнение

,^^(е^+б),(15)

имеющее нарастающее решение при условии, что сдвиг частоты находится в области

(16)439(16)439-еЧ2о<6<0,

(16)

439

(16)

439

которая представлена на рис. 1 заштрихованной областью Ь. Важное значение этого результата состоит в том, что неустойчивость возникает только тогда, когда частота модуляции wo немного меньше собственной частоты Йо- Пороговое значение глубины модуляции дается соотношением е=(—6/й0)1/2, которое обращается в нуль при 6=0. Инкремент при этом также равен нулю. Для заданного е максимальный инкремент

У макс = 82 йо/2(17)

достигается при 6 =—s2Qo; умакс, определяемое (17), в е раз меньше умакс для /2=0. Это обусловлено тем, что для возникновения параметрической неустойчивости необходима связь двух резонансных мод через нерезонансную.

Отметим, что нерезонансная нарастающая мода имеет нулевую вещественную часть частоты (о)/=О), вследствие чего неустойчивость называют апериодической. Ее можно также рассматривать как частный случай модуляционной неустойчивости, которая является неустойчивостью высокочастотных колебаний, обусловленной медленной (сог=О) модуляцией их амплитуд и фаз. Вещественные части частот обеих резонансных мод Х(<о±соо), которые возбуждаются при этом, в точности равны ±,(Оо. Все три моды X((o) и ^(w+too) растут одновременно с одним и тем же инкрементом, но их амплитуды различаются:

|Х(<о) |^|е/2| |А (созЕкоо) | ^ |^(<о±(Оо) |.

В заключение обсудим влияние затухания собственных колебаний. Этот эффект можно описать уравнением (1), представленным следующим образом:

dWt2WdXidt-V^%A-V2> [1—2е cos (<doO]X=0.(18)

При е=0 это уравнение описывает собственную моду в виде Х^ —exp [±iQo/—П]. Уравнение (18) можно свести к (1) с помощью преобразования X{t)—X(t) exp (П). Поэтому для Х(/) возможен тот же анализ, что и в отсутствие затухания. Учет затухания тогда просто приведет к уменьшению инкремента от у до у—Г.

Таким образом, ненулевой порог имеет место даже в условиях оптимальной частоты накачки, а именно:

82й2о/4>Г2 для случая А;(19а)

е2й0/4>Г для случая Б.(196)

Отсюда следует, что минимальный порог для случая А ниже (в отношении Г/йо), чем порог для случая Б.

Анализ с помощью уравнений связанных мод. В рассмотренном выше примере предполагалось, что возбуждена только одна собственная мода с частотами ±йо- Однако в реальной плазме могут быть связанными друг с другом различные собственные моды, имеющие разные характерные частоты. Частота собственной моды 440

зависит как от волнового вектора, так и от ветви колебаний, к которой принадлежит мода. Хотя в общем случае механизм связи мод сложен, элементарный процесс их связи часто может быть описан простым обобщением уравнения Матье.

Рассмотрим две ветви собственных колебаний, например низкочастотную, или Л-моду, и высокочастотную, или Я-моду, собственные частоты которых соответственно равны соь(к) и <он(к) (соь< <-соя), где к — волновой вектор. Пусть Хь(к, /), Хя(к, /) — фурье- компоненты откликов L- и Я-мод.

Представляя волну накачки в виде

Z(r, /)—2Z0cos (ко-г—(oof),,

запишем уравнения связанных мод в следующей форме:

^+2Г, А + «^ (к) + Г[^£ (к, 0 = Z. ^Хн (к + к., О X