Предисловие редактора перевода

Второй том монографии Р. Пенроуза и В. Риндлера посвящен применению спинорных методов для более углубленного анализа структуры пространства-времени, включая исследование изотропных конгруэнций, классификацию типов тензора Вейля, асимптотические симметрии. Хотя эти вопросы до известной степени являются традиционными для общей теории относительности, их изложение в книге оригинально и значительно превосходит по глубине все имеющееся сейчас в учебной и обзорной литературе.

Центральным моментом изложения является введение понятия твисторного пространства, восходящее к работам Р. Пенроуза конца 60-х — начала 70-х гг. Согласно первоначальному замыслу автора, теория твисторов была призвана послужить основой такого математического аппарата, в котором комплексная структура квантовой теории поля непосредственно вытекала бы из комплексной структуры, ассоциируемой с самим пространством-временем. И хотя до сих пор нет единого мнения, следует ли относиться к теории твисторов как к более адекватной основе построения будущей полной квантовой теории фундаментальных взаимодействий или как к мощному математическому инструменту анализа «обычных» теорий, твисторные методы завоевали заслуженную популярность и признание в современной теоретической физике. С помощью твисторных методов были получены нетривиальные результаты в теории полей Янга — Миллса (полное описание инстантонных решений, построение монополей); были развиты способы построения некоторых классов решений уравнений Эйнштейна; предложены новые пути решения проблемы энергии в общей теории относительности. В данной книге, однако, не затрагивается вся широкая тематика, связанная с применением твисторов; авторы ограничиваются теми ее аспектами, которые непосредственно связаны с более традиционными спинорными методами и проблематикой общей теории относительности. Более подробно ознакомиться с идеологией твисторного подхода и так называемой «твисторной программой» Пен-

роуза читатель может по сборнику статей «Твисторы и калибровочные поля», выпущенному издательством «Мир» в 1983 г. под редакцией В. В. Жаринова, в который вошли основополагающие работы Р. Пенроуза, Р. Уорда, Р. Уэллса и других авторов, написанные в 70-е годы. Более широко применение методов комплексной геометрии в теории поля излагается в книге Ю. И. Манина «Калибровочные поля и комплексная геометрия» (М.: Наука, 1984).

Теория твисторов продолжает активно исследоваться многими авторами, и за время, прошедшее с момента выхода английского издания этой книги, были получены новые результаты, имеющие непосредственное отношение к излагаемому материалу. Читателю следует обратить внимание на краткое авторское послесловие к русскому изданию, в котором указаны вопросы, получившие новое освещение в самое последнее время. Мы благодарим профессора Р. Пенроуза за эти комментарии, а также замечания, которые помогли нам при подготовке русского издания книги.

Новизна предмета и стилистические особенности оригинала в ряде случаев потребовали при переводе введения новых терминов, отчасти имеющих общий характер, а отчасти специфических для данного контекста. Возможно, не всегда читатель найдет предлагаемые варианты перевода удачными. Однако мы стремились к тому, чтобы не только передать «сухое» математическое содержание того или иного математического утверждения, но и по возможности сохранить оригинальный авторский стиль.

Краткое содержание тома 1, гл. 6, 7 и часть приложения перевел Е. М. Серебряный, а гл. 8, 9 и вторую часть приложения — 3. А. Штейнград.

Д. В. Гальцов

Предисловие

Данная книга следует непосредственно за нашей вводной работой «Спиноры и пространство-время, Том 1: два-спинорное исчисление и релятивистские поля». В первом томе мы ставили себе целью продемонстрировать, что 2-спинорное исчисление может служить мощным и элегантным методом исследования структуры пространства-времени и физических полей, а также провести мысль, что спиноры имеют более глубокую связь с сущностью (даже макроскопических) законов физики, чем векторы и тензоры стандартного формализма. Теперь мы далее развиваем эти идеи, а также рассматриваем новые важные области их приложения. Мы даем введение в теорию твисторов и показываем, каким образом она позволяет прояснить ряд важных физических понятий, в частности структуру энергии-импульса и момента импульса систем с гравитационным взаимодействием. Большая ясность, которую вносит теория твисторов в анализ таких проблем, еще больше укрепляет нас в мысли о спинорной структурной основе фундаментальных физических законов.

Те, кто хорошо знаком со стандартным формализмом 2-спи- норного исчисления, смогут читать данный том, не обращаясь к другим источникам. Весь необходимый для этого исходный материал собран в вводной главе, в которой представлена краткая сводка результатов первого тома. В томе 2 много ссылок на обозначения и результаты предыдущего тома, но все это имеется в предлагаемой сводке, причем сохранена нумерация формул первого тома, что позволяет легко найти требуемое соотношение. Правда, подробные выводы мы не приводим, так что читателю, которого интересуют сами эти результаты, следует обратиться к предыдущему тому.

Основная тема этой книги — теория твисторов и связанные с ней вопросы, такие, как теория безмассовых полей и геометрия световых лучей, энергия-импульс и момент импульса (рассматриваемые с необычной, но, как мы надеемся, многое проясняющей точки зрения), а также конформная структура бесконечности. Кроме того, в гл. 8 дается подробная классификация

типов кривизны пространства-времени на основе 2-спинорного исчисления. Хотя главным образом мы будем рассматривать классификацию типов тензора Вейля (или тензора Римана в пустом пространстве), мы также приведем полную классификацию для тензора Риччи и покажем, что она представляет собой частный случай общей классификации симметричных спиноров. Главу 8 можно читать независимо от остального материала этого тома, хотя между результатами, приведенными в ней и в других главах, существует определенная взаимосвязь.

Несколько слов о роли твисторов в этом томе. Возможны две точки зрения на теорию твисторов. С одной стороны, ее можно рассматривать просто как новый математический метод решения задач обычной физической теории. С другой стороны, в ней можно видеть альтернативную основу для построения всей физики, характеризующуюся тем, что понятию события (точки пространства-времени) отводится не основная,а лишь второстепенная роль. В данном томе твисторы рассматриваются преимущественно с первой точки зрения. Это не книга по твисторной физике как таковой, но он может служить весьма полным введением для тех, кто хотел бы вплотную познакомиться с некоторыми из ее более развитых сложных или спекулятивных идей.

В основном нас интересует здесь математическая взаимосвязь между теорией твисторов и теорией двухкомпонентных спиноров. О представлении твисторов спинорными полями говорится более подробно, чем делалось ранее. Приводятся различные приложения твисторных методов, в частности: доказательство того, что из равенства нулю тензора Вейля следует, что пространство-время локально является пространством Минковского; теорема Керра о построении бессдвиговых конгруэнций в пространстве Минковского (включая обобщение, пригодное в случае искривленного пространства-времени); контурные интегралы для свободных безмассовых полей и основные идеи теории когомологий пучков; конструкция Уорда для общих самодуаль- ных полей Янга — Миллса (хотя, к нашему сожалению, исходный гравитационный аналог этой конструкции не вошел в книгу, так как мы сочли необходимым ограничиться обсуждением результатов, прямо приложимых к действительному, т. е. лорен- цеву, пространству-времени); конформные векторы Киллинга; спиноры Киллинга; космологические модели; явление Гржина для безмассовых полей. Проводится подробный «твисторный» анализ энергии-импульса и момента импульса в линеаризованной теории гравитации, и этот анализ мы обобщаем при изложении некоторых последних разработок, использующих соответствующие методы твисторного типа в общей теории относительности и позволяющих дать многообещающее «квазилокальное»

определение массы. Это приводит нас к исследованию энергии- импульса и момента импульса на изотропной бесконечности, и поведения этих величин при преобразованиях группы Бонди — Метцнера — Сакса (БМС), т. е. группы, описывающей асимптотические симметрии асимптотически-плоского пространства-времени. Мы также подробно рассматриваем точную формулу Бонди — Сакса для потери массы и приводим вариант виттеновского доказательства положительности массы в общей теории относительности, использующий понятие изотропной бесконечности. Все результаты, касающиеся энергии-импульса и момента импульса, впервые появляются в некой монографии. Они иллюстрируют новую важную область физики, в которой спинорный (и твисторный) подход может найти замечательные приложения. Большая часть подробного анализа конформной бесконечности на основе спинорного исчисления представлена здесь впервые. .

В приложении показывается, какое место занимают 2-спиноры, 4-спиноры Дирака, твисторы и функции со спиновым весом в общей схеме n-мерных спиноров.

Как и в своей работе над первым томом, мы опирались на прямую и косвенную поддержку многих. Особая наша благодарность М. Атья, Т. Бейли, Н. Бухдалу, Ю. Дэниельс, М. Иствуду, Р. Герочу, Д. Хиллу, Л. Хьюстон, Б. Джеффрису, Р. Келли, Р. Керру, Т. Ньюмену, 3. Перешу, А. Робинсону, Н. Росс, Р. Саксу, Э. Шюкингу, В. Шоу, И. Зингеру, П. Соммерсу, Д. Спар- лингу, П. Тоду, X. Урбантке, Р. Уэллсу и Н. Вудхаусу. Вновь мы выражаем признательность Д. Шьяме за поддержку и твердую уверенность в реальности этого проекта на протяжении более двадцати лет, а также Цзю Шен Цзюн, которая оказала неоценимую помощь в составлении списка литературы.

1985 Роджер Пенроуз ' Вольфганг Риндлер

Краткое содержание тома 1

Здесь мы кратко излагаем содержание тома 1 (Два-спинор- ное исчисление и релятивистские /годя), приводя все результаты, необходимые для чтения данного тома. Нумерация формул (а также воспроизводимая в отдельных случаях нумерация разделов) та же, что и первом томе, хотя некоторые формулы приводятся не в том порядке, который соответствует их номеру.

Световой конус в пространстве Минковского

Мы используем стандартные (ограниченные, т. е. правовинтовые и изохронные) координаты Минковского

х°=Т, xl = X, x2 = Y, x? = Z

для (аффинного) пространства Минковского М (или векторного пространства Минковского V). Для пары "Точек Р и Q с координатами Ра = (Р°, Р1, Р2, Р3), Qa = (Q°, Q1, Q2, Q3) в М определен (квадрированный) инвариантный интервал

Ф (Р, Q) = (Q0 — Р«)2 _ (Ql _ pl)2 _ (Q2 _ р2)2 _ (Q3 _ рЗ)2 ( J д 22)

Световой конус в точке Р (или соответственно изотропный конус в V,ecли Р совпадает с началом координат) есть множество точек Q еМ (или Q е V), для которых Ф(Р, Q) = 0. Образующими конуса являются световые лучи, проходящие через точку Р. Световые лучи, проходящие (например) через начало координат О, можно параметризовать с помощью комплексного параметра е С U {оо}, который дается выражением

d-219)

В обычных сферических координатах на сфере S+, заданной уравнением

Г= 1, Х2 + Г2 + Л2=1,

мы имееммы имеем5 = ez*ctg-|-.5 = ez*ctg-|-.(1.2.10)(1.2.10)

мы имеем

мы имеем

5 = ez*ctg-|-.

5 = ez*ctg-|-.

(1.2.10)

(1.2.10)

Сфера S+ иногда называется антинебесной. Световые лучи, проходящие через точку О, задают взаимно-однозначное отображение сферы S+ на сферу iS- (заданную уравнениями Т = —1, X2 + У2 + ^2 = 1), т. е. небесную сферу наблюдателя, расположенного в точке О, ось времени которого совпадает с линией X=Y = Z = 0. Обе сферы связаны между собой антиподальным отображением (X, Y, Z)^-(—X, —Y, —Z).

Преобразование Лоренца индуцирует дробнолинейное преобразование параметра

=(1.2.17)

причем коэффициенты а, 0, у, 6 образуют спин-матрицу ( а 0 \

(у 67 (“6 —Рт=!; а, р, у, бе С).

Эта матрица задает общее конформное движение сферы S+, при котором точки сферы S+ мы рассматриваем просто как метки образующих светового конуса будущего в точке Р. Матрица действует на спин-вектор х, записанный в виде вектор-столбца (ч) с компонентами х° = £, х1 = т], где

е = ^/7]=Х0/х1.

Изотропный вектор («флагшток»), соответствующий этому спин- вектору, имеет координаты

(1.2.15)(1.2.15)Т^-^Ц-тр]), X =-^ (g-q + ill).

(1.2.15)

(1.2.15)

[см. также формулы (3.1.31), (3.2.2)]. Унитарные спин-матрицы описывают вращения, тогда как активный буст вдоль оси Z со скоростью и описывается матрицей

гдегде(1.2.37)(1.2.36)(1.2.37)(1.2.36)

где

где

(1.2.37)

(1.2.36)

(1.2.37)

(1.2.36)

Лоренц-инвариантное двойное отношение четырех изотропных направлений (или точек сферы S+) с комплексными парамет-

рами £ь g2> &, С* записывается в виде■

х-«..ь.ь.ь)-^^.<L3-9>

т. е.

„ (|1П2 — ^41) (6зП4 — ^Пз)п о 1

х (6m* - ^4*11) (Ьпз - ^пз) ’

где t>j = y4i- При перестановке изотропных направлений отношение % заменяется одним из следующих выражений:

Если х — действительная величина, то четыре изотропных направления принадлежат одной гиперплоскости, т. е. соответствующие точки сферы S+ коцикличны. Гармоническому случаю отвечают значения /х = —1 (а также 2 и 1/2), когда указанные четыре точки подходящим преобразованием можно перевести в вершины квадрата; случай х = —exp (±2tn/3) называется эквиангармоническим, в этом случае указанные точки располагаются в вершинах правильного тетраэдра.

§ 5 (гл. 1). Спинорные объекты и спиновая структураОтличный от нуля спин-вектор х с точностью до знака можнопредставить изотропным флагом (т. е. ориентированным в бу-дущее изотропным вектором и проходящей через него ориенти-рованной изотропной 2-плоскостью, см. формулы (3.2.2), (3.2.9),а также работу [230]) или парой инфинитезимально близкихизотропных направлений, ориентированных в будущее. Однакознак спин-вектора х не имеет локальной геометрической интер-претации, поскольку непрерывный поворот на угол 2л (вокругпроизвольной оси) изменяет знак спин-вектора х, тогда как вся-кая локальная геометрическая структура (в обычном смысле)должна оставаться без изменения после такого поворота. По-этому мы расширяем понятие «локальной геометрии» так, что-бы оно включало спинорные объекты, такие, как х, которые пе-реходят в себя при поворотах на 4л, а не на 2л. Для того что-бы на многообразии Л могли существовать спинорные объекты,оно должно удовлетворять определенным топологическим огра-ничениям, и тогда говорят, что Л имеет спиновую структуру.Чтобы непротиворечиво ввести спин-векторы на многообразиипространства-времени Л, следует рассмотреть непрерывные дви-жения изотропного флага, при которых точка Р расположенияфлага может непрерывно смещаться, а также допускаются вра-щения флага в точке Р. Движение этого вида называется путемфлага. Для непротиворечивости многообразие Л, имеющее спи-новую структуру, должно еще быть ориентируемым во времении в пространстве, и тогда говорят, что Л имеет спинорную

структуру. Отличный от нуля спин-вектор в точке PeJ( есть элемент универсального двулистного накрытия пространства изотропных флагов в Р; отличное от нуля спин-векторное расслоение над Л есть (не обязательно универсальное) двулистное накрытие расслоения изотропных флагов над Л. Если многообразие Л не односвязно, то на нем могут существовать различные неэквивалентные расслоения спин-векторов, т. е. различные спинорные структуры. Двузначность возникает для каждой независимой петли на Л, такой, что нечетно-кратная ей петля не стягивается в точку.

(гл. 2). Формализм абстрактных индексовв тензорной алгебре

Тензорные (или спинорные) индексы, набранные светлым курсивом, представляют собой просто абстрактные метки и не принимают численных значений, а также не нумеруют компоненты тензора в каком-либо базисе. Например, символ Va есть обозначение обычного вектора V в паре с меткой а (элементом некоторого заданного множества меток S’); и символы Vb, Va’ и т. д., хотя и представляют один и тот же геометрический вектор V, суть разные элементы алгебры абстрактных индексов, поскольку в них данный вектор спарен с разными элементами Ь, ао и т. д. множества S. Аналогично спин-вектор х может изображаться различными элементами алгебры: хл, хВз и т. д., а также комплексно-сопряженными величинами it4', %Вз и т. д. Тензорные произведения в этой алгебре коммутативны (например, UaVb = VbUa, но #=VaUby Индексы, набранные прямым жирным шрифтом, принимают численные значения и нумеруют компоненты тензоров по отношению к выбранному базису (например, индексы мирового тензора а, Ь, ... принимают значения О, 1, 2, 3, а индексы спинорных компонент А, В,... или А', В',... принимают значения 0, 1 или 0, 1' соответственно).

Обозначив базис (в «-мерном пространстве) символом б“ = б“, . .. б“, а дуальный базис СИМВОЛОМ ба = ба, . .., ба, мы можем записать компоненты тензора A“;.”v в виде

а?:::: = д“;::Х ... б^б: (2.злз) и, наоборот, выразить тензор через его компоненты:

д“:::?=д;:::Х ... бХ ... бу (2.3.14)

Различные символы, используемые для обозначения абстрактных индексов (которые, если это требуется, могут представлять собой некий набор верхних и нижних индексов), можно «объединять» в един собирательный (абстрактный) индекс, который обычно обозначается рукописной заглавной буквой. Собирательные

индексы удобны в утверждениях общего характера о тензорных (спинорных) системах. Символ ©^ (что в явной записи индекса ^ может означать, например, ©pq„) обозначает совокупность (©-модуль) тензоров (спиноров), структура абстрактных индексов которых обозначена собирательным индексом ^ в верхней позиции (хотя в него входят и верхние и нижние индексы). Скаляры образуют коммутативное кольцо с единицей © (обычно мы рассматриваем гладкие С°°-комплексные скалярные поля на многообразии пространства-времени ^). Для действительных полей мы используем символ $ вместо ©. Модуль, дуальный модулю ©"*, обозначается через ©^. Для вполне рефлексивной системы имеет место более общее предложение.

Предложение

Множество всех ^-полилинейных отображений из ^* X ©^ х • •. X S'® в ^^ может быть идентифицировано с модулем ®*я. a, причем отображения имеют вид свернутых произведений.

(2.2.38)

Таким образом, можно считать, что всякий элемент Т^Й аг е ©^ a задает отображение

^...s-^X^X®^->©ж

в дополнение к другим возможным отображениям между этими пространствами, полученным путем иной группировки исходных индексов. Разные рукописные буквы в индексе, вообще говоря, указывают на разные группировки тензорных (или спинорных) индексов. Если же требуются одинаковые группы индексов, то собирательный индекс дополняют цифровой меткой, например ^i,• • • •

Множество спиноров или тензоров, взятых в фиксированной точке Р многообразия Л, обозначают символом ©^[Р] и соответственнообозначает ограничение элементов ©^ на

подмножество 41 многообразия Л.

Соответствие между абстрактными индексами тензорови спиноров

Индексы мировых тензоров рассматриваются как собирательные индексы, каждый из которых просто заменяет пару спинорных индексов — штрихованного и нештрихованного. Мы примем

обычные обозначения

а=^АА', b = ВВ', с = СС', ... z= ZZ',

а0 = А0А', ax = AvAv ... .(3.1.2)

Штрихованные спинорные индексы комплексно-сопряжены соответствующим нештрихованным (в том смысле, что фАв' = <j>A'B и т. д.). Спинорные индексы можно поднимать и опускать умножением на антисимметричные е-спиноры:.

фУЛ _ gAB^ _ — ^^ba^(2.5.14)

1^в = ^АеАВ = — еВА^А(2.5.15)

(аналогично для штрихованных индексов, причем еА'в' := вА'в'= = еАВ, вд'в' := ва'в' = едв), и это согласуется с обычным правилом поднятия и опускания индексов для мировых тензоров (с помощью метрики gab и gab\ поскольку имеют место соотношения '

gab = BABBA'BS ga = SABSA<B'gab = BAB8A'B'. (3.1.9)

(Заметим, ЧТО ga=^a, вАВ = — 6ВА И 8а'В'= —Вв* А'— ЭТО б-символы Кронекера.) Порядок штрихованных, а также нештрихованных индексов нельзя изменять произвольно, тогда как расположение штриховых индексов относительно нештрихованных несущественно; например, величину л])0^ можно записать во всех следующих видах, кроме последнего:

^a'abb,q = ^^в^в' = ^Ав^А'в- = ^^вв19 ^ ilpAA'QBB'. (2.5.33)

Для е-спиноров выполняются тождества

6AbPCD + eBCeAD + eCAeBD = 0,(2.5.21)

аналогичные тождества с поднятыми индексами, такие, как

8ab®cd 4~ 8вс8а° + еСАев° = О,(2.5.20)

eAceBD — eBceAD = eABeCD,(2.5.22)

а также их комплексно-сопряженные варианты. Мы заключаем, что

Ффав в а = ^а>сС®АВ'(2.5.23)

а поэтому для величины £®дв, кососимметричной по А, В, справедливо представление

^фав = ~5<^з>сСбАВ1(2.5.24)

Базисы и компоненты

Для спинорного базиса в ®л, т. е. для диады, мы используем обычные символы ол, сл, причем ол':= ол'(= ол) и tA'; [А'(= 1л). Диада не обязательно нормирована на единицу, а поэтому мы вводим также величину

X = 6ай°а^ = °а'-а-(2.5.46)

При %= 1 диада называется спиновой системой отсчета; в этом случае справедливы соотношения

eAB = oAiB — 1лов, едв = оД1В— ов1Д, едв=одьв 1дов. (2.5.54)

Условие же для общей диады имеет простой вид % #= 0 в силу следующего предложения.

Предложение

Условие адрл = 0 в некоторой точке является необходимым и достаточным для того, чтобы спиноры аА, 0Д в этой точке получались друг из друга путем умножения на скаляр.

(2.5.56)

Со всякой спиновой системой отсчета ассоциирована изотропная

тетрада 1°, па, mQ, ша; «а А А' а . А А* 1—ОО, п — I ,(3.1.14)

пг° = ол1л', mQ = 1лол',

удовлетворяющая соотношениям

l°la = п°па = m°ma = tnama = Q,(3.1.15)

l°na=\, mafna = —1,(3.1.16)

lama = lafna — nama = nama = Q,(3.1.17)

l°=l°, na = na,(3.1.18)

а также стандартная ограниченная тетрада Минковского

1° = "^ (Z“ + n°) = ^" (олол' + 1Л1Л'),

х°(та + zn°) = -L- (оАИ' + tAoA'), VV(3.1.20)

уа = -^- (m“ — rn°) = -^ (оА1л' — iAoA'),

г° = ^- (/“ -na) = -j=- (o^’ - tM'),

Рис. 1.17. Стандартная связь между спиновой системой отсчета о, I и (ограниченной) тетрадой Минковского t, х, у, г.

причем обратные соотношения имеют вид

(3.1.21)(3.1.21)/2 = —L— ^а _|_ 2°) = ОАОА' П° = —7=г (Z“ — 2°) = 1А1А\

(3.1.21)

(3.1.21)

т“ = —=- (х“ — tya) = оМ', т° = -^= (х° + 1у°) = 1лал'

Геометрическая связь между ол,1л и ta, xQ, уа, zQ показана на рис. 1.17. Компоненты вектора №, заданные в тетраде Минковского, связаны с компонентами КАА' в спиновой системе отсчета соотношениями

к00, К01' к10' Ки'к00, К01' к10' Ки'(3.1.31)(3.1.31)1 f^ + K3 r + zK2V2" V К1 - iK2 К° - К3

к00, К01' к10' Ки'

к00, К01' к10' Ки'

(3.1.31)

(3.1.31)

Чтобы найти связь между компонентами тензора общего вида, заданными по отношению к тетраде Минковского и в спиновой системе отсчета, удобно использовать символы перехода

, ,1 /1 о\ „,1 /о 1А .

ОТ АВ I— а 0 д АВ —— I I —— д 1

= 0\ 0 1 7 ®АВ' •^2" \ 1 0 / ®АВ •

1 ( О I \1 7 10 \

лг АВ —II — — от 2 от АВII — лг 3

д/2" V —z о/ 8ав' ’д/2" к о —1 7 8ав' ‘

(3.1.49)

Изотропные векторы и изотропные флаги

Комплексный изотропный вектор ха (для него выполняется равенство ха%а = 0) может быть записан в спинорной форме

ха = хА^А'>(3.2.6)

где в случае действительного изотропного вектора %а, ориентированного в будущее (или в прошлое), можно положить ЦА' = йА' (или — х4'). Два комплексных изотропных вектора %а и -фа, которые можно представить в виде (3.2.6) при %а =/= 0, ортогональны в смысле равенства

хЧ = 0(3.2.22)

в том и только в том случае, если ф“ = х4т|4' или т4£4' для некоторого т]4' или т4.

Со всяким спин-вектором хА, отличным от нуля, ассоциирован действительный ориентированный в будущее изотропный вектор■

Ка = иАйА',(3.2.2)

называемый его флагштоком, а также простой действительный изотропный бивектор

Р°ь = иАиввА'в' + еАВйА hb\(3.2.9)

которым определяется элемент ориентированной изотропной 2-плоскости (проходящей через флагшток), называемый полотнищем флага (или «топором» по терминологии книги [230]), Флагшток и полотнище флага образуют вместе изотропный флаг, который описывает спинор хА с точностью до знака. При умножении хА на гею (г, 0—действительные величины) в г2 раз увеличивается протяженность флагштока и поворачивается на угол 20 полотнище флага.

3 (гл. 3). Операции симметрии

Операцию симметризации индексов мы, как это принято, обозначаем круглыми, а операцию антисимметризации — квадратными скобками. Индексы, выделенные вертикальными черточками, не включаются в (анти-) симметризацию. Если выражение содержит две пары скобок, расположенных одна внутри другой, то сначала выполняется операция внутренней скобки, а над полученным расположением индексов (за исключением тех, которые отделены вертикальной чертой) выполняется дальнейшая (анти-) симметризация. [Строго говоря, такие обозначения избыточны, но они могут быть очень наглядными в записи доказательств; см., например, формулу (4.3.17).] Хотя скобками обычно обозначают симметризацию индексов отдельных тензоров или спиноров, ими можно также обозначать подпростран-

ства модуля ©л, на которые накладываются дополнительные требования (анти-)симметрии. Так, например,

xVV./1* s при том и только том

условии, что X^vWSx^= ^а^Мч(3.3.14)

Полезны различные элементарные результаты, касающиеся свойств симметрии. Например (греческими буквами обозначены «-мерные абстрактные тензорные индексы):

Предложение

^ар- вАаАэ...А6 = 0 иля всех Хеметом и только в том случае, если ф^^ 5 =0.

(3.3.22) Следовательно,

Функцией ф^(Х) = ^а ,.eZa ... Xй однозначно■

определяется тензор фд^а... ьу•(3.3.23)

Комбинируя операции симметризации и антисимметризации, можно построить тензор с симметрией схемы Юнга, который, следовательно, будет (точечно) неприводимым относительно группы общих линейных преобразований (оставляющих данную точку неподвижной). Некоторые вопросы теории схем Юнга рассматриваются в обширном «примечании», начинающемся на с. 186 т. 1. В частности, тензор с симметрией схемы Юнга в варианте, в котором выделяются группы невозрастающей длины симметризованных (а не антисимметризованных) индексов, может быть представлен однородным полиномом Р(Ха, ..., Za), содержащим невозрастающие степени переменных Ха, ..., Za. [В этом случае следствие (3.3.23) применяется к каждой симметричной группе индексов тензора ф ... Д Данное свойство схемы (т. е. «скрытое насыщение антисимметриями») может быть выражено соотношениями

ХадР1д¥а = 0, ..., XadPjdZa = 0, .... YadP[dZa = ^ (переменная, стоящая первой, сворачивается с последующим оператором производной по индексу переменной дифференцирования). В этом случае Р можно представить как функцию лишь антисимметризованных произведений вида X^Y^ZsA, №791, Хп (переменные располагаются в алфавитном порядке, начиная с Х“). Альтернативная формулировка основного свойства схемы такова: всякая дополнительная симметризация тензора фа... х по индексам, содержащим полную группу симметризованных индексов и один индекс из какой-либо другой группы симметризованных индексов, обращает его в нуль. Если в таком тензоре число групп индексов превышает п (т. е. число векторов-пере-

менных Ха, ..., Za в Р(Ха, ..., Z“) превышает га), где га— размерность пространства, то ^а... х = 0- Это следует из «скрытой антисимметрии» групп, содержащих более га индексов, в тензоре ^а...х.

В случае спинорных индексов мы имеем га = 2, а следовательно, антисимметризация группы, содержащей более двух индексов, дает нуль. Более того, в силу равенства (2.5.24) группа из двух индексов всегда может быть «отделена» в виде е-сим- вола. Поэтому достаточно рассматривать лишь вполне симметричные спиноры. Спинор, содержащий как штрихованные, так и нештрихованные индексы в нижней позиции, будет неприводимым [точечно неприводимым по отношению к ограниченной группе Лоренца, или, более корректно, по отношению к спиновой группе SL^, С)], если он вполне симметричен как по всем штрихованным, так и по всем нештрихованным индексам. Число независимых компонент такого спинора определяется следующим предложением.

Предложение

Если спинор фл СР, R, симметричен и имеет валентность [° °], то число его независимых (комплексных) компонент равно (p+D (<?+!)•(3.3.62)

[

Г S 1

I означает, что соответствую- Р Ч J

щий спинор содержит г верхних нештрихованных, s верхних штрихованных, р нижних нештрихованных и q нижних штрихованных индексов. В случае когда г ^ 0 или s ¥= 0, условие неприводимости формулируется так: необходима не только симметрия по всем четырем группам индексов, но и равенство нулю всех сверток между верхними и нижними индексами (что эквивалентно полной симметрии, когда все индексы опущены). Подсчет компонент, согласно предложению (3.3.62), в этом случае дает (р + г + 1) (^ + s + 1).'

Переход от спинорной к тензорной форме записи, и наоборот;преобразование дуальности

ГО 01

Для спинора фАвалентности II соотношение не

приводимости

^ab... f = ^АВ ...ТА'В' ...Р' = Ф<АВ...РНА<В'...РЧ(3.3.58)

в тензорной форме имеет вид

•^...f = ^(a»...f).(3.3.59)

^a«c...f = 0,(3.3.60)

где число независимых компонент тензора равно (r+ I)2.

Поскольку пространство мировых векторов четырехмерно, в нем определен альтернирующий тензор ваьса, полностью антисимметричный, т. е. удовлетворяющий равенству еаьсд = в [Оьс<ц, который мы нормируем условием вош = 1 в стандартной тетраде Минковского [формула (3.1.20)]. В спинорных переменных имеем

Cabcd := ieACBBDBA'^B'C' — №аО6ВС6А'С'ВВ'1У-(3.3.31)

В случае симметричного тензора ТаЬ его бесследовую часть

Sab = Tab-^ТЛ§а1,(3.4.9)

можно представить в виде

Saba'B' = T(ab)(A'B') = Т\ав) а-в' = Tab <А'В'у (3.4.5)

Если симметрия тензора ТаЬ заранее не предполагается, то второе выражение в формуле (3.4.5) определяет симметрированную бесследовую часть этого тензора. В случае симметричного тензора Таъ тензор, обращенный по следу, ТаЬ допускает простые спинорные представления

ab 2" ^с §ab = ^АВА'В' ~ ^ВАА'В' = ТдВВ'А'- (3.4.13)

Всякий (комплексный) антисимметричный тензор Fab можно (однозначно) представить в виде

^ab ^АА'ВВ' фАВ8А'В' + 8ABBA'S'*

(3.4.17)

где фАВ и фл,в,— симметричные спиноры. В случае тельного тензора Fab имеем

^ab = ФаВ8А'В' + 8АвФа'В" Определяя тензор, дуальный тензору Fab, как •Fab := -1 eabcdFcd = ^ eabcdFcd, находим

^ab = РАВ А'В* =^АВ8 А'В' + ^8 ABBA'S'*

где Фл/В/ = Фд-в'- если ^ — действительный тензор, и F два'В' = IFabb'a’ = — IFbaa'b'.

действи-

(3.4.20)

(3.4.21)

(3.4.22)

(3.4.23)

Операцию дуального отображения можно выполнять лишь по некоторой части индексов: если Оаьл = С\аь\л, то

*Саьл -.^еаь^Осал,(3.4.25)

что также допускает спинорные представления вида (3.4.22) и (3.4.23). Отсюда следует, что

**ОаЬЛ = — СаЬЛ.

Отметим, что

6[ам я = о ^ •GQba* = 0.(3.4.26)

Аналогично можно ввести отображение дуальности на одном

или на трех индексах:

*1аЬсЛ = Saberi ОЛ,

(3.4.29)

#Ka58 = ^eabc4Kbcd58,

(3.4.30)

ГДе Kabe 56 — ^С[а6с[ $• Тогда

*1аЬсЛ = iBACBB'C'J ВА'Л — IBBCBA'C'J АВ'Л,

(3.4.33)

*Ка58 = у КаВ'ВА'ВВ'В,

(3.4.34)

#^аЛ^=1аЛ^ *Kabc58 Kabc$.

(3.4.31)

Мы говорим, что кососимметричный комплексный

тензор вто-

рого ранга Fab будет (I) антисамодуальным или (II) само-

дуальным, если

L *Fab= — iFab или II. *Fab = iFab. (3.4.35)

Для тензора Fab общего вида (3.4.17) мы определяем анти- самодуальную часть

— Fab := у кРаь + FFab) = фАВбА'в-(3.4.38)

и самодуальную часть

*Fab := "2" (Fabi F^ = 8лвфл,в„(3.4.39)

так что * ±Fab = ± z ^Рдь, а также выполняется соотношение

Fab = Fab + +Fab.(3.4.40)

Условия (3.4.35) антисамодуальност'и и самодуальности в спиновой форме записываются в виде I. фл,в, = 0, II. фДВ = 0, т.е.

I- Fab= фАВеА,в„ II. Fab = елвфл,в,. (3.4.41)

Комбинируя спинорную форму записи симметричной и антисимметричной частей тензора, мы получаем следующую тензорную запись перестановки пары спинорных индексов:

Н ваа'В' = -у (НаЬ + НЬа — Hccgab + ieabcdHcd), (3.4.53)

Навв-а- = Т (Hab + Hba - Hccgab - ieabc4Hc^ (3.4.54)

где Наь = Нава'в' есть тензор общего вида (который может иметь дополнительные индексы). Отметим, что кососимметричная часть тензора Наъ записывается в виде

Н\аЪ\ = н [ДВ] (Д'В') + Н(АВ) [Л'В'1 = 4" ВдвНСС(А'В') + 4" 8д'В'Н(ДВ) С'С

(3.4.55)

и аналогичное выражение справедливо для симметричной части Н{аь)- Очевидно, что результаты данного подраздела верны и в том случае, если имеются и дополнительные индексы.

Некоторые свойства тензоров и спиноров в точке

Здесь мы отметим ряд простых свойств, которые справедливы для спиноров и тензоров, вычисленных в фиксированной точке (так что теперь будет кольцом с делением), и не обязательно справедливы в случае спинорных и тензорных полей.

Предложение

Условие ф(^1... л® Флг+1... л^^ = 0 означает, что либо Ф(л1 ...лг^® = 0, либо ф^.-.л^ = 0.(3.5.15)

Предложение

Если ^AB...L = ^AB...L^°’ то

^AB ...L = °ЧЛ^В^L)

для некоторых аА, 0Л, ..., Хл е ®л. Это разложение единственно с точностью до численных коэффициентов и порядка множителей.(3.5.18)

Это — каноническое разложение спинора фл ... l; величины ал, рл, ... (и спиноры, пропорциональные им с ненулевыми коэффициентами) называются главными спинорами спинора фд... ь Флагштоки этих спиноров называются главными изотропными векторами спинора фд ... l, а соответствующие им изотропные направления— главными изотропными направлениями (ГИН)

спинора фА ... L. При §л #= О равенство

Фав...ь№(3.5.22)

выполняется в том и только в том случае, если |л — главный спинор спинора фд ...ь Спинор Фд...ь изотропен, если все его ГИН совпадают. Если ад есть в точности h-кратный главный спинор, то

4* АВ ...ов...ьаЕ aL = ^А^в «о,(3.5.24)

где х ^ О, причем число множителей а в правой части равно h. Кроме того, справедливы следующие предложения:

Предложение

Необходимое и достаточное условие того, что ^а^ О будет h-кратным главным спинором для ненулевого симметричного спинора фАВ L, состоит в том, что выражение

4* А ... GH...L^H • • •

равно нулю, если оно содержит п — h + 1 множителей £, свернутых с фА L, и отлично от нуля, если число множителей | на единицу меньше.(3.5.26)

Предложение

Если lA¥=0, 4)a...g = 4^a...g^ “

£л ... У^Фд... gde... G = ®’ т0 существует спинор . с, такой, что

^...CDE...G = ^A...Me ---^(3-5.27)

Как частный случай мы имеем

Если Кв =/= О, то из равенства флвХв = 0 следует равенство ФЛВ = ХЛ^В для некоторого %л.(3.5.17)

Отметим, что если флв = а(лРв), то

VabV^ = -t(“a^)2.(3-5.29)

так что равенство нулю величины фдвя^48 может служить критерием изотропности спинора флв. Отметим также, что det (флв) = = (1/2)флвфАВ.

Антисимметричный тензор (в n-мерном векторном пространстве), который может быть представлен косым произведением векторов, называется простым. Один из признаков простоты таков:

Предложение'

Если тензор Ра»...р кососимметричен по всем индексам, то

F [aS ... pF а) т ... а = 0 "^=^" Ра» ... р = Я[а6р • • • ^Р1

для некоторых аа, 6р, ... гр. (3.5.30)

Этот же признак можно сформулировать иначе:

*Рь-»аР(П...(й = 0.' (3.5.32)

Здесь звездочкой обозначено преобразование дуальности в n-мерном пространстве. Следовательно, справедливы еще два предложения.

Предложение

Тензор Ра...у является простым при том и только при том условии, что простым является дуальный ему тензор *F6--a.(3.5.34)

Предложение

В четырехмерном пространстве бивектор РаЬ будет простым тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

FtabFcdl = 0; II. Fab*Fab = 0;

det(Fa6) = 0.(3.5.35)

Активные лоренцевы и спиновые преобразования

Преобразование Лоренца

Vb->LabVa,

которое отображает (в точке) пространство мировых векторов в себя, дается одним из следующих спинорных выражений:

Laa-bb^zL^a, Qab',(3.6.14)

ЬААвв'=^фАВфА.в',(3.6.15)

где можно положить

det (6^,)=!, det(^/)=l.(3.6.16)

Верхние (нижние)знаки в формулах (3.6.14) и (3.6.15) отно

сятся к ортохронным (неортохронным) преобразованиям, которые будут собственными в случае (3.6.14) и несобственными в случае (3.6.15). Для несобственных преобразований условие для

детерминанта (3.6.16) может быть переписано в виде

(3.6.22)(3.6.22)(3.6.80)(3.6.80)64 = 2,

(3.6.22)

(3.6.22)

(3.6.80)

(3.6.80)

а для собственных преобразований — в виде

фтФАВ = ^.

Ограниченное (т. е. собственное изохронное) преобразование Лоренца, отличающееся от тождественного, оставляет инвариантными в точности два изотропных направления, которые могут совпадать. Эти направления суть ГИН спинора ф^лву В том случае, когда два ГИН совпадают (т. е. когда спинор ^(лв> изотропный), мы называем преобразование Лоренца изотропным вращением. Если же два ГИН различны, их можно использовать в качестве флагштоков спиновой системы отсчета, по отношению к которой спинор ^дВ будет диагональным. В случае изотропного вращения можно выбрать флагшток спинора И в направлении кратного ГИН (поскольку вектор флагштока теперь инвариантен) и тогда получим

(3.6.47)

Ковариантная производная

Мы обозначаем символом V с соответствующими индексами (например, Va, Vo и т. д.) ковариантную производную на (скажем, п-мерном) многообразии 31, определенную по отношению к некоторой связности (не обязательно стандартной связности Кристоффеля). При действии на скаляры символ Va выступает как обычный оператор градиента и связывает обозначение У“ векторного поля в формализме абстрактных индексов с его обозначением V как дифференциального оператора:

y=VaVa (на скалярах).(4.1.40)

Вообще говоря, операторы Va не коммутируют, и поэтому мы вводим величину

Aap := Va Vp — VpVa = 2V[OVp).(4.2.14)

Тогда тензор кручения Та^ определяется соотношением

M=TaW>(4.2.22)

а тензор кривизны Ка^ — соотношением

(vaV3-V3Va-Ta^JV4 = ^(4.2.31)

(для произвольного скаляра / и вектора Vv).

Если T'apV = O (т. е. Va — симметрический оператор), то выражение для кривизны упрощается: Aap^S = ^ару6^7- В этом случае для скобки Ли

W = VU, VA:=UoV-V»U(4.3.26)

можно ввести обозначение с абстрактными индексами

№р = £Г7аН — V°4aU\(4.3.2)

В общем случае производная Ли тензорного поля вдоль вектора V имеет вид

£ н1::: * := v^Hl;;; ? - Hl?:::^^ -...-н1::: J°vVovv + V'

+ hV.:.\vxvXo + ... + Hl;:;^v'\(4.з.з)

Определение скобки Ли и производной Ли не зависит от выбора (симметрической) связности Va. Следовательно, их можно вычислять покомпонентно, заменяя Va производной д/дха.

Для обозначения дифференциальных форм мы используем набранный жирным шрифтом коренной символ соответствующего антисимметричного тензора, а индексы ц, i2 (по которым тензор антисимметричен) опускаем. Например,

A:=Ail2...lp(4.3.10)

есть обозначение р-формы, причем Л,.^... Up = Л[и]12... 1р]. Вообще говоря, тензор может содержать и другие индексы; тогда набор антисимметризованных индексов tlf ... ip идет «раньше»:

Все сказанное относится к общему «-мерному случаю; в случае пространства-времени вместо ir мы используем символы I, или 1ГГГ. Внешнее произведение формы Л и С определяется так:

А А С:= Л[Ч ... upCUp+1... lp+(j;(4.3.13)

внешняя производная формы Л (для симметрической связности

(4.3.14)

(эти определения справедливы и при наличии дополнительных индексов). Если других индексов нет, то d2 = 0:

й(йЛ) = 0.(4.3.15. VIII)

Равенство (4.3.14) останется справедливым, если связность Va заменить (локально) любым другим симметрическим оператором, например оператором да, для которого равны нулю и кру-

чение, и кривизна. Отсюда следует простое доказательство соотношения (4.3.15. III):

d (dA) = д[.д[.Л...]] = д^.д.А...\ = д[[.д.]Л...] = 0. (4.3.17)

Мы иногда пользуемся правилом, что й^ф означает (й^)ф, а не с?(^ф), и таким же правилом для других символов дифференцирования (например, Va, бит. д.). Если х“— локальные координаты на ^Г, то (локально)

А = ЛЯ]... »р dxa' А ... Д dxap,(4.3.20)

где компоненты определяются по отношению к ассоциированному координатному базису■

6a = Vax“.(4.2.55)

(Отметим, что dx“ = VMxa.) Интеграл от р-формы Л по ориентируемой р-мерной ' поверхности #* определяется следующим образом:.

А = ^ ЛЯ|... „р dxa' А ... A dxap = р! Л1... pdxv Л ... A dxp, 3*3*з*

'(4.3:24)

где поверхность У локально задана уравнениями хр+1 = ... . ..=х" = 0. Фундаментальная теорема внешнего исчисления гласит

^Л= ^А,(4.3.25)

■a &Q\

где Q — компактная (р + 1)-мерная поверхность с границей dQ. Иногда применяется обозначение

V:=X“Va(4.3.31)

X"

для ковариантной производной по направлению. Тогда выражение (4.2.31) для кривизны принимает вид

(W —VV— V) ]Z6 = 7?aev8X“ypZv, (4.3.33)

■XY YX [X, У]

причем третье слагаемое в левой части необходимо и в том случае, когда кручение отсутствует.

Если Jt есть пространство-время, то вместо а, 0, ... мы используем символы а, Ь, ..., причем в соответствии с правилами перехода к спинорам можно заменить а на АА', Ь на ВВЛ и т. д. Таким образом, VAA'=Va, VBB' = Vb и т. д., и определена действие соответствующих операторов Yab*, Va и т. д. на спинорные

величины (однозначно, если потребовать выполнения условия Va8Bc = 0). Следовательно, можно записать, например, уравнение Дирака — Вейля для (безмассового) нейтрино в виде

VAa4a = 0-(4.4.61)

Спиновые коэффициенты

Выбрав диаду ол, ьл, т. е. базис вАл и дуальный ему базис елА в соответствии с условиями

еол = ол, e/ = iA; еА°= — х~ЧА, eA, = x~ioA

[формула (2.5.46), где не обязательно выполняется условие нормировки х = 1], мы вводим шестнадцать величин

'Yaa'c® := eABVAA'8cA = — 8caVAA'8Ab,(4.5.2)

которые называются спиновыми коэффициентами. Для них используются следующие стандартные обозначения:

V ^АА В

X. с

\ в

ДА' \

0

0

1

0

0

1

1

1

00'

е

— X

-т'

V

10'

а

— Р

— а'

Р'

01'

Р

— а

— р'

а'

11'

V

— т

— х'

е'

Тогда для уАА,вс имеем

х е у' т' р а р' а' ар а' р' т у е' х'

— X-1 X

ол Doa ол6'ол ол 6ол oaD'oa

ьл Doa 1л6'ол 1л6ол И/Уол

— ол Dva — ол6'ьл — ОЛ Й1л — oaD'\.a

— 1л Dia — 1Л6'1Л — 1л 61Л — ^ОЧд

=

= х-1х-1Х

та Dla -^<na Dla-Vma Dma-VxDx') -^(la Dna-\- tna Dma-\-x Dx^ tna Dna таУ1а -^-(na6'ia+/na6'ina+x6'x) -5-(za6'rta+ma6'ma+x6'x) таУпа X11

таЫа ~(na Ыа+та bma+x^X) ^Ca &na +пга Ъта +X^X) та bna . maD'la -^ (naD'la+maD'ma+x^>'x) ^^“D'na-\-fnaD'ma-VxD'x^ maD'na

~(4.5.21)

где''_

D := Voo' = ололТЛЛ' = l“Va = D, &-.= ^w = oava'^ =ma^ ^.

_(4.5.23)

6' := V,y = iaoa'VAa' = maVa = 6,D':= у1Г = 1л1л'Улл' = п^а = 5'.

Если, как чаще всего бывает, используется нормировка х= L отвечающая выбору спиновой системы отсчета, то

V АА'ВС = V АА'СВ(4.5.5)

и, вводя часто используемые символы л, X, ц, v, мы имеем

ВС АА^Х.

00

10 или 01

11

(4.5.29)

Yaa'bc

00'

X

е = — у'

л = — т'

10'

Р

а= — Р'

X = — о'

01'

о

Р

р = — р'

11'

т

V

V = — х'

Здесь предпочтение отдано штрихованным индексам, поскольку они совместно с (4.5.23) последовательно используются с общей операцией штрих, которая осуществляет замену

ол I—*аА, 1Л I—>ioA, ол'н-> — йА', 1Л н-> — ioA'. (4.5.17)

Спинорная форма кривизны

Спинорное выражение для риманова тензора кривизны имеет вид

Rabcd = XaBCD^A B'^C'D' + ФлВС'О'вЛ'В'ВсО +

+ Фа'В'соВав^'о' + Ха'В'с'гуВавВсо,(4.6.1)

где■

Xabcd = Х^висо), Фавс'о' = Ф(авнс'О')> (4.6.3)

Xabgd = Xgdab, Флвс'в' = Фавс'1у.(4.6.4)

Поскольку тензор Rabcd асимметричен по двум парам индексов, можно определить дуальное преобразование по второй паре индексов (7?*^), по первой ^Rabe^ и по обеим ^R*abcdy Результат применения дуальных преобразований к спинорному выражению (4.6.1) записывается в виде -т?а6с4 = х + Ф+^ + х,

(4.6.11)(4.6.18)(4.6.19)(4.6.11)(4.6.18)(4.6.19)Rabcd = -^ + 1Ф-^1Х,

(4.6.11)

(4.6.18)

(4.6.19)

(4.6.11)

(4.6.18)

(4.6.19)

Rabcd = — iX — 7Ф + /Ф + iX,*R*= — X + Ф + Ф — X

хаоса*

(в правой части индексы и е-спиноры опущены). Мы определяем -

Л := * Хавав, так что■

Хдвсв = ЗЛелс,

откуда следует запись циклического тождества Ro [bed] = 0:

Л = Л.(4.6.17)

Отметим, что дважды дуальный тензор *R*obcd тоже удовлетворяет ему:

Х1»С41 = 0.(4.6.9)

Вводя по определению *)

Rab = Racb. R = Ra", находим

7? = 24Л,(4.6.22)

Rab = 6Agob — гФ^.(4.6.21)

Полевые уравнения Эйнштейна (с космологической постоянной X и гравитационной постоянной G))

Rab7£ Rgab + hgab = —8лСГа6,

записываются с использованием этих спинорных величин в виде

фа6 = 4л(?(Таб--5-Т^а6), X = ^s.GT4q-V^- (4.6.32)

Симметричная часть спинора Хдусо

xPabcd-= X(abcd) = Xa(.bcd)(4.6.35)

называется гравитационным спинором или {конформным) спинором Вейля. Имеем

Хдвсо = ^abcd + Л (вАСвво + вдоввс), (4.6.34)

и полный тензор Римана записывается в виде

Rabcd = ^АВСОбА'В'ВС'ТУ + ^А'В'С'О'вАВвСО +

+ ФаВС'О'ВА'В'ВСО + Фа'В'СОВАВВС'О' +

+ 2Л {BaCBBDBA'C'BB'D' — BADBbcBA'D'BB'C'- (4.6.38)

Слагаемые, которые содержат только спинор ^двсо, Дают {конформный) тензор Вейлях

Cubed := ^лвсовл'в'вс'о' + ^А'В'с'В'ВдвВео; (4.6.41) соответствующая т'ензорная форма записи такова:

Cabcd = Rabcd - 2RVaVcgbX^ + 1 RgVacgb\d. (4.8.2)

Его антисамодуальная и самодуальная части имеют вид

~Cabcd := WabcdBA'B'BC'D*,(4.6.42)

+Cabcd ■= ^A'B'C'D'BabBcd",(4.6.43)

те же результаты получаются, если использовать левое дуальное преобразование вместо правого. По аналогии с соответствующей операцией для поля Максвелла мы вводим дуальное вращение

Cabcd ►-* ^Cabcd = Cabcd cos 6 + *Cabcd sin 6 = e~to~Cabcd + el6*Cabcd,

(4.8.15) которое соответствует преобразованию

^ABC D ^e^ABCD.(4.8.16)

Тождества для спинора Риччи

Разложение (3.4.20) дает для коммутатора производных (4.2.14) выражение

Аа» = 2V[aV6] — ед'В' Олв + Bab Qa-b',(4.9.1)

где

. Пав = ^x-^bv ^^в'^х^в'у(4.9.2)

При действии на спин-вектор хс оператор (4.9.1) дает выражение

■ АабХс = \8а'В'Хавес + 8авФа'в'ес^ Xе,(4.9.7)

которое можно разделить на два соотношения

Пав^ = ХавеС^Е^ ^А'В^С = ^А'В'ЕС^Е- (4.9.8)

Аналогично для хс находим

Павхс = ^авсЕне’ ^а'в,нс= ^а'В'с^е-(4.9.11)

Чтобы найти соответствующие выражения для случая штрихованных индексов, достаточно выполнить комплексное сопряжение в формулах (4.9.8) и (4.9.11). Комбинируя полученные выражения, находим для спинора с несколькими индексами

□ лв®совг' = XabqcQ^de'f' — Xabd^^q^f' +

+ ^ABQ^Q0 D^'f' — ФаВР'^^О^О', (4.9.13)

□a'B'T O' F ^A'B'Q' r D' F~^A'B'D' г Q' p I

+ Ф^^'Л ~ Sa-b-pWq. (4.9.14)

Иногда оказываются полезными формулы дифференцирования, в которых явно выделена зависимость от Wabgd и Л, например:

□ лвхс — — ^двс^о — А (елсхв + ввсхл),

(4.9.15)

откуда

□(АВХС)= ^ABC^D’

(4.9.16)

Dab^8 = —ЗЛхл.

(4.9.17)

Спинорные тождества Бианки

Тождество Бианки

V\aRbc\ de ^ 0 преобразуется к виду.

(4.10.1)

^B'XabCD = VB ФсОА'В',

(4.10.3)

т. е.

Vb-WabCD = V^вФGD) А'В',

(4.10.7)

^СА' ФсОА'В' + 3VDB-A = 0.-

(4.10.8)

Если выполняются вакуумные уравнения Эйнштейна (с космологическим членом)

.Фдвс'О' = 0, Л = -ц-Л,(4.10.10)

^^КРАТКОЕ содержание тома i

то равенство (4.10.7) сводится к «уравнению для безмассовогб свободного поля»

V^'Tabcd = 0.(4.10.9)

При наличии материи полевые уравнения Эйнштейна (4.6.32) приводят к появлению источника в правой части:

Vb'^abcd = ^пС^^вТсп^л'в'.(4.10.12)

Компоненты, спинорной кривизны

В дополнение к спиновым коэффициентам (4.5.16) введем обозначения для компонент кривизны

^о^Х-^оооо, Ч^-х^оот, 4^2 —Х-^Ч^оон,

^з^Х-Мш, Ч^х’^ип,(4.11.6)

П:=х%Л,(4.11.7)

Фоо := Фооо'о' Фо1:= Фооо'1' Фог •= Фооги»

Фю := Фою'о' Фи := Фони' Ф12 := Фои'г,(4.11.8)

Ф20 := Фпо'о' Ф21 := Фпо'г Ф22 := Финг,

причем диада не предполагается нормированной. (Отметим: Фою-о'= Фавс'о'Ол1вос'од' и т. д.) Через соответствующую изотропную тетраду эти величины выражаются следующим образом:

^0 = rt-xCabcdlamblcmd, Ф, = X-^CabcZmW,

^2 = Х-^СаьаГт^п4, ^3 = х-^С^Г^тМ,(4.11.9)

^4 = X-xX-xCabcdmanbtncn4,

Фоо = - у Rablal\ Ф01у Rabl°mb, Ф02 = - у Rabmamb,

Фю = - у Rablamb, Ф11у R“bl°nb + ЗП’ Ф124 Rabm°n.b,

(4.11.10)

Ф20 = — у Rabm.afnb, Ф21 = — у Robtnanb, Ф22 = — у Rabnanb.

Модифицированный формализм спиновых коэффициентов

Величина т] (обычно скаляр), которая при масштабных преобразованиях

оЛ t—*Ло4, Ин—>цИ(4.12.2)

преобразуется по закону

(4.12.9)(4.12.9)т] |—> Лг/Х</цгц/т],

(4.12.9)

(4.12.9)

называется взвешенной величиной типа {г', г; t', /}. Отметим, что х — величина типа {1, 1; 0, 0}:

■%^лц%.(4.12.3)

Если же мы желаем сохранить нормировку х= 1, то лишь два числа

p = r' — r, q = t' -— t(4.12.10)

могут выбираться произвольно. В этом случае т] — величина типа {р, р}, или, что эквивалентно, величина со спиновым весом (1/2) (р — qY и бустовым весом (1/2) (р + q). Иногда такой скаляр т] мы кратко называем {г', г; f, tY-скаляром или {р, qY-скаляром.

Для скаляра (тензора, спинора) ту типа {г', г; f, 0 мы определяем_.

рт] = (£> — г'в — rV — t'e — t^'Y Л,

d-n = (6 — г'в — га' — fa — /в') ii,

_(4.12.15)

дт] = (6' — r'a — гр' — /'p — /а') ц,-

р'т] = ф' — г'у — ге' — f^ — /в') т]

и показываем, что р, д, д', р' — взвешенные операторы (т. е. операторы, которые переводят взвешенные величины во взвешенные же величины) следующих типов:

р: {1,0; 1,0}, д:{1,0; 0,1}, д': {0,1; 1,0), р': {0,1; 0,1}. (4.12.17)

Спиновые коэффициенты, которые входят в выражения (4.12.15), не являются взвешенными величинами. Все остальные спиновые коэффициенты — взвешенные следующих типов:

х:{2, — 1; 1,0}, ст: {2, — 1; 0,1}, р:{1,0; 1,0},

т:{1,0; 0,1}, х':{—1,2; 0,1}, ст': {—1,2; 1,0}, (4.12.13) р': {0,1; 0,1}, т':{0,1; 1,0}.

Компоненты кривизны есть взвешенные скаляры следующих типов:

Тг:{3 — г, г— 1; 1,1}, П:{1,1;1,1}, Фг/: {2 — г, г; 2 — t, /},

(4.12.25) и компоненты

^, = ^...d...g'...k^.M^(4.12.26)

ГО 0‘

произвольного симметричного спинора валентностиг

будут величинами типа {f, г, f, 0- В этом формализме компо-

центы производных спинора ^,а...м' записываются в виде

(оЛ . . . l^') D^A ... К'... = p£r, t + ^^r+l, t + гт^г-1, t + “Ь /'х^г, /+1 “Ь ^ ^г, /—1>

(ол . .. I*') б£л ... К'- = й5г,/ + г,0Г£г+1,/ + гРХ-1,/ +

Н-^г^^ + ^г,^!,(4.12.27)

(о4 . .. 1К'.--)6,§Л...К'... = 5,|г,/ + г,р|г+1>/ + Гст'|г_11( + + ^^r.f+l + ^р'^г, <-1>

(оЛ . . . L^') D'^a ... к'... = ^г, < + Г,Т§г+!, f +.

+ ^r-1,/ + ^r,/+l + ^r,f-L

Полезны также следующие соотношения:

рОЛ = — XI4, р1Л = — т'о4, рО4' = — XIл', рсл' = —т'о4',

до4 = — at4, diA = — р'о4, доА' = — pi4, di4' = — а'оА',(4.12.28)

до4 = — pt4, diA = — а'оА, д'оА' = — от4', d'iA' = — р'о4', р'о4 = — тс4, p'i4 = — х'о4, р'о4' = — тс4', p'i4' = — х'о4'.

Кроме того,

(4.12.23)(4.12.23)Р% = 0, б%=0, д'х = 0, р'х = О.

(4.12.23)

(4.12.23)

Штрихом здесь обозначена операция (4.5.17). Поэтому для скаляра т] типа {г', г; t', /} имеем

(O^^D^'-'-S, (л) = п'-(O^^D^'-'-S, (л) = п'-(4.12.24)(4.12.24)

(O^^D^'-'-S, (л) = п'-

(O^^D^'-'-S, (л) = п'-

(4.12.24)

(4.12.24)

Кроме того, операции штрих отвечает следующая подстановка компонент кривизны (4.11.6), (4.11.8):

Уравнения для модифицированных спиновых коэффициентов

Операторы (4.12.15) позволяют записать дифференциальные соотношения, которым удовлетворяют (взвешенные) спиновые коэффициенты (и кривизны), в форме сравнительно простых равенств

рр — дх = р2 + аа — хт — т'х + Фю,(а)

(б)(б)рст — дх = (р + р) а — (т + т') х + То,

(б)

(б)

рт — Р'х = (т — т')р + (т — тОст + Т! + Ф01, (в) ,419Ч9. др-да = (р-р)т + (р'-р')х-Т1 + Ф01, (г) <4Л2-32>

(д)(е)(д)(е)дт — р'ст = — р'а — а'р + т2 + хх' + Ф02, р'р — дт = рр' + со' — тт/^ хх' — Та — 2П

(д)

(е)

(д)

(е)

и соответствующих штрихованных (и комплексно-сопряженных) вариантов. Спиновые коэффициенты с неопределенным весом здесь не фигурируют явно, но они войдут в следующие уравнения для коммутаторов, в которых операторы действуют на {г', г; t', /}-скаляр:

W' — р'р = (т — т') д + (т — Г) д' — р (хх' — тт') + ЧГ2 +

+ Фц — П) — q (хх' — тт' + V2 + Фи — П),(4.12.33)

рд — др = рд + <тд — т'р — хр' — р (р'х — т'а + TJ —

— (ст'хт'+ Ф01),(4.12.34)

дд' — д'д = (р' — р') р + (р — р) р' + р (рр' — аа' 4-— Фц — П) —

— ?(рр' — 55'+ 4^2 — Фи — П),(4.12.35)

а также в соответствующие штрихованные (с р\—>—р и qv—>—q), комплексно-сопряженные (с pv-^q и qv—>р) и штрихованные комплексно-сопряженные уравнения (с р^>—q и qv—*—р). (Мы полагаем, что р и q— действительные величины.) Тождества Бианки принимают вид

PV, - d'V0 - рФ01 + дФ00 = - т'Т0 + 4рТ, - ЗхТ2 +

+ т'Фоо — 2рФ01 — 2оФ10 4- 2хФц + хФдг, (4.12.36)

РТ2 - д'^! - д'Ф01 + р'Фоо + 2рП = а'Ф0 - ^^х +

4* 3pV2 — 2хЧг3 4- р'Фдо — 2тФ01 — 2тФ10 4*

4~ 2рФц 4~ 5Ф02,(4.12.37)

рТ3 — д'Т2 — рФ21 4- дФ20 — 2д'П = W^v — Зт'Т2 4- 2р¥3 —

— xV4 — 2р'Ф10 4- 2т'Фц + т'Ф20 — 2рФ21 4" йФ22, (4.12.38) pV4 - д'Т3 - дФ21 4- Р'Ф20 = За'Т2 - 4т'Чг3 4- рТ4 -

— 2х'Ф10 4~ 2а'Фп 4~ р'Ф2Э — 2тФ21 4* 5Ф22,(4.12.39)

Р®11 4* р'Фоо — 5Фю — д'Ф01 4* ЗрП = (р' 4* р') ФОо 4-

2 (р 4- р) Фц — (т' + 2т) Ф01 — (2т 4- т') Ф ю — хФ12 —

— хф21 4- аФ2о 4- аФ02,(4.12.40)

рФ12 4* р'Фо! — 5Фц — д'Ф02 4* ЗдП = (р' 4* 2р') Фо, 4* (2р 4* р) Ф12 —— (т'4-т)Ф02 —2 (т4-т')Фц — х'Ф00 — хФ22 4"

4-аФ21 4-а'Ф10.(4.12.41)

Уравнения для свободных полей с нулевой массой покоя (без- массовых полей)

Уаа'Фав...с = 0,(4.12.42)

где фд...l = ф(А...о, записываются в виде уравнений

Иг — дфг-1 = (г — 1) а'Фп-2 — гт'фг_х 4- (п — г 4- 1) 9Фг —

.—(л — г)нфг+1 (г=1, ...,п)(4.12.44)

и аналогичных штрихованных уравнений, в которых компоненты будут взвешенными величинами типа

Фг=Фо...о х..л=гПФп-г‘Ап — г, г; 00} (г = 0, ..., п). (4.12.43) п—г г

Твисторное уравнение V^®B)=0 (где а — величина типа {0, 1; 0, 0}, а со1 — типа {1, 0; 0, 0}) записывается в виде

хю° = р®1, о®° = б®1, б7®0 = с/®1, р/ю° = х/®1,

р®° 4- р®° = б7®1 + т'®1, б®° + т®° = Р'®1 4* Р7®1- (4.12.46)

Геометрия пространственноподобных 2-поверхностей

Мы полагаем, что в каждой точке ориентированной пространственноподобной 2-поверхности g в пространстве-времени Л определена спиновая система отсчета (%=1), такая, что флагштоки оА и И ортогональны к д в каждой точке, причем пространственная проекция флагштока спинора ол указывает в положительном направлении от д. Мы используем модифицированный формализм, так что выбор полотнищ флагов ол и И несуществен. Следовательно, не имеют значения топологические ограничения, необходимые для построения гладкого поля полотнищ флагов. Продолжив гладкое поле спиновых систем отсчета в окрестность поверхности д в Л, мы находим, что справедливо следующее предложение.

Предложение

Если изотропные векторы 1° и п° ортогональны пространственноподобной 2-поверхности д, то оба спиновых коэффициента р и р' действительны на д.

(4.14.2)

Оператор проекции на д (на поверхности д') имеет вид

Sab = — mamb — mamb,(4.14.6)

и Sab имеет смысл отрицательно определенного внутреннего метрического тензора поверхности д. Комплексная кривизна поверхности д

К = аа' — Ф2 — Рр' + Фц + Л(4.14.20)

содержит мнимую часть, которая является внешней величиной. Предложение

/< + /( есть гауссова кривизна поверхности д. (4.14.21) Отметим, что К можно представить в виде суммы двух частей со' — Ф2 и Фц + Л — рр',(4.14.41)

причем первая из них имеет простые конформные свойства, а вторая оказывается действительной. На основании теоремы Гаусса — Бонне мы заключаем, что если 9— замкнутая поверхность рода g (при 5 = 0 это будет топологическая сфера), то

ф/С^ = 2л(1—5)(4.14.44)

S’

и конформно-инвариантная величина

ф (аа' — Чг2) 9 действительна-,(4.14.45)

S’

здесь 9 есть 2-форма площади поверхности 9, которая определяется как

9 : = im Л пг,(4.14.65)

где m = miv, т = пцх.

Отметим, что если

P = ^abdxa Л dxb,(4.14.52)

то ограничение этой формы на 9 имеет вид

■у *₽ : = Роию' = — Ркуог — ^obmainb, (4.14.53) откуда

^p = Jp^(4.14.66)

г г

для области Г с S'.

На др можно ввести (локально) голоморфную координату | (типа {0, 0}), которая характеризуется условием

61 = 0

(т. е. 61=0). Вводя, кроме того, на ^{1,—1}-скаляр Р в соответствии с равенством

д = Р-^- (на скалярах типа {0, 0}),(4.14.27)

находим

m= — Р~х d^, m= — P"xd^(4.14.29)

и для произвольного {s, —s}-скаляра г]

dr] = Pp-s-^(PsT]).(4.14.34)

Если 9* — замкнутая поверхность, то

6^ = 0, фба^ = 0,(4.14.70)

где а—величина типа {1, —1}, а а — типа {—1, 1). Следовательно,

ф Хб'ц^ = — ф rid^S,

■^^(4.14.71)

ф X^S = — ф т|бх^,

S’S’

где суммарный тип величин % и т] равен {1, —1}, а для х, Л он равен {—1, 1}.

На изотропной гиперповерхности

Рассмотрим компактную трехмерную область 2 изотропной гиперповерхности Д’, ограниченную двумя гладкими пространственноподобными 2-поверхностями:

д^ = 9" — 9.(4.14.73)

Выберем ориентации так, чтобы флагшток спинора И указывал в изотропном направлении в Д' (т. е. в направлении нормали к Д', поскольку поверхность Д' изотропна). Каждую образующую поверхности Д’ параметризуем с помощью монотонно возрастающего параметра и, согласованного с выбором п° так, что выполняется соотношение

n°Vau = U (^0);(4.14.88)

следовательно, U есть {—1, 1}-скаляр. Изотропный элемент «объема» на Д’ мы определяем следующим образом:

Д’-, = йп Km M = U-X9> Кйи.(4.14.89)

В приложении к 2 фундаментальная теорема внешнего исчисления (4.3.25) принимает вид'

{(/ — 2р') ц0 — (б — т) pj ^ = ф р09 — ф pgS, (4.14.92) ss” s’

где цо — величина типа {0, 0}, а ри— типа {—2, 0}.

§ 15 (гл. 4). Функции на метрической сфере

При изучении сферических гармоник (со спиновым весом) удобно выбрать в качестве 9 метрическую сферу радиусом R в М, которая является пересечением изотропного конуса будущего S’ точки L с изотропным конусом прошлого Д’ точки N. Положение переменной точки Q на S' определяется вектором и/", исходящим из точки L, и вектором —ип°, исходящим из точки

N. Тогда и будет {—1, —1}-скаляром, а и— {1, 1}-скаляром, и спиновая система отсчета ^о4, iA) изменяется с перемещением Q так, как говорилось выше. Нас будут интересовать ^р, ^-скаляры, определенные на 7, и в частности их свойства, инвариантные относительно собственных вращений сферы 9 (ограниченных движений при действии группы Пуанкаре на М, оставляющих неподвижными как L, так и N), а также свойства, инвариантные относительно конформных движений сферы 9. Последние индуцируются ограниченными Пуанкаре-движениями пространства М, оставляющими неподвижной точку L, причем 9 теперь отождествляется с пространством образующих конуса S’; можно дать другое определение этих движений, считая, что фиксированной остается точка N, а 9 отождествляется с пространством образующих конуса Л3. Как и ранее, мы называем величину s=(l/2)(p— р) спиновым весом, а бустовый вес 6 = (1/2) (р + р) теперь интерпретируется либо как 6 = ш (если точка L остается фиксированной), либо как Ъ = —w (если фиксирована точка N), где w будет конформным весом.

Имеем

du = 0, ди = 0, 6^ = 0, б'о = 0,(4.15.28)

(дд" - д'д) f = —sR~zf,(4.15.29)

где f имеет спиновый вес s, и

6°d'bf = d'bdaf(4.15.36)

при b — а = 2s. Кроме того, если g определяется соотношением )

g = W4.(4.15.30)

где / — величина типа {р, р} и р ^ 0, то соотношение между / и g инвариантно относительно ограниченных преобразований Лоренца, оставляющих неподвижной точку L; то же справедливо для соотношения между / и А

h = ^vdf+xf,(4.15.32)

если р ^ 0. Конформно-инвариантная операция в формуле (4.15.32) по существу эквивалентна действию оператора 6“'-s+1 на скаляр со спиновым весом s и конформным весом w ^ —s, тогда как для соотношения (4.15.30) следует взять оператор ^®+s+i При w-^s.

Мы определяем сферическую гармонику со спиновым весом *) как {р, р}-функцию на ^, которая будет собственной функцией h оператора бб:

■ № = - и + S + 1) (/ - $) У R"X (4.15.54)

ствуствугде s — спиновый вес собственной функции h, а / — целое или полуцелое число («полный спин»), удовлетворяющее неравен

ству

ству

И</.

Спиновые сферические гармоники можно определить иначе — как компоненты в базисе ол, И постоянного спинора

/а ... D Е'...Н' ^ S(A...DHE'...H'h(4.15.42)

р я

для которого■

f А ... DE'... Н'^Е • • • Тн ^^А...Н,

где Та — времениподобный вектор в направлении LN. Здесь символом Зл обозначена подсистема (векторное пространство над С) ©л, образованная постоянными спинорными полями, а также приняты обозначения со скобками, введенные в формуле (3.3.14).

Полезна следующая таблица:

/=о i1з 22/=о i1з 221

/=о i

1

з 2

2

/=о i

1

з 2

2

■22

Д3336

4444

5555

66 б б б

s = ...^ -2 -a -I -1 о i 1|2 f-

(4.15.60)

Числа в треугольном массиве (неограниченно простирающемся вниз)—комплексные размерности различных пространств этих гармоник; оператор б переводит нас на одну s-единицу вправо и дает нуль в том и только в том случае, если он выводит за рамки массива; действие оператора б' аналогично, но в противоположном направлении. В частности, имеем следующее предложение.

Предложение

Если функция f, определенная на S’, имеет отрицательный \положительный^ спиновый вес, то из равенства б/ = О [или д7 = 0] следует равенство f = 0.(4.15.59)

Отметим, что если s = j = O (верхушка треугольника), то гармоника будет константой. Следовательно, если h характеризуется значением s = О и удовлетворяет одному из уравнений дА = О, б'й = О, ддА = О, dd'h = O, то h есть константа на сфере 9>.

Таблица (4.15.60) оказывается также полезной при рассмотрении конформных преобразований сферы 9>. Фиксируя точку с координатами (s, /), находим для заданного конформного веса ш = j, что пространства, которые изображаются множеством точек s-столбца, расположенных сверху до выбранной точки включительно, вместе образуют (/ + s + 1) (/ — s + 1) -мерное пространство, которое преобразуется в себя при конформных движениях сферы У. [Оно совпадает с пространством компонент спиноров (4.15.42) при p = / + s, q = j— s.] Если же мы положим конформный вес равным w =—j — 2 (дуальная ситуация), то можно показать, что свойство величины со спиновым весом s иметь нулевую проекцию на указанное подпространство конформно-инвариантно.

Выбирая на ^ стандартную стереографическую координату £, определенную формулой (1.2.10), находим, что она антиголо- морфна, и поэтому можно положить

g = t(4.15.115)

Затем, полагая Р > 0, находим, что

Р =(4.15.116)

1? V2

и для величины ц типа {s, —s} справедливы равенства

дт) = —^((^4-1)1-’Л((к+ 1)S п),

1„(4.15.117)

б'ц=—((К+ 1)1+я^((Й + D-s Л).

Отметим, что при /"=1/2 спиновые сферические гармоники (в ^-координатах) будут линейными комбинациями величин

, £ И —.Л— — ■ Гпри s=ЦVk + i V& + 1 V 2'

(кратными _1/2У1/2. -1/2 и — 1/2У1/2,1/2 соответственно) или величин

—, 5■ И —...Л1 Гири 5 =

(кратными 1/2У1/2,-1/2 и 1/2У1/2, 1/2). Если /=1 и з = 0, то они будут линейными комбинациями величин

и -Д—

К+1 К + 1 К + 1

(кратными оУ-1,-1, оУ-1, о и 0У-1, 1).

Производные заряженных полей

При наличии заряженных полей символ Vo обозначает оператор ковариантной производной, зависящей не только от кривизны, но также от электромагнитного поля. Таким образом, для скалярного поля ф на Л с зарядом е имеем

'i^ab^ = eFab^,(5.1.30)

где Да» — оператор (4.2.14), а Раь— тензор поля Максвелла. Более общий результат: если ф-* е ©^ (где <5^ — модуль спинорных полей с зарядом е и индексом типа ^), то справедливо следующее предложение.

Предложение

Величина ^аЬ^л отличается от результата действия ком- ■ мутатора на незаряженный спинор ф-* лишь дополнительным членом — ieFab^.(5.1.31)

В частности,

△абФс =Rabe Фг/ tcFаьфс.(5.1.34)

В соответствии с (3.4.20) спинорная запись тензора РаЬ имеет вид_

^ab = ^АВ^А'В' "Ь ^АВ^А'В'*’(5.1.39)

Потенциал Фа, для которогоПотенциал Фа, для которогоFab — ^а^ЬV^a,Fab — ^а^ЬV^a,этим соотношением определяется электромагнитный спинор фдв = ф(двг Если оператор Пдд [формула (4.9.2)] действует на поле ф^ с зарядом е, то результат отличается от случая незаряженного поля фл слагаемым —/ефдвфл, и то же справедливо для Па'в'. т. е.

Потенциал Фа, для которого

Потенциал Фа, для которого

Fab — ^а^ЬV^a,

Fab — ^а^ЬV^a,

□ двФ° = ХАвсп^с — 1ефдвФ°,

(5.1.44)

□ д'И^ = Фа'в'с'°^с — ie^A^D.

(5.1.45)

(5.1.37)

связан с Флу соотношением

.(5.1.46)

Если выполняется условие калибровки Лоренца

?°Фа = 0,(5.1.47)

то соотношение (5.1.46) может быть приведено к виду

.(5.1.49)

При наличии источника имеем

VoFab = 4nJb.(5.1.38)

Ток Ja — действительная (и незаряженная) величина, которая удовлетворяет уравнению

VoJ° = 0.(5.1.54)

В спинорной записи уравнение (5.1.38) имеет вид

VA'VB = 2nJAA'.(5.1.52)

При J°=0 получаем еще один пример [кроме (4.4.61) и (4.10.9)] уравнения (4.12.42) для свободного безмассового поля, а именно

V^fl = 0.(5.1.57)

Напишем явные соотношения между компонентами фАВ и компонентами поля Максвелла: ■

Фоо = "у (^31 + Ли — ^32 — ^02)= "2" (Ci — ^г)»'

Ф01 = 4 (- F^ - ^Fx2) = - 4 Сз>(5.1.59)

Ф11 = "2" (Л» — Л)1 + Z^32 — Z^02) ="2" (Cl +

причем комплексный 3-вектор С связан с электрическим 3-вектором Е и магнитным 3-вектором В соотношением

С = Е — IB.(5.1.60)

Хорошо известные скалярные инварианты

Р = В2 — Е2, Q = 2E-B(5.1.67)

в спинорной форме записываются следующим образом:

К := ФлвФлв = 4 "Fab"Fab = 4 Fab"F°b = Р + zQ. (5.1.68)

Иногда мы рассматриваем комплексное поле Максвелла, и в этом случае величину фл.в, в формуле (5.1.39) следует заменить

независимой величиной фЛ/В/. Соответственно этому

К := Ф^Ф^ = |Fob+F°b = P — iQ(5.1.69)

не зависит от К, и мы имеем обращенные равенства

Р = (К + W, Q = (К - KW(5.1.70)

Действительное поле чисто электрическое (или чисто магнитное) [т. е. может быть приведено с помощью преобразования Лоренца к виду, когда В = 0 (или £ = 0)1, если /С < 0 (или 7<>0). Действительное поле простое, если К— действительная величина.

Электромагнитный тензор энергии-импульса имеет простой вид в спинорной записи:

'^ab = 2л" ^АВ^А'В'"(5.2.4)

Если этот тензор рассматривается как источник гравитационного поля, то уравнения Эйнштейна (4.6.32) принимают вид

^АВА'В' = ^С^АВ^А'В'' -А- = -g- А,(5.2.6)

а тождества Бианки (4.10.7) записываются следующим образом:

^b^abcd — ^G^a's^b У cd-^b^abcd — ^G^a's^b У cd-(5.2.7)(5.2.7)

^b^abcd — ^G^a's^b У cd-

^b^abcd — ^G^a's^b У cd-

(5.2.7)

(5.2.7)

Поля Янга — Миллса

Мы обозначаем заглавными греческими буквами индексы, относящиеся к слою. В частности, заряженное поле Янга — Миллса (ЯМ-заряженное) Хф содержит такой индекс. Теперь символ Va при действии на такие поля имеет смысл связности в расслоении, удовлетворяющей условиям

¥а:$Ф->$? [или ®Ф -►©?],(5.4.17)

Va (ХФ + цФ) = ?аХФ + ?вцФ,(5.4.18)

Va (fХФ) = АФР J + ^аХФ, f е $ [или ©1, (5.4.19) где через £ф в случае действительного векторного расслоения и через ®ф в случае комплексного векторного расслоения обозначен модуль сечений расслоения (снабженный абстрактным индексом ф). Кривизна в расслоении Каьаф [в отсутствие кручения; ср. с формулой (4.2.31)] определяется как

КаЬйФХй = (VaVb - VbVa) ХФ.(5.4.23)

В случае полей Янга — Миллса (ЯМ) мы часто принимаем, что расслоение снабжено унитарной (эрмитовой) структурой

(т. е. комплексное сопряжение переставляет верхние и нижние заглавные греческие индексы). Вместо Каьаф мы используем величину Раьаф s= 1Каьаф, которая в этом случае эрмитова и удовлетворяет уравнению

AobPw = феРаьчг®-(5.5.30)

Ее компоненты, принадлежащие слою, выражаются через потенциалы ЯМ Фае4' (матрица ковекторов) по формуле

-|- Fab*v = V^j ev - 1-флчг[аФб1 ел(5.5.28)

(причем пространственно-временные индексы перестановочны с индексами ЯМ-компонент). Действие калибровочных преобразований записывается в виде

Ф в^ф> = ф ®г %Л + ir ®V аЛэ (5.5.25)

FЛ = Р Tr(5.5.29)

обе йье abe чг е''

при этом абстрактная кривизна Раье9 (поле ЯМ) не изменяется. Матрицы (г^ и ^q^ взаимно обратны (а также эрмитовосопряжены в унитарном случае).

В спинорной записи имеет место разложение

Гаь^ = Фдве^А'В' 4" ^'B^A'S'e^'(5.5.36)

в котором

^лве^ ” Ф(лв) еТ ” "2" авс,С е^ ’

,(5.5.37)

■х-А'В'е Ча'В'ув 2 с а'В'

(в унитарном случае эти величины комплексно-сопряжены друг с другом). Имеем ^ спинорные «тождества Риччи»

□лвН^^^Фав©4^ Пл'В'Н^—^^А'В'е^ ’

□ ЛВ^Т = ^вФлВ'р8’ □ А'В'^ЧГ = Z^^А'В'Ч^

(5.5.40)

и выражения через потенциалы

Флве*Az(A®B)eг®д л^лув)® ’

у Т — V фЛ т — 1Ф т Фл л

*-А'в'е —*Л(Л,Ч/В')ел^А'^впе *

(5.5.41)

Полевые уравнения ЯМ (без источников)

VaFa60^ = O

(5.5.35)

совместно с тождеством

V[aFM0^ = O

(5.5.34)

в спинорных обозначениях записываются в виде V4^ABeT = 0 = V^ *Х.д.у9чг-

(5.5.44)

Самодуальная и антисамодуальная части поля ЯМ имеют вид

<5-5.49)

-^Т-ФлЮТ«л«-<S.5.50)

Поле ЯМ называется самодуальным (антисамодуальным), если его антисамодуальная (самодуальная) часть равна нулю. В этом случае уравнение (5.5.35) следует из (5.5.34).

Конформные изменения масштаба

Мы полагаем, что конформное преобразование метрики пространства-времени

gabl-*6ab = Q2gab .(5.6.1)

сопровождается «геометрически естественным» преобразованием

®АВ 1—* ^Ав ” ^®АВ(5.6.2)

(одновременно с преобразованием комплексно-сопряженной величины), где й— нигде не обращающееся в нуль (обычно положительное) действительное скалярное поле. (Индексы величин со шляпками поднимаются и опускаются с помощью символов ^и ё.) Определяя

Та = Й-1?ОЙ = Va In Й,(5.6.14)

находим, что ковариантная производная преобразуется следующим образом:

V vP...Sr v VP..S'у VP...S'... У vP — S'

AA'&B ... F' — v ДА'кВ ... F'...1 BA'kA... F'...' e '1 AF'"B ... A'...—

- • + VWB;:J>:: + • • • + »s;rAX;&^ +.... (5.6.15) При преобразованиях (5.6.1), (5.6.2) диада может преобразовываться по-разному, а потому мы пишем,

о = £2 о , i = £24, % = £2(5.0.2)

Полагая

© = In й,(5.6.23)

2 = Qa'0-ah, находим, что спиновые коэффициенты преобразуются следующим образом:■

Я в у', %'

р 6 р' 6'

d Р а* р'

t у й' х'

xS2

[е + (ш0+ l)Dco]S

(у' + wxDa) S

V — б'со

(р — Deo) S

a + гыцб'ш

Р' + X + 1) б'со

a'S-1

aS

Р + (z^o + 1) бсо

а' + ад j б оэ

(р' — D'co)S-1

т — б со

(у + w0D'to^-x

^Z -|„ (j0j -|- 1) Z)/co] 5

"*x'S-2

В частности,

Величины х, а, х', а' суть конформные плотности

(5.6.28)

веса Зш0 — wx, 2ад0, Зг^ — w0, 2wx соответственно, а также

Величина т — т' и мнимые части величин р, р', е, г', у, у' являются конформными плотностями(5.6.29)

f] = £2^f] = £2^веса, соответственно, гу0 + ^ь 2w0, 2ш0, 2wx, 2ад0, 2wx. Здесь слова «величина ц конформного веса w» означают, что эта величина преобразуется в соответствии с равенством

f] = £2^

f] = £2^

(5.6.32)

при конформном преобразовании (5.6.1), (5.6.2), (5.6.22). Предположим, что ц— одновременно величина типа {г', г; t', /} [т. е. она преобразуется по закону (4.12.9) при масштабных преобразованиях диады (4.12.2)]. Тогда мы вводим следующие операторы, определяемые их действием на величину ц:

рс = Р + [Ш — Г' (ЩО + 1) — ГШХ — t' (W) + 1) — tw^ р,

К = / + [® - rX - r ('^1 + ^-^Ч"^^^ ОИ’ /5 6 33) бс = б+[ад— г' (®э+1) — гуцх— fw^— /(ш1+1)]т,' ’ ‘ '

б' = б' + [ад — r'wQ — Г (wx + 1) — t' (ty0 + 1) — X] T'"

Величины, которые получаются при действии таких операторов на т), будут конформными инвариантами:

М = М = ^+2!УоМ,

Усч = УЛ = ^™'Ус^

бсП = М = ^+^+а,ЧЛ(5.6.34)

Используя эти операторы, можно упростить модифицированные уравнения для свободных безмассовых полей и привести их к

виду

^сФг * #СФГ^ = (Г - 1) О'фг-а -(П-Г) Ифг+р

дсфг - Усфг_х = (г - 1) н'фг_2 — (п — г) офг+р

а также упростить модифицированную запись твисторного уравнения (4.12.46):

десо° = (/со1, дуСо1 = осо0,'р'ш° = х'а)1, рссо1 = хсо°,(5.6.38)

дссо° = р'со1, Щсо0 = д'со1

и уравнения (4.14.92), выражающего фундаментальную теорему внешнего исчисления для случая изотропной гиперповерхности:

^{р>0-дсИ1}Ж = ^ц0^-^ц0^.(5.6.40)

s^' <у

Безмассовые свободные поля

Выше мы записали полевое уравнение (4.12.42) для свободного безмассового поля фАв... l = Ф^ав ... ц со спином л/2 (л индексов). Комплексно-сопряженная форма этого уравнения

^^бл'В'...!,' = О, 6a'b,...L' = 9(a,b,...l')(5.7.3)

также описывает свободное безмассовое поле со спином л/2, но между этими полями существует определенное различие, а именно если мы рассматриваем положительно-частотные волновые функции, то (5.7.3) описывает правополяризованные безмассовые частицы [спиральность +(1/2)лЙ], тогда как (4.12.42) описывает левополяризованные частицы [спиральность —(1/2)лЙ]. Отметим также, что, вообще говоря, эти уравнения выполняются только в (конформно) плоском пространстве-времени, поскольку выкладки

О = Ч^'ФаВС ... L = V^ А'ФаВС ... L =

= оАВфАВС -, L =

= - 1е^вфАВС ,„L - ХАВ*Афмвс„1. -.

-ХАВМвфАМС...в-ХАВмсфдвм... -^™AflC м

(5.8.1)

приводят к уравнению связи Фирца — Паули — Бухдала — Плебаньского

(л 2) фАВМ(С... k^lABM =^^Фдвс... l-(5.8-2)

Случай л = 4 четырехмерного пространства Минковского М представляет особый интерес, поскольку в этом случае уравнения для безмассовых полей совпадают с линеаризованными уравнениями общей теории относительности. Мы полагаем, что метрика пространства-времени gab(и) является гладкой функцией параметра и, причем gab = gab ^ есть метрика Минковского и

gab (“) = gab + uhab + О (и2).

Получаем

К abed "= ^™0 (“ X^abcd = ^^Vj ^h^ । ^(5.7.4)

для кривизны в приближении слабого поля, а уравнения Эйнштейна в этом пределе имеют вид

Kabe - | gacKbd^ = -^GEac(5.7.6)

(где Eab — тензор энергии-импульса в приближении слабого поля). Тензор Kabcd обладает симметриями тензора Римана и в отсутствие источников допускает спинорное описание вида (4.6.41):_

К abed = Ф abcd^a'b^c'd' + Ф a'bTc'd^ab^cd •(5.7.8)

В отсутствие источников фдвсп удовлетворяет уравнению (4.12.42) для безмассового свободного поля [ср. (4.10.9)] в силу линеаризованных тождеств Бианки

^VaKbc\de = 0.(5.7.9)

Выражение через линеаризованную метрику hOb таково:

ФаВСО ="2 ^(аУв ^CD)A'B'-(5.7.12)

Свойства при конформных изменениях масштаба

Уравнение для безмассового свободного поля (4.12.42) сохраняет свой вид при конформных изменениях масштаба при любом п, если положить

<5.7.17)

поскольку в этом случае из соотношения (5.6.15) следует равенство

^АА'Фав...ь=^АА'Фав...ь.(5.7.20)

Другое конформно-инвариантное уравнение — равенство нулю

(5.9.1)(5.9.1)^Таь-О

(5.9.1)

(5.9.1)

ковариантной дивергенции бесследового симметричного тензора Таь = T^abha'b'v Действительно, если

fab=^2Tab)(5.9.2)

то из (5.6.15) мы получаем

VaTab = Q"VTab.

Мы видели, что электромагнитный тензор энергии-иМпульса (5.2.4) принадлежит к тензорам этого типа. То же справедливо для тензора энергии-импульса в случае уравнения Дирака — Вейля (4.4.61) (вместо va мы используем символ фА)

^ab = ^ (^(Л^В) А'^В' ^ *,А^ В'1) А5 В^)(5.8.3)

(&— некоторая действительная константа). Проверка уравнения (5.9.1) для тензора (5.8.3) в искривленном пространстве-времени облегчается, если использовать тождество

^А^В'(Л^В) = ^В'В^А'^А У ^А'В^еЛА + ^еА'В'^В ^АВА'В'^’

(5.8.4) которое потребуется нам в дальнейшем.

Закон сохранения тока заряда (5.1.54) также конформноинвариантен при замене

Ja=Q-2Jo.(5.9.3)

Это прямо следует из того, что в силу уравнения (5.1.54) равна нулю внешняя производная величины+J [формула (3.4.29)]

-+/ = +Jili1i3 = е^у^]6,(5.9.5)

так как

d7 = ^u^w = - 4" О^) eiMiU.(5.9.6)

Отметим, что

^afrcd ^4^a6cd >(5.9.7)

а поэтому закон преобразования (5.9.3) согласуется с равенством +J = +J. Естественный закон преобразования величины Р = ру, как 2-формы, а именно F = F, тоже согласуется с уравнениями Максвелла, содержащими источник [формула (5.1.38)],

dF = 0, d*F = ^J.(5.9.13)

Следовательно, при обычном законе масштабного преобразования безмассового поля (5.7.17)

Фав= й-'фав, т. е. флв = й-3<рлв,(5.9.8)

уравнение (5.1.52) также является конформно-инвариантным.

Другие полевые уравнения•

Волновому уравнению

□ ф ._ ^АА-^АА,ф = о(5.10.6)

можно дать спинорную трактовку, если переписать его в виде ?И^ = 0.(5.10.7)

Равенство (5.10.7) означает, что величина У аа'У в^4* есть симметричный спинор [в смысле предложения (3.3.62)]. В пространстве М всякое безмассовое свободное поле [в том числе и поле ^, удовлетворяющее уравнению (5.10.6)] обладает тем свойством, что его повторные производные любой кратности (без свертки) дают симметричные спиноры. Обозначим результат дифференцирования через Од "’/ (с правильным расположением индексов). Тогда

¥м'9лв".:.е=0, Vpp^eS' = 0.(5.10.9)

И наоборот [формула (3.3.14)], справедливо следующее.

Предложение

Если выполняются соотношения (5.10.9), то поле ^аДе^ ^ ©(А.Т^' представляет собой п-ю производную некоторого свободного безмассового поля.(5.10.10)

Уравнение Дирака для электрона (спин 1/2) может быть записано в 2-спинорном виде

_ V^д=цxЛ', V^'--^,(5.10.15)

где Йцд/2— масса. (Разница в положении индексов у спиноров фл и хЛ' не имеет значения.) Уравнение Шредингера — Клейна — Гордона (спин 0) имеет вид

(□+2ц2)9=0.(5.10.20)

Уравнение (Дирака) для больших - спиноров (в М в случае, когда нет электромагнитного поля) записывается в виде пары связанных уравнений

^'tfc.ТВ = ^D r. ^ap^d т'=- №%Г:Ъ (5.10.35) в которых спиноры предполагаются симметричными (масса та же, что и выше), а спин равен половине числа индексов каждого спинора. В силу симметрии обоих спиноров выполняются два «дополнительных условия»

Ч^вДо' = °. v№ г = о.(5.10.36)

Кроме того, каждый из спиноров ф"’. и х’” удовлетворяет уравнению (5.10.20).

Данные на изотропной гиперповерхности

Система спинорных полей, удовлетворяющих полевым уравнениям и уравнениям для коммутаторов производных, образует точную систему, если все симметризованные производные могут принимать любые значения в произвольной точке, а все несим- метризованные производные могут быть выражены через симметризованные. Всем обычным «самосогласованным» системам полей (например, системе Эйнштейна — Максвелла — Дирака) может быть придана форма точных систем. Пусть Л3— изотропная гиперповерхность, а спинор ^л определен на Л3 так, что его флагшток направлен вдоль образующих гиперповерхности Л3. Если фд Ер, s — поле, принадлежащее рассматриваемой системе полей, то его изотропные данные в точке Xe.V определяются как

Ф = 1Л ... 1ЕГ lsW..E₽'...dx-(5.11.11)

Определение точной системы полей эквивалентно утверждению, что вдоль светового конуса (в аналитическом пространстве-времени ^") нулевые данные на Л3 для всех полей системы образуют полное неприводимое (без связей) множество начальных данных.

Простейший пример точной системы — единственное свободное безмассовое поле фл...ь в М. Пусть Л3— изотропная гиперповерхность общего вида (но допустимая) в пространстве М. Тогда можно использовать обобщенную формулу Кирхгофа — Дадемара

5Г ^4,1,... nt-Е^-»’,(5.12.6)

чтобы выразить в поле в точке РеМ через изотропные данные ф в точках Q многообразия 9Р, которое является пересечением светового конуса ^ точки Р с Л3. При смещении точки Q флагштоки спинора т)л направлены вдоль образующих гиперповерхности Л3 и параметр г определяется соотношением

(QP)a = гт]лпл'.(5.12.2)

Оператор рс определен в формуле (5.6.33), спиновая система отсчета здесь выбирается в виде

ол = £л, И= —пл(5.12.7)

(так что £дТ)л=1), и можно написать

■рс = р — (n + 1)р = D — ne — (n + 1) р. (5.12.8)

Как и прежде, ^ есть 2-форма элемента поверхности S' в точке Q.

Для доказательства формулы (5.12.6) мы сначала фиксируем Ч? и, изменяя 9Р, показываем, что правая часть не зависит от выбора сечения 9> конуса Ч?, а затем переходим к пределу, когда 9s стягивается к Р. То, что интеграл не зависит от выбора сечения, следует из формулы (4.14.92) (точнее говоря, из формулы, ей комплексно-сопряженной, с заменой Л3 на ^?), а также из равенства нулю величины А, определяемой соотношением

А := (/ — 2р') Цо' - (б — т) ц, = 0. (5.12.17) Здесь

Ро^^г-ф^, (5.12.16)

Pi' = <й"г-1 (дф — (п+ 1)т^ + паф) (5.12.18) при фх = фхо...о и ® = ®лт]л, где ®л—константа на М. При желании можно заменить величину со^г-* {—п— 1, —1} — скаляром Г, удовлетворяющим (при р' = 0) условиям

р'Г = О = д'Г, т. е. рТ = 0, дГ = 0. (5.12.32)

На этом мы заканчиваем сводку наиболее важных результатов первого тома. Он был посвящен в основном установлению связи между фундаментальными понятиями 2-спинорного исчисления и геометрии, а также спинорному описанию наиболее известных физических полей. Далее мы рассмотрим с более общей точки зрения те из важных вопросов геометрии пространства- времени, при анализе которых спинорный метод оказался особенно плодотворным. Сюда относятся асимптотики и тензор энергии-импульса в общей теории относительности, подробная классификация типов кривизны пространства-времени и геометрия изотропных лучей. В качестве большой и важной части нашего изложения нам придется также дать введение, знакомящее читателя с мощными методами теории твисторов. С этого мы и начнем.

6

Твисторы

Твисторное уравнение и пространство его решений

В первом томе мы неоднократно подчеркивали, что два-спи- норное исчисление оказывается исключительно полезным при изучении структуры многообразий пространства-времени. Действительно, четырехмерность и сигнатура (Ч), а также

требуемые глобальные свойства пространственной ориентируемости, ориентируемости во времени и существования спиновой структуры могут рассматриваться в известном смысле не как заданные наперед, а как выводимые из свойств двухкомпонентных спиноров. До сих пор значимость такого подхода представлялась ограниченной, поскольку само многообразие точек пространства- времени все же считалось заданным, хотя его природа в какой-то мере определялась требованием существования спиновой структуры. Если принимать всерьез мысль о том, что все свойства пространства-времени должны выводиться из более фундаментальных спинорных свойств, то нам нужно было бы найти подход, при котором точки пространства-времени можно было рассматривать как производные объекты.

Спинорная алгебра недостаточно богата, чтобы служить основой такого подхода, но определенное ее расширение, а именно алгебра твисторов, действительно может рассматриваться как первичное по отношению к пространству-времени. Более того, оказывается возможным дать определение других физических понятий, исходя непосредственно из понятия твисторов и не обращаясь к промежуточной стадии точек пространства-времени. По существу цель твисторной теории состоит в том, чтобы всю фундаментальную физику перевести на твисторный язык. С известной долей спекулятивных рассуждений и различной степенью полноты понятия точки пространства-времени, кривизны, энергии-импульса, момента количества движения, квантования, структуры элементарных частиц и их внутренних квантовых чисел, волновых функций, полей в пространстве-времени (включая их нелинейные взаимодействия) могут быть определены более или менее прямым путем на основе исходных положений теории твисторов.'

Однако теория твисторов весьма сложна в математическом отношении. Чтобы с достаточной полнотой и общностью изло-

жить все аспекты теории, упомянутые выше, потребовалась бы книга, намного превосходящая этот том. (Некоторые из указанных вопросов будут рассмотрены в книге [361].) Во всяком случае, чтобы полностью оценить теорию твисторов и научиться пользоваться ею, необходимо изучить теорию спиноров, в основном те ее результаты, которые изложены в первом томе. Таким образом, мы отнюдь не претендуем на полноту изложения теории твисторов. Будет дано лишь расширенное (пожалуй, несколько одностороннее) введение в предмет. Мы подробно изложим в основном ту часть теории, которая связана со спинорными описаниями твисторов, и отметим глубокую связь твисторов с понятиями энергии-импульса, момента количества движения, а также безмассовых полей. Мы не будем подробно обсуждать, в каком смысле твисторы можно считать объектами более элементарными, чем точки пространства-времени, не будем также долго останавливаться на вопросах квантования, теории частиц и нелинейной теории поля. Всюду в этой главе, кроме раздела о локальных твисторах в общем искривленном пространстве-времени (а теория локальных твисторов находится несколько в стороне от общей теории твисторов), мы будем рассматривать твисторы в основном в пространстве-времени Минковского М, хотя и будем всякий раз подчеркивать связь с аналогичными свойствами в искривленнном пространстве-времени. В гл. 7, § 4 мы укажем на некоторые приложения теории твисторов для случая произвольного пространства-времени Ж (в частности, их связь с гиперповерхностью 3€с.Лу В гл. 9, § 5 будет показано, как твисторы могут быть использованы в космологических моделях. В гл. 9, § 9 мы введем понятие твисторов на 2-поверхности и покажем, как теория в плоском пространстве-времени, изложенная в § 3—5 данной главы, преломляется в контексте искривленного пространства, а также предложим квазилокаль- ное (и асимптотическое) определение массы-импульса-момента импульса в области, ограниченной 2-поверхностью (причем асимптотическое определение массы-импульса будет согласоваться со стандартным определением Бонди — Сакса). Однако нам пришлось опустить большую часть теории твисторов в произвольном, искривленном пространстве-времени. К сожалению, твисторное описание кривизны — один из наиболее сложных и развитых (и даже наиболее интересных, хотя и не до конца решенных) вопросов теории — остается за рамками нашей книги. (См. [252, 254, 122, 336, 342, 358, 267, 285, 131, 13, 366].) Существует много замечательных приложений теории твисторов уже в приближении слабого поля в теории относительности (§ 4, 5). Этот материал будет существенно использоваться в гл. 9, § 9 при обсуждении искривленного пространства. (См. также [141].)

Твисторное уравнение

Мы будем исходить из уравнения [формулы (4.12.46) и (5.6.38) ]*)

V^s) — 0,(6.1.1)

называемого твисторным уравнением [239] (см. также [99] )). Сначала исследуем его формальные свойства, отложив обсуждение физического и геометрического смысла до следующих параграфов. Во-первых, легко показать, что оно конформноинвариантно. Выбрав

&в = <вв,(6.1.2)

получаем из (5.6.15) и (5.6.14)

^aa'®s = ¥лл^ + еАвХсд^,(6.1.3)

откуда

(6.1.4)

Тем самым конформная инвариантность доказана.

В искривленном пространстве-времени существует жесткое условие совместности для уравнения (6.1.1), аналогичное условию (5.8.2). В самом деле, мы имеем [формулы (4.9.2), (4.9.11), (4.6.35), (5.1.44)]

^А'Ю^АддВ) _ — |—|(СА(йВ) _ — xpCA^B^D — ie^CA®8^, (6.1.5)

что позволяет учесть наличие электромагнитного поля и возможное наличие у поля юв заряда е. Таким образом, из уравнения (6.1.1) следует уравнение ■

^abcd®0 = - ie^AB®cy(6-1 -6)

аналогичное уравнению (5.8.2). Если <в° #= 0 и е = 0, то, учитывая предложение (3.5.26), мы находим, что ®D есть четырехкратный главный спинор спинора Wabcd. Таким образом, ненулевые незаряженные решения твисторного уравнения могут существовать лишь в точках, где спинор Wabcd либо равен нулю, либо является «изотропным» (т. е. имеет четырехкратный главный спинор). При е 0 ситуация не улучшается. Учитывая эти трудности, мы будем в настоящей главе рассматривать уравнение (6.1.1), ограничиваясь случаем конформно-плоского пространства-времени (которое характеризуется условием WAbcd =

’) Все формулы, предложения и т. д. из первого тома (т, е. из гл. 1—5), на которые мы ссылаемся в этом томе (кроме немногочисленных прямых ссылок на том 1), можно найти в предпосланной сводке содержания тома 1.

= 0; см. § 8, 9), причем большая часть вычислений будет выполнена фактически в пространстве Минковского М. Обобщение на конформно-плоское пространство затем получается из условия конформной инвариантности. (Относительно обобщения на искривленное пространство см.: локальные твисторы — § 9; тви- сторы на гиперповерхности — гл. 7, § 4; на 2-поверхности — гл. 9, § 9.) Даже в плоском пространстве уравнение (6.1.6) имеет лишь тривиальные решения, если е ^ 0 и поле фДв не везде равно нулю. Поэтому в дальнейшем, если специально не оговаривается, все поля будем считать незаряженными.

В пространстве Минковского уравнение (6.1.1) допускает нетривиальные решения. Найдем их явный вид. Для этого фиксируем в М произвольную точку О в качестве начала координат и будем описывать точки векторами ха, исходящими из точки О. Мы рассматриваем ха как векторное поле на М. В точке О оно принимает нулевое значение и всюду удовлетворяет уравнению

— (6.1.7)

поскольку в стандартных координатах Минковского компоненты ха вектора х°, определяющего точку, совпадают с координатами этой точки. Далее рассмотрим величину

V^V^c (6.1.8)

где сос — решение уравнения (6.1.1). Эта величина антисимметрична по индексам В, С. Но так как пространство М плоское, производные коммутируют, откуда следует антисимметрия по индексам А, С. Следовательно, все выражение (6.1.8) антисимметрично по индексам А, В, С, а значит равно нулю. Это говорит нам, что V|,®c есть константа. В силу антисимметрии она должна быть пропорциональна евс, например равна —1п.^гвс, где л^— некоторый постоянный спинор. (Множитель —i введен для удобства.) Таким образом, имеем

^ва'®0 = — №вс^а'- (6.1.9)

Интегрирование этого уравнения дает со = хВА' (— ieBcn^)4-const, что можно показать, записав его в явном координатном представлении; следовательно, мы находим

®л’= ®л — 1хАА'лА-,

О (6.1.10)

^■А' ^ "д', в о

где ®л и лд/— спиноры, которые имеют следующий смысл. Так как ®л—спинорное поле, правая часть первого равенства (6,1.10) тоже должна быть спинорным полем. Это требование можно выполнить, рассматривая ®л и Лд' как постоянные

спинорные поля, значения которых совпадают со значениями спинорных полей ®л и лЛ', соответственно, в начале координат. В дальнейшем такой смысл будут иметь все спиноры, которые отмечены кружком над корневой буквой. (Символ «о» над лА' здесь, конечно, «избыточный»; но он поможет сделать более последовательным дальнейшее изложение.)

Пространство твисторов

Как и решения всех (комплексных) линейных дифференциальных уравнений, решения твисторного уравнения образуют векторное пространство над комплексными числами со стандартными правилами сложения и умножения на скаляр. В случае линейных уравнений общего вида это пространство часто оказывается бесконечномерным. В нашем же случае из уравнения (6.1.10) следует, что решения о4 твисторного уравнения полностью определяются четырьмя комплексными числами — значениями компонент полей ®4 и лЛ' в спинорном базисе в точке О. Следовательно, такие решения образуют четырехмерное векторное пространство Та над полем комплексных чисел, называемое пространством твисторов (его действительная размерность равна, очевидно, восьми). Элементы пространства твисторов назовем [ ’ ]-твисторами и будем обозначать «рублеными» заглавными корневыми буквами с (четырехмерными) строчными греческими абстрактными индексами, например Z“. Если этот символ означает определенное решение щ4 уравнения (6.1.1), то мы пишем

Za = [®л]. (6.1.11)

Умножение на комплексное число и сложение твисторов определяются очевидным образом:

X [®л] = [Х®л] (Хе С), [®Л] + КЛ] = [®Л + §Л]. (6.1.12)

Из [‘]-твисторов можно сконструировать твисторы произвольной валентности [£], пользуясь обычными правилами построения тензорных объектов, изложенными в гл. 2.

Используя абстрактные индексы, мы получаем копии пространства Та: Т₽, ТТЛ ..., а также пространства Tpv6, ... . Но оказывается, что твисторы высшей валентности, вообще говоря, не могут быть представлены одним спинорным полем. Чтобы сделать более последовательной и более простой в обращении алгебру твисторов высшей валентности в спинорном представлении, гораздо удобнее описывать Za двумя полями"®4 и лЛ', а не одним полем ®4. В этом случае вместо равенства (6.1.11)

мы пишем ’)

Z° = (®л, л/), (6.1.13)

где ®л и лД' связаны между собой соотношением (6.1.9) [или, что эквивалентно, равенствами (6.1.10)]. В отличие от (6.1.11) представление (6.1.13) не является конформно-инвариантным (см., однако, § 9).

Поскольку поле ®л полностью определяется постоянными спинорами сол и лЛ' [формулы (6.1.9) и (6.1.10)], мы можем представить его, а следовательно, и поле Z° значениями <лА(О) и лД'(О) спинорных полей ®л и лД' в точке О. В этом случае мы записываем

Za-> (юл(О), лД'(О)), (6.1.14) о

где символ -<-► напоминает, что соответствие (6.1.14) не является пуанкаре-инвариантным, но зависит от выбора начала координат О в пространстве-времени. Иногда мы будем использовать обозначения

2Л = ®Л, 2Д' = лд5 (6.1.15) где ®л, л/могут быть либо спинорными полями [представление (6.1.13)], либо спинорами в точке О [представление (6.1.14)]. В обоих случаях они называются «спинорными частями» тви- стора Za («в точке О»). В силу соотношений (6.1.14) и (6.1.10) имеем

X (®л, лД') = (Х®л, Хлд/),

■ (юл, Лл') + №л, 11л') = (юл + ^л, Лл'+ ■Пл'). (б-1-16)

Пространство Т“ можно было бы рассматривать (такой подход не был бы пуанкаре-инвариантным) как прямую сумму ®л[О]ф®Д'[О] пространств спиноров типа <вл и яА- в О. (Напомним, что ©'^ [Р] есть комплексное векторное пространство спиноров с индексом типа ^, взятых в точке Р.) Тогда индекс а в символе Za должен был бы рассматриваться как некоторого рода прямая сумма абстрактных индексов А и А', взятых в верхней и нижней позиции соответственно (отметим, что такая процедура полностью отлична от образования собирательного индекса в гл. 2, § 2). На практике можно считать, что индекс a принимает два «значения»: А и А'. С этой точки зрения индекс a оказывается чем-то промежуточным между абстрактным индек-

’) Не следует идентифицировать твистор (6.1.13) с дираковским спинором [см. формулу (5.10.15) и приложение ]. Хотя между ними существует определенное формальное сходство в фиксированной точке, принципиально важная зависимость твистора (6.1.10) от положения не имеет места в формализме. Дирака.

сом и индексом, принимающим численные значения. Поскольку «компоненты» (6.1.15), соответствующие двум «значениям» А и А' индекса а, изменяются при сдвиге начала координат [формула (6.1.10)], мы предпочитаем отказаться от такого подхода.

Выбрав некоторую спиновую систему отсчета (ол, И) в точке О, можно построить твисторный базис следующим образом:

до*-»(ол, о), об? —(О, -1Д'),до*-»(ол, о), об? —(О, -1Д'),6?^(^, О),6?^(^, О),обз°^(О, од0.обз°^(О, од0.(6.1.17)(6.1.17)

до*-»(ол, о), о

б? —(О, -1Д'),

до*-»(ол, о), о

б? —(О, -1Д'),

6?^(^, О),

6?^(^, О),

о

бз°^(О, од0.

о

бз°^(О, од0.

(6.1.17)

(6.1.17)

Линейная независимость этих твисторов очевидна. Далее, поскольку

(®л (О), ЛлДО)) = (<о° (О) оА + ш1 (О) 1Л, лг (О) оД' - лу (О) 1д0,

(6.1.18)

из соотношений (6.1.12), (6.1.16) и (6.1.17) следует, что

Za = Z”6“,(6.1.19)

где

Z“=(®°(0), ©'(О), л^О), лу(О)), a = 0, 1, 2, 3. (6.1.20)

Отсюда и из (6.1.15) мы получаем следующие явные выражения:

z°=®°(0), г^^чо), г2=л0до)=20', z3=nr(o) = zf.

(6.1.21)

Таким образом, Z° и Z1 можно непротиворечиво рассматривать либо как 0, 1-компоненты твистора Za, либо как компоненты спинорной части твистора Zл в точке О. В дальнейшем (если специально не оговаривается) будем считать, что спинорные части произвольного твистора всегда вычисляются в начале координат.

Дуальные твисторы

Поскольку пространство [ ’ ]-твисторов может быТь представлено к'ак прямая сумма пространств спиноров т'ипа «И и лД' в точке О, дуальное [ ° ]-твисторное пространство также должно быть представимо в виде прямой суммы пространств спиноров типа Хд, р,л', взятых в точке О. Типичное представление имеет вид

о

Wa^>(^(0), цл'(О)),(6:1.22)

й тогда скалярное произведение определяется следующим образом:

WaZ° = хд (О) юл (О) + цл' (О) лд, (О).(6.1.23)

По аналогии с (6.1.13) желательно представлять [°]-твисторы с помощью двух спинорных полей Хд и цл', опуская явную зависимость от выбора начала координат. Мы пишем

Wa = (^, цл'),(6.1.24)

причем значения в точке О определяются из соотношений (6.1.22). Потребуем, чтобы выражение (6.1.23) имело место не только в точке О, но и в произвольной точке пространства М:

Хд^ + Р^д- = WaZa = Хд (О) с/ (О) + цл(О) «х (О) =

■ ■= Ха<»а + ц.л'лД',(6.1.25)

где, как и прежде, Хд и цл' — постоянные спиноры, принимающие в точке О значения ХД(О) и ц.л'(О). Подстановка выражений (6.1.10) в эти уравнения дает

^а (®л — 1‘хлллд0 + цл лд^ = Хд®л + цл лД'.

И поскольку данное соотношение должно выполняться при О о

любых константах ол, лД', «коэффициенты» при этих спинорах должны быть равны; это приводит к следующим выражениям для полей Хд, цл':

о=(6.1.26)

-ц,л' = цл' + 1хАА'Хд.

Используя соотношения (6.1.26), легко убедиться в том, что поле цл' является решением (и даже общим решением) сопряженного твисторного уравнения

уИ'цвэ = о(6.1.27)

и что по аналогии с (6.1.9) величину Хд можно найти, зная ц,л':

Чаа'Рв' = 1»а'В"Ьа. (6.1.28)

Таким образом, переменная Хд в выражении (6.1.24) не является независимой, и твистор Wa полностью определяется спинорным полем цл'. В действительности вместо (6.1.24) можно использовать представление, в котором твистор Wa отождествляется с цл' [формула (6.1.11)], и записать представление

(6.1.29)(6.1.29)We = [rt

(6.1.29)

(6.1.29)

которое является конформно-инвариантным, так Же как (6.1.11), хотя и менее удобным, чем (6.1.24), для построения твисторов высших валентностей.

Полезно выразить внутреннее произведение WaZ° через спинорные поля сол и цл'. Для этого достаточно подставить (6.1.9) и (6.1.28) в (6.1.25). Имеем

[цЛ'1 • [®л] := WaZa = 4 i (^Vba^ ~ ^а^ВУ (6.1.30)

Всякое решение р,л' уравнения (6.1.27) может быть получено комплексным сопряжением соответствующего решения уравнения (6.1.1): о>л н-»р,л'= юл'. В этом легко убедиться, сравнив либо непосредственно оба дифференциальных уравнения, либо их общие решения (6,1.10) и (6,1.26). Это позволяет нам отождествить [°]-твисторы Wa с величинами, комплексно, сопряженными [д]-твисторам Za, и наоборот. Следовательно, можно определить"

Z =^а:=(”А> “л)>(6.1.31)

WQ = Wa:=(^, ХА

Теперь ясна роль множителя —/ в формуле (6.1.9): он позволяет путем комплексного сопряжения непосредственно переходить от уравнения (6.1.9) к (6.1.28) и от (6.1.10) к (6.1.26). Ниже мы рассмотрим комплексное сопряжение произвольного твистора.

По аналогии с обозначением (6.1.15) мы иногда используем запись

WA = XA, №А' = цА'(6.1.32)

(как в случае спинорных полей, так и в случае спиноров, вычисленных в точке О) для спинорных частей твистора Wa.

В дальнейшем нам также потребуется базис б£, дуальный базису (6.1.17). Он должен удовлетворять соотношению

6^=6?.(6.1.33)

Как нетрудно убедиться, этому условию удовлетворяет базис оо

(6.1.34)(6.1.35).1.(6.1.34)(6.1.35).1.6-^(од, О), оо .

(6.1.34)

(6.1.35)

.1.

(6.1.34)

(6.1.35)

.1.

62(О, ОЛ'),63 (О , 1Л').

Отсюда находим

w„=wx

где

Wa = (X0(O), ХГ(О), ц°'(О), ^'(О)), a = 0, 1, 2, 3.

Из данного выражения и равенств (6.1.32) получаем в явном виде

w0=w), Wi = Mo), w2=no,(o) = w°; w3 = ni'(o) = w1'.

(6.1.37)

[См. также то, что говорится после формулы (6.1.21).]

Твисторы высшей валентности

Рассмотрим теперь прямое (тензорное) произведение X°Ze двух твисторов вида

Х° = (У Лл'). Za = (<oA, лл0(6.1.38)

или, выписывая явную зависимость от точки О,

Х° Л (И (О), Лл' (О)),Za ^ (<ол (О), лл, (О)). (6.1.39)

Сравнивая это представление с (6.1.20), находим, что компоненты произведения XaZp выражаются через все компоненты следующих четырех спиноров, взятых в точке О;

^А<дв, 1Аяв>, Ча'^8. 4a'”b'.(6.1.40)

Спинорные поля (6.1.40) представляют собой спинорные части произведения XaZe, а их зависимость от точки определяется соотношением (6.1.10) [примененным к твисторам (6.1.38)]. Произвольный [у]-твистор S°e, будучи суммой произведений вида XaZe, полностью характеризуется четырьмя независимыми спинорами, взятыми в точке О, а именно значениями в точке О четырех полей

8ЛВ, SV, 8л-а, S^Bc(6.1.41)

Мы говорим, что они образуют спинорные части твистора 8“е* Это особые выделенные взаимосвязанные величины, которые равны суммам произведений вида (6.1.40), сомножители которых определяются выражениями (6.1.38), а зависимость от точки— соотношениями (6.1.10).

Используя обозначения (6.1.41), важно сохранять неизменный порядок спинорных индексов, т. е. нельзя писать SV = = 8В,Л [в отличие от обычных обозначений, см. (2.5.33)], поскольку этот порядок — наше единственное указание в обозначениях на то, какая из спинорных частей имеется в виду. Но эти обозначения могут приводить к путанице, когда индексы поднимаются и опускаются с помощью е-символа. Поэтому, если в вычислениях постоянно используются спинорные части определенного твистора, удобнее ввести для них отдельные символы,

При общем же изложении теории твисторов используемые обозначения оказываются очень экономными. Мы часто пишем

(6.1.42)ЕН- и(6.1.43)(6.1.42)ЕН- и(6.1.43)SV

(6.1.42)

ЕН- и

(6.1.43)

(6.1.42)

ЕН- и

(6.1.43)

По аналогии находим типичные представления ) для [^-твисторов:

а _(ЕАв ЕАВ' Ч _(Rab Rab'\Ел'яЕл'/’^"IrV R^J'

Ясно, что в общем случае [£]-твистор имеет 2p+q спинорных частей, которые, однако, не удается записать в таких же удобных обозначениях, как выше. Например, [,]-твистор Т“% имеет восемь независимых спинорных частей вида

ТАвс, Vc, ТАВ'с. ТАве',

ТАВ'С', Vе', ТД'в'с, ТА'в'с'- (6.1.44)

Спинорная часть, все индексы которой расположены в верхней позиции (в предыдущем случае ТЛВС')> называется главной спинорной частью твистора. Часть, все индексы которой находятся в нижних позициях, называется проекционной (projection part).

Определение (6.1.23) произведения WaZa приводит к определениям сверток произвольных твисторов. Практически они сводятся к свертке «соответствующих» спинорных частей по индексам А и А' для каждого сворачиваемого твисторного индекса а. Например:

Г^ = (Тлвл + ^ВА^ ТАВ,Д + Тд,^ (6. ! 45)

Теперь по аналогии с формулами (6.1.21) и (6.1.37) легко вычислить компоненты произвольных твисторов в базисе (6.1.17). •Рассматривая в качестве примера твистор

Г% = Та%б"аб6б?, (6.1.46)

мы находим [компоненты спинорного поля должны быть взяты в точке О в соответствии с замечанием, сделанным после формулы (6.1.21)]

Т°% = Т»0, Г^Т01! И т. д„

Т201 = Т0'°1, Т20з = Т/1', Г*2 = Т140' и т. д. (6.1.47)

Здесь левая часть каждого из равенств — компонента твистора, а правая — компонента спинорной части. Поскольку твисторные индексы не штрихованы, а спинорные никогда не принимают значений 2 и 3, вторая строка в соотношениях (6.1.47) определена однозначно. Может показаться, что неоднозначность имеется в первой строке, но это не так. В самом деле, мы имеем следующее правило:

О (верхний/нижний) *-*■ 0 (верхний/нижний),

(верхний/нижний) *-*■ 1 (верхний/нижний),

(верхний/нижний) *-*- 0' (нижний/верхний), ^ "^ 3 (верхний/нижний) -*-► 1' (нижний/верхний).

Далее выясним зависимость спинорных частей (6.1.41) [д]-твистора 8°р от точки. Зависимостью от точки и от отношения взаимности (полевых) спинорных частей 1-валентных тви- сторов определяется вид (полевых) спинорных частей всех тви- сторов. В случае твистора 8°^ это можно вывести из требования, чтобы (скалярное) поле

S^UaWp,(6.1.49)

образованное из двух произвольных [, ]-твисторов Ua, Wa, было постоянным и, следовательно, равнялось своему значению в начале координат. Действуя далее так же, как при выводе формулы (6.1.25), мы легко находим требуемые соотношения. Чтобы записать их в удобном виде, введем более конкретные обозначения для спинорных частей твистора S°9, а именно

SaP = ( в Р )(6.1.50)

(хотя вполне можно было бы использовать обозначения компонент 8лв, 8ЛВ' и т. д.). Определенные таким образом спинорные части связаны между собой следующими соотношениями:

вА'вА'•В А' w ^А'В'»•В А' w ^А'В'»(6.1.51)(6.1.51)^а'в' — хд'в'>

в

А'

в

А'

•В

А' w ^А'В'»

•В

А' w ^А'В'»

(6.1.51)

(6.1.51)

аАВ = аАВаАВ = аАВ.= 9^ — ixAA'uA,B„

аАВ = аАВ

аАВ = аАВ

/х^'Тд, — 1ХВВ'рв, — хАА'хвв'%д,в.

Информация, которую несут эти равенства, содержится также в следующих дифференциальных уравнениях [см. формулы

(6.1.28)]:

Vrr,oAB = — ierAT®, — 1гврАWV GG * G. 7

(6.1.52)(6.1.52)^CC'Pb' =^C^G'B'»

(6.1.52)

(6.1.52)

^CC'TA' —^c'^A'C1

^CC'^A'B' = 0-

Это можно показать, вычислив производные обеих частей равенств (6.1.51) в начале координат; поскольку выбор начала координат произволен, мы приходим к выводу, что уравнения (6.1.52) выполняются в любой точке. В этом специальном случае твистор S°e полностью определяется одним полем, а именно главной спинорной частью аАв. Первое уравнение системы (6.1.52) дает

VPP,aGB = —2rr^ — ip5„

вс -в О-в(6.1.53)

7сс-а = — tTc- - 2lPc-.

откуда находим т^, и р^,. Затем, используя второе или третье уравнение системы (6.1.52), находим хЛ'В'.

Соотношения, аналогичные соотношениям (6.1.51) и (6.1.52), очевидно, имеют место для твисторов любой валентности и могут быть получены тем же способом. Рассмотрим еще один специальный случай, а именно случай [} ]-твистора Е“р вида (6.1.43), для полевых спинорных частей которого мы тоже введем свои обозначения:

Для таких полей находим

Ла'в = ’Пл'в,

(6.1.55)(6.1.55)U'b' = U'b'-Hxbb4a-b, ^Ав = еАв — гх^'л/в, ЦАВ' = ^>АВ' — 1хАА%д-в' + ixBB'6AB + xaa'xbb'tiA'B что [аналогично случаю равенств (6.1.51) и (6.1.52)] эквивалентно уравнениям

(6.1.55)

(6.1.55)

Vcc-lAB' = iec-B'eAc ~ «eV,

(6.1.56)(6.1.56)^с с'^Ав — — i^C^C'Eiсс'^а'в = iec'B Ча'с,

(6.1.56)

(6.1.56)

V сс'Ча'в—. 0.

(X = const)(X = const)(6.1.57)(6.1.57)Замечая, что преобразование 9AB^9Ac + W, ' ^с'в'l—* £c,s' + Хе^8

(X = const)

(X = const)

(6.1.57)

(6.1.57)

не меняет уравнений (6.1.55), мы видим, что главная спинорная часть £АВ' твистора Е°р«е определяет его однозначно. Преобразование (6.1.57) изменяет след

Еаа = 6лл + ^л'(6.1.58)

этого твистора:

Е°а Е°а + 4А.(6.1.59)

Только при условии, что след известен (например, равен нулю), твистор Е“в однозначно восстанавливается по его главной спинорной части ^АВ*.

Уравнения, аналогичные уравнениям (6.1.51) и (6.1.55), выполняются для всех твисторов. Определенный класс твисторов, например S°e, полностью определяется заданием их главной части. Однако пример твистора Е“р показывает, что это не всегда справедливо. Один класс твисторов, которые полностью определяются своей главной частью, состоит из бесследовых симметричных твисторов: ■

Та-6р...г = Та-6>(р...г), (6.1.60)

■ Т^-Аа.-.г^. (6.1.61)

Уравнение, которому удовлетворяет главная часть этого твистора Тл •••DR' “•т' = ХА ••• DR' ••• г', имеет видт

vM<J.% = 0.(6.1.62)

Другой предельный случай — альтернирующие твисторы еару6, е^А удовлетворяющие уравнениям

eapV6 = eWY61, ^^ =е’а₽А е0123=е^(6.1.63)

Каждый такой твистор имеет шестнадцать спинорных частей, причем лишь шесть из них отличны от нуля. Это спинорные части с двумя штрихованными и двумя нештрихованными индексами, они имеют вид .

вА'в'со = еА'в'&со, eA'Bc'D = — еА'с'ево и т. д. (6.1.64)

Для еарув и.

£a'B'CD = ед'в'г00, ^a'bcd = — ^A'C'^0 и т. д. (6.1.65) для eaPv6; Главная часть в этих случаях равна нулю. (Она равна нулю также в случае антисимметричного твистора Ха^ = = Х1"^1)- Оказывается, что только бесследовые симметричные твисторы восстанавливаются однозначно по единственному спи-

норному полю (а именно по главной спинорной части), удовлетворяющему одному дифференциальному уравнению первого порядка. В некоторых других случаях (например, в случае кососимметричного [^-твистора) главная спинорная часть все же определяет твистор полностью, но для ее вычисления недостаточно одного дифференциального уравнения первого порядка. В большинстве же случаев твистор не определяется главной спинорной частью. Например, главная часть симметричного твистора (6.1.60), след которого отличен от нуля, удовлетворяет уравнению (6.1.62), но различные слагаемые, входящие в определение следа, скажем выражения вида 6(pUa "V. т)> не определяются главной частью (т. е. выражения такого вида можно добавлять к 7°-%... г, не изменяя главной части).

Особый интерес для нас будут представлять симметричные, кососимметричные и эрмитовы 2-валентные твисторы. Твистор Sa$ вида (6.1.50) будет симметричным, если Sap = Sea, т. е. если выполняются соотношения .

аАВ = аВА1 pAz = TAzj ХА,В, = НВ,А,. (6.1.66)

Из уравнений (6.1.52) видно, что для выполнения второго и третьего равенств (6.1.66) достаточно потребовать, чтобы симметрия спинорной части оАВ имела место во всех точках-, следовательно, это свойство является достаточным для симметрии твистора Sa₽. В случае кососимметричного твистора (Sap = = — SP“)b уравнениях (6.1.66) следует поставить знак минус в правой части. Аналогично можно показать, что из требования кососимметричности спинорной части ст45 во всех точках автоматически следуют второе и третье уравнения.

Мы говорим, что твистор Е“в вида (6.1.54) эрмитов, если

Ba = Eap, (6.1.67) т. е.

^^АВ', вАв = 1вА, (6.1.68)

Используя уравнение (6.1.55), можно показать, так же как и в случае симметричных спиноров, что эрмитовостью спинорной части ^АВ' во всех точках обеспечивается выполнение второго из уравнений (6.1.68), однако левая и правая части третьего уравнения допускают при этом сдвиг на спинор евА, умноженный на мнимое число. Поэтому из требования эрмитовости спинорной части эрмитовость твистора Е®р следует только в том случае, когда след его равен нулю.

В дальнейшем для нас будет важно следующее обстоятельство: главная спинорная часть ст15 любого твистора S°B автоматически удовлетворяет дифференциальному уравнению

VgaAB^0, (6.1.69)

что явствует из первого уравнения (6.1.52). Кроме того, главная спинорная часть ^лв' любого твистора £°р автоматически удовлетворяет дифференциальному уравнению

(6.1.70)(6.1.70)^=0

(6.1.70)

(6.1.70)

(которое по существу есть конформное уравнение Киллинга, см. § 5), что следует из первого уравнения (6.1.56). По аналогии с уравнением (6.1.1), которому удовлетворяет главная спинорная часть твистора Z“, эти два уравнения также конформноинвариантны при

блв = алв, ^АВ' = ^АВ' (6.1.71)

(на что в случае конформно-плоского пространства указывает их твисторное происхождение). Так же как и относительно уравнения (6.1.1), это можно показать, не делая предположения, что пространство-время является плоским. Более того, так же как при выводе уравнений (6.1.10), можно показать, что общие решения уравнений (6.1.69) и (6.1.70) в М в предположении симметрии спинорной части аАВ определяются четвертыми уравнениями (6.1.51) и (6.1.55), соответственно. Отметим, что уравнения (6.1.69) и (6.1.70) — это частные случаи уравнения (6.1.62), которое также конформно-инвариантно [формула (5.6.15)], причем

^А...СЯ-...Т- = ХА...СЯ' (6172)

К обсуждению уравнений (6.1.69), (6.1.70) и (6.1.62) мы вернемся позже [§ 7; формула (6.4.1)]. В § 7 будет показано, что все симметричные решения уравнения (6.1.62) есть главные части бесследовых симметричных твисторов.

■ Рассмотрим теперь вопрос о комплексном сопряжении твистора общего вида. Соответствующее правило по существу следует из определения (6.1.31) для 1-валентных твисторов, а также из требования, чтобы операция комплексного сопряжения коммутировала с операциями умножения и сложения, например:

. .v°We + X°Yp = V^ + Х^.

В частности, рассмотрим твистор

/ZЛWД ZABS' X

P vvp V7.a ^Nb 7.A'XNB')‘

В соответствии с нашим определением имеем

pae = pa9 = ZaWe =pae = pa9 = ZaWe =ZлWsZ^WSZлWsZ^WSZлWS' \Z^WsJZлWS' \Z^WsJ

pae = pa9 = ZaWe =

pae = pa9 = ZaWe =

ZлWs

Z^WS

ZлWs

Z^WS

ZлWS' \Z^WsJ

ZлWS' \Z^WsJ

Поскольку в общем случае [}]-твистор есть сумма твисторов типа Р“р и аналогично можно рассматривать [£]-твистор самого общего вида, мы формулируем следующее общее правило:

Чтобы выполнить комплексное сопряжение твистора, следует выполнить комплексное сопряжение всех его спинорных частей, расположив их затем в правильном порядке, соответствующем твистору со всеми индексами исходного твистора, перенесенными на противоположный уровень. -

Конформная инвариантность спиральности и скалярного "произведения

Определим спиральность s твистора Z° следующим образом:

S : = у Z°Za = у (<ОЛЛа + Ла'Й^) (6.1.74) (аналогично спиральность твистора Wa равна s = (1/2) WaWa). При таком определении спиральность, очевидно, действительна, но может быть как положительной, так и отрицательной. Будем называть твистор Za (или Wa) изотропным, если его спиральность равна нулю, правополяризованным, если s>0, и левопо- ляризованным, если $ < 0. Таким образом, твисторное пространство Т’(=Т = Та) состоит из трех частей Ta'=N, Т+ и Т“, образованных изотропными, правополяризованными и левопо- ляризованными твисторами. Аналогично дуальное твисторное пространство Т. (=Т* = Та) разбивается на компоненты То, Т+ и Т-. Для обозначения проективных образов этих пространств, т. е. совокупностей содержащихся в них одномерных линейных подпространств (включая начало координат), будем добавлять букву Р перед соответствующим символом (рис. 6.1; гл. 9, § 3).

Из соотношений (6.1.9) и (6.1.3) мы видим, что при конформном преобразовании масштаба выполняется второе из нижеследующих уравнений; первое же просто совпадает с (6.1.2):

==

. а (6.1.75) ЛД'= Ла' + 11 ААКЙ.

Таким образом, спинорное поле ла' не имеет определенного конформного веса. [Отметим формальную аналогию второго уравнения (6.1.75) с уравнением (6.1.10).] Второе уравнение (6.1.75) описывает результат конформного изменения масштаба данного многообразия М. При этом считается, что вариация конформного множителя не влияет на сам твистор Za. Однако вид его представления с помощью спинорных частей изменяется, если не приписать полю ла' специальных трансформационных свойств.

Рис. 6.1. Проективное твнсторное пространство РТГ образовано одномерными линейными . подпространствами твнсторного пространства Т*. Оно состоит из трех областей РТГ+, РТГ” и РТ° (=РМ‘).Рис. 6.1. Проективное твнсторное пространство РТГ образовано одномерными линейными . подпространствами твнсторного пространства Т*. Оно состоит из трех областей РТГ+, РТГ” и РТ° (=РМ‘).

Рис. 6.1. Проективное твнсторное пространство РТГ образовано одномерными линейными . подпространствами твнсторного пространства Т*. Оно состоит из трех областей РТГ+, РТГ” и РТ° (=РМ‘).

Рис. 6.1. Проективное твнсторное пространство РТГ образовано одномерными линейными . подпространствами твнсторного пространства Т*. Оно состоит из трех областей РТГ+, РТГ” и РТ° (=РМ‘).

Из уравнения (6.1.75) следует, что лд' можно рассматривать не как поле с определенным конформным весом, а как объект, который при конформных преобразованиях метрики ведет себя более сложным образом. (При этом лд- нельзя рассматривать независимо от сол.) С учетом такой интерпретации можно сохранить запись 2а = (с»л, лд'). Мы примем такой подход, когда речь пойдет о локальных твисторах в § 9.

Аналог формул (6.1.75) для спинорных частей [°]-твистора имеет вид

(6.1.76)(6.1.76)Ад = Ад — /Гдд'Ц ,|1Л' = цл'

(6.1.76)

(6.1.76)

[ср. с формулой (6.1.26)]. Теперь мы можем сразу же показать конформную инвариантность твнсторного внутреннего произведения (6.1.23), а следовательно, и спиральности, определяемой формулой (6.1.74);

АдЙ)Л + ЦЛ ЛД' = (Ад — 1ТдЛ'ЦЛ ) Ci/ + ЦЛ (лд' + ГТдд,^) =

(6.1.77)(6.1.77)= Ал<ол + цл'лд'.

(6.1.77)

(6.1.77)

Таким образом, твисторное внутреннее произведение определяется свойствами самого твнсторного пространства и не зависит от точки в пространстве-времени и от выбора конформного множителя.

Некоторые геометрические аспекты твисторной алгебры

Геометрический смысл твисторов наиболее ясен в случае изотропных [о]-твисторов:

Z°Za = 0.(6.2.1)

Допустим, мы имеем некоторый изотропный твистор Za = (<o^ лЛ'), причем лд' #= 0. Сначала определим геометрическое место точек Z в М, в которых оу4 = 0: геометрию поля сол лучше всего описывать, рассматривая это множество. На Z радиус-вектор должен удовлетворять соотношению [см. систему (6.1.10)]

1хаа'иа' = «> .(6.2.2)

Будем считать, что спиноры о/ и лл не пропорциональны друг другу в точке О. Если это не так, то мы можем воспользоваться произволом, который имеется при выборе решений уравнения (6.1.9) в виде (6.1.10), и взять за начало отсчета другую точку, так чтобы спиноры сол и лл удовлетворяли данному требованию. [Этого всегда можно добиться, так как в силу формулы (6.1.10) мы имеем ллсол = лл<ол — /хлл'лллЛ', так что при лдсол = 0 условие лд<ол #= 0 будет выполняться, если выбрать начало отсчета, удовлетворяющее условию хлл'лллл/ у= 0.] Допустим, что требуемое условие выполняется. Тогда частное решение уравнения (6.2.2) можно записать в виде

ха = Ою^Лв')-1 алйл'.(6.2.3)

Этот , вектор действителен, так как в силу формул (6.2.1) и (6.1.74) действительно выражение в скобках. Остальные решения уравнения (6.2.2) должны отличаться от (6.2.3) слагаемым, которое дает равную нулю свертку с Пу'. Поскольку вектор ха действителен, эта добавка должна быть пропорциональна произведению лАлА' с действительным множителем. Следовательно, общее решение уравнения (6.2.2) запишется следующим образом:

х“ = (1сйв,лв')~1й)Лтл' +Ал^^, AeR. (6.2.4)

Это — уравнение изотропной прямой линии Z, в дальнейшем именуемой лучом, идущей вдоль флагштока спинора лл; луч проходит через точку Q, определяемую условием А = 0 в уравнении (6.2.4). Точка Q сдвинута относительно О в направлении флагштока спинора сол, а следовательно, лежит на световом Отметим, что положение луча Z не зависит от масштабных конусе с вершиной в точке О (рис. 6.2).

преобразований твистора Za; если заменить ZaHa XZ^X^O),

Рис. 6.2. Луч Z, который определяется изотропным твнстором Z°, идет в направлении флагштока спинора лл и проходит через точку Q, смещенную относительно начала координат О в направлении флагштока спинора ш4. В произвольной «неисключительной» точке Р (в которой спиноры шл и лл не пропорциональны друг другу) флагшток спинора сол лежит на луче, пересекающемся с лучом Z.

то луч Z при этом не изменится. И наоборот, как легко видеть, лучом Z твистор Z“ определяется с точностью до постоянного множителя, поскольку выражение (6.2.2) однородно по сол, лд/.

Если л д' = 0, то луч Z оказывается расположенным на бесконечности [ср. с формулой (6.2.2)]. В этом случае (при условии, что <ол У= 0, так как тогда сол = 0 и, следовательно, Z“ = 0) мы говорим, что Z есть образующая «изотропного конуса на бесконечности». Подробнее этот вопрос рассматривается в гл. 9.

Поле флагштоков спинора аА: конгруэнция Робинсона

После того как найден луч Z, легко описать общую геометрическую структуру флагштоков поля сол. Учитывая произвол в выборе начала координат О, мы видим, что построение, аналогичное описанному выше, может быть выполнено в любой точке Р, в которой спинор <ол не пропорционален спинору лл. Если же имеет место пропорциональность, то флагшток спинора <ол направлен параллельно лучу Z. Однако в точке Р общего положения флагшток спинора сол направлен параллельно (единственному) лучу, соединяющему точку Р с той точкой, в которой луч Z пересекает световой конус, проходящий через Р. Таким образом, поле направлений флагштоков спинора ц/ просто совпадает с полем всех изотропных направлений всех световых конусов, вер-

шины которых лежат на луче Z, включая также предельный световой конус, вершина которого стремится к бесконечности вдоль Z — это (единственная) изотропная гиперплоскость, содержащая Z. Эта гиперплоскость есть геометрическое место точек, в которых направления флагштоков спинора оИ параллельны лучу Z (спинор сол пропорционален спинору лл).

' Если твистор Z“ = (ыл, лд') не изотропный, то его все-таки можно рассматривать как представляющий некоторый луч в «комплексифицированном» пространстве-времени. Такой подход мы будем рассматривать в гл. 9, § 3. Но можно дать реализацию твистора Z“ и с действительными лучами. Оказывается, что и в этом случае направления флагштоков спинора сол принадлежат конгруэнции действительных лучей. Лучи закручиваются относительно друг друга (без сдвига) в направлении правого или левого винта в зависимости от того, положительно или отрицательно произведение Z“Za. [То, что конгруэнция бессдвиговая, а лучи прямые, есть следствие уравнения <олсов \аа'<йв = 0, которое выводится из (6.1.9); см. гл. 7, § L] Такие конгруэнции, связанные с твисторами, называются конгруэнциями Робинсона [239]. Конгруэнция Робинсона, ассоциированная с твистором, фиксирует его с точностью до скалярного множителя.

Можно указать и другой путь, тоже приводящий к конгруэнции Робинсона, ассоциированной с твистором Z. Рассмотрим фиксированный луч X, проходящий через точку О в направлении флагштока спинора сол(0). Его можно представить твистором

Х“Л(0, ®ж(О)),

определенным с точностью до_ненулевого множителя. Очевидно, что выполняется условие X“Za = 0, которым характеризуется в точке О направление флагштока спинора сол. Однако выбор начала координат произволен, а следовательно, в любой точке направление флагштока спинора сол совпадает с направлением луча X, проходящего через эту точку и ассоциированного с твистором Х“, удовлетворяющим условию '

XaZa = 0 = XaXa, (6.2.5)

где твистор Х“ может быть, конечно, только изотропным. Таким образом, все флагштоки поля со направлены вдоль лучей, определяемых соотношением (6.2.5) (при фиксированном Za), откуда следует, что равенством (6.2.5) описывается конгруэнция Робинсона.

Чтобы получить наглядную картину конгруэнции Робинсона, выберем специальный твистор Za = (coA, ла'), удовлетворяющий условию Zaza = 2s и имеющий в спиновой системе отсчета

[формуле (3.1.31), см. также гл. 1], связанной со стандартной системой координат, представление

Z° = (0, s, 0, 1) (seR).(6.2.6)

Уравнение поля со в этом случае принимает вид [формула (6.1.10)]

(Ш«, »■) = (0, з) - -^ ^ + * ^ + ‘9 ) (?),(6.2.7)

так что

а>° : со1 = х + iy : t — z + zs V2.(6.2.8)

Теперь мы можем найти дифференциальное уравнение лучей конгруэнции, исходя из того, что направление касательной, характеризуемое отношением dt: dx\dy; dz, есть направление флагштока спинора сол, т. е.

dt + dz : dx + idy = dx — idy : dt — dz =

= to0'; 61' =

= x— iy : t— z— is -^2.(6.2.9)

Общее решение этих уравнений можно найти прямым путем. Но оно по существу уже определено соотношением (6.2.5): положим

Х“ = (Л, — s, ц, 1),

так что соотношение (6.2.5) будет выполнятся, если

Re(X[i) = s.(6.2.10)

Тогда уравнение (6.2.2) с заменой твистора Z“ на Х“ есть уравнение луча X конгруэнции [решения уравнения (6.2.9)], определенное параметрами X, це С [удовлетворяющими условию (6.2.10)]. В явном виде имеем

( l)=>(‘ + * * + “№).(6.2.11)

\— S/ V2 \х — iy t — Z ))

Для получения наглядной картины больше подходит трехмерное описание. Рассмотрим пересечение конгруэнции с пространственноподобной гиперплоскостью / = т(= const). Каждый луч пересекается с ней в одной точке (т, х, у, z'), и мы можем характеризовать направление луча его ортогональной проекцией на гиперплоскость t = т, вычисленной в точке пересечения. Проекции направлений оказываются касательными к множеству кривых, лежащих на гиперповерхности t = т и дающих картину структуры конгруэнции Робинсона в трехмерном евклидовом пространстве. Дифференциальное уравнение этих кривых получает-

Рис. 6.3. В случае произвольного твистора Z“ флагштоки спинора шл в любой момент времени ориентированы так, что их пространственные проекции касаются семейства окружностей и одной прямой линии, образующих стереографическую проекцию клиффордовых параллельных на S3. С течением времени вся конфигурация движется со скоростью света в направлении, противоположном направлению прямой _линии (т. е. вдоль проекции направления

ЛлЛл').

ся заменой t на т в формуле (6.2.9), а также dt на dl = = (dx2 + dy2A- dzA1/2. Это дает уравнение

(х — zy) (dZ — dz) = (т — z — zs V2) (dx — id у"),

решения которого имеют вид

х2 + у2 + (z — т)2 — 23/2 s (х sin ф-\- у cos ф) tg 6 = 2s2, z — r = (xcos^ — ysin^)tg6,(6.2.12)

где 6 и ф — константы для разных кривых. Эти кривые представляют собой, очевидно, окружности, будучи пересечениями сфер с плоскостями. Они закручиваются (отсюда термин «тви- стор») относительно друг друга так, что каждая пара окружностей оказывается сцепленной (рис. 6.3). Закручивание происходит в направлении правого винта, если s > 0, т. е. если Z° — правополяризованный твистор. Окружности лежат на множестве коаксиальных торов, уравнение которых получается из системы (6.2.12) исключением угла ф. Эти торы образуются вращением

вокруг оси z системы коаксиальных окружностей, лежащих в плоскости (х, z).

С точки зрения компактифицированного пространства-времени, о котором речь пойдет в гл. 9, § 2, гиперплоскость t = т можно рассматривать как (конформно) компактифицированную добавлением бесконечно удаленной точки. Тогда она приобретает топологию трехмерной сферы S3 (стереографической проекцией которой является гиперплоскость / = т). Векторное поле на S3 не имеет особенностей и не обращается в нуль. Окружности образуют структуру, называемую расслоением Хопфа над S3. Подходящим выбором масштаба они превращаются в клиффор- довы параллельные на S3 [57, 138, 351]. Отметим, что все окружности на гиперплоскости сцеплены с одной (наименьшей) окружностью радиусом |s|V2> центр которой находится в точке z = т, х = у = 0, а уравнение отвечает значению 6 = О1). Если величина s мала, то с увеличением т окружность описывает траекторию, близкую к лучу. Если же s = О, то траектория точно совпадает с положением луча: z = t, х = у = 0. При малых значениях s линии конгруэнции Робинсона можно мыслить как определяющие «приближенный» луч, но в действительности эти линии закручиваются относительно друг друга и никогда не пересекаются. Направление закручивания будет правовинтовым или левовинтовым в зависимости от того, является ли твистор Z“ право- или левополяризованным. В пределе при s->0 окружности (6.2.12) сливаются с осью z при z = t. Касательные к этим окружностям ортогональны сферам, касающимся плоскости (х, у) при z = т. Эти сферы представляют собой пересечения гиперплоскости t = т с изотропными конусами, вершины которых расположены в точках z = t, х = у = 0, т. е. на луче Z. Тогда линии конгруэнции оказываются в точности образующими этих изотропных конусов, что отвечает случаю, рассмотренному выше (луч Z изотропный). Такая конгруэнция, т. е. система лучей, пересекающих заданный луч, называется специальной конгруэнцией Робинсона. (К ней относится любая система параллельных лучей — предельный случай, когда луч Z удален в бесконечность; см. гл. 9, § 2.)

Отношение взаимности твисторов

Из всего сказанного о специальной конгруэнции Робинсона следует, что лучи, соответствующие паре изотропных твисторов

') Спиральность s — инвариант твисторного описания, но радиус минимальной окружности таковым не является. В общем случае этот радиус равен | s | (<лл'лллл,)~ *, причем ta — единичный вектор вдоль оси времени (т. е., как будет показано в § 3, этот радиус равен спину, деленному на энергию).

Х“, Z“, пересекаются (хотя бы на бесконечности, когда X и Z принадлежат одной изотропной гиперплоскости) в том и только в том случае, если

XaZ» = 0, т. е. XaZa = 0.(6.2.13)

Это и понятно: требование пересечения эквивалентно требованию, чтобы луч X принадлежал конгруэнции, определяемой тви- стором Za, и наоборот. Мы также называем (6.2.13) «условием ортогональности» твисторов, или, что более привычно, отношением инцидентности между Z“ и Ха.

Условие пересечения/ортогональности (6.2.13) можно обосновать иначе, замечая, что радиус-вектор х° = г° произвольной общей точки R лучей X и Z определяется уравнениями [формула (6.2.2)]:

(6.2.14)(6.2.14)1ГАА'л.А' = <ЙА,

(6.2.14)

(6.2.14)

ir^'^A'£л,

где Х“ = (£л, цд'), Za = (co4, л д'). Эти уравнения можно решить, перейдя к компонентной форме записи в произвольной диаде. Условием существования единственного (комплексного) решения является требование, чтобы 2 X 2-матрица (лд,, Цд-) была несингулярна, т. е. чтобы спинор лд' не был пропорционален спинору т]д'. (В случае их пропорциональности лучи X и Z параллельны и, следовательно, могут иметь общую точку лишь на бесконечности в том смысле, что оба лежат на одной изотропной гиперплоскости.) Прямой подстановкой легко убедиться, что решение системы (6.2.14) имеет вид

(6.2.15)(6.2.15)га =i—5z (toAT\A' — |ллл')

(6.2.15)

(6.2.15)

в точке О. Но, поскольку выбор начала координат произволен, можно опустить значок «о» в формуле (6.2.14), а следовательно, и в (6.2.15) и рассматривать г° как радиус-вектор точки R от

носительно точки, в которой вычисляются о>л и £л. Но именно условие действительности г° эквивалентно условию (6.2.13); точ

нее говоря, оно эквивалентно трем условиям XaXa = 0, Z“Za = = 0, ZaXa = 0(n3 которых первые два считаются выполняющимися). В самом деле, эти условия означают действительность величин глл т|дт|д' и гАА', а также выполнение соотношения

^А^А' д д, -

~аагц т] = г пл^д', соответственно, из чего следует, что разность глл' — гАА' имеет нулевые г компоненты в спинорном базисе (лд, т)л).

Комплексная геометрия

Отметим, что равенством (6.2.15) определяется комплексный вектор, а следовательно, точка в ,СМ в комплексификации •) пространства Минковского М независимо от того, будет ли тви- стор Х“ или Z“ изотропным, а также независимо от того, ортогональны эти два твистора или нет, лишь бы их проекционные части [см. замечание После формулы (6.1.44)] не были пропорциональны. В действительности при изучении твисторов часто оказывается полезным рассматривать их связь с комплексными подмножествами в СМ. Уравнению (6.2.2), которым определяется луч в М, если твистор Z“ изотропный (и лд' У= 0), можно придать смысл уравнения, определяющего некоторое подмножество точек в СМ. Это подмножество не является комплексифи- кацией луча в обычном смысле). Оно определено независимо от того, будет ли твистор Z“ изотропным или нет, имеет комплексную размерность, равную двум, и, следовательно, действительную размерность, равную четырем, и называется a-плоскостью (гл. 9, § 3). Аналогично дуальный твистор Ц7а определяет р-плоскость (комплексно-сопряженную a-плоскости) как область значений в СМ решений уравнения

— Хахаа' цл.

Далее, а-плоскость (P-плоскость) есть геометрическое место точек в СМ, в которых обращается в нуль главная часть некоторого твистора Za(Wa). Тогда выражением (6.2.15) определяется единственная точка пересечения a-плоскостей, соответствующих твисторам Х“ и Z - Мы говорим, что твистор Za (или Wa) инцидентен точке К е М, если его а-плоскость (p-плоскость) содержит точку R; кроме того, твисторы Z“ и Wa инцидентны в том и только в том случае, если их а- и p-плоскости пересекаются.

Твистор общего вида, a-плоскость которого проходит через точку пересечения a-плоскостей твисторов Ха и Za, имеет вид

Ya = рХа + YZa,(6.2.16)

') Пространство СМ имеет действительную размерность, равную восьми, и получается из М, если предположить, что координаты t, х, у, z могут принимать комплексные значения. Метрика в СМ имет вид dt2—dx2—dy2—dz2, т. e. является голоморфным (комплексно-аналитическим), а не эрмитовым продолжением метрики в М. Отметим, что СМ совпадает с комплексифицирован- ным четырехмерным евклидовым пространством, а последнее изометрично подпространству пространства СМ, которое получается, если фиксировать / действительным, а х, у, z —• чисто мнимыми.

где р, ye С и одновременно не обращаются в нуль. Справедливость равенства (6.2.16) легко установить, замечая, что общие (комплексные) нули главных частей твисторов Х“ и Z“ должны быть также нулями главной части твистора Y". Чтобы доказать обратное, достаточно поменять ролями твистор Y“ и твистор Х“ или Z“.

Отметим, что если твисторы Х“ и Z“ изотропны и пересекаются, то твистор Y“ тоже будет изотропным. В этом случае равенство (6.2.16) — уравнение светового конуса с вершиной в точке R. Можно считать, что семейством «-плоскостей рХ“ + YZ“ определяется точка R. В действительности всякому двумерному подпространству твисторного пространства Т“ может быть сопоставлена определенная точка пространства Минковского. Вообще говоря, это будет точка комплексифицированного пространства Минковского СМ, поскольку вектор г“, определяемый соотношением (6.2.15), не будет действительным, если только твисторы Х“ и Z“ не изотропны и не ортогональны. Только в том случае, когда каждый элемент линейного пространства будет изотропным, этому пространству отвечает точка в М. Эта точка конечна лишь в том случае, если выражение (6.2.15) конечно, т. е. если в этом линейном пространстве существует пара твисторов, проекционные части которых не пропорциональны друг другу. (Подробно о геометрии такого пространства говорится в гл. 9, § 3.)

Одна из основных идей теории твисторов состоит в том, чтобы предложить альтернативный способ описания физических явлений, при котором точки пространства-времени, т. е. «события», уже не играли бы фундаментальной роли. Само твисторное пространство Т“ рассматривается как более фундаментальный объект, чем пространство-время. Понятие события же выводится из структуры твисторного пространства. Выше мы уже показали, как можно было бы сопоставить событиям определенные линейные подмножества в Та. Эти идеи могут быть развиты гораздо дальше, вплоть до искривленного пространства-времени. Но здесь мы не будем их развивать.

Представление точек с помочь ю простых кососимметричныхтвисторов

Рассмотрим теперь [д]-твистор

^«р = z«XP - Xaz₽, (6.2.17)

где Ха, Z“ — твисторы, входящие в формулу (6.2.12). Если известно множество (6.2.16), то мы знаем твистор Ra₽ с точностью до постоянного множителя, и наоборот. Следовательно,

точку R пересечения плоскостей, определяемую множеством (6.2.16), можно с точностью до произвольного множителя представлять твистором R“₽. Спинорные части твистора R“₽ записываются в виде [формулы (6.1.40) и (6.1.42)]:

/С0Л§В — £ЛСОВСОЛТ)В' — §ЛЛв' \

= II —

\ЛА^В — Т)Д'СО^ Лд^В' — ЧА'Лв V

= ЛО'Т]= ЛО'Т]--^8АВГСГС— irA'B--^8АВГСГС— irA'BirAB'6 А'В'irAB'6 А'В'(6.2.18)(6.2.18)

= ЛО'Т]

= ЛО'Т]

--^8АВГСГС

— irA'B

--^8АВГСГС

— irA'B

irAB'

6 А'В'

irAB'

6 А'В'

(6.2.18)

(6.2.18)

Напомним, что гс есть радиус-вектор точки R относительно произвольно выбранной «неисключительной» точки.

Полезно рассмотреть твистор Rap, дуальный твистору R“P. Мы записываем его без звездочки, что не приведет к путанице, так как не существует твисторной метрики, с помощью которой можно поднимать и опускать индексы. Имеем

Rap = y8apYSRYa, RaP=^8aPYSRvS>(62.19)

где еар?а и ea&Ys — альтернирующие твисторы, определенные в формуле (6.1.63). Из (6.2.18) и (6.1.64) находим

/ 6 АВRap = nD<T]0'.\—1ГА В/ 6 АВRap = nD<T]0'.\—1ГА В(6.2.20)(6.2.20)

/ 6 АВ

Rap = nD<T]0'.

\—1ГА В

/ 6 АВ

Rap = nD<T]0'.

\—1ГА В

(6.2.20)

(6.2.20)

Вычислив твистор, комплексно-сопряженный твистору (6.2.18), по правилу, сформулированному после формулы (6.1.73), находим, что с точностью до множителя твистор Rap совпадает с твистором Rap, если заменить га комплексно-сопряженной величиной г» (считая, что г° — комплексный мировой вектор). Таким образом, условие действительности радиус-вектора га можно записать в виде

Rap ос Rap. (6.2.21)

Отметим, что твистор Ra₽ может быть сопоставлен определенной точке лишь в том случае, когда он является кососимметричным и простым [это означает, что имеет место представление (6.2.17) для некоторых Xa, Za]. Эти условия можно записать в виде

Rap = _ RPa, RapR?p = Q (6.2.22)

Второе из них (условие простоты) допускает следующие четыре эквивалентные формы записи [ср. с формулами (3.5.30) и (3.5.35)]:

R“PRap = O, RMRYei = 0, R“[pRYe] = 0, det(Ra₽) = O. (6.2.23)

Наконец, в дополнение к (6.2.21) и (6.2.22) мы требуем, чтобы твистор R“₽, изображающий конечную точку пространства М, удовлетворял условию

R“₽|ap ^ 0, (6.2.24)

где lap — один из асимптотических твисторов |ар, |°Р (взаимно дуальных, взаимно комплексно-сопряженных), которые определяются выражениями

(6.2.25)(6.2.25)(О О X/ рав О X

(6.2.25)

(6.2.25)

О еА'в')’\0 О/

Это требование понятно, так как произведение Raplap равно 2лп'Т\п' и если оно равно нулю, то спиноры по' и тщ, пропорциональны друг другу и лучи Z и X параллельны. То, что величина |“₽ (а также |ар) действительно является твистором, явствует из того, что она записывается в виде (6.2.18), где следует положить лд'=т]д' = 0 и а>д£А=1. Можно сослаться и на то, что величина 1а₽ удовлетворяет уравнению (6.1.52).

Поскольку твисторное уравнение конформно-инвариантно, структура твисторного пространства определяется с использованием только конформной структуры пространства М. Комплексное сопряжение и переход к дуальному твистору тоже конформно-инвариантны, а потому все базисные операции тви- сторной алгебры также обладают этим свойством. (Мы уже проверили это в явном виде в случае твисторного внутреннего произведения WaZa.) Более того, конформно-инвариантны все геометрические понятия, введенные при обсуждении теории твисторов: луч (изотропная геодезическая), световой конус, точка, пересечение и т. д. Конформный множитель метрики пространства М нами нигде не использовался. Фактически твисторы можно рассматривать как «редуцированные спиноры» для псевдоорто- гональной группы О (2, 4), действующей в шестимерном пространстве (она сохраняет квадратичную форму, сигнатура которой содержит два плюса и четыре минуса). Эта группа локально изоморфна 15-параметрической конформной группе пространства Минковского [73, 249], т. е. группе точечных отображений пространствам на себя, сохраняющей конформную структуру этого пространства (гл. 9, § 2). Такие отображения индуцируют линейные преобразования твисторного пространства, которые сохраняют форму Z^Za, а также альтернирующие твисторы. Сигнатура формы ZaZa имеет вид (+4), а это означает, что

соответствующая группа в пространстве твисторов есть SU (2, 2) (группа псевдоунитарных (+ 4) унимодулярных 4><4- матриц [40]). Если рассматривать |ар и |а₽ как базисные элементы твисторной алгебры (по аналогии с gab и gob в алгебре

тензоров), то редуцированная группа, оставляющая также инвариантными 1ар и !“₽, локально изоморфна группе Пуанкаре, действующей на М (неоднородной группе Лоренца). Таким образом. введение твисторов Q“₽ и R“₽ обогащает твисторную алгебру в том смысле, что она теперь учитывает метрическую структуру пространства Минковского, а не только его конформную структуру. Действительно, фундаментальную характеристику пространства Минковского — расстояние между двумя точками Q и R в М [формула (1.1.22)]— можно выразить через твисторы Qop и рар, отвечающие этим точкам, следующим образом:

4Q“Pr „

(6'2'26)

где q° и га — радиус-векторы точек Q и R (за начало координат можно взять произвольную «неисключительную» точку). Чтобы упростить эту формулу, удобно выбрать нормировку твистора, изображающего точку R пространства М, в виде

R“P|ap = 2,(6.2.27)

что эквивалентно отбрасыванию множителя л^Ч0' в формуле (6.2.18) или, точнее говоря, выбору

Я2уТ12х=1(6.2.28)

Учитывая соотношение

Rapla^ = 2,(6.2.29)

дуальное равенству (6.2.27), получаем для (6.2.26) следующее простое выражение:

Q^RaS = -(qa-ra)(qa-ra).(6.2.30)

В силу формул (6.2.20) и (6.2.28) коэффициент пропорциональности в соотношении (6.2.21) теперь оказывается равным единице, так что условие действительности вектора ra принимает вид равенства

Rap = Rap. (6.2.31)

Итак, мы сформулировали основные свойства твисторной алгебры, а также показали, как она связана с геометрией пространства Минковского. Целый ряд вопросов остался, правда.

незатронутым *), но часть из них будет рассмотрена в гл. 9, § 3. Анализ взаимосвязи между геометрией твисторного пространства и геометрией пространства М дает много плодотворных идей. Заинтересованного читателя мы отсылаем к литературе [239, 265, 361, 141].

Твисторы и момент импульса

Обратимся к физической интерпретации твистора. В известном смысле эта интерпретация более естественна и более полна, чем геометрическая, обсуждавшаяся выше. Физический смысл имеет не класс эквивалентности пропорциональных твисторов {%Z“|0 =# % е С}, а сам твистор Z“, взятый с точностью до фазового множителя, и, что более важно, неизотропные твисторы (ZaZa#= 0) возникают в рамках этой интерпретации совершенно естественным образом.

Пусть твистор Z“ записан в стандартном виде

Za = (co4, л д'), (6.3.1)

где предполагается, что яд- #= 0. Введем следующие определения: ра : = ЛдЛд', МоЬ : = ito^n,®^'8' — 1е^А'з1в'^еАВ. (6.3.2)

Тогда ра есть изотропное векторное поле, направленное в будущее, а МаЬ — действительное кососимметричное тензорное поле. Пусть ра и №*ь — постоянные поля, принимающие те же значения, что и ра и МаЬ, в начале координат О. Зависимость тензоров (6.3.2) от положения (от точки) определяется соотношениями [формула (6.1.10)]

Ра = Ра, МаЬ = МаЬ - харь + Хьра. (6.3.3) Эти формулы в точности совпадают с законом преобразования 4-вектора импульса и шестикомпонентного тензора момента им-

пульса (момента количества движения) в специальной теории относительности [327]. В них названные величины, отнесенные к произвольной точке Р, выражаются через те же величины, отнесенные к началу отсчета О. Для дальнейших ссылок отметим также, что из формул (6.3.3) можно получить следующее уравнение для дуального тензора *МаЬ = (Д/2) eabcd = Mcd;

V(a*Mb)c = 0, т. е. Vo*Mbc = Vto*Mbcl. (6.3.4)

И наоборот, можно показать, что из равенства (6.3.4) следует второе равенство (6.3.3).

Рассмотрим далее физическую систему, импульс и момент импульса которой определяются формулами вида (6.3.2). Поскольку 4-импульс изотропен и направлен в будущее, можно считать, что мы имеем дело с безмассовой частицей (масса покоя которой равна нулю). Ее спин можно выразить через спин- вектор Паули — Любаньского:

Sa = ^eabcdpbMcd1(6.3.5)

который в силу равенств (6.3.3) не зависит от точки:

Sa = Sa.

В случае реальных безмассовых частиц вектор Паули — Любаньского должен быть пропорционален 4-импульсу:

Sa = spa.(6.3.6)

Действительное число s называют спиральностью частицы, а модуль |s| или ]s|A~1 — спином. В случае квантовых систем спиральность s равна целому числу, умноженному на (1/2)Й. Подставляя (6.3.2) в (6.3.5), находим [формула ( 3.4.22)]

Sa = *Mabpb = (®(ЛлВ)ел,в, + й^л^вдв) лвлв' =

— у ^йвй.в + ®влв') ЛдЛа'.(6.3.7)

Таким образом, равенство (6.3.6) действительно выполняется и в соответствии с определением (6.1.74) имеем

s g Z Z".

Требования, чтобы вектор ро был изотропным и ориентированным в будущее, а тензор МаЬ совместно с ра удовлетворял соотношениям (6.3.3) и (6.3.6), позволяют интерпретировать их как 4-импульс и 6-компонентный тензор момента импульса безмассовой частицы. Как мы уже видели, если задан твистор Z“ (лд, =# 0), эти требования выполняются автоматически в силу формул (6.3.2). Можно обратить ход рассуждений и восстано-

вить твистор Z“ по заданной паре (ра, МоЬ). Восстанавливаемый твистор Za определяется тогда с точностью до фазы, поскольку ра и Mab, очевидно, не изменяются при подстановке

Z“i—*eieZa (0 — действительная величина) (6.3.8) [ср. с формулой (6.3.2)]. Таким образом, имеем.

Предложение

Импульс и момент импульса произвольной безмассовой частицы описываются, согласно формуле (6.3.2), твисто- ром Za (для которого лд' #= 0) с точностью до неопределенности в фазе, отвечающей преобразованию (6.3.8).

(6.3.9)

Отсюда следует, что твистор Z“ общего вида описывает классическую безмассовую частицу со спиральностью (l/2)ZaZa.

Если спиральность равна нулю, то данное описание тесно связано с геометрической трактовкой твистора, данной ранее. Луч Z есть геометрическое место точек, в которых <ол = 0, и в силу формулы (6.3.2) в этих точках МаЬ = 0. Таким образом, луч Z можно представлять себе как мировую линию частицы. Дополнительная информация, которая содержится в твисторе Z“, но не содержится в луче Z, есть величина («протяженность») 4-импульса (флагштока спинора лл и фаза (полотнище флага спинора лЛ'). Полотнище флага спинора лА' можно в определенном смысле рассматривать как «плоскость поляризации» частицы, но не ясно, в какой мере адекватна такая интерпретация. Можно также думать, что фаза должна иметь отношение к фазе квантовомеханического вектора состояния. Это действительно так. Подобная трактовка связана с материалом § 4, но здесь мы на этом останавливаться не будем.

Если спиральность отлична от нуля, то не существует действительных точек, в которых сол=О [формула (6.1.74)], т. е. таких, в которых МаЬ = 0. Это и понятно, поскольку такая частица обладает спиновым моментом, который дает вклад в полный угловой момент. Можно было бы предположить, что должен существовать какой-то выделенный луч, который можно рассматривать как мировую линию частицы. Однако это не так. Самое большее, что можно сделать — выделить изотропную гиперплоскость П, которая определяется соотношением раМаЬ = 0. (В случае массивной частицы этим уравнением действительно определяется единственная времениподобная линия, которую можно отождествить с мировой линией частицы [327].) Все образующие гиперплоскости П равноправны. Существует преобразование Пуанкаре, переводящее твистор Z“ в себя и отображающее произвольную точку Р гиперплоскости П в любую наперед

заданную точку Q этой гиперплоскости. В самом деле, соотношение раМаЬ = 0 в силу формулы (6.3.2) эквивалентно равенству 1т(солял) = 0, а потому на основании формулы (6.1.74) мы получаем а>ллл = s на П, откуда о>л (Р) лл(Р) = <вл(Q)л;л(Q). Следовательно, преобразование группы Пуанкаре требуемого вида есть трансляция из Р в Q с последующим преобразованием Лоренца (фактически изотропным поворотом), переводящим диаду <йа (Р) лА (Р) в точке Р в диаду сол (Q) лА (Q) в точке Q. Поскольку твистор Z“ полностью определяется заданием его спинорных частей в любой из этих точек, указанное преобразование группы Пуанкаре переводит твистор Z“ в себя. Так что в указанном смысле классическая безмассовая частица с ненулевым спиновым моментом оказывается нелокализованной.

Определенный интерес представляет то обстоятельство, что конгруэнция Робинсона, определенная по твистору Z“, имеет прямое отношение к структуре момента импульса безмассовой частицы со спином. Ее угловой момент относительно фиксированной точки пространства М определяется спинорами сол и лл, причем ГИН тензора МаЬ [формула (3.5.18) и далее, а также формулы (3.4.20), (6.3.2)] совпадают с направлениями флагштоков этих спиноров. Направление флагштока спинора пА неизменно и совпадает с направлением 4-импульса, а направление флагштока спинора сол совпадает с направлением конгруэнции Робинсона в рассматриваемой точке.

Момент импульса произвольной системы

Теперь кратко остановимся на твисторном описании импульса и момента импульса массивных частиц или совокупностей (систем) частиц. Пусть ро— действительный вектор, а МаЬ — действительный и кососимметричный тензор, причем зависимость последнего от координат дается формулой (6.3.3), так что выполнено условие (6.3.4). (В случае физических систем вектор ра обязательно будет времениподобным и ориентированным в будущее, но здесь для нас это несущественно.) Тогда для некоторого спинора у.А'в' г @(А'В') мы имеем [формула (3.4.20)]:

Af" = цлвел'в' + р.А'в'еАв. (6.3.10)

Далее, введем твистор момента импульса [или твистор момента, или кинематический твистор1)^ Аар^Т(ар) в соответствии с равенствами

/ 0 рАв' \ _ / — 2 ip.

А“Р-— \рА'в 21цА'В'}’ \РА'В о

(Не опасаясь путаницы, мы могли бы принять Аа₽: = Аа₽, как и в случае величин |“₽ и еА'8'.) В том, что это действительно твистор, нетрудно убедиться, проверив зависимость его спинорных частей от координат [формула (6.1.51)] с учетом формул (6.3.3) и (6.3.10). Он обладает двумя особыми свойствами. Первое из них — симметрия [формула (6.1.66)]. Второе можно выразить соотношением.

|?рАар = ГрА?р,(6.3.12)

которое проверяется непосредственно. Легко показать, что в силу симметрии и равенства (6.3.12) твистор Аар можно записать в виде

Aap = 2EV(alp)v,(6.3.13)

где Ev«—некоторый эрмитов [{J-твистор [формула (6.1.68)], допускающий «калибровочные преобразования» вида

Е“₽Е“₽ + Lav lvp + LvP Г,(6.3.14)

причем La₽— произвольный элемент пространства TIa₽1. Разложение (6.3.13) можно получить, потребовав, чтобы спинорные части 6лз = Елв и т\Ва'=Еа'в твистора Е“₽ [формула (6.1.54)] имели вид

ПАВ' (О) = РАВ' (О), 1№АВЦО) = 4кАВ(О),

причем 6|ЛВ1, §лв' принимали произвольные значения в точке О [в соответствии с формулой (6.3.14)], но, разумеется, удовлетворяли твисторным дифференциальным уравнениям. Соотношение (6.3.13) можно переписать в спинорном виде

V^' = eC'A'iiAC,(6.8.15)

где ^лв' = Еав' есть главная спинорная часть твистора Е“₽ [формула (6.1.54)]. Действительно, в силу первого уравнения (6.1.56) левая часть равенства (6.3.15) равна iec'A-O^, а эта величина равна правой части в силу формулы (6.3.13). Равенство т\ав' = рав' следует из равенства 1^АВ'> = рАВ, которое справедливо во всех точках. В самом деле, если спинор 0(ЛВ) задан во всем пространстве, то мы знаем и ^ав7 [3-е и 4-е равенства (6.1.55)] и аналогично рдв7 определяется твистором jiAB.

Отметим, что из формул (6.3.15) и (6.3.10) следует соотношение

Д4ай = VM'l(AgB)|B'J _|_ y(A'|[AgB] 180 = 7^6].(6.3.16)

Напомним, что главная часть твистора Е“р должна удовлетворять уравнению (6.1.70). Подробнее это уравнение будет рас-

смотрено в § 5; оно называется конформным уравнением Киллинга, а его решения §а называются конформными векторами Киллинга. Тадим образом, мы можем сформулировать следующее предложение.

Предложение

Зависимость момента импульса МаЬ системы от координат такова, что он равен ротору конформного вектора Киллинга.(6.3.17)

В случае безмассовой системы можно положить в соответствии с формулой (6.3.24) (см. ниже)

^ = (ОдйД'_(6.3.18)

Прямой проверкой [с использованием формулы (6.1.9)] можно убедиться, что для тензора углового момента (6.3.2) допустимо представление (6.3.16). Как мы видели ранее, направления флагштоков спинора аИ касательны к линиям конгруэнции Робинсона. Из равенства (6.3.18) следует, что эти направления совпадают с полем направлений изотропного и ориентированного в будущее конформного вектора Киллинга. Немного ниже мы докажем справедливость обратного утверждения, так что можно сформулировать следующее предложение.

Предложение

Поле всякого изотропного и ориентированного в будущее конформного вектора Киллинга в пространстве Минковского совпадает с полем флагштоков главной спинорной части шА твистора Z®, и наоборот.

(6.3.19)

Предложения (6.3.17) и (6.3.19) можно объединить.

Предложение

Тензор МаЬ может быть тензором момента импульса безмассовой частицы ^удовлетворяющей условию (6.3.6)] в том и только в том случае, если он равен ротору поля изотропного и ориентированного в будущее конформного вектора Киллинга.(6.3.20)

Доказательство первой части предложения (6.3.19) не совсем тривиально. Если V(^b') = 0 и ^,а = рАрА, то

ревело (ДрВ) + р(в уд) (Д'рвэ = о(6.3.21)

Мы получим требуемый результат, если найдем действительную функцию %, такую, что спинор <йА = е*^А будет удовлетворять

твисторному уравнению [формула (6.1.1)] V<^cdb) = 0. Рассмотрим для этого уравнение V$ {рВ)е,х} = О, т. е.

р<в7^х = ^рВ).(6.3.22)

Из (6.3.21) следует равенство

РлРвР(В^л'Л)рв = °,

откуда, учитывая предложение (3.5.15), находим

PaPbV^Pb = 0.

Согласно предложению (3.5.27), величину Vм'(ЛрВ) действительно можно представить в виде

гуЖ(АрВ) = р(ВуЛ)Л'1(6.3.23)

так что соотношение (6.3.22) выполняется; здесь V°— величина, однозначно определяемая формулой (3.5.15). Осталось показать, что поле Va действительное и имеет вид градиента. Из уравнений (6.3.23) и (6.3.21) следует равенство

р(ВуЛ)(А'рВ' = р(В7А)(^

откуда в силу предложения (3.5.15) находим VAA' = V^, т. е. ваем, что в пространстве М производные коммутируют), полуполе Уа— действительное. Дифференцируя обе части равенства (6.3.23) и выполняя затем свертку и симметризацию (мы учиты- чаем

0 = ^АЦ(^А^В> = ^Л'(С (Рв^Л)} ~= -^Рв*%ж + *лЧС^^

Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу симметрии; поэтому на основании предложения (3.5.15) мы можем сделать вывод, что

Va'(cVa) = 0.

Но так как поле Уа действительное, это эквивалентно равенству V[a7c]=0 [формула (5.1.46)], откуда и следует существование функции х, такой, что VQ = Vx> чем завершается доказательство нашего утверждения.

Представление твистора Аар с помощью одноиндексныхтвисторов

Вернемся к твистору Aag. Считая, что он описывает момент импульса безмассовой частицы, мы можем положить [формула (6-3^)]Д

E6 = ZZp = l _. L. (b.3.24)

\ Лд'Лв Лд'й» /. ..,

Таким образом, в случае безмассовой частицы твистор Аар принимает вид

• А„р = 2Z(a lp)YZv.(6.3.25)

Если ра — времениподобный вектор, ориентированный в будущее, то твистор Е“р можно представить в виде суммы выражений вида (6.3.25) (алгебраической суммы, если ра— совершенно произвольный вектор). Нетрудно даже показать, что любой твистор момента импульса в случае времениподобного вектора импульса, ориентированного в будущее, может быть представлен в виде

Аар = 2Х(а Ip) YXV + 2Z(a Ip, YZV(6.3.26)

co значительным произволом в выборе твисторов Ха и Za. Этот произвол отвечает' преобразованиям

Xa ^ aXa + 6Za + ЛсГвХр + U|a₽Zp, (6 3 27)

Za cXa 4- dza - %a|a₽Xp - Л61а%,’ ‘

где (“ £) есть унитарная матрица и Ле С. Согласно твистор- ной программе теории частиц1), одна массивная частица описывается двумя или большим числом твисторов, причем в случае двух твисторов ее твистор момента импульса дается выражением (6.3.26), а в общем случае имеет вид

Аар = 2Х(а1р, YXV + . . . + 2Z(alp) YZ\ (6.3.28)

В частности, масса покоя частицы пг определяется суммой из п(п—1)/2 слагаемых:

/n2=-lA„pAap = 2|XaYBlap|2 + ...

2|XaZplapP+ ... + 21 YaZplap I2 + ... .

Преобразование (6.3.27) в случае п твисторов обобщается до преобразования

где U — унитарная (лХи)-матрица, а Л — комплексная кососимметричная («X и)-матрица. [Отметим, что при п=1 формула (6.3.29) дает калибровочное преобразование (6.3.8), о

*) См. работы [251, 142, 143, 268—270а, 320], а также работу [149] и цитируемую в ней литературу. - ■

котором говорилось выше.] Преобразования вида (6.3.29) образуют n-твисторную внутреннюю группу симметрии), или просто n-твисторную группу. Закон умножения в этой группе имеет вид

(U, A) X (О, А) = (UU, А + UAUT). (6.3.30)

И наконец, последнее замечание. Требование, чтобы вектор ра был времениподобным и ориентированным в будущее [причинным ) ориентированным в будущее], в твисторной форме имеет вид требования положительной определенности [полуопределенности (по Z“)] выражения

ZaAavlPvZp.(6.3.31)

Таким образом, положительная определенность выражения (6.3.31) наряду с требованием симметричности и выполнения равенства (6.3.12) есть необходимое и достаточное условие того, чтобы твистор Аар можно было представить в виде суммы (6.3.28), содержащей не менее двух независимых слагаемых.

Симметричные твисторы и безмассовые поля

Обратимся теперь к дифференциальному уравнению (6.1.62) для главной части симметричного бесследового твистора и рассмотрим его замечательную связь с уравнениями для безмас- совых полей (4.12.42). Сначала остановимся на случае симметричного спинора КАВ •••D, содержащего г нештрихованных индексов и, следовательно, являющегося главной частью симметричного [ц]-твистора и удовлетворяющего уравнению (6.1.62):

¥^А.лв-Д) = 0.(6.4.1)

[Его частные случаи — уравнения (6.1.1) и (6.1.69).] Если

L— симметричный «-индексный спинор (п>г), удовлетворяющий уравнению (4.12.42), а КА---D — некоторое симметричное решение уравнения (6.4.1), то справедливо равенство

V££,(^a...d£...^-D) = 0.(6-4.2)

[Относительно случая п = г см. формулу (6.4.31).] В скобках стоит новое безмассовое свободное поле со спином (1/2) (л— г), так что мы понизили спин на г/2 единиц. Хотя такая процедура получения безмассовых полей формально выполнима не только в плоском, но и в кривом пространстве-времени, она оказывается

малоэффективной, если пространство-время не является конформно-плоским, так как условия совместности вида (6.1.6), возникающие для уравнения (6.4.1), допускают только тривиальные решения. (См., однако, гл. 9, § 9.)

Сохраняющиеся интегралы для линейной гравитации

В линеаризованной теории Эйнштейна представляет интерес частный случай, когда п = 4 и г = 2. [Обобщение для точной теории будет дано с формуле (9.9.16).] Как мы видели в формулах (5.7.4) и (5.7.8), симметричный спинор Фавсп, удовлетворяющий уравнению (4.12.42) в пространстве М, описывает свободное гравитационное поле в пределе слабого поля. Таким образом, спинор

Хдв= ФавспсС1> ■ (6.4.3)

с любым симметричным решением оАВ уравнения (6.1.69) удовлетворяет уравнениям Максвелла в вакууме (5.1.57), хотя он может не иметь никакого отношения к электромагнетизму. Предположим теперь, что в конечной части пространства расположены источники поля Фавсв. окруженные вакуумом. «Мак- свеллово» поле Хав тоже должно иметь источники в этой области, так как оно удовлетворяет уравнениям для свободного поля одновременно с фдвса- В теории Максвелла существует хорошо известный способ вычисления заряда источника как электрического, так и магнитного (если последний считать теоретически возможным). Мы хотим вычислить этим способом хав> чтобы получить информацию об источниках поля фдвса- Полученные результаты, как мы увидим, позволяют дать определение 4-импульса и тензора момента импульса этих источников.

Указанный способ вычисления заряда основан на фундаментальной теореме внешнего исчисления (4.3.25) и состоит в том, что полный заряд находят, вычисляя интеграл по замкнутой 2-поверхности ^, охватывающей источник. Пусть 1а — вектор тока, описывающий источник поля Максвелла Гаъ. Тогда полный заряд q в (пространственноподобном) 3-объеме У дается выражением

<7 = 4-^ /“fiapqr dxp A dx* Д dxT = —4 ( "V,

где использованы обозначения (4.3.20), (5.9.5) для дифференциальных форм. (Заметим, что если У отвечает выбору сечения Т = const, а в пространстве М введены стандартные координаты Минковского, то это выражение переписывается в виде q = =5 7°dX /\dY Л dZ.) Уравнение Максвелла d*F = (4/3) л +J

совместно с формулой (4.3.25) дает

S’

где д — граница компактного объема Т.д = ОУ. Данное выражение можно переписать в виде

= 4^- Im ф Флвел,в, dxQ A dxb,

где Fab = Флвел,в, + 8лвфл,в„ Fab = i^AB^A'B' + ^ав^а'в” как и в формулах (3.4.20) и (3.4.22), dxQ эквивалентно g,", dx°/\dxb эквивалентно gy,°gi^ и т. д. Аналогично, если бы система обладала «магнитным зарядом» ц, его можно было бы вычислить по формуле.

= 4Г Re ф Флвел,в, dxQ A d^,

S так что

+ г^ = ^ § ^ав^а-в- dxa A d?.(6.4.4)

s

Интеграл (6.4.4) есть следствие уравнений Максвелла в пустом пространстве, он не меняется при деформации поверхности д в области, не содержащей источников. (В частности, он не меняется во времени, если «заряды» не пересекают поверхность д, в чем находит выражение закон сохранения «заряда».) В самом деле, если д деформируется до д' и при этом заметает 3-объем У’, то мы имеем ЗУ = д' — д и указанное свойство следует из нашей формулы, так как "V = 0 на У.

Применим эти результаты к полю хлв, причем роль раь будет играть действительный бивектор Раь, отвечающий полю %Ав [формула (3.4.38)]:

^ab = 'X'ABeA'B' + ^AB^A'S” Хав6а'В' = ^ab = 2" (^ab + Z ^аьУ

(6.4.5)

Соответственно всякому симметричному решению уравнения (6.1.69) при заданном поле флвсо мы получаем один комплексный «интеграл заряда», т. е. две действительные сохраняющиеся величины. Мы видели, что симметричное решение уравнения (6.1.69) дается четвертым равенством (6.1.51) с дополнительным условием (6.1.66). Следовательно, оно определяется десятью комплексными независимыми величинами: тремя компо- °° л

нентами аАВ, четырьмя компонентами рв„ а также тремя компо-

нентами хл,в,. Таким образом, мы получаем 10 независимых комплексных интегралов, т. е. 20 независимых действительных интегралов, для поля $abcd- ■

Но физический смысл этого поля таков, что должно быть лишь 10 независимых действительных сохраняющихся величин, а именно четыре компоненты импульса и шесть компонент тензора углового момента источника. И на самом деле оказывается, что 10 независимых действительных зарядов из 20 перечисленных выше равны нулю при условии, что поле фдвсп выражается через симметричный тензор каь по формуле (5.7.12). В § 5 мы увидим, что этот вывод прямо следует из существования во всем объеме У тензора Каьса, который обладает симметриями тензора Римана, удовлетворяет тождествам Бианки ViaKbcide = 0 и на поверхности S' сводится к виду (5.7.8) с заданным полем Фавсп- Роль источника играет тензор Еас, который определяется формулой (5.7.6). Десять остающихся независимых интегралов

Одаются комплексными компонентами спинора хд^в' и четырьмяо одействительными компонентами суммы р“ + ра. Интегралы, ко-°°л -а

торые обращаются в нуль, содержат величины оАВ и / (р — р ). Эти вопросы рассматриваются также в работе [301].

Может показаться странным, что интегралы, которые обращаются в нуль, представляют собой вклад как раз тех спинорных частей твистора Sa0, которые остаются, когда он редуцируется до твистора /Д"9, т. е. принимает вид г'Х(твистор момента импульса), так что это как раз те части, которые непосредственно интерпретируются как 4-импульс и тензор момента; в то же время интегралы, дающие полный 4-импульс и момент импульса, на самом деле определяются «остальной» частью твистора S“P. Этот кажущийся парадокс мы объясним позже (стр. НО, 116).

Далее нам понадобится тензорный вариант записи соотношения (6.1.69) для случая симметричного поля оАВ:

^аф = _ vV b + ga ^d^ d = 0,(6.4.6)

где Qab— кососимметричный тензор, который определяется выражением'

Q

ab , • АВ А'В' :-А'В' АВ,л д ^\

:=ta е —е .(0.4.7)

Эквивалентность уравнений (6.4.6) и (6.1.69) доказывается прямой подстановкой выражения (6.4.7) в уравнение (6.4.6). Общее решение уравнения (6.4.6) имеет вид

Qab = Qab + 4Ul»xbA _ ^^V сХй —

- У К^ХсХ0 + 2№ хьхаЧс,(6.4.8)

где U°, Va, Kab — постоянные тензоры, которые определяются следующими соотношениями:

U + ZV =р , КаЬ = ^а'в'^ав ^ав^'В"(6.4.9)

Решение (6.4.8) получено преобразованием соответствующего спинорного выражения с использованием формулы (3.4.53) и т. д.

Точно так же как свертка аАВ с фдвсо дает безмассовое поле со спином 1, свертка Qab с Каьсд—тензорным аналогом спинора флвсо [формула (5.7.8)] — дает кососимметричный двухиндекс- ный тензор, удовлетворяющий уравнениям Максвелла в вакууме. В самом деле, в силу формул (5.7.8) и (6.7.4) имеем

^abcd^ = 2 (гХлвеЛ'В' ^А'В^АВ^ =^ РаЬ, (6.4.10)

где хав дается формулой (6.4.3). Поскольку поле хав удовлетворяет уравнениям Максвелла в вакууме, записанным в спинорной форме, наше утверждение можно считать доказанным.

Общий случай-, потенциалы

Далее мы рассмотрим связь общего уравнения (6.1.62)

V;MzBQ>"°>0 = 0(6.4.11)

с уравнением для массового поля (4.12.42). В уравнение (6.4.11) входит симметричный спинор ^а... вр-... s' валентности [„ ’], которым определяется главная часть бесследового симметричного [ р]-твистора. Пусть спинор фА L (число индексов п > р) будет симметричным решением уравнения (4.12.42). Введем новое поле

^::^= Фа... вер ... ЛА- DP'-S'.(6.4.12)

Тогда из (6.4.11) и (4.12.42) следует, что это поле удовлетворяет уравнению

^Хр-л)-0-(6-4.13)

Оно будет конформно-инвариантным, как следует из соотношения (6.7.31). Пусть, далее, некоторое симметричное спинорное поле 'Фд"-^ валентности [”_г у] (где п— г > р) удовлетворяет уравнению (6.4.13)—уравнение для безмассового поля является частным случаем последнего при г = 0. Подставим его в определение х/Л вместо поля ^...:

хМт - w = ^А - щр' - 8^Ы2„. l-(6-4.14)

Новое поле х". также удовлетворяет уравнению (6.4.13).

Особый интерес представляет случай п— r = 1. Дело в том, что, как следует из результатов теории твисторов [82] и как можно доказать непосредственно (что сделано Спарлингом), если ^в'...и— симметричный спинор валентности [° "ц1], удовлетворяющий уравнению

7л(л^...Г) = о,(6.4.15)

то (в плоском пространстве-времени) поле

фАВ ... L = V(B ... ^^Л) В' ... и(6.4.16)

удовлетворяет уравнению для безмассового поля (4.12.42). Следовательно, спинор ф'"» удовлетворяющий уравнению (6.4.15), есть аналог потенциала для ^... [ср. с формулой (5.7.12)]. Более того, и безмассовое поле ^.„ общего вида допускает такое представление локально. Калибровочный произвол в выборе потенциала имеет вид преобразования

ф^- и ^с'... и +и(6.4.17)

Он параметризуется произвольным (симметричным) спинором ^с ...и валентности [„ V2] во всех случаях, кроме случаев п = 1, когда калибровочный произвол отсутствует, и п = 0, когда не существует потенциал. Соотношение (6.4.16) конформноинвариантно в слабом смысле, т. е. не изменяется при любых конформных преобразованиях, которые переводят плоскую метрику в плоскую, причем потенциалу следует приписать конформный вес, равный —1.

Повышение спина

Всякому симметричному [”]-твистору отвечает главная часть Хр'--5', которая удовлетворяет уравнению

V^p,--s' = 0(6.4.18)

[это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения (6.4.11), а также как уравнение, сопряженное уравнению (6.4.1)]. Следовательно, мы можем подставить ее в соотношение (6.4.14), чтобы преобразовать потенциал для безмассового поля, содержащего п нештрихованных индексов, в потенциал, содержащий (и + q^ нештрихованных индексов:

^" E'F' ...и =^B'...E'V'...^,(6.4.19)

Продифференцировав (и— 1) раз фу в первом случае и (п + <7—1) раз х/' во втором, мы получим альтернативный

(«дуальный») формуле (6.4.2) способ построения из одного без- массового поля новое безмассовое поле с другим спином. Общее выражение выглядит достаточно сложно, но в частном случае <7=1 эта процедура приводит к (n + 1)-индексному безмассо- вому полю

Ул... lm = ^мм-Фа ... L + i (п + 1) Р(М^л... L), (6.4.20) где КА'— главная часть [°]-твистора (рл, Хл'), так что рлев,с' = = — /7лв'%с' [237]. Этот результат полезно сравнить со случаем г=1 [формула (6.4.2)], в котором [д]-твистор (%л, рл,) осуществляет «понижение спина»

Тл...д = ^л...кь^- (6.4.21)

Формулы (6.4.2), (6.4.3), (6.4.12), (6.4.20), (6.4.21) [а также (6.4.31) ниже] и некоторые конкретные примеры (6.4.12), (6.4.14) показывают, как при помощи бесследового симметричного твистора можно изменять спин безмассового поля. Разумеется, мы могли бы написать также комплексно-сопряженные варианты этих выражений. Есть важный общий момент во всех этих результатах, который будет разъяснен в § 9 [формулы (6.10.37), (6.10.38)]. Если говорить об изменении спина как об изменении спиральности (положительно-частотного) безмассового поля [см. текст после формулы (5.7.3)], то она изменяется вполне определенным образом: в случае бесследового симметричного твистора валентности [£] увеличение спиральности равно (1/2) (р — </)Й.

Другие виды потенциалов-, связь с оператором □

Существует другой тип (полностью симметричного) потенциала ф"; для безмассового поля ^... с произвольным спином (в плоском пространстве-времени), с которым работать несколько проще. Соотношение между полем и потенциалом в этом случае имеет вид

Фа...ер...ь = ^аа' (6.4.22)

где на потенциал ф." налагается несколько более жесткое условие, чем (6.4.13) (так как отсутствует симметризация),

^£%::Л, = 0- (6.4.23)

Данное уравнение в отличие от уравнения (6.4.13) не обладает свойством конформной инвариантности. Но зато для заданного поля ^... всегда можно построить такие потенциалы (локально) с произвольным числом штрихованных и нештрихованных

индексов вплоть до п (а не только с одним нештрихованным). В самом деле, если потенциал ф”.' имеет по крайней мере один нештрихованный индекс (противоположный случай будет рассмотрен далее), то из (6.4.23) следует, что спинорное поле

№:S=vdd<:^(6.4.24)

будет симметричным по индексам D, Е и, следовательно, полностью симметричным, а также что оно удовлетворяет уравнению вида (6.4.23). (При доказательстве этого приходится принимать, что производные коммутируют, т. е. ограничиваться случаем плоского пространства-времени.) Таким образом, мы получаем симметричное безмассовое поле, которое удовлетворяет правильному уравнению, а также представимо в виде (6.4.22). Заметим, что мы нигде. не использовали симметрию спинора ^.,, по штрихованным индексам, и, вообще говоря, он не обязательно должен быть симметричным; но, поскольку кососимметричные части выпадают в соотношении (6.4.22), мы можем без потери общности ограничиться случаем симметричного спинора. Заметим также, что из уравнения (6.4.23) следует соотношение;

.^<:./=0.(6-4.25)

которое представляет собой калибровочное условие Лоренца (5.1.47), обобщенное на электромагнитный потенциал. Кроме того, из (6.4.23) следует, что выражение

симметрично по индексам N, Е, а также по М, Е (поскольку производные в плоском пространстве коммутируют), а следовательно, по М, N. Таким образом, потенциал ф"; удовлетворяет волновому уравнению

□^b."YD' = °>(6.4.26)

где г-| eMNoV

есть оператор Даламбера, определенный формулой (5.10.6) [см. также формулу (6.8.26) ниже].

Можно даже построить величину xA'"L' (которую без потери общности можно считать симметричной) типа потенциала Герца. Этот потенциал содержит только штрихованные индексы и удовлетворяет единственному уравнению'

Пхл'...ь'=0.■(6.4.27)

Как и в случае формулы (5.10.7), из уравнения (6.4.27) следует соотношение АМТ^У'-^ — О, а значит,

vAM' (vaa,xa'b'-l') = o.

Теперь можно подставить величину в скобках вместо ф;;; в соотношение (6.4.24) и повторить рассуждения; в конечном счете получим

= Vll,Xa'-l'(6.4.28)

Каждое из выражений вида (6.4.22) для потенциалов ф".’, удовлетворяющих перечисленным выше требованиям, включая (6.4.28), дает (локальное) представление произвольного безмас- сового поля. Каждое из них определено с точностью лишь до калибровочных преобразований, включающих только безмассо- вые поля со спином, не превышающим спин поля ^..., а также производные этих полей [237]. Пользуясь этим, можно еще более редуцировать спинор xA''L', входящий в соотношения (6.4.27), (6.4.28), а именно к виду ХРА' •и (локально), где pA'...L — постоянный спинор, не зависящий от поля фА . L’ а X удовлетворяет уравнению Dx = 0. Таким образом, свободное поле фА L с заданным спином локально имеет столько же степеней свободы, как и скалярное безмассовое поле х> что, впрочем, нам уже известно из результатов гл. 5, § 11.

Интересно, что главная часть произвольного симметричного [о]-твистора удовлетворяет волновому уравнению в плоском пространстве-времени:

Из ^%AB-I' = Q, xA-L=X^A--L\ следует ^kA-L = Q

■(6.4.29)

(99). Чтобы доказать это, заметим, что в пространстве М мы имеем равенство

V^^-le^'D(6.4.30)

[которое следует из (2.5.24), поскольку его левая часть кососимметрична по N, М, так как операторы V коммутируют; см. также (6.8.33)]. Применив равенство (6.4.30) к производной левой части первого уравнения (6.4.29), свернутой по индексу М', получаем

^(Mn;iAB...ti = 0>

откуда в силу формулы (3.5.15) вытекает требуемое равенство nXAB...L = 0

Как следствие утверждения (6.4.29) мы легко получаем обобщение уравнения (6.4.2) на случай, когда поля XA---D и фА D имеют одинаковое число (симметризованных) индексов:

Из ^КА-^ = 0, VAA'<j>AB D = 0 следует □ (^л DXA -D) = °.

.(6.4.31)

Мы ограничивались пространством Минковского М, но, учитывая конформную инвариантность обоих уравнений в исходном условии утверждения (6.4.31) (поля )XA---D и ФА...в имеют конформный вес 0 и —1 соответственно), а также результат (6.8.30), который будет получен ниже, можно показать, что утверждение (6.4.31) справедливо и в конформно-плоском пространстве-времени, если даламбертиан □ заменить оператором □ +(1/6)Я(=П + 4Л).

§ 5. Конформные векторы Киллинга;

сохраняющиеся величины и точные последовательности

В предыдущем параграфе мы познакомились с одним из способов получения десяти сохраняющихся величин, связанных с группой Пуанкаре (энергия-импульс, момент импульса) и характеризующих источники линеаризованного гравитационного поля. Приведем теперь другой способ вычисления этих величин, а также укажем на их связь с пятью дополнительными сохраняющимися величинами, возникающими в конформно-инвариантной теории. Соотношения между сохраняющимися величинами группы Пуанкаре и конформной группы весьма любопытны и довольно сложны. Чтобы получить более полное представление об этих соотношениях, мы кратко остановимся на важном понятии точных последовательностей (что пригодится нам также в дальнейшем в другом контексте).

Конформные векторы Киллинга

Сначала еще раз обратимся к уравнению V^,^ = 0 [формула (6.1.70)]. На основании результатов (3.4.5) и (3.4.9) его можно рассматривать как тензорное уравнение, выражающее факт равенства нулю бесследовой симметричной части тензора

^<&,>-^8аь^^с = 0.(6.5 1)

(6.5.2)(6.5.2)Это — конформное уравнение Киллинга. Оно эквивалентно соотношению прямой пропорциональности

(6.5.2)

(6.5.2)

^(а^Ь) ^ Sab*

причем коэффициент пропорциональности можно найти, вычислив след в предыдущем уравнении. Соотношение (6.5.2) можно записать иначе [формула (4.3.3)]:

£ gab <^ gab. (6.5.3)

Если £°— действительное векторное поле, то уравнение (6.5.3) означает, что при переносе метрики вдоль поля §° она лишь приобретает дополнительный множитель. Таким образом, в поле §” находит выражение локально-конформная (активная) симметрия пространства-времени. Такое поле £° иногда называют генератором инфинитезимальных конформных движений пространства-времени, при которых каждая точка сдвигается на вектор е£°, где е — бесконечно малый параметр преобразования xai—>

В общем случае искривленного пространства-времени локальная конформная симметрия отсутствует и, следовательно, уравнение (6.1.70) не имеет нетривиальных решений. В другом крайнем случае плоского или конформно-плоского пространства- времени это уравнение допускает максимальное число линейнонезависимых решений — 15. Эти решения в явном виде представлены в четвертом равенстве (6.1.55). Поскольку поле £а считается действительным, условия (6.1.68) выполняются, т. е. ассоциированный твистор Е“р, который определен в формулах (6.1.54) и (6.1.56), является эрмитовым. Подсчитывая полное число степеней свободы, мы видим, что имеются четыре независимые компоненты спинора Z;, восемь компонент спинора ^а' =6 а' И четыРе компоненты спинора т)л,в— всего 16. Однако эти коэффициенты не определяются полностью полем §лв\ Как показано в § 1, это поле инвариантно по отношению к преобразованиям

6АВ н->^B + heBA (Л е R) (6.5.4)

(где параметр h должен быть действительным, чтобы твистор Е“в оставался эрмитовым), которые изменяют лишь след тви-

стора Е“р. Таким образом, бесследовая часть твистора Е“р, равная

’EVjEW(6.5.5)

однозначно определяется конформным вектором Киллинга. Теперь мы имеем 15 степеней свободы [по числу независимых действительных компонент твистора (6.5.5)].

' Решение четвертого уравнения (6.1.55) (для эрмитова поля §лв') можно следующим образом переписать в тензорных обозначениях:

la = Та + La^ + Rxa + S» ^xcgab - 2ха?\(6.5.6)

где ■

Та = L R = - Im W, Lab = — &№ afB' + й*®^*®,

Sa=-|na-(6.5.7)

Эти четыре слагаемых имеют смысл генераторов трансляций (четыре параметра), генераторов лоренцевых вращений (шесть параметров), растяжений (один параметр) и специальных конформных преобразований (четыре параметра), иногда неудачно называемых преобразованиями постоянного ускорения. Если R и Sa равны нулю одновременно, то ga — обычный вектор Киллинга'

U) = °- т- е‘ f^ = °(6-5-8)

и генерирует преобразования группы Пуанкаре (10 параметров).

В искривленном пространстве-времени уравнение (6.5.8) имеет нетривиальные решения лишь в том случае, когда пространство- время допускает локальные движения, сохраняющие метрику (а не только конформные движения), как это имеет место, например, в случае стационарного пространства-времени.

Законы сохранения

Существует важная связь между (конформными) векторами Киллинга и законами сохранения в общей теории относительности. Допустим, что Таь — симметричный тензор энергии-импульса, дивергенция которого, как обычно, равна нулю:

Tob = Tba, VaTab = 0.(6.5.9)

Если рассматриваемое пространство-время допускает поле вектора Киллинга |°, то величина

С» = Т^Ь(6.5.10)

удовлетворяет уравнению

VaGa = ^aTab + Tab^b = 0 (6.5.11)

в силу равенств (6.5.9) и (6.5.8), поскольку Ta&Vag* = Ta*V<ag*). Таким образом, вектор Са удовлетворяет уравнению непрерывности, которое аналогично уравнению Va/a = 0 для 4-вектора тока Ja [формула (5.1.54)].

Теорема непрерывности, утверждающая, что интеграл по 3-объему от величины ]а или Са есть сохраняющаяся величина, справедлива не только в плоском, но и в искривленном пространстве-времени. В самом деле, в формуле (5.9.6) мы видели, что при использовании дифференциальных форм условие равенства нулю дивергенции записывается в виде d^J = 0, где +/ = = eWaaJa так же, как в формуле (5.9.5), а сохраняющаяся величина есть интеграл ^ V, вычисленный по 3-объему. Теорема непрерывности есть частный случай фундаментальной теоремы внешнего исчисления (4.3.25): интеграл от формы *1 по трехмерной границе любой компактной четырехмерной области равен нулю — в нашем случае роль границы играет начальное и конечное положение 3-объема. То же справедливо в отношении формы *C = eixW»aCa. Однако тензор Таь, входящий в уравнение (6.5.9), сам по себе не определяет никакой сохраняющейся величины. «Лишний» индекс в выражении е^-аТ0* не позволяет использовать теорему непрерывности в искривленном пространстве-времени. Лишь в том случае, когда имеется вектор Кил- линга £°, можно построить сохраняющийся ток.

Пространство М допускает десять независимых векторов Киллинга. Каждый из них дает сохраняющуюся величину при подстановке в формулу (6.5.10). Генераторы трансляций дают четыре сохраняющиеся величины, а именно энергию и три импульса. Генераторы лоренцевых вращений определяют шесть компонент релятивистского углового момента, из которых три описывают обычный нерелятивистский угловой момент, а остальные три — положение центра масс и его равномерное движение.

Предположим теперь, что £° имеет смысл конформного вектора Киллинга. Тогда из (6.5.2) следует, что соотношение (6.5.11) остается справедливым, если только след тензора Таь равен нулю:

Таа = 0. (6.5.12)

Напомним, что если тензор бесследовый, то уравнение для дивергенции VaTab^O будет конформно-инвариантным [формула (5.9.2) и далее]. Нулевой след имеют тензоры энергии-импульса для поля Максвелла и для нейтрино Дирака — Вейля, а также «улучшенные» тензоры энергии-импульса безмассового скаляр-

кого поля [см. формулы (5.2.4), (5.8.3) и (6.8.36)]. На основании теоремы Нётер в рамках лагранжева формализма можно показать, что конформно-инвариантные поля всегда описываются тензорами энергии-импульса с нулевым следом [352, 448]. Следовательно, такие поля характеризуются сохраняющимися величинами, число которых равно числу конформных векторов Кил- линга в пространстве-времени1). В пространстве Минковского имеется 15 независимых конформных векторов Киллинга и, следовательно, 15 независимых сохраняющихся величин. Таким образом, мы имеем пять дополнительных законов сохранения (сверх законов сохранения энергии, импульса и момента импульса), отвечающих генераторам инфинитезимальных растяжений (один) и специальным конформным преобразованиям (четыре) [формулы (6.5.6), (6.5.7)].

' Твисторное описание

Взаимосвязь между десятью стандартными сохраняющимися величинами пуанкаре-инвариантных теорий и пятнадцатью сохраняющимися величинами конформно-инвариантных теорий в пространстве Минковского весьма элегантно выявляется при твисторном подходе. Мы уже видели [формула (6.5.5)], что каждое из 15 линейно-независимых решений конформного уравнения Киллинга (6.5.1) может играть роль главной части эрмитова [ [ ]-твистора Е°р и однозначно определяет его бесследовую часть. Твисторы Еар, которые получаются из векторов Киллинга, образуют действительно-десятимерное подпространство в Тр. В то же время в формуле (6.3.11) было показано, что десять компонент энергии-импульса и углового момента системы могут быть собраны в единый симметричный твистор А«р^Т(ар), который можно выразить через эрмитов твистор Е“р по формуле (6.3.13). (Кроме того, след (1/4)6рЕ v твистора Е“р не дает вклада в Аар. Таким образом, путем отображения (6.3.13) мы извлекаем из набора 15 конформных величин, входящих в Е“р, всю информацию о 10 компонентах энергии-импульса и момента импульса.

Естественно предположить, что между двумя процедурами редукции 15 конформных величин к 10 Пуанкаре-величинам существует некоторая связь. Это действительно так. Но эта связь не совсем прямая и включает переход от исходного пространства

*) Тензор Беля-т-Робинсона Tabcd тоже симметричный, бесследовый н в вакууме имеет дивергенцию, равную нулю. Для любого конформного вектора Кнллннга 5а выполняется уравнение V° (Гabcd^btctd) = 0, н, следовательно, мы также получаем одну сохраняющуюся величину [23].

твисторов к дуальному пространству. Действительно, переход от произвольного бесследового твистора Е“р к твистору, который определяется произвольным (а не только конформным) вектором Киллинга, есть замена исходного пространства его линейным подпространством. В то же время отображение (6.3.13), переводящее Е°р в А °9, есть проекция, отображающая пространство твисторов Е“р на факторпространство. Подпространства и факторпространства — это дуальные структуры.

Чтобы увидеть, почему нужны дуальные пространства, выясним физический смысл величины Аар и вектора Киллинга. Фиксированный твистор Аар описывает полную структуру 4-импульса и момента импульса некоторой конкретной физической системы, скажем бильярдного шара, тогда как фиксированный вектор Киллинга относится к одной компоненте этой структуры, скажем к энергии, но в случае произвольной физической системы. Если мы связываем одно с другим, например спрашиваем какова энергия бильярдного шара, то получаем действительную величину. Она получается как соответствующее скалярное произведение (над полем действительных х чисел) твистора, представляющего вектор Киллинга, на твистор, представляющий 4-импульс и момент импульса данной физической системы, поскольку оно R-линейно и по тому, и по другому. Аналогично можно рассмотреть конкретную конформно-инвариантную физическую систему (например, свободное электромагнитное поле), сохраняющиеся конформные величины которой описываются эрмитовым твистором Е“р. Тогда, если задан конформный вектор Киллинга §°, который будет теперь главной частью бесследового эрмитова твистора F“p, можно построить сохраняющуюся величину, отвечающую вектору §°, как некоторое R-билинейное «скалярное произведение» твисторов Fap и Е°р- Условие конформной инвариантности означает, что этот твистор должен быть скаляром (не содержащим |°9 или lap); следовательно, он должен быть пропорционален свертке

F^E6,. <6-б13>

Это — действительная величина в силу эрмитовости сомножителей F°p и Е°р- Она не изменится, если к одному из твисторов (но не к обоим) добавить величину, пропорциональную следу (Х6-р).

В частном случае, когда векторы £° оказываются векторами Киллинга, твисторы Fap приводятся к особому виду, при котором лишь часть компонент твистора Е“р определяется скалярными произведениями типа (6.5.13). Эти компоненты суть как

раз те сохраняющиеся величины, которые характеризуют произвольную (а не всего лишь конформную) пуанкаре-систему, а именно тензоры энергии-импульса и момента импульса, т. е. десять независимых действительных компонент величины Аар> определенной в формуле (6.3.13);

Аар = 2Е\Л) V(6.5.14)

При переходе к Аар выпадают те компоненты твистора Е“р, которые непригодны для описания произвольной Пуанкаре-системы. Хорошо определенными в этом смысле будут лишь сохраняющиеся величины, явная зависимость которых, скажем, от времени несущественна. Пуанкаре-системой определяется тви- стор Аар, но не Е°р.

Сравнив (6.5.14) и (6.5.13), можно -предположить, что при заданном векторе Киллинга V твистор F“p должен приводиться к виду F“p = 2S°vvlp, где SPv s T(Pv), или, точнее, к виду

F^-S^ + S^r*1,(6.5.15)

поскольку твистор F“p должен быть эрмитовым. Условие равенства нулю следа F°a = 0 вытекает из симметрии твистора Sap, поскольку твистор |ар кососимметричен. Подставляя разложение (6.5.15) в свертку (6.5.13), находим, используя представление (6.5.14):

F°pEPa = Re {S°pAap}.(6.5.16)

Таким образом, свертку можно переписать непосредственно в виде скалярного произведения твисторов Sap и Аар, билинейного над полем действительных чисел.

Чтобы доказать, что твистор Fap действительно можно представить в виде (6.5.15), используя вектор Киллинга £°, заметим, что дополнительное условие для Fap, вытекающее из (6.5.8), имеет вид

УДа = 0.(6.5.17)

Используя обозначения, введенные в формуле (6.1.54), получаем из (6.1.56)

6Лл=?Л'л"

Мы полагаем, что след твистора Fap равен нулю:

F“a = 0\ + CZ = 0.

Следовательно, он полностью определяется своей главной частью V- Тогда 6лл = £л,л' = 0 и из второго соотношения

и условия (6.1.68) находим

^АВ^^АВ^ qAB^BA^AB^BA, ^ = q(6.5.18)

Из этих уравнений следует, что

руе = 0(6.5.19)

Анализируя выражения (6.5.15) и (6.5.19) с использованием спинорных частей, взятых в произвольной точке О, легко показать, что в силу равенства (6.5.19) твистор F“p действительно можно выразить через твистор S°peT(aP) с помощью соотношения (6.5.15), как утверждалось выше.

Таким образом, для описания вектора Киллинга можно пользоваться твистором SaP вместо Fap. В некоторых случаях это оказывается более удобным. Дело в том, что твистор Fap должен удовлетворять дополнительному условию (6.5.19), тогда как твистор Sap определен неоднозначно, с точностью до «калибровочного преобразования» вида

S°P >-^ Sap + z‘2G(avla) v,(6.5.20)

где G“p — произвольный эрмитов твистор:

Gap = Gpa.(6.5.21)

Связь с интегралами от источников в линейной гравитации

Теперь мы можем подробнее проанализировать результаты § 4, связанные с сохраняющимися величинами для слабого гравитационного поля Фавсо. Там мы использовали симметричное спинорное поле аАВ, которое, будучи главной спинорной частью твистора Sap, определяемого формулой (6.1.50), удовлетворяет уравнению (6.1.69), чтобы сконструировать из него и фдвсв десять комплексных (т. е. 20 действительных) интегралов, из которых независимыми оказались лишь десять действительных величин. Десять интегралов, которые обращаются в нуль, по существу возникают из «калибровочного слагаемого»

2G(avlp)v(6.5.22)

в формуле (6.5.20). Отметим, что по виду это слагаемое совпадает с выражением для А“р в формуле (6.3.13). В этом и кроется причина «кажущегося парадокса», с которым мы встретились на с. 97. Как раз та «часть» твистора 8°р, которая имеет вид произведения z"AaP, не дает вклада в тензор энергии-импульса и момента импульса источника. Лишь перейдя к дуаль-

ному пространству, мы сможем построить твистор, который имеет структуру твистора Аар и определяет энергию-импульс и момент импульса системы. Вскоре мы вернемся к обсуждению этих важных вопросов.

Рассмотрим подробнее связь между вектором Киллинга §° и твистором S“P. Из разложения (6.5.15) и представлений (6.1.50) и (6.1.54) для твисторов S“P и F“p получаем

§ДВ' = рДВ' _ рАВ'(6.5.23)

Поэтому из уравнений (6.1.52) с учетом равенств (6.1.66) находим

VGc-aAB = — Siet^W(6.5.24)

Комбинируя два последних уравнения, имеем

£,АА' = ^_ ^А'аАВ _ iVA6A'B'Y(6.5.25)

Таким образом, спинор оАВ, удовлетворяющий уравнению (6.1.69), можно рассматривать как потенциал для поля ^а. Если считать, что выполняется уравнение (6.1.69), то уравнение Киллинга для £° есть по существу следствие соотношения (6.5.25). Кроме того, величина р° является частным случаем комплексного вектора Киллинга, и, следовательно, ее мнимая часть тоже вектор Киллинга. Он ассоциирован с полем £°, но не определяется этим вектором однозначно. Условия существования и неоднозначность в выборе Im р° связаны с «калибровочным произволом» (6.5.20).

Точные последовательности

Чтобы лучше понять ситуацию, связанную с наличием (линейного) калибровочного произвола, полезно связать его с понятием точных последовательностей [325]. Это последовательности отображений между векторными пространствами (или вообще между модулями, абелевыми группами и т. д., хотя нам достаточно рассматривать векторные пространства):

.^p^Q^R^s^...(6.5.26)

которые либо продолжаются бесконечно в обе стороны, либо оканчиваются с одного или обоих концов нулем (нулевым векторным пространством). Предполагается, что все отображения линейные (над коммутативным кольцом действительных R или комплексных С чисел), а также обладают следующими двумя свойствами:

Композиция двух последовательных отображений принимает нулевые значения,

РQRSРQRSВыполняются условия 1 и ДВыполняются условия 1 и ДВыполняется только условие 1Выполняется только условие 1Выполняется только условие ДВыполняется только условие Д

РQRS

РQRS

Выполняются условия 1 и Д

Выполняются условия 1 и Д

Выполняется только условие 1

Выполняется только условие 1

Выполняется только условие Д

Выполняется только условие Д

Рис. 6.4. Графическое представление точной последовательности, для которойвыполняются оба условия I и II, и двух частных случаев, когда выполняетсялишь одно из условий. (Если выполняется лишь условие I, то последователь-ность называется комплексом.^

Всякий элемент, который данным отображением переводится в нуль, должен иметь непустой прообраз при предшествующем отображении.

Эти два условия можно объединить; ядро любого отображения (т. е. прообраз нуля — множество элементов, отображающихся в нуль) есть в точности образ предыдущего отображения. Иногда оказывается полезным наглядное представление таких последовательностей в виде диаграмм (рис. 6.4).

Отметим, что если мы имеем точные последовательности0-*Д^0, О^В^С^О, Q)^D-*E^F^0,

то Д = О, В « С и F есть факторпространство Е по D, т. е. F « Е/D (рис. 6.5). Отметим также, что если задана лишь пара отображений D^E^-F, такая, что ядро второго есть образ первого, то, используя дополнительные пространства и отображения, мы всегда можем продолжить это звено до точной последовательности произвольной длины. На основании условия ли-

Рис. 6.5, Простые примеры точных последовательностей: А == О, В « С, В « Еф.Рис. 6.5, Простые примеры точных последовательностей: А == О, В « С, В « Еф.

Рис. 6.5, Простые примеры точных последовательностей: А == О, В « С, В « Еф.

Рис. 6.5, Простые примеры точных последовательностей: А == О, В « С, В « Еф.

нейности можно утверждать, что если точная последовательность начинается с нуля, то образом его обязательно будет нулевой элемент" если же она оканчивается нулем, то прообразом его будет все пространство.

Хорошо известный и важный пример точной последовательности дает последовательность (Пуанкаре—)де Рама

0->R -^ Л° -^ Л1 -^> Л2 -^ ....(6.5.27)

где Лг— векторное пространство (над R) гладких С°°-действи- тельных r-форм, причем все они определены на некотором С-гладком n-мерном многообразии °LL с евклидовой топологией. Отметим, что последовательность оканчивается на пространстве Л"+1 = 0. Отображение к сопоставляет действительному числу / 0-форму, которая принимает на ЧЛ постоянное значение /. Отображения d обозначают внешнее дифференцирование (4.3.14). Поскольку константы как раз образуют класс 0-форм, которые обращаются в нуль оператором d, условие точности выполняется вплоть до Л1. Более того, d2 = 0 [формула (4.3.15) (VIII)], а поэтому условие I имеет место вдоль всей последовательности. Благодаря тому что в ^И введена евклидова топология1), на каждом шаге из условия dw = 0 следует, что существует функция о, такая, что w = du, в силу (обращенной) леммы Пуанкаре, так что условие II тоже выполняется. Отметим, что уравнение dw = 0 для w е Лр+1 есть условие интегрируемости уравнения w = do относительно формы о е Лр. Если же, наоборот, мы рассматриваем условие dw = 0 как «полевое уравнение» для w, то о играет роль «потенциала» для w. «Калибровочный произвол» VI—>v + m в выборе v сводится к добавлению величины и, удовлетворяющей условию du = 0. Такая форма и должна быть представима в виде полного дифференциала и = dt формы f^A^1, и, следовательно, возникает «калибровочный произвол второго рода» tv—>t-\-dr, ге\^2 и т. д. Этот простой пример показывает, как последовательный анализ калибровочного произвола позволяет смещаться вдоль точной последовательности к ее началу на один шаг на каждом этапе; обратный путь связан с рассмотрением условий интегрируемости.

Для нас будет важна следующая точная последовательность, содержащая только конечномерные векторные пространства:

0->5Л -^ Т Sa- -* 0,(6.5.28)

где 5Л и Saz — пространства постоянных спинорных полей, тип которых определяется видом используемого индекса [265]. Отображение 1 переводит всякое постоянное спинорное поле хл в твистор (хл, 0). Отображение 2 переводит всякий твистор (®л, лл') в постоянное спинорное поле лл<

2

хлн->(хл, 0), (ол, лл') I—* лл'.(6.5.29)

То, что последовательность (6.5.28) точная, очевидно. Очевидна и пуанкаре-инвариантность: всякое отображение (6.5.29) канонически определено как пуанкаре-инвариантное (но не конформноинвариантное); следовательно, оно не изменяется при новом выборе начала отсчета.

Важным свойством точных последовательностей является то, что последовательности, дуальные им, тоже точны), однако отображения действуют в противоположном направлении. Так что в случае векторных пространств Р* и Q*, дуальных пространствам, входящим в последовательность (6.5.26), мы имеем следующую точную последовательность ):

... *-P‘*-Q‘... . (6.5.30)

Последовательность, имеет видПоследовательность, имеет виддуальная последовательностидуальная последовательности0<-5л<-Та<-5л'<-0,0<-5л<-Та<-5л'<-0,(6.5.28),(6.5.31)(6.5.28),(6.5.31)

Последовательность, имеет вид

Последовательность, имеет вид

дуальная последовательности

дуальная последовательности

0<-5л<-Та<-5л'<-0,

0<-5л<-Та<-5л'<-0,

(6.5.28),

(6.5.31)

(6.5.28),

(6.5.31)

где (Хл, рл) —► Хл, Н' —*" (0, Н4Х отметим также, что эта последовательность комплексно-сопряжена с последовательностью (6.5.28) (читаемой в обратном направлении).

Последовательности моментов

Исследуем теперь точную последовательность, которая связана с соотношениями (6.5.15), (6.5.19) и (6.5.20). Мы рассмотрим следующую частичную последовательность:

^ Т<«Р)^ Н« Т№, (6.5.32) где Нр — векторное пространство (над R) эрмитовых [ [ ]-твис- торов, а Т(аР) и Т[ар1 — пространства симметричных н антисимметричных [о]-твисторов, рассматриваемых в этом случае как векторные пространства над R. Отображение г определено так,

Что его ядро совпадает с ядром отображения (6.5.19):

' г : Нр ^T[apl:: Fap ^2F[avlPJ v. (6.5.33) Здесь F°p — произвольный (не обязательно бесследовый) элемент пространства Нр. Решения уравнения (6.5.19) имеют вид (6.5.15), что дает отображение q:

q : Tap) - Нр :: Sap Н^ SavlYp + Spvlva. (6.5.34) Калибровочный же произвол в выборе SaP [формула (6.5.20)] дает отображение р;

р : Нр ^T(ap):: G°p -> 2zG(avlp) v. (6.5.35) Последовательность (6.5.32) с такими отображениями может рассматриваться как звено отображения точной последовательности, поскольку образ отображения q есть ядро отображения г, а образ отображения р есть ядро отображения q.

Последовательность (6.5.32) можно продолжить бесконечно в обоих направлениях до точной последовательности, которая оказывается периодической:

Hi -*...,

(6.5.36)

причем еще одно дополнительное отображение s определено так: s : T[apl -* Нр :: Kap -> zKavlvp - z^P(6.5.37)

(где KaP — кососимметричный твистор). В том, что эта полная последовательность является точной, можно убедиться непосредственно (подстановкой спинорных частей, взятых в точке О).

Последовательность, дуальная последовательности (6.5.36), имеет вид

. . . <-Т[аР1*— Н2*^-Т(ар) * На ■* T[api "^ НР (6.5.38) где отображение р [или q, г, s соответственно], дуальное отображению q (или р, s, г), связано с отображением р [или q, г, s] следующим образом: умножаем исходный элемент на (—z), затем действуем отображением р [или q, г, s], после чего выполняем комплексное сопряжение. Полученная последовательность (6.5.38), дуальная последовательности (6.5.36), точна и оказывается тривиальной модификацией последовательности (6.5.36), прочитанной справа налево (с включением множителя —I и комплексного сопряжения). Заметим, что скалярные произведения пространств, входящих в последовательность (6.5.36), на дуальные им пространства определяются как действительные

части сверток между парами элементов этих пространств. (Разумеется, в том случае, когда пространствами оказываются Нр и На, свертка заведомо будет действительной.) Этим определением скалярного произведения и задаются отображения Р, q, г, s.

Отметим, что соотношение (6.5.14) между твистором Е“в и твистором момента А“р имеет в точности вид отображения р, переводящего элемент ЕРа е На в А<ар) г Т(аР), а преобразование (6.3.14) дается отображением s. То, что (действительное) скалярное произведение S“P на А"9 равно свертке F“p с Е°р [формула (6.5.16)], есть также следствие общего факта существования пары дуальных (над пространством R) последовательностей (6.5.36) и (6.5.38) (в нашей записи соответствующие пространства расположены в средней части последовательностей). Вернемся к кажущемуся парадоксу, отмеченному на с. 97, ПО: выражение для твистора момента (6.5.14) и идентичное выражение (6.5.22), связанное с построением твистора вектора Кил- линга, играют в теории, казалось бы, противоположную роль: первое из них задает проекцию конформных сохраняющихся величин на сохраняющиеся величины, связанные с группой Пуанкаре, а второе отражает наличие калибровочного произвола в твисторном описании вектора Киллинга. Теперь это различие можно трактовать с более общей точки зрения. Соотношение (6.5.14) совпадает с отображением р в последовательности (6.5.38), тогда как калибровочные слагаемые составляют образ при отображении р в последовательности (6.5.36), т. е. это ядро отображения q, дуального отображению р. Можно сказать, что структура последовательности (6.5.38) отражает процедуру построения наборов сохраняющихся величин для конкретных физических объектов (таких, как бильярдный шар, о котором шла речь, на с. 108 и твистор момента которого Аар принадлежит пространству Т<ар)), структура же последовательности (6.5.36) подчеркивает роль (конформных) векторов Киллинга и т. п. в вычислении отдельных сохраняющихся величин (например, вектора Киллинга, отвечающего энергии системы).

До сих пор мы рассматривали последовательности (6.5.36) и (6.5.38) алгебраически (т. е. лишь как примеры алгебры тви- сторов). Но мы видели в формуле (6.5.25), что линейные отображения между твисторами можно рассматривать на уровне дифференциальных уравнений для спинорных полей на М. Тогда перемещение вдоль последовательности в направлении к ее началу соответствует вычислению потенциалов [типа потенциала аАВ для вектора |° в формуле (6.5.25)]. На рис. 6.6 представлена полная схема преобразований для последовательности (6.5.36). Уравнения написаны с использованием главных частей аАВ, хвАВ

G-, = iK-*,v, — i«",y Р-G-, = iK-*,v, — i«",y Р-S^ = 2iG(^l»nS^ = 2iG(^l»nF*, = S"I„ + S„I>«F*, = S"I„ + S„I>«K*, = 2Fl-,|№K*, = 2Fl-,|№

G-, = iK-*,v, — i«",y Р-

G-, = iK-*,v, — i«",y Р-

S^ = 2iG(^l»n

S^ = 2iG(^l»n

F*, = S"I„ + S„I>«

F*, = S"I„ + S„I>«

K*, = 2Fl-,|№

K*, = 2Fl-,|№

Рис. 6.6. Периодическая последовательность момента (дуальная).

твисторов S"e е Т<аР) и К"р е Tl“pl соответственно (это те случаи, когда твистор полностью определяется главной частью), а также с использованием пар (у°, р) и (ga, X), описывающих твисторы G“p еН" и Fap г Нр, соответственно. Здесь улл' и gAA' — главные части, а через р = G"a, X = F“a обозначены (независимые) следы, которые должны быть заданы для полного определения твисторов.

Большинство соотношений на рис. 6.6 записано в тензорной форме. Остальные (спинорные) соотношения, расположенные в центре схемы, можно преобразовать к тензорному виду, если ввести по аналогии с (6.4.7) величину

= ia е —ta 8 .(6.5.39)

Тензорная форма уравнения V<^ctbc> —О дана в формуле (6.4.6). Тензорная форма отображения q имеет вид

ga = lv6Qa6(6.5.40)

(включая случай X = 0), а для отображения р находим

Qab = -eabcd^d,(6.5.41)

так что образ отображения р (т. е. ядро отображения q) составлен из тензоров QQb, удовлетворяющих уравнению (6.4.6), а также уравнению

V6Qa6 = 0.(6.5.42)

Как мы уже видели, дуальная последовательность (читаемая справа налево) представляет собой тривиальную модификацию исходной последовательности. В частности, отображение р, которое переводит конформную величину E“g в твистор момента Аар, по существу имеет вид (6.5.41), где, однако, вместо Qab стоит дуальный тензор. Это — следствие наличия дополнительного множителя —I в определении отображения р [см. текст после формулы (6.5.38)]. Главная часть твистора Аар равна [формула (6.3.11)] 2цхА'в', так что, заменив аА'в' в определении (6.5.39) тензора QQb этой величиной, мы получим удвоенный тензор момента (6.3.10), а именно 2МаЬ. Конформный вектор Киллинга ЦАВ', который мы рассматриваем как главную спинорную часть твистора Еар, можно связать равенством (6.5.41) с тензором, дуальным тензору 2МаЬ. Следовательно, тензор МаЬ может быть представлен как ротор конформного вектора Киллинга |°, что уже отмечалось в формуле (6.3.16). Наконец, уравнение, аналогичное дуальной форме уравнения (6.5.42), означает просто, что ротор тензора МаЬ равен нулю.

Для последовательности (6.5.36) и дуальной ей последовательности (6.5.38), которые в дальнейшем мы будем называть периодическими последовательностями момента [точнее говоря, (6.5.38) есть последовательность момента, а (6.5.36)—дуальная ей последовательность], существует полезное представление в виде перекрывающихся систем более коротких последовательностей, содержащих по девять членов. Последовательность такого вида, которую мы кратко будем называть последовательностью момента, показана на рис. 6.7. Здесь пространство Нр эрмитовых твисторов расщеплено в прямую сумму

Hg=Ag®Rdg, .

где Ар — пространство бесследовых эрмитовых твисторов, a R учитывает вклад следа. Пространство Т1°*1 представимо в виде

TlaPl = R[aPl®iR[aPl,

где R1“P1 — шестимерное действительное пространство твистор- но-действительных кососимметричных тьистор^в, т. е. твисторов Ra₽, удовлетворяющих условию R"e = R“p, где Rap = = (1/2)eaPv6Rv8 [формулы (6.2.19) и (6.2.31)], так что их главная часть хеЛ6 содержит действительный множитель х.

Как было показано в работе [146], последовательность момента можно рассматривать как пример точной последовательности Кошуля [117]:

О ~у ~уф ~у 1Ф1Ф21 _>. у[ф1ф2фз]у[ф1 - ф«] _>. о,

; I ;;;(6.5.43)

0<-У<-Уф<-У[ф1ф2]<-У[Ф1Ф2Ф3]<- ...V^^.^^J^-O.

Здесь Уф есть n-мерное векторное пространство над кольцом У с делением, а отображения определены на фиксированных элементах /ф пространства Уф. Верхние отображения имеют вид

Av-^AI®, В® В^Д®л, С®-®2 и->С1Ф'Ф’/ФЛ и т. д„

а нижние таковы:

Хф ।—*• гФ1®, /ф1ф! 1—*Уф1фД®2, Хф,ф2ф, ।—* Хф.ффД®1 и т. д.

Точность легко проверяется, как и то, что последовательности взаимно дуальны, причем соответствующие дуальные пары пространств отмечены вертикальными штриховыми линиями со стрелками на обоих концах. Чтобы получить последовательность момента, следует положить V=R и УФ~₽[“Р1, где Ф —

• (ВВНЧЕВЛУ) В1НЭИ0И Ч1Э0НЧ1ГЭ1В30^В1ГЭ0Ц T9 ЭНД

О ► R ► RM

RiMMriH

RlWUrHKff

RlM-bUMM)

р((«л....л**и

ЙИ«/|„чи,р>В ► о

33|g->-'•*■'!,>-1я,л7

S'# - 2iG<%!«’

|f-,= S-’I„ + S„I-~

Х''#»!^'^

Ii = -4X-4<I

> Rt.«

iR ► ft

абстрактный индекс, изображающий антисимметризованную пару индексов [ар]. Фиксированный элемент /ф заменяется элементом 1°^, и с точностью до тривиальных множителей последовательность (6.5.43) сводится к последовательности, изображенной на рис. 6.7. Детали этого перехода мы оставляем читателю.

В работе [146] было отмечено, что такая процедура может рассматриваться и в космологии (гл. 9, § 5), где возможны альтернативные варианты «бесконечно удаленного твистора», который не обязательно будет простым (или действительным). Это приводит к некоторой модификации наших твисторных выражений. .

Интегралы в линейной теории гравитации

Мы предложили два метода построения интегралов энергии- импульса и момента импульса физической системы в пространстве М- Желательно установить связь между этими методами. Первый метод был таким. Мы рассмотрели (§ 4) случай слабого гравитационного поля в вакууме в области пространства вне источников. Выбрав симметричное решение аАВ уравнения (6.1.69), мы построили из него и гравитационного спинора фдвсп (описывающего приближение слабого поля) интеграл по замкнутой 2-поверхности 9, полностью лежащей в цакуумной части пространства и охватывающей источник [формулы (6.4.3), (6.4.4) и далее]. Значение С этого интеграла не изменяется при непрерывной деформации поверхности 9, если она не пересекает область, в которой сосредоточен источник. Более того, С' не зависит от выбора 3-объема, ограниченного поверхностью 9. В этом смысле С' есть сохраняющаяся величина.

Во втором методе [формулы (6.5.9), (6.5.10) и далее] мы рассматриваем интеграл по компактной 3-поверхности (объему) У с границей ЗУ от тока Са = Таь£ь, образованного тензором энергии-импульса ТаЬ и вектором Киллинга |°. Интеграл С имеет смысл полного потока величины О через У. Область интегрирования может теперь пересекать область, в которой сосредоточен источник. Величина С сохраняется в том смысле, что этот интеграл не изменяется при непрерывных деформациях V, сохраняющих границу ЗУ. Этому эквивалентно следующее высказывание: С“-поток через любую замкнутую 3-поверхность (ограничивающую компактный 4-объем) должен быть равен нулю (рис. 6.8). Если граница ЗУ полностью расположена в вакуумной области, скажем ЗУ = 9, то ее тоже можно деформировать без изменения результата при условии, что 9 все время остается в вакууме; дело в том, что область, заметаемая границей 9 —ЗУ, дает нулевой вклад в интеграл.

Рис. 6.8. Закон сохранения заряда: интегральный поток через компактную 3-поверхность Т с границей 9> равен потоку через 3-новерхность Т*. Объединение 3-поверхностей Т и Т\ взятых с противоположными ориентациями, образует границу компактного 4-объема.

По аналогии с электромагнетизмом можно ожидать, что возможен переход от первого описания ко второму, основанный на фундаментальной теореме внешнего исчисления [формула (4.3.25)]. Действительно, именно отыскивая эту связь, мы получаем возможность отождествить результаты обоих методов. Однако здесь возникает дополнительная сложность, поскольку в указанных способах построения сохраняющейся величины С используются разные типы спиноров, а именно аАВ и %а. Но соотношение (6.5.25) дает нам связующее звено.

Доказательство оказывается более простым, если использовать тензорные обозначения, а необходимые для этого формулы уже были получены, когда рассматривался переход к тензорной записи соотношений спинорного формализма. Мы используем кососимметричный тензор Qab, который определен через спинор аАВ в формуле (6.4.7). Нам понадобятся также соотношение (6.4.6) и тензорная форма записи (6.5.40) соотношения (6.5.25): ^,а =(\/3')VbQab. В формулу (4.3.25) фундаментальной теоремы внешнего исчисления

$0=$d0(6.5;44)

дуг.

мы подставляем вместо 2-формы 0 выражение

«= K*ii2abQob,(6.5.45)

где Kabcd — тензор кривизны (5.7.4) в приближении слабого поля, a KabCd — дуальный ему тензор [формула (4.6.11)]. Тогда

^ = VH1 {/ГЦ, abQab> = ^<3^,1 аЬ)(6.5.46)

где в силу линеаризованных тождеств Бианки (5.7.9) дуальному преобразованию подвергаются лишь два последних индекса а, b

тензора К... . Выполняя дуальное преобразование индексов формы в (6.5.46), получаем

■^ = ^^-к;саЬ(6.5.47)

[формулы (3.4.30) и (3.4.25)]. Но в силу формул (6.4.6), (6.5.40) и (4.6.11) имеем

^dcab^Q"' Ь = -К^^ДЬе =

= 3 kKdeb - ^ gabKe^ ^ = ~ ^GEdb^,(6.5.48)

где ЕаЬ— тензор энергии-импульса в приближении слабого поля [он связан с Kabcd так же, как тензор ТаЬ связан с Rabcd, см. формулу (5.7.6), причем G — гравитационная постоянная]. Далее, тензор *K*abcd удовлетворяет циклическому тождеству [формула (4.6.9) ], откуда

2*K*b^aQcb = *Kdr„bVcQab,abca 'xacab ’

и, как следствие формулы (6.5.48),

Подставив это в (6.5.47), получим

*d0 = 11 nGE^*1,(6.5.49)

В то же время, если перейти в выражении (6.5.45) к спинорам, используя формулы (5.7.8) и (4.6.11), то мы получим в вакуумной области

' ® = (^i^AB6!^'^' в' + HV^a' B'6I ^АВ^ Q =

= 2 k.4>ABPQGAB6p'Q- + ^a'B'P'Q'G^6'£Р(^ dxp/\dxq. (6.5.50)

Следовательно, левая часть равенства (6.5.44) пропорциональна сумме выражения вида (6.4.4) [в котором спинор фдВ заменен спинором хав, определяемым соотношением (6.4.3)] и комплексно-сопряженного выражения. Другими словами, мы получили интеграл, вычисляемый при первом методе построения сохраняющихся величин. Подставив в правую часть равенства (6.5.44) величину, дуально сопряженную величине (6.5.49), используя формулу (3.4.29) и первое равенство (3.4.31), мы видим, что указанная правая часть пропорциональна интегралу потока величины вида (6.5.10), т. е. соответствует второму методу построения сохраняющихся величин. Выбирая общий множитель так, чтобы в случае вектора Квиллинга £°, отвечающего времен-

ным трансляциям d/dt, получалась полная энергия, заключенная в объеме У, переписываем (6.5.44) в виде

зЙ ^K'QbcdQcddxaMx!’ = - у $ eabdEd^dxQM^Mxc. (6.5.51) дГГ.

Это соотношение дает искомую связь между сохраняющимися величинами, построенными двумя методами, причем дТ не обязательно лежит в вакуумной области. Отметим, что в спинорной записи в левую часть равенства (6.5.51) в явном виде входят источники линеаризованной кривизны (отвечающие спинорам Фавс'О' и Л) в отличие от аналогичной ситуации для электромагнитного поля. Если эти источники обращаются в нуль на границе бГУ =9* (поверхность 9 расположена в вакуумной области), то на основании формулы (6.5.50) левую часть можно записать в виде

“ да $ ^ йх<1 Л d^’(6.5.52)

S’

где Pab определяется формулой (6.5.4).

Десять интегралов, равных нулю

' Правая часть равенства (6.5.51) тождественно равна нулю при любом распределении источников, если £а = 0, т. е. если VbQab = 0. Из соотношения (6.5.23) следует, что при этом действительная часть вектора ра в формуле (6.1.50) [и, следовательно, т“ — см. формулу (6.1.66)] равна нулю во всем пространстве. Тогда из равенств (6.1.50) и (6.1.51) следует, Что независимо от того, выполняются ли условия причинности и ориентированности в будущее для 4-вектора импульса, твистор S°p имеет вид произведения /Х(твистор момента) [формула (6.3.11)] и, следовательно, этот твистор возникает из калибровочного слагаемого в преобразовании (6.5.20), как и предполагалось. Этим доказывается утверждение, сделанное на с. 97, что десять интегралов (6.5.52) всегда равны нулю, если фАвсп удовлетворяет уравнениям (4.12.42) для свободного безмассового поля в окрестности поверхности 9, при условии, что фАвсп продолжается до тензора KObcd с симметриями тензора Римана, который определен на всем 3-объеме У, ограниченном поверхностью 9, и удовлетворяет уравнению (5.7.9), имеющему вид «тождеств Бианки». Это же условие для фАвсп в окрестности <М поверхности 9” можно сформулировать в виде требования, чтобы в ^ существовало возмущение метрики habV= кьа^, такое, что спинорное поле флвсо выражается через него по формуле (5.7.12). Поскольку возмущение И.аь такого вида может быть гладко про-

должено (произвольным способом) на весь объем У, тензор Kabcd требуемого типа можно построить по формуле (5.7.4).

Интересно, .что в то время как уравнение (4.12.42) для свободного безмассового поля конформно-инвариантно [формула (5.7.17)], указанное дополнительное условие для фАвсп таковым не является. Например, если на М определено конформное преобразование, переводящее метрику в плоскую (в области <?/), то оно индуцирует преобразование в Т®, при котором единичный твистор 1°*, вообще говоря, изменяется. (Подробнее см. гл. 9, § 3, 5.) Чтобы возникали нулевые интегралы, твистор S®₽ должен приводиться к виду (6.5.22). Последнее выражение явно содержит твистор 1®Р и, следовательно, не инвариантно. В действительности можно выбрать такие решения безмассовых уравнений (в области °11 специального вида), что все 20 интегралов (6.5.22) будут иметь независимо произвольные значения.

Роль дуальности в последовательностях момента

Отметим, что если фиксировать Kabcdi ЕоЬ и 3-поверхность У (с границей дУ), а величины Qab и §“ считать переменными, то обе части равенства (6.5.51) будут задавать линейные отображения (над полем действительных чисел) в пространство R из соответствующих твисторных пространств, а именно: для QQb это будет пространство Т(®р>, а для %а — образ при отображении q (6.5.34) из Кр в Нр. Если §а будет конформным вектором Киллинга, то правая часть равенства (6.5.51) будет задавать отображение в R, определенное на всем пространстве Н^. При таких условиях отображение, вообще говоря, зависит от выбора объема У (ограниченного фиксированной 2-поверхностью дУУ хотя в частном случае, когда Еоа = 0, такой зависимости нет.

Указанные отображения строятся с помощью элементов дуальных пространств (над R), а именно Аар^Т(ар> и ЕрпеНРя соответственно; при этом равенство (6.5.51) записывается в виде

Re(AapS“₽) = E₽aF“₽ (6.5.53)

[что совпадает с (6.5.16)], где аАВ — главная часть твистора Sa$, а 5° — главная часть твистора F“b (бесследового: Faa = 0). Левой частью этого равенства определяется твистор А«р момента импульса материи, заключенной в объеме У (т. е. ограниченной поверхностью дУУ в виде интеграла по дУ. Если считать, что в правой части равенства (6.5.51) величина |а есть конформный вектор Киллинга, то мы получаем Ера в виде интеграла по У. В общем случае (когда Е^^О) выражение для Ера зависит от выбора объема У (при фиксированной границе дУУ

Твисторы Е Ра, которые получаются таким образом, связаны друг с другом «калибровочным» преобразованием вида (6.3.14). Связь между А«@ и Ер«, которая следует из (6.5.53) [где теперь F% е Кр, так что £а — вектор Киллинга, выражающийся через аАВ по формуле (6.5.25), откуда следует, что F°p и S°p связаны между собой соотношением (6.5.15)], совпадает со стандартным выражением (6.3.13). При этом скалярные произведения в формуле (6.5.53) правильно описывают соотношение между последовательностями момента и дуальными им последовательностями [формула (6.5.38) и далее].

Полезно было бы выписать различные интегральные выражения для компонент твистора Аар, которые получаются сопоставлением равенств (6.5.51) и (6.5.53), однако здесь мы не будем заниматься анализом этих выражений. Общий множитель в равенстве (6.5.51) выбран так, чтобы обеспечивалось численное соответствие с равенством (6.5.53). Это легко проверить, выбрав в качестве ga генератор временных трансляций.

' § 6. Производные Ли спиноров

В существовании конформного вектора Киллинга ga в пространстве-времени Л находит выражение то обстоятельство, что Л допускает непрерывные движения (сейчас мы не учитываем глобальные аспекты), при которых остается неизменной структура изотропных конусов (т. е. конформная структура). В обычном тензорном анализе существует понятие «переноса» вектора или тензора по отношению к произвольному векторному полю £". Локально правило переноса определяется так, чтобы производная Ли вдоль поля ga была равна нулю. Эту операцию можно обобщить на спиноры, но здесь следует потребовать, чтобы поле £“ было конформным вектором Киллинга. В противном случае изотропный вектор (а следовательно, изотропный флаг) будет при переносе «оторван от изотропного конуса». Требование, чтобы поле ga было конформным вектором Киллинга, означает, что движение переводит изотропные конусы в себя, а в этом случае имеет смысл и понятие переноса спинора. Рассмотрим теперь формальную сторону этой задачи. (Мы считаем, что поле £“ выбрано действительным.)

Чтобы найти результат действия оператора £ = £ на спин- вектор хА, рассмотрим действие этого оператора на (комплексный) бивектор хАхввА'в'. Из (4,3.3) получаем

£ (хАХВ8А'В') = gCVc (хАХВ8А'В') — XDXB8jyB'Vd^a — XAXD8A'D'Vd^b.

Если потребовать, чтобы оператор £ формально обладал свойствами оператора дифференцирования (правило Лейбница!), то из (6.6.1) следует

28л'вх,л£хВ) + хлхв£еА'в' = 28A,BVx(AVcxB) +

+ xdxbVd^' — xVVdV®'.(6.6.2)

Выполняя антисимметризацию по индексам А, В и переобозначая немые индексы, находим

xW^O.

Это равенство должно выполняться при всех значениях хА, а потому имеем [формула (3.3.23)]

v^?=o,(6.6.3)

т. е. поле £° должно быть конформным вектором Киллинга, как и предполагалось.'

Далее, сворачивая (6.6,2) с ba'bs находим

х(Л£хв> = ^сх<А VcxB> —^- x°x(AV db'^ в' — у ХхАхв, (6.6.4)

где X определяется из уравнения

£вАВ = ХвАВ,(6.6.5)

которое получается с учетом косой симметрии спинора £вАВ по индексам А, В. В силу предложения (3.5.15) формула (6.6.4) дает

£хА = rvcxA — xDhDA,(6.6.6)

где

hDA =^ {Vdb-V8' + AeDA).(6.6.7)

Применяя обычные правила продолжения оператора дифференцирования к пространству всех спиноров [а также аналогичную формулу для тензоров (4.3.3) ], мы получаем формулу для производной Ли спинора общего вида

^мА ••• ^z • •• ' ■- £^ V *уЛ •••••• — h АуЛо ... Р* ...

' ■ ■ R«‘PS' - ■ ■ ■ + АЛо "^ + • ■ ■ + Rsf<™р;,- +... . О и... о ...и Dq ... о ...S' D... о ...

°(6.6.8)

В частном случае, когда % —= еАВ, мы получаем с помощью (6.6.5)'"

£вАВ = ХвАВ = — hcAeCB — НсввАС,

т. е. [в силу формулы (6.6,7)]

A + A = -4vcr.(6.6.9)

Этот же результат можно получить из тензорного выражения для £gab, пользуясь соотношением

£gab = £ (влвел,в') = вАВ£вА'в' + вА'в'£вАВ = (X + X) gab.

Отметим, что равенство (6.6.9) фиксирует лишь действительную часть множителя X. Формальный анализ, проведенный выше, не позволяет однозначно определить мнимую часть множителя X по заданному конформному вектору Киллинга ga. С геометрической точки зрения естественно выбрать мнимую часть множителя X равной нулю. Аргументация целесообразности такого выбора по существу совпадает с той, которая дана в гл. 5, § 6, и приводит к формуле (5.6.2). Там множитель Q был выбран действительным с тем, чтобы геометрическая интерпретация спин-вектора была конформно-инвариантной1). Те же соображения имеют силу и в данном случае. Выбор действительного множителя X в формуле (6.6.5) гарантирует, что спинор вАВ будет «удлиняться», приобретая действительный множитель (соответствующий действительной величине X), при переносе его вдоль векторного поля £°. В Некоторых случаях удобнее отказаться от такого «геметрически естественного» ограничения, но здесь мы временно принимаем его. Тогда из (6.6.9) следует, что

A = -^Vcgc.(6.6.10)

Подставляя это выражение в (6.6.7), получаем три альтернативные формулы, позволяющие выразить hnA через £“:

hDA = у VDb^ab' - 4 bdaVcb^gb',

А°Л = 4 ¥в%Л> В' + Т ^АХ В' ’(6.6.11)

hDA=^DB^B' ^^В^В-

В качестве проверки можно сравнить результат действия оператора £ на вектор Уа, вычисленный по формуле (6.6.8), со стандартным выражением (4.3.2). Чтобы оба метода приводили к одному и тому же выражению, должно выполняться равенство

кв^в^' + Нв^ йвА = V6ia.(6.6.12)

*) Возможная интерпретация комплексного множителя Й рассматривалась в работе [260] (см. также том 1, примечания иа с. 420, 424, 430).

Подставляя сюда, скажем, третье выражение (6.6.11), получаем равенство, справедливость которого сразу не очевидна, но становится несомненной, если поднять индексы ВВ' и рассмотреть его компоненты

[АВЦА'В'], (ДВ)[Д'В'], [АВ](А'В') и (ДВ)(Д'В') по.отдельности [последняя дает нуль в правой части равенства в силу формулы (6.6.3)].

Связь с теорией твисторов

Формулы (6.6.11) выглядят довольно сложно. Замечательно, что они существенно упрощаются, если для конформных векторов Киллинга в пространстве Минковского мы используем тви- сторные выражения, полученные ранее. Для спинора £лв' (= = Елв), рассматриваемого как главная спинорная часть эрмитова твистора Еа^ мы имели (при 9АВ = ЕАВ, Т,а,В' = Ea^

NcC'^' = 1йсЛ^Ас _ i6cAtc,A\(6.6.13)

причем условие эрмитовости твистора Е“р (действительности спинора £°) приводило к соотношению

^c'A' = ^A'c'.(6.6.14)

Вводя также требования равенства нулю следа: Е“<х = 0, мы получаем

0Лж + ^'Л, = О.(6.6.15)

Подставляя это в однократно свернутое соотношение (6.6.13), находим

VDB'VB' = 2Ю% - Ibda^b-b' = I (29ad + во^вУ (6.6.16) Следовательно,

4 VDb^AB' + 4 V^d = i {46% + т 6»Л + (4 - I) 6вА^ =

Таким образом, третье выражение (6,6.11) дает

НВА = №АО.(6.6.17)

Итак, если не считать множителя I, спинорная производная Ди величины hAB совпадает с одной из спинорных частей эрмитова твистора Еар, главная часть которого равна V8'; другая спинорная часть этого твистора равна кдВ.

В этой связи, пожалуй, стоит отметить, что если мы опустим требование (6.6.15) равенства нулю следа Е“р, то един-

ственным изменением в окончательном результате будет наличие действительной части следа спинора 0лв- [Из выражения (6.6.15) совместно с (6.6.14) следует, что спинор 9дВ' должен быть чисто мнимым.] Чтобы перейти от рассмотренного выше случая, когда Еаа = 0, к данному более общему случаю, выполним подстановку

0Лв^0Ав + 6евА)(6.6.18)

где к— действительная константа. Вспоминая равенство (6.6.17), получаем

hBA I—* hBA + ik&BA,(6.6.19)

откуда следует, что множитель Л в выражении (6.6.5) приобретает мнимую часть:

Л н-> Л + Sik.(6.6.20)

Это как раз тот случай, когда возникает «геометрически неестественная» производная Ли спинора — случай, отброшенный нами при выводе соотношений (6.6.11).

Если |а есть требуемый вектор Киллинга, то [формулы (6.5.1), (6.5.17)] Vc£c = 0, откуда в силу формулы (6.6.7) следует, что кдА = 0, т. е. спинор hAB симметричен:

кдв = Квд.(6.6.21)

Тогда тензор V»^a будет кососимметричным, так что формулу (6.6.12) можно рассматривать как частный пример представления (3.4.20) кососимметричного тензора с помощью симметричного спинора.

Интегралы движения частиц;конформно-инвариантные операторы

Как мы видели в § 5, конформному вектору Киллинга |а, заданному в пространстве-времени Ж, в случае любой непрерывно распределенной физической системы с бесследовым симметричным тензором энергии-импульса Таь, удовлетворяющим условию V^ab = 0, отвечает некая сохраняющаяся величина. То же самое справедливо и в случае системы пробных частиц в Ж. Мы предполагаем, что в промежутках между столкновениями пробные частицы движутся по геодезическим многообразиям Ж, а при столкновениях сохраняется 4-импульс. Уравнение геодезической имеет вид

.рХр6 = 0,(6.7.1)

где ра есть 4-импульс частицы; он определяется как вектор, касательный к мировой линии, и при движении переносится вдоль нее параллельно.

Имеем

P°Va (W) = W^aP” + P**^ = 0,(6.7.2)

где предполагается, что либо |“— вектор Киллинга (и тогда с учетом симметрии по р° и рь можно переписать ^а^ь в сим- метризованном виде, откуда следует, что последнее слагаемое равно нулю), либо |а— конформный вектор Киллинга и ра— изотропный вектор (так что последнее слагаемое вновь обращается в нуль, будучи пропорциональным papbgab)- В обоих случаях вдоль мировой линии каждой частицы сохраняется величина

Q = V. .(6.7.3)

Если в столкновениях частиц сохраняется сумма их импульсов, то благодаря линейности выражения (6.7.3) по импульсу ра сохраняется и сумма соответствующих величин Q. Таким образом, мы получаем закон сохранения: полный поток величины Q через границу дГЙ° компактного 4-объема Ж равен нулю. Следовательно, ситуация аналогична (и по существу тождественна) случаю непрерывно распределенных физических систем.

Полиномиальные интегралы движения-, спиноры Киллинга

Величина (6.7.3) допускает обобщение на нелинейные выражения вида

Q = U...dPapb Pd,(6.7.4)

где без потери общности тензор |a ,„d можно считать симметричным:

£а6 ... d == £(a6 ...d).(6.7.5)

Обобщение первого из условий, при которых имеет место равенство (6.7.2), запишется в виде

V(eU...d) = 0.(6.7.6)

Тензор |а... d, удовлетворяющий условиям (6.7.5) и (6.7.6), часто называют тензором Киллинга; мы здесь тоже будем пользоваться этим термином (хотя иногда его употребляют применительно к другому объекту; см. формулы (6.7.19) и (6.7.20) ниже]. В отличие от вектора Киллинга тензор Киллинга не допускает простой геометрической интерпретации. Но если величина ра имеет тот же смысл, что и выше, то из уравнений (6.7.1) и (6.7.6) находим

P^eQ = рХ (la ... dPQ • • . P^ = Рвра . • ■ P^&a ... d = 0. (6.7.7) Таким образом, величина Q сохраняется вдоль мировой линии каждой из частиц в промежутке между столкновениями. Но

вследствие нелинейного характера зависимости Q от ра полная величина Q не сохраняется в процессе столкновения.

Чтобы получить обобщение второго из условий, при которых выполняется равенство (6.7.2), положим

^(е^аб ... d) = g(ea4b ... d)(6.7.8)

для некоторого тензора тр....^. Тогда в случае изотропного вектора ра имеют место преобразования вида (6.7.7). На основании равенства (6.7.8) заключаем, что бесследовая симметричная часть тензора Ve£a...d равна нулю; стало быть, вспомнив сказанное в конце гл. 3, § 3 [формулы (3.3.58) — (3.3.60)], можно следующим образом переписать соотношение (6.7.8) в спинорной форме:■

<Мп = 0.(6.7.9)

Не теряя общности, можно принять, что спинор ^дГру симметричен по группам индексов Л ... D и А' ... D'; при этом выражение (6.7.4) не изменяется, если ра — изотропный вектор (т. е. если ра—вида лллл'). Отметим, что, хотя уравнение (6.7.9) справедливо теперь не только в плоском пространстве, оно может служить примером уравнения вида (6.1.62) [см. также формулу (6.4.11)], решением которого в плоском пространстве будет спинор ^дГРо-, имеющий смысл главной части бесследового симметричного твистора. В частном случае, когда присутствует только один штрихованный и один нештрихованный индекс (не обязательно в плоском пространстве), мы имеем конформное уравнение Киллинга (6.1.70). В формуле (6.7.9) число штрихованных и нештрихованных индексов одинаково, но возможно дальнейшее обобщение на случай, когда эти числа не равны. Пусть ^А- ок' ...м' — симметричный спинор, такой, что

v^::.dJ9 = o,(6.7.Ю)

причем ^а ... ок'... N' имеет г нештрихованных и s штрихованных индексов. В этом случае мы получаем обобщение не только уравнения (6.1.70), но также уравнения (6.1.69) и его расширенного варианта — уравнения (6.4.1). Величину ^а...м- ИНОГда называют спинором Киллинга, и мы здесь тоже принимаем эту терминологию. Если вектор ра — изотропный и ориентирован в будущее, т. е. имеет вид произведения лллл', а величина Q определена соотношением

Q = lA...DK'...N'^A . .. лол^ . . . л^,(6.7.11)

то в силу формулы (6.7.10) выполняется равенство

P^gQ = P^g (£Л - NUA . . . Лдг) =

— ЛуЛл . . . ЛдЛу'Лд., ... л^Д1^'^ —= 0(6.7.12)

при условии, что параллельный перенос вектора ра сопровождается параллельным переносом полотнища флага спинора лл':

(6.7.13)(6.7.13)ру'ФулА' = 0.

(6.7.13)

(6.7.13)

При r = s в случае эрмитова спинора ^a—dk' ...n- мы возвра. щаемся к уравнению (6.7.7): величина Q действительна и сохраняется вдоль геодезических мировых линий. При r=#s величина Q существенно комплексна; она несет информацию о направлении полотнища флага лд-. Замена

лд-у-^-е-^лд.

индуцирует преобразование

Qv-^eikr-s^Q,

Таким образом, Q будет величиной с определенным, спиновым весом, если лА' рассматривать как базисный спинор [формула (4.12.9) и далее].

Иногда спинор £";, удовлетворяющий уравнению (6.7.10), известен как явная функция точки пространства-времени. При г = s он дает «первый интеграл» уравнения изотропных геодезических и, таким образом, оказывается полезным для интегрирования этих уравнений. Аналогично величина, удовлетворяющая уравнению (6.7.6), дает «первый интеграл» уравнения геодезических, которые не обязательно предполагать изотропными. Метрика gab тождественно удовлетворяет уравнению (6.7.6). Таким образом, если мы найдем еще три «первых интеграла», то получим Ьистему величин, позволяющих определить явный вид геодезических в четырехмерном пространстве с точностью до квадратур. (Вскоре мы покажем, что требуемые три интеграла существуют, например, для решения Керра.) Если мы нашли величину £;;; с г s, удовлетворяющую уравнению (6.7.10), то имеем информацию, позволяющую определить, как изменяются плоскости поляризации вдоль изотропных геодезических. Так, если величина ^^ известна в двух точках изотропной геодезической у, то мы можем сразу же (без интегрирования) предсказать результат параллельного переноса полотнища флага спинора лд- из первой точки во вторую вдоль у: при параллельном переносе величина arg(Q) должна принимать одинаковые значения в этих точках. Отметим, что из Q мы тоже получаем действительный «первый интеграл» при r=/=s, а именно модуль |Q|, который определяется через величину 5 = QQ, ассоциированную с решением уравнения (См. работу [354].)

Спиноры Киллинга для вакуумных решений типа {22}

В гл. 8 мы рассмотрим классификацию гравитационного (вейлевского) спинора 'Уавсп.р искривленном пространстве-времени в зависимости от кратности его четырех ГИН [ср. с формулой (3.5.18) и далее]. Особый интерес представляет случай вакуумного пространства-времени (возможно, с ненулевой космологической постоянной), в котором ГИН попарно совпадают (т. е. имеют кратность, равную двум):

^АВСо = 6фа<даврсрО) (алрл=1)(6.7.14)

(в дальнейшем мы относим это пространство к типу {22} или типу D),посколькувеличина хав, определеннаясоотношением

«АВ = ф-^мРв)(6.7.15)

оказываетсявэтомслучае спинором Киллинга[354]:

VmXbC) = 0.(6.7.16)

Доказательство состоит в том, чтобы преобразовать тождество Бианки для тензора (6.7.14) [ср. с формулой (4.10.9) ] к виду, совпадающему с уравнением (6.7.16) (см. также работу [354]!). Из сказанного ранее следует, что тогда мы получим явно (комплексную) величину, сохраняющуюся при переносе вдоль геодезических в пространстве-времени указанного вида. Это оказывается особенно ценным в случае пространства Керра, которое является вакуумным, принадлежит типу {22} и изображает гравитационное поле стационарной (вращающейся) черной дыры [125, 53, 352]. В частности, непосредственно из такого решения с помощью спинора хЛв может быть получена информация о влиянии вращения на поляризацию фотонов [58]. Другие примеры вакуумных метрик типа {22} таковы: решение Шварцшильда (специальный случай метрики Керра, принадлежность которого к типу {22} может быть установлена без вычислений, см. с. 273), решение НУТ и С-метрика [172]

Более того, мы имеем следующее предложение [148].

Предложение-

Для всякого вакуумного пространства-времени (в том числе и с космологической постоянной), допускающего

*) В этой работе показано также, что если вместо вакуумных уравнений выполняются уравнения Эйнштейна—Максвелла, в которых фВд = 2фа(лРвь причем а.А, Рл — БСЛ (гл. 7, § 3), и имеет место представление (6.7,14), то величина ^1/2сс(,1₽В) является спинором Киллинга. -

спинор Киллинга хАВ s ©(ЛВ), вектор.

■ка = ^вХАВ(6.7.17)

является {комплексным) вектором Киллинга.

Доказательство. Нужно показать, что V(a&6> = 0 [формула (6.5.8)]. В спинорной записи это уравнение распадается на два, выражающие равенство нулю кососимметричной и симметричной по индексам А, В и А', В' частей спинора ¥&дд'вв'. Рассмотрим первое из этих уравнений, эквивалентное уравнению Vдд^лл'= — 0. Имеем.

¥дд^лл' = Vaa^Y3 = OabXAB

[в силу формулы (4.9.2) и симметрии спинора ^лв]. Эта величина, очевидно, равна нулю [формула (4.9.7) и далее], что ясно и без вычислений (независимо от предположения о том, что решения вакуумные), поскольку невозможно сконструировать скаляры, билинейные по %лс и спинорам кривизны.

Симметрично-симметричная часть имеет вид

Va(a'Vb*)bXcd.

Это выражение симметрично по индексам А, В, поскольку слагаемое, пропорциональное кривизне, возникающее от коммутаторов производных, выражается через величину Ф„, равную нулю. Часть, симметричная по индексам В, С, D обращается в нуль вследствие спинорного уравнения Киллинга ^д^вХсо> = 01 и то же справедливо для части, симметризованной по А, С, D (в силу симметрии по А, В). Таким образом, по индексам А, В и С, D выполнены симметрии таблицы Юнга, отвечающие разбиению (2, 2) [см. подробное «примечание» в гл. 3, § 3, приведенное за несколько абзацев перед формулой (3.3.62)]. Отсюда следует антисимметрия по двум парам нештрихованных индексов, так что все четыре нештрихованных индекса могут быть «отделены» в виде е-спиноров. Отсюда следует равенство

V^j^'V э в%сцо) = 0,

которое (с заменой [ВС] сверткой) приводит ко второму из двух требуемых равенств. (При желании к последнему уравнению можно прийти путем прямых, хотя и более сложных вычислений.)

Свойства решения Керра

' В случае решения Керра (а следовательно, и решения Шварцшильда, но только в этих случаях) вектор Киллинга ка, сконструированный так, как в предложении (6.7.17), с заменой

спинора %-4в спинором хлв является действительным (и генерирует стандартные времениподобные трансляции, отвечающие симметрии !) рассматриваемых решений). Свойство действительности означает, что бивектор

КаЬ = Й4двеА'В' — 1е.АВ%Д'В' (6.7.18) удовлетворяет условиям

V(aK6)c = 0, т. е. VaKbc = VVaKbc\, (6.7.19) в чем легко убедиться прямой проверкой. [Выражения, полученные симметризацией по индексам А, В, С или А', В', С' левой части первого равенства (6.7.19), равны нулю в силу уравнения (6.7.16). Другая часть, кососимметричная по индексам А, В и Д', В', равна нулю вследствие действительности £“.] Отметим, что равенство (6.7.19) формально тождественно условию (6.3.4), при котором бивектор в М имеет ту же зависимость от координат, что и бивектор, дуальный тензору момента. Поэтому можно было бы сделать вывод, что бивектор Каь должен описывать в некотором смысле структуру углового момента решения Керра. Но на самом деле ситуация не столь проста. В приближении слабого поля отношение спина к угловому моменту, вычисленному по *К»ь, имеет неправильный знак [94]. Оказывается, что твистор, главная часть которого есть х45, пропорционален обратной величине твистора углового момента Аар. Подробнее мы рассмотрим этот вопрос в гл. 7, § 4, с. 246.

Кососимметричный объект Каь, удовлетворяющий уравнению (6.7.19), иногда называют тензором Киллинга, поскольку (6.7.19) можно рассматривать как обобщение уравнения Киллинга, отличное от (6.7.6). В современной литературе для величины Кай s ©[ай], удовлетворяющей уравнению (6.7.19), принят термин тензор Киллинга — Я но, который мы будем использовать в дальнейшем. Это понятие обобщается на кососимметричный тензор Кар ...в (в п измерениях) с произвольным числом индексов, и аналогично мы имеем величину р°Кар...б, сохраняющуюся вдоль геодезической с касательным вектором ра. (Тензоры Киллинга — Яно в пространстве-времени изучались, например, в работах [66, 67], а спиноры Киллинга — в работах [354, 147, 154]; см. также [315, 148].)

В работе [94] было отмечено (см. также [248]), что произведение

НаЬ = КасКсь (6.7.20)

удовлетворяет условиям

. НаЬ=НЬа, ViaHbc-) = 0 (6.7.21) и, следовательно, представляет собой тензор Киллинга вида (6.7.6). Сохраняющуюся величину Q = HabPapb = = —(р^Кас) (рьКьс) называют постоянной Картера решения Керра. Это решение допускает еще два независимых вектора Киллинга, так что вместе с метрикой §аь перечисленные величины образуют набор из четырех сохраняющихся величин, позволяющих определить геодезические явно с точностью до квадратур [46, 47, 53].

Физический смысл постоянной Картера не вполне ясен, однако этой величине можно пытаться приписать смысл «полного момента» пробной частицы, движущейся по орбите вокруг черной дыры. («Полный» означает, что эта величина пропорциональна квадрату 3-вектора момента импульса.) Действительно, такая интерпретация справедлива в частном случае решения Шварцшильда, поскольку имеет место тождество

kmG'F Hab = xaxb -Vya^ + zaz6, (6.7.22) связывающее НоЬ с векторами Киллинга ха, уа, za; которые генерируют вращения в направлении стандартных осей. Сохраняющиеся величины раха, РаУ11, PaZa — это компоненты углового момента пробной частицы вдоль названных осей. Константа m имеет смысл массы источника (G— гравитационная постоянная). Отметим, кстати, что для решения Шварцшильда со стандартной координатой г справедливо равенство

ф = — mG/r3. (6.7.23) Решение Керра замечательно и в том отношении, что все переменные в стандартных полевых уравнениях на фоне метрики Керра разделяются [46, 53]. Это связано с существованием тензора Киллинга — Яно Каь [49].

Конформно-инвариантные первые производные

Как отмечалось выше, из соотношений (6.1.60) — (6.1.62) следует тесная связь уравнения (6.7.10) с понятием твистора. Всякое симметричное решение этого уравнения в пространстве М есть в точности главная спинорная часть однозначно определенного бесследового симметричного твистора Х$’"Л:

х£:::$=х&:::& х^6,=о. (6.7.24) Это можно сформулировать иначе: для каждого изотропного твистора Z“ величина

X^Zx... ZvZa • • • Ze (6.7.25;

совпадает с выражением (6.7.11) в каждой точке Р соответствующего светового луча Z (поскольку йл = 0 на Z и единственной спинорной частью твистора Xx.""v> свертка которой не содержит множителей <вл, будет ^>k;"„n'Y Следовательно, общее симметричное решение уравнения (6.7.10) дается подходящим обобщением соотношений (6.1.10), (6.1.26), (6.1.51), (6.1.55). Проиллюстрируем это на примере. Рассмотрим бес- следовый симметричный [[]-твистор X“pv. Его главная спинорная часть ХАВС' дается выражением

ХАВС.= ^АВ,С. _ ^А^С + ixCC-^AB)c _ ^ (А^В) В^С' +

+ 2хСС'ха<аХаВс - 1ха'^в'хсс'Ха,в.с (6.7.26)

содержащим постоянные спиноры ХАВС, ... , Ха-в'с. Дифференцированием этого выражения с последующей симметризацией непосредственно убеждаемся, что оно действительно является решением уравнения (6.7.10).

Поскольку бесследовые симметричные твисторы вполне определяются симметричными решениями уравнения (6.7.10), можно предположить, что последнее конформно-инвариантно [формула (6.1.72)], Действительно, при

|Л... DK' ... N' ^А ... DK'... N' (6.7.27)

находим, что симметризованная производная, входящая в уравнение (6.7.10), есть по существу конформный спинор. Это можно показать, прямо применив формулу (5.6.15). Результат имеет 'ВИД

^(Q'|(P|A... D) | К'... N') = q-2v(Q'|P^A...D|K'.„W') (6 7 28)

Это выражение определено не только в плоском или конформноплоском пространстве, но и в искривленном пространстве общего вида.

Наличие свойства конформной инвариантности у симметри- зованной производной на спинорах £’" с каким-то определенным конформным весом не удивительно. Важно то, что в результате симметризации мы из неприводимого спинора £‘" вновь получаем спинор, неприводимый в каждой точке (гл. 3, § 3). Следовательно, в производной имеется слагаемое, содержащее Та, лишь одного типа, но выбор в (6.7.27) нулевого конформного веса обеспечивает обращение этого слагаемого в нуль.

По той же причине симметричные спиноры, полученные с помощью различных операций, содержащих свернутые или сим- метризованные производные, характеризуются определенным конформным весом. Выбирая наиболее естественное расположе-

ние верхних и нижних индексов, мы получаем для симметричного спинора следующее соотношение:

ЬКЧР%А...П')n-3-,K'(PtA...D>

V£K'L'...N'=U Vc,K'L'...N',

(6.7.29)

если

%K# ».N, = U

(6.7.30)

а также

Va^b^ = Q~3^q^^^

(6.7.31)

если

IK' ...N' „а-ЬХ'-Л' SA ... D — W 6Д ... D

(6.7.32)

[что не совпадает с равенством (6.7.30), если не выполняется условие r = s]; в то же время

^АК" |лв ... DK'L' ... N' = Q ^Ы... DK'L'... N',^6.7.33^

где

|л ... DK' ...N' = Й~2&Л ... DK' ...М*.(6.7.34)

Все эти соотношения выполняются как в плоском и конформноплоском пространстве-времени, так и в произвольном пространстве-времени. Несколько частных случаев мы уже рассмотрели выше. Например, из соотношений (6.7.31) и (6.7.32) в частном случае, когда индексы К ... ЬГ отсутствуют, следует конформная инвариантность безмассовых уравнений (4.12.42). Можно также заново доказать конформную инвариантность уравнений (6.4.13), (6.4.15). Отметим, что из равенства (6.7.33) следует конформная инвариантность уравнения для дивергенции ковек- тора веса —2 или симметричного бесследового тензора валентности [°] и веса —2, отмечавшаяся в гл. 5, § 9.

Твисторные решения различных уравнений

Оказывается, что в пространстве Минковского М твистор- ными методами можно решать не только уравнение (6.7.10), но также уравнения, которые получаются приравниванием нулю выражений (6.7.29), (6.7.31) и (6.7.33). Здесь мы не будем подробно рассматривать все эти уравнения, поскольку это увело бы нас слишком далеко. Тем не менее имеет смысл хотя бы просто привести формулы, которые описывают класс общих (аналитических) решений этих уравнений, и объяснить, почему это будут решения. Для полноты мы также выпишем решение уравнения (6.7.10) в несколько ином виде. Те специальные случаи соотношений (6.7.29) и (6.7.31), которые приводят к без- массовым полевым уравнениям, мы рассмотрим более подробно в § 10, где также приведем иную, более общую форму записи их решений.

Возьмем твисторы г“ = (ил, лд') и Wa = (^A, цл), как в формулах (6.1.13) и (6.1.24). Нас будут интересовать голоморфные функции твисторов Z“ и Wa, т. е. голоморфные функции их компонент, взятых в некотором твисторном базисе вида (6.1.17), (6.1.34). Эти функции могут иметь особенности в некоторых областях подходящего для нас вида. Пусть

f^a, Z°)

есть голоморфная и однородная функция своих аргументов со следующими показателями однородности по Wa и Za:

(6.7.35)(6.7.35)(р, q) в случае (6.7.28), (р, —2 — q) в случае (6.7.29), (—2 — р, р) в случае (6.7.31),

(6.7.35)

(6.7.35)

(—2 — р, —2 — р) в случае (6.7.33),

причем £... имеет р нештрихованных и q штрихованных индексов и дополнительно предполагается, что f — полином, по той переменной, которой отвечает неотрицательный показатель однородности. Для наших целей достаточно ограничить область определения функции подпространством Ta X Та, для которого выполняется условие взаимности

(6.7.36)(6.7.36)WaZ“ = 0

(6.7.36)

(6.7.36)

формулы (6.2.13), (9.3.17)]. Относя твисторы Wa и Za к фиксированному началу отсчета О е М, при условии Хд 0 и лА-=/= 0 [эти спиноры параметризуем их значениями в точке О, см. формулу (6.1.14) и далее] можно показать, что существует вектор га в О (не обязательно действительный), такой, что

(6.7.37)(6.7.37)wa^(^, -ir^'X^,о

(6.7.37)

(6.7.37)

T^kirAA'ttAS ЛА>).

(Это легко показать, рассмотрев компоненты.) Вектор ra определен неоднозначно, допустимые преобразования имеют вид ra I—^ra + kkAnA', к <= С. Таким образом, геометрическое место точек R комплексифицированного пространства Минковского СМ положений переменного вектора га есть комплексная изотропная прямая. (Геометрический смысл этого исследуется в гл. 9, § 3.) Отметим, что из изложенного, в § 1, 2 следует, что R есть в точности геометрическое место точек, инцидентных как. твистору Wa, так и твистору Z“ в пространстве СМ. .

Далее, функцию f можно выразить через переменные г1, ХА и лд', а потому напишем [в области, в которой выполнено со-

отношение (6.7.36)]

.f(W„, Za) = F(H, Лл, ялО(6.7.38)

при допустимых значениях переменных ri, Хд, пд-, причем функция F будет однородной по Хд, лА' со степенями однородности, указанными в формуле (6.7.35).

Далее рассмотрим выражения

. . . Х^, . . . nN, = f (Wa> 2=),(6J.39)

&"!n' (г1) Хд.-.Х^-^-^лк' ... n^f (Wa, Z“) лу^л9', (6.7.40) Ia.“d V) лк- ...лм- = А_^Ха... XDf (Wa, Za) XP dXp, (6.7.41)

6л ... DK'... N' (f ) ^ "(2njj^ ф ^“Л ‘ " ' ^"D^K' • ‘ ' ^N'f ( Wa, Z ) Xp X

XdXpAnQ-dnQ\(6.7.42)

При вычислении интегралов в правую часть следует подставить функцию F вместо f, согласно формуле (6.7.38). То, что в левой части каждого из равенств стоит величина £"\ зависящая только от ri и не зависящая от Ха или лд-, следует либо из предположения о полиномиальном характере функции f, либо из того, что зависимость от спинорных переменных исчезает в результате интегрирования в правой части.

Интеграл в выражении (6.7.40) вычисляется вдоль замкнутого одномерного контура в спиновом пространстве переменной лд' при фиксированных значениях переменных г5 и Ад; контур обходит определенным образом особенности функции F и деформируется непрерывно при вариации А и Хд. В формуле (6.7.41) интеграл вычисляется по замкнутому одномерному контуру в спиновом пространстве переменной ХА при фиксированных значениях г1 и лд- и также деформируется непрерывно при вариации этих переменных. В (6.7.42) интеграл вычисляется по двумерному контуру в пространстве прямого произведения спиноров лд' и Хд при фиксированном значении г1 и положение контура непрерывно изменяется с переменной ri. В каждом случае показатели однородности, приведенные в (6.7.35), выбраны так, что указанные интегралы действительно имеют смысл «интегралов по контуру», т. е. их значения не изменяются при непрерывной деформации контура, если последний не пересекает сингулярностей функции F. Это свойство следует из того, что внешняя производная [формулы (4.3.14) и (4.3.25)] подынтегральных выражений при фиксированном значении А равна нулю, если показатели однородности выбраны так, как указано выше [см. текст после формулы (6.10.4)].

Выбор симметричных спиноров £;" позволяет однозначно фиксировать их как функции параметра ri при всех его значениях, при которых контуры интегрирования существуют, а в случае (6.7.39) — при всех значениях ri. Величина г! имеет смысл радиус-вектора, направленного из точки О в некоторую точку R в пространстве СМ. Мы видели также, что соотношения (6.7.37) выражают условия взаимности каждого из твисторов Wa и Z“ с точкой R. Далее, мы можем рассматривать f как функцию восьми независимых комплексных переменных, если она представлена как F, т. е. как функция переменных га, Хд, лд>. В этом случае дополнительное условие (6.7.36) для твисторов Wa и Za подразумевается неявно, так что интересующие нас значения f в действительности определяются комплексно-семимерным многообразием ее аргументов. Следовательно, функция f, рассматриваемая как функция переменных Н, Хд и лД', должна удовлетворять дополнительному условию. Это условие имеет вид

Хрл^р<^Р = 0,(6.7.43)

где введено обозначение Va для производной по га, вычисляемой при фиксированных Хд и лд-. В самом деле, из соотношения

о

VPQ'XNa^tyPQ'XA, VPQ'^-irAA'XA)) = (0, —iXPe.^') следует равенство ApV^Wa = О, а из соотношения

vpQ'7a ° (-PQ't.AA' A T7Pt2'^

— равенство nQ'VPQZa = 0. Уравнение (6.7.43) можно записать в виде

XpVP^'F <х л^(6.7.44)

или

л^^'Р ос ХА.(6.7.45)

Действуя оператором, входящим в (6.7.43), на (6.7.39), оператором, входящим в выражение (6.7.44), на (6.7.40), оператором, входящим в (6.7.45), на равенство (6.7.41) и оператором VAK' на (6.7.42), находим, что получающиеся выражения равны нулю. Поскольку это справедливо при всех значениях Хд, лд-, обращение в нуль производных в формулах (6.7.28), (6.7.29), (6.7.31). (6.7.33) автоматически следует из вида соответствующих выражений в формулах (6.7.39) — (6.7.42).

Отметим, что в силу предположения о полиномиальном характере функции F в соотношении (6.7.39) можно написать

f (Wo, Za) =: F?Z vWa ... WeZx ... Zv

Вследствие равенства (6.7.36) в определение поля ^A“*DK-'—N' входит только бесследовая и симметричная часть твистора Fx7.‘.v- Поэтому поля такого вида отвечают бесследовым, симметричным твисторам, и мы вновь возвращаемся к классу решений, описанному ранее в связи с уравнением (6.7.10). Легко видеть, что справедливы следующие представления:

f(Wo, Za)=:Fa-e(Zv)Wa ... We

в (6.7.40) и

f(Wa, Za) =: Fx...v(Wp) Zx ... Zv

в (6.7.41).

Ранее мы отмечали, что, приравнивая нулю выражение (6.7.31) при q = 0 [или выражение (6.7.29) при р = 0], мы получаем уравнения, описывающие безмассовые поля со спином (1/2)р [или со спином (1/2)^]. Таким образом, формула (6.7.31) [или (6.7.29)] дает сжатую форму записи решений этих уравнений в М с использованием твисторных голоморфных функций (см. также § 10 ниже).

Повторные операции; разрешения уравнений

Отметим, что из всех операций (6.7.28), (6.7.29), (6.7.31), (6.7.33) только (6.7.29) и (6.7.31) могут действовать одновременно на один и тот же спинор §;“ и то при условии, что у него одинаковое число штрихованных и нештрихованных индексов кР = qY- Заметим также, что, хотя каждая из упомянутых четырех операций дает в результате спинор с правильными симметриями, так что можно было бы рассматривать их повторное действие, возникающие веса, как правило, не позволяют получить конформно-инвариантные выражения. В самом деле, требование конформной инвариантности будет выполняться только для следующих пар операций:

затем (6.7.29) при р = 0,

затем (6.7.31) при ^ = 0,

затем (6.7.31) при p = q>0, (6.7.31), затем (6.7.29) при p = q>0,(6.7.46)

зат'ем (6.7.33) при р = 0, q> 1,

затем (6.7.33) при q = 0, р > 1.

В этих специальных случаях можно построить конформно-инвариантные операторы дифференцирования второго порядка как для конформно-плоского, так и для любого пространства-вре-

мени Вскоре мы также рассмотрим некоторые другие способы построения конформно-инвариантных операторов второго порядка. .

Легко видеть, что операции, указанные в первой, второй, пятой и шестой строках формулы (6.7.46), дают нуль, если операторы ^коммутируют (т. е. в случае плоского пространства и отсутствия электромагнитного взаимодействия). С точки зрения задачи построения конформно-инвариантных дифференциальных операторов второго порядка такой результат разочаровывает. Однако, как мы видели в § 5, композиции операторов дифференцирования могут оказаться важными в другом отношении, а именно в связи с конструкцией точных последовательностей. В действительности можно (если ограничиться в М или СМ «выпуклой» областью, в которой все поля могут быть выбраны голоморфными) показать не только, что композиция двух последовательных отображений дает нуль, но и что ядро последующего отображения есть в точности образ предыдущего. Стало быть, мы имеем точную последовательность из двух отображений. Более того, эти частные точные последовательности могут быть продолжены. Здесь мы укажем такие продолжения для 1-го и 6-го случаев формулы (6.7.46). Случаи 2 и 5 получаются путем комплексного сопряжения случаев 1 и 6.

Начнем со случая 6. Ядро отображения (6.7.31) на симметричных спинорах фА.„Е с 7 = 0 образовано безмассовыми свободными полями:

Фав...е^АА'Фав...е- (6.7.47)

За ним должно следовать отображение (6.7.33) (на симмметрич- ных спинорах 9в.„е\ '

$вс...ех—* Va-Gbc ... е. (6.7.48) Эта пара операторов занимает третье и четвертое место в последовательности

ДА' ^Az

6 """^АВС ...Е * ^АВС...^ *" ®(ВС...Е) * ®(С ... Е) ~* ^- (6.7.49) Поясним смысл используемых обозначений. Если ^ — открытое множество в М (или в СМ)> то величину ®d"‘.fs'."‘3' временно можно трактовать как элемент множества ®d"‘.£s'.‘.'.‘u' [ОД спинорных полей на °И, рассматриваемых как векторное пространство над С; величины ©;;;, индексы которых заключены в скобки, обозначающие симметризацию, могут рассматриваться как элементы множества @.‘" [ОД\ тензоров, имеющих симметрии указанного типа. (Далее мы дадим более точное определение каждого из объектов 2), которые по существу являются «пучками».) Пространство ^лв g можно мыслить (пока что) как векторное

пространство над С решений безмассовых полевых уравнений в <2/ и, следовательно, как ядро отображения (6.7.47). Отображение i в (6.7.49) есть просто «инъекция», т. е. оно переводит всякое безмассовое поле в него же. Из приведенных определений следует, что первые три звена последовательности (6.7.49) образуют точную последовательность. Чтобы продемонстрировать это свойство для остальных звеньев, нужно показать, что всякий симметричный спинор фс Е можно представить в виде V^bc... е, где 0;.. — некоторый симметричный спинор. Доказательство проводится просто, если перейти к компонентам, отнесенным к произвольному базису [см. формулы (6.7.50), (6.7.51)].

Пусть множество °Ы достаточно мало (или имеет подходящую форму), так что не возникает глобальных препятствий для существования решений, рассматриваемых дифференциальных уравнений. Напомним, что в формуле (6.5.27) мы ввели дополнительное предположение о евклидовой топологии области <2/. При решении других дифференциальных уравнений может оказаться необходимым также ввести ограничения на форму области °Ы. Такой подход представляется приемлемым для предварительной интерпретации последовательности (6.7.49). Более аккуратная трактовка состоит в том, что элементы последовательности рассматриваются как пучки. Но ни изложение теории пучков, ни даже точное определение понятия пучка в наши цели не входит. Существенным моментом является то, что свойство последовательности (6.7.49) (и других точных последовательностей пучков, рассматриваемых ниже) быть точной доказывается локально. Вместо того чтобы фиксировать открытое множество <2/ специального вида и рассматривать спинорные поля на 4Z, мы требуем только, чтобы для всякой точки в М (или в СМ) существовала некоторая окрестность, где уравнения разрешимы. Например, можно показать, что пара отображений (6.7.47) и (6.7.48) образует точную последовательность, если потребовать, чтобы в каждой точке Р г М для спинора 9вс...е, удовлетворяющего уравнению ^a&bc...e = 0 в некоторой окрестности 4Z точки Р, существовали окрестность °Ll' с^ и спинор фдв... е, такой, что 9^с Е = ¥лл'фдв Е. [Это локальный вариант условия II, входящего в определение точной последовательности; см. текст после формулы (6.5.26). Мы уже видели, что свойство I выполнено — условие локальности здесь не требуется.] Для доказательства нужно фиксировать некий базис. Положим

ro TQO.„О’“1П0...0' • Тр ТЦ...Р

0 =00'0 =00' • Y =01'

Хр^^'. /, ^ = и, ХН' = У, х01' = £, х10' = £.

Нам нужно показать, что уравнения

(6.7.50)

могут быть решены локально, если только выполняется условие

(6.7.51)(6.7.51)ае.ae.+1эХ/+1эХ1 0

(6.7.51)

(6.7.51)

а? ди д£до

(1 = 0, ..., р— 1). Оказывается, что условие (6.7.51) действительно позволяет шаг за шагом проинтегрировать систему (6.7.50) и тем самым доказать наше утверждение. Поэтому условие (6.7.51) можно также рассматривать как условие интегрируемости системы (6.7.50), позволяющее «подняться» вдоль точной последовательности.

Последовательность (6.7.49) есть так называемое разрешение пучка §л Е, или разрешение безмассовых полевых уравнений. Это означает, что каждый из пучков ЗУ" свободен, т. е. заранее не предполагается, что он удовлетворяет определенным дифференциальным уравнениям. (Как и прежде, мы не приводим более строгие формулировки; разрешения играют важную роль в теории дифференциальных уравнений и в теории когомологий.)

Отображение, указанное в первой строке формулы (6.7.46), имеет важное значение, поскольку входит составной частью в разрешение пучка, комплексно-сопряженного с пучком (6.4.1), т. е. связанного с уравнением для главной спинорной части симметричного твистора вида Та...7. Подмножество (пучок) множества 2)л "'с , состоящее из решений уравнения (6.4.18) (спиноры Киллинга), будем обозначать символом Ял "'с. При р = 0 операция (6.7.28) есть отображение, определенное на симметричных спинорах ХА""С', ядро которого совпадает с пространством всех таких главных частей;

ХА' - с' .-> v^V' - сз.(6.7.52)

Это отображение занимает третье место в последовательности, точность которой таким образом установлена вплоть до третьего шага:

VAA' — VDD' 0 31А' - с'^А' - сэ ZL ^е' - C'D,)v^ >

®(АВ...Е) VAA', VB

.. Е) >®(С. Е) 0. (6.7.53)

(То, что симметризация должна выполняться после действия операторов дифференцирования, отмечено явно в обозначениях пространств-образов.) Отметим, что последний отрезок последовательности (6.7.53) тот же, что и в (6.7.49). Пространство ®<л... Е) ф ®<Л "" Е} [записанное вертикально в формуле (6.7.53)] есть просто пространство пар (^л Е, ^••■£') (каждая компонента пары — симметричный спинор), а отображения, указанные слева и справа, имеют следующий смысл:

^-^(^i ...V^^-.d, vA^.-.iyy (67>54) ^ав...е> 4a'b'-e')^VAA'<[>ab e-vbb, ... vee,4a'b-...e-. (6.7.55) Легко убедиться, что условие точности I выполнено на каждом шагу. Доказательство же того, что условие II тоже выполняется, оказывается более сложным, чем ранее (если сохранять условие локальности), а потому мы не будем его рассматривать. (Последовательность (6.7.53) была введена Иствудом [79] и Бухдалом [35]).

Интересно, что если спинорам каждого (ненулевого) пучка последовательности приписать веса

О, -1, (-1, -3), —3, -4 (6.7.56) соответственно, то для каждого из отображений последовательности будет выполняться свойство конформной инвариантности при конформных отображениях, переводящих плоскую метрику gab (локально) в плоскую метрику gab- Как мы увидим далее в формуле (6.8.27), такой класс отображений характеризуется условием

V0Yb = YAB,YBA,, (6.7.57)

которое необходимо для доказательства нашего утверждения. Для масштабных преобразований общего вида производные порядка выше первого, входящие в (6.7.54) и (6.7.55), должны быть модифицированы добавлением слагаемых, содержащих тензор Риччи и его производные [см. текст после формулы (6.8.29)].

Утверждение, что последовательность (6.7.53) точная, несет в компактном виде очень много информации. Укажем как всего лишь один пример на следствие из этого утверждения, выраженное формулами (6.4.15) — (6.4.17): все безмассовые поля фд L при условии (6.4.15) локально могут быть вычислены по формуле (6.4.16), в которой калибровочный произвол величины ф дается соотношением (6.4.17). Справедливость этого явствует из того, что часть ядра отображения (6.7.55), отвечающая значениям т] " = 0, есть пространство вида (^ ? 0), где ф —

безмассовое поле; следовательно, это в точности та часть образа при отображении (6.7.54), для которой выполняется уравнение ^л(Е'^л'... о') _ о [совпадающее с уравнением (6.4.15)]; калибровочный произвол определяется ядром такого отображения, т. е. ядром отображения (6.7.52), что в точности приводит к произволу, зафиксированному в соотношении (6.4.17).

Кривизна и конформные преобразования ■

В предыдущем параграфе мы видели, что операции 1, 2, 5 и 6 в формуле (6.7.46) приводят к тривиальным операторам второго порядка, поскольку дают нуль, если операторы V коммутируют. Тем не менее оказалось, что они играют существенную роль. В случае искривленного пространства-времени (или в присутствии электромагнитного взаимодействия) эти операции тоже не приводят к операторам второго порядка. Они сводятся к сверткам величин вида £" с тензором кривизны (или тензором электромагнитного поля). В данном параграфе для нас важно то, что из конформной инвариантности этих операций вытекают конформные свойства кривизны. Отметим, что операция 6 в формуле (6.7.46) совпадает с отображением (5.8.1), входящим в определение условий совместности безмассовых полей, из которого (при r> 1) получается следующий результат: Ч^АВС ...L=- ^^ВС ... L - (Р - 2) 1АВМ,С... kWlabm. (6.8.1) Аналогично отображение 1 в формуле (6.7.46) входит в условие совместности для твисторного уравнения (6.1.1) и его обобщения (6.4.1). Выбирая для простоты случай г=\ (случай г > 1 по существу не отличается от рассматриваемого), находим из (6.1.5)

¥д'<с¥^в) = -Чглв%6о + 1еф(лв^.(6.8.2)

Операции 5 и 2 в формуле (6.7.46) получаются из приведенных выше с помощью комплексного сопряжения.

Конформная инвариантность спинора ^ABCD

Значение конформной инвариантности соотношений (6.7.46) состоит для нас в том, что из самого вида этих операций явствуют конформные свойства спинора ^дасд. Самым простым для анализа оказывается случай отображения (6.8.2). Выберем е = 0 [поскольку закон преобразования фдв=£Нфдв при , конформных отображениях уже рассматривался выше — см. формулу (5.9.8)]. Далее, из (6.7.28) и (6.7.29) имеем

^А'(С^А^В) = g-Зу А'(Су A gB),(6 8 3)

откудаоткуда11*ABC %D/^—’S^Tf^BC cD11*ABC %D/^—’S^Tf^BC cD

откуда

откуда

11*ABC %D/^—’S^Tf^BC cD

11*ABC %D/^—’S^Tf^BC cD

(6.8.4)(6.8.4)Но величина ^D произвольна, а следовательно, ^ABCD = ^ABCD-

(6.8.4)

(6.8.4)

Такой закон преобразования показывает, что величина ^Vabcd связана с той частью кривизны, которая остается инвариантной при конформных преобразованиях. Так как равенство ^двсд = О выполняется в плоском пространстве-времени, оно остается справедливым и в конформно-плоском пространстве-времени. Более того, как мы увидим далее (в § 9), условие ^двсд^О оказывается даже достаточным для того, чтобы пространство было конформно-плоским (т. е. для всякой точки пространства-времени имеется окрестность, в которой существует конформный множитель Q, такой, что метрика №gab совпадает с плоской в этой окрестности). Вот почему величину ^abcd называют конформным спинором (Вейля). В силу соотношения (4.6.41), связывающего Wabcd с тензором Вейля Cabcd, имеем

Cabcd = ^Cabcd, C^cd — C^bcd и т- Д- (6.8.5)

Сравним соотношение (6.8.4) с законом преобразования [формула (5.7.17)]

Фавсо = й ФаВСО1(6.8.6)

выражающим свойство конформной инвариантности безмассово- го поля со спином 2, Различие между этими двумя соотношениями заслуживает специального обсуждения. Ситуация здесь полностью противоположна случаю электромагнитного поля, когда требование конформной инвариантности уравнения для свободного безмассового поля, которому должен удовлетворять спинор фд8, и требование, чтобы этот спинор получался из коммутатора ковариантных производных на заряженных полях, приводят к одному и тому же конформному весу, равному —1 [см. текст после формулы (5.9.8)]. Различие между (6.8.4) и (6.8.6) связано с тем, что уравнения общей теории относительности не являются конформно-инвариантными. Одно из проявлений этого — то, что правая часть конформных тождеств Бианки (4.10.7) не будет конформной плотностью. Действительно, допустим, что мы имеем вакуумное решение уравнений Эйнштейна; при этом соответствующий спинор Вейля Тдвсд удовлетворяет уравнению

VAA'WABCD = 0.(6.8.7)

Полагая фдвсо = ^abcd используясь законом преобразования (6.8.6), находим ^АА'фДВС0 = 0. С учетом этого из (6.8.4)

получаем

V^'(Q"14rABCo) = 0,(6.8.8)

т. е. [формула (5.6.14)]

Vaa'Wabcd = Taa'WAbcd,(6.8.9)

так что в силу формулы (4.10.7) конформный образ спинора Риччи должен удовлетворять уравнению

7®вФсо)А'В' = Ya'Wabcd,(6.8.10)

а поскольку эта величина, вообще говоря, не равна нулю (в отличие от Фдвс'1у), спинор Риччи не имеет определенного конформного веса. Следовательно, конформный образ некоторого решения (пространства-времени) уравнений Эйнштейна, вообще говоря, не удовлетворяет вакуумным уравнениям.

Конформные свойства величин Фавс'п' и А.

Установим теперь закон преобразования величин Фавс'п' и А при конформных преобразованиях. Для этого удобно воспользоваться тождеством

^А'^ВЦ^В^ = ^В'В^Л'^Л2 ^А'В^В^А + ^^А'В^В^ABA'A'^'

которое получается из выражения (5.8.4). Умножая его на 2/3 и складывая с умноженным на 1/3 таким же тождеством, в котором переставлены индексы А' и В', получаем

У ^^д, (л^в) + у ^л' ^в^ = -у VB,BV^A ^ЛРдВд.в,, (6.8.11) где

РАВА'В' = Фава'а'А6ав6а'в' = “J^ ^Sab 2 ^ob" (6.8.12)

Рассмотрим теперь результат действия конформного преобразования на равенство (6.8.11), в котором мы полагаем

1А = ^А, т. е. L = Q^a-

Оба слагаемых в левой части равенства (6.8.11) содержат производные от выражений вида VB,^By которые являются, как показано выше, конформными плотностями:

^вца^ = ^в,^ву(6.8.13)

Вычислим теперь разность равенства (6.8.11) и его конформного образа. В силу соотношения (6.8.13) в левую часть полученного равенства смогут входить только слагаемые, содержащие первые

производные от спиноров gx. Эти слагаемые обязательно должны взаимно уничтожаться. Левая часть нового равенства будет содержать только непродифференцированные и однократно продифференцированные спиноры ^л, но, поскольку величины gx и Ч вв%а независимы в произвольно выбранной точке (причем £х может принимать любые значения), эти два типа слагаемых должны уничтожаться независимо. Таким образом, можно рассматривать лишь правую часть в равенстве (6.8.11), опуская однократные производные спиноров gx, которые появляются при конформных преобразованиях. Имеем

^4Л = ^Л + 2Г^Л.

На этом основании, вычитая из конформного образа равенства (6.8.11) исходное равенство (6.8.11) и опуская члены с однократными производными спиноров ^а, получаем

О = (уВ'В^А') ^Л ^А'В (^*В^л) ^РаВА'В' + ^РаВА'В"

Поскольку величины g4 произвольны, находим закон преобразования величины РаЬ при конформных преобразованиях

Peb = Pab ~ VbTa + ХАВ'Тва,.(6.8.14)

Благодаря соотношению

Rab=-2Pab-gebPcC(6.8.15)

из равенства (6.8.14) следует также закон преобразования тензора Rab. Отметим, однако, что данная конкретная комбинация следа и бесследовой части тензора Rab, совпадающая с Раь, часто входит в формулы, связанные с конформными преобразованиями.

В этой связи отметим, что формулу (4.8.2), в которой тензор Cabcd выражается через тензор Римана, тензор Риччи и скалярную кривизну, можно переписать в виде

Cab‘d = Rab0" + ^МЛ(6-8-16)

тогда как тождество Бианки (4.10.1) принимает вид

V°Cab=d = -2V[cPdl ь,(6.8.17)

а его спинорный эквивалент [формула (4.10.3)] — вид

V^ Лв CD ~ ^^Л) с а* в*-(6.8.18)

Сразу же видна симметрия

Раь = Рьа’ т' ^- Рава'в' — Рвав'а'-(6.8.19)

Такая симметрия выражения (6.8.14) обусловлена тем, что То есть градиент [формула (5.6.14)] и, значит,

VaXb = VbXa.(6.8.20)

Иногда полезны другие формы записи закона преобразования (6.8.14):

Pab = Pab + ^аХь + ХАВ-ХВА-(6.8.21)

[это выражение получается из (6.8.14), если поменять ролями gab и gab, что эквивалентно замене Q-^Q-1 и, следовательно, Ха*—*—То), а также

Раь = Pab ~ Q~VVaVbQ + 2Q"2VaQVbQ - у gaiQ’2VcQVcQ =

= Pab + QVaVbQ-‘ - l-gabQ-2VcQVcQ(6.8.22)

[что получается, если подставить первое выражение (5.6.14) в (6.8.14) и использовать соотношение (3.4.13)].

Вычисляя след и бесследовые части выражений (6.8.14), (6.8.22) и используя равенства [формула (6.8.12)]

ФАВА'В' = Р(АВ)(А'В'),А =— ^ Ра°,(6.8.23)

получаем

Фава'в' — Фава'в' = — ХА^А'ХВ'1В + X a^A'Yb^b =

= йХА(А'ХВг)вй * =

=— Q ^ам'ФвояО,(6.8.24)

Q2A = Л + ^ VaXa + ^Т°Та =

= Л+4й-1ПЙ,(6.8.25)

где [формула (5.10.6)]

□ = v°Va.(6.8.26)

Конформные отображения плоских пространств

В качестве прямого следствия соотношения (6.8.14) отметим, что условие

ТаТь = Тлв'ТвЛ,,(6.8.27)

при котором конформные преобразования не изменяют тензора Риччи, в случае плоского пространства М означает, что при таких преобразованиях метрика остается плоской. Легко найти общее решение уравнения (6.8.27). Оно имеет вид

й = (*“ - Q°) (*„ - Qa)(6.8.28)

(включая возможные предельные случаи), что дает

(6.8.29)(6.8.29)2 (хь О»)

(6.8.29)

(6.8.29)

(ха — Q°) ^Ха Qa) ’

поскольку правая часть уравнения (6.8.27) равна YOY»— — (l/2)YcY^ad [формула (3.4.13)].

Конформно-инвариантное волновое уравнение и оператор □

Выяснив закон преобразования всех составных частей тензора кривизны при конформных отображениях, мы можем перейти к исследованию конформной инвариантности уравнений, содержащих вторые и высшие производные. Формулы преобразования кривизны необходимы, поскольку в такие уравнения часто приходится вводить «поправочные слагаемые», содержащие кривизну, чтобы обеспечить конформную инвариантность. Простейший пример такой ситуации дает волновое уравнение, которое в плоском пространстве записывается в виде □ ^ = 0. В такой записи оно не будет конформно-инвариантным (если только конформная метрика вновь не будет плоской или конформное отображение не отвечает переходу от одного пространства с нулевым скаляром Риччи к другому). Чтобы добиться конформной инвариантности, это простое уравнение нужно модифицировать следующим образом:

(□+4-7?) ф = 0, т. е. (П+4Л)^ = 0, (6.8.30) причем закон преобразования поля ф, как и в случае безмассо- вых полей с положительным спином1), мы выбираем в виде

^=Q-‘^. (6.8.31)

Инвариантность уравнения (6.8.30) следует прямо из соотношения (6.8.25). Действительно, если поле ф преобразуется по закону (6.8.31), а в остальном произвольно, то мы имеем

(□ + 4Л)^= Q-3(D +4Л)^. (6.8.32)

Отметим, что равенство (6.8.25) можно рассматривать как частный случай равенства (6.8.32), когда ^ = йи ^=Q~'Q = 1:

(□ + 4Л)1 = Q~3(D +4Л)^.

Уравнение (6.8.30) представляет собой естественное обобщение уравнения (4.12.42) для безмассовых полей с положительным спином на поля со спином, равным нулю. Поскольку поле ф не несет индексов, точный аналог уравнения (4.12.42) сконструировать нельзя. Но полефдд удовлетворяет уравнению второго порядка, которое является следствием полевого уравнения (4.12.42) и может быть обобщено на случай спина, равного нулю. В плоском пространстве-времени выполняется соотношение

VAA^' = TeABD,(6.8.33)

так как из коммутативности производных следует кососимметричность по индексам А, В [формула (2.5.24)]. Аналогичное соотношение в искривленном пространстве-времени (или в присутствии электромагнитного взаимодействия) имеет вид

’^“т'л.п + о^,<6-834)

гдеОдв—оператор, определенный в формуле (4.9.2). В применении к уравнению (4.12.42) это равенство в случае безмас- сового поля с зарядом е и спином га/2 дает

О = ^АА^МА ФмВ ...L = ~2 6АМ □ ФмВ ... L “Ь □ АМ^МВ ... L =

= у Оф АВ ... L + ^AM^^NB L ^АМВМФмКС...к^А^С^ФмВК ...L• 1 ■^АМФмВ ...'L*

где мы использовали соотношения (4.9.13) и (5.1.44). С учетом равенств (4.6.19) и (4.6.34) находим

(п + 2 (га + 2) Л) фдв... L = 2 (п - 1) ЧГ1АВММФС... L) MN +

+ ^аМФмв...в-(6.8.35)

Это уравнение допускает переход к «пределу при п->-0» только при условии, что обе величины Ч^всд и ефлв равны нулю. Отметим, что и в случае (достаточно большого) положительного спина дополнительно должно выполняться условие совместности (5.8.2), если только указанные величины не обращаются в нуль. Таким образом, в любом случае уравнение (4.12.42) для поля с произвольным спином имеет самостоятельный интерес только

в конформно-плоском пространстве и в отсутствие электромагнитного взаимодействия. В этом случае его предельная форма при л = О действительно совпадает с уравнением (6.8.30), как следует из соотношения (6.8.35). Разумеется, появления «поправочного слагаемого» 4Л в этом пределе можно было ожидать заранее, поскольку оно необходимо для обеспечения конформной инвариантности.

Можно также отметить, что для решений уравнения (6.8.30) существует сохраняющийся тензор энергии-импульса

Таь = -g- к {2 Vа^а'Ф^в') вф — Ф^а^а'^в^вФ + Ф2Фава'в-^ =

= -^к^аф^ьф - ёаЬ^=ф№ф - ^а^ьф 4

+ Wgab - Ф^аь}(6.8.36)

(А = const), который симметричен, имеет нулевую дивергенцию, а также след, равный нулю [220, 38]. Его обычно называют улучшенным тензором энергии-импульса. Дивергенция канонического тензора энергии-импульса

Т'аь = ^^АВ,ф^ВА,ф = ^к ^аф^ьф-ёа^сф^ (6.8.37) обращается в нуль на решениях (не являющегося конформноинвариантным) уравнения П^ = 0, но след его не равен нулю. Однако тензор Т'ь обладает важным свойством знакоопределенности: T'ablanb "^0 (в случае изотропных, ориентированных в будущее векторов 1°, па^, которое не выполняется для ТаЬ. В плоском пространстве разность ТаЬ — Т'аЬ есть полная дивергенция Vе {(1/3) кф§ауьХс?1Л, которая не дает вклада в полный тензор энергии-импульса. Тензоры энергии-импульса (с нулевым следом) для безмассовых полей со спином 1/2 и 1 были приведены в формулах (5.8.3) и (5.2.4). Для безмассовых полей с большими спинами не существует (локальных) тензоров энергии-импульса. Отметим мимоходом два частных случая уравнения (6.8.35). Для максвелловского поля в искривленном пространстве-времени без зарядов имеем уравнение

Флв = ^Wabcd^0 - ^АВ,(6.8.38)

которое полезно сравнить с уравнением

Fab = RabcdFcd(6.8.39)

(см. [84, § 74]; множитель 2 в записи этого уравнения в книге Эддингтона — ошибка).

Для гравитационного поля имеем

W двое = бЧ^дв^'Рсо) дг — 2XWabcd (6.8.40)

в пустом пространстве с космологической постоянной X [формулы (4.10.9) и (4.10.10)]. Если тождества Бианки содержат ненулевую правую часть [формула (4.10.12)], то уравнение (6.8.40) модифицируется следующим образом:

□ Wabcd = G^iab^coef — (2Х + 4nGT/) ^abcd —

-8лС¥^СО)Л,й,,(6.8.41)

где использовано второе соотношение (4.6.32). Рассматривая последние два слагаемых в правой части как «источники», мы интерпретируем первое слагаемое как «поправочное» к гравитационному волновому уравнению. Равенство его нулю является необходимым и достаточным условием того, что спинор Фавсд изотропный (т. е. все его главные изотропные направления совпадают) . Мы докажем это в гл. 8, § 6. Отметим, что существуют точные вакуумные изотропные решения волнового типа, которые вполне аналогичны решениям соответствующих линейных уравнений, хотя для неизотропных решений эта аналогия не столь очевидна [296, 172, 316, 317].

Конформно-инвариантный тензор Баха

Еще один интересный пример конформно-инвариантной величины— тензор Баха [16, 305, 170].

ВаЬ = 2 (V$,V” + ф^ Wabcq^щ

(здесь дана его запись в виде, предложенном в работах [68, 69]). Этот тензор обладает свойствами

Ваь = Вьа, Ваь = Bab, V°Bab = 0(6.8.43)

и при конформных преобразованиях ведет себя следующим образом:

ВаЬ = ВаЬ.(6.8.44)

Тензорные представления величины ВаЬ таковы:

В„ь = ^dCaCbd ~ ^ RcdCaCbd = 2VcV[aPc] b + PcdGacbd. (6.8.45)

§ 9. Локальные твисторы

До сих пор мы рассматривали теорию твисторов главным образом в плоском пространстве-времени. Отчасти это обусловлено тем, что условие совместности (6.1.6) для твисторного уравнения (6.1.1) приводит к ограничению Чглвсд = 0, а отчасти — тем, что даже в случае конформно-плоского пространства-времени (т. е. когда условие 'Vabcd = 0 действительно выполняется')

часто оказывается удобным перейти к плоскому пространству- времени и выражать твисторы через радиус-вектор ха точки в М относительно фиксированного начала отсчета О. Формализм локальных твисторов, который мы рассмотрим в этом параграфе, позволяет распространить понятие твистора на общий случай произвольного искривленного пространства-времени Ж. В частном же случае, когда Ж — конформно-плоское пространство- время, этот новый формализм дает возможность проводить вычисления с нашими исходными твисторами( которые в данном параграфе мы будем называть «глобальными» твисторами), не переходя к плоской метрике. В качестве приложения теории локальных твисторов мы покажем, что равенство нулю спинора ЧГдвса есть условие, необходимое и достаточное для того, чтобы пространство-время было кусочно-конформным пространству М.

Комплексное пространство-время .

В большей части данного параграфа и даже в большей части всей книги речь идет об обычном действительном пространстве- времени. Однако современная теория твисторов обычно строится на фоне комплексного пространства-времени, а потому мы здесь скажем об этом несколько слов. Как отмечалось выше (см. примечания на с. 81), комплексифицированное пространство-время получается из «обычного» действительного пространства-времени (которое параметризуется действительными аналитическими координатами ха и допускает действительную аналитическую метрику с лоренцевой сигнатурой Н), когда допускаются

комплексные значения координат, а метрические коэффициенты продолжаются в комплексную область как голоморфные функции. При этом исходное действительное пространство-время становится неким выделенным подпространством. Комплексное же пространство-время есть комплексно-четырехмерное комплекснориманово многообразие общего вида, в котором нельзя однозначно выделить действительно-четырехмерного подпространства, допускающего действительную структуру. (В общем случае такое подпространство даже не существует [375].) В комплекси- фицированном пространстве-времени определена операция комплексного сопряжения, сопоставляющая каждой точке с (комплексными) координатами ха точку с координатами ха (и аналогично для тензоров). Это отображение есть инвариант действительных аналитических преобразований координат в исходном действительном пространстве. (Разумеется, оно не будет инвариантом общих голоморфных преобразований координат в комплексном пространстве, и по этой причине комплексное сопряжение в нем не определено.) Инвариантами комплексного сопряжения будут действительные точки исходного пространства

(и действительные тензоры, заданные в этих точках); эта инвариантность может служить критерием «действительности». Отметим, что не существует критерия действительности тензоров (или понятия пары комплексно-сопряженных тензоров), заданных в комплексных точках даже в комплексифицированном пространстве, поскольку сопряженный тензор оказывается перенесенным в комплексно-сопряженную точку. (Только в плоских комплексифицированных пространствах можно дать довольно искусственное определение дальнего параллелизма, позволяющего переносить тензоры в одну и ту же точку.)

Повторяя рассуждения, проводившиеся при построении спинорного формализма, мы можем сформулировать следующее правило перехода к комплексному пространству-времени1) в формулах, содержащих спиноры: все алгебраические операции (кроме комплексного сопряжения) и операции дифференцирования остаются неизменными, действительные величины заменяются комплексными, если же наряду с комплексной величиной Л фигурирует комплексно-сопряженная величина Л, то следует обе заменить двумя независимыми комплексными величинами, скажем Л и Л. Например, в формулу (1.2.19) входит комплексная координата ^=(Х+[У)/(Г—Z), определенная на световом конусе, и аналогично координата £ = (Х— iY) /(Г -Z). Но если Т, X, У, Z принимают комплексные значения, оба этих выражения приводят к двум независимым величинам ^ и ^. Неголоморфные (но действительно-аналитические) функции переменной £, такие, как (1 + ^)2, превращаются при комплексифи- кации в голоморфные функции двух комплексных переменных t„ £—в данном случае (1 +££)2. Двукратное комплексное сопряжение, разумеется,_сводится к тождественному отображению, так что величина Л отождествляется с исходной величиной X.

Пространства ®л и @л' становятся независимыми, и пара спиноров £л, |л' — каждым из которых ранее определялся другой— заменяется парой независимых спиноров £л, £л'. Изотропный (ориентированный в будущее) вектор £л|л'общего вида при комплексификации переходит в комплексный изотропный вектор £л£л'общего вида [формула (3.2.6)]. Величины У, которые первоначально были действительными, при комплексификации не дают новых величин У, поскольку равенство У = У переходит в У = V. Таким образом, например, действительный оператор ковариантной производной Va не переходит в новый оператор Va, но приобретает смысл комплексного голоморфного оператора. Величины х¥двсо> ^abc'd'. А, описывающие комплексную

*) Подробнее см. в работах [91, 92], а также [192].

кривизну, должны дополняться величинами вида ^a'b'c'ds ^cda'bS А, но в силу исходных условий действительности (4.6.4) и (4.6.17) последние две из них не приводят к появлению новых величин, так как

Фдвс'п' = Фдвс'п', Л = Л.(6.9.1)

В то же время ЧгА'в'с'о' есть новая характеристика кривизны, независимая от

Оказывается, что может существовать комплексное пространство-время, для которого "Фд'в'с'о' = 0> но ^Vabcd^O- Его называют правым конформно-плоским (или конформно-антисамо- дуальным) пространством, а если обращается в нуль только Yabcd, то пространство называют левым • конформно-плоским (или конформно-самодуальным). Если дополнительно Фдвс'о'=0 и Л = 0, то такие пространства называют соответственно правоплоским (или антисамодуальным) и левоплоским (или само- дуальным). Замечательно, что такие пространства возникают естественным образом («^-пространства Ньюмена [216, 163, 122]) при изучении действительных асимптотически плоских многообразий пространства-времени. (Мы весьма кратко рассматриваем их в гл. 9, см. с. 460 и далее.) Отметим, что в случае комплексного пространства-времени общего вида ГИН спиноров ^двсо и a'b'c'd' независимы и схема совпадений ГИН спинора Wabcd может совершенно отличаться от соответствующей схемы для ^a'b'c'd'- Таким образом, в каждой точке мы имеем две независимые схемы классификации, аналогичные той, которая будет рассматриваться в гл. 8 для спинора ^Удвсо1).

Условие совместности для твисторного уравнения

Хотя мы будем излагать теорию локальных твисторов применительно к действительному лоренцеву пространству-времени,

*) В действительном (псевдо-)римановом 4-пространстве с сигнатурой (++ + +), (+4) или () определен иной тип операции ком

плексного сопряжения на спинорах, переводящей модули 0х и ©Л' в них самих независимо друг от друга. [В частности, в случаях знакоопределенной сигнатуры (+ + + +) и (), которые по существу эквивалентны,

модуль вЛ не содержит действительных ненулевых элементов, т. е. при комплексном сопряжении переходящих в себя, тогда как в пространстве с сигнатурой (+ -I) такие действительные элементы существуют.] Таким образом, классификационные схемы для спиноров 'V ДВсп и ^ Д'В'с'п' СТРОЯТ" ся независимо, но условия действительности налагают на каждую из них определенные ограничения. В частности, существуют нетривиальные правоплоские и левоплоские решения уравнений Эйнштейна для всех упомянутых сигнатур; некоторые из них носят название гравитационных инстантонов [124, 106, 131, 132, 13].

каждый этап построения теории допускает переход к комплексному пространству-времени, выполняемый по правилам, сформулированным в предыдущем разделе. При этом, однако, следует помнить о некоторых особенностях такого перехода. Например, условие «Фа вс о = 0», при котором пространство является конформно-плоским, в контексте комплексного пространства-времени следует понимать как <4?abcd = 0 и ^д'в’с'п' = 0». В этой связи сделаем одно замечание. Как мы видели, из условия совместности (6.1.6) для твисторного уравнения (6.1.1) следует, что это уравнение имеет несколько (более одного) линейно независимых решений, если 'Vabcd = 0. Казалось бы, что отсюда можно сделать вывод о существовании полного семейства решений в левом конформно-плоском пространстве-времени, для которого это условие выполняется автоматически. Действительно, это верно в случае безмассовых полевых уравнений (4.12.42), для которых условия (5.8.2) Бухдала — Плебаньского выполняются, если ^abcd = 0, но ^д'в'с'п’ ^ 0, и в этом случае локально существует широкое семейство решений для полей с произвольно большим числом нештрихованных индексов как в левом конформно-плоском, так и в плоском (комплексном) пространстве- времени. (Аналогичный результат, разумеется, справедлив и в случае полей со штрихованными индексами в правых конформно-плоских пространствах.) Однако твисторное уравнение приводит к более жестким ограничениям, чем уравнения для безмассовых полей (это явствует уже из того, что даже в плоском пространстве-времени данное уравнение допускает только конечномерное пространство решений). Заметим, что, как следствие из второго уравнения (4.9.8), часть спинора

^а^в^с^о, (6.9.2)

кососимметричная по индексам В, С, равна нулю, если Фдвс'о'^О; таким образом, если выполняется твисторное уравнение (6.1.1), то выражение (6.9.2) обращается в нуль, будучи кососимметричным по индексам С, D. Стало быть, для решений твисторного уравнения в левоплоском комплексном пространстве-времени в силу формулы (4.9.14) имеем

0 = Va <A'VyV^toD = ^a'b-c'ixVcdV. (6.9.3)

Отсюда следует, как и в случае уравнения (6.1.6), что твисторное уравнение допускает только ограниченное семейство решений, если спинор "Фд'в'с'о' не равен нулю. Фактически же всякое левоплоское комплексное пространство-время всегда допускает (локально) два линейно-независимых решения уравнения

(6.9.4)(6.9.4)Vo<ds = 0.

(6.9.4)

(6.9.4)

В самом деле, в силу соотношения (4.9.7) коммутаторы производных дают нуль при действии на нештрихованный спинор: (VaVb — VbVa')®c = 0. Таким образом, можно фиксировать произвольное значение спинора ©в в точке, а затем с помощью параллельного переноса непротиворечиво продолжить эту величину на всю окрестность выбранной точки. В общем случае не существует других решений уравнения (6.9.3), а следовательно, и твисторного уравнения в левоплоском пространстве. (Дще одно линейно-независимое решение существует в том случае, когда спинор ^д'в'с'о' изотропен и принимает постоянные значения.) На этом мы завершаем отступление, посвященное комплексному пространству-времени, и возвращаемся к теории локальных тви- сторов.

Определение локального твистора

Существенное различие между локальными и глобальными твисторами состоит в том, что глобальный твистор определен сразу во всем пространстве-времени Ж (как решение твисторного уравнения) и зависимость от точек Ж здесь несущественна, в то время как локальный твистор определен только как функция точек пространства ^. В каждой точке пространства-времени Ж определено локальное комплексно-четырехмерное тви- сторное пространство, причем твисторные пространства в разных точках полностью независимы, если не считать требований непрерывности и дифференцируемости. Таким образом, пространство локальных твисторов есть (комплексно-четырехмерное) векторное расслоение над пространством-временем ^, а не просто комплексно-четырехмерное векторное пространство. (Можно также рассматривать поля локальных твисторов как сечения этого расслоения, определенные стандартным способом.) Следовательно, на основе локальных твисторов нельзя построить формализм для некоего альтернативного описания физических явлений, в котором понятие точки пространства-времени не рассматривалось бы как фундаментальное, что было одной из главных целей при построении теории глобальных твисторов. (Для этих целей могут оказаться пригодными асимптотические тви- сторы в искривленном пространстве-времени, которые мы кратко рассмотрим в конце гл. 9, § 8. Определение асимптотического твистора опирается на понятие локального твистора. См. также определение твисторных 2-поверхностей в гл. 9, § 9.) Однако формализм локальных твисторов дает нам исчисление, удобное для анализа конформной геометрии произвольного многообразия пространства-времени Ж. Необходимые для этого понятия в принципе были введены в работах Картава [43, 44]; см. также [349, 265].)

Пусть точка Р принадлежит пространству Ж с метрическим тензором gab- Локальный твистор Z" в точке Р есть пара (<ол, лЛ') спиноров в точке Р (мы подчеркиваем, что это именно спиноры, взятые в фиксированной точке, а не спинорные поля). Мы требуем, чтобы при конформных преобразованиях gab*—* ‘—*^ab = Q?gab компоненты новой пары (Дл, лЛ') выражались через компоненты исходной пары по формулам (6.1.75), и пишем

Дополнительно потребуем, чтобы формулы перехода имели вид

<ол = шл,лЛ' = лЛ' + t Y лл<ол.(6.9.6)

Таким образом, спинор <ол характеризуется определенным конформным весом (равным нулю), а величина лл- преобразуется по более сложному закону. Если считать, что для заданного твистора Z“ пара <ол и лл^—это не просто спиноры, вычисленные в фиксированной точке, но величины, которые обладают функциональной зависимостью от метрики g, то мы можем опустить символы g и g над знаком равенства в формуле (6.9.5) и писать, как обычно,

2“ = (иЛ, лл^.(6.9.7)

Пространство всех локальных твисторов есть векторное расслоение, образуемое совокупностью твисторов Z“, взятых во всех точках Р. Слой над точкой Р есть комплексно-четырехмерное векторное пространство — пространство локальных твисторов в точке Р.

- Перенос локального твистора

Далее мы определим процедуру, позволяющую сравнивать локальные твисторы в разных точках [т. е. построим связность в расслоении, см. формулы (5.4.17) — (5.4.19)]. При этом мы будем исходить из двух требований. Во-первых, мы хотим сохранить соответствие с теорией глобальных твисторов. Это поможет нам определить процедуру параллельного переноса, которую будем называть переносом локального твистора. Для всякой гладкой кривой т в Ж, соединяющей точки Р и Q, локальному твистору Z“ в точке Р сопоставим определенный локальный твистор в точке Q. Это соответствие не зависит от пути только в случае конформно-плоского пространства-времени. Именно в этом случае мы потребуем соответствия с понятием глобального твистора; локальный твистор, который в указанном смысле пе-

реносится «параллельно» во все точки, должен совпадать с глобальным твистором. Во-вторых, мы потребуем инвариантности относительно конформных преобразований. Отметим, что параллельный перенос твистора Z“, понимаемый как параллельный перенос его спинорных компонент, не удовлетворяет указанным выше требованиям.'

Вначале еще раз проанализируем понятие глобального твистора, введенное в § 1, с точки зрения теории локальных тви- сторов. Глобальный твистор Z“ в конформно-плоском пространстве-времени отождествляется со спинорным полем <ол, удовлетворяющим твисторному уравнению

V^<oB> = 0.(6.9.8)

Определим спинор лл- с помощью соотношения

лЛ' = -у1Тллчол,(6.9.9)

которое в совокупности с уравнением (6.9.8) эквивалентно соотношению (6.1.9). Из (6.8.11) немедленно находим, что

о = i V ВВ^А' ®АР АВА'В'

[где Раь — величина, определяемая формулой (6.8.12)]. Таким образом, глобальный твистор представляется парой (<ол, лЛ') полей, удовлетворяющих уравнениям

VадАЙ® -4- 18д®Лд' = О,

О В — Л(6.9.10)

^АА'^В' + 1Р АВА'В^ 0 •

[В частном случае плоского пространства-времени эти уравнения сводятся к соотношению (6.1.9).]

Воспользуемся системой (6.9.10) для определения понятия параллельного переноса локальных твисторов в произвольном пространстве-времени Ж. Будем называть локальный твистор Z“ (®л, лЛ') постоянным на Ж (и совпадающим с глобальным твистором), если выполняются уравнения (6.9.10). В произвольном пространстве-времени в общем случае не существует нетривиальных локальных твисторов, удовлетворяющих уравнениям (6.9.10) во всех точках Ж. Но, сворачивая (6.9.10) с вектором ta, мы получаем более слабые равенства

taNa<B® + U®A'uA- = 0,

<6-91i>

которые выражают свойство постоянства твистора Z“ в направлении ta. Пусть в Ж задана кривая т с касательным вектором ta. Тогда твистор Za называется постоянным вдоль кривой т (т. е. на т задан перенос локального твистора), если уравнения

(6.9.11) выполняются в каждой точке кривой т. Ясно, что, выбрав (произвольно) начальные значения спиноров пары (®л, Лд')> с помощью уравнений переноса (6.9.11) мы можем однозначно определить твистор Z“ в каждой точке кривой т. (При этом предполагается, что кривая т не имеет самопересечений и вектор ta всюду отличен от нуля.)

От определения локального твистора, постоянного вдоль кривой, естественно перейти к понятию вариации твистора Z“ вдоль кривой т. Вводя для этой величины обозначение VZ“, мы определяем

VZ“ = ^b<»A + itAB'uB-, tbNbuA. + itBB'PABA.B-«>AY (6.9.12) t

Далее, используя формулу (6.8.14), непосредственно убеждаемся, что VZ™ удовлетворяет закону преобразования (6.9.5), t

(6.9.6), если ему удовлетворяет твистор Z“- Таким образом, величина VZ“ будет локальным твистором *) в каждой точке кри- t

вой т. По существу это можно рассматривать как свойство конформной инвариантности оператора V в указанном смысле. По- t

скольку определения (6.9.11) и (6.9.12) относятся к произвольному пространству-времени, как следствие такой инвариантности оператора V мы получаем конформную инвариантность пере- t

носа локального твистора. Постоянный локальный твистор, определенный на всем многообразии Ж (т. е. глобальный твистор), должен удовлетворять уравнению VZ“ = 0 в каждой точке мно

гообразия Ж для произвольного вектора t.

До сих пор мы рассматривали только локальные твисторы типа [*]. Обобщение на случай [£]-локальных твисторов осуществляется по стандартному образцу. Наряду с локальными твисторами в фиксированной точке многообразия Ж можно рассматривать поля локальных твисторов на Ж. В первом случае [*]-локальные твисторы образуют четырехмерное векторное пространство над С, а во втором — вполне рефлексивный четырехмерный модуль над комплексными скалярными полями ©. Определение умножения твистора на число AZ“ и сум-

9 Локальные твисторы со связностью V при определенных условиях можно трактовать как определяющие разновидность теории Янга — Миллса [205] (кривизна определяется тензором Баха).

мы твисторов Ха + Za очевидно. Система абстрактных индексов и общая схема построения величин произвольной валентности, приведенная в гл. 2, применимы и в этом случае; разложение величин на спинорные части (и соответствующие обозначения) выполняются по той же схеме, что и в случае глобальных твисторов (см. § 1). Так же как для глобальных твисторов, определена операция комплексного сопряжения, которая переводит [^]-твистор в [р]-твистор. Продемонстрируем это в частном случае р = 1, q = 0 и проанализируем связь этой операции с понятием переноса локального твистора. Если твистор Z“ выбран в соответствии с условиями (6.9.5), имеем Za = (nA, <йл') по аналогии с (6.1.31), так что, заменяя метрику gab на gab = = tt2gab, получаем новое представление Za = (лл — iTAA'toA', <ол'). Таким образом, из представления

Wa = (^, цл')

[“]-локальных твисторов в метрике gob находим представление в метрике gab

Wa = (^, цл'), где

Ха = Ьд -= ил\(6.9.13)

Отсюда находим, что, например, спинорные части [}]-локаль- ного твистора Qap преобразуются по закону

( аАв адвЛ =

\QrB QA-J

(Qab - iTAA,QA'B ол^ - ixAA,QA'B. + ixBB-aAB + xaa,xbb.qa'b \ I QA'BQA'B--HXBB,QA'B)

и аналогично для твисторов с другим набором индексов.

Из выражения, комплексно-сопряженного выражению

следует, что

VWa = (?¥&ЛЛ - itBB'PABA-B'V.A', tb^b^A' - UBA'XB\ (6.9.14) t

Так же как в случае [ц]-твисторов, находим, что оператор V должен быть конформно-инвариантным в том смысле, что величина VWa удовлетворяет правильному закону преобразования t

локального твистора при конформных отображениях, если этому закону удовлетворяет сам твистор Wa. Более того, инвариантом конформного преобразования будет скалярное произведение WaZa := Ха<йа + цл'лЛ' [что явствует из сходства

формул (6.9.6) и (6.9.13) с аналогичными выражениями (6.1.75) и (6.1.76) для глобального твистора], и это произведение удовлетворяет соотношению

v(WaZ“) = WaVZ“ + Z“VWa> (6.9.15) t t t

в чем легко убедиться, используя формулы (6.9.12) и (6.9.14). Левая часть этого равенства имеет смысл обычной производной по направлению (V = /aVa) от скаляра [формула (4.3.31)]. Од- t

ним из следствий соотношения (6.9.15) является то, что спиральность (1/2) Z“Za локального твистора не изменяется при параллельном переносе. И в частности, изотропный твистор остается изотропным. Это свойство имеет аналог в римановой геометрии: норма и скалярное произведение векторов остаются неизменными при параллельном переносе. В теории твисторов роль, аналогичную римановой метрике, играет операция комплексного сопряжения: перенос локального твистора коммутирует с комплексным сопряжением твистора.

Определение оператора V распространяется на локальные t

твисторы произвольной валентности с учетом обычных требований аддитивности и выполнения правила Лейбница. Проиллюстрируем общую схему частным примером:

vQ? = vttvQ? = vttГ ^аВ Gas'\ Ол в qa'b,Г ^аВ Gas'\ Ол в qa'b,

vQ? = vtt

vQ? = vtt

Г ^аВ Gas'\ Ол в qa'b,

Г ^аВ Gas'\ Ол в qa'b,

(VcaAB+ieGBOiAc—iPaAA'B I VCQ^'B +WC- 1ес,А'асв(VcaAB+ieGBOiAc—iPaAA'B I VCQ^'B +WC- 1ес,А'асвVcQAB' “Ь iPbc^-^ ^■Pac^AB''\(6.9.16)VcQAB' “Ь iPbc^-^ ^■Pac^AB''\(6.9.16)

(VcaAB+ieGBOiAc—iPaAA'B I VCQ^'B +WC- 1ес,А'асв

(VcaAB+ieGBOiAc—iPaAA'B I VCQ^'B +WC- 1ес,А'асв

VcQAB' “Ь iPbc^-^ ^■Pac^AB''\

(6.9.16)

VcQAB' “Ь iPbc^-^ ^■Pac^AB''\

(6.9.16)

Кривизна в пространстве локальных твисторов

Как мы уже упоминали, процедура переноса локального твистора не предполагается «интегрируемой» (т. е. не зависящей от пути) в произвольном искривленном пространстве-времени. Количественную меру неинтегрируемости можно установить, рассматривая результат обхода малой петли, натянутой на векторы t, и (рис. 6.9). Если t и и — векторные поля, то мерой «невязки», возникающей при попытке построить малый четырехугольник из близлежащих векторов этих векторных полей, будет скобка Ли. Если четырехугольник не замыкается1), т. е. скобка Ли [f, и] отлична от нуля, то в результате получается бесконечно малый пятиугольник. Вариация геометрического объекта при парал-

’) Если векторы и и t на диаграмме имеют порядок 0(e), то рассогласование будет порядка 0(е2), поскольку скобка Ли билинейна по t и и. «Замыкание» означает, что рассогласование — порядка 0(е3).

ttРис. 6.9. Скобка Ли [и, и] является мерой «невязки» малого четырехугольника, построенного из близлежащих векторов полей мир.Рис. 6.9. Скобка Ли [и, и] является мерой «невязки» малого четырехугольника, построенного из близлежащих векторов полей мир.

t

t

Рис. 6.9. Скобка Ли [и, и] является мерой «невязки» малого четырехугольника, построенного из близлежащих векторов полей мир.

Рис. 6.9. Скобка Ли [и, и] является мерой «невязки» малого четырехугольника, построенного из близлежащих векторов полей мир.

лельном переносе по пятиугольнику вычисляется как результат действия оператора VV — VV — V [74], который служит для t a at [f, к]

определения кривизны. Мы уже рассматривали [формула (4.3.33)] соответствующее выражение для обычного параллельного переноса. Здесь же мы введем локальную твисторную кривизну Ка₽(Л «) с помощью соотношения

i (VV — VV — V ) ZP = Z“KaP (t, u) (6.9.17) t a и t [<«]

и после вычислений найдем1) / itpuqp , ДР- в

к.'»,

(6.9.18)(6.9.18)tpu4 (epqVa Wb'p'Q'a' + ep'Q'^B'Wapqb)

(6.9.18)

(6.9.18)

— itpu4e,pQ¥p'q,a b'

Множитель l в формуле (6.9.17) вводится для того, чтобы вели

чина Кае была эрмитовой [как и тензор F.„ в формуле (5.5.30)].

Кривизна Кае будет, разумеется, билинейной функцией полей и и t, но можно ввести величину Кр?ар, не зависящую от и и t:

(6.9.19)

Аналогично, учитывая линейную зависимость оператора V от t, можно ввести оператор ковариантной производной VP, действующий в пространстве локальных твисторов, положив

tpVD = V(6.9.20)

t

*) В это выражение входят как Т , так и Т... . Стало быть, в комплексном пространстве-времени локальная твисторная кривизна будет определяться обеими величинами Т , и Т..., что следует уже из формул (6.1.6) и (6.9.3),'"

при произвольном t [что дает нам связность в расслоении, как и в случае соотношений (5.4.17) — (5.4.19)]. Тогда определение кривизны (6.9.17) можно переписать в виде

^p^q - ZV^Vp) Ze = KP??Z“(6.9.21)

[что будет частным случаем соотношения (5.4.23)].

Такой подход, пожалуй, ближе к построениям, рассмотренным в гл. 4, § 2 и гл. 5, § 4, 5, и мы можем сконструировать высшие производные кривизны вида

Vp - -. VrKs(aP.(6.9.22)

Однако подобные величины не будут комфорно-инвариантными, так как результат действия оператора Va на величину с тензорными индексами, вообще говоря, не является конформным инвариантом. Можно получить конформно-инвариантные производные, если воспользоваться методом Дайтона [69] (см. также [264]), в котором тензорные и спинорные индексы исключаются за счет перехода к локальному твисторному представлению. При этом каждый (нижний) штрихованный [нештрихованный] индекс будет появляться в виде верхнего [нижнего] твисторного индекса. Этого можно добиться с помощью (второго) отображения [например, л у ь—> (0, лл,)] каждой из следующих конформноинвариантных точных последовательностей:

О -* ^а' И -* Ta [Р] -> ®л [Р] -> О,

О -» ®л [Р] -> Т« [Р] -*®л' [Р] -* О, где через [Р] обозначено локальное пространство в точке Р е ,< (см. с. 14; ср. с с. 114). Таким способом оператор ^ АВ- превращается в конформно-инвариантный оператор Va₽, хотя наличие (постоянного) кручения и приводит к некоторым усложнениям. Конформно-инвариантные спиноры можно получить (с помощью третьего отображения), отбирая главные части твистора, или вторичные, если главные равны нулю, или третичные, если равны нулю главные и вторичные, и т. д. Подобная процедура будет эффективной только в том случае, когда на твисторные индексы наложены определенные требования симметрии. Таким методом Дайтон [68, 69] получил тензор Баха (6.8.42) и другие конформно-инвариантные объекты (относительно альтернативного метода см. работу [78]).

Нулевая кривизна Вейля как свойство конформно-плоскогопространства

Локальная твисторная кривизна (6.9.18) содержит кривизну Вейля и ее (свернутые) производные. Если пространство Л конформно-плоское, то эти величины должны быть равны нулю.

Действительно, в плоском пространстве-времени мы имеем ^Vabcd = 0, и, будучи конформным инвариантом [формула (6.8.4)], спинор ^abcd должен также быть равен нулю в конформно-плоском пространстве-времени. Следовательно, (это, во всяком случае, явствует из конформной инвариантности процедуры переноса локального твистора), локальная твисторная кривизна тоже должна быть равна нулю во всяком конформноплоском пространстве-времени. Здесь мы хотим доказать обратное утверждение.

Теорема

Если во всем пространстве-времени Л выполняется равенство ^abcd = 0, то каждая точка многообразия Л имеет окрестность °Lt, в которой можно выбрать ') конформный множитель, переводящий метрику окрестности °И в метрику некой области пространства Минковского. Будем называть такое пространство-время Л «кусочноконформным» пространству Минковского.(6.9.23)

Доказательство. Допустим, что равенство ^bcd = 0 выполняется во всем пространстве Л- Такая локальная твисторная кривизна равна нулю в каждой точке пространства Л. Пусть О — точка в пространстве Л", выберем окрестность У точки О так, чтобы она была односвязной и допускала спинорную структуру (гл. 1, § 5). Тогда любые две кривые в окрестности У, соединяющие точку О с некоторой фиксированной точкой Р, могут быть непрерывно деформированы друг в друга. Пусть Z“— локальный твистор в точке О. Для всякой гладкой кривой т (в окрестности У3), соединяющей точки О и Р, можно определить соответствующий локальный твистор в точке Р с помощью параллельного переноса локального твистора Z“ из О в Р вдоль т. Пусть теперь эта кривая деформируется непрерывно на У так, что ее концевые точки О и Р остаются неподвижными. Вспоминая определение твисторной кривизны, основанное на параллельном переносе локального твистора по замкнутому контуру, из того, что кривизна равна нулю, заключаем, что результат переноса локального твистора Z™ из О в Р вдоль т не изменяется, если т деформируется непрерывно (рис. 6.10). (Можно предложить и более строгое доказательство, но основная идея уже ясна.) Ввиду односвязности области У результат параллельного переноса Z™ из О в Р не зависит от выбора пути на Т. Изменяя положение точки Р на Т, мы получаем поле локальных твисто- ров Z“ на У, которое удовлетворяет системе (6.9.11) в каждой точке для всех векторов ta. Таким образом, справедлива также

*) Не обязательно должен существовать конформный множитель, переводящий метрику в плоскую сразу во всем пространстве Л.

Рис. 6.10. Равенство нулю локальной твисторной кривизны означает, что результат переноса локального твистора Z“ вдоль кривой т из точки О в точку Р не изменяется при непрерывной деформации кривой т.

система уравнений (6.9.10), и мы получаем глобальный твистор Z".

Результат не изменится, какой бы локальный твистор в точке О мы ни взяли. Таким образом, пространство локальных тви- сторов в точке О находится во взаимно-однозначном соответствии с пространством глобальных твисторов на У. Всякой парой спиноров (<ол, лЛ') в точке О определяется глобальный твистор на Т, и наоборот. Если компонента от4 глобального твистора Za равна нулю в точке Р, принадлежащей области Т, то мы говорим, что твистор Z“ инцидентен точке Р. Поскольку соответствующий локальный твистор в точке Р будет изотропным и это свойство сохраняется при параллельном переносе локального твистора, твистор Z“ будет также изотропным и в точке О. Если Х“— другой глобальный твистор, инцидентный точке Р, то, очевидно, выполняется равенство X“Za=0 в точке Р. Вновь вспоминая, что условие ортогональности инвариантно при параллельном переносе локальных твисторов [формула (6.9.15)], мы заключаем, что X“Za = 0 в точке О. Таким образом, совокупность всех глобальных твисторов, инцидентных точке Р, может быть представлена в точке О как комплексно-двумерное пространство локальных твисторов в точке О, которые изотропны и взаимно ортогональны.

Касательное пространство в точке О можно отождествить с пространством Минковского М, а пары спиноров (<ол, лЛ') в точке О рассматривать как обычные твисторы пространства М. Описанное выше комплексно-двумерное пространство локальных твисторов в точке О, изображающее точку Р многообразия У, есть в точности пространство, образуемое всеми тви- сторами в М, инцидентными некоторой точке РеМ, причем точка р может оказаться бесконечно удаленной в М. Такой исключительный случай можно не рассматривать, если выбрать окрестность °lt сд У точки О достаточно малой, так чтобы каж-

о о

дой точке Р в °lt отвечала конечная точка Р6М. Более того, мы выбираем окрестность °Ц настолько малой, чтобы различные точки в °11 имели разные образы в М. В этом случае мы получаем взаимно-однозначное и непрерывное отображение окрестности °Ц на конечную область пространства М. Кроме того, данное отображение будет конформным. Чтобы показать это, рассмотрим глобальный твистор Z“, инцидентный точке Р, со спинорными компонентами в точке Р, имеющими вид (0, лЛ'). Выберем в качестве т изотропную геодезическую, проходящую через точку Р в направлении флагштока спинора лЛ' (мы принимаем/“= л^л4')- Из соотношения (6.9.11), очевидно, следует, что представление (0, лЛ') справедливо всюду на т. Таким образом, твистор Za инцидентен каждой точке геодезической т. Отсюда следует, что при рассматриваемом отображении из <М в М изотропные геодезические в °Ц переходят в изотропные прямые (точки фиксированных изотропных твисторов) в М. В силу этого световые конусы окрестности <21 отображаются в световые конусы пространства М, чем доказывается конформность рассматриваемого отображения. Но тем самым и завершается доказательство теоремы (6.9.23), так как в качестве точки О можно взять произвольную точку многообразия ^.

§10. Безмассовые поля и когомологии твисторов

В § 7 мы кратко изложили метод контурного интегрирования, позволяющий (среди прочих уравнений) проинтегрировать уравнения для безмассовых полей с любым спином в М. В данном параграфе мы проведем более глубокий анализ этого метода построения безмассовых полей, поскольку он является одним из краеугольных камней, на которых строится дальнейшая теория твисторов. Обсуждение этих вопросов приведет нас к знакомству с теорией когомологий пучков твисторов, хотя подробное ее изложение остается вне рамок этой книги.

Контурные интегралы для безмассовых полей

Сначала вернемся к формуле (6.7.41) в частном случае ^ = 0, когда верхние (т. е. штрихованные) индексы отсутствуют. В этом случае она дает решения безмассовых полевых уравнений1)

9 Данный частный случай этой формулы для полей с произвольным спином в виде (6.10.1) был впервые выписан в работе [265], авторы которых основывались на более ранних работах Пенроуза [241, 243]. Однако в случае спина 0 практически эквивалентное выражение было получено гораздо раньше

в пространстве М или СМ. Подынтегральная «функция /» будет тогда константой как функция твистора Z“, т. е. будет функцией только твистора Wa. Это однородная функция степени (—р— 2), где р есть число индексов спинорного поля Фа - D, которое мы хотим найти (а также число множителей Хд, ..., Хо под знаком интеграла):

Фа„АЮ = jH^ ••• MC^^XEdX=. (6.10.1)

Функция f должна быть голоморфной в определенной области пространства Та (вид которой мы уточним позднее). Интеграл вычисляется в произвольной точке R пространства-времени вдоль некоторого одномерного замкнутого контура в пространстве [J Утвисторов Wa, инцидентных точке R. Это пространство можно отождествить с векторным пространством ®А [/?] спин- (ко) векторов в R, или, что эквивалентно, со спиновым пространством 5Л постоянных спинорных полей Хд, получающихся из твистора Wa = (^, цл'). Первая точка зрения оказывается более удобной, если рассматривается искривленное конформно-плоское пространство-время, а вторая лучше подходит для явных вычислений в пространстве М или СМ. В случае конформно-плоского пространства можно рассматривать Wa как постоянный локальный твистор; тогда в каждой точке R, инцидентной ему, твистор Wa записывается в виде (%л, 0), где Хл г©л[/?]. Если же вычисления производятся в М или СМ, то проще всего использовать представление

.о

wa (Хд, - irAA'XA\(6.10.2)

где г»— радиус-вектор точки R, отложенный из точки ОеМ’ а величины г и Хд рассматриваются как фиксированные спиноры в точке О. Представление (6.10.2) можно заменить более инвариантным выражением

Wa = (^,-Zr^),

где Хд — постоянный спинор (е5л), а га [так же как и в формулах (6.2.15) и (6.2.18)] есть радиус-вектор точки R, отложенный из точки общего положения. Тогда, в частности, в точке R твистор Wa записывается в виде (Хл, 0).

Аналогично в случае безмассовых полей с q штрихованными индексами [р = 0 в формуле (6.7.40)] мы имеем формулу

^a'-dAR^"^^^, ... TtD,f(za)TtE,dTtE', (6.10.3)

где f— однородная функция степени (—q— 2), а также голоморфная функция в некоторой области Т“ (вид которой мы вскоре уточним); интеграл вычисляется по одномерному замкнутому контуру в пространстве [ q ]-твисторов Z“, инцидентных точке R. Это пространство можно мыслить как 5Л'[^]> т- е- как пространство точечных спиноров в R (что особенно удобно в случае конформно-плоского искривленного пространства), для которых справедливо представление Z“ = (<ол, лл') [= (0, лЛ') локально в Я]. В то же время в М или СМ в качестве такого пространства можно взять спиновое пространство 5Л' постоянных спинорных полей лЛ' и воспользоваться представлением Z“ = (гглл лЛ', лЛ'), где г° — радиус-вектор точки R относительно точки общего положения. Так же как в формуле (6.10.2), удобно фиксировать точку О и воспользоваться представлением твисто- ра Z“ вида

Z" Д (гглл лЛ', лд'),(6.10.4)

в котором г° и лЛ' — точечные спиноры в точке О.

Считая радиус-вектор га постоянным и учитывая то, что функция f голоморфная и однородная указанной степени, легко убедиться, что внешняя производная подынтегрального выражения в формулах (6.10.1) и (6.10.3) равна нулю, так что результат интегрирования не изменяется при непрерывных деформациях контура в (несингулярной) области интегрирования. В каждой из указанных формул компоненты подынтегрального выражения имеют вид h^u, и) ^udo — udu), где h — голоморфная и однородная функция степени —2, откуда на основании теоремы Эйлера находим

dh ,dh

и Н у= —2А

ди 1дт>

и, следовательно,

d ((и du — и du) h) = (и -|- и -^- + й + du A du = 0.

Отметим также, что безмассовые полевые уравнения легко получаются из рассматриваемых интегральных представлений, если воспользоваться формулами

Vaf^a) = -iXA^L,(6.10.5)

др

¥а/(г“)=шЛ'^-,(6.10.6)

где Va означает д[дга, а точечные спиноры цА' и <ол в О определяются, как в формулах (6.10.2) и (6.10.4), соотношениями

цЛ' = — irAA'XA, <ол = irAA лЛ'.(6.10.7)

(Смысл частной производной по спинору с абстрактными индексами самоочевиден в данном контексте; всегда можно проводить вычисления, перейдя к компонентам, отнесенным к определенному базису, а затем вернуться к обозначениям с абстрактными индексами.)

Непроективное представление

Иногда удобным оказывается интегральное представление, в котором функция / не обязательно должна быть однородной (но должна быть голоморфной), причем в процессе интегрирования автоматически выделяется лишь ее компонента с правильными свойствами однородности:

.^._ = «)=7^$Ал - -V(W.)d4,(6.10.8)

или

=У№Ш(6.10.9)

где

d?X = dkQ A d^ = у dXA A dXA,

,(6.10.10)

d2n = dn.O' A d-Av = у dnA' A dnA',

а интегралы вычисляются по двумерным контурам в подходящем спиновом пространстве. Независимо от свойства однородности внешние производные подынтегральных выражений (при ra = const), очевидно, равны нулю, так что интегралы не изменяются при непрерывной деформации контура в области определения функции f. Если / содержит компоненту с неправильной степенью однородности, то соответствующий интеграл должен обращаться в нуль, поскольку иначе замена Wa—>&Wa или Za-> —>&Za (А — константа) привела бы к умножению всей подынтегральной функции (включая дифференциал) на некоторую нетривиальную степень к, тогда как результат не может зависеть от к. Только в случае функции / с правильными свойствами однородности (и в случае интегралов по контурам допустимого вида) формула (6.10.8) согласуется с (6.10.1), а формула (6.10.9)—с (6.10.3). Действительно, если функция А (и, и) имеет степень однородности, равную —2, то

/г (и, и) du A du = h (1, —) -^- A d f—)

п, выполняя интегрирование по и на основании теоремы Коши, получаем

2ш'Л (1, у) d (у) = 2ш7г (ц, и) (ц du — и du).

Здесь предполагается, что контур обходит точку и = 0, но, даже если это условие не выполняется, результат не изменится, поскольку все рассуждения можно провести так, чтобы и и и поменялись местами (разумеется, точка и = и = 0 обязательно будет сингулярной точкой функции Л).

Квантование твисторов

Остановимся теперь на одном результате теории квантования твисторов, который поможет прояснить роль твисторных функций f, а также понять смысл определенного выбора их степени однородности. Как мы знаем, стандартная процедура построения квантовой теории («первичное квантование») состоит в том, что координаты ха и импульсы ра частиц заменяются операторами, удовлетворяющими коммутационным соотношениям

Ра^ — Xbpa = ihga.(6.10.11)

В координатном представлении волновая функция ф(ха) есть комплексная функция переменных х°, но не импульсов ра, причем операторам ра сопоставляются операторы дифференцирования:

(6.10.12)

а операторам ха — обычное умножение:

ха : ф н->хаф.(6.10.13)

В р-пространстве волновая функция будет комплексной функцией ф(ра) переменных ра, но не координат х°, а представления операторов ра и х° меняются ролями:

Ра‘- Ра^«(6.10.14)

ха :(6.10.15)

Ора

Какое бы из двух представлений ни использовалось, мы получаем теорию с коммутирующими величинами, если в качестве переменных использовать только ха или только ра, но не то и другое, а дополнительные переменные заменять дифференциальными операторами.

Аналогичная процедура квантования твисторов («первичное квантование твисторов») состоит в том, что твисторы Z“ и Za (или, что эквивалентно, W“ и Wa) считаются операторами, удовлетворяющими коммутационным соотношениям

Z“ZB — ZpZ“ = Йбр.(6.10.16)

в Т“-представлении мы имеем волновую функцию f, которая зависит от переменных Z“ и не зависит от ZO1 отсутствие зависимости от Za выражается равенством

df/dZa = O,(6.10.17)

которое означает, что f — голоморфная функция переменной Z“. Оператору Za сопоставляется оператор дифференцирования:

(6.10.18)

а оператор Z“ сводится к обычному умножению:

Za:f^Zaf.(6.10.19)

в Та-представлении твисторы Z“ и Za меняются ролями. Твистор- ная волновая функция f будет теперь голоморфной по Za (т. е. антиголоморфной по Z“); или, обозначая Za через Wa, а Z“ через W“, можно сказать, что f — голоморфная функция переменной Wa, причем для операторов Wa и W“ имеет место представление

Wa:/^Wa/,(6.10.20)

^•t^h^.(6.10.21)

Как и прежде, теория будет содержать только коммутирующие переменные, если одновременно не используются Za и Za или Wa и W“ (т. е. если мы имеем дело с голоморфными твистор- ными функциями и операциями), а сопряженные переменные всегда заменяются дифференциальными операторами.

Формулы для перехода от твисторных к более привычным пространственно-временным переменным даются выражениями для импульса и момента импульса, приведенными в § 3. Для системы, описываемой одним твистором, соответствующие соотношения даны в формуле (6.3.2), причем масса покоя обязательно равна нулю. Твисторные волновые функции — это по существу функции [, входящие в интегралы (6.10.8) и (6.10.9) [или (6.10.1) и (6.10.3)], которые в этом случае можно рассматривать как интегральные преобразования, описывающие переход к обычным волновым функциям в координатном представлении, т. е. к спинорным полям в пространстве-времени.

Спиральность

Квантовый оператор, отвечающий спиральности s, определенной формулами (6.3.5) и (6.3.6), с учетом некоммутативности

переменных записывается в виде

.s = 4 (Z“Za + ZaZ“).(6.10.22)

Отметим, что если твисторы Z“ и Za коммутируют, то мы возвращаемся к соотношению (6.1.74). Учитывая, что из коммутационных соотношений (6.10.16) следует равенство Z“Za — — ZaZ“=4fi, находим, что в Т“-представлении величина s изображается оператором

s : f^-^h (Z“^-+ 2)Л(6.10.23)

а в Та-представлении — оператором

s;t^yh (Wa-^+2)A(6.10.24)

Таким образом, если мы хотим, чтобы волновая функция описывала состояние с определенной спиральностью, то нужно потребовать, чтобы функция f (Za) была собственной функцией оператора (6.10.23), а f(Wa)— оператора (6.10.24). Уравнения на собственные значения по существу совпадают с эйлеровыми условиями однородности; следовательно, в любом представлении функции f должны быть однородными. Если выбрать степень однородности функции f(Z“) равной (—q— 2), а функции f (Wa) — равной (—р — 2), то мы получим, что собственные значения спиральности будут равны соответственно

^•М и — —hp.(6.10.25)

Переходя к волновой функции ф в пространстве-времени, мы с удовлетворением отмечаем, что значения (6.10.25) в точности совпадают со значениями спиральности, которые мы приписали безмассовым положительно-частотным полям с р нештрихованными и q штрихованными индексами в гл. 5, § 7 [см. текст после формулы (5.7.3)], причем требование положительной частотности необходимо для того, чтобы волновая функция описывала физическую частицу (с положительной энергией).

Интегралы для спиральности противоположного знака

Недостатком данного описания волновой функции с помощью твисторной функции является необходимость перехода от Т“-представления к Ta-представлению при изменении знака спиральности. Очевидно, что желательно иметь единое описание в рамках одного из представлений. Как этого добиться, подсказывают условия квантования (6.10.18) и (6.10.21). Казалось бы,

Т“-представление волновой функции с положительной спиральностью (р нештрихованных индексов) можно получить, выполнив комплексное сопряжение в формуле (6.10.3) или (6.10.9) и заменив f(Za) голоморфной функцией твистора Z", однородной степени (р — 2), чтобы она удовлетворяла правильному уравнению на собственные значения для оператора (6.10.23). Однако после комплексного сопряжения под интегралом возникает произведение спиноров

лл .. . ло,(6.10.26)

и, хотя присутствие такого множителя кажется естественным (если мы хотим, чтобы в результате получался спинор фд.о. с нештрихованными индексами), этот множитель нарушает голоморфность подынтегральной функции. К тому же использовать главную часть юл твистора Z“ в точке О вместо лл было бы неправильно по ряду причин, главным образом потому, что полученный спинор ф не удовлетворял бы уравнениям для без- массового поля; нарушился бы и сам дух построения теории, так как в силу координатной зависимости спинора <ол подынтегральное выражение уже не было бы конформно-инвариантным.

Указанную трудность можно обойти, если (в соответствии с идеей, высказанной Хьюстоном в 1973 г. [142, 251]) воспользоваться соотношением (6.10.18), из которого следует, что проекционной спинорной части сопоставляется оператор

Лл^-Й-^г*(6.10.27)

дю

Производя такую подстановку в формуле (6.10.9) (и опуская знаки и множители Й), мы получаем

=...-^Л2“)лл^лл' =

2nz J дюл да

= тЛг#-ГА(6.10.28)

(2ш) J дю дю

Достаточно воспользоваться соотношением (6.10.6), чтобы показать, что определенное таким образом спинорное поле фд D удовлетворяет безмассовым уравнениям (4.12.42). Интересно, что соотношение (6.10.6) [и аналогично (6.10.5)] в известном смысле неявно содержит рецепт квантования, поскольку оператор V"> стоящий в левой части, равен в сущности д/дх°, т. е. [в силу формулы (6.10.12)] квантовому аналогу величины —ih~xpa. Оператор /лл'<Э/<ЭюА в правой части равенства (6.10.6) в силу соответствия (6.10.27) есть квантовый аналог величины — /Й-1лл'Лл, что замечательно согласуется с формулой (6.3.2).

По аналогии с (6.10.28) легко написать интегральную формулу для безмассовых волновых функций с положительной спиральностью в Та-представлении:

«“0.29)

где цл'— главная часть твистора Wa (в точке О).

Отметим, что операторы д1дтА и д/дцЛ зависят от выбора начала координат, а операторы д/дпА' и д/дХл не зависят. Это видно из того, что два последних оператора есть проекционные части твисторных операторов д]д7? и d/dWa соответственно. Но в этом можно убедиться и непосредственно, перейдя от переменных <ол, лд', представляющих твистор Z“ в точке О, к паре новых переменных йл, Has представляющих Z“ по отношению к другой точке Q[z“*-*(ttA лд')], положение которой определяется радиус-вектором qa, так что

6Л = сол — iqAA'n.A', л д' = П.Д-.(6.10.30)

ношенияношенияЛегко убедиться, что (при постоянном ^а) выполняются соот

ношения

ношения

(6.10.31)(6.10.31)д __ ддд . . дд, 5

(6.10.31)

(6.10.31)

5шл 5шл ’ длД, дЛд,даА

т. е. зависимость от координат здесь та же, что и у спинорных частей твистора Wa в формуле (6.1.26). Тем самым мы убеждаемся в правильной зависимости от координат спинорных частей оператора d/dZ“, как это и должно быть в случае [,]-тви- стора. Аналогично, если пара спиноров ХД, ^А' представляет твистор Wa в точке Q[wa-«—>(^А. ЙЛ')], имеем

ХА = Хд, jiA' = цл' + iqAA'XA)(6.10.32)

так что

=9 = 9,(6.10.33)

дХд дХддцл дцл дцл

т. е. мы получаем правильную зависимость от координат, отвечающую [о J-fBHCTOpy.

Рассмотрим теперь интеграл, который содержит оба типа величин: как лд', так и d/dtoA. Мы определяем

^А...^'...Р'(^) = -^2-§ЛК' ••• ^'^А ••• -^^Z^d'n-

(6.10.34)

Уравнение, которому удовлетворяет симметричный спинор ^>.„, имеет вид

=viM?.:^(6. ю.з5>

или, что эквивалентно,

^АА’ФаВ...РК-...Р'=^ ^'ФА...ЕК-и...Р' = ^ (6.10.36)

Уравнение (6.10.36) в точности совпадает с уравнением (5.10.9), а потому, используя предложение (5.10.10), находим, что- Фд...рк'. р' (локально) есть просто не свернутая r-я производная свободного безмассового поля. Здесь г = min (и, v), если спинор ф ,, имеет валентность [° “]. Безмассовое поле содержит | и — и | индексов, штрихованных или нештрихованных в зависимости от того, какое из двух неравенств имеет место: и < и или и > и (при и = и имеем скалярное волновое поле). То, что- выражение (6.10.34) получается как результат повторного- действия операторов V... (без свертки) на интеграл (6.10.9) или вторую строку выражения (6.10.28), представляется очевидным. Наш результат состоит в доказательстве того, что формула (6.10.34) дает общее аналитическое решение уравнения (6.10.35) (для симметричного спинорного поля ф ) при исходном предположении, что это справедливо для частных случаев интегралов, стоящих во второй строке в формулах (6.10.9) и (6.10.28).

Повышение и понижение спиральности

Полученные представления в виде контурных интегралов помогают также лучше понять некоторые из результатов § 4. В частности, мы отмечали [после формулы (6.4.21)], что бес- следовый симметричный [£]-твистор

Тр:::?=т((р:::$), т^:::?=о,(б.ю.37)

который полностью определяется своей главной частью X', удовлетворяющей уравнению

Т7^^ 1 ^ ... Ц)л

можно (разными способами) использовать для того, чтобы повысить спиральность положительно-частотного безмассового поля на величину (1/2) (р — д)й (которая может быть отрицательной). В Т“-представлении для твисторной функции f эта процедура сводится к замене

f^n::.\6zp...(6.Ю.38)

(и аналогично для Та-представления). При этом степень однородности по Z" возрастает на q — р, что согласуется с формулой (6.10.23). Отметим также, что условие отсутствия следа [второе равенство (6.10.37)] означает, что порядок следования операторов в формуле (6.10.38) несуществен.

Можно также предложить формулы, аналогичные (6.10.34), которые позволяют непосредственно вычислить потенциалы, рассмотренные в § 4. Однако здесь мы их рассматривать не будем (см. работы [82]).

Массивные твисторные волновые функции

Результаты, полученные в предыдущих параграфах, показывают, что твисторы позволяют построить элегантный формализм для описания безмассовых полей — или волновых функций без- массовых частиц. Естественно задаться вопросом, а нельзя ли с помощью твисторов описывать и массивные частицы? Ответ оказывается положительным. Идея основана на использовании соотношений (6.3.26), (6.3.28), показывающих, как построить массивный твистор углового момента общего вида из набора одновалентных твисторов. Отсюда получаем формулу, обобщающую представления (6.10.8), (6.10.9), (6.10.28) (2) и (6.10.29) (2): Фл... Е'Г... N^ =

= 1/(2ш')2" флл ... ЛЕ-д/д/ ... d/d^Nf (W„, ..., Z“)<Aa ... М2л,

(6.10.39) содержащую, скажем, п твисторов Wa. ..., Za. Существует много неэквивалентных способов расположения сомножителей под знаком интеграла, а, кроме того, дифференцирование интегрального представления (6.10.39) может дать много новых полей, которые в отличие от (6.10.34) не сводятся к производным от более простых полей.

Значительный произвол в построении подобных выражений можно связать с существованием n-твисторной внутренней группы симметрии (6.3.29), рассматривая ее действие на квантовых твисторах. Полиномиальные выражения, построенные из генераторов этой группы, дают довольно хорошее приближение для операторов наблюдаемых величин [251, 268—270а, 142, 143]. Однако построение интегральных представлений, которые, так же как выражение (6.10.1) и т. д., автоматически удовлетворяли бы уравнению Шредингера — Клейна — Гордона (5.10.20) или уравнениям Дирака (5.10.15), (5.10.35), (5.10.36), оказывается непростой задачей. Мы не будем развивать эту тему далее и отсылаем заинтересованного читателя к цитированной выше литературе (см. также [250, 134—137]).

Геометрия контурных интегралов

Вместо этого мы более тщательно исследуем случай безмас- совых полей. Ранее анализ носил чисто формальный характер. Теперь же мы рассмотрим явный вид твисторных функций, а также геометрию их сингулярностей. Геометрическая структура, связанная с интегралами типа (6.10.3) и первого выражения (6.10.28)1), становится гораздо более прозрачной, если перейти к проективному твисторному пространству РТ“ (или РТ*), т. е. к пространству классов эквивалентности [ * ]-твисторов с отношением эквивалентности.

Z“ = xZ“ 0^=хеС.(6.10.40)

В качестве координат в РТ“ мы выбираем три независимых комплексных отношения

Z^Z^Z^Z3.(6.10.41)

Геометрия этого пространства и ее связь с геометрией пространства СМ будут подробно рассмотрены в гл. 9, § 3. Здесь же нам будет достаточно утверждения, что всякая точка R в СМ изображается в РТ* комплексной проективной прямой R. Оно следует из результатов § 2 [формула (6.2.16)]. Точкам прямой_И отвечает семейство твисторов, инцидентных точке R в СМ. Напомним, что интегралы (6.10.3) и первый (6.10.28) вычисляются вдоль одномерного контура в пространстве таких твисторов. Фактически это контур в комплексном одномерном проективном пространстве, параметризованном координатами

лу: лц(6.10.42)

и совпадающем с проективной прямой R. Напомним далее, что пространство с координатами (6.10.42) топологически эквивалентно сфере 52— римановой сфере частных этого вида (см. гл. 1, § 2). В гл. 1 мы видели, что для точки R действительного пространства М это — небесная сфера наблюдателя в R, поскольку ее точки находятся во взаимно-однозначном соответ

’) В теории твисторов имеются и другие типы контурных интегралов. Особый интерес представляют те из них, в которых интегрирование выполняется по всем твисторным переменным, а не только по л0, или л,,. Например, при вычислении электрического заряда возникают интегралы вида ^ fd^Z, где f — однородная функция переменных Za степени —4; твистор д“^ можно представить в виде интеграла ^ Z°Z®fd4Z от функции f, однородной степени —6. (Здесь d^Z = Z° Л dZl Д dZ2 Л dZ2.) Теория подобных выражений строится с помощью относительных когомологий пучков [17]. Их обобщение на случай нескольких твисторных переменных приводит к теории твисторных диаграмм [265, 250, 319, 145, 81, ПО, 288, 137, 134—136].

Рис. 6.11. Сингулярными множествами (полюсами) интегрируемой функции f в пространстве РТ“ являются плоскости А и В. Точке R пространства СМ отвечает прямая R в РТ°, имеющая топологию сферы S2. На S2 полюсам А и В отвечают точки, разделенные контуром Г.

ствии с лучами, проходящими через R. Оказывается, что и точке R комплексного пространства СМ в РТ* отвечает геометрическое место точек R с топологической (комплексно-аналитической) структурой римановой сферы (рис. 6.11). Для вычисления интегралов на римановой сфере следует определить контур Г, который охватывает сингулярности функции f и, следовательно, не может быть стянут в точку на сфере так, чтобы он не пересекал сингулярностей функции f (в противном случае интеграл должен быть равен нулю). Таким образом, очень важно изучить геометрию сингулярностей твисторных волновых функций.

Поясним ситуацию на простом примере (см. рис. 6.11). Рассмотрим случай, когда спин равен нулю, и попробуем построить решение волнового уравнения в М с помощью однородной тви- сторной функции степени —2. Выберем

(6ЛО-43)

Тогда в пространстве Т® сингулярности функции f будут лежать на двух гиперплоскостях, положение которых определяется уравнениями

AaZ° = 0, (6.10.44)

BaZa = 0. (6.10.45)

В пространстве РТ™ этими уравнениями определяются две плоскости, которые мы обозначим через А и В. Предположим, что эти плоскости различны (т. е. твисторы Аа и Ва не пропорциональны друг другу) и прямая R не пересекается с пересечением плоскостей. Тогда R пересекает А и В в двух разных точках, которым на сфере R отвечают сингулярности функции f. Мы

выбираем контур Г так, чтобы он имел топологию окружности 51 и разделял точки А П R и В fl R-

Вычислим контурный интеграл (6.10.3) для рассматриваемой функции f. Имеем

2шф (R) = §f (Z“) dnE' $=

JJ Aa^ в^

(Ас1'''СС,яс'+АСЛс')(Во1'''ОО яо/ + Во'лО/) ’

Фиксировав направление обхода, по теореме Коши получаем с § dn — п ^ X. d (ч/^) ™ (ag + сП) № + еП) ~ 3 (а + сч/^) (6 + еч/^) ~ „ .1 2л/

Ш с (6 + е (— а/с))cb — ае

и, следовательно,

^ (R) = (8о,с, (Асггсс' + Ас') (BDir^' + В0')}"* =

= 2 (АСВС (га - 9") (ra - ^Г*,(6.10.46)

где

е = zA В -1А В(6.10.47)

■ АСВ

причем Ас, Ас', Вс, Вс'—главные спинорные части, из которых другие получаются (однозначно в данном случае) поднятием и опусканием индексов. [Можно сравнить выражение (6.10.47) с выражением (6.2.15), с которым оно по существу совпадает.].

Точке Q, положение которой определяется радиус-вектором qa, в РТ* отвечает линия Q пересечения плоскостей А и В. Контурный интеграл становится неопределенным [а поле ф^К)— бесконечным] только в том случае, когда R пересекается с Q, а это означает (см. гл. 9, § 3), что точки R и Q разделены изотропным интервалом в СМ, т. е. точка R лежит на световом конусе точки Q.

Положительно-частотные поля

Рассматривая вектор qa как комплексный с времениподобной мнимой частью, мы можем добиться, чтобы выражение (6.10.46) было несингулярно при любых действительных значениях вектора га. Если времениподобная мнимая часть вектора qa ориентирована в будущее, то из утверждения, которое мы докажем позднее [предложение (9.3.24)], следует, что Q принадлежит подпространству РТ- (пространства РТ*), которое получается

из пространства Т“ твисторов Z“, удовлетворяющих неравенству Z“Za < 0. (Аналогично мы определяем пространства РТ+, Т+, РТ-, Т-, РТ+, Т+, например: Wa е Т_ при том и только при том условии, что WaW“ < 0, и т. д. Все пары пространств Т+, Т+, РТ+, РТ+, -.. комплексно-сопряжены друг другу.) В этом случае поле ф хорошо определено во всех точках R, где вектор га содержит времениподобную мнимую часть, ориентированную в прошлое. [Поскольку в этом случае мы имеем га— qa = uQ— ita, где иа и tQ — действительные векторы, причем ta — времениподобный вектор, ориентированный в будущее. Величина (г° — </a) (ra — qa) может обращаться в нуль только при условии, что tQua = 0; но отсюда следует, что иа — пространственноподобный вектор, а значит, Re{(ra— <7a)X X (ra — q^ } Uaua — tata < 0.]

Точки в СМ, радиус-векторы которых имеют времениподобную мнимую часть, ориентированную в будущее, составляют область, называемую трубкой будущего в СМ. Положительно-частотные поля можно определить как поля, допускающие несингулярное голоморфное продолжение в эту область. (В гл. 5, § 7 у нас было другое определение положительно-частотного поля, основанное на его фурье-разложении; можно показать, что оба этих определения эквивалентны [18].) В соответствии с таким определением поле ф будет положительно-частотным, если Qc РТ-. Трубке будущего в РТ* отвечают линии подпространства РТ+ (определенного выше), что тоже вытекает из предложения (9.3.24). С этой точки зрения ясно, что поле ф будет несингулярным только при условии R с РТ+ (и Qc РТ-), так как тогда точка R не может совпадать с точкой Q и интеграл будет хорошо определен.

В твисторной теории необходимо определить понятие положительной частотности в приложении к твисторным волновым функциям. Из выкладок (6.10.43) — (6.10.46) видно, что если функция ф^К^ голоморфна в трубке будущего РТ+СРТ’, то волновая функция / не может быть голоморфной на всем пространстве Т+ (Из теории функций комплексной переменной следует [116, 89], что однородными функциями, голоморфными на всем пространстве Т+ могут быть только полиномы по Za, а, стало быть, степень однородности таких функций неотрицательна; и этот случай тривиален, так как соответствующие интегралы равны нулю.) Рассмотренный пример показывает, что следует потребовать, чтобы сингулярности функции f располагались в двух областях, которые пересекались бы всеми линиями пространства РТ+, и тогда, как и на рис. 6.11, риманова сфера, отвечающая прямой R, содержала бы сингулярности тоже в двух раздельных областях, между которыми проходит контур

Рис. 6.12. Вид сингулярностей твисторной функции, которая дает положительно-частотное поле. Сингулярности в РТ+ имеют вид двух несвязных заРис. 6.12. Вид сингулярностей твисторной функции, которая дает положительно-частотное поле. Сингулярности в РТ+ имеют вид двух несвязных замкнутых множеств.мкнутых множеств.

Рис. 6.12. Вид сингулярностей твисторной функции, которая дает положительно-частотное поле. Сингулярности в РТ+ имеют вид двух несвязных за

Рис. 6.12. Вид сингулярностей твисторной функции, которая дает положительно-частотное поле. Сингулярности в РТ+ имеют вид двух несвязных за

мкнутых множеств.

мкнутых множеств.

интегрирования. Это замечание остается в силе, если мы рассматриваем поля, определенные на произвольных открытых подмножествах 41 пространства СМ. Точкам области 41 отвечает семейство линий в РТ’, которое заполняет некую открытую область ‘М в РТ". Мы не требуем, чтобы соответствующая твисторная функция была голоморфной на всей области ‘И; такое требование было бы слишком жестким и не привело бы к полезным результатам.

Имеется много твисторных функций с областями сингулярностей, необходимыми для существования положительно-частотных полей. Например, можно воспользоваться прямым обобщением формулы (6.10.43)

f(Z“) =f(Z“) =(6.10.48)(6.10.48)(CaZ“)c (DaZa)d(AaZ“)a+1 (BaZ“)6+

f(Z“) =

f(Z“) =

(6.10.48)

(6.10.48)

Если Aa, Ba, Ca, Da линейно-независимы и Afi В с: PT-, то эта функция дает положительно-частотные поля, называемые элементарными состояниями. Их спиральность равна

^hka-Vb — с — d), (6.10.49)

причем a, b, с, d— неотрицательные целые числа. Выражения для полей аналогичны выражению (6.10.46), но более сложны.

Можно также взять сумму твисторных функций вида (6.10.48) с разными значениями Аа и Ва при условии, что А-син- гулярности и В-сингулярности разделяются так, чтобы в РТ+ получались области требуемого вида. Дальнейшее обобщение состоит в «суммировании» непрерывного семейства выражений вида (6.10.48) (т. е. в интегрировании по некоторым параметрам), что возможно, если области ^, ^, заполненные сингулярностями типа А и В, соответственно, не пересекаются в РТ+,

В этом случае сингулярности на римановой сфере не обязательно будут полюсами, но могут иметь вид протяженных замкнутых (непустых) областей на сфере (рис. 6.12).

Введение когомологий

Указанная выше процедура позволяет построить широкий класс твисторных функций, дающих положительно-частотные поля. Но в ней есть один недостаток: область сингулярностей получающегося поля в СМ неоднозначно связана с областью сингулярностей твисторной функции. Особенно ясно это видно из рассмотренного выше примера поля со спином 0 [формула (6.10.43)]; поле ф в формуле (6.10.46) остается неизменным, если величины Аа и Ва заменить величинами

РАа + сгВ„, тАа + «Ва, (6.10.50)

где р, о, т, хе С, рх — от=1. Множества сингулярностей в этом случае представляют собой две произвольные неколлинеарные плоскости, проходящие через прямую Q. По существу мы даже не обязаны ограничиваться выбором твисторной функции в виде (6.10.43). То же самое поле ф (в трубке будущего) можно получить, взяв твисторную функцию множества, сингулярности которой в РТ+ вообще не являются плоскостями. Более того, если взять разность двух твисторных функций, дающих одно и то же поле, но таких, что множества их сингулярных точек не пересекаются, то мы получим отличную от нуля твисторную функцию, которая дает нулевое поле. Отмеченной неопределенностью несколько омрачается элегантность описания безмассовых полей в рамках твисторного формализма. Но с другой (и более глубокой в математическом отношении) точки зрения эта неприятная особенность предстает как необходимый атрибут весьма элегантного математического формализма, называемого теорией когомологий пучков. С этой точки зрения твисторная волновая функция должна рассматриваться не как обычная функция, а как функция «второго порядка» (смысл этого термина мы вскоре поясним). Функции такого типа, если говорить специальными терминами, являются элементами «первых групп когомологий пучков» и в дальнейшем называются 1-функциями в отличие от обычных функций, которые являются элементами «нулевых групп когомологий пучков» и кратко называются 0-функциями.

Чтобы развить требуемый формализм, рассмотрим еще раз ситуацию, изображенную на рис. 6.12 (или на рис. 6.11). Здесь мы имеем дело с пространством РТ+, поскольку именно оно отвечает трубке будущего в СМ, т. е. области, в которую голоморфно продолжается обычная одночастичная волновая функ-

ция в координатном представлении. Напомним, что мы условились рассматривать функцииf с сингулярностями, сосредоточенными в двух несвязных замкнутых подмножествах пространства РТ+, которые в дальнейшем мы будем обозначать через st- и 98. Но более целесообразно говорить не об областях сингулярности функции f, а об области ее голоморфности. Этому соответствует удобная запись

‘МОГ,(6.10.51)

причем

<М=РТ+—е£, Г = РТ+ —Ж(6.10.52)

Отметим, что

PT+ = <WUr(6.10.53)

и, следовательно, множества ‘И и 7 образуют открытое покрытие пространства РТ+.

Если рассматривать только функции, определенные на множестве ‘МОУ* фиксированного вида, так, как это мы делали для твисторных волновых функций (когда при переходе к полям в пространстве-времени для каждой прямой R в интеграле можно было задавать фиксированный контур независимо от вида функции), то нам вновь придется столкнуться с трудностями. Например, некоторые из функций рассматриваемого типа при интегрировании всегда дают нуль; это те функции, которые голоморфно продолжаются на всю область <М или область Т (поскольку в этом случае контур можно стянуть в точку с одной из сторон римановой сферы), а также любая линейная комбинация таких функций с постоянными коэффициентами. Простой пример такого рода, когда области @# и 98 имеют вид плоскостей, показанных на рис. 6.11, дает функция

11

“ (AaZ“)2(BaZ“)2 1

Каждое из слагаемых имеет только одну сингулярность на римановой сфере, так что в каждом из интегралов контур может быть стянут в точку, и в результате получаем нуль. Другим примером может служить разность функции (6.10.43) и твисторной функции, которая получается из нее путем замены Аа и Ва выражениями (6.10.50). В самом деле, при рх— от = 1 выполняется тождество

(6.10.55)(6.10.55)1а . т

(6.10.55)

(6.10.55)

АВ (рД + аВ) (тД + р.В) Д (рД + аВ) 'В (тД + хВ) ’

где в нашем случае нужно положить А = AaZa, В = BaZa. Мы определяем область @t как объединение двух плоскостей AaZa = 0 и (pAa + oBa) Z“ = 0 и аналогично определяем об-

ласть S3. (Следует положить р^О^х, чтобы объединение Я1 (J У действительно покрывало РТ+.) Первое слагаемое в правой части равенства (6.10.55) голоморфно на U, а второе на У, и поэтому при интегрировании опять получается нуль. Таким образом, твисторные функции на пересечении ^ П ^" нельзя однозначно сопоставить волновым функциям1).

Понятие 1-функции

Отсюда следует, что нужно рассматривать не просто функции на U Г) У, но функции U П У по модулю функций, голоморфных на ^ или на У. Другими словами, две функции на Я1 П У будут считаться эквивалентными, если они различаются суммой функций, которые допускают голоморфное продолжение либо на <М, либо на У . (Суть этого отношения эквивалентности в том, что интеграл от разности эквивалентных в таком смысле функций очевидным образом обращается в нуль в силу стягиваемости контура.) Например, функция, определенная соотношением (6.10.54), эквивалентна нулю. Указанные классы эквивалентности функций образуют первую группу когомологий голоморфных пучков по отношению к покрытию {<?/, У} пространства РТ+. Такие классы эквивалентности мы будем называть 1-функциями по отношению к покрытию \^П, У}. При этом обычные функции мы будем называть 0-функциями.

Мы сразу же вынуждены распространить определение 1-функций на более сложные покрытия РТ+, а затем и вовсе устранить зависимость от специального выбора покрытия. Ведь даже простейшая задача сложения 1-функций, определенных на разных парах покрытий {^, У}, приводит к рассмотрению 1-функций на общем подпокрытии [см. далее формулу (6.10.62)] этих покрытий. Поэтому мы будем рассматривать открытые покрытия пространства РТ+ общего вида (открытыми множествами) с дополнительным ограничением локальной конечности покрытий, которое означает, что всякая точка принадлежит конечному числу покрывающих множеств. (Отметим, что некомпактные множества, такие, как РТ+, допускают локально-конечные покрытия, содержащие бесконечное число множеств.) На рис. 6.13 показано покрытие пространства РТ+, состоящее из большого (и. даже, может быть, бесконечно большого) числа

*) При рассмотрении функций на так фиксированном покрытии возникают и другие трудности. Например, каков бы ни был выбор этого покрытия всегда будут существовать волновые функции, которые невозможно получить при таком выборе. Кроме того, класс волновых функций, которые можно получить при заданном выборе покрытия, не будет конформно (или Пуанкаре-) инвариантным. Все эти трудности отпадают в теории когомологий пучков.

Рис. 6.13. Покрытие пространства РТ+, имеющее вид большого числа (которое может быть бесконечно большим) открытых множеств, образующих локально-конечную систему. Интегрирование проводится по разветвленному контуру.

открытых множеств ЧЛ^. Для такого покрытия потребуется ввести целое семейство {Д/} голоморфных функций, определенных на пересечениях пар открытых множеств из этого набора:

Функция fti определена на пересечении ЧЛ^ЧЛ). (6.10.56)

Далее, прямая R, будучи компактным множеством, пересекает локально-конечную систему только по конечному числу множеств ЧЛ, так что лишь конечное число функций ^ц имеет непустое ограничение на R. Мы должны теперь обобщить интегральные формулы так, чтобы они были пригодны в рассматриваемой ситуациии. Наглядное представление об этой процедуре можно получить из рис. 6.13: мы переходим к интегралу по разветвленному контуру в виде сетки из отдельных ориентированных отрезков. Каждый отрезок принадлежит пересечению двух множеств покрытия, и соответствующий интеграл вычисляется от функции вида (6.10.56). Каждый отрезок начинается и оканчивается вершиной (если он не является замкнутой петлей), лежащей на пересечении трех множеств ЧЛ, каждая вершина принадлежит трем и только трем отрезкам, а каждый отрезок — двум из трех указанных множеств. В силу свойств контурных интегралов результат интегрирования не изменится, если любой из отрезков деформировать непрерывно на заданном пересечении пары множеств ЧЛ при условии, что конечные точки остаются неподвижными (если все пересечения имеют евклидову топологию, то слово «непрерывно» можно опустить).

Чтобы рассматриваемый интеграл был определен однозначно, следует ввести два дополнительных требования к семейству функций [ц. Во-первых, поскольку интеграл вдоль данного отрезка можно вычислять в любом направлении, вклад в полный интеграл оказывается неопределенным и зависящим от этого выбора. Чтобы устранить эту неопределенность, будем считать, что знак функции изменяется, когда изменяется направление

Рис. 6.14. При интегрировании функции /;,■ направление контура выбирается так, птобы множество % оставалось слева, а множество И] — справа. При интегрировании функции fj, = —ft, направление контура изменяется на обратное, так что результат не изменяется.Рис. 6.14. При интегрировании функции /;,■ направление контура выбирается так, птобы множество % оставалось слева, а множество И] — справа. При интегрировании функции fj, = —ft, направление контура изменяется на обратное, так что результат не изменяется.Рис. 6.15. Благодаря свойству коцнкличности (6.10.58) интеграл не изменяется, если вершину, в которой сходятся три отрезка контура, непрерывно смещать на пересечении ^ U ‘ZZ/ U %-Рис. 6.15. Благодаря свойству коцнкличности (6.10.58) интеграл не изменяется, если вершину, в которой сходятся три отрезка контура, непрерывно смещать на пересечении ^ U ‘ZZ/ U %-

Рис. 6.14. При интегрировании функции /;,■ направление контура выбирается так, птобы множество % оставалось слева, а множество И] — справа. При интегрировании функции fj, = —ft, направление контура изменяется на обратное, так что результат не изменяется.

Рис. 6.14. При интегрировании функции /;,■ направление контура выбирается так, птобы множество % оставалось слева, а множество И] — справа. При интегрировании функции fj, = —ft, направление контура изменяется на обратное, так что результат не изменяется.

Рис. 6.15. Благодаря свойству коцнкличности (6.10.58) интеграл не изменяется, если вершину, в которой сходятся три отрезка контура, непрерывно смещать на пересечении ^ U ‘ZZ/ U %-

Рис. 6.15. Благодаря свойству коцнкличности (6.10.58) интеграл не изменяется, если вершину, в которой сходятся три отрезка контура, непрерывно смещать на пересечении ^ U ‘ZZ/ U %-

(6.10.57)(6.10.57)контура интегрирования. Это правило удобно записать, обозначая функцию fa, взятую с обратным знаком, через [ц:

(6.10.57)

(6.10.57)

fu^-hp

Правило выбора функции, отвечающей заданному направлению интегрирования, проиллюстрировано на рис. 6.14.

Второе требование к семейству функций fa должно избавить нас от необходимости располагать вершины на пересечении тройки множеств 41 неподвижно. Как видно из рис. 6.15, для этого нужно потребовать, чтобы функции на пересечении ^i Л ^/ (1 ^& удовлетворяли условию

hi — hk + fife — 0.hi — hk + fife — 0.(6.10.58)(6.10.58)

hi — hk + fife — 0.

hi — hk + fife — 0.

(6.10.58)

(6.10.58)

Всякое семейство функций fa, определенных на пересечениях f] 4Lj пар открытых множеств открытого покрытия {^J, удовлетворяющее условиям (6.10.57) и (6.10.58), называется 1-коциклом по отношению к данному покрытию. Хотя мы ввели коциклы в связи с контурными интегралами, это — более широкое понятие, которое возникает во многих математических построениях, не связанных с интегралами. Нам также потребуется ввести понятие 1 -кограницы и определить факторпространство 1-коциклов по 1-кограницам. (Это приводит к обобщению ранее приведенного определения 1-функций на случай покрытия, состоящего только из двух множеств. Итак, 1-кограницей некоторого семейства функций (в данном контексте голоморфных) будем называть 1-коцикл, который можно представить в виде

flj = hi — h1,(6.10.59)

где

функция h-t определена на Ut,(6.10.60)

причем в соотношение (6.10.59) входят ограничения функций hi и К; на пересечение 4Lt f] Us. Очевидно, что 1-кограница удовлетворяет условиям 1-коцикла (6.10.57) и (6.10.58).

Определим теперь 1-функцию (или элемент первой группы когомологии^ по отношению к выбранному покрытию как класс эквивалентности 1-коциклов. Два коцикла считаются эквивалентными, если их разность есть 1-кограница (всюду подразумевается, что фиксировано определенное покрытие {^г}. Выгоды такого перехода к факторпространству 1-коциклов можно понять, возвращаясь к задаче вычисления контурных интегралов. Из рис. 6.16 интуитивно ясно (в предположении евклидовой топологии всех множеств °Uil, что интеграл от (голоморфной) 1-кограницы равен нулю.

Ранее мы упоминали, что переход к рассмотрению более сложных покрытий РТ+ (чем покрытие, образованное только двумя множествами ^ и У) отчасти обусловлен желанием иметь возможность складывать 1-функции, определенные по отношению к различным покрытиям. Сейчас мы уже достаточно подготовлены, чтобы рассмотреть этот вопрос. Для удобства обозначим ограничение функции Fi._.k, определенной на пересечении lit f) ... f) Uk, на подмножество <Ut fl ... fl Uk fl 4LX fl... ... fl Un через

Ft... ^...n (=Fz_fcl(l_n)).(6.10.61)

Пусть теперь ftj и g^-p — два коцикла, определенные по отношению к покрытиям № и (Г?), соответственно, на РТ+. Определим покрытие № которое назовем обидим подпокрытием

Рис. 6.16. Когда выполняется условие кограницы, интеграл сводится к интегралу по набору стягиваемых замкнутых контуров и оказывается равным нулю.

покрытий {^}и{Г7}:

W; = WZ7 = ^ П Г7, (6.10 62) где I— собирательный индекс, заменяющий два независимых индекса i, I. (Аналогично мы будем обозначать через / пару индексов /, / и т. д.). Введем также обозначения

Ъ,=Мт7- г« = г<7|„- (6'0.63)

Легко видеть, что после перехода к подпокрытию кограница остается кограницей, а также выполняются условия коцикла (6.10.57) и (6.10.58) для функций в (6.10.63) (роль обычных индексов будут играть собирательные индексы). Однако может случиться так, что новые кограницы, возникающие в подпокрытии, приведут к такому расширению классов эквивалентности, что 1-функции, отличные от нуля в исходных покрытиях, окажутся равными нулю в подпокрытии. Относя 1-функции к подпокрытию, мы можем их складывать: сумме величин f;/ и g^ отвечает сумма ^j + gu. Поскольку некоторые из 1-функций могут обращаться в нуль при переходе к подпокрытию, можно определить 1-функцию на всем пространстве (в данном случае на пространстве РТ+), не зависящую от выбора покрытия, как прямой предел при переходе ко все более тонкому покрытию. (Проще говоря, это означает, что всякую 1-функцию можно представить с помощью 1-коцикла на некотором покрытии, но

чтобы выяснить, определяют ли два коцикла, взятые в одном и том же или в различных покрытиях, одну и ту же 1-функцию, нам, быть может, придется обратиться к подпокрытию этого покрытия.) Подводя итог всему изложенному, с учетом данного определения) можно сказать, что твисторная-волновая функция безмассовой частицы в состоянии; с определенной спиральностью есть голоморфная однородная {-функция в пространстве Т+. ■

. r-Функции общего вида

Полный анализ следствий рассматриваемого формализма завел бы нас слишком далеко. Отметим только, что он связан с мощной математической техникой: имеется много глубоких математических результатов, которые можно привлечь для изучения когомологий этого типа (когомологий пучков). Существует исчисление r-функций (или элементов r-х групп когомологий) [116, 54], в котором определены операция сложения, операция умножения, а также понятие интеграла. Теория твисторов показывает, что такое исчисление должно иметь важное значение при исследовании природы квантовых частиц. Поэтому мы хотя бы вкратце остановимся на определении г-функций.

Такие функции можно определить на комплексном многообразии С? общего вида и даже на всяком паракомпактном хаусдорфовом топологическом пространстве. Но. поскольку для нас важны лишь голоморфные функции), этот последний случай мы рассматривать не будем. Пусть {<%}—локально-конечное покрытие многообразия Q. Для всякого неотрицательного целого г определим r-коцепь (Чеха) по отношению к {4Z;} как набор голоморфных функций {/) ; }, удовлетворяющих условиям:

f. , определена на 41, f] • • • V\4L, , (6.10.64)

= (6.Ю.65)

Эта г-коцепь будет г-коциклом, если дополнительно

fu... Л = 0-(6.10.66)

Здесь вертикальной черточкой обозначено ограничение в том же смысле, что и в (6.10.61), а квадратными скобками —обычная антисимметризация. Очевидно, что частным случаем равенства (6.10.66) является равенство (6.10.58), так как более строгая его запись имеет вид: /г,-1^ — Аа|/ + /м|1 = 0; очевидно также, что равенство (6.10.57) есть частный случай равенства (6.10.65), Некоторую r-кограницу в покрытии {<%} можно следующим образом выразить через г-коцикл:

tl..jk=\l...i^(6-Ю.67)

для некоторой голоморфной (г— 1)-коцепи {ft/.../}. Ранее рассматривавшееся равенство (6.10.59)—частный случай этого общего соотношения (умноженного на 2). Такие же рассуждения, как и при доказательстве тождества d2 = 0 в формуле (4.3.17) (tZ— оператор внешней производной), показывают, что всякая r-кограница есть в действительности r-коцикл. В самом деле, если определить пограничный оператор б1) как отображающий (г—1)-коцепь h в г-коцепь / по формуле (6.10.67), то мы получим

б2=0, т. е. hv a\felA = 0,(6.10.68)

так как порядок, в котором вычисляется ограничение функции, очевидно, несуществен [формула (6.10.61)].

Теперь можно определить r-функцию в данном покрытии {^;) как r-коцикл по модулю r-кограниц. Тогда (голоморфная) r-функция на пространстве Q получается как прямой предел r-функции в покрытии аналогично случаю 1-функции. При таком определении 0-функции действительно оказываются обычными голоморфными функциями.

Разумеется, вычисление прямого предела составляет определенную сложность, однако существуют теоремы [116, 111, 130], из которых следует, что в (данном) случае когомологий голоморфных пучков на самом деле нет необходимости переходить к пределу, если выбрать подходящие множества °LU, а именно «голоморфно выпуклые» (или, более строго, «многообразия Штейна» [119]).

Если принять, что в твисторной теории волновые функции отдельных безмассовых частиц должны быть голоморфными 1-функциями на Т+ (или Т+), то естественно будет сделать вывод, что квантовое состояние системы п безмассовых частиц при твисторном подходе должно описываться «-функцией, определен

*) Наше определение отличается от общепринятого простым множителем. Обозначения, которыми мы здесь пользуемся, были предложены Хьюстоном.

ной на соответствующей области пространства, равного произведению п твисторных пространств, т. е. n-функцией п твистор- ных переменных. В самом деле, мы можем определить произведение r-функции на s-функцию так («чашечное произведение»), чтобы оно было равно (г + s)-функции [116]. Тогда, перемножив 1-функции, описывающие состояния отдельных частиц (и образовав их линейные комбинации), мы получим упомянутую л-функцию, описывающую состояние системы частиц. Пока что не ясно, как построить твисторные функции, которые описывали бы массивные частицы. Можно думать, что они тоже должны быть какого-то рода r-функциями нескольких твисторных переменных, и очень притягательна мысль, что отдельная массивная частица должна описываться твисторной 1-функцией. Тогда описание систем массивных частиц четко отличалось бы на уровне когомологий от описания систем безмассовых частиц и можно было бы думать, что вообще л-частичная твисторная волновая функция должна быть л-функцией.

Нелинейные 1-функции

Есть и еще одна причина, чтобы приписывать 1-функции особую роль, аналогичную роли отдельной частицы. Это связано со способом включения взаимодействия. Напомним, что 1-функция есть семейство обычных функций, определенных на пересечениях открытых множеств и удовлетворяющих некоему условию совместности [условию коцикличности (6.10.58)] на пересечениях троек множеств. Это напоминает введение координат на многообразии с помощью координатных окрестностей: на пересечении каждой пары окрестностей определены функции перехода, задающие переход от одной координатной системы к другой, причем на пересечении трех множеств эти функции должны удовлетворять некоторым условиям совместности. Кроме того, если нас интересуют лишь внутренние свойства многообразия, то можно произвольно менять координаты в каждой окрестности. Этот дополнительный произвол аналогичен произволу добавления кограницы вида (6.10.59), причем функции hi [формула (6.10.60)] аналогичны функциям перехода к новым координатам. Основное различие же состоит в том, что соотношения (6.10.58) и (6.10.59) линейны, тогда как соотношения между функциями перехода, вообще говоря, нелинейны.

Здесь мы имеем не просто внешнюю аналогию. Рассмотрим вместо склеивания многообразия из открытых множеств лишь инфинитезимальную деформацию заданного (комплексного) многообразия Q. Мы разделяем многообразие Q на систему исходных открытых множеств {^г), а затем вновь склеиваем их несколько по-другому. Если новая склейка мало отличается от ис-

Рис. 6.17. Деформация комплексного многообразия Q.

ходной, то относительное смещение можно представить векторным полем, определенным на пересечении каждой пары окрестностей, и в этом случае условия совместности для векторного поля на пересечении трех окрестностей в точности совпадают с равенством (6.10.58) (рис. 6.17). Условие же тривиальности деформации, т. е. условие того, что деформированное многообразие эквивалентно исходному в принятом здесь смысле, совпадает с условием (6.10.59) (записанным для векторных полей). Мы видим, что деформации описываются голоморфными 1-функциями или, точнее, векторными полями 1-функций.

Итак, в определенных ситуациях 1-функции можно рассматривать как отвечающие линеаризованным деформациям, имеющим, быть может, смысл приближения к точной теории, описывающей нелинейные деформации. В теории твисторов существует точка зрения, согласно которой взаимодействия следует трактовать в терминах деформаций, по отношению к которым 1-функции свободных частиц играют роль линейного приближения. Поскольку взаимодействие вводится между отдельными частицами, а не системами частиц, можно предположить, что основную роль в такой теории должны играть 1-функции.

Действительно, эта точка зрения получает определенную поддержку (хотя перспективы пока не ясны) при анализе следующих двух примеров. Пространство Т* твисторных 1-функций, однородных степени +2, описывает частицы со спиральностью — 2й (гравитоны), и соответствующие контурные интегралы дают волновые функции фдвсп, удовлетворяющие линеаризованным уравнениям Эйнштейна для антисамодуального случая.

Оказывается, что с помощью этих функций можно описывать линеаризованные деформации областей в Т, которые экспонен- цируются до конечных деформаций. Отсюда получаем в пространстве-времени (хотя и в неявном виде) общие решения нелинейных уравнений Эйнштейна с антисамодуальным тензором кривизны Вейля (т. е. правоплоские комплексные многообразия пространства-времени, см. с. 159), а также работу [252]). Аналогично, рассматривая деформации областей в Т., можно получить решения с самодуальным *) тензором Вейля (левоплоские).

■Конструкция Уорда'

Другой хороший пример того же явления — конструкция Уорда [357] общих антисамодуальных (или самодуальных) решений полевых уравнений Янга—Миллса. Напомним, что антисамо- дуальному полю Янга — Миллса отвечает связность Ха в расслоении, антисамодуальная часть кривизны которой равна нулю. Уравнения Янга — Миллса в этом случае будут следствиями тождества Бианки для этого поля [формулы ( 5.5.35) — (5.5.50) и далее]. В обозначениях (5.5.37), (5.5.49) данное требование к кривизне может быть записано в виде Хд-в-е^ = 0> т- е- [в силу второго равенства (5.5.40)] в виде уравнения

Пл^Ц^^О(6.10.69)

для любого заряженного поля Янга — Миллса рУ (как обычно, □л'в'= ^жа'^в'))-Мы считаем что поле рУ в каждой точке принадлежит конечномерному комплексному векторному пространству Т^, а векторное расслоение Янга — Миллса $ голоморфно в рассматриваемой области пространства СМ. Условие (6.10.69) можно переписать, пользуясь скобками Ли [формула (4.3.26) ], в виде

[^Уд'о, лвУВ'1]мУ = 0(6.10.70)

(компоненты отнесены к неподвижной спиновой системе отсчета) при всех значениях Лд^еЗл7. Далее, а-плоскость в СМ есть изотропная комплексная 2-поверхность, в каждой точке которой касательная плоскость натянута на векторы оллл' и 1ллл', отвечающие некоторому фиксированному значению яд' (см. с. 81 и гл. 9, § 3). Уравнение (6.10.70) показывает, что связность Янга — Миллса интегрируема на всякой a-плоскости. Следовательно, заряженные поля Янга — Миллса, определенные в непустой связной односвязной области на a-плоскости, глобально параллелизуемы. Поскольку каждой a-плоскости Z отвечает единственная точка Z пространства РТ" (см. с. 81, гл. 9, § 3 и таблицу (9.3.22)], множество постоянных заряженных полей Янга — Миллса рУ, постоянных на Z, образует векторное пространство, которое можно рассматривать как слой над точкой Z ^ РТ*. Этот слой изоморфен исходному векторному пространству У41", совпадающему со слоем расслоения $. Те а-плоскости (или куски а-плоскостей), на которых выполняется условие глобальной параллелизуемости, образуют подмножество 'if пространства РТ", с каждой точкой которого связана копия исходного векторного пространства Янга — Миллса У5". Таким образом, мы имеем ^’-расслоение ^ над ^ с РТ*. Это расслоение будет голоморфным по построению.

Менее очевидным представляется то обстоятельство, что связность Янга — Миллса Va, а вместе с ней и кривизна Янга — Миллса Fаъ ф^ полностью определяется условием голоморфности расслоения ^ над ef. Несмотря на то что на ^ введения связности не требуется, информация об исходном расслоении ^ и его янг-миллсовой связности Va содержится в структуре Ч?. Чтобы объяснить в общих чертах, почему это становится возможным, начнем с того, что с помощью ^ можно восстановить $ (над некой областью в пространстве СМ, которая не обязательно совпадает с базой исходного расслоения ^. Каждой точке R е СМ соответствует проективная прямая R в РТ", и, если R с ЧУ, исходное голоморфное расслоение ^ индуцирует над R расслоение ^r. Это расслоение обладает тем свойством, что оно допускает лишь постоянные голоморфные сечения. (Это следует из общей теории голоморфных векторных расслоений [54, 118], если для расслоения ^r выполняются определенные условия «стабильности», как в общем, «генерическом», случае, так, следовательно, и тогда, когда ^ получено из заданного расслоения X как в нашем случае.) Этими постоянными сечениями определяется векторное пространство, играющее роль слоя над точкой R <= СМ в расслоении Я?. Чтобы показать, что в этой конструкции неявно содержится информация о связности на ^, рассмотрим семейство линий R с ^fc РТ", проходящих через фиксированную точку 7еУ (рис. 6.18). Поскольку слой над Z бу-

Слой наЭТСлой наЭТСлои над RСлои над R• R• RСвязность ЯМ, интегрируемая на с<-плоскостиСвязность ЯМ, интегрируемая на с<-плоскостиПостоянное сечение над d~ плоскостью, использующееПостоянное сечение над d~ плоскостью, использующееВ вилу голоморажой структуры 3 — только постоянные сеченияВ вилу голоморажой структуры 3 — только постоянные сеченияРис. 6.18. Конструкция Уорда в случае (анти-) самодуальных полей Янга — Миллса.Рис. 6.18. Конструкция Уорда в случае (анти-) самодуальных полей Янга — Миллса.

Слой наЭТ

Слой наЭТ

Слои над R

Слои над R

• R

• R

Связность ЯМ, интегрируемая на с<-плоскости

Связность ЯМ, интегрируемая на с<-плоскости

Постоянное сечение над d~ плоскостью, использующее

Постоянное сечение над d~ плоскостью, использующее

В вилу голоморажой структуры 3 — только постоянные сечения

В вилу голоморажой структуры 3 — только постоянные сечения

Рис. 6.18. Конструкция Уорда в случае (анти-) самодуальных полей Янга — Миллса.

Рис. 6.18. Конструкция Уорда в случае (анти-) самодуальных полей Янга — Миллса.

дет общим для всех расслоений *^R, индуцированных над различными линиями R из ’S’, переход от одного постоянного сечения к другому задается отображениями слоя над Z на себя. Таким образом возникает естественный изоморфизм между всеми слоями над a-плоскостью, т. е. мы имеем глобальный параллелизм для поля рУ на a-плоскости. Это дает связность Va, ограниченную на a-плоскость, а рассматривая затем совокупность всех a-плоскостей, мы получаем связность Va на всем пространстве (которая, разумеется, уже не обязательно будет глобально-ин- тегрируемой). Этим завершается доказательство утверждения о том, что связность Янга — Миллса Va полностью определяется условием голоморфности расслоения <8*.

Поскольку расслоение 'S’ не требует введения связности, роль функций склейки в нем могут играть произвольные голоморфные функции, определенные в соответствующих областях. [Разумеется, если группой Янга — Миллса будет GL^n, :С); в противном же случае следует доопределить генерические элементы группы Янга — Миллса как решения некоторых алгебраических, но не дифференциальных уравнений.] Склейка осуществляется (так же как в гл. 5, § 4) заданием функций перехода между областями пространства расслоения, лежащими над множествами 4Zi, образующими некоторое (локально-конечное) открытое покрытие множества1^. Если группа абелева (как в случае электромагнетизма), то условия склейки будут линейными и, следовательно, могут описываться некоторой 1-функцией. В неабелевом же случае получаем пример функций склейки, которые могут рассматриваться как нелинейные обобщения 1-функций, обсуждавшихся выше.

Пример конструкции Уорда

В заключение мы несколько подробнее остановимся на том, как осуществляется конструкция Уорда. В качестве группы Янга — Миллса $ будем рассматривать группу комплексных матриц [^cz GL^n, С)]. Чтобы построить ^?, выберем подходящее покрытие {^J подпространства ^. На пересечении каждой пары окрестностей ^ f] ^ зададим n X «-матрицу рц твистор- ных функций, однородных степени 0 и таких, что

Fz;(Z“)cz^,(6.10.71)

VM = Yit-\(6.10.72)

причем на пересечении трех окрестностейвыполняются условия

Fi;F;6 = Fz6 (нет суммирования).(6.10.73)

[Строго говоря, уравнение (6.10.73) должно быть записано в виде (FZ/js) (Р/дjz) = Fz&|/, и то же самое относится к некоторым формулам ниже. Кроме того, в обозначениях гл. 5, § 4 следовало бы записывать матрицу FZ/ как Fi/e'1', но мы для упрощения записи придаем корневой букве матричный смысл, а индексы Янга — Миллса опускаем. Поскольку мы рассматриваем конкретную конструкцию, эти индексы принимают численные значения.] [Уравнения (6.10.72) и (6.10.73)—нелинейные аналоги уравнений (6.10.57) и (6.10.58).]

Напишем теперь

GM(ra, лл') = Р/6(/гЛлл4', Лж). (6.10.74)

Из общей теории следует, что (если выполняется условие «стабильности», упомянутое выше) матрицу Gjk всегда можно «расщепить» следующим образом:

Gik(ra, лл')=Н;(га, лл')[Н*(га, лЛ')]-1,(6.10.75)

где матрица Н, г 8? будет однородной функцией переменной л л степени 0 и при заданной линии R определяется на пересечении 'W; fl R. [Это нелинейный аналог условия типа (6.10.59), при котором коцикл является кограницей.] На практике построение расщепления (6.10.75) может оказаться очень сложной задачей; в этом смысле данная конструкция Уорда на самом деле не «явная». Расщепление выполняется неоднозначно, с точностью до «калибровочного преобразования»

Н; (г°, ЯлО Н; (Н, ЯлО А (г°),(6.10.76^

где Xeg есть голоморфная функция переменной га.

В силу соотношения (6.10.74) [формула (6.10.6)] оператор лл'Гла' дает нуль при действии на G/д. Действуя этим оператором на соотношение (6.10.75), получаем на пересечении каждой пары окрестностей равенство

Н7*лл ?лл'Н/= Нд *лл 7дл'Нд (по /", к нет суммирования).

(6.10.77)

Это равенство можно рассматривать как условие согласования на пересечении /-й и &-й окрестностей для (©л-значной) матрицы 0л, которая при любых фиксированных значениях вектора га будет голоморфной и однородной функцией переменной лл' степени 1. Используя условия согласования на пересечениях всех пар открытых множеств (окрестностей) вида П R, продолжаем 0л до глобальной функции лЛ' (так как га имеет смысл радиус-вектора точки R, образ которой — прямая R в РТ — полностью принадлежит рассматриваемой области ^). Отсюда следует равенство

0л (га, лл') = 1‘лл'Флл'(га),(6.10.78)

где Фа(гь) — некоторое поле в пространстве-времени. Действуя оператором лв'Т^, на обе части равенства (6.10.77), получаем

Т^в'Флч а + 1Ф&'Фаз а = о.(6.10.79)

Теперь можно выписать индексы Янга — Миллса явно, заменив 0л на 0лечг, а Фа на Фае^ и переписав последнее уравнение в виде

"Х-А'В'е ~^(В'^А')Ае + ^«(В'^л'ля = Д (6.10.80)

что дает требуемое условие антисамодуальности в силу второго равенства (5.5.41). Преобразование (6.10.76) индуцирует на полях Фа обычное калибровочное преобразование полей Янга — Миллса (5.5.25):.

фан->А-1фаЛ-/Л_,7аД.(6.10.81)

Очевидно, что в случае самодуальных полей возможно вполне аналогичное построение, в котором, однако, роль пространства РТ' будет играть пространство РТ.. (Произвольные поля Янга— Миллса, а не только самодуальные или антисамодуальные, рассматривались методами, близкими к твисторным, в работах [151, 373]. Соответствующая конструкция, однако, не столь проста и эффективна, как конструкция Уорда.)

Отметим, что в конструкции Уорда информация о локальном поле в пространстве-времени «закодирована» в глобальной структуре твисторного описания, тогда как в конкретном тви- сторном описании нет никакой локальной (дифференциальной)

информации. Какое бы конкретное поле Янга — Миллса мы ни «закодировали» в структуре расслоения ^, вид расслоенного пространства над сколь угодно малой, но конечной областью в РТ* будет один и тот же, если не меняется группа ^. Такая «сублимация» локальных полевых уравнений (в пространстве- времени) в глобальную голоморфную структуру есть характерная (и весьма замечательная) особенность твисторного формализма.

Это еще более разительно в случае твисторной конструкции для (анти-) самодуальных решений уравнений («нелинейного гравитона»), о которой мы здесь скажем лишь несколько слов [252] (случай ненулевой космологической постоянной см. в работе [360]). Пусть Л— комплексное пространство-время (с. 157) с антисамодуальной кривизной Вейля ^ А.в.с.!у = 0), чем обеспечивается локальное существование комплексного 3-параметриче- ского семейства a-плоскостей, т. е. комплексных 2-плоскостей, касательные векторы к которым имеют вид ХЛлЛ при фиксированных значениях Хл и лл • Эти «-плоскости отвечают точкам искривленного проективного твисторного пространства Р^, а при условии, что масштаб спинора лл, выбран ковариантно-постоянным (лв^вв,лл,= 0)—точкам пространства 9". Эйнштейновские уравнения Ra6 = 0 и самодуальность играют роль условий интегрируемости, определяющих параллелизм штрихованных спиноров ((Va, Уь1лл' = 0), что дает проекцию П: 9" —>5Л'— {0}, (где S —• пространство постоянных спиноров лЛ'). Локально л определяется простой (с. 25) 2-формой т (= V2 ”ел'в'лЛ' Л лв-”). Определены также 4-форма объема е (= х(^ ”eap76 dZa Л dZ9 Л Л dZ4 Л dZ6”) и эйлерово векторное поле Y (= "Zad/dZa”), интегральные кривые которого дают проекцию 9~ ->Р^“. Выполняются соотношения £гт = 2т, £rs = 4s, откуда следуют степени однородности 2 и 4 для т и е, соответственно. Чтобы восстановить Л из 9", мы отождествляем точки пространства Л с сечениями расслоения, определяемого проекцией П: пара точек на Л будет разделена изотропным интервалом в том и только том случае, если соответствующие сечения совпадают. Формы т и е служат для того, чтобы фиксировать метрику на Л. (Даже в отсутствие т, 8, Г или П такая конструкция, рассматриваемая на Р9", дает полу-конформно-плоское пространство-время Л общего вида.) Локально пространство 9" образовано областями ^ с Т, что '^следует из формулы Z“;] = вГй df.JdZp где е — бесконечно малая величина, Z“ е 911 и ftj определяет 1-функцию, однородную степени 2.

7

Изотропные конгруэнции

Изотропные конгруэнции и спиновые коэффициенты

Конгруэнции изотропных линий в пространстве-времени (в дальнейшем именуемые изотропными конгруэнциями), и особенно конгруэнции лучей (изотропных геодезических), играют важную роль в теории электромагнитного и гравитационного излучения, а также при построении точных решений уравнений Эйнштейна. Напомним, что конгруэнцией называется семейство линий, поверхностей и т. д., обладающее тем свойством, что через каждую точку рассматриваемой области пространства проходит один и только один элемент этого семейства. (Пространство элементов, касательных к конгруэнции, называют слоением [127].) Но, поскольку все вычисления, рассматриваемые в данной главе, носят локальный характер в пространстве-времени, требование взаимно-однозначного соответствия элементов конгруэнции всем точкам пространства-времени здесь несущественно. Изотропные конгруэнции часто оказываются глобально многолистными; это означает, что при возврате по замкнутому контуру в пространстве-времени в исходную точку ассоциированная линия конгруэнции не возвращается к первоначальному положению. Однако данное обстоятельство не может сказаться на результатах нашего локального анализа. Кроме того, конгруэнция может содержать особые точки (такие, как точки ветвления и «источники» мировых линий, служащие началом семейства расходящихся линий). Будем считать, что в рассматриваемой области нет таких сингулярностей. Мы здесь исследуем геометрические свойства изотропных конгруэнций, многие из которых тесно связаны с описанием физических явлений. При этом в значительной мере будет использоваться формализм спиновых коэффициентов в его исходной (а также модифицированной) формулировке.

Конгруэнцию ^ линий р, можно задать, указав в пространстве-времени Л (или на открытом подмножестве последнего) поле векторов 1а, касательных к линиям р. Линии р, будут интегральными кривыми поля 1а. Выбрав для каждой кривой р, конгруэнции ^ подходящий параметр и, можно задать «масштаб»

(scaling) векторов Za соотношением

(7.1.1)(7.1.1)1аЧаи = 1.

(7.1.1)

(7.1.1)

Тогда производная по параметру и от любой гладкой скалярной функции /, определенной вдоль кривых це^, записывается в виде .

# = /aVaf = Z(/). (7.1.2)

Если в координатах ха на ^ уравнения кривых р, имеют вид ха = ха(и, t/1, t/2, у3),.(7.1.3)

где у1 (i = 1, 2, 3) — параметры, «маркирующие» отдельные кривые конгруэнции, а и — параметр, «маркирующий» точки одной кривой, то имеем

Мы будем рассматривать только изотропные конгруэнции, т. е. такие, которые характеризуются условием

Ма = 0.(7.1.5)

Параметр и выбирается так, чтобы вектор Za был ориентирован в будущее и нигде не обращался в нуль. С вектором Za стандартным образом ассоциируется спин-вектор о-4:

Za = олол',

причем ориентацию полотнища флага с-4 мы пока что считаем произвольной.

Изотропные геодезические-, интерпретация спиновых коэффициентов X U 8

Конгруэнция является геодезической (т. е. всякий ее элемент является геодезической), если векторы Za переносятся параллельно вдоль кривых конгруэнции:

la^Qlb ос 1Ь.(7.1.6)

Если к тому же выполняется равенство

/“VaZ6 = 0,(7.1.7)

то параметр и называется аффинным. Такая параметризация всегда возможна при условии (7.1.6). В этом случае, определяя С = ZaVa [формула (4.5.23) ], имеем

Doa ос ол.(7 . 1.8)

Если же выполняется и условие (7.1.7) (и только при этом условии), спинор оА можно выбрать так, чтобы он удовлетворял уравнению

DoA = 0. (7.1.9) С геометрической точки зрения это означает, что не только флагштоки, но и полотнища флагов параллельны вдоль кривых % (см. гл. 3, § 2 и гл. 4, § 4 относительно геометрической интерпретации спин-векторов).

Отметим, что условие геодезичности (7.1.8) эквивалентно условию

оД£)ол = 0, (7.1.10) т. е. [формула (4.5.21)] равенству

х = 0. (7.1.11)

Таким образом, параметр х можно рассматривать как меру кривизны каждой из линий р, конгруэнции Ч?. Однако в силу конформного поведения величины х (имеющей определенный спиновый и бустовый вес)

ол н-^Яо^хн-^ЯЧх, (7.1.12) фактическое значение х (если не считать случая х = 0) не имеет геометрического смысла для линии р, без заданного на ней масштаба (unsealed). Только в случае линии р, с заданным масштабом (scaled), т. е. линии ц с выбранным гладким семейством касательных векторов в каждой ее точке, или, что эквивалентно, линии ц с выбранным параметром и, фиксированным с точностью до константы (u i—* у + А), модуль величины х приобретает инвариантный смысл. В самом деле, в этом случае, какова бы ни была гладкая положительная функция г на ц, скажем г = ЛЛ, при масштабном преобразовании (7.1.12) имеем

Из 1а rla (или u>—*r—*и) следует |x|t—>г2|х|. (7.1.13) Заданием масштаба (scaling) на ц посредством /а или и исключается всякое масштабное преобразование спинора о-4, кроме такого, при котором r= 1. Необходимость выбора масштабного преобразования для р, (вместо задания некоего канонического масштабного преобразования) обусловлена, разумеется, изотропным характером этой линии, а именно отсутствием параметра типа собственной длины или собственного времени, на который можно было бы нормировать векторное поле 1а. Чтобы приписать смысл величине argx, необходимо не только задать масштаб на р, но и фиксировать положение полотнища флага в каждой точке этой линии. К вопросу о геометрической интерпретации величины х и других спиновых коэффициентов мы вернемся чуть позднее.

Предположим, что ^ — геодезическая конгруэнция. Это означает, что выполняется условие (7.1.8), которому эквивалентно, как мы видели выше, условие (7.1.11)

оловол'УЛЛ'ОВ = 0,(7.1.14)

а стало быть, и все следующие равенства:

олол'УЛЛ'Ов = еов,(7.1.15)

oboa'VAA'Ob = рол,(7.1.16)

олов Уллюв = оод',(7.1.17)

где е, р, о — некоторые коэффициенты пропорциональности. Последние совпадают со спиновыми коэффициентами, определенными в формуле (4.5.21) (для а это справедливо только при дополнительном условии, что величина х = олИ действительна). Это можно показать, выполнив в каждом из уравнений свертку со спинорами iB, 1Л и 1Л' соответственно. Для простоты в дальнейшем мы будем полагать, что спиноры ол и И образуют спиновую систему отсчета, т. е. выполняется условие

Х = 1

и, следовательно, имеют место соотношения (4.5.29).

Отметим, что в формулы для величин е, р и а не входит И, поскольку х = 0. Таким образом, эти величины полностью определяются геометрией поля оА.

Как явствует из сравнения соотношений (7.1.15) и (7.1.9), для того чтобы геодезическая конгруэнция ^ допускала аффинную параметризацию, а полотнище флага переносилось вдоль нее параллельно, необходимо и достаточно условия

е = 0.(7.1.18)

Условие одной лишь аффинной параметризации таково:

е + е = 0(7.1.19)

[формулы (7.1.7), (4.5.21)]. Условие же одного параллельного переноса полотнищ флагов имеет вид равенства

е —е = 0.(7.1.20)

Последнее означает, что за счет масштабного преобразования спинора оА;

оа^Хоа(7.1.21)

(с действительным множителем Л) можно добиться того, чтобы выполнялось равенство 8 = 0, ценой изменения лишь протяженности флагштока.

Для дальнейших ссылок соберем все полученные результаты в следующей таблице:

геодезическая <=

> х = 0;

геодезическая, параметр и

Конгруэнция ^ аффинный -^ х = 0, е + ё = 0;

геодезическая, полот шица флагов

параллельны <£=>■ х = 0, е— ё = 0; (7.1.22)

DoA = 0<=>х = 0, е=0,

DiA = 0 <=> V = 0, е=0.

Последнее условие получается, если перейти к диадным компонентам в левой части и затем воспользоваться таблицей (4.5.21). Из первого условия и формулы (5.6.28) следует, что лучи конформно- инвар иантны.

Из уравнения (7.1.14), а также из результатов гл. 3, § 2 следует, что величина 2Re(e) есть мера возрастания протяженности флагштоков спинора ол вдоль конгруэнции, а 2 Im (б) — мера поворота его полотнища флага в положительном направлении при смещении вдоль конгруэнции.

Теперь можно дать геометрическую интерпретацию коэффициента х в случае, когда конгруэнция ^ не обязательно геодезическая. Благодаря изотропности вектора /а его производная Dla ортогональна ему. Таким образом, имеем

Dla = (е + е) /а — игпа — йпга,(7.1.23)

так как из (4.5.22) следует, что

maDla = x, таВ1а = й, па Dla = 8 + ё. (7.1.24)

Отсюда, между прочим, получаем полезное соотношение

DlQ Dla = — 2хх.(7.1.25)

Как нетрудно видеть, путем соответствующего изменения масштаба на ц (ол н-> ХоА, 1Л I—> А,-11Л) можно добиться, чтобы коэффициент е был равен нулю. (С геометрической точки зрения это означает, что мы выбираем спиноры iA параллельными вдоль ц.) Поэтому первое слагаемое в правой части равенства (7.1.23) не связано с геометрическими характеристиками конгруэнции <8. Следовательно, поворот линий конгруэнции определяется величиной— 'кгпа — йта. Нам будет удобно описывать геометрию конгруэнции ^?, используя плоскость П, натянутую на действительную и мнимую части вектора та. Ее можно рассматривать как плоскость Арганда комплексной переменной 21/2£ = X— /У, где X и У — координаты тетрады Минковского, ассоциированной

с диадой ол, 1Л [формула (3.1.20)]. Произвольный вектор на плоскости П записывается в виде

" оа = Хха+ Ууа = ^та + $та.(7.1.26)

Вектор иа, для которого = —х, характеризует вращение касательного вектора 1а, если е = 0 [формула (7.1.23)]. Следовательно, модуль вектора оа, равный 21/2|^| = 21/2|х|, есть мера кривизны линии, тогда как argx характеризует направление кривизны по отношению, скажем, к ха, т. е. к полотнищу флага спинора ол (см. рис. 1.17).

Интерпретация величин р, ст их; изопараметричность лучей

В отличие от е коэффициенты р и ст характеризуются определенными бустовыми весами, а именно при масштабном преобразовании (7.1.21) имеем

pi—*ХХр, ст ।—>А3Х-1ст,

т. е. [формула (4.12.13) при х = 1] рист— величины типа {1, 1} и {3, —1} соответственно. Таким образом, их нельзя свести к нулю за счет масштабного преобразования и, как мы видели, они не зависят от выбора И в случае геодезической конгруэнции ^. Исходя из определения этих величин, можно показать (см., например, [294]), что при Dla = 0

р = 4 (~ V„/a ± I Vs^^WT),(7.1.27)

ао = ^ (?«,/») W> - 4 ^ala?X) -(7.1.28)

Следовательно, можно утверждать (и мы это покажем), что условие равенства нулю коэффициента р или ст связано с каким-то геометрическим свойством геодезической конгруэнции У?. В случае негеодезической конгруэнции ^ любую из величин р, ст, s можно свести к нулю за счет выбора спинора И, не изменяя масштаба. В самом деле, поскольку в этом случае оловолТлл'Ов =/= 0 и, например, величина оволТлл'Ов не пропорциональна спинору ол, достаточно выбрать i4 ~ оволТлл'Ов, чтобы коэффициент р обратился в нуль: р = 1ловол7лл'Ов = 0. Аналогично можно добиться того, чтобы были равны нулю коэффициенты о И 8.

Исследуем теперь взаимное расположение близких друг к другу линий конгруэнции ^. Для этого введем понятие вектора девиации qa: он направлен из точки Р луча ц в точку Р' соседнего луча ц', отвечающую тому же, что и Р, значению параметра и. (Векторы такого типа образуют векторное поле вдоль

фиксированного луча ц е ’§’.) Математически это можно выразить как равенство нулю производной Ли вектора qa в направлении 1а, поскольку векторы qQ переносятся параллельно вдоль векторного поля 1а [формула (4.3.3)]:

£</ = 0, т. е. Dqa = qbVbla,(7.1.29)

на р. (При этом достаточно определить поле qa только на луче р. Кроме того, не обязательно считать, что поле 1а образовано изотропными векторами, но мы примем это условие.) Можно очень просто доказать эту формулу, используя представление (7.1.3), (7.1.4) конгруэнции Ф, в котором

(бу1 = const).(7.1.30)

ду.

Имеем очевидное равенство

д (дха\ д Г дха Ади \dyv ду1 V ди )

Умножая обе его части на константу бу1 и сворачивая по 1, получаем соотношение

которое эквивалентно второму равенству (7.1.29), так как в силу инвариантности операции (4.3.2) относительно выбора (симметричного) оператора связности V скобка Ли не изменяется при переходе от координатной производной к ковариантной.

Нас в первую очередь интересуют такие свойства конгруэнции *6”, которые «не слишком сильно» зависят от выбора масштаба; фактически для нас важны «масштабно-ковариантные» величины, которые при изменении масштаба просто приобретают числовой множитель, например la>—>rla или ол'—>Хол. В тензор Vbla, описывающий перенос векторного поля qa вдоль луча в соответствии с формулой (7.1.29), входят величины, преобразующиеся ковариантно, и другие величины, не обладающие таким свойством. Мы увидим, что можно отобрать только масштабноковариантные величины (или величины, им комплексно-сопряженные), которые, поскольку они обладают такими простыми трансформационными свойствами, принадлежат к модифицированному формализму спиновых коэффициентов, если ввести вектор

Sb = oA4boA (7.1.31) с масштабными свойствами

Sb^X2Sb. (7.1.32)

Этот же вектор можно получить из Хь1а следующим образом: ол76/а = олУ6 (одод') = 5»од',(7.1.33)

а также записать в форме, в которой он лишь кажется зависящим от г4:

Sb = QAxA^bla = ma^bla-(7.1.34)

Компоненты ололУ6/а, ол1л'Уй/а тензора Хь1а являются масштабно-ковариантными, а величина |Ал'Уь/а—_нет. Величины первой группы могут быть выражены через S6 и Зь. Следовательно, скаляр SbUb будет масштабно-ковариантной частью тензора Хьк, если мы перемещаемся в направлении иь. Поскольку диадными компонентами вектора Sb будут как раз спиновые коэффициенты х, р, о, т:

x=:Soo', Р = Зю', о = Зои, T = Sir, (7.1.35)

мы заключаем, что величины х, т, 2-1/2(о4- р), 2~1/2(о—р), грубо говоря, показывают, как изменяется направление вектора /а при смещении вдоль 1°, п.а, ха и у11 соответственно. Однако вектор Sa является «более инвариантным» носителем этой информации, нежели набор спиновых коэффициентов, поскольку он не зависит от произвола в выборе спинора И.

Роль вектора SQ в уравнении переноса (7.1.29) можно выяснить, свернув это уравнение со спинором ол:

ол Dqa = о ArSbqb.(7.1.36)

Более точная информация о геометрическом смысле коэффициентов х, р, о и т содержится в уравнении (7.1.36) неявно. Чтобы извлечь ее, удобно выбрать спиноры И параллельными вдоль щ т. е. так, чтобы выполнялось равенство 2)И = 0, эквивалентное равенству е=т/ = 0 [формула (7.1.22)]. При таком выборе компоненты уравнения (7.1.36) записываются в виде

£)/г = х£ + х£,(7.1.37)

П^=-^-^-тК,(7.1.38)

причем h и £ входят в разложение вектора qa следующим образом:

<7a = g/a+^a + ^ma + /zna.(7.1.39)

Уравнение переноса для g менее интересно с геометрической точки зрения, поскольку оно не является масштабно-ковариантной частью уравнения (7.1.29). Оно получается как результат свертки уравнения (7.1.29) с И. Для полноты напишем здесь соответствующий результат:

Dg = (a+P)e + (a + P)e + (v + Y)A

[формулы (4.5.21), (4.5.29)]. Напишем также закон преобразования величин g, g, h, индуцированный общим допустимым преобразованием спинора И, а именно преобразованием Иь-> |— X"1 И + щол и ол •—* Хол:

(7.1.40)(7.1.40)g i—> X Ч vg — X ‘©g — X ‘tog + сошЛ,g ।—> A,X~‘g — ti>Xh, h ।—* XXh.

(7.1.40)

(7.1.40)

Уравнения (7.1.37) и (7.1.38) допускают матричную форму записи, которая иногда оказывается полезной:

- К -D £- К -D £гого— X р о— X р о— х 1 Г А "— х 1 Г А "оор JLg Jр JLg J(7.1.41)(7.1.41)

- К -

D £

- К -

D £

го

го

— X р о

— X р о

— х 1 Г А "

— х 1 Г А "

о

о

р JLg J

р JLg J

(7.1.41)

(7.1.41)

Как мы увидим, уравнение (7.1.38) позволяет дать ясную геометрическую интерпретацию величин р и о при условии, что /г — 0. Правда, из соотношения (7.1.37) следует, что если х^О (и g =#0), то величина h не может быть равна нулю вдоль всего луча ц. Но, как мы видели, коэффициенты р и а не зависят от И только при х = 0, так что четкая интерпретация этих величин возможна лишь при этом условии. Однако это и есть наиболее интересный случай.

Рассмотрим теперь изотропную геодезическую конгруэнцию S’ и предположим, что диада переносится параллельно1) вдоль каждого ее луча [4-е и 5-е соотношения (7.1.22)]

х = е = т' = 0.(7.1.42)

В этом случае уравнение (7.1.37) принимает вид

Dh = 0,(7.1.43)

что эквивалентно уравнению D<qal^ = 0.(7.1.44)

Будем называть два соседних луча изопараметрическими (abreast), если для них выполняется условие

(7.1.45)(7.1.45)qJa — 0,

(7.1.45)

(7.1.45)

т. е. h = 0. В том, что это свойство не зависит от выбора параметризации (очевидно, что оно также не зависит от выбора

спинора И), можно убедиться, выполнив подстановку

• qa qa + ^1а, (7.1.46) оставляющую условие (7.1.45) без изменения.

Если представить себе конгруэнцию наглядно в виде облака фотонов, то два изопараметрических луча будут соответствовать траекториям двух соседних фотонов, таких, которые в данный (а следовательно, во всякий') момент времени в локальном 3-пространстве наблюдателя лежат на 2-плоскости, перпендикулярной их траекториям (т. е. движутся «голова в голову» — abreast).

Более того, всякие два локальных наблюдателя увидят фотоны на одном и том же расстоянии друг от друга, если соответствующие лучи изопараметричны (и только при этом условии) . Действительно, если считать заданным лишь направление вектора /а, а остальные векторы тетрады па, та, пга выбирать произвольно по модулю требуемой нормировки, то всегда можно ввести тетраду Минковского наблюдателя, движущегося с произвольной скоростью. Его локальное 2-пространство натянуто на векторы та, пга, 1а — na = 21/2za [формула (3.1.20), рис. 1.17]. Лучи в соответствующем 3-пространстве расположены в направлении 2а, а векторы та, та лежат в ортогональной 2-плоскости. Путем репараметризации (7.1.46) можно добиться, чтобы выполнялось условие g = 0, и тогда из (7.1.39) находим, что вектор девиации лежит в той же 2-плоскости, а его (инвариантная) длина (255) */2 отвечает расстоянию между фотонами. Переход к новому наблюдателю отвечает выбору нового спинора И, а в формуле (7.1.40) мы видели, что величина 55 при этом не изменяется в том и только в том случае, если h = 0. Этим и завершается доказательство нашего утверждения.

Отметим, что инвариантность расстояния между изопараме- трическими фотонами, о которой говорилось выше, тесно связана с «ненаблюдаемостью лоренцевого сокращения»: все фотографии данного события, выполненные в параллельных лучах по-разному движущимися наблюдателями, выглядят одинаково (см. работы [334, 293], а также том 1, с. 44).

Напомним, что коэффициент т может служить мерой изменения вектора 1а в направлении па. Однако при исследовании свойств конгруэнции лучей данная величина оказывается не столь удобной, как р и о. Это объясняется главным образом тем, что она зависит от выбора И. Только в том случае, когда оба коэффициента р и о равны нулю, такая зависимость отсутствует. Это можно проиллюстрировать трансформационными свойствами коэффициента т при замене г4!—>1л + соол (полагая х = 0):

Т Н-> Т + 6)0 + <ор.

Рис. 7.1. Два изопараметрических соседних луча. Мерой их относительного положения, изменяющегося во времени, служит вектор девиации £ (координата на плоскости Арганда, если смотреть в направлении, противоположном направлению распространения луча).

Как это следует из соотношения (7.1.38), в случае неизопараме- трических лучей при р = о = О коэффициентом т (умноженным на константу h — «степень неизопараметричности») определяется перенос величины £.

Нас будет в основном интересовать связь луча р с изопара- метрическими ему соседними лучами. Мы будем рассматривать деформации пересечения пучка лучей с 2-плоскостью П, натянутой на векторы пга и пга, которая ортогональна лучу р и переносится вдоль него параллельно. Поскольку поперечные расстояния от р до соседних лучей одинаковы для всех наблюдателей, сжатие, сдвиг и вращение указанного пересечения имеют прямой физический смысл.

Поскольку h = 0, условие изопараметричности (7.1.38) сводится к равенству

D^ = -^-o^.(7.1.47)

Это уравнение описывает движение точки пересечения плоскости П с лучом р', близким к р (которому отвечает значение ^ = 0) (рис. 7.1). Для более детальной интерпретации величин р и о удобнее рассматривать раздельно роль величин Re(p), Im(p) и о. Напишем

р = &4-Д, o = se-£6,(7.1.48)

где к, t, s, 9 — действительные величины и s ^ 0. Полагая t = s = O в (7.1.47), получаем

Рис. 7.2. Геометрическая интерпретация коэффициентов р и а как характеризующих деформацию пучка лучей в ^-плоскости. Фотоны распространяются от читателя.•

откуда следует, что & = Re(p) есть мера сжатия однородного пучка лучей, т. е. конвергенция конгруэнции ^. Полагая k = s = = 0, находим соотношение

D£=-it£,

которое показывает, что ^ = 1ш(р) есть мера вращения (twist). Аналогично при р = О имеем

^ = — se2'6^,

так что производная D^ пропорциональна ^ при arg ^ = 6, 9 + л или 0± 1/2л; в первых двух случаях получаем сжатие по направлению к центру, а в двух других случаях— растяжение. Следовательно, |о| есть мера сдвига (дисторсии) пучка лучей, а величина (1/2) arg о дает угол между направлением максимального сжатия и направлением полотнища флага спинора ол (рис. 7.2).

Рассматривая изменение вдоль ^ площади

Т^2-Ш(7-1-49)

малого треугольника с вершинами в точках о, £ь 52 на П, мы находим, используя (7.1.47), что всякий элемент площади бЛ удовлетворяет уравнению переноса

ЩбЛ) = -2£бЛ= —(р + р)бЛ.(7.1.50)

Отсюда видно, что величина k может служить мерой конвергенции, а также, что деформации, связанные с t и а, не изменяют площадь.

Иногда удобно пользоваться «яркостным параметром» [27] L для конгруэнции лучей, определяемым так, что L2 ~ 6Л. Из соотношения (7.1.50) немедленно следует, что

DL= — kL, х. е. D In L= — k. (7.1.51)

Сравнение с (7.1.47) показывает, что в отсутствие дисторсии (и только в этом случае)

А<х|С|,(7.1.52)

так что L изменяется пропорционально длине вектора девиации, соединяющего изопараметрические лучи.

Отметим и другую формулу для р, справедливую при е = 0:

(7.1.53)(7.1.53)р — — oa'Vaa'Oa,

(7.1.53)

(7.1.53)

где использовано соотношение, вытекающее из формул (2.5.54), (4.5.21):

OA'VaA'OA = ОА' (ол1В — 1ЛОВ) Vba'Oa = е — р.

Аналогично в случае е + е = 0 находим

уа/а = —р —р = —26.(7.1.54)

Ортогональность гиперповерхности;изотропные гиперповерхности

Случай, когда вращение равно нулю, оказывается важным с геометрической точки зрения и в другом отношении, а именно как условие того, что лучи конгруэнции ^ ортогональны некоторой гиперповерхности, т. е. пропорциональны градиенту скалярной функции:

la ^^af для некоторой функции f е$.(7.1.55)

(Напомним, что $ есть кольцо действительных скалярных полей на ^.) Для доказательства рассмотрим условие, при котором конгруэнция ^ является градиентом:

la = ^af для некоторой функции j^ST, (7.1.56)

а именно:а именно:

а именно:

а именно:

Р = Р,8 = — 8, т = а + р.Р = Р,8 = — 8, т = а + р.z х = 0,

Р = Р,

8 = — 8, т = а + р.

Р = Р,

8 = — 8, т = а + р.

Поле 1а есть {локально) градиент <=> У[а/б] = 0 <=> •■

(7.1.57)

Последний набор равенств получен (в предположении изотропности вектора 1а) вычислением компонент тензора V[a/&] по отношению к изотропной тетраде с учетом формулы (4.5.22). Если вектор 1а лишь пропорционален полю градиента, то последние два равенства в формуле (7.1.57) не обязательно выполняются, поскольку они не инвариантны относительно масштабных пре-

образований вектора /а1). В этом случае мы имеем (см. работу [217], а также формулу (4.14.2))

Поле 1а {локально) ортогонально гиперповерхности-^

С % — О

^Мь1с\ = 0^\(7.1.58)

I Р = Р-

Последние два равенства можно получить прямым вычислением компонент /[аТб/с], но проще написать [формулы (3.4.26) и (3.4.23)]

haVbbcA = 0^ {V [а/&]} 1“ = 0,

■<=> 1° ^УаВ'1вА' — VВД'1 АВ') = 0,

<^- oAoBoA'V АВ'ОД' = oa'oB'OaVba'Oa,(7.1.59)

а затем вычислить диадные компоненты последнего выражения. Можно дать следующую формулировку условия (7.1.58):

Предложение

Изотропная конгруэнция ортогональна гиперповерхности в том и только в том случае, если она геодезическая и не содержит вращения.(7.1.60)

В качестве альтернативной формулировки имеем

Предложение

Изотропная конгруэнция ортогональна гиперповерхности в том и только в том случае, если она образует изотропную гиперповерхность [т. е. существует однопараметрическое семейство изотропных гиперповерхностей {гиперповерхностей с изотропными нормалями), таких, что векторы 1а касательны к ним в каждой точке]. (7.1.61)

В самом деле, если изотропная конгруэнция, отвечающая полю 1а, ортогональна гиперповерхности, то (по определению) гиперповерхности Л”, которым она ортогональна, будут изотропными и, следовательно, вектор 1а будет касательным к ним. Более того, поскольку нормаль в каждой точке фиксированной гиперповерхности Jf единственна и вектор 1а задает единственное направление, ортогональное полю 1а, этот же вектор задает единствен

Рис. 7.3. Однопараметрическое семейство изотропных гиперповерхностей. Это гиперповерхности, нормали 1° к которым являются изотропными векторами, а следовательно, и касательными векторами. Соседние лучи, принадлежащие одной гиперповерхности, изопараметричны (paqa = 0), и вращение отсутствует.

ное касательное направление в каждой точке гиперповерхности Л9, ориентированное в будущее. Такими направлениями на Л9 задается двухпараметрическое семейство интегральных кривых, называемых образующими гиперповерхности Л9. И наоборот, образующие однопараметрического семейства изотропных гиперповерхностей Л9 составляют трехпараметрическое семейство изотропных линий, ортогональных гиперповерхности. Тем самым эквивалентность двух высказанных предложений доказана (рис. 7.3). Отметим, что семейство образующих гиперповерхности Л9, будучи нормальным и изотропным, должно быть геодезическим [в силу формулы (7.1.58)]. Поскольку всякий вектор qa, соединяющий точки двух соседних образующих гиперповерхности Л9, лежит на Л9, он должен быть ортогональным полю 1°, а следовательно, всякие две соседние образующие гиперповерхности Л9 изопараметричны. По этой причине коэффициенты р и а описывают как геометрию гиперповерхности Л9 [при р =р вследствие формулы (7.1.58)], так и конгруэнцию лучей в целом. Следовательно, можно говорить о конвергенции и дисторсии отдельно взятой изотропной гиперповерхности.

Изопараметричность в теории твисторов

В заключение данного параграфа покажем, что понятие изо- параметрических изотропных лучей существенно и в теории твисторов. Пусть U« и Ua + 6IJa — Два изотропных твистора, описы-

вающие луч ц и соседний с ним луч ц', принадлежащие некой изотропной конгруэнции в пространстве Минковского М. Как и прежде, выберем точку Р е ц и вектор девиации qa в Р, который направлен в соседнюю точку Р' на ц'; имеем [формула (6.1.22)] иа*^(ол, 0),(7.1.62)

Ua + 6Ua (од + qbVboA, - iqAA'oAY (7.1.63) так что

6Ua ^ (qbVboA, - iq^Y(7.1.64)

откуда

U“6Ua= — iqala-(7.1.65)

Таким образом, чтобы лучи ц и р.' были изопараметрическими, твисторы Ua и 6Ua должны быть взаимно ортогональными.

Отметим, что обе части равенства (7.1.65) чисто мнимые: U“6Ua+Ua6U“ = 0;(7.1.66)

это следует и из того, что твистор Ua + 6Ua изотропный (если пренебречь слагаемыми второго порядка по 6Ua)- Отметим также, что выполняется равенство

l“₽Ua6Up = -/7bSb,(7.1.67)

где Sb — вектор (7.1.31) [формула (6.2.25)]. Дальнейшие результаты теории твисторов, относящиеся к изотропным конгруэнциям, будут даны в § 4.

Изотропные конгруэнциии кривизна пространства-времени

Посмотрим теперь, как влияет кривизна пространства-времени на геометрию изотропной конгруэнции "S’. Для этого рассмотрим результат двукратного действия оператора переноса D, определенного в формуле (7.1.29), на вектор девиации qa. В силу формул (4.3.31) и (4.3.33) имеем

DV = D{qbVbld^ =

= ^id= d rw + ^ \id-V Rabcdiaqbic = lq lq I P.

= q°Va (Dld) + Rabcdr(flc.(7.2.1)

Мы ограничимся случаем геодезической конгруэнции ^, так что Dld = 0. Тогда из (7.2.1) получаем уравнение девиации геодезических (уравнение Якоби) для лучей:

О2дй = РаЬсй1а^1с.(7.2.2)

Поле векторов q°, определенных вдоль геодезической (не обязательно изотропной) с касательным вектором 1° и удовлетворяющих уравнению (7.2.2), называют полем Якоби [125, 128]. Учитывая разложение (7.1.39) и вычисляя компоненты по отношению к диаде, образованной спинорами ол, И (где 1а = оАоА'), переносимой параллельно, получаем т)

D2h = 0,(7.2.3)

D^-^-W^-^x-V^h,(7.2.4)

D2g = № + Ф,о) £ + № + Ф01) g +

+ (Т2 + Т2-2Л + 2Фп)А,(7.2.5)

где мы использовали формулы (4.11.9) и (4.11.10).

Изопараметрические лучи-, уравнения Сакса

В случае изопараметрических лучей в формуле (7.1.38) следует положить h = 0, и тогда из (7.1.41) находим важное (2 X 2) -матричное уравнение

(7.2.6)(7.2.6)гдегде/р о\д р/р о\д р(7.2.7)(7.2.7)Dz = —Pz,

(7.2.6)

(7.2.6)

где

где

/р о

\д р

/р о

\д р

(7.2.7)

(7.2.7)

Игнорируя уравнение (7.2.5), поскольку величину g не требуется знать, если нас интересует лишь пересечение лучей с П [формула (7.1.47)], мы перепишем уравнение (7.2.4), которое несет существенную для нас информацию, содержащуюся в уравнении (7.2.2), в виде

(7.2.8)(7.2.8)D2z = —Qz,

(7.2.8)

(7.2.8)

где

(7.2.8),(7.2.8),(7.2.9)

(7.2.8),

(7.2.8),

Повторно дифференцируя (7.2.6) и используя равенство получаем

D2z = —Qz = — (DP) z — PDz = (—DP + P2) z. (7.2.10)

*) Здесь также (см. примечание на с. 212) возможно некоторое обобщение, если потребовать, чтобы параллельно переносились лишь направления флагштоков диады, и всюду заменить оператор D оператором у. При этом, однако, возникают определенные сложности, поскольку оператор у может действовать только на взвешенные величины, а аффинный параметр и, используемый здесь, к таким величинам не относится. Эту трудность можно обойти, если «расцепить» и и 1а, заменив уравнение Du = 1 уравнением уи = U, где U есть {—1,—1}-скаляр. Аффинный характер параметра и выражается тогда уравнением VU = 0, т. е. р2а = 0. Такой подход мы будем использовать в гл. 9, § 8—10 (ранее он использовался в гл. 4, § 14, см. т. 1).

Так как полученное равенство справедливо при произвольных значениях £ и для произвольных линейных комбинаций векторов z, мы приходим к уравнениям

OP = P2 + Q, (7.2.11) которые в развернутом виде

Ор = р2 + аб + Фю,

Оо = (р + р)а + ^0

известны как уравнения Сакса [297, 298, 300]. [Эти уравнения можно получить непосредственно из первых двух уравнений (4.12.32), используя формулу (4.12.15) и учитывая, что в случае параллельно переносимой диады справедливы равенства х = = е = т' = 0, см. формулу (7.1.22). Мы имеем у'=—е, так как X = 1, см. формулу [4.5.29].)

Уравнения Сакса показывают, что при распространении пучка лучей их конвергенция определяется величиной Фоо), а дисторсия — величиной То. Приведем два простых следствия из системы уравнений (7.2.12). Первое:

Фоо=О (т. е. RabLo1? = 0), р = 0 на ц=^о = 0 на ц. (7.2.13) Это означает, что при Фоо = 0 (например, в плоском пространстве или пространстве Эйнштейна) изотропная конгруэнция не может претерпевать сдвига (дисторсии) без всестороннего сжатия (или растяжения) или вращения (условие Фоо ^ 0 фактически это и означает). Второе:

Поле 1а бессдвиговое (о = 0) <=> 1а есть

главное изотропное направление спинора Vдвсп> (7.2.14) поскольку из условия о = 0 следует Vo = 0, что в силу формул (4.11.6) и (3.5.22) эквивалентно правой части соотношения (7.2.14).

Распространение вращения же не зависит от кривизны1), так как разность первого уравнения (7.2.12) и комплексно-сопряженного ему уравнения записывается в виде [формула (7.1.48)]

Dt = 2kt (7.2.15)

(Фоо — действительная величина).

*) Отметим, однако, что при наличии кручения (torsion), когда понятие «луча» определяется на основе представления о связности с кручением (см. гл. 4, § 2 и обсуждение теории ЭКШК, гл. 4, § 7, т. 1), величина ФОо не обязательно действительна и уравнения (7.2.15), (7.2.16), вообще говоря, не выполняются. Таким образом, кручение может индуцировать эффект вращения лучей (относительно возможных физических следствий этого эффекта см. работу [260]).

Мы видим, что яркостный параметр L, определенный в формуле (7.1.51), удовлетворяет уравнению

D(L4) = 0.(7.2.16)

Следовательно, величина L4 есть мера вращения, постоянная вдоль лучей. Отсюда заключаем, что:.

t = 0 в некоторой точке на ц=>/ = 0 на р. (7.2.17)

Отметим, что в дополнение к геометрическим характеристикам h и LT, которые постоянны вдоль лучей [формула (7.1.43)], существует также «симплектический инвариант» S двух лучей, соседних с р, векторы девиации которых qa и qa независимо удовлетворяют уравнению (7.2.2), а именно:

^ = qaDqa-qaDqa.(7.2.18)

Эта величина постоянна вдоль р (тождество Лагранжа) вследствие перестановочной симметрии тензора Rated [128]. Рассматривая лишь изопараметрические лучи, мы получаем (звездочкой обозначено эрмитово сопряжение)

2S = — (Dz*) z + xDx = г* (Р* — Р) z =

= (Р - р) ^ - &) = const(7.2.19)

[формула (7.1.49)]. Это фактически другая форма записи уравнения (7.2.16).

Существование такого инварианта имеет ряд замечательных следствий, и некоторые из них важны для теории твисторов, как будет отмечено в конце § 4. Несколько иная форма записи условия постоянства величины S вдоль луча р приведена в работе [238], в которой исследуются свойства постоянной вдоло р матрицы V12, связывающей два соседних с р пучка изопара- метрических лучей. Одно из следствий (неочевидное) — то, что яркостное расстояние между двумя точками на луче р (с выбранным масштабом) есть симметричная функция этих точек (см. т. 1, с. 475, а также работы [27, 173]).

В матричной форме (7.2.11) уравнения Сакса позволяют легко определить поведение величин р и о для конгруэнции лучей в плоском пространстве-времени; то же можно сказать и об искривленном пространстве-времени, если Q = 0 для рассматриваемого типа лучей. Требуется решить уравнение

DP = Р2.(7.2.20)

Оно эквивалентно уравнению

Р~‘(ОР) Р-1 = 1,(7.2.21)

где I — единичная матрица (2 X 2); но

О = £)(р~1р) = (£)р-1)р + р-1£)р, откуда на основании равенства (7.2.21) находим ПР‘ = —I, т. е.

Р* = А — «I, где А = const, а и — аффинный параметр вдоль луча ц, удовлетворяющий уравнению Du = 1. Таким образом,

Р = (А — «I)-1.(7.2.22)

Записывая

/ /Ро ^oV1

■А™I_ _ I ,

х^о Ро/ где ро и сто — значения величин р и о при и = 0, получаем в явном виде

Ро — и (РоРо — ffoffo) Р 1 — и (Ро + Ро) + и2 (РоРо — ffo^o) ’ аffo ■ '

1 — и (Ро + Ро) + Ч1 (РоРо — Со^о)

Неизопараметрические лучи

Матрицы, которые мы использовали выше, можно обобщить по аналогии с (7.1.41) так, чтобы включить в рассмотрение неизопараметрические лучи, близкие к ц. (По-прежнему считаем, что конгруэнция ^ геодезическая, и выполняются уравнения DoA = D\,A = 0.) Для этого переопределим матрицы следующим образом:Матрицы, которые мы использовали выше, можно обобщить по аналогии с (7.1.41) так, чтобы включить в рассмотрение неизопараметрические лучи, близкие к ц. (По-прежнему считаем, что конгруэнция ^ геодезическая, и выполняются уравнения DoA = D\,A = 0.) Для этого переопределим матрицы следующим образом:' h" z= £ ,LNГ о' h" z= £ ,LNГ о"0Р = т"0Р = тL Т0L Т0ООРР ОРР О0 "оо -0 "оо -(7.2.24)(7.2.24)

Матрицы, которые мы использовали выше, можно обобщить по аналогии с (7.1.41) так, чтобы включить в рассмотрение неизопараметрические лучи, близкие к ц. (По-прежнему считаем, что конгруэнция ^ геодезическая, и выполняются уравнения DoA = D\,A = 0.) Для этого переопределим матрицы следующим образом:

Матрицы, которые мы использовали выше, можно обобщить по аналогии с (7.1.41) так, чтобы включить в рассмотрение неизопараметрические лучи, близкие к ц. (По-прежнему считаем, что конгруэнция ^ геодезическая, и выполняются уравнения DoA = D\,A = 0.) Для этого переопределим матрицы следующим образом:

' h" z= £ ,

LN

Г о

' h" z= £ ,

LN

Г о

"0

Р = т

"0

Р = т

L Т

0

L Т

0

О

О

Р

Р О

Р

Р О

0 "

о

о -

0 "

о

о -

(7.2.24)

(7.2.24)

Q ^l + ^Ol ФоО ^0-

-ЧГ1 + Ф1о ^о Фоо*

и тогда с помощью формул (7.1.41), (7.2.4) и (7.2.5) так же, как и выше, получаем уравнения (7.2.6) и (7.2.8). Цепочка преобразований, аналогичная равенствам (7.2.10), снова приводит к уравнениям Сакса вида (7.2.11) в матричной форме. Кроме исходных уравнений Сакса (7.2.12) эта система содержит также уравнение для коэффициента т:

Дт = тр + то + Т1 + Фо1,(7.2.25)

которое, если учесть систему уравнений (4.2.15), совпадает с уравнением (4.12.32в) прих = е(=—у').= т' = О [ср. с формулами (7.1.22), (4.5.29)].

Решение уравнения (7.2.20) в плоском пространстве вида (7.2.22) непригодно, поскольку матрица Р формулы (7.2.24) в этом случае сингулярна. Однако в пространстве Минковского М (а также в искривленном пространстве-времени Л, в котором величины Vo, Vi, Фоо, Фо равны нулю на рассматриваемом луче р.) существует другой способ решения этих уравнений. Рассмотрим три произвольных независимых решения уравнения (7.2.6), в котором, однако, матрицы 2X2 заменены трехрядными матрицами вида (7.2.24), и определим (3 X 3)-матрицу

"Ai"AiZ= £,Z= £,4i4iА2 Ад ^2 ?3 ^2 £3 'А2 Ад ^2 ?3 ^2 £3 '(7.2.26)(7.2.26)

"Ai

"Ai

Z= £,

Z= £,

4i

4i

А2 Ад ^2 ?3 ^2 £3 '

А2 Ад ^2 ?3 ^2 £3 '

(7.2.26)

(7.2.26)

столбцами которой служат эти решения. Из (7.2.8) имеем

D2Z = 0,(7.2.27)

так что величина Z линейна по и:

Z = Zxu4-Z2,(7.2.28)

где Zi и Z2— постоянные матрицы (3X3). Отсюда с учетом формул (7.2.6) получаем

Z[ = —P(Z!U + Z2),(7.2.29)

так что

Р=—Z^Z^ + Za)-1.(7.2.30)

Формулу (7.2.22) можно было бы получить, положив Zi = I, Z2 = —А. Эта же формула допускает бесконечное число эквивалентных способов записи, поскольку выражение (7.2.30) есть инвариант преобразования Zii—>Z2T, Z2i—*Z2T, определяемого произвольной несингулярной (3 X 3)-матрицей Т. Мы выбираем Zi так, чтобы нули располагались в первом ряду [для согласования второй формулы (7.2.24) с формулой (7.2.29) ], но в

остальном она произвольна. Вместо этого можно было бы вы-

брать Z2 = —I и положить

"0 о о-

Zj = т0 р0 сто ,(7.2.31)

-То Сто Ро-

что приводит к решению уравнения (7.2.20) с матрицей Р в формуле (7.2.24) в виде

P = Z1(I-uZ1)-1.

Описание в трехмерном пространстве Минковского

Обратимся теперь к уравнению (7.2.11) в искривленном пространстве-времени ^t общего вида, где для простоты мы будем рассматривать лишь изопараметрические лучи. Матрицы вновь имеют формат 2X2, причем Q — произвольная эрмитова (2 X 2)-матрица. Для большего упрощения выберем конгруэнцию без вращения (т. е. конгруэнцию, лучи которой являются образующими изотропной гиперповерхности), так что р = р, откуда следует, что матрица Р тоже эрмитова. Следуя предложению Росса (N. F. Ross), мы вводим трехмерную метрику «Минковского»

dS2 = dp2 — dado (7.2.33)

в пространстве ^, точками которого являются матрицы Р. По существу нас будет интересовать лишь конформная структура пространства 9*, т. е. структура изотропных конусов, определяемая метрикой (7.2.33). Две точки этого пространства разделены изотропным интервалом [т. е. принадлежат некоторому «световому лучу» в ^*—изотропной геодезической в метрике (7.2.33)] в том и только в том случае, если коэффициенты матриц Pi и Р2 удовлетворяют уравнению

(Pi — Р2)2 — (^1 — о2) (<Ъ — с2) = о,(7.2.34)

т. е.

det(P,— Р2) = 0,(7.2.35)

или

Р^ = P2z(7.2.36)

для некоторой ненулевой (2Х 1)-матрицы Z. Это означает, что два пучка изопараметрических лучей, соседних с ц, описываемые матрицами ?! и Р2 соответственно, имеют общий луч (отличный от ц). Таким образом, конформная метрика (эквивалентная структуре световых лучей), определяемая соотношением (7.2.33), имеет инвариантный геометрический смысл независимо от специального выбора точки Р на ц, в которой определяются значения р и о. Когда точка Р движется вдоль ц, величины р и о изменяются, но пространство ^ при этом рассматривается как неизменное, причем различным его точкам отвечают разные пучки лучей без вращения, изопараметрические с лучом ц. Различным точкам Р соответствует разный выбор «координат» р и о в пространстве ^. Каждому такому выбору отвечает метрика вида (7.2.33). Для разных точек Р эти метрики неодинаковы, но в силу сказанного выше, они должны быть связаны друг с другом конформным преобразованием.

В последнем легко убедиться, если воспользоваться уравнением Сакса (7.2.12), примененным к dS2:

D (d&) = D (dp2 - dodo) =

= 2dpDdp — daDdd — ddDda =

= 2dpd (p2 + об + Фоо) — dod (2po + %) — dad (2po + Wo) =

= 4p (dp2 —dodo) = 4pdS2.(7.2.37)

Здесь символ d означает бесконечно малое изменение, отвечающее выбору близкого к р изопараметрического луча, а не изменению положения точки Р (последняя вариация обозначается символом DY Поэтому, чтобы получить требуемый результат, мы полагаем dTo = 0 = dOoo в формуле (7.2.37). [Отметим, что эти вычисления справедливы и в случае полей с вращением, когда р =# р. В этом случае метрика (7.2.33) заменяется метрикой dS2 = dpdp — dadd, а результат вариации положения точки Р имеет вид: D (dS2) = 2 (р -j- р) dS'2. Следовательно, в случае изопараметрических лучей с вращением вместо «трехмерного пространства Минковского» ^* с сигнатурой (Н) мы должны рассматривать конформные метрики, отвечающие четырехмерному пространству с сигнатурой (+4) ]

Одно из преимуществ данного подхода (как отмечал Росс) состоит в том, что он позволяет рассматривать и такие положения точки Р, для которых р и (быть может) о становятся бесконечно большими (каустические точки), например соседние с р лучи в вершине светового конуса, содержащего р. В этом случае следует рассматривать конформную компактификацию 9Р* пространства ^, следуя процедуре перехода от М к М#, описываемой в гл. 9, § 2 (см. примечание на с. 353). Оказывается, что конформные изменения масштаба, индуцированные на 9 движением точки Р вдоль луча р, следует связывать со структурой пространства 9*, а не ^. Их можно рассматривать как пассивные преобразования на 9*, т. е. переход от одной системы координат (р, а) к другой, причем ни одна из этих систем координат не покрывает 91* полностью.

Сама точка Р приобретает в пространстве 9 смысл точки, представляющей совокупность лучей, соседних с р, образующих световой конус точки Р в Ж. Когда точка Р смещается вдоль луча р, ее образ в 9 претерпевает гладкую деформацию, смещаясь вдоль линии, времениподобной в смысле метрики dS2.

■ В этом направлении можно получить ряд интересных результатов, но мы не будем здесь на этом останавливаться. Отметим, однако, что пространство $Р* получается также в ином подходе как пространство лагранжевых 2-плоскостей в четырехмерном симплектическом векторном пространстве, элементами которого являются все соседние с р изопараметрические лучи.

Симплектическая структура в этом пространстве дается в точности формой (7.2.18). (Подробно эта структура исследуется в работе [377],- в частности, см. с. 307 данной работы, где компактифицированное 3-мерное пространство Минковского 9* рассмотрено с этих позиций.)

Бессдвиговые конгруэнции лучей

Изотропную конгруэнцию, т. е. изотропное векторное поле (или ассоциированное с ним поле спин-векторов), которое является геодезическим, а также характеризуется нулевым сдвигом, будем называть бессдвиговой конгруэнцией (БСК). Условия «бессдвиговости» конгруэнции таковы:

^ = олол есть БСК ^=> х = о = 0 <=> олов¥лл'Ов = 0. (7.3.1) БСК играют важную роль в теории относительности. Они возникают в связи с решениями безмассовых полевых уравнений и особенно важны в теории твисторов. Здесь мы в основном остановимся на связи БСК с безмассовыми полями. В § 4 мы проиллюстрируем роль БСК в теории твисторов и помимо прочего покажем, как можно использовать твисторы, чтобы получать БСК общего вида в пространстве Минковского (теорема Керра). Здесь же можно отметить, что всякое спинорное поле сов, которое удовлетворяет твисторному уравнению (6.1.1), автоматически удовлетворяет условию БСК (7.3.1); другими словами, конгруэнции Робинсона являются БСК (см. с. 76).

Связь с ГИН-, вполне изотропные комплексные 2-поверхности

Сначала отметим два результата предварительного характера, касающихся БСК. В качестве альтернативной формулировки утверждения (7.2.14) имеем

1а есть БСК => 1а есть главный изотропный вектор

спинора ^¥abcdi(7.3.2)

г. е. Vo = 0, что, разумеется, очевидно уже из уравнений (7.2.12). Если дополнительно Фоо = О (т. е. Rablalb = 0), как, например, в плоском пространстве или в пространстве Эйнштейна, то остаются в силе вычисления, приводящие к формулам (7.2.23). Напишем результат для случая а = 0 и р = k + it;

Ь— “ (ft0 + *б). _fo g

l-2k0u + u2^ + ^y 1

В частности, замечаем, что если поле 1а есть БСК, то

р=0 в некоторой точке ц=>р = 0 на ц. (7.3.4)

Напомним, что безмассовые поля со спином ц/2 описываются симметричными спинорами фдв ... l валентности £га 0], так что имеет место каноническое разложение (3.5.18):

Фдв ... ь "“(аРв ••• ^ы(7.3.5)

Если два или более ГИН спинора ф... (т. е. направления флагштоков спиноров аА, • ••> ^l) совпадают, то поле ф... называется алгебраически специальным («вдоль» кратных ГИН). Если все п ГИН совпадают (и п > 1), то поле называется изотропным («вдоль» совпадающих ГИН). Напомним, что, как следует из соотношения (3.5.29), в случае электромагнитного поля изотропность эквивалентна обращению в нуль комплексного скалярного инварианта:

ФД5Ф^ = 0(7.3.6)

(т. е. двух его действительных скалярных инвариантов). Соответствующие условия для случая, когда спин равен 2, будут приведены в формуле (8.6.3). ГИН спинора ^двсо называются гравитационными главными изотропными направлениями (ГГИН).

Из (3.5.26) следуют два предложения:

Спинор фдв ... l является алгебраически специальным

вдоль V ^О^фдв...^8 ... ^ = 0.(7.3.7)

Спинор фдв...ь (п> 1) является изотропным вдоль 1А<=> ^фдв...ь1А = 0.(7.3.8)

Как явствует из этих предложений, алгебраически специальные и изотропные поля тесно связаны с БСК. Предположим, что спинор удовлетворяет уравнению (4.14.42) для свободного безмас- сового поля.

Предложение

Если выполняется уравнение Vя4 фдв ... l = 0 и спинор фдв... ь является алгебраически специальным вдоль 1а, то (в области, где фд... ь^О^ поле 1а есть БСК. (7.3.9)

Доказательство. Рассмотрим открытую область, в которой la = ^AV будет А-кратным ГИН спинора ф... (границу между такими областями мы не рассматриваем; условие БСК продолжается по непрерывности). В силу предложения (3.5.26) имеем

Фд...ран...ь№ ... £L = 0,(7.3.10)

где спинор § встречается (n —^+ 1) раз, тогда как в уравнении [формула (3.5.24)]

Фа ... fgh ... &н ... 1>ь = Аа ••• 5f5g>(7.3.11)

где v =# 0, левая часть содержит (п— 6) множителей g, а правая— Этаких множителей. Дифференцируя равенство (7.3.10) и выполняя свертку по индексу F (эта операция определена, так как 2), получаем

0 = Фа ... fgh ... lVFF (Л°^Н ■ ■■ %L) =■

= («— к + 1) фд ... fgh ... l (^FF ^,в) 1Н ... ^L = = v(n-£+l)^ IAOVFFV

с учетом равенства (7.3.11). Поскольку v=#0, п^к и 5л#=0, имеем равенство

IfIgVFF1Q = 0(7.3.12)

и, сравнив его с (7.3.1), получаем требуемый результат (см. также работы [203, 188, 156]).

Мы увидим также, что при п = 2 справедиво утверждение, обратное предложению (7.3.9) (теорема Робинсона [294]: 1а есть БСК => существует такой спинор Фав). В случае когда п > 2, оно справедливо лишь при дополнительных жестких ограничениях на кривизну, которые следуют из соотношений Бухдала — Плебаньского (5.8.2) и составляют содержание следующего предложения.

Предложение

Если безмассовое свободное поле фд ... l со спином п/2 > 1 изотропно вдоль 1а, то спинор Вейля будет алгебраически специальным вдоль 1а (в области, где Фа... ьФ 0).

(7.3.13)

Доказательство. Полагая в (5.8.2) е = 0 и

Фав ... ь = ААв • ■ • 5ь> получаем

IaIbIm^c ... IkWl)abm = 0, откуда в силу предложения (3.5.15) находим

Ч?ДВсо = 1в№ = 0.

В силу этого равенства требуемый результат следует из (7.3.7) при la = ^V.

Теперь можно сформулировать утверждение, обратное предложениям (7.3.9) и (7.3.13).

Теорема [294, 316]

Если поле векторов 1а определяет БСК и аналитично, то существует ненулевое решение уравнений Максвелла У^фдд = 0, которое изотропно вдоль 1а; кроме того, если спинор Вейля является алгебраически специальным вдоль 1а, то при всех значениях спина п/Ч > 1 существует ненулевое симметричное решение уравнения VAA фд ... l = 0, изотропное вдоль 1а. В обоих случаях произвол в выборе решения параметризуется одной голоморфной функцией двух комплексных переменных1'). (7.3.14)

Прежде чем перейти к доказательству [которое мы проводим, следуя Соммерсу [316], по аналогии с рассуждениями, идущими после равенства (7.3.22)], рассмотрим некоторые леммы о свойствах БСК. Они оказываются важными в другом контексте и имеют отношение к задаче построения точных решений уравнений Эйнштейна, а также к теории твисторов. Первая лемма фактически та же, что и в работе [294] [если спинор Фа ... l удовлетворяет уравнению (7.3.14), то последнему удовлетворяет и величина f((ob (о2)^а ... д].

Лемма

Пусть §л— аналитическая БСК. Тогда существуют функционально независимые комплексные скаляры coi и со2, такие, что

^Vaaz®i = 0 = ^Рлл'СОг,

и всякое решение со уравнения £л7ЛЛ'<в = 0 является голоморфной функцией величин coj и <о2. (7.3.15)

(В качестве важного приложения этого результата отметим, что из мнимых и действительных частей величин coi и со2 можно выбрать три удобные координаты в Ж, «привязанные» к БСК- Все они постоянны вдоль лучей БСК, а потому четвертая координата должна быть введена иным способом. Отметим, что градиент каждой из величины coi и со2 имеет вид 6лт|л,, а поэтому в любой точке можно образовать линейную комбинацию гра-

*) Применительно к действительнозначной функции действительных переменных термин «аналитическая» означает допускающая разложение в ряд Тейлора. Применительно же к комплексной функции этот термин означает, что ее действительная и мнимая части допускают разложение в ряд Тейлора и по действительной, й по мйнмой части своих аргументов. Термин «голоморфная» мы сохраняем в качестве синонима обычно используемого Термина «комплексно-аналитическая». Во всяком случае, какой бы объект, обладающий свойством аналитичности на многообразии: Ж, мы НИ рассматривали,- всегда предполагается, что Ж, а также метрика gab тоже аналитичны.

дйентов, равную ёлёл- В конце данного параграфа мы покажем, что можно выбрать сщ естественным образом, если пространство Ж вакуумное.)

Доказательство. Сначала комплексифицируем пространство Ж, позволив координатам принимать комплексные значения в открытых аналитических множествах. Поскольку все рассматриваемые величины аналитичны, мы получаем (при достаточно малых мнимых частях координат) комплексное многообразие СЖ с голоморфной метрикой и голоморфным полем БСК ёл. [Напомним, что при «комплексификации» величин, которые и так уже комплексны, мы рассматриваем комплексно-сопряженные им величины как независимые; см. текст после формулы (6.9.1).] , ,

Далее мы вводим аналитический спинорный базис оА', vA' на Ж и считаем его тоже комплексифицированным, так что он будет голоморфным на СЖ. Рассмотрим теперь голоморфные векторные поля

U™ = ё V', Va = 1АА*. (7.3.16)

Мы хотим показать, что существует комплексно-двухпараметрическое семейство комплексных 2-поверхностей 5, таких, что поля U, V являются касательными к ним. В этом случае, выбирая в качестве параметров, постоянных на каждой поверхности 5, величины а>1, ©2. имеем и(вн) = 0 = V(со,), t= 1, 2, откуда следует лемма (7.3.15). Необходимое и достаточное условие, при котором U и V связаны с системой 2-поверхностей, указано в следующей лемме [165].

Лемма

[У. V] = XU + pV для некоторых голоморфных скалярных полей X, ц на СЖ. (7.3.17)

Доказательство1. [17, У]55' = ^aw ^В$В ) — б^лг (Isos ); следовательно, ёв [tZ, F]ss = О в силу условия БСК ' Из последнего равенства заключаем, что коммутатор [17, F]ss' имеет вид 6BvB', где vB' — некоторый голоморфный спинор, и, следовательно, должен быть голоморфной линейной комбинацией полей U и V, что и требовалось доказать.

Тем самым мы доказали следующее предложение.

Предложение

Аналитическое поле ёл есть БСК при том и только при том условии, что все векторы вида %АХА' (где поле ёл аналитически продолжено на СЖ) являются касатель-

ными к некоторому комплексно-двухпараметрическому семейству комплексных 2-поверхностей в СЛ. (7.3.18)

Это, по-видимому, основное свойство поля §л, удовлетворяющего условию БСК-

В этой связи нам потребуются еще две леммы.

Лемма

Система дифференциальных уравнений U (х) = а, V (х) = b \формула (4.1.49)], где а и b— поля на Л, интегрируема, если U lb)-Via)= Xa-\-pb, где X, ц— те же величины, что и в формуле (7.3.17).(7.3.19)

Доказательство. Это стандартный результат [165]. Ход рассуждений таков: интегрируем уравнение U(x) = a на некоторой линии, принадлежащей 2-поверхности X; затем продолжаем решение вне линии в направлении V, решая уравнение ¥(х) = Ь. Если Ulb) — V la) = Ла + рб, то имеем

VIU (х) - а)U (V (х)) - XU (х) - .nV (х) - V (а) =

= Ulb) — XUlx) — pb — Vla) = = —XlUlx) — a),

откуда Ulx) = a на X. (Эти рассуждения носят локальный характер и могут быть неверными для семейства в целом.)

Лемма

Уравнение ZA^AA'X = aA' интегрируемо относительно комплексного) х 1для аналитической БСК 5я) > если 5л5в7дЧд-^о-а^^а^• Общее решение, отвечающее данному частному решению х0, имеет вид*. х = х0 + / (<оь со2), где f — голоморфная функция, а <йх и ы2 — такие же, как в лемме (7.3.15).(7.3.20)

Доказательство. Условие интегрируемости этого уравнения в компонентах, отнесенных к базису оА, И, то же, что и в лемме (7.3.19) при а = «о', Ь = а^. Таким образом, аналог условия интегрируемости (7.3.19) имеет вид

^Удо-ар — §л7лга0 = Хоцу + par,(7.3.21)

где Лиц удовлетворяют уравнению

VVAy Цвьв') - ^aVav (5вов') = Лёвов' + ц^^'.(7.3.22)

Сворачивая это уравнение с ав, и сравнивая результат с (7.3.21), находим

w {^ау ^в-^ - ?лг («^о5')} = авЛл{?Л0, l№ - VAV W)y

что после некоторых преобразований приводит к искомому условию интегрируемости. Относительно общего решения см. лемму (7.3.15).

Теперь мы можем доказать теорему (7.3.14). Пусть /° = £л|л' есть заданная БСК. Нам потребуется отличное от нуля решение безмассового полевого уравнения вида фд ... l = X^>a ■ ■ ■ 5д> т- е. o = v44'(x^B ... w =

= (^л^ЛЛх) ^в . . . к + Х^^Хд -<п- 1) пЛ'} 5В . . . lL, (7.3.23) где т]Л определяется как коэффициент пропорциональности в уравнении

^АА^в = ^А'.(7.3.24)

которое получается из (7.3.1). Таким образом, требуется решить уравнение

^А?АА, ,п% = -^аа^А -кп- 1) Лл- (7.3.25)

Подставим его правую часть вместо ал, в условия интегрируемости леммы (7.3.20). Используя уравнение (7.3.24), после некоторых преобразований приведем полученное уравнение к виду

^аа- № + (« - 1) Н = ПлW-(7.3.26)

Чтобы проверить, выполняются ли эти условия интегрируемости, удобно воспользоваться следующим представлением входящих сюда величин (Соммерс):

Хв := Ы^аа'Ч = ^abcdWId,(7.3.27)

Нв := ^ЛЛЧ^ ~ ^№D = -^abcd№^D- (7-3.28)

Выражение (7.3.27) получаем следующим образом:

^-В = ^-В + 6Лт1Л ^АА'^В = 6Л^ЛЛ' (6С^с ёВ) =

= №№» + №чд,Ч1« =

- о + № П лс£« = v, есоб'^б".

где использовано уравнение (7.3.24), а на последнем шаге — уравнение (4.9.15). Чтобы получить выражение (7.3.28), возьмем производную обеих частей последнего равенства в формуле (7.3.1):

0=MW^) =

= WVba41d + 2 М ^Чк^у(7.3.29)

С учетом формулы (2.5.23) и (4.9.15) первое слагаемое во второй строке может быть записано в виде

^da^b - №№ = ^ABqn^W + ^aaW- (7.3.30)

Аналогично соотношению (7.3.24) введем величину ^д, с помощью первого из следующих равенств:

■ Ел£л' := s" 7Л«« - 4- 6° IV,<-6« + VbH, + 8„VDa-tP'> —

(7.3.31)

Таким образом,

^ = ^-^da^-(7.3.32)

Тогда последнее слагаемое в уравнении (7.3.29) преобразуется к виду

^вд^ Id (Пл' + ^) = "W = -W^- (7.3-33) В силу равенства (7.3.29) сумму в правых частях равенств (7.3.30) и (7.3.33) можно положить равной нулю, а отсюда следует выражение (7.3.28). Теперь с учетом равенств (7.3.27) и (7.3.28) условие интегрируемости (7.3.26) непосредственно преобразуется к виду

(л - 2) 'VABCd^a№ = 0,(7.3.34)

чем доказывается основная часть предложения (7.3.14). Оставшаяся часть, а именно степень произвола в выборе решения, может быть установлена с помощью леммы (7.3.20): к In % [формула (7.3.25)] можно добавлять любую голоморфную функцию величин mi и юг, а следовательно, саму функцию ф можно умножать на такую функцию.

Обобщенная теорема Голдберга — Сакса

Теперь перейдем к другому важному результату, относящемуся к БСК, а именно к теореме Голдберга — Сакса [113]. Мы представим ее обобщенную формулировку [175, 295] (доказательство дано Соммерсом):

Предложение

Три условия-.

g4 есть р-кратное ГГИН (2^р^4);

ёл есть БСК;"

£л . .. %cVDDy¥ ABcd = 0 [(5 — р) множителей g]; следующим образом взаимосвязаны;

при р = 2, 3 или 4 имеем I и П=>Ш, а также

I и Ш=>П;

при р = 2 имеем II и III =Ф~ I':^= I при р = 2, или 3, или 4.(7.3.35)

Замечание. В первоначальной формулировке теоремы Голдберга — Сакса утверждалось, что всюду неплоская вакуумная мет-

рика допускает кратные ГГИН 2й в том и только в том случае, если 1а есть БСК. Очевидно, что это частный случай теоремы (7.3.35), поскольку условие III при р = 2 есть следствие вакуумного тождества Бианки Уо2У'1гЛВсв = 0-

Доказательство. Для определенности положим р = 2. Переписывая условие I в виде б^^'Гдвсо = О, затем дифференцируя обе части этого равенства и, наконец, используя представление ё(ДаасРо) (где ни ал, ни рл не пропорциональны §д) для Тдвсо, имеем

o = vDD'aW4^BCD) =

= ^XV^abcd + SxVabcd^WD\C =

= IW^Vabcd + ^C1OV°°\c,

где Y — отличный от нуля скаляр. Из (7.3.1) теперь ясно, что I и 11=^ III, а также I и Ш=>П. При р = 3 и р = 4 доказательство вполне аналогично.

Чтобы доказать соотношение II и III (р = 2)=>1', заметим, что вследствие утверждения (7.3.2) поле £Л есть ГГИН, а отсюда следует равенство ^^.^abcd = х$о при некотором х. Наша цель — показать, что х = 0. Вычисление производной дает

6 6 6V ^BCD + 3^BCD§ § V g = gDV х + xV ёа-

(7.3.36)

Если выполнено условие III (при р = 2), то первое слагаемое в левой части равно нулю. Чтобы преобразовать второе слагаемое, положим Тдвсо = §(дссдрсуо). Тогда оно запишется в виде

Т [^са(лРвУо) + ^оа(дРвУс)] W^DD §с,

что в силу равенств (7.3.24) и (7.3.31) эквивалентно выражению

- 4 [^ W'c^Vb) + №\Mc>] = ~3* ^°' + О-

Последнее слагаемое в (7.3.36) упрощается с помощью уравнения (7.3.32). Таким образом, равенство (7.3.36) при х=#0 можно переписать в виде

^дд, (In х) = 2т]д, + ^д, = 6Лл, - 4¥длЛ°.(7.3.37)

Чтобы проверить, существует ли решение этого уравнения относительно 1пх, подставим его правую часть в условия интегрируемости леммы (7.3.20) вместо ад, Это дает

-^ад. (6ПЛ' - 4V^°) = gBa^' = 4^11^0(7.3.38

что с помощью тождеств (7.3.27) и (7.3.28) сразу же преобразуется к виду Wabcd ^>a^b^d = 0. Отсюда следует, что х = 0, а это противоречит исходному предположению, чем и доказывается требуемое утверждение.

Мы приведем еще альтернативное, прямое доказательство теоремы Голдберга — Сакса, в котором используется модифицированный формализм спиновых коэффициентов, изложенный в гл. 4, § 12. (Основная идея этого доказательства была предложена в работе [217].) Для простоты мы будем доказывать теорему в ее первоначальной формулировке, хотя аналогичные рассуждения справедливы и для обобщенной теоремы. Итак, требуется доказать, что если выполняются вакуумные тождества Бианки, то Г<=ф-П. Предположим, что выполнено условие I при р = 2, т. е. [формула (4.11.6)] 4ro = 4ri=O, Ч^^О. Вспоминая, что в вакууме Фр = 0 и Л = 0, из тождеств Бианки (4.12.36) находим, что х = 0, а из формулы1) (4.12.39)' следует, что ст = 0, т. е. условие II. Аналогично, если р = 3, т. е. То = Yi = Тг = 0, Тз^О, из (4.12.37) и (4.12.38)' соответственно находим х = 0 и о = 0. Наконец, при р = 4, т. е. при *Fo = Ti = Тг = ^з = 0, ^ #= 0, аналогичную роль играют уравнения (4.12.38) и (4.12.37)' соответственно.

Пусть теперь выполнено условие II, т. е. х = о = 0. Из (7.3.2) видим, что в этом случае Чго = 0. Поэтому требуется показать, что ЧЛ=О. Опустим тривиальный случай р = 0 в открытой области; в этом случае (4.12.32д) сразу получаем требуемое условие Vi = 0. Если всюду в открытой области р 0 (на границу области рассматриваемые соотношения продолжаются по непрерывности), то можно выполнить преобразование Ин-> I—>1Л + <оол. При этом х и а остаются неизменными, но индуцируется преобразование тн->т + (ор, с помощью которого можно добиться равенства т = 0. Предположим теперь, что Yi^O. Тогда уравнение (4.12.36) дает

рЧг1 = 4р¥1,(7.3.39)

а из (4.12.39)' находим

64^ = 0.(7.3.40)

Вычисляя смешанные производные и образуя разность полученных уравнений, получаем

(рд — др) ^ = 0 — д (4PY0 = 4 (^J2,(7.3.41)

где использованы уравнения (7.3.40), (4.12.32г). Выражение для этой же смешанной производной можно найти из (4.12.34), ис-

9 Здесь, как и всюду в данной книге, штрих у номера формулы, как, например, (4.12.39)'. означает, что к этой формуле применена операция «штрих-» (4.5.17}.

пользуя уравнения (7.3.39) и (7.3.40):

(рд — др) Y, = (рд - Гр — 2^0 V, = (—4Гр - 2^0 Ть

где также учтено, что Ч^ есть величина типа {2, 0} [формула (4.12.25)}. Сравнивая эти два выражения, получаем Vi = = — (2/3)т'р, или Чг1 = 0. В то же время из (4.12.32в) следует равенство Чг1=т,р [= — (3/2)4rJ, т. е. 4ri = 0, что и требовалось доказать.

Теорема Голдберга — Сакса в ее первоначальной формулировке применима не только к вакуумной, но и к любой другой метрике, которая конформна вакуумной. Действительно, при конформном преобразовании условие х = а = 0 сохраняется, а вместе с ним сохраняются условие изотропности и бессдвиго- вость конгруэнции. Поскольку же не изменяется спинор Вейля, не изменяются и ГИН, а следовательно, справедливо наше утверждение.

Конформные изменения масштаба не влияют на условия I и II теоремы Голдберга — Сакса. Поведение условия III при конформных преобразованиях можно определить из соотношения

^'Ч'лвсо = Q^V^^co + ^^abcd, (7.3.42)

которое следует из (5.6.15). Оно показывает, что условие III конформно-инвариантно в том и только в том случае, если выполнено условие I.

Приведем интересное следствие обобщенной теоремы Голдберга — Сакса, которое было доказано Робинсоном и Шильдом [295].

Предложение

Гравитационное поле, создаваемое полем Максвелла с бессдвиговыми лучами, является алгебраически специальным. (7.3.43)

Поле Максвелла флв называется полем Максвелла с бессдвиговыми лучами, если по крайней мере одно из его ГИН [формула (5.1.39)] образует БСК- Из предложения (7.3.9) следует, что все электромагнитные изотропные поля являются полями с бессдвиговыми лучами. Отметим, что и неизотропные поля могут обладать этим свойством; пример — поле Райсснера — Нордстрема («заряженное шварцшильдовское»). Отметим также, что предложение (7.3.43) нельзя рассматривать как частный случай предложения (7.3.13) для изотропных полей, поскольку (7.3.13) относится к пробным полям, т. е. к таким, которые не входят в источник гравитационного поля в уравнениях Эйнштейна. Для доказательства предложения (7.3.43) достаточно заметить, что

условие III в (7.3.35) при р = 2 выполняется вследствие эйн- штейн-максвелловских тождеств Бианки (5.2.7), представления флв = ё(лав) и условия (7.3.1) для §л.

Координаты Керра

В заключение данного параграфа мы приведем результат Керра [157], который особенно важен при изучении алгебраически специальных точных решений вакуумных уравнений Эйнштейна.

Лемма (Керра)

Если 5Л есть аналитическая БСК и выполняются уравнения Yлвсо5л5вёс = 0, Фавс-п^Л^ = 0, то существуют комплексные скаляры %, о, такие, что ^а^ь1а = Х^ь®-

(7.3.44)

Доказательство. Комплексифицируем ^ и перейдем к С^. Нам нужно показать, что величина

8ь:=№1а(7.3.45)

(в смысле комплексных переменных) на CJ? пропорциональна некоему градиенту. Это возможно при условии [формула (7.1.59)] *(V[aS6i)S6 = 0, т. е. в силу формулы (3.4.23) [ср. с формулой (7.1.60)] при условии

3ЛВ^(а36] = 0.(7.3.46)

Далее’ V[aS6] = gcV(oV6]gc + (V[ogC) (V6]gc) =

= i ^в-Хдвес^ + №) (V gc),(7.3.47)

где использовано уравнение (4.9.7), а также заданное условие для Фавс'о'. Из того что §л есть БСК, следует равенство

8^' = ^'(7.3.48)

[формула (7.3.31)], которое после свертки с (7.3.47) дает

S^V^S», = (^лл,^) (^^у(7.3.49)

где слагаемое, содержащее спинор X, выпало в силу формулы (4.6.35) и заданного условия для Фдвсо- Правая часть равенства (7.3.49) преобразуется к виду [формула (7.3.24)]

Ч^^вв^с = Па^в-^в = 0-

Тем самым доказано равенство (7.3.46), а вместе с ним и лемма.

Напомним, что величина 3» была определена ранее в формуле (7.1.31) как мера изменения направления флагштока g<

При масштабном преобразовании £лн->Л,£л она преобразуется по закону S»i—>Я2Зб, что позволяет нормировать % на единицу: ^V»^ = V»co.- Отметим, что если удовлетворяются вакуумные уравнения Эйнштейна или уравнения Эйнштейна — Максвелла с' космологическим членом или без него (в первом случае спинор §л должен совпадать с ГИН электромагнитного спинора Флв), то выполняется второе из условий для кривизны в лемме Керра [формула (5.2.6)], а также условие III обобщенной теоремы Голдберга — Сакса (7.3.35) как следствие вакуумных эйн- штейн-максвелловских тождеств Бианки (5.2.7) и, таким образом, остальные два условия леммы Керра будут следовать одно из другого. Действительная и мнимая части величины со играют роль естественных координат для многообразий пространства- времени такого типа и используются при отыскании точных решений1). Аналогично можно в случае расходящихся лучей (р :^ 0) ввести естественные спиновые системы отсчета, связанные с ^л и ^в, так что V'^A^bb>^a = VXb-^b^O.

БСК, твисторы и геометрия лучей

Существует глубокая внутренняя связь между БСК в пространстве Минковского и однородными голоморфными функциями твисторов. Мы проиллюстрируем эту связь на ряде конкретных результатов, первый из которых был получен Керром до появления теории твисторов. Будут приведены как первоначальная формулировка теоремы Керра, так и ее твисторный вариант. Далее в оставшейся части параграфа мы покажем, как идеи твисторов могут быть использованы в искривленном пространстве-времени, и в заключение приведем формулировку теоремы Керра, справедливую (по отношению к гиперповерхности) в общем случае произвольного пространства-времени.

Первоначальная формулировка теоремы Керра

В пространстве Минковского М введем спинорные координаты

u = xw, £ = xoV, 1 = Х10', d = xu',(7.4.1)

в которых компоненты х“ радиус-вектора точки вычисляются по отношению к неподвижной спиновой системе отсчета ол, И. Следовательно, метрика записывается в виде

ds1 = 2dudu - 2d№.(7.4.2)

’) См., например, работы [158, 159, 295, 279, 172].

Величины хАА связаны со стандартной системой координат Минковского ха соотношением (3.1.31). Поскольку координаты принимают комплексные значения, мы вводим обозначение £ вместо £. Предположим, что ^А есть БСК, т. е.

№¥ла'Ь = 0,(7.4.3)

и выберем такой масштаб на ^д, чтобы выполнялись соотношения

£о=-^ = 1, ё1 = $° = Х.(7.4.4)

Таким образом, комплексным числом X определяется изотропное направление БСК, в каждой точке совпадающее с направлением флагштока спинора §л. Через спинорные координаты точки общего положения это направление задается соотношением1)

du + Xdt = O = d^ + Xdv,(7.4.5)

эквивалентным равенству £AdxAA =0.

Рассмотрим теперь соотношение (7.4.3) как уравнение относительно неизвестной X, зависящей от переменных и, £, £. Подставляя (7.4.4) в (7.4.3) и учитывая, что спиновая система отсчета образована постоянными спин-векторами, получаем систему уравнений для X:

x^=dXx_dAМ(?46)

dudt,до'

Можно положить D ^Х л ди ’4 dt, ’

так что

ХР = Д-, XQ = ^.

Тогда

dx = -^-du+ ... =P(d« + Xdg) + Q(dg + Xdo),

*) В этих (и других) формулах символ d можно понимать либо «по- старому», т. е. представлять себе величину dxa (и Зх“) как вектор (или бесконечно малое смещение) в точке с радиус-вектором ха, либо в более «современном» смысле как векторнозначную дифференциальную форму. При первом понимании равенство Aadxa = 0 означает, что вектор dxa принадлежит элементу гиперплоскости, определяемому вектором Аа; при втором — мы гово- /рим, что этим свойством обладают векторы, на которых 1-форма Aadx° '= ^ii) принимает нулевые значения.

Таким образом, рассматриваемое уравнение £А dxAA' = 0 показывает, что соответствующие векторы направлены параллельно флагштокам спинора £А<

откуда следует, что dX = 0, если выполняется равенство du + + Xd^ = 0 = d£ + Xdv. Поэтому X — постоянная величина, если постоянны величины и + Х^ и £ + Хи. В теории функций действительных переменных доказывается, что в этом случае должно существовать функциональное уравнение

Ф (X, и + X?, g + Хо) = 0, (7.4.7)

где ф(а, р, у)— произвольная функция переменных а, р, у [59]. Этот результат непосредственно неприменим в нашем случае, поскольку в пространстве Минковского действительны только и и и, тогда как величины £ и £ комплексно-сопряжены, а величина X тоже комплексна. Эту трудность можно обойти, если принять, что X — аналитическая функция переменных и и и, а также действительной и мнимой частей переменной g. В этом случае процедура комплексификации, изложенная в § 3, позволяет перейти от М к СМ, так что при этом и и и приобретают мнимые части, а £ и £ становятся независимыми комплексными переменными. Если X продолжается на комплексные значения этих переменных как голоморфная функция, то метод решения (7.4.7) формально применим при условии, что функция ф(а, р, у) голоморфная. Более того, при указанных ограничениях на X справедливо обратное утверждение о том, что уравнение (7.4.7) дает общее решение системы (7.4.6). Без таких ограничений на X указанный результат может оказаться неверным. [В самом деле, в М существуют неаналитические БСК, например система изотропных лучей без вращения, пересекающих неаналитическую кривую. Вообще говоря, их нельзя получить указанным способом, если не вводить некую предельную процедуру. БСК с вращением тоже могут быть неаналитическими, но в этом случае можно показать, что решение вида (7.4.7) определено; см. замечания в конце параграфа]. Итак, мы имеем.

Теорема (Керра)

Произвольную аналитическую БСК в М локально можно получить, выбрав произвольную голоморфную функцию ф(а, Р> т) трех комплексных переменных а, р, у и положив ф (X, и + X |, ^ + Хи) = 0. Решив это уравнение относительно X, можно найти направление БСК в каждой точке {и, ^, |, и) пространства М с помощью соотношений (7.4.5) (ы, и — действительные величины, £ — комплексная). (7-4.8)

Твисторная форма теоремы Керра

Теперь переведем этот результат на язык твисторов. Определим (дуальный) твистор Wa соотношением х)

о

Wa~(U -^лл')(7.4.9)

[формула (6.1.22)]. С учетом равенств (7.4.1) и (7.4.4) получаем компоненты твистора Wa (относительно фиксированного начала отсчета х° = О и заданной спиновой системы отсчета) в виде

Wa = (l, X, -Z(u + ^), -i(g + Xo)).(7.4.10)

Если учесть формулу (6.1.26), то выражением (7.4.9) гарантируется, что точка Р с координатами х° лежит на 0-плоскости CW cz СМ. Напомним: 0-плоскость есть геометрическое место точек в СМ, в которых обращается в нуль главная часть твистора Wa (см. гл. 6, § 2, 81 и гл. 9, § 3). Эта комллексная 2-плоскость определяет твистор Wa с точностью до множителя. Если координаты х“ действительны, то твистору Wa отвечает действительная изотропная линия W, проходящая через точку Р в направлении флагштока спинора $4.

Заметим, что аргументы функции ф в формуле (7.4.7)—это по существу компоненты твистора Wa. В самом деле, уравнение (7.4.7) можно переписать в виде

ф(Мь zW2, tW3) = 0.(7.4.11)

Мы можем избавиться от нормировки Wo = 1 для Твистора Wa [которая подразумевается в формуле (7.4.4): g0=l], заменив ф однородной голоморфной функцией твистора Wa:

X(WJ = (W^(^L, ^-, ^-),(7.4.12)

где целое число & (степень однородности функции %) мы можем выбирать по своему усмотрению. Уравнение (7.4.11) теоремы Керра напишется в виде

X(Wa) = 0.(7.4.13)

Как мы уже видели, это означает, что поле спин-векторов §д аналитично и образует БСК. Но направление флагштока спино-

ра ^д совпадает с направлением светового луча W, проходящего через точку Р. Отметим также, что ввиду геодезичности БСК флагшток спинора ^4 будет касательным к лучу W в каждой точке. Изотропными твисторами, удовлетворяющими условию X(Wa) = 0, определяется конгруэнция лучей W, которая совпадает с исходной БСК. Таким образом, получаем твисторную формулировку теоремы Керра.

Теорема

В общем случае аналитической БСК. в М такая БСК есть система лучей W в М, локально определяемая изотропными твисторами Wa, удовлетворяющими уравнению X (Wa) = 0, где х — произвольная голоморфная однородная функция твистора Wa.(7.4.14)

Существуют и другие, «более геометрические» (бескоорди- натные) доказательства этой теоремы. Одно из них основано на предложении (7.3.18). Всякая 0-плоскость CW есть множество точек, радиус-векторы которых представимы в виде хАА' + ^At>A', где хАА' и те же, что и в формуле (7.4.9), а спинор £л' играет роль переменного параметра. Касательные векторы записываются в виде §Л£Л' при тех же значениях £л, а следовательно, CW есть комплексная 2-поверхность, которая определена в предложении (7.3.18). Как указано в (7.3.18), условием аналитичности БСК будет существование голоморфного 2-параметрического семейства этих 2-плоскостей, такого, что векторы вида ^л^л/ каса- тельны к ним при всех значениях £л'_ Поскольку всякая 0-плоскость CW определяется твистором Wa, фиксированным с точностью до множителя, можно задать голоморфное 2-парамет- рическое семейство 0-плоскостей CW с помощью 3-параметриче- ского семейства (дуальных) твисторов Wa, инвариантного относительно преобразования Wa >—> XWa(X5£0). Очевидно, что такое 3-параметрическое семейство можно получить, приравняв нулю однородную голоморфную функцию x(Wa).

Линейные и квадратичные функции твисторов-,момент импульса

Два класса функций %(Wa), определяющих БСК, представляют особый интерес. Во-первых, если функция % линейна по Wa, то на основании теоремы (7.4.14) мы получаем в общем случае конгруэнцию, которая уже встречалась в теории твисторов, а именно конгруэнцию Робинсона. Она определялась по БСК-спинорному полю сол, ассоциированному с заданным твистором Za, так что Za (соЛ, лд') (гл. 6, § 2). Как было показано в формуле (6.2.5), ее образующими являются изотроп-

ные линии W, ассоциированные с твисторами Wa, которые удовлетворяют условию WaWa = 0 = ZaWa. Поэтому теорема (7.4.14) приводит к конгруэнции Робинсона для заданного тви- стора Za, если функцию % выбрать в виде

x(Wa) = ZaWa.(7.4.15)

Итак, конгруэнции Робинсона возникают, если % в теореме (7.4.14) или, что эквивалентно, ф в теореме (7.4.8) есть произвольная линейная функция.

Чтобы определить второй класс функций, рассмотрим (сопряженный) твистор момента импульса Аав общего вида, который мы определили соотношением (6.3.11), и положим

X(Wa) = AapWaWp.(7.4.16)

Если в качестве базовой выбрать точку Р, то Wa запишется в виде

Wa^(^, 0).(7.4.17)

Следовательно, с учетом формулы (6.3.11) имеем

ДЛВХЛХВ = О(7.4.18)

в точке Р, если только выполнено условие x(Wa) = 0. Здесь спинор Длв (= Двл) связан с моментом импульса Л4°6 относительно точки Р соотношением (6.3.10):

маЬ = -АВеА'В' + ^А'В^ДВ,(7.4.19)

и, следовательно, соотношение (7.4.18) показывает, что БСК, определяемая функцией (7.4.16), образована лучами, которые в каждой точке совпадают с ГИН тензора момента импульса. В частном случае, когда спин равен нулю (но масса отлична от нуля), конгруэнция образована световыми лучами, которые пересекают (прямую) времениподобную мировую линию центра масс у. В этом случае конгруэнция ортогональна системе гиперповерхностей (а ее лучи образуют изотропные гиперповерхности) , которые будут световыми конусами точек линии у. При наличии спина конгруэнция носит более общий характер и обладает вращением, зависящим от спина. Всякую такую конгруэнцию можно получить как линейный предел ГГИН конгруэнции решения Керра вакуумных уравнений Эйнштейна, изображающего вращающуюся черную дыру или содержащего голую сингулярность. В случае нулевой массы покоя конгруэнция распадается на две части, поскольку в силу формулы (6.3.2) имеем дав = ^(адв). Таким образом, одна часть будет конгруэнцией Робинсона, определяемой спинором со4, а другая — системой па-

раллельных лучей, определяемых спинором лй и ориентированных в направлении 4-импульса.

В случае произвольного времениподобного импульса локально имеем две конгруэнции (т. е. через каждую точку проходят два луча), которые, однако, сцеплены глобально в том смысле, что существует непрерывный путь перехода от одной конгруэнции к другой. Если x(Wa) — полином порядка п, а не порядка 2, как в формуле (7.4.16), то мы имеем п таких конгруэнций, сцепленных глобально.

Связь с твисторными функциями безмассовых полей

Рассмотрим теперь приложения к безмассовым полям. В предложениях (7.3.9) и (7.3.14) мы уже видели, что существует тесная связь между БСК и алгебраически специальными безмассовыми полями. Эта связь проявляется, например, в двух основных приложениях голоморфных функций твистора Wa, которые мы уже рассматривали выше, а именно в теореме (7.4.14) и формуле (6.10.1), позволяющей получать решения безмассовых полевых уравнений. Чтобы проиллюстрировать характер этой связи во втором случае, предположим, что функция f в выражении

Ъв...ь = ^ХаХв ••• X^(XR’ -i4xRP')XRdXP (7-4.20) имеет ^-кратный полюс в заданной точке ха, охватываемой контуром интегрирования. Если в этом полюсе спинор ХР пропорционален gP, то имеем

Ф А ... CD ... L^ • • • ^ = Ф ^*А • • • ^С (^D^25)6 X

Xt^R. — ihRX™')%Pd%p = 0 (7.4.21)

(в левой части содержится к множителей g), так как полюс гасится множителем (Хд§д)й. Таким образом, в силу предложения (3.5.26) поле фд L в точке х“ имеет по крайней мере (п— &+1)-кратное ГИН вдоль флагштока спинора gs. Если этот полюс порядка к сохраняется при изменении ха, то функция f должна иметь вид

Z(Wa) = 6(Wa){x(Wa)}-ft, (7.4.22) где 0 — однородная голоморфная функция, регулярная в рассматриваемых полюсах, которые определяются из условия равенства нулю знаменателя

X(^R, -^^ = 0 (7.4.23) при переменных значениях V. Мы полагаем, что интересующие нас нули функции % — простые, а также что х — однородная и

голоморфная функция. Сравнивая этот результат с (7.4.9) и (7.4.13), мы видим, что поле ^R образует БСК, как и ожидалось.

Особый интерес представляют функции f вида

Z(Wa) = (B"pWaWp)-3.

При всех значениях xRR' имеем два полюса третьего порядка; располагая контур интегрирования между ними, получаем гравитационное поле в линейном приближении, которое в каждой точке имеет две пары кратных ГИН (типа (2, 2}). Линейное приближение к решению Шварцшильда и Керра принадлежит к этому типу (кулоновское электромагнитное поле тоже принадлежит этому типу с заменой показателя —3 на —2). Если теперь воспользоваться процедурой вычисления твистора момента импульса Аар, изложенной в гл. 6, § 4, 10, то получим, что он пропорционален матрице, обратной матрице ВаР и деленной на квадратный корень из ее детерминанта. Таким соотношением между В“р и Аар объясняется аномалия в знаке спина, ассоциированного со спинором Киллинга для решения Керра, упоминавшегося на с. 135.

Отметим, что при к = п мы вновь получаем поле £д, которое образует БСК, тогда как ГИН будут простыми. Это не означает, что простые ГИН безмассовых полей всегда образуют БСК. Однако поля, которые получаются по формуле (7.4.20), принадлежат к специальному типу, когда функция f имеет вид (7.4.22). При к = п это проявляется не в том, что поле является алгебраически специальным, а в том, что оно содержит лучи (ГИН), образующие БСК. Чтобы получить поле фд...ь общего вида, потребовалось бы рассматривать функции f с особенностями более общего типа, чем полюса.

Интересно сопоставить результат (7.4.22) с теоремой Робинсона (7.3.14) об изотропных полях. Поле (7.4.20) будет изотропным, если в формуле (7.4.22) мы имеем к = 1 (когда контур охватывает этот простой полюс). Следовательно, в интеграл (7.4.20) дают вклад только значения функции 0 (Wa) в полюсах функции %, т. е. существенны значения 6 лишь при % = 0. Геометрическое место точек, где % = 0, будет комплексно-трехмерным подмножеством множества Та> которое заметают линии, проходящие через начало координат. Следовательно, семейство таких линий будет комплексно-двумерным. Поскольку 0 — однородная функция, это означает, что интересующие нас значения 9 определяются двумя комплексными параметрами. Таким образом, формула (7.4.20) позволяет, исходя из БСК, получать в М изотропные безмассовые поля с любым значением спина п/2^1. Эти БСК определяются нулями функции % (теорема Керра), а произвол в значениях получаемого изотропного поля (теорема

Робинсона) определяется множеством значений функции 6 в нулях функции х- Все аналитические безмассовые изотропные поля в М локально допускают подобное представление1).

Определенный интерес представляет обобщение этого результата на случай алгебраически специальных полей меньшей кратности вырождения (не все ГИН совпадают). Поскольку теперь в формуле (7.4.22) мы имеем к > 1, для нас существенны не только значения 6 при х = 0, но также (к— 1) первых производных 6 при х = 0, вычисленных в направлении от множества, определяемого этим уравнением. Это означает, что фактически мы должны рассматривать к голоморфных функций двух комплексных переменных. Таким образом, интегральная формула (7.4.20) позволяет получать безмассовые поля со спином 1/2, для которых заданная аналитическая БСК будет по меньшей мере (л— Л+1)-кратной ГИН. Полученные поля параметризуются к голоморфными функциями двух комплексных переменных.

Покажем, как можно переписать формулу (7.4.20) в обозначениях (7.4.1) — (7.4.4). Вычисляя компоненты функции (7.4.20) в постоянной спиновой системе отсчета и записывая

^ = К..01...р(7.4.24)

так что индекс в правой части содержит (л — г) нулей и г единиц, получаем

фг = ф XrF (X, и + Ч, g + Хи) йХ (г = 0л),(7.4.25)

где-

.F^, 0, у)=/№, Wa = (l,a, — 40, -4Y), (7.4.26)

причем F— произвольная функция, голоморфная в области, не включающей области сингулярностей, охватываемых контуром интегрирования. Как нетрудно убедиться, выполняются уравнения

а^=а^ ^=^ (г = 0 ди at, at, do

являющиеся компонентами безмассового полевого уравнения (4.12.42) при л > 0. Кроме того, мы имеем волновое уравнение

*) Заметим в историческом плане, что перевод этой комбинации теорем Робинсона и Керра на язык твисторов оказался весьма плодотворным и привел к построению (в контексте теории твисторов) первоначальных представлений полей в виде контурных интегралов, рассмотренных в гл. 6, § 10 [241, 264]. По существу это теоремы о том, что изотропное поле описывается голоморфной функцией на голоморфной поверхности в (проективном) тви- сторном пространстве. Ключевую роль сыграла идея рассматривать такую Поверхность как полюс, а голоморфную функцию — как вычет в этом полюсе,

для метрики (7.4.2) диФг дФг ди до д£ д£ ’

которое показывает, что спин 0 также учтен в выражении (7.4.25) (при л = 0 = г).

Пространства РЛ° и Jf; инвариантная контактная структура

Перейдем теперь к общему случаю произвольного пространства-времени ^. Мы увидим, что идеи теории твисторов плодотворны и в этом случае.

В § 1 мы показали, что, хотя изопараметричность некоего луча соседнему лучу ц определяется локально, в действительности она является глобальным свойством: если она имеется в одной точке луча р, то она имеется и во всех других его точках. В § 2 мы показали, что то же справедливо для условия отсутствия вращения пучков лучей, близких к лучу р и изопараметри- ческих ему. Следовательно, эти два свойства отвечают некоторой инвариантной структуре в пространстве РЛ°, каждая точка которого изображает определенный луч в ^#1).

Обозначение PN аналогично тому, которое использовалось в гл. 6, § 10 и гл. 9, § 3, где (см. с. 370) через PN обозначено пространство проективных изотропных твисторов в М. Элементы пространства PN— изотропные твисторы, заданные с точностью до множителя, а поэтому (если не считать, что PN содержит еще и «бесконечно удаленные лучи», см. гл. 9, § 3) PN можно рассматривать как пространство лучей в М. Но определение непроективного пространства N изотропных твисторов содержит дополнительные требования к спинору яд' в каждой точке луча: его флагшток должен быть касательным к лучу, а весь спинор должен переноситься вдоль луча параллельно. Положив ол=лл, мы получаем определенного рода (аффинную) параметризацию (scaling) луча ц и базовое полотнище флага, которые применялись ранее в данной главе. Строго говоря, спинор лд' относится к пространству N* (или N") изотропных [ д]-твисторов. Нештрихованный же спинор од относится к пространству N. (или Na) изотропных [, ]-твисторов, комплексно-сопряженному с пространством N*. (Проективные образы этих пространств PN' и PN. по существу одинаковы.) По аналогии с точками пространства N. мы определим теперь точку простран-

ства Л9. как пару: луч в Л и спинор од, флагшток которого ка- сателен к лучу и который переносится вдоль луча параллельно. Пространство Л9' определяется аналогично, однако роль спинора Од играет штрихованный спинор лд'. Здесь мы будем иметь дело почти исключительно с пространствами Л9, и РЛ9., а потому ради простоты примем для них упрощенные обозначения Л9 и РЛ9 в тех случаях, когда не требуется подчеркнуть их отличие от Л9’ и РЛ9'.

Одно из преимуществ пространства Л9 перед РЛ9 в том, что оно допускает интерпретацию меры неизопараметричности

h = qala(7.4.27)

[формулы (7.1.39), (7.1.43)], а не только условия h = 0. В силу формул (7.1.65), (7.1.66), (7.4.27) имеем представление

h = iU°dUa = - tUadU°(7.4.28)

для твистора Ua s Na, и вскоре мы покажем, что аналогичная формула справедлива в Л9, если использовать формализм локальных твисторов (гл. 6, § 9) в некоторой точке рассматриваемого луча. Аналогично мера вращения, т. е. либо L2t [где L — яркостный параметр, а t— вращение, см. формулы (7.1.51), (7.1.48), (7.2.16)], либо более общая характеристика — симп- лектический инвариант 2, определенный в формуле (7.2.18), также допускает в Л9 прямую интерпретацию.

Чтобы найти выражение для величины 2, рассмотрим луч р в пространстве М, а также два соседних с ним луча v и v. Представим р, v и v твисторами Ua, Ua + 6Ua и Ua + 6Uas Na- Выбирая начало координат в точке Ре р, имеем [здесь qa = 6xa, qa=6xa, см. формулы (7.1.62) — (7.1.64)]

Ua (Од, 0),

dUa ^ ^ЬоА, - iq^'o^ + О (q2),(7.4.29)

6Ua ** №<>А, -iq^'o^-b O(q2Y

Далее, опуская слагаемые третьего порядка, находим

6U“6Ua-SUa6Ua *^ Uq^A', q^bOA'KqbVьод, -iqaoA)-

— (iq°oA', qbVboA')(qbVboA, —iqaoA) =

= iq°qboA'VboA — iqbqaoAVbOA' — iqaqboA'VboA +

+ iqbq°oAVbOA' = i^q^bla — iqaqb^bla =

= iq°Dqa —iq°Dqa = 2iS(7.4.30)

[с учетом условий £<7° = О, £^° = 0, см. формулу (7.1.29)]. Предпоследняя строка в формуле (7.4.30) может быть переписана в виде

2iqV°qblVValbA, (7.4.31)

а это в силу изложенного в § 1 есть произведение мнимой единицы на квадрат яркостного параметра и на вращение, когда лучи v и v изопараметричны лучу р,. В случае неизопараметри- ческих лучей дополнительная информация, содержащаяся в величине (7.4.31), состоит лишь в том, как изменяется масштаб (scaling), задаваемый вектором 1а, при переходе от луча к лучу. В частности, выражение (7.4.31) равно нулю при всех значениях векторов q°, q° в том (и только в том) случае, если поле 1а есть поле некоего градиента [р = р, т = а + Р;см. формулу (7.1.57)], а не всего лишь пропорционально градиенту [р = р, см. формулу (7.1.58)], что мы имеем, если выражение (7.4.31) обращается в нуль только для изопараметрических лучей (когда q°lo = 0 = = qala). Отметим, что здесь автоматически выполняется равенство х = 0 = е.

Пусть теперь лучи принадлежат искривленному пространству-времени Л. Воспользуемся локальным твисторным описанием в точке Р и представим лучи v и v с помощью локальных твисторов, которые редуцируются к виду (од, 0) при смещении от точки Р на q° и q° соответственно. Пренебрегая слагаемыми второго порядка по qa и q°, находим, что выражения для твисторов Ua + dUa и Ua + 6Ua, заданных соотношениями (7.4.29), действительно обладают требуемым свойством, как это прямо следует из (6.9.14). Таким образом, выражение

S = lz (dUa би“ - 6Ua6U“) (7.4.32)

определено в Л в смысле локальных твисторов в точке Р. Более того, оно справедливо в каждой точке луча р, так как величина 2 постоянна [см. текст после формулы (7.2.18)] вдоль ц, хотя локальное твисторное описание каждого луча v, V, вообще говоря, не является постоянным вдоль р (в смысле локальных твисторов). Аналогичное замечание справедливо в отношении величины (7.4.28).

Структура, индуцированная в пространстве Jf величинами А и 2, наиболее естественно описывается с помощью дифференциальных форм (гл. 4, § 3). Имеем 1-форму

A = ZU“dUa=-/UadO“ (7.4.33) и 2-форму

2 = zdU“ A dUa, (7.4.34)

которые канонически определены в JV, причем правая часть в каждом случае понимается в смысле локальных твисторов по аналогии с выражениями (7.4.28) и (7.4.32) соответственно. Величины А и 2 получаются как значения форм ft и 2 на векторах qQ (и qaY Это утверждение легко проверить (в любой точке Р луча ц). Строго говоря, векторы <7° и qa следует рассматривать как поля Якоби, заданные вдоль всего луча р [см. текст после формулы (7.2.2)], поскольку именно полем Якоби определяется касательный вектор в точке пространства Л9 (т. е. смещение от одного луча в целом к соседнему).

Отметим также важное соотношение

^ = dh.(7.4.35)

Справедливость этого соотношения более или менее очевидна из формул (7.4.33) и (7.4.34) ), но нужна осторожность при формальном вычислении действия операции d на величину (7.4.33), так как твисторы Ua и U“ не являются независимыми, а связаны между собой в Л9 соотношением

UaU“ = 0.(7.4.36)

Правда, не составляет труда избавиться (локально) от этого ограничения, рассматривая Л9 как часть (действительно-восьмимерного) многообразия 9", для которого условие (7.4.36) не обязательно. В этом случае равенством (7.4.36) выделяется подмножество Л9 в ^~. Формы А и 2 не продолжаются на 9" канонически, однако эта неопределенность не влияет на соотношение (7.4.35). Соответствующий произвол сводится к добавлению слагаемого вида UaU“, умноженного на гладкую форму, которое не дает вклада во внешнюю производную на Л9, поскольку

d(UaO“) = UadO“+U“dUa,(7.4.37)

а это выражение равно нулю на Л9 в силу равенства (7.4.33). Выше мы допустили некоторую вольность, рассматривая ло-

Рис. 7.4. В пространстве РЛ® можно ввести локальные координаты, сшив область 41 искривленного пространства Ж с плоским пространством V (с помощью соответствующей переходной области).

кальные твисторы Ua и U“ с абстрактными индексами так, как если бы они были обычными функциями координат на Л” и 9". Но наши рассуждения нетрудно изменить, чтобы они стали более строгими. Например, можно считать, что рассматриваемая область °и<^Л (которая предполагается достаточно малой) гладко продолжается в другое многообразие ) пространства- времени (2D °11У которое является плоским в некоем открытом подмножестве Т, содержащем часть продолжения рассматриваемого луча р. на Л' (рис. 7.4). Многообразие Л' не обязано удовлетворять каким-либо полевым уравнениям, так что это продолжение можно осуществить разными способами. Выберем одно такое продолжение и введем стандартный координатный базис б“ в Т [формулы (6.1.17), 6.1.34]. Все лучи, лежащие вблизи ц, продолжаются в Т, и, следовательно, им можно сопоставить стандартные (изотропные) твисторные компоненты, взятые по отношению к базису й“. Вычисляя компоненты форм й и S, постоянных вдоль р, в этом базисе, получаем просто координатные представления выражений (7.4.33), (7.4.34), а следовательно, и (7.4.35). Отметим, что указанная процедура позволяет ввести координатную окрестность на многообразии Л3, в которой формы ft, S представимы с помощью этих стандартных выражений. Очевидно, что в таком построении (взятом из ра-

боты [246]) имеется широкий произвол. Проведенное построение одновременно показывает, что формы h и 2 на № не содержат локальной информации о кривизне Л, поскольку они эквивалентны соответствующим формам в плоской области Т.

Структуру, связанную с формами й и 2 на Л3, иногда называют контактной структурой [3]. Мы будем называть ее инвариантной контактной структурой^ на Л3 [241]. Форма 2, будучи невырожденной и замкнутой:

d2 = 0, (7.4.38)

индуцирует в пространстве 9", определенном неканонически, симплектическую структуру [3, 377]. Более того, форму 2 можно рассматривать как симплектическую структуру на действительном шестимерном пространстве Л3, полученном из Л3 факторизацией по фазовым преобразованиям:

ол е®ол (Q г R). (7.4.39)

(Симплектические структуры существуют только на четномерных многообразиях.) Стало быть, симплектическое многообразие Л3 есть пространство аффинно-параметризованных (scaled) лучей в Л. Что касается 1-формы й, то она тоже хорошо определена на Л3 и связана с 2 соотношением (7.4.35) (подробнее см. в работах [246, 61]).

Комплексная структура и КД-структура

К сожалению, инвариантной контактной структуры пространства Л3 далеко не достаточно, чтобы ввести комплексную структуру, необходимую для формулировки аналога теоремы Керра (7.4.14) в искривленном пространстве. Нам потребуется комплексная структура на некотором действительно-восьмимерном подпространстве 9" дэ Л3, чтобы определить, какие из функций на (открытом подмножестве множества) Л3 следует рассматривать как голоморфные функции (или их ограничения). [По существу нам требуется определить понятие «голоморфной координаты», аналогичной величинам а, р, у в формуле (7.4.8) или Wa в формуле (7.4.11).] Из теоремы (7.4.14) мы видим, что имеется очень тесная связь между понятиями «бессдвиговости» лучей в Л (т. е. a = 0) и голоморфности в .f с 9". Это говорит о том, что мы встретимся с трудностями, если попытаемся обобщить наше определение комплексной структуры на произволь-

ное пространство-время и использовать его для лучей в целом, безотносительно к выбору выделенных точек на каждом луче. Второе из уравнений Сакса (7.2.12) означает, что если условие Vo = 0 не выполняется вдоль луча р,, то условие «бессдвиго- вости» о = 0 в заданной точке не будет справедливым для других точек (ме «.переносится-» в другие точки). Это условие будет выполняться для всего луча только в том случае, когда ^# — конформно- плоское пространство-время.

Чтобы обойти эту трудность, мы будем искать лишь такую комплексную структуру, которая зависит от выбора гиперповерхности 36 в Л. В этом случае понятие «бессдвиговости» достаточно определить только на пересечении лучей с 36. Наиболее простой вид эта конструкция приобретает, когда гиперповерхность 36 выбрана пространственноподобной, и наше изложение в основном будет ориентировано на этот случай. Тем не менее гиперповерхность 36 может быть и времениподобной, и изотропной (с некоторыми оговорками). Изотропный случай представляет интерес, когда гиперповерхность 36 удалена на бесконечность, так что она совпадает с одной из гиперповерхностей 3-, определяемых в гл. 9, § 6 для асимптотически плоского пространства Л. В этом случае наша конструкция приводит к пространству асимптотических твисторов Л, которое мы кратко рассмотрим в конце гл. 9, § 8.

Прежде чем подробно разбирать эту конструкцию, уточним, какого рода «комплексную структуру» мы хотим получить. Напомним, что в теореме Керра (7.4.14) нас интересовали ограничения на Na функций, голоморфных в некоторой области пространства Та, т. е. фактически (поскольку рассматриваемые функции были также однородными) ограничения на PNa функций, голоморфных в пространстве РТа- Именно действительнонечетномерные пространства Na и P!Na, а не действительно-четномерные комплексные пространства Та и РТа могут быть прямо интерпретированы как лучи в М, и эти же действительнонечетномерные пространства допускают дальнейшие обобщения на случай искривленного пространства Л, переходя в ^ и РЛ3 соответственно. Таким образом, в первую очередь нас будет интересовать не сама комплексная структура объемлющего комплексного (обязательно действительно-четномерного) многообразия, а ее ограничение на (действительно-нечетномерную) гиперповерхность. Ограничение комплексной структуры на действительную гиперповерхность называется реализуемой КД-структурой *)

[95, 226, 261]. Нам потребуется более детальное знакомство с некоторыми из ее геометрических свойств.

Посмотрим, сначала,.каким образом можно характеризовать действительное 2л-мерное многообразие ЗУ® как л-мерное комплексное многообразие с действительными величинами. Одно из основных геометрических свойств, которым должно обладать многообразие ЗУ®,— возможность выделить комплексные касательные векторы. С точки зрения действительных чисел вектор г можно рассматривать как пару действительных касательных векторов: его «действительной части» х и «мнимой части» у:

г = х + iy.(7.4.40)

Преобразованию комплексного вектора

z^ei6z (9eR)(7.4.41)

соответствуют преобразования действительных векторов

х >—> х cos 6 — у sin 6,

•о(7.4.42)

у ь^-х sm0 + ycos0.

В частности, когда

Zb->iz,(7.4.43)

имеем'

X ।—> — и,

(7.4.44) У^х.

Отображение (7.4.44) обычно обозначают буквой J:

J^ = - у, Цу) = х,(7.4.45)

и называют комплексной структурой на Ж. Оператор I, действующий в (действительном) 2л-мерном пространстве, касательном к ЗУ®, является действительно-линейным и удовлетворяет условию

J2 = — 1,(7.4.46)

что явствует из (7.4.45). Тогда комплексные векторы, касательные к ЗУ®, однозначно записываются в виде

t — il^,(7.4.47)

где t— действительный вектор, касательный к Ж (и, следовательно, при заданном отображении I мы имеем взаимно-однозначное соответствие между действительными и комплексными касательными векторами).

Однако свойство (7.4.46) оказывается недостаточным для того, чтобы охарактеризовать ЗУ® как комплексное многообразие, оно означает только, что ЗУ® — почти комплексное многообразие. Чтобы получить комплексное многообразие, дополнительно тре-

буется наложить на оператор J условие интегрируемости ). Приведем одну из возможных формулировок этого дополнительного требования:

Скобка Ли любых двух гладких полей комплексных касательных векторов есть тоже комплексный касательный вектор. (7.4.48)

Здесь термин «гладкое поле» понимается в смысле действительных функций и не включает условия голоморфности. В общем случае произвольного почти комплексного многообразия скобка Ли может давать комплексно-сопряженные касательные векторы, которые имеют вид

z = x — 1у = х -\-и^ (7.4.49)

в отличие от (7.4.47).

Согласно теореме, доказанной Ньюлендером и Ниренбергом [214], на всяком комплексном (в указанном смысле) многообразии Ж всегда существуют локальные комплексные координаты 5ь ..., 5«, такие, что комплексные касательные векторы в любой точке могут быть представлены как комплексно-линейные комбинации векторов

в этой точке. Такие координаты называются голоморфными координатами в ЗУ®. С их помощью можно ввести понятие голоморфной функции в открытых областях ЗУ® как голоморфной (комплексно-аналитической) функции этих координат. Голоморфными на ЗУ® будут те комплексные функции Д которые удовлетворяют условию z^ = 0 для всякого комплексно-солржжен- ного касательного вектора z [см. также предложение (4.14.25), т. 1]. ■

Указанное понятие требуется, очевидно, чтобы определить аналог голоморфных функций в искривленном пространстве, который существенным образом используется в теореме Керра. Но для их интерпретации, основанной на геометрии лучей, нам дополнительно потребуется разобраться в геометрической структуре, ассоциированной с ограничением комплексной структуры на определенного вида действительную гиперповерхность 96 в ЗУ®.

Касательное пространство Т [Q] в каждой точке такой гиперповерхности 96 будет (2л—1)-мерным. Оно содержит действительно-(2л— 2)-мерное подпространство Н (Q), называемое голоморфным касательным пространством, которое является инва-

риантом отображения J и, следовательно, имеет структуру комплексного (л— 1)-мерного векторного пространства. Базис H^Q^ образован (л—1) комплексными векторами zb ..., zn-i (их действительными и мнимыми частями). Чтобы получить базис в Г [Q], требуется еще один действительный вектор и в Q (отображение / в ^ не переводит и в вектор, касательный к гиперповерхности ^).

Следовательно, само многообразие 86 обладает внутренней структурой, определяемой оператором I, который по-прежнему удовлетворяет условию (7.4.46), но теперь определен (действительно-линейно) только на каждом подпространстве H^QY Условие интегрируемости (7.4.48) сохраняется, однако комплексные касательные векторы обязательно принадлежат подпространствам Н [Q]. Многообразие 82 вместе с такой «интегрируемой» структурой / называют КД-многообразием (комплексно-действительным).

Если многообразие 82 и оператор J действительно-аналитичны, то можно показать, что пространство вложения 18°(то 82) локально будет комплексным n-мерным многообразием, комплексная структура которого индуцирует заданное отображение J на 82. Голоморфные функции на У переходят в объекты, которые называют КД-функциями на 82 (комплексно-сопряженные касательные векторы z принимают на этих функциях нулевые значения)1). Без дополнительного условия аналитичности вопрос о существовании такого многообразия вложения ЗУ® (или КД-функций) для заданного КД-многообразия 82 оказывается довольно тонким. Если пространство вложения ЗУ® существует, то мы говорим, что КД-многообразие 82 реализуемо (или допускает вложение). Нереализуемые КД-многообразия встречаются при некоторых условиях [227, 152, 261] и даже могут возникать в интересующих нас случаях [181], если отсутствует упомянутое требование аналитичности.

Твисторы гиперповерхности

Рассмотрим теперь пространство РЛ® и выделим естественную КД-структуру, индуцированную в нем пространственноподобной гиперповерхностью ^ в ^. (По предположению гиперповерхность <Ж согласована с рассматриваемой областью в РЛ® так, что каждый луч, отвечающий точкам этой области, пересекает данную гиперповерхность один и только один раз.) Касательное пространство Г[ц] к РЛ® в точке цеРЛ® образовано лучами, «соседними» с р, в ^. Голоморфное касательное пространство Д[р] в точке р (рассматриваемое как действительное

*) Понятие КД-функций существенно не только в теореме Керра (7.4.8), (7.4.14), но также в лемме (7.3.15) и т. д.

Рис. 7.5. Всякому выбору (пространственноподобной) гиперповерхности 38 в Ж можно сопоставить некоторую КД-структуру на РЛ°. Эта структура зависит от положения 38, если только пространство Ж не конформно-плоское.

четырехмерное векторное пространство) оказывается состоящим из соседних с р изопараметрических лучей. На самом деле такая структура определяется инвариантной контактной структурой пространства Л9 безотносительно к выбору гиперповерхности де. ' '

Роль гиперповерхности де состоит в том, чтобы определить действие оператора I на Я[р] и тем самым наделить это пространство структурой комплексного' двумерного векторного пространства. Пусть Р — точка пересечения луча р с дв. Определим П как элемент 2-плоскости в Р, касательный к гиперповерхности де и ортогональный лучу р. Рассмотрим луч v, соседний с р и изопараметрический ему, и возьмем вектор девиации q°, принадлежащий 'элементу П. Для определения луча v требуется знать не только вектор qa, но и величину Цуа. В силу формулы (7.1.14) имеем loDqa = D (loq°) = 0, так что вектор Dq° должен быть ортогонален вектору 1°. Изменив масштаб (scaling) на луче v, мы можем добавить к Dq° вектор 1° с произвольным множителем так, чтобы полученный новый вектор Dq° лежал в плоскости П. Таким образом, различным соседним с р изопараме- трическим лучам v указанного типа, т. е. различным точкам пространства Н [р], ставятся в соответствие свои значения векторов qa и Dqa, лежащих в плоскости П. Тогда действие оператора I (рис. 7.5) сводится к повороту на прямой угол [в отрицатель-

ном направлении *) вокруг пространственной проекции вектора /а] векторов q°, Dq° в плоскости П [261].

На рис. 7.2 видно, что пучок соседних с ц изопараметриче- ских лучей будет бессдвиговым в точке Р в том и только в том случае, если он инвариантен по отношению к действию оператора /, определенного выше. Первые две диаграммы на рис. 7.2, изображающие конгруэнцию при наличии сходимости и вращения, инвариантны относительно поворота на прямой угол, тогда- как третья, отвечающая наличию сдвига, этим свойством не обладает. Если бы при таком определении операции / она вводила на РЛ® реализуемую КД-структуру, то можно было бы доказать теорему о конгруэнциях лучей, бессдвиговых на пересечении с гиперповерхностью ^, типа теоремы Керра.

Оказывается, что операция / действительно удовлетворяет условиям интегрируемости для КД-структуры (реализуемой, если гиперповерхность ^ вкладывается аналитически в аналитическое пространство-время Л^. Прямое доказательство этого было дано Ле-Брюном [181] и Брайантом ). Здесь мы наметим схему другого доказательства, которое в аналитическом случае дает требуемое комплексное многообразие ^"(^) явно. Пространство 36 вкладывается в него как действительная гиперповерхность и наследует требуемую КД-структуру.

Многообразие ^(<2^) будем называть пространством твисто- ров гиперповерхности 36. В том случае, когда 36 удовлетворяет в Л определенным условиям аналитичности, оно может быть получено следующим образом. (Подробнее см. в работах [250, 261].) Сначала, комплексифицируя гиперповерхность 36, а также Л в окрестности этой гиперповерхности (т. е. выбирая локально-аналитические координаты и полагая, что они принимают комплексные значения с малой мнимой частью, см. гл. 6, § 9, с. 156), получаем несколько «утолщенные» комплексные многообразия 036, ОЛ. Далее рассмотрим комплексные линии в 036, называемые ^-кривыми, касательные векторы к которым (изотропные, комплексные) имеют вид

oAoBNA', (7.4.51)

*) В случае пространства РЛ".. В случае же пространства РЛ°* поворот происходит в положительном направлении.

где Na — нормаль к гиперповерхности 5^, причем спинор ос переносится вдоль кривой параллельно:

oAoBNA'BV АА-ос = 0.(7.4.52)

Уравнение (7.4.52) сводится к обычному дифференциальному уравнению, определяющему 0-кривые.

Значение вектора (7.4.51) в том, что он автоматически является ортогональным нормали Л5" и, следовательно, касатель- ньш к пространству С96, а также допускает представление вида оА^А'. В плоском или конформно-плоском (комплексном) пространстве-времени ^-плоскости [см. текст после формулы (7.4.10), а также гл. 9, § 3] будут вполне изотропными комплексными 2-поверхностями, касательные векторы к которым имеют тот же вид, причем в каждой точке, считая спинор о-4 фиксированным и варьируя t,A', мы получаем все касательное пространство. Если в каждой точке 0-плоскости выбрать спинор од специальным образом, а именно с помощью процедуры параллельного переноса, то полученным полем будет определяться [ i ^твисУор. Формулы (7.4.51) и (7.4.52) дают проекцию указанных свойств на гиперповерхность 96, так что, например, в случае конформно-плоского пространства Л решениями уравнения (7.4.52) будут кривые, являющиеся пересечениями гиперповерхности 96 с 0-плоскостями, которые отвечают [ ° ]-твисторам в Л. В общем случае, ввиду того что мы оперируем только с голоморфными величинами, решения уравнения (7.4.52) образуют комплексное 4-многообразие, совпадающее с искомым пространством 9" (96}. Сами 0-кривые есть точки комплексного 3-многообразия Р9"(96}. Параметр, связанный с параллельно переносимым спинором од, дает недостающее комплексное измерение в пространстве 9~ (96}. Элементы этого пространства [или пространства Р9"(96}\ имеют смысл (проективных} твисторов гиперповерхности.

Соответствующее пространство правильнее было бы обозначать символом 9~. (96} в отличие от пространства 9"" (96}, которое строится с помощью векторов

л,а'лв'Ыав',(7.4.53)

касательных к комплексным a-кривым в пространстве С96, причем параллельно переносится штрихованный спинор лс':

n.A'n.B'NAB'V аа'Ис' = 0.(7.4.54)

Комплексное сопряжение отображает a-кривые в 0-кривые и переводит пространство 96 в него же.

Всякая 0-кривая, которая содержит действительную точку (точку гиперповерхности 96}, должна пересекаться с комплексно-

Рис. 7.6. Связь между твисторами гиперповерхости, дуальными твисторами гиперповерхности и изотропными геодезическими. Вообще говоря, не существует простого соответствия между 0-кривыми на различных гиперповерхностях. Это связано с тем, что КД-структура, показанная на рис. 7.5, в общем случае зависит от положения гиперповерхности Ж

сопряженной а.-кривой в этой точке, поскольку это неподвижная точка операции комплексного сопряжения. (Если пространство 036 достаточно «тонкое» и гиперповерхность ^ — пространственноподобная, то 0-кривая пересекается с сопряженной а-кри- вой только в таких точках.) Элементы пространства 9". (.36) [или Р^~. (5^)], которые отвечают 0-кривым (или 0-кривым, пересекающим 5^), называются изотропными (проективными) твисторами гиперповерхности, и то же относится к элементам пространства £Г* (5^) [или Р^' (5#)] для a-кривых, пересекающих 36. Пространства изотропных твисторов обозначаются через Л3. (5^) ^или РЛ3. (5#)] и Л3* (5^) [или РЛ3* (5#)] соответственно.

Чтобы связать все с изложенным ранее, заметим, что в точке Р пересечения 0-кривой с сопряженной ей a-кривой (случай изотропного твистора гиперповерхности) мы можем положить

1а = ОдЛА' = О ДО Д'

(так как при комплексном сопряжении спинор од переходит в яд' и од/ := б д'). Далее, мы определяем ц как луч (с масштабом, задаваемым посредством спинора од), направление которого в точке Р определяется вектором 1° (рис. 7.6). Таким образом, пространство Л3. (2#) [или РЛ. (2#)] можно локально отождествить с Л [или РЛ], и оно дает требуемую КД-структуру. Отметим, однако, что эта КД-структура зависит от выбора гиперповерхности 36 и (если не считать случая конформно-плоского пространства Л], вообще говоря, изменяется, если изменяется положение гиперповерхности 36 в Л. При этом согласование с

инвариантной контактной структурой пространства Л° остается (в том смысле, что голоморфные касательные пространства по- прежнему переходят в пространства изопараметрических лучей, хотя их комплексная структура меняется).

Важное свойство этих конструкций — конформная инвариантность:'

Предложение

Пространства ^(36) и РЛ”^), а также формы h и S, описывающие инвариантную контактную структуру, не изменяются при конформном изменении масштаба ёаь'—^^ёаь метрики многообразия Ж {при котором выбрано преобразование олн->ол).(7.4.55)

Доказательство. Конформная инвариантность пространств 96(36) и РЛ°(^) следует из того, что при выбранном масштабном преобразовании мы имеем

ОЛ¥ЛЛ'Ос I—> Q *ОЛ {^АА-Ос — ТсА'Ол) = Q ХОА^АА'Ос (7.4.56) в силу формул (5.6.2), (5.6.14) и (5.6.15), так что определяющее их уравнение (7.4.52) не изменяется. Инвариантность форм h и 2 при конформном изменении масштаба следует из их инвариантности при переносе вдоль луча ц, поскольку, например, из формулы (7.4.56) видно, что условие параллельного переноса спинора ол вдоль луча ц не зависит от выбора масштаба на луче ц. В самом деле, изменение масштаба вблизи одной точки луча ц не может, очевидно, привести к изменению значений рассматриваемых форм в удаленных точках. Инвариантность формы h явствует также из выражения (7.4.27), поскольку мы имеем qa^-qa, lo'—>la, а инвариантность формы 2 тогда следует из соотношения (7.4.35).

Используя гиперповерхность ^, можно дать следующую формулировку теоремы Керра:

Если все рассматриваемые величины аналитичны, то конгруэнция лучей будет бессдвиговой на пересечении с гиперповерхностью 36 при том и только при том условии, что она определяется равенством нулю [однородной} голоморфной функции на Р9".(36) [или 9". (36)}.

(7.4.57) Таким образом, конгруэнции, бессдвиговые на гиперповерхности 36, получаются как пересечение комплексной (голоморфной) гиперповерхности в Р9" .(36) с P.f.(36) (рис. 7.7). С точки зрения геометрии КД-структуры на РЛ°. (36) (см. рис. 7.5) это означает, что такое пересечение (КД-гиперповерхность) должно иметь касательные пространства, пересечения которых с пространством Д[Р] инвариантны относительно операции I. По-

Рис. 7.7. Теорема Керра в искривленном пространстве-времени, сформулированная с использованием гиперповерхности 36. Конгруэнция лучей, которая на пересечении с 36 имеет нулевой сдвиг, соответствует (в аналитическом случае) пересечению комплексно-аналитической поверхности в PST, (3g) с Пространством РЛ3. (36).

следнее утверждение соответствует тому, что конгруэнция будет бессдвиговой на 36. Подробное доказательство этих утверждений проводится путем рассуждений, аналогичных представленным выше. '

Роль аналитичности

Скажем несколько слов об условии аналитичности на гиперповерхности 36. Это условие потребовалось, чтобы определить «комплексно-утолщенные» пространства 036 и С»#, необходимые для построения 3~(36). Однако в исходном геометрическом определении операции I на 36(36) такие понятия не фигурируют. Поэтому КД-структура (возможно, нереализуемая) пространства 36(36) может быть определена непосредственно при наличии необходимых условий интегрируемости. То, что эти условия фактически выполняются, можно доказать без дополнительных вычислений, показав, что в аналитическом случае наше геометрическое определение операции I согласуется с тем, которое получается в рамках конструкции твисторов гиперповерхности. (Это довольно легко сделать, рассматривая локальное твистор- ное описание в точке Р.) Условия интегрируемости в этом случае будут просто системой дифференциальных соотношений, кото-

рые в силу аналитичности удовлетворяются автоматически. Поскольку в неаналитическом случае уравнения те же, что и в аналитическом, они будут выполняться в первом случае, если выполняются во втором.

Это показывает, что ЗР^Зб^ будет КД-многообразием независимо от того, выполняются ли условия аналитичности на гиперповерхности <Ж Но, как отмечалось выше, эти «условия интегрируемости» для КД-многообразия недостаточны для того, чтобы оно было реализуемым как действительная гиперповерхность в комплексном многообразии, и без условия аналитичности пространства ^~ (5^) и Р^Г^Зб^, вообще говоря, не существуют. В этом случае в пространстве Л3^) может не существовать КД-функций, а значит, может оказаться [187], что на гиперповерхности не существует бессдвиговых конгруэнций!

Даже в случае, когда 36 удовлетворяет условиям аналитичности, а также в случае (конформно-) плоского пространства- времени, когда выбор гиперповерхности 36 не имеет значения, условие аналитичности существенно в отношении свойств самой конгруэнции. Хотя в различных формулировках теоремы Керра нам всегда приходилось принимать, что конгруэнция аналитична, мы отмечали [см. замечание перед теоремой (7.4.8)], что в М существуют и неаналитические БСК. В примере, упомянутом выше (система лучей, пересекающаяся с неаналитической кривой), вращение отсутствует, и небезынтересно заметить, что при наличии вращения всегда (локально) существует «односторонняя» функция Керра в том смысле, как это показано на рис. 7.8. Направлением вращения определяется, в какую сторону пространства PN (или РЛ3) локально продолжима поверхность

Комплексная поверхностьКомплексная поверхностьРис. 7.8. Неаналитические БСЛ с вращением в пространстве М изображаются в PN в виде 3-поверхностей, которые (локально) являются границами комплексных многообразий в РТ лишь по одну сторону от PN (какая именно сторона, это зависит от направления вращения) и которые не могут быть продолжены как комплексные многообразия в РТ по другую сторону от PNРис. 7.8. Неаналитические БСЛ с вращением в пространстве М изображаются в PN в виде 3-поверхностей, которые (локально) являются границами комплексных многообразий в РТ лишь по одну сторону от PN (какая именно сторона, это зависит от направления вращения) и которые не могут быть продолжены как комплексные многообразия в РТ по другую сторону от PN

Комплексная поверхность

Комплексная поверхность

Рис. 7.8. Неаналитические БСЛ с вращением в пространстве М изображаются в PN в виде 3-поверхностей, которые (локально) являются границами комплексных многообразий в РТ лишь по одну сторону от PN (какая именно сторона, это зависит от направления вращения) и которые не могут быть продолжены как комплексные многообразия в РТ по другую сторону от PN

Рис. 7.8. Неаналитические БСЛ с вращением в пространстве М изображаются в PN в виде 3-поверхностей, которые (локально) являются границами комплексных многообразий в РТ лишь по одну сторону от PN (какая именно сторона, это зависит от направления вращения) и которые не могут быть продолжены как комплексные многообразия в РТ по другую сторону от PN

Керра, а именно РТ+ (или РТ+) в случае правостороннего вращения и РТ- (или FT-) в случае левостороннего (то же относится к пространствам Р£Г± или Р^-±, определенным соответствующим образом). Эти результаты являются следствием некоторых свойств КД-структуры при дополнительных условиях голоморфной «выпуклости» [186, 139]. Оказывается, что такие свойства выпуклости определяются вращением конгруэнции.

Сказанное относится также к теореме Робинсона (7.3.14). В лемме (7.3.15) мы по существу строим КД-функции на действительно-трехмерном КД-подмногообразии, скажем пространства PN (как ограничения голоморфных функций на поверхность Керра). Однако без предположений об аналитичности процедура Робинсона приводит к дифференциальному уравнению, рассматривавшемуся Леви [187], которое, вообще говоря, не имеет решений [331]. Полное изложение всех этих вопросов увело бы нас слишком далеко от нашей цели.

8

Классификация тензоров кривизны

Изотропная структура спинора Вейля

Один из наиболее ярких и убедительных примеров, показывающих эффективность спинорного метода в общей теории относительности,— спинорная классификация тензора Вейля [41, 232, 233]. Эта классификация существенно упрощает (в прошлом более известную) классификацию вейлевского тензора кривизны, предложенную Петровым [271, 272] (см. также работы [273, 195, 172] и литературу, цитируемую в них). Согласно определению (4.6.41), тензор Вейля (т. е. тензор кривизны пустого пространства) представляется в виде вполне симметричного спинора ^авсо. В предложении (3.5.18) было показано, что любой (ненулевой) вполне симметричный спинор валентности [„о] можно единственным (с точностью до коэффициентов при множителях и порядка множителей) образом представить в виде симметризованного произведения п спин-векторов. Направления флагштоков последних являются п главными изотропными направлениями (ГИН) указанного симметричного спинора, которые (с точностью до комплексного масштабного множителя) определяют этот спинор единственным образом. Картина совпадений, имеющих место среди ГИН, и дает классификационную схему для спиноров. В данной главе мы подробно рассмотрим вопрос о применимости такой классификационной схемы к спинору Тлвсо и о ее связи с геометрией и алгеброй гравитационного поля. В двух последних параграфах мы покажем, как обобщить эту схему, чтобы ее можно было применять к любым симметричным спинорам, в частности к спинору Риччи (т. е. бес- следовому тензору Риччи).

ГГИН и их кратности

Будем рассматривать только одну точку Р пространства-времени. Каноническое разложение спинора Vxbcd в точке Р имеет вид

^лвсо — cM0byc6D).^лвсо — cM0byc6D).(8.1.1)(8.1.1)

^лвсо — cM0byc6D).

^лвсо — cM0byc6D).

(8.1.1)

(8.1.1)

Гравитационные ГИН (ГРИН), поскольку они являются направлениями фрагштоков спиноров ал, рл, ул и 6л, можно найти, согласно формуле (3.5.22), если отыскать нули полинома

Vabcd№£4d = Vo + 4V,z + 6 V2z2 + 4V3Z3 + V4z4 =

= (ao + zu1)(po + zpi)(Yo+zYi)(do + zd1), (8.1.2)

выбрав произвольную спиновую систему отсчета (с %:=оа1л = 1) и приняв, что спинор £л имеет компоненты (1, z). Кратностям множителей в разложении (8.1.2) соответствуют кратности ГРИН. Таким образом, зная пять величин Vo, ..., V4 [ср. с формулой (4.11.6)], можно сразу же установить положение ГРИН и выявить их совпадения. Напомним, что величины Vo, .... V4 можно выразить непосредственно через тензор Римана и изотропную тетраду [формула (4.11.9)]. Все это дает возможность строить ГРИН, исходя непосредственно из тензорных выражений для кривизны.

Вместо этого можно воспользоваться тензорными выражениями таблицы (8.1.4), в которой приводятся эквивалентные спинорные и тензорные условия того, что изотропный вектор

ya = d~^AV (8.1.3)

представляет собой простое, двукратное и т. д. ГРИН не равного нулю спинора Ч^всп".

Как минимум простое

^abcdW14d = 0

^IfCa] be [dVe]9 V — 0

Как минимум двукратное

^abcdIaIbIc = 0

Cabc [dVe\VbVC 0

Как минимум трехкратное

^АВС^^О

Gabe [d^e^y — 0

Четырехкратное

W4 = 0

CabcdP = 0

(8.1.4)

Эквивалентность первого и второго столбцов следует из предложения (3.5.26) (и уже использовалась в гл. 7). Чтобы установить эквивалентность второго и третьего столбцов, рассмотрим1 последовательность тождеств, справедливых в силу формул

(4.6.41), (3.4.55) и (2.5.23): _

^abcdyC = ^ABCD^>CeA'B'^D' + К- С’>

^abcldye\y = "2"^АВСХ^^^А'В'^О^О'^Е' + К" С"»

.1_ _ _(8.1.5)

^abc [dye]y У ="2 ^ABCX^^^’^DE^D'^E'^A' + К- С1>

V[fCO] be [dVe]vcvb = — ^ ^Увсх1с1ЧЧуеОЕеАДП'1Е'^ + к. с., где под «к. с.» нужно понимать выражение, комплексно-сопряженное предыдущему члену данного тождества с учетом его знака. Из этих тождеств видно, что при наличии условия из второго столбца таблицы (8.1.4) выполняется соответствующее условие из третьего столбца. Обратное тоже верно, так как из обращения в нуль левой части любого равенства (8.1.5) следует обращение в нуль обоих соответствующих членов в правой части, в чем легко убедиться, выполнив операцию трансвекции в случае первых двух тождеств последовательно с гА'в' и еАВ, а в случае двух остальных — с е°,£' и eDE.

Из сказанного следует также, что всякое тензорное условие из таблицы (8.1.4) эквивалентно такому же условию, но с заменой тензора Cabcd тензором ~Cabcd = (1/2) (Ca6cd + i*Co6cd) [ср. с формулой (4.6.42)], а значит (после разделения действительной и мнимой частей), эквивалентно тому же условию, но с тензором *Cabcd вместо Cabcd.

Варианты всевозможных совпадений ГГИН в одной произвольной точке пространства-времени задаются пятью различными разбиениями числа 4. Этими вариантами вместе с оставшейся возможностью обращения ^авсв в нуль определяются различные типы спиноров ^Авсо, записываемые следующим образом:

,{1111}:ABCD = “(дРвУс^ор

{211}: ^ABCD = a(AaB^c^Dv

:{22}:Ч^^д = а(ЛавРсРО),(8.1.6)

■{31):^abcd = а<.Аавас^оу

{4}: ^лвсо ^^а^в^с^о^{ }"•^авсо — 0.

Здесь предполагается, что спиноры аА, рд, уд и бд отличны от нуля и не пропорциональны друг другу. В литературе используются еще и следующие обозначения, которые обычно называют типами Петрова:

1 = {1111}, 11 = {211}, £>= {22}. Ш = {31], # = {4}, О = {—},

(8.1.7)

где О— нулевой спинор Вейля, D—так называемый двойной (или, первоначально, «вырожденный») случай, a N— изотропный случай по аналогии с изотропным электромагнитным полем, которое характеризуется совпадением всех (а именно двух) ГИН. Символы I, ..., О иногда используются для обозначения спиноров Вейля соответствующего типа, например Dabcd- Все типы, кроме {1111}, являются алгебраически специальными [см. текст после формулы (7.3.5)]. Сам Петров относил типы I, D и О к типу 1 своей классификации, типы II и N—к типу 2, а тип III — к типу 3.

Иногда требуется сложить несколько спиноров (или тензоров), каждый из которых обладает симметрией спинора (или тензора) Вейля и канонические разложения которых полностью или частично известны. В этом случае может оказаться полезным следующее предложение.

Предложение («Теорема сложения»)

Если два или большее число слагаемых вейлевского типа обладают одним или большим числом общих ГИН, то кратность любых таких ГИН в рассматриваемой сумме не меньше их наименьшей кратности в слагаемых.

(8.1.8) Например, выкладки

а(лав0сУо) + а(лавас^о> + а(лавесео)=

= “(ЛаВ {PcVd) + aC^D) "b eceD)} " ^АавРс°О>

(где последнее есть результат применения канонического разложения к выражению в фигурных скобках) показывают, что данная сумма относится к типу {211} или еще более специальному типу. Общий случай аналогичен.

Схема специализации

Покажем с помощью диаграммы, каким образом различные типы рассматриваемой классификационной схемы могут возникать как специализация другого ее типа:

(8.1.9)(8.1.9)

(8.1.9)

(8.1.9)

Стрелками указано направление специализации (вырождения), а из формулы (8.1.6) следует, что всякая такая специализация может быть достигнута чисто алгебраическим путем (т. е. в одной точке и без требования, чтобы удовлетворялись уравнения поля). Можно так же получить специализации, которые являются композициями простых специализаций, приведенных на диаграмме (8.1.9). Например, специализацию {1111} ^-{4} можно получить либо как последовательность {1111}—>-{211}—>- {22}{4}, либо как последовательность {1111}->-{211}->- —>• {31} —>• {4}. Более того, подобного рода специализации могут быть получены и напрямую. К примеру, для а(д(ав + еРв) (ас + + еус) (ад) + ебД)) при е^-0 сразу достигается специализация {1111}—>-{4} без каких бы то ни было промежуточных стадий; для еа(давРсув) при е—>-0 сразу достигается специализация {211}^- {—} и т. д. Подчеркнем, что каждая специализация на диаграмме (8.1.9) дает предельный, а не частный случай предшествующего типа. Причем типы по определению являются взаимоисключающими.

Представление спинора Вейля на сфере S+

Для наглядности ГГИН иногда представляют точками на сфере S+—римановой сфере комплексного числа г. Напомним (см. гл. 1, § 2), что эта сфера как сечение изотропного конуса будущего в Р очень удобна для представления различных изотропных направлений будущего в точке Р. Всякое ГГИН в Р соответствует единственной точке на S+, так что полный спинор Вейля с точностью до комплексного множителя определяется неупорядоченным набором четырех точек А, В, С и D на S+, которые представляют четыре ГГИН в точке Р. Чтобы получать специализации типа (отличные от специализации до типа {—}), нужно лишь сдвигать некоторые из точек А, В, С, D на S+ до их совпадения друг с другом.

Интересно рассмотреть действие на ГГИН преобразований Лоренца. Вспомним сказанное в гл. 1, § 2: любое активное преобразование Лоренца приводит к конформному отображению сферы S+ на себя. Такие преобразования (и отображения) генерируются вращениями сферы S+ и чистыми бустами, которые состоят в переносе всех точек на сфере S+, кроме двух антиподальных точек Q- и Q+, остающихся фиксированными, вдоль меридианов от полюса, совпадающего с Q~, к полюсу, совпадающему с Q+ (см. т. 1, рис. 1.7).

Указанные преобразования можно рассматривать еще и как пассивные преобразования Лоренца, оставляющие само пространство-время без изменений, но описывающие его кажущиеся изменения, которые обнаруживает наблюдатель при изменении

своей скорости и ориентации. Такой подход здесь, пожалуй, проще, ибо довольно мудрено определить активное преобразование Лоренца в точке искривленного пространства-времени. Рассмотрим, в частности, результат действия пассивных преобразований Лоренца при больших скоростях на представления ГГИН на S+, а также результат действия предельных преобразований при скорости, стремящейся к единице. Ясно, что ни одно конечное преобразование Лоренца не может повлиять на тип спинора Вейля (т. е. на схему совпадений точек Л, В, С, D), тогда как в предельном, случае тип измениться может. Например, в пределе буста все точки на S+, кроме Q-, переносятся до совпадения с Q+, а точка Q- остается на месте. Таким образом, спинор Вейля в общем случае приводится к одному из типов {4} [232, 253, 274]. В частных же случаях, когда с Q- совпадают одна, две, три или четыре из точек Л, В, С, D, предельными будут типы {31}, {22}, {31} или {4} соответственно.

Выше рассматривались только главные изотропные направления. Но столь же интересно и поведение самих компонент спинора Вейля (а следовательно, и тензора Вейля) при такого рода бустах. Исследование этого вопроса тоже сильно упрощается при использовании спинорного формализма. Компоненты спинора Вейля в пределе остаются конечными (не равными ни нулю, ни бесконечности) только в случае, когда предельным будет тип {22}. В общем случае, когда только одна из точек Л, В, С, D совпадает с Q-, компоненты спинора Вейля становятся бесконечными, а в случаях, когда три или четыре из точек Л, В, С, D совпадают с Q-, они равны нулю. В этом проще всего убедиться, выбрав спиновую систему отсчета ол, v4 так, чтобы флагшток спин-вектора ол отвечал точке Q-, а спин-вектора И — точке Q+. Тогда рассматриваемые пассивные преобразования Лоренца определяются как [формула (1.2.37)]

оА ।—>е-1ол, 1Л ।—>eiA, (8.2.1)

а предел достигается при е-»-0. Таким образом получается, что а0 = адОА1—*e-Iao, aY=aAiAi-^-ea1, '

откуда следует, что аА стремится к бесконечности как е-1, если ао^О (т. е. если точка Л не совпадает с Q-), а в противном случае (при ао = О)—к нулю как е. То же самое относится и к Рд, уд и 6д, из чего сразу следуют сделанные выше высказывания. Очевидно, что в обоих случаях, для того чтобы предел был конечным, масштаб компонент спинора Вейля должен в процессе предельного перехода непрерывно уменьшаться или (в зависимости от случая) увеличиваться. С физической точки зрения предельный буст, характеризуемый точками Q- и Q+ на S+, соответствует мировым измерениям наблюдателя, мировая

линия которого стремится к изотропному направлению, характеризуемому точкой Q~. Итак, если скорость наблюдателя не совпадает по направлению с какими-либо ГГИН, то он «видит», что все ГГИН, направленные в будущее, совпадают позади) него, а большинство компонент спинора (и тензора) Вейля в его системе отсчета стремятся к бесконечности. Если же направление его скорости стремится к направлению «указывающего» в будущее простого ГГИН, то такое ГГИН остается в пределе фиксированным и простым, спинор Вейля имеет в пределе тип {31}, а некоторые из его компонент становятся бесконечными. Чтобы проводимые наблюдателем предельные измерения спинора Вейля давали конечные значения, его скорость должна стремиться к двукратному ГГИН, и тогда спинор Вейля имеет в пределе тип {22}. Если же скорость наблюдателя стремится к трехкратному или четырехкратному ГГИН, то его предельные измерения спинора Вейля дают нулевые значения (наблюдатель «следует за волной»), а тип спинора остается тем же самым.

ГГИН в пространстве-времени высокой симметрии

В нижеследующем во многих случаях будет существен результат действия на спинор Вейля и на ГГИН обычных конечных преобразований Лоренца. В частности, всякий тип спинора Вейля имеет по отношению к группе Лоренца свою собственную характеристическую симметрию. Даже анализ очень простой симметрии может дать весьма полезную информацию о типе спинора Вейля. Например, в известных космологических моделях Фридмана — Робертсона — Уокера (гл. 9, § 5) в каждой точке существует времениподобный вектор (ассоциированный с галактикой, «покоящейся во вселенной»), по отношению к которому пространство-время сферически-симметрично. Тензор Вейля тоже должен обладать такой симметрией. Но ни одна конфигурация из 1, 2, 3 или 4 точек на S+ не может быть сферически- симметричной, откуда следует, что тензор Вейля в каждой точке должен иметь тип {—}, т. е. Фдвсл = 0. Тогда из теоремы (6.9.23) незамедлительно следует:

Предложение

Всякая космологическая модель Фридмана — Робертсона — Уокера является конформно-плоской.(8.2.2)

В качестве второго примера рассмотрим метрику Шварцшильда. Соответствующее пространство-время в каждой точке аксиаль-

но-симметрично по отношению к пространственному направлению, ассоциированному с источником, и, кроме того, симметрично во времени.' Поскольку вся система ГГИН должна обладать такой же симметрией, каждое из ГГИН должно идти к источнику или от него, так что спинор Вейля должен относиться к типу {4}, {31} или {22}. (Рассматриваемая метрика является вакуумной, а потому кривизна всюду отлична от нуля и тип {—} исключается.) При преобразованиях отражения во времени выходящее изотропное направление будущего становится входящим изотропным направлением будущего и наоборот (при этом направления ±иа рассматриваются как одно и то же изотропное направление).

Таким образом, симметрия во времени исключает типы {4} и {31}. (После рис. 8.3 мы увидим, что для этого достаточно аксиальной симметрии.) Отсюда следует, что спинор Вейля относится к типу {22} (см. также с. 134). Аналогичные рассуждения возможны, например, в случае плосковолнового пространства-времени. В этом случае спинор Вейля относится к типу {4}-

«.Картинам тензора Вейля на S+

Прежде чем переходить к подробному изучению различных типов тензора Вейля, сделаем одно замечание общего характера, которое, помимо прочего, имеет прямое отношение к симметриям спинора ЧГдвсп- В дополнение к расположению ГГИН спинор ^abcd характеризуется еще «фазой» и «амплитудой», которые необходимы для его полного описания. Сначала выясним, как его фаза связана с S+. Рассмотрим величину

W = WABcdIaIbIcId.(8.2.3)

Если флагшток спинора ^л не относится к ГГИН (и £л =#0), то выбором полотнища флага, связанного с £л, можно, сохраняя фиксированное положение флагштока, добиться, чтобы выполнялось условие

Ч' > 0.(8.2.4)

Существуют четыре разных варианта таких спиноров g, которые дают нужный эффект, а именно

± V, ± ИА.(8.2.5)

У двух первых спиноров здесь одинаковые полотнища флагов. Этим же свойством обладают и два вторых. Однако направления полотнищ первой пары противоположны направлениям полотнищ второй. Что же касается представления всего сказанного на сфере S+, то в каждой точке этой сферы имеются два

соответствующих касательных направления (отвечающие как раз тем полотнищам флагов, которые дают Т >0), не связанные с ГГИН и противоположные друг другу. Следовательно, в каждой точке сферы S+ однозначно определено неориентированное касательное направление (или линейный элемент). А это означает, что на S+ есть поле такого рода направлений и оно характеризует не только ГГИН (в чем мы скоро убедимся), но еще и фазу спинора Тдвсд, ибо, чтобы выполнялось условие (8.2.4), преобразование

Тлвсо t—^е^двсо должно влечь за собой gAi—4 г<е+2зд^л,

(8.2.6)

где к — целое число. При изменении фазы вида (8.2.6) касательные направления поворачиваются на угол —(1/2)6.

Будем называть такое поле направлений на S+ картиной (fingerprint) тензора Вейля. Этой картиной с точностью до положительного множителя определяется спинор Wabcd- Следовательно, ею с точностью до положительного множителя определяется и тензор Вейля Cabcd (причем —Cabcd соответствует картине, ортогональной данной).

Картина касательных направлений допускает прямую физическую интерпретацию. Из уравнения Сакса (7.2.12) видно, что изменения в сдвиге лучей конгруэнции изотропных геодезических характеризуются величиной То, а изменения в сходимости— величиной Фоо- Рассмотрим изотропно-геодезическую ол-конгруэнцию ‘g’, один из лучей которой проходит через точку Р в направлении полотнища флага спинора £л, и пусть ол = £л в Р. Характеристики кривизны Фоо и То «действуют» на такие лучи подобно линзе [238], причем величина ф00 ответственна за саму фокусировку, а То — только за астигматизм фокусировки. Чтобы в этом убедиться, достаточно вернуться к рис. 7.2 (перед формулой (7.1.49)), дающему интерпретацию Re(p) и а. Но если Re(p) и о связаны с относительными «скоростями», то Фоо и То фактически связаны с относительными «ускорениями» соседних лучей. Причем Фоо и То дают прямой вклад врио только в том случае, если пучок лучей проходит через точку Р без сдвига и сходимости (р = а = 0 в Р). Направление максимальной фокусировки задается малой осью эллипса на рис. 7.2 и составляет с полотнищем флага спинора ол угол (1/2) arg То. Однако мы полагаем, что полотнище флага спинора ол то же, что и у £л, а То —это Т > 0 из формул (8.2.3) и (8.2.4). Следовательно, плоскость максимальной фокусировки совпадает здесь с полотнищем флага, а значит, и с направлением картины тензора Вейля на S+. Мы приходим к следующему предложению.

Рис. 8.1. Направление картины тензора Вейля на сфере S+ соответствует направлению максимальной фокусировки, обусловленной вейлевой кривизной.

Предложение

Картина тензора Вейля дает направления астигматизма и направления максимальной фокусировки (а также направления максимальной дефокусировки, ортогональные направлениям максимальной фокусировки) для линзового эффекта, обусловленного кривизной пространства-времени в точке Р (рис. 8.1).

(8.2.7)

То обстоятельство, что в каждой точке существуют четыре ГРИН, тесно связано с известным топологическим свойством векторных полей на сфере (S+). Оно обычно формулируется [54, 204, 335] так: существуют две и только две (при правильном подсчете) точки, в которых векторное поле1) на S+ должно быть равно нулю (при подсчете точки могут быть отрицательными). На картине тензора Вейля мы имеем поле линейных элементов, которые, будучи неориентированными, допускают конфигурации, подобные представленным на рис. 8.2, а, где эти элементы окружают точки (ГРИН), в которых они не определены [256], в дополнение к конфигурации, изображенной на рис. 8.2, б. Направлениям на рис. 8.2, а нельзя сколько-нибудь

’) Если бы речь шла об электромагнитных ГИН, то нам было бы задано векторное поле на S+, а ориентация линейного элемента определялась бы направлением электрического вектора. В этом случае в полном согласии с топологическим результатом было бы два ГИН. Соответствующая топологическая теорема справедлива при всех (целых и полуцелых) значениях спина.

последовательным образом приписать стрелки. Поскольку же две неориентируемые конфигурации всегда можно объединить в одну ориентируемую, у нас получается ровно 4 точки с равным нулю полем. При подсчете каждое ГГИН считается положительным, так что существование четырех ГГИН согласуется с топологическим результатом. В случае кратных ГГИН следует принимать в расчет их кратность. Конфигурация линейных элементов, как явствует из рис. 8.3, при каждой кратности, разумеется, своя. Мы видим, что вращательная симметрия по отношению к ГГИН встречается только в случае п = 2. Значит, как уже отмечалось, вращательной симметрии достаточно, чтобы исключить в шварцшильдовском случае типы {31} и {4}. То обстоятельство, что случай п = 2 допускает несколько существенно разнящихся конфигураций, связано с тем, что вращательная симметрия лишает нас информации, равноценной «одному параметру» относительно ориентации конфигурации, и мы вновь получаем эту информацию из вариаций последней.

Отметим, что свойства симметрии конфигураций (на картине тензора Вейля) вблизи ассоциированной с ГГИН точки Р связаны со спиновым весом различных спиноров V Если принять, что ол = £л, то для n-кратного ГГИН мы имеем Vo = ... ... =Vn-i = 0. Вид картины вблизи точки Р определяется ведущим ненулевым членом в выражении (8.2.3), в котором спинор £л заменен спинором ол + ev4, что дает Vn. Таким образом, в случае п = 2 (спиновый вес равен нулю) мы имеем локальную полную вращательную симметрию; в случаях п = 1,3 (спиновый

Рис. 8.2. Некоторые типы особенности на «картине» тензора Вейля, а — последовательно указать ориентацию невозможно (имеет отношение к спину 2); б — можно непротиворечиво указать ориентацию (имеет отношение к спинам 1 и 2). Нижняя конфигурация в обоих случаях считается отрицательной и в данном контексте не рассматривается.Рис. 8.2. Некоторые типы особенности на «картине» тензора Вейля, а — последовательно указать ориентацию невозможно (имеет отношение к спину 2); б — можно непротиворечиво указать ориентацию (имеет отношение к спинам 1 и 2). Нижняя конфигурация в обоих случаях считается отрицательной и в данном контексте не рассматривается.

Рис. 8.2. Некоторые типы особенности на «картине» тензора Вейля, а — последовательно указать ориентацию невозможно (имеет отношение к спину 2); б — можно непротиворечиво указать ориентацию (имеет отношение к спинам 1 и 2). Нижняя конфигурация в обоих случаях считается отрицательной и в данном контексте не рассматривается.

Рис. 8.2. Некоторые типы особенности на «картине» тензора Вейля, а — последовательно указать ориентацию невозможно (имеет отношение к спину 2); б — можно непротиворечиво указать ориентацию (имеет отношение к спинам 1 и 2). Нижняя конфигурация в обоих случаях считается отрицательной и в данном контексте не рассматривается.

я = 2

Рис. 8.3. Типы особенности на картине тензора Вейля (на сфере S+), соответствующие кратности ГИН, равной п.

вес равен ±1) вращательной симметрии нет — локальная конфигурация картины характеризуется единственным касательным направлением на S+ и, наконец, в случае п = 4 (спиновый вес равен —2) имеется простая центральная симметрия.

Собственные спиноры спинора Вейля

Рассмотрим комплексное трехмерное пространство ®<лв) симметричных спиноров *) фАВ валентности ["о] заданной точке Р многообразия ^. Записав спинор Вейля в виде ^лв^, можно считать, что он осуществляет на ©<лв) линейное преобразование

Фав'—^ав^Фсо. (8.3.1)

Пространство ©л в обладает комплексной метрикой, которая определяется канонически, так что скалярное произведение двух элементов фАВ, %ав g ®ав имеет вид

Фав^8 = { — ел <л»ев»> в} ФавХ^в, ’ (8.3.2)

причем выражение в фигурных скобках играет роль «метрического тонзора». Под действием активных спиновых преобразований эти элементы претерпевают собственные комплексные

ортогональные преобразования ), по отношению к которым указанная метрика, очевидно, инвариантна. Выбрав любую спиновую систему отсчета ол, 1Л, можно построить соответствующий

123 a f;

ортонормированный базис бдв, бдв, ^ав (блвблв = б«?, а, р= 1, 2, 3) для ®(ав), такой, что:

1i21;

^АВ = —(°А°В ^lfl)> ^АВ = у^- (°л°в + 1^1й)’

3

блв^1'у2 О(л1в>.'(8.3.3)

Из нескольких возможных вариантов мы выбрали именно этот, чтобы в дальнейшем наши обозначения согласовались со стандартным выражением для спиновой системы отсчета в пространстве Минковского. К тому же в силу ортонормированности базиса нам не понадобится делать каких-либо различий между верхним и нижним расположением индексов а, 0, ... .'

Обратно, задав любую ортонормированную триаду 6АВ, 23

бдв, 6 лве©(АВ), мы получим соответствующую спиновую систему отсчета од, 1л, которая с точностью до знака будет единственной.

21

В самом деле, поскольку разность 6АВ — /блв в силу ортонор- 2121

мированности триады изотропна [т. е. (бдв— ^дв) (бАВ—/блв) = 0], она единственным (с точностью до знака) образом определяет

.. 21

спинор 1Л: 1д1в= U/V2 )(бЛв— i^abY Этот спинор ортогонален з

(но не пропорционален) спинору 6АВ, так что каноническое раз- з

ложение [третье равенство (8.3.3)] элемента блв при данном выборе знака спинора 1Л приводит к единственному спинору ол- 21

Так как разность блв — ^ав тоже изотропна и ортогональна з

спинору 6АВ, она должна быть пропорциональна олов. Теперь осталось лишь удовлетворить требованию нормировки величин 123

бАВ, ^ав и бАВ, для чего, очевидно, достаточно наложить на спиновую систему отсчета условие ол1л = 1.

По отношению к базису (8.3.3) можно определить «декартовы» компоненты произвольного элемента фАВ е ©(лв>:

^ = —(^00— ^11), ^ = -7^(^оо+^11), ф = £л/2 ^Оь (8.3.4) V2V2

Отметим, что если спинором фАВ определяется электромагнитное поле в соответствии с формулой (5.1.39), то эти компоненты представляют собой всего лишь компоненты комплексного 3-вектора — (//V2") (Е — iB') в стандартном ортонормированном репере (3.1.20) [ср. с формулами (5.1.59), (5.1.60)].

Аналогично компоненты спинора Vab00 по отношению к этому базису можно записать в виде следующей матрицы Т:

■ 4<~ ^о + 2Ф2 - Ч^)-^-(Vq - WJф, - Ч^) -

V= ^(Yo-Y4)|(Yo + 2Y2 + ^4) /ф.+Ч^) ’

-(Ti-^)/ф. + Ч^)-24^-

(8.3.5)

где To, ..., T4 — рассмотренная ранее [формула (4.11.6)] стандартная форма компонент спинора Вейля. Заметим, что Т — бесследовая матрица. Это следует из симметрии спинора Тлвсо, которая требует равенства

Ч'лвлв ="р = 0.(8.3.6)

Это фактически единственное ограничение, налагаемое на комплексную матрицу V (помимо свойств ее симметрии): оно оставляет только пять независимых матричных элементов, линейносвязанных с 4f0, ..., Чг4.

Собственным спинором спинора Вейля является ненулевой элемент фдв е ©(Лв), для которого выполняется соотношение

^abcd4>cd = 4ab,(8.3.7)

где X— соответствующее комплексное собственное значение. Записывая (8,3.7) с помощью компонент в базисе (8.3.3), можно убедиться, что X — это еще и собственное значение матрицы ЧТ в обычном смысле слова. Если Xi, Х2, Хз— три собственных значения матрицы Чг, то

Xi + Х2 + Х3 = Ч^лвлв = 0,■

Х2 + Х2 + А2 = Чг^)^(8.3.8)

Хз + Х| + ХЗ = ^ab^cde^efab =: 7

и можно заметить, что Xi, Х2 и Х3 являются корнями уравнения6Х3 — 3ZX — 27 = 0.

С помощью выражения

^ ABCD — ^olAlBlClZD — 4ЧГ1О(Л1В1с1Ц) + 6Чг2О(ЛОв1СЮ) —

— 4Чг3О(Ловос1д) + Чг4оловосоц(8.3.9)

(в справедливости которого можно убедиться, рассмотрев компоненты левой и правой частей) не составляет труда получить первое из нижеследующих выражений для инвариантных скаляров I и J [второе следует из приводимой ниже формулы (8.3.11)]:

I = 2Чг0Чг4 — З^^з + 6^2,

7 = 67 = 6V, ^2 ^зV, ^2 ^з^3^4^3^4(8.3.10)(8.3.10)

7 = 6

7 = 6

V, ^2 ^з

V, ^2 ^з

^3

^4

^3

^4

(8.3.10)

(8.3.10)

Кроме того, из соотношений (8.3.8) следует (после возведения в куб первой строки и вычитания из полученного равенства утроенного произведения первой строки на вторую) равенство

7 = ЗЛЛ2Лз. (8.3.11)

Согласно этому равенству, детерминант матрицы ЧТ равен (1/3)7, что позволяет доказать справедливость второго соотношения (8.3.10), а также [путем возведения в куб второй строки в формуле (8.3.8)] соотношения

/з _ 672 = 2 (Л, — X,)2 (Х2 — Х3)3 (Х3 — Хх?, (8.3.12)

на основании чего можно утверждать следующее:

Два пли большее число собственных значений X одинаковы -^•13 = бР.(8.3.13)

Соотношение между собственными значениями и двойнымиотношениями

Чтобы выяснить, каков геометрический смысл величин X], Х2, Хз, 7 и 7, вернемся к формуле (1.3.9) и вспомним, что для любого упорядоченного множества четырех изотропных направлений (в котором никакие три не совпадают) имеется определенное единственным образом двойное отношение (элемент пространства С U{°°})> которое инвариантно по отношению к ограниченным преобразованиям Лоренца. Если переписать формулу (1.3.10) в спинорных обозначениях, то для двойного отношения ГГИН получим

{Л, в, с, В} = ар5т (8-314) ад6 УзР

причем обозначения в левой части будут соответствовать обозначениям в формуле (1.3.9) [в которой точки Л, В, С, D из § 2 следует считать элементами пространства С U {<»}), если сферу S+ в соответствии с предписаниями гл. 1, § 2, рассматривать как

риманову сферу для .CU{°°}]. Для левой части равенства (8.3.14) справедливы выражения

{Л, В, С, D^ = {B, Л, D, С} = {С, D, A, B} = {D, С, В, А}.

(8.3.15)

Предположим, что В, С и D — несовпадающие друг с другом точки; тогда их можно перевести в любое другое заданное упорядоченное множество различных изотропных направлений с помощью единственного ограниченного преобразования Лоренца. При этом указанным двойным отношением определяется единственный образ точки А, получившийся в результате этого преобразования, и его связи с образами точек В, С и D. .

Пусть

Х={Л, В, С, DY(8.3.16)

В силу сказанного выше можно выбрать нашу спиновую систему отсчета ол, г4, а также масштаб спинора а и т. д. так, чтобы выполнялись соотношения

Ра = оа, Та=ол + 1а> 6Л = 1Л(8.3.17)

(здесь ро = О, 01 = 1, Yo = —1, Vi = l, б0=—1, 6, = 0), откуда при некотором т]^0с учетом формул (8.3.14) и (8.3.16) получим (коэффициент 6 введен для удобства)

«а = бц (ол + %1Л)(8.3.18)

(что дает ао = —6т)х, «1=61)). Тогда полином (8.1.2) приводится к виду

Wabcd14B№ = 6Т1 (Z - X) 2 (2 - 1) (- 1) =

= -6ti{xz-(x+1)22 + z3},(8.3.19)

такому, что в данной частной системе отсчета

Vo = O, % = -|пХ, Ч^2 = т](х+ 1), Ч^-^П, ^4 = 0.

(8.3.20)

Подставляя эти выражения в (8.3.10), получаем

/ = 6т]2 (х2 — X + 1) = 6т]2(х + и)(х + ®2)(8.3.21)

(где <в = е2л‘/3) и

7 = -6т13(х+1)(х-2)(х-у).(8.3.22)

Из этих выражений для I и J сразу же вытекают следующие утверждения:

ГРИН эквиангармонично (х =— ®> —®2) ■<=► I = 0 =/= 7, (8.3.23)

ГРИН гармонично (х =—1, 2, 1/2) -<=> 7 = 0 Ф I. (8.3.24)

Заметим, что три уравнения (8.3.8) позволяют выразить три величины X через I и J [причем два последних уравнения (8.3.8) можно заменить уравнениями (8.3.11) и (8.3.12)], тогда как соотношения (8.3.21) и (8.3.22) позволяют выразить / и J через % и г,. Это дает возможность выразить три величины X через х и ц. Проведя соответствующие выкладки, получим

^ = ti(1-2x), ^ = T](l + x), Л3 = П(Х~2). (8.3.25)

Вспомним [формула (1.3.12)], что изменение порядка следования точек Л, В, С, D влечет за собой замену величины х одним из следующих выражений:

1-Х, X-1, (1-х)-1, 1-Х"1, x(x-l)"1. (8.3.26)

Пользуясь равенствами (8.3.25), несложно убедиться, что такого рода замена, если она сопровождается соответствующей заменой т] на

— Л, ПХ, Л(Х— 1), — ПХ, Л(1— х), (8.3.27)

ведет всего лишь: к перестановкам значений X, а именно X], Х2, ^3 1—^Х|, ^3, ^2» Л#з, Х2, ^l! ^2» ^3’ ^1» Х3, Х|, ^2’ ^2, Х|, ^3» соответственно.

Частные случаи

Решения (8.3.25) мы получили, полагая, что точки В, С и D не совпадают друг с другом [формула (8.3.17)]. Представляют интерес различные частные и предельные случаи. Если х= О или х = 1, то точка Л совпадает Соответственно с В или С [формула (8.3.18)); при х = оо, т] = 0 (удерживая произведение хЛ конечным) мы придем к ситуации, когда Л совпадает с D. В каждом из этих трех случаев два значения X в формуле (8.3.25)' одинаковы, а третье всегда от них отличается. Если после такого рода совпадений Л с одной из точек В, С, D два оставшихся направления тоже совпадут, но будут отличаться от Л, то величина х останется неизменной [что следует из (8.3.14)], а кроме того, останутся в силе соотношения (8.3.25). Однако, как видно из (8.3.14), если совпадут три из точек Л, В, С, D, то в зависимости от того, как они будут стремиться к совпадению, X может принять любое предельное значение, что мы договоримся записывать как х = 0/0. (Если, например, положить ад = = аул + Ь6А и рл = суд + с16д, то получится х = 1 — bc/ad\ предположив же, что b = pzZ^-О при произвольном значении ц, мы обнаружим, что совпадение точек Л, S и С достигается при Х^-1 — ус/а?) Очевидно, что для непротиворечивости сказан-

ного все X в формуле (8.3.25) в пределе должны обращаться в нуль. Итак, установлено следующее соответствие:

Совпадают два или большее число ГГИН<=>% = 0, 1, оо

или 0/0 -<=> совпадают два или больше значенийХ <=ф- Р = 6Р

.(8.3.28)

[ср. с формулой (8.3.13)] и, как частный случай этого соответствия,

Совпадают три или большее число ГГИН <=>- % = 0/0 ^=> ^Хх = Х2 = Х3 = 0 = 1 = 1.'(8.3.29)

Если известны компоненты спинора Вейля ^о, ..., Ч^, то для построения его собственных спиноров достаточно найти собственные векторы (ai, а2, аз) матрицы (8.3.5), с помощью которых соответствующий собственный спинор можно записать в виде 123

ФаВ = ^1^АВ + О^Дв + 036 АВ =

1V21V2{(а2 — iax) одОв + 2гозО(А1в) + (<% + iax) laib}.{(а2 — iax) одОв + 2гозО(А1в) + (<% + iax) laib}.(8.3.30)(8.3.30)

1

V2

1

V2

{(а2 — iax) одОв + 2гозО(А1в) + (<% + iax) laib}.

{(а2 — iax) одОв + 2гозО(А1в) + (<% + iax) laib}.

(8.3.30)

(8.3.30)

(В этом не трудно убедиться, умножив первую строку на Чгсолв.)

Отметим, что собственные спиноры, относящиеся к различным собственным значениям, взаимно ортогональны. Это известный результат теории матриц, справедливость которого в данном контексте следует из равенств

МФ<1)ДвФедАВ = Фо) Cd’V АВСВф(2)АВ — Фм СоФ^^^З»

где фщлв и Ф^ав — собственные спиноры, относящиеся к соответствующим собственным значениям М и Х2-, если ^ ^ Х2, то Ф(1)СоФ(2)С° = 0. ■

Таким образом, в ситуации, когда все собственные значения Xi, Х2, Х3 различны (т. е. в случае {1111}), в пространстве ©<ав> существует триада взаимно ортогональных собственных спиноров (этот вывод нельзя считать заранее очевидным, поскольку наша матрица не является действительно-симметричной), которую можно выбрать так, чтобы она была ортонормированной.

1 2 3

Введя для этой триады обозначения бАВ, бАВ, бАВ, мы получим спиновую систему отсчета ол, г4 [см. текст после формулы (3.8.3)], в которой матрица Т из (8.3.5) будет диагональной, скажем diag (Xu Х2, Хз). Тогда из равенства нулю недиагональных элементов матрицы в этой системе отсчета следует, что

4r0 = W4, Щ1=Щ3 = 0, (8.3.31)

а для диагональных элементов выполняются равенства

^ = -^0 + ^2, ^Фо + Фг, Хз = -2^2, (8.3.32) которые приводят к следующим выражениям для компонент спинора Вейля:

^0 = 4^. ^1 = 0, ^2 = 4л(2-%), Ч^з = 0, ^4 = |лХ.

(8.3.33) Подставив эти выражения в (8.3.9), получим формулу

33

Wabcd = -у 'nxiAiBicio + Sr] (2 — %) O(aobIcIb) + -у ЛХоаовОсОд,

(8.3.34)

которая дает каноническую форму любого спинора Вейля типа {1111}. Можно сравнить эту формулу с альтернативной канонической формой, определяемой выражениями (8.3.20) и (8.3.9), где флагштоки спиноров ол и и являются ГГИН [формула (8.3.17)]. Здесь флагштоки спиноров ол и 1Л являются ГИН од- 3

ного из собственных спиноров (а именно спинора 6АВ в формуле (8.3.3)]. Ясно, что в выборе канонической формы есть определенный произвол, но сделанный нами выбор в виде (8.3.34) позволяет проанализировать свойства геометрической симметрии типа {1111} (см. § 5) в более явной форме, нежели при любом другом выборе.■

Отметим, что при значении х = 2, которое дает гармонические ГГИН, спинор Вейля Тлвсв можно представить в виде суммы двух симметричных спиноров типа {4}. И наоборот, сумма (или разность) (не пропорциональных друг другу) спиноров типа {4} должна быть гармонической, так как

чАадасап—РлРвРсРв=

— {®(А + М {«в + гРв) {«с — Рс) {“г») + Фо)} (8.3.35) и двойное отношение четырех сомножителей в правой части является гармоническим [формула (8.3.14)].

Каноническая форма (8.3.34) не требует, чтобы все величины Xi, Хг и Х3 были разными. Она требует лишь, чтобы для спинора Тлв^ существовал набор из трех линейно-независимых собственных спиноров (который потом можно выбрать так, чтобы он был ортонормированным). В случае типов {211} и {22} можно положить х = 0 и, чтобы убедиться в возможности существования такой канонической формы, подставить это значение в (8.3.34). Результат такой подстановки имеет вид

и показывает, что спинор Вейля относится к типу {22}, т. е. что пространство ©<лв) нельзя натянуть на собственные спиноры спинора Вейля типа {211}, но можно натянуть на собственные спиноры спинора Вейля, относящегося к типу {22}. Ясно, что любой спинор Вейля типа {22} обладает канонической формой (8.3.36) с т] = Тг- Столь же ясно, что спинор типа {—} может принять форму (8.3.34) с т] = 0 и на его собственные спиноры можно натянуть пространство ®(лв>. Однако в случаях типов {31} и {4} пространство ©<лв) нельзя натянуть на собственные спиноры, но все они имеют форму а(Л£В), гДе ал — кратный главный спинор спинора Тлвсо [а спинор |л в случае типа {31} пропорционален спинору ал; см. таблицу (8.3.41), которая приводится ниже]. Поскольку ^а^лвсо = 0, из формулы л¥авсвФсо = = ^лв следует, что ХаЛавфАв = 0; таким образом, либо спинор ал, как и утверждалось, является главным спинором спинора Фав, либо X = 0. Однако и в последнем случае остается справедливым равенство аАавфдв = 0, которое совершенно очевидным образом получается из "'Удв^фсо = 0 для типа {4} и почти столь же очевидным образом в случае типа {31} (нужно один раз провести операцию трансвекции с другим главным спинором спинора Тлвсо).

Канонические формы для типов {4} и {31} можно получить совершенно тривиальным образом, положив

ABCD = °A0B0C°D,(8.3.37)

^ABCD = ^O(AOB°ClO)(8.3.38)

соответственно. И в том, и в другом случае имеет место свобода (ол, 1Л)<—>(Лол, Л-11л), которая позволяет избавиться от любого множителя перед всем выражением. [В случае же типа {22} такая свобода не позволяет избавиться от коэффициента 6т] в формуле (8.3.36).] В случае {211} мы имеем ровно три различных ГГИН, а потому можем выбрать такую спиновую систему отсчета, чтобы ГГИН имели по отношению к ней три любые заранее заданные ориентации, скажем совпадали с направлениями флагштоков спиноров оА, оА + йА, что дает

^АВСО = ®^ (°АОВОС°О + О(А°В1С1О))’(8.3.39)

где множители перед полными выражениями выбраны так, чтобы обеспечивалось согласие с формулой (8.3.25) при % = 0 [собственные значения Хх=Х2 = т], Хз = —2?] матрицы (8.3.5) соответствуют следующим значениям компонент спинора Вейля: Vo = 4fi =Чгз = 0, ЧГ2=Л. ^4 = 6т]]. Очевидно, что возможны и многие другие альтернативные канонические формы спинора Вейля.

Сводка канонических форм; типы Петрова и жордановы формы.

Канонические формы ствующие разным типам лицу:

(8.3.34), (8.3.36) — (8.3.39), соответ-

спинора Вейля, можно свести в таб-

^0

1^2

i v4

{НН}

(3/2) ЛХ

0

(1/2) л (2-х)

0

(3/2) ЛХ

{211}

0

Л

0.

0

6т]

{31}

0

0

0

1

0

(8.3.40)

{22}

0

0

Л

0

0

{4}

0

0

0

0

1

{ — }

0

0

0

0

0

Собственные спиноры и соответствующие собственные векторы легко находятся в каждом случае из матрицы (8.3.5); нужно лишь перевести рассматриваемые собственные векторы в спинорную форму, пользуясь соотношением (8.3.30). Полученные результаты приведены в таблице (8.3.41), где каждое собственное значение помещено непосредственно под соответствующим собственным спинором. В тех случаях, когда одному и тому же собственному значению соответствует более одного собственного спинора, можно использовать альтернативные линейные комбинации собственных спиноров.

{НН}

Од°В — 1А1В

■п(1 — 2х)

°А°В + 1А1В

■п(1 + х)

О(Д1В)

П (X — 2)

{211}

°А°В

О(Д1Д)

-2т]

{31}

°А°В

0, 0, 0

(8.3.41)

{22}

ОдОд Л

1А1В Л

О(Д1В)

-2т)

{4}

°А°В

0, 0

О(Д1В) 0

{—}

°А°В 0

1Д1В

0

О(Д1В)

0

Отметим, что в случаях типов {1111}, {22} и {—} собственные спиноры стягивают трехмерное комплексное пространство, в случаях типов {211} и {4} на них натянуто двумерное комплексное пространство и, наконец, в случае типа {31} они стягивают одномерное комплексное пространство. В первоначальной терминологии Петрова (хотя сам он пользовался тензорным, а не спинорным исчислением) три случая {1111}, {22} и {—} относятся к «типу I», два случая {211} и {4} —к «типу II», а случай {31} — к «типу III». Схема (8.1.9) построена таким образом, что каждый ее столбец соответствует одному типу Петрова.

Нормальные жордановы формы, к которым может быть приведена матрица Y (8.3.5) с помощью преобразования подобия, легко получить из (8.3.41). Результаты приведены на схеме (8.3.42), которая содержит и схему специализации (8.1,9).

'■п(1 + х)

{НИ}:

{22}:

гл

Л

-27] J

Л (1 — 2%)

Ч(Х — 2).

{211}:

"Г] 1

Л

“2Т1.

ГО {31}:

1

О 1

о

го

О

О

(8.3.42)

О

§ 4. Собственные бивекторы тензора Вейляи его классификация по типам Петрова

Уравнение на собственные значения, подобное уравнению

(8.3.7), но для тензора Вейля Gabcd можно построить следующим

образом:

GabcdXcd = ViXab.

(8.4.1)

Здесь Хаь ^ 0 принадлежит шестимерному комплексному пространству ©[аы, содержащему антисимметричные элементы из пространства ©аЬ (как и всюду в этой главе, в данном параграфе мы будем рассматривать только одну точку пространства- времени). Величина Хоь называется собственным бивектором тензора CObcd, принадлежащим собственному значению ц. Если выразить Gobcd и ХаЬ через их неприводимые части (4.6.41) и (3.4.17):

Gobcd = ^ABCdSa'B'Bc'd' + 6АВ6СОХУA'B'C'D'i(8.4.2)

Хаь — Фав6а'в' + бАВ&А'в'.(8.4.3)

то уравнение (8.4.1) переходит в два уравнения

^ав^Фсо = у ^Фав, ^a'b'C'dIc'O' = у Й^ (8.4.4)

Из сравнения этих уравнений с уравнением (8.3.7) следует, что собственные значения р тензора Вейля Cabcd должны иметь вид

р = 2Хь 2Х2, 2Х3, 2ХЬ 2Х2, 2Х3,(8.4.5)

где Хь Х2 и Хз— собственные значения спинора Тлв^. Собственные бивекторы, соответствующие первым трем собственным значениям, имеют вид

Хоь = ФавВа'в'.(8.4.6)

а трем остальным собственным значениям соответствуют собственные бивекторы

Хоь = &авФа'в'>(8.4.7)

где фАв — соответствующий собственный спинор спинора Вейля ^abcd.

Отметим, что в формулах (8.4.6) и (8.4.7) все собственные бивекторы — комплексные, в первом случае антисамодуальные, а во втором — самодуальные [формулы (3.4.41), (3.4.35)]. Действительные собственные бивекторы могут возникнуть только как линейная комбинация этих комплексных, например как сумма собственного бивектора (8.4.6) и комплексно-сопряженного ему бивектора (8.4.7). Однако эти линейные комбинации дадут именно собственный бивектор лишь в случае, когда равны, а значит, и действительны соответствующие собственные значения (т. е. Xi = Xi). Но тогда каждому действительному значению X будет принадлежать целый двумерный массив действительных собственных бивекторов тензора Cabcd (а возможно, четырех- или шестимерный массив, если собственное значение X соответствует двум или трем линейно-независимым собственным спино-

рам спинора 4?abcd соответственно). Можно выделить представляющий определенный интерес частный случай, в котором появляется действительное значение X, а именно случай, когда два других собственных значения X комплексно-сопряжены друг ДРУГУ (скажем, Xi = Х2), и тогда из требования Xi + ^2 + Х3 = О будет следовать действительность собственного значения Х3. В этом случае шесть собственных значений тензора Вейля Cobcd (как минимум) попарно совпадают, что дает дополнительные возможности построения собственных бивекторов [например, в виде комплексной линейной комбинации бивектора (8.4.6) для X! с бивектором (8.4.7) для Х2]. На основании формулы (8.3.25) — полагая Х,^, = Х2\2 и т. д. — легко показать, что такая ситуация может возникнуть только при |1—%|=1 (случай Xi = Х2), при |х|=1 (случай Xi = Х3) или при Re (%) = 1/2 (случай Х3 = Х2).

Компоненты тензора Вейля Саьсл в бивекторном базисе

Мы хотим связать канонические формы, полученные ранее в различных случаях для спинора Ч^всо, с соответствующими каноническими формами для Cobcd. Но для этого сначала нужно построить общую схему переходов между бивекторными компонентами в стандартной тетраде Минковского и этими же компонентами в спинорном базисе бдз е ®<ав)i[cp. с формулой (8.3.3)].

Определив шесть действительных бивекторов Vob, *Vab(a = 1, 2, 3) с помощью соотношения

V ab + i*V оЬ = бдВ6А'В'(8.4.8)

[звездочкой обозначена операция дуального отображения; см. формулы (3.4.21), (3.4.38)], мы благодаря ортонормированности спиноров fi получим базис для множества £[аы действительных бивекторов, который можно считать псевдоортонормированным в том смысле, что

VobVab = 6a», *Vab'Vab = -^, VobVob = 0.(8.4.9)

Тогда связь между компонентами бивектора Хаь в этом базисе и компонентами (8.3.4) соответствующих спиноров фАВ и

^а'в' [формула (8.4.3)] по отношению к базисам блв бА-В' для

@(АВ) и ^A'B'i, соответственно, дается формулами

(8.4.10)(8.4.11)(8.4.10)(8.4.11)ааа а

(8.4.10)

(8.4.11)

(8.4.10)

(8.4.11)

Х: = ХаЬУаЬ = Ф+1,ааа а

•Х: = ХоьеУвЬ=-1ф + ^.

ХаЬ (у"” + i*V°b) = ^Фав^8,Xab (vob - i*Vab) = ^а-в-1а'в'.

Если перевести ф и £ в соответствии с формулой (8.3.4) и комплексно-сопряженной с ней формулой в форму спинорной диады и сравнить соотношения (8.4.10) и (8.4.11) с компонентами Хаь бивектора ХаЬ в стандартной тетраде Минковского (3.1.20) [ср. с формулой (3.1.49)], то после соответствующих выкладок получим

1 3

Хх2 = ^=-Х,(8.4.12)

Хзо = Ц=-Х.(8.4.13)

Но, В СИЛу ТОГО ЧТО Gabcd — Gabcd И Gabcd — Gabcd [фор* мула (4.6.11) и далее], компоненты тензора Cabcd в базисе Уаь, *УаЬ можно записать в следующем виде:

ар арар

2А : = V^GabcdV64 = - •уаЬСаьс4еУс4,(8.4.14)

2В : = УаЬСоЬ^Ус4 = ‘V^CabcdV04.(8.4.15)

Вскоре мы убедимся, что для этих компонент выполняются соотношения симметрии и бесследовости

ар ра ааар рт аа

А = А, Д = 0, В = В, В = 0(8.4.16)

[см. формулу (8.4.21) ниже, а также формулу (8.3.6)]. Пользуясь формулами (8.4.12) и (8.4.13), компоненты тензора Риччи

в стандартной тетраде Минковского можно привести к виду

11— CfllOl : C2323 :А,— Союз : С2312 =13 А,Cq203 : С3Ц2 =23А,11Со123 В,Coi 12 = С2зоз13В,Cq212: Сзюз =23в.11— CfllOl : C2323 :А,— Союз : С2312 =13 А,Cq203 : С3Ц2 =23А,11Со123 В,Coi 12 = С2зоз13В,Cq212: Сзюз =23в.12Союз : С2331А, 22Cq202 = Сз!31 =А, 33Созоз — С1212 =А, 12Coi3i = С2302 =22Со231 =В,33Соз 12 == В.в.12Союз : С2331А, 22Cq202 = Сз!31 =А, 33Созоз — С1212 =А, 12Coi3i = С2302 =22Со231 =В,33Соз 12 == В.в.(8.4.17)(8.4.17)

11

— CfllOl : C2323 :

А,

— Союз : С2312 =

13 А,

Cq203 : С3Ц2 =

23

А,

11

Со123 В,

Coi 12 = С2зоз

13

В,

Cq212: Сзюз =

23

в.

11

— CfllOl : C2323 :

А,

— Союз : С2312 =

13 А,

Cq203 : С3Ц2 =

23

А,

11

Со123 В,

Coi 12 = С2зоз

13

В,

Cq212: Сзюз =

23

в.

12

Союз : С2331

А, 22

Cq202 = Сз!31 =

А, 33

Созоз — С1212 =

А, 12

Coi3i = С2302 =

22

Со231 =В,

33

Соз 12 == В.

в.

12

Союз : С2331

А, 22

Cq202 = Сз!31 =

А, 33

Созоз — С1212 =

А, 12

Coi3i = С2302 =

22

Со231 =В,

33

Соз 12 == В.

в.

(8.4.17)

(8.4.17)

Обозначив матрицы компонент А и В просто через А и но представить компоненты (8.4.17) в формеОбозначив матрицы компонент А и В просто через А и но представить компоненты (8.4.17) в формеВ, мож-В, мож-

Обозначив матрицы компонент А и В просто через А и но представить компоненты (8.4.17) в форме

Обозначив матрицы компонент А и В просто через А и но представить компоненты (8.4.17) в форме

В, мож-

В, мож-

abcd01 02 0323 31 12010203Cobcd= 233112— АВВАabcd01 02 0323 31 12010203Cobcd= 233112— АВВА(8.4.18)(8.4.18)

ab

cd

01 02 03

23 31 12

01

02

03

Cobcd= 23

31

12

— А

В

В

А

ab

cd

01 02 03

23 31 12

01

02

03

Cobcd= 23

31

12

— А

В

В

А

(8.4.18)

(8.4.18)

Компоненты тензоров Саьс<| и Cabcd получаются аналогично:

Cabcd =Cabcd =А ВТ— В А]’А ВТ— В А]’Г А В 1

Cabcd =

Cabcd =

А ВТ

— В А]’

А ВТ

— В А]’

Cabcd =,(8.4.19)

L — "A J

Эти матрицы очень легко связать с матрицей У (8.3.5), компоненты которой обозначим через У. В самом деле, имеем

ар аР1 / аа \Р1 ср 1 °Р

У = ^Wabcd^o = 4- ^аЬ + i*Vab) CabcdVcd ~А^1В, (8.4.20)

т. е. У = (1/2) (А +/В). Таким образом.

А = У + Т, В = —/У+гУА = У + Т, В = —/У+гУ(8.4.21)(8.4.21)

А = У + Т, В = —/У+гУ

А = У + Т, В = —/У+гУ

(8.4.21)

(8.4.21)

Канонические формы Петрова

Полученные в предыдущем параграфе канонические формы спинора Вейля для различных типов можно теперь перевести в соответствующие канонические формы для матрицы (8.4.18), состоящей из компонент тензора Вейля Саьс<1- Пользуясь таблицей (8.3.40) и формулой (8.3.5), находим первые три строки этой матрицы для различных типов (в случае типов {211} и {22} здесь Rer)=:r)i, 1пи]=:т)2):

{НН}:

2Re[r!(2x—1)1 - - — 2 Im[n(2X—1)1• •

• — 2Re[r)(x+1)1 • • 21т[т)(х+ 1)1 •

. . 2 Re [г] (2 — %)] . .— 2Im[r)(2 — %)]

{211}:

4т),6т)2.—4т)2бт^.

6т)2 —8гц.6гц8т)2.

..4т]!..—4Т)2

{22}:

—2т11

—2тц

•2т)2.

~ 4т)2

(8.4.22)

4тц•

2т)2

{31}:

2

2.

2

2

{4}:

1

— 1

.1

1

Все эти канонические формы, кроме случая {211}, по существу идентичны формам, которые установил Петров (1954 г.) прямыми тензорными методами. В случае {211} форма Петрова несколько отличается от нашей и соответствует замене в таблице (8.3.40) строки (00т)06т)) строкой (00т)01). Нетрудно найти изменение спиновой системы отсчета, при котором достигается этот результат.

Геометрия и симметрия вейлевской кривизны

В данном параграфе мы рассмотрим геометрию бивекторной структуры (имеются в виду собственные бивекторы) тензора Вейля Cabcd (или спинорной — в смысле собственных спиноров — структуры спинора Вейля Ч^всо в ее связи с ГГИН), а результатами этого анализа затем воспользуемся для исследования дискретных симметрий вейлевской кривизны в случае типа {1111}. Кроме того, мы с помощью более прямых методов исследуем симметрии и в случае других типов. В дополнение к этому для сравнения проведем соответствующее обсуждение классификации тензора Максвелла.

Особые плоскости направления для типа {ИИ}

Как мы выяснили, базисные собственные бивекторы (8.4.6) и (8.4.7) тензора Вейля встречаются в виде антисамодуальных- самодуальных пар. Каждой такой парой в точке Р определяется пара вполне ортогональных плоскостей1), проходящих через начало отсчета касательного пространства, построенного в Р. Эти плоскости характеризуются двумя простыми действительными бивекторами, представляющими собой линейные комбинации рассматриваемых пар собственных бивекторов. Одна из этих плоскостей времениподобна и может быть альтернативно охарактеризована (и это проще) как плоскость, натянутая на два ГИН соответствующего собственного спинора спинора Вейля ^bcd- Вторая плоскость пространственноподобна и является ортогональным дополнением первой. Чтобы сказанное стало яснее, предположим, что ^дв = а(л₽в> есть собственный спинор, а ФавВа'в'— соответствующий самодуальный собственный бивектор. Действительный бивектор

Fab = ^ФавВа'в' + ^6авФа'в' (8.5.1) (где у— некоторый комплексный коэффициент) будет простым [см. формулу (3.5.30) и все, что о ней говорится] в том и только том случае, когда выражение у^дв^8 действительно, что следует непосредственно из формул (8.5.1), (3.4.22) и критерия (3.5.35. II). Легко видеть, что при выполнении этого условия имеет место либо равенство у = ад'РА, либо равенство у = ia.A'^A' (это верно с точностью до не равных нулю действительных коэф

*) Термин «вполне ортогональные» здесь означает, что эти плоскости являются ортогональными дополнениями друг друга, т. е. что всякое направление в одной плоскости ортогонально всякому направлению в другой [пример — плоскости (х, у) и (z, /) в пространстве Минковского]. Термин же «ортогональные» будет означать, что лишь некоторое направление в одной плоскости-ортогонально всякому направлению в другой.

фициентов, которыми мы здесь пренебрегаем). В обоих случаях FOb можно записать в форме

Fab = РаЧь — ЧаРь»(8.5.2)

где при у = аЛ'0л' мы имеем

_ Pa = O-AO-AS 4a = ^AS(8.5.За)

а при у = шлфл'

Ра = V2 Re (Рл«а')> Ча = л/2 Im (РлаЛ'). (8.5.36)

Простой бивектор (8.5.2) можно рассматривать как характеристику плоскости векторов ра, qa- В случае (8.5.3а) он характеризует времениподобную плоскость, натянутую на ГИН спинора фдв; в случае же (8.5.36) он характеризует пространственноподобную плоскость, натянутую на два вектора, которые ортогональны обоим ГИН спинора фАВ (что легко проверить). Заметим, что два простых бивектора, о которых только что шла речь, (±)-дуальны друг другу, поскольку соответствующие коэффициенты у в формуле (8.5.1) различаются мнимым множителем [формула (3.4.22)].

Если применить эти результаты к спинору (или тензору) Вейля типа {1111}, то выяснится, что три собственных спинора спинора Wab00 дают три пары вполне ортогональных плоскостей. Фактически все шесть этих «собственных плоскостей» ортогональны друг другу, что следует из ортогональности собственных спиноров, соответствующих различным собственным значениям, и следующей отсюда ортогональности соответствующих простых бивекторов; например, ортогональность бивекторов Fab = РаЧь — ЧарЬ И Gob = Го5ь — ЗаГь Означает, ЧТО FabGob = 0. Отсюда следует существование пары не равных нулю коэффициентов а и 6, таких, что вектор аро + bqa ортогонален векторам Га и sa (т. е. араг° + bqar° = 0, apas° + bqas° = 0), для которых выполняется условие paraqbSb — ра8аЧьгь = 0, т. е. Раъ6аЬ = 0-

Теперь мы покажем, что шесть собственных плоскостей пересекаются по четырем действительным прямым, обладающим характеристиками тетрады Минковского. Четыре определенных таким образом направления называются главными римановыми направлениями тензора Саьсд. Как и должно быть, они находятся в определенном отношении к главным изотропным направлениям Cabcd- Чтобы доказать это, сначала покажем, что всякая собственная плоскость U пересекается с любой другой собственной плоскостью V, кроме ее собственного ортогонального дополнения U', по прямой. Итак, плоскость U содержит вектор р, ортогональный плоскости V', которая является дополнением плоскости V. Но V содержит все векторы, ортогональные плоскости V', а значит, и вектор р. Поскольку же U и V проходят через

начало, они пересекаются вдоль р. Рассмотрим следующие две пары вполне ортогональных собственных плоскостей: U, U' и V, V'. Они пересекаются по четырем прямым: Uf| V, UП Кл, U' f| V, U'(\V'. Любые две из этих прямых взаимно ортогональны, ибо одна из них всегда относится к собственной плоскости, а вторая — к соответствующему дополнению. Две оставшиеся собственные плоскости W и W' пересекаются с каждой из четырех остальных, а значит, должны пересекаться с ними вдоль прямых U^V, U'ftV' и UOV', U'fiV соответственно (в чем легко убедиться, выбрав эти направления в качестве базиса и рассмотрев векторы, на которые натянута плоскость W или W'). Таким образом, как и утверждалось, существуют в точности четыре линии пересечения шести собственных плоскостей и все они взаимно ортогональны. Так как они находятся в пространстве Минковского, три из них должны быть пространственноподобными, а одна — времениподобной. Ясно, что последняя прямая является линией пересечения трех времениподобных собственных плоскостей.

Можно также представить собственные плоскости как линии в проективном 3-пространстве направлений, проходящих через начало. Конфигурацию, образуемую плоскостями U, V, U', V', можно представить в виде асимметричного четырехсторонника, противолежащие ребра которого, представляя дополнительные плоскости, не могут иметь общих точек (так как плоскости не имеют общих линий). Плоскости W и W представляются двумя новыми линиями, каждая из которых пересекается со всеми четырьмя старыми прямыми. Очевидно, что плоскости W и W' должны соответствовать диагоналям четырехсторонника и не должно возникнуть ни одной новой точки (линии) пересечения. В целом шесть собственных плоскостей соответствуют ребрам тетраэдра (рис. 8.4), противолежащие ребра которого являются

Рис. 8.4. В проективном 3-пространстве (PV) направлений, проходящих через начало отсчета, собственные плоскости тензора Саьса представляются ребрами тетраэдра, вершины которого соответствуют римановым главным направлениям. [Не следует путать этот тетраэдр с изображенным на рис. 8.5. Вершины первого отвечают трем осям EF, GH и KL второго и времениподобному направлению, задающему собственную (покоящуюся) систему отсчета.]

ортогонально дополнительными, а вершины дают направления осей.

Теперь легко убедиться, что определенные выше главные римановы направления совпадают с тетрадой Минковского, по отношению к которой вычислялась (в неявном виде) форма Петрова (8.4.22.1) тензора Саьс<1.

Из этой формы следуют определенные дискретные симметрии тензора Саьс<1 типа (1111), а именно такие (сохраняющие ориентацию) отражения, которые обращают две (и только две) пространственные оси. Форма (8.4.22.1) дает конпоненты, обладающие свойством

Cabcd = 0 при а = с, b =/= d, (8.5.4) из которого видно, что при обращении двух и только двух осей и неизменности остальных все компоненты тензора Саьс<1 остаются без изменений.

Дисфеноид для типа {1111}

Эти симметрии можно обнаружить непосредственно, не обращаясь к каноническим формам Петрова. Рассмотрим сферу 5+ с четырьмя точками Л, В, С и D на ней, описывающими ГГИН (см. § 2). Существует единственное ограниченное преобразование Лоренца ^i, переводящее А, В, С в В, A, D, откуда в силу равенства [формула (8.3.15)] двойных отношений {Л, В, С, D^ и {В, A, D, С} следует, что ЭД также переводит D в С. Квадрат преобразования ЭД, очевидно, является тождественным преобразованием, ибо переводит каждую точку А, В, С (и D) в нее же. Следовательно, преобразование ЭД не может быть изотропным поворотом [формула (3.6.47)], а значит, оставляет инвариантными две и только две точки £ и f. В самом деле, если выбрать лоренцев репер, в котором Е и F будут антиподальными точками на S+, то преобразование ЭД будет выглядеть просто как поворот на угол л вокруг оси EF. Точно так же существует соответствующее ограниченное преобразование Лоренца ЭД, которое переводит точки А, В, С, D в С, D, А, В и оставляет без изменения точки G и Н. Преобразование ЭД инвариантно по отношению к 2’1(т. е. Э\^ЭДЭД = ЗД, что выполняется, ибо преобразование, стоящее в левой части равенства, ведет к цепочке ABCD>—>BADC\—»DCBA i—> CDAB). Таким образом, точка G при повороте под действием ЭД переходит в точку Н, а значит, прямая GH перпендикулярна оси EF. Теперь воспользуемся бустом вдоль оси EF, перемещая линию GH так, чтобы она пересекла ось EF в ее средней точке (являющейся центром сферы S+). Теперь обе пары точек Е, F и G, Н являются антиподальными (и располагаются в верши-

нах квадрата). Существует еще и преобразование $^, которое ведет к обращению ABCD*—^DCBA и имеет инвариантные точки К и L. Прямая KL пересекает каждую из прямых EF и GH под прямым углом, в результате чего возникает триада взаимно перпендикулярных линий, проходящих через центр S+ (шесть точек Е, F, G, Н, К и L образуют вершины правильного октаэдра).

Каждый из поворотов на угол л вокруг осей EF, GH и KL переводит неупорядоченное множество (Л, В, С, D) в него же. Фактически, задав точку А, можно найти положение точек В, С и D, просто выполнив поочередно все эти повороты. Так, точка В получается в результате отражения точки А относительно оси EF; С — в результате отражения А относительно GH; D — при отражении А относительно KL. Окончательная конфигурация из четырех точек ABCD дает набор вершин тетраэдра специального типа, носящего название дисфеноида и характеризуемого попарным равенством противолежащих ребер, — в данном случае выполнение этого условия следует из существования поворотов, переводящих каждое ребро в противолежащее. Следовательно, прямые, соединяющие середины противолежащих ребер (линии EF, GH и KL на рис. 8.5), дают три взаимно ортогональные оси двойной симметрии.

При условии действительности двойного отношения % дисфеноид ABCD уплощается и переходит в прямоугольник. При % =—1,2 или 1/2 (гармонический случай) он превращается в квадрат, а при % = е2"^3, е-2«//з (эквиангармонический случай)— в правильный тетраэдр. [См. текст после формулы (1.3.12).]

Рис. 8.5. Дисфеноид, вершины которого соответствуют ГИН, представленным на сфере 8+ в специальной системе отсчета (тип {1111}).

Каждый из поворотов S^, S’a, S'a переводит дисфеноид ABCD в него же. Значит, каждый такой поворот должен переводить спинор Вейля в кратный ему же. Но, поскольку квадрат каждого преобразования является тождественным преобразованием, эта кратность должна ограничиваться значениями ±1 и в силу симметрии каждому преобразованию $\ $г и За должна соответствовать одна и та же кратность. Однако ^’15’2=5’3> так что в действительности эта кратность во всех случаях должна быть равна единице, откуда следует, что спинор Тласо (а значит, и тензор Cabcd) должен быть инвариантным по отношению к этим трем поворотам.

Три пары точек (Е, F), (G,H) и (К, А) имеют то отношение к изложенному ранее в этой главе, что они являются представлениями на сфере S+ главных изотропных направлений трех собственных спиноров спинора Улв00. Это следует из инвариантности спинора Улв00 по отношению к трем поворотам 2\, 32 и За- Дело в том, что собственные спиноры должны быть инвариантными еще и по отношению к каждому повороту (причем с разными собственными значениями). Единственными парами точек, обладающими инвариантностью именно такого рода, и являются пары (£, К), (G, Н) и (К, L).

Спиновые преобразования, которые ведут к этим поворотам, можно представить в следующей явной форме:

Sa^-V"WIb,(8.5.5)

где Фав—нормированный собственный спинор (ФавФав = 1) [множитель V2 обеспечивает правильную нормировку (3.6.30) спинового преобразования]. Из сказанного в гл. 3, § 6 следует, что главные изотропные направления спинора фдВ являются фиксированными направлениями преобразования (8.5.5) и что квадрат преобразования (8.5.5) дает, отрицательное тождественное спиновое преобразование [(V2 фдв^ (л/ 2 Фвс) = — влс], которое, как и требуется, соответствует тождественному преобразованию Лоренца. Выбрав спиновую систему отсчета о4, i4, для которой выполняется условие (8.3.34)

'Vabcd = у WaIbIcId + Зт) (2 — %) ouoBCiD)i + -|- ПХоловосов, можно убедиться, что эти преобразования, в самом деле, имеют место, когда элементы фдв принимают по очереди значения (8.3.3), так, что

° А 1 * 11А > 1А 1 *■ 10А>

ИЛИ

Оа1-*1а>1а *-~* — Од,

или

. ол1-^гол, iA'-^ — ioA во всех трех случаях соответственно.

Геометрическая картина, которую мы представили, дает независимый способ определения канонической формы Петрова для типа {1111}. При указанном выше (единственном) выборе оси времени (опирающемся на шесть собственных плоскостей) четыре точки А, В, С и D располагаются на симметричном дисфеноиде, образуя только что описанную конфигурацию. Соответствующие этому дискретные вращательные симметрии (связанные с существованием времениподобных плоскостей, натянутых на главные изотропные направления собственных спиноров, а значит, и с существованием осей вращения EF, GH и KL") указывают на то, что компоненты тензора Саьс<1 в репере, который определяется осями вращений, должны обладать характеристическим свойством (8.5.4).

Симметрии в частных случаях типа {1111}

Если в некоторых частных случаях дисфеноид имеет еще и другие симметрии, то это вовсе не означает, что тензор Саьса обязательно должен быть инвариантным по отношению к ним. Например, в эквиангармоническом случае правильный тетраэдр ABCD можно перевести в него же путем поворота на 2л/3 вокруг оси тройной симметрии, удерживая одну его вершину, скажем А, в фиксированном положении и осуществляя перестановку трех других. То, что тензор CObCd не может быть инвариантным по отношению к такому повороту, станет ясно, если проанализировать его «картину» на 5+ (см. § 2). Поскольку точка А соответствует простому ГГИН, мы имеем в ней конфигурацию, подобную первой диаграмме рис. 8.3. Эта конфигурация не обнаруживает тройной симметрии, которая требуется, чтобы тензор Cabcd в результате поворота перешел в себя И действительно, такого рода повороты ведут к дуальным вращениям тензора Саьс<1 на углы 2л/3 и 4л/3 [формулы (4.8.15) и (4.8.16)]. Аналогично в гармоническом случае квадрат ABCD допускает поворот на л/2 вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости. Однако эта ось пересекает сферу 5+ в двух точках, в которых картина тензора не может обнаруживать четырехкратной симметрии. Поэтому такой поворот тоже ведет к дуальному вращению тензора Саьсд, но теперь на угол л, в результате чего Саьа переходит в себя со знаком минус (ибо однократное повторение такого поворота дает одну из присущих тензору Сасьа симметрий рассмотренного выше типа).

Дисфеноид обладает симметриями отражения в следующих двух случаях: 1) когда он сплющивается в прямоугольник (двойное отношение % действительно) и 2) когда равны четыре его ребра: |%|=1, |1— %|=1 или Re(%)=l/2 [см. текст между формулами (8.4.7) и (8.4.8)]. Тензор же Cubed в этих случаях будет обладать симметрией отражения, если конкретное значение параметра т), сопровождающего двойное отношение %, таково, что картина тензора обнаруживает соответствующую симметрию. Оказывается, что Cubed будет обладать симметрией отражения в случае 1, если параметр т) имеет действительное значение, а в случае 2, если значение параметра т) таково, что одно из собственных значений спинора Тивсл комплексно-сопряжено другому г). Необходимость этих условий следует из того, что спинор Тлв^ при пространственном отражении переходит в Va'b'0 °, в результате чего неупорядоченное множество собственных значений исходного спинора (Xi, Х2, Хз) переходит в неупорядоченное множество собственных значений (Х^ Х2, Х3) конечного спинора. Достаточность же гарантируется следующим соображением: если собственные значения X в результате преобразования отражения переходят в собственные значения X в определенном порядке, то спинор V^scs нельзя подвергать каким бы то ни было дуальным поворотам, ибо если Тдвсо приобретет фазовый множитель, то то же самое должно произойти с каждым X.

Тип {211}

Рассмотрим симметрии тензора Cubed в алгебраически специальных случаях. Начнем с типа {211}. Любое ограниченное преобразование Лоренца должно переводить три ГРИН в него же, но так как двукратное ГРИН выделяется, то единственно возможной остается дискретная симметрия, которая ведет лишь к перестановке двух других ГРИН. Это снова вращательная симметрия с периодом 2 (поворот на угол л) в подходящем ло- ренцевом репере, и она фактически переводит тензор Cubed в него же, а не в него с противоположным знаком. Справедливость сказанного легко показать разными способами. Например, это следует из того, что преобразование

ол н-> ioA, 1Л н-> — кА (8.5.6) (и обратное ему) оставляет без изменения каноническую форму (8.3.39)

'Рдвсд = 6n (oa°bOc°d + ^(a^b^c^d))) (8.5.7)

*) В обоих случаях существует еще одна симметрия отражения, если двойное отношение % является гармоническим. 1

но меняет местами направления флагштоков главных спиноров ол + йл, ол — пл. Или же достаточно взглянуть на картину тензора на рис. "8.3, соответствующую двукратному ГИЙ (л = 2), чтобы убедиться, что вращательная симметрия, при которой двукратная точка остается фиксированной, не может привести к преобразованию такой конфигурации в ортогональную ей (что должно было бы происходить, если бы тензор Саьса переходил в себя с обратным знаком — единственная альтернатива симметрии с периодом 2).

Имеются два подходящих ортохронных несобственных преобразования Лоренца, каждое из которых имеет период 2. Одно из них оставляет без изменения все три ГГИН, а другое меняет местами два простых ГГИН. В спинорной форме они могут быть представлены в виде линейных отображений из ©а в ©д,, генерируемых преобразованиями

оio as ^a^ — ^as(8.5.8)

одoAs 1Л t-> iЛ'(8.5.9)

(и обратными им), соответственно. Тензор Вейля переходит в себя (в себя с обратным знаком) только в том случае, когда спинор WABCD переходит в ^a'b'c'd' (в — Wa'b'c'd'), и это может иметь место в обоих случаях лишь при условии, что собственные значения действительны (мнимые) [т. е. параметр т) в формуле (8.5.7) действительный (мнимый)].

Тип {31}

Теперь рассмотрим случай {31}. Каноническая форма (8.3.38)

^ ABC D = — 4О(ЛОвОс1д)

инвариантна только по отношению к ограниченным преобразованиям Лоренца, переводящим спиноры од и и в кратные им. При сохранении диадной нормировки од1л = 1 останутся лишь преобразования (од, и)1—> + (од, и), которые оба соответствуют тождественному преобразованию Лоренца. Единственным нетривиальным ортохронным преобразованием Лоренца, сохраняющим тензор Cabcd, является отражение, определяемое преобразованиями (8.5.9). Конфигурация картины тензора Вейля на рис. 8.3, отвечающая значениям п=1, 3, убедительно показывает, что не существует такого собственного вращения, по отношению к которому оставался бы инвариантным тензор Вейля типа {31}. Вращения, оставляющие инвариантными оба ГИН, ведут к дуальным поворотам тензора С^сд-

Тип {22}

Перейдем теперь к случаю {22}. Каноническая форма (8.3.36)

Ч'дйСО = 6т)О(ЛОв1с1д)(8.5.10)

очевидным образом инвариантна по отношению к спиновым преобразованиям

ол ।—>Хол, 1Л ।—>^ ^л,(8.5.11)

ол ।Хьл, 1Л ।— X ол(8.5.12)

(с 0#= Хе С) и никаким другим. Преобразования (8.5.11) образуют связную группу двух действительных размерностей, а именно мультипликативную группу не равных нулю комплексных чисел. (В смысле преобразований Лоренца это мультипликативная группа всех величин X2.) Преобразования же (8.5.12) образуют не связанную с последними двух (действительно) параметрическую систему. Кроме того, нужно учитывать еще и несобственные ортохронные преобразования Лоренца, которые задаются формулами (8.5.9) и их сочетаниями с (8.5.11) и (8.5.12). Они отвечают симметриям тензора Саьс» в том и только том случае, когда параметр т) действителен (а следовательно, конфигурация картины в точках двойных ГГИН имеет вид первой или третьей диаграммы на рис. 8.3 при п = 2, что означает возможность существования симметрии отражения).

Многое из сказанного выше по поводу случая {1111}, конечно, относится и к типу {22}. Однако дисфеноид вырождается в пару кратных антиподальных точек на S+, так что теперь становятся возможными непрерывные вращения (и бусты).

Тип {4}

Перейдем к случаю {4}. Ясно, что ограниченные преобразования Лоренца, определяемые формулами

ол ।—*ол, 1Л ।—* 1Л + Х°л(8.5.13)

или

олн->/ол, 1Л ь-> — кА— 1Хол(8.5.14)

(и формулами обратного знака), сохраняют каноническую форму (8.3.37)

^ ABCD = °АОВОС°О(8.5.15)

и не существует других сохраняющих ее преобразований. Преобразования (8.5.13) являются изотропными вращениями [формула (3.6.47)] и образуют действительно-двухпараметрическую связную группу, а именно аддитивную группу комплексных чисел. Неизотропные преобразования (8.5.14) образуют двух(дей-

ствительно) параметрическую систему, не связанную с предыдущей. Несобственными ортохронными преобразованиями Лоренца (8.5.8). и (8.5.9) и их сочетаниями с (8.5.13), очевидно, исчерпываются симметрии тензора Саъса (так как они переводят Тддсо в ^a'b'c'd'), чт0 дает два дополнительных двух (действительно) параметрических семейства. Все эти четыре варианта можно выявить по их различному поведению в окрестности кратного ГГИН. Обратимся к конфигурации рис. 8.3 при п=4. Она указывает на существование группы дискретной симметрии порядка 4, причем две из симметрий — отражения.

И наконец, два слова о случае {—}. Группой симметрии тензора Вейля этого типа является шести (действительно) параметрическая группа (с отражениями или без).

О размерностях групп симметрий

Размерность группы симметрии в каждом конкретном случае следующим образом связана с числом независимых скаляров (всех, которые могут быть построены) и числом измерений пространства тензоров Вейля, относящихся к данному типу:

(размерность пространства тензоров Вейля) + (размерность группы симметрии) = (число независимых скаляров) + 6.

(8.5.16)

Чтобы определить (действительную) размерность пространства тензоров Вейля заданного типа, нужно проанализировать свободу выбора спинора V^scs с заданной кратностью его ГГИН. Допустим, что г — число различных ГГИН. Тогда существует 2г-мерная свобода в выборе этих направлений, а следовательно, и двумерная свобода в выборе общего комплексного «масштабного» множителя для спинора ^abod- Чтобы определить число независимых скаляров, достаточно найти число соотношений (если они вообще есть), которыми обязательно должны быть связаны два комплексных скаляра / и J при данном конкретном выборе типа тензора Вейля. Тогда оставшаяся свобода в выборе I и J даст нам требуемую информацию. Можно также подсчитать число независимых собственных значений или, что эквивалентно, свободу в выборе параметров т) и %• Слагаемое 6 в формуле (8.5.16) есть размерность группы Лоренца.

Разнообразная информация о различных типах тензора Вейля собрана воедино в таблице (8.5.17). В частности, в ней иллюстрируется соотношение (8.5.16). Кроме того, она показывает, какое значение имеют все горизонтальные, вертикальные и оба наклонных направления в схеме (8.1.9).

I=6Ia/ б скаляра

❖ разных. ГГИН,

2 независимых собственных спинора типа 2 по Петрову

1 независимый собственный спинор типа 3 по Петрову

Классификация тензора Максвелла

Полезно провести соответствующий анализ и построить соответствующую таблицу в случае электромагнитного поля. Пусть ГИН спинора электромагнитного поля (ЭГИН) пропорциональны спинорам ад, Рд, так что

Фав = “(аРв)-

Тогда

фАВ«в=4'алРВав,(8.5.18)

откуда следует, что ад — собственный вектор спинора фд в при соответствующем собственном значении

Х=^аА^.(8.5.19)

Аналогично Рд — собственный вектор, которому соответствует собственное значение —А. (То, что сумма собственных значений равна нулю, не должно быть неожиданностью, ибо фдл =0.) В предельном случае изотропного электромагнитного поля (ад ~ Рд) эти собственные векторы, а значит, и собственные значения совпадают и, следовательно, А = 0. Необходимым и достаточным условием изотропности электромагнитного поля [формула (5.1.68) и текст после формулы (3.5.29)] является обращение в нуль инварианта

К = Р + iQ = флвфлв = —2А2.(8.5.20)

Действительный тензор электромагнитного поля Раь связан со спинором электромагнитного поля соотношением (5.1.39):

Fab — Фдв8д'в' + Фд'в'8дв-(8.5.21)

Его собственные векторы Ха и соответствующие им собственные значения f определяются уравнением

FabXb = fXa,(8.5.22)

из которого в силу соотношения (8.5.21) следует уравнение

ФдвХВд' + Фд'ВХАВ- = fXAA'.(8.5.23)

Легко убедиться прямой подстановкой, что эти собственные векторы и соответствующие им собственные значения будут такими:

“а“а' : А + А; РаРа' : — (А + А);^ ^ ^

адРд': А — А; рдаЛ': — (А — А).

Если спиноры ад и р,4 различны, то выберем спиновую систему отсчета од, м так, чтобы спиноры од и 1д были им пропорцио-

нальны. В этом случае векторы в (8.5.24) оказываются пропорциональными векторам изотропной тетрады (3.1.21), ассоциированной с од, м, т. е.

Ха = 1а, па> та, Fta,(8.5.25)

чем вполне характеризуется взаимное расположение четырех собственных векторов тензора Раь в общем случае.

Частный случай набора (8.5.24) имеет место, когда [в силу равенства (8.5.20) ] X — либо действительная, либо мнимая величина, т. е. когда инвариант К — действительная величина. Но это совпадает с условием простоты тензора Раь [см. текст после формулы (5.1.70)], при котором он имеет вид

Fab = PVaqbV(8.5.26)

Сначала предположим, что К > 0, т. е. что X — мнимая величина. [Как отмечалось после формулы (5.1.70), поле в таких условиях должно быть «чисто магнитным».] В этом случае оба собственных значения из первой строки формулы (8.5.24) равны нулю. Однако соответствующие им собственные векторы не совпадают; более того, они «размываются»: теперь любой вектор, лежащий в плоскости, которая содержит 1а и па, является собственным вектором с собственным значением, равным нулю. В этом случае тензор Максвелла имеет вид

Раь= — 4XmIomti,(8.5.27)

откуда, если учесть формулы (3.1.15) — (3.1.18), следуют соотношения

Fablb = 0, Fabnb = 0, Fabmb = 2Хта, РаЬпгь =—2Хпга (8.5.28)

[которые согласуются с формулой (8.5.24) и тем самым подтверждают правильность формулы (8.5.27)]. Аналогично если К < 0, т. е. X— действительная величина (и поле «чисто электрическое»), то

Fab = ^hanbV(8.5.29)

Fablb = 2Ма, Fabnb = —2Xna, Fabmb = 0, Pabmb = 0. (8.5.30)

Отметим, что в случае чисто магнитного поля существует полная времениподобная плоскость собственных векторов, которая вполне ортогональна пространственноподобной плоскости, содержащей два остальных неодинаковых собственных вектора и к тому же являющейся плоскостью (8.5.27) тензора Fab; в случае же чисто электрического поля — все наоборот.

Набор векторов (8.5.25) неприменим лишь в случае, когда поле изотропно («д ~ ^а, X = 0, К = 0). В то же время из

2 независимыхсобственныхспинора спинора

<Рл

/ независимыйсобственный

спинор спинора

Va

формулы (8.5.24) следует, что для такого поля все собственные значения равны нулю, а все собственные векторы тензора Еаь одинаковы.

Теперь можно построить таблицу (8.5.31) для электромагнитного поля, аналогичную таблице (8.5.17) для поля тяготения. Присутствующие здесь непрерывные группы симметрии в точности те же самые, что и в случае гравитационного поля, однако совершенно отсутствуют дискретные симметрии (кроме типа {—}, что тривиально). Таблица (8.5.31) фактически совпадает с нижним левым углом таблицы (8.5.17). В этом нет ничего удивительного, ибо можно формально положить ф(двфсд) =: = :Чгдвсд и отнести спинор флв (с точностью до знака) к той же классификационной группе, что и Ч^всл.

Коварианты кривизны

Величины / и / (8.3.8) образуют совокупность, которая в классической теории инвариантов [114] называется полным набором инвариантов формы Р = xEabcd^,a^>b^>c^,d. Это означает, что всякое скалярное выражение, построенное из спинора Та вся общего вида с помощью таких четырех тензорных операций, как сложение, тензорное произведение, свертка и замена индексов1), можно тождественно представить в виде полиномиальной функции переменных I и J. Классическая теория инвариантов имеет дело еще и с «ковариантами», представляющими собой «формы» относительно g4, т. е. выражения вида Qab ... l^a^b • • • ... gL, где Qab...l— симметричный спинор, построенный из спинора Tabcd с помощью все тех же четырех тензорных операций. В случае более высокой размерности определение «коварианта» нуждалось бы в обобщении, включающем в себя помимо £л какие-нибудь еще дополнительные переменные. Здесь достаточно одной переменной (т. е. полной симметрии), поскольку двумерность спинового пространства гарантирует, что для построения всех спиноров достаточно вполне симметричных спиноров и антисимметричного спинора е. «Полный» набор ковариантов формы Р есть такая совокупность независимых переменных, которая позволяет тождественно представить в виде полинома любой другой ковариант формы Р. ■

т) Включение операции замены индексов является довольно жестким во многих отношениях ограничением. Иногда для построения более общих типов инвариантов (но не в случае спинора Basco'S могут быть использованы отношения пропорционально индексированных выражений. Кроме того, здесь не рассматриваются неалгебраические выражения и комплексно-сопряженные величины.

Такого рода полный набор ковариантов дается следующим перечнем [114]:

/ = ^abcd^abcd, J = WAbcdWgdef^efab,

P = WabcdW№, Q = ^abef^cdefW^d, (8.6.1) R = WAbckWdelmWfklmWIgWV.

Коэффициентами переменных P, Q, £ являются, конечно, выражения

^ABCD ^{AB^^CDyEF’ ^(ABC^^DELM^F) KLM(8.6.2)

соотв етственно.

. Обозначим через { }замкн *) все типы вейлевской кривизны, не менее специальные, чем { }, если прослеживать нарастание специализации вдоль стрелок в схеме (8.1.9). Так, например, тип {211}замкн включает в себя все типы, кроме {1111}, тогда как тип {31}замКН состоит из типов {31}, {4} и {—}. Интересно, что необходимые и достаточные условия отнесения к типу { }замкн можно выразить через инварианты и коварианты (8.6.1):

{2ц}замк„^/з = 6/2,

.{З1^замкн .^/=/ = 0,

^™^^№^{R^, (8.6.3)

{4}” W^abEFWc^ef = о (Q = 0),{-}3aMK8^^BCD=o (Р = 0).

Справедливость первых двух условий следует из утверждений (8.3.28) и (8.3.29) для не менее чем двух и не менее чем трех совпадающих ГРИН соответственно. Требование выполнения равенства Тлвсв = 0, очевидно, является тривиальным условием отнесения к типу {—}. Теперь рассмотрим условие Ч^дв ^Vc^ef = 0. Оно эквивалентно требованию

0 = Q = 4£F4ef, где Чав^авер^, (8.6.4)

а принимая во внимание формулу (3.5.29), еще и требованию

Члв = ЧаЧв-(8.6.5)

В частности, оно выполняется, когда £л — главный спинор спинора Вейля Тлвсв; в этом случае т)лв£л£в = 0, откуда в силу соотношения (8.6.5) следует равенство r^^ = 0, а значит, и равенство г|лв^в = 0, которое в силу второго равенства (8.6.4) дает Wabef^W = 0, а это [см. предложение (3.5.26)] есть

условие того, что ^л является двукратным главным спинором. Следовательно, всякий главный спинор является кратным, а это имеет место только для типов {22}, {4} и {—}. Но в случае типа {22} выражение ^лв е^Фсв^ее не может быть равным нулю [будучи, как легко проверить с помощью канонической формы (8.3.36), равно —цЧ^всд], тогда как в случаях {4} и {—} оно, очевидно, равно нулю, чем и доказывается справедливость четвертого утверждения (8.6.3).

Наконец, рассмотрим равенство R = 0, когда £л — главный спинор спинора 'Удвсо, так что при некотором р мы имеем

^авс^в№ = ^а,(8.6.6)

откуда

0 = R = iOTW^fklmW^ = цт^ьм, (8-6.7)

где т]дв имеет тот же смысл, что и в формуле (8.6.4). Если ц =# 0, то путем таких же рассуждений, как и выше, мы приходим к выводу, что £л—двукратный главный спинор; если же ц = 0, то аналогичный вывод будет следовать из равенства (8.6.6). А значит, как и раньше, спинор Вейля должен относиться к типу {22}, {4} или {—}. Положив в этом случае Ч'лвсд = а<лавРсрд), мы при некотором v получим

^ивс^ ОЕЬМХУ F1) KLM = ^а^^РоРеРр) (аКРкУ(8.6.8)

(ибо ни один член другого типа сохраниться не может). Однако перестановка множителей ад и Рл, оставляя неизменным спинор "ЧГдвсп, меняет знак правой части равенства (8.6.8). Следовательно, v = 0, чем доказывается справедливость последнего утверждения (8.6.3).

Третье выражение (8.6.2) представляет интерес по другой причине: если 'Удвсп не относится к типу {22}замкн, то при некотором £ =# 0 выполняется равенство

^abcKx¥deLMx¥f> klm = ^дв^ееъ(8-6.9)

где фдв, 0лв и флв — собственные спиноры спинора Wab cd [с соответствующими кратностями в случаях типов {211} и {31}; см. таблицу (8.3.41)]. Чтобы убедиться в этом, положим

ФАв = 9и°ву(8.6.10)

Поскольку фдв — собственный спинор, при некотором X должно выполняться равенство

^ABCD^C^D^= ^<Ааву(8.6.1 1)

Следовательно,

^cDpVpcaD = 0,(8.6.12)

откуда при некотором у получим

ЧгАвсцРлРвРс = ¥ащ(8.6.13)

Согласно формулам (8.6.13), (8.6.11) и (8.6.12), мы имеем ^abc^de^^fki-mPaPbPcPdPePf = ^deLM С¥fklmP^K) рОрЕ =

= ^W deLMPl°mPDPE = °- (8.6.14) а это равенство показывает, что всякий главный спинор собственного спинора спинора ^д^CD является также и главным спинором левой части равенства (8.6.9), из чего следует справедливость последнего в случае типа {1111}. Оставшиеся два случая {211} и {31} получаются в результате предельных переходов {1111}—>{211}->{31}, ибо, согласно нашему предположению [формула (8.6.3)], левая часть равенства (8.6.9) не может стать равной нулю.

Отметим также, что обращение в нуль третьего выражения (8.6.2) в случае типа {22} является следствием равенства (8.6.9). В этом случае собственные спиноры должны оставаться определенными лишь с точностью до непрерывной группы симметрии, а значит, никакой конкретный набор их нельзя представить в виде правой части равенства (8.6.9). Кроме того, без всяких вычислений ясно, что равенство (8.6.9) выполняется и в общем случае (если только предположить, что входящее в него выражение не является тождественно равным нулю), ибо шести ГИН трех собственных спиноров должен отвечать неупорядоченный набор из шести точек на сфере S+ (между которыми не исключаются совпадения), который определяется неупорядоченным набором точек (А, В, С, О) и, следовательно, инвариантен по отношению ко всем трем поворотам $х, $г и З'з (см. § 5). Это может быть только набор точек (Е, F, G, Н, К, L).

Инварианты полной кривизны

Мы закончим параграф короткими замечаниями по поводу инвариантов полной кривизны и несколько более подробными по поводу инвариантов объединенной системы спиноров, описывающей гравитационное и электромагнитное поля. Эти, последние инвариантны, если потребовать выполнения уравнений Эйнштейна — Максвелла, приводят непосредственно к инвариантам полной кривизны. Мы отметим ряд трудностей, связанных с построением полной системы инвариантов в общем случае.

Если заранее не требовать выполнения вакуумных уравнений поля, то в общем случае следует рассматривать все характеристики кривизны

^ABCD, ^ABC'D'i A (8.6.15) вместе. Вопрос об общей классификации спинора ФАВс'о Рас‘ смотрен в двух следующих параграфах (и это достаточно слож-

ная проблема). Но изложенного там будет недостаточно для классификации полной римановой кривизны, поскольку необходимо рассмотреть еще и взаимосвязи между структурами спиноров Фдвс'о' и ^ABCD-

Число инвариантов тензора Rabcn можно установить, пользуясь правилом (8.5.16). Пространство тензоров Rabca. 20-мерно (по числу независимых компонент), и у таких тензоров отсутствует группа непрерывной симметрии (как она, вообще говоря, отсутствует и у тензора Вейля). Следовательно, имеется 20 — 6=14 инвариантов некоторого рода, но все это ничего не говорит о том, как эти инварианты можно было бы построить. В принципе не составляет особого труда образовать различные комбинации тензоров кривизны или спиноров кривизны и отобрать из них 14 независимых инвариантов [372]. Но проблема построения «полного набора» значительно сложнее (и, насколько нам известно, до сих пор не решена). Ибо можно полагать, что нам потребуется избыточная система, элементы которой связаны между собой рядом соотношений, называемых сизигиями. Мы не ставим перед собой задачу проанализировать самый общий случай, но лишь отметим, что такого рода сложности присутствуют даже в гораздо более простой проблеме одновременной классификации гравитационного и электромагнитного полей.

Система полей . Эйнштейна — Максвелла

Итак, рассмотрим объединенную систему спиноров

^ABCD. ^АВ» (8.6.16)

каждый из которых симметричен. В дополнение к / и J должно быть, по-видимому, еще три комплексных инварианта, поскольку спинором Ya вед фиксируется (с точностью до дискретных симметрий) такой репер Минковского, что выраженные через него три комплексные компоненты спинора фдв оказываются инвариантами. И в самом деле, в качестве возможного набора инвариантов мы вправе взять

K = ^ABWAB. L = ^¥abc^cd, M = ^AB^CD^EF. (8.6.17) С помощью теории матриц несложно доказать, что эти инварианты независимы. (Коэффициенты в разложении фдВ по собственным спинорам спинора Yab65 остаются произвольными, так что К, L и М можно рассматривать как независимые линейные функции квадратов этих коэффициентов.) Нетрудно убедиться, что выражения вида

Фл^лвс^с^£^Фон (8.6.18)

представимы в виде полиномиальных функций переменных /, J, К, L и М. Однако пять перечисленных скаляров вовсе не образуют полного набора в том смысле, в каком это понимается в классической теории инвариантов. Так, величина

N = ^ab^abcdWcdefwegWfgp^pq,(8.6.19)

очевидно, не представима в указанной форме, ибо она нечетна по <рлв, тогда как скаляры I, ...,J четны. Но величина N все же зависит от /, ..., М в силу сизигии [232, 114]

№ = 2 jKLM _l.jL3_lM3_l pKLz _ 1 иК1Ь _2О2оО

- -2- W + 2 JKM2 + 2IL?M.(8.6.20)

Так что полным набором инвариантов для Тлвсд и флв можно считать только всю совокупность инвариантов /, 7, К, L, М, N.

Ранее (в конце § 5) мы выяснили, что условием совпадения двух электромагнитных ГИН (ЭРИН) является равенство К = 0. Условием же совпадения ЭРИН и ГРИН является обращение в нуль результанта соответствующих форм четвертого

и второго порядка:

То 4Т, 6Т2 4Т3 Т4

То 4Т, 6Т2 4Т3 Т4

Фо 2ф[ ф2

Фо 2q)[ ф2

Фо 2ф[ ф2

Фо 2ф1 ф2

= 0.(8.6.21)

Пользуясь инвариантами, это условие можно представить в виде [232]

2№/ - 4КМ + L2 = 0.(8.6.22)

Следовательно, чтобы оба ЭРИН лежали вдоль ГРИН, должно

выполняться условиевыполняться условиеK = 0 = L.K = 0 = L.(8.6.23)(8.6.23)

выполняться условие

выполняться условие

K = 0 = L.

K = 0 = L.

(8.6.23)

(8.6.23)

Если выполняются уравнения Эйнштейна — Максвелла (скажем, с Х = 0), то, как следует из уравнений (5.2.6),

ФдВА'В' = 2СфАвфд'а'

(8.6.24)(8.6.24)и можно утверждать, что 4 действительные величины КК, LL« ММ, NN и три комплексные величины KL, LM, MN представимы в виде инвариантов спиноров

(8.6.24)

(8.6.24)

^ABA'B'- ^ABCDi ^А'В'С'О'-

Существуют очевидные тождества, связывающие эти величины [например, (КК) (LL) = (.KL) (К-/.)] и показывающие, что некоторые из них излишни. Фактически может быть только девять независимых действительных инвариантов спиноров (8.6.24), ибо один действительный инвариант из десяти, построенных из действительных и мнимых частей независимых инвариантов спиноров <рлв и Тлвсп утрачивается из-за существования такой степени свободы, как дуальный поворот флв'—*eieq>AB (фаза 0 действительна).

§ 7. Классификационная схема для спиноровс любым числом индексов

В предыдущих параграфах довольно подробно рассматривалась структура тензора (спинора) Вейля. В этом и следующем параграфах мы займемся оставшейся частью кривизны пространства-времени, а именно тензором Риччи (не останавливаясь, однако, на его связи со структурой тензора Вейля). На первый взгляд может показаться, что классификация тензора Риччи должна быть менее сложной задачей, нежели классификация тензора Вейля, поскольку у Rab всего два тензорных индекса, а у Саьси их четыре. Число его индексов вроде бы позволяет трактовать тензор Риччи непосредственно как матрицу и классифицировать его в рамках (не представляющей принципиальных трудностей) схемы совпадений собственных значений и собственных векторов этой матрицы. Но (в первую очередь из-за индефинитной сигнатуры метрики пространства- времени) такой подход оказывается не столь простым и прозрачным, как хотелось бы [56].

Поэтому мы изберем альтернативный подход, основанный на спинорной технике. Но, поскольку спинорная форма записи тензора Rab требует введения штрихованных индексов наряду с нештрихованными, спинорный подход не приводит к столь же простой классификации, как в случае спинора (тензора) Вейля. По-видимому, не следует считать это дефектом спинорной техники в приложении к симметричным двухиндексным тензорам. Просто спинорный формализм выявляет здесь принципиальные сложности, связанные с такими тензорами, которые, вероятно, удивительным образом отсутствуют в случае выглядящего намного сложнее четырехиндексного тензора Вейля.

Метод, излагаемый (в общих чертах) в данном параграфе, применим к тензорам или спинорам с любым числом индексов. В следующем параграфе мы, не вникая в детали (более полный анализ см. в работе [244]), применим его в частном случае (бесследового) спинора Риччи Фдвс'о'- Кроме того, мы укажем связь этого метода с собственными векторами и собствен-

ными значениями тензора Фа ь. И еще мы покажем, как наш метод связан с альтернативным подходом Плебаньского [276] (сравнение с матричной и спинорной формулировками проводится в работе [198]), при котором спинор

Пдвсо = Фр-Q' (АвФсО) (8.7.1)

классифицируется в соответствии со схемой, предложенной нами ранее для спинора Вейля и позволяющей охарактеризовать сам спинор ФАВС D- '

Комплексная функция Я и геометрическое место точек о>

Общую идею нашего метода можно рассматривать как естественное развитие идеи процедуры канонического разложения (3.5.18) симметричного спинора фдв L. Соответствующая процедура в случае симметричного (т. е. симметричного по каждому набору А ... L и Р' ... V в отдельности; иначе говоря, точечнонеприводимого) спинора общего вида должна основываться на анализе выражения

□ (L t): = Яд...lp'... wlA .. - ^LV' • • • V'. (8.7.2)

Если бы спинор Яд... у' оказался несимметричным, то сначала нужно было бы выделить в явной форме его симметричные части, а уже затем классифицировать каждую такую часть в отдельности. (Правда, такой подход сам по себе еще не дал бы полной классификации несимметричного спинора Яд...vs так как, помимо прочего, следовало бы рассмотреть и взаимосвязь между его различными частями.) Один из объектов, который нас будет интересовать в особенности, — это множество спиноров g, удовлетворяющих требованию

Q& t) = 0. (8.7.3)

Такое множество дает (с точностью до коэффициента пропорциональности) структуру спинора Я.... Если ввести изотропный вектор _

х“ : = (8.7.4)

то станет ясно, что равенство (8.7.3) есть уравнение локуса Ro (чуть ниже мы определим и комплексный локус о>), т. е. геометрического места точек на сфере 5+, которые с точностью до коэффициента пропорциональности представляют на этой сфере изотропные векторы ха. Но действительный локус не так уж много может сказать о характерных свойствах спинора Я.... (Возьмем, например, случай, когда QAA'— времениподобный ковектор. Очевидно, что для таких ковекторов геометрическое место точек Ra оказывается вообще пустым.) Это

вынуждает нас рассматривать комплексные векторы [формула (3.2.6)]

za : = gAnA ,(8.7.5)

считающиеся эквивалентными, если они различаются лишь отличным от нуля комплексным множителем. Такие векторы можно считать точками Z комплексификации CS+ сферы S+:

CS+ = 2 X 2',(8.7.6)

где 2 — сфера спиноров gA (с точностью до комплексного коэффициента пропорциональности), а 2' — сфера спиноров цА (взятых с точностью до коэффициента пропорциональности). В результате мы приходим к локусу о> комплексных точек на S+ (т. е. точек комплексификации CS+), определяемому требованием обращения в нуль выражения

Q (L п): = Од... lp'... НА . .. IV' • .. П1".(8.7.7)

Поскольку £А и т]А' теперь независимы, двукратным применением утверждения (3.3.23) доказывается, что спинор Q... ив самом деле полностью определяется локусом <о с точностью до коэффициента пропорциональности.

. Приводимость локуса о>

Представляет определенный интерес вопрос о приводимости локуса о. Допустим, что

... ST'... К'д (/>'... $'ГГ... К')

Мд... CD ... L = AtA...C 1 D...LV(О./. о)

Тогда

Q(L n) = (Ад...ср'...s'HA ...• - - П5') X

X ^D...Lr... v'lD . . • W' - • - ПП,(8.7.9)

так что

<o = MJy,(8.7.10)

где X— локус на CS+, определяемый спинором Л..., а у — аналогичный локус, определяемый спинором Г.... Подобный же результат, очевидно, будет иметь место и в том случае, когда локус ю сводится к более чем двум сомножителям.

Важнейшее свойство симметричных спиноров, обладающих только одним типом индексов, на чем основано каноническое разложение (3.5.18), заключается в том, что все они вполне приводимы к линейным множителям в вышеуказанном смысле. Так, если изложенный метод применить к спинору Вейля Vabcd- то соответствующий локус о> на CS+ будет представлять собой набор из четырех комплексных линий (образующих поверхности второго порядка CS+, в чем мы вскоре сможем убедиться) , пересекающих действительную часть. S+ комплексификации

CS+ в действительных точках А, В, С и D, которые представляют ГРИН на сфере S+.

Когда присутствуют оба типа индексов, такое разложение, вообще говоря, невозможно (например, Q^ можно разложить только в том случае, если выполняется условие QAA-QAA' = 0), так что классификационная схема сильно усложняется. В этом случае следует рассматривать отдельно структуру каждого неприводимого множителя.

Комплексные (р, q)-кривые на CS+

Комплексное многообразие CS2 = 2X2' представляет собой поверхность второго порядка, которая в комплексном проективном 3-пространстве СР3 определяется квадратным уравнением §аьхагь = 0. Образующими этой поверхности служат две системы комплексных кривых: одни из них определяются фиксированными спинорами ц4' и изменяющимися спинорами g4 и называются ^-образующими (будучи различными копиями 2 в 2X2'), другие — фиксированными спинорами g4 и изменяющимися спинорами ц4' и называются Т/-образующими. Но все алгебраические кривые о> на CS+ могут быть классифицированы в соответствии с двумя неотрицательными целыми числами (р, q): р— это число точек (при правильном учете кратностей), в которых локус ю пересекается с 2-образующей, а q— число точек, в которых он пересекается с 2л-образующей. В случае локуса о>, связанного со спинором Й,„ по описанной выше схеме, р и q— это просто числа нештрихованных и штрихованных индексов. В самом деле, в случае 2-образующей фиксируем в выражении (8.7.7) спинор ц4' и найдем число решений (правильно подсчитанных и с точностью до коэффициента пропорциональности) ^А, допускаемых уравнением □ (£, л) —0- Оно равно числу нештрихованных индексов спинора Q.... Указанные решения имеют вид

1А = аА (п), ...,1А = ХА (п), (8.7.11) где а4(т1), ... , Х4(т1) — эт*о р главных спиноров спинора

Qa-..^'...^'... Т]1". (8.7.12)

Аналогичным образом находим и число пересечений локуса о> с 2'-образующей и получаем, что оно равно числу q штрихованных индексов.

Заметим, что если (/?,<;)-кривая на CS+ приводится к объединению (г, s) -кривой с (/, и) -кривой, то должны выполняться равенства г + t = р, s + и — q. Нужно не забывать о кратностях в такого рода объединениях. Например, если р = 2г, q = 2s, то локус о> может представлять собой двойную (г, s) -

кривую [т. е. одну (г, s) -кривую «в квадрате»]. Возможны и такие случаи, когда локус го имеет несколько компонент с разными кратностями. В каноническом разложении (3.5.18) находит выражение то обстоятельство, что всякая (р, 0) -кривая может быть сведена к множеству р S'-образующих, а всякая (0, q) -кривая состоит из q S-образующих (причем их кратность может быть любой).

Процедура классификации спинора Од... lp' ... v'

Первый этап классификации спинора Q...— анализ структуры приводимости локуса о>. Так (если pq=#O), в самом общем случае локус о> неприводим, но в отдельных частных случаях он может расщепляться на то или иное число различных компонент. В некоторых же еще более специальных случаях ряд этих компонент могут оказаться кратными. Рассмотрим, например, случай р = 2, <7=1, в котором для спинора QABC- можно указать следующие пять типов (наборами чисел, стоящих в скобках слева, определяются различные типы неприводимых множителей) :

:ПЛВС' неприводим,

(1,0) (1,1): ОЛВС'= Л(дГв) cz ^= 0, Гвс' неприводим,

(1,0) (1,0) (0,1): Одвс' = Л(Л0в)Тс7 = 0,(8.7.13)

(1,0)2 (0,1): йАВС, = ЛЛЛВТС' ^ 0,

( — V-^ABC' = 0.

Тип (2,0) (0,1) отсутствует, так как в силу канонического разложения множитель типа (2,0) расщепляется на (1,0) (1,0). Кроме того, при р = q = 1 соответствующая классификация спинора ОЛЛ' приводит к трем типам: (1,1), (1,0) (0,1) и (—), которые соответствуют случаям неизотропного, изотропного и равного нулю комплексного вектора Q“..

При р = q может иметь значение структура эрмитовости спинора Q.... Например, может быть задано, что Qa...i = = Qa ... la'... l' есть действительный тензор. Это означает, что возможны только симметричные конфигурации неприводимых множителей (скажем. (2.1) (1,2) (3,3), но не (3,1) (1,2)(2,3) или (2,1)2(1,2) (1,2) при р = </ = 4]. Все это, конечно, существенно при классификации спинора Фавс'о'-

Структура кривой о> (ее кратные точки)

На следующем этапе рассматривается вопрос: можно ли подразделить класс неприводимых (г, s)-кривых на подклассы и если можно, то каковы критерии для различных подклассов.

Рис. 8.6. Некоторые типы особых точек (комплексной) кривой, а — узел; б — точка возврата; в — точка соприкосновения; г — тройная точка.Рис. 8.6. Некоторые типы особых точек (комплексной) кривой, а — узел; б — точка возврата; в — точка соприкосновения; г — тройная точка.

Рис. 8.6. Некоторые типы особых точек (комплексной) кривой, а — узел; б — точка возврата; в — точка соприкосновения; г — тройная точка.

Рис. 8.6. Некоторые типы особых точек (комплексной) кривой, а — узел; б — точка возврата; в — точка соприкосновения; г — тройная точка.

Очевидно, что для этого можно проанализировать структуру кривой о, связанную с ее кратными точками [356]. Преимущество подобного анализа в том, что он тесно связан с вопросом о приводимости. Так, точка пересечения двух компонент X и у кривой ю всегда является ее кратной точкой. Если компоненты X и у имеют в точке пересечения разные касательные, то такая точка называется узлом. Однако следует иметь в виду, что узлы, вообще говоря, возможны и у одной неприводимой кривой ю в месте самопересечения, когда разные ее ветви имеют в этой точке неодинаковые касательные (рис. 8,6, а). В более специальных случаях компоненты X и у в точке пересечения могут лишь касаться друг друга и соответственно этому неприводимая кривая о> тоже может иметь две ветви с точкой касания. Такая точка называется точкой соприкосновения (см. рис. 8.6, в). Может встретиться и вырожденная форма узла — так называемая точка возврата (или острие). В такой точке касательные двух ветвей совпадают, но в отличие от точки соприкосновения в точке возврата имеется не две, а только одна ветвь кривой (см. рис. 8.6, б). Узлы, точки соприкосновения и точки возврата относятся к двойным точкам кривой о>. Такое название обусловлено тем, что любая кривая, проходящая через эту точку, дважды пересекается в ней с кривой о>. Возможны также тройные точки и точки более высокой кратности (см. рис. 8.6,а). Тройную точку можно рассматривать как вырожденный случай точки соприкосновения, которую в свою очередь можно считать вырожденным случаем точки возврата, а точка возврата — это, как уже отмечалось, вырожденный случай узла (рис. 8.7).

Точные определения этих понятий для кривых, записанных в обычных (комплексных) декартовых координатах х, у (которые позволяют легко выявить указанные вырождения), устанавливаются следующим образом. Рассмотрим кривую о>, уравнение которой имеет вид

Q (х, у) = О,

Рис. 8.7. Возникновение особых точек в процессе специализации, а — особой точки нет, но конфигурация близка к конфигурации узла; б — узел, почти перешедший в точку возврата; в — точка возврата, почти перешедшая в точку соприкосновения; г — точка соприкосновения, почти перешедшая в тройную точку.

где функция Q предполагается аналитической (голоморфной) функцией координат х и у в начале координат О. Тогда в некоторой окрестности точки О допустимо разложение

Щх, у) = Ло + (Вох + Вху) + CqX2 + 2Схху 4- С2у4 +

+ фо^ + ЗП^у+ 30^ + 03^) 4-.(8.7.14)

Точка О принадлежит кривой ш только в том случае, если Q(0, 0) = 0, т. е. при

Ло = О.

Если при этом оба коэффициента Во и Вх не равны нулю, то уравнение касательной в точке О должно иметь вид

BqX + Вху = 0.

Ее наклон определяется отношением коэффициентов

BQ:BX, т. е. отношением ^■•^- в точке О. (8.7.15)

В частности, кривая со касается оси х в точке О только при условии

^. = 0 в точке О,(8.7.16)

а оси у в точке О при условии

^- = о в точке О.(8.7.17)

Точка О будет как минимум двойной (т. е. будет узлом), если помимо условия Ло = 0 будут выполняться условия

Во=В1 = О, т. е. -д- =-^7 = ° ° точке О.

В этом случае уравнение пары касательных к двум ветвям кривой в точке О имеет вид

’Сох2 + 2С1ху + Сгу2 = О.(8.7.18)

Решения этого уравнения определяются отношениями d2Q 52й d2Q„

Cg: Ci: C2, t. e. -5-5-: x—в точке О. u 12дх2 дхду ду2

Чтобы у кривой со была точка возврата (или еще более специальная точка) в О, указанные касательные должны совпасть, а это произойдет, если

. ”^_^ в т«ке О. (8.7.19)

Точка соприкосновения (или более специальная точка) возникает как вырожденный случай точки возврата, когда двойная касательная в точке О пересекает кривую со как минимум с кратностью четыре, а не три, как в случае исходной (generic) точки возврата. Таким образом, если в соответствии с формулой (8.7.19) положить

С0 = а2, Сх=аЬ, Сг = №,(8.7.20)

в результате чего уравнение (8.7.18) сведется к виду (ах + + by)2 = 0, то, поскольку разность Ьф/дх)— а(д/ду) представляет собой производную в направлении (двойной) касательной, условие [наряду с (8.7.20)] возникновения точки соприкосновения (или более специальной точки) будет таким:

(b~ — a-^-)3Q = 0 в точке О,(8.7.21)

\ Ох оу у

т. е.

D0b3 — 3Dxb2a + 3D2ba2 — D^ = 0.(8.7.22)

Чтобы точка О была как минимум тройной, должно выполняться условие

~лd2Q d2Q d2Q n

Co=C1 = C2 = O, t. e. -5-5- = -5--v - = -5-5- = 0 в точке О.

u 12’дх2 дх ду ду2

Кратные точки кривой со

Интересующая нас кривая <в, конечно, определяется не неоднородным уравнением, подобным уравнению, получающемуся в результате приравнивания нулю выражения (8.7.14), а уравнением, которое получается в результате приравнивания нулю дважды однородной функции (8.7.7). Поэтому точка X комп- лексификации CS+, задаваемая радиус-вектором §лт]л', будет принадлежать кривой со только при условии

Q (^л, ^л') = 0.(8.7.23)

В этом случае направление касательной в рассматриваемой точке определяется отношением

(8.7.24)(8.7.24)dQ . dQd^ ‘ dr^'

(8.7.24)

(8.7.24)

Смысл этих выражений, записанных в обозначениях с абстрактными индексами, становится понятным, если принять во внимание определение (8.7.7):

= P&ab...lp- ...уЛв . . . V-x?' • • • П1",

= q^A ... LP'Q'... v-^A • • . W... П^-

Отношение же W^: Ф# величин, записанных в обозначениях с абстрактными индексами, — это просто класс эквивалентности пар (Т^, Ф#) относительно соотношения (Т^, Ф^) ~ ~(XW^, ХФ^ (Л=^0).

Согласно теореме Эйлера об однородных функциях, получим

^T = PQ>(8.7.25)

d£dr)

При Q = 0 из этих соотношений в силу предложения (2.5.56) следуют равенства dQdQ

-^А—^>а> дчА'

где 6 и £ — некоторые функции. Таким образом, вся информация, которая остается от (8.7.24), это отношение

0: £.(8.7.26)

Следовательно, им и определяется наклон кривой со в точке X. Заметим, что оператор

Адл' = Ьча' "^-^а^(8.7.27)

«сводит к нулю» спинор Q в точке X только в том случае, если а: Ь = 0 : £,

а значит, он соответствует дифференцированию в направлении, задаваемом отношением а : Ь.

В качестве первого приложения изложенного найдем условие соприкасания кривой со в точке X с S-образующей, определяемой фиксированным спинором т)л' (т. е. условие существования двух совпадающих пересечений кривой со в точке X). В соответствии с (8.7.16) это условие имеет вид

0 = 0, т. е. -^^ = 0 в точке X.(8.7.28)

Оно же есть условие того, что спинор §л является двукратным главным спинором канонического разложения выражения (8.7.12). Точйо так же S'-образующая, определяемая фиксированным спинором £л, касается кривой со в точке X при условии [аналогичном условию (8.7.17)]

£ = 0, т. е. -= 0 в точке X.(8.7.29)

dr)

Точка X будет двукратной (или более специальной) точкой кривой со только при одновременном выполнении этих двух условий:

= ° •' = 0 в точке X.(8.7.30)

Заметим, что в силу тождеств (8.7.25) условие Q = 0, при котором точка X лежит на кривой со, следует из любого равенства (8.7.30).

Как и в формуле (8.7.25), на основании теоремы Эйлера имеем равенство

5 / дй А /., дй

Следовательно, условие существования двукратной точки таково: ев д / дй А пд2й леv

g ifUf) ’ e- ^ч=^в 8 точке x-

Но в силу симметрии производной должна иметь место пропорциональность между 0д и ^л, и мы приходим к первому из нижеследующих соотношений, тогда как остальные получаются в результате аналогичных рассуждений:

д2й t t д2й tд2й„

•5Р5Р = 1^8.. ^^-Х^. ^3^5,-kW в точке X,

(8.7.31)

причем р, а и т—некоторые функции. Отношениями р:а:т определяется наклон двух ветвей кривой со в точке X. Направление, определяемое условием а : b = 0 : g [как и в формуле (8.7.26) ], соответствует наклону одной из ветвей, если

рб2 — 2аа6 + та2 = 0,(8.7.32)

ибо это условие есть уравнение Ддд'Двв'Й = 0 с оператором Даа', отвечающим формуле (8.7.27). Наклон обеих ветвей одинаков, если уравнение (8.7.32) имеет кратные корни, т. е. если

рт = а2,(8.7.33)

а это в свою очередь является условием того, что X— точка возврата или более специальная точка [ср. с формулой (8.7.19)].

В силу уравнения (8.7.32) направление, задаваемое отношением а : 6, будет отвечать указанному двойному наклону, если [как в формуле (8.7.20)]

р = a2, a = ab, т = 62. (8.7.84)

Поэтому [как и в случае (8.7.21)] точка возврата X выродится в точку соприкосновения (или точку более специального типа) при условии . .

. . Ь.АА’Ьвв'Ьсс'& = 0 в точке X, (8.7.35) которое приводит к соотношению, сходному с (8.7.22). [Величины а и b в формуле (8.7.35) считаются фиксированными числами, удовлетворяющими уравнениям (8.7.34), а значит, не подлежащими дифференцированию.

Чтобы существовала (как минимум) трехкратная точка, наряду с условием (8.7.30) должно [при определениях (8.7.31)] выполняться условие .

р = ст = т = 0. (8.7.36)

Отметим, что все сказанное выше о кратных точках относится и к кривым на :CS+, являющимся просто голоморфными и не обязательно алгебраическими.

Локус Roa на S+

Хотя мы и отказались от анализа локуса Rea [см. текст после формулы (8.7.4)] как основной процедуры классификации спинора Q..., исследование локуса Rea на S+ может представлять интерес само по себе. Точки этого локуса задаются уравнением (8.7.3). В общем случае, когда спинор Q... не эрмитов (например, когда р N= q}, локус Rea обычно состоит из отдельных точек на S+, так как (8.7.3) есть комплексное уравнение, действительная и мнимая части которого дают два уравнения для точек сферы S+. Если же спинор Q.,. эрмитов, то локус Rea обычно оказывается кривой на S+, хотя в исключительных случаях все же может состоять из изолированных (двойных) точек (или содержать такие точки). В схему классификации спинора Q... в принципе может входить исследование числа (не обязательно отличного от нуля) несвязанных кусков, на которые распадается локус Rea. Заметим, что при p = q локус Rea имеет совершенно ясный смысл, поскольку он в такой ситуации описывает множество действительных изотропных решений уравнения

ЙО...1Х°... х1 = 0. (8.7.37)

Так, например, если p = q=l, а ^ — действительный вектор, то общий класс (1,1) естественным образом распадается

на два подкласса: первый подкласс, для которого локус Reo пуст, получается, когда вектор Qa — времениподобный (так что уравнение йох° = О не имеет отличных от нуля изотропных решений); второй подкласс, для которого Rea — окружность, имеет место, когда вектор 62° — пространственноподобный (так что изотропные решения уравнения Qax“ = 0 лежат на пересечении изотропного конуса с времениподобной гиперплоскостью, ортогональной вектору £2°). Поскольку времениподобные и про- странствённоподобные векторы образуют не связанные друг с другом системы, причем такие, "что- при непрерывном переходе от одной к другой необходимо пройти через алгебраически отдельный тип [а именно, тип (1,0) (0,1)—изотропные векторы]1; представляется логичным рассматривать времениподобные й пространственноподобные векторы как два разных типа. Чтобы окружность Reo (вектор £2°— пространственноподобный) могла непрерывно деформироваться вплоть до полного исчезновения (вёктор £2°— времениподобный), она должна пройти через положение, в котором становится «точечной окружностью» (вектбр £2“ — изотропный). Это — изолированная двойная точка, которая является не чем иным, как узлом на кривой со с комплексногсо- пряженными касательными. Этот узел есть точка пересечения двух образующих комплексификации CS+, составляющих, кривую со (когда вектор £2“ изотропен, кривая ш относится к типу (1,0) (0,1)], и является точкой сферы S+, представляющей на ней изотропное направление вектора £2°. 7 ■

Знак спинора Q, черный и белый цвета сферы S+

- ■ Читатель, возможно, почувствовал, что классификация, не принимающая в расчет знак спинора £2..., слишком груба. Например, в нашей классификации никак не учитывается, куда направлены векторы £2° — в будущее или в прошлое. В случае эрмитовых спиноров £2..; можно учесть этот знак, проанализировав не только нули многочлена в (8.7.37), но и его знак для всевозможных направленных в будущее изотропных векторов х°. Для наглядности можно представлять себе, Что Две области сферы S+ на которые ее разбивает кривая Reo, по-разному окрашены, скажем в черный цвет, когда многочлен в (8.7.37)' отрицателен, и в белый, когда он положителен. Причем, как только многочлен в (8.7.37) становится положительно-полуопреде- ленным (т. е. неотрицательным для всех причинных векторов ха, направленных в будущее), вся сфера S+ окрашивается в белый цвет, за исключением, может быть, нескольких точек самой кривой Reo, которые должны быть двойными. Теперь уже не составит труда отличить случай, когда £2“ — направленный в будущее времениподобный вектор, от случая? когда он направлен

в прошлое: в первом случае сфера S+ белая, а во втором — черная. Когда же вектор Q° — пространственноподобный, сфера S+ окрашивается по одну сторону от кривой R<b в черный цвет, а по другую — в белый.

Классификация спинора Риччи

- Применим методы, изложенные в предыдущем параграфе, к случаю (бесследового спинора Риччи Qabc'D'= Фдвс'О'. След тензора Rab мы рассматривать не будем. Чтобы одновременно с Фава'в' рассмотреть еще и Л, потребовалось бы дальнейшее усложнение классификации. Но она и так достаточно сложна: если полностью провести изложенную выше схему, то мы придем к классификации спинора Фава-в-, содержащей 41 тип [245]. Такое число разных типов может показаться чрезмерным, но если при создании классификационной схемы для Фава'в7 придерживаться некоторых довольно естественных критериев (устанавливающих, как специализация спинора приводит к новым типам), то, по-видимому, невозможно без нарушения логики обойтись меньшим числом типов. Все другие существующие классификационные схемы в том или ином отношении аномальны. Упоминавшиеся критерии в общем требуют, чтобы схема была лоренц-инвариантной и обладала следующими двумя свойствами: элементы, относящиеся к каждому отдельному типу, должны образовывать связное многообразие; элементы, являющиеся общими специализациями двух разных типов, ни один из которых не состоит только из специализации другого, не должны считаться относящимися ни к одному из этих двух типов. Такие критерии, вместе с некоторыми другими, довольно расплывчатыми критериями, согласно которым определенные спиноры Фава-в- «очевидным образом» должны быть отнесены к отдельным типам, по-видимому, приводят по меньшей мере к столь же подробной (в смысле числа типов) классификации как и та, что предлагается здесь. Конечно, всякий раз, когда внутри одного типа присутствуют переменные скалярные инварианты, можно неограниченно продолжать дальнейшее деление данного типа. Например, в случае тензора Вейля типа {1111} при желании можно было бы рассматривать гармонический (J = 0) и эквиангармонический (/ = 0) случаи в качестве типов, отличных от общего типа. Или (менее оправданно) можно было бы считать относящимися к отдельным типам случаи с рациональными, или действительными, или алгебраическими двойными отношениями, либо те случаи, в которых удовлетворяются любые из бесконечного множества иных допустимых условий. Совершенно очевидно, что альтернативным

Приводимость спинора Фдва-в'Сначала проанализируем возможные способы приведения спинора Фдва'в'. Поскольку он эрмитов, имеется семь следуюПриводимость спинора Фдва-в'Сначала проанализируем возможные способы приведения спинора Фдва'в'. Поскольку он эрмитов, имеется семь следуюподходам нет конца, а критерии, на основании которых можно было бы судить о том, какая классификационная схема лучше, неизбежно в какой-то мере субъективны. Поэтому мы, желая избежать догматизма и не претендуя на последнее слово в вопросе о классификационной схеме для спинора Фдвд'в', просто покажем, как пользоваться нашим методом и как он связан с альтернативными подходами, которые были предложены другими авторами.

Приводимость спинора Фдва-в'

Сначала проанализируем возможные способы приведения спинора Фдва'в'. Поскольку он эрмитов, имеется семь следую

Приводимость спинора Фдва-в'

Сначала проанализируем возможные способы приведения спинора Фдва'в'. Поскольку он эрмитов, имеется семь следую

(2, 2)

(1, D(l, 1)

(1, I)2

(1, 1)(1, 0)(0, 1)

(1, 0)(1, 0)(0, 1)(0, 1)

(1, 0)2(0, I)2

(-)

Фдва-в- неприводим,

Фдв =А(д YB) или Фдв = ±Г(дГв/, Фдв = ± Л(д Лв) >

Фдвд'В' = Р(дЛвис'ро'),(8.8.1)

ФдВА'В' = ± Р(Л<ТВ) Р(А'О В'Ъ

ФдВА'В' = ± РлРврл'РВ',

ФдвА'В' = 0.

щих вариантов:

Здесь Ада' и Тдд/— эрмитовы спиноры, а все Л„, Т„, Г.., р. и а. не равны нулю и не пропорциональны друг другу. Чтобы как-то различать две возможности в случае (1,1) (1,1), мы впредь будем обозначать этим символом только первую из них, а для второй будем писать |(1,1)|2, указывая тем самым на ее развернутую форму записи (1,1) (1,1), где вторая кривая комплексно-сопряжена первой. Для согласования обозначений мы также изменим соответствующим образом формы записи последних трех ненулевых типов:

(1, 1)(1, 0)(0, 1) —*(1, 1)|(1, 0)|2,

(1, 0)(1, 0)(0, 1)(0, 1)«1(1, 0)(1, 0) |2,(8.8.2)

(1, 0)2(0, l)2i-*|(l, О)212.

Диаграмма специализаций для этих восьми типов представлена в таблице (8.8.3). В первом столбце указана действительная размерность (т. е. число степеней свободы) для каждой системы кривых в этой диаграмме; эту размерность легко найти, зная число действительных и мнимых частей независимых спинорных компонент каждого из сомножителей.

Таблица (8.8.3)

Д ействительная размерность

О(-)

Собственные значения и собственные векторы тензора Фаь', двукратные точки локуса <и

Наша классификация пока что не может претендовать на совершенство, ибо не включает в себя другие предлагавшиеся схемы, такие, как основанная на совпадении собственных значений и на размерности пространства, натянутого на собственные векторы тензора Фо 6 (см., например, работы [56,198]; дальнейшие ссылки можно найти в работе [172]). Условие равенства собственных значений тензора Фа6 уменьшает размерность его пространства на единицу (а не на два, как было бы в случае положительно определенной метрики — в чем мы скоро убедимся). Таким образом, чтобы усовершенствовать нашу классификацию, нужно найти подтип общего типа (2,2), суженный на одну степень свободы, так что кривая со обязательно остается неприводимой. Этот подтип возникает, когда у кривой со появляется узел.

Чтобы удостовериться в том, что такая связь между наличием узла у кривой со и существованием кратного собственного значения у спинора Фа 6, в самом деле, имеется, рассмотрим сначала более общую ситуацию, возникающую при исследовании некоторой матрицы А с двумя совпадающими собственными значениями Xj и Х2. Если матрица А не предполагается симметричной, то направления соответствующих собственных векторов Xi и х2 в исходном общем (генерическом) случае тоже совпадают. Лишь когда матрица А еще более специализирована, удается найти пару независимых собственных векторов,

соответствующих кратному собственному значению [в качестве иллюстрации см. формулу (8.3.42)]. Если же матрица А симметрична, то из требования Xi #= Х2 сразу следует ортогональность Xi и х2. Стало быть, указанный выше «генерический» случай, когда xi и х2 совпадают, возникает при условии, что каждый из векторов Xi и х2 становится ортогональным самому себе, т. е. становится изотропным вектором. Итак, любой вектор, соответствующий кратному собственному значению, должен быть изотропным (при условии его единственности с точностью до коэффициента пропорциональности). Поскольку с действительно-симметричными (т. е. эрмитовыми) матрицами А такого произойти не может, в подобных ситуациях совпадение двух собственных значений приводит к еще большему уменьшению числа степеней свободы матрицы А, так что становится возможным более специальный случай, в котором у нас оказывается целая плоскость собственных векторов, принадлежащих кратному собственному значению. Если же матрица А комп- дексно-симметрична (как это было в случае Т), то «генерический» случай возможен; совпадение собственных значений теперь ведет к потере лишь одной степени свободы, а соответствующий собственный вектор — изотропный. В интересующей нас ситуации тензор Фо 6 симметричен относительно индефинитной метрики gat» так что изотропные векторы снова возможны и как следствие возможно возникновение «генерического» случая. (В том, что это на самом деле может произойти с Фа 6> легко убедиться на примере.) -

Из сказанного следует, что первый (т. е. самый общий) вырожденный случай возникает, когда тензор Фа 6 обладает изотропным собственным вектором:

Фа626 = Х2а, 2а2°=0, 0^=2аеба. (8.8.4)

(И обратно, согласно общей теории матриц, собственный вектор может быть изотропным только в том случае, если X— кратное собственное значение. Доказать это можно путем предельного перехода, рассмотрев сначала невырожденный случай.) Представив 2° так, как это сделано в формуле (8.7.5), мы получим Фда'вв'^вЛв' = Х^дЛа', что можно переписать в виде

Фавс'О'№чо' = 0, Фавс'гЛвЧс'ч°' = О. . (8.8.5)

Сравнение с формулами (8.7.28) — (8.7.30) показывает, что представленная спинором £ЛлЛ' точка Z комплексификации CS+ должна быть кратной точкой кривой <в, т. е. в самом общем случае это должен быть узел. Но в наиболее общем случае у этой кривой может быть только один узел, а значит, точка Z должна быть действительной (т. е. Z е S+) и в формуле (8.8.5) можно положить ЛЛ =|Л ,

В случае действительных узлов возможны два варианта: один, когда две ветви кривой <в в точке Z обладают действительными касательными, и второй, когда две ветви имеют комплексно-сопряженные касательные. В последнем случае Z есть изолированная двойная точка кривой го. Примером изолированной двойной точки может служить точечная окружность, рассмотренная нами ранее в связи с анализом действительного изотропного вектора £2°. Если, как и в формуле (8.7.31), определить комплексное число а и действительное число 0 соотношениями

^abc'V^ =а^>Ав, Фавс'1У^А^>С = ^в^,1У,(8.8.6)

чтобы сравнение с формулой (8.7.31) давало’

„ 11 _11 -

0 = т<т = Т<т, а=Тр = -т,

то из формулы (8.7.32) явствует, что условие действительности ветвей в узле [т. е. решений уравнения (8.7.32) с |а|=|6|] имеет вид

аа > 402,(8.8.7)

а условие его изолированности таково:

ad < 402.(8.8.8)

Согласно формуле (8.7.33), узел выродится в точку возврата (или в точку соприкосновения, или в точку еще более специального типа), если

ad = 402.(8.8.9)

Чтобы выяснить, каков смысл этих условий в плане структуры собственных значений тензора Фо 6, предположим, что ха = ^Л^д' есть собственный вектор тензора Фо 6, принадлежащий двукратному собственному значению X, собственными векторами для которого могут служить только векторы, кратные ха, и что два оставшихся собственных вектора лежат в действительной пространственноподобной плоскости П, ортогональной вектору хо. Плоскость П совпадает с пучком векторов

уа=-^-(1АёА' ц-eV)-^(1АёА'-eV), (8.8.io) где и и v — действительные величины, а спинор 0л фиксируется единственным образом за счет масштаба спинора |л равенством

ВЛ0Л=1.(8.8.11)

[Два вектора в скобках в формуле (8.8.10) — это ортогональные пространственноподобные единичные векторы, которые орто-

•12

гональны также и вектору хо.] Если уа и уа — два вектора из пучка (8.8.10), соответствующие значениям (и, и) и (и, и), то из формулы (8.8.6) следует, что

У°ФаУь = -ки v)\ х!2 L (8.8.12)

;V^ z (a — а) — ₽ + У (а + а)/^/

Матрицей (2X2) в формуле (8.8.12) определяется в переменных и и и линейное преобразование в плоскости П, индуциро- -32

ванное тензором Фо 6. В самом деле, если вектор уа = Фо уь, то /з зх

его \и, иу-представление (как явствует из сравнения соска- 13131 зх

лярным произведением у°уо = — ии — ии/ должно в окончательном виде записываться в форме присутствующего в формуле (8.8.12) произведения: (окончательная матрица)X (вектор-столбец). Собственные значения этой матрицы, которые, как легко видеть, равны —0±|а|, должны быть равны тем двум собственным значениям Х2 и ^з тензора Фа ь, которые принадлежат собственным векторам в плоскости П. Далее из формулы (8.8.6) следует, что 0 есть (двукратное) собственное значение (=Хо = = Xi), 0 есть (двукратное) собственное значение (=Xo = Xi), принадлежащее двукратному собственному вектору ха, так что

Хо = 0, ^ = 0, Х2 = |а| —0, Х3 = —|а| —0. (8.8.13)

Точка возврата

Отсюда следует, что условие (8.8.9) существования точки возврата (или точки более специального типа) говорит о тройном совпадении собственных значений (Хо = Xi = Х2 или Хо = = Xi = Х3). Однако в самом общем случае, а именно в случае точки возврата, оказывается, что собственными векторами, принадлежащими трехкратному собственному значению (=0), могут быть только векторы, кратные х°. Единственными оставшимися собственными векторами являются векторы, принадлежащие простому собственному значению (=—30). Следовательно, в данном случае не существует определенной выше пространственноподобной плоскости П. (Она становится изотропной плоскостью, содержащей вектор хо.) Вместо этого мы имеем изотропный собственный вектор ха и ортогональный ему пространственноподобный собственный вектор уа. Общая форма, к которой приводится тензор ФОй, когда на кривой <в имеется точка

возврата, соответствующая изотропному вектору х°, такова:

.Фа6 = ФёаЬ + ^УаУь + X(aW»,(8.8,14)

где уауа = —1, a и>а(^0)—еще один пространственноподобный вектор, ортогональный как вектору х°, так и вектору у" (0 ^ 0).

гТочка соприкосновения■

Чтобы получить условие существования дальнейшей специализации точки возврата, можно воспользоваться формулой (8.7.35) [вместе с (8.7.27)], положив

а : Ь = а : 20 =20 : а(8.8.15)

[ср. с формулой (8.8.9) ]. Что-то новое дает только полностью симметричная часть выражения (8.7.35). После некоторых выкладок мы с помощью предложения (3.5.15) придем к следующему условию существования {как минимум) точки соприкосновения; ' '.

■20Флвс'(А'|С |в') — ^(а^Фвчса'в'-(8.8.16)

Свернув обе части равенства (8.8.16) с |л, мы сразу же убедимся, что в нем неявно содержится условие (8.8.9). О величинах а и 0 достаточно лишь знать, что они не могут обе быть равны нулю, ибо их отношение определяется сверткой с |Л'. Но при наличии точки соприкосновения кривая <в должна вырождаться в две окружности; из формулы (8.8.1) [тип (1,1) (1,1) или | (1,1)|2] следует, что Фава-в' имеет вид

' Фл/^М? или ±ГЮТ.(8.8.17)

где Ла и Тд действительны [и, согласно приводимой ниже формуле (8.8.22), пространственноподобны]. Соприкосновение этих окружностей, если они действительны, определяется условием

N-ac'V = v^> Тдс'^ = ± v^>(8.8.18)

а в случае комплексно-сопряженных окружностей — условием Глс'1С = v^> Глс'|С = ±v^4(8.8.19)

[при соответствующем выборе масштаба для двух множителей в формуле (8.8.17) ], где

a = v2, 20 = ±vv.(8.8.20)

Предположим, что 0 > 0 и, стало быть подходит верхний знак. (В противоположном случае можно провести те же рассуждения для —Фа».) Собственными векторами тензора Фя *, принадлежащими трехкратному собственному значению 0, являют-

ся все^ векторы, ортогональные и вектору Л«, и вектору Yo (или Га и Га) (двумерное пространство), тогда как собственные векторы, принадлежащие простому собственному значению —30, кратны вектору Л« + Yo (или Га + Го).

Вместо (8.8.17) может оказаться более удобной тензорная форма, напоминающая (8.8.14):

Фай = ^gab + 40УаУй Т 40ХОХ6,(8.8.21)

где_

Уа = У(Ла + Га) или у(Го + Го),1б0у2=1,а масштаб спинора £А выбран так, что

Хо = SaV' = у (Ла — Ya) UAU Zy (Го — Га).

Пропорциональность вектора ха этим выражениям следует из формул (8.8.18) и (8.8.19).] Верхний знак в формуле (8.8.21) относится к первым из этих выражений для ха и уа, а нижний — ко вторым. Векторы ха и у“, как и требуется, удовлетворяют условиям-

УаУ° = — Г УаХ° = 0, что следует из соотношений

■ЛоЛа = YOY° = AaY° = — 40,(8.8.22)

ГаГ° = ГоТ° = — 40,(8.8.23)

вытекающих из формул (8.8.18) — (8.8.20). Пользуясь этими соотношениями, выражение (8.8.21) можно без труда вывести из формулы (8.8.17).

Поскольку в рассматриваемом здесь случае точки соприкосновения, кроме хо снова имеется пространственноподобная 2-плоскость собственных векторов, все, о чем говорилось в связи с формулами (8.8.10) — (8.8.12), остается в силе, чего нет в случае точки возврата. Следовательно, специализация (8.8.9) в формуле (8.8.12), приводя к трехкратному собственному значению, дает нам более специальный случай точки соприкосновения, а не точку возврата.

Типы узлов

Возвращаясь снова к общему случаю узла, заметим, что условие изолированности узла (8.8.8), выраженное через собственные значения (8.8.12), соответствует требованию, чтобы двукратное собственное значение находилось вне интервала, ограниченного двумя простыми собственными значениями, т. е.

Xq — Xj ^* щах (Xg, Xg) или Xq — Xj *\ min (Xg, Xg). *

Условие же (8.8.7) существования в узле двух действительных ветвей соответствует требованию, чтобы двукратное собственное значение лежало в интервале между простыми собственными значениями, т. е.

Аг Ад ■' А| Ад НДЦ Ад Ад А| А2.

Отметим, что при а = О имеет место иное, дополнительное совпадение собственных значений, а именно Аг = Аз. Если теперь обратиться к формуле (8.8.6), то окажется, что это ведет к условию

Фавс'о'1С t° = О,

из которого следует, что Фдвс'о' имеет вид

Флвс'О’ = ^aAbxc'Id')

(Аве' — некоторый эрмитовый спинор), так что кривая <в относится к типу (1,1) | (1,0) |2 или к более специальному типу.

Мы видим, что наша схема специализаций снова перескочила через некоторые случаи, на этот раз через узлы типа (1,1) (1,1) и |(1,1)|2, Причиной этого является возникновение дополнительных собственных векторов, а не новые совпадения собственных векторов. В такой ситуации, как и в случае точки соприкосновения, остается справедливой формула (8.8.17), но перестают быть верными формулы (8.8.18) и (8.8.19). Существует двумерное пространство собственных векторов, ортогональных векторам А и Та («ли Го и Га), которое натянуто на указанные два узла, и есть два отдельных собственных вектора, являющихся линейными комбинациями векторов А и Та (или Го и Га). В зависимости от того, являются ли эти собственные векторы пространственноподобными или времениподобными, действительными или комплексными, возникает много разных возможностей.

Разные «категории» в пределах одного типа

В наши планы сейчас не входит сколько-нибудь подробный анализ всех конкретных частных случаев. Но все же укажем, что даже общий случай типа (2,2), в котором у кривой <в нет кратных точек, нуждается в дальнейшем разбиении, если продолжать придерживаться нашего требования, чтобы всякий тип образовал связное многообразие. Следовательно, нужно разбить типы на связные «категории» с той же размерностью. (Специализация же типов всегда приводит к типам низшей размерности.)

В общем случае, когда все собственные значения различны и действительны, одно из них, скажем Хо, должно соответствовать времениподобному собственному вектору, а три других, Xi, Х2 и Хз,— пространственноподобным собственным векторам. (Это связано с тем, что все собственные векторы, в рассматриваемых случаях действительные, взаимно ортогональны.) Рассмотренные выше частные случаи возникают как предельные состояния такого рода общих случаев, когда Хо совпадает с одним из оставшихся собственных значений. (Поскольку в случае действительных собственных векторов только при совпадении времениподобного и пространственноподобного собственных векторов в качестве предельного может появиться изотропный собственный вектор.)

Итак, возможны четыре существенно различающихся варианта четырех неодинаковых действительных собственных значений, а именно: Хо может быть наибольшим из них, вторым по величине, третьим и, наконец, наименьшим. Каждый из этих четырех возможных вариантов дает отдельную категорию; чтобы непрерывным образом перейти от одной категории к другой, необходимо пройти через вырожденный случай, соответствующий одному из более специальных типов, скажем наличию узла у кривой св (см. выше), хотя, как оказывается, такой переход возможен лишь при условии, что на некоторой стадии у кривой св возникает сразу два узла), а это означает, что кривая (В либо относится к типу (1,1) (1,1) или ] (1,1) |, либо к еще более специальному типу.

Этим четырем подслучаям типа (2,2) отвечают определенные конфигурации кривой <в на сфере S+. Когда Хо является наибольшим собственным значением, имеет место следующее свойство положительной определенности2):

Фай^х* > 0 для всех не равных нулю' действительных изотропных векторов ха

[ср. с приводимыми ниже неравенствами (8.8.33) и (8.8.34)]. В этой ситуации локус R<b пуст и вся сфера S+ окрашена в белый цвет (см. конец § 7).

Когда Хо — второе по величине собственное значение, можно показать, что локус R<b состоит из двух отдельных петель, внутренние области которых окрашены в черный цвет, тогда как кольцевая область, расположенная между ними, белая. Когда Хо— третье по величине собственное значение, Rm опять состоит из двух петель, но цвет областей теперь противоположен только что указанному. Когда же Хо — наименьшее собственное значение, локус R<b пуст и вся сфера S+ — черная.

Вообще говоря, кривая R© может представлять собой и одну петлю. Тогда одна часть сферы будет черной, а другая — белой. В этом случае не существует действительной ортонорми- рованной собственной тетрады тензора Фа». Два собственных значения действительны и соответствуют двум пространственноподобным собственным векторам; два оставшихся собственных значения — сопряженные комплексные *) и соответствуют паре комплексно-сопряженных собственных векторов. Это — единственная оставшаяся возможность для неособого типа (2,2), так что всего мы имеем пять несвязных категорий.

Особые случаи типа (2,2) тоже допускают дальнейшее разбиение и дают еще восемь категорий. Две категории возникают, когда локус R© имеет точку возврата с альтернативными чередованиями белого и черного цветов по отношению к ней. В шести оставшихся категориях локус R<b имеет узел. Две из этих категорий появляются, когда в узле есть действительные ветви, а четыре других — когда он изолирован. Они различаются окраской, а также наличием и отсутствием петли у Rw, в дополнение к изолированной двойной точке. Все эти различные случаи можно отделить один от другого, анализируя свойства соответствующих собственных значений и векторов, но мы не будем здесь на этом останавливаться.

Многие случаи, когда кривая <в приводима, тоже допускают разбиение на подклассы и различные категории. Например, в случае (1,1) (1,1) локус Rto состоит из двух отдельных окружностей, каждая из которых может иметь действительный или мнимый радиус в зависимости от того, пространственноподобны или времениподобны соответствующие действительные векторы № иРв выражении

Ф^' — Щ^, т. е. Фа6 = Л(оТ6)-1бго6ЛсТс.

Эти окружности пересекаются в двух различных действительных или сопряженных комплексных точках (в зависимости от того, какая плоскость натянута на Лй, Ya — времениподобная

’) Выражение «сопряженные комплексные» очень удобно, когда имеешь дело с парой объектов (чисел, кривых, точек и т. п.), которые переходят друг в друга при операции комплексного сопряжения.

или пространственноподобная), а в более специальных ситуациях (с более низкой размерностью) эти окружности, как мы видели, могут касаться друг друга (когда на векторы Л", Y° натянута изотропная плоскость; при этом кривая <в имеет в точке контакта точку соприкосновения). Таким образом, исходный (генерический) случай (1,1) (1,1) разбивается на ряд различных категорий — всего их шесть (с учетом цвета). Во всех этих категориях у кривой <о имеются два разных узла (точки пересечения двух окружностей). В случае точки соприкосновения радиусы окружностей действительны и присутствуют оба цвета. ■

Случай |(1,1)|2 также разделяется на (четыре) категории (которые различаются соотношениями цветов, а также тем, каковы узлы: действительные и изолированные или сопряженные комплексные). Специальный случай типа |(1,1)|2 снова разделяется (на две категории) из-за наличия точки соприкосновения.

В заключение особо отметим случай (1,1) | (1,0) |2. Здесь опять генерический тип подразделяется на (четыре) категории. Но имеет место еще и частный случай, который возникает, когда точка пересечения пары линий ] (1,0) |2 (которая изначально является изолированной двойной точкой) лежит на окружности (1,1) (и становится трехкратной точкой с одной действительной и двумя сопряженными комплексными ветвями). Исследование только множества действительных точек локуса R<b не позволило бы узнать даже о существовании в рассматриваемом случае тройной точки.

Полная классификация и схема специализации

Полная схема типов и их специализаций дана в работе [244]. В целом она довольно сложна, но ее сравнительно просто воспроизвести, если, конечно, не упускать из виду, что кратности кратных точек при специализации не могут уменьшаться и что кратными (с четными кратностями) могут быть только те куски кривой Reo, которые при специализации могут возникать разрывным образом.

В таблице (8.2.25) приведены различные возможные типы кривой св вместе с соответствующей характеристикой Сегрэ ')

') Характеристика Сегрэ [ ] указывает жорданову нормальную форму матрицы [формула (8.3.42)] [345]. Каждому набору одинаковых собственных значений, расположенных на диагонали матрицы, соответствует отдельная цифровая запись в характеристике [ ]. Однако в некоторых квадратных блоках матрицы такие наборы могут сопровождаться единицами, стоящими прямо над диагональю; размер этих блоков находит отражение в этой записи. Например, характеристика [(321) (44)] говорит о наличии блока из трех X

Таблица (8.8.25)

Число

Число

„Характе-

Структура (ористика

Тнп

степеней свободы

различных категорий

■ Приводимость

величины

Сингулярностиф b

а

Плебань- ского

9

5

(2,2)

Нет

11111

{1111}

8

6

(2,2)

Узел

211]

{211}

7

2

(2,2)

Точка возврата

3!]

{31}

7

10

(U) (1,1)

Два узла

(11)П1

{22}

6

4

(1,1)(1,1)

Точка касания

(21) 1]

{4}

6

4

(1,1) (1,0) (0,1)

Три узла

2(H)]

{22}

5

1

(1,1) (1,0) (0,1)

Трехкратная

(31)1

{4}

точка

5

2

(1,0) (1,0) (0,1) (0,1)

Четыре узла

хини)]

{22}

4

4

(1,1)2

Двукратная кривая

[(111)1]

{-}

' Двукратная

3

2

(1,0)2(0,1)2

кривая

Четырехкратная

[(211)1

{-}

точка

0

1

(-)

cs+

[(1111)1

{-}

для тензора Фо6, но без учета расщепления тех или иных классов на различные категории одной и той же степени общности (которое могло бы проявиться в различном упорядочении собственных значений и в различии действительной (вещественной) структуры. Соответствующая схема специализации дана в таблице (8.8.26). (Обозначения, введенные в формуле (8.8.1), появляются снова в связи с тем, что эрмитова структура сомножителей теперь включена в разбиение на категории.)

Тип спинора по Плебаньскому

Единственное, что в таблице (8.8.25) осталось совершенно без внимания — это типы спиноров по Плебаньскому [276]. В формуле (8.7.1) был введен симметричный спинор Плвсо,

на диагонали (с двумя единицами над ней), вслед за которым идет блок из двух X (с одной единицей над диагональю), за которым следует отдельное X; далее идет блок из четырех и (с тремя единицами) и вслед за ним еще один блок из четырех р. (тоже с тремя единицами). Круглые скобки вокруг одиночных цифр опускаются. Размерность пространства, натянутого на все собственные векторы, равна полному числу цифр в характеристике [ ] (в данном случае она равна пяти). Размерность пространства, ассоциированного с собственными векторами, соответствующими каждому собственному значению, равна числу цифр, заключенных в свои (круглые) скобки (в данном примере — 3,2). ' ' ' ' '

Таблица (8,8.26)

Число . Число измерений пространства, стягиваемого степенейсобственными векторами

свободы432

Пдвсп^^ = Фр-а-дв^Фсо '№•(8.8.24)Пдвсп^^ = Фр-а-дв^Фсо '№•(8.8.24)такой, чтотакой, что

Пдвсп^^ = Фр-а-дв^Фсо '№•(8.8.24)

Пдвсп^^ = Фр-а-дв^Фсо '№•(8.8.24)

такой, что

такой, что

Метод Плебаньского заключается в применении классификации стандартного спинора Вейля к спинору Плвсо с целью ее дальнейшего использования в качестве классификационной схемы для Фавс'о'. Рассмотрим прежде всего взаимосвязь между кривыми л и о), представляющими спиноры П... и Ф... на CS+.

Из уравнения (8.8.24) следует, что если ^—главный спинор спинора Павсд, то [см. текст после формулы (3.5.29)] для некоторого т]с имеем

Фдвс-d-W = ПС'ПО'.(8.8.27)

Но тогда

Фавсчу^т^-О,’(8.8.28)

а это, согласно формуле (8.7.29), есть условие того, что S'-образующая, определяемая спинором |л, касается кривой и в точке ^ТГ4'. Так как это применимо ко всякому главному спинору спинора Падсо, мы приходим к выводу, что кривая л состоит из четырех S'-образующих, которые касаются кривой со. Схему совпадений для этих образующих теперь довольно просто получить, проанализировав структуру особенностей кривой со. По- прежнему следует иметь в виду, что «касание» нужно интерпретировать как совпадение точек пересечения, так что S'-образующая, проходящая через какую-либо кратную точку кривой св, считается касающейся этой кривой. Исследуя появление кратных точек в предельных случаях, можно показать, что каждая S'-образующая, проходящая через кратную точку кривой и, для л должна считаться как минимум двойной. Точную кратность можно установить в каждом отдельном случае только после подробного анализа рассматриваемого предела. Результаты такого рода анализа представлены в таблице (8.8.25).

Отметим, что в некоторых случаях схема Плебаньского не позволяет полностью различить все возможные типы спинора Ф.... Наиболее отчетливо это проявляется в трех последних случаях таблицы (8.8.25), ибо во всех трехП...=0.

Двойное отношение четырех ГИН спинора П... представляет особый интерес, так как в общем случае (2,2)-кривой и, не имеющей особенностей, им определяется характеристика, называемая модулем эллиптической кривой и. (Слово «эллиптическая» здесь означает, что кривая и может быть аналитически параметризована с помощью эллиптических функций, но не рациональных функций. Этот модуль относится к так называемым бирациональным инвариантам кривой и, ибо остается неизменным при любом аналитическом «почти всюду 1 — 1» преобразовании вида кривой и.) (Более полно эти вопросы рассматриваются, например, в работе [356].)

Чтобы выразить указанное двойное отношение через собственные значения тензора Фо6 в общем случае, можно (если все собственные значения действительны и различны) сначала выразить через эти собственные значения и стандартную тетраду Минковского (3.1.20) (построенную из собственных векторов 6°о, ,.., 6$) и сам Тензор ФаЬ:

ФаЬ = Wb - М5А - ХЖ> - ^Жь- (8.8.29)

[т. е. матрица Фа6 = diag (Хо, Хь Х2, Х3)]. В другой генерической ситуации необходимы комплексные векторы и комплексные собственные значения, но мы можем ввести комплексные комбинации векторов д° и 6$ и написать

.ФОЬ = — у z ^-0 (одОд' + Йд1д') (одОВ' + Ав1В') +

:':+ у ^з (одод' — Ад1д') (одод' — АдМ') —■

; , р "'-^"'Ж_ (8-8-3°)

где Л1 и Х2— действительные величины, а Х3 = Хо, причем Использованы стандартные соотношения (3.1.20) между спинорной диадой и тетрадой Минковского. Если применить соотношения (3.1.20) к выражению (8.8.29), то можно сразу же вычислить'спинор Пдвсл и получить для него выражение в стандартной канонической форме (8.3.34), где

: л1-1(Л,^Х1)№-.1,), х = &5^5^. (8.8.31)

Формула же (8.8.30) дает для Пдвср выражение, которое лишь несущественно отличается от стандартной канонической формы [и которое сводится к ней при o4i—^^‘^о4, i4>—>е-л‘,81А, так что мы опять приходим к тем же значениям т] и х Для Пдвср, что и в формуле (8.8.31)].

Интересно, что двойное отношение ГИН для спинора Пдвср одновременно является двойным отношением четырех собственных значений тензора Ф<А Следовательно, в случае, когда Фо6 имеет действительную тетраду собственных векторов, это двойное отношение должно быть действительным. В противоположном случае, поскольку величины X действительны, величина % удовлетворяет условиям |х|= 1, |1—xl=b т- е. Re(x)=l/2. Напомним, что, согласно изложенному в § 6, эти четыре возможности представляют собой как раз те случаи, в которых ГИН (спинора Пдвср) обладают симметриями отражения. И наконец, исходя из равенства Хо + М + ^-2 + А-з = 0 можно показать, что три собственных значения спинора ПдВС£> таковы:

XqX2 ~F ^1^3 ~Ь ^’ XqXj ~F ^2^3 ~F *5» ^0^3 ~Н ^2^1 ~F *^>где.S = -g- (Хо + ^ + Хг + Х3).(8.8.32)

Физические тензоры энергии-импульса

- Теперь уже ясно, что тензор Риччи в самом деле гораздо более сложный объект для общей классификации, нежели тензор Вейля. Однако с полным основанием можно утверждать,

что в случае пространства-времени, представляющего интерес с физической точки зрения, огромное большинство типов исключается. Согласно слабому энергетическому условию *) (в его обычной нестрогой формулировке), тензор энергии-импульса Таь удовлетворяет неравенству

ТаЬхах?>0,(8.8.33)

где х°— любой изотропный вектор. Тогда, если выполняются уравнения Эйнштейна (4.6.32), то мы имеем

ФаЬхахь > 0.(8.8.34)

А это как раз условие того, что на сфере S+ нет «черного цвета», т. е. что всякая точка сферы £+ либо «белая», либо лежит на кривой Reo. Но, поскольку всюду, где кривая Rm проста, цвет по разные стороны от нее должен быть разным, отсюда следует, что локус Reo целиком состоит из двукратных (или четырехкратных) точек. Единственными категориями, которые удовлетворяют этому критерию, могут быть следующие «белые» варианты:

без особенностей {и кривая Reo пуста),

узел (изолированный; и остальная часть кривой Reo пуста),

(1,1) два узла (комплексные и кривая Reo пуста),

| (1,1) |2 два узла (оба изолированные),

| (1,1)| 2 два узла (оба комплексные),

|(1,1)|2 точка возврата (изолированная),(8.8.35)

| (1,0) |2 три узла (один изолированный; в остальном кривая Reo пуста),

| (1,0) (1,0) |2 четыре узла (два изолированных, два комплексных),

двойная кривая (действительная),

двойная кривая (комплексная),

| (1,0)2 |2 двойная кривая и четырехкратная точка (изолированная),

(-) (R® = S+).

Остальные категории при желании можно отбросить как «нефизические». Но иногда интерес представляют симметричные 2-индексные тензоры независимо от того, являются ли они тензорами Риччи «физически приемлемого» пространства-времени. Например, могут представлять интерес различные типы, которые могут входить в виде отдельных членов в асимптотическое разложение тензора Риччи (гл. 9, §7). Такие отдельные члены разложения не обязаны удовлетворять энергетическому условию

д) См. примечание 2 иа с. 335.

Разумеется, в физическом пространстве-времени генерическим (родовым) типом будет тип (2,2), почти всюду не имеющий (как и выше) особенностей. Но если выполняются уравнения Эйнштейна — Максвелла, то генерическим является тип | (1,0) (1,0) |2 [что сразу же следует из соотношения Фава'в* = = 2СфдВфл'В'; ср. с формулой (5.2.6) ], а в случае изотропного поля — тип |(1,0)2[2. В случае изотропной среды в силу сферической симметрии [три одинаковых собственных значения; см. также формулу (8.8.1)] генерическим всегда должен быть тип (1,1)2 с комплексной двойной кривой.

9

Конформная бесконечность

Бесконечность в случае пространства Минковского

Одной из областей наиболее эффективного применения 2-спи- норных методов оказалось исследование асимптотических проблем теории относительности. Примером таких проблем, имеющим важное значение, может служить определение полной величины энергии-импульса, содержащейся в асимптотически плоском пространстве-времени, и гравитационного излучения. В этом случае спинорные методы особенно эффективны в сочетании с методом [234, 236, 237], при котором путем конформного преобразования метрики «бесконечность делается конечной». При таком методе мы преобразуем метрику пространства- времени Л, заменяя исходную физическую метрику ds новой, «нефизической» метрикой ds, конформно-связанной с ds;

ds = Q,ds, (9.1.1)

где Q — достаточно гладкая и всюду положительная функция, определенная на Л. Метрический тензор gob и обратный ему тензор gab преобразуются по формулам

gab^ gab = ^gab, §аЬ^ГЬ = ^аЬ. (9.L2)

Если Л обладает соответствующей асимптотической структурой и выбран подходящий конформный множитель Q, то к Л можно «присоединить» некоторую граничную поверхность 3 [это обозначение читается «скрай» — аббревиатура от «script I»1)]. Эта поверхность вводится таким образом, что «нефизическая» метрика gab может быть продолжена до лежащих на границе новых точек без вырождения и с определенной степенью гладкости. Функция Й тоже может быть продолжена с соответствующей степенью гладкости, но на поверхности 3 обращается в нуль. Это означает, что физическая метрика должна быть на границе 3 бесконечной, а потому не может быть на нее продолжена. Так что в плане физической метрики новые точки (а именно точки на поверхности 3) бесконечно удалены от со-

*) Что переводится как «/ рукописное», — Прим, перев.

сёдних с ними точек. В физике это соответствует «точкам в бесконечности».

Присоединение поверхности 3 к такого рода пространству- времени Ж дает нам гладкое многообразие с границей1), которое мы будем обозначать символом Ж, причем

3 = дЖ, Ж = int Ж

(д— символ границы, int — символ внутренней области многообразия). Преимущество предлагаемого подхода заключается в том, что теперь можно применить к Ж мощные локальные методы дифференциальной геометрии и спинорной алгебры, которые будут давать информацию об асимптотике пространства- времени Ж. Таким образом, при исследовании важнейших законов убывания физических и геометрических величин, например в вопросах, связанных с излучением в асимптотически-пло- ском пространстве-времени, отпадает необходимость в сложных предельных переходах. Да и само определение асимптотической евклидовости (flatness) в общей теории относительности может быть теперь дано в удобной «бескоординатной» форме. Конформные методы очень подходят для теории относительности по той простой причине, что многое в ней является конформноинвариантным: уравнения для безмассового свободного поля, конформный тензор Вейля, изотропные геодезические, изотропные гиперповерхности, релятивистская причинность и (особенно в случае пространства Минковского) теория твисторов. Предлагаемый метод подобен используемому в комплексном анализе, где для получения римановой сферы «точку на бесконечности» присоединяют к аргандовой плоскости (гл. 1, § 2), а также методу, используемому в проективной геометрии.

Описание в явно координатной форме; 3^, 1± и Iй

Сначала рассмотрим процедуру построения конформной бесконечности для пространства Минковского М. В этом случае физическая метрика в сферических координатах имеет вид

ds2 = dt2 - dr2 - г2 (d№ + sin2 0 d£2).(9.1.3)

Для удобства введем два параметра времени: запаздывающий и = t — г и опережающий у = t +г. Получим

ds? = dudu—4"^ — ^(dO2 + sin29d^2).(9.1.4)

J) Мы здесь не будем вдаваться в подробности точного определения многообразия с границей (см. работу [176]). В двух словах, это пространство, точки которого обладают окрестностями, являющимися либо евклидовыми пространствами, либо евклидовыми полупространствами (например, {(х1, .. .. х") е R" | х1 0}).

Свобода в выборе конформного множителя Q довольно велика. Однако в случае интересующего нас здесь пространства-времени (а именно асимптотически-простого) из общих соображений [см. текст после формулы (9.7.22) ] функцию Q нужно выбрать так, чтобы она вдоль любого луча стремилась к нулю (и в прошлом, и в будущем) как величина, обратная аффинному параметру луча X (т. е. QX -► const при X—>оо и QX-> const при Х->—со вдоль луча). Всякая гиперповерхность u = const представляет собой световой конус будущего, построенный из лучей (изотропных прямых линий), для которых величины 0 и ф тоже остаются постоянными. Координата у играет роль аффинного параметра будущего каждого из этих радиальных лучей. Аналогично координата и служит аффинным параметром прошлого этих лучей. Следовательно, нужно потребовать, чтобы выполнялись условия Qu—const при и->.оо на луче и, О, ф = const; Qu -► const при u -> —оо на луче у, 9, ф = const. Если мы к тому же хотим, чтобы функция Q была гладкой на конечных кусках пространства-времени, то сам собой напрашивается выбор

Q = 2(l +u2)-*/2(1 +у2)-1/2’

(множитель 2 введен для удобства в дальнейшем), и тогда

^=QW_—sln20dn

Допустимы и многие другие формы функции Q, но эта, как мы скоро убедимся, оказывается особенно удобной.

Чтобы нашим «точкам на бесконечности» соответствовали конечные значения координат, следует и и у заменить параметрами р и q, такими, что

u = tgp, o = tgq.

Тогда

d§2 = 4dp dq — sin2 (p — p) (dG2 + sin^ d^.(9.1.5)

Пределы изменения переменных p и q указаны на рис. 9.1, где каждая точка представляет 2-сферу радиусом sin(p— р). Вертикальная прямая q — р = 0 соответствует пространственному началу координат (г = 0) и представляет всего лишь координатную сингулярность. Само же пространство-время на этой прямой (да и всюду), конечно, несингулярно. Наклонные прямые р = — (1/2)л[— (1/2)л < р < (1/2)л] и р=(1/2)л(— (1/2)л< <р<(1/2)л] изображают (изотропную) бесконечность (обозначаемую символами ^~ и 3*, соответственно) пространства Минковского (ибо этим прямым отвечают значения и = —со и и = оо). Но метрика (9.1.5), очевидно, идеально регулярна на этих прямых. Можно ожидать, что пространство-

4

Рис. 9.1. Область пространства (р, р), соответствующая пространству М.Прямая q— р = 0 (а значит, и q— р = л) является осью сферической сим-метрии.

время и его метрика d§ будут несингулярными и вне этих областей. Вертикальная прямая q — р = л тоже является координатной сингулярностью точно такого же типа, что и прямая q — р = 0. Всю вертикальную полосу 0 ^ q — р ^ л можно использовать для определения пространства-времени 8, глобальная структура которого отвечает произведению пространственноподобной 3-сферы и бесконечной времениподобной прямой («статическая вселенная Эйнштейна»), Чтобы убедиться в этом, выберем новые координаты

т = р + <7, p = q — p, что дает

ds2 = dr2— {dp2+ sin^^fFH- sin20d^2)}.(9.1.6)

Часть этой метрики, заключенная в фигурные скобки, есть метрика единичной 3-сферы.

Часть пространства-времени 8, конформную исходному пространству Минковского, можно рассматривать как пространство, заключенное между световыми конусами точек г* и i+. Точка I- имеет координаты p = q — —(1/2) л, а точка i+— координаты р = <7=(1/2)л. Эта часть «обертывается» вокруг 8

Рис. 9.2. Область на эйнштейновском цилиндре S, соответствующая про; странств'у М.

и замыкается с «тыльной» стороны в единственной, точке i° с координатами q ——р=(1/2)л. Заметим, что sin2(</ —р) = 0 в точке t°, а это и говорит о том, что точку 1° следует рассматривать как единственную точку, а не 2-сферу. Рассматриваемая ситуация изображена на рис. 9.2, где отброшены два измерения. Два-пространство Минковского конформно внутренней ■ части квадрата (изображенного наклоненным на 45°). Этот квадрат обертывается вокруг цилиндра, который представляет собой двумерный вариант статической вселенной Эйнштейна. Учет недостающих измерений ничего существенно не изменяет. Вблизи точки i~ интересующая нас область находится внутри светового конуса будущего, связанного с точкой I-. Этот световой конус (т. е. точечное множество, «сметаемое» лучами, которые идут из точки г- в будущее) фокусируется на задней стороне вселенной Эйнштейна в одной точке Iй (которая в пространственном отношении диаметрадьно противоположна точке i~). Вблизи точки i° интересующая; нас область (пространства Минковского) простирается в пространственноподобныхнаправлениях от t°. Световой конус будущего для точки (° опять же фокусируется в одной точке /+, пространственное положение

которой соответствует положению точки i~. Вблизи 1+ интересующая нас область лежит внутри светового конуса прошлого для точки t+. • 7 .

Отрезки лучей, соединяющие точки I- и 1°, сметают часть границы области пространства Минковского, которую мы обозначили через ^_. Точно так же отрезки лучей, соединяющие точки i° и i+, ометают границу ^+. Сами же точки i~, i° и 1+ считаются не относящимися к границе ^- или ^+. Точка i- имеет физический смысл временной бесконечности прошлого, граница ^77 — изотропной бесконечности прошлого, точка i° — пространственной бесконечности, граница — изотропной бесконечности будущего и точка t+— временной бесконечности будущего. Эта терминология станет понятной, если проанализировать ход прямых (по отношению к метрике Минковского ds\ линий в пространстве Минковского. Времениподобная прямая достигает концевой точки прошлого I-, а также концевой точки будущего i+. Изотропная прямая достигает концевой точки прошлого, лежащей на 9~, и концевой точки будущего, лежащей на ^^ Времениподобная прямая линия становится замкнутой кривой, проходящей через точку t°. (Во всем этом нетрудно убедиться путем «прямых» рассуждений.) Поскольку лучи после конформных преобразований остаются лучами, изотропные прямые при переходе к метрике ds становятся лучами, но времениподобные и пространственноподобные прямые, вообще говоря, не будут геодезическими по отношению к ds. .

ГНПиГНБ

При исследовании кривых в пространстве Минковского вопрос о достигаемых ими концевых точках несколько усложняется. Например, винтовая линия t = ф, г=1, 9=(1/2)л, хотя и является изотропной кривой, имеет концевую точку прошлого в точке /-, а концевую точку будущего — в точке t+ (и в обеих концевых точках полная кривая не является гладкой). Времениподобная же кривая г =(1 + ^2)1/2, 9 =(1/2) л, ф = 0 гладко достигает концевой точки прошлого на границе ^- и концевой точки будущего на границе ^+. К тому же легко найти пространственноподобные кривые, достигающие концевых точек либо на обеих границах 3-, либо в точке i*. Если ограничиться только причинными кривыми (т. е. кривыми, которые всюду либо времениподобны, либо изотропны; а это в обоих случаях единственные кривые, вдоль которых распространяются частицы и информация), то можно указать очень простой критерий (целиком опирающийся на характеристики самого пространства Минковского М), позволяющий определить, достигают ли две такие кривые одной и той же концевой

точки прошлого или концевой точки будущего и лежат ли эти точки на границе З^ или в точке t-.

Чтобы установить этот критерий, рассмотрим произвольное множество точек 2 в пространстве М и обозначим через Z+[3] подмножество пространства М, состоящее только из тех точек, которые могут быть достигнуты направленной в будущее времениподобной кривой, выходящей из некоторых точек множества 2. Иными словами, Z+[2] — это (открытое) будущее множества 2. (О том, почему оно будет открытым множеством в М, см. работы [245, 125].) Аналогично, пусть /—[2]—(открытое) прошлое множества 2. Тогда если а— любая причинная кривая с (конечной) концевой точкой прошлого Р в М, то будущее точки Р совпадает с множеством /+[а]. Этим свойством не обладает никакая другая точка в М (в чем читателю нетрудно будет убедиться самому; полное доказательство можно найти в работе [104]). Таким образом, любая другая причинная кривая р тоже имеет в точке Р свою концевую точку прошлого только в том случае, если /+[Р] =/+[а]. Преимущество этого критерия состоит в том, что он применим и в случае, когда аир — кривые, бесконцевые в прошлом (т. е. неограниченно продолжимые в прошлое и не достигающие конечных концевых точек прошлого в М): такие кривые аир достигают одних и тех же концевых точек прошлого, лежащих на З- или совпадающих с i-, только в том случае, когда /+[а] = /+[р] (рис. 9.3). (Они, очевидно, не могут иметь концевые точки прошлого в t°, 1+ или на 3+.) Отсюда следует, что бесконцевая в прошлом причинная кривая а достигает концевой точки прошлого в точке i~ или на З- в зависимости от того, является ли

Рис. 9.3. Две причинные кривые а и Р имеют одну и ту же концевую точку на гиперповерхности 3~ в том и только в том случае, когда у них одинаковое будущее.

множество /+[а] всем пространством М или нет (так, например, будущим оси времени / = 0 является все пространство М). Точно так же бесконцевая в будущем причинная кривая а достигает точки i+ или точки на ^+ в зависимости от того, является ли /-[а] всем пространством М или нет; более того, бесконцевая в будущем кривая р достигает на бесконечности той же точки, что и кривая оь, в том и только в том случае, если /-[а] = [р].

Эти критерии особенно ценны тем, что они применимы и в искривленном пространстве. Множества типа /+[а], где а — бесконцевая в прошлом причинная кривая, называются граничными неразложимыми множествами будущего (ГНБ); множества же типа /-[а] с бесконцевой в будущем причинной кривой а называются граничными неразложимыми множествами прошлого (ГНП). Ими можно воспользоваться для того, чтобы дать определения прошлых/будущих границ в пространстве-времени самого общего вида [307,104]. Границы ГНБ и ГНП тоже представляют определенный интерес. Они порождаются лучами, которые являются бесконцевыми в будущем или прошлом, соответственно [245, 125]. В случае пространства Минковского М эти границы (если они не пустые) являются изотропными гиперплоскостями в М, т. е. множествами, описываемыми уравнениями типа xaAa = Bt, где Аа и В — постоянные и Аа — изотропный вектор. Это будет иметь существенное значение в следующем параграфе.

Итак, требуемое конформное многообразие (с границей) М состоит из исходного пространства Минковского М с его конформной метрикой и двух граничных 3-поверхностей ^+ и З-. Однако точки i+, i° и t- исключаются из М, ибо граница не была бы в этих точках гладкой. Мы видим, что границы ^+ и 3- имеют топологию S2X^, где сфера S2 параметризована сферическими полярными углами 9 и ^, а пространство R — запаздывающим временем и в случае границы 3+ и опережающим временем и в случае границы З-.

Компактифицированное пространство Минковского

Когда мы позднее перейдем к исследованию асимптоти- чески-плоского пространства-времени, выяснится, что многое из того, о чем говорилось выше, остается в силе. Но есть одно свойство, очень специфичное для модели пространства Минковского: всякая изотропная геодезическая, исходящая из некоторой точки А- на З-, должна пройти через такую же точку А+ на 3+ (рис. 9.4). Это свойство поначалу может показаться неожиданным, но оно становится очевидным, как только мы

Рис. 9.4. Все лучи, выходящие в пространстве М из точки Д-е^-, приходят в одну и ту же концевую точку будущего МеЗ^. (Это специфика пространства М, не относящаяся к произвольному пространству-времени.)

вспомним, что световой конус будущего для точки на З- есть просто изотропная гиперплоскость в пространстве Минковского. (Это предельная конфигурация светового конуса, к которой он стремится, когда его вершина уходит в прошлое вдоль изотропной прямой.) Точно так же световой конус прошлого для любой точки на 3* тоже является изотропной гиперплоскостью. Следовательно, изотропная гиперплоскость достигает какой-либо прошлой «вершины» на З- (скажем, точки Л-) и соответствующей будущей «вершины» (скажем, точки Л+) на 3+. Это находит простое объяснение в модели вселенной Эйнштейна 8: световой конус будущего точки Л- фокусируется в точке Л+, которая в пространственном отношении антипо- дальна точке Л-..

Принимая во внимание эту естественную взаимосвязь между точками гиперповерхностей З- и ^+ в случае пространства Минковского, в определенных отношениях представляется естественным отождествить З- и ^+, т. е. точку Л- отождествить с точкой Л+, а обе гиперповерхности 3~ и ^+ обозначить одним символом 3. Тогда, чтобы быть последовательными, мы должны также отождествить I- с i°, a i° с i+. Три точки i* и 1° теперь превращаются в одну, которую мы обозначим символом I. Из чертежа, приведенного на рис. 9.5, видно, что в точке I эти разные области пространства Минковского очень хорошо «пригнаны» друг к другу, так что точка I становится нормальной внутренней точкой многообразия, построенного нами в результате всех этих отождествлений. Такое компактное конформное многообразие называется компактифицированным простран-

Рис. 9.5. При отождествлении 3~ и 3*, приводящему к возникновению пространства М* отождествляются и все точки i~, 1° и i+. Получающаяся в результате такого отождествления неособая точка I имеет окрестность, составленную из трех отдельных кусков пространства М.

ством Минковского М* [24, 60, 174, 235]. По причинам, которые станут яснее несколько позже, подобного рода отождествление невозможно достаточно корректно провести в искривленных асимптотически-плоских пространствах. (Мало того, что в общем случае явно отсутствует какой бы то ни было канонический способ проведения таких отождествлений, при отличной от нуля полной массе любое отождествление приводит к нарушению требуемых условий регулярности вдоль отождествленной гиперповерхности.) Даже в пространстве Минковского отождествление гиперповерхностей 3- и ^+ может оказаться во многих отношениях нефизическим (и в нем, разумеется, нет необходимости). Однако такое отождествление оказывается весьма удобным в математическом отношении), а

потому мы кратко остановимся в данном параграфе на геометрии компактифицированного пространства Минковского, тем более что она важна для теории твисторов и к тому же это пространство, на котором действует 15-параметрическая конформная группа.

Если отождествить З- с ^+ так, как говорилось выше, то всякая изотропная геодезическая в пространстве М* приобретет топологию окружности S1, превратившись в изотропную прямую пространства М, замыкаемую в петлю единственной точкой на бесконечности. Пространство же М* в целом приобретает топологию - '

M*«S3XS*. (9.2.1)

Чтобы убедиться в этом, можно выбрать в М* произвольную конгруэнцию Робинсона (см. гл. 6, § 2, с. 75 и далее, а также рис. 6.3) и рассмотреть семейство пространственноподобных гиперповерхностей, которые в метрике (9.1.6) задаются условием т = const. Отождествление З- с ^+ приводит к тому, что всякая гиперповерхность т = т0, где 0 < то < л, стыкуется с другой гиперповерхностью т = то— л, образуя пространственноподобное сечение S3. Все сечения S3 равноправны относительно конформной метрики, так как преобразование ti—*т + + const (mod л) эквивалентно «вертикальному» сдвигу цилиндра Эйнштейна (см. рис. 9.2), ничего не меняющему при условии, что выполняются соответствующие отождествления, сохраняющие конформную метрику. Линии конгруэнции Робинсона имеют топологию окружности S1, и каждая из них пересекает каждое сечение S3 один (и только один) раз, но не пересекается с другими линиями. Таким образом, они устанавливают 1 — 1значное соответствие между различными сечениями S3, что и дает структуру топологического произведения (9.2.1).

Очевидно, что рассмотренные выше конформные преобразования пространства М* вида т •—* т + const (mod л) не сохраняют исходную метрику Минковского g пространства М. (Строго говоря, они вообще неприменимы к М, поскольку некоторые точки пространства М отображаются на гиперповерхность 3, и наоборот.) Пространственноподобная гиперплоскость, задаваемая в исходных координатах Минковского уравнением / = О (ее можно задать и уравнением т = 0), отображается на одну из гиперповерхностей т = то(тобл), которые, если вернуться к координатам (/, г, 9, ^), оказываются двумя ветвями пространственноподобного 3-гиперболоида

В (Z2 — г2) + 2/— В = О, (9.2.2) где

= tg(T0 = tg(p + ^) = -i^ = r-^nr. (9.2.3)

Комбинируя такие конформные преобразования с движениями группы Пуанкаре, можно генерировать всю связную компоненту С+(1,3) 15-параметрической группы С(1,3) конформных движений пространства М* (содержащей единицу), под действием которой пятипараметрическое семейство гиперповерхностей, являющихся пространственно-временными трансляциями гиперболоидов (9.2.2), вместе с пространственноподобными гиперплоскостями в М преобразуются друг в друга.

Описание в пространстве Р5

Существует еще один способ построения пространства М* и конформной группы его движений. Рассмотрим шестимерное псевдоевклидово пространство Е6 с координатами Т, V, U7, X, У, Z и метрикой

ds2 = dT2 + dV2 — dW2 — dX2 — dY2 — dZ2. (9.2.4)

Световой конус X с вершиной в начальной точке описывается уравнением.

Т2 + v2 — W2 - X2 — У2 — Z2 = 0.(9.2.5)

С учетом уравнения изотропной 5-плоскости

P-IF=1(9.2.6)

из выражения (9.2.4) следует, что пересечение такой 5-плоскости с конусом X обладает индуцированной метрикой типа метрики Минковского

ds2 = dT2-dX2-dYz — dZ2.(9.2.7)

Для этого пересечения достаточно координат Т, X, У и Z, область изменения которых не ограничена; стало быть, данное пересечение, взятое само по себе, тождественно пространству Минковского М, и мы его так и будем обозначать. Но как подпространство пространства Е6 пространство М имеет вид «параболоида» (рис. 9.6) *), причем остальные координаты выражаются через Т, X, У и Z следующим образом:

V = W + 1=у(1 — Т2 + X2 + Y2 + Z2).(9.2.8)

Всякая образующая конуса X [представляющая собой множество точек, для которых остаются постоянными отношения Т : V: W: X : У: Z и выполняется уравнение (9.2.5)], не лежащая на изотропной гиперплоскости V = W, пересекает парабо-

') Это многомерный вариант ситуации, представленной на рис. 1.5 (т. 1, с. 30), где евклидова 2-плоскость изображена в виде «параболического» сечения обычного лоренцева светового конуса. . : .

Образующая конуса X

Рис. 9.6. Конус 36 с сигнатурой + +) в пространстве Е6. Про

странство Минковского М представлено как параболическое сечение конуса 36, а компактифицированное пространство М* — как пространство образующих конуса 36.

лоид М в единственной точке. Образующим конуса 36, лежащим на гиперплоскости V = W, соответствуют точки, принадлежащие бесконечности пространства М. Прямым, проходящим через начало пространства Е6, соответствуют точки проективного 5-пространства Р5, координатами которого служат пять независимых отношений Т : V: W: X : У: Z. Образующими конуса 36 определяются точки квадрики (т. е. многообразия, задаваемого равенством нулю квадратичной формы) в Р5, уравнение которой имеет вид (9.2.5) и которая отождествляется с М* (рис. 9.7). Точки этой квадрики, не лежащие на гиперплоскости V = W, соответствуют точкам пространства М. Но теперь появляются еще и точки пространства М*, лежащие на гиперплоскости V = W и обеспечивающие требуемую компактификацию М. (Пространство М* является компактным, будучи алгебраическим подмножеством проективного пространства.)

Мы не будем вдаваться в подробности рассматриваемой геометрической структуры. Остановимся лишь на некоторых моментах). Прежде всего отметим, что М* обладает всюду хорошо определенной конформной геометрической структурой. Это следует, например, из того, что две любые (локальные) гиперповерхности (являющиеся поперечными сечениями конуса 36^, пересекающие одни и те же образующие конуса 36, конформно

Рис. 9.7. Пространство М* можно представить в пространстве Р5 в виде квадрики. Касательная гиперплоскость, построенная в точке I, пересекается .с этой квадрикой по гиперповерхности ^.

отображаются ими друг на друга. Данное утверждение можно доказать, либо проведя такие же рассуждения, как в гл. 1 (т. 1, с. 59, рис. 1.11), либо показав, что метрику конуса ЗС локально можно привести к виду

ds2 = </2аар (xY) dx" dx^ + О • dq2, ..

образующие можно задать уравнениями х“ = const, а поперечные сечения — зависимостью q от х“. При такой форме метрики два вышеуказанных поперечных сечения несомненно будут конформно отображаться друг на друга. А чтобы привести метрику к требуемой форме, можно выбрать в качестве координаты q любую переменную, скажем W, и переписать выражение (9.2.4) [с учетом уравнения (9.2.5)] в виде

ds2 = Г2 {d <T!WY + d (V/W)2 — d (X/W)2 — d (Y/W)2 — d (Z/W}.

Затем [еще раз воспользовавшись уравнением (9.2.5)] нужно исключить одну из переменных T/W, ..., Z/W, выразив ее через остальные.

Итак, пространство образующих конуса ЗС приобретает конформную структуру (как это уже имело место в случае светового конуса с вершиной в начале координат пространства Минковского в гл. 1 и гл. 4, § 15), т. е. пространство ,* как подпространство пространства Р5 имеет канонически определенную конформную структуру с сигнатурой (+ — — —). Световые конусы этой конформной структуры оказываются пересечениями пространства М* с проективными 4-плоскостями, касаюши-

мися пространства М*. Эти 4-плоскости пересекаются с М* по конусам квадрик, образованным прямыми из М*. Проективными прямыми в М* (прямыми по отношению к проективной пространственной структуре пространства р5) представляются световые лучи в М*. Одна из 4-плоскостей, удовлетворяющая уравнению V = W, тоже касается пространства М* — в точке T = X=Y = Z=(V — W) = 0. Это не что иное, как точка I (отождествленные точки /-, i° и /+, фигурировавшие выше при построении компактифицированного пространства Минковского), а остальная часть пересечения данной 4-плоскости с М* — это 3 (отождественные поверхности 3+, 3~ в том же построении). .

. 0(2,4) и конформная группа

Псевдоортогональная группа 0(2,4) линейных преобразований в пространстве Е6, сохраняющих уравнение (9.2.5), сохраняет и УС, а значит, индуцирует преобразование пространства Р'5,- переводящее М* в М*. Поскольку эта группа сохраняет линейность в Е6, она переводит проективные прямые пространства М*в другие такие же прямые, т. е. в световые лучи, и, следовательно, сохраняет конформную структуру пространства М*. Фактически это наиболее общая группа, обладающая таким свойством [239], и она индуцирует на М* конформную группу 0(1,3) [60, 73, 174, 249]. К тому же это 15-параметри- ческая группа, ибо инфинитезимальные (псевдо-) ортогональные матрицы кососимметричны [относительно метрики (9.2.4)], а значит, имеют 15 действительных линейно-независимых компонент. Однако группа 0(2,4) не идентична группе 0(1,3), так как минус-единичный элемент группы 0(2,4) обращает ориентацию всякой, прямой, проходящей через начальную точку пространства Е6, а Р5 при этом остается точечно-инвариантным. Положительный и отрицательный единичные элементы группы 0(2,4)—единственные два преобразования группы 0(2,4), которые дают единичный элемент группы 0(1,3), так что групповой гомоморфизм

О (2,4)-* С (1,3) (9.2.9)

есть 2—1-локальный изоморфизм. К тому же это «отображение на» (сюръекция). Поскольку единичный со знаком минус элемент труппы 0(2,4) принадлежит связной компоненте 0^.(2, 4), ■содержащей единицу (так как преобразование (7 + IV, W + IX, Y + iZjt-^e^T + iV), е19 (W + iX), e^Y-ViZ^ относится к труппе О (2,4) при всех О < 0 ^ л и связывает непрерывным

образом единичный и минус-единичный элементы], групповой гомоморфизм

' О* (2, 4)-»С* (1, 3) (9.2.10)

тоже есть 2—1-локальный изоморфизм и «отображение на». (Индекс «|» указывает на сохранение направления хода времени, а индекс «+»— на сохранение общей ориентации.) Характер (2—1) этого отображения весьма сходен с характером отображения, связывающего спиновые преобразования с ограниченными преобразованиями Лоренца, но есть и одно существенное различие: группа О^ (2, 4) не является универсальным накрывающим пространством для компоненты С^ (1, 3),. ибо представляет собой только конечную ее «развертку», тогда как для перехода к универсальному накрывающему пространству компоненты (7^ (1, 3) требуется бесконечная «развертка». В § 4 мы продемонстрируем преимущества перехода и к четырехкратной накрывающей группе компоненты С£(1, 3), а именно к псевдоунитарной твисторной группе SU (2,2), которая также-яв-- ляется двукратной накрывающей группой компоненты 0^(2/ 4) (но, разумеется, не универсальной накрывающей группой).

Группа Пуанкаре является подгруппой группы С(1,3) и характеризуется тем, что оставляет инвариантными как гиперплоскость V=W-V1, так и конус 3£. Отсюда следует, что пространство М преобразуется в себя с сохранением метрики, как это и требуется. Возникающая таким образом подгруппа группы 0(2,4) фактически изоморфна (а не 2—1-гомоморфна) группе Пуанкаре, так как отрицательный единичный элемент группы 0(2,4) не сохраняет равенства V = U7 + 1. [Прообраз группы Пуанкаре при отображении (9.2.9) — это подгруппа группы 0(2,4), сохраняющая две гиперплоскости V= W± 1.] Если-к элементам группы Пуанкаре добавить растяжение, то гиперплоскость V = 1Г + 1 не будет инвариантной, семейство гиперплоскостей V = IF + const будет преобразовываться в себя и только гиперплоскость V = W будет инвариантна относительно всей группы. В пространстве Р5 это соответствует инвариантности 4-плоскости, касающейся пространства М* в точке I (см. рис. 9.7), т. е. тому, что гиперповерхность 3 преобразуется в себя. Однако в случае произвольного элемента Группы 0(2,4) эта 4-плоскость преобразуется в другую 4-плоскость, касающуюся пространства М*, т. е. световой конус 3 преобразуется в полный световой конус какой-нибудь другой точки пространства М*. В этом можно видеть иллюстрацию к тому, что относительно конформной структуры пространства М* (а не его метрической структуры) конус 3 равноправен с любым дру-

гим световым конусом в М*. Точно так же точка I (вершина конуса 3^ равноправна с любой другой точкой пространства М*.

Посмотрим теперь, какое значение имеют неизотропные (т. е. не касательные) 4-плоскости в пространстве Р5. Например, записанная в координатах Минковского координатная гиперплоскость t = 0 представляется в Р5 как пересечение пространства М* с 4-плоскостью Т = 0. Как было установлено выше [см. текст перед формулой (9.2.2) и далее], произвольный элемент группы С(1,3) переводит гиперплоскость t = 0 в двухполостной (в пределах М) пространственноподобный 3-гиперболоид’) в М. Группа 0(2,4) переводит 4-плоскость Г = 0 в другие 4-плоскости пространства Р5, «времениподобные» по отношению к световому конусу (9.2.5). Они образуют пятипараметрическую систему и пересекают М* по 3-поверхностям, соответствующим пространственноподобным 3-гиперболоидам (или пространственноподобным 3-плоскостям) в М. Точно так же в пространстве Р5 существуют 4-плоскости (например, Х = 0), которые по отношению к световому конусу (9.2.5) «временипо- добны». Они тоже образуют пятипараметрическую систему и пересекают М* по 3-поверхностям, соответствующим времениподобным однополостным (в пределах М) 3-гиперболоидам или, в частных случаях, времениподобным 3-плоскостям в М.

Комплексифицированное компактифицированноепространство Минковского и твисторная геометрия

Чтобы связать все сказанное с твисторами, вспомним [формула (6.2.18)], как пространственно-временная точка с радиус- вектором г" представляется простым кососимметричным твисто- ром R“p. Согласно формуле (6.2.18) [см. также (6.1.46) и (6.1.47)], имеем (поскольку R“p = — Rp“)

(9.3.1)

Но [см. формулу (9.2.8) и рис. 9.6], выбрав стандартные координаты Минковского

t = r°, х = г\ y = r\ z = r\(9.3.2)

можно представить точку пространства Минковского (/, х, у, z) линией, проходящей через начало (АТ, XV, XW, XX, XY, XZ) про-

*> На самом деле это «3-сфера» или, вернее, «псевдосфера» по отношению К лоренцевой метрике (или псевдометрике) пространства М.

странства Е6 с X е R, так чтобы при подходящих X выполнялись соотношения

XT=t, XX = х, XY = y, XZ = z,

XV = l(l-/2 + x2 + y2 + 22) = xw, + 1(9.3.3)

Таким образом,

Х = (И-ГГ1, что дает

/ = Т(У — ГГ*, x = X(V — W)~',

,।(9.3.4)

у=у(у-г) *, z = z(v - wr ,

в связи с чем из уравнения (9.2.5) следует, что

- rQra = -t2 + х2 + у2 + г2 = (У + Г) (V - ГГ1, (9.3.5)

Т: V : Г : X: У: Z = 1: ^(1 - rara): 1(-1 -rara) :x:y:z.

(9.3.6)

Сравним формулу (9.3.6) с формулой (9.3.1). На основании установленного в формуле (3.1.31) стандартного соответствия вектор — 2-спинор с использованием обозначений (9.3.2) получаем

R0I = -(V + F), R02 = —(У — LY), R°3 = -4^(T + 2), 2V2V2

.(9.3.7)

R12 = -^(Z —7), R13 = —^(У + iX), R^y-UZ,

V2V2

где выбран масштабный множитель, обеспечивающий стандартную твисторную нормировку (6.2.27), а именно R23 =1, когда V—Г = 1. Обратно:

Г = R01 - - R23,2(9.3.8)Z = ^(R03+R12).Г = R01 - - R23,2(9.3.8)Z = ^(R03+R12).7 = —(R12 — R03), iz = roi + _LR23

Г = R01 - - R23,

2(9.3.8)

Z = ^(R03+R12).

Г = R01 - - R23,

2(9.3.8)

Z = ^(R03+R12).

Х = —^ (R02 — R13), У = -^(R02+R13),

Заметим, что в силу равенств R01 = R23, R02= — RI3 и т. д. а также равенств R01 = R23, R02=R20 и т. д. условие (6.2.31) действительности вектора га означает, что

R01 = R0\ R02 = R13 R03 = _ R03; R12 = _ R12. R23= R23 (9 3 9)

и компоненты (9.3.7), конечно, удовлетворяют этим требованиям. Линейные соотношения между дейтвительными координатами (Г, V, \У, X, У, Z) и твисторными компонентами R ₽ не

могут не содержать комплексных коэффициентов. Поэтому условие «действительности» твистора R“p не может сводиться к действительности его компонент. Это объясняется тем, что уравнение конуса 3£, записанное через R“p, эквивалентно утверждению [формула (6.2.23)], что твистор R°e прост:

R“pRap = 0,(9.3.10)

тогда как квадратичная форма

у RaeRap= R0^23 — R02R13 + R03R12(9.3.11)

в случае, когда все компоненты R“p действительны, будет иметь сигнатуру (-|—|—|) вместо требуемой формулой (9.2.5)

сигнатуры (+ +). В конечном итоге спиноры ока

зываются существенно комплексными объектами. Следовательно, чтобы разобраться в твисторной геометрии, необходимо проанализировать комплексную геометрию и, в частности, рассмотреть процедуру комплексификации встречавшихся нам действительных пространств.

Обозначим через СЕ6, СЖ, СМ, СР5, СМ* и С-9- комплексификации пространств Е5, 3f, М, Р5, М* и 3 соответственно. Координаты Т, V, Ж, X, У, Z пространства СЕ6 будут теперь комплексными переменными, принимающими значения на всем множестве комплексных чисел С6. Исходное пространство Е6 является действительным шестимерным подпространством пространства С Е6 (которое само, если его рассматривать как действительное пространство, является 12-мерным), определяемым равенством нулю мнимых частей всех координат. Пространство СЕ6 допускает комплексно-аналитическую метрику, которая формально задается тем же выражением (9.2.4), что и метрика для Е6. Тогда комплексифицированный световой конус CJif описывается комплексным уравнением (9.2.5), а комплексифициро- ванное пространство Минковского СМ является пересечением конуса Cjy с комплексной 5-плоскостью V— Ж = 1. Комплексное проективное пространство СР5 — это пространство комплексных прямых, проходящих через начало пространства С ~6, а его координатами служат пять независимых комплексных отношений Т : V : W : X : У : Z. Комплексифицированное компактифицированное пространство Минковского СМ* — это пространство комплексных образующих конуса CJ^, т. е. локус комплексного уравнения (9.2.5) в СР5. И наконец, С3 определяется как пересечение СМ* с комплексной плоскостью V = W (но, строго говоря, без точки /).

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ £63Соответствие Клейна .

Исследуем геометрическую связь между СМ* и проективным твисторным пространством1) РТ, точки которого являются классами эквивалентности пропорциональных (ненулевых) тви: сторов Za. Пространство РТ обладает структурой комплексного проективного 3-пространства СР3 и может быть параметризовано с помощью трех независимых комплексных отношений Z°: Z1: Z2 : Z3. Как следует из абзаца, содержащего формулу (6.2.15), комплексные линейные 2-пространства в твисторном пространстве Т (по меньшей мере те, для которых не все тви- сторы имеют пропорциональные проекционные части) представляют точки в комплексифицированном пространстве Минковского СМ. Кроме того из абзаца, содержащего формулу (6.2.17), следует, что эти 2-пространства Могут быть представлены как классы эквивалентности пропорциональных (не равных нулю) простых кососимметричных твисторов Rap. В пространстве РТ эти 2-пространства можно рассматривать как комплексные проективные прямые [каждая из них является пространством С51)]. Следовательно, эти прямые представляют в РТ точки пространства СМ. Но, чтобы получить некую конечную точку пространства СМ, мы требуем, чтобы прямая, представляющая ее в РТ, не пересекалась с прямой |, которая задается уравнением R“p = |°е. Дело в том, что прямой | определяется система твисторов Z“ с равной нулю проекционной частью, а поэтому прямая в РТ, пересекающаяся с I, представляет линейное 2-пространство в Т, содержащее твистор с равной нулю проекционной частью, откуда следует, что проекционные части всех твисторов в 2-пространстве обязательно пропорциональны друг другу. Тем не менее такая прямая, будучи представлена простым кососимметричным твистором R , должна соответствовать точке пространства СМ*. Следовательно, она соответствует точке конуса С^, а сама прямая I — вершине / конуса 9- Мы видим, что точками пространства СМ* представляются линии пространства РТ. Такого рода соответствие, при котором линии проективного 3-пространства представляются точками квадрики в проективном 5-пространстве, называется соответствием

') Мы будем рассматривать здесь исключительно пространства ТГ и РТГ и не будем касаться дуальных пространств. Но для упрощения обозначений мы будем опускать поднятые точки (или индексы а, 0, ...; см. гл. 6, § 1, 10). .

(представлением) Клейна). Оно лежит в основе всей твистор- ной геометрии.

Теперь рассмотрим обратное соответствие. Нам нужно выяснить, как представить точку Z пространства РТ в пространстве СМ*. Проанализируем поведение прямых в РТ, проходящих через точку Z. Они входят в 2-комплексно-параметрическое семейство (которое называется связкой прямых), соответствующее комплексной 2-поверхности Z в СМ*. Этой 2-поверхностью и можно воспользоваться для представления точки Z. Чтобы установить, каков характер этой 2-поверхности, вернемся к формуле (6.2.2) как основе уравнения (6.2.15), которое связывает радиус-вектор га точки R пространства СМ с линейным 2-пространством твисторов. Уравнение (6.2.2) есть условие инцидентности) между точками пространства СМ и твисторами. Так, мы говорим, что точка R инцидентна твистору Z“ = (co, лл,), если

ш4 = irAA'nA’, (9.3.12)

где г^' — радиус-вектор точки R относительно любой точки, в которой вычисляются спинорные поля со4, лд'. (Для определенности будем вычислять все интересующие нас соотношения в фиксированной начальной точке О.) Если зафиксировать в соотношении (9.3.12) радиус-вектор гАА' и позволить изменяться твистору Z° = (^, лЛ'), то мы получим линейное 2-пространство в Т, о котором говорилось выше и которым представляется точка R в твисторном описании. Если же зафиксировать Z“ и менять га, то мы получим искомый локус Z, которым представляется Z в СМ. При условии, что лд/ 0, т. е. что Z ^ I, уравнение (9.3.12) имеет как минимум одно комплексное решение г“

Рис. 9.8. Всякая a-плоскость в пространстве СМ вполне изотропна. Разность двух радиус-векторов, проведенных к двум ее точкам, — это комплексный изотропный вектор Ллял', причем спинор лл' фиксирован, а ХА изменяется. Аналогичным свойством обладает 0-плоскость, но роли спиноров ХА и ял' меняются.

(в чем легко убедиться, рассмотрев это уравнение в компонентной форме записи). Обозначим это решение через га. Тогда о

остальные решения должны удовлетворять уравнению (г°га)лд' = 0 и в силу формулы (3.5.17) имеют вид

га = га + ХАлА',(9.3.13)

о

где областью изменения спинора ХА является все многообразие ®4 [0]. Комплексные векторы Аллл' в точке О при фиксированных л4' и меняющихся ХА образуют дву(комплексно) мерное векторное пространство, все элементы которого изотропны и взаимно ортогональны. Следовательно, пространство Z— это 2-плоскость в СМ (рис. 9.8) и все ее касательные векторы изотропны и взаимно ортогональны. Стало быть, расстояние между двумя любыми точками на Z равно нулю, т. е. тождественно равна нулю индуцированная на Z метрика.

В пространстве СМ имеются два семейства плоскостей, обладающих таким свойством. Второе получается, когда спиноры ХА и лА' меняются ролями, т. е. когда выполняется соотношение (9.3.13), но ХА остается фиксированным, а лд< изменяется [ср. с формулой (3.2.22) и далее]. Плоскости первого типа называются a-плоскостями, а второго — 0-плоскостями. (Эта терминология согласуется с принятой в гл. 6, § 2 и гл. 7, § 4.) Итак, мы только что доказали, что представлением точки Z пространства РТ (при лЛ/ ^ 0) в СМ является а-плоскость. Если же рассматривать a-плоскости в СМ*, то от ограничения лд/ ^4= 0 можно отказаться. Это сразу же следует из полной

однородности пространства СМ и из конформной инвариантности (которую мы сейчас докажем) а-плоскости.

В самом деле, a-плоскость есть комплексная 2-поверхность, все касательные векторы к которой в любой данной точке имеют при некотором лл' форму Лллл' [это эквивалентно утверждению, что касательные бивекторы самодуальны и изотропны, поскольку имеют вид елвлл'лв'; см. формулу (3.4.39)] и касательные пространства которой при параллельном переносе вдоль касательных направлений переходят в себя (т. е. поверхности плоские). Последнее условие при некоторых vb и при любых V и р,в можно записать в виде

Лллл'7а (рвЛв') — ^влв',(9.3.14)

т. е. для всех ХА и рв выполняется уравнение

■ ЛВ'ЛЛЛл'7дд' (ЦвЛвО = О,■

а значит, и уравнение

лв'ллТдд<лв'= 0,(9.3.15)

которое, как следует из формулы (7.4.56), является конформноинвариантным, если приписать спинору лВ' конформный вес, равный 1. [Сходство между уравнениями (9.3.15) и (7.3.1) не случайно: см. предложение (7.3.18).] Уравнение (9.3.15) оказывается фактически следствием того, что все касательные к поверхности векторы имеют вид Лллл' [с определенным спинором лА' в каждой точке в силу условия со скобками Ли, при котором касательными плоскостями определяется поверхность; см. формулу (7.3.17)]: при некоторых рв имеем

Хала'¥о (рвлв') — p.AnA'Vo (Хвл8') = рвлв';

свертка обеих частей этого равенства с лв, дает

лв'Лл,Л1лр,в,Уалв'= О,

откуда снова получается уравнение (9.3.15) и его следствие (9.3.14)1).

Что касается 0-плоскостей, то они появляются совершенно аналогичным образом, если заменить только что рассмотренный [*]-твистор Z“ «дуальным» [ ° ]-твистором Wo = (^, рА) и поменять ролями штрихованные и нештрихованные спинорные индексы. Условие инцидентности (9.3.12) заменяется уравнением

рА= — iraXA. (9.3.16)

Решения этого уравнения имеют, как и раньше, вид (9.3.13), но теперь спинор V фиксирован, а лд' изменяется. Отсюда следует, что 0-плоскость можно рассматривать как представление проективного дуального твистора в СМ или СМ*. Но проективный дуальный твистор можно также представить комплексной проективной 2-плоскостью W (т. е. пространством С Р2) в РТ, поскольку твистор Wo (=# 0) можно с точностью до пропорциональности представить системой W точек Z е РТ, для которых

WoZ“ = 0. (9.3.17)

Уравнение (9.3.17) указывает на инцидентность между плоскостью W и точкой Z в РТ, т. е. между дуальным твистором Wo и твистором Za. Условие инцидентности (9.3.12) в чисто твисторной форме имеет вид

R[aSZY'= 0 или, что эквивалентно, R~pZ$ = 0. (9.3.18) Из этих формул следует, что в DT точка Z лежит на прямой R (представленной твистором R“e). Если Ro0Za =# 0, то этот дуальный твистор можно рассматривать как представление плоскости, связывающей Z с R, в Т-’T. Соответственно этому условие инцидентности (9.3.16) можно переписать в виде

R^Wp = 0 или, что эквивалентно, R[apWvj=0. (9.3.19) Это означает, что в РТ прямая R лежит в плоскости W. И аналогично если RaSWp =# 0,то этот твистор является представлением точки пересечения прямой R с плоскостью W.

Итак, в пространстве СМ* точка Z, прямая R и плоскость W представляются «-плоскостью Z, точкой R и 0-плоскостью IF. Инцидентность между Z и R в РТ переходит в инцидентность между Z и R в СМ*; точка R лежит на а-плоскости/. Инцидентность между R и W в РТ переходит в инцидентность между R и IF в СМ*: точка R лежит на 0-плоскости W. Инцидентность между Z и W в РТ переходит в инцидентность между Z и IF в СМ*: «-плоскость Z пересекается с 0-плоскостью IF. В' справедливости последнего утверждения можно убедиться,

либо снова обратившись к формулам (9.3.12), (9.3.16) и (9.3.17) и построив рассуждения так, чтобы охватить случаи, когда точка R лежит на ^ или в точке /, либо просто приняв во внимание, что если точка Z лежит на плоскости W, то существует прямая R, которая одновременно лежит на плоскости W и проходит через точку Z, т. е. существует точка R е СМ*, которая лежит одновременно на 0-плоскости 117 и на a-плоскости Z. Заметим, что если это условие выполняется, то существует не одна прямая R, а целое однопараметрическое семейство таких прямых, лежащих в плоскости W и проходящих через точку Z, т. е. плоский пучок прямых. В СМ* можно указать кривую пересечения 0-плоскости W с a-плоскостью Z— комплексную изотропную геодезическую в конформной метрике пространства СМ*, ибо это изотропная прямая в СМ* (потому, например, что параметрическое уравнение этой кривой имеет вид линейной функции га = га + иХАяА\ и е С). И обратно, всякая комплексная о

изотропная геодезическая в СМ* появляется именно таким путем, так что справедливо следующее предложение.

Предложение

Через всякую изотропную геодезическую пространства СМ* проходит единственная a-плоскость и единственная ^-плоскость; линия пересечения a-плоскости с ^-плоскостью всегда является изотропной геодезической.

(9.3.20)

В то же время две любые разные a-плоскости всегда имеют в СМ* единственную общую точку, ибо две разные точки на РТ связаны между собой единственной прямой; аналогично две любые разные 0-плоскости всегда имеют в СМ* единственную общую точку, так как две разные плоскости в РТ имеют единственную общую прямую. («Инцидентность» между двумя а-пло- скостями или между двумя 0-плоскостями — это обязательно «совпадение».) Две прямые в РТ в общем случае не пересекаются (они «скрещиваются»), но если пересекаются, то лежат в одной плоскости. Таким образом, пересекающиеся прямые в РТ соответствуют изотропно-разделенным точкам в СМ*. Итак, справедливо следующее предложение.

Предложение

Точки Р, Qg СМ* являются изотропно-разделенными ■^-Р, Q лежат на общей а-плоскости

<=>Р, Q лежат на общей ^-плоскости

<=> соответствующие прямые в РТ пересекаются. (9.3.21)

Рис. 9.9. Основное геометрическое соответствие — соответствие Клейна, — связывающее отношения инцидентности точек, плоскостей и прямых в пространстве РТ (комплексном проективном 3-пространстве) с отношениями инцидентности a-плоскостей, P-плоскостей и точек (в комплексной проективной 4-квадрике) СМ*.Рис. 9.9. Основное геометрическое соответствие — соответствие Клейна, — связывающее отношения инцидентности точек, плоскостей и прямых в пространстве РТ (комплексном проективном 3-пространстве) с отношениями инцидентности a-плоскостей, P-плоскостей и точек (в комплексной проективной 4-квадрике) СМ*.

Рис. 9.9. Основное геометрическое соответствие — соответствие Клейна, — связывающее отношения инцидентности точек, плоскостей и прямых в пространстве РТ (комплексном проективном 3-пространстве) с отношениями инцидентности a-плоскостей, P-плоскостей и точек (в комплексной проективной 4-квадрике) СМ*.

Рис. 9.9. Основное геометрическое соответствие — соответствие Клейна, — связывающее отношения инцидентности точек, плоскостей и прямых в пространстве РТ (комплексном проективном 3-пространстве) с отношениями инцидентности a-плоскостей, P-плоскостей и точек (в комплексной проективной 4-квадрике) СМ*.

Взаимосвязи геометрий пространств СМ* и РТ приведены на рис. 9.9 и в таблице (9.3.22).

Твисторное отношение дуальности

Выше мы рассматривали пространство РТ" (которое в данном контексте эквивалентно пространству РТ), а не дуальное проективное пространство РТ. . Если же рассматривать последнее, то а- и 0-плоскости должны поменяться ролями. Изменения, которые следует тогда внести в таблицу (9.3.22), если оставить левый столбец таким же, а правый заменить столбцом, относя-

СМ*СМ*Таблица (9.3.22)

СМ*

СМ*

а-Плоскость

Точка

| на

на |

Точка

Прямая

| на-4=

* на |

Р-Плоскость

Изотропная геодезическая (=а-плоскость ^р-плоскость)

Изотропно-разделенные точки

Плоскость

Плоский пучок (•«—► точка на плоскости)

Пересекающиеся прямые

РТ

щимся к РТ., а не к РТ*, сводятся к тому, что нужно поменять местами стоящие вверху слова «точка» и «плоскость», а также изменить направление вертикальных стрелок на противоположное.

Геометрическое соответствие между пространствами РТ. и РТ* — это отношение дуальности, при котором точки соответствуют плоскостям, прямые — прямым, а плоскости — точкам. При дуальном отображении сохраняется инцидентность, но меняется на противоположное направление отношений включения между пространствами.

Действительная структура

Выше мы ничего не говорили о действительной (т. е. вещественной) структуре пространства СМ* и об операции комплексного сопряжения в нем. Операция комплексного сопряжения ^ в пространстве СМ* приводит к тому, что меняются ролями а- и р-плоскости; в пространстве РТ (= РТ’) это операция дуального отображения элементов самого пространства РТ, которая переводит точки в плоскости и наоборот, а прямые — в другие прямые. Действительными точками пространства СМ* (т. е. точками пространства М*) являются точки, инвариантные по отношению к операции Я?. Они соответствуют семейству прямых в РТ, каждая из которых инвариантна относительно операции ^. Согласно сказанному в гл. 6, § 2 [формула (6.2.16)], эти прямые происходят из линейных 2-пространств, полностью состоящих из изотропных твисторов. Таким образом, действительные точки пространства СМ* соответствуют прямым пространства РТ, которые полностью лежат в подпространстве PN изотропных проективных твисторов. Твисторное пространство Т состоит из элемента {0} и еще трех частей Т+, Т_ и N, содержащих ненулевые твисторы Za, для которых произведение Z“Z3 является положительным, отрицательным и равным нулю (соответственно); следовательно, и пространство РТ состоит из трех соответствующих частей1): РТ+, РТ- и PN. Прямая I, представляющая точку I пространства СМ*, лежит, конечно, в PN, ибо / — «действительная» точка.

Любая точка Z е РТ (соответствующая твистору Z“ #= 0) имеет комплексно-сопряженную плоскость Z г РТ (соответствующую дуальному твистору Za). И обратно, любая пло-

’) Эти куски пространства РТ обладают следующими топологиями: РТ+ « РТ- « S2 х R4, PN « S2 х s3, Т+ ~ Г « S3 X R5, N « S3 х s3 х R

скость W с РТ имеет единственную комплексно-сопряженную точку W е РТ, Чтобы точка Z из РТ лежала на своей комплексно-сопряженной плоскости Z, должно выполняться условие Z“Za = 0 (т. е. Ze PN). Таким образом, точки пространства PN— это точки, которые представляют a-плоскости пространства СМ*, пересекающиеся с их же комплексно-сопряженными 0-плоскостями. Такие «-плоскости содержат действительные точки. В самом деле, если точка Р е М* лежит на а-плоскости Z, то, применив операцию сопряжения, можно убедиться, что она лежит и на 0-плоскости Z. И обратно, если Z пересекается с Z, то пересечение должно происходить по изотропной геодезической, которая обязательно должна быть «действительной» (в смысле инвариантности относительно операции ’₽’), а значит, некоторые ее точки должны быть действительными. Но не все> поскольку такая «действительная» изотропная геодезическая должна содержать еще и комплексные точки (а именно точки с комплексными значениями аффинного параметра). В целом же она обладает топологией римановой сферы S2, и ее действительные точки образуют на этой сфере окружность. Согласно данной в гл. 6, § 2 первоначальной интерпретации изотропного твистора, его с точностью до пропорциональности можно рассматривать как изотропную прямую в М. Теперь мы видим, что эта интерпретация согласуется с настоящим геометрическим описанием.

Неизотропный твистор Z“ соответствует точке Z пространства РТ+ или РТ". Чтобы дать его действительную интерпретацию в М*, можно рассмотреть пересечение комплексной плоскости с PN. Область пересечения представляет собой трех (действительно) мерное множество точек, каждая из которых является представлением изотропной геодезической в М*. Это трех (действительно) параметрическое семейство изотропных геодезических в М* представляет собой конгруэнцию Робинсона (с точностью до пропорциональности), представляющую твистор Z“. Данная ситуация тесно связана с обсуждавшейся в гл. 6, § 2 геометрической интерпретацией неизотропных твисто- ров (а также с вопросами, затронутыми в гл. 7, § 4; см. рис. 7.7 и т. д.). Заметим, что точки пространства РТ+ соответствуют конгруэнциям Робинсона с правым вращением, а точки пространства РТ- — конгруэнциям Робинсона с левым вращением (см. гл. 6, § 2); кроме того, твисторы в пространствах Т+ и Т“ описывают структуру момента импульса безмассовых частиц с правовинтовой и левовинтовой спиральностью, соответственно (см. гл. 6, § 3).

Различные типы комплексных точек в СМ* '

До сих пор мы рассматривали роль вышеописанной действительнозначной структуры в связи с точками в пространстве РТ- В самом пространстве СМ* можно выделить шесть различных (конформно-инвариантных) областей. Точку R е СМ* можно задать комплексным радиус-вектором

ra = ua^-iya, (9.3.23)

исходящим из действительной начальной точки О (причем иа и иа — действительные мировые векторы). Свойства вектора иа, связанные с его пространственноподобностью/времениподобно- стью, а также свойства его ориентированности в будущее/прош- лое, очевидно, инвариантны относительно действительных переносов начальной точки О. Имеет место и инвариантность по отношению к конформным изменениям масштабов, хотя она и менее очевидна из-за более сложного поведения формулы (9.3.23) при такого рода конформных преобразованиях. Эта инвариантность является следствием сформулированного ниже предложения (9.3.24) (рис. 9.10), справедливого и в случае /?eCJ (в котором достаточно изменить масштаб так, чтобы новая комплексификация СЗ^ не содержала точки R).

Предложение

Точка R е СМ* с радиус-вектором в произвольном стандартном репере Минковского, имеющим мнимую часть, которая; 1) времениподобна и направлена в будущее, 2) изотропна и направлена в будущее, 3) пространственноподобна, 4) изотропна и направлена в прошлое, 5) вре-

Рис. 9.10. Причинное описание мнимой части иа радиус-вектора точки R пространства СМ имеет (действительный) конформно-инвариантный смысл. В пространстве РТ это обнаруживается в том, как соответствующая прямая R пересекает всевозможные области пространств РТ± и PN.Рис. 9.10. Причинное описание мнимой части иа радиус-вектора точки R пространства СМ имеет (действительный) конформно-инвариантный смысл. В пространстве РТ это обнаруживается в том, как соответствующая прямая R пересекает всевозможные области пространств РТ± и PN.

Рис. 9.10. Причинное описание мнимой части иа радиус-вектора точки R пространства СМ имеет (действительный) конформно-инвариантный смысл. В пространстве РТ это обнаруживается в том, как соответствующая прямая R пересекает всевозможные области пространств РТ± и PN.

Рис. 9.10. Причинное описание мнимой части иа радиус-вектора точки R пространства СМ имеет (действительный) конформно-инвариантный смысл. В пространстве РТ это обнаруживается в том, как соответствующая прямая R пересекает всевозможные области пространств РТ± и PN.

мениподобна и направлена в прошлое или, наконец,

равна нулю, соответствует прямой R а РТ, которая-. 1) полностью лежит в РТ-, 2) лежит в РТ-, но в одной точке касается PN, 3) пересекает все три подпространства РТ* и PN, 4) лежит в РТ+, но в одной точке касается PN, 5) полностью лежит в РТ+ и 6) полностью лежит в PN, соответственно.(9.3.24)

Доказательство. Пусть твистор Za = (<oA, лд') инцидентен с точкой R, так что Z лежит на прямой R а РТ; тогда

С0Л = <Г°Лд' = 1иаКд- — У°Лд'.

Выполнив свертку с лд и выделив действительную часть, получим.

у2а2а = -0а(ЛАЛА').

Анализ этого соотношения в различных случаях и дает искомый результат.

Соотношение между пространствами Т* и прошлым/буду- щим в предложении (9.3.24), обусловленное другими нашими соглашениями, на первый взгляд может показаться «неестественным» с точки зрения обозначений. Но следует иметь в виду, что область СМ*, называемая трубкой будущего [см. третий абзац после формулы (6.10.47)], в которой квантовые поля, распространяющиеся в нормальном направлении будущего, должны быть голоморфными, является куском (вектор уа временипо- добен и направлен в прошлое) пространства СМ*, соответствующим прямым линиям в пространстве РТ+. Точно так же трубка прошлого СМ соответствует пространству РТ- и полям, распространяющимся в прошлое.

В связи с предложением (9.3.24) отметим, что если твистор Rop, как и выше1), соответствует точке R еСМ и выполняется соотношение (9.3.23), то

R“₽Rap ^ 0 соответственно неравенствам v°vo ^ 0. (9.3.25)

Произведение RopWpRovWv является положительно-\отри- цательно]-полуопределенным в плоскости Wp, если va — причинный вектор, направленный в прошлое [будущее].

(9.3.26)

*) Если R еСМ*и R°SRop ^ 0, то Р еСМ.

Чтобы доказать утверждение (9.3.26), из которого следует (9.3.25), нужно принять во внимание, что произведением R“₽Wp представляется пересечение прямой R с плоскостью W, и воспользоваться предложением (9.3.24).

4. Четырехзначность твисторов и индекс Гржина

Итак, благодаря рассмотренному выше соответствию возможно изящное описание комплексной конформной геометрии пространства СМ* на основе комплексной проективной геометрии пространства РТ. В случае действительной конформной геометрии пространства М* комплексную проективную геометрию пространства РТ нужно дополнить эрмитовым [сигнатура (+ 4)] отношением дуальности <§, обеспечивающим взаимный обмен точек и плоскостей пространства РТ; иначе говоря, необходимо знать положение пяти (действительно) мерной гиперповерхности PN в РТ. Симметрии пространства РТ, которые сохраняют эту структуру, индуцируют конформные движения пространства М* в себя, а значит, соответствуют элементам группы 0(2,4). Эти симметрии получаются из линейных преобразований пространства Т. Если они сохраняют не только N (т. е. локус Z“Za = O), но и фактическое значение (4~ 4)-эрмитовой формы Z“Za и к тому же нормированы так, что их детерминант равен единице, то эти преобразования составляют группу SU (2,2) [двойки соответствуют частям (4~4~) и () сохраняемой эрмитовой формы]. Указанная

нормировка не определяет это преобразование однозначно по его действию на РТ; она оставляет четырехкратную неоднозначность, ибо скалярное произведение единичного элемента на любую из четырех величин 1, i, —1, —i является элементом группы 50(2,2), дающим единичный элемент на *. Как мы скоро узнаем, все эти элементы связаны с единичным элементом, так что неопределенность существенна. Итак, имеет место локальный 4—1-изоморфизм группы SU(2,2) на группу С^(1, 3). Поскольку наша твисторная конструкция приводит к пространству, на котором действие группы О^ (2,4) представляется кососимметричными [ q ]-твист'орами R“₽ (соответствующим образом антисимметризованными), тензорное произведение двух элементов группы SU (2,2) можно интерпретировать как элемент группы 0(2,4) [и группы О^. (2,4)]. Это приводит к 2—1-ло- кальному изоморфизму группы 50'(2,2) на группу О^(2,4). который, если его скомбинировать с (9.2.10), показывает, что 4—1-отображение из 50(2,2) в С^(1,3) можно составить из

двух 2—1-локальных изоморфизмов (каждый из которых является «изоморфизмом на»):

SU (2,2) ^О^ (2,4) ->С* (1,3)

Четырехкратная неоднозначность пространственно-временного описания твистора Za

Указанное 4—1-соответствие между твисторной группой SU(2,2) и пространственно-временной группой С+(1,3) имеет ряд любопытных следствий. Так, например, конформно-инвариантное [в смысле инвариантности относительно группы С^.(1,3)] пространственно-временное описание твистора Z“ должно быть четырежды неоднозначным. Иными словами, описание твисто- ров Z“ iZ“, —Z“ и —i‘Z“, основанное на геометрии пространства-времени, должно быть одинаковым. На первый взгляд это кажется парадоксальным, поскольку в гл. 6 было дано конформно-инвариантное определение твистора как решения о4 твисторного уравнения (6.1.1). Хотя из сказанного в гл. 1, § 5 и следует, что в геометрической интерпретации спинора со4 имеется существенная двукратная (знаковая) неоднозначность, неоднозначность в описаниях спиноров со4 и гео4 носит гораздо более тонкий характер и связана с граничной поверхностью 3. Непрерывный пространственный поворот пространства М на 2л переводит частное решение со4 твисторного уравнения (6.1.1) в другое его решение, а именно в —со4, а значит, переводит Z“ в —Z“. Так как собственные повороты являются элементами группы С* (1,3), замкнутый контур в С+(1,3), представляющий этот активный поворот на 2л пространства М, соответствует незамкнутой траектории в Sf/(2,2), начинающейся единичным элементом 6^ и оканчивающейся отрицательным единичным элементом — 6р. Следовательно, такой поворот переводит Z“ в —Z“. Семейство полотнищ флага, представляющее поле со4, конечно, переводится этим поворотом в него же, так что неопределенность знака в геометрическом истолковании твистора Z4 представляет собой нечто, с чем мы уже знакомы благодаря анализу, проведенному в гл. 1, § 5.

Чтобы найти причины четырехкратной неоднозначности, необходимо исследовать компактифицированное пространство М*. Явный вид траектории в SU(2,2), связывающей 6р с сбр, получим, положив

4(6) = ei9(^- Q₽Q“) + e'3i0QBQ“, (9.4.1)

где 6 — действительная величина, а твистор Q“ фиксирован и удовлетворяет единственному условию

QOQ°=1.

Легко убедиться, что преобразования

Z°^Tp(6)Zp

в самом деле относятся к группе Si/(2,2). (Сохранение произведения ZaZ“ почти очевидно; равенство detTg(6)=l следует из вида собственных значений е*'6, eie, е19 и е-3*6.) Эти преобразования составляют однопараметрическую группу:

Tg(0)=6g, П(0)Т?Ш-Т^(0 + ^),

а искомая траектория, соединяющая 6р с гбр, получается при изменении угла 0 от 0 до л/2.

Нетрудно убедиться, что преобразования (9.4.1) индуцируют конформное движение пространства М* вдоль лучей конгруэнции Робинсона

QaZ“ = 0.

[Это интегральные кривые изотропного конформного вектора Киллинга, определяемого главной частью твистора Q°; см. формулу (6.3.19).] О такого рода движениях говорилось в § 2 [после формулы (9.2.1)] в связи с вопросом о топологической структуре пространства М*. При непрерывном изменении величины 0 от 0 до л/4 пространство М* скользит вдоль этих линий (которые все имеют топологию сферы S1) по самому себе и каждая точка пространства М возвращается в исходное положение, пересекая в процессе движения одну из сфер S1 и один раз гиперповерхность 3. Стало быть, чтобы узнать, как элементы группы Sf/(2,2) и, в частности, преобразования (9.4.1) влияют на поля в М, нужно выяснить, как ведут себя эти поля при переходе через 3.

Ниже будет показано, что если в качестве поля сол, как и раньше, взять обычное спинорное поле с конформным весом, равным нулю [чтобы обеспечить конформную инвариантность выражения (6.1.1)], то, хотя при приближении к 3 с обеих сторон величина сол стремится к конечному пределу, пределы различаются множителем I. Чтобы описание поля сол в окрестности точки, принадлежащей поверхности 3, было сходным с его описанием всюду в М, приходится, по-видимому, продолжать сол через 3 одновременно двумя различными путями, приводящими к различию как раз в множителе L Отсюда следует, что в геометрическом описании твистора 2“ поле сол должно быть свя-

зано не только с —со-4, но и с ±цол. Этим и устраняется кажущийся парадокс, касающийся четырехкратной неоднозначности представления твистора Z“. Но нам нужно лучше разобраться в том, что здесь на самом деле происходит.

Две спиновые структуры на М*

Чтобы исследовать глобально поле со-4 на М* или хотя бы сказать, что мы понимаем под спинорным полем соА на М*. необходимо сначала точно определить спиновую структуру пространства М*. Это не тривиальная задача, ибо пространство М* не односвязно (см. гл. 1, § 5). У пространства М* с топологией S3XS' [формула (9.2.1)] имеется один-единственный «нестягиваемый» замкнутый контур, а все остальные могут быть непрерывной деформацией переведены в него или в кратный ему. Этот контур можно считать изотропной геодезической, или лучом, у (-S1) в М*. (То, что ни один ненулевой контур, кратный контуру у, не может быть непрерывно деформирован в точку, должно быть ясно из сказанного в начале § 2.) Значит, в соответствии с изложенным в гл. 1, § 5 в пространстве М* должно быть две (и только две) спиновые структуры, и их можно различать, указывая, как следует непрерывно переносить изотропный флаг по у, чтобы получить исходный спин-вектор, а не противоположный ему.

Может возникнуть мысль, что здесь существует «очевидный» выбор: считать спин-вектор неизменившимся, если его флаг переносится параллельно самому себе по контуру у. Но это значило бы игнорировать ряд тонкостей, связанных с переходом через гиперповерхность 3. Исходная связность Кристоффеля Vа, определение которой опирается на метрику пространства М, непригодна для определения параллельного переноса через 3. Чтобы все же перейти через 3, можно было бы воспользоваться связностью Кристоффеля Va для какой-нибудь другой метрики. Разумеется, тем самым мы допустили бы некоторый произвол, но суть проблемы не в этом. Рассмотрим изотропный флаг с флагштоком вдоль у: этого вполне достаточно, ибо если есть один ненулевой спин-вектор, определенный вдоль у, то его можно дополнить до спиновой системы отсчета вдоль у и все такие наборы, полученные в результате дополнения исходного спин-вектора до полной спиновой системы отсчета, непрерывно деформируемы друг в друга. Из формулы (7.1.20) следует, что условием параллельного переноса полотнища флага спинора ол вдоль направления (у) его флагштока является действительность спинового коэффициента g (с х = 1). Но, согласно формуле (5.6.29), это свойство сохраняется при конформных мае-

штабных преобразованиях, а значит, перенос полотнищ флага вдоль направления флагштока не зависит от выбора кристоф- фелевой связности Vo, т. е. не зависит от выбора масштаба для метрики §аь. (Это рассуждение явно носит локальный характер и не требует глобального определения спинора ол.)

Итак, у нас есть естественный конформно-инвариантный способ переноса таких изотропных флагов по контуру у. Упоминавшаяся выше тонкость состоит в следующем: когда мы проносим флаг таким способом по контуру у один раз, направление полотнища флага по возвращении в исходную точку меняется на обратное. Посмотрим, как это происходит.

Возьмем второй луч у', бесконечно мало смещенный относительно у так, что векторы смещения ортогональны направлению у, т. е. лучи у и у' изопараметричны (см. гл. 7, § 1). Этому требованию отвечает, например, случай, когда у и у7— два соседних луча одной изотропной гиперповерхности. Если полотнище нашего изотропного флага в этом случае направлено от у к у' (т. е. является полуплоскостью направлений всех соединяющих у и у' векторов смещений), то это полотнище переносится вдоль у параллельно самому себе. Теперь предположим, что, вместо того чтобы быть параллельным лучу у, луч у7 стал образующей светового конуса с вершиной в произвольной наперед заданной точке Р луча у. В смысле конформности это эквивалентно параллельному случаю, в котором Р лежит на ^ (см. § 1, 2). Так как параллельный перенос направлений полотнища флага вдоль у конформно-инвариантен, он определяется лучом у7 во втором случае столь же хорошо, как и в первом. Двигаясь вдоль луча у, можно обнаружить, что в вершине конуса Р векторы смещений, идущие от у к у7, меняют свой знак (рис. 9.11). Поскольку изотропный конус имеет только одну вершину, такая ситуация больше нигде на у не повторяется. Все это означает, что параллельный перенос изотропного флага, скажем флага спинора ул с флагштоком, расположенным вдоль у, по всему контуру у в М* из точки, являющейся непосредственным будущим точки Р, в точку, являющуюся ее непосредственным прошлым, обращает направление флага. Только от нас зависит, считать ли это обращение эквивалентным отрицательному или положительному повороту на угол л. С таким выбором и связаны упоминавшиеся выше две возможные спиновые структуры пространства М*. Будем называть правовинтовой спиновой структурой пространства М* структуру, гарантирующую, что следующее замкнутое движение флага спинора ул (т. е. «путь флага», см. гл. 1, § 5) должно еще и возвращать сам спинор ул к его исходному, а не противоположному по знаку, значению: полотнище флага спинора ул совершает один парал-

Рис. 9.11. Обращение направления полотнища флага при параллельном переносе в случае, когда луч у пересекается с гиперповерхностью 3 только один раз.

лельный перенос из точки Р луча у по у в направлении будущего в точку, являющуюся непосредственным прошлым точки Р, а затем для восстановления связи с исходным положением оно совершает правый поворот на л вокруг направления флагштока, Вторая спиновая структура называется левовинтовой спиновой структурой пространства М*. Отметим, что результаты таких двух допустимых движений изотропного флага различаются поворотом на 2л, а значит, они и в самом деле определяют различные спиновые структуры. Поскольку интуитивно смысл понятия «правого» поворота — относительно указывающего в бут дущее направления вдоль спинора ул — вполне ясен, обратившись к повороту вектора, касающегося римановой сферы S+ и представляющего направление полотнища флага, можно дать и точное определение: «правый» — значит против часовой стрелки, если смотреть снаружи сферы. К тому же представление о правом вращении позволяет говорить о пространственной проекции изотропного направления будущего вдоль у.

Если нет каких-либо оснований предпочесть правый поворот левому или наоборот, что обе эти спиновые структуы совершенно равноправны. Фактически мы можем сказать следующее: ' При пространственном отражении пространства М* одна из двух таких спиновых структур заменяется другой.

.(9.4.2)

Напомним, что пространственные отражения переводят нештрихованные спиновые пространства в штрихованные, и наоборот. Связь этого факта с только что обсуждавшимися возможностями выбора спиновой структуры можно усмотреть в следующем. В случае нештрихованного спинора у4 правый поворот на л вокруг флагштока эквивалентен преобразованию y4i—^1^, а левый поворот на л— преобразованию у4»—»—гул (в общем случае правые и левые повороты на угол а эквивалентны преобразованиям у4!—>е±*(“/2)уЛ, соответственно). В случае же штрихованного спинора т]4' соответствующие преобразования будут иметь вид ту4' i—> 4= й]4' и ту4' н^- ет Ии^^л'. фа. ким образом, если принять правовинтовую спиновую структуру пространства М* (что мы, как правило, и будем делать), то обнаружится, что параллельный перенос спинора у4 по контуру у в направлении будущего в исходную точку приводит к первоначальному значению спинора у4, умноженному на —I (поскольку поворот на угол л восстанавливает первоначальное значение этого спинора). Та же процедура, примененная к спинору т]4', дает его первоначальное значение, умноженное на -[—t- Если же вместо этого принять левовинтовую спиновую структуру, то множители —i и 4-i поменяются местами. (Несколько иной подход можно найти в работе [377].)

Отметим следующее:

По отношению к отражению во времени пространства М* обе указанные спиновые структуры инвариантны, (9.4.3) хотя такое отражение приводит к замене штрихованных спиноров нештрихованными и наоборот. В этом нетрудно убедиться. Если обратить направление времени, то последствия для движения, определяющего непрерывность спин-вектора, скажем правовинтовой спиновой структуры, будут двоякого рода. Во- первых, поскольку все движения теперь рассматриваются при обращенном времени, положительный поворот на угол л из-за этого обращается и становится отрицательным. Но тут же обращается и пространственное направление, по отношению к которому измеряется поворот, ибо направление будущего вдоль контура у теперь в пространственном отношении противоположно тому, что было. А это ведет ко второму обращению право-лево- вращательности, в результате чего правовинтовая спиновая структура при обращении времени фактически переходит в себя, что справедливо и для левовинтовой структуры.

Комбинируя последствия пространственного отражения и независимого от него отражения во времени, получаем, что

Пространственно-временное отражение пространства М* ведет к взаимной замене двух указанных спинорных структур.(9.4.4)

(Отметим, однако, что пространственно-временные отражения не ведут к обмену местами штрихованных и нештрихованных спинорных индексов.)

Поведение спинора тА на 3

Вернемся к спинорному полю сол, удовлетворяющему тви- сторному уравнению (6.1.1). Мы можем выбрать контур у в качестве одного из лучей (возможно, специальной) конгруэнции Робинсона, определяемой спинором сол. Воспользовавшись стандартной формой записи соотношений в пространстве М относительно начала отсчета О, принадлежащего у, мы получим, как в формуле (6.1.10),

сол = сол — 1хаа'ла',(9.4.5)

причем

хАА' = и^А^А' (ueR)(9.4.6)

вдоль луча у. Поскольку луч у принадлежит конгруэнции Робинсона, то (положив =7^ 0) можно выбрать

ул = (0Л;

и тогда он, очевидно, будет параллельно переноситься вдоль луча у. В таком случае формула (9.4.5) дает

<ол = [1—и (Ь + is)] ул,(9.4.7)

где

5 = Ре(соллл), 6 = 1ш(соллл)

суть действительные постоянные. Заметим, что, согласно формуле (6.1.74), величина s— это спиральность

2 Za

твистора 2° = (сол, лЛ'). На аргандовой плоскости коэффициент пропорциональности [1— u(6 + is)] из соотношения (9.4.7) при изменении и от —оо до -|-оо описывает прямую, причем аргумент комплексного уравнения этой прямой возрастает или уменьшается в зависимости от того, отрицательна или положительна спиральность твистора Z“ (рис. 9.12,а). Чтобы связать это с геометрией полотнища флага спинора сол, лучше рассмотреть квадрат этого коэффициента, который описывает параболу с фокусом в начале координат (см. рис. 9.12,6). Аргумент этой точки служит прямой мерой поворота полотнища флага спинора со4 (гл. 3, § 2). Из сказанного следует, что предельные направления полотнища флага одни и те же при и^>—оо и при и-»-+оо, но знак спинора сол в формуле (9.4.7) при переходе от одного предела к другому меняется на обратный.

Рис. 9.12. Поворот (на аргандовых пчоскостях) направления полотнища флага спинора (ол в случае твнстора с ненулевой спиральностью, когда конгруэнция Робинсона идет в направлении будущего. (Диаграмма б дает более непосредственное представление: направление полотнища флага соответствует направлению движения точки в начале аргандовой плоскости.) Луч направлен к читателю.

Как нетрудно видеть (см., например, рис. 9.12,6), направление вращения полотнища флага противоположно спиральности твистора. Направление же вращения соседних лучей конгруэнции Робинсона относительно луча у, как мы видели в гл. 6, § 2, совпадает со спиральностью. Кроме того, скорость вращения полотнища флага в 2 раза больше скорости соседних лучей. Все это вытекает и из уравнений для спиновых коэффициентов

Im(p) = s, 2Im(e)=— 2s, (9.4.8)

которые являются прямым следствием соотношения (9.4.5), в чем можно убедиться, выбрав спиновую систему отсчета вдоль луча у с

ол = сол, 1Л = лл (соллл)-1

и вспомнив, что, согласно сказанному в гл. 7, § 1, величина Im(p) есть мера скорости вращения соседних лучей конгруэнции, а 21т(е)—мера скорости вращения полотнища флага спинора ол. [Несмотря на внешний вид формул (9.4.8), эти скорости вращения не постоянны, поскольку они отвечают масштабу спинора сол, а не ул. Как явствует из формулы (9.4.7), «абсолютные» скорости вращения даются выражениями (9.4.8), деленными на |1—u(6 + is)|-2.] Отметим одно интересное обстоятельство: для любого смежного луча конгруэнции, изопара- метрического лучу ц, полотнище флага спинора сол в трех (и только трех) местах луча у направлено вдоль вектора смещения, связывающего лучи конгруэнции, что обусловлено ука^ занными выше соотношениями между скоростями вращения. (Записанные в обычных обозначениях, не требующих пояснения, уравнения 26 = —^ и 6 — ^ = 2пл имеют решения 6 = 0, 2л/3, 4л/3.) Это .следует из соотношения (9.4.1):, которое, если его

применить к самому твистору Q°, дает Q°H^e-3‘"8Q°, так что при скольжении конгруэнции Робинсона вдоль самой себя полотнища флагов поля сол, ассоциированного с твистором Q°, оказываются в исходном положении, когда угол 6 принимает значения 0, 2л/3, 4л/3 (разумеется, следует также принять во внимание и четырехкратную неоднозначность).

Итак, при изменении и от —оо до +оо поле ®л меняет знак по отношению к спинору ул, т. е. по отношению к параллельному переносу вдоль луча у. Кроме того, мы видели, что поле, подвергшееся параллельному переносу в пространстве *, меняет направление на обратное при переходе через 3 и в случае правовинтовой спиновой структуры спинор у4 в непосредственном прошлом гиперповерхности 3 нужно было бы умножить на i, чтобы он был равен своему значению в непосредственном будущем гиперповерхности 3. Спинор у4 можно сделать непрерывным на 3, изменив его «масштаб» в соответствии с преобразованием ул = Q^y4, которое соответствует равенству уд = ?д. Дело в том, что это преобразование сохраняет параллельный перенос [ср. с формулами (7.1.18) и (5.6.25), которые показывают, что равенство е = 0 сохраняется, когда w0 = —1]. Для поля ®л мы имеем одно «лишнее» изменение знака, так что в случае правовинтовой спиновой структуры следовало бы значение спинора юл в непосредственном прошлом гиперповерхности 3 умножить на —i, чтобы обеспечить непрерывный переход к значению этого поля в непосредственном будущем гиперповерхности 3.

Если бы вместо [*]"Твистора Za мы выбрали [°]-твистор Wa = (^, рЛ), то получили бы поле цл', полотнище флага которого в непосредственном прошлом гиперповерхности 3 нужно было повернуть в том же направлении, что и полотнище флага спинора ®л, чтобы обеспечить непрерывный переход к значению в непосредственном будущем гиперповерхности 3 (то же в случае правовинтовой спиновой структуры). Но теперь это означает, что ц/' в непосредственном прошлом гиперповерхности 3 нужно было бы умножить на -f-i, чтобы переход через 3 не нарушал непрерывности. В случае левовинтовой спиновой структуры множители -j-i и —I, разумеется, следовало бы поменять местами..

Твисторные спин-расслоения над М*

Рассмотренная выше довольно сложная геометрическая структура свойственна не только данному твисторному уравнению, но, как мы скоро увидим [см. теорему Гржина (9.4.15)],

и глобальным решениям уравнений для безмассового свободного поля, которые на первый взгляд вроде бы никак не связаны с твисторами. В силу указанных геометрических тонкостей спинорные поля, фигурирующие во всех этих случаях, строго говоря, не являются спинорными полями в обычном смысле этого слова, а представляют собой сечения некоторых «скрученных» (или «твистовых» от twisted) векторных расслоений (т. 1, гл. 5, §4), к изучению которых мы сейчас и перейдем.

«Скручивание» («твист» — twist), которое мы собираемся ввести, в какой-то степени аналогично скручиванию ленты в листе Мёбиуса (см. т. 1, рис. 5.3, с. 404) и эквивалентно тому «умножению на -Н» на гиперповерхности 3, о котором мы только что говорили. Таким образом, если нам требуется конформная инвариантность полей юл и цл' в смысле инвариантности относительно группы SU(2,2), то эти поля следует считать скрученными в указанном смысле слова.

Есть прямой «твисторный» способ определения конкретных нужных нам векторных расслоений [82], которые мы будем называть твисторными спин-расслоениями над М*, а также над СМ*, ибо они естественным образом могут быть распространены на все пространство СМ*. Начнем с твисторного расслоения За- твистовых [° °]-спиноров над СМ*. Напомним (см. гл. 6, § 2; гл. 9, § 3), что точки пространства СМ* однозначно соответствуют двумерным комплексным линейным подпространствам твисторного пространства Т“. Пусть X — такое линейное подпространство, соответствующее точке X е СМ*. С одной стороны (в пространстве Т"), различные твисторы, инцидентные точке X, являются точками подпространства X, а с другой (в пространстве СМ*) — каждый такой твистор единственным образом определяется выбором спинора лд- в точке X. Другими словами, пара (JC, Z"), в которой твистор Z" инцидентен точке X, интерпретируется в пространстве Т“ как пара

(X, Z“) с Z“ е X с Т,

а в пространстве СМ* как пара

(X лд') с лД' в точке X е СМ*.

Спиновое пространство спинора лд- в точке X теперь приобретает смысл самого векторного пространства X.

Тогда можно начать с пространства Т“, обладающего заданной структурой комплексного векторного пространства. Затем

мы определим СМ* как пространство двумерных векторных подпространств X с: Т°. Отсюда автоматически получается расслоение 9”а' как пространство пар (X, Z“) с Z“ еХ, где слои появляются вслед вЩи£ варьирования Z“ при фиксированном X. И наконец, мы и$^^претируем эти слои как спиновые пространства ©д' [fl сидора лд' в различных точках пространства СМ*.

Однако это не обычные спиновые пространства, а скрученные в указанном выше смысле. Фактически эти пространства дуальны спиновым пространствам дА', которым принадлежат обсуждавшиеся ранее (скрученные) спиноры иА' (части твисто- ров Wa). Чтобы показать это, рассмотрим любой [°]-твистор Wa. В пространстве Т“ твистор Wa дает линейное отображение: Т" -> С, а в пространстве СМ* — скрученное поле цл. Для каждого X е СМ* мы получим конкретное поле цл, а именно р.л [fl е @л [fl, что в Т соответствует ограничению линейного отображения Wa пространства Т“ до подпространства X. Это ограничение представляет собой линейное отображение Х—>С, т. е. элемент дуального пространства векторного пространства X, который показывает, что пространство X канонически отождествляемо с пространством ®дДА, дуальным (сопряженному) спиновому пространству бл'[А в точке X. При изменении X над М* эти пространства 5дДА должны быть непрерывно связаны друг с другом подходящим скручиванием, дуальным скручиванию спинора рА', характеризующего пространство gа-. Этим и доказывается наше утверждение. (Слои взаимно дуальных расслоений Уа- и дА' точечно дуальны друг другу. Поля цл' являются сечениями пространства дА* д

Теперь рассмотрим твисторное расслоение gА скрученных [° °]-спиноров над СМ*. Проще всего считать дА расслоением, комплексно-сопряженным определенному выше расслоению дА'- Это эквивалентно представлению точек пространства СМ* двумерными линейными подпространствами в дуальном тви- сторном пространстве Та, поскольку твисторное комплексное сопряжение меняет Т“ на Та, и наоборот. (Считать пространство Та дуальным, а не комплексно-сопряженным пространству Т“ здесь более логично, ибо такая точка зрения приводит к вполне голоморфной конструкции. В некоторых ситуациях [82], когда приходится иметь дело с комплексным пространством СМ*, а не с М* важно, насколько это возможно, удерживать все операции голоморфными.) Таким образом, представляя точку X е СМ* двумерным подпространством X* cz Ta, мы приходим

к расслоению ^л над СМ*, которое является пространством пар (Xе, Wo), где WaeX*, так что слой над X— это просто пространство X*. Каждая такая пара эквивалентна паре (X, Хл), и это позволяет сказать, что понималось под «скрученным» спинором Ха. Дуальное расслоение 9А можно получить обычным путем, взяв в качестве его слоев слои, дуальные слоям расслоения 9*а. Аналогично полю ц4' и расслоению дРА* решения шл твисторного уравнения (корректным образом скрученного) являются сечениями расслоения 9^, индуцированными линейными отображениями вида Z“:Ta~>tC.

В качестве альтернативного подхода расслоение 9а можно определить непосредственно в пространстве Т“ (что более логично, если пространство Т“ считается первичным). В этом случае х е СМ* представляется исходным двумерным подпространством X е Т”. Рассмотрим для каждого такого X двумерное пространство тех линейных отображений Wa:Ta—>С, которые дают нуль в каждой точке подпространства X. Эти отображения мы принимаем за слои расслоения 9а, что, как легко видеть, эквивалентно определению, данному в предыдущем абзаце. Далее расслоение 9А можно определить как расслоение, дуальное расслоению 9а.

Имея расслоения 9д, 9д', 9А и 9А над СМ*, ничего не стоит ограничить их на М*. Тогда пространства ©д, ©л', ®4 и б4' можно определить как гладкие сечения этих (соответствующих) расслоений (какую бы степень гладкости мы ни выбрали, скажем С°°, чтобы можно было сравнивать с нашими прежними результатами). Если мы имеем дело с пространством СМ*, то требуются голоморфные сечения, но тогда необходимо локальное рассмотрение, ибо произвольные сечения определены только над некоторым открытым множеством пространства СМ*.

Пользуясь методами, изложенными в гл. 2, § 2 (см. также т. 1, гл. 5, § 4), можно теперь определить элементы произвольного (скрученного) [£ qt]-спинорного пространства ’SqV.'.n'. Заметим, что если рассматривать обычные спинорные поля на М, то скачок на гиперповерхности 3 относительно правовинтовой спиновой структуры определяется требованием, чтобы поле в непосредственном прошлом гиперповерхности 3 было умножено на величину

y-v-t^q (9.4.9)

для обеспечения непрерывного перехода к значениям этого поля в непосредственном будущем гиперповерхности 3. В частности, скачок для элементов пространства ©л должен быть противоположен скачку для элементов дуального ему пространства ©4.

(Так, например, скалярное произведение типа идсол должно быть, очевидно, в любой точке пространства М* (или СМ*) обычным нескрученным скаляром, т. е. элементом пространства С.]

Хотя данное выше определение модуля @;у не приводит к спинорным полям в обычном смысле этого понятия (во всех случаях, кроме случая, когда величина г — р— t + q кратна 4), мы можем считать «твистовую спиновую структуру», из которой оно получено, более естественной, чем правовинтовая или левовинтовая спиновая структура на М*. [Разумеется, мы можем с тем же успехом записать «скачок» (9.4.9) и относительно левовинтовой спиновой структуры, просто заменив в выражении (9.4.9) / на —I, или, что эквивалентно, изменив на обратный знак показателя степени.]

Конформные плотности на М*; индекс Гржина

Скачок (9.4.9) согласуется с рассмотренным ранее в этом параграфе поведением параллельно переносимого спинора уд при условии, что мы берем последний в конформно-инвариантной форме с нижним индексом. Если же мы возьмем спинор у4 (или, скажем, спинор шд), который является конформной плотностью и не является конформно-инвариантным, то в случае произвольного конформного веса w в формулу следует включить дополнительный множитель (—l)™, причем показатель w здесь должен быть целым числом. Правда, при интерпретации этого нужна осторожность. Если определить конформную метрике gab несингулярную метрику §аь в некоторой окрестности точки гиперповерхности ^ обычным способом с помощью соотношения

gab = Q?gab. (9.4.10)

где £2— конформный множитель, скажем, из § 1, то окажется, что последний либо на одной, либо на другой стороне гиперповерхности отрицателен. Поэтому приходится отказаться от обычного (см. гл. 5, § 6) требования, чтобы конформный множитель был всюду положительным. Величины с нечетным конформным весом в областях, где выбирается знак минус перед квадратным корнем из £22 в формуле (9.4.10), в дополнение к изменению масштаба претерпевают еще и изменение знака. Если действовать так, как в начале § 2, где для построения пространства М* к пространству М сначала добавлялись, а затем отождествлялись граничные гиперповерхности ^+ и ^Х-, то мы не обнаружим появления отрицательных множителей Q. Но если продолжать £2 гладко через ^+ в будущее или через З- в

прошлое, то мы попадем в области отрицательных Q. Это не очень желательно и особенно потому, что для представления спин-вектора хл изотропным флагом используется бивектор

хлхвел'в' + елвхл'хв'

[формула (3.2.9)], причем все спиноры е, входящие в него, обладают нечетным конформным весом. Следовательно, там, где Q < О, видимо, нужно потребовать обратного по сравнению с данным в гл. 3, § 2 (и т. 1, гл. 1) соотношения между спин-век- тором хл и его полотнищем флага (т. е. касательный к сфере S+ вектор, представляющий это полотнище флага, должен быть направлен в противоположную сторону). Но это не устраняет встреченную нами выше проблему неопределенности выбора между право- и левовинтовой спиновыми структурами (поскольку спиновая структура — это всегда исключительно топологическое и абсолютно неметрическое понятие [206]), ибо в случае отрицательных Q нужно дважды «обойти» пространство М*. прежде чем мы вернемся к исходным значениям. В связи с этим в формулируемом ниже определении принята процедура «склейки» (при которой Q ^ 0 всюду в М*), использованная в начале § 2.

Определение.

Поле [ pr qt ^-спинора в пространстве М, являющегося конформной плотностью с (целым) весом w, называется гржиновским полем на бесконечности, если при изменении масштаба (с й > 0) и использовании правовинтовой спиновой структуры оно непрерывно продолжается через гиперповерхность 3, будучи в непосредственном прошлом граничной гиперповерхности 3 умножено на(—i)p-r-q+t-2w (9.4.11)

Целое число (mod4)p — г — q-Vt — 2ш называется (по предложению Вудхауса) индексом Гржина данного поля. Отметим, что индекс Гржина главной спинорной части [*]"твистора равен + 1, а [°]-твистора — (— 1). Поэтому, выполнив тензорное умножение, мы сможем сформулировать следующее предложение.

Предложение

Индекс Гржина главной спинорной части [ £ у-твистора равен р — ^(mod4).(9.4.12)

Кроме того, справедливо следующее положение весьма общего характера:'

Если индексы Гржина полей ф‘” и %" равны а и Ь, то индекс Гржина поля ф”х”‘ равен a + b (mod 4). (9.4.13)

При желаний отмеченные ранее трудности интерпретации в случае ненулевого конформного веса можно обойти, заменив поле ^gW.V полем

Yg-.-n^pq • • • 6ти или YG...N'6 -е ,(9.4.14)

чтобы в результате получилось поле с нулевым конформным весом. Индекс Гржина при этом остается прежним, так как для спиноров е он равен нулю1).

Теорема Гржина

Введенные выше термины, содержащие фамилию Гржина, связаны со следующим замечательным результатом.

Теорема Гржина [115]

Любое несингулярное решение уравнения (4.12.42) для ' безмассового свободного поля на эйнштейновском цилиндре 8, который в результате стандартной процедуры отождествления становится пространством М*. соответствует определению (9.4.11).(9.4.15)

Прежде чем доказывать эту теорему, отметим, что в случае без- массовых полей со спином (1/2)п, имеющего нештрихованные индексы, выполняются равенства r = n, w =—1 и p=q=t= = 0, так что индекс Гржина равен —п + 2, тогда как для таких же полей со штрихованными индексами индекс Гржина равен n-f-2. Напомним (гл. 5, § 7), что для положительно

’) Замена в формуле (9.4.14) штрихованными спинорами е некоторых и даже всех иештрихованных ничего не изменила бы. Это связано с тем, что (в данной книге) при изменениях масштабов вДВ = ЙеДВ, ед,в,= QeA,B, и ЙаЬ= ®^8ау мы всегда полагали Й = Й, хотя, вообще говоря, можно было бы рассмотреть независимые Й и Й. В данном контексте это соответствует тому, что нас интересует инвариантность относительно группы SU (2, 2) [или ее комплексификации SL (4, С) ], а не относительно более общей группы U (2,2) [или GL (4, С)]. Сохранение твистора ea^s и является отличительной особенностью этих несколько более ограниченных преобразований. Согласно формуле (6.1.64), спинорными частями твистора 8apve являются члены типа е4 в eCD, масштаб которых устанавливается множителем Й-1Й. Поэтому из сохранения твистора eapvg следует равенство й = й.

частотных полей спиральность в первом случае равна s = = —(1/)пЙ, а во втором — « = (1/2)пй. Следовательно, индекс Гржина равен 2s^-1+2. Чтобы устранить возникающий теперь в определении (9.4.11) множитель (— 1^п+\ нам потребовалось бы двукратное покрытие пространства М* в случае безмассовых полей с четным спином (т. е. в случае конформноинвариантного безмассового скалярного поля Даламбера) и четырехкратное в случае полей с полуцелым и нечетным спином. Однако в случае полей с нечетным целым спином (например, максвелловского поля) достаточно пространства М*.

Для доказательства теоремы Гржина воспользуемся доказанной ранее леммой, позволяющей свести случай произвольного спина к случаю нулевого. Предположим, что ХА"’° в конформно-плоском пространстве-времени Л есть главная спинорная часть симметричного [" ]-твистора, так что выполняется условие (6.4.1), и допустим, что симметричный n-индексный спинор Фа d удовлетворяет уравнению для безмассового поля (4.12.42). Тогда, согласно формуле (6.4.31) (и последующим выводам), поле

Ф = Фа...о^-°

удовлетворяет конформно-инвариантному уравнению [ср. с формулой (6.8.30)]

(□+|/?)^ = 0.

Возьмем именно такой спинор фд D, В любой точке Qg^ спиноры, удовлетворяющие условию (6.4.1), стягивают пространство ©<Л""‘О)[9], поскольку (симметричный) твистор в любой одной точке обладает произвольной (симметричной) главной спинорной частью. Пусть Р — это точка, в которой впервые снова сходится световой конус будущего, построенный в Q, т. е. это первая точка будущего по отношению к точке Q, которая отождествляется с Q в результате процедуры отождествления, проводимой для получения пространства М*.

Из предложения (9.4.12) следует, что спинор XA’"D является гржиновским полем. Поэтому благодаря мультипликативному свойству такого спинора (9.4.13) и свойству спиноров А'" стягивать в каждой точке указанное выше пространство достаточно показать, что скаляр ф тоже является гржиновским полем. (Доказательство этой теоремы для штрихованного безмассового поля фд, D, можно будет провести путем комплексного сопряжения.) Чтобы скаляр ф был гржиновским полем, для каждой выбранной точки Q должно выполняться равенство

Рис. 9.13. Явление Гржииа в случае безмассовых скалярных полей на эйнштейновском цилиндре 8 [объяснение на основе интегральной формулы Кирхгофа—Дадемара (5.12.6)]. Лучи, проходящие через точку Q, впервые снова сходятся в точке Р. Различие в знаках поля в точках Р и Q обусловлено различием в знаке сходимости р изотропной гиперповерхности Jf между точками Р и Q при приближении к той или другой из них.

Ф(Р) =—^(Q). Показать, что оно выполняется, можно, например, исходя из того, что всякое решение волнового уравнения в пространстве М строится из «элементарных» решений, которые в стандартных координатах, взятых относительно множества различных начал отсчета, имеют форму

/~*б(| /1 — (х2-[-t/2-[-z2)'/2)

Коэффициент при 6-функции имеет на световых конусах будущего и прошлого противоположные знаки и, очевидно, является гржиновским полем, что и доказывает теорему. Эту теорему можно доказать также, основываясь на формуле Кирхгофа — Дадемара (5.12.6), позволяющей представить ф(Р) в виде интеграла по пересечению светового конуса прошлого, построенного в точке Р с некоторой изотропной гиперповерхностью Л9. При выводе этой формулы мы исследовали предельную ситуацию, когда пересечение приближалось к точке Р из прошлого (интеграл не зависит от рассматриваемого пересечения гиперповерхностей). Если же теперь сравнить этот предел с соответствующим выражением, полученным при приближении пересечения гиперповерхностей к точке Q по световому конусу прошлого с вершиной в Р из будущего (рис. 9.13), то мы обнаружим, что, поскольку в выражении р^ = (О — р) ^ (где е положено равным нулю) вблизи точек Р и Q доминирует член —рф, оба предела различаются лишь знаком сходимости р пересекаемой изотропной гиперповерхности Л° и что в первом случае в него входит значение ф(Р), а во втором—ф^). Таким образом, снова, как и требовалось, ф^) = —ф(Р).

Негржиновские поля

Заметим, что гржиновскими являются поля, удовлетворяющие уравнениям поля глобально, и не являются поля, имеющие сингулярности. Одно из негржиновских полей — хорошо знакомое нам кулоновское поле. Индекс Гржина здесь равен нулю, так что будь это поле гржиновским, оно должно было бы непрерывно продолжаться через гиперповерхность 3 в М*. Но как нетрудно видеть, на самом деле это поле меняет знак на 3. Так, в случае положительного заряда вектор напряженности электрического поля всегда направлен радиально вовне и, следовательно, ассоциирован с направленным вовне ЭРИН (гл. 8, § 5, с. 305). Но на гиперповерхности 3* это — ЭРИН, пронизывающее 3, тогда как на 3- оно идет по касательной к 3 (рис. 9.14). Таким образом, знаки поля при отождествлении 3* с 3~ должны быть противоположными. В этом можно убедиться и иначе — рассмотрев универсальное накрывающее пространство S пространства М* и продолжив поле аналитически (без изменения знака на гиперповерхности 3^ на все пространство S. Поскольку пространство-время 8 пространственно замкнуто, заключенный в нем полный заряд должен быть равен нулю [например, в силу формулы (6.4.4) с ^ = ^]. Следовательно, образ мировой линии исходного заряда, который в пространственном отношении лежит в антиподальной точке сферы S3, должен представлять заряд, противоположный исходному (т. е. отрицательный). А стало быть, продолжение исходного кулоновского поля через гиперповерхность 3 должно быть кулоновским полем про-

Рис. 9.14. Антигржиновское поведение кулоновского поля. (Так как это максвелловское поле его индекс Гржина равен нулю.)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 393 тивоположного знака, что и говорит о негржиновском (анти- гржиновском) характере полного поля.

Еще один пример антигржиновского поля — поле фдвсп в случае линеаризованного решения Шварцшильда Индекс Гржина теперь равен 2, так что обычные волновые поля со спином, равным 2, меняют знак на гиперповерхности 3, тогда как линеаризованное шварцшильдовское поле не меняет. Однако вскоре [формула (9.6.40)] выяснится, что при переходе от спинора фдвсп к вейлевой кривизне Фдвсо появляется дополнительный множитель й, а значит, в полной теории имеет место противоположное поведение, а именно при аналитическом продолжении решения Шварцшильда через гиперповерхность 3 меняется знак массы [см. в § 6 первый абзац после формулы (9.6.7)].

В заключение заметим, что при любом целом или полуцелом значении спина существует много несингулярных решений уравнения для безмассовых свободных полей над всем пространством S. Например, можно задать любые подходящие начальные данные на пространственноподобном сечении S3 пространства S, и ими будет определяться поле, несингулярное во всем пространстве $. Теорема Гржина указывает, что такие решения обладают любопытным типом периодичности на S. [Он специфичен для конкретных уравнений поля, рассматриваемых здесь. Например, в «Л^4-теории безмассового поля» с уравнением поля (□ + */бЯ) ф = Хф3 периодичность такого типа возникнуть не могла бы.] Явные несингулярные решения на М* легко строить твисторными методами; примером могут служить элементарные состояния, возникающие из твисторной функции (6.10.48). Индекс Гржина, равный 2s^-1 + 2, для безмассовых полей определяется, как нетрудно сообразить, степенью однородности — (2s^-1 + 2) твисторных функций для безмассовых полей со спиральностью s. Однако здесь мы не будем на этом останавливаться.

Космологические модели и соответствующие твисторы

Прежде чем рассматривать асимптотическую структуру произвольного искривленного пространства-времени, интересно рассмотреть ее сначала в случае стандартных космологических моделей Фридмана — Робертсона — Уокера (ФРУ) [292]. В настоящее время имеются довольно впечатляющие данные наблюдений, свидетельствующие в пользу того, что структура реальной Вселенной прекрасно аппроксимируется такой моделью. Все модели ФРУ являются конформно-плоскими [см. предложение (8.2.2)], а значит, могут быть представлены как конформные подмножества эйнштейновского цилиндра б? (который сам

тоже относится к космологическим моделям ФРУ). Посмотрим, как это связано с геометрическими и алгебраическими построениями, изложенными в § 1—3. Такой анализ откроет нам путь к непосредственному использованию твисторного формализма для изучения этих моделей.

Метрика модели ФРУ в общем случае имеет следующую стандартную форму:'

(9.5.1)(9.5.1)d? = du2 - [т? №

(9.5.1)

(9.5.1)

I (1 + т^2)

где U—«космическое время», a k — + 1 или 0, так что метрика в фигурных скобках представляет собой метрику единичной 3-сферы, единичного трехмерного (гиперболического) пространства Лобачевского или трехмерного евклидова пространства, соответственно. Перейдя к новым координатам

т—$^(У)> Р — 2 arctg 2 q ^ — 1),(9.5.2а)

или

»=$^у. P = 2Arth4-<7 (£ = —D,(9.5.26)

или

z=S^w-r=q ^^(9-5-2b)

эту метрику формах:

можно переписать в следующих альтернативных

d? = [5 (т)]2 {dx2— dp2— sin2pd<o2}, (9.5.3а) ds2 = [5 (ст)]2 {do2 — dp2 — sh2 p. d®2}, (9.5.36) ds2 = [5 (/)]2 (d/2 — dr2 — r2d®2}, (9.5.3b)

где

dm2 = d62 + sin26d^2,

R ((/) = 5 (т), S (ст), S (/), соответственно.

В формуле (9.5.3а) в фигурные скобки заключена рассмотренная в § 1 метрика эйнштейновского цилиндра $. В том же параграфе мы выяснили, как конформно связать метрику пространства 8 с метрикой пространства Минковского М, которая взята в фигурные скобки в формуле (9.5.3в). Путем очевидных модификаций можно также найти соответствующие формулы, связывающие метрику антиэйнштейновской вселенной з4>, которая записана в фигурных скобках в формуле (9.5.36), с метрикой пространства Минковского, т. е. найти явное конформное отображение из ^ в ^*. Все вместе это дает (cos т + cos р)-2 (dr2 — dp2 — sin2 р d<o2) =

= (ch ст + ch 9УТАД^ — dp.2 — sh2 pd®2) = d? — dr2 — r2d®2, (9,5,4)

Рис. 9.15. Полные конформные пространства при различных значениях й: эйнштейновский цилиндр 8 (& = + 1), пространство Минковского М (&=0), антиэйнштеновское пространство si (k = 1). Различные конформные области пространства 8 указаны с помощью координат р и т, введенных в пространстве 8. В каждом случае показаны линии постоянного времени и мировые линии «фундаментального наблюдателя».Рис. 9.15. Полные конформные пространства при различных значениях й: эйнштейновский цилиндр 8 (& = + 1), пространство Минковского М (&=0), антиэйнштеновское пространство si (k = 1). Различные конформные области пространства 8 указаны с помощью координат р и т, введенных в пространстве 8. В каждом случае показаны линии постоянного времени и мировые линии «фундаментального наблюдателя».где sin т sh а cos т + cos р ch <т + ch р ’ sin р sh р cos т + cos р ch а + ch р ’ 21sh а

Рис. 9.15. Полные конформные пространства при различных значениях й: эйнштейновский цилиндр 8 (& = + 1), пространство Минковского М (&=0), антиэйнштеновское пространство si (k = 1). Различные конформные области пространства 8 указаны с помощью координат р и т, введенных в пространстве 8. В каждом случае показаны линии постоянного времени и мировые линии «фундаментального наблюдателя».

Рис. 9.15. Полные конформные пространства при различных значениях й: эйнштейновский цилиндр 8 (& = + 1), пространство Минковского М (&=0), антиэйнштеновское пространство si (k = 1). Различные конформные области пространства 8 указаны с помощью координат р и т, введенных в пространстве 8. В каждом случае показаны линии постоянного времени и мировые линии «фундаментального наблюдателя».

0.5.5)

t2 — г2 + 1ch а ’

21sin т

I2 — г2 + 1cos р’-

2г sin р

г2 — I2 + 1cos т"

1 =г =tgT = tgp = th а = th ц =1 =г =tgT = tgp = th а = th ц =Координаты тир здесь те же самые, что использовались в § 1 для описания эйнштейновского цилиндра, и связаны с координатами Минковского 1 и г соотношениями, тоже приведенными в § 1.

1 =

г =

tgT = tgp = th а = th ц =

1 =

г =

tgT = tgp = th а = th ц =

На рис. 9.1 и 9.2 мы видели, что пределы изменения пере-менных р и q (а значит, и т, р) соответствуют всему простран-ству Минковского М. В этих пределах конформный множительcos и + cos р,

определяющий отображение изМ в ё, положителен и граница находится там, где этот множитель становится равным нулю (р + т = л). Точно так же как пространство М конформно лишь части пространства S, антиэйнштейновское пространство зФ конформно лишь части пространства 8. В этой части конформный множитель

(ch ст + ch ц)-1,

определяющий отображение из М в з4-, положителен и равен нулю на границе, где координаты ст и р становятся бесконечными:

■г + /=1, т. е. р±т = л/2.

Вложенные одна в другую области зФ с М с 8 этого конформного отображения показаны на рис. 9.15.

Космологические горизонты

В любой конкретной космологической модели с заданной функцией R(U) координата «космического времени» U может изменяться лишь в определенном интервале значений. Это означает, что модель конформна некоторой области пространства S’, ограниченной гиперповерхностью т = const, t = const или ст = const в зависимости от рассматриваемого случая. Если эти константы отличны от «бесконечности» (такую границу мы уже видели на рис. 9.15), то граничные гиперповерхности всегда пространственноподобны и соответствуют существованию горизонтов частиц или горизонтов событий в зависимости от того, лежат ли эти границы в прошлом или в будущем [291, 236, 242] (см. также [125]). Горизонты частиц1) [событий] — это границы ГНБ [или ГНП] максимально продолженной мировой линии (идеализированной) галактики (</, 6, ф = const: «фундаментальные наблюдатели»). Граничные гиперповерхности космологической модели могут представлять либо бесконечность исходного космологического пространства-времени Л [соответствующую значению R 13^ = 00, когда мы имеем сходящий интеграл dU/R(U), и равному нулю конформному множителю при переходе от пространства Л к пространству 8"], либо сингулярность бесконечного сжатия [соответствующую значению R(U') = = 0, когда мы имеем сходящийся интеграл ^ dU]R(JJ\ и бесконечно большому конформному множителю при переходе от пространства Л к пространству S’]. Будем называть сингулярную

*) В книге [125] для такого рода границы ГНБ предпочтение отдается термину «горизонт рождения» (creation horizon).

Рис. 9.16. Области, показанные на рис. 9.15 и соответствующие различным пылевым фридмановским моделям с Л = 0.

границу прошлого большим взрывом, а сингулярную границу будущего — большим треском. Вне зависимости от того, представляет ли граница сингулярность или бесконечность, мы всегда можем воспользоваться методом, изложенным в конце § 1 (ГНБ и ГНП), чтобы дать внутреннее определение этих граничных точек, т. е. не выходящее за рамки понятий и построений, относящихся исключительно к исходному простран- ству-времени Ж. При таком подходе связь между этими пространственноподобными границами и физическими свойствами горизонтов становится особенно прозрачной [242].

На рис. 9.16 показаны области, соответствующие трем стандартным пылевым фридмановским моделям с равной нулю космологической постоянной X. При ^ = +1 «высота» цилиндра такова, что наблюдатель, историей которого являются линии р, 6, ф = const, приближается к событию своего рождения, достигая большого треска; информация обходит при этом Вселенную один раз. На полпути к максимальному расширению он впервые увидит свою антиподальную точку, и, начиная с этой стадии, все галактики1) будут в его поле зрения. (Все эти утверждения, а также то, что говорится ниже, легко выводятся из стандартных уравнений; см., например, [292, 352].)

Рассмотрим еще несколько примеров. Толмэновские радиационные вселенные с X = 0 [344, с. 440] аналогичны фридмановским, но при й = +1 цилиндр вдвое ниже, так что наблюдатель, достигнув большого треска, лишь начинает «видеть»

*) Термин «галактика», как это принято на данном уровне обслуждения космологических проблем, относится к идеализированной мировой линии, исходящей из большого взрыва, и не имеет отношения к эпохе, в которую могли сформироваться первые реальные галактики.

антиподальную галактику. Вселенная де Ситтера (о которой мы еще поговорим) конформно сходна с толмэновской, но ее границы представляют не сингулярности, а бесконечности. Модель Эддингтона — Леметра соответствует полубесконечному цилиндру Эйнштейна с пространственноподобной границей будущего, представляющей бесконечность. Модель Леметра соответствует конечному цилиндру Эйнштейна, который может быть сделан сколь угодно длинным, если граница прошлого является сингулярностью, а граница будущего представляет бесконечность. В моделях с Л > 0 бесконечность всегда является пространственноподобной границей [формула (9.6.18) ниже]. «Нормальные» модели ФРУ с Л < О (которые исключают, например, статическое антиэйнштейновское пространство зФ и пустое максимально расширенное антидеситтеровское пространство) не имеют (временных) бесконечностей: все они ограничены пространственноподобными взрывом и треском. Модель Милна (пустая) конформна всему пространству з4>. (За дальнейшими подробностями мы отсылаем читателя к работам [25, 125, 292 и 352].) Бесконечность антидеситтеровского пространства вре- мениподобна: р = л/2.

Описание в пространстве Р5

Попытаемся связать эти соответствия со сказанным в § 2, где пространство М* рассматривалось как квадрика в Р5. Перейдя в формуле (9.5.5) к координатам, введенным в указанном параграфе, мы получим

tgx = T/V,

tho = -T/W,(9.5.6)

t = tkv — wy

Таким образом, в каждом отдельном случае поверхности постоянного космического времени U описываются пересечениями пучка плоскостей с квадрикой М*, а именно:

Т : V = sin т : cos т (k = 1),

Т: —U7 = sho:cho (^ = — 1),(9.5.7)

Т : V - W = t: 1(А = 0).

В первом случае [З-(проективно) мерная] ось пучка (Т — V = 0) не пересекает квадрику М* (напомним, ее уравнение имеет вид: Г2 + V2 — ЦТ2 — X2 — У2 — Z2 = 0). Во втором случае ось пучка ^T=W = ^ пересекает пространство М* по 2-сферам S2, а в третьем случае ось пучка (7 = 0, V = W) касается квадрики М* в одной точке (рис. 9.17).

Рис. 9.17. Различные сечения постоянного времени (для случаев к = 1, к = = —1 и к = 0) иа проективной квадрике рЖ в пространстве Р5.

Деситтеровская и антидеситтеровская модели-,твисторы laf> и Гр

Среди космологических моделей ФРУ особого внимания заслуживают деситтеровская и антидеситтеровская модели вместе с пространством Минковского. Дело в том, что в этих пространствах (и только в них) имеются расширенные группы симметрий, вследствие чего сечения U = const геометрически не выделяются. Оказывается, что можно дать описание пространства де Ситтера [306, 292] как моделей ФРУ с k = 1, —1 или 0, хотя только в случае к = 1 это описание будет иметь глобальный характер. Пространство Минковского описывается с помощью моделей ФРУ с к = 0 или к = —1 (глобальным описание будет только в случае к = 0'). Антидеситтеровское пространство можно описать с помощью предпоследнего типа модели ФРУ (& =—1), да и то не глобально.

Один из способов описания полной деситтеровской модели основан на использовании введенных в § 2 координат Т, V, W, X, Y и Z, но не как проективных координат пространства Р, а ограниченных [в пространстве Е6 с метрикой (9.2.4)] на некоторой гиперповерхности

T = Q,(9.5.8)

где Q — действительная константа. Тогда уравнение (9.2.5) квадрики М* позволяет рассматривать пространство де Ситтера как «псевдосферу»

V2—W2 — X2 — Y2— Z2 = —Q2

«радиусом» Q. В пространстве Р5 из модели теперь исключена именно точка Т = 0, так что, убрав из пространства М* гиперплоскость Т = 0, мы получим пространство, конформное пространству Л. Это очень похоже на случай М с: М* с единственным отличием, что в случае пространства М удаляемая гиперплоскость V — W = 0 в пространстве Р5 касается пространства М* в точке L

Случай антидеситтеровского пространства аналогичен, но теперь нужно ограничить координаты в пространстве £6 на гиперплоскости

(9.5.9)(9.5.9)W = Q,

(9.5.9)

(9.5.9)

так что мы получим гиперсферу с другой сигнатурой [по-прежнему используя для пространства Е6 метрику (9.2.4)]:

Т2 + V2 — X2 — У2 — Z2 = Q2.

Пространство Л в Р5 теперь получается в результате удаления из квадрики М* гиперплоскости W = 0. (Строго говоря, анти- деситтеровское пространство является универсальным накрывающим пространством этого пространства Л [242, 125].)

Гиперплоскость Зв в пространстве Р5 можно задать в тви- сторной форме с помощью антисимметричного твистора Hap («действительного» в обычном твисторном смысле, т. е. комплексно-сопряженный твистор Нар и твистор Нар, дуальный исходному, равны). Разумеется, мы можем также считать, что твистор Нар представляет точку Н в пространстве Р5, но эта точка является просто полюсом гиперплоскости Зв относительно квадрики М*. Точка Н и гиперплоскость Зв дают одинаковую информацию. [Это геометрический эквивалент «подъема индексов» твистора Нар с помощью метрики (1/2)6“^®.]

Выше нам встретились три такие гиперплоскости, а именно Т = 0, W = 0 и V — 1^ = 0. Удаление каждой из пространства М* дает деситтеровскую, антидеситтеровскую модели и пространство Минковского, соответственно. Формула (9.3.7) позволяет перейти к стандартным твисторным координатам:

В результате можно следующим образом определить область, удаляемую из М* (используя твистор 1ар вместо Нар):

lapRae = 0,(9.5.11)

где

в случаях деситтеровского, антидеситтеровского пространств и пространства. Минковского, соответственно. Последняя форма твистора |ар имеет стандартный вид (6.2.25) и является твисто- ром бесконечности пространства Минковского. Теперь же мы получили соответствующие твисторы бесконечности для деситтеровского и антидеситтеровского пространства-времени. Более того, конкретные масштабные множители, указываемые в соотношениях (9.5.12), позволяют нам пойти еще дальше и определить фактическую метрику соответствующего пространства-времени, потребовав в пространстве Е6 выполнения уравнения

(9.5.13)(9.5.13)lapRap = 2

(9.5.13)

(9.5.13)

[ср. с формулами (9.5.8), (9.5.9), (9.2.6), соответственно, и формулой (9.5.12); в случае пространства Минковского это стандартная нормировка (6.2.27)].

Можно считать, что уравнением (9.5.13) определяется подмножество (сечение гиперплоскостью) конуса .%” (см. рис. 9.6), описываемого уравнением (9.2.5), т. е.

2 (г2 + V2 - F2 - X1 - У2 - Z2) RapRap = 4- sapv6RapRv6 = 0

(9.5.14)

в пространстве Е6. Метрика пространства т6 определяется формулой (9.2.4), т. е.

ds2 = 2rfR01rfR23 + ^dR^d^ + 2dR03dR12 =

= 4-8«Pv6^Ra^Rv6=4- rfRaprfR«p =

= dT2 + dV2 — dW2 — dX2 — dY2 — dZ2,(9.5.15)

и у нас есть стандартное условие действительности Rap = = (1/2) eapv6Ra6. Как мы выяснили в § 2, все сечения конуса X локально конформно-тождественны (конформно-плоские), и выбор той или иной метрики из полного конформного класса определяется простым заданием конкретного сечения. В случаях деситтеровского, антидеситтеровского пространств и пространства Минковского эти сечения обладают особым свойством: все они определяются линейным уравнением, а именно уравнением (9.5.13), где твистор |ар (для сохранения действительнозначное™) должен удовлетворять условию

(9.5.16)(9.5.16)Т“Р 1 “Pv6i . |«р

(9.5.16)

(9.5.16)

I — ЕГ 8 V6 —• 1

и без потери общности может считаться кососимметричным:

Деситтеровское, антидеситтеровское пространства и пространство Минковского различаются соответствующими значениями произведения

Ц1“Э = -^-’°-(9.5.18)

или, что эквивалентно, значениями произведения

(9.5.19)

При наличии формул (9.5.16)—(9.5.18) становятся излишними явные формы записи типа (9.5.12). В каждом отдельном случае действующая в данном пространстве группа симметрий ([анти] деситтеровская группа, группа Пуанкаре) появляется как подгруппа группы 0(2,4), оставляющая инвариантным тви- стор 1ар (см. предпоследний абзац § 2). Особенно простая форма метрики во всех этих случаях позволяет сразу написать выражения для геодезического расстояния (равного временному интервалу) между точками, представляемыми твисторами Rap

и Р“э:

(

р РаР \Р Ra$ \

1^~J’ Qarccos^H^q! ) • (9.5.20)

Первое относится к деситтеровскому пространству, а второе — к антидеситтеровскому. (Это можно проверить, снова вернувшись к описанию в координатах Т, V, .... Z). Эти формулы можно сравнить с соответствующей формулой (6.2.30) для пространства Минковского, которую можно заново вывести из формулы (9.5.20), перейдя к пределу при Q-^-oo. Существует также вариант формул (9.5.20), соответствующий формуле (6.2.26). Он не требует нормировки вида (9.5.13) и относится непосредственно к описанию в пространстве RP5. Его можно получить, просто заменив выражения, стоящие в формуле (9.5.20) в круглых скобках, величиной

(9.5.21)(9.5.21)РдРКаР1уб1^

(9.5.21)

(9.5.21)

Ppal^kxR’* ‘

Функции I и! для конформно-плоскогопространства-времени

7(r“P) = 2,7(r“P) = 2,Займемся теперь общим случаем конформно-плоского пространства Ж (см. также работу [150]). Как и раньше, можно определить масштаб метрики пространства Ж, задав сечение (но теперь уже не гиперплоскостью) конуса 36 в пространстве Е6. Запишем уравнение этого сечения в виде

7(r“P) = 2,

7(r“P) = 2,

(9.5.22)

где 7— функция со степенью однородности, равной 1 (так что в трех рассмотренных выше случаях 7(Rap) = |apRap. С помощью дуального твистора Rap уравнение (9.5.22) можно переписать в форме

7(Rap) = 2,(9.5.23)

где /—функция со степенью однородности, равной тоже 1, определяемая соотношением

7(Rap) = 7~(R“P)(9.5.24)

[следовательно, в трех рассмотренных выше случаях 7(Rap) = = lapRapl Действительность интересующего нас сечения может гарантироваться условием 7 = 7, т. е.

ЦХ5=Т(Ха^.(9.5.25)

Фактически же функции 7 и 7 интересуют нас только в тех местах, где твистор Rap — простой. Поэтому более предпочтительно рассматривать их как функции пар унивалентных твисто- ров Ua, Va или Ха, Ya, таких, что

(9.5.26)(9.5.26)7(Ua, Va) :=7(UaVp—UpVa),7(Xa, Ya) := 7 (XV - XpYa).

(9.5.26)

(9.5.26)

Поскольку функции 7 и 7 зависят от своих аргументов Ua> Va и Xa, Ya только через их внешние произведения и по каждому аргументу обладают степенью однородности, равной 1, мы

имеем

(9.5.27)(9.5.27)и ^—=o=v ■ д- и ~^/ = /=v 31 -a dVa и dUa ’ Ua dUa 1 Va dVa ’

(9.5.27)

(9.5.27)

va diid/

dYa — dXa ’ dXa “ d¥a

(см. пространное «примечание» в § 3 гл. 3, в котором излагается метод схем Юнга) или, что эквивалентно,

7 (Wa + pVa, pUa + aVa) = (Xa - до) 7 (Ua, Va),

7(xXa + |iYa, pXa + aY“) = (Xa — до)7(Ха, Ya). (}

Записывая 7 и 7 таким образом в виде функций двух твистор- ных переменных, мы получаем возможность дать им иную, возможно более значимую, интерпретацию. Приведенные выше соотношения, в особенности (9.5.28), указывают на то, что / и 7 определяют внешние билинейные формы на линейных оболочках твисторов Ua, Va и Xa, Y“, соответственно. Эти линейные

оболочки определяют точку R пространства Л, определяемую соотношением

Rap = 2U[aVpi или Rap = 2X[aYM,

а билинейные формы дают спиноры еАВ и еАВ в точке R, соответственно. В самом деле, используя локальное твисторное описание твисторов UaYa, мы получаем в точке R

/(Ua, Уа) = 8^илУв,.

7(Xa, Y“) = еА'вХл'УВ'.(9.5.29)

[Эти выражения можно сначала вывести в случае пространства Минковского из формулы (6.2.25), а затем путем изменения масштаба преобразовать к виду, пригодному в пространстве Л\

Выражения (9.5.29) ценны тем, что позволяют применять различные твисторные формулы непосредственно к любому конформно-плоскому пространству Л. В частности, в пространстве Л могут использоваться контурные интегралы из гл. 6, § 10 для свободных безмассовых полей, а изменение масштаба пространства Л входит только через дифференциальные формы

Хлс?Хл = елвА.лс?Хв, dXA A dXA = eABdXA A dXB,

nA,dnA'= eA'B'nA,dnB„ dnA, A dnA' = eA'B'dnA, A dnB, (9.5.30)

в каждой пространственно-временной точке R [формулы (6.10.1), (6.10.3), (6.10.10)]. Таким образом, функции Z и 7 позволяют определить спиноры еАВ и еА'в' в каждой точке R по формулам (9.5.29).

Модели ФРУ, соответствующие твисторы начальнойи конечной сингулярностей

Вернемся к моделям ФРУ и найдем для них явные выражения функций / и 7. Для этого можно, например, преобразовать метрику ds2 пространства Л к форме метрики Минковского. Метрику Минковского (9.5.4) мы теперь запишем в виде ds2 = = Q2ds2 и заметим, что в соответствии с равенствами бав = = Q-1eab и еА'в' = Q~ 1еА'в' должны выполняться соотношения

I = Q-4, 7 — Q-1/I = Q-4, 7 — Q-1/(9.5.31)(9.5.31)

I = Q-4, 7 — Q-1/

I = Q-4, 7 — Q-1/

(9.5.31)

(9.5.31)

вместе с условиями

7 (Rap) = 2R23 = 2 (У - Г) = 2R01 = 7 (Rap) (9.5.32)

[ср. с формулами (9.5.10), (9.5.12)]. С учетом формулполучаем[ср. с формулами (9.5.10), (9.5.12)]. С учетом формулполучаемииQ-i =Q-i =(cos Т + cos р) S (т) при (ch ст + ch р.) S (ст) при S(0 при(cos Т + cos р) S (т) при (ch ст + ch р.) S (ст) при S(0 приk = 1,k = — 1,6 = 0,k = 1,k = — 1,6 = 0,(9.5.33)(9.5.33)тогда как на основании формул (9.5.5) и читьтогда как на основании формул (9.5.5) и читьможно полу-можно полу-cos2 рcos2 рch2 цch2 ц117 2yi _|_ 72 > V2Ц7272 >117 2yi _|_ 72 > V2Ц7272 >COS2TCOS2Tch2<r =ch2<r =V2V2У2_|_Г2 >W2 1^2 72 •У2_|_Г2 >W2 1^2 72 •(9.5.34)(9.5.34)

[ср. с формулами (9.5.10), (9.5.12)]. С учетом формул

получаем

[ср. с формулами (9.5.10), (9.5.12)]. С учетом формул

получаем

и

и

Q-i =

Q-i =

(cos Т + cos р) S (т) при (ch ст + ch р.) S (ст) при S(0 при

(cos Т + cos р) S (т) при (ch ст + ch р.) S (ст) при S(0 при

k = 1,

k = — 1,

6 = 0,

k = 1,

k = — 1,

6 = 0,

(9.5.33)

(9.5.33)

тогда как на основании формул (9.5.5) и чить

тогда как на основании формул (9.5.5) и чить

можно полу-

можно полу-

cos2 р

cos2 р

ch2 ц

ch2 ц

117 2

yi _|_ 72 > V2

Ц7272 >

117 2

yi _|_ 72 > V2

Ц7272 >

COS2T

COS2T

ch2<r =

ch2<r =

V2

V2

У2_|_Г2 >

W2 1^2 72 •

У2_|_Г2 >

W2 1^2 72 •

(9.5.34)

(9.5.34)

Поскольку в подходящем интервале изменения переменных при k = 1 величины cos т и V имеют одинаковый знак, a cos р и W— разные знаки, тогда как при & = —1 мы имеем V > 0 и W < 0, на основании формулы (9.5.6) мы получим

/(Рар) = 7(Р“Р) = ./(Рар) = 7(Р“Р) = .при к = 1, при к = —1, при к — 0.(9.5.35)при к = 1, при к = —1, при к — 0.(9.5.35)2 (V2 + WS (arctg (Г/Г))

/(Рар) = 7(Р“Р) = .

/(Рар) = 7(Р“Р) = .

при к = 1, при к = —1, при к — 0.

(9.5.35)

при к = 1, при к = —1, при к — 0.

(9.5.35)

2 (^2 _ -py^s (Ar th (,-TlW^ 2(V-fl7)/S(T’/(V-U7))

Отметим, что / = 0 на 3- и / = со в сингулярностях.

В этих выражениях Т, V и W — просто комбинации некоторых компонент твистора Rap [формула (9.3.8)]:

7 = -^(Р*2-Р”) = 4^(Р03-Pi2), •у2-у2

у = roi + ^ R23 = r^ + ^. Roi>(9.5.36)

r = R01-4R23= R23-4Roi’ V-r=R23=R01.

Сами по себе эти компоненты особого значения не имеют. Они представляют скалярные произведения твистора Рар (или Рар) на некоторые кососимметричные твисторы Нар (или Нар), соответствующие тем или иным элементам пучка гиперплоскостей в пространстве Р5 [определенного в формуле (9.5.7) ], пересечение которого с М* дает срез пространства-времени Л в момент космического времени U = const. Геометрия двух подходящих гиперплоскостей в ее связи с пространством М*) (т. е. Т 0, V 0 при к = 1; Г = 0, Г = 0 при к = — 1; Т = 0, V—W = 0 при 6 = 0) вместе с явными выражениями (9.5.35) дает нам всю необходимую информацию о метрике на Л.

Однако при конкретном отборе этих гиперплоскостей из пучка имеется некоторый произвол, обусловленный тем, что в

исходные интегралы (9.5.2) входит произвольная постоянная. Если модель содержит «большой взрыв», то можно добиться, чтобы нулевые значения координат т, а или t соответствовали большому взрыву, т. е., согласно формуле (9.5.6), чтобы ему соответствовало значение

7' = 0.

Мы можем определить твистор начальной сингулярности (взрыва) Вар, такой, что

BagR 9 = 0 при большом взрыве, а также

Вар = -Вра, ВарВар = 4, BavB9v = 6g.(9.5.37)

При сделанном выше выборе координат имеем

(9.5.38)

так чтотак чтот1 Q DaPт1 Q DaP(9.5.39)(9.5.39)

так что

так что

т1 Q DaP

т1 Q DaP

(9.5.39)

(9.5.39)

Аналогично, в закрытой модели можно определить твистор конечной сингулярности Сар, для которого CaeR“9 = 0 в сингулярности и который удовлетворяет условиям, соответствующим (9.5.37). В закрытой пылевой модели Фридмана с Х = 0 имеет место равенство Cap = Bap (которое следует из упоминавшегося ранее свойства световых конусов с вершиной в большом взрыве вновь фокусироваться в конечной сингулярности). То же самое справедливо и для закрытой радиационной модели Тол- мэна, но во фридмановской модели происходит дальнейшее вырождение: твистор, представляющий космическое время максимального расширения, тоже оказывается равным (—) Вар.

Если попытаться описать структуру пространства Л, отобрав характерные для него твисторы [такие, как lap в случае пространства М или (анти)деситтеровской модели], то в их отборе обнаружится некоторый произвол. Определенные преимущества дает выбор, скажем, твистора Вар и соответствующего твистора, представляющего какой-нибудь другой элемент пучка, т. е. твистора, описывающего бесконечность в тех случаях, когда пространство Л допускает гиперплоскость S<+. Какие два твистора мы на самом деле отберем, особого значения не имеет,

поскольку все другие возможные наборы будут линейными комбинациями этих. Для единообразия и простоты математического описания удобно (во всех случаях, кроме случая 6 = 0) выбрать два элемента пучка, касающиеся пространства СМ*, так что соответствующие твисторы простые. В случае k = 1 это приводит к выбору пары комплексно-сопряженных простых кососимметричных твисторов |ар и Та$; в случае к =—1 — пары разных действительных (в твисторном смысле) простых кососимметричных твисторов 1ар и Jap; а в случае к = 0 следует отобрать один действительный простой кососимметричный твистор lap и (скажем) действительный не являющийся простым кососимметричный твистор Вар. Нормируем их следующим образом:

lapTap = 2 при к 1,

lapJ“9 = 2 при к = — 1, (9.5.40) lapBap = 0, BapBap = 4 при к = 0.

(Преимущество такой нормировки_ в случаях & = ±1 состоит в том, что пара твисторов lapPv и Ц,!^ или пара lavJpv и JavlPv оказываются ортогональными идемпотентными проекционными операторами, разбивающими твисторное пространство на два канонически определенных спиновых пространства. При к =— 1 это спиновые пространства, которые рассматриваются в обоих томах книг, тогда как при к = 1 у них обнаруживается иная связь с операцией комплексного сопряжения.) В случаях к = = ±1в качестве твистора начальной сингулярности (если есть большой взрыв) можно взять выражения

^ap lap “Ь lap (^=:0> ^ар =: lap Ч~ Jap (^ О»

что придает твистору Вар точно такую же структуру, как и в формуле (9.5.40) при к = 0 (хотя связь этого твистора с |ар будет иной).

В стандартных расширяющихся моделях (с положительной плотностью) при к = 0, —1 и Х = 0 для представления гиперповерхности 9* можно использовать твистор |ар:

lapR°e = 0 При (/ = + ОО.

Однако при Л. > 0 гиперповерхность ^+ пространственноподобна и не имеет столь очевидной связи с lap. (В частности, такой выбор не согласуется со сделанным ранее в случае пространства де Ситтера!) При fc = 1 и Х = 0 твисторы lap и |ар представляют «виртуальные» (комплексные) бесконечности, которые могут быть достигнуты только в результате комплексификации

метрики. В расширяющихся моделях с h= —1 и А, = 0 твистор Jap тоже представляет «виртуальную» бесконечность, но при этом соответствующая гиперповерхность 3~ связана с гипотетической фазой коллапса, предшествующей большому взрыву. (См. рис. 9.15 и 9.16: твистор |ар представляет границу р + т = л/2, а твистор Jap—границу р — т = л/2. Укажем также, что точка /”Р — это вершина р = 0, т = л/2, а точка Jap— вершина р 0, т = —л/2.)

Явная реализация этих твисторов посредством наших координат при

T’ = ZV=-lrlapRaP, 7’ + iV = ^rTapRaP (^=1), Г-Г^-^!^, r+r^-^JapR^ (& = -1), (9.5.41) г=-^в^, v-r = 4’“PRaP (& = °)

дается выражениями

lapJaplapJap± i/V^± i/V^

lapJap

lapJap

± i/V^

± i/V^

i/2Т1/V8

а при 6 = 0 она дается выражением (9.5.38) для Вар; в случае пространства Минковского стандартное выражение для твисто- ра |ар определяется третьим равенством (9.5.12). Никаких особых достоинств у этих явных представлений в общем-то нет, ибо можно выбрать какие-нибудь другие координаты твистор- ного пространства, которые позволяют значительно упростить форму выражений (9.5.42). (Используемая здесь в твисторном пространстве стандартная система координат была в свое время введена для лучшей связи со спинорным описанием гл. 6 и никакого особого значения в данный момент не имеет.) Все су-

щественные свойства содержатся в нормировке (9.5.40) и в установленных нами условиях простоты и действительности; отметим еще один «инвариантный» выбор: можно было взять комплексную точку, представляемую в трубке будущего [см. текст перед формулой (9.3.25) ] твистором |ар, так что соответствующая прямая в пространстве РТ лежит в РТ+, а не в РТ~.

Явные выражения для функции I

Чтобы записать функцию

/ = /(Rap) = /(RaP)

в явном виде, достаточно подставить (9.5.41) в (9.5.35). Зная же вид функции /, можно восстановить исходный вид функции R^U)—«радиуса вселенной»1) [формулы (9.5.1)—(9.5.3)]. В случаях k = ± 1 можно добиться некоторого упрощения, если ввести величины

a2=V + rT = -^lapRap,

.\ _^к= 1),

62=V-ZT = -^lapRap

V 1а(9.5.43)

a2=-r + r = -L.|apRap,

iо (& = —1),

где а и b — комплексно-сопряженные величины при к = 1 и действительные при к = —1. Укажем, что, согласно формуле (9.5.7),

a2;b2 = V-ViT;V— 1Т = е^:е-^ (к = 1),

а2 : b2=—W + Т: —W — Т = е°: е-° (к = — 1),

так что

еи=а(Ь, т = —z 1п (а/6) (6=1),e° = a!b, o = \n(alb) (k =—1).

Подставляя это в (9.5.35), мы получаем

(9.5.44)(9.5.44)2абГ 8—1 ПРИ & = 1,

(9.5.44)

(9.5.44)

S (в In (a/6)) ( 8 = 1 при к — 1,

а с учетом формул (9.5.2) и (9.5.3) мы можем завершить вычисление R(U), заметив, что

R = 2ab/-1, dU = 2гЬЧ"Ч (а/Ь),

*) Эту функцию принято называть масштабным фактором.—Прим, перев.

где постоянную интегрирования можно зафиксировать, приняв U = 0 в момент большого взрыва (происшедшего при а — Ь).

Случай пылевых фридмановских моделей с X = О особенно прост:

“(-^т)2-<9-5-46)

Это выражение приводит к уже знакомым параметрическим формам

U = -^- С(т — sin т), /? = -^-С(1 — cost) (6 = 1),

t/ = 4-C(sha-a), R = -^C(cho - 1)(& = -!),

где С — постоянная с размерностью плотности ), которой при k = 1 определяется максимальный радиус вселенной R (когда а = —6).

Толмэновские радиационные вселенные с Х = 0 столь же просты:

' = ^(СТг(9-5-46)

Отсюда следует, что

U = С(1 — cost), R = Cs\nx (^=1),

t/ = C(cho-l),/? = Csho (&=—1).

Отметим, что (в случае 6=1) максимальное расширение достигается при a = ib = elRi\ а это соответствует отношению Т: V, отличному от получающегося при большом взрыве и большом треске, тогда как в соответствующем случае максимального расширения пылевой фридмановской модели и большой взрыв, и большой треск благодаря квадратным корням, появляющимся, согласно формуле (9.5.43), при переходе к а и Ь, происходят при одном и том же значении отношения (а именно, при Т = 0), так что, как уже отмечалось, все эти области на М* будут совпадать.

Лишь немногим сложнее получить функцию / в случае космологических моделей с идеальной жидкостью (^ = ±1, Х=0) и показателем политропы у [362]; она оказывается пропорциональной выражению

[

ab"р

(a3Y-2 _ 6Зу-2)1/(Зу-2) J •

(Авторы признательны К. Тоду за это выражение.)

Асимптотически-простое пространство-время

Займемся теперь общим случаем искривленного пространства-времени с достаточно «хорошими» асимптотическими свойствами, позволяющими так же, как в § 1 в случае пространства Минковского, «присоединить» к нему гладкую конформную границу. Требование существования такого рода конформной границы в случае асимптотически-плоского пространства Ж оказывается весьма удобным условием: с одной стороны, оно достаточно мягкое, чтобы можно было учесть наличие массы, импульса, момента импульса, а также существование приходящего и уходящего свободно изменяющегося гравитационного излучения, но, с другой стороны, достаточно жесткое, чтобы можно было получить точные математические результаты, касающиеся убывания интенсивности излучения и переносимых им энергии и импульса.■

Бесконечность пространства-времени Шварцшильда

Для начала исследуем конформную бесконечность решения Шварцшильда. Знакомая нам форма метрики Шварцшильда имеет вид

ds2 = (l —2mlr)'dt2— (1 — 2т/г)~х dr2— r2^©2-)- sin20d^2). (9.6.1)

He будем пытаться ввести гиперповерхности Эг+ и 3~ одновременно, как это делалось в случае пространства Минковского. Проще ввести координату запаздывающего времени

и'= t — г — 2m In (г — 2m)(9.6.2)

и координату опережающего времени

о = t + г -]- 2m In (г— 2m)(9.6.3)

по отдельности. В первом случае метрика приобретает вид

ds2 = (1 — 2m/r) du2 + 2du dr — r2 (d№ + sin2 0 d^2), (9.6.4) а во втором —

ds2 = (1 — 2m/r) da2 — 2do dr — r2 (dO2 + sin20d^2). (9.6.5) В любом из них можно использовать конформный множитель Q = г-1 = w, например. Тогда в первом случае мы придем к «нефизической» метрике

ds2 = Q2ds2 (щ2 — 2mzy3) du2 — 2du dw — d№ — sin2 Qd^2, (9.6.6) а во втором к метрике

ds2 = (ty2 — 2mw^)do2 + 2do dw — dO2 — sin20d^2. (9.6.7)

Метрики (9.6.6) и (9.6.7), очевидно, регулярны (и аналитичны) на своих соответственных граничных гиперповерхностях w = 0. (Их определители при w = 0 отличны от нуля.) В случае метрики (9.6.6) физическое пространство-время отвечает условию w > 0, но это многообразие можно расширить, чтобы оно включало в себя и граничную гиперповерхность 3^, определяемую условием w = 0. В случае метрики (9.6.7) физическое пространство-время тоже соответствует значениям w > 0 и может быть расширено включением в него гиперповерхности 3~, которая, как и выше, определяется условием tw = 0. При желании мы могли бы продолжить пространство-время и за пределы границы w = 0 в область отрицательных значений ш, но здесь мы этого делать не будем. К пространству-времени будет присоединена только граница 3 = З- U 3+.

Укажем те трудности, с которыми пришлось бы столкнуться при попытке отождествить 3- с 3+. Если распространить область определения метрики (9.6.6) на отрицательные значения ш, а затем произвести замену щл—>—w, то окажется, что она примет форму метрики (9.6.7) (с и вместо у), но с массой —т вместо т. Следовательно, продолжение метрики через границу 3 требует обращения знака массы. Но информацию о массе несет производная (конформной) кривизны на границе 3. [См. ниже формулу (9.9.56).] Значит, попытавшись отождествить гиперповерхность 3+ с гиперповерхностью 3~ так, чтобы (ненулевая) масса с обеих сторон имела один и тот же знак, мы обнаружим, что при переходе через 3 производная кривизны терпит разрыв (т. е. метрика ds не может быть класса С3 на ЗУ

Итак, установив, что отождествлять 3* с З- нецелесообразно, мы приходим к ситуации, весьма сходной с рассмотренной в § 1 в случае пространства М. Единственное существенное отличие связано с точками I-, 1° и i+. Оказывается, что при наличии массы точка i°, а при обычных условиях и точки i-, должны, если их присоединить к многообразию, быть сингулярными точками интересующей нас конформной геометрии. (На доказательстве этого мы здесь останавливаться не будем.) Поэтому в общем случае имеет смысл не рассматривать эти точки в качестве части конформной бесконечности (а как мы уже знаем, даже в пространстве Минковского граничная поверхность в точках i° и I- не гладкая). В результате мы приходим к картине, показанной на рис. 9.18: две несоединенные граничные гиперповерхности 3~ и ЗУ каждая из которых представляет собой «цилиндр» с топологией S2X R- Из соотношений (9.6.6) и (9.6.7) явствует, что 3* и 3~— изотропные гиперповерхности (причем индуцированная метрика при w = 0 вырождена). Образующими этих изотропных гиперповерхностей являются лучи (их уравнения имеют вид 6, Ф = const, ty=:O),

Рис. 9.18. Изотропная бесконечность пространства-времени Шварцшильда. Значение w = 0 соответствует как гиперповерхности 3*, так и гиперповерхности З-. Точки I- и Vs сингулярны (в них расходится вейлева кривизна) и не рассматриваются. Рисунок может служить моделью асимптотически-пло- ского пространства-времени и в самом общем случае.

касательные к которым идут по нормалям к гиперповерхностям. Эти лучи можно считать множителем R топологического произведения S2 X R-

Асимптотически-простое пространство-время

Итак, мы уяснили структуру конформной бесконечности в случае пространства Минковского. Но такая структура может возникать и в асимптотически-плоском пространстве-времени многих других видов. Начнем с более общей метрики вида

ds2 = г-2Л dr2 + 2Bt dxv dr + г2Сц dxv dx^, (i, j = l, 2,3), (9.6.8)

где r, x1, x2 и x3 — координаты, a A, Bt, Сц — достаточно гладкие (всюду, включая точку х° = 0) функции переменных х° = = г~\ х1, х2, х3. Полагая Q = г-1, получаем

ds2 = Q2ds2 = A dx? dx° — 2В, dxx dx° + Су dx‘ dxx. (9.6.9)

При условии

ГА Bi 1

det i_#=0(9.6.10)

■•Cij j

метрика (9.6.9) будет идеально регулярной в точке х° = 0. Следовательно, пространство-время с метрикой (9.6.8) будет обладать конформной бесконечностью.

Многие метрики, исследуемые в связи с гравитационным излучением, фактически имеют форму (9.6.8). В частности, это относится к оригинальным метрикам, построенным Бонди с

сотрудниками [26, 27, 298, 296, 224]. Эти метрики описывают (асимптотически евклидово) пространство-время с источниками и уходящим гравитационным излучением. В таких пространствах может присутствовать и приходящее гравитационное излучение (соответствующим образом уменьшенной длительности). Кроме того, в них может быть негравитационное (например, электромагнитное или нейтринное) излучение безмассового поля. Во всех этих случаях следует ожидать существования изотропной конформной бесконечности будущего ^+. В случае обращенного времени можно ожидать существования З-. Возможен также довольно обширный класс «физически приемлемых» ситуаций, в которых могут существовать обе бесконечности ^+ и З-. Правда, высказывалось (см., например, работу [19]), что допущение существования границы ^- может оказаться излишне жестким ограничением поведения уходящего излучения в бесконечно отдаленном прошлом. Можно даже привести примеры с бесконечными цугами волн, в которых не может быть одной из границ 3- или обеих. Но вопрос о «физической приемлемости» таких вариантов зачастую оказывается делом вкуса1). Сама по себе асимптотическая евклидовость (flatness) является некой математической идеализацией-, математическое удобство и простота описания представляют собой важные критерии отбора подходящей идеализации.

Асимптотически плоские пространства-времена рассматриваемого здесь типа образуют наиболее важный подкласс таких пространств-времен. Пространства-времена, относящиеся к этому подклассу, называются (слабо) асимптотически простыми [234, 237]. Пространство де Ситтера и некоторые пространства, являющиеся асимптотически деситтеровскими, тоже попадают под это название. Определение асимптотически простого пространства-времени таково.

Определение

Пространство-время Ж с метрикой gab называется k-асимптотически простым, если существуют гладкое (класса С&+>) многообразие с границей Ж, имеющее метрику gab, скалярное поле Q и граница 3 = дЖ, такие, что-.

*) Есть, правда, один класс физических ситуаций, которые следует считать «физически приемлемыми» независимо от чьего-либо вкуса, но для которых остается открытым вопрос о существовании или регулярности границы 3^. Типичный пример систем такого класса — два связанных гравитационным взаимодействием тела, которые приходят из бесконечности (i~) по почти гиперболическим орбитам, встречаются и снова уходят на бесконечность (i+), причем их встреча сопровождается запаздывающим гравитационным излучением [355].

Ж=\а\.Ж,

ЙаЬ = ^8аЬ в Ж,_

Q и g-ab — поля, всюду гладкие (класса Ck) в Ж, г) Q > 0 в Ж; и й = 0, ^ай=/=0 на границе 3, д) всякая изотропная геодезическая в Ж достигает концевых точек будущего и прошлого на 3.(9.6.11)

Точная степень дифференцируемости ) на 3 зачастую не будет нас интересовать (в большинстве случаев достаточно иметь ^ = 3). Условие «д» гарантирует, что граница 3 описывает всю изотропную бесконечность. (Если бы его не было, то под данное определение подходило бы любое гладкое пространство-время с Ж =Ж, Й = 1 и 3 = ф.) Однако в некоторых случаях условие «д» оказывается слишком жестким — например, при исследовании черных дыр; даже вне шварцшильдовского горизонта г = 2пг существуют круговые (фактически спиральные) изотропные орбиты с г = 3m, которые, подобно аналогичной (но не геодезической) изотропной кривой, рассмотренной в конце § 1, не достигают границы 3. Чтобы такие ситуации не оказались неохваченными, приходится смягчать условие «д». Так, например, слабо асимптотически-простое пространство-время Ж [242] — это пространство, которое допускает конформную бесконечность асимптотически простого пространства-времени, но может допускать и другие «бесконечности»; точнее говоря, для таких пространств Ж существует асимптотически-плоское пространство Ж', такое, что в окрестности Q' границы 3' в Ж' кусок Q'^\Ж* изометричен подмножеству пространства Ж. Но и в таком виде данное условие может оказаться не вполне удовлетворительным [103], поскольку не сделано никаких предположений относительно «физической приемлемости» вспомогательного пространства Ж*. Гипотеза асимптотической простоты весьма плодотворна в основном, лишь когда она дополнена эйнштейновскими уравнениями поля (с «физически приемлемыми» источниками); достаточно мягко ужесточить условие «слабой асимптотической простоты» можно, наложив подходящие (но намного более мягкие) ограничения «физической приемлемости» не только на Ж, но и на Ж' (например, вполне достаточно слабого энергетического условия или условия изотропной сходимости на Ж', требующего, чтобы для любого изотропного вектора /“ выполнялось соотношение /?об/°/6^0. Один из предложенных альтернативных подходов

[101, 103] сводится к наложению определенных дополнительных условий непосредственно на структуру границы ^ — например, (сильного) асимптотического эйнштейновского условия [формула (9.6.21) и текст после формулы (9.6.37)] или требования бесконечной протяженности [определение (9.8.1)] образующих изотропной границы ^ — но априори не ясно, какими должны быть эти ограничения. Мы такого рода условия вводить не будем. Удивительно, сколько сложной и важной асимптотической структуры привносится, если весьма мягкое условие (слабой) асимптотической простоты пространства Ж дополнить всего лишь требованием, чтобы в некоторой окрестности границы 3 в Ж выполнялись (вакуумные) уравнения Эйнштейна1).

Для большей общности будем рассматривать эти уравнения с космологическим членом. Кроме того, до поры до времени предположим, что в окрестности границы 3 есть какие-то без- массовые материальные поля. [В случае скалярного безмассо- вого поля будем пользоваться конформно-инвариантным вариантом (6.8.30) с тензором энергии (6.8.36).] Тогда Таа = 0 и, пользуясь уравнениями Эйнштейна (4.6.32), мы вблизи границы 3 получим

/? = 4Л, т. е. Л = 6Л (9.6.12)

(слова «вблизи границы 3» означают на пересечении УС ^\Ж для некоторой окрестности УС границы 3 в пространстве ЖУ Формула (6.8.22) вблизи границы 3 дает

Р«ь = P«b + Q-’vAg - 4 a-2^?^^ (9.6.13) (относительно последнего члена этой суммы напомним, что в соответствии с правилом т. 1, гл. 5, § 6 индексы величин со «шляпками» поднимаются с помощью тензора gab, а опускаются С ПОМОЩЬЮ ЙаьУ ВеЛИЧИНЗ Р аь = (1/12)/? gab — (1/2)/?ай бЫЛЗ введена в формуле (6.8.12). Из условия (9.6.12) вблизи границы 3 следует равенство

Раа=-"^К (9.6.14)

откуда в результате трансвекции выражения (9.6.13) с метрикой gab = Q2gab вблизи границы 3 получаем

— А X = ^Раа + QVaVaQ — 2VaQVaQ. (9.6.15)

*) Если предполагается, что выполняются вакуумные уравнения Эйнштейна, то становится излишним третье условие в п. «г» определения асимптотической простоты (9.6.11), а именно условие отличной от нуля производной конформного множителя й на границе 3. Это условие тогда оказывается следствием из приводимого ниже уравнения (9.6.21) и даже просто из уравнения (9.6.17), если отлична от нуля космологическая постоянная.

На границе 3 конформный множитель £2 равен нулю, а его производные со «шляпкой» и все компоненты тензора кривизны со «шляпками» в силу требования «в» определения (9.6.11) с ^ ^ 2 конечны (непрерывны). Так что, положив.

tVa:=-VaQ(9.6.16)

(знак минус взят для удобства в последующем), получим

NaNa = -^-Х на границе 3.(9.6.17)

Согласно требованию «г» . определения (9.6.11), мы имеем Na =/= 0 на 3 и, будучи ортогональным каждому локусу Q = = const, вектор Яа определяет нормаль к границе 3 в каждой ее точке. Таким образом, при Д ^ 2 уравнение (9.6.17) приводит к следующему предложению.

Предложение

Если след тензора энергии вблизи границы 3 равен нулю, то граница 3 пространственноподобна, времениподобна или изотропна в зависимости от того, положительна, отрицательна или равна нулю космологическая постоянная X.

(9.6.18)

Оно справедливо при несколько более мягких условиях [237].

Когда граница 3 пространственноподобна или изотропна, она состоит из двух кусков 3 и 3~. Точка границы 3 лежит на гиперповерхности 3* [или 3~], если внутренняя часть ее светового конуса прошлого [будущего] лежит в Л. Следовательно, точки гиперповерхности 3+ [или 3~\ можно характеризовать структурами в Л, а именно как ГНП [или ГНБ] (см. случай пространства Минковского в § 1). Во времениподобном случае (X < 0) всякая точка границы 3 проявляется и как ГНП и как ГНБ. До недавнего времени1) казалось, что времениподобный случай наименее интересен с физической точки зрения. Примером такого случая может служить антидеситтеровское пространство (см. § 5), но оно никогда всерьез не рассматривалось как модель реальной космологической структуры. Стандартные космологические модели с Л < 0 — это все модели с фазами расширения и коллапса и сингулярными началами и концами, с которых ни один луч не достигает бесконечности. Обычное десит- теровское пространство имеет пространственноподобные граничные гиперповерхности 3-, вследствие -чего, как уже упоминалось в § 5, в нем имеются горизонты частиц и горизонты событий.

Мы видели, что горизонты могут соответствовать также сингулярным (а не регулярным) граничным точкам, примером чему служат горизонты частиц во всех стандартных моделях с большим взрывом. Ряд таких пространств-времен могут подходить под определение (9.6.11), но с соответствующим образом модифицированными условиями «в» и «г»: стандартный большой взрыв соответствует пространственноподобной граничной гиперповерхности <7» с Q = оо (см. § 5).

Существование двух разъединенных частей ^+ и ^- границы 3, когда она пространственноподобна или изотропна, позволяет уточнить требования дифференцируемости в случае (слабой) асимптотической простоты. Будем говорить, что пространство Л [слабо] (*)-асимптотически простое, если на гиперповерхности ^+ выполняются условия [слабой] к-асимптоти- ческой простоты, а на гиперповерхности З-— условия [слабой] /-асимптотической простоты. (При решении задачи о гравитационном излучении иногда делают допущение различия в свойствах дифференцируемости на 3+ и З-.) Если нас интересует только дифференцируемость на 3+, то можно говорить о [слабой] k-асимптотической простоте будущего (и о соответствующем понятии для 3~У

Наибольший интерес представляет случай изотропной границы 3, ибо он существен при анализе асимптотически-плоских пространств-времен. Справедлива следующая теорема [237, 100].

Теорема

В любом асимптотически-простом пространстве-времени со всюду изотропной границей 3 каждая из гиперповерхностей 3- имеет топологию

з* ^3- ^s?xk

а лучи, которые являются образующими гиперповерхности 3-, могут быть взяты в качестве множителей R этого топологического произведения.

(9.6.19)

Таким образом, каждая из гиперповерхностей 3- содержит S2 изотропных образующих и топология этих гиперповерхностей почти идентична топологии пространства Минковского. Заметим, что две точки гиперповерхности 3+ [или З-^ лежат на одной и той же образующей в том и только в том случае, когда одно из соответствующих ГНП [или ГНБ] содержит другое. Этим асимптотически-простое пространство-время с изотропной границей 3 и отличается от асимптотически-плоского пространства- времени с пространственноподобной границей 3.

Вакуумные уравнения-, асимптотическое эйнштейновское условие

Чтобы сделать более конкретные выводы о структуре границы 3, предположим, что вблизи границы 3 выполняются вакуумные уравнения Эйнштейна. Если принять вблизи границы 3 другую, более общую систему уравнений, скажем уравнения Эйнштейна — Максвелла, то следствия будут почти такими же, но получить их будет значительно сложнее [237]. Поэтому при исследовании свойств границы 3 мы ограничимся вакуумными уравнениями Эйнштейна. При наличии же материальных полей мы просто примем, что эти свойства границы 3 по-прежнему имеют место.

Из выражения (6.8.24), являющегося бесследовой частью тензора (9.6.13), следует соотношение

Фаб = Фоб + й ^А'(А^В) B'Q.(9.6.20)

Вакуумные уравнения Эйнштейна, учитывающие возможность существования космологической постоянной, принимают форму Фа = 0. Поэтому, умножив обе части равенства (9.6.20) на Q и заметив, что тензор ФаЬ должен быть непрерывным на границе 3 (и полагая ^ ^ 2), мы получим следующее важное уравнение, которое (вне зависимости от выполнения вакуумных уравнений) будем называть асимптотическим эйнштейновским условием-.

^А' ^в> вй ^ 0 т. е. VaV6Q s -L gabVcVcQ.(9.6.21)

Здесь введено обозначение «слабого равенства»1)

а;:;^в;:;.(9.6.22)

Его следует понимать так, что тензорные или спинорные поля А"." и В..'. на Л равны, когда они ограничены на 3, т. е. что А‘..‘. — В".‘‘. = 0 на границе 3. При дифференцировании слабого равенства следует помнить, что новое слабое равенство можно получить, только если брать тангенциальные производные. Так, из слабого равенства (9.6.22) следует слабое равенство

мХачьхА::. « мХа5ьхв:;;,(9.6.23)

но не следует слабое равенство 7аЛ™ VOB'.". В дальнейшем мы можем опускать фразу «вблизи границы 3» всюду, где используется обычный знак равенства («строгое равенство»), так как при этом предполагается, все все выкладки выполнены в некоторой окрестности ЭС границы 3 в пространстве Л.

Очевидно, что операция ковариантного дифференцирования строгого равенства между величинами (гладкости С1) будет корректной всегда и ведет к новому строгому равенству. Отметим очевидное слабое равенство

Q^O.(9.6.24)

Кроме того, теперь можно переписать соотношение (9.6.17) в виде

NaNa s' J X.(9.6.25)

Асимптотическое эйнштейновское условие (9.6.21) можно записать в форме.

VA' <aNb> в' s 0, т. е. VaNb = -у gQ^cNc. (9.6.26)

Эти слабые равенства показывают, что векторы Na бессдвиго- вые [и без вращения, но это следует непосредственно из определения (9.6.16)]. В случае изотропной границы ^ можно положить

JV^AiV', (9.6.27)

где А— отличный от нуля скаляр, положительный на гиперповерхности ^+ и отрицательный на 3~. Тогда, свернув первое слабое равенство в (9.6.26) с 1ЛТВ и воспользовавшись стандартными обозначениями спиновых коэффициентов из т. 1, гл. 4, § 5 (со «шляпками»), получим

о^О. . (9.6.28)

[Кроме того, можно получить слабые равенства у/ = 0 и р s р', которые являются лишь иной формулировкой факта изотропности гиперповерхностей 3-\ см. формулу (7.1.58) и далее.] Слабое равенство (9.6.28) является условием бессдвиговости для изотропной гиперповерхности. В силу изложенного в гл. 7, § 1 (см. рис. 7.2) из него следует формулируемое ниже предложение.

Предложение

Если Rab = 0 вблизи границы 3, то любые два сечения ' гиперповерхностей 3- конформно отображаются друг на - друга образующими гиперповерхностей 3-. (9.6.29) Согласно теореме (9.6.19), все эти сечения имеют топологию сферы S2, так что два пространства-множителя S2 в топологическом произведении, точки которых представляют различные образующие гиперповерхностей 3+ и З-, являются конформными сферами. Можно привлечь классическую теорему Римана,

чтобы в результате изменения масштабов привести две эти метрики к метрике единичной евклидовой 2-сферы, а затем при желании можно предположить, что наш исходный выбор конформного множителя Q был сделан уже с учетом этого. Если на евклидовой 2-сфере ввести сферические полярные координаты 6, ф или эквивалентную стереографическую координату ■

S = e^ctg40, ..(9.6.30)

то метрику, индуцированную на гиперповерхности Э<+, можно записать в виде.■.

dl2 =—ds2 = d№ + sin20d^2 4- 0 • du2 =. -

=+(9.6.31)

(1 + Ш2--

где и — координата запаздывающего времени. Соответствующая метрика на ^- получается при замене координаты и координатой опережающего времени у. Поскольку метрика сечения 5'+, представленная формулой (9.6.31), не меняется вдоль образующих этой гиперповерхности, в дополнение к а' =0 мы получаем р7 = 0 (см. рис. 7.2).

Обращение в нуль тензора Вейля на границе 3’

Еще одно важное свойство границы 3 можно сформулировать в виде следующей теоремы (справедливой при ^^3).

Теорема.

Если Rab = Xgab вблизи 3, то СаЬсг = 0.(9.6.32)

Доказательство: Прежде всего вспомним, что вакуумные тождества Бианки в спинорной форме имеют вид V^T^co = 0 [формула (4.10.9)]. Из формул (6.8.4) и (6.8.8) следует, что VM" (Q-1 Флвсэ) == 0 в ^, т. е. [формула (7.3.42)]

^AA'Wabcd = ^abcd^AA'^,(9.6.33)

что в силу непрерывности имеет место и на границе 3. Следовательно,

авсв^АА' — О>/(9.6.34)

Если Х#=0, то «матрица» NAA не сингулярная [формула (9.6.25)] и может быть инвертирована (вообще говоря, Naa' • 6Л~ xNa'e = «еЛ)> откуда, следует, что Фдвсу = 0, и мы приходим к искомому результату.

Случай X = О сложнее и частично связан с глобальным результатом, требующим существования топологии (9.6.19). Слабое равенство (9.6.34) с учетом сообщения (9.6.27) дает

^авсв^О,(9.6.35)

т. е.

^abcd^Wd(9.6.36)

при некотором ¥. Дифференцируя еще раз (9.6.33) и используя (9.6.24), получаем

Nee^'^abcd NAA'^ee'^abcd + WabcdVee'N^'.

Опустив индекс А', просимметризовав по индексам А'Е' и воспользовавшись уравнением, комплексно-сопряженным первому уравнению (9.6.26), мы после применения тождества для спиноров в [формула (2.5.20)] получим

^(А^£ЭлФ££СВ^0,

откуда в силу выражения (9.6.27) и предложения (3.5.15) следует, что

3A5ae'Webcd~0.(9.6.37)

Таким образом, на любом сферическом сечении границы 3 (с ортогональным ему флагштоком спинора б4) имеет место уравнение вида д'Ф^О, где величина Т, будучи определенной соотношением (9.6.36), имеет спиновый вес, равный 2. Но тогда из предложения (4.15.59) следует, что Чг = 0 на сфере, следствием чего оказывается слабое равенство (9.6.36) с равной нулю правой частью, т. е. спинор Флаев на границе 3 равен нулю, чем и завершается доказательство теоремы.

Условие Флаев = 0 вместе с соотношением (9.6.26) мы будем называть сильным, асимптотическим эйнштейновским условием— вне зависимости от того, выполняются ли вакуумные уравнения вблизи границы 3.

Равенство нулю вейлевой кривизны на границе 3 приводит к важному следствию, которое вытекает из формулируемого ниже общего результата.

Лемма

Пусть Л есть (слабо) к-асимптотически-простое пространство, а ЗЕ — окрестность границы 3 в пространстве Л. Предположим, что Т** е ©^ [ЗЕ] (причем

Г

r^k) удовлетворяет слабому равенству ТЛ ^ 0.

Тогда существует ПЛ е<5Л [ЗЕ], такое, что £П7Л = ГЛ.

(9.6.38)

Здесь ©^ есть символ модуля спинорных полей с индексами г типа st- и класса гладкости Cr, а [X]— обозначение полей, ограниченных на множестве У£. Согласно этой лемме, всюду, где гладкое поле Тл удовлетворяет слабому равенству Тл ^ 0, мы вправе определить поле ил = ОГ1Т*. Справедливость леммы следует непосредственно из хорошо известного положения анализа: если f(x°, х1, ..., х")—функция класса Сг (г>0), определенная на некотором открытом подмножестве QZ пространства R^1, обращающаяся в нуль при х° = 0, то выражение (х°)~1/(х°, •••* х") определяет функцию класса Сг-* на <2/, где г = 1, 2, ..., оо или со (с оо — 1 = оо, со — 1 = со). Чтобы применить этот результат к спинорному полю Г-^, достаточно выбрать координаты в X с х° = Q и базис класса Сг, а затем применить это положение анализа по отдельности каждой компоненте. Это можно сделать при условии, что г ^ к [формула (9.6.11)].

В гл. 6, § 8 конформное поведение спинора Вейля Ч^всд противопоставлялось поведению безмассового поля фдвсп со спином, равным 2 [формулы (6.8.4) и (6.8.6)]. Поскольку вакуумные тождества Бианки — это просто уравнения для безмассового поля со спином, равным 2, мы вправе ввести специальное без- массовое поле со спином 2

Флвсо = ^лвсв-(9.6.39)

Но при конформном изменении масштаба желательно было бы положить

Флвсо = Q ^лвсв= Q 4^bcd = ^ ^лвсв, (9.6.40) так как тогда сохранялись бы уравнения безмассового поля для флвс». Из теоремы (9.6.32) и леммы (9.6.38) следует важный вывод.

Теорема

Поле флвса продолжимо до ноля, непрерывного

(класса Ck~3) на границе 3.(9.6.41)

Заметим, что, согласно формуле (9.6.40), поле ф4всв на 3 можно получить с помощью производной вейлевой кривизны на 3‘.

^ЛЛ'^ВСВВ — ^ AA'^BCDE-(9.6.42)

Поле фдвсв можно рассматривать как гравитационное поле со спином, равным 2. Различные компоненты поля флвсв на границе 3 имеют очень важное значение в теории гравитационного излучения. Относительно физической метрики gab пространства Л их можно интерпретировать как последовательное вырожде-

ние Сакса (Sachs peelig property) [297, 298, 234, 23-7, 217]. Представляет интерес рассмотреть это свойство несколько шире, чем это требуется в случае гравитационного поля, чем мы сейчас и займемся. - .

§ 7. Последовательное вырождение

Допустим, мы имеем произвольное поле 9л... нк'... qs которое можно считать конформной плотностью веса, —да, т. е.

q = q-™-0 ,(9.7.1)

и пусть 9... — поле, непрерывное [класса С" (0 ^ h ^ к — 1 ^ ^ 2)] в точке РеТ Будем предполагать наличие (слабо) ^-асимптотической простоты) и асимптотического эйнштейновского условия (9.6.21), И пусть у — полный в пространстве луч с одной концевой точкой, совпадающей с точкой Pe J, но касающийся в точке Р границы 3 (такое касание возможно только в лишенной физического смысла ситуации с «вогнутой» времениподобной границей #)• Выберем (как в гл. 7) параллельно переносимую вдоль луча у спиновую систему отсчета (оА, г) с касательным к у флагштоком ,

/“ = oV;(9.7.2)

Пусть г — аффинный параметр, ассоциированный с у:

Dr = XaNar=\.(9.7.3)

Тогда, если 9 — любая компонента поля 9дQ', имеющая в общей сложности q нулевых индексов (0 или О'), то

. w+q+h"

е= £ 9г“( + о (/-“’-'?-'’),(9.7.4)

i = w+q i’

где каждая из величин 9 остается вдоль луча у постоянной). i.'

Особо отметим, что старший член этого разложения кратен величине \/г^+ч.'-

. Мы докажем ниже сформулированное нами утверждение, но сначала укажем- его частную интерпретацию в случае безмассо- вых полей с пройзвольным спином. Предположим, что спинор Фа..;ь имеет п симметризованных индексов, конформный вес

w =—1 [в силу формулы (5.7.17) и т. д. это делает уравнение для безмассового поля конформно-инвариантными] и что ^а ...ь — непрерывное (класса С°) поле в точке Р. Тогда различные компоненты этого спинора ^0 := ^00 0, фх := фм 0, ...

^:=^и.. , ведут себя следующим образом:

^0= ^г-"-1 + О (г-"-1), фх = ф°хг-п + о (г-"), . . . ,

Ф„ = Ф°/~х + о(г-^ ,(9.7.5)

причем все ^ постоянны на луче у. Если допустить, что фд L есть поле класса С" в точке Р, то, согласно формуле (9.7.4), мы получим

.ФА . L = Е фл...Ы~{+ о(г~п),(9.7,6)

z=i z- -

где каждый коэффициент фд - £ параллельно переносится вдоль у и

Фд... d о„и)~ Фа... de^... е{° ‘° 2 • • • oBi = 0.(9.7.7)

Вспомнив предложение (3.5.26), можно показать, что часть Фд L поля фд L, имеющая порядок г~‘, обладает как мини- i■.. . * *.■■ . ..

мум (а в Общем случае точно) п — Г+ 1 главными изотропными направлениями, указывающими вдоль направления луча у, т. е. вдоль 1а [297, 298, 217, 234, 237] ) . При этом часть поля, имеющая порядок г-1 («поле излучения»), изотропна. Мы приходим к следующему наглядному представлению (рис. 9.19): при движении вдоль изотропного луча у от больших значений г к малым под нарастающим влиянием членов все более высокого порядка главные изотропные направления одно за другим «отслаиваются» («peel off») от радиального направления1). Такая картина не совсем соответствует действительности, ибо точная форма последовательного вырождения дается всей совокупностью соотношений (9.7.5) — (9.7.7). Различными старшими членами ф°$ в формуле (9.7.5) даются различные компоненты спинора фА L в точке Р. Однако истинный характер этой связи станет яснее лишь после доказательства существования разложения (9.7.4).'

Рис. 9.19. Последовательное вырождение Сакса: изменение вдоль уходящего луча кратности радиальных ГИН вейлевой кривизны для различных членов разложения по отрицательным степеням параметра г.

Параллельно переносимые спиновые системы отсчета

Это доказательство опирается на процедуру сравнения параллельных переносов спиновых систем отсчета вдоль луча у относительно двух метрик gQb и gQb. Прежде всего отметим, что, взяв

бл = ол, бл = £2-1ол, т. е. lQ = lQ, ta = ^2la (9.7.8)

[формула (9.7.2)], мы тем самым обеспечиваем сохранение вида уравнения параллельного переноса ОоА = о: D6A = Q-2lb (VboA— — ТЛв'Ов) = Q-2Doa, где учтена формула (5.6.15). Тогда, дополнив бл до полной спиновой системы отсчета, (6Л, И), положим

5оД = 0, DvA = Q,(9.7.9)

где, для сохранения нормировки с (9.7.8) принято, что при некотором v выполняется равенство

И=;а_ voa(9.7.10)

Согласно формуле (5.6.15),

0 = Dva = D (1Л + уол) = 1Ь (¥Ь1Л — е^Тсв^) + D (voл) =

= 0 — oV7cQ-1Vcb'Q + oADv + о, откуда

5v = Q-2t],(9.7.11)

Сравнение аффинных параметров

Теперь сравним аффинные параметры на у. Пусть г — ассоциированный с 1а [формула (9.7.3)] аффинный параметр на луче у с началом в точке Р:

f^O, Df=V (9.7.13)

(Символ ^ теперь означает «равенство в точке Р»; нас не интересует происходящее на другом конце луча у.) Согласно условию «г» определения (9.6.11), $2 s 0 и dQ>/df s 0. Кроме того, предполагается отсутствие контакта между лучом у и границей 3. В результате имеем

где Л — некоторая не равная нулю величина (постоянная вдоль у). Отметим, что

— iaNa = ia^aa=ba^ — л,(9.7.15)

так что эта величина Л в изотропном случае совпадает с концевым значением Л в формуле (9.6.27). Поскольку Q — гладкая функция класса Ск, можно написать

й = - Af — А^ — Аае — ... - Akfk + о (fk),(9.7.16)

где А, Л2, ... — постоянные. Но так как вектор tQ изотропен и Dla = 0, из асимптотического эйнштейновского условия (9.6.21) следует, что

0 ^ t°ibVaVbQ = taVa (tbVbQ) = D2Q, (9.7.17)

так что в выражении (9.7.16)

Л2 = 0.(9.7.18)

Но

^. = Df = ^Df = Q2,(9.7.19)

откуда в силу соотношений (9.7.16), (9.7.18) следует выражение

г = $ Q^df =

= J М {А + Л3/2 + Л^ + .. • + Afefk-1 + о О56-1)}-2 df =

= ^ Л-2/"2 {1 + В/ + ... + Вк_/'Х + о О*-*)} df =

= _ Л-2Г1 + Со + С1г+ + <W^2+o(^~2),

где все коэффициенты 5 и С постоянны на у, а Со — постоянная интегрирования. Обращение формулы (9.7.20) при больших г дает'.'.

г = -++Dftr-6 + o(r^).(9.7.21)

Подставив это выражение в формулу (9.7.16), получим

. Q = Л-1г-1 + Е^г"2 + Еэг~3 + ... + Екг-к + о (г-6), -(9.7.22) причем все коэффициенты D и Е снова постоянны на у.

Формулой (9.7.22) доказывается сделанное в § 1 утверждение о том, что конформный множитель вдоль любой изотропной геодезической изменяется обратно пропорционально ее аффинному параметру. При этом гй-*-Л-1, но выражение (9.7.22) позволяет значительно детальнее проанализировать поведение конформного множителя. (Разумеется, можно выбрать масштаб параметра г так, чтобы получить значение Л = 1, если в этом, конечно, есть необходимость.) Примечательно, что вытекающее из вакуумных уравнений Эйнштейна асимптотическое эйнштейновское условие (9.6.21) является необходимым условием исключения логарифмического члена из выражений (9.7.20) —(9.7.22), ибо именно оно гарантирует выполнение равенства (9.7.18). Не менее интересно, что то же эйнштейновское условие (9.6.21) исключает второй возможный источник логарифмических членов, теперь уже при сравнении двух спиновых систем отсчета, к которому мы сейчас и перейдем.

Сравнение спиновых систем отсчета

Из (9.7.10) и (9.7.8) следует соотношение

И = 1Л + №ол.(9.7.23)

Выберем коэффициент v так, чтобы выполнялись условия vQ->0 в точке Р, поскольку в этом случае две спиновые системы отсчета будут согласованы в Р в том смысле, что од s од и И as И. Вследствие этого коэффициент ц в (9.7.11) в точке Р должен быть равен нулю, иначе интегрирование уравнения (9.7.11) давало бы величину v, ведущую себя в точке Р как не равное нулю кратное множителя Q-1. Согласно формуле (9.7.12), это означает, что спинор Nbb' должен быть линейной комбинацией спиноров 1в1в' и 6в6в' = ?ь> т- е*

£6а; Л/^ + уМ'Т,(9.7.24)

где коэффициент Л определяется как в формуле (9.7.15) [и (9.6.27)], а второй коэффициент определяется формулой

ПространстбеннопоЭобНаЯбесконечность 3

Рис. 9.20. Когда гиперповерхность 3* изотропна, направление вектора № в точке на 3* не зависит от выбора луча у, но это перестает быть верным, если гиперповерхность 3* пространственноподобна (или времениподобна) — плоскость, натянутая на изотропные векторы й° и /а, должна быть такой, чтобы она содержала нормаль № к 3*. Это означает, что определение поля излучения (член, изменяющийся как г-1) в случае пространствениопо- добной (или времениподобной) гиперповерхности 3+ менее инвариантно, нежели в случае изотропной.

Когда граница ^ изотропна, это означает, что вектор считается направленным вдоль изотропного направления будущего на 3. Если же граница 3 не изотропна (и во времениподобном случае не касается луча у), то изотропный вектор будущего па. можно выбрать так, чтобы он лежал во времениподобной 2-плоскости, натянутой на векторы 1а и Ra, но, разумеется так, чтобы он отличался от 1° (рис. 9.20).

При таком подходе т] = 0, и на первый взгляд кажется, что интегрирование уравнения (9.7.11) должно давать величину v, ведущую себя в точке Р как In й. При таком поведении мы получили бы требуемое в формуле (9.7.23) условие гй-*-0, но оно портит форму степенного ряда для членов высших порядков в формуле разложения компонент (9.7.4). Однако на самом деле оказывается, что коэффициент ц стремится в точке Р к нулю как величина, квадратичная по конформному множителю, и в результате логарифм исключается. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим разность двух частей слабого равенства (9.7.24). Согласно лемме (9.6.38), существует определенный вдоль луча у ковектор Qb (класса гладкости С*-2), такой, что

. QQb = Nb- МЬ-^ХА-ЧЬ.(9.7.25)

Если применить к этому равенству операцию ковариантного дифференцирования (с оператором Vc), а полученный результат свернуть со спинором dcdsdc', то, воспользовавшись еще раз первым асимптотическим эйнштейновским условием (9.6.21) и формулой (9.7.15), мы получим

(9.7.26)(9.7.26)—AQbb'6b' = 0,

(9.7.26)

(9.7.26)

откуда в соответствии с формулой (9.6.38) следует равенство

-Qaa'W^Qp,(9.7.27)

где р — непрерывный (класса С^™3) на луче у скаляр. Подставив (9.7.27) и (9.7.25) в (9.7.12) мы, как и утверждалось, получим

r] = Q2p.(9.7.28)

Тогда из (9.7.11) следует регулярное (класса С*-2) в точке Р выражение

v=^pdr.(9.7.29)

Теперь на основании формул (9.7.23) и (9.7.22) можно написать разложение вида

г = ^ + {r-V1 + . . . + r^S-, + О (г-й+1)}бл, (9.7.30) причем коэффициенты vi, ..., v^-i постоянны вдоль луча у. В то же время из (9.7.8) следует равенство

oA = Q6A.(9.7.31)

Доказательство свойства последовательного вырождения

Теперь мы в состоянии доказать равенство (9.7.4). Поскольку величина 6а ... нк'... Q' считается непрерывной функцией класса Ch в точке Р ее можно представить в виде ряда

б ... = б... +гб... + ■ ■ ■ + гАб ... +о(г*)-(9.7.32)

1h

Рассмотрим типичную компоненту [имеющую в общей сложности q равных нулю индексов (0 и 0')]

0 = Оо... 01... ю'... о'г... и(9.7.33)

поля 6а... q' относительно спиновой системы отсчета (оА, iA) и соответствующую компоненту

6 = 6о ... о 7 ...7'6'...'6'7'...7'(9.7.34)

поля 6a...q' относительно спиновой системы отсчета (dA, iA). Разложение (9.7.32) имеет место для любой компоненты поля, так что

6 = 0 +гб+ ... + гАб + о (rfc),(9.7.35)

1h

причем каждая величина б постоянна вдоль у. Если 6a...Q'—- i

конформная плотность веса —w [формула (9.7.1)], то

9 = Q^o... 01... io'... о'г... г,(9.7.36)

причем компоненты получаются в результате свертки с ол, И и с комплексно-сопряженными им спинорами. Подставляя последовательно (9.7.30), (9.7.31), (9.7.22) и (9.7.35) в (9.7.36), мы, как и требовалось, получаем разложение (9.7.4). На этом и заканчиваются наши несколько затянувшиеся рассуждения.

Поля излучений

Теперь мы, наконец, можем написать явный вид коэффициента 6 в старшем члене разложения (9.7.4):

w-Vq

о =A~w-q 0 «A-W~q^ т„(9.7.37)

ta+qw+q

Если выбрать А = 1 (выполнив при необходимости масштабное преобразование гь->4г), то тогда старшие члены разложений можно непосредственно отождествлять с различными компонентами конформно-преобразованных полей на границе 3. В случае гравитационного поля эти компоненты фоооо, фоооь • • ■, фин и (при Л = 1) их можно отождествить с соответствующими старшими членами "V®, Т?, . .., Т® разложений спинора Вейля [формула (9.7.5) ]

Ч^ = Ч«Г-5 4- о ^, ^, = ^?Г"4 + о (г-4), . . . ,

Т4 = Т»г-* + О (г-1)(9.7.38)

(см. ниже формулы в конце § 8). Следовательно, например, величина Т®, которую мы вправе рассматривать как характеристику гравитационного излучения, может быть отождествлена с компонентой спинора фдвсо на границе 3, получающейся в результате полной его свертки со спинором tA. Аналогичная ситуация возникает в случае электромагнитного излучения в теории Эйнштейна — Максвелла. Здесь асимптотическое эйнштейновское условие (9.6.21) по существу снова является следствием уравнений поля и асимптотической простоты, а преобразованное в результате изменения масштаба полефдв конечно на границе 3 [237]. Так что последовательное вырождение имеет место и в случае электромагнитного поля, излучение которого описывается компонентой спинора фдв, получающейся в результате полной свертки его со спинором tA.

Отметим, однако, что в случае неизотропной границы 3 понятие поля излучения не имеет вполне определенного смысла. Достаточно беглого взгляда на рис. 9.20, чтобы убедиться, что в этом случае направление вектора па, а значит, и спинора tA сильно зависит от выбора той или иной геодезической у, проходящей через точку Р. Таким образом, в результате варьирования

лучей у, проходящих через Р, различные компоненты Т^ смешиваются друг с другом. Если заменить луч у проходящей через точку Р изотропной геодезической, касательным вектором к которой в точке Р является вектор па, то обнаружится, что порядок членов Ч^, Ч^, .... TJ полностью обратится! (То же самое имеет место для полей с иными спинами.) Но если граница ^ изотропна, то ситуация существенно улучшается. Правда, при варьировании у компоненты Ч^ в какой-то мере смешиваются друг с другом, но лишь в сравнительно малой степени. Характерно, что «радиационный» член Ч^ остается неизменным, у Ч^ появляется лишь одно новое слагаемое, кратное Ч™, У ^2 появляются слагаемые, кратные Чг° и Чг“, и т. д. Это связано с тем, что система отсчета (бА, tA) в Р заменяется системой (oA + <oiA, iA) с некоторым со. Соответствующим свойством обладает и электромагнитное поле. .

Когда граница 9 изотропна, существует удобное инвариантное описание полей излучений при любом значении спина. Можно считать, что уходящее излучение описывается компонентой Фхх ...х на 3*, а приходящее — компонентой Фх1...\ на ^~ (флагшток спинора iA в обоих случаях направлен по касательной к границе 3). Напомним, что эти компоненты, когда они используются на обычной изотропной гиперповерхности, а не на изотропных бесконечностях будущего или прошлого 3-, дают изотропное значение (5.1.11) рассматриваемого поля. Это указывает на то, что поле излучения (либо приходящего, либо уходящего, но не обоих) должно отвечать соответствующим начальным (или конечным) данным (для поля). Однако в некотором смысле более прямое влияние на поле во внутренней части пространства-времени должна оказывать производная у (или fta^Q^ изотропного значения на 3, так как она входит в обобщенную интегральную формулу Кирхгофа — Дадамера (5.12.6) для безмассовых полей в плоском пространстве-времени. Конечно, при наличии конформной кривизны или нелинейностей вопрос менее ясен. И тем не менее н случае скалярного поля, согласно условию Зоммерфельда [314], которое в сущности требует равенства ■₽'ф = 0 на гиперповерхности 3~ для любого запаздывающего скалярного поля, эта производная безусловно представляется наиболее подходящей мерой интенсивности поля излучения. В случае больших спинов ситуация менее определенна в силу иных соотношений между фц_. л и потоком энергии [формула (9.10.13) и далее ].

Отметим, что последовательное вырождение возникает в данном исследовании в сущности из-за «бесконечного буста», кото-

рый имеет место в пределе при приближении вдоль у к точке Р, если сравнивать параллельно переносимую систему отсчета (по отношению к физической метрике) с системой отсчета, для которой конформно-преобразованное поле конечно на границе 3. В результате различные компоненты поля (на 3^ «вытягиваются вовне» («spread out»), так что убывают как разные степени параметра г. Фактический конечный характер конформно- преобразованного поля на 3 можно рассматривать как «правдоподобное» свойство конформно-инвариантных полей, поскольку такое поле может эффективно распространяться через границу 3, «не замечая» ее.

В заключение отметим, что, как показано в работах [96, 97], (слабо) асимптотическая простота будущего в случае вакуумных пространств-времен (с X = 0) допускает полную свободу уходящего гравитационного излучения. Однако все же остается неясным статус комбинированной регулярности для гиперповерхностей <7+ и З-.

Группа ВМС и структура гиперповерхности 3*

Пространство-время Минковского М и рассмотренные в § 5 космологические модели допускают группы изометрий, представляющие значительный практический интерес. Правда, группа изометрий на произвольном пространстве-времени ^— это просто тождественное преобразование, так что ее наличие не дает никакой существенной информации. Но группы симметрий имеют большое значение в физике; в частности, группа Пуанкаре, описывающая изометрии пространства М, играет важную роль в стандартных определениях энергии-импульса и момента импульса. Уже одно это может служить основанием для поисков обобщения концепции группы изометрии, пригодного в искривленных пространствах-временах с теми или иными отклонениями от регулярности.

В случае произвольного пространства-времени Ж вместо группы Пуанкаре по историческим причинам часто рассматривают группу (или псевдогруппу), называемую «общей координатной группой» (или, что эквивалентно, «группой диффеоморфизмов»). Однако в данном контексте она практически бесполезна, ибо слишком «велика» и сохраняет лишь дифференцируемую структуру пространства Ж, а не те или иные важные физические свойства этого пространства. Значительно больший интерес представляет концепция группы асимптотической симметрии. Она применима в любом пространстве-времени Ж, которое на бесконечности соответствующим образом стремится либо к пространству-времени Минковского М, либо к подходящей космологической модели Фридмана — Робертсона — Уоке-

ра. Суть этой концепции заключается в том, что, присоединив к Л подходящую конформную границу (либо 3* или 3~, либо всю границу 3), мы можем получить такого рода асимптотические симметрии в виде конформных движений границы, поскольку наличие нужной нам группы симметрий у границы более вероятно, чем у самого пространства Л. (Любая изометрия пространства Л проявляется, очевидно, как конформное движение границы, но конформные движения границы не обязательно должно продолжаться в Л каким-либо имеющим определенный смысл образом.)

Параметры Бонди

Мы будем рассматривать лишь подходящие нам асимптоти- чески-плоские пространства Л. Возьмем пространство Л с 3-асимптотической простотой будущего (см. § 6) и с изотропной гиперповерхностью 3*, и пусть на нем выполняется сильное асимптотическое эйнштейновское условие [формула (9.6.21) вместе со слабым равенством ^двсд = 0], а также следующее условие [103]: образующие гиперповерхности 3+ имеют бесконечную протяженность. [Это дополнительное условие в данной главе уже упоминалось после определения (9.6.11).] Дадим следующие определения.

Определение

Образующая у гиперповерхности 3+ называется бесконечно протяженной, если параметр Бонди на у принимает на у все значения в интервале (—оо, оо). (9.8.1)

Определение'

Увеличивающийся в направлении будущего действительный параметр ”и” на образующей у гиперповерхности 3+ называется параметром Бонди, если в случае вектора па, касательного к образующим гиперповерхности 3+, выполняется уравнение

ф'— 2р') р'н = 0,(9.8.2)

записанное в компактных обозначениях для спиновых коэффициентов (т. 1, гл. 4, § 5, 12).

Параметр и имеет тип {0,0}, так что величина Vu имеет тип {—1, —1}, вследствие чего [с учетом формулы (4.12.15)] уравнение в определении (9.8.2) означает, что

(D' — в' — ё' — 2р') Du = 0.(9.8.3)

Если к тому же потребовать, чтобы параметр и имел конформный вес, равный нулю, то, воспользовавшись обозначениями из

уравнение из определения (9.8.2) можно будет переписать в виде

'^2и = 0.(9.8.4)

Уравнение (9.8.4) явно конформно-инвариантно [формула

на основании чего можно утверждать, что определение параметра Бонди не связано с конформным множителем й (и, разумеется, с выбором масштаба для вектора паУ Если выбрать такой множитель й, чтобы выполнялось условие р' = О [см. текст после формулы (9.6.31)] и такой масштаб вектора па, чтобы он параллельно переносился вдоль луча у, то уравнение (9.8.3) можно будет привести к виду

D2u = 0,(9.8.5)

откуда со всей очевидностью следует, что различные параметры Бонди на у связаны друг с другом соотношением

u'=Gu-VH,(9.8.6)

где G, Н — действительные постоянные и G > 0.

Подчеркнем, что при обсуждении определения (9.8.2) мы опустили «шляпки» над величинами, определенными на ^+. Мы будем поступать так и в дальнейшем, поскольку большая часть расчетов будет связана с величинами, определенными на гиперповерхности 3*. Так, в частности (и в противоположность обозначениям двух предыдущих параграфов) gab будет обозначать «нефизическую» регулярную на ^+ метрику, конформную физической метрике. Если же случится иметь дело с величинами, относящимися к «физическому» пространству-времени, то мы будем отмечать их тильдой сверху. Итак, конформное изменение масштаба теперь будет выглядеть следующим образом:

gab = Q?gab.(9.8.7)

Материал этого и следующего параграфов изложен в применении к гиперповерхности 3*. Но совершенно очевидно, что все полученные в них результаты будут применимы и к З-, если, конечно, именно на 3~ будут выполняться подходящие асимптотические условия. Что касается физических проблем, то результаты, полученные на 3+, как правило, представляют больший интерес, чем результаты на 3". Для этого есть причины двоякого рода. Во-первых, физические соображения вынуждают интересоваться больше запаздывающим излучением, которое связано со структурой гиперповерхности 3+, чем опережающим связанным со структурой З-, если бы она имелась. Во-вторых, в случае гиперповерхности 3~ гораздо труднее, чем в случае 3*, объяснить, почему в «физически приемлемых» ситуациях на ней должны выполняться требуемые асимптотические условия (см., например, работы [355, 283, 96, 97]).

Группа Ньюмена — Унта

Как показано в § 6 [см. (9.6.31)], при подходящем выборе конформного множителя й метрика гиперповерхности ^+ (со знаком минус) может быть представлена в виде

. dl2 = d№ + sin20 d^2 = 0 • du2 =

= 4dg4(l +&Г2 + 0- du2 (9.8.8)

[где g = е‘Ф ctg( 1/2)0, как в формуле (1.2.10)]. He вызывает сомнений [формула (1.2.17)], что эта (вырожденная) метрика для гиперповерхности 27+ конформно сохраняется при действии активных точечных преобразований

£ — -^-, и^Р(иЛ й, (9.8.9)

где а, Ь, с и d— комплексные постоянные (причем ad—be = 1), a F — функция, (достаточно) гладкая на всей гиперповерхности ^ « R X S2 (так что можно рассматривать и £ = «>); кроме того, при каждом значении g величина F должна быть монотонно возрастающей функцией переменной и, отображающей всю область изменения и для каждой образующей £ на себя и имеющей отличную от нуля производную по и (чтобы обратное преобразование тоже было гладким). Первое преобразование (9.8.9) — это конформные движения 52-пространства образующих гиперповерхности ^+ без отражений (конформная структура адекватно определяется любым из сечений этой гиперповерхности), а второе преобразование (9.8.9) в случае, когда первая является тождественным преобразованием (a — d=\, b = с = 0), определяет общие гладкие движения образующих в себя без отражений. Группа преобразований (9.8.9) называется группой Ньюмена — Унти (НУ) или ограниченной группой НУ [224], но мы предпочитаем не рассматривать здесь преобразования отражения и будем называть «группой НУ» тождественно-связанные преобразования (9.8.9) без отражений. Следовательно, группу НУ можно считать группой движений гиперповерхности 27+ без отражений, сохраняющей внутреннюю (вырожденную) конформную метрику этой гиперповерхности.

Всякий раз, когда пространство М в результате ограниченного движения Пуанкаре отображается на себя, граничная гиперповерхность ^+ пространства М претерпевает преобразования вида (9.8.9). Это происходит из-за того, что конформная структура гиперповерхности 27+ определяется конформной структурой пространства М, а последняя, конечно, сохраняется при движениях Пуанкаре. Следовательно, ограниченную группу

Пуанкаре можно считать подгруппой НУ. Однако последняя явно намного «больше» первой, ибо является функциональнопространственной (и, значит, бесконечномерной), а не просто десяти мерной группой.

Группа Бонди — Метцнера — Сакса

От группы НУ можно естественным образом отсечь значительно меньшую подгруппу, если учесть, что, согласно определениям (9.8.1) и (9.8.2), параметры Бонди и внутренняя конформная метрика (9.8.8) определяются конформной структурой пространства Л. Согласно формуле (9.8.6), сохранение параметров Бонди требует, чтобы функция F в формуле (9.8.9) имела вид

F (и, £, f) = uG (£, У + Н ^, £), (9.8.10)

где и считается параметром Бонди на каждой образующей гиперповерхности 3* и предполагается, что эти образующие бесконечно длинны. Этим сужается свобода выбора F от функции трех действительных переменных до двух функций двух действительных переменных.

«Улучшать» вид функции F можно и дальше, если, например, исключить всякую свободу выбора функции G в (9.8.10), т. е. записать ее в явном виде. Для этого необходимо ввести дополнительную структуру на гиперповерхности 3+, которую мы будем называть сильной конформной геометрией на 3* [234, 249]. (Такое название не совсем правильно, ибо рассматриваемая структура включает в себя не только конформную геометрию пространства ^, но и некоторые элементы, определяемые его метрикой; однако в этом названии есть и полезная эвристич- ность, что проявится несколько позднее.) Группа движений гиперповерхности 3* в себя, сохраняющая эту сильную конформную геометрию, называется группой Бонди — Метцнера — Сакса (ВМС) (или ограниченной группой БМ.С — но мы опять предпочитаем отказаться от преобразований отражения как части нашего определения; см. [299]). Как мы сейчас увидим, сохранение сильной конформной геометрии приводит к ограничению функции G выражением _ '

' G (£, У = ц аЕ + 6 р+^с? + d р • (9.8.11)

где а, Ь, с и d те же, что и в первом равенстве (9.8.9).

Возможны разные способы описания этой дополнительной структуры на граничной гиперповерхности 3+. Пожалуй, самый прямой — это указать, что изотропный касательный (и нормальный) к 3+ вектор №, который определяется наперед заданным

конформным множителем Q [удовлетворяющим условиям определения (9.6.11)] с помощью выражения

А?а =— VaQ вблизи 3*(9.8.12)

[формула (9.6.16)], преобразуется при еще одном конформном изменении масштаба

gab^^gab(9.8.13)

следующим образом:

Na^<dNa) f. е. №^^-х№ на 3+.(9.8.14)

Предполагается, что конформный множитель 0 является гладким на и нигде на 3+ не обращается в нуль; он выражает свободу выбора конформного множителя Q. Поскольку метрика gab связана с физической метрикой gQb соотношением gab = = Q?gab, конформное изменение масштаба (9.8.13) сопровождается заменой

Qh->0Q,(9.8.15)

в силу чего преобразование (9.8.14) сразу же следует из формулы (9.8.12) (так как член, содержащий производную конформного множителя 0, на 3+ обращается в нуль). Линейный элемент dl [положительно полуопределенный и вырожденный; см. формулу (9.8.8)] на 3* претерпевает преобразование

dlv-^^dl,(9.8.16)

вследствие чего произведение

№dl(9.8.17)

оказывается инвариантным относительно преобразования (9.8.13):

Nadl^Nadl.(9.8.18)

Таким образом, выражение (9.8.17) дает нам инвариантную структуру, которую можно использовать для определения сильной конформной геометрии на 3*.

NaVau = 1NaVau = 1Смысл соотношения (9.8.18) заключается в следующем: хотя не определен какой-либо естественный выбор масштаба параметра на образующих гиперповерхности 3+ и не определена какая-либо естественная метрика на ее сечениях, сильной конформной геометрией определяется отношение масштаба к метрике. Взяв любой допустимый конформный множитель О', можно с помощью вектора № [формула (9.8.12)] зафиксировать условием

NaVau = 1

NaVau = 1

(9.8.19)

определенный масштаб параметра и на образующих гиперповерхности 3*, Тогда мы при преобразовании (9.8.15) [компенсирующем преобразование (9.8.14)] получим

duv—^©du.(9.8.20)

Сравнение этого преобразования с преобразованием (9.8.16) показывает, что отношение

du:dl(9.8.21)

не зависит от выбора множителя £2.

На основе такого рода инвариантности можно дать определение изотропного угла между двумя касательными направлениями в точке Р гиперповерхности £/+, когда натянутая на них плоскость содержит изотропное касательное в точке Р направление (ни одно из этих двух заданных направлений само не является изотропным). Угол в обычном смысле этого слова, если его определять с помощью (конформной) метрики (9.8.8), во всех таких случаях будет равен нулю, а значит, без введения на 3* дополнительной структуры невозможно сказать, какой из изотропных углов в двух разных точках гиперповерхности ^7+ больше или меньше, ибо такое сравнение лишено смысла. При наличии же сильной конформной геометрии и инвариантного отношения (9.8.21) можно дать следующее определение численного значения изотропного угла v(e R) между двумя касательными направлениями в точке гиперповерхности 3+:

^ = ^,(9.8.22)

где би и 6/ — (бесконечно малые) приращения, указанные на рис. 9.21. И обратно: индуцированная на гиперповерхности 3^ конформная метрика (9.8.8), дополненная определением изотропного угла, дает сильную конформную геометрию на .7+.

Угол v имеет совершенно четкий смысл в рамках геометрии пространства Ж, который мы вскоре выясним. Сейчас же мы хотим связать определение параметра Бонди с только что рассмотренными определениями. Сначала вспомним определение (9.6.27) величины А на гиперповерхности ^+:

Anb :^Nb= — VbQ(9.8.23)

[формула (9.6.22)]. Мы, разумеется, вольны выбрать такой масштаб вектора изотропной тетрады пь, при котором А = 1. Однако здесь мы этого делать не будем, поскольку хотим воспользоваться преимуществами, которые дает формализм спиновых коэффициентов, а указанный выбор масштаба (или преждевременность такого выбора) может привести к трудностям (неоднозначностям) при определении операторов производных. Из

Рис. 9.21. Изотропный угол v = 6ы/6/ на З* есть угол между двумя направлениями на 3*, на которые натянута плоскость, содержащая изотропное нормальное к 3* направление. При изменении конформного множителя для 3* изотропные углы не изменяются.Рис. 9.21. Изотропный угол v = 6ы/6/ на З* есть угол между двумя направлениями на 3*, на которые натянута плоскость, содержащая изотропное нормальное к 3* направление. При изменении конформного множителя для 3* изотропные углы не изменяются.

Рис. 9.21. Изотропный угол v = 6ы/6/ на З* есть угол между двумя направлениями на 3*, на которые натянута плоскость, содержащая изотропное нормальное к 3* направление. При изменении конформного множителя для 3* изотропные углы не изменяются.

Рис. 9.21. Изотропный угол v = 6ы/6/ на З* есть угол между двумя направлениями на 3*, на которые натянута плоскость, содержащая изотропное нормальное к 3* направление. При изменении конформного множителя для 3* изотропные углы не изменяются.

того, что вектор л6 имеет тип {—1, —1}, следует, что А— действительный (1, 1}-скаляр на 3*. (Здесь n6 = iBiB', а спинор ов, необходимый для полной спиновой системы отсчета, мы выбираем произвольно.)

Теперь вспомним асимптотическое эйнштейновское условие (9.6.26)

VB'(BjVc)C'^O.(9.8.24)

В случае диадных компонент слабого равенства (9.8.24), относящихся только к производным, касательным, к гиперповерхности 3*, вместо Nee- можно подставить Aicic' [формула (9.6.23)]. Тогда эти компоненты получаются в результате последовательной трансвекции обеих частей равенства (9.8.24) с iBic и iB'. Первая трансвекция дает слабые равенства

(9.8.25)(9.8.25)а' = 0 = х',

(9.8.25)

(9.8.25)

которые уже были получены ранее [формула (9.6.28) ], тогда как вторая [при использовании, скажем, формул (4.12.27) или (4.12.28)] дает

(/ + р') А ^ 0 ^ 6А. (9.8.26)

Отметим, что вследствие этого р' оказывается действительной величиной:

р' = р',(9,8,27)

но это мы и так уже знаем, ибо 3*— изотропная гиперповерхность. Пусть Na в соответствии с формулой (9.8.14) имеет конформный вес, равный 1. Тогда (9.8.26) можно записать в следующем конформно-инвариантном виде:

У'Л ^ 0 ^ дсА (9.8.28)

[формула (5.6.33); выбор величин Wo и гщ несуществен).

Отметим также, что если специализировать Q таким образом, чтобы выполнялась и производная в направлении от 3* уравнения Люку = Nccr (т. е. таким образом, чтобы всякая гиперповерхность Q = const «вблизи» 3* тоже была изотропной), то из оставшихся компонент условия (9.8.24) будут следовать слабые равенства .

■ р7 = т7 ^ 0 = рЛ. (9.8.29)

Этого всегда можно добиться, однако особых преимуществ мы не получим. Все условия (9.8.29) целиком нас в общем случае интересовать не будут, но, как мы скоро увидим, нам потребуется условие р' 0.

■ Укажем, что условие (9.8.19), связывающее частный выбор масштаба параметра и на образующей гиперповерхности 3* с конкретным конформным масштабом на 3*, можно записать в виде

V» ^ Л-1 (9.8.30)

(или, что то же, D'u^A-1, так как и — величина типа {0, 0}).

Задав конкретный параметр и условием (9.8.30), мы должны осторожно пользоваться операторами р7, дс и т. п., которые нельзя применять к параметрам и, не имеющим определенного конформного, веса. Однако стандартный компактный формализм все же остается однозначным. Заметим, что, согласно формуле (9.8.26), мы имеем (у7— р^Л-'^О, так что, подействовав оператором у7— р7 на обе части равенства (9.8.30), мы получим слабое равенство (у7 — р7) р'и ^ 0. Сравнение этого результата с формулой в определении (9.8.2) приводит к следующему предложению. -

Предложение

Условие (9.8.19) [т. е. (9.8.30)] совместно с требованием, чтобы величина "и” была параметром Бонди на всякой образующей гиперповерхности З*, в том и только в том случае, если р7 = 0 на 3+, т. е. если образующие изд- метрически отображают сечения гиперповерхности 3* друг на друга. (9.8.31)

[То обстоятельство, что слабые равенства о7 = р' = О являются условием изометричности отображения этих сечений, уже отмечалось ранее; см. текст после формулы (9.6.31) и гл. 7, § 1, рис. 7.2.]

Гладкая действительная функция и на 3, являющаяся параметром Бонди на всякой образующей, называется ^запазды- ваюи^ей) координатой времени Бонди на 3*, если она удовлетворяет не только условию (9.8.30) [или (9.8.19)], так что образующие гиперповерхности 3* изометрически отображают ее сечения друг на друга, но и требованию, чтобы метрика этих сечений была фактически такой же, как и у единичной 2-сферы. [Выбором параметра и, очевидно, фиксируется метрика на 3* в силу инвариантности отношения du:dl (9.8.21), дающего величину изотропного угла. Канонический выбор «единицы» измерения этого изотропного угла *) дает каноническую пропорциональность между масштабом параметра и на образующих и метрикой сечения.] Как подразумевалось в гл. 1, § 2 (см. также гл. 4, § 15), в выборе такого рода конформных масштабов присутствует трех (действительно) параметрическая свобода, соответствующая различным выборам «асимптотической оси времени» (в качестве иллюстрации к этому см. т. 1, рис. 1.11, с. 59). Связь между соответствующими допустимыми координатами р определяется первым соотношением (9.8.9), дающим ограниченные преобразования Лоренца на (анти-) небесной сфере. Конформный множитель, связывающий два таких масштаба, определяется отношением Г-координаты изотропного вектора, построенного из спинора ХА = (£, 1), к Г-координате изотропного вектора, построенного из спинора (а£4-6, c^ + d), полученного в результате преобразования спинора ХА с помощью спин-мат- рицы первого преобразования (9.8.9). Это отношение имеет вид

^(l+g):^(|a£ + 6|2 + |Ce + W (9.8.32)

Таким образом, для сохранения структуры (9.8.21), как того требует преобразование БМС, функция G в (9.8.10) обязательно должна иметь вид (9.8.11), о чем уже упоминалось. При учете этого ограничения на форму функции F в (9.8.10) общий вид преобразований группы БСМ должен определяться формулами (9.8.9).

Укажем условия, при которых метрика на 3* принимает вид (9.8.8) :

р'= 0, Фп + Л^1. (9.8.33)

Второе слабое равенство следует из предложения (4.14.21) при учете соотношения (9.8.25), равенства единице гауссовой кривизны единичной сферы и слабого равенства Тг = 0, следующего из сильного асимптотического эйнштейновского условия. Отметим, однако, что условия (9.8.33) приведены лишь для удобства: сама группа ВМС, как она определена здесь, от существования этих условий не зависит.

Связь между сильной конформной геометрией и твистором 1°91ра

Теперь мы проанализируем структуру и геометрический смысл этой группы. Но сначала рассмотрим сильную конформную геометрию на 3^ с различных точек зрения. Прежде всего отметим, что с помощью выражения NaNbdl2, полученного в результате возведения в квадрат выражения (9.8.17), эту геометрическую структуру можно представить в тензорной форме. Величина dl2 есть (положительно определенный) внутренний метрический тензор уфф гиперповерхности 3*, причем большие греческие буквы служат теперь абстрактными индексами, внутренними для гиперповерхности З^. В формуле (9.8.18) у вектора Na использовался индекс, относящийся к 4-пространству, что для контравариантных индексов более или менее приемлемо. Но в случае ковариантных индексов важнее сохранить разницу в обозначениях между индексами, относящимися к 3-пространству и к 4-пространству, поскольку кокасательные пространства гиперповерхности 3*— это фактор-пространства такой границы пространства Л, а касательные пространства — ее подпространства. [Возникает трудность, связанная с изотропностью гиперповерхности ^+, при которой невозможно естественное определение ортогональных проекторов (проекционных операторов), таких, как Sab в формуле (4.14.6).] Если вектор № тоже записать, пользуясь такого рода внутренними абстрактными индексами, то внутренний по отношению к 3* тензор, равный квадрату выражения (9.8.17), можно переписать в виде

^М^ф.(9.8.34)

С помощью величин, относящихся к 4-пространству, тензор (9.8.34) можно интерпретировать как абстрактный тензор

—NcNdgef по модулю кратных векторам N. и Ме,

т. е. XedNb YflNe.(9.8.35)

Ортогональность вектора № ко всем касательным к гиперповерхности ^+ направлениям выражается соотношением

^7^ = 0(9.8.36)

[которое в силу формулы (9.8.35) позволяет сделать очевидный вывод, что тензор Nagab равен нулю по модулю кратных векторам У»]. Кроме того, мы имеем ■

. Туф = УФу, (9.8.37)

Внутренний тензор (9.8.34), подчиненный условиям (9.8.36) и (9.8.37), представляет сильную конформную геометрию на «7+.

Считая (вырожденную) конформную метрику гиперповерхности 3* заданной, можно предложить и другие способы описания сильной конформной геометрии. Например, если через У обозначить 2-форму, которая является мерой площади поверхности (индуцируемой метрикой gab^ для 2-поверхностей на 3*, то выражение

. N^N^ (9.8.38) тоже дает требуемую структуру сильной конформной геометрии. То же можно сказать и о произведении

УгУаОуф, (9.8.39) в котором <туф = — <тфу, причем ^ = <туФ dx^ Д dx® на ^+, и №г<туф = 0. Вообще говоря, имеет место равенство ■

аг [Д^Ф] у = Т Тг [дУф] у (9.8.40)

(в чем легко убедиться, перейдя к диагонально-кооординатному описанию). Знаком 2-формы 3 определяется ориентация площади д'*, но он остается неопределенным в формуле (9.8.40). Будем считать, что ориентация и ориентация во времени гиперповерхности 3* являются частью ее заданной внутренней структуры. '

Еще одно проявление сильной конформной геометрии на ^+ связано с теорией твисторов (и понадобится нам в § 9). Напомним, что в твисторном методе описания пространства М* конкретный световой конус, определяющий гиперповерхность ЗД выделяется заданием (с точностью до коэффициента пропорциональности) твистора бесконечности 1“^ или дуального ему твистора |ср [формула (6.2.25)]. Выбором требуемого масштаба для твистора Г9 (или для 1ар1ра) и определяется сильная конформная геометрия гиперповерхности 3*. Мы покажем, что такой подход пригоден и в случае пространства Л, если использовать локальное твисторное описание твистора Г9 (см. гл. 6, § 9).

. Если предположить, что пространство Л вблизи 3+ пусто, то Ра6=0 [формула (6.8.12)] и «спинорная часть» (бАВ, 0; 0, 0) твистора Г9 относительно физической метрики gab постоянна

при локальном твисторном переносе (6.9.12). В силу конформной инвариантности локального твисторного переноса «спинорная часть» твистора 1“^ относительно метрики §аь тоже оказывается постоянной. Согласно формуле (6.9.6), такое представление твистора имеет вид

p«siTDS'BRD ]ГЙ8«5 _iNRs,

— URVs'— p'br's'— URVs'— p'br's'I iTCR-8cs -Ycr'TDS'8cdA = [ (Nr'S (qa + 4" W^ BR'S'

— URVs'

— p'br's'

— URVs'

— p'br's'

(9.8.41)

Здесь не предполагается, что Rab = 0; просто считается [ср. с предложением (9.6.18)], что физическая скалярная кривизна вблизи равна нулю:

Л = 0,(9.8.42)

т. е. что вблизи 3* имеются только безмассовые поля. При выводе формулы (9.8.41) использовались соотношения (6.8.21), (6.8.23), равенства eRS = Q-18RS [формула (9.8.7)], Ya = —Q^Nu, а также соотношение .

Vc№ = - W,(9.8.43)

которое следует из равенства (9.8.24) (последнее показывает, что перестановка индексов в выражении ^bb'Ngc' приводит, самое большее, к изменению знака), и соотношение'

:oBiBTcoc'VbAc = Ар',(9.8.44)

получающееся в результате подстановки выражения (9.8.23), поскольку в него входит тангенциальная производная.

Можно показать, что локальный твистор (9.8.41) на самом деле постоянен на гиперповерхности 3* даже в более общем случае (9.8.42). Доказательство основано на прямом применении определений, данных в гл. 6, § 8, и несколько облегчается при использовании условий (9.8.29), так как из них вытекает равенство

ibVbb'Nc^0.(9.8.45)

Отметим, что существенная спинорная часть твистора |ра на 3*, согласно формуле (9.8.41), равна

MiR'is(9.8.46)

(так как путем изменения масштаба спинор р' можно сделать равным нулю). Это тесно связано с сильной конформной структурой (9.8.34). Так, выражение (9.8.35) можно записать в еле-

дующей спинорной форме:

— A2icic'iDiD'eEFeE'F' по модулю выражений

X^VfM-S YCfdlElE,.(9.8.47)

От произвола в выборе величин X" и Y" можно избавиться, применив свертку с iF или vF' и с i£ или iE'. Очевидно, что результатом свертки с двумя штрихованными спинорами или с двумя нештрихованными будет нуль; следовательно, чтобы получить нетривиальный результат, нужно сворачивать с одним штрихованным и одним нештрихованным. Такая свертка дает выражение

A2lClC'lDlD'lElF'

(и комплексно-сопряженное ему), из которого следует убрать (скажем) iciD', чтобы скомпенсировать появившиеся в процессе свертки дополнительные сомножители iFi£'. Результат, который мы запишем в виде

(/Л^0) (- iAiEic'),(9.8.48)

имеет форму внешнего произведения величины (9.8.46) на комплексно-сопряженную ей величину. Таким оборазом, внутренний тензор (9.8.34) на 3^ фактически распадается на две части [отличающиеся от (9.8.17)], а именно на (важную) спинорную часть твистора |ра и на соответствующую часть дуального ему твистора |ра. В этом смысле сильная конформная метрика на 3* «расщепляется» на два сомножителя произведения 1“р1ра, что напоминает «расщепление» (3.1.9) метрики пространства-времени на два сомножителя произведения едВед'В'.

Интерпретация изотропных углов

Как уже говорилось, сильная конформная геометрия на 3 V появляется как метрическое, а не конформное свойство пространства Л. Чтобы это было яснее, нужно дать прямую интерпретацию сильной конформной структуры на основе геометрии пространства ^. Пусть Р— точка гиперповерхности ^7+. Рассмотрим два неизотропных направления аир, касательных в точке Р к 3+. Чтобы лучше уяснить смысл двух типов углов, возможных между направлениями аир, исходя только из геометрии пространства-времени, следует сначала рассмотреть (в плане конформной структуры пространства-времени в точке Р) не сами направления а и р, а их ортогональные дополнения. Они представляют собой две гиперплоскости а* и р* в Р, соответственно. Поскольку направления аир пространственноподобны, гиперплоскости а* и р* должны быть времениподобными,

Рис. 9.22. Касательное к гиперповерхности 3* в точке Р направление а можно характеризовать его ортогональным дополнением а*. Последнее пересекается с «параболическим» сечением (имеющим структуру евклидова 2-пространства Ер) светового конуса прошлого 8 с вершиной в Р по «прямой линии» в Ер, и эта прямая тоже может служить характеристикой направления а.

а значит, должны иметь нетривиальные пересечения со световым конусом прошлого с вершиной в точке Р. Эти пересечения представляют собой совокупности изотропных направлений в точке Р, каждое из которых продолжимо до луча в пространстве Л, являющегося образующей светового конуса <6 с вершиной в точке Р в пространстве Л. Это построение и дает нам искомую интерпретацию гиперплоскостей а* и р*, а стало быть, и направлений а и р на основе обычной пространственно-временной геометрии световых лучей (рис. 9.22).

Возвращаясь к сказанному в § 1, вспомним, что изотропную гиперповерхность <6 в пространственном отношении можно интерпретировать как асимптотически плоский волновой фронт, а это приводит к тому, что геометрия 2-пространства (локального) сечения конуса ^ по мере продвижения этого сечения вдоль Ч? в будущее переходит в геометрию евклидовой плоскости. Если Л есть пространство Минковского М, то Ч? обязательно является изотропной гиперповерхностью, все сечения которой внутренне представляют собой точные евклидовы 2-плоскости и изометрически отображаются друг на друга образующими конуса Ч?. В общем случае мы имеем хорошо определенную предельную евклидову плоскость Ер, позволяющую описать геометрию образующих конуса Я?, точки которых соответствуют различным изотропным направлениям (прошлого) в точке Р,

отличающимся от направлений, связанных с одной, проходящей через точку Р образующей у гиперповерхности 3*.

В сущности Ер можно рассматривать как сечение в касательном пространстве J' [Р] в Р, возникающее в результате пересечения светового конуса прошлого с вершиной в Р изотропной гиперповерхностью, параллельной образующей у. Это «параболическое» сечение имеет внутреннюю евклидову 2-метрику [см. рис. 9.22; ср. с рис. 9.6 и, что больше соответствует рассматриваемому кругу вопросов, с рис. 1.5 (т. 1, с. 30)], и можно добиться, чтобы у нее был правильный масштаб, потребовав, чтобы при использовании индуцированной ею («нефизической») метрики gab и ассоциированного вектора Na уравнение этого сечения (с началом отсчета в точке Р) в пространстве $" [Р] имело вид

xaNa +1 = 0 = gabxaxb.(9.8.49)

В этом случае индуцированная метрика инвариантна относительно преобразований (9.8.13), (9.8.14).

. Перейдем теперь к ортогональным дополнениям в точке Р. Для этого точку пространства ЕР лучше ассоциировать не просто с изотропным направлением в точке Р, а с элементом 2-плоскости, натянутым на это изотропное направление и на изотропное направление, связанное с лучом у. В самом деле, всякий элемент 2-плоскости, проходящий через направление луча у (но не касающийся гиперповерхности ^+), содержит помимо изотропного направления у в точке Р еще (одно и только одно) это изотропное направление. Тогда ортогональным дополнением такого элемента 2-плоскости является элемент другой 2-плоскости, но теперь уже касательный к гиперповерхности ^+ и не содержащий направления, связанного с лучом у. Таким образом, имеем: ..

Точки пространства ЕР соответствуют неизотропным эле- ■ ментам 2-плоскостей, касающимся в точке Р гиперповерхности 3*..

Существует конструкция, «дуальная» только что описанной: касательное к 3* в точке Р направление а соответствует в ЕР дуальному (в пределах Ер) точке элементу, а именно евклидовой прямой (рис. 9.23). (Отметим, что касательное к 3* в точке Р направление представляет собой пересечение двух касательных к гиперповерхности 3+ 2-плоскостей; прямая линия в ЕР объединяет две точки в ЕР.) Итак, имеем:.

Неизотропные направления, касательные к гиперповерхности 3+ в точке Р, соответствуют прямым линиям в ЕР.

(9.8.50)

Рис. 9.23. Если (пространственноподобные) касательные к 3* направления представляются прямыми в Ер, то обычные углы на 3* равны просто соответствующим углам между прямыми в Ер. Изотропным же углам на 3* соответствуют расстояния между параллельными прямыми в Ер.

Это то же самое соответствие, которое мы получили ранее и в силу которого направления, аир были представлены пересечениями элементов а* и р* (соответственно) со световым конусом прошлого с вершиной в точке Р. Теперь на основании утверждения (9.8.50) можно сказать, чему отвечают эти пересечения: направления аир представляются прямыми аир (соответственно) в Ер. Это позволяет наглядно представить два рассматриваемых типа углов между а и р, пользуясь обычным геометрическим языком. В общем случае имеется отличный от нуля угол 0 между прямыми аир. Прямой геометрический анализ показывает, что 0 — это еще и неизотропный угол между направлениями а и р. Но угол 0 может оказаться равным нулю, и тогда прямые аир становятся параллельными. В этом случае возникает новая мера расстояния между а и р, а именно евклидово расстояние v между ними! Простые вычисления показывают, что v — это в точности изотропный угол (9.8.22) между направлениями аир.

Структура группы БМС

Выше мы проанализировали геометрический смысл сильной конформной геометрии на 5^+, а тем самым и группы БМС, являющейся группой движений гиперповерхности ^+, сохраняющей эту геометрическую структуру. Однако в отличие от преобразований Пуанкаре преобразования БМС не сохраняют в

каком-либо очевидном смысле «физику»1). (Эта трудность в наиболее очевидной форме проявляется в плоском пространстве- времени.) Все дело, конечно, в том, что группа ВМС все еще слишком «велика», являясь функционально-пространственной группой (бесконечномерной), а значит, даже не группой Ли. Естественно спросить себя, не существует ли некое дополнительное геометрическое ограничение, которое, не устраняя полностью эту функциональную свободу, позволило бы в конечном итоге получить подгруппу, изоморфную ограниченной группе Пуанкаре.

«Размер» группы ВМС зависит от функции Н в выражении (9.8.10) [см. также (9.8.11)]. В случае пространства Минковского М ограниченные движения Пуанкаре индуцируют преобразования гиперповерхности 3, которые можно записать в виде преобразований (9.8.9), ограниченных условиями (9.8.10) и (9.8.11) с функцией Н вида

н^, у=н^, у=2-^(1 +К)2-^(1 +К)(9.8.51)(9.8.51)

н^, у=

н^, у=

2-^(1 +К)

2-^(1 +К)

(9.8.51)

(9.8.51)

причем «матрица» HKV постоянна и эрмитова. Чтобы получить это выражение, переменную и нужно считать разновидностью координаты времени Бонди, такой, что значением и = 0 определяется пересечение некоторого светового конуса в М с гиперповерхностью 3*. Возьмем вершину этого конуса за начало отсчета О и выберем единичный времениподобный вектор будущего Та в точке О, обладающий тем свойством, что ассоциированный с ним выбор масштаба (анти-) небесной сферы, делающий ее единичной сферой, согласуется с выбором масштаба, который определяется координатой времени Бонди и [см. текст после формулы (9.8.31)]. Тогда выяснится, что и — это просто стандартный параметр запаздывающего времени инерциального наблюдателя с началом отсчета в точке О и осью времени Та (рис. 9.24). Иначе говоря, заданное значение и времени Бонди на 3+ достигается там, где световой конус будущего с вершиной в точке с радиус-вектором иТа в пространстве М пересекается с гиперповерхностью 3*. Снабдив М стандартными координатами Минковского, легко убедиться, что частная форма преобразований БМС (9.8.9) [с (9.8.10)], при которой функция Н имеет вид (9.8.51), дается активными (ограниченными) движениями Пуанкаре (записанными с помощью радиус-вектора, исходящего из считающейся фиксированной точки О):

ХАА' SABXBB'SA'B, + нвв^ (9.8.52)

Рис. 9.24. Чтобы получить стандартную координату времени Бонди в пространстве М, нужно взять времениподобную прямую в М и принять за и собственное время наблюдателя, история которого описывается данной мировой линией. При этом значения и остаются постоянными вдоль световых конусов будущего, исходящих из точек этой линии.Рис. 9.24. Чтобы получить стандартную координату времени Бонди в пространстве М, нужно взять времениподобную прямую в М и принять за и собственное время наблюдателя, история которого описывается данной мировой линией. При этом значения и остаются постоянными вдоль световых конусов будущего, исходящих из точек этой линии.

Рис. 9.24. Чтобы получить стандартную координату времени Бонди в пространстве М, нужно взять времениподобную прямую в М и принять за и собственное время наблюдателя, история которого описывается данной мировой линией. При этом значения и остаются постоянными вдоль световых конусов будущего, исходящих из точек этой линии.

Рис. 9.24. Чтобы получить стандартную координату времени Бонди в пространстве М, нужно взять времениподобную прямую в М и принять за и собственное время наблюдателя, история которого описывается данной мировой линией. При этом значения и остаются постоянными вдоль световых конусов будущего, исходящих из точек этой линии.

а Ь\ с d)а Ь\ с d)где 5Ав и Нвв' — спиноры, стандартными компонентами которых [формула (3.3.31)] являются величины Нвв' из (9.8.51) и

а Ь\ с d)

а Ь\ с d)

(9.8.53)

из формулы (9.8.9) (1), соответственно. Выражение (9.8.51) можно представить в следующей более «инвариантной» форме:

Н(Х\ x^^l,(9.8.54)

где величина

La = XAXA\ ЛЛос(£, 1),(9.8.55)

есть вектор, которым в точке О (или в любой другой точке пространства М) определяется изотропное направление образующей (с параметром £) гиперповерхности ^+.

Укажем, что, когда преобразование (9.8.9) (1) является тождественным [т. е., когда матрица (9.8.53) является единичной], преобразования (9.8.52) представляют собой простые трансляции пространства М. В связи с этим всякий раз, когда преобразования (9.8.9) (1) являются тождественными [так что в формуле (9.8.11) мы имеем G = l], а Н имеет вид (9.8.51), соответствующие преобразования ВМС даже в случае искривленного пространства Л называют трансляциями и говорят, что они образуют 4-параметрическую подгруппу трансляций 9* группы ВМС ^. Более общий вид преобразований, когда преобразования (9.8.9) (1) по-прежнему остаются тождественными (а значит,

G = 1), но функция Н является гладкой функцией общего вида на сфере, называют супертрансляциями — они образуют бесконечнопараметрическую подгруппу 91 группы 9. Таким образом,

У cz <2/ cz 9.(9.8.56)

Подчеркнем, что в определении трансляции (и супертрансляции) фактически не существен выбор координаты времени Бонди и и нет зависимости от нее. То, что форма функции (9.8.51) сохраняется, когда g подвергается преобразованию (9.8.9) (1), а и соответственно изменяется как произведение uG [с G из формулы (9.8.11)], следует из того, что преобразования (9.8.52) образуют группу. (Это легко проверить и непосредственно.) Более того, трансляция оказывает на «супертранслированную» координату времени Бонди u-\-h^„ g) точно такое же влияние, как и на исходную координату и. На этом основании можно сделать вывод, что данное определение трансляции, как уже говорилось, БМС-инвариантно. (Супертрансляциями мы сейчас займемся.)

Сказанное выше можно сформулировать и иначе. Пусть 91— группа лоренцевых вращений [т. е. преобразований (9.8.9), ограниченных условиями (9.8.11) и Н = 6 в формуле (9.8.10)]. Тогда

г~хУг = У при всех г е9.(9.8.57)

Кроме того,

8~ХУ$ = У при всех se9L(9.8.58)

(Поскольку все супертрансляции коммутируют, подгруппа У во втором случае сохраняется поэлементно.) Из формы преобразований (9.8.9) следует, что каждый элемент группы 9 имеет вид sr с s е 91 и г е 9, т. е. что

9 = 9191.(9.8.59)

Комбинируя это соотношение с (9.8.57) и (9.8.58), получаем

Ь-ХУЬ = У при всех b е 9,(9.8.60)

т. е. У — это нормальный делитель группы 9. Аналогично можно показать, что 91 тоже нормальный делитель группы 9‘.

b~x9lb = 9l при всех be 9.(9.8.61)

Таким образом, данное выше определение супертрансляции также БМС-инвариантно. Кроме того, получен следующий результат [299], который мы приводим без доказательства.

Теорема

Подгруппа трансляций группы ВМС является ее единственным 4-параметрическим нормальным делителем.

(9.8.62)

Инвариантность определения трансляции — это по существу пример феномена, уже отмечавшегося в гл. 4, § 15. В общем случае супертрансляции определяются произвольной (гладкой) функцией Н на 2-сфере, а из выражения (9.8.51) и из формул, приведенных в конце гл. 4, § 15, вытекает следующее предложение.

Предложение

Трансляции — это супертрансляции, для которых функция Н построена только из сферических гармоник с j = 0 и /=1.(9.8.63)

(Спин-вес здесь равен нулю.) Из таблицы (4.15.60) видно, что такое условие для Н можно записать в виде

д2Н = 0.

Мы рассматриваем (t, £)-2-сферу как пространство образующих гиперповерхности ^+ (т. е. как фактор-пространство гиперповерхности 3^+ при ее образующих). Под действием группы 5? (или, разумеется, группы ^) функции Н ведут себя как кон- фордно-взвешенные скаляры с весом w = 1. Это связано с тем, что дифференциал du параметра и имеет [согласно (9.8.20)] конформный вес w = 1, хотя сами параметры не являются конформно-взвешенными объектами. Из сказанного в гл. 4, § 15, следует, что части таких скаляров с / = 0, / = 1 при конформных движениях сферы преобразуются друг в друга, тогда как части с более высокими значениями / этим свойством не обладают (т. е. при таких движениях они могут «подхватывать» части с / = 0 или /=1). Таким образом, хотя определение трансляции лоренц-инвариантно, справедливо следующее предложение.

Предложение

Свойство супертрансляций не иметь трансляций не обладает лоренц-инвариантностью.(9.8.64)

В этом предложении слова «лоренц-инвариантность» при желании можно было бы заменить словами «ВМС-инвариантность». Интересующие нас преобразования Лоренца — это просто конформные движения (9.8.9) (£, £)-сферы. Следовательно, такая

(ограниченная) группа Лоренца $ может быть интерпретирована как фактор-группа группы 3:

99 = 98/41. (9.8.65)

Однако группа Лоренца не появляется канонически как подгруппа группы 98. Подгруппа 98 группы 98 изоморфна группе $, но выделяется совершенно не канонически. Предположим, что s — это любой элемент группы ^j тогда группа

98'= з-х98з (9.8.66)

будет еще одной подгруппой группы 98 и тоже изоморфной ограниченной группе Лоренца, да к тому же (в рамках групповой структуры группы ^) совершенно равноправна с группой 98. Отличительным свойством группы 98 является то, что она состоит из элементов, оставляющих без изменения частное сечение гиперповерхности 3*. Гладкие сечения гиперповерхности 3* называют срезами (cuts). Инвариантным относительно действия группы 98 остается срез Г, который в заданной системе координат определяется уравнением и = 0. Супертрансляция s~1 переводит Г в некоторый другой срез Г' = $-1Г, и из (9.8.66) следует, что 98'— это подгруппа группы 3, оставляющая срез Г' без изменения. Только в том случае, когда s — тождественный элемент 1, группы 98' и 98 будут представлять собой одно и то же; если же s пробегает все значения в ^, то инвариантный срез пробегает все возможные срезы.

Разумеется, нельзя ожидать, что (ограниченная) группа Лоренца будет естественным образом возникать как подгруппа. Такие надежды необоснованы даже в связи с обычной (ограниченной) группой Пуанкаре пространства М, где она также возникает естественным образом только как фактор-группа. (Как подгруппа она зависит от выбора произвольного начала отсчета в пространстве М.) Но, что касается группы 3, то здесь ситуация еще хуже, ибо в общем случае даже ограниченная группа Пуанкаре 3 не возникает естественным образом как подгруппа (или хотя бы как фактор-группа) этой группы 98.

Чтобы правильно оценить сложившуюся ситуацию, рассмотрим сначала случай, когда группа 98 относится к гиперповерхности 3* пространства М. Группу 3 можно рассматривать в качестве подгруппы группы 98, генерируемой трансляциями 9" и лоренцевыми вращениями 98 [ср. с формулой (9.8.59)]:

3 = 3*98. (9.8.67)

В то время как группа 98 не выделяется канонически в 3, семейство групп лоренцевых поворотов вокруг всевозможных различных начал отсчета в пространстве М выделяется. Любая такая подгруппа Лоренца группы 3 возникает как подгруппа

группы ^, оставляющая без изменения определенный тип среза, называемого хорошим срезом и представляющего собой пересечение светового конуса некоторой точки пространства М с гиперповерхностью 3^. Хорошие срезы, образующие 4-пара- метрические системы, получаются один из другого в результате трансляций; однако супертрансляции, не являющиеся трансляциями, всегда переводят хороший срез в плохой, (т. е. не являющийся хорошим). Следовательно, определение хорошего среза не инвариантно относительно преобразований группы БСМ. Если операция s из формулы (9.8.66) не является трансляцией, то определяющая ее группа 91? должна быть взята вне 9. Аналогично, для такого рода супертрансляции десятипараметрическая подгруппа группы

9' = 8-х98 (9.8.68)

должна отличаться от ^*, хотя и изоморфна ей. Фактически, в случае самого общего элемента s подгруппы 9 и 9" вместе обладают только трансляциями 9". .

Сдвиговая структура гиперповерхности 3+

Из сказанного следует, что, имея дело с групповой структурой одной лишь группы ^, невозможно единственным образом выделить ограниченную группу Пуанкаре как подгруппу. (И проблема, как мы видели, не в том, чтобы отличить трансляции от супертрансляций, а в том, чтобы выяснить, что следует понимать под «бессупертранляционным» лоренцевым поворотом.) В случае пространства М на гиперповерхности 3* есть некая дополнительная структура, а именно определение «хорошего среза», который позволяет выделить единственную подгруппу 9. Напрашивается вывод, что для получения подходящего единственного аналога подгруппы 9 в случае искривленного пространства Л следовало бы и здесь ввести соответствующее понятие «хорошего среза».

Однако при этом возникают серьезные трудности. По ряду причин не годится брать в качестве хороших срезов просто пересечения настоящих световых конусов в Л с 3+. (Например, вследствие вида каустик и областей пересечения на конусе такие «срезы» вовсе не обязаны быть сечениями гиперповерхности 3+ и даже те из них, которые являются ими, в общем случае не преобразуются друг в друга в соответствии с подгруппой группы ^.) Правильнее было бы принять определение, «локальное» на 3+ (а следовательно, полностью асимптотическое в Л'). В пространстве М световые конусы (будущего) выделяются по признаку их расходимости и равенства нулю сдвига о = 0 (см. гл. 7, § 1). Значит, в пространстве М, чтобы установить, что срез

хороший, нужно лишь исследовать сдвиг на самом срезе. Полагая флагштоки спинора о ортогональными срезу (как это имеет место в стандартной трактовке пространственноподобных 2-поверхностей, данной в гл. 4, § 14), можно вычислить о на срезе, и если обнаружится, что о = О всюду на этом срезе, то можно утверждать, что это хороший срез.

Такой подход допустим не только в пространстве М, но и в некоторых других пространствах-временах Ж, особенно если они стационарны. Однако при наличии гравитационного излучения возникают трудности фундаментального характера. Чтобы выяснить, как это происходит, нужно вывести еще ряд формул. Для начала предположим, что имеется гладкая координата и на 3*, которая соответствующим образом возрастает на образующих этой гиперповерхности, но не обязательно является параметром времени Бонди. Выберем о-флагштоки так, чтобы они, как и выше, были ортогональны срезам и = const. Тогда (если и — величина типа {0, 0}) имеем

ди - 0.(9.8.69)

Применив к и коммутатор (4.12.34)', мы с учетом условий (9.8.25) получим слабое равенство

(р'д — др') и = р' ди — т^'и,

которое в силу равенства (9.8.69) сводится к формуле

(д — т) Vu ^ 0.(9.8.70)

Далее будем считать, что выполняются условия (9.8.33). Тогда условие (9.8.30), гарантирующее, что и — координата времени Бонди (ассоциированная с выбранным для 3+ масштабом), приводится к виду Vй — Л-1, чт0 вместе с (9.8.28) позволяет свести слабое равенство (9.8.70) к виду

т^0.(9.8.71)

[Этот вывод частично обратим: если выполняется условие (9.8.71) и предполагаются справедливыми условия (9.8.33), то и является функцией такого рода ассоциированной координаты времени Бонди, так что и последняя и первая будут постоянными на одних и тех же срезах.] Будем называть о-флагштоки, связанные указанным способом с параметром времени Бонди, ассоциированным с выбранным масштабом для гиперповерхности 3*, системой Бонди. Тогда справедливо следующее предложение.

Предложение

Условием существования системы Бонди является слабое равенство т = 0.(9.8.72)

Уравнение (4.12.32д) дает

.р'о ~ дт — т2 — N,(9.8.73)

где

У ^ Ф20(9.8.74)

есть комплексная функция новостей Бонди — Сакса, очень важная связь которой с потоком энергии гравитационного поля будет рассматриваться в § 9. В системе Бонди соотношение (9.8.73) принимает вид_

Vo = — N.(9.8.75)

Вспомним, что как часть сильного асимптотического эйнштейновского условия для пространства Ж должно выполняться слабое равенство

^abcd = 0,(9.8.76)

т. е.

Ч'о~Ч'1~Ч'2^Ч'3^Ч'4~О.(9.8.77)

В результате из формул (4.12.32а)' и (4.12.32г)' следует, что

Ф22 — 0 — Фгь(9.8.78)

Теперь нам потребуются тождества Бианки на 3*. Принимая во внимание, что поле со спином 2

Фрор$:==^ ^pqps(9.8.79)

является гладким класса С1 на У+ [при наших начальных предположениях на Ж\ см. теорему (9.6.41)], получаем

■^1m1m'1I5pqps —^мж^ pors(9.8.80)

[формула (9.6.42)]. С учетом равенств (9.8.77) это дает

Лфг ~ — рЧ^ (i = 0, ..., 4)(9.8.81)

(тогда как дЧ^ = д'Ч^ s£ p'4fz ^ 0). Следовательно, принимая во внимание (4.12.39), получаем

Лф4 “ VN.(9.8.82)

Кроме того, воспользовавшись комбинацией соотношений (4.12.38) +(4.12.41)'+(4.12.38)' и замечая, что, согласно формуле (9.8.33) ,д'Л + бФц = 0, можно получить слабое равенство

Лф3 ~ 6N.(9.8.83)

Нас также интересует обобщение равенства (9.8.83), которое получается, когда предполагается выполненным только условие p's 0, а второе условие (9.8.33) не привлекается. Следовательно, на 3+ выполняется такое масштабное преобразование, что все срезы этой гиперповерхности изометрически отображаются

друг на друга ее образующими, но не обязательно являются метрическими сферами. В результате получается слабое равенство

Лфз ^ дФ20 — 6'К,(9.8.84)

К ^ Фп + Л.(9.8.85)

Согласно формуле (4.14.20), эта действительная величина К представляет собой половину гауссовой кривизны срезов. Пока что мы положим К = 1/2, и тогда соотношение (9.8.84) сведется к (9.8.83).

Затем, вычитая (4.12.37) из комплексно-сопряженного ему выражения, мы получаем

Лф2 — Лфз ^ 6Ф10 — д'Ф01 + aN — nN, (9.8.86)

тогда как из формулы (4.12.32г) следует, что

'Ф01^др — д'о.(9.8.87)

При выводе формулы (9.8.87) использовалось равенство

р = р',(9.8.88)

в котором [формулы (4.14.2) и (7.1.58)] выражается то обстоятельство, что элементы 2-плоскостей на ^+, ортогональные о-флагштокам, являются поверхность-образующими (а именно касательны к срезам и = const). Кроме того, в силу формулы (4.12.35) и действительного характера величины К величина д'др тоже действительна, так что, подставив (9.8.87) в (9.8.86), мы получим условие действительности

Лф2 — oN + d'2o = Лф2 — 6N + ^д,(9.8.89)

которое нам понадобится в § 9.

Между прочим отметим, что приведенная в (6.8.17) форма тождеств Бианки

VeCefgft = 2V[gPft] f

с Раь = Фаь — Л.едв8д'В' позволяет получить слабое равенство

^Ф1ГаН^Р'&в'Н' + ^'’f^GH^t’l'f'G'H' ~ ^U^hX f’(9.8.90)

из которого следует много других выражений для "Фь [С его помощью можно дать другой вывод соотношений (9.8.82), (9.8.84) и (9.8.86), хотя это и не тривиально; в этой связи отметим, что соотношения (9.8.78) и (9.8.85) можно скомбинировать в одно соотношение пьРдвв'А- = КпоД

Наибольший интерес для нас сейчас представляют соотношения (9.8.82) и (9.8.75), которые вместе означают, что в си-

стеме Бонди мы имеем

. V'2o=— ^4. (9.8.91)

Согласно сказанному в § 7, величина ф4 на 3^ является мерой уходящего гравитационного излучения (т. е. это «/"'-часть» физического поля вейлевой кривизны). Таким образом, одно из следствий соотношения (9.8.91) таково: когда имеется уходящее гравитационное излучение, невозможно сохранить условие «хорошего срезам а = 0 во всей системе Бонди. Суть системы Бонди состоит в том, что все срезы и = const являются трансляциями во времени относительно фиксированного «временного направления» (а именно такого, которое определяется выбором масштаба единичной сферы срезов) наперед заданного среза (скажем, среза, соответствующего значению параметра и = 0). Здесь в сущности обнаруживается, что трансляция хорошего среза — в общем случае плохой срез. (Термин «трансляция» в данном контексте означает, что второй срез — это БМС-транс- ляция первого, но само пространство-время, включая 3+, при этом не движется.)

Таким образом, в системе с уходящим гравитационным излучением гиперповерхность 3* обладает «структурой хорошего среза», которая отличается от аналогичной структуры для пространства М, и мы уже не можем использовать методы, развитые ранее для выделения частной ограниченной подгруппы Пуанкаре У группы ^. Более подходящей «структурой хорошего среза» для 3* является сдвиговая структура, которая любому срезу гиперповерхности 3+ ставит в соответствие {3, —1}- скалярную функцию о, определенную на этом срезе. Такая сдвиговая структура на одну ступень более «внутренняя», чем сильная конформная геометрия гиперповерхности 3+ (хотя, что называть «внутренним» или «внешним», особенно в случае изотропной гиперповерхности, это в известной степени вопрос соглашения [247]). Ибо она относится к сдвигу на 3+ изотропных гиперповерхностей в Л. Из сказанного следует, что сдвиговая структура гиперповерхности 3+ пространства М отличается от сдвиговой структуры такой гиперповерхности в общем пространстве Л. Фактически сдвиговая структура гиперповерхности 3* эквивалентна (по модулю, самое большее, двух постоянных интегрирования на каждой образующей гиперповерхности 3+) информации об уходящем гравитационном излучении. Подгруппа Р группы $ в случае пространства М является группой, сохраняющей в дополнение к сильной конформной геометрии гиперповерхности 3+ ее сдвиговую структуру. В случае произвольного пространства Л, в котором поле ф4 лишено симметрий на 3+, ими не обладает и сдвиговая структура гиперповерхности 3+. Так что мы вернулись туда же, где были в начале этого

обсуждения: в случае произвольного пространства Л группа симметрий, сохраняющая сдвиговую структуру, состоит лишь из тождественного элемента.

Сдвиговой структурой гиперповерхности 3, конечно, определяются хорошие срезы, а именно те, для которых о = 0. Но в общем случае никакие хорошие срезы не нужны! Это объясняется главным образом тем, что о — комплексная величина на сфере, тогда как свободе в выборе среза отвечает одна действительная функция, определенная на сфере, а именно значение параметра и, соответствующее пересечению с каждой образующей. Легко показать [299], что в случае пространства М разница между значением 0 = 0! на одном срезе и значением о = о2 на другом, полученном из первого в результате супертрансляции ^(ы, £, £) = ^(£, U в формуле (9.8.9) (2), определяется слабым равенством

о2 ^ О! -f- б^Н. (9.8.92)

В пространстве М все срезы являются супертрансляциями некоторого хорошего среза (о = 0), так что действительный характер функции Н в формуле (9.8.92) указывает на то, что все срезы удовлетворяют условию

д'2о ~ д2о, (9.8.93)

которое называется чисто электрическим [219], и этим эффективная свобода комплексной функции о сводится к свободе действительной функции на сфере. Однако в случае произвольного пространства Л в соотношении (9.8.92) добавляется член, содержащий интеграл по и от ф4 (или от Я^, в силу чего условие (9.8.93), вообще говоря, не выполняется.

36-пространство и асимптотическое твисторное пространство

Предпринимались многочисленные попытки обойти каждую из отмеченных трудностей, но ни одна из них не привела к выделяемой единственным образом подгруппе Пуанкаре группы 38. Наиболее интересная из этих попыток была сделана Ньюменом [216] (см. также работы [5, 122, 163]) и привела его к замечательной концепции ^-пространства *). Основная идея такова: гиперповерхность 3* комплексифицируют, т. е. заменяют гиперповерхностью С^+, позволив параметру и принимать комплексные значения (и соответственно заменив £, £ независи-

мыми комплексными параметрами £, f; см. начало гл. 6, § 9), а затем определяют хороший срез условием о = 0, как это делалось выше. Комплексификации параметра и позволяет избавиться от отмеченной выше трудности, но приводит к осложнению, связанному с тем, что «сопряженный сдвиг» 5 в общем случае не равен нулю. Полагая, что сдвиговая структура гиперповерхности 3* обладает адекватной аналитичностью (т. е. допускает достаточно экстенсивную комплексификацию), точки ^-пространства можно по определению считать хорошими срезами в указанном выше смысле слова. Вспомним, что в случае пространства М действительные хорошие срезы гиперповерхности 3* возникают из настоящих световых конусов, а значит, точно соответствуют точкам М; точно так же комплексные хорошие срезы комплексификации С^+ соответствуют точкам пространства СМ. Однако в случае произвольного (адекватным образом аналитического) пространства Ж рассматриваемые ^-пространства (с ньюменовским замечательным определением метрики) оказываются общими голоморфно-римановыми само- дуальными решениями вакуумных уравнений Эйнштейна; и это верно вне зависимости от того, выполняются в Ж вакуумные уравнения или нет.

Существует тесная связь между описанной здесь конструкцией и теорией твисторов. В гл. 7, § 3 было показано [формула (7.3.1) и предложение (7.3.18)], что условия <т = 0 = х указывают на присутствие вполне изотропных комплексных 2-поверхностей («дуально-твисторных поверхностей»), В нашем случае геометрия ограничена на iG^+, так что условие х = 0 отпадает и дуально-твисторные поверхности появляются только как комплексные одномерные кривые на комплексификации ,С^+. Эти кривые оказываются комплексными изотропными геодезическими на .С^+ (при использовании конформной метрики пространства СЖ) и называются твисторными (при 5 = 0) и дуально-твисторными линиями (при о = 0). Пространство [дуально-] твисторных линий на 0.7+ позволяет определить [дуальное] проективное асимптотическое твисторное пространство для Ж. [Дуально-] твисторные линии — это a-кривые [или p-кривые] введенные в гл. 7, § 4 при построении пространства Р-Т" (3+) [или РЗ". (^+)] проективных твисторов гиперповерхности. Таким образом, (проективные) асимптотические твисто- ры—это частные примеры (проективных) твисторов гиперповерхности, причем гиперповерхностью в данном случае является З41". (В общем случае а- и p-кривые не являются комплексными изотропными геодезическими; это специфическое свойство именно комплексификации .С.7+.)

Оказывается, что ньюменовские хорошие срезы комплексификации С^+ определяются одно (комплексно) параметрическим

семейством дуально-твисторных линий, дающим голоморфную кривую в дуальном асимптотическом твисторном пространстве. Таким образом, конструкция ^-пространства оказывается аналогичной конструкции пространства СМ на основе прямых линий в стандартной картине дуального проективного твисторного пространства (см. гл. 6, § 10; § 3 данной главы), к которой она (конструкция) даже сводится при J? = M. Эта процедура служит примером (прототипом) так называемой «нелинейно-гравитационной» конструкции всех самодуальных решений вакуумных уравнений Эйнштейна [252, 267, 336, 13] (см. также работы [358, 342, 131]), которая сама была прообразом описанной в гл. 6, § 10 конструкции Уорда для случая самодуальных полей Янга — Миллса. Однако подробное обсуждение этих проблем увело бы нас далеко в сторону.

Отношение группы БМС к импульсу и моменту импульса

Даже ^-пространство, будучи в общем случае пространством без симметрий, не ведет прямо к определению «группы симметрий» Пуанкаре для пространства Ж. Различные другие предложения сводятся к следующему. Предположим, что излучение ■ф4 убывает достаточно быстро либо в направлении будущего вдоль образующих гиперповерхности 3, либо в направлении прошлого. Зададим предельные (скажем, действительные) «хорошие срезы» гиперповерхности ^+ в соответствующем асимптотическом смысле условием и—>оо(/+) или и-*-—оо(/°). Тогда «хорошие срезы» в общем случае определятся БМС-трансля- циями этих предельных срезов. Это и дает нам соответствующую (ограниченную) подгруппу Пуанкаре 9s группы ^, хотя остается неприятная неоднозначность в выборе между «/+-опре- делением» и «/--определением». В общем случае эти две подгруппы не идентичны [219].

Серьезность этой неопределенности можно следующим образом продемонстрировать графически. Пусть имеется изолированная физическая система, первоначально достаточно близкая к стационарному состоянию, в котором сдвиговая структура ее гиперповерхности 3* (скажем, при и < Ui) достаточно хорошо согласуется с аналогичной структурой пространства М, так что можно с необходимой степенью точности выделить единственную ограниченную подгруппу Пуанкаре ^ как подгруппу группы ^, сохраняющую эту сдвиговую структуру1). Допустим, что затем система в течение определенного периода, скажем в ин-

Рис. 9.25. Изолированная гравитационная система испускает два импульса излучения. До этих импульсов, между ними и после них она находится в невозмущенном состоянии. В каждом из этих трех невозмущенных периодов естественным образом определяется подгруппа Пуанкаре группы ВМС, но в общем случае эти три подгруппы в качестве общей имеют только подгруппу трансляций S'.

тервале ui < и < и^, испускает (запаздывающее) гравитационное излучение, после чего следует еще один период покоя «2 < и < из, так что сдвиговая структура гиперповерхности 3+ опять достаточно близка к аналогичной структуре в пространстве М, вследствие чего адекватным образом выделяется вторая подгруппа Пуанкаре ^з (рис. 9.25). Далее предположим, что система после этого еще раз испускает излучение (ы3 < < ы < щ), прежде чем окончательно успокоится. В результате с соответствующей степенью точности выделяется третья подгруппа Пуанкаре ^4 (при ы4 < ы). В общем случае все три подгруппы 9*1, ^гз и ^*4 различны и в качестве общей имеют одну лишь группу трансляций 9", будучи сопряжены друг с другом нетривиальными супертрансляциями, как в формуле (9.8.68).

Указанная группа д' важна тем, что позволяет ввести физические концепции массы-энергии и импульса, ибо в случае пространства М именно векторы Киллинга, генерирующие трансляции, приводят к этим концепциям (см. гл. 6, § 5). Следовательно, неоднозначность в определении группы д не влечет за собой сереьезных последствий для энергии-импульса. В следующем параграфе мы увидим, как определение Бонди — Сакса позволяет приписать системе вполне подходящие полные энергию и импульс, измеренные на произвольном срезе гиперповерхности 3*. Но даже это не позволяет нам избавиться от трудностей, связанных с группой ВМС, ибо выше мы видели, что

нужно сравнивать эти величины на срезах, которые не обязательно являются трансляциями друг друга.

Что касается момента импульса, то здесь все осложняется, так как появляется потребность в генераторах «вращательных» элементов группы ^. При переходе от ^ к ^з, а затем к ^4 определение «бессупертрансляционного вращения» претерпевает некий «сдвиг». Поэтому при наличии гравитационного излучения и само определение момента импульса тоже должно, вероятно, претерпевать соответствующий «сдвиг». Мы вернемся к этому вопросу в следующем параграфе.

Асимптотические разложения в теории Эйнштейна — Максвелла

Анализируя структуру гиперповерхности 9*, мы пытались избежать излишней специализации как при выборе спиновой системы отсчета и координат, так и при выборе конформного фактора. Мы старались придать рассуждениям максимальную общность и не навязывать тот или иной способ дальнейшей специализации при выполнении конкретных расчетов. Так, в большинстве работ по вопросам, связанным с уходящим гравитационным излучением, используются изотропные координаты (например, локусы и = const продолжают внутрь от 9* так, чтобы они стали изотропными гиперповерхностями в Jty, но это ни в коей мере не обязательно и в некоторых случаях могут оказаться более предпочтительными асимптотически изотропные (скажем, пространственноподобные) гиперповерхности и= const. При этом остаются в силе все рассуждения и выводы данного параграфа. -

Что касается конформного множителя Q, то мы его специализировали лишь в той степени, которая была необходима, чтобы привести внутреннюю метрику гиперповерхности ^ к требуемому виду, во всем остальном выбор Q ничем не ограничивался. При более детальных расчетах часто полезна дополнительная специализация; например [см. текст, связанный с формулой (9.8.29) ], иногда удобно выбрать такой конформный множитель, чтобы гиперповерхность Q = const была изотропной. При локальных расчетах на .7+ иногда можно даже полностью «уплощать гиперповерхность 3^+», стереографически проецируя одну из ее образующих «обратно на бесконечность» [240]. Тогда всякое «сечение» гиперповерхности З* получает евклидову метрику и можно добиться, чтобы выполнялось слабое равенство

?ла'1в ~ 0, (9.8.94)

е. полотнища флагов спинора t всюду на .7+ считаются параллельными. Однако раньше условия типа (9.8.94) особого интереса для нас не представили бы, поскольку они мешают прямо применять модифицированный формализм спиновых коэффициентов,

Кроме того, из-за изменения топологии, связанного с изъятием одной образующей гиперповерхности 3^, сильно усложняется анализ глобальных проблем.

В заключение данного параграфа мы приведем без вывода выражения для старших членов асимптотических разложений физической метрики, спиновых коэффициентов, спинора электромагнитного поля и спинора Вейля, которые получаются, когда построенная здесь асимптотическая структура гиперповерхности снова интерпретируется в пространстве Л. Предположим для определенности, что в Л выполняются уравнения Эйнштейна — Максвелла; это позволяет четко осуществлять продолжение внутрь от 3*. Для маркировки образующих мы выбрали координату времени Бонди х1 = и на 3* и [в соответствии с замечаниями, следующими за предложением (9.8.31)] стандартные стереографические координаты х3 = £ и х4 = 5, вследствие чего метрика сфер сечения гиперповерхности 3* принимает вид (9.8.8). Координату и продолжим внутрь (единственным образом вблизи 3+), потребовав, чтобы гиперповерхности и = const были изотропны. Это — изотропные гиперповерхности, образованные лучами в Л, ортогонально пересекающими срезы и = const гиперповерхности 3+. Координаты и продолжены внутрь наложением требования, чтобы они были постоянны вдоль этих лучей. Координата х2 = г выбрана в качестве аффинного параметра на каждом луче, а масштаб параметра г выбран так, что (при Л — 1) компонента g12 физической метрики равна единице. Нулевое значение радиального параметра г подобрано таким образом, чтобы г~2-член в разложении р был равен нулю.

Мы здесь вернемся к обозначениям предыдущих параграфов, в которых физическая метрика обозначалась символом gab, а не gab, и соответственно этому не будем пользоваться «тильдой» для маркировки физических спиновых коэффициентов, характеристик кривизны и т. д.

Кроме того, мы выберем определенную спиновую систему отсчета и тем самым исключим, наконец, инвариантность, необходимую для строгого применения модифицированного формализма спиновых коэффициентов. Однако мы по-прежнему будем пользоваться символом 5 и примем для операторов выражения (4.15.117) (причем спиновые веса интересующих нас величин считаются известными). Масштаб спинора о4 выбран таким образом, что вдоль образующих (как в § 7)

О = ^г,(9.8.95)

а полотнища флага указывают вдоль ^-линий сфер на 3+ (т. е. на 3+, Re£ возрастает, a Im £ = const) и параллельно перено-

сятся вдоль лучей, образующих гиперповерхность и = const. [Это согласуется со схемой расположения интересующих нас объектов, представленной на рис. 4.6 (т. 1, с. 371).] Используемая спиновая система отсчета тоже параллельно переносится вдоль лучей. В выборе спинора И для каждого луча остается степень свободы, отвечающая «изотропному повороту».

При таком выборе интересующих нас величин и объектов все будет согласоваться с работами Ньюмена и его коллег [224, 171, 219, 223], если не считать небольших различий в выборе координат и, г и замены оператора —2-1/2д названных авторов нашим оператором д. Приводимые ниже соотношения взяты из работы [86]. Напомним, что точкой обозначается производная д/ди.

Не сложно также преобразовать эти формулы к координатам (0, ф), показанным на рис. 4.7 (т. 1, с. 372).

P-g", m^^ + ^g^n^g^ + Ug^ + X1^ (i = 3,~4),

gl2=l,

g22 = 2(U — coco),

g2i=x._(^ + |i(fl) (i = 3> 4)j

5'1 = -(№ + №) (i, j = 3, 4),

To = Tor-5 + Tor-6 + О (r-7) )n

, A z =x f начальные данные на и = О,

Фо=фЗг-3 + <р£г-4+0(г-5) )

Т, = Т?г"4 + (бОф?ср? - д'т?) г-5 + О (г-6),

Т2 = Т^г'3 + (4Сф?ф? - д'т?) г-4 + О (г”5),

Т3 = ТзГ-2 + (2бфМ - д'т£) г"3 + О (г-4),

Т4 = Т^г'1 — д'ТзГ-2 + О (г-3).

Ф1 = ф?г 2 — д'фог 3 + О (г 4),

Ф2 = ф2Г”‘ — б'ф?Г~2 + О (г-3),

р = — Г-1 — СТ°СТ°Г-3 + О (г-5),

а = аг +1 ст а а — у Tol г + О(/

а = а°г-1 + а°а°г-2 + ст0ст°а°г-3 + О (г-4),

Р = Л’1 - oWr’2 - (qW + у Т?) г”3 + О (г"4),

т = - А чг«г-3 + 4- (А а°Т? + д'т? - 80фоф?) г-4 + О (г”5),

К = - а' = 5°г-1 + ст°+2 + (ст0ба0+-Аа^р°-Оф?ф§)г~3+О(г^^

ц = - /= - 1г-' - №° + Ч^) г"2 -

- (ст°а° + 2С<р?ф? - 4-^?) г-3 + О (г-4), Y = - у^г”2 + -4 ^'ч^ + а°Т? - а°Ф?- 12бф?ф?) г"3+О(г"4), v = - ^г"1 + (уд^ - 2СфМ) г-2 + О (г-3), Z7= — 4" — ^-(^2 + W§) Г™1 +

+ 4- (бТ? + дФ? - 120ф?ф1) Г2 + О (г"3),

X3 =Р = -^ (1 + К) ^г"3 + О (г”4),

§3 = - у1 + &) ^-2 + О (г-4),

^ = (1^} (г-1 4- o°g°r~3) + О (г-4),

(й = dVr"1 — (Vdo0 + 4 V1) г-2 + О (г-3),

гдеа0 = ^/ V8,

^ — Ч^ = d'W — d2o° + ст°ст° — 5 V, Тз = — 65°, ^4= — а .

[Три последних из этих соотношений соответствуют выражениям (9.8.89), (9.8.83), (9.8.82) с условием (9.8.75).]

Фо — SV? — Зст0^ — бОфофз = О, Фо + 4d' (ст°Ф?) + б'бЧ^ — 8Сф?дфо —

— 1 6Сст°ф?Ф? — 8Сфофз = О,

Ф? — dV3 — 2о°Тз — 4бф?ф£ = О,

Ф" — дЧ^з — сг°ЧГ4 — 2Сф"ф2 = О,

фо — дф? — ст°ф2 = О,

фо + д дфо + 2д (ст°ф1) — О, ф? — дфг = 0.

§ 9. Энергия-импульс и момент импульса

В гл. 6, § 4 и 5 мы говорили об энергии-импульсе и моменте импульса в линеаризованном пределе слабого поля общей теории относительности. Было предложено воспользоваться

[о]-твистором для понижения спина поля от двух до единицы, с тем чтобы десять законов сохранения в гравитационном случае (энергии-импульса и момента импульса) можно было свести к одному, как в теории электромагнетизма (закон сохранения электрического заряда). Здесь будет дано обобщение этой процедуры на полную общую теорию относительности [259] (более ранние аналогичные подходы см. в работах [328, 167, 324]). Как мы увидим, на пути получения столь же полного набора законов сохранения в рамках общей теории относительности, как и в ее линеаризованном пределе, возникают весьма большие сложности. В нашем подходе они отражают особенности и ограничения, возникающие при введении твисторов в искривленном пространстве-времени. Ключом к решению проблемы будет введение нового типа твисторов, так называемых твисторов двумерной поверхности, которые обладают свойством понижения спина даже в общем случае искривленного пространства-времени Л. Применительно к гиперповерхности ^+ наш метод дает не вызывающее возражений определение 4-импульса Бонди — Сакса1). Он приводит также к новому определению момента импульса, которое представляется имеющим преимущества перед определениями, предложенными ранее. Кроме того, предлагаемый метод в принципе позволяет дать определение комплекса энергии-импульса/момента импульса, относящегося к полной системе материи и гравитационного поля, ограниченной конечной замкнутой двумерной поверхность.

Линейная теория

Напомним, что, когда речь шла об источниках в линеаризованной теории гравитации (гл. 6, § 4 и 5), были даны два интегральных описания в М. В первом из них 2-форма

^ = K*WiabQab (9.9.1)

[формула (6.5.45)] интегрируется по замкнутой двумерной поверхности 9, что дает некоторую меру для источников, окруженных поверхностью 9, а во втором интегрируется 3-форма

(9.9.2)

[формула (6.5.49)] по области трехмерного объема Т, что дает меру полного потока источников через V. Когда — компактная область с границей дТ = 9 [формула (6.5.51)], оба определения согласуются в силу фундаментальной теоремы

См. работы [26, 27, 298, 299, 234, 236, 240, 220, 28].

внешнего исчисления. В этих формулах Kabcd и Еаь — линеаризованный тензор кривизны и тензор энергии-импульса. Кроме того, как и в формуле (6.4.7),

Q = la е — la е (9.9.3) есть действительный кососимметричный тензор, построенный из главной части аАВ(.= аВА') симметричного твистора S“p, так что имеем

^.авс'> = 0 (9.9.4)

в силу формулы (6.1.69). В соответствии же с формулой (6.4.6) мы имеем эквивалентное уравнение

v(aQ») с _ v(aQC) b .^ ga [i^^сА d = g, (9.9.5) где Qab— тензор, связанный с вектором Киллинга V соотношением

v = ± vbQa6 = У (ZV^a^ - iVlaA'B') (9.9.6)

[ср. с формулами (6.5.25) и (6.5.40)]. Напомним также [см. формулу (6.5.15) и рис. 6.6, 6.7], что если ^,АА — главная часть (твисторно-) эрмитова бесследового твистора Fap, то соотношение (9.9.6) принимает вид

F«p = s«v|vp + g^ya (9.9.7)

Кроме того, из уравнений (9.9.4) [т. е. (9.9.5)] и (9.9.6) автоматически следует уравнение Киллинга

V(^6) _ Q, (9.9.8) причем таким путем получаются все десять линейно-независимых векторов Киллинга для М. Поскольку пространство Т(а₽) комплексно-десятимерно, имеются десять комплексных линейнонезависимых решений уравнения (9.9.4) и, следовательно, двадцать действительных линейно-независимых решений уравнения (9.9.5). Десять из них приводят к нулевому вектору Киллинга в уравнении (9.9.6), причем соответствующие тензоры Qab выражаются в виде

Qab = gabcd ^^^ т е аАВ = VbU^B' (g g g) [ср. с формулой (6.5.41) и рис. 6.6, 6.7], где ус — конформный вектор Киллинга. Твисторное выражение для тензоров (9.9.9) таково:

Sap = 2ZG(V)P» (9.9.10) где хАВ' — главная часть (т*висторно-) эрмитова бесследового твистора Gap.

Усложнения в случае искривленного пространства-времени

Мы хотим выполнить аналогичное построение в произвольном искривленном пространстве-времени Л, а затем применить его к случаю, когда Л асимптотически стремится подходящим образом к пространству Минковского. Нам не удастся просто переписать соотношения (9.9.4) [или (9.9.5)], (9.9.6) и (9.9.8) прямо в искривленном пространстве. Как мы заметили ранее (гл. 6, § 5), уравнение (9.9.8) имеет ненулевые решения лишь в случае, когда Л обладает (непрерывными) симметриями. Кроме того, уравнение (9.9.4) должно быть совместным с весьма жесткими алгебраическими требованиями, связанными с вейлевской кривизной, подобно тому, как это имело место для твистор- ного уравнения валентности [Jj в формуле (6.1.6). В случае произвольного пространства-времени Л уравнение (9.9.4) допускает только нулевое решение.

С физической точки зрения понятно, почему интеграл от выражения вида (9.9.2), обращающийся в нуль, когда равна нулю локальная плотность энергии-импульса источников, не может дать удовлетворительного выражения для полного 4-импульса гравитационной системы. Мы знаем, что само гравитационное поле должно давать вклад в полную энергию (иногда отрицательный, как в случае ньютоновской потенциальной энергии двух тел, связанных гравитационным взаимодействием, а иногда положительный, как в случае гравитационных волн), тогда как здесь нет прямого вклада гравитационного поля в тензор энергии-импульса. Этот вклад можно рассматривать как связанный с нелинейностью уравнений поля Эйнштейна. Гравитационная энергия существенно нелокальна. Локально она может обращаться в нуль, но она дает вклад в выражение для полной энергии. Одним из проявлений этого оказывается то, что локальный ковариантный «закон сохранения» NaTab = 0 не дает в результате интегрирования полного сохраняющегося 4-импульса. Но так и должно быть, ибо иначе мы имели бы выражение для энергии-импульса, в которое гравитационное поле вклада не дает, что противоречит физическому опыту.

Поэтому вместо выражения (9.9.2) нам следует иметь такое выражение, в котором имелось бы дополнительное слагаемое нелокального характера. В § 10 мы приведем замечательное (положительно-определенное) выражение, найденное Виттеном [374] и, по-видимому, удовлетворяющее требованиям, которые возникают для областей пространства-времени, асимптотически становящихся плоскими. Удивительной особенностью этого выражения является то, что оно существенно зависит от спинорных величин (со спином 1/2). В данном же параграфе мы займемся построением удовлетворительной замены выражения (9.9.1). За-

мечательно, что и на этом пути мы также столкнемся с необходимостью использовать в общем случае величины «со спином 1/2». '

Твисторы двумерной поверхности

Нам нужен аналог уравнения (9.9.4) для заданной замкнутой двумерной поверхности S. Как мы только что заметили, само по себе уравнение (9.9.4), вообще говоря, не имеет нетривиальных решений в Л. Однако с физической точки зрения желательно иметь подобные решения, потому что в вакуумной области каждое такое решение давало бы 0 = 0 и мы имели бы закон сохранения без гравитации в том смысле, что рассматриваемый интеграл не изменял бы своего значения при непрерывной деформации поверхности S’ в такой области независимо от наличия гравитационного поля. Однако мы требуем, чтобы поле <т4Я обеспечило нас только определением энергии и т. д. на S’, а не столь сильным законом сохранения. Поэтому мы можем попытаться рассмотреть только те компоненты уравнения (9.9.4), в которых производная действует тангенциально. Предположим, что поверхность S’ пространственноподобна, и воспользуемся модифицированным формализмом спиновых коэффициентов, выбрав спиновую систему отсчета о4, i4, адаптированную к S’ стандартным образом (см. гл. 4, § 14). Однако мы найдем, что только два члена, которые получаются сворачиванием уравнения (9.9.4) с

оловос1л' и 1Л1В1СОЛ', (9.9.11)

содержат тангенциальные производные, тогда как поле ст45 имеет три независимые комплексные компоненты. Таким образом, мы имеем недоопределенную систему с бесконечномерным, а не десятимерным пространством решений.

Нам необходимо сделать нечто более тонкое. Вместо того чтобы вводить непосредственно элементы нужного нам пространства Т(аР), можно понимать это пространство как возникающее вторично в виде симметризованного тензорного произведения на самого себя «твисторного пространства» валентности [*], ассоциированного с S. Таким образом, вместо того чтобы рассматривать тангенциальную часть уравнения (9.9.4), будем интересоваться тангенциальной частью первоначального твисторного уравнения (6.1.1):

Ул,(4<йВ) = 0. (9.9.12)

Сворачивая с 1д1воЛ' и олов14', получаем два тангенциальных уравнения для двух комплексных компонент ©°, ©' типов, соот-

ветственно, {—1, 0}, {1, 0} [ранее эти уравнения были получены в формуле (4.12.46)]; в модифицированном формализме спиновых коэффициентов они имеют вид

д'со0 = (/со1, дсо1 = ста>°. (9.9.13)

(Подчеркнем: со0 = со, сольл, со1 = — соо = — солол.)

Любое решение1) {со0, со1} системы (9.9.13) (твистор аИ в абстрактно-индексной форме) на всей замкнутой поверхности 9 называется твистором двумерной поверхности на 9 валентности [*], а пространство таких решений будет обозначаться символом ТР^). Оказывается, что в действительности для любой поверхности 9, имеющей топологию 2-сферы, система (9.9.13) будет всегда иметь по крайней мере четыре комплексных линейно-независимых решения. Кроме того, в генерическом случае и в случаях, достаточно близких к канонической ситуации, когда, как в гл. 4, § 15, поверхность 9 возникает как компактное пересечение цвух световых конусов в М, система (9.9.13) имеет четыре и только четыре независимых решения. Таким образом, по крайней мере в такой «нормальной ситуации» Та(^) будет комплексно-четырехмерным векторным пространством. Индекс а тогда является четырехмерным абстрактным индексом, и остаются применимы стандартные правила и обозначения гл. 2, § 2.

Доказательство высказанных утверждений выходит за рамки этой книги. Схема его такова: можно вычислить индекс Атья — Зингера [309, 107] для системы (9.9.13), рассматривая вначале каноническую ситуацию, упомянутую выше, пересечения двух световых конусов в М. Тогда уравнения (9.9.13) расцепляются и мы получаем д'со0 = 0, дсо1 = 0, причем величины со0 и со1 имеют, соответственно, спиновые веса —1/2, 1/2, и взгляд на формулу (4.15.60) [или предложение (4.15.59)] говорит, что каждое уравнение имеет два независимых решения (всего четыре). Присоединенное уравнение имеет вид системы дХ° = О, д'Х*=1, где Х°, X1 имеют соответственно спиновые веса —3/2, 3/2, и обращение к (4.15.60) [или предложению (4.15.59)] указывает, что теперь имеется лишь тривиальное решение. Индекс, будучи разностью числа измерений этих пространств решений, равен 4 — 0 = 4, причем он инвариантен относительно деформации дифференциальных уравнений. В худшем случае система (9.9.13) может приобрести при некоторых специальных условиях

’) Скобками { } обозначаются величины, изменяющиеся на д'. Это в основном преследует цель отличить твисторные выражения, определенные локально, от выражений, относимых к элементам пространства ТГ (S') в целом, таким, как в формуле (9.9.25) ниже. Если же опасности путаницы пет. то не обязательно придерживаться таких обозначений,

дополнительные решения, причем присоединенное уравнение одновременно приобретает пространство решений той же размерности. Это может произойти лишь в исключительных случаях (хотя такие примеры явно были построены Джефрисом).

(9.9.14)(9.9.14)Теперь вместо того чтобы использовать (9.9.4), мы по определению введем элементы ТГС“₽> (^) как симметричные тензорные произведения решений системы (9.9.13), т. е.

(9.9.14)

(9.9.14)

аАВ = <в<л<вв) -|- ... + <в(Л<вв>,1 22г—1 2г

есть решения системы (9.9.13). вида пространства Т^БЦ^) уже содержит только два слагаемыхесть решения системы (9.9.13). вида пространства Т^БЦ^) уже содержит только два слагаемыхгде (<в°, <в*Х при /=1, ..., 2г Ч i J

есть решения системы (9.9.13). вида пространства Т^БЦ^) уже содержит только два слагаемых

есть решения системы (9.9.13). вида пространства Т^БЦ^) уже содержит только два слагаемых

Действительно, элемент общего получится, если сумма (9.9.14) (т. е. г =2).

Заметим, что в пространстве М пространство Т“(^) может быть отождествлено со стандартным твисторным пространством. (Если предположить, что поверхность 9 соответствует «нормальной» ситуации, когда пространство Т"^) четырехмерно.) Действительно, любое решение уравнения (9.9.12) обязательно будет решением системы (9.9.13). Кроме того, с помощью соотношения (5.6.38) можно переписать систему (9.9.13), используя конформно-инвариантные операторы бс, бс [формула (5.6.34)], и, значит, уравнения (9.9.13) конформно-инвариантны (если приписать полю <вА конформный вес, равный 0, при произвольно выбранных весах для оА и iA). Следовательно, можно отождествить Т"^) со стандартным пространством Т“ ив конформно-плоском Ж. В этих случаях ^^(^ можно аналогичным образом отождествить с Т<“Р) и далее продолжить это для всех

пространств Тр"".?^), получаемых из Т”^) в соответствии со стандартным предписанием (гл. 2, § 2). Но в случае генерических 9 и Ж пространства твисторов двумерной поверхности (произвольной валентности), которые мы получаем, представляют собой некоторый совершенно новый объект исследования.

Контортные двумерные поверхности

Величины ст и </, входящие в систему (9.9.13) (точнее, их действительные и мнимые части), совместно с величинами р и р' [которые уже действительны в силу предложения (4.14.2) или соображений, изложенных в гл. 7, § 1] составляют объект, обычно называемый внешней кривизной поверхности 9. В формуле (4.14.20) мы рассматривали величину К, возникающую из коммутатора операторов б и б', мнимая часть которых представляет собой внешнюю кривизну другого типа, включающую производные внутри 9 более высокого порядка, а именно вто-

рого, подобно внутренней гауссовой кривизне K + R (4.14.21). Если мы рассмотрим вторую поверхность 9Р, изометричную поверхности 9Р, погруженную в пространство-время Ж, такую, что все ее указанные внешние кривизны совпадают с соответствующими характеристиками для 9s, то уравнения (9.9.13) будут одинаковы для обеих поверхностей и решения, полученные для одной из них, могут быть непосредственно применены и ко второй. В частных случаях, когда Ж можно выбрать конформно-плоским, подобное построение весьма эффективно, так как тогда Ж допускает полное комплексное четырехмерное семейство решений (9.9.12) около 9Р, получаемое непосредственно из решений (6.1.10) в М с помощью конформного изменения масштаба. Далее ограничение этих решений на 9Р может быть перенесено на дР, так что Т»(У) легко построить. (Процедура подобного типа была введена и впечатляющим образом применена в работе Тода [337].) Если такое погружение в конформно-плоское пространство-время существует, то мы говорим, что поверхность 9Р неконтортна. Напомним, что величины 1ш(А), о и </ являются конформными плотностями (5.6.28) и потому существенно не изменяются при переходе от Ж к М. Это, однако, не так для Re (А), р и р'. Условие неконтортности поверхности ЭР, очевидно, конформно-инвариантно.

В более общем случае, когда такое конформно-плоское пространство-время Ж не существует, мы называем поверхность контортной. Даже и в этом случае подобное построение оказывается возможным, но теперь (конформно-плоское) пространство погружения комплексно. Величины о и о' переносятся (возможно, с изменением масштаба), но комплексно-сопряженные величины о и а' заменяются новыми независимыми комплексными величинами. Ограничивающий характер условия неконтортности поверхности 9Р определяется тремя действительными уравнениями в каждой точке поверхности дР [одно из которых таково: 1ш(Чг2) = 0].

Квазилокальный твистор момента импульса

Одно из возможных определений 2-формы 0 на дР, применимое в полной общей теории относительности [259] ), получается подстановкой выражения (9.9.14) в (9.9.3), а затем полученного тензора Qob вместе с полной кривизной — в формулу (9.9.1):

«•• = R*li2abQ°b = Rilt2abeQab. (9.9.15)

Действительно, имеются довольно убедительные доказательства [337] того, что в случае неконтортной поверхности 9* это определение дает меру массы-энергии в общей теории относительности, превосходно (и даже замечательно) согласующуюся с физическими требованиями. Но в настоящее время имеются основания считать (как указывают и работы Тода, Келли и Вудхауса), что в общем случае контортной поверхности 9 следует не просто проинтегрировать выражение (9.9.15) по 9” [как требует стандартная процедура (4.3.24)], но ввести дополнительный множитель). Напишем

6 = Л + А,

где [в силу формул (9.9.15), (9.9.3) и (3.4.22)]

А = Ri^AA'BB'G^eA'8' =

= 2алв (Ч^^е^ + Ф^^е,^ + 4Л^(9.9.16)

[ср. с формулой (4.6.38)]. Вместо того чтобы интегрировать 0 по 9”, мы интегрируем 2-форму

6' : = т]А + пд,

где т] — комплексная скалярная величина на 9, предлагаемое определение которой будет дано ниже. Если поверхность некон- тортна, то следует положить т] = 1, и это будет справедливо и для контортных сечений гиперповерхности 3*. Получим [обозначив через 9 2-форму элемента поверхности, как в формуле (4.14.65)]

ф 6' = 2 Re ф т)А = —4 Re ф /Аопу'П^ =

= 8 Re ф / {олвТ01ЛВ - Фл^г) + 2Ло01} т)^ =

= - 8 Im ф {о00 № - Фш) + 2о01 (Т2 - Фп -Л) +

+ ст11 (Ч^з-Фг!)^(9-9.17)

в соответствии с формулами (4.14.53), (4.14.66), где ст45 определяется формулой (9.9.14)).

Напомним теперь о дуальности твистора 8“р и твистора момента-импульса А«р, обсуждавшейся в гл. 6, § 5. Приравни-

вая (6.5.53) и (6.5.51), применительно к рассматриваемой ситуации будем иметь

Re (А.,8-»)(9.9.18)

откуда (в силу нелинейности)

A«pZ“Zp = - ^ ф {(V, - Ф01) ®°®° + (Т2 - Фп - Л) X

х Г®0®1 + Ю1®0') + № — Ф21) ®*®Ч П-У•(9.9.19)

\М 12/12J

Здесь Z“ и Z“ — произвольные элементы пространства Та(^), 12

соответствующие решениям Г®°, со1!, (<в°, а»1! уравнения 111 J 122 J

Соотношение (9.9.19) определяет величину АарЕ еТ^^) как «твистор момента-импульса», описывающий суммарный источник гравитационного поля, окруженный поверхностью д.

Заметим, что в соответствии с определением (9.9.19) величина Аар имеет десять компонент (поскольку пространство Тар^) комплексно-десятимерно). Но чтобы данная ее физическая интерпретация была полностью удовлетворительна, необходимо, как можно полагать, дополнительно наложить некоторое аналогичное условию (6.3.12) условие эрмитовости типа

А^ = АЭуГ,(9.9.20)

сводящее десять комплексных компонент к десяти действительным. Однако точная форма такого условия пока не найдена. Чтобы хотя бы сказать, что должно означать условие типа (9.9.20), необходимы два момента. Во-первых, нужно ввести операцию (инволюции) твисторного комплексного сопряжения для Т“(^), переводящего это пространство в дуальное пространство:

Ta(^)b->Ta(^),(9.9.21)

так чтобы получающееся скалярное произведение Z“Za имело сигнатуру (+Н). Во-вторых, очевидно, необходим (простой? твисторно-действительный?) элемент

рЭ G ylap] ^(9.9.22)

который должен входить в условие (9.9.20).

Возможный путь реализации этого таков: ввести локальное твисторное поле (<вл, лл,) на S’ (см. гл. 6, § 9) для каждого Z^ePtS’), положив

л0, = id'm1 — ip<a°, ли = idto° — zp'®1,(9.9.23)

причем вместе с (9.9.13) эти соотношения являются тангенциальными частями на М уравнения (6.1.9). Нетрудно убедиться, что формулы преобразования (6.9.6) локальных твисторов при конформном изменении масштаба выполняются. Однако твистор (оу4, Лд}, вообще говоря, не будет постоянным при локальном твисторном переносе (6.9.10), если не считать случая, когда пространство Ж конформно-плоское. Построим теперь конформно-инвариантное скалярное поле на ^:

{Z“Za) = <ВЛЛЛ + ЛЛ'ЙА' — ®°Ло + Ю1^ + Ло'Й° + л^й1 =

= г (®-1'б®° — ®od^z + й^б'®1 — ю'б'й0') =

= 2 Im (mW — йгб®°),(9.9.24)

поскольку величины р и р' действительны. До тех пор пока величина (9.9.24) постоянна на 9, это будет конформно-инвариантное число, которое нужным образом задает эрмитову тви- сторную норму {ZaZa} для Т"^). Однако в общем случае выражение {Z“Za} не постоянно на 9”, причем условием постоянства для всех ZaG л"^) является неконтортность поверхности д’ (см., например, работу [155]). В случае контортной поверхности ЯР можно пытаться преодолеть возникающую трудность усреднением

ZaZa: = (^)-1^{ZaZa}^(9.9.25)

или, возможно, иначе:

ZaZa:=^^(7< + ^){ZaZa}^,(9.9.26)

где ^К + К) — гауссова кривизна поверхности У [см. формулы (4.14.20), (4.14.21), (4.14.44)]; или же использовать некоторое выражение, содержащее ц. Это дает два (или более) способа введения произведения, осуществляющего отображение (9.9.21). Но ни один из них не обеспечивает конформной инвариантности.

С соотношением (9.9.22) возникают на первый взгляд аналогичные проблемы. Например, можно было бы ввести скалярное поле на ЯР'.

JlaBZaZ₽l = л^л^ - лил0„(9.9.27)

I Р1 2 j 121

но оно опять в общем случае непостоянно (даже для неконторт- ной поверхности ЯРУ Если усреднить это выражение по ЯР, то соображения, связанные с конформной инвариантностью, перестают быть существенными. Однако получающаяся величина |ар е Т[ар] (^) в общем случае не оказывается простой [в смысле предложений (3.5.30) и (3.5.35)]. Такой твистор 1ар, не удовле-

творяющий указанному критерию простоты, все же можно было бы использовать в условии (9.9.20); более того, есть веские основания полагать, что в общем случае необходимо использовать такой твистор |ар «деситтеровского» типа. Пока не известно, действительно ли соотношение (9.9.20) выполняется с таким твистором lag, возможно дополнительно модифицированным некоторым членом (или членами) с т].

Разрешение этих трудностей требует дальнейших исследований. Как мы увидим вскоре, ситуация на 3* намного приятней. Более того, как было показано Шоу [310], в предельном случае, когда ЭР стремится к пространственноподобной бесконечности г°, приемлемое определение lap и соответствующей нормы существует и условие (9.9.20) выполняется, если только кривизна удовлетворяет подходящим условиям убывания. В этом случае достигается полное согласие с определением массы Арно- витта — Дезера — Мизнера [4] и определением Аштекара — Хансена [7] момента импульса. Прежде чем обратиться к случаю ^+, следует сделать некоторые замечания, касающиеся общего случая произвольной поверхности дР. Заметим сначала, что в пространстве М справедлива формула

m2 = -^-AapAap (9.9.28)

для квадрата массы покоя т, которая без труда получается из (6.3.11), причем здесь требуется только операция твисторного комплексного сопряжения, но не нужно введение 1ар. Таким образом, можно воспользоваться соотношениями (9.9.25) или (9.9.26) и предложить два возможных альтернативных определения «квазилокальной массы покоя» в общей теории относительности (т. е. массы покоя, заключенной внутри конечной замкнутой двумерной поверхности). Тодом [337] была также предложена модификация формулы (9.9.28), в которой используется определитель твистора А«р вместо нормы.

Отметим также указанное Тодом [337] соотношение, которое справедливо при т] = 1, а именно выражение (9.9.19), переписанное в замечательно простой форме

—^ $ <№+W) ^ ■ (9'9 29'

[При доказательстве используются соотношения (9.9.13), (9.9.23), (4.12.32д), (4.12.35) и формула интегрирования по частям (4.14.71); доказательство оказывается простым, если начать с формулы (9.9.29).] Имеется интригующее сходство между формулами (9.9.29) и (9.9.27), указывающее на то, что соот-

ношение типа (9.9.20) можно было бы получить, если найти подходящие определения. Выражение (9.9.29) окажется для нас важным в конце этого параграфа. Если т]^!, то формула (9.9.29) модифицируется путем замены каждого множителя л0, величиной vn0, + im^'v, а каждого множителя ли величиной vn.,+ z(o°dv и добавления члена Лв1®0 + ©“©^Sv 6'v, где v2 = ti.

\1 2 1 2 /

Чтобы обосновать введение величины т] в формулу (9.9.19) и ее определение, к которому мы перейдем далее, полезно привести некоторые результаты, полученные Тодом [337] в различных случаях неконтортных поверхностей ^. Будем рассматривать квазилокальную массу покоя т, определяемую формулой (9.9.28); она однозначна, поскольку во всех случаях неконторт- ности норма (9.9.24) постоянна на ^.

Для пространства-времени Шварцшильда получен замечательный результат: в случае поверхности 9, лежащей на любой гиперповерхности 5^ сферической симметрии (определяемой в обычных шварцшильдовых координатах некоторым соотношением, фиксирующим функциональную зависимость t и г), масса т оказывается в точности шварцшильдовой массой, если 9 охватывает источник (и только один раз), и т = 0, если 9 не охватывает источник. (Сама поверхность 9 не обладает сферической симметрией гиперповерхности 36 и может произвольно располагаться внутри 36. Такая поверхность 9 неконтортна).

Похожие результаты получаются в произвольном вакуумном пространстве-времени, содержащем конформно-плоскую гиперповерхность 36, симметричную во времени, причем 36 может содержать «источники» либо в виде заполненных материей областей, либо в виде «кротовых нор» [207]. Снова, при условии ЭР cz 36, масса т зависит только от того, охватывает ли поверхность дР источники, независимо от ее конкретного положения в 36. Если обозначить через т,- значение т, получаемое, когда дР охватывает только /-й источник (один раз), и через т^к значение, получаемое, когда ЗР охватывает /-й и А-й источники (по одному разу каждый), то мы получим физически приемлемый результат

mjk <mj + тк.

Это указывает на то, что вклад гравитационной потенциальной энергии уже содержится в определениях (9.9.19), (9.9.28) [причем вклад гравитационного излучения равен нулю в 36 )]. Действительно, в пределе слабого поля разность m/+mfe— /п/й

оказывается в точности равной ньютоновскому /"‘-члену потенциальной энергии *).

[Эти результаты были получены с помощью введенного Тодом понятия твистора 3-мерной поверхности, которое вводится применительно к гиперповерхности X с нормалью ta, обладающей теми свойствами, что 1) магнитная часть

Ho=-=*Cobcdtbtd

тензора Вейля равна нулю на 36 и 2) магнитная часть 4t^ eCabcd)tbtd

нормальной производной тензора Вейля также равна нулю на Ж (Второе условие в вакууме можно сформулировать как обращение в нуль ротора электрической части тензора Cabcd на 36, который определен подобно тензору НаЬ, но без дуализации.) Такая гиперповерхность «неконтортна» в том смысле, что может быть погружена в конформно-плоское пространство-время с той же внутренней метрикой и внешней кривизной для 36 и любая 2-поверхность 9, лежащая в 36, тоже будет неконтортна. Свойством такой гиперповерхности 36 является возможность задания на ней твисторов 3-мерной поверхности), которые являются решением частей уравнения (9.9.12), содержащих производные, которые действуют лишь внутри 36, а именно

(Фактически они являются также твисторами гиперповерхности для 36\ см. текст, относящийся к соотношению (7.4.52), которое является в определенном смысле дуальным приведенному уравнению, так что величины ос<вс постоянны вдоль [З-кривых. Здесь № = /“.)]

Выражения для квазилокальной массы можно также применять, если поверхность 9 лежит внутри областей, заполненных материей. В частности, в случае сферически-симметричного (электровакуумного) пространства-времени Райсснера — Норд-

') Интересно, как это получается в подходе Тода. Твистор момента импульса Аар Для разных источников оказывается полностью аддитивным, а неаддитивность получающихся скаляров m обусловлена нелинейностью выражения (9.9.28). Подобные неравенства имели бы место для масс покоя, если отличны от нуля 4-импульсы, но тогда знак неравенства оказался бы противоположным. Дело в том, что эффективные твисторы 1ар для разных источников оказываются «искаженными» в различной степени и возникают вклады от тех частей Аар> которые иначе всегда равны нулю [формула (6.3.11)].

стрема величина т теперь определяется не только тем, охватывается ли поверхностью д источник массы, но и вкладом в массу энергии электромагнитного поля1). Модели Фридмана — Робертсона — Уокера (см. § 5), будучи конформно-плоскими, относительно легко исследовать. В частности, Тод показал, что если поверхность д обладает вращательной симметрией, то величина т равна массе, которая была бы окружена сферой равной площади в евклидовом пространстве, заполненном жидкостью той же плотности, что и в исследуемой модели. Таким образом, в частности, в случае пространственно-замкнутой модели величина т возрастает по мере того как сфера расширяется, достигает максимального значения для «экваториальной» сферы и затем уменьшается до нуля по мере того как сфера сжимается в точку. Это показывает, что полная масса в данной модели равна нулю в согласии с выводами других подходов [207]. Отрицательными вкладами потенциальной энергии в точности компенсируется вклад материи. Более того, весьма общим свойством нашей конструкции является то, что полная масса любой модели замкнутой вселенной равна нулю. Это частный случай еще более общего свойства масса по одну сторону любой конечной поверхности д должна быть равна массе по другую сторону, что непосредственно видно из симметрии выражения (9.9.19).

Определение множителя т]

Кажется, ясно, что описанные выше (и другие) весьма обнадеживающие результаты для неконтортных поверхностей д должны каким-то образом обобщаться на случай, когда поверхность д контортна. В частности, в пространстве-времени Шварцшильда, если поверхность д не охватывает источник, должно получаться значение т = 0 независимо от того, является поверхность д контортной или нет. Однако, как показали Тод и Келли, если опустить множитель т] в определении (9.9.19), то для некоторых малых сфер, не охватывающих Шварцшильдов источник, получается физически неприемлемый результат т? < 0.

Такие сферы получаются, если выбрать точку Р в Л и взять сечения светового конуса с центром в Р на фиксированном расстоянии от Р по афинному параметру и, нормированному с помощью времениподобного вектора Т° в Р. Контортные сечения возникают в случае, когда Т° не лежит в плоскости г, t в шварц

') Этот результат представляется более удовлетворительным, нежели получаемый с помощью интегрального выражения Комара [166] (см. также [275]), которое дает вклад электромагнитного поля с ошибкой в 2 раза по сравнению с гравитационным вкладом (что можно проверить, перейдя к пределу слабого поля).

шильдовских координатах. Без множителя т] отрицательные значения т? возникают в порядке и5, но их можно устранить, вводя множитель т] согласно нижеследующему предписанию. Это предписание возникло в результате анализа некоторых твисторных контурных интегралов, из которых видно, что если спинор Кил- линга (6.7.15) принадлежит пространству "IH"^^), то вводимый множитель т] приводит к значению т = 0, если только поверхность д не охватывает источник пространства-времени Шварцшильда.

Чтобы ввести т], построим (конформно-инвариантный) определитель любых четырех линейно-независимых решений <вл, 1

<вл, <вл, <вл уравнения (9.9.13) на д-.

<в°<в° в? в?

1234

(В1(В1(В1(В1

У =

1234

д<в° д<в° д<в° д<в°

(9.9.30)

^1 2 3 4 А

1234

д'<в1 д'<в« д'<в1 д'св1

1234

234

(см. также работы [339, 155]). Если поверхность д неконтортна, то величина У постоянна на д (что показывает переход к локальному твисторному описанию в конформно-плоском пространстве погружения ^?), но в общем случае величина У изменяется, хотя никогда не обращается в нуль (предполагается, что пространство четырехмерно). Тогда:

Выберем величину т] равной определителю Ус некоторым постоянным на д множителем.

К сожалению, при этом в выборе т] еще остается некоторая неопределенность. Ее можно устранить (ценой нарушения конформной инвариантности определения величины т]), потребовав, например, чтобы среднее значение величины т] на д было равно единице или (что, возможно, правильнее) чтобы среднее соответствующего логарифма было равно нулю; однако статус таких доопределений не совсем ясен.

Одна Из важных сторон величины т] в том, что она описывает (локально на д^ отличные от нуля компоненты альтернирующего твистора

Неоднозначность в выборе множителя т], а именно T] = y-const, эквивалентна произволу в выборе gaPv6_ Величина т^д, которая входит в формулу (9.9.19), порождает 2-форму элемента по-

верхности в комплексном конформном Минковскому пространстве погружения, в которое ^ можно вложить, не изменяя о или а'. Эта 2-форма естественно определена с точностью до упомянутой неоднозначности. Детали этих построений, однако, здесь не будут обсуждаться, и мы переходим в оставшейся части параграфа к случаю, когда 9* находится на изотропной бесконечности— ситуация, для которой т] = 1, как мы сейчас увидим.

А„р на 3*

Конформная инвариантность определения Т"^) в особенности важна, когда мы переходим к применению нашего построения на срезе 3* (см. § 8). Будучи предполагать выполненным условие асимптотической простоты в будущем (3-мерное), а также предположим, что вблизи 3* присутствуют только безмассовые поля. Соответственно этому возьмем физический тензор энергии-импульса Tab бесследовым вблизи 3+ и [формула (6.7.34)] преобразующимся как

Tob = Q^tab(9.9.31)

при конформном преобразовании

gab = ^gab,(9.9.32)

где теперь физические величины помечаются тильдой, как в § 8. Мы предполагаем, что материальные поля убывают достаточно быстро, так что тензор ТаЬ конечен (по крайней мере класса С°) на 3*, что совместимо с условиями последовательного вырождения § 7, имеющими место на 3*. [Если поля ф... достаточно регулярны на 3*, то и тензор Таь тоже — в силу предположения (9.9.31) для Таь при преобразовании (9.9.32), см. формулы (5.2.4), (5.8.3) (6.8.36).] При этих предположениях сильное асимптотическое условие Эйнштейна (§ 6) будет выполнено.■

Рассмотрим теперь выражение (9.9.19) [или (9.9.17)], переписанное с использованием физических величин

^abcd — Флвсв> Фавс'о' = ^GT ABc'D', А = 0, (9.9.33)

подставляя указанные [в правых частях равенств (9.9.33)] их значения. Учитывая масштабное преобразование (9.9.31) совместно с

■флвсо = ^ ' Флаев(9.9.34)

[формула (9.6.40)] и законом преобразования спиновой системы отсчета (см. § 6, 7)

ОЛ=ОЛ, О = U О ’ 1Л = Ц1Л, 1=1,

позволяющим системе оставаться конечной на 3*, находим

со° = £2~1со°, sI = ®*,^ = Q-2^,

ф1 = й4фь ф2 = £23ф2, фз = £22фз,

Тоооч'= Q57ooo'i'> Тшуи = Q^onris Т'поч' = £23Тцо'1'.

Таким образом, в «нефизических» переменных формула (9.9.19) принимает следующий вид:

AapZ“Zp = — -^q- ф {ф^со0 + фо^со1 + со1^ + i|)3coW} ^+O(Q),

1 21 21 21 21 2(9 9 35)

причем все вклады от Таъ включены в О (£2) и к тому же принято, что т] = 1 на ^+, см. ниже. Если взять в качестве 9 срез гиперповерхности З*, члены О (£2) исчезают и величины Аар будут полностью определены через фь ф2, фз и решения уравнений

д'®° = 0, д®1 = ст®0(9.9.36)

на срезе (поскольку ст' = 0 на 3+). Мы выбираем £2 таким образом, чтобы внутренняя метрика на 9 была метрикой сферы.

Уравнения (9.9.36) имеют значительные преимущества перед системой (9.9.13). Во-первых, ясно, что система (9.9.36) всегда имеет в точности четыре независимых решения, так что пространство Т“(^) обязательно будет комплексно-четырехмерным. Чтобы убедиться в этом, вернемся к соотношению (4.15.60), вспомнив, что со0 имеет спиновый вес, равный —1/2, и найдем, что уравнение д'со0 = 0 имеет в точности два независимых решения (линейные комбинации величин -ц^хр, -щ и -1/2У1/2,1/2, см. гл. 4, § 15). Подставляя каждое из них в уравнение дю1 = ст®° и вспоминая, что со1 и ст имеют соответственно спиновые веса, равные 1/2 и 2, опять находим из (4.15.60), что для каждого со0 имеются как раз два независимых решения для со1, т. е. всего, как и требовалось, оказывается четыре решения.

0

0

со0 3

со0 4

со1

со1

со1

СО1

1

о

3

4

0

0

д®°

д®°

3

4

д'со1

д'®1

д'®1

д'®1

224433Во-вторых, мы находим, что множитель ц, о котором шла речь выше, может быть выбран равным единице. Чтобы построить соответствующий определитель (9.9.30), нам нужны четыре линейно-независимых решения системы (9.9.36), два из которых могут иметь со° = О (т. е. д®* = 0), и, следовательно, определитель (9.9.30) принимает вид

2

2

4

4

3

3

СО1 <0*(0°<0°

1234

д'®1 д'со1 д®° д®° ‘

1234

Учитывая сказанное выше, можно выбрать со1©1©0©0, например, 12 3 4

в виде величин 1/2/172.-172, 1/2/1/2.1/2, -1/2/172.172, соответственно, не содержащих ст (см. гл. 4, § 15), и то же относится к величинам д'©1, ... , б©°. Таким образом, значение определителя, 14

постоянное на! 9, будем тем же самым, что и в пространстве Минковского. Следовательно, мы имеем т] = 1.

В-третьих, появляется единственный элемент 1ар е Т[ар] (У), висит от выбора среза в хорошо определенном смысле). Напом- обладающий всеми необходимыми свойствами (который не за- ним локальное твисторное выражение (9.8.41) для |р0 на 3* Выполнив комплексное сопряжение и свернув результат с ZPZ°, мы получим локальное твисторное выражение на 9 12

J lpaZpZ°l = А (7со°Л1' — 7©°лг — р'©0©1 + р'©0©1^ =

(1 2 J1 22 11 22 1 /

= A /mW — ©WY(9.9.37)

\2112 )

Теперь из таблицы (4.15.60) ясно, что любой скаляр со спиновым весом —1/2, удовлетворяющий уравнению б'©°=0, должен также удовлетворять условию

dW = 0.(9.9.38)

(Это было бы не так, если бы поверхность 9 не была масштабным преобразованием приведена к сферическому виду.) Применяя оператор б к окончательному выражению в (9.9.37), находим, что результат обращается в нуль. Но выражение (9.9.37) имеет спинорный вес, равный нулю, и поэтому в силу сказанного в гл. 4, § 15 оно должно быть постоянным на 9. Эта постоянная позволяет определить l0<JZpZCT е С как кососимметри- 1 2

ческую билинейную функцию Zp и Za, чем определяется условие 12

U^^ppI^-(9.9.39)

В-четвертых, можно дать определение твисторного комплексного сопряжения (9.9.21), удовлетворяющего всем необходимым требованиям (инволюции, сигнатуры (+Н), независимости от выбора конформного множителя), по отношению к которому твистор laS является действительным. Тогда необходимое свойство эрмитовости (9.9.20) тоже имеется. Тем не менее это определение не является прямым и в существующей форме выглядит несколько неуклюже, как мы вскоре увидим. Сначала нужно познакомить читателя с различными важными соображениями.

Асимптотическое спиновое пространство

Прежде всего заметим, что для всякого твистора Z“£ е Т"^), для которого со0 = 0 на 9, должно выполняться равенство

lapZa = 0, (9.9.40)

поскольку компонента со1 не входит в выражение (9.9.37). Таким образом, имеется двумерное подпространство Т“(^), «уничтожаемое» твистором lap в смысле равенства (9.9.40). Это — пространство величин {0, со1}, где со1 удовлетворяет уравнению

3^ = 0. (9.9.41)

Назовем данное пространство асимптотическим спиновым и будем обозначать его через I^Tap^), понимая его как подпространство пространства Т“(^), либо через SA(^), понимая величину {0, со1} как две компоненты спинорного поля соА на 9, что аналогично ограничению на 9 полей <ол, постоянных в М. Эти особые спинорные поля на 9, удовлетворяющие соотношению (9.9.41), могут быть естественным образом продолжены на всю гиперповерхность 9* с помощью требования

ру : = (p' + p')(oi = O. (9.9.42)

Таким образом, концепция асимптотического спинового пространства относится к 9* в целом, и потому возможно также обозначение SA(9+'). (Более того, при со-4 ос И уравнения (9.9.41) и (9.9.42) представляют собой части твисторного уравнения (9.9.12), тангенциальные к гиперповерхности 9+ [30]. Удобно выбрать масштаб на 9+ так, чтобы выполнялось равенство р' = 0 [как это было сделано в § 8, см. формулу (9.8.33)]. Тогда уравнение (9.9.42) принимает вид

р'ш* = 0, (9.9.43)

и мы можем непосредственно отождествить все пространства S-4^) между собой для всевозможных срезов 9. Выбрав р' = 0, мы можем также выбрать все срезы гиперповерхности 9+ имеющими метрику единичной сферы. Таким образом, далее мы принимаем (9.8.33).

Свойства нормы на 9+

' Наша процедура определения величины Z“Za такова: мы строим, как и раньше, выражение (9.9.24) и исследуем его постоянство на 9, применяя оператор бб'. Удобнее, правда, взять выглядящую несколько более общей (но, в сущности, эквива-

лентную) «поляризованную» форму выражения (9.9.24)

f Z“ZaX = zVm1 do»0 — а^й1 + й° б'а1 — a^VY (9.9.44) I 0 J \ О О007

С учетом формулы (9.8.89) короткие выкладки дают выражение

бб' (ZaZal = а°а° (z"6/2a — г"б2ст) = 2а°а° Im (Аф2 — оЮ. (9.9.45) 10 J О0

Отметим, что оно обращается в нуль, если срез чисто электрический [формула (9.8.93)], как все срезы гиперповерхности 3* в случае пространства М (или в случае стационарного пространства Ж- Таковыми являются неконтортные срезы гиперповерхности 3*.

Когда величина (9.9.45) действительно обращается в нуль, можно показать [формула (4.15.60)], что выражение (ZaZa| lo j и в самом деле постоянно на 9, так что мы получаем хорошее определение величины ZaZa, а следовательно, и величины о

Поскольку (ZaZal имеет на 9 конформный вес, рав- I о J

ный нулю, свойство постоянства этого выражения оказывается инвариантным относительно конформных изменений масштаба (9.8.13). Но если величина (9.9.45) не равна нулю (а это обычная ситуация для контортных 9^, то не будет конформно-инвариантной операция усреднения {Z“Za} на 9, т. е. выделения части этого выражения, соответствующей значению / = 0, ибо, как следует из сказанного в т. 1, гл. 4, § 15, эта операция могла бы быть инвариантной только для величин с конформным весом, равным —2; для всех других весов части с большими значениями / при конформных преобразованиях перемешиваются с частью этого выражения, соответствующей значению / = 0.

Вскоре выяснится, что все-таки есть (пусть не очень удовлетворительный) способ обойти эту трудность. Предварительно заметим, что если либо со0 = 0, либо о»0 = 0, то правая часть о

соотношения (9.9.45) обязательно равна нулю. Таким образом, всякий раз, когда либо Za, либо Za относится к |а₽Тв(^), эрми

тово скалярное произведение ZaZa приобретает совершенно о

точный смысл. А это говорит о вполне корректном определении отображения Ta (9)-> lapTp (9), которое мы будем обозначать так:

Za ^Z^a.(9.9.46)

Оно характеризуется следующим свойством. Если для каждого Z" е Т (^) построить с помощью левого члена отображения о

Z“ хорошо определенную величину

I ZaZ^

[полученную из постоянного выражения (9.9.37)], то мы получим тот же результат, что и в случае, когда мы построим с помощью правого члена отображения (9.9.46) Zvlva хорошо определенное скалярное произведение

z₽7z7^о

[в результате подстановки Z^7" в (постоянное теперь) выражение (9.9.44) ]. Приравняв эти выражения, мы получим ото- браженияе (9.9.46) и, как легко проверить, это достигается с помощью отображения

{со0, со»}н^{О, — 1АбЛ.(9.9.47)

Эрмитовость твистора Аар на 3*\ 4-импульс Бонди — Сакса

Наш интерес к отображению (9.9.46) связан с тем, что его достаточно для формулировки искомого свойства эрмитовости (9.9.20). ^Полное определение нормы на Т 0Z) будет дано чуть ниже.] В самом деле для выполнения (9.9.20) достаточно условия

ZaAap (ZvlvP) е R при всех Za <= Т (У).(9.9.48)

Покажем, что при учете определения (9.9.47) это действительно так. Подставив Za = Za и Zp = ZJvP в формулу (9.9.35) и взяв 12

их в качестве левой и правой частей формулы (9.9.47), соответственно, мы получим следующую форму выражения из условия (9.9.48):

-^Ф^Х^ + Фз^(9.9.49)

Согласно формуле (9.8.83),

ф ^^«^'АЗ = ф б^со^0'^ = — ф ^дсо^0'^ =

= — ф аМа^З(9.9.50)

,[где использованы формулы интегрирования по частям (4.14.71), а также (9.9.36) (1) и (9.9.36) (2)]. Подставив это снова в

получим

ZaAap (ZvlvP) = - ^ ф (Азр2 - aN) соV^.(9.9.51)

Мнимую часть величины (9.9.51) с помощью формулы (9.8.89) можно предоставить в виде выражения

1тфд2дф°б^,

которое после двукратного интегрирования по частям и использования формул (9.9.36) и (9.9.38) обращается в нуль. Следовательно, условие (9.9.48) действительно выполняется и мы, как и в формуле (9.9.20), достигаем желаемого уменьшения числа независимых действительных компонент твистора Аар с двадцати до десяти.

Для выяснения смысла этих компонент обратимся к рассуждениям гл. 6, § 3—5, относящимся к плоскому пространству. Обращение в нуль проекционной спинорной части в формуле (6.3.11) (1) обусловлено тем, что, если бы мы взяли оба твистора Za и Z“ в формуле (9.9.35) из la₽Te(^), то в резуль- 12р

тате получили бы нуль [в силу тех же соображений, что и в случае формулы (9.9.50)]. Можно показать, что само выражение (9.9.51) относится к наддиагональной части твистора Дар и формуле (6.3.11), т. е. к полному 4-импульсу, окруженному поверхностью ^. Действительно замечая, что при использовании стандартного описания твисторов в плоском пространстве подстановки твистора

S“₽ = ZYlv(aZ₽)(9.9.52)

в выражение (9.9.7) дает

Fap = (Zvlva)(ZslSp),

и вспоминая, что главная часть твистора Fap является вектором Киллинга §АВ , мы обнаружим, что

^в' = йАлв',(9.9.53)

если твистор Z“ при стандартном способе описания в плоском пространстве представить как (сол, лд'). Тогда левая часть формулы (9.9.51) примет вид

PaV = PBC'W',(9.9.54)

где ра — полный 4-импульс, описываемый твистором Аар. Следовательно, формула (9.9.51) описывает изотропную компоненту 4-импульса, окруженного поверхностью S’.

Такого рода описания имеют совершенно ясный смысл в пространстве Ж, если рассматривать его асимптотическое спиновое пространство 5Л(^) и другие пространства Sd'-".^^), построенные из этого стандартным способом. Вместо того чтобы брать изотропную компоненту, как в формуле (9.9.54), гораздо удобнее взять пространственноподобную или времениподобную компоненту. Это означает выбор элементов линейной оболочки выражений to°a)' на 9, т. е. элементов пространства S° (Уу Объединив множитель А с ^б»0', чтобы устранить зависимость от спиновой системы отсчета, мы получим линейную оболочку выражений Дсо°со0, как пространство скаляров W на 9, имеющих спиновый вес 0 и конформный вес 1. Согласно соотношениям (9.9.36) и (9.9.38), эти скаляры удовлетворяют уравнениям

д2Г = 0, d'2W = 0, (9.9.55) и W обычно считается действительной функцией. Из таблицы (4.15.60) следует, что любой такой скаляр построен только из сферических гармоник с / = 0 и / = 1. Таким образом, выбирая в выражении

--^G^^-oNA-^Wy (9.9.56)

различные скаляры такого рода W, мы получим четыре компоненты энергии-импульса. Выбор W = 1 дает энергию, а ось времени соответствует избранной нами метрике единичной сферы на 9; выборы же, соответствующие значению / = 1 (и имеющие в стандартной сферической системе координат вид sin 6 cos ф, sin 6 sin ф и cos 6 соответственно), дают 3 импульс. На этой стадии можно без потери общности положить А = 1, поскольку бустовые веса здесь особой роли не играют. Выражение (9.9.56) представляет собой 4-импульс Бонди — Сакса, окруженный поверхностью 9. Первоначально он был получен совершенно иным способом [25, 27, 298].

' Альтернативные выражения для массы Бонди — Сакса

Имеется много различных представлений величины (9.9.56), и одно из них будет рассмотрено в следующем параграфе. Но еще одно из них есть смысл рассмотреть здесь. Пусть мы выбрали й так, что гиперповерхность й = const является изотропной. Тогда, согласно формуле (9.8.29), мы имеем V ^ 0. Из (4.12.32д)' с учетом формулы (9.8.74) следует соотношение

^а'—Фго— — N. (9.9.57)

Кроме того, согласно формуле (9.8.81), имеет место слабое равенство

Согласно этим выражениям, формулу (9.9.56) при W = 1 можно интерпретировать следующим образом. Пусть наш срез гиперповерхности ^+ является предельным членом ^ = ^о семейства замкнутых пространственноподобных 2-поверхностей Уа, полученных как пересечения изотропных гиперповерхностей £2 = = const с фиксированной изотропной гиперповерхностью Л*. (Здесь Л3 — изотропная гиперповерхность, пересекающая 3* в д.) Тогда оказывается, что в этом случае производная выражения

<9-9-59»

по —£2 при £2 = 0 в точности равна энергии Бонди — Сакса (1^=1). [Это объясняется тем, что здесь д/д^—^ = A-VD = = Л-1)) и сг ^ 0.] Интеграл вида (9.9.59) уже кратко рассматривался в связи с формулами (4.14.41) и (4.14.45), где отмечалось, что он и конформно-инвариантен, и действителен. Из его действительности следует действительность выражения (9.9.56), так что первая тесно связана с формулами (9.9.48) и (9.9.20). Отметим также, что формулу (9.9.59) с помощью соотношений (4.14.20) и (4.14.44) можно записать в виде

- ^ + ^G $ <Фн + Л - РР') ^<9-9‘6°)

и что в силу конформной инвариантности выражения (9.9.59) интеграл (9.9.60) можно переписать с помощью характеристик либо физической, либо нефизической кривизны. Если использовать физические величины, то при выполнении условий нормального убывания материальных полей члены, связанные с кривизной, исчезают и остается выражение

- 23—тяг<9-9-61)

Отсюда следует, что темп стремления этого выражения на бесконечности к нулю тоже определяет массу Бонди — Сакса [123].

Норма для Т"^) на 3+

Мы вернемся к 4-импульсу ра (д) Бонди — Сакса в следующем параграфе. И там будут приведены доводы в пользу того, что, если физический тензор энергии удовлетворяет на компактной пространственноподобной гиперповерхности, натянутой на д, соответствующему неравенству («условию энергодоминантности»), то величина ра(д)—времениподобный вектор будущего (или равна нулю, если пространство-время всюду вдоль д плоское). Будем считать этот результат известным и воспользуемся

им, чтобы справиться с проблемой определения подходящей тви- сторной нормы для пространства Т“(^).

Для достижения этой цели предположим, что пространство на 9 не плоское (иначе не о чем говорить, ибо никаких проблем с этим определением не возникает) и что, следовательно (при учете вышеуказанного предположения), на 9 выделяется определенное единственным образом асимптотическое временное направление, а именно направление вектора ра(9У Выберем такой конформный масштаб на 9, чтобы метрика на сфере, принадлежащей 9, была ассоциирована с этим конкретным направлением, т. е. такой, чтобы все величины W, соответствующие значению j = 1, обращали выражение (9.9.56) в нуль. Тогда можно определить величину ZaZa> просто усредняя выражение о

[т. е. выбирая часть с /=1 в выражении (9.9.44)]. Хотя такое определение не очень изящно, оно, по-видимому, не лишено логики в силу того, что постоянству выражения (9.9.44) препятствует в формуле (9.9.45) та же величина Дф2 — oN, которая сейчас использована для фиксации масштаба, позволяющего преодолеть именно это препятствие. Правда, в одном случае входит мнимая часть, а в другом действительная. Полной ясности в этих вопросах все еще нет.

Структура точной последовательности для Та(9) на 3*

Полное определение твисторной нормы [т. е. комплексносопряженной операции (9.9.21)] нам необходимо по той простой причине, что в противном случае мы не можем должным образом интерпретировать оставшиеся компоненты «момента импульса» твистора Аар. Что мы, в сущности, установили в процессе получения формул (9.9.39) и (9.9.46), так это аналог короткой точной последовательности (6.5.28) для Та(9):

0^SA(9)^Ta(9)^SA'(9’)^0,(9.9.62)

где второе отображение представляет собой просто включение арТр(^)с=ТГ(^), а третье — отображение фактор-пространства [формула (6.5.29)]. Как будет показано ниже, структура выражений (9.9.39) и (9.9.46) говорит о том, что определенное таким образом пространство Sa'(^) может быть естественным образом отождествлено с пространством, комплексно-сопряженным пространству, дуальному SA(9) (на что указывают обозначения). [Значение последовательности (9.9.62) для момента импульса сейчас станет ясным.]

Чтобы убедиться в том, что выражения (9.9.39) и (9.9.46) действительно имеют указанный выше смысл, мы обратимся сначала к формуле (9.9.46), но через посредство формулы

Вспомним, что пространство S4(^) определяется условием со0 = 0, так что преобразованием (9.9.47) фактор-пространство Т™ (^)/S4 (^) [т. е. пространство, в котором со0 удовлетворяет условию (9.9.36) (1)] ассоциируется с пространством S-4 ^), комплексно-сопряженным пространству 5Л(^). Однако представляется несколько более естественным перейти к пространству, комплексно-сопряженному дуальному пространству Зд^У

Это вполне законная операция, ибо формулы (9.9.39) и (9.9.46) на самом деле тоже позволяют ввести спинор

Чв^хавх^(9.9.63)

который, как мы знаем, устанавливает изоморфизм между 5Л(^) и дуальным ему пространством. Чтобы получить спинор (9.9.63), заметим, что при условии Za, Zae|apTB(^) эти тви- сторы можно, согласно формуле (9.9.46), представить в виде

Za = Xvlva (/=1, 2).(9.9.64)

77

Тогда, учитывая, что, согласно стандартной процедуре представления спинорной части твистора в плоском пространстве (как в М), имеет место равенство

'toRtoseRs = Xpxalpa,(9.9.65)

1212V

где

Za=(V, 0), Xa=(XA, -о»А') (/=1,2), (9.9.66)

мы можем воспользоваться правой частью равенства (9.9.65) в качестве определения спинора (9.9.63). Обращаясь к описанию на ^ и используя (9.9.37) и (9.9.47), мы в случае

Za = (0, to1!, Xa = (— А~Ч<й , а (7=1,2) (9.9.67) 7 I 7 J 7 I 77 J

получим следующее выражение для величины (9.9.65) :

Л-1 (оо^со1 — а/д'оо1 А.(9.9.68)

\ 1221 /

Легко видеть, что это выражение, подобно выражению (9.9.37), постоянно на 9. С помощью выражения (9.9.68) [равного выражению (9.9.65)] спинор едз можно определить как косое билинейное отображение

eRS : S* (9) X Ss (9) -* С,(9.9.69)

и тогда мы, как и требовалось, приходим к спинору (9.9.63).

Пространство Минковского М(^) как пространство «.начал»

Чтобы уяснить значение структуры, придаваемой пространству ТЧЗ’) последовательностью (9.9.62) и спинором (9.9.63), построим пространство СМ^), точки которого являются двумерными линейными подпространствами пространства Т"^), отличающимися от тех, что пересекают 1“РТр (^) нетривиально. Иными словами, СМ (^) — это «комплексифицированное пространство Минковского», ассоциированное с Та(^). Точки пространства СМ(^) можно отождествить с простыми элементами pap G у[“Р1 ^^ норМИрОванными как в формулах (6.2.17) и (6.2.29) по |ор:

RaS = хау₽ _ уах₽( Ra₽|^ = 2 (9.9.70)

Тогда можно определить квадрат интервала между двумя такими точками [ср. с формулой (1.1.22)], как в формуле (6.2.30), с помощью выражения ■

- Т Ra^VSv6- (9.971) Здесь элемент

8aPy6 G T[apY61 (S’), (9.9.72) будучи кососимметричным, фиксирован с точностью до масштабного множителя, который сам определяется уравнением

XaYp (Xp|pv) (уа|р6) eapv6 = | XaYplap I2, (9.9.73) справедливость которого в стандартном пространстве Т“ можно легко проверить. Выражение (9.9.71) придает пространству СМ(^) плоскую комплексную метрику, идентичную метрике пространства СМ.

Кроме того, у пространства CM (S’) есть определенная «структура действительнозначности», обусловленная тем, что его (постоянное) спиновое пространство SA(S”) является стандартным «лоренцевым» пространством и с помощью операции комплексного сопряжения отображается на пространство SA'(S’). Значение последовательности (9.9.62) состоит в том, что она показывает, как два типа спиновых пространств, нештрихованное и штрихованное, возникают в их связи со структурой твисторного пространства. Отношение комплексного сопряжения, связывающее здесь эти спиновые пространства, влечет за собой уже упоминавшуюся структуру действительнозначности для пространства СМ(^). Еще один способ установить эту структуру опирается на существование действительных элементов векторного пространства ^(S9). Таким образом, несмотря на то, что СМ(^) является комплексным пространством, в нем имеет смысл понятие действительного направления.

Но для полного твисторного комплексного сопряжения нам необходимо определение, основанное на соотношении

"рL р pv6

гхар 2 ^аруб’

действительной точки в СМ (^), т. е. нам нужно уметь выделять каноническое подпространство

М(^)с=СМ(^)(9.9.74)

со структурой действительного пространства Минковского.

Значение пространства М(^) для момента импульса заключается в том, что оно дает пространство «начал», относительно которых определяется момент импульса. Дело в том, что в отличие от 4-импульса, который относится просто к пространству So (^), момент импульса невозможно определить только по отношению к асимптотическим спиновым пространствам. Более того, для этой цели, т. е. для физической интерпретации тви- стора

Аар^Ь^),(9.9.75)

недостаточно и самого пространства СМ(^), поскольку всегда можно найти такое «комплексное начало», что вычисленный относительно него самодуальный момент импульса, определяемый спинором цЛ'в' [таким, что 2ipA'B' есть главная спинорная часть твистора Аар; см. формулы (6.3.11), (6.3.10)], будет равен нулю.

Чтобы доказать это, приведем выражение для спинора цЛ'в' как функции полевой точки X е СМ (^) с (комплексным) радиус-вектором х°, проведенным в нее из начала ОеСМ(^):

^А'В' = ° A-в- + ХА {А’р^(9.9.76)

[ср. с комплексным аналогом выражения (6.1.51) для твистора. с двумя симметричными нижними индексами]; 4-импульс ра здесь постоянен [т. е. paeSa(^)], и спинор цЛ'г'[Е5№,|(^)], как и в гл. 6, § 1, тоже имеет постоянное значение, согласующееся со значением спинора цА'в' в точке X = 0. Если в формулу (9.9.76) подставить выражение

ха = 2цЛ'в>А,т-2 + Хра(9.9.77)

с т2 = рсрс, то мы обнаружим, что спинор р.А'в' равен нулю. Отсюда следует вывод, что самодуальный момент импульса, вычисленный относительно любой точки мировой линии комплексных центров масс, описываемой радиус-вектором (9.9.77) при изменении параметра %, равен нулю. [Отметим, что 4-импульс ра в выражении (9.9.77) предполагается неизотропным;

как уже указывалось, он считается времениподобным вектором будущего.] Таким образом, описание спинорной части твистора Аад с помощью перехода к комплексной начальной точке в CM (S’) можно свести к описанию спинора, у которого равна нулю часть, связанная с моментом импульса [215]. Не имея определения «действительных» точек в пространстве СМ(^), мы не могли бы говорить о величине спина системы, ибо эта величина есть мера минимального полного момента импульса системы (скажем, в специальной теории относительности) при варьировании действительного «начала».

Проанализируем этот вопрос в связи со спин-вектором Sa Паули — Любаньского [формула (6.3.5)] в М. Пользуясь формулой

М °6 = рАВ^А'В' + ^А'В'^АВ, (9.9.78) сходной с формулой (6.3.10), и выражением

Sa = ^eabcdpbMcd (9.9.79)

[формула (6.3.5)], мы с учетом формулы (3.3.31) получаем

Sa = tPA'^AB — IPaPa'B'- (9.9.80)

Напомним, что вектор Sa постоянен; следовательно, выбрав «начало» ОеМ, можно вместо ^а'в' в (9.9.80) подставить Pa's'- Тогда сравнение с (9.9.77) показывает, что мировая линия комплексного центра масс смещена из М в СМ на величину

Im (Х°) = — щ-23° (9.9.81)

(при этом предполагается, что ZeR). Таким образом, спин системы в сущности является мерой того, как далеко в комплексную область смещается комплексный центр масс, и чтобы сказать, на сколько именно он смещается, необходимо знать, где расположена «действительная» часть пространства.

Может создаться впечатление, что всех этих сложностей не будет, если наряду с твистором А«р определить твистор Аа₽(=Аа₽),а затем из двух таких твисторов построить выражение (9.9.80). Но все дело в том, что без операции (9.9.21) комплексного сопряжения на Т"^) не было бы никакой возможности отождествить пространство СМ^), к которому относится твистор Аар, с комплексно-сопряженным _ему пространством СМ(^), к которому относится твистор А“₽, а потому нельзя было бы достаточно корректно строить выражения вида (9.9.80). [Более того, в отсутствие операции (9.9.21) нельзя даже считать твистор А“Р элементом пространства T^t^)-]

Момент импульса на 3+

Теперь проанализируем форму той части выражения (9.9.35), которая описывает момент импульса. Взяв для простоты Za = Za (=Za),воспользовавшись формулами (9.8.83),

(9.9.36) (1) и выполнив интегрирование по частям, получим Аа^ = --^{ф1 (ш°)2 4- гфг^ю1 + фз (со1)2}=

= - ^G $ ^i W + 2 (^2 - °NA"') ^“Ч ^- (9-9-82) Коэффициент (со0)2 при Ф1 является спин-весовой сферической гармоникой с з=—2, /=1; его линейная оболочка дает все такие гармоники. В этом конкретном отношении выражение (9.8.82) тождественно всем остальным выражениям, предложенным ранее. Но коэффициент (о0^1 во втором члене есть нечто новое, поскольку он имеет более сложную угловую структуру, которая зависит от точного вида решений уравнения (9.9.36) (2). (Более ранние исследования см. в работах [332, 31, 32, 191, 287, 324, 371, 105] .)

Чтобы лучше понять все это, рассмотрим представление решений уравнений (9.9.36), основанное на «потенциале» величины а. Поскольку величина а имеет спиновый вес, равный 2, из сказанного в т. 1, гл. 4, § 15 [формула (4.15.60)] следует, что уравнение

6^ = 0-(9.9.83)

всегда имеет решение на S’, а кроме того конформно-инвариантно на сфере [формула (4.15.32)], где X считается конформной плотностью с весом 1. В выборе величины X (со спин-весом 1), удовлетворяющей уравнению (9.9.83), имеется некоторый произвол: можно добавить слагаемое, содержащее только гармоники с / = 0 или /=1 (четырехмерная свобода). Кроме того, конформную плотность X можно выбрать так, чтобы она была действительной в том и только в том случае, если а является чисто электрической величиной [формулы (9.8.92), (9.8.93)] [219], т. е. если поверхность S’ неконтортна.

Теперь допустим, что и удовлетворяет соотношению б'(о0 = 0 [формула (9.9.36) (1)]. Как мы уже знаем, следствием этого будет соотношение д2ш° = 0 [формула (9.9.38)]. Таким образом, можно решить уравнение да1 = ат0 (формула (9.9.36) (2)), положив *)

и1 —иодХ — Xdto° + g,(9.9.84)

где

6g = 0(9.9.85)

’) Предложено Тодом.

и g имеет спиновый вес, равный 1/2. Следовательно, уравнение (9.9.85) имеет два решения [формула (4.15.60)], что при любом выборе величины ш° дает необходимую свободу в величине ш1. Если подставить выражение (9.9.84) в формулу (9.9.82), то эта свобода по g приводит в точности к тому типу свободы, который мы и ожидали: при всяком смещении начала, относительно которого берется момент импульса, к моменту импульса добавляются величины, кратные 4-импульсу [формулы (6.3.3), (9.9.51)]. Угловая зависимость коэффициента со°со1 в выражении (9.9.82) в этом смысле является зависимостью от угловых интегралов величины а. Это самое главное, в чем наше [259] выражение (9.9.82) отличается от предложенных ранее (см. также [77]).

Причиной данного расхождения является принятая в ранних работах иная точка зрения на «начало», относительно которого следует вычислять момент импульса. Раньше полагали, что «начало» дается самим срезом 3, точно так же, как произвольный хороший срез гиперповерхности 3^ пространства М соответствует хорошо определенной точке в М, а именно вершине светового конуса, пересекающего 3+ по этому срезу. Однако в случае плохого среза такая интерпретация в М неудовлетворительна. Если любое из этих ранних определений применить к плохому срезу гиперповерхности З^ в пределе (линеаризованного) слабого поля в ОТО, то получатся неверные результаты, тогда как наш подход специально выбран таким образом, чтобы в пределе слабого поля получались правильные результаты. В нашем подходе пространством допустимых (действительных) начал является пространство Минковского М^), которое интуитивно можно представлять себе как «наилучшую оценку» местоположения плоского пространства начал при взгляде просто из окрестности частного среза гиперповерхности 3*.

Вектор Киллинга £°, ассоциированный с любым конкретным выбором тензора Qab по формуле (9.9.6), фактически будет соответствовать вектору Киллинга в М^). Сам срез 3 соответствует срезу 3(3) комплексифицированной гиперповерхности С3+(3) комплексифицированного пространства СМ^), имеющей тот же сдвиг а, что и 3. Срез 3(3) будет срезом гиперповерхности 3+(3) только в том случае, если о — чисто электрическая величина [формула (9.8.93)], так что 3— некон- тортная поверхность. В этом случае вектором g° определяется частный генератор группы ВМС для 3+(3), а значит [поскольку 3+(3) и 3^ можно отождествить друг с другом при 3(3) = = 3], и частный генератор группы ВМС для 3+. Когда величина а не чисто электрическая, мы получаем комплексный БМС- генератор. Однако этот генератор группы ВМС можно предста-

вить как векторное поле, тангенциальное поверхности 9, только тогда, когда 9— хороший срез с вектором £°, соответствующим лоренцевым вращениям в М^), которые сохраняют срез 9(S’). (В этом отношении наш подход существенно отличается от всех предлагавшихся ранее.)

Однако остается одна серьезная трудность, которая возникает, если рассматривать эволюцию момента импульса системы во времени. Когда присутствует гравитационное излучение, пространство М (S7), хотя и остается стандартным пространством Минковского при движении среза 9, тем не менее претерпевает в некотором смысле «сдвиг». Поэтому не совсем ясно, можно ли моменты импульса, отвечающие всем отдельным срезам гиперповерхности считать «одним и тем же». Эта трудность связана с проблемой, обсуждавшейся в § 8 (см. рис. 9.25), где выяснилось, что процедура выделения (ограниченной) подгруппы Пуанкаре группы БМ.С тоже претерпевает некий сдвиг в промежутке между импульсами гравитационного излучения. Но сейчас мы находимся в несколько лучшем положении, поскольку можем точно проследить возникновение «сдвига» по мере того, как срез 9 движется вдоль 3*. Правда, строго говоря, интересующая нас подгруппа Пуанкаре «смещается в комплексную область», если о не является чисто электрической величиной, а это может произойти только тогда, когда пространство-время нестационарно [299, 220]).

Отметим, что этот «сдвиг» полностью обусловлен присутствием излучения и на него не оказывают влияния изменения в выборе среза в период «радиационного молчания» системы. Суть нашего подхода в том, что нам удалось скомпенсировать (полностью, когда поле излучения слабое) «плохой» выбор среза и таким образом в значительной мере «развязать» определение момента импульса от среза.

Проблемы, возникающие при попытках отождествления друг с другом различных пространств М G?7), пока что не вполне понятны. Это вопрос адекватного отождествления друг с другом твисторных пространств Т (^), т. е. распространения пространства со временем. Свобода, имеющаяся первоначально при такого рода отождествлениях, в некоторой степени дополнительна к той свободе, что имеется при отборе подгруппы Пуанкаре группы БМ.С. Если считать спиновые пространства S^S7) и S^^S7) в точной последовательности (9.9.62) фиксированными — а это, как мы знаем, вполне законное предположение (см. текст, относящийся к формулам (9.9.42), (9.9.43)] — то указанная свобода относится к тому, каким способом в эту последовательность вводится средний член. Это соответствует свободе выполнения комплексной трансляции в пространстве СМ или действительной трансляции, когда считается, что задана еще и

структура комплексного сопряжения пространства Т(5’). Для точного распространения момента импульса потребовалось бы исключить эту свободу [312, 313].

§ 10. Потери массы Бонди — Саксаи положительность энергии

Распространение 4-импульса Бонди — Сакса не страдает упоминавшимися в двух предыдущих параграфах неопределенностями, связанными с распространением момента импульса. Четыре-импульс, содержащийся в области, окруженной любым сразом 9” гиперповерхности 9^, относится к асимптотическому (ко-) векторному пространству Sak9’Y а такие пространства, как мы знаем [см. текст, относящийся к формулам (9.9.42), (9.9.43)], могут быть канонически отождествлены друг с другом как пространство Sa (9+). Детальное распространение пространства Т0^) не требуется. В этом параграфе будет дано доказательство одного важного (и желательного с точки зрения физического смысла) свойства положительности, которым обладает 4-импульс Бонди — Сакса, и в общих чертах будет дано доказательство второго свойства. Первое — это формула потери массы [26, 27, 298, 299, 234, 236, 240, 224, 220], которая показывает, что масса-энергия, переносимая гравитационным излучением, положительна и ее поток на 3* измеряется квадратом нормы | А^ |2 комплексной функции новостей Бонди — Сакса N. Второе свойство состоит в положительности самой массы Бонди — Сакса и связано с выполнением в Л соответствующего «условия энергодоминантности». Наше доказательство последнего в значительной мере повторяет доказательство, данное Людвигсеном и Виккерсом [194] (см. также работы [140, 290]) и являющееся развитием замечательной цепочки рассуждений, выполненных Виттеном [374]. Положительность массы, измеренной на пространственной бесконечности, впервые была доказана в работах [302, 303], а Виттен занялся поисками альтернативного доказательства для этого же случая.

Формула для потерь массы Бонди — Сакса

Будем считать, что Л есть 4-асимптотически простое пространство будущего и что, как и в § 9 [см. текст после формулы (9.9.32)], тензор энергии, если задать его масштаб соотношением вида (9.9.31), будет регулярным на З*. Как и в § 8 и в конце § 9, физические величины будем отмечать тильдами. Тогда физические тождества Бианки (4.10.12)

Vp^pq^s = 4nGV(^rps)P'Q' (9.10.1)

после подстановки значения (9.9.33) (1) и конформного преобразования с помощью формулы (9.9.32), а также с учетом формул (9.9.31), "(9.9.34), (6.8.4), (6.7.31), (5.6.15) и (5.6.14) примут вид

^р'"Фр<2^з = ^■^^^^tQ^siP'Q'+ ^^GTp/Qz^gV^Q. (9.10.2)

Следовательно [формула (9.8.23)],

^р'фрорз — ^nXjAi^QTj^p/y.(9.10.3)

Записав 111lz-, ОНИ-, ООП'- и OOOl'-компоненты слабого равенства (9.10.3) в обозначениях модифицированного формализма спиновых коэффициентов, мы получим соответственно

[формула (4.12.27)]

р'ф3 - (б - т) ф4 0,(9.10.4)

$/ф2 — (б — 2т) ф3 — <тф4^ 4nGATm'f, (9.10.5) )>'Ф1 — (б — Зт) ф2 — 2»ф3 ^ ЗлСЛ^о!) иг,(9.10.6)

/ф0 — (б — 4т) ф[ — 3<тф2 ^ ^лСЛТоогг,(9.10.7)

где масштаб гиперповерхности ^+ выбран так, что р' = 0 (см.

§ 8, 9). [Фактически р' можно легко восстановить, заменив выше оператор у' конформно-инвариантным оператором рс из формулы (5.6.33) и соответственно отнеся т-члены к бс. Напомним также, что в системе Бонди т=0; см. формулу (9.8.72).]

Непосредственно нас здесь будет интересовать лишь выражение (9.10.5), однако все эти соотношения представляют интерес и сами по себе. Например, (9.10.4)—это условие совместности двух формул (9.8.82) и (9.9.83), которые связывают соответственно ф4 и ф3 с функцией новостей Бонди — Сакса N:

A^s^'N, A^3^dN (9.10.8)

[предполагается, что выполняется уравнение (9.8.33), и используется коммутатор (4.12.34)']. Кроме того, (9.10.6) будет играть роль во временной эволюции момента импульса, сходную с той ролью, которую будет играть здесь (9.10.5) во временной эволюции 4-импульса. И наконец, существует связь между формулой (9.10.7) и формулой Эйнштейна [85] для потерь энергии, обусловленных изменениями квадрупольного момента масс системы, мерой которого является величина ф0 [153]. Но мы не будем касаться здесь этих вопросов.

Нашей первой целью является обоснование формулы для потерь массы Бонди—Сакса, для которой мы примем форму (9.9.56)

M = -^Q^^2-aNA^y, (9.10.9)

Рис. 9.26. Для исследования потерь массы-импульса излучающей системой используется разность глобальных величин массы Бонди — Сакса, соответствующих двум произвольным срезам 9”, 9” гиперповерхности З* (таким, что 9” целиком лежит в будущем относительно ^).

где для простоты весовой множитель W принят равным единице. Таким образом, выражение (9.10.9) приписывает ту компоненту 4-импульса Бонди — Сакса, окруженного срезом 9, которая относится к временному направлению, определяемому нашим частным выбором метрики единичной сферы в 9. Мы будем называть . М просто массой на 9. Применим форму (4.14.92) фундаментальной теоремы исчисления внешних форм к области S из 3*, окруженной двумя срезами 9, 9', такими, что SP' лежит целиком в будущем относительно 9' вдоль З^. Ситуация изображена на рис. 9.26, который можно сравнить с рис. 4.3 (т. 1, с. 341). Масса М на 9 может быть интерпретирована как полная масса-энергия (включающая нелокальные гравитационные вклады), отсекаемые компактной пространственноподобной 3-поверхностью в Ж, граница которой целиком лежит в 9. Таким образом, всякое уходящее излучение, которое пересекает эту 3-поверхность, будет давать вклад в полную энергию. То же самое относится к массе М' на 9'. Но из соотношения (4.14.92) [вместе с (4.14.89)] следует равенство

{^Ро — (б— т) pj А9 A du = ^ цо^— ^ Цо«^> (9.10.10) S «У' «У

где р,о и pi — взвешенные скаляры типа {0, 0} и {—2, 0}, соответственно. Здесь мы положили р' = 0 и U = A~X, причем U дается выражением (4.14.88). Сравнивая (4.14.88). с (9.8.30), мы видим, что дифференциал в соотношении (9.10.10), согласно

формуле (4.14.89), должен иметь вид АЗ Л du. Положим

ц.о = <тА/'Л-1— ф2, а также \ix = xNA~x— ф3 (9.10.11) и вычислим в области S, пользуясь формулами (9.8.26), (9.8.73), (9.10.5), (9.10.8) и (9.8.28), разность

Лр'р.о — Л (д — т) Р] = aVN + N (р'<т — дт + т2) +

+ А {— р'^ + (б — т) Фз) — т 6N = <тЛф4 — NN — Л<тф4 + Лтф3 —

— 4лСЛ27'11ГГ — т 6N = — NN — 4nGA2Tabnanb. (9.10.12)

Таким образом, формула (9.10.10) означает, что

М — М' = $ ^А2ТаЬпапь -V ^GTX NN^g A du>0. (9.10.13)

Первый член под интегралом дает поток энергии материальных полей через ^+ и неотрицателен для мыслимых видов материи. [Например, в случае электромагнитного поля мы имеем 7'пгг= (2л)-11<р2р^0, согласно формуле (5.2.4). Соответственно этому член (4лG)-'АЛУ дает поток через 3* гравитационной энергии, чем и доказывается важное свойство положительной определенности энергии гравитационного излучения. (Первые доказательства, относящиеся только к сечениям S’ и д', были связаны с трансляцией группы БМС. Наш более общий подход основан на работе [240].)

Поскольку наше доказательство справедливо при любом выборе оси времени (т. е. при любой метрике единичной сферы на S’), можно сделать вывод, что разность 4-импульса на д и 4-импульса на д' должна быть причинным вектором будущего [28]. Если же функция N всюду отлична от нуля, то указанная разность является времениподобным вектором будущего.

Нелокальность энергии гравитационных волн

Хотя может показаться, что мы теперь имеем определенную локальную меру потока гравитационной энергии на 3^, на самом деле это не так. По определению функция N не фиксируется локально в точках гиперповерхности 3+, а вместо этого фиксируется только уравнениями типа (9.10.8) (1), из которых следует, что N представляет собой интеграл по времени от гравитационного излучения; или соотношениями типа (9.10.82) (2), из которых следует, что N — интеграл по углу от ф3; или соотношениями типа (9.8.74), которые дают N как функцию компонент тензора Риччи — зависящую от выбора Q и характеризуемую глобальным требованием, чтобы метрика среза д была та же, что у единичной сферы; или соотношениями (9.8.73) и (9.8.75),

которые тоже требуют глобальных условий типа метрики сферы для д’. Можно даже показать, что несмотря на конформную инвариантность

Nv->©-2N(9.10.14)

функции N относительно преобразований (9.8.13), сохраняющих сферическую метрику поверхности д’ [в соответствии, скажем, с уравнением (9.10.8) (2)], невозможно вычислить N в точке R гиперповерхности 3^+, исходя лишь из геометрии пространства

в малой окрестности точки R. Можно даже считать пространство Ж в этой окрестности совершенно плоским и все-таки получить М=/=0 в точке R. Этим иллюстрируется существенно нелокальный характер гравитационной энергии.

НП-константы

Заметим, что вычисления, проведенные в гл. 5, § 12 в связи с получением и исследованием обобщенного интеграла Кирхгофа— Дадемара (5.12.6), могут быть выполнены и в том случае, когда световой конус превращается в гиперповерхность ^+, причем результат оказывается сходным с выражением (9.10.13), но только вместо положительной величины дает нуль [240, 218, 220]. [Это связано с тем, что в вакууме равна нулю величина (5.12.17).] В этом случае вместо интеграла массы (9.10.9) мы получим пять линейно независимых комплексных величин, называемых НП-константами;

Q = ^Ytc-^,(9.10.15)

где У—спин-весовые сферические гармоники типа {—5, —1} с j = 2. Величина £сфо, выраженная через разложения физических величин, приведенные в конце § 8, превращается вТ^, т. е. в коэффициент при г-6 в разложении функции То- Чтобы дать определение и доказать постоянство этих пяти величин, требуется ровно на одну степень дифференцируемости на больше, чем для 4-импульса, а именно требуется 5-асимптотиче- ская простота будущего. Доказательство проводится тем же способом, что и в случае формулы (5.12.6) в т. 1. Все величины, от которых нужно избавиться, обращаются в нуль в силу свойств, установленных в § 8 и 10 (в предположении вакуума).

Константы (9.10.15) обладают четырьмя весьма примечательными свойствами, интуитивная неочевидность которых заставила некоторых авторов усомниться в их реальности [19, 207]. (Однако соответствующие расчеты на У+ однозначны, не зависят от разложений координат в степенные ряды и требуют лишь весьма умеренной степени гладкости в 3*.^ Во-первых,

в отличие от 4-импульса, величины (9.10.15) строго сохраняются в вакууме. Во-вторых, существуют соответствующие величины для безмассовых полей с любым другим спином (например, три независимые величины (^) Урсф0^ в электромагнитном случае, где У теперь имеет тип {—2, —1} с /=1). В-третьих, существуют модифицированные величины (9.10.15), которые точно сохраняются даже при наличии определенных источников на 3* (а именно электромагнитных или нейтринных источников гравитационного поля [86]). В-четвертых, в стационарном пространстве-времени величины (9.10.15) нормально отличны от нуля и описывают некоторые любопытные не зависящие от выбора «начала» комбинации мультипольных моментов следующего общего вида:

Q = Масса X (Комплексный квадрупольный момент) —

— (Дипольный момент + i X Момент импульса)2 (9.10.16) в гравитационном случае и соответствующие билинейные комбинации гравитационного и электромагнитного моментов — в электромагнитном случае.

Последнее свойство, вероятно, самое удивительное, так как оно указывает на нетривиальное содержание интегралов (9.10.15). В противовес этому в случае линеаризованной гравитации интегралы (9.10.15) все же существуют и точно сохраняются, но не имеют аналога в виде (9.10.16). Более того, величины (9.10.15) всегда равны нулю в случае запаздывающих полей в линеаризованной теории, но этого нет в полной теории. Смысл выражения (9.10.16) для случая стационарных гравитационных полей в связи с точным сохранением величин (9.10.15) состоит в том, что строго стационарная система не может, испустив гравитационное излучение, вернуться к полной стационар- ционных полей в связи с точным сохранением величин (9.10.15) отлична от первоначальной.

Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся загадочность, это выражение не лишено физического смысла. Надо думать, что картина примерно такова. В строго стационарной гравитационной системе комбинация мультипольных моментов (9.10.16) имеет некоторое заданное значение. Когда она испускает импульс гравитационного излучения, мультипольная комбинация (9.10.16) принимает другое значение. Вследствие нелинейности эйнштейновской теории излучение претерпевает в какой-то мере обратное рассеяние, и в связи с этим возникает значимый вклад в выражение (9.10.15), в который такое обратно-рассеянное поле входит линейно и который поэтому может замаскировать проявление новой комбинации моментов (9.10.16). Хотя такое обратно-рассеянное поле может пока-

заться слишком слабым в сравнении с почти стационарным новым мультипольным полем, его постоянного присутствия может оказаться достаточным для нарушения сационарности, необходимой для применимости формулы (9.10.16).

Разумеется, это не дает понятного физического объяснения необходимости сохранения выражения (9.10.15) и не разъясняет физического содержания формулы (9.10.16). Эти вопросы остаются открытыми и все еще ожидают своего решения.

Подход Виттена в доказательстве положительности массы

Теперь мы перейдем к вопросу, физическая значимость которого бесспорна: это проблема положительности полной массы в общей теории относительности. Первый достаточно полный анализ этой проблемы был проведен в 1979 г. в работах [302, 303]. Но приведенное там доказательство положительности массы относится к массе, определенной на пространственной бесконечности (i°, см. § 1), а не непосредственно к массе Бонди— Сакса (см., однако, работу [304]). Положительность массы на изотропной бесконечности является более содержательным результатом, нежели ее положительность на пространственной бесконечности. Если принять ту точку зрения [9], что масса на пространственной бесконечности является пределом прошлого массы Бонди — Сакса, взятым так, что срез 9 уходит в прошлое вдоль 3* (т. е. стремится к /°)— хотя это никоим образом не очевидно в случае стандартного выражения для массы, предложенного Арновиттом, Дезером и Мизнером (АДМ) [4] — то в силу формулы (9.10.13) для потерь массы положительность массы на пространственной бесконечности оказывается следствием ее положительности на изотропной бесконечности. Кроме того, положительность массы на изотропной бесконечности имеет более важное физическое значение, ибо гарантирует, что система не может за счет излучения отдать энергию, превышающую ее начальную массу, поскольку тогда ее (ставшая отрицательной) энергия не будет иметь определенной меры на пространственной бесконечности, ибо такая система, по-видимому, будет вечно испускать излучение. (Теорема о положительности массы была бы наиболее удовлетворительной, если бы она была доказана на квазилокальном уровне, но такое доказательство пока что отсутствует).

Ключевой новый элемент, первоначально введенный Виттеном [374] в поисках альтернативного доказательства положительности массы на пространственной бесконечности, состоит в способе продолжения от бесконечности вовнутрь вдоль пространственноподобной гиперповерхности 96 вектора ga, который на бесконечности стремится к постоянному «вектору Киллинга»,

определяющему соответствующую компоненту 4-импульса. При этом в качестве ga берется изотропный вектор, имеющий на 36 вид ' _

^ = XAV\ (9.10.17)

причем V соответствующим образом стремится на бесконечности к постоянному значению. Спинор V подчиняется эллиптическому дифференциальному уравнению на 36 (мы будем здесь называть его СВ-уравнением), которым определяются его значения на 36 при условии указанного выше асимптотического поведения. Замечательное тождество, полученное Виттеном [374], а также — но в другом контексте — Сеном [308], показывает, что величина, построенная из ХА (которая на бесконечности фактически становится изотропной компонентой ^°ра асимптотического 4-импульса), равна неотрицательному интегралу на 5#, если 1) локальный тензор энергии удовлетворяет приводимому ниже условию энергодоминантности (9.10.42) и. 2) V удовлетворяет СВ-уравнению всюду на 36.

Пионерная работа Виттена [374] корректировалась рядом авторов [213, 229], придавших ей большую строгость и модифицировавших исходные рассуждения таким образом, что они стали применимы на изотропной бесконечности при доказательстве положительности массы Бонди — Сакса1). Это доказательство вряд ли уже приведено к своей окончательной форме, но мы укажем три, по-вцдимому самых успешных, подхода, предложенных Людвигсеном и Виккерсом [194], Горовицем и Перри [140] и Реулой и Тодом [290], причем основное внимание мы уделим первому из них.

Общим моментом всех этих подходов являются тождество Сена — Виттена и восходящий к Виттену способ его применения. Рассмотрим 2-форму -

Е = IX^a^B dx° Д d?,. (9.10.18)

где спинор Ха считается в определенном смысле асимптотически постоянным. Требуется, чтобы эта форма обладала двумя свойствами. Первое состоит в том, что интеграл от нее по замкнутой 2-поверхности 9? стремится к пределу

(9.10.19)

S’

когда S’ уходит на бесконечность, стремясь к срезу гиперповерхности 3 или к другой пространственноподобной бесконечности, и где ра — подходящая асимптотическая мера 4-импульса. Вто

рое свойство таково: если 36 — компактная пространственноподобная [или локально ахрональная )] 3-поверхность с границей 636 = 9’ и если спинор Хл удовлетворяет соответствующему эллиптическому уравнению на 36 и всюду на 36 выполняется условие энергодоминантности, то

ф^Е>0,(9.10.20)

34

где равенство имеет место, лишь если спинор ХА постоянен на 36. Обычно в качестве уравнения, которому должен удовлетворять спинор Ха на 36, берется СВ-уравнение

Daa-Xa = 0(9.10.21)

(хотя в выборе уравнения (9.10.21) есть некоторый произвол; см. [140]), где

Da = habVb,(9.10.22)

a hab — ортогональный проектор, касательный к 36, так что

hab = ga-tatb(9.10.23)

и tQ — единичный вектор нормали к гиперповерхности 36. Этот проектор удовлетворяет очевидным условиям

Л[аб] = 0, hbhbc = hac, tahab = O. (9.10.24)

Как результат записи СВ-уравнения (9.10.21) в виде

№а^в = 0(9.10.25)

иногда бывает полезным следующее спинорное выражение для hab:

р Ъ — р Вр В' tB'tB Па 2 А ° А'

(В вычислениях со спинорами на пространственноподобных 3-поверхностях может оказаться более удобной нормировка tat° = 2 вектора 1°, а не его нормировка как единичного вектора нормали. В этом случае операторы t^ и t^, служат для замены штрихованных индексов нештрихованными и наоборот, так что можно пользоваться только одним типом индексов (см. приложение). Отметим, что хотя DAA, или tA^B^A,— это не совсем оператор Дирака, внутренний по отношению к 3-поверхности, но тесно связан с ним [308].)

Связь с 4-импульсом Бонди — Сакса

Заметим, что действительный характер интеграла (9.10.19) очевиден, ибо мнимая часть 2-формы (9.10.18) — это ротор (1/2)d^'k^A'dxa\ Конечно, привычнее вместо вариантов, используемых здесь, иметь дело в интегралах (9.10.19) и (9.10.20) с действительной частью 2-формы В [213]. Причина, по которой мы предпочитаем первые — это, помимо их большей простоты, еще и более непосредственная связь с выражениями из § 9, в особенности с выражением (9.9.29).

Чтобы убедиться в этом и получить необходимую связь с 4-импульсом Бонди — Сакса, вспомним, что в § 9 мы получили изотропную компоненту 4-импульса ра, измеренную на срезе 9 гиперповерхности 3*, выбрав твистор Za Ep(^), а затем подставив в (9.9.19) вместо Z^ и Za твисторы Z$ и Zvlv“, соот- 12Y

ветственно. Сейчас наш план заключается в том, чтобы считать «Хв» из (9.10.18) проекционной частью «лВ'» Гвистора ZP, а «Хв» (или «Xя») из (9.10.18) — (взятой со знаком минус) главной частью твистора ZvlvP. Для упрощения полученной картины будем писать яв- вместо ХВ' и SB(=— лв) вместо Хв в выражении (9.10.18). Интегрируя 2-форму S на пространственнопо- добнЮй 2-поверхности 9 (которую пока будем считать конечной поверхностью), выполняя указанную замену символов и привлекая формулы (4.14.52), (4.14.53) и (4.14.66), мы, согласно (4.12.28), получаем'

ф В = / ф nB/VaSB dxa Д dxb — s s

= (§> {л^!5 V01'6B — л^ео5 V10'SB} 9 =

= ф {л0' (66° — p'S1) + л^ (d'S1 — pS0)} 9 — s

= — i ^ (л^л^ + л^Ло'} 9, S

где принято обозначение (9.9.23) (с гильдами). Отметим, что, [если не считать множителя (4лG)-1] это выражение формально тождественно форме Тода (9.9.29) для квазилокального «4-импульса» (9.9.28). Когда 9, уходя, становится срезом гиперповерхности 3*, это соответствие становится точным, но при условии, что спинор Хд соответствующим образом стремится на бесконечности к постоянному значению. Для этого нужно, чтобы конформно-преобразованный спинор йЙ [при выборе стандарт-

ного твисторного масштаба сол = юл, соответствующего формуле (6.1.2)] удовлетворял уравнениям для твистора двумерной поверхности (9.9.36) на 9 а 3* в частном случае уравнения (9.9.41), соответствующем элементам пространства |аРТр(^), а именно:

бй‘ = 0, б° —0. (9.10.26)

Здесь величины со «шляпками» относятся к нефизической метрике, конечной на 3*, так что вместо (9.9.32) мы снова придерживаемся формул (5.6.1) и (5.6.2):

gab = ^gabt В АВ = ^еАВ*

. Сказанное фактически доказывает, что левая часть соотношения (9.10.19) действительно стремится к его правой части, когда 9 становится срезом гиперповерхности 3+, если ра — это охарактеризованный в § 9 и ранее в этом параграфе 4-импульс Бонди — Сакса. В более строгом анализе следовало бы уделить несколько больше внимания предельному поведению спинора ХА, но мы здесь не будем входить в детали. (Соответствующий анализ в приложении к пространственноподобной бесконечности z°, в рамках которого достигнуто согласие с определением массы по Арновиту — Дезеру — Мизнеру, можно найти в работах [310, 311].

Спинор ХА в подходе Людвигсена — Виккерса

Такой анализ предельного поведения спинора ХА необходим и при доказательстве положительности интеграла в формуле (9.10.20). У разных авторов подход оказывается разным. Например, Людвигсен и Виккерс требуют, чтобы гиперповерхность 36 была пространственноподобной не на всем пути к 3+, а состояла из двух кусков: из внутренней части 36, которая действительно пространственноподобна и ограничена конечной пространственноподобной топологической 2-сферой 9, и из изотропного кольцевого куска между 2-сферой 9 и срезом 9 гиперповерхности 3+ (рис. 9.27). Это требует небольшой модификации СВ-уравнения, чтобы им можно было пользоваться, когда гиперповерхность 36 становится изотропной. Можно взять уравнение (9.10.25) и заменить в нем вектор ta изотропным вектором 1а = олол', что дает

°(AVB)0'XB = 0. (9.10.27)

Пользуясь модифицированным методом спиновых коэффициентов со спинором И, направление флагштока которого на 9 становится касательным к 3*, это уравнение можно переписать

в виде

)>Ло = О, ()) — 2р) Л, = (2d'— V) Ло. (9.10.28)

(При желании можно потребовать, чтобы этот спинор параллельно переносился вдоль лучей, как в § 7, что влечет за собой условие V = 0).

В соответствии с уравнением (9.10.28) (1) осуществляется распространение Ло из бесконечности вовнутрь, причем на 9 величина Ло = —ю1 должна удовлетворять требуемому условию (9.10.26). По достижении границы 9 величина Ло принимает некоторые «гладкие» значения, если поверхность 9 выбрана достаточно «близко» к 3* и на изотропном куске 36 гиперповерхности 36 не возникает никаких сингулярностей (каустик или скрещивающихся областей). Эти значения величины Ло на 9 принимаются в качестве граничных условий для эллиптических СВ-уравнений на (по предположению гладком) куске <367 гиперповерхности 36, ограниченном поверхностью 9. (Существует корректная постановка такой задачи граничных условий [14].) Далее строится (единственным образом, если 36 имеет евклидову топологию) поле Ла, удовлетворяющее СВ-уравнению на 36 и согласующееся с Ло на 9, что дает оставшуюся компоненту Л1 на 9. На следующем шаге эта компонента с помощью уравнения (9.10.28) (2) распространяется обратно до 9 вдоль изотропного куска гиперповерхности 36. Пользуясь асимптотической формой интересующих нас величин, нетрудно убедиться, что условие (9.10.26) (2) обязательно выполняется, какие бы значения ни принимала компонента Л1 на 9.

В подходах Горовица — Перри и Реулы — Тода, как и в более раннем исследовании Тода и Горовица [340], гиперповерхность 36 считается всюду пространственноподобной и перекры-

Рис. 9.27. В доказательстве Людвигсена — Виккерса положительности массы Бонди — Сакса СВ-уравнения сначала используются (в вырожденной форме) для распространения Ло от 3* вдоль изотропного куска 36\ затем Л4 определяется из эллиптической формы уравнений на пространственноподобной области 36 и, наконец, распространяется обратно на 3*.

вающей срез 9? гиперповерхности 3*. Но лишь Реула и Тод всюду используют уравнение (9.10.21). Горовиц и Перри пользуются модифицированным вариантом этого уравнения, в котором вектор ta уже не считается нормальным к 36, а Горовиц и Тод в ряде случаев вместо уравнения (9.10.21) берут уравнение Вейля для нейтринного поля VaazV = 0. Для всех указанных подходов, кроме подхода Людвигсена — Виккерса, типично одно существенное усложнение: требуется решать тот или иной вариант задачи граничных условий для СВ-уравнения, которая требует учета точного закона убывания на бесконечности. Однако останавливаться на этой проблеме мы не будем.

Положительность величины dB

Теперь докажем свойство (9.10.20). Положим

dS = a + p,(9.10.29)

где_

a = — iXC'VaVbXc dxa Д dxb Д dxe,(9.10.30)

Р = - Z (VaXa (VbXc) dx° A dxb Д dxc.(9.10.31)

Рассмотрим сначала соотношение (9.10.30). Поскольку dx° A A dxb A dxc есть косое произведение, мы можем заменить VaV» коммутатором Дс6 (с коэффициентом 1/2) [формула (4.12.14)], вследствие чего операторы дифференцирования исчезают и остаются лишь члены, связанные с кривизной. Так как легче работать с дуальными выражениями, мы введем

Ха=^ eabcd dxb Д dxc A dxd(9.10.32)

[формула (3.40.30)] и получим

« = - 4 eabcdXc^ab^eXd.(9.10.33)

С помощью формул (3.4.22) и (4.9.1) это выражение можно переписать в виде

® = (ЛС □ c'D'^D — ^D' О CD ^С) Xd =

= (Фсос'п'^' + ЗДА^) Xd = ^GT^X”,(9.10.34)

если учесть соотношения (4.9.11) (2), (4.9.17), (4.6.32) и (9.10.17).

Теперь рассмотрим соотношение (9.10.31), которое можно записать в форме

р = iWaC'WbG dxa Д dxb Д dxc,(9.10.35)

где

WaB = ^a4.(9.10.36)

Снова перейдем к дуальным величинам; так, согласно определению (3.3.31), можно написать

P = ieobcd^bC^dcXa =

= (eACeBDeA'D'eB'c' — eADeBCeA'c'eB'D'') WbC'WdCXa =

= (WbB'WBA'A — WbA'WAB'B) Xa =

= (UBWBa + UB-WB'a - WbAWbA^ Xa,(9.10.37)

где мы воспользовались тождеством (2.5.20) и ввели обозначение

UB'=Waba.(9.10.38)

Теперь мы готовы рассмотреть вопрос о положительности интеграла (9.10.20):

^dS = Ja+J₽.(9.10.39)

ж

Мы можем положить

Xa = ta36,(9.10.40)

где (если гиперповерхность 36 пространственноподобна) ta— единичный вектор нормали к гиперповерхности 36, а 36 — ее трехмерный элемент объема (в случае подхода Людвигсена — Виккерса здесь потребуется легко выполнимая модификация с учетом изотропного характера части гиперповерхности 36Y В результате мы приходим к интегралу

J «=4л6 J Tablatb36.(9.10.41)

ж

который всегда неотрицателен, если выполняется условие энергодоминантности (см. работы [352, 125] и предложение (5.2.9) из т. 1)

Tabuaub ^ 0 для всех причинных векторов будущего иа и vb.

(9.10.42)

Более того, поскольку трансвекция выражения eabcdta с tb или td (или, разумеется, с /с) дает нуль, в силу формулы (9.10.23) мы имеем

e»bcdla = hbhdeaPcqt^^ ! 0 43)

Тогда из (9.10.40) следует, что на 36 можно произвести замену Vai—>Da, которая в свою очередь приводит к следующим заменам в алгебраическом тождестве (9.10.37):

WaB^hacWcB = DaXB, Ub^D^XA. (9.10.44)

Если выполняется СВ-уравнение, то правая часть в соотношениях (9.10.44) равна нулю и, следовательно, при условии (9.10.21) мы получим

J Р = — $ hab <DaXc^ Wc^ fZS.(9.10.45)

эв

Но так как внутренний метрический тензор hab гиперповерхности 5# является отрицательноопределенным (в случае пространственноподобной гиперповерхности 5#), его можно представить в следующем виде:

НаЪ = - хахь — уауь - гаЛ

где ха, уа и za— действительные векторы; времениподобный же вектор Iе можно записать в форме

1е = -^- (осос' + 1С1С').

В результате получаем

/га6(7)а^с)(£>6Ха/с<0,(9.10.46)

так как левая часть этого соотношения равна сумме отрицательных членов, которые представляют собой квадраты модулей различных компонент выражения

DaXc.(9.10.47)

Очевидно, что знак равенства в соотношении (9.10.46) относится лишь к случаю, когда величина (9.10.47) равна нулю, т. е. только к случаю, когда величина Хс ковариантно постоянна всюду на Ж.

Тем самым мы доказали положительность интеграла (9.10.39), а значит, и требуемую неотрицательность интеграла (9.10.20). Если же разрешить величине Ха принимать иные допустимые значения на бесконечности, то будет доказано и требуемое свойство неотрицательности, в соответствии с которым 4-импульс Бонди — Сакса ра является причинным вектором будущего. (Исходя из того, что величина Ха постоянна, когда выполняется соотношение (9.10.46) со знаком равенства, нетрудно доказать и «обратное» свойство, а именно что ра = 0 и даже что вектор ра изотропен только в том случае, если кривизна всюду на 5# равна нулю [374].)

Подчеркнем, что мы доказали положительность полной энергии, хотя, как отмечалось ранее, гравитационная потенциальная энергия отрицательна. Отсюда следует, что последняя никогда не может превысить (по модулю) породившую ее положительную массу-энергию. В подходе Виттена присутствует положи-

тельная полная гравитационная энергия, определяемая интегралом (9.10.45) от р. Но это, очевидно, нелокальная величина, ибо она зависит от выбора решения уравнения (9.10.21), а это решение соответствует заданным граничным условиям. Интересно, что точное выражение для этой величины требует, по-видимому, спинорной формы записи.

3-форма Спарлинга

Два-спинорное выражение

Q = -1(S + S)(9.10.48)

[которым можно заменить В в формулах (9.10.19) и (9.10.20)] было введено Нестером [213] (Виттен первоначально пользовался дираковской 4-спинорной формулировкой). Внешний дифференциал этой величины тот же самый, что и у 2-формы В, и определяется формулой (9.10.29). Согласно формуле (9.10.34), величина а в вакууме равна нулю и представляет собой 3-форму, которая при изменяющемся Ад по существу эквивалентна тензору энергии Таъ- Таким образом, в вакууме

dQ = dE = p,(9.10.49)

а значит,

dp = 0.(9.10.50)

Более того, как показал Спарлинг [321, 322], условие dp = 0 (если оно выполняется при всех Ад) оказывается также достаточным для выполнения вакуумных уравнений, так что равенство (9.10.50) есть весьма компактная запись вакуумных уравнений Эйнштейна. По этой причине величину р часто называют 3-формой Спарлинга.

Отметим, что формы Й, В, а и р фактически относятся к (дуальному) спин-векторному пучку на Л. [Графическое изображение такого пучка см. на рис. 1.15 (т. 1, с. 71).] Значит, равенство нулю формы Спарлинга можно рассматривать как выражение содержания вакуумных уравнений Эйнштейна в приложении к спин-векторным пучкам. Спарлинг допускал присутствие кручения в связности Ха, определяющей р в формуле (9.10.31). Таким образом, равенство dp = 0 показывает, что наряду с выполнением вакуумных уравнений равно нулю кручение.

На ^ удобны обозначения

В =— IXВ' dXB A dx6, Р= — idXc- Д dXc Д dxc,(9.10.51)

(причем в соответствии с соглашениями, принятыми в гл. 4, § 3, для любого сечения пространства ^ над частью пространства

Л (т. е. для спинорного поля Хд) можно написать, что

d^B = VtlXB = VaXB dxa(9.10.52)

и (хотя сама величина ха не существует)

dxa;=g^x.(9.10.53)

Форма записи (9.10.53) вполне приемлема [см. также формулу (4.2.55)], ибо в локальных координатах ха координатный дуальный базис имеет вид

g^ = g^ = dx^,(9.10.54)

так что (9.10.53)—это просто вариант соотношений (9.10.54), отвечающий методу абстрактных индексов. Мы не получим равенства cP = 0 в приложении к ХА из-за абстрактного *) индекса А. Вместо этого, воспользовавшись формулами (4.9.11), (4.6.34) и (4.2.31), можно получить следующее соотношение [в которое для большей общности включено кручение Таъс, как в формуле (4.2.22)]:

2d^A + TtltlbVbXA = 2vU1v^ =

= fVz' □, z + ez z □ ^A XA =

I 1212121 2J

= — X, ,=

W в ЧЧ ЧЧ А чч в

= — Ч iabxbi'/ + 2Лбл u^i/iv;— 8//флв//;хв -

а с учетом формул (9.10.54), (4.2.22) и равенства d?xa = 0 еще и соотношение

d2xa = — ^Tilt2a.(9.10.55)

Из этих соотношений можно легко вывести результат Спарлин- га. (Отметим, что d2xa = 0 в том и только том случае, когда кручение равно нулю.)

Существуют связи между формами, рассмотренными здесь, и формами h и 3 инвариантной контактной структуры теории твисторов, рассмотренными в гл. 7, § 4 и определенными на пространстве Л3 «изотропных твисторов» в Л. Легко убедиться, что

S = ZE—iH,: (9.10.56)

где все формы теперь относятся к пространству ^ (которое представляет собой пучок как над Л, так и над Л3, в силу чего

эти формы могут быть отнесены к ^). Таким образом, согласно формулам (9.10.56) и (9.10.48), Й и —(1/2)3— это действительная и мнимая части формы S, соответственно. Однако В и форма Спарлинга 0 неприменимы непосредственно к твистор- ному пространству vF, так что уяснение смысла этих соотношений в полном объеме потребует дополнительных усилий.

Очень интересно обнаружить столь много подобных взаимосвязей между энергией-импульсом, моментом импульса, полевыми уравнениями Эйнштейна и теорией твисторов, хотя это и не дает полного удовлетворения. Истинная роль и значение теории твисторов в данном контексте пока что остаются проблематичными. Однако существенно спинорный характер подхода Виттена и операций, связанных с твисторами двумерной поверхности из § 9, убедительно свидетельствуют в пользу существования пока еще неясной, но глубокой связи между спинорными представлениями и понятиями энергии и импульса. Это весьма удивительно, если учесть, что физические характеристики такого рода раньше всегда рассматривались как векторные или тензорные (т. е. интегрально-спиновые) величины, в особенности те, что связаны с трансляционными движениями пространства времени. В общей теории относительности такие трансляционные симметрии могут отсутствовать, и тут, по-видимому, нужны спиноры, чтобы выявить более глубокие свойства этих физических величин, имеющих фундаментально важное значение.

Приложение

Спиноры в п измерениях

Спиноры, которые рассматривались в этих двух томах нашей книги, есть частный случай некоего общего понятия. Понятие спинора 9 определено для группы собственных вращений в пространстве произвольного числа измерений п и с произвольной сигнатурой.

Спинорный метод оказывается особенно мощным в случае, когда л=4 [и пространство-время имеет сигнатуру (Н)], но он эффективен и при других значениях п. И все же, поскольку размерность спинорного пространства растет экспоненциально с ростом п, спинорный формализм, естественно, наиболее эффективен при сравнительно небольших значениях п. Далее, при четных п спиноры естественным образом разбиваются на более простые объекты — редуцированные спиноры, которые оказываются наиболее важными элементами теории. При п = 4 это будут знакомые нам пространства нештрихованных и штрихованных спин-векторов, каждое из которых двумерно. При п = 6, выбрав в качестве соответствующей ортогональной группы группу SO (2,4), рассмотренную в гл. 9, § 2, мы увидим, что редуцированные спиноры будут (унивалентными) твисторами и дуальными твисторами — каждое из этих пространств четырех - мерно. При п = 2 в фиксированной точке 2-поверхности в пространстве-времени это будут одномерные пространства скаляров со спиновым весом —j-1/2 или —1/2 (так же как со или а>° в гл. 9, § 9). При произвольном четном п размерность пространства редуцированных спиноров будет равна 2<1/2)"~1, а размерность соответствующего пространства комбинированных (нередуцированных) спиноров есть N = 2<1/2)rt. При произвольном нечетном п не существует инвариантной процедуры расщепления на более простые части) и размерность спинового простран

ства равна N = 2(1/2)п-(1/2). В обоих случаях мы имеем двузначные спинорные объекты (см. т. 1, гл. 1, § 5), которые меняют свой знак при повороте на угол 2л. Группа спиновых преобразований Spin (л) [или Spin(p, <?)] есть двулистное накрытие соответствующей собственной) группы вращений SO(n) [или SO(p, q), или О* (р, р)].

В данном приложении мы кратко изложим алгебраические и геометрические основы теории спиноров в л-мерном пространстве. (За подробностями же отсылаем читателя к классическим работам [45, 33]; см. также [346, 347, 55, 284, 2, 178].)

Уравнение Клиффорда-, -^-матрицы

Обычно исходят из уравнения Клиффорда (—Дирака)

YaYb + YbYa = -^ab1- (Б-О где уь ..., у„ — (комплексные) NX ^-матрицы (N принимает значения, указанные выше), gab — компоненты некоторого (действительного или комплексного) л-мерного невырожденного симметричного тензора и I — единичная матрица NXN. Вводя л-мерные абстрактные индексы а, Ь, с, ..., получаем несколько более инвариантную форму записи того же уравнения

YaY6+Y6Yo=-2ga6I, т. е. Y(ay6) = — gabI. (Б.2) Объект Ya можно теперь мыслить как матрицу из элементов с абстрактными индексами, каждый из которых (из элементов) принадлежит л-мерному векторному пространству Va (или, быть может, модулю, если мы рассматриваем спинорные поля на л-многообразии) с невырожденным симметричным метрическим тензором gab е V(abv На данном этапе мы будем считать, что Va — комплексное векторное пространство (или модуль), так что вопрос о сигнатуре метрики gab не имеет смысла ). В дальнейшем мы кратко рассмотрим условия действительности и проанализируем зависимость структуры спинового пространства от выбора сигнатуры.

При полностью инвариантном подходе мы должны мыслить Ya не как матрицу в явном виде ^или набор Ya не как матрицы

в явном виде), а как элемент (элементы) некоторой абстрактной алгебры, порождающий линейные преобразования некоторого абстрактного пространства: спинового пространства. Таким образом, при желании можно ввести (скажем, нижние греческие) абстрактные индексы и написать

Yap" ^или YaP" = Ylp" •Y„p"], (Б.З) где абстрактные индексы р, о относятся к спиновому пространству, которое является комплексным векторным пространством Sp (или модулем Sp в случае спинорных полей на п-многооб- разии). Мы предположим, что алгебра, генерируемая элементами уа» неприводима, и тогда оказывается, что Sp имеет размерность )У = 2<1/2>” (л четное) или N = 2<1/2>”_<1/2> (л нечетное). [Минимальный размер матриц, удовлетворяющих соотношению (Б.1), будет NxN.^ Уравнение (Б.2) можно теперь переписать в виде

YapX' + Yip"YeaT = ~2gai6p. (Б-4)

Если в пространстве Sp выбрать некоторый базис бр, ..., 6лг = = 6?, то в этом базисе явная реализация матрицы уа будет иметь вид

v. = (v„°), (В-6)

(ба — базис, дуальный базису б?) и аналогичные выражения будут справедливы для уа. Однако обозначение уа или уа не связано с выбором определенного базиса в пространстве Sp и с тем же успехом может использоваться, если р и а — абстрактные индексы или частично разлагаются в прямую сумму абстрактных индексов («блочно-абстрактно-индексные» матрицы).

Независимо от бр в пространстве Va можно выбрать базис 5а1» •••’ g<T = Sa и дуальный ему базис g“, который позволит нам осуществлять переход между величинами

Yi, •••,Y„ (Б.6)

в формуле (Б.1) и более абстрактными объектами уа в формуле (Б.2): ■

Na = Naga°-, Na = Nagaa. (Б.7)

Обычно выбирают этот базис так, чтобы метрика gab была диагональной со значениями ± 1. (Поскольку пространство Уо комплексно, можно даже выбрать все ненулевые значения равными + 1, но так как действительный случай мы будем рассматривать позднее, на этом этапе нам будет удобнее рассматривать оба знака). Тогда уравнение (Б.1) будет означать, что

различные матрицы (Б.6) попарно антикоммутируют и квадраты их равны 4=1. Алгебра Клиффорда 6 [57] (которая может быть комплексной) есть алгебра над С, генерируемая величинами (Б.6), удовлетворяющими уравнениям (БЛ) [т. е. это комплексные полиномиальные функции таких величин (Б.6)].

(Б.8)(Б.8)Элемент

(Б.8)

(Б.8)

П = У1У2 ••• Y„

алгебры 6 представляет особый интерес. Отметим, что если п — четное число, то он также антикоммутирует с каждой из величин уь ..., уП) а если п — нечетное, то он коммутирует с каждой из этих величин. Более инвариантная форма записи элемента (Б.8) такова:

^(Б9)

.г 1... яtt,а

илиц " = —г е 1”у„ „ тт ,

где мы ввели альтернирующий тензор

e^-^e: у1а’-“а"1(Б.10)

с нормировкой е12-"=1, так что

^.■■•^.■■^^ ... gOnbn = (-^,(Б.11)

где и — число отрицательных значений (диагонального) тензора gab. Отметим, что

-И2 = (—1)<1/2)s(s+1)i,(Б.12)

где s = п — 2и — «сигнатура» тензора gab.

Рассмотрим случай, когда п — нечетное, так что элемент ц коммутирует со всеми элементами алгебры 6. Предположим, что для рассматриваемой алгебры выполняется условие неприводимости1); тогда в силу леммы Шура элемент ц должен в этом случае быть пропорционален единичной матрице I:

= ± I или ± Л (т. е. Цр" = ± 6р или ± Z6p), если п нечетное

(БЛЗ)

[формула (В.12)]. Коэффициент пропорциональности будет действительным (мнимым), если s=l (mod 4) [или з = 3 (mod4)] [в формуле (БЛЗ) допускаются оба знака].

В случае же четного п антикоммутативность элемента ц с каждым из элементов уа означает, что эти элементы могут

*) См., например, т. I, с. 184,

быть представлены в виде

Лр"Лр"илиилиЧар° =Чар° =О"VaR-5О"VaR-5■VaR5'О■VaR5'О(Б.14)(Б.14)

Лр"

Лр"

или

или

Чар° =

Чар° =

О

"VaR-5

О

"VaR-5

■VaR5'

О

■VaR5'

О

(Б.14)

(Б.14)

где р = R®R', o = S^S', причем множитель I появляется, если s = 2(mod4). Величины ‘VaR5' и 'VaR'5 удовлетворяют соотношениям

Y(a|/?|S Vb)S'T gab^R, Ч(а ) R'^Vb) ST— gab^R' (Б.15) в силу равенства (Б.4). Спиновое пространство Sp расщепляется в прямую сумму

SP=S*®S*', (Б. 16) где каждое из редуцированных спиновых пространств SR, S^' имеет размерность (l/2)^ 2<1/2)rt-1.

В формуле (Б.14) приняты обозначения, при которых, заменив индексы р и а у корневого символа индексами R' или R, S или S' и т. д., мы получим символ проекции интересующей нас величины на соответствующее редуцированное спиновое пространство. Явный вид проекционных операторов таков:

П = у(1 — Z<1/2)st|), Й =-у (l + Z<1/2)st|) (л четное), (Б. 17) так что в индексной форме находим выражения

npa = diag(6i 0), Пр" = diag (О, 6^) (Б.18) [фиксировав по принятому соглашению неопределенный знак в формуле (Б.14)], которые позволяют получить указанные проекции на редуцированные спиновые пространства. Имеем

П2 = П, Й2 = П, ПЙ = ЙП = 0, П + Й = 1. (Б.19)

Алгебра Клиффорда и формы

Полная алгебра Клиффорда образована (конечными) суммами вида

Л1 + Ва^а + Са6уау6 + ОаЬ^^ь^с + ... .(Б.20)

(Б.21)(Б.22)(Б.21)(Б.22)Однако в силу формулы (Б.2) достаточно рассматривать только антисимметризованные произведения

(Б.21)

(Б.22)

(Б.21)

(Б.22)

Ya6...d:=Y[aY6 ••• Yd]- Например:

YaY6 = Y[aY61 -£„Л

YaY6Yc = Y[aY 6YC] - Sab^c + ga=Nb - gb=Na

и аналогичные (но более сложные) выражения для произведений высших порядков. Таким образом, коэффициенты в выражении (Б.20) можно считать антисимметричными:

С"6 = ^[аЫ, Dabc _ ^[аЬс!, , .(Б.23)

и весь ряд (Б.20) обрывается на (л+ 1)-м слагаемом. Число формально независимых элементов алгебры Клиффорда равно полному числу независимых компонент тензоров 4, Ва, СаЬ [удовлетворяющих условию (Б.23)], т. е.

1 4~ п -\- -^ п (п — 1) -|- . . . -|- п -|- 1 = 2".(Б.24)

Всякий элемент формальной алгебры можно рассматривать как набор, состоящий из 0-формы, 1-формы, 2-формы и т. д., который часто формально записывают в виде (конечной) суммы

4 + B + C + D+ ... ,(Б.25)

где

В = В,=8Х. С = С...., D = DZ|W ...(Б.26)

[здесь индексы опускаются, вообще говоря, с помощью метрики gab и принято обозначение, введенное в формуле (4.3.10)]. Клиффордово умножение на выражениях (Б.25) [т. е. индуцированное произведениями выражений вида (Б.20)] будет дистрибутивным (и ассоциативным), причем клиффордово произведение р-формы на р-форму есть линейная комбинация слагаемых, каждое из которых получается вычислением ряда сверток в тензорном произведении форм с последующей антисимметризацией остающихся индексов. [Слагаемое без сверток имеет смысл внешнего произведения (4.3.13) двух форм.]

В том случае, когда п нечетное, из нашего предположения о неприводимости следует, что не все формально различные элементы алгебры Клиффорда линейно-независимы, поскольку величина т) [формула (Б.8)] будет пропорциональна единичной матрице 1 [формула (Б.13)]. В самом деле, мы находим, что

ПУа...с = ±4 ...о(Б.27)

где (см. т. 1, с. 322)

(Б.28)

причем число индексов d, ..., f равно г [индексы тензора (Б.10) опускаются с помощью метрики ^аь]. Если выполняется соотношение (Б.13), то мы находим, что каждая из форм (Б.26) равна своей дуальной форме, умноженной на ±1 или ±i. С учетом такого отождествления алгебра Клиффорда превращается в полную матричную алгебру (над С) матриц N^N, где, как

установлено выше, N = [ (1/2)2”]1/2 = 2<1/2>"~<1/2) [в силу формулы (Б.24)). Произвол в выборе знака в формуле (Б. 13) дает два таких неэквивалентных представления, и формальная алгебра Клиффорда в точности представляется как прямая сумма этих двух матричных алгебр, если п. четное.

Если п четное, то дополнительных отождествлений нет и полная алгебра Клиффорда может быть представлена полной матричной алгеброй ^X-V-мaтpиц (над .С), где М = (2”)*/2 = = 2<*/2)” (как указано выше). Тем не менее полезно перейти к редуцированным спинорам, величинам вида 6rs [или О^5'], возникающим как элементы алгебры 6, которые проектируются в нуль при действии как слева, так и справа оператором П [или П] [формула (Б.18)], так что они изображаются слагаемыми с нечетным числом множителей у; а также величинами вида б^5' \или б^'5], которые также будут элементами алгебры 6, дающими нуль при действии слева [справа] оператором П и справа [слева] оператором П, так что они даются слагаемыми с нечетным числом множителей у.

2-валентные ъ-спиноры

Перейдем теперь к получению аналогов в общем л-мерном случае величин вАВ и 6А>В- стандартной лоренцевой теории 2-спиноров. Определим два элемента пространства VpJ как (±) уХт АхАт , 1 „ ха т I 1 , х ab т ,

-СраOpO(j i || Yap Y о —Г 2[ Ya&p Y a ^=

±jWY°k«4 (Б.29) что сводится к конечным суммам, поскольку существует лишь конечное число отличных от нуля величин вида (Б.21) (индексы поднимаются с помощью тензора gob, обратного тензору §оьУ Отметим, что в случае, когда 5аЬ = 6аЬ (положительно определенный случай и = 0), выражение (Б.29) можно переписать так:

(«Е = I ® I ± Е у, ® у, + S{ (ViYj) ® (ViYj) ±

± (<Е k (Y,YjYk) ® (YiYjYt) + • • • (Б.ЗО)

[при и > 0 в формуле (Б.ЗО) следует соответствующим образом изменить знаки]. В той части последующего изложения, где используется выражение (Б.ЗО), можно будет считать, что действительно выполняется равенство gab = 6аЬ. Поскольку сейчас мы не интересуемся условиями действительности, можно выби-

рать комплексный базис 6а, для которого это соотношение справедливо. .

Отметим, что если п нечетное, то слагаемые в выражении (Б.30) [и, следовательно, в определении (Б.29)], начиная с середины, просто повторяют предыдущие слагаемые, так что после сложения они либо удваиваются, либо дают нуль [см. формулы (Б.13), (Б.27)]. Имеем

<+>Е = 0 (/г = 1 (mod 4)), <_>Е = 0 (л = 3 (mod 4)) (Б.31) и №'£=/= 0 в остальных случаях. Если п четное, то ни <+)Е, ни <->Е не обращается в нуль.

Отметим следующее важное следствие из формулы (Б.30):

(±)Е(уа® 1) = Т(±)Е(1®уа),(Б.32а)

т. е.

Еро^аХ — + Ера^аХ •(Б.326)

Рассмотрим теперь оператор (<±»Е)2. Подставляя в выражение (Б.32) разложение (Б.29) для второго множителя (±>Е, получаем (±) рМ±) рХТ (±) рХхр« ^раX1

где пх _ $х 1 р а х .1 р ab х 1абс х . m qq\

Рх == \ — И ^«х Y u +'2TV6aXY р — 3TYc6aXY и.(Б.ЗЗ)

Подставив сюда численные значения индексов а, Ь, ..., можно показать, что последовательные слагаемые в разложении Рх просто пропорциональны величине бд с коэффициентами

п, -^- п (п — 1), —-п (п — 1)(л — 2), ...,(Б.34)

соответственно. Суммируя их, получаем

Рх = 2”бх,(Б.35)

откуда

= 2nWE^,(Б.36)

т. е.

оператор 2~” (±)Е идемпотентен.(Б.37)

Отсюда следует, что матричный ранг оператора в формуле (Б.37) равен его следу:

T = 2-nWEepao.(Б.38)

Однако величины

Ya„.cpp,(Б.39)

которыевходятв(Б.38) [ср. с формулой(Б.29)],отличны от

нуля тольковтомслучае, когда числоиндексова,...,с равно

либо 0, либо п. Иначе величина (Б.39) будет отличным от нуля кососимметричным тензором (или формой), который инвариантен относительно соответствующей ортогональной группы, что возможно только для скаляра или л-формы. Более того, анализ свойств симметрии показывает, что если п четное, то величина (Б.39) с п индексами также должна равняться нулю. (Переставьте множители у циклически.) Если п нечетное, то свертка последнего слагаемого в формуле (Б.33) должна равняться свертке первого слагаемого, если только сам тензор ^'Ера не равен нулю. Замечая, что 6^ — ^, мы таким образом получаем для (Б.38)

( 2~rt • N2 (п четное) )

Т=<(Б.40)

( 2 • 2N2 (п нечетное) J

в тех случаях, когда (±>Е У= 0 [формула (Б.31)].

Таким образом, ранг тензора (Б.29) равен единице (или нулю), и мы можем его факторизовать:

д/~1<±)£^ = (±)Ера<±)вхт (л четное)(Б.41 а)

и [с учетом формулы (Б.31)]

1-1 хг хт ( (л = 3, 7, 11, ...),

15 д}(Б.416)

Отметим, что это расщепление связано с выбором скалярного множителя, который может быть отнесен к одному из сомножителей. Из выражения (Б.29) с учетом указанных свойств тензора (Б.39) получаем

Г N&a (п четное),

= J a v л(Б.42)

( 2N6a или 0 (л нечетное), так что

8ра8рт = б5 = 8аретр (л нечетное),(Б.43а)

<+)ера<+)ерт = <+)еар<+)етр = <‘')8ра<*)ерг = <-)еар<-)етр = 6$ (л четное).

(Б.436)

Рассмотрим теперь диагональную свертку тензора (±)Е£р, записанного в виде (Б.29). Мы получим выражение вида (Б.33) с тем, однако, отличием, что последовательность знаков слагаемых будет такой:

+ , ±, —, ■+"> +> ±>

и с учетом формулы (Б.34) имеем

*^ = 6^ (1Т«*^ = 6^ (1Т«А-л(л-1)±^А-л(л-1)±^л(л—1)(л —2)+ ...).л(л—1)(л —2)+ ...).

*^ = 6^ (1Т«

*^ = 6^ (1Т«

А-л(л-1)±^

А-л(л-1)±^

л(л—1)(л —2)+ ...).

л(л—1)(л —2)+ ...).

Сумма слагаемых в скобках при четных п равна либо 2<*/2>л, либо —2<1/2>”, а при нечетных — 2<1/2>”+<i/2) или нулю. Таким образом, сворачивая выражения (Б.41а,б) по х, а, получаем либо

<+)вРа<+)еат<+)вРа<+)еат(л 0, 6 (mod 8)), (л 2, 4 (mod 8)),(л 0, 6 (mod 8)), (л 2, 4 (mod 8)),6$, либо — 6р. Знаки в сумме располагаются периодически (mod 8), и мы находим

<+)вРа<+)еат

<+)вРа<+)еат

(л 0, 6 (mod 8)), (л 2, 4 (mod 8)),

(л 0, 6 (mod 8)), (л 2, 4 (mod 8)),

(Б.44a)

(Б.446)(Б.44в)(Б.446)(Б.44в)lГ (п = °> 2 (mod 8)),

(Б.446)

(Б.44в)

(Б.446)

(Б.44в)

90Р1 (л = 4, 6 (mod 8)),

эт т ( (тг = 1, 7 (mod 8)),врае — 6Р| (л = 3> 5 (rnod 8)),

Сопоставляя (Б.44) и (Б.43), мы получаем свойства симметрии, которые суммированы в таблице (Б.45). В случае нечетных п отличные от нуля величины (±)ера, ИбР" сводятся к ера, ера. Таким образом, тензоры ера и бр® ко со симметричны при л = 3, 5 (mod8) и симметричны при п= 1, 7 (mod 8).

*~*ера' ^'еР"

<->ера,

п (mod 8)

Симметричны

Симметричны

0

Нуль

Симметричны

1

Кососимметричиы

Симметричны

2

(Б.45)

Кососимметричны

Нуль

3

Кососимметричны

Кососимметричны

4

Нуль

Кососиммет ричны

5

Симметричны

Кососимметричны

6

Симметричны

Нуль

7

Если л четное, то можно продолжить редукцию, используя операторы Пр" и Пр" [формула (Б.17)]. Сначала заметим, что

‘^X^V^C (л четное).‘^X^V^C (л четное).(Б.46)(Б.46)

‘^X^V^C (л четное).

‘^X^V^C (л четное).

(Б.46)

(Б.46)

Отсюда и из (Б.41 а) следует, что тензор (±>exXi]x'r пропорционален ^'б*1, а тензор Ла^^’ерх пропорционален (±)ера. Удобно выбрать произвольный множитель в определении (Б.41а) тензоров б так, что

(±)ехх^^т = —/-'M+igXT, f^'ep^T]^ = i~,,2sWepa. (Б.47)

Тогда определим [формула (Б.17)]

6ра:=(+)врХПха = 1

(Б.48)(Б.48)6ра :— <+)8рхПаХ2"(*+'6ра ~Ь * 'еРа),

(Б.48)

(Б.48)

gp" := <+>ерХПха = у (<+)ера — <-)ера),

бра :— <+>8рхПаХ2* (^+*®ра* *8ра).

Напомним, что П и П— проекционные операторы на редуцированные спиновые пространства [формулы (Б.16), (Б.18), (Б. 19)]. Записывая р = R ® R', a = S®S' и т. д., как прежде, мы можем выразить каждый из тензоров ера, . .., ёра через его редуцированные части:

Srs brs' sr's Sr's'Srs brs' sr's Sr's'(Б.49)(Б.49)/ е^5 е№ еР" = I

Srs brs' sr's Sr's'

Srs brs' sr's Sr's'

(Б.49)

(Б.49)

\ е^5 е^5

При всяком (четном) значении п одна и только одна из четырех редуцированных частей в каждой из матриц (Б.49) отлична от нуля, а какая именно — это зависит от значения л (mod 4):

О ОО eRSО ОО eRS / 6 RS 0 \ ера—I о О/8ра I л я )X U Sr'S' 7 / 6 RS 0 \ ера—I о О/8ра I л я )X U Sr'S' 7(л ^ (mod 4)),(л ^ (mod 4)),(Б.50а)(Б.50а)

О О

О eRS

О О

О eRS

/ 6 RS 0 \ ера—I о О/

8ра I л я )

X U Sr'S' 7

/ 6 RS 0 \ ера—I о О/

8ра I л я )

X U Sr'S' 7

(л ^ (mod 4)),

(л ^ (mod 4)),

(Б.50а)

(Б.50а)

тогда как /О ОХ/ООХ

ера=1 n I’ 8ра=1 n I X 5 0 7х Br's 0 7

/О 8«^х /О ё^Х^2^0^' <Б-50б>

8ра = (о о8ра==до о )

При четных значениях числа (1/5) л имеем

6RT6ST = e,TReTS = 6^, eR,T'es,T, = eT'R'eT,s, = 6^', (Б.51 a) а при нечетных R'T-TR'-.R'-RT'-T'R-R

8 es'T^e ers' = ^s'>8 езг'=е 87'3 = 03.(Б.516)

Далее из таблицы (Б.45) находим

( симметричны (л = 0 (mod 8)), eRS, brs, eR's', <.. .,(Б.52а)

6 ( кососимметричны (л = 4 (mod 8)),

С (л = 6 mod 8)),

5Ю - ±'“- = ± »« [ („ = 2 (mod 8». 1Б 5М»

Отметим, что если /г = О (mod 4), то пространства как штрихованных, так и нештрихованных редуцированных спиноров допускают введение 8-объектов, которые можно использовать для того, чтобы поднимать и опускать редуцированные спинорные индексы ) (так же как в случае стандартных лоренцевых 2-спиноров). Таким образом, в этих случаях существует канонический изоморфизм между пространствами 5Л, 5Л' и соответствующими им дуальными пространствами 5л, 5ж- Если же п = 2 (mod 4), то е-объекты устанавливают изоморфизм между 5Л и пространством 5л', дуальным пространству 5Л' (и, следовательно, также между 5Л' и 5л), и, стало быть, могут быть использованы для того, чтобы исключить штрихованные индексы (скажем) из всех выражений (что неявно использовалось нами в теории твисторов). Отметим также, что в случае нечетных п объект е устанавливает изоморфизм между Sp и дуальным ему пространством Sp и, следовательно, также может быть использован для поднятия и опускания индексов.

Переход от тензоров к спинорам

В предшествующем обсуждении неявно присутствовала процедура перехода к спинорной форме записи тензорных объектов (элементов различных пространств вида УаДс) с использованием величин уара, а также производных от них величин с поднятыми, опущенными индексами и их редуцированных частей [формула (Б. 14)]:

Na^r Y%a, NaRS'. Va™ И T. Д. (Б.53)

Используя эти величины, при желании можно было бы исключить все тензорные индексы, введя вместо них спинорные [см. формулу (Б.55) ниже при г=1]. Для тензоров, содержащих антисимметричные индексы (или группы таких индексов), процедура оказывается несколько более экономичной, поскольку величины

Ya.„cpa. Ya-Cpa> Va...^5', Ча...'*3 и T" А- (Б-54)

[формула (Б.21)] могут быть непосредственно использованы для трансляции целого блока таких индексов в единственную пару спинорных индексов. Кроме того, из изложенного выше следует, что величины (Б.54) обладают особыми свойствами

симметрии. Считая, что полное число индексов а, ..., с равно г, находим, что при нечетных п

б симметрична по р, о при п—2г = 1=1,7 (mod 8), Величина Ра<_

а--с I кососимметрична по р, о при п— 2г = 1=3, 5 (mod 8),

(Б.55а)

а при четных п имеем:

Величины Rs и ‘

R S при л — 2г - 0 (mod 8), R'S' при п — 2г = 4 (mod 8), ^-®®^( п + 2г - 6 (mod 8),R S при л — 2г - 0 (mod 8), R'S' при п — 2г = 4 (mod 8), ^-®®^( п + 2г - 6 (mod 8),( симметричны по RS, ( кососимметричны по RS,

R S при л — 2г - 0 (mod 8), R'S' при п — 2г = 4 (mod 8), ^-®®^

( п + 2г - 6 (mod 8),

R S при л — 2г - 0 (mod 8), R'S' при п — 2г = 4 (mod 8), ^-®®^

( п + 2г - 6 (mod 8),

Ya...с ( л _[_ 2г = 2 (mod 8), х ■ ’ причем редуцированные части тензора уа »3 со штрихован- ными/нештрихованными индексными структурами, отличными от этой, равны нулю. Соотношения (Б.55) остаются справедливыми, если верхние/нижние положения индексов поменять местами.

Свойство (Б.55а) получается повторным действием оператора (Б.32) на величину (Б.21) с учетом равенства (Б.416), а также с использованием следующего правила поднятия индексов:

V = eP4^v ^р = ехрФ^ (Б .56) [см. формулу (Б.34а) и ср. с формулами (2.5.14), (2.5.15)]. Свойства (Б.556, в) следуют из равенств

б^аХ0 = — ^NaX^ ^аХ° = — ё^ах»

[см. формулы (Б.32), (Б.416) и (Б.48) в повторяющемся применении к величине (Б.21)]. Правило поднятия штрихованных и нештрихованных заглавных индексов остается тем же, что и в формуле (Б.56) [несмотря на то, что при п = 2(mod 4) штрихованные индексы переводятся в нештрихованные и наоборот].

Перевод спиноров в тензоры; фундаментальные спиноры

Отметим, что указанная процедура перехода от тензорных величин к спинорным в известном смысле обратима: она позволяет выразить всякий спинор £р (л нечетное), а также редуцированный спинор ^ или ^>R' (п четное) через тензор (с точностью до знака). В самом деле, различными величинами

^а^а""сро (« нечетное).^а^а""сро (« нечетное).(Б.57а)(Б.57а)

^а^а""сро (« нечетное).

^а^а""сро (« нечетное).

(Б.57а)

(Б.57а)

ИЛИ

g^Y0й«з(л четное),(Б.576)

или'

^^s Ya"”Vs'In четное)(Б.57в)

с разным числом индексов а, ..., с, вместе взятыми, в каждом случае спинор определяется с точностью до знака. Отметим, что для этого из тензоров (Б.57) нужны те, которые симметричны по парам индексов pa, /?S или R'S', т. е. [в силу формулы (Б.55)] для которых число г индексов а, .... с удовлетворяет условию

п — 2г = О, 1, 7 (mod 8).(Б.58)

Особый интерес представляет случай, когда

г = ^-п±-^ (п нечетное)(Б.59а)

или

г = ^п (п четное).(Б.596)

Если все выражения (Б.57) равны нулю при всех значениях г, кроме одного или двух, определяемых соотношениями (Б.59), то величина £ называется фундаментальным спинором. (Термин «фундаментальный спинор» используется в смысле «редуцированный», если п — четное.) Отметим, что в силу условия (Б.58) спинор g всегда является фундаментальным при п < 7.

Особое значение фундаментальные спиноры приобретают в связи с тем, что соответствующие (отличные от нуля) кососимметричные тензоры (Б.57) обязательно являются простыми, т. е. [в силу предложения (3.5.30)]

- "г^/г-н! ar+2 ...а^^К = Q(Б 60)

Аналогичное условие справедливо для ^', когда число л(=2г) четно, а также два аналогичных условия записываются при нечетном л(=2г± 1). Здесь мы не приводим доказательство равенства (Б.60), но отметим одно его интересное геометрическое следствие: всякий фундаментальный спинор может быть представлен с точностью до множителя (л/2)-плоскостью, проходящей через начало координат в векторном пространстве Va (л четное), или парой, состоящей из [(л/2)— (1/2)]-плоскости и [(л/2)+ (1/2)]-плоскости, тоже проходящих через начало координат в Va (л нечетное). В нечетномерном случае мы также имеем две плоскости, но они взаимно-ортогональны [в силу соотношений (Б.27), (Б. 13)], так что можно рассматривать только одну [(л/2)—(1/2) ]-плоскость. В силу тех же условий в нечетномерном случае (л/2)-плоскость сама образует свое

ортогональное дополнение, т. е. является (анти-) самодуальной. Это свойство (анти-)самодуальности даже не зависит от условия простоты тензора (Б.60), а связано с тем, что используется лишь величина 4°"crs» все спинорные индексы которой нештрихованные, и не используется величина Yo-c/rs' со штрихованными индексами. Более общий характер носит следующее утверждение: всякий элемент пространства Vla -C1 (г = п/2) можно представить в виде

aRS^a... с RS _|_ qR'S'^o.... с R,s, (Б.61)

где амеЗда), aR's' е ^R'sz). Он будет самодуальным или антисамодуальным в том и только в том случае, если одно из слагаемых суммы (Б.61) равно нулю.

Из (анти-) самодуальности совместно с условием (Б.60) следует, что при четных п

gad №? - с rs) (№ • • • W = 0, (Б.62)

причем группы а ... с и d ... f содержат по п/2 индексов; выполняется также штрихованный вариант соотношения (Б.62). Если же п нечетное, то соответственно имеем

gad ШУ' Сра) ^V ■ ■ ■f^) = о, (Б.63)

где либо обе группы а ... с и d ... f содержат по (п/2) — (1/2) индексов, либо одна из них содержит (п/2)— (1/2), а вторая (п/2) + (1/2) индексов; последний случай соответствует условию простоты [формула (Б.60) с заменой заглавных латинских индексов греческими], поскольку величины в скобках в формуле (Б.63) в этом случае взаимно-дуальны. [Доказательства этих утверждений аналогичны доказательству соотношения (Б.60), и мы здесь на них не останавливаемся.]

Геометрия фундаментальных спиноров

Указанные свойства допускают прямую геометрическую интерпретацию. Для этого лучше всего использовать (п— 1)-мерное (комплексное) проективное пространство PV, ассоциированное с пространством Va (т. е. пространство одномерных линейных подпространств пространства Va). Отличные от нуля изотропные векторы oa е Va (т. е. такие, что gabVavb = 0), определяющие световой конус в Va, будут точками несингулярной (п — 2)-мерной поверхности Q в PV. В силу рассматриваемых нами свойств всякий фундаментальный спинор определяет проективную [(л — 3)/2]-плоскость на Q при нечетных значениях п и проективную [(п — 2) /2] -плоскость на Q при четных п. Согласно теории (комплексных проективных) квадрик (см., на-

пример, [133,284]), максимальная размерность линейного проективного пространства, лежащего на несингулярной (л—^-квадрике, равна (л— 3)/2, если л — нечетное, и такие [(л — 3)/2]- плоскости образуют [(л2 — 1)/8]-мерное семейство; если же л четное, то максимальная размерность равна (л— 2) /2 и эти [(л — 2)/2]-плоскости образуют два несвязных [л(л — 2)/8]- мерных семейства1). В четном случае эти два семейства отвечают нештрихованным и штрихованным фундаментальным спинорам, соответственно, причем [(л — 2)/2]-плоскость первого семейства часто называют a-плоскостью, а второго — р-плоско- стью. (Это согласуется с терминологией гл. 9, § 3, когда л = 6 и Q = СМ.) Мы будем называть [(1/2) (л — 3) ]-плоскости на Q у-плоскостями. Эти плоскости определяются проективными фундаментальными спинорами (т. е. отличными от нуля фундаментальными спинорами, заданными с точностью до пропорциональности), так что мы имеем

При четных значениях л нештрихованные проективные фундаментальные спиноры находятся во взаимно-однозначном соответствии с а-плоскостями, а штрихованные — с ^-плоскостями на Q.(Б.64а)

При нечетных п фундаментальные проективные спиноры находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии с плоскостями на Q.(Б.646)

Условие фундаментальности-, структура спинового пространства

Отсюда мы видим, что размерность dn пространства фундаментальных спиноров равна (1/8) л (л — 2)+ 1 в четномерном случае и (1/8) (л2 — 1)4-1 в нечетномерном случае. Эти значения можно сравнить с размерностями (1/2)М = 2<1/2>"-1 и N = = 2(i/2)n-(i/2)j соответственно, пространств (редуцированных) спиноров, которые не обязательно удовлетворяют условию фундаментальности. Первые несколько значений этих размерностей

*) В четномерном случае при п,= 2г уравнение поверхности Q всегда можно записать в виде x'i/i + ... + хГуг = 0. Тогда произвольную (г — 1)- плоскость одного из семейств можно записать в виде yi = SijX1, где Sq — кососимметричная матрица г У г, содержащая (1/8)п(и—2) независимых компонент. Если четное число величин х‘ поменять местами с соответствующими им величинами yi, то, вообще говоря, мы вновь воспроизведем это представление. Если же произвести нечетное число таких замен, то получим (г — 1) -плоскость другого семейства. В случае нечетных п вида п = 2г + 1 уравнение поверхности Q можно записать в виде х‘у, = z2. Общую (г—1)- плоскость тогда можно представить уравнениями z = Tix‘, yi = Syx1 + TiZ, содержащими (1/8) (zi2—1) независимых параметров.

приведены в таблице (Б.65):

п

1, 2

3, 4

5, 6

7, 8

9, 10

11, 12

13, 14 ...

1

2

4

7

11

16

22..

(Б.65)

N.^N

1

2

4

8

16

32

64..

Отсюда видно, что в то время как свойству фундаментальности при п = 7, 8 отвечает одно дополнительное условие, число таких условий быстро возрастает с ростом п. При л = 7 условие фундаментальности имеет вид

8ра^Т=0,(Б.66)

а при п = 8 мы имеем

8^V = 0 или ё^^5' = о.(Б .67)

Введем обозначение

WG™ = ^NQ...c^a"c<?(Б.68)

(где число индексов а, .... с равно г) для (г+1)-го слагаемого в формуле (Б.29). Тогда получим, что при п = 9, 11, 13 фундаментальные спиноры выделяются двумя условиями

(XaW=0-(XaW=0-у (л-9), у («-7),у (л-9), у («-7),(Б.69)(Б.69)

(XaW=0-

(XaW=0-

у (л-9), у («-7),

у (л-9), у («-7),

(Б.69)

(Б.69)

(Б.70)(Б.70)а при п = 15 дополнительно требуется положить №G^pV = 0.

(Б.70)

(Б.70)

В общем случае при нечетных п требуемые условия имеют вид (Б.69), (Б.70), где величина (r)Gp5 симметрична по per [т. е. п— 2r=±l (mod8)] и где 0 ^ 2г < л—1.

При нечетных л, используя величины

^Grs, WgVs' {г нечетное), wGrs, , ^G^s' (г четное), (Б.71)

записываем условие фундаментальности в виде соотношений wG^4S = 0 или wG^sW = 0(Б.72а)

в нештрихованном случае и

wGkss ^s' = 0 или wGrTSs ^'=Ъ(Б.726)

в штрихованном случае. Допустимые значения г удовлетворяют условиям

п— 2г = 0 (mod 8) 0^2г < п.(Б.73)

Из всего этого ясно, что при больших значениях п структура различных спиновых пространств может быть очень сложной. Именно по этой причине, а не просто из-за экспоненциального роста размерности спинового пространства, спинорную алгебру нельзя считать реальной альтернативой тензорной алгебры, как это, очевидно, имеет место при п = 4 (и при других малых размерностях). Тем не менее понятие спиноров оказывается важным при любом числе измерений (например, в теореме Атьи — Зингера об индексе [309]) и позволяет глубже понять свойства различных объектов. В принципе (а не реально) все тензорные выкладки можно представить в спинорной форме. Но структура соответствующего (редуцированного) спинового пространства при больших значениях п оказывается гораздо более сложной, чем структура исходного векторного пространства. В основном эта структура определяется объектом

Gp® "•= g^a^Nbs =WGga (/г нечетное) (Б.74) или двумя объектами

G^J', G^S' (п четное),(Б.75)

поскольку [в силу соотношений вида (Б.22)] все величины (Б.68) (или их редуцированные части) выражаются через произведения вида

ра • • • UA^'

Дополнительно следует ввести е-символы, поскольку величины G не определяют их масштаба, а фиксируют с точностью до множителя. Величины G удовлетворяют различным тождествам, которые следуют из равенств

<Х5 = 0 (г>п),

(r)G^ = ±(n-r)G^ (п печатное).

Структура пространства Sp или S8 и S^, очевидно, намного сложнее (скажем, при г > 8), чем исходная структура пространства V0, определяемая тензором §аъ (совместно с е"1 ■“").

Индуктивное построение спинового пространства

Один из эффективных способов построения спиновых пространств — индуктивный переход к случаю п измерений в предположении, что структура (п—1)-мерного пространства из-

вестна. Это соответствует стандартной процедуре построения явных представлений для у-матриц. Если число (и—1) четно, то (для т] в п.— 1 измерениях) все матрицы

YiYn-i, Я антикоммутируют, как мы уже видели, так что мы непосредственно получаем n-мерное представление из (л—1)-мерного, выбирая матрицу у„ пропорциональной т] [формула (Б.8) с заменой п на п—1 и формула (Б.12)]. Если же число (л—1) нечетное, то редуцированные матрицы у в л измерениях можно представить как точные копии матриц у в (л—1) измерениях, и полная алгебра для п измерений получается в виде блочного матричного представления (Б. 14). [Каждая из величин YapCT для (л— 1) измерений может быть представлена в виде ^a.R > а для п измерений — в виде ^aR?_ Допустимыми теперь будут только такие произведения, которые принадлежат одному из этих типов, а складывать можно лишь однотипные слагаемые.]

Таким образом мы получаем прямой способ перехода от спиноров в (л— 1) измерениях к л-мерным спинорам. При переходе от четной к нечетной размерности новое пространство Зр имеет вид прямой суммы З^фЗ^ старых пространств, а при переходе от нечетной к четной размерности новые S« и S^ представляются в виде копий старого пространства 3°. Однако с абстрактной точки зрения в этой процедуре имеется произвол, связанный с выбором базисного элемента g^ в Va [формула (Б.7); п— не абстрактный индекс!]. Записывая

иа = ёаП^а.(Б.76)

мы видим, что единственное требование к иа состоит в том, чтобы он был единичным вектором:

мом° = ±1,(Б.77)

поскольку остальные элементы базиса gax, ..., ga”-1 при желании могут быть восстановлены, если вектор и° уже задан. [Можно также использовать модифицированную процедуру, если иа выбран изотропным, и по существу именно эта процедура использовалась в стандартном описании твистора как пары 2-спиноров (гл. 6, § 1). Но здесь мы не будем вдаваться в общий анализ этих вопросов.]

Величина иа является ковектором в пространстве V0 и, стало быть, определяет (л—1)-мерное подпространство (гиперплоскость) и “с У" с нормалью и?. Таким образом, мы получаем спиноры в V" из спиноров, определенных в у". Чтобы

Четные п = 2к + 2Четные п = 2к + 2Нечетные п = 2Л+3Нечетные п = 2Л+3

Четные п = 2к + 2

Четные п = 2к + 2

Нечетные п = 2Л+3

Нечетные п = 2Л+3

Рис. Б.1. Фундаментальные спиноры в п измерениях могут быть построены по индукции из фундаментальных спиноров в (п—1) измерениях, если проанализировать, как а-, £- и у-пространства для (п—2)-квадрики Q связаны с соответствующими пространствами для произвольного сечения гиперплоскостью— (п — 3)-квадрики Q'.

перейти обратно от спиноров, определенных по отношению к V°, к спинорам в У °, мы вводим величину )

иеа = TxntfNa° (" нечетное). - (Б.78а) или, если п четное,

uR$ 2~х^иауа^ , uR,s = 2~l,2uayaR,s (п четное). (Б.786) При нечетном п в качестве проекционных операторов Прст, Прст (Б. 18) можно использовать величины

(6? ± 2шра), 4 (бр ± 2“р") (Б.79)

[в соответствии с двумя знаками в формуле (Б.77)], которые необходимы для того, чтобы расщепить спиноры в Vя на два множества редуцированных спиноров в у “. [Отметим, что иохих° =—(l/2)6p°UaU°.] Если п четное, то величины (Б.786) служат для того, чтобы переходить от штрихованных к нештрихованным индексам. Итак, мы установили соответствие между спинорами пространства у ° и редуцированными спиновыми пространствами для V°.

Полезно рассмотреть геометрические свойства пространства PV, которые используются в указанной процедуре (рис. Б.1). Гиперплоскость у ° дает нам проективную (л— 2)-плоскость

Р U в пространстве PV, которая пересекает поверхность ^ по некоторой (л— 3)-квадрике Q'. Поскольку мы предполагаем здесь, что иаи° ^ 0, проективная плоскость Р Ц не касается квадрики ^; следовательно, Q' — несингулярная квадрика. Рассмотрим сначала случай, когда п— четное (рис. Б.1,а). Мы пишем п = 2А + 2, так что Q есть 2А-квадрика, a Q,'— (2А—1)- квадрика; у-плоскости квадрики Q' (k — 1)-мерны и образуют [(1/2) k (k + 1)]-мерное семейство. Кроме того, а- и р-плоскости квадрики Q находятся во взаимно-однозначном соответствии со своими у-плоскостями, образованными пересечениями с Q'. Рассмотрим далее случай нечетного п (рис. Б. 1,6). Теперь мы пишем л = 2А + 3, так что поверхность Q будет (2А + 1)-квадрикой, a Q'— (2А)-квадрикой; у-плоскости большей квадрики А-мерны и образуют [(1/2) (А2 + ЗА + 2)]-мерное семейство. Произвольный член этого семейства пересекает квадрику Q' по (А—1)-мерной плоскости, через которую проходит единственная a-плоскость, принадлежащая квадрике Q', а также единственная p-плоскость, принадлежащая той же квадрике. (В особых случаях у-плоскость квадрики Q в действительности лежит на Q' и совпадает либо с «-плоскостью, либо с р-плоскостью в ^'.) И наконец, «-плоскости и p-плоскости в Q' образуют [(1/2)А(А+ 1)]-мерное семейство.

Связь между этой геометрией и изложенным выше в том, что. она описывает соотношение между фундаментальными спинорами пространств V° и U °. Редуцированные спиноры общего типа образуют линейный базис для фундаментальных спиноров. Отметим, что если п четное, то всякий фундаментальный спинор ^р в U ° непосредственно определяет пару фундаментальных спиноров g^ и 5^ для V°, а у-плоскость в Q' позволяет непосредственно восстановить «-плоскость и p-плоскость в Q. Однако между «-плоскостью и p-плоскостью существует особая связь: их пересечение не только полностью принадлежит квадрике Q', но и имеет максимальную размерность А— 1 ). Два фундаментальных спинора £л и ^' в пространстве Vя соответствуют a-плоскости и p-плоскости на Q, пересекающимся по подпространству максимальной размерности, в том и только в том

случае, если существует вектор у° е Vе, удовлетворяющий условиям

•y°va = ±1,(Б.80)

^'=Аак'^> И = ^Y^V'-(Б-81)

В рассмотренном выше случае роль вектора о° играет вектор иа. Если число п— нечетное, то мы должны позаботиться о том, чтобы a-плоскость, определяемая фундаментальным спинором ^ в и. °, пересекала p-плоскость, отвечающую фундаментальному спинору ^, максимальным образом. Это необходимо для того, чтобы их композиция давала фундаментальный спинор в пространстве Vя, Соответствующее условие для ^ и t,R' неявно содержится в условиях (Б.80) и (Б.81), но мы не будем здесь останавливаться на этом.

Можно также редуцировать спиновое пространство в V", рассматривая подпространство и ° произвольной размерности г и его (л — г)-мерное ортогональное дополнение W° (подпространство и ° неизотропно, так что его индуцированная метрика и, следовательно, метрика пространства W° невырожденна). Таким образом, мы имеем прямую сумму

Va='Ua®Wa(Б.82)

(хотя, строго говоря, нам, может быть, следовало бы ввести различные индексы, скажем а' и а", причем а = а' ф а"). Спиноры в пространстве Vя оказываются в этом случае в соответствующем смысле прямыми произведениями (тензорными произведениями) спиноров пространств ]_j;° и W°. Чтобы использовать этот подход систематически, представляется более удобным в нечетномерном случае мыслить спиновое пространство как состоящее из двух «копий» спиновых пространств, рассматривавшихся ранее для этого случая (см. примечание 2 на с. 518), причем два знака, появляющиеся в формуле (Б. 13), могут быть отнесены к любому из этих пространств — по одному каждой «копии»1). Тогда, если оба числа г и п— г нечетные, так что п— четное, 2<1/2>”-мерное полное спиновое пространство в Vя получается как прямая сумма двух его 2<1/2)"-1-мерных редуцированных спиновых пространств, каждое из которых рассматривается как прямое произведение одной из 2(1/2>г-<1/2)-мерных «копий» спинового пространства для. U ° и одной из двух «копий» 2(1/з)(п—г)—(i/2)_мерного спинового пространства для W°. Если

*) Строго говоря, эти два спиновых пространства не вполне совпадают и могут быть переведены друг в друга с помощью несобственных преобразований..

одно из чисел г или п — г четное, а другое — нечетное, то конструкция прямых произведений возникает естественным образом независимо от того, используются ли «копии». Если оба числа г и п— г четные, то вопрос о таких «копиях» вообще не возникает. Однако мы отмечаем, что всякое редуцированное спиновое пространство для Va получается как прямая сумма произведений редуцированных пространств для IU а и Wa в общем виде:

Нештрихованное пространство =

= (нештрихованное ® нештрихованное) ф

ф (штрихованное ® штрихованное).

Штрихованное пространство =

= (нештрихованное ® штрихованное) ф

ф (штрихованное ® нештрихованное) (Б.83) Действительность; комплексное сопряжение

Выше мы всюду предполагали, что Va — комплексное пространство, но по большей части это не играло решающей роли (если не считать случаев, когда речь шла о линейных подпространствах на ^), поскольку мы допускали любую сигнатуру для метрики £аЬ. Однако многие приложения спинорного подхода требуют, чтобы пространство V° было фактически действительным. Мы здесь будем мыслить пространство V° как комплексное, но считать, что оно допускает «действительную структуру», определяемую инволютивным оператором комплексного сопряжения *6. Требуемое действительное пространство в этом случае будет (действительным) подпространством пространства V°, элементы которого инвариантны относительно операции <6. «Сигнатура» s метрики gab имеет теперь инвариантный смысл по отношению к операции ^, причем мы требуем, чтобы базис g" состоял из действительных элементов пространства V°.

Если п — четное, то оказывается, что отображение ^ может быть продолжено на спиноры так, что:

Каждое из пространств S4, S4' инвариантно относительно 'операции Т, если (1/2) s нечетно;(Б.84а)

5я и 5я' переходят друг в друга при отображении ^,

если (1/2) s нечетно.(Б.846)

Это, очевидно, согласуется с результатами для обычных лорен- цевых 2-спиноров, а также для твисторов, если вспомнить, что в теории твисторов мы договорились вводить вместо штрихованных индексов нештрихованные, располагая их в противоположной позиции, что вполне законно [формула (Б.526) и далее], поскольку в этом случае п = 6. Это также согласуется с темг

что функции со спиновым весом 1/2 на пространственноподобной 2-поверхности в пространстве-времени превращаются в функции со спиновым весом —1/2 при действии оператора (s =—2), тогда как функции с бустовым весом 1/2 и —1/2 на времениподобной 2-поверхности инвариантны относительно операции <6 (s = 0).

Точнее говоря, значение (mod 8) сигнатуры s связано с вопросом о существовании в Sp нетривиального подпространства действительных спиноров («майорановских» спиноров — в физическом контексте). Мы находим, что при некоторых значениях сигнатуры операция ^ не продолжается на спиноры инволютив- но, а лишь удовлетворяет условию1) <®’4 = 1. Существуют определенные проблемы выбора тех или иных соглашений, которые приводят к дальнейшим усложнениям. Более того, если п нечетное, мы видим из формулы (Б. 13) и т. д., что при s = 3(mod4) множитель, связывающий т] с единичным оператором, обращается при действии оператора 'g'. Отсюда следует, что пространство S не будет, строго говоря, инвариантным относительно операции g’, но переходит в этом случае в свою «копию». Но мы пренебрежем последними двумя усложнениями и сделаем следующие замечания общего характера (поблагодарив за помощь в этом Ф. Риза Харвея).

Если s = 3, 4, 5 (mod 8), то мы имеем g”2 = —1 при действии в пространстве Sp. Это соответствует случаям, когда Sp допускает кватернионную структуру и нет действительных спиноров (#=0). [Примером могут служить спиноры для групп 50(3) и 50(4).] Если s = 2, 6 (mod8) [формула (Б.846)], то каждое из пространств S^, S^ является, естественно, комплексным и не содержит действительных спиноров (#=0), но о комбинированном пространстве Sp можно сказать, что оно содержит действительные («майорановские») спиноры [в подходящих обозначениях — обычным обозначениям отвечает случай s = 6 (mod 8) ]. Если s = 0, 1, 7 (mod 8), то мы имеем полную систему действительных спиноров (т. е. действительные спиноры, по которым всякий спинор рассматриваемого спинового пространства разлагается с комплексными коэффициентами). В частности, если s = 0, ±1, то это последнее свойство связано с максимальной размерностью действительных проективных подпространств в Q, равной

l(n-|s|)-l.(Б.85)

Отметим, что квадрика Q не содержит действительных точек в положительно определенном случае, но содержит действительные a-плоскости и p-плоскости, если s = О, и действительные у-плоскости, если s = ±l.

Некоторые физически интересные случаи; триальность

Мы уже рассмотрели лоренцевы 2-спиноры, твисторы и функции со спиновым весом ±1/2 на пространственноподобных 2-поверхностях как примеры общей процедуры для случаев п = 4, 6 и 2, соответственно. Но при этом мало что было сказано (непосредственно) о дираковских 4-спинорах, которые являются неприводимыми спинорами при п = 4, s — —2 (и при п = 4, s=.2). Они, разумеется, также подпадают под нашу общую схему и даже находят больше явных приложений в литературе, чем редуцированные лоренцевы 2-спиноры, которые составили основную тему двух томов. То, что мы не стали рассматривать дираковские 4-спиноры, связано до некоторой степени с практическими соображениями, так как редуцированные спиноры имеют в этом случае простой вид и оказываются исключительно простыми и эффективными в обращении. Два-спинорный формализм легко позволяет исключить все тензорные индексы, и у-матрицы вместе с довольно сложными тождествами, которым они удовлетворяют (формулы следа и т. д.), просто «улетучиваются». В явном виде (см. т. 1, с. 275) можно написать

^ая^а'5' О^ая^а'5' О— ^rs О .— ^rs О .ОiaR's'ОiaR's'(Б. 86)(Б. 86)

^ая^а'5' О

^ая^а'5' О

— ^rs О .

— ^rs О .

О

iaR's'

О

iaR's'

(Б. 86)

(Б. 86)

где ц обычно обозначают через у5;где ц обычно обозначают через у5;кроме того, мы имеемкроме того, мы имеем

где ц обычно обозначают через у5;

где ц обычно обозначают через у5;

кроме того, мы имеем

кроме того, мы имеем

Уабр" = 2Уабр" = 2e.A'B'e.R (дед)5Оe.A'B'e.R (дед)5ОООвав^я' (Д'бд')5'вав^я' (Д'бд')5'(Б.87)(Б.87)

Уабр" = 2

Уабр" = 2

e.A'B'e.R (дед)5О

e.A'B'e.R (дед)5О

О

О

вав^я' (Д'бд')5'

вав^я' (Д'бд')5'

(Б.87)

(Б.87)

Как правило, вычисления оказываются намного проще в 2-спи- норном формализме, чем с использованием у-матриц, особенно если имеется большое количество выражений, содержащих 1 ± гу5- (См., например, как упрощаются вычисления в квантовой хромодинамике [87].)

Спиноры также находят приложение в теории относительности при п = 3, так как соответствующий формализм непосредственно используется в теории пространственноподобных гиперповерхностей (s = —3) или времениподобных гиперповерхностей (s =—1). Выбирая в качестве нормали к такой гиперповерхности вектор иа = иАА' (нормированный так, что иаиа = = ±2), с учетом изложенного ранее [формулы (Б.80), (Б.81)] мы можем использовать величины иДА' и иД'А, чтобы ввести

вместо всех штрихованных индексов нештрихованные. Это приводит к удобной системе исчисления, которая использовалась рядом авторов [318, 311]. (Подобная же процедура использовалась также нами в связи с доказательством Виттена положительности массы; см. гл. 9, § 10.)

Особенно интересная ситуация, которая, по-видимому, имеет отношение к физике, дается случаем /г — 8 (и когда либо s = 8, либо s = 0), поскольку тогда все три пространства V°, SA, SA' замечательным образом оказываются равноправными. Оба тензора едв и ед'в' симметричны [формула (Б.52а)] и входят в теорию наравне с метрическим тензором gab. Таким образом, мы можем рассматривать пространства S4 и Vя как «нештрихованное» и «штрихованное» редуцированные спиновые пространства для SA с метрикой еАВ, либо Vя и SA как «нештрихованное» и «штрихованное» спиновые пространства для SA\ Возникающую здесь удивительную дополнительную симметрию называют принципом триальности для групп SO (8, С), 50(8) и 50(4,4). Отметим, что в силу формулы (Б.67) фундаментальные спиноры пространств SA, SA" соответствуют в рамках этой симметрии изотропным векторам пространства Vе. Если говорить о гиперповерхности Q, то это означает, что семейства а-плоско- стей на ^, p-плоскостей на Q и точек Q могут рассматриваться как равноправные. Свойство инцидентности для точки (принадлежать a-плоскости) в рамках этой симметрии отвечает свойству инцидентности для a-плоскости (пересекать р-плоскость максимальным образом, т. е. по 2-пространству). В случае группы 50(8) эти а-плоскости, p-плоскости и точки все будут мнимыми, но симметрия между ними тем не менее существует и проявляется как симметрия между неизотропными (нефундаментальными) элементами. (Подробнее см. в работах [2, 55].)

Величина

NaAA' (Б.88) теперь будет симметричной по отношению ко всем трем типам индексов. Она удовлетворяет тождеству

Y(/A Ч) А®' = §аЬ®А'В' (Б-89) и другим, полученным из него перестановкой индексов различных типов. Существует связь между этими величинами и алгеброй октанионов (числа Келли). Ее можно получить, фиксировав в двух из трех пространств единичные элементы, скажем

Аа е V°, шА' е SA', кака = 1 = mA'mA', определив третий соотношением

1А = \aAA'kamA'

и затем используя величины

^aAA'fe°- ЧаАА^* ^аАА'^'

и метрические объекты gab, еАВ, еА'в' для перехода между различными типами индексов. С помощью этих величин мы получаем из (Б.88) объекты уа6с, от которых можно перейти к величинам уабс, удовлетворяющим правилам умножения алгебры Келли на V°. Тождество (Б.89) обеспечивает в этом случае выполнение всех необходимых алгебраических свойств [например, Y(ai,)CiYd/ = Ytaid^Yb)/» что соответствует свойству «альтернативности» умножения: (ЛЛ)5 = Л (ЛВ) ].

В связи с изложенным отметим, что существует определенная связь между группами SO (8, С) и 50(4,4) и теорией тви- сторов. Рассмотрим пары твисторов, каждая из которых состоит из [0* ]- и [° ]-твистора:

(Z“, Wp).(Б.90)

Метрика на пространстве таких объектов определяется отображением

(Z“, Wp)^2ZaWa,(Б.91)

а комплексное сопряжение определяется так:

^ : (Za, Wa) (Wa, Za).(Б.92)

Сигнатура билинейной формы ZaZ“ + WaWa равна (++ + Н) (т- е- s = 0, л = 8), так что изложенная

теория оказывается пригодной в этом случае. (Условие «изотропности» совпадает здесь со свойством амбитвисторов ZaWa = 0, см. примечание на с. 198.)

Спинорные поля; твисторы в п измерениях

Как мы помним, мы с самого начала допускали, что пространство V° может быть (при соответствующих условиях) модулем, а не векторным пространством и может описывать, скажем, векторные поля на некотором (псевдо-) римановом л-мно- гообразии. Соответствующее пространство Sp (или 5я и S8) в этом случае описывало бы спинорные поля. Величина yapa (или yaRs' и Ya^/S) служит в этом случае для преобразования касательных векторных полей к спинорной форме. Таким образом,. мы имеем аналоги уравнения Дирака или Дирака — Вейля

Yap'W = Йтф°, Ya/'V^ = О(Б.93)

при всех значениях п. Можно также ввести аналоги локальных твисторов и процедуры локального переноса твистора (см. работу [43] и гл/ 6, § 9, а также неопубликованную работу Спар- линга (G. A. J. Sparling), где это выполняется в более явном виде). На вопрос о том, что следует рассматривать в качестве теории твисторов в п измерениях, можно дать разный ответ. Можно, например, мыслить гиперпространство Минковского с размерностью р + q и сигнатурой р — q компактифицированным, как в гл. 9, § 2. В качестве конформной группы на этом компактифицированном пространстве действует группа SO(p+l, ?+1). Таким образом, мы приходим к ситуации, описываемой предшествующей теорией для случая, когда размерность равна р + q + 2, а сигнатура равна р — q. В качестве твисторов этого гиперпространства могут быть взяты спиноры группы SO(p+ 1, 9+1).

Другой (но по существу эквивалентный) путь состоит в том, чтобы написать л-мерное обобщение твисторного уравнения (6.1.1):

^Rx'^^^gabV^c^ кп четное),(Б.94а)

^1<а\р\^(й9 = ^Г§аь^с^с(й9 1п нечетное)(Б.946)

(т. е. V(atoy6) = п~'§аЬ\сы\с во втором случае), общие решения которого в гиперпространстве Минковского имеют вид

<0^ = Q^ + xaYaS^ns (л четное),(Б.95а)

<ор = Q9 + x°YaoPna (л нечетное),(Б.956)

где й и П — константы. Уравнение (Б.946) было введено Вессом и Зумино [367] в контексте теории суперсимметрии. Здесь л = 4, но уравнение (Б.946) эквивалентно двум копиям уравнения (Б.94а), штрихованной и нештрихованной, которые переходят друг в друга при комплексном сопряжении, если ®р — «майорановский» спинор, а именно <йк' = <йк.

Эти соображения иногда оказываются полезными при решении дифференциальных уравнений методом, аналогичным изложенному в гл. 6, § 10, который приводит к выражениям, содержащим контурные интегралы. Элегантный пример подобной процедуры был предложен Хьюстоном. Пусть/(Z“, Wa)— функция двух твисторов Z°, Wa, которая голоморфна в некоторой области и имеет общую степень однородности — 4 (она не обязательно однородна по Z“ и Wa в отдельности). Твистор Хар считается кососимметричным, а его значения рассматриваются

как координаты точек в шестимерном пространстве, метрика которого дается выражением

e“W rfXap dXv6-(Б.96)

Тогда контурный интеграл

ф (Хар) = ф f (Za, XapZ^) 8apveZ“ dZS Д dZv A dZ® (Б.97)

удовлетворяет (комплексному) уравнению Лапласа, или волновому уравнению,

8asv6 dxap dXvS = °"(Б.98)

Этот результат связан с упомянутым выше соотношением между твисторами и спинорами группы SO (8, .С). (Другие примеры аналогичных выражений приводились недавно Уордом и Атья; см. также работу [212], в которой такая процедура обсуждается в весьма общем виде. Были предложены и другие обобщения теории твисторов [34, 80].)

Послесловие авторов

Мы очень рады, что редакторам и переводчикам Д. В. Гальцову, В. И. Хлебникову, Е. М. Серебряному и 3. А. Штейнграду удалось осуществить превосходное издание на русском языке нашей двухтомной работы «Спиноры и пространство-время». Несколько слов о дальнейшем развитии теории за время, прошедшее с момента опубликования английского издания книги. Продвижение было сделано в основном в теории твисторов. Так, Ходже (А. Р. Hodges) добился значительных успехов в разработке диаграммной техники твисторной теории (см. примечание на с. 182), и ему удалось связать ее со стандартной теорией электрослабых взаимодействий Глэшоу, Салама, Уорда и Вайнберга. Шоу (W. Т. Shaw) и Хьюстон (L. Р. Hughston) показали, как решаются классические уравнения для релятивистской струны в пространствах с размерностью четыре и более с помощью теории твисторов и ее многомерных обобщений. Что касается введенного в гл. 9, § 9 квазилокального определения массы — импульса — момента импульса, то Джеффрис (В. Р. Jeffryes) продемонстрировал, что это определение корректно включает ньютоновскую потенциальную энергию в ньютоновском пределе общей теории относительности. Дальнейшие исследования точных моделей, проводившиеся в основном Тодом (К. Р. Tod), по-видимому, подтвердили физическую адекватность нашего определения, хотя в нем остаются существенные неоднозначности. Работы Тода, Келли (R. М. Kelly) и Вудхауса (N. М. J. Woodhouse) по теории малых сферических и эллипсоидальных двумерных поверхностей подтвердили правильность выбора множителя т], предложенного на с. 482 (так что модификация, предложенная в первом примечании на с. 475, оказывается ненужной). Келли и Шоу получили также интересные результаты, касающиеся асимптотически больших двумерных поверхностей. Отметим еще, что последние работы

548548ПОСЛЕСЛОВИЕ АВТОРОВПОСЛЕСЛОВИЕ АВТОРОВ

548

548

ПОСЛЕСЛОВИЕ АВТОРОВ

ПОСЛЕСЛОВИЕ АВТОРОВ

Фридриха (Н. Friedrich) [а также Хэбисон (С. Habisohn)] указали на допустимость предположения о гладкости гиперповерхности 3, которое требуется в гл. 9, § 6 и в последующих разделах.

Р. Пенроуз

В. Риндлер

Литература

Abbott L. F., Deser S. Stability of gravity with a cosmological constant, Nucl. Phys., B195, 76 (1982).

Adams J. F. Spin (8), triality, F4 and all that, in: Superspace and Supergravity, eds. S. W. Hawking, M. Rocek, Cambridge University Press, Cambridge, 1981.

Arnol’d V. I. Mathemathical Methods of Classical Mechanics, Springer, New York, 1978. [См. также: Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1974.]

Arnowitt R., Deser S., Misner C. W. Coordinate invariance and energy expressions in general relativity, Phys. Rev., 122, 997 (1961).

Aronson B., Lind R., Messmer J., Newman E. T. A note on asymptotically flat spaces, J. Math. Phys., 12, 2462 (1971).

Ashtekar A. Asymptotical structure of the gravitational field at spatial infinity, in: General Relativity and Gravitation, One Hundred Years after the Birth of Albert Einstein, ed. A. Held, Plenum, New York, 1980.

Ashtekar A., Hansen R. O. A unified treatment of null and spatial infinity in general relativity. I. Universal structure, asymptotic symmetries, and conserved quantities at spatial infinity, J. Math. Phys., 19, 1542 (1978).

Ashtekar A., Magnon A. Asymptotically anti-de Sitter spacetimes, Class. Quant. Grav. 1, L39 (1984).

Ashtekar A., Magnon-Ashtekar A. Energy-momentum in general relativity, Phys. Rev. Lett., 43, 181 (1979).

Ashtekar A., Streubel M. Symplectic geometry of radiative mode and conserved quantities at null infinity, Proc. Roy. Soc. (London), A376, 585 (1981).

Atiyah M. F. Geometry of Yang-Mills Fields, Lezioni Fermiane, Scuola Normale Superiore, Pisa, 1979.

Atiyah M. F., Hitchin N. J., Drinfeld V. G., Manin Yu. J. Construction of Instantons, Phys. Lett., 65A, 185 (1978).

Atiyah M. F., Hitchin N. L, Singer T. M. Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry, Proc. Roy. Soc. (London), A362, 425 (1978).

Atiyah M. F., Patodi V. K., Singer I. M. Spectral asymmetry and Riemannian geometry I, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 77, 43; II, 78, 405; III, 79, 71 (1975).

Atiyah M. F., Ward R. S. Instantons and algebraic geometry, Comm. Math. Phys., 55, 111 (1977).

Bach R. Zur Weylschen Relativitatstheorie, Math. Z., 9, 110 (1921).

Bailey T. N. Twistors and fields with sources on worldlines, Proc. Roy. Soc. (London), A397, 143 (1985).

Bailey T. N., Ehreinpreis L., Wells R. O., Jr. Weak solutions of the massless field equations. Proc. Roy. Soc. (London), A384, 403 (1982).

Bardeen J. M., Press W. H. Radiation fields in the Schwarzschild background, J. Math. Phys., 14, 7 (1973).

Bateman Н. The solution of partial differential equations by means of definite integrals, Proc. bond. Math. Soc., (2) 1, 451 (1904).

Bateman H. The transformation of the electrodynamical equations, Proc, bond. Math. Soc., (2), 8, 223 (1910).

Bateman H. Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Dover, New York, 1944.

Bel L. Introduction d’un tenseur du quartieme ordre, Comptes Rend., 248, 1297 (1959).

Bdcher M. The infinite regions of various geometries, Bull. Amer. Math. Soc., 20, 185 (1914).

Bondi H. Cosmology, Cambridge University Press, Cambridge, 1960.

Bondi H. Gravitational waves in general relativity, Nature (London), 186, 535 (1960).

Bondi H., van der Burg M. G. J., Metzner A. W. K. Gravitational waves in general relativity. VII. Waves from axi-symmetric isolated systems. Proc. Roy. Soc. (London), A269, 21 (1962).

Bonnor W B., Rotenberg M. A. Gravitational waves from isolated sources, Proc. Roy. Soc. (London), A289, 247 (1966).

Boyer С. P., Finley I. D., III., Piebanski J. F. Complex general relativity, $ and 56 spaces — a survey of one approach, in; General Relativity and Gravitation, One Hundred Years after the Birth of Albert Einsten, ed. A Held, Plenum Press, New York, 1980.

Bramson B. D. The alinement of frames of reference at null infinity for asymptotically flat Einstein — Maxwell manifolds, Proc. Roy Soc. (London), A341, 451 (1975).

Bramson B. D. Relativistic angular momentum for asymptotically flat Einstein — Maxwell manifolds, Proc. Roy. Soc (London), A341, 463 (1975).

Bramson B. D. The invariance of spin, Proc. Roy. Soc. (London), A364, 383 (1978).

Brauer R., Weyl H. Spinors in n dimensions, Amer. J. Math.. 57, 425 (1935).

Bryant R. L. Lie groups and twistor spaces. Duke Math. J., 52, 223 (1985).

Buchdahl N. P. Applications of Several Complex Variables to Twistor Theory, Oxford University D. Phil, thesis.

Buchdahl N. P. On the relative de Rham sequence, Proc. Amer. Math. Soc., 87, 363 (1983).

Buchdahl N. P. Analysis on analytic spaces and non-self-dual Yang-Mills fields, Trans. Amer. Math. Soc., 288, 431 (1985).

Callan C. G., Coleman S., Jackiw R. A new improved energy-momentum tensor, Ann. Phys., 59, 42 (1970).

Cantoni V. Reduction of some representations of the generalized Bondi — Metzner group, J. Math. Phys.. 8, 1700 (1967).

Cartan Ё. Groupes reels simplees, finis et continus, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup., 31, 263 (1914).

Cartan Ё. Sur les equations de la graviation d’Einstein, J. Math. Pures et Appl„ 1, 141 (1922).

Cartan Ё. Sur les espaces conformes generalises et 1’univers optique. Comptes Rend., 174, 734 (1922).

Cartan Ё. Les espaces a connexion conforme, Ann. Soc. Po. Math., 2, 171 (1923),

Cartan Ё. Sur la geometric pseudo-conforme des hypersurfaces de Fespace de deux variables complexes, Annali Mat., 11, 17 (1932).

Cartan Ё. The theory of Spinors, Hermann, Paris, 1966. [Имеется перевод одного из предыдущих изданий: Картам Э. Теория спиноров. — М.:

Carter В. Hamilton — Jacobi and Schrodinger separable solutions of Einstein’s equations, Comm. Math. Phys., 10, 280 (1968).

Carter B. Global structure of the Kerr family of gravitational fields, Phys. Rev., 174, 1'559 (1968).

Carter B. The commutation property of a stationary, axisymmetric system, Comm. Math. Phys., 17, 233 (1970).

Carter B„ McLenaghan R. G. Generalized total angular momentum operator for the Dirac equation in curved space-time, Phys. Rev., D19, 1093 (1979).

Cayley A. On a new analytic representation of curves in space, Quart. J. Pure and Appl. Math., 3, 225 (1860).

Cayley A. On the six co-ordinates of a line, Trans, Camb. Phil. Soc., 11(2), 290 (1869).

Chandrasekhar S. An introduction to the theory of the Kerr metric and its pertrubations, in: General Relativity: An Einstein Centenary Survey, eds. S. W. Hawking, W. Israel, Cambridge University Press, Cambridge, 1979.

Chandrasekhar S. The Mathematical Theory of Black Holes, Oxford Uni- ersity Press, Oxford, 1983. [Имеется перевод: Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. — М.: Мир, 1986.]

Chern S. S. Complex Manifolds Without Potential Theory, Springer Verlag, New York, 1979,

Chevalley C. The Algebraic Theory of Spinors, Columbia University Press, New York, 1954."

Churchill R. V. Canonical forms for symmetric linear vector functions in pseudo-euclidean space. Trans Amer. Math. Soc., 34, 784 (1932).

Clifford W. K. A preliminary sketch of biquaternions, Mathematical Papers, London, 1882, p. 181.

Connors P. A., Stark R. F. Observable gravitational effects on polarized radiation coming from near a black hole, Nature, 269, 128 (1977).

Cox D., Flaherty E. J., Jr. A conventional proof of Kerr’s theorem, Comm. Math Phys., 47, 75 (1976).

Coxeter H. S. M. The representation of conformal space on a quadric, Ann. Math., 37, 416 (1936).

Crampin M. J., Pirani F. A. E. Twistors, symplectic structures and Lagrange’s identity, in: Relativity and Gravitation, eds. Ch. G. Kuper, A. Peres, Gordon and Breach, London, 1971.

Curtis G. E. Twistors and linearized Einstein theory on plane-fronted impulsive wave backgrounds, Gen. Rei. Grav., 9, 987 (1978).

Curtis G. E. Twistors and multipole moments, Proc. Roy. Soc. (London), A359, 133 (1978).

Curtis W. D., Lerner D. E., Miller F. R. Complex pp waves and the nonlinear graviton construction, J. Math. Phys., 19, 2024 (1978).

Curtis W. D., Lerner D. E., Miller F. R. Some remarks on the non-linear graviton, Gen. Rei. Grav., 10, 557 (1979).

Dietz W., Rudiger R. Space-times admitting Killing — Yano tensors I, Proc. Roy. Soc. (London), A375, 361 (1980).

Dietz W., Rudiger R. Space-times admitting Killing — Yano tensors II, Proc. Roy. Soc. (London), A381, 315 (1981).

Dighton K. The Theory of Local Twistors and its Applications, Ph. D. thesis, Birkbeck College, University of London, 1972.

Dighton K. An introduction to the theory of local twistors, Int. J. Theor. Phys., 11, 31 (1974).

Dirac P. A. M. The quantum theory of electron, Proc. Roy. Soc. (London), A117, 610 (1928),

Dirac P. A. M. Quantized singularities in the electromagnetic field, Proc. Roy Soc. (London) A133, 60 (1931).

Dirac P. A. M. Relativistic wave equations, Proc. Roy. Soc. (London), A155, 447 (1936).

Dirac Р. А. М. Wave equations in conformal space, Ann. of Math., 37, 429 (1936).

Dodson С. T. J., Poston T. Tensor Geometry, Pitman, London, 1977.

Doebner H. D., Paleo T. D. (eds.) Twistor Geometry and Non-Linear Systems, Proc. Primorsko 1980, Lecture Notes in Mathematics No. 970, Springer-Verlag, Berlin, 1982

Dray T. The relationship between monopole harmonics and spin-weighted spherical harmonics, J. Math. Phys., 26, 1030 (1985).

Dray T. Streubel M. Angular momentum at null infinity, Class. Quant. Grav., 1, 15 (1984).

du Plessis J. C. Polynomial conformal tensors, Proc. Camb. Phil. Soc., 68, 329 (1970).

Eastwood M. G. A duality for homogeneous bundles on twistor space, J. Lond. Math. Soc., 31, 349 (1985).

Eastwood M. G. Supersymmetry, twistors and the Yang-Mills equations, Trans. Amer. Math. Soc. [В печати.] (1985).

Eastwood M. G., Ginsberg M. L. Duality in twistor theory, Duke Math. J., 48, 177 (1981).

Eastwood M. G., Penrose R., Wells R. O., Jr. Cohomology and massless fields, Comm. Math. Phys., 78, 305 (1981).

Eastwood M. G., Singer M. A conformally invariant Maxwell gauge, Phys. Lett. [В печати.) (1985).

Eddington A. S. The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge University Press, Cambridge, 1924. [Имеется перевод: Эддингтон А. С. Теория относительности. — Л. — М.: Гостехиздат, 1934.)

Einstein A. Uber Gravitationswellen, Sitz. Вег. Preuss. Akad. Wiss., 1918 S. 154. [Имеется перевод: Эйнштейн А. О гравитационных волнах.— В кн.: Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 1. — М.: Наука, 1966, с. 631.)

Exton A. R., Newman Е. Т., Penrose R. Conserved quantities in the Einstein-Maxwell theory, J. Math. Phys., 10, 1566 (1969).

Farrar G., Neri F. How to calculate 35,640 О (a5) Feynman diagrams in less than an hour, Phys. Lett., 130B, 109 (1983).

Fefferman C. Monge-Ampere equations. The Bergman kernel and geometry of pseudo-convex domains, Ann. of Math., 103, 395 (1976).

Feild M. Several Complex Variables and Complex Manifolds, Lond. Math. Soc. Lecture Notes No. 65, Vol. 1, Cambridge University Press, Cambridge, 1982, p. 140.

Fierz M. Zur Theorie magnetisch geladener Teilchen, Helv. Phys. Acta, 17, 27 (1944).'

Flaherty E J., Jr. Hermitian and Kahlerian Geometry in Relativity, Lecture Notes in Physics No. 46, Springer-Verlag, Berlin, 1976.

Flaherty E. I., Jr. Complex variables in relativity, in: General Relativity and Gravitation, One Hundred Years after the Birth of Albert Einstein, ed. A. Held, Plenum, New York, 1980.

Flaherty F.J. (ed.) Asymptotic Behavior of Mass and Spacetime Geometry, Proc. Corvalis, Oregon 1983, Springer-Verlag, Berlin, 1984.

Floyd R. The Dynamics of Kerr Fields, Ph. D. thesis, University of London, 1973.

Folland G. B., Kohn I. I. The Neumann Problem for the Cauchy — Riemann Complex, Annals of Math. Studies No. 75, Princeton University Press, Princeton, 1972.

Friedrich H. On the regular and the asymptotic characteristic initial value problem for Einstein’s vacuum field equations, Proc. Roy. Soc. (London), A375, 169 (1981).

Friedrich H. The analytic characteristic initial value problem for Einstein’s vacuum field equations as an initial value problem for a first-order quasi-

linear symmetric hyperbolic system, Proc. Roy. Soc. (London), A378, 401 (1981).

Frolov V. P. The Newman-Penrose method in the theory of general relativity, in: -Problems in the General Theory of Relativity and Theory of Group Representations, ed. N. G. Basov, Plenum, New York, 1979. [Cm. также: Проблемы общей теории относительности.— Труды ФИАН СССР. Т. 96. — М.: Наука, 1977.]

Garding L. Relativistic wave equations for zero rest-mass, Proc. Camb. Phil. Soc., 41, 49 (1945).

Geroch R. P. Space-time structure from a global view point, in: General Relativity and Cosmology, Proc, of Int. Sch. in Phys. «Enrico Fermi», Course XLVII, ed. R. K. Sachs, Academic Press, New York, 1971, p. 71.

Geroch R. P. Asymptotic structure od space-time, in: Asymptotic Structure of Space-Time, eds. F. P. Esposito, L. Witten, Plenum, New York, 1977.

Geroch R. P., Held A., Penrose R. A space-time calculus based on pairs of null directions, J. Math. Phys., 14, 874 (1973).

Geroch R. P., Horowitz G. T. Asymptotically simple does not imply asymptotically Minkowskian, Phys. Rev. Lett., 40, 203 (1978).

Geroch R. P., Kronheimer E. H., Penrose R. Ideal points of space-times, Proc. Roy. Soc. (London), A327, 545 (1972).

Geroch R. P., Winicour I. Linkages in general relativity, J. Math. Phys., 22, 803 (1981).

Gibbons G. W., Hawking S. W. Classification of gravitational instanson symmetries. Comm. Math. Phys., 66, 291 (1979).

Gilkey P. B. The Index Theorem and the Heat Equation, Publish or Perish, Inc., Boston, Mass., 1974.

Gindikin S. G. Integral geometry and twistors, in: Twistor Geometry and Non-Linear Systems, eds. H. D. Doebner, T. D. Palev, Springer-Verlag, Berlin, 1982, p. 2.

Gindikin S. G. The complex universe of Roger Penrose, Math. Intelligencer, 5, No. 1, 27 (1983).

Ginsberg M. L. Scattering theory and the geometry of multi-twistor spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 276, 789 (1983).

Godement R. Theorie des Faisceaux, Hermann, Paris, 1964.

Goldberg J. N., Macfarlane A. J., Newman E. T., Rohrlich F., Sudarshan E. C. G. Spin-s spherical harmonics and 8. J. Math. Phys., 8, 2155 (1967).

Goldberg I. N., Sachs R. K. A theorem on Petrov types, Acta Phys. Po- lon., SuppL, 22, 13 (1962).

Grace J. H., Young A. The Algebra of Invariants, Cambridge University Press, Cambridge, 1903.

Grgin E. A global technique for the study of spinor fields, Ph. D. thesis, Syracuse University, Syracuse, New York, 1966.

Griffiths P., Harris I. Principles of Algebraic Geometry, John Wiley, New York, 1978. [Имеется перевод: Гриффитс Ф., Харрис Док. Принципы алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1982.]

Grothendieck A., Dieudonne J. E16ments de Geometric Alg6brique, Publ. Math. IHES, Paris, 1961, Ch. 3, § 1.1.

Gunning R. C. Lectures on Vector Bundles over Riemann Surfaces, Mathematical Notes No. 6, Princeton University Press, Princeton, 1967.

Gunning R. C., Rossi H. Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1965. [Имеется перевод: Ганнинг P., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. — М.: Мир, 1969.]

Hansen R. О., Ludvigsen М. A new ^-space formalism, Gen. Rei. Grav., 8, 761 (1977).

Hansen R. O., Newman E. T. A complex Minkoswki space approach to twistors, Gen. Rei. Grav., 6, 361 (1975).

Hansen R. О., Newman E. T., Penrose R., Tod К. P. The metric and curvature properties of 3^-space, Proc. Roy. Soc. (London), A363, 445 (1978).

\23.Hawking S. IF. Gravitational radiation in an expandig universe, J. Math. Phys., 9, 598 (1968).

Hawking S. IF. Gravitational instantons, Phys. Lett., 60A, 81 (1977).

Hawking S. IF., Ellis G. F. R. The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, Cambridge, 1973. [Имеется перевод: Хокинг С., Эллис Док. Крупномасштабная структура пространства-времени.—М.:Мир, 1977.]

Hepner IF. A. The inhomogeneous Lorentz group and the conformal group, Nuovo Cim., 26, 351 (1962).

Hermann D. Differential Geometry and the Calculus of Variations, Academic Press, New York, 1968, p. 71.

Hicks N. I. Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, 1965..

Higgins P. J. An Introduction to Topological Groups, Cambridge University Press, Cambridge, 1974.

Hirzebruch F. New Topological Methods in Algebraic Geometry, Springer, Berlin, 1962. [Имеется перевод: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1973.]

Hitchin N. J. Polygons and gravitons, Math. Proc, Camb. Phil. Soc., 85, 465 (1979).

Hitchin N. I. Complex manifolds and Einstein’s equations, in: Twistor Geometry and Non-Linear Systems, eds. H. D. Doebner, T. D. Palev, Springer-Verlag, Berlin, 1982, p. 73.

Hodge IF. V. D., Pedoe D. Methods of Algebraic Geometry, Vol. 2, Cambridge University Press, Cambridge, 1952. [Имеется перевод: Ходок В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — М.: ИЛ, 1954.]

Hodges А. Р. Twistor diagrams, Physica, 114А, 157 (1982).

Hodges A. P. A twistor approach to the regularization of divergences, Proc. Roy. Soc. (London), A397, 341 (1985).

Hodges A. P. Mass eigenstates in twistor theory, Proc. Roy. Soc. (London), A397, 375 (1985),

Hodges A. P., Huggett S. Twistor diagrams, Surveys in High Energy Physics, 1, 333 (1980).

Hopf H. Uber die Abbildungen von Spharen auf Spharen neidrigerer Dimension, Fund. Math., 25, 427 (1935).

Hormander L. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, Van Nostrand-Reinhold, New York, 1966.

Horowitz G. T., Perry M. I. Gravitational energy cannot become negative, Phys. Rev. Lett., 48, 371 (1982).

Huggett S., Tod К. P. Introduction to Twistor Theory, London Math. Soc. Lecture Notes Series, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.

Hughston L. P. Twistors and Particles, Lecture Notes in Physics No. 97, Springer-Verlag, Berlin, 1979.

Hughston L. P. The twistor particle programme, Surveys in High Energy Physics, 1, 313 (1980).-

Hughston L. P. Applications of SO (8) spinors, in: Gravitation and Geometry, I. Robinson Festschrift volume, eds. W. Rindler, A. Trautman, Bibliopolis, Naples, 1986.

Hughston L. P., Hurd T. R. A cohomological description of massive fields. Proc. Roy. Soc. (London), A378, 141 (1981).

Hughston L. P., Hurd T. R. A CP5 calculus for space-time fields, Phys. Rep., 100, 273 (1983).

Hughston L. P., Penrose R., Sommers P., Walker M. On a quadratic first integral for the charged particle orbits in the charged Kerr solution, Comm. Math. Phys., 27, 303 (1972).

Hughston L. P., Sommers P. Spacetimes with Killing tensors, Comm. Math. Phys., 32, 147 (1973).

Hughston L. P., Ward R. S. (eds.) Advances in Twistor Theory, Research Notes in Mathematics No. 37, Pitman, San Francisco, 1979.

Hurd T. R. The projective geometry of simple cosmological models, Proc. Roy Soc. (London), A397, 233 (1985).

Isenberg J., Yasskin P. B., Green P. S. Non-self-dual gauge fields, Phys. Lett., 78B, 462 (1978).

Jacobowitz H., Treves F. Non-realizable CR structures, Invent. Math., 66, 231 (1982).

Janis A. I., Newman E. T. Structure of gravitational sources, J. Math. Phys., 6, 902 (1965).

Jeff ryes В. P. Space-times with two-index Killing spinors, Proc. Roy. Soc. (London), A392, 323 (1984).

Jeff ryes В. P. Two-surface twistors and conformal embedding, in: Asymptotic Behavior of Mass and Spacetime Geometry, Proc. Corvalis (Oregon 1983), ed F. J. Flaherty, Springer-Verlag, Berlin, 1984.

Jordan P., Ehlers I., Sachs R. K. Beitrage sur Theorie der reinen Gravi- tationsstrahlung, Akad. Wiss. Lit. Mainz, Abhandl. Math. Nat. KI. 1960 no. 1, 1961.

Kerr R. P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, Phys. Rev. Lett., 11, 237 (1963).

Kerr R. P., Schild A. Some algebraically degenerate solutions of Einstein’s gravitational field equations. Proc. Symp. Appl. Math., 17, 199 (1965).

Kerr R. P., Schild A. A new class of vacuum solutions of the Einstein field equations, in: Atti del convegno sulla relativita generale, Firenze, 1967, p. 222.

Klein F. Zur Theorie der Liniercomplexe des ersten und zweiten Grades, Math. Ann,, 2, 198 (1870).

Klein F. Autographierte Vorlesungen uber nicht-euklidische Geometrie, Vol. II, Gottingen, 1892, S. 245.

Klein F. Vorlesungen uber hohere Geometrie, Springer-Verlag, Berlin, 1926, S. 80, 262.

Ko M., Ludvigsen M., Newman E. T., Tod К. P. The theory of 3^-space, Phys. Repts., 71, 51 (1981).

Ko AL, Newman E. T., Penrose R. The Kahler structure of asymptotic twistor space, J. Math. Phys., 18, 58 (1977).

Kobayashi S., Nomizu K. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 and 2, Interscience, London, 1963. [Имеется перевод: Кобаяси Ш., Но- мидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981.]

Komar А. В. Covariant conservation laws in general relativity, Phys. Rev., 113, 934 (1959).

Komar A. B. Generators of coordinate transformations in the Penrose formalism of general relativity, Phys. Rev., 127, 955 (1962).

Komar A. B. Commutators on characteristic surfaces, Phys. Rev. (2), 134, В1430 (1964).

Kozameh C. N., Newman E. T., Porter I. R. Maxwell’s equations, linear gravity and twistors, 1985. [В печати.]

Kozameh C. N-, Newman E. T., Tod К. P. Conformal Einstein spaces, Gen. Rei. Grav., 17, 343 (1985).

Kozarzewski B. Asymptotic properties of the electromagnetic and gravitational fields, Acta. Phys. Polon., 27, 775 (1965).

Kramer D., Stephani H., MacCallum M., Herlt E. Exact Solutions of Einstein’s Field Equations, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin and Cambridge University Press, Cambridge, 1980. [Имеется перевод: Крамер Д., Штефани X., Херлы Э., Мак-Каллум М. Точные решения уравнений Эйнштейна. — М.: Энергоиздат, 1982.]

Kristian L, Sachs R. K. Observations in cosmology, Astrophys. J., 143, 379 (1966).

Kuiper N. H. On conformally-flat spaces in the large, Ann. Math., 50, 916 (1949).

Kundt W., Thompson A. Le tenseur de Weyl et une congruence associee de geodesiques isotropes sans distorsion, Comptes Rend., 254, 4257 (1962).

Lang S. Differentiable Manifolds, Addison Wesley, Reading, Mass., 1972.

Law P. Twistor theory and the Einstein’s equations, Proc. Roy. Soc. (London). [В печати.] (1985).

Lawson H. B., Jr., Michelsohn M. L. Spin Geometry, 1986. [В печати.]

LeBrun C. R. 3^-space with a cosmological constant. Proc. Roy. Soc. (London), A380, 171 (1982).

LeBrun C. R. Spaces of complex null geodesics in complex Riemannian geometry, Trans. Amer. Math. Soc., 278, 209 (1983).

LeBrun C. R. Twistor CR-manifolds and three-dimensional conformal geometry, Trans. Amer. Math. Soc., 284, 601 (1984).

LeBrun C. R. Ambitwistors and Einstein’s equations, Class, and Quantum Grav. [В печати.] (1985).

Lerner D. E. Twistors and induced representations of SU (2, 2), J. Math. Phys., 18, 1812 (1977).

Lerner D. E., Clarke С. I. S. Some global properties of massless free fields. Comm. Math. Phys., 55, 179 (1977).

Lerner D. E., Sommers P. D. (eds.) Complex Manifold Techniques in Theoretical Physics, Research Notes in Mathematics No. 32, Pitman, San Francisco, 1979.

Lewy H. On the local character of a solution of an optical linear differential equation in three variables and a related theorem for regular functions of two complex varaibles, Ann. of Math. (2), 64, 514 (1956).

Lewy H. An example of a smooth linear partial differential equation without solution, Ann. of Math. (2), 66, 155 (1957).

Lichnerowicz A. Sur les ondes et radiations gravitationelles, Comptes Rend., 246, 893 (1958).

Lie S. Uber Complexe, unbesondere Linien- und Kugelcomplexe mit An- wendung auf die Theorie partieller Differentialgleichungen, Math. Ann., 5, 145 (1872).

Lie S., Scheffers G. Geometrie der Beruhrungstransformationen I, Leipzig, 1896.

Lind R. W., Messmer J., Newman E. T. Equations of motion for the sources of asymptotically flat spaces, J. Math. Phys., 13, 1884 (1972).

Lind R. W., Newman E. T. Complexification of the algebraically special gravitational fields, J. Math. Phys., 15, 1103 (1974).

Ludvigsen M., Vickers I. A. G. The positivity of the Bondi mass, J. Phys., A14, L389 (1981).

Ludvigsen M., Vickers J. A. G. A simple proof of the positivity of the Bondi mass, J. Phys., A15, L67 (1982).

Ludwig G., Classification of electromagnetic and gravitational fields, Amer. J. Phys., 37, 1225 (1969).

Ludwig G. On asymptotically flat space-times, Gen. Rei. Grav., 7, 293 (1976).

Ludwig G. On asymptotic flatness, Gen. Rei. Grav., 13, 291 (1981).

Ludwig G., Scanlan G. Classification of the Ricci tensor, Comm. Math. Phys., 20, 291 (1971).

Lugo G. Structure of asymptotic twistor space, J. Math. Phys., 23 (2), 276 (1982).

McCarthy P. J. The Bondi-Metzner-Sachs group in the nuclear topology, Proc. Roy. Soc. (London), A343, 489 (1976).

McLennan S. A., Jr., Conformal invariance and conservation laws for relativistic wave equations for zero rest mass, Nuovo Cim., 3, 1360 (1956). .

Manin Yu. I. Gauge field and cohomology of analytic sheaves, in: Twistor Geometry and Non-Linear Systems, eds. H. D. Doebner, T. D. Palev, Springer-Verlag, Berlin, 1982. p. 43.

Mariot L. Le champ electromagnetique singulier, Comptes Rend., 238, 2055 (1954).

Maunder C. R. F. Algebraic Topology, Cambridge University Press, 1980.

Merkulov S. A. A conformally invariant theory of gravitation and electromagnetism, Class. Quantum Grav., 1, 349 (1984).

Milnor J. Spin structure on manifolds, Enseign. Math., 9, 198 (1963).

Misner C. IF., Thorne K, Wheeler I. A. Gravitation, Freeman, San Francisco, 1973. [Имеется перевод: Мизнер Ч., Торн К., Уилер Док. Гравитация. — М.: Мир, 1977.]

Morrow I., Kodaira /<. Complex Manifolds, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1971.

Murai Y. On the group of transformations in six-dimensional space, Prog. Theor. Phys., 9, 147 (1953)..

Murai Y. On the group of transformations in six-dimensional space, II — conformal group in physics, Prog. Theor. Phys., 11, 441 (1954).

Murai Y. New wave equations for elementary particles, Nucl. Phys., 6, 489 (1958).

Murray M. K. A twistor correspondence for homogeneous polynomial differential operators. Research Report No. 47; Reprint, Mathematical Sciences Research Centre, Australian National University, Canberra, 1984.

Nester J. M. A new gravitational energy expression with a simple positivity proof, Phys. Lett., 83A, 241 (1981).

Newlander A., Nirenberg L. Complex analytic coordinates in almost complex manifolds, Ann. of Math. (2), 65, 391 (1957).

Newman E. T. Complex space-time and some curious consequences, in: Quantum Theory and the Structures of Time and Space, eds. L. Castell, M. Drieschner, C. F. von Weizsacker, Carl Hanser Verlag, Munchen, 1975.

Newman E. T. Heaven and its properties, Gen. Rei. Grav., 7, 107 (1976).

Newman E. T., Penrose R. An approach to gravitational radiation by a method of spin coefficients, J. Math. Phys., 3, 896 (1962); Errata: 4, 998 (1963).

Newman E. T., Penrose R. 10 exact gravitationally-conserved quantities, Phys. Rev. Lett, 15, 231 (1965).

Newman E. T., Penrose R. A note on the Bondi — Metzner—Sachs group, J. Math. Phys., 7, 863 (1966).

Newman E. T., Penrose R. New conservation laws for zero restmass fields in asymptotically flat space-time, Proc. Roy. Soc. (London), A305, 175 (1968).

Newman E. T., Porter I. R., Tod К. P. Twistor surfaces and right-flat spaces, Gen. Rei. Grav., 9, 1129 (1978).

Newman E. T., Tamburino L., Unti T. Empty-space generalization of the Schwarzschild metric, J. Math. Phys., 4, 915 (1963).

Newman E. T., Tod К. P. Asymptotically flat space-times, in: General Relativity and gravitation. One Hundred Years after the Birth of Albert Einstein, ed. A. Held, Plenum, New Uork, 1980.

Newman E. T., Unti T. W. I. Behavior of asymptotically flat empty space, J. Math. Phys., 3, 891 (1962).

Newman E. T., Winicour J. A curiosity concerning angular momentum, J. Math. Phys., 15, 1113 (1974).

Nirenberg L. Lectures on Linear Partial Differential Equations, CBMS Regional Conf. Ser. in Math. No. 17, Amer. Math. Soc., 1973.

Nirenberg L. On a question of Hans Lewy, Russian Math. Surveys, 29, 251 (1974).

Palais R. S. Seminar on the Atiyah-Singer index theorem. Ann. of Math. Study No. 57, Princeton University Press, Princeton, 1965. [Имеется перевод: Пале P. С. Семинар по теореме Атьи — Зингера об индексе. — М.: Мир, 1970.]

Parker Т., Taubes С. Н. On Witten’s proof of the positive energy theorem, Comm. Math. Phys., 84, 223 (1982).

Payne W. T. Elementary spinor theory, Amer. J. Phys., 20, 253 (1952).

Penrose R. The apparent shape of a relativistically moving sphere, Proc. Camb. Phil. Soc., 55, 137 (1959).

Penrose R. A spinor approach to general relativity, Ann. Phys., 10, 171 (1960).'

Penrose R. General relativity in spinor form, in: Les Theories Relativistes de la Gravitation, eds. A. Lichnerowicz, M. A. Tonnelat, CNRS, Paris, 1962, p. 429.

Penrose R. Asymptotic properties of fields and space-times, Phys. Rev. Lett, 10, 66 (1963).

Penrose R. The light cone at infinity, in: Conference Internationale sur les Theories Relativistes de la Gravitation, ed. L. Infeld, Gauthier-Villars, Paris and PWN, Warsaw, 1964.

Penrose R. Conformal approach to infinity, in: Relativity, Groups and Topology: the 1963 Les Houches Lectures, eds. B. S. DeWitt. С. M. De Witt, Gordon and Breach, New York, 1964.

Penrose R. Zero rest-mass fields including gravitation: asymptotic behaviour, Proc. Roy. Soc. (London), A284, 159 (1965).

Penrose R. General-relativistic energy flux and elementary optics, in: Perspectives in Geometry and Relativity, ed. B. Hoffmann, Indiana University Press, Bloomington, 1966, p. 259.

Penrose R. Twistor algebra. J. Math. Phys., 8, 345 (1967).

Penrose R. Conserved quantities and conformal structure in general relativity, in: Relativity Theory and Astrophysics, Lectures in Applied Mathematics, Vol. 8, ed. J. Ehlers, American Mathematical Society, Providence, 1967.

Penrose R. Twistor quantization and curved space-time, Int. J. Theor. Phys., 1, 61 (1968).

Penrose R. Structure of space-time, in: Battelle Rencontres: 1967 Lectures in Mathematics and Physics, eds. С. M. DeWitt, J. A. Wheeler, Benjamin, New York, 1968. [Имеется перевод: Пенроуз P. Структура пространства- времени. — М.: Мир, 1972.]

Penrose R. Solutions of zero rest-mass equations, J. Math. Phys., 10, 38 (1969).

Penrose R. Spinor classification о energy tensors, Gravitatsya, A. Z. Petrov Festschrift volume, Nauk. dumka, Kiev, 1971. [См.: Пенроуз P. Спинорная классификация тензора энергии. — В кн.: Гравитация. Проблемы и перспективы. Памяти А. 3. Петрова. — Киев, Наук, думка, 1972, с. 203.]

Penrose R. Techniques of Differential Topology in Relativity, CBMS Regional Conf. Ser. in Appl. Math., No. 7, S.I.A.M., Philadelphia, 1972.

Penrose R. On the nature of quantum geometry, in: Magic without Magic: J. A. Wheeler Festschrift, ed. J. R. Klauder, Freeman, San Francisco, 1972.

Penrose R. The geometry of impulsive gravitational waves, in: General Relativity, Papers in Honour of J. L. Synge, ed. L. O’Raifeartaigh, Clarendon Press, Oxford, 1972, p. 101.

Penrose R. Naked singularities, Ann. N. Y. Acad. Sci., 224, 125 (1973).

Penrsoe R. Relativistic symmetry groups, in: Group Theory in Non-linear Problems, ed. A. O. Barut, Reidel, Dordrecht, 1974.

Penrose R. Twistor theory: its aims and achievements, in: Quantum Gravity, an Oxford Symposium, eds. C. J. Isham, R. Penrose, D. W. Sciama, Oxford University Press, Oxfrod, 1975.

Penrose R. Twistors and particles: an outline, in: Quantum Theory and the Structures of Time and Space, eds. L. Castell, M. Drieschner, C. F. von Weizsacker, Carl Hanser Verlag, Munich, 1975.

Penrose R. Non-linear gravitons and curved twistor theory, Gen. Rei. Grav., 7, 31 (1976); The non-linear graviton, ibid., 171.

Penrose R. Any space-time has a plane wave as a limit, in: Differential Geometry and Relativity, eds. M. Cahen and M. Flato, Reidel, Dordrecht 1976.

Penrose R. A googly graviton, in: Advances in Twistor Theory, eds. L. P. Hughston, R. S. Ward, Pitman, San Francisco, 1979.

Penrose R. On the twistor description of massless fields, in: Complex Manifold Techniques in Theoretical Physics, eds. D. E. Lerner, P. D. Somers, Pitman, San Francisco, 1979.

Penrose R. The topology of ridge systems, Ann. Hum. Genet. (London), 42, 435 (1979).

Penrose R. A brief outline of twistor theory, in: Cosmology and Gravitation; Spin Torsion, Rotation and Supergravity, eds. P. G. Begrmann, V. de Sabbata, Plenum, New York, 1980.

Penrose R. A brief introduction to twistors. Surveys in High Energy Physics, 1, 267 (1980).

Penrose R. Quasi-local mass and angular momentum in general relativity, Proc. Roy. Soc. (London), A381, 53 (1982).

Penrose R. Spinors and torsion in general relativity, Foundations of Physics, 13, 325 (1983).

Penrose R. Physical space-time and nonrealizable CR-structures, Proc. Symp. Pure Math., 39, 401 (1983).

Penrose R. Integrals for general relativistic sources: a development from Maxwell’s eletromagnetic theory, in: Maxwell Symposium Volume, ed. M. S. Berger, North-Holland, Amsterdam, 1984.

Penrose R. Mass and angular momentum at the quasi-local level in general relativity, in: Asymptotic Behaviour of Mass and Spacetime Geometry, Proc. Corvalis, Oregon 1983, ed. F. J. Flaherty, Springer-Verlag, Berlin, 1984.

Penrose R. On the origins of twistor theory, in: Gravitation and Geometry, I. Robinson Festschrift volume, eds. W. Rindler, A. Trautman, Bibliopolis, Naples, 1986.

Penrose R., MacCallum M. A. H. Twistor theory: an approach to the quantization of fields and space-time, Phys. Repts., 6C, 241 (1972).

Penrose R., Sparling G. A. J. A note on the n-twistor internal symmetry group, in: Advances in Twistor Theory, Research Notes in Mathematics No. 37, eds. L. P. Hughston, R. S. Ward, Pitman, San Francisco, 1979.

Penrose R., Ward R. S. Twistors for flat and curved space-time, in: General Relativity and Gravitation, One Hundred Years after the Birth of Albert Einstein, ed. A. Held, Plenum, New York, 1980.

Perjes Z. Twistor variables in relativistic mechanics, Phys. Rev., Dll, 2031 (1975).

Perjes Z. Perspectives of Penrose theory in particle physics, Rept. Math. Phys., 12, 193 (1977).

Perjes Z. Introduction to twistor particle theory, in: Twistor Geometry and Non-Linear Systems, eds. H. D. Doebner, T. D. Palev, Springer-Verlag, Berlin, 1982, p. 53.

270a. Perjes Z., Sparling G. A. I. The twistor structure of hadrons, in: Advances in Twistor Theory, eds, L. P. Hughston, R. S. Ward, Pitman, San Francisco, 1979.

Petrov Л. Z. Classification of spaces defined by gravitational fields, Uch. Zap. Kazan Gos. Univ., 114, 55 (1954). [См.: Петров A. 3. Классификация пространств, определяемых гравитационными полями. Уч. Зап. Казан. Гос. Унив., 1954, т. 114, с. 55.]

Petrov A. Z. Einstein Spaces, Pergamon Press, Oxford, 1969. [См. также: Петров А. 3. Пространства Эйнштейна. — М.: Физматгиз, 1961.)

Pirani F. А. Е. Invariant formulation of gravitational radiation theory. Phys. Rev., 105, 1089 (1957).

Pirani F. A. E. Gravitational waves in general relativity IV. The gravitational field of a fast moving particle. Proc. Roy. Soc. (London), A252, 96 (1959).

Pirani F. A. E. Gauss’s theorem and gravitational energy, in: Les Theories Relativistes de la Gravitation, eds. M. A. Lichnerowicz, M. A. Tonnelat, C. N. R. S„ Paris, 1962, p. 85.

Piebanski J. F. The algebraic structure of the tensor of matter, Acta Phys. Polon., 26, 963 (1964).

Piebanski I. F. Some solutions of complex Einstein equations, J. Math. Phys., 16, 2395 (1975).

Piebanski I. F., Robinson I. The complex vacuum metric with minimally degenerated conformal curvature, in: Asymptotic Structure of Space-Time, eds. F. P. Esposito, L. Witten, Plenum, New York, 1977.

Piebanski J. F., Schild A. Complex relativity and double KS metric, Nuovo Cim., B35, 35 (1976).

Pliicker I. On a new geometry of space, Phil. Trans. Roy. Soc. (London), 155, 725 (1865).

Pliicker I. Neue Geometrie des Raumes, Vol. 1, Leipzig, 1868.

Pliicker I. Neue Geometrie des Raumes, Vol. 2, ed. F. Klein, Leipzig, 1869.

Porrill I., Stewart I. M. Electromagnetic and gravitational fields in a Schwarzschild space-time, Proc. Roy. Soc. (London), A376, 451 (1981).

Porteous I. R. Topological Geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1981..

Porter J. R. The nonlinear graviton: superposition of plane waves, Gen. Rei. Grav., 14, 1023 (1982).

Press W. H., Bardeen I. M. Non-conservation of the Newman — Penrose conserved quantities, Phys. Rev. Lett, 27, 1303 (1971).

Prior C. R. Angular momentum in general relativity I. Definition and asymptotic behaviour, Proc. Roy. Soc. (London), A354, 379 (1977).

Qadir A. Penrose graphs, Phys. Repts., 39C, 131 (1978).

Qadir A. Field equations in twistors, J. Math. Phys., 21, 514 (1980).

Reida O., Tod К. P. Positivity of the Bondi energy, J. Math. Phys., 25, 1004 (1984).

Rindler W. Visual horizons in world-models, Mon. Not. R. Astr. Soc. (London), 116, 662 (1956).

Rindler W. Essential Relativity, Springer-Verlag, New York, 1977.

Rindler W. Introduction to Special Relativity, Clarendon Press, Oxford, 1982.

Robinson I. Null electromagnetic fields, J. Math. Phys., 2, 290 (1961).

Robinson I., Schild A. Generalization of a theorem by Goldberg and Sachs, J. Math. Phys., 4, 484 (1963).

Robinson I., Trautman A. Some spherical gravitational waves in general relativity, Proc. Roy. Soc. (London), A265, 463 (1962).

Sachs R. K. Gravitational waves in general relativity VI. The outgoing radiation condition, Proc. Roy. Soc. (London), A264, 309 (1961).

Sachs R. K. Gravitational waves in general relativity VIII. Waves in asymptotically flat space-time, Proc. Roy. Soc. (London), A270, 103 (1962).

Sachs R. К. Asymptotic symmetries in gravitational theory, Phys Rev 128,2851 (1962)."

Sachs R. K. Distance and the asymptotic behavior of waves in general relativity, in: Recent Developments in General Relativity, Pergamon Press, Oxford and PWN, Warsaw, 1962.■

Sachs R. K-, Bergmann P. G. Structure of particles in linearized gravi- tatoinal theory, Phys. Rev., 112, 674 (1958).

Schoen R., Yau S. T. Positivity of the total mass of a general space-time Phys. Rev. Lett., 43, 1457 (1979).’

Schoen R., Yau S. T. On the proof of the positive mass conjecture in general relativity, Comm. Math. Phys., 65, 45 (1979).

Schoen R., Yau S. T. Proof that the Bondi mass is positive, Phys. Rev. Lett., 48, 369 (1982).

Shouten I. A. Ricci-Calculus, 2nd ed., Springer, Berlin, 1954.

Schrodinger E. Expanding Universes, Cambridge University Press, Cambridge, 1956. [Имеется перевод: Шредингер Э. Расширяющиеся вселенные. — В кн.: Шредингер Э. Пространственно-временная структура вселенной.— М.: Наука, 1986, с. 134.]

Seifert Н. I. The causal boundary of space-times, Gen. Rei. Grav., 1, 247 (1971)..

Sen A. On the existence of neutrino «zero-modes» in vacuum spacetimes, J. Math. Phys., 22, 1781 (1981).

Shanahan P. The Atiyah-Singer Index Theorem, Lecture Notes in Mathematics, No. 638, Springer-Verlag, Berlin, 1978.

Shaw W. T. Twistor theory and the energy-momentum and angular momentum of the gravitational field at spatial infinity. Proc. Roy. Soc. (London), A390, 191 (1983).

Shaw U7. T. Spinor fields at spacelike infinity, Gen. Rei. Grav., 15, 1163 (1983).

Shaw W. T. Twistors, asymptotic symmetries and conservation laws at null and spatial infinity, in: Asymptotic Behavior of Mass and Spacetime Geometry, Proc. Corvalis, Oregon 1983, ed. F. J. Flaherty, Springer-Verlag, Berlin, 1984.

Shaw W. T. Symplectic geometry of null infinity and two-surface twistors. Class. Quant. Crav., 1, L33 (1984).

Sommerfeld A. Partielle Differentielgleichungen der Physik, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1958. [Имеется перевод предыдущего издания: Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. — М.: ИЛ, 1950.1

Sommers Р. D. On Killing tensors and constants of motion, J. Math. Phys., 14, 787 (1973).

Sommers P. D. Properties of shear-free congruences of null geodesics. Proc. Roy. Soc. (London), A349, 309 (1976).

Sommers P. Type V vacuum space-times as special functions in C2, Gen. Rei. Grav., 8, 855 (1977).

Sommers P. Spase spinors. J. Math. Phys., 21, 2567 (1980).

Sparling G. A. J. Homology and twistor theory, in: Quantum Gravity, eds. C. J. Isham, R. Penrose, D. W. Sciama, Oxford University Press, Oxford, 1975.

Sparling G. A. J. Theory of massive particles I: Algebraic structure, Phil. Trans. Roy. Soc. (London), 301, 27 (1981).

Sparling G. A. J. Differential ideals and the Einstein vacuum equations, Pittsburg preprint, 1983.

Sparling G. A. J. Twistors, spinors and the Einstein vacuum equations, Pittsburg preprint, 1984.

Sparling G. A. J. Twistor theory and the characterization of Fefferman's conformal structures. Pittsburg preprint. [В печати.] (1985).

Streubel М. «Conserved» quantities for isolated gravitational systems, Gen. Rei. Grav., 9, 551 (1978).

Strooker I. R. Introduction to Categories, Homological Algebra and Sheat Cohomology, Cambridge University Press, Cambridge, 1978.

Study E. Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung, Bd. XI, S. 319, 1903.

Synge J. L. Relativity: The Special Theory, North-Holland, Amsterdam, 1955.

Synge I. L. Relativity: The General Theory, North-Holland, Amsterdam, 1960. [Имеется перевод: Синг Дж. Л. Общая теория относительности. — М.: ИЛ, 1963.]

Szekeres Р. Spaces conformal to a class of spaces in general relativity, Proc. Roy. Soc. (London), A274, 206 (1963).

Szekeres P. Conformal tensors, Proc. Roy. Soc. (London), A304, 113(1967).

Tafel I. On the Robinson theorem and shearfree geodesic null congruences, Lett. Math. Phys. [В печати.] (1985).

Tamburino L. A., Winicour J. H. Gravitational fields in finite and conformal Bondi frames, Phys. Rev., 150, 1039 (1966).

Tamm Ig. Die verallgemeinten Kugelfunctionen und die Wellenfunktionen eines Elektrons in Felde eines Magnetpoles, Z. Phys., 71, 141 (1931).

Terrell J. Invisibility of the Lorentz contraction, Phys. Rev., 116, 1041 (1959).

Thorpe J. A. Elementary Topics in Differential Geometry, Springer-Verlag, New York, 1979.

Tod К. P. Curved twistor spaces and 3^-space. Surveys in High Energy Physics, 1, 299 (1980).

Tod К. P. Some examples of Penrose’s quasi-local mass construction, Proc. Roy. Soc. (London), A388, 457 (1983).

Tod К. P. Quasi-local charges in Jang-Mills theory, Proc. Roy. Soc. (London), A389, 369 (1983).

Tod К. P. Three-surface twistors and conformal embedding, Gen. Rei. Grav., 16, 435 (1984).

Tod К. P., Horowitz G. T. A relation between local and total energy in general relativity, Comm. Math. Phys., 85, 429 (1982).

Tod К. P., Perjes A. Two examples of massive scattering using twistor theory, Gen. Rei. Grav., 7, 903 (1976).

Tod К. P., Ward R. S., Self-dual metrics with self-dual Killing vectors, Proc. Roy. Soc. (London), A368, 411 (1979).

Todd I. A. Projective and analytic geometry, Pitman, London, 1947.

Tolman R. C. Relativity, Thermodynamics, and Cosmology, Oxford University Press, Oxfrod, 1934. [Имеется перевод: Толмен P. Относительность, термодинамика и космология. — М.: Мир, 1976.]

Turnbull Н. W., Aitken А. С. An Introduction to the Theory of Canonical Matrices, Blackie, London, 1948.

Veblen O. Geometry of two-component spinors, Proc. Nat. Acad. Sci., 19, 462 (1933).

Veblen O. Geometry of four-component spinors, Proc. Nat. Acad. Sci., 19, 503 (1933).

Veblen O. Spinors, Science, 80, 415 (1934).

Veblen O., Taub A. H. Projective differentiation of spinors, Proc. Nat. Acad. Sci., 20, 85 (1934).

Veblen O., Young I. W. Projective Geometry, Vol. I, Ginn, Boston, 1910, p. 333.

Veblen O., Young J. W. Projective Geometry, Vol. II, Ginn, Boston, 1918, p. 374.

Wald R. M. General Relativity, University of Chicago Press, Chicago,

Walker М. On the positivity of total gravitational energy at retarded times, in: The 1982 Les Houches Summer School on Gravitational Radiation, ed. R. Ruffini, 1982.

Walker M., Penrose R. On quadratic first integrals of the geodesic equations for type {22} spacetimes, Comm. Math. Phys., 18, 265 (1970).

Walker M., Will С. M. Relativistic Kepler problem, I: Behaviour in the distant past of orbits with gravitational radiation damping, Phys. Rev., D19, 3483 (1979); II. Asymptotic behaviour of the field in the infinite past, ibid, 3495 [Erratum: Phys. Rev., D20, 3437 (1979).

Walker R. J. Algebraic Curves, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1950.

Ward R. S. On self-dual gauge fields, Phys. Lett, 61 A, 81 (1977).

Ward R. S. A class of self-dual solutions of Einstein’s equations. Proc. Roy. Soc. (London), A363, 289 (1978).

Ward R. S. Self-dual gauge fields, Surveys in High Energy Physics, 1, 289 (1980).

Ward R. S. Self-dual space-times with cosmological constant, Comm. Math. Phys., 78, 1 (1980).

Ward R. S., Wells R. O., Jr. Twistor Geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.

Weinberg S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, Wiley, New York, 1970.

Wells R. O., Jr. Complex manifolds and mathematical physics, Bull. (New Series) Amer. Math. Soc., 1, 296 (1979).

Wells R. O., Jr. Differential Analysis on Complex Manifolds, SpringerVerlag, New York, 1980. [См. также: Уэллс P. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. — М.: Мир, 1976.]

Wells R. О., Jr. Hyperfunction solutions of the zero-rest-mass field equations, Comm. Math. Phys., 78, 567 (1981).

Wells R. O., Jr. Complex Geometry in Mathematical physics, Presses de I’Universite de Montreal, Montreal, 1982.

Wess J., Zumino B. Supergauge transformations in four dimensions, Nucl. Phys., 70, 39 (1974).

Whittaker E. T. On the partial differential equations of mathematical physics, Math. Ann., 57, 333 (1903).

Wulmore T. J., Hitchin N. (eds.) Global Riemannian Geometry, Ellis Hor- word, Chichester; Wiley, New York, 1984.

Winicour J. Some total invariants of asymptotically flat space-times, J. Math. Phys., 9, 861 (1968).

Winicour J. Angular momentum in general relativity, in: General Relativity and Gravitation, Vol. 2, ed. A. Held, Plenum, New York, 1980.

Witten L. Invariants of general relativity and the classification of spaces, Phys. Rev., 113, 357 (1959).

Witten E. An interpretation of classical Yang-Mills theory, Phys. Lett, 77B, 394 (1978).

Witten E. A new proof of the positive energy theorem, Comm. Math. Phys., 80, 381 (1981).

Woodhouse N. M. J. The real geometry of complex space-times. Int. J. Theor. Phys., 16, 663 (1977).

Woodhouse N. M. J. Twistor theory and geometric quantization, in: Group Theoretical Methods in Physics, Springer Lecture Notes in Physics No. 50, eds. A. Janner, T. Janssen, N. Boon, Springer-Verlag, Berlin, 1979, p, 149.

Woodhouse N. M. J. Geometric Quantization, Clarendon Press, Oxford, 1980.

Woodhouse N. M. J. On self-dual gauge fields arising from twistor theory, Phys. Lett., 94A, 269 (1983).

Woodhouse N. M. J. Real methods in twistor theory. Class. Quantum Grav., 2, 257 (1985).

Wu T. T., Yang C. N. Dirac monopole without strings: monopole harmonics, Nucl. Phys., B107, 365 (1976).

Жаринов В. В., Сергеев А. Г.—В кн.: Твисторы и калибровочные поля/ Под ред. В. В. Жаринова.—М.: Мир, 1983.

Предметно-именной указатель

Абстрактных индексов формализм 13, 520

Альфа-кривая («-кривая) 462

— бесконцевая в прошлом 462

«-плоскость 81, 369, 533, 538

— высшей размерности 532

Амбитвистор 198, 544

Аналитическая функция 230

Аналитичность на гиперповерхности 263

Анти симметризация 18

Арновитта — Дезера — Мизнера выражение для массы 506

Асимптотическая евклидовость 414

Асимптотически-простое пространство-время 411, 415

Асимптотическое разложение в теории Эйнштейна — Максвелла 464 — спиновое пространство 486 — эйнштейновское условие 419

Асимптотической простоты условия 418

Астигматизм фокусировки 274

Атья — Зингера индекс 472, 535

Аффинный параметр 205, 346, 427

в модифицированном формализме 220

Ахрональная гиперповерхность 508

Аштекара— Хансена выражение для массы 478

0-плоскость 81, 369, 533, 538

— высшей размерности 532

Бивектор простой 293

собственный (комплексный)

288

Бивекторная структура тензора Вейля 293

Бирациональный инвариант кривой о 340

Большой треск (конечная сингулярность) 397

Бонди координата времени 442

— параметр 434

— система 456

Бонди — Метцнера— Сакса группа 9, 437

— структура 449

— представления 450

Бонди — Сакса 4-импульс 468, 488, 490, 500

альтернативные выражения 490

формула для массы 57, 463

альтернативные выражения

490

формула потерь массы 500

функция новостей 457

Брайант 259

Буст активный 11

— предельный 271

Бустовый вес 35, 41

Базис:

бивекторный 289

координатный 28

спинорный 16

твисториый 62

Бейтмен 172

Бета-кривая (0-кривая) 259

— бесконцевая в прошлом 350

Вакуумные уравнения Эйнштейна 33

Вейля (конформный) спинор 32, 149 — (конформный) тензор 32, 289, 168 главные римановы направления 294

картина 273, 276, 277

Вейля (комформный) тензор на S' (скрай) 421

собственный бивектор 288

Вектор девиации 209

— изотропный 18

Весе 58

Взвешенные величины типа {г', г; t', 0 35

— операторы р ,б, V, б' 35

Виккерс 500

Виттен 470

Виттена доказательство положительности массы 506

Внешнее произведение 27

Внешняя кривизна поверхности 473

Волновая функция положительночастотная 50

Волновое уравнение 53, 101

конформно-инвариантное 153

Вполне голоморфная конструкция 385

— изотропные комплексные 2-поверхности 227

— ортогональные плоскости 293

Вселенная:

антидеситтеровская 398, 417

— как универсальное накрытие 400 антиэйнштейновская 394

де Ситтера 398

Милна 398

толменовская радиационная 397

Эддингтона — Леметра 398

Вудхаус 388, 475, 547

Гаусса — Бонне теорема 39

Гауссова кривизна поверхности 38

Гегенбауэра функции 42

Генерический случай 199, 200, 328,

329, 337, 343, 364, 472, 473, 538

Геодезическая комплексная изотропная 368

Геометрия 2-поверхностей 38

Главные изотропные векторы 23

направления 23

гравитационные (ГГИН)

228, 276

гармоничные 281

эквиангармоничные 281

спинора электромагнитного

поля (ЭГИН) 305

— спиноры 23

/г-кратные 24

Голдберга — Сакса теорема 234

Голая сингулярность 244

Голоморфное касательное пространство 256, 257

Горизонты космологические 396

Горовица — Перри доказательство по

ложительности массы 511

Гравитационный инстантон 159

— спинор 32

Гравитоны 197

Граница пространства-времени 344

Граничное неразложимое множество

будущего (ГНБ) 351

прошлого (ГНП) 351

Грассман 364

Гржина индекс 374, 387—389, 392

— теорема 383, 389

Группа:

асимптотических симметрий 433

диффеоморфизмов 433

когомологий 192

конформная пространства Минковского 84, 354

— и группа 0(2,4) 358

Ньюмена — Унги 436

псевдоунитарнаятвисторная

50(2,2) 359

Пуанкаре 85, 105

Гугли-гравитон 198

Даламбера оператор 101

Данные на изотропной поверхности

54

Двойное отношение 11

гармоническое 12

эквигармоническое 12

Джефрис 473, 547

Диада 29

Дираковский спинор 61

— твистор 61

Дисфеноид 296

Дуальное вращение 32

— преобразование 22

Дуальность проективных пространств

370

Дуально-твисторные линии 461

Дуальные расслоения 385

Жорданова нормальная форма 337

Жордановы формы 286

Законы сохранения 105

Заряд магнитный 95

— электрический 95

Зингер 153

Зоммерфельда условие 432

Зумино 58, 545

Изотропная бесконечность пространства-времени Шварцшильда 411, 413

— геодезическая 205

Изотропная гиперповерхность 40

— прямая 74

Изотропное вращение 26

Изотропно-разДеленные точки 368

Изотропный вектор 18

— конус 10

на бесконечности 75

— угол 439, 442, 446

интерпретация 446

— флаг 18

Инварианты полной кривизны 311, 535

Индуктивное построение спинового пространства 535

Инцидентность 80, 364, 367

Иствуд 147, 153

Калибровочные преобразования 90, ПО

Калибровочный произвол 113

Картан 161

Картера постоянная 137

Картина тензора Вейля на S+ 473, 476, 477

Квадрика 356, 398, 400, 532, 542

Кватернионная структура 541

Келли 364, 475, 543, 547

Керра координаты 238

— поверхность 264, 265

— пространство 134

— решение 133—137, 244

— теорема 239, 241, 254, 262

твисторная форма 242

— функция односторонняя 264

Каллинга вектор 91, 103, 105, 121, 469

комплексный 111, 135

конформный 469

— конформное уравнение 91, 104

— спинор 131, 132, 134

— тензор 131

Каллинга—Дно тензор 136, 137

Кирхгофа — Дадемара формула 54, 391, 432, 504

Классификация тензора Максвелла 305

Клейна бутылка 353

— представление 364

— соответствие 363, 369

Клиффорда алгебра 522

— уравнение 519

Клиффордовы параллельные (на S3) 78, 79

Когомологии Дольбо 194

— пучков твисторов 171

относительные 182

Кограница 192, 195

Кограничный оператор 195

Комар 481

Комплекс энергин-импульса/момента импульса 468

Комплексифицированное простран

ство-время 76

Минковского 81, 82

Комплексная геометрия 362

— изотропная геодезическая 368

— кривизна поверхности (гауссова) 38

— структура 253, 255

и КД-структура 253

Комплексно-действительное (КД) многообразие 254, 257, 264 структура 253 реализуемая 254, 257

Комплексное пространство-время 157

— сопряжение спиноров 540

Комплексные (р, q) -кривые 317

— размерности пространств 42

Конгруэнция бессдвиговая 227, 262

— вращение 215, 221

— геодезическая 205

— дисторсия 218, 221

— изотропная 212, 217

— конвергенция 215, 221

— Робинсона 76—79

специальная 79

Контактная структура (инвариантная)

248, 253, 262, 516

Контортные двумерные поверхности

473, 474

Контурные интегралы для безмассо- вых полей 171 геометрия 182

Конформная группа пространства

Минковского 84

— компактификация 226

Конформное движение 11, 41

— изменение масштаба 48, 72, 372

— отображение плоских пространств 152

Конформно-инвариантное волновое уравнение 153

Конформно-инвариантные операторы бс и ус 31, 49

Конформные плотности 49

Конформный вес 41

Космологические горизонты 396

Коцепь Чеха 194

Коцикличность 191, 196

Кронекера б-символ 15

Кротовая нора 479

Кручение 221

Лагранжевы 2-плоскости 226

Ле-Брюн 259

Леви 265

Ли 364

— скобка 27, 256

Линейная гравитация ПО

Линзовый эффект кривизны 275

Лобачевского пространство 394

Локус о (геометрическое место точек) 315, 316

—двукратные точки 328

приводимость 316

типы узлов 333

точка соприкосновения 332

точки возврата 331

Лоренца калибровка 45, 101

— преобразование активное 270

— ограниченное 26, 41, 280, 281, 296, 301, 302

— пассивное 270

Луч (изотропная прямая линия) 74

— изопараметрический 209, 212, 251, 378

на языке твисторов 218

— неизопараметрический 223

Людвигсена —- Виккерса подход 500, 508, 512

Масса покоя 478

квазилокальная 478

Масштаб векторов 204, 205

— линии 206, 258

— спинора 465

Масштабное преобразование твисторов 263

Масштабно-ковариантные величины 210

Масштабный фактор 409, 410

Модифицированный формализм спиновых коэффициентов 34

Модуль © (тензоров, спиноров) 14 — эллиптической кривой 340

Момент импульса 89, 107, 462

Аштекара— Хансена 478

самодуальный 495

в асимптотически-плоском пространстве 57, 464, 497

в линейной гравитации 95

в общей теории относительности 467

в решении Керра 136, 244

Нейенхёйс 256

Нелинейно-гравитационная конструкция 462

Неприводимости условие 20

Неприводимый тензор 19

— спинор [по отношению к группе

SL (2,С)1 20

Нестер 515

Нётер теорема 107

Ниренберг 256

НП-константы 504

Ньюлендер 256

Ньюмен, ^-пространство 460

Ньюмена — Унти группа 436

Образующие гиперповерхности 218

Оператор £ 27

Операция штрих 30, 36, 236

Параметр яркостный 215, 222

Паули — Любанъского спинвектор 87,

496

Пенроуз 171, 335

Первичное квантование твисторов 175

Периодическая последовательность

момента 119

Петрова классификация 266

— канонические формы 292

— типы 268, 286

Плебаньский 315, 338

Полотнище флага 18

Плюккер 364

Поле:

алгебраически специальное 228

безмассовое 50, 390

гравитационное 95

изотропное 228

— электромагнитное 237

Максвелла действительное простое

46

— комплексное 45, 95, 147

негржиновское 392

положительно-частотное 184, 186

скалярное конформно-инвариантное

на 3 (скрай) 477

скрученное 385

спинорное 144, 544

Янга — Миллса 46

(анти-) самодуальная часть 48

Полевые уравнения Эйнштейна 31,

34

Порядок спинорных индексов 65

Последовательное вырождение 425,

426, 430, 432

Потенциалы для безмассового поля

100

Почти комплексное многообразие 255

Правый поворот 379, 380

Представление точек с помощью тви- сторов 82

Принцип триальности 543

Причинная кривая 349

Причинный вектор 94, 373

Проективная прямая (комплексная) 363

Проективные образы пространств (обозначения) 72

Производная:

внешняя 27

заряженных полей 44

ковариантная 26

конформно-инвариантная 137

Ли (оператор £) 27

Пространственно-временное отраже

ние пространства 380

Пространство-время:

асимптотически простое 415

комплексное 157

левое конформно-плоское (конформ-

но-самодуальное) 159

левоплоское (самодуальное) 159

Минковского М(^) как пространство начал 494

Минковского компактифицированное М* 352

— комплексифицированное СМ* 362

типы комплексных точек 372

правое конформно-плоское (кон- формно-антисамодуальное) 159

правоплоское (антисамодуальное) 159

Пространство локальных твисторов 162

кривизна 166

— начал 494, 495, 498

— постоянных спинорных полей 114

Путь флага 12, 378

Пучков теория 145

Пучок свободный 146

Радиус вселенной 409, 410

Разрешение уравнений 143

— пучка 146

Райс 153

Райсснера — Нордстремапростран

ство-время 237, 480

Расстояние, выраженное через тви- сторы 85

Результант форм 313

Релятивистская струна 547

Реулы— Тода доказательство поло

жительности массы 511

Решение НУТ 134

Риччи спинор 32

классификация 314, 326

схема специализации 337

Робинсон 237, 265

Робинсона конгруэнция 75, 76, 243, 354, 382

специальная 79

— теорема 229, 247

Росс 225

Сакса уравнения 220, 221

— процедура последовательного вырождения 424

Самосогласованные системы полей 54

Световой конус (в пространстве Минковского^ 10

Сегрэ характеристика 337

Сена — Виттена уравнение 507

Сильная конформная геометрия на ^+ 437, 444, 446

Символ валентности спинора 20

-Аб1

Симметризация 18