ПРОЛОГ

Поток времени в своем неудержимом и вечном течении влечет за собой все сущее. Он ввергает в йучину забвения как незначительные события, так и великие, достойные памяти; туманное как говорится в трагедии, он делает явным, а очевидное скрывает. Однако историческое повествование служит надежной защитой от потока времени и как бы сдерживает его неудержимое течение; оно вбирает в себя то, о чем сохранилась память, и не дает этому погибнуть в глубинах забвения.

Анна Комнина, Алексиада

Глава 1

ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Физику нельзя представлять себе как логически стройную систему. Скорее, в любой момент она увязывает как-то огромное число неупорядоченных идей, часть из которых пришла к нам, подобно эпосу, из героических периодов прошлого, а другая возникла, подобно утопическим романам, из наших смутных предчувствий всеобъемлющего синтеза в будущем. Автор книги по физике может навести порядок в этом хаосе, организуя свой материал любым из двух способов: либо беспристрастно прослеживая всю его историю, либо следуя своим собственным идеям о том, что такое завершенная логическая структура физических законов. Оба способа приемлемы, важно только, используя первый, не перепутать физику с историей, а историю с физикой.

В этой книге я изложил теорию гравитации, согласно собственным представлениям о внутренней логике этой ветви физической науки, а не в последовательности ее исторического развития. Общеизвестен тот исторический факт, что, когда Альберт Эйнштейн работал над общей теорией относительности, у него под рукой имелся законченный математический аппарат римановой геометрии, который он и использовал целиком. Тем не менее

этот исторический факт вовсе не означает, что суть общей теории относительности состоит именно в применении римановой геометрии к пространству и времени.

С моей точки зрения, наиболее полезно рассматривать общую теорию относительности прежде всего как теорию гравитации, чья связь с геометрией возникает из-за особых эмпирических свойств гравитации — свойств, которые были сконцентрированы в принципе эквивалентности гравитации и инерции Эйнштейна. В связи с этим повсюду в этой книге я пытался отложить введение таких геометрических понятий, как метрика, аффинная связность и кривизна, до тех пор, пока использование этих понятий не будет продиктовано физической необходимостью. Поэтому порядок глав здесь весьма слабо связан с ходом исторического развития.

Однако, поскольку мы не должны позволить истории физики «погибнуть в глубинах забвения», мы посвящаем эту первую главу краткой ретроспективе трех основных разделов физической науки, предшествовавших общей теории относительности,— неевклидовой геометрии, ньютоновой теории тяготения и принципу относительности. Историю этих разделов физики можно проследить вплоть до 1916 г., когда все они были собраны воедино Эйнштейном в его общей теории относительности [11.

История создания неевклидовой геометрии

Евклид в «Элементах» 】)показал, как с помощью нескольких определений, аксиом и постулатов можно было бы построить геометрию. Его предположения в основном относятся к самым фундаментальным свойствам точек, линий и фигур, и школьникам XX в. они кажутся столь же очевидными, как и эллинским математикам III в. до н. э. Однако одно из утверждений Евклида всегда казалось менее очевидным, чем другие. Пятый постулат Евклида гласит: «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых» ).

В течение двух тысяч лет геометры пытались освободить евклидову систему постулатов от этого последнего, доказывая, что он является логическим следствием остальных. Сегодня мы знаем, что это невозможно. Евклид был прав: нельзя обнаружить противоречия в геометрии без пятого постулата, а потому, если он

Основное английское издание [2] с введением и комментариями Т. Хитса.“

нам нужен, его необходимо ввести с самого начала, а не пытаться доказывать в конце. Тем не менее борьба за доказательства пятого постулата привела в конечном итоге к одному из величайших достижений в истории математики — созданию неевклидовой геометрии.

Список тех, кто надеялся доказать пятый постулат как теорему, включает Птолемея (умер в 168 г.), Прокла (418—485), Насирэддина Туси (XIII в) Леви бен Герзона (1288—1344)т П. А. Катальди (1548——1626), Джованни Альфонсо Борелли (1608—1679), Витали Джордано (1633—1711), Джона Валлиса (1616 — 1703), Джироламо Саккери (1667—1733), Иоганна Генриха Ламберта (1728—1777) и Адриена Мари Лежандра (1752— 1833). Все они, без исключения, преуспели лишь в замене пятого постулата каким-либо другим более или менее эквивалентным постулатом, который, однако, не удавалось вывести из других постулатов Евклида. Так. последователь Платона Прокл из Афин предложил следующую замену пятого постулата: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных, опа пересекает и другую» (т. е. если определить параллельные как нигде не пересекающиеся прямые, то существует не более одной прямой, проходящей через любую заданную точку и параллельной данным). Джон Валлис, профессор Оксфорда, показал, что пятый постулат Евклида можно заменить следующим эквивалентным утверждением: «Для любой заданной фигуры существует фигура, подобная ей, причем любого размера». Лежандру удалось доказать эквивалентность пятого постулата такому утверждению: «Существует треугольник, в котором сумма трех углов равна двум прямым» L).

В XVIII в. попытки обойти пятый постулат Евклида приняли другое направление. В 1733 г. иезуит Джироламо Саккери опубликовал детальное изучение вопроса, какой могла бы быть геометрия, если бы пятый постулат оказался ложным. В частности, он рассмотрел следствия своей 《гипотезы об острых углах»—— утверждения, что «для любой заданной прямой можно про- вестн прямую, перпендикулярную к ней, и прямую, пересекающую ее под острым углом, которые не пересекали бы 。口на другую» 9- В действительности Саккери не считал это возможным; оп был убежден в необходимости пятого постулата и исследовал неевклидову геометрию только в надежде отыскать в итоге логическое противоречие. Аналогичные попытки иссле- Н°вання неевклидовой геометрии были начаты Ламбертом и Ле

Карл Фридрих Гаусс (1777—1855), кажется, был первым. У кого хватило смелости принять логическую возможность суще-

')Цитируется по работе [3].

ствования неевклидовой геометрии i). Его постепенное прозрение увековечено в цикле писем (см. [4]) к Бойяи, Олберсу, Шумахеру, Герлингу, Тауринусу и Бесселю, написанных за период с 1799 по 1844 г. В письме, датированном 1824 г., он просил Тауринуса хранить молчание о «высказанном им еретическом мнении». Гаусс обращался даже к триангуляционной съемке в горах Гарца, производя съемку треугольника, образуемого вершинами Инзель- берг, Брокен и Высокий Хаген, чтобы увидеть, будет ли сумма его внутренних углов равна 180° (так и оказалось ). Затем в 1832 г. он получил письмо от своего друга Вольфганга Бойяи, в котором была описана неевклидова геометрия, развитая его сыном, Яношем Бойяи (1802 ——1860), офицером австрийской армии. Впоследствии Гаусс узнал, что профессор из Казани Николай Иванович Лобачевский (1793——1856) получил аналогичные результаты в 1826 г.

Гаусс, Бойяи и Лобачевский независимо друг от друга открыли то, что сейчас называется двумерным пространством постоянной отрицательной кривизны. Пространства такого вида весьма интересны; позже, в главе, посвященной космографии, мы увидим, что пространство, в котором мы обитаем, возможно, является трехмерным пространством с постоянной кривизной. Однако для создателей новой геометрии было важным то, что она описывает бесконечное двумерное пространство, для которого справедливы все предположения Евклида ——за исключением пятого постулата! Существует только одно такое пространство, и этим, возможно, объясняется, почему открытие новой геометрии было сделано более или менее независимо в Германии, Австрии и России. (Поверхность сферы также удовлетворяет геометрии Евклида без пятого постулата, но, поскольку такая поверхность конечна, на ней нет места параллельным линиям.)

В гл. 13, посвященной симметричным пространствам, мы увидим, что двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны нельзя представить как поверхность в обычном трехмерном евклидовом пространстве. Это объясняет, почему потребовались два тысячелетия, чтобы найти его. По этой же причине становятся неверными альтернативные почти очевидные версии пятого постулата Евклида, выдвигавшиеся Проклом, Валлисом и Лежандром, так как теперь через любую заданную точку можно провести бесконечное множество прямых, параллельных

У Гаусса не хватило смелости опубликовать свои заметки о пятом постулате. Это было сделано великим русским математиком Николаем Лобачевским, который и получил весь запас злой критики не понявших его математиков. Роль Яноши Бойяи столь же велика, однако он не довел развитие аппарата неевклидовой геометрии до той полноты и совершенства, какую последний получил в работах Лобачевского.——Прим. ред.

чисел 算1(1.1.1)(1.1.2)масштаб являетсячисел 算1(1.1.1)(1.1.2)масштаб являетсяданной прямой, никакие фигуры различного размера не могут быть подобными и, наконец, сумма углов любого треугольника меньше 180°. Однако все еще оставалась открытой возможность того, что пятый постулат Евклида вытекает из других постулатов, так как, вообще говоря, не было очевидным, что геометрия Гаусса, Бойяи и Лобачевского не содержит логических противоречий. Обычный способ «доказательства» того, что система математических постулатов самосогласована, сводится к конструированию модели, удовлетворяющей этим же постулатам, но сделано это должно быть из объектов и понятий, взятых из другой системы, непротиворечивость которой (на данный момент) не вызывает сомнений. Как для евклидовой, так и для неевклидовой геометрии в качестве «модели» служит теория действительных чисел. Если декартовы координаты точки на плоскости отождествить с парой действительных чисел (z17 ^2)， а расстояние между двумя точками (况и ^2) и (Х「 Х2) записать в виде [(zx ——Xj)2 + 十(関2 ——Ха)?】"？， то все евклидовы постулаты можно доказать как теоремы о действительных числах. В 1870 г. аналитическая геометрия такого типа [5] была построена Феликсом Клейном (1849——1925) для пространства Гаусса, Бойяи, Лобачевского i). Точка в такой геометрии задается парой действительных и 况2，удовлетворяющих условию

чисел 算1

(1.1.1)

(1.1.2)

масштаб является

чисел 算1

(1.1.1)

(1.1.2)

масштаб является

考+城V1,

а расстояние d (况,X) между двумя точками равно

La— J — (1 —宪一遞户2 (1 _ X； _ X»/2，

где а ——фундаментальная длина, устанавливающая в данной геометрии. Отметим, что такое пространство

бесконечным, так как d (芻 X) f 8 при (X； + X；) f 1. При таком определении «точки» и «расстояния» модель, очевидно, удовлетворяет всем постулатам Евклида, кроме пятого, и действительно подчиняется геометрии Гаусса, Бойяи и Лобачевского.

Итак, прошли два тысячелетия, прежде чем была установлена логическая независимость пятого постулата Евклида.

С этого и началось развитие неевклидовой геометрии. Мы видели, что для открытия геометрии Гаусса, Бойяи, Лобачевского необходимо было оставить идею о том, что кривую поверхность можно изучить, только вложив ее в обычное трехмерное пространство. Но как же тогда описывать и классифицировать кривые пространства? Чтобы разобраться в этом вопросе, нужно вернуться к 1827 г., когда Гаусс опубликовал свои «Общие изыскания о кривых поверхностях». Гаусс впервые устанавливает

')Модель Евклида для геометрии Гаусса - Бойяи — Лобачевского 6*ла дана в книге [6].

См. сб. «Об. основаниях геометрии» 2 изд. Казань 1895. —Ред,

2-0788

различие между внутренними свойствами поверхности, т. е. геометрией, которую могли бы исследовать маленькие плоские жуки, живущие на этой поверхности, и внешними ее свойствами, проявляющимися при вложении этой поверхности в пространство большего числа измерений. Он осознает, что внутренние свойства поверхностей «в высшей степени заслуживают самого пристального изучения геометрами».

Гаусс понял также, что существенным внутренним свойством любой поверхности является ее метрическая функция d (а, X)? задающая расстояние между точками а и X но кратчайшему пути между ними на рассматриваемой поверхности. Например, конус или цилиндр имеют те же локальные внутренние свойства^ что и плоскость, потому что последнюю можно свернуть в конус или цилиндр без растяжений и разрезов, т. е. не искажая метрических соотношений. Все картографы знают, что сферу нельзя развернуть в плоскость без искажений, т. е. локальные внутренние свойства сферы и плоскости различны.

Существует простой пример, к которому обращались Эйнштейн, Уилер и др., чтобы проиллюстрировать, как исследование метрики поверхности позволяет изучить ее внутренние свойства (фиг. 1.1). Рассмотрим N точек на плоскости. Одну из них примем за начало координат. Ось х проведем из начала координат через другую заданную точку, тогда расстояния между различными точками будут задаваться с помощью (27V — 3) координат, а именно ^-координаты второй точки и 况一：и ?/-координат остальных (N ——2) точек. Существует N (N ——1)/2 различных расстояний между TV-точками, и для достаточно больших N их можно связать М различными алгебраическими соотношениями, где

N(^4)(2N_3)= 9 —2)jN — 3). (［」.з)

В простейшем нетривиальном случае N = 4 легко показать, что расстояния dmn между m-й и n-й точками связаны соотношением

。—d：2% + 然磯4 + ^14^23 + 碍 3% + %d；3 + 成围2 + ^12^23^31 +

+ %%% +昵磯4%十處%%一踹磔蹑一嗚踢處一 %磯4% 一

-%瑞竭一%武4唯一躡d：3% 一竭竭% —磯成3蹑一處%呢一

-%端蹑一%%踢一處%弱.(1.1.4)

Это соотношение удовлетворяется на любом односвязном участке поверхности цилиндра или конуса, так как эти фигуры обладают теми же внутренними свойствами, что и плоскость.

Однако уже протяженности авиационных маршрутов между любыми четырьмя городами не будут удовлетворять соотношению (1.1.4), так как поверхность Земли имеет иные внутренние свойства. Длины авиамаршрутов связаны другим соотношением,

Фиг. 4」.Карта Средней Земли1). Является ли Средняя Земля плоской?

соответствующим сферической поверхности. С помощью этого соотношения можно также определить радиус Земли, хотя это не самый удобный метод и не им пользовался Эратосфен. Существенно, однако, то, что кривизна поверхности Земли может быть определена из локальных внутренних свойств этой поверхности.

Обладая богатым воображением, можно представить себе множество метрических функций d (%, X). Гаусс внес значительный вклад в выделение одного частного класса метрических пространств, достаточно широкого, чтобы включать в себя пространство Гаусса, Бойяи, Лобачевского и обычные кривые поверхности, но достаточно узкого, чтобы иметь право называться геометрией. Он предположил, что в любой достаточно малой области пространства можно ввести локальную евклидову систему коор- 口мнат (Ei，己2), такую, что расстояние между двумя точками с коор- Ринатами (&,笃)и (£ + d^, |2 + d£) удовлетворяет теореме Пифагора

曲2 =龙；+d趣. (1.1.5)

1 Из трилогии Толкина «Повелитель колец».— Прим. ред.

Такую локальную евклидову систему координат можно задать, например, в любой точке гладкой кривой поверхности, используя декартовы координаты на плоскости, касающейся рассматриваемой поверхности в данной точке. Однако рассуждение Гаусса ни в коей мере не связано с внешними свойствами поверхности, оно относится только к внутренним метрическим свойствам бесконечно малой окрестности выбранной точки.

Если поверхность неевклидова, то ни в какой конечной ее части нельзя ввести евклидову систему координат （占1, ^2） и, следовательно, нельзя удовлетворить теореме Пифагора. Допустим, что все же имеется некая система координат （/,方？）, покрывающая кривое пространство. Возникает вопрос: какую форму принимает в такой системе координат предположение Гаусса? Легко вычислить, что расстояние ds между точками （勺,况？） и （况i + d况i， 忆2 + &况2）будет задаваться следующим образом:

公2 = gu（3, g） &К + 2g12 （勺，&） X

Xdgdg + g貶（第i, g）d右，（1.1.6） где

gL爲У+隱У，

"（制爲）十 （窘）儒），（"7）

如=（鲁y+（卷y.

Такая форма ds2 — признак метрического пространства. [В гл. 3 мы увидим, что справедливо и обратное утверждение: в произвольной точке любогопр остранства с ds, определяемым （1.1.6）, можно выбрать локальные евклидовы координаты £,占？, удовлетворяющие （1.1.5）.] Для сферы радиуса а можно использовать полярные координаты 0, <р； тогда метрика определяется следующим образом:

gee = a?, ge（₽ = °, gw =必 «in2 &（1.1.8）

Сомножитель sin2 0 в 且①① как раз и придает сфере внутренние свойства, отличные от тех, которые имеет плоскость. В геометрии Гаусса, Бойяи и Лобачевского можно использовать координаты %и %2 модели Клейна и с помощью приведенной выше формулы для d （况,X） показать, что

г _ a2 （1-灑）са旣口2

g" = （1—^2 —Z|）2， gi2 = （1 —比一竭产，

g22—（«_吟—喲2 •（T.l.H）

Длину любого пути можно определить, интегрируя ds вдоль всего пути.

Метрические функции g^ определяют все внутренние свойства метрического пространства, но сами при этом зависят от выбора координатной сетки. Если, например, для описания плоскости использовать полярные координаты г, 0, то метрические функции будут иметь вид

= g「e = O, g8e = r4 (1.1.10)

Хотя эти формулы и не выглядят формулами евклидова пространства, они описывают евклидово пространство, что можно формально показать, переходя к декартовым координатам х = г cos 0, у ~ г sin 0. В более общем случае переход от координат (%, &) к координатам (W，吗 будет переводить метрические функции g»j в новые функции g%, где, например,

gll一(招"丿十("7不/ 一(0勺 汲:十汲2汲1 /十

十I汲1帆十汲2汲" ^\ ^ / 丁

+ 2g，2 崙諳+ %(粉)：(11-11)

Что же можно сказать о внутренних свойствах пространства, рассматривая его метрические коэффициенты? Очевидно, необходима некоторая функция от g^ и его производных, которая зависела бы только от внутренних свойств пространства и не зависела, как зависит g?j, от выбора конкретной системы координат.

Гаусс нашел такую функцию и показал ее единственность; это — так называемая кривизна Гаусса

К（2“g） =*[2縞—鲁—鲁打-

4g L\ ^1八。胃2 。勺/ 、珈2丿」十

,^12.r1+

аппарат, мы сможем извлечь и обсудить понятие кривизны в более компактных и изящных обозначениях.) Применяя формулу (1.1.12) к метрическим функциям (1.1.8) и (1.1.9), находим, что сфера есть пространство с постоянной положительной кривизной

К = ± (сфера), (1.1.13)

а пространство Гаусса, Бойяи и Лобачевского имеет постоянную отрицательную кривизну

^= - (ГБЛ). (1.1.14)

(Кстати, в понятии «отрицательная кривизна» нет ничего экзотического; обычное седло имеет отрицательную кривизну. Однако то, что кривизна К постояннане дает возможности реализовать геометрию Гаусса, Бойяи, Лобачевского на обычных искривленных поверхностях. Очевидно также, что только при постоянной К можно удовлетворить другим постулатам Евклида, поскольку эти постулаты описывают истинно однородное пространство. Если же К при переходе от точки к точке меняется, то и внутренние свойства пространства изменяются вместе с ней.) И наконец, применив формулу для К к метрике (1.1.10), описывающей плоскость в полярных координатах, получим, как и следовало ожидать,

К — 0 (плоскость). (1.1.15)

Таким образом, даже допуская произвол при выборе системы координат, мы можем выявить внутренние свойства пространства, вычисляя непосредственно величину К*

После того как это было выяснено, математики довольно скоро занялись проблемой описания внутренних свойств кривых пространств, имеющих три или более измерений. Однако обобщение работы Гаусса на более чем два измерения оказалось нетривиальным делом, поскольку внутренние свойства таких пространств нельзя описать единственной функцией кривизны К.

В пространстве £)-измерений имеется £>(£> + 1)/2 независимых метрических функций g^; так как мы вольны в выборе D координат, остается

функций, которые и определяют внутренние свойства пространства. При D = 2 С = 1, что и было получено Гауссом. При £> > 2, D > 1, и геометрия усложняется. Эта проблема была полностью решена Георгом Фридрихом Бернхардом Риманом (1826— 1866), изложившим в 1854 г. то, что мы сейчас называем римановой геометрией, в своей лекции при торжественном вступлении

в должность в Геттингене «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» 1). Последующие работы Кристоффеля, Риччи, Леви-Чи- вита, Бельтрами и других развили идеи Римана и превратили их в прекрасную математическую конструкцию, описанную в терминах тензорного анализа и кривизны в главах этой книги. Но только Эйнштейну удалось понять, каким образом можно использовать в физике неевклидову геометрию.

История создания теории тяготения

Исаак Ньютон (1642—1727), заканчивая свои «Начала», назвал гравитацию причиной того, что взаимодействие Солнца и планет осуществляется «пропорционально количеству твердой материи, содержащейся в них, и распространяется во все стороны на бесконечное расстояние, а сила взаимодействия убывает всегда обратно пропорционально квадрату расстояния» [7]. Закон Ньютона состоит из двух частей, которые были открыты различными путями и каждая из которых сыграла свою роль в развитии механики от Ньютона до Эйнштейна.

Начнем, естественно, с открытия Галилео Галилея (1564— 1642), который обнаружил, что скорость свободного падения тел не зависит от их массы. Его инструментами были наклонная плоскость, служившая для замедления падения тел, водяные часы для измерения времени и маятник для исключения трения качения. Эти опыты позже были улучшены Христианом Гюйгенсом (1629—1695). Таким образом, Ньютон мое применить свой второй закон и прийти к выводу, что сила, вызванная гравитацией, пропорциональна массе тела, на которое она действует. Третий закон утверждает, что сила пропорциональна также и массе тела, являющегося источником силы.

Ньютон вполне сознавал, что эти выводы справедливы, вероятно, только приближенно и что «инертная масса», входящая во второй закон, может и не быть в точности такой же, как «гравитационная масса», содержащаяся в законе гравитации. Если бы так оказалось, то второй закон Ньютона нужно было бы записать в виде

F =加肉 (1.2.1) а закон гравитации в виде

F = mgg, (1.2.2)

「Re g есть поле, зависящее от координат и от масс других тел. В любой заданной точке ускорение тогда задавалось бы следующим

См. Риман S, Соч., М.— Л., 1948.— Прим, перее.

Фиг. 1.2. Схема эксперимента Этвеша.

образом:

а=(号)g・(1・2・3)

Следовательно, тела, имеющие разные значения отношения т^т^ обладали бы и различными ускорениями а; в частности, периоды колебаний маятников равной длины были бы пропорциональны величине (mi/mg)^2. В опыте с маятниками равной длины, но сделанными из различных материалов Ньютон проверил это и не обнаружил разницы между их периодами. Позже, в 1830 г., этот результат был подтвержден в более точном эксперименте Фридриха Вильгельма Бесселя (1784—1846). Затем в 1889 г. Роланд фон Этвеш [8, 91, используя другой метод, успешно продемонстрировал, что величина отношения mg/mi двух разных веществ отличается не более чем на 10~9 (фиг. 1.2). Этвеш укрепил два груза 4 и 5 на концах стержня длиной 40 см, подвешенного на тонкой нити, привязанной к его центру. В равновесии стержень несколько наклонялся так, что выполнялось следующее условие:

lA{mgAg — miAg^==lB(ingBg — miBg^,(1.2.4)

где g ——ускорение в гравитационном поле Земли, g；——вертикальная компонента центростремительного ускорения, связанного с вращением Земли, a ZA и ZB ——эффективные длины плеч для обоих грузов. [Конечно, Этвеш выбрал веса грузов и длины плеч почти равными, но особенностью метода было то, что, если даже груз А несколько превышал 5, стержень наклонялся еще как раз так, чтобы выполнялось условие (1.2.4).1 Центростремительное ускорение, связанное с вращением Земли, имеет на географической широте Будапешта также и заметную горизонтальную компоненту g；,

создающую относительно вертикальной оси крутящий момент* равный

Используя для определения 1В условие равновесия, имеем

T = lAmiAg's\i-(^g~g'^ (,-^g-g-g；) *], или, так как gl《g, получаем

7〜"帰一^

Если бы отношения масс mdmg грузов были бы различными, возникало бы закручивание нити, на которой подвешивался стержень. Поскольку закручивания нити обнаружить не удалось, Этвеш сделал вывод, что, например, для дерева и платины значения mi/mg отличаются меньше чем на 10-9.

Равенство гравитационной и инертной масс произвело на Эйнштейна глубокое впечатление [10] и, как мы увидим в дальнейшем, натолкнуло его непосредственно на формулировку принципа эквивалентности. (Это равенство накладывает также очень жесткие ограничения на любые возможные негравитационные силы. Например, электростатические силы любого нового типа, в которых нуклонное число выполняло бы роль заряда, должны быть намного меньше гравитационных сил [11].) Недавно в Принстоне группа, руководимая Р. Дикке [12, 131, улучшила метод Этвеша, используя для создания крутящего момента гравитационное поле Солнца и центростремительное ускорение Земли, направленное к Солнцу, т. е. связанное не с суточным, а с орбитальным ее вращением. Преимущество этого метода состояло в том, что угол между направлением на Солнце и линией равновесия плеча изменялся с периодом 24 ч и поэтому Дикке мог выделить результаты эксперимента на фоне, не имеющем суточной частоты. В результате эксперимента он пришел к выводу, что образцы из алюминия и золота при падении на Солнце будут иметь одно и то же ускорение; различие в ускорениях может составлять самое большее 10"11 » Было также показано (правда, с намного меньшей точностью), что нейтроны падают с тем же ускорением, что и обычное вещество [14], и что гравитационная сила взаимодействия электронов в меди та же, что и у свободных электронов [15].

Перейдем теперь ко второй части ньютоновского закона гра- Еитации, в которой утверждается, что сила гравитационного

Еще более точные измерения (ошибка < 10-12) были проведены груп- W公 БРагинского [ЖЭТФ, 61, 873 (1971)]; см. также книгу: Брагин- ментах ^，^^нукин А. Б., Измерение малых сил в физических экспери-

взаимодействия убывает как обратный квадрат расстояния. Эта идея не принадлежит целиком Ньютону. Иоанн Скотт Эригена (800—877 гг.) уже догадывался о том, что тяжесть и легкость тел убывают с 5гдалением от Земли. Впоследствии эту теорию возродил Аделяр из Бата (XII в.), который считал, что если камень уронить в очень глубокий колодец, то он долетит только до центра Земли, но не дальше. (Кстати, именно Аделяр перевел Евклида с арабского на латынь, сделав тем самым его доступным средневековой Европе.) Первое исследование «закона обратных квадратов» было предпринято около 1640 г. Исмаилом Булиалдусом (1605——1694). Однако завершено это исследование было только Ньютоном, который в 1665 (или в 1666 г.) впервые вывел «закон обратных квадратов» из наблюдений. Он знал, что Луна удалена на расстояние 60 земных радиусов от центра Земли и что за каждую секунду она проходит по направлению к Земле расстояние 0,0045 фута. Следовательно, если гравитационные силы подчиняются закону обратных квадратов, то яблоко в Ланкашире, находящееся на расстоянии одного земного радиуса от центра Земли, должно проходить за первую секунду свободного падения расстояние в 3600 раз большее, чем 0,0045 фута, т. е. около 16 футов, что находится в хорошем согласии с измерениями. Однако Ньютон не публиковал результатов своих вычислений в течение 20 лет, поскольку не знал, как оправдать использованное им допущение, что вся масса Земли локализована в ее центре. Тем временем нескольким членам Королевского общества, включая Эдмунда Галлея (1656—1742), Кристофера Врена (1632—1723) и Роберта Гука (1635—1703), стало понятно, что при круговых орбитах планет из третьего закона Кеплера следует закон обратных квадратов. В самом деле, если квадраты периодов 「2/^2 пропорциональны кубам радиусов г3, то центростремительное ускорение 卢/г пропорционально 1/产. Однако в действительности планеты движутся по эллипсам, а не по окружностям, и, как вычислить их центростремительные ускорения, никто не знал. Побуждаемый Галлеем, Ньютон в 1684 г. доказал, что планеты, движущиеся согласно закону обратных квадратов, действительно удовлетворяют всем эмпирическим законам Иоганна Кеплера (1571—1630): планеты движутся по эллипсам (в фокусе которых находится Солнце), выметая равные площади за равные промежутки времени, а квадраты периодов их вращения пропорциональны кубам главных осей. Таким образом, только в 1685 г. Ньютон смог завершить свои расчеты движения Луны, начатые в 1665 г. Эти огромной важности законченные исследования были опубликованы 5 июля 1686 г. под названием «Математические начала натуральной философии» [7].

В течение последующих столетий закон гравитации Ньютона дал блестящее объяснение целому ряду особенностей движения

Луны и других планет. Однако оставалось необъясненным некоторое возмущение орбиты Урана до тех пор, пока в 1846 г. Джон К. Адамс (1819—1892) в Англии и Урбен Ж. Ж. Леверье (1811 — 1877) во Франции независимо друг от друга не использовали этот факт для предсказания существования планеты Нептун м не вычислили ее положение. Экспериментальное обнаружение Нептуна вскоре после этого стало наиболее блестящим подтверждением теории Ньютона. Правда, движение Луны и кометы Энке (а позже и кометы Галлея) указали на отклонение от ньютоновской теории, но было ясно, что за это могли быть ответственны уже не гравитационные силы.

Одна проблема все же оставалась. За год до предсказания Нептуна Леверье подсчитал, что наблюдаемое смещение перигелия Меркурия, равное 35’', больше, чем то, которого следовало ожидать, исходя из ньютоновской теории и известных возмущающих полей, создаваемых движением других планет. Расхождение данных было подтверждено в 1882 г. Саймоном Ньюкомом (1835— 1909), указавшим [161, что дополнительное смещение перигелия Меркурия за столетие составляет 43''. Леверье думал, что этот избыток, возможно, обусловлен группой малых планет между Меркурием и Солнцем. Однако после тщательных поисков в этом промежутке не было обнаружено ни одной планеты. Тогда Ньюком высказал предположение о том, что рассеянное вещество, ответственное за слабый «зодиакальный свет», видимый в плоскости эклиптики Солнечной системы, может вызывать также и дополнительное смещение перигелия Меркурия. Однако его вычисления показали, что то количество вещества, которое необходимо для объяснения прецессии перигелия Меркурия, если это вещество разместить в плоскости эклиптики, должно было бы приводить к вращению плоскостей орбит (т. е. к прецессии узлов), отличному от того, что наблюдается как у Меркурия, так и у Венеры). По этой причине Ньюком был вынужден к 1895 г. «признать эти исследования неудовлетворительными и принять временно гипотезу о том, что солнечная гравитация не в точности удовлетворяет закону обратных квадратов» [17].

К сожалению, это не стало последним словом. В 1896 г. Зелигер построил тщательно продуманную модель зодиакального света, в которой предполагаемое вещество размещалось на эллипсоидах, проходящих близко к Солнцу, что могло бы объяснить избыток смещения перигелия Меркурия без всяких противоречий между теорией и экспериментом, относящимся к вращению плоскостей орбит внутренних планет. Сейчас-то мы знаем, что эта модель совершенно неверна и что межпланетного вещества не хватает для объяснения наблюдаемого смещения Перигелия Меркурия.

Однако гипотеза Зелигера вместе с успехами теории Ньютона в объяснении других явлений убедила к 1911 г. Ньюкома в том, что нет необходимости менять закон гравитации [17].

Не известно, сильно ли повлияла на Эйнштейна в процессе- создания общей теории относительности проблема смещения перигелия Меркурия. Несомненно одно, что первым подтверждением этой теории было точное предсказание избыточного смещения перигелия в 43" за столетие.

История открытия принципа относительности

Механика Ньютона выделила семейство систем отсчета, так называемые инерциальные системы^ в которых законы природы принимают форму, описанную в «Началах». Например, уравнения системы гравитационно-взаимодействующих точечных частиц записываются в виде

" —1 Xm—xn 户—'⑴

где mN — масса TV-й частицы, х^ — ее декартов вектор положения в момент времени Л Достаточно просто проверить тот факт, что эти уравнения сохраняют свой вид при записи в новых пространственно-временных координатах:

х‘ = Ех + v^ + d,

где V, d и т — любые действительные постоянные, a R — произвольная действительная ортогональная матрица. (Если наблюдатели О и О' используют штрихованную и нештрихованную системы координат, то О' видит координатную систему О повернутой с помощью Е, движущейся со скоростью v и смещенной при 力=0 на величину d, и к тому же часы у наблюдателя О отстают от часов у О на величину т.) Преобразование (1.3.2) образует 10-параметрическую группу (три угла Эйлера в & по три компоненты векторов v и d и время т), называемую теперь группой Галилея. Инвариантность законов движения относительно таких преобразований называют галилеевой инвариантностью, или принципом относительности Галилея.

Что действительно удивляло Ньютона, так это то, что существует великое множество других преобразований, относительно которых уравнения движения неинвариантны. Например, уравнения (1.3.1) не сохраняют свою форму, если перейти к ускоряющейся, замедляющейся или, наконец, вращающейся координатным системам, т. е. если допустить, что v и 7? зависят от 九 Уравнения движения сохраняют свою обычную форму только в огра-

нн^енном классе координатных систем, называемых инерциалъ- ными^ Как же определить, какие из систем отсчета являются инерциальными? Ньютон считал, что должно существовать абсолютное пространство, и из систем отсчета те являются инерциальными, которые находятся в состоянии покоя или равномерного движения относительно этого абсолютного пространства. Вот его слова (см. [7], стр. 30 русского издания):

^Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным.

Относительное есть его мера или какая-либо ограниченная подвижная часть, которая определяется нашими чувствами по положению относительно некоторых тел и которое в обыденной жизни принимается за пространство неподвижное».

Чтобы продемонстрировать то, что он трактовал как эффект вращения относительно абсолютного пространства, Ньютон описал также ряд экспериментов. Наиболее известным из них является эксперимент с вращающимся сосудом (см. [7], стр. 35 русского издания).

«Если на длинной нити подвесить сосуд и, вращая его, закрутить нить, пока она не станет совсем жесткой, затем наполнить сосуд водой и, удержав сперва вместе с водой в покое, пустить, то под действием появляющейся силы сосуд начнет вращаться, и это вращение будет поддерживаться достаточно долго закручиванием нити. Сперва поверхность воды будет оставаться плоской, как было до движения сосуда. Затем сосуд силой, постепенно действующей на воду, заставит и ее участвовать в своем вращении. По мере возрастания вращения вода будет постепенно отступать от середины сосуда и возвышаться по краям его, принимая впалую форму поверхности (я сам это пробовал делать)... Вначале, когда относительное движение воды в сосуде ^ьтло наибольшее, оно совершенно не вызывало стремления удалиться от оси — вода не стремилась к окружности и не повы- танась у стенок сосуда, а ее поверхность оставалась плоской 11 истинное вращательное ее движение еще не начиналось. Затем. к°гда относительное движение уменьшилось, повышение ее у стенок сосуда обнаруживало ее стремление удалиться от оси, и это стремление показывало ее постепенно возрастающее истинное вращательное движение, и когда оно стало наибольшим, то вода установилась в покое относительно сосуда».

Ньютоновская концепция абсолютного пространства была отвергнута его знаменитым оппонентом Готфридом Вильгельмом 巾。н Лейбницем (1646—1716), который считал, что не существует философской необходимости в какой бы то ни было концепции пространства, помимо той, что вытекает из связей материальных ；；^：ктов” Зти положения обсуждались в известном цикле писем 1181 (переписка 1715—1716 гг.) между Лейбницем и сторонником

Ньютона Самюэлем Кларком (1675—1729) х). Философы продолжили спор, причем позицию Ньютона защищали Леонард Эйлер (1707—1783) и Иммануил Кант (1724—1804), а критиковал ее епископ Джордж Беркли (1685—1753) в его «Трактате о началах человеческого знания» (1710) и «Аналитике» (1734). Конечно, ни один из этих высокомудрых метафизиков не выдвинул никакой идеи относительно того, как же развить динамическую теорию, которая могла бы заменить ньютоновскую.

Первая конструктивная критика ньютоновского абсолютного пространства была высказана в 1880 г. австрийским философом Эрнстом Махом (1838—1916). В своей книге «Механика и ее развитие» [19] он замечает: «Опыт Ньютона с вращающимся сосудом с водой показывает только, что относительное вращение воды по отношению к стенкам сосуда не побуждает заметных центробежных сил, но что последние побуждаются относительным вращением по отношению к массе Земли и остальным небесным телам. Никто не может сказать, как протекал бы опыт, если бы стенки сосуда становились все толще и массивнее, пока, наконец, толщина их не достигла бы нескольких миль».

Гипотеза о том, что в определении инерциальных систем играют роль «массы Земли и остальных небесных тел», называется принципом Маха. Любому доступен в звездную ночь простой эксперимент, с помощью которого можно уяснить утверждение, называемое принципом Маха. Встанем прежде всего неподвижно и опустим свободно руки. Отметим, что звезды более или менее неподвижны, а наши руки направлены почти строго вниз. Теперь резко совершим полный оборот. Нам покажется, что звезды вращаются вокруг зенита, а руки за счет центробежной силы разойдутся в стороны. Если бы не существовало какой- нибудь взаимосвязи между звездами и нами, определяющей способ введения инерциальной системы, то было бы крайне удивительным совпадение системы, в которой руки висели свободно, и системы отсчета, в которой покоятся реперные звезды.

Аргументацию можно сделать более точной. Строго говоря, поверхность Земли не является инерциальной системой, и, конечно^ орбитальное и суточное вращения Земли создают кажущееся вращение звезд, но этот эффект можно исключить в инерциальной системе отсчета, связанной со всей Солнечной системой в целом. В такой инерциальной системе отсчета среднее наблюдаемое вращение галактик относительно какой-либо оси, проходящей через Солнце, меньше 1" за столетие [20, 21]!

Таким образом, мы сталкиваемся с неизбежным выбором: необходимо либо допустить существование ньютоновского абсо-

I) См. прежде всего пятое письмо Лейбяипа.

лютного пространства-времени, которое определяет инерциальные системы и относительно которых реперные галактики покоятся, либо верить, как и Мах, в то, что инерция обусловлена взаимодействием с усредненной массой всей Вселенной. И если Мах прав, то ускорение, сообщаемое частице любой заданной силой, должно зависеть не только от существования фиксированных звезд, но также, очень слабо, и от распределения материи в непосредственной близости от частицы.

Позже, в гл. 3, мы увидим, что принцип эквивалентности Эйнштейна обеспечивает такой подход к проблеме инерции, что она оказывается хотя и не связанной с ньютоновским абсолютным пространством, однако и не полностью согласованной с выводами Маха. Вопрос остался открытым.

Я до сих пор не упоминал специальный принцип относительности, так как, несмотря на свое название, он в действительности не имеет отношения к проблеме выбора между абсолютным и относительным пространством. Однако для того чтобы сформулировать принцип эквивалентности, нам понадобятся понятия специальной теории относительности, а потому подробный обзор специальной теории будет дан в следующей главе. Здесь же мы обратимся только к ее истории.

Теория электродинамики, развитая в 1864 г. Джеймсом Кларком Максвеллом (1831—1879), явно не удовлетворяет принципу галилеевой инвариантности. С одной стороны, уравнения Максвелла предсказывают, что скорость света в вакууме с является универсальной константой, однако, с другой стороны, если это утверждение верно в системе координат хг,厶 то оно не будет справедливым в «движущейся» системе координат z'\ У, определяемой преобразованием Галилея (1.3.2). Сам Максвелл думал, что электромагнитные волны переносит некоторая среда [22], светоносный эфир. При этом уравнения Максвелла должны быть справедливы только в ограниченном классе галилеевых инерциальных систем, т. е. систем, покоящихся относительно эфира.

Однако все попытки измерить скорость Земли относительно эфира потерпели неудачу (для ознакомления с этими экспериментами см. [23]). хотя было известно, что относительно Солнца Земля обладает скоростью 30 км/с, а относительно центра нашей: Галактики — около 200 км/с. Наиболее важным был эксперимент Альберта Майкельсона (1852—1931) и Е. Морли [241, которые в 1887 г. показали, что с точностью до 5 км/с скорость света будет °Дн°й и той же независимо от того, распространяется ли свет по направлению орбитального движения Земли или ортогонально к нему. Не так давно точность этого результата была доведена 口。1 км/с [25].

Постоянные неудачи экспериментаторов по обнаружению эффекТов Движения Земли относительно эфира заставили таких теоре-

Фиг. 1.3. Основоположники специальной теории относительности на Первом Сольвеевском конгрессе в 1911 г.

Слева направо: (сидят) Нернст, Бриллюэн, Сольвей, Лоренц, Варбург, Перрен, Вин, мадам Кюри, Пуанкаре; (стоят) Гопцшмидт, Планк, Рубенс, Зоммерфельд, Линдеманн, .де Бройль, Кнудсен, Хазенрол, Хостелет, Херзен, Джинс, Резерфорд, Камерлинг-Оннес, Эйнштейн, Ланжевен.

гиков, как Георг Фицджеральд (1851—1901) [26, 27], Гендрик Лоренц (1853—1928) [281 и Анри Пуанкаре (1854—1912) [29], выдумывать причины, по которым эффект «эфирного ветра» мог бы стать в принципе ненаблюдаемым. В частности, Пуанкаре, по-видимому, предвидел революционное значение этой проблемы для механики, и Уиттекер [30] отдает должное вкладу Пуанкаре и Лоренца в специальную теорию относительности. Не вникая в суть полемики вокруг этих вопросов (см., например, [31]), можно с уверенностью сказать лишь, что подробное, всестороннее решение проблемы относительности в механике и электродинамике было впервые дано в 1905 г. Альбертом Эйнштейном (1879 — 1955) [32].

Эйнштейн исходил из предположения о том, что преобразования Галилея (1.3.2) необходимо заменить другими 10-параметри- ческими проотранственно-временными преобразованиями, называемыми преобразованиями Лоренца, поскольку эти преобразования оставляют инвариантными уравнения Максвелла и скорость света. (Не ясно, повлиял ли непосредстврнио на Эйнштейна

результат эксперимента Майкельсона ——Морли (см. [31] и [33]), 1Хо известно что в статье 1905 г. [32] он ссылался на «безуспеш- нмс попытки обнаружить хоть какое-нибудь движение Земли относительно эфирной среды». См. также 1341.) Уравнения неюто- новской механики типа (1.3.1) не инвариантны относительно преобразований Лоренца; поэтому Эйнштейн пришел к необходимости модифицировать законы движения таким образом, чтобы они были лоренц-инва'риантны. Новая физика, состоящая из электродинамики Максвелла и механики Эйнштейна, теперь у〃；е удовлетворяла новому принципу относительности, а именпо пршщипу специальной относите л ьности, который утверждает, что все физические уравнения должны быть инвариантны относительно лоренцевых преобразований. Эти идеи будут детально обсуждаться в следующей главе.

Группа преобразований Лоренца никоим образом не шире группы Галилея, и, следовательно, принцип относительности не порожден теорией относительности, а скорее восстановлен ею. До Максвелла можно было считать, что вся физика инвариантна относительно группы Галилея. Уравнения Максвелла не были инвариантны относительно этой группы, и до середины столетия казалось, что только механика, но не электродинамика подчиняется принципу относительности. После Эйнштейна стало ясно, что как уравнения механики, так и уравнения электродинамики являются инвариантными относительно лоренцевых, а не галилеевых преобразований. Физические законы в той форме, которую им придали Максвелл и Эйнштейн, претендуют на справедливость вое еще в ограниченном классе инерциальных систем отсчета, а вопрос о том, что выделяет эти инерциальные системы, оставался после 1905 г. таким же таинственным, как и в 1686 г.

Необходимо было построить релятивистскую теорию тяготения. Решающий шаг в этом направлении был сделан в 1907 г., когда Эйнштейн ввел принцип эквивалентности гравитации и инерции [35] и вычислил на его основании красное смещение света в гравитационном поле. В гл. 3 мы увидим, что этот принцип определяет гравитационное воздействие на произвольную физическую систему, но не определяет самих уравнений гравитационных полей. Эйнштейн в 1911 г. пытался вычислить с помощью принципа эквивалентности отклонение света в гравитационном поле Солнца [37], но тогда он еще не достиг корректного понимания структуры поля, и результат, полученный им, составлял лишь половину «правильного» релятивистского х). Мы приведем зтот результат в гл. 8. Эйнштейн [38], Абрахам [39] и Нордстрем 【40] предприняли в 1911—1912 гг. ряд попыток сконструировать

В действительности такая формула была получена еще в 1801 г. Зай- Дерлингом на основе ньютоновской теории ]тяготения.— Прим. ред.

3—0788

релятивистские уравнения скалярного гравитационного поля, однако вскоре Эйнштейна перестали удовлетворять все эти теории, главным образом по эстетическим соображениям. (Гравитационное отклонение света в поле Солнца тогда еще измерено не было.) Сотрудничество с математиком Марселем Гроссманом навело в 1913 г. Эйнштейна на мысль [41—43], что гравитационное поле необходимо отождествлять с 10-компонентпым метрическим тензором пространственно-временной геометрии Римана. Как будет показано в гл. 4 и 5, принцип эквивалентности вводится в этот формализм в виде требования, чтобы физические уравнения были инвариантны относительно общих преобразований координат, а не только лоренцевых преобразований, хотя я не знаю, в какой мере этот «общий принцип относительности» играл самостоятельную роль в представлениях Эйнштейна наряду с принципом эквивалентности. В течение последующих двух лет Эйнштейн представил в Прусскую Академию наук серию статей [44, 45]. в которых вывел полевые уравнения для метрического тензора и вычислил гравитационное отклонение света и смещение перигелия Меркурия. Эти блестящие достижения были окончательно суммированы Эйнштейном в 1916 г. в его работе, озаглавленной «Основы общей теории относительности» [1].

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Я цитирую в тексте работы Ньютона, Маха, Максвелла, Ньюкома и Эйнштейна, но, не будучи историком, широко использую, помимо этого, и не первоисточники. Список таких работ приведен ниже.

Неевклидова геометрия

Bonola 7?., Non-Euclidean Geometry, Dover Publications, 1955.

Sarton G・,Ancient Science and Modern Civilization, Yale University Press, 1951, Ch. I.

Weyl H., Ranm, Zeit, Materien, 1 aufl., J. Springer, 1923.

Гравитация

Cajori E., историческое и пояснительное приложение к книге Newton I., Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, University of California Press, 1966.

Guth E., в книге Relativity — Proceedings of the Relativity Conference in the Midwest, ed. M. Carmeli, S. I. Fickler, L. Witten, Plenum Press, 1970, p. 161.

Jammer M., Concepts of Force, Harper and Brothers, 1962, Ch. IV—VII.

Whittaker E., A History of the Theories of Aether and Electricity, Thomas Nelson and Sons, 1953, Vol. II, Ch. V.

Wightman W. P. D., The Growth of Scientific Ideas, Yale University Press, 4951, Ch. VIII, X.

Принцип относительности

Holton G., Am. J. Phys., 28, 627 (I960).

Коугё ЛFrom the Closed World to the Infinite Universe, Harper and Row, 1958, Ch. VII, IX—XL-

N©lhr &, The Theory of Relativity, Oxford University Press, 1952, Ch. I. Pauli W., Theory of Relativity, Pergamon Press, 1958, Parts I, IV. 50 (см. перевод: Паули 5., Теория относительности,( Гостехиздат, 1947).

Whittaker E., A History of the Theories of Aether and Electricity, Thomas Nelson and Sons, 1953, Vol. I, Ch. VIII—X, XIII; Vol. П, Ch. II, V.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Einstein / ., Ann. Phys. (Leipzig), 49, 769 (1916); английский перевод см. в книге The Principle of Relativity, Methuen, 1923, p. 35 (см. перевод: Зйнштейн А., Собрание научных трудов,《Наука», 1965, т. 4, стр. 452).

«Euclid's Elements», rev. ed,, Cambridge, 1926.

Sarton G., Ancient Science and Modern Civilization, University of Nebraska Press, 1954, p. 26.

Bonola 八匸，Non-Euclidean Geometry, Dover Press, 1955, p. 65.

Klein F., Math. Ann. 4, 573 (1871); 6, 112 (1873); 37, 544 (1890) (цитируется в книге Weyl Я., Space, Time, Matter, Dover Press, 1952, p. 80).

Beltrami E., Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea, 1868 (цитируется в книге North J. D.、The Measure of the Universe, Oxford, 1965, p. 60).

Newton Isaac, Philosophiae Naturalis Principia Mathcmatica, University of California Press, 1966, p. 546 (см. перевод: Ньютон Исаак, Математические начала натуральной философии, перевод акад. А. Н. Крылова, Собр. тр. акад. А. Н. Крылова, т. 7, М., 1936).

Eotvos R., Math. nat. Вег. Ungarn, 8, 65 (1890).

Eotvos /?., Pek&r D., Fekete £\, Ann. Phys. 68，11 (1922); см. также Renner JHung. Acad. Sci. Vol. 53, Part II, 1935.

Einstein A., The Meaning of Relativity, 2nd ed., Princeton, 1946, p. 56 (см. перевод: Эйнштейн 力.，Собрание научных трудов, «Наука», 1966, т. II, стр. 5).

И. Lee Т. D・,Yang С A； Phys. Rev., 98, 1501 (1955).

Dicke В.力.，в книге Belativity, Groups, and Topology, ed. C. DeWitt and B. S. DeWitt, Gordon and Breach, 1964, p. 167.

Roll p, G., Krotkov H., Dicke E. H・，Ann. Phys. (N.Y.), 26, 442 (1967).

Dobbs J. W. T., Harvey J. A., Paya Q・，Horstmann //., Phys. Rev., 139, B756 (1965).

Witteborn F, С., Fairbank W. M., Phys. Rev. Lett., 19, 1049 (4 967).

Xewcomb 5., Astron. Papers of the American Ephemeris, 1, 472 (1882).

Newcomb S., The Encyclopaedia Britannica, 11th ed., XVIII, 155 (1910— 1911) (статья «Mercury»)._

Alexander G. H., The Leibniz-Clarke Correspondence, Manchester University Press, 1956 (цитируется Коуте Л., в книге From the Closed World to the Infinite Universe, Harper and Row, 1958, Ch. XI).

Mach E., The Science of Mechanics 2nd ed., Open Court Publ. Co., 1893 (см. перевод: Max 3.，Механика, СПб, 1904).

3°. Schiff L. Rev. Mod. Phys., 36, 510 (1964).

Clemence G. M., Rev. Mod. Phys., 19, 361 (1947); 29, 2 (1957).

22* Maxwell J. C, The Encyclopaedia Britannica, 9th ed., 1875—1889 (статья «Ether»)； воспроизведено в книге The Scientific Papers of James Clark Maxwell, ed W. D. Niven, Dover Publications, 1965, p. 763; см. также Maxwell's Treatise on Electricity and Magnetism, vol. ] I, Dover Publications, 1954, p. 492 (см. перевод: Максвелл Дж. Я ., Избранные сочинения

но теории электромагнитного поля, Гостехиздат, 1954; Максвелл Дж.及., Статьи л речи, «Наука», 1968).

Moller С., The Theory of Relativity, Oxford Press, 1952, Ch. I.

Michelson Л. A., Morley E. W., Am. J. Sci., 34, 333 (1887); воспроизведено в книге Relativity Theory: Its Origins and Impact on Modern Thought, ed. L. Pearce William^, John Wiley and Sons, 1968."

Jaseja T. S., Javan A., Murray Townes С. H., Phys. Rev., 133 A1221 (1964).

Fitzgerald G. F.. цитируется в статье Lodge О., Nature, 46, 165 (1892).

Lodge。一 Phil. Trans. Roy. Soc., 184A (1893).

Lorentz H. ЛZittungsverslagen dor Akad. van Wettenschappen. 1, 74 (November 2G, 1892); Versuch ciner Thcoric tier dektrischen und optisclie Erscheinungon in bewcgtcn К drpern. E. J. Brill, 1895; английский перевод: Proc. Acad. Sci. Amsterdam, 6, 809 (1904) (см. перевод: Лоренц Г. A., Теория электронов и ес применение к явлениям света и теплового излучения, изд. 2-е, испр., Гостехиэдат, 1953)；'

Poincare /. Я., Rapports presentes au Congres International de Physique reuni a Paris, Gauthier-Villiers, 1900; The Monist, 15, 1 (1905); воспроизведено в книге, упомянутой в [24] [см. перевод в сб. «Принцип относительности», Лтомиздат, 1973, стр. 27; УФН, ИЗ, 663 (1974)1.

Whittaker £., A History of The Theories of Aether and Electricity, Thomas Nelson and Sons. 1953, Vol. II, Ch. I (см. перевод в сб. «Принцип относительности», Атомиздат, 1973, стр. 205).

Holton G・，Am. J. Phys., 28, 627 (I960); частично воспроизведено в книге, упомянутой в [24].

Einstein Л., Ann. Phys. (Leipzig), 17, 891; 18 639 (1905); англ, перевод в книге The Principle of Relativity, см. [1] (см. перевод: Эйнштейн А., Собрание научных трудов, «Наука», 1965, т. 1, стр. 7, 36).

Holton G., см. [31], а также Isis., 60, 133 (1969).

См. [32], а также статью Griinbaum А. в книге Current Issues in the Philosophy of Science, ed. H. Feigl and G. Maxwell, New York, 19G1, частично воспроизведено в книге, упомянутой в [24].

Einstein А., Jahi'b. Radioakt., 4, 411 (1907) (см. перевод: Эйнштейн Л Собрание научных трудов, «Наука», 1965, т. 1, стр. 65).

Planck М., Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., June 13, 19 07; p. 542; Ann. Phys. (Leipzig), 26 (1908).

Einstein A., Ann. Phys. (Leipzig), 35, 898 (1911); английский перевод дан в книге The Principle of Relativity, см. [1] (см. перевод: Эйнштейн Л., Собрание научных трудов. «Наука», 1965).

Einstein A., Ann. Phys. (Leipzig), 38, 355, 443 (1912) (см. перевод: Эйнштейн А., Собрание научных трудов, «Наука», 1965, т. 00, стр. 189).

Abraham М., Lined Atti, 20, 678 (1911); Phys. Zs., 13, 1, 4, 176, 310, 311, 793 (1912); Nuovo Cimento, 4, 459 (1912).

Nordstrom G., Phys. Zs., 13, 1126 (1912); Ann. Phys. (Leipzig), 40, 856 (1913); 42, 533 (1913); 43, 1101 (1914)； Phys. Zs・，15, 375 (1914); Ann. Acad. Sci. fenn., 57 (1914，1915).

Einstein APhys. Zs., 14, 1249 (1913).

Einstein A., Grossmann 71/., Zs. Math. Phys., 62, 225 (1913); 63 215 (1914).

Einstein A., Vierteljahr Nat. Ges. Zurich, 58, 284 (1913); Archives sci. phys. nat., 37, 5 (1914); Phys. Zs., 14, 1249 (1913) (см. перевод: Эйнштейн Л Собрание научных трудов, «Наука», 1965, т. 1, стр. 227, 267, 273, 399).

Einstein АSitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1914, p. 1030; 19彳5, pp. 778, 799, 831,弘4.

Hilbert Q., Nachschr. Ges. Wiss. Gottingen, November 20, 4915, p. 395 (см. перевод: Эйнштейн А., Собрание научных трудов, «Наука», 1965, т. 1, стр. 326, 425, 435, 439, 448).

...Существуют четыре измерения, из которых tjjii мы называем пространственными, а четвертое — временным. Правда, существует тенденция противопоставить три первых измерения последнему, но только потому, что наше сознание от начала нашей /кизни II до ее конца движется рывками лишь в одпом-единствснном направлении этого последнего измерения.

—Это,— произпсс Очень Молодой Человек, делая отчаянные усплш【раскурить от лампы свою сигару,— это ... право, яснее ясного. -

Г. Уэллс, Машина времени

Глава 2

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

13 этой главе мы дадим обзор специальной теории относительности Эйнштейна. Хотя глава и представляет самостоятельный интерес, она содержит только краткое изложение результатов п основная цель ее — ввести обозначения и выписать некоторые формулы, полезные в дальнейшем. Читателю, которому необходимо более обпшрное введение в специальную теорию отпоситель- ностл, можно посоветовать прежде всего обратиться к монографиям, перечисленным в конце главы, а затем вернуться к чтению этой главы. Читателю, чувствующему себя свободно в этих вопросах. 工ожно порекомендовать перейти непосредствеино к главе 3-

Преобразования Лоренца

Принцип специальной теории относительности гласит, что законы природы инвариантны относительно особой группы пространственно-временных преобразований координат, называемых преобразованиялш Лоренца. В конце первой главы мы показали, ито законы движения Ньютона инвариантны относительно галилеевых преобразований координат (1.3.2), а уравненнн Максвелла не инвариантны относительно этих преобразований. Эйнштейн разрешил это противоречие, заменив галилееву инвариантность лоренц-инвариантпостью. Я не стану продолжать обсуждения эт°й проблемы в историческом аспекте, а просто дам определение преобразований Лоренца, показав затем, как лоренц-инвариантность помогает исследовать законы природы.

Преобразования Лоренца есть переход от одной системы пространственно-временных координат 7a в другую систему 力'&.

Переход

выполняется согласно правилу

(2.1.1)

где а" и

Лар — константы, ограниченные условиями

'+ 1, а = § = 1, 2, 3,

(2.1.2)

、о,

(2.1.3)

В наших обозначениях а, 0, 7, . . . пробегают значения 1, 2, 3, 0; гс1,炉，炉一декартовы компоненты положительного вектора х, а № есть время 力.Мы будем использовать естественную систему единиц, в которой скорость света равна единице, так что все компоненты * имеют размерность длины. Если не оговорено иное, то по любому индексу, появляющемуся дважды (один раз как нижний, другой раз как верхний), подобно 0 в уравнении (2.1.1), производится суммирование. Таким образом, (2.1.1) есть сокращенная запись следующего выражения:

х^ 二 Л%^0 十 A“iR + А"?%? + A°S 比 з + 步.

Фундаментальным свойством, отличающим преобразование Лоренца, является то, что оно оставляет инвариантным «собственное время», определяемое так:

就2 三成2 — йх2~ —x\a^dx^ dx^.(2.1.4)

В новой системе координат х^ дифференциалы координат задаются в виде

d/'a = A%d/y,

а потому новое координатное время записывается следующим образом:

dV2 H — Т]аВ&%'а&父В= —riapA^A13^ @/丫 @公=— %3 ad GW, и, следовательно,

3 = *(2.1.5)

Именно это свойство преобразований Лоренца объясняет то, что Майкельсон и Морли обнаружили неизменность скорости света во всех инерциальных системах. Фронт световой волны имеет скорость I dx/dt I, равную скорости света, которая в выбранной естественной системе равна единице; следовательно, распространение света описывается формулой

dr = 0.(2.1.6)

При преобразовании Лоренца величина dx не меняется, т. е. &f2 工 о, и, следовательно, | dx7成'| = 1, т. е. скорость света и в новой системе равна единице.

Можно также показать, что преобразования Лоренца (2.1.1) являются единственными несингулярными преобразованиями е —/', которые оставляют инвариантным dx2 (несингулярность преобразования означает, что х' (х) и 企(/') являются хорошими дифференцируемыми функциями и что матрица G/'a/daB имеет хорошо определенную обратную матрицу @76/8/'°). Произвольные преобразования координат х —^ х', приводящие к замене di；f dt', задаются в виде

йт/2 = —т]а(з dx^ dx^= ——г|ар胃 d炉 dx§.

Если для всех d/i это выражение равно dx2, должно выполняться условие

Луб ~ Лар —TV •(2.1.7)

Дифференцируя (2.1.7) по 吟 имеем

Для того чтобы вычислить вторые производные, прибавим к этому выражению такое же уравнение с переставленными индексами Y и £ и вычтем уравнение с переставленными индексами £ и 6. В результате получим

s Г 尹『％ а/В .дх^ ,尹/a дх^ t 3此'8 дх'а

L дх^ d产 彰6 от6дз^ d/ 0犬d# 0川 不£°不产 3胃2

d胃¥ dW Згее 8胃2 3汇60产」

Поскольку т]ав = Пва, последний и предпоследний члены сокращаются со вторым и четвертым соответственно, а первый и третий оказываются равными. Тогда остается

尹/ad/6

7— = U.

дзУ дхг дзг

Но как nag, так и дх^1дхь являются несингулярными матриЦами. Поэтому получаем

дзУ 5хедзУ 5хе(2.1.8)

дзУ 5хе

дзУ 5хе

Общее решение уравнения (2,1.8) есть как раз линейная функция (2.1.1), и, подставляя (2.1.1) в (2.1.7), мы убеждаемся в том, что Лар должно удовлетворять условию (2.1.2). Это доказательство является элементарным примером того сорта соображений относительно симметричных пространств, которые мы изложим в главе 13. (Отметим попутно следствия из следующего предположения. Если преобразования % f 比'оставляют dr инвариантным только при dt = 0, т. е. для частицы, движущейся со скоростью света, то мы обнаружим, что эти преобразования являются в общем нелинейными и образуют 15-параметрическую группу, называемую конформной. Эта группа содержит преобразования Лоренца в качестве подгруппы. Но утверждение о том, что свободная частица движется с постоянной скоростью, не являлось бы инвариантным утверждением, если скорость частицы не равнялась бы скорости света. Зная, однако, о том, что в природе существуют массивные частицы, мы должны отвергнуть конформную симметрию как возможный принцип инвариантности природы.)

Сейчас принято называть весь набор преобразований Лоренца, записанных в форме (2.1.1), неоднородной группой Лоренца или группой Пуанкаре, Подгруппа, в которой все а" = 0, называется однородной группой Лоренца, Как однородная, так и неоднородная группы Лоренца имеют подгруппы, определяемые с помощью следующих дополнительных условий, налагаемых на А%:

Л°о^：1, DetA=+(.(2.1.9)

Эти подгруппы называются соответственно собственной однородной и собственной неоднородной группами Лоренца.

Отметим, что из (2.1.2) следует

(A°o)2 = l+ S (А'оА⑵ 1/0)

£=1, 2, 3

(Det А)2 = 1.(2.1.11)

[Выражение (2.1.10) вытекает из (2.1.2), если положить в нем Y = 5 = 0. формулу (2.1.11) можно получить, если записать (2.1.2) как матричное уравнение т] = Агт]А и взять его детерминант.] Из (2.1.9) — (2.1.11) следует, что любая матрица А^, которая непрерывным изменением параметров может быть превращена в тождественную матрицу 6^, реализует собственное преобразование Лоренца. Действительно, никаким непрерывным изменением параметров нельзя перейти от Л%<^—1 к Л°о》土1, или, что то же самое, от Det Л = —1 к Det Л = +1, а тождественное преобразование имеет А°о = +1 и Det Л = 4-1. Несобственные преобразования Лоренца включают в себя инверсию пространства, обращение времени, либо их произведение. Как

известно, инверсия пространства (Det Л =——1, Л°о》1) не является точной симметрией природы [1—4]; что же касается обращения времена (Det Л = —1, Л°о < —1), то весьма сомнительно, чтобы природа была строго симметрична относительно этого преобразования [51. Если не оговорено иное, то мы почти всегда будем иметь дело с собственными преобразованиями Лоренца, т. е. с теми, которые удовлетворяют условиям (2.1.9). Далее, собственные однородные преобразования Лоренца имеют подгруппу вращений, для которой выполняются условия

A? = Rij, Аг0 = A°i = 0, А°о = 1-

Здесь Rij — унимодулярная ортогональная матрица (Det 7? = 1 и RTR = 1), а индексы I, j пробегают значения 1, 2, 3. Что касается вращений и пространственно-временных трансляций ха —> f 力口 + 〃в, то между группой Лоренца и группой Галилея, обсужденной в первой главе, нет никаких различий. Различие содержится только в бустах1), т. е. в тех преобразованиях, которые изменяют скорость системы координат. Пусть один наблюдатель О видит частицу в покое, а по отношению к другому наблюдателю О* она движется со скоростью v. Из (2.1.1) следует

(2.1.12)

или, поскольку dx = 0, имеем

dx^ — ^o dtG = 1，2, 3),

(2.1.13)

dt,f = А°о dt.

(2.1.14)

Отношение dx'/或'определяет скорость v, так что

А"о = PjA°o-

(2.1.15)

Второе соотношение между Аг0 и А°о можно вывести, в выражении (2.1.2) индексы 6 — 0:

положив

—1 = АаоЛ%т]ар = 2— (А°о)2.

I, 2, 3

(2.1.16)

Решение уравнений (2.1.15) и (2.1.16) имеет вид:

А°о = Т，

(2.1.17)

где

(2.1.18)

?м (1 —v2)-I/2.

(2.1.19)

：)<<БУстом» в физической литературе называют преобразование Лоренца истемы покоя к движущейся системе координат.— Прим. ред.

Другие компоненты Лар не определяются однозначно, так как если преобразование Лар переводит частицу из состояния покоя в состояние движения со скоростью v, то это же можно сделать и с помощью преобразования 八“丫区"^， где R — произвольное вращение. Удобен следующий выбор Лг；, удовлетворяющий (2.1.2):

А\ = 6"•-力力中，(2.1.20)

A°j = 丫办(2.1.21)

Легко видеть, что любое собственное однородное преобразование Лоренца можно выразить как произведение буста Л (v) на матрицу поворота R*

Изменение масштаба времени

Хотя преобразования Лоренца были придуманы для того, чтобы объяснить инвариантность скорости света, замена галилеевой относительности релятивистской приводит немедленно к кинематическим следствиям для материальных объектов, движущихся со скоростью, меньшей скорости света. Простейшим и наиболее важным из них является изменение масштаба времени у движущихся часов. Предположим, что относительно данного наблюдателя часы покоятся. Тогда два последовательных временных отсчета разделены пространственно-временным интервалом dx = 0, d£ = А厶 где Ai ——стандартная единица времени, задаваемая изготовителем часов. Собственный интервал времени в его системе равен

Л 三(d* — Jx2)1^2 = А/.

Другой наблюдатель, относительно которого эти же часы движутся со скоростью V, замечает, что два последовательных отсчета времени разделены не только временным интервалом dt'. но также и пространственным интервалом dx' = v 成'.Он находит, что в его системе собственный интервал времени определяется следующим образом:

dx'=(山'2 - dx'2)〃2 = (1- v2)1/2 dt'.

Но по предположению оба наблюдателя находятся в инерциальных системах координат, т. е. в системах, связанных преобразованием Лоренца, и при сравнении наблюдений они должны обнаружить, что в согласии с уравнением (2.1.5) dx = dx'. Отсюда следует, что для наблюдателя, относительно которого часы движутся, временные отметки следуют с периодом

|Соотношение (2.2.1) можно также вывести, используя выражения (2.1.14), (2.1.17) и (2.1.19).] Это соотношение буквально каждый день проверяется в экспериментах по измерению среднего времени жизни быстрых нестабильных частиц, рождающихся в космических “Fax и на ускорителях. Частицы, естественно, не дают временных отметок; в этом случае уравнение (2.2.1) говорит о том, что движущаяся частица обладает средним временем жизни, большим, чем покоящаяся, из-за множителя (1 — v2)-1/2. Это находится в полном согласии с экспериментальными значениями, определяемыми с помощью электроники или по длине свободного пробега. Изменение масштаба времени (2.2.1) не следует путать с кажущимися ])астя;кениями л сокращениями времени, известными как эффект Доплера. Пусть наши «часы»——движущийся источник света, частота которого V = 1/А九 Тогда время между излучением двух последовательных волновых фронтов (характеризуемых, например, максимальными значениями какой-либо компоненты электрического поля) задается с помощью (2.2.1) в виде df ~ Az (1 — v2)-1/2. Однако за это время расстояние между наблюдателем и источником света возрастет на величину и「d力,где vr ——компонента v, направленная от наблюдателя к источнику света. Тогда периоды между прибытиями волновых фронтов в точку наблюдения равны

现о = (1 + %)现'=(1 + %) (1 — v2)-1/2 А九

Следовательно, отношение реально измеряемой частоты света к частоте покоящегося источника света равно

2^л =(1_н Уг)-1(1 __v2//2.(2.2.2)

Если источник света удаляется от наблюдателя, то и「〉0 s обязательно возникает красное смещение. Если источник света движется перпендикулярно направлению на наблюдателя, то % = О п мы будем иметь красное смещение только за счет изменения масштаба времени, обсужденного выше. Если же световой источ- ш】к движется по направлению к наблюдателю, тогда vr =——у 11 (2.2.2) дает фиолетовое смещение, определяемое коэффициентом (1 + и)"? (1 — V)-1/2. Переход от фиолетового к красному смещению возникает в том случае, когда источник движется под некоторым углом к линии источник ——наблюдатель, отличным от О И 90°.

Динамика частицы

Пусть частица движется в поле сил со скоростью, настолько большой, что ньютоновская механика не описывает удовлетворительно ее движение. Предположим, что, как и в случае электроДинамики, мы знаем, как вычислить силу F, действующую на нашу

частицу, в любой лоренцевой системе, в которой в данный момент частица покоится. Тогда движение нашей частицы можно рассчитать, переходя с помощью преобразования Лоренца к системеу в которой в некоторый момент времени 力о частица находится в покое, затем вычисляя в момент времени 方° + dt скорость dv = =F dtlm и снова совершая преобразование Лоренца к системе, в которой скорость равна нулю уже в момент времени Zo + dt и т. д. К счастью, существует более легкий путь.

Определим релятивистскую силу /а, действующую на частицу с координатой ^а (т), следующим образом:

展7n母・(2.3.1)

Очевидно, что, если /а известна, можно рассчитать движение нашей частицы. Свяжем /а с ньютоновской силой, замечая следующие два ее свойства:

А. Если частица находится в данный момент в покое, то собственный временной интервал dr равен d£, так что /а = 尸仪，】斗① Рг ——декартовы компоненты нерелятивистской силы F, причем

^= 0.(2.3.2)

Б. При преобразованиях Лоренца общего вида (2.1.1) дифференциал от координаты преобразуется по закону dx，a = Лар dx^r тогда как dr — инвариантно. Поэтому из (2.3.1) следует, что правило лоренцева преобразования для величины /а имеет вид

/'3 =a、#.(2.3.3)

Любая величина, такая, как &/仪 или /а, преобразующаяся по правилу (2.3.3), называется 4-вектором.

Предположим теперь, что в некоторый момент времени 力 частица имеет скорость v, и введем новую систему координат 用％ определяемую следующим образом:

жсс = Асср(V)#В,

где A(V)является «бустом», задаваемым выражениями (2.1.17)— (2.1.21). Б уст A(V)построен так, что переводит частицу из состояния покоя в состояние движения со скоростью v, а поскольку наша частица в системе координат 犷 имеет в момент времени % скорость V, то в системе координат 胃农 она должна в этот момент времени покоиться. Следовательно, согласно свойству «А», 4-вектор силы /а в системе координат 胃'а должен быть в момент времени ^а равен нерелятивистской силе 歹У ДаЛее, согласно свойству «Б», сила /а в первоначальной системе координат равна

Менее формальная запись (2.3.4) с учетом того, что 尸° = 0, такова:

f = F + (y — l)v 炉，(2.3.5)

/o = Vv.F = v f.(2.3.6)

Здесь v — мгновенное значение скорости.

Теперь, когда известно, как вычислить /а, можно использовать дифференциальное уравнение (2.3.1), чтобы найти четыре связанные переменные %" (т), а затем, исключив т, определить х (%). Од- иг) ко начальные значения dxa/dr должны быть выбраны так, чтобы dt действительно было собственным временем, т. е. чтобы выполнялось условие

(2.3.7)

Отметим, что (2.3.7) будет справедливо при всех т, если оно справедливо при некотором начальном значении т, при условии, что производная (2.3.7) равна нулю, т. е.

О = 2%св产粤.(2.3.8)

То, что это действительно верно, можно видеть непосредственно из (2.3.4) либо более элегантным способом, замечая, что правая часть (2.3.8) лоренц-инвариантна, т. е.

па，" = ^以"小В#黑"=小6户崇)

и в силу условия (2.3.2) равна нулю в той системе отсчета, в которой частица покоится.

Энергия и импульс

Релятивистская форма второго закона Ньютона немедленно приводит к следующему определению 4-вектора энергии-импульса:

Р“ = т%・(241)

Тогда второй закон Ньютона записывается в виде

Т = /а-(242)

Напомним, что

йт = @2— dx2)1/2 ±= (1 — v2)1/2dZ, где

Тогда пространственные компоненты р образуют вектор импульса

р = myv,

(2.4.3)

а временная компонента дает энергию

р。м £ = ту,

(2.4.4)

где

『黑=d-v2) F

(2.4.5)

Из этих определений следует, что при малых v

р = mv +0(уЗ),

(2.4.6)

Е = zn + 万 mv2 4- 0 (v4)

(2.4.7)

в соответствии с нерелятивистскими формулами, за исключениедг слагаемого т в Е. (Напомним, что в наших единицах 1 с равна 3 -1010 см, а потому 1 г равен 9 -1020 эрг.) Иногда коэффициент ту называют релятивистской массой и обозначают т, так что р = mv. Мы не будем здесь придерживаться таких обозначений; далее под т мы будем подразумевать постоянную «массу».

Почему р и £ называют релятивистскими импульсом и энергией? Эти названия можно приписать чему угодно, но, чтобы понятия импульса и энергии были полезны, их нужно отнести к сохраняющимся величинам. Существенной особенностью определенных выше р и Е является то, что если один наблюдатель отмечает сохранение этих величин в какой-нибудь реакции, то это же может сказать и любой другой наблюдатель в системе, связанной с первой преобразованием Лоренца. Заметим, что d/01 есть 4-вектор, в то время как т н dt — инварианты. Поэтому для любой отдельной частицы ра является 4-вектором, т. е. при преобразованиях (2.1.1) импульс трансформируется следующим образом:

Р，а = Л%р^, поскольку Л зависит только от выполняемого преобразования Лоренца, то в любой реакции изменение суммы импульсов 卩弘 всех частиц есть также 4-вектор, т. е.

(Суммирование здесь производится по всем частицам, а символ А означает разность между импульсами начального и конечного состояний.)

Сохранение р и £ в первоначальной инерциальной системе означает, что А』獄 исчезает, так что в любой системе координат

связанной с первой преобразованием Лоренца, величины р и Е также будут сохраняться, т. е. А 2 р® будет обращаться в нуль.

Не станем показывать здесь, что р и 耳 являются единственными функциями скорости, сохранение которых лоренц-инвариантно [6]. Однако стоит обратить особое внимание на тот факт, что Е должно сохраняться, если сохраняется р. Действительно, пусть в двух различных системах координат, связанных преобразованием Лоренца, импульс сохраняется, т. е. справедливы следующие соотношения:

S Рп — О, А』р2 = 0.

Так как 厶2 р* есть 4-вектор, имеем

к учитывая сохранение импульса в обеих системах координатг получаем

0=公小2吟

Но N с необходимостью отлично от нуля, поэтому р° = Е сохраняется.

При нулевой скорости энергия Е имеет конечное значение т. По этой причине мы будем иногда называть величину Е ——碎 «кинетической энергией», поскольку для малых v она приближенно равна Vs/nv2. Если в реакции сохраняется полная масса (как в случае упругого рассеяния), то кинетическая энергия сохраняется. Но если какое-то количество массы уничтожается (как в радиоактивном распаде, при делении или синтезе), то высвобождается большое количество кинетической энергии, важность чего хорошо известна.

Из уравнений (2.4.3) и (2.4.4) можно исключить скорость, что дает соотношение между энергией и импульсом:

Е (р) = (р2 + m2)i/2.(2.4.8)

Т。же самое можно вывести, замечая, что из (2.4.1) и определения М следует

ПаВ,арВ= —Т/Л

Для фотона или нейтрино нужно положить v2 — 1 и zn = 0; отсю- 乩а немедленно следуют выражения (2.4.3) и (2.4.4), а их отношение приводит к связи, справедливой для всех частиц:

Отметим, что для тп = 0 формула (2.4.8) сводится к равенству 笈=I р I, как и должно быть для безмассовых частиц, поскольку их скорость V ——единичный вектор.

Векторы и тензоры

Теперь мы переходим к электродинамике и релятивистской гидродинамике, но для удобства перехода сделаем отступление и введем сперва систему обозначений, которая сделает лоренц- преобразования физических величин более прозрачными. В гл. 4 эта система будет распространена на тензорный анализ, чтобы включить и общие координатные преобразования, но фактически для этого почти не потребуется изменений.

Мы уже ввели термин «4-вектор» для любой величины, такой, как dxa, /а или ра, которая преобразуется следующим образом:

ff广二A01 旷 0,(2.5.1)

при замене системы координат:

产 f /'а = Лар^р.(2.5.2)

Точнее будет назвать такой вектор 卩仪 контравариантным 4-вектором, чтобы отличить его от кэвариантного 4-вектора。仪，который определяется как величина, преобразующаяся по следующему правилу

UafUgMUj(2.5.3)

где

Ла^1]а^А\.(2.5.4)

Матрица 刀优,введенная здесь, численно та же, что и 刀的,т. е.

^8 = 1]优,(2.5.5)

но мы записываем ее с поднятыми вверх индексами в соответствии с нашим условным обозначением операции суммирования. Отметим, что

也6 =隈={: J：(2.5.6)

а потому Ла13 — матрица, обратная Лра, т. е.

八鼠八“产 ЛабЛ^^еЛ^ =电自唄'=5?6(2.5.7)

Отсюда следует, что скалярное произведение контравариантного и ковариантного 4-векторов есть инвариант, т. е.

Каждому контравариантному 4-вектору Уа соответствует ковариантный 4-вектор

=(2.5.9)

а каждому ковариантному % соответствует контравариантный

U“e 俨％.(2.5.10)

Заметим, что поднимание индекса у 7а дает просто Va, а опускание индекса у Ua переводит его обратно в %, т. е.

竹尸俨耶产〜，

刀仪8加=刀邱产U尸Ua.

()тметим также, что в соответствии с (2.5.3) величина (2.5.9) в cav.ом деле является ковариантным вектором, поскольку

匕=小旷° = ПавА%^ = Па₽П?бЛ₽7Уб = & 忆.

Аналогично величина (2.5.10) действительно является контрава- риантпым вектором.

Хотя любой вектор можно записать, как в ко-, так и в коитра- вариантной форме, существуют некоторые векторы, такие, как &а, которые выглядят более естественно в контравариантном виде. Другие же, напротив, более естественны как коварианты. Примером последнего может служить градиент 818俨、подчиняющийся трансформационному правилу:

дд дз^ д

дхаб;/"du's 汲6

Умножая (2.5.1) на А』，получаем

а потому градиент ковариантен:

дха в £ '

Отсюда следует, во-первых, что дивергенция контравариантного вектора "哂/& есть инвариант и, во-вторых, что скалярное произведение 8/8/^ самого на себя, называемое оператором Даламбера,

口一詣⑵5.12)

есть также инвариант.

4-078"

Многие физические величины не являются ни скалярами, ни векторами, а являются более сложными объектами, которые называются тензорами. Тензор имеет несколько контравариантных и (или) ковариантных индексов с соответствующими свойствами лоренц-преобразований по ним, например

Контравариантный или ковариантный вектор можно рассматривать как тензор, имеющий один индекс, а скаляр ——как тензор без индексов. Существует несколько способов образования тензоров из других тензоров:

Линейная комбинация. Линейная комбинация тензоров с одними и теми же верхними и нижними индексами есть тензор с теми же индексами. Например, если 7?р и 5р — тензоры, а а и Ъ ——скаляры, и мы зададим Т^ в виде

Ta^aRa^ + bS\

то Т"в есть тензор, т. е.

Т “В м aR ар + bS “в =仪八“丛^刑6 + &AavAp65V^ = AavAp6TV6.

Б. Прямое произведение. Произведение компонент двух тензоров есть тензор, верхние и нижние индексы которого состоят соответственно из всех верхних и нижних индексов двух исходных тензоров. Например, если 4aB и 5丫 являются тензорами

7V 三/&0,

то Т"，есть тензор, т. е.

Свертка. Приравняв какие-нибудь верхние и нижние индексы попарно и произведя суммирование по их значениям 0, 1, 2, 3, получим тензор, у которого этих двух индексов уже не будет. Например, если Г% 7б — тензор и

厂丫 __ ^^

то Т"" тоже является тензором, т. е.

7，ву _ т，а§"рВ 一

= А°и*"Р =

= A°UN 其

Г. Дифференцирование. Производная 力为尹 любого тензора есть тензор, имеющий один дополнительный нижний индекс ос. Например, если Т^? — тензор и

то Та。' также является тензором, поскольку

a一淤

=/%6*風a々产=

=ЛабЛреЛ?:Гб£=;

отметим, что порядок следования индексов существен даже в расстановке верхних и нижних индексов. Например, Т^может и не совпадать с 7叮・

Кроме скаляров, еще три особых тензора обладают тем свойством, что компоненты их одинаковы во всех координатных системах:

Тензор Минковского. Из определения преобразования Лоренца немедленно следует, что 貝口^ есть ковариантный тензор, т. е.

Ла|3 — А'аА 0%б・

Умножая это соотношение на 刀°^刀(^ и используя (2.5.6) и (2.5.4), находим, что

=产а『а£

а потому 刀вВ является контравариантным тензором. (Напомним, Что Пав и г)вВ численно совпадают, следовательно, это матрица^ которая может быть и ковариантной и контравариантной.) Можно построить смешанный тензор, опуская один индекс у 刀“6 или поднимая один индекс у т)ав； зто даст нам символ Кронекера

б В『 ％“

Т。，что это действительно тензор, следует из правил Б м В и из t°fc факта, что 貝印 и 刀「6 — тензоры.

Тензор Леви-Чивита. Это величина еа₽^6, определяемая следующим образом:

+ 1, £3(^6 =—], О+ 1, £3(^6 =—], О(2.5.13)(2.5.13)если индексы а, 3 у, 6 составляют четную перестановку 0123,

+ 1, £3(^6 =—], О

+ 1, £3(^6 =—], О

(2.5.13)

(2.5.13)

если индексы а, р, у, 6 составляют нечетную перестановку 0123, в остальных случаях.

Заметим, что справедливо соотношение

个人飞心A猛沁〜尹吗

так как левая часть его должна быть нечетной при любой однократной перестановке индексов ар?5. Для того чтобы найти коэффициент пропорциональности, положим «Руб = 0123. Тогда левая часть рассматриваемого соотношения есть просто детерминант Л, который при собственных преобразованиях Лоренца равен единице (см. § 1 гл. 2). Таким образом, коэффициент пропорциональности равен единице, т. е.

AasA₽sAvxA\eE?xX =产叫 (2.5.14)

и, следовательно, &а^ ——действительно тензор.

Нулевой тензор. Такой тензор можно определить как объект с произвольным числом верхних и нижних индексов, у которого все компоненты равны нулю.

Поскольку 刀仪5 и Y]as являются тензорами, их можно использовать, чтобы поднимать или опускать индексы у произвольного тензора; из правил Б и В вытекает, что это дает нам новый тензор, у которого становится на один верхний или нижний индекс больше и соответственно на один нижний или верхний индекс меньше. Например, если 丁仪口丫 一 тензор, то таким новым тензором будет

?&三唄几m

В частности, у тензора Леви-Чивита еа^ можно опустить вниз некоторые или все индексы. Опустив все индексы, получаем то же численное значение, но со знаком минус:

%旳6 = 一 *眈6. (2.5.15)

Польза этого алгебраического подхода заключается в том, что мы можем по виду уравнения моментально определить, является ли оно лоренц-инвариантным. Фундаментальная теорема утверждает, что если два тензора с одинаковыми верхними и нижними индексами равны 8 одной системе координат, то они равны в любой другой системе координат, связанной с первой преобразованием

Лоренца. Например, если Т：в = 5"в，то

Т\ = Л%ЛрбГ^ = Ла?Лрб5^ = 5，ар.

Частный случай этой теоремы — утверждение, что нулевой тензор лоренц-инвариантен. Формализм, приведенный в общих чертах в этом параграфе, есть не что иное, как описание представлений однородной группы Лоренца. Мы займёмся исследованием этих представлений в более общем виде в § 12 гл. 2.

Токи и плотности

Пусть у нас есть система частиц с зарядами еп, а их положение задается радиусами-векторами хп (力).Ток и плотность зарядов, как обычно, определим следующим образом:

J(x,£) =》en63(x — Xn(Z))^,(2.6.1)

е(х, i) = 2 ^пб3 (х —хп (/)).(2.6.2)

Здесь 63 — дельта-функция Дирака, определяемая с помощью условия, что для любой гладкой функции /(/) должно выполняться условие

J 炉對(х)6з(х-у) = /(у).

Мы можем объединить J и е в 4-вектор J", положив

J° 三％(263)

т. е.

位)三 2 еп2 (х — xn «))“"£”"(2.6.4)

Для того чтобы показать, что это действительно 4-вектор, зададим Хп (z) = t и запишем (2.6.4) в виде

尸(?) = J 近'2 en*(2 — Zn (У)) —^—.

Дифференциалы df сокращаются, поэтому их можно заменить инвариантами dr:

尸 ⑺=J &Т 2 en^ (^ — xn ⑴)史；*• •(2.6.5)

n

Ho 64 (x — xn (т)) есть скаляр (так как DetA= 1), a J^ — 4-вектор, следовательно, и J° является 4-вектором.

Отметим также, что

V.g)』/^ —х“ ⑼吟= п

£еп#(х — хп ⑼孕

=—2 备 9 (х — хп (%))=

п

=—^е(х，办，

или в четырехмерной записи

為 J“(2)= 0・(2.6.6)

Лоренц-инвариантность этого уравнения очевидна. Если ток Ja (胃)удовлетворяет инвариантному закону сохранения (2.6.6), можно построить полный заряд

Q 三)成2/0(2).(2.6.7)

Эта величина не зависит от времени, так как (2.6.6) и теорема Гаусса приводят к результату

子=jd3/爲 J。®=_J d3?V.J ⑶=0.

Если Ja(胃)есть 4-вектор, то Q является не только константой, но и скаляром. Для того чтобы убедиться в этом, запишем Q в виде Q = j d%ja (z) 5а6 (曲*),(2.6.8)

где 0 ——функция Хэвисайда (ступенька):

s>0, s V О,n0 = + l.s>0, s V О,n0 = + l.={ О

s>0, s V О,

n0 = + l.

s>0, s V О,

n0 = + l.

a 孔九 задается следующим образом: 孔1=zz2 M孔3三0,

Тогда преобразование Лоренца величины Q сводится, очевидно, просто к замене в ней zz-> п':

q，= j阳l⑶％9 (九。明，

72 p = A鼠几?.

Если же использовать (2.6.6), изменение Q выражается так:

Q，-Q=、公x8a [L ⑶{0 (痂叫 一ё (邺叫}].

Можно считать, что ток /а (%) исчезает при | х | f 8 ц фиксированном %, в то время как функция 0 (孔篩В) — 0 (仰讲)обращается в пуль, если I ^ I -> оо, а I х I фиксировано. Следовательно, можно воспользоваться четырехмерной теоремой Гаусса и показать, что Q' — Q = 0, т. е. Q есть скаляр. [Для плотности тока J°, опре- ；ie/iнемой с помощью (2.6.2), заряд (2.6.7) задается в виде

Q = W еп

и является, конечно, скалярной константой. Однако, если иметь дело с распределениями заряда и тока протяженных частиц, важно отчетливо понимать, что (2.6.7) вводит не зависящий от времени скаляр для любого сохраняющегося 4-вектора Ja.l

Электродинамика

Уравнения Максвелла для электрического и магнитного полей Е. В, создаваемых заданной плотностью заряда е и плотностью тока J, имеют вид:

▽ ・Е = е,(2.7.1)

xB=T + J,(2.7.2)

▽ ・В = 0,(2.7.3)

・Е=-雾.(274)

Для того чтобы исследовать свойства Е и В при лоренц-преобразованиях, введем матрицу 歹邙 следующим образом:

尸2 = 5产3 =吊，戸£ = &

歹=F02 = E2,川3 =邑，(.•’)

尸0= _F叫

loiRa (2.7.1) и (2.7.2) можно переписать в виде (напомним, что

(2.7.6)

в то время как (2.7.3) и (2.7.4) запишутся так:

(2.7.7)

где 8aPv6 — символ Леви-Чивита, определенный в 4 а ^?6 — ковариант, определяемый обычным образом:

$ 5 гл. 2,

/6三小"6В尸上

Так как J° — 4-вектор, можно сделать вывод, что Fa^ есть тензор: ^^Л^Л^6.(2.7.8)

Действительно, если 歹耶 является решением (2.7.6) и (2.7.7), то (2.7.8) будет решением в любой лоренц-преобразованной системе координат. Электромагнитная сила, действующая на заряженную частицу, определяется так:

片=叫产察=eF:嚓.(2.7.9)

В том, что эта формула правильная, можно убедиться, повторяя аргументы, приведенные в § 3. Выражение (2.7.9) справедливо в той системе отсчета, в которой покоится частица, так как в этой системе f = еЕ, /° = 0. Оно преобразуется как 4-вектор, а поэтому справедливо для всех скоростей. Отметим, кстати, что (2.7.9) и (2.4.2) дают

^- = e[E + vxB],

и, следовательно, формула для магнитной силы возникает как следствие специальной теории относительности.

Существует удобная альтернативная форма однородного урав нения (2.7.7), а именно

(2・7」。)

Отметим, что, если все индексы а, £ у различны, уравнение (2.7.10) совпадает с (2.7.7). Например, при а = 0 уравнение (2.7.7) дает тот же результат, что и уравнение (2.7.10) при оф? = 12 3. Далее при двух равных индексах уравнение (2.7.10) обращается в то7кдество, например, при § = 丫 (2.7.10) приобретает вид

~р" F^a + ~~^ ^а|3 ~ 0 (без суммирования)

и выполняется тождественно, поскольку = —&&. Уравнение (2.7.7) позволяет представить Fv6 как ротор 4-вектора Л7: F"=轰 Al*A,(2.7.11)

(см. § 11 гл. 4).

Можно ввести в Ау член d^cp, не изменяя 尸「6, так как Лу может быть определено таким образом, чтобы

”4 = 0.(2.7.12)

Если учесть (2.7.11) и (2.7.12), то остальные уравнения Максвелла сводятся к уравнению

(2.7.13)(2.7.13)□2人=一%.

(2.7.13)

(2.7.13)

Тензор энергии-импульса

В § 5 мы ввели плотность электрического заряда е и тока J. Сейчас аналогичным образом мы дадим определение заряда и тока 4-вектора энергии-импульса 严.Рассмотрим сначала систему п частиц с 4-вектором энергии-импульса, р^ (力.Плотность р" определяется следующим образом:

产(х，9 三 §Р*)63(Х — Х“《)),(2.8.1)

а ток задается в виде

产(х,力)=£ р^ 优)^^ 63 (х—х“ (0).(2.8.2)

Эти два определения можно объединить одной формулой:

Гар (гг) = 2 Рп ^г~ б3 (х - ХП (0),(2.8.3)

где ^п° (^) = Отметим, что из (2.4.10) следует

成=晶令，

поэтому (2.8.3) можно записать в виде

产°(2)= 2 嚳 2 (х- Х“ ⑼.(2.8.4)

Отсюда видно, что тензор Та^ симметричен:

T^气幼=7眠也).(2.8.5)

По аналогии с (2.6.5) мы можем переписать (2.8.3) еще и так: ?耶(2)= e呪心第64(2 一词(明，(2.8.5а)

п

откуда видно, что Та₽ действительно тензор^ т. е. при преобразо- ваноях Лоренца (2.1.1) ведет себя следующим образом:

"то6bl установить закон сохранения для ТаВ, потребуются несколько большие усилия. Возвращаясь к (2.8.1) и (2.8.2), мы

ВИДИМ, что

斎？成(X, f) = _ 2 燭(0 ^- £ 63(X - X. 他))=

оХг少球

=-£ 成⑺ ^ 2 (x- XП (分)=

=-4^°(X, 0+S 吗"2(X-X" ⑼,n

и, следовательно,

金 7aB = G<z,(2.8.6)

где G° — плотность силы:

G" (х,力)三 § 63 (х - х“ (i))骂© = ? 63 (x - xn @) -J-携(/).

Если частицы свободны, то 成 будет постоянным, а 7“° сохраняется, т. е.

轰？耶(2) = 0.(2.8.7)

Этот же закон справедлив, если частицы взаимодействуют только при столкновениях, строго локализованных в пространстве. В этом случае (2.8.6) дает

言产⑺= 263(Х—Хс(“*£р^),сngc

где хс (%)——координаты с-го столкновения, происходящего в момент времени 厶 а символ п ^ с означает, что мы суммируем только по частицам, участвующим в с-м столкновении. Но при каждом столкновении импульс сохраняется, поэтому величина 2 Рп (0 не зависит от времени, и, следовательно, выполняется ngc

закон сохранения (2.8.7).

Тензор энергии-импульса (2.8.3) не сохраняется, если частицы являются объектами, испытывающими действие сил на расстоянии. Рассмотрим, например, газ, состоящий из заряженных частиц с зарядами %• Тогда (2.8.6), (2.4.1) и (2.7.9) дают

矗产3)= 2 еп*⑶禦2 (x — Xn⑼，

к, если использовать (2.6.4), получим

搐7呻з)=严⑷尸⑶.(2.8.8)

Такой тензор не сохраняется, но можно построить сохраняющийся тензор, добавив чисто электромагнитный член, имеющий вид: т^ = F\F^ - ^ ^Fy^\(2.8.9)

Следовательно, плотности электромагнитной энергии и импульса задаются следующим образом:

Уэм = 4(Е2 + В2),П2, = (ЕхВ)г. (2.8.10)

Заметим, что

為噓=吃告歹闻+№為吃-备 鹏

[Здесь д/дха = т]а₽ (д/дх^). ] Небольшая перегруппировка индексов приводит к следующему выражению:

今?躲=鹏占m-4&v (备脚+合产+备心)•

Используя уравнения Максвелла (2.7.6) и (2.7.10), получаем

禦=_尸戸.(2.8.11)

Сравнивая теперь (2.8.8) с (2.8.11), приходим к следующему переопределению тензора энергии-импульса:

rP = S Pn^- 83 (х-хп (0) + ^.(2.8.12)

Этот тензор по-прежнему симметричен, но теперь он сохраняется: %厂6 = 0.(2.8.13)

Можно прибавлять к тензору 7aB все новые и новые члены, вводя другие поля, но оставляя тензор 7aB сохраняющимся. Систематический метод построения таких членов описан в гл. 12.

Интеграл от плотности заряда J° есть как раз полный заряд, а интеграл от плотности Та。 импульса ра — полный импульс Рполн：

p 嘉 ^«=)現忆^依").(2.8.14)

Т°, что это сохраняющийся 4-вектор, можно показать таким же образом, как мы показали в §6, что полный заряд (2.6.7) является сохраняющимся скаляром.

Спин

Тензор энергии-импульса Та₽ можно использовать для определения углового момента и спина. Рассмотрим изолированную систему, для которой полный тензор энергии-импульса 7aB сохраняется:

亠?卽=0.

дзУ

Можно с помощью тензора Г построить другой тензор

(2.9.1)

@м^ае 7肥_yap — 0@м^ае 7肥_yap — 0Поскольку Т симметричен и сохраняется, М будет также сохраняться:

@м^ае 7肥_yap — 0

@м^ае 7肥_yap — 0

(2.9.2)

Построим теперь полный угловой момент'.

尸0= j d3应以°呻=_ /吗(2.9.3)

Следуя аргументам, приведенным в предыдущем параграфе, мы найдем из (2.9.2), что，ав является тензором, сохраняющимся во времени. Заметим далее, что

Ji3= J或？ 3夕)。一/竿叽

и, так как Т'° есть плотность j-й компоненты импульса, можно рассматривать J23,产 и j^ как 1-ю, 2-ю и 3-ю компоненты углового момента. Другие компоненты 丿邓 выглядят следующим образом:

JOi=/pi_ j 公？。。或2.

Эти компоненты не имеют явного физического смысла, и фактически их можно исключить, фиксируя при 力=0 начало координат в «центре энергии», т. е. полагая, что при 方= 0 момент j х1Т^ J3r равен нулю. Хотя относительно однородных преобразований Лоренца ^а -> А0^芯в полный угловой момент является тензором,, при трансляциях za f %'仪=胃仪 + 〃仪 он ведет себя необычно. Действительно, из (2.9.3) и (2.8.13) следует, что

лр f^ = j^ + ^_ а^,(2.9.4)

Такое преобразование возникает, конечно, из-за того, что Ja§ содержит орбитальный угловой момент, задавярмый всегда относи-

тельно центра вращения. Для того чтобы выделить в J0^ внутреннюю часть, удобно следующим образом определить 4-вектор спина'

Sa 三 3" %師"師и*(2.9.5)

где €仪闻6 ——полностью антисимметричный тензор, введенный в § 5, a Ua = ра/ ( — р^р^)1/2 есть 4-вектор скорости системы. Из-за антисимметричности £аВу5 трансляция za^^a + aa, изменяющая 丿°* по правилу (2.9.4), оставляет S^ неизменным. Кроме того, Sa с очевидностью является вектором и для свободных частиц сохраняется

譬=0.(2.9.6)

В заключение отметим, что в системе центра масс частиц имеем 0 = 0 и U° = 1, а потому в этой системе

Si = J23, S2 = J3i, $3 =户2, S° = 0.(2.9.7)

Это дает нам право рассматривать S^ как внутренний угловой момент системы. Если даже скорость U отлична от нуля, S^ имеет в действительности только три независимые компоненты, так как (2.9.5) дает

uО瓦=0.(2.9.8)

Эти свойства S^ мы используем позже при обсуждении прецессии гироскопа в свободном падении.

Релятивистская гидродинамика

Многие физические системы, включая, вероятно, саму Вселенную, можно рассматривать приближенно как идеальную несжимаемую жидкость. Идеальная жидкость имеет в каждой точке какую-то скорость V, причем по определению наблюдатель, движущийся с этой скоростью, воспринимает жидкость как изотропную. Это осуществляется в том случае, когда средняя длина свободного пробега частиц между столкновениями меньше линейного масштаба используемого наблюдателем. (Например, звуковые волны распространяются в воздухе, если их длина волны велика по сравнению со средней длиной свободного пробега. Однако при очень коротких длинах волн важную роль начинает играть вязкость. и воздух уже нельзя считать идеальной средой.) Сформулируем приведенное выше определение идеальной жидкости с помощью тензора энергии-импульса.

Предположим, что вначале мы находимся в такой системе отсчета (будем отмечать ее знаком «тильда»), в которой рассмат-

риваемая жидкость покоится в какой-то заданной области про^ странства и времени. Из описанных свойств идеальной жидкости следует, что в этой пространственно-временной области тензор энергии-импульса имеет сферически симметричный вид:

T^^P8ib(2.10.1)

Е° = Т°£ = 0,(2.10.2)

3 = р.(2.10.3)

Коэффициенты р и р называются соответственно давлением и плотностью собственной энергии.

Перейдем теперь в лабораторную систему отсчета и предположим, что в этой системе жидкость движется (в рассматриваемой пространственно-временной точке) со скоростью v. Тогда связь между сопутствующими координатами /В и координатами лабораторной системы ха имеет вид

№ = А°В(V)舉

где А“в(V)— буст, определенный выражениями Поскольку Г”' есть тензор, то в лабораторной выглядеть так:

产=A％w)л₽6(V)汴6,

или, в более явной форме,

Т^мрби+д + р)^^,

ТОО —(Р + р、2)

1—V2 •

Дабы убедиться в том, что это действительно что, объединяя уравнения (2.10.4) — (2.10.6), выражение

T^^p^+ip + p^U^,

где 1严 есть 4-вектор скорости:

и = *(1Т7、

U0=-^ = (l—v2)」/2, нормированный как обычно:

u炉=-1.

(2.1.17)-(2.1.211.

системе он будет

(2.10.4)

(2.10.5)

(2.10.6)

тензор, заметим, получаем простое

(2.10.7)

(2.10.8)

(2.10.9)

Действительно, выражение (2.10.7) легко вывести, заметив, что величина, стоящая справа, есть тензор, равный тензору Та₽ в лоренцевой системе, движущейся вместе с жидкостью, а следовательно, равный Т0^ в。всех лоренцевых системах.

Кроме энергии и импульса, жидкость будет в общем случае переносить одну или даже несколько сохраняющихся величин, таких, как заряд, число барионов минус число антибарионов и, при обычной температуре, число атомов. Рассмотрим одну из таких сохраняющихся величин и будем называть ее для краткости «числом частиц». Если п —— лишь плотность числа частиц (в до- ренцевой системе), движущихся в заданной пространственновременной точке вместе с жидкостью, то в этой системе 4-вектор тока частиц в данной точке задается следующим образом:

Ri = 0, N° = n.(2.10.10)

В любой другой лоренцевой системе, в которой жидкость в этой точке пространства-времени движется со скоростью v, ток частиц связывается с (2.10.10) бустом Л (v):

%i = А^(V)RB = (l-v2)-l/2 ”％(2.10.11)

N。= Л°р (v) RB = (1 — v2) -I/? n(2.10.12)

или, более компактным образом,

旷=加产.(2.10.13)

Движение жидкости подчиняется законам сохранения энергии и импульса

° =穿=券+占 КР + Р)(2.10.14)

и закону сохранения числа частиц

О =礬=為(必“)=£5(1- V2 广/В + ▽ .@V (1 — V2) -勺.

(2.10.15)

Удобно разбить (2.10.14) на трехмерное векторное и скалярное уравнения. Уравнение для трехмерного вектора получается, если положить в (2.10.14) а = Z, подставить Ul = u»U° и использовать (2.10.14) при а = 0. Это дает

祭+(vZ)v=—备*[VP+v*]・(2.Ю.16)

Скалярное уравнение получается при умножении (2.10,14) "а %. Используя соотношение

°=占(℃ = 24 尊. (2.10.17)

приходим далее к выражению

Если же использовать уравнение (2.10.15), то это можно переписать в таком виде:

。=叫爲屮為(中 )]=

= -"°В[р£(；)+為⑺卜 (2.10.17a)

Второй закон термодинамики утверждает, что давление р, плотность энергии р и объем, приходящийся на одну частицу, Мп, можно выразить как функции температуры Т и энтропии 叫 приходящейся на одну частицу, так чю

kTda^pd (4-) +d (^-) .(2.10.18)

{Постоянная Больцмана к введена, чтобы сделать о безразмерной.) Тогда скалярное уравнение (2.10Л7а) можно записать как

Удельная энтропия поэтому является постоянной во времени в любой точке, перемещающейся вместе с жидкостью. Фундаментальными уравнениями релятивистской гидродинамики являются уравнение непрерывности (2.10.15), уравнения Эйлера (2.10.16), уравнение энергии (2.10.19), а также уравнения состояния, выражающие р и р через мио.

Чтобы получить некоторое представление о допустимых уравнениях состояний, рассмотрим жидкость, состоящую из бесструктурных точечных частиц, взаимодействующих только посредством пространственно-локализованных столкновений. Как показано в § 8 гл. 2, тензор энергии-импульса можно записать в виде

= 3 Р^~2(X-XN)(2.10.20)

(см. выражение (2.8.4)]. В сопутствующей лоренцевой системе 7却 будет иметь изотропную форму (2.10.1) — (2.10.3), и поэтому давление и плотность энергии задаются в этой системе следующим образом:

Р = ^2?'У £ 窦 63(x — Xn), (2.10.21)

P = ?oo = WEn33(x —xQ.(2.10.22)

N

Плотность числа частиц по аналогии с (2.6.2) будет выглядеть так: 孔=W §з (х —к»).(2.10.23)

Отсюда, вообще говоря, следует неравенство

0《Р《号.(2.10.24)

Для холодного нерелятивистского газа справедливо приближение р2

и, следовательно, (2.10.22) дает

р л; мт + у р.(2.10.25)

Для горячего ультрарелятивистского газа имеем

а потому из (2.10.22) следует

р а Зр + пт.

(2.10.26)

Оба уравнения (2.10.25) и (2.10.26) можно объединить имеющее вид

р —^ (у —1)-1р, где

5,

言 ——нерелятивистскии газ,

в одно,

(2.10.27)

1 4

у — ультрарелятивистский газ.

Тогда соотношение (2.10.18) можно переписать так:

(2.10.28)

kTdG Pd(n)+^ l)'"Q) т — 1"(м)・

В итоге уравнение (2.10.19) приобретает вид

(2.10.29)

° =系(方)十" + ▽)(£) ,(2.10.30)

а выражая р через пирс помощью (2.10.27), можно переписать аналогичным образом и уравнение (2.10.16). Пропорциональность между внутренней энергией и давлением, следующая из уравне- Н11я (2.10.27), в действительности имеет место при различных значениях у для класса жидкостей, намного более широкого, чем рассмотренный здесь холодный газ, состоящий из точечных частиц. Для всех этих жидкостей уравнение энергии может быть записано в форме (2.10.30).

5—0788

Вычислим в качестве примера скорость звука в статической однородной релятивистской жидкости. В невозмущенном состоянии величины м, р, р и о постоянны в пространстве и во времени,, а V — 0. Звуковые волны порождают малые отклонения 八口 р】》 Pi и Vj от м, р, р и V； остается неизменным, согласно (2.10.19)》 ЛИШЬ О'.

В первом порядке по малым величинам уравнения (2.10.15) и (2.10.16) запишутся в виде

历—~ p+p ,

"Z% + Pi = 0,"Z% + Pi = 0,ОбъединяяОбъединяя(2.10.31)волновое уравнение(2.10.31)волновое уравнение0=[第 ik[®0=[第 ik[®Но при da = 0 уравнение (2.10.18) приводит к соотношению

"Z% + Pi = 0,

"Z% + Pi = 0,

Объединяя

Объединяя

(2.10.31)

волновое уравнение

(2.10.31)

волновое уравнение

0=[第 ik[®

0=[第 ik[®

гдегдетак что

где

где

из которого следует, что звуковые волны перемещаются со скоростью и$ точно так же, как и в нерелятивистской жидкости. В нерелятивистской жидкости скорость звука много меньше скорости света (равной единице), но она увеличивается с повышением температуры, так что представляет интерес проверить, будет ли для жидкости, состоящей из предельно-релятивистских частиц, такой, как водород при температуре >> 1013 К, скорость и§ превышать единицу. Для этой жидкости выражения (2.10.26) и (2.10.31) дают следующее значение скорости звука:

% =先 (2.10.32)

которое все еще существенно меньше единицы. Этот результат справедлив и с учетом электромагнитных сил, так как уравнения (2.10.7) и (2.8.9) налагают на электромагнитное давление рЭЙГ и плотность энергии рэм соотношение

?%а=3рам —Гзм = 0 (2.Ю.ЗЗ)

м следовательно, введение рэм и рэм не нарушает справедливости соотношений (2.10.26) или (2.10.32). Вопрос о том, останется ли и8 меньше единицы при учете неэлектромагнитных сил [7], остается открытым.

Релятивистская реальная жидкость

Предыдущий параграф был посвящен изучению идеальной я<идкости, в которой средние длины свободного пробега и времена столкновений были настолько малы, что вокруг любой точки движущейся жидкости сохранялась идеальная изотропия. На практике мы часто имеем дело с далеко не идеальными жидкостями, в которых давление, плотность или скорость значительно меняются на расстояниях порядка длины свободного пробега, или за промежутки времени столкновений, или на обоих интервалах одновременно. В таких жидкостях тепловое равновесие не сохраняется строго и кинетическая энергия жидкости рассеивается в виде тепла.

При корректном рассмотрении диссипативных процессов в релятивистских жидкостях возникают некоторые тонкие принципиальные вопросы, которые не возникают в нерелятивистском случае. В связи с этим, а также из-за того, что диссипация приобретает все возрастающее значение в современной теории ранней эволюции Вселенной (см. § 8, 10 и И гл. 15), стоит потрудиться и обрисовать контуры общей теории релятивистских реальных жидкостей.

Предположим, что в реальной жидкости слабые пространственные и временные градиенты приводят к изменению тензора энергии-импульса и вектора тока частиц на AZa₽ и A7Va, являющиеся величинами первого порядка по этим градиентам. Тогда вместо (2.10.7) и (2.10.13) возникают соотношения

г«₽ = р^ + (р + р) иаи^4- ДТа₽(2.11.1>

№■ = 7^ + ^(2.11.2)

Как только мы вводим такие поправочные члены, определения Давления р, плотности энергии р, плотности числа частиц п и скорости жидкости Ua становятся несколько неопределенными.

Обычно определяют р и ?г как плотность полной энергии и плотность числа частиц в сопутствующей системе отсчета:

7。。= р,(2.11.3)

№ = п,(2.11.4)

причем соответствующая система характеризуется условием, требующим, чтобы в заданной точке 4-вектор скорости был равен

^ = О, U』1.(2.11.5)

Кроме того, давление р в общем случае задается той же функцией от р и zz [скажем, (2.10.27)], что и в том случае, когда все градиенты в жидкости пренебрежимо малы и диссипация отсутствует. И наконец, в случае нерелятивистской жидкости необходимо знать, будет ли Ua скоростью переноса энергии или переноса частиц. У Ландау и Лифшица [81 U& принято за скорость переноса энергии; тогда в движущейся системе Т"° исчезает. У Эккарта [9] U& есть скорость переноса частиц, поэтому в сопутствующей системе исчезает величина №. Оба подхода совершенно эквива- лентны, однако подход Эккарта кажется несколько более удобным, и в дальнейшем мы будем его придерживаться.

При таком определении Ua в сопутствующей системе имеем

М= 0.(2.11.6)

Из сравнения (2.11.3) — (2.11.6) с (2.11.1) и (2.11.2) следует, что в сопутствующей системе на диссипативные члены АТ^в и AN& накладываются следующие ограничения:

АТ。。= AN。= АМ = 0,(2.11.7)

и, следовательно, в любой лоренцевой системе будет выполняться условие

^0%7端=0,(2.11.8)

Д№ = 0.(2.11.9)

Таким образом, все эффекты, связанные с диссипацией, появляются как вклады в тензор АТа^. Наша задача теперь ——построить наиболее общий диссипативный тензор АТ^В, который удовлетворял бы уравнению (2.11.8) и второму закону термодинамики.

Для этой цели вычислим энтропию, возникающую при движении жидкости. Как и в предыдущем параграфе, начнем с того, что свернем выражение (2.8.7) с 4-вектором 〃：

0。4?却=0.(2.11.10)

Исходя из тех же соображений, которые были использованы при выводе (2.10.19) для идеальной жидкости, убе?кдаемся, что в общем случае выполняется соотношение

Ua斎[p产十(?+ p) UaU^] = 一 "? * (⑶項，

где Т и ок ——температура и приходящаяся на одну частицу энтропия, определяемые уравнением [2,10,18). Следовательно, (2.11.10)

Х>0,Х>0,П>0,：>0,П>0,：>0,(2.11.14)(2.11.15)(2.11.16)(2.11.14)(2.11.15)(2.11.16)

Х>0,

Х>0,

П>0,：>0,

П>0,：>0,

(2.11.14)

(2.11.15)

(2.11.16)

(2.11.14)

(2.11.15)

(2.11.16)

запишется так:

или в эквивалентном виде,

靠=一^劈产十亲詳 4 А产，(2.11.11)

где

S。= пЕТ - 丁七心产.(2.11.12)

Плотность энтропии в сопутствующей системе равна пкс = 5°, так что S01 можно рассматривать как 4-вектор тока энтропии, и, следовательно, выражение (2.11.11) дает скорость прироста энтропии в единичном объеме. Далее, второй закон термодинамики требует, чтобы ДГа₽ было линейной комбинацией градиентов скорости и температуры. Следовательно, правая часть (2.11.11) положительна для всех возможных типов течения. Заметим, что это стало возможным только из-за включения в уравнение (2.11.12) второго члена. Без него величина dSaldxa не была бы квадратичной формой первых производных и, следовательно, не могла бы быть положительной для всех типов течения. Более того, тензор АТаВ не должен содержать градиентов р, р, м и других величин, так как тогда в формулу (2.11.11) входили бы произведения градиентов давлений или плотности на градиенты скорости или температуры, а эти произведения не обязательно положительны для любых типов течения.

Теперь удобно перейти в сопутствующую систему координат, в которой Ua имеет в заданной пространственно-временной точке Р форму (2.11.5). Из (2.10.17) следует, что в такой системе все градиенты £7° обращаются в точке Р в нуль. Полагая в уравнении (2.11.11) U\ dUQ/dxa и А7°° равными нулю, найдем, что в точке Р в сопутствующей лоренцевой системе скорость прироста энтропии, приходящейся на единицу объема, равна

礬=一(4■房+ /*) Аm-4■号AM (2.11.13)

Для того чтобы это выражение было положительным всегда, Должны выполняться соотношения

' OX J近 20/

с положительными коэффициентами

и, следовательно, (2.11.13) запишется в виде

票=黄口+7办+舟(卷+^_4Зти)х

X (誓十嘗一^wu+负口可》。.(2.11.17)

За исключением релятивистской поправки 7U, вид (2.11.14) и (2.11.15) тот же, что и в нерелятивистской теории реальных жидкостей [8], и, следовательно, величины %,刀 и 白 можно отождествить соответственно с коэффициентом теплопроводности и двумя коэффициентами вязкости: вязкости сдвига и объемной вязкости.

Теперь нам остается только придать нашим результатам (2.11.5) (2.11.7), (2.11.14), (2.11.15), справедливым в такой форме только в сопутствующей системе отсчета, вид, который был бы справедлив в любой лоренцевой системе. Определим для этого тензор сдвига как

少aB = k +新 一3%8£f,少aB = k +新 一3%8£f,(2.11.18)(2.11.18)

少aB = k +新 一3%8£f,

少aB = k +新 一3%8£f,

(2.11.18)

(2.11.18)

тепловой поток как

Qa三菱+ ?等。6Qa三菱+ ?等。6(2.11.19)(2.11.19)

Qa三菱+ ?等。6

Qa三菱+ ?等。6

(2.11.19)

(2.11.19)

и тензор проецирования на гиперплоскость, нормальную к U°\

На^ = Ла₽ + U 仪。вНа^ = Ла₽ + U 仪。в(2.11.20)(2.11.20)

На^ = Ла₽ + U 仪。в

На^ = Ла₽ + U 仪。в

(2.11.20)

(2.11.20)

Можно непосредственно проверить, что в сопутствующей лоренцевой системе отсчета тензор А7&В, записанный следующим образом:

△?耶=_ X^H^H^W^ - % (HayU^ + H^Ua) Qy —

一阻耶且2, (2.11.21)

удовлетворяет соотношениям (2.11.7), (2.11.14) и (2.11.15). Поскольку формула (2.11.21) лоренц-инвариантна и справедлива в сопутствующей лоренцевой системе отсчета, она справедлива во всех лоренцевых системах.

Исходя из соображений размерности, можно вообще ожидать, что коэффициенты хт, г] и ^ имеют тот же порядок, что и давление или плотность тепловой энергии, умноженные на некоторое среднее время. Существуют, однако, важные частные случаи (см., например, [111), когда объемная вязкость 匕 много меньше, чем 刀 или %т. Чтобы увидеть, когда такие ситуации возникают, заметим, что выражения (2.11.1) и (2.11.21) приводят к следующему значе-

ниЮ следа полного тензора энергии-импульса:

Т% = Зр —- р — 3g :" -(2.11.22)

Пусть мы имеем дело со средой, для которой этот след можно выразить как функцию только р и м:

Т% = /(Р, 3・(2.11.23)

Например, для однородного газа, характеризуемого выражением (2.10.20), этот след имеет вид

™ 2 б* (х — •

В ультрарелятивистском случае при Еn》^ выражение (2.11.23) будет выполняться, если только

/ (р, м) ^ 0.

В нерелятивистском случае имеем

〜丄—/ EN^m \En ~ П \ 加2 / 1

поэтому (2.11.23) удовлетворяется при условии

/ (р,哈 — тп + (р — тп).

Если градиенты скорости отсутствуют, уравнения (2.11.22) и (2.11.23) дадут следующую формулу для давления：

Р = ^[Р + /(Р,九)】・(2.11.24)

Но поскольку мы договорились определять р в общем случае в виде той же функции р и zz, что и в отсутствие диссипации, то (2.11.24) должно быть справедливым и при наличии градиентов скорости. Поэтому выражения (2.11.22), (2.11.23) и (2.11.24) приводят к условию

g = 0・(2.11.25)

Однако было бы неверным делать вывод, что g всегда пренебрежимо мало. Как мы видели, для однородного газа след тензора энергии-импульса является функцией исключительно р и п только в ультрарелятивистском или ультранерелятивистском пределах: Для случая кТ порядка m Т^ нельзя привести к виду (2.11.23), и объемная вязкость будет иметь тот же порядок, что и вторая вязкость [10, 111. Объемная вязкость является также важной [12] Для сред, в которых легко происходит обмен энергией между поступательными и внутренними степенями свободы, как это имеет место Для газа, состоящего из твердых шариков [13].

Другой частный случай, очень важный для космологии,— этс материальная среда с очень коротким средним временем свободного пробега, которая взаимодействует с квантами излучения, имеющими конечное среднее время свободного пробега т. Для такой среды коэффициент теплопр оводности и оба коэффициента вязкости вычисляются в виде

% =告小厶(2.11.26)

х\^^аТЧ,(2.11.27)

^ = ^4Ч4-(ОпГ(2」1・28)

где а ——постояннаяСтефана ——Больцмана, определяемая так.

что плотность энергии излучения равна 〃Т&, и р и р являются полным давлением и плотностью энергии вещества и излучения. (Определение % см. в [14], определение т(—— в [15], определения & %, г] — в [16].) Отметим, что в общем случае 尸，т] и g сравнимы между собой, но если давление и тепловая энергия обусловлены в основном излучением, то 例/勿)办 ^ J/3 и, как и ожидается, объемная вязкость будет мала.

Представления группы Лоренца *

Тензорный формализм, описанный в § 5 гл. 2, вполне хорош для того, чтобы с его помощью разбирать проблемы релятивистской классической физики. Однако, рассматривая правила лорен- цевых преобразований более общим путем, на основе достижений теории представлений однородной группы Лоренца, можно получить некоторые формальные преимущества. В § 5 гл. 12 мы увидим, что такой подход позволяет элегантным образом переформулировать эффекты гравитации на случай произвольных физических систем. Кроме того, поля с полуцелым спином можно изучать только с помощью группового подхода.

Согласно общим правилам, набор величин 屮几 под действием лоренцевого преобразования Ла 6 переходит в новый набор величин

屮2 = 2 [0(A)Ьип 屮吵(2.12.1)

7П

Для того чтобы два последовательно проведенных лоренцевых преобразования & и Л2 приводили к тому же результату, что и преобразование 八小2, необходимо, чтобы матрица D (Л) определяла представление группы Лоренца, т. е

D (А» D (Л2) = D (A1A2)・(2.12.2)

Операция матричного умножения определена обычным образом-

Например, если 屮 есть контравариантный вектор Уа, то D (Л) представляет собой просто выражение

[D (Л)]ар = Ла3,(2.12.3)

если же 屮一ковариантный тензор Тар, то соответствующая D-матрица равна

[℃)1呻憾=A鼠八農(2.12.4)

Легко проверить, что выражения (2.12.3) и (2.12.4) удовлетворяют групповому правилу умножения (2.12.2). Мы можем перебрать все возможные правила преобразований Лоренца, конструируя наиболее общее представление однородной группы Лоренца.

Фактически большинство наиболее общих преобразований однородной группы Лоренца реализуется тензорными представлениями вида (2.12.3) и (2.12.4), и поэтому можно надеяться, что все физически интересные величины являются тензорами. Однако у инфинитезимальной группы Лоренца есть еще и другие представления —— спинорные представления, играющие важную роль в релятивистской квантовой теории поля. Инфинитезимальная группа Лоренца содержит лоренцевы преобразования, бесконечно близкие к тождественным, т. е,

Лар = 6ар + Иар, 13aBl《1.(2.12.5)

Чтобы такое преобразование удовлетворяло основному условию преобразований Лоренца (2.1.2), необходимо выполнение следующего равенства:

(3% +(0%)(隰 + 鵰)ПаВ =小6,

которое в первом порядке по з имеет вид

① 5”(2.12.6)

причем индексы у(о опускаются, конечно, с помощью метрики Т):

Зуб ~— "уаЗ 6 •

Для такого преобразования матрица представления D Q\) должна быть бесконечно близка к тождественной, т. е.

D (1 И- со) = 1十豆及配仪餡(2.12.7)

где оар есть фиксированный набор матриц, которые благодаря (2.12.6) можно всегда выбрать антисимметричными но а л 0:

Например, для тензорного представления (2.12.3) и (2.12.4) имеем

Ы?6==6а7Пв6-б₽?Паб,(2.12.9)

[0(х%6* = 1啄6鼠隔一1%3优隔 + лавбр^% -恤心6%■(2.12.10)

Матрицы (7ав не могут быть произвольными по тоянными матрицами, а должны быть такими, чтобы матрица D (Л) удовлетворяла групповому правилу умножения (2.12.2). Применим прежде всего это правило к произведению А [1 十 з] Л-1:

D (Л) О (1 十⑴)О (Л-) =D (1 + ЛшЛ-1).

В нулевом порядке по со это есть просто тождество 1 — 1, но уже в первом порядке, приравнивая коэффициенты при (о^в с обеих сторон, получаем

D (Л)。好D (Л-1)=…“心&(2.12.11)

Если положить теперь Л — 1 +(о, Л-1 = 1 —① (причем со совсем не обязательно должно быть здесь тем же самым), то в первом порядке по со выполнение этого условия требует, чтобы о удовлетворяло коммутационным соотношениям

[оесв，0y6]=%00a6 - %a0(35 + 小60Ya 一 п6ао¥в， (2.12.1/丿 где квадратные скобки означают обычный коммутатор матриц

[и, и]三 〃и — VU.

Читатель может легко проверить, что матрицы (2.12.9) и (2.12.10) удовлетворяют соотношению (2.12.12).

Этим коммутационным соотношениям можно придать несколько более простую форму, если ввести новые матрицы:

(2.12.13)(2.12.13)

(2.12.13)

(2.12.13)

bl =万[-力023 - °4o], 62 =五[一打31 — a2o]? 63 == 宣[——»。12—— 030].

(2.12.14)(2.12.15)(2.12.16)(2.12.14)(2.12.15)(2.12.16)

(2.12.14)

(2.12.15)

(2.12.16)

(2.12.14)

(2.12.15)

(2.12.16)

Тогда уравнение (2.12.12) примет вид：

а义а ——力а,Ь X Ь = /Ь,[生，bj] = 0.

Формулы (2.12.14) — (2.12.16) —просто коммутационные соотношения для пары независимых матриц углового момента. Правила построения таких матриц можно найти в любом учебнике по церелятивистской квантовой механике (см., например, [17]).

В самом общем случае матрицы а и b являются прямой суммой «неприводимых» компонент, причем каждая матрица характеризуется целым или полуцелым числом Л или В, т. е.

а2 = Л (Л + 1), Ь2 = 5 (5 + 1) (2.12.17)

и размерность матриц равна 24 + 1 и 2В + 1 соответственно. Следовательно, наиболее общие величины"фп, трансформирующиеся линейно при инфинитезимальных однородных преобразованиях Лоренца, можно разложить на «неприводимые» части, характеризуемые парой целых и (или) полуцелых чисел (Л, В), причем каждая из неприводимых частей имеет (24 + 1) (25 + 1) компонент.

Непосредственные вычисления показывают, что контравариант- ное векторное представление (2.12.9), так же как и соответствующий ему ковариант, характеризуется А — В = ^厶.Любое тензорное представление вида (2.12.10) можно рассматривать как прямое произведение векторных представлений, и поэтому оно состоит только из неприводимых компонент, для которых А -\- В есть целое число. Например, общее тензорное представление (2.12.10) для тензора второго ранга будет состоять из неприводимых компонент, для которых пара чисел (Л, 5) принимает значения (1, 1), (1, 0), (0, 1) и (0, 0). Представление, у которого А + В — полуце- лое, полностью отличается от тензорного и называется спинорным представлением. Простейшим примером такого представления служит дираковское представление поля электрона, состоящее из компонент (V2, 0) и (0, 1/2).

Трансформационные свойства любого объекта при обычных пространственных вращениях определяются его поведением относительно инфинитезимальных преобразований Лоренца (2.12.5), у которых G)io = 0 и, следовательно, определяется структурой чисто пространственных компонент а12, о23, а31 матрицы 0a伊 Из этих компонент можно построить векторную матрицу

s = а + b = —X {023, О31, ^12}j (2.12.18) которая, согласно (2.12.14) — (2.12.16), будет иметь те же коммутационные соотношения, что и угловой момент

s X s = is. (2.12.19) Любое неприводимое представление (Л, В) однородной группы Лоренца можно разложить [17] на составляющие, для каждой из которых величина s2 равна s ($ + 1), где s — целое или полуцелое тасло, лежащее между | А—В | и 4+В. Каждая составляющая описывает возбуждение (например, частицу) со спином s. Далее из (2.12.18) вытекает, что тензорные представления могут описывать только возбуждения с целым спином, а спинорные представления —только с полуцелым спином.

Конечное преобразование Лоренца можно построить, перемножая бесконечное число инфинитезимальных лоренцевых преобразований. Таким образом, тензорное представление инфинитезимальной группы Лоренца можно использовать для построения тензорного представления вида (2.12.3) и (2.12.4) группы конечных лоренцевых преобразований. Однако если попытаться построить, спинорное представление конечных преобразований Лоренца, то мы обнаружим, что можно получить «представление только с точностью до знака» 1181, т. е. групповой закон умножения (2.12.2) будет иногда иметь с правой стороны знак минус. Например, произведение двух последовательных вращений на 180° вокруг любой заданной оси приводит к единичной матрице, но не со знаком плюс, а со знаком минус. Появление этого минуса означает» что спинорные поля сами по себе физически не наблюдаемы, хотя четные функции от спинорных полей вполне наблюдаемы.

Временная последовательность и античастицы *

Одна из наиболее удивительных особенностей преобразований Лоренца заключается в том, что эти преобразования не оставляют инвариантным порядок событий. Пусть, например, в некоторой системе отсчета наблюдаемое событие в точке & возникло позже, чем событие в точке 片】,т. е.片； > 吟 Для другого наблюдателя, движущегося относительно первого со скоростью v, эти события будут разделены временным интервалом:

/7；⑼= №%(v)(鉴一行)，

где At3a(v)-~ буст, определяемый уравнениями (2.1.17) и (2Л. 21)- Применяя (2.1.17) и (2.1.21), получаем

£；⑻—£°)= Y (%В —制)十 yv ・(Х2 — х", и эта величина будет отрицательной, если

V(Х2 — Х0 V — (畔一R»(2.13.1/

На первый взгляд, возникла опасность логического парадокса. Пусть первый наблюдатель видит в точке ?】радиоактивный распад А —^ В ^ С и последующее поглощение в точке хг частицы В, например В + D f Е* Не будет ли второй наблюдатель видеть поглощение частицы 5 в ^2 до ее излучения в точке ^? Парадокс исчезнет, если мы обратим внимание на то, что скорость | v |， характеризующая любое преобразование Лоренца Л (v), должна быть меньше единицы, поэтому соотношение (2.13.1) будет удовлетворяться, только если справедливо неравенство

I — X] I > I ^2 — ^? |-(2.13.2)

Однако это невозможно, поскольку частица В, по предположению, перемещается из точки 勺 в точку х21 а условие （2.13.2） с необходимостью требует, чтобы скорость при зтом была больше едини- цьь т. е. больше скорости света.

Можно рассмотреть это несколько иначе и увидеть, что временной порядок событий в %1 н %2 зависит от преобразований Лоренца только в том случае, если а】и х2 разделены пространственноподобным образом, т. е.

"аВ （^1 —况2）” （勺一胃2）' > 0-

Только когда 胃— ^2 времениподобно, т. е.

пав （a1 -比2）" （a1 Р 比2）' V 0,

частица может перемещаться из точки j\ в точку ^2.

Хотя вопрос об относительности временного порядка событий ие создает никаких проблем в классической физике, в квантовой теории он имеет глубокий смысл. Принцип неопределенности утверждает, что если в момент 片 определено положение частицы х15 то знать точно ее скорость мы не можем. Вследствие этого существует определенная вероятность, что частица из точки 胃】попадает в 亡？，даже если ^г —— х2 пространственно-подобно, т. е. | хг —— х2 | > > I "—戏 |. Точнее, вероятность того, что частица, вышедшая из точки 胃 1，появится в точке а? будет отлична от пуля, если выполняется неравенство

（xi~ х2）2 —（^1 —戏）2 W 4,

где h — постоянная Планка А, деленная на 2л, т ——масса частицы. Такой пространственно-временной интервал будет мал даже для массы элементарной частицы, например если т — масса протона, то him = 2 *10-14 см, или, в единицах времени, 6 -10-25 с （напомним, что в наших единицах 1 с — 3 -1010 см）. Таким образом, мы вновь столкнулись с парадоксом: если один наблюдатель видит ч ютицу, излучаемую в а】и поглощаемую в /?, и если （хг ——х2）2 — —（况：一胃;）2 положительно （но меньше 招W）, то второй наблю- дате1ь зарегистрирует в момент времени % поглощение частицы в точке х2 до ее излучения в точке хт в момент времени 匕.

Известен один выход из этого парадокса. Второй наблюдатель должен видеть частицу, излучаемую в х2 и поглощаемую в хг. Но вообще говоря, частица, за которой следит второй наблюдатель, обязательно будет отличаться от той, которую т^пдит первый наблюдатель. Например, если первый наблюдатель видит, как в точке 胃工 протон переходит в нейтрон и положительный ^-.мезон, а затем видит, как в точке хг 冗-мезон и некоторый другой HoiiTpoH переходят в протон, то второй наблюдатель будет видеть,

как в точке 况2 нейтрон переходит в протон и частицу, имеющую отрицательный заряд, которая затем в точке 片】поглощается протоном, переходящим в нейтрон. Поскольку масса есть лоренц- инвариант, то масса отрицательно заряженной частицы, обнаруженной вторым наблюдателем, должна быть в точности равна массе л+-мезона, за которым следит первый наблюдатель. И действительно, существует частица, называемая отрицательным 冗一一 мезоном, с той 不е массой, что и у я+-мезова. Соображения подобного типа приводят нас к выводу, что для каждого типа заряженных частиц существуют противоположно заряженные частицы с той же массой, называемые античастицами. Обратим внимание, что к зтому выводу нельзя было прийти ни в нерелятивистской квантовой механике, ни в релятивистской классической механике; только в релятивистской квантовой механике с необходимостью возникают представления об античастицах ) При этом их существование приводит к характерной особенности релятивистской квантовой динамики, а именно: при наличии достаточно большой энергии можно создавать произвольное число частиц и их античастиц.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Специальная теория относительности

Более полно ознакомиться со специальной теорией относительности можно, используя любую из следующих книг:

Л nderson J. Z., Principles of Relativity Physics, Academic Press, 1967, Ch. 6—9-

МфПег C., The Theory of Relativity, Oxford University Press, 1952, Ch. I —

VIL

Pauli W., Theory of Relativity, Pergamon Press, 1958, Part I (см. перевод:

Паули 笈.,Теория относительности, Гостехиздат, 1947).

Rindler W., Special Relativity, 2nd ed., Oliver and Boyd, 1966.

Synge J. £., Relativity: The Special Theory, Interscience Publishers, 1956.

Релятивистская гидродинамика

Ландау Л. 〃., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостехиздат, 1954, гл. XV.

Представления группы Лоренца

Любарский Г. Н., Теория групп и ее применение в физике, Физматгиз, 1958, гл. XV, XVI.

Строгое обсуждение необходимости введения античастиц в релятивистской квантов。甘 механике можно найти в книге [19J.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Lee Т. Dг Yang С. N., Phys. Rev., 104, 254 (1956).

Wu С. S. et。乙，Phys. Rev., 105, 1413 (1957) (см. перевод в сб. «Новые- свойства симметрии элементарных частиц, ИЛ, 1957, стр. 69).

Garwin R・,Lederman £., Weinrich МPhys. Rev., 105, 1415 (1957).

friedman J. 7., Telegdi V. £•, Phys. Rev., 105. 1681 (1957).

Christenson J.瓦，Cronin J. W., Fitch V. L. Turlay 力.，Phys. Rev. Lett., 13, 138 (1964).

Einstein A., Bull. Amer. Mat. Soc., 223 (April 1935) (см. перевод: 3也况- тпгейн А.. Собрание научных трудов,《Наука», 1966, т. 2, стр. 416).

Bludman S. Л., Ruderman. М. Л.. Phys. Rev., 170, 1176 (1968); 1, 3243 (1970).

Ландау Л. 〃., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостехиздат, 1954.

£"*。厂方 С「Phys. Rev., 58, 919 (1940).

Anderson J. £., в книге Relativity — Proceedings of the Relativity Conference in the Midwest, ed. M. Carmeli, S. I. Fickler, L. Witten, Plenum Press, 1969, p. 109.

Israel W., Vardalas J. N*, Nuovo Cimento Lett., 4, 887 (1970).

Tisza £., Phys. Rev., 61, 531 (1942).

Chapman 5., Cowling T.以，The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases, 2nd ed., Cambridge University Press, 1952, Note В and Ch. 11 (см. перевод: Чепмен С., Каулинг Т・,Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, I960).

Misner С. W., Sharp D. /Л, Phys. Lett., 15, 279 (1965).

Misner С. W., Astroph. J., 151, 431 (1968).

Weinberg S・,Astroph. J., 168, 175 (1971).

Schiff L. /., Quantum Mechanics, 3rd ed., McGraw-Hill, 1968, Sec. 27 (см. перевод 1-го изд.: Шифф 〃.，Квантовая механика, ИЛ, 1959).

Wigner Е, /)., Group Theory, Academic Press, 1959, Ch. 15 (см. перевод: Вигнер Е., Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961).

Streater R.尸.，Wightman A. S., PCT, Spin & Statistics, and All That, W. A. Benjamin, 1964 (см. перевод: Стритер P. Ф., Вайтман A. C., PCT, спин и статистика и все такое,《Наука», 1966).

Часть II

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

То ли колодец был очень глубок, то ли падала она очень медленно, только времени у нее было достаточно, чтобы прийти в себя и подумать, что же будет дальше ....

Л. Кэррол, Алиса 8 стране чудес

Глава 3

ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Принцип эквивалентности гравитации и инерции говорит о том, как реагирует физическая система на вкешнее гравитационное поле. Мы начнем с того, что выясним смысл этого принципа, а затем в оставшейся части этой главы рассмотрим несколько его следствий. Однако математический формализм, необходимый для введения принципа эквивалентности, связан з тензорным анализом, и только после того, как мы закончим изложение тензорного анализа в следующей главе, мы сможем полностью раскрыть содер?ка- ние этого принципа.

Формулировка принципа

Принцип эквивалентности, сформулированный Эйнштейном, основывается па равенстве гравитационпсй и инертной масс, продемонстрированном Галилеем, Гюйгеном, Ньютоном, Бесселем и Этвешем (см. § 2 гл. 1). Утверждается, что никакое внешнее статическое однородное гравитационное noie не может быть обнаружено в свободно падающем лифте, поскольку наблюдатель, пробные тела и сам лифт приобретают в )том поле одинаковые ускорения. Это легко доказать для системы N частиц, движущихся с нерелятивистскими скоростями под действием сил F (ху ——х V) (например, электростатических или гравитационных) и внешнего гравитационного поля. Уравнения движения выглядят так:

тх = т^ + 2 F ~х^) • (3.1.1) м

Предположим, что мы делаем следующее негалилеево преобразование пространственно-временных координат:

х' ->х2~gZ2, 尸=九(3.1.2)

Тогда член с g компенсируется инерционной «силой», и уравнение движения принимает вид

= >i F (х》一х").(3.1.3)

Следовательно, наблюдатель О, использующий координаты х,力 口 его свободно падающий коллега。‘，использующий координаты х‘，У, не найдут никаких различий в законах механики, за исключением того, что О будет наблюдать воздействие гравитационного поля, а О' этого наблюдать не будет. Принцип эквивалентности утверждает, что эта компенсация гравитационной силы инерционной (а следовательно, их эквивалентность) будет возникать во всех свободно падающих системах независимо от того, можно ли их описать такими простыми уравнениями, как (3.1.1).

Пока мы еще не готовы сформулировать принцип эквивалентности в его окончательной форме, так как наши замечания относятся только к статическому однородному гравитационному полю. Если бы g зависело от х или £, мы не смогли бы исключить это поле из уравнений движения с помощью преобразования (3.1.2). Например ,Земля находится в состоянии свободного падения на Солнце, н мы на Земле большей частью не чувствуем гравитационного поля Солнца. Однако небольшая неоднородность этого поля (около одной шеститысячной, от полудня к полуночи) создает грозные приливы в океанах. Даже наблюдатель в свободно падающем лифте Эйнштейна мог бы в принципе обнаружить поле Земли, так как предметы в лифте падали бы по радиусам к центру Земли и, следовательно, приближались друг к другу по мере падения лифта.

Хотя инерционные силы не вполне компенсируют гравитационные силы в системах, свободно падающих в неоднородных или изменяющихся во времени гравитационных полях, мы все же можем ожидать их приближенной компенсации, если ограничимся рассмотрением столь малых областей пространства и времени, что ноле в пих не будет изменяться заметно. Следовательно, можно сформулировать принцип эквивалентности в виде утверждения, пт。в каждой точке пространства-времени 6 произвольном гравитационном поле можно выбрать (^локально-инерциальную систему координат», такую, что в достаточно малой окрестности рассматриваемой точки законы природы будут иметь такую же форму, м〃片 и 6 неускоренных декартовых системах координат. Имеется 「> — 0788

небольшая неясность в том, что мы подразумеваем под словами «такую же форму, как и в неускоренных декартовых системах координат». Чтобы избежать каких-либо возможных недоразумений в этом пункте, будем считать, что это означает форму, придаваемую законам природы специальной теорией относительности^ например форму уравнений (2.3.1), (2.7.6), (2.7.7.), (2.7.9) и (2.8.7). Возникает также вопрос, что мы называем «достаточно малой окрестностью». Грубо говоря, считается, что окрестность должна быть малой настолько, чтобы гравитационное поле можно было рассматривать в ней как постоянное. Однако по этому поводу невозможно сказать что-либо точное, пока мы не узнаем, как гравитационное поле выражается математически (см. окончание § 1 гл. 4).

Внимательный читатель, возможно, заметил некоторое сходства между принципом эквивалентности и аксиомой, которую Гаусс положил в основу неевклидовой геометрии. Принцип эквивалентности гласит, что в любой точке пространства-времени мы можем вводить локально-инерциальные системы координат, в которых справедливы законы специальной теории относительности. Как мы видели в гл. 1, Гаусс предполагал, что в любой точке кривой поверхности можно задать локальную декартову систему координат, в которой расстояние вычисляется по теореме Пифагора. Ввиду явной глубокой аналогии этих утверн^дений можио было бы ожидать, что законы гравитации имеют большое сходство с формулами римановой геометрии. В частности, предположение Гаусса состоит в том, что все внутренние свойства кривой поверхности могут быть описаны с помощью производных д^-ldx^ функций Е。(/), которые определяют преобразования %-> 占 от некоторой общего вида системы координат 卫匕 покрывающей поверхность, к локальной декартовой системе На. В то же время принцип эквивалентности говорит нам, что все эффекты гравитационного поля могут быть описаны с помощью производных 6На/5лМ- функций 卜(/), которые определяют преобразование от «лабораторных>> координат /и к локально-инерционным координатам ^а. Кроме того, в гл. 1 было показано, что геометрически этем производным соответствуют величины guv, задаваемые выран<енкем (1.1.7). В последующих параграфах данной главы мы увидим, что гравитационное поле описывается точно таким же образом.

Иногда различают «слабый првнцЕП эквивалентности» и «сильный принцип эквивалентности». Сильный принцип эквивалентности —— это данная выше формулировка, в которой под «законами природы» подразумевают все законы природы. Слабый принцЕп отличается тем, что слова «законы природы» заменяются в нем словами «законы движения свободно падающих частиц». Слабый принцип — это не что иное, как другая формулировка наблюдаемого равенства гравитационной и инертной масс, в то время как

сильный принцип представляет собой обобщение наблюдений за влиянием гравитации на любые физические объекты.

Опыты Этвеша, Дикке и их предшественников (см. § 2 гл. 2) да10т прямое подтверждение только слабого принципа эквивалент- н0Сти, а такае некоторые косвенные данные в пользу сильного принципа. Массы различных веществ возникают в результате смешивания в различных пропорциях масс нейтронов и протонов плюс электронов за вычетом энергий электромагнитных и сильных связей, удерживающих эти частицы вместе; из этого следует, что отношение гравитационной массы к инертной будет одинаковым для всех этих веществ только в том случае, если оно одинаково для всех составляющих эти вещества частиц. Вапстра и Ней показали [1], что из ограничений, налагаемых экспериментом Этвеша на любые возможные неравенства отношений гравитационной и инертной масс стекла, пробки, антимонита латуни, вытекает, что равенство выполняется для нейтронов и протонов плюс электроны с точностью до 1/(6 ИО5), а для нейтронов и энергий связи —— с точностью до 1/(1,2 *104). С этой точностью наблюдатель в свободно падающей системе отсчета не обнаружит никакого воздействия гравитации на нейтроиы, водород и их энергии связи. Трудно было бы представить себе теорию, которая, удовлетворяя этому требованию, не включала бы такае и сильный принцип (о ненаблюдаемое™ гравитацЕонных эффектов любого вида в локальноинерциальной системе отсчета).

Мы могли бы, однако, различать два варианта сильного принципа эквивалентности: «очень сильный принцип», применимый ко всем явлениям, и «среднесильный приицип», применимый ко всем явлеииям, исключая саму гравитацию. Эксперимента Этвеша и Дикке явно недостаточно, чтобы точно сказать, одинаковым ли образом входит гравитационная энергия связи в инертную и гравитационную массы. Этот вопрос можно было бы решить, изучая орбитальное движение малого тела, движущегося вокруг массивного, которое само находится в состоянии свободного падения в гравитационном поле. Например, гравитационная энергия связи Земли составляет 8,4 -10-10 от ее полной массы, в то время как гравитационная энергия связи искусственного спутника составляет значвтельво мев工тую долю его массы. Таким образом, если (рассмотрим крайний случай) энергия гравитационной связи дает (отрицательный) вклад только в ивертную массу и не дает вообще никакого вклада в гравитационную массу, тогда отношение гравитационной массы спутника к его инертной массе было бы больше, чем соответствукщее отношение для Земли на 8,4-Ю-10. Земля находится в состоянии свободного падения, R котором гравитецЕОиное притяжение Солнца ураввовепшвается икерционвой силой, возникакщей из-за обращения Земли вокруг Солнца. Гравитационная и инерционная силы, действующие на

спутник из-за наличия Солнца и обращения Земли, равны гравитационной и инерционной силам, действующим на Землю, умноженным на отношение гравитационной и инертной масс (если пренебречь расстоянием между спутником и центром массы Земли).

Таким образом, получается, что эти две силы не будут уравно^ вешиваться для спутника, причем гравитационная сила будет больше инерционной силы на 8,4*10~i°. Ускорение из-за тяготения к Солнцу на околоземной орбите составляет 6 -10-4 от ускорения в поле тяжести Земли на ее поверхности. Отсюда следует, что если гравитационная энергия связи Земли полностью входит в ее инертную массу и не дает вообще никакого вклада в ее гравитационную массу, тогда искусственный спутник на проходящей близко у Земли орбите будет эффективно чувствовать притяжение к Солнцу, равное гравитационному притяжению к Земле, умноженному на коэффициент 5,4-Ю-13. Этот крошечный эффект полностью маскируется «приливной» силой, возникающей из-за того, что расстояние между спутником и центром массы Земли велико, и нет надежды измерить этот эффект〔). Это весьма огорчительно, поскольку такое измерение оыло бы явно самой строгой проверкой применимости принципа эквивалентности к гравитационным нолям, из которого мы будем исходить в гл. 5 при получении уравнений поля Эйнштейна.

Гравитационные силы

Рассмотрим частицу, свободно движущуюся под действием чисто гравитационных сил. Согласно принципу эквивалентности, имеется свободно падающая система координат 卜， в которой частица движется по прямой линии в пространстве-времени, что описывается уравнением

где йт ——собственное время

d#=d^d^.(3.2.2)

[Ср. уравнения (2.3.1) и (2.1.4).] Предположим теперь, что мы взяли любую другую систему координат 方气 которой может быть система декартовых координат, покоящаяся относительно лаборатории, а также криволинейная, усксренная, вращающаяся или любая другая система по нашему желанию. Координаты ^а свободно падающей системы отсчета являются функциями от 况卩，и

О См., однако, стр. И, 12 — Прим^ ред.

уравнение (3.2.1) принимает вид

Умножая это уравнение на дхк/д^ и используя известное правило умножения, получаем

凭仪汲"—8儿

что приводит к следующему уравнению движения:

(3.2.3)(3.2.3)©2%" 九 d^B d%” —八t/т2 1 N” ~dT ~dx 一

(3.2.3)

(3.2.3)

где『脑—зто аффинная связность, определяемая следующим образом:

(3.2.4)

Собственное время (3.2.2) также может быть выражено в произвольной системе координат:

观2=一刀a6wd状空(3.2.5) или

dr2 — —(3.2.6)

死а比8 g“产前薪忤.死а比8 g“产前薪忤.где 纟卩”——метрический тензор, который определяется так:

死а比8 g“产前薪忤.

死а比8 g“产前薪忤.

(3.2.7)

Для фотона или нейтрино уравнение движения в свободно падающей системе отсчета такое же, как (3.2,1), за исключением тот。，что собственное время (3.2.2) уже нельзя считать независимей переменной, поскольку для частицы с нулевой массой правая "асть (3.2.2) исчезает. Вместо т можно использовать о = g°, так. что (3.2.1) и (3.2.2) принимают вид

Действуя так же, как и выше, находим, что уравнение движения в произвольном гравитационном поле в произвольной системе

координат записывается следующим образом:

(328)(3.2.9)(328)(3.2.9)—g|W—g|Wd脚竺d(j dod脚竺d(j dod电从 rp, dxv d"“ 八1^ +厶*詬石=3

(328)

(3.2.9)

(328)

(3.2.9)

—g|W

—g|W

d脚竺

d(j do

d脚竺

d(j do

где Г^л и g^ определяются по-прежнему выражениями (3.2.4) и (3.2.7).

Между прочим, как в (3.2.3), так и в (3.2.8) нет необходимости знать, что такое тио для определения движения нашей частицы; решения этих уравнений суть 方山(т) или 方卩(а), а т или о могут быть исключены при нахождении х (力.Мы привели формулу (3.2.6), чтобы показать, как вычисляется собственное время; формула же (3.2.9) показывает, как вводятся начальные условия для частицы с массой, равной нулю. В частности, уравнение (3.2.9) говорит нам о том, что время d%, за которое фотон проходит расстояние dx, определяется из квадратного уравнения

goo 山2 + 2gi0 dz* dt + gij d^ dM = 0,

где i и у пробегают значения 1, 2, 3. Решение ого имеет вид

言［—gio dx' — {(giog}n — gijgoo) C?? ^'}1/21 = dt, (3.2.10) и, таким образом, время, за которое свет проходит какой-либо путь, можно вычислить, интегрируя dt по этому пути.

Значения метрического тензора guv и аффинной связности r^v в точке X в произвольной системе координат — достаточная информация для определения локально-инерциальных координат &а (%) в окрестности точки X. В самом деле, умножая уравнение (3.2.4) на 3&В/6/ и используя правило умножения

а丛 agaа，

приходим к дифференциальному уравнению для 己竄；

算(3.2.11)

Решение его имеет вид

『S)=淤+泸R (砂一 X，十皆尹江3 (砂一 X，(%"一X")+...，

(3212)

№ = ^(х),方践=鳴戸.(3.2.13)

Цз уравнения (3.2.7) находим также, что

ПаР^Х = ^(Х).(3.2.14)

Таким образом, при заданных в точке X значениях Г：婚 и g^v локально-инерциальные координаты ^а определены с точностью до порядка (方一Х)?, если опустить сложности определения постоянных а& и b"*. Величины 匕°入 определяются уравнением (3.2.13) с точностью до лоренцевого преобразования Ь"人“的口, так что неоднозначность решения 醉(％) отражает как раз тот факт, что если ^а (/) являются локально-инерциальными координатами, то ими же будут и А^&В + с®. Следовательно, поскольку 「々V и guv определяют локально-инерциальные координаты с точностью до неоднородных преобразований Лоренца и поскольку гравитационное поле не может приводить к каким-либо эффектам в локально-инерциальной системе координат, то нет ничего удивительного в выводе, что все эффекты гравитации содержатся в『］婚 и 纟艮俨 Заметим, однако, что (3.2.12) удовлетворяет (3.2.11) только в точке 况=X； для того чтобы найти решения (3.2.11) для всех %, необходимо, чтобы производные аффинной связности удовлетворяли некоторым условиям симметрии, которые будут обсуждаться в гл. 5.

Связь между ^v и T^v

Наше рассмотрение свободно падающих частиц показало, что поля, определяющие гравитационную силу, выражаются через «аффинную связность» ГцУ, в то время как интервал собственного времени между двумя событиями, происходящими в двух бесконечно близко расположенных пространственных точках, определяется «метрическим тензором» guv. Покажем теперь, что g11V является также гравитационным потенциалом, т. е. его производные задают поле ГцУ.

Прежде всего вспомним, что метрический тензор определяется выражением (3.2.7)

兆a能В •

Дифференцирование по 扑 приводит к результату

^^0丛 8忆卩 8匕” ""° d* а3 dxv "a"'

Используя теперь (3.2.11), получаем

(3.3.1)(3.3.1)Подставляя сюда (3.2.7), снова находим, что

(3.3.1)

(3.3.1)

= Г几gpv 十 rfv^pp.-

Прежде чем разрешить это соотношение относительно Г, необходимо указать на некую тонкость в выводе соотношения (3.3.1), которая скрывалась за слишком компактными обозначениями. Когда мы выбираем локально-инерциальную систему координат 三® (%), мы привязываем ее к определенной точке X, и координаты, локально-инерциальные в X, в действительности должны обозначаться как 1^(胃). Тогда уравнения (3.2.7) и (3.2.11) следует записать точнее:

g^(X) =g^(X) =8鼓⑺兔g⑺8鼓⑺兔g⑺d# dxv "叫 х=Хd# dxv "叫 х=Х(3.3.2)(3.3.2)［需小 F（x）（、 肘 a炉！ "=x\［需小 F（x）（、 肘 a炉！ "=x\嘅⑶)8必 /Л=х嘅⑶)8必 /Л=х(3.3.3)(3.3.3)

g^(X) =

g^(X) =

8鼓⑺兔g⑺

8鼓⑺兔g⑺

d# dxv "叫 х=Х

d# dxv "叫 х=Х

(3.3.2)

(3.3.2)

［需小 F（x）（

、 肘 a炉！ "=x\

［需小 F（x）（

、 肘 a炉！ "=x\

嘅⑶)

8必 /Л=х

嘅⑶)

8必 /Л=х

(3.3.3)

(3.3.3)

Если мы продифференцируем (3.3.2) по X% то получим члены двух разных типов. Первые возникают, когда мы полагаем % = N; эти члены состоят лишь из вторых производных (3.3.3) и их легко вычислить, как и прежде. Второго типа члены возникают, поскольку 設(％) имеет индекс X. Эти члены включают производные, подобные

@x儿0厘仙@x儿0厘仙к=Хк=Х(3.3.4)(3.3.4)

@x儿0厘仙

@x儿0厘仙

к=Х

к=Х

(3.3.4)

(3.3.4)

Оказывается, что последние не имеют ничего общего с метрикой или аффинной связностью. Для того чтобы справиться с членами второго типа, необходимо более четко определить, что подразумевается под словами «локально-инерциальные» в формулировке принципа эквивалентности. В гл. 5 мы увидим, что первые производные метрического тензора могут быть измерены путем сравнения скоростей хода идентичных часов, расположенных бесконечно близко друг от друга. Тогда принцип эквивалентности можно понимать в том смысле, что локально-инерциальные координаты HJ, которые мы вводим 6 данной точке X, могут быть выбраны так, что первые производные метрического тензора 6 точке X исчезают. В системе координат 殴 метрический тензор в точке X'

задается выражением (3.3.2) в виде

л наша новая интерпретация принципа эквивалентности говорит о том, что данная величина становится стационарной ио X', когда X' совпадает с X. Для того чтобы исполь'зовать эту информацию, введем произвольную 《лабораторную» систему координат %仪 и запишем

gz(X’)三gz(X’)三/廠,（%）嗨，⑺\/廠,（%）嗨，⑺\=膝")=膝")（凭X &）死^（化）］（凭X &）死^（化）］

gz(X’)三

gz(X’)三

/廠,（%）嗨，⑺\

/廠,（%）嗨，⑺\

=膝")

=膝")

（凭X &）死^（化）］

（凭X &）死^（化）］

П])одпффере1щировав это выражение no X' и положив Х‘ = Х, находим [ввиду стационарности 膝(X，)] следующее соотношение:

稀" (X) х / d [凭戈⑺能^⑺])

""6 \ dz' ^^0匕”8匕以d方％ d匕” / x=X

Никаких производных, подобных (3.3.4), теперь не возникает, и можно использовать (3.3.2) и (3.3.3), как и прежде, чтобы показать справедливость соотношения

竺? = 11“ (X) gpv (X)十 rfv (X) gp “ (X),

совпадающего по форме с (3.3.1).

Возвратимся теперь к нашим предыдущим компактным обозначениям и найдем с помощью этих соотношений аффинную связность. Прибавим к (3.3.1) аналогичное соотношение с переставленными индексами 卩 и 入 и вычтем аналогичное соотношение с переставленными » и А. В результате получим

Умножив предыдущее выражение на g”o, в результате получим

г^=4-г4^+>-^}.г^=4-г4^+>-^}.(3.3.7)(3.3.7)

г^=4-г4^+>-^}.

г^=4-г4^+>-^}.

(3.3.7)

(3.3.7)

Следует отметить, что (3.2.7) действительно обеспечивает существование обратного тензора, равного

gV。三 gov 三 11aB 亲 ^,(3.3.8)

ибо, используя известное правило умножения

=紀，

находим

g g"v外兆a兆6%6 a产2广11能6小3产唠汝"

что и совпадает с (3.3.6).] Иногда правую часть выражения (3.3.7) называют символом Кристоффеля и обозначают так:

Одним из важных следствий соотношения между аффинной связностью и метрическим тензором является то, что уравнение движения свободно падающей частицы автоматически сохраняет форму собственного временного интервала dt. Используя (3.2.3), можно найти, что

d Гda：" ©忆* I — 8g|rv dx^ dz" ^vQ2.算卩 q^”

dT Vdx dT / 一 aJ dt dt dx 十九2 dt 十

+ g叫后而=[奇-融/乂"一 &江。"石丽丽■

Учитывая затем (3,3.5), легко видеть, что эта величина исчезает следовательно,

d* d炉 gnV at dtd* d炉 gnV at dt— С,— С,(3.3.9)(3.3.9)

d* d炉 gnV at dt

d* d炉 gnV at dt

— С,

— С,

(3.3.9)

(3.3.9)

где C ——интеграл движения. Далее, поскольку мы выбрали начальные условия так, что dr2 определяется (3.2.6), получаем 0 = 1, и равенство (3.3.9) гарантирует, что формула (3.2.6) применима вдоль всего пути частицы. Аналогично начальные условия для безмассовой частицы приводят к С = 0 (т заменяется при этом неким другим параметром а), и уравнения движения будут обеспечивать равенство нулю величины g^* d/U dxy вдоль всего пути.

Еще одним следствием соотношения (3.3.5) является возмож- н0СТь задавать теперь движение свободно падающих тел с помощью вариационного принципа. Введем произвольный параметр р, чтОбы описать траекторию частицы, и будем определять собствен- ное время, за которое частица падает из точки Л в точку 3, формулой

ЕJ Г fd# dxv ] 1/2 J

?ВА= ｝浜&Р=) ｛—g“v 而丽｝ dp. AA

Теперь перейдем от траектории 彳卩(р) к а卩(р)+§胃仙(р), фиксируя ее конечные точки, т. е. полагая 3芷卩=0 в точках р& и рв. Тогда изменение ТВА равно

_ Iffd卅 dxv 1 -1/2

= ｛—guv 可丽｝ X

A

X I而｝ dP・

Первый сомножитель под интегралом — это просто dp/dx, так что интеграл можно переписать следующим образом:

总小Г f 1 ^uv с .出£卩 dxvd§/U dxv 'I ,

6r^=-J t^R砂* 衣+ ggk代｝阮

Проинтегрировав по частям, пренебрежем вкладом конечных точек, поскольку 6х^ обращается в нуль в А и В. При этом

BA — — J t^0 dx dtABA — — J t^0 dx dtAg^v嚟｝ 3/限g^v嚟｝ 3/限

BA — — J t^0 dx dt

A

BA — — J t^0 dx dt

A

g^v嚟｝ 3/限

g^v嚟｝ 3/限

Используя соотношение (3.3.5) и учитывая, что rjlv симметрична

по нижним индексам, находим

對｛寫+ m*禁｝拆3"阮 (3.3.10) А

Следовательно, мировая линия частицы в пространстве-времени, определяемая уравнениями свободного падения (3.2.3), будет такова, что затраченное собственное время окажется экстремальным (обычно минимальным), т. е.

ЗТза"

Таким образом, мы можем интерпретировать уравнение движения 13.2.3) геометрически, считая, что частица, находящаяся в свобод-

ном падении в кривом пространстве-времени, называемом гравитационным полем, будет двигаться по кратчайшему (или самому длинному) из возможных путей между двумя точками; «длина» при этом измеряется собственным временем. Такие пути называют геодезическими. Например, можно считать, что Солнце искривляет пространство-время так, как большой груз искривляет резиновую пленку, и потому путь кометы, движущейся относительно Солнца, является «кратчайшим» из возможных. Однако такая геометрическая аналогия привлекается после решений уравнений движения, получаемых с помощью принципа эквивалентности, и не обязательна в нашем рассмотрении.

Ньютоновское приближение

Чтобы найти связь с ньютоновской теорией, рассмотрим частицу, медленно движущуюся в слабом стационарном гравитационном поле. Если частица достаточно медленная, можно пренебречь dx/dx по сравнению с dt/dx и записать (3.2.3) в виде

Так как поле стационарно, все временные производные g^ исчезают и, следовательно,

服guv 礬.

А если поле еще и слабое, можно ввести почти декартову систему координат, в которой

gaB = Лсс|3 + 无а餡 I 无сф I《1 •(3.4.1)

Таким образом, в первом порядке по ^аВ находим

Подставляя это выражение аффинной связности в уравнения движения, получаем

Решение второго уравнения: dt/dx ~ const (что можно увидеть, вычисляя "т в пренебрежении 无 а в)； поэтому J разделив уравнение с с/2х/йт2 на (山/&т)2, находим

=彳▽无оо・ (3.4.2)

Соответствующий ньютоновский результат выглядит так:

黑=—▽〃(3.4.3)

где ф —— гравитационный потенциал, который на расстоянии г от центра сферического тела массы М имеет вид

Сравнивая (3.4.2) с (3.4.3), приходим к заключению, что

九 оо = —2ф + const.

Кроме того, на больших расстояниях система координат должна переходить в систему Минковского, так что /г00 исчезает на бесконечности, а если мы потребуем, чтобы и ф исчезало на бесконечности [как (3.4.4)], то константа здесь будет равняться нулю. Таким образом, h00 = ——2步，и, возвращаясь к метрике (3.4.1), получаем

goo = —(1 + 2步).(3.4.5)

Гравитационный потенциал имеет порядок 10-39 на поверхности протона, 10-9 ——на поверхности Земли, 10"6 ——на поверхности Солнца и 10-4 — на поверхности звезды типа белый карлик. Отсюда следует, что искривление в 且乩婚,вызываемое гравитацией, вообще говоря, очень невелико. (В системе СГС ф имеет размерность квадрата скорости; в наших единицах ф соответствует значению в единицах СГС, деленному на квадрат скорости света в единицах СГС.)

Изменение масштаба времени

Рассмотрим часы, движущиеся с произвольной скоростью в произвольном гравитационном поле и не обязательно свободно падающие. Принцип эквивалентности говорит нам, что гравитационное поле не будет влиять на скорость их хода, если мы наблюдаем часы в локалыю-иперциалыюй системе координат 三叱 Тогда, согласно § 2 гл. 2, пространственно-временной интервал dg® между двумя отсчетами, даваемыми часами, подчиняется в этой системе соотношению

A^ = (-W處"成В产，

где 八力——период между этими отсчетами, когда часы находятся в покое в отсутствие гравитации. Следовательно, в любой произвольной системе координат пространственно-временной интервал меи-сду отсчетами определяется формулой

Вводя метрический тензор, переписываем эту формулу так

△力=(-ggv 彰n dd)"L

Поскольку скорость часов — это dz^/dt, интервал времени 或 между отсчетами определяется соотношением

dt /dx11 dxv \ - J/2心匚八

石=.(3.5.1)

В частности, если часы покоятся, получаем

^ =(-g。。)"色(3.5.2)

Мы не можем наблюдать коэффициентов изменения масштаба времени, появляющихся в (3.5.1) и (3.5.2), просто путем измерения временного интервала dt между двумя отсчетами и сравнения его затем со значением △厶 задаваемым изготовителем часов. Дело в том, что гравитационное поле воздействует на временные стандарты точно таким же образом, как и на изучаемые часы. Следовательно, если наши стандартные часы показывают, что некоторый физический процесс протекает за одну секунду в покое в отсутствие гравитации, то мы можем также утверждать, что он занимает одну секунду и при наличии гравитации, поскольку поле воздействует одинаковым образом и на часы и на процесс. Однако мы можем сравнивать коэффициенты изменения масштаба времени в двух различных точках поля. Предположим, например, что в точке 1 мы наблюдаем свет, пришедший из точки 2, где он возник в результате некоторого атомного перехода. Если в постоянном гравитационном поле точки 2 м 2 покоятся, то время, необходвмое, чтобы волновой импульс, вышедший из точки 2, достиг точки 2, есть величина, определяемая интегралом (3.2.10) по данному пути. Следовательно, время между прибытием в точку 1 двух последовательных импульсов будет связано с временем между их выходами из точки 2, согласно формуле (3.5.2), следующим образом:

б/% = А* (—goo (д))~“2・

Если аналогичный атомный переход происходит и в точке I, то время, разделяющее прибытия импульсов световых волн, измеряв мые в точке I, равняется

% = А£ (—goo (z，)T/2.

Таким образом, для данного атомного перехода отношение частот (наблюдаемое в точке I) света, идущего из точки 2, и света, выходящего из точки 7, равно

也(3.5.3)，V, \goo(/)/' 丿

goo ^ _] _ 2力(3.5.4〉goo ^ _] _ 2力(3.5.4〉Фо =Фо =-б"。-б"。

goo ^ _] _ 2力

(3.5.4〉

goo ^ _] _ 2力

(3.5.4〉

Фо =

Фо =

-б"。

-б"。

В предельном случае слабого поля имеем q 寸《1, так что ”2% = 1 + Av/v, где

~ =0(方2)Ф (/).

(Для однородного гравитационного поля этот результат можно 6ь1〃о бы получить непосредственно из принципа эквивалентности без введения метрики или аффинной связности.)

Применим соотношение (3.5.4) к случаю, когда свет, испускаемый поверхностью Солнца, наблюдается на Земле. Гравитационный потенциал Солнца можно вычислить по формуле

где Mq и R。— масса и радиус Солнца М0=1,97.1О33 г, 7?0 = 0,695-Ю6 км,

a G — гравитационная постоянная

G = 6,67 40-8 эрг -см/г2 = 7,41-10-29 см/г, (3.5.5) (здесь, как мы условились, с — 1, а потому одна секунда равна 3*101° см; в единицах СГС величина 7,41 «10-29 см/г соответствует G/力. Отсюда находим, что потенциал на поверхности Солнца равен

О© = —2,12 -Ю"6.

По сравнению с 巾。гравитационным потенциалом Земли можно пренебречь. В этом случае частота света, приходящего от Солнца, будет смещаться в сторону красной части спектра на 2,12-10~е по сравнению с частотой света, испускаемого атомами на Земле.

Трудность в измерении гравитационного красного смещения солнечного света можно оценить, вспомнив, что движение источника со скоростью и вдоль оси Земля ——Солнце приведет к дополнительному доплеровскому сдвигу частоты Av/v = и [см. выраже- ние (2.2.2)], и, следовательно, доплеровский сдвиг сравняется с гравитационным краевым смешением уже при скорости 2 -10~6т или, в единицах СГС, при и = 0,6 км/с. Врашение Земли или Солнца не создает здесь никаких сложностей; это известные з小巾ек- TR, которые легко учесть. Тепловые 3ddeкты более серьезны; пРи температуре 3000 К тепловая скорость распространенных легких элементов (С, N, О) равняется примерно 2 км/с, что дает Доплеровское уширение, в три раза большее, чем ожидаемое гравитационное красное смещение. Однако тепловое движение только Уширяет линии, но не сдвигает их, так что с этой трудностью

тоже можно справиться. Действительно большие неприятностн вызывают неизвестные доплеровские сдвиги, возникающие из-за конвекции газов в солнечной атмосфере. Фактически оказывается, что наблюдаемый сдвиг частоты изменяется от места к месту на солнечном диске и иногда происходит даже в сторону голубой части спектра! Конвекция обычно бывает вертикальной, так что мы можем максимально уменьшить доплеровские сдвиги, наблюдая за периферией солнечного диска, где движение происходит главным образом под прямым углом к линии наблюдения. До недавнего времени наилучший результат, достигнутый таким способом,— это гравитационное красное смещение солнечного света порядка 2-Ю-6 [21 х). В последние несколько лет была улучшена аппаратура [4, 51, что привело к гораздо более точному определению значения красного смещения: 1,05 土 0,05 от предсказанной величины. Однако еще рано говорить, что этот результат решает вопрос, по крайней мере до тех пор, пока он не будет подтвержден.

Красное смещение намного больше для звезд типа белый карлик, подобных Сириусу В и 40 Эридан В. Такие звезды обычно имеют массы порядка одной солнечной массы и радиусы порядка от V10 до /100 от радиуса Солнца. Таким образом, красное смещение спектральных линий света, испускаемого их поверхностями, от 10 до 100 раз больше, чем для Солнца, или составляет приближенно 10-4 или 10-5. Хотя это облегчает задачу отделения эффекта от доплеровских сдвигов, возникающих из-за конвекции или неоднородностей температуры и давления, мы сталкиваемся с новой трудностью: незнанием точного значения гравитационного потенциала ф, с которым надо сравнивать измеряемое значение А»/&. Если известна масса белого карлика, можно грубо оценить величину его радиуса и гравитационного потенциала на его поверхности с помощью астрофизической теории [6]. Однако массы белых карликов могут быть измерены только в том случае, если они являются партнерами в двойных звездных системах. Например, масса Сириуса В определяется путем вычисления полной массы Сириуса А и В, исходя из расстояния между ними и периода их вращения, и вычитания затем массы Сириуса А, вычисленной по теории звезд. Однако рассеяние света, испускаемого Сириусом А, атмосферой Сириуса В приводит к тому, что гравитационное красное смещение света от Сириуса В весьма трудно измерить ). В системе двойной звезды 40 Эридан В возникает другая трудность. 40 Эридан В находится довольно далеко от 40 Эридан А,

и не возникает никакой проблемы с рассеянием света, а массу 4()；)|)пдан В можно определить независимо от А путем установле- ппя положения их центра масс в дополнение к измерению периода пх вращения и расстояния между ними. Одиако, поскольку 40 Э]шдан В и А очень удалены друг от друга, период их враще- ипя весьма велик и еще не прошло достаточное время, чтобы опре- де；шть массу В с очень высокой точностью. Наилучшее предсказываемое значение поверхностного гравитационного потенциала 一 это ф = —(5,7 土 1) -IO-5, что находится в хорошем согласии с наблюдаемым [7] i) красным смещением Av/v = —(7 ± 1) *10_5. Если учесть расщепление Штарка в спектре 40 Эридан В, согласие улучшается [9].

Эмпирические данные по красному смещению, предсказываемому принципом эквивалентности, были значительно улучшены в i960 г. в земных экспериментах, проведенных Лаундсш и Робкой 110]. Они предоставили фотону, испускаемому в переходе 14.4 кэВ (0,1 мкс) атомом Fe57, падать 22,6 м и наблюдали его ])сзоиансное поглощение мишенью из того же Fe57. (В обычных условиях резонансное поглощение такой узкой линии невозможно, поскольку отдача излучающего ядра уменьшает энергию фотона, дела я ее меньшей разности энергий уровней, тогда как для того, чтобы произошел обратный переход в ядре мишени, которое также испытывает отдачу, необходим квант с энергией, немного большей, чем разность энергий уровней. Этот эксперимент стал возможен бпа годаря эффекту Мёссбауэра [И], в котором импульсы отдачи при испускании и поглощении воспринимаются всем кристаллом, так что в этих актах энергия почти не теряется.) Разность значений гравитационного потенциала наверху, у источника, и внизу, у мишени, равняется

А 丄一人 д 一 (980 см/с2) (2260 см) ^ /с л-15 А<р — фисточ ' ^мишень ~ ' (3-1010 см/с)2 = —2,4b・lU .

К с.7 и принцип эквивалентности справедлив, мы должны ожидать, т「。частота фотона, падающего на мишень, будет сдвинута на величину Av/v =——Д(р. что уменьшает скорость счета на коэффициент

—Ду2 + Г2 '

где Г — полная ширина линии на половине ее высоты. (Отметим, 叮丁。в формулу входит Г, а не Г/2, так как приходится объединять коэффициент испускания, пропорциональный [(v + Av)2 +(r/2)2]-1, с коэффициентом поглощения, пропорциональным [v2 + (Г/2)2]-1 )

По поводу других белых карликов см. [8]. 7 — 0788

Но в этом переходе относительная ширина равнялась Г/v = =1,13 -10-12, которая была больше, чем предсказываемое отношение Av/v, в 460 раз, так что уменьшение скорости счета было только 1 : 2,1 -105! Казалось бы, это делало эксперимент невозможным; и действительно, Паунд и Ребка сначала думали, что для того чтобы сдвиг Av становился сравнимым с Г, фотоны должны падать несколько километров. К счастью, они придумали одну хитрость, позволившую им измерять очень малые сдвиги частот. Идея их состояла в том, что источник фотонов двигался вверх и вниз со скоростью и。cos з厶 где з было некоторой произвольной фиксированной частотой (10—50 Гц), a vQ было также произвольным, но намного превышающим —Аф, т. е. много большим, чем 7,4 ЛО-5 см/с. В этом случае гравитационное фиолетовое смещение A-g добавляется к превышающему его доплеровскому сдвигу Avp/v = —и。cos coZ (см. § 2 гл. 2), и скорость счета умножается на коэффициент, зависящий от времени,

С(')== (Av“ + Av0)2 + rzС(')== (Av“ + Av0)2 + rz■^Docos 叫 丁 D■^Docos 叫 丁 D

С(')== (Av“ + Av0)2 + rz

С(')== (Av“ + Av0)2 + rz

■^Docos 叫 丁 D

■^Docos 叫 丁 D

£)2V /£)2V /^峭 COS2 С0$ +^峭 COS2 С0$ +221-41-42 生^ uG cos 32 生^ uG cos 3比cos2 co力+比cos2 co力+

£)2V /

£)2V /

^

峭 COS2 С0$ +

^

峭 COS2 С0$ +

2

2

1-4

1-4

2 生^ uG cos 3

2 生^ uG cos 3

比cos2 co力+

比cos2 co力+

Тогда Avg мо;кно выделить, измеряя член, линейный по cos ⑴厶 например измеряя асимметрию между числом регистраций при движении источника вверх (например, когда cos ⑴力 > 1/}/2} и числом регистраций, когда источник движется вниз (когда cos з力 V —1/]/ 2). Таким способом Паупд и Ребка получили значение Avg/v, п])иблизительно в 4 раза большее, чем ожидаемое значение 2,46 *10-15. Это расхождение было явно внутренним сдвигом частоты из-за различия состояний кристаллов источника и мишелп (включая разность их температур) и было удалено вычитанием асимметрии в счете фотонов, когда источник находился ниже мишешт, из асимметрии, возникающей, когда мишень находилась ниже источника. Окончательный результат для гравитационного смещения частоты был: Av/v ~ (2,57 土 0,26) ИО-15 в блестящем согласии с предсказанным значением 2,46 ЛО-15. Соответствие с тех пор улучшено, и в настоящее время результаты совпадают с точностью около 1 % [12].

Сделаны также предложештя [131 по измерению гравитационного красного смещения света, приходящего от искусственного спутника. В точке, расположенной как раз под перигеем, не будет возникать никаких доплеровских эффектов первого порядка, так

как время, за которое свет достигает точки наблюдения, в данном случае на мгновение становится постоянным. Тогда сдвиг частоты испускаемого спутником света должен определяться по формуле (3.5.1), в то время как сдвиг частоты наших лабораторных временных стандартов может быть вычислен с помощью формулы (3.5.2), если мы пренебрежем вращением Земли. Из этого следует, что частота vs данной атомной лилии, испускаемой спутником, будет связана с частотой ve этой же линии на Земле отношением

/ dx^ dxv \ г^2~(一索通2/ dx^ dxv \ г^2~(一索通2(3.5.6)(3.5.6)

/ dx^ dxv \ г^2

~(一索通2

/ dx^ dxv \ г^2

~(一索通2

(3.5.6)

(3.5.6)

Скорость "s спутника определяется, исходя из формулы

где II —высота спутника в перигее, а Мq； и /?Ф — масса н радиус Земли

Л% = 5,983-1027 г, К& = 6,371・108 см.

В приближении слабых полей имеем

И

(-goo)& ^ 1 + 2фф1--:,

так что в этом приближении выражение (3.5.6) приводит к следующему отношению частот: vs/vP = 1 + Av/v, где

Мы видим, что при малых высотах имеется красное смещение, обязанное своим происхождением только специальной теории относительности (см. § 2 гл. 2), с которым складывается при больших высотах фиолетовое смещение (возникающее в общей теории относительности), что приводит в итоге к красному смещению для Н V /?^/2 и к фиолетовому смещению для Н > 7?㊉ /2.

В данном случае гравитационное красное смещение света, приводящего из места с меньшим значением гравитационного потенциала, чем в точке наблюдения, может в некоторой степени восприниматься как следствие квантовой теории, закона сохранения энергии и «слабого» принципа эквивалентности. Если фотон испускается в точке 1 каким-ниб^^дь тяжелым перелятивистским прибором, наблюдатель в локально-инерциалыюй системе координат^

движущейся вместе с этим прибором, обнаружит, что внутренняя энергия этого прибора и. следовательно, его инертная масса изме няются на величину, связанную с частотой фотона v「следующим образом:

A飞— -勿Vi,

где h есть постоянная Планка: А = 6,625 *10-27 эрг *с. Предположим, что фотон затем поглощается в точке 2 другим массивным прибором; тогда наблюдатель в свободно падающей системе отсчета обнаружит, что инертная масса прибора изменяется на величину, связанную с частотой фотона v2, следующим образом:

Дт2 — Av2.

Однако сумма полной инертной массы и гравитационной потенциальной энергии двух частей этой установки должна быть одной л той :ке и до и после этих событий, так что

Дт1 + .С 恤 + Дт2 + ф2Дт2 = 0 и, следовательно,

也—1 +物~

в согласии с предыдущим результатом. (Не важно, измеряются ли частоты фотонов в локально-инерциальных системах или в неинерциальных, поскольку гравитационное поле и в любой другой системе отсчета будет воздействовать на скорость хода стандартных часов наблюдателя точно таким же образом, как оно действует на частоту v.) Этот результат можно описать, говоря, что фоюн в гравитационном поле обладает «кинетической энергией» 尿 и «потенциальной энергией» Нуф и их сумма остается постоянной. Однако мы намеренно рассматривали в предыдущих вычислениях нерелятивистский источник н поглотитель, так как понятие гравитационной потенциальной энергии фотона в противном случае теряет смысл.

Полученные результаты основываются на принципе эквива- лептносги в двух отношениях. Предполагается, что изменения гравитационной массы приборов равны изменениям их инертных масс и, следовательно, их внутренней энергии. Предполагается также, что соотношение между энергией фотона и частотой в свободно падающей системе отсчета не изменяется при наличии гравитационных полей. Поэтому даже если мы предположим, что эксперименты Этвеша 一 Дикке могут быть улучшены до неограниченной точности и что гравитационная масса будет найдена в точности равной инертной массе, все же имеет смысл рассматривать гравитационное красное смещение спектральных линий как независимую проверку принципа эквивалентности.

Знаки времени

Связь метрики Минковского %© и метрического тензора gwv теории гравитации может быть записана в матричной форме:

g = D\D.(3.6.1)

Под g будем подразумевать в этом параграфе матрицу размера 4 X 4 (не детерминант), чьи элементы суть g^”；刀——матрица с элементами 刀仪8； ° —— матрица определяемая, как

а транспонированная матрица DT равна

^ца 三 °а(1・

Ранее мы, специально не оговаривая, предполагали как часть принципа эквивалентности, что преобразование от лабораторных координат 力卩 к локально-инерциальным координатам 占“ несингулярно: 卜—дифференцируемая функция 第也 а 工乩—— дифференцируемая функция Па. Из этого следует, что существует матрица

0設三営(3.6.3)

обратная к D, т・ е.

так что D должно иметь неисчезающий определитель

Det。耍 0.(3.6.4)

Преобразование типа (3.6.1) при отличающемся от нуля определителе D называется конгруэнцией.

Тот факт, что g^v связано с 刀仪^ конгруэнцией (3.6.1), не означает, что собственные значения g^v те я；е самые, что у 拆仪6，как было бы в случае преобразования подобия. (Действительно, нельзя составить никаких инвариантных функций из компонент метрического тензора, хотя можно составить инвариантные функции из g1rу и его производных, как будет показано в гл. 6.) Однако существует теорема, известная как закон инерции Сильвестра (см., например, [14]), которая утверждает, что числа собственных значений, положительных, отрицательных и нулевых, не изменяются при конгруэнтных преобразованиях. Отсюда вывод: метриче-

ский тензор g11V должен аналогично 刀仪日 иметь три положительных собственных значения, одно отрицательное и ни одного собственного значения, равного нулю. Это свойство метрики отличает наше (3 + 1)-мерное пространство-время от 4-мерного или от (2 + 2)- мерного пространства-времени, или каких-либо еще более «плохих» метрик.

Относительность и анизотропия инерции

В § 3 гл. 1 мы уже видели, что Ньютон и Мах по-разному смотрели на проблему происхождения инерции. Ньютон полагал, что инерциальные силы, такие, как центробе/кные, должны возникать из-за ускорения относительно «абсолютного пространства», в то время как Мах считал более вероятным, что инерциальные силы порождаются общей массой небесных тел. Отличие утверждений не метафизическое, а физическое, поскольку если бы Мах был прав, то большая масса могла бы вызывать малые изменения инерциальных сил вблизи нее, если же Ньютон был бы прав, такие эффекты не возникали бы.

Эйнштейн считал себя последователем Маха, но в действительности разрешение этой проблемы на основе принципа эквива- летности находится где-то ме.кду точками зрения Ньютона и Маха. Инерциальные системы отсчета, т. е. «свободно падающие системы координат», действительно определяются локальным гравитационным полем, которое создается всей материей ВселеиЕюй, ее частями. расположенными далеко и близко. Однако в илерциальной системе отсчета на законы движения [такие, как (2.3.1)] присутствие масс вблиз：1 у-ке не влияет ни гравитащю：1иым, ни каким-либо другим путем. Например, масса Солнца олределяет движение свободно падаю цэ^ Зэмчи, но как только лгы связали нашу систему отсчета с Зем/ieii, мы не мо;кел1 обнаружить грави- тацчо?1гЮ9 пою Сэллцл, что демонстрируег с бо.^ыпоj точностью экс;1ерг1мепт Дикке. (Вопомпим § 2 гл. 1. В деаствительпости, из-за того, что Земля не является бесконечно малым объектом, мы мо.кем нпбхюать поле Солнца благодаря э{)фектам приливов, как зто озоу.кдалозь у,ке в § 1 гл. 3.) Небесные тела фигурируют здезь потому, что уравнения гравитационного поля нуждаются в гра ?i а иных условиях па безкопечпости. а последние задаются требованием, чтозына больших расстояниях от Солнца g&v пеэехоп;ило в когмичезкоэ гравитациопное поле, создаваемое Bceii дгассои ВселелноГг. Vbi не будем пока вникать в летали уравнений поля и козмо.тогии, однако можно о：кндать, что гравитационное поле, создавдеиое мюсои Сотпцл и этими космологическими грапиччымп условиями, таково, что орбиты планет, проходящие далеко от Солнца, не прецессируют относительно реперных звезд; последнее согласуется с наблюдениями (см. § 1 гл. 15).

<|)пг. 3.1. Проверка изотропности инерции с помощью спектра поглощения Li7.

Разности в частотах и расщепление линии сильно увеличены.

Эти положения настолько важны, что не мешает обсудить их г.одробпее. Если нет близко расположенных масс, инерциальные системы отсчета определяются средним космическим гравитационном полем, которое в свою очередь определяется средней плот- "згтью масс звезд во Вселенной, и, таким образом, не удивительно, го эти инерциальные системы отсчета находятся в покое или в состоянии равномерного некриволинейного движения относи- 「)н>но каких-то далеких звезд. Если бы близко находилась боль- пгая масса, подобная Солнцу, то она изменила бы инерциальные еге.темы отсчета таким образом, что они стали бы ускоряться в пэ,- !!|'>авлении этой массы; законы движения в этих свободно падающих системах отсчета остаются теми же, что и в специальной теории относительности, и не подвержены никакому влиянию со стороны !)кру;кающого распределения масс. В этом смысле принцип экви- налемтностл и принцип Маха прямо противоположны.

Выбор мс田又у предположениями Маха и Эйнштейна можно сде- |пш только решив вопрос, влияет или не влияет в действительности присутствие больших, близко расположенных масс па законы движения, т, е. приводит ли это к другим законам по сравнению законами, имеющими место в инерциальных системах координат. Ксккони и Солпитер указали [15, 16], что вблизи нас имеется большая масса ——Млечный Путь и что принцип Маха предпола- 「ает существование небольшой разницы в инерциальной массе н случаях, когда частица ускоряется к центру Галактики и от нее. Зкспериментально это было проверено Хьюзом, Робинсоном 达 Вельтран-Лопесом [17] и в аналогичном эксперименте Древером 118] (фиг. 3.1). Хьюз и другие наблюдали резонансное поглощение фотонов ядрами Li7 в магнитном поле с напряженностью

4700 Гс. Основное состояние этого ядра имеет спин 3/2 и расщепляется на четыре энергетических уровня, которые эквидистантны если законы ядерной физики инвариантны относительно вращений. В этом случае три перехода между соседними состояниями должны иметь одинаковую энергию, и спектр поглощения фотонов будет иметь вид единственного острого пика на графике. Однако если инерция анизотропна, то четыре магнитных подуровня не были бы эквидистантными и наблюдалась бы не одна, а три близко расположенные резонансные линии. Хьюз и др. пришли к выводу, что не может быть никакого расщепления, большего, чем ширина линии, равная 5,3 -10-21 МэВ. Их наблюдения занимали 12 чт в течение которых из-за вращения Земли магнитное поле поворачивалось от направления в 22° относительно центра Галактики до направления в 104°. Если представить ядро Li7 как единственный протон с угловым моментом 3/2, который связан с другими нуклонами в центральном потенциале, тогда анизотропия Ат массы протона должна быть равной

А陽卜票傷卜5,3.10-МзВ,

где 卩2/2?п — кинетическая энергия протона. Так как р2/2т больше, чем % МэВ, мы приходим к выводу, что анизотропия инертной массы ограничивается неравенством

При таком рассмотрении данные уже твердо говорят в пользу принципа эквивалентности, а не принципа Маха.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основные книги по общей теории относительности

Adler /?., Bazin М., Schiffer М., Introduction to General Relativity, McGraw- Hill, 1965.

A nderson J. L., Principles of Relativity Physics, Academic Press, 1967.

Bergmann P. G., Introduction to the Theory of Relativity, Prentice-Hall, 1942 (см. перевод: Бергман Я. Г., Введение в теорию относительности, ИЛ. 1947).

Eddington A. S., The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge University Press, 1960 (см. перевод: Эддингтон А. С., Математическая теория относительности, Гос. научн. тех. изд., 1933).

Einstein A., The Meaning of Relativity, Princeton University Press, 1946 (cm. перевод: Эйнштейн A., Собрание научных трудов,《Наука», 1965, т. 2, стр. 5).

Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения, Физматгиз, 1961.

МфПег С., The Theory of Relativity, Clarendon Press, 1952.

pauli W., Theory of Relativity, Pergamon Press, 1958 (см. перевод: Паули 3., Теория относительности, Гостехиздат, 1947).

Schroedinger Space-Time Structure, Cambridge University Press, 1950.

Synge J. L., Relativity: The General Theory, Interscience Publ., 1960 (см. перевод: Синг Дж. Л., Общая теория относительности, ИЛ, 1963).

Weyl Я., Space-Timc-Matter, Dover Publicatons, 1952.

По вопросу экспериментальной проверки принципа эк Бивалентно сти см.

литературу к гл. 8 и особенно статью Р. Дикке.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Wapstra А. Я., Nljgh G. /., Physica, 21, 796 (1955).

Adam М, G., Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 119, 460 (1959).

Bertotti 3., Brill D.^ Krotkov R., в книге Gravitation, ed. L. Witten, Wiley, 1962, p. 23.

Brault J., Bull. Am. Phys. Soc., 8, 28 (1963).

Blamont J.足，Roddier 尸.，Phys. Rev. Lett., 7, 437 (1961).

Schwarzschild M., Structure and Evolution of the Stars, Princeton University Press, 1958, Ch. VII (см. перевод: Шварцшильд С., Строение и эволюция звезд, ИЛ, 1961, гл. 7).

Popper D. М., Astrophys. J., 120, 316 (1954).

Greenstein J. £., Trimble V., Astrophys. J., 149, 283 (1967).

Wiese W, £., Kelleher D. £., Astrophys. J., 166, L59 (1971).

Pound R. V., Rebka G. Л., Phys. Rev. Lett., 4, 337 (I960) (см. перевод в сб.: Новейшие проблемы гравитации,《Мир», 1961, стр. 474); первоначальная публикация: Phys. Rov. Lett., 3, 439 (1959).

Mdssbauer R. £., Zs. Phys. 151, 124 (1958); Naturwiss., 45, 538 (1958); Zs. Naturforsch., 14a, 211 (1959).

Pound R. У., Snider J. L., Phys. Rev. Lett., 13, 539 (1964).

Kleppner D.^ Ramsey N.歹.，Vessot R.F.C., Astrophys. Space Sci., 6, 13 (1970).

Turnbull H. W., Aitken 力.C., An Introduction to the Theory of Canonical Matrices, Dover Publications, 1961, p. 89.

Cocconi G., Salpeter E. E., Phys. Rev. Lett., 4, 176 (I960).

D icke R. H., Phys. Rev. Lett., 7, 359 (1961).

Hughes У. W., Robinson H. d., Beltran-Lopez V., Phys. Rev. Lett., 4, 342 (I960).

Drever R. W. P・，Phil. Mag., 6, 683 (1961).

Greenstein J. £., Oke J. R, Shipman H. £., Astrophys. J., 169, 563 (1971)-

В математике он был более велик. Чем Тихо Браге или Эрра Патер: Геометрическим масштабом

Для него мог служить объем кружки эля Легко расправлялся с синусами и танген сами, Когда хотел взвесить хлеб или масло, И мудро вычислял по правилам алгебрь! какой час дня бьют его часы.

С. Батлер^

Сэр Гудибрас^ его последнее слово

Глава 4

ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

Мы уже отмечали, что принцип эквивалентности гравитации и инерции вскрывает глубокую аналогию между неевклидовой геометрией и теорией гравитации. В этой главе кратко изложен аппарат, общий для них обоих,— тензорный анализ.

Принцип общей ковариантности

В последней главе мы использовали один из способов применения принципа эквивалентности, чтобы ввести эффект гравитации в физических системах. При этом мы записывали уравнения, установленные для произвольных гравитационных полей, в локальноинерциальных системах координат (т. е. уравнения специальной теории относительности, такие, как (P^ldx2 = 0), а затем делали преобразования координат, чтобы найти соответствующие уравнения в лабораторной системе координат. Можно использовать и далее этот метод, ио он приведет нас к весьма утомительным вычислениям, когда мы доберемся до уравнений поля в электродинамике и гравитации.

Поэтому мы разовьем другой подход, который имеет то же физическое содержание, но намного элегантнее в обозначениях и удобнее в обращении. Этот подход вытекает из альтернативной версии принципа эквивалентности, известной как принцип общей ковариантности. Он утверждает, что физическое уравнение задано в произвольном гравитационном поле в том случае, когда выполняются два условия:

уравнение задано в отсутствие гравитации, т, е. оно соответствует законам СТО, когда метрический тензор в нем g^^ равняется тензору Минковского 刀仪口 и аффинная связность Г^ исчезает;

уравнение общековариантно, т. е. оно сохраняет свою форму при произвольном преобразовании координат х -> х'.

Чтобы убедиться в том, что принцип общей ковариантности вытекает из принципа эквивалентности, предположим, что мы находимся в произвольном гравитационном поле, и рассмотрим какое-нибудь уравнение, удовлетворяющее двум вышеуказанным условиям. Согласно условию 2, мы знаем, что это уравнение справедливо во всех системах координат, если оно справедливо в какой-либо системе координат. Но в любой данной точке имеется класс систем координат, локально-инерциальных систем, в которых эффекты гравитации отсутствуют. Условие 1 тогда говорит нам, что наше уравнение справедливо в этих системах и, следовательно, во всех других системах координат.

Следует подчеркнуть, что общая ковариантность сама по себе не имеет физического содержания [1]. Любое уравнение может быть сделано общековариантным, если записать его в какой-либо одной системе координат, а затем придать ему форму, не изменяющуюся при переходе в любую другую систему. Действительно, уже со школьной скамьи нам становится привычной запись физических уравнений в недекартовых системах координат, таких, как полярные координаты, и в неинерциальных системах, таких, как вращающиеся системы отсчета. Смысл принципа общей ковариантности применительно к эффектам гравитации состоит в том, что физическое уравнение благодаря его общей ковариантности будет справедливо в гравитационном поле, если оно справедливо в его отсутствие. Смысл общей ковариантности легче понять, если сравнить ее с лоренцевой инвариантностью. Так же как любое уравнение можно записать в общековариантном виде, так и любое уравнение можно сделать лоренц-инвариантным, если записать его в какой-либо одной системе координат, а затем придать ему форму, не изменяющуюся при лоренцевых преобразованиях. Однако, если мы проделаем это с нерелятивистским уравнением, например с ньютоновским вторым законом, то обнаружится, что после того как мы сделаем его лоренц-инвариантным, в нем появится новая величина, которая, естественно, является скоростью введенной системы отсчета относительно первоначальной системы. Требование, чтобы эта скорость не появлялась в преобразованном уравнении, и составляет то, что мы называем принципом специальной относительности, или, для краткости, «лоренц- инвариантностью», и это требование накладывает очень жесткие ограничения на первоначальное уравнение. Подобно этому, когда мет придаем уравнению обгцековариантную форму, в него входят новые величины: метрический тензор ^uv и аффинная связность 「nw Отличие состоит в том, что в данном случае не требуется, чтобы названные величины в итоге исчезали, и, следовательно, не возникает никаких ограничений на уравнение, с которого мы

начинали; наоборот, мы пользуемся существованием guv и 「乙, для введения гравитационных полей. Сформулируем это кратко, принцип общей ковариантности не является принципом инвариантности, подобно принципу Галилея или специальной относи' тельности, а есть лишь некое утверждение об эффектах гравитации и ни о чем больше. В частности, общековариантность не предполагает лоренц-инвариантности. Имеются общековариантные теории гравитации, позволяющие вводить инерциальные системы отсчета в любой точке гравитационного поля, но инвариантные относительно преобразования Галилея, а не относительно преобразования Лоренца в этих системах отсчета [2].

Любой физический принцип, такой, как общековариантность, который принимает форму принципа инвариантности, но содержание которого накладывает явное ограничение только на взаимодействия какого-нибудь конкретного поля, называется динамической симметрией [31. Существуют другие динамические симметрии, имеющие большое значение в физике, такие, как локальная калибровочная инвариантность, управляющая взаимодействиями электромагнитного поля, или киральная симметрия х), управляющая взаимодействиями пионного поля. Мы будем не раз возвращаться к аналогии между общей теорией относительности и электродинамикой.

Принцип общей ковариантности применим только в масштабах, малых по сравнению с пространственно-временными размерами, типичными для гравитационного поля, так как только в малых областях можно, руководствуясь принципом эквивалентности, находить системы координат, в которых отсутствуют эффекты гравитации. Например, радиус Луны ненамного меньше, чем расстояние между Луной и Землей, так что мы не можем точно вычислить движение Луны, находя общековариантные уравнения, которые сводятся к точным уравнениям для свободного движения Луны в отсутствие гравитации. Мы можем, однако, рассматривать Луну как каменный шар и вычислять ее движение, применяя принцип общей ковариантности для определения гравитационного воздействия на каждый бесконечно малый элемент массы Луны. Вообще говоря, существует много общековариантных уравнений, которые сводятся к данному уравнению специальной теории относительности в отсутствие гравитации. Однако, поскольку принцип общей ковариантности применим только к малым масштабам по сравнению с масштабом гравитационного поля, мы вправе ожидать, что только guv и его первые производные войдут в наши общековариаптные уравнения. В этой и следующей главах мы увидим, что принцип общей ковариантности приводит к однозначным выводам относительно воздействия гравитационных полей на любую систему или часть системы, если они достаточно малы.

F)По поводу такого подхода к киральной симметрии см., например, [4J.

Векторы и тензоры

Для того чтобы построить физические уравнения, инвариантные при произвольных преобразованиях координат, мы должны знать, как ведут себя при этих преобразованиях величины, стоящие в уравнениях. Для некоторых величин, тех, что определяются непосредственно через дифференциалы от координат, трансформационные свойства могут быть определены путем прямого вычисления. Для других величин, таких, как электромагнитные поля, трансформационные свойства отчасти задаются по определению. Однако мы стремимся к тому, чтобы все величины, представляющие физический интерес, имели достаточно простые правила преобразования; в противном случае было бы затруднительно сводить их вместе в форм-инвариаптные уравнения. В этом параграфе мы введем класс объектов, правила преобразования которых особенно просты, и продемонстрируем их, где возможно, на примерах величин, определяемых непосредственно через кинематические переменные в данных системах координат.

Простейшее из правил преобразований ——это правило для скаляров, которые не изменяются при любых преобразованиях координат. Очевидный пример ——обычное число, такое, как 137 (или л, или нуль). Другой пример — собственное время "т, задаваемое выражением (3.2.6) (действительно, мы убедимся ниже, что метрический тензор g^” определяется как раз таким образом, чтобы ^т2 было инвариантом).

Согласно простейшему правилу, преобразуется контравариант- ный вектор 卩匕 который при замене координат 出炫—胃'卩 трансформируется следующим образом:

V'" = T 竺上.(4.2.1)

dxv

Например, правила взятия частной производной дают

d宓"=^―(4.2.2)

так что дифференциал от координаты является контравариантным вектором. Очень похожим является преобразование ковариантного вектора t7u, который при замене 宓加-> 宓'卩 преобразуется так:

(4.2.3)

Например, если ф —— скалярное поле, то 0巾/0宓世 一 ковариантный вектор, поскольку в соответствии с (4.2.3) в штрихованной системе координат градиент равен

(4.2.4)(4.2.4)дф — dxv дф

(4.2.4)

(4.2.4)

8%'卩8%] 8公

От контравариантных и ковариантных векторов можно прями перейти к тензорам. Тензор с верхними индексами 卩,v,... и нижними индексами х, Z, . . . преобразуется как произведение контравариантных векторов U^WV . . . и ковариантных векторов Ух7х . • •• Например, при замене /-> /' тензор Т») преобразуется следующим образом:

/uа一/uа一дх^ 5хр汲认 日产dxv "дх^ 5хр汲认 日产dxv "7V.7V.(4.2.5)(4.2.5)

/uа一

/uа一

дх^ 5хр汲认 日产dxv "

дх^ 5хр汲认 日产dxv "

7V.

7V.

(4.2.5)

(4.2.5)

Если все индексы у тензора верхние, будем называть его контра- вариантным; если все индексы нижние — то ковариантным; в остальных случаях — смешанным. Наиболее важный пример — это метрический тензор, определенный в § 2 гл. 3 в произвольной системе координат /R с помощью соотношения

能a能Вgef麻,

где 己仪 — локально-инерциальные координаты. В какой-либо другой системе координат 力'卩 метрический тензор равняется

,_兆a死В 一死a а/雄В дT0

g^v = ЛаЗ 7"^= ЛаР "77",

дх дх^ 8Hp дх ♦ дх дх ”

и, следовательно,

= gpo•(426)

g如 girv = 6S, ТОg如 girv = 6S, ТОи, следовательно,и, следовательно,@У дх ^ 班Р А%。@У дх ^ 班Р А%。gW = g”gW = g”Видно, что gj^ — действительно ковариантный тензор. Обратный ему тензор контравариантен, так как если мы вводим g加 с помощью соотношения

g如 girv = 6S, ТО

g如 girv = 6S, ТО

и, следовательно,

и, следовательно,

@У дх ^ 班Р А%。

@У дх ^ 班Р А%。

gW = g”

gW = g”

(4.2.7)

как и полагается контравариантному тензору. И наконец, символ Кронекера 覚 является смешанным тензором, поскольку

дх^ af _ @%'° @%口 — ср"^ дх° ~ дз^ дх°~ °

Кроме скаляров и нуля, бу (как и его прямые произведения) яВляется единственным тензором, компоненты которого одинаковы Б0 всех системах координат.

Вектор есть просто тензор с одним индексом, а скаляр —— тензором без индекса, так что вообще нет нужды скаляр и вектор рассматривать отдельно. Однако читателя следует предупредить, что не все объекты являются тензорными; в частности, аффинная связность, несмотря на внешний вид ее записи, не есть тензор.

Мы можем теперь выделить один очень широкий класс инвариантных уравнений, а именно: любое уравнение будет инвариантным при произвольных преобразованиях координат, если оно имеет вид равенства двух тензоров с одинаковым набором верхних и нижних индексов. Например, если некие А^^ и В%х — два тензора, преобразующиеся по правилу (4.2.5), и если в системе координат 汽卩 выполняется равенство А^^ = В%^, то, очевидно, и в системе координат 力'卩 справедливо равенство А^^ = В ^\. В частности, поскольку нуль можно представлять себе любого вида тензором по нашему желанию, верно утверждение, что данный тензор исчезает инвариантно при произвольных преобразованиях координат. Напротив, формулы, не являющиеся равенствами между тензорами одного и того же вида (например, 7乩期=5 и,ти V^ = U^, могут численно выполняться в ограниченном классе систем координат, однако не быть справедливыми во всех системах.

Тензорная алгебра

Для того чтобы научиться строить из тензоров уравнения, инвариантные при произвольных преобразованиях координат, надо знать, как из одних тензоров образовывать другие. Это выполняется с помощью нескольких простых алгебраических операций.

Суммирование. Сумма тензоров с одинаковыми верхними и нижними индексами есть тензор с теми же самыми индексами. Возьмем, например, два смешанных тензора. Рассмотрим их сумму

Т\^а^ + ЪВ\.

где а и Ъ——скаляры. Тогда Т\ является тензором, поскольку

T\ = aа^ +出匕=

_@n'R dd . p . , @/卩刁才g'dxp dxv ° dx^ dxv

Б. Прямое произведение. Произведение компонент двух векторов приводит к тензору, верхние и нижние индексы которого состоят из всех верхних и нижних индексов двух первоначальных тензоров. Например, если Л% и 8° являются тензорами, то комбинация

тоже тензор, т. е.7'以 P 一тоже тензор, т. е.7'以 P 一

тоже тензор, т. е.

7'以 P 一

тоже тензор, т. е.

7'以 P 一

伙/r分力乂分①'" 7入0伙/r分力乂分①'" 7入0

伙/r分力乂分①'" 7入0

伙/r分力乂分①'" 7入0

Свертка. Приравнивание верхнего и нижнего индексов и суммирование по их четырем значениям дают новый тензор, в котором эти два индекса отсутствуют. Например, если Г%ра является тензором, и если образовать

у Up __ ?R PV

то № тоже тензор, поскольку

Т，“0 一 T’R pv —

—8金'卩 bJ dx^ dx'v ™х туг —班乂 дх" d%"加t'

дхh扶川 "

дхк @%"

Эти три операции можно, конечно, объединять различным образом. Наиболее важная комбинированная операция приводит к подниманию или опусканию индексов. Если мы рассмотрим прямое произведение контравариантного или смешанного тензора Т с метрическим тензором guv и свернем индекс 卩 с одним из контра- вариантных индексов Т, мы получим новый тензор, в котором этот контравариантный индекс ц заменен ковариантным индексом. Например, если Гмар является тензором и мы вводим

SJ0= g以门""0，

то в соответствии с правилами Б и В, S：。будет тензором. Точно так же, если мы возьмем прямое произведение ковариантного

иЛи смешанного тензора Т с обратным метрическим тензором g“” 口 свернем индекс 卩 с одним из ковариантных индексов 7\ мы получим новый тензор, в котором этот ковариантный индекс заменен контравариантным индексом v. Например, |если S^ °。является тензором и мы определяем

#% 三 g%/。，

то ?% также тензор. Отметим, что опускание индекса, а затем поднимание его на прежнее место приводят к первоначальному тензору. Например, в разобранном уже выше случае мы опускали индекс у Т, чтобы получить S, а затем поднимали его опять, чтобы получить 凡 а потому R = Т, поскольку

尸%=g^.=g"vg“汉" =6汉"=Г%.

Поднимая и опуская индексы, можно записать тензор с N индексами 2N различными способами. Так как все они физически эквивалентны, обычно используют один и тот же символ для всех 2N тензоров, различая их только по положению индексов.

Полноты ради можно упомянуть, что тензор, полученный операцией поднимания одного из индексов метрического тензора guv или опусканием индекса у обратного метрического тензора gR^ есть в точности тензор Кронекера, поскольку

g"'gM = 5%

Точно так же, поднимание обоих индексов guv дает обратный тензор

办 g^guv = g%Wn = g%

а опускание обоих индексов у g%" приводит к метрическому тензо- РУ gg・

Читатель, вероятно, заметил, что это обсуждение тензорной алгебры совершенно аналогично соответствующему обсуждению в главе по специальной теории относительности (см. § 5 гл. 2), за одним важным исключением: здесь мы не разбирали операцию дифференцирования. Дело в том, что производная тензора, вообще говоря, не является тензором. Мы увидим в § 6 этой главы, что имеется определенный вид дифференцирования, называемый ковариантным дифференцированием, который дает еще один способ построения тензоров из тензоров.

§ 4. Тензорные плотности

Несмотря на широкую применимость тензоров, в их правилах преобразования нет ничего таинственного. Один из важных примеров нетензорной величины ——детерминант метрического тензора

gwgwDetg~Detg~(441)(441)

gw

gw

Detg~

Detg~

(441)

(441)

8—0788

Правило преобразования метрического тензора можно рассматривать как матричное уравнение

, d%P дх°gL-^gwlT^ •

Вычисляя его детерминант, находим

g'T^fg'(4.4.2)

(4.4.3)(4.4.3)где I дх/дхг ]——якобиан преобразования /'—> 汽,т. е. детерминант матрицы дх^/дх^. Величина типа g, преобразующаяся подобно скаляру, если не считать дополнительных множителей от якобиана, называется скалярной плотностью. Аналогично величина, которая преобразуется как тензор, но с дополнительными множителями от якобиана, называется тензорной плотностью. Число сомножителей | дхЧдх | в детерминанте называется весом плотности. Например, из выражения (4.4.2) видно, что g является плотностью с весом —2, поскольку

(4.4.3)

(4.4.3)

в чем мы мо狂ем убедиться, вычисляя детерминант уравнения

Любая тензорная плотность веса W может быть выражена как обычный тензор, умноженный на коэффициент g-w/2. Напримерт тензорная плотность 夕"1V веса W преобразуется по правилу

Используя (4.4.2), находим

g‘w/2 夕”gW/2 夕％.(4.4.5)

Важная роль тензорных плотностей определяется фундаментальной теоремой интегрального исчисления (см., например, [5]), состоящей в том, что при произвольном преобразовании координат z т 宓'элемент объема &‘宓 заменяется так:

"4"'=11^||"4〃(4.4.6)

Следовательно, произведение d‘宓 на тензорную плотность с весом —1 преобразуется как обычный тензор. В частности, ]/gd^x является инвариантным элементом объема.

Существует тензорная плотность, элементы которой одни и те ；не во всех системах координат,— это тензорная плотность Леви- Чивита £卩”入乂. Чтобы ввести эту величину в произвольной системе координат, расставим индексы координат в некотором произвольной!, но определенном порядке, например 汽，仇 z, t или г, 0,屮, i и т. п. Тогда £卩”九乂 определяется следующим образом:

j +1 при четной перестановке индексов,

8卩*%乂 = 〈 —1 при нечетной перестановке индексов, (4.4.7) I 0, если какая-нибудь пара индексов совпадает.

Чтобы убедиться в том, что это та же тензорная плотность, рассмотрим величину

叱 ^2L 2fl班r汲1V di 3产叱 ^2L 2fl班r汲1V di 3产(4.4.8)(4.4.8)

叱 ^2L 2fl

班r汲1V di 3产

叱 ^2L 2fl

班r汲1V di 3产

(4.4.8)

(4.4.8)

Видно, что она полностью антисимметрична по индексам р, о, т], g it, следовательно, пропорциональна £卩嘛.Чтобы найти коэффициент пропорциональности, предположим, что pgE расставлены в нормальном порядке. Тогда (4.4.8) есть как раз детерминант I дхЧдх I, и

дх Е л I dxf I s尸

―HVrk 唯•(4.4.9)

Следовательно, emv入乂 является тензорной плотностью веса ——1. Можно образовать обычный контравариантный тензор, умноя^ая &и*入乂 на g-i/2. Можно также образовать ковариантную плотность, понижая ее индексы следующим образом:

£ро暄 w gpRgcrvgn九8自乂£“"入匕(4.4.10)

Это выражение антисимметрично по индексам и, следовательно, пропорционально £*°诡.Упорядочив рот]Е в нормальную последовательность, найдем, что константа пропорциональности равняется —g, так что

班。喈=_g£p。喈.(4.4.11)

Читатель может легко убедиться в том, что £叩嘘一ковариантная тензорная плотность веса —1.

Правила тензорной алгебры легко распространить и на тензорные плотности:

Сумма двух тензорных плотностей одинакового веса W есть тензорная плотность веса W.

Б. Прямое произведение двух тензорных плотностей с весами И7! и W2 дает тензорную плотность с весом % + W2.

Свертывание индексов у тензорной плотности веса W приводит к тензорной плотности веса W. Из правил Б и В следует, что поднимание и опускание индексов не изменяют веса тензорной плотности.

Преобразование аффинной связности

Помимо рассмотренных довольно тривиальных тензорных плотностей, в физических законах фигурирует другая крайне важная нетензорная величина — аффинная связность. Напомним ее определение:

比01 @%" @①"比01 @%" @①"(4.5」)

比01 @%" @①"

比01 @%" @①"

Здесь &а(/) — локально-инерциальные координаты. Переходя от ^ в другую систему 宓'卩,находим

Ссылаясь снова на определение (4.5.1), видим, чтоСсылаясь снова на определение (4.5.1), видим, что

Ссылаясь снова на определение (4.5.1), видим, что

Ссылаясь снова на определение (4.5.1), видим, что

+ gpu+ gpu

+ gpu

+ gpu

(4.5.2)(4.5.2)дх^ ©М дха pp I 8%"©2%Р

(4.5.2)

(4.5.2)

d%* 历dxv位° дт^ dx，v

Первый член в правой части ——это то, что возникало бы, если бы r»v была тензором; второй член неоднородный, делающий нетензорной величиной.

Тензорный анализ позволяет самым простым образом установить связь между Г%” и ^v. Заметим, что

021rp 8d

дх^дх^ 以R，

а потомуа потомуВычитая (4.5.3) из (4.5.2), видим, что величина является тензором, поскольку

а потому

а потому

Л}]Л}]值 Т3]' =瑞景嘗[&{*}]•(455)

Л}]

Л}]

Принцип эквивалентности говорит нам тогда, что существует специальная система координат ^, в которой в данной точке X эффекты гравитации отсутствуют. В этой системе на свободные частицы не действуют никакие гравитационные силы, а потому в ней исчезает Гц¥, а также не может возникать никакого гравитационного красного смещения для бесконечно близких точек, так что исчезают и первые производные g吟 Поскольку величина [Гха — {?(?}] равна нулю в локально-инерциальной системе координат и поскольку эта величина является тензором, она должна исчезать во всех системах координат, следовательно,

Г-={3(456)

Приведем на всякий случай другое выражение для неоднородного члена в правиле преобразования [[^・ Продифференцируем тождество

dx^力:。一n

А%Р dxv V

no %'卩・ Из этого сразу последует

8M @2%Р А/ дх° /%'%/л с

Поэтому (4.5.2) можно записать в виде

Г^ =

班4 5хT 汲°

@/Р 8%'N dxv

рр @%Р @%°823c

в—。戶 a/鼠— a/*

(4.5.8)

Это как раз то, что мы получили бы, выполнив обратное преобразование а/ -> 宓 и разрешив полученное равенство относительно Г^.

Теперь мы в состоянии использовать принцип общей ковариантности, чтобы дать еще одно доказательство того, что свободно падающая частица подчиняется следующему уравнению движения:

B +(459)

ГД0

dr2= —g^y dx^ dxv.(4.5.10)

Прежде всего заметим, что уравнения (4.5.9) и (4.5.10) справедливы в отсутствие гравитации, поскольку при Г效=0 и guv =

飞丁 =0,山;2 =一 项* @什@叫

а это совпадает с уравнениями, которые описывают свободную частицу в специальной теории относительности. Далее заметим, что (4.5.9) и (4.5.10) инвариантны при произвольных преобразованиях координат, поскольку

dr2"

d /8①'以 dxv \3%'" d2xv

石 I 3r" 占)一a%丁 di2

凋①'r dJ出产 dxv a4 м м

тогда как (4.5.8) приводит к равенству

「，“ dx а dx т

1 ь~^ ST

дх^ ру МаЛ dz" д2х^ dx^ dxv

Складывая эти два уравнения, находим, что левая часть ния (4.5.9) является вектором, т. е.

十丄=

汲‘炫 / й2хх ]dx° d%。\

=十 1 OP^SF^T 丿 *

уравне-

(4.5.11)

Таким образом, уравнение (4.5.9), так же как (4.5.10), оказывается явно ковариантным. Принцип общей ковариантности говорит нам тогда, что соотношения (4.5.9) и (4.5.10) справедливы в произвольных гравита ци о я н ы х полях, поскольку они действительно выпол-

пяются в локально-инерциальных системах. Напомним аналогичное положение из § 1 этой главы, которое утверждает, что соотношения справедливы во всех системах координат, если они справедливы в какой-нибудь одной системе.

Ковариантное дифференцирование

Мы уже отмечали, что дифференцирование тензора, вообще говоря, приводит не к тензору. Рассмотрим, например, контра- вариантный вектор 卩匕 правило преобразования которого есть

Д ифференцирование по 况认 дает

AV'R汲‘r 汲Р 5Vv ,№> 汲Р T7V〃弋八

——k =?!- 4:- •(4.6.1)

дх “ dxv дх “ дх^ 5xv ^zp dx “

Первый член в правой части здесь совпадает с тем, что возникло бы, если бы выражение дУ^/дх^ было тензором, но второй член нарушает тензорный характер 5V г^1дхк.

Хотя @卩卩/@/九 не является тензором, с его помощью можно построить тензор. Используя уравнение (4.5.8), находим, что

r'В卩'х 一「汲r аnа dr° pV@2%‘rg£02c° ] дх，h yq

'' L dxv分①"@w" m A%P dxG @汇4 汲"」。①"

(4.6.2)(4.6.2)—汲'"A/° pV ya @2%'r a#

(4.6.2)

(4.6.2)

汲1V” 淤。дх°'

А小А小（普•十中）（普•十中）Складывая (4.6.1) и (4.6.2), видим, что неоднородные члены уничтожаются, и получаем

А小

А小

（普•十中）

（普•十中）

(4.6.3)

Таким образом, мы пришли к определению ковариантной производной

гb三^ + %<片，(4.6.4)

и (4.6.3) говорит о том, что Р"；% есть тензор, поскольку

1y*дх^TzV

Мы можем также определить ковариантную производную от ковариантного вектора Vu. Вспомним правило преобразования

%=祭%.

Дифференцируя это соотношение по a/v, получаем

(4.6.5)(4.6.5)叫 好"叫 №

(4.6.5)

(4.6.5)

dx'v dx^ dxv @w° dx^1 dxv

Далее из (4.5.2) следует, что

a炉dxva炉dxv@У dx^ 切@У dx^ 切。£)@2不@%т дх ^ dxv。£)@2不@%т дх ^ dxvдх^ дх°3w‘R dxvдх^ дх°3w‘R dxv［絡+［絡+(4.6.6)(4.6.6)

a炉dxv

a炉dxv

@У dx^ 切

@У dx^ 切

。£)@2不

@%т дх ^ dxv

。£)@2不

@%т дх ^ dxv

дх^ дх°

3w‘R dxv

дх^ дх°

3w‘R dxv

［絡+

［絡+

(4.6.6)

(4.6.6)

Если вычесть (4.6.6) из (4.6.5), неоднородные члены сократятся, и мы получим

(4.6.7)(4.6.7)

(4.6.7)

(4.6.7)

Таким образом, мы ввели определение ковариантной производной от ковариантного вектора

九;(4.6.8)

и выражение (4.6.7) говорит нам, что 7Ц； v является тензором, поскольку

9(469)

Способ распространения этих определений на случай общего вида тензора очевиден. Ковариантная производная по ^р от тензора 7 :: : равна дТ : : :/@%р плюс, для каждого контравариантного индекса 卩，член, равный 『召，умноженный на 7, где 卩 заменено на V, минус, для каждого ковариантного индекса Z, член Г^р, умноженный на Т, где 入 заменено на х, т. е.

т^\- р=二片九十 Г%г^+ I7v7"入 一 I^T"°K.(4.6.10)

Легко убедиться в том, что это действительно тензор.

Можно также распространить операцию ковариантного дифференцирования на тензорные плотности. Простейший способ добиться этого связан с учетом следующего факта: если 夕一тензорная плотность веса W, то g°'/2 5 является обычным тензором. Его

ковариантная производная — это также тензор, а умножая его на g-w/2, мы снова получаем тензорную плотность веса Ж. Следо- вательно, ковариантная производная тензорной плотности веса W определяется следующим образом:

夕:::;p = g-w/2(gW/2 夕：：：)；р(4.6.11)

и уже не возникает необходимости проверять, что это действительно тензорная плотность веса Ж. Итог таков: ковариантная производная по /Р от тензорной плотности 夕 веса W образуется как раз так, как если бы 夕 являлось обычным тензором, за исключением того, что мы вводим дополнительный член (W!2g) 夕 ：：：｛dgldxp). Например,

夕& р 三二夕Д + Г^\-Г^^ + 备黑夕 X(4.6.12)

Комбинирование ковариантного дифференцирования с алгебраическими операциями, введенными в § 3 этой главы, приводит к действиям, аналогичным обычному дифференцированию. В частности:

Ковариантная производная суммы тензоров (с постоянными коэффициентами) равна сумме ковариантных производных от каждого тензора. Например, если а и 0 — константы, то

(аЛ% + рВ%)；х= а/%；*+ 泌％；%.(4.6.13)

Б. Ковариантная производная прямого произведения тензоров подчиняется правилу Лейбница. Например,

(4%/)；р = /% ^ + ^...(4.6.14)

Ковариантная производная свернутого тензора есть свертка ковариантной производной. Например, полагая а — X в выражении (4.6.10), получаем

叫;P=為吗 + 1^叫，(4.6.15)

причем последние два члена в (4.6.10) сократились.

Заметим также, что ковариантная производная метрического тензора равна нулю, поскольку она исчезает в локально-инерци- альных координатах, где исчезают F“ и dg^v!d^, а тензор, равный нулю в одной системе, равен нулю во всех системах. Этот же результат можно получить более простым способом, если заме- тить. что

g|TV；九—1广；——rfggpv — Г^рц-

Из уравнения (3.3.1) следует, что эта величина исчезает:

gw 入=。・(4.6.16)

(Это рассуждение можно обратить, и получить еще один вывод соотношения между guv и Г孔.)Точно таким же способом можно показать, что ковариантные производные других видов от метри- ческого тензора также исчезают, т. е. что

g 吗九=0,(4.6.17)

微入=0・(4.6.18)

Из (4.6.16) — (4.6.18) следует, что операции ковариантного дифференцирования и поднимания-опускания индексов коммутируют; например,

^叩)九=8呻"；儿.(4.6.19)

Важность операции ковариантного дифференцирования вытекает из следующих двух ее свойств: она преобразует одни тензоры в другие и сводится к обычному дифференцированию в отсутствие гравитации, т. е. когда Г^х — 0. Эти свойства дают следующий алгоритм введения эффектов гравитации в физических системах. Следует написать соответствующее уравнение специальной теории относшпелъноспш, справедливое в отсутствие гравитации, затем заменить、］貝丫 从a g^v, а все производные — на ковариантные гьро- изводные. Полученное уравнение будет общековариантным, справедливым в отсутствие гравитации и, следовательно, согласно принципу общей ковариантности, оно будет справедливо и при наличии гравитационных полей при условии, что рассматриваемый пространственно-временной масштаб всегда достаточно мал по сравнению с масштабом гравитационного поля.

Градиент, ротор и дивергенция

Существуют частные случаи, когда ковариантная производная имеет особенно простую форму. Простейший из них, конечно, ковариантная производная от скаляра, которая совпадает в действительности с обычным градиентом:

费.(471)

Другой простой частный случай — это ковариантный ротор. Напомним, что по определению

Так как ГцУ симметрично по 卩 и v, то ковариантный ротор совпадает с обычным ротором

p阳戸-V\?；卩p阳戸-V\?；卩恥恥(472)(472)

p阳戸-V\?；卩

p阳戸-V\?；卩

恥

恥

(472)

(472)

Еще один специальный случай, немного более сложный,——это ковариантная дивергенция контравариан^ного вектора

V除三学十服屣(4.7.3)

Заметим, что

+—(474)

Sp { М^ (х)Sp { М^ (х)= ±lnDet” (叫= ±lnDet” (叫Это легко вычислить, если вспомнить, что для произвольной матрицы М

Sp { М^ (х)

Sp { М^ (х)

= ±lnDet” (叫

= ±lnDet” (叫

(4.7.5)

где Det означает детерминант, a Sp — след, т. е. сумму диагональных элементов. Чтобы доказать (4.7.5), рассмотрим вариацию Det М при смещении %九 на 6^:

6 In Det Ms In Det (M 十 6M) — In Det M =

=In ^黑护约 _ ln Det (M + 8M)=

=ln Det(l+M-W) — In (14-Sp M^SM) — SpM-A6M.

Введение коэффициента 6# с оэеих сторон этого выражения приводит к соотношению (4.7.5). Применяя теперь (4.7.5) в случае, когда М есть матрица gpu, находим с помощью (4.7.4), что

(476)

Из (4.7.3) тогда следует, что ковариантная производная равна просто

吗=金煮m▽♦ 47・7)

Прямэе следствие этого — ковариантная форма тезре»£ы Гаусса: если Р" исчезает на бвсконетаэсти, то

j d^VgV^^O.(4.7.8)

Отметим здесь появление коэф^ициаята /g, который делает величину d】％ Jg инвариантной.

Можно также использовать (4.7.6) для упрощения формулы ковариантной дивергенции тензора. Например,

=今 + Г院7%v +爲口叫

и, применяя (4.7.6), находим

(4.7.9)(4.7.9)(]/?产)+邙疗叱

(4.7.9)

(4.7.9)

[/ g н

В частном случае 7閃入=—/""последний член исчезает, так что

評％ = /^иМ“")'G7.10)

когда антисимметричен.

Есть другой частный случай, также достаточно важный. Ковариантная производная ковариантного тензора ЛMV равна

^uv；九 三-^ FgMpv — Гух-4 цр*

Предположим, что /卩▼ антисимметричен, т. е.

/卩V = 一 4w，

Если к Ацгч х дважды прибавить тот же самый тензор с циклически переставленными индексами, мы найдем ввиду симметрии Гцх и антисимметрии /р”, что все Г-члены сократятся и для антисимметричного /

5Лиг

力内；入+4大"；V +4的u = 諄 + f + 寸•(4.7.11)

Векторный анализ в ортогональных координатах *

Читатель может спросить, как связан аппарат тензорного анализа, изложенный в этой главе, с известными формулами для градиента ротора и дивергенции в классических криволинейных системах координат. Эти трехмерные системы координат характеризуются условием, что g^ диагоналей, т. е.

ёа = ^а«,/=1,2,3),ёа = ^а«,/=1,2,3),(4.8.1)(4.8.1)

ёа = ^а«,/=1,2,3),

ёа = ^а«,/=1,2,3),

(4.8.1)

(4.8.1)

где 无，——некая функция координат (см., например, [6]). (Уело- вимся суммировать по повторякщимся индексам на протяжении

всего этого параграфа.) Тогда обратный метрический тензор равен 尸3 =尻2自户(4.8.2)

Инвариантная собственная длина при этом выглядит так:

虑2 三 3 gu ^1 d^ = K{ {dx^ + h} (dx^ +hl (йх3)2,(4.8.3)

а инвариантный элемент объема записывается следующим образом:

dV 三(Det g)〃2 d/i Лз^ d炉=財九2九3 d/1 fc2 d炉.(4.8.4)

To, что обычно называют компонентами вектора V при элементарных рассмотрениях, не является ковариантными компонентами У£ или контравариантными компонентами V1, а есть «обычные» компоненты

V^h^^^Vi.(4.8.5)

Тогда скалярное произведение двух векторов записывается очень просто:

V• и = Е g"U = V^ 十爲几 + %办(4.8.6)

Это, конечно, и заставляет выбрать определение в виде (4.8.5).] Однако градиент скаляра выглядит теперь несколько сложнее:

▽戸三网=无計鲁.(4.8.7)

Ротор вектора V также иначе выглядит в «обычных» компонентах:

(▽义 V)i =瓦 2 (Detg)-^ 产吃；h =

=瓦 2 (加坛无з)т(4.8.8)

[Мы использовали (4.7.2), поскольку 8г^ антисимметричен по / и к.] Например, первая компонента ротора равна

(▽х"] =壶(詮九3%一志后爲)•(4.8.9)

Дивергенция вектора V есть не что иное, как ковариантная дивергенция (4.7.7):

▽ • V三 2 吟i = (Detg)-/z X 3 (Detg#『=

Лапласиан скалярной величины S равняется дивергенции ее гра дивнта

V25^3(g%);j-,V25^3(g%);j-,(4.8.11)(4.8.11)

V25^3(g%);j-,

V25^3(g%);j-,

(4.8.11)

(4.8.11)

или, объединяя (4.8.10) с (4.8.7), получаем

▽ 2S三伍屈2&)тх

(4.8.12)(4.8.12)г з 无Мз as . а 財九з @s .不倒也2 @s ] X ]_ 0m ① 汲1十d%2 的0胃2十汝3 а3 汲3 J

(4.8.12)

(4.8.12)

Читателю самому нетрудно убедиться в том, что если hi задаются соответствующими формулами в сферических или цилиндрических координатах, то получаются обычные формулы для градиента, ротора, дивергенцяи и лапласиана.

Ковариантное дифференцирование вдоль кривой

В этой главе до сих пор рассматривались тензорные поля, определенные во всем пространстве-времени. Теперь мы рассмотрим тензоры Т (т), определенные вдоль кривой 花卩(т). Приходят на память очевидные примеры: импульс Р^ (т) и спин S从(т) отдельной частицы. Для таких тензоров, конечно, бессмысленно говорить о ковариантном дифференцировании по 叫 но мы можем определить ковариантную производную по инвариантной величине т, с помощью которой параметризована кривая.

Сначала рассмотрим контрарариантный вектор /卩(т), преобразующийся по правилам:

4‘"(T)=有不(力(4.9.1)

Следует отметить, что частная производная dxf^/dxv вычисляется при х” — %” (т), так что она зависит от т. Следовательно, дифференцируя по т, мы получаем два члена

(4.9.2)(4.9.2)d/'N(t)— 汲‘卩 d4V (т) .@2," 姦入

(4.9.2)

(4.9.2)

Вторая производная дгхг^/дх^。7九 аналогична тому члену, который нарушает однородность правила преобразования (4.5.8) аффинной связности, так что мы можем определить ковариантную производ- ную вдоль кривой 花卩(т) следующим образом:

ZM卩

(4.9.3)

что эта(4.9.4)что эта(4.9.4)0з貝dB^D% d%0з貝dB^D% d%(4.9.5)(4.9.5)

что эта

(4.9.4)

что эта

(4.9.4)

0з貝dB^

D% d%

0з貝dB^

D% d%

(4.9.5)

(4.9.5)

Тогда выражения (4.5.8), (4.9.1) и (4.9.2) показывают, величина является вектором, поскольку

РА^ дх^ DAV

Сходство формул (4.9.3) и (4.6.4) для ковариантной производной векторого поля очевидно.

Аналогичное рассмотрение позволяет ввести ковариантную производную вдоль кривой 胃卩(т) для ковариантного вектора 5乩(т):

Выражение (4.5.2) позволяет убедиться в том, что найденная величина действительно вектор

(4.9.6)(4.9.6)DB. 5zv DB、

(4.9.6)

(4.9.6)

Точно таким же образом ковариантная производная вдоль кривой 碎 (т) от произвольного тензора Т (т) определяется добавлением к dTIdx члена, такого как в (4.9.3), для каждого верхнего индекса и вычитанием аналогичного члена в (4.9.5) для каждого нижнега индекса. Например,

賽三噜• + Г"р 某 T"v- F；v 桨片。(4.9.7)

И

Qt — £ ~dx,v Qt

Свойства ковариантного дифференцирования, кратко изложенные в § 6——8, могут быть легко распространены на случай дифференцирования вдоль кривой.

Следует упомянуть, что ковариантная производная тензорного поля вдоль кривой может быть введена с помощью обычной ковариантной производной этого поля; например, если Т^——тензорное поле, тогда (4.9.6) приводит к выражению

聆= ?%；九祭. (4.9.9)

Однако в гл. 6 мы увидгм, что тензоры, заданные на кривых, не всегда могут быть обобщены на тензорные поля; для них производная D/Dx есть единственная возможная ковариантная производная.

Часто рассматривается случай, когда вектор 4卩(т), переносимый вдоль кривой частицей, не меняется с изменением т, если частица рассматривается в системе отсчета 厶⑺，т. е. л ока ль-

04代04代нО'Инерциальной на х (т). (Эго выполняется для импульса и спина частицы, если на нее воздействуют только гравитационные силы; см. § 1 гл. 5.) В этой системе отсчета аффинная связность, а также dA^/dx исчезают, так что

04代

04代

(4.9.10)

Будучи ковариантным, это утверждение справедливо на % (т) в локально-инерциальной системе g*“)и, следовательно, справедливо во всех системах координат. Тогда вектор 4卩 подчиняется дифференциальному уравнению первого порядка

号一=—г 厶黑(4.9.11)

которое определяет 4山 для всех т, если 4K задано при некотором начальном т. В этом случае говорят, что вектор А^ (т) на кривой %№ (т) задается с помодыо пграмелъного переноса. Таким способом можно задать на кривой любой тензор, потребовав, чтобы его ковариантная производная вдоль кривой исчезала.

Аналогия е электродинамикой *

В § 1 этой главы подчеркивалось, что общая ковариантность не является обычным принципом симметрии, в отличие от лоренц-инвариантности, а есть скорее динамический принцип, позволяющий ввести гравитационные поля. Сам по себе он имеет сильное сходство с другой «динамической симметрией» —— локальной калибровочной инвариантностью, которой подчиняются эффекты электромагнитных полей. Локальная калибровочная инвариантность гласит, что дифференциальные уравнения, удовлетворяемые набором заряженных полей 屮(％) и электромагнитным потенциалом Ла (%), сохраняют свою форму, если эти поля подвергают преобразованию (см., например, [6]):

屮(n)屮(%)e在中⑺，(4.10.1)

4⑶+屮⑺，(4-10.2)

где е — заряд частицы, представленной полями 屮，а 屮(％) — произвольная функция пространственно-временных координат ” Как построить калибровочно-инвариантные уравнения? Заметим, что производные заряженного поля i|)ведут себя при калибровочных преобразованиях не так, как само 屮，а следующим образом:

屮⑺ f伸⑶△绚⑺]=*e<p⑺?). + ie^> ⑺ ? ^)] •

дх@工L дх」

*) Этот и следующий параграфы лежат несколько в стороне от основной линии книги и могут быть опущены при первом чтении.

Аналогичным образом производные тензоров не ведут себя как тензоры при произвольных преобразованиях координат. Из этого следует, что уравнение, такое, как

(□2 — ТП?)屮(£)= О

где

ме является калибровочно-инвариантным, как не является оно и общековариантным. Заметим еще, что электромагнитный потенциал Л ц (%) подчиняется неоднородному калибровочному преобразованию, точно так же, как аффинная связность преобразуется с помощью неоднородного правила преобразования (4.5.2) при произвольных преобразованиях координат. В тензорном анализе мы прибавляли к производным тензоров члены, содержащие аффинную связность, чтобы образовать «ковариантные производные», которые преобразуются, подобно тензорам. В электродинамике мы прибавляем к производной от поля вектор-потенциал, чтобы образовать «калибровочно-ковариантную производную»:

乳帥⑺三［■^~ —24х(с)］23),(4.10.3)

которая преобразуется как само поле

炒а屮⑺-> Ка屮3)］彼屮⑺・(4. ЮЛ)

Уравнение, инвариантное при калибровочных преобразованиях с постоянным ф (такая инвариантность равносильна просто сохранению заряда), будет инвариантно и при калибровочном преобразовании (4.10.1), (4.10.2), если в это уравнение входят только поля 屮(н) и их калибровочно-ковариантные производные 2a屮(％). Аналогично этому, уравнение, инвариантное при преобразованиях Лоренца, инвариантно при произвольных преобразованиях координат, если оно составлено лишь из тензоров и их ковариантных производных. Например, мы можем написать калибровочно-инвариантное уравнение, которое описывает взаимодействие заряженного скалярного поля 屮(х) с электромагнитным в виде

［па6炒a06 + ^2］屮(忆)=0,(4.10.5)

или, более подробно,

(口2 — 2В/а矗 一 ％ 礬一 е^АаАа+ 從)屮 Q) = 0.

Одно из важных свойств таких теорий ——это то, что они позволяют ввести сохраняющиеся калибровочно-инвариантные токи; в рас-

9—0788

сматриваемом примере мы можем определить

」а (с)三一2е {时(£)炒а屮(с) — 2 (%)吃＜х"Ф(£)『}•

(«Кинжал» означает комплексное сопряжение, а в квантовой теории——эрмитово сопряжение.) Свойство калибровочной инвариантности очевидно; а для того чтобы убедиться, что J& (力)сохраняется, вычислим величину

彥尸(2)=i{~^-(*7"(2)2⑷)一

-響工(胃貝• + ie4a (")时("))+

十 2t (%) (2° + ie4a(£))炒a屮(Z)~

—1|3 (ж) [(35a + /еЛа(х))炒a“(z)]t}=

=产(%)ssaa)^(z)-屮(с) [з?аад(z)『. Подставляя сюда (4.10.5), получаем

Можно, следовательно, подставить этот ток в правую часть уравнения Максвелла (2.7.6), и уравнение при этом останется калибровочно-инвариантным. В гл. 7 мы покажем, что уравнения поля гравитации выводятся аналогичным образом.

Можно распространить эту аналогию между калибровочной инвариантностью электродинамики и общей ковариантностью теории относительности на сходную симметрию, называемую киральной (см. [4]). Такая симметрия характерна для взаимодействия 冗-мезонов, однако надлежащее разъяснение этого вопроса могло бы составить содержание еще одной книги.

ji-формы и внешние производные *

Антисимметричные тензоры и их антисимметризованные производные обладают рядом замечательно простых и полезных свойств; с частью из них мы уже познакомились в § 7 этой главы. Чтобы описать эти свойства единым образом, математики развили обший формализм, известный как теория дифференциальных форм 】)* К сожалению, слишком абстрактные и сокращенные обозначения, используемые в этом формализме, серьезно затрудняли в последние годы общение между «чистыми» математиками и физиками. В этом параграфе будут изложены фундаментальные результаты

г) Для лучшего понимания материала по теории дифференциальных форм см., например, [8].

теории дифференциальных форм, однако в тензорных обозначениях, знакомых физикам, а не в малопонятных обозначениях, применяемых математиками.

Ковариантный тензор ранга р, антисимметричный при перестановке любой пары индексов, назовем р-формой. В пространстве п измерений число алгебраически независимых компонент ^-формы равно биномиальному коэффициенту:

Р/ — pl 俨一Р)!

Например, скалярное поле есть 0-форма, ковариантное векторное поле ——1-форма, а антисимметричный ковариантный тензор с двумя индексами — 2-форма.

Линейная комбинация /?-форм является также /?-формой. Однако прямое произведение 5ЦУ,. ,Zpo... р-@ормн 迎吋… и g-山ормы 力ро.…не будет (р + ^-формой, поскольку оно не полностью антисимметрично. Можно образовать (р + g)-巾орму s/\t, антисим- метризуя прямое произведение:

(S/V瓜…％q三 Antisym X {sH...gp^p+1..，np+9}. (4.11.2) Слово «Antisym» будет всегда обозначать среднее по всем перестановкам (П) индексов:

Antisym{%〜…%}*吉2 6叫口川或…"5 (4/丄3)п

Здесь 8п — знаковая функция, равная +1 или —1 в зависимости от того, содержит ли П четное или нечетное число перестановок отдельных пар индексов:

{

+1. П четное,

《п (4.11.4)

—1, 11 нечетное. ' /

Антисимметризованное прямое произведение (4.11.2) называется внешним произведением. Например, внешнее произведение 0-формы s и 1-формы 力貝 является обычным произведением

(s/\t)产 sh，

в то время как внешнее произведение 1-формы su и 1-формы tv есть 2-форма:

(s /V)uv =万(Wv — S^%).

Читатель может легко убедиться сам, что внешнее произведение ассоциативно:

(S А 力八 〃 =s л « А 〃)(4.11.5)

и билинейно:

(а^+аг^Л^^! (^ЛО+^г(52Д/),

«Л («iZt + «2М = «1 (^Л^1) + «2 (^Л^)-(4.11.6)

9*

Здесь «! и а2 —— скаляры. Внешнее произведение, однако, некоммутативно; так, если s есть р-форма, a t есть g-форма, то

(S А 9 = (—1 严(t A S).(4.11.7)

Здесь стоит остановиться и заметить, что в книгах по математической теории дифференциальных форм ^) р-巾орму 力 вообще говоря, представляют не тензорными компонентами 方乩,..., а «дифференциальной формой»

(о 三％з ・・・(d/ Д dxv Д ...).

Символ 必尹 означает здесь величину, которая преобразуется как бесконечно малое смещение координат, т. е. как контравариантный вектор; произведения их в отличие от произведений смещений обладают свойствами ассоциативности и антикоммутативности:

(d/ Д dxv) Д d" == ©碎 Д (dxv Д d/),dx^ Д dxv = — dxv Д d/以.

Произведение coj Д со2 дифференциальных форм ①】и ①纟 имеет тензорные коэффициенты, которые совпадают с внешними произведениями тензорных коэффициентов Zuv . . . форм ①】и (о2. Свойства ассоциативности и коммутативности (4.11.5) и (4.11.7) внешнего произведения тогда вытекают тривиальным образом из соответствующих свойств произведения &以 Д dxv. Как уже было сказано, мы не будем пользоваться этим аппаратом; для нас р-форма будет просто антисимметричным тензором безотносительно к соответствующей дифференциальной форме.

Целесообразность развития теории /?-форм в независимости от остального тензорного анализа возникает, когда мы изучаем их производные. Оператор частной производной д/дх^ является ковариантным вектором или, другими словами, 1-формой, так что для любой заданной р-формы t можно определить (р + 1)-форму 0& называемую внешней производной от 厶 беря просто внешнее произведение д/дх на ?:

Ofw备八厶(4」1・8)

или, подробнее,

(П辰…％『Antisym ｛备％..%，｝ •(4.11.9)

Например, внешняя производная 0-формы / есть просто обычный градиент:

г) Оптимальным руководством для понимания теории дифференциальных -форм является книга [8].

а внешняя производная 1-формы 力*—просто ротор:

При размерности, равной трем, внешняя производная 2-формы %/ сводится к обычной дивергенции:

Первое замечательное свойство внешней производной ——то, что, действуя на тензорную р-форму, она дает тензорную (р + 1)" форму. Самый простой способ убедиться в этом ——заметить, что частные производные, используемые при определении внешней производной, можно заменить ковариантными производными

(09M...Up+i = Antisym (丁2・・・Up+i； и) (4.11.10) поскольку члены с аффинными связностями, появляющиеся при ковариантном дифференцировании, сокращаются при антисимметризации. Полученные выше результаты (4.7.1), (4.7.2) и (4.7.11) оказываются тогда частными случаями выражения (4.11.10) для р — 0, р ■— 1 м р ■— 2.

С помощью свойств ассоциативности и коммутативности (4.11.5) и (4.11.7) для внешней производной легко получить простую формулу внешней производной от внешнего произведения р-формы s на q-форму t:

D(s№ = DsN +(—甲 Dtf\s =

^Ds/\t + (-l)ps/\Dt.(4.11.11)

Из тех же правил следует# что кратные внешние производные равны нулю, например

0"三备人(备А*) = (备人备)人*=。■(丄认⑵

Этот результат известен как лемма Пуанкаре. Среди частных случаев этой леммы имеются два хорошо известных результата векторного анализа в трехмерном пространстве: равенства нулю ротора градиента и дивергенции ротора.

Естественно, возникает вопрос, справедлива ли обратная лемма Пуанкаре, а именно: если s есть (р + 1)-форма, для которой Ds = 0,(4.11.13)

то можем ли мы написать

s = Dt(4.11.14)

для некоторой р-формы Е? Ответ утвердительный при условии, что область 先，для которой справедливо (4.11.13) и для которой мы

проверяем (4.11.14), может быть деформирована в точку. И вообя ще, область 阕 можно деформировать в точку у^, если каждая точка /и в 阕 может быть связана с точкой у^ траекторией Xм* (X;忆)，лежащей целиком в 阕 (А. здесь——действительный параметр, принимающий значения от нуля до единицы), а

Х"(0; к) = у% Х"(1; аг) = 0Ч

Можно непосредственно удостовериться в том, что если (4.11.13) справедливо в области 伪，то (4Л1Л4) будет выполняться во всей этой области для р-формы:

仙・・・Np (力= (，+ <)><

X) оX) о@х" ?") 不х"1仇；/)@х" ?") 不х"1仇；/)以以8忆以8忆以畛i…收…畛i…收…

X) о

X) о

@х" ?") 不х"1仇；/)

@х" ?") 不х"1仇；/)

以

以

8忆以

8忆以

畛i…收…

畛i…收…

(4.11.15)

Хорошо известные результаты векторного анализа в трехмерном пространстве, утверждающие, что вектор можно выразить как градиент, если ротор от него равен нулю, или как ротор, если равна нулю его дивергенция, можно рассматривать как част-

соответственно. Уравсоответственно. Уравные случаи этой теоремы для /> = 0 и р = 1

соответственно. Урав

соответственно. Урав

нения Максвелла ——аналогичный пример в четырехмерном пространстве. Тензор электромагнитного поля F^ является 2-формой, которая, согласно (2.7.10), имеет равную нулю внешнюю производную, так что этот тензор может быть выражен как внешняя производная 1-формы, условно обозначаемая как —2Ла:

Р 耽 ала

что совпадает с (2.7.11). Вообще говоря, р-форма, удовлетворяющая уравнению (4.11.14), не единственна. При заданном одном t наиболее общая р-巾орма, удовлетворяющая (4.11.14), есть форма

tf = t Du, (4.11.16)

где и ——произвольная (р — 1)-форма. Например, если 4a — один из вектор-потенциалов, ротор которого равен 歹仪自,то наиболее общий вектор-потенциал такого рода определяется «калибровочным преобразованием»

4 = 4+察，

где Ф является произвольной 0-формой, т. е. произвольным скаляром.

По аналогии с тем, как внешняя производная является естественным обобщением известных операций градиента, ротора и дивергенции, можно построить скалярные интегралы р-巾орм над

множеством размерности р, которые окажутся естественным обобщением известных интегралов по объему от скалярных плотностей 0 поверхностных интегралов от нормальных компонент векторных плотностей. Множество М размерности р в n-мерном пространстве ——это просто область, внутри которой п координат 忆以 можно выразить в виде гладких одно-однозначных функций от р параметров и1:

碎=碎(吟吟・・.,〃&). (4.11.17)

В действительности часто не удается покрыть все множество единственным набором u-координат. В общем случае необходимо вводить различные наборы iz-координат в различных перекрывающихся частях множества с той оговоркой, что для &вух перекрывающихся частей, в которых заданы координаты 万“ и 〃* соответственно, в области перекрытия 〃' может быть выражена как гладкая одно-однозначная функция от р параметров 亢* и наоборот. Фактически мы будем встречаться здесь с тем, что называется ориентируемыми множествами, т. е. такими множествами, для которых координаты в каждой их части могут быть выбраны так, что в областях перекрытия все детерминанты | ди/да | положительно определенны. Поверхность сферы, например, является ориентируемой поверхностью. В дальнейшем мы не встретимся с такими усложнениями, но мы все же должны помнить, что для покрытия множества может потребоваться более чем один набор u-координат. Не забывая о такой возможности, мы определим здесь интеграл от /?-формы Z над множеством 儿 размерности р как повторный интеграл

「d%M“％…〜器..書d办...d/, (4.11.18)

в котором пределы интегрирования задаются границами множества.

Этот интеграл ведет себя как скаляр при преобразованиях координат 胃代,использованных для определения р-巾ормы. Необходимо также рассмотреть, как ведет себя этот интеграл, если мы станем описывать множество с помощью нового набора параметров ^1 .・・ йр вместо и1 . . . ир. Учитывая антисимметрию 力 легко видеть, что в этом случае подынтегральное выражение приобретает коэффициент ——детерминант | ди/дй |, в то время как р-мер- ный элемент объема приобретает положительный множитель II дх/ди ||. Таким образом, весь интеграл либо не изменяется вовсе, либо изменяет знак в зависимости от того, положителен или отрицателен детерминант | ди/дИ |. (Мы, конечно, предполагаем, что преобразование и1 -> йг несингулярно, так что этот детерминант не может равняться нулю и, следовательно, сохраняет свой знак на всем 2.) Этот результат, между прочим, показывает, что в том случае, когда для покрытия множества необходимо

несколько систем u-координат, интеграл от р-формы по области перекрытия двух частей, описываемых координатами г? и й\ может вычисляться в любой из этих систем координат, если детерминант I ди/дй ] положителен. Именно по этой причине мы ограничиваемся рассмотрением ориентируемых множеств.

Простейший пример интеграла типа (4.11.18) —— это частный случай, когда р равно размерности п координатного пространства /и. Здесь сами координаты /^ могут использоваться как и-коор- динаты, так что (4.11.18) принимает вид

j % dVn н j 右2・• .n d/‘ d炉・・• d^n-

Заметим, что подынтегральное выражение ^12.. .п, так же как и однокомпонентный тензор, является скалярной плотностью веса —1, поскольку его можно выразить следующим образом:

a g^v…является тензорной плотностью веса ——1 (см. § 4 гл. 4). Следующий простейший пример, получим, полагая в (4.11.18) р = п — 1, т. е.

j tdVn^= j 户 dS时

где 力以 есть векторная плотность

a dSq ——элемент поверхности, ориентированный по нормали к множеству:

dS^三 ^.・・UpM 加• •• @凉- du'・・• d“@・

G помощью этого общего определения интегралов от /?-форм можно доказать, что интеграл от внешней производной р-формы на множестве размерности (р + 1) есть просто интеграл от самой р-формы по р-мерной границе множества (см. 181):

j DtdVp+i= j tdVp. (4.11.19) 该 граница ^

(Мы не будем вникать в проблему определения ориентации границы, которая возникает при определении знака в правой части.) Теорема Стокса и теорема Гаусса — это просто частные случаи этой общей формулы при тг = 3, р = 1 и при п = 3, р = 2 соответственно.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Kretschmann 瓦，Ann. Phys. (Leipzig), 53, 575 (1917).

Friedrichs K・。・，Math. Ann., 98, 566 (1928).

Wigner E. P., Symmetries and Reflections, Indiana University Press, 1967 (см. перевод: Вигнер £., Этюды о симметрии,《Мир», 1971).

Weinberg S., в книге Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory, M.I.T. Press, 1970, p. 283.

Graves L. M., The Theory of Functions of a Real Variable, McGraw-Hill, 1956.

Stratton J. Л., Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, 1941, Sec. 1.14-1.18 (см. перевод: Стрэттон Дж.^ Теория электромагнетизма, ИЛ, 1948).

Schiff L. /., Quantum Mechanics, 3rd ed., McGraw-Hill, 1968, p. 399 (cm. перевод 1-го изд.: Шифф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1959).

Flanders Я., Differential Forms, Academic Press, 1963.

Кто сферами небес в высотах управляет Пути планет в безбрежном небе знает, Другому нужен бледный свет Луны...

Александр Поп

Глава 5

ЭФФЕКТЫ ГРАВИТАЦИИ

Вернемся теперь к физике и попробуем использовать то, чему мы научились в предыдущей главе для исследования того, как влияет гравитация на уравнения механики и электродинамики. Будем пользоваться при этом предписаниями принципа общей ковариантности. Сначала мы должны записать уравнения так, как они выглядят в специальной теории относительности, затем выяснить, как изменится в этих уравнениях каждая величина при произвольных преобразованиях координат, и заменить 刀貝寸 на ^ц¥, а все производные — ковариантными производными. Полученные уравнения будут общековариантны и справедливы в отсутствие гравитации, а следовательно, справедливы в произвольных гравитационных полях при условии, что рассматриваемая система достаточно мала по сравнению с масштабами полей.

Механика частицы

Частицы, на которые не действуют никакие силы, обладают в специальной теории относительности постоянной четырехмерной скоростью t/a и ПОСТОЯННЫМ спином 5а, т. е.

警=° "三警)，(5心)

(5-1.2)

Напомним, что спин 5а определен в системе покоя частицы, где спин есть {S, 0}, так что в произвольной лоренцевой системе выполняется условие

Saf产=0・(5.1.3)

Для того чтобы превратить эти уравнения в общековариантные, зададим векторы Uu и S^ в произвольной системе координат ②达

следующим образом:

炉М券0产=時，(5-1.4)

Sr=詳~3拉，(5.1.5)

где Uf1 и S/a являются компонентами U м S в свободно падакь щей системе координат 巴 Хотя U" и 3卩 являются векторами, dU^/dr и dS^/dr ими не являются, но мы констатировали в § 9 гл. 4, что можно определить производные векторов DU^IDt и DS^/Dx, которые сводятся к обычным, когда 『卜=0・ Правильные уравнения, задающие положение и спин частицы, диктуются принципом общей ковариантности и имеют вид

0次 От

=。，"

(5.1.6)

или, в

более подробной записи,

dr

+гж^х = о,

(5.1.7)

dS从 dp

-Г^5х = 0.

(5.1.8)

Кроме

того, (5.1.3) следует

записать теперь так:

5/"=0.

(5.1.9)

Повторяя рассуясдения § 1 гл. 4, заметим, что эти уравнения справедливы в присутствии гравитационных полей, поскольку они общековариантны, и справедливы в отсутствие гравитации, поскольку превращаются в уравнения (5.1.1) ——(5.1.3), когда исчезает F底.Принцип эквивалентности, таким образом, утверждает, что существуют локально-инерциальные системы координат, в которых (5.1.6) ——(5.1.9) справедливы (при непременном условии достаточной малости рассматриваемой частицы), а общая ковариантность гарантирует, что эти уравнения выполняются и в лабораторной системе отсчета.

В уравнениях (5.1.7) и (5.1.8) мы узнаем дифференциальные уравнения параллельного переноса векторов U» и 5Ц. Поскольку U^ м dx^/dx. уравнение (5.1.7) не что иное, как известное уравнение для свободного падения, которое было получено выше путем дифференцирования (5.1.4) по т и подстановки (5.1.1). Очевидно, что мы избегаем утомительных вычислений, используя общую ковариантность. Уравнение (5.1.8) описывает прецессию гироскопа при свободном падении и будет обсуждаться в гл. 9. Здесь

отметим только, что произведение S^S^ постоянно, поскольку обычная производная от скаляра —— это то же самое, что его ковариантная производная

备(凡S") =亲($т") = 0・ (5.1.10)

Если частица не находится в состоянии свободного падения, то производная DU^IDx не равна нулю и вместо (5.1.7) надо писать

0。以Dx0。以Dx产В，产В，(5.1.11)(5.1.11)

0。以Dx

0。以Dx

产

В，

产

В，

(5.1.11)

(5.1.11)

где т ——масса частицы, а /世 ——контравариантный вектор силы. Последнее можно записать и так:

0/" ,Li女” dx^

Член, содержащий 城卜,играет роль гравитационной силы. Мы можем всегда вычислить /и, если знаем его значение // в свободно падающей системе отсчета 三叱 Действительно, условие, требующее, чтобы сила /и вела себя как вектор, позволяет записать его единственным способом:

产=第行.(5.1.12)

Элек!ромагнитная сила будет определена в следующем параграфе.

Иногда оказывается, что на частицу действует сила, которая не создает крутящего момента. В этом случае наблюдатель в локально-инерциальной системе отсчета, находящийся в данный момент в покое относительно частицы, не будет наблюдать никакой прецессии оси спина, т. е. dS/dt будет равна нулю. Но при таком выборе системы координат dxldt также исчезает, и мы можем записать в общем виде условие отсутствия крутящего момента в лоренц-инвариантной форме:

Это условие будет оставаться справедливым в любой локальноинерциальной системе координат, в сопутствующей и любой другой. Возникает вопрос о коэффициенте пропорциональности. Положим, что

Вспомним теперь, что 5а определяется так, что S^Ua = 0. Это приводит к соотношению

嚏包巧=也(炉+又誓=0,

а потому

i*%£・

Следовательно, вектор спина изменяется согласно уравнению

* =(丛力次(5.1/3)

Это явление известно как томасовская прецессия [1]. Если мы теперь включим гравитационное поле, уравнение (5.1.13) и принцип общей ковариантности приведут нас к следующему закону для прецессии спина:

嘗=(又^)犷=又箒屮 (5.1.14)

Принято говорить, что вектор, удовлетворяющий этому дифференциальному уравнению, подвергается переносу Ферми [2]. Параллельный перенос ——это специальный случай, имеющий место при 卄—0.

Электродинамика

Напомним, что в отсутствие гравитационных полей электродинамические уравнения Максвелла записываются в виде

^产=-/В,(5.2.1)

壷尸即+备/a +备尸如=0,(5.2.2)

где J。есть 4-вектор {J, 8), а 尸，一тензор электромагнитного поля, причем 尸'2 = Вз,尸01 = & и т. д. (см. § 7 гл. 2). Предположим, что мы задаем 尸"” и J" в произвольных координатах, требуя, чтобы они сводились к 尸‘ и J' в локально-инерциальных координатах Минковского и чтобы они вели себя, как тензоры при произвольных преобразованиях координат (т. е. если 尸В и J” ——значения, измеренные в локально-инерциальной системе отсчета, то справедливы соотношения F^ ^ 三(@#/兔“)(d/V/能°)尸° 瓜 J" = (@N“/苑Q) J"). Можно тогда превратить уравнения (5.2.1) и (5.2.2) в общековариантные, заменяя все производные ковариантными производными:

(523)(5.2.4)(523)(5.2.4)尸"；卩=一户，

(523)

(5.2.4)

(523)

(5.2.4)

歹⑵；九+尸如;v +尸m；让=0，

Индексы теперь, естественно, следует поднимать и опускать с помощью g^x, а не 刀窗丫， т. е.

-^х% = gKixSnv^v*(5.2.5)

Так как 尸“” и Fuv антисимметричны, уравнения Максвелла можно переписать с помощью (4.7.10) и (4.7.11) в виде

-J-V^F^^-Vgr,(5.2.6)

*б> +备門"+费"、 = 0・(527)

Уравнения (5.2.3) ——(5.2.7) справедливы в отсутствие гравитации и общековариантны, а потому, согласно принципу общей ковариантности, справедливы также в произвольных гравитационных полях.

Электромагнитная сила, действующая на частицу с зарядом е, в отсутствие гравитации имеет вид (2.7.9)

产=е/*(5.2.8)

Отсюда сразу следует, что в произвольных координатах электромагнитная сила в произвольном гравитационном поле равна

产=6戸“黑，(5.2.9)

где, естественно,

F^^g^.(5.2.10)

И снова мы воспользуемся принципом общей ковариантности. Уравнение (5.2.9), очевидно, сводится к (5.2.8) в локально-инерциальных координатах Минковского и является общековариант- ным, поскольку /让一это вектор (см. § 1 гл. 5), d^ldx — вектор, a FJJ определено как тензор; следовательно, формула (5.2.9) написана правильно.

Поучительно вычислить вектор тока J”. В специальной теории относительности он равен

/а = 2 бп j 6&(а—a/d窿，(5.2.11)

n

причем интеграл берется вдоль траектории n-й частицы [см. уравнение (2.6.5)]. Четырехмерная дельта-функция в произвольной системе координат вводится следующим образом:

j &號①(n)6&(n —g) = 0)(у).(5.2.12)

Так как g1/2 d’％ есть скаляр, то комбинация g-i/zB' (х — у) тоже должна быть скаляром, который, конечно, сводится к обычной дельта-функции в специальной теории относительности, где g = 1 (именно этот скаляр в некоторых работах определяется как дельта-функция). Таким образом, ковариантный вектор, который сводится к Ja в отсутствие гравитации, равен

尸(z) = g-i/2® 2 е^ j 64(z —Zn)d齡.(5.2.13)

n

Заметим. что закон сохранения (dJ^/dx^ = 0) специальной теории относительности в общей теории имеет вид J"；卩=0, или, с учетом (4.7.7),

d~(g№) = 0.(5.2.14)

Множитель g-1/2 в (5.2.13) необходим для того, чтобы компенсировать g'/2 в (5.2.14), так что (5.2.14) просто выражает факт постоянства еп.

Тензор энергии-импульса

Плотность и поток энергии и импульса были объединены в § 2.8 в симметричный тензор Т^^ удовлетворяющий закону сохранения

打呻еС

где GB является плотностью внешней силы /% действующей на систему. (В изолированной системе имеем G₽ = 0.) Определим 7以丫 и Gv как контравариантные тензоры, которые совпадают с соответствующими величинами 7°3 и G^ в отсутствие гравитации. Тогда общековариантное уравнение, которое согласуется с (5.3.1) в локально-инерциальных системах, имеет вид

TRv；n = GV(5.3.2)

или, с учетом (4.7.9),

♦(/F”V) = GV-邛/叫(5.3.3)

Коэффициент Ug знаком уже нам из электродинамики и возникает как следствие того, что инвариантный объем равен ]/ g й4^. Второй член в правой части уравнения представляет собой плотность гравитационной силы. Как и следовало ожидать, эта сила зависит от системы, на которую она действует, только через тензор энергии-импульса.

Тензор энергии-импульса системы точечных частиц в специальной теории относительности задается (см. § 8 гл. 2) в виде

产=2 加“ J ^~ dx^(x - %),(5.3.4)

n

причем интеграл здесь берется вдоль траектории частицы. Следуя точно тем же рецептам, что и при рассмотрении J^ в предыдущем параграфе, приходим к заключению, что контравариантный тензор, согласующийся с (5.3.4) в отсутствие гравитации, равен

严=g』27ra J 岑_^64 (Nf).(5.3.5)

n

Тензор энергии-импульса 歹《в электромагнитного поля в специальной теории относительности был вычислен в § 8 гл. 2 и имел ВИД

片6 = f^^ 一 } "呻％6尸吗(5.3.6)

Не составляет никакого труда убедиться в том, что контравариантный тензор, согласующийся с (5.3.6) в отсутствие гравитации, есть

?^ =尸厶尸K_；guvjhm“.(5.3.7)

Для системы, состоящей из частиц и излучения, тензор энергии- импульса есть сумма (5.3.5) и (5.3.7).

Возвращаясь к тензору энергии-импульса (5.3.5) только для вещества, легко вычислить

п

где сумма включает все частицы в объеме, по которому ведется интегрирование. Это предполагает, что T^°gl/2 надо рассматривать, вообще говоря, как пространственную плотность энергии и импульса. Отсюда, в частности, можно найти энергию, импульс и угловой момент для произвольной системы

рн= j T^g^x,(5.3.8)

J^ = J (№ — ^Г110) g"3dsz(5.3.9)

Однако эти величины не являются контравариантными тензорами и не сохраняются, поскольку не сохраняется Т^1/2, т. е.

@(Tnvgi/2)/a宓V не обращается в нуль ввиду того, что между веществом и гравитацией происходит обмен энергией и импульсом.

Гидродинамика и гидростатика

В отсутствие гравитации тензор энергии-импульса идеальной жидкости задается формулой (2.10.7)

Т耶=^0? + (P+ p)畛％ (5.4.1) где Ua есть четырехмерная скорость жидкости, а £7° = (1 — v2)"1/2, U = vU°. Контравариантный тензор, который сводится к (5.4.1) в отсутствие гравитации, записывается в виде

Tuv = pg“v十侬十 р) и^и\Tuv = pg“v十侬十 р) и^и\(5.4.2)(5.4.2)

Tuv = pg“v十侬十 р) и^и\

Tuv = pg“v十侬十 р) и^и\

(5.4.2)

(5.4.2)

где U» есть локальное значение dx^/dx для элемента жидкости в сопутствующей системе отсчета. Отметим, что р и р всегда определяются как плотность давления и энергии, измеряемые наблюдателем в локально-инерциальной системе отсчета, движущейся вместе с жидкостью в момент проведения измерения, и, следовательно, они являются скалярами. Условия сохранения тензора энергии-импульса приводят к гидродинамическим уравнениям:

T"V V = ^T guv+g」/2贵 gl/2 (卩十 Р) 〃“炉 +

+ 1^(р + р)Г^ = 0. (5.4.3)

Последнийчленздесьпредставляетсобойгравитационную силу, действующую на систему. Заметим также, что, поскольку т]аВС7аС7^ = =——1 в отсутствие гравитации, мы должны и прй наличии гравитации писать

(5.4.4)(5.4.4)g必U=-l.

(5.4.4)

(5.4.4)

В качестве примера рассмотрим случай, когда жидкость находится в состоянии гидростатического равновесия. Поскольку жидкость не движется, (5.4.4) приводит к выражениям

0 = ( —goo)T2 0 = 0 для 九耍 0.

Кроме того, все производные по времени от g^^，Р，или р исчезают. В частности, имеем

и

*(p + p)F = 0.

Умножая (5.4.3) на g^ получаем

—■^ =(Р + Р)^г In (— goo)"%(5.4.5)

Это условие тривиально для 九=0, тогда как для пространствен' ноподобных значений 九(5.4.5) есть не что иное, как обычное нерелятивистское условие гидростатического равновесия, с той лишь разницей, что вместо плотности массы появляется р + р, а вместо гравитационного потенциала появляется (——goo)"?. Это уравнение решается, если давление р задано как функция р. Решение

имеет вид

j p(：)Tp In]/ go°+const.

(5.4.6}

Например, если зависимость p (p) степенная,

p (p)〜pN,

(5.4.7)

to (5.4.6) для N 娱 t выглядит так:

宇〜（一痂护f"

(5.4.8)

а для N = 1

Р~(Тоо)3° 竺

(5.4.9)

Это, между прочим, показывает, что при р = р/3 гравитация никогда не может поддерживать равновесие в крайне релятивистской жидкости, находящейся в конечном объеме, поскольку в этом случае (5.4.9) имеет вид

Р 〜(-goo)'2-(5.4.10)

Так как р должно быть равно нулю вне жидкости, g00 становится сингулярным на ее поверхности.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Thomas L.瓦,Nature, 117, 514 (1926).

Fermi E., Atti. R. Accad. Rend. Cl. Sc. Fis. Mat. Nat., 31, 21 (1922)“

Когда внимаю звездному ночному небу И знакам грандиозным и туманным*.*

Дж. Китс, Когда мне страшно* что жизнь моя прервется.^

Глава 6

КРИВИЗНА

Перейдем теперь к решению уравнений гравитационного ноля， применяя принцип эквивалентности к самой гравитации. Как и в предыдущей главе, наиболее удобный путь использования этого принципа ——это отыскание уравнений поля в общековариантном виде и сведение их затем к соответствующей форме в случае слабых полей. Итак, зададимся вопросом: какие тензоры можно образовать из метрического тензора и его производных? В данной главе мы рассмотрим это в чисто математическом аспекте, как в свое время это делали Гаусс и Риман. Информация, которую мы приобретем, будет использована в следующей главе; она поможет нам исследовать уравнения поля гравитации.

§ !• Определение тензора кривизны

Нам надо построить тензор из метрического тензора и его производных. Если использовать только guv и его первые производные, то никакого нового тензора построить нельзя, поскольку в любой точке можно найти систему координат, в которой первые производные метрического тензора исчезают. Таким образом, в этой системе координат искомый тензор должен равняться одному из тех, что могут быть построены из одного лишь метрического тензора (например, guv или g^v, или ^-^/уg и т. д.), а поскольку это равенство между тензорами, оно должно выполняться во всех системах координат.

Теперь попытаемся построить тензор из метрического тензора и его первых и вторых производных. Чтобы сделать это, вспомним правило преобразования аффинной связности:

2阿.1)

[Это —— соотношение (4.5.2), в котором переставлены штрихованные и нештрихованные координаты.] В правой части этого соотношения имеется неоднородность, портящая тензорный характер

10*

Гцу, а потому мы попробуем ее изолировать:

д3^ 小土"д3^ 小土"(6.1.2)(6.1.2)

д3^ 小土"

д3^ 小土"

(6.1.2)

(6.1.2)

Чтобы избавиться от левой части, используем некоммутативность частных производных. Дифференцирование по n* дает

Собрав подобные члены и переставив некоторые индексы, получимСобрав подобные члены и переставив некоторые индексы, получим(6.1.3)(6.1.3)

Собрав подобные члены и переставив некоторые индексы, получим

Собрав подобные члены и переставив некоторые индексы, получим

(6.1.3)

(6.1.3)

Вычитая затем отсюда то же самое уравнение с переставленными индексами v и х, находим, что все члены, включающие произведения Г на F', исчезают, и остается следующее выражение:

Его можно переписать в виде формулы преобразованияЕго можно переписать в виде формулы преобразования

Его можно переписать в виде формулы преобразования

Его можно переписать в виде формулы преобразования

冗 ％Т| =冗 ％Т| =

冗 ％Т| =

冗 ％Т| =

(6.1.4)

где

(6.1.5)(6.1.5)Рх 一 川3乂 丄r『「儿 「刀「入

(6.1.5)

(6.1.5)

"HVX =— 卜丄丄XT] - I以*丄,г •

Уравнение (6.1.4) утверждает, что 砒皿 есть тензор; его называют тензором кривизны Римана — Кристоффеля.

Существование тензора R] снова поднимает вопрос о том, единственным ли образом определяет принцип общей ковариантности (или принцип эквивалентности) гравитационные эффекты в произвольных физических системах. Зададимся, например, вопросом, может ли оставаться корректным уравнение движения свободно падающей частицы со спином 5让,имеющее вид

。=需十取崇餐十加宀嘿匿S"(6.1.6)

(где / — неизвестный скаляр) наряду с известным уравнением

0 = к + 1^Мк・

Оба уравнения являются общековариантными и оба сводятся в отсутствие гравитации к соответствующему уравнению специальной теории относительности dUa/dx = 0. Как же тогда отличить, какое из них правильное?

Критерий опять тот же — масштаб. Предположим, что наша частица имеет характерный линейный размер d, а гравитационное поле характеризуется пространственно-временным масштабом D. Тензор Римана — Кристоффеля имеет на одну производную от метрики больше, чем аффинная связность, так что отношение третьего члена (6.1.6) ко второму члену пропорционально МЭ\ соображения размерности тогда требуют, чтобы их отношение было, грубо говоря, порядка d/D. Таким образом, исключая специальные случаи, когда тот или иной член аномально велик или мал, можно считать, что последний член в (6.1.6) пренебрежимо мал, если рассматриваемая частица намного меньше, чем характерные размеры гравитационного поля; тогда (6.1.7) является правильным уравнением движения. Конечно, если наша частица не слитком мала в масштабах гравитационного поля (как в случае Луны, движущейся в гравитационном поле Земли), то принцип общей ковариантности и принцип эквивалентности должны применяться к бесконечно малым элементам, из которых состоит частица, но при этом (6.1.6) или (6.1.7) могли бы дать разумное феноменологическое описание движения частицы в целом.

Единственность тензора кривизны

Теперь докажем, что 笈厶婚乂 является единственным тензором, который можно построить из метрического тензора и его первых и вторых производных, и что построенный тензор линеен по вторым производным.

Для этой цели оказывается очень удобным привязаться к какой-нибудь точке X и выбрать локально-инерциальную систему координат, в которой аффинная связность「纟” в этой точке равна нулю. Кроме того, будем рассматривать только ограниченный класс лреобразований координат, оставляющих аффинную связностк нулевой. Согласно уравнению (6.1.1), это просто преобразования а—>а\ для которых выполняется условие

d建 dz” / x=X

Любая величина, изменяющаяся как тензор при произвольных преобразованиях координат, должна преобразовываться как тензор и на ограниченном классе подобных преобразований. Таким образом, это требование оказывается достаточно сильным для наших целей.

Так как афинная связность исчезает в точке X, то все первые производные метрического тензора исчезают в этой точке [см. выражение (3.3.5)] и искомый тензор должен быть линейной комбинацией лишь вторых производных от метрического тензора или, эквивалентно, первых производных аффинной связности. Из уравнения (6.1.3) видно, что, когда Fgv и Г^, равны нулю, дроизводные аффинной связности подчиняются при х = X правилу преобразования аг^, _威产 a产 ad 纪脑 8%'"дх,а 汲汲入 G/*

a声 a) 8а/8337Ta声 a) 8а/8337T(6.2.2)(6.2.2)

a声 a) 8а/8337T

a声 a) 8а/8337T

(6.2.2)

(6.2.2)

Какую линейную комбинацию дГ/дх следует взять, чтобы она вела себя как тензор? Ясно, что она должна быть такой, чтобы исчезал неоднородный член в правиле преобразования. Однако в любой данной точке X неоднородный член есть полностью произвольная функция его индексов р, и, “, на которую накладывается единственное условие, чтобы она была симметрична по этим индексам. Следовательно, единственный способ составления линейной комбинации дГ/дхч которая будет преобразовываться, подобно тензору, пои всех переходах а-> а', удовлетворяющих (6.2.1), это антисимметризация индексов х и v (или, эквивалентно, х и р-), превращающая (6.2.2) при а = X в соотношение

где в точке а = Х имеем

*"哈鲁・(623)

Гаким образом, искомый тензор должен равняться тензору T^w задаваемому выражением (6.2.3), когда Г исчезает. Однако, когда Г = 0, тензор Римана —— Кристоффеля удовлетворяет (6.2.3), так что в локально-инерциальной системе 7储乂 =笈工乂. Но это ——равенство между тензорами, а потому, если оно справедливо в одном классе систем координат, оно справедливо во всех системах координат. Отсюда следует, что единственный тензор Т искомого вида есть как раз 2?^VH.

Естественно, используя метрический тензор, можно строить и другие тензоры из линейных комбинаций 区鼠.Наиболее замечательными являются свернутые формы: тензор Риччи, равный

■Ярде = К\ак,(6.2.4)

и скалярная кривизна

K = g^五皿.(6.2.5)

Обход вдоль замкнутого контура с помощью параллельного переноса

Рассмотрим задачу, которая интересна и сама по себе и будет нужна нам для подготовки к следующему параграфу. Зададимся вопросом, вернется ли вектор S^ в свое первоначальное положение после переноса его вдоль замкнутой кривой С, осуществленного по правилам параллельного переноса (см. § 9 гл. 4 и § 1 гл. 5):

步=也審&.(6.3.1)

Можно ответить на этот вопрос, используя тот же метод, что и при доказательстве теоремы Стокса. Рассмотрим кривую С как край некоторой двумерной поверхности Л и разобьем Л на малые ячейки, ограниченные малыми замкнутыми кривыми С Изменение S^ при параллельном переносе вдоль С может быть записано как сумма изменений 6и, когда этот вектор переносится по каждой из этих малых кривых СN:

A& =』An%；(6.3.2)

поскольку изменение S从 при обходе по границе любой внутренней ячейки компенсируется изменениями за счет обходов смежных ячеек, остаются только вклады от краев внешних ячеек, которые составляют С. Следовательно, нужно выяснить: изменяется ли 5М при параллельном переносе по малой замкнутой кривой? Если кривая достаточно мала, вблизи некоторой

точки х = х (т0), лежащей на кривой, можно разложить「口寸(七) следующим образом:

r3(2)= ltv(X) + (% —X。)為 Ev(X) +(6.3.3)

Тогда (6.3.1) в первом порядке по 胃卩一X" дает

^ (Т) = S" (т0) + & (X) g (Т)-X”)丛(т0) + ..., (6.3.4) и, подставляя (6.3.3) и (6.3.4) в (6.3.1), получаем уравнениет включающее члены второго порядка,

т

凡(т)忆兄 值) + j [恥(X) + gp ⑴_XP)謚也(X) + ... ] X

X 鬲(陶 +凡(то) г^p (X) 8 ⑴—X。) + …]号" dr. Отбрасывая члены третьего порядка и выше по х — X, имеем % (т)影 Su (т。)+ 也(X)丛(т0) j^dT +

т

+ ｛肃 r：v (X) + Up (X) гЗ (X)｝ X 凡(％) J (x₽-X₽)蜜 dT.

to

Если 片卩(t) возвращается к его первоначальному значению X при некотором T = q, тогда, очевидно, получаем

小呪=0，

так что при параллельном переносе по малой замкнутой кривой (т) изменение второго порядка

ASy,三 5ц(Ti) — 3] (г。)=

=｛謚1^ (X) + 巧“ (X) I^ (X)｝凡(т0) § 冰 d%v, (6.3.5) где

S fP dzv = j n"~^" dT・

To

Этот интеграл, вообще говоря, не исчезает. Если, например, контур интегрирования представляет собой малый параллелограмм со сторонами 6m и 6W, то интеграл равен

$ %р dxv = 6аР8Ь” — 6av6&P.

Интегрируя по частям, можно убедиться в том, что это выражение всегда антисимметрично по р и v:

T1Т1

nVd讲.(6.3.6)nVd讲.(6.3.6)еp dxv- J ^ (m讲)dt- j 吟鼻^ dr

nVd讲.(6.3.6)

nVd讲.(6.3.6)

T0To

В коэффициенте при интеграле в (6.3.5), исходя из этого, можно оставить только антисимметричную часть, которая составляет как раз половину тензора кривизны (6.1.5), а потому

(6.3.7)(6.3.7)Д^ц — *^ R%pS(j § /Р day.

(6.3.7)

(6.3.7)

Наше заключение состоит в том, что произвольный вектор S^ ме будет изменяться^ если его переносить параллельно самому себе вдоль произвольной малой замкнутой кривой е окрестности точки X, в том и только в том случае, если /?；”「исчезает в точке X. Мы уже отмечали, что изменение £从 при параллельном переносе вдоль конечной замкнутой кривой С может быть вычислено путем разбиения на малые ячейки площади Л, ограниченной С, и затем сложения изменений S^, которые возникают при параллельных переносах по контурам этих ячеек. Следовательно, если К；”。исчезает вез. е в Л, то произвольный вектор S^ не будет изменяться при параллельном переносе вдоль С.

Теперь предположим, что /?；1Vp действительно исчезает. Рассмотрим замкнутую кривую, состоящую из двух сегментов А и В, охватывающих точки 胃出 и Х^. Изменение вектора S^ при параллельном переносе из n в X вдоль Л должно компенсироваться изменением S^ при параллельном переносе вдоль В мз X в 况,т. е.

Дх-л^ц + ^х^х8ц = 0.

Но изменение S^ при параллельном переносе из ж в X вдоль В равно изменению с обратным знаком, происходящему при параллельном переносе мз X в 况 вдоль В:

a之х毓=一А史加中

и, следовательно,

Ax^xiSp, = Ax^xSg. (6.3.8)

Таким образом, мы получим одно и то же значение S从 при параллельном переносе из X в х независимо от того, по какой из кривых мы двигались. (Например, если два гироскопа находятся на различных пересекающихся орбитах около Земли и имеют одинаковую ориентацию, когда они встречаются в точке Х^. то любое- различие в их ориентациях, когда они встретятся потом в точке %к, будет мерой некоторой усредненной кривизны, создаваемой гравитационным полем Земли.)

Из этого следует, что задавая S从 в X, мы можем определить с помощью параллельного переноса 丑з X в n поле S^ (n) во всей области пространства-времени, где i?gvp исчезает. Соотношение (6.3.8) гарантирует, что 5^(%), определенное таким образом, будет зависеть только от х, но не от пути из X в n. Производная вдоль любой кривой n (т) от этого поля равняется

"S从_as出也V(T)血-5T，

а так как направление dxv(T)/dt произвольно, уравнение (6.3.1) принимает вид

•^ =敗国(6.3.9)

ИЛИ

S闺v = 0・(6.3.10)

Следовательно, если тензор кривизны исчезает, мы всегда можем построить решения уравнения (6.3.9) для любого заданного значения 5и (X) путем параллельного переноса S^ из X в а. И наоборот, если существует какое-либо ковариантное векторное поле с равными нулю ковариантными производными, то обязательно выполняется правило (6.3.1), а так как поле не может измениться при параллельном переносе вдоль любой замкнутой кривой, из (6.3.7) следует, что во всей области, где Sa удовлетворяет (6.3.10), справедливо соотношение

fl^vp5G = 0.(6.3.11)

(К аналогичным выводам можно было бы прийти, используя вместо метода параллельного переноса известные положения теории дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, [1]). При этом подходе соотношение (6.3.11) лоявилось бы как необходимое и достаточное условие того, что уравнение (6.3.9) может быть решено подстановкой степенных рядов по а"——Х^.)

Гравитация в криволинейных координатах

Предположим, что мы задались метрическим тензором guv (х), который не является просто константой. Как узнать, заполнено ли действительно пространство гравитационным полем или guv представляет собой лишь метрику т]ар специальной теории относительности, записанную в криволинейных координатах? Другими словами, можно ли говорить о том, что имеется набор координат Минковского 自仪(％), которые удовлетворяют во всем пространстве

условию

ГВ = g3 ? (6.4.1)

Заметим, что принцип эквивалентности утверждает лишь то, что в каждой точке X можно найти локально-инерциальные координаты, которые удовлетворяют (6.4.1) в бесконечно малой окрестности X. Вопрос же, о котором идет речь, следующий: можно ли отыскать такой набор координат && (n), который удовлетворяет соотношению (6.4.1) во всем пространстве? Например, задавая метрические коэффициенты

grr=l, gee = 2, ^фф = г2 sin2 9, gtt= —1, (6.4.2) мы знаем, что имеется набор 5а, удовлетворяющий (6.4.1), именно

早= rsinBcos(p, 52 = rsin0sinq), |3 = r cosG,守=£• (6.4.3)

Однако, как мы могли бы решить вопрос эквивалентно или нет (6.4.2) метрике Минковского т]ар, если бы не были настолько искушены, чтобы заметить, что это просто т)а₽, записанное в сферических координатах? Или, другими словами, если мы заменяем grr в (6.4.2) некой произвольной функцией г, то как нам убедиться в том, что мы действительно вводим гравитационное поле, т. е. как убедиться в том, что уравнение (6.4.1) не имеет в этом случае никаких решений?

Ответ дает следующая теорема: необходимыми и достаточными условиями эквивалентности метрики g^v (х) метрике Минковского “ав [т・ е. условиями существования преобразования t f &, удовлетворяющего (6.4.1)] являются, во-первых, равенство нулю во всем пространстве тензора кривизны, вычисленного с помощью ga，т. в.

R\ivx = 0, (6.4.4) и, во-вторых, условие, что в некоторой точке X матрица g^” (X) имеет три положительных и одно отрицательное собственное значение.

Необходимость этих двух условий очевидна. Предположим, что мы можем найти систему координат 自《 (n), удовлетворяющую (6.4.1). В этой системе координат метрикой служит 刀窗^, все компоненты аффинной связности исчезают и, следовательно, тензор Римана Е編 равен нулю. Но равенство нулю тензора — инвариантное утверждение, так что 区鼠 должен исчезать и в первоначальной системе координат а叱 В § 6 гл. 3 мы уже отмечали, что «конгруэнция», подобная (6.4.1), требует, чтобы т^в и g伊* имели одинаковое число положительных, отрицательных и нулевых собственных значений во всем пространстве.

Чтобы доказать достаточность условия (6.4.4) для существо вания системы «везде инерциальных» координат 占仪(％), удовле творяюших (6.4.1), построим в явном виде 守(n). Прежде всег< заметим, что в любой точке X можно найти матрицу 十卩，网叮$ которой справедливо соотношение

頂B = g阿(X)d%d%. (6.4.5； Так как g快皿(X)——симметричная матрица, можно найти ортогональную матрицу。“卩,для которой матрица OgOT диагональна, т. е.

где

г)ар 一 [a = з10, а¥=р.

[Мы предполагаем, что три собственных значения О" положительны, а одно отрицательно, и можно всегда располагать строки О% так, чтобы в них стояли положительные Dl, О2 и D3 и отрицательное D°. Тогда, чтобы удовлетворить (6.4.5), необходимо лишь выбрать 几= £>}"// для i = 1, 2, 3 и @°社= =Р°ц /]/ — Р°.) Далее мы определяем (величины [员卩(n) дифференциальным уравнением

(6.4.6)

с начальными условиями

=产]при N = X・(6.4.7)

В предыдущем параграфе мы показали, что такие уравнения всегда можно решить при том условии, что 2?'^^ исчезает. (Под величинами 00tM. подразумеваются четыре ковариантных вектора D^^ jDV» О?!! и £>з卩,а не единый тензор.) Так как дГР'^дз^ симметрично по р, и v, мы можем записать векторы £>ац как градиенты скаляров, в качестве которых мы берем локальноинерциальные координаты »(%)：

(6.4.8)

причем начальные значения ^а (X) — это некоторые произвольные постоянные. Чтобы убедиться в том, что эти координаты 己 действительно удовлетворяют (6.4.1), заметим прежде всего, что 二(guv//；厶％) = 0.(6.4.9)

Это можно проверить путем прямого вычисления или еще проще, заметив, что (6.4.6) говорит как раз о том, чтз °“让；р исчезает, а также исчезает ^； р, следовательно, равно нулю и (g^D^.p, Но, поскольку gnv^^P^ есть скаляр, сказанное означает, что исчезает и обычная производная этой величины. Но (6.4.7) и (6.4.5) показывают, что g^D^^D^ равно т]а₽ при n = X, а поскольку эта величина является константой, то во всем пространстве установлено

(6.4.10)(6.4.10)па₽ == g^D^^D^v (для всех n)・

(6.4.10)

(6.4.10)

Из (6.4.8) и (6.4.10) немедленно следует уравнение (6.4.1).

Коммутации ковариантных дифференцирований

Существует другой путь, позволяющий убедиться в том, что /?цух указывает на наличие или на отсутствие реального гравитационного поля. Рассмотрим вторую ковариантную производную от ковариантного вектора 0M

卩国 vix = ~7 卩因 v 一 ^vkV 阳入一 Г：Л\； V = а 公 £% —

■рХ ТГ d 「九тЛ "让.「儿「（Г ТГ

丄- y入 石/丄屮V -丄VK十丄VK丄以入у0一

I г1 аги т/ 一丄以* "3支一十 丄h乂丄? g'

Члены, содержащие первые и вторые производные от Vu, симметричны по V и х, но члены, включающие само Уи, имеют антисимметричную часть:

乙；V；X —卩让；Y；V= —^G^HVK-(6.5.1)

Точно так же можно показать, что

P*；v；“一 V%”；v = V°R%v".(6.5.2)

Подобные формулы справедливы для любого тензора, например, ^%ц； V； и—У\； %； v = TVr\vk — T%R。11V乂.(6.5.3)

Таким образом, если тензор кривизны равен нулю, то ковариантные производные коммутируют, чего и следовало ожидать во всех системах координат, из которых можно перейти в систему координат Минковского.

§ 6・ Алгебраические свойства

Алгебраические свойства тензора кривизны становятся намного яснее, если мы рассмотрим вместо 2?цуИ его полностью ковариантную форму

(6.6.1;(6.6.1;^Xuvx ^^ g*a五 gvx*

(6.6.1;

(6.6.1;

Используя (6.1.5) и (3.3.7), получаем

小 pgpg小 pgpgdgpvdg屮dgpvdg屮}_^。言…}_^。言…

小 pgpg

小 pgpg

dgpvdg屮

dgpvdg屮

}_^。言…

}_^。言…

}+Яха{Г2Х-Г^Г^}.

С учетом соотношения

g入ug入u•^^ g°p = — g°P "^~ gw = — № (rJk^w + F%giu)

g入u

g入u

придаем этой формуле вид

尹侬 哪v *>g^尹侬 哪v *>g^]-]-

尹侬 哪v *>g^

尹侬 哪v *>g^

]-

]-

—[ГиХ^-по + F%gn灯 I\w + [f^gna + r&gm] Гцх +

+ gm [FJU爲—rjixlvq].

Большая часть членов типа ГГ сокращается, и в результате остается

a 一 1GXlivx — 彳a 一 1GXlivx — 彳@2g油@2g油de*小重诔 5хК з4 дЗУ小土诔de*小重诔 5хК з4 дЗУ小土诔卜田十卜田十Из формулы (6.6.2) кривизны:Из формулы (6.6.2) кривизны:+ g”。[ГухГци — Ги%Г^].видны ал г ебраическ ие свойства+ g”。[ГухГци — Ги%Г^].видны ал г ебраическ ие свойства(6.6.2)тензора(6.6.2)тензораa)a)симметриясимметрияRa41Vx =五"其巾；Ra41Vx =五"其巾；(6.6.3)(6.6.3)б)б)В)В)антисимметрияR 师 VX = цикличностьантисимметрияR 师 VX = цикличность一*必"VX =一五"u乂” = + r口 儿乂 V；一*必"VX =一五"u乂” = + r口 儿乂 V；(6.6.4)(6.6.4)

a 一 1

GXlivx — 彳

a 一 1

GXlivx — 彳

@2g油

@2g油

de*小重诔 5хК з4 дЗУ小土诔

de*小重诔 5хК з4 дЗУ小土诔

卜田十

卜田十

Из формулы (6.6.2) кривизны:

Из формулы (6.6.2) кривизны:

+ g”。[ГухГци — Ги%Г^].

видны ал г ебраическ ие свойства

+ g”。[ГухГци — Ги%Г^].

видны ал г ебраическ ие свойства

(6.6.2)

тензора

(6.6.2)

тензора

a)

a)

симметрия

симметрия

Ra41Vx =五"其巾；

Ra41Vx =五"其巾；

(6.6.3)

(6.6.3)

б)

б)

В)

В)

антисимметрия

R 师 VX = цикличность

антисимметрия

R 师 VX = цикличность

一*必"VX =一五"u乂” = + r口 儿乂 V；

一*必"VX =一五"u乂” = + r口 儿乂 V；

(6.6.4)

(6.6.4)

(6.6.5)(6.6.5)Ra41Vx + -^Xxgv + R%VMJX = °*

(6.6.5)

(6.6.5)

(6.6.6)(6.6.6)Мы уже отмечали, что при свертывании R；41Vx получается тензор Риччи

(6.6.6)

(6.6.6)

五卩X = g*"R入U、竹

Свойство симметрии а) показывает, что тензор Риччи симметричен

Rjix = Rw(6.6.7)

а свойство антисимметрии б) утверждает, что 2?дХ, по существуг единственный тензор второго ранга, который может быть образован из J?xUVH, поскольку, умножая (6.6.4) на g叫 g^ и 庐乂， получаем

Яцх= — gKvR^vn = — gXv-Rxu«v= +且加五必乂”，

g'NR儿卩v乂 =炉冗r九炉乂 = 0.

Из свойства антисимметрии б) видим, что существует только один способ свертывания К?1Ml死 для построения скаляра:

Я = ^^дХцVх = - ^иhЙ^^)

0 = gMgVRMmc・

Свойство в) исключает другой скаляр, который можно было бы образовать в четырехмерном пространстве:

/注呼小=0.

Кривизна в JT-мерном пространстве *

Рассмотрим здесь общий случай, когда пространство имеет N измерений. Чтобы подсчитать число алгебраически независимых компонент R心乂, удобно принять обозначения Петрова [2], и считать 2?%从vk матрицей 2?(%u)(vx) с «индексами» (Хр,) и (vх). Исходя из свойства (6.6.4), отмечаем, что число независимых значений каждого «индекса» равно числу независимых элементов антисимметричной матрицы в TV-мерном пространстве, т. е. "?N (N ——1). Из условия (6.6.3) следует, что 2?(%ц) «%)симметрична по этим «индексам», поэтому (6.6.3) и (6.6.4) сокращают число независимых компонент в Н^н до числа независимых элементов симметричной матрицы в 1厶№ (TV ——1)-мерном пространстве, а это число равно

Далее свойства (6.6.3) и (6.6.4) делают также полностью антисимметричной циклическую сумму RK^ + R^v + 笈入皿中 так что условие (6.6.5) накладывает еще N (^ — 1) (N — 2) (TV — 3)/4!' дополнительных связей, оставляющих в 五川1Vx следующее число

независимых компонент:

Cn = *N(N —1) (№ —N + 2)-/n(N —1) (N-2) (N —3)“ или, после приведения подобных членов,

Cn = %№(N2 — 1).(6.7.1)

В одномерном пространстве тензор кривизны 7?ци всегда равен нулю, что видно из условий (6.6.4) или (6.6.5) или из формулы (6.7.1), определяющей С\ = 0 независимых компонент. Читатель вправе удивиться тому, что кривая линия имеет нулевую кривизну. Однако это лишний раз подчеркивает тот факт, что jR^vk отражает только внутренние свойства пространства, а не то, как оно вкладывается в пространство более высокой размерности. Действительно, мы отмечали, что правило преобразования метрического тензора в одномерном пространстве имеет вид

, f dx \2gH=(石г) gu，

так что g] можно сделать в нем равным 士 1 повсюду, выбрав

В двумерном пространстве условие (6.7.1) оставляет в fl^vx； тольку одну независимую компоненту, которой можно считать Я1212； другие компоненты связаны с /?1312 соотношением (6.6.4):

^1212 = — R2H2 ^ —К,221 =区2121,

RiiH =五 H22 = ^2211 =k2222 =。.

Эти формулы можно записать в более компактной форме:

Rz41Vx = (g%vgiix — gMc^iv) —

где g—детерминант, равный gdg22 —— g；2・ Свертка X и v дает тензор Риччи

R^ = ^^^,(6.7.2)

а свертка 卩 и 乂 приводит к скалярной кривизне

Е= 2 Tz.(6.7.3)

Таким образом, тензор кривизны равен

^Xuw =, R (g九vgw一 g%xgu)(6.7.4)

Гауссова кривизна К, введенная в § 1, гл. 1, связана с R следующим образом:

K三一等=一半也.(6.7.5)

(Коэффициент —1/2 имеет чисто историческое происхождение.) Выражение (1.1.12) следует из (6.6.2) и. (6.7.5).

В трехмерном пространстве формула (6.7.1) говорит о том, что тензор кривизны имеет шесть независимых компонент. Это также число независимых компонент тензора Риччи 7?их в трехмерном пространстве, а потому можно предвидеть, что R^K в этом случае выражается только через 7?1Ax. Используя свойства ковариантности, симметрии и свертывания R巾乂，можем угадать, что это соотношение имеет вид

Rk^ivh = §KvR\M — g入xRjrv — gjivRKx 十 ^HX^Xv —

^[(g^grix — ^Xx^hv) R・(6.7.6)

Чтобы доказать (6.7.6), выберем систему координат, в которой guv исчезает при ц, неравном v, в некоторой точке X. (Этого можно достигнуть, выбрав дх'^/дх^ в точке X в виде ортогональной матрицы, которая диагонализирует guv в X.) В этой системе в точке N имеем

*12 — g33Rl323，

так что в соответствии с (6.7.6) выполняется соотношение

吊323 —g33国2"

Кроме того, имеем

Eli = g22Al212 +g3 峭 1313，

*22 = g33/?2323 + ^ИЙ2121»

откуда, опять-таки в соответствии с (6.7.6), получаем

g22Ali + ^11^22 = 2R1212 + g23 他2氏13f3 + gur2323)=

=^1212 + gl&2 3圾22马212 + g气^r^ + g22g33丛323) ИЛИ

^1212 = ^22^11 + gu〃22 — у ^11^22^-

Остальные независимые компоненты, A?4m<, /?1223, Т?1213, Т?2323 и 〃3i3i, могут быть получены из Т?1323 и Т?1212 перестановкой индексов 1, 2, 3. Таким образом, (6.7.6) справедливо и для этих компонент. Так как выражение (6.7.6) найдено в системе координат, которые ортогональны в точке X, и является явно ковариантным выражением, оно справедливо в общем случае.

11-0788

Полный тензор Римана ——Кристоффеля необходим для описания кривизны пространства только в том случае, когда число измерений пространства равно четырем и выше. Например, в четырехмерном пространстве [см. (6.7.1)] приходим к тен— зору кривизны с числом независимых компонент, равным двадцати, a R@x имеет только 10 независимых компонент, так что R^H имеет 10 компонент, помимо тех, что выражаются через Z?ux.

В общем случае кривизну TV-мерного пространства описывает тензор R心к своими H^N? (TV2 ——1)-компонентами, однако описывает неинвариантным образом, так как значения этих компонент зависят не только от внутренних свойств пространства, но и от конкретного выбора системы координат. Инвариантные характеристики кривого пространства —— это скаляры, которые надо построить из R\^ и g^. Подсчитаем число таких скаляров. Всего мы можем задать в данной точке X при произвольном преобразовании координат 优 f 2’ TV? величин дх'^!дзУ. Следовательно, на 1/12TV2 (TV? — 1) независимых компонент Е；41V< и r/2N (№十1) независимых колшопент ggv в этой точке могут быть наложены с помощью произвольных преобразований координат N2 алгебраических условий. Поэтому число независимых скаляров, которые можно построить из 7?xp,vx и gz равняется

(^2_l)+Д^(^ + l)-^2-^^(^-l)(^-2) (Лт + 3).

(6.7.7)

Случай 7V — 2 ——исключение из этого правила, поскольку в двумерном пространстве существует однопараметрическая подгруппа преобразований координат, которая не затрагивает guv и Истинное число инвариантов в этом случае не нуль, а единица, что соответствует самому скаляру кривизны. Подобгтого эффекта нет для пространств более высоких размерностей, так что для N》3 правило (6.7.7) справедливо. В случае ^ = 3 из (6.7.7) следует, что имеются три скалярные кривизны, которые удобно выбрать в виде трех корней секулярного уравнения

Det (Нрд, —也“V)=。

или, эквивалентно, в виде трех величин

d рDet 五

с，—Detg *

Для N = 4 выражение (6.7.7) приводит к четырнадцати скалярам кривизны. Чтобы перечислить их, а также для других целей, удобно разложить R^VK таким образом, чтобы он зависел только от тензора Риччи и величины С^н, которая не имеет никаких нетривиальных сверток. В пространствах N》3 измерений такое

разложение выглядит следующим образом:

R（%一分（%—2）R（%一分（%—2）凡/x 三 TV —2 (g%”R卩X —g入"Е卩” —g卩\>Rb< +^H«^Xv)—

R（%一分（%—2）

R（%一分（%—2）

(8入话卩乂 一 giUgRv) + Cxp,Vx-

Тензор 6\内乂 называется тензором Вейля [3J или конформным тензором. (Последнее название дано потому, что необходимым п достаточным условием существования координатной системы, в которой gj^ пропорционально постоянной матрице во всем пространстве, является равенство нулю тензора &.宀 во всем этом пространстве, см., например, [4].) Этот тензор имеет те же самые алгебраические свойства, что и R^v^ 瓜，кроме того, удовлетворяет %N (N + 1) условиям

С%“ = О,

так что число его линейно-независимых компонент равно

41

±№(№-4)-^n(n + 1)=.n(N + 4)(N + 2)(N—3).

(Из выражения (6.7.6) сразу следует, что для N = 3 имеем С?41Px = 0.) Исключая вырожденные случаи, все инварианты кривизны могут быть составлены только из компонент тензора Вейля (при том единственном выборе системы координат, при котором 尺貝” и guv диагональны, причем элементами ^uV являются +1, —1 и 0) и собственных значений R^v, Однако этот подсчет неправилен, если некоторые собственные значения 7?从* вырождены. Особенно интересный случай возникает, когда 7?uv равен нулю, что, как мы увидим в следующей главе, соответствует наличию физических гравитационных полей в пустом пространстве. В этом случае инварианты кривизны для N = 4 суть 10 нулевых компонент 7?从~ (равенство нулю тензора —— инвариантное утверждение) и четыре величины

„Хц z^pdvXp

Г 「VKpGГ 「VKpGc如^C^P。％。"电電加c如^C^P。％。"电電加

Г 「VKpG

Г 「VKpG

c如^C^P。％。"电電加

c如^C^P。％。"电電加

Петров [2] дал эквивалентное описание четырех неисчезающих инвариантов кривизны как корней секулярного уравнения и классифицировал различные алгебраические типы тензора Вейля в соответствии с вырожденностью этих корней. В заключение подчеркнем, что (6.7.7) дает число алгебраически независимых инвариантов кривизны. Среди этих инвариантов, вообще говоря, имеются дифференциальные связи, так что число функционально независимых инвариантов кривизны меньше, чем определяемое по формуле (6.7.7).

Тождества Бианки

Тензор кривизны удовлетворяет важным дифференциальным тождествам в дополнение к алгебраическим тождествам, приведенным в § 6. Легче всего эти тождества получить, вводя в рассматриваемой точке локально-инерциальную систему координат, в которой Гц¥ (но не ее производные) равны нулю в этой точке. Тогда в точке 优 выражение (6.6.1) дает

^^VZ, "2 ^Я \ a戸不算儿不算" e4 8忆" dxv0%" dz九 /

Все другие члены —по крайней мере первого порядка по Г. Путем циклической перестановки % 乂 и п получаем тождества Бианкич

〃九JTV乂; П + ^XflYIV； X~F -S^IIXY)； V 0(6.8.1)

Эти тождества явно ковариантны, так что если они найдены в какой-либо инерциальной системе, то тем самым они найдены и в общем случае. (Их можно, конечно, проверить также с помощью прямых вычислений.)

Особенно полезна нам будет свернутая форма (6.8.1). С учетом того, что ковариантные производные от g九電 исчезают, свертывая Z и V, находим

区|Ш； Т] — Йц^; X 十 〃%乂%1； V = °・(6.8.2)

Свертывая это соотношение еще раз, получаем

или

(明一^事)""(6.8.3)

Эквивалентная, но более известная формула имеет вид

(К^一扌g阿ё)"=0.(6.8.4)

Геометрическая аналогия *

Ранее в этой главе мы видели, что неравенство нулю тензора R^mvx отражает существование гравитационного поля. В гл. 1 мы также указывали, что Гауссу пришлось ввести «гауссову кривизну» К = ——R/2 как меру отклонения двумерной геометрии от евклидовой, а Риман впоследствии ввел тензор кривизны 7?%uvx, чтобы обобщить понятие кривизны на случай пространств

большего числа измерений. Таким образом, нет ничего удивительного, что Эйнштейн и его последователи рассматривали эффекты гравитационного поля как следствие изменений геометрии пространства и времени. Одно время казалась обоснованной надежда найти геометрическую формулировку всей остальной физики, но эта надежда не оправдалась, а геометрическая интерпретация теории гравитации свелась просто к аналогии, оставившей нам такие термины, как «метрика», «аффинная связность», «кривизна», и не очень полезна в других отношениях. Важно, что мн можем делать предсказания относительно изображений на астрономических снимках, о частотах спектральных линий и т. д» п. в конце концов, не так уж важно, приписываем ли мы эти предсказания физическим воздействиям гравитационных полей на движение планет и фотонов или искривлению пространства л времени. (Читателя следует предупредить о том, что такие взгляды не являются ортодоксальными и встречают возражения со стороны многих специалистов по теории относительности.)

Все же, игнорируя предыдущее замечание, полезно привести без доказательства выражение, показывающее, как тензор 员内乂 связан с кривизной риманова пространства. Рассматривая точку X в пространстве произвольного числа измерений и задавая в ней два вектора а^ и Ь% можно построить семейство «геодезических кривых» /R =工出(т, а, В), проходящих через эту точку; уравнения оказываются следующими:

d2x^ dxv dP с

审)i = a。"+ 帆.

Числа аир здесь могут принимать все действительные значения. Эти кривые заполнят двумерную поверхность S (а, Ь), содержащую точку X, и гауссова кривизна этой поверхности в точке X будет равна (см. [4], разд. 28)

Из соотношения (6.7.4) следует, что в двух измерениях К (а, Ь) не зависит от а н b и равно как раз ——А/2.

Геодезическая девиация*

Введение тензора кривизны мотивировалось необходимостью найти подходящие уравнения поля тяготения. Однако тензор кривизны полезен также для описания воздействия гравитации на физические системы.

Рассмотрим, например, две падающие рядом частицы с траекториями /牍(т) и 2牍(т) + 5优卩(т). Уравнения движения для них имеют вид

0 =爲["+也門+г卜(纪+也)^ [2~ +也"]^ [/ + 6/】.

Если вычесть одно уравнение из другого и оставить только члены первого порядка по 5优牍,получим

dp? dd dx dtdx 呪

или, выразив это через ковариантные производные вдоль кривой 胃凯(т) (см. § 9 гл. 4), придадим этому уравнению вид

舞 = 祭崇.(6.10.1)

Оказывается, что, хотя свободно падающая частица находится в состоянии покоя в системе координат, падающей вместе с части- п,ами, две свободно падающие рядом частицы будут находиться в относительном движении, обнаруживающем наличие гравитационного поля с точки зрения наблюдателя, падающего вместе с ними. Это, конечно, не является нарушением принципа эквивалентности, поскольку эффект, связанный с правой частью уравнения (6.10.1), становится настолько малым, что им можно пренебречь, когда удаление частиц много меньше, чем характерные размеры поля.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Eisenhart L. d., Riemannian Geometry, Princeton University Press, 1926 (cm. перевод: Эйзенхарт Л. 77., Риманова геометрия, ИЛ, 1948).

Schouten J・ A., Ricci-Calculus, Springer-Verlag, 1954 (см. перевод: Схоу- тен Я. А., Тензорный анализ для физиков, «Наука», 1965).

См. также библиографию к гл. 3.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Eisenhart L. Р., Continuous Groups of Transformations, Dover Publications, 1961, p. 1 (см. перевод: Эйзенхарт Л. 〃., Непрерывные группы преобразований, ИЛ, 1947).

Петров А. 3., Учен. зап. Казанск. Гос. унив., 114, № 8, 55 (1954); Пространства Эйнштейиа, Физматгиз, 1961.

Weyl Я., Mat. Zs., 2, 384 (1918).

Eisenhart L. P., Riemannian Geometry, Princeton University Press, 1926, Sec. 28 (см. перевод: Эйзенхарт Л. /7・，Риманова геометрия, ИЛ, 1948).

В общую теорию относительиости Вы поверите, когда изучите ее. Поэтому я ни единым словом ие буду ее защищать перед Вами.

Эйнштейн, из письма к А. Зоммерфелъду, 8 февраля 1916 2.

Глава 7

УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ ЭЙНШТЕЙНА

Главы с 3 по 5 содержали изложение первой половины теории гравитации: математическое описание гравитационных полей, которое определяет их воздействие на произвольные физические системы. В этой главе мы начнем изложение второй ее половины, а именно дифференциальных уравнений для самого гравитационного поля.

Получение уравнений поля

Уравнения поля тяготения неизбежно более сложны, чем уравнения электродинамики. Уравнения Максвелла линейны, поскольку само электромагнитное поле не переносит заряд, в то время как гравитационное поле переносит энергию и импульс (см. § 3 гл. 5) и должно, следовательно, давать вклад в свой собственный источник. Поэтому уравнения гравитационного поля должны быть нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в которых нелинейность отражает воздействие гравитации самой на себя.

Разбирая эти нелинейные эффекты, мы снова будем руководствоваться принципом эквивалентности. В любой точке X в произвольно сильном гравитационном поле мы можем задать локальноинерциальную систему координат, такую, что

ga0 (X) = 1|«8，(7.1.1)

(写月(7」・2)

Следовательно, в точке х, находящейся вблизи X. метрический тензор ga8 может отличаться от 岂仪6 только членами, квадратичными по х — X. В этой системе координат гравитационное поле является слабым вблизи точки X, и мы можем думать, что поле описывается линейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Если же мы знаем эти уравнения для слабых полей, мы можем найти уравнения ноля в общем случае преобразованием координат, обратным тому, которое делает это поле

слабым. К сожалению, из опыта мы очень мало знаем об уравнениях слабых полей. Причину этого не надо искать очень глубоко; просто гравитационное излучение так слабо испускается и поглощается веществом, что оно до сих пор не было зарегистрировано. Но, найдя оправдание для нашей необразованности, мы все же не сможем следовать прямым путем, как в предыдущих главах, а должны в какой-то мере пытаться угадать ответ.

Прежде всего напомним, что в случае слабого статического поля, создаваемого нерелятивистским телом с плотностью массы р, 00-компонента метрического тензора приближенно равна goo^ — (1 + 2ф).

[См. выражение (3.4.5).] Здесь ф ——ньютоновский потенциал, задаваемый уравнением Пуассрна

▽縛=4nGp,

где G ——постоянная Ньютона, равная 6,670*10-8 в единицах СГС* Плотность энергии Тоо для движущегося с нерелятивистской скоростью вещества приближенно равна плотности его массы:

Т00 ^ р'

Объединяя эти соотношения, получаем

V^oo^-Sn^oo，(7・1・3)

Это уравнение по предположению справедливо только для слабых статических полей, создаваемых нерелятивистским веществом, и в том виде, в каком оно записано, оно даже не лоренц-инвариант- но. Однако (7.1.3) приводит нас к предположению о том, что уравнения слабых полей для распределения энергии и импульса Тав общего вида имеют форму

Ga8 = —8nGTaB，(7.1.4)

где Gas есть линейная комбинация метрики и ее первых и вторых производных. Тогда из принципа эквивалентности следует, что уравнения, которым подчиняются гравитационные поля произвольной напряженности, должны иметь вид

G乩V — 一8nGT…(7.1.5)

где Guv — это тензор, сводящийся к G&B в случае слабых полей.

Вообще говоря, из метрического тензора и его производных можно образовать много тензоров G^v, которые сводятся к заданному G&B в пределе слабых полей. Представим себе, что Gwv может разлагаться в сумму произведений производных от метрики, и классифицируем слагаемые по полному числу N производных от компонент метрики. (Например, слагаемое с W = 3 может быть

линейным по третьим производным от метрики, или по произведению первой производной на вторую производную, или по произведению первых трех производных.)

В целом Guv должен иметь размерность второй производной, так что каждое слагаемое с N 夕 2 оказывается умноженным на постоянную, имеющую размерность длины в степени N — 2. Такие члены будут пренебрежимо малы для гравитационных полей достаточно больших или малых пространственно-временных масштабов, если N > 2 или TV V 2 соответственно. Для того чтобы избавиться от неоднозначности в выборе Gwv, предположим, что уравнения гравитационного поля масштабно-однородны, т. е. допустимы только члены с N = 2.

Рассмотрим левую часть уравнения поля (7.1.5). Мы знаем о ней, что

по определению Guv является тензором;

по предположению Guv состоит только из членов с 7V == 2, где N ——полное число производных от компонент метрики, т. е. 6乩* содержит только члены, линейные по второй производной или квадратичные по первым производным от метрики；

поскольку Т^ симметричен, то симметричен и тензор G^*;

поскольку 7从* сохраняется (в смысле ковариантного дифференцирования) ? то сохраняется и G^v：

G%u = 0；(7.1.6)

в случае слабого стационарного поля, создаваемого нерелятивистски движущимся веществом, 00-компонента (7.1.5) должна сводиться к (7.1.3); таким образом, в этом пределе имеем

Goo^VW(7.1.7)

Этих условий как раз достаточно для нахождения G吟

В § 2 гл. 6 мы видели, что наиболее общий путь построения поля, удовлетворяющего условиям а) и б),——это свертывание тензора кривизны 7?zuvx. Свойство антисимметрии 7?^vx, обсужденное в § 6 гл. 6, показывает, что существуют только два тензора, которые можно образовать путем свертывания 笈九卩^乂； это тензор Риччи /?乩~ 三 R%kx и скалярная кривизна R = /?%. Следовательно, условия а) и б) требуют, чтобы G^” имел вид

^m，v = ^i^jiv^^hv-^t(7.1.8)

где Cj и С2 — константы. Эта форма автоматически симметрична [см. свойство (6.6.7)], так что условие в) не дает нам ничего нового. Используя тождества Бианки (6.8.3), получаем ковариантную дивергенцию G^” в виде

G%； ц =(今+ С Л А； V»

а потому условие г) допускает две возможности: либо С2 = ——С\/2, либо R； V равно нулю повсюду. Вторую возможность можно исключить, поскольку (7.1.8) и (7.1.5) приводят к соотношению

G\ = (& + 4С2) R= - SriGT、

Поэтому, если R-v = dR/дхУ равно нулю, то равно нулю и(9Т工/0%”, что явно не так в случае неоднородного нерелятивистского вещества. Тогда приходим к заключению, что С2 =——Ct/2, и переписываем (7.1.8) следующим образом:

G“尸& (瓦L^g呼R).(7.1.9)

Используем, наконец, условие д), чтобы определить постоянную Сх. Для нерелятивистской системы всегда выполняется неравенство | 7订 |《| Гоо |, следовательно, мы рассматриваем здесь случай | G^ | « | Goo | или, используя (7.1.9),

А订^工giK*

Кроме того, мы имеем дело со слабыми полями, так что g^e ^ па^ Поэтому скалярная кривизна определяется так:

r ^ Rkh'~ Rod 弋2A一凡。，

или

r^2凡0.(7.1.10)

Подставляя (7.1.10) и (7.1.1) в (7.1.9), находим

Goj^Z&Ro。.(7.1.11)

Чтобы ВЫЧИСЛИТЬ Rqo для линейную часть 7?九卩*乂, взявЧтобы ВЫЧИСЛИТЬ Rqo для линейную часть 7?九卩*乂, взявслабого поля, можно использовать ее из выражения (6.6.2):

Чтобы ВЫЧИСЛИТЬ Rqo для линейную часть 7?九卩*乂, взяв

Чтобы ВЫЧИСЛИТЬ Rqo для линейную часть 7?九卩*乂, взяв

,*k2 L 0彳乂 0y 淤乂 @丛8/V @忆r 汲" 8小

Если пале статическое, все временные производные исчезают и необходимые нам компоненты равны

D 〜П e> 〜I "空00

气0000 〜U, rt^ojO 〜2 dli 淤3 •

Следовательно, (7.1.11) можно переписать так:

Go。2a (Rtoto — Aoooo) ^ CjV^oo*

Сравнивая это выражение с (7.1.7), находим, что условие д) вы- иолняется тогда и только тогда, когда С\ = 1.

Положив С\ = 4 в (7.1.9), завершаем вычисление G乩~:

Grp =2(7.1.12)

Привлекая теперь (7.1.5), получаем уравнения поля Эйнштейна

&"—ЕgR、R ~ — 8nGT吋(7.1.13)

Иногда полезна альтернативная форма. Свертка (7.1.13) с g牍” приводит к соотношению

R — 2R = — 8nG* или

R = 8nGT%,(7.1.14)

которое при подстановке в (7.1.13) дает

R^= -8л(?(^-1^?\).(7.1.15)

Естественно, можно возвратиться от (7.1.15) к (7.1.14) и (7.1.13), так что (7.1.13) и (7.1.15) следует рассматривать как полностью эквивалентные формы уравнения поля Эйнштейна.

В вакууме 711V исчезает, а потому из (7.1.15) следует, что уравнения поля Эйнштейна в пустом пространстве ——это просто 7?^ = 0.(7.1.16)

В пространстве-времени двух или трех измерений это означало бы равенство нулю полного тензора кривизны R^VH и соответственно отсутствие гравитационного поля (см. § 4 гл. 6). Только при четырех и выше измерениях в пустом пространстве могут существовать истинные гравитационные поля.

Мы могли бы по нашему желанию ослабить условие б) и допустить в G^v члены, содержащие менее двух производных от метрики. Возможность использовать первые производные не вводит никаких новых членов в Gwv (см. § 1 гл. 6), но если мы используем сам метрический тензор, то может появиться одно новое слагаемое, равное g乩”, умноженному на постоянную 九.Уравнения поля читались бы тогда так:

Arv —^ g^A — ^hv = — SrtGTpv.

Член 九g^v был впервые написан Эйнштейном [1] для преодоления трудностей в космологии (которые потом исчезли); по этой причине 九 называют космологической постоянной. Этот член удовлетворяет условиям а), в), г), но не удовлетворяет условию д), а потому, чтобы не портить ньютоновскую теорию тяготения, X должно быть очень мало. Мы везде в этой книге, исключая гл. 16, будем считать, что X — 0.

Другой вывод

При выводе уравнений Эйнштейна, приведенном в предыдущем параграфе, очень важным оказалось предположение о том, что левая сторона Guv —— тензор, зависящий лишь от метрики и ее первых и вторых производных. Можно было бы рассмотреть более общий тензор, который включал бы элементы, не связанные с метрическим тензором и его производными, такой, как

8联 ⑺ dF 8丛dz"丿"=X8联 ⑺ dF 8丛dz"丿"=X(7.2.1)(7.2.1)где tj (汽)——это координаты, локально-инерциальные в точке X. [Ссылки на точные определения (3.3.2) и (3.3.3) метрики и аффинной связности показывают, что (7.2.1) не связано с их производными.] Такой тензор можно было бы построить так:где tj (汽)——это координаты, локально-инерциальные в точке X. [Ссылки на точные определения (3.3.2) и (3.3.3) метрики и аффинной связности показывают, что (7.2.1) не связано с их производными.] Такой тензор можно было бы построить так:Gr~ —(Gr~ —(@践3）比攵⑺@践3）比攵⑺d/“ dcvd/“ dcv嗨⑶)i嗨⑶)i(7.2.2)(7.2.2)

8联 ⑺ dF 8丛dz"丿"=X

8联 ⑺ dF 8丛dz"丿"=X

(7.2.1)

(7.2.1)

где tj (汽)——это координаты, локально-инерциальные в точке X. [Ссылки на точные определения (3.3.2) и (3.3.3) метрики и аффинной связности показывают, что (7.2.1) не связано с их производными.] Такой тензор можно было бы построить так:

где tj (汽)——это координаты, локально-инерциальные в точке X. [Ссылки на точные определения (3.3.2) и (3.3.3) метрики и аффинной связности показывают, что (7.2.1) не связано с их производными.] Такой тензор можно было бы построить так:

Gr~ —(

Gr~ —(

@践3）比攵⑺

@践3）比攵⑺

d/“ dcv

d/“ dcv

嗨⑶)i

嗨⑶)i

(7.2.2)

(7.2.2)

где G^b ——наиболее общая возможная линейная комбинация вторых производных от метрического тензора в системе координат Ех, удовлетворяющей условиям лоренц-ковариантности и симметрии, т. е.

GaB = aQ gap + & (g^ + 裝7H

,32g ?87@2g丫

+ «зПаР-^7^ + ^ —+ b^a. □ 2g\, (7.2.3)

где a「 а?, &3， &,匕2 ——пять произвольных безразмерных констант. [Мы опустили символ X. Здесь все индексы поднимаются и опускаются с помощью тензоров Минковского 刀&卩 и “&例 а П2 есть даламбертиан О2 =刀呻(》/。呼)(0/6守).]При совершенно произвольных значениях введенных выше пяти констант а】,а2, 〃з, б】,Ь? тензор G^v зависел бы от посторонних элементов, таких, как (7.2.1). Однако замечательно то, что, используя условие сохранения энергии-импульса и учитывая справедливость ньютоновской теории в пределе слабых стационарных полей, создаваемых нерелятивистским веществом, можно найти такие строгие ограничения на константы 询，..%, что члены, включающие (7.2.1), выпадают и мы получаем теорию Эйнштейна.

В случае слабых полей требование сохранения энергии- импульса приводит к обычному закону сохранения дТ^^/д^ = О,

м, следовательно, предполагаемые уравнения поля Gap= — 8nGTaB накладывают условие

0 = -^ G^u (&1 + 初 D2-^-^--}-

+ @ 4- a3）（后号/）+色+优）口 专g\.

Поэтому & + 仪2， &2十&3 и & +仇 должны равняться нулю, что дает

c {口 謀 一_^ +吟導"

+ " {/^"-"“В 口2g%} •(7.2.4)

Чтобы определить а± и 61т перейдем к ньютоновскому пределу. Для статического поля (7.2.4) дает

Gt» + Go。— &1屮(且镰 + ^oo)—仇▽? (g〃 一 goo)・

(По повторяющимся латинским индексам производится суммирование по значениям 1, 2, 3.) Для нерелятивистской системы, состоящей из вещества, тензор | Т^ | много меньше чем | Т00 |, так что мы получаем уравнение поля в виде

а + 仇)V2^oo + (询一仇)v2g„ -(7.2.5)

Мы хотим, чтобы уравнения поля в этом пределе приводили к закону Ньютона:

▽ 'goo — —8nGT до,

но (7.2.5)——единственное из уравнений поля, включающее только g00 и/или git，так что мы должны требовать, чтобы а± ~ Ьг ~ =1/2. Для слабых полей левая часть уравнения тогда имеет вид

Gag = -^ { D2^^Gag = -^ { D2^^砂/砂/死в 8f、死a比斤/十死в 8f、死a比斤/十+ ^日｛爲？一 口咱?+ ^日｛爲？一 口咱?(7.2.6)(7.2.6)

Gag = -^ { D2^^

Gag = -^ { D2^^

砂/

砂/

死в 8f、死a比斤/十

死в 8f、死a比斤/十

+ ^日｛爲？一 口咱?

+ ^日｛爲？一 口咱?

(7.2.6)

(7.2.6)

Но выражение (6.6.2) показывает, что в случае слабого поля тензор Риччи

_ 2 I U gaB死a 死V死6 死V，死a 死0 /，

а потому (7.2.5) дает следующее уравнение поля:

баз ЯаЗ — у ЛаР-^ = 一 3nGT(7.2.7}

Тогда для произвольного поля принцип эквивалентности немедленно определяет уравнения Эйнштейна в виде

%"—^ gp/vR = —^GT^i(7.2.8)

поскольку (7.2.8) общековариантно и сводится к (7.2.6) в локально-инерциальных системах координат. Таким образом, если нам потребуется более общее уравнение, чем эйнштейновское, которое в пределе слабых полей сводится к уравнению второго порядка, имеющему левую часть в виде (7.2.4), мы должны допустить появление новых элементов, таких, как (7.2.1), и должны отказаться от возможности получения ньютоновской теории в предельном случае.

Теория Бранса и Дикке

Известно, что далыюдействующие силы передаются гравитационным полем g^v и электромагнитным потенциалом А^. Естественно тогда предположить, что могут существовать и дальнодейст- вующие силы, порождаемые скалярными полями. Соответствующие теории предлагались до создания общей теории относительности. В этом параграфе описывается наиболее поздняя и, возможно, наиболее обоснованная теория, в которой скалярное поле также отвечает за гравитацию. Это теория, созданная Брансом и Дикке [2]. Эквивалентная формулировка дана в статье [3].

Отправным пунктом теории Бранса и Дикке является принцип Маха, утверждающий, что явление инерции должно возникать как следствие ускорений относительно общего распределения массы во Вселенной (см. § 3 гл. 1). Таким образом, инерциальные массы различных элементарных частиц не должны быть фундаментальными постоянными, но скорее должны определяться взаимодействием частиц с некоторым космологическим полем. Кроме того, абсолютный масштаб массы элементарных частиц (в противоположность их отношениям, которые, вероятно, никак не связаны с космологическим полем) может быть определен только путем измерения гравитационных ускорений Gm№. В другой формулировке это означает то, что гравитационная постоянная G должна быть связана со средним значением скалярного поля ф, которое в свою очередь связано с плотностью масс во Вселенной.

Простейшим общековариантным полевым уравнением такого скалярного поля было бы

где СР力=屮；°； q представляет собой инвариантный даламбертиан, X —— постоянная взаимодействия, а Т^ — тензор энергии-импульса материи, распределенной во Вселенной (всей, кроме поля гравитации и ф-поля). Можно грубо оценить среднее значение 巾, вычисляя :центральный потенциал газообразной сферы с космологической плотностью массы р 〜10^29 г *см-3 и имеющей радиус, равный наблюдаемому радиусу Вселенной R 〜 1028 см (см. гл. 14). Это приводит к среднему значению

〈0〉〜九р?〜九 х 1027「см。 (7.3.2)

Заметим, что число 1027 г *см-1 разумно согласуется с постоянной LG = 1,35 X 1028 г・смТ (в единицах, в которых с = 1); следовательно, можно нормировать ф так, что

〈6〉^与， (7.3.3)

н тогда (7.3.2) показывает, что 九一безразмерная величина порядка единицы. Подобные рассмотрения позволили Брансу и Дикке предположить, что истинные уравнения поля гравитации получаются заменой G на i/巾 и включением тензора энергии-импульса ^)-поля Т^ в источник гравитационного поля:

就v_^_g"%= 一普 口私^ + М". (7.3.4)

Никто, однако, не собирается отказываться от таких достижений принципа эквивалентности, как равенство гравитационной и инертной масс и замедление времени в поле тяготения. Поэтому Еранс и Дикке требуют, чтобы только g尸，а не 步 входило в уравнения движения частиц и фотонов. Уравнения, описывающие обмен энергией между материей и гравитационным полем, остаются, следовательно, теми же, что и в теории Эйнштейна:

71K — ^M^v I pH 7 p pp т N П /7 n r\

2 M % Г 丄 ЦР7 M v '~ 丄卩”丿 Af p = U. I' .3D)

Далее, тождество Бианки говорит о том, что дивергенция от левой части уравнения (7.3.4) равна нулю, а потому, умножив (7.3.4) на ф и взяв ковариантную дивергенцию от полученного, приходим к уравнению

(E% — ^6"vR"；"=—&xTjv；“. (7.3.6)

Оказывается, что этого требования достаточно для определения Tjv・ Симметричный тензор самого общего вида, который можно построить из членов, каждый из которых содержит либо две первые производные от поля, либо одну вторую производную от поля, кроме того, зависит еще от самого поля и записывается

следующим образом:

7 Jv = /*) ф.^ф.ч+В(ф)8\ф.帥；。十

+ e")取七卅山(也□26(7.3.7)

Непосредственные вычисления дают

т J% 产必'З) + в’“)〕*出的з +

+ [4(ф) + £»,(ф)]肌 丫口2# +

+ [Л(ф) + 2В(^) + Г(ф)]ф.Лиф;ц +

+0(6)(□2办 v + C(⑴ □2(机 J (7.3.8)

(Штрих здесь означает производную по ф.) Первый член слева в (7.3.6) определяется выражением (6.5.2), а именно

Ф； 0AoV — Ф； и； u； V — Ф； v；^*； ц — (П2^)； V — О2 (Ф； V)-(7.3.9)

Взяв теперь шпур от уравнения (7.3.4) и используя (7.3.1), находим

"=^[急 т+(А(ф)+^вшф^ф.^+(с^+^(ф))оч], а потому левая часть уравнения (7.3.6) имеет вид

(E'-^MvT^^uMlDze)^—口 2( mJ —

一^ 6；v [(_^"口2+e3)+4。(6))口2小 +

+ (4 3) + 433))6%；/.(7.3.10)

Сравнивая коэффициенты при (П2ф)； v, D2 (Ф； v)» 力…口冲，力;"©；的；v и 巾 J； 1V 队卩 в выражениях (7.3.8) и (7.3.10), находим, что уравнение (7.3.6) требует, чтобы

1= -8М>0), — 1= - 8лС(^>),

-*(++ C(也 + 4。3))=-阮(/3)十+0’。))一^(4 3)+48(也)=一阮(4")十斤(力),0 = 4 (叫+ 233) +。3).

Единственное решение этой системы имеэт вид

где со — удобная безразмерная постоянная, определяемая следующим образом:

з = А(7.3.12)

или

Уравнения поля (7.3.1) и (7.3.4) в теории Бранса и Дикке можно, следовательно, записать так:

口縛 н^к7^%，(7.3.13)

区炉—у gjiv А = — "^ ТMhv —

一券(巾；血 L^g^竝;рФ;p—^"(ё；阳 У 一gg 口*)•(7.3.14)

Наша предыдущая оценка показала, что 九 порядка единицы; поэтому мы можем ожидать, что о того же порядка. Если со много больше единицы, то (7.3.13) превращается в уравнение 口2中= = 0 (1/со), откуда вытекает, что

"⑹十。信)=£ +。佶)•(7。3/5)

Подставляя этот результат в (7.3.14), получаем

〃内—У ^v^~ —8冗37^^ + 0 ("^) •

Таким образом, теория Бранса и Дикке переходит в теорию Эйнштейна в пределе со оо.

Надо подчеркнуть, что роль скалярного поля в теории Бранса и Дикке сводится к изменению вида уравнений поля гравитации. Если 且卩寸 известно, то воздействие гравитации на произвольные физические системы определяется точно таким же образом, как и в гл. 3, 4 и 5.

В этой книге почти везде будем предполагать, что никакие скалярные поля ф не дают вкладов в дальнодействующие силы. Однако время от времени мы будем возвращаться к теории Бранса и Дикке, чтобы посмотреть, какие изменения она вносит в теорию тяготения.

Координатные условия

Симметричный тензор G^v имеет 10 независимых компонент, а потому эйнштейновские уравнения поля (7.1.13) состоят из 10 алгебраически независимых уравнений. Неизвестный метрический тензор также имеет 10 алгебраически независимых компонент, и на первый взгляд может показаться, что уравнений 12—0788

Эйнштейна (с надлежащими граничными условиями) достаточно, чтобы определить g从 1V единственным образом. Это, однако, не так.

Хотя 10 компонент Guv независимы алгебраически, они связаны еще с четырьмя дифференциальными соотношениями — тождествами Бианки [см. (6.8.3)]：

Таким образом, существует не 10 функционально независимых уравнений, а только 10 ——4 = 6 уравнений, оставляющих четыре независимые степени свободы в десяти неизвестных компонентах guv Эти степени свободы соответствуют тому, что если g^” —— решение уравнений Эйнштейна, то решением его будет также и g^v, которое получается из g^* с помощью произвольного преобразования координат х -^ х'. Такое преобразование координат вводит четыре произвольные функции 优，卩(％), соответствующие как раз четырем степеням свободы в решении уравнений (7.1.13).

Недостаточность эйнштейновских уравнений для определения guv единственным образом аналогична недостаточности уравнений Максвелла для однозначного определения вектор-потенциала /乩. Записанные с помощью вектор-потенциала уравнения Максвелла выглядят так:

[см. уравнения (2.7.6) и (2.7.11)]. Имеются четыре уравнения для четырех неизвестных, но они не задают Ла единственным образом, поскольку левые части этих уравнений связаны дифференциальным тождеством, аналогичным тождествам Бианки:

— (□ма——*門三0.

@产 I даРда^ J

Таким образом, число функционально независимых уравнений в действительности равно лишь 4 ——4=3, и поэтому остается одна степень свободы в решении для четырех компонент Ла. Эта степень свободы, конечно, соответствует градиентной инвариантности; зная какое-либо решение Ла, мы можем найти другое решение Аа = Ла -\- дф/дха, где ф — произвольная функция.

Эта неопределенность в решениях уравнений Максвелла и Эйнштейна может быть устранена одним и тем же способом. Для уравнений Максвелла вопрос решается путем выбора конкретной калибровки. Например, зная какое-нибудь решение Ла, мы всегда можем построить решение 4, такое, что

положив

а +景

где Ф определяется из уравнения

口 2①——景

Говорят, что такое решение задано в лоренцевой калибровке. Условие (7.4.2) вместе с тремя независимыми уравнениями (7.4.1) создает систему из четырех уравнений, которые при надлежащих граничных условиях, вообще говоря, определяют четыре компоненты 4a однозначно. Таким же способом, а именно выбрав некоторую конкретную систему координат, можно исключить неоднозначность в метрическом тензоре. Выбор системы может выражаться в- виде четырех координатных условий, которые, дополняя шесть независимых уравнений Эйнштейна, приводят к однозначному решению. Особенно удобны условия гармоничности координат

(7.4.3)

Чтобы увидеть, что выбор координатной системы в соответствии с этими условиями возможен всегда, вспомним трансформационные уравнения для аффинной связности

&5 дх5「рдх^ дх° д2n

比卩 dxv T<J dxN дх'^ дзс^дх0

[См・ уравнение[См・ уравнениеСвертывая это уравнение с g'"", находим

[См・ уравнение

[См・ уравнение

р认дх 入 рр р(т一女Р gр认дх 入 рр р(т一女Р g@2胃5@2胃5дх^дз^дх^дз^(7.4.4)(7.4.4)

р认дх 入 рр р(т

一女Р g

р认дх 入 рр р(т

一女Р g

@2胃5

@2胃5

дх^дз^

дх^дз^

(7.4.4)

(7.4.4)

Следовательно, новую системуСледовательно, новую системуесли Гр не исчезает, мы можем всегда ввести координат, решив следующие дифференциальные

Следовательно, новую систему

Следовательно, новую систему

уравнения второго порядка в частных производных:уравнения второго порядка в частных производных:

уравнения второго порядка в частных производных:

уравнения второго порядка в частных производных:

ри 82n — 0认 pP

* дхрдзР дх^

Тогда уравнение (7.4.4) приводит к「％ = 0 в системе ".

Четыре условия (7.4.3) не являются, конечно, общековариант- пыми, так как цель их ——удалить неоднозначность, возникающую в метрическом тензоре из-за ковариантности уравнений Эйнштейна. Хотя мы не можем записать эти условия в виде ковариантных уравнений, мы можем придать им более изящную фор-

12*

му, выражая аффинную связность через метрический тензор:

рХ __ j_ 1AV АХ f 战卩[战 V匆MV )

Напомним, что

2HV潛?=…2金J/?

[См. (4.7.5).] Отсюда следует

(7.4.5)(7.4.5)i=_g"/嗫(g“ 廿)

(7.4.5)

(7.4.5)

и условия, приводящие к гармоническим координатам принимают вид

(7.4.6)(7.4.6)^"次）二。.

(7.4.6)

(7.4.6)

Теперь мы в состоянии объяснить термин «гармонические координаты». Говорят, что функция ф гармоническая, если равно нулю ФО，где □? есть инвариантный даламбертиан, определяемый следующим образом:

□2~ =(g扎“肌余(7.4.7)

Используя (4.7.1), (4.7.7) и (4.7.5), получаем

口游 = g"“寻一宀景.(748)

Если「入=0, то координаты являются гармоническими функциями (7.4.9), оправдывая, таким образом, название «гармоническая» для такой системы координат.

В отсутствие гравитационных полей явно гармоническая система координат ——это система Минковского, в которой g九* = —"九乂 и g = 1, так что (7.4.6) выполняется тривиальным образом. При наличии слабых гравитационных полей гармонические системы координат могут рассматриваться как близкие к системе Минковского. Другое, вытекающее отсюда преимущество гармонических координатных условий —— это то, что, как показано в гл. 9 и 10, их использование чрезвычайно упрощает уравнения для слабых полей, подобно тому, как лоренцева калибровка упрощает уравнения Максвелла.

Задача Коши

Попробуем проникнуть глубже в математическую природу уравнений Эйнштейна, поставив традиционную задачу Коши с начальными условиями. Предположим, что guv и 5guv/^° заданы повсюду «в плоскости» 企° = Л Если мы могли бы извлечь из уравнений поля выражение для ＞旦从丿6 (企°)? во всей плоскости № = t, мы могли бы затем вычислить guV и ^guv/&° в момент времени %。=力 + 3% и, продолжая этот процесс, вычислить g^^ для всех и

На первый взгляд это выглядит осуществимым, поскольку нам необходимо знать 10 производных второго порядка и имеется 10 уравнений поля. Посмотрим, однако, внимательнее на уравнения поля G^v = Е乩*'——i/zg乩v力.Тождества Бианки (6.8.4) приводят к соотношению

^0■^6 -丄"九G -丄"丸6 •

В правой части здесь нет производных по времени старше чем б?/。(№)2; нет их и в левой части; следовательно, G母° не содержит временных производных старше чем d/d%°. Поэтому мы ничего не можем узнать об эволюции во времени гравитационного поля из четырех уравнений

G^= -8летц0.(7.5.1)

Точнее, эти уравнения надо рассматривать как некоторые связи в начальных данных, т. е. условия, налагаемые на guv и ^guv/^° при № =九

В качестве «динамических уравнений» остается лишь шесть уравнений Эйнштейна

G"= -8jiG74(7.5.2)

Когда мы разрешаем эти уравнения относительно 10 вторых производных d2g^Jd (№)2, мы сталкиваемся с четырехкратной неоднозначностью, которую, естественно, нет надежды обойти, поскольку всегда возможны преобразования координат, оставляющие неизменными guV и dg^v!d^ при № =九 но которые все же изменяют g^v в остальном пространстве. Точнее, мы находим, что (7.5.2) определяет шесть величин d^g"/。(о：0)2, но оставляет неопределенными остальные четыре 小七附/小(淤产 От этой неопределенности можно избавиться, только наложив четыре координатных условия, фиксирующие систему координат. Например, если мы наложим гармоническое координатное условие, введенное в предыдущем параграфе, вторая производная по времени от ]Лg gf10 может битв найдена дифференцированием (7.4.6) по времени:

甫F(M?*°)=—京ЗММ 叱(7・5・3)

Тогда десяти уравнений (7.5.2) и (7.5.3) достаточно для нахожде^ ния вторых производных по времени от всех компонент guv.

Если начальная задача решается таким образом, то условия (7.5.1) на начальные данные достаточно удовлетворить в один момент времени. Тождество Бианки и условие сохранения энергии и импульса утверждают, что независимо от того, удовлетворяются или нет уравнения поля, должно выполняться соотношение

(Guv + 8jxG7H;v-0.

Рассмотрим это выражение при х° = t. Накладывая на начальные данные дополнительные условия (7.5.1) и находя вторые производные из уравнения (7.5.2), убеждаемся в том, что в последнем выражении величина в скобках равна нулю везде при /° = М откуда следует

~ (G©° 十 8ти。) J 0 при ж0 = t,

а потому поля, вычисленные в момент времени о^ ~ t ^- dt, будут также автоматически удовлетворять условиям (7.5.1). Таким образом, этот метод решения проблемы с начальными условиями таков, что если мы знаем начальную метрику 优° =厶 удовлетворяющую условиям (7.5.1), то он может быть запрограммирован для вычислительной машины.

Энергия, импульс и угловой момент гравитационного поля

Физический смысл уравнений Эйнштейна можно выявить, записав их в полностью эквивалентной, хотя и не в ковариантной, форме, которая указывает на их связь с волновыми уравнениями физики элементарных частиц. Выберем систему координат, почти совпадающую с системой Минковского в том смысле, что на больших расстояниях от изучаемой материальной системы, имеющей конечные размеры, метрика ^uv будет приближаться к метрике Минковского ?]uv. (К этому классу относятся гармонические системы координат и некоторые другие.) В этом случае пишем

g|TV = %/V + (7.6.1)

причем 九乩¥ исчезает на бесконечности. (Однако не предполагается, что h^v мало повсюду.) Часть тензора Риччи, линейная по h^v, равняется

[См. выражение (6.6.2).] Удобно условиться о том, что индексы у /®”, R^4 и д]д扑 поднимаются и опускаются с помощью 贝, например 无入九三出""月九¥и 8/8优儿三П'"@/@n\ в то время как индексы у истинных тензоров, таких, как 氏乩乂， поднимаются и опускаются с помощью g, как обычно.] Точные уравнения Эйнштейна можно тогда записать в виде

R ⑷^ 一^ 小“R⑴^ = — &iG[7Vx +九J(7.6.3)

где

/х三8nG [&乂 ,—^"g以乂炉г- R『? + y加乂а⑴\J • (7.6.4)

Уравнение (7.6.3) имеет как раз ту форму, которая присуща волновому уравнению поля со спином 2 (см. § 2 гл. 10), но с той особенностью, что его «источник» Т^% + 方从乂 явно зависит от поля h^v. Интерпретируем эту особенность утверждением о том, что поле 而2 порождается полными плотностями и потоками энергии и импульса, а 力从乂 есть «тензор» энергии-импульса лишь самого гравитационного поля. Это значит, что мы интерпретируем величину

仃入三Tf“巾"7^ +九/(7.6.5)

как полный «тензор» вещества гравитационного поля. Можно назвать несколько свойств т"% говорящих в пользу такой интерпретации.

Величины 兄“)卩乂 подчиняются линеаризованным тождествам Бианки

^[41)^_4限入#1)%.]=0.(7.6.6)

Следовательно, из уравнения поля (7.6.3) вытекает, что тЛ% локально сохраняется:

—rvX = 0.(7.6.7)

dxv

Заметим, что, хотя 厶认 подчиняется ковариантному закону сохранения 7、九；▼ = 0, который явно описывает обмен энергией между веществом и полем гравитации, величина тЛ入 сохраняется в обычном смысле. В частности, для любой конечной системы объема У, ограниченной поверхностью S, уравнение (7.6.7) утверждает, что

糸[тох d3x= - j та«; dS.(7.6.8)

Vs

Здесь п ——единичная внешняя нормаль к рассматриваемой поверхности. Следовательно, величину

^ = j тох^а；(7.6.9)

можно интерпретировать как полный «вектор» энергии-импульса такой системы, включающей вещество, электромагнитное поле и поле гравитации; при этом 七迎——соответствующий поток.

Б. Кроме того, что т”" сохраняется, оно симметрично

T例=的，(7.6.10)

и, следовательно,

^М^ = 0,(7.6.11)

где

М^А 三 戸①V — /у.(7.6.12)

Таким образом, можно интерпретировать М^ и MwX как плотность и поток полного углового момента

J办三j炉?^^m=一j吗(7.6.13)

который постоянен, если величина MivK равна нулю на поверхности, ограничивающей объем интегрирования.

Можно вычислить t^^ разлагая его по степеням 无,и найти, что первый член его квадратичен'.

%乂%乂击[-4"…⑴^+4项/W规？+r(2小-击[-4"…⑴^+4项/W规？+r(2小-

%乂

%乂

击[-4"…⑴^+4项/W规？+r(2小-

击[-4"…⑴^+4项/W规？+r(2小-

-1^№^] + 0(/13). (7.6.14)

Здесь Е盥——член второго порядка no 九 в тензоре Риччи, задаваемый (6.6.2) в виде

丄「图空 包处_图迎]「吧:亠芷 _上1]4 L &r九 汲然班b」1.汝九十汲U 蚤0 J ,丄「图空 包处_图迎]「吧:亠芷 _上1]4 L &r九 汲然班b」1.汝九十汲U 蚤0 J ,

丄「图空 包处_图迎]「吧:亠芷 _上1]

4 L &r九 汲然班b」1.汝九十汲U 蚤0 J ,

丄「图空 包处_图迎]「吧:亠芷 _上1]

4 L &r九 汲然班b」1.汝九十汲U 蚤0 J ,

Можно было бы ожидать, что по аналогии с электродинамикой «тензор» энергии-импульса гравитации будет начинаться с члена,

квадратичного по Auv. [Сравните с выражением (2.8.9).] Присутствие в 力从乂 членов третьего порядка и выше означает просто, что гравитационное взаимодействие поля тяготения с самим собой также дает вклад в полную энергию и импульс. Конечно, когда гравитационное поле слабо,九从^ будет малым, так что введение 力к、в (7.6.5) (и использование п для опускания индексов) не приводит к каким-нибудь серьезным изменениям в энергии и импульсе физических систем.

Г. Хотя величины 力口乂, tvX и М^ не являются общековариантными ,они все же по крайней мере лоренц-ковариантны. Поэтому для замкнутой системы Р^ и J" не только постоянны, но и являются лоренц-ковариантами (см. § 6 гл. 2).

Д. В начале этого параграфа мы решили работать в системе координат, в которой компоненты 力祖寸 исчезают на бесконечности. На больших расстояниях от конечной материальной системы, создающей гравитационное поле, Г^^ = 0, а 力口乂 порядка h2, так что источник в правой части уравнения поля (7.6.3) эффективно сохраняется в конечных областях. Это предполагает, что в большинстве физических ситуаций h^ ведут себя на больших расстояниях, как потенциалы в электростатике или в теории тяготения Ньютона, т. е. при г оо имеем

證信)•(7616)

В этом случае (7.6.14) дает

(7.6.17)

так что интеграл J т°М3х, определяющий полную энергию и импульс, сохраняется. Для этой цели и важно было идентифицировать систему координат с системой, близкой к системе Минковского: если бы g^v переходила на бесконечности в метрику сферических полярных координат, то наши определения (7.6.1) и (7.6.4) приводили бы к плотности гравитационной энергии, растущей на бесконечности! (Заметим, однако, что оценки (7.6.16) и (7.6.17) не всегда справедливы. Если система все время излучает гравитационные волны (см. гл. 10), то 力口V осциллирует так. что dh^ldx^ и d^h、1ylдПд工R имеют тот же самый порядок, что и метрика h^. Это дает бесконечную полную энергию, которая, как и следовало оячидать, должна содержаться в поле гравитационного излучения, заполняющего все пространство. В этом случае члены, нечетные по h^, ведут себя как 1/г [4].)

Е. По способу построения 炉九 есть явно тот «тензор» энергии- импульса, который мы определяем при измерении гравитационного поля, создаваемого какой-либо системой. Существует много возможных определений «тензора» энергии-импульса поля гравитации, обладающего большинством хороших свойств нашего тензора t^ (эти определения обычно основываются на принципе наименьшего действия; см. гл. 12), но 力从乂 выделен особой его ролью в (7.6.3), где он фигурирует в качестве источника h^v.

Ж. Хотя вычисление /цк для конкретных физических проблем может быть затруднительным, к счастью, можно избежать этих вычислений, если все, что мы хотим знать,——это полная энергия и импульс системы. Левая часть уравнения поля (7.6.3) может быть записана в виде

(7.6.18)(7.6.18)

(7.6.18)

(7.6.18)

где

(7.6.19)(7.6.19)

(7.6.19)

(7.6.19)

Заметим, что QpvK антисимметрично по первым двум индексам

(7.6.20)

из чего следует дифференциальное тождество (7.6.6). Используя уравнения поля (7.6.3) вместе с (7.6*18), найдем следующее значение полного «вектора» энергии-импульса:

Применяя затем теорему Гаусса, получаем

(7.6,21)(7.6,21)

(7.6,21)

(7.6,21)

Интеграл здесь берется по большой сфере радиусом г; и ——внешняя нормаль к ней, a dQ ——бесконечно малый элемент телесного угла, т. е.

Г三(色伤)1/2, 々 三 7",

dQ = sin ^d^d^.

(По повторяющимся латинским индексам производится суммирование по значениям 1, 2, 3.) Более подробно полная энергия и им-

пульс с помощью (7.6.19) и (7.6.21) записываются так:

А _ 一-J— [ ｛ -6“ +

厂 16nG JI dt u 1

+ 吗 6"一如+ 九尸dQ, (7.6.22)

姦 J ｛譽-鲁｝* 松 (7623)

По аналогии «тензор» полного углового момента (7.6.13)

г" = J а3优(炉T0儿-/九工0V)-j d3x (d /纟

Как отмечалось в § 9 гл. 2, представляющие физический интерес компоненты /▼% ——это три независимые чисто пространственные

компоненты

J］三/23,厶三尸1,厶三J12.

Используя, как и выше, теорему Гаусса, находим эти компоненты в виде

16口G J I呼0炉^Xh дхг十勺dt /dt叶

+无о/Д/ —自力泳｝修产dQ・(7.6.24)

Таким образом, для того чтобы вычислить полный импульс, энергию и угловой момент произвольной конечной системы, необходимо знать асимптотическое поведение ЛИУ на больших расстояниях.

Было показано, что Р° всегда положительно и принимает нулевое значение только в пустом пространстве, свободном от всякой материи [5—8].

И. Хотя tvX не является тензором, а Р% ——вектором, полная энергия и импульс обладают важным свойством инвариантности при любых преобразованиях координат, сводящихся на бесконечности к тождественным. Такие преобразования должны иметь форму

状f T^ =砂+ e卩(%), где £以(е) исчезает при г -> оо, хотя на конечных расстояниях £ц (笈)не обязательно мало. Метрический тензор в новой системе координат равен

^v=^(^+»(^+5)-

При г-> 8 как £匕 Так и 九^ малы, а потому мы можем вычислить gW* в первом порядке по &乩 и 九朕吋,полагая gpon)。。——无"°

и производя разложения по малым параметрам. Это дает

где

Тогда изменение величины (7.6.19), создаваемое таким преобразованием координат, равно при г f 8

△产△产T一法俨T一法俨/8卩/8卩дх^ дХрдх^ дХр-qvx + 口 2glvyjP%.—-qvx + 口 2glvyjP%.——O2SpTlvX—O2SpTlvX/С/Сд^д^dTp 6% 入dxv dr 九dTp 6% 入dxv dr 九илиилиА0Р* 入—M £^apvX" 一дх° 'А0Р* 入—M £^apvX" 一дх° 'где£^opvXгде£^opvX1 f O&G C% I 6®° 2 久 三万｛一^7叩入+际T‘"1 f O&G C% I 6®° 2 久 三万｛一^7叩入+际T‘"OgPOgP

△产

△产

T一法俨

T一法俨

/8卩

/8卩

дх^ дХр

дх^ дХр

-qvx + 口 2glvyjP%.—

-qvx + 口 2glvyjP%.—

—O2SpTlvX

—O2SpTlvX

/С

/С

д^

д^

dTp 6% 入dxv dr 九

dTp 6% 入dxv dr 九

или

или

А0Р* 入—M £^apvX

" 一дх° '

А0Р* 入—M £^apvX

" 一дх° '

где

£^opvX

где

£^opvX

1 f O&G C% I 6®° 2 久 三万｛一^7叩入+际T‘"

1 f O&G C% I 6®° 2 久 三万｛一^7叩入+际T‘"

OgP

OgP

Заметим, что D полностью его индексамЗаметим, что D полностью его индексам5gv пх ,先* антисимметрично по первым трем5gv пх ,先* антисимметрично по первым трем_0w冰=_0VP°h,_0w冰=_0VP°h,и, следовательно, изменение поверхностного интеграла вычисляется так:и, следовательно, изменение поверхностного интеграла вычисляется так:

Заметим, что D полностью его индексам

Заметим, что D полностью его индексам

5gv пх ,先* антисимметрично по первым трем

5gv пх ,先* антисимметрично по первым трем

_0w冰=_0VP°h,

_0w冰=_0VP°h,

и, следовательно, изменение поверхностного интеграла вычисляется так:

и, следовательно, изменение поверхностного интеграла вычисляется так:

△?九△?九18nG18nGf / dDGi^ J(比。f / dDGi^ J(比。)修2dQ -)修2dQ -

△?九

△?九

1

8nG

1

8nG

f / dDGi^ J(比。

f / dDGi^ J(比。

)修2dQ -

)修2dQ -

18nG18nGAР大AР大18лС18лСf / @2少公0入J I Or” @3f / @2少公0入J I Or” @3成优 = 0・成优 = 0・(7.6.25)(7.6.25)В качестве следствия отметил!, что /)入 преобразуется как 4-вектор при любых преобразованиях, оставляющих неизменной метрику n^v на бесконечности, поскольку любые такие преобразования могут быть выражены как произведение преобразования Лоренца

1

8nG

1

8nG

AР大

AР大

1

8лС

1

8лС

f / @2少公0入

J I Or” @3

f / @2少公0入

J I Or” @3

成优 = 0・

成优 = 0・

(7.6.25)

(7.6.25)

皆卩一＞ 八以“期 + а》(при котором Рк преобразуется как 4-вектор; см. пункт Г) на преобразование, становящееся на бесконечности тождественным (и, следовательно, не изменяющее Р入)♦

К. Если вещество в ьсашей системе разделяется на отдельные удаленные подсистемы Sn, гравитационное поле можно вычислить приближенно, записывая Auv в виде суммы полей 无Jtv, создаваемых каждой подсистемой отдельно. (Интерференционными членами между различными 无;” в 力以乂 можно пренебречь, поскольку в любом месте, где одно из A^v велико, все другие поля малы.) Тогда, используя способ вычисления Р% приведенный в пункте Д, можно полную энергию и импульс представить как сумму значений PJ для каждой системы отдельно.

Определяемый выражением (7.6.9) «вектор» энергии-импульса Р% сохраняется, является лоренцевым 4-вектором и обладает свойством аддитивности. Какие вопросы могут еще возникнуть? Любые четыре величины, обладающие указанными свойствами, определены единственным образом и являются обычным импульсом и энергией (что формально можно показать, применяя законы сохранения к акту столкновения, в котором удаленные подсистемы сталкиваются, взаиаюдействуют и затем уходят снова на бесконечность [9]).

Аргументы, приведенные в этом параграфе, можно рассматривать в обратном порядке, что приведет к еще одному выводу уравнений поля Эйнштейна [10—12]. Предположим, что нам надо построить уравнения дальнодействующего поля со спином 2. Общее теоретико-групповое рассмотрение требует, чтобы они имели форму (см., например, [131)

#"^一^加＞＜m1г =%х， (7626)

где 日卩乂 一 некая функция источника, которая благодаря тождествам (7.6.6) должна сохраняться:

备 ®l0. (7.6.27)

Неправильно было бы считать @цх пропорциональной тензору энергии-импульса 7以乂 одного вещества, поскольку вещество может обмениваться энергией и импульсом с гравитационным полем и, следовательно, Т朕乂 не удовлетворяет уравнению(7.6.27). Необходимо ввести в @их члены, включающие само Л. Когда эти члены вычисляются с помощью условия (7.6.27), мы приходим к выводу, что уравнения поля (7.6.26) должны иметь вид (7.6.3), эквивалентный тому, что мы имеем в теории Эйнштейна. Теперь вернемся к замечанию, сделанному в начале этой главы, о том что, главное различие электромагнитных и гравитационных полей состоит в том, что источником электромагнитного по-

тенциала Ла служит сохраняющийся ток J", который не включает Ла, поскольку само электромагнитное поле не заряжено, в то время как источником гравитационного поля 九从乂 является сохраняющийся «тензор» т^х, который должен содержать h^^ поскольку гравитационное поле само переносит энергию и импульс.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Bruhat У., The Cauchy Problem, в книге Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. L. Witten, Wiley, 1962, p. 130.

Lichnerowicz A, Relativistic Hydrodynamics and Magnetohydrodynamics， W. A. Benjamin, 1967, Ch. 1.

Trautman / ., Conservation Laws in General Relativity, в книге Gravitation: An Introduction to Current Research (см. выше), p. 169.

См. также библиографию к гл. 3.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Einstein Л., Sitz. Preuss. Akad. Miss., 142 (1917) (см. перевод: Эйн* штейн С., Собрание научных трудов, «Наука», 1965, т. 1, стр. 601).

Brans С. II., Dicke R. Н. Phys. Rev., 124, 925 (1961).

Dicke Е. 〃・，Phys. Rev., 125, 2163 (1962).

Arnowitt 五.，Deser 5., Misner C・,цитируется в книге Misner C・,Proceedings of the Conference on the Theory of Gravitation, Gautier-Villars, 1964, p.189.

Brill D. E., Deser 5., Ann. Phys. (N. Y) 50, 542 (1968).

Deser 5., Nuovo Cimento, 55B, 593 (1968).

Brill D, Deser S・，Phys. Rev. Lett., 20, 8 (1968).

Brill D, Deser S., Faddeev £., Phys. Lett., 26A, 538 (1968).

Einstein Л.} Bull. Am. Mat. Soc., 223 (April 1935). (см. перевод: Эйнштейн Л., Собрание научных трудов, «Наука», 1966, т. 2, стр. 416).

Gupta S. А\, Proc. Phys. Soc., А65, 161, 608 (1952); Phys. Rev., 96, 1683 (1954); Rev. Mod. Phys., 29, 334 (1957).

Thirring W.^ Ann. Phys. (N. Y.), 16, 96 (1961).

Deser 5., Gen. Rei. and Grav.T 1, 9 (1970).

Weinberg 5., Phys. Rev., 138T 98 8 (1965).

Часть III

ПРИМЕНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Общепринятые суждения во все времена н во всех странах имеют тенденцию основываться на числах при оценке убедительности свидетельств.

Уигмор, О Свидетельстве

Глава 8

КЛАССИЧЕСКИЕ ОПЫТЫ ПО ПРОВЕРКЕ

ТЕОРИИ ЭЙНШТЕЙНА

Эйнштейн предложил три способа проверки общей теории относительности, основанных на измерениях:

Гравитационного красного смещения спектральных линий.

Б. Отклонения света Солнцем.

Прецессии перигелия орбит внутренних планет.

За прошедшее время был выполнен еще один эксперимент по проверке общей теории относительности:

Г. Измерение временного запаздывания радарного эха, приходящего от Солнца.

Скоро также будет измерена

Д. Прецессия гироскопа на земной орбите.

Все пять опытов выполняются в пустом пространстве и в таких гравитационных полях, которые в хорошем приближении можно считать статическими (исключая опыт Д) и сферически симметричными. Таким образом, наша первая задача —— решить уравнения Эйнштейна в вакууме при упрощающих предположениях об изотропности полей и независимости их от времени. Эти результаты будут затем использованы для рассмотрения опыта Б с помощью опыта Г. В гл. 3 мы уже видели, что опыты типа А позволяют проверять только принцип эквивалентности, поэтому нет необходимости рассматривать его здесь. Опыт Д связан с анизотропными эффектами, возникающими из-за вращения Земли, и будет обсуждаться в следующей главе.

§ 1. Общий случай статической изотропной метрики

На некоторое время оставим уравнения Эйнштейна и найдем в самом общем виде метрический тензор, представляющий статическое изотропное гравитационное поле. «Статическое и изотропное» означает следующее: всегда можно найти набор координат, близкий к координатам Минковского /\ х2, х3,笈° =普 такой, что инвариантное собственное время dt?三——g^vd况卩d/” не зависит от 厶 а зависит от х и dx только через инварианты группы трехмерных вращений: dx?, x・dx и х2. Наиболее общий вид записи для интервала собственного времени:

"七2 Р ⑺d方2 — 2e (r) dt x •dx —

—D ⑺(x・dx)2 — c (r) dx2, (8.1.1) где F, E、D 必 С — неизвестные функции величины

г = (х・х)"2.

(Скалярные произведения трехмерных векторов определены во всей этой главе обычным образом, например: х *dx = xrdxr + + x2dx2 + 先3&先3 и т д.) Более глубокое обоснование выражения (8.1.1) будет дано в гл. 13. Для настоящих целей можно рассматривать (8.1.1) как определение статической изотропной метрики или, альтернативно, как исходную формулу, которая позволит нам отыскать некоторые из решений уравнений поля.

Удобно заменить х сферическими полярными координатами т, 9, ф, определенными обычным образом:

/1 = г sin 0 cos ф, /2 = г sin 0 sin ф, х3 — г cos 0.

Интервал собственного времени (8.1.1) принимает тогда вид

dx2 = F (г) dt2 — 2rE (г) dt dr —

一产。(f)办2 一 e ⑺ 3产 + rW + 产 sin2 9dq)2^

(8.1.2)

Мы вольны установить наши часы в соответствии с определением новой временной координаты

尸三£ +①(Г),

где Ф ——произвольная функция г. Это позволяет исключить недиагональный элемент gtri положив

d①—rE (г)

dr — F (г) *

Тогда интервал собственного времени (8.1.2) выражается следую - щим образом:

ЙТ2 = F (г) dt，2-G (г)而2 一 С ⑺(力2 + r2 成2 + r2 sin2 Q d^(8.1.3)

§ 1. Общий случай статической изотропной метрики 193

где

G(r)*2(D ⑺ + 号需■)•

Мы можем также переопределить радиус г и наложить тем самым еще одну связь на функции F, G м С. Например, предположим, что мы ввели

尸2 = с⑺N.

Тогда выражение (8.1.3) записывается в так называемой стаи* дартной форме

ЙТ2 = В (г‘)出'2 — Л (N)亦‘2 一 r，2 (d62 + sin2 0 d(p2) ,(8.1.4)

где

B(r')三方 T),

Альтернативно можно было бы определить

I G {г) \г1 г drr = exp )+~，

и тогда (8.1.3) записалось бы в так называемой изотропной форме}

阻2 = я (г‘)dt'2 — J (门(曲"2 + 产 d62 + 产 sin2 6 西2), (8 1.5)

H(r")^F(r),

Большей частью мы будем иметь дело со «стандартной» формой d М = 5 ⑺山2 一 &⑺ dr2 — r2 (d®2 + Sin2 e dq)2).(8.1.6)

(Штрихи у г и £ далее будем опускать.) Метрический тензор имеет следующие ьеисчезающие компоненты:

g" = Z (г), gee = Г2, ^ф = г2sin20, g“=—3"), (8.1.7) где функции Л (г) и 5 (г) должны быть определены путем решения уравнений поля. Так как guV —— диагональный тензор, легко написать все неисчезающие компоненты тензора, обратного ему:

g" = /T(r),g^^r-\

^ = г-2 (sin 0)-2,g"=—5-1 (г).(8.1.8)

Кроме того, детерминант метрического тензора равен —g, где g^r^A (г) В (г) sin20,(8.1.9)

13-0788

так что инвариантный элемент объема имеет вид

У g dr dQd^ — T^y А (г) В (г) sin 0 dr dQ t/ф. (8.1.10) Аффинная связность может быть вычислена с помощью обычной формулы:

Ее неисчезающие компоненты оказываются

равными:

「г —1 dA (г)

丄"24 (г) dr，

Гее — ■

г

/(г)'

「г _г sin2 0

丄09 一4 (Г)，

г—

1 dB (г) 2/ (г)dr '

1 re = 1 ег ——,

Г^(р= ■

—sin 9cos0,

1 @Г -丄叫' -~ ,

Р軀= r&(p = ctgO,

F；r = F；t =

1 dB (г)

28 (r) dr

(8.1.11)

Нам необходим также тензор Риччи. Он задается формулами (6.2.4) и (6.1.5) следующим образом:

/" =袋一奂+偉打号一r^r^.(8.1.12)

OX ox

Заметим, что, несмотря на его внешний вид, первый член в нем симметричен по 卩 и х, поскольку из (4.7.6) следует, что『％• равно V2 ^ In gldx^.] Подставляя в (8.1.12) компоненты аффинной связности (8.1.11), находим

(8.1.13)(8.1.13)(г)1 / В1 (г) \ 7 Аг (г) , Bf (г) \(£J±\

(8.1.13)

(8.1.13)

W (г)4 \ В (г) / \ Л (г) В (г) / г \ Л (г) / 1

"ее — '十攵力(г) ( — 4 (Г) + 否(г)丿 + ТГм，

Яфф = sin2 0Я09,

D ― в” т I 1 /6'(г) \ /4(г) 夕(г)\1 /斤(г)\

及一 24 (厂)十 彳1"^7r丿I/(r)十一麻I丿 71才"厂丿，

(Штрих теперь означает дифференцирование по г.) Вывод о том, ЧТО /厶е，Ry, Rte、Rt① И Ее屮 исчезают, и о том, что R屮①= =sin2 07?ее, является просто следствием инвариантности метрики относительно вращений. Равенство нулю Rrt связано с тем, что мы установили наши часы так, что метрика оказалась инвариантной при обращении времени t f ——t.

Ни стандартные, ни изотропные координаты не являются гармоническими, но легко использовать для построения гармонических координат X], Х2, Х3, t результаты (8.1.7) и (8.1.11), найденные для метрики и аффинной связности и записанные в стандартных координатах. Введем гармонические координаты так:

X* = R (г) sin 0 cos ф, X? = R (г) sin 0 sin 屮，

Х3 = R (г) cos 0.(8.1.14)

Тогда непосредственные вычисления дадут

口凶三”［為一以察1=

=(鳥)[(备+)导)- + R"-鲁引

и

для стандартной временной координаты t、

Таким образом, координаты Х】,X?, Х3, t являются гармоническими, если R (г) удовлетворяет дифференциальному уравнению

^ 卜2笈/2/」/2 碧)-2*/2笈/2R = 0.(8.1.15)

В этих гармонических координатах собственное время (8.1.6) записывается следующим образом:

d^ = Bdfi-^dX2-[：^-^ (Х.^Х)2.(8.1.16)

Решение Шварцшильда

Рассмотрим теперь уравнения поля Эйнштейна в общей статической изотропной метрике. Воспользуемся стандартной формой, введенной в предыдущем параграфе, т. е.

&杯=В ⑺ di2 - Л (г) dr2 - rW 一 产 sin2 6dqA (8.2,1) Уравнения поля Эйнштейна в пустом пространстве имеют вид E|rv = 0.(8.2.2)

В рассматриваемой метрике компоненты тензора Риччи задаются выражениями (8.1.13). Из них видно, что достаточно приравнять нулю компоненты Rrr RQQ и Rtt. Видно также, что выполняется соотношение

字+ 曹=-；(今 + %)，(823)

13*

а потому (8.2.2) требует равенства ВЧВ = —Л7Л или

Л (г) В (г) = const.(8.2.4)

Наложим далее на Л и 5 граничные условия, вытекающие из требования, чтобы метрический тензор при г f 8 стремился к тензору Минковского, записанному в сферических координатах:

ИшЛ (r) = limB(r) = l.(825)

Г->8Г-* 8

Тогда из (8.2.4) и (8.2.5) следует

(826)

Так как выражение (8.2.3) теперь равно нулю, остается приравнять нулю RTr и Rqq. Подставляя (8.2.6) в (8.1.13), получаем

B00--1 + Bz (r)r + B(r),(8.2,7)

—В" (г) 力(г) — ^00 ⑺用疗_2B⑺ 十rB (г)— 万否而"，

так что оказывается достаточным приравнять нулю Rge, т. е.

^(r3(r)) = g(r)+3(r) = l.

Решение этого уравнения имеет вид

rB (г) = г + const.(8.2.9)

4⑺=04⑺=02MG J2MG ] -12MG J2MG ] -1Чтобы отыскать постоянную интегрирования, вспомним, что на больших расстояниях от центральной массы М компонента ^п = =——8 должна стремиться к величине (——1 ——2#), где 步一ньютоновский потенциал, равный —MGb (см. § 4 гл. 3). Следовательно, константа интегрирования равна ——2MG и в окончательном виде решение выглядит так:

4⑺=0

4⑺=0

2MG J

2MG ] -1

2MG J

2MG ] -1

(8.2.10)

(8.2.11)

Тогда полная метрика записывается следующим образом:

di = [ 1 —^^ ] d沪—[1 2?G ] ，&产—产 de — r2 sin2 0 d(p2.

(8.2.12)

Это решение было найдено Шварцшильдом в 1916 г.

Решение Шварцшильда найдено нами в «стандартной» форме. Мы мо毋ем также записать его в эквивалентной «изотропной» форме, вводя новую переменную для радиуса:

(8.2.13)(8.2.13)p 三 ^ [r 一 MG + (2一 2MGr产 1

(8.2.13)

(8.2.13)

или

Подставляя это выражение в (8.2.12), получаем

"^ = ^爲器"»2 _ ( 1 + 票)4 ("р2 + р2 dQ2 十 р2 sin2 ° &屮2).

(8.2.14)

Можно также построить гармонические координаты

Х[ = R sin 0 cos tp, Х& = R sin 0 sin 中， Х3 = R cos 0;力

где в качестве R следует использовать решение дифференциального уравнения (8.1.15), имеющего вид

気产［-芈］零）-2五=。.

Выберем следующее его решение:

R = г — MG.

Тогда метрика будет выглядеть так:

呪2呪2\ — MG/R1 + MG/E\ — MG/R1 + MG/E)毋-()毋-(11MG \2~R~丿MG \2~R~丿龙0 一龙0 一1 + MG/R \ i — MG/B J1 + MG/R \ i — MG/B J2G2c幣(X・dX)2,2G2c幣(X・dX)2,(8.2.15)(8.2.15)

呪2

呪2

\ — MG/R

1 + MG/E

\ — MG/R

1 + MG/E

)毋-(

)毋-(

1

1

MG \2

~R~丿

MG \2

~R~丿

龙0 一

龙0 一

1 + MG/R \ i — MG/B J

1 + MG/R \ i — MG/B J

2G2c

幣(X・dX)2,

2G2c

幣(X・dX)2,

(8.2.15)

(8.2.15)

где, естественно, R2 = X2.

Ориентируясь на ньютоновскую теорию, приравняем постоянную интегрирования М массе Солнца. И действительно, можно показать, что М точно равно полной энергии Р° Солнца, включая энергию еао гравитационного поля. Запишем метрику в стандартной форме в соответствии с определениями

х1 = г sin 9 cos 中， а? = г sin 0 sin 中， /3 =厂 cos 仇

Тогда формула (8.2.12) переписывается в виде

ЙT2=[1 -胃已 山2- ｛口 一胃吁]一 ]｝广2(x.dx)2-dx2.

Так как g^v не зависит от времени, a gi0 исчезает, из формулы (7.6.22) следует, что полный импульс системы Рг равен нулю. Но так и должно быть, поскольку рассматриваемая система — статическая и изотропная. Чтобы вычислить полную энергию, нужно выяснить асимптотическое поведение пространственной ^асти метрики. Когда г -> оо, получаем

hn = gu — бг;-> ^^- и;и7 + О (/),

где 办月=田г、Чтобы вычислить теперь интеграл (7.6.21), воспользуемся выражениями

дг _dni —6"-ninj

дх^ ” дх^ г

и найдем

说打 @3j ) 4也G孔I 0 ( 1 )伙ri dr，戶' 2 /

так что формула (7.6.23) приводит в этом случае к полной энергии вещества и гравитационного поля, равной

Р。= М.(8.2.16)

Читатель может убедиться, что тот же самый результат следует из изотропной и гармонической форм решения Шварцшильда. И наконец, формула (7.6.24), как и следовало ожидать, дает для полного углового момента системы нулевое значение.

Другие метрики

Общие кинематические ограничения, накладываемые принципом эквивалентности, имеют гораздо более твердое обоснование, чем уравнения поля Эйнштейна. Действительно, в гл. 3, 4, 5 мы перешли почти с неизбежностью от равенства гравитационной и ийертной масс к полному аппарату тензорного анализа и общей ковариантности. Напротив, вывод уравнений Эйнштейна в гл. 7 содержал ряд догадок и, во всяком случае, не решал вопроса о существовании дальнодействующего скалярного поля типа поля Бранса ——Дикке, изменяющего сами уравнения. Поэтому очень полезно, проверяя теорию относительности, считать, что, котя законы движения частиц и фотонов в данном метрическом поле g^v остаются справедливыми, сама метрика может отличаться от той, которую дают уравнения Эйнштейна.

В любом случае мы могли бы ожидать, что метрика, создаваемая сферически симметричным телом, подобным Солнцу, должна выражаться в «стандартной», «изотропной» и «гармонической» формах, найденных в § 1 этой главы. Далее, мы могли бы предполагать, что метрические коэффициенты [например, 4 (г) и 5 (г)] могут быть разложены в степенные ряды по малому параметру MG/r. Такое разложение метрики в изотропной форме было найдено Эддингтоном и Робертсоном [1, 2]:

湄=(1—2а—И 20-^—-Н …)/ —

— 0 + 2? ^^~ + • • •)(冰)2 + р2 ^02 十 р2 sjn2 0 或р2) ,(8.3.1)

где а, р и у —— неизвестные безразмерные параметры. (Причина, по которой в разложении g00 удерживаются члены до порядка M2G2/p2, а в 纟订一только до порядка MG/p, состоит в том, что в приложении к небесной механике пространственная часть метрики g^ всегда умножается на дополнительный коэффициент у2 〜MG/p.) Сравнивая (8.3.1) с изотропной формой (8.2.14) решения Шварцшильда, видим, что уравнения поля Эййштейна приводят к равенствам

а = В = у = 1.(8.3.2)

Напротив, теория Бранса и Дикке (§ 3 гл. 7) приводит к метрике (§ 9 гл. 9), которую можно выразить в форме (8.3.1), где

а = 0 = 1,? =，(8.3.3)

причем з здесь —— неизвестный параметр этой теории. Для того чтобы решить, какие из полученных уравнений правильны ——Эйнштейна, Бранса и Дикке или какие-нибудь еще, надо измерить а. 3 и у. Вообще говоря, мы будем проводить вычисления с метрикой в ее стандартной форме, так что удобно преобразовать ее с помощью робертсоновского разложения (8.3.1) к этому виду, пользуясь определением

++…)(8.3.4)

или

р = г (1 — у — |-…•

Простое вычисление позволяет найти

dr == (1 — 2a -—1- 2 (0 -a7)—^Н • • • 1 成 -

—(1 + 2丫 芈 + . . . ) dr2 — r2dB2 — r2si^ed([>2.(8.3.5)

Мы можем также построить гармонические координаты X,厶 используя для X

Х『R sin 9 coscp, Х2 = R sin 0 sin ср, X3 = R cos 0,

где R удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.1.15)：

。=^产« -@十?)芈+…)需-2( -(ат)芈+…)瓦

Решение его имеет вид

(8.3.6)(8.3.6)R=0 +(a-”G

(8.3.6)

(8.3.6)

и (8.1.16) приводит к следующей метрике (где /?2 = X2):

肌2] = [1. -2a 幣■+(a? -a2+20-^^+ …]或2 —

_[] j【(3y—a)MG_[] j【(3y—a)MGdX2dX2[(a — Y)MG/K+...} (X・dX)2[(a — Y)MG/K+...} (X・dX)2R2R2(8.3.7)(8.3.7)

_[] j【(3y—a)MG

_[] j【(3y—a)MG

dX2

dX2

[(a — Y)MG/K+...} (X・dX)2

[(a — Y)MG/K+...} (X・dX)2

R2

R2

(8.3.7)

(8.3.7)

Сравнение (8.3.5) и (8.3.7) с соответствующими точными решениями (8.2.12) и (8.2.15) опять показывает, что теория Эйнштейна дает а = 0 = у = 1.

Предсказание о том, что а = 1, сразу следует из эмпирического определения массы М. Заметим, что выражение (8.3.1) предсказывало бы для медленно движущейся частицы, далекой от начала координат, центростремительное ускорение, равное

—g н — Г%—g н — Г%1 dgtt2 дг1 dgtt2 дгaMGaMG

—g н — Г%

—g н — Г%

1 dgtt

2 дг

1 dgtt

2 дг

aMG

aMG

(для MGIr《1 и 卢《1),

в то время как массы Солнца и планет в действительности измеряются путем приравнивания g к MGIr2. Следовательно, мы должны ввести а в М или, другими словами, положить а = 1. Только в том случае, если бы оказалось возможным определить М с помощью некоторого независимого негравитационного измерения, имело бы смысл спрашивать, действительно ли а точно равно единице. При а — 1 метрические функции, задаваемые (8.3.5), таковы

3⑺=1 一警+ 2 ⑴_ Y) 苧十

4(力=1 + 2y胃+....(8.3.9)

Как показано в гл. 3, при измерении гравитационного красного смещения определяется только член ——2MG/r в В (г) и, следовательно, проверяется только принцип эквивалентности. Мы увидим что из других опытов по проверке общей теории относительности, перечисленных в начале этой главы, с помощью Б и Г можно обнаружить только, действительно ли у ^ 1, в то время как с помощью В ——с помощью наблюдения прецессии перигелия — проверяется соотношение 2у —卩 ^ 1. (С точностью до пренебрежения вращением Земли эксперимент Д также проверяет, равно ли у 1.)

Общий вид уравнений движения

Рассмотрим теперь движение свободно падающей материальной частицы или фотона в статическом изотропном гравитационном поле. Сначала рассмотрим наиболее общий вид метрики, задан-

ный в стандартной форме (см. § 1 этой главы), т. е.

*2 = в (г) dt2 — Л (г) dr? 一 r2d02 — г2 sin2 0б/ф2. (8.4.1) Уравнения свободного падения имеют вид

*十?我譬若=°，(842)

где р ——параметр, описывающий траекторию. Вообще, dr пропорционально dp, а потому для материальной частицы мы можем нормировать р так, чтобы сделать р = т. Однако для фотона константа пропорциональности dx/dp равна нулю, а так как мы хотим рассматривать фотоны наравне с массивными частицами, удобно сохранить свободу нормировать р независимо от нормировки т. Подставляя в (8.4.2) ненулевые компоненты аффинной связности, задаваемой (8.1.11), получаем:

0— d2r4，(r) ( dr fr (加)2

dp2 * 24 (r) 1 d卩丿A (r) \ dp /

sin 8 / dtp \ 2 Br (r) / d£ \ 2

r A(r)\dp) 1 '2Л(Г)(dp 丿，

(8.4.3)

n d20 { 2 M dr. na / dtp \ 2

U =sin9cos 81 ,

dp2 1 r dp dp\ dp / '

(8.4.4)

0 _d2(p12dlp dr|OA 即de

Udp^1rdp dp1 -Cig” dpdp '

(845>

° d2t Bf (r) dt dr

(8.4.6)

U dp2 1 в(г)dp dp '

(Штрих означает d/dr.) Мы решим эти уравнения,

отыскивая

интегралы движения.

Так как поле изотропно, можно считать, что орбита рассматриваемой частицы расположена в экваториальной плоскости, т. е.

(847)

Тогда (8.4.4) удовлетворяется тривиально, и мы можем забыть о 0 как о динамической переменной. Разделив затем уравнения (8.4.5) и (8.4.6) на d^ldp и dtldp соответственно, находим ±{1п 需+ 1п产} =0,(8.4.8}

*{】п* + 1пЗ}=0.(8-4.9)

Это приводит к двум интегралам движения. Один из них можно включить в определение р, поскольку р выбирается таким образом, чтобы решение (8.4.9) имело вид dt — 1 dp — В (г)

Так как величина В (г) близка к единице, то параметр р почти равен координатному времени 九 Другой интеграл движения получается с помощью (8.4.8) и играет роль углового момента для единицы массы:

(8.4.11)(8.4.11)г2-^- = /(const).

(8.4.11)

(8.4.11)

Подставляя (8.4.7), (8.4.10) и (8.4.11) в (8.4.3), переписываем это последнее оставшееся уравнение движения в виде

0 =0 =4 (г)4 (г)2 J22 J2dp2 ~ 24 (г)dp2 ~ 24 (г)г3 Л (г)г3 Л (г)■^■用^у.(8.4.12)■^■用^у.(8.4.12)

0 =

0 =

4 (г)

4 (г)

2 J2

2 J2

dp2 ~ 24 (г)

dp2 ~ 24 (г)

г3 Л (г)

г3 Л (г)

■^■用^у.(8.4.12)

■^■用^у.(8.4.12)

Умножая это уравнение на 2А так:Умножая это уравнение на 2А так:(г) drldp、можно переписать его(г) drldp、можно переписать егоТогда последний неизвестный равнымТогда последний неизвестный равным+与=0.厂2 Д (г) Jинтеграл движения оказывается+与=0.厂2 Д (г) Jинтеграл движения оказывается

Умножая это уравнение на 2А так:

Умножая это уравнение на 2А так:

(г) drldp、можно переписать его

(г) drldp、можно переписать его

Тогда последний неизвестный равным

Тогда последний неизвестный равным

+与=0.

厂2 Д (г) J

интеграл движения оказывается

+与=0.

厂2 Д (г) J

интеграл движения оказывается

厶⑺(器)2+ 4—肃=—Е (const).厶⑺(器)2+ 4—肃=—Е (const).(8.4.13)(8.4.13)

厶⑺(器)2+ 4—肃=—Е (const).

厶⑺(器)2+ 4—肃=—Е (const).

(8.4.13)

(8.4.13)

Собственное время т можно теперь найти с помощью (8.4.1), (8.4.7), (8.4.10), (8.4.11) и (8.4.13); полученный результат

(8.4.14)(8.4.14)近2 = Edp2

(8.4.14)

(8.4.14)

находится в соответствии с ранее сделанным замечанием о том,находится в соответствии с ранее сделанным замечанием о том,что (8.4.2) требует, чтобы Мы видим, что£ > 0 для£ = 0 длячто (8.4.2) требует, чтобы Мы видим, что£ > 0 для£ = 0 дляпроизводная dPdp была постоянной.производная dPdp была постоянной.материальных частиц, фотонов.материальных частиц, фотонов.(8.4.15)(8.4.16)(8.4.15)(8.4.16)

находится в соответствии с ранее сделанным замечанием о том,

находится в соответствии с ранее сделанным замечанием о том,

что (8.4.2) требует, чтобы Мы видим, что

£ > 0 для

£ = 0 для

что (8.4.2) требует, чтобы Мы видим, что

£ > 0 для

£ = 0 для

производная dPdp была постоянной.

производная dPdp была постоянной.

материальных частиц, фотонов.

материальных частиц, фотонов.

(8.4.15)

(8.4.16)

(8.4.15)

(8.4.16)

(8.4.17)(8.4.17)Заметим также, что А (г) на практике всегда положительно, а потому (8.4.13) говорит о том, что рассматриваемая частица может достигать радиуса г только в том случае, если выполняется условие

(8.4.17)

(8.4.17)

厂2厂2Параметр р можно везде исключить подстановкой (8.4.10) в (8.4.11), (8.4.13) и (8.4.14). В результате получаем

厂2

厂2

(8.4.18)

4 (г)4 (г)十戸 5 (г)'=ЕВ2 (г) dt\十戸 5 (г)'=ЕВ2 (г) dt\(8.4.19)(8.4.20)(8.4.19)(8.4.20)

4 (г)

4 (г)

十戸 5 (г)'

=ЕВ2 (г) dt\

十戸 5 (г)'

=ЕВ2 (г) dt\

(8.4.19)

(8.4.20)

(8.4.19)

(8.4.20)

Для медленно движущейся частицы в слабом поле величины 户/产，(dr/成)2, Л — 1 и 5 — 1 ^2力 будут все малы, и в первом порядке по этим величинам вышеприведенные уравнения движения записываются следующим образом:

2即 Г

Это те же самые уравнения, которые получались бы в теории Ньютона с учетом того, что величина (1 ——£)/2 выполняет роль энергии, приходящейся на единицу массы.

Для наглядности рассмотрим точные уравнения движения для простого случая частицы, движущейся по круговой орбите радиусом Е. Так как drldt равно нулю, уравнение (8.4.19) имеет вид 备-击+Е"(8421)

Далее, чтобы на этом радиусе частица находилась в состоянии равновесия, производная по R от левой части должна равняться нулю:

R3 + 炉(К)—°，(8.4.22)

равняться и (8.4.22)(8.4.23)(8.4.24)вращения(8.4.25)равняться и (8.4.22)(8.4.23)(8.4.24)вращения(8.4.25)[Если мы будем рассматривать окружность как предельный случай эллипса с перигелием R — 6 и афелием Е + 5, тогда (8.4.19) показывает, что величина 丿纟/户—1/5 (г) + Е должна нулю при г = Е ± 5, а это дает соотношения (8.4.21) в пределе 6 f 0.] Из (8.4.21) и (8.4.22) находим

равняться и (8.4.22)

(8.4.23)

(8.4.24)

вращения

(8.4.25)

равняться и (8.4.22)

(8.4.23)

(8.4.24)

вращения

(8.4.25)

В (R) \ 2В 伍)/，『2 一 BE)*一 2殡(К) *

Подставляя (8.4.24) в (8.4.18), находим, что скорость равняется

西 _ / В (К) \1/2"ЗГ= \ 2R J ，

в то время как (8.4.23) и (8.4.20) приводят к следующей формуле для собственного времени:

^^в (R)-1-RB' (Л).(8.4.26)

Используя разложение Робертсона (8.3.8), находим

(8427)(8427)^ф / MG \i/2「 (р —Y)MG

(8427)

(8427)

L1 Я

呪—J 3MG ]

L 耳一十 *' * J

В большинстве приложений общей теории относительности наибольший интерес представляет для нас форма орбит, т. е. зависимость г от ф, а не их эволюция во времени. Форму орбит можно получить непосредственно, исключая dp из (8.4.11) и (8.4.13); это приводит к уравнению

咎(靑y+g—T^T； _爲・(8.4.29)

Решение может быть найдено в квадратурах:44

中=± ) /一r "飞"明一产•(843。)

г I Лв (г) A一用)

Неограниченные орбиты: отклонение света Солнцем

Рассмотрим частицу или фотон, прилетающий к Солнцу из очень удаленных областей (фиг. 8.1). На бесконечности метрика является метрикой Минковского, т. е. Л (оо) = В (оо) = 1? и частица должна двигаться с постоянной скоростью V, причем

6г sin (ф —фоо)г (屮——屮8),

_ Р 备(г c°s 伸一 <₽8)) 籌,

где Ъ ——«прицельный параметр», а 中8 ——начальное направление. Подставляя эти выражения в (8.4.18) и (8.4.19), видим, что они действительно удовлетворяют уравнениям движения на бесконечности, где / = В = 1, а константы движения равны

J = bV\(8.5.1)

£ = 1 — Н.(8.5.2)

(Фотон, конечно, имеет Р = 1, и, как мы уже видели, отсюда следует, что Е — 0.) Часто бывает более удобным выразить J через расстояние г0 между Солнцем и ближайшей к нему точкой траектории, а не через прицельный параметр Ь. Для значения г = г° величина dr!d^)исчезает, так что (8.4.29) и (8.5.2) дают

/= Г。(就+ w产(8.5.3)

Тогда формула (8.4.30) описывает орбиту следующим образом:

中(r)=屮8 + £

戸传［+Т+叫［誌7-+叫1-w广

Фиг. 8.1. Величины, употребляемые при вычислении отклонения света гравитационным полем Солнца.

Величина отклонения сильно преувеличена.

Полное изменение ср, когда г убывает от бесконечности до его минимального значения г。, а затем опять уходит в бесконечность, как раз в два раза больше, чем изменение его в интервале от оо до г。，т. е. составляет 2 | ф (г。)——屮^ 卜 Если бы траектория была прямой линией, изменение как раз равнялось бы л; следовательно, отклонение орбиты от прямой линии составляет

Дф = 2 I ф (r0)—屮8 I —冗・Дф = 2 I ф (r0)—屮8 I —冗・(8.5.5)(8.5.5)

Дф = 2 I ф (r0)—屮8 I —冗・

Дф = 2 I ф (r0)—屮8 I —冗・

(8.5.5)

(8.5.5)

Когда эта величина положительна, угол ф изменяется более чем на 180°, т. е. траектория загибается к Солнцу; когда Аф отрицательно, траектория изгибается в обратную сторону.

Для фотона V2 = 4, и (8.5.4) принимает вид

中⑺_ 5，叫（用2 （器）—丁号.（8.5.6）

Если бы мы воспользовались точными значениями Л (г) и 5 (г) лз решений Шварцшильда (8.2.10) и (8.2.11), мы получили бы Ф (г) и Дф в виде эллиптических интегралов обычного типа, которые могут быть вычислены лишь численно с помощью разложения по малым параметрам MGlr^ и MG/r. Однако и легче и поучительней провести разложения до интегрирования, находя А (г) и В (г) из разложений Робертсона (8.3.8) и (8.3.9):

Л(г) = 1 + 2у^4

В (г) = 1-2 —

Аргумент второго квадратного корня в выражении （8.5.6） тогда равен

（讶（需）- =

=（胃）2 口+ 2MG （|—^） + . ..]-! =

так что （8.5.6） принимает вид

/、F dr Гл t 、MG MGr . J

学（Г） 一中8 = ! Г[㈠2T1/2

Этот интеграл легко берется. В результате получаем

屮（г）——屮8 — arcsin （?） +

+祟（5-Y/1-（学）2-/子^） +・・・•（8.5.7） Следовательно, в первом порядке по MG/r0 отклонение （8.5.5> определяется формулой

a屮=*（半）.（8・5-8）

В этом порядке мы могли бы сразу заменить здесь г° прицельным параметром 6.）

Если лучи света отклоняются Солнцем, мы должны подставить в полученную формулу М = Mq = 1,97 -1033g, следовательно, MG = Л/qG = 1,475 км, а вместо минимального значения г。— радиус Солнца Rq = 6,95 -105 км. Тогда （8.5.8） принимает вид

a屮=（叁）%），（8.5.9）

где

6©-^ （寺）i，75"（中）•（8-5.Ю）

Далее общая теория относительности дает у = 1, а потому она предсказывает отклонение к Солнцу на угол 0q = 1,75". （Юпитер отклоняет луч света только на 0,02", так что надежд наблюдать отклонение света каким-либо другим телом, кроме Солнца, мало.） В теории Бранса и Дикке выражения （8.5.10） и （8.3.3） приводят к следующему углу отклонения:

а 4” / 2а> + 3 \а 4” / 2а> + 3 \（8.5.11）（8.5.11）

а 4” / 2а> + 3 \

а 4” / 2а> + 3 \

（8.5.11）

（8.5.11）

Всякий раз, когда мы получаем предсказания на основе общей теории относительности, возникает (или должен возникать) вопрос: действительно ли полученный результат относится к реальному физическому измерению или в него привнесены произвольные субъективные элементы, зависящие от нашего выбора системы координат? В рассмотренном выше случае нам следует выяснить, каким должно быть предсказываемое изменение ф, т. е. действительное смещение изображений звезд на фотопластинках. К счастью, ответить на этот вопрос достаточно просто, так как мы имеем здесь дело с экспериментом по рассеянию. Лучи света приходят из очень отдаленных областей, отклоняются, когда приближаются к Солнцу, и затем детектируются на Земле, пройдя путь более чем в 200 радиусов Солнца. В точках испускания и наблюдения метрику можно считать метрикой Минковского, и в этих областях не возникает никаких вопросов о смысле ф； это азимутальный угол в системе координат, в которой световые лучи движутся в основном по прямым. Поэтому мы можем связать А ср со сдвигом изображений звезд на фотопластинках с помощью обычных законов геометрической оптики. (Мы пренебрегаем здесь эффектами гравитационного поля самой Земли, поскольку это поле у ее поверхности более чем в 103 раз слабее, чем поле Солнца у его поверхности.) Однако нам следует быть намного осторожнее в отношении смысла нашего 屮，если предсказывать отклонение света Солнцем, проводя наблюдения, например, на спутнике, движу- щемся вокруг Солнца по орбите, удаленной от него всего на несколько солнечных радиусов.

Другая трудность, которая возникает здесь, связана с рассмотрением фотона как кванта света, движущегося подобно любой другой частице, имеющей скорость, близкую к единице, т. е. к & Действительно, квантовой механике не уделено никакого внимания. Длина волны света настолько мала по сравнению с масштабом гравитационного поля Солнца (примерно 10-5 см по сравнению с 1010 см), что в любой точке этого поля можно построить локально-инерциальную систему координат, которая охватывает огромное число длин волн, скажем 1015. Принцип эквивалентности утверждает, что в такой системе координат свет ведет себя, как в свободном от гравитации пустом пространстве, а так как длина волны света очень мала, то это означает, что можно пренебречь дифракцией и каждый элемент фронта волны движется по прямой линии с единичной скоростью. Это утверждение, записанное в неинерциальной астрономической системе координат, есть не что иное, как наше уравнение движения (8.4.2). (Этот аргумент, кстати, поясняет, почему отклонение света не может зависеть от поляризации.)

Теперь посмотрим, как сравнивать эйнштейновское предсказание (8.5.9) с результатами наблюдений. Угол отклонения Аф измеряется классическим способом: сопоставлением видимых положений звезд вблизи солнечного диска во время затмения, когда их свет проходит у края Солнца, с их положениями ночью за шесть месяцев до момента затмения, когда эти звезды видимы на небе с Земли на противоположной стороне от Солнца, так что их свет не проходит около Солнца на пути к нам. Вычитая ф, соответствующее ночным наблюдениям, из ф, измеренного во время затмения, мы в принципе могли бы получить Дф. Однако имеются неизбежные изменения в масштабах фотоснимков за шестимесячный срок отчасти из-за малых колебаний температур, отчасти из-за механических изменений геометрии системы телескоп ——камера за столь продолжительный срок. Изменение масштаба фотоснимка приводило бы к мнимому отклонению положения звезды к Солнцу или от него на угол, пропорциональный расстоянию г0, на котором ее свет проходит около Солнца. Поэтому на практике, наблюдения надо сравнивать с теоретической кривой

А隼=%＞杂+ S於， (8.5.12)

где S —— неизвестная масштабная постоянная (часто обозначаемая а), а 00 — угол, который следует сравнивать с теоретическим значением 1,75". Имеются другие эффекты, которые могут давать вклады в А(р, такие, как рефракция света звезд на солнечной короне, или эффекты, создаваемые более холодным воздухом в лунной тени, но все же кажется, что ни один из них не играет важной роли. Наблюдения не могут быть выполнены для света, проходящего около солнечного диска на расстоянии, меньшем г0 ^; 2力0・ Однако такие наблюдения все же полезны для определения Дф сопоставлением наблюдаемого значения Дер и теоретической кривой (8.5.12). Трудность такой программы состоит на самом деле в том, что измерить А(р точно за краткое время затмения нелегко. В 1919 г. экспедиция по изучению затмения была послана на два маленьких острова, Собрал у северовосточного побережья Бразилии и Принсипи в Гвинейском заливе. Было изучено около дюжины звезд, которые дали для 9 значения [3] 1,98 土 0,12" и 1,61 士 0,31" в хорошем согласии с эйнштейновским предсказанием 9q = 1,75". Вероятно, именно этот потрясающий результат, больше чем что-либо другое, привлек внимание широкой публики к общей теории относительности в 20-х годах нашего века.

С 1919 г. были проведены измерения положений около 380 звезд во время затмений 1922, 1929, 1936, 1947 и 1952 гг., результаты которых приводятся в табл. 8.1 (взятой из сводки данных

Дата затмения

Место наблюдения

Число звезд

то/К。

0q, угловые секунды

Литература

29 мая 1919 г.

Собрал

7

2—6

1,98土0,16

[3]

Принсипи

5

2—6

1,61±0,40

【3]

21 сентября 1922 г.

Австралия

11-14

2—10

1,77士0,40

[34]

»

18

2-10

от 1,42 до 2,16

[35|

»

62—85

2,1—14,5

1,72+0,15

[36]

»

145

2,1—42

1,82+0,20

137]

9 мая 1929 г.

Суматра

17—18

1,5-7,5

2,24土0,40

[38]

19 июня 1936 г.

СССР

16—29

2-7,2

2,73+0,31

[39|

Япония

8

4,7

от 1,28 до 2,13

[401

20 мая 1947 г.

Бразилия

51

3,3—10,2

2,01±0,27

[411

25 февраля 1952 г.

Судан

9—11

2,1-8,6

1,70±0,10

[42J

Таблица 8*1

В четвертом столбце—минимальные и максимальные значения расстояний, на которые световые лучи от изученных звезд приближаются к центру Солнца. В пятом столбце приведены окончательные значения отклонений тех световых лучей, которые касаются солнечного диска.

Измерения величин отклонения света Солнцем [4—7]Измерения величин отклонения света Солнцем [4—7]фон Клюбера [4]】)). Значения, полученные для 8。, изменяются от 1,3" до 2,7", но в основном попадают в интервал от 1,7" до 2". Самые последние результаты дают Лф — 1,70 士 0,10" и находятся в согласии с предсказанием Эйнштейна. Не ясно, однако, действительно ли систематическая ошибка здесь меньше, чем в предыдущих наблюдениях. Из всего этого мы можем сделать вывод, что определенно имеется отклонение света, большее чем 9q ^ 0,875", которое предсказывается при у = 0 [т. е. при Л (г) = 1], однако о точном значении мы можем сказать лишь то, что 8^ лежит где-то между 1,6" и 2,2", т. е. значение у лежит между 0,9" и 1,3". Имеется возможность улучшить точность этих измерений в ближайшем будущем, когда будет использоваться фотоэлектрическая аппаратура, следящая за положением звезд, независимо от затмений.

Измерения величин отклонения света Солнцем [4—7]

Измерения величин отклонения света Солнцем [4—7]

Последние достижения радиоастрономии [81 позволяют измерять отклонения радиосигналов Солнцем в принципе с гораздо большей точностью, чем точность измерений в оптической астрономии. Точность угловых измерений в оптическом диапазоне ограничена неоднородностями земной атмосферы и равна приблизительно 0,1", в то время как радиоинтерферометр, работающий на длине волны 九 и имеющий базис D, позволяет в принципе измерять углы с точностью порядка 九/2л£) рад. Это составляет уже 0,1" при А, = 3 см и Z> = 10 км и пропорционально меньше для больших базисов.

1) Некоторые из этих данных вновь проанализированы в работе [5]; см. также [6, 7].

14 — 0788

Одно осложнение доставляет астрономам большие хлопоты на радиочастотах, чем в оптическом диапазоне: это рефракция лучей: на солнечной короне. Для частот Х-полосы (8000—12500 МГц) рефракция очень мала и может быть исключена обрезанием данных, связанных с радиосигналами, проходящими на расстояниях, меньших чем 27?。от диска Солнца. Однако в 5-полосе частот (2000——4000 МГц) надо анализировать данные с помощью модели, в которой часть отклонения объясняется общей теорией относительности, а часть — эффектом короны. Параметры, описывающие солнечную корону, могут быть в принципе измерены этим методом (на нескольких частотах) одновременно с измерением ОТО- эффекта, но плотность электронов в короне изменяется во времени и оказывается, что единственный действительно удовлетворительный метод учета рефракции на короне ——это использование радиочастот Х-полосы и выше.

В октябре каждого года происходит затмение квазара ЗС279 Солнцем и несколько радиоастрономических групп пользуются этим удобным случаем, чтобы наблюдать изменение угла (около 9,5°) между квазарами ЗС279 и 3C273 в интервале времени как раз перед и как раз после затмения. Эти результаты приведены в табл. 8.2. Снова видим, что общая теория относительности

Таблица 8.2

Интерферометрические измерения величин отклонения Солнцем радиоволн, приходящих от источника ЗС279

Данные выражены через угол отклонения 9@, соответствующий радиосигналу, который касается солнечного диска.

Аппаратура

Радарные частоты, Мгц

Базис, км

Время затмения

0Q, угловые секунды

Литература

Оуэнс-Вэлли

9602

1,0662

30.9.1969-15.10.1969

1,77土0,20

[43]

Голдстоун

2388

21,566

2.10.1969—10.10.(969

，回一0,17

[44]

»

7840

3899,92

30.9.1969—15.10.1969

1,80+0,2

[45]

Грин-Бэнк

2695 и

8085

2,7

2.10.1970—12.10.1970

1,57±0,08

[46]

2697 и

4993,8

1,41

8.10.1970

1,87 土 0,3

[47]

подтверждается, но достигнутая точность все еще недостаточна, чтобы сделать выбор между теориями Эйнштейна и Бранса ——Дикке. Однако данные, полученные на интерферометрах с очень большими базисами (например, «Голдстоун», имеющий базис 3900 км), дают в принципе достаточно информации для измерения углового положения с точностью около 0,001". Можно надеяться, что анализ этих данных позволит наконец действительно точно определить у.

Замкнутые орбиты: смещение перигелия

Рассмотрим теперь пробную частицу, которая движется по околосолнечной орбите (фиг. 8.2). В перигелии и афелии г достигает своего минимального и максимального значения г_ и г+ и в обеих точках равно нулю dr/d^. так что (8.4.29) дает

1Е

了2В (г土)= 一'

Из этих двух уравнений можно вывести величины двух интегралов движения

Е=^Ц~(8.6.1)

尸=旦号_非).(8.6.2)

Угол, на который поворачивается вектор положения г от начального направления г_, задается уравнением (8.4.30) в виде

Используя (8.6.1) и (8.6.2), получаем

"=f「YCgT (r) — BT(1))一「』(斤1 (r)-BT g)) __

屮(r_))—■^」X

X 4“2 (r)产 dr. (8.6.3)

Изменение 屮 при уменьшении г от 尸十 до г_ то же, что и при возрастании г от г_ к г+, поэтому общее изменение угла ф при полном обороте равно 2 | ф (г+)—— ф (г„) |. Если орбита представляла бы собой замкнутый эллипс, эта величина равнялась бы 2л, поэтому в общем случае при каждом повороте орбита прецессирует на угол, равный

Д(р 2 I ф (「+) — ф (j) I — 2л.(8.6.4)

Если подставить точные значения Л (г) и 5 (г), даваемые решением Шварцшильда (8.2.10) и (8.2.11), в выражение (8.6.3), получим формулы для ф (г) и Дф в виде эллиптических интегралов. Для того чтобы вычислить их численно, следовало бы разложить эти интегралы по степеням величин MG/r и MG/r土.

14*

Фиг. 8.2. ЭлементыЭллипс имеетФиг. 8.2. ЭлементыЭллипс имеетэллипса, используемые при вычислении прецессии планетарных орбит.здесь тот же эксцентриситет, что и орбита Икаруса.эллипса, используемые при вычислении прецессии планетарных орбит.здесь тот же эксцентриситет, что и орбита Икаруса.

Фиг. 8.2. Элементы

Эллипс имеет

Фиг. 8.2. Элементы

Эллипс имеет

эллипса, используемые при вычислении прецессии планетарных орбит.

здесь тот же эксцентриситет, что и орбита Икаруса.

эллипса, используемые при вычислении прецессии планетарных орбит.

здесь тот же эксцентриситет, что и орбита Икаруса.

Вместо этого мы разложим подынтегральное выражение, используя разложения Робертсона (8.3.8) и (8.3.9) для А (г) и В (г):

/ (г) = 1 + 2у/ (г) = 1 + 2уMGMGВ (г) = 1В (г) = 12MG2MG2(0 —у) ДР©2(0 —у) ДР©(8.6.5)(8.6.5)

/ (г) = 1 + 2у

/ (г) = 1 + 2у

MG

MG

В (г) = 1

В (г) = 1

2MG

2MG

2(0 —у) ДР©

2(0 —у) ДР©

(8.6.5)

(8.6.5)

Отметим, что в выражении (8.6.3) полностью сокращаются главные члены в В (г), но не в Л (г). Поэтому, чтобы вычислить ф и Дф в первом порядке по Mglr土, необходимо в В (г) учесть члены второго порядка по MG/r, в то время как в А (г) можно ограничиться членами только первого порядка.

Дальнейшие вычисления сильно облегчаются, если заметить, что разложение

3Т(Г)^]+芈+2(2 - 8^Y)川。

делает подкоренное выражение первого квадратного корня в (8.6.3) квадратичной функцией от 1/г. Кроме того, это выражение обращается в нуль при г = т•士, а потому

J2 (8т (г) — Bт (О) 一 国2(月t ⑺一斤1 (「+))

_± = C (4*_；) (； - ±) • (8.6.6)

Постоянную С здесь можно определить, если устремить г к бесконечности:

吟(1 一 ВТ (「+)) — Г/ (1 -ВТ (-))М(вт(г+)—ВТ(г-))•

Умножая далее числитель и знаменатель на 2 (r_ —r^/WG, получаем

С ^l-(2-^ + y)MG (~ + ^-) .(8.6.7)

Подстановка (865) — (867) в (8.6.3) дает (p(r)-(p(r_)«[l + l(2-p + V)W(-± + A)]x

f [1+芈]勿

Если ввести новую переменную 屮 с помощью соотношения ；三^信十；h置尚一^卜m屮，(8.6.8)

то интеграл становится тривиальным. Результат имеет вид 9(l)一口(г一)=[1 十万(2 — p + 2¥)MG (靑 + У ) J [屮 + ^"]—

—^yMG (у—■；)cos屮.(8.6.9)

В афелии 屮 равно 冗/2, так что (8.6.4) и (8.6.9) дают следующую прецессию при одном обороте (в единицах рад/об):

A<p=(JZ^) (2 — 吵型卜(8.6.10)

где L ——характеристика эллипса, называемая фокальным пара* метром:

Элементы планетарных орбит — больптую ось а и эксцентриситет % определяемые следующим образом:

七=(£ ± е) 〃，находят обычно из таблиц. Следовательно, используя формулу£ = (£ — * а,

можно, зная а и е, определить L, Уравнения поля Эйнштейна дают Р — у — 1, что предсказывает следующую прецессию (в еди-

ницах рад/об):

А屮=6л 学(8.6.11) Величина Д(р положительная, и это означает, что в целом орбита прецессирует в том же направлении, в котором движется пробная частица. В теории Бранса — Дикке соотношения (8.6.10) и (8.3.3) дают

(呼)(铮)• (3・6/2)

Здесь нам снова следует задаться вопросом: что же означает это предсказываемое значение Дф? Рассматриваемый случай не является экспериментом по рассеянию, подобно отклонению света Солнцем; здесь мы имеем дело с объектом, который никогда не уходит на бесконечность, где пространство-время описывается метрикой Минковского. При любом наблюдении за движением пробной частицы с помощью оптических приборов или радаров астрономы используют световые лучи, которые сами находятся под воздействием гравитационного поля, и если не внести поправки на отклонение света, то для любого заданного радиуса г наблюдаемая астрономом величина ф (г) будет содержать ошибку порядка MGrIL [см. выражение (8.5.8)]. Однако на практике эти тонкости не играют существенной роли, так как прецессия ——величина кумулятивная. Из выражения (8.6.10) видно, что после N оборотов перигелий сместится на угол порядка NMGIL, Поэтому если N》1, то нет необходимости учитывать в 屮 ошибки порядка MGIL. Действительно, выражение (8.6.11) утверждает, что после L/3MG》1 оборотов перигелий вернется к своему первоначальному азимуту — предсказание, которое совершенно не связано с тем, как мы определяем г или ф.

Для Меркурия следует принять L = 55,3 *106 км, MG = =1,475 км, и тогда выражение (8.6.11) дает величину Д(р = =0,1038" за оборот. За столетие Меркурий совершает 415 оборотов, и общая теория относительности предсказывает

Дф = 43,03" за столетие (#)・

К счастью, существуют точные наблюдения за Меркурием, восходящие еще к 1765 г. Эти данные были вновь проанализированы Клеменсом [9, 10] в 1943 г. Он нашел, что за столетие набегает величина Аф = 43,11 + 0,45", что хорошо согласуется с данными, полученными ранее Ньюкомом (§ 2 гл. 1), и находится в блестящем соответствии с общей теорией относительности. Принимая это значение, найдем поправочный коэффициент в выражении (8.6.10):

(2一\+2Y)=],00±0,01.

Это ——наиболее важное из подтверждений общей теории относительности, во-первых, благодаря высокой его точности, а во-вторых, потому что это единственная величина, чувствительная к коэффициенту 卩 в членах второго порядка в g^.

Данные [10——17] для Венеры, Земли, Икаруса вместе с данными для Меркурия сведены в табл. 8.3. Очевидно, что точность,

Таблица 8.3

Сравнение теоретических и наблюдаемых значений прецессии планетарных орбит за столетие [10—15J

Планета

(10^ км)

е

6jcMG L

Число оборотов за столетие

Аф ("/столетие)

ОТО

наблюдение

Меркурий

Венера

$ Земля

57,91

0,2056

0,1038"

415

43,03

43,11+0,45

108,21

0,0068

0,058〃

149

8,6

8,4土4,8

149,60

0,0167

0,038〃

100

3,8

5,0±1,2

㊉

Икарус

161,0

0,827

0,115"

89

10,3

9,8+0,8

с которой можно изучать планеты, сильно понижается по мере удаления планеты от Солнца. Это происходит по двум причинам: во-первых, потому что уменьшение эксцентриситета делает наблюдения за перигелием менее надежными, и, во-вторых, поскольку L возрастает, величина прецессии за оборот и число оборотов за столетие уменьшаются. Икарус (астероид) был обнаружен только в 1949 г., но в некотором отношении это наиболее подходящий объект для изучения, поскольку он имеет малые размеры, подходит близко к Земле, а большой эксцентриситет его орбиты позволяет определять прецессию с большой точностью. Вносилось также предложение поместить на вытянутую орбиту, расположенную близко к Солнцу, искусственный спутник. При этом спутник с параметром орбиты 厶，скажем, равным 10&), за столетие прецессировал бы на угол 8250"! Трудность здесь состоит в том, что столь малый объект подвергался бы действию негравитационных возмущений, таких, как радиационное давление, солнечный ветер, микрометеориты, влиянием которых на Меркурий и Икарус можно, конечно, пренебречь.

Существуют два обстоятельства, которые необходимо помнить, оценивая согласие наблюдаемого смещения перигелия с предсказанием общей теории относительности.

Прежде всего известно множество возмущений, которые вносят вклад в прецессию планетарных орбит. В частности, теория Ныо

тона дает следующее значение прецессии для Меркурия:

Дф^ = 5557,62 土 0,20〃(О).

Однако около 5025" из этой величины обусловлены вращением астрономической системы координат, связанной с Землей, а примерно 532" связаны с гравитационными возмущениями. При этим последняя величина находится в ньютоновской теории возмущений из расчетов движения других планет, в основном Венерыу Земли и Юпитера. В действительности же наблюдаемая прецессия равна

Афнабл = 5600J3 土 0,4Г (“

и величину Аф = 43,11 土 0,45", названную выше «наблюдаемой» аномальной прецессией, можно получить, вычитая ньютоновскую прецессию из действительно наблюдаемой, т. е.

△屮 в Афнабл — △屮н・ (8.6.13)

Можно поставить вопрос: та ли это величина, что следует сравнивать с предсказанием общей теории относительности, 43,03" за столетие, т. е. как узнать, будет ли правильным определять полную прецессию следующим образом: к ньютоновской величине А(рнт вычисленной без учета эффектов общей теории относительности, прибавлять эйнштейновскую величину Дфото» вычисленную в пренебрежении всеми эффектами планетарных возмущений? В какой-то мере на этот вопрос можно ответить, вспоминая о том, что общерелятивистские поправки к Афн должны иметь порядок 7ИС/Л* Дфн или около 10-" за столетие. Для более полного ответа необходимо обсудить постньютоновское приближение, что и будет сделано в следующей главе. Но если даже допустить, что (8.6.13) в принципе верно, необходимо сознавать, что даже очень малая систематическая ошибка в Дфн либо в Дфнабл может полностью нарушить согласие между теорией и наблюдением.

Другая опасность связана с тем, что очень малые неизвестные нам сейчас эффекты могут давать в наблюдаемую прецессию перигелия вклад, сравнимый по величине с предсказанием общей теории относительности. Действительно, в гл. 1 мы упоминали о том, что Ньюком вынужден был в 1911 г. отказаться от своего предложения ввести отклонения от закона обратных квадратов, поскольку наблюдаемую аномальную прецессию в 43" за столетие можно было объяснить в рамках ньютоновской механики как величину, связанную с гравитационным полем, создаваемым веществом, вызывающим явление «зодиакального света». (Сегодня мы знаем, что между Меркурием и Солнцем нет достаточного количества вещества, которое могло бы вызвать сколько- нибудь заметную прецессию.)

Возможно также, что Солнце слегка сплюснуто [16, 171 и в этом случае его ньютоновский потенциал содержит член г~3, приводящий при обращении планет к аномальной прецессии,, величина которой убывает как обратный квадрат расстояния планеты от Солнца* Табл. 8.2 показывает, что в действительности в соответствии с общей теорией относительности наблюдаемая аномальная прецессия, возникающая при обращении, убывает приближенно как 1/г, а не как 1/г2. Еще важнее то, что большая сплюснутость Солнца вызывала бы аномальную прецессию плоскостей орбит внутренних планет [18}7 которая не наблюдается. В совокупности эти два обстоятельства исключают возможность объяснения всей величины наблюдаемой аномальной прецессии за счет сплюснутости Солнца; за счет нее- можно отнести не более 20% наблюдаемого эффекта. Чтобы проверить эту гипотезу, Дикке и Голденберг [19] сканировали солнечный диск фотоэлектрически в течение периода с 1 июня по 23 сентября 1966 г. Они пришли к выводу, что полярный диаметр Солнца короче экваториального диаметра с относительной разностью (5,0 ± 0,7) «10-5. Если явно учесть зту величину, то возникает дополнительная прецессия перигелия Меркурия, равная 3,4" за столетие. Поэтому лишь прецессия, равная 39,6" за столетие, может обусловливаться релятивистскими эффектами, так что возникает расхождение в 8% с предсказанием Эйнштейна: 43,03" за столетие. Теория Бранса —— Дикке может объяснить прецессию 39,6" за столетие, если в ней положить со = 6,4. Однако существует несколько причин, которые не позволяют сразу отказаться от общей теории относительности.

А. Чтобы возникла сплюснутость Солнца, внутренняя часть Солнца должна совершать полный оборот вокруг собственной оси за один или два дня, т. е. намного быстрее, чем наблюдаемая скорость вращения поверхности Солнца (оборот за 25 дней). Такое различие в скоростях вращения, по-видимому, можно было бы связать [20] с наличием магнитного вращающего момента, возникающего из-за солнечного ветра и замедляющего вращение поверхности, однако не ясно, обладает ли такая конфигурация динамической устойчивостью [21, 22].

Б. В период с 1891 по 1902 г. на Геттингенском гелиометре- были проведены две серии прецизионных измерений [23], которые дали значения относительной разности экваториального и полярного диаметров Солнца (0,36 ± 0,78) ЛО-5 и (—0,10 ± 土 0,47)・10~5 соответственно. Эти результаты согласуются друг с другом и указывают на идеальную сферичность, однако расходятся с результатом Дикке и Голденберга (5,0 ± 0,7) Геттингенские результаты были подтверждены последующими) гелиометрическими измерениями.

Процитируем Ашбрука [23]：

«Что нам со всем этим делать? Может ли с учетом астрономических данных полярный диаметр Солнца быть на 0,1 угловой секунды короче экваториального, как утверждают Дикке и Голденберг? Была ли в Принстонском эксперименте какая-нибудь тонкая систематическая ошибка? Или же во всей серии гелиометрических измерений проявился какой-то незамеченный эффект?»

Чтобы правильно судить об опытах Дикке и Голденберга, следует заметить, что ось сплющенного эллипсоида, который они наблюдали, следует за осью вращения Солнца в ее изменяющемся на протяжении года положении. Это говорит о том, что Дикке и Голденберг наблюдали нечто реальное.

В. Даже если исходить из того, что визуально поверхность Солнца сплюснута, то что можно при этом утверждать о форме массового распределения и о гравитационном поле Солнца? Дикке [161 утверждает, что видимая поверхность Солнца совпадает с эквипотенциальной гравитационной поверхностью, но этот вывод опирается в значительной степени на астрофизическую теорию и поэтому может быть ошибочным.

Г. Наконец, если Дикке и Голденберг правы, то соответствие между предсказанием Эйнштейна и наблюдаемой аномальной прецессией (в пределах 1 %) есть просто совпадение.

§ 7. Запаздывание радарного эха

Классическая проверка общей теории относительности, рассмотренная нами в предыдущих параграфах, определялась только видом траекторий фотонов и планет. Развитие в последние годы быстродействующей электроники и мощных средств радиолокации дало возможность измерять движение в зависимости от времени с той степенью точности, которая необходима для проверки уравнений Эйнштейна. В частности, Шапиро [24] предложил эксперимент и провел его совместно с группой Линкольновской лаборатории, измерив [25, 26] время, которое необходимо радарному сигналу, чтобы достичь планеты, расположенной на внутренней орбите, и, отразившись, вернуться обратно на Землю.

Чтобы понять смысл этих измерений, вычислим прежде всего время, затрачиваемое радиолокационным сигналом на прохождение от одной точки с координатами г = г「 9 = л/2, ф = фг до другой с координатами г = %, 6 =冗/2, 屮=ф2- Уравнение (8.4.19), определяющее эволюцию орбиты во времени, выглядит следующим образом:

А (г) / dr \2 , /2 1 F力2 (r)(成丿十不 豆6厂一一办.

Поскольку мы имеем дело со световыми лучами, то Е = 0. Более того, (dr/凉)2 должно обращаться в нуль в точке максимального сближения с Солнцем г = г°, поэтому

/2 一 吟

Тогда уравнение движения фотона имеет вид

4 (г)4 (г)(嘗)2+( + )*Т(啕-"《Г)"(嘗)2+( + )*Т(啕-"《Г)"(8.7.1)(8.7.1)

4 (г)

4 (г)

(嘗)2+( + )*Т(啕-"《Г)"

(嘗)2+( + )*Т(啕-"《Г)"

(8.7.1)

(8.7.1)

для про-для про-Из этого уравнения находим время, необходимое свету хождения пути от г0 до г или от г до г0:

для про-

для про-

(8.7.2)

а потому полное время, которое будет затрачено, что5ы пройти от точки 7 к точке 2, равно (для | 屮丄 —— 屮2 I > 冗/2)

友 2 = % (人，力)+ t (r2, %).(8.7.3)

Чтобы вычислить интеграл (8.7.2), необходимо снова применить к подынтегральному выражению разложение Робертсона, о котором говорилось в § 3 этой главы, а именно

/(「)^1+卫咨， вт^\_^-.

Тогда имеем

」前⑺%7一砌*泞(号)% WT)U-彌d・

Поэтому в первом порядке по MG/r и MG/rQ (8.7.2) сводится к

Интеграл стал табличным, и можно найти время прохождения светом расстояния от г0 до г:

i (г, г。) « ■/戸一г；十(1 + у) MG X

Xln(^^)+"G (帯广•(8.7.4)

Основной член 丿产 ——尸；——это то, чего следовало ожидать, если бы свет распространялся с единичной скоростью по прямым линиям. Очевидно, что другие члены отражают дополнительное

гравитационное запаздывание во времени, которое возникнет, пока радиосигнал дойдет до Меркурия и обратно. (Обратим внимание на то, что эю запаздывание прямо противоположно тому, которое следует из аналогии со случаем медленно движущегося тела, скажем, кометы.) Это дополнительное запаздывание максимально, когда Меркурий находится в верхнем соединении и радиолокационный сигнал касается Солнца. В этом случае расстояние г° примерно равно радиусу Солнца, г0 ^ R。, и много меньше, чем расстояния от Земли Гф и от Меркурия г до Солнца. Поэтому дополнительное максимальное время запаздывания при движении луча туда и обратно задается с помощью соотношений (8.7.3) и (8.7.4) в виде

(аЕ)маке т 2 [£ (④ Кg) + "%, k0) 一1^唯一Kg - M吟-E团

^4〃gG {1 + In (―^)卜

«5,9 км {14-11,2 (-Ц1)} •(8.7.5)

Если уравнения поля Эйнштейна верны, то 丫 = 1 и дополнительное максимальное запаздывание

(Аммане ^72 км = 240 мкс.(8.7.6)

Не представляет никакой сложности отсчитать с точностью до микросекунд время порядка 20 мин, затрачиваемое радиосигналом на прохождение до Меркурия и обратно. Тем не менее при разборе и интерпретации такого эксперимента возникают чрезвычайно большие трудности.

Одна из трудностей заключается в том, что радиолокационный сигнал отражается не от одной «зеркальной точки» поверхности Меркурия, а от площадки вполне определенного размера, а потому момент прибытия сигнала известен с точностью до нескольких сотен микросекунд из-за его размазывания. Группа Шапиро разрешила эту проблему, измеряя распределения вернувшегося сигнала как по времени прибытия, так и по частоте. Вследствие вращения и орбитального движения Земли и Меркурия каждый элемент отражающей поверхности имеет относительно антенны радара определенную скорость, а потому элемент отражает радиолокационный сигнал с определенным доплеровским смещением частоты. Тогда если известны отражающие свойства поверхности, то, анализируя наблюдаемое распределение возврагцаюпхе- гося эха по времени и по частоте, можно найти время прибытия эха, отразившегося от ближайшей к Земле точки поверхности Меркурия.

Отражающие свойства поверхности можно исследовать, изучая эхо от Меркурия, когда он находится вблизи нижнего соединения,

поскольку отношение сигнала к шуму в этом положении наибольшее и никакие известные эффекты общей теории относительности не влияют на время распространения сигнала.

Основная трудность состоит в том, что для вычисления дополнительного времени запаздывания порядка, например, 10 мкс необходимо знать с той же точностью время, за которое радиосигнал прошел бы этот путь в отсутствие -поля тяготения Солнца, т. е. мы должны знать расстояние

(呸一喇/叶結一片#

с точностью до 1,5 км! Здесь г㊉,r^ ^ г^ ~ расстояния (в «стандартных» координатах) от центра Солнца до радарной антенны, находящейся на Земле, до ближайшей к Земле точки на поверхности Меркурия и до точки наибольшего сближения сигнала с Солнцем соответственно. Однако одна оптическая астрономия, конечно, не в состоянии определить со сколько-нибудь близкой к указанной точностью положение центров Меркурия и Земли или же радиус Меркурия. Более того, требование столь высокой точности связано с необходимостью определить, имеем ли мы дело со стандартными, изотропными или гармоническими координатами. Можно не сомневаться в том, чтобы даже Военно-Морская обсерватория США не обращает внимания на столь тонкие отличия! Группа Шапиро справилась с этой проблемой, использовав общую теорию относительности, чтобы выразить г㊉(方), q (力)и r0 (力 через большой набор неизвестных параметров, включающих 卩,у, "。6, экваториальный радиус Меркурия, а также положения и скорости Меркурия и Земли в некоторый начальный момент времени. Эти параметры были затем определены подгонкой наблюдаемого времени движения радиосигнала до Меркурия и обратно по теоретическим формулам (8.7.3) и (8.7.4).

Первый эксперимент, в котором был использован работающий на частоте 7840 МГц Хейстакский радар Линкольновской лаборатории, проведенный во время верхних соединений Меркурия с 28 апреля до 20 мая и с 15 августа до 10 сентября 1967 г., дал хорошее согласие теории и наблюдений [25]. Чтобы оценить это количественно, укажем, что при вычислении для произвольного у с помощью уравнений (8.7.3) и (8.7.4) времени запаздывания сигнала наилучшее соответствие получается при у = 0,8 土 0,4- (В предварительном анализе р было принято за единицу по чисто техническим причинам.) Дальнейшие наблюдения в Хейстаке и улучшенный анализ данных дали следующий результат [26]：

Т = 1,03 士 0,1 (8.7.7)

-300 -Z0O ТОО 0100Z00300Время, дни-300 -Z0O ТОО 0100Z00300Время, дниФиг. 8.3. Сравнение теоретических и наблюдаемых значений времени запаз дывания радиоэха от Венеры [26].Верхнее соединение: 25 янв. 1970 г.Фиг. 8.3. Сравнение теоретических и наблюдаемых значений времени запаз дывания радиоэха от Венеры [26].Верхнее соединение: 25 янв. 1970 г.uxw "BT1H8 竺 qg8 匚 xSXSES^uxw "BT1H8 竺 qg8 匚 xSXSES^

-300 -Z0O ТОО 0100Z00300

Время, дни

-300 -Z0O ТОО 0100Z00300

Время, дни

Фиг. 8.3. Сравнение теоретических и наблюдаемых значений времени запаз дывания радиоэха от Венеры [26].

Верхнее соединение: 25 янв. 1970 г.

Фиг. 8.3. Сравнение теоретических и наблюдаемых значений времени запаз дывания радиоэха от Венеры [26].

Верхнее соединение: 25 янв. 1970 г.

uxw "BT1H8 竺 qg8 匚 xSXSES^

uxw "BT1H8 竺 qg8 匚 xSXSES^

(фиг. 8.3). В дополнение к этому в связи с появлением новых радиолокационных данных Шапиро вновь проанализировал [27] свыше 400 000 ранее выполненных оптических наблюдений: Солнца, Луны и планет и нашел, что квадрупольный член гравитационного потенциала Солнца имеет величину J2 = (—0,8 土 2,5) X X 10-5, причем J? определяется разложением по полиномам: Лежандра:

60=-牛{1-$乙(§)’2 (cos6}.

Z=2

Укажем для сравнения, что сплющенность Солнца, найденная Дикке и Голденбергом, соответствует квадрупольному члену 」2 = (2,7 土 0,5) ЛО-5. Если J? обратить в нуль, то, согласно анализу Шапиро, значения дополнительной прецессии перигелия орбит Меркурия и Марса будут равны значениям, предсказываемым общей теорией относительности, умноженным на (0,99 士 0,01) и (1,07 士 0,1) соответственно.

Шапиро [28] предложил также измерить время запаздывания радиоимпульса, приходящего от пульсара. Когда пульсар СР0952

наблюдается вместе с Солнцем в телесном угле с раствором 5°, то в это время радиоимпульс должен запаздывать приблизительно на 50 мкс.

Недавно группа Лаборатории реактивного движения измерила [291 время запаздывания радиосигналов, посланных с Земли на ретрансляторы на борту искусственных спутников «Маринер» 6 и 7 и вернувшихся оттуда на Землю, в период март —— июнь 1970 г., когда эти спутники были вблизи нижнего соединения. Наилучшие данные были получены 28 апреля, когда радиосигнал прошел на расстоянии трех солнечных радиусов от центра Солнца. Анализ этих данных дает время запаздывания, совпадающее- с точностью до 5% с предсказаниями общей теории относительности. К сожалению, частота, использованная в этом эксперименте, лежала в S-полосе, т. е. вблизи 2300 МГц, и поэтому солнечная корона приводила здесь к осложнениям (§ 5 гл. 8). К тому же спутники «Маринер» ввиду их малости испытывают заметное- влияние негравитационных сил, возникающих в основном из-за давления солнечного излучения, утечки газа и разбалансировки системы, контролирующей ориентацию.

Время возвращения радарного эха сильно зависит от незначительных особенностей орбитального движения, и это превращает вычисление «теоретического» времени возвращения в задачу огромной трудности. Мы не будем рассматривать ее здесь, поскольку она выходит за рамки простого аналитического рассмотрения, принятого в этой книге. Есть, однако, возможность получить представление об этом, рассмотрев достаточно идеализированную ситуацию.

Будем считать, что сигнал отражается от точечной планеты 7, находящейся на круговой орбите радиусом q вокруг Солнца, а радарную антенну поместим на планету 2, которая движется в плоскости орбиты планеты 2 (6 = л/2), но настолько удалена от Солнца, что ее положение можно считать фиксированным с г?》「1 11 巾2 = 0・(Величина 巾？ за время прохождения сигнала изменяется как г^т/?.) Радиосигнал, испущенный в момент времени t с планеты 2, достигнет планеты 1 в момент времени 左 задаваемый (для | 巾1 |〉л/2) следующим образом:

左=力 + 力(g, r0) + t (r2, r°), или, используя (8.7.4) при г2 f °°, получаем t^t+T + (r}~r^+MG (_^^『2 +

(1 + У) MG In (2^+1±=21&1) , (8.7.8) где Т — большая постоянная величина, равная

T = r2 + MG + (l + y) MG In (^-) . (8.7.9)

В этот момент времени азимутальный угол планеты задается с помощью уравнения (8.4.27) следующим образом:

Ф1 = Ф (0) + з〃，(8.7.10)

3^(导广([—(В —产G_)(8.7.11)

И наконец, г0 можно вычислить, положив (р^ равным величине, определяемой уравнением (8.5.7), а именно

Ф1= [ф (го) — ф (г()] + [ф (^о) — Ф(0°)]==

1/2 , -t-1/2 , -t-=8_ arcsin (含)+ (-^-) 口 +丫十y

1/2 , -t-

1/2 , -t-

Тогда в первом порядке по MG имеемr0 ^ ri sin ^t — MGctg 屮1 [1 + у — 丫 cosq)i + (Тогда в первом порядке по MG имеемr0 ^ ri sin ^t — MGctg 屮1 [1 + у — 丫 cosq)i + (1 —sin ф!1 —sin ф!1 +sin (pi1 +sin (pi(8.7.12)(8.7.12)

Тогда в первом порядке по MG имеем

r0 ^ ri sin ^t — MGctg 屮1 [1 + у — 丫 cosq)i + (

Тогда в первом порядке по MG имеем

r0 ^ ri sin ^t — MGctg 屮1 [1 + у — 丫 cosq)i + (

1 —sin ф!

1 —sin ф!

1 +sin (pi

1 +sin (pi

(8.7.12)

(8.7.12)

Подставляя (8.7.10)——(8.7.12) в (8.7.8), получим следующее соотношение между t ——временем излучения первоначального радарного сигнала и ^ —— временем отражения сигнала:

匕工方 + 7 — 〃 cos (со, + ф (0))—

—b {1 — In [1 + cos (⑴匕 + ф (0))]},(8.7.13)

где

амт、一 TMG,(8.7.14)

b =(l + 7)MG.(8.7.15)

Соотношение (8.7.13) можно разрешить относительно 片(力),и тогда момент прибытия эха обратно определится так:

t2 (t) = t + 2 用(力)一厶=2匕⑺一九 (8.7.16)

Сравнивая это теоретическое предсказание с наблюдаемым временем возвращения радиоэха, можно в принципе определить пять параметров:

Т, а, Ь,①，ф (0).

Но эти параметры зависят от шести неизвестных величин: г17 г2, MG, у, р и ф (0); поэтому даже если наши измерения и соотношения (8.7.13)——(8.7.16) будут совершенно точными, мы не в состоянии определить ни 0, ни у. Лучшим выходом будет исключить из формул (8.7.11), (8.7.14), (8.7.15) для ⑴，а и b величины q

л MG и таким способом получить формулу для ?:

(8.7.17)(8.7.17)1 + Т = Ь"3s・2 [ [ + ° (2^2.) J

(8.7.17)

(8.7.17)

Отметим, что в данном случае 卩 нельзя определить, измеряя запаздывание радиосигнала, даже в принципе (интересные соображения по этому вопросу содержатся в [30, 311). Чтобы стало возможным определить и р и Y， необходимо наблюдать радиоэхо, отраженное от двух планет, находящихся на круговых орбитах, поскольку в этом случае есть десять наблюдаемых параметров и из них только восемь неизвестны. Более важным является то, что Р можно измерить, наблюдая радиоэхо только от Меркурия, поскольку его орбита настолько вытянута, что ее прецессия существенно влияет на время возвращения радиосигнала.

§ 8. Сингулярность Шварцшильда

Читатель, возможно, обратил внимание на то, что решение Шварцшильда (8.2.12) становится при г = 2MG сингулярным. Это значение радиуса соответствует р = MG/2 и 7? = MG、откуда видно, что эта сингулярность возникает в том случае, когда метрика выражена в изотропной (8.2.14) или гармонической (8.2.15) формах. Радиус, при котором в стандартных координатах возникает сингулярность, называется шварцшильдовским радиусом массы М.

Следует сразу подчеркнуть, что ни у одного из известных объектов во Вселенной гравитационное поле не имеет сингулярности Шварцшильда. Сингулярность Шварцшильда возникает в решении вакуумных уравнений Эйнштейна 7?uv = 0, и, следовательно, не существенна, если радиус 2GM находится внутри массивного тела, где необходимо использовать полное уравнение Эйнштейна (7.1.13). Для Солнца радиус Шварцшильда 2GM。 равен 2,95 км, т. е. находится глубоко внутри Солнца, и, как мы убедимся в гл. 11, решение полного уравнения Эйнштейна для внутренней части стабильной звезды не имеет ни сингулярности Шварцшильда, ни какой-либо другой сингулярности. Для протона радиус Шварцшильда равен 10-50 см, что на 37 порядков ниже, чем характерный радиус протона 10~13 см! Как мы увидим из дальнейшего (гл. 11), очень массивное тело может коллапсировать до радиуса, много меньшего его шварцшильдовского радиуса, но, за этим одним гипотетическим исключением, сингулярность Шварцшильда, кажется, не имеет большого отношения к реальному миру.

Тем не менее поучительно представить себе настолько малое и массивное тело, что радиус 2GM лежит вне его, в пустом пространстве. Тогда решение Шварцшильда выполняется для этого радиуса, и действительно возникает сингулярность. Но будет ли реально проявляться эта сингулярность? Легко вычислить четыре неисчезающих инварианта кривизны, описанных в § 7 гл. 6 и увидеть, что на радиусе Шварцшильда все они имеют идеальна хорошее поведение, хотя и становятся сингулярными в нуле. Эта наводит на мысль, что кажущаяся сингулярность Шварцшильда может быть только свойством системы координат, нами использованной. (Если на радиусе Шварцшильда хотя бы один инвариант кривизны был бы сингулярным, то эта сингулярность, конечно, проявлялась бы во всех системах координат.) Лишь не очень давно была цайдена система координат, в которой можно избежать сингулярности Шварцшильда, если допустить возможность того, что мир имеет необычную топологию [32]. Чтобы продемонстрировать эту новую интерпретацию сингулярности Шварцшильда, введем новый набор координат г', 6, ф,尸 следующим образом:

个一£'2="(血一1)ехр (%)，个一£'2="(血一1)ехр (%)，(8.8.1)(8.8.1)2rA口+力22rA口+力2三th三th(8.8.2)(8.8.2)

个一£'2="(血一1)ехр (%)，

个一£'2="(血一1)ехр (%)，

(8.8.1)

(8.8.1)

2rA

口+力2

2rA

口+力2

三th

三th

(8.8.2)

(8.8.2)

где T ——произвольная константа. Тогда решение Шварцшильда приобретает вид

1屮)ехр (詛"吁

—г2 d02 —产 sin2 0 d(p2,(8.8.3)

где г считается теперь функцией интервала г/2 ——f2, задаваемого выражением (8.8.1). Метрика будет несингулярной, пока г2 имеет хорошее поведение и положительно определено, т. е. при условии

尸2 >尸2 _『2.

Следовательно, для временного интервала О V 廿 V Т и всех действительных г' метрика будет совершенно гладкой, финитной функцией г'. Действительно, даже gee и g中中 не исчезают при г' = 0, так что, когда мы приближаемся к началу координат г' = 0, ничто не мешает нам продолжить на отрицательные г! Следовательно, пространство, описываемое (8.3.3), свободно от сингулярностей и состоит из двух тождественных ле стов с г' > 0 и г' V 0, переходящих друг в друга непрерывным образом в точке ветвления г' = 0. Когда 尸 достигает значения Т, листы разъединяются и с этого момента в мет-

рике появляется действительная сингулярность при 尸— = 土 /产 一 Г2, т. е. при г = 0. Однако если даже это так, метрика не имеет сингулярности при г' = f, что соответствует радиусу Шварцшильда г = 2GM.

Напомним еще раз, что сингулярность Шварцшильда не возникает в реально существующих во Вселенной гравитационных полях. В самом деле, эта сингулярность не может проявиться даже при гравитационном коллапсе (§ 9 гл. 11), ибо при 力' V 7 пространство пусто для всех г'. Однако, как из басен Эзопа, отсюда следует полезная мораль. Она состоит в том, что появляющаяся в одной системе координат сингулярность в другой системе координат может иметь совершенно другую интерпретацию.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Брагинский В. Б., Руденко В. Л, т УФН, 100, 395 (1970).

Bertotti В., Brill D., Krotkov К., Experiments in Gravitation, в книге Gravitation: An Introduction to Current Research, ed.L Witten, W iley, 1962, p. 1.

Dicke R. H., Experimental Relativity, в книге Relativity, Groups, and Topology, ed. C. DeWitt and B. DeWitt, Gordon and Breach Science PubL, 1964, p. 163.

Dyson F. J・，Experimental Tests of General Relativity, в книге RelativityTheory and Astrophysics 1. Relativity and Cosmology, ed. J. Ehlers, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1967, p. 117.

Schiff L. /., Comparison of Theory and Observation in General Relativity, в книге Relativity Theory and Asrophysics 1. Relativity and Cosmology (см. выше), p. 105.

Thorne K. 5., Will С. M., High Precision Tests of General Relativity, Comments Astrophys. and Space Phys., 2, 35 (1970).

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Robertson Я. R, в книге Space Age Astronomy, ed, A. J. Deutsch and W. B. Klemperer Academic Press, 1962, p. 228.

Eddington A. S., The Mathematical Theory of Relativity, 2nd ed., Cambridge University Press, 1924, p. 105 (см. перевод: Эддингтон A. C, Математическая теория относительности, Гос. научн. тех. изд., 1933).

Dyson F. W., Eddington А. 5., Davidson С, Phil. Trans. Roy. Soc. (London), 220A, 291 (1920); Mem. Roy. Astron. Soc. 62, 291 (1920).

Von Kliiber Я., в книге Vistas in Astronomy, ed. A. Beer, Vol. 3, Pergamon Press, 1960, p. 47.

Bertotti B., Brill D., Krotkov 7?., в книге Gravitation: An Introduction to Current Research, Wiley, 1962, p. 1.

Trumpler R. J., Helv. Phys. Acta, Suppl., IV, 106 (1956).

Mikhailov A. <., Astron. Zh., 33, 912 (1956).

Shapiro /. /., Science, 157, 806 (1967).

Clemence G. M., Astron. Papers Am. Ephemeris, 11, Part 1 (1943).

Clemence G. M., Rev. Mod. Phys., 19, 361 (1947).

Duncombe R. £., Astron J., 61, 174 (1956); Astron. Papers Am. Ephemeris,

Parti (1958).

Duncombe R. Z・，Clemence G. M., Astron. J., 63, 456 (1958).

Shapiro /. /., Smith W. 3., Ash M. £\, Herrick S「Astron. J., 76, 588 (1971).

Shapiro I. I., Ash M. E., Smith W. B・,Phys. Rev. Lett., 20, 1517(1968).

Lieske /. Н.、Null G., Astron. J., 74, 297 (1969).

Dicke R. Я., Nature, 202, 432 (1964).

Roxburgh I. W., Icarus, 3, 92 (1964).

Shapiro I. I., Icarus, 4, 549 (1965).

Dicke E. H.、GoldenbergH. M., Phys. Rev. Lett., 18,313 (1967).

Brandt J. C., Astrophys. J., 144, 1221 (1966).

Goldreick P・，Schubert G., Ap. J., 154, 1005 (4 969).

Dicke E・ Я., Astrophys. J., 159, 1 (1970).

Ashbrook /., Sky and Telescope, 34, 22 9 (1967).

Shapiro /. /., Phys. Rev. Lett., 13, 78 9 (1964).

Shapiro J. Z., Pettengill G.瓦，Ash M.瓦,Stone M. £., Smith W,反,I nr galls E. P., Brockelman E. 4, Phys. Rev. Lett., 20, 1265 (1968).

Shapiro I. Z., Ash M. E., Ingalls R. P., Smith PF. B.、Campbell D. 5., Dyce R.B Jurgens Я. F ^Pettengill G. H., Phys. R ev. Lett., 26,1132 (1971),

Shapiro 7. /., Доклад на 3-й конференции по теории относительности, Кембридж, июнь 1970 (не опубликовано).

Shapiro Е. Science,彳62, 352 (1968).

A nderson /.力.,Доклад на 3-й конференции по теории относительности, Кембридж, июнь 1970 (не опубликовано).

Ross D. К., Schiff L. Phys. Rev., 141, 1215 (1966).

Shapiro I. I., Phys. Rev., 145, 1005 (1966).

Kruskal M. D., Phys. Rev., 119, 1743 (I960).

Fronsdal C., Phys. Rev., 116, 778 (1959).

Dodwell G. A, Davidson С. Я., Mon. Nat. Roy. Astron. Soc., 84, 150 (1924).

Chant C. 4, Young R. K., Publ. Dominion Astron, Ohs., 2, 275 (1924).

Campbell W. W., Trumpler R., Lick Observ. Bull., 11, 41 (1923); Publ. Astron. Soc. Pacific, 35, 158 (1923).

Campbell W. W., Trumpler 五.，Lick Observ. Bull., 13, 130 (1928).

Freundlich] E.尸.，Kliiber 瓦，Brunn 4., Ab. Preuss. Akad. Wiss., No. 1, 1931; Zs. Astrophys., 3, 171 (1931).

Михайлов А. Л., ДАН^СССР, 29, 189 (1940).

Matukuma T., Onuki A., Yosida S., Iwana У., Jap. Journ. Astron., and Geophys., 18, 51 (1940).

Van Biesbroeck G., Astron. Journ., 55, 49, 247 (1949).

Van Biesbroeck G., Astron. Journ., 58, 87 (1953).

Seielstad^ G. Z・,Sramek R. 4.，Weller K. "•, Phys. Rev. Lett., 24, 1373 (1970).

Muhleman D. 0., Ekers R. D., Fomalont E. 3., Phys. Rev. Lett., 24, 1377 (1970).

Shapiro Z. /., частное сообщение.

Sramek E. 4., Astrophys. Journ., 167, L55 (1971).

Hill /. M., Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 153, 7P (1971).

Я думаю, что сейчас у нашего руля почти все время стоит Исаак Ньютон.

Астронавт Вильям А, Андерс на обратном пути после первого облета Луны) 26.12.68

Глава 9

ПОСТНЬЮТОНОВСКА Я НЕБЕСНАЯ

МЕХАНИКА

Уравнения поля Эйнштейна нелинейны й потому не могут быть точно решены в общем виде. Налагая требования симметрии ——независимость от времени и изотропию пространства, нам удалось найти одно точное полезное решение ——метрику Шварцшильда ,но невозможно в полной мере использовать это решение, поскольку Солнечная система в действительности не является ни статической, ни изотропной. В самом деле, ньютоновские эффекты в гравитационных полях планет на порядок величины больше, чем первые поправки, связанные с общей теорией относительности, и совершенно нечувствительны к высшим поправкам, которые в принципе возникают из точного решения Шварцшильда.

Вот почему нам не нужно искать более точного решения, а следует развивать систематический приближенный метод безотносительно к каким-либо предполагаемым свойствам симметрии системы. Существуют два таких особенно полезных метода; они называются постнъютоновским приближением [1] и приближением слабого поля. Первый из них применим к системам, подобным солнечной, т. е. к системам медленно движущихся частиц, связанных гравитационными силами. Именно такие системы являются предметом рассмотрения в данной главе. Во втором методе поля рассматриваются в приближении низшего порядка, но не предполагается, что материя движется нерелятивистски. Такое приближение применимо для изучения гравитационного излучения и будет обсуждаться в следующей главе. Ясно, что существует область, в которой методы перекрываются, а именно когда частицы медленно движутся в очень слабых полях. Однако ввиду их различных применений эти методы лучше разделить.

Постньютоновское приближение исторически возникло [11 как один из результатов исследования следующей проблемы движения-. могут ли уравнения движения массивных частиц вытекать из одних только уравнений гравитационного поля? Согласно точке зрения, принятой в этой книге, уравнения движения в общей теории относительности следуют из уравнений движения специальной теории относительности и принципа эквивалентности.

Поэтому в этой главе мы будем рассматривать постньютоновское приближение как метод, представляющий собственный интерес, а не как часть проблемы движения.

Постньютоновское приближение

Рассмотрим систему частиц, которые, подобно Солнцу и планетам, связаны взаимным гравитационным притяжением. Пусть М, риг — средние значения масс, скоростей частиц и расстояний между ними. В ньютоновской механике есть хорошо известный 2 результат, что среднее значение кинетической энергии Х^М и по порядку величины примерно равно характерной потенциальной энергии GMTr, поэтому

-2 GMV 〜—г

(Например, частица, вращающаяся по круговой орбите радиусом г вокруг центральной массы М, имеет скорость р, задаваемую в ньютоновской механике точной формулой р2 = GM/r.) Постньютоновское приближение можно рассматривать как метод описания движения системы на один порядок точнее по малым параметрам GMIr и р , чем это делает ньютоновская механика. Иногда говорят о разложении по обратным степеням скорости света, но так как в нашей системе единиц с = 1, мы будем считать параметром разложения v или, эквивалентно, GM/r・

Прежде всего посмотрим, в чем состоит наша задача. Уравнения движения частиц имеют вид

Отсюда можно вычислить ускорения следующим образом: d^/dt\-1d p /dt\ -1^i 1

d抵—\dx)dx L \d%fd% J 一

/dt、-2d2力*/dt\-3 dHd炉_

—\dt/М2\dr/肌2丸—

= 一■丄m% 歹十丄vX"dt加 ST'

Более подробно это выражение можно переписать так: d2力‘n npipid力‘ d力hj

一1。。一/1 oJFF-1 汴 FT FT 十

+ [Г°оо + 2Г。” 罢 +「％ 等警]嘗•(9.1.2)

В ньютоновском приближении, которое мы обсуждали в § 4 гл. 3, все скорости считались исчезающе малыми и в разности между g^v и тензором Минковского 13yxp удерживались лишь члены первого порядка. При этом мы получали

@2炉1^@2炉1^■一 Г^оо~2■一 Г^оо~2dgoo扶ddgoo扶d

@2炉1^

@2炉1^

■一 Г^оо~2

■一 Г^оо~2

dgoo扶d

dgoo扶d

Но (go。一 1) есть величина порядка GM/r^ поэтому ньютоновское приближение приводит к величине ^^/dt2 порядка GMIr , или, —2

что то же самое, v /г. Следовательно, цель постнъютоновского приближения состоит в том. чтобы вычислить значения 扌x^d仔 с точностью до и /г. Глядя на уравнение (9.1.2), мы видим, что нам .необходимо иметь компоненты аффинной связности со следующей точностью:

rSo,

включая

—4 ■— члены порядка р /г,

—3 —~

Гго；,

»

»»V /г,

Г%，

»

—2—

»»U /Г,с

-3-(9.1.3)

Г°оо>

»

»»и /г,

-2 -

Г%;,

»

»» и /г,

Г%,

»

»»р/г.

Исходя из нашего опыта

по нахождению решения Шварц-

шильда, мы можем

думать,

что существует система координат,

в которой метрический тензор почти равен тензору Минковско

го pUVJ причем поправки можно разложить по степеням MG/r 〜 v . В частности, мы полагаем, что справедливы следующие разложения:

4

goo = — 1 + goo + goo + • • •,(9.1.4)

4

g订=6订 + g订 + gtj +(9.1.5)

5

^iO ==^{0 4-^10+ • • ■»(9.1.6)

где символ g^v означает член порядка и |в guv. Зависимость от нечетных степеней v в gi0 возникает из-за того, что g^ должно менять знак при обращении времени 力 f——t. Действительное оправдание такого разложения будет дано ниже, когда мы покажем, что оно приводит к самосогласованному решению эйнштейновских уравнений поля.

Обратный метрический тензор определяется следующими соот-

ношениями:

g 加 gou = g*°goo + g"gjo = O,(9.1.7)

^^Оц = g00gw + §°^0； = 1,(9.1.8)

Мы полагаем, что

g汕g/u = g'°gjo + g'*g 加=6切(94.9)

24

g°°=-l + g°° + g°°+…，(9.1.10)

2 .4 .

g" = M + g” + g"+ ・・•，(9ЛЛ1)

35

g?o = g2 + gS+ ・・・，(9.1.12)

и, подставляя эти получаем

22

g°°= _goo,

разложения в соотношения (9.1.7) — (9,1.9),

g"=—g",g'° = gio и т. д. (9.1.13>

Аффинную связность можно получить из хорошо известной формулы

］叱—1 „цр ( agpv I °gp% 〃v% )

При вычислении Г^. мы должны учесть, что в качестве масштабов расстояния и времени в вашей системе выбраны г и rlv соответственно. Поэтому будем считать, что пространственные и временные производные имеют следующий порядок:

6611

6

6

1

1

dtdt

dt

dt

Используя наши оценки (9.1.4) — (9.1.6) и (9.1.10) — (9.1.13). находим, что компоненты Гоо, Г^ и Г^ имеют разложения

г%=飢入 + 卞％(для Гж, Г%, Г%, (9.1.14)

а компоненты Гг0；, Г°оо и Г°(； имеют разложения

F% = i% + $%+ (для Г%，「％)・ (9ЛЛ5)

Здесь символ Гиу?и означает член порядка и /г в F厶.Компоненты」 перечисленные в (9.1.3), имеют следующий явный вид:

储=

2.I

「00 = — "^

4

1 °gOQ

2 ^^

2

鬼00

3dgiodt

22

I °^00

订

466？

(9.1.16)

(9.1.17)

3.

1 г

3 ^г0

2

,8gij

3

(9.1.18)

■ 2

дхЭ

1 dt

加」，

1「

2 ag»j

2

1 dgih

°g熱1

(9.1.19)

丄川I

-2 L

8工h

de，

8炉J,

3

Г%

0 一

2

1 ^00

2 dt

(9.1.20)

2

Г°ог=-

2

1匆00

29炉

(9.1.21)

Г°и

1 = 0.

(9.1.22)

Очевидноа что нам необходимо знать компоненты 纟切 включая ~—2■— 3-—4

члены порядка v , gi0 до порядка v и ^00 до порядка v • Напомним для сравнения требования ньютоновского приближения, когда —2

надо знать g00 с учетом порядка рс, a g^ и g^ только в нулевом порядке.

Чтобы вычислить тензор Риччи, используем (6.1.5):

Лgх = Л g1% =-薄费 卜丄 以丄XT］一丄n%1汕•

Из (9.1.14) и разложений (9.1.15) и (9.1.16) находим, что компоненты тензора /?115t имеют разложения вида

(9.1.23}(9.1.24)(9.1.25)(9.1.23}(9.1.24)(9.1.25)24

(9.1.23}

(9.1.24)

(9.1.25)

(9.1.23}

(9.1.24)

(9.1.25)

Roo — Roo + Roo + • • •,

35

Rto = Hio + Rio+ •.

24

Rij =区订 + ^ij + • • •>

где R^v означает член порядка у ,т в jRuv. Члены, которые можно вычислить, пользуясь «известными» разложениями компонент аффинной связности, таковы:

2

鼠=一匹迎(9.1.26}

氤=*—+ 丸自 0。一 h^ij,(9.1.27)

2 .死后dt -2 .死后dt -(9.1.28)(9.1.29)(9.1.28)(9.1.29)212%0 =攵•▽%(),212%0 =攵•▽%(),! 1 / 4оо \ / ^00 ] I 1 / 4оо \ /。幻＞ \! 1 / 4оо \ / ^00 ] I 1 / 4оо \ /。幻＞ \ 1 Ng》j 1 货gjo1 货g 订132 日加 дхЗ 2 Qxi QXj 1 Ng》j 1 货gjo1 货g 订132 日加 дхЗ 2 Qxi QXj2 dx^ dxi2 dx^ dxi2—_^L2比在a炉2—_^L2比在a炉(9.1.30),(9.1.31)(9.1.32)(9.1.33)(9.1.30),(9.1.31)(9.1.32)(9.1.33)

2 .

死后

dt -

2 .

死后

dt -

(9.1.28)

(9.1.29)

(9.1.28)

(9.1.29)

212

%0 =攵•▽%(),

212

%0 =攵•▽%(),

! 1 / 4оо \ / ^00 ] I 1 / 4оо \ /。幻＞ \

! 1 / 4оо \ / ^00 ] I 1 / 4оо \ /。幻＞ \

1 Ng》j 1 货gjo1 货g 订13

2 日加 дхЗ 2 Qxi QXj

1 Ng》j 1 货gjo1 货g 订13

2 日加 дхЗ 2 Qxi QXj

2 dx^ dxi

2 dx^ dxi

2

—_^L2比在a炉

2

—_^L2比在a炉

(9.1.30)

,(9.1.31)

(9.1.32)

(9.1.33)

(9.1.30)

,(9.1.31)

(9.1.32)

(9.1.33)

3

凡О

с222

J — аг%叫 каг%

"дхЭдхЗдх^

Если использовать (9.1.16) — (9.1.21), получим

(9.1.35)(9.1.35)записываются(9.1.36)записываются(9.1.36)

(9.1.35)

(9.1.35)

записываются

(9.1.36)

записываются

(9.1.36)

Теперь можно сильно упростить все выражения, выбрав подходящую систему координат. Мы показали в § 4 гл. 7, что 方世 всегда можно определить так, чтобы оно подчинялось условию гармоничности координат:

(9.1.34)(9.1.34)g"叫v = o.

(9.1.34)

(9.1.34)

Используя (9.1.10) — (9.1.13) и (9.1.16) — (9.1.21), находим, что исчезающий набор членов третьего порядка в g^vpo^ имеет вид

232

1^gQOdgQi,1ggn

2dtdx^2dt

а равные нулю члены второго порядка в 且山^^‘以丫 так:

222

0= 1 @g(M)[ "giJ1 9gH

2 3/£ дхЗ 2 Qxi

Отсюда следует, что

( 喝t 畑0 1 脸0 = n

23/

a2gti郃纟'。 a g" . °

dt de； 6陋 @力 &：i @±*

222f2

и выражения (9.1.30) —— (9.1.33) дают теперь упрощенные формулы для тензора Риччи:

%7叫，(9.1.37)

"ею —五▽ goorg" dxidxi (Vg。。) (9」・38)

R。2=十▼2a0,(9.1.39)

% =(9.1.40)

Мы готовы использовать полные уравнения Эйнштейна, записанные в форме

小=-8jiG (% - 4" gw*) •(9.1.41)

Исходя из нашей интерпретации плотности энергии, плотности импульса и потока импульса, мы полагаем, что разложения 7°°, 7'° и Т” имеют вид:

о 2

7。。= 7。0+ 7。。+...，(9.1.42)

№ =方0+声。+(9.1,43)

*=次 +加+(9.1.44)

где символ означает член 7“” порядка (М/г3) pN. (В часто2

ности, Т°° есть плотность массы покоя, а Т°° — нерелятивистская часть плотности энергии.) Итак, выражение, которое необходимо знать, имеет вид

Но GM/r имеет порядок J, поэтому формулы (9.1.4) — (9.1.6)

и (9.1.42)— (9.1.44) приводят к следующим выражениям：

02

5оо = S()o + Soo + *

(9.1.46)

13

Sfo = St。+ Sio + ….，

(9.1.47)

S»j = Sfj + Sij + ・•・，

(9.1.48)

где Sg есть член порядка Mv /г ：в S^. В

частности, имеем

0j о

凡产犷。，

(9.1.49)

2彳 22 02..

(9.1.50)

Si0=—T%<

(9.1.51)

0J0

S"=十十6"。。.

(9.1.52)

22 02-8nG [Т。。- 2gooT。。+ 7"1,22 02-8nG [Т。。- 2gooT。。+ 7"1,(9.1.53)(9.1.54)(9.1.55)(9.1.56)(9.1.53)(9.1.54)(9.1.55)(9.1.56)Подставляя (9.1.37) — (9.1.40) и (9.1.46) — (9.1.52) в уравнения поля (9.1.41), видим, что уравнения в гармонических координатах действительно согласуются с использованными разложениями, и это приводит к таким результатам:

22 02

-8nG [Т。。- 2gooT。。+ 7"1,

22 02

-8nG [Т。。- 2gooT。。+ 7"1,

(9.1.53)

(9.1.54)

(9.1.55)

(9.1.56)

(9.1.53)

(9.1.54)

(9.1.55)

(9.1.56)

V2g；o= + 16лСГо,>20

y2g,j= 一版况"。。.

Из (9.1.53), как и ожидалось, вытекает следующее соотношение:

(9.1.57)(9.1.57)2

(9.1.57)

(9.1.57)

goo= 一2步,

где 巾 —— потенциал Ньютона, определяемый уравнением Пуассона

о

2

Поскольку g00 исчезает на бесконечности то решение уравнения (9.1.58) имеет вид

о ,

6 (х, t) = - G j dsx' ；：£?,? •(9.1.59)

Из (9.1.56) можно найти исчезающее на бесконечности решение 2

для g〃： 2 gtj= — 26j；6(9.1.60)

з

Ho gfo можно рассматривать и как новый векторный потенциал 窃

gto 三 К・(9.1.61)

Поэтому исчезающее на бесконечности решение (9.1.55) запишется так:

1

备(х, Z) = -4G [守d吃'•(9.1.62)

J I X —X I

И наконец, используя (9.1.57), (9,1.58) и тождество

выражению!(9.1.63)(9.1.64)выражению!(9.1.63)(9.1.64)можно упростить (9.1.54), сведя его к следующему goo = 一2岁2 一2屮,

выражению!

(9.1.63)

(9.1.64)

выражению!

(9.1.63)

(9.1.64)

где гр — еще один потенциал:

▽2 =需 + 4лс [Л° + 加].

Поскольку go。должно обращаться в нуль на бесконечности решение уравнения (9.1.64) имеет вид

+ Gr00(xz,力+ G戸(Н, £)]•(9.1.65)

Координатное условие (9.1.35) налагает на ф и ^ следующую связь:

4 翁十▽•占=и,(9.1.66)

координатное же условие (9.1.36) выполняется теперь автоматически. В § 3 этой главы мы увидим, что благодаря законам сохранения, которым подчиняется Г^, уравнение (9.1.66) также удовлетворяется нашими решениями.

Подставляя (9.1.57), (9.1.60), (9.1.61) и (9.1.63) в (9.1.16)— (9.1.22), получаем следующие выражения для нужных нам ком-

понент аффинной связности：

2

дф

дх^

(9.1.67)

4

ГОо=-

а］（2货+ 屮）+ ^ ）

(9.1.68)

Г^' = 4(

猬 дх^

电j \ r дф

(9.1.69)

2.

Г /й = 6订•

g dxh

(9.1.70)

3

Г°оо =

дф

IT'

(9.1.71)

2

аф

(9.1.72)

В качестве премии мы можем вычислить еще и тельных члена в аффинной связности, играющих ньютоновской гидродинамике:

три дополни- роль в пост-

31

@犷丿"加'

(9.1.73)

4

(9.1.74)

ро 一叫

1 00 .成

+ JW・

(9.1.75)

Динамика частицы и фотона

Прежде чем продолжить вычисление постньютоновской метрики, обратимся вновь к задаче, с которой мы начинали, а именно к вычислению ускорения свободно падающей частицы до членов порядка vk/r. (Подробности применения постньютоновского приближения будут даны в § 5—9 этой главы.) Подставляя (компоненты аффинной связности (9.1.67) ——(9.1.72) в (9.1.2), получаем непосредственно уравнение движения

窑=-▽。+ 2状+屮)一等+

+ vx(Vx?) + 3v-^- + 4v (v.V)</>-v2V</>,(9.2.1)

где и° = &№/&九

Кроме этого, нам необходимо знать, как время t в гармонических координатах связано с собственным временем т, измеряемым для тела, свободно падающего со скоростью v. По определению

имеем

(雾)2 = _ goo 一 2g i/t — g.

G учетом членов порядка у4 это приводит к выражению

("^ ) = 1 ~ [у2+ goo】一 [goo + 2gioyt + 纟订尸历，

или, используя (9.1.57), (9.1.60), (9.1.61) и (9.1.63), получаем

(窑)2=1 +[2『們+ 2困+『” +z2].

Слагаемые, заключенные в скобки, имеют порядок р2 и р4. Используя степенное разложение корня ]/1 + /, находим, что с учетом членов порядка и справедливо следующее выражение:

警=1+#一扌V2一扌(2ё一V2)2 +旷+屮一甘7+川2,

которое можно переписать так:

窑=1一厶(9.2.2)

где

L-4-v2"^-T^2"4 内2 + 营(¥2)2一屮+g・v. (9.2.3) Поскольку величина j (dn/df) dt стационарна, величину L можно рассматривать как лагранжиан одной частицы и вывести уравнения движения, исходя из известного уравнения Лагранжа

二迫=丝.(9.2.4)

(Производную d/dt при действии на 步 или J следует брать в виде d/dt + V *V-) Читатель может легко проверить, что уравнение Лагранжа (9.2.4) согласуется с уравнением (9.2.1).

Постньютоновские поля можно также использовать для вычисления ускорения фотона в гравитационном поле до членов порядка р2. (Здесь у—конечно, не скорость фотона, а обычная скорость частиц с отличной от нуля массой, из которых состоит система.) Поскольку скорость фотона 〃》= ddldt равна единице, уравнение (9.1.2) приводит к следующему выражению для ускорения:

々j = — Г%о —「亦"兴左 + 2uir°QjUj + О (p ).

Используя(9.1.67), (9.1.70) и (9.1.72), получаем

需=—(14-U2) v^>+4u(!!・▽,)+。(泊.

Заметим, что скорость фотона задается условием

о=—g"v 嗒警= 1-и2 + 2а + и2)@+О 硏 или

|u| = f+ 2e+。@3).(9.2.5)

Следовательно, при требуемой точности в формуле для ускоре* ния фотона можно и2 заменить единицей. Тогда

翁=-2ve + 4u(u'e)+oe3).(9.2.6)

Несколько удобнее записать это выражение в виде уравнения для единичного вектора и = и/1 и |:

= G Х@Х ▽</>)+。®3).(9.2.7)

§ 3・ Тензор энергии-импульса

Чтобы завершить программу вычислений, намеченную в § 1 этой главы, покажем, как можно вычислить тензор энергии-импульса 7fx”, который служит в качестве источника гравитационного поля. Посмотрим сперва, как проявляются в постньютоновском приближении законы сохранения энергии и импульса. Законы сохранения в общем виде записываются так: Т"：卩=0. Более подробная запись левой части при этом имеет вид

$ 7吃=_一 TкT味 (9.3.1)

Так как все Г имеют по крайней мере порядок р2/г, член порядка Ми/г" с v = 0 дает

—+ 7no = 0.—+ 7no = 0.(9.3.2)(9.3.2)

—+ 7no = 0.

—+ 7no = 0.

(9.3.2)

(9.3.2)

Это выражение можно рассматривать как закон сохранения мае- сы; для нас не будет неожиданностью сохранение массы в постньютоновском приближения, так как большая скорость превращения массы в энергию создавала бы температуры, при которых частицы системы двигались бы релятивистски, в противоречии с исходным условием и《 1. Уравнение (9.3.2) важно не только само по себе; оно нам необходимо для согласованности с условиями гармоничности координат. Из (9.1.53) и (9.1.55) мы видим, что уравнение (9.3.2) требует

▼ (-2▼ (-22 з脸 о I dgQi2 з脸 о I dgQi"3力'"3力'、（4筝+▽司=0・、（4筝+▽司=0・

▼ (-2

▼ (-2

2 з

脸 о I dgQi

2 з

脸 о I dgQi

"3力'

"3力'

、（4筝+▽司=0・

、（4筝+▽司=0・

Поскольку ip и 匕 на бесконечности исчезают, можно сделать вывод, что

4 粤 +▽•自=0,

подтвердив, таким образом, координатное условие (9.1.66).

Возвращаясь к уравнению (9.3.1), находим, что при v = %

сны порядка Mvlr" приводят к следующему соотношению: £ }ог + 旦加=_ 丸(Л。.

Используя (9.1.67), запишем это так:

q 1а 2 .q 1а 2 . 帅 yoo 帅 yoo(9.3.3)(9.3.3)

q 1а 2 .

q 1а 2 .

帅 yoo

帅 yoo

(9.3.3)

(9.3.3)

Гак как T” есть поток импульса, то формула (9.3.3) выражает закон сохранения импульса. Отметим, что правая часть (9.3.3) есть как раз плотность ньютоновской гравитационной силы, о

равная плотности массы Т°°, умноженной на — ▽$•

Нет других законов сохранения, которые содержали бы только те компоненты Т^, которые необходимы для вычисления полей о в постньютоновском приближении, т. е. только компоненты Г00. 21 .2

Г00, Гг° и Тг?. Заметим, кроме того, что guv входит в оба закона сохранения (9.3.2) и (9.3.3) только через 岁，которое можно вычислить в ньютоновском приближении. Процедура, таким образом, будет существенно итерационной. Мы должны будем сперва решить ньютоновские уравнения движения; затем использовать это решение (в добавление к уравнениям состояния) для того, о 21 .2

чтобы определить компоненты Г00, Г00, 710 и Т"; затем вычислить постньютоновские поля 屮 и g, а после этого вновь рассчитать движение частиц, и так далее. Можно показать [1], что эта процедура справедлива в любом порядке, т. е. чтобы вычислить поля в N-м приближении, необходимо знать компоненты тензора Т1^, которые удовлетворяли бы законам сохранения и содержали поля, вычисленные только в (N ——1)-м приближении. Для нас здесь будет достаточным написать законы сохранения, которым подчинялись бы компоненты 7^ более высокого порядка, чем те, что появляются в (9.3.2) и (9.3.3). В выражении (9.3.1) при v = 0 член порядка Mvlr" и при v = i член порядка历V戸имеют следующий вид:

Л 2 入333.022.1

+丄小=一(2г。。。+ г\о) 7。。 - (3Г* + 口川

内3 я 4 .4. О 22

』倉。+ 亠 厂? = - ГооГ00 - Г^Г00 -

33312222

一(2『°j + 6”。。。+ 6“％) № — (Г% + Г%必 + Т1М Гй.

Используя (9.1.67) — (9.1.72), это можно записать так:

(9.3.4)(9.3.4)d yoo I d 击0 = ,00 d«

(9.3.4)

(9.3.4)

0力步，

备强+言%=一步叫息（2旷+屮）+等］—

(9.3.5)(9.3.5)

(9.3.5)

(9.3.5)

—yoo d° , дх^

-Tih[8Jk

领，筹］一

Как мы и ожидали, компоненты источника Т°°, 7卽 и Гг\ необходимые для вычисления ^остп-постньютоновских полей, подчиняются законам сохранения, содержащим метрику только в постньютоновском порядке.

Для вычисления тензора энергии-импульса нам, конечно, необходима модель. Простейшей такой моделью является совокупность свободно падающих частиц с гравитационным или контактным взаимодействием. Из выражения (5.3.5) имеем

^^ (х,力=g-1/2(X, 0 2 mn х

dr廿(力 6鸾(方)/ dr \ -1

Х-7Г—У (鲁)2(x —x“(/)),(9.3.6)

где mn,胃才(0 и тп ——масса, пространственно-времеипая координата и собственное время n-й частицы соответственно, а ——g есть детерминанту^. Элементарные вычисления, использующие (4.7.5), дают

24

g=l +g + g+

где g имеет порядок v и, в частности,

2222「

g = Wgiiv= —g()o + gtt= —”.(9.3.7)

Подставляя (9.3.7) и (9.2.3) в (9.3.6), находим, что

0

ТоО=^тп8з(х_Хп)1(9.3.8)

2

7ОО：

^^тп(ф+~^)^ (х-хп),(9.3.9)

п

厂 0 = £ mnVn^ (х —xn),(9.3.10)

Ti3 = S ^nVn^n^ (x —xn),(9.3.11)

n

где vn = dxn/dtt Чтобы ввести законы сохранения, необходимо

вспомнить, что

*63 (х —Xn (it)) = РП{-Д-63 (х—хп (/)) = — vn-V63(X —X» (/));

поэтому

+言加=2佃专63(x — xJn

Мы видим, что если закон сохранения массы (9.3.2) удовлетворяется автоматически, то закон сохранения имиульса (9.3.3) выполняется в том и только в том случае, если каждая частица подчиняется ньютоновскому уравнению движения

-^l= 一 V^ (en).-^l= 一 V^ (en).(9.3.12)(9.3.12)

-^l= 一 V^ (en).

-^l= 一 V^ (en).

(9.3.12)

(9.3.12)

Таким образом, расчет движения совокупности гравитационно взаимодействующих точечных частиц должен проводиться ио следующей программе:

А. Решить ньютоновскую задачу, т. е. решить уравнения (9.3.12) и (9.1.58) для хп (力)и 岁(胃).(Это единственный шаг, который не всегда выполняется путем прямого вычисления.)

Б. Использовать результаты А и уравнения (9.3.8) — (9.3.11)

О 21.2

для вычисления компонент Г00, Г00, Гго, Т"‘ тензора энергии-импульса.

В. Использовать результаты А, Б и уравнения (9.1.62), (9.1.65} и вычислить постньютоновские поля и гр.

Г. Применить результаты А, В и уравнение (9.2.1) для вычисления постпьютоновских поправок к траекториям хп (/).

Д. Повторить ту же процедуру с новыми решениями и т. д

16*

Мультипольные поля

В качестве первого примера вычислим гравитационное поле на больших расстояниях от создающего его источника — произвольного конечного распределения энергии и импульса. Пусть 7卩V (х, 9 исчезает при г > R, где г = | х |. Знаменатель I х — х' I в выражениях (9.1.59), (9.1.62) и (9.1.65) можно разложить по обратным степеням величины r/R:

|x — x'|Tf；+受十....(9.4.1)

Тогда можно показать, что

GM г

粤+。(*),

(9.4.2)

4G儿 г

1

整耳。（营），

(9.4.3)

2

2

GM г

(9.4.4)

0

『0

j T^d?x,

(9.4.5)

0f

. 0

x夕。0 d3x.

(9.4.6)

j /i0 d3x,

(9.4.7)

1

/订三2

炉”。也

(9.4.8)

2 c 22

м三 ) (Т。。+ 7册)不瑞(9.4.9)

^^\^ + T^^^d4.(9.4.10)

2

[Член ^2^/^^2 не дает вклада в М, поскольку он равен —'/&▽・(。匕/欠)

% следовательно, исчезает при интегрировании.]

Поле 1|)проявляется физически только за счет присутствия его в разложении g00:

goo = — 1 ' 2岁一2 屮一2* + О ")・

Очевидно, что поле i|)можно учесть, просто заменяя везде ф на 屮 + » Иначе говоря, оставаясь в рамках точности, требуемой

достныотоновским приближением, можно написать

g。。= -1一23+巾)一20 +巾)2+。(济).(9.4.11}

Выражения

(9.4.2) и (9.4.4)

позволяют представить имеющее

физический

где

смысл поле 岁 + 屮 в виде

GMGx・D . ^/ 1 \

0202

М = М М.D = D + D.

(9.4.12)

(9.4.13)

Поскольку

величина D не

описывает важного

физического

явления, а скорее есть просто

(9.4.12) можно переписать в

смещение всего поля виде

,выражение

e+叩一*^7十。（靑）•（"

Мы можем исключить член с D, определяя систему координат как систему центра энергии. В отличие от члена с D, члены порядка 1/г и 1/г2 в разложении (9.4.3) величины 白 представляют большой физический интерес.

Выведем ряд полезных свойств моментов от тензора 7出"， используя сохранение энергии и импульса. Из уравнения сохранения массы (9.3.2) следует, что в общем случае справедливы уравнения

о

"D __ рdt — •"D __ рdt — •* = 0,(9.4.15)

"D __ рdt — •

"D __ рdt — •

(9.4.16)

Если тензор энергии-импульса не зависит от времени, то (9.3.2) записывается в виде

и, следовательно, интегрируя по частям, мы получим

°=)炉焉 т汕d®= —р\(9.4.17)

О = 2 J х^5~ Th° ^х = -Jij-J^.(9.4.18)

Тот факт, что у статической системы Р = 0, едва ли удивителен.

1

Антисимметричность же J^ не столь очевидна. Запишем /订 в виде

где Jk — вектор углового момента:

Jk = ^ £订曾行Н j а3%无必%少".(9.4.20)

Подставляя (9.4.17) и (9.4.19) в (9.4.3), получаем

一警(Xx J)+0($).(9.4.21)

Паши результаты (9.4.14) и (9.4.21) для ф + 'Ф и g, вообще говоря, установлены только вдали от притягивающей массы. Однако они также справедливы вплоть до поверхности сферического распределения энергии и импульса. Допустим сперва, что Тк” (х,力 зависит от положения х только через радиус г = | х |. Тогда в выражениях (9.1.59), (9.1.62) и (9.1.65) множитель I х — х‘ I г можно усреднить по углам. Для г > г' имеем

If dQ 1 Г sin Ode1

"ST J |x — x" J [产—2疗 cos В + r'2]1^ — К “

Следовательно, везде вне сферы о

(9.4.22)

g=-4G^-,(9.4.23)

2

屮=———•(9.4.24)

Если сфера покоится, то Р = 0; в этом случае (9.1.57), (9.1.60), (9.1.61), (9.1.63) и (9.4.13) приводят к следующей метрике:

(9.4.25)(9.4.26)(9.4.27)(9.4.25)(9.4.26)(9.4.27)4 . 2MG2M2G2

(9.4.25)

(9.4.26)

(9.4.27)

(9.4.25)

(9.4.26)

(9.4.27)

g。。^ 一 1 н；—

gto ^ о,

gtj ^ 6订 + 25订——•

Этот результат согласуется с точным решением Шварцшильда, задаваемым в гармонических координатах выражением (8.2.15):

goo=— gto = О,goo=— gto = О,1—д/G/rТ+Ж/7，1—д/G/rТ+Ж/7，手)& + (芈у^手)& + (芈у^

goo=— gto = О,

goo=— gto = О,

1—д/G/r

Т+Ж/7，

1—д/G/r

Т+Ж/7，

手)& + (芈у^

手)& + (芈у^

Однако в этих двух выводах есть существенное различие, а именно： в то время как точное решение Шварцшильда, найденное

в § 2 гл. 7, справедливо для статической сферически-симметрич- лой системы, постньютоновское решение применимо к системе, изменяющейся за время порядка rlv. В § 7 гл. 11 будет показано, что в действительности решение Шварцшильда справедливо вне любой сферически-симметричной системы, как статической, так и иестатической.

Рассмотрим теперь сферически-симметричную систему, которая не перемещается, но вращается с угловой частотой (о (г). Плотность импульса записывается в этом случае так:

六。(х\ t) = Т°° (г') [з (Q X х\. (9.4.28)

^Гогда уравнение (9.1.62) задает поле 匕 следующим образом:

匕(х) = _ 4G j RMp 片。。Q d4X. (9.4.29) Интеграл по телесному углу

f 」(察^)х M"VL (9430)

I (4^~) * Для(9.4.31) Таким образом, поле вне сферы имеет вид

g(x)=^"[x х J(0(旷)强(0产办[.(9.4.32)

Интеграл можно выразить через угловой момент, определяемый с помощью (9.4.20) и (9.4.28), следующим образом:

J = j(xz х [(о Q х xl) Т。。(产)办0 -

=j [r，2w (r‘)一x' (x'・s (r'))] T°° (r') d3x'=

= -^-J «(r^T00 {r')r^dr'.(9.4.33)

Итак, выражение (9.4.32) везде вне сферы равно

匕(x)=^(xxJ),(9.4.34)

ит。согласуется с общей асимптотической формулой (9.4.21). Поле внутри полой вращающейся сферы задается выражениями (9.4.29) и (9.4.31) в виде

匕(х) = X X Q,(9.4.35)

1 Де

(9.4.36)(9.4.36)Й^-^ J (О (И 济。。(^) г' dr'.

(9.4.36)

(9.4.36)

好 § 7 гл. 9 мы обсудим связь этого результата с принципом Маха-

Прецессия перигелия

Мы увидим сейчас, как постньютоновский формализм, развитый в последних четырех параграфах, можно использовать для вычисления прецессии планетарных орбит в реальной Солнечной системе, т. е. с учетом существования других планет, вращения Солнца, его несферичности и т. д. В потенциале 岁 + гр, определяющем go。[см. выражение (9.4.11)], подавляюще большую часть составляет сферически-симметричный вклад от Солнца ——GM^Ir и поэтому потенциал ф + гр удобно записать в виде

巾 +巾三一"^^• + e(X,力)，(9.5.1)

причем функция £ включает в себя не только ньютоновские потенциалы других планет, но также любой квадрупольный момент или даже моменты более высоких порядков от вклада Солнца в потенциал 巾 + гр・ Теперь уравнение движения (9.2.1) точечной частицы имеет вид

警=一警+ " +。06),(9.5.2)

где " —— малое возмущение:

n=-V(B + 2e2)— _J+vx(VxG) +

+ 3v-^- + 4v (v-V) <}>-v2V</>.(9.5.3>

В дальнейшем наиболее удобный метод вычисления прецессии перигелия будет связан с оценкой скорости изменения вектора Рунге — Ленца ')

А= -M0Gy+(vxh).(9.5.4)

Здесь г = I х I, V м dx/dt. h ——орбитальный угловой момент, приходящийся на единицу массы:

h = х X V.(9.5.5)

(956)(9.5.7)(9.5.8)(956)(9.5.7)(9.5.8)Если в уравнении (9.5.2) возмущение ” отсутствует, то орбиты будут эллиптическими и будут задаваться обычными формулами:

(956)

(9.5.7)

(9.5.8)

(956)

(9.5.7)

(9.5.8)

「一 1 + е cos (ф — фо)'

dtpР 厶竺 2)G

drj / M®G .

前=е/ -^~sin (ф-фо),

Этот вектор введен еще Лапласом и его правильнее называть вектором Лапласа.— Прим、ред.

где е ——эксцентриситет, a L ——фокальный параметр (§ 6 гл. 8). Мы рассматриваем орбиты, лежащие в плоскости 0 = л/2, с перигелием при значении азимутального угла 屮=(р0. Тогда h будет постоянным, нормальным к орбите вектором, величина которого равна

|h| = ]/T7硬， (9.5.9)

а А —— постоянный, направленный к перигелию вектор, величина которого равна

IАI - eM^fi. (9.5.10) Следовательно, скорость прецессии перигелия d^Jdt, вызванной любым возмущением, есть как раз составляющая изменения dA/dt единичного вектора А — А/1 А | вдоль направления, пер- пендикулярного как А, так и h, т. е.

轡= &хА)•孚=(hxA)•伴. (9.5.11) (Если d^Jdt — положительная величина, то прецессия происходит в том же самом направлении, что и движение планеты.) Непосредственным вычислением можно показать, что скорость изменения А, порожденного возмущением 刀 в (9.5.2), равна

醬="х h + V X (х X я). (9.5.12)

Отметим, что dA/dt, а следовательно, и dq"dt линейны по ”, и поэтому корректное вычисление d^Jdt ——это суммирование вкладов в прецессию, даваемых каждым малым членом в Т).

Наибольшим членом в ” является ——Vs, возникший от ньюто- новских потенциалов других планет. Мы не будем пытаться вычислить этот член. Специалисты утверждают, что он приводит к прецессии d^oldt, которая для Меркурия составляет около 532" за столетие (§ 6 гл. 8). Следующий существенный член, появляющийся из-за релятивистских поправок в (9.5.3), можно получить, приравняв $ и g значениям, которые они имели бы при сферическом невращающемся Солнце:

GMf

= 一一户，C = 0.(9.5.13)

Тогда выражение (9.5.3) дает

"=-2V</>|)+ 4v (v-V) e@-v2V«®.(9.5.14)

Подставив (9.5.12) — (9.5.14) и (9.5.6) — (9.5.10) в (9.5.11), получим следующую формулу для вычисления:

窯^ = SM^GkL-3 [1 4- cos (ф — ф0)]3 х

X sin2 (ср — ср。) 一 MeGe^hL~3 х

X {7 [1 + е cos (ф —屮о)]2 + 4 [14-е cos (ср—(р0)]3 +

+ [1 + е cos (<р — ф0)]4} cos (ср — фо)•(9.5.15)

Поскольку(р0 меняется медленно, изменение (р0 за один оборот можно определить, интегрируя dq"dt на интервале, равном одному периоду, фиксируя при этом в подынтегральном выражении 屮о и используя для d^ldt формулы Кеплера (9.5.6) — (9.5.10). Это приводит к следующему выражению для прецессии за один оборот：

2л2л

厶屮。=j 證^©中=? j ^- [1 + e cos (<p —(po)]-2 d^.(9.5.16)

00

Большинство членов исчезает при интегрировании по углам, и оставшиеся члены дают следующее выражение:

△屮0 = 6冗-户(9.5.17)

в полном согласии с нашим более ранним результатом (8.6.11).

(9.5.18)(9.5.18)В качестве примера еще одного малого вклада в прецессию оценим действие поля g, возникающего из-за вращения Солнца. Согласно (9.4.34),

(9.5.18)

(9.5.18)

G =声(х X %) •

Вклад этого поля в ускорение dv/d方 задается с помощью (9.5.3) следующим образом:

q = V х (V X ?) = 6Gh (х・ J®)厂5十 2G (v x Js) r-3. (9.5.19)

Тогда, согласно формуле (9.5.12), можно утверждать, что это приводит к изменению А со скоростью, равной

■^ == — 6Gh (v • х) (х - Jq) г-5 —

-2G (v х J©) (x・ v)广з 一 2Gv (h・ J®) ГЛ(9.5.20)

Проведем для простоты ось вращения Солнца перпендикулярно плоскости планетных орбит — тогда J® будет параллельным h. Подставляя (9.5.20) и (9.5.6) — (9.5.10) в (9.5.11), получаем следующее выражение для скорости прецессии:

醬=弋弘 е {-t1 +ecos(Ф-Фо)]2е sin2 (<p — %)—

—[1 +ecos (ф —Фо)]3[^ + С08 (ф —Фо)]}-(9.5.21)

Тогда (9.5.16) дает следующее выражение для прецессии за один оборот:

Принято считать, что Солнце имеет угловой момент J© ^ 1,7 X X 1048 Г'СМ2-с-1, масса его Mq = 1,99 -1033 г. Тогда в наших естественных единицах, в которых 1 с = 3 -Ю1^ см, находим

п 0,28 км.

Далее, орбита Меркурия имеет L = 55,3 *1'06 км и 无=9,03 -103 км, поэтому поле g дает в прецессию перигелия Меркурия вклад, равный (в единицах рад/об)

Д(р ^-2,06 40-п,

или в более удобных единицах (угловая секунда за столетие)А(р0 ^ —17,6 -10-4.

Если даже Дикке и Голденберг правы и Солнце имеет угловой момент, в 25 раз больший, то прецессия, вызванная полем g, составляет примерно лишь 0,04" за столетие, что слишком мало для того, чтобы быть замеченным.

Полезно еще раз подчеркнуть, что вычисленная полная прецессия должна представлять собой сумму следующих слагаемых: 1) ньютоновский член, равный 532" за столетие; 2) эйнштейновский член, задаваемый формулой (9.5.17); 3) член (9.5.22), обусловленный g; 4) ньютоновский член, возникающий из-за точно неизвестной несферичности Солнца; 5) член, появляющийся из-за вклада вращения Солнца в анизотропную часть 屮；6) член, обусловленный постньютоновскими поправками к возмущению, вызываемому другими планетами. При этом только ньютоновские члены и эйнштейновский член (9.5.17) достаточно велики, чтобы их можно было измерить.

Прецессия движущегося по орбите гироскопа

В § 1 гл. 5 правило параллельного переноса указывало на то, что спин 5ц свободно падающей частицы прецессирует, т. е.

零.(9-6.1)

Несколько лет назад Пью [2] и Шифф [3] предложили поместить гироскоп на околоземную орбиту и исследовать прецессию его вектора спина для выявления тонкой структуры гравитационного поля Земли. Шифф применил метод вычислений, предложенный Папапетроу 14, 5] и Фоком [6], согласно которому сперва рассматривается движение протяженного вращающегося тела, а затем размеры тела устремляются к нулю. Мы вместо этого с самого начала будем считать гироскоп точечной частицей, поскольку

именно для такой частицы верно утверждение принципа эквивалентности, что существует локально-инерциальная система отсчета, в которой прецессия спина отсутствует. Поэтому уравнение (9.6.1) можно рассматривать как обобщение этого факта на случай произвольной системы координат.

4-вектор спина S^ по определению ортогонален скорости —:

(си. (5.1.9)]; иначе говоря,

So =—加 S”(9.6.2)

Положим в (9.6.1)卩=%, умножим это соотношение на dxldt и с помощью формулы (9.6.2) исключим So； в результате получим

替=V^Sj- Ri^Sj + Ma*S,_ r%人財.(9.6.3)

Псстньютоновское приближение позволяет оценить коэффициенты при Sj в правой части (9.6.3) до членов порядка f3/r:

х 3 .2.2.

翁 [口0 -弋%〃丄 Г%#] Sj.(9.6.4)

1

(Последний член здесь опущен, поскольку все компоненты Г?ь равны нулю.) Компоненты аффинной связности определяются выражениями (9.1.69), (9.1.70) и (9.1.72). Подставив их, получим 結弃><(九0 -s*-2(v.S)54 -

—S(v・▽巾)+ v(S・▽也.(9.6.5)

Чтобы решить уравнение (9.6.5), используем тот факт, что при параллельном переносе величина S^S" сохраняется [см. (5.1.10)], т, е, справедливо соотношение

^(gMv$Sv) = 0.(9.6.6)

Из уравнения (9.6.4) видно, что скорость изменения S должна быть порядка S *^3/г, а потому необходимо сохранять только те члены в g“v —"乩”,скорости изменения которых сравнимы в системе координат частицы, движущейся со скоростью / т. е. только такие члены, градиенты которых имеют порядок (г?2/г). Следовательно, в уравнении (9.6.5) тензор g“” можно заменить на + g^v- Далее, величина (50)2 порядка и? по отношению

2

к S{ поэтому нет необходимости удерживать член g叫 Таким образом, с заданной точностью будем считать, что уравнение (9.6.5) имеет следующий интегра !:

S2 + 26s2 —(V -S)2 = const.(9.6.7)

Это наводит на мысль ввести новый вектор спина ¥, определяя его таким образом:

s = (l —也步+ ^v(v•产).(9.6.8)

Тогда с учетом членов порядка Js? выражение (9.6.8) приводит к условию

#2 = const.(9.6.9)

В этом же приближении соотношение (9.6.8) можно обратить и оно запишется так:

# = (l + 0)S — ^v(v・S).(9.6.10)

Чтобы вычислить скорость изменения 严 с учетом членов порядка (i/lr) S, нужно рассматривать S как константу везде, где оно появляется с коэффициентами порядка J и положить dy/dt к；—▽#: 醬=窑十$ (普+ v・Ve)+^54(v・S)+^v(S・Ve),

подставив сюда (9.6.5), найдем с учетом членов порядка

^ = Qx/,(9.6.11)

где

Q = —^"▽xj—^vx▽步.(9.6.12)

Уравнение (9.6.11) показывает, что вектор 步，оставаясь неизменным по величине, лишь прецессирует со скоростью | Q | вокруг направления вектора Q.

Какое отношение имеет это все к прецессии гироскопа в свободном падении? Ответ, как всегда, следует искать, обращаясь к методу, реально используемому для измерения эффекта. В данном случае направление спина гироскопа контролируют, измеряя 8 инерциальной системе, связанной с гироскопом, углы 0 между спином гироскопа Sg в этой системе и векторами скорости Ug световых лучей, идущих от одной или нескольких удаленных звезд:

cos e = Sg・TSg：：ug | • (9.6.13) (Этот угол можно измерить, фокусируя изображение звезды на систему фотоэлементов, так что изменение угла 0 приведет к перемещению изображения вдоль системы, вызывая тем самым изменение фототока.) В инерциальной системе, связанной с гироско-

пом, световые лучи движутся с единичной скоростью 丨 Ug I = 4,

временные компоненты Sg^ исчезают [см. (9.6.2)]:

Sgo =。,а вектор Sg сохраняет свою величину:丨 Sg 丨=(SgU护/2.

Тогда измеряемый угол 0 можно выразить в виде

cos 0 =.(9.6.14)

(S俨尸/2''

Посколькуэта величина являетсяинвариантом,нетбольше

необходимости ограничивать себядовольнонеудобной инер

циальной системой координат, связанной с гироскопом, а можно задавать 4-векторы спина 5Ц и скорости света и卩 в любой удобной системе координат, например в системе отсчета, связанной с Землей. В такой системе 4-вектор скорости светового луча» идущего от звезды, равен

и' = и^, + 6и\

"0 = 1 + 5 叫

где и со ——фиксированный единичный вектор, задающий скорость света на больших расстояниях от Земли, а 5觇—поправки порядка M^Glг 〜В к скорости и направлению световых лучей, возникающие из-за гравитационного поля Земли. С учетом членов порядка у2 выражения (9.6.10) и (9.6.2) дают следующий результат:

S» =严г —岁％ +^~ 内(у • ¥) +。(у4),

Таким образом,Таким образом,соотношение (9.6.14) приводит к следующемусоотношение (9.6.14) приводит к следующемуSo = —V*cZ -|- О (у3)-

Таким образом,

Таким образом,

соотношение (9.6.14) приводит к следующему

соотношение (9.6.14) приводит к следующему

выражению для измеряемого угла 0:

cos 0 〜cos 0 〜(9.6.15)(9.6.15)

cos 0 〜

cos 0 〜

(9.6.15)

(9.6.15)

где & = 哥1\ 哥、* Член ——v соответствует аберрации света звезд —— важному эффекту, известному еще с XVIII в., который, конечно, должен быть учтен. Кроме этого члена, очевидно, что cos 0 меняется также со временем, поскольку би, ф и v изменяются при вращении гироскопа вокруг Земли, а также из-за того, что У прецессирует с угловой частотой Q. В действительности, кроме

аберрации, остальные вклады в изменение значения cos 0, возникающие из-за варьирования при одном обороте величин би,岁， ¥ 瓜步，имеют порядок J [см. выражения (8.5.8) и (9.6.12)]. Поэтому, чтобы измерить прецессию величины 步 при одном обороте гироскопа, необходимо измерять 0 с точностью до 10-10 рад, но даже и в этом случае для того, чтобы интерпретировать результат как проявление спиновой прецессии, мы должны будем в (9.6.15) отделить его от эффекта отклонения света би и других вкладов. К счастью, прецессия спина имеет одно свойство, позволяющее отделить ее от всех других эффектов,——это ее кумулятивность. При большом числе оборотов N направление спина изменится на величину порядка 7V?, в то время как вклады от 6u, ，V(V -Uoo) будут по-прежнему иметь порядок J; поэтому с учетом аберрации изменение 0 хорошо аппроксимируется изменением лишь величины 紀 т. е.

Д (cos 9) Ug. А".(9.6.16)

Поэтому мы можем утверждать, что прецессия Q вектора 步 является непосредственно измеряемым эффектом: нужно лишь набраться терпения и дождаться, пока гироскоп совершит достаточно большое число оборотов вокруг Земли.

Вернемся теперь к вопросу о вычислении вектора Q: если рассматривать Землю как сферу, которая вращается, но не перемещается, то с помощью формул (9.4.34) и (9.4.22) поля g и 岁 можно записать в виде

GM4

# =；— ,? =-；Г (х X JeB)•

Тогда частота прецессии (9.6.12) равна

(х х V)

Й = 3Gx(х・J㊉)L-GJ承-з_!®___i.(9.6.17)

Последний член в этом выражении, зависящий только от массы Земли, но не от ее спина, называется геодезической прецессией [7 ——91; это в основном томасова прецессия, вызываемая гравитацией (§ 1 гл. 5). Первые два члена в (9.6.17) соответствуют взаимодействию между спиновым и орбитальным угловыми моментами гироскопа и Земли, подобно сверхтонкому взаимодействию в атомной физике. Если для простоты считать орбиту гиро- скопа окружностью радиусом г, единичная нормаль к которой есть h, то скорость гироскопа равна

а средняя за один оборот частота прецессии вычисляется по формуле

9)=(%言展领° + 3 (m^ 謨.(9.6.19)

Оба члена в (9.6.19) имеют максимум при минимально возмож

ном значении г, т. е. при значении, равном примерно радиусу Земли 7?㊉.При этом нижний предел отношения первого, «сверхтонкого» члена ко второму, геодезическому, имеет следующий

порядок:порядок:Сверхтонкий^ГеодезическийСверхтонкий^ГеодезическийJ㊉GJ㊉G3(%唄2碍23(%唄2碍26,5. IO'3,6,5. IO'3,(9.6.20)(9.6.20)

порядок:

порядок:

Сверхтонкий^

Геодезический

Сверхтонкий^

Геодезический

J㊉G

J㊉G

3(%唄2碍2

3(%唄2碍2

6,5. IO'3,

6,5. IO'3,

(9.6.20)

(9.6.20)

так что основным эффектом является прецессия спина вокруг орбитального углового момента h, происходящая со средней частотой (в угловых секундах за год):

〈日ь2^^8厶(年产 (9.6.21)

Эту величину и надо измерить [10——12, 20]. Для того чтобы детектировать малую «сверхтонкую» прецессию, удобно ориентировать спин гироскопа по нормали h к плоскости орбиты; в этом случае слагаемые в Q, параллельные h, не дают вклада [см. уравнение (9.6.11)], и результирующая прецессия будет происходить как раз вокруг Яф. Величина и направление средней результирующей прецессии равны (в угловых секундах за год)

(9.6.22)(9.6.23)(9.6.22)(9.6.23)〈Q〉响= -^F,|(Й)эфф| = 0,055(-^)3.

(9.6.22)

(9.6.23)

(9.6.22)

(9.6.23)

Для того чтобы сделать максимальным эффект этой весьма малой прецессии, необходимо расположить спиновую ось гироскопа перпендикулярно J田；поскольку она должна быть также перпендикулярна плоскости орбиты, наиболее выгодно вывести гироскоп на полярную орбиту, причем спин гироскопа должен быть параллелен экваториальной плоскости Земли.

Если использовать в этой задаче искусственный спутник, находящийся на эллиптической орбите, то в приведенных выше выражениях нужно везде просто заменить радиус г величиной фокального параметра L. Легко также учесть эффект возможного отклонения от эйнштейновских полевых уравнений. Для произвольной статической сферически-симметричной метрики в изотропных координатах (с а = 1) разложение Робертсона (8.3.1)

дает следующий результат:

223

goo= — 2),gi『=—2丫岁3订，gto = O,

где 岁，как обычно, есть ——GM/r, а у ——безразмерная константа, которая в теории Эйнштейна должна быть равна единице. Обращаясь вновь к формулам (9.1.18), (9.1.19) и (9.1.21), мы видим, дто сейчас

з .

Хо = о.

孔0 =票

Подставляя эти выражения в (9.6.4), получаем следующее выражение для скорости изменения спина:

■^-= — (1 + ?) (v-S) V^>—Y(V'V^)S + y(S-V^>) V.

Как и раньше, удобно ввести следующий вектор спина, который имел бы постоянную величину:

，=(1;丫岁)S —-^-V (v-S).

Вектор 步 также прецессирует вокруг вектора Q:

醬=2,

но теперь Q задается уже таким образом:

Q= -(4+V)(vx ТФ).(9.6.24)

Следовательно, видоизменение уравнений поля Эйнштейна, учитывающее эффект геодезической прецессии, сводится просто к умножению уравнения на множитель

屮丫~3~'

Чтобы проследить, как сказывается на векторе Q видоизменение уравнений поля Эйнштейна для системы, не являющейся ни статической, ни сферически-симметричной, необходимо знать детали новой теории. Мы еще вернемся к этому вопросу в § 9 этой главы.

Прецессия спина и принцип Маха *

Прецессия спина, рассчитанная в предыдущем параграфе, имеет замечательную интерпретацию на основе идей Эрнста Маха, обсужденных в § 3 гл. 1. Напомним, что спин свободно 17—078 8

падающего гироскопа не прецессирует в инерциальной системе координат, перемещающейся вместе с гироскопом. В этом как раз и заключается смысл уравнения параллельного переноса (9.6.1). Следовательно, в другой системе, связанной, допустим, с Землей, прецессия С гироскопа возникает исключительно из-за того, что инерциальная система, связанная с гироскопом, вращается с угловой частотой Q относительно Земли и отдаленных звезд. Это объясняет, почему Q не зависит от скорости вращения гироскопа; любой вектор, сохраняющий в инерциальной системе фиксиро ванное направление, в лабораторной системе или системе, свк занной в Землей, будет прецессировать с угловой частотой Q, задаваемой уравнением (9.6.12).

Почему же инерциальная система, падающая вместе с гироскопом, вращается относительно удаленных звезд? Мах утверждает, что инерциальные силы возникают из-за ускорений, в том числе и из-за вращений, относительно всей материи Вселенной, и поэтому система отсчета будет инерциальной, если она не движется ускоренно относительно некоторого среднего распределения материи во Вселенной. Обычно это означает, что инерциальная система не вращается относительно удаленных звезд. Однако наблюдатель на гироскопе, вращающемся вокруг Земли, видит, что распределение массы обусловливается не только удаленными звездами, но и большим сферическим телом, называемым Землей, которое, с его точки зрения, совершает обороты вокруг гироскопа за каждые 〜90 мин и вокруг собственной оси. Следовательно, определение инерциальных систем отсчета, связанных с гироскопом, должно содержать некоторый компромисс в ориентации гироскопа либо на отдаленные звезды, либо на Землю. В действительности гироскоп пытается вращаться в том же направлении, что и вращение и кажущееся обращение вокруг него Земли, однако он не успевает следовать за ними, и удаленные звезды всегда побеждают в этой борьбе.

Довольно расплывчатые идеи такого сорта, вытекающие из принципа Маха, нашли свое конкретное выражение в подробных вычислениях, основанных на принципе эквивалентности. Выражение (9.6.19) указывало на то, что прецессия вращающегося на орбите гироскопа, а следовательно, и вращение связанной с ним инерциальной системы слагаются из малого «геодезического» члена, параллельного орбитальному угловому моменту h, и столь же малого «сверхтонкого» члена, параллельного той компоненте спина Земли J㊉，который перпендикулярен h・ Таким образом оказывается, что вращение и кажущееся обращение Земли вокруг гироскопа в какой-то мере воздействуют на инерциальную систему, падающую вместе с гироскопом.

Этот эффект легче понять, проделав мысленный эксперимент, обсуждавшийся Лензе и Тиррингом [13, 14] вскоре после создания

общей теории относительности. Они рассмотрели полую сферическую оболочку, вращающуюся как целое с угловой скоростью (о. Согласно уравнению (9.4.35), метрика поля g внутри сферы определяется следующим образом:

匕=х X Q, где

Q =-"号，

а ф ——постоянный гравитационный потенциал внутри сферы, равный

-4nG )7。。(产)产犷.

оболочка

Формула (9.6.12) показывает, что любая инерциальная система внутри сферы вращается с угловой скоростью Q.

Заметим, что О параллельно ❿，но по величине меньше его за счет безразмерного множителя —4»3. Поэтому интересно посмотреть, что же будет, если оболочку сделать настолько массивной, чтобы величина ф приблизилась к значению —3/4. Исчезнет ли связь инерциальных систем внутри оболочки с удаленными звездами и будут ли они следовать за вращением оболочки с частотой(о? [Прислушаемся к отзвуку того далекого замечания Маха об эксперименте Ньютона с ведром воды, о котором говорилось в § 3 гл. 1: «Никто не может с уверенностью сказать, каков был бы результат эксперимента, если бы толщина (а также масса стенок сосуда) возрастала до тех пор, пока не заняла бы несколько лиг» i) J К сожалению, постньютоновский метод перестает работать как раз тогда, когда эта проблема становится интересной, т. е. когда | 步 | становится порядка единицы. Точное решение уравнений Эйнштейна, которое выглядит подобно метрике пространства вне вращающейся сферы, было найдено Керром [15]; оно имеет вид

—d# =—由 2 + 央—d# =—由 2 + 央(p《+(x・a)2)(p2+a2)2 八(p《+(x・a)2)(p2+a2)2 八

—d# =—由 2 + 央

—d# =—由 2 + 央

(p《+(x・a)2)(p2+a2)2 八

(p《+(x・a)2)(p2+a2)2 八

X [p2x*dx + Pdx«(ax x) + (a-x) (a-dx) + (p24-a2) pй]2.

Здесь x ——квазиевклидов 3-вектор; а ——некоторый постоянный вектор; скалярные произведения х *а, х2 и т. д. определены так же, как и в евклидовой геометрии, а р задано следующим образом:

р4 — (г2 — а2) р2 — (а • х)2 = О,

1) Лига — мера длины, равная 4,83 км.

где, как обычно, г2 м х2. При г -> оо имеем р -> г, и метрические коэффициенты принимают вид

如-1+芈+。仪)，

go—•^■{/ + ；(аХх), +。(营), gij-^5ij+^-^] + 0 佶).

Непосредственное вычисление с использованием выражений (7.6.22) —(7.6.24) показывает, что полные импульс, энергия и угловой момент системы вместе с ее гравитационным полем имеют вид

р = О, Р。= М, J = Ма.

К сожалению, все еще не удалось показать, что это точное внешнее решение плавно переходит в точное решение для внутренней области вращающейся сферы. Недавно Брилл и Коэн [16] нашли такое решение для очень тонкой вращающейся сферической оболочки радиусом 7?, которое справедливо в низшем порядке по частоте вращения со как внутри, так и вне ее, но справедливо во всех порядках по массе оболочки М, а также удовлетворяет корректным условиям непрерывности при пересечении поверхности оболочки. Это решение имеет вид

—dt? = — Н (г)成2 + J (г)[办2 + 产加2 + r2 sjn2 Q (&屮—Q ⑺山尸],

где

Я(г) =Я(г) =J(r) =J(r) =/ 1 —2MG/r \2 \ i + 2MG/r )， fl^2MG/R\2 U+ 2MG/R)， (l + 2MG/r)&,(1+2MG/R 汽/ 1 —2MG/r \2 \ i + 2MG/r )， fl^2MG/R\2 U+ 2MG/R)， (l + 2MG/r)&,(1+2MG/R 汽r>R,r>R,y五,y五,r>R, r<R.r>R, r<R.

Я(г) =

Я(г) =

J(r) =

J(r) =

/ 1 —2MG/r \2 \ i + 2MG/r )， fl^2MG/R\2 U+ 2MG/R)， (l + 2MG/r)&,

(1+2MG/R 汽

/ 1 —2MG/r \2 \ i + 2MG/r )， fl^2MG/R\2 U+ 2MG/R)， (l + 2MG/r)&,

(1+2MG/R 汽

r>R,

r>R,

y五,

y五,

r>R, r<R.

r>R, r<R.

постоянна и равнапостоянна и равнаВнутри сферы угловая скорость ◎ (г)

постоянна и равна

постоянна и равна

где p — безразмерная константа, зависящая от относительных вкладов Тг‘ и Т°° в гравитационную массу оболочки. Если мы определим новые координаты

t' = VHt, r' = VJrt' = VHt, r' = VJrд/ = Ср — Q 力д/ = Ср — Q 力

t' = VHt, r' = VJr

t' = VHt, r' = VJr

д/ = Ср — Q 力

д/ = Ср — Q 力

то придем к инерциальной системе координат вне сферы. Тогда S3 есть частота вращения (в единицах t) инерциальной системы

внутри оболочки относительно системы Минковского на бесконечности. Когда величины MG и 0 малы, то Q/со близко к значению постньютоновского приближения 4MGRR; если же MG настолько велико, что шварцшильдовский радиус оболочки 2MG примерно тот же, что и радиус оболочки 右,отношение Q/co приближается к единице, как, возможно, и предполагал Мах.

Постньютоновская гидродинамика*

Постньютоновекая программа, очерченная в § 1 ——3 этой главы, могла бы служить надежной основой для релятивистской небесной механики, если бы можно было рассматривать Солнце и планеты как точечные частицы. Однако это не соответствует действительности； например, приливные силы на Луне, связанные с ее конечными размерами, намного больше, чем постньютоновские поправки к гравитационному полю Земли. Часто такие эффекты, связанные с конечными размерами, можно достаточно точно вычислить, если считать, что астрономические тела состоят из идеальной жидкости [17—19]工).Тогда тензор энергии-импульса, задаваемый выражением (5.4.2), равен

T^ = pg^'+(p + p) UW(9.8.1)

свобод- dx^/dx.внутрисвобод- dx^/dx.внутриЗдесь р и р — собственные давление и плотность энергии, т. е. те

свобод- dx^/dx.

внутри

свобод- dx^/dx.

внутри

(9.8.2)(9.8.2)(9.8.3)(9.8.3)значения, которые измеряются локально-сопутствующим и но падающим наблюдателем, a U^ — 4-вектор скорости (Конечно, р и р равны нулю везде, исключая области Солнца и планет.) Чтобы вычислить U匕 положим

(9.8.2)

(9.8.2)

(9.8.3)

(9.8.3)

и вычислим U° с помощью (9.2.2):

0=^ = 1一岁+^2 +。(峭・

Программа вычисления движения жидкости в значительной мере зависит от того, существует ли уравнение состояния, задаюп^ее р в виде функции от р, как в случае холодной вырожденной жидкости (гл. 11), или же р будет зависеть также и от температуры. Если давление есть функция только р, то паша программа, в сущности, та же, что и в § 3 гл. 9, а именно:

Необходимо сперва решить задачу Ньютона. При этом

следова-записы-следова-записы-можно считать, что давление имеет порядок i^M!^^ и, тельно, нужные компоненты тензора энергии-импульса

следова-записы-

следова-записы-

[17]. Для[17]. Для1) Постньютоновские уравнения были исследованы в работе

[17]. Для

[17]. Для

ознакомления с пост-постньютоновскими уравнениями можно рекомендовать работу [18]. Эффекты радиационных реакций были учтены в работе [19].

ваются с помощью выражений (9.8.1)——(9.8.3) в виде

о

Г>о = р,(9.8,4；

+'° = Р%,(9.8.5)

Т” = p^ij + pViVj.(9.8.6)

К ньютоновским уравнениям движения можно прийти, подставляя выражения (9.8.4) ——(9.8.6) в уравнения сохранения массы и импульса (9.3.2) и (933):

書 +▽・(pv)=O,(9.8.7)

^.(pv) + V • (pw) = - pV^ - Vp,(9.8.8)

где p задается уравнением состояния в виде функии от р, а ф определяется уравнением Пуассона (9.3.12)

V2^ = 4 冗 Gp・(9.8.9)

Б. Использовать величины р, р, v и 岁,определенные в А, чтобы вычислить компоненты (9.8.4) — (9.8.6) тензора TR а также величину

声оо = р«2—2步)・(9.8.10)

Использовать результаты А и Б, а также выражения (9.1.62) и (9.1.65), чтобы рассчитать постньютоновские поля 自 и 小

Г. Найти р, р и V в постньютоновском приближении. В заданном порядке тензор энергии-импульса определяется выражениями (9.8.1) — (9.8.3) в виде

о 2

Too + T(m = pd + v2-2 岁)，(9.8.11)

з.

уго + ро = (р + р + V2p _ 2<^р) V,(9.8.12)

.4.,..

7" + L = pg (1 + 2#) + Л? (р + р一 2如 + ^v2), (9.8.13)

и постньютоновские уравнения движения получаются, если подставить (9.8.11)——(9.8.13) в уравнения сохранения энергии и импульса (9.3.2), а также в (9.3.3) — (9.3.5):

备 IP (1 ~V2—2^)] 4-V*[v (p + p + v2P — 2#р)] = р赛，(9.8.14) 备[v(p + p +v2P — 2#p)] +V-[VV(p + p —2岁p+ ^>v2)]=

=一 V[p(l + 2 力]-р^З + 2岁2+2)-p_J—p(v2 — 2#)V6 +

+ pv x (▽义 0 + 4pv ^■—

—(3p + pv2) V^> + 4pV^> + 4pv (v.V^). (9.8.15)

Д. Процедура итераций продолжается по этому рецепту дальше-

Вопрос усложняется, когда температура является независимой переменной. Тогда на каждом этапе вычислений необходимо иметь еще одно дополнительное уравнение — уравнение непрерывности:

捺(М?阳") = 0,(9.8.16)

где 卩一плотность массы покоя, пропорциональная плотности числа частиц в жидкости [ср. с уравнением (5.2.14)]. Предположим, что уравнение состояния, задающее давление как функцию ц и плотности энергии е = О (г?), имеет вид

Т^=卩 U。+ е.(9.8.17)

Тогда в нашем распоряжении имеются уравнение непрерывности (9.8.16), условие сохранения импульса 夕卩飞丛 = 0 и условие -сохранения энергии, которое после вычитания из них (9.8.16) аюжно записать так:

■^U?£+* VT°-阳寸=—М7%”т.(9.8.18)

Однако теперь на каждом этапе мы используем условие сохранения энергии на один порядок выше по у2. Последовательность такова: в ньютоновском приближении берем уравнение непрерывности, учитывая только первый порядок по % условие сохранения —2

импульса до членов порядка и , а условие сохранения энергии До членов порядка J； в постньютоновском приближении используется уравнение непрерывности до членов порядка и', условие «охранения импульса ——до членов порядка и\ а условие сохранения энергии ——до членов порядка у5. Даже не расписывая подробно эти выражения, можно заметить, что такая программа реализуема, поскольку при ньютоновском рассмотрении нам з 2

необходимо иметь Г°оо и Го^о, которые уравнениями (9.1.71) и (9.1.72) определяются только через 6, а в постньютоновском 543

приближении нам нужно знать Г°Оо, Г°го, Г°订,задаваемые вира- ^кениями (9.1.73)——(9.1.75) через постньютоновские поля.

§ 9. Приближенные решения в теории Бранса — Дикке

Чтобы проверить общую теорию относительности, полезно сравнить ее с какой-нибудь другой теорией. Теория Бранса — Дикке, описанная в § 3 гл. 7, идентична в отношении физической интерпретации метрики g^v общей теории относительности, а отличается от нее только тем, что содержит в уравнениях гравитационного поля новое скалярное поле ф. Чтобы не спутать скалярное поле Бранса ——Дикке 岁 с ньютоновским потенциалом, будем записывать первый в виде 乡一工(1 + 己)，где 乡—по- стоянная порядка G, а ——скалярное поле, определяемое следующим образом:

炉:产裁严(991)

Ет 0 при гт 8.(9.9.2)

[См. уравнение (7.3.13). Мы опустили у Т индекс М, но пол 7^ будем понимать тензор энергии-импульса материи, не включая в него поле &. Величина з есть безразмерная константа, равная примерно 6.] Уравнения гравитационного поля задаются формулой (7.3.14) в виде

% - у g^B. = - 8n3 (1 + 旷 ％ 一

-8 (1 +自)一2 (三；忐 2^- guvE: P自")-

-(l + ^Г1 ^,^-g^-, ₽)•(9.9.3)

Используя (9.9.1), чтобы определить ^; р;р, и свертку (9.9.3) для нахождения 凡 перепишем (9.9.3) в форме

-8ng (1 + 三尸[源。一ё^т\ (-gtL)]一

一 co (1 + 5)-2 己；欣;v — (1 + 自尸 E；阳 у. (9.9.4)

Из соотношений (9.9.1) и (9.9.2) следует, что Е можно разложить в рад：

24

Е = Е + Е+・・・，(9,9.5)

где у имеет порядок v и, в частности,

▽/=-伴察济吗(9.9.6)

С помощью (9.9.4) — (9.9.6) и (9.1.37) — (9.1.40) уравнения поля переписываются следующим образом:

V2goo=-8^ (得!•) Аю,(9.9.7)

,2„2

▽ 2蝕=欝+^為一(▽如)2 +

+ 8ng (-g#)VM- 8П3加(1±|) +

+16啰^向(赛)-8^ (羅I)施。-

/ 2\ 2292

一2з 儔)一2泰+2100 亲'(9.9.8)

2dxi 5x?2dxi 5x?(У. 9.9)(9.9.10)(У. 9.9)(9.9.10)V2g；0 = 16^Г°-2-^1-, дхг 8力

2

dxi 5x?

2

dxi 5x?

(У. 9.9)

(9.9.10)

(У. 9.9)

(9.9.10)

V2L-= _8场为电-2

Из (9.9.7) следует, что гравитационная постоянная, измеряемая при наблюдении за медленно движущейся частицей или в эксперименте с изменением масштаба времени, есть не 乡,а величина G, равная

G=(半员(9911)

2

Таким образом, мы получаем обычное соотношение между gOo- и ньютоновским потенциалом ф

2

goo=—2#(9.9.12)

при условии, что 6 определяется в виде

о

V2^ = ^GTQQ.(9.9.13}

Из (9.9.6) и (9.9.13) следует также, что

2

Е = — ® + 2)т 巾,

432а уравнения поля для gOo? gto и g*j имеют вид432а уравнения поля для gOo? gto и g*j имеют вид"。。=-2（制"。。=-2（制@2 07r@2 07r2/為-2" (»2/為-2" (»-8叫4+击］济。—8nG （^）T^-一跳尿。一盖•（啓 『，（9.9.14>-8叫4+击］济。—8nG （^）T^-一跳尿。一盖•（啓 『，（9.9.14>

432

а уравнения поля для gOo? gto и g*j имеют вид

432

а уравнения поля для gOo? gto и g*j имеют вид

"。。=-2（制

"。。=-2（制

@2 07r

@2 07r

2/為-2" (»

2/為-2" (»

-8叫4+击］济。—8nG （^）T^-

一跳尿。一盖•（啓 『，（9.9.14>

-8叫4+击］济。—8nG （^）T^-

一跳尿。一盖•（啓 『，（9.9.14>

(9.9.15)(9.9.16)(9.9.15)(9.9.16)v4o=16^(整历。+ 2 屮一‘。、 2(0+4丿 *①十2 dxidt

(9.9.15)

(9.9.16)

(9.9.15)

(9.9.16)

,I 3丁 2 /((0+2) Qxi Qxj

В качестве примера рассмотрим поле статической сферически- симметричной массы. В этом случае ньютоновский потенциал есть функция только г и (9.9.16) дает

/= —26“諾+

+ +｛回一学)j ⑺ dг +嘗｝. (9.9.17) О

Вне массы имеем

岁=一芈，(9.9.18)

и поэтому (9.9.17) приводит к выражению

2/ 2(о4-1 \ MG s , MG 勺丐,

g" = ()~ 帀 ▼+

+声，(9・9/9)

где R —эффективный радиус, определяемый следующим образом：

MG*三j ［岁⑺+ 手］户办.(9.9.20)

О

(Подынтегральное выражение исчезает вне массы, поэтому мы вольны выбирать в качестве верхнего предела любую точку от г до оо). Подставляя (9.9.18) и (9.9.19) в (9.9.14), имеем

V24 —2 (2(04-3) 〃密2 24M2G2五2

V goo= («4-2) H(①十2)1

Решение этого уравнения записывается в виде

4 —(2з + 3)Л/*22M2G2五 2хЛ/2G2

g。。=® + 2)戸@ + 2戸十 rR ，(УМ/"

где x — безразмерная константа, которая должна быть определена из условия гладкости перехода внешнего решения (9.9.21) в несингулярное решение для внутренней области.

Из результатов (9.9.19) — (9.9.21) следует, что гравитационное поле вне сферической статической массы зависит от величины

массы и ее распределения. Однако этот эффект зависимости от величины массы можно исключить соответствующим переопределением величин Мих:

ЛГ = М[4 一缥斗 (9.9.22)

普汨•(9.9.23)

Тогда два последних члена в (9.9.21) и последнее слагаемое в (9.9.19) при замене переменных (9.9.22) и (9.9.23) сокращаются 2 о

с соответствующими членами, возникающими в g00 и g^. Опуская

штрихи, в итоге получаем

(9.9.24)(9.9.25)(9.9.26)(9.9.24)(9.9.25)(9.9.26)2 2WG

(9.9.24)

(9.9.25)

(9.9.26)

(9.9.24)

(9.9.25)

(9.9.26)

goo =—；—,

4 —(2 ①+3)"G2

goo=(①+2)M ，

/ 2ш + 1、MG 义.WG 修打

gij=(丽牙)~ 0订+3+2 N •

Таким образом, теория Бранса ——Дикке разделяет утверждение теории Эйнштейна, что гравитационное поле вне статической сферически-симметричной массы зависит только от М, но не от каких-либо других свойств массы.

Это решение можно сравнить с общим разложением Робертсона (8.3.7) в гармонических координатах, которое (для а = 1) дает

2 2MG goo =―-—,

goo = — (у — 1 + 20) ——,

ТИСMGXiXi

g"=巒一1) &学 + (1 - Y) •

Следовательно, результаты Бранса — Дикке (9.9.24) —(9.9.26) можно воспроизвести, задав параметры Робертсона с помощью формул

?=号， В=1・(9-9-27)

Эти формулы уже использовались в предыдущей главе при сравнении теории Бранса ■— Дикке с экспериментом.

з

Отметим, что элемент g^ = ^ метрического тензора для статической системы, задаваемый уравнением (9.9.15), имеет вид

好=-4G (智)J ^Sl 炉认 (9.9.28)

Отсюда следует, что влияние вращения сферической массы на прецессию спина и перигелия в теории Бранса — Дикке (для О V 3 V °°) меньше, чем в общей теории относительности1 в (2з + 3)/(2(о + 4) раз.

Наиболее критические проверки теории Бранса — Дикке — это те, которые связаны с проверкой «очень сильного» принципа эквивалентности. В любой точке Р гравитационного поля можно выбрать локально-инерциальную систему координат, в которой в этой точке g^ = t]uv и 1\々=0. Однако поле Бранса — Дикке 己■— скаляр, а потому не исчезает в точке Р, а будет задаваться уравнениями (9.9.6) и (9.9.13):

2

-(3 + 2)t，

где ф ——ньютоновский гравитационный потенциал. Уравнение (9.9.4) показывает, что в этой системе координат гравитационное ноле малой массы, введенной в точку Р, можно вычислить, как обычно, но гравитационная константа G должна быть заменена следующей величиной:

Сэфф = G (1 + Е)т ^G[l + (о)+ 2尸办 (9.9.29) Например, при з = 6 и，равном его значению на поверхности Земли, —6}9 -10-10, эффективная гравитационная константа, измеряемая на поверхности Земли в эксперименте Кавендиша, будет меньше, чем «истинная» гравитационная константа, измеряемая на спутнике, летящем на высокой орбите, на 〜(1 — 8) -10-11.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Chandrasekhar 5., The Post-Newtonian Equations of Hydrodynamics in General Relativity, The Post-Newtonian Effects on the Equilibrium of the Maclaurin Spheroids, The Stability of Gaseous Masses in the Post-Newtonian Approximation, в книге Relativity Theory and Astrophysics. 3. Stellar Structure, ed. J. Ehlers, Providence, R.L, 1967 (см. перевод: Чандрасекар Ш.^ Введение в учение о строении звезд, ИЛ, 1950).

Goldberg J. N*、The Equations of Motion, в книге Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. L. Witten, Wiley, 1962, p. 102.

Infeld £., Piebanski J., Motion and Relativity, Pergamon Press, 1960 (см. перевод: Инфелъд 〃.， Плебаньский E., Движение и релятивизм. Движение тел в общей теории относительности. ИЛ, 1962).

Фок В^ Теория пространства, времени и тяготения, Физматгиз, 1961.

Ландау Л. 〃.，Лифшиц Е. М., Теория поля, Физматгиз, 1962.

ЦИ ТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Einstein Я., Infeld £., Hoffmann &, Ann. Math., 39, 65 (4 938); Einstein 4 Infeld L., Ann. Math., 41, 455 (1940); Einstein Л., Infeld L., Canad. J. Math., 1, 209 (1949) (см. перевод: Эйнштейн 4., Собрание научных трудов, «Наука», 1966, т. 2, стр. 450, 532, 674).

2.3・4.5.9.10.41.12.13.伍.15.16.17.18.19. 20・2.3・4.5.9.10.41.12.13.伍.15.16.17.18.19. 20・Pugh G. 2, WSEG Research Memo 11, U.S. Dept, of Defense, 1959. Schiff L. 7., Proc. Nat. Acad. Sci., 46, 871 (I960); Phys. Rev. Lett., 4, 215 (I960).

2.

3・

4.

5.

9.

10.

41.

12.

13.

伍.

15.

16.

17.

18.

19. 20・

2.

3・

4.

5.

9.

10.

41.

12.

13.

伍.

15.

16.

17.

18.

19. 20・

Papapetrou A., Proc. Roy. Soc., A209, 248 (1951).

Corinaldesi E.、Papapetrou 4., Proc. Roy. Soc., A209, 259 (1951).

Fock V. A., J. Phys. (СССР), 1, 81 (1939).

De Sitter W., Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 77, 155, 481 (1920).

Fokker A. P., Kon. Akad. Weten. Amsterdam, Proc., 23, 729 (1920).

Pirani F, A. £., Acta Physica Polonica, 15, 389 (1956).

Everitt C. W. F., Fairbank W. M., Proceedings of the Tenth International Conference on Low Temperature Physics, Moscow, August 1969.

Frisch D• H., Kasper J.方•，Jr., J. Appl. Phys., 40, № 8, 3376 (1969).

Shalloway D. Z., Frisch D. H., Astropnys. and Space Sci., 10, 106 (1971).

Thirring H.y Phys. Zs., 19, 33 (1918).

Lense /., Thirring Phys. Zs., 19, 156 (1918).

Kerr 五.，Phys. Rev. Lett., 11, 237 (1963).

Cohen J. M., в книге Relativity Theory and Astrophysics. 1. Relativity and Cosmology, ed. J. Ehlers, 1967, p. 200.

Chandrasekhar 5., Astrophys. J., 142, 1488 (1965); 158, 45 (1969).

Chandrasekhar 5., Nutku У., Astrophys. J., 158, 55 (1969).

Chandrasekhar S., Esposito F. P., Astrophys. J., 160, 153 (1970).

Frisch D. H.、Fairbank Ж. M., Доклад на 3-й конференции по теории относительности, Кембридж, июнь 1970.

Ничто великое по самой природе не может быть точным.

Эдмунд Бэрк,

Речь о системе американского налогообложения^ 2774 е.

Глава 10

ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Как мы видели, есть много общих черт между явлениями гравитации и электродинамики. Поэтому не следует воспринимать как неожиданный тот факт, что уравнения Эйнштейна, подобно уравнениям Максвелла, имеют радиационные решения. Однако никто пока не сумел с достоверностью обнаружить гравитационное излучение, и причину этого не трудно отыскать: теория Эйнштейна предсказывает, что в обычных атомных процессах гравитационное излучение зарождается в крайне малых количествах. Например, вероятность того, что переход между двумя атомными состояниями, произойдет за счет гравитационного, а не электромагнитного излучения, имеет порядок GE^!^, где Е — выделяющаяся энергия, е ——заряд электрона. Для Е ^1 эВ вероятность перехода составляет около 3 *10~54.

Почему же тогда изучают гравитационное излучение? Одна из причин ——это, конечно, надежда на то, что, может быть, удастся найти сильный источник гравитационного излучения. Такой источник, возможно, уже обнаружен (§ 7 гл. 10). Однако гравитационное излучение представляло бы интерес, даже если бы не было никаких надежд когда-либо его обнаружить, поскольку теория гравитационного излучения является естественным мостом между общей теорией относительности и современной микроскопической физикой.

В последние годы мы научились в микроскопических явлениях описывать фундаментальные наблюдаемые, пользуясь такими понятиями, как элементарные частицы и их столкновения. Пример из классической электродинамики： плоское решение волновых уравнений Максвелла интерпретируется наиболее естественным образом как частица — фотон. Аналогично, радиационные решения уравнений Эйнштейна приводят к понятию частицы гравитационного излучения ——гравитону.

К сожалению, теория гравитационного излучения очень сложна из-за нелинейности уравнений Эйнштейна. В духе идей § 6 гл. 7 можно сказать, что любая гравитационная волна и сама является некоторым распределением энергии и импульса, вносящим вклад в гравитационное поле этой волны. Это усложнение не позволяет найти общие радиационные решения точных уравнений Эйнштейна.

Существуют два пути обхода этой трудности. Первый ——изу- тшть радиационные решения уравнений Эйнштейна только для слабых полей, которые описывают волны, переносящие не столь, большие энергию и импульс, чтобы это влияло на их собственное распространение. Второй ——длинный и сложный ——это искать, частные решения точных полевых уравнений Эйнштейна. Благодаря многим математическим ухищрениям во втором случае удалось получить довольно изящные результаты. Однако эту главу мы посвятим только первому подходу — рассмотрению слабых полей. Одна из причин этого состоит в том, что интенсивность любого гравитационного излучения, по-видимому, очень низка- Другая —— более глубокая —— связана с тем, что придать точный смысл понятию элементарная частица можно, только рассматривая ее вдали от всех других частиц, а для гравитонов это как раз и соответствует решению полевых уравнений в приближении слабого поля.

Читатель не должен отсюда делать вывод, что невозможность найти общие точные решения нелинейных полевых уравнений оставляет какой-то фундаментальный пробел в нашем понимании теории гравитации. Действительно, аналогичные проблемы возникают и в электродинамике, где точный расчет электромагнитного поля, создаваемого затухающим током электрического осциллятора, является сильно нелинейной задачей, поскольку поле само действует на ток, его создавший. Хотя эта проблема не была решена и много лет спустя после создания теории Максвеллаг не оставалось сомнений, что электрические осцилляторы порождают электромагнитные волны, изучением которых занимался Максвелл. Гравитационные волны ——более сложное явление, чем электромагнитные, так как они дают вклад в свой собственный источник и вне материальной гравитационной антенны. Однако если мы находимся далеко — в волновой зоне, где поля слабые, то как электромагнитные, так и гравитационные волны обладают простыми свойствами.

Приближение слабого поля

Предположим, что метрика близка к метрике Минковского Т|)1V gp/v = Прл? + %v,(10.1.1)

где I 无J* I《1・ В первом порядке no h тензор Риччи имеет вид

&V^^见一為以 + 0 們，(Ю.1.2)

а аффинная связность

Коль скоро мы ограничились первым порядком по h, то поднимать и опускать все индексы следует с помощью г1MA\ а не ^v, т. е. m吸尸"v,*為三费нт.

При таком подходе уравнения (10.1.2) и (10.1.3) дают тензор Риччи в первом порядке:

% R^’三手(□2&V 一石为Г廿v 一五餐"u +/M "入)•

Следовательно, уравнения поля Эйнштейна запишутся следующим образом:

口毎。—3 從—志"u + 3 ^=-16^,(103.4)

Sy/v 三 Tp/v—^" Л^^\-(10.1.5)

Здесь Тцд, берется в низшем порядке по Auv, т. е. не зависит от 九从^ и удовлетворяет обычному закону сохранения

**=0.(10.1.6)

(Если гравитационные силы играют важную роль в структуре излучающей системы, то вместо t^v можно использовать /眛丫； см. § 6 гл. 7.) Отметим, что закон сохранения (10.1.6), записанный в такой форме, обеспечивает согласованность уравнений (10.1.4), поскольку (10.1.6) предполагает справедливость соотношения

в то время как линеаризованный тензор Риччи удовлетворяет тождеству Бианки в следующей форме:

Как уже обсуждалось в § 4 гл. 7, нельзя ожидать, что такое уравнение поля, как (10.1.4), приведет к единственному решению, поскольку, задав любое решение, можно всегда заменой координат получить другие решения. Наиболее общее преобразование координат, оставляющее поле слабым, имеет вид

д/^ = %眛十£山(а),(10.1.7)

где дг^1дхУ — самое большее того же порядка величины, что и Auv. В новой системе координат метрика записывается в форме

8/3 dx，v

я ли, так как g^” ^ 刀山第一乃以期,можно записать

Таким образом, если & есть решение уравнения (10.1.4), то должно быть

= 礬，(1°」・8)

где ем 三 evr]Mv есть четыре малые, а в остальном произвольные функции от /也 В том, что (10.1.8) тоже есть решение, можно убедиться непосредственно, подставляя его в уравнение (10.1.4); это свойство ——следствие так называемой калибровочной инвариантности уравнения поля.

Калибровочная инвариантность уравнения поля (10.1.4) создает трудности, когда приходится явно решать уравнение. Однако эти трудности можно устранить, выбирая какую-нибудь частную калибровку, т. е. некоторую систему координат. Наиболее удобно работать в системе гармонических координат, для которых

guv]% = 0.

Если использовать (10.1.3), то в первом порядке получаем ^*=%*'к(1ол-9)

То, что такой выбор всегда возможен, следует из общих соображений, приведенных в § 4 гл. 7; из выражения (10.1.8) можно также видеть, что если Auv не удовлетворяет (10.1.9), то, совершая преобразования координат (10.1.7), при условии

nr найдем некоторый тензор ”[丫， который уже удовлетворяет (10.1.9).

Поэтому будем считать, что h^ действительно решение уравнения (10.1.9).

Подставляя (10.1.9) в (10.1.4), можно записать уравнение поля в виде

□2V = -46nGSz・(10.1.10)

Одно из решений представляет собой запаздывающий потенциал

%v (х, t) = 4G j d^' ”T%W：f"- •(10-1.11)

Мы уже отмечали, что закон сохранения (10.1.6) для T^v эквивалентен

и вследствие этого решение (10.1.11) для источника Suv, заключенного в конечный объем, автоматически удовлетворяет условию гармонических координат (10.1.9). (Доказательство этого идентично тому, которое используется в электродинамике при вычислении векторного потенциала с калибровочным условием Лоренца.) К решению (10.1.11) можно добавить любое решение однородного уравнения:

□2%* = 0, (10.1.13)

(10.1.14)(10.1.14)

(10.1.14)

(10.1.14)

Выражение (10.1.11) мы интерпретируем как гравитационное излучение, создаваемое источником 5UV, в то время как любой дополнительный член, удовлетворяющий (10.1.13) и (10.1.14), представляет собой гравитационное излучение, приходящее из бесконечности. Появление в (10.1.11) временного аргумента t — — I x — x' I показывает, что гравитационные эффекты распространяются с единичной скоростью, т. е. со скоростью света.

Плоские волны

Рассмотрим плоские волновые решения однородных уравнений (10.1.13) и (10.1.14), ибо они играют важную роль сами по себе и, кроме того, как мы увидим далее, запаздывающие волны переходят в плоские при г —> оо. Общее решение уравнений (10.1.13) и (10.1.14) есть линейная суперпозиция решений, записанная в виде

%” (х) = е^ ехр (说入衣)+ е£ехр (—说九/)・(10.2.1)

Такое решение удовлетворяет уравнению (10.1.13), если

时友"=0，(10.2.2)

и условию (10.1.14), если справедливо соотношение

= ｝禽(10.2.3)

(Опускать и поднимать индексы мы будем по-прежнему с помощью rjgv, так что 6卩曰刀山期厶寸)Матрица е^у с очевидностью симметрична:

е^у =外乩.(10.2.4)

Будем называть ее тензором поляризации.

Симметричная матрица (4 X 4) имеет в общем случае десять независимых компонент. Однако четыре соотношения (10.2.3) уменьшают число их до шести, а из этих шести только две компоненты имеют смысл физических степеней свободы. Совершая преобразование координат 2以一>/N + £卩(н), мы заменяем метрику

П以у + 无jw новой метрикой 刀乂丫 + 九]丫，где 九]丫 задается выражением (10.1.8). Положим, что мы выбрали 眇(％) в виде

£卩(н) = feu exp (ik^x^)—俯炉 exp (— ik^').(10.2.5)

Тогда (10.1.8) приводит к выражению

%y (①)Н 呱 exp (滋%/) + 嗒 exp (—恤步),(10.2.6)

где

^piv ^piv + 力i^Ey + "у£у,・(10.2.7,

[Заметим, что волны по-прежнему удовлетворяют условию гармоничности координат (10.2.3).] Можно сделать вывод, что для произвольных значений четырех параметров 8и тензоры поляризации е^у и е1rу соответствуют одной и той же физической картине. Именно поэтому из шести независимых компонент, удовлетворяющих (10.2.3) и (10.2.4), только 6 — 4 = 2 имеют физическое значение. Например, рассмотрим волны с волновым вектором 依=/ = °, 兴二依三及 > °,(Ю.2.8)

распространяющиеся вдоль оси z в сторону возрастающих значений z. В этом случае (10.2.3) приводит к условиям

%1 + ^01 — &2 + %2 = 0,

бзз + %з = — еоз — ^оо = ~2 («н + %2 + ^зз — ^оо) •

Эти четыре соотношения позволяют выразить е^。и е22 через остальные шесть компонент egv

е(и =——^зье(и =——^зь〃2 — — Сз2,〃2 — — Сз2,е03 ~2" (°33 + 000),е03 ~2" (°33 + 000),

е(и =——^зь

е(и =——^зь

〃2 — — Сз2,

〃2 — — Сз2,

е03 ~2" (°33 + 000),

е03 ~2" (°33 + 000),

«22= — ен・«22= — ен・(Ю.2.9)

«22= — ен・

«22= — ен・

Тогда в системе координат, преобразующейся согласно (10.1.7) и (10.2.5), эти шесть независимых компонент е址^ заменяются компонентами е]у в соответствии с уравнением (10.2.7) следующим образом:

Си = /1，分3 = 43 +阮力^зз а е33十2腕储Си = /1，分3 = 43 +阮力^зз а е33十2腕储ё12 ~ /2，‘23 = °23 + 而&2，^00 = %。一 2觊0.ё12 ~ /2，‘23 = °23 + 而&2，^00 = %。一 2觊0.

Си = /1，

分3 = 43 +阮力

^зз а е33十2腕储

Си = /1，

分3 = 43 +阮力

^зз а е33十2腕储

ё12 ~ /2，

‘23 = °23 + 而&2，

^00 = %。一 2觊0.

ё12 ~ /2，

‘23 = °23 + 而&2，

^00 = %。一 2觊0.

Только компоненты 6口 и е12 имеют абсолютный физический смысл. Действительно, всегда можно найти преобразование координат с

% =% =£13£13

% =

% =

£13

£13

которое обратит в нуль все компоненты 成山 кроме е],樓 и «以二 =—е].

Различие между отдельными компонентами тензора поляризации станет ясным, если понять, как меняется 611V при вращении системы координат вокруг оси 2, т. е. при следующем преобразовании Лоренца:

7? J = cos 0,7?i2 = sin9,

sin®,7?22 = cosB, (10.2.10)

R^~R(^ = i^ все остальные R^ = 0-

Поскольку такое преобразование оставляет инвариантным 乃艮 (т. е. R^ky = к^, то преобразованию подвергается только тензор

«址％ переходящий в тензор

〃 = /р&%ро・(Ю.2.11)

Используя соотношение (10.2.9), найдем

啞=exp (土 2i8) e土，(10.2.12)

/工=exp (土 i9) /±,(10.2.13)

^33= ^33>^00 ~ ^00?(10.2.14)

где

e土 = ^ii 干 ^12 = — ©22 十 ％i2,(10.2.15)

/± = ^31 干 ％2 = — ^01 土 ^02*(10.2.16)

Будем говорить, что любая плоская волна 屮，преобразующаяся при повороте на угол 0 относительно направления распространения по правилу

^ = ^4, (10.2.17)

имеет спиральность 无.Итак, видно, что гравитационную плоскую волну можно разложить на следующие компоненты: е土, обладающие спиральностью ±2, /± со спиральностью ±1, а также е。。 и Взз с нулевой спиральностью. Однако нетрудно убедиться в том, что компоненты со спиральностью 0 и ±1 можно обратить в нуль подходящим выбором системы координат, и поэтому физический смысл имеют лить компоненты со спиральностью ±2.

Обратимся еще раз к полезной аналогии с электродинамикой. Уравнения Максвелла в лоренцевой калибровке имеют вид (2.7.12) и (2.7.13); в пустом пространстве эти уравнения приобретают вид, аналогичный уравнениям (10.1.13) и (10.1.14):

□ма=о,□ма=о,

□ма=о,

□ма=о,

для метрики, записанной в гармонических координатах. (Сейчас мы ймеем дело с инерциальной системой координат, а потому

□ 3 = v^^d^ld^ fc₽.) Так же как для уравнений (10.2.1)— (10.2.3), решение данных уравнений можно записать в виде плоской волны:

Аа — еа ехр (泣6%В) + 无 exp (— ik^),

где

лХ=о,讶/a=0.

Вообще говоря, еа имел бы четыре независимые компоненты, по условие каеа понижает число независимых компонент до трех, так же как условие (10.2.3) сводит к шести число независимых компонент е址屮 Далее, не меняя физических полей Е и В и не отказываясь от лоренцевой калибровки, можно аналогично (10.1.8) и (10.2.5) изменить Аа путем калибровочного преобразования:

+許，

①(％) = ze exp (ik^) — ie* exp (— ik^).

По аналогии с (10.2.6) и (10.2.7) новый потенциал можно также записать в виде

Аа =或 ехр(7友限В) + е/ ехр (— ik^),

% -= е&' &ка*

Параметр е ——произвольный, так что из трех алгебраически независимых компонент еа только две (3 — 1) имеют физический смысл, точно так же как общая ковариантность оставляет физический смысл только двум из шести независимых компонент. Чтобы выделить эти две компоненты 6仪,рассмотрим распространяющуюся вдоль оси z волну с вектором /са, задаваемым соотношениями (10.2.8). Тогда из условия каеа = 0 следует равенство

Со = —&,

аналогично тому как условие (10.2.3) позволяет выразить е22 и eQi через остальные шесть компонент eMV. Далее, рассматриваемое калибровочное преобразование оставляет инвариантным и е】и е2, но заменяет е3 на

e； = & -■ £瓦

Следовательно, выбирая е — е3/к, можно обратить е； в нуль, а потому только ех и е2 обладают физическим смыслом. Точно так же, только еп и е12 нельзя обратить в нуль никаким преобразованием координат. И наконец, физический смысл рассматриваемых двух компонент можно найти, подвергая вращению (10.2.10)

плоскую электромагнитную волну. Вектор поляризации при этом изменяется следующим образом:

а потому

ё] = ехр (士 汾)ё土，е； = ез,

где

е± = ^1 + ге2.

Таким образом, электромагнитные волны можно разложить на составляющие со спиральностью ±1 и 0. Однако физический смысл есть только у компонент со спиральностью ±1, а не 0, так же как гравитационные волны могут иметь спиральность ±2, но не 士 1 или 0. Все это и имеется в виду, когда мы, пользуясь классическим языком, говорим, что электромагнитные и гравитационные возмущения переносятся волнами со спином 1 и 2 соответственно,

§ 3. Энергия и импульс плоских волн

Физический смысл плоско-волнового решения (10.2.1) становится сразу ясным, если вычислить энергию и импульс, переносимые волной. Согласно выражению (7.6.4), гравитационный тензор энергии-импульса с точностью до членов порядка А2 задается следующим образом:

心 "8л5" [ —I"无мл»7!*甩J? + 扌 1]^АХр7?хр + К$? —^ %W%嗔й>[,

где R(^ ——член разложения тензора Риччи порядка N по h^. Метрика ggv = 刀口丫 + 九uv удовлетворяет уравнениям Эйнштейна первого порядка 用得=0, так что в Zuv можно опустить эти члены и использовать следующую форму:

加…鳥[砒-}n“v俨磷[•(10.3.1)

[В случае реальной метрики в нуль обращается R^% а не R1^, и 力叱у определяется только членами первого порядка в выражении (7.6.4). Здесь используется тем не менее RR а не 笈乩丫，который равен нулю, поскольку guv =刀址丫 + AMV удовлетворяет уравнениям Эйнштейна первого порядка, а не точным уравнениям. Различия возникают только в порядке А3.] Чтобы вычислить 7?^, надо подставить выражение (10.2.1) в (7.6.15); результат оказывается очень громоздким, но его можно упростить, усредняя 土址* по области пространства-времени, много большей чем | k I*1.

(Зто обычный способ вычисления энергии и импульса любой волны.) Усреднение обращает в нуль все члены, пропорциональные охр (士2力А:入％入),оставляя только перекрестные члены, не зависящие от碇：

〈/，『?〉= Re {е%Р* ["乩归㈠^入口 — ^g^x^vp ■~

X [%ё% + 自e% 一 ^p^jiv]一

2" ^^e^ + ^vepx 一 * X

X l^e^ + k^-^e^}. (10.3.2)

Пока еще не использованы условия (10.2.2) и (10.2.3), отвечающие гармоническим координатам. Поэтому на какое-то время откажемся от системы гармонических координат и прибавим к Auv (с) следующий член:

i ®8V + 矗5) exp (航/) - i ®磋 + 矗喲 exp (-勾屮),(10.3.3)

где q^ 声 0. При усреднении по пространственно-временным интервалам, много большим чем \ q — k I'1, интерференция между (10.2.1) и (10.3.3) пропадает и 〈冗限〉оказывается состоящим из (10.3.2) и еще одного такого же члена, в котором заменены 左 на 7，a euv на д«£у + ^V8U. Однако, проверяя (10.3.2), легко видеть, что этот второй член исчезает и поэтому〈А限〉，а следовательно, и〈力《力 можно без потери общности вычислить в гармонических координатах.]

Если подставить теперь в (10.3.2) условия гармонических координат (10.2.2) и (10.2.3), получим

〈A^〉= ^(&p?”p — }|eSJ2).(Ю.3.4)

Величина 刀九р〈厘爲〉 исчезает, поскольку кркр = 0, и, следовательно, выражение (10.3.1) приводит к усредненному тензору энергии- импульса плоской волны:

〈小V〉=黠(0р*"P-等 I 四 12).(10.3.5)

Заметим, что «калибровочное преобразование» (10.2.7) заменяет отдельные члены в〈方仙乂〉на следующие:

в"。凜东р = е%Р*е入р + 2Re 畴艘入 + 2 | spkp |2,

Г底=e底十2АЛ®,

однако〈力址乂〉——величина калибровочно-инвариантная! Таким образом, коль скоро энергия и импульс связаны между собой, поляризации е址* и е11V + к^&у + 〃^£从 соответствуют одной и той же

физической волне и, следовательно, существует не шесть, а только два физически оправданных значения поляризационных параметров. В частности, распространяющаяся вдоль оси z волна, волновой вектор и тензор поляризации которой задаются соотношениями (10.2.8) и (10.2.9), имеет следующий тензор энергии- импульса:

必к

〈公)=磊(1铀|2 + 旧2产)，(10.3.6)

который через спиральные амплитуды (10.2.15) записывается так:

〈%J=磊([6+产+k产).(Ю.3.7)

§ 4. Возбуждение гравитационных волн

Вычислим энергию, отдаваемую системой в виде гравитационного излучения. Представим тензор энергии-импульса системы в виде интеграла Фурье:

Т^ (х, 0 = j 询7屮(х,(о) eiwt4-K. с.,(10.4Л)

о

либо в виде суммы фурье-компонент:

小(X,力)=s 0-询'7冲(X, 3)+ к. с.(Ю.4.2)

(Здесь символ «+к. с.» означает «плюс комплексно-сопряженное выражение».) Произведем сперва вычисления для одной фурье- компоненты:

Т^ (х, if) = rllv(x,(o)e-iwf4-K. с.,(10.4.3)

а затем вернемся к более общей системе, описываемой соотношениями (10.4.1) и (10.4.2).

Из (10.1.11) следует, что поле, излучаемое источником (10.4.3)， имеет вид

•■氏二X"% X) exp { - »з£ + Ro I x — X」} + k. c.，

(10.4.4) где

8尸(x, s)三 7^ (x, з) — -|"П^\(х, со). (Ю.4.5)

Предположим, что мы исследуем излучение, находясь в волновой зоне, т. е. на расстоянии г = | х | от источника, много большем, чем размер 7? — | х' |макс источника, и, кроме того, величина г

намного больше, чем ①Е? и l/з. Тогда знаменатель | х — х' [■ в (10.4.4) можно заменить на г, а в экспоненте написать приближенно

Тогда поле примет вид

曲V (х, X) =^~ехр (而г —йо力)j d3xrS^ (х‘，①)е"*'” +к* с. (10.4.6)

Поскольку по предположению гю ——величина большая, то выра- 田енме (10.4.6) выглядит как плоская волна:

h^ (х, t) = %丫 (х,①)exp (恤碎)+ к. с. (10.4.7)

с «волновым вектором» и «тензором поляризации», задаваемыми в виде

к = зх,渺曰3,(10.4.8}

年V (х, з)三芈 j &丈8吃 X，co) e-ik・x： (10.4.9)-

Удобнее выразить явно euv через фурье-образ тензора Tuv:

%v(x, 0))=乎[小(к, 0))_^恥吟(瓦 s)], (10.4.10}

Т尸(к, w) = j d^T^ (x\, co) e-kx. (10.4.11} Закон сохранения для 丁世^ (х,方)имеет вид

^*(х, £) = 0.

Применяя его к (10.4.3), получаем

六 7\ (х, со) — i^TQv (х, о) = 0.

Умножая последнее выражение на е-'к・х и интегрируя по х， находим, что 7世^ (к, з) подчиняется следующему алгебраическому соотношению:

V% (к,①) = 0,(10.4.12}

где вектор "以 задается выражением (10.4.8). Отметим попутно, что (10.4.10) подчиняется условию гармоничности координат (10.2.3).

Вычислим приходящуюся на единицу телесного угла мощность излучения, испускаемого в направлении е. Поскольку г》1/з, то в качестве вектора потока энергии можно принять величину 〈尸°〉，усредненную по области пространства-времени, много большей чем 1/(о. Тогда мощность излучения на единицу телесного угла

равна

Используя для〈卅*)выражение (10.3.5), получаем

需=厂糕里 1* (х, з) e%v(X, з) — £ I e底(x, з)円，

а подставляя сюда выражения (10.4.8) и (10.4.10) для "同 и eXv соответственно, видим, что множитель г2 сокращается и окончательное выражение выглядит так：

备=穿［产* (к, з) Т^ (к, <0)-4 I Т\ (к, з)円.(10.4.13)

Мы решили задачу, раз вычислили фурье-образ (10.4.11).

Удобно выразить (10.4.13) через чисто пространственно-подобные компоненты 齊”(к,①).Из (10.4.12) следует

Tot (к, з) = — *Т* (к,(о),

Too (к, со)=冴々？” (к, со),

где к ^ к/со = х. Подстановка этих выражений в (10.4.13) дает

% = ^A",zm(G)E*(k,3)7^(k, з),(10.4.14)

где

Ai j, Zm (к) = ^il^jm — 2左//" +

Д Z^ Л Z4 У*44Л ^4Z4Z4

4~ ~2 kikjkikm2~ ^ifilm + ~2 ^ij^l^m Л~~2 &林肉. (10.4.15)

Если тензор эиергии-импульса есть сумма типа (10.4.2) отдельных фурье-компонент, то поле 无乩” можно представить в волновой зоне как сумму плоских волн (10.4.7). Тогда гравитационный тензор энергии-импульса будет задаваться в виде двойной суммы по этим фурье-компонентам, однако при усреднении по временному интервалу, намного превосходящему наибольший период биений (т. е. обратную величину наименьшей разности частот), перекрестные члены исчезают. В этом случае энергия будет иметь вид суммы членов, подобных (10.4.14), по одному на каждую частоту источника.

Если же тензор энергии-импульса есть интеграл Фурье, то поле 无卩у представляется в волновой зоне в виде интеграла по ① от отдельных плоских волн (10.4.7), а гравитационный тензор энергии-импульса будет записываться тогда как двойной интеграл j jds @з' от произведения этих членов. Подынтегральное выражение содержит зависящую от времени экспоненту ехр ( —— ％ (со ——з') %), однако здесь уже нет никакого «наибольшего

периода биений», и поэтому мы не станем вычислять среднюю мощность, а подсчитаем полную излучаемую энергию. Эта величина определяется как интеграл от мощности по всему временному интервалу, и в результате множители е-加勿亡①"в двойном интеграле для мощности заменяются величиной

J eхp (- f (со - coz)力 dt = 2几5 (3一3').

Таким образом, энергия, излучаемая в единичный телесный угол, ориентированный вдоль к, выражается в виде однократного интеграла:

%=2G jd [沙*化，3)?^位，со) -A I а (k, w) (2]^, (10.4.16) т 0

который можно следующим образом записать через пространственно-пространственные компоненты:

需=2GA", zm (k) J з2?“* (k, 3)『m (k, 3)©3.о

В качестве примера рассмотрим систему п свободных частиц, которые, первоначально двигаясь с постоянной скоростью vn, сталкиваются в момент времени % = 0 в начале координат, а затем вновь разлетаются, теперь уже со скоростями vn. В этом случае тензор энергии-импульса задается следующим образом:

?^(х, ^=玄^/^举3—V幫)“ 一.) + n

+ 2%礬举(х-*)е&)，(10.4.17)

где Pn° = En^mn(i — vn2)~1/2 и Pn Envn — энергия и импульс /г-н налетающей частицы, Рп° = Еп и Рп — аналогичные величины для рассеянных частиц, а 0 ——функция ступеньки:

f + 1,s > 0,

8(s)T 0,з<0. У®

Функции 0 и 63 имеют, как известно, следующие интегральные представления:

—0 + ,(Ю.4.19)

屛(х) =7^jr J ^3ke，k'x-(10.4.20)

[Отметим, что для доказательства (10.4.19) контур интегрирования можно замкнуть большим полукругом в нижней или верхней полуплоскости в зависимости от того, будет ли s V 0 или s > 0. Чтобы доказать (10.4.20), необходимо просто взять фурье-образ： от обеих частей.! Отсюда видно, что T^v (х, Е) (10.4.1) имеет следующий вид:

产(х,З) =壶了嘗[雁^^一 n

2 En J G)-Vn.k+i8」*

а фурье-образ (10.4.11)а фурье-образ (10.4.11)T\k, s)=T\k, s)=112加2加[3n[3nвыглядит так:p Up vвыглядит так:p Up v% (①一Fn・k -注)% (①一Fn・k -注)▼ 氏崛V ]* £n(«—vn-k+ie J*▼ 氏崛V ]* £n(«—vn-k+ie J*

а фурье-образ (10.4.11)

а фурье-образ (10.4.11)

T\k, s)=

T\k, s)=

1

1

2加

2加

[3n

[3n

выглядит так:p Up v

выглядит так:p Up v

% (①一Fn・k -注)

% (①一Fn・k -注)

▼ 氏崛V ]

* £n(«—vn-k+ie J*

▼ 氏崛V ]

* £n(«—vn-k+ie J*

Если co ^= I k I и I vn I < 1, то величина co — vn *k в знаменателе не может обратиться в нуль и член 土Хе можно опустить. (Случай частиц, движущихся со скоростью света, будет рассматриваться ниже.) Далее, учитывая, что Еп (vn *k — з) = р/к* = (Рп • А), можно записать 办屮 в виде

产(氏 з)=击 £~^^・(Ю-4.21)

N

Здесь N пробегает по всем номерам частиц как в начальном, так и в конечном состояниях, а знаковый множитель T]N определяется так:

Г +1, N в конечном состоянии,П"I—1, N в начальном состоянии.

Отметим, что (10.4.12) будет выполняться, поскольку

鼠Т"”(к, з) 2 Pn/n,

N

а это обращается в нуль, так как 2 n^n^n есть просто разность начального и конечного полных импульсов.

Приходящаяся на единицу телесного угла и на единицу интервала частот гравитационная энергия, излучаемая в направлении к на частоте со, выражается с помощью соотношения (10.4.16) в следующем виде:

/ dE \ — Geo? 0 т]“т]м

N, M

X J^(Pn• PM)2—2~ ^№^m2J •(10.4.22)

Попытка вычислить полную излучаемую энергию, интегрируя выражение (10.4.22) по со от 0 до оо, приведет к результату, расходящемуся как \ dco. Это обусловливается принятым приближением, согласно которому столкновения происходят мгновенно; в действительности же они происходят за время △力 и поэтому интеграл по ① обрезается при значения^ со порядка 1/А九

Заметим, что если при столкновениях ни один из импульсов 尸№同 не меняется, вклады от падающих и разлетающихся частиц в выражении (10.4.21) сокращаются и тензор 7UV (к, со) обращается в нуль. Гравитационные волны излучаются только тогда, когда частицы действительно ускоряются.

Легко видеть, что выражение (10.4.22) становится бесконечным, вели одна из частиц, участвующих в реакции (скажем, с 7V — 1), имеет нулевую массу и импульс, параллельный вектору к, поскольку тогда Р』к = К^з (Р]・к —— 1) 0. Однако эта сингулярность только кажущаяся, поскольку, когда Рг становится параллельным к, можно считать, что для всех М 声 1 величина (尸1 •尸ти) в (10.4.22) пропорциональна (加・尸妝)，и поэтому сингулярная часть принимает вид

粵爲2 7^0•尸”〜2 me4)■

Мы уже отмечали, что величина 2 Adi亚尸風同 обращается в нуль, если суммировать по всем частицам; поэтому правая часть есть просто——刀1戸『，а эта величина в свою очередь равна нулю, так как по предположению частица 1 имеет нулевую массу. Таким образом, применение выражения (10.4.22) к столкновению фотонов, нейтронов или даже, забегая немного вперед, гравитонов не встречает затруднений.

Полную излучаемую при столкновениях гравитационную энергию, приходящуюся на единицу частоты, можно получить, интегрируя выражение (10.4.22) по направлению вектора к. Получаем следующий результат:

济昙沿…『」岸d尸(若黯,"。423) где 阮故一относительная скорость частиц N и М — записывается так:

Для нерелятивистского двухчастичного упругого рассеяния формула (10.4.23) принимает следующий вид:

dE 8G 24 • 2 c——=——附4 sm2 0,dE 8G 24 • 2 c——=——附4 sm2 0,dcodco5л5л(10.4.24)(10.4.24)

dE 8G 24 • 2 c

——=——附4 sm2 0,

dE 8G 24 • 2 c

——=——附4 sm2 0,

dco

dco

5л

5л

(10.4.24)

(10.4.24)

где 卩 一 приведенная масса, и —— относительная скорость, 0 —— угол рассеяния в системе центра масс.

Гравитационное излучение, порожденное столкновениями, происходящими в газе, можно вычислить, суммируя радиационную энергию отдельных столкновений, задаваемую уравнениями (10.4.23) или (10.4.24), если столкновения достаточно разделены во времени, чтобы не было интерференции между отдельными актами. Условие отсутствия интерференции можно записать так:

з》Зс,(10.4.25)

где сос есть частота тепловых столкновений частиц газа. (Если со《Зс, то газ ведет себя как жидкость, а не как совокупность независимых частиц.) Если выполняется (10.4.25), мощность, приходящаяся на единицу объема и частоты, равна

黑=2 ^паПь〈唸(嚮 sin20dQ〉，(10.4.26)

где na есть плотность числа частиц типа а в газе, dUab/dQ — дифференциальное сечение рассеяния в системе центра масс; суммирование идет по всем типам пар частиц, а усреднение (....) проводится по всем столкновениям.

Для примера вычислим гравитационное излучение, возникающее при кулоновских столкновениях в плазме. Резерфордовское сечение рассеяния равно

4喩唸 sin4(8/2)

Интеграл по 0 должен быть обрезан снизу минимальным значением угла 1/Л, где А》1 определяется дебаевской экранировкой кулоновских сил при больших параметрах столкновений. В этом случае имеем

<sid 0Ж» 4〃穹2 乎.(10.4.28}

Вышло среднее значение vabl которое для распределения Максвелла —Больцмана равно

〈ь加=2((Ю.4.29)

Подставив (10.4.28) и (10.4.29) в (10.4.26), получим (в системе СГС) мощность излучения на единицу объема и частоты:

(10.4.30)(10.4.30)dP — 64G / 2кТ )1/2]пА VI папЬеа~еЪ2

(10.4.30)

(10.4.30)

而=而(丁丿 п (計盡-

Обычно In Л есть величина порядка 10. Для полностью ионизированной плазмы водорода необходимо учесть электрон-электрон-

пые и электрон-протонные столкновения, и тогда (10.4.30) дает

黑=5(誤广(52(Ю.4.31>

Частоту электронных столкновений можно в этом случае оценить следующим образом:

(Ос ^(Ос ^©4“ 8〉е'%©4“ 8〉е'%(10.4.32)(10.4.32)

(Ос ^

(Ос ^

©4“ 8〉е'%

©4“ 8〉е'%

(10.4.32)

(10.4.32)

Уравнения (10.4.30) и (10.4.31) справедливы, если ①》о)с и и方з《кТ.

Эти результаты можно применить к водородной плазме в ядре Солнца. Внутри объема 2 *1031 см3 эта плазма характеризуется следующими параметрами: Т ^; 107 К, пе ^3・1025 см-3 и А ^ ^ 4. Частота столкновений, определяемая (10.4.32), равна 1015 с1, что на три порядка меньше, чем тепловая частота kTIh ^ ^ 1018 c~L Поэтому полную энергию гравитационного излучения можно оценить, умножая (10.4.31) на VkTlh. Поступая таким образом, найдем, что тепловые столкновения в ядре Солнца порождают гравитационное излучение мощностью около 108 Вт.

§ 5. Квадрупольное излучение

До сих пор мы не делали никаких приближений, кроме того〉 основного, что поля слабые. (Использованные нами приближения волновой зоны г》К, г》1/з, г》ЗИ? существенными не были， поскольку мы всегда выбирали достаточно большие г и эти ограничения выполнялись автоматически. Далее, так как энергия сохраняется, то интенсивность излучения, пронизывающего сферу большого радиуса г, равна интенсивности излучения qepe* любую замкнутую поверхность, ограничивающую излучающую- систему.) Теперь сделаем еще одно приближение, предположив, что радиус источника R много меньше, чем длина волны 1/со:

зК《1. (10.5.1)

Большая часть радиации излучается на частотах порядка v/Rr где и ——некоторая характерная скорость внутри системы, так что в действительности мы ввели приближение того же типа, что и приближение и《1, сделанное в предыдущей главе.

Если справедливо условие (10.5.1), то фурье-образы, содержащиеся в соотношениях (10.4.14) и (10.4.16), можно приближенно представить в виде не зависящего от к интеграла:

Т“(к, з) j d^xTtj (х, з). (10.5.2)

Использовав законы сохранения, перепишем это выражение в форме

謠丁产(х,з)=_з27-(х,з).

Умножив последнее на 况'/ и интегрируя по х, находим

Т"(к,⑺^一岑0"(з),(10.5.3：

Dtj (со) = J d^x^T00 (с, со).(10.5.4；

Следовательно, мощность излучения в единичный телесный угол равна

Если источник можно описать суммой фурье-компонент, то мощность излучения есть сумма членов типа (10.5.5). Если же источник представляется интегралом Фурье вида (10.4.1), то энергия, излучаемая в единицу телесного угла, равна

黑=等 GA“"m (田 j 36鹏(co) Dlm (3) ds. (10.5.6)

0

Коэффициенты Df； (co) в (10.5.5) и (10.5.6) не зависят от направления излучения к, поэтому можно раз и навсегда проинтегрировать по телесному углу. Используем следующие формулы:

J dQ后瓦=等自力

，dQ&自后京7n = ^_(6订m7П + 6描加+ 6тЛ5”).

(Вид правой части обусловлен симметрией и инвариантностью относительно вращения; численные коэффициенты можно вычислить, сворачивая X с j, a Z с т) Тогда находим

j dQAij, zm (用=学~ [116^6；m — 46^-6^. + 6izn6jJ,

и мощность излучения с некоторой дискретной частотой ① равна

Р =雪[為(з) % (з) — g I % (3) I2] ,(10.5.7)

а при непрерывном распределении частот полная излучаемая энергия запишется в виде

石=竽 jd[D吉(3)D"(3)_g|2i(3)E]d3.(10.5.8)

Прежде чем перейти к вычислению квадрупольного излучения, рождающегося в некоторых особых случаях, необходимо сделать несколько замечаний о методе вычислений.

А. Квадрупольное приближение применяют обычно к нерелятивистским системам, а для таких систем плотность энергии 7°° (х,①)приближенно равна плотности массы покоя этой системы. Возможно, покажется неожиданным, что нет никакой необходимости явно учитывать в полном тензоре T^v члены с потенциальной и кинетической энергией, хотя если считать тензор 7同” сохраняющимся, то эти члены необходимо включить. Действительно, для системы частиц, связанных гравитационными силами, необходимо в принципе выбирать 7世、как полный «тензор» т^, построенный в § 6 гл. 7 и содержащий члены, нелинейные по полю. Однако, поскольку мы уже использовали при выводе уравнений (10.5.3) — (10.5.6) условия сохранения энергии и импульса и это дало результат, содержащий только 700, можно аппроксимировать 7°° плотностью массы покоя.

Б. Для произвольных систем колеблющихся и (или) вращающихся твердых тел часто очень трудно вычислить фурье-образ тензора 700 (х, со), определяемый соотношениями (10.4.1) или (10.4.2). Намного легче вычислить сначала моменты

D订⑴三 J d^xx^x^T^ (х, ?),(10.5.9)

а затем D订(со), записывая。订(力 в виде интеграла Фурье

Dij 优)=j @80订(3)6一回t+ 乩9(10.5.10)

о

или в виде суммы компонент Фурье

Di} (0 = 3 e~MDij (со) + к. с.(10.5.11)

Может возникнуть вопрос: что принять за начало координат хг в интеграле (10.5.4) для DG В принципе это не существенно. При смещении начала координат на величину аь мы заменяем тензор Dtj следующим тензором:

j (^― ^) (xj — aj) T0Q (x, ?) d^x =

=j 戸NT。。(x, %) d?x — аг j AT。。(x, t) d% —

一/ j ^T00 (x,方)不2+a%‘j T00 (x, 方)步况.

Но законы сохранения энергии и импульса требуют, чтобы последние три члена этого выражения были самое большее линейными 19—0788

функциями времени, потому что

系 J 7。。(с, t)d4= - J -^- ?“ (“, 0 *2 = 0,

黑j "少。。(X, 0 *Т=\心謂寸皤(瑞f) 0“ =

=-j --Tli (x,力炉“=0.

Таким образом, смещение начала координат не приводит к изме нению фурье-компонент с со =^= 0, т. е.

0订(з)三 j ^^Т00 (х, w) d?x =

=j (炉一紋)(N —°') 7°° (x, «) d3x. (10.5.12；

Однако только тогда, когда Т°° —— плотность энергии всей системы, при вычислении 29订(з) можно свободно смещать начале координат.

Вычислим в качестве первого примера гравитационное излучение, порождаемое звуковыми волнами, распространяющимися в трубе, вытянутой вдоль ochz. Плотность колеблющегося веществе запишем так:

Р = Ро + Pi-

Здесь р0 ——постоянная невозмущенная величина, а р^ ——малое возмущение. Скорость вещества v (в направлении z) будем рассматривать также как малое возмущение и, кроме того, пренебрежем диссипативными эффектами. Тогда уравнения движения примут вид

где vs — скорость звука. Труба не поддерживается на концах (иначе нам необходимо было бы учитывать и гравитационное излучение от опоры!), поэтому давление *% на концах трубы обращается в нуль. При таких граничных условиях общее решение уравнений для трубы, занимающей вдоль оси z отрезок от z = 6 до z ~ L, есть суперпозиция нормальных колебаний и =—叫 cos kz sin (①力 + ср),(10.5.13)

где е — малое безразмерное число, « — произвольная фаза, а к и з равны

k = N^-,co = Nn*,(10.5.15)

где N — любое положительное целое число. Так как на концах трубы и не обязательно обращается в нуль, то концы могут в общем случае смещаться на величины 6 (0, /) и 6 (L,力)，определяемые формулой

6(2,力)е j d (z,力)dt = ердсо"1 cos kz cos (①力 + #)•

Зависящая от времени часть второго момента плотности массы задается в виде

Dij(t) = ntnjA (J pi(2 t) z2 dz + 行03 (厶力), о

где Л ——площадь поперечного сечения трубы, а п = (0, 0, 1)—— единичный вектор в направлении г. Для четных N величина。行(£) равна нулю, а для нечетных N она равняется

/ 4п；к/М£2е \

D订⑴=—(J^3) cos (竝 + С),

где М 三 р()4厶一масса трубы [легко убедиться, что второй момент от распределения массы 2)订(％) останется тем же, если при его вычислении начало координат выбрать не в точке z = 0]. Сравнивая это выражение с (10.5.11), видим, что D订 «) имеет фурье-компоненту, равную

%(n吟)=%(n吟)=2nfn^ML2e-"n3冗3~2nfn^ML2e-"n3冗3~(10.5.16)(10.5.16)

%(n吟)=

%(n吟)=

2nfn^ML2e

-"n3冗3~

2nfn^ML2e

-"n3冗3~

(10.5.16)

(10.5.16)

16GM 叭 6»16GM 叭 6»Р 64GM%4Т= 15 厶 2c5Р 64GM%4Т= 15 厶 2c5(10.5.18)(10.5.18)

16GM 叭 6»

16GM 叭 6»

Р 64GM%4

Т= 15 厶 2c5

Р 64GM%4

Т= 15 厶 2c5

(10.5.18)

(10.5.18)

Таким образом, вычисленная по формуле (10.5.7) излучаемая

мощность для любого нечетного N (в единицах СГС) равна

(10.5.17)

В моменты времени, когда р】исчезает, т. е. когда v принимает наибольшие значения, этот результат можно сравнить с полной энергией осцилляций, которая в этом случае есть просто кинетическая энергия

E = -^PqA j у2макс (z) dz = } Ми/吼о

Очевидно, что из-за излучения гравитационных волн осциллятор

теряет энергию со скоростью

Вычислим, например, интенсивность гравитационного излучения из-за акустических осцилляций в большом алюминиевом цилиндре, использованном как антенна в эксперименте Вебера по детектированию гравитационного излучения [1, 26, 27]. (Как мы увидим ниже, эффективное поперечное сечение такой антенны определяется величиной Гграп.) Цилиндр Вебера имел параметры:

厶=153 см, v8 = 5,1 -105 см/с, М = 1,4-Ю6 г.

Следовательно, если единственный механизм потерь есть гравитационное излучение, то при нечетном N осцилляции (10.5.13) и (10.5.14) приведут к следующей скорости потери энергии:

Гграв = 4,7 «10-35 с-1.(10.5.19)

В действительности реальная скорость распада моды с N = 1 в этом цилиндре составляет около 0,15 с-1 и в основном обусловливается вязкой диссипацией, происходящей в алюминии. Следовательно, относительная вероятность гравитационного излучения имеет следующий порядок:

П 三 £^^3/0-34% = 1(10.5.20)

Таким образом, любой обычный механизм осцилляций всегда будет приводить к гораздо большему количеству энергии, выделяемой в виде теплоты, чем в виде гравитационного излучения.

Рассмотрим другой пример. Вычислим мощность излучения, испускаемого вращающимся телом. Если тело жестко вращается вокруг 3-оси с угловой частотой Т, то плотность массы Т°° имеет вид

Т°°(х, /) =р(х')

где р (х‘)——плотность массы, зависящая от координат х' системы, связанной с телом:

3 = с； cos ◎力一％； sin Qz,

с?=况;sin Q^ + c； cos Q 厶

Q — &”

Следовательно, заменяя в (10.5.9) координаты, можно выразить Dtj (0 через тензор момента инерции, записанный в координатах связанных с телом:

/订三 j @3公圻圻р(х).(10.5.21)

Для простоты рассмотрим вращение вокруг одной из главных осей эллипсоида инерции, так что /13 — Z23 = 0, а оси /； и с； выберем вдоль других главных осей, так чтобы /12 = 0. Поскольку

/万 диагоналей, имеем

Da (/) = Е (^11 +，22)+ ~ (^11 一，22)COS 2◎厶

012(0(/" 一/22)sin 2◎力

022 伍)=芽 Uli + 厶2) (/n一^22)C0S 2a方，

013 (力)=023 (方)=0,

033 (力)=厶3 •

Тогда в выражении (10.5.11) неисчезающие коэффициенты Фурье для з = 20 имеют вид

Da (2Q) = —022 (2Q) = iD^ (2Q) = 丁 (/ц —厶2)・

Согласно формуле (10.5.7), при удвоенной частоте вращения полная излучаемая мощность (в единицах СГС) равна

P(2Q)=0竺舞竺，(10.5.22)

(10.5.23)(10.5.24)(10.5.23)(10.5.24)где I — момент инерции и е — сплюснутость: /三7H+厶2, e 胃厶f—?22 .

(10.5.23)

(10.5.24)

(10.5.23)

(10.5.24)

Для тел, обладающих круговой симметрией относительно оси вращения, е = 0 и, следовательно, гравитационное излучение отсутствует. (В действительности этот вывод не связан с квадрупольным приближением, так как хотя рассматриваемое тело и вращается, оно имеет не зависящий от времени тензор энергии-импульса.) Для точечной массы т, фиксированной в точке 花；=г, с； = с； = 0 во вращающейся системе координат, единственным отличным от нуля элементом /订 будет 7n = mr2; поэтому I = mr2, е = 1 и соотношение (10.5.23) приводит к следующей формуле для мощности излучения:

P(2Q)P(2Q)32GR6m2M5^32GR6m2M5^(10.5.25)(10.5.25)

P(2Q)

P(2Q)

32GR6m2M5^

32GR6m2M5^

(10.5.25)

(10.5.25)

Приведем пример. Орбитальное движение планеты Юпитер характеризуется параметрами

Q = 1,68-10~8 с-, 終=1,9-IO30 г, г = 7,78-1013 см, и уравнение (10.5.25) дает для мощности гравитационного излучения значение 5,3 кВт, т. е. даже меньшее, чем значение мощности гравитационного излучения, создаваемого тепловыми колебаниями в ядре Солнца, вычисленное в предыдущем параграфе.

Для того, чтобы заметить хоть какой-нибудь эффект изме^ нения орбиты Юпитера из-за такой потери энергии, нужно наблюдать Юпитер значительно дольше, чем все время существования Солнечной системы.

Можно показать из более общих соображений, что эффектами гравитационного излучения в небесной механике можно пренебречь. Мощность излучения системы, состоящей из частиц со средней массой М, средними размерами г и со средней скоростью В, имеет на частоте ① 〜 v/r следующий порядок [ср. с выражением (10.5.7)1:

P^G^mV,

или, поскольку GM/r есть величина порядка г;2, получаем

г

В такой системе средняя величина замедления частиц арад из-за потерь энергии определяется значением мощности 尸,деленной на импульс Ми, т. е.

° рад ~ •

Этот результат можно сравнить с ускорением порядка d/r, вычисленным в ньютоновской механике, и с постньютоновскими поправками, обсужденными в предыдущей главе, порядок которых р4/г. [Величины, описывающие эффекты излучения, содержат нечетные степени и, поскольку они представляют необратимые процессы, что было видно из использованного нами решения для рассеянной волны в формуле (10.4.4).] Поскольку реакция излучения слабее, чем постныотоновские поправки из-за умножения на и? V Ю~12, то пренебрежение в предыдущей главе реакцией излучения совершенно оправдано. Действительно, если набраться терпения, мы могли бы (не сталкиваясь с эффектами гравитационного излучения!) вычислить пост-постньютоновские ускорения [2] г), порядок которых vG/r.

Открытие пульсаров дало нам более перспективный источник гравитационного излучения. В § 4 гл. И читатель найдет обсуждение возможности того, что пульсары являются нейтронными звездами [4], масса которых порядка массы Солнца, радиус 〜10 км и, следовательно, момент инерции I имеет порядок 1045 г «см2. Родившийся от сверхновой пульсар может вращаться с частотой Q порядка IO" с-1 и поэтому, согласно формуле (10.5.22),

должен излучать гравитационные волны с интенсивностью 1(р5е2 эрГ/с. Для сравнения заметим, что полная энергия вращения пульсара составляла бы около 1053 эрг, и поэтому большая часть кинетической энергии пульсара излучалась бы в течение нескольких лет в виде гравитационных волн f) при том условии, что экваториальный эксцентриситет е был бы не менее 10"4. В действительности это слишком большое значёние для статического эксцентриситета, чтобы он мог сохраняться в огромном гравитационном поле нейтронной звезды, но это значение, вероятно, возникает за счет динамических эффектов. В частности, это может осуществляться в ранний период, до того как пульсар приобретает устойчивую равновесную конфигурацию. В конце концов пульсар замедлится настолько, что другие механизмы потерь, такие, как магнитное дипольное излучение (для которого Р 〜◎&), станут более важными, чем гравитационное излучение.

Рассеяние и поглощение гравитационного излучения

Рассмотрим плоскую гравитационную волну с поляризацией gj1V и волновым вектором 乃同,которая падает на мишень, находящуюся в начале координат. На большом расстоянии от мишени гравитационная волна будет в общем случае состоять из плоской волны и расходящейся волны (см., например, [71):

%v(x,力)[egveik•х + /gv (х) -—-] e~ia^ (Ю.6.1)

где г = I х j, х 三 x/r, co = I k I и /uv — амплитуда рассеяния, которая может зависеть от х и со, но не от г или Л

Чтобы исследовать энергетический баланс между гравитационной волной и мишенью, необходимо разложить волну (10.6.1) па сходящуюся и расходящуюся волны. Плоскую волну в (10.6.1) можно разложить по полиномам Лежандра [8]:

£$к・х= 2 (22 + 1) Pi (k-x) ilji (cor).

Здесь ]i — сферические функции Бесселя порядка I (см. [8])* Поскольку существует асимптотическое соотношение (см. [81)

力力(зг) f -g^ Q3r_ (_ 1)，е-血]

')Постепенное замедление пульсаров за счет обратного действия гравитационного излучения рассматривалось в работах [5, 6].

суммы по Z можно рассматривать как разложения дельта-функций по полиномам Лежандра 】)：

W(2Z + 1)P, (ц) = 26(1-И),

S(2Z + l)(-l)Pz (n)=23 (1 + n).

Следовательно, на асимптотически больших расстояниях плоская волна представляется в виде расходящейся и сходящейся волн

/<ОГл л-г(йг八 л

е”к・х——^^_з«_к.х)-4—6(1 + к・ х).

Тогда гравитационная волна (10.6.1) имеет следующее представление:

&、囱Уе而「十 6謬％-诃I е-^+ к. с. (10.6.2) где

е檻(X)=急【e“v6 (l-k-i)+ i^v (x)],(10.6.3)

喘。口 (x) = -~^r 孤6 (1 + 3 G).(Ю.6.4)

Следуя тем же соображениям, что и в § 4 этой главы, можно вычислить полную мощность, уносимую расходящейся волной из сферы большого радиуса г, с помощью формулы

Ррасх = J &〈喘сх〉爲产，(Ю.6.5)

где (^расх) — средний поток энергии, записанный в виде (10.3.5), но с заменой е^ на е瑞°± Усреднение проводится по пространственно-временным областям, размеры которых велики по сравнению с 1/з и малы по сравнению с г. Из выражения (10.6.3) следует, что Ррасх должно состоять из трех слагаемых:

尸расх = Ррасе + Ринтерф + 尸пл. в，(10.6.6)

которые возникают от собственно /uv, интерференции между /uv и euV и от самого euv соответственно. Первый член, представляющий полную мощность, отклоненную от первоначального направления, можно вычислить, подставляя (10.3.5) в (10.6.5) и заменяя euv на 九，：

^расс = I^G J ^ [^ (х) /XV (х) -4-1 /\ (i) I] •(10.6.7)

Интерференционный член вычисляется аналогичным образом:

Ринтерф =急Re {—击 J Ж6 (1-к.х) х

X [e^*〃v &) — 4"е:ЧМ\, (х)]}.

Проинтегрировав по аргументу дельта-функции, получим Р^нтерб в виде

厶吟电=一党Im {收爲(к)- 4央汽(к)}.(Ю.6.8)

Последний член в (10.6.6), представляющий собой мощность, уносимую из сферы плоской волной, формально становится бесконечным при 『too. Однако плоская волна уносит из любого объема столько же энергии, сколько и вносит в него, и поэтому энергия, приносимая в сферу радиусом г падающей волной (10.6.4), в точности равна третьему слагаемому в (10.6.6)

^вход = Рцл. в・(10.6.9)

Таким образом, величина Рпл. в исключается из уравнения сохранения энергии, и выражение для мощности, поглощенной мишенью, выглядит так:

Р погл = Рвход —尸 расх = —Ррасс — Ринтерф*(10.6.10)

Поток энергии падающей волны записывается с помощью выражения (10.3.5), а именно

ф w〈冲〉В = т^ё [е^е^~^-\е\^у(10.6.11)

Поэтому эффективное сечение упругого рассеяния гравитационной волны имеет видПоэтому эффективное сечение упругого рассеяния гравитационной волны имеет вид(10.6.12)(10.6.12)

Поэтому эффективное сечение упругого рассеяния гравитационной волны имеет вид

Поэтому эффективное сечение упругого рассеяния гравитационной волны имеет вид

(10.6.12)

(10.6.12)

Эту величину нужно отличать от полного сечения рассеяния или поглощения волны

<Wh= Ррасс.(10.6.13)

^интерф-^интерф-«полн«полн(10.6.14)(10.6.14)Согласно (10.6.10), полное сечение можно найти, вычисляя интерференцию между падающей и рассеянной волнами:

^интерф-

^интерф-

«полн

«полн

(10.6.14)

(10.6.14)

Ф

С помощью (10.6.8) и (10.6.11) получаемС помощью (10.6.8) и (10.6.11) получаем(10.6.15)(10.6.15)

С помощью (10.6.8) и (10.6.11) получаем

С помощью (10.6.8) и (10.6.11) получаем

(10.6.15)

(10.6.15)

Этот результат, утверждающий, что полное сечение рассеяния равно мнимой части амплитуды рассеяния вперед, умноженной на 4л/(о, был впервые получен в классической электродинамике [9, 10] и известен как оптическая теорем. Как здесь, так и в электродинамике этот результат есть следствие сохранения энергии, в то время как в квантовой механике аналогичная теорема следует из условия сохранения вероятности [И, 12].

Поскольку падающая волна слабая, то амплитуда рассеяния /hv есть линейная комбинация из компонент первоначального поляризационного тензора ера. Отсюда следует, что сечения (10.6.12) и (10.6.15) не зависят от нормировки е^, хотя они могут зависеть от к и от вида тензора поляризации. Цель теории гравитационного рассеяния ——вычислить /Xv； далее по формулам (10.6.12) и (10.6.15) можно уже определять всевозможные сечения.

Детектирование гравитационного излучения

Эксперименты, целью которых было обнаружение гравитационного излучения, были проведены Вебером в шестидесятых годах [1, 26, 27], а в настоящее время такие эксперименты ставятся в лабораториях всего мира. В большинстве экспериментов используется резонансная квадрупольная антенна, роль которой может играть любая «малая» механическая или гидродинамическая система с естественной модой свободных колебаний. Оказывается так, что эффективное сечение такой антенны можно оценить, используя только оптическую теорему, выведенную нами в предыдущем параграфе, не вникая во взаимодействие между гравитационной волной и антенной.

Предположим прежде всего, что антенна много меньше длины волны 2л/(о и потому рассеянная гравитационная волна есть чисто квадрупольное излучение. Исходя из тех же соображений, которые привели нас ранее к формулам (10.4.10), (10.4.12), (10.5.3) и (10.5.4), можно заключить, что амплитуда рассеяния в выражении (10.6.1) имеет вид

/uv (х) = igv(X)—•^ %v%% (х),(10.7.1)

где 力乂у ——тензор, пропорциональный фурье-образу вызываемого волной возмущения в Tuv. Сохранение энергии-импульса приводит, как и раньше, к соотношениям А八^АЛ

力ох (х) = —融，力оо (х) = 力力(10.7.2)

где 力订 не зависит от х, но, конечно, зависит от со, £乩丫 и от детального механизма взаимодействия антенны и падающей волны. В системе координат, в которой начальный вектор распространения к направлен, по третьей оси, а калибровка такова, что единственными неисчезающими элементами тензора поляризации являются еп = —е?2 и е12 = е21, полное сечение (10.6.15) принимает вид

2л Im {е* (М —力22)+ 2啖片2$И О 7 Ч\

поли= 3[旧井+旧2户]

Далее, тем же методом, что и в § 5 этой главы, можно вычислить интеграл по углам в (10.6.12) и получить следующую формулу для сечения упругого рассеяния:

4n|4幻一等而日

ораее = 5[1"1产+也川•(10.7.4)

Предположим теперь, что рассеяние резонансное, т. е. что частота со падающей волны близка к собственной частоте со0 свободных колебаний системы, образующей антенну. Можно считать, что падающая волна служит просто возбудителем этих свободных колебаний, которые теряют затем энергию, излучая гравитационные волны или другими путями, что отвечает упругому рассеянию и поглощению соответственно.

Отсюда, в частности, следует, что отношение сечения упругого рассеяния к полному сечению равно просто доле энергии 質 свободных колебаний, рассеивающейся в виде гравитационного излучения (т. е. энергии, которая не превращается в теплоту, в свет и т. п.)

^расс = "П^полн,(10.7.5)

где

Здесь Г ——полная скорость затухания свободных колебаний, а Гграв ——скорость затухания вследствие гравитационного излучения. Поскольку т] есть параметр, характеризующий свободные колебания антенны и не связанный с тем, каким образом эти колебания возбуждаются, то он не зависит от euv.

Другое следствие предположения о резонансном механизме рассеяния —— это то, что вид матрицы 力订 определяется некоторой постоянной матрицей 冷订，зависящей только от геометрических свойств возбуждаемых колебаний, т. е.方订 должно быть равно "订, умноженной на некоторую функцию от компонент тензора поляризации бц и 力2・ Так как поле падающей волны по предположению слабое, эта функция должна быть линейной и, следовательно,

(10.7.6)(10.7.6)должна иметь вид

(10.7.6)

(10.7.6)

*Zj = nij (ае11 + Ре12)»

где к»力 а и § не зависят от £口 и е12. Например, если антенна обладает аксиальной симметрией относительно некоторого направления п, то riij есть линейная комбинация 3订 и п^у. Член, пропорциональный 8ij, не дает вклада в (10.7.3) или в (10.7.4), а потому в данном случае имеем

п 打=ntnj. (10.7.7)

Два требования, (10.7.5) и (10.7.6), налагают сильные ограничения на амплитуду рассеяния. Подставив (10.7.3), (10.7.4) и (10.7.6) в (10.7.5), находим

亲 Im {[暗(九" 一?z?2) + 2e*2n12] [aen + 60?]}=

=4"I ae” + ₽e12 |2[n^ni； — •^\пц |2] •

Это соотношение должно выполняться при любых egv; поэтому, приравняв коэффициенты при | % |2,磕《强 и | %212, получим

у^р Im {(пн 一 &2)а} = 2以*6 {(%1 一 後2)В — 2臂2^}=

= -「:卩」m {孔±26} = "|^■[成汹订-^ 1%i I2] •

Решение этих уравнений имеет вид

(10.7.8)(10.7.8)где g ——комплексное число с мнимой частью, Im g = I g I2.

(10.7.8)

(10.7.8)

Тогда амплитуда рассеяния (10.7.6) запишется

(10.7.9)(10.7.9)〃订,но не〃订,но не小5gr)勺八(建1一孔為)/1 + 2建2勺2]2s ^nimnlm1- I nU |2J

(10.7.9)

(10.7.9)

〃订,но не

〃订,но не

Отметим, что 力订 здесь зависит только от вида i от ее нормировки.

И наконец, последнее следствие предположения о резонансном рассеянии состоит в том, что частотная зависимость амплитуды рассеяния 勿)задается фурье-образом функции, временная зависи-

мость которой определяется экспонентой g —icOQtg — rt/2

причем функция осциллирует с частотой s。, а затухание амплитуды и убывание энергии происходят соответственно с декрементами Г/2 и Г, т. е. 土订 должна иметь следующую зависимость от частоты:

(10.7.10)

Поскольку Т)и 孔订 определяются свойствами свободных колебаний вне зависимости от того, как они возникают, такая частотная зависимость может проявиться только благодаря множителю g. Чтобы удовлетворить условию «унитарности» (10.7.8) для всех(о, надо положить

_—Г/2

'(о—(о()+ » Г/2

Полное сечение рассеяния или поглощения антенной гравитационных волн (10.7.3) запишется тогда в единицах СГС в виде

°полн — \ 炉丿 \ (О)—й)о)2 + Г2/4 / X

X I (時1一 時2)/1+2臂2/212一. d0.7 (2)

[唠*)一4"1""[[旧1户+出2円

Весьма замечательным обстоятельством является то, что это сечение полностью определяется как функция величин euv и (о параметрами оц, Г, т] и формой матрицы 孔炉 независимо от того, будут ли резонансные колебания механическими, акустическими, электрическими или какими-нибудь еще.

В частном случае, когда антенна обладает круговой симметрией относительно направления п, матрица 孔订 имеет простую форму (10.7.7). Если ось симметрии располагается в плоскости 1—3 под углом 0 к 3-оси, вдоль которой распространяется волна, то неравные нулю элементы такой матрицы выглядят так:

пп == sin2 0,孔 1з = cos 0 sin 0,n33 = cos2 0.

Тогда полное сечение (10.7.12) имеет вид

%。"口 = (^1") ((з — з；2；Г2/4)) Sin4 о ( I ej "々2 户卜(1°・7,3)

Из-за множителя sin4 0 сечение будет наибольшим тогда, когда ось антенны располагается под прямым углом к направлению распространения волны, т. е. при 0 = л/2. Это отражает просто тот факт, что гравитационные волны, подобно электромагнитным, поперечны.

Когда поляризация гравитационных волн не измеряется, величина, представляющая интерес,——это сечение (10.7.12), усредненное по спиральностям ±2, т. е. по тензорам поляризации с 勺1 = 干％2・ Такое сечение имеет вид

不 一/ 5我平2 \ ( f2/4 \ /|/1一也22|2 + 4|叫2 |2、

Если антенна обладает аксиальной симметрией, то процедура усреднения по спиральностям сведется просто к замене последнего сомножителя в уравнении (10.7.13) на V2.

Проведенный выше анализ, строго говоря, применим только тогда, когда имеется единственное невырожденное резонансное колебание. Если же существует несколько вырожденных колебаний, то данная линейная комбинация, возбуждаемая гравитационной волной, может зависеть от поляризации волны, а потому tq не обязательно пропорциональна постоянной матрице 孔廿 Например, если антенна есть упругая сфера, то любое квадрупольное колебание состоит из пяти независимых мод. В этом случае 灰, должна быть линейной комбинацией 5订 и 外力 но, как и раньше, член, пропорциональный 5切 не дает вклада в (10.7.3) или (10.7.4), так что можно принять

Тогда уравнения (10.7.3) — (10.7.5) дадут

Imy =Imy =2(о5Tl2(о5Tl

Imy =

Imy =

2(о

5Tl

2(о

5Tl

一 Г/2со—to。+ i F/2一 Г/2со—to。+ i F/2и, поскольку у должен иметь зависимость от частоты (10.7.10), имеем

一 Г/2

со—to。+ i F/2

一 Г/2

со—to。+ i F/2

)•

Тогда для любой исходной поляризации полное сечение (10.7.3) имеет вид

限L(寥)(码“»(10-7.15)

Во всех случаях эффективное сечение имеет максимум, когда антенна настроена так, что резонансная частота 働 равна частоте падающей волны о. Исследование выражений (10.7.12) ——(10.7.15) показывает, что это максимальное значение сечения имеет порядок

Омаке ^ П九2,Омаке ^ П九2,(10.7.16)

Омаке ^ П九2,

Омаке ^ П九2,

где 九一длина волны, равная 2лс/(в. Если бы в идеальном случае колебания затухали только на счет испускания гравитационных

Болн, то т] — 1 и Омаке имело бы очень большое значение V. В действительности мы, конечно, никогда даже не приближаемся к этому идеальному случаю； например, в § 5 этой главы мы показали, что большой алюминиевый цилиндр Вебера имеет п ^ ^ 3 *10~34! В общем случае интенсивность Гграв, с которой резонансный осциллятор излучает гравитационные волны, зависит от размеров антенны, которые трудно увеличить; следовательно, для того чтобы сделать оыакс как можно большим, необходимо максимально уменьшить Г в отношении 刀=Гграв/Г, используя, возможно, для этого некоторый вид осцилляций в сверхтекучей жидкости.

Однако настройка нашей антенны не даст ничего, если у нас не будет сильного источника гравитационного излучения с хорошо известной частотой, на которую можно настраиваться. Вероятно, наиболее перспективный источник [13]——это пульсар NP 0532 в Крабовидной туманности. Этот объект мы наблюдаем по излучению им электромагнитных импульсов в диапазоне оптических, рентгеновских и радиочастот с периодом 2ji/Q = 0,03309 с. Как мы упоминали в параграфе 5, пульсары считаются вращающимися нейтронными звездами [4] с моментом инерции порядка Ю45 г «см2 и неизвестной величиной сплюснутости. Следовательно, пульсар в Крабовидной туманности излучает, по-видимому, гравитационные волны с(о = 2Q — 379,8 Гц при интенсивности около Ю45 吆2 эрг/с. Поскольку Крабовидная туманность находится от Земли на расстоянии 6500 световых лет, или 6,2 -1021 см, поток гравитационного излучения, пронизывающий Землю, составляет около Ф ^ е2 эрг/(с *см2). Резонансная линейная квадрупольная антенна, «направленная» и настроенная на пульсар в Крабовидной туманности, должна иметь, согласно формуле (10.7.13), сечение Ополн ~ 7,4-Ю16Т1 см2.

Мощность, поглощаемая антенной, составит тогда около jgi6^e2 ЭрГ/с> Если, например,刀=10-32, а е 〜10-4, то мощность будет порядка 10-24 эрг/с и, вероятно, она может быть детектирована. К сожалению, для того чтобы можно было использовать в качестве антенны, настраиваемой на Крабовидную туманность, алюминиевый цилиндр типа рассмотренного в § 5 этой главы, цилиндр должен быть довольно громоздким:冗ujs 〜42 м. Чтобы обойти эту трудность, можно использовать антенны в виде кольца, вилки и т. п., которые при заданных размерах имели бы более низкую собственную частоту, чем стержень или цилиндр. Группа исследователей из Рочестера [14] проектирует сейчас кольцевую антенну, которую можно будет настроить на Крабовидную туманность.

Во всех экспериментах, проведенных Вебером, использовалась резонансная квадрупольная антенна, которая не настраивалась ни на какой определенный источник. Ясно, что было бы нелепо

ожидать, чтобы излучение, например, такого монохроматичного источника, как пульсар, попадало бы как раз в полосу приема частот антенны. Поэтому целью подобных экспериментов в действительности мо,кет быть детектирование широкополосного гравитационного излучения с потоком энергии Ф (со) day в интервале частот от(о до(о -|- day. Если детектируется такое излучение, то мощность, поглощенная резонансной антенной, будет равна

Р = °макс j [®」詳 Г2/4 ]屯(3)血’

где Омаке — эффективное сечение антенны в резонансе, определяемое формулами (10.7.12) — (10.7.14) или (10.7.15) при(о = =(о(). Если Ф (со) приблизительно одно и то же в интервале частот от (со。——Г) до (со0 + Г), то величину ①(s) можно вынести из-под знака интеграла и получить

г

р = ПО макс ①(g) —•(10.7.17)

Если источник излучает в течение времени, большего, чем время релаксации антенны 1/Г, то может быть достигнуто квазистационар ное состояние, в котором среднее значение энергии Е в резонансной моде таково, что энергетические потери ЛТ компенсируются поглощаемой мощностью Р:

笈= ~^- = тмакс ① £。)・(10.7.18)

В этом случае измерение энергии возбуждения резонансной моды служит для измерения или по крайней мере для оценки верхнего предела потока мощности при резонансной частоте.Например,Земля имеет основную сфероидальную моду колебаний (описание нормальных мод колебаний Земли и Луны приведено в [151) 052 с периодом 2л/(о, равным 54 мин, и скоростью затухания порядка 5 -IO-6 с-1. При данном характере колебаний возмущение плотности массы имеет bur Pi (г) Yf (0, ф). В такой моде скорость гравитационного затухания Гграв должна приблизительно иметь порядок GMqR^^/c5 [ср. с выражением (10.5.18)], т. е. около Ю-25 с-1, поэтому относительная вероятность п имеет порядок 10-20. В резонансе сечение (10.7.15) равно 7,5 '1027т] см2, или IO7—108 см2. Из сейсмических измерений можно извлечь среднее значение напряжения в земной коре в спокойный период. Форвард с сотр. [16—19] получил в 1961 г. верхний предел величины Ф (со0) порядка 20 Вт/см2 «Гц. Можно надеяться, что, помещая гравиметр на Луне [20], которая сейсмически значительно менее активна, чем Земля, можно улучшить оценку верхнего предела Ф.

Если «вспыхнувший» источник излучает в течение времени т, меньшего, чем время релаксации антенны 1/Г, то полная энергия,

получаемая антенной, равна

АМ =尸工=”макс① ®) t у- •

Таким образом, при вспышке энергию, достигающую антенны и приходящуюся на единицу площади внутри ширины полосы частот Г? можно определить следующим образом:

宮三①(8°)Гт = ^^.(Ю.7.19)

ломакс

Однако, если источник излучает в течение времени т V 1/Г, его полоса частот должна быть шире чем 1/т; поэтому при вспышке полная энергия на единицу площади будет больше чем g более чем в (тГ)-1 раз.

Пока что единственным положительным указанием на существование гравитационного излучения во Вселенной служат эксперименты Вебера [1, 21, 23] с алюминиевыми цилиндрами, описанные в § 5 гл. 10. Эти антенны имели следующие значения частоты л «коэффициента ветвления»: 3°/2冗=1660 Гц, т) = 3 *10-34 [см. выражение (10.5.20)]. Отсюда, полагая s = со。л усредняя выражение (10.7.13) по спиральностям, получаем следующее значение резонансного сечения:

Омаке = 2,9'10~20 sin4 0 см2.

Если при комнатной температуре минимальный прирост энергии АЕ\ который можно отличить от тепловых флуктуаций, равен кТ или 4 *10-14 эрг, то, согласно соотношению (10.7.19), гравитационное излучение вспышки моякно детектировать, если энергия на единицу площади внутри ширины луча удовлетворяет условию g 9-105 эрг/см2 для 8 =子.

(В действительности, пользуясь точнее обработанными данными, эту оценку можно несколько улучшить.) Простой подсчет числа импульсов, возникающих в одном цилиндре, оставлял бы возможность утверждать, что эти импульсы не имеют отношения к тепловому шуму, а связаны с сейсмическими возмущениями, электрическими бурями или космическими лучами. Поэтому Вебер отбирал совпадающие во времени импульсы в алюминиевых цилиндрах, находящихся па расстоянии 1000 км друг от друга: в Колледж- Парке штата Мэриленд и в Аргоннской Национальной лаборатории, штат Иллинойс. В 1969 г. Вебер сообщил о примерно 100 совпадающих импульсах, следующих с такой скоростью, которая приводит к значению потока гравитационного излучения примерно 0,1 эрг *см-2 -с'1 (при ширине полосы частот Г 〜 〜ОД Гц) [21].

Фиг. 10.1. Данные по гравитационному излучению, приходящему изФиг. 10.1. Данные по гравитационному излучению, приходящему изцентра Галактики [22].центра Галактики [22].имеющий ту же частоту 1660 Гц, что и цилиндр. Наблюдаемая скорость совпадений была много меньше, чем у пары цилиндров; явная корреляция совпадений со звездным временем соответствует чисто тензорной теории [251.Сейчас готовятся повторения экспериментов Вебера с большой чу ветвительн остью. Одно из важнейших усовершенствований т планируемых сейчас в Стэнфорде [261,—— охлаждение цилиндри-имеющий ту же частоту 1660 Гц, что и цилиндр. Наблюдаемая скорость совпадений была много меньше, чем у пары цилиндров; явная корреляция совпадений со звездным временем соответствует чисто тензорной теории [251.Сейчас готовятся повторения экспериментов Вебера с большой чу ветвительн остью. Одно из важнейших усовершенствований т планируемых сейчас в Стэнфорде [261,—— охлаждение цилиндри-

Фиг. 10.1. Данные по гравитационному излучению, приходящему из

Фиг. 10.1. Данные по гравитационному излучению, приходящему из

центра Галактики [22].

центра Галактики [22].

имеющий ту же частоту 1660 Гц, что и цилиндр. Наблюдаемая скорость совпадений была много меньше, чем у пары цилиндров; явная корреляция совпадений со звездным временем соответствует чисто тензорной теории [251.

Сейчас готовятся повторения экспериментов Вебера с большой чу ветвительн остью. Одно из важнейших усовершенствований т планируемых сейчас в Стэнфорде [261,—— охлаждение цилиндри-

имеющий ту же частоту 1660 Гц, что и цилиндр. Наблюдаемая скорость совпадений была много меньше, чем у пары цилиндров; явная корреляция совпадений со звездным временем соответствует чисто тензорной теории [251.

Сейчас готовятся повторения экспериментов Вебера с большой чу ветвительн остью. Одно из важнейших усовершенствований т планируемых сейчас в Стэнфорде [261,—— охлаждение цилиндри-

На фигуре показана регистрируемая Вебером интенсивность (в произвольных единицах) как функция звездного времени. Стрелками отмечены те значения звездного времени, когда антенна была расположена почти пер пендикуляр но лучу зрения на центр Галактики. Числа в кружочках показывают число совпадений в каждом временном интервале.

Вскоре после этого Вебер [22—24] обнаружил, что скорость совпадений так коррелирует со звездным временем, как будто бы излучение приходит из центра Галактики и дает обычное для антенны распределение sin4 0 (фиг. 10.1). Центр Галактики удален от Земли на расстояние 2,5 *1022 смг поэтому наблюдаемый поток 0,1 эрг «см~2 «с"1 указывает на источник с мощностью около 8 -1044 эрг/с, или 0,013 Л/0С2/год. Само по себе это не было бы таким уж удивительным, но поскольку антенны Вебера не были настроены ни на какую определенную частоту, то мощность 0,01A/"qc2 в полосе частот 0,1 Гц при 1660 Гц, по-ви- димому, соответствует полной мощности, в 103—105 раз большей, т- е. о к о л о 10— 103Мq с2/г од. При такой интенсивности излучения вся масса Галактики была бы исчерпана за 108— —1010 лет! Если Вебер в действительности наблюдал гравитационное излучение из центра Галактики, то либо он случайно наскочил на точную частоту, на которой испускается большая часть этого излучения, либо он открыл новый невероятно мощный источник энергии.

Вебер искал также скалярное излучение, используя диск с монопольной модой колебаний.

ческих антенн до очень низких температур, порядка миллиградусов по Кельвину. Если работа антенны ограничена тепловым шумом, то понижение температуры в 10+5 раз увеличит точность в Ю5 раз. Группа московских ученых [27] пытается обнаружить гравитационное излучение с помощью улучшенного оборудования и проектирует новые типы гравитационных волновых антенн [281. Вебер продолжает свои исследования, используя новые антенны и другое оборудование. Лучшее, что может делать сейчас теоретик,— это ждать, когда экспериментаторы достигнут какого-то согласия в вопросе о том, действительно ли гравитационное излучение наблюдалось.

Квантовая теория гравитации

В настоящее время не существует сколько-нибудь полной и самосогласованной квантовой теории гравитации, и, чтобы подробно описать попытки создания такой теории, пришлось бы выйти за рамки этой книги. Однако представляется возможным и, наверное, даже полезным дать читателю понятие о том, как такая квантовая теория могла бы выглядеть.

Для начала на простейшем уровне будем считать элементар* но, что гравитационная плоская волна с волновым вектором 厶貝 и спиральностью 士 2 состоит из гравитонов — квантов с вектором энергии-импульса ри =力论卩 и проекциями спина на направление движения, равными ±2方.(Здесь 力=1,054 «10-27 эрг/с.) Поскольку к^к^ = 0, то, подобно фотону и нейтрино, гравитон — это частица с нулевой массой. Согласно выражению (2.8.4), тензор энергии-импульса ансамбля гравитонов, каждый из которых имеет 4-импульс 歹品=力加и, равен

小(Ю.8.1)

где 4 — число гравитонов на единицу объема. Сравнивая (10.8.1) с выражением, найденным нами для плоской гравитационной волны,

統=綜(1%|2 + e|2),(Ю.8.2)

можно сделать вывод, что в плоской волне плотность числа гравитонов со спиральностью 士 2 равна

夕±=$ 包汽(1°・8・3)

Плотность полного числа гравитонов имеет вид

J > = ”+ += ^^ С*е^ 一告 I % |2 ) .(10.8.4)

Аналогичным образом, можно рассматривать в (10.4.13) мощность, теряемую произвольной системой в виде гравитационного излучения, как интенсивность излучения dT гравитонов с энергией 力з в телесный угол 〃◎:

比=黑=岩手［**体，3)队他8)-4|*(例3)日.(10.8.5)

Однако здесь под тензором энергии-импульса Т^ (Л, з) необходимо понимать уже матричный элемент оператора тензора энергии- импульса между начальным и конечным состояниями. В частности, ширина перехода атома из состояния а в состояние b путем гравитационного излучения в квадрупольном приближении записывается так:

Г(а->&)=岑[*(Q>Ъ)加(q6) 一£I加他т&)円， (10.8.6) где

Dij (a~>b) = me (屮笠(x)勺况川。(x) tFx? (10.8.7)

a 屮a, Wb — волновые функции начального и конечного состояний. Например, ширина перехода с излучением одного гравитона атомом водорода из состояния 3d (щ — 2) в состояние 1s равна

Г(3df Is)=謀縊^ = 2,5.10-- cl

Совершенно ясно, что нет никакой возможности наблюдать такой переход.

Приведенные выше оценки относятся к процессам, в которых переходы возникают именно из-за излучения гравитона, а потому гравитон имеет определенную частоту со — (£\ ——E^)lh. Можно рассмотреть также процесс, протекающий любым другим образом, например за счет столкновения частиц, и поставить вопрос: какова вероятность излучения гравитона в таком процессе? В этом случае частоты гравитонов образуют непрерывный спектр, поэтому используем формулу (10.4.22) для излучаемой энергии, разделив ее на 方з. Тогда вероятность излучения в телесный угол 〃Q гравитона с частотой в 〃з равна

x [ {PN-PMy -^-т^тм^ ,(10.8.8)

где Рс —— вероятность столкновения без излучения гравитона; суммирование по 7V и М, как и раньше, производится по всем частицам в начальном (г| ———1) и конечном (貝= 十1) состояниях. Эту формулу можно вывести чисто квантовомеханическими мето- 八ами [29].

Следует заметить, что вероятность излучения dP пропорциональна 2з/о)[множитель (Р %) в знаменателе пропорционален о>], поэтому полная вероятность излучения гравитационных волн при столкновении расходится логарифмически как при з -> оо, так и при 3fo.c расходимостью при со -> оо, т. е. с «ультрафиолетовой» расходимостью, мы столкнулись еще в классике. Этот вид расходимости возникает из-за предположения, что столкновения происходят мгновенно; эту расходимость можно исключить, обрезав интеграл по з при значении со ~ 1/А力 ~ £7力, где А方——длительность столкновения, а Е, согласно принципу неопределенности, есть некая типичная энергия столкновений. Второй вид расходимости ——«инфракрасная» расходимость, возникающая при з=0,——есть чисто квантовомеханический эффект, здесь он появился исключительно из-за того, что при вычислении вероятности излучения мы разделили значение излучаемой энергии dE па величину 方со. Эту расходимость можно устранить, учитывая то, что Рс — вероятность столкновений без излучения гравитонов ——сама по себе расходится логарифмически из-за испускания и поглощения источником виртуальных гравитонов и что эти расходимости взаимно уничтожаются 130]. Таким образом, приняв простейшие представления о квантовой природе гравитационного излучения, мы неизбежно обнаруживаем связи реальных и виртуальных гравитонов.

Квантовая интерпретация гравитационного излучения приводит к простому выводу соотношений между вероятностями поглощения и излучения гравитонов. Представим себе, что имеется абсолютно черная полость с температурой Т в теле, настолько большом и плотном, что оно непроницаемо для гравитационного излучения. Пусть полость будет заполнена электромагнитным и гравитационным излучением, находящимся в равновесии с содержащей их оболочкой. Используя те же статистические соображения, которые для электромагнитного излучения приводят к распределению Планка (см., например, [31]), получаем, что приходящееся на единицу объема число состояний гравитона с частотой, лежащей между со и со + 〃з, равно

九(з) аз = _^Цехр (署)—1「， (10.8.9) где 右 = 1,38/0—16 эрг/К ——постоянная Больцмана. (При выводе этого выражения был учтен тот факт, что гравитон, подобно фотону, имеет два независимых состояния поляризации.) Для того

чтобы поддерживалось состояние равновесия, интенсивность ц0. глощения Л ((о) единичного гравитона стенками полости должна быть следующим образом связана с приходящейся на единичный объем интенсивностью излучения Е (s) da) гравитона с частотой между(о и s + ds:

Л ((о) n (со) ds = Е (со) d矶

(10.8.10)

Это соотношение можно записать также в виде [34]

тде

Е (со) — I (со) + S (со),

(10.8.11)

S(s)J)exP( кТ ) ^ (®),

(10.8.12)

/ (з) = м (<о) ехр (—票)厶(<о).

(10.8.13)

Величину

S (①)мы рассматриваем, как скорость

спонтанно-

ао гравитационного излучения, приходящуюся на

' единичный

объем и единичный интервал частот.

[(10.8.12) можно вывести также и из «кроссинг-симметрии» между излучением и поглощением; (о2/л2 ——множитель, учитывающий •«фазовое пространство», а ехр (—方①/力7) — множитель Больцмана, лредставляющий собой относительную вероятность того, что атом находится на верхнем уровне и способен излучить гравитон или находится на нижнем уровне и способен поглотить гравитон.] Оставшийся член I (со), пропорциональный п (со), можно рассматривать как приходящуюся на единицу объема и частот скорость индуцированного излучения гравитационных волн ——эффект, связанный с бозе-статистикой газа, состоящего из гравитонов (см. [7], стр. 449).

Полезно заметить, что выражения (10.8.12) и (10.8.13) остаются справедливыми даже в том случае, когда гравитационное излучение не находится в равновесии с веществом и формула (10.8.9) для п (со) не выполняется. Необходимо только, чтобы при температуре Т вещество находилось в состоянии теплового равновесия. Например, разделив выражение (10.4.26) на 力①,можно вычислить приходящуюся на единицу объема и частоты интенсивность S (со) спонтанного излучения гравитонов в нерелятивистском газе при условии, что частота гравитона (о лежит в интервале о)с《 ①《 《kT/h. Выражение (10.8.12) приводит тогда к следующей формуле для скорости поглощения таких гравитонов:

4⑹=-£- 2脸55〈昵J轡side源)

Поведение Л (з) как ①一'может при высокой температуре эту величину сделать неожиданно большой для низкочастотных гравито-

нов в газе. Однако индуцированное излучение эффективно уменьшает интенсивность поглощения в kTIh^ раз. В сегодняшней Вселенной, по-видимому, не возникает ситуации, когда поглощение гравитационного излучения играло бы важную роль.

То, что мы здесь изложили, можно назвать полуклассической теорией гравитации. Развитие действительно квантовой теории гравитации, к сожалению, намного сложнее. Один из подходов к такой задаче ——это построение гамильтониана взаимодействия, который мог бы описывать рождение и уничтожение гравитонов, н затем вычисление вероятностей переходов в виде степенного ряда по этому взаимодействию. Обычно гамильтониан строится из квантованных полей вида

7zpv (/)=2 j "陪{优(k,卩)气" (k, ц) X

X exp (恤通)+ 优十(к, ц)唯(k,卩)exp (一询")}, (10.8.14) где &pv (к,卩)——тензор поляризации гравитона с импульсом йк и спиральностью 卩,а 优(к,卩)и 优十(к,卩)一операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие следующим коммутационным соотношениям:

[а (к, ц), а+(к\ *)]=53出一г)5口心 (Ю.8.15)

[а (к, ц), а (к\ 卩')] =[。十(к, ц),优+(К 卩')]=0・(10.8.16)

Трудности такого подхода возникают из-за того, что оператор (10.8.15) не может быть лоренцевым тензором, поскольку суммирование по спиральностям ограничено физическими значениями 卩=土2; как мы видели в § 2 этой главы, истинный тензор имел бы спиральности 0, ±1, ±2. Мы можем, правда, исходить из истинного тензора, а затем подвергнуть «内 градиентному преобразованию, чтобы исключить нефизические значения спиральности 0 и ±1. Однако если мы выбираем калибровку таким образом, то hjp не будет уже тензором. Если, действуя по-другому, считать, что &1з, ©23，£10, ©20，©о。, ©оз и ©зз исчезают, когда к направлено по 3-оси, то калибровочное условие не является лоренц-инвариант- пым. Действительно, если сделать эти компоненты равными нулю, то при лоренц-преобразовании А§ величина h^ не перейдет просто в А^р 八婚。九"0, а подвергнется дополнительному градиентному преобразованию [331：

%” fa/八/历做-}%” fa/八/历做-}

%” fa/八/历做-}

%” fa/八/历做-}

Итак, построение гамильтониана из данных объектов и получение таким образом лоренц-инвариантных вероятностей переходов является нелегкой задачей.

Существуют два возможных пути ее решения- Один из них - это допустить нетензорный характер h^ и использовать для вывода лоренц-инвариантных правил вычисления амплитуд переходов нековариантный гамильтонов формализм [34——36]. Эта программа достаточно легко реализуется в электродинамике, однако в общей теории относительности ее пока что не удается завершить из-за самодействия гравитационного поля. В другом подходе, предложенном впервые Фейнманом [37], исходят из явно лоренц-инва- риантного формализма, а затем каким-нибудь способом пытаются исключить появление среди физических состояний нефизических частиц со спиральностями 0 и ±1. Эта программа успешно завершена в работах Фадеева и Попова [38], Мандельстама [39] и Де Витта [40].

К сожалению, в квантовой теории гравитации формулировка общих правил вычисления вероятностей переходов вскрыла лишь наличие другой трудности. Оказалось, что теория содержит бесконечности, возникающие при интегрировании по большим виртуальным импульсам. В квантовой электродинамике возникают аналогичные бесконечности, но только в трех или четырех специальных случаях, где они связаны с перенормировкой массы заряда и волновых функций [41]. В отличие от этого квантовая теория гравитации содержит неограниченное множество бесконечностей, в чем можно убедиться, исходя из элементарных соображений размерности. Действительно, гравитационная константа имеет размерность Й/m2, а потому безразмерная амплитуда вероятности порядка Gn будет расходиться как интеграл [卩2几一i &卩 по импульсному пространству. В связи с этим теория гравитации более похожа на неперенормируемые теории, например на фермиевскую теорию бета-распада, чем на квантовую электродинамику.

Несмотря на эти трудности, из квантовой теории гравитации можно сделать один очень важный вывод: невозможно построить лоренц-инвариантную квантовую теорию частиц с нулевой массой и спиральностью ±2 без введения в теорию калибровочной инвариантности некоторого вида [29, 30], ибо только в этом случае взаимодействие нетензорного поля h^ может приводить к лоренц- инвариантным амплитудам переходов. Однако в § 2 мы видели, что теория гравитационного излучения калибровочно-инвариант- на, так как общая теория относительности общековариантна, а, как следует из обсуждения, приведенного в § 1 гл. 4, общая ковариантность есть лишь математическое выражение принципа эквивалентности. Таким образом, оказывается, что принцип эквивалентности, на котором основана вся классическая общая теория относ14тельности, есть сам по себе следствие требования, чтобы квантовая теория гравитации была лоренц-инварнаптна.

Гравитационные возмущения в гравитационных полях

В предыдущих параграфах была описана лоренц-инвариантная теория слабых гравитационных волн в пространстве-времени Минковского. В дальнейшем, в гл. 15, посвященной космологии» нам понадобится общая ковариантная теория распространения слабых гравитационных возмущений в гравитационном поле g^”.

Согласно уравнению (6.1.5), если при некотором возмущении величина g^” изменяется на g^” + bg^v при малом 5g卩”,то в первом порядке по 5g貝V имеем

OX

где 6Гхл есть изменение аффинной связности:

Отметим, что 6Г^ можно выразить в виде тензора

61% = 4 gg〔(6gQ；v +(6gpv)；u — (3g“Jp].(10.9.1)

Ковариантные производные здесь, естественно, построены с помощью невозмущенной аффинной связности Ги^- Так как 3『卩々 есть тензор, то изменение тензора Риччи можно также записать через ковариантные производные следующим образом:

6^х = (6Г^);и-(6Г^);х.(10.9.2)

Это соотношение известно как тождество Палатини. Выраженное через 5g吟 оно имеет вид

ЗН|л乂 = 2g'p [(5g九p)；n；x — (5gpu)；%?i—■ (5gpx)；u；%+ (6g|Ax)；p；xl- (Ю.9.3)

Предполагается, что невозмущенное гравитационное поле g^ и тензор энергии-импульса Тц¥ удовлетворяют уравнениям поля Эйнштейна. Условием того, что этим же уравнениям удовлетворяют и g^ + 5g^ и T^v + ВТ” является

™gXp [(6^Хр);(1；х — (6gpkL);x;x — (6gpX)；|A；x+ (6ggx);p;d =

(10.9.4)

Изменение источника поля ВТ” подчиняется следующему закону сохранения:

(附吗巾+尸净邙九+ ^бГ^х - о.(Ю.9.5)

Общая ковариантность этих уравнений очевидна.

Так ?ке как и для гравитационных полей, заданных в про странстве-времени Минковского, здесь важно отличать физическо( возмущение от простого изменения системы координат. С это! делью рассмотрим произвольное бесконечно малое преобразование координат

壮—> "卩=什一8^ (z), (10.9.6：

где &g(£)——некое инфинитезимальное векторное поле. Частные производные, возникающие в правилах преобразования тензора,

■имеют здесь вид

善号十0（吩善号十0（吩

善号十0（吩

善号十0（吩

Поскольку уравнения Эйнштейна общековариантны, a g^^ (力) .является решением уравнения для тензора энергии-импульса 7内(囂)， то решением уравнения для Т^ (н) служит g^ (г), •определяемое следующим образом:

glv (z) = g£ (%') + 号；『 0(2)+ о(е2)=

=gg 位)+ g入v (/)~V + g® (© V H--广一泌(h) и аналогичным образом определяется 7口； (％). Записывая это выражение в ковариантной форме, мы можем сделать вывод, что тензор gwv (%) = gg (%) + 厶喏卩丫 (况)(10.9.7)

является решением уравнений Эйнштейна для тензора энергии- импульса» имеющего вид

гдегде7/ 传)=7内(£)+ AgTg(£),(Ю.9.8)

где

где

A唔内=eg；v +玩；以，(10.9.9)

Ag&v м T\,®；v + 7\>%；从 + TV 明九眇，(10.9.10)

{Заметим, что 厶霑^ имеет ту же форму, что и 厶^/冲,за исключением того, что ковариантные производные от guv равны нулю, в то время как у Т^ они существуют.) Отсюда с помощью прямого вычисления можно показать, что bg^” = Agg^v есть решение уравнения поля (10.9.4) для возмущения источника 8Т^ = uAgT^v. Но так как уравнение (10.9.4) является линейным дифференциальным уравнением, то, задавая любое решение 5gli”, можно всегда найти другие решения вида 6gMV + Дб^^ с тем же

самым физическим содержанием. Свобода прибавлять к произвольным функциям е" (е) члены А8^и¥ соответствует «калибровочной инвариантности», обсужденной в § 1 этой главы.

Оператор Д8, введенный в уравнениях (10.9.9) и (10.9.10), можно обобщить на произвольные тензоры, считая, что члены, содержащие свертку тензора с ковариантной производной е, входят со знаком «+» для каждого ковариантного индекса, и со знаком《——» для каждого контравариантного индекса, т. е. для скаляров, векторов, а также для контравариантных и смешанных тензоров второго ранга эту операцию можно определить так:

人几=8以山+乙;炉，

&T"v三一？心%一?吸v；% + 7叭%叫AeT三-?%% 十 T%*；v + T\^

и т. д. Оператор Ае, определенный таким путем, известен как производная Ли. В общем случае бесконечно малое координатное преобразование любого тензора Т приводит к новому тензору, равному прежнему тензору в той же самой координатной точке плюс производная Ли А。Легко показать, что оператор Д8 имеет те же самые общие свойства, как и обычные или ковариантные производные, а именно он линеен:

Де [аЛ% + ЬВ%] = аДе4% + ЬДеВ%, а, Ь —постоянные скаляры, подчиняется правилу Лейбница

Де (4%加)=8%ё4% +4气人公

и коммутирует с оператором свеРтки

3込е?"，= АеГ"^ 三-Г\吟V + М%;©・

В частности, производная Ли тензора энергии-импульса идеальной несжимаемой жидкости равна

AgTjiv = P^egliv 十 gjz乂Р +(Р + Р)[。小。V 十 UVА。ц.] +

十u№" [а? + аp1。 Поэтому А8^иу есть решение уравнений Эйнштейна для жидкости, скорость, давление и плотность которой возмущаются величинами &。卩，А&р и Аер соответственно.

Решение уравнений поля (10.9.4), вообще говоря, очень сложно, за исключением простого случая однородной и изотропной невозмущенной метрики 且卩屮 Этот случай будет рассмотрен в § 10 гл. 15.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Гравитационное излучение в ОТО

Ландау 〃. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, Физматгиз, 1962.

Weber J., General Relativity and Gravitational Waves, Interscience Publishers, 1961, Ch. 7, 8 (см. перевод: Вебер Дж- Общая теория относительности и гравитационные волны, ИЛ, 1962).

Точные решения уравнений Эйнштейна

Bondi Я., Some Special Solutions of the Einstein Equations, в книге Lectures on General Relativity, Prentice-Hall, 1965, p. 375.

Brill D. Я., General Relativity: Selected Topics of Current Interest, Nuovo Cimento, Suppl., 2, N 1 (1964).

Ehlers J., Kundt 印.，Exact Solutions of the Gravitational Field Equations, в книге Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. L. Witten* Wiley, 1962, p. 49.

Петров A. 3., Пространства Эйнштейна, Физматгиз, 1961.

Pirani F. A. £., Gravitational Radiation, в книге Gravitation: An Introduction to Current Research (см. выше ), p. 199.

Pirani F. A. £., Introduction to Gravitational Radiation Theory, в книге Lectures on General Relativity (см. выше), p. 249.

Pirani F. A. £., Survey of Gravitational Radiation Theory, в книге Recent Developments in General Relativity, Pergamon Press, 1962, p. 89.

Sachs R. &., Gravitational Radiation, в книге Relativity, Groups, and Topology, ed. C. DeWitt and B. DeWitt, New York, 1964, p. 523.

Sachs R. K., Gravitational Waves, в книге Relativity Theory and Astrophysics.

Relativity and Cosmology, ed. J. Ehlers, American Mathematical Society, 1967, p. 129.

Квантовая теория гравитации

DeWitt 8. S., Dynamical Theory of Groups and Fields, в книге Relativity, Groups, and Topology (см. выше), p. 587.

DeWitt B. S., The Quantization of Geometry, в книге Gravitation: An Introduction to Current Research (см. выше), p. 266.

Dirac P. A. M., The Quantization of the Gravitational Field, в книге Contemporary Physics — Trieste Symposium 1968, ed. A. Salam, Vol. 1, International Atomic Energy Agency, 1969, p. 539.

Komar 力.，The Quantization Program for General Relativity, в книге Relativity — Proceedings of the Relativity Conference in the Midwest, ed. M. Carmeli, S. I. Fickler and L. Witten Plenum Press, 1970.

Weinberg S., The Quantum Theory of Massless Particles, в книге Lectures on Particles and Field Theory, Prentice-Hall, 1965.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Weber J., Phys. Rev., 117, 306 (I960); Phys. Rev. Lett., 17, 1228 (1966); Phys. Rev. Lett., 20, 1307 (1968); Phys. Today, 21, 34 (1968); статья в книге Relativity — Proceedings of the Relativity Conference in the Midwest, Plenum Press, 1970, p. 133; Nuovo Cimento Lett., Ser. I, 4, 653 (1970).

Chandrasekhar S., Nutku Y., Astrophys. J., 158, 55 (1969).

Chandrasekhar 5., Esposito F. P., Astrophys. J., 160, 153 (1970).

Gold 九 Nature, 218, 731 (1968); 221, 25 (1968).

Gunn J. Е., Ostriker J. P., Nature, 221, 454 (1969); Phys. Rev. Lett., 22, 728 (1969).

Ostriker J. R, Gunn J. E*, Astrophys. J., 157, 1395 (1969).

Schiff L. /., Quantum Mechanics 3rd ed., McGraw-Hill, 1968 (см. перевод: Шифф 乙，Квантовая механика, ИЛ, 1959).

Watson G. ^.^ Theory of Bessel Functions, rev. ed., Macmillan, 1944, p. 128 (см. перевод: Ватсон Д. Я., Теория бесселевых функций, М., 1949).

Kramers Я.力.，Atti. Congr. Intern. Fisici, Como (1927).

Kramers H. A., Collected Scientific Papers, North-Holland, 1956.

Feenberg E., Phys. Rev., 40, 40 (1932).

Bohr TV., Peierls A. E— Placzek G・,Nature； 144, 200 (1939).

Weber Phys. Rev. Lett., 21, 395 (1968).

Douglass D. H., Tyson J. A., Доклад на 3-й конференции по теории относительности, Кембридж, июнь 1970 (не опубликовано).

Bolt В. А., в книге Physics and Chemistry of the Earth, ed. L. A. Ahrens, F. Press, and S. K. Runcorn, Pergamon Press, 1964, p. 55.

Forward R* L., Zipoy D., Weber J., Smith S,, Benioff H., Nature, 189, 473 (1961).

Weber /., Larson J. F., J. Geophys. Res., 71, 6005 (1966).

Wiggins R. A., Press 尸.，J. Geophys. Res., 74, 5351 (1969).

Dyson F. J., Astrophys. J., 156, 529 (1969).

Weber /., в книге Physics of the Moon, ed S. F. Singer American Astro- nautical Society, 1967, p. 199.

Weber J., Phys. Rev. Lett., 22, 1320 (1969); 24, 276 (1970).

Weber J., Phys. Rev. Lett., 25, 180 (1970).

Weber /., Proceedings of the Midwest Conference on Theoretical Physics, Notre Dame, Indiana, April 1970, p. 118 (не опубликовано).

Field G. B., Rees M. J., Sciama D. W., Comments on Astrophys. and Space Phys., 1, 187 (1969). (О значении потерь масс галактиками за счет гравитационного излучения.)

Weber J., Доклад на 3-й конференции по теории относительности, Кембридж, июнь 1970 (не опубликовано).

Fairbank W. М., Доклад на 3-й конференции по теории относительности, Кембридж, июнь 1970 (не опубликовано).

Брагинский В.万・,Доклад на 3-й конференции по теории относительности, Кембридж, июнь 1970 (не опубликовано).

Брагинский В. Б., Зельдович Я. 6., Руденко В. Н,, Письма ЖЭТФ, 10, 280 (1969).

Weinberg S., Phys. Lett., 9, 357 (1964); Phys. Rev., 135, В1049 (1964).

Weinberg S., Phys. Rev., 140, B516 (1965).

Huang K., Statistical Mechanics, Wiley, 1963 (см. перевод: Хуанг К Статистическая механика, «Мир», 1966, § 12.1).

Einstein 4., Phys. Zs., 18, 121 (1917) (см. перевод: Эйнштейн 4., Собрание научных трудов, «Наука», 1965, т. 1, стр. 530).

Weinberg S., Phys. Rev., 138, В988 (1965).

Arnowitt R. L., Deser S., Phys. Rev., 113, 745 (1959).

Arnowitt R, L., Deser S., Misner C. VK., Phys. Rev., 116T 1322 (1959); 117, 1595 (I960);】 J. Math. Phys,, 1, 434 (I960); Phys. Rev., 118, 1100 (I960)； Nuovo Cimento, 19, 668 (1961); Phys. Rev・，120, 313, 321 (i960); 121, 1556 (1961); 122, 997 (1961); Ann. Phys. (N.Y.), 11, 116 (I960).

Dirac P. A. M., Phys. Rev., 114, 924 (1959).

Feynman R. P., Acta Phys. Polon., 24, 697 (1963).

Fadeev L. D., Popov V. "., Phys. Lett., 25B, 29 (1967).

Mandelstam S., Phys. Rev., 175, 1604 (1968).

DeWitt B. S., Phys. Rev., 162, 1195, 1239 (1967); erratum, Phys. Rev., 171, 1834 (1968).

Bjorken J. Q., Drell S. D., Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill, 1965, Ch. 19.

Все разрушается,

Нет места для покоя,

И лишь анархия заполнила миры.

方.Ейтс, Второе пришествие

Глава 11

РАВНОВЕСИЕ В ЗВЕЗДАХ И КОЛЛАПС

Гравитационные поля настолько слабы, что обычно в своей деятельности астрофизик пренебрегает эффектами общей теории относительности. В этой главе мы рассмотрим различные объектыг для которых релятивистские эффекты играют важную, а в некоторых случаях даже доминирующую роль. Одним из таких объектов является нейтронная звезда ——«холодная» звезда, состоящая в основном из нейтронов и удерживающаяся от коллапса за счет давления вырожденного нейтронного газа. В качестве другого примера можно назвать сверхтяжелую звезду, т. е. существующее за счет радиационного давления гигантское тело, в котором гравитационные эффекты могут обеспечивать баланс между устойчивостью и неустойчивостью. Самым впечатляющим из всех объектов является черная дыра ——тело, ввергнутое в безысходный гравитационный коллапс.

Существование нейтронных звезд и черных дыр было предсказано на чисто теоретической основе в 1930 г. главным образом в работах Дж. Роберта Оппенгеймера и его сотрудников. Однако эти экзотические объекты приводились лишь в виде курьезов в учебниках, пока начиная с 1960 г. в результате наблюдений в радиочастотном и оптическом диапазонах не стало известно большое число новых странных объектов.

Первыми были обнаружены квазизвездные объекты (КЗО, или квазар), похожие на звезды по своим оптическим изображениям, содержащие часто мощные компактные радиоисточники и дающие красное смещение АХ/入 в пределах от 0,131 до 3 и больше (фиг. 11.1). Можно выдвинуть три разных объяснения этого красного смещения, а именно: оно может возникать из-за эффекта Доплера, вызванного либо локальным взрывом, либо общим космологическим удалением очень отдаленных объектов (см. гл. 14), или же оно может появляться из-за мощных гравитационных полей внутри самих объектов. В любом случае, вероятно, гравитационные эффекты будут играть важную роль в объяснении существования квазаров. Если эти объекты расположены относительно близко, но движутся с релятивистскими скоростями, то должеп быть найден некоторый источник энергии, который мог бы с эффективностью, близкой к 100%, превращать массу в кинети-

Фиг, 11.1. Четыре квазара.

Фотографии были получены на 200-дюймовом телескопе, расположенном на горе Паломар. Положения квазаров определены радиоастрономическими методают,

ческую энергию. Если квазары находятся на космологических расстояниях, то их видимая оптическая светимость указывает на то, что их абсолютная светимость намного выше, чем у самых больших галактик, а для этого опять-таки им необходимо иметь новый мощный источник энергии. Только гравитационное тяготение, по-видимому, способно создавать источники таких энергий, и в связи с этим открытие квазаров пробудило вновь интерес

к явлению гравитационного коллапса. И наконец, если красное смещение у квазаров вызвано гравитацией, то эти объекты должны быть настолько сильно сжаты, что их структура может быть описана только с помощью общей теории относительности, а не ньютоновской механики.

Квазары являются только наиболее эффектными образцами в ряду плохо изученных объектов, обнаруженных в недавние годы, таких, как галактики Сейферта, гигантские эллиптические галактики с мощными компактными радиоисточниками, источники рентгеновского излучения, ядра галактик, которые иногда видны в состоянии взрыва, и т. д. Совершенно не ясно, сможет ли общая теория относительности хоть как-нибудь справиться с этими объектами.

В последние несколько лет были обнаружены еще одни представители астрономической кунсткамеры. Это пульсары ——радиоисточники, пульсирующие с частотой от нескольких десятых герца до 30 Гц. Пульсары часто связаны с оптическими и даже с рентгеновскими источниками, пульсирующими с той же частотой. В настоящее время складывается общее мнение, что пульсары —— это нейтронные звезды, теоретически открытые еще в 1930 г., но обладающие огромной скоростью вращения, в результате чего тем или иным образом возникают наблюдаемые пульсации.

Профессиональное обсуждение квазаров, ядер галактик, пульсаров и других подобных объектов потребовало бы от нас рассмотрения эффектов переноса энергии излучения фотонов и нейтрино, турбулентности, ядерных сил, магнитных полей, и прежде всего эффекта вращения. Кроме того, подобный подход потребовал бы обсуждения результатов огромной вычислительной работы с применением вычислительной техники. Работая над данной главой, я старался ограничиться простейшими вычислениями, которые можно провести аналитически без особых затруднений. Эти простые вычисления не очень помогают в понимании детальной картины астрономических наблюдений, однако позволяют оценить ту роль, которую общая теория относительности может играть в изучении астрофизических явлений.

§ 1. Дифференциальные уравнения для звездных структур

Рассмотрим прежде всего общерелятивистскпй механизм вычисления давления, плотности и гравитационных полей внутри сферически симметричных статических звезд.

Метрика должна быть выбрана в «стандартной» форме (§ 1 гл. 8):

ёгг = < (г), gaa ~ 2, ^фф = 2 sin? 0,

一5 ⑺， gnv = 0 для 科抬也 (И-1.1)

Предположим, что тензор энергии-импульса здесь тот же, что и у идеальной жидкости (§ 4 гл. 5):

&V = pgg + (р + Р) /%,(11-1.2)

где р ——собственное давление, р —плотность собственной полной энергии, a U^ ——4-вектор скорости, определенный так, что

g"U卩 vn — l.(11.1.3)

Поскольку жидкость находится в покое, имеем

% = Ue = / = 0, s= _( 一 尸)-1/2= —m 而.(11.1.4)

Наше предположение о временной независимости и сферической симметрии приводит к тому, что р и р являются функциями только радиальной координаты г.

Используя соотношения (11.1.1) —(11.1.4) и компоненты тензора Риччи, заданные выражением (8.1.13), находим, что уравнения Эйнштейна (7.1.15) имеют вид

% =备一备(4" + 4") —4г= _4kG(p-p)4,(11.1.5)

Ree = — 1 十 ( —^^~в~^ + } = —411G(P — P)戸， (11.1.6)

A“=—•& + 5'(4•十告)-辱=—4"G(P + 3p)氏(11.1.7)

равновесия 94.3丿丁р + р *равновесия 94.3丿丁р + р *(11.1.8)(11.1.8)Штрих означает d/dr. (Мы не станем ниже выписывать уравнение для 7?фф, поскольку оно идентично уравнению для Rqq или уравнениям для недиагональных элементов 貝… утверждающим просто, что нуль равен нулю.) Напомним, кроме того, уравнения гидростатического

равновесия 94.3丿

丁р + р *

равновесия 94.3丿

丁р + р *

(11.1.8)

(11.1.8)

Первым шагом уравнения толькоПервым шагом уравнения тольков решении этих уравнений будет построение для Л (г). Для этого запишем прежде всего

Первым шагом уравнения только

Первым шагом уравнения только

%/%/11(11.1.9)(11.1.9)

%/

%/

1

1

(11.1.9)

(11.1.9)

и перепишем это уравнение следующим образом：

(D = 1 — 8冗 Gpr2.(11.1.10)

Решение этого уравнения при А (0) конечном имеет вид

4 ⑺= []_»「)「,4 ⑺= []_»「)「,(11.1.11)(11.1.11)

4 ⑺= []_»「)「,

4 ⑺= []_»「)「,

(11.1.11)

(11.1.11)

21—0788

где

或 ⑺三J 4口产p(产)dJ(11.1.12)

о

Используем выражения (11.1.11) и (11.1.8), чтобы исключить из уравнения (11.1.6) гравитационные поля А (г), В (г):

—l + 口 —竺*][1 —岳]+手_ —4М?р「2=—4nG(p —р)2.

Перепишем последнее уравнение следующим образом:

f 力(г) = GS (г) [ 1 + 諸][1 + 号*] X

2安(г)(11.1.13)

Это — основное уравнение ньютоновской астрофизики (см. § 3 гл. 11), в которое введены общерелятивистские поправки в виде трех последних множителей.

Эту главу мы посвятим прежде всего изоэнтропическим звездам, т. е. таким звездам, в которых величина энтропии $, приходящаяся на один нуклон, не меняется по всей звезде. Это бывает в случае двух совершенно разных типов звезд.

А. Звезды при абсолютном нуле. Когда звезда полностью исчерпала свое термоядерное топливо, она мо;кет стать белым карликом (§ 3 гл. 11) или нейтронной звездой (§ 4 гл. 11), в которых температура практически равна абсолютному нулю. Тогда, согласно теореме Нернста, энтропия, приходящаяся на один нуклон, будет равна нулю во всей звезде.

Б. Звезды в состоянии конвективного равновесия. Если наиболее действенным механизмом передачи энергии внутри звезды является конвекция, то в равновесии энтропия, приходящаяся на один нуклон, должна быть почти постоянной во всей звезде, ибо в противном случае малый элемент среды, содержащий А нуклонов, будет приобретать или терять энергию AKsIT при переходе от одной части звезды к другой, и конвекция будет нарушать распределение энергии. Сверхтяжелые звезды, обсуждаемые в § 5 гл. 11, обычно считаются находящимися в конвективном равновесии.

Будем считать также, что звезды, которые мы рассматриваем, имеют постоянный химический состав повсюду внутри звезды.

Важность принятых предположений состоит в том, что в общем случае давление р можно выразить как функцию плотности р.

энтропии на один нуклон s н химического состава. Следовательно, если s и химический состав постоянны повсюду в звезде, то р (г) можно считать функцией только от р (г) без явной зависимости от г.

Задавая р (г) как функцию р (р (г)), рассмотрим два дифференциальных уравнения первого порядка для р (г) и 此 (г). Одно из них —это уравнение (11.1.13), а другое получается дифференцированием уравнения (11.1.12):

М，⑺=4лг2р (г).(11.1.14^

Кроме того, из (11.1.12) следует начальное условие

必(0) = 0.(11.1.15}

Уравнения (11.1.13) —(11.1.15) вместе с уравнением состояния, задающим р (р), смогут служить для определения р (г),协(г), р (г) и т. д. повсюду в звезде, как только будет задано второе начальное условие, т. е. величина р (0). Дифференциальные уравнения (11.1.13) и (11.1.14) необходимо проинтегрировать от центра звезды до некоторого радиуса г = Е внутри звезды, в которой Р(Р (，)) становится равным нулю. Расстояние от центра звезды до R мы будем рассматривать как радиус звезды с центральной плотностью р (0).

Вернемся к вычислению метрики. Определив р (% 或(г) и и р 3, можно с помощью (11.1.11) немедленно получить А (力； чтобы найти В (г), используем уравнение (11.1.13), позволяющее переписать (11.1.8) в виде

Решение этого уравнения при 5тсловии, что В (сю) = 1, имеет вид

В(г)=ехр { — j ^ [。“ &') + 4nr'3p &х ^1 — ^^2j~1 dr' }

(11.1.16}

Таким образом, решение найдено. [Кстати, у нас нет необходимости использовать отдельно уравнения (И.1.5) и (11.1.7) для Rrr и Hf/, поскольку эти уравнения следуют из уравнений (11.1.6), (11.1.8) и (11.1.9), которые уже применялись в наших вычислениях. Это не является неожиданным, поскольку уравнение (11.1.8) как раз и является уравнением сохранения импульса, которое выводится с помощью тождеств Бианки из уравнений Эйнштейна (11.1.5) — (11.1.7).]

Вне звезды р (г) и р (г) обращаются в нуль, а 必 (г) становится постоянным,破(А); поэтому из соотношений (11.1.11) и (И.1.1()) следует

В (г) = Ат ⑺=(—生：(匀，для r^R. (11.1.17)

Из обсуждения, проведенного в § 2 гл. 8, следует, что постоянная 北(А), появляющаяся в асимптотическом гравитационном поле (11.1.17), должна быть равна массе звезды М. определяемой как полная энергия звезды и ее гравитационного поля, т. е.

в

М =或(R) м j 4лг2р (г) dr.(11.1.18)

о

Таким образом, (11.1.17) является просто внешним решением Шварцшильда.

Может показаться парадоксальным, что /И, которое должно содержать энергию гравитационного поля, задается выражением (11.1 /18) в виде интеграла от плотности энергии только вещества (включая излучение). Выход состоит в том, что (11.1.18) не утверждает, что М есть полная энергия вещества. Полная энергия вещества отнюдь не является вполне определенной величиной, но ее все же можно вычислить, разбивая звезду на имеющие малый объем элементы, энергия которых измеряется в локальноинерциальной системе отсчета; это дает энергию вещества в виде

(11.1.19)энергией является(11.1.19)энергией являетсяR

(11.1.19)

энергией является

(11.1.19)

энергией является

Разность между (11.1.18) и (11.1.19) можно считать гравитационного поля. Однако такое разбиение не ■особенно полезным и не будет использоваться ниже.

Гораздо большую информацию можно извлечь, сравнивая выражение (11.1.18) с энергией М。，которую вещество звезды имело бы, будучи «измельченным до бесконечности». Эта величина есть просто

М° = m^N.(11.1.20)

где т^ = 1,66 *10~24 г ——масса покоя нуклона, a N ——число нуклонов в звезде. Число нуклонов определяется как

в

N = j YlJ^drd^d^^ J《nN 了厶⑺ 5 (г"н。(г) dr, (11.1.21) о

где J^ ——сохраняющийся ток числа нуклонов. Удобно выразить /口。через собственную плотность числа нуклонов тг, т. е. плотность числа нуклонов, измеренную в локально-инерциальной системе, связанной со звездой. Величина п определяется так:

п= -и^^ = УВ}^.(11.1.22)

[См. соотношения (11.1.4). Напомним, что в локально-инерциальной системе координат UQ = ——1.] Тогда выражение (11.1.21)

принимает вид

N =N =ввоо

N =

N =

в

в

о

о

=J 4лг2 [ 1 - 2£^М] ~1/2 ге(r)dr. (11.1.23) О一

Собственная плотность числа нуклонов п (г) является функцией собственной плотности р (г), химического состава и энтропии s на один нуклон, поэтому, раз мы задали р (0), величины п (г) и N фиксированы для звезды с заданными постоянными s и химическим составом.

Внутренняя энергия звезды задается в виде

(11.1.24)(11.1.24)Е = М — m^N.

(11.1.24)

(11.1.24)

Определим следующим образом плотность собственной внутренней энергии вещества:

е (г) = р (г)—加"2 (г)(11.1.25)

и запишем (11.1.24) в виде

Е = Т + V,(11.1.26)

где Z и V ——соответственно тепловая и гравитационная энергии звезды:

Г= J 4标[1_ 2G 丁 г)『％ е ⑺ 瓦 (11.1.27) о

j斬产{] — [(—竺у)『2} р⑺否 (11.1.28) О

Разлагая квадратные корни, получаем

R

7 = J 4лг2 { 1 + ^±1н . . . J е (г) dr. (11.1.29) О

V = - j 4лг2 { ^1 + 5^1^ + . . . } р (г) dr.(11.1.30)

о

Первые члены в Г и V нам знакомы——это есть ньютоновские величины тепловой и гравитационной энергий звезды; заметим.

в частности, что первый член в V можно переписать так:

—■ G j 4w^ (г) р (г)曲=——^ j ；"(济 2 ⑺)= оо

о

Г 卜〃⑺弱(г) =4" j ф ⑺ do威 &),(11.1.31)

о0

где 寸——ньютоновский потенциал, задаваемый внутри звезды следующим образом:

<Ж= --Д- — G) -^dr .

Высшие члены, входящие в выражения для Т и У, мы обсудим в § 5 гл. 11.

Повторим основной вывод: приняв, что звезда имеет вполне определенные, постоянные по всему объему энтропию на нуклон и химический состав, можно определить все свойства звезды, включая р (г), р (г), п {г), е (г), М, N и Е, как функции центральной плотности р (0). Все это не относится к обычным звездам типа Солнца, в которых распределение энтропии не постоянно в объеме, а должно быть определено из уравнения радиационного равновесия. Однако материал, рассмотренный в данном параграфе, создает достаточную основу для изучения экзотических структур, о которых шла речь в начале этой главы.

Устойчивость

Получив решение фундаментальных уравнений (11.1.13) и (11.1 "4), мы еще не завершили работу. Такое решение описывает равновесное состояние звезды, однако равновесие может быть как 5^стойчивым, так и неустойчивым. В большинстве задач астрофизиков интересуют только устойчивые решения.

Для того чтобы сказать, будет ли некоторая частная конфигурация неустойчивой, необходимо в общем случае вычислить частоты шп всех нормальных мод конфигурации и проверить, будет ли хотя бы какая-нибудь из частот ⑴沦 иметь положительную мнимую часть. В этом случае фактор ехр (——力⑴"),определяющий временную зависимость моды, будет расти экспоненциально и система станет неустойчивой. Однако часто, исходя только из равновесно-

го решения, можно судить о том, будет ли соответствующая конфигурация устойчивой.

Для этого необходимо воспользоваться следующей теоремой 11-31.

Теорема 1. Звезда, состоящая из идеальной жидкости и имею- и⑺外 постоянные химический состав и энтропию на нуклон, может перейти из устойчивого состояния в неустойчивое относительно 1：екоторой частной радиальной нормальной моды, только если величина центральной плотности р (0) такова, что равновесная энергия Е и число нуклонов N стационарны, т- е.

@Е (Р (0)； s,…) п

叩р(0)； s,…) n

11од «радиальной» нормальной модой подразумевается такая мода осцилляции, в которой плотность возмущений бр есть функция только г и Z и в которой ядерные реакции, вязкость, теплопроводность и передача лучистой энергии не играют роли.

Доказательство теоремы начнем с замечания о том, что диссипативные силы здесь отсутствуют, поэтому динамические уравнения инвариантны относительно обращения времени и задают квадраты частот ⑴沦？ разных нормальных колебаний в виде действительных функций от р (0), как в случае колебаний, которые возникают в электрической цепи без омического сопротивления. Для каждой частоты ⑴沦？ > 0 существуют две устойчивые моды. Дия каждого ⑴/ < 0 существуют две моды, из которых одна экспоненциально спадает, а другая экспоненциально растет соответственно как ехр (——I о” 11) и ехр (+ | соп | 力).Таким образом, переход от стабильности к нестабильности происходит только при значении р (0), для которого ⑴沦？ равно нулю.

Рассмотрим значение р (0), для которого одна из частот ⑴几 почти равна нулю. Пройдет много времени, пока осцилляции или экспоненциальное возрастание не переведут равновесную конфигурацию в некоторую близкую конфигурацию р (г) + бр (г). Этот процесс происходит очень медленно, а потому р (г) + бр (г) должна быть также почти равновесной конфигурацией. В отсутствие ядерных реакций новая конфигурация будет иметь тот же постоянный в объеме химический состав, что и старая. Если отсутствует вязкость, теплопроводность или передача лучистой энергии, то новая конфигурация будет иметь то же количество знтропии на нуклон, что и прежняя конфигурация. Более того, законы сохранения энергии и числа частиц требуют, чтобы новая конфигурация имела ту же энергию Е и барионное число N, что it раньше. Однако бр (0) не может обращаться в нуль, поскольку

равновесная конфигурация полностью определена (для данного химического состава и заданного s) величиной р (0); если же 6р (0) равно нулю, то бр (г) обращается в нуль для всех г и нормальная мода отсутствует. Таким образом, в точке перехода от устойчивости к неустойчивости существует близкая равновесная конфигурация с отличным от прежнего значением р(0), но с теми же однородными распределениями энтропии на нуклон и химического состава и с теми же Ел" Именно это и требовалось доказать.

Эта теорема особенно полезна, поскольку часто только на основании качественных аргументов можно показать, что равновесная конфигурация является устойчивой для достаточно малых (или больших) р (0) или неустойчивой для достаточно больших (или малых) р (0); теорема указывает точно, где возникает переход от устойчивости к неустойчивости. В качестве примера такого- качественного рассмотрения полезно переформулировать основные уравнения, описывающие строение звезды, на основе вариационного принципа (см. книгу [1], гл. 3).

Теорема 2. Данная звездная конфигурация с однородными распределениями энтропии на нуклон и химического состава будет удовлетворять уравнениям (11.1.12), (11.1.13). выведенным при условии равновесия, в том и только в том случае, если величина определяемая формулой

М= j 4лг2р (г) d〃

устойчива по отношению ко всем вариациям р (г), оставляющим неизменной величину

Ne j 4лг2п (г) 口一 纯？⑺

и не меняющим энтропию на нуклон и однородность химического состава. [Совершенно ясно, что если энтропия на нуклон и химический состав фиксированы, то из уравнения состояния можно определить как р (г), так и тг (г) в виде функций от р (г). Равновесие устойчиво по отношению к радиальным колебаниям тогда и только тогда, когда величина М, или, что то же, Е, имеет минимум по отношению ко всем таким вариациям.

Чтобы доказать эту теорему, используем метод множителей Лагранжа (см., например, [4]): М будет стационарным по отношению ко всем вариациям, оставляющим N фиксированным, в том и только в том случае, если существует константа X, для которой М — kN стационарно по отношению ко всем вариациям. В общем случае для заданной вариации бр (г) изменение М —— kN запишется в виде

6М — A.67V — ) 4лг26р (г)力，= о

=大 j 4"2「1 —2学⑴_/2 би е dr-О

一入G j 4ra• [12、C「/2 n ⑺ §或 ⑺公.

О

(Интегрирование проводится до бесконечности только из соображений удобства записи; в действительности же подынтегральные выражения исчезают вне радиуса R + 67?.) По предположениюг эти вариации не меняют энтропию на нуклон. Поэтому имеем

Ч4-)+^6 (4)=°-

и, следовательно, бм ⑺=厂、 bp (Г).

' / p(r) + p (г)' '

Также справедлива формула

6或&)= j 4冗N2*(产)“

Изменяя порядок интегрирования в последнем члене, получаем

j4лr2一_竺吸①—

J l 卩⑺+ p(r) L 厂 」 0

-XG J inr'n (r')工学尸')『2 办，｝ 6p ⑺谈.

Таким образом, 5M — KbN будет обращаться в нуль для всех 5р (г) тогда и только тогда, когда

1 — 孔(г) Г [ 2Gc^ (г) ] -1"

7 w+p(r)L г J 十

+ G j 4nr^ (rz) [1- 2Gc,(Q]-3/2 dy.

Это будет справедливо для некоторого значения множителя Лагранжа Z в том и только в том случае, если правая часть послед-

него соотношения не будет зависеть от г, т. е. если J 加n (pf + ^)Г. 2G"2]-i/2

17+T函守力-厂」 十

/尸 Г < 2GM ~1 -3/2 с

4nGm 1 — 0.

Условие однородности распределения энтропии, приходящейся на один нуклон, приводит к равенству

二(丄) = 0.dr \ л ]} dr \ п )

и, следовательно,

Таким образом, 6М обращается в нуль для всех 6р (г), которые дают 67V — 0, тогда и только тогда, когда верно соотношение

—Np = GI 1p-J [р + р][或 + 4лг3р],

что и требовалось доказать.

Если член в 6М, имеющий второй порядок по бр (г), положительно определен для всех возмущений, то, для того чтобы породить какое-либо возмущение, необходимо подводить энергию, т. е. звезда будет устойчивой. Если же для некоторого возмущения 6р (г) величина ЬМ может во втором порядке быть отрицательной, то с увеличением кинетической энергии это возмущение будет расти и звезда станет неустойчивой.

Ньютоновские звезды: политропы и белые карлики

Большинство звезд правильно описываются ньютоновской физикой без учета эффектов общей теории относительности. Такие ньютоновские звезды заслуживают нашего внимания, во-первых, потому, что они представляют собой предельные случаи более экзотических объектов, интересных с точки зрения общей теории относительности, и, во-вторых, их изучение позволяет нам понять качественные свойства указанных объектов.

В ньютоновской астрофизике внутренняя энергия и давление много меньше плотности массы покоя, т. е.

е《тпп, р《тпп,(И .3.1)

поэтому полная плотность в основном определяется плотностью массы покоя, а именно

р т^.(11.3.2)

Кроме того, выполняются соотношения

р《р, 《nN”《м.

Далее, гравитационный потенциал мал везде, т. е.

26^26^《L《L(11.3.3)(11.3.3)

26^

26^

《L

《L

(11.3.3)

(11.3.3)

При этих условиях фундаментальное уравнение (11.1.13) принимает вид

一产P‘ ①=GM (Г) p ⑺,一产P‘ ①=GM (Г) p ⑺,(11.3.4)(11.3.4)

一产P‘ ①=GM (Г) p ⑺,

一产P‘ ①=GM (Г) p ⑺,

(11.3.4)

(11.3.4)

где 此(г) определяется следующим образом:

(11.3.5)(11.3.5)о< (г) = j 4л?，2р (N) dr .о

(11.3.5)

(11.3.5)

Разделив уравнение (11.3.4) на р (г) и продифференцировав его по г, объединим уравнения (11.3.4) и (11.3.5) в единственное дифференциальное уравнение второго порядка

d г2 dp (г)d г2 dp (г)dr р (г) drdr р (г) dr—4nG戸р (г) *—4nG戸р (г) *(11.3.6)(11.3.6)

d г2 dp (г)

d г2 dp (г)

dr р (г) dr

dr р (г) dr

—4nG戸р (г) *

—4nG戸р (г) *

(11.3.6)

(11.3.6)

Для того чтобы р (0) было конечным, необходимо, чтобы р' (0) обращалось в нуль. Следовательно, задавая уравнение состояния р = р (р) (при условии dp/dp 千 0), мы можем найти р (г), если решим уравнение (11.3.6) со следующими начальными условиями: р (0) равно некоторой заданной величине, а

р; (0) = 0.(11.3.7)

[Уравнение (11.3.7) вытекает также из требования, чтобы р (г) была аналитической функцией от 胃，у н z при х = у = z = 0.] Далее, нам необходимо получить уравнение состояния. Обычно плотность внутренней энергии пропорциональна давлению, т. е.

е = р — т^ — (у — 1)一吼(И .3.8)

[Здесь (丫 一1尸一константа пропорциональности; величина у не будет отношением удельных теплоемкостей, если только е m р не будут пропорциональны температуре.] Тогда условие однородности энтропии, приходящейся на один нуклон, запишется следующим образом:

7=n"{^^(4-)+(4-)4?}=0,

и, следовательно,

р ~叫

или, поскольку р 弋 /Пн", последнее выражение примет вид

р = Крк(11.3.9)

Константа пропорциональности К зависит от величины энтропии, приходящейся на нуклон, и от химического состава, но не зависит от г или р (0). Любая звезда, для которой уравнение состояния имеет вид (11.3.9), называется политропой.

В случае политропы фундаментальное уравнение (11.3.6) можно преобразовать к безразмерному виду. Введем новую независимую переменную 三 с помощью соотношения

г = (^=1Г)'”Р(о)”“)竺(11-3.10)

и зависящую от нее новую переменную 0 следующим образом：

p = p(O)a/(y-i), р-^р (O)v0v/(v-D,(11.3.11)

Тогда уравнение (11.3.6) примет вид

击+吗+з/("1)= 0.(11.3.12)

Граничные условия для функции 0 (Е) запишутся так:

0 (0)二 1,8’(0) = 0(11313、

[см. уравнение (11.3.7)]. Функция 0 (三),определяемая соотношениями (11.3.12) и (11.3.13), называется функцией Лейна ——Эмдена с индексом (у ——I)"1 (эти функции широко обсуждаются в книге [5]). Если Е близко к нулю, уравнение (11.3.12) приводит к следующему разложению:

8(自) = 1一号 + 面(*厂....(n-3.14)

Можно также показать, что для у > 6/5 функция 0 (三)обращается в нуль при некотором конечном значении 三=£, т. е.

6 阳)=0.(11.3.15)

G помощью выражения (11.3.10) можно, таким образом, задать радиус звезды

哈除肃一广广^您…空， (11316)

Применим решение Лейна ——Эмдена также для вычисления массы звезды:

〃三 j 4лг2р (г) dr = о

= 4"(0)(3i)/2 ( 4/?』) 々J

о

=4mp (0)(3一)/2 ( 4窓也可)3/2自力 3因)|.

Исключая из (11.3.16) и (11.3.17) величину р (0), получаем соотношение между М л А:

M = 4^3V-4)/(v-2)(_^_M = 4^3V-4)/(v-2)(_^_广八L 2）广八L 2）t-(3V-4)/(V-2) ё1t-(3V-4)/(V-2) ё1^|oz (^i)l-^|oz (^i)l-

M = 4^3V-4)/(v-2)(_^_

M = 4^3V-4)/(v-2)(_^_

广八L 2）

广八L 2）

t-(3V-4)/(V-2) ё1

t-(3V-4)/(V-2) ё1

^|oz (^i)l-

^|oz (^i)l-

(11.3.18)

Численные значения констант Нг и SL2 [ 8’(£) | сведены в табт. 11.1 (см. в [5] табл. 4).

Таблица НА

Численные значения параметров & и —互2>(&) для разнообразных ньютоновских политроп [5]

V

氢

一好 е‘（а）

Примеры

6/5

ОО

1,73205

31,83646

1,73780

14,97155

1,79723

9,53581

1,89056

6,89685

2,01824

Белые карлики с наибольшей массой

5,35528

2,18720

4,35287

2,41105

3,65375

2,71406

Белые карлики с малой массой

л

冗

2,7528

3,7871

Уб-

21/5"

Несжимаемые звезды

Для ньютоновских звезд основной вклад в М дает полная масса покоя %皿中 поэтому число нуклонов в звезде с хорошим приближением равно

%^誉.(11.3.19)

Мы хотам также знать внутреннюю энергию Е = М — Nmn. В общем случае для ньютоновских звезд величина Е задается

с помощью уравнений (11.1.26), (11.1.29) и (11.1.30) следующим образом:

(11.3.20)(11.3.20)Е = Т + V,

(11.3.20)

(11.3.20)

а тепловая и гравитационная энергия Z и V записываются так:

7 = j 4лг2е (г) dr,7 = j 4лг2е (г) dr,(11.3.21)(11.3.21)

7 = j 4лг2е (г) dr,

7 = j 4лг2е (г) dr,

(11.3.21)

(11.3.21)

(11.3.22)(11.3.22)У = — j 4nМ?或⑺ р (г) dr.о

(11.3.22)

(11.3.22)

Сейчас мы покажем, что для политроп величины 7 и V задаются удивительно простыми формулами [6, 7]:

(11.3.23)(11.3.24)(11.3.25).(11.3.23)(11.3.24)(11.3.25).71 GW2

(11.3.23)

(11.3.24)

(11.3.25).

(11.3.23)

(11.3.24)

(11.3.25).

一一(5Y_6) -

3(7 — 1) GM5

и поэтому полная внутренняя энергияи поэтому полная внутренняя энергия— (Зу—4) GM2(57 - 6)五♦— (Зу—4) GM2(57 - 6)五♦=(5?一6),

и поэтому полная внутренняя энергия

и поэтому полная внутренняя энергия

— (Зу—4) GM2

(57 - 6)五♦

— (Зу—4) GM2

(57 - 6)五♦

Чтобы доказать формулу (11.3.24), используем уравнение (11.3.4) и перепишем интеграл (11.3.22) в виде

у = 4л { г3-^-dr =-i2n J r2p(r)dr. (11.3.26) Оо

Умножив и разделив подынтегральное выражение на р (г), получим

厂=一3，需厶〃(，)=3)必⑺d (縉)•оо

(Мы считаем здесь, что у > 1, так что р/р обращается в нуль при г = 7?.) Если с помощью уравнения состояния вычислить d[p (г)/р (г)]

d / Рб \ = / Y — l \ Е (г) = — / 丫一1 \ G加(г)dr \ p (г) / I ~~ 丿 P M — ~ ~~，

то этот интеграл можно вычислить

卩=-3 (T) j 乌響％r.(и.3.27)

о

Используя dr/г2 =——d (1/г), проинтегрируем (11.3.27) по частям. В результате получим

в

卩二=3 ( Y二 i') { ^- 一 2 j 4nrGo/# (r) p (r) dr^ = ?о

=3(弋L) {*2小

Решая это уравнение относительно V, получаем формулу (11.3.24). Чтобы вычислить 7, подставим выражение (11.3.8) в (11.3.26), откуда находим

у = 一3 (у — 1) Т.(11.3.28)

Из соотношений (11.3.24) и (11.3.28) легко получить нужную формулу (11.3.23).

Соотношения (11.3.17) и (11.3.19) показывают, что число нуклонов N пропорционально р (0)<3v~4)/2, а выражение для внутренней энергии £'〜р (0)(5v-6)/2 следует из выражений (11.3.25), (11.3.16) и (11.3.17). Таким образом, производные @/V7@p (0) и дЕ1др (0) никогда не обращаются одновременно в нуль. Из теоремы 1, доказанной в предыдущем параграфе, следует, что каждая политропа будет для всех р (0) устойчивой либо неустойчивой в зависимости от значения у. Какие же это значения у?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернемся к теореме 2 предыдущего параграфа, утверждающей, что звезда будет устойчивой в том и только в том случае, когда Е минимально при всех вариациях р (г), не меняющих N (и уравнение состояния). Интуиция подсказывает, что первая возникающая неустойчивость соответствует однородному взрыву всей звезды, и поскольку мы на вопрос об устойчивости по отношению к этой моде хотим только получить ответ «да» или «нет», мы можем надеяться получить его, рассмотрев пробную конфигурацию, когда р (г) постоянно (подробное обсуждение вопроса стабильности звезд дано в [8,9]')). В любой такой конфигурации выражения (11.3.19), (11.3.21), (11.3.22) и (1138) примут вид

N = _^L.p*,(11.3.29)

7 = ^^-l)-i KpvR\(11.3.30)

哈一喈 Gp2*.(11.3.31)

Релятивистские эффекты рассмотрены в работе [9].

Исключая из этих соотношений R, получаем

Е = Т + У^а^-г—Ь^\(11.3.32)

где

a=昌~,(11.3.33)

6 = |■(筹广3 GMs(11.3.34)

Для у〉"% энергия Е будет минимальной при значении /6-/3-4/3)/ 川/冶(4w/3尸/3 \1/(1/3)

Р- \ 3a(Y-l) /^ 丿 ，(1LJ・J3)

соответствующем конфигурации устойчивого равновесия. Для у = к% энергия Е не будет зависеть от р, если Е всюду обращается в пуль, что обеспечивает равенство а = Ь, или

м=(診广(筹尸/2(11.3.36)

Для 丫 V % величина Е имеет максимум в точке, задаваемой (11.3.35), соответствующий состоянию неустойчивого равновесия.

Кстати, с помощью соотношения (11.3.35) можно оцепить значение массы

71 片4冗 /о., / V9 / 15K \3/2

и сравнить его с точным результатом (11.3.17). Отношение этих двух формул для М имеет вид

М (вариацион.) (15 (у — 1)/丫)明2м (тодное) = 3^213危)| ‘

Для 丫 = 5/3 это отношение равно 1,8; для у = 4/3 оно равно 1,2. Таким образом, видно, что вариационный метод не только дает верную зависимость М от р (включая и то, что при у — 4/3 величина М не зависит от р, а £* обращается в нуль), но и приводит к приближенному результату, чрезвычайно близкому к точному численному результату. Мы принимаем в качестве достоверного предсказание вариационного метода, что политропа устойчива или неустойчива в зависимости от того, будет ли у>&/з или у<；4/3 [8, 9].

Вариационный подход дает также простой метод оценки частоты колебаний для расширения или сжатия звезды. Из соотношений (11.3.29) —(11.3.31) для фиксированных 7V следует, что

7〜r3<D,『〜Rt.

Используем результаты (11.3.23) и (11.3.24) для того, чтобы задать правильные значения Г и V при равновесном радиусе (который мы будем записывать сейчас как 豆口由巾 чтобы отличать

его от мгновенного значения радиуса осциллирующей конфигурации) .Это даст нам

ЕЕ11GM2GM2阿一6)阿一6)п(4-3у)равнп(4-3у)равнj^3(l—у)j^3(l—у)3(у — 1)5у—63(у — 1)5у—6GM2RT.GM2RT.

Е

Е

1

1

GM2

GM2

阿一6)

阿一6)

п(4-3у)равн

п(4-3у)равн

j^3(l—у)

j^3(l—у)

3(у — 1)5у—6

3(у — 1)5у—6

GM2RT.

GM2RT.

3(Y一1)(3 Y一4)2 (5Y — 6)3(Y一1)(3 Y一4)2 (5Y — 6)产Г(К — /авн)2. сравн产Г(К — /авн)2. сравнЕ + Еравн +Е + Еравн +Для у > 4/3 эта величина имеет минимум при R = 7?равн, как II должно быть. Для А, близких к Т?равн，‘Е ведет себя следующим образом:

3(Y一1)(3 Y一4)2 (5Y — 6)

3(Y一1)(3 Y一4)2 (5Y — 6)

产Г(К — /авн)2. сравн

产Г(К — /авн)2. сравн

Е + Еравн +

Е + Еравн +

Однородное расширение сферы с однородной плотностью отвечает кинетической энергии:

U = -^MR\

приводит(11.3.37)приводит(11.3.37)поэтому условие сохранения энергии U 十 Е = const к такой моде:

приводит

(11.3.37)

приводит

(11.3.37)

R — йравн 〜sins力

с 〜「5(y — 1)(3y—4) GM2 ]i/2

° 〜LЛравн3 J '

И наконец, заметим, что однородная сфера, вращающаяся с угловой скоростью А, имеет кинетическую энергию, равную

〃 =琨авнС2.

Эта величина должна быть меньше, чем энергия связи (——Е), поэтому максимальная угловая скорость, с которой звезда может вращаться, имеет порядок

Q 〜「5 (3丫 一4) GM ] "маке 〜L (5Y一6) /авнз」Q 〜「5 (3丫 一4) GM ] "маке 〜L (5Y一6) /авнз」”2_”2_ЗоЗо(11.3.38)(11.3.38)

Q 〜「5 (3丫 一4) GM ] "маке 〜L (5Y一6) /авнз」

Q 〜「5 (3丫 一4) GM ] "маке 〜L (5Y一6) /авнз」

”2_

”2_

Зо

Зо

(11.3.38)

(11.3.38)

Конечно, вращающаяся с такой скоростью звезда перестает быть сферической, так что с помощью (11.3.38) можно оценить только порядок величины истинной максимальной частоты вращения.

Применим теперь эти сведения к звездам, известным под названием белых карликов. Представим себе старую звезду, которая исчерпала свое ядерное топливо и начала охлаждаться и сжиматься. Когда температура ее станет достаточно низкой (ниже мы укажем, что значит «достаточно низкой»), электроны будут заморожены на низшем разрешенном энергетическом уровне. Принцип Паули утверждает, что на каждом уровне могут находиться только два электрона (поскольку имеются два спиновых состояния) и в единице объема существует 4冗及2 (2лЙ) ~3dk уровней с импульсами, лежащими в интервале k, k + dk. Поэтому число электронов на единицу объема связано следующим образом

с максимальным импульсом kF:

п =(11.3.39)

(2砲3 j3л2方з'/

о

Плотность массы

р = тгтнц,(11.3.40)

где 卩——число нуклонов, приходящихся на электрон;卩 ^2 для звезд, которые полностью израсходовали водород. Это дает следующее значение:

(篙广(1134D

Условие, при котором тепловой энергией можно пренебречь имеет вид

кт《修+ 加/卩/2 —人.

Кинетическая энергия и давление этих электронов равны

e = 7^ j [储+乙2产-侬]/珈，(11.3.42)

о

р = 2к2 dk.(11.3.43)

й 3(2叫3 J 他2+%2)1/2、，

[См. формулу (2.8.4).] Уравнение состояния можно явно записать, если подставить выражение (11.3.41) в (11.3.43).

Для белых карликов уравнение состояния не имеет простого вида, однако оно сводится к уравнению политропы в двух предельных случаях, когда р < рьр и р》рнрт где ркр — крити- ческая плотность, при которой kF становится равным те; в единицах СГС получаем

Ркр = ^^^ = 0,97.10V г/см3.(11.3.44)

А. Рассмотрим случай р《 ркр. Тогда kF《 me. и соотношения (11.3.42) и (11.3.43) дают

3

8лА>5无2/ 3冗2P \5/з

Р — 15% (2冗龙)3 — 15znen2 \ 77iHp,丿'

Этот результат соответствует политропе с параметрами

7， "謂而(許广 (11345)

Из выражения (11.3.17) можно получить массу (в единицах СГС)

К警广…(肃募)X

*喘片=2,79门瑞宀。，(и.3.46)

а выражение (11.3.16) дает радиус (в единицах СГС)

R=(等广(3,65375)(R=(等广(3,65375)(戒2戒2J/2G小~^*/ XJ/2G小~^*/ X

R=(等广(3,65375)(

R=(等广(3,65375)(

戒2

戒2

J/2G小~^*/ X

J/2G小~^*/ X

х(鵠广= 2,0.®尸(體广 км (11.3.47)

Б. Рассмотрим случай р》ркр. Тогда kF》me, и выражения: (11.3.42), (11.3.43) приводят к следующему результату:

е = 3р,

8nA:雜先 / Зл2р \4/з

Р=，2(2期)3 =无产丿.

(11.3.48)(11.3.48)Это соответствует политропе с параметрами

(11.3.48)

(11.3.48)

3，- 12n2 (五訴)

Из выражение (11.3.17) следует единственное значение массы (в единицах СГС), равное

М=4 (Зл)1/2 (2,01824)(总；2)= 5,87宀©(11.3.49)

Е =4 (3口芦(6,89685) (77^;Е =4 (3口芦(6,89685) (77^;\ / Рнр \1/з\ / Рнр \1/за выражение (11.3.16) дает следующее значение радиуса (в единицах СГС):

Е =4 (3口芦(6,89685) (77^;

Е =4 (3口芦(6,89685) (77^;

\ / Рнр \1/з

\ / Рнр \1/з

5,3・10*т (黯)"з км. (11.3.50)

Заметим, что для р (0)《рьр, у > "/з и поэтому менее лхас- сивные белые карлики устойчивы. Мы видим, что при увеличении центральной плотности величина М растет монотонно, достигая максимума (11.3.49), когда р (0) f оо; в этом случае не существует точки, в которой звезда становится неустойчивой. Таким образом, можно уже сделать вывод, что белый карлик может быть устойчивым, если его масса меньше (11.3.49). Эта максимальная масса называется пределом Чандрасекара [10, 11].

В действительности же картина не столь проста. При kF ^ ^ 5те становятся энергетически выгодными процессы захвата 22*

электронов ядрами с превращением протонов в нейтроны и рождением нейтрино, которые сразу улетают из системы. Этот эффект приводит к увеличению числа 卩 нуклонов, приходящихся на один электрон, и, согласно выражению (11.3.46), снижает величину массы М при заданной центральной плотности. Следовательно, можно ожидать, что М увеличивается, стремясь к пределу Чандрасекара, до тех пор, пока центральная плотность не примет значения р (0) ^ 53рнр [см. выражения (11.3.41) и (11.3.44)]; при этом М достигает максимума, а затем начинает убывать. Подробнее вычисления показывают (см. фиг. 5 и гл. 10 в [1]), что максимальная масса равна 1,2Мq, т. е. приблизительно совпадает с пределом Чандрасекара, который составляет 1,2671/。для 卩=56/2б- Радиус звезды максимальной массы равняется 4 *103 км. Теорема 2 предыдущего параграфа утверждает, что этот максимум есть точка перехода от стабильных состояний к нестабильным, так что стабильные железные белые карлики могут существовать только при М V 1,2/I/q.

Наиболее интересным для изучающих общую теорию относительности является абсолютное значение GM/R гравитационного потенциала на поверхности белого карлика. Для р (0)《рьР этот параметр задается выражениями (11.3.46) и (11.3.47):

等二(等)尸(/(需产 公闻)

а для р (0)》ркр гравитационный потенциал задается выражениями (11.3.49) и (11.3.50):

(謐I)尸(黑)(鬻产 (11352)

Видно, что GM/R всегда остается очень малой величиной из-за коэффициента mjm^ = 5,4 -Ю-4. Таким образом, эффекты общей теории относительности не вносят больших изменений в структуру белых карликов. Величина GM/R растет с увеличением центральной плотности и становится наибольшей при максимальной массе 1,2М®, равной 4・10一£ Наш старый знакомый, 40 Эридан В, характеризуется GM/R ^ 6 ЛО-5 (§ 5 гл. 3), так что вряд ли можно ожидать серьезных улучшений в измерении красного смещения, если обнаружатся белые карлики с гораздо большими значениями красного смещения.

§ 4. Нейтронные звезды

В предыдущем параграфе мы убедились в том, что белые карлики, удерживаемые за счет давления холодных вырожденных электронов, не могут быть в равновесии, если их масса превышает предел Чандрасекара, равный примерно 左財2/(7nH2G⑶广).Гра-

Фиг. 11.2. Равновесные состояния звезды.

Сплошной линией слева и справа представлены соответственно решения Оппенгеймера —— Волкова [12] для чисто нейтронной звезды и решение Чандрасекара [10] для белого карлика из чистого ГеБе. Пунктирная линия дает экстраполяцию нерелятивистских решений в этих двух случаях. Точки представляют интерполяцию решения Уилера, Гаррисона, Торна и Вакано [1], в котором учтено смещение химического состава от Fe5® к нейтронам. Стрелки указывают направление роста центральной плотности. Как доказано в теореме 1, всевозможные переходные состояния между устойчивостью и неустойчивостью возникают при максимумах или минимумах величины М, отмеченных здесь маленькими нруяючками.

витационный потенциал на поверхности такой звезды также не может быть больше чем отношение те1т^ так что общая теория относительности не изменяет результата расчета структуры звезды.

Продолжая наше исследование астрофизических приложений общей теории относительности, зададимся вопросом, что случается, когда звезда, масса которой выше предела Чандрасекара, достигает конца своей термоядерной эволюции и остывает. Внутреннего давления при этом заведомо не хватает для удержания ее в состоянии равновесия, и она коллапсирует. Первая возможность —— звезда коллапсирует навсегда, и в этом случае общая теория относительности, несомненно, необходима для ее описания. Вторая возможность ——звезда так нагревается при коллапсе, что взрывается и превращается в сверхновую. При этом может быть выброшено такое количество вещества, что масса звезды окажется ниже предела Чандрасекара. Полагают, что в последнем случае сильно сжатый остаток не завершает своей эволюции в виде белого карлика, а становится сверхплотной нейтронной звездой [12] г) (фиг. 11.2).

Ссылки не некоторые более ранние работы имеются в работе Ландау [И]; см. также [13—15].

Нейтронная звезда подобна белому карлику, за исключением того, что она состоит почти целиком из «холодных» вырожденных нейтронов: все электроны и протоны превратились в нейтроны согласно реакции

р е- п v^

причем нейтрино покинули звезду. Чтобы принцип Паули запрещал обратную реакцию p-распада нейтрона тг f р + е~ + R в звезде все же должно оставаться достаточное количество электронов и протонов; это определяет нижний предел массы стабильной нейтронной звезды, которая будет вычислена ниже.

Нейтронные звезды с малыми массами во многом похожи на белых карликов с такими же массами, исключая то, что давление вырожденных нейтронов заменяется давлением вырожденных электронов, а потому вместо те теперь во всех формулах должна стоять тп (а 出 следует положить равным единице). Таким образом, замечая, как те входит в формулы (11.3.44) —(11.3.47) для малых белых карликов, мы можем сразу сделать вывод, что нейтронная звезда малой массы будет иметь более высокую центральную плотность, чем белый карлик при этой массе (и 出= = 2) в V2 (^"wiJ3 二 3,1 -109 раз и радиус, меньший в mJ2me = =920 раз.

Электроны в белом карлике можно считать релятивистскими, когда его масса становится сравнимой с теоретическим верхним пределом, даваемым выражением (11.3.49). Поскольку величина те не входит в (11.3.49), мы ожидаем, что нейтроны в нейтронной звезде становятся релятивистскими при тех же самых массах, т. е. когда М по порядку величин совпадает с Mq. Однако далее аналогия между белыми карликами и нейтронными звездами нарушается.

Первое отличие состоит в том, что в плотность полной энергии р белого карлика основной вклад дает плотность масс покоя нерелятивистских нуклонов, в то время как нейтронная звезда с массой порядка М® будет состоять из нуклонов, кинетическая энергия которых сравнима с их массами покоя.

Второе отличие, даже более интересное, состоит в том, что в то время, как белый карлик с умеренно релятивистскими электронами имеет поверхностный гравитационный потенциал GMIR порядка mJ Шт нейтронная звезда равной массы имеет поверхностный потенциал, по порядку величины равный единице. Таким образом, общая теория относительности является необходимым элементом теории нейтронных звезд.

Для того чтобы сформулировать количественную теорию звезд, начнем с записи выражений плотности полной энергии и давления

идеального ферми-газа нейтронов с максимальным импульсом kF:

о

hF/mn

(11.4.1)(11.4.2)(11.4.3)(11.4.1)(11.4.2)(11.4.3)=Зркр j (U2 + 1)1/2 I? d〃,

(11.4.1)

(11.4.2)

(11.4.3)

(11.4.1)

(11.4.2)

(11.4.3)

О

%

8冗 f27 О 77

0一 3(2h龙戸_J (/ + ^2?" 一

hF/mn

=Ркр j (U2+ 1)_1/2 u4 du,

0

8птп^с3ркр三3(21龙戸 8птп^с3ркр三3(21龙戸6,11 • 1015 г/см3.6,11 • 1015 г/см3.где теперь (в единицах СГС)

8птп^с3

ркр三3(21龙戸

8птп^с3

ркр三3(21龙戸

6,11 • 1015 г/см3.

6,11 • 1015 г/см3.

Исключая kF 1тп из уравнений (11.4.1) и (11.4.2), получаем уравнение состояния в виде

上=ь(旦),(11.4.4)

Ркр \ Ркр /''

где F ——определенная трансцендентная функция. Структура нейтронной звезды с заданной центральной плотностью р (0) вычисляется с помощью уравнения (11.1.13), в котором р следует рассматривать как заданную с помощью (11.4.4) функцию р. Так как единственными размерными величинами являются р (0), ркр и G, решение должно давать массу и радиус в виде следующих функций от р (0):

(11.4.5)(11.4.6)(11.4.7)(11.4.8)(11.4.5)(11.4.6)(11.4.7)(11.4.8)…。了瞎)，…。g (黑)，

(11.4.5)

(11.4.6)

(11.4.7)

(11.4.8)

(11.4.5)

(11.4.6)

(11.4.7)

(11.4.8)

куда следует подставить (в единицах СГС) Яо — с (8лСркр)-1/2= 3,0 км, 必三争=2,0〃®,

а / и g здесь ——неизвестные безразмерные функции. Как и в случае белых карликов, эту задачу удается решить аналитически только для очень больших и очень малых центральных плотностей.

Для р (0)《ркр можно использовать аналогию с белыми карликами, которые уже обсуждались выше, и сделать вывод из

М = 4(-^)1/2 (2,71406)(М = 4(-^)1/2 (2,71406)(濟 2 ) / р(0)产 mn2G3/2'丿 I ркр ,濟 2 ) / р(0)产 mn2G3/2'丿 I ркр ,RR(警广2(3,65375M(警广2(3,65375M龙 3/2、/ Ркр \1/бm：2G亚丿〈7W,龙 3/2、/ Ркр \1/бm：2G亚丿〈7W,

М = 4(-^)1/2 (2,71406)(

М = 4(-^)1/2 (2,71406)(

濟 2 ) / р(0)产 mn2G3/2'丿 I ркр ,

濟 2 ) / р(0)产 mn2G3/2'丿 I ркр ,

R

R

(警广2(3,65375M

(警广2(3,65375M

龙 3/2、/ Ркр \1/б

m：2G亚丿〈7W,

龙 3/2、/ Ркр \1/б

m：2G亚丿〈7W,

выражений (11.3.46) и (11.3.47), что масса и радиус рассматриваем мых нейтронных звезд равны

=員2,71406）北（需广，（n49）

= (3,65375)凡(箭广，(11.4.10)

где рнр теперь дается выражением (11.4.3).

Для р (0)》ркр нейтроны, находящиеся вблизи центра звезды, имеют kF ^ тп, так что выражения (11.4.1) и (11.4.2) приводят к формулам

и, следовательно,и, следовательно,p Н寻,p Н寻,(11.4.11)(11.4.11)

и, следовательно,

и, следовательно,

p Н寻,

p Н寻,

(11.4.11)

(11.4.11)

как и следовало ожидать для газа крайне релятивистских частиц. Используя это уравнение состояния в основном дифференциальном уравнении (11.1.13), получаем

-2р' (г) = 4G必(г) P(r)[l+ ^F] 口 - ^1『.(114[2)

Удивительно, что в этом случае можно найти точное решение этого уравнения [161:

соответствующее пределу р (0) -> 8. Однако даже в этом пределе бесконечной центральной плотности это р (г) оказывается ниже р0 при радиусе г порядка Яо, так что уравнение состояния (11.4.11) оказывается несправедливым для внешних слоев любой нейтронной звезды. Чтобы рассмотреть оболочку из нерелятивистских нейтронов, необходимо решить полное уравнение (11.1.13), используя уравнение состояния (11.4.4); условие бесконечной центральной плотности при г《R。 накладывается выражением (11.4.13). Мы не будем заниматься этим здесь; важным для нас следствием является лишь то, что решение имеет конечный радиус 凡 при котором р исчезает, и масса М, находящаяся внутри этого радиуса, конечна, поскольку сингулярность в выражении (11.4.13) при г = 0 интегрируемая. Таким образом, масса

запретить Р-распад нейтронов. Чтобы получить представление о химическом составе нейтронной звезды, рассмотрим равновесие между нейтронами, протонами и электронами. Плотность энергии и плотность числа частиц каждого из трех таких ферми- газов даются (для 力=р, е) формулами

「，=譌河 J V^ + ^^dk,(H.4.18)

О

々 =f А：2^ = -Мт-(11.4.19)

1 (2лЛ)з J3兀 2%з' 丿

о

В любой данной точке звезды реакции п -^ р + ^+ ^и р+е-> -> м + * могут приводить к превращению нейтронов в протоны л наоборот (нейтрино при этом покидают звезду). В этих реакциях сохраняется плотность полного числа барионов

пп + "р = пв (фиксировано), (11.4.20)

и система остается все время электрически нейтральной:

厶卩一乙=0.(11.4.21)

Но когда пв сохраняется, плотность полной энергии может выражаться только через величину пп, т. е.

рм рн + ре + рр = 3「з { j V^ + mn2 A:2 dk + о

eи\产3

十 j)/ / + ?пp2 &2 说 +

0

С^В~Пп^3

+ j]// + 人2收说}, (11.4.22)

о

где

0三(3в为3)1/3.

Когда эта функция имеет минимум, достигается химическое равновесие. Условие равновесия имеет вид

备= ^пп^ + тп^-(С^[пв -叫叽 + 喏)

-(0 [几В —厶n] " + hг」)"=0 .

Можно разрешить это уравнение относительно величины пр — =Мв — ^п как функции от пп

2(md—加丁一％2)

]+8"广/3.

十 С^пп2/з

(THU —Пр2)2 —2z2(m・d*^p2)+z4в,?

十。旣u/3

Разность масс нуклонов Q ~ тп —— тр и масса электрона те сравнимы по величине и много меньше тп, а потому этот результат можно записать гораздо проще:

прпр1 +1 +Ркр『"_]_ 4 (0? — We2)?и/n丿呜Ркр『"_]_ 4 (0? — We2)?и/n丿呜Ркр \2/зРкр \2/з(11.4.23)(11.4.23)

пр

пр

1 +

1 +

Ркр『"_]_ 4 (0? — We2)

?и/n丿呜

Ркр『"_]_ 4 (0? — We2)

?и/n丿呜

Ркр \2/з

Ркр \2/з

(11.4.23)

(11.4.23)

где ркр = т^СА ——критическая плотность, определенная выше выражением (11.4.3).

Условие, при котором нейтроны стабильны относительно 6-распада, требует, чтобы фермиевское море электронов было заполнено вплоть до импульса, который превышает максимальный импульс &макс электрона, испускаемого в p-распаде ней

трона:

&F, е > &макс，(11.4.24)

где

[(呜一呜)2 -2m/ (м2 4-w^ + n^^]1^ 〜

G一加/产=1,]9 М9В. (ц.4.25)

Импульс Ферми определяется с помощью соотношений (11.4.19) и (11.4.21):

碌,е = О“/3 = О" J/з =mn2(簣ь у/3 仔广з =

=< 4 \ Ркр /' Ркр /. (11.4.26)

/mM片. :/3 I [

\ Ркр /

Он имеет наименьшее значение при пп = 0, когда kFi е в точности равно значению Z:MaHC. Поэтому условие стабильности нейтрона относительно р-распада (11.4.24) действительно выполняется для любой положительной плотности нейтронов.

Отношение плотностей нейтронов и протонов (11.4.23) велика и падает при очень малых нейтронных плотностях, достигая минимума при пптп, равной переходной плотности

Рт « Ркр [-^^^-]3/4= 1,28.10-4ркр, (11.4.27)

где

3/2

凡П /мин \mn凡П /мин \mn= 0,002,= 0,002,(11.4.28)(11.4.28)

凡П /мин \mn

凡П /мин \mn

= 0,002,

= 0,002,

(11.4.28)

(11.4.28)

а затем возрастает монотонно, достигая значения 1/8 для пптп 》 》Ркр・ Звезды, имеющие центральную плотность, несколько меньшую, чем переходная (11.4.27), в действительности вообще не являются нейтронными звездами, а соответствуют ветви равновесных решений для крайне плотных белых карликов, и, следовательно, не стабильны (§ 3 гл. 11). Таким образом, мы ожидаем^ что должна быть некоторая минимальная центральная плотность порядка рт и некоторая минимальная масса порядка ЗМ。(рт/ркр)1/2^ а 0,03М。[см. выражение (11.4.9)], ниже которых стабильных нейтронных звезд не может быть. Подробные вычисления [11 показывают, что минимальная масса нейтронной звезды в действительности равна примерно 0,271/©.

Эффект малой примеси водорода в нейтронной звезде оказывается более интересным фактом, чем это может показаться на первый взгляд. Дело в том, что заполнение протонных и электронных энергетических уровней, так же как и нейтронных, будет препятствовать распадам не только нейтронов, но и других частиц, которые в обычном состоянии нестабильны. Например, ц--мезон становится стабильным, когда % е > 53 МэВ, поскольку в этом случае принцип Паули запрещает рождение электронов в процессах распада 仁 f е~ + * + *. Согласно (11.4.26), это происходит тогда, когда плотность р ^тппп достигает значения 0,038р1ф при тгр — 0,005тгп. Если плотность достигает значения 0,107ркр при пр = 0,013«п, то импульс Ферми электронов становится равным массе р-мезона 105 МэВ, и электронам, находящимся вблизи уровня Ферми, становится энергетически выгодна превращаться (скажем, при столкновении) в ц"-мезоны и в покидающие звезду пары нейтрино ——антинейтрино. Таким образом, нейтронные звезды даже с умеренными значениями масс будут содержать примесь ц"-мезонов точно так же? как и примесь водорода. По тем же причинам можно ожидать, что гипероны и различные возбужденные состояния нуклонов и гиперонов также будут стабильны и представлены в малых количествах.

Тогда возникает интересный принципиальный вопрос. Например, знаменитый 33-резонанс в пион-нуклонном рассеянии может

рассматриваться либо как проявление пион-нуклонных сил, либо как частица, Д-барион, с массой, равной 1236 МэВ, и очень коротким временем жизни, равным 5,5 -Ю"20 с. Должны ли мы включать А-барион в модель идеального газа для нейтронной звезды? С обычной точки зрения казалось бы, что не должны, но при достаточно высоких плотностях нуклонов принцип Паули будет запрещать распады A—>N+ji, Af N+y и т. д., а энергетические соображения будут благоприятствовать процессу превращения некоторых нейтронов и протонов в А-барион. Конечно, может оказаться и так, что сильные взаимодействия нуклонов просто исключат любую модель идеального газа для плотной нейтронной звезды,но не исключено, что эффекты этих взаимодействий можно будет учесть, рассматривая нейтронную звезду как идеальный газ, состоящий из нейтронов, протонов, электронов, ц"-мезонов, гиперонов и нуклонных и гиперонных резонансов (§ 11 гл. 15).

В любом случае ясно, что расчеты Оппенгеймера ——Волкова, в которых нейтронная звезда рассматривается как чистый идеальный газ нейтронов, должны приниматься с большой осторожностью, когда р (0) сравнимо или больше ркр. Простое включение протонов и электронов наравне с нейтронами в модель идеального газа само по себе не оказывает серьезного влияния на структуру нейтронной звезды [1], однако ядерные силы могут играть при этом важную роль. Например, многие подробные вычисления дают максимальные значения стабильной массы, равные 0,37Af。 [17 — 19], 1,9571/0 [20] и 2,4М° [21]. Даже эти модели все еще весьма далеки от действительности; предполагается, что реальная нейтронная звезда имеет кристаллическую кору [22], сверхтекучую внутренность [23], мощные магнитные поля [24] г) и часто очень большую скорость вращения [25, 261.

Открытие [27] в 1967 г. «пульсаров»— звезд, испускающих излучение с различными длинами волн в виде периодических импульсов, разделенных интервалами от нескольких секунд до 0,033 с —— наталкивает на мысль, что надо оценить возможные периоды вращений и вибраций нейтронных звезд и белых карликов. Выражения (11.3.37) и (11.3.38) показывают, что для всех у, исключая 6/5, 4/3 и 1, максимальная частота вращения и основная частота колебаний любой ньютоновской политропы имеют порядок ^GM/R3. Вероятно, этот результат справедлив в пределах одного порядка величины для любой стабильной нейтронной звезды; в этом случае характеристическая частота принимает самое большое значение, когда М ^ R определяются выражениями (11.4.15) и (11.4.16), и равна

(籌У = 105. (11.4.29)

Другие ссылки см. в работе [21].

Это значительно больше, чем наблюдаемая частота излучения любого пульсара. В настоящее время полагают, что пульсары 一 это вращающиеся нейтронные звезды [28], существование которых начинается с частотами вращений, близкими к максимальной, порядка 104 ©т, но впоследствии их вращение замедляется из-за потерь энергии на гравитационное или электромагнитное излучения и на электромагнитное ускорение заряженных частиц,. (Чтобы объяснить существование этого излучения, а также периодических импульсов, необходимо предположить, что звезда не обладает круговой симметрией относительно оси вращения^ как было бы в случае, если бы ее магнитные полюсы не совпадали с полюсами вращения.) В пользу такой интерпретации говорит наблюдение нескольких замедляющихся пульсаров (см. обзор 129]).

Белый карлик с такой же массой, как нейтронная звезда, будет иметь радиус, больший в тпп/цте ^ 900 раз, так что его основная частота колебаний и максимальная частота вращения будут меньше, чем у нейтронной звезды, в 3 *105 раз. При М7 близких к 7Имакс, это дает характеристическую частоту, меньшую чем (11.4.29) в 3 *105 раз, что составляет примерно 0,3 с-1* Это ниже того, что наблюдается для периодов излучения импульсов болыпинства пульсаров. Вероятно, пульсары ——это нейтронные звезды, а не белые карлики.

Сверхмассивные звезды

Теперь мы рассмотрим звезды другого вида [30, 31], которые общая теория относительности описывает совершенно иным образом. Представим себе ньютоновскую звезду, которая существует за счет давления излучения, а не вещества. Условия, при которых это возможно, будут разобраны в дальнейшем. Предположим также, что звезда находится в состоянии конвекционного равновесия § 1 гл. 11) и имеет однородный химический состав. Плотность энергии излучения равна е = Зр, а потому эта звезда будет политропой с у = 4/3, т. е.

р = Кр4/?・(11.5.1)

一冗2(归7)4 Рнзл =45%з,一冗2(归7)4 Рнзл =45%з,Давление излучения задается законом Стефана ——Больцмана

一冗2(归7)4 Рнзл =45%з,

一冗2(归7)4 Рнзл =45%з,

(11.5.2)

так что при р ^ рИзп температура определяется следующим образом:

叮=(当用"公.(H.5.3)

кТкТДавление вещества в этом случае подчиняется закону идеального газа

кТ

кТ

(11.5.4)

где m — средняя масса частиц газов. Таким образом, отношение давления вещества к давлению излучения равняется

(11.5.5)(11.5.5)—Рвещ — 45无з р— 1 / 45%з у/з

(11.5.5)

(11.5.5)

Ризл л2т (而7)3 7n \ 冗眩3 丿

Оно является константой по всему объему звезды, поэтому можно, используя 0 вместо К (или энтропию на один нуклон, от которой: они обе зависят), задать уравнение состояния в виде

崩••产(11.5.6)

Тогда, согласно уравнению (11.3.17) и данным табл. 11.1, масса политропы с у — 4/3 равняется

М = 4л (2,01824) (^-)3/2.(11.5.7)

Используя (11.5.6.), получаем

М =用(2，°1824)^g^ = 18М© (^)2尸.(И.5.8> Для ионизованного водорода при температуре в интервале 105 — Ю10 К масса ш есть среднее между массами протона и электрона, что составляет щ ^ 771n/2. Таким образом, в этом случае, условие, при котором давление излучения превышает давление вещества, скажем, в 10 раз, выглядит так: М》7200Л7@. Никаких подобных сверхмассивных звезд с достоверностью не наблюдали, но их рассматривают как возможные источники лучистой энергии при гравитационном коллапсе [30, 31].

Строение сверхмассивных звезд полностью определяется уравнениями для ньютоновской политропы с 丫 ^ &7з・ В частности, уравнение (11.3.16) приводит к следующему радиусу для таких звезд:

R = 6,89685 (伞

Подставляя сюда (11.5.6), получаем

Е = 6,89685 偿广萨£”「(О)』.(ц.5.9)

Этот радиус ограничивается нашим предположением, что энергия массы покоя звезды много больше, чем ее энергия излучения, и уж, конечно, больше, чем тепловая энергия ее вещества.

Это условие имеет вид

15方30卩

или, подставляя сюда (11.5,3) и (11.5.6), получаем

Р《Т&*(11-5.10]

Плотность р максимальна в центре, поэтому можно считать, что это условие наложено на р (0). Используя (11.5.8) и (11.5.9), чтобы представить р и р (0) через М и Я, условие (11.5.10) записываем в виде

MG 4 / 2,01824、八勺С〃/二/八

~Т ( 6,89685 ) =。‘39・(11.5.11)

Это эквивалентно утверждению, что гравитационный потенциал мал, которое также делалось. При М — [О』”。 выражение (11.5.11) требует, чтобы выполнялось условие R》4 -104 км.

Хотя нет необходимости использовать общую теорию относительности для того, чтобы понять строение таких сверхмассивных звезд, она необходима, чтобы решить вопрос о стабильности. Политропа с у — 4/3 колеблется между состояниями стабильности и нестабильности, а потому необходимо принимать во внимание малые эффекты давления вещества и эффекты общей теории относительности, которые не играют существенной роли при расчетах структуры.

Используем теорему 1 из § 2 гл. 11, которая утверждает, что переход от состояния стабильности к нестабильности происходит при значении р (0), для которого внутренняя энергия Е стационарна. Чтобы вычислить Е, воспользуемся выражениями (11.1.29) — (11.1.31), которые в первом порядке по GMIR дают следующий результат:

RR

Е j 4лг2е (г) dr + J ^tGrM (?) е (г) dr — оо

—j 4jtGr或(r) dr — J 6л/?2咸2 ⑺ р ⑺ dr, (11.5.12) оо

Тогда плотность внутренней энергии е равна

方3 十 Г _1 --呐3л -十 3(F _ 1)】

где Г ——отношение теплоемкостей вещества. (Для ионизованного водорода Г = 5/3.) Для полного давления имеем

Р = Рпзл + Рветц = Ризл (1 + Р) •

Следовательно, в первом порядке по малому параметру § отношение плотности энергии к давлению составляет

6^3卩口一黒三告0 +。(俨)]■(11.5.13)

Во втором слагаемом в (11.5.12) малой поправкой порядка 0 можно пренебречь, поскольку она уже меньше первого слагаемого из-за коэффициента порядка GM/R, но эту поправку надо учесть в большом первом члене, следовательно,

Е [1—器ЕЕ；； б] j 12лг2р (г) d「+ j 12itGr或(г) р (г) dr — оо

丑r

—j《伍計勿(r) dr — J 6加?2从2 ⑺ p (r) dr — ...・(11.5.14) оо

Этот интеграл можно переписать, интегрируя по частям, следующим образом:

RRR

J 12иr2р (г) dr—^ р (г) d (4冗r3)= - ( 4冗产d⑺m оо0

Для того чтобы вычислить р( (г), разложим фундаментальное уравнение (11.1.13) по GM/R, удержав лишь первый порядок:

—2р' (г) G 威(г) р (г) [_l+j^ + ^^L + ^ly

так что

12лг2р (г) dr ^12лг2р (г) dr ^4л/?г 或(г) р (г) dr +4л/?г 或(г) р (г) dr +к J о

12лг2р (г) dr ^

12лг2р (г) dr ^

4л/?г 或(г) р (г) dr +

4л/?г 或(г) р (г) dr +

8лб2р (г)或2 ⑺ 力.8лб2р (г)或2 ⑺ 力.RR

8лб2р (г)或2 ⑺ 力.

8лб2р (г)或2 ⑺ 力.

+ оо

Поправку, содержащую Р，надо удержать только в первом члене, который больше, чем другие, в R/MG раз. Таким образом, в первом порядке по р и GM/R выражение (11.5.14) принимает вид

RR

Е —隽—?\ § £ 4nGr 威(г) р (г) dr + f 16jtGr或(г) р (г) dr +

ОО

RR

+ J 16№Gr&p (r) p (r) dr+ j 2jiG2q<2 (r) p (r) dr. (11.5.15) о0

Теперь каждый член мал, а потому их все можно вычислить, используя значения р, р и 必,полученные путем решения ньюто-

23 — 0788

новского уравнения для ньютоновской политропы у = 4/3, т. е.

—2р，(г) ^ GM (г) р (г).

В частности, первый интеграл выражения (11.5.15) превращается при у = % в выражение (11.3.24), а именно

R

\ 4irGr必(г) р (г) dr = — V = &五• b

Третий член в (11.5.15) переписываем, интегрируя ио частям следующим образом:

J 16л2Сг4р (г) р (г)力=J 4冗产р (г) d此(г)— оо

=—j 4nGr2pf (г)必(г) dr—j 8冗Grp (r)或(r) dr = оо

RR

=j 4jiG2a<2 ⑺ p ⑺而一J 8nGrp (r)现(r) dr. о0

В результате этих действий выражение (11.5.15) принимает вид

* —龄二;+ В 幣-十 J 8itGr或(г) р (г)力 + j 6jiG2s^2 (г) р (г) dr. ос

Последние два интеграла можно вычислить с помощью функции Лейна —Эм де 8(E) при 7 = %:

J 6nG2必(Г) р (Г) dr = 6К里;广 j 自笛'2 收)03 阳龙， 0

f 8nG或(r) p (r) r dr = -吗瑞《 匕з J & 电 I 04 低)龙，00

в то время как К и р (0) можно выразить через М ^ R подстановкой (11.3.16) и (11.3.17), приводящей к соотношению

К?* (0)2/3Д/л GAT

~~=64f

Численное интегрирование дает [32] значение

瓏/I；/"{)“&(三"3阳我+备J守旷但)ез(а)證) = 5,1. оо

Далее, собирая все это вместе, получаем окончательный ответ: 爵斗号+ 5」陪 (И.5.16)

Когда R так велико, что общей теорией относительности можно пренебречь, то в этом случае звезда ведет себя как ньютоновская политропа с 7, равной

,.р 4 , (ЗГ — 4) q、4丫三 1 +9(r—1) В >m，

н действительно является стабильной [см. выражение (11.5.13)1. Переход от стабильного состояния к нестабильному происходит, когда 7? уменьшается до значения, при котором

дЕ дЕ dp (0)°

Производная должна быть взята при постоянном значении энтропии, приходящейся на один нуклон и, следовательно, при фиксированных в данном случае ри М [см. выражения (11.5.6) и (11.5.7)1. Таким образом, минимальный радиус, при котором звезда стабильна, равен

„ — 20,4 (Г —1) GMНмнн = (зг — 4) 厂'

Максимальная энергия, которая может освободиться, когда звезда медленно сжимается (за счет излучения ее поверхности) до минимального стабильного радиуса,

一Е (小j= 爲1•(世^ • (Н.5.18)

Например, звезда с 0=0,1 будет иметь массу М ^ 72OO7Hq； если Г = 5/3, то минимальный радиус звезды равен 1,45 -106 км и доля ее массы покоя, которая может освободиться при сжатии, составляет 0,03%. Максимальное значение поверхностного потенциала MG/R для Г — 5/3 равно 0,0735 §, как и следует из условия (11.5.11).

Звезды с однородной плотностью

Общая теория относительности находит интересное применение к другому классу стабильных звезд, состоящих из несжимаемой жидкости, уравнение состояния которой

р = const.р = const.(11.6.1)

р = const.

р = const.

Такие звезды представляют интерес не в связи с наблюдениями (в действительности таких звезд нет), а потому, что они имеют достаточно простое строение, позволяющее точно решить уравнения Эйнштейна [33], а также потому, что они позволяют

23*

найти верхний предел для гравитационного красного смещения спектральных линий, излучаемых поверхностью звезды любого типа [34, 35].

При постоянном р фундаментальное уравнение (11.1.13) можно переписать в виде

〔p + P(r)][(p/3) + p(r)] L 3 」 ' ' Тогда давление должно определяться интегрированием по объему внутри поверхности, на которой р = 0, а не но объему, лежащему вне этой поверхности, как делается при рассмотрении более реалистических моделей. Это приводит к выражению

Р(г) + р —Г 1 — 8jtGpR2/3 丁/2

Зр(г) + р —L 1—8nGpr2/3 J '

Решая последнее выражение относительно р (г) и выражая р через массу звезды

находимнаходим/、 ЗМр(「)="4лЛЗ/、 ЗМр(「)="4лЛЗР=да- Для YR,Р=да- Для YR,(11.6.3)(11.6.3)Н —(2MG/R)『/2— [1 —(2MGr2/R3)『/2)[(_(2MGr2/R3)『/2_з [4 —(2MG/R)『/2 J 'Н —(2MG/R)『/2— [1 —(2MGr2/R3)『/2)[(_(2MGr2/R3)『/2_з [4 —(2MG/R)『/2 J '(11.6.4)(11.6.4)

находим

находим

/、 ЗМ

р(「)="4лЛЗ

/、 ЗМ

р(「)="4лЛЗ

Р=да- Для YR,

Р=да- Для YR,

(11.6.3)

(11.6.3)

Н —(2MG/R)『/2— [1 —(2MGr2/R3)『/2)

[(_(2MGr2/R3)『/2_з [4 —(2MG/R)『/2 J '

Н —(2MG/R)『/2— [1 —(2MGr2/R3)『/2)

[(_(2MGr2/R3)『/2_з [4 —(2MG/R)『/2 J '

(11.6.4)

(11.6.4)

Метрическая компонента Л (г) сразу определяется с помощью выражения (11.1.11):

4(Г)=[上警丝『，(h.6.5)

в то время как В (г) можно вычислить подстановкой (11.6.4) в интеграл (11.1.16), что приводит к результату

5(r)T[3(l 一攀广 一(1一^1 广了. (11.6.6)

Наиболее интересная особенность этого решения состоит в том, что оно не имеет смысла для всех значений М м R、Давление, задаваемое выражением (11.6.4), становится бесконечным при г = гоо, соответствующем

呢= 9? —需. (11.6.7)

(Метрика также становится сингулярной при значении г = Гоо, поскольку В(Гоо) равно нулю-] Но давление есть скаляр, а потому сингулярность в р (г) нельзя отнести за счет неразумного выбора системы координат. Мы должны считать, что р (г) не сингулярно при любом реальном г, а единственный путь обеспечить это —— ввести отрицательные 虑，т. е. допустить неравенство

等 V"|. (11.6.8)

Заметим, что радиус Шварцшильда 2MG в этом случае меньше, чем 8/д действительного радиуса Е; поэтому нет никакой сингулярности ни во внешнем решении (11.1.17), ни во внутреннем решении (11.6.5), (11.6.6).

Это не первый случай, когда мы устанавливаем верхнюю границу абсолютного значения MG/R гравитационного потенциала звезды. В § 4 гл. И мы видели, что для стабильной нейтронной звезды, рассматриваемой как идеальный газ, MG/R никогда не превышает отношения 0,36/3,2, т. е. 0,11 [см. выражения (11.4.15) и (11.4.16)]. Существует ли тогда абсолютная верхняя граница для MG/R, накладываемая структурой уравнений Эйнштейна вне зависимости от уравнения состояния?

Чтобы сформулировать этот вопрос как математическую задачу, будем считать, что р ——произвольная конечная положительная функция, отвечающая лишь следующим общим требованиям:

Задан радиус 7?, так что

р (г) = 0 при г > Я.(11.6.9)

Б. Задана масса М из условия

j 4лг2р (г) dr = M.(11.6.10)

о

Метрический коэффициент Л (г), заданный (11.1.11), не должен быть сингулярным, а потому

或 QV^g^-,(11.6.11)

где

或(г)三 j 4лг，2р (吟 М.о

Г. Плотность р (г) не должна возрастать к поверхности:

р' (г) < 0.(11.6.12)

(Действительно, трудно представить, чтобы жидкая сфера с плотностью, большей у поверхности, чем в центре, могла быть стабильной.) Выбирая функцию р (г) согласно этим условиям, мы можем вычислить Л (г) с помощью выражения (11.1.11); р (г) можно определить, интегрируя уравнение (11.1.13) по объему, находящемуся внутри рассматриваемой поверхности [с граничным условием р (7?) = 01; затем мы можем вычислить В (г) с помощью выражения (11.1.16). Условие (11.6.11) гарантирует, что Л (г)— хорошая функция, а поскольку р (г) конечно, выражение (11.1.13) будет давать р (г) > 0, а выражение (11.1.16) будет приводить к конечным, положительно определенным Б (г). Таким образом, любые абсолютные ограничения на задаваемую нами функцию р (г) (так же, как и на верхнюю границу MGIR) могут вытекать

лишь из того условия, что уравнение (11.1.13) должно приводить к конечному решению для давления р (г).

Это условие мы будем использовать довольно косвенным образом, обращаясь к метрическому коэффициенту ^ (г), а не к самому значению р (г). Сначала получим уравнение, позволяющее вычислить В (г) при заданной плотности р (г), не находя предварительнс решения для р (г); из (11.1.5) и (11.1.7) следует, что

3B„5 + 以必=3" 一年(今 + *)一警一号=一 16nGp4B ИЛИ

8'一44与 +等 +»=今[34 -16nGpMZ].

Это уравнение можно линеаризовать с помощью подстановки

В 三醉(11.6.13；

Привлекая уравнение (11.1.11) для Л (г) и несколько переустраивая его, находим

4 [4(^4 [4(^(г) y/窑北(г)(г) y/窑北(г)]=G (4]=G (42G必(г) \ -1/2 ｛如｛у、、'—、~г ) 1~^~ / 色⑺2G必(г) \ -1/2 ｛如｛у、、'—、~г ) 1~^~ / 色⑺(11.6.14)(11.6.14)

4 [4(^

4 [4(^

(г) y/窑北(г)

(г) y/窑北(г)

]=G (4

]=G (4

2G必(г) \ -1/2 ｛如｛у、、'—、~г ) 1~^~ / 色⑺

2G必(г) \ -1/2 ｛如｛у、、'—、~г ) 1~^~ / 色⑺

(11.6.14)

(11.6.14)

Начальные условия при г ~ R могут быть определены прямо из выражения (11.1.16) или из того условия, чтобы В (г) гладко сшивалось с внешним решением (11.1.17). В любом случае приходим к результатам

鼠e)=口一贽f，(n.6.15)

7(五)=学口-争•「"(11.6.16)

Решение для 甘(г) должно быть положительным, поскольку 白(г) могло бы быть отрицательным только в том случае, если бы оно проходило через нуль, где исчезало 5, а согласно выражению (11.1.16) В может равняться нулю только в том случае, когда давление р (г) имеет сингулярность.

Получим теперь верхнюю границу С (0). Если 甘 положительно, тогда правая часть (11.6.14) отрицательна, потому что ЗМ (г)/4лг3 есть средняя плотность внутри сферы радиуса г, а средняя плотность не может увеличиваться с ростом г, если не возрастает сама плотность. Таким образом, (11.6.14) приводит к условию

簿号t争卜。，

причем равенство достигается только при однородной плотности. Интегрируя это неравенство от г до Я и подставляя (11.6.16),

получаемполучаемС(0)《1С(0)《1RJ 一斥]к 一(26<^&)/明1/2RJ 一斥]к 一(26<^&)/明1/2

получаем

получаем

С(0)《1

С(0)《1

R

J 一斥]к 一(26<^&)/明1/2

R

J 一斥]к 一(26<^&)/明1/2

Интегрируя еще раз от 0 до Я и подставляя (11.6.15), находим

Правая часть принимает наибольшие значения, когда 關 (г), насколько это возможно, мало. При заданной массе М и радиусе R плотность распределения с р，(г) W 0, приводящая к М (г), которое во всем объеме принимает свое минимальное значение р (г), является постоянной; в этом случае имеем

历(г) =•

Подставляя это выражение под интеграл, преобразуем последнее неравенство к виду

义0)<4[1_等(n.6.17)

MG 4MG 4Мы уже отмечали, что 甘(г) должно быть положительно определенным, следовательно, (11.6.17) предполагает неравенство

MG 4

MG 4

(11.6.18)

Это как раз верхний предел, найденный ранее для звезд с однородной плотностью, но теперь мы знаем, что (11.6.18) справедливо для всех звезд, однородных и неоднородных.

Можно такгке доказать, что при данной массе и данном радиусе стабильные звезды с наименьшими значениями давления в центре ——это те, что имеют однородную плотность. Следовательно, давление в центре любой звезды не должно быть меньше значения, получаемого из выражения (11.6.4) при г = 0, т. е.

гм ( [1一(2宀产二:.).

/4лКз I ]_з [1 —(2MG/R)『/2 / ' '

Это опять указывает на то, что MG/B никогда не может равняться запрещенному значению 4/9.

Этот результат можно сразу превратить в ограничение на величину красного смещения спектральных линий, излучаемых поверхностью любого типа звезды. Согласно выражениям (3.5.3), (11.1.1) и (11.1.17), имеем

Условие (11.6.18) накладывает на z верхнее граничное условие z < 2.(11.6.20)

И действительно, имеется множество квазизвездных радиоисточников (гл. 14), спектральные линии которых имеют красное смещение, близкое к величине 1,95! Однако мы не будем делать поспешного заключения, что такое красное смещение с необходимостью вызывается сильными гравитационными полями, поскольку красное смещение, близкое к z = 2, требует, чтобы звезда состояла из почти несжимаемой жидкости, т. е. характеризовалась очень малыми значениями др!др. Последнее представляется физически не обоснованным, поскольку нежелательно, чтобы скорость звука (0р/0р)"2 превышала скорость света [34]. Бонди [34] показал (см., однако, [35——371), что для стабильной звезды при условиях (dp/dp) < 1 и р/р W '/з【а эти неравенства выполняются для частиц, которые взаимодействуют только электромагнитным образом и (или) путем локальных столкновений; см. § 10 гл. 2} красное смещение спектральных линий, испускаемых ее поверхностью, ограничивается значением z W 0,615. В действительности же существуют квазизвездные объекты с величиной красного смещения z > 2, такие, как 4С25.5, для которого z = 2,358.

Однако нет никаких теорем, которые ограничивали бы красное смещение световых сигналов, выходящих изнутри статических сферически-симметричных тел [381 г). Например, световой сигнал， выходящий из центра прозрачной однородной звезды, имел бы, согласно выражениям (3.5.3), (11.1.1) и (11.6.6), красное смещение

1 + г = б』(0) =п——.

' /3(1 —(2MG//?))1/2—1

Когда MG/R приближается к максимальному значению 4/9, такое красное смещение становится бесконечным. Хойл и Фаулер [411 предположили, что квазизвездный объект представляет собой скопление звезд, небольших, но плотных с красным смещением, связанным с процессами испускания и поглощения в горячем облаке газа, захваченном вблизи центра скопления. До сих пор не вполне ясно, связано ли красное смещение у квазизвездных объектов с их внутренним строением или с какой-нибудь другой причиной, такой, как космологическое разбегание далеких объектов, обсуждаемое в гл. 14.

Обсуждение устойчивости релятивистских газовых сфер и кластера точечных масс с произвольно большими центральными красными смещениями дано в [39, 40].

Сферически-симметричные поля, зависящие от времени

Обратимся к проблемам динамики звезд. Начнем с того, что запишем метрику и тензор Риччи для сферически-симметричной системы. Сферическая симметрия требует, чтобы собственный временной интервал Gt? зависел только ат инвариантов группы вращений:

力成，г, х・@х — г dr, dx?=己产 + г2 (dQ2 + sin2 0 dq)2), поэтому d^ можно записать в виде

dx2 = С (г,方)d伊一D (г,力)dr2 — 2E (r,方)dr dt —

—F (r, t) г2 (сЮ? + sin2 0 dtp®).

Можно избавиться от функции 歹,если ввести новую радиальную переменную

产三 ”1/2 (г").

Тогда метрика сохранит свой вид, но вместо С, D 皿 Е возникнут новые функции С', Df ^Е'^ зависящие, конечно, не от г, а от г\ и исчезнет 艮 Опустив штрихи, получим

йт2 = С (г, £) d* — D (г, t) dr? — 2Е (г,力)dr dt —

—r2 (d02 + sin2 0 dtp2).

Теперь избавимся от В, введя новое время:

dtr = т] (г, %) [С (г, /) dt — Е (г, %) dr],где т]——интегрирующий множитель, который вводится так, чтобыправая часть стала полным дифференциалом, т. е. так, чтобы

步 In (г，С С (г,切=—"^ [п (г,力)Е (г, /)].

[Это уравнение может быть решено, если рассматривать его как задачу с начальными данными； задавая 刀(г, ^0) для всех г, можем найти От] (г, t^/dt при 力=%, а затем определить 刀(г, % + d力) для всех г.] Собственное время тогда будет иметь вид

彰2 п л-2e-1 国2 -(0 +C-也2) 。戸一戸 @02 + sin2 0 丸2),

или, вводя новые функции Л и 5 вместо D + С-^2 и 刀一?。々 и опуская штрих у % переписываем это так:

d# = В (г,力第—а з %)办2 -戸 @02 + sir? 0 d^).(11.7.1)

Таким образом, мы можем использовать метрику в ее привычной «стандартной» форме с единственной особенностью, а именно: А л В зависят как от г, так и от t.

Отличные ного тензораОтличные ного тензораот пуля элементы метрического тензора и его обрат- равны:

Отличные ного тензора

Отличные ного тензора

g" = 4, gea = 2, 纟呼=2$山2仇 gtt= —В,

gb = /T,g66 =尸-2, ?"屮=产 SП e)-2, g" =_Bl (11.7.2) Отсюда следует, что элементы аффинной связности, отличные от нуля, записываются так:

рг4

Егег sin2 0

I В® — —"Т55 =4 ，

в _ в’

1 "24，

■рГ 「г 41

1=丄斤=^1,1 er 1 er,

峨=~ sin 9 cos 0,

:г(11.7.3)

端=「％ = ;，n0 = C = ctg9,

p；r = +А'

ptВpt —в

1 ii - 2B '1 方一1 rt -- 23 ■

(Штрих и точка теперь означают д/дг и d/dt соответственно.) Из уравнения (6.1.5) вытекает, что независимые компоненты тензора Риччи, отличные от нуля, имеют вид:

Err

B"

皮2

AfBf

Af A

AB

/з

(11.7.4)

2方

4¥

4AB

Ar 1 28

4加

448'

R

ee=—

-1 + -

1 r4

A 242 1

гВ‘

2AB '

(11.7.5)

Bn

Bf

A &

BA

(11.7.6)

2A

十442

Ar

1 ^AB 丨

2A 442

448'

国r =

:一而.

(11.7.7)

Из сферической симметрии также следует, что метрика принимает значения

R^ = sin2QRQQt(11.7.8)

Ere = Ер = Ее“ = R(^ = Е(р± = 0.(11.7.9)

В качестве простого, но важного применения этих формул рассмотрим сферически-симметричное, но не обязательно статическое поле в пустом пространстве, когда уравнения поля имеют вид 7?卩” —0. Согласно (11.7.7), уравнение поля Rtr = 0 утверждает лишь то, что Л не зависит от времени:

Л - 0.

Исследование выражений (11.7.4) — (11.7.6) показывает, что все временные производные в уравнениях поля сокращаются и последние оказываются совпадающими с уравнениями для статического

изотропного гравитационного поля в пустом пространстве [уравнения (8.1.13)]. Тогда можно повторить вывод § 2 гл. 8, а именно: обращение в нуль RTr и Rtt приводит к соотношению

(АВ)1 = О,

а равенство нулю Rqq дает

Так как Л от времени не зависит, общее решение принимает вид

一竿尸，芈)，

где GM — не зависящая от времени константа интегрирования, а / (力)—неизвестная функция t. Функция / (力)может быть приравнена к единице, если ввести новую временную координату

f = j 产2 (t) dt.

Теперь метрика совсем не зависит от времени и согласуется с решением Шварцшильда (8.2.12). Таким образом, мы доказали теорему Биркгоффа [43, 44] о том, что сферически-симме- тричиое гравитационное поле в пустом пространстве должно быть статическим с метрикой, соответствующей решению Шварцшильда. Теорема Биркгоффа — аналог результата, полученного Ньютоном в его теории движения Луны и состоящего в том, что гравитационное поле вне сферически-симметричного тела ведет себя так, как если бы вся масса тела была сконцентрирована в его центре. Несколько удивительно, что этот вывод остается справедливым в общей теории относительности, как и в теории Ньютона, поскольку в общей теории относительности нестатическое тело должно было бы излучать гравитационные волны. Теорема же Биркгоффа утверждает, что хотя пульсирующее симметричное тело и может создавать нестатические гравитационные поля внутри объема, занимаемого его массой, но в окружающее пустое пространство гравитационное излучение выйти не может. В этом смысле теорема Биркгоффа аналогична хорошо известному выводу атомной теории о том, что фотон не может быть излучен в результате квантового перехода между двумя состояниями, имеющими нулевые спины.

Теорему Биркгоффа можно использовать не только при рассмотрении гравитационного поля вне тела, но также при рассмотрении поля внутри пустой сферической полости в центре сферически-симметричного (но не обязательно статического) тела. В этом случае метрика также задается решением Шварцшильда, но так как точка г = 0 теперь находится в пустом пространстве,

в ней не может возникнуть никакой сингулярности, а потому постоянная интегрирования MG должна равняться нулю. Таким образом, теорема Биркгоффа имеет следствие, состоящее в том, что метрика в пустой сферической полости в центре сферически- симметричной системы должна быть эквивалентна метрике плоского пространства Минковского 刀卩七.Это следствие —аналог другого знаменитого вывода теории Ньютона о том, что гравитационное поле сферической оболочки равно нулю внутри нее. Однако звезды обычно не имеют полостей в центре, и это следствие не принесет нам большой пользы в данной главе. Его важность определяется тем обстоятельством, что теорема Биркгоффа ——локальная теорема, не зависящая от условий, налагаемых на метрику при г -> оо (кроме сферической симметрии), так что пространство должно быть плоским в сферической полости в центре сферически- симметричной системы даже в том случае, если система бесконечна, и в действительности даже тогда, когда рассматриваемая система ——это вся Вселенная. В § 1 гл. 15 мы увидим, что это следствие теоремы Биркгоффа оправдывает предельные рассмотрения космологических проблем с помощью ньютоновской механики.

Сопутствующие координаты

В качестве следующего шага на пути подготовки к рассмотрению гравитационного коллапса и космологических проблем в гл. 14 введем очень полезные координаты ——сопутствующую^ систему координат [45]. Она обладает свойством более естественного разделения пространства и времени, чем разделение в стандартных координатах, использованных в предыдущем параграфе.

Рассмотрим конечную область пространства, заполненную- плотным облаком свободно падающих частиц. Предположим, чта каждой частице придаются малые часы и фиксированный набор осей пространственных координат, которые могут быть определены как координаты /' частицы в некоторой произвольной системе, когда ее собственные часы показывают время 力=0. (Правила установки различных часов обсуждаются ниже.) Пространственно-временные координаты х,方 любого события определяются рассмотрением х как пространственного аргумента частицы, задаваемого в том месте и в тот момент, где и когда происходит событие, а время 力 рассматривается как совпадающее с тем, что показывают часы частицы. Можно себе это представить в виде координатной сетки, движущейся вместе с облаком частицг причем время определяется по часам, закрепленным в узлах этой сетки. Такую систему координат целесообразно вводить во всей области, занимаемой облаком частиц для любых интервалов времени, за которые траектории частиц не пересекаются.

В сопутствующих координатах метрика guv имеет некоторые весьма простые свойства. Прежде всего заметим, что часы в этом случае находятся в состоянии свободного падения и показывают, следовательно, собственное время. Поэтому интервал собственного времени между двумя точками х, % и х,方 十 &% на траектории данной частицы равен просто dt, т. е.

©七2 = — g 乩 V d%u dxv =——gttd伊,

и, следовательно,

g* = —1.(11.8.1)

Заметим далее, что траектория частицы х = const, ^ = т удовлетворяет уравнению, описывающему свободное падение, а именно

Подставляя сюда (11.8.1), получаем

млн, поскольку g", вообще говоря, является несингулярной матрицей, имеем

替"(1182)

Оставался открытым вопрос о часах, придаваемых частицам. Предположим, что мы переставляем часы преобразование:

различным ,совершая

f = t + f (х),X，

=X.

(11.8.3)

Тогда новая метрика будет состоять из

элементов

g；£= —1»

(11.8.4)

(11.8.5)

ggg"—g"『g“•乎

旦旦

(11.8.6)

Возникает большое упрощение, если функцию / можно выбрать так, что два члена в соотношении (11.8.5) сокращаются, приводя к условию g[t = 0. Существуют два важных случая, когда это действительно возможно:

А. Предположим, что мы устанавливаем все часы так, что время £ = 0 соответствует моменту, когда все частицы находятся в покое. Этому предположению можно придать абсолютный физический смысл, если считать, что для каждой частицы Р

при 方 = 0 можно найти локально-инерциальную систему координат ^, в которой частица Р отделена от всех соседних частиц, чисто пространственными интервалами, т. е.

=0.

\ дх^ ' t=0, х=хр

=0.Х=Хр=0.Х=ХрСмещение частицы Р за интервал времени dt имеет чисто временной характер:

=0.

Х=Хр

=0.

Х=Хр

В этой локально-инерциальной системе метрика совпадает с метрикой Минковского 刀卩七,а потому пространственно-временные компоненты метрики в сопутствующей системе при / — 0 обращаются в нуль:

gttdp, 0)=gttdp, 0)=

gttdp, 0)=

gttdp, 0)=

Вместе с (11.8.2) это приводит к тому, что gti исчезают везде, так что метрика приобретает вид

йт2 = d* —纟仃(х,方)&炉区也(11.8.7)

Б. Если метрика явно сферически-симметричная, то интервал должен описываться общей формулой, с которой мы начинали предыдущий параграф, т. е.

t/т2 = С (г, Е) dt2 — D (г,力)dr2 — 2E (г, £) dr dt —

—F (r,力)户(d@2 + sin2 0 出p2).

Единственная неисчезающая пространственно-временная компонента 纟疗 здесь —это gtr = 2Е, и (11.8.2) говорит нам тогда, что- Е не зависит от времени, а потому

g〃 = 2Е (г), g/e = g/ф = 0.

Можно далее исключить компоненту g^, изменяя показания часов, с помощью преобразования (11.8.3), где

f = —2 ^ Е (г) dr.

Используя (11.8.4) и опуская штрихи, переписываем метрику в виде

办2 =山2 一 J/亿方)曲2 - У (人力(a* + sin2 0 a02). (11.8.8)

Здесь Z7 и 7 — новые неизвестные функции, введенные вместо D и F.

Конечно, можно построить системы координат такого типа даже в том случае, когда облако свободно падающих частиц

только воображаемое. В дифференциальной геометрии системы координат, удовлетворяющие (id.8.1) и (11.8.2), называют гауссовыми, а когда g镰=0 и интервал принимает форму (11.8.7), координаты называют гауссовыми нормальными. Такие системы отсчета находят наиболее важные применения при рассмотрении свободно падающей жидкости. В этом случае 4-вектор скорости жидкости имеет по определению нулевую пространственную компоненту

и1 = О, (11.8.9)

а поскольку U» нормирован так, что

(11.8.10)(11.8.10)g/力=-1

(11.8.10)

(11.8.10)

[выражение (5.4.4)], временная компонента в 〃以 должна равняться

^ = (—а,』=1.(11.8.11)

Мы будем применять только сферически-симметричные сопутствующие системы координат, когда интервал задается формулой (11.8.8). Ненулевые элементы метрического тензора в этом случае выглядят так:

Stt = U,g"ee = V,^(р(р = V sin2 0,gtt = —1,

g"=U—i, ^e=y-i? gw=(7sin2 0)"1, g"=—l・ ("J，')

Легко также вычислить ненулевые элементы аффинной связности:

丄 7T— 2U ,丄 66 —

2。'

畤（pH 一务sin2仇

丄喷一丄出一声，

•p0 T10 У，

丄 гб丄 Sr2y ，

1 et — 1j

Г®(р ——sin0cos0,

丄 т*Ф丄 фг，

明F寸，

!X = ctgO,

и

I 002，

小=^»口2 8.

(11.8.13)

(Штрихи и точки означают д/дг и d/dt соответственно.) С помощью (6.1.5) можно получить независимые ненулевые компоненты тензора Риччи:

(11.8.14)(11.8.14)Р" 『2и，『 汇I炉2 uv

(11.8.14)

(11.8.14)

=干一市一2"丁十辰7 一 -市，

Ree — ~■ 1 +Ree — ~■ 1 +卩〃 VU V VU卩〃 VU V VU2U 纥22U 纥2224U '4U '(11.8.15)(11.8.15)

Ree — ~■ 1 +

Ree — ~■ 1 +

卩〃 VU V VU

卩〃 VU V VU

2U 纥2

2U 纥2

2

2

4U '

4U '

(11.8.15)

(11.8.15)

_『vfV UVfEr =273WV_『vfV UVfEr =273WV(11.8.16)(11.8.17)(11.8.16)(11.8.17)

_『vfV UVf

Er =273WV

_『vfV UVf

Er =273WV

(11.8.16)

(11.8.17)

(11.8.16)

(11.8.17)

Из сферической симметрии метрики снова следует, что

e0屮=e6”m2仇(11.8.18)

Ere = Ер = -Seep = Eet =冗叫=。・(11.8.19)

Гравитационный коллапс

В § 3 и 4 этой главы мы видели, что в процессе охлаждения звезда с массой, большей, чем несколько масс Солнца, не может достигнуть равновесия и стать белым карликом либо нейтронной звездой. Возможно, что массивная звезда всегда выбрасывает достаточное количество вещества к тому времени, когда она заканчивает свою термоядерную эволюцию, так что ее масса становится ниже пределов Чандрасекхара или Оппенгеймера — Волкова. Если же это не так, то она должна будет коллапсировать.

Систематическое рассмотрение гравитационного коллапса было бы слишком сложным в рамках этой книги. Для того чтобы иолу- иитв некоторое понятие о том, как может происходить коллапс, рассмотрим один простейший случай [46]——сферически-симме- тричный коллапс «пылевидной» материи с пренебрежимо малым давлением 丄).Так как пылевидные частицы удерживаются чисто гравитационными силами, то они падают свободно, и мы можем использовать их как физический базис для сопутствующей системы координат типа той, что обсуждалась в предыдущем параграфе. Тогда метрика определяется выражением (11.8.8)

右2 =山2 一 и (人力办2 _ У (〃 力)(d@2 + sin2 0 &屮2)(Ц.9.1)

Тензор энергии-импульса жидкости с пренебрежимо малым давлением определяется выражением (5.4.2)

T^V^^U\(11.9.2)

где р (г,力 ——плотность собственной энергии, a U^ ——4-вектор скорости, определяемой в сопутствующей системе координат выражениями (11.8.9) и (11.8.11):

Ur=.UQ = Uv = Q, 〃' = (.(11.9.3)

Подробное обсуждение решения Оппенгеймера——Волкова и других сферически-симметричных решений см. в статьях [47—54]; асимметричный коллапс разобран в работах [55—57].

При этом условие сохранения импульса (Г^); ц = 0 удовлетворяет-ся автоматически, а условие сохранения энергии выглядит так:(叫)з= 一*一Р以=一警一P (^+手)=。

или, в другой записи

备(Р^М守)=0.(11.9.4)

Уравнения поля Эйнштейна можно тогда записать в виде

^ixv= —SjiGSrp,(11,9.5)

где

Sz = 丁尸 ^ ^ixv^X = P [g gixv + U幽v] •(11.9.6)

Последнюю величину можно вычислить с помощью выражений (11.9.1) и (11.9.3); в результате найдем, что единственными неисчезающими компонентами S^ являются

S" = p多，Sqq = р -^-, 5фф^50бsin20, ^н=-у« (11.9.7)

В частности, имеем

Sfr =

=0.

(11.9.8)

Подстановка (11.9.7),

(11.9.8) и

(11.8.14) — (11.8.17) в (11.9.5)

приводит к-1 четырем уравнениям

ПОЛЯ：

и \_V 2R

uv

2UV

一4nGp$ (11.9.9)

P"

UP]

VU

4лСр (11.9.10)

2V

4Uv]

2V

4PU

V

и

支2 _

-4лСр,

(11.9.11)

2U *

V

4。

2卩

V'

VfV

UVf

二 0.

(11.9.12)

V

2y2

wv -

Произведем дальнейшее упрощение в модели, сделав предположение, что р не зависит от положения [46]. Будем искать решение с разделяющимися переменными в виде

и = Е2 ⑶/⑺， v ^s^^g^

Тогда (11.9.12) требует, чтобы S/S равнялось RIR, а потому мы можем нормировать / и g так, чтобы

S⑦=R (力.

24—0788

Далее, мы имеем право переопределить радиальную координату, так как она является некоторой функцией г от г, в частности можем выбрать г = Уg (г), так что / и g заменятся на / = /g”/4g и g = г2. Опуская тильды, получаем

U = К?⑺ / ⑺， V = S2 ⑺产.(11.9.13)

Уравнения (11.9.9) и (11.9.10) тогда принимают вид

一謠一* Q) R ⑴一2応(/)= - ^GR^ Q) P (力)，(11.9.14)

[-』+ 爲-爲]-讶 G) R Q) — 2応(%) = — 4nG足 © p ⑴.

(11.9.15)

Первые слагаемые в (11.9.14) и (11.9.15) должны, очевидно, равняться одной и той же постоянной, которую обозначим как ——2А:

/'(「)_1 ,1 Г (И

Г/2 (Г)— 一 产十「2/ (г)2疗2 (Г)

Единственное решение этого уравнения имеет вид

/(「)= [1 -kr^.

а потому метрика выглядит так:

dx2 = dt2-R2 (t) [^^ + г2 dS2 + г2 sin2 6 dq)2J. (11.9.16)

(Между прочим, эта метрика является пространственно-однородной, а также изотропной, она будет служить нам кинематической основой при изложении релятивистской космологии в гл. 14.)

Остается вычислить функции р (/) и 7?(力).Подставляя (11.9.13) и (11.9.14) в условие сохранения энергии (11.9.4), находим, что р (力)债(%)постоянно. Нормируем радиальную координату г следующим образом:

Е (0) = 1, (11.9.17)

тогда имеем

р ⑺=р (0) Е-з ⑺.р ⑺=р (0) Е-з ⑺.(11.9.18)(11.9.18)

р ⑺=р (0) Е-з ⑺.

р ⑺=р (0) Е-з ⑺.

(11.9.18)

(11.9.18)

Уравнения поля (11.9.14) или (11.9.15) и (И .9.11) теперь оказываются о бы кно венными дифференциальными уравнениями:

-2k-R ⑴ Е (力)一2力2 优)=—4冗Gp (0) R^ (/), (11.9.19)

互(/)R(/)=—萼 р(0"(力).互(/)R(/)=—萼 р(0"(力).(11.9.20)(11.9.20)

互(/)R(/)=—萼 р(0"(力).

互(/)R(/)=—萼 р(0"(力).

(11.9.20)

(11.9.20)

Можно исключить Е (/), складывая эти два уравнения; в результате получим

В^^= -k + ^-p(O) R-l(t).(11.9.21)

Уравнения (11.9.19) и (11.9.20) можно вывести также с помощью (11.9.21) и его временной производной, а потому мы можем забыть о них и для вычисления Е (Е) прямо использовать (11.9.21), Предположим теперь, что жидкость покоится (в стандартных координатах) при ^ = 0, так что

妄⑼=0(11.9.22)

и, следовательно, (11.9.21) и (11.9.17) приводят к соотношению

" = ^р(0).(11.9.23)

Тогда уравнение (11.9.21) можно записать в виде

力2 (力)=к [Ет (0 一 1].(11.9.24)

Решением будет параметрическое уравнение циклоиды

力=(^^),7? = 4-(1+cos^).(11.9.25)

Отметим, что R (方)=0, когда 屮=л, а следовательно, когда t =

?=肃7(限"•妙9.26)

Таким образом, жидкая сфера с начальной, плотностью р (0) и нулевым давлением переходит из состояния покоя в состояние коллапса с бесконечной плотностью собственной энергии за конечное время Т.

Хотя коллапс завершается за конечное координатное время t = Т, любой световой сигнал, идущий к нам с поверхности сферы, будет проходить ее гравитационное поле с задержкой (§ 7 гл. 8), так что мы на Земле не будем наблюдать внезапного исчезновения звезды. Чтобы прояснить картину, завершим наши вычисления метрики вне звезды.

Теорема Биркгоффа, доказанная в § 7 этой главы, показывает, что всегда можно найти «стандартную» систему координат г, 6, ср, t, в которой метрика вне сферы принимает вид

加=(1 —芈)应2— (1 —苧尸犷-强捋一子SiMB而2.

(11.9.27)

24*

Но эта метрика не имеет гауссовой нормальной формы (11.9.1), а потому, чтобы спшть решения на поверхности, мы должны либо преобразовать внутреннее решение (11.9.16) к стандартным координатам, либо внешнее решение (11.9.27) привести к гауссовым нормальным координатам. Выберем первый способ [46].

Рассмотрение метрики (11.9.16) сразу показывает, что стандартные пространственные координаты г, 0, ср должны быть выбраны в виде

r=rR (^), 0 = 0, q)= ср. (11.9.28)

Для того чтобы найти стандартную временную координату, такую, при которой йт2 не содержит перекрестного члена dr d& воспользуемся способом «интегрирующего множителя», приведенным в § 7 этой главы. В результате получаем

』中广J $Г(昌广，(U9.29)

S (г, О где

$(小)=1 - (4е£"『2 а -五(办 (и.9.30)

Постоянная а произвольна, и ее удобно приравнять радиусу рассматриваемой сферы в сопутствующих координатах. То, что метрика в системе координат г, 0, ф, t принимает стандартный вид, проверяется непосредственно:

йт2 = В (F, t)d?-A (г,力衣-г2 (曲2 + sin? 9而2), где

厶=(‘一等)一I(11.9.32)

Теперь ясно, что S является функцией t, определяемого выражением (11.9.29), и что г и Е «)——функции г и 5 или г и ^ определяемых решениями уравнений (11.9.28) и (11.9.30). Это выглядит несколько запутанным, однако при г, равном а, радиусу звезды (а постоянна, поскольку г — сопутствующая координата), имеем

г = @ ⑴三 aR ⑴，(11.9.33)

彳=(『)"7f^网(昌广(儿9.34)

R⑴

3@, £) = (1— 焉)，(Н.9.35)

厶 @А = ( 1-焉尸•(Н-9.36)

[Выражение (11.9.34) можно было бы получить путем интегрирования уравнений свободного падения, данных в § 4 гл. 8.] Сравнивая это с (11.9.27), видим, что внутреннее и внешнее решения сшиваются гладко при г = а R©、если

6 =警.(11.9.37)

Вместе с (11.9.23) это говорит о том, что

М = ^р(0)а3,(11.9.38)

что для нас уже не удивительно.

Вернемся теперь к задаче о том, как ведут себя световые сигналы, испускаемые с поверхности коллапсирующей сферы. Световой сигнал, испускаемый в радиальном направлении в момент стандартного времени 力 будет иметь производную dr/dt^ соответствующую выражению (11.9.27) и условию dr = 0, а потому он будет прибывать в отдаленную точку г в момент времени

?=?+ j (1-竿尸 dr.(11.9.39)

aR(t)

Наиболее неожиданное следствие выражений (11.9.39) и (11.9.34)—— это стремление как %, так и f к бесконечности, когда радиус рассматриваемой сферы (И .9.33) приближается к радиусу Шварцшильда 2GM, т. е. когда

R(力)6響="必・(11.9.40)

Таким образом、оказывается., что коллапс до шварцшильдовского радиуса, с точки зрения внешнего наблюдателя^ длится бесконечно долго, а коллапс до R = 0 извне ненаблюдаем.

Хотя коллапсирующая сфера визуально внезапно не исчезает, свет от нее постепенно слабеет из-за все более возрастающего красного смещения. Собственное время источника света на поверхности сферы — это как раз сопутствующее время 力 а потому сопутствующий интервал времени между моментами испускания импульсов на поверхности равняется естественной длине волны Хо, которая излучалась бы источником в отсутствие гравитации. Стандартный временной интервал &У между моментами прибытия

импульсов в точку г' равен наблюдаемой длине волны 九'；следовательно, относительное изменение длины волны вычисляется следующим образом:

F~_%1■一1 一石 i〃G)(1- @E ⑴丿F~_%1■一1 一石 i〃G)(1- @E ⑴丿=一力g)(1=一力g)(1Ы2 \ -1 Г / 1-切2 、1/2 砌)1( --JЫ2 \ -1 Г / 1-切2 、1/2 砌)1( --J(R ⑺「/2 u-/?w/(R ⑺「/2 u-/?w/+ @] —(+ @] —(

F~_%1■一1 一石 i〃G)(1- @E ⑴丿

F~_%1■一1 一石 i〃G)(1- @E ⑴丿

=一力g)(1

=一力g)(1

Ы2 \ -1 Г / 1-切2 、1/2 砌)1( --J

Ы2 \ -1 Г / 1-切2 、1/2 砌)1( --J

(R ⑺「/2 u-/?w/

(R ⑺「/2 u-/?w/

+ @] —(

+ @] —(

Используя (11.9.24) для определения R (力，получаем

z=(l一黑尸[(1 - m产+ 人力(*广1 - 1.(11941)

Для того чтобы увидеть, как изменяется красное смещение z со временем £', предположим, что радиус сферы вначале намного превышает радиус Шварцшильда:

液 2 = *《(，(11.9.42)

и будем различать два периода в развитии коллапса:

А. Пока t подходит близко к Т, имеем

黑《1.М.9.43)

Подставляя (11.9.42) и (11.9.43) в (11.9.34), (11.9.39) и (11.9.41), получаем (для 产》а)

彳^厶

彳 ^t + rf — ай (Z)+ r‘ — aR (t) t + r‘,(11.9.44)

E. В итоге имеем ka2 /

в момент времени %, найденный с помощью (11.9.25) в виде

(11.9.45)

Тогда (11.9.34), (11.9.39) и (11.9.41) принимают вид

焉］十 const，焉］十 const，彳比—/с@з }п [1 一^^] + const,tf 比2一а@3 ]口 口 — ^^] + const ^ 一 2&戒 1口 [4

焉］十 const，

焉］十 const，

z^(l-磊尸 zexp (恭)•

(11.9.46)

Рассматривая этапы А и Б вместе, приходим к выводу, что красное смещение с точки зрения наблюдателя, находящегося в точке г', отсутствует, когда коллапс только начинается, затем постепенно растет, но остается по величине порядка aY^^^ до тех пор, пока время не становится почти равным Т — л/2 У к, а после этого растет экспоненциально с показателем l/2ta3. Например, красное смещение для коллапсирующей сферы с массой М = 108 TWq и радиусом а — 100 световых лет будет порядка 10-3 в течение периода порядка 105 лет, после чего красное смещение внезапно начнет расти экспоненциально, увеличиваясь в е раз за время порядка 1 мин. С практической точки зрения, коллапсирующая сфера внезапно становится полностью отрезанной от остальной Вселенной.

Действительно ли это так? Даже если коллапсирующее тело становится визуально не наблюдаемым, оно все же имеет гравитационное поле, и, как показано в § 6 гл. 7, измерение этого поля на больших расстояниях может быть использовано для определения энергии-импульса и углового момента тела. Если тело имеет ненулевой суммарный заряд, то измерение электрического поля на больших расстояниях также будет, по теореме Гаусса, говорить о заряде этого тела. Интересен вопрос: могут ли измерения гравитационного и (или) электромагнитного полей вне коллапсирующего тела давать какую-нибудь информацию об этом теле, кроме значений энергии, импульса, углового момента и заряда. В случае сферически-симметричного электрически нейтрального тела, который мы рассмотрели в этой главе, ответ дает теорема Биркгоффа, а именно: гравитационное поле вне сферически-симметричного тела должно быть шварцшильдовского типа, так что все, что мы сможем узнать когда-либо об этом теле,—— это величина его массы. (Сферическая симметрия, естественно, предполагает нулевой :импулЕс и нулевой угловой момент.) Картер [58] показал х), что, когда гравитационное поле аксиально симметричного коллапсирующего тела приходит в стационарное состояние, его внешняя метрика принадлежит к двухпараметрическому семейству решений, таких, как метрики Керра (§ 7 гл. 11), которые полностью определяются полной массой и угловым моментом. Большинство придерживается мнения, что гравитационное поле любого электрически нейтрального коллапсирующего тела будет в итоге приближаться к полю, описываемому метрикой Керра.

Как отмечалось во введении к этой главе, интерес к явлению гравитационного коллапса возродился в последнее десятилетие в связи с открытием квазизвездных источников, которые, по- видимому, обладают какими-то новыми источниками энергии.

Другие строгие теоремы о возможных формах внешних метрик при различных условиях приведены в книге [59] и статьях [60——63].

Максимальная энергия, выделяющаяся при синтезе из водорода какого-нибудь наиболее стабильного ядра, например ядра железа, равна всего лишь 8 МэВ на нуклон, что составляет менее 1 % от его массы покоя. Аннигиляция материи-антиматерии давала бы эффективность 100%, исключая энергетические потери на излучение нейтрино. Однако этот процесс может быть важен только в том случае, когда существует какой-то мощный естественный источник антинуклонов. Таким образом, единственным вероятным механизмом превращения массы в энергию со столь большой эффективностью остается гравитационный коллапс [64].

Облако пыли, коллапсирующее по модели Оппенгеймера —— Снайдера, не будет выделять никакой энергии во внешний мир. Чтобы извлечь растущую кинетическую энергию падающих частиц, надо как-то замедлить их падение к центру: либо за счет какого- нибудь макроскопического «толчка» всей системы в целом, либо за счет столкновения частиц между собой, в результате чего коллапсирующий газ будет нагреваться. Подробные вычисления [65, 66] обнаруживают обескураживающе низкую эффективность превращения массы в действительную энергию при гравитационном коллапсе изолированного тела. Однако частицы, падающие в область с метрикой Керра, могут выйти из нее с более высокой энергией, возникающей за счет энергии вращения коллапсирующего тела [67].

Независимо от того, имеют или не имеют отношение квази- звездные источники к гравитационному коллапсу, остается такой вопрос: что случается с погасшей звездой, чья масса выше пределов Чандрасекара и Оппенгеймера ——Волкова? В последние годы Пенроуз и Хоукинг использовали топологические методы, чтобы доказать ряд мощных теорем [68 —70] (см. также [67]) о том, что при разумных требованиях (справедливости общей теории относительности, положительности энергии, заполненности Вселенной веществом, соблюдении принципа причинности) коллапс действительно становится неизбежным как только возникают ловушечные поверхности. Ловушка ——это замкнутая пространственно-подобная двумерная поверхность, для которой как выходящее, так и входящее семейства направленны^ в будущее нулевых геодезических, ортогональных к этой поверхности, обязательно сходятся. (Для метрики Шварцшильда сферы с постоянными г и 力 являются ловушечными поверхностями при значениях г, меныпих радиуса Шварцшильда 2MG.) Однако не известно, может ли реальная массивная звезда развить в действительности ловушечную поверхность или звезда просто разорвется на части с достаточно малыми массами и превратится в стабильные нейтронные звезды или белые карлики.

Если гравитационный коллапс ——действительно неизбежный конец эволюции массивных тел, то мы должны ожидать, что Все-

ленная полна черных дыр —— коллапсирующих тел, чье существование выдают только их гравитационные поля или энергия, освобождающаяся при втягивании материи》. Надежда наблюдения гравитационного коллапса в основном связывается с двойной звездой, один из партнеров которой обычная видимая звезда, а другой партнер —черная дыра (см., например, [73,74]).

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Релятивистская астрофизика в ОТО

Quasars and High Energy Astronomy, ed. K. N. Douglas, I. Robinson. A. Schild, E. L. Schucking, J. A. Wheeler and N. J. Woolf, Second «Texas» Symposium on Relativistic Astrophysics, Gordon and Breach, 1969.

High Energy Astrophysics, ed. L. Gratton, Proceedings of the International School of Physics «Enrico Fermi», Course XXXV, Academic Press, 1966. Quasi-Stellar Sources and Gravitational Collapse, ed. I. Robinson, A. Schild and E. L. Schucking, First «Texas» Symposium on Relativistic Astrophysics, University of Chicago Press, 1965.

Зельдович Я.石.，Новиков И. Д., УФН, 84, 377 (1964); 8G, 447 (1965).

Зельдович Я. 3., Новиков Й. Д., Теория тяготения и эволюция звезд, «Наука», 1971.

Я сожалею, что последней книги, охватывающей чрезвычайно много вопросов, еще не было во время написания этой главы.

Нерелятивистская теория звездных структур

Chandrasekhar S., An Introduction to the Study of Stellar Structure, Dover Publications, 1939 (см. перевод: Чандрасекар Iff., Введение в учение о строении звезд, ИЛ, 1950).

Salpeter Е. £., Stellar Structure Leading up to White Dwarfs and Neutron Stars, в книге Relativity Theory and Astrophysics. 3. Stellar Structure, ed. J. Ehlers, American Mathematical Society, 1967, p. 1.

Schwarzschild M., Structure and Evolution of the Stars, Princeton University Press, 1958 (см. перевод: Шварцшильд M., Строение и эволюция звезд, ИЛ, 1961).

Пульсары и нейтронные звезды

Cameron Л. G. W,, Neutron Stars, в книге Annual Review of Astronomy and Astrophysics, Vol. 8, ed. L. Goldberg, Annual Reviews, Inc., 1970, p. 179.

Cameron A. &. W., How Are Neutron Stars Formed? Comments Astrophys. and Space Phys., 1, 172 (1969).

Frautschi S., Bahcall J. M, Steigman G., Wheeler J. C., Ultradense Matter Comments Astrophys. and Space Phys., 3, 121 (1971).

Ginzburg V. £., Superfluidity and Superconductivity in Astrophysics, Comments Astrophys. and Space Phys., 1, 81 (1969).

Gold T., The Nature of Pulsars, в книге Contemporary Physics — Trieste Symposium 1968, ed. A. Salam, Vol. 1, International Atomic Energy Agency. 1969, p. 477.

Hewish Л., Pulsars, в книге Annual Review of Astronomy and Astrophysics, Vol. 8, ed. L. Goldberg, Annual Reviews, Inc., 1970, p. 265.”

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, Физматгиз, 1964, гл. 11.

Гравитационное излучение от осциллирующих черных дыр рассмотрено в статье [71]. Гравитационное излучение от вещества, падающего в черные дыры, рассмотрено в [72].

Ostriker J. Р., The Nature of Pulsars, Scientific American, January 1971, p. 48.

Ruderman M. Л., Solid Stars, Scientific American, March 1971, p. 24.

Symposium on the Crab Pulsar, Pub. Astron. Soc. Pac., 82, № 486 (1970).

Wheeler J. A., SuperdenseStars, в книге Annual Review of Astronomy and Astrophysics, Vol. 4, ed. L. Goldberg, Annual Reviews, Inc., 1966, p. 393.

Сверхтяжелые объекты

Wagoner R. K, Physics of Massive Objects, в книге Annual Review of Astronomy and Astrophysics, Vol. 7, ed. L. Goldberg, Annual Reviews, Inc., 1969, p. 553.

Гравитационный коллапс

Harrison В. К., Thome К. S., Wakano M., Wheeler J. Л., Gravitational Theory and Gravitational Collapse, University of Chicago Press, 1965 (см. перевод: Уилер Дж., Гаррисон 3., Вакано М., Торн К., Теория гравитации и гравитационный коллапс, «Мир», 1967).

Hawking S. W., SciamaD. W.^ Singularities in Collapsing Stars and Expanding Universes, Comments Astrophys. and Space Pnys., 1, 1 (1969).

Geroch 7?., Singularities, в книге Relativity — Proceedings of the Relativity Conference in the Midwest, ed. M. Carmeli, S. I. Fickler and L. Witten, Plenum Press, 1970, p. 259.

May M. M., White R.方.，Hydrodynamic Calculations of General Relativistic Collapse, в книге Relativity Theory and Astrophysics. 3. Stellar Structure (см. выше), p. 96.

Misner C. W., Gravitational Collapse, в книге Astrophysics and General Relativity (1968 Brandies University Summer Institute in Theoretical Physics), Vol. 1, ed. M. Chretien, S. Deser and J. Goldstein, N. Y. 1969.

Penrose R^ On Gravitational Collapse, в книге Contemporary Physics—Trieste Symposium 1968, ed. A. Salam, Vol, 1, International Atomic EnergyAgency, 1969, p. 545.

Penrose 7?., Structure of Space-Time, в книге Batelle Rencontres, ed. С. M. DeWitt and J. A. Wheeler, W.A. Benjamin, 1968, p. 121 (см. перевод: Пенроуз P., Структура пространства-времени, «Мир», 1972).

Thorne К. S., Nonspherical Gravitational Collapse: Does it Produce Black Holes?, Comments Astrophys. and Space Phys., 2, 191 (1970).

Ruffini /?., Wheeler J. A., Introducing the Black Hole, Phys. Today, 30 (January 1971), p. 30.

Wheeler J. Л., Geometrodynamics and the Issue of the Final State, в книге Relativity, Groups, and Topology, ed. C. DeWitt and B. DeWitt, Gordon and Breach Science Publ., 1964, p. 317.

По поводу квазаров см. литературу к гл. 14.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Harrison В. К., Thorne К. S., Wakano Tlf., Wheeler J. Л., Gravitation Theory and Gravitational Collapse, University of Chicago Press, 4965, Appendix В (см. перевод： Уилер Дж., Гаррисон 5., Вакано /Л, Торн К., Теория гравитации и гравитационный коллапс, 《Мир», 1967).

Bardeen /. М., Ph.D. Thesis, California Institute of Technology, 1965, не опубликовано.

Hartle J. 3., Thorne K. 5., Ap. J., 158, 179 (1969).

Morse P, M., Feshbach H., Methods of Mathematical Physics, McGraw-Hill, 1953, p. 278 (см. перевод: Морс Ф. M., Фешбах『.，Методы теоретической физики, т. 1, ИЛ, 1958).

Chandrasekhar S., Stellar Structure, Dover Publ., 1939, Ch. IV (см. перевод: Чандрасекар Ш., Введение в учение о строении звезд, ИЛ, 1950, гл. 4).

Ritter Л., Wiedemann Ann., 11, 332 (1880).

Betti Е.、Nuovo Cimento, 7, 26 (1880).

Ledoux P., в книге Stars and Stellar Structure VIII: Stellar Structure, ed. L. H. Aller and D. B. McLaughlin, Chicago, 1965, Ch. 10.

Chandrasekhar S., Ap. J., 140, 417 (1964).

Chandrasekhar S., Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 95, 207 (1935).

Ландау Л. Д., Phys. Zs. Sowjetunion, 1, 285 (1932).

Oppenheimer J. A., Voikoff G. “.，Phys. Rev., 55, 374 (1939).

Baade W.t Zwicky F., Proc. Nat. Acad. Sci. U-S., 20, 254 (1934).

Oppenheimer J. R., Serber R., Phys. Rev., 54, 540 (1938).

Tolman R. C., Phys. Rev., 55, 364 (1939).

Misner C. W., Zapolsky Я. 5., Phys. Rev. Lett., 12, 635 (1964).

Leung У. C., Wang C. G., Astrophys. J., 170, 499 (1972).

Wang C, G., Rose W, K., Schlenker S. £., Ap. J., 160, L17 (1970).

Lee Я., Leung Y. C., Wang C. G., Ap. J., 166, 387 (1971).

Tsuruta S., Cameron A. G. W., Canadian J. Phys., 44, 1895 (1966).

Cameron A. G. W., Ann. Rev. Astron, and Astrophys., 8, 179 (1970).

Ruderman M., Nature, 223, 597 (1969).

Midgal A. B., Nucl. Phys., 13, 655 (1959).

Canute V., Chiu H. У., Phys. Rev., 173, 1210, 1220, 1229 (1968).

Hartle J. В., Ap. J., 150, 1005 (1967).

Hartle J. 3., Thome K. S., Ap. J., 153, 807 (1968); 158, 719 (1969).

Hewish A., Bell S. J., Pilkington J. D. H., Scott P.尸.，Collins А. Л., Nature, 217, 709 (1968).

Gold ?., Nature, 218, 731 (1968).

Hewish 4., Ann. Rev. Astron, and Astrophys., 8, 265 (1970).

Hoyle 足，Fowler W. 4., Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 125, 169 (1963); Nature, 197, 533 (1963).

Hoyle F., Fowler W. Л., Burbidge G. R., Burbidge E. M., Ap, J., 139, 909 (1964).

Fowler W. Л., в книге Quasi-Stellar Sources and Gravitational Collapse, University of Chicago Press, 1965, p. 56, Eq. (24).

Schwarzschild &., Sitzungsberichte Preuss. Akad. Wiss., 424 (1916).

Bondi H.t Proc. Roy. Soc., A281, 39 (1964); Lectures on General Relativity, Prentice-Hall, ed. S. Deser and K. W. Ford, 1964, p. 375.

Ruderman M. A.t Phys. Rev., 172, 1286 (1968).

Bludman S. 4., Ruderman M. A. Phys. Rev., 170, 117 6 (1968).

Bludman S. Л., Ruderman M. Л., Phys. Rev., Di, 3243 (1970).

Бисноватый-Коган Ж. С.、Зельдович Я. В, Астрофизика, 5, 223 (1969).

Bisnovatyi-Kogan G. S., Thorne К. S., Ар. J., 160, 875 (1970).

Fackerell Е. D.、Ipser J. R., Thome К, S., Comments Astrophys. and Space Phys., 1, 1-40 (1969).

Hoyle F., Fowler W. A., Nature, 213, 373 (1967).

Zapolsky H. S., Ap, J., 153, L163 (1968).

Birkhoff G., Relativity and Modern Physics, Harvard University Press, 1923, p. 253.

Deser S., Laurent В. E., Am. J. Phys., 36, 789 (1968).

Tolman R. C., Proc. Nat. Acad. USA, 20, 3 (1934).

Oppenheimer J. R., Snyder 友.,Phys. Rev., 56, 455 (1939).

Klein О., в книге Werner Heisenberg und die Physik unserer Zeit, Vieweg, 1961.

Hoyle F., Fowler W. Л., Burbidge G. E., Burbidge E. M., Ap. J., 139, 909 (1964).

Hoyle F., Fowler W. Л., в книге Quasi-Stellar Sources and Gravitational Collapse, ed. I. Robinson et al., Chicago, 1965.

Misner C. W., Sharp D. H., Phys. Rev., 136, B571 (1964).

McVittie G. С., Ар. J., 140 , 401 (1964).

McVittie G. С., Ann. Inst. Henri Poincare, 6, № 1 (1967).

May M. M., White R. Я., Phys. Rev., 141, 1232 (1966).

Colgate S. 4., White R* 百.，Ap. J., 143, 626 (1966).

Cohen /. M., Phys. Rev., 173, 1258 (1966).

5 6. Fujimoto M・，Ap. J., 152, 523 (1968).

de la Cruz V., Chase /. £., Israel W^ Phys. Rev. Lett., 24, 423 (1970).

Carter 3., Phys. Rev. Lett., 26, 331 (1971).

Lichnerowicz A., Theories relativistes de la gravitation, Masson, 1955*

Deser S., Compt. Rend., 264, 805 (1967).

Israel W^ Phys. Rev., 164, 1776 (1967).

Дорошкевич A. Ж., Зельдович Я.方.,Новиков 4. Д.ч ЖЭТФ, 49, 170 (1965).

Wald R. М., Phys. Rev. Lett., 26, 1653 (1971).

Hoyle 尸.，Fowler W., Nature, 197, 533 (1963).

Dyson F. J., Comments Astrophys. and Space Phys., 1, 75 (1969).

Leibovitz C., Israel W^ Phys. Rev., 1, 3226 (1970).

Penrose E., Riv. Nuovo Cimento, 1, Numero Speciale, 252 (1969).

Penrose 凡，Phys. Rev. Lett., 14, 57 (1965).

Hawking S. Ж., Proc. Roy. Soc., A294, 511 (1966); A295, 490 (1966); A300, 187 (1967); A308, 433 (1967).

Hawking S. W., Penrose E., Proc. Roy. Soc., A314, 529 (1970).

Press 忆 H., Ap. J., 170, LI05 (1971).

Davis M., Ruffini 力・，Press W. H., Price A. H., Phys. Rev. Lett., 27& 1466 (1971).

Cameron A. G. W-4 Nature, 229, 178 (1971).

Wilson R, E., Ap. J., 170, 529 (1971).

Часть IV

РАЗВИТИЕ ①ОРМАЛИЗМА

Вы могли бы с полным основанием согласиться, что принцип минимальности справедлив, но в действительности он не лучше, чем другой принцип. Однако же перейдите из лекционного зала в ванную и посмотрите на большой палец вашей ноги в воде. Ваши ноги не покажутся вам стройными, поскольку скорость света в воде отличается от скорости света в воздухе. Принцип Ферма подскажет вам, как при таких условиях описать картину, и Вам не обязательно при этом помнить о законе Снеллиуса об углах. Кто будет колебаться, какое из научных объяснений лучше?

Пауль Е. Самуэльсон,

Принципы максимума в аналитической экономике^ Нобелевская лекция^

11 декабря 1970 г.

Глава 12

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

Имеется множество физических систем, динамические уравнения которых могут быть получены с помощью «принципа наименьшего действия», т. е. на основании утверждения, что некий функционал от динамических переменных, «действие», стационарен относительно малых вариаций этих переменных. Такой вывод динамических уравнений имеет одно большое преимущество: он позволяет установить непосредственную связь между принципами симметрий и законами сохранения.

Симметрия действия, с которой в основном мы имеем дело в этой книге,——это общая ковариантность. В этой главе мы дадим общее определение тензора энергии-импульса любой материальной системы как функциональной производной от действия системы. Применение принципа действия и общей ковариантности позволит нам затем показать, что этот тензор в самом деле сохраняется.

Чтобы получить действительно общую формулировку теории относительности с помощью принципа действия, необходимо исследовать вопрос, который мы тщательно обходили до сих пор:

каким образом включить эффекты гравитации в теорию поля частиц с полуцелым спином? Чтобы ответить на этот вопрос, надо развить некий подход к общей теории относительности, связанный с «тетрадным формализмом». В нем непосредственно используются семейства локально-инерциальных систем, которые служили отправным пунктом в гл. 3. Хотя доказательства выглядят сложнее, но тензор энергии-импульса в нем получается симметричным и сохраняющимся.

§ 1, Принцип наименьшего действия для вещества. Пример

Начнем с того, что рассмотрим в качестве примера физическую систему, уравнения движения которой могут быть получены с помощью принципа наименьшего действия. Такой системой является плазма, состоящая из несоударяющихся м частиц с массами mn и зарядами е鹿,а также электромагнитного поля F^v (ж), которое они создают. Уравнения движения в произвольном внешнем гравитационном поле guv имеют вид

醤+眼(陶我笈=(訂)叫3")窑，(12.1.1)

tkn 三(一gz d%d 必丿产，(12.1.2)

[/F(^(^)] = - 3 e" ( 64(2 一 得)察d小，(12.1.3)

0/P— Ja^n

n

ь%⑶+^/％(2)=0.(12.1.4)

[См. уравнения (5.2.9), (5.1.11), (5.2.6), (5.2.13) и (5.2.7).] Для того чтобы удовлетворить (12.1.4), введем вектор-потенциал 4 и (%)•

歹吃(？)=* —(12.1.5) 加Рдх

Независимыми динамическими переменными можно тогда считать Хи (%) и х^ (р), где р ——некоторая величина, которая одновременно параметризует все пространственно-временные траектории различных частиц.

Рассмотрим следующую функцию в качестве действия системы:

IM=-^mn J dp[_g“vCMp))色*必&*(Р)У" — П-ОО

+ 2en j dp dx^-A^xn (p)).(12.1.6)

[Символ М должен напоминать нам, что рассматривается действие только вещества и излучения, a guv (%) учитывается как внешнее гравитационное поле.] Тогда ясно, что F^ (z) определяется выражением (12.1.5) и индексы у F^ поднимаются с помощью контравариантного метрического тензора, как обычно.

Принцип наименьшего действия утверждает, что действие Iм не изменяется при бесконечно малых изменениях динамических переменных:

碎(р) f 碎(р) + 6хи (р), где 5碎(р) -> 0 при I р I -> оо,4 (%) — 4 ⑺ + 5& ®, где 6ЛЦ (n) + 0 при I 叫-> оо,

в том и только в том случае, если 碎(р) и Л u (%) подчиняются динамическим уравнениям (12.1.1) — (12.1.3). Чтобы убедиться, что это верно, вычислим изменение Iм, возникающее при этих смещениях без дополнительных предположений о том, что удовлетворяются (12.1.1) — (12.1.3):

S/M = 42mn j dp[~g^{xn (p))色岁气包『公

X { 2guv 出(p))刍沪-^职 +

I / ’gwv3) \dcj(p) dx^(p) x，x)

-(dMgi/2 (z) F^ (x)6/v (尤)+

+ E^ j dp{^^A^xn (p)) +

.d% J (p) /(£)\e X / x ,办 J (p) Q л //1

(p))}.

Теперь удобно перейти от переменной интегрирования р к 七门， определяемой выражением (12.1.2). Получаем

8人

S/M = 42^n {2gg協)塞上警+

I Ogfiv (⑦几) dzj 汲/ 0 儿 I

—，d&/g“2 (%)网"(%)二-б/” ⑺ +

J仇卅

+ 2е" J %｛黑^4(陶 +

+ 近：^-6“ + ^64(总｝.

Поскольку 5/U (тп) и 6ЛИ (/) исчезают на границе области интегрирования, то, проинтегрировав по частям, приходим к результату:

й/м= 2 j dfngta(2") ｛ —[4^- +

"3。(环)* 得]+ 舞/(陶｝ bzj +

+ f 【g"2(C)尸(“)]+

十 2 е“ j d%» (% —2n) -^^｝ b』v 3). n -8

Очевидно, что 6/м равно нулю при произвольных вариациях 6zJ и 6Лу тогда и только тогда, когда znx и Av подчиняются динамическим уравнениям (12.1.1) и (12.1.3). Итак, приходим к выводу, что формула (12.1.6) действительно является подходящей лагранжевой функцией этой системы.

§ 2. Общее определение 7* "

Мы собираемся определить тензор энергии-импульса материальной системы, описываемой действием /以 как «функциональной производной» 7ЛТ по guv. Для этого предположим, что guv (况) подвергается бесконечно малой вариации

gjrv ~gjrv+bgw(12.2.1)

где bg]1V произвольно, за исключением того, что оно равняется пулю при I /儿 I -> оо. Действие Iм не будет устойчиво относительно этой вариации, поскольку в данном случае мы рассматриваем guv (况)не как динамическую переменную, подобную 尤几卩 или Л ц, но как внешнее поле. Тогда 81 м будет некоторым линейным функционалом бесконечно малой вариации 6guv (%) и, следовательно, будет иметь вид

5/m у j 濟ё]/^(2)小V (个)5gp^(胃)■(12.2.2)

Коэффициент 7卩婚(％) по определению считается тензором энергии- импульса этой системы.

Общее доказательство того, что 7“婚 一 сохраняющийся симметричный тензор, будет дано в следующем параграфе. Однако сначала убедимся, что (12.2.2) действительно дает корректное определение тензора энергии-импульса для бесстолкновительной плазмы, описываемой действием (12.1.6). Будем варьировать guv, оставляя фиксированным /@; получаем

5歹炉=尸”5 (gRPgvo) = Fpog^dgvG + gogv°bgM.

Чтобы вычислить bgv°, заметим, что

S 值入旷*5) = gx°bg^ + g^bg"° = 0, а потому

3gVU= — и, следовательно,

6i = - Mgv2g^ + F^gN飞g*M.

В § 7 гл. 4 мы уже видели, что

6g= gg'"M%K.

Непосредственное вычисление приводит в результате к выражению

63*2% J d“[-gg (叫(р)]刍謬与*「"х

义练^身Ug^餌®)+

+ 4 J d號炉/2⑺{歹J 3) N"⑶一

-y^(Ж)F^(2)尸快"⑶} 6gAM(2)■

Сравнивая последнее выражение с (12.2.2), находим 7Ax(%)в виде

+ 歹 J ⑺脚"(才)一 g g%“ m) &v 位)WV (X), что согласуется с тензором эиергии-импульса, полученным ранее с помощью выражений (5.3.5) и (5.3.7).

Определение (12.2.2) очень схоже с соответствующим определением электрического тока J^. Мы можем разбить полное действие для вещества на чисто электромагнитный член /Е и член Т", 25—0788

который описывает заряженные частицы и их электромагнитные взаимодействия:

1м 三 /后+ /",(12.2,3)

0 = — ^ j 屋砧1/2 3) &v (?) N”(?)•(12.2.4)

Рассмотрим изменения /" при бесконечно малой вариации векто- ра-потенциала

/Р Т^ /卩 + 3/屮(12.2.5)

Так как 1м не является полным действием, изменение Iм в результате этой вариации 4口 не равно нулю, но с необходимостью является линейным функционалом от 6Л и:

67м = j d^x Yg (%) J“(%) 5& (办 (12.2.6)

Сомножитель /卩(力)считается, по определению, электромагнитным током системы. Например, в случае бесстолкновительной плазмы, описываемой выражением (12.1.6), член /" является суммой первого и третьего членов в выражении (12.1.6), и мы немедленно находим, что

б/м = 2 бп j 也％4(/n).

Сравнивая это с формулой (12.2.6), получаем

J" ® = g」/2(2)2 6" J 64 (х — Xn) dZn"п

в соответствии с выражением (5.2.13). В следующем параграфе мы докажем, что (12.2.6) всегда приводит к сохраняющемуся току.

Общая ковариантность и сохранение энергии- импульса

Если действие Iм материальной системы ——скаляр, тогда равенство нулю 81 м является общековариантным и этим же свойством будут обладать уравнения, найденные с помощью этого действия. Рассматривая, например, действие (12.1.6) для бесстолкновительной плазмы, убеждаемся в том, что /м ——скаляр, и это обеспечивает общую ковариантность динамических уравнений (12.1.1) — (12.1.3), которые можно найти с помощью (12.1.6), если применить принцип наименьшего действия.

Итак, будем предполагать далее, что Iм есть скаляр. Это означает, что Iм не будет изменяться, если мы одновременно

сделаем замены

д

击，^(р)^^(р),

4"(2)f Л； (У) = Av(2)-~-,

宓р а?0

g"v(2)f 4v 侬)=gp。(с) -^- -^

Однако /'к —— это просто переменная интегрирования (в противоположность /几卩, которая является динамической переменной), а потому мы можем перейти от 胃'卩 снова к %и без изменения /м. Тогда делаем вывод, что Iм не изменяется при заменах

W(Р)f /(Р)，

& (X) f 4厶(?) = 4 (e) ± -阎侬)-/卜⑺],

g“v (%) — g【v (%) = gp。(%) —77Г -^- — [g；v (，) — g[v(2)],ox и v

a d% и д/дх^ мы теперь не касаемся. Если первоначальное преобразование 碎 f /'卩 было инфинитезимальным:

з'и =碎+訓(%),

то изменение динамических переменных будет следующим:

6%"“(р) = 6"(С" (р)),

6& (/) = — 4 (%)6& (/) = — 4 (%)@eV(6)@eV(6)d/卩d/卩S^v ⑶=-g^（2）禺*" - gkv（2）哼?岁『◎（2）•S^v ⑶=-g^（2）禺*" - gkv（2）哼?岁『◎（2）•(12.3.1)(12.3.1)

6& (/) = — 4 (%)

6& (/) = — 4 (%)

@eV(6)

@eV(6)

d/卩

d/卩

S^v ⑶=-g^（2）禺*" - gkv（2）哼?岁『◎（2）•

S^v ⑶=-g^（2）禺*" - gkv（2）哼?岁『◎（2）•

(12.3.1)

(12.3.1)

Изменения Л и g суть просто производные Ли (§ 9 гл. 10). Важно здесь то, что инфинитезимальному преобразованию теперь подвергаются только динамические переменные, а не координаты, по которым производится интегрирование. Таким образом, принцип наименьшего действия утверждает, что в том случае, когда динамические уравнения для 富鹿и, Лц и т. д. удовлетворяются, изменения этих величин не приводят ни к каким изменениям действия для вещества Iм. Единственное изменение в Iм происходит здесь за счет вариации внешнего поля g“，и (12.2.2) описывает это изменение следующим образом:

81м = ^^^хУ^Т^^^-[81м = ^^^хУ^Т^^^-[

81м = ^^^хУ^Т^^^-[

81м = ^^^хУ^Т^^^-[

Если Iм является скаляром, то 67м должно равняться нулю; интегрирование по частям приводит к результатам:

0=6〃 = J d，c叫斎 и?^)-4 (»VFH，

а так как ex (%) произвольно, получаем

。=*u不T(赞)后吗

или, учитывая (4.7.6), имеем

0 = (A);v.(12.3.2)

Итак, тензор энергии-импульса^ введенный с помощью выраже- 乂比兄(72.2.2), сохраняется (е ковариантном смысле) тогда 比 только тогда, когда действие для вещества вз几ветс凡 скаляром. Если же /м — скаляр, из (12.2.2) немедленно вытекает, что 装氏一симметричный тензор, и, следовательно, наше определение тензора энергии-импульса обладает всеми свойствами, которые нам хотелось бы иметь.

Доказательство того, что общая ковариантность предполагает сохранение энергии-импульса, в точности аналогично доказательству того, что калибровочная инвариантность предполагает сохранение заряда. Изменение действия 7", определяемое (12.2.3) для произвольного калибровочного преобразования, может возникать только благодаря изменению /貝,поскольку /" стационарно относительно всех других динамических переменных. Общее инфинитезимальное калибровочное преобразование е будет приводить к следующему изменению Л u (§ 11 гл. 4 и § 2 гл. 10):

Подставляя это в (12.2.6), видим, что /" калибровочно-инвариантно тогда и только тогда, когда

о=з/м= j d^Vgj^-^..

Интегрируя по частям, получаем

°=『2亲6献)，

или, поскольку 8 произвольно, имеем

^g дз^^g дз^V7/“=/%.V7/“=/%.

^g дз^

^g дз^

V7/“=/%.

V7/“=/%.

Снова видим, сколь близки калибровочная инвариантность и общая ковариантность.

Гравитационное действие

До сих пор гравитационное поле g@v в этой главе считалось внешним полем, которое можно было вводить по нашему желанию. [Соответственно (12.2.2) обычно является наиболее удобным определением тензора энергии^импульса именно в отсутствие гравитации.] Дадим теперь для guv настоящие уравнения поля, добавив для этого к полному действию / чисто гравитационный член Iq：

I 1м + ^g>(12.4.1)

厶三一击 Jг灰R ® d號. (12-4-2)

Видно, что IG — скаляр, а потому этот член является удачным кандидатом для теории гравитации, даже если мы не имели бы никакого опыта обращения с гравитационными явлениями. Теперь покажем, что применение к I принципа наименьшего действия на самом деле приводит к теории Эйнштейна.

Скалярная кривизна R определяется как g^R^ а потому вариация 5gl1V метрики приводит к следующему изменению подынтегрального выражения (12.4.2):

6 (]/?К) = VgR^g^ + Кб М『+ l/gg^Sflgv

Согласно выражению (10.9.2), изменение тензора Риччи равно 3小=(6苗储一(6也)；人，

причем ковариантные производные здесь определяются так, как если бы бГ^Иу был тензором (что выполняется в действительности).

Таким образом, последний член в 6 (UgH) равняется

V7g^R^^Vg [(guvsr幻;V—值少馳筒”， или, подставляя (4.7.7), получаем

M?gMv=-V ""通—耳(]/沙%.ox'ox

Этот член, следовательно, выпадает, когда мы интегрируем по всему пространству. Учитывая также то, что

6 Kg = 4" Mg g“v6gliv,6g"V = — gWPgVObgpo,

получаем изменение действия (12.4.2) в виде

6"=盡 J KF[^-4^] W4^-(12.4.3)

Объединяя (12.4.3) и (12.2.2), видим, что полное действие I стационарно относительно произвольных вариаций 目貝婚 тогда и только

тогда, когда

R^ - -| g^R 十 8nGT^ = 0.

Последнее, конечно, является уравнением поля Эйнштейна.

Формулу (12.4.3) можно также использовать для получения свернутого тождества Бианки. Так как величина Iq является скаляром, она должна быть устойчива относительно вариаций (12.3.1) по g@屮 Повторяя аргументы, приведшие нас к условию (12.3.2), приходим теперь к соотношению

в котором мы узнаем свернутое тождество Бианки (6.8.3.)

Этот формализм указывает на то, что теорию Эйнштейна можно было бы модифицировать, прибавляя в выражении (12.4.2) к R члены, пропорциональные 7??, R3 и т. д. В § 1 гл. 7 отмечалось, что такие члены сказывались бы только в явлениях с достаточно малыми пространственно-временными масштабами.

Тетрадный формализм )

До сих пор мы придерживались только одного метода при определении воздействия гравитации на произвольные физические системы. Брали уравнения специальной теории относительности, которым подчиняются системы в отсутствие гравитации, и заменяли все лоренцевы тензоры Т爵二 объектами Ту；；；, которые ведут себя подобно тензорам (или тензорным плотностям) при общих преобразованиях координат. Далее, заменяли все производные д/дх^ ковариантными производными, а вместо 刀仪日 везде подставляли g”. Полученные уравнения движения оказывались общековариантными (см. гл. 5).

Этот метод в действительности применим только к объектам, которые ведут себя, подобно тензорам при преобразованиях Лоренца, и не применим к спинорным полям, введенным в § 12 гл. 2. [Математически это происходит из-за того, что тензорные представления группы GL (4) в виде произвольных линейных 4x4 матриц ведут себя, подобно тензорам на подгруппе лорен- цевых преобразований, но не существует представлений GL (4) и даже «представлений с точностью до знака», которые ведут себя, подобно спинорам на подгруппе Лоренца.] Каким образом тогда ввести спиноры в общей теории относительности?

Этот вопрос разрешается в другом подходе к задаче о воздействии гравитации на физические системы; этот подход доволь-

но интересен сам по себе, даже если не иметь в виду задачу о спинорах.

Начнем с того, что, пользуясь принципом эквивалентности, зададим в каждой точке X набор локально-инерциальных координат 設.(Невозможно, конечно, построить ни одной системы координат, которая была бы локально-инерциальиой повсюду, если пространственно-временной континуум не является «плоским».) Как показано в § 2 и 3 гл. 3, метрика в произвольной пеинерциальной системе координат выглядит так:

g"V 3) = U% (%) V°v ⑶ Пав，(12.5.1)

где

叫(X)三(喑)7”5.2)

Заметим, что мы фиксируем локально-инерциальные координаты 5х в каждой физической точке X раз и навсегда, а потому, когда мы заменяем неинерциальные координаты /'и координатами * частные производные Va^ заменяются по правилу

(12.5.3)(12.5.3)

(12.5.3)

(12.5.3)

Поэтому можно считать, что Vau ——не один тензор, а четыре ковариантных векторных поля; такой набор четырех векторов называют тетрадой х).

При наличии какого-либо контравариантного векторного поля А^(х) можно использовать тетраду, чтобы задать его ^-компоненты в системе координат 嵌，локально-инерциальной в этой точке /:

(12.5.4)(12.5.4)*Ла = 7ац4ц.

(12.5.4)

(12.5.4)

При этом свертывание контравариантного вектора А^ с четырьмя ковариантными векторами Уац приводит к замене единственного 4-вектора А^ четырьмя скалярами *Ла. Мы можем сделать то же самое с ковариантным векторным полем, а также с произвольными тензорными полями:

曰у』&,*评产吸%婚时и т. д.曰у』&,*评产吸%婚时и т. д.(12.5.5)(12.5.5)

曰у』&,

*评产吸%婚时и т. д.

曰у』&,

*评产吸%婚时и т. д.

(12.5.5)

(12.5.5)

Здесь Vpv ——тетрада (12.5.2), но с a-ипдексом, пониженным с помощью тензора Минковского 質仪例 и 卩-индексом, поднятым с помощью метрического тензора g叫 а именно

(12.5.6)(12.5.6)%"三加陪乳叩%.

(12.5.6)

(12.5.6)

Или репером, или, более старое, 4-под.一 Прим. ред.

Заметим, что, согласно (12.5.1), это — обратная тетрада, т. е.

3% = /叩 ％,(12.5.7)

и, следовательно, справедливо также

8^ = ^^.(12.5.8)

Скалярные компонентыметрическоготензора тогда выглядят

просто как

*gaB = U 吟 guv=T]aB・(12.5.9)

Теперь, когда мы показали, как превратить любое тензорное поле в набор скаляров, можно забыть первоначальные тензоры М, ^Uv и т- Д-т из которых мы исходили, и посмотреть, как следует строить действие, если мы с самого начала работаем со скалярами *Уа, *Таб и т. д. В таком подходе спинорное поле, подобное полю электрона Дирака, может быть введено в наш формализм точно таким же способом, как и любое другое поле, а его особые свойства при лоренцевых преобразованиях не приводят ни к каким осложнениям. У нас есть два принципа инвариантности, которые следует учитывать при построении подходящего действия для вещества /м.

А. Действие должно быть общековариантным, а все поля следует рассматривать как скаляры, исключая саму тетраду.

Б. Принцип эквивалентности требует, чтобы в локальноинерциальных системах была применима специальная теория относительности и, в частности, чтобы не возникало никаких различий от того, что мы выбираем в каждой точке разные локально-инерциальные системы. Таким образом, поскольку наборы рассматриваемых скалярных полей *7а, *Та& и т. д. определяются в произвольно выбранной локально-инерциальной системе координат, уравнения поля и действие должны быть инвариантными относительно переопределений этих локально-инерциальных систем координат в каждой точке или, другими словами, относительно лоренцевых преобразований А0^(%), которые могут зависеть от пространственных и временной координат:

*Ла (^) — А^д尸 46(*

*ТаВ (?) - AJ (?) Ар6 3)* 小 3), где

TlapA% 3) А% (%) = %б・(12.5.10)

Тетрада (12.5.2) преобразуется по тому же правилу, что и *Ла:

а произвольное поле 东屮"(n) преобразуется по правилу

*Wn(2)f 2 [^ (Л (^))]nm*^m(Я：), (12.5.12) т

где D (Л) — матричное представление группы Лоренца (или по крайней мере группы инфинитезимальных лоренцевых преобразований) типа того, что обсуждалось в § 12 гл. 2.

Эти два принципа инвариантности приводят к двойной классификации физических величин. Координатный скаляр или координатный тензор преобразуется как скаляр или тензор при замене системы координат. При заменах локально-инерциальных систем координат лоренцев скаляр или лоренцев тензор или лоренцев спинор преобразуется по правилу, подобному (12.5.12), где D (Д) — единица или тензорное представление или спинорное представление инфинитезимальных преобразований группы Лоренца. Например, поле (12.5.4) является координатным скаляром и лоренцевым вектором, поле электрона Дирака —— это координатный скаляр и лоренцев спинор, а тетрада Vau — это координатный вектор и лоренцев вектор. Приемлемая с физической точки зрения лагранжева функция вещества Iм должна быть координатным скаляром и лоренцевым скаляром.

В этом месте у читателя может возникнуть недоумение: как может появиться в теории гравитационное поле, если координатно-скалярные компоненты (12.5.9) метрического тензора оказываются постоянными 刀仪8? Ответ состоит в том, что гравитационные тензорные поля возникнут в действии потому и только потому, что в теорию необходимо будет ввести производные. Если бы имелся смысл в построении действия Iм только из полей без производных от них, тогда надо было лишь выбрать некоторую произвольную лоренц-инвариантную функцию 比(东屮(©), зависящую от различных полей 东屮九(％) (но не от тетрад), и, считая их координатными скалярами, записать действие в виде

& = j Mg (%)胃(*屮(2)) •

Это выражение было бы тогда автоматически координатным скаляром и лоренцевым скаляром. Однако примеры, обсуждавшиеся в предыдущих параграфах этой главы, показывают, что любые физически приемлемые лагранжевы функции должны содержать производные физических величин наравне с самими этими функциями. Тетрадное поле долячно входить в лагранжеву функцию таким образом, чтобы сохранялся ее скалярный координатный и лоренцев характер, несмотря на присутствие производных.

Обычная производная является, конечно, координатным вектором в том смысле, что при замене координат n f /' она пре-

394394Гл. 72. Принцип наименьшего действия

394

394

образуется по правилу

dд — dxv @

@6“дх^ dxv

Если бы все поля, включаемые в действие, были бы координатными скалярами, в нем не возникало бы контравариантных индексов для свертывания с ковариантным индексом 卩.Следовательно, для того, чтобы сделать действие координатным скаляром, необходимо ввести тетрадное поле и производные типа

VJ 啖(12.5.13)

Однако, хотя эта комбинация ——координатный скаляр, она не обладает простыми трансформационными свойствами относительно преобразований Лоренца, зависящих от положения. Если преобразовывать произвольного вида поле 东屮 согласно лоренцеву правилу (12.5.12), то его скалярные координатные производные будут преобразовываться так:

%" ® tV *屮⑺f A/(?) /"⑶六{0 (Л⑷)*电(明=

=A J (?) % ⑺{ О (А (Х))费屮* (?) + ［亲。(А (増］屮* ⑺} • (12.5.14)

Однако нам нужно включить в действие производные в форме оператора 勿仪,который является не только координатным скаляром, но также, в отличие от (12.5.13), лоренцевым вектором. Последнее означает, что при поренцевом, зависящем от положения преобразовании Ла^ (%), должно иметь место преобразование

Оа*屮(2)f Aj ® D (Л (с))炒в*屮(с).(12.5.15)

Любое действие, зависящее лишь от различных полей *屮 и их «производных» 夕仪东屮，тогда автоматически не будет зависеть от выбора локально-инерциальных систем отсчета, если оно инвариантно относительно обычных постоянных лоренцевых преобразований. Рассмотрение правила (12.5.14) показывает, что мы можем построить координатно-скалярную и лоренцевско-вектор- ную производную 纟仪 вида

炒а 三％"［号г+г/,(12.5.16)

где Ги — матрица, подчиняющаяся следующему правилу лорен- цева преобразования:

几⑺ f D (a ⑺)ги (/) A(Д (*一

—［备 О (A ⑺)］ОТ (A®).(12.5.17)

Неоднородный член в (12.5.17) будет тогда сокращаться со вторым членом в (12.5.14), приводя к нужному трансформационному свойству (12.5.15) производной ②仪.

Для того чтобы определить структуру матрицы Ги (讶),достаточно рассмотреть преобразования Лоренца, бесконечно близкие

к единице.

Такие преобразования в соответствии

с (2.12.5)

и (2.12.6) должны иметь вид

ла3⑺=濟В+9州⑻，(12.5.18)

где

叫加(n)= -3卽(%).(12.5.19)

В этом случае матрица D имеет форму (2.12.7)

D (1 +(0 (/)) = 1 + ^ 3呻⑺。邱・(12.5.20)

Здесь Оав — набор постоянных матриц, антисимметричных по а

и р：

6хВ= — Ора,

(12.5.21)

и удовлетворяющих коммутационным соотношениям (2.12.12)

[。耶,Oybl = л?₽аа& — %06。必 + ПьвОра — Л&а^тР- (12.5.22)

Условие (12.5.17) утверждает, что при инфинитезимальном лорен- цевом преобразовании (12.5.18) матрица Ги (х) преобразуется так:

几(砌 f Ги ⑵+彳⑴邓⑺ 9аб, ги (х)] — у ааР-^ соа^ (z).

(12.5,23)

Заметим, что Р°出(z) преобразуется по правилу

p% ⑷ т 7% (%) +⑶ Р% ⑺，

а потому； используя (12.5.8), получаем

%” ⑺-rV V-^ f 匕” (с) %v (с) + LOX

+ 3/(2)%v ⑺代 yav (?)十3炉(?)匕V ⑺ X

Умножая это на и^в и применяя правила коммутации (12.5.22), находим, что формулу преобразования (12.5.23) можно переписать в виде

ги (?) =4 N6%v ⑺ /%(12.5.24)

Итак, воздействие гравитации на любую физическую систему можно учесть, если в действии для вещества или уравнения^ поля, установленных в специальной теории относительности заменить все производные д/дха «ковариантными производны ми»

屮 (12.5.25)

Этот рецепт позволяет найти действие для вещества или уравнения поля, инвариантные относительно преобразований координат общего вида, причем V^ в них рассматривается как 4-вектор, а все другие поля ——как скаляры, не зависящие от выбора локально-инерциальной системы отсчета при определении тетрады.

Как задать тензор энергии-импульса в этом формализме? Вариация 5%卩 тетрадного поля будет приводить к следующему изменению лагранжевой функции вещества:

6/^ = j d\c M?%6VJ,(12.5.26)

где Ua^ ——координатный вектор и лоренцев вектор. Попробуем определить тензор энергии-импульса следующим образом:

T^VaJJ\.(12.5.27)

Чтобы убедиться, что выражение (12.5.27) подходит для тензора энергии-импульса, надо также проверить, симметрично ли оно:

Т^Т^.(12.5.28)

и выполняются ли законы сохранения:

(Т，卜=0.(12.5.29)

Свойство симметрии тензора энергии-импульса отнюдь не очевидно в тетрадном формализме. Оно должно быть выведено из свойства инвариантности действия для вещества относительно инфинитезимальных лоренцевых преобразований:

Ла в ⑺=6ар + ①呼 ®,

где

I叫(相《1.

Эти преобразования приводят к малым смещениям всех динамических переменных, однако предполагается, что действие для вещества стационарно относительно вариаций каждой из этих переменных, исключая вариацию тетрады, которая входит в 1М как внешнее поле. Поэтому нам необходимо лишь учесть изменение (12.5.11) тетрадного поля:

3匕』(")=3/(С)%"(2).(12.5.30)

Подставляя (12.5.30) в (12.5.26), находим, что инвариантность действия для вещества относительно зависящих от положения преобразований Лоренца требует, чтобы

J d號 /Ж ^Н (^ 卩卽位)3а0 (?) = 0.

Но Зав (力)一 произвольная функция, за исключением требования антисимметрии (12.5.19), а потому коэффициент при ⑦仪。(％) должен быть симметричным:

17ali 卩阻=U^^.

Умножая это соотношение на V^vVa% и учитывая (12.5.7), находим

Ua.Va^U^^,(12.5.31)

что совпадает с требуемым условием симметрии (12.5.28).

Чтобы показать, что тензор энергии-импульса, введенный с помощью (12.5.27), сохраняется, надо воспользоваться инвариантностью лагранжевой функции вещества при инфинитезимальном преобразовании координат

/‘u =碎+啖(%),

где I &卩 I очень мало. Такое преобразование изменяет тетрадное поле на бесконечно малую величину：

3T』(2)三卩*⑷一VI(2)=

=%" ® ^^-- °嚏¥ 3 (?) (12.5.32)

[сравните с выражением (12.3.1)]. Все другие координатные скалярные поля 屮(％) изменяются при этом следующим образом:

бгр (富)三 产(/)一2(/) = -?： ?£%(X).

Однако действие для вещества Iм снова стационарно относительно вариаций этих полей, а потому в ней нужно учитывать только вариацию тетрадного поля. Подставляя (12.5.32) в (12.5.26), находим, что инвариантность лагранжевой функции вещества fM относительно преобразований координат общего вида требует, чтобы

Но 8х (%) произвольно, а потому после интегрирования по частям мы можем приравнять коэффициент при £儿(n) нулю, что дает

ox Vдх

Подставляя сюда выражения (12.5.27) и (12.5.8), представляем это соотношение в виде

-^(l/F^+V? Vav4^=o- (12.5.33) oxox

Согласно (12.5.1), метрический тензор связан с тетрадой следующим образом:

поэтому

Так как ZuV симметрично, соотношение (12.5.33) можно теперь переписать так:

0 = -V (MMf) +^T^^r-(12534)

Кроме того, (3.3.1) и (4.7.6) приводят к соотношениям

詳=_ gPUgS 警=—govl^ — gp叮｝,

^v In Ug = ГуХ,

так что (12.5.34) совпадает с обычным законом сохранения (12.5.29).

Таким образом, определение тензора энергии-импульса (12.5.27) вполне удовлетворительно. Отметим, однако, что если бы действие для вещества не было инвариантно относительно зависящих от положения преобразований Лоренца, то ruv не только не было бы симметричным, но и не сохранялось бы.

Полное действие для вещества и гравитации ——это, как и выше, сумма

где /с определяется выражением (12.4.2). Вариация тетрады будет приводить к следующему изменению метрики в соответствии с (12.5.1):

S^v= V\8Vav + 广"6几"=一心必吸 + gv”'] 6%久，

так что (12.4.3) дает следующее изменение гравитационной функции

Лагранжа:

6厶=-壷 J Vg[R\~^^R\ VVV^. (12.5.35)

Полное действие должно быть стационарно относительно вариаций тетрадного поля, а потому (12.5.26) и (12.5.35) приводят к уравнению

(* _扌мr)吗=_即比践.

Свертывая это с 7av и подставляя сюда (12.5,1) и (12.5.27), получаем известные уравнения поля Эйнштейна

1/?m—^g婚大氏=-8jiGT⑴(12.5.36)

Эти уравнения позволяют найти только gUVJ оставляя тетраду определенной лишь с точностью до лоренцева преобразования (12.5.11). Однако инвариантность действия для вещества относительно таких, зависящих от положения преобразований Лоренца гарантирует, что все тетрады, связанные с данной метрикой, приводят к одним и тем же физическим эффектам.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Utiyama К., Phys. Rev., 101, 1597 (1956) (см. перевод в сб. «Элементарные частицы и компенсирующие поля», ИЛ, 1960, стр. 250).

Kibble Т. Ж. В., J. Math. Phys., 2, 212 (1961).

Симметрия как в широком, так и в узксм понимании этого слова есть идея, с помощью которой человек во все времена пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Г. Вейль^ Симметрия

Глава 13

СИММЕТРИЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Евклид неявно допускал, что метрические соотношения не изменяются при трансляциях и вращениях. Реальные гравитационные поля, вообще говоря, не обладают столь высокой степенью симметрии, однако иногда они обладают приближенной симметрией относительно некоторых групп преобразований. В этих случаях мы можем, используя информацию об этом, облегчить себе решение уравнений Эйнштейна или даже обойтись совсем без решений. Здесь дано короткое введение в хорошо разработанную математическую теорию симметричных пространств, причем особое внимание уделено максимально симметричным пространствам, представляющим особый интерес для космологии.

С самого начала мы встретимся со следующей проблемой: как можно использовать предполагаемую симметрию для получения каких-то сведений о метрике, если без знания метрики мы не можем найти даже систему координат, в которой определяется свойство симметрии. Для того чтобы обойти это затруднение, мы должны искать ковариантный способ описания симметрии, не зависящий от конкретного выбора какой-нибудь системы координат. Если такой способ будет найден, то установление свойств метрики, определяемых ее симметрией, сведется к математическим операциям.

Векторы Киллинга

Говорят, что метрика guv (%) форминвариантна относительно данных преобразований координат х -> /', если преобразованная метрика g^v (/')——это та же самая функция от ее аргумента 力'卩, что и первоначальная функция guv (%) ее первоначального аргумента 加，t. ё.

g/匂)=g收(У)Для всех у.(13.1.1)

[Это условие отличается от задающего скаляры, которое имеет вид Sr (%') = S (花).]В любой данной точке новая метрика вво-

дптся с помощью соотношения

g/(z')=K『gp°(c)дх и

или, эквивалентным способом,

guv (%)guv (%)六g/3)・дх六g/3)・дх

guv (%)

guv (%)

六g/3)・

дх

六g/3)・

дх

Когда выполняется условие (13.1.1), g® (/') можно заменить на gpo 3) и получить таким образом фундаментальное условие форминвариантности метрики:

g“v(c)=署Г 景 gpo(")・ (13.1.2)

Любое преобразование /—>/', удовлетворяющее (13.1.2), называется изометрией.

Вообще говоря, условие (13.1.2) — весьма сложное ограничение на функцию "卩(/)• Его можно очень сильно упростить, рассматривая специальный случай инфинитезимального преобразования координат

公卩=力卩 +应卩(* где I е I < 1.(13.1.3)

В первом порядке по 8 соотношение (13.1.2) теперь выглядит так:

。=g"。(?) + gpv ⑺+ * (?)- (13.1.4)

0ХФ0力口

"]f 25 …，"]f 25 …，Его можно переписать через нент ^а = g^:Его можно переписать через нент ^а = g^:дх^дх^производные ковариантных компо-

"]f 25 …，

"]f 25 …，

Его можно переписать через нент ^а = g^:

Его можно переписать через нент ^а = g^:

дх^

дх^

или, в более компактном виде,

Ео； р + ?р； о — 0* (13.1.5)

Говорят, что 4-векторное поле ^ff (z), которое удовлетворяет соотношению (13.1.5), образует вектор Киллинга [1] метрики guv (%). В этом случае задача нахождения всех инфинитезимальных изометрий данной метрики сводится к задаче нахождения всех векторов Киллинга для данной метрики. Любая линейная комбинация векторов Киллинга с постоянными коэффициентами также является вектором Киллинга, так что существует пространство векторных полей, натянутых на векторы Киллинга, которое определяет инфинитезимальные изометрии метрики.

Условие Киллинга (13.1.5) намного сильнее, чем выглядит на первый взгляд, поскольку оно позволяет полностью задать 26-0788

функцию ±u (n) с помощью величин & и Ео； р, заданных в некоторой точке X. Чтобы убедиться в этом, необходимо лишь обратиться к формуле (6.5.1) для коммутатора двух ковариантных производных:

Ео； р；觊一Ео；岡 р =—~儲р忌入，(13.1.6)

а также к правилу суммирования циклических перестановок (6.6.5) тензора кривизны

Ларц -р ЛцОр -|- Лр|ла = 0.(13.1.7)

Прибавляя к (13.1.6) две ее циклические перестановки, приходим к выводу, что любой вектор Ни должен удовлетворять соотношению

%； р；卩一％；快；р+ 三快;о； р — Е觊;р； o + 无；快；о —Ер； о；觊=0.(13.1.8)

Для вектора Киллинга, (13.1.5) и (13.1.8) приводят к соотношению

Ео; р; J1 — Ес;快；р ~■ Е快；р; а — О-

Тогда (13.1.6) принимает вид

品,р；°=-Е^信久.(13.1.9)

Следовательно, зная 氐 и 玩；v в некоторой точке, можно найти вторые производные от ^ (力)в точке X с помощью соотношения (13.1.9), а затем последовательно найти более высокие производные от Нх в точке X, взяв производные от (13.1.9). Все производные от ^ в точке X, таким образом, будут найдены в виде линейных комбинаций Ек (X) и 三入；” (X). Тогда функцию ^ (/) можно построить (если опа существует) в виде ряда Тейлора по 力"一X九 в некоторой окрестности точки X. Эта функция также будет линейной по первоначальным величинам Н^ (X) и 工入；” (X). Таким образом, любой вектор Киллинга Bpn (/) метрики gMV (优)может быть выражен следующим образом:

^Р" (ж) =4"(上；X)守(X) + 仇"v(2； X)鼠；£(X), (13.1.10) где /р" и Вр ——функции, которые, конечно, зависят от метрики и от положения точки X, но не зависят от первоначальных величин 三入(X) и 工尤 V (X), а потому они являются одними и теми же для всех векторов Киллинга. Каждый вектор Киллинга 互(X) для данной метрики задается единственным образом значениями J (X) и &р； ° (X) в любой конкретной точке X.

Говорят, что набор векторов Киллинга независим, если эти векторы не удовлетворяют никакому линейному соотношению типа

士 ®®=о,(13.1.11)

п

где сп — постоянные коэффициенты. Выражение (13.1.10) утверждает, что может существовать не более чем N (N + 1)/2 независимых векторов Киллинга в N-мерном пространстве. Рассмотрим, например, какие-либо М векторов Киллинга EJ (况).Для каждого п имеется N величин ^pn (X) и TV (7V — 1)/2 независимых величин 鼠V (X) [вспомним соотношение (13.1.5)], а потому можно считать величины ^pn (X) и Bp；v (ХУ компонентами М векторов в TV (7V + 1)/2-мерном пространстве. Если М > N (N + 1)/2, то эти М векторов не могут быть линейно-независимыми, следовательно, между ними должно существовать соотношение типа

JcE(X) = §/；v(X) = 0.

Тогда выражение (13.1.10) утверждает, что векторы Киллинга Spn (n) удовлетворяют соотношениям (13.1.11) повсюду, а потому не являются независимыми.

Этот результат имеет смысл только потому, что мы определили независимые векторы Киллинга как векторы, которые не связаны никакими линейными соотношениями с постоянными коэффициентами. В некоторой данной точке X в TV-мерном пространстве любой набор более чем 7V векторов Киллинга, конечно, будет связан одним или несколькими линейными соотношениями, подобными (13Л.11). Однако коэффициенты с丸 в этих линейных соотношениях иногда могут зависеть от 力从.Предыдущая теорема утверждает, что любой набор более чем TV (N 十 1)/2 векторов Киллинга будет связан линейными соотношениями с постоянными коэффициентами.

Говорят, что метрическое пространство однородно^ если существуют инфинитезимальные изометрии (13.1.3), которые переводят любую данную точку X в любую другую точку в окрестности точки X. Другими словами, метрика должна допускать существование векторов Киллинга, которые в любой данной точке принимают все возможные значения. В частности, в TV-мерном пространстве мы можем задать набор 7V векторов Киллинга 己乂快)(况,X), обладающих свойством

立⑺(X; X) =6产.

Эти векторы, очевидно, являются независимыми, поскольку из любого соотношения типа cuHv^)(况；X) следовало бы, что в точке X все 以 равны нулю.

Говорят, что метрическое пространство изотропно в данной точке X, если существуют инфинитезимальные изометрии (13.1.3), оставляющие фиксированной точку X, так что Е" (X) — 0т и первые производные ^х； v (X) в этой точке принимают все возможные значения, подчиняясь лишь условию антисимметрии (13.1.5). В частности, в TV-мерных пространствах можно задать набор

26*

N （N — 1）/2 векторов Киллинга, подчиняющихся условиям 自严V）（2； X）三 TJVU）（右 X）,自严* （X; X）三 0,

乱 »v）（X; X）=［营 E卅v）（鍔 X）］i 三 6/6/- %眩V.

Эти векторы являются независимыми, поскольку любое соотношение типа cuV^v）（况；X） = 0, в котором cuv = —cvu, предполагало бы, что в точке X с^р — ср% = 2с%р = 0.

Мы будем также иметь дело с пространствами, которые изотропны в окрестности каждой точки. В этом случае существуют векторы Киллинга,三产）（况；X） и 己严％ （况；X + dX）, которые удовлетворяют найденным выше начальным условиям в точках X и X 十 dX соответственно. Любая линейная комбинация их будет вектором Киллинга, и, следовательно, 3&尹"）（①； Х）/дХ^ также будет вектором Киллинга для этой метрики. Для того чтобы вычислить этот вектор Киллинга в точке 况=X, необходимо лищь вспомнить, что Е胪”,（X; X） равняется нулю, следовательно,

击占卅v）（x； X） = [Это дает击占卅v）（x； X） = [Это дает死卅 v）（,； X）死卅 v）（,； X）-1 I「死严% （/X）]-1 I「死严% （/X）]

击占卅v）（x； X） = [

Это дает

击占卅v）（x； X） = [

Это дает

死卅 v）（,； X）

死卅 v）（,； X）

-1 I「死严% （/X）]

-1 I「死严% （/X）]

Г為呢з）3 X） ］= - 6/6小 + 6p^v.

L- OX У」X=A

Теперь очевидно, что можно построить вектор Киллинга ^ （X）， принимающий любое произвольное значение 〃入 в точке 况工 X; надо лишь задать

&（砌=占黯3 3； X）.

Поэтому любое пространство, изотропное в окрестности каждой его точки^ является также однородным.

Говорят, что метрика, допускающая максимальное число TV （7V + 1）/2 векторов Киллинга, максимально симметрична, В частности, пространство, которое и однородно и изотропно в окрестности некоторой заданной точки X, допускает существование N （N + 1）/2 векторов Киллинга 膿）（况；X） и Е严）（/； X）. Такие векторы Киллинга, очевидно, независимы, поскольку если они удовлетворяют линейному соотношению

外&5（%； x）+%&g）3 х）=о,

Cp/v = — Ар,,

то, продифференцировав его по ①р и положив 况 = X, приходим к с^р — 0, а положив затем 北 = X в этом соотношении, получаем

с^ ~ 0. Таким образом, однородное пространство, изотропное 6 окрестности некоторой точки, является максимально симметричным. Из этого также следует, что любое пространство, изотропное в окрестности каждой точки, является максимально симметричным.

Можно также доказать обратное, а именно: максимально симметричное пространство с необходимостью однородно и изотропно в окрестности каждой точки. Если существуют N (N + 1)/2 независимых векторов Киллинга 寸卜(/), то можно считать, что величины 三、(X),可九；”(Х) образуют квадратную матрицу, имеющую N (N + 1)/2 строк, нумеруемых значениями % и N (而十 1)/2 столбцов, нумеруемых N значениями величины ри% (N ■~~ 1)/2 значениями 九 и v, где Z > v. Кроме того, эта матрица должна иметь неравный нулю детерминант, поскольку любое соотношение типа

2 (X)= /混尢」(w=0

предполагало бы при наличии (13.1.10), что £ 已几三口72 (①)исчезает —— n

в противоречии с нашим предположением, что эти векторы Киллинга независимы. Следовательно, должно быть возможным для любого «вектора-строки» с «компонентами» аи и 匕乩”——匕卄快, найти решение уравнений

Е (X)=йЦ! 』快；「(X)=%v・ n n

Поэтому мы можем определить вектор Киллинга 三从(况),который в точке X принимает значения 〃从,а ^й； v (X) принимает значение b^v, если выберем

瓦G)=』dM⑺.n

Ho 〃从 произвольно, следовательно, пространство однородно; произвольно и 匕从旷(исключая условие Ь^ =——&vu), а потому пространство изотропно в окрестности точки X.

В качестве примера максимально симметричного пространства рассмотрим .V-мерное плоское пространство с равным нулю тензором кривизны. Тогда можно выбрать декартовы координаты с постоянной метрикой и равной нулю аффинной связностью. В этой системе координат уравнение (13.1.9) выглядит так:

дх^дх5

Решение его имеет вид

品(况)=a^ + b^vxv,

где 〃从 и 方乩”——константы. Это выражение является вектором Киллинга в соответствии с условием (13.1.5) тогда и только тогда, когда

%第=■-拠伐.

Следовательно, можно задать набор N (N ~\- 1)/2 векторов Киллинга следующим образом:

發(2)三6个，Е『)(ж) = 6必入—&@V.

Тогда произвольный вектор Киллинга выражается в виде комбинации

£⑺=a题)(?) + ^並产⑺■

N векторов 占$)(力)вводят трансляции, в то врелтя как N (N ——1)/2 векторов Е『 вводят бесконечно малые вращения (или, в пространстве Минковского, лоренцевы преобразования). Таким образом, метрика любого плоского пространства допускает существование N (N 十 1)/2 независимых векторов Киллинга и является, следовательно, максимально симметричной.

Конечно, не все метрики позволяют построить максимальное число векторов Киллинга. Является ли разрешимым (13.1.9) для данного набора начальных данных 鼠(X),自尤卩(X) или нет, это зависит от интегрируемости данного уравнения, что зависит в свою очередь от рассматриваемой метрики. Одно условие интегрируемости. которое мы будем использовать ниже, следует из общей формулы для коммутаторов ковариантных производных тензоров：

?р; }Л； а； V — &р;快；V； о = ^pffv^x： М，— ^M，av^p;入.

Соотношение (13.1.9) удовлетворяет этому условию тогда и только тогда, когда

爲p现а； V -屎P怏玩;О + (爲Р从;v — к^Рл； 0)默--篇За.；快一A篇昌；储 или, [см. (13.1.5)], когда

[-А猛片 + 您0卄6^ - 7?opu6v + A^p怏S] 自九； и = [^орц; v -成Рл； О]寂.

(13.1.12)

Эти условия, конечно, не накладывают никаких ограничений в случае плоского пространства, но они, вообще говоря, образуют линейные соотношения между ^ и 三九；乂 в любой данной точке. И наоборот, если мы знаем что-нибудь о векторах Киллинга, допускаемых неизвестной метрикой, то мы можем с помощью (13.1.12) получить информацию о тензоре кривизны. Таким путем мы сможем в следующих параграфах найти зависимость максимально симметричных метрик от их изометрических свойств.

Следует подчеркнуть, что существование определенного числа независимых векторов Киллинга не связано с конкретным выбором системы координат. Если g快(т) есть вектор Киллинга метрики g^v (力)，то, выполняя преобразование координат 第觊 f 力'从, поручаем метрику

а так как (13.1.5) общековариантно, то, очевидно, существует вектор Киллинга

ЕПО F(z)・

Ecjk 7И векторов Киллинга 占卩72 (①)являются независимыми, то независимы и М векторов Киллинга 己% (/'), так как любое линейное соотношение между У предполагало бы линейное соотношение между Е71. Таким образом, максимальная симметрия данного пространства есть его внутреннее свойство, не зависящее от того, как мы выбираем систему координат. В частности, отсюда следует, что .любое пространство с пулевым тензором кривизны максимально симметрично; обратное, однако, не верно. Легко также видеть, что свойство однородности и изотропности данного пространства но зависит от выбора координат. Таким образом мы выполнили задачу, поставленную во введении к этой главе для простых типов симметрии, т. е. описали свойства симметрии метрики общековариантным образом.

Максимально симметричные пространства.

Единственность

Покажем теперь, что максимально симметричные пространства определяются единственным образом «скалярной кривизной» К и собственными значениями метрики, которые могут быть положительными или отрицательными. Другими словами, для двух заданных максимально симметричных метрик с одинаковыми К и одинаковым числом собственных значений каждого знака всегда можно отыскать преобразование координат, которое переводит одну метрику в другую. Зная эту теорему, мы сможем выполнить в следующем параграфе исчерпывающее исследование максимально симметричных пространств, просто строя метрику в удобной системе координат.

В предыдущем параграфе мы показали, что в любой данной точке n максимально симметричного пространства можно найти векторы Киллинга, для которых ^ (/) исчезает, а 三入；х (n) является произвольной антисимметричной матрицей. Отсюда следует, что

коэффициент при 三入；乂 (①)в соотношении (13.1.12) должен иметь равную нулю антисимметричную часть, т. е.

—R^ovg + R%sb^ — A^p 快 8 + R^p 弘赏—

(13.2.1)

Мы также показали, что в любой данной точке 力 максимально симметричного пространства существуют векторы Киллинга, для которых Е% (第)принимает любые значения, какие мы зададим, так что (13.1.12) и (13.2.1) требуют, чтобы

(13.2.2)(13.2.2)^ори； V=八V0以；0*

(13.2.2)

(13.2.2)

Нам в действительности необходимо использовать лишь (13.2.1), поскольку мы в последнем параграфе показали, что пространство, изотропное в окрестности каждой точки и, следовательно, удовлетворяющее (13.2.1), должно быть однородным, а потому должно также удовлетворять и (13.2.2).

В качестве первого шага в этом доказательстве получим формулу для тензора кривизны с помощью соотношения (13.2.1). Свертывая 乂 и 卩 в (13.2.1), получаем

—NН^з + ^?pav 一 儲pv + ^vpa = 一 E^ov + &pW — ^vp^a<

(Напомним, что 7?^ov =。；—R/ есть тензор Риччи А。", и при N измерениях 6^ = N) Используя правило циклических перестановок индексов (6.6.5) и свойство антисимметрии 7?oPV, находим

(N— 1) R入pov = *vpg九и — Rgpghw(13.2.3)

Но это выражение должно быть антисимметрично и по 九 и р, а потому

R”pgKu — *upgM? ~ — E^ngpo + Aggpv

Свертывая далее X и v, находим

Е(и)— N £<jp =—足入 gop + *ри ・

Таким образом, тензор Риччи принимает вид

R。产与 g。/%(13.2.4)

Подставляя это в (13.2.3), находим выражение для тензора кривизны

吟

^^pov = "R(^" ~"~]j"“ {gvpg九о gopgKv}*(13.2.5)

Это выражение удовлетворяет соотношению (13.2.1), и ничего более с помощью (13.2.1) мы получить не можем.

В пространстве, которое изотропно в окрестности каждой точки, выражения (13.2.4) и (13.2.5) будут справедливы везде, it мы можем использовать тождества Бианки, чтобы исследовать зависимость скалярной кривизны 7?人九 от поло/кения. Подставляя (13.2.4) в (6.8.4), получаем

[叫-4^а」。=(伞一+)此)；。=。， или

(4"-号)*a入"(13.2.6)

Следовательно, в любом пространстве трех или более измерений, в котором (13.2.4) справедливо повсюду, 7?\ постоянно. Вместо 7?\ удобно ввести постоянную кривизны К с помощью соотношения

в\ = -N〈NfK.(13.2.7)

Подставляя последнее выражение в (13.2.4), перепишем тензор Риччи и тензор Римана ——Кристоффеля в виде

&р 三一(N— 1) Kg吶(1328)

^Xpov — К {gopg^v — gvpgw}.(13.2.9)

В дифференциальной геометрии пространство, обладающее такими свойствами, называют пространством постоянной кривизны.

Кроме того, в § 7 гл. 6 мы показали, что тензор кривизны в двух измерениях всегда имеет форму (13.2.5), а потому не удивительно, что в данном случае (13.2.6) не позволяет нам сделать никаких заключений о постоянстве 7Г\. Однако, используя (13.2.2), можно показать, что величина К в (13.2.9) постоянна и для максимально симметричных пространств с числом измерений N = 2.

Предположим теперь, что даны две метрики g^ (出)и g]~ (/'), обе имеющие одинаковое число положительных и отрицательных собственных значений и обе удовлетворяющие условию (13.2.9) максимально симметричного пространства, т. е.

E^puv = К (gopgX/v — gvpg&u)，(13.2.10)

н/s = к (gipg3 —g；pg3),(13.2.11)

где скалярная кривизна одна и та же в обоих случаях. Покажем, что g^v (т) и g]v (/') должны быть эквивалентными в том смысле, что существует преобразование 况 f /', которое превращает g^” (况) 近 gjv (况)？ т. e*

g/3)*^ = g<-(a(13.2.12)

Докажем это путем реального построения /'伐(/) в виде степенного ряда по 力快.Прежде всего заметим, что равенство числа положительных и отрицательных собственных значений g^ и ^^v означает, что можно иайти несингулярную матрицу d快门 для которой

^V (0) d^d^^g.. (0).(13.2.13)

(Обоснование здесь то же, что и в § 4 гл. 6.) Таким образом, мы можем удовлетворить (13.2.12) в нулевом порядке по / с помощью

/'n—d快м".

Теперь воспользуемся математической индукцией. Предположим, что нам удалось удовлетворить (13.2.12) в порядке п — 1 по %觊 полиномом

/К(2)= dyp + 2 % 碣…Р产'…""'％(' 3.2.14)

m=2

Добавим член порядка тг + I по 力快,чтобы (13.2.12) было установлено в п-ы порядке. Это условие будет удовлетворено, если производная (13.2.12) установлена в порядке п ——1, т. е. если

不旣'快dxv , /八 д^，х а'快

aded 汲。g"v（2）「豆守石小位）十

дх^ 汲小甌卄(％') 8^00 ⑺дх^ 汲小甌卄(％') 8^00 ⑺в порядке 胃办工в порядке 胃办工

дх^ 汲小甌卄(％') 8^00 ⑺

дх^ 汲小甌卄(％') 8^00 ⑺

в порядке 胃办工

в порядке 胃办工

Это будет выполняться тогда (и, по существу, только тогда),

когда справедливо равенство

新 g/‘ 3) = gs ⑺ Г7р(N)—

力?"汲。汲"Это необходимо доказать л ишь в мы мо>кем использовать (13.2.12), л ело в этом порядке, и превратить力?"汲。汲"Это необходимо доказать л ишь в мы мо>кем использовать (13.2.12), л ело в этом порядке, и превратить^■П (^) Г^с (хг) в порядке 第"工порядке п — 1 по n快,так что предполагая, что оио установ- его в эквивалентное требование^■П (^) Г^с (хг) в порядке 第"工порядке п — 1 по n快,так что предполагая, что оио установ- его в эквивалентное требование

力?"汲。汲"

Это необходимо доказать л ишь в мы мо>кем использовать (13.2.12), л ело в этом порядке, и превратить

力?"汲。汲"

Это необходимо доказать л ишь в мы мо>кем использовать (13.2.12), л ело в этом порядке, и превратить

^■П (^) Г^с (хг) в порядке 第"工

порядке п — 1 по n快,так что предполагая, что оио установ- его в эквивалентное требование

^■П (^) Г^с (хг) в порядке 第"工

порядке п — 1 по n快,так что предполагая, что оио установ- его в эквивалентное требование

■^J=k"p(z)—ВВ^Мс) В П0РЯДКе ”

(13.2.15)

Мы можем использовать (13.2.14), которое справедливо в порядке^71, чтобы вычислить ч^ен порядка j;n-1 в правой части. Выпишем член

порядка 汽一1:

I^(z) —萼 ^Г/3)] =

端S...昨户…加пт，03.2.16)端S...昨户…加пт，03.2.16)А%卩 d#」

端S...昨户…加пт，03.2.16)

端S...昨户…加пт，03.2.16)

=一8 二IJf

зависят весьма сложным образомзависят весьма сложным образомпричем коэффициенты 或卩…:

зависят весьма сложным образом

зависят весьма сложным образом

от функций g^v (n) и g]v (n‘)и от ранее найденных коэффициентов ^b..Pm. Тогда (13.2.15) будет удовлетворено в порядке 汽——1， если мы прибавим к (13.2.14) член порядка 汽 + 1

产(切=…7吁 (13.2.17)

при условии, что коэффициент ^ро!..^^! полностью симметричен по всем его нижним индексам. Эти коэффициенты, очевидно, симметричны при перестановке X и р или индексов среди 仃皿, так что единственное условие, которому надо удовлетворить, это чтобы данный коэффициент был симметричен по Z и любому вт или, эквивалентно, чтобы производная (13.2.16) по 企° была симлютрична по 九 и о:

為(•#%(?)—礬^^3)) =

=-^4绥Г^⑺一写岑爲弘吟)в пороке比叮.(13.2.18) дх ' дхдх/

Так как предполагается, что выражение (13.2.12) установлено в порядке /^т, выражение для его производной (13.2.15) будет справедливо в порядке .г72-2, а потому мы можем воспользоваться (13.2.12) и (13.2.15), чтобы переписать (13.2.18) в виде эквивалентного требования:

R^ (ж) = Д；^ (х1) в порядке 久*2. (13.2.19)

Теперь воспользуемся выражениями (13.2.10) и (13.2.11), которые позволяют ввести вместо (13.2.19) эквивалентное требование:

СМ； •/ \ UL/ \

d小 / 8z'x 以快，/ ,、淤'快 дх° , /，八n-2

Н声(声才缶，(")_RRg”。(N)) ВшфтКех 2.

(13.2.20)

Это условие действительно удовлетворено, ибо предполагалось, что (13.2.12) установлено в порядке ^п-1. Как уже говорилось, это означает, что (13.2.19) установлено в порядке 产-工 Отсюда

следует, что (13.2.18) справедливо в порядке тп-2, что в свою очередь означает полную симметрию коэффициентов с^рор-.о по их нижним индексам. Из симметрии вытекает, что (13.2.17) удовлетворяет (13.2.15), откуда следует, что путем прибавления (13.2.17) к (13.2.14) мы можем удовлетворить (13.2.12) в порядке 力。Таким образом, если (13.2.12) может быть удовлетворено в порядке 况n-i полиномом /' (/) порядка 汽 +1, то его можно удовлетворить в порядке 况72 полиномом %’ (况)порядка 汽 + 1, и, следовательно, функция х (/), удовлетворяющая (13.2.12), действительно может быть построена как степенной ряд, что и требовалось доказать.

Максимально симметричные пространства. Построение

Максимально симметричные пространства, по существу, единственны, так что мы можем узнать о них все путем построения любых примеров пространства произвольной кривизны К. Имеется довольно очевидный путь выполнения такого построения (фиг. 13.1). Рассмотрим плоское (7V 十 1)-мерное пространство с метрикой

—йт2 = gAB dxA dxB = Суд, d/N &n” + Kt d井, (13.3.1) где Cuv ——постоянная N X TV-матрица, а К ——некая константа. Можно вложить неевклидово Л^-мерное пространство в это более широкое пространство, ограничивая значения переменных 方伍 и z поверхностью сферы (или псевдосферы):

КС^х^ + ^=\. (13.3.2)

На этой поверхности &2 выражается следующим образом:

К2 (С^ 也”)2№ (С^ d/产

(l-KC^z^)

и, следовательно, (13.3.1) имеет вид

——&七2.__ c^v dx^ dxv -fТогда метрика имеет вид——&七2.__ c^v dx^ dxv -fТогда метрика имеет видК (С^ d^К (С^ d^gg (к) ~ Сцг + ~ ~С卩九步С，"・(丄-Л-Орд^ £ )gg (к) ~ Сцг + ~ ~С卩九步С，"・(丄-Л-Орд^ £ )(13.3.3)(13.3.4)(13.3.3)(13.3.4)

——&七2.__ c^v dx^ dxv -f

Тогда метрика имеет вид

——&七2.__ c^v dx^ dxv -f

Тогда метрика имеет вид

К (С^ d^

К (С^ d^

gg (к) ~ Сцг + ~ ~С卩九步С，"・

(丄-Л-Орд^ £ )

gg (к) ~ Сцг + ~ ~С卩九步С，"・

(丄-Л-Орд^ £ )

(13.3.3)

(13.3.4)

(13.3.3)

(13.3.4)

Плоское пространство оказывается частный случай при К = 0.

Из этого построения следует очевидный вывод, что (13.3.4) допускает IN (N + 1)/2]-параметрическую группу изометрий (13.3.1), так как и (W + 1)~мерный линейный элемент (13.3.1) и условие «вло?кения» (13.3.2) явно инвариантны относительно

Фиг. 13.1. Представление точек сферы путем проектирования их на экваториальную плоскость.

Отметимt что каждой спроецированной точке с данными координатами л^ соответствуют две точки на сфере.

жестких «вращений» (N + 1)-мерного пространства, т. е. относительно преобразований

力'从—B^vx^ -^- R^zz,(13.3.5)

z z‘ = E”炉伍 + £%z,(13.3.6)

где Rab — постоянные, удовлетворяющие соотношениям

0炉£%五、+弋叫解-%(13.3.7)

C^^R\ + K-m\Rzz = 0,(13.3.8)

C^^^K^ (Т?1)2 = К〕(13.3.9)

Удобно различать два класса простых преобразований, задаваемых (13.3.7) — (13.3.9):

А.£气工阕气，А、= Е^ = 0, R% = 1,(13.3.10)

где 勿％ —любая N X TV-матрица, подчиняющаяся соотношению

С^^\ = С^(13.3.11)

Это условие соответствует жестким《вращениям» относительно начала координат

犬林=留%T”犬林=留%T”(13.3.12)

犬林=留%T”

犬林=留%T”

В.刑z = a", «V= -КС^, Rzz=(i-KCpaaOa^\ (13.3.13)

В\ = д\-ЬКСхраРа^,(13.3.14)

где 〃从 произвольно, за быть действительным,

и

Ъ

исключением того, что, так как л2 должно должны выполняться соотношения

КСро^РаУ 1

(13.3.15)

_ [(l — KCp"V)i/2

(13.3.16)

Эти преобразования можно назвать «квазитрансляциями», поскольку

炉伍=/觊 + 〃觊[(]—KCp*Pdy — ЬКС0Ох^а°].(13.3.17)

В частности, они переводят начало координат 力快=0 в точку 〃卩.

Существование изометрий (13.3.17), которые переводят начало координат в любую точку (по крайней мере внутри конечной области), означает, что рассматриваемое пространство однородно^ т. е. любая точка геометрически подобна любой другой точке. (Это свойство явно не видно в пашей системе координат, точно так же как на карте Земли в полярной проекции не видно, что кривизна Земли одна и та же как в Массачусетсе, так и на Северном полюсе.) Существование изометрий (13.3.10), которые включают все жесткие «вращения» относительно начала координат, означает, что рассматриваемое пространство изотропно относительно начала координат. Если же учесть, что метрика однородна, то пространство является изотропным в каждой точке, т. е. максимально симметричным.

Можно построить векторы Киллинга для этой метрики, устремляя конечные преобразования (13.3.5) и (13.3.6) к тождественным Сначала рассмотрим преобразования А и положим

^%^6% + ей%, |£|《1,

СМ^р 十&霜匕=0.(13.3.18)

Сравнивая это с (13.1.3), получаем векторы Кпллинга в виде 三%(e)=。气吟(13.3.19)

Рассмотрим теперь преобразование Б и положим

a貝=：£叫 I £ |《1.

Сравнивая последнее с (13.1.3), находим соответствующий вектор Киллинга

Fa Q)=砂[1 ~КС^^1г.Fa Q)=砂[1 ~КС^^1г.(13.3.20)(13.3.20)

Fa Q)=砂[1 ~КС^^1г.

Fa Q)=砂[1 ~КС^^1г.

(13.3.20)

(13.3.20)

Читатель может убедиться в том, что (13.3.19) и (13.3.20) действительно удовлетворяют условиям Киллинга (13.1.5). Имеется N (N — 1)/2 независимых параметров [т. е. № элементов Q%, отвечающих TV (7V + 1)/2 условиям (13.3.18)1 и N параметров а^, так что рассматриваемая метрика позволяет построить N (7V + 1)/2 независимых векторов Киллинга, подтверждающих наличие максимальной симметрии.

Геодезические, соответствующие этой метрике, имеют замечательно простой вид. С помощью (13.3.4) легко вычислить, что аффинная связность равна

Г^х ^ K"gv 入,Г^х ^ K"gv 入,(13.3.21)

Г^х ^ K"gv 入,

Г^х ^ K"gv 入,

d2册d2册так что дифференциальное уравнение для геодезических выглядит так:

d2册

d2册

4~К/ = 0.4~К/ = 0.(13.3.22)

4~К/ = 0.

4~К/ = 0.

Решение его ——эю линейные комбинации sin (т]/К)и cos (т]/К) для К〉0 или sh(T]/ — К)и ch (т]/ — К) для К V 0・

Можно выявить внутренние свойства данного пространства, вычисляя его тепзор кривизны. Непосредственные вычисления, использующие выражения (6.6.2) и (13.2.21), дают тензор Римана —Кристоффеля для метрики (13.3.4) в виде

Exvpcr = A [^xa^vp — CxpCvo] +

+ R2 [] — KCg 碎 #「[以0外胃0 —+ CvpxHx0 一 C^x^x^X

(где ХуМ&цХ，(где ХуМ&цХ，ИЛИИЛИ

(где ХуМ&цХ，

(где ХуМ&цХ，

ИЛИ

ИЛИ

Rxvpo ~ К [gpvgxo — gcfvgxp]

в соответствии с выражением (13.2.9). Поэтому постоянная К в выражениях (13.3.1) и (13.3.2) та ;ке самая, что и постоянная кривизны, используемая в предыдущем параграфе.

Так как К — инвариантный параметр, мы не можем заменить метрику (13.3.4) подобной метрикой с отличным К с помощью преобразований координат. Напротив, из выражения (13.3.3) следует, что с помощью линейной трансформации

砂=4气N"

можно преобразовать метрику (13.3.4) в подобную метрику с тем же самым К и &”，замененным на

с^=лрил%с

р。.

Из обсуждения, проведенного в § 6 гл. 3, вытекает, что таким способом можно заменить С^у любой действительной симметрии ной матрицей по нашему желанию, имеющей, однако, те же самые числа по л ожител ьны х и отрицательных собственных значений Числа собственных значений каждого знака матрицы Cuv те же самые, что и у матрицы g快” в точке 况=0, и, следовательно, те же самые, что и во всем пространстве, поскольку все его точки эквивалентны.

TV-мерная метрика, позволяющая ввести локальные евклидовы системы координат (в противоположность, скажем, системе Минковского), будет иметь все собственные значения положительными, а потому для К 六 0 можно считать С^ равной | К |-1, умноженной на единичную матрицу. В этом случае (13.3.3) примет вид

曲2 = Rt [@х + (:二?2~] ДДяК>0 (13.3.23) или

ds2=|K「i[dx2 —(：^?：] для KVO. (13.3.24)

Для К = 0 можно положить С^ равной просто единичной матрице; тогда (13.3.3) дает

曲 2 — &х? для К = 0.(13.3.25)

(Здесь используются N-мерные обозначения векторов. Мы заменили также ——^т2 собственной длиной ds2, поскольку в данном примере интересуемся скорее геометрией, чем физикой.) Перейдем теперь к исследованию глобальных свойств этих пространств.

Для К > 0 удобнее вернуться к интерпретации (13.3.23) как метрики кривого пространства, вложенного с помощью (13.3.2) в плоское пространство (13.3.1). Будем считать, что (13.3.23) описывает поверхность

х2 + 22 - 1(13.3.26)

в плоском пространстве, где интервал имеет вид

赤2 _ к-1 ®х2 + 成2].(13.3.27)

Очевидно, что эта метрика соответствует просто поверхности сферы с радиусом К~^2 в (7V + 1)-мерном пространстве. [Чтобы сделать координаты х и z истинно евклидовыми, произведем замены х'=长一工必乂 и z‘ = К，％. Тогда (13.3.26) будет выглядеть так: х'2 + z'2 — К。] Так, в двумерном пространстве можно ввести угловые координаты 9, ф, задавая

① 1 = sin 9 cos (р,况2 = sin 9 sin 中，

и (13.3.27) тогда принимает известный вид линейного элемента на сфере с радиусом КТ?:

加2 _ К—工团82 + sin2 0 d屮2].(13.3.28)

Вообще говоря, значения переменных х ограничены следующим образом:

х2 & 1.

Однако в действительности каждое х соответствует двум точкам, по числу корней уравнения (13.3.26) для 2. (Например, в двумерном пространстве компоненты х — это координаты точек сферы, спроецированные на касательную плоскость. На карте Земли в полярной проекции Бостон, таким образом, оказывается в той же самой точке, что и Сан-Карлос де Барилоче в Аргентине.) Объем TV-мерного пространства описывается (13.3.23) и, следовательно, равняется

Pn = 2 J М? dq ... dxN = 2K-N/2 J .*•••* .

Непосредственное вычисление дает

2…/2…Г ((TV+1)/2)

Например, l\ = 2пК~г^2 есть периметр окружности радиусом К-"?, а У2 — 4лКТ есть площадь сферы радиусом X-1/2. Трехмерное пространство постоянной положительной кривизны имеет объем

V3 = 2№К-з/2.

Можно также вычислить длину окружности на такой сфере, используя в качестве геодезических решения уравнения (13.3.22), которое теперь имеет вид

备+ Кх = о.(13.3.30)

Решения, проходящие через точку х = 0, запишутся в виде

х = е sin (sK〃2),(13.3.31)

где для того, чтобы удовлетворить (13.3.23), положено

е2 = 1.(13.3.32)

Если мы начнем двигаться с «Северного полюса» х = 0 вдоль геодезической, мы достигнем «экватора» х = е при s = л7Г-1/2/2, «Южного полюса» х = 0 при s = лК^2, достигнем противоположной точки х = —е на «экваторе» при s = ЗлК^2/2 и вернемся в начальную точку при s = 2лК~^2. Таким образом, длина геодезической, охватывающей все пространство и возвращающейся

в ту же точку, равняется

(13.3.33)(13.3.33)

(13.3.33)

(13.3.33)

в пространстве произвольного числа измерений с постоянной положительной кривизной. Это вычисление наглядно показывает, что пространство, задаваемое (13.3.23), конечно, но не ограничено^ когда мы достигаем кажущейся сингулярности при х2 — 1, то мы просто проходим через нее, но уже с z, равным корню того же уравнения (13.3.26) с обратным знаком.

При К V 0 метрика (13.3.24) не имеет даже кажущейся сингулярности и ничто не ограничивает координаты х. В этом можно убедиться, вычисляя геодезические, которые, согласно уравнениям (13.3.30) и (13.3.24), имеют в данном случае следующий вид:

х = е sh (s (—К)'/?),х = е sh (s (—К)'/?),(13.3.34)(13.3.34)

х = е sh (s (—К)'/?),

х = е sh (s (—К)'/?),

(13.3.34)

(13.3.34)

е2 = 1.е2 = 1.(13.3.35)

е2 = 1.

е2 = 1.

Можно, очевидно, пройти вдоль этой геодезической неограниченное расстояние, выйдя из начала координат. Для N = 2 это пространство совпадает с тем, что было открыто Гауссом, Бойяи и Лобачевским. [См. § 1 гл. 1. Для того чтобы задать метрику в форме (1.1.9) модели Клейна, необходимо ввести новый набор координат 胃"，определяемый х‘ = х (1 + х?)—/?」Из (13.3.1) и (13.3.2) видно, что эта геометрия отвечает следующей поверхности в плоском пространстве:

гдегде—X2 + 炉=1,加2 = J К尸山片-@/.—X2 + 炉=1,加2 = J К尸山片-@/.(13.3.36)(13.3.37)(13.3.36)(13.3.37)

где

где

—X2 + 炉=1,

加2 = J К尸山片-@/.

—X2 + 炉=1,

加2 = J К尸山片-@/.

(13.3.36)

(13.3.37)

(13.3.36)

(13.3.37)

Срл?=刀伐v・Срл?=刀伐v・Тогда метрика примет видТогда метрика примет вид—dx2 = dx2 — dt2—dx2 = dx2 — dt2,К （X-rfx —力也产十，一K（X2一拦）.,К （X-rfx —力也产十，一K（X2一拦）.(13.3.39)(13.3.39)

Срл?=刀伐v・

Срл?=刀伐v・

Тогда метрика примет вид

Тогда метрика примет вид

—dx2 = dx2 — dt2

—dx2 = dx2 — dt2

,К （X-rfx —力也产十，一K（X2一拦）.

,К （X-rfx —力也产十，一K（X2一拦）.

(13.3.39)

(13.3.39)

Знак минус в (13.3.37) означает, что это плоское пространство не является евклидовым. Теперь понятно, что геометрия Гаусса —— Бойяи —— Лобачевского не могла быть открыта до тех пор, пока геометры не научились думать о кривых поверхностях не как о подпространствах обычного евклидова пространства, но как о пространствах, характеризуемых их собственными внутренними метрическими соотношениями.

Наконец, возвратимся к пространству-времени и исследуем структуру четырехмерной максимально симметричной метрики с тремя положительными и одним отрицательным собственными значениями. В этом случае можно положить

(13.3.38)

При К > 0 можно ввести координаты, в которых пространствен- 咒〃兄 часть метрики оказывается плоской, а именно

2 =会[等ch (月做，)+ (1 +等)sh (/照)],(13.3.40) x=x，exp(K%，).

Тогда (13.3.39) записывается следующим образом:

di：2 = d，2_exp (2К1/%) dx”.(13.3.41)

Можно также ввести координаты, в которых метрика оказывается не зависящей от времени, т. е.

y =力'^-b [1 一kx'2 ех? (2片阳)],

х" = х‘ ехр (К"?，).(13.3.42)

Тогда (13.3.41) принимает вид

d辞=(1 —Кх"2) dt^-d^-^^^.(13.3.43)

Такую метрику впервые обсуждал де Ситтер [2], она явится основой нашего рассмотрения стационарной космологической модели в гл. 14.

Следует еще раз подчеркнуть, что хотя и кажется, что максимально симметричная метрика (13.3.4) возникает произвольным образом, в действительности она представляет собой наиболее общий возможный случай максимально симметричной метрики, поскольку теорема единственности из предыдущего параграфа утверждает, что любая другая максимально симметричная метрика может быть приведена к виду (13.3.4) с помощью надлежащего преобразования координат.

§ 4. Тензоры в максимально симметричном пространстве

Предположение о максимальной симметрии может быть отнесено не только к метрике пространства, но и к любому тензорному полю, содержащемуся в пространстве. Говорят, что тензорное поле 7卩”…является форминвариантным относительно преобразования 力 f 力\ если 7/ ...(片) 一та же самая функция его аргумента 第‘从,что и Трд•…(/) ее аргумента %也 т. е.

7@) = %v…仅)для всех у.(13.4.1)

27*

В любой данной точке преобразованный тензор задается обычной формулой

а потому условие форминвариантности (13.4.1) выглядит так:

県.(砌=(13.4.2)

При инфинитезимальном преобразовании

况'从=况伍+无"(N),|e1《1,

условие (13.4.2) в первом порядке по е принимает вид

+ ■•-+^ {х)-^Т^... (ж)(13.4.3)

(т. е. производная Ли от 7快”…по 三九 равняется нулю; см. § 9 гл. 10). Тензор в максимально симметричном пространстве, удовлетворяющий (13.4.3) для всех N (N + 1)/2 независимых векторов Киллинга Е" (/), будет называться максимально форминва- риантпним^

Для скаляра S (n) соотношение (13.4.3) выглядит просто как

恥(%) 47s 3) = 0.(13.4.4)

Если скаляр является максимально форминвариантным, то 三九(n) в любой данной точке может принимать любое значение и, следовательно, (13.4.4) требует, чтобы S было постоянным:

祭=0・(13.4.5)

Для любого другого максимально форминвариантного тензора удобно сначала выбрать векторы Киллинга 三九(^), которые в данной точке X удовлетворяют условию

尹(X) = 0

и для которых величины

…)= g0.(x)(*)z

образуют произвольную антисимметричную матрицу. Тогда в тон- ке % = X уравнение (13.4.3) записывается следующим образом:

о = 1а; г да%...+6^/.. +，..}.

Так как 己。；匸一произвольная антисимметричная матрица, коэффициент при ней должен быть симметричным по а и т:

&?%... + 6^/.. +... = 6；7\.. + ^Т^.+….(13.4.6)

Поскольку X было произвольным, это условие должно выполняться повсюду.

Для максимально форминвариантного вектора Лц (/) соотношение (13.4.6) принимает вид

心4。= 62

Свертывая 卩 и т, находим, что в TV-мерном пространстве выполняется

N/嘖 А\

Отсюда, исключая тривиальный случай N = 1, следует

А° = 0.(13.4.7)

Для максимально форминвариантного тензора второго ранга 5^ уравнение (13.4.6) выглядит так:

6爲％ + 6方」=8^B\ + 6。/j.

Свертывание т с ц дает

N方% + &0 =力"+心纬，

а понижение индекса о приводит к условию

(N — l) Bov + BVG = gGVB^.(13.4.8)

Вычитая отсюда подобное соотношение с переставленными v и о, получаем

(N 一 2)(5З一公。) = 0,

т. е., если N 抬 2, тензор 5av должен быть симметричным:

BGV =方 vu(13.4.9)

(При двух измерениях Bov может иметь антисимметричную часть, пропорциональную g-1/2e^v; см. § 4 гл. 4.) Подставляя (13.4.9) в (13.4.8), находим, что для N 義 3 (и для симметричной части Bav при /V — 2) выполняется соотношение

稣v = /guv?(13.4.10)

где

Чтобы отыскать зависимость / от координат, можно подставить (13.4.10) снова в условие форминвариантности (13.4.3):

°=+穿『方(3)■

Но 纟卩① удовлетворяет условию Киллинга (13.1.4), что дает

0 = g"君*

В максимально симметричном пространстве можно в любой данной точке придать 仔 любое значение и, следовательно,

=0.=0.(13.4.11)

=0.

=0.

максимально форминвариашпныймаксимально форминвариашпныйТаким образом, единственный

максимально форминвариашпный

максимально форминвариашпный

тензор второго ранга ——это метрический тензор, возможно, умноженный на какую-нибудь постоянную.

Пространство с максимально симметричными подпространствами

Во многих физически важных случаях все пространство (или пространство-время) не является максимально симметричным, но может быть разложено на максимально симметричные подпространства. Например, сферически-симметричное трехмерное пространство может быть представлено как набор сферических поверхностей с центрами в начале координат, каждая из которых описывается метрикой (13.3.28). В гл. 14 мы рассмотрим такие типы пространства-времени, для которых метрика сферически- симметрична и однородна в каждой «плоскости» постоянного времени.

В этом параграфе мы увидим, что максимальная симметрия набора подпространств накладывает очень сильные ограничения на метрику всего пространства. Для того чтобы сформулировать и доказать это положение, прежде всего выберем удобную систему координат. Если все пространство имеет N измерений, а его максимально симметричные подпространства Л7-мерны, то мы можем маркировать эти подпространства N 一 М координатами, обозначаемыми 卢，и задавать точки внутри каждого подпространства с М координатами tz\ Ряд примеров приведен в табл. 13.1.

Мы говорим, что подпространства с постоянными и° являются максимально симметричными, если метрика всего пространства инвариантна относительно группы инфинитезимальных преобразований

标靈 +eg (и, и), (13.5.1)

/ +г/а = * (13.5.2)

Таблица 13.1

Примеры пространства с максимально симметричными подпространст]вами

Пример

и-координата

u-координата

Сферически-симметричное пространство

г

В, ф

Сферически-симметричное пространство-время

Г,力

е, ф

Сферически-симметричное и однородное пространство-время

i

г, 0,屮

где 三匕 являются М (М + 1)/2 независимыми векторами Киллинга. Это преобразования общего вида (13.1.3), но с той особенностью, что va являются инвариантами, а потому

^а (и. V)0. (13.5.3)

Заметим, что хотя эти преобразования действуют только на переменные zz, нет никаких причин, по которым эти правила преобразований не могли бы зависеть параметрически от величин va, соответствующих данному трансформируемому подпространству. Наше утверждение о том, что имеется М (М + 1)/2 «независимых» векторов Киллинга, следует понимать в том смысле, что существует М (М + 1)/2 векторов Киллинга, не связанных никакими линейными соотношениями, в которых коэффициенты не зависят от и.

Общее положение, определяющее структуру таких пространств, формулируется в виде следующей теоремы. Всегда можно выбрать такие координаты, что метрика всего пространства задается формулой

—d辞三 g^v dx^ dxv= gab (f) dva d歩十/ (и) g^ (u) du1 du\ (13.5.4) где gab (и) и / (и)——функции только р-координат, a g订(口)—— функция только u-координат и сама по себе является метрикой Л/-мерного максимально симметричного пространства. (Обозначение суммирования здесь прежнее, причем а, Ь. . . пробегают /V —М значений номеров координат р, a z, j, k, I. . , пробегают М значений номеров координат и.)

(ачиная доказательство, запишем условие того, что (13.5.1) есть изометрия всего пространства g^v (%). Это условие удобно использовать здесь в его первоначальной форме (13.1.4), а не в более изящной ковариантной форме записи (13.1.5). Каждый индекс 卩，％ р в (13.1.4) теперь пробегает N — М значений номеров координат va и М значений номеров и\ а потому (13.1.4) записывается теперь в виде трех отдельных уравнений.

Для р — z, о = j имеем

°=— ghj w。)+ -i--- ghi (w,。)T一 дигНиз

+ ^ (u, u) •(13.5.5)

Для р =厶 о = а имеем 0=^>^gAa(〃，。)十~^^><

X gik 3, Р) + н (и, 0 а?叱.(13.5.6)

Для р — а, и = Ь имеем

° =gAb (и, Р) +J • X

X gka з,。) +『3,产嗽 ° .(13.5.7)

Первое из этих трех уравнений говорит просто о том, что gij (口，и) должно быть для каждого фиксированного набора ра метрикой 7И-мерного пространства с координатами и\ которая допускает существование векторов Киллинга f. Мы предполагаем здесь, что существует М {М + 1)/2 таких независимых векторов Киллинга; из этого следует, что подматрица g订(〃,р) является в свою очередь максимально симметричной метрикой для каждого набора фиксированных и". Из обсуждения, проведенного в § 1 гл. 13, вытекает, что для любой данной точки м& можно найти векторы Киллинга Е" (и, и), причем g丸(u。, р) и "丸；？ ("о,沙)принимают произвольные значения, удовлетворяющие единственному требованию, чтобы 己丸；％ =——己匕；丸.Таким образом, метрика g订(и, и) является для каждого р однородной по 〃 и изотропной в любой точке.

Два других уравнения содержат информацию об остальных элементах gai и gab, а также о зависимости векторов Киллинга от V. (Зависимость от р не совсем произвольна. Например, справедливо следующее утверждение: переопределением координат и всегда можно добиться того, чтобы метрика g订(и, р) имела независимые от V векторы Киллинга 己‘ (〃)，а векторы Киллинга F (и, р) всего пространства были бы, вообще говоря, линейными комбинациями 亨(м), причем коэффициенты в них могли бы зависеть от координат р.) Для того чтобы извлечь информацию, содержащуюся в (13.5.6) и (13.5.7), очень удобно перейти к новому набору координат и'' (м, р) в максимально симметричных подпространствах так, чтобы gja равнялись нулю. Предположим, что можно

найти функцию Uh (р; и。), удовлетворяющую дифференциаль- ][ому уравнению

gih〈U, v)^=—gm(U,吩(13.5.8)

с начальным условием

Uh (р0； и°)三 /(13.5.9)

в некоторой точке роа. Тогда координаты м'\ v'a определяются соотношением

小=u口房；办)，(13.5.10)

va = v，a.(13.5.11)

В этой системе координат метрика имеет вид

0。 (疗，»)=需第&a3,。)十署&。3, 0)=

и, таким образом, уравнение (13.5.8) приводит к результату

必 а = 0・(13.5.12)

Следовательно, можно построить координаты 〃'，в которых g% равняется нулю, если существуют решения дифференциального уравнения (13.5.8) с произвольными начальными условиями (13.5.9).

Перепишем (13.5.8) в эквивалентной форме:

{U, р),(13.5.13)

где

F\(U, v)^T(V. o)g，a(«。)，(13.5.14)

a g — матрица, обратная т. е.

?”gjA = ^・(13.5.15)

(Черта должна напоминать, что //-элемент матрицы g", обратной к g订，не равен Zj-злементу g" матрицы g^, обратной к gw) Когда имеется только одна координата и (как в случае, рассмотренном в главе, посвященной космологии), очевидно, что уравнение (13.5.13) может быть решено при произвольных начальных условиях. В общем случае для того, чтобы доказать, что (13.5.13) интегрируемо, надо проделать некоторую работу. Применим тот же метод, что и в § 2 этой главы. Попытаемся решить уравнение (13.5.13) в окрестности % с помощью разложения

по степеням р ——р0:

= 2 "^TCai. . .ап (^ — ^。产...(U — %)叫(13.5.16)

71=0

Ясно, что начальные условия (13.5.9) удовлетворяются, если вы

брать коэффициент при /г = 0 в виде

и уравнение (13.5.13) удовлетворяется в нулевом порядке по V — %, если выбрать

^а = — #а (以0, U。).

Теперь, продолжая по индукции, предположим, что можно выбрать члены из (13.5.16), вплоть до членов порядка (и — %尸， так что (13.5.13) удовлетворяется с точностью до (р — р0)п-1. Тогда можно использовать эти члены для вычисления вклада порядка (и — %)" в Fka(U, и). Запишем его в виде

[^ а (U (% 〃о), ^]порндка п = ~^у /abi ….匕几(U 必)1 ，. • {v ―1 U。)・

В этом случае (13.5.16) будет удовлетворять (13.5.13) с точностью до членов порядка (и —— 沙。)",если представить вклад в U порядка п ~г I как

[Uk(U； 〃о)]перя;ща тг+1и ^7р1уР/鼠…b几(D一u0)"(D一D0产• • •(D一^^П , с условием, что / симметрично но всем его индексам. Так как/^匕广..ъп можно, очевидно, выбрать симметричным по индексам Ь, достаточно потребовать, чтобы оно было также симметричным при перестановках а и любого b или, эквивалентно, чтобы величина [磊严а 0(% "亂 Р)]порядка п-1

была симмет])ичной по а и Ь. Но предполагается, что U удовлетворяет (13.5.13) в порядке (и — %)办一1, а потому предыдущее требование выполняется, если величина

Ldu1况ь」n=U(% 〃o)

симметрична по 〃 и b. Итак, приходим к выводу, что (13.5.13) интегрируемо, если выполняется соотношение

А”％ (〃，ь)尸z( 讣 3F% 3, и)=

ди1匕'0涉

=a竺：(；0 川。(〃，у)_ 纱^幫 ”)(13.5.17) при всех и и v.

Для того чтобы доказать, что (13.5.17) действительзго справедливо, вспомним условие (13.5.6) для вектора Киллинга. Умно-

и<ая егои<ая егоУмножаяУмножаяна g%‘，получаем能в-it 比m-и k dgia丽=-g l^gma~g gдалее (13.5.5) на g ・g , имеемна g%‘，получаем能в-it 比m-и k dgia丽=-g l^gma~g gдалее (13.5.5) на g ・g , имеемTZ 比7ng @炉TZ 比7ng @炉i 二/ — — • g g duk -^ duhi 二/ — — • g g duk -^ duhа потомуа потому

и<ая его

и<ая его

Умножая

Умножая

на g%‘，получаем

能в-it 比m-и k dgia

丽=-g l^gma~g g

далее (13.5.5) на g ・g , имеем

на g%‘，получаем

能в-it 比m-и k dgia

丽=-g l^gma~g g

далее (13.5.5) на g ・g , имеем

TZ 比7n

g @炉

TZ 比7n

g @炉

i 二/ — — • g g duk -^ duh

i 二/ — — • g g duk -^ duh

а потому

а потому

g 5uj gma ё guk gma S g @3

так:(13.5.18)так:(13.5.18)Привлекая (13.5.14), можно переписать это выражение

так:

(13.5.18)

так:

(13.5.18)

Теперь продифференцируем его по рь и найдем

Uvb dva ° ди^ ' dv^ 丿 。龙 ди^ 况匕 duk况匕 ди^

а подставляя (13.5.18) в правую часть, получим

吟"一加pi嘰".園讨%弯 堤星

dvb dvaдиз дигди^ du。&小 ди^

! dF\ 0Fla d^Fla

Но ;)то последнее выражение должно быть симметрично по 〃 п Ь; следовательно, справедливо

尸•亠一 +弯 ди3 dvb尸•亠一 +弯 ди3 dvb竺支）型丄加 a / диг '

尸•亠一 +弯 ди3 dvb

尸•亠一 +弯 ди3 dvb

I duk диздик du^A# ЗиЛ

一~0г丿

Мы уже отмечали, что наше предположение о существовании Л/ (」/ + 1)/2 независимых векторов Киллинга позволяет в любой данной точке найти векторы Киллинга, для которых 己丸 исчезают и Zk：; = gki與历优 является произвольной антисимметричной мат])ицей. В частности, можно в любой данной точке выбрать F так, чтобы выполнялось условие

F = о,

Поэтому, умножая (13.4.19) на g&z и полагая к ~ п =^= т. находим

° du^du^ dva @戒'

что и является искомым соотношением (13.5.17). Коэффициент при F в (13.5.19) также должен равняться нулю, но здесь это не существенно.

Возвратимся теперь к главной линии нашего доказательства. Показав справедливость (13.5.17), мы теперь знаем, что (13.5.13) интегрируемо. Поэтому можно построить координаты и,г и и©、 определяемые (13.5.10) и (13.5.11), в которых компоненты метрики gia равны нулю. Выполнив это и опустив штрихи, запишем

gta = 0.(13.5.20)

Условия для векторов Киллинга (13.5.6) и (13.5.7) теперь выглядят так:

0 =嘉缶后，(13.5.21)

0 = 1 _^_.(13.5.22)

Так как gih несингулярно, из условия (13.5.21) следует, что

-# = 0.(13.5.23)

Мы отмечали также, что в каждой точке можно найти векторы Киллинга, для которых Е丸 принимают любые произвольные значения, а потому коэффициент при Е丸 в (13.5.22) должен равняться нулю:

” =(13.5.24)

duh

Теперь остается только показать, что g订(и, р) не зависят от V или эта зависимость определяется множителем / (р). Воспользуемся тем фактом, что для любого фиксированного р0 имеется М (М + 1)/2 независимых векторов Киллинга, соответствующих метрике g^ (м, р0), которые, согласно (13.5.23), являются также векторами Киллинга для g^ (и, р) при любом р. Каждый из этих векторов Киллинга ^ (и) будет тогда удовлетворять (13.5.5) ДЛЯ D =沙0 II при любом Р：

0 =- gkj (期 ％) + • ¥ — g/u 3, %) + Г (〃)——-7—,

дигдиЗдип

0 = ghj(u, v)+ ——gki(u, °)十 & з)——.—. дигдиз

Можно интерпретировать эти два уравнения, сказав, что gij (w, р) — максимально форминвариантный тензор [в смысле

§ 5. Пространство с максимально симметричными подпространствами 429 формулы (13.4.3)] в максимально симметричном пространстве с метрикой g订(и, р0). Тогда из этого следует, согласно выражениям (13.4.10) и (13.4.11), что тензор g^ (и, р) пропорционален метрике g^ (〃，р0), причем коэффициент пропорциональности не зависит от 〃，т. е.

ёа ®, и) = / (% Р0) g" (., %).

Значение р0 может быть фиксировано произвольным образом, так что мы можем его вообще не писать:

gij (и у) = / (у)Ьд^).(13.5.25)

где

/ (р) = /(V, Uo), 'gti (и) = gij (и, р0).(13.5.26)

Собирая (13.5.20), (13.5.24) и (13.5.25), убеждаемся, что метрика g^v (и, р) действительно имеет форму, задаваемую (13.5.4), (13.5.26) и (13.5.5), где v — v0 показывает, что g订(и) — максимально симметричная метрика, как было доказано.

Эту теорему можно было бы также доказать при явно более слабом предположении, что все пространство разбивается на подпространства, изотропные в каждой точке. Это предположение означает, что в любой точке м。, и можно найти векторы Киллинга всего пространства с f = 0, для которых ? исчезают в точке и。, V и для которых 己2；月 в точке 〃о, V —— это произвольная антисимметричная матрица. В частности, можно найти М {М — 1)/2 векторов Киллинга ^1т)(и, % 〃о), причем

/‘总3, p; м。)=0

即W (〃，о; "0)= — 1矶(〃，и;以0),

для которых справедливо соотношение

皆3 ("0, u; "。)三 gik м，p)(唠"询丁户 "。))= 6JW- 6阳.

Можно затем ввести

у〃，也〃о)三方為у”询з，% %,

и аргументы, приведенные в § 1 этой главы, указывают па то, что это векторы Киллинга всего пространства, причем

Е”° (и, и; и。) = 0

а

济)(以0, D； 〃о) = —-/1» g" Зо, и).

Существование М (М + 1)/2 независимых векторов Киллинга Е^ат) и gu(o показывает, что пространство действительно обладает максимально симметричными подпространствами.

Во всех практически важных случаях максимально симмет^ ричные подпространства являются пр остр анствами, которые в противоположность пространству-времени имеют положительные собственные значения подматрицы g订. В этом случае для того, чтобы вычислить 且订 а”？ &м‘, можно использовать (13.3.23), (13.3.24) или (13.3.25), что дает

一曲2 = gab (D) dva dvb + /(0 { du2 +^^i } , (13.5.27)

где / (и) положительно и