Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ

Определение плазмы

Прежде чем перейти к последовательному изложению основ электродинамики плазмы, необходимо ответить на вопросы: что такое плазма, как она распространена в природе и каковы ее наиболее характерные особенности?

В настоящее время представление о плазме как о четвертом состоянии вещества прочно входит в повседневную жизнь наряду с такими понятиями, как газ, жидкость и твердое тело. Это объясняется чрезвычайно широким распространением плазменного состояния вещества в природе, а также большими перспективами практического использования плазмы в различных областях новой техники.

Впервые термин «плазма» был введен И. Ленгмюром в 1923 г. при изучении явлений, происходящих при электрическом разряде в газах. Таким образом, первое определение плазмы было связано непосредственно с представлением об ионизованном газе, что оказалось очень плодотворным. Дадим предварительное определение плазмы как ионизованного газа, состоящего из большого числа положительно и отрицательно заряженных частиц, а в ряде случаев также из нейтральных атомов и молекул. Именно наличие в плазме большого числа заряженных частиц обусловливает те характерные ее свойства, которые позволяют определить

плазму как четвертое состояние вещества и существенно отличают ее от обычных газов.

Приведенное определение плазмы является не строгим и далеко не полным. Полного определения плазмы по существу невозможно дать, так как оно должно охватывать очень широкий круг явлений в самых разнообразных условиях. В настоящей книге понятие плазмы будет раскрыто также лишь частично, поскольку предметом ее изучения являются только электродинамические свойства плазмы.

С ионизованным газом приходится встречаться практически всюду. Он присутствует в верхних слоях атмосферы Земли — ионосфере. Если в нижних слоях атмосферы до высот порядка 100 км число заряженных частиц ничтожно мало, то выше их число становится достаточно большим и на высотах 300—500 км достигает максимума. Именно этот слой ионосферы, называемый F-слоем, обеспечивает распространение электромагнитных волн вокруг Земли и устойчивую радиосвязь на Земле. Еще выше число заряженных частиц падает, и на очень больших высотах происходит переход к разряженной межпланетной плазме.

Другой распространенный пример — это плазма звездных атмосфер. Вещество в большинстве космических объектов (звезды, туманности и т. п.) находится в ионизованном состоянии, т. е. в состоянии плазмы. В плазме звезд, в частности Солнца, происходят реакции синтеза легких элементов, так называемые т缈・ моядерные реакции, обеспечивающие огромное выделение энергии и нагрев плазмы. В настоящее время ученые многих стран мира изучают возможности создания подобной высокотемпературной плазмы в земных условиях, поставив перей собой задачу осуществления управляемого термоядерного синтеза и обеспечения человечества неисчерпаемым запасом энергии. Именно с развитием этих исследований связано второе рождение понятия плазмы, расширившее и обогатившее знания о плазме и сделавшее науку о плазме важным и самостоятельным разделом физики.

Примером распространенной в природе плазмы является также плазма газового разряда. Интенсивные исследования плазмы газового разряда связаны с потребностями развития классической и квантовой электроники, для которых газоразрядные приборы играют большую роль.

Наконец, следует особо отметить твердотельную плазму — электронную плазму металлов и электронно-дырочную плазму полупроводников.

Перечисленный ряд можно продолжить практически неограниченно, говоря о плазме в магнитогидродинамических и термоионных преобразователях тепловой энергии в электрическую, о плазме в растворах электролитов и т. д. Однако приведенных примеров достаточно для того, чтобы убедиться в чрезвычайно широком распространении плазмы в природе и важности изучения ее свойств.

Параметры плазмы

Как отмечалось, плазма состоит из заряженных и нейтральных частиц. Положительно заряженными частицами плазмы являются положительные ионы (газовая плазма) и дырки (плазма твердого тела), а отрицательно заряженными частицами — электроны и отрицательные ионы. Как правило, отрицательные ионы не играют большой роли в плазменных явлениях, и в дальнейшем их влиянием будем пренебрегать.

Состав нейтральной компоненты плазмы может быть достаточно сложным： помимо атомов и молекул в нормальном состоянии в плазме в гораздо большем количестве могут присутствовать атомы и молекулы в различных возбужденных состояниях. Но поскольку плазма — это газ, для ее описания используют те же понятия, что и для обычного газа. Введем основные параметры плазмы, исходя из простых молекулярно-кинетических представлений.

Прежде всего необходимо знать концентрацию (плотность) частиц разного сорта 必，где индекс а означает сорт частиц. Далее все величины, относящиеся к электронам плазмы, будем обозначать индексом е, к ионам (дыркам) — индексом 厶 а к нейтральным частицам — индексом п. Если в плазме присутствуют ионы нескольких сортов, следует задавать отдельно концентрацию ионов каждого сорта. В дальнейшем, однако, нас будет мало интересовать квантово-механическое состояние атомов и молекул, поэтому под Nn будем понимать полное число нейтральных частиц в единичном объеме независимо от того, находятся ли эти частицы в нормальном или возбужденном состоянии.

Состав плазмы удобно также характеризовать другим параметром—отношением концентрации электронов к концентрации нейтральных частиц, или степенью ионизации r=NelNn. По -степени ионизации плазму обычно подразделяют на слабоионизо^ ванную (г<10~2-~10~3) и полностью ионизованную (г->оо), т. е. плазму, состоящую только из заряженных частиц.

Поскольку в плазме присутствуют частицы различных сортов, нужно знать их заряд е^ и массу та. В газовой плазме заряд электронов %三е, причем \е\ = 1,6-10~19 Кл, масса те=т= =9,1 • 10-31 кг, заряд ионов е〃=—Ze (Z — кратность ионизации), масса т^ = М=4・ i,66・ 10-27 кг)где 4 一 атомная масса соответствующего газа . Для нейтральных частиц, очевидно, е” = 0, а тп 21nLM. В плазме твердого тела массы носителей заряда (электронов и дырок) отличны от массы свободного электрона* Поэтому там, где могут возникнуть недоразумения, будем обоз-

* Часто под степенью ионизации понимают r=Ne/(Nn+^Ni)^ При таком определении для полной ионизации г=(1; при г>1 степень ион1изации равна среднему заряду ионов плазмы.

начать m*e и m\. В металлах m*e«me)в полупроводниках, как правило, те« (0,014-0,1)те, а т*^те. Заряд отрицательных носителей равен заряду электрона, а заряд положительных носителей 々=—е.

Частицы, образующие плазму, находятся в состоянии хаотического теплового движения. Для характеристики этого движения вводят понятие температуры Г плазмы в целом или Та для отдельных ее компонент. Температуру плазмы вводят в предположении, что плазма в целом находится в состоянии термодинамического равновесия, а функции распределения частиц всех сортов по импульсам ра (скоростям) являются максвелловскими с одной и той же температурой Г; в этом случае плазму называют изотермической. Гораздо чаще в плазме устанавливается частичное термодинамическое равновесие, когда отдельные ее компоненты имеют максвелловские распределения по скоростям с различными температурами:

2 exp I(2 几%%)3/2I 2e

Такая плазма является неизотермической. В случае максвелловской функции распределения частиц температура Т& характеризует среднюю кинетическую энергию теплового движения частиц данного сорта:

% м「а = %〈т(х%〉，(1.2.2)

где х=1,38-10~23 Дж/К — постоянная Больцмана; Та — температура частиц сорта а; 0& — скорость хаотического теплового движения частиц сорта а (угловые скобки означают усреднение по всем частицам данного сорта а). Понятием температуры плазмы часто пользуются и тогда, когда функция распределения частиц отличается от максвелловской, понимая под Т& величину, определенную соотношением (1.2.2).

Температуру компонент плазмы будем в основном выражать в кельвинах; кроме того, будем использовать энергетическую систему единиц, в которой постоянная Больцмана х=1, а Та выражена в электрон-вольтах (1 эВ = 11 600 K=l,6-10-19 дЖ).

Сделаем еще одно замечание, связанное с функцией распределения частиц и определением температуры плазмы. Как известно из курса статистической физики, о максвелловском распределении частиц можно говорить лишь при достаточно высоких температурах, когда отсутствует фермиевское вырождение, обусловленное принципом Паули. Явление фермиевского вырождения возможно для частиц с полуцелым спином (электроны, дырки и ионы атома водорода) и становится существенным, когда энергия Ферми ^Fa превышает тепловую:

舞a

(3淄户戸f心/32加a

》YTa，

(1.2,3)

где pFa=muFa = .(Эл2)1/3 HN^ ——граничный импульс Ферми, а Н = й/(2л) = 1,05-10-34 Дж-с — постоянная Планка.

При этом распределение частиц по импульсам определяется выражением

"=品4[^-舞"(*)十1} '(124)

называемым функцией распределения Ферми.

Неравенство (1.2.3) выполняется при относительно низких температурах и высоких концентрациях: JVa^>5- 1021Т^2 (та/т)^2. В вырожденной плазме понятие температуры как меры энергии среднего хаотического движения частиц теряет смысл. Эту роль играет энергия Ферми ^Fa«5 - \ Qr^NaZ(rnlm^ Дж, не зависящая от температуры ллазмы и возрастающая с увеличением концентрации частиц.

Посмотрим, как значения основных параметров плаамы ^ и Та завися! от конкретных условий. Так, в F<jroe ионосферы МаМ^Ю^ м-3, Nn 0 Ю1в м-з, т. е. /• 2 10-4, а температура плазмы оказывается довольно высокой, порядка (3+5)・1()з к. На больших высотах, превышающих радиус Земли, в межпланетной плазме концентрация заряженных частиц колеблется в пределах 104，M-3<"e*Ni w 107 м-3, причем №n《Ne, т. е. плазма практически полностью яонизована, а температура Г«104 К. Концентрация ^ и температура Т плазмы звезд меняются в очень широких пределах: концентрация — от 108—109 до 1028—1032 м-з и выше, темперадра — от 10*—105 до Ю9—I1O10 К, при этом плазма полностью иокизована. Так, например, в солнечной короне Ne*N户 »1。1°—1014 м-з, а Т«106—108 К. В установках для получения термоядерного синтеза, поскольку реакции слияния ядер лороговые, температура ллазмы должна (Превышать Т ^ 108 К, концентрация же заряженных частиц в зависимости от методов нагрева и удержания плаамы составляет либо Ne^Ni^A^—1021 м-з, либо N^Ni^lG23—1029 м7

Плазму газового разряда в противоположность термоядерной часто называют низкотемпературной. Ее температура обычно ие превышает 104——105 К, а концентрация заряженных частиц Ne^Ni^W4—1021 (м~，причем такая плазма практически всегда слабоионизована, так как NelOUM м-з. в плазме сильноточного разряда, образующейся при электрическом взрыве -металлических проволочек, Г«104—105 К, а концентрации заряженных частиц N产M^IO%— —1026 м-з при практически полной мон)нза*ии. В металлах электронную плазму образуют свободные носигели заряда, концентрация которых ^« 1027—1029 м-{ причем эффективная масса носителей зарядов имеет порядок массы свободного электрона. При столь высоких концентрациях свободные электроны в металлах оказываются вырожденными и условие вырождения (1.2.3) выполняется вплоть до температур Г w 164 K. Твердотельная плазма полупроводников, образованная из отрицательных (электронов) и положительных (дырок) носителей заряда, может быть как вырожденной, так и невырожденной. В полупроводниках с большим числом легких носителей (электронов) при Ne ^ ;1022—1024 м-3 м эффективной массой me*«10~2/n вырождение наступает при температурах 「&< VIО? К, вырождение по тяжелым носителям заряда (дыркам) наступает при еще более низких температурах, в то время как в полупроводниках с малым числом носителей при "е W 1020~1021 м~3, как правило, электронно-дырочная плазма оказывается невырожденной.

Разумеется, приведенные числовые значения являются ориентировочными и указывают лишь на порядок величин “^ и Тв в различных условиях.

Квазинейтральность. Плазменная частота и дебаевский радиус

Данное выше определение плазмы является неточным. Дело в том, что не всякий ионизованный газ представляет собой плазму. Нужно еще, чтобы он обладал свойством квазинейтральности, т. е. в среднем за достаточно большие промежутки времени и на достаточно больших расстояниях был в целом нейтральным. Выясним, каковы эти характерные промежутки времени и расстоя- ни% или, иначе, каковы временные и пространственные масштабы разделения зарядов и нарушения нейтральности плазмы. Требование кв азинейтр а льности накладывает связь на значения концентраций электронов и ионов:

W %Na = °，(1.3.1)

а

где Са，N. — соответственно заряд и концентрация частиц сорта а.

В том случае, когда в плазме имеются однократно ионизованные ионы только одного сорта, это условие записывается в виде

М=М,(1.3.2)

так как заряд электрона е=—е^

Оценим вначале из простых физических соображений временной масштаб разделения зарядов. Представим себе, что какой- либо электрон плазмы отклонился от своего первоначального равновесного положения в плазме. При этом возникает возвращающая сила, по порядку величины равная средней силе взаимодействия частиц, т. е. Р^е2/(4л8оГ2ср), где гСр= [3/|(4яЛ^е)]1/3 — среднее расстояние между частицами, е0=1/(4л-9-109) Ф/м. В результате электрон начнет колебаться около равновесного положения с частотой

詣•(133)

где величина一

называемая электронной ленгмюровской, электронной плазменной или просто плазменной частотой, является чрезвычайно важной характеристикой плазмы. Естественно принять за временной масштаб разделения зарядов величину, обратную электронной ленгмюровской частоте:

(1.3.4)

поскольку за отрезки времени £》т частицы совершают много колебаний около равновесного положения и плазма в целом ведет себя как квазинейтральная система. Плазменная частота <оье« Qp 3・1。3甌 не зависит от температуры, поэтому она одинакова

для вырожденной и невырожденной плазмы, для полупроводни* ковой плазмы SLe~ V3- 103Ует/1/ие.

По этим формулам легко оценить порядок величины плазменной частоты для различных реальных плазм. Так, для (ионосферной плазмы (оье«5-107 с~1 для термоядерной плазмы и плазмы газового разряда(ol ₽« 10^—1016 с-1, а для плазмы твердых тел Шье^'Ю13—5«1015 с—・

Рассмотрим теперь пространственный масштаб разделения зарядов. Из простых физических соображений ясно, что его значение должно определяться длиной, на которую может смести

ться возмущение плотности заряженных частиц вследствие их теплового движения за время, равное периоду плазменных колебаний. Таким образом, пространственный масштаб разделения зарядов для невырожденной плазмы составляет

—=广"，(13.5)

где ^те= VТ€[т — скорость теплового движения электронов, а величина

М寐(L3.6)

носит название электронного дебаевского радиуса и играет в физике плазмы фундаментальную роль.

Для вырожденной плазмы энергия хаотического движения электронов представляет собой энергию Ферми, поэтому в выражении (1.3.6) иТе следует заменить на /Fe：

(1.3.7)(1.3.7)

(1.3.7)

(1.3.7)

Итак, для квазинейтральности плазмы необходимо, чтобы ее характерные размеры L были много большими дебаевского радиуса:

L»rDe.(1.3.8}

Только при этом условии систему заряженных частиц можно считать плазмой, т. е. материальной средой с качественно новыми свойствами. В противном случае получается простая совокупность отдельных заряженных частиц, к которой применима электродинамика вакуума.

Приведем числовые оценки величины л)е・ Для ионосферной плазмы m «10~3 -м, для термоядерной плазмы и ллазмы газового разряда гр е«Ю-5— —10-в м, для плазмы твердых тел гое«Ю~7-г-10~9 м. Из этих оценок следует, что в реальных условиях дебаевский радиус — очень малая величина, а условие (1.8.8) практически всегда выполняется с большим запасом.

Газовое приближение. Плазменный параметр

В приведенном определении плазма была охарактеризована как газ заряженных частиц. Но газом нельзя считать любую ей* стему частиц. Совокупность заряженных частиц образует газ,

или, как говорят, для нее применимо газовое приближение, если средняя потенциальная энергия частиц мала по сравнению с их средней кинетической (тепловой) энергией. Только при этом условии частицы газа являются почти свободными и слабо взаимодействуют между собой. Для кулоновски взаимодействующих частиц указанное требование записывают в виде

-色〜扌№自《1\(1.4.1)

4 Л80 г ср

С этим неравенством связана важная характеристика плазмы: 『一^——亞竺〜£《1・(1.4.2)

4 Л80 %р 74 ле0 Тг^

Величину н называют плазменным параметром, и условие применимости газового приближения сводится к требованию Неравенство (1.4.2) означает, что среднее расстояние между заряженными частицами в плазме должно быть меньше дебаевского радиуса, или иначе, внутри дебаевской сферы (радиус сферы 「d) должно находиться много частиц.

В реальной газовой плазме неравенства (1.4.1) и (1.4.2), как правило, выполняются с большим запасов: для ионосферной плазмы 口 W 10-4, а для тер* моядерной плазмы и плазмы газового разряда т] 10~2.

厂2厂2(1.4.3)(1.4.3)Для вырожденной плазмы плазменный параметр 刀 есть отношение средней потенциальной энергий к энергии Ферми:

厂2

厂2

(1.4.3)

(1.4.3)

e2^1/3 n =

4 nе0君醜

Из сравнения неравенств (1.4.2) и (1.4.3) видно, что в невырожденной плазме условие применимости газового приближения при заданной температуре выполняется тем лучше, чем меньше плотность заряженных частиц N、в то время как в вырожденной плазме выполнение этого условия облегчается с ростом N. Газовое приближение применимо в металлах лишь при концентрации носителей заряда Ne 之 1028 м~3, а в полупроводниках с эффективной массой носителей m*= 10~2т .и при меннтнх концентрациях носителей заряда — порядка М> (1()22—Ю23) м~3. Таким образом, условие (1.4.3) для реальных металлов находится на грани применимости. .

Задачи к гл. 1

Задача /./. Исследовать колебания однородной газовой плазмы, возникшие при малом смещении электронов относительно ионов.

Решение. Обозначим S вектор смещения электронов относительно >ионов. При смещении S плотность нескомпенсированного заряда электронов

⑴⑴p=div eNeS=eNe divS.

⑴

⑴

Этот заряд создает электрическое поле, напряженность Е которого определяется из уравнения Пуассана:

divE=—=Отсюда, учитывая, что при S=0 и Е=0,Е=—divE=—=Отсюда, учитывая, что при S=0 и Е=0,Е=——-Ne div S.имеем—-Ne div S.имеем%S・%S・(3)(3)

divE=—=

Отсюда, учитывая, что при S=0 и Е=0,

Е=—

divE=—=

Отсюда, учитывая, что при S=0 и Е=0,

Е=—

—-Ne div S.

имеем

—-Ne div S.

имеем

%S・

%S・

(3)

(3)

(S=6j с частотой(S=6j с частотойЗадача 12 Найти потенциал пробного заряда q, помещенного @ пространственно однородную газовую плазму с температурой электронов Те a ионов Ti.Решение. Заряд q создает электрическое поле, которое поляризует плазму. В результате в плазме наряду с плотностью внешнего заряда qo (г) появится 1ивдуцированная плотность заряда р(Ф), где Ф — искомый потенциал. По-Задача 12 Найти потенциал пробного заряда q, помещенного @ пространственно однородную газовую плазму с температурой электронов Те a ионов Ti.Решение. Заряд q создает электрическое поле, которое поляризует плазму. В результате в плазме наряду с плотностью внешнего заряда qo (г) появится 1ивдуцированная плотность заряда р(Ф), где Ф — искомый потенциал. По-тенциал подчиняется уравнению Пуассона:тенциал подчиняется уравнению Пуассона:ДФ ==—ДФ ==—p (①)_丄£0£0p (①)_丄£0£0б (г).б (г).(1)(1)

(S=6j с частотой

(S=6j с частотой

Задача 12 Найти потенциал пробного заряда q, помещенного @ пространственно однородную газовую плазму с температурой электронов Те a ионов Ti.

Решение. Заряд q создает электрическое поле, которое поляризует плазму. В результате в плазме наряду с плотностью внешнего заряда qo (г) появится 1ивдуцированная плотность заряда р(Ф), где Ф — искомый потенциал. По-

Задача 12 Найти потенциал пробного заряда q, помещенного @ пространственно однородную газовую плазму с температурой электронов Те a ионов Ti.

Решение. Заряд q создает электрическое поле, которое поляризует плазму. В результате в плазме наряду с плотностью внешнего заряда qo (г) появится 1ивдуцированная плотность заряда р(Ф), где Ф — искомый потенциал. По-

тенциал подчиняется уравнению Пуассона:

тенциал подчиняется уравнению Пуассона:

ДФ ==—

ДФ ==—

p (①)_丄£0£0

p (①)_丄£0£0

б (г).

б (г).

(1)

(1)

В результате уравнение движения электрона запишем в виде '

Это уравнение описывает колебания плазмы около равновесного положения

Плотность индуцированного заряда в плазмеР= W %^а (①)，

где №^(6) — плотность частиц сорта а в плазме при наличии поля Ф. Согласно барометрической формуле,

a、 / a

где ^a — плотность частиц в отсутствие поля Ф (в отсутствие заряда д), поэтому, по условию квазинейтральности плазмы, Se^a =0. Таким образом, из уравнения Пуассона имеем

АФ = — — q 6 (г)—ео

~ ? %Na

а

* —丄 g 6 (г) + S %a

W "a

Здесь пбтенциал точечного заряда считается

Разложив потенциал Ф(г) в ряд Фурье Ф (г) = J е1кгФ (k) dk

я используя соотношение

Ф.

(4)

а достаточно слабым, так что

находим решение уравнения Пуассона в ваде оeikr

⑺⑺Ф(г) = ^^^к^ч^?

⑺

⑺

где гб ——дебаевский радиус плазмы,

&De, гб » —дебаевские радиусы электронов и ионов соответственно).

Таким образом, поле пробного заряда е плазме отличается от поля в вакууме тем, что оно экранируется на больших расстояниях r>m. Такое экранирование—следствие преимущественной группировки заряженных частиц противоположного знака вокруг пробного заряда. На расстояниях rV「D поле пробного заряда в плазме практически не отличается от поля в вакууме.

Задача /・2. На .диаграмме W(T) электронной плазмы указать области вырождения носителей заряда и применимости газового приближения.

Решение. Условие вырождения для электронной плазмы записывают в виде

^р>Т.

На диаграмме зависимости ln^ от 1пТ (рис. 1) условие

用尸=7 =用尸=7 =(3霏薯)2/311薯N2/32m(3霏薯)2/311薯N2/32m(О(О

用尸=7 =

用尸=7 =

(3霏薯)2/311薯N2/32m

(3霏薯)2/311薯N2/32m

(О

(О

дает прямую 1, разделяющую область вырожденной плазмы от невырожденной.

Условие пршенимости газового приближения в невырожденном состоянии

Лкл =Лкл =决/“1/34л80Т决/“1/34л80ТVI・VI・

Лкл =

Лкл =

决/“1/3

4л80Т

决/“1/3

4л80Т

VI・

VI・

На той же диаграмме т]Кл — 1 дает прямую 2・

В вырожденном состоянии для применимости газового приближения необходимо выполнение условия

Лкв =Лкв =е2%1/зе2%1/з4叫鄧4叫鄧<1.<1.

Лкв =

Лкв =

е2%1/з

е2%1/з

4叫鄧

4叫鄧

<1.

<1.

Рис. 1. Диаграмма "(Т) для электронной плазмыРис. 1. Диаграмма "(Т) для электронной плазмы

Рис. 1. Диаграмма "(Т) для электронной плазмы

Рис. 1. Диаграмма "(Т) для электронной плазмы

Поскольку энергия Ферми не зависит от Т, а зависит только от М условие Пкв=1 дает прямую 3, проходящую через точку Л, где пересекаются три прямые ^ F = T = 02%" 3/( 4冗80).

Следовательно, в области / имеется невырожденная плазма со слабым взаимодействием, к 'которой применимо газовое приближение: в области II — невырожденная плазма с сильным взаимодействием, т. е. классическая жидкость; в области III — вырожденная плазма с сильным взаимодействием, т. е. квантовая жидкость. Как в области II, так и в области III газовое приближение неприменимо. Наконец, область IV изменения параметров ^ и Т характеризует вырожденную плазму со слабым взаимодействием, к которой газовое приближение применимо.

Задача /・4. Оценить значения плазменной частоты, дебаевского радиуса электронов и степени идеальности для:

ионосферной плазмы (Ne^Nt^\Qxz м~3, Те^Л=11 эВ);

плазмы газового разряда {Ne^Ni«Ю18 м~3, Т&410 §В,兀*0,1 эВ);

термоядерной плазмы (Ne^Ni«1О21 м~3,詳4兀*10 кэВ);

плазмы МГД-преобразователей тепловой энергии в электрическую (Na

4Ni41025 м-3, Те*兀40,3 эВ)；

электронной плазмы металлов при комнатной температуре (^^10^—

—1029 м-3).

Ответ:

3)(0L е^1,7*108 С*"1, ГБе^2,5*10~3 м, г]~3・10-5；

(0L е^5,5»(1010 С-1, Л)е42・10-5 м, 1]^ 1,5-IIO"4；

в)(ol в^1,7*1012 с-1, гве^2«10-5 м, г]^1,5-10_б;

(OL е^1,7-Ю14 С-1, Гве^1,5*10~9 М,吟I；

©L е^(0,5—1,5)*1016 С-1,冒Fd(l—5) эВ, fDe^lO-9—10-8 M, l]^2—1.

Глава 2. ОСНОВЫ

ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СРЕД

С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ВРЕМЕННОЙ ДИСПЕРСИЕЙ

Уравнения электромагнитного поля в среде

и граничные условия

Основная особенность плазмы с электродинамической точки зрения состоит в том, что она является средой с резко выраженной частотной (временной) и пространственной дисперсией. Смысл этих понятий будет раскрыт далее. Сейчас же сформулируем уравнения электромагнитного поля в плазме как в материальной среде.

В предыдущих параграфах было дано определение плазмы как системы, состоящей из заряженных частиц, но в целом квазинейт- ральной. Отсюда следует, что специфические особенности плазмы могут проявиться только тогда, когда распределение заряженных частиц в ней становится неоднородным и возникают макроскопические электромагнитные поля. Электромагнитные поля в плазме могут создаваться и внешними источниками, однако существенно, что эти поля влияют на характер распределения и движение заряженных частиц в плазме, индуцируя в ней заряды и токи, которые сами создают электромагнитные поля, изменяя полное поле в системе. Происходит так называемое самосогласованное воздействие заряженных частиц и поля друг на друга.

Таким образом, уравнения электромагнитного поля в плазме должны учитывать индуцированные заряды и токи. Эти уравне-

15

ния для плазмы, как и для любой другой материальной средн, могут быть записаны в виде

(2.1.1)(2.1.1)侬 В = 々 哼 Ч^у j Н^у h，div В = 0, с2 dt е0 с2 е0 с2

(2.1.1)

(2.1.1)

rotE=—史》,divE=£ + ①,WSa

где В — магнитная индукция; Е — напряженность электрического поля; j и р ——соответственно плотности тока и заряда, индуцируемых в среде; jo и ро — плотности тока и заряда внешних источников поля; с= 1/]/ео|ло = 3・ 108 м/с — скорость света, 卩о = =4冗• IO- н/А.

В дальнейшем будем считать внешние источники поля либо заданными, либо отсутствующими (ро=О, jo=0)・ В последнем случае, образуя дивергенцию от первого уравнения системы (2.1.1), получим .

div rot В = — — div Е^— div j =0.

Подставляя сюда значение div E из последнего уравнения системы (2.1.1), находим, что индуцированные заряды и токи удовлетворяют уравнению непрерывности, выражающему закон сохранения количества электричества:

dp/d/+divj = O.(2.1.2)

Система уравнений (2.1.1) приобретает конкретное физическое содержание, если ясен физический смысл входящих в нее величин. Физический смысл напряженности электрического поля Е и магнитной индукции В в среде, так же как и в вакууме, определяется выражением для силы Лоренца F, действующей со стороны поля на пробный точечный заряд е, движущийся со скоростью V：,

F=e{E+[vB]}.(2.1.3)

Таким образом, в системе уравнений поля (2.1.1) влияние среды характеризуется появлением (по сравнению с уравнениями поля в вакууме) одной новой векторной величины j — плотности индуцированного тока в среде; плотность индуцированного заряда р выражается через j с помощью уравнения непрерывности (2.1.2).

Удобнее, однако, вместо j ввести векторную величину D, называемую электрической индукцией и определяемую из соотношения

D(/, r) = e0E(Z, r)+ j df j(f,r).(2.1.4)

Используя это соотношение и уравнение непрерывности (2.1.2), из системы уравнений электромагнитного поля в среде 16

можно исключить плотности индуцированных заряда и тока и записать ее в виде

с? е0 rot В == — + j0, div В = О,

(2.1.5)

rot Е= — —, div D = р0.

Система уравнений (2.1.1) или (2.1.5) не является замкнутой до тех пор, пока не задана связь плотности индуцированных токов и зарядов с напряженностью электрического поля Е и магнитной индукцией В (или связь величины D с Е и В). Поскольку магнитную индукцию В можно выразить с помощью третьего уравнения системы (2.1.1) через напряженность электрического поля Е, достаточно задать связь величины j с Е (либо D и Е). Установление этой связи является задачей той или иной конкретной модели. В частности, далее такая связь будет установлена для плазмы из уравнений, описывающих движение частиц плазмы. Однако, не задаваясь конкретной моделью среды, из общих соображений можно утверждать, что в линейной электродинамике эта связь должна иметь вид

Л(/, г) = J df § drG〃 (/,九 г, rz)匕(匕 У).(2.1.6)

Аналогично, для величин D и Е

Di (f,r) = % j df J W £〃 (/,匕 r, J) Ej (九 У).(2.1.7)

В этих соотношениях, называемых материальными уравнениями линейной электродинамики, учтено, что состояние среды (индуцированные в ней заряды и токи) в заданный момент времени 方 в точке пространства г может зависеть от значения поля во все предшествующие моменты времени (в соответствии с принципом причинности) и от значения поля в любой точке среды. Именно в этом проявляется частотная (временная) и пространственная дисперсия среды. Физически частотная дисперсия связана с инерцией зарядов и процессами релаксации поля в среде, а пространственная дисперсия — с передачей действия поля из одной точки среды в другую из-за наличия в плазме процессов переноса и теплового движения частиц. Функции Oij(if 匕 г, У) и £订(力,匕 г, У), называемые часто функциями влияния и представляющие собой ядра интегральных соотношений (2.1.6) и (2.1.7), характеризуют эффективность передачи действия поля из одной точки пространства — времени в другую. Задачей конкретной модели среды как раз и является нахождение явного выражения этих функций.〃

Для решения электродинамических задач системы уравнений (2.1.1), (2.1.5) должны быть дополнены граничными условиями,

17

Рис. 2. Поверхность радела средРис. 2. Поверхность радела средИнтегрирование этого уравнения по пограничному слою оси х) даетИнтегрирование этого уравнения по пограничному слою оси х) дает

Рис. 2. Поверхность радела сред

Рис. 2. Поверхность радела сред

Интегрирование этого уравнения по пограничному слою оси х) дает

Интегрирование этого уравнения по пограничному слою оси х) дает

совпадает с направлением оси уравнение системы (2.1.5):

divB=理 +

дх

которые выводят из самих уравнений поля путем их интегрирования по бесконечно тонкому пограничному слою раздела двух сред. Сформулируем эти условия на примере однородной поверхности раздела двух сред. Рассмотрим бесконечно тонкий слой вблизи границы раздела сред / и 2. Предположим, что направление нормали п к рассматриваемому участку границы раздела х (рис. 2). Рассмотрим второе

迪+也=0.

ду дг

(вдоль

? дВх ,,)證也+

j腎+譬“。•

Устремим теперь толщину пограничного слоя между средами / и 2 к нулю и учтем, что вектор В как физическая величина (она определяет силу, действующую на частицу) не может терпеть бесконечных скачков. Это означало бы появление бесконечных сил. Не могут терпеть бесконечных скачков и тангенциаль- ные (вдоль поверхности раздела сред) производные В. В результате интегрирования получаем

или в общей формеили в общей форме52K-5%=0,5in = Вгп,52K-5%=0,5in = Вгп,(2.1.8)(2.1.8)

или в общей форме

или в общей форме

52K-5%=0,

5in = Вгп,

52K-5%=0,

5in = Вгп,

(2.1.8)

(2.1.8)

т. е. условие непрерывности нормальных к поверхности раздела компонент вектора магнитной индукции.

Интегрируя аналогичным образом третье уравнение системы (2.1.5), которое также явно не зависит от свойств среды, находим условие непрерывности тангенциальных компонент вектора напряженности электрического поля:

Eit = E2t. (2.1.9)

Выведем теперь граничное условие из последнего уравнения системы (2.1.5). Интегрирование этого уравнения по бесконечно тонкому пограничному слою дает

где (Уо — поверхностная плотность зарядов внешних источников. 18

Здесь уже отличны от нуля оба интеграла, поскольку индукция D, не являясь реальной физической величиной, может испытывать бесконечные скачки. Обозначая в общем виде

+ ^-^ d%= J div [n [Dn]] d%= —и,

получаем граничное условие

。2九一/5т = а+ао>(2.1.10)

где о — поверхностная плотность индуцированных зарядов.

Наконец, аналогичное интегрирование первого уравнения системы (2.1.5) приводит к граничному условию

ЕЕ—Bj = B2t-Bi产 4 (i + i0),(2.1.11)

户80

где io — поверхностная плотность тока внешних источников, а i определяется равенством

，=J 詈 d%= J (% ^- + j) d”= J j".(2.1.12)

Соотношения (2.1.8)——(2.1.12) представляют собой полную систему граничных условий для уравнений поля (2.1.5), дополненных материальным уравнением (2.1.7) {либо (2.1.1) и (2.1.6)].

Тензор комплексной проводимости и диэлектрической проницаемости

Обратимся теперь к анализу материальных уравнений для плазмы, т. е. изучим общий вид и общие свойства функциональных связей (2.1.6) и (2.1.7) без получения явного вида этих связей для какой-либо конкретной модели плазмы.

Рассмотрим соотношение (2.1.6) и (2.1.7) для случая однородной в пространстве и во времени среды. Однородность во времени означает, что среда не меняет своих свойств во времени под действием внешних причин, не связанных с действием электромагнитного поля. Очевидно, в этом случае ядра интегральных соотношений (2.1.6) и (2.1.7) являются разностными функциями времени и координат, т. е. зависят от 力一tf и г——У. Тогда

厶亿『)=j ”」dr&#T〔 r—QEj(匕 г7),(2.2.1)

А& r)=e0 J dPJdrG#—匕 г—У)/(匕 У). (2.2.2)

Электромагнитное поле в среде с помощью разложения в ряд Фурье можно представить в виде совокупности плоских монохроматических волн, зависимость которых от времени и координат описывается функцией ехр (—i(o/+ikr) (со — частота, к — волно-

19

вой вектор). В силу линейности уравнений поля достаточно рассмотреть лишь одну компоненту разложения, т. е. принять, что

E(f, r)=E(s, k)exp(—isf+ikr).(2.2.3)

Такая же зависимость принимается и для всех других входящих в уравнения поля величин.

Соотношение (2.2.1) при этом запишется в виде

/Д(о, k)= f df」drG〃(f—f,r—У)еТ8(гт)+】к(г j)Ej@,k). (224) —8

ИЛИ

厶 ®, к) = f d& J d= 3“(左，г。ei*Tkj Ej® к).(2.2.5)

о

Здесь 厶=£—匕 n=r—У. Отсюда сразу же следует, что связь между амплитудами /г (о, к) и Е)((о, к) имеет вид

厶(①，k)=5j(s, k)Ej®, к),(2.2.6)

где а0 (о, к)= J d友 J di\ 2“ (匕,rj е'*-% ・(2.2.7)

о

Величину о订(со, к) называют тензором комплексной проводимости среды.

Аналогично вводят тензор комплексной диэлектрической проницаемости среды:

Q(s, к) =8о8г；(о, к) Ej((o, к),(2.2.8)

где

8"(8, к) н『d& J drx £ (友,R) eM-ik% (2.2.9) о

Зависимость этих тензоров от з определяет частотную (временную) дисперсию, а зависимость их от волнового вектора к — пространственную дисперсию электромагнитного поля в среде.

С учетом выражения для электрической индукции (2.1.4) из (2.2.6) и (2.2.8) легко установить следующую связь между тензорами о订(со, к) и е订(со, к):

Е" ®, к) = М+ —— сто (s, к).(2.2.10)

При этом, естественно, предполагалось, что(о=/=О.

Необходимо отметить, что тензоры о订(f, г) и £订(力 г) являются действительными функциями своих переменных, так как они связывают между собой действительные величины E(f, г), j(/, г) и D(/, г). Этого нельзя сказать о тензорах ст订(з, к) и &j(s, к) даже как о функциях действительных переменных о и к. Однако из действительности функций 片订(％ г) и £订(力 г) следуют опреде- 20

ленные свойства величин агДо, к) и 声式⑴，к). В самом деле из выражения (2.2.9) имеем

加j @, к) =%• (—s, —к),

Re £“ (co, k) = Re 8仃(—co, —к),•(2.2.11)

1ш g“ (о, к) = —1ш е«/ (—о, —к).

где Re{g订(①，к)} и Im {е,г；(со, к)}—соответственно действительная и мнимая части компонент тензора £订(<0, к).

В случае изотропной среды, т. е. среды, свойства которой одинаковы в любой точке пространства и в любых направлениях, тензор диэлектрической проницаемости является функцией лишь одного-единственного вектора к, причем функцией четной, не меняющейся при замене к->—к. Тензор 8ij(o, к) при этом может выражаться лишь через единичный тензор 6仃 и тензор ^；; другие тензоры второго ранга из единственного вектора к составить невозможно. Поэтому для изотропной среды тензор £订(со, к) можно представить в виде

町 ® к) = (М—第)酬(о,田 + 讐 U (<о,田. (2.2.12)

Это означает, что в изотропной среде из девяти компонент тензора £仃(@, к) независимыми являются только две: £^(о), k) и е"®,宜) называемые поперечной и продольной диэлектрической проницаемостью соответственно. Смысл этих названий легко понять, если учесть, что тензор 卜財抬 при умножении на Е/ выделяет продольную относительно волнового вектора часть поля (кЕ), а следовательно, величина 8г(®,盼 характеризует электромагнитные свойства среды по отношению к продольному полю. Тензор же (6〃—^^^ при умножении на выделяет поперечную относительно вектора к часть поля [кЕ], т. е. е"(со,论) характеризует электромагнитные свойства среды по отношению к поперечному полю.

Аналогично записывается для изотропной среды и тензор комплексной проводимости:

。订(s, k) =(М— ^^) и"@, k) + ^~ о1 (со,田， (2.2.13)

причем на основании соотношения (2.2.10) получаем

或」(о, fe) = 1 + J-。〃」(о,田.(2.2.14)

Запишем соотношения (2.2.11) для изотропной среды:

(2.2.15)(2.2.15)Re 屋兀"(3, k) =Re ztr,l(—ш, k),Im efr^((o, k) =—Imgtrq—通 盼

(2.2.15)

(2.2.15)

Легко показать, что аналогичным соотношениям удовлетворяет и тензор от仃(со, k) с заменой Realm.

Тензор диэлектрической проницаемости £订(3, k) как функция частоты з, определенная с помощью одностороннего преобразования Фурье (2.2.9), является аналитической в верхней полуплоскости комплексного переменного з и поэтому удовлетворяет соотношению (интеграл Коши)

昵®, k)—也尸丄t d“芋也里生也，(2.2.16)

冗 1—СО

где 夕 означает, что интеграл следует понимать в смысле главного значения.

Разделив это соотношение на действительные и мнимые части, получим известные формулы Крамерса — Кронига, связывающие между собой Re&j®, к) и Imе仃(со, к):

Resj@,k)—&尸丄 J d出争皿号丿(*舟,(2.2.17)

лs'—(О

Im 8iy (<o, к) = — — 7 do/S5 史叨史也二业.

Л 工(0'一(0

Отсюда следует, что в случае изотропной среды формулы Кра- мерса — Кронига справедливы как для продольной М(со, к), так и для поперечной £力(3, k) диэлектрической проницаемости.

Энергия электромагнитного поля в среде

Продолжая изучение общих свойств тензора диэлектрической проницаемости материальных сред с пространственной дисперсией, рассмотрим вопрос об энергии электромагнитного поля в такой среде. Внешние источники, создающие поле в среде, естественно, изменяют ее энергию, что обусловлено взаимодействием электромагнитного поля с источниками, или, иными словами, работой поля над внешними источниками. Чтобы вычислить эту работу, умножим первое уравнение системы (2.1.5) скалярно на Е, а третье на В и вычтем одно из другого. В результате получим,

Е粤+с2%в粤=с280 div [EB]-Ej0.(2.3.1)

Проинтегрировав это соотношение по некоторому объему 匕 oz раниченному поверхностью S, найдем, используя теорему Гаусса,

J dr (Е^ 十 с2% в ^) = —。2 % § dS [ЕВ]- J drEj0. (2.3.2)

Переходя теперь к пределу неограниченной среды и замечая, что на бесконечности поля Е и В должны исчезать, первым слагаемым в правой части соотношения (2.3.2) пренебрежем. Вто22

рое же слагаемое представляет собой работу поля над внешними источниками за единичное время, т. е.

d4/df= J drj0 (г) Е (г).(2.3.3)

Эта работа, естественно, компенсируется изменением энергии поля W. Таким образом,

普=-幣=-Jd%E= Jdr(c2%B*+E 于)・(2・3・4)

Рассмотрим далее поля Е, В и D в виде плоских монохроматических волн ехр (—isf+ikr). Учитывая действительность функций E(f, г), В(力 г) и D& г), запишем:

Е (力 г)=Е @, к) етм+ла + е* ((о,盼 *1^.(2.3.5)

Аналогично записываются В и D. Подставляя такие разложения в формулу (2.3.4) и производя усреднение по времени, получим

V 也〉=加 J dr (ED*—Е*D)=i(oV (ED*—Е*D), (2.3.6) \ df / v

где V — достаточно большой объем среды.

Заметим, что, используя выражение (2.3.4) для монохроматических полей вида (2.3.5), которые не исчезают на бесконечности, мы, на первый взгляд, поступаем непоследовательно. Однако это не так, поскольку, даже если поля остаются конечными и на бесконечности, при переходе к пределу неограниченной среды поверхностный интеграл в правой части соотношения (2.3.2) растет гораздо медленнее объемного и им можно пренебречь. Более того, в формуле (2.3.6) введен большой, но конечный объем среды У ввиду того, что указанное пренебрежение поверхностным интегралом остается справедливым и в этом случае.

Подставляя далее в (2.3.6) материальное уравнение (2.2.8), получим выражение для средней энергии, выделяющейся в среде за единичное время: ।

Q =〈誉^〉= is% j dr [% (co, k)—8Я (co, k)]品 £；=

=i о % V 瓦j (s, k)—% ®, k)] £» E；・(2.3.7)

При выводе этого соотношения использовано свойство тензора комплексной диэлектрической проницаемости (2.2.11).

£*订(з, k)=&/(—s, —k).

Из формулы (2.3.7) непосредственно следует, что в единичном объеме за единичное время выделяется теплота

Qi/V=i(oeo[e*ij(0, к)—&м(з, к) ] EjE*j.(2.3.8)

Соотношение (2.3.8) позволяет сделать весьма важный вывод: в среде, в которой тензор диэлектрической проницаемости при действительных о и к является эрмитовским, т. е. £*订(со, к) =£^(з, к),

23

теплота не выделяется, т. е. Q = 0. Это означает, что плоская монохроматическая волна в такой среде не поглощается. Таким образом, можно сказать, что за поглощение электромагнитного поля в среде ответственна антиэрмитовская часть тензора диэлектрической проницаемости.

Соотношение (2.3.8) принимает особо простой вид и позволяет сделать дальнейшие выводы о свойствах тензора диэлектрической проницаемости для изотропных сред, когда тензор е订(@, к) записывается в виде (2.2.12). Для изотропной среды из соотношения (2.3.8) получаем

条=讐{Im U (со, й)|(кЕ)|2+80 Im 或®, ^)|[кЕ]|2}, (2.3.9) где 1гп£2(з, k) и 1тМт((о, k)——мнимые части компонент £(со, Л) и £力(3,论)при действительных(о и к.

Первое слагаемое этого выражения определяет поглощение продольного (невихревого) поля в среде (в котором Е||к), а второе — поперечного (вихревого) поля (в котором ЕJLk).

Из соотношения (2.3.9) следует очень важное свойство тензора £订(3, к) для изотропной среды, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Очевидно, что в такой среде любые электромагнитные волны должны поглощаться, поэтому Q>0・ Учитывая это, из соотношения (2.3.9) получаем, что в термодинамически равновесной среде при з>0

Ime^w, ^)>0, Im或(s/)>0・ (2.3.10)

Неравенства (2.3.10) при использовании соотношения Краме- рса — Кронига, в свою очередь приводят к интересному выводу о значениях величин Regm^O, k)Действительно, из соотношений (2.2.17) при учете (2.2.15) получаем

或」(0, 々)一1= — d“工叫朽士皎也 >0.co，

Следовательно, в термодинамически равновесной среде

е^(0,耳)>1. (2.3.11)

Нарушение любого из этих неравенств приводит к тому, что возможно изменение знака Q, т. е. возможна перекачка энергии от среды к электромагнитному полю. В такой среде возникшее флуктуационным образом поле может нарастать во времени, вызывая тем самым уменьшение энергии среды. Очевидно, что это возможно только в том случае, если среда находится в термодинамически неравновесном состоянии. Следует, однако, заметить, что нарушение какого-либо из неравенств (2.3.10) еще не является достаточным условием развития неустойчивости в среде и нарастания электромагнитного поля в ней. Нужно, чтобы в той области значений(о и к, в которой ImdvO и Im 8fr<0, в среде могли распространяться электромагнитные волны.

При написании формулы (2.3.5) электромагнитное поле в среде считалось строго монохроматическим. Реальное поле в среде всегда состоит из суперпозиции монохроматических полей с частотами, близкими к некоторому значению з. Поэтому вместо (2.3.5) необходимо записать

Е (/,г) = Е ®, к, 0 ет吼+】好 + Е* (s, к, 0 *1门，(2.3.12)

где Е(з, к, /)——медленно меняющаяся функция времени Л

При этом в разложении Фурье

Е (/, г) = ] d^e-^E^, г)(2.3.13)

величина Е((о, г) как функция о/ имеет резкие максимумы вблизи ю/=±з. Это означает, что

Е (о, к, 0= j dG/e*s-s')fE (“, к),(2.3.14)

о

о

Е* (о, кV) = j d о/ eTs+s" Е* ((о\ к).

Учитывая это и аналогичные соотношения для В (со, к, %), D((o, к, £) й ограничиваясь членами первого порядка по о/±з в подынтегральных выражениях, из (2.3.4) после усреднения по времени вместо (2.3.6) получим

+ \ ^^〉=炉％ { К〔'；(5 к ')В»(® к, 01 } +

+ 哂 3 к, о。卢増 к/ А 叫 ®, к) +

+ е0£у (<о, к, 0 ^-^-^ 寻 s咤(о, k)+io80 ⑷(со, к)—

—% (<D, к)] Et® к, о 咛(о, к, /)・(2.3.15)

В случае строго монохроматического поля величины Е(з, к, /) и В(о, к, /) не зависят от / и соотношение (2.3.15) переходит в (2.3.7), определяющее энергию, выделяющуюся в единичном объеме среды за единичное время. При этом отличным от нуля оказывается лишь последнее слагаемое в правой части (2.3.15). Если же поле не строго монохроматическое, а среда непоглощающая, то 8*г；(со, k)=£^(co, к) и последним слагаемым в (2.3.15) можно пренебречь.

В результате находим

十〈崇〉=十翁=^ P80 B^(<D, kV)BJ(o, k,f) +

+ 吟(①,k, /) E^. k, f)為 叫(co, k)]・(2.3.16)

Величину

U = V 炉 ％ в； @,匕 f) В№ к, /) +

+ 母纥(со, к, /)匕 ®, к, 0 ^(08О (о, к)卜 (2.3.17)

можно рассматривать как среднюю энергию электромагнитного поля в непоглощающей среде.

В случае изотропной непоглощающей среды выражение (2.3.17) легко приводится к виду

U= -^-е0{|(кЕ)|а 寻 <08» (®Д)+ |[кЕ]|а х

Отсюда для термодинамически равновесной среды следуют неравенства

—sd ®,盼 > 0,且 s (^г^^—^\ > 0.(2.3.19)

03Осо \(оа /

При U<0 энергия поля в среде положительна. В неравновесной среде величина U может стать отрицательной и условия (2.3.19) могут нарушаться. Нарушение какого-либо из неравенств (2.3.19) относительно соответствующей волны (продольной либо поперечной), которую при этом называют волной с отрицательной энергией, является признаком электромагнитной неустойчивости среды.I

В заключение определим еще одну энергетическую величину, играющую важную роль в электродинамике материальных сред и, в частности, плазмы. Очевидно, что диэлектрическая проницаемость £订(8, к) является функцией плотности среды рм. Поэтому изменение плотности среды на брм приводит к изменению диэлектрической проницаемости:”

6町 3, k) =6Рм・(2.3.20)

0 PM

Это в свою очередь изменяет энергию электромагнитного поля в среде:

^W= VE6D=воV{№.?68*ij(о, к) +адбвгД(о, k)}. (2.3.21)

Далее будем считать среду <непоглощающей, т. е. тензор е订(①, к) 一 эрмитовским. Тогда из соотношения (2.3.21) с учетом (2.3.20) получаем

箒==“ Е；弓 6呢®,穹=&出 Е『^^ 6Рм・ (2.3.22) Эту величину при брм~>1 можно рассматривать как потенциальную энергию (с обратным знаком) ^единичного объема среды в 26I

поле электромагнитной волны. Поэтому если амплитуда волны Е(@, к, г) неоднородна в пространстве, со стороны высокочастотного электромагнитного поля на среду должна действовать некоторая средняя сила

Fl Рм£。°嶼娱虬 V (Е：旬・(2.3.23)

Для случая изотропной среды отсюда получаем -氏=財［рм 戸 и ®, k) vlET +

+ Рм^£"®，к)6Е¥} ,(2.3.24)

где Е'=к(кЕ)/也2 — продольная, а Е»「=Е—Е" — поперечная по отношению к волновому вектору к составляющие электромагнитного поля.

Наконец заметим, что в плазме обычно используют понятие плотности числа частиц Na для электронов и ионов соответственно, а=е, L Поэтому формулу (2.3.23) удобно записать в виде

аа =必%鲁需型V (出当)・(2.3.25)

Эта величина очевидно характеризует среднюю силу, действующую на частицы сорта а.

Электромагнитные волны в среде

Как известно из общего курса электродинамики, в отсутствие внешних источников поля в вакууме могут существовать электромагнитные волны, электрическое и магнитное поля которых зависят от времени и координат в виде ехр(—isf + ikr). В вакууме s н к — действительные величины и связаны соотношением

(2.4.1)(2.4.1)со == kc.

(2.4.1)

(2.4.1)

Уравнения, связывающие между собой частоту и волновой Вектор волны з(к), называются дисперсионными уравнениями. Соотношение (2.4.1), в частности, является таким уравнением для электромагнитных волн в вакууме.

Найдем теперь дисперсионное уравнение з(к) для электромагнитных волн в среде. Если среда непоглощающая (как известно из предыдущего параграфа, для таких сред тензор ег；(о, к) является эрмитовым), то(о и к, как и в вакууме,——действительные величины; если же среда поглощающая, то со и к — комплексные величины.

Рассмотрим, какие существуют нетривиальные решения системы уравнений поля (2.1.5) в отсутствие внешних источников. В предположении зависимости полей от времени и координат в

27

виде плоской монохроматической волны ехр (—i(o/+ikr) эти уравнения записывают так:

с* [кВ] ± = — s 加j (со, к)品(кВ) = 0,]

[кЕ] = о В, kt е订(о, к) £； = 0. J

Из этой системы легко получить систему трех однородных алгебраических уравнений для компонент поля Е:

{胪 М—ki kj— ^ 8万(s, k)} Ej = °.(2.4.3)

Условие разрешимости этой системы однородных уравнений и определяет возможность существования нетривиальных волновых решений уравнений поля в среде в отсутствие внешних источников. Очевидно, это условие имеет вид

А = I 必 М—ki kj— g Sj ®, k) = 0,(2.4.4

где Л — детерминант системы алгебраических уравнений (2.4.3).

Соотношение (2.4.4) связывает между собой частоту ① и волновой вектор к для электромагнитных волн, которые могут существовать в среде, т. е. является дисперсионным уравнением.

В случае изотропной среды, тензор диэлектрической проницаемости которой имеет вид (2.2.12), система (2.2.3) распадается на два уравнения:

日 U ®,目=0;[必—-J 或(s,期]E" = 0,(2.4.5)

где E?=k(kE)/^2 — компонента электрического поля Е, параллельная волновому вектору к, т. е. Е‘ — продольное поле, а Е^=Е—Ez — компонента электрического поля, перпендикулярная вектору к, т. е. Е^ — поперечное поле.

Естественно, что и дисперсионное уравнение (2.4.4) для изотропной среды распадается на два соотношения:-

d(s$) = 0;必一^ 酿®$) = 0；(2.4.6)

первое из них представляет собой условие существования продольных, а второе — поперечных волн в ^реде.

В общем случае анизотропной среды дисперсионное уравнение (2.4.4) не распадается на уравнения продольных и поперечных волн. Следовательно, и электромагнитное поле в среде не является ни чисто продольным, ни чисто поперечным. Однако в области низких частот поле Е(з, к) с большой степенью точности оказывается продольным, т. е. Е(о, к) ||к. Условие продольности поля в анизотропной плазме в каждом конкретном случае будег обсуждаться подробно в последующих главах. Здесь же отметим, 28

что продольное поле, по определению, является потенциальным, а для плоской монохроматической волны

Е(з, к)=—/кф((о, к)(2.4.7)

i[t. е. Е(/, г) =—▽①(力 г)]. При этом из последнего уравнения системы (2.4.2) получаем

kiSij (со, к)^Ф(со, к) =0.(2.4.8)

Отсюда находим дисперсионное уравнение продольных, или потенциальных, волн в анизотропной среде:

с ⑧,к)=財石 &%(吗/)…=0.(2.4.9)

Величину 8((о, к), определенную соотношением (2.4.9), называют продольной диэлектрической проницаемостью анизотропной среды. Легко показать, что для изотропной среды, когда тензор е仃(о), к) имеет вид (2.2.12), величина 8 (о, к) совпадает с 8г(о,左).

Следует отметить, что для продольного (потенциального) поля (2.4.7)

(S, к) = kj®, к)= 財 е〃* к) Е〃о), к)=

=—i 且叫(明现囱 ф ®, к)=—奴 ％ к (叫 к)_ 1]ф (о, к). (2.4.10)

Подстановка этого соотношения в уравнение Пуассона {в последнее уравнение системы (2.1.1) для потенциального поля] при р0=0

胪① ®, к)=丄 р (о, к)=—必[е (со, к) — 1] Ф (со, к) (2.4.11) приводит к дисперсионному уравнению (2.4.9) с продольной диэлектрической проницаемостью:

в ®, k) = 1 ——=1 十 а ®, к).(2.4.12)

Величину а(о, к) называют поляризуемостью среды.

Как отмечалось, дисперсионное уравнение (2.4.4) устанавливает связь между о и к для электромагнитных волн, которые могут существовать в среде, или, как говорят, для собственных волн среды. С помощью дисперсионного уравнения можно при заданном действительном значении к определить комплексную частоту о (к), или, иными словами, найти спектр частот собственных колебаний среды. И наоборот, при заданном действительном значении о из дисперсионного уравнения можно найти комплексную проекцию волнового вектора к (о) в любом заданном направлении. Эти два подхода соответствуют двум различным постановкам задачи при решении интегродифференциальных уравнений электромагнитного поля в среде (интегральный характер

этих уравнений обусловлен материальным уравнением (2,2.2)]・ Речь может идти о начальной задаче, когда известно начальное состояние электромагнитного поля в среде и необходимо исследовать его временное развитие, и граничной задаче, когда определяется пространственное изменение поля в среде при его известном значении на некоторой поверхности. Рассмотрим эти задачи подробнее.

§ 2・5・ Начальная задача

Пусть в пространственно однородной неограниченной среде в начальный момент времени 力=0 внешними источниками создано электромагнитное поле, а в последующие моменты времени (/>0) внешние источники перестали работать. Рассмотрим изменение во времени созданного таким образом электромагнитного поля в среде. Для решения этой задачи недостаточно знания начальных значений полей Е(0, г) и В(0, г), необходимо также задать начальное значение электрической индукции D(0, г). Это означает, что нужно знать всю предысторию поля Е(力 г), так как согласно соотношению

о _ Л

Q(0,r) = % j 卅 J dr'昵(0—匕У)(2.5.1)

величина 5(0, г) определяется полем Б(/, г) во все моменты времени, лредшествующие /=0, т. е. f^0. Физическая причина необходимости знания предыстории поля Е(/, г) связана с временной (частотной) дисперсией среды, а именно с инерцией носите- телей заряда и процессами релаксации.

Таким образом, в начальной задаче электродинамики должны быть заданы В(0, г) и D(0, г), дли (что то же самое) В(0, г) и Е(力 г) для всех моментов времени /《0. Для решения поставленной так начальной задачи воспользуемся односторонним преобразованием Фурье по времени, поскольку уравнения поля в этом случае справедливы только при />0:

Е (/, г) = у d со e-庙力 j d k eikr Е (со, к) (Im(о = о》0),

-宀 8{(2.5.2)

Е®, к)= -Ц- f dfe吗 dre-^E (/,「).

(2n)4 о

Аналогично преобразуем также электрическую и магнитную индукции D& г) и B(f, г). При этом из уравнений поля (2.1.5) получаем

со D (со, к) + с? % [кВ (со, к)] = i D (/ = 0, к); кВ (со, к) ==0,|^ 3

® В (со, к) — [кЕ (о, к)] == i В (/ = 0, к); kD((o, к) = 0・ J

Здесь D(/=0, к) и В(/=0, к) — Фурье-образы по пространственным координатам от начальных значений D(0, г) и В(0, г)

В…к）』『…В（』。"）.

Система уравнений (2.5.3) при учете материального уравнения (2.2.8) легко сводится к следующей системе трех неоднород* ных алгебраических уравнений:

Au (s, k) Ej (0, к)三｛居 m—ki kj-岂 £万(叫 ^) j e) @, k)и

=_ 也 D(/= 0, к)—i [кВ (/=0, k)h・ (2.5.4) e0叁

Решение этих уравнений имеет вид

吕（8'к）=舞崙'（255）

где Л(о, к) —определитель системы (2.5.4):

Л (о, к)=Л (о, к)=必&j-ki月一必&j-ki月一(2.5.6)(2.5.6)

Л (о, к)=

Л (о, к)=

必&j-ki月一

必&j-ki月一

(2.5.6)

(2.5.6)

а Лг (о, к) — соответствующее алгебраическое дополнение, которое зависит от правой части системы (2.5.4), т. е. от начальных значений D(0, г) и В (0, г).

Подставив решение (2.5.5) в преобразование Фурье (2.5.2J, получим поле при произвольных начальных условиях.

Для начального возмущения в виде одной Фурье-гармоники с заданным к имеем

£»(/,к)= °0广 dsef * 器.(2.5.7)

Л (о, к)

Приведенный интеграл обычно вычисляют с помощью теории вычетов путем обхода полюсов в плоскости комплексной переменной (о. Контур интегрирования, лежащий выше действительной оси (а^О), замыкается окружностью бесконечного радиуса, причем интеграл по замкнутому контуру определяется суммой вычетов подынтегральной функции (2.5.7) в полюсах, лежащих внутри контура интегрирования. Полюсы подынтегр а льного выражения определяются нулями определителя (2.5.6) *:

АЗ, к)=0.(2.5.8)

Пусть корни уравнения (2.5.8), совпадающего с дисперсионным уравнением (2.4.4), равны (оп(к). Тогда получаем следующую зависимость поля от времени:

Е(/, к)〜2 叫 (2.5.9)

т. e. поле представляется в виде суперпозиции плоских волн с ча- стотами, определяемыми уравнением (2.5.8).

Корни дисперсионного уравнения зп(к) являются комплексными величинами, знак мнимой части которых показывает, усиливается или затухает возмущение соответствующих частот Res^ во времени. Если для всех корней мнимая часть Im(on(k)<O, то члены ряда (2.5.9) уменьшаются во времени. При этом величину 6n= I Im 0n：(k) I называют декрементом затухания соответствующего монохроматического возмущения. Ясно, что при этих условиях с течением времени основной вклад в значение напряженности поля дает слагаемое, соответствующее возмущению с минимальным декрементом затухания.

Если среди корней дисперсионного уравнения есть корень с Im On (Ю=0> соответствующий член суммы (2.5.9) описывает незатухающие собственные колебания среды. Наконец, если среди корней есть хотя бы один корень с Im@$(k)>Q, колебания данного типа нарастают во времени. Это возможно лишь тогда, когда среда находится в неустойчивом состоянии; величину б5= = Imsg(k) при этом называют инкрементом нарастания колебаний. Следует отметить, что появление корней дисперсионного уравнения с положительной мнимой частью является достаточным условием неустойчивости среды.

Таким образом, корни дисперсионного уравнения (2.4.4) определяют временное развитие начальных электромагнитных воз・ мущений в среде, обусловленное свойствами самой среды. В этом, в частности, и состоит важное физическое значение дисперсионного уравнения и тензора диэлектрической проницаемости в линейной электродинамике сплошных сред.

Граничная задача

Дисперсионное уравнение (2.4.4) определяет изменение электромагнитного поля не только во времени, но и в пространстве. В частности, по корням дисперсионного уравнения можно судить о характере проникновения и распространения поля в глубь среды при падении электромагнитной волны на ее границу. С другой стороны, тензор диэлектрической проницаемости 8г；(о, к), который фигурирует в дисперсионном уравнении (2.4.4) # строго говоря, можно ввести только для неограниченной и пространственной однородной среды. Однако имеющаяся здесь непоследовательность может оказаться вполне допустимой, когда размеры среды значительно больше длин волн исследуемых колебаний 32

электромагнитного поля. В этом случае дисперсионное уравнение (2.4.4) будет правильно описывать пространственное изменение электромагнитных волн на расстояниях от границы, значительно превышающих длину волны. На таких расстояниях пространственное изменение поля определяется свойствами самой среды, а не конкретными граничными условиями.

Если в начальной задаче мы искали комплексные решения дисперсионного уравнения 3n(k) при вещественных значениях к, то при, решении граничной задачи обычно определяют комплексную проекцию к(з) на заданное направление в предположении, что со и две другие ортогональные проекции к (о) вещественны. Пространственное изменение поля при этом определяется выражением

Е (/,「)〜S е—心屮“s)rЕ (/,「)〜S е—心屮“s)r(2.6.1)(2.6.1)

Е (/,「)〜S е—心屮“s)r

Е (/,「)〜S е—心屮“s)r

(2.6.1)

(2.6.1)

где k^(3) удовлетворяет дисперсионному уравнению (2.4.4).

В общем случае кп(со)—комплексные величины. Если Im 焼е(з)>0 (здесь 0 — угол между заданным направлением и вектором 1<九(3)), волна затухает в данном направлении, в противном случае волна нарастает. Однако сделать вывод об устойчивости среды на основании знака Im йПе(<о) нельзя. Для этого необходимо строго решать граничную задачу и провести тщательный анализ дисперсионных кривых 々пе(з)・ Вопрос об устойчивости среды значительно проще исследовать, исходя из начальной задачи, т. е. решая дисперсионное уравнение (2.4.4) относительно (о. Если известно, что среда устойчива, т. е. Im(оп (к) <0, то Im 吼е(з) характеризует пространственное затухание данной «моды» колебаний в данном направлении, и, наоборот, для неустойчивой среды ImйП0(о) является характеристикой пространственного усиления волны с заданной частотой.

В общем случае комплексного к(з) волна вида (2.6.1), т. е. Е 〜ехр(—is力+ikr), может быть названа 《плоской» лишь условно, так как плоскости постоянной фазы [плоскости, перпендикулярные вектору Rek(s)] в этом случае не совпадают с плоскостями постоянной амплитуды [плоскости, перпендикулярные вектору Imk(s)]. Поэтому такие волны называют неоднородными плоскими волнами в отличие от однородных плоских волн, для которых указанные плоскости совпадают.

Если волна слабо затухает, т. е |Imk(<o) | С |Rek((o) | (например, в слабопоглощающей прозрачной среде), с большой степенью точности можно сказать, что фазовая и групповая скорости волны совпадают со скоростями, получающимися при отсутствии поглощения (или затухания). Для непоглощающей прозрачной среды величина

(2.6.2)

33332—953

33

33

характеризует скорость распространения уровня постоянной фазы (——со Z+kr=const), ее называют фазовой скоростью волны. Величина

5 р = ds/dk = Vk(o (2.6.3) характеризует скорость перемещения амплитуды (а следовательно, энергии) волны, ее называют групповой скоростью. Групповая и фазовая скорости волны необязательно направлены в одну и ту же сторону. Угол между vrp и Уф может быть как острым, так и тупым. В условиях, когда, этот угол острый, говорят о волне с положительной дисперсией либо о прямой волне, если же угол тупой, волну называют обратной либо волной с отрицательной дисперсией. В последнем случае направление распространения энергии противоположно фазовой скорости волны.

В заключение кратко остановимся на затухании (нарастании) волн в слабопоглощающих (усиливающих) средах и связи начальной задачи с граничной для таких сред.

В слабопоглощающих средах антиэрмитовская часть тензора диэлектрической проницаемости, ответственная за поглощение волн [см. (2.3.8)], мала по срав'нению с зрмитовской частью. Это приводит к тому, что в дисперсионном уравнении (2.4.4) мнимые слагаемые малы по сравнению с вещественными, т. _ е. ImA((o, k)《ReA(s, к). Если необходимо знать поведение поля волны во времени (начальная задача), то приближенное решение уравнения (2.4.4) можно записать в виде

①(k)+i6(k),

где(о (к)——вещественные корни уравнения

Re А (①，к)=0, (2.6.4) характеризующие спектр частот колебаний, а

6 (к) = -^1А必&) (2.6.5) ~~ Re А (о), к)

—декремент затухания (инкремент нарастания) колебаний.

При 6(к)>0 среда отдает энергию волне, происходит раскачка колебаний. При 6 (к) <0 происходит диссипация энергии волны, энергия среды при этом увеличивается.

Для анализа пространственного затухания волны в заданном направлении решаем дисперсионное уравнение (2.4.4) относительно 々е (со):

йе (з) = Re ^о (з)十 i Im 屈(co), (2.6.6)

где Refe0 (со)—вещественные корни уравнения (2.6.4), а величина

Im 眺 ®)=——貧△史出••(2.6.7) 闲 ReA®，k)

характеризует затухание (нарастание) волны в пространстве.

Из формул (2.6.5) и (2.6.7) легко установить следующую связь между временным и пространственным затуханиями волны:

-Im 标=-, 3 ⑼=—Im 吼，(2.6.8)

5P (0)p

здесь u「p(e)=ds/d^8 — групповая скорость волны в заданном направлении.

Особенно наглядны формулы (2.6.5)——(2.6.7) для продольной волны в изотропной среде, когда А(з, к) =ег((о, k) [см. (2.4.6)]. Для равновесной изотропной среды 1т~(з, k) >0 и волны всегда затухают как в пространстве, так и во времени, т. е. 6Vo и Im^e〉0. Изменение знака ImU (①，k) может привести к изменению знаков 6 и Im^e， 「 е- к раскачке колебаний или к неустойчивости среды. Таким образом, снова приходим к выводу, что условие Im U®,归)V。при о)>0 есть признак неустойчивости среды.

Электро- и магнитостатика

Выше были изложены общие основы электродинамики сред с пространственной и временной дисперсией. Имеет смысл специально остановиться на статическом пределе. Уравнения поля (2.1.1) в статическом пределе (т. е. при — =0) запишутся в dt виде

с2 80 rot В = j + j0; div В = 0;

rot Е = 0 ;div Е= — (р+ р0).(2・7・1)

8о

Уравнение непрерывности (2.1.2) принимает вид

divj=O・(2.7.2)

Для решения задач электро- и магнитостатики удобно вводить понятия скалярного и векторного потенциалов

Е——grad Ф, B = rot A, divА=0.(2.7.3)

При этом уравнения поля (2.7,1) запишутся в виде

А①=~(Р + Ро)，А А — (j + j())・(2.7.4)

еос2 е0

Займемся теперь материальными уравнениями, связывающими индуцированные в среде заряды р(г) и токи j(r) с электри- 乎35

ческим Е(г) и магнитным В (г) полями. Ограничимся рассмотрением пространственно неограниченных сред. Тогда в линейном приближении по полям Е и В материальные уравнения можно записать для Фурье-образов р(к) и j(k) в следующем виде:

р (к) =&а (к)步①(к) 一 £。窘(к) 4 (к);

卜(к)'=-80Л(к) Ф (к) +c^Tlij^)Aj 他).(2.7.5)

Задача любой конкретной модели среды состоит в определении коэффициентов связи а (к), 7\(к), 7%(方)и И廿(к) в соотношениях (2.7.5). Очевидно, что эти коэффициенты должны выражаться через компоненты тензора диэлектрической проницаемости £用(①,к) в статическом пределе, т. е. при 3fo. Поэтому рассмотрим вначале динамический предел с (о=/=0 и затем произведем аккуратный переход к статическому пределу 3fo. В динамическом пределе также введем скалярный и векторный потенциалы, определив их с помощью соотношений

В = rot А, Е= — — —grad Ф,(2.7.6)

dt

и потребовав выполнения условия калибровки div А=0. При этом для Фурье-образов Е((о, к) и В (①，к) имеем

B = i[kA], Е=心A—ik①.(2.7.7)

Учитывая далее динамическое материальное уравнение (2.2.6)

.厶=(Ш®, к)&(2.7.8)

и уравнение непрерывности

сор—kj=O,(2.7.9)

из соотношений (2.7.5) в статическом пределе находим искомые связи:

a (k) = lim ~^-。万(з, к) Kj; 口订(к) = lim —。订 ®, к)—;

(07。左 Sq 3co—>0 CSq

Ti (к) = Л lim 0〃 ®, к) % ；普(к) = iim — Kj ая (з, к). (2.7.10) i оi

Уравнения поля (2.7.4) наряду с соотношениями (2.7.5) и (2.7.10) образуют полную систему уравнений электро- и магнитостатики сред с пространственной дисперсией. Следует заметить, что при Г^О и 7\ = 0 электрическое и магнитное поля в среде взаимосвязаны, т. е. статическое электрическое поле, создаваемое, например, сторонними зарядами в среде, индуцирует магнитное поле и, наоборот, статическое магнитное поле, создаваемое сторонними токами, приводит к появлению в среде электрического поля. Легко видеть, что это должно иметь место в средах с отличной от нуля статической проводимостью о仃(①，k).

Если в среде 7\(k) =7“к) =0, то электрическое и магнитное поля в статическом пределе не связаны между собой. Именно та- 36

кое положение имеет место для изотропных сред, а также для термодинамически равновесных сред в классическом пределе (т. е. при 方->0)・ Более того, в классическом случае тензор проводимости оказывается конечным в статическом пределе, т. е. при о->0 (см. задачу 2.3). Поэтому И订(к)=0, а вместе с тем и j (к) =0. В результате уравнение для векторного потенциала (2.7.4) оказывается таким же, как и в вакууме, т. е. магнитное поле, создаваемое сторонними токами jo (г), не зависит от свойств среды:

АА=- —jo (г).(2.7.11)

,展8о

Таким образом, магнитостатика классической термодинамически равновесной среды не отличается от магнитостатики вакуума.

Что касается электростатики классической термодинамически равновесной среды, то, согласно (2.7.5), уравнение (2.7.4) для скалярного потенциала запишется в виде

8о J dr^fr-HAQ (rz)=-Po(r).(2.7.12)

Здесь функция 8 (г) связана со статической продольной диэлектрической проницаемостью (2.4.12) 8(0, к) = 1+а(к) соотношением

8 (0, к) = jdr£(r)e-ikr.(2.7.13)

В заключение еще раз подчеркнем, что е термодинамически неравновесных средах (а в случае равновесных сред — в квантовом пределе) величины 7\(к) и ?%(к) отличны от нуля и, как следствие этого, статические электрическое и магнитное поля 6 среде взаимосвязаны.

Задачи к гл. 2

Задача 2.1. Найти поле статического точечного заряда q, помещенного е точке г=г0 в произвольной анизотропной однородной среде.

Решение. Плотности заряда и тока в этом случае равны соответственно

Ро(г)=^(г—г0); "=0.(1)

Такой заряд, как было показано в § 2.7, создает в среде статические электрическое и магнитное поля, скалярный и векторный потенциалы которых определяются уравнениями (2.7.4)

% 任①(к) = р (к) + р0 (к);依 а (к) = 一|— j(k) •(2)

,2 е0

Эти уравнения записаны для Фурье — образов потенциалов

Ф (г) = J dk eikr Ф (к), A(r) = J dkeikrA(k),(3)

причем

р。(k) = &*eткг。； %化)=0.⑷

Величины же р(к) и j(k) связаны с Ф(к) и А(к) материальными уравнениями (2.7.5). Из системы (2) при этом находим скалярный и векторный потенциалы

37

электрического и магнитного полей, создаваемых статическим зарядом в среде:

Ф (к)=…Р。也А (к) =［击/ 籽 一 口/(к)］т Г〃к) Ф (к) •⑸

%k2買©虑£。

Здесь

Г(к) = е (0, к) + —Tt (к)［炉 g — 口订(k)L 乃(к)，⑹

e4 80 好

причем 8(0, к) =^i^j8ij(0,k)/^2 ——статическая продольная диэлектрическая проницаемость.

Окончательно для скалярного потенциала точечного заряда в пространстве координат получаем

е^Сг-го)

⑺⑺①"一(2几)3 ‘"/但)/%

⑺

⑺

Заметим, что эту формулу приближенно можно обобщить на случай осциллирующего заряда g(f)〜е-is', если только частота достаточно мала и создаваемое зарядом поле можно считать квазистатическим:

(8)(8)q (/) г eikd。)

(8)

(8)

Здесь

秋明 k) = ё ®, k) + -—%。，k)出" 一 口万 «о, k)L 口 (明 k),⑼

где £(@, k)=阮弘£订®, k)/^2, a齊(co, k), 7\((o, к) н Hij(①,к) определяются формулами (2.7.10) без перехода к пределу <о->0 (но при малых о). Для случая изотропной среды 8(g), k)=g((o, k) =iez(o, k) для произвольных частот(о, а поэтому и формула (8) справедлива для произвольных о.

В вакууме 8 (к) = 1 и из (7) получаем хорошо (известный кулоновский потенциал

(Ю)(Ю)

(Ю)

(Ю)

где R=r——г0. Если в среде 8(к) = 1+^-2г-2экр, то потенциал экранированный:

Ф (г) = -― Je-R"aKp ,(11)

4门% R

где Гэкр — радиус экранирования. Именно такое положение имеет место для термодинамически равновесной плазмы в классическом пределе, причем r9KP=rD

(см. задачу 1.2). Наконец, если в среде £(々)= 1——hghf т0

①(г) = 7^石cos 岛 R，(12)

т. е. поле статического заряда в такой среде носит периодический характер (ниже на примере плазмы показывается, что это является признаком неустойчивости неравновесной плазмы).

Задача 2.2. Найти магнитное поле, создаваемое линейным стационарным током в изотропной и однородной среде.

Решение. Совмещая ось OZ с направлением тока, имеем

Ь(г)=ег/06(х)6(//), ро=О,(1)

где ех — единичный орт по оси OZ.

38

(2)(2)(3)(3)⑹⑹(1)(1)(2)(2)

(2)

(2)

(3)

(3)

⑹

⑹

(1)

(1)

(2)

(2)

Разлагая все величины в ряд Фурье

A(r)= Jdk eikrA(k)

и представив для удобства jo (г) = lim jo (r)e-iwS из уравнений поля

(£>->0

C2So[kB((o,k)]f—丿 £〃 +

+Ej®, » = — Um (①，田；

[kB(co, k)] =0; [kE((o,盼]=(oB;叫кЕ®,叨=0

находим

i 「 eikr [к j0(k)]

В (г) = — —-—lim dk ^2

C So W->0 左2 f「(①，后)

Здесь jo (к) — Фурье-образЗдесь jo (к) — Фурье-образплотности тока jo (г), т. е.j°(k)=$(3)・

Здесь jo (к) — Фурье-образ

Здесь jo (к) — Фурье-образ

В вакууме e/r= 1 и из (3) получаем

В (г)=—迴—4л с2 80 г 屮

где е“ ——единичный орт в азимутальном направлении.

Выражение (4) справедливо для любой среды, в которой

①2 4Г

lim — 8 (о),左)—0.

со-» 0 С

Такое положение 'имеет место для классических сред, находящихся в состоянии термодинамического равновесия (см. задачу 2.4). Нарушение условия (5) является признаком «еравновесности среды. Таким образом, в классической термодинамически равновесной среде магнитное поле статического тока не отличается от поля, создаваемого этим током в вакууме. Для переменного во времени тока это утверждение, однако, уже неверно, что видно из выражения (2), справедливого, кстати говоря, л ри произвольном значении частоты тока (о.

Задача 2.3. Установить связь между распространенной формой записи уравнений поля

rotH = —divB = 0,

ав

rot E = — — ; div Do = p0

u материальных уравнений изотропной и однородной сред

В(/,г) = ц0 J * Jdr“(/ —尸，г-У)"(匕 Р);

D0（力，r）=电 J 也厅*£^" —，，Г —г，）ё （九 y）,

используемой нами формой (2.1.5) и материального уравнения (2.2 2) (для изотропной и однородной средь//

Решение. Запишем уравнения (1) для полей вида ~ехр(—iof+ikr):

= 一心" 8КЛ (明帥 e (①，k) + j0 (①，k), кв (叫 к) = 0, 阿n(明用

【кЕ®, к)] =(оВ®, к), ie0кЕ (©, к) е^ ®,论)=р。(叫 к),(3)

где

В (о, к)=阿世(①，盼 Н (о, к), Do (о, к) = е0 8КЛ ®,论)Е (% к)

n(0,旬=阿『d/Jd口n佐,г1)M

о

8КЛ (叫旬=“ f d& jdrx 8кЛ (九 r工)e〔 8 /1%.⑷

0

Величину 8Кл(о)у 尼)называют диэлектрической проницаемостью, а рД(о, 尼)一магнитной проницаемостью среды.

Для полей такого вида уравнения (2.1.5) в случае изотропной и однородной среды записывают так:•

са80£ [кВ(со, к)]/ = — ко% [(3"— Wj ) £” +

+ J 1 Е〃* к) + 加 ®, к),(5)

kB(s, к) = 0, [кЕ (о, к)]» =sB± ®, к), i80^；^j (®> к) е/ =р0 (®» к).

Здесь использовано материальное уравнение (2.2.8), в котором £不/(<0, k) определяется формулой (2.2.12). Из уравнений (3) и (5) следует, что

екл (®> ^) = е/(ю» 论)，

1 一 -~77 = 卜"(％ 舟-/(8,初•(6)

Согласно теореме Бора — Ван-Левен, статическая магнитная проницаемость термодинамически равновесной среды е классическом пределе (т. е. при h ->0) равна единице^^ е.卩(0, 4) = 1. Это означает, что для термодинамически равновесных сред sb классическом пределе (для классических моделей сред) тензор диэлектрической проницаемости 备)(а), к) при о)->0 не может иметь полюса выше первого порядка.

Можно было дать иное определение £кл®,论)и pi (со,初 потребовав, чтобы потенциал высокочастотного точечного заряда в среде отличался от потенциала заряда в вакууме множителем 1/вкл (ш, 4), а магнитное поле высокочастотного линейного тока от поля в вакууме — -множителем 卩(@,尉.При этом, используя формулы (6) «и (2) из рассмотренных выше задач 2.1 и 2.2 соответственно, получае>м

£кМ®, 4)=а(з，初

1 - ——;[战 ®,期一1].(7)

卩((0,力)论2e2 — 0)2

В статическом пределе (s—O) соотношения (6) и (7), как и следовало ожидать, тождественно совпадают. Это подчеркивает 1неоднозначность онреде- 以ения величины 卩(о,々),имеющей физический смысл магнитной проницаемости лишь в статическом пределе.

Задача 24. Вычислить потери энергии быстрой заряженной частицы, движущейся с изотропной и однородной среде.

Решение. Плотности заряда м тока составляют

Ро=^6(г—у/), jo=^v6(r—vf),

где V — скорость движения заряда Разлагая все величины в ряде Фурье

А (/, г) = J do Jdk А (叫 k)e~i ^屮 kr,

запишем уравнения поля

（о2）ico

胪m -网七一运£山%k））巧（①，用=五三加侬，k）,

где

Jo(叫 k) = "^^~3® — kv)・

В изотропной среде уравнения (3) принимают вид

Умножив это уравнение скалярно на к, получаем

кЕ (о,=——kj0 (о, к).

80 (О扌

Используя это выражение, из (5) находим

-宇卜-甯旷｝

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

(7)

(8)

Здесь при интегрировании по со использовано соотношение (4).

Потери энергии движущейся частицы, очевидно, определяются работой, производимой силой торможеиця, действующей на частицу со стороны создаваемого ею электромагяитного поля, т. е. работой силы Лоренца. Работа этой силы, определяемой (2.1.3), на единично玄 длине пути в среде составляет

Г =

v

夕（vE）

ig2

(2冗)8规0

/ (kv,论)

Это выражение можно записать в виде суммы: W=Wl+Wtr,

где

W1 = — f o)d(D fIm —7~—

2л 80 У2 W 3 依 8z (CO, k)

2n 80 c2 《胪 色2 _ e_战с2

Зйесь введены обозначения (o = kv, ^=k2——о2/с2 и учтены соотношения (2.2.15).

Следует отметить, что вклад в интегралы (10) дают не только области (о н 財 в которых Im ez((o,々)，Im etr(co,々)отличны от нуля и происходит существенное поглощение поля, создаваемого зарядом, но и области, в которых мнимые части U(co,々) и etr(©, k) пренебрежимо малы, но Red®,々)и Re[fe2—sZ/cZgtr《①，^)] могут обращаться в нуль, а подынтегральные выражения имеют полюсы. В этих областях происходит возбуждение продольных и поперечных электромагнитных волн движущимся зарядом. Для термодинамически равновесных сред, в которых Im ez((o, 々)>0 м粉 >0, эту часть по

терь энергии быстрой частицы можно записать в виде

^1 = -1^]^]^Ь[{г1^

2л 80 c2 d 8LJ

Здесь учтено известное соотношение

lim Im ―= —冗3 (л).

6今+0% +

Таким образам, величины А^ и ^Wtr представляют собой потери энергии быстрой частицы на возбуждение в среде продольных и поперечных электромагнитных волн. Часто эти величины называют также поляризационными и %е- ренковскими потерями соответственно.

Заметим, что в случае изотропной ллазмы в условиях пренебрежения пространственной дисперсией £，= e"=i„o^Le/gZ (как показано в гл. 4, это справедливо при(о>^%е)・ В этом случае

АМ = 0;

=(12)

8几物？2 &;8冗炉£2

t2 丄 LeТе

При вычислении интеграла учтено, что 贈ах =唸/唸.

Задача 2.5. Считая внешние заряды и токи первопричиной воздействия на среду, а электрическое и магнитное поля откликом этого воздействия, записать материальные уравнения и соответствующие дисперсионные соотно- ^ения. Рассмотреть случай однородной среды.

Решение. Материальное уравнение в этом случае следует писать в виде

Е〃гК)=— J d〃 ,* 入方1(/一尸，r — r')汕(尸，г')・⑴

Отсюда

Et (0,左)=A；｝4 (①，田沁 ®,女),

(2)(2)a//(о,k)=亍也J餐A斤1(匕,口) eis「ikyо

(2)

(2)

Очевидно, Atj(co, k) совпадает с определением (2.5.4) и удовлетворяет дисперсионному соотношению

Л^^Л^1 (о, k)-&j= ^ J do/ 0Л^^Л^1 (о, k)-&j= ^ J do/ 0ЗУ (о/,к) —3炉ЗУ (о/,к) —3炉(0 — (D(0 — (D

Л^^Л^1 (о, k)-&j= ^ J do/ 0

Л^^Л^1 (о, k)-&j= ^ J do/ 0

ЗУ (о/,к) —3炉

ЗУ (о/,к) —3炉

(0 — (D

(0 — (D

6ij -用牙6ij -用牙[1/У ®/)]- 1[1/У ®/)]- 1①-—0)①-—0)

6ij -用牙

6ij -用牙

[1/У ®/)]- 1

[1/У ®/)]- 1

①-—0)

①-—0)

⑶

Для изотропной среды, когда £^(о,к) определяется выражением (2.2.12), отсюда, в частности, следует дисперсионное соотношение для функции t/d® 々)：

11 а

~；— — 1 = —7 f ds'孑

e‘(明用E」8

При сот。 отсюда следует неравенство 1/еЦО, k) <1, которое не противоречит (2.3.11), но является более общим, поскольку допускает существование отрицательных ег(0,田.

Глава 3. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ПЛАЗМЫ

Простейшие модели плазмы

В процессе развития представления о плазме как о газе заряженных частиц менялись и методы ее количественного описания. Самые первые и наиболее простые модели количественного описания представляют плазму как систему не взаимодействующих между собой заряженных частиц, сео・ бодно движущихся во внешних полях. При этом, если плазма состоит из Na частиц сорта а, которые находятся в беспорядочном тепловом движении, необходимо решить EN& уравнений движения с заданием такого же числа начальных условий, т. е. координат и скоростей частиц. Естественно, что невозможность решения столь большого числа уравнений и точного задания начальных условий делает эту задачу невыполнимой. Существенное упрощение достигается только в случае пренебрежения тепловым разбросом скоростей частиц, т. е. при рассмотрении движения так называемой «средней частицы», которая находится в покое в отсутствие внешних сил. Термин «средняя частица» имеет тот смысл, что скорость беспорядочного теплового движения, усредненная по всем частицам плазмы, равна нулю. Подобная простая модель независимых частиц полностью пренебрегает

не только взаимодействием между частицами, но также тепловым разбросом скоростей частиц.

Для нахождения скорости заряженной частицы плазмы в модели независимых частиц решают уравнения движения частицы сорта а, которые записывают в виде

请=V&,令=% {Е+ [Va В]} + g ma,(3.1.1)

гдера = т%/Р 1 — ^便—импульс -частицы сорта a, a ga ——ускорение, вызываемое неэлектромагнитными силами. Такой силой может быть, например, гравитационная сила (поле тяжести). В плазменных задачах, однако, этой силой, как правило, можно пренебречь. Наличие поля g, аналогичного в известном смысле полю тяжести, может быть обусловлено в плазме кривизной силовых линий магнитного поля. В результате свободного теплового движения частиц вдоль силовых линий магнитного поля с отличной от нуля кривизной возникает центробежная сила поперек магнитного поля с эквивалентным полем 且沁叫扒式^仪— средняя тепловая скорость частиц; Ro — радиус кривизны силовых линий магнитного поля).

Поле g может быть обусловлено также столкновениями заряженных частиц данногЬ сорта с другими частицами. Ясно, что возникающую вследствие столкновений силу можно интерпретировать как силу трения

g = —%в (Va—Vs),

где ”&日—эффективная частота столкновений заряженных частиц сорта а с частицами сорта р, когда а=#р.

В уравнениях (3.1.1) магнитную индукцию В и электрическое поле Е считать заданными, строго говоря, нельзя, поскольку они включают в себя индуцированные в плазме поля, обусловленные движением заряженных частиц. Поэтому необходимо решать самосогласованную задачу, т. е. уравнения (3.1.1) решать совместно с уравнениями поля (2.1.1), в которых плотности индуцированного заряда и тока составляют

Р= 2 Ma%，j= 2 %Na Va・ (3丄2) a a

Здесь Va удовлетворяет (3.1.1), а 2« в силу закона сохранения (2.1.2) в модели независимых частиц — уравнению непрерывности

dNJdt + div Na Va = 0, (3.1.3)

Модель независимых частиц, как отмечалось, не учитывает теплового движения и корреляцию движения частиц, поэтому применимость ее для описания плазмы ограничена. В частности, модель независимых частиц может быть применима только к силь- 44

но разреженной плазме, в которой движения частиц практически не коррелированы.

В обратном предельном случае плотной плазмы, когда движения различных частиц настолько сильно коррелированы между собой, что плазму в целом можно рассматривать как нейтральную проводящую жидкость, используют гидродинамическую модель. В этой модели не делается различий между электронной, ионной и нейтральной компонентами; они ведут себя как единое целое, образуя сплошную среду. Для описания движения такой среды используют самосогласованную систему уравнений магнитной гидродинамики:

dp^/dt+dw Рм Vm = 0,

Рм 瞥=Рм [学 +(Vm V)VM]=-VP +

(3.1.4)(3.1.4)+ с280 [rot BB] + t)AVm+ R+ -у j drad div VM, 響=rot [VmB]—c2 £0 rot rot В V

(3.1.4)

(3.1.4)

div B = 0,

где рм — плотность проводящей жидкости (плазмы) с проводимостью a; VM — скорость плазмы;占 и г) — коэффициенты вязкости.

Эта система должна быть дополнена уравнением состояния и уравнением переноса теплоты:

Р=Р(Рм, Т),

Рм г [-^ + (VM V)s ] = оо ^1 + diV (X V Т) + 俨 £。£屮)2 ,(3 15) где s(pM, Т)——энтропия единицы массы плазмы, % — теплопроводность, а о订一вязкий тензор напряжений:

"'=刀(^^ 十 ^^11" &j div VM ) +E&j div VM. (3.1.6)

В магнитной гидродинамике проводимость о и теплопроводность 九 плазмы, а также коэффициенты вязкости и Т)считают заданными (их вычисление выходит за рамки магнитной гидродинамики). Что касается уравнения состояния р(рм, Т) и выражения для энтропии s(pm,力)，то в случае полностью ионизован* ной электроно-ионной идеальной плазмы они даются формулами

(3.1.7)(3.1.7)(1 + Z)PmT ・ s= 2 lnM '3 M о5/

(3.1.7)

(3.1.7)

где Z ——зарядовое число (отношение заряда иона к заряду электрона); М — масса ионов плазмы.

Магнитная гидродинамика, кроме того, что содержит ряд феноменологических величин — коэффициентов переноса а, %, g и %

которые требуют независимого определения, к реальной плазме (как газовой, так и твердотельной) вряд ли применима. Она, так же как модель независимых частиц, не учитывает теплового движения частиц плазмы и считает их движение настолько сильнокоррелированным, что пренебрегает различием между отдельными компонентами плазмы. В связи с этим в литературе часто используются различные модифицированные гидродинамические уравнения, называемые также квазигидродинамическими. Это двухжидкостные (для электронной и ионной жидкостей) или трехжидкостные (для электронной, ионной и нетральной жидкостей) модели, феноменологически учитывающие взаимодействие частиц и их тепловое движение.

Подобные простые модели являются приближенными и для своего обоснования требуют использования более общей модели плазмы как ионизованного газа. Наиболее общей моделью является кинетическое описание плазмы, основанное на статистических представлениях о плазме как о системе большого числа частиц. В дальнейшем будем пользоваться в основном общей кинетической моделью плазмы и лишь в отдельных случаях — упрощенными гидродтщамическими уравнениями, обосновывая предварительно законность такого приближения.

Кинетическое уравнение с самосогласованным полем

В кинетической теории газов используют статистическое (вероятностное) описание системы частиц. При этом вводят функцию распределения, характеризующую вероятность нахождения частицы в определенном состоянии в заданный момент времени / в заданной точке пространства г. Если состояние частицы сорта а характеризуется импульсом ра и ее энергия однозначно определяется этим импульсом ^а(р), то функция распределения является функцией координат р, г и /, т. е. fa=fa(p, г, /). Вели* чина %(р, г, f)dpdr представляет число частиц сорта а в момент времени 力 в фазовом интервале dp dr, а плотность частиц в точке г, / дается выражением

j d р % (р, Г, /)= Na (Г, /)•(3.2.1)

Часто это соотношение называют условием нормировки функции распределения.

Зная функцию распределения, можно найти среднее значение любой физической величины, нюю энергию частиц сорта а:

например среднюю скорость и сред-J %(P，r，Z) vdpNaG，t)，например среднюю скорость и сред-J %(P，r，Z) vdpNaG，t)，旣(「, f)=旣(「, f)=j 浴(P)厶(P"V)dp%(「，')j 浴(P)厶(P"V)dp%(「，')(3.2.2)(3.2.2)Va(r, /)=

например среднюю скорость и сред-

J %(P，r，Z) vdp

NaG，t)，

например среднюю скорость и сред-

J %(P，r，Z) vdp

NaG，t)，

旣(「, f)=

旣(「, f)=

j 浴(P)厶(P"V)dp

%(「，')

j 浴(P)厶(P"V)dp

%(「，')

(3.2.2)

(3.2.2)

Для отыскания функции распределения применяют кинетическое уравнение. Для сильно разреженного газа в первом приближении взаимодействием между частицами можно пренебречь, считая их полностью независимыми. В этом приближении изменение распределения частиц в объеме фазового пространства около точки р, г возникает только вследствие втекания и вытекания частиц через поверхность, ограничивающую такой объем. Если в объеме не происходит рождения и гибели частиц, то функция h(P,「，О не меняется во времени, следовательно,

5 疗 + 土誉•今=。・（323）

Это уравнение называют уравнением Лиувиля или уравнением непрерывности для функции распределения частиц сорта а.

Замечая далее, что согласно уравнениям движения частиц

dpa/df = Fa，di%/d/ = v,(3.2.4)

кинетическое уравнение (3.2.3) можно переписать в виде

3 + V 逃 + 良鸣=0・(3.2.5)

Величина Fa представляет собой силу, действующую на частицу сорта а.

В случае заряженных частиц сила Fa определяется формулой Лоренца

Fa=%{E+WB]},(3.2.6)

поэтому кинетическое уравнение (3.2.5) для заряженных частиц сорта а запишется следующим образом:

萼 + V 萼 + % {Е+ WB]} * = 0.(3.2.7)

Здесь E(r, t) и В (r, t) — электрическое и магнитное поля в точке нахождения частицы.

При получении уравнения (3.2.6) предполагалось, что эти поля заданы. В действительности они определяются из уравнений поля (2.1.1), в которых в качестве р и j фигурируют выражения

Р = 2 ^a J /а (Р, Г, /) dp ; j = s ^а f vfa (р, г, 0 dp. (3.2.8) аа

Суммирование в этих выражениях распространяется по всем сортам заряженных частиц в газе.

Ясно, что введенные таким образом поля Е и В являются самосогласованными, поскольку из уравнения (3.2.7) получается такое распределение частиц fa, которое вызывает появление электромагнитных полей, поддерживающих это распределение. Поэтому уравнение (3.2.7) называют кинетическим уравнением с са・ мосогласованным полем или уравнением Власова.

Кинетическое уравнение Больцмана

В предыдущем параграфе при выводе кинетических уравнений мы полностью пренебрегли взаимодействием частиц между собой, считая их свободными. Другими словами, органичились рассмотрением изменения функции распределения в нулевом приближении по параметру взаимодействия rj, представляющему собой отношение средней потенциальной энергии взаимодействия частиц к кинетической энергии их свободного движения. Учет взаимной корреляции в движении частиц приводит к появлению отличной от нуля правой части уравнения （3.2.5）:

（3.3.1）（3.3.1）

（3.3.1）

（3.3.1）

которую называют интегралом столкновений. Интеграл столкновений описывает изменение функции распределения вследствие столкновений частиц. При этом в первом порядке по параметру взаимодействия 刀 учитываются лишь парные столкновения частиц; слагаемые более высокого порядка учитывают тройные, четверные и т. д. столкновения. В газах вследствие малости параметра 刀 достаточно ограничиться учетом лишь парных столкновений частиц, записав интеграл столкновений в виде суммы

в которой отдельные члены описывают столкновения частиц данного сорта а с частицами сорта р. Кроме того, далее ограничимся рассмотрением лишь упругих столкновений, не вызывающих изменения структуры частиц. Вообще же в плазме возможны также неупругие столкновения, приводящие к возбуждению и ионизации частиц. Однако в линейных электродинамических процессах определяющую роль играют именно упругие столкновения.

Пусть р , Рв и С%, р'в — соответственно импульсы сталкивающихся частиц а и р до и после столкновений （рис. 3）, а 步（ра, Рв； Р'а，PZ0）— вероятность упругого рассеяния Ра+Рб4р'а+Р‘$° Тогда изменение функции распределения частиц сорта а в результате столкновений с частицами сорта 0 можно записать в виде

（誓）:=—J “Вdp； dp^ 呼（Pa, Pb ； P3 Pj） [% （Pa"倆）一

Ta 風）% 係）]■ （3.3.3）

Это выражение с учетом законов сохранения импульса и энергии сталкивающихся частиц известно как интеграл упругих стол- кновений Больцмана. Задача теории интегралов столкновений состоит в вычислении вероятности рассеяния 呼（Ра, рв； р'^，Р‘в）・ Будем вычислять эту вероятность квантовомеханическим спосо- 48

Рис. 3. ДиаграммаРис. 3. Диаграммарассеяния частицрассеяния частицбом, так как он обладает большей наглядностью, чем классический. Предположим, что потенциальная энергия взаимодействия двух частиц в газе есть функция лишь мгновенного расстояния между ними:

Рис. 3. Диаграмма

Рис. 3. Диаграмма

рассеяния частиц

рассеяния частиц

и(%—3)= JdkU(kd”)

'°化)=焉 J "и"”-”(3.3.4)

Здесь U(к) - Фурье-образ потенциала взаимодействия U(г), ко； торый зависит только от вектора к.

Вычисление вероятности рассеяния двух частиц в условиях, когда энергия их взаимодействия мала по сравнению с кинетической энергией, согласно квантовой механике, сводится к вычислению матричного элемента взаимодействия по невозмущенным состояниям в начале и в конце процесса, т. е. по волновым функциям начальвогсги конечного состояний. Такое приближение называют борновским приближением теории возмущений, причем оно справедливо, если |U|r()《liu (几一радиус действия потенциала U(г), а у — скорость рассеиваемой частицы). В борнов- ском приближении

^ |UPa,PB，； РЗ в 产 6 ［胤 + 弱)一陽 + “，(3.3.5)

где Upa, p§； p'a，Р’в — матричный элемент потенциала взаимодействия по волновым функциям свободных частиц с импульсами ра и ре в начальном состоянии (до рассеяния) и р'а и р'^— в конечном состоянии (после рассеяния).

?+ 屮，(3.3.6)?+ 屮，(3.3.6)Согласно квантовой механике, волновая функция нерелятивистской свободной частицы с импульсом р и энергией <^ =卩2/(2加) в однородной среде имеет вид плоской волны

?+ 屮，(3.3.6)

?+ 屮，(3.3.6)

—j

где А= (2nh)~3 — постоянная нормировки (напомним, что волновая функция свободной частицы нормируется на б-функцию). Учитывая (3.3.4), для матричного элемента рассеяния имеем

4а /В . р； ,р. = ) dkU (k) <р； |eikr« |ра) <рз |е-% 旧〉・(3.3.7)

Здесь (ра |е1кГа |ра) означает матричный элемент оператора etkl，a по волновым функциям начального и (конечного состояний одной частицы сорта а, т. е. по функциям (3.3.6). При вычислении этого матричного элемента следует учитывать, что частицы свободно движутся в плазме, поэтому в момент времени /, для

49

которого проводятся вычисления, положение частицы определяется соотношением га—rao4-va^. Учитывая это, получаем

(Р； leikra |Pa) = 6 (Pa —pa+ hk) 6(Р； leikra |Pa) = 6 (Pa —pa+ hk) 6[2%2%[2%2%hkva J . (3.3.8)hkva J . (3.3.8)

(Р； leikra |Pa) = 6 (Pa —pa+ hk) 6

(Р； leikra |Pa) = 6 (Pa —pa+ hk) 6

[2%2%

[2%2%

hkva J . (3.3.8)

hkva J . (3.3.8)

Аналогично вычисляют и матричный элемент 〈Рв 丨 е 6 | pQ.

Используемое приближение, как легко понять, представляет собой известное борновское приближение в теории рассеяния. Нетрудно видеть, что соотношение (3.3.8) учитывает законы сохранения импульса и энергии при рассеянии: частица сорта а с импульсом pa излучает «квант взаимодействия» и переходит в состояние с импульсом p'a=Pa—hk (см. рис. 3); этот квант поглощается частицей сорта 0 с импульсом рр, которая переходит в состояние с импульсом р^ =Рр+ hk. Таким образом, импульс «кванта взаимодействия» равен Ap = hk, а энергия hkva=—hkv^.

Подставляя (3.3.7) и (3.3.5) в (3.3.3), после несложных преобразований окончательно получаем выражение

dp 諾"Кбdp 諾"Кб(Pa —hk)2 丄(pg + hk)2

dp 諾"Кб

dp 諾"Кб

(3.3.9)(3.3.9)2% 丁 2mB

(3.3.9)

(3.3.9)

[/a (Pa)『6(Рб)— fa (Pa — hk) %(Рр+ Йк)],

в котором законы сохранения импульса и энергии учтены.

Выражение (3.3.9) в рамках применимости борновского приближения является общим, так как получено без каких-либо ограничений закона взаимодействия частиц (кроме малости энергии взаимодействия по сравнению с кинетической энергией частиц). Упростим это выражение путем перехода к классическому пределу hk《pa, р^, т. е. в предположении малости передаваемого при рассеянии импульса «кванта взаимодействия». Это предположение, кстати, находится в соответствии с предположением малости энергии взаимодействия частиц ——в результате такого взаимодействия изменение импульса должно быть малым» Разлагая подынтегральное выражение (3.3.9) по степеням 方к и учитывая, что U (к) зависит лишь от модуля вектора к, получаем

传六訂『dPB穹(Pa，Рв)濁制'(3310) где /器=冗 j dk (2 冗)3|U (k)|2 6 (ku)鱼岛=

=」L d^j—”勾 f (2冗)3 胪 dk|U(k)『3(ku),(3.3.11)

2“

a u=Va—Vr —относительная скорость сталкивающихся частиц.

Используя далее выражения (3.3.10) и (3.3.11), кинетическое уравнение (3.3.1) для функции распределения частиц сорта а с 50

учетом ближних столкновений со всеми частицами сорта 0 (где р, в частности, может совпадать с а) запишем в виде

где% = 2 J (1рв 彳？仇,Рв) % (Рв)，

В(3.3.13)

<dps/；, (Ра，р0)

—соответственно коэффициенты диффузии и трения в пространстве скоростей.

Приведенное кинетическое уравнение часто называют также уравнением Фоккера — Планка.

Полученные интеграл столкновений (3.3.10) и кинетическое уравнение (3.3.12) пригодны при оговоренных условиях для любого газа, поскольку в них не конкретизирован закон взаимодействия частиц U (г) (или U(k)). В частности, ими можно пользоваться для плазмы с любой степенью ионизации, если известны законы парного взаимодействия частиц между собой.

Интеграл столкновений заряженных частиц

Воспользуемся теперь полученными общими соотношениями для полностью ионизованной плазмы, в которой существенны лишь столкновения заряженных частиц между собой. Чтобы найти энергию взаимодействия двух заряженных частиц в плазме, вычислим потенциал, создаваемый заряженной частицей сорта а, движущейся равномерно со скоростью va, т. е. ra=rOa+vaZ. Для нахождения потенциала поля заряда будем исходить из уравнения Пуассона:

div D = ea3 (г—rOa—va /).(3.4.1)

Переходя к Фурье-представлению по пространственным переменным и используя материальное уравнение (2.2.8) для потенциала поля (Е=—VO), создаваемого движущейся частицей, получаем

Ф (|ra—rl)= ―^— J dkм °(342}

“(2 冗)з %」^ ^8fJ-(kva, k)

Здесь £订(ку© k)——тензор диэлектрической проницаемости плазмы.

Очевидно, что искомая энергия взаимодействия частиц сортов аир составит

[/(г)^^ Фа= С dk — ・(3.4.3)

% (2冗)3 J ki kj 8f； (kva，k)

Отсюда для Фурье-образа потенциала взаимодействия имеем

U (к) =!・(3.4.4)

80 (2炉 ki 也j Sj (kva，к)

Подставляя (3.4.4) в (3.3.11), в случае полностью ионизованной плазмы получаем

冗(心Y c dk (2方/竺终二1泣.(3.4.5)

Если в выражении (3.4.5) положить £订=6订(т. е. взаимодействие частиц в плазме отождествить с взаимодействием в вакууме) и устранить расходимость, «обрезая» интегрирование на нижнем (々>^min) и верхнем (&<^тах) пределах, то получим известную формулу Ландау:・

(346)

где L=lnpmax/^min| — так называемый кулоновский логарифм, введенный-Ландау.

Такое «обрезание» на нижнем пределе по & соответствует предположению, что взаимодействие между частицами плазмы является чисто кулоновским лишь на малых расстояниях г£ 《Гтах=——l/^min； на расстояниях г>гШах взаимодействие экранируется вследствие поляризации плазмы, причем в термодинамически равновесной плазме радиус экранирования совпадает с дебаевским радиусом, т. е. гт^=Гв^'У^I(e^N). «Обрезание» же на верхнем пределе по k соответствует тому обстоятельству, что при очень малых расстояниях, когда r<rmin= l/^max, энергия кулоновского взаимодействия частиц становится больше их кинетической энергии свободного движения и нарушается условие применимости теории возмущений. Поэтому Гтт следует определить из соотношения e2/(4jte0^min) ^Т. Таким образом, L^ ^In(2・ 104-j^^) и в широких пределах изменения параметров плазмы L^ 10+20. В дальнейшем эту величину будем считать постоянной *.

Следует отметить, что формула (3.4.5) автоматически учитывает дебаевское «обрезание» взаимодействия частиц на больших расстояниях, обусловленное поляризацией плазмы, и тем самым обосновывает формулу Ландау (3.4.6). На малых же расстояниях (больших k) эта формула не устраняет расходимости. Строго классическое обоснование «обрезания» на малых расстояниях r<rmax^e2/ (4^80^) является следствием учета тройных столкновений частиц в плазме. В квантовом рассмотрении, однако, появляется еще один параметр «обрезания», обусловленный прин

* Строго говоря, это выражение для L справедливо лишь при SLe》Qe,(о; Qe=eB/m. Если данное условие не соблюдается, в формулу для 厶 вместо л?е = = UTe/o)Le СЛвДубТ ПОДСТЗВИТЬ /*max = UT e/(maX((0, Qe)).

52

ципом неопределенности rp^rvTm>h и равный дебройлевской длине волны свободной частицы, т. е. г>г^ ^ ХР = —^-. Оче* видно, что в общем случае

Gnm = max •

Только при очень высоких температурах, когда е2<СЙУт, минимальный радиус взаимодействия определяется дебройлевской длиной волны.

Суммируя сказанное, кинетическое уравнение для заряженных частиц в полностью ионизованной плазме с учетом кулоновских столкновений можно записать в виде

dr dfdfX卜（哦一片仇）制•dr dfdfX卜（哦一片仇）制•(3.4.7)(3.4.7)

dr dfdf

X卜（哦一片仇）制•

dr dfdf

X卜（哦一片仇）制•

(3.4.7)

(3.4.7)

Это кинетическое уравнение часто называют также уравнением Ландау, а стоящий в правой части интеграл — интегралом столкновений Ландау. Далее для описания столкновений частиц в полностью ионизованной плазме будем пользоваться именно этой формой уравнения, поскольку учет поляризации плазмы в интеграле столкновений по существу сводится к обоснованию «обрезания» взаимодействия на больших расстояниях, которое уже учитывается в уравнении Ландау.

В заключение приведем интеграл столкновений заряженных частиц между собой в случае вырожденной плазмы. Такой интеграл должен отличаться от приведенных учетом принципа запрета Паули, согласно которому 8 одном и том же состоянии (с заданным импульсом р) может находиться не более двух частиц со спином 1/2, какими являются электроны и дырки. Учитывая принцип Паули и тот факт, что каждому состоянию в фазовом пространстве соответствует объем (2лЙ)3, запишем интеграл столкновений (3.3.9) в виде

*一 =J dp。3)3 dk |U (k)户 6[乌詳 + 二*一 一条-薯[‘a Sa)%佛)[J ^^九仇一阳]X

X [1—(2喫-%(рв+方k) —%(Pa — hk)]% (рв+方k) X

X [1一 ^^fa(Pa)] [l-1^%^)]} •(3.4.8)

Разлагая далее это выражение по малому передаваемому при столкновениях импульсу, т. е. при р© р^》百 к, окончательно находим

=/ dp6伊Рa® 猿^；誥=/ dp6伊Рa® 猿^；誥О%/。[О%/。[(2叫з~2~(2叫з~2~f ] 叫P J 耽 W%jf ] 叫P J 耽 W%j1 -九1 -九(2 冗 h)3(2 冗 h)3221——1——(/a + /б)(/a + /б)(2jih)3(2jih)322/a/a

=/ dp6伊Рa® 猿^；誥

=/ dp6伊Рa® 猿^；誥

О%/。[

О%/。[

(2叫з~2~

(2叫з~2~

f ] 叫

P J 耽 W%j

f ] 叫

P J 耽 W%j

1 -

九

1 -

九

(2 冗 h)3

(2 冗 h)3

2

2

1——

1——

(/a + /б)

(/a + /б)

(2jih)3

(2jih)3

2

2

/a

/a

(3.4.9>

где 1ца^(ра, Рв) определяется формулой (3.3.11) и для заряженных частиц — выражениями (3.4.5), (3.4.6) с очевидной заменой 7f疗f [такая же замена должна производиться и в формуле (3.4.7)]. В выражениях (3.4.8) и (3.4.9) принцип Паули учитывается множителями

I — % (2 冗方)3 九(pa),

представляющими собой вероятность наличия для частиц сорта a свободного места в состоянии с импульсом ра. Очевидно, что рассеяние с переходом р^, р^ар%, р% возможно только при наличии свободных вакансий в состоянии с импульсами р%， Р’е* В невырожденном случае эти множители равны единице и выражения (3.4.8) и (3.4.9) переходят в (3.3.9) и (3.3.10).

Модельный интеграл упругих столкновений частиц

При упрощении интеграла столкновений Больцмана для вычисления вероятности рассеяния частиц 取(pa, Рв； Р‘《, р'в) было использовано борновское приближение. Таким приближением можно пользоваться, если существует Фурье-образ потенциала взаимодействия U(r), т. е. интеграл (3.3.4). Этот интеграл расходится, если U (г) растет при малых г быстрее, чем 1/г2, что имеет место при взаимодействии заряженных ча(сти;ц с нейтральными атомами и .молекулами плазмы либо с кристаллической решеткой (в случае твердотельной плазмы). Поэтому для описания столкновений заряженных частиц с нейтральными приходится пользоваться общим интегралом столкновений Больцмана (3.3.3) и вычислять вероятность рассеяния без привлечения борновского приближения. Подобные вычисления, как правило, связаны с большими математическими трудностями, не говоря уже о том, что нет и не может быть единого потенциала взаимодействия заряженных частиц с нейтральными. По этой же причине мало эффективен и интеграл столкновений (3.3.10) (справедливый только при условии применимости борновского приближения) применительно к взаимодействию заряженных частиц с нейтральными. Из сказанного ясно, почему нет единой простой теории интеграла 54

столкновений заряженных частиц как для слабоионизованной газовой плазмы, так и для плазмы твердого тела. Вместе с тем при практических вычислениях как в газовой, так и твердотельной плазме часто используют приближенные модельные представления о столкновительном члене в кинетическом уравнении для заряженных частиц.

Остановимся кратко на одном из модельных интегралов столкновений, получивших в последние годы широкое распростране- ，ние. Этот интеграл столкновений часто называют интегралом Батнагара — Гросса — Крука (интеграл БГК). Он не может быть получен из общего интеграла Больцмана путем каких-либо приближений и поэтому называется модельным. Его можно только сконструировать из общих соображений, соответствующих здравому физическому смыслу.

При конструировании любого модельного интеграла упругих столкновений следует исходить из общих законов сохранения числа частиц, импульса и энергии при упругом рассеянии. Эти законы при столкновении частиц сорта а с частицами сорта 0 записываются в виде

=0,=0,+ 加8 j dpt?+ 加8 j dpt?=0,=0,Ba =0. s/Ba =0. s/(3.5.1)(3.5.1)

=0,

=0,

+ 加8 j dpt?

+ 加8 j dpt?

=0,

=0,

Ba =0. s/

Ba =0. s/

(3.5.1)

(3.5.1)

Приведенные соотношения получают непосредственно из кинетических уравнений (3.3.1) путем умножения на 1, mav и mav2, интегрирования по импульсу и суммирования по сталкивающимся частицам. Следует иметь в виду, что интеграл столкновений частиц при подстановке в него термодинамически равновесных распределений для частиц всех сортов (распределений Максвелла либо Ферми) должен обратиться в нуль. Это утверждение является следствием известной Н-теоремы Больцмана, согласно которой при любых возмущениях функции распределения под действием столкновений частиц стремятся к термодинамически равно。 весному распределению (к максвелловскому — в случае невырожденного газа и фермиевскому — в случае вырожденного газа). Процесс приближения функции распределения частиц к равновесной при столкновениях называют релаксацией. При этом различают времена релаксаций для разных процессов. Если возмущения таковы, что в газе у частиц сорта а появляется средний импульс, то под действием столкновений он должен релаксировать к нулю. Характерное время этого процесса и называют временем релаксации импульса для частиц сорта а. Как правило, оно совпадает с временем свободного пробега, поскольку релаксация импульса происходит практически при одном столкновении частицы.

Обратное время релаксации импульса называют частотой столкновений.

Перечисленным свойствам (3.5.1) в невырожденной слабоиони- зованной плазме, как легко показать, удовлетворяет интеграл столкновений Батнагара — Гросса — Крука

(^^)s/ = — "аб (/а—Na ①邱)，(3.5.2)

где “ав — некоторая постоянная величина, имеющая смысл эффективной частоты столкновений частиц сорта а с частицами сорта р, т. е. характеризующая время релаксации импульса частиц сорта а вследствие столкновений с частицами сорта 0・ Функция ①《в определяется соотношением

%= V严 ехр%= V严 ехр% (vf 产2% _% (vf 产2% _(3.5.3)(3.5.3)

%= V严 ехр

%= V严 ехр

% (vf 产

2% _

% (vf 产

2% _

(3.5.3)

(3.5.3)

Здесь %= ★ J dpv%，Wa= J dp 九,

几=寿 Jdp(V —VJfa；几=寿 Jdp(V —VJfa；(3.5.4)(3.5.4)7aB =7aB =% Q+吗%%十团6% Q+吗%%十团6

几=寿 Jdp(V —VJfa；

几=寿 Jdp(V —VJfa；

(3.5.4)

(3.5.4)

7aB =

7aB =

% Q+吗%%十团6

% Q+吗%%十团6

Подставляя выражение (3.5.2) в соотношения (3.5.1), можно показать, что законы сохранения импульса и энергии выполняются при условии maA^ava3 =m^N^^a . Следует заметить, однако, что в теории модельного интеграла БГК по существу нет соотношений, определяющих частоты vap； они должны быть определены из точного интеграла Больцмана, в который входит своя для каждого сорта частиц потенциальная энергия взаимодействия (7(г). Если учесть при этом, что величина ”ав имеет смысл обратного времени релаксации импульса, то из простых молекулярно-кинетических соображений можно записать для рассеяния заряженных частиц на нейтральных частицах “仪九=ита。。"％ где о。— эффективное поперечное сечение рассеяния заряженных частиц на нейтральных частицах; по порядку величины о()=冗@2 (口 — радиус нейтральных атомов: а« 10~10 м); Nn ——плотность нейтральных частиц в плазме. Здесь же следует оговорить, что интеграл БГК удовлетворительно описывает лишь взаимодействие частиц разного сорта. Поэтому им можно пользоваться для описания столкновений заряженных частиц с нейтральными частицами в слабо- ионизованной плазме, когда преобладающим является рассеяние заряженных частиц на нейтральных. Для полностью ионизованной плазмы пользоваться интегралом БГК, несмотря на простоту, нецелесообразно.

Подставляя выражение (3.5.2) в (3.3.1), запишем кинетическое уравнение с интегралом столкновений БГК для невырожденной плазмы:

祭+s 卷+分｛E+WB]｝警=一千 %6(九一必q6)，(355)

С/рр

где суммирование распространяется только по сортам нейтральных частиц плазмы.

Не представляет труда обобщить интеграл столкновений БГК на случай вырожденной твердотельной плазмы. Следует учесть, что равновесным распределением в вырожденной плазме является распределение Ферми, поэтому в результате столкновений частиц функция распределения должна релаксировать к распределению Ферми. Кроме того, в твердотельной плазме модельным интегралом БГК удобно описывать столкновения легких носителей заряда (электронов и дырок) с тяжелой решеткой, и в этом смысле плазму можно считать слабоионизованной. По аналогии с (3.5.1) интеграл столкновений БГК для вырожденной плазмы записывают в виде

("^•)sf—”邮(九一/оа)，(3.5.6)

где /оа—равновесная функция распределения Ферми: 儿二薪卜P[(^—裔』7卜1「.(3.5.7)

При 舞а == (3 n2)2/3 接 n讃/(2 ma)《Ta функция рас-

пределения Ферми (3.5.7) переходит в функцию распределения Максвелла:

%afexp f^—]・(3.5.8)

Такой же вид принимает функция ^aФap при условии 加《《 《加6 и V^ =0, когда Та^Та. Следовательно, интеграл (3.5.6) в невырожденном пределе совпадает с (3.5.2) для столкновений легких носителей тока с тяжелыми нейтральными частицами.

§ 3・6・ Обоснование простейших моделей плазмы

Имея в распоряжении наиболее общую из возможных моделей газовой плазмы — кинетическое уравнение с самосогласованным полем, учитывающее также ближние парные столкновения частиц, можно выяснить условия применимости более простых моделей плазмы, рассмотренных в § 3.1, и обосновать их. Ограничим-

57

ся рассмотрением разреженной бесстолкновительной плазмы, описываемой кинетическим уравнением (3.2.7):

等 +v 争 +&{E+WB]}等=0.(3.6.1)

Уравнение (3.6.1) справедливо либо лишь для описания таких процессов в плазме, которые протекают за времена, меньшие времен свободного пробега частиц, либо для процессов, характерные пространственные масштабы которых меньше длин свободного пробега, т. е..

1/t》2 %В，L < % = %а/Е %в，(362)

Вв

где т — характерное время рассматриваемого процесса, a L — его характерный пространственный масштаб.

Для волновых процессов такими параметрами являются частота з 〜1/t и модуль волнового вектора 力〜1/L. Для указанных процессов плазму можно считать бесстолкновительной. Учет столкновений частиц при этом приводит к малым поправкам, которыми далее будем пренебрегать.

Заметим, что даже при полном отсутствии столкновений частиц в определенных условиях применимо гидродинамическое описание плазмы. Получение гидродинамических уравнений сводится к отысканию замкнутой системы уравнений для моментов функций распределения каждого сорта частиц:

А\ (/,『)=J dp%, ^ (/, Г) % (/, Г) = J dpv%， (3・6・3) представляющих собой соответственно плотности числа частиц и потока частиц сорта а. Гидродинамические уравнения в условиях, когда их удается получить в замкнутом виде, обладают рядом преимуществ по сравнению с кинетическим уравнением. Очевидно, что гидродинамика значительно проще кинетики. Достаточно отметить, то гидродинамические величины N，t, г) и Va(/, г) (их число ограничено) зависят лишь от четырех переменных г и /, в то время как функция распределения /а(р,力 г) является функцией семи переменных.

Переходя к выводу гидродинамических уравнений для бесстолкновительной плазмы, умножим уравнение (3.6.1) на 1 и р и проинтегрируем по импульсу. В результате получим следующие гидродинамические уравнения для электронов и ионов (т. е. а= =е, i)：

dN“ ,

-^h div Na va= 0,

竺嚟丄 + 訖 Па订=% Na {E+ [Va В]},(3.6.4)

где11a订=J Pi Vj /а dp.(3.6.5)

58

Первое из уравнений (3.6.4) представляет собой уравнение непрерывности, а второе — уравнение движения, однако оно не является «гидродинамически замкнутым», так как содержит тензор naij. Определение тензора 11&订 в общем случае является трудной задачей. В бесстолкновительной плазме известны два случая, когда тензор Па^ удается вычислить явно и тем самым придать уравнениям (3.4.6) «гидродинамически замкнутый》вид. Одним из них является предел «холодной» плазмы.

Если интересуются процессами, характерная скорость которых значительно больше тепловых скоростей частиц (электронов и ионов), т. е.

-—％a‘ (3.6.6) т k

тепловым движением частиц в первом приближении можно пренебречь, считая плазму «холодной». Это означает, что функция распределения частиц по скоростям для описания таких процессов может быть представлена в виде

fa 〜6 (v—Va). (3.6.7)

При этом из (3.6.1) следует, что UaL^^^^H уравнение движения (3.6.4) легко сводится к известному уравнению Эйлера для заряженной жидкости с «нулевым» давлением：

H+VaY]»：%】 (3.6.8)

Уравнения (3.6.8) совместно с уравнениями непрерывности (3.6.4) для электронов и ионов (a=e, i) образуют систему замкнутых гидродинамических уравнений для холодной бесстолкновительной плазмы. Плотности тока и заряда при этом, согласно (3.6.3), определяются выражениями

j= W %МЛа，Р= £ %必・ (3.6.9) a a

Здесь суммирование распространяется на все сорта заряженных частиц.

Подстановка этих выражений в уравнения Максвелла (2.1.1) приводит к согласованию уравнений гидродинамики с уравнениями поля. Образованную при этом полную систему уравнений часто называют уравнениями двухжидкостной магнитной гидродинамики «холодной» плазмы. Легко видеть, что уравнение (3.6.8) по форме совпадает с уравнением движения частиц (3.1.1), использованным в модели независимых частиц. Получение этого уравнения из кинетического позволило определить пределы применимости простой модели независимых частиц в виде неравенств (3.6.2) и (3.6.6).

Следует заметить, что неравенства (3.6.2) и (3.6.6), строго говоря, определяют пределы применимости двухжидкостной гидродинамики «холодной» плазмы только в отсутствие внешнего магнитного поля. При наличии же магнитного поля в плазме наряду с ними необходимо выполнение условий

k, и

|з 土 Qal》^%а，”а； q 吵《】，(3.6.10)

где(о~1/к — характерная частота процесса, %= 2 vap, а Qa= =ea В/та— ларморовская частота вращения частиц сорта а в магнитном поле;比〜1% и 左丄〜1/L 丄 — масштабы неоднородности исследуемого процесса соответственно вдоль и поперек направления магнитного поля.

Вторая область значений параметров, в которой также применимо гидродинамическое описание бесстолкновительной плазмы (одножидкостная гидродинамика), определяется неравенствами

《％е・(3.6.1 1)

Из условий (3.6.11) следует, что ионы плазмы для таких процессов являются «холодными», и их можно описывать уравнениями типа (3.6.4) и (3.6.8) (разумеется, нерелятивистскими, так как 匕《с), которые при этом будут характеризовать движение массы плазмы. Чтобы получить уравнения одножидкостной гидродинамики, нужно исключить из них электрическое поле. Воспользуемся для этой цели кинетическим уравнением (3.6.1) для электронов. Если учесть, что согласно (3.6.11) в этом уравнении слагаемым с производной по времени можно пренебречь, легко записать его общее решение в виде известного распределения Больцмана во внешнем потенциальном поле Ф

端(V—乜户+賞］,(3.6.12)

где % — направленная скорость электронов, температура которых согласно этому распределению постоянна и равна Те.

Электронный ток в плазме в этом случае определяется выражением

je=eMM,(3.6.13)

где Ne ——плотность, определяемая функцией (3.6.12) и подчиняющаяся барометрическому закону

M = Me-g/%(3.6.14)

Здесь Nq — невозмущенная плотность электронов в отсутствие электрического поля.

Подставляя (3.6.12) в (3.6.5) и учитывая условие 卩/《/内 из уравнения движения (3.6.4) для электронов находим

60

E= —^vN—V 网E= —^vN—V 网(3.6.15)(3.6.15)

E= —^vN—V 网

E= —^vN—V 网

(3.6.15)

(3.6.15)

Используя это соотношение, исключаем электрическое поле из уравнения движения ионов. Принимая во внимание условие квазинейтральности плазмы EeaNa =0 и учитывая, что плотность

полного тока в плазме

j= w eaNaVa=-eNeVe+〃NiVi，(3.6.16)

а

окончательно получаем

(3.6.17)(3.6.17)где vs = УZ 先一где vs = УZ 先一譽 + М V)V尸—訂 VМ + 宼 UB],

(3.6.17)

(3.6.17)

где vs = УZ 先一

где vs = УZ 先一

скорость ионного звука в плазме, a Z =

=I ^г/е I — зарядовое число ионов.

Упростим теперь уравнения поля (2.1.1). Во-первых, пренебрежем токами смещения, что справедливо при условии (о~1/Т《 《sl3 а, во-вторых, исключим из них электрическое поле. Заме

(3.6.18)(3.6.18)чая, что в уравнение

(3.6.18)

(3.6.18)

вклад дает лишь поперечная к магнитному полю компонента электрического поля, вместо (3.6.15) можно воспользоваться более простым выражением

Е丄=—МВ],(3.6.19)

которое следует непосредственно из уравнения движения (Эйлера) для ионов при условии s~l/t《iQi・ Можно показать, что Е丄 совпадает с поперечной проекцией выражения (3.6.15). Подставляя соотношение (3.6.19) в уравнение (3.6.18), получаем

rot[V,B] = ^ ・(3.6.20)

Собирая, теперь все полученные уравнения вместе, опуская индекс £ и вводя массовую плотность рм=MNi, запишем систему уравнений одножидкостной магнитной гидродинамики для бесстолкновительной плазмы:

号=rot [VB], div B = 0,]

Pm(^+(Vv)V)= -YvPM--c2%[BrotB], }(3.6.21)

礬+div PmV = 0・ »丿

Эти уравнения совпадают с системой уравнений (3.1.4) в пределе идеальной проводимости а->оо и в случае пренебрежения вязкостью. Уравнение состояния плазмы при этом имеет вид

р =吟 рм = WeTe = ZMTe, (3622) причем в отличие от обычной гидродинамики проводящей жидкости (см. § 3.1) здесь температура, как следует из вывода уравнений (3.6.21), считается постоянной во времени и однородной в пространстве. Кроме того, согласно соотношению (3.6.22) давление плазмы определяется температурой электронов, что возможно лишь при условии сильной неизотермичности плазмы, когда Те》А・ <

Требование неизотермичности плазмы следует также из следующих соображений. Из обычной гидродинамики известно, что характерной скоростью течения жидкости является скорость звука и$~/р/рм・ Согласно уравнению состояния (3.6.22), в рассматриваемом случае %〜]/ Т^М (именно поэтому называют скоростью звука в бесстолкновительной плазме). С другой стороны, из условия (3.6.11) следует, что эта скорость должна быть значительно больше тепловой скорости ионов, т. е. и$》？т厶 что очевидно, возможно лишь в неизотермической плазме (Те》7\)・

В заключение приведем еще раз условия, при которых справедливо описание бесстолкновительной неизотермической плазмы с помощью системы уравнений одножидкостной магнитной гидродинамики (3.6.21):

(3.6.23)(3.6.23)%i《L/t~3/^《％e，I

(3.6.23)

(3.6.23)

3〜l/t《&《(0“ j

Строго говоря, при наличии сильного магнитного поля первое из этих условий должно выполняться только для проекции волнового вектора вдоль магнитного поля или, другими словами, для размера продольной неоднородности, т. е. для kz^ 1/L,. (это будет показано в гл. 5), для поперечной же проекции должно вы- k I VV

полняться неравенство 二叱〜i^_《i, т. e. размеры none- %l丄%

.речных неоднородностей должны значительно превышать ларморовские радиусы частиц. Далее, условие Qe«sl£ требуется для соблюдения квазинейтральности плазмы при 3《^九 Это, однако, не означает, что в уравнениях (3.6.21) нельзя переходить к пределу Вт0, т. е. к изотропной плазме. В отсутствие внешнего магнитного поля уравнение непрерывности для ионов и уравнение Эйлера образуют полную систему уравнений и в упрощении уравнения поля (3.6.20) нет необходимости. Поэтому отпадает и требование з《а?. Условие квазинейтральности плазмы в отсутствие внешнего магнитного поля выполняется при со 〜1/к《сои・

Наконец, заметим, что хотя при получении системы (3.6.21) полностью пренебрегалось столкновениями частиц, это вовсе не 62

означает, что она справедлива только когда з〜1/т》”е, уз При анализе кинетического уравнения для ионов в пределе «холодных» ионов действительно можно было пренебречь столкновениями лишь при з》”з где v^ — полная (суммарная) частота столкновений ионов со всеми частицами. В кинетическом же уравнении для электронов столкновениями можно пренебречь и при (o<ve, если только ”е《电丿 ите〜ите/厶“・ Таким образом, условия применимое- ти системы (3.6.21) по временам записываются в виде

(0~1/т》Н； 3, Уе《®] %е〜％d/£|| ・ (3.6.24)

Итак, даже в разреженной плазме при полном пренебрежении столкновениями частиц в определенных условиях возможно гидродинамическое описание движения плазмы. Мы ограничились этим пределом, поскольку именно он вызывал наибольшее сомнение с точки зрения применимости гидродинамического описания. В обратном пределе плотной плазмы с частыми столкновениями частиц применимость гидродинамики очевидна.

Полученные выше гидродинамические уравнения (3.6.21) для бесстолкновительной невырожденной плазмы легко обобщаются на случай вырожденной плазмы. Более того, легко записать решение вида (3.6.12) для случая произвольного вырождения плазмы:

'е= (2奈F 卜хр '2Т~(V—VJ2 —争+ 賞 + 1 I • (3.6.25)

Неравенства (3.6.11) (в которых в вырожденном пределе под и“ следует подразумевать Vf е) при этом обеспечивают постоянство температуры электронов: Те=const. Учитывая это обстоятельство, из (3.6.25) получаем

(3.6.26)(3.6.26)选=е д[е_里

(3.6.26)

(3.6.26)

drd 卷dr

где ^ = 72^ (v—Ve)2.

Теперь не представляет труда выразить электрическое поле Е = —VQ—[VeB] через моменты функции распределения электронов Для сильно вырожденной плазмы эта связь записывается в виде

Е=--±-V (&е М)—МВ]・(3.6.27)

5е Ne

(3.6.28)(3.6.28)Сравнивая это выражение с (3.6.15), заключаем, что уравнения одножидкостной гидродинамики бесстолкновительной вырожденной плазмы также имеют вид (3.6.21), в которых, однако, следует произвести замену:

(3.6.28)

(3.6.28)

吸▽pM->Vp.

Здесь р^Чь^г &Ne ——давление вырожденной плазмы, совпадающее с электронным давлением, причем Ne = zNt. Легко понять, что условия применимости гидродинамического описания вырожден-

63

ной плазмы полностью аналогичны приведенным выше условиям (3.6.23) и (3.6.24) с той лишь разницей, что всюду под уте следует понимать скорость Ферми Ufg・ Более того, сохраняется и требование «неизотермичности» плазмы 吝入》北，которое, очевидно, совпадает с требованием ее вырожденности.

Задачи к гл. 3

Задача 3.1. Показать, что интеграл упругих столкновений Больцмана обращается 6 нуль, если функции распределения частиц f^ 〃/0 представляют собой функции распределения Максвелла с Т^Т^ =Т.

Решение. Функция распределения Максвелла для частиц сорта а с температурой 7 имеет вид

%(%)=(2誥)3宀(一岳)(1)

Подставляя это выражение в (3.3.3) и учитывая закон сохранения энергии

2加а「2mB 2та 2勺，

находим, что

/а (%)%(昨)一% (启 ％ 係)=0 •(3)

(df \аВ Следовательно, *и | =0・

\ 决 Jst

Задача 32 На примере лоренцевского газа с бесконечно тяжелыми ионами найти функцию распределения электронов 6 полностью ионизованной плазме во внешнем электрическом поле и вычислить проводимость плазмы.

Решение. Лоренцевским газом «азывают электронный газ, в котором электроны ие взаимодействуют (т. е. не сталкиваются) между собой, но взаимодействуют с ионами. Такое приближение пригодно лри Z=fe"e|》l. Кинетическое уравнение Ландау для лоренцевского газа с тяжелыми ионами во внешнем электрическом поле записывают следующим образом:

С e吭土ар dpt 8冗廟炉 dpjС e吭土ар dpt 8冗廟炉 dpj(1)(1)

С e吭土

ар dpt 8冗廟炉 dpj

С e吭土

ар dpt 8冗廟炉 dpj

(1)

(1)

Решение этого уравнения -будем искать в виде

/е = /м/е = /мV& ®V& ®

/е = /м

/е = /м

V& ®

V& ®

Где /м — функция распределения Максвелла. При достаточно слабых полях |fi|《fM, поэтому

илигдеилигде宏驰=也竺堂 dp 4n 8q 加2 V4宏驰=也竺堂 dp 4n 8q 加2 V4d/мd/мe2 e；N江v⑺=4л党m2Ve2 e；N江v⑺=4л党m2V(3)⑷⑸(3)⑷⑸

или

где

или

где

宏驰=也竺堂 dp 4n 8q 加2 V4

宏驰=也竺堂 dp 4n 8q 加2 V4

d/м

d/м

e2 e；N江

v⑺=

4л党m2V

e2 e；N江

v⑺=

4л党m2V

(3)

⑷

⑸

(3)

⑷

⑸

Отсюда находим плотность электронного тока в плазме:

⑹⑹С £32。2"

⑹

⑹

j = еf d pv % =~E = oE,

J3л Mag

а следовательно, и лроводимость плазмы в модели лоренцевского газаз

гдегде32 纟 NeЗя mv9(&(&1、/1t開С沁厶 132 纟 NeЗя mv9(&(&1、/1t開С沁厶 1⑺⑺

где

где

32 纟 Ne

Зя mv9(&(&

1、/1t開С沁厶 1

32 纟 Ne

Зя mv9(&(&

1、/1t開С沁厶 1

⑺

⑺

Соотношение (7) справедливо при 〃= <vT ₽. При м>ут е появля-

mvэфф

ются так называемые убегающие электроны, поэтому понятием проводимости можно пользоваться до некоторого критического значения поля Екр, определяемого из условия

«Екр«Екрт”зффт”зфф=%е=%е(8)(8)

«Екр

«Екр

т”зфф

т”зфф

=%е

=%е

(8)

(8)

и называемого полем Драйсера. При значениях Е>Екр в плазме -не существует стационарного состояния.

Задача 3.3. С помощью кинетического уравнения Ландау (3.4.7) исследовать процесс выравнивания (релаксации) температур е полностью ионизованной плазме, если температура электронов Те, а температура ионов Т<.

Решение. Распределения по скорости как электронов, так и ионов максвелловские, поэтому

(1)

⑵⑵Процесс выравнивания температур Те и 7\ определяется столкновениями электронов с ионами. При этом

⑵

⑵

削一〈а/ )st

Умножим это уравнение на р2е/(2т) и проинтегрируем ло р, считая распределения электронов и ионов максвелловскими. В результате получим

дТе

= — ”т(Ге —О,(3)

где.

е2 ejLNt

V- 12Л 5 遂(2П)3(叫М北)3/2 J "dPe X

/22 、⑷

Xexo( — % Pj \3 Mm — uh um

Здесь U = Ve—Vi.

Учитывая, что vT »<Cvt e, воспользуемся разложением ло степеням 勿/〃 Тогда

⑹⑹vT = 2— ¥эфф.

⑹

⑹

Из закона сохранения полной энергии в системе имеем N^в+^^Т< =const,

ИЛ'И

Me dr»

鵰+仙石=°・(6)

Следовательно,

*偽一北)=_Vt{+ |^0(北—北).(7)

Таким образом, время выравнивания температур

П — ”Т 〜加 /фф

Задача 3.4. Исследовать процесс релаксации направленной скорости электронов в полностью ионизованной плазме.

Решение. Предполагая распределение электронов по скоростям

%- (2мГе)3/2 eXPL 2詳%- (2мГе)3/2 eXPL 2詳(1)(1)

%- (2мГе)3/2 eXPL 2詳

%- (2мГе)3/2 eXPL 2詳

(1)

(1)

не меняющимся в процессе релаксации скорости 〃, легко показать, что торможение электронов происходит лишь из-за электрон-ионных столкновений. Поэтому, умножая уравнение

на у и интегрируя по импульсу, получим

OuOu决/LN»4jT8q 团2 Ne决/LN»4jT8q 团2 Ne^中.^中.

Ou

Ou

决/LN»

4jT8q 团2 Ne

决/LN»

4jT8q 团2 Ne

^中.

^中.

При выводе этого соотношения мы пренебрегли скоростью ионов по сравнению со скоростью электронов, считая ите》。—. Полученное соотношение можно записать в виде

dudu=—VpU,=—VpU,

du

du

=—VpU,

=—VpU,

где

33V9фф -^- при "》"e.V9фф -^- при "》"e.Vэфф При 〃《％е；

3

3

V9фф -^- при "》"e.

V9фф -^- при "》"e.

(5)

Таким образом, время релаксации направленной скорости электронов при 〃《少те равно 1^Эфф и растет как 炉/吟 ©.

Задача 3.5. Исследовать процесс релаксации малой анизотропии температуры 8 электронной функции распределения 6 полностью ионизованной плазме. Решение. Функцию распределения электронов записывают в виде

%= 2шЛ7 丄 d^fexP(一 両丿, (1)

причем |Tj|—7丄 |《T丄弋7］产T. 66

В релаксации анизотропии температуры принимают участие как электрон- электронные, так и электрон-ионные столкновения:

Умножая это уравнение на (mu j )/2 и на (mv^ )/2 и интегрируя по импульсам, находим

譽=&-3”Р(7丄"= ip(7" — T丄)；

d3

忆(T丄一/卩=一三叮т丄一7")，(з)

me Vp = I^(l + %Hf)・⑷

Таким образом, релаксация малой анизотропии температуры, так же как и малой направленной скорости электронов, происходит за время порядка l/vэфф.

Задача 3.6. При помощи кинетического уравнения с модельным интегралом БГК исследовать функцию распределения электронов и нагрев плазмы во внешнем электрическом поле.

Решение. Ограничиваясь учетом столкновений электронов с нейтральными частицами, запишем кинетическое уравнение с интегралом столкновений БГК

еЕ ? =—ven (fe — Ne Феп),(1)

op

/ mu2 \

гдеФеп = ^сг^⑵

т mTn + MTem ~；

здесь Тп ——температура нейтральных частиц, а М —- их масса.Решение кинетического уравнения будем искать в виде

/产后⑺+逅祖，(3)

V

считая |f/《fo. В результате усреднения по углам получим два уравнения: 三一二(02 Efl) = —Ven (% —Mdn),(4)

3ua m dv

Подставляя fi из второго уравнения в первое, будем иметь

臬之一 (u2*)+ven(fo-猫%) = 0.(5)

3MVen d dv \ dv /

Решением этого уравнения является функция распределения Максвелла с температурой Те, определяемой соотношением

(6)(6)2决 户_3_

(6)

(6)

m2 1几" m+M

или

2 M

成亭

m唸

⑺

Установившаяся температура есть результат баланса между омическим нагревом электронов и передачей энергии от электронов к нейтральным частицам. Наконец, проводимость плазмы определяется из соотношения

(v&) dp =(v&) dp =開％開％mvenmven

(v&) dp =

(v&) dp =

開％

開％

mven

mven

что дает

О —

mven

Задача 3.7. В модели независимых частиц найти среднюю силу (силу Миллера), действующую на электроны плазмы во внешнем, сверхвысокочастотном (СВЧ) электрическом поле с неоднородной амплитудой Е(/, г)= =В (г) sin ©о^ Ограничиться нерелятивистским случаем.

Решение. Запишем уравнение движения электронов в виде

HVг) “

—+ (W)V=+ —[V(Во + В(/, r))J.(1)

otmm

Здесь Во — внешнее однородное магнитное поле, а

В (力 г) = В (г) cos(Оо^,

V малыми, вV малыми, вВ (г) = — rot Е (г).

V малыми, в

V малыми, в

Считая поля Е(力 г) и В(/, г), а следовательно, и скорость линейном приближении имеем

叫叫、Е (f, г)、Е (f, г)小。b。］■小。b。］■

叫

叫

、Е (f, г)

、Е (f, г)

小。b。］■

小。b。］■

Подставляя Vo(/) в малые нелинейные слагаемые уравнения (1) и усредняя по времени, находим среднюю силу:

FcP=-m<(V0(/) v)V0(/)>+e<[V0(/)B(f, r)]>.(4)

В отсутствие внешнего однородного магнитного поля

еЕ (г)

Vo= —cos соо /;(5)

tn COq

Fcp = 一 {(E ⑴ V)E ⑺ + [E (r) rot E (『)]}= — V 炉小2m筑4加稣

Это выражение можно также получить из общей формулы (2.3.25), если учесть, что в высокочастотном пределе для плазмы (см. гл. 4)

£订(①0, ^) = ^ij ( 1 --

\ eom(oj

При этом для средней силы, действующей на отдельный электрон плазмы, получаем

F/F/V £2 (г)=V £2 (г)=(7)(7)«2

F/

F/

V £2 (г)=

V £2 (г)=

(7)

(7)

-2 V 户(Г)«

加皖

Отличие этого выражения от (5) множителем 1/4 обусловлено простым переопределением амплитуды СВЧ-поля согласно (2.3.12).

68

Видно, что средняя сила выталкивает электроны (а следовательно, и плазму) из области сильного СВЧ-поля .

При наличии внешнего однородного магнитного поля возможна обратная ситуация, когда плазма втягивается в область сильного СВЧ поля.

Задача 3.8. Найти среднюю поперечную силу, действующую на электроны плазмы в слабонеоднородном магнитном поле.

Решение. Предположим сначала, что электроны плазмы не обладают продольной (вдоль магнитного поля) скоростью |и вращаются вокруг силовых линий магнитного поля с угловой скоростью Q=eB(r)/m, где г=г0(/)+В(О> Го(0—радиус-вектор центра ларморовского вращения, а ^(0 — положение электрона на орбите, г0(/) — большая медленно меняющаяся, а }(/)——малая быстро меняющаяся величины, причем в модели независимых частиц

J = Q「吟]3 =(1)

Здесь v± ——линейная скорость вращения электронов.

Разлагая В (г) по степеням 匕 м усредняя силу Лоренца по времени, находим среднюю силу, действующую на электроны плазмы и направленную поперек магнитного поля:

Ficp = e 总化 V)B] = — -^~- ^ ^" V]^B]

团呎 / В \ В~22R团呎 / В \ В~22R⑵⑵

团呎 / В \ В

~22R

团呎 / В \ В

~22R

⑵

⑵

где R ——радиус кривизны силовых линий магнитного -поля, а п ——единичный вектор, направленный от центра кривизны в точку приложения силы.

При выводе выражения (2) использовались соотношения (1) и уравнения Максвелла для стационарного магнитного поля В (г)

rot В=0, div В = 0,(3)

а также было учтено, что

〈猿 0〉= - ^28/7 = — -^-心/.(4)

Если электроны плазмы -наряду с вращением совершают продольное движение со скоростью V у , то, переходя в систему координат, вращающуюся с угловой скоростью 。]| /R вокруг мгновенного центра кривизны силовой линии магнитного поля, вновь получаем электроны, не обладающие продольной скоростью. В этой системе, однако, появляется дополнительная поперечная сила инерции — центробежная сила

9

(5)(5)F2cp =n・

(5)

(5)

Суммируя (2) и (5), получим искомую среднюю силу

⑹⑹

⑹

⑹

Действие этой силы на электрон эквивалентно действию поля тяжести:

q = иq = и啥+啥+⑺⑺

q = и

q = и

啥+

啥+

⑺

⑺

Очевидно, подобная сила действует также на ионы плазмы, причем, поскольку сила (6) не зависит от знака заряда, силы, действующие на электроны и ионы плазмы, направлены в одну сторону.

Глава 4. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ И СПЕКТРЫ КОЛЕБАНИИ ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЫ

Диэлектрическая проницаемость бесстол кновительной однородной изотропной плазмы

Теперь, когда рассмотрена наиболее общая модель плазмы как газа и известны уравнения динамики плазмы ——система кинетических уравнений для заряженных частиц, можно перейти к изучению электромагнитных свойств плазмы. Естественно начать с простейшего случая пространственно однородной изотропной плазмы. Более того, считая столкновения частиц в плазме редкими, можно в первом приближении полностью пренебречь ими и получить выражение для диэлектрической проницаемости плазмы исходя из кинетических уравнений с самосогласованным полем (уравнений Власова). Очевидно, что такое приближение справедливо для описания процессов, протекающих быстрее времени свободного пробега либо обладающих пространственным масштабом, меньшим длины свободного пробега. Плазму при этом называют бесстолкновительной.

В пространственно однородной, изотропной и бесстЬлкнови- тельной плазме в отсутствие электромагнитных полей функции распределения частиц могут быть произвольными функциями импульса |р|="・ В этой главе, однако, примем, что распределение частиц в невырожденной плазме имеет вид распределения Максвелла с температурой Та и плотностью ^a (для частиц сорта а):

儿(р)=&9)=声合严 喲22а)(4.1.1)

энергия Ферми /fl имеет вид распределенияэнергия Ферми /fl имеет вид распределенияЕсли плазма вырождена и (3汽2)2/3印n幫3

энергия Ферми /fl имеет вид распределения

энергия Ферми /fl имеет вид распределения

丁> 7a , распределение

Ферми:

foa(P)=/Fa(P)=

2

.(2ЛЬ)8 e侮一鄧/%+]

(4.1.2)

где钾=成/(2加a).

22%а= { RM)'(о%а= { RM)'(оВ пределе Та->0 это распределение принимает столообразный вид:

2

2

%а= { RM)'(о

%а= { RM)'(о

при р4PFa = (3 n2)1/3 方%/3 ,

при р> 0Fa・при р> 0Fa・(4. i.za)

при р> 0Fa・

при р> 0Fa・

Если же Та》<^f а , то оно совпадает с распределением Максвелла (4.1.1).

Чтобы вычислить диэлектрическую проницаемость плазмы, необходимо найти отклонения функций распределения заряженных частиц от равновесных значений fOa (р), возникающие вследствие действия в плазме малых электрического и магнитного полей Е(力 г) и В(力，г), появление которых вызвано возмущением равновесного однородного состояния плазмы. Возмущенную функцию распределения представим как

丘(Р, г, 0 =儿(р) + 6 % (РЕ 0 (4・ 1 ・3) и предположим, что возмущение функций распределения 8fa(Р, г, t), а также возмущения полей Е и В малы.

Подставляя выражение (4.1.3) в кинетическое уравнение Власова (3.2.7) и пренебрегая членами второго порядка малости, получим линеаризованное кинетическое уравнение для определения возмущения функции распределения :

必 + v 哂+%еМ=0・ (4.1.4) 步 dr dp

В основном состоянии плазма квазинейтральна и в ней отсутствуют плотности заряда и тока. Под действием возмущающих полей Е и В в плазме появляются индуцированные заряды и токи, которые определяются через возмущенную функцию распределения. Действительно, согласно (3.2.8), индуцированные плотности зарядов и токов в плазме составляют

Р= W Ca j fadp= s % У 6/a dp,аа

С j= 2 % J V『adp= W % j v6/adp・(4.1.5)

аа

В свою очередь, поля Е и В определяются через j и р посредством уравнений поля (2.1.1).

6 /а ~ — i6 /а ~ — iВ силу линейности уравнения (4.1.4) и уравнений поля зависимость всех возмущенных величин от времени и координат представим в виде ехр(—isf + ikr). Тогда легко записать решение уравнения (4.1.4):

6 /а ~ — i

6 /а ~ — i

(4.1.6)

Подставляя это выражение в (4.1.5), определим плотность индуцированного тока и согласно материальному уравнению (2.2.6) тензор проводимости плазмы:

S Ej

厶=-i £ ^ f dp+ MO〃®,k)当， (4.1.7) aco — kv

или・(з, k)=—iWe^jdp•(4.1.8)

a①一kv

Наконец, используя связь комплексной диэлектрической проницаемости и комплексной проводимости (2.2.10), определим тензор 8ь(3, k):

.е2Vt

%®，к) = 6订+ ^ о〃®,к)= =м+ 扌焉『dp -^- •(4.1.9)

В формулах (4.1.7)——(4.1.9) суммирование распространяется по всем сортам заряженных частиц плазмы. В случае бесстолкновительной плазмы ее нейтральные частицы в электромагнитных явлениях участия, очевидно, не принимают. Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что условие применимости «бесстолкновительного приближения» можно указать лишь в результате решения задачи с учетом столкновений, что и будет сделано. .

Второй вопрос, на который следует обратить внимание, — наличие полюсов s = kv в подынтегральных выражениях (4.1.7)— (4.1.9).При этом,если воз-

八можновыполнениеравенства

@(o = kv,выражения(4.L7)—

не имеют точного смысла, поскольку результат интегрирования зависит от способа

авычисления интеграла. Для

* gустранения этой неоднозначно-

J* а сти нужно учесть, что воз

мущение функции распределения Рис. 4. Правило обхода Ландау 6f a (р, Г, £) ДОЛЖНО исчезать 72

при ^—z. В принятой же временной зависимости 5,《 ~ ~ехр(—is%) такое исчезновение 6fa означает наличие хотя бы бесконечно малой положительной мнимой части у со при действительных значениях к. В свою очередь, при наличии у з положительной мнимой части полюсы подынтегральных функций в выражениях (4.1.7) — (4.1.9) уже не лежат на действительной оси ①, вдоль которой ведется интегрирование, а оказываются смещенными в верхнюю полуплоскость з‘ (рис. 4). Это указывает правило обхода полюса (o = kv: его нужно обходить снизу, проводя интегрирование не по действительной оси, а по контуру С, изображенному на рис. 4. В формулах (4.1.7) — (4.1.9) интегрирование подразумевается именно по такому контуру (правило обхода Ландау).

Воспользуемся теперь известным соотношением

lim= i ng (%),(4.1.10)

,0 x+ i V Y

где символ 乡 означает, что при интегрировании особенность в точ・ ке % = 0 следует понимать в смысле главного значения.

Запишем выражение (4.》.9) в виде

£万=3订十 £ ~，dps —『— i 冗5 ((о—kv) • (4.1.11) a &o(o8pj [ co—kvJ

Первое слагаемое в подынтегральном выражении (4.1.11) дает вклад в эрмитовскую (действительную) часть тензора диэлектр и- ческой проницаемости, а второе — в антиэрмитовскую (мнимую) часть, ответственную за поглощение волн в плазме. Видно, что за поглощение волн ответственны только те частицы, скорость которых удовлетворяет условию (o = kv. Это условие можно записать так: з/^ = иф = иcos©, где 8 ——угол между к и v, а иф ——фазовая скорость волны. Но это условие есть не что иное, как условие черепковского излучения электромагнитной волны движущейся заряженной частицей. При этом же условии происходит, очевидно, и обратный процесс——черепковское поглощение волны. Таким образом, в изотропной плазме диссипация волн происходит и при полном отсутствии столкновений частиц вследствие их черепковского поглощения частицами плазмы. Рассмотрим этот эффект более подробно ввиду его важности для дальнейшего изложения.

Рассмотрим частицы, движущиеся со скоростью, большей фазовой скорости волны. Эти частицы, «догоняя» волну, тормозятся ее электрическим полем, а следовательно, отдают энергию волне (черенковское излучение). Наоборот, частицы, скорости которых меньше фазовой скорости волны, «подгоняются» потенциальным барьером волны, а следовательно, отбирают энергию у волны (черенковское поглощение). Ширина интервалов скоростей, в которых происходит обмен энергией между частицами

Рис. 5. Область взаимодействия частиц с волной при нормальном распределении по скоростямРис. 5. Область взаимодействия частиц с волной при нормальном распределении по скоростями волной, одинакова как для частиц, передающих энергию волне, так и для частиц, отбирающих энергию у волны. Если при этом распределение частиц по скоростям в плазме нормальное (рис. 5), т. е. вероятность обнаружить частицу с большей скоростью меньше, чем частицу с меньшей скоростью, то в одинаковых интервалах скоростей частиц с и>^ф (отдающих энергию волне) всегда меньше, чем частиц с uv <Уф (отбирающих энергию у волны). В результате в такой плазме происходит увеличение сум

Рис. 5. Область взаимодействия частиц с волной при нормальном распределении по скоростям

Рис. 5. Область взаимодействия частиц с волной при нормальном распределении по скоростям

марной энергии взаимодействующих с волной частиц — волна поглощается.

Если же распределение частиц по скоростям в плазме не является нормальным и функция fOa (и) имеет участок с положительной производной, то в соответствующей области фазовых скоростей возможно не поглощение, а усиление электромагнитных волн.

В случае изотропной плазмы тензор £门(3, к) можно представить в виде

叩 ®, к) = ( 6万一券)或 @,用 + 券 U @,轨 (4.1.12)

где U (s,竹=1+ W f dp 如，(4.1.13)

8/r (O, k)=l+ s a8/r (O, k)=l+ s a280 w^2 ”co—kv 8 岩a280 w^2 ”co—kv 8 岩aa 0)^280 J (O —kv 0%

8/r (O, k)=l+ s a

8/r (O, k)=l+ s a

280 w^2 ”co—kv 8 岩a

280 w^2 ”co—kv 8 岩a

—соответственно продольная и поперечная диэлектрические проницаемости, а (Р) — энергия частицы сорта а.

В случае нерелятивистского максвелловского распределения (4.1.1) входящие в (4.1.13) интегралы вычисляются до конца, причем

成@,々)=1+ s —^ a整屯

1—4

(4.1.14)

Здесь

J+(%)=xe5/2 j dte窜/2=-i 联 专尤呼(贪).(4.1.15)

Функция W(x) подробно изучена и протабулирована. В дальнейшем понадобятся асимптотические значения функции /+(%)

J+ (х) = 1 + — + 亘十…一i]A^%e-%2/2

(при [х|»1, |Rex|>|Imx|);(4.1.16)

4 (%) р —i У 冗/2% (при |х|《1),

」+(%) = —i]/2jtxef2/2 (при |%|》1, |Imx|>|Rex|, 1шх<0),

на основе которых будет проведен анализ спектров колебаний и характера распространения электромагнитных волн в плазме.

Не представляет большого труда вычислить по формулам (4.1.13) продольную и поперечную диэлектрические проницаемости вырожденного газа с функцией распределения Ферми (4.1.2). Учитывая, что в случае распределения Ферми

恥а a% из (4.1.13) находимЕ? (з,粉=1 十 W恥а a% из (4.1.13) находимЕ? (з,粉=1 十 W帚 5(ia),帚 5(ia),(4.1.17)(4.1.17)1 +1 +胪脸a胪脸a£〃(3,力)=1 — £ а£〃(3,力)=1 — £ а_ ln 3十% а з — kvFa_ ln 3十% а з — kvFa—1 I X—1 I X

恥а a% из (4.1.13) находим

Е? (з,粉=1 十 W

恥а a% из (4.1.13) находим

Е? (з,粉=1 十 W

帚 5(ia),

帚 5(ia),

(4.1.17)

(4.1.17)

1 +

1 +

胪脸a

胪脸a

£〃(3,力)=1 — £ а

£〃(3,力)=1 — £ а

_ ln 3十% а з — kvFa

_ ln 3十% а з — kvFa

—1 I X

—1 I X

x(l—丄亠山士,(4.1.18)

12配Fa З -

где VFa=pF(Xt/ma = (3冗2)i/з h "笃//^ — скорость частиц сорта а на поверхности Ферми, т. е. с импульсом pFa.

В заключение заметим, что в формулах (4.1.14) и (4.1.18) суммирование распространяется по всем сортам заряженных частиц, поскольку предполагается, что плазма либо полностью не вырождена [формула (4.1.14)], либо полностью вырождена [формула (4.1.18)]. Если в плазме частицы одного сорта вырождены, а частицы другого не вырождены, диэлектрическая проницаемость представляет собой сумму выражений типа (4.1.14) и (4.1.18).(

Спектры продольных колебаний бесстолкновительной невырожденной плазмы

Перейдем к исследованию электромагнитных волн в однородной изотропной плазме на основе полученных в предыдущем параграфе выражений для диэлектрической проницаемости бес-

75

столкновительной плазмы. Начнем с анализа продольных волн, условие существования которых дается дисперсионным уравнением (2.4.6). В случае невырожденной плазмы это дисперсионное уравнение принимает вид

星((М)=1+ £ (4.2.1)

Уравнение (4.2.1) является трансцендентным и в общем случае имеет много комплексных решений (о(й). Рассмотрим наиболее интересные из них, соответствующие слабозатухающим колебаниям.

Область быстрых волн, фазовая скорость которых много больше тепловых скоростей заряженных частиц:

со/论》％е, им, (4.2.2)

Используя асимптотическое представление (4.1.16) для 」+(%), дисперсионное уравнение для слабозатухающих волн Re(o》Im(o запишем в виде

U (о,舟 q 1 — (1 + 3 —I +

+ 3^豈；或=。. (4.2.3)

Здесь пренебрежено вкладом ионных членов, поскольку он существен только при выполнении условия Ti ^ Те — , т. е. когда температура ионов более чем на шесть порядков превышает температуру электронов. Как следует из приведенных в гл. 1 значений температур электронов и ионов плазмы в различных условиях, плазмы с таким отношением Тг/Те в природе, по-видимо- му, не существует. Это означает, что в рассматриваемой области частот плазму можно считать чисто электронной; при этом роль ионов сводится к нейтрализации заряда электронов (квазинейтральность основного состояния плазмы).

Поскольку 》1, мнимый член (4.2.3) экспоненциально мал и для решения этого уравнения можно воспользоваться изложенным в § 2.6 методом определения спектра слабозатухающих колебаний. Положим, что частота волны имеет мнимую часть 6(3f(o + i6). Тогда действительная часть з определится из уравнения

ReU@, »=1—* (1+ ^^) =0, (4.2.4) откуда 0)2 = д2^ ( 1 +3 论 2r%е). (4.2.5) 76

Здесь учтено, что <o^6)Le， поэтому в малом слагаемом з заменяют На (OLe・

Поскольку неравенства (4.2.2) считаются выполненными, второй член в скобках в выражении (4.2.5) является малой поправкой, т. е.々2厂2口6《1・ Таким образом, слабозатухающие быстрые продольные колебания в плазме имеют длину волны l/k^rDe. Продольные волны со спектром (4.2.5) называют электронными плазменными волнами или просто плазменными волнами. Они образуют высокочастотную (3>o)Le) ветвь продольных колебаний изотропной плазмы, которую часто называют также электронной ветвью колебаний, поскольку, как указывалось, вкладом ионов в плазменные колебания можно пренебречь и рассматривать плазму в этой области частот как чисто электронную.

Декремент затухания 6 плазменных волн вычисляют по общей формуле (2.6.5) в условиях малости затухания (6《(о) через 序(з, k):

6 =——业叱?包―1/ZZ 叱J. e 2WdE 2 ・(4 2.6) ~ Re / (叫 k)\ 依 +e

Отсюда следует, что при 々「De《l затухание плазменных волн экспоненциально мало. Этот результат легко объяснить физически. Действительно, фазовая скорость плазменной волны много больше средней тепловой скорости электронов. Поэтому в поглощении плазменной волны в условиях, когда sQsl& а следовательно 加п)е《1, принимают участие только очень быстрые электроны (рис. 6,а), число которых при максвелловском распределении экспоненциально мало (《хвост》 распределения Максвелла). Такое затухание плазменных волн называют затуханием Ландау.

Из выражения (4.2.6) видно, что с ростом k затухание плазменных волн растет и при 忌dQ1 6«(о. Однако при больших

Рис. 6. Спектры частот продольных волн в невырожденной (а) и вырожденной изотропной плазме

значениях k нельзя пользоваться полученным выражением для S, поскольку оно справедливо при 就De《l. Таким образом, из (4.2.6) можно видеть только тенденцию увеличения затухания продольной плазменной волны с ростом k, т. е. с уменьшением длины волны (о сильнозатухающих колебаниях при 甘办〉1 см. задачу 4.3). Спектр продольных плазменных волн, образующих высокочастотную ветвь колебаний в плазме, изображен на рис. 6,а (верхняя кривая), причем сильнозатухающая часть спектра в области 宓『DeSl изображена штриховой линией.

Область промежуточных волн, когда фазовая скорость продольных колебаний удовлетворяет условию

/t《①/力《忆.(4.2.7)

При условии Res》Im3, т. е. слабого затухания, дисперсионное уравнение (4.2.1) записываем в виде

哥 r鲁(中譬)+

Мнимые члены в этом уравнении малы по сравнению с действительными. Поэтому его решение можно легко получить общим приближенным методом, который уже использовался при выводе выражений (4.2.5) и (4.2.6). В результате для спектра частот(о(й) и декремента затухания 6(々)продольных волн в рассматриваемой области фазовых скоростей получаем

炉二哈匕总F(429)

При этом учтено условие квазинейтральности Ne=ZNi9 где Z=|eje| —зарядовое число иона. Из условия s》®^ сразу же следует, что волны со спектром (4.2.9) возможны лишь в неизотермической плазме (Te^Ti) и в области длин волн 力2r2^《1. Спектр рассматриваемых колебаний представлен на рис. 6,а (нижняя кривая). Найденный спектр частот слабозатухающих колебаний существенно зависит от ионной компоненты плазмы, поэтому его часто называют ионной или низкочастотной ветвью продольных волн в плазме. Особо простой вид принимает спектр (4.2.9) в пределе йгпе<^1, когда он переходит в так называемый спектр ионно-звуковых колебаний:

(4.2.10)(4.2.10)炉=必22£ =統03м $

(4.2.10)

(4.2.10)

l + z/^傍厂.

(4.2.10)

Такие колебания неизотермической плазмы называют ионно-зву~ ковыми в силу аналогии спектра (4.2.10) со спектром обычных звуковых колебаний; жидкости с фазовой скоростью

v9^VzfjM.

Определим теперь, насколько велика должна быть неизотер- мичность, чтобы соблюдалось условие |6|《со・ Легко видеть, что для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы

—3££е

(辛)"久 2 吟《1, откуда при Z=1 получаем Те/Л>6.

В обратном же пределе коротких длин волн, когда 胪尸De》L но ^2r2Di<Cl, спектр (4.2.9) принимает вид

(4.2.11)(4.2.11)

(4.2.11)

(4.2.11)

Анализ декремента (4.2.11) показывает, что эти колебания являются слабозатухающими (на рис. 6,а им соответствует горизонтальный участок нижней кривой) в том случае, когда плазма сильно неизотермична. Физически появление в неизотермической плазме колебаний на ионной ленгмюровской частоте вполне естественно, поскольку в этих условиях быстро и свободно движущиеся электроны создают постоянный отрицательный пространственный заряд, на фоне которого возможны низкочастотные колебания ионов с частотой о)и (аналогично ленгмюровским колебаниям электронов на фоне положительного пространственного заряда ионов).

Область самых медленных низкочастотных продольных волн, для которых

з信V/厶 ％е・ (4.2.12)

В этой области частот, согласно (4.1.14), продольная диэлектрическая проницаемость плазмы имеет той же, как в статическом пределе, вид

~@,@^£1(0,也)=1+ 2 与=1+ ； ,(4.2.13)

a依曦 依小

где rD = I S —2~ 1—дебаевский радиус в случае невырожден

ной плазмы.

Это означает, что в этой области частот происходит экранирование продольного поля в плазме с радиусом экранирования, равным дебаевскому радиусу (см. также задачу 2.2).

Аналогичное экранирование имеет место и при ки^《е《 《也и% в области частот(о>(ои. В этом случае продольная диэлектрическая проницаемость (4.1.14) также не зависит от частоты, имеет вид (4.2.13) и приводит к радиусу экранирования Гэкр = Г|・ Это соответствует экранированию высокочастотного продольного поля в области частот sleV3Vo)Le・

Продольные колебания

бесстолкновительной вырожденной плазмы

Как отмечалось, электронная плазма металлов и электроннодырочная плазма полупроводников при низких температурах оказываются вырожденными. Исследуем характер колебаний такой плазмы. Дисперсионное уравнение для продольных колебаний изотропной вырожденной плазмы, согласно (2.4.6) и (4.1.18), записывается в виде

=0. (4.3.1)

=0.=0.(4.3.2)(4.3.2)(4.3.3)(4.3.3)(4.3.4)(4.3.4)Область быстрых волн, фазовая скорость которых много больше скоростей Ферми электронов и ионов (дырок), т. е.

=0.

=0.

(4.3.2)

(4.3.2)

(4.3.3)

(4.3.3)

(4.3.4)

(4.3.4)

3 加》。Fe, 0F3

При этом уравнение (4.3.1) принимает вид

gZ (со,团=1 ——~- ( 1 +

О)2\

Отсюда спектр частот колебаний

d =(о窘(1+ у А2

где r2De=3^2Fe/(o2Le. Этот спектр подобен спектру высокочастотных ленгмюровских колебаний невырожденной плазмы (4.2.5) н, так же как и последний, справедлив в пределе 庇2尸^《1.

Следует, однако, отметить существенное отличие электронных колебаний вырожденной плазмы от ленгмюровских колебаний невырожденной плазмы. Высокочастотные электронные колебания вырожденной плазмы в отсутствие столкновений частиц совершенно не затухают, в то время как ленгмюровские колебания не・ вырожденной плазмы хотя и экспоненциально слабо, но все-таки затухают и декремент их затухания определяется формулой 80

(4.2.6). Это объясняется особенностью распределения Ферми по скоростям. Дело в том, что в вырожденной плазме согласно распределению Ферми скорости хаотического движения электронов не могут превышать скорость Ферми, поэтому в поглощении волн с фазовой скоростью, большей скорости Ферми, электроны не участвуют.

Как следствие, электронные колебания в вырожденной плазме оказываются незатухающими вплоть до фазовых скоростей со/应一＞0Fe・ Действительно, в пределе 卜屮^》1 из уравнения (4.3.1) находим

6 = hUFe6 = hUFe22(4.3.5)(4.3.5)

6 = hUFe

6 = hUFe

2

2

(4.3.5)

(4.3.5)

Эти колебания известны под названием нулевого звука. Они представляют собой продолжение ленгмюровских волн (4.3.4) в коротковолновую область спектра (рис. 6, 6, верхняя ветвь).

Рассмотрим теперь продольные колебания в области промежуточных фазовых скоростей, когда Не《бТк《5е и уравнение (4.3.1) для вырожденной плазмы записывается в виде

3…諡3…諡(4.3.6)(4.3.6)

3…諡

3…諡

(4.3.6)

(4.3.6)

откуда находим спектр частот и декремент затухания колебаний:

炉=, 3= 一 匣工 m 丄. (4.3.7)

1+3脸/(依唸)4紋唸m Z

Здесь электроны плазмы принимают активное участие в поглощении колебаний, поскольку скорость их хаотического движения намного превышает фазовую скорость колебаний. Ионы же плазмы совершенно не поглощают такие колебания, поэтому декремент затухания полностью определяется электронным поглощением волн.

ионах(4.3.8)ионах(4.3.8)Рассмотренные низкочастотные колебания по аналогии с ионно-звуковыми колебаниями невырожденной плазмы со спектром (4.2.9) можно было бы назвать ионно-звуковыми колебаниями 8b广 рожденной плазмы, тем более что они возможны не только в полностью вырожденной плазме, в которой вырождены как электроны, так и ионы (дырки), но и в частично вырожденной плазме, когда ионы невырождены. Спектр частот (4.3.7) при этом не меняется, меняется лишь декремент затухания колебаний вследствие учета поглощения волн на максвелловски распределенных плазмы:

ионах

(4.3.8)

ионах

(4.3.8)

Следует отметить, что в вырожденной электронно-ионной плазме ионно-звуковые колебания простираются вплоть до фазовых скоростей со施f uf£・ Однако в отличие от (4.3.7) такие колебания возможны только в пределе 々UF,i》SL* и их спектр дается формулой

®= kvpt |1 + 2^1 —in -^- exp 1* ^^ —2)} . (4.3.9) Спектр низкочастотных продольных волн в вырожденной плазме показан на рис. 6, 6 (нижняя ветвь).

Наконец, в области самых низких частот @《々唯，阮fg в вырожденной плазме имеет место экранирование продольного поля, поскольку

из粉=i + s —^ = i+ ・из粉=i + s —^ = i+ ・(4.3.10)(4.3.10)

из粉=i + s —^ = i+ ・

из粉=i + s —^ = i+ ・

(4.3.10)

(4.3.10)

Здесь rD =[2 (3峭"％а)]Т/2— дебаевский радиус вырожденной а

плазмы, который определяет глубину экранирования низкочастотного поля в плазме.

Так же как и в невырожденной плазме, подобное экранирование в вырожденной плазме имеет место при UFt《s/a《UFe в области частот 々Le》。?》*;. Радиус экранирования, однако, при этом равен 小・

Поперечные волны в бесстолкновительной изотропной плазме

Перейдем к изучению спектров поперечных электромагнитных волн в однородной изотропной плазме, описываемых дисперсионным уравнением (2.4.6):

必—竺或(s,论) = 0.(4.4.1)

В случае невырожденной плазмы в это уравнение следует подставить выражение для поперечной диэлектрической проницаемости (4.1.14), в случае вырожденной плазмы— (4.1.18).

Как и в предыдущих параграфах, уравнение (4.4.1) проанализируем в противоположных пределах больших и малых фазовых скоростей волн (высоких и низких частот).

Области быстрых волн, когда со/论》ите для невырожденной плазмы и з/々》UFe для вырожденной плазмы. Уравнение (4.4.1) при подстановке выражений (4.1.14), (4.1.18) в этом пределе записывается приближенно в виде

炉一x1-汩

(4.4.2)

Отсюда получаем спектр высокочастотных поперечных волн в изотропной плазме, не зависящий от степени вырождения плазмы:

必^ 尼 2cа + д%. (4.4.3)

Ионными слагаемыми в этой области частот можно пренебречь и считать плазму чисто электронной. Кроме того, спектр частот поперечных волн, по существу, не зависит от теплового движения частиц плазмы, поскольку их фазовая скорость больше скорости света и намного шревышает скорость теплового хаотического движения заряженных частиц плазмы (напомним, что рассматривается нерелятивистская равновесная плазма). Следствием последнего является полное отсутствие поглощения таких волн частицами плазмы при пренебрежении столкновениями. Строго говоря, выражение (4.1.14) имеет отличную от нуля мнимую часть даже при фазовых скоростях, больших скорости света. Однако это является результатом неточности максвелловского распределения при скоростях частиц и 之 с и ее не следует учитывать. В вырожденной же плазме этой проблемы вообще не возникает.

Таким образом, быстрые высокочастотные поперечные волны 8 бесстолкновительной изотропной плазме являются незатухающими со спектром (4.4.3), графически представленным на рис. 7.

Область поперечных волн с малыми фазовыми скоростями, когда соС^Уте для невырожденной и з《加UFe для вырожденной плазмы. В этой области частот независимо от соотношения между фазовой скоростью волны и скоростью хаотического движения ионов вкладом ионных слагаемых в диэлектрическую проницаемость плазмы практически всегда можно пренебречь. При этом для невырожденной плазмы

1/ * (444)

Рис. 7. Спектр частот поперечных волн в изотропной плазмеРис. 7. Спектр частот поперечных волн в изотропной плазмеПодстановка этого выражения в (4.4.1) дает спектр

Рис. 7. Спектр частот поперечных волн в изотропной плазме

Рис. 7. Спектр частот поперечных волн в изотропной плазме

s=—i ]/ 彳胃%° . (4.4.5)

Отсюда видно, что частота поперечных колебаний является чисто мнимой. Это означает, что поперечные колебания в низкочастотной области апериодически затухают вследствие их сильного бесстолкновительного поглощения электронами плазмы. В

этой области частот их даже нельзя называть волнами. Поэтому чаще говорят о быстром поглощении низкочастотного поперечного поля в плазме, имея при этом в виду граничную задачу. Разрешив дисперсионное уравнение (4.4.5) относительно 々(со), находим пространственный масштаб затухания волн, или, как говорят, глубину проникновения Хск низкочастотного поперечного поля в плазму:

(4.4.6)(4.4.6)

(4.4.6)

(4.4.6)

Полученная глубина проникновения описывает глубину скини- рования (скин-эффект) поперечного поля в плазме, связанного с диссипацией энергии из-за черепковского поглощения. Из выражения для Хек следует, что в этом случае глубина проникновения 九ск〜3一丄/3 в отличие от обычной частотной зависимости 九ск~@т/2 — глубины скин-слоя, обусловленного столкновениями частиц (см. следующий параграф). В этой связи скин-эффект, обусловленный бесстолкновительным затуханием (поглощением) поперечных волн в плазме, называют аномальным.

Ясно, что аналогично скинируется низкочастотное поперечное поле в случае вырожденной плазмы, в которой

с"(叫 к) ^ 1 + iс"(叫 к) ^ 1 + i3几脸4o^Fe3几脸4o^Fe(4.4.7)(4.4.7)

с"(叫 к) ^ 1 + i

с"(叫 к) ^ 1 + i

3几脸4o^Fe

3几脸4o^Fe

(4.4.7)

(4.4.7)

.41依。2%。1.41依。2%。1Подстановка этого выражения в (4.4.1) приводит к спектру апе риодически затухающих волн:

.41依。2%。

1

.41依。2%。

1

(4.4.8)(4.4.8)(0 =—・

(4.4.8)

(4.4.8)

Отсюда получаем глубину проникновения низкочастотного поля в вырожденную плазму:

Как и следовало ожидать, формулы (4.4.7) — (4.4.9) по существу отличаются от (4.4.4) — (4.4.^} заменой vTe на ^Fe・

Из выражений (4.4.6) и (4.4.9)'для глубины скин-слоя следует, что в бесстолкновительной плазме при со->0 величина Хск->оо, т. е. низкочастотное поперечное поле, проникает в плазму сколь угодно глубоко. В этой связи напомним, что, как было показано, продольное поле в статическом пределе (sfO) экранируется, причем глубина проникновения электростатического поля в плазму определяется дебаевским радиусом

Диэлектрическая проницаемость

и спектры колебаний слабоионизованной плазмы с учетом столкновений частиц

До сих пор рассматривались колебания и волны в плазме при условии полного пренебрежения столкновениями частиц. Их учет позволит, во-первых, определить границы применимости приближения бесстолкновительной плазмы, т. е. пределы применимости полученных ранее формул. Во-вторых, это означает учет обычных столкновительных механизмов диссипации энергии в плазме, таких, как трение (т. е. передача импульсов от одних частиц к другим), теплопроводность, диффузия и вязкость. Наконец, только при учете столкновений частиц можно оправдать выбор равновесной стационарной функции распределения заряженных частиц в плазме в виде термодинамически равновесного распределения Максвелла либо распределения Ферми.

Анализ диэлектрической проницаемости плазмы с учетом столкгГовений частиц начнем со слабоионизованной невырожденной плазмы, когда интеграл упругих столкновений в кинетическом уравнении для заряженных частиц можно аппроксимировать модельным интегралом БГК (3.5.2), а столкновениями заряженных частиц между собой — пренебречь. Простота анализа диэлектрической проницаемости такой плазмы облегчит в дальнейшем анализ более сложного случая полностью ионизованной плазмы.

Кинетическое уравнение для заряженных частиц сорта а в слабоионизованной плазме с модельным интегралом столкновений БГК записывают в виде (см. § 3.5)

替 + V 學 + % {Е+ [vB]}叁=盛一 Na a J (4.5.1)

где van — частота столкновений заряженных частиц с нейтральными, которая в этой модели считается постоянной величиной, а

Mz= Jdpfa，

(25/如产2，aL加 j.(25/如产2，aL加 j..(4.5.2).(4.5.2)

(25/如产2，aL加 j.

(25/如产2，aL加 j.

.(4.5.2)

.(4.5.2)

Напомним, что индекс a (a=e, i) относится к заряженным частицам, а п — к нейтральным. В дальнейшем для простоты рассмотрим изотермическую модель интеграла БГК, т. е. пренебрежем изменением температуры заряженных частиц при изменениях их функции распределения . Кроме того, будем считать, что массы нейтральных частиц и ионов, а также их температуры совпадают: Шг=Мп=М,北=7似 При этом с точностью до членов порядка 〜т/М имеем Теп = Те. Таким образом, в формулах

можно полагать ТаП^Та, а функцию Ф^п — совпадающей с максвелловской функцией распределения, нормированной на единицу:

ФаЛ = 5e-ma以/(2%)・(4.5.3)

В стационарном равновесном состоянии в отсутствие внешних полей уравнение (4.5.1) допускает лишь единственное решение в виде функции распределения Максвелла, нормированной на равновесную плотность частиц сорта а, т. е. Моа：

/оа = %0а ①а〃・

Рассматривая далее малое возмущение функции распределения 6fa，вызванное появлением малых полей Е и В, из уравнения (4.5.1) после его линеаризаций получим

醬 + V 警 + % Е * = -(3 fa- J dp 6 % ①а) (4-5.4)

Решение этого линейного кинетического уравнения для плоских монохроматических волн (Е, 6〃~ехр(—i(o/ + ikr]) можно записать в виде

% (vE) "avan "a『oa

1- 1

,8 + i V…—kv s + i 一 kv i a * ал' an

W M=； J dpbfa

(4.5.5)(4.5.5)(4.5.6)(4.5.6)—возмущение плотности частиц, нормированное на равновесное значение плотности.

(4.5.5)

(4.5.5)

(4.5.6)

(4.5.6)

%= 7Т^ Ja^^Jd₽V^a.%= 7Т^ Ja^^Jd₽V^a.(4.5.7)(4.5.7)Величину Па 』егко определить, интегрируя выражение (4.5.5) по импульсу либо используя уравнение непрерывности для частиц сорта а:

%= 7Т^ Ja^^Jd₽V^a.

%= 7Т^ Ja^^Jd₽V^a.

(4.5.7)

(4.5.7)

Подставляя (4.5.5) в формулу (4.5.7), легко определить плотность тока jq. Произведя расчеты, аналогичные проведенным в § 4.1, окончательно получим для продольной и поперечной диэлектрических проницаемостей

^г ((о, ^) = 1 — у^г ((о, ^) = 1 — уs佃十%)s佃十%)8Z ((о, ^)=1+ S a

^г ((о, ^) = 1 — у

^г ((о, ^) = 1 — у

s佃十%)

s佃十%)

где суммирование распространяется только по заряженным частицам плазмы.

Переходя к исследованию спектров колебаний изотропной плазмы с учетом столкновений частиц, прежде всего заметим, что в статическом пределе (сот0) в столкновительной плазме, так же как и в бесстолкновительной, продольная диэлектрическая проницаемость имеет вид [ср. с (4.2.13)]

в"(0,舟=1+ W 導= (4.5.9) a依da 犀小

что приводит к дебаевскому экранированию статического продольного поля в плазме. Таким образом, столкновения частиц не влияют явно на поведение электростатистического поля в плазме.

Иное положение имеет место в высокочастотной области, когда s》^0Ta，va n. При полном пренебрежении столкновениями частиц по отношению к продольным колебаниям плазму можно считать чисто электронной; как было показано в § 4.2, ионными слагаемыми в этой области можно пренебречь. Это положение сохраняется и при учете столкновений частиц, но уравнение (4.2.3) несколько меняется:

献@，厶)=1-*(1 + 3字)+

©*

В этом уравнении имеется два мнимых члена. Первый из них обусловлен бесстолкновительным черенковским поглощением волн в плазме, а второй имеет чисто столкновительную природу и описывает диссипацию энергии поля в плазме благодаря передаче импульса электрона нейтральной частице при столкновениях (электронное трение). Таким образом, в высокочастотном пределе бесстолкновительный и столкновительный механизмы диссипации дают аддитивный вклад в дисперсионное уравнение для продольных колебаний плазмы; недиссипативная же часть уравнения не меняется. В результате спектр частот продольных колебаний (4.2.5) остается без изменения, а в выражении для декремента затухания (4.2.6) появляется столкновительная поправка

Д6 = — Ven/2,(4.5.11)

которая может быть больше бесстолкновительного затухания Ландау, особенно в области длинных волн, когда

з R ]

(4.5.12)

В противоположном случае, т. е. для коротких волн, столкно- вительное затухание пренебрежимо мало по сравнению с бесстолкновительным затуханием Ландау.

Кроме высокочастотных продольных колебаний, как было показано в § 4.2, в изотропной бесстолкновительной плазме возможны также низкочастотные (медленные), так называемые ионно-звуковые колебания. Они существуют лишь в сильно неизотермической плазме, в которой Те》П； фазовая скорость этих коле- ?ани访 лежит в пределах ит»《а)/^《ите・ Очевидно, что такие коле- 6ани51 должны существовать и в столкновительной плазме, если столкновения частиц достаточно редки. Действительно, при ^^^гп и |s + i vj《々^те в указанной области фазовых скоростей из выражения (4.5.8) получаем

Зто уравнение отличается от (4.2.8) последнием слагаемым, учитывающим столкновения ионов с нейтральными частицами (ионное трение), что приводит к столкновительной поправке к Декременту затухания ионно-звуковых волн (4.2.9):

А6 = —v^/2.(4.5.14)

Следует обратить внимание на то, что в рассматриваемой об- "асти частот столкновения электронов не дают вклада в дисси- “ацию продольных колебаний в плазме. Это является следствием неравенства Уе《^°те, согласно которому длина волны намного меньше длины свободного пробега электронов и, как результат, отбор энергии поля электронами происходит значительно интенсивнее из-за черенковского механизма поглощения.

Наконец, рассмотрим влияние столкновений частиц на харак- распространения поперечных электромагнитных волн в сла- ооионизованной плазме. В предыдущем параграфе было показа- что высокочастотные поперечные волны со спектром (4.4.5), обладающие фазовой скоростью, большей скорости света, в бесстолкновительном пределе вообще не поглощаются в плазме. При уиете редких столкновений частиц, когда co>ven и поперечная диэлектрическая пронвдаемость принимает вид

(4.5.15)электронным(4.5.15)электронным£〃®,田=1 —

(4.5.15)

электронным

(4.5.15)

электронным

появляется затухание таких волн, обусловленное трением, причем декремент их затухания

§ — Ven

2脸+依e2

В области же низких частот (малых фазовых скоростей) уже в бесстолкновительной плазме поперечные волны оказываются сильнозатухающими. Поэтому очевидно, что учет столкновений в этой области не может привести к появлению слабозатухающих собственных волн.

Не представляет большого труда исследовать спектры колебаний слабоионизованной вырожденной плазмы, столкновения частиц в которой описываются модельным интегралом (3.5.6). Линеаризованное по малым возмущениям кинетическое уравнение при этом записывается так [ср. с. (4.5.4)]:

今 + V 警 + % (Ev)禦=-% 卜九 + у 孤а ^^) •(4517)

Отсюда для решений вида 6fa~exp(——i o^+i kr) имеем

，6fa =，6fa =• (4.5.18)• (4.5.18).%(EV)警 z % 存岩 Fa %

，6fa =

，6fa =

• (4.5.18)

• (4.5.18)

®+ i van —kv1 ~зw + i van —kv

Учтем теперь, что, согласно (4.5.7),

ja=% Jdpv6fa・ja=% Jdpv6fa・

ja=% Jdpv6fa・

ja=% Jdpv6fa・

Дальнейшие вычисления аналогичны проведенным выше и окончательно приводят к следующим выражениям для продольной и поперечной диэлектрических проницаемостей слабоионизованной вырожденной плазмы:

InInхх8/侬，粉=1+ S a8/侬，粉=1+ S a2初 Fa，2初 Fa，1 ①4n s+i%n +加 Fa1 ①4n s+i%n +加 Fa\ -1\ -1XX叫①，后)=1- £ a叫①，后)=1- £ a2s®+i%n)2s®+i%n)MT*MT*1 +1 +一总Fa //(①+"2一总Fa //(①+"2co + i VIn -工 a.co + i VIn -工 a.依*a +历Fa依*a +历Fa①+%-阮Fa①+%-阮Fa(4.5.19)(4.5.19)-1 X-1 X

In

In

х

х

8/侬，粉=1+ S a

8/侬，粉=1+ S a

2初 Fa，

2初 Fa，

1 ①4n s+i%n +加 Fa

1 ①4n s+i%n +加 Fa

\ -1

\ -1

X

X

叫①，后)=1- £ a

叫①，后)=1- £ a

2s®+i%n)

2s®+i%n)

MT*

MT*

1 +

1 +

一总Fa /

/(①+"2

一总Fa /

/(①+"2

co + i V

In -工 a.

co + i V

In -工 a.

依*a +历Fa

依*a +历Fa

①+%-阮Fa

①+%-阮Fa

(4.5.19)

(4.5.19)

-1 X

-1 X

Проанализируем спектры слабоионизованной вырожденной плазмы лишь в высокочастотном пределе, когда |co + i van| 3> 》auFa и пространственной дисперсией тензора диэлектрической проницаемости можно полностью пренебречь:

и ®)=以「®) = 1^—・(4.5.20)

(0(3 十 1 ven)

Эти выражения приводят к таким же поправкам к декрементам затухания продольных и поперечных волн, какие были получены в случае слабоионизованной невырожденной плазмы [см. (4.5.11) и (4,5.16)]. В вырожденной плазме, однако, эти колебания (как продольные, так и поперечные) в бесстолкновительном пределе не затухают, а спектр частот определяется формулами (4.3.4) и (4.4.3) соответственно для продольных и поперечных колебаний. Легко показать, что поправка (4.5.14) возникает и для декремента затухания ионно-звуковых волн, спектр колебаний которых в бесстолкновительном пределе определяется формулой (4.3.7).

§ 4.6. Диэлектрическая проницаемость и спектры колебаний полностью ионизованной плазмы с учетом столкновений частиц

Рассмотрим полностью ионизованную плазму, в которой преобладают столкновения заряженных частиц между собой. Анализ спектров колебаний начнем с невырожденной плазмы, функции распределения заряженных частиц в которой являются функциями распределения Максвелла с разными температурами электронной и ионной компонент. Для описания столкновений частиц в такой плазме будем пользоваться интегралом столкновений Ландау, записав кинетическое уравнение для частиц сорта а в виде (3.4.7):

/鑫心学|(喷тё啥],(4.6.1)

где /学=^?吃修^^11M l，a u=va-v3.

Функции распределения Максвелла с разными температурами Те и Ti не являются4 решениями уравнений (4.6.1) в стационарном и однородном случае в отсутствие внешних полей. Однако время выравнивания температур электронов и ионов порядка —v~^ , поэтому если интересоваться процессами, протекающими быстрее этого времени, то состояние плазмы с максвелловскими распределениями заряженных частицлоскоростим можно считать квазистационарным и приближенно удовлетворяющим равновесию.

При небольшом отклонении от равновесия под действием малых полей Е и В функция распределения частиц получит малое прира- 90

щение 6fa，уравнение для которого получаются из (4.6.1) путем линеаризации:

警+ V*+%E*飞訖 Jdp°穹(Ра，р°)Х

—ЗЛс(Ра)—ЗЛс(Ра)Х［訝6加+診几（Pl%嗡-

—ЗЛс(Ра)

—ЗЛс(Ра)

(4.6.2)

Решить это уравнение, точнее, систему уравнений для электронов и ионов, которые даже после линеаризации остаются интегральными с довольно сложным ядром, в общем случае не удается. Поэтому не удается получить и выражение для тензора диэлектрической проницаемости полностью ионизованной плазмы в произвольной области частот о и волновых векторов к, как это было сделано в предыдущем параграфе для слабоионизованной плазмы. Но те области шик, в которых можно решить уравнение (4・6・2)'и получить аналитическое выражение для £订(8,々),достаточно широки и охватывают практически все наиболее интересные случаи.

В области высоких частот 3》山& либо коротких длин волн 々ита》"а интегралом столкновений в уравнении (4.6.1) в нулевом приближении можно пренебречь и записать его решение в виде (4.1.6):

§£))= _亠(4.6.3)

о — kv

[зависимость всех возмущенных величин, как обычно, принимаем в виде плоской монохроматической волны ехр(—iof+ikr)].

В первом приближении находим поправку от столкновений частиц данного сорта со всеми частицами (в том числе и с частицами этого же сорта):

瞅』士 W訂『dPs穹(PaP°)宸喊(Р°) +

+ 觴(Рб)缪一兀(Ра)等一瞅)(Ра)譽].(4-6.4)

Формула (4.6.3) приводит к известному выражению для тензора диэлектрической проницаемости бесстолкновительной плазмы, полученному в § 4.1, соотношение же (4.6.4) дает поправку к плотности индуцированного заряда и тока в плазме, а следовательно, к бесстолкновительному тензору диэлектрической проницаемости. В условиях, когда s, \4《々％« Для a=i, е, этой поправ-

91

кой, однако, можно пренебречь, поскольку длина волны намного меньше длины свободного пробега частиц и столкновительные процессы, как диссипативные, так и недиссипативные, мало существенны.

В обратном пределе высоких частот, когда со》”® &ута，столк・ новения играют важную роль и их учет становится необходимым, особенно при вычислении диссипативной части тензора диэлектрической проницаемости, так как в отсутствие столкновений при фазовых скоростях волн, больших тепловых скоростей частиц, бесстолкновительная диссипация экспоненциально мала. Довольно громоздкие, но по идее простые вычисления дают следующие поправки к бесстолкновительной диэлектрической проницаемости: при 3》Ve, kVTe■

(4.6.5)(4.6.6)(4.6.7)(4.6.5)(4.6.6)(4.6.7)3d (й), k) = б£〃左)=i ①，(О3

(4.6.5)

(4.6.6)

(4.6.7)

(4.6.5)

(4.6.6)

(4.6.7)

при CO》Vf, kVTi, НО 3, Ve《^UTe

q i®,田=0

5co®

В этих выражениях

v =1 决 d_]dM

%ФФ= 6 冗*"就 */212 冗* "麺

Полученные поправки позволяют учесть столкновительное затухание волн, спектры которых в бесстолкновительном пределе были исследованы в § 4.2 и 4.4. Так, для высокочастотных продольных колебаний со спектроц частот (4.2.5) в полностью ионизованной плазме учет электрон-ионных столкновений приводит к поправке к декременту затухания (4.2.6)

Аб = —д?эфф/2,(4.6.8)

которая подобна поправке (4.5.11), учитывающей столкновения электронов с нейтральными частицами. Поэтому, принимая во внимание аддитивность диссипативных эффектов в затухании волн, можно несколько подробнее расшифровать понятие полностью ионизованной плазмы. Очевидно, что при условии

1Vэфф》”е?г(4.6.9)

преобладающими являются столкновения электронов с ионами и плазму можно считать полностью ионизованной по отношению к высокочастотным плазменным колебаниям; в противном случае плазму следует считать слабоионизованной. Заметим, что в реальной плазме неравенство (4.6.9) выполняется уже при степени ионизации NelNn 2 10-3-М0-2.

Несколько иное положение имеет место для ионно-звуковых волн, представляющих собой низкочастотную ветвь продольных 92

колебаний неизотермической плазмы с Те》7\・ Учет столкновений ионов с ионами, что в данном случае означает учет высокочастотной ионной вязкости, приводит к следующей поправке к бесстолкновительному декременту затухания (4.2.9):

4Д6=4Д6=V炉依曉(О2V炉依曉(О2(4.6.10)(4.6.10)

4

Д6=

4

Д6=

V炉依曉(О2

V炉依曉(О2

(4.6.10)

(4.6.10)

Сравнение этой поправки с поправкой (4.5.14), полученной для слабоионизованной плазмы при учете столкновений ионов с нейтральными частицами, позволяет сделать вывод о том, что по отношению к ионно'Звуковьш колебаниям плазму можно считать полностью ионизованной, если

展— vf?—》Wn,(4.6.11)

и слабоионизованной 6 обратном пределе. В реальной плазме это условие выполняется при степени ионизации 及拙九之 10-14-1.

Наконец, столкновительная поправка к поперечной диэлектрической проницаемости полностью ионизованной плазмы (4.6.5) определяет декремент затухания высокочастотных поперечных волн со спектром (4.4.5), являющихся незатухающими в бесстолкновительном пределе:

6 = — W_ —^——・(4.6.12)

^ + k^^

Из сравнения этого выражения с декрементом затухания поперечных волн в слабоионизованной плазме (4.5.16) следует, что по отношению к высокочастотным поперечным волнам, так же как и к плазменным колебаниям, плазму можно считать полностью ионизованной при выполнении неравенства (4.6.9) и слабоионизованной в обратном случае.

В заключение рассмотрим влияние столкновений частиц на спектры колебаний полностью ионизованной вырожденной плазмы^ причем ограничимся наиболее интересным случаем, когда электроны вырождены, а ионы нет. Кроме того, исследуем влияние столкновений лишь на высокочастотные волны в условиях со》Уе, kvF в, которые при пренебрежении столкновениями частиц вообще не поглощаются, так как обладают фазовой скоростью, большей скорости света. В этих условиях основной вклад дают столкновения электронов с ионами, причем расчет поправки к бесстолкновительной диэлектрической проницаемости подобен проведенному выше с трй лишь разницей, что в интеграле столкновений учитывается вырождение, и он имеет вид (3.4.9). Опуская здесь подробности вычислений, приведем окончательный ответ [ср. с (4.6.5)]:

бУ ®,々)=бе"(①，粉=iбУ ®,々)=бе"(①，粉=i(О3(О36)Le 1VFe

бУ ®,々)=бе"(①，粉=i

бУ ®,々)=бе"(①，粉=i

(О3

(О3

гдегде1 或磋％"2 * У2лт圖21 或磋％"2 * У2лт圖2(4.6.14)(4.6.14)

где

где

1 或磋％"

2 * У2лт圖2

1 或磋％"

2 * У2лт圖2

(4.6.14)

(4.6.14)

Поправки (4.6.13) приводят к появлению столкновительных поправок к декрементам затухания высокочастотных продольных и поперечных волн соответственно [ср. с (4.6.8) и (4.6.12)]:

A3』一争，Аб"A3』一争，Аб"22脸说ё +0度,脸说ё +0度,(4.6.15)(4.6.15)

A3』一争，Аб"

A3』一争，Аб"

2

2

脸

说ё +0度,

脸

说ё +0度,

(4.6.15)

(4.6.15)

Задачи к гл. 4

Задача 4Л. Исходя из модели независимых частиц, вывести 'выражение для высокочастотной диэлектрической проницаемости изотропной плазмы и вычислить среднюю силу, действующую на изотропную плазму в СВЧ-поле.

Решение. Линеаризованную систему уравнений дина'мики изотропной (в отсутствие внешнего магнитного поля) плазмы в модели независимых частиц записывают в виде (V® ^a'^^oa+^a, Е)

警_ + div ^oaVa = O;警_ + div ^oaVa = O;(1)(1)叫 %叫 %а’ таа’ таЕ,Е,

警_ + div ^oaVa = O;

警_ + div ^oaVa = O;

(1)

(1)

叫 %

叫 %

а’ та

а’ та

Е,

Е,

где a=i, е. Отсюда для возмущений вида е-®* находим

V^ = —^―.(2)

При этом плотность индуцированного тока в плазме

Отсюда получаем искомое выражение для диэлектрической проницаемости:

电 j (s) = 1 —电 j (s) = 1 —?喲必=（」明6“.?喲必=（」明6“.

电 j (s) = 1 —

电 j (s) = 1 —

?喲必=（」明6“.

?喲必=（」明6“.

Это выражение представляет собой предел (4.1.17) при Та->0, т. е. в пределе «холодной плазмы».

Для средней силы, действующей на единичный объем плазмы в СВЧ-поле, согласно (2.3.25) получаем

Fy =Fy =5冲.mo25冲.mo2

Fy =

Fy =

5冲.mo2

5冲.mo2

Сила эта «выталкивает» плазму из области сильного поля.

Задача 4,2. На основе уравнений одножидкостной гидродинамики (3.6.21) исследовать малые колебания изотропной неизотермической плазмы.

(1)(1)Решен ие. Линеаризованную систему уравнений (3.6.21) для изотропной пл-азмы записывают следующим образом (рм->ром+р1, V):

(1)

(1)

Отсюда находим для возмущений вида ехр (—iot+ikr) систему однородных алгебраических уравнений

sPomV—и28kpi=0, <opi—poMkV=O,⑵

условие разрешимости которой и представляет собой дисперсионное уравнение малых колебаний. Это условие имеет вид

G)2=^2 吟(3)

>и совпадает с дисперсионным уравнением для определения спектра частот длинноволновых ионно-звуковых колебаний неизотермической плазмы (3.2.10).

Задача 4.3・ Исследовать затухание высокочастотных ленгмюровских колеба* ний невырожденной изотропной бесстолкновительной электронной плазмы 8 пределе коротких длин волн:呼г% >1・

Решение. Используя асимптотику функции /+(%) в условиях |х|》1 и |Imx| >|-Rex|; Imx<0, из (3.21) получаем дисперсионное уравнение

+ i V^F ехр / — °=0,(1)

решение которого будем и(жать в виде

(о=—ikvr 詫・(2)

Тогда |Reg|>|Im|| и

央总е + Т/而占&'" = ()•®

Разбив это уравнение на действительную и мнимую части: g=g+iE〃, получим

Т/而『е「/2 cos (『Y) + У^Г 丁 е"/2 sin Н 丁)+ " Те = 0,(4)

Г cos (54") + Г sin &『) = 0・

Из второго уравнения (4) следует, что Е‘>0 и 占〃>0, причем tg(E乍")f т—守曰т—0. Тангенс отрицателен во второй и четвертой четвертях и стремится к нулю, когда его аргумент близок либо к л, либо к 2л. Исходным предположениям соответствует первое значение аргумента, т. е. Е乍〃=п—а при а-Ч).

л-а

При этом tg『E"=tg(ji—а)*—а, т. е. W阳=а, а следовательно, |,2==>

а

->4-оо и cosg'E〃=—1. Учитывая сказаииое, из первого уравнения (4) окончательно получаем

Т/而『&”/2 =依小е；f q /21n (火吊 j》1 •(5)

Таким образом, колебания являются сильнозатухающими с декрементом затухания

6 = Im(0 =—亙tе ]/21n (也2+6).(6)

Величину Res легко найти, используя соотношение 三〃=几店'.Тогда полный спектр сильнозатухающих коротковолновых продольных колебаний

⑺⑺詐=7二二二-i/ln (依小J. 铀，/1П(^)

⑺

⑺

Отсюда видно, что Ima/k^vT е, но Re(o/^《UTe, поэтому основная масса электронов принимает участие в черенковском поглощении волны. Этим >и объясняется сильное затухание таких коротковолновых продольных колебаний.

Задача 4.4. Исходя из кинетического уравнения Ландау, получить выражения для продольной и поперечной диэлектрических проницаемостей изотроп-

ной полностью ионизованной невырожденной плазмы в условиях частых столкновений, когда V&》①，^^та, а=е,厶Решение. В этих условиях основной вклад в индуцированный ток дают электроны, поэтому достаточно решить уравнение для электронной функции распределения, считая ионы невозмущенными. Линеаризаваяное уравнение для электронной функции распределения при этом записывают в видееЕ = N^ 7fy (р)J dp"普(р, р) Xdp dpt / Opj dpi J /X嗡隈(pЭ +醬Zoe (Pie (P)器二院(p)翡].ной полностью ионизованной невырожденной плазмы в условиях частых столкновений, когда V&》①，^^та, а=е,厶Решение. В этих условиях основной вклад в индуцированный ток дают электроны, поэтому достаточно решить уравнение для электронной функции распределения, считая ионы невозмущенными. Линеаризаваяное уравнение для электронной функции распределения при этом записывают в видееЕ = N^ 7fy (р)J dp"普(р, р) Xdp dpt / Opj dpi J /X嗡隈(pЭ +醬Zoe (Pie (P)器二院(p)翡].Решать это уравнение удобно методом Чепмена—Энскога, разлагая по полиномам Сонина. Ограничиваясь двумя членами разложения, имеемРешать это уравнение удобно методом Чепмена—Энскога, разлагая по полиномам Сонина. Ограничиваясь двумя членами разложения, имеем熊(p)= ^ [°。+ a1 ( "I■一 方)]%e.熊(p)= ^ [°。+ a1 ( "I■一 方)]%e.⑵⑵Подставляя (2) в (1), домножая (1) на полиномы 1 иПодставляя (2) в (1), домножая (1) на полиномы 1 иииинтегрируя по импульсу, получаем систему двух уравнений для определения коэфф/ициентав 1разложения а。и аь Для ллазмы с однозарядными ионами е^ = = |е] этой системой являетсяе£/, 3\元=-Vэфф^о +彳а)；А + 13 + 4J/22 °十 4интегрируя по импульсу, получаем систему двух уравнений для определения коэфф/ициентав 1разложения а。и аь Для ллазмы с однозарядными ионами е^ = = |е] этой системой являетсяе£/, 3\元=-Vэфф^о +彳а)；А + 13 + 4J/22 °十 4@1 = 0.@1 = 0.⑶⑶ОтсюдаОтсюда13+ 41/芽“，13+ 41/芽“，332十2 "|/ 2”аф® Т &2十2 "|/ 2”аф® Т &Теперь 出(2) можно найти плотность индуцированного в плазме ронного тока:Теперь 出(2) можно найти плотность индуцированного в плазме ронного тока:элект-элект-j Q jg= 1,96Е.^^эффДля диэлектрической проницаемости плазмы окончательно имеемj Q jg= 1,96Е.^^эффДля диэлектрической проницаемости плазмы окончательно имеем/ =曾=1 千 i 1,96/ =曾=1 千 i 1,96<ОМэф 巾<ОМэф 巾

ной полностью ионизованной невырожденной плазмы в условиях частых столкновений, когда V&》①，^^та, а=е,厶

Решение. В этих условиях основной вклад в индуцированный ток дают электроны, поэтому достаточно решить уравнение для электронной функции распределения, считая ионы невозмущенными. Линеаризаваяное уравнение для электронной функции распределения при этом записывают в виде

еЕ = N^ 7fy (р)J dp"普(р, р) X

dp dpt / Opj dpi J /

X嗡隈(pЭ +醬Zoe (Pie (P)器二院(p)翡].

ной полностью ионизованной невырожденной плазмы в условиях частых столкновений, когда V&》①，^^та, а=е,厶

Решение. В этих условиях основной вклад в индуцированный ток дают электроны, поэтому достаточно решить уравнение для электронной функции распределения, считая ионы невозмущенными. Линеаризаваяное уравнение для электронной функции распределения при этом записывают в виде

еЕ = N^ 7fy (р)J dp"普(р, р) X

dp dpt / Opj dpi J /

X嗡隈(pЭ +醬Zoe (Pie (P)器二院(p)翡].

Решать это уравнение удобно методом Чепмена—Энскога, разлагая по полиномам Сонина. Ограничиваясь двумя членами разложения, имеем

Решать это уравнение удобно методом Чепмена—Энскога, разлагая по полиномам Сонина. Ограничиваясь двумя членами разложения, имеем

熊(p)= ^ [°。+ a1 ( "I■一 方)]%e.

熊(p)= ^ [°。+ a1 ( "I■一 方)]%e.

⑵

⑵

Подставляя (2) в (1), домножая (1) на полиномы 1 и

Подставляя (2) в (1), домножая (1) на полиномы 1 и

и

и

интегрируя по импульсу, получаем систему двух уравнений для определения коэфф/ициентав 1разложения а。и аь Для ллазмы с однозарядными ионами е^ = = |е] этой системой является

е£/, 3\

元=-Vэфф^о +彳а)；

А + 13 + 4J/2

2 °十 4

интегрируя по импульсу, получаем систему двух уравнений для определения коэфф/ициентав 1разложения а。и аь Для ллазмы с однозарядными ионами е^ = = |е] этой системой является

е£/, 3\

元=-Vэфф^о +彳а)；

А + 13 + 4J/2

2 °十 4

@1 = 0.

@1 = 0.

⑶

⑶

Отсюда

Отсюда

13+ 41/芽“，

13+ 41/芽“，

3

3

2十2 "|/ 2”аф® Т &

2十2 "|/ 2”аф® Т &

Теперь 出(2) можно найти плотность индуцированного в плазме ронного тока:

Теперь 出(2) можно найти плотность индуцированного в плазме ронного тока:

элект-

элект-

j Q jg= 1,96Е.^^эфф

Для диэлектрической проницаемости плазмы окончательно имеем

j Q jg= 1,96Е.^^эфф

Для диэлектрической проницаемости плазмы окончательно имеем

/ =曾=1 千 i 1,96

/ =曾=1 千 i 1,96

<ОМэф 巾

<ОМэф 巾

Строго говоря, выражение (6) пригодно лишь в условиях(оуэфф>^2у2т е. В противном случае в левой части уравнения (1) необходимо учитывать малые члены с пространственной и временной производными. Анализ показывает, однако, что такие члены существенны лишь при вычислении продольной диэлектрической проницаемости. В поперечную диэлектрическую проницаемость они вклада не дают.

Задача 4.5. Исследовать характер проникновения поперечного поля 8 плазму 8 зависимости от частоты(о.

Решение. Характер проникновения поперечного поля определяется корнями 力(о) дисперсионного уравнения

Глубйна проникновения поля

M= Im А (о)

Проанализируем уравнение (1) в различных областях частот.

В области s》Ve, kv0 (ve ——частота столкновений электронов, 口。— средняя скорость их хаотического движения; v0=vT е для невырожденной плазмы и Uo=^f е для вырожденной плазмы) имеем

1 —- 1 —(0

Здесь Ve=Ven для слабоионизованной невырожденной >и вырожденной плазмы, ve^Vэфф для полностью ионизованной невырожденной плазмы и ve=vp е для вырожденной плазмы.Из (1) при подстановке (3) получаем2с dЗдесь Ve=Ven для слабоионизованной невырожденной >и вырожденной плазмы, ve^Vэфф для полностью ионизованной невырожденной плазмы и ve=vp е для вырожденной плазмы.Из (1) при подстановке (3) получаем2с d入СК =入СК =F—при(0》(0Le,F—при(0》(0Le,с%瓯 ПpИ也"7《8《唯с%瓯 ПpИ也"7《8《唯⑷⑷

Здесь Ve=Ven для слабоионизованной невырожденной >и вырожденной плазмы, ve^Vэфф для полностью ионизованной невырожденной плазмы и ve=vp е для вырожденной плазмы.

Из (1) при подстановке (3) получаем

2с d

Здесь Ve=Ven для слабоионизованной невырожденной >и вырожденной плазмы, ve^Vэфф для полностью ионизованной невырожденной плазмы и ve=vp е для вырожденной плазмы.

Из (1) при подстановке (3) получаем

2с d

入СК =

入СК =

F—при(0》(0Le,

F—при(0》(0Le,

с%

瓯 ПpИ也"7《8《唯

с%

瓯 ПpИ也"7《8《唯

⑷

⑷

В области ^иоХо, ve имеем

8” = 1 + i а8” = 1 + i а唸唸

8” = 1 + i а

8” = 1 + i а

唸

唸

Здесь a=V^^ для невырожденной и а= (Зя)/4 для вырожденной плазмы. В этой области частот из (1) получаем

При (0*《S《(0Le

乌

1/з

где (0*=Ve3C2/((0L eV20).

Таким образом, область существования решения (6), соответствующего аномальному ския-эффекту, дается неравенством We《"sLe・ Аномальный скин-эффект возможен только в области частот(о>(о* независимо от соотношения ве

личин о и v#«

в) В области Ve》4% имеем

说е

/' = 1 + i а]•

叫

Здесь ai = l для слабоионизованной и «1=1,96 для полностью ионизованной плазмы. В результате

入ск =

2”"

网脸s

при S《(0*, Ve.

Таким образом, решение (8), соответствующее нормальному скин-эффекту, существует в области частот ш<С(о* независимо от соотношения величин(о* и ve.

(7)

(8)

Рис. 8. Зависимость глубины проникновения поперечного поля в плазму от частоты

4」953

97

Результаты проведенного анализа представлены яа рис. 8.

Задача 4.6. Вывести выражение для диэлектрической проницаемости ульт» рарелятивистской невырожденной (Те^тс2) электронной плазмы и иссле» довать спектры высокочастотных волн.

Решение. Поскольку энергия ультрарелятивистских частиц 冒=0", функ* ция распределения электронов в такой плазме имеет вид

%е S)=囂 U ) е-ср/.(1)

ОЛ \ /е /

Скорость электронов при этом равна скорости света: и= — =с, н в этом смысле фунюция распределения (1) подобна распределению Ферми. Подставляя функцию распределения (1) в (4.1,13), получаем

/{Tm署卜 ⑵

4(04 Te 80 I ck / ①

По своей структуре эти выражения схожи с (4.1.18). Из них непосредственно следует, что при(о/^>с мнимые части е" и &什 равны нулю и поглощение воля в плазме отсутствует. Спектры частот колебаний при этом определяются соотношениями

e^Nec^8q 3 Теe^Nec^8q 3 Теоопри (0》或;при (0》或;開 Nee22£q Ге開 Nee22£q Геm依m依При 9f chПри 9f ch

e^Nec^8q 3 Те

e^Nec^8q 3 Те

о

о

при (0》或;

при (0》或;

開 Nee2

2£q Ге

開 Nee2

2£q Ге

m依

m依

При 9f ch

При 9f ch

для поперечных волн, >и

С丿Юа = & NeC • + m d 依 при CO》成；

=成［中映（一2一书詐才=成［中映（一2一书詐才3 £0те 5

=成［中映（一2一书詐才

=成［中映（一2一书詐才

при G)f 庶

для продольных волн.

В области малых фазовых скоростей (низких частот), когда 0 Vhe, мнимые части 81 и е'т велики и поле в плазме сильно поглощается либо экранируется# Действительно при со《或 имеем

z t . e^Ne ( л(д

8 =1+河(宀^

/，= 1+加上工

4%①也T д

Отсюда видно, что радиус экранирования продольного поля в плазме равен де- X/ 7е“ \1/2

оаевскому радиусу л*к =［飞“ 'I ，а глубина проникновения поперечного

поля ап|ределяется аномалннмм скнн-эффектсм

8 % * Сл е? Ne®8 % * Сл е? Ne®1/31/3

8 % * С

л е? Ne®

8 % * С

л е? Ne®

1/3

1/3

Задача 4.7. Исследовать процесс релаксации анизотропии температуры элект^ ронов (7丄一Г л ) 6 полностью ионизованной неизотермической плазме 6

условиях Te^Ti при учете поляризационного взаимодействия электронов ^взаимодействие посредством ионного звука).

Решение. В изотропизации температуры электронов, как было показано в задаче 3.5 принимают участие как электрон-электронные, так и электрон-ион- аые столкновения. При решении задачи 3.5 было пренебрежено поляризацией плазмы в интеграле столкновений и тем самым взаимодействием электронов вследствие испускания и поглощения плазменных волн (волновое взаимодействие). Такое приближение справедливо для не очень сильно неизотермической плазмы, в которой (невозможны ионно-звуковые колебания. В неизотермической плазме в условиях 7е》Т\ электроны интенсивно взаимодействуют с ионным звуком и могут быстро обмениваться импульсом посредством испускания и поглощения таких волн. Поэтому здесь учтем только такое волновое взаимодействие и выясним, когда оно становится определяющим. Запишем

* = (%； =依 Me»

(1)

и учтем в интеграле электрон-электронных столкновений только волновое (поляризационное) взаимодействие, т. е. представим 打(р, pQ в виде

n 1 г网君b(kv-kv')

‘/"(P，P)=»dk(蒜)一|gkv, k)户—”

к 丄 г (仪 Y饱 36(kv-kv，)6[Re£(kv,k)]

~8以小<八团々2 丿[Im8(kv, k)(*

Это выражение учитывает лишь вклад, обусловленный волновым (поляризационным) взаимодействием электронов с ионно-звуковыми колебаниями, поэтому интегрирование по 论 проводится только в области ^/d << 1, где такие колебания существуют. Оно дает аддитивный вклад в релаксацию анизотропии температуры наряду с ближними столкновениями (Область Лгб <>!1), учтенными в задаче 3.5. Учтем теперь тот факт, что для ионно-звуковых волн ®《Ет е и запишем (2) в иной форме:

/方（Р，Р'）= */方（Р，Р'）= *A/ dk讐端舒m卽（屮）.A/ dk讐端舒m卽（屮）.Считая анизотропию температуры электронов малой, получимСчитая анизотропию температуры электронов малой, получимRe8((o, k) = 1 —曳£Re8((o, k) = 1 —曳£(p22不哈(p22不哈Подставляя (4) в (3), после громоздких вычислений будем иметьПодставляя (4) в (3), после громоздких вычислений будем иметь⑸⑸2 I 6 7、碎М吟2 I 6 7、碎М吟

/方（Р，Р'）= *

/方（Р，Р'）= *

A/ dk讐端舒m卽（屮）.

A/ dk讐端舒m卽（屮）.

Считая анизотропию температуры электронов малой, получим

Считая анизотропию температуры электронов малой, получим

Re8((o, k) = 1 —曳£

Re8((o, k) = 1 —曳£

(p2

2不哈

(p2

2不哈

Подставляя (4) в (3), после громоздких вычислений будем иметь

Подставляя (4) в (3), после громоздких вычислений будем иметь

⑸

⑸

2 I 6 7、碎М吟

2 I 6 7、碎М吟

Отсюда видно, что по порядку величины . в то время как отброшен-

ныд интеграл ближних столкновений давал /方 ~—丄・ Таким образом, ис- пользуемое пренебрежение ближними столкновениями по сравнению с поляри* еационньгм взаимодёйствием обосновано при условии /》L 'ил«и

⑹⑹J—T》l=In 包^.

⑹

⑹

In 4 M篦"m

e^mT}

Это условие реально выполняется при TeITi^X^-irX^.

Подставляя далее (5) в (1), домножая (1) на /ии：/2 и mv^/2 н интегрируя по импульсам, так же как и в задаче 3.5, получаем

+(7丄一厶)=一^ (7 1一厶)，(7)

где

6 I e I /1e2e沁厶

()5 фф| et I L фф бле2у2лт Т^/2

Учитывая аддитивный вклад в релаксацию ближних столкновений, найденный в задаче 3.5, окончательно получаем*

±(Tt-T^=-vn (T.-Тц);(9)

Vn=тv^^{1+|vlw(1+■т^)}•

Задача 4.8. Исходя из выражения (4.5.8) для продольной диэлектрической проницаемости, исследовать диффузионное расплывание малой неоднородности плотности заряженных частиц в слабо ионизованной изотропной плазме.

Решение. Диффузионное расплывание является медленным процессом, характерное время которого т〜i/|(o|》1/“е, l/v«. Поэтому для его описания следует рассмотреть низкочастотный предел (4.5.8)

J (ш,也)8 1 +吧^+-У———.⑴

s”n + i胪喷①七n+ i々2吸

Здесь co 〜1/т характеризует время расплывания неоднородности с пространственным размером L 〜1应・

При малых концентрациях заряженных частиц, (0；« 《々厶 (а=с, i) процесс диффузии электронов и ионов происходит независимым образом {свобод- моя диффузия) и, как нетрудно понять, нули выражения 出(s, k) практически совпадают с полюсами в электронном и ионном вкладах в выражении (1): (о%兀+№t^ =0・ Отсюда находим коэффициенты свободной диффузии каждой аз компонент:

D『曦/%. (2)

В обратном же пределе, когда -характерный размер неоднородности значительно превосходит дебаевские радиусы электронов и ионов в плазме, нули функции 叫①，k) описывают расплывание неоднородности в плотной плазме с учетом 1^0

самосогласованного взаимодействия электронов и ионов, т. е. процесс амбипо» лярной диффузии. При этом

<0= 喷土 川・(3)

Отсюда для коэффициента амбиполярной диффузии имеем

Da = (喙+ d)/vs(4)

Задача 4.9. Показать, что в изотропной плазме возможно построение час* тотного решения уравнения (4.1.4), соответствующего незатухающим про* дольным волнам (моды Ван-Кампена).

Решение. Рассматривая (4.1.4) как неоднородное уравнение, к (4.1.6) следует добавить решение однородного уравнения (ш—kv)/dfa<1)~0, где

6 % = Л«1 々6 (о — kv)•(1)

Здесь N I — произвольная постоянная. Решение (1) соответствует моноскоро- стному (и=з/对 модулированному пучку частиц сорта а с плотностью "啦, В результате общее решение (4.1.6) записывается в виде

配？= --3- 十办1幡(s-kv).⑵

Подставляя это решение в уравнение Пуассона, получим дисперсионное уравнение для продольных колебаний изотропной электронной плазмы [ср. с (4.1,13)]:

Здесь de】—новая постоянная, однозначно связанная с "外・

Легко видеть, что подбором постоянной Nei (или del) можно добиться обращения в нуль мнимой части уравнения (3). Это означает, что затухание таких волн в бесстолкновительной плазме будет отсутствовать. Такие волны получили название волн Ван-Кампена, Любое возмущение в плазме можно разложить по полному набору функций вида (2).

Глава 5. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ И СПЕКТРЫ КОЛЕБАНИИ ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЫ

Тензор диэлектрической проницаемости однородной бесстолкновительной магнитоактивной плазмы

Изучим теперь электромагнитные свойства термодинамически равновесной плазмы во внешнем постоянном и однородномЧиагнитном поле Во. Равновесные распределения заряженных частиц по импульсам принимаются в виде распределения Максвелла (4.1.1) либо Ферми (4.1.2). Так же как и в предыдущей главе, анализ свойств такой плазмы начнем исходя из уравнения Власова, т. е. пренебрегая столкновениями частиц. Линеаризуя кинетическое уравнение по малому отклонению функции распределения частиц сорта а от равновесного значения 6fa, для возмущений вида ехр (—isf+ikr) получаем ,

-i@—kv)6fa + &E* +ea[vBo]^=O. (5.1.1)

Решение уравнения (5.1.1) проведем в системе координат, ось Oz которой ориентирована вдоль магнитного поля: Во= (О, О, В。). При этом в пространстве импульсов удобно перейти к цилиндрической системе координат: р丄，屮，pz Sx=P,cosq), Р?=Р丄 sin(p), причем p=myv, где 丫= (1—呷с2)т/2. у0Гда можно записать

—i®—kv) 3fa + % E /色=0,(5.1.2)

e Bq

где Qa =. Это линейное неоднородное дифференциальное

уравнение относительно 6fa, общим решением которого является

б/а=絮 jdq/(E *(ехр [^ j'dqHs—kv)" . (5.1.3)

Индексы(рл и(р〃 при выражениях в круглых скобках показывают, что эти выражения следует рассматривать как функции <р' и (р〃・ 102

Постоянную интегрирования С следует определить из естественного требования периодичности 6fa (<р):

6/а(ф + 2л)=6/а((р).

Легкр показать, что указанное условие может выполняться только при |С| =оо. Это значение С имеет простой физический смысл. Дело в том, что переменная <р однозначно связана со временем, поскольку изменение ф обусловлено циклотронным вращением частиц вокруг силовых линий магнитного поля (т. е. вокруг оси Oz): <p=i£2af/y, где 力—время. Потребуем далее, чтобы неравновесная добавка к функции распределения 6fa обращалась при 力=—оо в нуль (адиабатное включение поля в бесконечном прошлом). При этом получим, что на нижнем пределе интегрирования <р = ±оо, причем знак соответствует знаку 叁@ для каждого сорта частиц а. Таким образом, решение (5.1.3) можно записать в виде 传『V(-kvV]. (5.1.4)

Выражая плотность тока j через 6fa посредством соотношения (4.1.5), можно определить компоненты тензора проводимости a灯(s, к), а следовательно, и тензора диэлектрической проницаемости 8ij (со, k):

&№k)=M+ S J dpaYsx

X『d(p' ^-—^j exp [萨 j dq)"(s—kv)(p〃 .(5.1.5)

Вследствие изотропии равновесной функции распределения можно записать 警=嘗 v, где р=т^у, а /= Vт2с4+р2с\ С учетом этого тензор диэлектрической проницаемости

Ф

EU @, к) = &/ + i 2 —J 丫dp。—vt J Vj (<p‘)dq/ X

x expx expd(p" (s—kv)(p"d(p" (s—kv)(p"(5.1.6)(5.1.6)

x exp

x exp

d(p" (s—kv)(p"

d(p" (s—kv)(p"

(5.1.6)

(5.1.6)

Без нарушения общности положим, что вектор к лежит в плос* кости хг, т. е. к=々丄，0, Ez・ Произведя интегрирование по(р〃，экспоненциальный множитель в выражении (5.1.5) можно записать следующим образом:

ехр [ — f d(p"((o—kv)(p* = expY(<p—屮‘)X

L %」 L QaJ

X exp —i 也丄 и丄'(sin q)z——sin <p).

Используя далее разложение

ехр (土 i 6« sin q))= 5 Jn (%) exp [i /г 矶

где 6&=々丄。丄 丫/Ra, a Jn — функция Бесселя n-го порядка, выражение (5.1.5) после довольно громоздких, но несложных вычислений можно привести к видугде 6&=々丄。丄 丫/Ra, a Jn — функция Бесселя n-го порядка, выражение (5.1.5) после довольно громоздких, но несложных вычислений можно привести к виду%аа%аа• (5.1.8)• (5.1.8)

где 6&=々丄。丄 丫/Ra, a Jn — функция Бесселя n-го порядка, выражение (5.1.5) после довольно громоздких, но несложных вычислений можно привести к виду

где 6&=々丄。丄 丫/Ra, a Jn — функция Бесселя n-го порядка, выражение (5.1.5) после довольно громоздких, но несложных вычислений можно привести к виду

%аа

%аа

• (5.1.8)

• (5.1.8)

。丄%九京 i”zJnJ； 吗彳

^n(ba) и Гп(Ьа) — функция Бесселя и ее производная по аргументу 6а=4丄 U丄 Y/a(»)・

При такой форме записи тензора диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы явно видны циклотронные резонансы, связанные с обращением знаменателя ①—kzvz—и % в нуль. Слагаемые, содержащие главное значение интеграла 乡,составляют при этом эрмитовскую часть тензора е订(з, к), а слагаемые с 6-функцией — антиэрмитовскую часть, ответственную за поглощение волн в плазме. Таким образом, в отличие от немагнитоактивной плазмы, где в бесстолкновительном поглощении волн участвовали частицы, для которых выполнялось условие(o = kv, в магнитоактивной плазме в поглощении волн в отсутствие столкновений участвуют лишь те частицы, для которых

(0 —財%-几-~ — 0.Y(0 —財%-几-~ — 0.Y(5.1.9)(5.1.9)

(0 —財%-几-~ — 0.Y

(0 —財%-几-~ — 0.Y

(5.1.9)

(5.1.9)

Природу поглощения проще всего понять из следующих соображений. В магнитном поле движение каждой частицы складывается из свободного движения вдоль силовой линии и циклотронного вращения с частотой iQa/y вокруг силовой линии магнитного поля Во. При таком движении заряженная частица излучает как 104

вследствие ускорения из-за вращения (магнитотормозное, или циклотронное, излучение), так и вследствие обычного эффекта Черенкова из-за прямолинейного движения вдоль силовой линии поля Во. Частоты излучаемых при этом волн определяют из условия

(о = д —^- + 々z 5,九1=1 0, 土 1, ± 2,...У

Это условие при п=0 соответствует черепковскому излучению, а при 〃=#0 — циклотронному излучению.

Отметим, что при 々z=0 в пределе нерелятивистской плазмы (у=1) антиэрмитовская часть тензора е订((о, к) равна нулю, и поглощение волн, распространяющихся строго поперек магнитного поля, отсутствует. Действительно, из выражения (5.1.7) следует, что при интегрировании по dp в этом случае никаких особенностей в подынтегральных выражениях не возникает и вклад членов, содержащих 6-функцию, в диэлектрическую проницаемость равен нулю. Это утверждение, однако, справедливо лишь при o)wQ・ В пределе больших частот(0》£2« магнитным полем можно пренебречь, а это означает, что поглощение должно иметь место и при 局z=6, так как этот предел соответствует изотропной плазме без внешнего магнитного поля. Физически это очевидно, так как при fia f 0 ларморовский радиус частиц становится бесконечно большим, т. е. намного превышает длину волны. Формальный переход к пределу Йа->0 в выражении (5.1.7) нетривиален и затрагивает вопрос об асимптотических представлениях функций Бесселя при больших значениях аргумента и индекса. При Qa->0 аргументы функций Бесселя в (5.1.8) велики. При этом слагаемые с (п|< V〃max=论丄и丄/Qa дают в этих формулах вклад одного и того же порядка, вклад же слагаемых с |n| >nmax экспоненциально мал. Поэтому суммирование в формуле (5.1.7) при ；йа-^0 нужно проводить до \п \ =Птах, что приводит даже при К=0 к появлению знаменателя вида(о—nma^Qa = co—々丄и丄 =(o—kv, а следовательно, к бесстолкновительному поглощению волн.

Что же касается поглощения волн с ^z=0 в релятивистской плазме, то наличие у=#1 в 6-функции выражения (5.1.7) приводит к особенности при интегрировании этого выражения по dp, а следовательно, к затуханию волн, связанному с учетом релятивистских эффектов. Такое поглощение и представляет собой истинно циклотронное поглощение волн в плазме.

Для нерелятивистского максвелловского распределения fOa (4.1.1) тензор диэлектрической проницаемости £订(8, к) вычисляется до конца в том смысле, что выражается через табулированные функции. В результате таких вычислений получаем:

8“ = хл + 2 S S / "、4； (Za) J+ (BnJ

%尸-% = -i T;3(吁山4区)与 (%)，

%z = —T 4 Ga) J + (0na)，a n ①

%=1+W X~^4(%М+(}а)]，

гдегдеAn ^=-^Z^In Qa),An ^=-^Z^In Qa),(5.1.11)(5.1.11)

где

где

An ^=-^Z^In Qa),

An ^=-^Z^In Qa),

(5.1.11)

(5.1.11)

Здесь /九(2)— функция Бесселя от мнимого аргумента, а функция /+(Р) была определена выше [см. (4.1.15)]. Асимптотические значения функции J+(B) определяются выражениями (4.1.16).

Часто достаточно знание так называемой продольной диэлектрической проницаемости (2.4.9), описывающей электростатическое поле в анизотропной плазме. Такая диэлектрическая проницаемость согласно (2,4.9) и (5.1.7) определяется соотношением

е (о, к) = 8“ (со, к) = 1 — S —J dpa X

X 1 —X 1 —❿*(%户 n 8 — k2vz — n Qa/y❿*(%户 n 8 — k2vz — n Qa/y<5.1.12)<5.1.12)

X 1 —

X 1 —

❿*(%户 n 8 — k2vz — n Qa/y

❿*(%户 n 8 — k2vz — n Qa/y

<5.1.12)

<5.1.12)

В случае максвелловского распределения %а(Р)это соотношение принимает вид 1

е@,к) = 1+ у 冬卜一 у —^― Лп(га)/+(рпа)1. (5.1.13) 炉唸L 〃 "AJ

о (0? л

ео (叫 к) = М— W f厂 J sin 9 d 8 х

a / 8脸0

X E a где Ц5)订(9) — матрица: "喩^sinZUJ*X E a где Ц5)订(9) — матрица: "喩^sinZUJ*co у 也z^Fa COS 9—/2%co у 也z^Fa COS 9—/2%i% sin2^Jn J*i% sin2^Jn J*(5.1.14)(5.1.14)口#)(9)=口#)(9)=—iu|asinaaJn J；：—iu|asinaaJn J；：晔aSWOj?晔aSWOj?〃t|aSin2 0J^—七丸 sin2»Jn J；〃t|aSin2 0J^—七丸 sin2»Jn J；22nv|a sin 29 片nv|a sin 29 片i% sin2 9 厶 J；i% sin2 9 厶 J；22喩 COS2 0G喩 COS2 0G

X E a где Ц5)订(9) — матрица: "喩^sinZUJ*

X E a где Ц5)订(9) — матрица: "喩^sinZUJ*

co у 也z^Fa COS 9—/2%

co у 也z^Fa COS 9—/2%

i% sin2^Jn J*

i% sin2^Jn J*

(5.1.14)

(5.1.14)

口#)(9)=

口#)(9)=

—iu|asinaaJn J；：

—iu|asinaaJn J；：

晔aSWOj?

晔aSWOj?

〃t|aSin2 0J^

—七丸 sin2»Jn J；

〃t|aSin2 0J^

—七丸 sin2»Jn J；

2

2

nv|a sin 29 片

nv|a sin 29 片

i% sin2 9 厶 J；

i% sin2 9 厶 J；

2

2

喩 COS2 0G

喩 COS2 0G

(5.1.15)

(/n (5a) и JG 隽a)——функция Бесселя и ее производная по аргументу J =丄;F& sin §

Соотношение (5.1.14) приводит к следующему выражению для продольной диэлектрической проницаемости вырожденной плазмы:

XX8(Ш, к) = 1+ 2a8(Ш, к) = 1+ 2a1-T 2『X / n о1-T 2『X / n оsin 仆］sin 8 d 仆sin 仆］sin 8 d 仆ш—^г vFa cos 仆一〃眩ш—^г vFa cos 仆一〃眩(5.1.16)(5.1.16)

X

X

8(Ш, к) = 1+ 2

a

8(Ш, к) = 1+ 2

a

1-T 2『X / n о

1-T 2『X / n о

sin 仆］sin 8 d 仆

sin 仆］sin 8 d 仆

ш—^г vFa cos 仆一〃眩

ш—^г vFa cos 仆一〃眩

(5.1.16)

(5.1.16)

Диэлектрическая проницаемость и спектры колебаний холодной бесстолкновительной магнитоактивной плазмы

Перейдем к общему анализу спектров колебаний и характера распространения волн в бесстолкновительной магяитоактивной плазме. Оговорим сразу же, что природа спектров колебаний магнитоактивной плазмы значительно многообразнее спектров колебаний изотропной плазмы и число различных ветвей практически неограниченно велико. Поэтому ниже рассмотрим лишь наиболее интересные и хорошо изученные спектры колебаний магнитоактивной плазмы. Начнем с холодной плазмы, полностью пренебрегая эффектами теплового движения частиц. Иными словами, будем считать выполненными неравенства

《1, ^《1, %=宙％ < 1,(5.2.1)

где °оа=ита—для невырожденной плазмы с максвелловским распределением частиц по скоростям, voa^vFa — для вырожденной шлазмы с .функцией распределения Ферми.

При полном пренебрежении тепловым движением частиц как для невырожденной, так и для вырожденной плазмы тензор диэлектрической проницаемости согласно (5.1.10) и (5.1.14) имеет один и тот же вид:

(5.2.2)(5.2.2)

(5.2.2)

(5.2.2)

(5.2.3)(5.2.3)а%z = % =加 z = Qzy = °・а%z = % =加 z = Qzy = °・(d 32 一 唠(d 32 一 唠

(5.2.3)

(5.2.3)

а

%z = % =加 z = Qzy = °・

а

%z = % =加 z = Qzy = °・

(d 32 一 唠

(d 32 一 唠

(5.2.4)проницае-(5.2.4)проницае-(5.2.5)(5.2.5)

(5.2.4)

проницае-

(5.2.4)

проницае-

(5.2.5)

(5.2.5)

В рассматриваемом приближении диссипативные процессы в плазме не учитываются, поэтому тензор (5.2.2) оказывается эр- митовским.

Уравнения поля

俨6"一瓦各一* £?(◎]匕=0

при подстановке явного вида тензора диэлектрической мости (5.2.2) принимают вид

(或一*8±)e*-i*ge沙一々丄財邑=°，

啥 g£*+(*_^8丄)

一红kzEx+ (々:一号81|)&=。.

Условие разрешимости этой системы представляет собой дисперсионное уравнение электромагнитных волн в холодной магнитоактивной плазме:

А (<й, к)=炉(В丄左：+切修)一^ [(e；-g2-8丄 В||)残 +

+ 2公 8丄 8|!] + ^ 切皖 T) = 0.(526)

Из уравнений (5.2.5) видно, что в магнитоактивной плазме в общем случае продольные и поперечные волны не являются независимыми, как в изотропной плазме. Не распадается на независимые уравнения для продольных и поперечных волн и дисперсионное уравнение (5.2.6). Такой распад, строго говоря, имеет место только в случае чисто продольного (вдоль магнитного поля) распространения волн (论丄=0)・ При этом первые два уравнения системы (5.2.5) описывают поперечные волны, дисперсионное уравнение для которых имеет вид

胪 с2 = д2(8 丄士g).(5.2.7)

Два знака в правой части соответствуют двум независимым поляризациям поперечной волны — левой, для которой

Eyl/Exl=-i(5.2.8)

(так называемая обыкновенная волна), и правой, для которой

Е^ЕХ2 = i(5.2.9)

(необыкновенная волна).

Третье же уравнение системы (5.2.5) в случае чисто продольного распространения (也丄=0) описывает продольные колебания холодной магнитоактивной плазмы, и дисперсионное уравнение для них принимает вид

8р=0,(5.2.10)

причем E||k||0z. Спектр продольных колебаний, определяемый решением этого уравнения (5.2.10), записывается в виде

(02=<02Le.(5.2.11)

Что же касается решений дисперсионного уравнения для поперечных волн (5.2.7), то в общем случае они выражаются громоздкими формулами. Простые аналитические выражения для спектров частот этих волн удается получить лишь в предельных случаях:

0)2=必炉 + 8；/1 千一; 一］ при (0》A，

при R《①《& ,,(5.2.12)

d=』吸 Г1 干^ при(d《Q»,

где 以^。-^-=舔 q£^— альвеновская скорость.

Исходя из этих выражений можно представить общий ход кривой s(也)，если учесть, кроме того, что при h2fz уравнения (527) допускают решения(о->Qf и o->Qe.

нитных волн в холодной магнитоактивной плазме—

продольное распространение

магнитоактивной плазме —

поперечное распространение

Ход кривой s(力)для плазмы с(оье>1Йе представлен на рис. 9. Из графика видно, что в холодной магнитоактивной плазме суще- ствуен』ять ветвей колебаний, распространяющихся строго вдоль внешнего магнитного поля, причем четыре из них описывают поперечные, а одна — продольные волны.

Поперечные волны в области частот sVQi называют магнитогидродинамическими, причем ветвь колебаний, которая при hf z соответствует Q〃 называют алъвеновской волной, а ветвь колебаний, которая при 々f сю, соответствует(о-хйе, для колебаний в области частот g《iQf ~ быстрой магнитозвуковой волной, а в области промежуточных частот iQiCoCiQe — спиральной волной или геликоном. Следует отметить, что все эти колебания в рассматриваемом бесстолкновительном пределе являются незатухающими.

Не представляет труда проанализировать дисперсионное уравнение (5.2.6) также в случае строго поперечного распространения волн (*z=0)・ При этом оно распадается на два уравнения:

呼代 е{|,必=牛 土g , (5.2.13)

e2 e2 g丄

описывающие соответственно обыкновенную и необыкновенную волны в магнитоактивной плазме. Обыкновенная волна является чисто поперечной, в ней отлична от нуля лишь одна компонента электрического поля Ez, причем спектр частот

о)2=々2,2+32^.(5.2.14)

Необыкновенная же волна является продольно-поперечной с отличными от нуля компонентами поля Еу и Ех. Простые аналитические соотношения для спектров частот этой волны удается получить только в предельных случаях:

У宁£卜2什2哈+居炉± /4冠е英+ (必с2 —Q；)[ При (0》G)u,

®2 = ;； При Q《 ①《:Q, (5.2.15)

火С2(1+咆磽+脸偿

(02= при (0《色.

1 +吸/с2

Учитывая формулы (5.2.14) и (5.2.15), а также замечая, что при 胪т-2 второе уравнение (5.2.13) имеет предельные решения

(0 —> V^ ©Le + Q； И (0—广" “，二 ^/ J/^ Qe Qf,

V I+唸阖

легко представить общий ход дисперсионных кривых(о(左)，который приведен на рис. 10 для плазмы с ©Le>Qe. Из графика вид- jgp, что число ветвей колебаний, распространяющихся строго поперек магнитного поля в холодной бесстолкновительной плазме, равно четырем, причем одна из них описывает чисто поперечные волны (ветвь с(o = 0Le при 也=0), а остальные три — продольнопоперечные волны. Колебания с частотой sV/aaQf в этом случае соответствуют магнитогидродинамической волне, распространяющейся поперек магнитного поля Во; отсутствуют колебания, соответствующие альвеновской ветви.

В общем случае произвольного направления распространения волн получение аналитических решений дисперсионного уравнения (5.2.6) весьма затруднительно. Простые формулы для со (狗)удается записать в области низких частот sWiQt для спектров альвеновской и магнитогидродинамической волн: "cos2

炉= —,(о2= ——「,(5.2.16)

! +或/e21+吟/度

в промежуточной области частот йг<С0<СЙе, o2L₽/Qe для спектра спиральных волн (геликона)

о= — |Qe cos 0|(5.2.17)

脸

и в области высоких частот для обыкновенной и необыкновенной волн, спектры частот которых в пределе 8》0& стремятся к виду:

(02»2c2 + s2Le・(5.2.18)

Здесь 令——угол между векторами Во и к.

График функций(о(也)всех пяти ветвей колебаний изображен На рИС. 11 ДЛЯ ПЛаЗМЫ С (OLe>Qe и 仆关。，л/2.

В заключение рассмотрим вопрос о возможности распространения продольных волн в холодной магнитоактивной плазме и спектр их частот. Как указывалось, строго продольными могут быть только волны, распространяющиеся вдоль внешнего магнитного поля. Однако, если формально электрическое поле волны считать продольным, т. е. Е=—ikO, то из уравнений поля (5.2.4) получим условие существования такого поля в холодной магнитоактивной плазме:;

ki kj £力=尼；&丄 + 毋 W = 0・(5.2.19)

Решение этого дисперсионного уравнения не представляет труда и приводит к следующим спектрам продольных волн:

炉=闿М 士 / /(哈 + 呀—4哈 Q*os2 q , (5.2.20) (o2= (1一号 ztg2®) a；,

где Z= |&/е|. Данные выражения теряют смысл при 今一>冗/2, когда cos2 ^^mJM. В этих условиях спектры продольных волн

炉=8乙十代，

炉=一皤脸-Q Q.,(5.2.21)

碇e+鋒

Часто колебания, соответствующие первому из этих решений, в ; литературе называют колебаниями на верхней гибридной частоте. а колебания, соответствующие второму решению, — колебаниями на нижней гибридной частоте. Графически решения уравнения (5.2.19) представлены на рис. 12 для плазмы с 0Le>iS2e.

Теперь можно ответить на вопрос о возможности существования продольных волн в магнитоактивной плазме. Очевидно, что в условиях, когда корни уравнения (5.2.19) близки к корням точного дисперсионного уравнения (5.2.6), соответствующие последним волны с хорошей степенью точности можно считать продольными. 112

Рис. 11. Спектр частот электромагнитных волн в холодной магнитоактивной плазме — распространение под произвольным углом 9Рис. 11. Спектр частот электромагнитных волн в холодной магнитоактивной плазме — распространение под произвольным углом 9Рис. 12. Спектр частот продольных колебаний холодной магнитоактивной плазмыРис. 12. Спектр частот продольных колебаний холодной магнитоактивной плазмы

Рис. 11. Спектр частот электромагнитных волн в холодной магнитоактивной плазме — распространение под произвольным углом 9

Рис. 11. Спектр частот электромагнитных волн в холодной магнитоактивной плазме — распространение под произвольным углом 9

Рис. 12. Спектр частот продольных колебаний холодной магнитоактивной плазмы

Рис. 12. Спектр частот продольных колебаний холодной магнитоактивной плазмы

Легко видеть, что в общем случае произвольных значений 9 это

когда 胪->z, точнее

/Л??》©?/Л??》©?(5.2.22)

/Л??》©?

/Л??》©?

(Неравенство (5.2.22) и является условием продольности волн в магнитоактивной плазме. При 今喚乳/2 имеются три ветви продольных колебаний, а при 今=冗/2 ——только две, что соответствует графику рис. 12.

§ 5・3・ Влияние теплового движения частиц на характер колебаний бесстолкновительной магнитоактивной плазмы

Было показано, что в холодной бесстолкновительной плазме, помещенной во внешнее магнитное поле, существует пять ветвей незатухающих колебаний. Учет теплового движения частиц приводит в первую очередь в появлению затухания рассмотренных колебаний. Кроме того, вследствие учета теплового движения частиц в магнитоактивной плазме появляются новые ветви колебаний, к наиболее интересным из которых относятся низкочастотные ионно-] звуковые колебания и циклотронные волны. Именно эти ветви ко-

лебаний горячей бесстолкновительной плазмы и будем изучать в дальнейшем.

В общем случае горячей плазмы, когда тензор диэлектрической проницаемости имеет вид (5.1.10) (либо (5.1.14)—для вырожденной плазмы), условие разрешимости системы уравнений поля (5.2.4), т. е. дисперсионное уравнение колебаний плазмы, можно записать таким образом:

Л (<о. к) = I й2 6〃一ki kj— ?£打 @, к)=力胪 + в 2 居 +

+ 咤=0,(5.3.1)

где л=* e"(s, k)=今 %К+ * % + 2 ^^ %,

В = ^^ 勿以 %一/ % @，k) = -%久 % + 嚎一(5.3.2)

—R* (%y % + 喲一诃(8ХХ %? + %) + 2 …厂(%? %L%z %)>

C = Det J 8ij ((0, к) I =£zz (E%%£” + e%?) +8xx82j/z—ByyZ^xz4" 28xj/Sxz8j/x*

Легко Ьидеть, что Л (co, к) совпадает с «продольной» диэлек-、 трической проницаемостью магнитоактивной плазмы. Поэтому условие потенциальности колебаний — это условие, при котором решение точного дисперсионного уравнения (5.3.1) мало отличается от решений уравнения для продольных волн:

Л (о, к) = £ (о, к) = 羽(s, к) = 0.(5.3.3)

Учитывая, что коэффициенты Л, В, С являются соответственно линейной, квадратичной и кубичной комбинациями компонент тензора диэлектрической проницаемости, а следовательно, и плотности плазмы, приходим к выводу, что в области высоких (электронных) частот со〜SLe〜Се все компоненты тензора £訂 порядка единицы и условием потенциальности колебаний должно быть

о?《胪 с%.(5.3.4)

В области низких частот <о《％《* компоненты тензора %5~@Ltl^i=miD2A велики и условие потенциальности колебаний имеет более жесткий вид:

0)2《胪 и2A.(5.3.5)

Условия (5.3.4) и (5.3.5) не означают, что все колебания плазмы в этих областях частот являются Потенциальными. Наряду с потенциальными возможны и непотенциалъные колебания. Важно, что среди большого числа ветвей колебаний обязательно есть и потенциальная ветвь.।

114

Приступая к анализу общего дисперсионного уравнения (5.3.1) рассмотрим предел (521), когда эффекты теплового движения слабо выражены. В предыдущем параграфе было полностью пренебрежено такими диссипативными процессами. Тензор диэлектрической проницаемости (5.2.2) при этом оказался эрмитовским, а плазма — непоглощающей. Теперь учтем слабое тепловое движение и обусловленное им слабое поглощение волн благодаря черепковскому и циклотронному механизмам диссипации.

Учет этих эффектов приводит к малой антиэрмитовской поправке к тензору (5.2.2), которая отлична от нуля для невырожденной (максвелловской) плазмы:

/ 喷 iga 0\

“tj = %= I — iga 号у О I ,(5.3.6)

W 8К 论：%а е 2论;噜a 匕(0Q2 \kz\W 8К 论：%а е 2论;噜a 匕(0Q2 \kz\(5.3.7)(5.3.7)

W 8К 论：%а е 2论;噜a 匕(0Q2 \kz\

W 8К 论：%а е 2论;噜a 匕(0Q2 \kz\

(5.3.7)

(5.3.7)

、 0。鬭丿

гдеI

Указанная поправка в свою очередь приводит к слабому затуханию волн, рассмотренных в предыдущем параграфе, причем декременты затухания ((o->(o + i6) в общем случае довольно громоздки и здесь приводить их не будем. Ограничимся формулами для б (к) в области низких частот з《◎厶 в которой спектры колебаний плазмы даются выражениями (5.2.16) (для альвеновс- кой и магнитогидродинамической ветвей колебаний), и в области промежуточных частот 必《(о《Се, в которой спектр спиральных волн дается выражением (5.2.17). Формулы для б (к) соответственно имеют такой вид:

金 e 2磋嗡

2论电|6吃必2论电|6吃必(5.3.8)(5.3.8)6 =一6 =一

2论电|6吃必

2论电|6吃必

(5.3.8)

(5.3.8)

6 =一

6 =一

Из этих формул видно, что за бесстолкновительное затухание колебаний в рассматриваемых областях частот ответственно черепковское поглощение волн электронами плазмы.

Сказанное относится к невырожденной максвелловской плазме. Что касается вырожденной плазмы с функцией распределения Ферми, то в условиях (5.2.1), т. е. в области фазовых скоростей, больших скорости Ферми, антиэрмитовская часть тензора диэлектрической проницаемости строго равна нулю, и поэтому поглощение таких волн в бесстолкновительной вырожденной плазме полностью отсутствует.

Как указывалось, в холодной магнитоактивной плазме существует пять ветвей слабозатухающих (либо вовсе незатухающих) колебаний. Естественно ожидать, что с учетом теплового движения частиц должны появиться новые ветви колебаний. Действительно, в отсутствие внешнего магнитного поля в области фазовых скоростей, меньших тепловой скорости электронов, в неизотермической плазме с Te^Ti существует низкочастотная ионнозвуковая ветвь колебаний, которая существенно зависит от температуры электронов плазмы. Такие колебания могут существовать и в магнитоактивной плазме. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим область частот

%£^^(0/论z^C Оте, (О^С ^i *^ч (^Ы* (5.3.9)

Если к тому же интересоваться колебаниями с длиной волны больше ларморовских радиусов частиц, т. е.胪丄吟《 Сй2в, то для компонент тензора диэлектрической проницаемости невырожденной шлазмы из выражения (5.1.10) получим

"丿(①,k)="丿(①,k)=(5.3.10)(5.3.10)

"丿(①,k)=

"丿(①,k)=

(5.3.10)

(5.3.10)

где

е^= — +1 И 2л ———7—

' 吭Q2 0悻zl

).(5.3.11)).(5.3.11)Дисперсионное уравнение (5.3.1) при подстановке в него (5.3.10) распадается на два уравнения:Дисперсионное уравнение (5.3.1) при подстановке в него (5.3.10) распадается на два уравнения:用—^ %« = 0，用—^ %« = 0，

).(5.3.11)

).(5.3.11)

Дисперсионное уравнение (5.3.1) при подстановке в него (5.3.10) распадается на два уравнения:

Дисперсионное уравнение (5.3.1) при подстановке в него (5.3.10) распадается на два уравнения:

用—^ %« = 0，

用—^ %« = 0，

（公一^砌跋+^唯=。.（5・3・12）

Первое из них описывает незатухающие в рассматриваемом приближении альвеновские волны со спектром

①2 =女2心2A=a202aCOS2仇(5.3.13)

Это по существу продолжение ветви быстрых альвеновских волн при Ua》％? со спектром (5.2.16) в область, в которой vTi^ 《UA《Se・

Из второго же уравнения (5.3.12) находим спектры колебаний так называемых бьтстрой и медленной магнитозвуковых волн: , 吗=十必［(吸+鸣± /(%+吗)2 -4吸碎cos2可.

1 士1 士

1 士

1 士

где %=Jz % —где %=Jz % —(5.3.14)

где %=Jz % —

где %=Jz % —

скорость ионного звука;令一угол меж

ду направлением распространения волны и направлением магнитного поля.

Особо простой вид спектр (5.3.14) принимает в случае плазмы низкого давления, когда § =吟历2A《1. При этом быстрая магнитозвуковая волна становится чисто поперечной (Е丄к) со спектром

啤=^, М = - J需^帮叫・(5.3.15)

Отсюда видно, что быстрая магнитозвуковая волна есть продолжение ветви быстрой магнитогидродинамической волны со спектром (5.2.16) в область малйх фазовых скоростей s/EzV^w

Медленная магнитозвуковая волна в плазме низкого давления

В《1 вырождается в чисто продольную (потенциальную, Е||к), и спектр ее приобретает вид

(0三=炉 0； cos2 也 6-=_(0三=炉 0； cos2 也 6-=_(5.3.16)(5.3.16)

(0三=炉 0； cos2 也 6-=_

(0三=炉 0； cos2 也 6-=_

(5.3.16)

(5.3.16)

Это новая, шестая ветвь колебаний магнитоактивной горячей плазмы является аналогом ионно-звуковых волн изотропной плазмы и существует только при достаточно большой неизотермичнос- сти плазмы, когда 兀》兀・

Отметим, что низкочастотные медленные волны существуют и в вырожденной плазме. Действительно, в условиях

仙《?《VFe，炉《巒《嗚，生竺＜ 1(5.3.17)

тензор диэлектрической проницаемости (5.1.14) также сводится к виду (5.3.10), причем

8yz = 殳。8yz = 殳。生+i 3Дт 8窘比,4ё吟 8(0电Ig生+i 3Дт 8窘比,4ё吟 8(0电Ig(5.3.18)(5.3.18)i丄@(1+i组sQe 財 \8i丄@(1+i组sQe 財 \82同味e2同味e(0(0

8yz = 殳。

8yz = 殳。

生+i 3Дт 8窘比,4ё

吟 8(0电Ig

生+i 3Дт 8窘比,4ё

吟 8(0电Ig

(5.3.18)

(5.3.18)

i丄@(1+i组

sQe 財 \8

i丄@(1+i组

sQe 財 \8

2同味e

2同味e

(0

(0

С учетом этих выражений из дисперсионных уравнений (5.3.12) легко видеть, что спектр альвеновской волны (5.3.13) остается неизменным и в вырожденной плазме. Что касается быстрой и медленной магнитозвуковых волн, то спектры их частот в вырожденной плазме определяются формулой (5.3.14), в которой

следует принять &8= ]/ 悬 Uf.・ Декремент же затухания

(5.3.19)

Здесь также %= ]/盜。Fe.

Следует отметить, кроме того, что наряду с альвеновской и магнитозвуковыми волнами в промежуточной области фазовых скоростей и(нС(о/財v^oe возможны спиральные волны, если толь- 118

ко выполнены условия QuVsVQe, (а2ъе/^ Спектр их частот остается таким же, как и в случае холодной плазмы, т. е. вида (5.2.17), а декремент затухания определяется выражениями

sin2W 丨для невырожденной плазмы,

6 =—

k Qe cos2 о 3冗 1

-у ——для вырожденной плазмы.

(5.3.20)

В заключение заметим, что в вырожденной плазме, как было показано в § 4.4, существуют незатухающие продольные колебания с фазовой скоростью, близкой к фермиевской скорости носителя тока (нулевой звук). Легко понять, что такие колебания в вырожденной плазме возможны и при наличии внешнего магнитного поля. Во-первых, поскольку их фазовая скорость намного меньше скорости света, с высокой степенью точности они являются потенциальными. Во-вторых, их частота намного превосходит ленгмюровскую частоту электронов и поэтому при (оье 之 Qe магнитное поле на спектр частот нулевого звука (4.3.5) практически никакого влияния не оказывает. Если же в плазме Qe》SLe， k^pe, k 丄 UFe, то спектр нулевого звука несколько видоизменяется:

s = AuFe[l+2exp (—善必后е—2)] .(5.3.21)

Но этот спектр, так же как и (4.3.5), не соответствует новой ветви колебания вырожденной плазмы, а по существу, представляет собой продолжение ветви ленгмюровских колебаний в область коротких ДЛИН ВОЛН 力2尸De》1.

§ 5・4・ Циклотронные волны в плазме

В холодной магнитоактивной плазме, как было показано в § 5.2, число различных ветвей колебаний не превышает пяти. При учете теплового движения электронов появляется шестая ветвь — медленная магнитозвуковая волна, которая в случае невырожденной плазмы низкого давления в условиях р《1 и Te^Ti переходит в ионно-звуковую волну (см. § 5.3).

Однако этими шестью ветвями не исчерпываются спектры всех возможных электромагнитных колебаний магнитоактивной плазмы. Как отмечалось, дисперсионное уравнение электромагнитных волн в магнитоактивной плазме при учете теплового движения частиц является трансцендентным, а следовательно, число ветвей колебаний MO*eFбыть бесконечно велико. Но подавляющее большинство этих ветвей колебаний является сильнозатухающими во времени или в пространстве. Только в некоторых областях частот и частных предельных случаях тепловое движение частиц приводит к

возможности существования слабозатухающих колебаний в магнитоактивной плазме.

Кроме рассмотренных, заслуживают внимания колебания вблиь зи циклотронных частот электронов и ионов(o = s Qa, где s=l, 2,..., или циклотронные волны. Исследование циклотронных волн в бесстолкновительной плазме представляет практический интерес в связи с возможностью их использования для нагрева газовой плазмы в условиях, когда омический нагрев становится неэффективным. Не будем подробно излагать теорию циклотронных колебаний магнитоактивной плазмы, ограничимся лишь исследованием циклотронных волн, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля. Именно для таких волн явление циклотронного резонанса (циклотронного поглощения) выражено наиболее явно. Следует отметить, что для волн, распространяющихся строго вдоль магнит- ного(поля, отсутствуют высшие резонансы на кратных циклотронных частотах s?2, которые появляются лишь при 论丄*0.

Дисперсионное уравнение (5.3.1) в случае невырожденной плазмы для волн, распространяющихся вдоль магнитного поля, распадается на три уравнения:

3t證3t證1—」+1—」+=0,=0,

3t證

3t證

1—」+

1—」+

=0,

=0,

(5.4.1)(5.4.1)%吁 ％)* ［加‘a%吁 ％)* ［加‘a0.0.胪 e2 -0)2 (%8 土 j %上 =左2 c2 —

(5.4.1)

(5.4.1)

%吁 ％)* ［加‘a

%吁 ％)* ［加‘a

0.

0.

—炉 1— у a

Первое уравнение этой системы описывает чисто продольные колебания магнитоактивной плазмы и в точности совпадает с дисперсионным уравнением для продольных колебаний изотропной невырожденной плазмы, исследованным в § 4.2. Второе и третье уравнения описывают поперечные обыкновенную (левополяризо- ванную) и необыкновенную (правополяризованную) волны, распространяющиеся вдоль внешнего магнитного поля. Эти уравнения являются симметричными относительно циклотронной частоты Qa, поэтому достаточно ограничиться исследованием одного из них. Другое уравнение будет справедливо при замене ◎ а Q а-

Рассмотрим циклотронные волны вблизи электронной циклотронной частоты a)^Qe (точнее, |з—必|《5)・ Пусть при этом |со——Qa |》^ите, или говоря, на языке оптики, резонансная часто* та s лежит вне линии резонансного поглощения. В этом параграфе, поскольку речь идет об электромагнитных волнах вблизи резонансных частот поглощения отдельных частиц, удобнее пользоваться языком оптики и вместо собственных частот колебаний о (к) из дисперсионных уравнений (5.4.1) определять показатели преломления 九=£昨& и коэффициент поглощения %= — Im Л.

В частности, вдали от линии резонансного поглощения электронов из второго уравнения (5.4.1) находим

(f )2 с

唸 1_ е ❿嗚 0)2% /'

(5.4.2)

Отсюда видно, что электронные циклотронные волны в бесстолкновительной плазме вне линии резонансного поглощения, о2

когда —Qe|3》G)^e~^е» поглощаются экспоненциально слабо. С приближением частоты(о к циклотронной частоте Qe поглощение циклотронной волны растет и в условиях, когда частота поля попадает внутрь линии резонансного поглощения, т. е. при I①一а/з《со%е ―- йе волна становится сильно затухающей:

寝•厂 (5.4.3)

Глубина проникновения циклотронной волны в плазму в этом случае, как легко видеть, совпадает с глубиной аномального скин-эффекта в изотропной плазме (см. § 4.4):

九СК = 2九СК = 2

九СК = 2

九СК = 2

Рис. 13. Зависимость показателя преломления электронной циклотронной волны от частотыРис. 13. Зависимость показателя преломления электронной циклотронной волны от частоты

Рис. 13. Зависимость показателя преломления электронной циклотронной волны от частоты

Рис. 13. Зависимость показателя преломления электронной циклотронной волны от частоты

Такой результат имеет физически наглядную интерпретацию. Дело в том, что в магнитоактивной плазме электроны совершают ларморовское вращение с частотой Qe и поэтому являются ис

точниками поля, обладающими собственной частотой (т. е. частицы представляются в виде осцилляторов с собственной частотой Qe) • Это, в свою очередь, приводит к тому, что все особенности изотропной плазмы на частоте о в магнитоактивной плазме должны проявиться на комбинационных частотах(o±Qe- В частности, вблизи циклотронного резонанса при |со—5|《论％е имеет место аномальное скинирование поперечного поля, подобно изотропной плазме при со《左％е・ На рис. 13 показан ход кривой л2 (о) для электронной циклотронной вол-

ны. Заштрихованная область соответствует сильному поглощению циклотронной волны в плазме (область аномального скин-эффек* та). Из графика видно, что «прозрачность» [п2(ш) >0] электронной циклотронной волны соответствует области частот(о<йе. Максимальное значение показателя преломления дается выражением 〃m= [(O^LeC/ (Q2e^Te) ] 1/3.

Перейдем теперь к рассмотрению циклотронных волн в вырожденной плазме. Для волн, распространяющихся строго вдоль магнитного поля, общее дисперсионное уравнение (5.3.1) распадается на три уравнения:

&zz = 1 + W а&zz = 1 + W а(0 S +々咋就 如FaS一比Fa(0 S +々咋就 如FaS一比FaXXS 三 Qa +加 Fa +S彳Q&-总FaS 三 Qa +加 Fa +S彳Q&-总Fa(5.4.4)(5.4.4)

&zz = 1 + W а

&zz = 1 + W а

(0 S +々咋就 如FaS一比Fa

(0 S +々咋就 如FaS一比Fa

X

X

S 三 Qa +加 Fa +

S彳Q&-总Fa

S 三 Qa +加 Fa +

S彳Q&-总Fa

(5.4.4)

(5.4.4)

+ 2 甯]L

Так же как и в случае невырожденной плазмы, первое уравнение этой систем垃 описывает чисто продольные колебания магнитоактивной плазмы и в точности совпадает с дисперсионным уравнением для продольных колебаний изотропной вырожденной плазмы, подробно исследованным в § 4.3. Второе и третье уравнения, так же как в невырожденной плазме, симметричны относительно циклотронной частоты Qa (с заменой Qa 与一Qa), поэтому достаточно проанализировать одно из них.

Ограничиваясь рассмотрением только электронных циклотронных волн o^Qe, исследуем второе уравнение (5.4.4) вдали (|о—Qe|>^yFe) и вблизи (|о—Qe|V应UFe) резонансной линии поглощения. Первая особенность вырожденной плазмы проявляется в том, что вдали от этой линии поглощение циклотронных волн полностью отсутствует из-за отсутствия черепковского поглощения электронами плазмы. Показатель преломления циклотронной волны, так же как и для невырожденной плазмы, определяется первым выражением (5.4.2), которое оказывается справедливым в области |s—Qe|33s2Le6eD2Fe/c2 Обратное неравен- ство соответствует области внутри линии поглощения, в которой из (5.4.4) получаем [ср. с (5.4.3)]

" + - (5・4.5)

Здесь также глубина проникновения поля циклотронной волны в 122

плазму определяется формулой аномального скин-эффекта (см. § 4.4):

味8丿

Общий ход кривой 〃2 (з), как и в случае невырожденной плазмы, представлен на рис. 13, причем nm« [02ьес/ (Q2ev0) ]1/3, a g^ ^nmQeVo/c, где Vo = vTe ——для невырожденной плазмы и y0 = ^Fe —— для вырожденной плазмы.

Тензор диэлектрической проницаемости слабоионизованной магнитоактивной плазмы с учетом столкновений частиц

До сих пор речь шла о бесстолкновительной плазме во внешнем магнитном поле. Рассмотрим эффекты, связанные со столкновениями частиц. Строго говоря, лишь при учете столкновений частиц в магнитоактивной плазме возможно выбирать в качестве равновесной функции распределения по скоростям распределение Максвелла либо Ферми. Правда, это утверждение справедливо только для времен, превышающих времена столкновений частиц (время свободного пробега}, характеризующих время установления равновесной функции распределения частиц по скоростям. Для времен же, меньших времен столкновений частиц, функции распределения частиц могут быть произвольными. Другой эффект, возникающий при учете столкновений частиц в плазме, —это столкновительные диссипативные процессы: трение, вязкость, диффузия и теплопроводность плазмы. При частых столкновениях эти процессы могут стать определяющими и даже пол- ностыо^подавить черепковскую (бесстолкновительную) и циклотронную диссипации. В последующем изложении будет изучено влияние столкновений частиц и связанных с ними диссипативных процессов на характер распространения электромагнитных волн в магнитоактивной плазме.

Рассмотрение начнем со слабоионизованной невырожденной плазмы, так как кинетическая модель слабоионизованной плазмы—кинетическое уравнение с интегралом столкновений БГК —— дает возможность наиболее наглядно исследовать роль столкновений частиц в плазме. Кинетическое уравнение с модельным интегралом БГК, кроме того, позволяет получить общее выражение для тензора диэлектрической проницаемости плазмы без каких- либо ограничений на частоты и длины волн. Действительно, линеаризованное кинетическое уравнение для частиц сорта а в слабоионизованной магнитоактивной плазме с модельным изотермическим интегралом БГК записывается в виде

—i (со — kv) 6 fa + ^а Е=—%n I3fa — Ла /оа!» (5・5・1)

где |^ = —- J dp6Ах, а /оа — равновесная функция распределения Максвелла:

必必(2用%%)3/2(2用%%)3/2(5.5.2)(5.5.2)

必

必

(2用%%)3/2

(2用%%)3/2

(5.5.2)

(5.5.2)

Такой выбор обоснован тем, что магнитное поле в стационарном состоянии не влияет на систему заряженных частиц, поэтому аргументация, приведенная в § 4.5, справедлива и для магнитоактивной плазмы.

Общее решение уравнения (5.5.1) записывается так же, как в бесстолкновительной плазме (см. § 5.1), только с измененной правой частью: ,

XX6后=6后=ааф*X J dq)"(s—kv + i %Jp" 屮ф*X J dq)"(s—kv + i %Jp" 屮11①+吃一厶勿一叫①+吃一厶勿一叫+ iu丄 J； Eg+ %旦 + %71 !la+ iu丄 J； Eg+ %旦 + %71 !laXX论论exp (in(p+ iexp (in(p+ i4旦+4旦+(5.5.3)(5.5.3)

X

X

6后=

6后=

а

а

ф*

X J dq)"(s—kv + i %Jp" 屮

ф*

X J dq)"(s—kv + i %Jp" 屮

1

1

①+吃一厶勿一叫

①+吃一厶勿一叫

+ iu丄 J； Eg+ %旦 + %71 !la

+ iu丄 J； Eg+ %旦 + %71 !la

X

X

论

论

exp (in(p+ i

exp (in(p+ i

4旦+

4旦+

(5.5.3)

(5.5.3)

(5.5.4)(5.5.4)Подставляя это выражение в формулу для плотности тока ча стиц сорта а, индуцированного в плазме:

(5.5.4)

(5.5.4)

ja = % J dpvbfa

и используя для исключения 刀《 уравнение непрерывности

мм(5.5.5)

м

м

после несложных, но громоздких преобразований находим тензор диэлектрической проницаемости для слабоионизованной магнитоактивной плазмы: .

…)3讣…鹏紹…)3讣…鹏紹XX

…)3讣…鹏紹

…)3讣…鹏紹

X

X

(5.5.6)(5.5.6)(0 i v

(5.5.6)

(5.5.6)

X —d[嘴)® + i%,吗一6闻.

Здесь е(а)订(s + iva% k) — тензор, по виду совпадающий с тензором диэлектрической проницаемости частиц одного сорта а в бесстолкновительной магнитоактивной плазме [см. (5.1.10), (5.1.11)] без суммирования по сортам частиц, в котором, однако, произве- 124

дена замена o-xo + ivan> а вектор Ga имеет следующие компоненты:

Ga =Ga =学Е*丄 n学Е*丄 n° + ivan-nQa° + ivan-nQaJ+(隔)J+(隔)Q L-i 2 论丄nQ L-i 2 论丄nо + i van — n %о + i van — n %4(%)4(%)(5.5.7)(5.5.7)

Ga =

Ga =

学Е

*丄 n

学Е

*丄 n

° + ivan-nQa

° + ivan-nQa

J+(隔)

J+(隔)

Q L

-i 2 论丄n

Q L

-i 2 论丄n

о + i van — n %

о + i van — n %

4(%)

4(%)

(5.5.7)

(5.5.7)

где %где %-£ 2 4(%) U-4(%)]

где %

где %

,a pan = ® + i %n—〃 ％)/(財 ％a)・

Суммирование в формуле (5.5.6) распространяется по всем

сортам заряженных частиц в плазме.

Из выражения (5.5.6) находим «продольную» диэлектрическую проницаемость невырожденной слабоионизованной плазмы:

8(8,к)=^8а®,к) = 1+ 2 号 х

(5.5.8)(5.5.8)「一亍3靠号或4(%)/+2

(5.5.8)

(5.5.8)

Аналогично вычисляют тензор диэлектрической проницаемости слабоионизованной вырожденной плазмы. Действительно, записав линеаризованное кинетическое уравнение с модельным интегралом БГК в виде

-№-kv)6fa + e№)許—％*

—%п产+ ^五—%п产+ ^五^Fa Яа^Fa Яа(5.5.9)(5.5.9)

—%п产+ ^五

—%п产+ ^五

^Fa Яа

^Fa Яа

(5.5.9)

(5.5.9)

получим его решение

XX(5.5.10)(5.5.10)6/e=_^fd^ k(Ev)^- + A,FaVanaff

X

X

(5.5.10)

(5.5.10)

:ф

X ехр —— f d Ф* (со—kv + ivan)v* .

L Ф」

Определив плотность тока и используя уравнение непрерывности (5.5.5), окончательно находим тензор диэлектрической прони- 125

цаемости вырожденной плазмы, по виду совпадающий с тензором ：(5.5・6), причем £(а)订(s + iwan, к) является также тензором диэлектрической проницаемости частиц одного сорта а в бесстолкновительной плазме, в котором о заменено на(o+ivan, но определяется он выражениями (5.1.14), (5.1.15), а вектор Ga имеет компоненты

F fsin®^点 Q)

2论丄 и о s + i%n— 也zUFaCos9-〃Qa *

仇=f 二^"即 ©)JR" , } . (5.5.U)

咋a £ f sinOdOjgcosO

瑜，s-iVan-MFaCOseiQc；，

где & =厶」Fa sin 仇

Отсюда «продольная» диэлектрическая проницаемость

®, к)=讐^ 8〃 ® к) = 1 + £ —~" X

燧a论2哈。

一 £ s + Un f§由今 d9<^(Q)

X 一已一2—6 ®±1%、-空%。竺上一 〃Qa‘ . (5.5.12)

П 2 ，@ + 1%п-彩％aC0S°-九 Qa

В заключение еще раз подчеркнем, что формулы (5.5.6)— (5.5.12) справедливы при любых соотношениях величин (o, Qa, 论丄 и。,財方 и va n. В пределе Wa^f °，т. e. при пренебрежении столкновениями частиц, они переходят в соответствующие выражения для диэлектрической проницаемости бесстолкновительной плазмы (см. § 5.1).

§ 5・6・ Тензор диэлектрической проницаемости полностью ионизованной магнитоактивной плазмы с учетом столкновений частиц

Учет столкновений частиц в полностью ионизованной плазме представляет значительно более трудную задачу, поскольку требует решения сложного интегродифференциального кинетического уравнения с интегралом столкновений Ландау. Поэтому здесь, как и в случае изотропной плазмы (см. § 4.6), приведем анализ отдельных предельных случаев, в которых это уравнение удается решить относительно просто.

Прежде всего заметим, что если ограничиться рассмотрением процессов, протекающих быстрее времени выравнивания температур электронов и ионов ®》(/п/ЛГ*фф), то в качестве равновесных распределений частиц по скоростям в невырожденной плазме можно выбрать распределения Максвелла с разными температурами для электронов и ионов:

=—exp (—吆П ・(5.6Л)

Для изотермической плазмы с Te=Ti в указанном ограничении нет необходимости.

Рассмотрим малое отклонение от равновесия 6fa~exp(—is/十 + ikr). Тогда уравнение для 6fa запишется в виде

—i(co—kv) 6fa—^ ~^~ +^aE -у5^ =2 J dp。修В(р@, ре)х

X解籌4f器F器)•(5.6.2)

Здесь /#=丄 L 二^

u=va—Vp, a L=ln го/гтш — кулоновский логарифм.

Решение уравнения (5.6.2) в общем случае представляет значительные трудности, однако его относительно легко решить при выполнении неравенств

8》％，【8 ± %| > Wa・(5・6・3)

В этом пределе интеграл столкновений в (5.6.2) является малым членом и это уравнение можно решать методом последовательных приближений, разлагая решение по «степеням интеграла столкновений» (как это было сделано в § 4.6 для изотропной плазмы):

8丘=嘱。)+ 6值)，(5.6.4)

где 6f^a определяется выражением (5.1.4) (предел бесстолкновительной плазмы), а

6/V)= S ———^———exp i〃(p+i sinX

X J £ d ф^ехр (i n(pz—i sinf dp3X

X伊Pa，P。)因6犷+ 九。嘿f等F。)諸).

(5.6.5)

127

Теперь определение столкновительной поправки к индуцированному в плазме току от частиц сорта а, а следовательно, и к диэлектрической проницаемости плазмы сводится к вычислению интеграла

6ja = % J dpvb笈).6ja = % J dpvb笈).(5.6.6)(5.6.6)

6ja = % J dpvb笈).

6ja = % J dpvb笈).

(5.6.6)

(5.6.6)

Однако вычисление и этого интеграла связано с большими трудностями и провести его удается лишь в отдельных предельных случаях.

Для холодной плазмы, когда выполняются неравенства (5.2.1), вычисление интеграла (5.6.6) не представляет большого труда и дает чисто антиэрмитовскую поправку к тензору (5.2.2), обусловленную столкновениями частиц в плазме:

宀f6ga 0 \

68«z((o, k)= I — i6ga 6&i o J .(5.6.7)

\006唸丿

Здесь

беа = .^ФФ^Г/^+^Vl

(5.6.8)

儘 _ g d _ @ / 1m一磴炉一0丿，

a vэфф определяется формулой (4.6.7).

Видно, что в случае холодной плазмы столкновительная поправка к тензору диэлектрической проницаемости определяется столкновениями частиц разного сорта.

Иное положение имеет место в условиях малых фазовых скоростей, когда выполняются неравенства (5.3.9) и бесстолкновительный тензор диэлектрической проницаемости имеет вид (5.3.10), (5.3.11). Можно показать, что в данном пределе при ”е《 I之々zUTeWiJe столкновениями электронов можно полностью пренебречь, так как длина волны колебаний при этом меньше длины свободного пробега электронов и основным механизмом диссипации в электронной компоненте оказывается черепковская дис сипация. В области частот (о》\^ вклад в ионную диссипацию наряду с черепковским механизмом дают ион-ионные столкновения, которые легко учесть, если решить кинетическое уравнение для ионов методом последовательных приближений. В рассматриваемой области частот окончательно находим следующую поправку 128

к антиэрмитовской части тензора диэлектрической проницаемости, обусловленную столкновениями частиц в плазме:

Об8а и УУ-6%Об8а и УУ-6%(5.6.9)(5.6.9)

О

б8а и УУ

-6%

О

б8а и УУ

-6%

(5.6.9)

(5.6.9)

Здесь

75% =七75% =七哈""4*哈""4*(oQ|(oQ|6% = i y6% = i y].唸"афф’ 磚i吟].唸"афф’ 磚i吟(03 Q^s"vii论丄后。^ .(03 Q^s"vii论丄后。^ .(5.6.10)(5.6.10)

7

5% =七

7

5% =七

哈""4*

哈""4*

(oQ|

(oQ|

6% = i y

6% = i y

].唸"афф

’ 磚

i吟

].唸"афф

’ 磚

i吟

(03 Q^

s"vii论丄后。^ .

(03 Q^

s"vii论丄后。^ .

(5.6.10)

(5.6.10)

呢v我磅嗑呢v我磅嗑

呢v我磅嗑

呢v我磅嗑

a vh определяется формулой (4.6.7).

Заметим, что соотношение между со и тЭфф при этом может быть произвольным.

В заключение рассмотрим роль столкновений частиц в полностью ионизованной вырожденной плазме. Ограничимся высокочастотным пределом, когда существенны только чисто электронные процессы. Это означает, что решим кинетическое уравнение* лишь для электронов, учитывая столкновения электронов с электронами и ионами. Равновесным распределением электронов считаем функцию распределения Ферми:

(5.6.11)(5.6.11)九=I砺扌叩口&限=(3冗产h屮，

(5.6.11)

(5.6.11)

I 0 при р> pFe-

Линеаризуя кинетическое уравнение (14.9) для электронов по малому отклонению от распределения (5.6.11) б/е^ехр(—io/ + + ikr), считаем выполненными неравенства (5.6.3), позволяющие решать уравнение (3.4.9) методом последовательных приближений, подробно изложенным выше. Опуская вычисления, приведем окончательный ответ для холодной плазмы, для которой выполняются условия (5.2.1). Как неоднократно отмечалось, в этих условиях в вырожденной плазме бесстолкновительное поглощение волн отсутствует, и столкновения частиц оказываются единственным диссипативным механизмом. Вычисления, аналогичные проведен-

1291295T53

129

129

ным, дают следующую антиэрмитовскую поправку к тензору диэлектрической проницаемости холодной плазмы (5.2.2):

ЗдесьЗдесь6%= fga\ О6%= fga\ Оi3ga681i3ga68103确0)2+ Q203确0)2+ Q2（炉—喲2（炉—喲2(5.6.12)(5.6.12)

Здесь

Здесь

6%= fga\ О

6%= fga\ О

i3ga

681

i3ga

681

03确

0)2+ Q2

03确

0)2+ Q2

（炉—喲2

（炉—喲2

(5.6.12)

(5.6.12)

(5.6.13)

a vpe определяется выражением (4.6.14).

Заметим еще раз, что формулы (5.6.12)( й (5.6.13) справедливы только для области высоких частот со》◎厶 ©ьг, когда движением ионов можно пренебречь.

§ 5.7. Влияние столкновений частиц на затухание

электромагнитных волн в магнитоактивной плазме

Зная диэлектрическую проницаемость магнитоактивной плазмы с учетом столкновений частиц, можно исследовать влияние этих столкновений на характер распространения электромагнитных волн в магнитоактивной плазме. Изучим влияние столкновений частиц на спектры колебаний, когда учет столкновений не меняет спектров частот, но существенно сказывается на характере поглощения волн в плазме. К таким колебаниям относятся волны в холодной плазме (магнитогидродинамические и альвеновские волны, спиральные волны, обыкновенная и необыкновенная электромагнитные волны), а также быстрая и медленная магнитозвуковые волны в горячей плазме.

Прежде всего рассмотрим предел холодной плазмы, причем наряду с (5.2.1) потребуем выполнения условий (5.6.3) и ограничимся высокочастотными колебаниями, когда(o》(ol厶 Qi и плазму можно считать чисто электронной. При этом эрмитовская часть тензора диэлектрической проницаемости, так же как и в бесстолкновительной плазме, будет определяться формулами (5.2.2) и (5.2.3). В антиэрмиговской же части диэлектрической проницаемости (5.3.6), (5.3.7) появится столкновительная поправка, которая согласно выражениям (5.5.6), (5.6.8) и (5.6.13) записывается в виде

Здесь 6睦=iЗдесь 6睦=i就e (2 + Q? Ve就e (2 + Q? Veto ®2 —鳍)2to ®2 —鳍)26ga = i6ga = i2碇& Qe "e2碇& Qe "e唸"e唸"e(5.7.2)(5.7.2)

Здесь 6睦=i

Здесь 6睦=i

就e (2 + Q? Ve

就e (2 + Q? Ve

to ®2 —鳍)2

to ®2 —鳍)2

6ga = i

6ga = i

2碇& Qe "e

2碇& Qe "e

唸"e

唸"e

(5.7.2)

(5.7.2)

причем Ve=Vs4)m ——для невырожденной полностью ионизованной плазмы, ve=VFe ——для вырожденной плазмы и ve=ven ——для слабоионизованной плазмы.

Столкновительная поправка к компонентам тензора диэлектрической проницаемости (5.7.2) обусловливает появление столкновительных декрементов затухания волн, спектры частот которых определяются формулами § 5.2, а бесстолкновительные декременты затухания — формулами § 5.3. В общем случае они имеют довольно громоздкий вид. Простые формулы удается получить лишь в отдельных предельных случаях. Так, для столкновительного декремента затухания спиральной волны, спектр частот которой определяется выражением (5.2.17), имеем

州=一%1+ 今)学. (5.7.3)

В высокочастотном пределе колебания плазмы носят чисто электронный характер, поэтому столкновительное поглощение определяется столкновениями электронов. В области низких частот s《Qw существенными оказываются столкновения ионов, спектры частот колебаний бесстолкновительной плазмы определяются формулами (5.2.16) (альвеновская и магнитогидродинамическая волны). Учет столкновений частиц не меняет спектров частот колебаний, но меняет декременты их затухания:

А6=»(5・7・4)

2 Q2

где Vг=Vэффm/Лl для невырожденной полностью ионизованной плазмы и Vi=Vin для слабоионизованной плазмы.

Эта формула получается из общего выражения при использовании (5.6.7) и (5.5.6) (в пределе холодной плазмы).

Поправка (5.7.4) существенна, так как, согласно (5.3.8), бесстолкновительное затухание волн в этом пределе экспоненциально мало, особенно заметную роль столкновительная поправка играет при почти поперечном распространении волн, когда бесстолкновительным поглощением можно пренебречь.

Исследуем теперь горячую плазму, т. е. низкочастотную область (o《Qm с колебаниями в промежуточной области фазовых скоростей гм《со/財《％е・ Это альвеновские, быстрые и медленные магнитозвуковые волны, спектры частот которых в бесстолкновительном пределе в случае невырожденной плазмы определяются формулами (5.3.13) и (5.3.14). Учет столкновений 5*131

приводит к изменению компонент тензора е订(①,k), причем изменяется лишь его антиэрмитовская часть. Именно в антиэрми- товской части тензора е订(со, к) появляется столкновительная поправка

(5.7.5)(5.7.5)

(5.7.5)

(5.7.5)

哈^冠*哈^冠*(5.7.6)(5.7.6)о3 Q；略v* A?丄团喙(02血，о3 Q；略v* A?丄团喙(02血，i哈"九CdQ^i哈"九CdQ^6%=一 3%=0,3唱=i±6%=一 3%=0,3唱=i±(5.7.7)(5.7.7)

哈^冠*

哈^冠*

(5.7.6)

(5.7.6)

о3 Q；

略v* A?丄团喙

(02血，

о3 Q；

略v* A?丄团喙

(02血，

i哈"九

CdQ^

i哈"九

CdQ^

6%=一 3%=0,3唱=i±

6%=一 3%=0,3唱=i±

(5.7.7)

(5.7.7)

Здесь для полностью ионизованной плазмы

,6峻=i工园空话鱼啞

“*1。 coQ；(oQ^

4

6%=_6%=一w

и для слабоионизованной плазмы

6% * 6%

В результате для альвеновской волны, которая в бесстолкновительном пределе являлась незатухающей [см. формулу (5.3.13)], появляется декремент затухания

3=^("^”е+*，，(5-7.8)

々丄吸。

где ”е = ^аф@, vf =-—vH —для полностью ионизованнои плазмы и va=van — для слабоионизованной плазмы (а=е, i).

Для быстрой и медленной магнитозвуковых волн, спектры которых в бесстолкновительном пределе определялись формулами (5.3.14), при учете столкновений находим следующие поправки к декрементам затухания:

АЗ+ = — vH — I — + — — sir? 8 干一5 J I 28吸 十

干-1 4—2 cos 2 0 X

XXy 以理

X

X

I吟 丿丿

(5.7.9)(5.7.9)+ 2sin2^(2十3了 (1+cos2^ jj|

(5.7.9)

(5.7.9)

для полностью ионизованной плазмы;

X唯一必吟+吗X唯一必吟+吗出婷COS2 &

X唯一必吟+吗

X唯一必吟+吗

<43 * COS2 心<43 * COS2 心(5.7.10)(5.7.10)О)：—胪 y2 y2 COS2 ®

<4

3 * COS2 心

<4

3 * COS2 心

(5.7.10)

(5.7.10)

для слабоионизованной плазмы.

Особенно простой вид принимают эти формулы для плазмы низкого давления 0 = ^2$/。2A《1, в которой быстрая магнитозвуковая волна становится поперечной, а медленная ——продольной. При этом столкновительные поправки к декрементам затухания равны

(8Tt°

II— для полностью ионизованной плазмы,

А§——《5Те

2I

I Vin для слабоионизованной плазмы.

(5.7.11)

Поправка Дб+ совпадает с Д6 в формуле (5.7.4).

Задачи к гл. 5

Задача 5.1. Получить выражение для тензора диэлектрической проницаемости бесстолкновительной нерелятивистской магнитоактивной плазмы в модели независимых частиц и вычислить среднюю силу, действующую на плазму в СВЧ-поле.

Решение. Линеаризуем систему уравнений, представляющую модель независимых частиц

學 + div% %(I)

относительно невозмущенных значений 八&, VQa =0, Eo=O, Bo^O. Направим ось Qz вдоль поля Во и будем считать возмущенными величинами 3N®, 5У«, Е, В, зависящие от времени и координат в виде ехр(—i(o/+ikr). При этом из уравнения движения получим

⑵⑶⑵⑶一^ + - [6V Bo].

⑵

⑶

⑵

⑶

откуда

i % ① Г Qa Во (ЕВ。)1© % [ЕВ0]

6У = Е ——一

“％(а)2—哨[ 呼 в^ J %®2_qM。

Плотность индуцированного в плазме тока

厶=2 %2% = utjEj.⑷

а

Отсюда диэлектрическая проницаемость плазмы

/ 8丄电 0\

£方=( 一府 £丄 0)，(5)

где 1

。1 У 脸 . y 嗔%

& I 12， g = — 2，

a ①2 - Qаa з(①？ 一 ^а)

Эти выражения в точности совпадают с выражениями, полученными при полном пренебрежении тепловым движением частиц, т. е. в условиях (1). Поэтому часто модель независимых частиц называют также пределом холодной плазмы.

Для получения средней силы, действующей на частицы сорта а, воспользуемся формулой (2.3.25):

Fcpa =齐出/ ®，卜)V Е； £j =詳(呼)一1) V (I12 + IЕ小)+

+ £0步)V (瓦 Ey - % <) + 80 佃俨 一 1) V |&12. (7) Здесь ef g(a)и е俨 определяются выражениями (6) без суммирования по сортам частиц.

Заметим, что средняя сила (7) в магнитоактивной плазме в отличие от случая изотропной плазмы может приводить как к выталкиванию частиц сорта а из области сильного поля, так и, наоборот, к вытягиванию их в область сильного поля. Это зависит от педяризации СВЧ-поля и соотношения между частотой (о и циклотронной частотой'-Q^. Так, в высокочастотном поле линейно поляризованной волны Е=(Е 丄,0, 0) сила, действующая на отдельные электроны магнитоактивной плазмы, составляет

&Ре=— m®2_Q》 VIE丄胃.&Ре=— m®2_Q》 VIE丄胃.⑻⑻

&Ре=— m®2_Q》 VIE丄胃.

&Ре=— m®2_Q》 VIE丄胃.

⑻

⑻

При ①2>Q?e эта сила выталкивает электроны из области сильного поля, а при o)2vQ2e, напротив, втягивает их в сильное поле.

134

Задача 5.2. Исследовать спектры колебаний магнитоактивной плазмы 6 модели одножидкостной гидродинамики при пренебрежении диссипативными процессами. Решение. Линеаризуем систему уравнений (3.6.21)

啰= rot[VB]; divB = O;

[^+ (Vv) v]=—[^+ (Vv) v]=—V P = — c2 e0 [B rot B];V P = — c2 e0 [B rot B];

[^+ (Vv) v]=—

[^+ (Vv) v]=—

V P = — c2 e0 [B rot B];

V P = — c2 e0 [B rot B];

(1)(1)幣十 divpMV = 0

(1)

(1)

по малым возмущениям относительно равновесных значений ром, Vo=O, Bq||0z, считая возмущения 6рм, 6V и В зависящими от времени и координат в виде exp (—i(o/+ikr). В результате получим:

sB + ]k [dVB0]] = 0; (кВ) = 0;

2

一 co6V + —брм к 十5 [Во [кВ]] = О,(2)

РомРом

обрм—Ромкб¥=О.

Здесь % = \z ^^ 1— скорость ионного звука в случае неизотермической газовой плазмы и 外=1/加/(3吗％ е для вырожденной плазмы твердого тела.

Исключая из этой системы орм, запишем ее в виде двух независимых подсистем:

9Ву + 3Ug 尾仇=0 ,)

юбУу + с2 80 ^^ Ву = 0； i⑶

РомJ

o)Bx + ^z Bq 6Vx = 0,、

sBz + &z В。bbz — В。伏丄 6Vx + ^z B，z)=。，

诚厶一三々丄伏丄6% +色3%)+c2% 星(丛民一也丄&) = 0,)(4)

①Ром

0)6 vz - __£_ kz 他 6VX + 论z 5Uz) = 0. ' CO,

Первая подсистема из двух уравнений By и bUy описывает альвеновскую волну, спектр которой

炉=％^2A.(5)

Вторая же подсистема мз четырех уравнений для 8%, Bz, 6VX, 3yz описывает быструю и медленную магнитозвуковые волны с общим дисперсионным соотношением

(О4—G)2^2(V2a4-O2s) +^V2aV23 cos2 9 = 0,(6)

где 3 — угол между к и Во. Отсюда

3：=春胪[吸+成土 /(吟+峭2 - 4吟磋cos28J,⑺

Формулы (5) и (7) в точности совпадают с полученными в § 5.3.

Задача 53 Исследовать продольные волны в бесстолкновительной невырожденной электронной плазме, распространяющиеся строго поперек магнитного поля (моды Бернстейна).

Решение. Дисперсионное уравнение для таких волн, согласно (5.1.1?), записывают в виде

"延 j"

I依曦®2-九2磯I儘

или в области длинных волн (^2у&^0.2^

⑵

Отсюда видно, что в пределе ^->0 решениями этого уравнения являются

①/ 说e + 齡，0)=几％.(3)С другой стороны, в области коротких волн ^2v2T e>Q2e имеем①/ 说e + 齡，0)=几％.(3)С другой стороны, в области коротких волн ^2v2T e>Q2e имеем

①/ 说e + 齡，0)=几％.(3)

С другой стороны, в области коротких волн ^2v2T e>Q2e имеем

①/ 说e + 齡，0)=几％.(3)

С другой стороны, в области коротких волн ^2v2T e>Q2e имеем

т. е. при 用68 решением дисперсионного уравнения является СОТ〃Qe.

Графически решения уравнения (1) представлены на рис. 14.

Задача 5.4. Исследовать моды Бернстейна для вырожденной электронной плазмы.

Решение. Согласно (5.1.16), дисперсионное уравнение для продольных волн, распространяющихся поперек магнитного поля, имеет вид

3 唸 °0 ?—2 f singdO出脸八=1 03 唸 °0 ?—2 f singdO出脸八=1 0(1)(1)

3 唸 °0 ?

—2 f singdO

出脸八=1 0

3 唸 °0 ?

—2 f singdO

出脸八=1 0

(1)

(1)

В пределе ^->0 решениями этого уравнения являются, как и в случае невырожденной плазмы (ом. предыдущую задачу),

(0 = ]/ 3窘 + 店，CO = 〃Qe・(2)

В пределе же 々^Fe》Qe из (1) получаем

R6唸编几2/ kvFe \

一旨]№ 胪*е 0)2_"Q2e

Здесь также при kfg частота колебаний (o->〃Qe, но они носят ооцилляцион- ный характер, как показано на рис. 15.、

Задача 5.5. Исходя из (5.1.7) 〃 (5.1.8) оценить бесстолкновительное поглощение обыкновенной волны, распространяющейся строго поперек магнит' ного поля, обусловленное релятивистскими эффектами движения электронов

в нерелятивистской (тс2》Те) максвелловской плазме.

Решение. Для обыкновенной волны, распространяющейся строго поперек магнитного поля в электронной плазме, имеем

胪—~^~ Ezz = 0，'

Рис. 14. Моды Бернстейна в невырожденной электронной плазме при (OLe>^e ⑷ И CdLe< VQe (6)

Рис. 15. Моды Бернстейна в вырожденной электронной плазме при O)Le>Qe (。) И COLeV V5 (6)

Ограничиваясь колебаниями с длиной волны, намного большей кого радиуса электронов, т. е. Qe》^UTe, из (1) получим

⑴

ларморсвс-

X [6(G)_Qe+ 岑号)十 3(①

Считая для определения Qe/(o>0, отсюда находим

&ZZ =

+ i Ул "4

те

Подстановка (3) в (1) дает спектр частот и декремент затухания обыкновенной волны (c)fco+i3):

(O2 = (O2L е+胪с2；

6 = — ~|/ л

5/2

exp

15 ©2 Qe 喝

.⑷

Видно, что поглощение существует только вблизи циклотронной частоты ①^Qe. Задача 5.6. Получить показатель преломления 〃 коэффициент затухания

электромагнитных волн, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля в области частот ионного циклотронного резонанса в бесстолкновительной невырожденной плазме.

Решение. В области частот co«Qi<CQe общее дисперсионное уравнение

(5.4.1) записывают в виде

(oQ2① ®—Q0'阮範/ J

О)

Вдали от линии резонансного поглощения, когда ①》'(①—Qt)》々。丁 з вкладом электронных слагаемых в (1) всегда можно пренебречь. Для показателя преломления и коэфф|ИЦ1И0нта затухания тонной циклотронной волны имеем

2 哈 1К 脸С 1 г е2(①一ад2] 小 m=一不—=1/з丽7/叫七寸!.⑵ Внутри же линии поглощения, когда (со—Qi)l(kvT i) <1, электронные слагаемые могут оказаться существенными. Так, при и2A《и2T 彳(плазма высокого давления) из уравнения (1) получаем спектр слабозатухающих электронных

волн:

。 脸 1 脸e 1小

拉2 比， %/ (Э)

sQe ' U 8 (020Tf M''

При 哄》吟 £ (плазма низкого давления) электронные слагаемые в уравнении

(1) малы 'И получаем спектр сильнозатухающих ионных циклотронных волн:

n + iX =

"豆喧力传 2\ У 2 ^vTi /

⑷

Bege^=2(/g 譴厂

характеризует при этом

глубину проникновения ионной циклотронной волны в плазму.

Задача 5.7. Исследовать ионно-звуковые колебания в неизотермической за- магниченной плазме с Те》7\^0 6 условиях Q2e^>(o2Li^>^2i.

Решение. В указанных условиях ионно-звуковые волны существуют как при co<Qi, так и при (o>Q「Дисперсионное уравнение для таких волн запи

сывают в виде

依(炉- Q；)

⑴

Отсюда, пренебрегая малой мнимой частью, находим уравнение для спектра частот:

з4 1

+ юи Q； COS2 3 = 0

При ①2l；》Q2£ и 令耍о 1ИМеем приближенные корни

①2 _%・ + Q2 +喲(内圖

+1+喲(胪吩、

⑶

2哈Q沁S2"

0)=—

一 脸+ Q打1 +喇(依廟 138

阂Se d阂Se d1 +tg2^1 +tg2^吸吸⑸⑸(со： — &)2(со： — &)2

阂Se d

阂Se d

1 +tg2^

1 +tg2^

吸

吸

⑸

⑸

(со： — &)2

(со： — &)2

Рис. 16. Спектр частот ионно-звуковых волн в неизотермической магнитоактивной плазме

Этот спектр изображен на рис. Гб. При 0->0, согласно (3), имеем

+"-1 +哈/他嘀

(4)

Декремент затухания с учетом малой мнимой части (1)

Задача 5,8. Найти спектр частот и декремент затухания ионно-звуковых волн в слабоионизованной вырожденной электронно-дырочной плазме 6 области частот Qe》S》G 〃 6 условиях Qe》Ven》瓦叮 е, (H^Vin» Решение. Ионно-звуковые волны существуют в области фазовых скоростей UFe》s/^z》UFi и, являясь продольными, удовлетворяют уравнению

3就 е №D2歩脸7+也20何3就 е №D2歩脸7+也20何-*(5)=。■-*(5)=。■⑴⑴

3就 е №D2

歩脸7+也20何

3就 е №D2

歩脸7+也20何

-*(5)=。■

-*(5)=。■

⑴

⑴

Здесь

僧 忌

° = *Q 丄+『u，

причем D л =v2f e/(3ven), О 丄=№f eVen/(3Q2e) — соответственно продольный и поперечный коэффициенты диффузии электронов в сильном магнитном поле.

Из (1) видно, что слабозатухающие ионно-звуковые волны существуют в области частот ①々々2° и их спектр частот и декремент затухания определяются соотношениями (cof(o+i6):

G)2 =,⑶

1+3脸/期脸)

——2 一2央0展脸/(3猊J .

Затухание ионно-звуковых волн в рассматриваемых условиях обусловлено ионным трением и диффузией электронов.

Задача 5.9. Исследовать распространение обыкновенной волны поперек магнитного поля 8 бесстолкновительной вырожденной электронной плазме е условиях 0)2l e》Q?e》①2.

Решение. Дисперсионное уравнение для обыкновенной волны

k2C2—CO28zz = 0k2C2—CO28zz = 0⑴

k2C2—CO28zz = 0

k2C2—CO28zz = 0

139

в указанных условиях сильно упрощается, лоскольку в 8ZZ [см. формулы (5Л.14) и (5.1.15)] основной вклад дает слагаемое с 〃 = 0:

冗j sin 8 cos2 ® d8о冗j sin 8 cos2 ® d8о⑵⑵

冗

j sin 8 cos2 ® d8

о

冗

j sin 8 cos2 ® d8

о

⑵

⑵

/ kУчитывая свойства функции J。(—/ kУчитывая свойства функции J。(—sm ^ ) в пределе 尼UFe》Ue имеемsm ^ ) в пределе 尼UFe》Ue имеем

/ k

Учитывая свойства функции J。(—

/ k

Учитывая свойства функции J。(—

sm ^ ) в пределе 尼UFe》Ue имеем

sm ^ ) в пределе 尼UFe》Ue имеем

Таким образом, при о)《①Le получаем условие распространения волны

胪 С2 + 3胪 С2 + 3喧Q*喧Q*央唸央唸ЛЛ（讐）=。・（讐）=。・

胪 С2 + 3

胪 С2 + 3

喧Q*

喧Q*

央唸

央唸

Л

Л

（讐）=。・

（讐）=。・

Это уравнение имеет решения с 々2>о (область прозрачности плазмы), если kvv e/Qe«jxls, где Ws — корни функции Бесселя 厶(卩ij=0. Это означает, что вырожденная плазма большой плотности может оказаться прозрачной для низкочастотных колебаний с длиной волны, кратной ларморовскому радиусу электронов.

Задача 5.10. Исследовать распространение циклотронных волн &а частотах o)«sQe при s>2 в электронной плазме под углом 0*0 к магнитному полю.

Решение. При распространении циклотронных волн под углом 9*0 в плазме появляется поглощение(И «а высших гармониках (o«sQe. Считая

|(0 — sQel《勺I %е， kL %е《R&,

где VOe — скорость хаотического движения незырожденной плазмы и скорость Ферми/ е .где VOe — скорость хаотического движения незырожденной плазмы и скорость Ферми/ е .электронов (тепловая скорость дляэлектронов (тепловая скорость длядля igдля igвырожденной плазмы), имеемО 、вырожденной плазмы), имеемО 、6订（①，例=[—ig\06订（①，例=[—ig\0ОООеПОеП(1)(1)

где VOe — скорость хаотического движения незырожденной плазмы и скорость Ферми

/ е .

где VOe — скорость хаотического движения незырожденной плазмы и скорость Ферми

/ е .

электронов (тепловая скорость для

электронов (тепловая скорость для

для ig

для ig

вырожденной плазмы), имеем

О 、

вырожденной плазмы), имеем

О 、

6订（①，例=[—ig

\0

6订（①，例=[—ig

\0

О

О

О

еП

О

еП

(1)

(1)

нене唸Q^s(s2-1)唸Q^s(s2-1)味s猊味s猊(2)(2)Антиэрмитовские части компонентАнтиэрмитовские части компоненттензора £訂(①，k):тензора £訂(①，k):s'2唸s'2唸£)= ga = i£)= ga = i2s s!2s s!ej? ^ Оej? ^ О

не

не

唸

Q^s(s2-1)

唸

Q^s(s2-1)

味s猊

味s猊

(2)

(2)

Антиэрмитовские части компонент

Антиэрмитовские части компонент

тензора £訂(①，k):

тензора £訂(①，k):

s'2唸

s'2唸

£)= ga = i

£)= ga = i

2s s!

2s s!

ej? ^ О

ej? ^ О

диэлектрической проницаемостидиэлектрической проницаемостиЭрмитовские части компонент тензора

диэлектрической проницаемости

диэлектрической проницаемости

зависимо от степени вырождения составляют

для невырожденной плазмы,

gj = ga =

2①肉I咋。

и

о

(4)

для вырожденной плазмы.

Видно, что антиэрмитовские части компонент тензора сравнению с эрмитовскими частями. Поэтому даже внутри 140

Eij(G), к) малы

по

линий циклотронно-

го резонанса на высших гармониках легко найти показатели преломления +改)： ,

поглощение волн слабое. Это позволяет и коэффициенты затухания волн (几一>〃+

（曜 g32一显蜀）siM 8 土,（曜 g32一显蜀）siM 8 土,пп,2 —,2 —

（曜 g32一显蜀）siM 8 土,

（曜 g32一显蜀）siM 8 土,

п

п

,2 —

,2 —

2 ( £： sin2 8 十 ％ cos2 8 )

± M( £干一g'2 — £ j %) sin' 8 + 4g92 “2 cos2 心

1

X1-2=小小…+9心){【sin4g觴一g~ +

2 sin2 8 cos2 Q 时(£： — g‘)+ cos? 0 (1 + cos2 Q)嘴]X

X ]/"(理一g'2 — ei 时)2 sin- ^ + 4 ^э2 еэ2 cos2 Q +

土 [sin纟①(吸一g'2 —呻 8^) (sin2 今(£〔 — ^э)2+(5)

+ cos2 令时(2g： — 2g3 —时)+ 4g3 g92 cos2 今 x

X ( e： sin2 8 — g，sin2 ® + £j cos2 8 )]}.

Задача 5.11. Исходя из выражения (5.5.8) для продольной диэлектрической проницаемости, исследовать диффузионное расплывание малой неоднородности плотности заряженных частиц в слабоионизованной замагниченной плазме.

Решение. Рассмотрим два предельных случая:

электроны плазмы сильно замагничены (Qe》Ven), а ионы не замагни- чены (QiCVin)；

как электроны, так и ионы сильно замагничены (Qa^>van)2

+

脸

О)

渉曉

оэ + i ^2 Di •

Отсюда для замагниченных электронов

唸

"ев

Для ионов же

Di — V^r f/Vi n

(в

случае

а)

Di -十

胪儘

筑

左2

嗫

(в случае б)・

Здесь 尼2=力:+^j , причем 1/々丄 a厶丄——размер неоднородности плазмы поперек, а 1/^ || 4厶 у — размер неоднородности вдоль внешнего магнитного поля.

Приравнивая (1) к нулю и считая характерный размер «неоднородности намного превосходящим дебаевские радиусы электронов и ионов, получаем

1 十 TeQ/(Q 厶)

Отсюда, в частности, следует, что в случае сильно замагниченных электронов и ионов диффузия плазмы поперек магнитного поля （耳। f ° ） всегда

определяется электронами

（т. e. Di^De）

со =—访 j

%П（y）三一~「 ⑶

Если же ионы не за магничены, то для диффузии поперек магнитного поля получаем

3=-嗎^（1+齐）三一%"фф，⑷

llgz>npw 2

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА НЕРАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ

Глава 6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

ПУЧКОВ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С ПЛАЗМОЙ

Тензор диэлектрической проницаемости однородной неравновесной анизотропной плазмы

До сих пор изучались электромагнитные свойства термодинамически равновесной плазмы с максвелловской либо фермиевской функцией распределения частиц по скоростям. Реальная плазма, однако, как правило, далека от термодинамического равновесия. Неравновесность плазмы обусловлена способами ее создания, такими, как электрический разряд в газе либо на поверхности твердого тела, инжекция заряженных частиц в нейтральный газ и его ионизация, инжекция носителей заряда в образец твердого тела и т. д. Очевидно, что первоначально неравновесная, плазма вследствие столкновений частиц стремится стать равновесной. В гл. 3 был рассмотрен ряд задач и определены времена релаксации наиболее характерных неравновесностей плазмы (анизотропия распределения по импульсам, анизотропия температуры и др.), обусловленные столкновениями частиц.

В этой главе покажем, что в неравновесной плазме возникают бесстолкновительные эффекты, которые должны привести к релаксации неравновесного состояния плазмы значительно быстрее, чем столкновения частиц. Именно неравновесная плазма оказывается неустойчивой к различным малым возмущениям, которые всегда возникают в плазме флуктуационным образом. В результате в плазме нарастают электромагнитные поля, разрушающие исходное неравновесное состояние.

Вопрос о том, куда релаксирует исходное неравновесное состояние плазмы в результате развития неустойчивостей, может быть решен лишь на основе нелинейной теории. Но начальная стадия развития неустойчивостей является задачей линейной электродинамики, согласно которой поведение во времени малых возмущений плазмы определяется дисперсионным уравнением (2.4.4):

j k 8ц—財財^" 8"(①,k) J = 0,《6.1.1)

где £订(3, к)—тензор диэлектрической проницаемости пространственно однородной неравновесной плазмы. Корни этого уравнения con(k) определяют при больших значениях / поведение во времени рассматриваемых малых возмущений:

п

Если хотя бы один корень среди (on(k) имеет положительную мнимую часть, т. е. 1т(оп(к) >0, то возмущение в плазме нарастает во времени и плазма неустойчива.

Рассмотрим неустойчивости неравновесной плазмы с функцией распределения частиц сорта а, анизотропной по отношению к внешнему однородному магнитному полю Во, которое направим вдоль оси Ог, т. е. примем, что

/о» = foa (卩丄,Pz)・ (6. L2}

Примерами, такой неравновесной плазмы являются плазма с анизотропной температурой частиц, плазма с пучком заряженных частиц, движущихся вдоль направления магнитного поля и вращающихся вокруг него, и т. п.

Отметим, что в отсутствие электрического и переменного магнитного полей, а также при пренебрежении столкновениями частиц распределение (6.1.2) удовлетворяет стационарному и однородному в пространстве кинетическому уравнению

WB。]醬" (613)

Уравнение же для малого отклонения 6fa(P，0， вызванного переменными полями Е(г, /) и В (г, /), записывается как

警 +v 等 +@ WB。]禦=—%{E + [vB]} /^ • (6」.4)

Решая уравнение (6.1.4) так же, как в § 5.1, т. е. считая воз» мущенные величины зависящими от времени и координат в виде ехр (—i(o/ + ikr), направляя ось Ох вдоль вектора к 丄 и подставляя найденное при этом значение д/а(р, /) в выражение для плотности индуцированного в плазме тока

j = W ja= W % J dpvbfa(p,办(6.1.5)

aa

окончательно получаем тензор диэлектрической проницаемости неравновесной плазмы для рассматриваемых условий:

沁(①,k) = M+ S f dp^y f d^ х

a喚財i i Opi

X ( 2%空 "j 十 ^^")哀 exP {"^"[®-尼z %)(屮' •一Ф)-

—々丄 и丄(sin 屮'一sinф)] I , (6.1.6)

где 丫=(1—加儿2)一1/2, а 皂仪=ОаВ^та. Учитывая далее вид невозмущенной функции распределения (6.1.2) и интегрируя выражение (6.1.6) по углам, получаем

sij (①，k) = 6j；+ 2 asij (①，k) = 6j；+ 2 aSnSn® - k2 %)—— + 居 ％ —Г~0PlOPz(d) — kzv2 — n Q/y) %® - k2 %)—— + 居 ％ —Г~0PlOPz(d) — kzv2 — n Q/y) %口歹，(6.1.7)口歹，(6.1.7)

sij (①，k) = 6j；+ 2 a

sij (①，k) = 6j；+ 2 a

Sn

Sn

® - k2 %)—— + 居 ％ —Г~

0PlOPz

(d) — kzv2 — n Q/y) %

® - k2 %)—— + 居 ％ —Г~

0PlOPz

(d) — kzv2 — n Q/y) %

口歹，

(6.1.7)

口歹，

(6.1.7)

где

={ 一力：={ 一力：nJn (尤)『九(%)nJn (尤)『九(%)XXE；）=Fa/；a =鹏十人（盼4（盼E；）=Fa/；a =鹏十人（盼4（盼0丄以-у-0丄以-у-叱J?(%)叱J?(%)— ivzvL 厶(无)J； (x),— ivzvL 厶(无)J； (x),

={ 一力：

={ 一力：

nJn (尤)『九(%)

nJn (尤)『九(%)

X

X

E；）=Fa/；a =

鹏十人（盼4（盼

E；）=Fa/；a =

鹏十人（盼4（盼

0丄以-у-

0丄以-у-

叱J?(%)

叱J?(%)

— ivzvL 厶(无)J； (x),

— ivzvL 厶(无)J； (x),

(6.L8)%= —А_у.Qa(6.L8)%= —А_у.QaFl（W4（）一加丄J；⑶,"'Fl（W4（）一加丄J；⑶,"'。丄 Vz -^^ Ш± % Jn (x) J； (x) v\ J2 (%)

(6.L8)

%= —А_у.

Qa

(6.L8)

%= —А_у.

Qa

Fl（W4（）一加丄J；⑶,"'

Fl（W4（）一加丄J；⑶,"'

Дальнейшее вычисление диэлектрической проницаемости требует задания явного вида функции，0仪(卩丄,р ц), которую запишем следующим образом:

J("丄-匕0)2("11一勺0)2

р -

foa(Р丄，Р]|)=foa(Р丄，Р]|)=• (6.1.9)• (6.1.9)2m以7丄a 2加aT||a

foa(Р丄，Р]|)=

foa(Р丄，Р]|)=

• (6.1.9)

• (6.1.9)

P 丄。2冗/7 丄 a%Hia

Такая функция приближенно описывает систему частиц,, обладающих средним продольным (по отношению к направлению Во) рцо и средним поперечным р 丄о импульсами; тепловой разброс по импульсам при этом определяется температурами 7口《 и Т丄а соответственно в продольном и поперечном направлениях, причем предполагается, что Т^^rn^, Т丄а《优《с?. В отсутствие средних движений (р丄о = Рно=6) вместо функции (6.1.9) следует пользоваться функцией

о°ехро°ехр"丄"丄人人2%乙2%乙2%Г||а2%Г||а(6.1.10)(6.1.10)

о°ехр

о°ехр

"丄

"丄

人

人

2%乙

2%乙

2%Г||а

2%Г||а

(6.1.10)

(6.1.10)

соответствующей плазме с анизотропной температурой. В пределе же холодной плазмы Г ±а = 71 ца = 0 из (6.1.9) имеем

N (6.1.11) 2冗р丄。

Это распределение описывает моноэнергетическую систему частиц, вращающихся поперек направления внешнего однородного магнитного поля с импульсом р 丄 о и движущихся вдоль него с импульсом ри。. К реальной системе оно применимо в условиях, когда тепловым разбросом частиц по импульсам можно пренебречь, т. е. При р 丄 0》У勿Z(zT丄а, Рн 0》М加а7'||а・

Вычисление компонент тензора диэлектрической проницаемости (6.1.7) с помощью распределения (6.1.9) в общем случае сопряжено с громоздкими математическими выкладками, приводить которые здесь нет необходимости, поскольку при рассмотрении конкретных задач эти вычисления сильно упрощаются. На них остановимся далее. Здесь же изложим еще один способ нахождения тензора диэлектрической проницаемости неравновесной плазмы, имеющий довольно общий характер, хотя он и применим в условиях, когда отсутствует вращение частиц поперек магнитного поля, т. е. р 丄 о = О. При этом можно перейти в инерциальную движущуюся систему координат, в которой отсутствует и продольный импульс р fl о У частиц сорта а и которая, таким образом, связана с ними. Очевидно, что распределение частиц этого сорта по импульсам имеет вид (6.1.10). При Т 丄а =Т ца это распределение совпадает с максвелловским. Тензор диэлектрической проницаемости для частиц сорта а в последнем случае был вычислен в предыдущей главе [см. выражение (5.1.10)], а для анизотропной плазмы с Т丄а* =#Т ца его вычисление не представляет труда и проводится в следующем параграфе [см. формулы (6.2.4)]. Используя эти выражения, можно найти тензор диэлектрической проницаемости многокомпонентной плазмы в лабораторной системе координат, не решая заново кинетического уравнения, а основываясь лишь на формулах преобразования Лоренца. Действительно, полный 146

индуцированный ток в плазме есть сумма токов отдельных ее компонент:

厶®, k)= S /«£ = 2 哨)®,к)品(6.1.12)

аа

где о(а%(со, к)—вклад в тензор проводимости, обусловленный частицами сорта а, в лабораторной системе координат.

Чтобы найти тензор о(а)订(s, к), перейдем в движущуюся со скоростью иа собственную систему координат, связанную с частицами сорта а:

Pllo =恨 ％ %，Ya = (1 —吗储-1/2.(6.1.13)

В этой системе координат

/；觴，兄)=哨)觴，k； ) %觴，兄)・(6.1.14)

Здесь % и к%— лоренцевски преобразованные частота и волновой вектор:

< =®—k%) Ya,

kj=k + UaYa 前，(6.1.15)

o(a)订((о%* k‘力一тензор проводимости частиц сорта а в собственной движущейся системе координат, Е'а и 『位一напряженность электрического поля и плотность тока в этой системе, которые связаны с Е и ja формулами преобразования Лоренца:

/а/ = aij (%) i，j> Е/ = В" (Ua) Е力(6-1.16)

где,

a打(%) = &j + %(1一丄)十刍,

B〃 (ua) = —电2 (Ua) = —Sij +①CO

+ Va+ VaA%(!)A%(!)(6.1.17)(6.1.17)

+ Va

+ Va

A%

(!)

A%

(!)

(6.1.17)

(6.1.17)

Из формул (6.1.12) — (6.1.17) легко получить тензор диэлектрической проницаемости многокомпонентной плазмы в лабораторной системе координат:

而(①,k) = g + — 2 а加(％)嘴)(％, к；)恥(％)=

=6订十号 *" а 也(％)[喘)(纥，к； ) 一figvl ₽v/ Iua) • (6.1 • 18)

В этом выражении 鼠⑴名“⑴%, к%)——диэлектрическая проницаемость частиц сорта а в собственной движущейся системе координат —считается известной [см. (5.1.10) и (6.2.4)].

При использовании формулы (6.1.18) следует иметь в виду, что в выражении для £(а*(з'а，к%) наряду с частотой и волновым вектором преобразуются плотность частиц (вследствие сокращения объема) и их масса. В результате ленгмюровская частота (о；а = SLa т~1/2, где(oLa =丿当остается инвариантной, а ларморовская частота преобразуется: С'^ =◎« =еаВо[та. Здесь No 位一плотность частиц сорта а в лабораторной системе координат, а ma — их масса покоя.

В заключение заметим, что формулы (6.1.16) и (6.1.17) обобщают известные материальные соотношения Минковского для движущихся изотропных сред на случай анизотропных сред с учетом частотной и пространственной дисперсии. Особо простой вин эти формулы принимают в нерелятивистском пределе, когда иа <с:

%=3 —klla, K=k,

%j(Ua) = 6万+6力(%)=上二上& 6订+ 出山.(6.1.19) s — ku„ (o о

§ 6.2. Неустойчивость плазмы

с анизотропной температурой частиц

В качестве первого примера неустойчивости неравновесной плазмы рассмотрим плазму с анизотропной температурой частиц, т. е. с функцией распределения по импульсам (6.1.10). Ограничиваясь нерелятивистским распределением по импульсам и вводя обозначения

m寸р2% m：Pl

= 咨 三= -i

22m22加

перепишем выражение (6.1.7) в виде

加式①，к) = &>— &j—

8q2 3°j

Wа

W а

『dpu：寿- 2%炉J 丄0卷丄

где

%炉

5黑+

+ £ 2 鼻 J dpа n £0 ①z

小/g *+叫*)(622)

(0 一 祝◎a 一色%

ГУ)，"

用"4整))

・(6.2.3)

а

а

Подставляя распределение (6.1.10), анизотропной температурой частиц, компонентах:

соответствующее запишем тензор

плазме с

(6.2.2) в

& = 1— 2 W а п

'丄а [①

?11a "吗

Cx

х"(九)"譽(詮 一)]}'

@T丄a

°5 一九 ％711a

J+(%)[1+ 学]宏 一1)口

7丄а711a

"叫 ?11a

A他a)[】+譬母-1)]}

%z = % = w w a n

〃脸 71a

叫

X

1 +

/|аnQ||й)

4(%) 力丄

[1—J+ (Рпа)] X

—讣

(624}

&Z = —£zg= —i £ а

? "^ Я? 43 晉 U-」+ 他"1 x

X

1+

%=1 + 2 2 -脸 fУ 4 з)[1 一 4 偉Па)] X а п妤吟j co

где

Из формул (6.2.4) предельным переходом В0->0 можно получить компоненты тензора диэлектрической проницаемости анизотропной плазмы Т丄а ¥=Т||а в отсутствие внешнего магнитного поля. Однако такой предельный переход математически труден, так как связан с суммированием функций Бесселя при больших значениях аргумента, о чем говорилось в гл. 5. Для вывода тензора £订(со, к) анизотропной немагнитоактивной плазмы проще исходить из выражения

а 呪① (о — kv dpi L \ (o 丿 © _

(625) обобщающего формулу (4.1.9) на случай произвольной анизотропной функции распределения %а(Р)・ При этом удобно ввести следующую систему координат: ось Oz направить вдоль вектора к, а ось Ох — так, чтобы вектор п ц , определяющий направление, в котором температура частиц равна Г ца , лежал в плоскости хг. Угол между пик обозначим 仆；вращение вектора п丄，перпендикулярного вектору п и , определяет плоскость, в которой температура частиц равна 力丄а (рис. 17).

В результате для тензора диэлектрической проницаемости анизотропной плазмы получаем

(626)(626)/8и 0 ei3efj (о, к) = 0822 О

(626)

(626)

0%2

где.

%= 1- 2 华= [(тМат丄a-2sin28cos28(71似一&。产)X a I

X (4 (吟 一 1) + sin2 行 cos2 ® (T^-T^ (喈 J+(₽；)-p^-l)]j,

%3 = %I = E 冬.产(T丄a-T1|a)［風2- I) J+ (К)一К用(6.2.7) a ①27a

Здесь

T；=Tgcos28+7\aSin2®；依=^丿*•

Анализ устойчивости анизотропной плазмы начнем с плазмы в отсутствие внешнего магнитного поля. Подставляя выражение (6.2.6) в (6.1.1), получаем два независимых уравнения:

胪一号 ％2 = 0， (6.2.8)

(必一^" %)①3 + * 端=0.(必一^" %)①3 + * 端=0.(6.2.9)(6.2.9)

(必一^" %)①3 + * 端=0.

(必一^" %)①3 + * 端=0.

(6.2.9)

(6.2.9)

(6.2.10)(6.2.11)(6.2.10)(6.2.11)71a при д=л/2.71a при д=л/2.Рис. 17. Геометрия распространения волны в анизотропной плазмеРис. 17. Геометрия распространения волны в анизотропной плазме

(6.2.10)

(6.2.11)

(6.2.10)

(6.2.11)

71a при д=л/2.

71a при д=л/2.

Рис. 17. Геометрия распространения волны в анизотропной плазме

Рис. 17. Геометрия распространения волны в анизотропной плазме

Первое из них описывает чисто поперечную волну к丄Е||Оу, второе ——продольно-поперечную волну, в которой поле Е лежит в плоскости хг. Лишь при 0=0 или 9=冗/2 эта волна распадается на чисто продольную (E||Oz||k) и чисто поперечную (к±Е||Ох):

езз=0,火一* Ji = 0,

причем 7，*a = 71ila при 8 = 0 и T*a =

Легко видеть, что продольные колебания в плазме с анизотропным давлением всегда устойчивы. Поэтому ограничимся исследованием лишь поперечных волн, описываемых уравнениями (6.2.8) и (6.2.11), для простоты рассмотрим случай Н = 0 либо 合=冗/2. При 0=0 имеем 811 = 822 и указанные уравнения тождественны, £н=И=£22 при 仆=冗/2. Однако в последнем случае уравнение (6.2.8) аналогично уравнению для поперечных волн в изотропной плазме с температурой Ta = T ±а и имеет лишь устойчивые решения. Таким

образом, для анализа устойчивости анизотропной плазмы достаточно исследовать уравнение (6.2.11), которое при 仔=0 имеет вид

紹或=d 卜一曰専 1+ 牙(J+(p||a)-l)Jj. (6.2.12)

Уравнение при 8 = п/2 получается отсюда заменой 7 g ©Сет Поэтому рассмотрим лишь распространение волн под углом 杼=6.

Пусть в плазме анизотропной температурой обладает электронная компонента, ионную функцию распределения для простоты будем считать изотропной. Покажем, что такая плазма всегда неустойчива. Действительно, из уравнения (6.2.12) и условия |3||е》1 (т. е. s》^U|]e) имеем

卜一鲁(1+ 学)]•(6.2.13)

Корни этого биквадратного уравнения с хорошей степенью точности равны

吒=-.喰”ё 出%.(6.2.14)

^L + ^C^丄‘

Второй корень (о22<О, что соответствует наличию гидродинамической апериодической неустойчивости в анизотропной плазме.. Из условия S2》^U||e следует, что такая неустойчивость возможна только при достаточно большой анизотропии электронной температуры, когда Т^е^Т^ Аналогичный вывод имеет место, если 7|【е》Т _Le・

Не надо, однако, думать, что для развития неустойчивости в плазме необходима сильная анизотропия электронной температуры. Неустойчивость может существовать и при очень малой анизотропии. Чтобы убедиться в этом, (проанализируем уравнения (6.2.12) в условиях р]|е《1,仇》1 (т. е. kVTi<^a)<^kv ц е):

+唸卜一^卜i ^ 索含+ % = 0.(6.2.15)

Отсюда находим

з收 + 啥卜(6216)

Видно, что в неограниченной плазме (в которой волновой вектор к может быть сколь угодно малым) при 7 丄е》Т “е величина б = 1ш(о может стать положительной, а колебания ——неустойчивыми. Эта неустойчивость также является апериодической, но в отличие от рассмотренной обусловлена изменением знака мнимой части е у, т. е. связана с черенко'вскИ|М механизмом диссипации,

поэтому ее называют кинетической. Очевидно, что такая же неустойчивость существует и при Т це>Т 丄 е н описывается формулой (6.2.16) с заменой Т±е^Тце.

Неустойчивость плазмы с анизотропной температурой частиц сохраняется и при наличии внешнего магнитного поля. Покажем это на лримере ©олн, распространяющихся строго вдоль магнитного поля (左=力“， 也丄 =0). В этом случае уравнение (6.2.1) распадается на два уравнения:

部=?(忆士 i%g)， (6.2.17)

Ezz=0. (6.2.18)

Уравнения (6.2.17) описывают поперечные (обыкновенную и необыкновенную) волны, а уравнение (6.2.18), в точности совпадающее в (6.2.10), — чисто продольную волну. Таким образом, продольные колебания 8 анизотропной магнитоактивной плазме при строго продольном распространении, так же как и в отсутствие магнитного поля, всегда устойчивы. Для поперечных волн при подстановке выраженной (6.2.4) в (6.2.17) получаем

2 а2 а(6.2.19)(6.2.19)

2 а

2 а

(6.2.19)

(6.2.19)

Пусть в плазме анизотропна электронная температура. Устойчивость такой плазмы естественно исследовать относительно высокочастотных колебаний, в которых ионы принимать участия не могут. В области частот (со——Qe) ^>kv ^ е дисперсионное уравнение высокочастотных электронных колебаний согласно (6.2.19) записывается в виде

合必=0)2 1合必=0)2 11 ®干兔）21 ®干兔）2脸（0加］脸（0加］士*(1士*(1—4— +i①® + Qe)—4— +i①® + Qe)(6.2.20)(6.2.20)

合必=0)2 1

合必=0)2 1

1 ®干兔）2

1 ®干兔）2

脸

（0加］

脸

（0加］

士*(1

士*(1

—4— +i

①® + Qe)

—4— +i

①® + Qe)

(6.2.20)

(6.2.20)

Отсюда для обыкновенной волны при (o《Qe (в этой области частот ее называют спиральной волной) находим ((o->(o + i6)

з=竺(6.2.21)

（吁%产

Видно, что при Т 丄 е>Т не волна неустойчива; поскольку s《Qe, неустойчивость имеет место практически при сколь угодно малой анизотропии. Она обусловлена изменением знака анти- эрмитовской части тензора диэлектрической проницаемости при 7丄 е>7 II е и в этом смысле является кинетической. В области же частот(о》5, когда магнитным полем в (6.2.19) можно пренебречь, это уравнение переходит в (6.2.12), при исследовании которого было показано, что наряду с кинетической неустойчивостью в анизотропной плазме с Т 丄 е》Т jje возможна гидродинамическая неустойчивость со спектром (6.2.14).

Теперь, когда рассмотрен вопрос о развитии неустойчивостей в бесстолкновительной плазме с анизотропной температурой, можно сравнить инкременты их нарастания с обратным временем релаксации температуры, обусловленной столкновением частиц, и тем самым выяснить пределы применимости полученных формул. Как было показано в гл. 3 (см. задачу 3.5), релаксация анизотропии электронной температуры в полностью ионизованной плазме определяется электрон-электронными и электрон-ионными столкновениями, а в слабоионизованной плазме ——столкновениями электронов с нейтральными частицами. Поэтому справедлив вость полученных формул определяется неравенствами

Im(о》”зфф，ven (6.2.22) соответственно для полностью ионизованной и слабоионизованной плазмы. Именно эти условия определяют минимальную анизотропию температуры электронов, выше которой плазма оказывается неустойчивой.

§ 6.3. Взаимодействие прямолинейного электронного пучка с плазмой. Черенковская неустойчивость

Рассмотрим другой пример неравновесной плазмы, очень распространенный в различных практических приложениях, — плазму, в которой небольшая группа электронов обладает достаточной направленной скоростью и движется относительно остальных «покоящихся» частиц. Другими словами, исследуем плазму, в которую инжектирован релятивистский электронный пучок с малой по сравнению с плазмой плотностью. Будем считать, что электронный пучок движется строго прямолинейно вдоль внешнего магнитного поля, так что равновесная функция распределения электронов пучка имеет вид (6.1.2). Более того, предположим, что в собственной системе координат они имеют максвелловское распределение с нерелятивистской температурой (разбросом по энергиям), остальные «покоящиеся» частицы плазмы также считаем распределенными по Максвеллу, но в лабораторной системе координат. Это позволяет при вычислении диэлектрической проницаемости плазмы в целом воспользоваться общими формулами преобразования (6.1.18), в которых тензор 154

£(a)订(g'a,々%) определяется выражением (5.1.10) для частиц сорта а.

Анализ устойчивости плазма-пучковых систем начнем со случая прямолинейного моноэнергетического электронного пучка, взаимодействующего с холодной плазмой. Очевидно, что такой пучок может двигаться лишь строго вдоль магнитного поля. Модель же рассматриваемой плазма-пучковой системы применима для описания быстрых процессов с характерными скоростями, намного превышающими тепловые скорости частиц пучка и плазмы, так что последними можно полностью пренебречь. Пренебрежем также и столкновениями частиц, считая, что характерные времена развития процессов намного меньше времен релаксации направленной скорости электронов пучка в плазме.

Для моноэнергетического электронного пуч1ка в собственной системе координат и частиц холодной плазмы в лабораторной системе координат можно воспользоваться выражениями (5.2.2) и (523), которые при учете формул преобразования (6.1.17) и (6.1.18) приводят к следующим выражениям для компонент тензора диэлектрической проницаемости плазма-пучковой системы:

脸Q/丄％脸Q/丄％(6.3.1)(6.3.1)£gz = — % = i 工 a£gz = — % = i 工 a

脸Q/丄％

脸Q/丄％

(6.3.1)

(6.3.1)

£gz = — % = i 工 a

£gz = — % = i 工 a

% = 1 — 2 a% = 1 — 2 a唸吟.-L寸唸吟.-L寸喰%考.碓喰%考.碓

% = 1 — 2 a

% = 1 — 2 a

唸吟.

-L寸

唸吟.

-L寸

喰%考.碓

喰%考.碓

广02 N

Здесь ①La=]/ —-―— ленгмюровская частота частиц сорУ 80 %

та a(Aroa——их плотность в лабораторной системе координат); з% = (з—Uak)Ya，где ya = (1—z/2a/с2)-1^, иа — направленная скорость частиц сорта а, а Qq=—их ларморовская частота.

Подставляя (6.3.1) в уравнение (6.1.1), можно исследовать спектры колебаний любой многопотоковой плазмы в условиях пренебрежения тепловыми движениями частиц. Проанализируем теперь случай, когда моноэнергетический электронный пучок малой плотности пронизывает холодную плазму. Заметим, что при

инжекции электронного пучка в плазму в последней индуцируются заряды и токи, нейтрализующие заряд и ток пучка (см. задачу 6.1). В результате плазма-пучковая система оказывается бестоко- вой и полностью нейтрализованной. Что касается направленной скорости электронов плазмы, создающих обратный ток, нейтрализующий ток пучка, то при плотности плазмы ^p, намного превышающей плотность электронов пучка Nb, она оказывается малой: 〃尸 — Иь《也ь =北,и ею можно пренебречь. Сказанное позволяет использовать для исследования свойств плазма-пучковой системы выражения (6.8.1).

Подставляя (6.3.1) в уравнение (6.1.1) и в первом приближении пренебрегая пучковыми слагаемыми, получаем дисперсионное уравнение для электромагнитных колебаний холодной магнитоактивной плазмы, подробно проанализированное в § 5.2. Учет пучковых слагаемых должен давать малые поправки к найденным там спектрам. Из (6.3.1) легко видеть, что эти поправки наиболее существенны в тех областях частот и фазовых скоростей волн, в которых пучковые слагаемые в компонентах тензора диэлектрической проницаемости неограниченно возрастают. Это имеет место в условиях

(0 — »^2^J '(0 =总z〃土Qe/% (6.3.2)

причем при выполнении первого равенства, называемого условием черепковского резонанса, пучковые слагаемые в случае прямолинейного пучка имеют полюс второго порядка, а при выполнении второго равенства, называемого условием циклотронного (доплеровского) резонанса, — полюс первого порядка. Таким образом, для прямолинейного пучка наиболее сильное взаимодействие с плазмой следует ожидать при выполнении условия черепковского резонанса.

(6.3.3)(6.3.3)Анализ взаимодействия моноэнергетического прямолинейного электронного пучка с холодной плазмой начнем с простейшего случая, когда отсутствует внешнее магнитное поле, так что ①'а 》^а • При этом (6.1.1) распадается на два уравнения:

(6.3.3)

(6.3.3)

①2((0 - kz "户/

Здесь o)Le и Sb — ленгмюровские частоты электронов плазмы и пучка соответственно. При выводе уравнений (6.3.3) ионными слагаемыми было пренебрежено ввиду их малости, т. е. рассмотрено взаимодействие электронного пучка с высокочастотными колебаниями плазмы.

Легко видеть, что первое уравнение (6.3.3) описывает устойчивые колебания плазмы со спектром частот

0)2= (02Le +(D26Y-1 + 必。2.(6.3.4)

Вклад электронов пучка вследствие малости его плотности при этом НИЧТОЖ.НО мал. Устойчивость колебаний легко понять, если учесть, что электрическое поле в них направлено вдоль оси Оу (чисто поперечная волна, Е丄к), а следовательно работа поля волны над электронами пучка равна нулю:

Еи = 0.(635)

Второе уравнение (6.3.3) описывает продольно-поперечнук> волну с отличными от нуля компонентами поля Ех и Ez. Здесь Ей，0 и возможно воздействие поля на электроны пучка. Пучок может тормозиться полем волны, передавая ей часть своей энергии. Возникшая в системе флуктуационным образом волна будет нарастать во времени ——система оказывается неустойчивой. Действительно, пучковые слагаемые в уравнении (6.3.3) наиболее существенны в области частот черенковского резонанса, поэтому решения этого уравнения следует искать в виде

=比" + 6,

где 6《со. В результате находим, что при а^^^^^^ъе

62 =62 =1-吭/（磅冰）1-吭/（磅冰）磅冴02一局"2+脸磅冴02一局"2+脸(6.3.6)(6.3.6)

62 =

62 =

1-吭/（磅冰）

1-吭/（磅冰）

磅冴02一局"2+脸

磅冴02一局"2+脸

(6.3.6)

(6.3.6)

а При (02^&2z^2^G)2Le丸 2 •二号 j.а При (02^&2z^2^G)2Le丸 2 •二号 j.УУ1313(6.3.7)(6.3.7)

а При (02^&2z^2^G)2Le

丸 2 •二号 j.

а При (02^&2z^2^G)2Le

丸 2 •二号 j.

У

У

13

13

(6.3.7)

(6.3.7)

Зз =① LeЗз =① LeNb 1+居 У' 丫/зNb 1+居 У' 丫/з2Np 丫2Np 丫

Зз =① Le

Зз =① Le

Nb 1+居 У' 丫/з

Nb 1+居 У' 丫/з

2Np 丫

2Np 丫

с час-с час-Из соотношений (6.3.6) и (6.3.7) видно, что колебания

с час-

с час-

тотой ①^々z〃 неустойчивы (Im(o = Im6>0) и нарастают во времени, если hz^Wsie. В отсутствие резонанса, з^財 〃寸=3Le, инкремент нарастания Im 6^ (Nb/Np) 1/2о)ье, для резонансной же неустойчивости, когда (o^^z〃^(OLe, инкремент нарастания значительно больше: Im 6 〜(Nb/Np)i/3(0Le・ Это и понятно,, поскольку в резонансе скорость пучка совпадает с фазовой скоростью распространения собственных колебаний плазмы, а именно со скоростью продольных волн. Действительно в резонансном случае происходит возбуждение продольных волн релятивистским пучком, в. чем легко убедиться, записав дисперсионное уравнение продольных волн в отсутствие магнитного поля:

£ =£ =警％ ®,k)=I -2-名三里*工"(6.3.8)

£ =

£ =

籽©2((0—论z")4左 2

В отсутствие пучка (о)ь = О) уравнение (6.3.8) описывает электронные ленгмюровские колебания плазмы. На пересечении спектра этих колебаний с прямой, соответствующей условию черепковского резонанса (рис. 18), происходит сильное взаимодействие электронного пучка с плазмой и 'возбуждение колебаний. Именно в этих условиях решения уравнения (6.3.8) в точности совпадают с (6.3.7).

Таким образом, при взаимодействии электронного пучка малой плотности с изотропной плазмой в условиях черепковского резонанса происходит резонансное возбуждение продольных волн в плазме. Заметим, что поперечные электромагнитные волны в изотропной плазме возбуждаться не могут, поскольку их фазовая скорость, как было показано в гл. 4, всегда больше скорости света и электронный пучок с ними резонансно взаимодействовать не может. Кроме того, согласно (6.3.7), для неустойчивого корня ди- сперсион1ного уравнения Re 包之0. Это означает, что u>^/kZf т. е. электроны пучка догоняют волну, передавая часть своей кинетической энергии полю. Амплитуда поля при этом растет, возрастает и его энергия, поскольку возбуждаемая пучком продольная волна в случае изотропной плазмы является волной с положительной энергией:

I砌2計s出(s)=|#|2言 “1 一穿)I砌2計s出(s)=|#|2言 “1 一穿)>0.>0.(6.3.9)(6.3.9)

I砌2計s出(s)=|#|2言 “1 一穿)

I砌2計s出(s)=|#|2言 “1 一穿)

>0.

>0.

(6.3.9)

(6.3.9)

Рассмотренная черепковская неустойчивость электронного пучка в плазме имеет место и при наличии внешнего продольного магнитного поля. Если магнитное поле слабое, так что j6| >йеу_1, то в выражениях (6.3.1) им можно пренебречь и

вие электронного пучка с продольными колебаниями изотропной плазмывие электронного пучка с продольными колебаниями изотропной плазмыРис. 19. Черенковское взаимодействие электронного пучка с колебаниями холодной магнитоактивной плазмыРис. 19. Черенковское взаимодействие электронного пучка с колебаниями холодной магнитоактивной плазмы

вие электронного пучка с продольными колебаниями изотропной плазмы

вие электронного пучка с продольными колебаниями изотропной плазмы

Рис. 19. Черенковское взаимодействие электронного пучка с колебаниями холодной магнитоактивной плазмы

Рис. 19. Черенковское взаимодействие электронного пучка с колебаниями холодной магнитоактивной плазмы

справедливыми окажутся все полученные формулы. Если же магнитное поле сильное и Qe》①Le， то в формулах (6.3.1) можно перейти к пределу бесконечного магнитного поля. При этом из (6.1.1) получим два уравнения:

(6.3.10)(6.3.10)胪一 条 = 0,

(6.3.10)

(6.3.10)

"(唠一号儿一宇"(唠一号儿一宇Q犷3_(①一厶"户.Q犷3_(①一厶"户.=0.=0.

"(唠一号儿一宇

"(唠一号儿一宇

Q犷3_

(①一厶"户.

Q犷3_

(①一厶"户.

=0.

=0.

Первое из них описывает чисто поперечную волну (Е||Оу) с фазовой скоростью s/^z>c, с ней пучок вообще не взаимодействует. Второе же уравнение описывает продольно-поперечные волны с отличными от нуля компонентами поля Ех и Ez и поэтому взаимодействующие с пучком. В отсутствие пучка это уравнение дает ветви колебаний

收，(6.3.11)收，(6.3.11)

收，(6.3.11)

收，(6.3.11)

соответствующие быстрой и медленной волнам. Электронный пучок резонансно может взаимодействовать лишь с медленной волной (рис. 19) и то при условии

^3 >论：^ Y2 +еe久^3 >论：^ Y2 +еe久(6.3.12)(6.3.12)

^3 >论：^ Y2 +еe久

^3 >论：^ Y2 +еe久

(6.3.12)

(6.3.12)

Решение второго уравнения (6.3.10), соответствующее нарастающим во времени колебаниям, при этом имеет вид

со = ^2«+ 6 = ^02^—^ t^ Y2 + 6;(6.3.13)

если |6/з|《[2(у2—1]т；

если |6/s] > [2 (y2— 1)L ・

В этом случае также Re6^0, поэтому 〃>@/居 и электроны пучка, догоняя волну, передают ей часть своей энергии. Для нерелятивистского пучка, когда у->1, возбуждаемая волна с большой степенью точности является квазипродольной (потенциальной), а с ростом у становится сильно непотенциальной.

уравнениямпучком вол-(6.3.14)уравнениямпучком вол-(6.3.14)22Такую передачу энергии направленного движения электронов, вполне легко понять, если заметить, что, согласно (6.3.3) и (6.3.10), групповая скорость возбуждаемой ны вдоль оси Oz равна (при |6/(о| С [2(у2—I)]-1

уравнениямпучком вол-

(6.3.14)

уравнениямпучком вол-

(6.3.14)

2

2

т. е. она всегда меньше скорости и пучка. Заметим, кроме того, что эта скорость положительна, а поэтому волна переносит энергию в направлении движения электронов пучка. Такую волну принято называть попутной, а рассмотренную неустойчивость на попутной волне называют конвективной или сносовой, подчеркивая тем самым, что возмущения сносятся электронным пучком.

Выше мы проанализировали вопрос об электродинамической устойчивости термодинамически неравновесной среды, состоящей из холодной плазмы и моноэнергетического прямолинейного пучка. Решая начальную задачу, мы нашли условия возбуждения начальных флуктуациоиных возмущений, их спектры частот и инкременты нарастания. Совершенно очевидно, что в такой среде должны также усиливаться подаваемые извне электромагнитные возмущения. Чтобы убедиться в этом, следует решать граничную задачу как это было изложено в § 2.6, т. е. из дисперсионного уравнения колебаний определить комплексную компоненту волнового вектора в заданном направлении распространения волны. Мы сделаем это здесь для случая сильно замагниченной плазмы с пучком. Для этого определим из второго уравнения (6.3.10) комплексное значение kz в условиях выполнения черепковского резонанса. Тем самым проанализируем вопрос об усилении волн в направлении внешнего магнитного поля. Получаем

a = ? + 6財=十/唸二可彦F+ 6也；

'2〃 l 2Y7 论2 "2 丿丨0丨 2 (72 - 1)

(6315)

(" %口丿 y|①丨2(Y2-D

Величина ImO^z представляет собой коэффициент усиления волн в направлении z>0.

Обсудим теперь вопрос о роли теплового движения электронов плазмы и пучка в развитии черенковской неустойчивости. Ранее тепловым движением частиц было полностью пренебрежено. Поэтому полученные формулы справедливы в условиях, когда фазовые скорости волн в лабораторной системе координат больше тепловых скоростей электронов плазмы, а в собственной системе координат пучка ——больше разброса электронов пучка по скоростям:

更》(6.3.16)

Здесь ите — тепловая скорость электронов плазмы, а ^丁匕—нерелятивистский разброс электронов пучка по скоростям в собственной системе координат.

160

Чтобы более строго обосновать условия (6.3.16) а также выяснить, как видоизменяется черенковская пучковая неустойчивость при их нарушении, рассмотрим взаимодействие пучка с плазмой при учете теплового движения частиц. Для упрощения ограничимся продольными волнами, возбуждаемыми пучком и распространяющимися строго вдоль направленной скорости пучка (и магнитного поля). Тогда дисперсионное уравнение колебаний электронной плазма-пучковой системы имеет вид

Е®, к) —8/у (О, к) = 1—

依火噬L\如те /J

-陪H⑹3」7)

Отсюда видно, что неравенства (6.3.16) действительно представляют собой условия пренебрежения тепловым движением частиц в системе при развитии черепковской неустойчивости (при этом 力'=力丫-1). В этих условиях уравнение (6.3.17) сводится к виду

со2 (со — ku)aсо2 (со — ku)a

со2 (со — ku)a

со2 (со — ku)a

причем оно совпадает с дисперсионным уравнением для продольных волн (6.3.8) при 力丄=0.

Рассмотренную черенковскую пучковую неустойчивость при полном (пренебрежении тепловым движением частиц часто называют также гидродинамической, подчеркивая тем самым, что она является недиссипативной и может быть описана в рамках гидродинамики холодной плазмы. Как было показано, такая неустойчивость развивается при ки^соье. Покажем, что при учете теплового движения частиц появляется черенковская неустойчивость и в области ku>o)Le・ В отличие от гидродинамической пучковой неустойчивости неустойчивость при ku>(oLe является диссипативной, обусловленной изменением знака черенковского затухания волн в плазме, и поэтому называется кинетической. В этих условиях вкладом пучка в действительную часть продольной диэлектрической проницаемости можно пренебречь и записать уравнение (6.3.17) следующим образом:

11ехрехр+++ W»FT~exp+ W»FT~exp® — ku)2 у4 ]—2 騎一 —® — ku)2 у4 ]—2 騎一 —(6.3.19)(6.3.19)

1

1

ехр

ехр

+

+

+ W»FT~exp

+ W»FT~exp

® — ku)2 у4 ]—

2 騎一 —

® — ku)2 у4 ]—

2 騎一 —

(6.3.19)

(6.3.19)

с решением (сотз + 6)с решением (сотз + 6)

с решением (сотз + 6)

с решением (сотз + 6)

82 =吟+ 3公%,

((О — ku)2 俨((О — ku)2 俨2胪曦2胪曦++

((О — ku)2 俨

((О — ku)2 俨

2胪曦

2胪曦

+

+

(6.3.20)в систе-(6.3.20)в систе-Рис. 20. Зависимость инкремента развития черепковской пучковой неустойчивости от kuРис. 20. Зависимость инкремента развития черепковской пучковой неустойчивости от ku

(6.3.20)

в систе-

(6.3.20)

в систе-

Рис. 20. Зависимость инкремента развития черепковской пучковой неустойчивости от ku

Рис. 20. Зависимость инкремента развития черепковской пучковой неустойчивости от ku

生 ехК—ЗA\12依唸2 〃

Видно, что при Im 6>0 ме возникает неустойчивость, ко

торая возможна в области ku> >3Le и обусловлена изменением знака затухания Ландау на электронах пучка при выполнении черепковского условия 〃>з/а^ ^(OLe/左. Следует отметить, что кинетическая пучковая неустойчивость, так же как и гидродинамическая неустойчивость, обладает вблизи частоты черенковского резонанса s^SLfku максимальным инкрементом нарастания, значение которого падает с удалением от резонансной частоты.

На рис. 20 приведена зависимость инкремента нарастания черепковской пучковой неустойчивости от ku; виден постепенный переход гидродинамической неустойчивости (нарастающая ветвь) к кинетической неустойчивости (спадающая ветвь).

В заключение заметим, что выше мы полностью пренебрегли столкновениями как частиц самой плазмы, так и пучка. Поэтому все полученные выше формулы справедливы, пока

6》УЬ(〃)，Уе(Те),(6.3.21)'

а следовательно, столкновительной релаксацией электронов пучка и возбуждаемой им электромагнитной волны можно пренебречь. Здесь 6 — инкремент нарастания неустойчивости, а уь(〃)и ve(Te) — частоты столкновений электронов пуч'ка и плаамы соответственно. Отметим, что и при нарушении неравенств (6.3.21) в системе возможно развитие черепковской пучковой неустойчивости (см. задачу 6.7), которая называется диссипативной.

§ 6.4. Взаимодействие вращающегося электронного пучка (потока осцилляторов) с плазмой.

Циклотронная неустойчивость

В § 6.3 отмечалось, что сильное взаимодействие электронного пучка с плазмой имеет место при выполнении черенковского либо циклотронного резонанса. В случае прямолинейного пучка пре-

обладающим является черепковское взаимодействие, поскольку в компонентах тензора диэлектрической проницаемости пучка (6.3.1) ему соответствуют полюсы второго порядка, в то время как циклотронное взаимодействие представлено полюсами первого порядка. Покажем, что при наличии у электронов пучка наряду с продольной также поперечной к внешнему магнитному полю компоненты направленной скорости циклотронное взаимодействие становится столь же сильным, как и черепковское.

Из условия резонанса (6.3.2) видно, что при циклотронном взаимодействии не накладывается каких-либо ограничений на фазовую скорость волн; она может быть как больше, так и меньше скорости пучка. Важным является лишь соотношение между циклотронной частотой вращения электронов во внешнем магнитном поле и частотой электромагнитной волны. Поэтому, чтобы нагляднее пояснить механизм циклотронного взаимодействия, рассмотрим электромагнитные возмущения в системе вращающийся пучок — плазма, распространяющиеся строго поперек магнитного поля, полагая kz=0 и тем самым исключая черепковский резонанс.

Для простоты ограничимся рассмотрением моноэнергетическо- го вращающегося пучка, взаимодействующего с холодной электронной плазмой. Тогда диэлектрическая проницаемость плазма- пучковой системы имеет вид

£订®, к)=Е“)次s)+6&j®, к),£订®, к)=Е“)次s)+6&j®, к),(6.4.1)(6.4.1)

£订®, к)=Е“)次s)+6&j®, к),

£订®, к)=Е“)次s)+6&j®, к),

(6.4.1)

(6.4.1)

где E(%j(3)——диэлектрическая проницаемость холодной электронной плазмы (см. § 5.2):

•/ е±о igo 0 \ ,

噌)®)= —ig° 0,(6.4.2)

V о 0£1|0/

где & 丄° — 1 —,

co2 — Q2

6£订(3, k) - поправка,

go= …c2 r /0=1 峭丿吃 a обусловленная наличием электронного

пучка.

Для вычисления 6е订(со, к) уже нельзя воспользоваться формулами преобразования (6.1.17) и (6.1.18), поскольку здесь электроны пучка кроме поступательной скорости обладают еще и скоростью вращения и для получения формул преобразования необходимо было бы перейти во вращающуюся систему координат. В этом случае удобнее вычислить бе仃(s, к) с помощью формул (6.1.7) и (6.1.8), подставляя в качестве равновесной функции распределения электронов пучка функцию (6.1.11).

В результате несложных вычислений для возмущений с h#Q получаем:

3% =千(§ 厶(z) J；⑵ Рп+ 必 J2 ⑵ Qn ),

通L 2 [十⑺j?⑵)，厶+z"；2(z)Qj(0?「2

=^十三LЛ z) +

+ 4-2z4 ⑵ J；⑵ Pn + A^J2 ⑵ Qn], (6.4.3) 6%尸一6*i SJy [zJn^J^ (z)y pn + nz Jn Q"； (z) Qn],

6%zf =千[卜=£；畔(Z)+^2/Un(Z)J；(Z))P“ +

(zJn(z)J；⑵)乙+」22(⑵/；⑵Q…

где введены следующие обозначения:

QlQl一磷(G)- 团"||)Yт71 — (0a(G) — Ajz U у — П Qe/丫)(0? d ^ (d) — kzU и 一〃 Qe/丫尸一磷(G)- 团"||)Yт71 — (0a(G) — Ajz U у — П Qe/丫)(0? d ^ (d) — kzU и 一〃 Qe/丫尸(6.4.4)(6.4.4)-1/2-1/2

Ql

Ql

一磷(G)- 团"||)Yт

71 — (0a(G) — Ajz U у — П Qe/丫)

(0? d ^ (d) — kzU и 一〃 Qe/丫尸

一磷(G)- 团"||)Yт

71 — (0a(G) — Ajz U у — П Qe/丫)

(0? d ^ (d) — kzU и 一〃 Qe/丫尸

(6.4.4)

(6.4.4)

-1/2

-1/2

Из выражения (6.4.3) видно, что при 〃丄У=0 пучковые слагаемые компонент тензора диэлектрической проницаемости имеют полюсы второго порядка при (o=^z〃“+〃◎&/*?・ Это означает, что в данной области частот пучок сильно )взаимодей'ствует с электромагнитной волной. Чтобы убедиться в этом, проанализируем дисперсионное уравнение (6.1.1) для электромагнитных волн, распространяющихся поперек магнитного поля, т. е. fe=0,々丄=2 В рассматриваемом случае это уравнение распадается на два уравнения

必=丄，「子* +喩,必=更%,(6.4.5)

С?8ХЛ。2

описывающие соответственно необыкновенную и обыкновенную волны. Здесь

(6.4.6)(6.4.6)ехх = Е 丄О + 68ХХ» %U = i go + беху> £ду = £丄о + бео» %z = ЕII о + 3%・

(6.4.6)

(6.4.6)

Электрическое поле необыкновенной волны перпендикулярно внешнему магнитному полю, а обыкновенной волны — параллельно ему. Поэтому необыкновенная волна может взаимодействовать лишь с поперечной компонентой импульса электронов пучка, а обыкновенная — с продольной.

В отсутствии пучка уравнения (6.4.5) описывают спектры колебаний холодной магнитоактивной плазмы, распространяющихся поперек магнитного поля. В § 5.2 был проанализирован общий вид зависимости частот таких колебаний от волнового вектора к. Для чисто электронных колебаний эту зависимость нетрудно найти и аналитически:

% =十收升2% +胪e2 土/福研"f二%自,(6.4.7)

0)2 = ^2 g2 + 0)3.

Частоты si и 02 соответствуют двум ветвям необыкновенной волны, а частота соз — обыкновенной волне.

Пересечения линий Sa(k) (где а= 1, 2, 3) с линией s=naj、 определяют области резонансного циклотронного взаимодействия вращающегося электронного пучка с указанными выше колебаниями плазмы (рис. 21,а). Из рисунка видно, что в условиях

也 Va)2(°)(6.4.8а)

циклотронный резонанс невозможен, в условиях

S2(0)V 出 VSLe(6.4.86)

возможно резонансное взаимодействие пучка с нижней ветвью необыкновенной волны, в условиях

SLe < 晋• < U碍彳證(6.4.8b)

возможно резонансное взаимодействие пучка с нижней ветвью необыкновенной волны и с обыкновенной волной, в условиях

Мо)3+ 嵋 V V 吗(0)(б.4.8г)

V возможно резонансное взаимодействие пучка только с обыкновенной волной и, наконец, в условиях

皿 >3丄(0)(6.4.8д)

возможно резонансное взаимодействие пучка с обыкновенной волной и верхней ветвью необыкновенной волны.

Указанные условия определяют лишь возможность резонансного взаимодействия вращающегося пучка с собственными электромагнитными волнами холодной плазмы. О том, какие из этих

165

a)0

Рис. 21. Циклотронное взаимодействие электронного пучка с колебаниями холодной магнитоактивной плазмы — поперечное распространение (а) и е электромагнитной волной в вакууме — произвольный угол распространения (6)

волн будут возбуждаться пучком, можно судить, определив инкременты их нарастания. Для этого нужно решать уравнения (6.4.5) с учетом пучковых слагаемых в компонентах тензора диэлектрической проницаемости и условия резонансного взаимодействия (o=〃Qe/Y・ При определении инкрементов нарастания волн мы упростим задачу, а именно рассмотрим предел редкой плазмы QeSsLe。 В § 6.3 было показано, что черепковское возбуждение волн прямолинейным пучком в такой плазме возможно при условии, когда плотность плазмы превышает некоторое критическое значение, хотя и сколь угодно малое для не ограниченной в пространстве плазмы [см. условие (6.3.12)]. Это было обусловлено требованием существования в плазме волны с фазовой скоростью, меньшей скорости света, которая могла бы находиться в черепковском резонансе с электронами пучка. В случае циклотронного резонанса это требование отпадает, поэтому отпадает и необходимость наличия плазмы: циклотронный резонанс возможен и при полном ее отсутствии. Тогда уравнения (6.4.5) существенно упрощаются:

户 l со» ” U —①?/(〃％)『 」

В этих уравнениях полностью пренебрежено плазменными слагаемыми в компонентах тензора диэлектрической проницаемости системы, а из пучковых слагаемых учтены только члены с полюсом второго порядка (для циклотронного резонанса).

Теперь можно легко решить уравнения (6.4.9), найдя частоты возбуждаемых пучком электромагнитных волн и инкременты их нарастания:

g 8+6 =皿牛 3.(6.4.10)

В рассматриваемом приближении частоты необыкновенной и обыкновенной волн совпадают:

0 =——=阮，0 =——=阮，(6.4.12)(6.4.12)(6.4.11)

0 =——=阮，

0 =——=阮，

(6.4.12)

(6.4.12)

Из выражений (6.4.12) видно, что инкременты нарастания нео* быкновенной и обыкновенной волн отличны от нуля лишь при наличии поперечной компоненты скорости электронов 〃丄=/=(), причем с ростом 〃丄 инкременты увеличиваются. Для существования ненулевого инкремента нарастания обыкновенной волны необходимо наличие также продольной компоненты скорости электронов “и =#0. Следует отметить, что инкременты нарастания максимальны на низших циклотронных гармониках 〃, особенно при нерелятивистских значениях поперечной компоненты скорости электронов, когда 〃丄《с.

Проведенный анализ циклотронной неустойчивости при kz=0 не позволяет ответить на вопрос, является ли эта неустойчивость сносовой или нет. Для этого необходимо рассмотреть колебания с 財寸=0, что мы и сделаем сейчас, ограничившись случаем малых значений поперечной скорости электронов 〃丄《с. Считая пучок малым возмущением и поэтому учитывая в диэлектрической проницаемости (6.4.3) лишь слагаемые, содержащие полюсы второго порядка по циклотронному резонансу (6.3.2), для необыкновенной и обыкновенной волн соответственно получим следующие дисперсионные уравнения:

/ +舄=票(1 + 6ё爾，

々：+磴=^(1 + 6%)・(6.4.13)

Здесь

3*^ =3*^ =唠"： 彦-0)2/c2

3*^ =

3*^ =

4w)2(①一比 "口 一 Qe/Y)2

_ 若® _ Q/Y)2 — *传22cd4(3 — & 〃口 一 Се/*?)?

Видно, что в рассматриваемом приближении в пределе 〃丄《с учитывается циклотронный резонанс только на основной гармонике, т. е. с п= 1.

Теперь мы можем искать решения уравнений (6.4.13) в виде 3f 3+6=呪+6 = 5/y+月〃]| +6.(6.4.15)

В результате для инкрементов нарастания необыкновенной и обыкновенной волн получаем

Знеоб 二(党々:〃:,

①2\ 8усо4 /

боб = 1 + ”芽(時抬吭吟一co2〈4o)6/

Следует отметить, что, согласно тронной пучковой неустойчйвости кой и низкой частоты (рис. 21,6)Следует отметить, что, согласно тронной пучковой неустойчйвости кой и низкой частоты (рис. 21,6)(6.4.15), при развитии циклоэлектромагнитных волн высо-(6.4.15), при развитии циклоэлектромагнитных волн высо-

Следует отметить, что, согласно тронной пучковой неустойчйвости кой и низкой частоты (рис. 21,6)

Следует отметить, что, согласно тронной пучковой неустойчйвости кой и низкой частоты (рис. 21,6)

(6.4.15), при развитии циклоэлектромагнитных волн высо-

(6.4.15), при развитии циклоэлектромагнитных волн высо-

м2 电) = m^t^。 = ^^ 1干?/1一^^](6417)

Г —(① 1,2 —Qe/Y)@1,2 =Г —(① 1,2 —Qe/Y)@1,2 =их групповая скорость и продольное волновое число соответственно составляют

Г —(① 1,2 —Qe/Y)

@1,2 =

Г —(① 1,2 —Qe/Y)

@1,2 =

(6.4.18)

Легко видеть, что при условии у” >々丄с?Д2е>1 оба корня 瓦1,2> >0, а поэтому групповые скорости обеих возбуждаемых волн положительны (точка 2 на рис. 21,6 в этом случае, как и точка /, лежит в правой полуплоскости). Обе волны при этом переносят энергию в сторону движения пучка и циклотронная неустойчивость носит сносовый характер. Если же 々丄cy/QeVl, то ^zi>0, a 々z2 Vo и, следовательно, возбуждаемая пучком низкочастотная волна переносит энергию навстречу направлению движения пучка (такую волну называют встречной}, в то время как высокочастотная волна по-прежнему обладает положительной групповой скоростью и переносит энергию в направлении движения пучка. В этом случае низкочастотная волна уже не сносится пучком и неустойчивость не является сносовой, такую неустойчивость называют абсолютной. Рассмотренную выше циклотронную неустой-

чивость в пределе 財=0 в этом смысле также следует считать абсолютной, поскольку продольные групповые скорости обыкновенной и необыкновенной волн равны нулю, а поэтому возмущения электромагнитного поля не сносятся электронным пучком.

Выше была исследована циклотронная неустойчивость вращающегося пучка в отсутствии плазмы. Наличие плазмы затрудняет развитие такой неустойчивости, и при плотностях, когда

(1 + 十)， (6419)

она становится невозможной для волн, распространяющихся поперек электронного пучка (&z=0). Это обусловлено тем, что циклотронная частота излучения вращающихся электронов nQel^ экранируется плазмой, т. е. перестает быть собственной частотой системы. Кроме того, при наличии плазмы в системе возникают столкновительные релаксации, релаксируют направленная скорость электронов пучка и возбуждаемые пучком волны. Приведенные выше формулы справедливы в условиях, когда столкно- вительными процессами релаксации можно пренебречь, что эквивалентно требованию выполнения неравенств (6.3.21), где 6 — инкремент нарастания неустойчивости, а ▽“〃)и ve(Te)—частоты столкновений электронов пучка и плазмы соответственно.

Наконец, заметим, что рассмотренная циклотронная неустойчивость является гидродинамической в том смысле, что она не связана с диссипативными процессами в. системе и проявляется при полном пренебрежении тепловым разбросом скоростей электронов пучка. Учет последнего может привести к развитию в системе слабой кинетической циклотронной неустойчивости (см. задачу 6.6).

Задачи к гл. 6

Задача 6.1. Исходя из уравнения (6.3.3) показать, что в плазма-пучковой системе в отсутствие внешнего магнитного поля возможна желобковая неустойчивость с 々z=0, соответствующая расслоению электронного пучка на отдельные токонесущие нити.

Решение. Для желобковых мод с 々z = 0 из урав-нения (6.3.3) получаем

（依С2-炉+说J （1一号）（依С2-炉+说J （1一号）严〃2①岂區Y-10)2炉严〃2①岂區Y-10)2炉⑴⑴

（依С2-炉+说J （1一号）

（依С2-炉+说J （1一号）

严〃2①岂區Y-1

0)2炉

严〃2①岂區Y-1

0)2炉

⑴

⑴

Отсюда в пределе ①2《(Ае находим

⑵⑵①2=—党Y .

⑵

⑵

兴。2十8з

Поскольку 82V 0, неустойчивость апериодическая, она соответствует расслоению электронного пучка на отдельные токонесущие нити. Максимальным инкрементом иарастания обладают моды с 尼>o)Le/c. Это означает, что наиболее вероятно расслоение пучка иа нити с радиусом г0<с/соь е. Заметим, что уравнение (6.3.10) неустойчивых решений 々z=0 не имеет, т. е. сильное магнит- ное поле стабилизирует желобковую неустойчивость.

Задача 62 Исследовать- взаимодействие прямолинейного релятивистского электронного пучка малой плотности с высоко частотными электростатическими колебаниями холодной магнитоактивной плазмы.

Решение. Дисперсионное уравнение, описывающее взаимодействие прямолинейного релятивистского пучка с продольными электронными колебаниями магнитоактивной плазмы, записывают в виде

依 ®—居〃)2 (о _ kz U)2 _ Q2 ?-2

⑴

Отсюда находим спектры частот собственных продольных колебаний мы в отсутствие пучка:

плаз-

碇е + 比土 у (®Le + йе)2 ~ 后2 十)味 йе •(2)

прямые

На рис. 22 приведены спектральные кривые ① 1,2(甸.Здесь же приведены

8=月"，(0=4z"土 Qe/y,

⑶

соответствующие черепковскому и циклотронному взаимодействию пучка с колебаниями плазмы. На пересечении этих прямых со спектральными кривыми

Рис. 22. Черенковское и циклотронное взаимодействие электронного пучка с продольными колеба；ниям.и холодной магнитоактивной плазмы

(01,2 (^z) возникает наиболее сильное резонансное взаимодействие пучка с плазмой и возможно развитие черенковской и циклотронной неустойчивостей. Из рис. 22 видно, что прямая (о=力z〃——Qe/丫 пересекает обе ветви продольных волн, прямая <o = ^z〃 всегда пересекает верхнюю ветвь, а при 々丄〃<min(@Le, Qe) также нижнюю ветвь, прямая ® = ^z〃+ +5/у пересекает только верхнюю ветвь. На рис. 22 видно, кроме того, что групповая скорость верхней ветви колебаний всегда отрицательна, а нижней — положительна. Поэтому неустойчивость на верхней ветви колебаний всегда является абсолютной, в то время как неустойчивость на нижней ветви носит сносовый характер.

Простые формулы для частот и инкрементов нарастания колебаний удается получить в предельных случаях плотной (①2Le》Q2e)и разреженной (Q2e> 》а)2：ье) плазмы.

В плотной плазме при развитии черенковской неустойчивости (co=^z〃 + 3) происходит преимущественное возбуждение верхней ленгмюровской ветви колебаний со спектром

S^Le，

а _ ^1 + ；уз

со2у

Циклотронная неустойчивость возможна только на аномальном эффекте Доплера (o=^z«"—QJy+ib) и в этих условиях также возбуждает преимущественно верхнюю ветвь колебаний, причем

Из сравнения (4) и (5) видно, что инкремент развития черенковской неустойчивости Im 6~y-i(Nb/Np)"3(o, в то время как для циклотронной неустойчивости кпб 〜(NblN“/2®. Тем не менее циклотронная неустойчивость может оказаться преобладающей, если

что возможно только в случае ультрарелятивистских электронных пучков.

В разреженной плазме при развитии черенковской неустойчивости происходит преимущественное возбуждение нижней ленгмюровской ветви продольных колебаний со спектром

Ld^T (錦)/ .(7)

Для циклотронной неустойчивости на аномальном эффекте Доплера при этом имеем

Этот инкремент всегда намного меньше, чем инкремент (7), поэтому в разреженном потоке циклотронная неустойчивость, вообще говоря, не может проявиться. Исключение составляет случай k 丄 〃3sl е, когда черенковская неустойчивость вообще невозможна и развиваться может только циклотронная неустойчивость на аномальном аффекте Доплера.

Задача 63 Исследовать взаимодействие двух встречных одинаковых плаз- менных пучков, движущихся параллельно внешнему магнитному полю с。 скоростями, намного меныиими тепловой скорости электронов.

Решение. Поскольку скорости движения потоков намного меньше скорости света, при исследовании их взаимодействия достаточно ограничиться анализом потенциальных (электростатических) возмущений. Дисперсионное уравнение для таких возмущений в системе двух сталкивающихся потоков записывают в виде

1+ S а1+ S а2 一 SS2 一 SS44(о—ku—s%(о—ku—s%_ У s + ku§ со + ku 一 s Qq_ У s + ku§ со + ku 一 s Qq(o + ku — s %(o + ku — s %)]=0-)]=0-(1)(1)

1+ S а

1+ S а

2 一 S

S

2 一 S

S

4

4

(о—ku—s%

(о—ku—s%

_ У s + ku

§ со + ku 一 s Qq

_ У s + ku

§ со + ku 一 s Qq

(o + ku — s %

(o + ku — s %

)]=0-

)]=0-

(1)

(1)

Проанализируем это уравнение в двух предельных случаях: в отсутствие внешнего магнитного поля и при наличии бесконечно сильного продольного магнитного поля.

В отсутствие магнитного поля из (1) получаем

s + ku、Ча Лs + ku、Ча Л=0.=0.

s + ku、

Ча Л

s + ku、

Ча Л

=0.

=0.

Отсюда, в частности, следует, что в условиях 〃《От 不 колебания, описываемые этим уравнением, устойчивы, более того, они затухают во времени. Это озна-

171

чает, что взаимодействие между пучками плазмы отсутствует. При ит£《〃《 《^т е из (2) имеем

(3)(3)(0 \ 哈哈 A

(3)

(3)

' 2 如^ 丿 (о — ku)2 (о 十 ku)2 — •

Пренебрегая малым мнимым слагаемым в этом уравнении, описывающим че- ренковское поглощение волн электронами (и членами, учитывающими поглощение «а ионах, как экспоненциально малыми), находим спектр:

若,2 = ат {哈 + (ku)2 а ±

± ]/1 啥 + (ku” а]2+ 4 (ku)2 а [2唸一(ku)2 а] },⑷

где

а=1+2а=1+2Видно, что при условииВидно, что при условии脸 兴吮脸 兴吮2co^>k2u«2co^>k2u«

а=1+2

а=1+2

Видно, что при условии

Видно, что при условии

脸 兴吮

脸 兴吮

2co^>k2u«

2co^>k2u«

корень (о^2 — (ku)2<0, т. е. колебания апериодически неустойчивы, что соответствует сильному взаимодействию сталкивающихся потоков. Согласно (5), такое взаимодействие возможно при скоростях u<vs— "|/Те/М, но, поскольку 〃》°т 订 оно имеет место только в неи?отермической плазме с Te^Ti.

Указанная гидродинамическая неустойчивость сохраняется и при наличии сильного продольного магнитного поля. Так, в пределе 瓦->8 при ит<《〃《％е из (1) получаем

「哈L((o —ku)2「哈L((o —ku)2(о + ku)2(о + ku)2⑹⑹

「哈

L((o —ku)2

「哈

L((o —ku)2

(о + ku)2

(о + ku)2

⑹

⑹

Из сравнения этого уравнения с (3) заключаем, что неустойчивость в случае взаимодействия сильно замагниченных плазменных пучков имеет такую же природу, как и незамагниченных. Только условие (5) немного видоизменяется:

2碇,>论2〃2 1+22碇,>论2〃2 1+2味味

2碇,>论2〃2 1+2

2碇,>论2〃2 1+2

味

味

—и увеличивается инкремент нарастания неустойчивости (о22«——^2w2.

Задача 6.4. Показать, что в случае инжекции ионов в электронный 〃у弘。笈 возможны их захват 〃 ускорение "р〃 резонансе продольной циклотронной волны при аномальном эффекте Доплера 〃 ионного черепковского резонанса, т. е. при

(0 ^也z"e—Qe/y *也z〃i，

где ме и Ui — направленные скорости электронов 〃 ионов.

Решение. Поскольку скорость ионов мала по сравнению со скоростью света, при исследовании взаимодействия электронного и ионного пучков можно 172

ограничиться анализом устойчивости продольных волн, описываемых дисперсионным уравнением

(①一kz 〃е)2 — Q%?2

+

<°Lt~3哈 =0

（①一论z〃e）2（①一居以产一,

(1)

При написании этого уравнения предполагалось, что ш2ь <^Q2<, т. е. ионы не зама1гн-ичены. Электроны же, наоборот, сильно замагничены: Р2е^>ш2ь еу.

Решение уравнения (1) в этих условиях мож-но искать в виде

G)=So+i6=財〃 i+ib,(2)

где(оо определяется из (1) в отсутствие ионного пучка:

铀=比也一7一*・(3)

В результате находим

货硫e说t f 央 2Qe •

Неустойчивым колебаниям соответствует следующее решение этого уравнения:

_"W — i (左;脸脸Г~2~ \122皂 丿

(5)

Поскольку Im 6<0, фазовая скорость волны оказывается больше скорости ионов, поэтому волна ускоряет ионы, догоняя их. Ионы получают энергию от волны, амплитуда которой растет во времени с инкрементам Re6>0. Энергия волны при этом, однако, уменьшается, так как в рассматриваемых условиях Q(o=(ooVez〃e) энергия циклотронной волны в пучке отрицательна:

開 Ю (©о —局 〃е)硫 2 ?Т q2&o|E|2潦 ——<0.(6)

Задача 6.5. Исследовать возбуждение обыкновенной электромагнитной волны, распространяющейся поперек магнитного поля е плазме, вращающимся электронным пучком с учетом теплового разброса электронов 〃。скоростям. Решение. Дисперсионное уравнение для обыкновенной волны, распространяющейся поперек магнитного поля, имеет вид [см. (6.4.5)]

论 2c2—G)2gzz=：o(1)

Вклад в %z, обусловленный вращающимся пучком с учетом теплового разброса по скоростям, т. е. пучком с функцией распределения (6.1.9), вычисляют по формулам (6.1.7), (6.1.8):

При вычислении (2) было принято, что Т±ь =Т ць =Ть, a 02Tb=Т〃т・ Используя (2), нетрудно записать уравнение (1) в области частот циклотронного резонанса (co«nQe/y):

В отсутствие плазмы в пределе моноэнергетического пучка,' т. е. а—0, эго уравнение переходит во второе уравнение (6.4.9), описывающее гидродинамическую циклотронную неустойчивость обыкновенной волны. Таким образом, условие применимости формул (6.4.12) можно зависать в виде

|"1》а =|"1》а =〃 0Tb"2〃 0Tb"2(5)(5)

|"1》а =

|"1》а =

〃 0Tb

"2

〃 0Tb

"2

(5)

(5)

Это условие должно выполняться наряду с неравенством, обратным (6.4.19) (отсутствие экранирования циклотронного излучения плазмой).

Уравнение (4) допускает существование в системе также кинетической неустойчивости, обусловленной конечностью температуры пучка, т. е. конечностью величины а. Такая неустойчивость возникает при выполнении условия (5), причем спектр неустойчивых колебаний (co->co+i6)

(O2 = Zj2C2+(O2l е,

gCdgCdW?T И|| T2(kUiy\ 乂 (乳2、W?T И|| T2(kUiy\ 乂 (乳2、⑹⑹

g

Cd

g

Cd

W?T И|| T2(kUiy\ 乂 (乳2、

W?T И|| T2(kUiy\ 乂 (乳2、

⑹

⑹

В отличие от гидродинамической неустойчивости, соответствующей условию (o>〃Qe/Y，кинетическая неустойчивость возможна при (oV八Qe/丫 (т. е. 乂>0).

Задача 6.6. Исследовать устойчивость моноэнергетического электронного пучка с гауссовским распределением вектора скорости электронов по азимутальному углу относительно возбуждения циклотронных волн (такой пучок, формируется при прохождении прямолинейного моноэнергетического пучка через тонкую фольгу).

Решение. В этом случае функция распределения электронов

f^e^ ^^ & — $Уо) exp

Здесь Д — постоянная нормировки;鋁° — энергия электронов; 00 ——средний азимутальный угол (02о<^1). Далее имеем

"“加=必4= 一2几0^ j齋二霜

% е =力 6 (卷一田@) ехр% е =力 6 (卷一田@) ехрФункцию распределения (1) можно записать также в виде

% е =力 6 (卷一田@) ехр

% е =力 6 (卷一田@) ехр

⑶

удобном для вычисления тензора диэлектрической проницаемости по формулам (6.1.7) и (6.1.8).

Рассмотрим необыкновенную циклотронную волну, распространяющуюся поперек магнитного поля. В случае достаточно редкого пучка, когда Qe》o)b, 174

в дисперсионном уравнении для этой волны следует ограничиться лишь линейными слагаемыми по плотности лучка. Тогда получим

々2 d —炉 ％у = 0 ,

1s就Y2一1⑷

где Y=^o/(mc2). При вычислении 询？ была учтена малость величины 62о<С1, поэтому можио было ограничиться первым циклотронным резонансом <о«Йе/у.

Из уравнения (4) находим (s-xo+ib)

(О2 =々2 с2 = а/у2, g — i + T/M (曳 Y2-1⑸

(О -4 〈炉 Y3•

Задача 6.7. На примере изотропной плазмы показать, что черепковская пучковая неустойчивость может развиваться также е условиях, когда инкре^ мент ее нарастания меньше частоты столкновений плазменных электронов (диссипативная пучковая неустойчивость).

Решение. Как было показано в § 6.3, при развитии черенковской неустойчивости в изотропной плазме происходит возбуждение продольных волн. При учете столкновений электронов плазмы вместо уравнения (6.3.8) имеем

一" 依一仇(1)

В отсутствие пучка это уравнение описывает слабозатухающие плазменные колебания со спектром (s-xo+ibo)

(О«Л)Ь е» 6о=—Ve/2.(2)

При наличии лучка подобные колебания могут оказаться нарастающими. Действительно, в условиях черепковского резонанса

(®=財〃+ib=(OL e+ib)

из (1) получаем

i + V^ / Nb 尼；+磅『2 丫/з

6

■…2]2小?依…)ПРЙ⑹>V。，

(3)

i+1 f Nb % 在；十庭厂2 y/2

V2 (心? J依)咿|61Be.

Верхнее 'из этих выражений соответствует инкременту нарастали父 бесстолкновительной неустойчивости (6.3.7), а «ижнее — диссипативной неустойчивостью. Очевидно, что пучковая неустойчивость может быть реализована лишь при |6|》“ь, где l/vb — время релаксации направленной скорости электронов пучка (см. задачу 3.4).

Задача 6・8. Исследовать возбуждение нулевого звука е вырожденной изотропной плазме нерелятивистским моноэнергетическим электронным пучком малой плотности.

Решение. Дисперсионное уравнение продольных волн в системе записывают в виде

0.0.(01口8 +配рe \%_

0.

0.

2比Fe8—练6) (s — ku)*

Отсюда, считая пучок малым возмущением, получаем (0 =伽+64也of e+gku+6,

①о々^Fe 1 十 2 exp I6— 1 + i ” 可®o2①о々^Fe 1 十 2 exp I6— 1 + i ” 可®o2

①о々^Fe 1 十 2 exp I

6— 1 + i ” 可

®o2

①о々^Fe 1 十 2 exp I

6— 1 + i ” 可

®o2

3瞋丿」

4 %/2%

T丽呻卜可蓝

Условие применимости этих формул имеет вид

哉 3卜«+4^)].

Это неравенство наряду с неравенством Im 6^Vэфф, где 1Vзфф — частота столкновений электронов в врожденной плазме (夕зфф характеризует время торможения пучка в плазме), легко выполнить для металлов и вырожденных полупроводников.

Задача 6.9. Исходя из формул преобразования (6.1.18) показать что дисперсионное соотношение для электромагнитных волн 6 системе, состоящей из двух сортов плазмы: первой ——изотропной в собственной системе и движущейся в лабораторной системе координат, и второй — покоящейся, распадается на два уравнения:

々2 —果(£(2)"(①，左)+ ^― [ £(1)" (d,勿)一= 0.

{依一^-[ 8⑵"®,期 + "^~ ( E⑴"(d, 々')一1)]} X

x[ g⑶ 1 (й),舟 + e⑴ I (W ,勿)一1]—

二黑{e""侬'，£)T+泰[e ⑴"3,左')一e⑴"'，狂)]}* x{ 8(2) z (0, ^) - 1 4- ^-^ [e(2)"(①，^) — 8(2)‘ (0,用]} =0.

Здесь u ——скорость движения первой плазмы относительно второй, а о/ 〃 也'一преобразованные по формулам (6.1.1'5) частота и волновой вектор волны. Первое из этих уравнений описывает чисто поперечную волну, а второе ——смешанную продольно-поперечную волну.

Глава 7. ПЛАЗМА ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Функция распределения заряженных частиц плазмы во внешнем электрическом поле

Рассмотрим еще один широко распространенный в природе пример термодинамически неравновесной плазмы с анизотропной функцией распределения частиц по скоростям —пространственно неограниченную и однородную плазму во внешнем электрическом поле.

176

Реальную плазму трудно представить себе без внешнего электрического поля. Электрическое поле используют как для создания плаз<мы (разряд в газе в постоянном и высокочастотном электрическом полях, оптический разряд), так для нагрева и удержания, а часто и для ускорения плазмы (омический нагрев плазмы в постоянном и высокочастотном полях, нагрев излучением лазера, радиационное удержание и ускорение плазмы в переменных полях и т. д.). Более того, характер распространения электромагнитных волн конечной амплитуды в плазме в значительной степени определяется поведением плазмы в электрическом поле. Поэтому исследование свойств плазмы во внешних постоянном и переменном электрических полях имеет важное практическое значение. .

В настоящем параграфе изучим равновесное расстояние плазмы во внешнем переменном во времени, но однородном в пространстве электрическом поле Ео.

Прежде всего рассмотрим случай постоянного электрического поля Ео, параллельного внешнему магнитному полю Во. Отдельные заряженные частицы плазмы в таком поле ускоряются во времени:

Роа= —=еаЕо%・ (7.1.1)

Однако ускорение будет иметь место до тех пор, пока частица не столкнется с другой частицей, потеряв приобретенный в поле импульс, т. е. в течение времени /<va-1, где va—частота столкновений данной частицы по отношению к передаче импульса другим частицам. Из-за огромной разницы в массах электронов и ионов фактически воздействием электрического поля на ионы всегда можно пренебречь и учитывать лишь его взаимодействие на легкие заряженные частицы — электроны. Поэтому приведенные рассуждения следует относить к электронам, а под va подразумевать частоту электронных столкновений, т. е. а=еи va—ve.

Таким образом, в течение времени 方<”?一| плазму можно считать бесстолкновительной, в которой под действием электрического поля все электроны ускоряются по закону (7.1.1), а ионы остаются неподвижными. При этом если до включения поля распределение электронов по импульсам имело вид fo(p) [под fo(p) будем подразумевать термодинамически равновесное распределение Максвелла либо Ферми], то к моменту времени t оно получит 《сдвиг》на po(f)==eEof. Например, в нерелятивистском случае для начального распределения Максвелла функция распределения электронов в момент времени / имеет вид

% (р, /)= 也—— ехр Г —(Р-Р。(2匕]. (7.1.2) 丿(2 л m Те)3/2 У I 2т Те J ' 丿

В вырожденной же плазме в момент времени f функция распре-

177

деления электронов станет сдвинутой функцией распределения Ферми:

£ / 八 两为 при Ip—PoIv.f,“〔a

%(P,/)= 3h)3(7.1.3)

、0 при |p—P0|>Pf,

где /7f= (3n2m)1/3加

Сдвинутую нестационарную функцию распределения нетрудно получить непосредственно из кинетического уравнения Власова

еЕ° 粤=0,(7.1.4)

0/dp

приняв за начальное распределение (без поля) fo(p)・ В этом можно убедиться простой подстановкой функции fo'(p—ро(/)) в уравнение (7.1.4).

В невырожденной полностью ионизованной плазме нестационарное решен.ие (7.1.2) для электронов оказывается справедливым для любых моментов времени (и при t>v^et)9 если

&>皐卩=学 ％,(7.1.5)

1е?葭 NJ

где = частота электрон-ионных стол-

6乳碣1/而"來/2f

кновений, определяющая силу трения электронов об ионы: FTP= =—mveiUg. Это условие имеет наглядный физический смысл. При Ео>Екр электрон за время между столкновениями приобретает энергию, большую его тепловой энергии Те. В результате резко снижается частота электрон-ионных столкновений (Vem~l/〃з, см. задачу 3.4), а вместе с ней уменьшается и сила трения электронов об ионы； она уже не способна препятствовать ускоряющей силе еЕо, и все электроны плазмы переходят в режим непрерывного ускорения или в режим «убегания», что и описывается функцией (7.1.2). Более того, при этом со временем скорость электронов станет релятивистской и функцию распределения %(р—ро (/)) следует записывать в виде функции релятивистского распределения Максвелла.

Иная картина наблюдается в полностью ионизованной невырожденной плазме при условии, обратном (7.1.5), т. е. когда поле Ео слабое. В этом случае электрон за время свободного пробега приобретает энергию, меньшую тепловой, и сила трения со стороны ионов способна компенсировать ускоряющую силу электрического поля; устанавливается стационарная функция распределения электронов. Для определения стационарной функции распределения электронов в плазме, помещенной в электрическое поле Ео, необходимо решать уравнение

*需=(需3(礬):•6◎

Здесь (普■『и (替"『—интегралы столкновений электронов с электронами и ионами соответственно (см. § 3.4).

При слабых полях Ео функция fo мало отличается от изотропной максвелловской функции распределения foo. Поэтому уравнение (7.1.6) можно линеаризовать, положив

foe = foo — 6 foe， (7.1.7)

гдегде/оо ~/оо ~ту2Ne ,~ 2Т；(2nmTe)3/2 ету2Ne ,~ 2Т；(2nmTe)3/2 е(7.1.8)(7.1.8)

где

где

/оо ~

/оо ~

ту2

Ne ,~ 2Т；

(2nmTe)3/2 е

ту2

Ne ,~ 2Т；

(2nmTe)3/2 е

(7.1.8)

(7.1.8)

a 6foe удовлетворяет линеаризованному уравнению:等鵠=М 訂 /Р)計 + i?，d"“P, Р，) X

XX

X

X

Уравнение (7.1.9) удобно решать методом Чепмена — Энскога» разлагая 6foe(р) по полиномам Сонина. Ограничиваясь двумя членами разложения, запишем

6foe(P)=W ао+ (7・1・10)

Подставляя выражение (7.1.10) в (7.1.9) и домножая это уравне- ние на полиномы 1 и , после интегрирования по импульсам для простой плазмы с &=]е| получаем

^ 昂=一"以(/+ 告 a，，

Отсюда находим а。и а】，а следовательно, искомую функцию /ое：小一(2П加北产2X

L俏曦I 24呢丿

где ue=eEQ/(mvei)-

Согласно условию применимости этой формулы (неравенство, обратное (7.1.5)), средняя направленная скорость электронов, определенная с помощью (7.1.7),

〈V〉=’1,96*(7.1.13)

намного меньше их тепловой скорости, т. е. Me<CvT ₽.

Выражение (7.1.12) несколько отличается от разложенной в ряд функции распределения Максвелла со средней скоростью tie (7.1.2), что приводит к небольшим количественным отличиям в различных конкретных результатах при использовании функции (7.1.2) вместо (7.1.12). Качественно, однако, эти результаты согласуются между собой, поэтому для простоты далее и в случае слабого поля будем пользоваться формулой (7.1.2), в которойр0 = =ШПе = С Ео|/^ег«

В слабоионизованной плазме, как невырожденной, так и вырожденной, помещенной во внешнее электрическое поле, стационарное состояние также может существовать, если

e。V “号%e。V “号%(7.1.14)(7.1.14)

e。V “号%

e。V “号%

(7.1.14)

(7.1.14)

где Vo — средняя хаотическая скорость движения электронов (тепловая скорость либо скорость Ферми). Это условие означает, что за время свободного пробега электрон в поле приобретает скорость, меньшую его средней хаотической скорости.

Для определения равновесной функции распределения электронов в слабоионизованной невырожденной плазме будем исходить из кинетического уравнения с модельным интегралом БГК (см. § 3.5):

=一打几(％e — Ne Феп\ (7.1.15) m dv

В результате находим

foe =foe =(2nmTe)3/2(2nmTe)3/2tnv2e Xtnv2e XNe(2 nm Те)3/2Ne(2 nm Те)3/2expexpm(V _ Ue)2-—m(V _ Ue)2-—(7.1.16)(7.1.16)

foe =

foe =

(2nmTe)3/2

(2nmTe)3/2

tnv2

e X

tnv2

e X

Ne

(2 nm Те)3/2

Ne

(2 nm Те)3/2

exp

exp

m(V _ Ue)2-—

m(V _ Ue)2-—

(7.1.16)

(7.1.16)

где ue=eEo/(mven).

Аналогично находим функцию распределения электронов в слабоионизованной вырожденной плазме во внешнем электрическом поле. Для этого необходимо решить уравнение (см. § 3.5)

еЕ° 讐=仇еТоо (Р)),(7.1.17)

где foo(p) — изотропная функция распределения Ферми для вырожденного электронного газа. При этом получаем

А)е(Р)= foo(Р)— -~^~^ /oo ( IР —Pol)，(7.1.18)

(где foo(|p—ро|) определяется формулой (7.1.3).

Полученные соотношения соответствовали постоянному полю Ео. Не представляет труда обобщить их на случай переменного 180

поля и, что наиболее интересно,——периодически меняющегося во времени высокочастотного поля

Ео «)= Eosin зо/.(7.1.19)

При (оо》”е столкновениями электронов можно пренебречь, и из уравнения Власова

並2 + eEosin %/逅=0(7.1.20)

*ар

получаем решение в виде сдвинутой функции распределения Максвелла, либо Ферми:

foe = foe(|p—Po(f)|),(7.1.21)

где р0 (0 = е Г Ео (/)也=—也 cos %£ =团呪®——(7.1.22)

铀M If)/，？ °

При 3o《Ve интеграл столкновений в кинетическом уравнении становится главным членом и оказываются справедливыми полученные соотношения (7.1.6) — (7.1.18), если в них произвести замену Ео->Ео(/) = Ео siirsof.

Устойчивость незамагниченной плазмы во внешнем постоянном электрическом поле

В предыдущем параграфе отмечалось, что при условии (7.2.5), которое в реальной плазме выполняется уже в относительно слабых полях, электроны за время свободного пробега разгоняются до больших скоростей, намного превышающих их тепловую скорость. При этом возникает состояние, когда все электроны движутся относительно неподвижных ионов. Такой электронный пучок, как будет показано, является неустойчивым, причем инкремент развития неустойчивости весьма велик, порядка или даже больше ленгмюровской частоты ионов. За столь короткие времена, несмотря на нестационарность равновесной функции распределения электронов (7.1.2), значение их направленной скорости не успевает заметно изменяться. Поэтому при исследовании устойчивости системы скорость ие можно в первом приближении считать постоянной (подобное приближение при анализе устойчивости плазмы во внешнем электрическом поле получило название адиабатного приближения). Для простоты пренебрежем также столкновениями частиц, считая плазму достаточно разреженной и поэтому бесстолкновительной.- 厂

Указанные ограничения позволяют проанализировать устойчивость плазмы во внешнем электрическом поле исходя из дисперсионного уравнения

j 胪 6fj — ki kj— -- £〃• ®, k) J =0,(721)

где е订(со, к) вычисляется с помощью полученных в гл. 6 формул преобразования.

Для незамагниченной плазмы, в которой под действием достаточно сильного электрического поля электроны движутся относительно неподвижных ионов со скоростью, намного превышающей их тепловую скорость, уравнение (7.2.1) имеет вид

说户+啥脸厂说户+啥脸厂(со — ku)2(со — ku)20)2 с? ((0 — ku)20)2 с? ((0 — ku)2(7.2.2)(7.2.2)

说户+啥脸厂

说户+啥脸厂

(со — ku)2

(со — ku)2

0)2 с? ((0 — ku)2

0)2 с? ((0 — ku)2

(7.2.2)

(7.2.2)

Здесь 丫=(1——〃2/M)t/2, 口 — скорость электрического дрейфа электронов, а 々丄 ——компонента волнового вектора возмущений, перпендикулярная скорости и.

Уравнение (7.2.2) имеет неустойчивые решения при условии

(7.2.3)(7.2.3)①2Le》(кИ)2уЗ,

(7.2.3)

(7.2.3)

причем максимальный инкремент нарастания определяется из соотношения

稣3儘厂中+記抬『稣3儘厂中+記抬『(7.2.4)(7.2.4)

稣3儘厂中+記抬『

稣3儘厂中+記抬『

(7.2.4)

(7.2.4)

и достигается при выполнении равенства (7.2.3) или, как говорят, в резонансном случае. Зта неустойчивость получила название бу- немановской .，，，，

Как указывалось, рассмотренная быстро нарастающая апериодическая неустойчивость имеет место при «>^те. Покажем те- перь^ что неустойчивость возможна и при 〃〈^丁声 При столь малых скоростях дрейфа электронов возбуждаемые в системе коле* бания с большой степенью точности являются продольными и подчиняются дисперсионному уравнению

£ ®，к)=讐 80 (①，к) = 1 ч~~- [1 — 4 (乞*" +

Н—=0.(725)

При больших скоростях электрического дрейфа электронов, когда 〃斗％е, это уравнение совпадает с (7.2.2) в пределе и《с и описывает быстро нарастающую бунемановскую неустойчивость.

При 辽《^те из уравнения (7.2.5) в области частот 々ит%《з《/ите получаем

, 吭(1 I i 1 /元①-ku、 哈

亘卫 e”S%=0・(7.2.6)

r 2 ^2 哈

Мнимые слагаемые в этом уравнении, обусловленные черепковской диссипацией волн на электронах и ионах плазмы, малы по сравнению с действительными. Поэтому решения этого уравнения можно искать в виде s—s + ib, где |б| С(о. В результате находим

(О2

专2胖编.(7.2.7)

Здесь иф =(о/论一фазовая скорость волны, а 9 — угол между векторами и и к.

При и = 0 спектр (7.2.7) совпадает со спектром ионно-звуковых колебаний, которые возможны в неизотермической плазме с Te^Ti. Отличная^ от нуля скорость дрейфа электронов и, как видно из (7.2.7), уменьшает декремент затухания этих колебаний, и при 〃>〃кр, когда 6>0, колебания становятся неустойчивыми. Легко видеть, что неустойчивость возможна лишь при условии 〃>qj)/cos 仆》им т. е. когда скорость дрейфа электронов больше фазовой скорости ионно-звуковых колебаний. Отсюда следует, что эта неустойчивость имеет чисто черенковскую природу и приводит к раскачке ионно-звуковых колебаний. Поэтому ее часто называют ионно-звуковой неустойчивостью плазмы с током.

Следует заметить, что^ как было показано в § 4.2, в отсутствие дрейфа электронов, т. е. при и=0, в изотропной плазме иоя- но-звуковые колебания возможны при достаточно высокой степени неизотермичности, когда Te>67Y С появлением дрейфа электронов это условие облегчается, и при приближении скорости дрейфа к критической, когда мнимая часть продольной диэлектрической проницаемости стремится к нулю и система приближается к йеустойчивости, для существования иойно-звуковых колебаний оказывается достаточным неравенство Те>37\, которое следует из применимости разложения Re/+[w/(^^тг)] в ряд по степеням

kz^Ti/at. Требование малости мнимой части диэлектрической проницаемости, приводящее к более жесткому требованию на степень неизотермичности в случае изотропной плазмы, здесь выполняется автоматически.

Наконец, заметим, что при совсем малых скоростях дрейфа электронов, когда u《v^, уравнение (7.2.5) имеет лишь устойчивые решения, т. е. плазма с током во внешнем элек-

п отрическом поле в таких усло-

Рис. 23. Зависимость инкремента раз- 尸。丿

вития неустойчивости плаз- внях устойчива.

мы во внешнем постоянном На рис. 23 приведена зави- электрическом поле от ku симость инкремента нарастания неустойчивых колебаний плазмы в постоянном электрическом поле от ku: штриховой линией показан инкремент кинетической неустойчивости, а сплошной — инкремент гидродинамической неустойчивости.

До сих пор не учитывались столкновения частиц в плазме. Поэтому, строго говоря, полученные формулы справедливы в условиях 卜6|3”е, т. е. когда все процессы развития и нарастания колебаний протекают значительно быстрее, чем время между столкновениями частиц. Для высокочастотной гидродинамической неустойчивости, развивающейся при 〃>ите, это требование действительно необходимо, так как указанная скорость может приобретаться электронами только при £0>^ и за времена, меньшие времени их свободного пробега. Оно означает

Y1/6》%,Y1/6》%,(7.2.8)

Y1/6》%,

Y1/6》%,

где под ve следует понимать vei — для полностью ионизованной плазмы и Ven ——для слабоионизованной плазмы.

Что касается ионно-звуковой неустойчивости неизотермической плазмы в электрическом поле, то она может развиваться как при Ео>Екр, так и при EoVEkp, нужно только, чтобы дрейфовая скорость электронов достигла критической скорости для раскачки ионно-звуковых колебаний. Если плазма достаточно разрежена и такая скорость достигается за время, меньшее времени свободного пробега электронов, равновесная функция распределения электронов имеет вид (7.1.2). Если же плотность плазмы высока и электроны во время ускорения в поле Ео испытывают много столкновений, их равновесной функцией распределения являются (7.1.12) для полностью ионизованной плазмы, либо (7.1.16) для слабоионизованной плазмы. Функция распределения (7.1.16) яв- 184

ляется функцией распределения Максвелла со сдвигом по скорости, а (7.1.12) не есть максвелловская функция распределения. Однако, как отмечалось, для простоты и эту функцию распределения можно заменить максвелловской, что позволяет для исследования ионно-звуковой неустойчивости в плазме со столкновениями применять изложенную в предыдущей главе общую теорию, основанную на формулах преобразования Лоренца. В случае невырожденной слабоионизованной плазмы со столкновениями использование этих формул (а также соотношений, полученных в § 4.5) приводит к следующему дисперсионному уравнению для продольных электромагнитных волн, обобщающему (7.2.5):

…一ku + i “е \

1十十

央唸 1S( (D - kll + i Vg ]

(0 — ku + i Ve \ kvTe /

+'~—— =0.(7.2.9)

胪曝

C)+〜\ kvTi 丿

Здесь ve и Vi — частоты столкновений электронов и ионов с нейтральными частицами.

В области частот ионно-звуковых колебаний (со, ”е《^ите и <о》уз kvTi) уравнение (7.2.9) принимает вид

论2 唸卜 И 2狂 те /0)2 \(0 /

+ i ]/亘些=0.(7.2.10)

? 2收嗫

Это уравнение отличается от (7.2.6) малым мнимым слагаемым, учитывающим столкновения ионов с нейтральными частицами, что, в свою очередь, меняет спектр (7.2.7): в выражении для б появляется дополнительное слагаемое

А6=—v"2.(7.2.11)

Таким образом, учет столкновений ионов в слабоионизованной плазме приводит к увеличению критической скорости для раскачки ионно-звуковых колебаний.

Для полностью ионизованной плазмы с равновесной функцией распределения электронов (7.1.2) справедливыми остаются соотношения (7.2.10) и (7.2.11), если в них произвести замену:

(7.2.12)

' '1 @M' '

где Уц= частота ионно-ионных столкно-

.]2崎m前号2 вений.

В этом легко убедиться, если вспомнить, что в области частот ионного звука столкновительная поправка к продольной диэлектрической проницаемости полностью ионизованной плазмы определяется формулой (4.6.6).

В заключение рассмотрим устойчивость вырожденной плазмы во внешнем электрическом поле, когда функция распределения электронов по импульсам имеет вид сдвинутой функции распределения Ферми (7.1.3). Считая скорость дрейфа электронов малой по сравнению со скоростью света, ограничимся анализом устойчивости продольных волн в такой плазме. Используя формулы преобразования (6.1.18) и явный вид продольной диэлектрической проницаемости вырожденной плазмы (4.5.19), получим следующее дисперсионное уравнение:

1一丄 胪脸22初1一丄 胪脸22初СР — kll + iVe |п ①-ku + i Ve 十月咋^ ] 乂kvpco — ku + i ve — kvFe

1一丄 胪脸2

2初

1一丄 胪脸2

2初

co — ku 4- i ve + kvFe ]T①^

CD - ku + i ve - kVFe J央吟

При выводе этого уравнения ионы плазмы считались невырожденными.

В области частот ионно-звуковых колебаний v^,々Utu《s, Ve《 《左^Fe из уравнения (7.2.13) получаем

證 専

+ i 喧^ exp — ①= 0. (7.2.14)

Это уравнение аналогично (7.2.10). Поэтому проведенный анализ применим и здесь, что дает формулы, подобные (7.2.7), (7.2.11) и (7.2.12), в которых, однако, следует произвести замену yTe->yFe, Т■醫 Fe・

Влияние магнитного поля на устойчивость плазмы во внешнем постоянном электрическом поле

Рассмотрим влияние сильного магнитного поля на устойчивость плазмы во внешнем постоянном электрическом поле и тем самым обобщим полученные в предыдущем параграфе результаты на

магнитоактивную плазму, считая, что Во||Ео. Как и ранее, функцию распределения электронов будем считать сдвинутой функцией распределения Максвелла (7.1.2) либо Ферми (7.1.3) и пренебрежем изменением направленной скорости электронов в процессе развития колебаний (адиабатное приближение). Для простоты ограничимся случаем достаточно сильного магнитного поля, когда электроны замагничены (РеАс^е), а ионы, наоборот, не замаг- ничены (Q2iCco2Li)-

При указанных ограничениях анализ дисперсионного уравнения (7.2.1) существенно облегчается. Так, в пределе сильного поля, когда скорость электрического дрейфа электронов намного больше средней скорости их хаотического движения и последней можно пренебречь, уравнение (7.2.1) принимает вид

+

Это уравнение имеет неустойчивые решения при условии

(7.3.2)(7.3.2)достигает равенстведостигает равенстве0Ае力 力2〃2俏

(7.3.2)

(7.3.2)

достигает равенстве

достигает равенстве

Неустойчивость апериодическая, причем з《км и своего максимального значения при резонансном (7.3.2):

сосо5阂з唱『5阂з唱『(7.3.3)(7.3.3)

со

со

5阂з唱『

5阂з唱『

(7.3.3)

(7.3.3)

Из сравнения формул (7.2.3), (7.2.4) с (7.3.2), (7.3.3) следует, что внешнее магнитное поле затрудняет развитие высокочастотной бунемановской неустойчивости в плазме в сильном электрическом поле, область неустойчивости (7.3.2) уже области (7.2.3) для волн, распространяющихся под углом ^#=0 к магнитному полю, и инкремент развития неустойчивости в магнитоактивной плазме (7.3.3) меньше, чем в отсутствие магнитного поля (7.2.4).

Рассмотренная высокочастотная неустойчивость, как и в не- замагниченной плазме, может иметь место лишь при больших скоростях электрического дрейфа электронов, превышающих скорость их хаотического движения. И так же как и в отсутствие магнитного поля, в замагниченной плазме возможны неустойчивости и при малых скоростях дрейфа, меньших, чем тепловая скорость электронов, но больших, чем тепловая скорость ионов. Для анализа таких неустойчивостей, однако, важен учет теплового движения частиц, т. е. явный вид функции распределения заряженных частиц в плазме. Это существенно усложняет анализ дисперсионного уравнения (721). Вместе с тем при малых скоростях дрейфа можно ограничиться анализом уравнения для про-

дольных колебаний вместо общего дисперсионного уравнения (7.2.1), что упрощает задачу.

В случае невырожденной электронно-ионной плазмы в постоянном электрическом поле и параллельном ему магнитном поле уравнение для продольных колебаний записывают в виде

х7就х7就(7.3.4)(7.3.4)

х7就

х7就

(7.3.4)

(7.3.4)

При малых скоростях дрейфа электронов, когда 〃《ите, неустойчивые решения уравнения (7.3.4) следует искать в области частот 居%«(0《財Тогда

(7.3.5)(7.3.5)

(7.3.5)

(7.3.5)

При получении этого уравнения ионы плазмы, так же как и ранее, считались незамагниченными, а электроны — сильно замаг- ниченными. Уравнение (7.3.5) подобно уравнению (7.2.6) и отличается от него малым мнимым слагаемым, обусловленным черепковским эффектом на электронах. Поэтому анализ уравнения (7.2.6) полностью переносится и на уравнение (7.3.5): сохраняются формулы (7.2.7) с заменой

1 —1 ———COS v->——COS v->1cos心1cos心1 —1 —--cos VОф--cos VОф(7.3.6)(7.3.6)

1 —

1 —

——COS v->

——COS v->

1

cos心

1

cos心

1 —

1 —

--cos V

Оф

--cos V

Оф

(7.3.6)

(7.3.6)

В результате критическая скорость дрейфа электронов оказывается меньше, а инкремент нарастания неустойчивости больше, чем в отсутствие магнитного поля. Это означает, что внешнее магнитное поле облегчает развитие ионно-звуковой неустойчивости плазмы во внешнем электрическом поле.

На рис. 24 приведена зависимость инкремента развития неустойчивости невырожденной плазмы во внешних постоянных электрическом и магнитном полях от ku. Она качественно такая же, как и в отсутствие магнитного поля.

До сях пор было полностью пренебрежено столкновениями частиц в плазме. Обсудим теперь их влияние на развитие неустойчивостей в магнитоактивной плазме при наличии электрического дрейфа электронов. Для справедливости формул, относящихся к 188

высокочастотным колебаниям, которые возбуждаются при и> >%е, необходимо, чтобы за время свободного пробега электроны плазмы приобретали в поле скорость, превышающую их тепловую скорость, что возможно при £\)>月叩.Это требование, в свою очередь, означает, что все процессы должны успевать развиваться быстрее времени свободного пробега электронов, т. е. |б| >ve, что приводит к условию (7.2.8). Медленная же ионно-звуковая

"扌陽③W伟了"扌陽③W伟了Рис. 24. Зависимость инкремента развития неустойчивости плазмы во внешних электрическом и магнитном полях от kuРис. 24. Зависимость инкремента развития неустойчивости плазмы во внешних электрическом и магнитном полях от kuнеустойчивость может развиваться как при Ео>£ф, так и при £0<£кр, необходимо только, чтобы электроны имели среднюю дрейфовую скорость, превышающую тепловую скорость ионов. В предыдущем параграфе было показано, что это возможно не только в разреженной бесстолкновительной плазме, но и в плазме с большим числом столкновений. В раскачке ионно-звуковых колебаний

"扌陽③W伟了

"扌陽③W伟了

Рис. 24. Зависимость инкремента развития неустойчивости плазмы во внешних электрическом и магнитном полях от ku

Рис. 24. Зависимость инкремента развития неустойчивости плазмы во внешних электрическом и магнитном полях от ku

существенную роль играют столкновения ионов, причем, так же как и в немагнитоактивной плазме, раскачка имеет место лишь ПрИ 0>>Vi.

+ iM千訪师(一"^)=。，(7.3.7)+ iM千訪师(一"^)=。，(7.3.7)Используя результаты § 5.5 и 5.6, дисперсионное уравнение для ионно-звуковых колебаний магнитоактивной плазмы с функцией распределения электронов (7.1.2) в области частот Ое玄со》 》& (электроны замагничены, ионы не замагничены) можно записать в виде [ср. с. (7.2.10)]

+ iM千訪师(一"^)=。，(7.3.7)

+ iM千訪师(一"^)=。，(7.3.7)

8々2吟

где Vf=Vin для слабоионизованной плазмы и Vt =——w”———"ля

5①2

полностью ионизованной плазмы.

Это уравнение отличается от (7.3.5) лишь наличием малого мнимого члена, учитывающего столкновения ионов в плазме, что дает поправку к декременту затуханий с учетом замены (7.3.6)

A6 = f/2,(7.3.8)

соответствующую стабилизирующему влиянию ионных столкновений на характер возбуждения ионно-звуковой неустойчивости в неизотермической плазме под действием дрейфа электронов.

В заключение кратко обсудим вопрос об устойчивости вырожденной плазмы во внешних электрическом и магнитном полях. Как и ранее, вырожденными считаются только электроны, причем скорость их электрического дрейфа меньше скорости Ферми, но больше тепловой скорости ионов. В этих условиях общее дисперсионное уравнение

£ ®, к)=吟 Е〃 ®, к) = 1 十 X

XXXX1- W1- WXX(o — % 〃 + i Ve(o — % 〃 + i Ve221--1--s+ i WkvTis+ i WkvTisin 8 d ^J^sin 8 d ^J^3唸+ ―~ X央vFe3唸+ ―~ X央vFesin &sin &①—论z 〃 + i—々z t^e cos 心—л^е①—论z 〃 + i—々z t^e cos 心—л^еsin 8 d 2J^ ( 大 £，• sin 8sin 8 d 2J^ ( 大 £，• sin 8XX=0 (739)=0 (739)①—仇〃 + i Ve — h^Fe cos & — n^e①—仇〃 + i Ve — h^Fe cos & — n^en 0n 0можно упростить, рассмотрев область частот kzvTi^^^kzVpe. В результате получим уравнениеможно упростить, рассмотрев область частот kzvTi^^^kzVpe. В результате получим уравнение

X

X

X

X

1- W

1- W

X

X

(o — % 〃 + i Ve

(o — % 〃 + i Ve

2

2

1--

1--

s+ i WkvTi

s+ i WkvTi

sin 8 d ^J^

sin 8 d ^J^

3唸

+ ―~ X央vFe

3唸

+ ―~ X央vFe

sin &

sin &

①—论z 〃 + i—々z t^e cos 心—л^е

①—论z 〃 + i—々z t^e cos 心—л^е

sin 8 d 2J^ ( 大 £，• sin 8

sin 8 d 2J^ ( 大 £，• sin 8

X

X

=0 (739)

=0 (739)

①—仇〃 + i Ve — h^Fe cos & — n^e

①—仇〃 + i Ve — h^Fe cos & — n^e

n 0

n 0

можно упростить, рассмотрев область частот kzvTi^^^kzVpe. В результате получим уравнение

можно упростить, рассмотрев область частот kzvTi^^^kzVpe. В результате получим уравнение

+ "子舞叫一諡）=a （7.3.10）

которое отличается от (7.2.14) малым мнимым слагаемым, обусловленным черепковским эффектом на электронах. Поэтому все сказанное относительно уравнения (7.2.14) сохраняет силу и здесь с учетом замены (7.3.6), которая свидетельствует о дестабилизирующем влиянии магнитного поля на токовую неустойчивость вырожденной плазмы.

§ 74 Плазма в сверхвысокочастотном электрическом поле

Изучим свойства плазмы в сверхвысокочастотном (СВЧ) электрическом поле. Вопросы взаимодействия СВЧ-полей с плазмой, как отмечалось, связаны с рядом прикладных проблем физики плазмы. В первую очередь это СВЧ-разряд в плазме, т. е. создание плазмы с помощью СВЧ-полей. Сюда же относится нагрев плазмы посредством СВЧ-полей для получения высокотемпературной термоядерной плазмы. Большой интерес для физиков-термоядерщиков представляет также идея удержания плазмы СВЧ-полями. Наконец, в последнее время физиками интенсивно исследуется возможность .ускорения плазменных сгустков с, помощью ра- 190

диационного давления СВЧ-полей. Бурно развиваемая теория взаимодействия СВЧ-полей с плазмой охватывает все более широкий круг явлений в плазме. Достаточно полное изложение этой теории выходит за рамки настоящей книги. Поэтому ограничимся здесь изложением общих основ теории взаимодействия СВЧ-полей с плазмой и опишем лишь те явления, которые на сегодняшний день считаются хорошо исследованными как теоретически, так и экспериментально.

В § 7.1 были найдены равновесные функции распределения [см. формула (7.1.21), (7.1.22)] заряженных частиц в пространственно однородной плазме во внешнем высокочастотном электрическом поле, параллельном внешнему магнитному полю:

Ео (0 = Ео sin зо/. (7.4.1)

Исследуем устойчивость этих распределений, рассмотрев малые колебания в такой плазме. Анализ устойчивости начнем с СВЧ- полей, частота которых больше всех характерных частот плазмы:

^0》®La> Qa, Va • (7.4.2)

Плазму в СВЧ-поле в первом приближении можно считать изотропной и оценить неоднородность поля с помощью дисперсионного уравнения для поперечных волн (см. гл. 4):

3 • (743)

Величина hLacleo характеризует неоднородность СВЧ-поля, которой при записи уравнения (7.4.1) было пренебрежено. Это означает, что СВЧ-поле можно считать однородным лишь для таких процессов в плазме, характерные размеры неоднородности которых 1/々 значительно меньше 1/й0, т. е.々》зо/с. Это условие, которое далее всюду считается выполненным, позволяет при исследовании устойчивости плазмы в СВЧ-поле ограничиться анализом квазипродольных (потенциальных) колебаний. Действительно, частоты колебаний порядка характерных частот плазмы, т. е. со〜((0La， Qa)・ Учитывая (7.4.2), заключаем, что з《зо^^ос《^с・ Это же неравенство представляет собой условие квазипродольнос- ти колебаний.

Поскольку действием высокочастотного электрического поля на ионы плазмы можно пренебречь (по сравнению с его действием на электроны), функцию распределения ионов по скоростям можно считать изотропной (как правило, максвелловской), в то время как функция распределения электронов определяется формулами (7.1.22) и (7.1.23):

%e(P)=foe(p—Po(f)),

Ро (力)=е j Ео (/) d/ =—實 cos % % = !/•：=；7c2 • (7・4・4)

При анализе устойчивости плазмы в СВЧ-поле для простоты ограничимся нерелятивистским случаем, считая uQ(t)^c.

Линеаризуя кинетическое уравнение Власова для электронов и ионов по малым отклонениям от равновесных функций распределения, в случае бесстолкновительной плазмы во внешних параллельных электрическом и постоянном магнитном СВЧ-полях получаем

dbfe + ikvfi fe I eEosingf 於3 + [уВ]耽十 dte tn dv tn dv

+ —唯 e(P~LB也=о,(7.4.5)

警+ikv明+号WB。]等+书旦粤=0.

dtM dv M dv

Здесь foe(p—po) и foi(p) — равновесные функции распределения электронов и ионов; б/е и 6^ — их малые возмущения, зависимость которых от координат вследствие пространственной однородности плазмы принята в виде ехр(—ikr); Е=—\7Ф — электрическое поле возмущений, удовлетворяющее уравнению Пуассона 必①= <-可 dp6/e + 十 S Jdp“(7.4.6)

Для решения системы (7.4.5) и (7.4.6) удобно ввести новую функцию

屮e(p，f)=exp屮e(p，f)=expe kE0 sin coo /e kE0 sin coo /(7.4.7)(7.4.7)

屮e(p，f)=exp

屮e(p，f)=exp

e kE0 sin coo /

e kE0 sin coo /

(7.4.7)

(7.4.7)

В результате система сводится к виду

萼 +ikvK-Q萼 +ikvK-Q。明 j]®e(P)。明 j]®e(P)Э(рЭ(ре Уdp Ve(p) +е Уdp Ve(p) ++ ^i j dp3力(p) exp ( — i £ 4M. sin 5 力)]=0,+ ^i j dp3力(p) exp ( — i £ 4M. sin 5 力)]=0,^ + ikv6ff-Q；dt^ + ikv6ff-Q；dtЭ(рЭ(р+ 可 dp4fe exp^ —i — ^y- sin o01+ 可 dp4fe exp^ —i — ^y- sin o01d*f ik dfoMP)d*f ik dfoMP)4 jdp6% +4 jdp6% +(7.4.8)(7.4.8)

萼 +ikvK-Q

萼 +ikvK-Q

。明 j]®e(P)

。明 j]®e(P)

Э(р

Э(р

е Уdp Ve(p) +

е Уdp Ve(p) +

+ ^i j dp3力(p) exp ( — i £ 4M. sin 5 力)]=0,

+ ^i j dp3力(p) exp ( — i £ 4M. sin 5 力)]=0,

^ + ikv6ff-Q；

dt

^ + ikv6ff-Q；

dt

Э(р

Э(р

+ 可 dp4fe exp^ —i — ^y- sin o01

+ 可 dp4fe exp^ —i — ^y- sin o01

d*f ik dfoMP)

d*f ik dfoMP)

4 jdp6% +

4 jdp6% +

(7.4.8)

(7.4.8)

Здесь %е(р) и foMp) — изотропные равновесные функции распределения электронов и ионов в системе покоя этих частиц.

Воспользуемся далее разложением

厶(k「£),厶(k「£),(7.4.9)(7.4.9)土ikr sin(V ~土 1 心。

厶(k「£),

厶(k「£),

(7.4.9)

(7.4.9)

e £= 2 e

где г^=еЕо/ (m©20)—амплитуда осцилляций электронов во внешнем СВЧ электрическом поле, и учтем, что уравнения (7.4.8) образуют систему с периодическими коэффициентами. Последнее обстоятельство позволяет искать решение этой системы в виде

(此，3加=0一心’ S е-ьш。«匕n, 6f»n)・(7.4.10)

В результате из системы (7.4.8) получаем

—i @ + 〃％)吼几 + ikv吼П—&等一ik 警 X

X ^ [”dpKn +e^ J/_n(kr£) Jdpb% ] = o, (7.4.11)

—i (co + n(oo) 6 fin 4- ikv 6/»n—R—

—ik*施[*jdp鶴“ + e 2 Ji(k「E)Jdp&n] = 0,

Введем обозначения

〃en = e jdp4r&n, щп = 4 Jdp3f s(7.4.12)

и запишем систему (7.4.11) в виде зацепляющихся уравнений, воспользовавшись формальным ее решением

%п= —8% (« + п(оо%п= —8% (« + п(ооЩп = — 6ег (° + 九％Щп = — 6ег (° + 九％” k) [%n + 2 ^l—n (kr^) Иц ^j)л k) [〃5 + 2 ^n—i (kr£)uei J.” k) [%n + 2 ^l—n (kr^) Иц ^j)л k) [〃5 + 2 ^n—i (kr£)uei J.(7.4.13)(7.4.13)

%п= —8% (« + п(оо

%п= —8% (« + п(оо

Щп = — 6ег (° + 九％

Щп = — 6ег (° + 九％

” k) [%n + 2 ^l—n (kr^) Иц ^j)л k) [〃5 + 2 ^n—i (kr£)uei J.

” k) [%n + 2 ^l—n (kr^) Иц ^j)л k) [〃5 + 2 ^n—i (kr£)uei J.

(7.4.13)

(7.4.13)

Здесь б8е((о, k) и бег (co, k) —парциальные вклады в продольную диэлектрическую проницаемость плазмы от электронов и ионов соответственно.

Условие разрешимости бесконечной системы зацепляющихся уравнений (7.4.13) представляет собой искомое дисперсионное уравнение для малых продольных (потенциальных) колебаний плазмы во внешнем электрическом СВЧ-поле. В общем случае это определитель бесконечного порядка и проанализировать его невозможно. Однако в наиболее интересных предельных случаях этот определитель удается существенно упростить и найти спектр колебаний плазмы во внешнем электрическом СВЧ-поле. Так, например, в пределе очень высоких частот, когда выполнены условия (7.4.2), все величины бее,г (^©о+со, к) с 〃#=6 малы по сравнению с единицей. Поэтому в системе (7.4.13) можно ограничиться слагаемыми, содержащими иео и ^о, считая только такие слагаемые отличными от нуля. В результате из системы (7.4.13) получим

(7.4.14)(7.4.14)[1+б£е®, k)]Ueo + 68e(0, к)/0 (кг^) WfO = O,6вг((0, k)/o(kr^)z/eo+[1+б8г((0, к)]/о = О.

(7.4.14)

(7.4.14)

1931937—953

193

193

Условие разрешимости этой системы ——искомое дисперсионное уравнение — записывается в виде

1+6尻(3, к) + 6ег(w» к) + [1—/2о(кг^)]6ее((о, k)6ef((o, к) =0.

(7.4.15)

При выводе дисперсионного уравнения (7.4.15) полностью пренебрежено столкновениями частиц в плазме. Легко показать, однако, что это уравнение справедливо и при учете столкновений, если только скорость осцилляций частиц мала по сравнению со скоростью их теплового движения, и поэтому внешнее СВЧ-поле не влияет на сам акт столкновений (т. е. на сечения рассеяния). Действительно, при учете столкновений частиц в системе уравнений (7.4.11) позволяются правые части, обусловленные линеаризованными интегралами столкновений электронов и ионов. По своей структуре эти члены такие же, как и в отсутствие электрического СВЧ-поля. Это означает, что сохраняется вид решений этих уравнений, т. е. система (7.4.13), с той лишь разницей, что в выражениях б8е(о + п(йо, к) и б£%(з + 〃зо, к) нужно учитывать столкновения частиц (см. § 4.5, 4.6, 5.5 и 5.6).

Приступая к анализу дисперсионного уравнения (7.4.15), рассмотрим прежде всего незамагниченную и невырожденную газовую плазму, когда 6ее(со, к) и бег (со, к) определяются выражением (см. § 4.1, а = е, i)

В высокочастотном пределе (о》^ита (предел холодной плазмы), пренебрегая экспоненциально малыми мнимыми слагаемыми, из (7.4.15) при этом получаем

1 — * —粤化啕)=°'(7417)

Отсюда находим спектры колебаний холодной плазмы во внешнем СВЧ-поле:

0)2]+(кг^),

022 =(о2ы [1—/2о (к『Е)].(7.4.18)

Первый спектр (7.4.18) является спектром известных высокочастотных ленгмюровских колебаний, видоизмененным под действием внешнего СВЧ-поля, второй спектр — новый, аналогичный спектру ионно-звуковых колебаний, в котором роль электронной температуры играет средняя энергия колебательного движения электронов в высокочастотном поле (рис. 25). Он называется электроакустическим. Особенно явно это видно в длинноволновом пределе kr£< 1, когда

% =吟 号匕=(kWJ2.(7.4.19)

(7.4.20)(7.4.20)

(7.4.20)

(7.4.20)

Здесь W$= -~— —J (Ve = so1*e — амплитуда скорости осцилляций электронов во внешнем поле).

Таким образом, можно говорить о существовании анизотропных электрозвуковых колебаний в плазме, помещенной в электрическое СВЧ-поле, понимая под скоростью звука величину Ws. Отметим, что такие звуковые колебания возможны только в достаточно сильных полях, когда 步8》ите* а следовательно, скорость осцилляций электронов

〃戶》色-%е》1/ — vTe. Следует отметить также, что в коротко- волновом пределе kr^》1 частота(о2, так же как и(oi, осциллирует, причем о)2 асимптотически стремится к (оы, a(oi — к зз>, как показано на рис. 25.

Рассмотрим уравнение (7.4.15) в области частот hv^《3《h5e. В отсутствие внешнего высокочастотного поля в этой области частот, как известно, возможны колебания, если плазма неизотермическая и Те》1\ (ионный звук). При наличии СВЧ-поля дисперсионное уравнение (7.4.15) в этой области частот записывается в виде

Здесь пренебрежено экспоненциально малым ионным поглощени ем. Из этого уравнения находим следующий спектр (sf(o + i6):

(О2 н 0)2. 1 —(О2 н 0)2. 1 —•^ （к「£）1十出否•^ （к「£）1十出否[l+(〃De)-2]2[l+(〃De)-2]2(7.4.21)(7.4.21)

(О2 н 0)2. 1 —

(О2 н 0)2. 1 —

•^ （к「£）

1十出否

•^ （к「£）

1十出否

[l+(〃De)-2]2

[l+(〃De)-2]2

(7.4.21)

(7.4.21)

В пределе длинных волн kr^< 1 и 左2r2^《1 спектр (7.4.21) принимает простой вид

炉=便m^产+必檄^(7.4.22)

5= _]/g 器也

Отсюда видно, что спектр ионно-звуковых колебаний при vs>Ws мало искажается высокочастотным полем и, так же как в отсутствие поля, возможен только в неизотермической плазме. При Ws>vs (или UE》％e) в плазме оказывается возможным специфический звук, обусловленный высокочастотным полем. Спектр (7.4.22) в этом пределе представляет собой продолжение спектра (7.4.19) в область низких фазовых скоростей или меньших напряженностей высокочастотных полей. Отметим, что в этом пределе колебания возможны как в неизотермической, так и в изотермической плазме.

Исследуем теперь влияние внешнего магнитного поля на спектры колебаний плазмы в электрическом СВЧ-поле. Иными словами, исследуем уравнение (7.4.15) в условиях, когда 6ее((о, к) и б£»((о, к) определяются формулами (см. § 23, а=е, i):

6% (8, к)=—6% (8, к)=—

6% (8, к)=—

6% (8, к)=—

(7.4.23)

При 汽丄=0 и ①》Оа выражение (7.4.23) совпадает с (7.4.16), так как при этом оно перестает зависеть от магнитного поля, т. е. в этих условиях спектры колебаний такие же, как и в отсутствие магнитного поля. Поэтому рассмотрим теперь колебания при 々丄=7^=0. Анализ уравнения (7.4.15) начнем с холодной плазмы, когда 々丄％«《0&, Iко——Qa I >^zyTa. В этом пределе оно записывается в виде

1—响+脸J国, + 炉 胪一鳍1—响+脸J国, + 炉 胪一鳍

1—响+脸J国, + 炉 胪一鳍

1—响+脸J国, + 炉 胪一鳍

В области частот ①《£2彳 это уравнение сводится к биквадратному уравнению относительно со, корни которого приближенно равны:

峭=也片［1 + (1 _W(krE))

х I+0一"便喇 ^1号口 >(74.25)

Первый спектр (7.4.25) в отсутствие высокочастотного электрического поля переходит в спектр низкочастотных колебаний холодной магнитоактивной плазмы (см. § 4.2); при слабых высокочастотных полях происходит небольшое искажение этого спектра. Второй спектр является новым, в отсутствие высокойастотного поля частота 02 = 0, т. е. колебания отсутствуют. По своей природе эти колебания аналогичны звуковым колебаниям с высокочастотной осцилляцией электронов, исследованным выше [см. спектры (7.4.18) и (7.4.19)], и, так же как и в случае незамагниченной плазмы, ВОЗМОЖНЫ, когда скорость ОСЦИЛЛЯЦИЙ Ое>-^—Оре》

①Li

Рассмотрим теперь спектры колебаний магнитоактивной плазмы в высокочастотном электрическом поле в области промежуточных фазовых скоростей %彳《——《％е и промежуточных частот Qi<<o<iQe, т. е. в области, в которой в отсутствие высокочастотного поля и при сильной неизотермичности (Те》7\) возможны ионно-звуковые колебания. Кроме того, пренебрегая для простоты тепловым движением ионов, из уравнения (7.4.15) получим

+亲(l + W^一鲁—(」*(Е))Х

=0.=0.(7.4.26)(7.4.26)

=0.

=0.

(7.4.26)

(7.4.26)

Отсюда, учитывая малость мнимых слагаемых, обусловленных черепковской диссипацией волн на электронах плазмы, находим следующий спектр колебаний (ico-xo + iS):

бб1--1--J^（k『E）1+胪唱eJ^（k『E）1+胪唱e*脸 /汕后）庐他I唸口十（近De）T]2*脸 /汕后）庐他I唸口十（近De）T]2(7.4.27)(7.4.27)

б

б

1--

1--

J^（k『E）

1+胪唱e

J^（k『E）

1+胪唱e

*脸 /汕后）

庐他I唸口十（近De）T]2

*脸 /汕后）

庐他I唸口十（近De）T]2

(7.4.27)

(7.4.27)

Этот спектр полностью аналогичен спектру (7.4.21), поэтому проведенный анализ сохраняет силу и в данном случае. Небольшое отличие обусловлено изменением характера черепковского поглощения волн на электронах, что привело к увеличению декремента затухания волн в замагниченной плазме.

Параметрическое взаимодействие сверхвысокочастотного электрического поля с плазмой

Как было показано, в плазме во внешнем электрическом СВЧ (сверхвысокочастотном, или просто высокочастотном) -поле в условиях, когда частота поля значительно больше всех частот колебаний плазмы, появляется ряд новых специфических спектров колебаний, а также искажаются спектры, характерные для плазмы в отсутствие высокочастотного поля. Существенно при этом, что колебания являются устойчивыми, т. е. их амплитуды не нарастают во времени. Иное положение имеет место, если частота внешнего поля близка к одной из частот колебаний плазмы. В этом случае происходит сильное параметрическое взаимодействие высокочастотного поля с плазмой и даже при малых значениях поля возможно появление в плазме нарастающих колебаний.

Чтобы убедиться в этом, вновь вернемся к системе уравнений (7.4.13) и предположим, что частота внешнего поля со。 порядка электронных собственных частот плазмы и тем самым намного больше ионных частот. Например, для незамагниченной плазмы so^SLe и, следовательно, so》®/. При этом в системе (7.4.13) малыми являются величины б8г(а)+п(оо) для всех п#=0. Это позволяет считать отличной от нуля лишь величину 〃力о и условие разрешимости системы записать в виде

= 一巫但k_ - " (kr)一 .6电3十三①。，項一 (7.5.1)

Отсюда, в частности, при so》砒& когда в сумме по п можно ограничиться лишь вкладом слагаемого с п=0, снова получаем уравнение (7.4.15).

Проанализируем уравнение (7.5.1) в пределе холодной плазмы, когда о》应％厶 со主冷зо》忘％е и пространственной дисперсией в парциальных диэлектрических проницаемостях b£e(s + 〃3o, к) и б£%(з, к) можно пренебречь. Кроме того, для простоты плазму будем считать бесстолкновительной, а ионы — незамагниченными, что позволяет переписать уравнение (7.5.1) в виде

』=1一 W W(k『E)—鸟(Q+“s。)・ (7.5.2) ©Lf n 1 + 3% (s + 九 о。)

Отсюда сразу видно, что гидродинамически неустойчивые решения с 02<О возможны только в области частот <оо》|з| и в условиях, когда для п#=0

11 + 6ее(/г(оо) I «1. (7.5.3)

Это означает, что сильная неустойчивость может возникнуть, если частота внешнего электрического СВЧ-поля либо ее обертоны близки к собственным частотам продольных электронных колеба- 198

ний плазмы. Полагая в правой части ①=0, из уравнения (7.5.2) в первом приближении находим'

(7.5.4)(7.5.4)2% (皿ё)唱

(7.5.4)

(7.5.4)

1 +靦(〃①о)

В отсутствие сильного внешнего магнитного поля (при со。》Се) отсюда получаем

炉 —jn 2(к%)脸 M 1-响/(m脸炉 —jn 2(к%)脸 M 1-响/(m脸(7.5.5)(7.5.5)

炉 —jn 2(к%)

脸 M 1-响/(m脸

炉 —jn 2(к%)

脸 M 1-响/(m脸

(7.5.5)

(7.5.5)

Видно, что плазма неустойчива (а)2<0) в области своей непрозрачности по отношению к СВЧ-полю:

^2(о2о^о2ье.(7.5.6)

При выполнении равенства (7.5.6) инкремент нарастания неустойчивости неограниченно возрастает, и формула (7.5.5) теряет смысл. В этом резонансном случае в правой части уравнения (7.5.2) уже нельзя полагать о = 0, необходимо учесть члены порядка со?/〃2s2°. Рассмотрим эту область частот СВЧ-поля подробнее. Из (7.5.2) следует уравнение

* = 1- 2 / (斤e)-^-^-—，(757)

которое в условиях

心》嗚，1》1All三工一1》］/>(758)

、 и2崎

записывается в виде

4一 4- Дп-2 *(粱)£ Ап = °・(7・5・9)

Величину Дп называют расстройкой частоты при резонансном параметрическом взаимодействии СВЧ-поля с плазмой. Согласно (7.5.9) инкремент нарастания колебаний Im со является функцией Дп. При больших расстройках, когда

绿》± =绿》± =2#（к「Е）2#（к「Е）(7.5.10)(7.5.10)

绿》± =

绿》± =

2#（к「Е）

2#（к「Е）

(7.5.10)

(7.5.10)

справедливо решение (7.5.5), и инкремент нарастания 1тз~ 〜(т/7И)1/2о)ье. С уменьшением расстройки инкремент возрастает и при условии

九+ 普 W(k『E)= 0 (7.5.11)

достигает максимума:достигает максимума:7方志 一 %feze7方志 一 %fezeРис. 26. Зависимость инкремента развития гидродинамической параметрической неустойчивости ПЛаЗМЫ ОТ ОТНОШеНИЯ (Oo/(OLeРис. 26. Зависимость инкремента развития гидродинамической параметрической неустойчивости ПЛаЗМЫ ОТ ОТНОШеНИЯ (Oo/(OLe

достигает максимума:

достигает максимума:

7方志 一 %feze

7方志 一 %feze

Рис. 26. Зависимость инкремента развития гидродинамической параметрической неустойчивости ПЛаЗМЫ ОТ ОТНОШеНИЯ (Oo/(OLe

Рис. 26. Зависимость инкремента развития гидродинамической параметрической неустойчивости ПЛаЗМЫ ОТ ОТНОШеНИЯ (Oo/(OLe

(7.5.12)

Таким образом, максимальный инкремент нарастания Im сотах 〜(т!Му/2^ъе также достигается в области непрозрачности плазмы Дп>0 (т. е. n(oo<o)Le), причем резонансная расстройка (М)т…[号 ^(кГЕ)]"\

(7.5.13)

Не следует думать, что неустойчивость имеет место только в области непрозрачности плазмы по отношению к СВЧ-полю; плазма неустойчива и в области прозрачности ШОо〉① Le・ Однако при

этом неустойчивость становится кинетической с малым инкрементом нарастания (см. задачу 7.8). На рис. 26 показана зависимость инкремента нарастания гидродинамической параметрической неустойчивости в незамагниченной плазме от отношения(о0/оье.

Внешнее продольное (параллельное электрическому СВЧ-полю) магнитное поле не влияет на рассмотренную неустойчивость, пока оно слабое и Qe<oo. В сильных же полях при Qe>a)o появляются качественно новые особенности в характере параметрического взаимодействия внешнего СВЧ поля с плазмой. Эти особен

ности связаны с существованием двух ветвей электронных продольных колебаний магнитоактивной плазмы, называемых верхним и нижним гибридными колебаниями и определяемых формулами (см. § 5.2)

限2H y (哈 + %) 土 十 U(吒,+皤)2 - 4<€ 比 COS2a。5」4)

где 今一угол между волновым вектором колебаний и магнитным полем.

Параметрическая неустойчивость в магнитоактивной плазме возникает, когда обертоны частоты СВЧ-поля близки к одной из собственных частот (7.5.14), т. е.

(7.5.15)

для а= 1, 2.

200

Анализ параметрической неустойчивости в магнитоактивной плазме проводят так же, как и в отсутствие магнитного поля. Более того, вводя расстройку частоты вблизи резонансных частот (7.5.15) для а=1, 2:

Ana = cos2 心一+sin2^-^~l,(7.5.16)

Л2〃分

уравнение (7.5.2) в условиях (7.5.8) можно записать в виде

线V"厶厶一 2 瞟(k『E)Ana = 0,(7・5・17)

脸 脸M

гдеЛа = —涿恒。)・(7.5.18)

Уравнение (7.5.17) аналогично (7.5.9) и при больших расстрой

(7.5.19)(7.5.19)ках, когда

(7.5.19)

(7.5.19)

2 —

响 Дп

также приводит к инкременту нарастания 1тз~ (加/乂产矶次 С уменьшением расстройки инкремент возрастает и при условии

(Ana)min ^(Ana)min ^(7.5.20)(7.5.20)

(Ana)min ^

(Ana)min ^

(7.5.20)

(7.5.20)

достигает максимума:

(7.5.21)(7.5.21)

(7.5.21)

(7.5.21)

т. е. ImiSmax〜(加/M)l/3(0Le・

В пределе слабого магнитного поля В0~>0 две собственные частоты Sa вырождаются в одну частоту ©be, величина Ла->2, и формулы (7.5.15) — (7.5.21) переходят в (7.5.6) —(7.5.12). Не меняется характер параметрического взаимодействия сильного СВЧ- поля с плазмой и в случае конечного магнитного поля, если 9=0, т. е. для колебаний, распространяющихся строго вдоль магнитного поля. Наконец, в пределе очень сильного магнитного поля В0->оо формулы (7.5.15) — (7.5.21) отличаются от (7.5.6) — (7.5.12) простой заменой (оье->о)ье cos -&, а в остальном взаимодействие СВЧ-поля с плазмой носит такой же характер, как и в отсутствие магнитного поля.

В заключение заметим, что параметрическая неустойчивость плазмы в СВЧ-поле по своей природе аналогична гидродинамической апериодической неустойчивости плазмы в постоянном электрическом поле в условиях, когда скорость дрейфа электронов больше их тепловой скорости (см. § 7.2). Параметрическая неустойчивость также обусловлена относительным движением элект-

ронов и ионов, но это движение носит осцилляционный характер, что в свою очередь приводит к резонансной зависимости инкрементов нарастания неустойчивости от частоты СВЧ-поля ——неустойчивость имеет место, когда обертоны частоты СВЧ-поля близки к собственным частотам продольных электронных колебаний плазмы. Наконец, так же как гидродинамическая неустойчивость плазмы с током, параметрическая неустойчивость возможна только в сильных СВЧ-полях, когда скорость дрейфа (осцилляций) электронов больше их тепловой скорости, т. е. ve^v^.

Параметрическая раскачка колебаний в плазме внешним сверх- вы-сокочастотным полем может, однако, происходить и)при .малых напряженностях СВЧ-поля, когда скорость осцилляций электронов значительно меньше их тепловой скорости. Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим уравнение (7.5.1) в условиях малых напряженностей СВЧ-полей, i『E《l・ При этом в сумме по функциям Бесселя достаточно ограничиться первыми тремя слагаемыми с п = =0, 土 1・ В результате уравнение (7.5.1) сводится к виду

1 + 昵t (со, к) + *е (①，k) I (k「E)2 Г ]

G8f (co, k) [1 + 6se (co, k)4(①十恤，k)

_|] =0e (s —(o. k) J_|] =0e (s —(o. k) J(7.5.22)(7.5.22)

_|] =0

e (s —(o. k) J

_|] =0

e (s —(o. k) J

(7.5.22)

(7.5.22)

При выводе этого уравнения предполагалось, что зи《зо, а ①о в свою очередь порядка собственных частот продольных электронных колебаний, так что e((o±g)o)^ 1+б£е(<о±зо)《1.

Анализ уравнения (7.5.22) начнем с бесстолкновительной неза- магниченной плазмы во внешнем СВЧ-поле, причем рассмотрим колебания в области низких частот(о《^итз Считая длину волны значительно больше дебаевского радиуса электронов, из уравнения (7.5.22) получаем

=0.(7.5.23)=0.(7.5.23)

=0.(7.5.23)

=0.(7.5.23)

Учитывая малость мнимого слагаемого, обусловленного черепковской диссипацией волны на электронах плазмы, уравнение (7.5.23) можно свести к виду

叫 А2—4(о2—т](о2 Д ( 1 + i叫 А2—4(о2—т](о2 Д ( 1 + i丿^訂 7^7）"（7524）丿^訂 7^7）"（7524）

叫 А2—4(о2—т](о2 Д ( 1 + i

叫 А2—4(о2—т](о2 Д ( 1 + i

丿^訂 7^7）"（7524）

丿^訂 7^7）"（7524）

Здесь л =? характеризует отношение плотностей

2N(Te + Ti)

энергии СВЧ-поля, вызывающего развитие неустойчивости, и внутренней энергии плазмы (今——угол между внешним высокочастот- 202

(7.5.25)(7.5.25)ным полем и волновым вектором); А =(о2ье/(о2о—1 ——расстройка частоты СВЧ-поля. Выпишем приближенные корни этого уравнения в области малых частот (инкрементов):

(7.5.25)

(7.5.25)

I 1 /Д2 — T]A(oa , Д2 —

士 у --о0 при — 土 一.

4若 4

Отсюда видно, что рассматриваемые колебания возможны только при А>0, т. е. в области частот >(0201<02^ когда плазма непрозрачна по отношению к высокочастотному полю. При этом колебания апериодически неустойчивы, если п 之 А, н чем меньше расстройка △, тем меньше минимально необходимое значение п, 「 е.

тем меньше критическое высокочастотное поле, вызывающее параметрическую неустойчивость плазмы. Из условия применимости бесстолкновительного приближения [условия пренебрежения столкновениями в выражениях 6е(①土@о)] следует, что |А|>^/зо, где ve — частота столкновений электронов с ионами либо с нейтральными частицами. Следовательно, для развития апериодической неустойчивости необходимо, чтобы

!!=!!=屛COS2"2N(Te + Tt)屛COS2"2N(Te + Tt)(7.5.26)(7.5.26)

!!=

!!=

屛COS2"

2N(Te + Tt)

屛COS2"

2N(Te + Tt)

(7.5.26)

(7.5.26)

(числовой коэффициент 4 находят при более точном учете столкновений частиц, см. задачу 7.9). Отношение скорости высокочастотных осцилляций электронов к их тепловой скорости при этом является малой величиной: v^e/v2^^^]^ 1.

При еще меньших напряженностях СВЧ-полей возникает параметрическая неустойчивость в неизотермической плазме с Те》7\, в которой возможно существование ионно-звуковых колебаний. Именно их и возбуждает высокойастотное электрическое поле. В области частот ионно-звуковых колебаний 卜5$《3《卜父 при 必吟е《①& уравнение (7.5.22) принимает вид

АД2 - 4炉/说АД2 - 4炉/说=0. (7,5.27)=0. (7,5.27)炉,胪吟厶. 十I]—1

А

Д2 - 4炉/说

А

Д2 - 4炉/说

=0. (7,5.27)

=0. (7,5.27)

略 味1

Существенно, что ионно-звуковые колебания могут параметрически возбуждаться в области прозрачности плазмы по отношению к СВЧ-полю, когда Д<0 (т. е. з?。〉^?]^). Действительно, при резонансном условии

02 = ^2у2з= (зо—o)Le)2,(7.5.28а)

или

00 = 0Le + kvSt(7.5.286)

т. е. когда частота СВЧ-поля равна сумме электронной ленгмюровской частоты и частоты ионно-звуковых колебаний, из уравне-

ния (7.5.27) находим инкремент нарастания параметрической неустойчивости (sf ① + iS):

6= М^ VA W(7.5.29)

16炉Г л м 2тё、 丿

Видно, что неустойчивость имеет место в области прозрачности плазмы при о2о>(о2ье. Из условия пренебрежения столкновениями электронов в диэлектрической проницаемости £(is±so) при этом следует, что im(o = 6>We, или

廊 cos2 О~m ve“ 匚 ас、

= >8 л - - .(7.5.30)

I 2NTeо。''

Легко видеть, что порог, определяемый неравенством (7.5.30), значительно ниже, чем (7.5.26).

Исследуем теперь влияние внешнего продольного магнитного поля на параметрические неустойчивости плазмы в слабом СВЧ- поле. Прежде всего отметим еще раз, что для волн, распространяющихся вдоль магнитного поля, т. е. при 9=0, полученные формулы (7.5.23) — (7.5.30) справедливы и для магнитоактивной плазмы. Для волн же, распространяющихся под углом 8 к магнитному полю, как и в случае апериодической параметрической неустойчивости в сильном СВЧ-поле, появляется возможность параметрического взаимодействия СВЧ-поля с плазмой на верхней и нижней электронных гибридных частотах [ср. с (7.5.15)]:

稣内 ％，(7.5.31)

где частоты з^ для а=1, 2 определены соотношением (7.5.14).

Подробного анализа параметрических неустойчивостей магнитоактивной плазмы в слабом СВЧ-поле здесь проводить не будем (см. задачу 7.10). Отметим лишь, что на обеих ветвях электронных колебаний возможны как апериодическая, так и ионнозвуковая (в случае неизотермической плазмы с Л^Л) параметрические неустойчивости, причем инкремент их нарастания и пороги возбуждения по порядку величины такие же, как и в отсутствие магнитного поля.

Параметрическая неустойчивость плазмы по отношению к непотенциальным возмущениям

В предыдущем параграфе была рассмотрена параметрическая неустойчивость плаамы по отношению к чисто потенциальным возмущениям, Е=—▽①.Как видно из дисперсионного уравнения

для потенциальных возмущений воздействие внешнего

электрического поля на плазму существенно только тогда, когда угол между волновым вектором к и полем Ео отличен от п/2. Если этот угол равен п/2, поле Ео вообще выпадает из уравнения (7.5.1) и плазма оказывается устойчивой по отношению к потенциальным колебаниям. Это утверждение, однако, оказывается несправедливым относительно непотенциальных колебаний. Более того, плазма во внешнем высокочастотном поле даже в отсутствие магнитного поля является анизотропной средой и колебания такой плазмы не .могут быть строго продольными. Тем не менее, как будет видно из дальнейшего, при кг£=/=0 уравнение (7.5.1) с большой точностью совпадает с точным дисперсионным уравнением произвольных непотенциальных колебаний. Это означает, что такие колебания являются с хорошей степенью точности потенциальными. Непотенциальность колебаний оказывается существенной при к「Е=0, т. е. для волн, распространяющихся строго поперек поля Ео.

Для анализа устойчивости плазмы по отношению к непотенциальным возмущениям кинетические уравнения для электронов и ионов [ср. с (7.4.5)] при Во=О

甄+ikv6h凸更业Jfm甄+ikv6h凸更业Jfm++

甄+ikv6h凸更业Jfm

甄+ikv6h凸更业Jfm

+

+

+ — (E+(v B])如鱼ZRL =0.mdv

訣 + i kv储 + * (E + [vB])= 0(7.6.1)

GtMdv

следует дополнить полной системой уравнений Максвелла rot Е =—粤，с2 % rot В = % 粤 + S ^а У dpv 6 fa,

divB = 0, divE= — S 纭 J dp3尼. (7.6.2)

При написании уравнений (7.6.1) и (7.6.2), так же как в § 7.4 и 7.5, скорость осцилляций электронов в высокочастотном электрическом поле считалась нерелятивистской: | р01 =т |«о| = =]^5l cos % '《тс.

Кроме того, для простоты изложения здесь мы ограничились рассмотрением случая незамагниченной плазмы, считая внешнее магнитное поле отсутствующим.

Дальнейший анализ уравнений (7.6.1) и (7.6.2) полностью аналогичен проведенному выше в § 7.4 для случая потенциальных колебаний. Именно, также вводят замену переменных (7.4.7) и ищут все возмущенные величины, как 4r© и д/г, так и Е и В, в виде ряда (7.4.10). В результате получают довольно громоздкую систему зацепляющихся уравнений, которую легко решать, если частота ©о внешнего поля порадка электронной ленгмюровской ча-

стоты и намного превосходит ионную ленгмюровскую частоту, т. е. (Oo^0Le>(DLe. ЕСЛИ, КрОМв ТОГО, Пр映ПОЛОЖИТЬ, ЧТО ЙГ£<С 1, НО вследствие однородности высокочастотного поля 々》з()/с, что возможно при условии

vE=^rE^ic, получим следующее дисперсионное уравнение:

J (①,к) [ (kvQ2昵；(о，k) [ 1 + 銹 3, k)]2 (啮一①3)

[kv后F 同(①，粉 0

(7.6.3)(7.6.3)2出d ]+6成®，舟一 .

(7.6.3)

(7.6.3)

Это уравнение обобщает уравнение (7.5.1) в пределе kr^<C I на случай непотенциальных колебаний и отличается от него наличием последнего слагаемого. Легко видеть, что оно существенно только при kv^=0, т. е. непотенциальность оказывается существенной только для волн, распространяющихся строго поперек внешнему высокочастотному полю.

Для невырожденной газовой плазмы с максвелловской функцией распределения частиц по скорости находим следующие приближенные решения уравнения (7.6.3):

СО2СО21 (kvE)21 俨力产2 嗚一s*2 依с21 (kvE)21 俨力产2 嗚一s*2 依с2при 8》就те，при 8》就те，

СО2

СО2

1 (kvE)21 俨力产

2 嗚一s*2 依с2

1 (kvE)21 俨力产

2 嗚一s*2 依с2

при 8》就те，

при 8》就те，

胪总+十黑丁■十龄"рН施，《3《施ё；

1 [kvE)22论2 c21 [kvE)22论2 c2

1 [kvE)2

2论2 c2

1 [kvE)2

2论2 c2

ПрИ (0《力%"

(7.6.4)

Из этих выражений также видно, что последние слагаемые, обу* словленные непотенциальностью возмущений, существенны только при kvE=0, когда отсутствуют потенциальные поправки в спектре колебаний плазмы от высокочастотного поля. Более того, видно, что потенциальные слагаемые приводят к раскачке колебаний 8 области непрозрачности плазмы, cooVsLe, в то время как непотенциальные слагаемые дестабилизируют колебания и в области прозрачности, со。〉*. В этом смысле уместно напомнить, что при анализе параметрической неустойчивости плазмы по отношению к потенциальным колебаниям в предыдущем параграфе было показано, что в области прозрачности, ©о>(оье, в сравнительно широкой области спектра частот параметрически неустойчива лишь неизотермическая плазма: Те》Тз При анализе непотенциальных колебаний это ограничение отсутствует, хотя отметим, что инкременты нарастания непотенциальных возмущений весьма малы, по- 206

рядка Imco^coLi —<i(olv По своей природе непотенциальная па

с

раметрическая неустойчивость плазмы в высокочастотном поле аналогична желобковой неустойчивости плазмы в постоянном поле (плазма с током либо пучком, см. задачи 7.4 и 6.1).

Задачи к гл. 7

Задача 7.1. Оценить число убегающих электронов в полностью ионизованной плазме при ЕоСЕкр.

Решение. Функция распределения (7.1.12) в этом случае справедлива в среднем для основной массы электронов. Однако небольшая группа электронов даже при EoVEkp непрерывно ускоряется -и входит в режим убегания. Очевидно, в режим ускорения попадут электроны, начальные скорости которых вдоль электрического лоля больше их тепловой скорости. Действ-ительно, движение таких электронов в электрическом поле подчиняется уравнению

du е / df 一 /пdu е / df 一 /п= "7Г —〃•= "7Г —〃•(1)(1)

du е / df 一 /п

du е / df 一 /п

= "7Г —〃•

= "7Г —〃•

(1)

(1)

Вводя величину

2 ^t (Те)加唸 2 Екр

уравнение (1) запишем в виде

(3)

Отсюда видно, что 〃р〃 начальной скорости 〃о>〃кр происходит непрерывное ускорение электронов.

Таким образом, число убегающих электронов Nb в поле Е0<.ЕКр определяется выражением

№1f t / 加№ \

2 x

где Ф (х)=》ь § d x exp ( — x2)——интеграл ошибок.

В -пределе очень слабых полей, когда &)《Екр, т. е. 〃кр》5е, с хорошей степенью точности

W 矗eхр （一詣卜吉eхр （一晉）.W 矗eхр （一詣卜吉eхр （一晉）.(5)(5)

W 矗eхр （一詣卜吉eхр （一晉）.

W 矗eхр （一詣卜吉eхр （一晉）.

(5)

(5)

С ростом поля £0 число убегающих электронов экспоненциально растет.

Задача 7,2. Исходя из уравнения (7.2.5) показать, что высоко часто тная неустойчивость незамагниченной плазмы 6 сильной электрическом поле сохраняется и при нарушении условий (7.2.3), но при этом она становится кинетической.

Решение. В сильном электрическом поле, когда скорость дрейфа электронов 〃》ите (но все же 〃2《，2), из уравнения (7.2.5) получаем

(© - ku)2 [ У 2 卜?晚 \2/唸

(1)

При условии (砌2>®2Le, обратно (7.2.3), отсюда находим ((0fG)+i6)

6=f

脸 9 ^ cof 1 —唸/(ku)2

-^7 ku exp ( 一

(kti)2

^17

Видно, что инкремент нарастания рассмотренной кинетической неустойчивости всегда экспоненциально мал.

Задача 7.3. Показать, что ионно-звуковая неустойчивость может развиваться 6 слабоионизованной неизотермической плазме с током также в пределе частых столкновений, когда длины свободных пробегов электронов и ионов меньше длины волны ионно-звуковых колебаний.

Решение. Для простоты ограничимся анализом низкочастотных ((o《Qt) и длинноволновых (k ± От iCQi) колебаний, когда общее дисперсионное уравнение

©La PM

2 一 n①"

(O — ku + i %]

ZH^TTZ^F 4(%)q(%)x a 丁 a aJ

x 1 - S - n

s-k% + i%-吗

4 ( %) ‘十(Впа)

-1

=О

(О

упрощается и принимает вид

说(①-k% + i%)

一 _々：碌a _ 磋* Q^ - (s + i%)2

卧嗑

(①-k%+i%)

磯—(s+i%)2

1 + £

a=e,

=0. (2)

Если скорость дрейфа электронов 〃《0те, то неустойчивые решения этого уравнения в плазме в пределе частых столкновений (va^^zvта) следует ожидать в области частот "е》(о》”£ Тогда

1 +1 +脸胪唸脸胪唸.(о — ku) ve - i - 1磅嗫_.(о — ku) ve - i - 1磅嗫_一磅脸— 炉炉一磅脸— 炉炉⑶⑶

1 +

1 +

脸胪唸

脸胪唸

.(о — ku) ve - i - 1

磅嗫_

.(о — ku) ve - i - 1

磅嗫_

一磅脸

— 炉炉

一磅脸

— 炉炉

⑶

⑶

При получении этого уравнен必я, кроме того, было принято, что ^е<^1^^2че> а ovi>^2zv2T {, так как только в этих условиях, соответствующих высокой электронной и низкой ионной теплопроводности (либо диффузии), в слабоиони- зованной плазме возможно существование ионно-звуковых волн (см. гл. 4).

Из уравнения (3) находим ((o-xo + i6)

脸「

/唸丿"

° Vf . tnve (o —- ku) a?

2 2M 砖此2 2M 砖此о = -- i

2 2M 砖此

2 2M 砖此

Отсюда видно, что система может стать неустойчивой благодаря изменению знака диффузионного поглощения при uZ>mlkz^vs.

Задача 7.4, Показать, что бесстолкновительная незамагниченная плазма с током неустойчива по отношению к непотенциальным возмущениям даже при 〃VUt ».

Решение. Дисперсионное соотношевие (7Е.1) для произвольных непо- твнциальных колебаний бесстолкновительной иезамагниченной плазмы с током при 〃《с записывают в виде

0®,з={胪一-^- [6* ((о,也)+ 1 + "^" бе：Г(①'，田]}х

X [眦3,用十岷®»十1] ———X

x[bW®',电+ ^7(现:Г®'，舟一3以(0/,田)]x

x[d8^ (co,旬 + 盡2 ㈣г®，尉一6 成(叫 田]=0.(1)

Здесь ®'=(o—ku, a &%®,力)〃&仃位®,々)для a=e, i — парциальные вклады в продольную и поперечную диэлектрическую лроницаемости от электронов 必 ионов, соответственно определяемые выражениями (7.4.16).

В пределе самых низких частот (o《^zUt 力 для волн, распространяющихся поперек тока, ku=O и уравнеиие (1) можно представить в виде

、30(0,期

0(0,旬+ 0)—- = 0,(2)

Эй)

где

0（0,々）=依0（0,々）=依味哈央唸吟味哈央唸吟亦(0,々)do亦(0,々)do冰响脸 1犀碌胪吟々"t»冰响脸 1犀碌胪吟々"t»⑶⑶

0（0,々）=依

0（0,々）=依

味哈央唸吟

味哈央唸吟

亦(0,々)do

亦(0,々)do

冰响脸 1

犀碌胪吟々"t»

冰响脸 1

犀碌胪吟々"t»

⑶

⑶

Видно, что возмущения с волновым вектором

论S岛^论S岛^С Ms乙喙+3窘唸С Ms乙喙+3窘唸⑷⑷

论S岛^

论S岛^

С Ms乙喙+3窘唸

С Ms乙喙+3窘唸

⑷

⑷

Im 0 d (岛一田 %i =月 “iIm 0 d (岛一田 %i =月 “i

Im 0 d (岛一田 %i =月 “i

Im 0 d (岛一田 %i =月 “i

неустойчивы при сколь угодно малых скоростях и ^vT г, причем они апериодически нарастают во времени с 'инкрементом

(5)

Заметим, что внешнее сильное продольное магнитное поле стабилизирует эту неустойчивость.

Задача 7.5. Исследовать устойчивость плазмы в сильном электрическом поле по отношению к электростатическим колебаниям 6 адиабатном приближении.

ki kj 必［ e(s，用=~^-ef; = —ki kj 必［ e(s，用=~^-ef; = —Решение. С помощью тензора диэлектрической проницаемости, полученного в предыдущей главе, легко вывести искомое дисперсионное уравнение электростатических колебаний:

ki kj 必［ e(s，用=~^-ef; = —

ki kj 必［ e(s，用=~^-ef; = —

СО2 — Q? (G) — ku)2 — Q；/?2

+而声 J=°・(1)

Считая ионы (незамагн-иченными, (o》Qj, запишем это уравнение в виде

—=l+6se(<0-ku),⑵

где

靦(co-ku)= -^^Г^(3)

—парциальный вклад электронов в продольную диэлектрическую проницаемость плазмы.

Уравнение (2) имеет неустойчивые решения в области частот (o《ku в условиях

l+^(ku)<0,⑷

причем максимальный инкремент достигается при равенстве (4), когда доплеровская частота ku совпадает с одной из собственных частот продольных электронных колебаний плазмы (ом. § 5.2):

S 哈 т/з

2 @靦(ku) -⑸

dku

В отсутствие магнитного поля (Qe~>0) формулы (4) <и (5) принимают вид

22》(ku)2 уЗ,》(ku)2 уЗ,々2 \1/3々2 \1/3名.屮+磋名.屮+磋⑹⑺⑹⑺

2

2

》(ku)2 уЗ,

》(ku)2 уЗ,

々2 \1/3

々2 \1/3

名.屮+磋

名.屮+磋

⑹

⑺

⑹

⑺

При 々丄=0 эти формулы совпадают с (7.2.3) и (7.2.4), т. е. при 少丄=0 справедливо электростатическое приближение.

В обратном пределе бесконечно сильного магнитного лол я из (4) и (5) имеем

22(О?!. е>^2〃"3,(О?!. е>^2〃"3,-1 + i "W-1 + i "W⑻⑶⑻⑶

2

2

(О?!. е>^2〃"3,

(О?!. е>^2〃"3,

-1 + i "W

-1 + i "W

⑻

⑶

⑻

⑶

что в точности совпадает с (7.3.2) <и (7.3.3). Это означает, что е сильно за- магниченной плазме колебания(o«^z〃 всегда с хорошей степенью точности потенциальны.

Задача 7.6. В модели независимых частиц исследовать устойчивость плазмы в сильном постоянном электрическом поле 〃。 отношению к электростатическим (потенциальным) колебаниям в неадиабатном приближении. Решение. Линеаризуем систему уравнений модели независимых частиц

dN

尤 +div%Va = 0,

[А" 7T気=>+“]}・

Возмущенные величины ищем в виде f (f) exp (ikr) и ограничиваемся для простоты колебаниями вдоль электрического поля, так что Е=—у®,巨丄=0. В этом случае как для изотропной, так и для замагниченной плазмы получаем

F面(力2 "М=5F面(力2 "М=5(2)(2)

F面(力2 "М=5

F面(力2 "М=5

(2)

(2)

При выводе этого уравнения из системы (1) было использовано предположение, что время нарастания неустойчивости намного больше (o-】Le (точнее,

—<ku), что следует -из адиабатного приближения (см. § 7.2 и 7.3). В усло

ВИЯХ

⑶⑶(kU)2<Cd2L eY~3

⑶

⑶

(при заданном значении k это соответствует большим временам после наложения на плазму поля Е。) уравнеаие (2) имеет осциллирующее во времени решение

б^^ = С sin (g)l »/+(р).(4)

При условии, обратном (3), имеем уравнения

@2 3М 团 ^2е2 El

-产8死=0 при u «?=1,

026M 加 l^e^E^(5)

11PH产。' ?《1

с решениями вида

Отсюда следует, что при малых временах (малых аргументах функций Бесселя) 论〃Y»2f《】 возмущение ллотности плазмы линейно растет во времени:

⑺211⑺2116M*G+C2 厶

⑺

211

⑺

211

При больших же возмущений:При больших же возмущений:и Nt =и Nt =L%p[]/^ 寥勺 11PHL%p[]/^ 寥勺 11PH厂 3/4 exp厂 3/4 expm胪%з或L г М тс3m胪%з或L г М тс3при у》1・при у》1・⑻⑻

При больших же возмущений:

При больших же возмущений:

и Nt =

и Nt =

L%p[]/^ 寥勺 11PH

L%p[]/^ 寥勺 11PH

厂 3/4 exp

厂 3/4 exp

m胪%з或

L г М тс3

m胪%з或

L г М тс3

при у》1・

при у》1・

⑻

⑻

временах (论〃丫3/2/》1)наблюдается экспоненциальный рост

Задача 7.7. Показать, что 6 чисто электронной плазме во внешнем СВЧ- поле возможна параметрическая раскачка ленгмюровских колебаний при учете релятивистских эффектов е скорости осцилляций электронов.

Решение. Линеаризованную систему релятивистских уравнений в модели независимых частиц для электронной плазмы в электрическом СВЧ-по,че £0 sin a)Qt запишем в виде

依①=e3N/£o,

——+ik (/3V + 6Nu) = 0,

F + iku) [”Г^7^ 十段之闕冬7打=—T 2 (1)

Здесь Nq — однородная фоновая плотность «ионов, компенсирующая заряд электронов в равновесном состоянии, в котором под действием СВЧ-поля электроны осциллируют, причем скорость их осцилляций определяется соотношением

ие Ео //

=髙X。』铀九(2)

Ограничиваясь колебаяиями вдоль СВЧ-поля, k||u, и исключая из системы (1) величины 6V >и Ф, получим (dV||u||k)

修+出)(I-//% -传+询)-唸№⑶

С помощью замены

广(1_"；/炉/2 ^ 3Nexp(ije〃d/)⑷

уравнение (4) сводим к виду

禁+响口一子门=。・⑹

В случае слабого релятивизма с точностью до членов 〜壮qIc? получаем

犧+响(1-^ 等)(1一^^ ^恤“吁。.(6)

С помощью замены т=<Оо^ это уравнение сводится к классическому уравнению Матье:

d2 и

—+(a-2qcos2t)y = 0,

а т2 где

В зависимости от параметров а н q уравнение (7) имеет как устойчивые, так и неустойчивые решения. На рис. 27 область неустойчивости заштрихована. В интересующем нас случае малых значений 夕《1 неустойчивость возникает при а = 〃2, илиВ зависимости от параметров а н q уравнение (7) имеет как устойчивые, так и неустойчивые решения. На рис. 27 область неустойчивости заштрихована. В интересующем нас случае малых значений 夕《1 неустойчивость возникает при а = 〃2, илипричем временной инкремент роста у (т. е. плотности 3N〜ехр(3/)) равен3*6=.(9)Величина 6 и определяет ширину параметрического резонанса при малых значениях д, т. е. в нерелятивистском пределе.Задача 7.8. С помощью уравненияисследовать параметрическую кинетическую неустойчивость незамаг- ниченной неизотермической плазмы 6 сильном электрическом СВЧ-поле, когда Ve^^e^Vts 〃 длина волн возбуждаемых колебаний меньше дебаевского радиуса электронов, 々з》1, но 归通《 《1.Решение. Уравнениепричем временной инкремент роста у (т. е. плотности 3N〜ехр(3/)) равен3*6=.(9)Величина 6 и определяет ширину параметрического резонанса при малых значениях д, т. е. в нерелятивистском пределе.Задача 7.8. С помощью уравненияисследовать параметрическую кинетическую неустойчивость незамаг- ниченной неизотермической плазмы 6 сильном электрическом СВЧ-поле, когда Ve^^e^Vts 〃 длина волн возбуждаемых колебаний меньше дебаевского радиуса электронов, 々з》1, но 归通《 《1.Решение. УравнениеРис. 27. Области устойчивости и неустойчивости колебаний на плоскости (a, q) можно записать в вадеРис. 27. Области устойчивости и неустойчивости колебаний на плоскости (a, q) можно записать в ваде(7.5.1) в этих условиях(7.5.1) в этих условиях+=3%(①，k) 々2+e+=3%(①，k) 々2+e+ (0 \+ (0 \(1)(1)В области частот kvT г<^(о<С^^т e отсюда имеемВ области частот kvT г<^(о<С^^т e отсюда имеемо?后з吟о?后з吟

В зависимости от параметров а н q уравнение (7) имеет как устойчивые, так и неустойчивые решения. На рис. 27 область неустойчивости заштрихована. В интересующем нас случае малых значений 夕《1 неустойчивость возникает при а = 〃2, или

В зависимости от параметров а н q уравнение (7) имеет как устойчивые, так и неустойчивые решения. На рис. 27 область неустойчивости заштрихована. В интересующем нас случае малых значений 夕《1 неустойчивость возникает при а = 〃2, или

причем временной инкремент роста у (т. е. плотности 3N〜ехр(3/)) равен

3*

6=.(9)

Величина 6 и определяет ширину параметрического резонанса при малых значениях д, т. е. в нерелятивистском пределе.

Задача 7.8. С помощью уравнения

исследовать параметрическую кинетическую неустойчивость незамаг- ниченной неизотермической плазмы 6 сильном электрическом СВЧ-поле, когда Ve^^e^Vts 〃 длина волн возбуждаемых колебаний меньше дебаевского радиуса электронов, 々з》1, но 归通《 《1.

Решение. Уравнение

причем временной инкремент роста у (т. е. плотности 3N〜ехр(3/)) равен

3*

6=.(9)

Величина 6 и определяет ширину параметрического резонанса при малых значениях д, т. е. в нерелятивистском пределе.

Задача 7.8. С помощью уравнения

исследовать параметрическую кинетическую неустойчивость незамаг- ниченной неизотермической плазмы 6 сильном электрическом СВЧ-поле, когда Ve^^e^Vts 〃 длина волн возбуждаемых колебаний меньше дебаевского радиуса электронов, 々з》1, но 归通《 《1.

Решение. Уравнение

Рис. 27. Области устойчивости и неустойчивости колебаний на плоскости (a, q) можно записать в ваде

Рис. 27. Области устойчивости и неустойчивости колебаний на плоскости (a, q) можно записать в ваде

(7.5.1) в этих условиях

(7.5.1) в этих условиях

+=

3%(①，k) 々2+e

+=

3%(①，k) 々2+e

+ (0 \

+ (0 \

(1)

(1)

В области частот kvT г<^(о<С^^т e отсюда имеем

В области частот kvT г<^(о<С^^т e отсюда имеем

о?

后з吟

о?

后з吟

3+几响

2月2唸

Уравнение (2) после суммирования ло л, что удается приближенно провести лишь в пределе ①《(Оо《Аите, а кгЕ^>1, сводится к следующему вяду:Уравнение (2) после суммирования ло л, что удается приближенно провести лишь в пределе ①《(Оо《Аите, а кгЕ^>1, сводится к следующему вяду:

Уравнение (2) после суммирования ло л, что удается приближенно провести лишь в пределе ①《(Оо《Аите, а кгЕ^>1, сводится к следующему вяду:

Уравнение (2) после суммирования ло л, что удается приближенно провести лишь в пределе ①《(Оо《Аите, а кгЕ^>1, сводится к следующему вяду:

где уе=со0Ге.

Отсюда, учитывая малость мнимых слагаемых, находим спектр (o-xo+ib): (02«(02L i,

'8 但 d,)3 P'8 但 d,)3 P啥2/喙啥2/喙①窘就e①窘就e⑷⑷

'8 但 d,)3 P

'8 但 d,)3 P

啥

2/喙

啥

2/喙

①窘就e

①窘就e

⑷

⑷

Первое слагаемое в выражении для В обусловлено истинным поглощением волн на ионах, а второе описывает обращенное поглощение (усиление) на элект-

213

ронах, причем важно, что в целом волна может усиливаться (6>0), что соответствует неустойчивости.

Следует заметить, что такая неустойчивость возможна в области прозрачности плазмы по отношению к СВЧ-полю, т. е. при ①o>coLe・

Однако при этом должно выполняться условие

①о V关①Lg・

Задача 7,9. Исходя из уравнения (7.5.22) с учетом столкновений электронов получить порог апериодической параметрической неустойчивости (7.5.26). Решение. С учетом столкновений электронов при (Oo^oiLe^Ve, со имеем

При подстановке этого выражения2При подстановке этого выражения2Д2-Д2-+ 2+ 2(1)(1)Е(0) 土①°)笈 1 —Е(0) 土①°)笈 1 —⑵⑵

При подстановке этого выражения

2

При подстановке этого выражения

2

Д2-

Д2-

+ 2

+ 2

(1)

(1)

Е(0) 土①°)笈 1 —

Е(0) 土①°)笈 1 —

⑵

⑵

В области самых низких частот отсюда находим спектр

(0 = i 1/"± 2k±Zt 或+吟/ 2。二妆々(3)

г л TinA

который при Ve—О переходит в (7.5.25) (верхнее выражение). Неустойчивость имеет место при условии

⑷⑷a2 +嘲碣

⑷

⑷

Минимизируя это выражение по А, находим порог неустойчивости (7.5.26).

Задача 7.10. Исследовать параметрическую неустойчивость холодной магни- гоактивной плазмы & электрическом СВЧ-поле в условиях, когда частота поля о)о близка к суммарной частоте продольных электронных колебаний плазмы:(0о^о)1+(02«

Решение. Учтем, что продольную диэлектрическую проницаемость холодной электронной плазмы можно представить в виде

(1)(1)R Й (炉_若)®2一%)… h…£(炉二Q3.

(1)

(1)

где о)2&(дЛя а=1, 2) определяется выражением (7.5.14).

Введем расстройку частоты внешнего поля по отношению к суммарной резонансной частоте

⑵⑵So =硒+(02+А

⑵

⑵

и будем искать решение уравнения (7.5.22) в виде (считая для определенности С01>(02)

⑶⑶(0 = 01+6

⑶

⑶

(в силу симметрии с таким же успехом можно искать решение со = со2+б). В результате получаем

若,^((Df- Q^) f (kr£)2S2(碱一优) с 、

— … … — 0.(4)

哈 26((о； —碱) 8(6 4- Д) ( of — tog)

①2 (①^ — Q：) 货一①^①2 (①^ — Q：) 货一①^При расстройках А》6, удовлетворяющих условию

①2 (①^ — Q：) 货一①^

①2 (①^ — Q：) 货一①^

(5)

из уравнения (4) находим соотношение для определения инкремента нарастания параметрической неустойчивости:

д2 =4 со】若一鋒

Так как c^v^e, a <B2i>>Q2e, то ^vO, т. е. плазма всегда неустойчива. В действительности учет столкновений приводит к наличию порога неустойчивости, определяемого условием 3>6], где 6〔 一 декремент затухания колебаний на верхней электронной ветви, определяемый формулой (5.7.3). Это дает условие

(к%)2 (党—Q》(说_Q^)啥①2 >(若一時)2 /

2 一(若一Q》2 cos22+ (若+ Q^sin2 切2 一

e ((0| — Q》2 cos2 ® + (of sin2 8()

где ve ——частота столкновений электронов.

Эти громоздкие формулы сильно упрощаются в случае плотной плазмы, в которой w2l e^>Q2e. При этом для 8#=0 имеем

gЛ а(1)2l e, g22 = Q2e COS2 ®，

团(kr£)2 Q^ cos 9 sin2 9A =_M 8 味

/ 团 \ 2 (kr^)2 Qg cos ^ sin2 ^

"=一 \ 77 丿"~Тб ^*

(kg)2>(kg)2>4胃①Lesin2 8 cos 8 Q*4胃①Lesin2 8 cos 8 Q*(8)(8)

(kg)2>

(kg)2>

4胃①Le

sin2 8 cos 8 Q*

4胃①Le

sin2 8 cos 8 Q*

(8)

(8)

Следует отметить, что в результате развития неустойчивости происходит одновременное нарастание амплитуд продольных колебаний на верхней и нижней гибридных ветвях.

Глава 8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННО НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ

§ 8.1. Неоднородные среды без пространственной дисперсии.

Приближение геометрической оптики

В предшествующих главах была рассмотрена пространственно однородная плазма, параметры которой не зависели от координат. В реальных условиях практически всегда приходится иметь дело с пространственно неоднородной плазмой. Реальная плазма неоднородна в пространстве уже хотя бы потому, что она ограничена. Здесь, однако, исследуем пространственно неограниченную неоднородную плазму, а методы описания и электромагнитные свойства ограниченной в пространстве плазмы рассмотрим в следующей главе. Характерными размерами неоднородности лабораторной плазмы обычно являются размеры экспериментальных установок. Так, например, в установках управляемого термоядерного синтеза и в газовом разряде концентрация заряженных частиц плазмы существенно изменяется на расстояниях порядка размеров плазменного шнура (радиуса разрядной труб-ки), т. е. характерный размер Ln неоднородности плотности порядка 10~2—Ю-1 м, температура же заряженных частиц при этом может не зависеть от координат. В ионосферной плазме характерными размерами регулярных неоднородностей являются: для концентрации заряженных частиц — Ln~ 〜105 м, для температуры — Lr^5 -105 м, для неоднородности магнитного поля Земли — LB^ 106—107 м. В плазме твердого тела характерный размер неоднородности часто определяется способом создания носителей заряда и по порядку величины составляет 10~3—10~2 м.

При изучении электромагнитных свойств неоднородной плазмы прежде всего встает вопрос о ее диэлектрической проницаемости £订、(8, к). Поскольку в неоднородной плазме ядра материальных уравнений (2.2.1) и (2.2.2) не являются разностными функциями координат гиг' [(2.2.4), (2.2.5)], т. е. зависят не только от г—г', но также от г и rz в отдельности, для описания ее электромагнитных свойств в общем случае нельзя пользоваться понятием тензора диэлектрической проницаемости (или проводимости) в том смысле, как оно было определено соотношениями (2.2.6) —(2.2.9).

Исследование электромагнитных свойств неоднородной плазмы начнем с простейшей модели, когда можно пренебречь пространственной дисперсией. При этом для однородной плазмы оператор £订«——/') вообще не зависит от разности г—У. Для неоднородной плазмы оператор £订(/—f, г) может зависеть лишь от г, поэтому можно использовать тензор

£订 @, г) = fd& 2订(友，г) е庙厶(8.1.1)

о

т. е. по существу, старые выражения для тензора диэлектрической проницаемости £订(8, 0) плазмы без пространственной дисперсии к/(о->0, в которых, однако, соответствующие параметры (плотность, температура и т. п.) следует считать зависящими от координат. Однако и в это(м простейшем случае построение теории распространения электромагнитных волн в неоднородной плазме представляет сложную задачу, связанную с необходимостью решения уравнения поля

А Е—虫空 diV Е + 鸟 D = 0,(8.1.2)

где DI — 8()Sij (о,『)Еj.

Уравнение (8.1.2) является основным объектом изучения в теории распространения электромагнитных волн в неоднородных средах. Для наиболее распространенного нормального падения волны на плоскослоистую среду это уравнение имеет формальное сходство со стационарным уравнением Шредингера. Действительно, считая среду изотропной с тензором £订((0, г) =&(со, г)6仃 и неоднородной ВДОЛЬ ОСИ Ох, ПОЛОЖИМ 8(О, г) =8 (о, х) и Е((о, г)= = Е((о, %). Тогда уравнение поля (8.1.2) для поперечной волны (Е丄О%) запишется следующим образом:

—+ —е(со, х)Е = 0.(8.1.3)

d%2 с2

Напомним для сравнения, что стационарное уравнение Шредингера для одномерного движения имеет вид

—+ 空州一!/(%)］屮=0，(8.1.4)

dx2 h2

где T — волновая функция, W ——полная энергия частицы, а- V(尤)一потенциальная энергия частицы.

Сходство уравнений (8.1.3) и (8.1.4) очевидно.

Важность уравнений типа (8.1.3), (8.1.4) для физики объясняет тщательное исследование возможных способов их решения, в частности, нахождение точных решений для определенного вида зависимости £(з, %). Точные решения найдены для линейной, параболической и некоторых других конкретных зависимостей 8(со,尤)от %. Для произвольной зависимости 8(х) в теории распространения электромагнитных волн и квантовой механике раз-

работаны приближенные методы решения волнового, уравнения. Основными из них являются метод геометрической оптики в электродинамике и аналогичный ему метод ВКВ (Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна) в квантовой механике. Ввиду чрезвычайной важности этого метода для дальнейшего изложения напомним его суть.

Метод геометрической оптики применяют тогда, когда на длине волны электромагнитных колебаний свойства среды изменяются слабо или когда длина волны 九 много меньше характерного размера неоднородности среды М：

入/Lo《1.

При этом распространение волны рассматривают так же, как в однородной среде с соответствующими значениями параметров.

Так, например, в однородной безграничной среде собственными решениями волновых уравнений являются плоские волны. В неоднородной среде это не так, однако, если на длине волны свойства среды меняются слабо, то волна ведет себя почти как плоская.

В приближении геометрической оптики любые величины, характеризующие волну, записывают в виде

Е = Е°е-心屮呼 j(8.1.5)

где 屮(г)—величина, называемая эйконалом, которая определяет зависимость фазы волны от координат. Эйконал является большой величиной, поскольку должен из)меняться на 2冗 на длине волны, а приближение геометрической оптики соответствует пределу Ю.

В однородной среде

^(rj^kr^ —nr.(8.1.6)

По аналогии с этим в неоднородной среде положим

V^(r)-k(r)- —п(г).(8.1.7)

В слабонеоднородной среде к (г) является медленно меняющейся функцией г, которая, очевидно, определяется изменением свойств среды в пространстве, в силу чего характерный размер неоднородности к (г) совпадает с &-* т. е.:

2к(г)〜也.

Функцию к (г) назовем волновым вектором волны в слабо неоднородной среде,九=(2冗)/々——длиной волны, a n(r)—показате- те儿ем преломления. Слабая зависимость волнового вектора к (г) [или п(г)] от координат позволяет построить метод решения электродинамических задач для слабонеоднородных сред в виде ряда последовательных приближений по параметру Х/^о. В ну- 218

левом приближении волну считают плоской, т. е. полностью пренебрегают членами порядка X/Lo и более высокого порядка малости, в первом приближении учитывают лишь члены первого порядка малости по K/Lq и т. д. Другими словами, в нулевом приближении полностью пренебрегают пространственными производными к (г), в первом приближении учитывают лишь первые пространственные производные и т. д. Вычисляя более высокие члены разложения, очевидно, можно найти решение уравнений поля с любой степенью точности.

Применим изложенный метод к решению уравнения (8.1.3), для чего представим поле Е в виде

E(x)=Eq exp[iT(x)].(8.1.8)

Подставив (8.1.8) в (8.1.3), получаем уравнение для 4r(尤), называемое уравнением эйконала:

屮2—i 屮，=£®, %)屮2—i 屮，=£®, %)(О2(О2(8.1.9)(8.1.9)

屮2—i 屮，=£®, %)

屮2—i 屮，=£®, %)

(О2

(О2

(8.1.9)

(8.1.9)

где штрих означает дифференцирование по координате. Поскольку выполнено условие %/L0C 1, можно провести разложение решения 4f (尤)по этому малому параметру:

у=¥о+%+%+・・. (8.1.10)

Здесь % — значение Т в нулевом приближении геометрической оптики, которое находят из (8.1.9) при пренебрежении вторым слагаемым в левой части:

汇2 =亠 £®，%)， (8.1.11)

или 屮0(尤)=±噩 jyb®, /)d/・ (8.1.12)

В теории распространения волн особый интерес представляет область изменения 尤,в которой 8(со, %)>0, поскольку в этой области 4fo (尤)——действительная функция и поле 七(尤)носит волновой («колебательный) характер, причем длина волны

九 〜 —1--〜£ .

На первый взгляд может показаться, что в нулевом приближении геометрической оптики вообще не нужно учитывать зависимость 8(о,尤)от координаты %. Однако это не так, поскольку, несмотря на слабую пространственную неоднородность е((о,尤), область интегрирования в (8.1.12) может быть достаточно большой и даже значительно превышать характерный размер неоднородности Естественно, что при этом величину в (со, х) нельзя считать постоянной.

Из условия пренебрежения вторым слагаемым в уравнении (8.1.9) следует неравенство, определяющее область применимости нулевого приближения (8.1.12),

亚о（喷亚о（喷d% L у 8 (о, х) J ^о Vе (°» 尤) 厶d% L у 8 (о, х) J ^о Vе (°» 尤) 厶(8.1.13)(8.1.13)

亚о

（喷

亚о

（喷

d% L у 8 (о, х) J ^о Vе (°» 尤) 厶

d% L у 8 (о, х) J ^о Vе (°» 尤) 厶

(8.1.13)

(8.1.13)

Как и следовало ожидать, оно совпадает с условием применимости приближения геометрической оптики. Неравенство (8.1.13) нарушается при %/Lo^ I, что возможно либо при конечных значениях е(з, %)〜1 и не малых значениях с/(з£о) =М^о 2 ^ 1, либо при любых значениях 入o/Lo《l вблизи точек, где 8((0,尤)»0.

Таким образом, согласно (8.1.12) выражение для поля Е в нулевом приближении геометрической оптики можно записать в виде

£ = С+ exp i * j ]/е (s, %z) d %' +L с о

(8.1.14)(8.1.14)+ С__ ехр —i ❷,/е(з, %z)d/

(8.1.14)

(8.1.14)

или с учетом определения волнового вектора слабонеоднородной плазмы (8.1.7)

£ = С+ехр i j/fe(£)d£ +С_ехр —i 命停)d£ ・(8.1.15)

Вычислим теперь следующий член разложения , (8.1.10), для чего подставим в (8.1.9) разложение (8.1.10), учтем (8.1.11) и оставим члены первого порядка малости. В результате получим

2 匕呼一i 耳=0.(8.1.16)

Отсюда屮1 =子山线.(8.1.17)

Учитывая эту поправку в решении (8.1.8), после несложных преобразований получим выражение для поля Е(х) с точностью до членов первого порядка приближения геометрической оптики:

Е (%) = \ G - ехр i — f Н(з, %')d%‘ +/8(①，%)_

+ 丁 — G exp[ —i —f Me®,尤')df 1.(8.1.18)

/Е®，尤) L c JJ

Как отмечалось, в теории распространения волн в неоднородной среде особую роль играют области, в которых функция &(з,%) действительна и положительна. В таких областях электромагнитное поле (8.1.18) носит волновой характер, или, как говорят, воз- 220

можно распространение волн. В геометрической оптике эти области называют областями прозрачности среды. В отличие от них области, в которых функция e(s, %) V0, называют областями непрозрачности среды. В этих областях поле Е меняется с координатой % экспоненциально, нарастает или убывает. В квантовой механике области прозрачности соответствует область положительности функции t/(^) =W—V(x) [см. уравнение (8.1.4)], в которой доступно классическое движение частицы. Напротив, область, в которой U (х) <0, является недоступной для классического движения. Поэтому точку, где U (尤)=0, называют точкой поворота. По аналогии и в геометрической оптике точки деления областей прозрачности и непрозрачности, т. е. точки, в которых е(о,尤)=0, принято называть точками поворота. От этих точек происходит отражение электромагнитной волны, падающей со стороны области прозрачности среды.

Поскольку вблизи точек поворота 8 (со,尤)=0 приближение геометрической оптики неприменимо, решение (8.1.18) теряет смысл. Однако вблизи точки поворота функцию 8(со,尤)можно разложить в ряд и найти точное решение уравнения (8.1.3), которое вдали от этой точки асимптотически должно перейти в (8.1.18). Пусть область классически доступных решений, или область прозрачности среды, находится между точками поворота а и Ь, являющимися решениями уравнения 8(со,尤)=0, т. е. е((о,尤)^0 при @W%Wb・ Тогда асимптотическое решение уравнения (8.1.3) слева от точки 6, переходящее в затухающее решение (8 1.18) при %>“ может быть записано в виде (%Vb)

£ = ~^sin(十『M^d% + T)・ (8Л. 19)

Аналогично, асимптотическое решение уравнения (8.1.3) справа от точки а, переходящее в затухающее решение (8.1.18) при %Va, записывается в виде (aV%)

e =歹二言〒sin(J ”8®,犬)或+ 宁). (8.1.20)

Выражения (8.1.19) и (8.1.20), естественно, должны совпадать во всей области а《％&Ь, для чего необходимо, чтобы сумма их фаз была целым числом, кратным 冗.Легко видеть, что это возможно, если

(8.1.21)(8.1.21)-у- J 吟@, %)d% = fft (〃+ £}

(8.1.21)

(8.1.21)

где п — произвольные целые числа: п=0,± 1,±2.

При этом постоянные интегрирования С и С связаны равенством С= (—1)WCZ.

В силу неравенства (8.1.13) в приближении геометрической оптики эйконал является большой величиной, поэтому |〃|》1.

221

Учитывая это соотношение, (8.1.21) приближенно можно записать в виде

—J ]/е (о, х) dx = J ((о, х) dx = лп,(8.1.22)

где 〃》1.

Заметим, что соотношение (8.1.22) можно также получить, рассматривая в решении (8.1.15) обход в плоскости комплексного переменного k по замкнутому контуру вокруг точек поворота, где Re й2 = 0. При таком обходе фаза решения (8.1.15) приобретает добавку i$^((o,尤)d% и, чтобы поле Е не изменилось (условие однозначности решения), должно соблюдаться условие

.§ k (о, %) d% = 2шг,

что при наличии двух точек поворота приводит к соотношению (8.1.22).

Соотношение (8.1.22) в геометрической оптике рассматривают как дисперсионное уравнение, определяющее спектр собственных значений частот со, либо волновых векторов 力 электромагнитных волн, запертых в области прозрачности среды между двумя точками поворота. Таким образом, спектр собственных значений волнового уравнения 8 пространственно неоднородной среде 8 приближении геометрической оптики при наличии двух точек поворота оказывается дискретным. В этом состоит важное качественное отличие электромагнитных свойств неоднородной среды от однородной.

Соотношение (8.1.22) имеет простой физический смысл: в области прозрачности среды, между точками поворота должно укладываться целое число полуволн (рис. 28). Аналогией этого являются колебания струны с закрепленными концами. Природа такой аналогии ясна, поскольку волновое уравнение, (8.1.3) совпадает с уравнением колебаний струны со слабонеоднородным модулем упругости. Точкам поворота в этом случае можно сопоставить закрепленные концы струны, так как за пределами этих .. точек решения волнового уравне-

г\Сния экспоненциально убывают.

/\/\Аналогичная картина имеет место

И\I\J и в квантовой механике в квази- \\Лклассическом пределе, в связи с

чем уравнения (8.1.21) и (8.1.22) называют часто квазиклассиче- скими правилами квантования, а интегралы в левых частях этих соотношений — фазовыми

11 интегралами Бора — Зоммер”Ь фельда.

Рис. 28. Область прозрачности неод- Все сказанное относилось к нородной средыдействительной функции 8 (о,尤).

Очевидно, однако, что при учете диссипации в среде (например» столкновений частиц) функция е((о, %) оказывается комплексной. Как неоднократно подчеркивалось в предыдущих главах, электромагнитные волны в среде как слабозатухающие могут существовать лишь в условиях, когда диссипация слаба и е(со, %)— почти действительная функция. Не представляет труда обобщить дисперсионное уравнение (8.1.22) для таких слабодиссипативных неоднородных сред. Учитывая, что Re й((о,尤)》Im 力(со,尤)и поэтому электромагнитные колебания должны быть слабозатухающими (s-xo + i6,①》6), представим подынтегральную функцию в виде

々® + i& х) ^ Re й ((о, х) + i Im ^ (о, %)+ i 粹肥'®?). do

Подставив это разложение в уравнение (8.1.22) и выделив затем его действительную и мнимую части, получим

ъ

»Jim 论(ш, %) d尤

JRe^(s, x)dx = лп, 6=^ ・(8.1.23)

f -Re 左®, dx a Os

Здесь под точками поворота а и b следует понимать точки, в которых ReF((o, х)=0.

Соотношения (8.1.23) определяют спектр частот и декремент затухания электромагнитных волн в неоднородной среде без пространственной дисперсии в приближении геометрической оптики, причем вторым соотношением следует пользоваться лишь тогда, когда частота(о, определенная из первого соотношения, действительна.

♦ Выше был рассмотрен простейший случай неоднородной среды с двумя точками поворота, между которыми находится область прозрачности. Электромагнитные волны в среде могут распространяться между этими точками поворота, поэтому их часто называют запертыми колебаниями, а соответствующие им решения уравнения поля ——финитными,

В реальных условиях в неоднородной среде возможны и другие ситуации, например, когда в рассматриваемой области имеется только одна точка поворота либо, наоборот, несколько отделенных друг от друга областей прозрачности, заключенных между парами соответствующих тоте女 поворота, либо вообще отсутствуют точки поворота и среда прозрачна во всем пространстве. Из всего этого многообразия разберем лишь наиболее часто реализуемые в плазме случаи.

Приближение геометрической оптики для неоднородных сред с пространственной дисперсией

С помощью изложенного в § 8.1 метода геометрической оптики можно достаточно просто сформулировать материальное уравнение для произвольной неоднородной среды и, в частности, ввести понятие тензора диэлектрической проницаемости неоднородной плазмы. Предположим, что плазма слабонеоднородна, т. е. длина волны значительно меньше характерных размеров неоднородности среды. При этом материальное уравнение, связывающее электрическую индукцию и напряженность электрического поля 1[ср. с (2.2.4)], удобно представить в виде

4 (/") = % f 也‘ J dr'总『(f—匕 г—“ r)留(尸『)・(8.2.1)

—8

Говоря о слабой неоднородности среды, следует считать, что зависимость ядра интегрального соотношения (8.2.1) от (г—т‘) является более сильной, чем от г. Зависимость ядра от (г—r'j связана с длиной волны колебаний и при преобразовании Фурье в однородной среде приводит к зависимости £仃((0, к) от к, зависимость же от г определяется неоднородностью самой среды и связана с характерным размером неоднородности Lo. Ввиду малости параметра 入/L。 снова можно воспользоваться приближением геометрической оптики, считая в нулевом приближении волновой вектор к слабой функцией координат. Тогда в нулевом приближении материальное уравнение (8.2.1) можно записать в виде

Di — ^ij(mt к,『)当，(8.2.2)

где叨(о, к, г)=『也 J dR* &, R, г)总叫一欢 (8.2.3)

о

——тензор диэлектрической проницаемости слабонеоднородной среды в нулевом приближении геометрической оптики с учетом пространственной дисперсии.

Запишем теперь уравнения Максвелла в нулевом приближении геометрической оптики:

с280 [кВ]= —(oD, кВ = 0, I[кЕ] = -соВ, kD = 0. j( 4)

Условие разрешимости этой системы совместно с материальным уравнением (8.2.2) дает уравнение

啰 3»,—自岛一^-8f?((o, к, г) I =0.(825)

Такое уравнение можно получить также из волнового уравнения (8.1.2) для сред без пространственной дисперсии, если при- 224

менять к нему метод геометрической оптики и ограничиться нулевым приближением.

Заметим, что в однородной среде уравнение типа (8.2.5) трактовалось как дисперсионное уравнение [см. (2.4.3)], определяющее спектр частот собственных электромагнитных колебаний со (к). Если же уравнение (8.2.5) разрешить относительно з, то окажется, что «частота собственных колебаний» среды зависит от координат, т. е. з =(о(к, г), что является физической бессмыслицей. Уже из этого следует принципиальное различие уравнений (8.2.5) и (2.4.3), а именно: уравнение (8.2.5) не является дисперсионным, а просто уравнением для определения к (г) или для определения эйконала 4f (г)・ Поэтому его называют уравнением эйконала. Это уравнение обобщает (8.1.11) в нулевом приближении геометрической оптики на слабонеоднородные среды с пространственной дисперсией.

В том случае, когда электрическое поле волны в неоднородной среде можно считать потенциальным, уравнение (8.2.5) упрощается:

е ®, k, r)=~^i gz; (со, к, г) = 0. (8.2.6)

Величину £(з, к, г) при этом называют продольной диэлектрической проницаемостью слабонеоднородной среды, а уравнение (8.2 6)——уравнением эйконала для продольных (потенциальных) волн s нулевом приближении геометрической оптики.

С помощью уравнения эйконала, как легко видеть, удобно исследовать пространственное распределение поля в среде, т. е. решать граничную задачу. Для решения же начальной задачи — вычисления спектров электромагнитных колебаний слабонеоднородной среды ——одного уравнения эйконала недостаточно, необходимо знание дисперсионного уравнения типа соотношения (8.1.23), полученного для сред без пространственной дисперсии.

В общем случае, когда имеется трехмерная неоднородность среды, вывод дисперсионного уравнения требует нахождения спектра собственных значений для интегродифференциальных уравнений в частных производимых высших порядков. Эта проблема до сих пор не имеет окончательного решения. На сегодняшний день более или менее исчерпывающий ответ на поставленный вопрос имеется только для одномерно неоднородных сред. В этом случае из уравнений эйконала (8.2.5) и (8.2.6) определяют лишь проекцию волнового вектора вдоль неоднородности ^х((о, ^, ^z, %). В наиболее интересных для волн в плазме областях частот уравнений эйконала (8.2.5) и (8.2.6) имеют попарно сопряженные невырожденные корни ±kxs(<о, х). Каждой паре таких корней в нулевом приближении геометрической оптики можно сопоставить дифференциальное уравнение

粤 + 底s®,%W = 0・ (8.2.7)

К этому уравнению уже можно применять изложенную в § 8.1 общую теорию и для определения спектра частот электромагнитных колебаний по аналогии с (8.1.23) записать соотношения, определяющие частоту и декремент затухания ((o->(o + i6):

尤Jv Im^s (о, x) dx

「Rekxs (co, %) d% = зд, 6 = 丁-^•(8.2.8)

и

В этих соотношениях интегрирование ведется по области прозрачности среды для данных колебаний, причем точки поворота 力卩 и 尤V определяются из уравнения Re^z^Kg, %)=0.

Таким образом, идея, положенная в основу теории распространения электромагнитных волн в слабонеоднородной среде с пространственной дисперсией, такая же, как и для сред в отсутствие дисперсии. Она заключается в следующем: из уравнения эйконала (8.2.5) [либо (8.2.6)] находят решения k^xs^, %), соответствующие s-ветвям колебаний, спектры частот и декременты затухания которых определяют с помощью правил квантования (8.2.8).

Наконец, отметим, что переход к однородной неограниченной среде производится формальным образом. В этом случае точки поворота отсутствуют и вводят произвольные точки а н Ь, для которых записывают соотношение (8.1.22):

J к® х) d% = kx8 (о) (b—a) = лп.(8.2.9)

этом, полагая=kxs=const, получаем уравнение, оп-

Ъ - a

ределяющее спектр собственных колебаний однородной плазмы: kxs (^)==々%s const.(8.2.10)

Естественно, что корни этого уравнения з(к) совпадают с корнями уравнения (8.2.5), являющегося для однородной среды дисперсионным уравнением.

Тензор диэлектрической проницаемости слабонеоднородной плазмы

в приближении геометрической оптики

Перейдем к вычислению явного вида тензора диэлектрической проницаемости слабонеоднородной плазмы е^(о), к, %). Рассмотрение начнем с бесстолкновительной магнитоактивной плазмы. Вычисление проведем- обычным способом на основе решения кинетического уравнения с самосогласованным полем (уравнения Власова) для частиц сорта а:

+ V + % {Е + [vB]}= 0.(831)

Как обычно, внешнее магнитное поле В будем считать направленным вдоль оси Ог, а неоднородность плазмы ——вдоль оси Ох, т. е. поперек внешнего магнитного поля Во.

Определим прежде всего функцию распределения /Оа Для равновесного состояния плазмы, в котором Ео = О, B()||0z. Для функции %а в нерелятивистской плазме, в которой pa = /nav, из (8.3.1) получаем уравнение

и丄 cos ф ^ -% (х)需=0， (8.3.2)

записанное в цилиндрической системе координат в пространстве скоростей (Ux=u丄cos(p, ^=^isin ф, yz). В этом уравнении £2a (^) = — Во (^)—неоднородная циклотронная частота частиц сорта а.

Общим решением уравнения (8.3.2) является произвольная функция характеристик

foa = foa ( /a，Gz)»

(8.3.3)(8.3.3)где ^a =тау2/2 — энергия, а Са определяется из характеристического уравнения

(8.3.3)

(8.3.3)

о ± cos ф — — Qa (

решение которого имеет вид

Ca = y1sin(jp +Ji2a(xz) d%'・(8.3.4)

Таким образом,

foot = foa("+J Qa (% ) d£, "a)・(8.3.5)

В реальных случаях характерный размер неоднородности плазмы значительно превышает ларморовский радиус частиц. Это позволяет ввести малый параметр

%a/(Q(z 丄0)《1(8.3.6)

и разложить по нему решение (8.3.5). При этом можно записать

/^◎а，4) = ( 1 + -^^ -£ )生他а，х),(8.3.7)

где Fa(彦а，尤)--произвольная функция 醫《，зависящая от 尤 как от параметра. В качестве этой функции для невырожденной плазмы естественно выбрать максвелловскую функцию распределения, но с неоднородными значениями плотности и температуры:

尸а (^ a，%) = ―°} exp ( — -・(8.3.8)

8*8*[2%%(初3/2 R %⑴丿 丄‘

8*

8*

227

Наличие неоднородности обусловливает принципиально новые свойства плазмы в равновесном состоянии, поэтому исследует его более подробно. Вычислим плотность электрического заряда р0 и электрического тока jo в равновесном состоянии. Поскольку в равновесном состоянии Ео = О, имеем

Ро= S %"oadp= W % j% dp= 2 %Na(» =。， (839) a a a

т. e. приходим к обычному условию квазинейтральности плазмы. Плотность тока в равновесном состоянии

Jo = 2 % j vfoadp.aJo = 2 % j vfoadp.a(8.3.10)(8.3.10)

Jo = 2 % j vfoadp.a

Jo = 2 % j vfoadp.a

(8.3.10)

(8.3.10)

Из выражения (8.3.7) для f0 a следует, что вклад в ток дает лишь второе слагаемое, пропорциональное v±sin ^ = vy. При этом ток в равновесном состоянии плазмы направлен вдоль оси Оу:

/ох = Joz — 0,(8.3.11)

沁=力儿dp= 2@J李金尸adp =aa % &

a ^a^a dx绕a 0尤稣敬

где рд = Е NQa——(полное давление ллазмы. a

Подставляя далее выражение (8.3.11) для j в уравнение поля eo^2rot B()= jo,

находим следующее условие равновесия плазмы:

d (琼Ео。？ а7 \2d (琼Ео。？ а7 \2+ ро =°・+ ро =°・(8.3.12)(8.3.12)

d (琼Ео。？ а7 \2

d (琼Ео。？ а7 \2

+ ро =°・

+ ро =°・

(8.3.12)

(8.3.12)

Это хорошо известное магнитогидродинамическое условие равновесия плазмы, имеющее ясный физический смысл: неоднородная плазма удерживается в равновесии давлением магнитного поля, вследствие чего градиенты магнитного и гидродинамического давлений уравновешивают друг друга. Не будем детально анализировать следствия, вытекающие из этого условия, одним из которых является практически важный вывод о возможности магнитного удержания горячей плазмы в различных термоядерных устройствах. В дальнейшем понадобится только одно следствие условия равновесия (8.3.12), заключающееся в том, что в плазме низкого давления с

характерный размер неоднородности магнитного поля LB много больше характерного масштаба неоднородности кинетического

228

давления Lp (или Ln, Lt) . Действительно, соотношение (8.3.12) можно переписать в виде

(8.3.13)(8.3.13)d Bq8q с2 . q d 1с

(8.3.13)

(8.3.13)

/1"—^- + 6/1r^。^，

откуда и следует, что Цв 〜§, поскольку JL ]п '° 丝:.〜 I а dx 2 Lb，

—Inp0 а Неравенство p<C 1 реализуется во многих практических случаях, в частности в большинстве установок для термоядерной плазмы, в плазме газового разряда и ионосферы, а в

сильных магнитных полях — и в вырожденной /плазме твердого тела. Поэтому далее ограничимся рассмотрением именно такого случая, вследствие чего будем пренебрегать неоднородностью

магнитного поля по сравнению с неоднородностью плотности и температуры частиц.

Перейдем к вычислению неравновесной поправки к функции распределения 吼，которую представим в виде

讨 а =讲 а (尤)ехр( —i(o/+ ^у+ 电 Z).(8.3.14)

Тогда из (8.3.1) получим

® — kyVy — kz %) 6/а + i vx -~ — iQa -^―=

=—i@{E + WB]}礬.(8.3.15)

Заметим, что характеристика этого неоднородного уравнения в частных производных совпадает с (8.3.4), т. е., пренебрегая неоднородностью магнитного поля (так как 8《1), получим

и丄 sinф + Qaх = и丄 sinф' + Qa %’ = Ca.(8.3.16)

Учитывая это соотношение, общее решение уравнения (8.3.15) запишем в виде |ср. с (5.1.3)]

е ф

6九= ^Jd(p{E(H) + [vB(/)]}x

X %a(".： ?). exp — T d<pz, (w — ky v± sin— kz vz) . (8.3.17)dvJ

Здесь величина %’ связана с % и 屮 уравнением характеристики (8.3.16).、

Представим теперь функцию 6九(％) и поля Е(%)‘ и В (%) в виде X

(i J 瓦(%') d/) и ограничимся нулевым приближением геометрической оптики, т. е. при дифференцировании будем учитывать слагаемые, пропорциональные 备式尤)，в то время как членами, пропорциональными пространственным производным 厶(％), пренебрежем. Тогда операции дифференцирования по х в (8.3.17) и в уравне-

229

ниях поля сведутся к умножению соответствующих величин на 左冗.Исключая из (8.3.17) с помощью уравнения поля 0В/0£= =—rot Е магнитную индукцию В (Z), получаем следующее выражение для 6/а：

X 吗咚 吟.吊(k,(D)expf dtp"® — kvvl. (8.3.18) %LQa ФJ

Здесь вектор k имеет все три компоненты: k=(总с, ky9 初.

Учтем далее, что

(8.3.19)(8.3.19)2^=典 。 [% ℃。 _刃。。。[6” %a勿£ 砲丿。%吗а ^а ‘ %%汝

(8.3.19)

(8.3.19)

Подставляя это соотношение в (8.3.18) и производя громоздкие, но полностью аналогичные сделанным в § 5.1 для однородной плазмы выкладки, получаем

6f (к,尤)=Bfi(k,尤)+6% (к, х),(8.3.20)

где для неоднородной максвелловской плазмы с равновесной функцией распределения вида (8.3.7), (8.3.8) имеем

6片2)=击(1-誓^)TM(k,%),(&з2])

明(k, %)=_£且 竺色" W VsC丄」丄)Jn(厶出ei(U).

加Q co dx s, n \ Q /\ Q /

В приведенных выражениях для простоты опущен индекс а и введены следующие обозначения: & — полярный угол вектора к, т. е. k= (^=0±cos&, ky=k±sin g,財)；6f(°)(k, %) —функция, по виду совпадающая с поправкой к равновесной функции распределения в однородной максвелловской плазме (5.1.4), с тем лишь отличием, что 府 и Т считаются зависящими от координаты х.

Нетрудно показать, что 6f2 не дает вклада в плотность тока, индуцированного в плазме. Вклад 6f2 в плотность индуцированного заряда также обращается в нуль после суммирования по сортам зарядов вследствие квазинейтральности плазмы. Таким образом, плотность индуцированных в плазме заряда и тока, а следовательно, и тензор диэлектрической проницаемости полностью определяются поправкой 讨1(应，х). Тогда из5 самого вида 6fl (к, %) с очевидностью следует искомый тензор диэлектрической проницаемости слабонеоднородной невырожденной плазмы:

£订((о, к,%)=" j + 2 -y - I 1浜一Xa a 'a£订((о, к,%)=" j + 2 -y - I 1浜一Xa a 'a(8.3.22)(8.3.22)

£订((о, к,%)=" j + 2 -y - I 1浜一X

a a 'a

£订((о, к,%)=" j + 2 -y - I 1浜一X

a a 'a

(8.3.22)

(8.3.22)

где е(а)箇(з, к, х) — парциальный тензор диэлектрической проницаемости частиц сорта а, по виду совпадающий с тензором диэлектрической проницаемости однородной плазмы (5.1.10), в котором, однако, Na И「а являются функциями координаты х.

Следует заметить, что тензор (5.1.10) записан в системе координат, в которой вектор к ориентирован таким образом, что к = =(力丄，0, k^, в то время как в (8.3.22) система координат для к произвольна: к= (йх, hy, k^. Поэтому тензор (5.1.10) следует перевести в новую систему координат согласно общим правилам преобразования тензоров при вращении системы координат. Однако, как правило, в этом нет необходимости. Убедимся в этом в следующем параграфе, а пока ограничимся лишь указанием на то, что продольная диэлектрическая проницаемость является инвариантом относительно преобразования системы координат. Поэтому для вычисления продольной диэлектрической проницаемости можно пользоваться старым выражением (5.1.13), но к компонентам этого тензора в случае неоднородной плазмы следует применять оператор

T先(一巒专)% (&3.23)

В результате получаем

衰卜弋金

(8.3.24)(8.3.24)

(8.3.24)

(8.3.24)

Здесь под 々丄 нужно понимать k1=]/r k^+ 々；・

8др а =々у %р а8др а =々у %р аКак видно из выражений (8.3.22) и (8.3.24), в неоднородной максвелловской плазме с характерным размером неоднородности Ло появляется новая характерная частота

8др а =々у %р а

8др а =々у %р а

(8.3.25)

называемая ларморовской дрейфовой частотой (смысл этого названия и физическая природа соДРа будут выяснены позднее). При высоких частотах з》(идра членами, содержащими пространственные производные в выражениях для компонент тензора £叮(①,к, 尤),можно пренебречь, и тогда они в точности совпадут с соответствующими выражениями для компонент диэлектрической проницаемости однородной плазмы, но в которых ^a и 7« зависят от координаты %. Более того, из вывода выражения (8.3.22) следует, что в этом пределе справедливы соотношения для компонент тензора диэлектрической проницаемости с учетом столкновений частиц (см. § 5.5, 5.7), а также для продольной и поперечной диэлек-

трических проницаемостей изотропной плазмы в отсутствие внешних полей (см. §4.1, 4.5, 4.6).

Полученную связь между тензорами диэлектрической проницаемости слабонеоднородной и однородной плазмы (8.3.22) нетрудно обобщить на случай вырожденной плазмы, когда функция 尸《(/а，%) имеет вид функции распределения Ферми:

% 伍а，%)=% 伍а，%)=2(2叫з2(2叫зпри 岩aV^Fa(%),при 岩aV^Fa(%),(8.3.26)(8.3.26)

% 伍а，%)=

% 伍а，%)=

2

(2叫з

2

(2叫з

при 岩aV^Fa(%),

при 岩aV^Fa(%),

(8.3.26)

(8.3.26)

О При 图с > 田Fa (%),

(8.3.27)(8.3.27)где ^Fa W = (Зл2)2/'3 -^— Л^а3 (х)— локальная энергия Ферми для частиц сорта а с неоднородной плотностью Na{x). Условие равновесия (8.3.12) при этом сохраняет свой вид, если под ро понимать газокинетическое давление в вырожденной плазме:

(8.3.27)

(8.3.27)

a 5%

Вывод выражения для тензора диэлектрической проницаемости вырожденной плазмы низкого давления с В=—~-—^-《1 полностью аналогичен проведенному для невырожденной плазмы. При этом, однако, нужно учесть, что для функции распределения Ферми имеет место соотношение

(8.3.28)(8.3.28)啖a 卜 々у0/oa _ / J — 左у。&Fa、冴0a

(8.3.28)

(8.3.28)

которое при подстановке в (8.3.18) окончательно приводит к следующему соотношению {ср. с (8.3.22)]:

£〃・®, k, %)=М+ S (1—告々^―^)[曙(з, к, %)—&>],

aa(8.3.29)

где £(a)仃(s, к, %)——парциальный тензор диэлектрической проницаемости частиц сорта а, по виду совпадающий с тензором диэлектрической проницаемости однородной вырожденной плазмы (5.1.14), в котором ^a считается функцией координаты %.

Наконец, приведем выражение для продольной диэлектрической проницаемости, описывающей потенциальные колебания вырожденной плазмы:

ё®, k, %)=1+ 2 今守口%) x

я sin 8d"吟('古一世sin")]

义 j s — ^ttacos 0：九Q。一 J*(8.3.30)

厶2 的脸厶2 的脸(8.3.31)(8.3.31)Так же как в невырожденной плазме, в вырожденной неоднородной плазме появляется новая характерная частота, называемая дрейфовой:

厶2 的脸

厶2 的脸

(8.3.31)

(8.3.31)

Здесь Ло ——характерный размер неоднородности плотности частиц.

При частотах з》зДра дрейфовыми слагаемыми в (8.3.29) и (8.3.30) можно пренебречь. Тензор диэлектрической проницаемости в этом пределе имеет такой же вид, как и для однородной плазмы, но плотность частиц зависит от % как от параметра.

Спектры высокочастотных колебаний слабонеоднородной плазмы

Применим полученные в предыдущих параграфах общие результаты к исследованию высокочастотных (со ^>(одр а) спектров колебаний слабонеоднородной плазмы. Ограничимся рассмотрением предельных случаев, в которых удается получить для спектров частот аналитические соотношения.

Начнем с рассмотрения поперечных колебаний изотропной плазмы. В пределе достаточно редких столкновений частиц, когда з》”е, уравнение эйконала для таких колебаний при учете выражений (4.5.12) и (4.6.9), определяющих etr(со, к, %), запишется в виде

公一+ 力=0,(8.4.1)

С?(О2@3

где Уе = Уеп для слабоионизованной и Уе = УзФФ для полностью ионизованной плазмы. Из этого уравнения находим

砂(3, ％)= —% —伤 + * ( 1 — ^ + i 七4(842)

Для того чтобы найти спектр частот и декремент затухания рассматриваемых колебаний согласно изложенной методике, из (8.4.2) следует определить Re^x и 1шйх и подставить их в соотношения (8.2.8). При этом с учетом неравенства |Re^|》|Im/| получаем следующие дисперсионные уравнения для спектров поперечных электромагнитных волн в изотропной неоднородной плазме в приближении геометрической оптики:

fd%(一好一們+ ^一3厂=以几， (8.4.3)

Re饱

NgNgЬ С CLЬ С CLРис. 29. Области прозрачности изотропной плазмы со спадающей к периферии плотностью по отношению к поперечным волнамРис. 29. Области прозрачности изотропной плазмы со спадающей к периферии плотностью по отношению к поперечным волнам

Ng

Ng

Ь С CL

Ь С CL

Рис. 29. Области прозрачности изотропной плазмы со спадающей к периферии плотностью по отношению к поперечным волнам

Рис. 29. Области прозрачности изотропной плазмы со спадающей к периферии плотностью по отношению к поперечным волнам

Как видно из (8.4.3), частота поперечных волн в слабонеоднородной плазме всегда больше локального значения электронной ленгмюровской частоты (д2>а)2ъе W， а область прозрачности соответствует значениям (o2Le (а：) , меньшим его локального значения 02ье(6) в точке поворота Ь: (k\ + k\)c2 + ^Le(b)=^.

(8.4.4)

В большинстве реальных условий распределение плотности заряженных частиц вдоль направления неоднородности имеет максимум в некоторой точке и плавно спадает от этого максимального значения. Таково радиальное распределе

ние плотности заряженных частиц в газовом разряде и установках для термоядерного синтеза (рис. 29), а также в ионосферной плазме. Нетрудно видеть, ЧТО ДЛЯ частот (02<(02Le(C)= О2Ьетах имеются две точки поворота а и Ь, между которыми лежит область непрозрачности плазмы. Для частот co2>(o2Lemax плазма полностью прозрачна, т. е. электромагнитные волны инфинитны (колебания не являются запертыми) и их частота не квантуется. Так же инфинитны колебания в областях прозрачности, лежащих левее и правее точек поворота а и Ь. Заметим, что такие утверждения справедливы, если плазма не ограничена в пространстве и ее плотность плавно спадает на бесконечности, т. е. отсутствуют точки 0 и L (ограничивающие плазму металлические поверхности), где происходит отражение электромагнитных волн. При наличии таких точек колебания становятся финитными, запертыми между точками О и а, а также b и L. Поэтому в таком случае следует пользоваться квантованными спектрами, в которых область интегрирования простирается от 0 до а и от & до L. Квантованность спектров проявляется тем сильнее, чем больше длины волны электромагнитных колебаний.

Рассмотрим теперь продольные волны, в частности высокочастотные (з玄%Оте, ve) продольные ленгмюровские колебания. Из общего уравнения эйконала (8.2.6) с использованием выражений (4.5.12) и (4.6.8) в рассматриваемом пределе получаем

Определяя отсюда выражения для Re kx и 1шйх и подставляя в (8.4.3), находим дисперсионные уравнения для высокочастотных продольных волн б неоднородной плазме:

В выражении для 6 под 左2 следует понимать величину ^2= =Re k2x-}-k2y+k2z. Интегрирование в этих формулах ведется по области прозрачности плазмы, т. е. по области, в которой Reй2х>0, а значит ^>^Le{^) аналогично тому, как это было для поперечных колебаний. Точно так же для продольных плазменных волн в случае пространственного распределения плотности типа, подобного изображенному на рис. 29, существуют две точки поворота а и Ь, определяемые из уравнения(о2 = з®?+ +血2z)u2Te+G)2Le(%), между которыми лежит область непрозрачности плазмы. Таким образом, и продольные плазменные волны могут существовать только 8 периферийных областях плазмы. Однако в отличие от поперечных волн области прозрачности для плазменных волн весьма узки, поскольку уже при небольшом отличии со2 от(о2ье наступает сильное бесстолкновительное затухание этих волн. Это приводит к тому, что область прозрачности плазменных волн ограничена, с одной стороны, точкой поворота, а с другой ——областью сильного поглощения, вследствие чего их спектр не квантуется. Исключение составляют только частные плазменные конфигурации, в которых плотность изменяется сначала плавно, а затем резко падает вблизи границ. В этом случае плазменные волны доходят до границ плазмы, не успев затухнуть, и испытывают там отражение. Интегрирование в (8.4.6) ведется по областям, лежащим между границами плазмы и точками поворота а и 方，в результате чего спектр колебаний оказьь вается квантованным. Такие колебания резонансно возбуждаются в газоразрядных приборах внешними электрическими полями и носят название резонансов Тонкса — Даттнера.

Рассмотрим низкочастотные ионно-звуковые колебания в неоднородной изотропной плазме, в которой Te^>Ti. При зависимости плотности от координат, представленной на рис. 29, ионнозвуковые колебания оказываются запертыми в плазме. Уравнение эйконала (8.2.6) для таких волн (в области частот 々и^《①《 《々ите, см. § 4.5 и 4.6) принимает вид

* 専+圭(1+W^W7)=。，(847>

где а=1 для слабоионизованной плазмы (при этом v.i = vin)

и а= (8/5) — для полностью ионизованной плазмы (vi = va).

СО2

Из (8.4.7) получаем следующие дисперсионные уравнения для ионно-звуковых волн неоднородной плазмм:

^dxRekx= Jdx 一妤一們■+^dxRekx= Jdx 一妤一們■+脸脸1/2-—Л /Z,1/2-—Л /Z,

^dxRekx= Jdx 一妤一們■+

^dxRekx= Jdx 一妤一們■+

脸

脸

1/2

-—Л /Z,

1/2

-—Л /Z,

Re 为* 碎 j -(o2

XXRe% W(<4f —叫 2Re% W(<4f —叫 2(8.4.8)(8.4.8)

X

X

Re% W(<4f —叫 2

Re% W(<4f —叫 2

(8.4.8)

(8.4.8)

Рис. 30. Область прозрачности изотропной плазмы со спадающей к периферии плотностью по отношению к низкочастотным ионно-звуковым волнамРис. 30. Область прозрачности изотропной плазмы со спадающей к периферии плотностью по отношению к низкочастотным ионно-звуковым волнам

Рис. 30. Область прозрачности изотропной плазмы со спадающей к периферии плотностью по отношению к низкочастотным ионно-звуковым волнам

Рис. 30. Область прозрачности изотропной плазмы со спадающей к периферии плотностью по отношению к низкочастотным ионно-звуковым волнам

В выражении для 6 под k2 нужно понимать в соответствии с условием слабости затухания величину ^2 = Re k2x~\-k2y + k2Zf где Re/?22c определяется первым соотношением (8.4.8). Из (8.4.8) следует, что рассматриваемые колебания существуют в области частот 32Vs?Lf(%), а следовательно, при колоколообразном распределении плотности (рис. 30) они заперты в плазме между точками а и 仇 в которых(о2и(«) =<о2ы(Ь) =о)2. Точки а и &, однако, не являются точками поворота колебаний; в этих точках Re й2х-> 8 и условия применимости геометрической оптики не только не нарушаются, а, наоборот, улучшаются, поскольку длина волны с приближением к этим точкам резко уменьшается. Указанные точ- чи называют точками сгущения. Вблизи этих точек происходит сильное поглощение ионно-звуковых волн, и поэтому они являются неквантованными. Квантованными эти волны оказываются в условиях, когда между точками а и & находятся стенки сосу-

да, ограничивающего плазму, от которых происходит отражение волн.

Перейдем теперь к анализу спектров высокочастотных (о)3 》8дРа) колебаний слабонеодно- родыой магнитоактивной плазмы. При этом, как отмечалось, в выражении для тензора диэ-лектри- ческой проницаемости слабонеоднородной плазмы можно пренебречь членами с пространственными производными. Тогда уравнение эйконала будет иметь такой жеБид, как,идисперсионное уравнение колебаний однород!ной плазмы, с тем лишь отличием, что

входящие в него компоненты тензора £订(①，k, %) зависят от координаты % вследствие зависимости от % плотности и температуры плазмы.

Ограничимся рассмотрением холодной магнитоактивной плазмы, когда выполнены неравенства (5.2.1). Поскольку в этом пределе спектры колебаний, по -существу, не зависят от скорости теплового движения частиц, полученные ниже результаты справедливы как для невырожденной, так и для вырожденной плазмы.

Уравнение эйконала (8.2.5) в рассматриваемом случае удобно записать в виде

%* + 左；[(搬 _ ~% J (乜 + (%Х 囱L %) ] +

+ % [(碍一^ % )(磴 一 ^ %" ) + ^ 鷗卜 °， (&4・9) где 々2丄=壷2% + 力2刀 а компоненты тензора £订(3,財 ％) определяются выражениями (5.2.3), (5.3.7), (5.5.6) и (5.6.7). Важно, что эти компоненты не зависят от проекции волнового вектора 左丄. Поэтому уравнение (8.4.9) определяет два значения k2xi,2((o,尤),что соответствует обыкновенной и необыкновенной волнам в холодной магнитоактивной плазме. Пренебрегая малой диссипацией, обусловленной антиэрмитавской частью тензора £订(3, к,尤),и определяя Re^2%((o, %) из (8.4.9), с помощью правил квантования (8.2.8) получаем следующие дисперсионные уравнения для нахождения спектров частот колебаний холодной магнитоактивной слабонеоднородной плазмы:

Jck (—就一р±]/р2 —夕产2 =冗几. (8.4.10)

Здесь введены обозначения:

Уравнение (8.4.10) определяет все пять ветвей колебаний холодной магнитоактиВ|НОй ллаз-мы, проанализированных в § 5.2—— 5.7. Ограничимся здесь только анализом спектров альвеновских, быстрых магнитозвуковых и спиральных волн.Для анализа альвеновских и быстрых магнитозвуковых волн рассмотрим область низких частот ⑴忿②.Легко показать, что дисперсионные уравнения (8.4.10) в этом пределе сводятся кУравнение (8.4.10) определяет все пять ветвей колебаний холодной магнитоактиВ|НОй ллаз-мы, проанализированных в § 5.2—— 5.7. Ограничимся здесь только анализом спектров альвеновских, быстрых магнитозвуковых и спиральных волн.Для анализа альвеновских и быстрых магнитозвуковых волн рассмотрим область низких частот ⑴忿②.Легко показать, что дисперсионные уравнения (8.4.10) в этом пределе сводятся квидуjdxRgL”[-'号一儼 + 員 1 +видуjdxRgL”[-'号一儼 + 員 1 +］也盘履=同一储一字［1一］也盘履=同一储一字［1一游（1 +吸"）游（1 +吸"）1/2卜2}=n几.1/2卜2}=n几.(8.4.12)(8.4,13)(8.4.12)(8.4,13)

Уравнение (8.4.10) определяет все пять ветвей колебаний холодной магнитоактиВ|НОй ллаз-мы, проанализированных в § 5.2—— 5.7. Ограничимся здесь только анализом спектров альвеновских, быстрых магнитозвуковых и спиральных волн.

Для анализа альвеновских и быстрых магнитозвуковых волн рассмотрим область низких частот ⑴忿②.Легко показать, что дисперсионные уравнения (8.4.10) в этом пределе сводятся к

Уравнение (8.4.10) определяет все пять ветвей колебаний холодной магнитоактиВ|НОй ллаз-мы, проанализированных в § 5.2—— 5.7. Ограничимся здесь только анализом спектров альвеновских, быстрых магнитозвуковых и спиральных волн.

Для анализа альвеновских и быстрых магнитозвуковых волн рассмотрим область низких частот ⑴忿②.Легко показать, что дисперсионные уравнения (8.4.10) в этом пределе сводятся к

виду

jdxRgL”[-'号一儼 + 員 1 +

виду

jdxRgL”[-'号一儼 + 員 1 +

］也盘履=同一储一字［1一

］也盘履=同一储一字［1一

游（1 +吸"）

游（1 +吸"）

1/2

卜2

}=n几.

1/2

卜2

}=n几.

(8.4.12)

(8.4,13)

(8.4.12)

(8.4,13)

В случае однородной плазмы первая из этих ветвей колебаний соответствует быстрой магнитозвуковой волне, а вторая ——аль- веновской волне, спектры частот которых определяются выражениями (5.2.16). Как следует из соотношений (8.4.12) и (8.4.13), точки поворота для быстрой магнитозвуковой волны находятся из условия 32=他2%+论2g)u2A(尤)，причем область прозрачности определяется неравенством(о2> (k2y+k2z)v2A> При колоколообразном распределении плотности плазмы в пространстве (см. рис. 29) это означает, что быстрые магнитозвуковые волны являются запертыми между точками поворота внутри плазмы, а следовательно, их спектры квантуются. Альвеновские же волны в неоднородной плазме могут существовать в области(o2<^2zy2A(х), т. е. для них имеются две области прозрачности, лежащие на периферии плазмы при значениях %, соответственно меньших или больших координат точек поворота, определяемых равенством з%М%) =^2zU2A. Для плазмы со свободной поверхностью эти области инфинитны, колебания не являются запертыми, а следовательно, их спектры не квантуются. В действительности в лабораторных условиях всегда есть наружные стенки, ограничивающие плазму и замыкающие внешние области прозрачности по отношению к алъвеновской волне. Кроме того, при удалении от центра плазменного слоя в результате увеличения алъвеновской скорости ua (尤)может нарушиться условие (02<々2山2A (尤)и соотношение (8.4.13) потеряет смысл.

Наконец, рассмотрим спиральные волны — геликоны — в слабонеоднородной холодной плазме. Из приведенных в § 5.2——5.7 рассуждений следует, что эти волны могут существовать лишь в достаточно плотной плазме в области промежуточных частот QE《3《Qe・ В ЭТОЙ области частот При условии Ь)2Ъе>^е ИЗ уравнений эйконала (8.4.9) нетрудно найти Ке^%(з, %) и записать дисперсионное уравнение для определения спектра частот спиральной волны:

jdxReйх = Jdxf _ Jfe2_^2 + -^-Y/2 =冗九 (8.4.14)

Это соотношение вытекает непосредственно из (8.4.10) с учетом явного вида компонент тензора диэлектрической проницаемости. Из (8.4.14) видно, что в неоднородной плазме спиральная волна может распространяться лишь в области, где(о2ье(х) > [c^k2z(k2y-\- + ^2Z)Q% 02]1/2. В случае колоколообразного распределения плотности плазмы в пространстве, как это имеет место в рассмотренных ранее примерах ионосферной и лабораторной плазмы, отсюда следует, что область прозрачности для такой волны лежит внутри плазмы между точками поворота а и Ь, в которых

峭е (а) = %(ь)= [С”2 (写 + 後)鋭/о乎/2 .

Следовательно, спиральные волны заперты в плазме и их спектры квантуются.

238

Выше при анализе спектров альвеновских, магнитозвуковых и спиральных волн мы полностью пренебрегли их диссипацией в плазме. Учет диссипативных членов в уравнении эйконала (8.4.9) приводит к появлению мнимной части Im力％(з, %), а вместе с ней и к декременту затухания этих волн 6. Ввиду громоздкости явных выражений для 3 мы здесь не будем приводить, тем более что здесь не возникают качественно новые эффекты по сравнению с изученными в гл. 5 для случая пространственно однородной плазмы.

Дрейфовые колебания

слабонеоднородной бесстолкновительной плазмы

В предыдущем параграфе было показано, что в области высоких частот колебаний, удовлетворяющих условию 0^>(оДРа, где 8др(х определяется формулой (8.3.25), пространственная неоднородность плазмы не приводит к появлению новых спектров колебаний. В этом параграфе перейдем к рассмотрению области низких частот

S W (Одр gS W (Одр g%厶。%厶。(8.5.1)(8.5.1)

S W (Одр g

S W (Одр g

%厶。

%厶。

(8.5.1)

(8.5.1)

Существование в неоднородной плазме в этой области частот новой характерной частоты — ларморовской дрейфовой частоты ④др а — наводит на мысль, что здесь возможно появление новых ветвей колебаний, в частности, на частотах, близких к здр а.

Выясним более детально физический смысл дрейфовой частоты, для чего снова обратимся к равновесному состоянию неоднородной плазмы в магнитном поле. Как следует из формул (8.3.11), ток в равновесном состоянии плазмы отличен от нуля и направлен пер пендикуляр но как к направлению магнитного поля Во||Ог, так и к направлению неоднородности плазмы (ось 0%), причем в общем виде для плотности тока можно записать

(8.5.2)

Этому току можно сопоставить эффективную скорость дрейфа частиц сорта а, параллельную ось 0у:

出。▽啕稣

(8.5.3)

Это хорошо известный ларморовский дрейф частиц. Видно, что заряженные частицы разного знака дрейфуют в неоднородной плаз-

ной плазменой плазмеплоскости чертежа), так и направлению неоднородности плазмы (ось 0%), причем его плотностьплоскости чертежа), так и направлению неоднородности плазмы (ось 0%), причем его плотность

ной плазме

ной плазме

плоскости чертежа), так и направлению неоднородности плазмы (ось 0%), причем его плотность

плоскости чертежа), так и направлению неоднородности плазмы (ось 0%), причем его плотность

ме в противоположных направлениях. Отметим, однако, что этот дрейф не связан с реальным движением центров ларморовских орбит заряженных частиц (центров окружностей, по которым происходит вращение заряженных частиц в магнитном поле). Природу такого дрейфа легко уяснить из рис. 31, на котором изображены две ларморовские круговые орбиты и соответственно два элементарных тока в неоднородной плазме. Из рисунка видно, что в плазме должен существовать результирующий ток, перпендикулярный как направлению магнитного поля (ось Oz, перпендикулярная

jga 〜[eaNa (% + Д X)Ута(X + Д х) — еа Na (%) VTa (х)]〜@А% 今 ％а%а~

〜ёа раа (Na/a)~% 儿 ， (8.5.4) dx Qa 厶

что совпадает с выражением для плотности тока вида (8.5.2). Здесь рЛа =UTa/Qa —ларморовский радиус частиц сорта а. Проведенное рассмотрение показывает, что существование тока в равновесном состоянии не связано с реальным движением зарядов, а обусловлено диамагнитным эффектом в плазме. При этом jya правильнее всего интерпретировать как разностный диамагнитный ток в неоднородной плазме. Несмотря на сказанное, наличие ларморовского дрейфа, как увидим далее, приводит к развитию в плазме специфических неустойчивостей, подобно тому как это происходит при развитии пучковой неустойчивости. Однако неустойчивости, связанные с дрейфовыми движениями в плазме и получившие в связи с этим название дрейфовых, обладают качественно новыми свойствами, в частности могут развиваться даже в плазме с максвелловской равновесной функцией распределения частиц по скорости, но с неоднородной плотностью и температурой.

Из выражений (8.5.1)——(8.5.4) ясен и физический смысл величины о)др a, которую можно рассматривать как доплеровский сдвиг частоты вследствие ларморовского дрейфа частиц. В термоядерной плазме 10204-1021 м-3, Т 〜108 〜0,1 м, & 〜 240

(8.5.5)(8.5.5)

(8.5.5)

(8.5.5)

〜10 Тл)иДр〜103 м/с, а здр〜IO，，т 11PH 力沙〜]/&. в лабораторной плазме газового разряда (N10164-1018 м-3, Т^ 1044-105 К, Ло^^ 10~2 м и Во〜0,1 + 1 Тл) Одр〜"ICP+IO' м/с, а Здр〜1Ф+ 4-Ю6 с-1. В ионосферной плазме (N〜10】з 乂一3, Г^ Ю4 К, Lo〜 〜10+30 км и &~10-4 тл) иДр《1 м/с, а здр W 104「L Наконец, в вырожденной плазме твердого тела с энергией Ферми 醫f 〜 ~0,1 + 1 эВ (что типично для полупроводников и металлов) в магнитных полях Во 〜1 Тл и при размерах неоднородности &〜10-2 м значения удр^ 1О24-1О3 м/с, а здр〜1044-105 с-1. Из этих оценок следует, что дрейфовые частоты намного меныие ларморовских частот электронов и ионов, что существенно упрощает исследование дрейфовых колебаний неоднородной замагни- ченной плазмы.

Сделаем некоторые упрощающие предположения. Во-первых, ограничимся рассмотрением плазмы низкого давления 6《1. Тогда с высокой степенью точности низкочастотные дрейфовые колебания можно считать потенциальными. В этом, в частности, убеждает анализ спектров колебаний однородной магнитоактивной плазмы (см. гл. 5), не говоря уже о том, что при р《1 колебания плазмы не могут значительно воздействовать на сильное внешнее магнитное поле, возмущением которого можно пренебречь. Для потенциальных колебаний плазмы уравнение эйконала записывается в виде (8.2.6), т. е.

£(з, к, х) =0,

где продольная диэлектрическая проницаемость £(з, к, %) дается формулой (8.3.24) для невырожденной плазмы и (8.3.29)——для вырожденной. Во-вторых, поскольку прежде всего требуется получение качественно новых результатов, касающихся спектров и устойчивости неоднородной плазмы, ограничимся анализом локальных спектров, определяемых непосредственно из уравнения (8.5.5). При этом будем иметь в виду, что точные количественные результаты могут быть легко получены с помощью правил квантования. Использование уравнения эйконала в качестве локального дисперсионного уравнения оправданно в приближении геометрической оптики для очень коротких волн (по сравнению с размером неоднородности плазмы) и соответствует приближенному анализу точных интегральных соотношений с помощью теоремы о среднем значении.

Таким образом, локальное дисперсионное уравнение для дрейфовых колебаний неоднородной невырожденной плазмы запишем в виде

£ (з, к, %) = 1 + W

дх дТа

В гл. 5 было показано, что анализ дисперсионного уравнения для продольных колебаний однородной магнитоактивной плазмы достаточно сложен. Естественно поэтому, что привести полный анализ уравнения (8.5.6) не представляется возможным. В связи с этим сделаем еще одно упрощающее предположение, а именно, будем считать, что частота дрейфовых колебаний удовлетворяет неравенству з《5・ Предположим также, что ^та<СЙа, т. е. продольная длина волны много больше ларморовского радиуса частиц. При этих условиях в выражении (8.5.6) существенной оказывается только нулевая гармоника (п=0); вкладом высших гармоник можно пренебречь, а уравнение эйконала для потенциальных колебаний записать в виде

(8.5.7)(8.5.7)

(8.5.7)

(8.5.7)

Приступая к анализу уравнения (8.5.7), укажем, что при условии со/血zUtg, как легко видеть, колебания в плазме отсутствуют; существует обычное экранирование потенциального поля в плазме, что имеет наглядный физический смысл. В бесстолкновительной замагниченной плазме величина 1/(^Тг) ^% ц /vTi характеризует время, за которое на длине волны возмущений вследствие свободного пролета частиц происходит выравнивание плотности и температуры не только электронов, но и ионов. Поэтому условие (o《^zUTi означает, что время выравнивания плотности и температуры плазмы в возмущениях мало по сравнению с периодом колебаний. Очевидно, что в этих условиях продольные волны не могут существовать. Имеется дебаевское экранирование продольного поля в плазме. Изложенные соображения позволяют ограничиться анализом случаев 8》卜队二,при этом, в частности, можно пренебречь ионным затуханием Ландау как экспоненциально малым эффектом.

Ограничимся, кроме того, рассмотрением лишь длинноволновых дрейфовых колебаний, удовлетворяющих условию 入丄》Ра± (九丄〜友т丄),так как наиболее опасными с точки зрения создания устойчивого плазменного состояния являются именно длинноволновые колебания, поскольку возмущения плотности в них могут охватывать весьма большие области плазмы в радиальном направлении. Коротковолновые колебания менее опасны, так как они приводят к сравнительно мелкомасштабным возмущениям плазмы.

При анализе дрейфовых колебаний важным параметром является, кроме того, отношение их фазовой скорости к тепловой скорости частиц. При этом различают быстрые (з/^2》ите) и медленные (0T»《s/^zWuTe) дрейфовые колебания. Анализ начнем с бы- 242

стрых длинноволновых колебаний,九丄》Рам фазовые скорости которых значительно больше тепловых скоростей частиц. При этом уравнение эйконала (8.5.7) принимает вид

唸 § ( 1—刷唸 dlnNTe\

(О2 论2 \①Qedx 丿

(8.5.8)(8.5.8)+货里_包之dinn?八=0々2 Q?〈 叫 дХ 丿

(8.5.8)

(8.5.8)

В области очень низких частиц (о<СсоДР а при условии с?> >^2a((o2l/^>Q2/), отсюда получаем

(8.5.9)(8.5.9)dMNTi _々2 ^£ 句嗫 dInNTe = °dx n (o2 Qe дх

(8.5.9)

(8.5.9)

Воспользовавшись этим соотношением как локальным дисперсионным уравнением, находим следующий локальный спектр *:

0)2=—匿_ 生 生 Q2 ' dUNTe.(8.5.10)

也 j 7\ 61 d In NTi

В формулах (8.5.9) и (8.5.10) под 力2丄，как обычно, нужно понимать 々：二号 + Re 綬^ 储十竺壯,где L丄一размер установ-

L丄

ки в направлении оси Ох, порядка характерного размера неоднородности плазмы 厶.

Таким образом, получена качественно новая ветвь колебаний, отсутствующая в пространственно однородной плазме. Более того, эта ветвь всегда апериодически неустойчива, если выполнено неравенство

din NTi

Это условие выполняется почти во всех реальных плазмах. Действительно, обычно давление электронов и ионов падает от центра к краям плазмы, причем температура частиц Т падает медленнее плотности N. В силу этого о найденной неустойчивости говорят как об универсальной. Однако условие 々《б?% приводит к тому, что для возбуждения этой неустойчивости должно выполняться неравенство

(8.5.12)(8.5.12)修 L； 〃 tn Ti д In NTi m — <^ -- - /"^/ 也：L2 М тё dg2北 М

(8.5.12)

(8.5.12)

т. е. она может развиваться только в достаточно длинных уста-

Здесь и далее введена сокращенная запись, которую следует понимать d 山 4 — d In Z/d% — В дА/дх

d In В d In В/дх А дВ/дх *

новках, в которых продольный размер плазмы больше поперечного, по крайней мере, в У М/т z 40 раз.

Рассмотренная неустойчивость является чисто гидродинамической, не связанной с черенковской диссипацией энергии. Такого рода неустойчивости неоднородной плазмы часто называют просто дрейфовыми, подчеркивая тем самым, что они обусловлены только ларморовским дрейфом частиц в плазме.

Значительно менее жесткими оказываются требования к продольным размерам плазмы для проявления длинноволновых дрейфовых колебаний в области фазовых скоростей 5d《з/々z《 &0те・ Уравнение эйконала (8.5.7) в этой области частот принимает вид

1 +1 +1 , Md din"1十 coQ дх1 , Md din"1十 coQ дх1 —1 —o)Qjo)Qjd In NT»dxd In NT»dx++(О1а| Уте(О1а| УтеdxdxIn -4= ) =0. (8.5.13)V冗丿In -4= ) =0. (8.5.13)V冗丿

1 +

1 +

1 , Md din"

1十

coQ дх

1 , Md din"

1十

coQ дх

1 —

1 —

o)Qj

o)Qj

d In NT»dx

d In NT»dx

+

+

(О

1а| Уте

(О

1а| Уте

dx

dx

In -4= ) =0. (8.5.13)

V冗丿

In -4= ) =0. (8.5.13)

V冗丿

Если плазма изотермическая (兀〜7二)，то ①》財и$ и из уравнения (8.5.13) легко получить локальный спектр, пренебрегая в квадратных скобках последним членом ((о-^со + й):

匂 W din 2

3i= I -у3i= I -у

3i= I -у

3i= I -у

Отсюда видно, что в неоднородной плазме возможно существование длинноволновых медленных колебаний, которые являются кинетически неустойчивыми, если

din Те д\п Ndin Те д\п NV2依脸十V2依脸十(8.5.15)(8.5.15)

din Те д\п N

din Те д\п N

V2依脸十

V2依脸十

(8.5.15)

(8.5.15)

Такие колебания неоднородной плазмы называют дрейфово-диссипативными. Этим подчеркивается, что за раскачку колебаний ответствен черепковский механизм диссипации на электронах, который в области дрейфовых частот может изменить знак и привести к раскачке колебаний. Заметим также, что полученные колебания имеют частоту g)i》^z5, т. е. большую звуковой. Напомним, что в однородной изотермической плазме (7%〜？\) в этой области частот колебания невозможны.

В неизотермической плазме (Те》7\) становится существенным последний член в квадратных скобках уравнения эйконала (8.5.13), пропорциональный 々22^25/32 Именно он обусловливает дрейфовые колебания в области(о2<С^2гУ28л т・ е. при частотах, меньших частоты ионно-звуковых колебаний. В этих условиях из уравнения 244

(8.5.13) нетрудно ((о—>-(о + ib):(8.5.13) нетрудно ((о—>-(о + ib):получить следующийполучить следующийлокальный спектрлокальный спектр

(8.5.13) нетрудно ((о—>-(о + ib):

(8.5.13) нетрудно ((о—>-(о + ib):

получить следующий

получить следующий

локальный спектр

локальный спектр

^ In ^

" dx

(8.5.16)(8.5.16)碱(]L dlnT。)

(8.5.16)

(8.5.16)

\kz\ vTe \2 d In ^ /

Этот спектр можно рассматривать как продолжение звукового в область низких частот з《М%. Из (8.5.16) ясно, что черенков- ская диссипация на электронах может привести к раскачке рассматриваемых колебаний нрн условии

(8.5.17)(8.5.17)版>2

(8.5.17)

(8.5.17)

При этом неустойчивость является кинетической и естественно отнести ее к дрейфово-диссипативной.

Наконец, в области самых низких частот при условии з《 《①др а из уравнения эйконала (8.5.13) следуют еще два гидродинамически неустойчивых спектра колебаний:

呜=—^2^2 句吟。In「呜=—^2^2 句吟。In「Q/ dx dinTi . которые могут существовать при Ld In NQ/ dx dinTi . которые могут существовать при Ld In N(8.5.19)(8.5.19)》1, поэтому такие не-》1, поэтому такие не-устойчивости называют дрейфово-температурными.Рассмотренные длинноволновые дрейфовые колебания в области промежуточных фазовых скоростей и^《з®《ите, как отмечалось, могут возбуждаться в относительно коротких плазменных установках. Из условия з 〜(одра 》^zUtc следует, что для их проявления достаточно, чтобы L«汇丄 х/рЛг>1. С другой стороны, пренебрежение столкновениями частиц “《《厶外仪)означает, что продольные размеры системы должны быть меньше длин сво-устойчивости называют дрейфово-температурными.Рассмотренные длинноволновые дрейфовые колебания в области промежуточных фазовых скоростей и^《з®《ите, как отмечалось, могут возбуждаться в относительно коротких плазменных установках. Из условия з 〜(одра 》^zUtc следует, что для их проявления достаточно, чтобы L«汇丄 х/рЛг>1. С другой стороны, пренебрежение столкновениями частиц “《《厶外仪)означает, что продольные размеры системы должны быть меньше длин сво-бодного пробега частиц, т. е. Lj|<wTa/vaбодного пробега частиц, т. е. Lj|<wTa/va/—'a・/—'a・Таким образом,Таким образом,условия применимости бесстолкновительного описания длинноволновых дрейфовых колебаний можно записать в видеусловия применимости бесстолкновительного описания длинноволновых дрейфовых колебаний можно записать в виде%=一儲吸霁»(8518)

呜=—^2^2 句吟。In「

呜=—^2^2 句吟。In「

Q/ dx dinTi . которые могут существовать при L

d In N

Q/ dx dinTi . которые могут существовать при L

d In N

(8.5.19)

(8.5.19)

》1, поэтому такие не-

》1, поэтому такие не-

устойчивости называют дрейфово-температурными.

Рассмотренные длинноволновые дрейфовые колебания в области промежуточных фазовых скоростей и^《з®《ите, как отмечалось, могут возбуждаться в относительно коротких плазменных установках. Из условия з 〜(одра 》^zUtc следует, что для их проявления достаточно, чтобы L«汇丄 х/рЛг>1. С другой стороны, пренебрежение столкновениями частиц “《《厶外仪)означает, что продольные размеры системы должны быть меньше длин сво-

устойчивости называют дрейфово-температурными.

Рассмотренные длинноволновые дрейфовые колебания в области промежуточных фазовых скоростей и^《з®《ите, как отмечалось, могут возбуждаться в относительно коротких плазменных установках. Из условия з 〜(одра 》^zUtc следует, что для их проявления достаточно, чтобы L«汇丄 х/рЛг>1. С другой стороны, пренебрежение столкновениями частиц “《《厶外仪)означает, что продольные размеры системы должны быть меньше длин сво-

бодного пробега частиц, т. е. Lj|<wTa/va

бодного пробега частиц, т. е. Lj|<wTa/va

/

—'a・

/

—'a・

Таким образом,

Таким образом,

условия применимости бесстолкновительного описания длинноволновых дрейфовых колебаний можно записать в виде

условия применимости бесстолкновительного описания длинноволновых дрейфовых колебаний можно записать в виде

Lv 1/

(8.5.20)(8.5.20)1<—^<-JL<-^—

(8.5.20)

(8.5.20)

%% 4厶丄

В заключение заметим, что для справедливости полученных в этом параграфе формул, строго говоря, необходимо, чтобы либо частоты и инкременты нарастания дрейфовых колебаний намного превышали частоты столкновений частиц в плазме |о)| ^>va , либо длины свободного пробега частиц были больше продольной

длины волны дрейфовых колебаний va<С^та. Эти требования обусловлены использованием для анализа дрейфовых неустойчивостей плазмы кинетического уравнения Власова, полностью пренебрегающего столкновениями частиц. Поскольку, как указывалось, дрейфовые частоты в реальных установках порядка 104—— 106 с*-' это ограничение может выполняться лишь в высокотемпературной невырожденной плазме при относительно малых плотностях заряженных частиц. В вырожденной плазме твердых тел оно явно не выполняется, поэтому такую плазму здесь обсуждать не будем. Однако, как будет показано в следующем параграфе, дрейфовые неустойчивости могут развиваться и в плотной плазме с большим числом столкновений частиц. Более того, столкновения частиц, особенно электронов, так же как и черепковская диссипация на электронах, в неоднородной плазме могут стать причиной развития дрейфовых неустойчивостей.

Влияние столкновений заряженных частиц на спектры дрейфовых колебаний слабонеоднородной плазмы

Переходя к исследованию влияния столкновений частиц на спектры дрейфовых колебаний слабонеоднородной плазмы, прежде всего получим выражение для ее диэлектрической проницаемости с учетом столкновений частиц. Как и в § 8.3, предположим^ что кинетическое давление плазмы мало по сравнению с магнитным, т. е. 0《1, что позволяет пренебречь неоднородностью внешнего магнитного поля Во и ограничиться выводом выражения лишь для продольной диэлектрической проницаемости 8(со, к, %), описывающей спектры продольных (потенциальных) колебаний.

Слабоионизованная плазма. Выведем сначала выражение для 8 (со,к, %) в случае слабоионизованной невырожденной плазмы, когда преобладают столкновения заряженных частиц с нейтральными. Будем исходить из кинетического уравнения с модельным интегралом БГК в изотер-мическо.м приближении (см. § 3.5). При этом, поскольку речь идет о дрейфовых колебаниях, предположим, что Qa >va. Только в этом пределе можно говорить о ларморовском вращении, а следовательно, о ларморовском дрейфе частиц.

Равновесную функцию распределения 寸()《 определим так же, как и в бесстолкновительном приближении. Пренебрегая интегралом столкновений, выражение для /0 a можно записать в виде (см. § 8.3)

кинетического уравнения рав-кинетического уравнения рав-где Са =+ х — характеристика

кинетического уравнения рав-

кинетического уравнения рав-

новесной функции распределения.

Для определения отклонения функции распределения от равновесной

6/а = 6fa w ехр (—i (О/ + i ^у + i kzz) (8.6.2)

в нулевом приближении геометрической оптики получаем линеаризованное кинетическое уравнение

—i ((о — kv) 6 fee—Qqc —^- = — i "~~ k Ф ---

—Van (6 /a — Па/\)а)・(8.6.3)

Здесь 艰=》j 6/adp,(8.6.4)

введен потенциал Ф(Е==——iкФ) и использована цилиндрическая система координат в пространстве скоростей.

Учитывая далее, что [ см. (8.3.19)]

(8.6.5)(8.6.5)

(8.6.5)

(8.6.5)

из уравнения (8.6.3) находим

б/a =— J dq/Qa3б/a =— J dq/Qa3

б/a =— J dq/

Qa3

б/a =— J dq/

Qa3

+ ”апПаЛ)“ехр 十 f dq)"(3 —kv + i%) •(866)

(8.6.7)(8.6.7)Дальнейшее вычисление этого интеграла аналогично случаю однородной плазмы (см. § 5.2). После получения 6/а легко найти Ра：

(8.6.7)

(8.6.7)

Ра = “J 3 fa dp,

а также определить продольную диэлектрическую проницаемость согласно соотношениям

£ (з, к, %) = 1 — 2a£ (з, к, %) = 1 — 2a论2 Ф8О论2 Ф8О(8.6.8)(8.6.8)

£ (з, к, %) = 1 — 2

a

£ (з, к, %) = 1 — 2

a

论2 Ф8О

论2 Ф8О

(8.6.8)

(8.6.8)

Проводя соответствующие выкладки, в нулевом приближении геометрической оптики окончательно получаем

XX

X

X

XX11e 丄・e 丄・ю + i %nю + i %n'an —几 Q(X'an —几 Q(X11察君卜心+察君卜心+电I %a电I %a01*дх01*дх(8.6.9)(8.6.9)

X

X

1

1

e 丄・

e 丄・

ю + i %n

ю + i %n

'an —几 Q(X

'an —几 Q(X

1

1

察君卜心+

察君卜心+

电I %a

电I %a

01*дх

01*дх

(8.6.9)

(8.6.9)

Полностью ионизованная плазма. В случае полностью ионизованной плазмы, как было показано § 5.6, нельзя получить общего выражения для тензора диэлектрической проницаемости типа (8.6.9). Это связано с тем, что интеграл столкновений заряженных частиц в полностью ионизованной плазме является сложным интегральным выражением, поэтому е(со, к, %) удается вы-

числить лишь длячислить лишь дляразличных предельных случаев.

числить лишь для

числить лишь для

Очевидно, что равновесная функция распределения в неоднородной плазме в условиях, когда ларморовская частота частиц много больше их характерных частот столкновений, может быть записана в виде (8.6.1). Представляя неравновесную добавку к равновесной функции распределения в виде (8.6.2), можно, подобно (5.6.2), записать кинетическое уравнение для б/а следующим образом:

ЗдесьЗдесь03九03九@63d中@63d中= 上-V(D 也十 2——линеаризованный интеграл столкновений= 上-V(D 也十 2——линеаризованный интеграл столкновений(8.6.10)(8.6.10)заря-заря-женных частиц а с частицами сорта 6：женных частиц а с частицами сорта 6：X /0РX /0Рst8 6%st8 6%8畸8畸囈科肃＞dp，囈科肃＞dp，"2 3 订一，i "/ x"2 3 订一，i "/ x8Pi8Pi4 3%4 3%小学一6九察）,小学一6九察）,(8.6.11)(8.6.11)

Здесь

Здесь

03九

03九

@63d中

@63d中

= 上-V(D 也十 2

——линеаризованный интеграл столкновений

= 上-V(D 也十 2

——линеаризованный интеграл столкновений

(8.6.10)

(8.6.10)

заря-

заря-

женных частиц а с частицами сорта 6：

женных частиц а с частицами сорта 6：

X /0Р

X /0Р

st

8 6%

st

8 6%

8畸

8畸

囈科肃＞dp，

囈科肃＞dp，

"2 3 订一，i "/ x

"2 3 订一，i "/ x

8Pi

8Pi

4 3%

4 3%

小学一6九察）,

小学一6九察）,

(8.6.11)

(8.6.11)

где u = va ——vb，a L ——кулоновский логарифм.

Дальнейший анализ уравнения (8.6.10) будем вести отдельно для электронной функции распределения 5fe (соответственно 3&。) и ионной функции распределения 6% (соответственно 0&).

Рассмотрим сначала электронный вклад в диэлектрическую проницаемость 6%(0), к, х). Интегральное уравнение (8.6.10) для электронов с учетом соотношения (8.6.5) легко решать в приближении геОМеТрИЧССКОЙ ОПТИКИ, Причем ИЗ УСЛОВИЙ (0<^Йе, кУте《С (именно в таких условиях возможны дрейфовые колебания) вытекает возможность интегрирования кинетического уравнения по ср. Действительно, как отмечалось в предыдущем параграфе, при этом 0% основной вклад даст нулевая гармоника, вследствие чего 248

(s-財 36% =(s-財 36% =возмущение 6% можно считать не зависящим от 屮.Тогда из (8.6.10) получаем

(s-財 36% =

(s-財 36% =

гдегдед In 猫 а 1П Тед In 猫 а 1П ТеЭхЭхдхдх2唸2唸Кроме того, если учесть малость тепловой скорости ионов по сравнению со скоростью электронов, то в выражении для интег-Кроме того, если учесть малость тепловой скорости ионов по сравнению со скоростью электронов, то в выражении для интег-рала электрон-ионных столкновенийрала электрон-ионных столкновенийслагаемыми, содерслагаемыми, содерeieiжащими возмущение ионной функции распределения 。厶,жащими возмущение ионной функции распределения 。厶,можноможнопренебречь. Тогдапренебречь. Тогда8冗嗡8冗嗡ststИнтеграл жеИнтеграл жеeieii dpi 濟 Эруi dpi 濟 Эруследует брать в виде (8.6.11).следует брать в виде (8.6.11).При решении уравнения (8.6.12) ограничимся случаемПри решении уравнения (8.6.12) ограничимся случаем(8.6.13)(8.6.13)частыхчастыхстолкновений электронов, когда ”е》з, kzvTe. При этом столкнови- тельный член в уравнении (8.6.12) становится главным и уравнение можно решить -с помощью метода Чемшена — Зискога. Для упрощения кинетического уравнения введем функцию Fe:столкновений электронов, когда ”е》з, kzvTe. При этом столкнови- тельный член в уравнении (8.6.12) становится главным и уравнение можно решить -с помощью метода Чемшена — Зискога. Для упрощения кинетического уравнения введем функцию Fe:6Подставляя (8.6.14) в (8.6.12), получаемТеI (oQe dxd% \ 26Подставляя (8.6.14) в (8.6.12), получаемТеI (oQe dxd% \ 2(8.6.14)(8.6.14)eieistst(8.6.15)(8.6.15)(8.6.12)

где

где

д In 猫 а 1П Те

д In 猫 а 1П Те

Эх

Эх

дх

дх

2唸

2唸

Кроме того, если учесть малость тепловой скорости ионов по сравнению со скоростью электронов, то в выражении для интег-

Кроме того, если учесть малость тепловой скорости ионов по сравнению со скоростью электронов, то в выражении для интег-

рала электрон-ионных столкновений

рала электрон-ионных столкновений

слагаемыми, содер

слагаемыми, содер

ei

ei

жащими возмущение ионной функции распределения 。厶,

жащими возмущение ионной функции распределения 。厶,

можно

можно

пренебречь. Тогда

пренебречь. Тогда

8冗嗡

8冗嗡

st

st

Интеграл же

Интеграл же

ei

ei

i dpi 濟 Эру

i dpi 濟 Эру

следует брать в виде (8.6.11).

следует брать в виде (8.6.11).

При решении уравнения (8.6.12) ограничимся случаем

При решении уравнения (8.6.12) ограничимся случаем

(8.6.13)

(8.6.13)

частых

частых

столкновений электронов, когда ”е》з, kzvTe. При этом столкнови- тельный член в уравнении (8.6.12) становится главным и уравнение можно решить -с помощью метода Чемшена — Зискога. Для упрощения кинетического уравнения введем функцию Fe:

столкновений электронов, когда ”е》з, kzvTe. При этом столкнови- тельный член в уравнении (8.6.12) становится главным и уравнение можно решить -с помощью метода Чемшена — Зискога. Для упрощения кинетического уравнения введем функцию Fe:

6

Подставляя (8.6.14) в (8.6.12), получаем

ТеI (oQe dxd% \ 2

6

Подставляя (8.6.14) в (8.6.12), получаем

ТеI (oQe dxd% \ 2

(8.6.14)

(8.6.14)

ei

ei

st

st

(8.6.15)

(8.6.15)

Теперь разложим Fe по полиномам Сонина — Лягерра и, ограничиваясь двумя первыми членами разложения:

&=%%е ^o + ^l&=%%е ^o + ^l(8.6.16)

&=%%е ^o + ^l

&=%%е ^o + ^l

получим из (8.6.15) систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов разложения а。и @匚

e k①5勺唸атге_Те z 2 (oQe dxe k①5勺唸атге_Те z 2 (oQe dx=i %巾巾(〃o + ~|- Oi}=i %巾巾(〃o + ~|- Oi}(8.6.17)(8.6.17)d In NTe дхd In NTe дх13+4V2 c \4"13+4V2 c \4"

e k①5勺唸атге_

Те z 2 (oQe dx

e k①5勺唸атге_

Те z 2 (oQe dx

=i %巾巾(〃o + ~|- Oi}

=i %巾巾(〃o + ~|- Oi}

(8.6.17)

(8.6.17)

d In NTe дх

d In NTe дх

13+4V2 c \

4"

13+4V2 c \

4"

Дальнейшее вычисление 5% (со, к, %) заключается в следующем. Сначала с помощью найденного выражения Fe определяем обусловленный Fe ток 6Д. Заряд, связанный с 尸今 можно найти с помощью уравнения непрерывности бре=— 6/z. Далее обычным (О способом получаем выражение для See(o, к, х):

。1、1 「的呃 din 乂3% (①，k, %)=-——--/ rDe L ①^。"。1、1 「的呃 din 乂3% (①，k, %)=-——--/ rDe L ①^。"+ i 1,96-^+ i 1,96-^叫ФФ叫ФФXXXX] 的唸 din NT："co Qg] 的唸 din NT："co Qgдхдх(8.6.18)(8.6.18)

。1、1 「的呃 din 乂

3% (①，k, %)=-——--

/ rDe L ①^。"

。1、1 「的呃 din 乂

3% (①，k, %)=-——--

/ rDe L ①^。"

+ i 1,96-^

+ i 1,96-^

叫ФФ

叫ФФ

X

X

X

X

] 的唸 din NT："co Qg

] 的唸 din NT："co Qg

дх

дх

(8.6.18)

(8.6.18)

При ¥эфф0>^22^2тв И

凡'De凡'Del+il,44l+il,44叫ф6叫ф6XXX 1-X 1-的唸 д In NT~q^q的唸 д In NT~q^qo)Qe дхo)Qe дх(8.6.19)(8.6.19)

凡'De

凡'De

l+il,44

l+il,44

叫ф6

叫ф6

X

X

X 1-

X 1-

的唸 д In NT~q^q

的唸 д In NT~q^q

o)Qe дх

o)Qe дх

(8.6.19)

(8.6.19)

При Уэфф 3^^C々^zU^Te*

Перейдем теперь к рассмотрению ионного вклада в диэлектрическую проницаемость. Уравнение для определения б/г имеет вид, аналогичный (8.6.10). Однако интегралом столкновений ионов с электронами (^)‘‘ в уравнении для ионной функции распределения, как правило, можно пренебречь, поскольку ^〜^ ]/修(^ j" и при условии ^>(号)"3 (что в реальной плазме всегда соблюдается) его вклад в диссипативные процессы пренебрежимо мал. Это существенно упрощает определение 5%.

Введем функцию 尸%:

(8.6.20)(8.6.20)6力=^储+尸

(8.6.20)

(8.6.20)

Тогда в нулевом приближении геометрической оптики получаем следующее уравнение для определения 尸％:

Wiv)尸L Q笠=tВ_若能Wiv)尸L Q笠=tВ_若能(8.6.21)(8.6.21)

Wiv)尸L Q笠=tВ_若能

Wiv)尸L Q笠=tВ_若能

(8.6.21)

(8.6.21)

В дальнейшем при решении этого уравнения ограничимся длинноволновым пределом 论丄Paz ^р^»/几丄《1 и будем считать, что Qf》s》v厶々zUt3 При этом интеграл столкновений в (8.6.21) хотя и является малым членом, однако его учет необходим. Реше-t

250

ние легко найти методом последовательных приближений, причем параметром разложения является отношение Wf/з. В результате довольно громоздких вычислений получаем

/24& +亜生一包上]初吟包叫a[^2 炉Q；4 Q：丿 S& ^丿/24& +亜生一包上]初吟包叫a[^2 炉Q；4 Q：丿 S& ^丿的哈0 In W )сой/ дх /的哈0 In W )сой/ дх /

/24& +亜生一包上]初吟包叫a

[^2 炉Q；4 Q：丿 S& ^丿

/24& +亜生一包上]初吟包叫a

[^2 炉Q；4 Q：丿 S& ^丿

的哈0 In W )сой/ дх /

的哈0 In W )сой/ дх /

Формулы (8.6.18), (8.6.19) и (8.6.22) позволяют исследовать дрейфовые колебания в полностью ионизованной столкновитель- ной плазме в условиях Ve》＜o, kzvTe и(o》w,財？^・ На примере таких колебаний покажем, что столкновения частиц не только не стабилизируют дрейфовые неустойчивости неоднородной плаз)мы, а, наоборот, могут стать причиной их развития. Этот случай наиболее близок к чисто гидродинамическому и должен особенно ярко выявлять роль столкновений. При сделанных допущениях выражения для 8(0, к, х) как в слабоионизованной, так и в полностью ионизованной плазме упрощаются, и если, кроме того, принять @Ve》血2%и2те, то уравнение эйконала запишется в виде

8®, к, *)=1 +用— *

q2 胪 \ sQt дх /

(8.6.23)(8.6.23)磅味的脸0ENT八п 十 1 a [ 1 u.

(8.6.23)

(8.6.23)

炉(о”е \sQe дх /

Здесь ve=Ven, а=р= 1 для слабоионизованной плазмы и ve= =^эфф, а = 1,96, р= 1,71 для полностью ионизованной плаамы. При написании этого уравнения для простоты учтена лишь диссипация, обусловленная столкновениями электронов； столкновениями же ионов пренебрежено. Для колебаний с длиной волны, большей дебаевского радиуса частиц, уравнение (8.6.23) принимает наиболее простой вид:

]一包里妙竺%出(1一旦啧_也竺勺"(8624)

coQ дх(o \ (oQe дх /

Здесь введено обозначение

(8.6.25)

Уравнение (8.6.24) является квадратным относительно о, и не представляет особого труда проанализировать общее его решение. Однако ограничимся здесь записью решения в предельных

251

случаях, в которых колебания неустойчивы. Так, в пределе(Одре《 《со$ из уравнения (8.6.24) находим локальный спектр (gfco+iO):

百嘘 GENT? 殳 * /i I 北 d\nNTt

Qe dx% \ Te din NT?

В пределе же зДр?》д имеем

ь Ti dlnNTi

(8.6.26)(8.6.26)(8.6.27)(8.6.27)dlnMT? dinNTidlnMT? dinNTi>0,>0,(8.6.28)(8.6.28)Из этих формул видно, что рассматриваемые колебания, по существу, всегда неустойчивы, поскольку реально всегда

(8.6.26)

(8.6.26)

(8.6.27)

(8.6.27)

dlnMT? dinNTi

dlnMT? dinNTi

>0,

>0,

(8.6.28)

(8.6.28)

а поэтому 1тз>0. Интересно отметить, что эти неустойчивости существуют в области частот со《”е и, более того, с ростом частоты столкновений электронов инкременты их нарастания увеличиваются. За раскачку колебаний при этом, как можно видеть из уравнений (8.6.23) и (8.6.24), ответственно столкновительное поглощение волн электронами плазмн, которое в неоднородной плаз>ме меняет знак.

Найденные спектры (8.6.26) и (8.6.27) характеризуют новые ветви дрейфово-диссипативных колебаний, которые не существовали в бесстолкновительной плазме. Эти колебания в отличие от рассмотренных ранее дрейфово^диссипативных неустойчивостей иногда называют гидродинамическими дрейфово-диссипативными неустойчивостями, подчеркивая тем самым, что их раскачка связана со столкновительной диссипацией.

К гидродинамическим дрейфово-диссипативным колебаниям относят также колебания в области частот V2《3<CVe, но при условии ①”《鸠吟е・ Естественно при этом считать, что ®+ +iva I ^>kzvTa. Уравнение эйконала для таких колебаний записывается в виде

脸 Г j十 圆d d'nN _ 磋《(]_侬曉dMNTt ] 1 +胪у2 L①Qtd% 0)2 \①Qj d% 丿」脸 Г j十 圆d d'nN _ 磋《(]_侬曉dMNTt ] 1 +胪у2 L①Qtd% 0)2 \①Qj d% 丿」

脸 Г j十 圆d d'nN _ 磋《(]_侬曉dMNTt ] 1 +

胪у2 L①Qtd% 0)2 \①Qj d% 丿」

脸 Г j十 圆d d'nN _ 磋《(]_侬曉dMNTt ] 1 +

胪у2 L①Qtd% 0)2 \①Qj d% 丿」

Здесь ve=ven, ai=l, Pi = 0 — для слабоионизованной плазмы и ve=vэфф, ai= 1,44 01 = 0,56 ——для полностью ионизованной плазмы. Так же как и ранее, при выводе этого уравнения для простоты полностью пренебрежено столкновениями ионов и учтено неравенство со》”%.

Уравнение (8.6.29) подобно уравнению (8.5.13) и отличается от него лишь малым диссипативным членом. В уравнении (8.5.13) дис- 252

Q2 ^ln^ д In Т^ \Q2 ^ln^ д In Т^ \сипативный член связан с бесстолкновительным черепковским поглощением волн электронами плазмы, в то время как в уравнении (8.6.29) он обусловлен электронной диффузией и теплопроводностью, т. е. столкновениями электронов. Естественно, что локальные спектры частот колебаний, определяемые из уравнения (8.6.29), совпадают со спектрами частот бесстолкновительной плазмы [в условиях справедливости уравнения (8.5.13)], т. е. частоты оя, о)2, определяемые соответственно фор)мулами (8.5.14), (8.5.16), остаются неизменными и в случае плазмы с частыми столкновениями. Меняются лишь выражения для инкрементов нарастания, которые вместо (8.5.14) и (8.5.16) имеют вид

Q2 ^ln^ д In Т^ \

Q2 ^ln^ д In Т^ \

(8.6.30)

(8.6.31)

Отсюда видно, что колебания на первой дрейфовой ветви неустойчивы, если

*V卜叭+若｝ (8.6.32)

на второй же ветви колебаний, которая возможна лишь в неизотермической плазме с Те》Т“ неустойчивость возникает при ус

ловии

(8.6.33)(8.6.33)d In Т^ ,—> 1.aln^

(8.6.33)

(8.6.33)

На обеих ветвях дрейфовых колебаний раскачка обусловлена столкновениями электронов.

В заключение обсудим вопрас о роли столкновений ионов при развитии дрейфовых неустойчивостей. Прежде всего заметим, что во всем предыдущем рассмотрении считалось, что з》修，и поэтому столкновениями ионов полностью пренебрегалось. Их учет не представляет труда. При (о》лч учет столкновений ионов приводит к малым поправкам, причем их роль в развитии дрейфовых неустойчивостей оказывается как стабилизирующей, так и дестабилизирующей. Более интересным является выяснение вопроса о существовании дрейфовых колебаний в области частот со&л^・ Проанализируем его на примере слабоионизованной плазмы. Для невырожденной плазмы, считая, кроме того, v%《£2厶 из выражения (8.6.9) получаем следующее уравнение эйконала:

1+ S а1+ S а唸唸XX

1+ S а

1+ S а

唸

唸

X

X

恆嚨 (din%® + i%) %恆嚨 (din%® + i%) %(8.6.34)(8.6.34)

恆嚨 (din%

® + i%) %

恆嚨 (din%

® + i%) %

(8.6.34)

(8.6.34)

X [1- 1

Как и ранее, проанализируем это уравнение в области длинных волн &：u'《Q^ и низких частот oCVi. Можно показать, что в пределе частых столкновений, когда длины свободного пробега частиц меньше продольных длин волн, 3»卜队仪、уравнение (8.6.34) имеет решения лишь в условиях, когда диффузия ионов слабая, 3\4》胪2^2咽 диффузия электронов три этом может быть как слабой, так и сильной. Если плазма достаточно плотная и sue》电2zU?Te, то из (8.6.34) получаем

Q注2 \ sQj дх 丿 OJVe 胪 \ ①Qg d% /

1 (8.6.35)

Это уравнение в точности совпадает с (8.6.23), поэтому спектры дрейфовых колебаний (8.6.26), (8.6.27) и условие их раскачки (8.6.28) остаются неизменными и в пределе частых столкновений, когда 8~(0^《4^.

Из приведенного анализа влияния столкновений частиц на спектры дрейфовых колебаний пространственно неоднородной плазмы следует, что в условиях частых столкновений, когда длины свободного пробега частиц намного меньше продольных размеров плазмы «а》財％а^ 5"£“), а дрейфовые частоты меньше частот столкновений (va<C)(Oflpa^(о), длинноволновые дрейфовые неустойчивые колебания могут развиваться в плазме, если (OAPiVj^>^2zV2Ti У2тг/^2|| или [ср. с (8.5.20)]

L И /">/s2小 > 1. (8.6.36)

В противном случае неоднородности плотности частиц в возмущениях вследствие диффузии будут выравниваться быстрее, чем успеет заметно развиться дрейфовая неустойчивость.

Конвективные неустойчивости неоднородной плазмы

До сих пор изучались колебательные свойства пространственно неоднородной плазмы с максвелловской функцией распределения частиц по скоростям во внешнем однородном магнитном поле Bq = Boz, линии индукции которого считались прямолинейными и направленными вдоль оси Oz, перпендикулярной направлению неоднородности плазмы (оси Ох). При этом было показано, что такая плазма неустойчива, в ней возбуждаются дрейфовые колебания, частоты и инкременты нарастания которых меньше частоты, связанной с ларморовским дрейфом частиц. Причиной неустойчивости в данном случае является пространственная неоднородность плазмы, которая хотя и находится в силовом равновесии с магнитным полем (газокинетическое давление уравновешивается магнитным), но остается в термодинамически неравновесном состоянии из-*за ларморовского дрейфа частиц. Здесь покажем, что при наличии в плазме наряду с прост-

ранственной неоднородностью неравновесности другой природы^ например гравитационного дрейфа, обусловленного криволинейностью линий индукции магнитного поля, либо тока, создаваемого продольным электрическим полем, в ней возникают значительно более быстро нарастающие неустойчивости. Уже при очень малых неравновесностях такого типа инкременты нарастания неустойчивостей оказываются существенно больше самих дрейфовых частот.

Исследование устойчивости подобной плаамы начнем со слу* чая, когда линии индукции магнитного поля обладают слабой кривизной, т. е. наряду с продольным полем BOz существует малая неоднородная компонента магнитного поля Box, параллельная направлению неоднородности плазмы. Подобная картина характерна для многих экспериментальных термоядерных установок. Например, в системах с магнитными зеркалами, или пробкотронах^ магнитное поле имеет вид, изображенный на рис. 32. В бесстолкновительной плазме низкого давления заряженные частицы как бы наклеены на линии индукции магнитного поля, т. е. могут свободно перемещаться только в направлении линий индукции и вращаться вокруг них. При этом на частицу сорта а действует средняя поперечная сила (см. задачу 3.8) ，

(8.7.1)(8.7.1)

(8.7.1)

(8.7.1)

где п — единичный вектор, направленный от центра кривизны к частице; R — радиус кривизны линий индукции магнитного поля.Учитывая, что частицы плазмы в основном движутся с тепловыми скоростями, в дальнейшем заменим т^^ и та^2±а/2 на Та и поперечную силу (8.7.1) приближенно представим в видегде п — единичный вектор, направленный от центра кривизны к частице; R — радиус кривизны линий индукции магнитного поля.Учитывая, что частицы плазмы в основном движутся с тепловыми скоростями, в дальнейшем заменим т^^ и та^2±а/2 на Та и поперечную силу (8.7.1) приближенно представим в видеРис. 32. Конфигурация линий индукции магнитного поля в зеркальных системах (пробко- троны)Рис. 32. Конфигурация линий индукции магнитного поля в зеркальных системах (пробко- троны)

где п — единичный вектор, направленный от центра кривизны к частице; R — радиус кривизны линий индукции магнитного поля.

Учитывая, что частицы плазмы в основном движутся с тепловыми скоростями, в дальнейшем заменим т^^ и та^2±а/2 на Та и поперечную силу (8.7.1) приближенно представим в виде

где п — единичный вектор, направленный от центра кривизны к частице; R — радиус кривизны линий индукции магнитного поля.

Учитывая, что частицы плазмы в основном движутся с тепловыми скоростями, в дальнейшем заменим т^^ и та^2±а/2 на Та и поперечную силу (8.7.1) приближенно представим в виде

Рис. 32. Конфигурация линий индукции магнитного поля в зеркальных системах (пробко- троны)

Рис. 32. Конфигурация линий индукции магнитного поля в зеркальных системах (пробко- троны)

Рис. 33. Силы, действующие на заряженную частицу в неоднородной плазме, помещенной в магнитное поле зеркальной геометрии

Более того, для простоты эту силу будем считать постоянной, не зависящей от координаты х. Строго говоря, при этом температура частиц плазмы предполагается не зависящей от 尤.

Итак, искривленность линий индукции магнитного поля можно учесть введением эффективного поля тяжести g^^^JR, разного для разного сорта частиц и направленного в сторону внешней нормали к линиям индукции магнитного поля. Рассмотрим поведение плазмы в таком поле, заметив предварительно, что в случае, когда магнитное поле имеет вид, изображенный на рис. 32, а плотность плазмы убывает к периферии, сила тяжести maga направлена независимо от знака заряда частицы противоположно градиенту плотности плаамы. На рис. 33 изображен слой неоднородной плазмы в искривленном магнитном поле.

Равновесная функция распределения частиц в неоднородной плазме при наличии поля тяжести ga, параллельного оси Ох, является решением уравнения

% + ga 彗 + & lvE0] = 0. (8.7.3) дх dv dv

Ограничимся далее случаем, когда поля Во и ga однородны (это условие практически всегда выполнено, поскольку обычно 8《1). При этом легко записать решение уравнения (8.7.3):

/оа(V-Ua) =/оа(V-Ua) =(2n%%)3/2 Г2%(2n%%)3/2 Г2%(8.7.4)(8.7.4)

/оа(V-Ua) =

/оа(V-Ua) =

(2n%%)3/2 Г2%

(2n%%)3/2 Г2%

(8.7.4)

(8.7.4)

где uaгде ua

где ua

где ua

,0 ) — скорость гравитационного дрей

фа, возникающего в скрещенных полях Во и ga, h — единичный вектор в направлении Во. Этот дрейф является реальным дрейфом. частиц в отличие от рассмотренного в § 8.3 ларморовского дрейфа. Именно поэтому он и входит в функцию распределения (8.7.4) в виде реальной скорости движения частиц ua.

Итак, в равновесном состоянии заряженные частицы плазмы совершают направленное движение. В этих условиях (см. гл. 6 и 7) в плазме могут развиваться неустойчивости типа пучковых или токовых. Перейдем к анализу подобных неустойчивостей, сделав предварительно одно замечание. Как видно из рис. 33, аналогичная картина может возникнуть и в обычной сжимаемой жидкости, находящейся в поле тяжести (см. задачу 8.6). В некото рых случаях такое состояние жидкости оказывается неустойчивым, причем развитие неустойчивости связано с конвекцией. В связи с этим неустойчивости, которые будут рассмотрены далее, носят общее название конвективных.

Теперь для исследования спектров колебаний необходимо вычислить диэлектрическую проницаемость. Это можно сделать сразу. Действительно, из вида функции распределения fo w (8.7.4) следует, что вычисления удобно проводить в системе координат, движущейся вместе с частицами данного сорта со скоростью их гравитационного дрейфа. В этой системе координат все вычисления будут аналогичны проведенным в § 8.3. В результате в приближении геометрической оптики для продольной диэлектрической проницаемости получим выражение вида (8.3.24)

в котором только произведена замена(о->со'=со—卜％=8+爲-^, где со7 —частота с учетом доплеровского сдвига из-за гравитационного дрейфа. Естественно, что при ga=° выражение (8.7.5) в точности совпадает с (8.3.24).

Не будем подробно анализировать спектры колебаний неоднородной плазмы в поле тяжести, поскольку, как нетрудно догадаться, их многообразие еще больше, чем спектров дрейфовых колебаний. Рассмотрим лишь некоторые новые качественные эффекты, связанные с наличием поля тяжести ga.

Исследуем область низких частот(0‘《£2中 При этом в выражении (8.7.5) можно ограничиться членами с 〃 = 0. Предположим далее, что волны длинные (尼;ита«С^), их фазовые скорости велики (с/》^г0та), а интересующие частоты намного больше дрейфовых：

“》8bp а ~《；：» (8・7・6)

где Lo — характерный размер неоднородности плотности плазмы.

При указанных условиях из (8.7.5) получаем следующее уравнение эйконала:

Е®，k, %)=1 一 专2哦(峻‘2 一 峪/磯一

dlnN、^)=0.(8.7.7)

В это уравнение не входят тепловые скорости частиц, поэтому его 9—953257

можно получить в модели независимых частиц или, что то же самое, исходя из уравнений двухжидкостной магнитной гидродинамики холодной плазмы.

Заметим, что если температуры электронов и ионов в плазме незначительно отличаются друг от друга, то скорости их гравитационного дрейфа одного порядка. Это позволяет упростить уравнение (8.7.7) и привести его к виду

1 _ 喝①岂 I 右；唸, 居 к(%-%) 唸 dlnN = °. (8.7.8) 胪 o/2 々2 q2 胪(①一ku?)(0)— kUf) Qf дх

Наконец, заметим, что обычно в плазме выполняется условие R》 》Lo, поэтому из (8.7.6) следует, что o»kua. Учитывая это, из (8.7.8) получаем

胪 Ю2胪 Ю2(8.7.9)(8.7.9)煬哈_"gamФ呢dlnN _ 0

胪 Ю2

胪 Ю2

(8.7.9)

(8.7.9)

胪 Q； 卧 g2Q： дх

где введено обозначение

Й'эфф= (v\i + v2s)/'R.(8.7.10)

Решение уравнения (8.7.8) приводит с точностью до членов порядка т/М к следующему локальному спектру колебаний плазмы:

厶2 OEM 3吟 2

®Фk十庭丁叱.

(8.7.11)(8.7.11)q）2=

(8.7.11)

(8.7.11)

胪（1 +^/,2）

Первое слагаемое в числителе этого выражения всегда отрицательно (так как d\nN/dx<Z0)f а второе — положительно. Однако для мод с 々2=0 второе слагаемое обращается в нуль, и в результате имеем спектр

din"

А2 ^эфф ~Z

炉=J < 0,(8.7.12)

々2 1 +球/С?

соответствующий гидродинамической неустойчивости плазмы. Это известная в физике плазмы желобковая неустойчивость. Действительно, при 々2=0 возмущения однородны вдоль силовых линий магнитного поля и имеют вид желобка. Часто ее называют также перестановочной, поскольку при развитии этой неустойчивости происходит перемещение плазмы поперек магнитного поля по всей длине силовой линии, как бы перестановка местами плазмы и магнитного поля.

Необходимо отметить, что время развития желобковой неустойчивости в установках для термоядерного синтеза весьма мало и составляет (Imo)-1^ VTJg^^ 10~5—10~6 с. Однако такая 258

неустойчивость может развиваться лишь при достаточно больших продольных размерах плазмы:

(8.7.13)(8.7.13)

(8.7.13)

(8.7.13)

Заметим, что с помощью выражения для диэлектрической проницаемости (8.7.5) можно описывать свойства неоднородной плазмы не только при наличии поля тяжести и связанного с ним гравитационного дрейфа частиц, но и во всех других случаях, когда имеется реальный дрейф частиц. Оно дает возможность правильно описывать поведение плазмы, в которой имеются пучки заряженных частиц, в частности плазму с током.

Рассмотрим неоднородную плазму с токам(Ue=u||oz, 山=0) во внешнем сильном продольном магнитном поле. Полем тяжести, связанным с кривизной силовых линий магнитного поля, для простоты пренебрежем. Ограничимся низкочастотными колебаниями в холодной плазме (гидродинамический предел), считая

йе » (0х » kz Уте, зДре； 3,財％t《2, (8.7.14)

где o/ = s——ku, а и ——скорость токового дрейфа электронов. При таких условиях из (8.7.5) нетрудно получить следующее уравнение эйконала:

峪（1 +峪（1 +句①:i kuIn① Q?co — kuдх句①:i kuIn① Q?co — kuдхг鍔1-г鍔1-脸脸(о)— ku)2(о)— ku)2=°,=°,

峪（1 +

峪（1 +

句①:i kuIn

① Q?co — kuдх

句①:i kuIn

① Q?co — kuдх

г鍔1-

г鍔1-

脸

脸

(о)— ku)2

(о)— ku)2

=°,

=°,

(8.7.15)

схожее с (8.7.8). Поэтому в пределе з》ки получаем из него локальный спектр, схожий с (8.7.11):

厶 I С dinN 一22 吟

一包 kuQf ——+kz o)£e —

炉 竺—.(8.7.16)

炉(1 + 或/С2)

Здесь также в числителе первое слагаемое может быть отрицательным и приводить к неустойчивости, второе же слагаемое всегда положительно и играет стабилизирующую роль. Легко показать, что неустойчивость возможна при выполнении неравенства

(8.7.17)(8.7.17)

(8.7.17)

(8.7.17)

т. е. при достаточно больших скоростях дрейфа электронов либо при больших продольных размерах плазмы.

Из неравенства (8.7.17) видно, что условия развития неустойчивости облегчаются с уменьшением магнитного поля. Это действительно так, но только до некоторого предела. Из условия о)2《 9* 259

《S22f следует, что эта неустойчивость может возникнуть лишь при полях, превышающих некоторое критическое поле, значение которого определяется неравенством

厶〜J IVLII丨句1 "厶〜J IVLII丨句1 "(8.7.18)(8.7.18)

厶〜J IV

LII丨句1 "

厶〜J IV

LII丨句1 "

(8.7.18)

(8.7.18)

Чем больше Ly, тем меньше критическое поле. Из неравенств (8.7.17) и (8.7.18) следует, что для развития неустойчивости продольный размер плазмы должен быть достаточно большим: 厶口/L丄>U М/m. Однако время развития неустойчивости составляет (Im(D)T~(MG〃/L||)T, чем короче система, тем оно меньше.

Рассмотренная неустойчивость получила в литературе название токово-конвективной.

Рассмотрим кратко вопрос о влиянии столкновений частиц на конвективные неустойчивости плазмы. Для этого прежде всего запишем выражение для тензора диэлектрической проницаемости столкновительной плазмы при наличии гравитационного или токового дрейфа частиц. Ограничимся для простоты случаем невырожденной слабоионизованной плазмы. Тогда искомое выражение для в (о, к, х) -получается из формулы (8.6.9), в которой, однако, следует произвести замену сот(о'=з—论廿〃ga， где uga—скорость гравитационного дрейфа частиц сорта а, либо sf g/=s—財〃а， где 〃а — токовая скорость. В итоге получаем уравнение эйконала

в (®, к,力)=1 + 2 aв (®, к,力)=1 + 2 a若了rj v

в (®, к,力)=1 + 2 a

в (®, к,力)=1 + 2 a

#0%[:s' _九Qa + i%n

лиXлиX

ли

X

ли

X

X 0- 2 ^——1—-(+

I 〃 s' + Rni% [(s'+i；%n)Qa ' дх

q' + i %九-吗向%aq' + i %九-吗向%a0.0.(8.7.19)(8.7.19)

q' + i %九-吗向%a

q' + i %九-吗向%a

0.

0.

(8.7.19)

(8.7.19)

Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим наиболее близкий к гидродинамическому случай, когда выполнены неравенства 6》8дра» |G>Z+iva| >^та|» (^iVTa)/Qa<l И Ve》o/》ku, Vi. При этом уравнение (8.7.19) после несложных, но громоздких вычислений можно привести к виду

磋 3 + ku hWt 爍^ = о, (8.7.20)

где a=8e02Le/ve — низкочастотная (статическая) проводимость плазмы.

260

Из (8.7.20) следует, что для желобковых мод, т. е. при малых значениях ^z, когда 泞J出工々Nd вторым слагаемым в этом уравнении можно пренебречь. В результате получаем локальный спектр, не зависящий от проводимости плазмы:

(8.7.21)

絕 1次

Верхний из этих спектров соответствует неустойчивым желоб- ковым колебаниям плазмы в поле тяжести, когда 〃彳=——^^-6?*, а нижний ——токово-конвективным колебаниям, жогда Ui=u6Zi. Легко видеть, что спектр (8.7.21) очень похож на спектры желоб- ковой и токово-конвективной неустойчивостей бесстолкновительной плазмы (8.7.12) и (8.7.16). Его можно считать продолжением этих спектров в область частот o<ve.

Уравнение (8.7.20) имеет неуетойчивые решения не только в случае сильно вытянутых вдоль магнитного поля возмущений же- лобкового типа, но та»кже в пределе коротковолновых возмущений, когда 归2丿力2丄》з/о. ТТри этом из (8.7.20) находим следующий локальный спектр:

! —1 ~： Й^эффг~

(8.7.22)(8.7.22)。吸磅 双。吸磅 双i% d ku同din" I 或 ° 磅 汝

(8.7.22)

(8.7.22)

。吸磅 双

。吸磅 双

c2 Qj ky d In N〃

Од 0 局 %

Здесь также верхний из спектров соответствует неустойчивым колебаниям плазмы в эффективном поле тяжести, а нижний — коротковолновой ветви токово-конвективной неустойчивости в столкновительной плазме. Эту неустойчивость в литературе называют также винтовой неустойчивостью замагниченной плазмы с током.

Задачи к гл. 8

Задача 8・I・ С помощью дисперсионного уравнения (8.4.46) найти спектр частот спиральных волн при АГ=М)Т/ 1—炉/叫 〃 сравнить его с локальным спектром.

Решение. Локальный спектр спиральных волн записывается в виде [ср.

е (5.2,17)]

⑴⑴论2dQ&I k2\

⑴

⑴

где 也2=儿2*+也2“+儿%, a SLe ——некоторая усредненная ленгмюровская частота электронов.

Из соотношения же (8.4.16) получаем

Л МС2 出 I Qe d# =

2①晚0

⑵

где(olo — ленгмюровская частота электронов в точке 尤=0, a %iV%。— поворота:

疗 玲+砌濟磋Q^

考脸①2

точка

(3)

Интегрирование (2) дает

I _(碍+庭)濟唠Q^ 2n №也I Q。

屮或0%。①脸

Отсюда находим спектр частот колебаний ((о>0):

⑷

⑸

Сравнение (1) и (5) показывает, что локальный спектр близок к точному при k2y-^k2z》紋 к?。胪常.

Задача 8,2. Исходя из уравнения (8.5.7) исследовать низкочастотные коротковолновые дрейфовые колебания бесстолкновительной неоднородной плазмы.

Решение. Коротковолновыми называют колебания с длиной волны меньше ларморовского радиуса ионов, т. е.々丄卩入彳》1. Будем при этом считать, что со

左丄Р^е《1 и От»《 — 《0те・ В однородной плазме в этих условиях колебания невозможны. В неоднородной же ллаэме из (8.5.7) получаем

8 (co，k %) = 1 4- ~~-( 1 + "- / —

依吟 \1/2冗々丄(0

脸(同守 d

依唸^ \^z\ vt e^i 汝

⑴

Учитывая .малость мнимого слагаемого, обусловленного черепковской цией на электронах, находим спектр ((o-xo+i6):

Те ^tz13 < N

①=_2^In —

北+北(1+胪总)"乐左丄дХ "案

дисоипа-

(2)

［北+з（1 +胪唱e）F 2出I々丄限Qt〈 dx"冗 八dх "冗丿

Таким образом, частота коротковолновых дрейфовых колебаний меньше дрейфовой частоты: (о〜①Др 《①др, а инкремент нарастания положителен и соответствует нарастающим колебаниям при условии

1+ 1 ain/v/yf；

2 д In NiyTi

>0,

которое выполняется практически всегда. Поэтому коротковолновая дрейфовая неустойчивость 'носит ун1иверсаль'ный характер; к тому же она развивается также в коротких системах, продольные размеры которых превышают лишь ларморовский радиус ионов.

Задача 8.3. Показать, что дрейфовые неустойчивости неоднородной плазмы можно стабилизировать перекрещенностью линий индукции магнитного поля (shear-'ом), обусловленной сильнонеоднородной поперечной компонентой магнитного поля 氏期⑺《В。%.

Решение. При 1наличии поле В。？ и ВОг следует ввести общее поле Во= =(0, ВОу, &Z), причем

左 И (%)=比飞~ + ky h Т- ky =尾 + М 6 (х). (О

В нулевом прибл!ижении геометрической оптики тензор диэлектрической прюницаемости неоднородной плазмы при нал弘中им shear-a, очевидно, имеет такой вид, как и в его отсутствие, если вместо kz подставлть k^ (х). Учитывая сильную неоднородность 6(%), можно заметить, что 々^minium%). Отсюда сразу находим условие стабилизации дрейфовых колебаний shear-ом. В бесстолкновительной плазме дрейфовая -неустойчивость возможна, если

① ①др и %力之 匂 8 % i. (2) К» MLq 11

При нарушении этих условий неустойчивость стабилизируется. Поэтому условие стабилизации дрейфовой неустойчивости беостолкн-ов^тельной плазмы shear-ом запишется в виде

е>(】 + ^)餐⑶

В обратном пределе частых столкновений дрейфовые неустойчивости возможны, если

s 憐 о)Др 立 祭-А 力普> 鮮| 4f 2 ^ & 喙.(4)

Следовательно, дрейфовая неустойчивость в столкновительной плазме стабилизируется shear-ом при условии

Задача 84. Исследовать конвективную неустойчивость неоднородной плазмы 6 пределе частых столкновений при наличии кривизны и перекрещенное- ти линий индукции магнитного поля, удерживающего плазму.

Решение. Согласно предыдущей задаче вводим k ц (х) по формуле (1) и записываем уравнение эйконала для конвективных колебаний в виде (см. § 8.7)

1 + -^) Пе0^(о2 + i(о^ у^ - т)80^ ^Эфф ^^ = 0> (О

где п='2/о, а=а(о2ье8оМ, a=l, Ve=ven для слабоионизованной плазмы и а= =1,96, ve=Vэфф для полностью ионизованной плазмы. Введем обозначения 0(х) =sx ，и новую переменную ^=x+s(kz/ky). Используя правило квантования, при этом получаем диспероионное уравнение

"& 一号一訝不念Г卜。n叁1H，西萨一咱2吟)].⑵

Здесь интегрирование ведется ио области прозрачности, в которой подынтегральное выражение положительно.

Пренебрегая неоднородностью плотности плазмы по сравнению с 'неоднородностью перекрещенности силовых линий 0(х) и считая s=const, из (2) получаем

/OlnN \

小一就需)+叫⑶

В случае слабой пере^рещенности силовых линий магнитного поля (s->0) отсюда находим известный спектр неустойчивых желобковых (конвективных) колебаний (см. § 8.7). В обратном же пределе большого shear-a появляется новая ветвь неустойчивых конвективных колебаний в области частот <о2<^

I dlnN I

《^эфф ―^—со спектром

4冗九2$2 t；*(1 +：^/с2)4冗九2$2 t；*(1 +：^/с2)

4冗九2$2 t；*(1 +：^/с2)

4冗九2$2 t；*(1 +：^/с2)

Таким образом, конвективная неустойчивость неоднородной плазмы в криволинейном магнитном иоле shear-ом не стабил1изируется. хотя инкремент ее нарастания падает с ростом s.

Задача 8.6. В рамках приближения геометрической оптики исследовать неустойчивость замагниченного прямолинейного релятивистского электронного пучка с неоднородным профилем направленной скорости (slipping ——неустойчивость) ・

Решение. Считая ленгмюровскую частоту пучка (OLe(%) малой по сравнению с ларморовской частотой Qe, ограничимся анализом продольных колебаний и запишем уравнение эйконала в нулевом приближении геометрической оптики:

4 +居(」名Ю+而击Qe(：Zz〃i…=。，⑴

⑵⑶⑵⑶Для определения локального спектра отсюда получаем

⑵

⑶

⑵

⑶

где g/uo~^z〃(x). Видно, что при условии kz Qe дх

электронный пучок может стать неустойчивым. Неоднородность плотности, одна ко, при этом иапрает стабилизирующую роль. Условие стабил(изации пучка записывается в виде

В противном случае пучок неустойчив. Эта неустойчивость получила название slipping — неустойчивости^ поскольку она обусловлена проскальзыванием раз- 264

личных слоев пучка относительно друг друга. Инкремент развития этой неус

тойчивости порядка

⑸⑸…下 /'\kxkvy3U д\пи I @Le 5е ь ц

⑸

⑸

6 = Im co *—— 含

f I ^Qe ^ I Y3/2?3/2 厶丄

Задача 8.6. Показать, что в сильно замагниченном холодном электронном пучке, имеющем неоднородный профиль направленной скорости, симметричные моды, колебаний с 也“=0 затухают из-за резонансного взаимодействия колебаний с электронным пучком (аналог затухания Ландау).

Решение. Уравнение эйконала для таких мод продольных колебаний

запишем в виде

磅十庭1 -磅十庭1 -=0.(СО —財〃 (％))2 .=0.(СО —財〃 (％))2 .В области частот (со—Лги)2«д2ьв получаем дисперсионное уравнениеВ области частот (со—Лги)2«д2ьв получаем дисперсионное уравнение山(%), лпd % =(0-电〃 (%) I后I山(%), лпd % =(0-电〃 (%) I后I⑵⑵

磅十庭1 -

磅十庭1 -

=0.

(СО —財〃 (％))2 .

=0.

(СО —財〃 (％))2 .

В области частот (со—Лги)2«д2ьв получаем дисперсионное уравнение

В области частот (со—Лги)2«д2ьв получаем дисперсионное уравнение

山(%), лп

d % =

(0-电〃 (%) I后I

山(%), лп

d % =

(0-电〃 (%) I后I

⑵

⑵

где п — целые числа, а интегрирование ведется по области прозрачности, которая определяется условием (ш—^z«)2C<o2l«. Пусть это условие выполняется во всеб области, занятой плазмой, |х| <а, причем на границе плазмы заданы недиссипативные граничные условия. Тогда в (2) интегрирование ведется по области —a<*va. При «нтегрироваФнии следует учитывать полкю u(x)^z=co, соответствующий резонансному взаимодействию волны с неоднородным электронным пучкам в точках, где скорость пучка совпадает с фазовой скоростью волны. Следствием подобного взаимодействия может оказаться поглощеиие волны в резонансных точках пучка.

Для пучка с однородной плотностью ^=const и неоднородной скоростыа u(x) =и0^М из (2) получаем

deа「①+儿"0 I in / 比〃0 -①

Отсюда находим условие применимости геометрической оптики:

Sl/》〃o・(4)

Из уравнения (F) следует, что в рассматриваемых условиях колебания возможны лишь в области частот <o>^zm0, когда мнимое слагаемое тождественно равно нулю и поглощение волны отсутствует. При этом спектр.колебаний

⑸⑸8 =月〃。dh 2(0^a一.

⑸

⑸

В области частот sc也z〃o вследствие сильного поглощения в резонансных точках колебания оказываются невозможными.

Иное положение имеет место, если неоднородна также плотность пучка. Пусть ^^^o ехр(—"x2/L20) и L2o<Ca2. Тогда из (2) получаем

丽IT丿=。■ ⑹

Лепко видеть, что в пределе SV尼z〃qLq/q из-за сильного поглощения в резонансных точках колебания в пучке иевоэможны. В области же частот(d^kzuQL0/a уравнение (6) приводит к следующему спектру слабозатухающих колебаний：

⑺

Рассмотренный механизм поглощения аналогичен черепковскому механизму поглощения волн, обусловленного тепловым движением частиц в плазме и приводящего к затуханию Ландау. В данном случае, однако, это поглощение существенно зависит от вида функции и(х).

Глава 9. ЛИНЕЙНЫЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

В ПРОСТРАНСТВЕННО ОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ

Поверхностные электромагнитные волны

в полуограниченной плазме

В предыдущей главе речь шла о коротковолновых электромагнитных колебаниях пространственно неоднородной плазмы, длина волны которых, во много раз меньше характерного размера неоднородности плазмы. Для описания таких колебаний плазму можно было считать практически неограниченной и воспользоваться приближением геометрической оптики. Рассмотрим обратный предельный случай, когда размеры неоднородности плазмы малы по сравнению с длиной волны или когда неоднородность плазмы является достаточно резкой по сравнению с длиной волны. Из всех возможных задач электродинамики плазмы с резкими неоднородностями исследуем лишь простейшие, а именно поверхностные электромагнитные волны в полуограниченной плазме, граничащей с вакуумом. Поверхностные волны представляют собой качественно новый тип электромагнитных колебаний ограниченной среды ——волны, бегущие вдоль поверхности среды и затухающие в направлении, перпендикулярном к ней.

Очевидно, что характер поверхностных волн существенно зависит от свойств поверхности плазмы, точнее, от граничных условий, которыми должны быть дополнены уравнения поля и о которых уже шла речь в § 2.1. Из большого многообразия различных моделей поверхности плазмы ограничимся только двумя, противоположными по своей физической природе. Первая из этих моделей обсуждается в настоящем параграфе и предполагает наличие у плазмы достаточно резкой поверхности, так что значения всех величин, имеющих размерность длины в плазме (длина волны, дебаевские и ларморовские радиусы частиц, длины их свободного пробега и т. п.), значительно превышают размер области изменения плотности у поверхности плазмы. Подобная ситуация имеет место, например, в газовой плазме, удерживаемой в стеклянном сосуде, электромагнитные свойства которого несущественно отли- 266

Рис. 34. Плоская граница раздела плазма ——вакуумРис. 34. Плоская граница раздела плазма ——вакуумчаются от свойств вакуума, либо в плазме твердого тела структура поверхности которой определяется кристаллической решеткой. Вторая же модель предполагает, что плазма удерживается сильным внешним магнитным полем, и поэтому поверхность ее представляет собой размытый слой толщиной порядка ларморовского радиуса частиц. Для поверхност-

Рис. 34. Плоская граница раздела плазма ——вакуум

Рис. 34. Плоская граница раздела плазма ——вакуум

ных волн длиной, намного большей ларморовского радиуса час

тиц, такую размытую поверхность

снтуаидаснтуаидахарактерна для высокотем- управляемого термоядернохарактерна для высокотем- управляемого термоядерноможно считать резкой. Эта

снтуаида

снтуаида

характерна для высокотем- управляемого термоядерно

характерна для высокотем- управляемого термоядерно

пературной плазмы в установках для

го синтеза, где с помощью магнитного поля осуществляется изо

ляция плазмы от металлических стенок установки и плазма оказывается пространственно ограниченной, граничащей с вакуумом. Эта модель поверхности плазмы будет изучена в следующем параграфе.

Анализ поверхностных волн в плазме с резкой границей ограничим случаем изотропной бесстолкновительной полупграничен- ной плазмы в отсутствие внешних электрического и магнитного полей, причем в качестве невозмущенной функции распределения частиц сорта а(а=е, 0 примем либо нерелятивистскую функцию распределения Максвелла

『7^$一签)，

если плазма невырождена, либо функцию распределения Ферми

(—-—ПрИ р V pFa = (3 №)1/3 匠 jV1/3

{ (2^)3' У 通 ，°口，(9.1.2)

(0 при р> /?Fa，

если плазма вырождена. Здесь %()« = const при 尤>0 (плазма, рис. 34) и М)魏=0 при %VO (вакуум). При этом решение кинетического уравнения для возмущения функции распределения

—+ (vv) б fa НЕ “纟色=0(9.1.3)

dtта 0v

без ограничения общности можно искать в виде

3% = 3九(х) exp (~ i(о/ + i Л2г),(9・1・4)

направив ось Oz вдоль составляющей волнового вектора, параллельной поверхности плазмы. В результате из (9.1.3) получаем — isbfa + i 財％6店十％ 警十=о・(9.1.5) дхdv

Для решения уравнения (9.1.5) необходимо задание граничного условия для 6fa (尤)ПРИ 无=0, т. е. на поверхности плазмы. Именно это условие должно содержать всю информацию] о характере взаимодействия заряженных частиц с поверхностью, ограничивающей плазму. Далее будем считать, что заряженные частицы, падая на эту поверхность, отражаются от нее зеркально. Это означает, что при 尤=0 выполняется условие

"а (0, % > 0) = 6 /а (0, % V 0).(9.1.6)

Кроме того, интересуясь поверхностными волнами плазмы (либо проникновением поля в плазму), будем считать, что электромагнитное поле Е и В затухает при удалении от поверхности плазмы.

Для решения уравнения (9.1.5) удобно представить

6 居(尤,％) = 6 広(%, %) + 6左(х, %),(9.1.7)

16 Ax (%, % v o).

Очевидно , что каждое из слагаемых 6f土а также удовлетворяет уравнению (9.1.5). Поэтому, учитывая, что 6尸《(%, %)~>0 при х-> + оо, находим

6片(招 %)=-- J d^E (炉)exp Гi 任二世((o- 也%).

(9.1.8)

Определим теперь 6/才(力,vx). Для этого (перепишем условие (9.1.6) в виде

6広(0，％) = 6左(0, -%)•(9.1.6а)

В результате из уравнения (9.1.5) находим

6柱(招%)=一斤 df E(%，) ехp [i 9評 X

X (s —財吗 + f d%‘E (Z) x

J о

X exp [i^±^l ®_財 ％)]}・(9.1.9)

Подставляя далее (9.1.8) и (9.1.9) в формулу для плотности тока

j(%)= W % J dpv3fa(v)= £&( J dpv6/++ J dpvb 左)， aa v >0

(9.1.10)

после несложных преобразований получаем

/»(%)= f 改[Ku(|%-%1)+K〃(l% + /|)]£j3)・(9.1.11)

Здесь

K"(l")=-W 至 J dp 曳取 exp「i 国®-財 .(9・1・12)

Теперь можно приступить к решению уравнений поля, которые в выбранной геометрии записываются в виде

， —\kzEyi(oB=. iEJ—券I 班I дх， —\kzEyi(oB=. iEJ—券I 班I дхi 叫 E + jM %i 叫 E + jM %-Su)dxJ-Su)dxJ(9.1.13)(9.1.13)

， —\kzEy

i(oB=. iEJ—券

I 班

I дх

， —\kzEy

i(oB=. iEJ—券

I 班

I дх

i 叫 E + jM %

i 叫 E + jM %

-Su)

dxJ

-Su)

dxJ

(9.1.13)

(9.1.13)

Эта система уравнений справедлива не только при %№ (плазма), но и при х<0 (вакуум), если положить j(х<0) =0, что следует из (9.1.11) и (9.1.12) при учете зависимости плотности плазмы от х.

Учитывая симметрию тензора К订(|%|), легко показать, что система уравнений (9.1.13) распадается на две независимые подсистемы для компонент полей Е^, Еи Ву и 力办 Bz, Еу соответственно. Последняя не допускает решений в виде поверхностных волн. Поэтому ограничимся здесь анализом уравнений для компонент поле Е%, Ez и Ву：

^^i 尾 £8 + i 色 B。= 0,]

d%i&% —is% Ех + % = 0, }(9.1.14)

炉 "-i s% 旦一jz = 0.

Граничные условия к этой системе, связывающие поля Е и В в вакууме и плазме, находим путем интегрирования уравнений (9.1.14) по бесконечно узкому переходному слою вблизи границы раздела плазма — вакуум. Как следствие ограниченности поле Е и В и плотности тока j, получаем обычные электродинамические граничные условия — непрерывность тангенциальных компонент полей Е и В при %=0:

{Е z} х=о= {^у} х=о=0, (9.1.15)

где введено обозначение {А}Х^=А (х-^+0)—Л (х->—0).

Для решения сформулированной граничной задачи воспользуемся следующим математическим приемом: распространим урав-

нения (9.1.14) в область х<0, приняв

(9.1.16)(9.1.16)(9.1.17)(9.1.17)Ех (%) = 一 £工(一 ％)，2畋(一%) = 7VOa (x),

(9.1.16)

(9.1.16)

(9.1.17)

(9.1.17)

邑⑶А旦(-尤)，%(%)= -当(一%).

При этом во всей области ——оо&х& + оо имеем

00Л

厶(%)= j d£ Sj(|%-£|)£j(N),

где

(9.1.18) представляет собой тензор, связывающий j (%) и Е(х) в пространственно неограниченной изотропной плазме, а его Фурье-образ

О и(0), k) - j dx 応 j(|%|)efd =

=—1 S — a a=—1 S — a adp— о)— kvdp— о)— kv(9.1.19)(9.1.19)

=—1 S — a a

=—1 S — a a

dp— о)— kv

dp— о)— kv

(9.1.19)

(9.1.19)

совпадает с тензором проводимости изотропной плазмы (4.1.8). Таким образом, материальное уравнение

А(к)=о订(со, к)Е“к),А(к)=о订(со, к)Е“к),(9.1.20)(9.1.20)

А(к)=о订(со, к)Е“к),

А(к)=о订(со, к)Е“к),

(9.1.20)

(9.1.20)

связывающее Фурье-компоненты плотности тока и напряженности электрического поля, для полуограниченной плазмы в случае зеркального отражения частиц от ее поверхности имеет тот же вид,- как и для пространственно неограниченной изотропной плазмы. Это и понятно, поскольку при зеркальном отражении частиц от поверхности плазмы характер движения частиц такой же, как в неограниченной плазме, а поэтому возмущение, возникающее в системе под действием электромагнитного поля, не зависит от наличия поверхности.

Следует отметить, что при использовании продолжения (9.1.16) компоненты Ех и Ву (нечетно продолженные) претерпевают скачок при % = 0. В этом легко убедиться, подставив (9.1.17) в систему (9.1.14) и проинтегрировав по узкому слою вблизи % = 0. В то же время если исходить из выражения (9.1.11) и считать / (х) =0 при %V0, то интегрирование системы (9.1.13) по переходному слою вблизи поверхности плазмы приводит к условию непрерывности тангенциальных компонент полей Е и В при х = 0, что отражено в граничных условиях (9.1.15). Этот факт вполне естест- 270

венный, поскольку системы (9.1.14) и (9.1.17) справедливы только в области плазмы при %》0, а используемое продолжение —— лишь математический прием для решения этой задачи. С другой стороны, отмеченный факт нужно учитывать при решении уравнений поля (9.1.14), которые при подстановке выражений для плотности тока (9.1.17) представляют собой систему интегродиффе- ренциальных уравнений с разностным ядром. Такую систему следует решать с помощью преобразования Фурье

А^= f d 晨 (砌，

(9.1.21)(9.1.21)

(9.1.21)

(9.1.21)

учитывая возможные скачки величин Ех и Ву при % = 0.

Произведя преобразование Фурье в системе (9.1.14), учитывая при этом непрерывность функции Ez(x) и разрывность функции Ву(х) в точке %=0, получим алгебраические уравнения:

i 般旦 ^ -ikzEx 也)+ i з 当(&) = О,

炉 ％ i kz B& (晨)一 i з% Ez (焼)+ 厶(&) = 0,. (9」.22)

i焼当他“)一丄与(% = 0) + 1^旦优L(焼)=0■

EAk^-^Bv^}^EAk^-^Bv^}^Отсюда находим

EAk^-^Bv^}^

EAk^-^Bv^}^

eZ(0),力) e2 力2 —① 1 e"(①，力)j

(9.1.23)

Здесь 伞2 =归2先 +力%, a e"(co, k) и e%(s,笈)——соответственно продольная и поперечная диэлектрические проницаемости изотропной плазмы, определяемые выражениями (4.1.14).

Подставляя (9.1.23) в формулу для преобразования Фурье (9.1.21), определим так называемый поверхностный импеданс по- луограниченной изотропной плазмы:

^пл^пл%。2%。2& (0)By (0)& (0)By (0)

^пл

^пл

%。2

%。2

& (0)

By (0)

& (0)

By (0)

Аналогично можно решить систему уравнений (9.1.14) для вакуума, т. е. при j(x)=O. Здесь только следует продолжать поля Е и В по формулам (9.1.16) в область %>6. В результате находим поверхностный импеданс вакуумного полупространства:

7 о £纟(°)丄вак " F7 о £纟(°)丄вак " F1.1.(9.1.25)(9.1.25)

7 о £纟(°)丄вак " F

7 о £纟(°)丄вак " F

1.

1.

(9.1.25)

(9.1.25)

Эту формулу можно также получить из (9.1.24), положив 8z=efr— =1.

Теперь можно воспользоваться граничными условиями (9.1.15} и приравнять 2цЛ =——ZBaK. Это равенство и представляет собой искомое дисперсионное уравнение для поверхностных волн в полу- ограниченной изотропной плазме:

/ ^|£ _ 1 +( 播 С" __磅С2 ,

У 炉№ ，火I①2/(明k)胪虑-炉山®,七

(9.1.26)

В пределе с->8 отсюда получаем дисперсионное уравнение для продольных (потенциальных) поверхностных волн в полуограни- ченной плазме:

1+ — 7 d々呼依 zl. _ о.(9.1.27)

冗 0^ 8Z (GJ, k)

Перейдем к анализу спектров частот поверхностных электромагнитных волн в полуограниченной плазме. Начнем с холодной плазмы, полностью пренебрегая тепловым движением частиц. Учитывая, что при этом

d=酬=£(3)=1一告，(9.1.28)

из общего дисперсионного уравнения (9.1.26) получаем

/修炉+8窘一心+ ( 1 一 .^L^/舄炉一游=0.(9.1.29)

Отсюда видно, что поверхностные волны в полуограниченной холодной изотропной плазме существуют лишь в области частот sVcoLe, причем их фазовая скорость всегда меньше скорости света: (со/点z)Vc Общее решение уравнения (9.1.29) представлено графически на рис. 35. Штриховое продолжение дисперси» онной кривой на этом рисунке соответствует области частот, в которой существенным становится ^тепловое движение электронов (①〜 々хите) и колебания становятся сильно затухающими. Аналитическое решение легко записать в предельных случаях длинных и коротких волн:

恥 3&( ^2С2 при 々“2《哈，

Рис. 35. Спектр частот поверхност-I 2j 2、八2

ных электромагнитных волн1sLe，

в полуограниченной холод- ной плазме(9.1.30)

В длинноволновом пределе фазовая скорость поверхностных волн близка к скорости света и колебания с хорошей степенью точности поперечны, в то время как в коротковолновом пределе их фазовая скорость мала по сравнению со скоростью света и колебания почти продольны (потенциальны). Потенциальность коротких (медленных) поверхностных волн в холодной плазме подтверждается и решением уравнения (9.1.27), которое в этом пределе принимает вид

£®)=1——= -1(9.1.31)

(О2

и имеет решение, тождественно совпадающее со вторым решением (9.1.30)'.

Ранее полностью пренебрегалось тепловым движением частиц, а вместе с тем и бесстолкновительным черенковским затуханием поверхностных волн. Очевидно, что наиболее сильно затухают медленные волны, являющиеся с хорошей степенью точности продольными. Поэтому для определения бесстолкновительного затухания поверхностных волн ограничимся анализом уравнения (9.1.27). Точно это уравнение удается проанализировать только путем численного интегрирования. Однако проанализируем его приближенно, представив в области 9》кАте в виде

2-4-+i /А 闷 f 吋 exp (-=0. (9.1.32)

При получении этого соотношения была учтена малость мнимых слагаемых в (9.1.27), обусловленных черенковским поглощением поверхностных волн электронами плазмы. Если теперь учесть, что при з》^20те основной вклад в интеграл (9.1.32) дает область больших значений йх, то с хорошей степенью точности под интегралом можно заменить k на kx. В результате интегрирование проводится до конца и из уравнения (9.1.32) получаем

2 —今(l — 2i J专=0.(9.1.33)

Отсюда, как и следовало ожидать, для спектра частот продольных поверхностных колебаний получаем выражение (9.1.30), а для декремента затухания (co-xo + ifi) находим

6=一 1/^间限(9.1.34)

Следует обратить внимание на то, что затухание высокочастотных продольных поверхностных волн в отличие от объемных ленгмюровских волн (см. гл. 4) не экспоненциально мало, хотя их фа-

зовая скорость намного больше тепловой скорости электронов. Указанное обстоятельство является следствием того, что в области частот (o》^zUTe резонансное взаимодействие частиц с волной имеет место при 3 =厶6^, а поскольку для поверхностных волн, согласно (9.1.27), ^х принимает сколь угодно большие значения (в частности, 々л：>з/ите), в их поглощении принимает участие основная масса электронов, а не только экспоненциально малая доля частиц, как в случае объемных ленгмюровских волн в пространственно неограниченной плазме.

Не представляет труда учесть бесстолкновительную черенков- скую диссипацию высокочастотных продольных поверхностных волн и в вырожденной электронной плазме. Для этого необходимо исходить из выражения для продольной диэлектрической проницаемости вырожденной плазмы (4.3.1), подставив его в уравнение (9.1.27). В результате в области частот(o》^zUFe получаем [ср. с (9.1.33)]

2-逑^ ( 1-i —竹LN ) = 0. (9.1.35) 0)2 \ 4 (0 /

Спектр частот продольных поверхностных волн в вырожденной плазме в этой области не отличается от спектра частот таких же волн невырожденной плазмы. Что же касается декремента затухания ((o->co + i6), то для него из (9.1.35) получаем

6 HI 財 |0Fe・ (9.1.36)

Здесь еще более выраженным является отличие характера бесстолкновительного поглощения поверхностных волн от поглощения объемных волн. Дело в том, что, как было показано в § 4.3, высокочастотные объемные волны в вырожденной плазме в бесстолкновительном пределе вообще не затухают, поскольку их фазовая скорость больше скорости Ферми и электроны не могут взаимодействовать с ними. Числовой расчет декремента затухания вместо коэффициента 3/8 дает значение 0,021. Более того, численное интегрирование дисперсионного уравнения (9.1.27) для вырожденной плазмы позволяет учесть и тепловую поправку к спектру частот (9.1.30). В результате имеем

з= +0,4用。殷，3= -0Q21 网 “е・ (9.1.37)

Спектр этот представлен на рис. 36.

Перейдем теперь к изучению поверхностных ионно-звуковых волн в полуограниченной изотропной плазме. Как было показано в § 4.2, объемные ионно-звуковые волны в неограниченной плазме существуют лишь в случае сильной неизотермичности, когда Те》「з Это требование сохраняется и для поверхностных волн. Так же как и объемные, поверхностные ионно-звуковые волны 274

Рис. 36. Спектр частот поверхностных продольных ВОЛН 3 вырожденной полуогра- ниченной плазме

Рис. 37. Спектр частот поверхностных ионно-звуковых волн в полуограниченной плазме

являются продольными и описываются дисперсионным уравнением (9.1.27), причем для невырожденной плазмы

£，(s,k)=l—牛十丄+ i(9.1.38)

со2力2，2论〜/

Поскольку 々ите》<о》^0тз можно ограничиться учетом лишь че- ренковской диссипации на электронах плазмы, полностью пренебрегая тепловым движением ионов.

Уравнение (9.1.27) при подстановке выражения (9.1.38) и интегрирования по kx окончательно сводится к виду

1

不唸小泡M 阿・39) где 厶= VTeM а ^=1——з2и/з2. Хотя входящий в это уравнение интеграл и вычисляется в элементарных функциях, для дальнейшего анализа спектров поверхностных ионно-звуковых волн его удобнее оставить в таком виде.

Мнимое слагаемое в уравнении (9.1.39), обусловленное черепковской диссипацией волн на электронах плазмы, мало по сравнению с действительным. Поэтому в первом приближении им можно пренебречь. При этом сразу же заключаем, что поверхностные ионно-звуковые волны возможны лишь в области частот, в которой

т. е. (o2<(o2li. Из действительной части уравнения (9.1.38) находим спектр частот колебаний, а при учете мнимого слагаемого —

декремент их затухания. В общем случае формулы для ® и 6 (напомним, что cofs + ib) довольно громоздки, но принимают простой вид в предельных случаях длинных (J^^s^a^Li) и коротких (^2гУ2зЗ>О2Ьг) поверхностных ВОЛН：

产泣 при ^^<^

I说骏при底峻》说小

—Мg器 ПРИ咫磋《°ы •

-T /备 爵"叩11展碍》也,•

Зависимость частоты о от kzvs для поверхностных ионно-звуковых волн в полуограниченной изотропной плазме представлена на рис. 37.

В заключение заметим, что описанная картина распространения поверхностных ионно-звуковых волн в неизотермической газовой плазме качественно сохраняется и в вырожденной плазме в области частот hvTt《s《fwFe. Действительно, в этих условиях для продольной диэлектрической проницаемости справедливо выражение (см. § 4.3)

(9.1.41)(9.1.41)

(9.1.41)

(9.1.41)

Это соотношение подобно (9.1.38). Поэтому сохраняют свой вид и соотношения (9.1.39), (9.1.40), если только под и2s понимать v2s = v2Fe —, а мнимые слагаемые в них (в частности, 6) домно- жить на р冗/2.

Логически теперь следовало бы исследовать поверхностные волны в замагниченной плазме с резкой границей, с характерным размером неоднородности границы, меньшим ларморовских радиусов частиц. При условии зеркального отражения частиц от поверхности плазмы общее дисперсионное уравнение для поверхностных волн замагниченной плазмы подобно уравнению, полученному для плазмы； в отсутствие магнитного поля. Однако вывод его довольно громоздок и связан с нахождением обратного тензора диэлектрической проницаемости. Поэтому не будем анализировать общий случай, а ограничимся рассмотрением только ква- зипродольных волн, электрическое поле которых с хорошей степенью точности является потенциальным. Это рассмотрение перенесем в следующий параграф, где исследуется устойчивость поверхностных волн в плазме, удерживаемой сильным магнитным полем.

§ 9・2・ Неустойчивость границы плазмы, удерживаемой магнитным полем

Исследуем полуограниченную плазму, удерживаемую сильным магнитным полем, параллельным поверхности плазмы и направленным вдоль оси On. Неоднородность такой границы плазмы обладает характерным размером, намного превышающим ларморовские радиусы частиц. Эту границу будем считать расположенной вблизи плоскости 尤=0 (рис. 38). Для простоты столкновениями заряженных частиц в плазме пренебрежем, предполагая выполненными неравенства ◎«》▽«, где а=е, i. Не возмущенную электромагнитным полем колебаний функцию распределения частиц сорта а при этом находим так же, как это было сделано в § 8.3:

5= (1+ 审F°aG)， (921)

где 尸о。(器，％) определяется либо функцией распределения Максвелла (9.1.1), либо функцией распределения Ферми (9.1.2), но с зависящими от 尤 температурой и плотностью частиц.

В отличие от гл. 8, где плазма считалась плавно неоднородной, здесь плазма неоднородна в узком слое вблизи плоскости 尤=0 (поверхность плазмы). В этом слое и проявляется отличие функции распределения (9.2.1) от максвелловской, и именно здесь локализованы диамагнитные токи, обусловленные ларморовским вращением частиц в пространственно неоднородной плазме. Как было показано в § 8.5, диамагнитные токи могут стать причиной возбуждения в области неоднородности плазмы коротковолновых (по сравнению с размером неоднородности) дрейфовых колебаний, описываемых в рамках приближения геометрической оптики. В дальнейшем будет показано, что диамагнитные токи могут возбуждать также колебания с длиной волны, значительно большей размера неоднородности границы плазмы. Это поверхностные

Рис. 38. Плоская граница плазмы, удерживаемая внешним продольным магнитным полемРис. 38. Плоская граница плазмы, удерживаемая внешним продольным магнитным полемволны, затухающие в глубь плазмы.

Рис. 38. Плоская граница плазмы, удерживаемая внешним продольным магнитным полем

Рис. 38. Плоская граница плазмы, удерживаемая внешним продольным магнитным полем

Для поверхностных волн границу плазмы можно считать бесконечно тонкой и диамагнитные токи рассматривать как граничные условия к уравнениям электромагнитного поля. Задачей исследования, таким образом, является вывод уравнений поля и граничных условий к ним, учитывающих неоднородность поверхностного слоя плазмы и возникающие в нем диамагнитные токи.

Сформулированную задачу будем решать на примере продольных (потенциальных) волн, поскольку в случае удержания плазмы магнитным полем магнитное давление намного превышает газодинамическое и колебания плазмы с хорошей степенью точности можно считать потенциальными. По этой же причине, как и в гл. 8, будем пренебрегать неоднородностью магнитного поля по сравнению с неоднородностью плазмы.

При указанных ограничениях кинетическое уравнение для неравновесной добавки к функции распределения, (9.2.1), зависящей от времени и координат как

й/е = 6九(％) exp {—i^t + xkyy^-ikzZ),(9.2.2)

записывают в виде

® —屈旳一財 ％) 8fa + ivx — i й«@ E •

(9.2.3) Здесь E ——потенциальное поле возмущений, Е =——▽①.

Решение уравнения (9.2.3) находим путем интегрирования по характеристике (см. § 8.3)

y±sin q)+ Qax=const.(9.2.4)

При этом

= 一丄『dq/ a①(£)xma Qa -°v

X exp fd屮"(co一力丄 u丄 sin 屮"一財%) .(9.2.5)

L QaJ

Здесь %1 x, q/ и ср связаны между собой соотношением характеристики (9.2.4).

Подставляя решение (9.2.5) в формулу для плотности заряда Р(х)= W f 6/adp(9.2.6)

а

и используя уравнение Пуассона

А①=一迪，(9.2.7)

после довольно громоздких вычислений (подобных проведенным в § 8.3) окончательно получаем в случае невырожденной плазмы следующее уравнение для потенциала, поля колебаний:

AФ- W f d晨①回)e修冬卜一W X

а唸 s ST%

TUC)}，(928)

где

々：唸 d。

Q厂，技

。1 叫 I "a 0

дхдх дТл

Оператор dQ/dx действует на все стоящие справа от него величины.

Следует отметить, что уравнение (9.2.8); пригодно во всем пространстве как в плазме (область х^О), так и в вакууме (область %之0). Поэтому оно не требует задания специальных граничных условий, их можно получить путем интегрирования самого уравнения (9.2.8) по физически бесконечно узкому переходному слою вблизи поверхнос1и плазмы, малому по сравнению с длиной волны поверхностных волн.

Анализ уравнения (9.2.8) начнем с холодной плазмы, когда диамагнитными токами в поверхностном слое можно полностью пренебречь. Другими словами, рассмотрим колебания с фазовой скоростью, намного большей тепловых скоростей частиц, и с длиной волны, значительно превышающей их ларморовские радиусы. В уравнении (9.2.8) при этом следует перейти к пределу Т—0. В результате получим

2％=0.

a CO(0)2 — Qa)

(9.2.9)

Это уравнение не зависит от вида функции распределения частиц и поэтому справедливо как для невырожденной, так и для вырожденной плазмы. Кроме того, в указанном приближении холодной плазмы, как отмечалось, полностью пренебрегается диамагнитными токами в поверхностном слое, не говоря уже о том, что сам поверхностный слой вместе с ларморовским радиусом частиц стремится к нулю. Поэтому уравнение (9.2.9) пригодно для описания колебаний плазмы со сколь угодно резкой границей, в частности для плазмы, удерживаемой стенками реального диэлектрического сосуда (стекла).

В объеме плазмы (при х^О), где плотность можно считать однородной, из уравнений (9.2.9) имеем

(9.2.10)

В вакууме же (при %＜；0) уравнение (9.2.9) сводится к уравнению Лапласа

ДФ2 = 0.(9.2.11)

Наконец, граничные условия, связывающие Ф1 (х) и ①2 (%) на поверхности раздела плазма — вакуум, т. е. при 尤=0, получаемые путем интегрирования уравнения (9.2.9), записывают в виде

{①} %=0 = 0,

+缶L=°・（9・2」2）+缶L=°・（9・2」2）

+缶L=°・（9・2」2）

+缶L=°・（9・2」2）

Теперь, когда известны уравнения поля в области 尤^0 и х<0 и граничные условия к ним, можно решить эти уравнения и сшить полученные решения. В результате имеем

гдегдеR (%) = & 吗R (%) = & 吗① 2 (%) = c2 eXр "砂+ 用力),① 2 (%) = c2 eXр "砂+ 用力),2丄=1 Wа2丄=1 Wа(9.2.13)(9.2.14)(9.2.13)(9.2.14)

где

где

R (%) = & 吗

R (%) = & 吗

① 2 (%) = c2 eXр "砂+ 用力),

① 2 (%) = c2 eXр "砂+ 用力),

2丄=1 W

а

2丄=1 W

а

(9.2.13)

(9.2.14)

(9.2.13)

(9.2.14)

Подставив эти решения в граничные условия (9.2.12), получим систему однородных алгебраических уравнений для постоянных Ci и С2, условие разрешимости которой представляет собой искомое дисперсионное уравнение для поверхностных волн в полуогра- ниченной плазме с резкой границей:

£丄］/碍+您~^ +再g + M尹砂=0・(9.2.15)

Здесь

g= W―(9216)

В отсутствие магнитного поля, когда Qa~>0, из (9.2.15) находим дисперсионное уравнение для продольных поверхностных волн в полуограниченной изотропной плазме (9.1.31), спектр частот которых определяется вторым выражением (9.1.30). Внешнее магнитное поле, параллельное поверхности плазмы, существенно меняет найденный спектр частот, если Qe ^(о =(ои/1^2. Так, для мод с ky = 0 в чисто электронной плазме поверхностные волны, согласно (9.2.15), существуют лишь при 炉^〉^ и в области частот ①?Le> >g2>02e・ Спектр частот поверхностных волн при этом определяется соотношением

炉=十(8入 +出)，(9.2.17)

При ^#=0 оказывается возможным существование поверхностных волн и в области частот(o<Qe. Так, например, для желобковых мод 々z = 0 в случае чисто электронной плазмы из уравнения (9.2.15) находим

& =缶 &土子 М妈+ 2峭■・(9.2.18)

Отсюда видно, что низкочастотные поверхностные волны возможны В СИЛЬНЫХ магнитных ПОЛЯХ, когда Q2e»(O2Le, причем (О ^ 02Le/Qe-

Не представляет большого труда проанализировать уравнение (9.2.15) и в области низких частот соСсоы, когда существенным становится учет движения ионов. Прежде всего отметим, что в области самых низких частот s《Qe сильно замагничены как электроны, так и ионы плазмы, при этом g->0, а е丄 >0. В результате уравнение (9.2.15)； решений не имеет, т. е. поверхностные волны в холодной сильно замагниченной плазме с резкой границей в области частот(о《5 не существуют; они возможны лишь в области частот s2 Q±・ Действительно, в низкочастотной области £“》£丄 и из уравнения (9.2.15) для волн, распространяющихся не строго поперек магнитного поля (々z*0), находим

(д2 — ^2Ъг + ^2г-(9.2.19)

При 々z = 0 (желобковые моды) спектр низкочастотных волн определяется соотношением

Из проведенного анализа видно, что е холодной бесстолкновительной замагниченной плазме 8 условиях полного пренебрежения тепловым движением частиц поверхностные волны плазмы с резкой границей всегда устойчивы. Более того, учет столкновений частиц приводит к их затуханию (см. задачу 9.3). В этом нет ничего удивительного, поскольку в рассматриваемом приближении полностью пренебрегается диамагнитными токами в неоднородном поверхностном слое плазмы, которые могут привести к раскачке колебаний.

Картина качественно меняется при учете конечной температуры плазмы, а вместе с ней и конечного ларморовского радиуса частиц. При этом, кроме того, что вступают в силу диссипативные эффекты, обусловленные бесстолкновительным черепковским поглощением и излучением волн частицами плазмы, существенными становятся диамагнитные токи в неоднородном поверхностном слое плазмы, которые могут оказаться причиной неустойчивости поверхностных волн плазмы. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим уравнение (9.2.8) в области низкочастотных(3《％) и длинноволновых (A2e v2TaCQ2a) колебаний. Разлагая функции As^z^ по степеням 2а и ограничиваясь в сумме по циклотронным гармоникам

членом с s = 0, из интегродифференциального уравнения (9.2.8) получаем дифференциальное уравнение второго порядка*:

Ф +

со

(9.2.21)

При выводе этого уравнения было принято еще одно упрощающее допущение, а именно 丄《々Zzi^i.

Граничные условия для потенциала Ф получают путем интегрирования уравнения (9.2.21) по переходному слою вблизи границы плазмы так же, как это было сделано ранее. В результате имеем

{①} к=0=0,

Теперь, когда получены граничные условия, можно уравнение (9221) в следующем виде: для плазмы (х^О, 0)=①i)

А①2 = 0.

для вакуума (xVO, Ф = Ф2)

(9.2.22)

записать

(9.2.23)

(9.2.24)

Решения этих уравнений, затухающие при х->±оо, соответственно

имеют вид

где

Ф1 (х) = Схе-^,①zfeW^Y

炉二稣+上士"1 + 2 士

(9.2.25)

(9.2.26)

* Следует отметить, что в П|р1йближении геометрической оптики из уравнения (9.2.8) получаем уравнен-ие эйконала (8.5.6), которое в низкочастотном пределе сводится к (8.5.7).

282

Подставив решения (9.2.25) в граничные условия (9.2.22), получим систему однородных алгебраических уравнений для постоянных Ci и С2, условие разрешимости которой представляет искомое дисперсионное уравнение для поверхностных волн в полуогра- ниченной плазме с учетом диамагнитных токов на ее поверхности:

++о?

+

+

1+

a Qa

(9.2.27)(9.2.27)+ У^ПГ=о.

(9.2.27)

(9.2.27)

Приступая к анализу дисперсионного уравнения (9.2.27), прежде всего заметим, что поверхностные волны возможны лишь в области частот, где х2>0; при этом в области частот (o》^z0Te тепловым движением частиц можно пренебречь и уравнение (9.2.27) переходит в (9.2.15). В этом пределе пренебрегается также диамагнитными токами на поверхности плазмы и, как следует ожидать, колебания не нарастают во времени. Как подчеркивалось, учет диамагнитных токов может привести к раскачке поверхностных колебаний. Чтобы убедиться в этом, исследуем решения уравнения (9.2.27) в области частот 々zUtg《3《^zUt?, в которой существенны эффекты, обусловленные тепловым движением электронов. Из уравнения (9.2.27) в этой области частот получаем

(1 +萨)乂十普(1 + iJ 子^+

工(9.2.28)

Для мод с 依у》胪z при условии g)2lu》Q% (которое, как правило, с большим запасом выполнено в реальной плазме, удерживаемой магнитным полем) из уравнения (9.2.28) находим следующий спектр слабонарастающих колебаний ((o-^(o+i6):

3 = 3=]Л|^;・ (9.2.30)

Отсюда следует, что в полуограниченной плазме, удерживаемой магнитным полем, под действием диамагнитных токов в неоднородном поверхностном слое происходит раскачка поверхностных ионно-звуковых волн, распространяющихся вдоль границы плазмы под большим углом к магнитному полю и убывающих в глубь плазмы с характерным пространственным масштабом порядка ^s/Qz. В сильно неизотермической плазме с Те》Те этот масштаб

во много раз превышает ларморовский радиус ионов и размер неоднородности плазмы.

В заключение заметим, что неустойчивости поверхностных волн для проблемы магнитного удержания могут оказаться более опасными, чем дрейфовые неустойчивости, поскольку последние приводят к возбуждению в плазме коротковолновых колебаний, локализованных в неоднородном слое вблизи поверхности плазмы, в то время как неустойчивые поверхностные волны могут охватывать значительно более глубокие слои плазмы. Это особенно ярко проявляется при наличии тока в плазме либо гравитационного дрейфа, обусловленного кривизной силовых линий удерживающего магнитного поля (см. задачу 9.6).

Плазменный волновод

Если ранее речь шла о полуограниченной плазме, то здесь рассмотрим пример ограниченной в пространстве плазмы, а именно плазменный цилиндр радиуса г0, окруженный металлическим кожухом радиуса RRr。(рис. 39). Всю систему поместим в продольное магнитное поле Во, вдоль которого и направим ось Ол Плазму будем считать однородной с резкой границей, т. е. распределение частиц по скоростям примем в виду функции распределения Максвелла (9.1.1) либо функции распределения Ферми (9.1.2), в которых

必⑺=产L const при(9.3.1)

【0при 7 > 广丁

Такой равновесной функцией распределения, однако, как отмечалось, можно пользоваться лишь в условиях, когда плазма удерживается твердой непроницаемой для частиц стенкой. Если же удержание плазмы обеспечивается продольным магнитным полем, то для определения равновесной функции распределения частиц следует решать кинетическое уравнение, считая плазму неоднородной по радиусу и сильно замагниченной, £2冢》丫《:

cos (ф-屮)。丄-^"一 Qa~^ + sin (中一吻学器=0.(9.3.2)

Рис. 39. Плазменный волноводРис. 39. Плазменный волноводЗдесь использована цилиндрическая система координат как по скоростям, v = =(и丄，ф, Uz)， так и по пространственным координатам, 『=(г,屮，2)・

Рис. 39. Плазменный волновод

Рис. 39. Плазменный волновод

(9.3.3)(9.3.3)Общее решение уравнения (9.3.2) является произвольной функцией его характеристик, в частности

(9.3.3)

(9.3.3)

C^rvL sin (屮一屮)+ frdr % &)・

Записав решение в виде foa(^a> Са) и полагая характерный размер неоднородности плазмы большим по сравнению с ларморовским радиусом частиц, находим [ср. с (9.2.1)]

% (%，Са) = ( 1 + 厶也尸).А) р^а, г). (9.3.4)

Здесь в качестве 尸оа (&а , г) можно взять функцию распределения Максвелла либо Ферми, но с неоднородной плотностью и температурой частиц.

Найденная равновесная функция распределения (9.3.4) позволяет исследовать малые колебания плазменного цилиндра, не полностью заполняющего металлический волновод. Для изучения таких колебаний примем все неравновесные величины зависящими от времени и координат в виде

А =Л (г) ехр (—i(o/+iZ *+i 也衣)・ (9.3.5) Тогда для малой неравновесной добавки к функции распределения (9.3.4) в бесстолкновительной плазме имеем

i (®fz-%sin%)6fa-%cos%*^± +

+ (% + )餐=孑{Е + [V В]}需 (9.3.6)

где Е(г) и В (г) — электрическое и магнитное поля колебаний, а *=屮一叩

Характеристика уравнения (9.3.6), как и уравнения (9.3.2), дается соотношением (9.3.3). Поэтому общее решение, принимая магнитное поле для простоты однородным по сечению плазмы, можно записать в виде

"M^fdM a 8"M^fdM a 8,{EB) + VB(Q]}g^y,{EB) + VB(Q]}g^yXexp"d『Xexp"d『1+。丄婀匕«%) s —Mz —f sin%")1+。丄婀匕«%) s —Mz —f sin%")1+о丄 sin 父7 (% С1+о丄 sin 父7 (% СXX(9.3.7)(9.3.7)

"M^fdM a 8

"M^fdM a 8

,{EB) + VB(Q]}g^y

,{EB) + VB(Q]}g^y

Xexp"d『

Xexp"d『

1+。丄婀匕«%) s —Mz —f sin%")

1+。丄婀匕«%) s —Mz —f sin%")

1+о丄 sin 父7 (% С

1+о丄 sin 父7 (% С

X

X

(9.3.7)

(9.3.7)

Величины 产，/*〃 и %z в этой формуле связаны с г, % и %〃 уравнением характеристики (9.3.3).

Подставляя выражение (9.3.7) в формулу для плотности тока

2 W%Jdpv"a，(9・3・8)

получим материальное уравнение, связывающее j (г) с электрическим полем Е(г) интегральным соотношением. В нулевом приближении геометрической оптики это материальное уравнение определяет тензор проводимости, а следовательно, и тензор диэлектрической проницаемости, аналогичный (8.3.22) (для невырожденной плазмы) и (8.3.29) (для вырожденной плазмы) с заменой

(9.3.9)(9.3.9)左川/г,

(9.3.9)

(9.3.9)

учитывающей цилиндрическую геометрию. Естественно, все выводы о дрейфовых колебаниях неоднородной бесстолкновительной плазмы, полученные в предыдущей главе, с учетом замены (9.3.9) сохраняются и в случае плазменного цилиндра.

Появление качественно новых эффектов, отличающих цилиндр ичесжую геометрию от плоской, следует ожидать лишь в пределе длинных волн, не описываемых в рамках приближения геометрической оптики. Поэтому далее будем рассматривать именно этот предел. Кроме того, для простоты ограничимся анализом только высокочастотных волн с фазовыми скоростями, намного превышающими тепловые скорости частиц в плазме. Для таких волн в первом приближении тепловым движением частиц можно полностью пренебречь. При этом независимо от вида равновесной функции распределения (т. е. как для невырожденной, так и для вырожденной плазмы) указанное материальное уравнение оказывается локальным, причем

Qe (з,比，/, г) — £()£订•(г)Ej (з,比，Z, r),(9.3.10)

где £订(厂)一тензор диэлектрическойгде £订(厂)一тензор диэлектрическойпроницаемостипроницаемостиплазмы,плазмы,(9.3.11)(9.3.11)

где £订(厂)一тензор диэлектрической

где £订(厂)一тензор диэлектрической

проницаемости

проницаемости

плазмы,

плазмы,

(9.3.11)

(9.3.11)

Здесь

炉一&炉一&①(①2 - Q)①(①2 - Q)

炉一&

炉一&

①(①2 - Q)

①(①2 - Q)

吃= 3=1-2-(9.3.12)

a①?

Легко понять, что этот тензор можно получить для холодной неоднородной бесстолкновительной плазмы в модели независимых частиц (см. задачу 9.7).

286

Запишем теперь уравнения поля с учетом материального уравнения (9.3.10):

Ez — kz Е(р = з Br, —— Bz — kz Вф =— (е丄 Er + i g f(p),

kzEr + i^^^ 纟当+ i 学=—ig£「+ £ 丄备)/ (9.3.13) drdr с2

-rE(p + — Ег = — 3邑,—гВ^ + -^- Вг — + £|| Ez.

г дггг дггс2

Эта система уравнений пригодна при любой степени неоднородности плазмы. Это означает, что она справедлива как в плазме (У Q), так и в вакууме (r()WVR). Поэтому граничные условия можно получить непосредственно из этих уравнений путем их интегрирования по бесконечно тонкому переходному слою плазма—вакуум. В результате имеем

{Ez}r=r0 = {?(p}Г=「。=仍杀=Г。= {8<p}=Г。=。■ (9.3.14)

Наконец, на поверхности металлического волновода должны выполняться условия

(9.3.15)(9.3.15)Ez I r=R=== Е(р I r=R= 0.

(9.3.15)

(9.3.15)

Система уравнений (9.3.13) с граничными условиями (9.3.14) и (9.3.15) полностью определяет спектр собственных злектромаг? нитных колебаний в плазменном волноводе в пределе холодной плазмы, когда фазовые скорости волн намного превышают тепловые скорости частиц и последними можно полностью пренебречь; величины £丄,^ и 8ц при этом определяются выражениями (9.3.12).

Сформулированную граничную задачу проанализируем для чисто электронной плазмы, пренебрегая движением ионов. Кроме того, ограничимся двумя противоположными предельными случаями: a) ro = R, и плазма полностью заполняет волновод; б)" R->8, и имеем плазменный цилиндр со свободной поверхностью.

I. Изотропная плазма. Анализ задачи начнем с изотропной электронной плазмы, положив в формулах (9.3.12) Qa~>0 (т. е. Во->О). Исключив из системы (9.3.13) компоненты Ег, Вг, £ф и Вф, с помощью соотношений

(9.3.16)

где

乂 2 = *2z—eO2/c2. £= 1—o2Le/®2,(9.3.17)

для 瓦 и Bz получаем два независимых уравнения:

ё卜区+亲£区)=0,А区+号Е当=0・ (9.3.18)

Эти колебания при Bz = 0, £*z^0 называют волнами Е-типа, а при Bz#=0,反=0 — волнами В-типа.

Прежде всего отметим, что, согласно первому уравнению (9.3.18), независимо от степени заполнения волновода плазмой в отсутствие внешнего магнитного поля всегда существуют чисто продольные (потенциальные) ленгмюровские колебания, для которых

£(3)= 1—O2Le/o2 = 0； (02 = (02Le.(9.3.19)

Эти колебания являются объемными и локализованы внутри плазменного цилиндра.

Наряду с продольными колебаниями в изотропной плазме в области частот, где £((о)=#0, могут существовать поперечные (непотенциальные) волны Е・ и В-типов. Согласно (9.3.18), для таких волн при г^Го имеем

Ez(r)=邑0〃说尸)，Bz^BzQJi(iKr).(9.3.20)

炉=女*2 +噜+吒,,炉=女*2 +噜+吒,,Если плазма полностью заполняет волновод (r()=R), то подстановка решений (9.3.20) в граничные условия (9.3.15) с учетом соотношений (9.3.16) приводит к следующим спектрам колебаний для волн 户-и В-типов соответственно:

炉=女*2 +噜+吒,,

炉=女*2 +噜+吒,,

(9.3.21)

где 卩团 и \]Jin — соответственно корни функции Бесселя и ее производной, т. е. Ji(iim) =0 и А(н%)=0.

Из формул (9.3.19) и (9.3.21) следует, что фазовые скорости поперечных электромагнитных волн в волноводе, полностью за・ полненном изотропной плазмой, всегда больше скорости света, в то время как фазовые скорости продольных волн могут быть как больше, так и меньше скорости света.

Рассмотрим теперь электромагнитные волны в плазменном цилиндре со свободной поверхностью. Решения уравнений (9.3.18), ограниченные на оси волновода и при г->оо, в этом случае записывают в виде

Ezi(r)=旦10厶(乂/), Bzi (г) =BMIi^r) при г^го, (9.3.22) Ezii(『)=&iioK(yi"), Bzn(r) =BzWKi(%ur) при r>r0,

где

* =砖一号 % 4 = ^--^->0-（9.3.23）

Подстановка этих решений в граничные условия （9.3.14） приводит к следующему дисперсионному уравнению для поверхностных электромагнитных волн Е-тнна в плазменном цилиндре со свободной поверхностью:

［~~ 厶的 ％） к； （乂口 ％）萨 /；（30）К。（乂口 Г о）］ X

х「友；厶（”о） К；的I r^-^I］的仆）Kl （卅I r0）］ 一

-立口 /沁m。） & （Y口 分）（亠-=。・（9324）

Здесь ограничимся анализом уравнения （9.3.24） только для симметричных мод с /=0. В коротковолновом пределе, т. е. при хЧп^о^ 1, из уравнения （9.3.24） лолучаем

"^ + 言-=4（9.3.25）

или в явном виде

М妤，2十з*_з2 + （1 一 3） р磴02 一不=о. （9.3.26）

Как и следовало ожидать, это уравнение в точности совпадает с （9.1.29）, полученным для по л у огр а ниченной плазмы; в коротковолновом пределе геометрия поверхности плазмы не играет роли. Из условий /［, и*。》］ при этом, однако, следует, что в плазменном цилиндре такие коротковолновые поверхностные колебания существуют только в случае достаточно плотной плазмы, когда dLe 产 0》с2.

В редкой же плазме, в которой m\er2Q^.c^, возможны только длинноволновые поверхностные колебания cx2i, цг2о<； 1. Дисперсионное уравнение （9.3.24） для аксиально-симметричных мод （/= =0） длинноволновых колебаний записывается в виде

0 一3）叫。了^）-（庭_ j,” "（9327） Видно, что длинноволновые колебания, так же как и коротковолновые, существуют только в области частот sV^zC, оьв, причем при выполнении сильных неравенств колебания с большой степенью точности потенциальны и спектр их определяется соотношением

10—953

5普” n

Ifel Г0

（9.3.28）

289

В общем случае решение уравнения (9.3.27) графически представлено на рис. 40,а (1кривая 4). Здесь же приведены спектры объемных волн, описываемые формулами (9.3.19) и (9.3.21) (кривые 3).

J °Sj®)= 0 1\о оJ °Sj®)= 0 1\о оЗамагниченная плазма. Исследуем электромагнитные волны в плазменном цилиндре при наличии внешнего продольного магнитного поля, причем для простоты ограничимся случаем бесконечно сильного поля, когда В0->оо и тензор (9.3.11) принимает вид

J °

Sj®)= 0 1

\о о

J °

Sj®)= 0 1

\о о

(9.3.29)

Из соотношений (9.3.13) при этом получаем:

Е『=L th 墻+吟 в),

^Ф = 乂一2 (々Z •—- ^z + i (О ^^ }

当=-Y-2传十邑+ i財醬)(9.3.30)

"=乂-2(一+丄財区).

\дг г /

Здесь 乂2=血2?, а компоненты же £z и Bz удовлетворяют не

с

зависимым уравнениям

А丄旦一泊力旦=о, ^BZ + ^BZ = ^(9.3.31)

где= —— г-户"2, е 1一生・ (9.3.32)

г dr drсо2

Рис. 40. Спектр частот электромагнитных волн в плазменном волноводе: а — изотропная плазма, 6 ——магнитоактивная плазмаРис. 40. Спектр частот электромагнитных волн в плазменном волноводе: а — изотропная плазма, 6 ——магнитоактивная плазма

Рис. 40. Спектр частот электромагнитных волн в плазменном волноводе: а — изотропная плазма, 6 ——магнитоактивная плазма

Рис. 40. Спектр частот электромагнитных волн в плазменном волноводе: а — изотропная плазма, 6 ——магнитоактивная плазма

Здесь также различают волны £*-типа (Bz=0, Ez=/=0) и В-типа (8z*0,反=0).

Сравнивая уравнения (9.3.31) и (9.3.18), видим, что в пределе сильного магнитного поля не существует строго продольных колебаний, как это имело место в изотропной плазме |[см. спектр (9.3.19)]. Более того, для волн В-типа плазма вообще не играет никакой роли и закон дисперсии для них такой же, как и для вакуумного волновода. Поэтому здесь рассмотрим только волны Е-типа.

Решение первого уравнения (9.3.31) в области r^r0 запишем в виде

(9.3.33)(9.3.33)

(9.3.33)

(9.3.33)

(9.3.34)(9.3.34)Если плазма полностью заполняет волновод (/•()=&), то подстановка этого решения в граничные условия (9.3.15) приводит к следующему дисперсионному уравнению для определения спектра объемных волн 以типа:

(9.3.34)

(9.3.34)

儼_于户

где \km — корни функции Бесселя, т. е. Л(ц/п) =0. Отсюда нахо- ди)м спектр частот колебаний

% =+(們+亲卜±

± [(峭。 +磅屛+曙了+4修｝.(9.3.35)

Видно, что в магнитоактивной плазме в отличие от изотропной существуют две ветви объемных волн Е-типа: верхняя — высокочастотная и нижняя — низкочастотная, причем на верхней ветви фазовая скорость волн всегда больше скорости света, колебания поперечны с большой степенью точности; на нижней же ветви v^=^ikz<c и поле волны содержит также значительную продольную компоненту.

В плазменном цилиндре со свободной поверхностью (7?->оо) в сильном магнитном поле наряду с объемными волнами возможны также поверхностные волны, убывающие вне плазменного цилиндра. Действительно, запишем решения уравнения (9.3.32) для симметричных мод (с Z=0) поверхностной волны Е-типа:

Ezi&) = Ezio/o(pV") при](9.3.36)

区口(Г)=2"0/3Г)при r>r0, J

где x2= (Fz—02/c2) >0 (t. e. sV^c). Подставляя эти решения в граничные условия (9.3.14), получаем

厶(Р^к%) К； 3%)— /б /о (]/*8 х г^ Ко (% г^ = 0. (9.3.37)

291

Легко показать, что в коротковолновом пределе z2r2o<^ 1 это уравнение не имеет решений, т. е. коротковолновые поверхностные (колебания в плазменном цилиндре в сильном магнитном поле существовать не могут. В длинноволновом же пределе, когда 乂2r2°《1,炉в产о《1, из уравнения (9.3.37) получаем

е ®) hi 乂入—=0.(9.3.38)

Го

Это уравнение в точности совпадает с (9.3.27). Поэтому проведенный анализ для изотропной плазмы сохраняет силу и в случае плазменного цилиндра со свободной поверхностью в сильном магнитном поле. Единственное отличие состоит в том, что в изотропной плазме поле Ez слабо затухает от поверхности цилиндра к его оси, в то время как в магнитоактивной плазме оно слабо нарастает, достигая максимума на оси волновода.

Спектры объемных и поверхностных волн плазменного цилиндра в сильном магнитном поле представлены на рис. 40,6.

В заключение еще раз подчеркнем, что полученные в этом параграфе соотношения справедливы как для невырожденной, так и для вырожденной плазмы, поскольку в рассматриваемых условиях больших (по сравнению с тепловыми скоростями) фазовых скоростей волн вид равновесной функции распределения несуществен.

Устойчивость пространственно ограниченной неравновесной плазмы

В предыдущем параграфе были исследованы электромагнитные свойства плазменного цилиндра в предположении термодинамически равновесного (максвелловского либо фермиевского) распределения заряженных частиц по скоростям (9.3.4). Рассмотрим теперь свойства неравновесной, ограниченной в пространстве электронно-ионной плазмы с током, считая функцию распределения электронов 尸оа(г) распределением Максвелла с отличной от нуля продольной скоростью и; ионы считаем покоящимися. В этих условиях вычисление возмущенной функции распределения частиц б/а не представляет труда, она получается из (9.3.7) заменой ,3f(o—ku а, причем ue=u, а 叫=0・ Легко вычислить также возмущенные плотности тока и заряда и записать систему уравнений поля. Ниже мы проведем анализ этих уравнений, ограничиваясь потенциальными колебаниями поля, поскольку в гл. 8 было показано, что характерные неустойчивости токовой плазмы (бунемановская и ионно-звуковая) проявляются в области со《应z" и с большой степенью точности являются потенциальными. Кроме того, для простоты анализа полагаем, что система помещена в достаточно сильное продольное магнитное поле, замагничива- ющее электроны плазмы, Qe》①]>,но не зам алиичивающее ионы,

При достаточно большой направленной скорости и, превышающей тепловые скорости электронов и ионов, уравнение Пуассона

АФ=&• = 一 2/ dp6/a(9.4.1)

a 8о a -8о

после подстановки в него выражения (9.3.7) с заменой ①一ко——kua и учете потенциальности поля Е=—V Ф принимает вид

(З：爲①=8⑵

При выводе этого уравнения предполагалось, что волновод полностью заполнен однородной плазмой (см. рис. 39), причем все во3|мущенные величины зависят от времени и координат в виде (9.3.5). Отметим, что его можно также получить исходя из модели независимых частиц, используя оператор тензора диэлектрической проницаемости, выведенной в задаче 9.7. Более того, в этой модели легко обобщить уравнение (9.4.2) на случай релятивистской скорости дрейфа электронов и и тем самым рассмотреть задачу об устойчивости релятивистского электронного пучка, заряд которого скомпенсирован ионами. Обобщение это сводится к простой замене

O2Le-X02LeY~3,(9.4.3)

где у= (1—〃2/с2)т/2. В дальнейшем при анализе уравнения (9.4.2) мы будем учитывать замену (9.4.3).

Теперь мы можем записать решение уравнения (9.4.2) в виде

①⑺=①。4 (卩zs ^)，(9.4.4)

удовлетворив при этом граничному условию

①(&)=0・(9.4.5)

Здесь jxZs — корни функции Бесселя, Jz(p，zs)=O. В результате получим следующее дисперсионное уравнение для определения спектра колебаний:

(1 - Э~) (М + 磴)一/Md =0-(9.4.6)

Решения этого уравнения, соответствующие неустойчивым колебаниям, существуют лишь в области частот(o《^z〃 (кстати, только поэтому и ,могли мы ограничиться приближением потенциальности поля колебаний) и при выполнении условия

①3>〃2Y3(用+ 寥)•(947)

Инкремент нарастания возникающей апериодической неустойчи-

293

вости, известной под названием бунемановакой (см. § 7.2), при этом составляет

6 = Ims=垣(9.4.8) 2、 M R2鹿丿

Из неравенства (9.4.7) следует, что рассмотренная неустойчивость может развиваться, если электронный ток превышает некоторое пороговое значение

4 = eм 〃n R2 = min [ZL^ (唸 + 們 ^)(?2 一 1)3/2]

^ 18 ^^ (丫2—1)3/2.(9.4.9)

Этот ток более чем в (乎—1)з/2/(у/з—】)з/2 раз превышает предельный вакуумный ток электронного пучка в волноводе (см. задачу 9.8).

Следует заметить, что, согласно выражению (9.4.8), инкремент нарастания рассмотренной бунемановской неустойчивости зависит от массы ионов и в пределе 加/Л4fo обращается в нуль. Это совсем не означает, что электронный пучок, заряд которого скомпенсирован фоном бесконечно тяжелых ионов (sj^fO), устойчив. В таком пучке оказывается возможным развитие неустойчивости, обусловленной конечными продольными размерами системы. В продольно ограниченной системе, однако, решение уравнения поля уже нельзя представить в виде (9.3.5); его следует искать в виде суммы

①=乙(卩2，嚷)3①内见Y ,(9.4.10)

где ^zn (几=1, 2, 3, 4) —четыре корня уравнения (9.4.6), рассматриваемого как характеристическое уравнение.

Решение (9.4.10) удовлетворяет радиальному граничному условию (9.4.5). Для получения дисперсионного уравнения этого оказывается недостаточным; необходимо задание также и продольных графичных условий, число которых должно быть равно четырем. В качестве таких условий мы выберем

ре I z=0 ===/ze | z=0 = 0,(9.4.11)

где z=0 и z—L — координаты торцов ограниченного волновода, которые мы считаем металлическими. Вторая пара условий (9.4.11) означает, что на выходе системы при 2 = 0 пучок невозмущен.

Теперь мы можем вывести искомое дисперсионное уравнение, определив из характеристического уравнения (9.4.6) ^п и подставив найденное при этом решение (9.4.10) в граничные условия (9.4.11). Интересуясь порогом возникновения неустойчивости, рас- 294

смотрим область частот s《(OLe, в которой корни уравнения (9.4.6) даются выражениями

財 十-仆)+^(-^T-fel«2) '(9-4.12)

居 3,448阪,

для опре-для опре-(9.4.13)(9.4.13)деления спектра частот з запишем в видеделения спектра частот з запишем в виде—戸Z4L ) = 0.—戸Z4L ) = 0.е%、) +е%、) +设22L)—设22L)—где 々丄=|xzs/R. В результате дисперсионное уравнение

для опре-

для опре-

(9.4.13)

(9.4.13)

деления спектра частот з запишем в виде

деления спектра частот з запишем в виде

—戸Z4L ) = 0.

—戸Z4L ) = 0.

е%、) +

е%、) +

设22L)—

设22L)—

Можно показать, что уравнение (9.4.13) имеет решения, соответствующие нарастающим колебаниям, в интервалах

(2/г- 1) ^ V ]/ Т —々：〃2 <2п ^ ,(9.4.14)

где п=1, 2, 3,... Полагая п— 1 и 吻丄min=2,4/R, отсюда находим пороговый ток электронов, выше которого в системе развивается неустойчивость. При 厶》公 он совпадает с током (9.4.9). Инкремент нарастания неустойчивости при этом равен

6=Im(o4〃/L. (9.4.15)

Рассмотренная неустойчивость плазмы с током в продольно ограниченных системах известна как пирсовская. Пороговый ток развития пирсовской неустойчивости такой же, как и для развития бунемановской неустойчивости. Тем не менее физическая природа этих неустойчивостей разная, что видно из сравнения инкрементов их нарастания (9.4.8) и (9.4.15). Из этого сравнения, в частности, следует, что в системах с длиной L<Zu!^i при превышении порогового тока (9.4.9) будет развиваться пирсовская неустойчивость; если же L>u[sl订 то развивается бунемановская неустойчивость.

В заключение рассмотрим неустойчивость ограниченной плазмы с током при малой скорости дрейфа электронов, когда vTe^ ^u^Vri. В гл. 7 было показано, что в этих условиях в неизотермической (Те》？\) пространственно неограниченной плазме с током при скорости дрейфа и, превосходящей фазовую скорость ионно-звуковых волн, возможно развитие неустойчивости, известной под названием ионно-звуковой. Рассмотрим возможность развития этой неустойчивости в плазменном волноводе.

Как и выше, будем исходить из решения кинетического уравнения (9.3.7) для 6『а с заменой(о->(о—kua, считая при этом ионы холодными, s》^Ut厶 а электроны — горячими, |ш—ки|《^ите・ В результате в области частот со》％ уравнение Пуассона (941) можно свести к следующему интегродифференциальному уравнению:

ДФ^- Ф = i -^- j d У Q (г — У) (з — ku) Ф (У),

(9.4.16)

где %= У Те/М, а ядро Q(r) имеет вид

Q（『）=Q（『）=1(2 л)з1(2 л)зj芈egj芈eg(9.4.17)(9.4.17)

Q（『）=

Q（『）=

1

(2 л)з

1

(2 л)з

j芈eg

j芈eg

(9.4.17)

(9.4.17)

Считая волновод продольно неограниченным и полностью за- полненнькм плазмой, уравнение (9.4.16) мы будем решать с учетом единственного граничного условия (9.4.5). Заметим, кроме того, что интегральный член в этом уравнении, обусловленный черепковской диссипацией энергии колебаний на электронах, является малым, а поэтому уравнение это можно решать методом последовательных приближений. В первом приближении, пренебрегая диссипативным членом, для собственной функции, удовлетворяющей граничному условию (9.4.5), получаем выражение (9.4.4). Подставляя эту функцию в правую часть уравнения (9.4.16), окончательно находим искомое дисперсионное уравнение колебаний:

где k=y^2± +&2z= V(Hzs/Л2) +^2Z. Это уравнение совпадает с уравнением (7.2.6), если в последнем пренебречь черепковской диссипацией на ионах и под 々丄 понимать 同s/R. Поэтому весь анализ, проведенный в § 7.2, полностью сохраняет силу и в случае ограниченной плазмы с учетом такой замены. Более того, можно показать, что учет ионной черепковской диссипации и столкновений не меняет этого вывода.

Возбуждение плазменного резонатора релятивистскими электронными пучками

В § 9.3 мы изучили собственные электромагнитные колебания плазменного волновода. Теперь же исследуем возможность возбуждения таких колебаний с помощью релятивистских электронных пучков. При этом мн ограничимся рассмотрением случая, когда плазма полностью заполняет металлический волновод и пронизывается сплошным электронным пучком. Продольное маг- 296

нитное поле будем считать достаточно сильным, замагничиваю- щим как плазму, так и пучок, т. е. 5》G)Le, ^bVУ- Кроме того, поскольку, как было показано в гл. 7, возможно возбуждение электромагнитных волн в плазме как вследствие черепковского, так и циклотронного механизмов взаимодействия пучка с полем волны, мы сразу же примем, что распределение моноэнергетиче- ского электронного пучка по продольным и поперечным импульсам имеет вид (6.1.11):

%= ”/； 3(°丄—Р丄о)§("II — Pllo)， (9.5.1) причем 〃丄=р丄o〃〃y《c, где 丫=(1—叫с?)』. Плазма же считается холодной и чисто электронной.

Черенковское возбуждение волн. Анализ возбуждения электромагнитных волн в плазменном волноводе начнем с исследования черепковского механизма взаимодействия электронного пучка с полем волны, причем ограничимся случаем сильного магнитного поля, когда выполнены неравенства

&》ft)Le，・ (9・5・2)

В этих условиях тензор диэлектрической проницаемости плазмы— пучковой системы, приведенный в § 6.4, принимает очень простой вид:

гдегде£订（8）= （ 0£订（8）= （ 0о1оо1оо оо о（0 一局勺）2（0 一局勺）2(9.5.3)(9.5.4)(9.5.3)(9.5.4)

где

где

£订（8）= （ 0

£订（8）= （ 0

о

1

о

о

1

о

о о

о о

（0 一局勺）2

（0 一局勺）2

(9.5.3)

(9.5.4)

(9.5.3)

(9.5.4)

Тензор (9.5.3) подобен тензору (9.3.29) и, естественно, его подстановка в систему уравнений Максвелла сводит последнюю к двум уравнениям для Е・ и В-волн соответственно. Взаимодействует с пучком только Е-волна, удовлетворяющая уравнению

旦一(或一^) Ki ⑹邑=0， (9.5.5)

(9.5.6)(9.5.6)причем единственное граничное условие к этому уравнению записывается в виде

(9.5.6)

(9.5.6)

Ez\t=r — Q.

Подставляя ограниченное на оси волновода общее решение урав нения (9.5.5)

旦⑺=旦。Je (i /^11 r)，乂2 =後一 ^(957)

в граничное условие (9.5.6), получим дисперсионное уравнение для Етволн в плазменном волноводе, взаимодействующих с электронным пучком:

(齡年上亡］+庄=0,(9.5.8) \ 202丿［炉 (0)-后勺)2」丁戸

где ц/з ——корни функции Бесселя.

Как и следовало ожидать, уравнение (9.5.8) совпадает с уравнением (6.3.10), если в последнем под 々丄 понимать 卩俯/R. Поэтому проведенный} в § 6.3 анализ черепковской пучковой неустойчивости полностью сохраняет силу и в рассматриваемом случае пространственно ограниченной плазмы. В частности, в первом приближении, пренебрегая малым пучковым слагаемым, из уравнения (9.5.8) находим две ветви f-волн в плазменном волноводе, которые были подробно изучены в § 9.3. Пучок резонансно взаимодействует только с низкочастотной ветвью этих колебаний при выполнении условия черепковского резонанса g)i=^z〃“ (рис. 41). Из этого условия находим частоту возбуждаемой пучком волны:

g = У品—盛〃H《/R2.(9・5・9)

Отсюда, в частности, следует, что возбуждение моды 固$ возможно только гфи условии

品>*圖Y淞*(9.5.10)

причем если плотность плазмы удовлетворяет неравенствам

3,8> J^>2,4,(9.5.11)

то возбуждаться будет одна-единственная аксиально-симметричная мода с |1(и = 2,4.

Временной инкремент нарастани1Я (з->з + 3) колебаний находят при учете лучкового слагаемого в уравнении (9.5.8):

9 =一 1)・

恤2 ［2咻終丿［ 唸审 "

(9.5.12)

Это соотношение, естественно, также совпадает с (6.3.13) с заменой 々丄= RZs/R・

В гл. 6 отмечалось, что черенковская пучковая неустойчивость является сносовой и поэтому в системах ограниченной длины она может и не успевать развиваться. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим металлический волновод конечной, но достаточно большой длины (L》R), который заполнен сильно замагниченной плазмой, пронизывающейся релятивистским электронным пучком.

Левый торец волновода z=0, с которого происходит инжекция пучка, пусть полностью отражает электром агнитное излучение (например, вследствие запредельного сужения волновода); на правом же торце г= =£, который прозрачен для электронного пучка, происходит частичное отражение электромагнитных волн с коэффициентом отражения х(о) и частичное их излучение из системы. В отсутствие пучка такая система представляет собой резонатор для электромагнитных волн, обладающий конечной добротностью (конечным временем вытекания энергии излучения из системы). Электронный пучок при достаточной интенсивности может возбудить такой резонатор, и тогда

Рис. 41. Условия черепковского и циклотронного взаимодействия электронного пучка с электромагнитными волнами в сильно замагниченном плазменном волноводеРис. 41. Условия черепковского и циклотронного взаимодействия электронного пучка с электромагнитными волнами в сильно замагниченном плазменном волноводесистема превратится в генераторсистема превратится в генераторэлектромагнитного излучения.

Рис. 41. Условия черепковского и циклотронного взаимодействия электронного пучка с электромагнитными волнами в сильно замагниченном плазменном волноводе

Рис. 41. Условия черепковского и циклотронного взаимодействия электронного пучка с электромагнитными волнами в сильно замагниченном плазменном волноводе

система превратится в генератор

система превратится в генератор

EAr)-Ji^is^ ^EzQne^EAr)-Ji^is^ ^EzQne^(9.5.13)(9.5.13)Сформулированная здесь задача возбуждения плазменного резонатора электронным пучком является граничной задачей, и при ее решении уравнение (9.5.8) следует рассматривать как характеристическое уравнение для определения продольных волновых чисел kzn нормальных волн:

EAr)-Ji^is^ ^EzQne^

EAr)-Ji^is^ ^EzQne^

(9.5.13)

(9.5.13)

пучка,(9.5.15)пучка,(9.5.15)

пучка,

(9.5.15)

пучка,

(9.5.15)

Из уравнения (9.5.8) видно, что в рассматриваемом случае имеется четыре такие волны, причем все четыре kzn (со) (п= 1, 2, 3, 4) легко находятся, если учесть малость пучкового слагаемого в уравнении (9.5.8):

財】，2,з ®)=岛z(S)+ 3 財 1,2,з,网4 (s)=—財0 (s)・ (9.5.14)

Здесь 居o((o)—решение уравнения (9.5.8) в отсутствие удовлетворяющее условию черепковского резонанса

財。(8)=胃=/小唸/(*T)R"

а величины。论zi,2,3 даются выражениями

6电I = 一电0

(9.5.16)

299

6 財 2,3

1 土 i!/W k / 喏 R2 Y/3

Из формул (9.5.14) — (9.5.16) следует, что в системе существует четыре волны, три из которых 々zi,2,3(s) распространяются вдоль пучка, являясь попутными, и поэтому взаимодействуют с пучком, а четвертая 々z4(s)——встречная и не взаимодействует с пучком. При этом волна й2з(со) усиливается в направлении движения пучкаЛ волна 々%2(①)——затухает, а волна kz\ (со), так же как и ^z4(®), остается нейтральной (т. е. не усиливается и не затухает).

Для получения дисперсионного уравнения и определения условия возбуждения резонатора решение (9.5.13) должно быть подставлено в продольные граничные условия при 2=0, L. Поскольку мы хотим учесть излучение электромагнитных волн с торца г=Л, необходимым оказывается значение решения уравнения поля и в области z>L. Это обстоятельство существенно усложняет задачу вывода дисперсионного уравнения. Однако, если длина резонатора является большой, так что |б^з^| >1, задача упрощается и сводится к внутренней, т. е. достаточным оказывается знание только решения (9.5.13). Действительно, на левом торце резонатора при 2 = 0, согласно предположению, происходит полное отражение электромагнитной волны, т. е. встречная волна Ez^ полностью трансформируется в попутные волны £zoi,2,3, причем с одинаковой вероятностью в каждую из них. На правом же торце при 之=L электромагнитная волна излучается из системы и только часть отражается, тр а неф ор мируясь во встречную волну с коэффициентом отражения 乂⑹.Но так как |б^гз^| >1 из трех попутных волн на торце z=L, достаточно учесть только усиливаемую пучком волну Ez03・ В результате имеем

旦 03 =弩^ , X 旦03 ехр (i 论Z3 厶)=旦04 exp (i kzi L)・

Отсюда непосредственно следует искомое дисперсионное уравнение

exp(i (A3-財也]=3/乂.exp(i (A3-財也]=3/乂.(9.5.17)(9.5.17)

exp(i (A3-財也]=3/乂.

exp(i (A3-財也]=3/乂.

(9.5.17)

(9.5.17)

Из дисперсионного уравнения (9.5.17) при учете решений (9.5.14) находим спектр частот колебаний плазменного резонатора (sf f<o + i6): —

论zo (①) ~4~论zo (①) ~4~(9.5.18)(9.5.18)б =б =o^2\1/3 [ arg 乂 ((о。)2啸丫唸吟丿2厶o^2\1/3 [ arg 乂 ((о。)2啸丫唸吟丿2厶

论zo (①) ~4~

论zo (①) ~4~

(9.5.18)

(9.5.18)

б =

б =

o^2\1/3 [ arg 乂 ((о。)

2啸丫唸吟丿2厶

o^2\1/3 [ arg 乂 ((о。)

2啸丫唸吟丿2厶

где vg0 — групповая скорость возбуждаемой пучком волны:

"II +2%0 '"II +2%0 '嗝吗味丿嗝吗味丿(9.5.19)(9.5.19)

"II +2%0 '

"II +2%0 '

嗝吗味丿

嗝吗味丿

(9.5.19)

(9.5.19)

2 n= 1, 2, 3,... определяет число полуволн, укладывающихся на длине резонатора, т. е. kz^nnlL.

При б>0 электромагнитная волна с частотой s^so в плазменном резонаторе экспоненциально нарастает со временем, так как усиление поля в резонаторе электронным пучком превосходит над потерями, обусловленными излучением электромагнитной волны из резонатора. Видно, что такое возбуждение резонатора возможно в условиях, когда ток пучка больше некоторого порогового значения, называемого стартовым током:

еТ_ 3Уте 磋厶8 I百卜еТ_ 3Уте 磋厶8 I百卜(9.5.20)(9.5.20)

еТ_ 3Уте 磋厶8 I百卜

еТ_ 3Уте 磋厶8 I百卜

(9.5.20)

(9.5.20)

При выполнении неравенств (9.5.11), когда возможно возбуждение только основной аксиально-симметричной моды колебаний с 卩(и = 2,4, стартовый ток (9.5.20) оказывается минимальным.

П. Циклотронное возбуждение волн. Рассмотрим теперь циклотронное возбуждение волн вращающимся электронным пучком в ограниченной в пространстве системе. Как было показано в гл. 6, такой пучок может возбуждать электромагнитные волны и при полном отсутствии плазмы,； т. е. в вакууме. Поэтому ниже мы ограничимся анализом взаимодействия вращающегося электронного пучка с вакуумным металлическим волноводом. Более того, пучок будем считать достаточно разреженным, так, чтобы выполнялись условия

& 之~ S》①Le,铀 Ут • (9.5.21)

R

В этих условиях уравнения для Е- и В-волн, находящихся в циклотронном резонансе с электронным пучком, при учете в тензоре диэлектрической проницаемости (6.4.3) пучковых слагаемых, содержащих циклотронные полюсы при(о == kzu • +5/у только второго порядка, записываются соответственно в виде

a旦 +子旦=（号 -1）（①一局Z】&甬гA丄%

(9.5.22)

a凡 +牛冬a凡 +牛冬1咤（咫一明d）圖

a凡 +牛冬

a凡 +牛冬

7""^~ Y® 一局"|| -Qe/Y）2 z・

Граничные условия к этим уравнениям в случае продольно неограниченного волновода имеют вид

区|f=丝1 =0.(9.5.23)

dr |r=R

Решения системы уравнений (9.5.22), удовлетворяющие граничным условиям (9.5.23)

Ez ⑺=旦。厶仙$ ~^ )，虱=BzQJt^ls 号， (9.5.24) где ц/s и g^s ——корни функции Бесселя и ее производной,厶(固$)= =0 и J'i^is) =0, после подстановки в систему (9.5.22) приводят к следующим дисперсионным уравнениям для £- и В-волн:

. ,2 со2吟.吟(磋с?诚向s/R?

飞2 十 2 一 -^4淤 \] / Y (s 一 局 〃口 一 Qe/Y)2'

(9.5.25)

Rc2 [4,2 I 022] y^ — ^u^ -Qe/Y)2 *

Легко видеть, что эти уравнения отличаются от соответствующих дисперсионных уравнений § 6.4 заменой К丄 на 卜“s/曲 в случае Е- волны и на NislH в случае В-волны.

Структура обоих уравнений (9.5.25) совершенно одинакова, а поэтому в дальнейшем мы ограничимся анализом только одного из них, а именно второго уравнения, описывающего взаимодействие электронного пучка с В-волной вакуумного волновода. Прежде всего заметим, что пересечение линии ^ = kzu^+^e!y с кривой о (i^z) =уk2zc2+^/2isC2/R2 определяет две частоты возбуждаемых пучком В-волн (рис. 41)

2片乒尚]”26)2片乒尚]”26)групповая скорость и продольное волновое число которых соответственно составляютгрупповая скорость и продольное волновое число которых соответственно составляют(9.5.27)(9.5.27)

2片乒尚]”26)

2片乒尚]”26)

групповая скорость и продольное волновое число которых соответственно составляют

групповая скорость и продольное волновое число которых соответственно составляют

(9.5.27)

(9.5.27)

Легко видеть, что при условии 丫]|>卩公，丫/(2次)>1 оба корня ^zo 1,2>0, т. е. возбуждаемые пучком В-волны как высокой, так и низкой частоты являются попутными； как отмечалось в § 6.4, циклотронная неустойчивость при этом носит сносовый характер. Если же hzzscy/(Q^)<1, то 財oi>1, а ^02<0 и, следовательно. В-волна высокой частоты является попутной, а низкой частоты —— встречной.

В последнем случае циклотронная неустойчивость носит абсолютный характер. Из выражения (9.5.26) видно также, что при условии

3,8>^^>1，8(9.5.28)

в системе будет возбуждаться одна-единственная радиальная мода с минимальным значением р,ц = 1,8 (первая несимметричная мода Вп-волны).

Анализ циклотронного возбуждения попутной В-волны в продольно ограниченном вакуумном резонаторе проводится совершенно так же, как это было сделано выше при исследовании черепковского возбуждения плазменного резонатора (о возбуждении встречной волны см. задачу 9.12). Поэтому вряд ли целесообразно повторять приведенные выше рассуждения. Заметим только, что в формулах (9.5.17)——(9.5.19) величины yg0 и 饱zo следует заменить на соответствующие выражения (9.5.27), причем коэффициенты усиления и затухания взаимодействующих с пучком волн даются соотношениями

8kzl^J_^^(9.5.29)

(^^ у/з2•

Окончательно для стартового тока возбуждения резонатора на попутной В-волне вращающимся электронным пучком находим

64叫,те3吗門研I勺(山3ЗТ/З ё呢и卩小 e( 凶广

Отсюда, в частности, видно, возбуждать резонатор на высокой частоте В-волны труднее, чем на низкой частоте, поскольку всегда 1%11>|研2|.

Задачи к гл. 9

Задача 9./. Найти частоту собственных электростатических (потенциальных) колебаний плоского слоя холодной электронной плазмы толщиной 2d, помещенной между обкладками плоского конденсатора, расстояние между которыми 2L. Электрическое поле колебаний считать нормальным к поверхности СЛОЯ»

Решение. Уравнение поля во всех трех областях имеет один и тот же вид:

А©=02@/0%2=О(1)

Поэтому его решения запишем таким образом：

(a1% +a2

при

-L V % 《 - d,

（尤）=｛瓦尤+员

при

図&d,(2)

1 q%+也

при

d v% V£・

Подстановка этих решений в граничные условия

①(一L) =(D(L) = 0, {Ф}Л==^={Ф}Х^ = О,(3)

дФ8 -— дедФ8 -— де8% J x—d8% J x—d=О,=О,

дФ

8 -— де

дФ

8 -— де

8% J x—d

8% J x—d

=О,

=О,

где 8(о) = 1—<й2ье(х)/сд2, причем (О2Ье(х)5^0 только при |х| <d, приводит к дис* персионному соотношению

E（S）+E（S）+ddL^d =仇L^d =仇⑷⑷

E（S）+

E（S）+

d

d

L^d =仇

L^d =仇

⑷

⑷

Отсюда иаходим спектрОтсюда иаходим спектрчастот колебаний:

Отсюда иаходим спектр

Отсюда иаходим спектр

①2 =丄产wu 《说e •

Задача 9.2. Найти проникновение квазистатического монохроматического поля с частотой (о 6 полуограниченную изотропную плазму. Отражение частиц от поверхности плазмы принять зеркальным.

(D(DРешение. Считая поле нормальным к поверхности плазмы, для области %>0 (в плазме) можно записать

(D

(D

Эх

или

0(%)=£оЕо,(2)

где Ео — напряженность электрического поля на поверхности плазмы.

С другой стороны, D(x) можно определить, продолжив D(x) в область х<0 четным образом и произведя преобразование Фурье:

。伍)j。⑴е-『％;О(%)= J D (k) ^kx d k. (3) 2 冗—OO—00

В результате из (2) получаем

8р оо ikx

J D 但)e^" d 论=-:丁 J 7一 d耳(4)

Отсюда, учитывая, что при зеркальном отражении частиц от поверхности

П(^)=80еЧ®, ©Е 伏)，(5>

получаем

融"（①，也）融"（①，也）Е 3)=丄 л 1

融"（①，也）

融"（①，也）

или, подставляя это выражение в (3),

窮i」8品"(0,田,

Эта формула определяет проникновение квазистатического поля в полуограниченную изотропную плазму нормально к ее поверхности.

Интеграл (7) существенно определяется полюсами подынтегральной фувкщин

论=0, »(<о,尼)=0.(8》

：~—~Г> W “е — СКО- |s+iv/：~—~Г> W “е — СКО- |s+iv/На больших расстояниях от поверхности плазмы х》

：~—~Г> W “е — СКО- |s+iv/

：~—~Г> W “е — СКО- |s+iv/

рость хаотического движения электронов, вклад в интеграл (7) дает только первый из этих полюсов. При этом

E (x)=E (x)=/ ®, 0)I/ ®, 0)I昂唸昂唸①((0 十 i Ve)①((0 十 i Ve)На малых же расстояниях становятся также полюсы,На малых же расстояниях становятся также полюсы,от поверхности плазмы x《——,существеннымиW + lVelот поверхности плазмы x《——,существеннымиW + lVel, определяемые нулями диэлектрической проницаемости U(g),尼).Для чисто электронной плазмы ((о2>(о2ь») при условии |a)+ive|《, определяемые нулями диэлектрической проницаемости U(g),尼).Для чисто электронной плазмы ((о2>(о2ь») при условии |a)+ive|《《(OLe эти полюсы находятся из уравнения《(OLe эти полюсы находятся из уравнения1 +1 +(01 + ia 因а0(01 + ia 因а0=о,=о,(Ю)(Ю)

E (x)=

E (x)=

/ ®, 0)I

/ ®, 0)I

昂

唸

昂

唸

①((0 十 i Ve)

①((0 十 i Ve)

На малых же расстояниях становятся также полюсы,

На малых же расстояниях становятся также полюсы,

от поверхности плазмы x《——,существенными

W + lVel

от поверхности плазмы x《——,существенными

W + lVel

, определяемые нулями диэлектрической проницаемости U(g),尼).Для чисто электронной плазмы ((о2>(о2ь») при условии |a)+ive|《

, определяемые нулями диэлектрической проницаемости U(g),尼).Для чисто электронной плазмы ((о2>(о2ь») при условии |a)+ive|《

《(OLe эти полюсы находятся из уравнения

《(OLe эти полюсы находятся из уравнения

1 +

1 +

(0

1 + ia 因а0

(0

1 + ia 因а0

=о,

=о,

(Ю)

(Ю)

(11)(11)(12)(12)d.d.(13)(13)

(11)

(11)

(12)

(12)

d.

d.

(13)

(13)

где а= 1^л/2, гре = ите/(О1е для невырожденной электронной плазмы и a=n/2, r^e—v-Fe! CVЗсоье) для вырожденной плазмы. В результате имеем

ER) =昂「"De 1 + i 詐

Часто вводят понятие импеданса слоя d плазмы

J E (x) dx

В числителе фигурирует падение напряжения на слое d, а в знаменателе — ток, проходящий через этот слой. Величина ReZ характеризует поглощение поля в слое d.

На больших расстояниях от поверхности плазмы импеданс характеризует объемное поглощение, причем, согласно (9),

_4 n i (① + i М

(0 ® + О —吒 e

На малых расстояниях можно ввести понятие поверхностного импеданса, используя (11):

^пов =

8 0J'

4疝 / =『De(】+i

as Те

(И)

Задача 9.3. Найти столкновительную поправку к декременту

затухания

сокочастотных поверхностных волн в электронной плазме.

Решение. При учете столкновений электронов независимо от степени рождения плазмы в дисперсионном уравнении (9.1.26) следует положить

6必

вы-

e (①)=1 —

唸

(o((o + i ve)

(1)

где ve=Ve< — для полностью ионизованной плазмы и ve=ven — для слабо- ионизованной плазмы. В результате 1из (9.1.26) получаем

6=一

磅 d при (о%/2 при

易e2/脸

1

碗2《唸, 名。2》响， при磅合《说ё при 磅理》就6

⑵

⑶

Предел Zj2zc2》(d2Le соответствует продольным колебаниям, поэтому 6 в этом пределе можно получить также из уравнения((9.1.31) при использовании выражения (1). Заметим, что такая же поправка от столкновений электронов возникает в формулах (9.1.34) и (9.1.86) •

Задача 9.4* Исходя из общего выражения (9.1.24) вычислить поверхностный импеданс 〃р〃 нормальном падении электромагнитной волны на поверхность полуограниченной плазмы при ve, (o《SLe и связать его с коэффициентами отражения и поглощения волны.

Решение. При нормальном иадении волны ^2=0 и

2 ko卞dA小

^пл = J г・(1)

с о 兴掇-炉/Г⑹，用

Проникновение поля в плазму при этом определяется формулой

/2(0 By (0) °?W%d 论

Е2 (х) = 1 I .⑵

n Joo 炉e2 一炉 e"(明 旬

На больших расстояниях от поверхности плазмы х》而帛〔；丁 пространственной дисперсией в ~丁((0,々)можно пренебречь, записав

.脸

8" (①，论)f 8 (①)=1 - ---~ .(3)

(0(0)+ 1 ve)

В этом случае

臥(°) Т

，ск，скЕсл'И(o<ve, то следует ввести комплексную длину затуханияЕсл'И(o<ve, то следует ввести комплексную длину затухания⑸⑹⑸⑹Отсюда, в частности, видно, что при <OLe》s》Ve поле в плазме затухает по экспоненциальному закону, причем длина затухания ।(глубина прон1икновен)ия)

，ск

，ск

Есл'И(o<ve, то следует ввести комплексную длину затухания

Есл'И(o<ve, то следует ввести комплексную длину затухания

⑸

⑹

⑸

⑹

._・ 2а +1)с — “ + i)c

①1A (①)/ 2说小/VeH加①

где a=(o2Le/(4^ve) — статическая проводимость плазмы.

Отметим, что при подстановке (3) в (1) -получаем для холодной плазмы соотношение

4市①4л

Поэтому при нормальном падении электромаГ|Нитной волны «а поверхность полуограниченной плазмы с диэлектрической проницаемостью £((о) коэффициент отражения определяется модулем комплексной величины

1 - "e (①)1+"嗣1 - "e (①)1+"嗣1 + ■ Z^J! (®)4JT1 + ■ Z^J! (®)4JT⑻⑻

1 - "e (①)

1+"嗣

1 - "e (①)

1+"嗣

1 + ■ Z^J! (®)

4JT

1 + ■ Z^J! (®)

4JT

⑻

⑻

На малых же расстояниях от поверхности плазмы x<Ooe/|<o+ive| при вычислении /интеграла (2) существенным становится учет аильной пространственной дисперсии &£丁((0, k). При этом

8”（叫々）=1 + ia8”（叫々）=1 + ia①闵We①闵We(9)(9)

8”（叫々）=1 + ia

8”（叫々）=1 + ia

①闵We

①闵We

(9)

(9)

где а=Т/л/2 для невырожденной плазмы -и и=Зл/4 для вырожденной. Подстановка (9) в (2) и (1) дает экспоненциальный спад поля в глубь плазмы, причем

Задача 9.5. Исследовать возбуждение высокочастотных волн в полуогра- ничейной изотропной плазме моноэнергетическим не релятивистским электронным пучком, пролетающим над ее поверхностью.

Решение. Для решения задачи достаточно ограничиться анализом продольных (потенциальных) волн в модели независимых частиц, поскольку возбужденные нерелятивистским пучком волны обладают нерелятивистскими фазовыми скоростями. Из линеаризованной системы уравнений этой модели

-^- +div (匕 Uo + М)匕)= 0,

響 +(%▽)% + (%▽)%= -工▽①一^%，(0

△①=—?№/%, где №, % — невозмущенные плотности и скорости электронов, а М,匕一их малые возмущения, получаем

①=0.⑵

\ дх дх z /

Здесь

((0 - kz匕))(①一長匕)十i wё)

Уравнение (2) пригодно как в области плазмы (%>0), так и в области пучка (х<0). В плазме (0Le — ленгмюровская частота электронов плазмы, "е — их частота столкновений in Уо=О; в пучке (о：ье=(оь — ленгмюровская частота движущихся со скоростью Vo электронов пучка столкновениями, которыми можно пренебречь.

Граничные условия к (2) имеют вид

｛叫=。=卜嘿•]'х=()，⑷

Подстановка решения уравнения (2)

(5)(5)&е-1%“ при х>0,С?"%" при х<0

(5)

(5)

в граничные условия (4) приводит к искомому дисперсионному уравнению

(6)(6)—^_=0.

(6)

(6)

(со—kz Vo) (О (to + i ve)

Отсюда находим спектр частот и инкремент нарастания (cd-xd + i6=A% + i6) возбуждаемых поверхностных волн в плазме при ©Le^ve:

(0 =-- ^ 居%，

"2

У-—- при 6> ve,

‘一 ⑺

——(1 + i) при 6<ve. ” e

Верхнее выражение для 6 соответствует недиссипативнои неустойчивости, а нижнее — дисаипативной. Последняя возможна в плазме с частыми столкновениями частиц, в частности, в плазме твердого тела.

Задача 9.6. Показать, что поверхность плазмы, удерживаемой магнитным полем с положительной кривизной силовых линий (т. е. с внешней нормалью, направленной от поверхности плазмы), неустойчива по отношению к низкочастотным желобковым возмущениям.

Решение. Кривизну силовых линий магнитного поля будем учитывать введением центробежного ускорения для частиц сорта а, равного 02丁《//?, где R — радиус крив1изны силовых линий мапшггного поля, -и направленного вдоль внешней «ормали к поверхности плазмы. Это приводит к дрейфу частиц вдоль

поверхности плазмы (ось Оу) со скоростью %= 一 RT" • В результате в дисперсионном уравнении (9.2.15) величина со заменяется на со―^沙〃位 弘 для желобковых мод колебаний в области низких частот (о——论？/〃位《^位 получаем

2+萧+匈我2+萧+匈我RdRd(1)(1)

2+萧+匈我

2+萧+匈我

Rd

Rd

(1)

(1)

где v2s—Te/M — скорость ионного звука. Отсюда

Здесь ^эфф =Здесь ^эфф =碎+吸碎+吸1初1 83ф61+2或佇1初1 83ф61+2或佇⑵⑵эффективное гравитационное поле, учитывающее криэффективное гравитационное поле, учитывающее кри

Здесь ^эфф =

Здесь ^эфф =

碎+吸

碎+吸

1初1 83ф6

1+2或佇

1初1 83ф6

1+2或佇

⑵

⑵

эффективное гравитационное поле, учитывающее кри

эффективное гравитационное поле, учитывающее кри

визну силовых линий удерживающего плазму магнитного поля.

Поскольку ①2V 0, заключаем, что поверхность плазмы, удерживаемой магнитным полем с положительной кривизной силовых линий, всегда неустойчива. Неустойчивость эта аналогична конвективной (желобковой) неустойчивости объемных волн в неоднородной замагниченной плазме (см. § 8.7).

Задача 9.7. Исходя из модели независимых частиц получить оператор тензора диэлектрической проницаемости цилиндрически неоднородной многокомпонентной многопотоковой плазмы.

Решение. Линеаризуем систему уравненийdN飞产+divNaQ = O,

{E + lVaB]}{E + lVaB]}(1)(1)

{E + lVaB]}

{E + lVaB]}

(1)

(1)

относительно равновесного состояния с направленной скоростью частиц ua (г)ИOz, BollOz и "oa(r) и Учтем Уравнения Максвелла

c2%rotB = %k+ ? (%力Q-%"出%)，divB = 0,⑵

r" E = - *' div E = / 乡(％ "a-%"oa)・

получимполучимДля возмущений, зависящих от времени и координат в ваде А (г) =А (г) ехр(—\(at+\l^+ikzz),

получим

получим

(О2人

(3)(3)rot rot Е—— D = 0, D» = %£行 Ej,

(3)

(3)

% c2

где в*/ — оператор тензора диэлектрической проницаемости с компонентами

еГГ = еффеГГ = ефф2 脸唠位Ia о?（噎 一 q^2 脸唠位Ia о?（噎 一 q^.w①设心眩‘a①2 (唠_%.w①设心眩‘a①2 (唠_%⑷⑷

еГГ = ефф

еГГ = ефф

2 脸唠位I

a о?（噎 一 q^

2 脸唠位I

a о?（噎 一 q^

.w①设心眩‘a①2 (唠_%

.w①设心眩‘a①2 (唠_%

⑷

⑷

▲. V / %%。、

£(Pz —，乙 a「21—， q I»

ЗдесьЗдесь

Здесь

Здесь

—i%脸脸a _ 磋①设 %

82（唠_^^）， " d（吟一咫）

% = "^一，必=® 一 k%)%.

Оператор д/дг действует на все стоящие справа от «его величины.

Задача 9.8. Найти предельный ток моноэнергетического релятивистского электрического пучка через эквипотенциальное вакуумное дрейфовое пространство в сильном продольном магнитном поле. Проанализировать плоский 〃 цилиндрический случай.

Решение. Электроны пучка при своем движении в эквипотенциальном дрейфовом пространстве создают пространственно распределенный заряд, который приводит к объемному изменению потенциала, а поэтому к торможению пучка. В результате в плоском дрейфовом пространстве установится распределение потенциала с максимумом в центре. Уравнение Пуассона для распределения потенциала Ф(х) запишем в виде

粵一丄⑴ t>80с% L \ me2 /」

Здесь j — плотность тока электронного пучка, а 丫= (1—〃須尸"一 релятивистский фактор, причем 〃 ——скорость инжектируемых электронов. При выводе уравнения (1) учтен интеграл движения

me2 (1—у2/с2) -^2+еФ=^с2у.(2)

Уравнение должно быть дополнено граничными условиями

① I %=±d = 0，ф1х=0 =ф0-(З)

Сформулированная задача является переопределенной: потенциал на оси однозначно определяется пр.и заданной плотности пучка. Поэтому решение задачи позволяет связать функциональным соотношением j /и Фо:

六户(明).⑷

Для определения предельной плотности пучка это соотношение следует мак- симализировать ПО Фо И найти jo=jmax.

Аналитическое решение уравнения (1) находится в предельных случаях нерелятивистского (еФ^гпс2, 1) и ультрарелятивистского (е①》тис?, у》】) пучка, причем для предельной плотности тока /о получаем

1)3/2 при +21,(5)

при у》1 •

Эти два выражения можно записать единой формулой, восйользовавшись интерполяцией:

―也 £о (у2/з 1)3/2

При у》1 это выражение совпадает с (5), а при y=1+m2/(2c2) отличается от (5) множителем И 3.

Совершенно аналогично формулируется и решается задача и в случае прохождения лучка вдоль оси цилиндрического дрейфового пространства:

1 dd①/(r) "Г)厶 纯

r dr dr ye0 C£o L \ me / J

① |=r=0,① l，=o = 5，⑻

причем распределение тока по радиусу

(9)(9).Г0при r>r0,

(9)

(9)

I constпри г《厂0.

При решен必и сформулированной задачи следует учитывать непрерывность потенциала и его первой производной на границе пучка при г=го. Окончательно получаем

24冗他3% (评/3一 1)3/2

e i+21n(R/%).(0)

Наконец, заметим, что подобный расчет для узкотрубчатого пучка со средним радиусом го и толщиной а^г0 приводит к следующему выражению для предельного тока

,4冗加。3%(Y2/3_ 1)3/2

—,(111

е а/% + 2 In (R/入)

Отметим при этом, что 4^тс3&о/е^17 кА.

Задача 9.9. Показать, что плоский слой нерелятивистского электронного пучка, ограниченный проводящими плоскостями ——а《％《а с линейным поперечным профилем скорости u(x)—uQx/ao1 а()>а во внешнем продольном магнитном поле может быть неустойчив, и найти условие возникновения неустойчивости (slipping ——неустойчивость).

Решение. Следуя методу, изложенному в(§ 9.2 для функции распределения 尸()a(v—u) в виде функции расцределения Максвелла с неоднородной направленной скоростью 〃(％), вместо уравнения (9.2.8) получаем

АФ = —^ J d% Ф (初 е，勺* {1 — 2 [s — А 〃一АФ = —^ J d% Ф (初 е，勺* {1 — 2 [s — А 〃一d / 厶、4 В) ~ X — (о — ^z «)二 /、duAn(z) Jd / 厶、4 В) ~ X — (о — ^z «)二 /、duAn(z) J4 R)(0 一尾〃一"Qe4 R)(0 一尾〃一"Qe(О(О

АФ = —^ J d% Ф (初 е，勺* {1 — 2 [s — А 〃一

АФ = —^ J d% Ф (初 е，勺* {1 — 2 [s — А 〃一

d / 厶、4 В) ~ X — (о — ^z «)二 /、

duAn(z) J

d / 厶、4 В) ~ X — (о — ^z «)二 /、

duAn(z) J

4 R)

(0 一尾〃一"Qe

4 R)

(0 一尾〃一"Qe

(О

(О

где 2=^х+^у)ю2че1^е, а оператор д/ди действует на все стоящие справа от него величины, зависящие от 〃.

Будем интересоваться высокочастотными неустойчивыми колебаниями с фазовыми скоростями, большими тепловых скоростей электронов. Поэтому в (1) перейдем к пределу Т-И). В результате получаем

ЭФ д дк дхЭФ д дк дхQ^ — соQ^ — со—-—ky Ф —~= 0 ,/2次“俸之一(0,2)—-—ky Ф —~= 0 ,/2次“俸之一(0,2)⑵⑵

ЭФ д дк дх

ЭФ д дк дх

Q^ — со

Q^ — со

—-—ky Ф —~= 0 ,

/2次“俸之一(0,2)

—-—ky Ф —~= 0 ,

/2次“俸之一(0,2)

⑵

⑵

где ①'=3—kzu(x). При выводе этого уравнения из (1) .существенно предполагалось, что

со — А 瓦

р =》[.

尼z

причем arg 0 лежит вне сектора

3Tte 冗

一 7《argpw — 彳

Только в этих условиях справедлива модель независимых частиц для рассматриваемой задачи, приводящая к уравнению (2).

Рассмотрим сначала предел сильного поля Qe》SLe. Считая также о'《Се, из (2) получаем

> ф

—+(7(х,со)Ф = О,(3)

U (х, о) = — ky 一 磅 TU (х, о) = — ky 一 磅 T呢*呢*ky Uqky Uq尾0w0尾0w0

U (х, о) = — ky 一 磅 T

U (х, о) = — ky 一 磅 T

呢*

呢*

ky Uq

ky Uq

尾0w0

尾0w0

Это уравнение должно быть дополнено граничными условиями иа проводящих плоскостяхЭто уравнение должно быть дополнено граничными условиями иа проводящих плоскостях⑷⑷гдегде左=/号+后；s = x左=/号+后；s = xkz 〃q'kz 〃q'1 _怨^ 3 _—*1 _怨^ 3 _—*也у 〃о也у 〃оkz^e^Qkz^e^Q(6)(6)

Это уравнение должно быть дополнено граничными условиями иа проводящих плоскостях

Это уравнение должно быть дополнено граничными условиями иа проводящих плоскостях

⑷

⑷

где

где

左=/号+后；s = x

左=/号+后；s = x

kz 〃q'

kz 〃q'

1 _怨^ 3 _—*

1 _怨^ 3 _—*

也у 〃о

也у 〃о

kz^e^Q

kz^e^Q

(6)

(6)

④ I кв®土 а =。.

Общее решение уравнения (3) имеет в)ид

Ф ⑴=УТ 旧 ％ (i ks) + С2 J.(饿s)]・

Ограничения на arg 6 приводят к тому, что найденное решение /имеет смысл только вне сектора

лЗп

—rgsy

Подстановка (5) в (4) приводит к дисперсионному уравнению

4 (廁一) /-(悯+)- J_"(海一) 4 储叶)=0,(7)

一一力z "0

Появление неустойчивых колебаний в первую очередь следует ожидать в ДЛ1ИНН0В0Лновом пределе 々s士-Н). Уравнение (7) в этом пределе сводится к виду s”si = O・⑻

Отсюда следует, что Re(o = 0, а

arg s+ - arg s_ =,(9)

V

где

丄 a0 Im(о

arg s+ =干 arctg — л X k(10)

土 + akz «0

Неустойчивым колебаниям соответствуют углы arg s±, лежащие в третьей и четвертой четвертях комплексного переменного s, т. е. arg s+—args-之几. Согласно (9), это возможно только при условии 屮>九2, т. е условие возникйове- ния slipping ——неустойчивости в плоскопараллельном электронном пучке в продольном магнитном поле записывается в виде

При 〃》1 условие (11) соответствует Ний, описываемых в рамках приближения

возбуждению высоких >мод колеба-

геометрической оптики,

принима

ет вид

ky "о ky 1

尼 z Qe a々z °е

(12)

(13)(13)При этом инкремент нарастания slipping ——неустойчивости а / лп

(13)

(13)

6 = Im(о =： fe — / ctg + a。 v

Наконец, заметим, что в отсутствие внешнего магнитного поля при условии

<o'《SLe уравнение (2) сводится к виду

(14)(14)(15)(15)2—=0.@@одх

(14)

(14)

(15)

(15)

Общее решение этого уравнения

ф=0/2[С 兩/2*砌 +C2/-3/2(i^)],

как легко видеть, всегда удовлетворяет условию 旷2>九2 ПрИ 〃=1.

Таким образом, электронный пучок с неоднородным профилем скорости 6 отсутствие внешнего магнитного поля всегда неустойчив, причем в нем возбуждается основная мода колебаний, для описания которой приближение геометрической оптики неприменимо.

Задача 9.10, Показать, что замагниченный вращающийся как целое трубчатый нерелятивистский электронный пучок в дрейфовом пространстве неустойчив по отношению к электростатическим колебаниям (диокотронная неустойчивость).

Решение. Будем исходить(из модели независимых частиц, считая, что в равновеоном состоянии электронный пучок обладает -неоднородной плотностью ^ь(r), однородной продольной скоростью и II и азимутальной скоростью вращения 〃①.Для вытянутых вдоль магнитного поля (желобковых) электростатических возмущений, зависящих от времени и координат в ваде

f(r)exp(—i(o/+iZ(p),

при этом получаем

6 и了 ^=

1 0①

% дг

(1)

(s一；〃ф)6"Ь= 一 ；-^7(г"匕6 力)+^^6%.

Учитывая эти соотношения, запишем уравнение Пуассона А8=—e6^ь/8o

в виде

(2)

L 0 r dr

d①戶

—①—

@F产

Ф

Qp у(о —

Граничное условие к этому уравнению очевидно: ф| r=R = 0.

续=。■or

⑶

Сформулированная граничная задача допускает существование собственных значений с Ims>0, соответствующих неустойчивым колебаниям, только при

313

условии, когда

。時

17-

меняет знак в области 0Vr《R・ Это имеет место в отор

ванных от стенок дрейфовой трубки трубчатых электронных пучках:

№") =

Г = const Пpи г0《厂《公

О при г < г0 и q V г《R •

В этом случае мы можем решить уравнение (3) по роднасти лучка и затем сшить найденные решения,

ницах пучка

отдельным Областям одно- учитывая условия на гра-

{①}Г=Г。 = {①}Г=Г1 - 0,

d① )噺 ]

十— Qe (S - 2%") J r=r。

I JO )①确]

I dr + Re (s—/%“)jr=「]

Подставляя в эти соотношения общее решение

①⑺={ С2 г1 + С?厂/

при

У%，

при

(7)

при

q V %《R.

несложных преобразований

получим

и учитывая граничное условие (4), после дисперсионное уравнение

(8)

(9)

Уравнение (8) имеет решения с Im со>О, если 匕?一4cV0. Можно .показать, что при 厂о=О (сплошной пучок) ил)и n=R (прижатый к стенке трубчатый пучок) это неравенство не выполняется, т. е. такие пучки устойчивы по отношению к рассматриваемым колебаниям. Всегда устойчивой оказывается также и мода с 2=1. Таким образом, неустойчивым являются колебания с Z>2 только в оторванном от проводящей стенки дрейфовой трубки трубчатом электронном пучке. Максимальный инкремент нарастан!ия колебаний достигает значения

Im ①dRe(о=д=з2川2Qe).

Задача 9.11. Рассмотреть возможность возбуждения встречной В-волны релятивистским пучком вращающихся электронов 6 вакуумном резонаторе. Решение. Встречной является возбуждаемая пучком В-волна низкой частоты при условии ^isCy/Q&R^l, так как 々zo2V и Ugo2Vo [см. формулы (9.5.26) и (9.5.27)]. Такая волна может возбуждаться пучком даже при полном отсутствии отражения от правого торца резонатора или прй идеальном согласовании излучателя с резонатором. Возбуждение возможно при достаточно больших расстройках, когда

1^1=卜一&叫一粗》(± .北工勺y・(1)

Решен1ие характеристического уравнения (9.5.25) для В-волны при этом дает

也z 1,2,3 =居 02(®)+6^z 1,2,3'々z 4 = —^z 02(S)‘

где

吟 点唠

⑶⑶工展厂Yl財02|/?2一 '

⑶

⑶

22,3 -勺［+ ［決2 Y也。21炉*)

Теперь мы можем подставить решения уравнения поля в виде суммы нормальных вол<н

4.

⑷⑷生(z)= S BZQnelk^wzn=l

⑷

⑷

На торце z=0 предпола- полное излучение. В реНа торце z=0 предпола- полное излучение. В рев граничные условия на торцах резонатора z=0, L. гается полное отражение волны, >а на торце z=L —

На торце z=0 предпола- полное излучение. В ре

На торце z=0 предпола- полное излучение. В ре

зультате имеем дисперсионное соотношение

з

S «г exp [ikzn (со) L] =0,⑸

п=1 где

О 力? п 1 О kzl

а1 2 = ± у© »7Т~"&77，⑹

▼(6風一5kzl) (6 晒—3% i,2)

6 Al 6 居2

3(6 论23 — 3 也Z1)(3 丸23 — 3 居2)

Отсюда получаем спектр колебаний (co->(o+i6):

▲ ( u〃；虎党 亠 勺「(7)

-L (吟 8c2y 出 02l R2 丿 I I %02 I •

Наконец, из условия 5>0 находим стартовый ток возбуждения резонатора на встречной волне:

⑻⑻64 л me3 £о R3 Y 电 о? I R 吟

⑻

⑻

Задача 9.12. Решить задачу Френеля (т, е. задачу отражения и преломления) для электромагнитной волны на плоской границе раздела однородной бесстолкновительной изотропной холодной плазмы с вакуумом, Решение. Из равенства тангенциальных компонент электрического поля и нормальной компоненты электрической индукции на границе плазмы с вакуумом находим коэффициенты отражения электромагнитных волн: для волн с 5-<поля-риза1Ц'ией (//-волна с электрическим вектором, оар1аллельны1М поверхности плазмы)

cos й — Т/е (со) — sin2 9

/ =…二=",⑴

cos 令 + (co) — sin2 令

а для волны с р-поляризацией (Е-волна с электрическим вектором, лежащим в плоскости падения)

_a(①)cos 今一(①)一sin2令⑵

8 (co) cos 8 +1/£ (з) — sin2 合

Здесь 3 — угол падения, т. е. угол между волновым вектором падающей волны и нормально к поверхности плазмы, а е((о) =11—<о2ье/(о2 — диэлектрическая проницаемость. Величина |г8,р|2 есть отношение потока электромагнитной энергии, отраженного от поверхности, к падающему, а (1—|,г8Р |2) — часть прошедшего в плазму потока энергии.

Видно, что при 8(о) < sin2 й<1 волны обеих поляризаций полностью отражаются от плазмы; при ^~>п/2 это происходит при любых частотах ноля о. Отметим также, что отношение нормальных компонент электрического поля в плазме и в вакууме

Еце”е(S)

При со-хоье происходит значительное усиление нормальной компоненты электрического лоля в плазме..

Часть 3Часть 3ОСНОВЫНЕЛИНЕЙНОЙОСНОВЫНЕЛИНЕЙНОЙ

Часть 3

Часть 3

ОСНОВЫ

НЕЛИНЕЙНОЙ

ОСНОВЫ

НЕЛИНЕЙНОЙ

ЭЛЕКТЮДИНАМИКИ ПЛАЗМЫ

Глава 10. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ

ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЕ И РАССЕЯНИЕ ВОЛН

Корреляционные функции системы заряженных частиц. Общее рассмотрение

В предыдущих главах плазма рассматривалась как система частиц, характеризуемая набором макроскопических параметров, представляющих собой средние значения соответствующих микроскопических величин. В то же время известно, что параметры любой системы могут испытывать отклонение от средних значений, которые называют флуктуациями физических величин.

В этой главе изучим флуктуационные явления в плазме и некоторые связанные с ними процессы. Помимо самостоятельного интереса (поскольку, например, тепловые флуктуации электромагнитного поля определяют уровень «шумов» в плазме) изучение флуктуаций важно и с других точек зрения. В частности, вследствие тепловых флуктуаций могут протекать такие процессы, как рассеяние и трансформация волн в плазме. Как отмечалось в гл. 3, флуктуации определяют интеграл столкновений заряженных частиц в плазме, а следовательно, позволяют исследовать и про-

цессы переноса. Теорию флуктуаций в плазме будем излагать на основе макроскопических характеристик электромагнитных свойств плазмы (диэлектрическая проницаемость и проводимость) ,которые были изучены в предыдущих главах исходя из наиболее общей модели плазмы — кинетического уравнения с самосогласованным полем. Однако возможен и обратный подход к изучению электромагнитных явлений ——определение с помощью микроскопической теории флуктуаций в плазме ее диэлектрической проницаемости.

Для количественной характеристики флуктуаций введем так называемые корреляционные функции. Рассмотрим флуктуации некоторой величины, например плотности тока j(f, г), считая эту величину вещественной, а ее среднее значение ——равным нулю:

〈/(/, г)〉= 0・(Ю.1.1)

В общем случае усреднение в (10.1.1) должно проводиться как по всем возможным квантовомеханическим состояниям системы, так и по вероятности статистического распределения этих состояний, т. е. по статистическому ансамблю, что эквивалентно усреднению по времени.

Пространственно-временную корреляционную функцию (или просто коррелятор) определяют как среднее значение произведения флуктуаций величины j (力 г) в различных точках пространства в различные моменты времени. При этом, если среда однородна не только в пространстве, но и во времени, квадратичную пространственно-временную корреляционную функцию записывают в виде

〈汕〉"「=〈/№，「1)厶(『2, r2)X(10.1.2)

где f =勾一九 r = r2-rb

Поскольку рассматривается пространственно однородная и стационарная плазма, можно применить преобразование Фурье

j(/‘r)= ^/d3dke--Hkrj®,k),(1013)

j (①，k) = j dtdre+ifi)/~ikr j (Л r), определив спектральное распределение пространственно-временной корреляционной функции в виде

(ЛМо, k = JMdr「(Ю.1.4)

Введенную величину называют также спектральной плотностью корреляционной функции. Используя (10.1.3) и определение (10.1.4), легко показать, что имеется следующее соотношение:

<Л((о, к)力(о/, к)〉= (2冗)幻(з—о/)б(k—k)"岳〉明左，(10.1.5) связывающее среднее значение произведения Фурье-компонент флуктуирующих величин со спектральным распределением корреляционной функции.

Часто флуктуации удобно характеризовать пространственной

@«, Г1)ь(/, г2)> = <ль>г(Ю.1.6)

или временной (автокорреляционной)

〈厶(九 Г)方(м Г)〉= 5厶，(Ю.1.7)

корреляционными функциями, представляющими среднее значение флуктуаций величин, либо в заданный момент времени, но в различных точках пространства, либо в заданной точке пространства, но в различные моменты времени.

Нетрудно убедиться, что имеются следующие соотношения для спектральных компонент корреляционных функций:

〈力〈力力〉* k ,

加(10.1.8)

Это означает, в частности, что спектральная плотность автокорреляционной функции представляет собой интеграл по всем волновым векторам от спектральной плотности пространственновременного распределения флуктуаций.

С помощью автокорреляционной функции можно определить среднюю по всему спектру характерную частоту флуктуаций:

〈吟(ЮЛ.9)

卜j5〉№

Аналогично с помощью пространственной корреляционной функции можно найти характерную длину, на которой происходит корреляция между флуктуациями данной величины.

Отметим одно важное следствие соотношения (10.1.1), для чего перепишем его в виде равенства нулю среднего значения амплитуд Фурье-компонент флуктуирующих величин:

〈j(s, k)〉= 0.(Ю.1.10)

Комплексную амплитуду j (со, к) можно представить как

力(①，k) = 1厶(3, к)1e即,(Ю.1.11)

где (р — фаза соответствующей Фурье-компоненты плоской волны. Тогда из (10.1.10) следует, что фазы Фурье-компонент флук-

319

туирующих величин случайны, и усреднение (10.1.10) означает усреднение! по случайным фазам. В этом состоит существенное различие между флуктуационными возмущениями равновесного состояния среды от возмущений с регулярной фазой, которые соответствуют собственным колебаниям среды, подробно рассмотренным в предыдущих главах.

Основной задачей общей теории флуктуаций в материальных средах является нахождение связи корреляционных функций для различных физических величин с макроскопическими характеристиками среды — диэлектрической проницаемостью или проводимостью. Для плазмы как системы заряженных частиц такая задача решается строго благодаря наличию малого параметра 刀一 отношения энергии взаимодействия частиц к среднему значению энергии их теплового движения. В первом приближении заряженные частицы в плазме можно считать невзаимодействующими.

Переходя к расчету флуктуаций различных конкретных параметров плазмы, вспомним, что введенная в гл. 3 функция распределения (3.2.1) является, по определению, средним статистическим значением микроскопической функции распределения

%(「，V, 0= 26(Г-Г8(/))6(Р-Р8«)), (Ю.1.12)

s=l

характеризующей микроскопическое распределение электронов в фазовом пространстве, т. е.

f(n р, О=<м(г, Р, 0>. (10.1.13)

Здесь усреднение производится по распределению различных возможных состояний рассматриваемого статистического ансамбля из N частиц, т. е. по так называемой функции распределения Лиувилля, зависящей от координат и скоростей всех N частиц, образующих ансамбль — F(rb ..., ^, рь ..., pN, 0 ・ Поэтому естественно рассмотреть прежде всего флуктуацию самой функции распределения, которую следует определить как разность микроскопического распределения в фазовом пространстве (10.1.12) и его среднего значения:

б/(г, р, /)三/м(『，Р, DTK, Р, 0- (Ю.1.14)

Очевидно, что в системе невзаимодействующих частиц в отсутствие внешних полей их траектории ——прямые линии, вследствие чего в (10.1.12) следует положить v°s(Z) =v°s=const, r°s(Z)= =r°s + v°s(f——/о), где индекс 0 означает, что данная величина относится к системе без взаимодействия, a r°s и v°$ — начальные положение и скорость частицы. Функция распределения Лиувилля представляется при этом в виде

F%(「?…，嗚，Р?，…，Р%)=ГП Е)・ (Ю.М5)

s=J

Здесь учтено, что в силу пространственной однородности и стационарности системы одночастотные функции распределения f (p°s) зависят только от импульса p°s = p.

Образуя коррелятор для флуктуаций распределения частиц одного сорта и производя далее усреднение по функции (10.1.15), можно показать, что в отсутствие взаимодействия между частицами пространственно-временная корреляционная функция для флуктуаций функции распределения имеет вид

<SP(r, Р, %)讨。(匕 р‘，，)〉三〈讨(р)6/(р')〉0гт，,£т，=

=6 (P—P‘) S [r—rz—v (I‘) ] f (p) •(10.1.16)

Переходя к Фурье-образам, отсюда находим для спектрального распределения флуктуаций функций распределения еГ отсутствие взаимодействия выражение

<б/(Р)б/(Р，))а,к = 2冗3(V — U) з (① 一 к V)/ (р)・(Ю.1.17)

Здесь f(p) —произвольная неравновесная функция распределения.

С помощью коррелятора (10.1.17) легко найти спектральные распределения для флуктуаций всех параметров, характеризующих систему невзаимодействующих заряженных частиц. Так, например, умножая (10.1.17) сначала на а, а затем на 再^山% и дважды интегрируя по импульсам, находим спектральные распределения пространственно-временных корреляционных функций соответственно для плотности заряда, плотности частиц и плотности тока в отсутствие взаимодействия частиц:

<Р2)^, к =逑〈3%2〉^, к = 2^jdp/(p) 6 (з- kv), (Ю.1.18) 05〉ф, к=2л 8 J dps ⑦ f (р) 3 (①一 kv).(10.1.19)

rW = {-TC0S(-+(P)J +S也(? + 中)rW = {-TC0S(-+(P)J +S也(? + 中)При наличии внешних полей для вычисления корреляционных функций необходимо знать закон движения частиц в этих полях. В частности, если на плазму наложено внешнее магнитное поле Во, то

rW = {-TC0S(-+(P)J +S也(? + 中)

rW = {-TC0S(-+(P)J +S也(? + 中)

，% %}，

(10.1.20)

где 丫 ——релятивистский фактор; Q = еВ^т — циклотронная частота; и丄 и 'У а — поперечная и продольная (по отношению к внешнему магнитному полю) компоненты скорости заряженных частиц; (Р ——фаза в начальный момент времени / = 0; магнитное поле считается направленным вдоль оси Ог.

Образуя, как и в изотропной плазме, корреляционную функцию флуктуаций плотности тока согласно (10.1.14), после вычис-

лений, аналогичных проведенным в § 5.1 при выводе тензора диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы, получаем

05%к = 2^2 £ 卩⑺罔⑹谷卜-牛-Eis'dp, (10.1.21)

где тензор H%j(p) определяется формулой (5.1.8).

Выражение для спектрального распределения флуктуаций плотности заряда оказывается более простым:

“2〉京=2冗彳上 jf(р”Н^^) 6 (s— 一一电I 切)dp・

(10.1.22)

Корреляционную функцию флуктуаций плотности частиц получают из (10.1.22) простым - делением на е2.

Соотношения (10.1.18) — (10.1.22) связывают флуктуации плотности заряда и тока в системе невзаимодействующих частиц с функцией распределения ，(р). В этом приближении (при полном пренебрежении взаимодействием частиц) флуктуации в электронной и ионной компонентах плазмы независимы и найденные соотношения можно рассматривать для каждой из них отдельно. Затем следует учесть взаимодействие между частицами плазмы посредством самосогласованного поля. Для этого плотность флуктуационного тока j°(0, к) нужно подставить в систему уравнений Максвелла в качестве внешнего источника и определить поле, создаваемое этим током. В результате имеем

{必&厂財財一£е〃(со, k)}£j®, k)=

= A»j®, k)Ej®, k) = *W j?。®, k).(10.1.23)

Здесь суммирование распространяется по всем сортам заряженных частиц а = е, i, а £订(3, к) —тензор диэлектрической проницаемости плазмы.

Решение уравнения (10.1.23) можно формально записать в виде

&(з, к) = 3 2АТ®, к)炉(з, к).(10.1.24)

80 с2 а 4

Используя (10.1.5), отсюда находим спектральное распределение флуктуаций самосогласованного поля в плазме:

〈Е壬儿/к)Л-Ч(о, к) S^o/^^k. (10.1.25)

8q С4а

При выводе этого соотношения было учтено, что в приближении невзаимодействующих частиц

.密出宀=^蟀"跟(I。」％)

Формулы (10.1.25) и (10.1.21) связывают коррелятор <£г£；>®д с функцией распределения частиц в плазме.

Теперь, когда известна корреляционная функция флуктуаций самосогласованного поля, можно найти поправки к флуктуациям тока и заряда, обусловленные самосогласованным взаимодействием частиц в плазме. Так, под действием флуктуаций самосогласованного поля возникает поправка к флуктуации плотности тока частиц сорта а:

5严2(3, к) =—i(08oSe%((o, к)Е)((о, к).(10.1.27)

В результате полная плотность флуктуационного тока частиц сорта а

严(з,к)=*3端®, k)A^®,k) £ 居。(①，)+ j?o®,k).(lO・L28)

Отсюда получаем искомую связь между спектральным распределением флуктуаций плотности тока, учитывающим самосогласованное взаимодействие частиц в плазме, и коррелятором флуктуаций плотности тока невзаимодействующих частиц:

〈片公明ё=S [3汕 3*，一 ^ 3唯®, k)(①,k)] X

X [6；V &，B- ^ 犠(①,к) Л-1(0, к)]〈笈笈〉瞋・(m・29)

Спектральное распределение корреляций плотности заряда при учете самосогласованного взаимодействия частиц в плазме легко получить, используя уравнение непрерывности. В результате имеем

#戒〉3止=響〈/3?〉s,k・(10.1.30)

Делением этого соотношения на е^ находят коррелятор флуктуаций плотности частиц〈6Na℃s,k・

Аналогично находят корреляционные функции флуктуаций магнитного поля, среднего значения энергии и других физических величин. Все они выражаются через коррелятор флуктуаций плотности тока невзаимодействующих частиц, который, в свою очередь, согласно (10.1.19) и (10.1.21), определяется интегралом от функции распределения частиц по импульсам.

В заключение еще раз подчеркнем, что полученные в этом параграфе соотношения носят общий характер и применимы как к равновесной, так и к неравновесной плазме. Единственным ограничением является требование устойчивости плазмы, что, в частности, заложено в предположении ее пространственной однородности и стационарности равновесного состояния.

11*323

§ 10.2. Флуктуации в равновесной плазме.

Флуктуационно-диссипативная теорема

Применим полученные общие результаты к термодинамически равновесной плазме. Начнем с невырожденной изотропной бесстолкновительной плазмы, имеющей максвелловскую функцию распределения /Оа(р) и температуру Т для всех сортов частиц. При этом вклад частиц сорта а в диэлектрическую проницаемость определяется выражением (4.1.11), из которого следует соотношение

6е* (з, k) = in ，dpssfoa (Р) 3(3-kv).(Ю.2.1)

Сравнивая это выражение с (10.1.19), получаем связь коррелятора токов невзаимодействующих частиц с антиэрмитовской частью парциального тензора диэлектрической проницаемости:

"а〃％〉％,к = —^Т2ео £叩订®, k).(Ю.2.2)

Отсюда видно, что флуктуации s плазме пропорциональны ее температуре и антиэрмитовской части тензора диэлектрической проницаемости, ответственной за диссипацию энергии электромагнитного %。，兄 8 плазме.

Учтем далее, что в изотропной плазме

Аи=-号笫 ~(8,舟 + (&j-讐)[-* е"(з,田 + 円•

(10.2.3)

Используя соотношения (10.1.29) и (10.2.2), коррелятор флуктуаций плотности полного тока в изотропной плазме после несложных выкладок можно привести к виду

/т сIm ez(о, k).

L k |J((o,k)|2

十3订一找 k .

Соотношение (10.2.4) представляет собой так называемую флуктуационно-диссипативную теорему для невырожденной термодинамически равновесной изотропной плазмы. Она является частным случаем более общей флуктуационно-диссипативной теоремы, справедливой для термодинамически равновесной анизотропной плазмы:

〈力力〉s,k= - *"0" 一 a/*) л?.=

=一号+酸⑷l“)纯，(1025)

где А=|А灯I ―определитель, составленный из элементов матрицы A订；а订 --алгебраическое дополнение а公在a左)=a6订,а

А} ®, k) = Кш A?(s, к)=[(居一号)6j；—財財].(10.2.6)

Флуктуационно-диссипативная теорема вида (10.2.5) применима также к произвольной анизотропной плазме, как невырожденной, так и вырожденной. Необходимо только, чтобы плазма находилась в состоянии термодинамического равновесия с температурой Т, одинаковой для всех сортов заряженных частиц. Кроме того, при выводе этой теоремы предполагалось выполненным неравенство й(о<СЛ что обусловило применимость классического рассмотрения. В квантовой статистической физике флуктуационно-диссипативная георема доказывается в более общем виде без учета этого неравенства:

m"k= - 石总閣一 ± Л0ИД.-АУЛ0. (10.2.7)

В пределе 充s《T она переходит в (10.2.5).

При использовании флуктуационно-диссипативной теоремы в (10.2.5) и (10.2.7) следует подставлять Л((о, к), А订(з, к) и 厶仃®, к), вычисленные с учетом соответствующих ограничений. Выше для описания движения заряженных частиц в плазме было использовано классическое кинетическое уравнение с самосогласованным взаимодействием, справедливое в условии 方со《/ср, где /ср — среднее значение энергии хаотического движения частиц. Это означает： для невырожденной плазмы 方з《Т, для вырожденной плазмы 方s《<Ff； отношение 方s/T может быть произвольный- Поэтому далее для невырожденной плазмы будем пользоваться флуктуационно-диссипативной теоремой (10.2.5), а для вырожденной— (10.2.7).

Из соотношений (10.2.5) и (10.2.7) следует, в частности, один общий весьма важный вывод: спектральная плотность флуктуаций резко возрастет в том случае, когда возможно выполнение равенства

a= 歩&厂也自一^ %®, k" =0.(1028)

Это есть не что иное, как дисперсионное уравнение для спектров собственных колебаний плазмы (2.4.4), подробно исследованное в предыдущих главах. Таким образом, флуктуации имеют резкие максимумы вблизи частот собственных колебаний плазмы.

С помощью соотношений (10.2.4) — (10.2.7) были выражены флуктуации в равновесной плазме через макроскопическую харак-

теристику ее электромагнитных свойств — диэлектрическую проницаемость, точнее, ее антиэрмитовскую часть 8aij(co, к). Можно поступить и обратным образом — с помощью формулы (10.2.2) выразить антиэрмитовскую часть диэлектрической проницаемости через коррелятор плотности тока для системы невзаимодействующих частиц. Воспользовавшись далее формулами Крамерса — Кронига (2.2.17), можно определить и эрмитовскую часть бе^Дсо, к), т. е. найти полное выражение тензора комплексной диэлектрической проницаемости. Соответствующие соотношения имеют вид

吟(si尸G力心，

吟(s, k)-M= — J 网哈®，k) do：(10.2.9)

t П —8①夕一(O

Приведенные выражения составляют математическое содержание так называемого обращения флуктуационно-диссипативной теоремы^ с помощью которого можно найти тензор диэлектрической проницаемости плазмы, если предварительно определить из микроскопической теории флуктуации плотности тока или заряда в плазме.

Спектральное распределение флуктуаций

в равновесной бесстолкновительной плазме

Рассмотрим флуктуации в равновесной бесстолкновительной электронной плазме. Начнем с наиболее простого случая изотропной невырожденной плазмы. Будем исходить из соотношения (10.1.25), которое при учете (10.2.2) определяет коррелятор флуктуаций самосогласованного поля в изотропной плазме:

ktkj Im J (о, k), 十必"(明k)12ktkj Im J (о, k), 十必"(明k)12

ktkj Im J (о, k),

十

必"(明k)12

ktkj Im J (о, k),

十

必"(明k)12

Im £“((o, k)Im £“((o, k)(10.3.1)(10.3.1)

Im £“((o, k)

Im £“((o, k)

(10.3.1)

(10.3.1)

Из формул (10.2.4) и (10.3.1) видно, что корреляторы флуктуаций плотности тока и электрического поля распадаются на два слагаемых, характеризующих продольные и поперечные флуктуации. Таким образом, 6 изотропной плазме продольные и поперечные флуктуации оказываются независимыми.

Из уравнения непрерывности

(ор = kj (со, к),(10.3.2)

учитывая (10.2.4), легко находим коррелятор флуктуаций плотности заряда:

〈p2〉8出=仇〈#2〉叫k= 号立m10 .(10.3.3)

16#s |8Z (®, k)p

Естественно, что флуктуации плотности заряда зависят только от продольной диэлектрической проницаемости. Напротив, коррелятор флуктуаций магнитного поля в изотропной плазме определяй ется только поперечной диэлектрической проницаемостью. Действительно, учитывая уравнения поля о)В=)[кЕ], из (10.3.1) находим

⑷券)5广占■ •(10.3.4)

Выразим теперь корреляционные функции через параметры плазмы, для чего используем явный вид диэлектрической проницаемости. Ограничимся вначале случаем чисто электронной невырожденной плазмы, воспользовавшись для d((o, k) и £力(3, k) выражениями (4.1.14). Рассмотрим флуктуации плотности заряда. Проанализируем область высоких частот (больших фазовых скоростей) б》Ете, в которой существуют продольные слабозатухающие ленгмюровские волны со спектром, определяемым дисперсионным уравнением U((o, k) =0. Для этой области частот из (10.3.4) имеем

〈р2〉*к =誥 ©2〉s,k ^ 竺产晚[Re U ®, k)]・(10.3.5)

При получении этой формулы была использована возможность формальной замены

1叫白也&_ =冗6 [Re U (о, к)],(10.3.6)

” (s,k)|2

справедливой для области прозрачности плазмы, когда Re U (со, й)》Im U (о,々)•

Подставляя в (10.3.5) выражение для Re 8z((o,左), которое в рассматриваемой области имеет вид

ReU (о, к) = 1(1+3上2 ,(10.3.7)

окончательно находим

〈p%产 哈6 "一*一3居喲.

(10.3.8)

〈日2)明k= 中哈6 (炉一% - 3公喲

Здесь учтено, что спектр продольных волн лежит в узком диапазоне частот (О2 (Ле.

Таким образом, 8 высокочастотной области спектра флуктуа- ции плотности заряда в плазме существуют только 8 узком диапазоне частот, соответствующем спектру плазменных колебаний.

И*И*327

И*

И*

Рис. 42. Спектральное распределение флуктуаций плотности заряда в термодинамически равновесной плазмеРис. 42. Спектральное распределение флуктуаций плотности заряда в термодинамически равновесной плазмеЭто иллюстрируется рис. 42, на котором представлена зави« симость спектральных распределений величины —8 明卜_

Рис. 42. Спектральное распределение флуктуаций плотности заряда в термодинамически равновесной плазме

Рис. 42. Спектральное распределение флуктуаций плотности заряда в термодинамически равновесной плазме

2 ле。е8 "е от безразмерной частоты 3/(々5). Видно, что максиму- мы резкие только при малых значениях h2r2^, а с уменьшением длины волны (увеличением волнового числа k) полностью пропадают из-за сильного затухания Ландау.

Используя асимптотику функции J^ \ т^-] при ма- те /

лых значениях (о/ (й^те), можно исследовать и область

низких частот, однако соответствующие расчеты не приводят к простым выражениям и выписывать их здесь не представляет инте

реса.

Для дальнейшей характеристики флуктуаций удобно рассмотреть временную корреляцию флуктуаций с заданной длиной вол

ны, которая получается интегрированием спектрального распределения корреляционной функции по частотам:

〈p2〉k=d С »2〉^(1叫〈"2〉k=4 f〈#2〉叫k ds ・(10.3.9)

Интегрирование в (10.3.9) легко провести с помощью формулы Крамерса — Кронига, которую следует применить к функции W((o, &)]т (см. задачу 2.5):

№£"3，к). _1=丄 7 —夕 Im/Q，X_ ^. (10.3.10) |，®,k)|2几(W 二s)| / (W, k)|2

Полагая в (10.3.10) s = 0 и учитывая, что Im 8г(0, й) =0, из (10.3.9) находим

〈р…

(10.3.11)(10.3.11)Таким образом, спектральная плотность пространственной кор- реляционной функции флуктуаций плотности заряда и продольного электрического поля полностью определяется продольной

(10.3.11)

(10.3.11)

статической диэлектрической проницаемостью. Подставляя в (10.3.11) значение е“0, k) для изотропной плазмы, согласно (4.2.13),, получаем

〈р2〉к= 上”史一,〈@2〉к= ————(10.3.12)

Производя обратное преобразование Фурье, нетрудно найти пространственные корреляционные функции флуктуаций плотности заряда и продольного электрического поля*:

〈р2〉=2е2 & 6(「)一,

D(10.3.13)

2I

〈#2〉「=.

Отсюда следует, что характерным расстоянием, на котором происходит корреляция между флуктуациями плотности заряда и продольного электрического поля 8 плазме, является дебаевский радиус. В зто鼠 случае при 刀《1 энергия флуктуаций продольного поля мала по сравнению с тепловой энергией электронов:

^^=*/2《1.(10.3.14)

NeT \4лТе0^

Найдем далее среднюю квадратичную частоту флуктуаций, которая определяется выражением (10.1.9):

32〉=言・(10.3.15)

J〈p2〉s,kd®

Здесь также интегрирование удобно провести с помощью формулы Крамерса — Кронига, что дает

〈炉〉=lim 炉［1 一~ ®,田］「1 ———!—Г】・(10.3.16)

(0->ооL 8 (0,论)

Как неоднократно было показано ранее и как следует из общих физических соображений, в области высоких частот пространственная дисперсия несущественна и для 8г(о,万)при (о》 》^ите можно пользоваться формулой элементарной теории

ег(0, '^) = 1—(02Le/(02.

С учетом этого средняя квадратичная частота флуктуаций

♦ Далее для простоты «ионы считаются однократно заряженными.

откуда видно, что она меньше частоты собственных плазменных колебаний(з^=а^ъе+3^2^ Из (10.3.17) следует также, что все полученные формулы, основанные на (10.3.4), справедливы при условии h(OLe《T, которое, как правило, всегда хорошо выполняется в невырожденной плазме.

Проанализируем теперь особенности флуктуаций в вырожденной электронной плазме. Будем исходить из выражения (10.2.7) для коррелятора 〈/c/j〉s.k ・ Используя уравнение непрерывности (10.3.3), можно получить из (10.2.7) выражение для коррелятора флуктуаций электронной плотности в изотропной плазме:

〈3N；〉叫 к〈3N；〉叫 кIm J(s,々) "®,4户Im J(s,々) "®,4户(10.3.18)(10.3.18)

〈3N；〉叫 к

〈3N；〉叫 к

Im J(s,々) "®,4户

Im J(s,々) "®,4户

(10.3.18)

(10.3.18)

Отметим прежде всего следующее важное обстоятельство. Согласно флуктуационно-диссипативной теореме в классическом пределе, т. е. когда hs《T и справедливо соотношение (10.2.5), при Т=0 флуктуации невозможны,. В вырожденной плазме это не так. Действительно, из (10.3.18) видно, что флуктуации 6 вырожденной плазме возможны и при Т=0 (полное вырождение), но только с отрицательными частотами sV0・ Физически это является следствием того, что при Т=0 частицы системы занимают все возможные низшие энергетические уровни, т. е. система Ферми- частиц находится в основном энергетическом состоянии и допускает переходы только в состояние с большей энергией, что соответствует поглощению кванта энергии, т. е. отрицательному значению частоты. Флуктуации при Т=0 являются чисто квантовыми и пропорциональны постоянной Планка й.

Проанализируем выражение (10.3.18) при произвольном отношении 6з/Т, используя в качестве U((o,力)формулу (4.1.18). Начнем с области высоких частот (o>^UFe・ При этом мнимая часть диэлектрической проницаемости в бесстолкновительном пределе {согласно (4.3.3)] строго равна нулю и флуктуации в плазме невозможны. Однако при учете редких столкновений частиц появляется отличная от нуля мнимая часть 8z(co,应),а вместе с ней и флуктуация на частотах собственных плазменных колебаний со спектром (4.3.4):

ее2 ехр (ho/Т) — 1

1 +(ю.3.19)

асимпто-(10.3.18)(10.3.20)асимпто-(10.3.18)(10.3.20)济 exp(h(D/7)~l [ 八]5 脸 /]

асимпто-

(10.3.18)

(10.3.20)

асимпто-

(10.3.18)

(10.3.20)

В области низких частот з《左и* для ег(<о,左)имеем тическое представление (4.3.6), подстановка которого в

дает

、k _ -02%, exp(h(D/r)-i 1+胪脸/(3味)

Из этого выражения видно, что в области низких частот (малых фазовых скоростей) основную роль играют длинноволновые флуктуационные возбуждения с 々UFe《SLe, флуктуации с малой длиной волны hvEe》®Le в системе невзаимодействующих ферми- частиц относительно малы.

Наконец, заметим, что, зная флуктуации плотности электронов, нетрудно определить флуктуации плотности заряда и продольного электрического поля в плазме:

<E^^t к = 方da%》叫 к. (10.3.21)

Оценка по этой формуле энергии, связанной с флуктуацией продольного поля, показывает, что, так же как и для невырожденной плазмы, она мала по сравнению с энергией хаотического движения электронов. Так, в пределе h(o《7 имеем

4 红製比工(f空у ^ ] (ю.3.22) "e 歩 Fe 岩Fe 咨Fe

Таким образом, в вырожденной изотропной плазме, так же как и в невырожденной, возможны высокочастотные флуктуации плотности заряда и продольного электрического поля на частотах, близких к ленгмюровской частоте электронов. Однако в отличие от невырожденной плазмы такие флуктуации в вырожденной плазме имеют место как при hsLeVT, когда они определяются температурой (подобно невырожденной плазме), так и при ft o)Le>Tf когда они носят чисто квантовый характер.

В заключение кратко проанализируем флуктуации в невырожденной магнитоактивной плазме, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Коррелятор флуктуаций плотности тока определяют в этом случае с помощью флуктуационнодиссипативной теоремы (10.2.5) Входящие в это соотношение величины выражаются через тензор диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы, для которого следует использовать выражение (5.1.10) с Те=Т^Т. Видно, что в общем случае флуктуаций в магнитоактивной плазме связан с громоздкими вычислениями. Тем не менее вид спектрального распределения корреляционных функций качественно остается прежним: он характеризуется наличием резких максимумов вблизи собственных частот колебаний магнитоактивной плазмы, которые детально проанализированы в гл. 5. Поэтому ограничимся простым примером. Вычислим корреляционную функцию флуктуаций плотности заряда в пределе холодной плазмы. С помощью (10.2.5) и уравнения непрерывности (10.3.3) получаем

〈р2〉叫к= 一-夠竺Т Im 三(Ю.3.23) о Л (о, к)

где Р (о, к) = 4 :— (е丄 cos2 *0* + £ 丄 + £ Il sin2 ®) —-—F

+ (e：—炉)cos2 心+&|| e丄 sin2 也(10.3.24)

Л (со, к) = (е 丄 sin2 心 + £ и cos2 今)一

一?曲丄勺[+(g)-g2-e 丄力)Sil?"]+ 勺1(8；-g2)

(合一угол между векторами к и В), а компоненты тензора диэлектрической проницаемости £丄，&“ и g для рассматриваемого случая чисто электронной плазмы определяются формулами [см. (5.2.3)]

с 1 吭 °1唸 к脸Qe

丄炉一优 4炉，SO^-Q^)

Ограничиваясь пределом (^2с2|/02)^>1, когда волны в магнитоактивной плазме с хорошим приближением можно считать потенциальными, выражение (10.3.23) можно упростить:

(p九,к =一当譬Im一38；打З28.(1。326)

При учете исчезающе малых мнимых частей е 丄 и 8// , обусловленных, например, столкновениями частиц, из (10.3.26) находим!

, 2\ k _几胪 7%炉 (d-鳍)2x

S'к硫e碎 Sil?仆+(0)2 —Q,2 cos2 今

X [6 (co - <00 + 6 (о +(0 i) + 6 (<0 - (02) + 6 ((0 +(o2)],(10.3.27)

где частоты gm и(o2 определяются корнями дисперсионного уравнения для продольных ленгмюровских волн в магнитоактивной плазме [см. спектр (5.2.20)].

叫 2 =丄戸 士(喟e + Q,2 —4s£Q"os2®・ (10.3.28)

Из условия применимости теоремы (10.2.5) следует, что формулы (10.3.23), (10.3.26), (10.3.27) справедливы при 冗 см,2《Т・ Так как они относятся к холодной магнитоактивной плазме, то пригодны как для невырожденной, так и для вырожденной плазмы. Более того, не представляет труда обобщение этих формул на случай вырожденной плазмы при произвольном отношении й on,2/欠 Для этого величину Т в них следует заменить на 充s[exp(^>)— 1]一| • Видно, что аналогично изотропной плазме. в магнитоактивной вырожденной плазме возможны чисто квантовые флуктуации в пределе Т->0, причем частоты этих флуктуаций также отрицательны.

Флуктуации в неравновесной плазме.

Неизотермическая квазиравновесная плазма и плазма с пучком

Полученные в § 10.1 общие выражения для флуктуаций в неравновесной плазме сложны для анализа. Их удается несколько упростить в случае изотропной плазмы. Ограничиваясь рассмотрением флуктуаций только продольных полей и токов (и выражающихся через них флуктуаций плотностей заряда и частиц данного сорта), легко получить Из выражения (10.1.25) спектральное распределение коррелятора флуктуации продольного электрического поля:

〈叫kY е/唸泳…jdp&(P)6®-kv)・(Ю.4.1)

Для спектрального распределения коррелятора флуктуаций плотнорти тока частиц данного сорта (для определенности плотности электронного тока) из (10.1.29) находим

〈盼明「总喘" Jdp品(P)*6(s-kv) +

+ 岩* 露"Pfoi(P)* 3 @ — kv) •(10.4.2)

С помощью уравнения непрерывности отсюда получаем спектральное распределение коррелятора флуктуаций плотности электронов:

〈6們〉叫к=中丁「U1+6唄8»)户X

X Jdpe%е(ре) 6®—kv) + |3寸(о,走)門dp«储(r)6@ — kv)].(Ю.4.3)

Флуктуации ионов определяются такими же формулами, как и флуктуации электронов, с заменой индексов е на i и наоборот.

Из последних двух выражений следует, что флуктуации плотности электронного тока и плотности электронов зависят от функции распределения как электронов, так и ионов, причем эта зависимость определяется не только вкладом соответствующих частиц в диэлектрическую проницаемость, но также самими функциями распределения электронов и ионов по скоростям в направлении волнового вектора к. Физически природа такой зависимости заключается в следующем.

Для характеристики флуктуаций в неравновесной плазме часто удобно вводить понятие эффективной температуры флуктуаций ТЭфф. Покажем это на примере флуктуаций продольного поля. Для этого запишем соотношение (10.4.1) в виде

〈巡明к =苗%，(1。・4・4)

где введено обозначение

尸④，期=S 詈^*Jdp儿(P)3® — kv)・(1045)

В случае равновесной плазмы выражение (10.4.4) переходит в

Сравнивая эти выражения для коррелятора флуктуаций в неравновесной и равновесной плазме соответственно, определяют эффективную температуру флуктуаций неравновесной плазмы:

Т9фф =—也У—・(10.4.6)

8nlm/(% 论)' 丿

Ясно, что эффективная температура может служить не только для характеристики флуктуаций, но и для характеристики продольных колебаний в неравновесной плазме.

Применим полученные результаты к двум конкретным случаям неравновесной плазмы: 1) квазиравновесной неизотермической (двухтемпературной) электронно-ионной плазме; 2) плазме с пучком.

Рассмотрим квазиравновесную плазму, в которой электроны и ионы имеют максвелловские распределения по скоростям, но с различными температурами. При этом в приведенные формулы в качестве foa (ра) следует подставить функции распределения Максвелла с температурой Та, где а=е, i. Получим сначала выражение для спектрального распределения флуктуаций продольного поля. Используя (10.4.1), получим

<^2}<0, k =S К Im бе^ (о,就 (Ю.4.7)

|е (со,舟 12 a

т. е. флуктуации продольного поля в неизотермической плазме описываются аналогично флуктуациям в изотермической плазме с заменой ПтеЦсо, k) на 2 Та 1т6-8га (о, k).

а

Путем аналогичных расчетов нетрудно получить выражения для флуктуаций других величин в неизотермической плазме, в частности для спектрального распределения флуктуаций плотности электроновI

《3岬…唄k)121m附®, k) +

+ -^-1Н(®, ^)|2Im6d(co, &)}.(10.4.8)

В формулах (10.4.7) и (1048)叫①，Л) и бега (со, k) определяют согласно (4.1.14).

Проанализируем спектральное распределение флуктуаций плотности электронов более подробно, для чего рассмотрим области прозрачности неизотермической плазмы. Как известно, их две. Первая область прозрачности соответствует области высоких час- 334 '

Рис. 43. Спектральное распределение флуктуаций электронной плотности в неизотермической плазме

тот ^^kvTe (больших фазо- вых скоростей), в которой существует спектр слабозатухающих плазменных колебаний. В этой области плазма ведет себя как чисто электронная и для ее описания можно воспользоваться полученными в предыдущем параграфе результатами.

Вторая область прозрачности сЬответствует низкочастотной ветви продольных слабо

затухающих колебаний в сильно неизотермической (兀》7\) плазме с фазовыми скоростями, удовлетворяющими условию 卜皿《3《 《尼ите. При условии 左？产De《1 спектр этих колебаний имеет простой вид [см. (4.2.10)]:

o)2 = ^z* 三胪吟(10.4.9)

В этой области частот из (10.4.8) следует

〈6們〉叽 k = ^ М胪4Д6(<о + EJ + 6 (<о-ад,(Ю.4.10)

т. е. флуктуации имеют резкий максимум вблизи резонансный ионно-звуковых частот з = ±^и$. В сторону больших частот значение 〈6№е〉(о.к спадает по экспоненциальному закону, так как, согласно (4.1.16), в рассматриваемой области частот

Im 3必(о, к) - ехр (Y\2找曉丿

В области малых частот также происходит падение <6^> ®,k При частотах 8《左％6 основной вклад в выражение (10.4.8) дает последнее слагаемое и приближенно можно записать

〈6纥〉k А М瓯熊-(10.4.11)

При переходе к изотермической плазме ионно-звуковой максимум пропадает практически полностью, однако абсолютное значение коррелятора флуктуаций электронной плотности в области низких частот при 兀=「сильно возрастает по сравнению с неизо； термической плазмой. Это видно из рис. 43, на котором представлена зависимость спектральных распределений величины 2<б#2е> ®,к /М от безразмерной частоты <о/(^те) прн 胪厂2^《1 и различных значениях Те/Тг.

В случае неизотермической плазмы из (10.4.6) получаем

%© =%© =(10.4.12)(10.4.12)Т %磋喈7評ёхр（一吉）乃磋喊еeхр（一志）

%© =

%© =

(10.4.12)

(10.4.12)

Естественно, что для ионно-звуковой области прозрачности сильно неизотермической плазмы (北》兀)из (10.4.12) следует ТэФФ^Те, т. е. эффективная температура флуктуаций как в высокочастотной, так и в низкочастотной областях прозрачности полностью определяется температурой электронов.

Рассмотрим горячую плазму, сквозь которую с направленной скоростью и движется нерелятивистский пучок заряженных частиц —электронов. Предположим, что в сопутствующей системе координат частицы пучка имеют максвелловское распределение по скоростям. Электроны же плазмы имеют максвелловское распределение в лабораторной системе координат. Тогда для продольной диэлектрической проницаемости системы плазма — пучок £(з, к) можно воспользоваться соотношением (6.3.14):

е®, k) = Sj®, к)=1+£ (10.4.13)

胪 а々2眾[ 、 Ча 〃

Суммирование распространяется по электронам плазмы и пучка. Нетрудно записать также выражение для функции F(<o, к), которое, согласно (10.4.6), определяет эффективную температуру флуктуаций:

尸(<0, к)-хМ2л ехр「一( • (10.4.14) 依嚨 [2炉曦J

В гл. 6 было показано, что при достаточно малых скоростях пучков система плазма — пучок устойчива, а следовательно, к ней применима изложенная ранее общая теория флуктуаций неравновесной плазмы *. При скорости пучка, превышающей некоторое критическое значение, в плазме начинают развиваться различные типы неустойчивостей. При этом с возрастанием скорости пучка сначала развиваются кинетические неустойчивости, связанные с изменением знака мнимой части диэлектрической проницаемости Imе(<о, к), а затем гидродинамические, нарастание которых не зависит от теплового движения частиц (и, следовательно, от Im£(s, к)). Рассмотрим поэтому флуктуации в плазме, которая находится в докритическом состоянии. Ограничимся областью прозрачности, когда для флуктуаций продольного поля мо-

жет быть применена формула (10.4.4). Из этой формулы прежде всего следует, что с приближением плазмы к кинетически неустойчивому состоянию флуктуации в ней неограниченно возрастают. Должна неограниченно возрастать и эффективная температура, значение которой, согласно (10.4.6) и (10.4.13), (10.4.14), определяется выражением

Nb / (s —ku)2\ Ne / d

7泸0 飞2火鳥丿7y飞2火*丿

(10.4.15)

в котором частота и волновой вектор связаны дисперсионным уравнением Rec®, k)=0.

В дальнейшем плотность пучка будем считать малой: Nb《N& При этом вкладом пучка в действительную часть диэлектрической проницаемости можно пренебречь. Вклад же пучка в мнимую часть диэлектрической проницаемости, так же как и в функцию 尸(s, к), с приближением плазмы к кинетически неустойчивому состоянию является определяющим. Рассмотрим высокочастотную область прозрачности @》左叫 спектр колебаний плазмы в которой

з2 = з2^+з 奴吟 е. (10.4.16)

При этом для пучка с большим тепловым разбросом частиц по скоростям, когда 卜со—ku| <ikv^ выражение (10.4.15) упрощается:

7Ne ¥ Ть 八2 犀丿

ефф~

Ne \ Ть )\2依《е /J \ 〃нр /

(10.4.17)

Здесь введено обозначение )

"帥+北面%(一者卜…)

Из (10.4.17) видно, что эффективная температура флуктуаций при скоростях пучка “, приближающихся к критической скорости 〃кр, соответствующей началу развития кинетической неустойчивости 8 системе, неограниченно возрастает.

Возрастание флуктуаций в плазме с приближением ее к неустойчивому состоянию, получившее название явления критической опалесценции, обусловливает резкое увеличение рассеяния электромагнитных волн в такой плазме (см. § 10.6).

Флуктуации и столкновения частиц в плазме

В предыдущих параграфах флуктуации в плазме рассматривались в пренебрежении столкновениями частиц. Проанализируем связь столкновительных и флуктуационных процессов, которая особенно наглядно проявляется для плазмы как системы заряженных частиц, силы взаимодействия которых — дальнодейст- вующие. Данный вопрос имеет два аспекта. Первый из них заключается в том, что столкновения должны оказывать существенное влияние на вид корреляторов флуктуаций электромагнитных полей и параметров плазмы, так как флуктуации определяются диссипацией электромагнитной энергии в плазме, которая, в частности, обусловлена столкновениями частиц. Учет столкновений при этом можно достаточно просто провести с привлечением рассмотренных общих методов. Действительно, поскольку флуктуации полностью определяются (по крайней мере в термодинамически равновесной плазме) диэлектрической проницаемое- тью плазмы, точнее, ее антиэрмитовской частью, расчет флуктуаций можно проводить с помощью приведенных в предыдущих параграфах соотношений, например (10.2.2), (10.2.4) для равновесной плазмы, в которые следует подставить выражения для тензора £订G(o, к), учитывающие столкновения частиц. Так, для слабоионизованной невырожденной плазмы необходимо пользоваться выражениями (4.5.8) и (5.5.6), (5.5.7), для вырожденной плазмы—выражениями (4.5.19) и (5.5.6), (5.5.11). В случае полностью ионизованной плазмы тензор £仃(3, к) с учетом столкновений частиц в различных пределах определяется формулами, приведенными в § 4.6 и 5.6.

С принципиальной точки зрения дальнейшее рассмотрение флуктуаций электромагнитных полей и параметров плазмы не затруднительно, но связано громоздкими выкладками. Физически же влияние столкновений на корреляторы флуктуаций различных величин вполне ясно. В самом деле, столкновительная диссипация должна приводить к двоякого рода эффектам. Вдали от областей прозрачности флуктуации должны возрастать вследствие появления дополнительного диссипативного механизма. С другой стороны, по той же причине должно измениться и спектральное распределение флуктуаций вблизи резонансных частот. В предыдущих параграфах считалось, что вблизи частот собственных слабозатухающих колебаний плазмы флуктуации пропорциональны б-функциям от соответствующих частот, т. е. неограниченно возрастают вблизи них. Однако реально флуктуации конечны и при резонансных частотах в силу наличия затухания Ландау. При этом резонансные пики имеют не только конечную амплитуду, но и конечную ширину. Учет столкновений должен привести к усилению этих эффектов, а именно к уменьшению амплитуды резонатоных флуктуаций и уширению резонанса.

Рассмотрим в качестве примера флуктуации плотности заряда в изотропной плазме при учете столкновений частиц вблизи частот собственных плазменных колебаний. Если частоту столкновений считать малой: <о》”е, kvTei то столкновительная поправка к продольной диэлектрической проницаемости как для слабоио- низованной, так и для полностью ионизованной плазмы имеет вид [см. (4.5.10) и (4.6.5)]

Im 6^(о, 々) = Тр»,(10.5.1)

где Ve = Ven для слабоионизованной плазмы И Ve = Vэфф для полностью ионизованной плазмы. Подставляя это выражение в (10.3.4), получаем следующее соотношение для флуктуаций плотности заряда вблИЗИ реЗОНаНСНОЙ ЧаСТОТЫ (И2 ^(H'^3 = ^2Le-V^V2re：

<р2〉叫 к 必 г 2е0.(10.5.2)

Л味一3鋁唸尸+ (唸'

Из этого соотношения видно, что при возрастании ve значение величины 〈р2〉(о,к снижается, а ширина резонансной кривой растет. При vlO из (10.5.2) получаем выражение (10.3.8) для бесстолкновительной плазмы.

Другой аспект рассматриваемого вопроса состоит в том, что сами столкновения тесно связаны с флуктуациями. Для столкновений с нейтральными частицами в слабоионизованной плазме это особенно очевидно, так как там силы взаимодействия очень быстро убывают с расстоянием и столкновение есть в прямом смысле слова тесное сближение частиц. Но это и есть флуктуация по отношению к однородному в среднем пространственному распределению частиц. Несколько сложнее дело обстоит в случае полностью ионизованной плазмы, в которой силы взаимодействия частиц медленно убывают с расстоянием. По существу этот вопрос был затронут в общей форме при обсуждении возможности описания плазмы с помощью бесстолкновительного кинетического уравнения Власова. Действительно, определив поле в плазме через функцию распределения частиц, усредненную по флуктуациям, 屯луктуационнме эффекты, также связанные с кулоновским взаимодействием частиц, можно было вынести в правую часть кинетического уравнения и отождествить их со столкновениями. Для обычного газа, в котором частицы в целом нейтральны, вследствие чего силы взаимодействия между ними очень быстро убывают с расстоянием, такое отождествление вполне законно и используется в кинетической теории газов. В полностью ионизованной плазме, в которой силы взаимодействия частиц медленно убывают с расстоянием, вклад во флуктуационное взаимодействие, связанный с одновременным взаимодействием многих, хотя и достаточно удаленных частиц, оказывается более существенным, чем отдельные сближения частиц, которые и являются пар-

ными столкновениями. Поэтому в полностью ионизованной плазме понятие столкновения имеет условный смысл и для описания флуктуационного взаимодействия более удобна непрерывная модель, рассматривающая его не как дискретный процесс парных столкновений, а как непрерывно действующую силу кулоновского трения. Следствием этого и явился тот факт, что процесс вычисления интеграла столкновений для полностью ионизованной плазмы (см. § 3.3) привел к уравнению Фоккера — Планка (3.3.12), которое является основным в непрерывной модели описания различных случайных процессов. Для пояснения сказанного получим уравнение Фоккера — Планка общим методом.

Рассмотрим поведение функции распределения заряженных частиц в плазме под влиянием флуктуационного взаимодействия, или, иначе, под влиянием кулоновских соударений. Пусть в момент времени f существует функция распределения f(v—Av, /), а в момент времени f+Af под влиянием флуктуационного взаимодействия она изменится и станет f(v, f*Af). Если вероятность такого перехода из одного состояния в другое (с одной фазовой траектории на другую) равна TF(Av, Д/), то можно записать

И v,/+A/) = Jf(v—Av, /)取(Av, Af)dAv. (10.5.3)

Разлагая левую часть этого уравнения в ряд Тейлора по степеням Д/, а правую — по степеням Av и ограничиваясь первыми членами разложений, можно преобразовать его в дифференциальное уравнение вида

引(V, !)=勿(V, f) S3 丄。2〃v, /)〈厶力 a巧〉 (1054) dtdvi А/ 2 dvi dvj А/ '…

которое называют уравнением Фоккера — Планка. Здесь

J W (Av, Д/) dAv= 1,

J W (Av, A/) As dAv=〈As〉，(Ю.5.5)

J 步(Av, Af) AsAUjdAv=〈As Au》，

причем первое соотношение является условием нормировки, а следующие — обычным определением средних значений.

Уравнение (10.5.4) можно записать также в форме

弯^ =夫(加喑^ -4〃v, /)) ,(Ю.5.6)

где величины ,

4 = _ 續•，％ =扌-9?學必 (10.5.7)

называют коэффициентами Фоккера — Планка. Уравнение (10.5.6) по виду совпадает с (3.3.12), однако коэффициенты Фоккера —Планка (коэффициенты динамического трения и диффу- 340

зии s пространстве скоростей) непосредственно выражены через флуктуации скоростей .

Заметим, что, согласно кинетической теории газов, отброшенные члены в разложении (10.5.4), содержащие более высокие степени Аи,厶 описывают парные столкновения, при которых скорость претерпевает резкие скачкообразные изменения, а их суммирование приводит к интегралу столкновений Больцмана. Из физических соображений ясно, что коэффициент динамического трения в пространстве скоростей А^ характеризует среднее изменение модуля скорости частиц за единичное время, вследствие чего он может быть выражен через потери энергии направленного движения заряженных частиц в плазме (см. задачу 2.4). Коэффициент Dij имеет чисто флуктуационное происхождение и характеризует направленное изменение скорости частиц вследствие рассеяния на флуктуационных полях в плазме, поэтому его называют коэффициентом диффузии в пространстве скоростей.

Коэффициенты 4 и。订 можно вычислить из формул (10.6.7) и уравнений движения заряженных частиц во флуктуационных полях. Однако поступим иначе. Из сравнения выражений (3.3.12), (3.3.13), <3.4.5)» (而£.1) л фарьмулы (7) задачи 2.4 выразим коэффициенты 4 и Dij через флуктуации продольного поля и потери энергии пробной частицы на возбуждение продольного поля в плазме. Для простоты ограничимся рассмотрением невырожжен- ной изотропной электронной плазмы с учетом лишь электрон- электронных столкновений. Согласно (3.3.13) и (3.4.5), коэффициенты Dij и 4 при этом запишем в виде

0 «)=丄一 f dp力р) f dk 3”(kv—kv，)°8# 嗡加2 J 一小 Z(kv,也)|2，

4(v)= —^— f dp，也D f dk 3”(kv-k『)(10 5.8) 16#党m2JdpjJ 衽[M(kv,论)]2

С другой стороны, согласно (10.4.1), для электронной плазмы имеем

冲〉k“=J靠V,邮J dp'〃p，)6(kv—kv')・(10.5.9)

Из сравнения (10.5.8) и (10.5.9) следует, что

%(v)=^b^Jd论嚮(10.5.10)

т. е. коэффициент диффузии выражается через флуктуации продольного поля в плазме.

Выразим теперь коэффициент динамического трения 4 через поляризационные потери энергии пробной частицы в плазме. С этой целью запишем выражение для продольного поля излуче-

ния движущегося электрона в изотропной плазме [см. формулу (7) задачи 2.4]:

N (kv, k) = - —J.(10.5.11)

'' 办胪(2炉 J(kv, k)''

Учитывая, что, согласно (4.1.11),

Im^ (о, k)^-— f dp 鱼出空 б® —kv), (10.5.12) £0® J 胪 dp

находим окончательно(

4 (v)= ^^ f d k % Im 叫kv, k)曰(kv, k) E尸(kv, k). (10.5.13) 加2J

Отсюда видно, что коэффициент динамического трения выражается через продольное поле, создаваемое в плазме движущимся электроном. Это поле ответственно за поляризованные потери энергии движущегося электрона.

Отметим, что коэффициенты Ai и D仃 выражены через продольные поля в плазме. В действительности вклад дают также поперечные поля — потери на излучение волн и флуктуации поперечного поля. Однако в нерелятивистской плазме вклад поперечных полей пренебрежимо мал. В изотропной плазме поперечные волны вообще не излучаются, а флуктуации поперечного поля малы по сравнению с флуктуациями продольного поля в с3/о3тв раз (см. задачу 10.1). Поэтому и рассеянием частиц на флуктуациях поперечного поля можно пренебречь.

Таким образом, было показано, что интеграл столкновений в кинетическом уравнении для заряженных частиц в полностью ионизованной нерелятивистской плазме выражается через флуктуации продольного поля. Это означает, что изменение импульса заряженных частиц из-за кулоновских столкновений можно трактовать как потери энергии и диффузию 8 пространстве скоростей вследствие рассеяния частиц в случайных электростатических полях, обусловленных тепловыми флуктуациями в плазме. Такую тесную взаимосвязь между тепловыми флуктуациями и столкновениями заряженных частиц в термодинамически равновесной полностью ионизованной плазме можно усмотреть также из соотношения (10.3.14), если переписать его в виде

Н ТеН Те3”工л4 Л80 Те /юЬе3”工л4 Л80 Те /юЬе(10.5.14)(10.5.14)

Н Те

Н Те

3”工л4 Л80 Те /юЬе

3”工л4 Л80 Те /юЬе

(10.5.14)

(10.5.14)

Из этого соотношения следует равенство относительной энергии флуктуации продольного поля (по отношению к тепловой энергии) и относительной эффективной частоты столкновений электронов в плазме (по отношению к собственной частоте плазменных колебаний).

342

Рассеяние электромагнитных волн в плазме

При распространении электромагнитных волн в средах со случайными неоднородностями появляются волны с частотами и волновыми векторами, отличными от частоты и волнового вектора основной волны. Происходит так называемый процесс рассеяния. Если среда пространственно однородна, но параметры, определяющие ее электромагнитные свойства, испытывают флуктуации, то рассеяние должно происходить на этих флуктуациях, которые играют роль случайных неоднородностей.

Механизм появления в среде рассеянных волн сводится к возникновению в ней под действием основной волны индуцированных зарядов и токов, приводящих к излучению новых — рассеянных волн. Однако, как указывалось, в однородной среде в линейном приближении индуцированные заряды и токи обусловливали лишь изменение характеристик распространения волн в среде по сравйению с вакуумом — изменение комплексного показателя преломления. Частота же и закон дисперсии распространяющейся волны при этом были строго постоянными. Картина существенно изменяется при наличии в среде флуктуаций. Так, если флуктуирует плотность заряженных частиц, флуктуирует и индуцированный в плазме ток, причем флуктуирующая добавка может вызвать излучение волн с новыми свойствами ——частотой и направлением распространения (рассеяние) или даже привести к появлению волн другого типа (трансформация). В свою очередь, новые волны изменяют состояние плазмы, вызывая появление связанных с ними индуцированных токов, которые сами могут влиять на распространение основной волны. Происходит процесс сложного нелинейного взаимодействия полей и токов в плазме, который раньше полностью игнорировался. В этом и следую- ющих параграфах исследуем некоторые свойства указанных нелинейных процессов, считая их, однако, малыми. Это позволяет говорить отдельно о падающей и рассеянной волнах и считать поле падающей волны, а также параметры плазмы заданными. Заметим предварительно, что, как показано в § 10.1, флуктуации описываются квадратичными формами, поэтому процессы взаимодействия полей регулярных волн и флуктуационных полей требуют использования нелинейных уравнений.

В этом параграфе рассмотрим процесс рассеяния поперечных электромагнитных волн в плазме как имеющий большое самостоятельное практическое значение, в частности, с точки зрения изучения распространения и поглощения волн в плазме. Ограничимся для простоты изотропной плазмой. Тогда можно утверждать, что для области прозрачности распространяющихся волн >SLe плазму можно считать чисто электронной и пренебречь эффектами, связанными с пространственной дисперсией диэлектрической проницаемости, т. е. использовать для диэлектрической проницаемости простое выражение「

8((0)= l—(02Le/<02.(10.6.1J

Итак, пусть в плазме распространяется поперечная электромагнитная волна

(『("Hi： )exP(i"ik°r)， (Ю.6.2)

где ^л = —~ в(0О). Рассмотрим ее рассеяние на флуктуациях плотности электронов, т. е. вычислим поле рассеянной волны, которую представим в виде

Е(/, r)=Eexp(—i(o/+ikr).(10.6.3)

Поле рассеянной волны можно найти из волнового уравнения

rot rotE+ 也——互，(10.6.4)

с? / Co ca dt' 丿

где j ——часть индуцированного в плазме тока, вызывающая появление рассеянной волны.

В общем случае плотность заряженных частиц и их скорость в плазме могут быть представлены в виде сумм:

N(‘，V)~NOe + 6Afп + бА^ф-j-SAfP,

u(Z, г) =6ип + биф+6ир.

Здесь M)e — среднее (по флуктуациям) равновесное значение плотности электронов в плазме; 6Nn и 6un — возмущения плотности и скорости электронов, вызванные полем падающей волны; бА/ф и б«ф — флуктуации плотности и скорости частиц; 6Np и blip — возмущения плотности и скорости электронов, связанные с рассеянной волной.

Если пренебречь тепловыми эффектами, т. е. считать фазовые скорости падающей и рассеянной волн много большими тепловой скорости частиц, то для анализа процессов в плазме можно использовать гидродинамическое описание; поэтому под и в (10.6.5) следует понимать гидродинамическую скорость электронов в плазме. Величины 3Nn и 6un определяют при этом из линеаризованных уравнений движения и непрерывности с учетом лишь падающей волны: