ВВЕДЕНИЕ

Физические методы исследования применяются в самых различных областях техники для установления оптимальных параметров технологических процессов, при разработке новой технологии и создании новых материалов. Физические исследования, проведенные в последние десятилетия, не только существенно изменили наше понимание физики, но и привели к созданию новых приборов и осуществлению процессов, жизненно важных для техники нашего времени. Развитие физики приводило и приводит к появлению новых отраслей техники: электротехника, радиотехника, радиоэлектроника, автоматика, атомная энергетика и кибернетика.

В свою очередь техника оказывала и оказывает стимулирующее влияние на развитие физики, так как способствует развитию новых разделов и созданию совершенных приборов и новых методов физических исследований.

С современной точки зрения, физика ——это наука о формах материи, о взаимодействии этих форм материи и их движений. Понятие «материя» сформулировано В. И. Лениным:

«Материя есть философская категория для обозначения объективной реальности, которая дана человеку в ощущениях его, которая копируется, фото гр афир уется, отображается нашими ощущениями, существуя независимо от них». (Поли. собр. соч. Изд. 5-е. Т. 14, с. 117)

Физика исследует свойства твердых тел, жидкостей, газов, плазмы, отдельных молекул, атомов, атомных ядер, элементарных частиц, а также изучает электромагнитные, гравитационные и ядерные поля. Помимо этого, физика рассматривает различные виды движения материи: механическое движение, колебания и волны различного рода, тепловое движение, распространение полей. В соответствии с этим физика делится на следующие разделы: механика, молекулярная физика 1* — 3 —

и термодинамика, электричество и магнетизм, оптика, атомная и ядер- ная физика. Каждый из этих разделов имеет многочисленные ответвления, между которыми существуют самые тесные связи.

Физика очень тесно связана с философией. Основой научного понимания физических процессов является учение диалектического материализма о формах движения материи, так как диалектический подход к явлениям природы обеспечивает неискаженное, правильное отражение действительности в нашем сознании.

Часть /

Физические основы механики

Глава 1

МЕХАНИКА ЧАСТИЦ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ

§ /. Предмет механики

В механике изучаются закономерности наиболее простых форм движения тел и причины, вызывающие эти движения. Механика состоит из трех подразделов ——кинематики, динамики и статики.

Кинематика изучает движение тел без учета причин, его вызывающих, т. е. исследует пространственно-временное перемещение тел. Она оперирует такими величинами, как перемещение, пройденный путь s, время т, скорость движения и и ускорение а.

Динамика исследует законы и причины, вызывающие движение тел, т. е. изучает движения материальных тел под действием приложенных к ним сил. К кинематическим величинам добавляются величины —сила F и масса т тела.

В статике исследуются условия равновесия системы тел, на которую воздействуют силы и моменты сил. Статика излагается в специальных курсах механики и здесь она отдельно рассматриваться не будет.

§ 2. Пространство % время. Системы отсчета

Для физики и для всего естествознания понятия пространства и времени являются основными.

В классической механике пространству и времени приписывали абсолютный характер. Так, например, считали, что пространство — это абсолютная пустота, обладающая тремя измерениями. Время рассматривалось обособленно как характеристика длительности.

Появление теории относительности, которая будет рассмотрена в дальнейшем, сыграло важную роль в выяснении свойств пространства и времени. Согласно этой теории пространство и время взаимосвязаны и связь эта устанавливается непрерывным движением материи в пространстве и во времени. Теория относительности отрицает изолированность и абсолютность этих понятий. Пространственно-временное описание процессов необходимо отнести к какой-либо выбранной системе тел и в этой системе рассматривать течение данного процесса.

Каждый материальный объект имеет определенный объем, т. е. ему присуща пространственная протяженность. Время выражает последовательность сменяющих друг друга явлений, процессов.

Теория относительности устанавливает, что пространственно-временные характеристики события, происходящего в той или иной системе, зависят от скорости движения данной системы относительно наблюдателя, а также от концентрации масс, в поле которых система движется.

Под системой отсчета понимается совокупность системы координат и набора синхронизированных часов, размещенных в разных точках координатной системы. Таким образом, понятие системы отсчета включает в себя пространственно-временную характеристику положения тела, при этом пространственная характеристика дается с помощью координат, а временная — с помощью набора синхронизированных часов.

Простейшими прямолинейными координатами являются прямоугольные декартовы координаты (х, у, 2), а простейшими криволинейными —полярные координаты (г, ср). В обоих случаях принципиально важным является выбор точки, в которую помещается начало отсчета системы координат.

Механическим движением называется изменение взаимного расположения тел (частей тела) относительно друг друга в пространстве с течением времени. Любое механическое движение относительно.

В природе нет абсолютно неподвижных тел, поэтому какое-либо тело условно считают неподвижным и выбирают его за т е л о о т- счета. Связывая с этим телом систему координат, получают систему отсчета. В качестве тела отсчета часто используется Земля или предметы и сооружения, находящиеся на Земле. Так, например, можно рассматривать перемещение тела в комнате, приняв за координатные плоскости ее стены и пол. При изучении движения Земли, планет и других небесных тел выбирают систему координат, связанную с Солнцем или какой-либо группой звезд.

В физике нет тел, которые в математическом смысле слова можно назвать точечными, и поэтому вводится понятие о материальной точке или геометрически простейшем представлении.

Материальной точкой называют такое тело, размерами и формой которого можно пренебречь в сравнении с размерами других тел или расстояниями до них в условиях данной задачи. Так, например, средний диаметр Земли равен приблизительно 12 700 км ^ ^ 0,13-105 км, а среднее удаление Земли от Солнца — около 150-105 км и поэтому в сравнении с расстоянием от Солнца Землю можно считать точечным телом.

Рассмотрим движение материальной точки в прямоугольной системе координат, поместив начало координат в какую- то неподвижную точку на Земле (рис. 1-1). Положение точки Р определяется

расстояниями ее от трех координатных плоскостей или проекциями радиуса-вектора г точки на координатные оси.

При своем движении точка Р описывает кривую, которая называется траекторией движения. В зависимости от формы траектории движения бывают прямолинейными и криволинейными. Участок траектории, пройденный точкой за время т, называется длиной пути s.

Пройденный путь s связан с временем движения функциональной зависимостью

s =也)，(1.1)

которая является уравнением движения.

Метод координат позволяет проследить за изменением положения точки в пространстве. Для этого удобно исследовать изменение координат точки Р во времени, т. е. определить функции

D = %(1.2)

Задавая значения t и определяя соответствующие координаты, можно построить траекторию движения точки.

§ 3・ Скорость и ускорение

Простейшим случаем механического движения является движение точки по прямой, при котором она за равные интервалы времени проходит равные отрезки пути. При равномерном движении скорость точки, т.е. величина, равная отношению пройденного пути s к соответствующему промежутку времени t1}:

V = s/t,(1.3)

не изменяется со временем (и = const).

При неравномерном движении скорость изменяется от одной точки траектории к другой. Для оценки неравномерного движения вводится понятие средней скорости. Для этого берется отношение всего пути s ко времени т, в течение которого он пройден:

%p = s/T・(1.3а)

Следовательно, средняя скорость неравномерного движения равна такой скорости равномерного движения, при которой тело проходит такой же путь s и за то же время т, как и при заданном движении.

Рассмотрим движение точки М по произвольной траектории (рис. 1-2). Пусть в момент времени t ее положение характеризуется радиусом-вектором г0. Через промежуток времени Ат точка займет на траектории новое положение М19 характеризуемое радиусом-вектором г. При этом она прошла путь длиной As = ^ ММ19 а радиус- вектор получил приращение Дг=г—г0. Направленный отрезок прямой, соединяющий некоторое начальное положение точки с ее последующим положением (см. рис. 1-2), называется перемещением. Вектор

1)В данном пособии автором вместо общепринятого обозначения времени через f используется т, чтобы отличить его от температуры.

перемещения точки Дг есть векторная разность р ади усов -векторов начального г0 и конечного положений г точки.

При прямолинейном движении точки перемещение равно пройденному пути, при криволинейном движении оно по модулю меньше пути. Перемещение точки по замкнутой кривой равно нулю.

ностью, чем меньше Дг. Средняя скорость на участке ММ19 равная отношениюностью, чем меньше Дг. Средняя скорость на участке ММ19 равная отношениюС помощью вектора перемещения Дг за время Дт определяется положение точки с тем большей точ

ностью, чем меньше Дг. Средняя скорость на участке ММ19 равная отношению

ностью, чем меньше Дг. Средняя скорость на участке ММ19 равная отношению

%р = ^MMi/Aq

——это такая скорость, с которой тело прошло бы участок ^ ММ± равномерно за то же время Дт. Значит, движение на участке ММ! ха

рактеризуется направлением вектора ТИМ^Лг и значением скорости 4P. Следовательно, можно ввести вектор, численно равный средней скорости и имеющий направление вектора перемещения:

(1.36)(1.36)ММг Аг

(1.36)

(1.36)

Беря бесконечно малый промежуток времени (Дт->0), в течение которого происходит движение, получим, что отношение Дг/Дт стремится к пределу, и тогда

如鳥戸 (L4)

будет выражать вектор мгновенной скорости, т. е. скорости в данный момент времени.

В математике предел, выражаемый формулой (1.4), называется производной, и, следовательно, скорость можно определить как производную радиуса-вектора движущейся точки по времени:

dr

или по модулю

(1.5)(1.5)f Idr

(1.5)

(1.5)

m|=仁右・

При бесконечном уменьшении Дт различие между As и Аг будет уменьшаться и в пределе они совпадут (см. рис. 1-2), тогда на основании (1.4) можно записать, что модуль скорости

и= lim Дт -► ои= lim Дт -► оAs — ds Дт — drAs — ds Дт — dr(1.6)(1.6)

и= lim Дт -► о

и= lim Дт -► о

As — ds Дт — dr

As — ds Дт — dr

(1.6)

(1.6)

e. мгновенная скорость при неравномерном движении численно равна первой производной пути по времени.

При неравномерном движении необходимо знать закономерность, по которой скорость изменяется со временем. Для этого вводится величина, характеризующая быстроту изменения скорости со временем, т. е. ускорение а. Ускорение, как и скорость, является векторной величиной, т. е. помимо числового значения (модуля), оно имеет направление в пространстве.

Допустим, точка движется прямолинейно и в начальный момент времени скорость ее была v0, а через промежуток времени Дт она стала равной v. Приращение скорости составит

Av=v—v0.

Отношение приращения скорости Av к промежутку времени Дт, в течение которого произошло это приращение, выражает среднее ускорение, т. е.

(1.7)(1.7)Av%P = "ST •

(1.7)

(1.7)

Вектор среднего ускорения совпадает по направлению с вектором изменения скорости Av.

Используя рассуждения, аналогичные изложенным при определении мгновенной скорости, установим, что мгновенное ускорение (т. е. ускорение в данный момент времени) численно равно пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени Дт к нулю:

а =а =limДт -> ОlimДт -> ОAvДтAvДтdvdtdvdt(1.8)(1.8)

а =

а =

lim

Дт -> О

lim

Дт -> О

Av

Дт

Av

Дт

dv

dt

dv

dt

(1.8)

(1.8)

Значит, ускорение определяется первой производной скорости и по времени t или с учетом (1.6) второй производной пути по времени:

(1.9)(1.9)d2s"=而

(1.9)

(1.9)

В частном случае, когда ускорение постоянно, среднее ускорение совпадает с мгновенным (acp=a=const). При этом условии движение называется равнопеременным. Используя формулу (1.7), можно найти изменение скорости равнопеременного движения за любой промежуток времени:

Аи=аАт, или и—v0=a(r—т0), где % — скорость в начальный момент времени т0, v — скорость через промежуток времени Дт=т—т0. Если положить то=О, то

V—5=or, откуда скорость в любой момент времени равна

и=%+ат.(1.10)

-9 -

Умножив обе части данного уравнения на dr vdx^Vodi+axdx,

получим

ds=vQdx-\-ai:ch.

Интегрируя левую часть этого выражения в пределах от 0 до s, а правую ——от Одо т, находим, что путь, пройденный точкой при равнопеременном движении, равен

s=So+%t+or2/2,(1.11)

где s0 ——постоянная интегрирования, полученная при начальных

условиях.

Равнопеременное движение бывает двух видов (рис. 1-3):

если а>0, то скорость согласно выражению (1.10) возрастает со временем и движение называется равноускоренным (прямая /);

если aVO, то скорость уменьшается со временем и движение будет равнозамедленным (прямая 2). Если а=0, то движение будет равномерным (прямая 3).

Пример.

Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение ее движения 5=1^-(-2^+5 (расстояние в метрах, время в секундах). Определить скорость и ускорение точки в момент т=2 с. Каковы средние значения скорости и ускорения за первые 2 с движения?

Решение. Дифференцируя заданное

уравнение движения, получим линейную скорость точки

и =寫=4т3 + 4т.

В момент т=2 с она равна и=(4・8+4・2) м/с=40 м/с.

Взяв производную скорости по времени, найдем ускорение точки а = ^ = 12# 十 4 •

В заданный момент времени ускорение будет а=(12・4+4) м/с2=52 м/с2.

Используя определение средней скорости для прямолинейного движения точки из состояния покоя (т=0), находим

As s—As s—24 + 2.22+5 —5 m,

As s—

As s—

———产—=12 м/с,

а согласно уравнению (1.7) имеем

_ Аи —v — vQ_ Аи —v — vQ40 M g °-2 ^ = 20м/с2,40 M g °-2 ^ = 20м/с2,

_ Аи —v — vQ

_ Аи —v — vQ

40 M g °

-2 ^ = 20м/с2,

40 M g °

-2 ^ = 20м/с2,

так как %=0 для т=0.

§ 4. криволинейное движение. Тангенциальное а нормальноеускорения

При прямолинейном движении векторы скорости и ускорения совпадают с направлением траектории. Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории (рис. 1-4).

Вектор скорости движения в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Допустим, что в точке Мо траектории скорост ь была v0, а в точке М стала v. При+ 亠

этом считаем, что промежуток вре- —」* —J^ 4”丿 мен и Дт при переходе точки на пу- ~ ти As из 7ИовЛ1 настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь.

Для того чтобы найти вектор изменения скорости Av, необходимо определить векторную разность

Av=v—v0.(1.12)

Для этого вектор v переносим параллельно самому себе, совмещая

его начало с точкой MQ. Как известно, разность двух векторов равна вектору, соединяющему их концы. В данном случае разность Av будет равна стороне АС треугольника М0АС, построенного на векторах скоростей, как на сторонах. Разложим вектор Av, который характеризует изменение скорости как по величине, так и по направлению, на две составляющие АВ и AD. Составляющая АВ, которая является касательной к траектории в точке 7И0, характеризует изменение скорости по величине за время Дт, в течение которого пройдена дуга MQM, и называется тангенциальной составляющей вектора изменения скорости (обозначается Avz). Вектор AD, направленный в пределе, когда Ат->0, по радиусу к центру, характеризует изменение скорости по направлению и называется нормальной составляющей вектора изменения скорости (обозначается Av^). Таким образом, вектор изменения скорости Av равен векторной сумме двух векторов

Av=Avn+Avt・

Используя уравнение (1.8), можно записать

(1.8а)(1.8а)a=*?。累，!R栄+厶巴给= % + a,.

(1.8а)

(1.8а)

При бесконечном уменьшении Дт(Дт->0) угол Да при вершине АЛ1()%С стремится к нулю. Тогда вектором Avn можно пренебречь по сравнению с вектором Av^, а вектор

а『lim Иш 然£ а…Atа…° Ат

будет выражать тангенциальное ускорение и характеризовать быстроту изменения скорости движения по чис-

у значению. Следовательно, тангенциальное уско-у значению. Следовательно, тангенциальное уско-ленномленном(1.13)(1.13)всвсMQMMQM附。'附。'

у значению. Следовательно, тангенциальное уско-

у значению. Следовательно, тангенциальное уско-

ленном

ленном

(1.13)

(1.13)

вс

вс

MQM

MQM

附。'

附。'

рение численно равно производной от скорости по времени: dv

и направлено по касательной к траектории. Вычислим вектор

a…нm堂，

называемый нормальным ускорением. Для этого проведем перпендикуляры через точки Мо и М к касательным к траектории. Точку пересечения обозначим через О.

При достаточно малом Дт участок криволинейной траектории можно считать частью окружности. В этом случае радиусы кривизны М^О и МО будут равны между собой (МоО=Л1。)и равны радиусу окружности R.

Ввиду малости ^ MQM сектор MQOM для упрощения выкладок будем считать треугольником. Треугольники MQOM и М^ВС подобны, потому что являются равнобедренными треугольниками с одинаковыми углами при вершинах. Поэтому

или

— V

Но As=%pAt, тогда

“рАт; — R

Переходя к пределу при Дт->0 и учитывая, что при этом Ucp=u, находим

т. е.

%=方.(1.14)

Так как при Дт->0 угол Аа->0, направление этого ускорения совпадает с направлением радиуса R кривизны или с направлением нормали к скорости V, т.е. вектор ускорения ап перпендикулярен v. Поэтому это ускорение часто называют центростремительным. Оно характеризует быстроту изменения скорости движения по направлению.

Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального и нормального ускорений [см. (1.8a)L Так как векторы этих ус

—12 —

корений взаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения равен

“/（関 У +（捺ОМ

Направление полного ускорения определяется углом ф между векторами а± и а:

tg 屮=^・（1.15а）

Законы Ньютона, их физическое содержание

Динамика является основным разделом механики. В трех законах динамики обобщены многочисленные данные о движении тел на Земле и небесных тел, полученные на основании опытов и теоретических сведений учеными до Ньютона и Ньютоном. С помощью законов Ньютона устанавливается связь между кинематическими и динамическими закономерностями движения.

Первый закон называют законом инерции. Он формулируется так: всякое тело сохраняет состояние относительного покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние воздействия не изменят этого состояния.

При отсутствии внешних воздействий тело, находившееся в движении, продолжает равномерно двигаться по прямой без изменения скорости. Это инерциальное движение тела.

Под инерцией понимают явление, при котором тело сохраняет состояние равномерного прямолинейного движения или покоя, если отсутствуют действия на него других тел. Однако проверить опытным путем первый закон мешают внешние воздействия, например притяжение Земли, сопротивление среды, окружающей движущееся тело.

Физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, называется силой. Это воздействие проявляется в изменении скорости движущегося тела или изменении формы и размеров тела. Таким образом, понятие силы уже заложено в первом законе Ньютона.

Сила, как и любая векторная величина, считается заданной, если известны ее численное значение, направление и точка приложения.

Второй закон Ньютона, устанавливающий связь между динамическими и кинематическими величинами, формулируется так: ускорение а, приобретаемое телом под действием силы F, пропорционально этой силе, а направление его совпадает с вектором силы, т. е.

а =吟，（L16）

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения, tn — постоянная величина, характеризующая данное тело и называемая его массой. Если величины a, F и т будем выражать

в единицах одной системы, то получим 々=1, и тогда второй закон запишется в виде

F

а =(1」6а)

Предположим, что одна и та же сила 尸 действует на различные тела. Из уравнения второго закона следует, что чем больше т, тем меньшее ускорение приобретает данное тело под влиянием приложенной силы, т. е. это тело более инертно. Масса тела характеризует инерционные свойства тела при поступательном движении и является мерой его инертности.

В практике на тело может действовать одновременно несколько сил. Однако каждая из этих сил действует независимо от других сил и сообщает телу ускорение, определяемое вторым законом Ньютона. В этом заключается принцип независимости действия сил, согласно которому можно записать

п

N Fi а= —

F

m

(1.17)

п

где F=£Fj называется равнодействующей (или результирующей) /=1

я сил, приложенных к телу. На основе этого принципа возникает возможность разложить силу на составляющие и рассматривать их действие отдельно.

В скалярной форме второй закон можно записать так:

откуда

F=ma,

(1.17а)

т. е. сила численно равна произведению массы тела на ускорение, вызванное этой силой.

Как известно, масса данного тела не остается постоянной при движении со скоростью, соизмеримой со скоростью света, и зависит от скорости этого движения:

m =

m0

где т — масса тела, движущегося со скоростью и, т0——его масса в состоянии покоя, с=3-108 м/с — скорость света в вакууме.

Эта зависимость массы тела от его скорости, установленная Эйнштейном и лежащая в основе релятивистской механики, проявляется при больших скоростях, сравнимых со скоростью света. Поэтому в классической механике Ньютона, имеющей дело со скоростями, небольшими по сравнению со скоростью света, массу тела можно считать постоянной.

Второй закон Ньютона можно записать в другой форме. На осно вании формулы (1.8) имеем a=dv/dt, тогда

или, внося массу под знак дифференциала, получим

F V(mv). (1.18)

Вектор mv называется импульсом или количеством движения тела и совпадает по направлению с вектором скорости v, a d(mv) выражает изменение вектора импульса. Это уравнение преобразуем к следующему виду:

Fdt=d(mv). (1.19)

Вектор Fdt называется импульсом силы F, действующей в течение малого промежутка времени dt, и имеет с силой одно направление. Уравнение (1.19) также является выражением основного закона динамики: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу действующей на него силы.

При действии на тело массы m постоянной силой тело приобретает постоянное ускорение ( d 片)=const) , т. е. тело движется равнопеременно.

Если сила непостоянна, то весь интервал времени от ti до т2 надо разбить на бесконечно малые участки dt, в течение которых силу можно считать неизменной, тогда уравнение (1.19) следует записать в виде

Fcpdt=mdv,

где значение Fcp находится путем интегрирования в указанном интервале времени.

Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны и направлены 6 противоположные стороны, т. е.

Fi=—F2. (1.20)

Следует отметить, что сила F】——это сила, с которой второе тело действует на первое, и приложена она к первому телу, a F2— сила, с которой первое тело действует на второе, и приложена она ко второму телу, поэтому эти силы не уравновешивают друг друга.

При взаимодействии тел наблюдается как прямое действие, так и действие на расстоянии. При прямом действии, например при ударе молота о наковальню, сила, с которой действует молот на наковальню, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой наковальня действует на молот. Примером действия на расстоянии является взаимное притяжение Земли и Солнца. И в этом случае силы будут равны и противоположно направлены.

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают в данном месте земного шара ° с одинаковым ускорением g, называемым ускорением свободного падения. Тогда на основании второго закона Ньютона можно утверждать, что это ускорение вызывается силой тяжести:

P=mg・(1.21)

Сила тяжести ——сила, с которой тело притягивается Землей.

Под весом тела понимают ту силу, с которой тело, притягиваясь к Земле, действует на опору. Сила тяжести равна весу только в том случае, когда ускорение тела относительно Земли равно нулю, т. е. когда тело относительно Земли неподвижно или движется с постоянной скоростью.

При свободном же падении тела вес этого тела равен нулю, т. е. оно находится в состоянии невесомости. В этом состоянии тело несде- формировано и поэтому в нем отсутствуют все внутренние напряжения.

Системы единиц измерений.

Формулы размерностей

Законы физики выражают количественные соотношения между физическими величинами. Для установления таких соотношений необходимо ввести единицы измерений различных физических величин.

Единицы измерений физических величин можно выбирать совершенно произвольно. Но так как сами физические величины не являются независимыми друг от друга, то можно установить соответствующие зависимости и между их единицами измерений. Поэтому произвольно выбирают единицы измерений для нескольких (достаточно для трех) различных и не зависящих друг от друга величин и принимают их за основные. Единицы измерений остальных величин, называемые производными, получают при помощи формул, связывающих эти величины с теми, единицы измерений которых приняты за основные. Совокупность единиц измерений образует определенную систему.

Система, в которой основными величинами являются длина, масса и время, называется абсолютной. Обозначим эти величины обобщающими символами L, М и 7 соответственно. Выразим теперь некоторые производные величины механики через основные величины.

Скорость и при равномерном движении определяется по формуле

s

V =一t，

а ее размерность выражается отношением длины L ко времени Т:

dimu = g = LTT,(1.22)

где символ «dim» означает размерность величины (《dim》сокращенно от dimension — размер, измерение).

Согласно выражениям (1.7) и (1.17а) получим формулы размерностей ускорения и силы соответственно:

dima = F—=厶7-2,(1.23)

dim F=M* LT-2=LMT^2.(1.24)

1)Ускорение g зависит от географической широты места наблюдения и его высоты над уровнем моря.

Пользуясь формулами размерностей, можно получить единицы измерений физических величин и построить системы единиц.

Система СГС. В качестве основных выбраны единицы длины — сантиметр (см), массы — грамм (г), времени — секунда (с), а на основании формул (1.22), (1.23), <1.24) получены производные единицы скорости, ускорения и силы соответственно:

[п] = 1 см~1-с-1= 1 см/с;

[а] = 1 см-1 с~2 = 1 см/с2;

[F]= 1 см -1 г-1 с-2 = 1 г.см/с2 (дина).

Международная система единиц (СИ). Ее основные единицы: длины ——метр (м), массы — килограмм (кг), времени — секунда (с), количества вещества — моль (моль), температуры — кельвин (К), силы тока — ампер (А), силы света — кандела (кд). Производные механические единицы будут:

[у] = 1 м・ 1 c~i= 1 м/с;

[а] = 1 м-1 с~2 = 1 м/с2;

[F] = 1 м-1 кг -1 с-2 = 1 кг.м/с2 (ньютон).

Анализируя размерности ньютона и дины, находим соотношение между ними:

11Н = 1Н = 1кг・мкг・м111000 г -100 см1000 г -100 см= 105= 105г «смг «см=105 дин.=105 дин.

1

1

Н = 1

Н = 1

кг・м

кг・м

1

1

1000 г -100 см

1000 г -100 см

= 105

= 105

г «см

г «см

=105 дин.

=105 дин.

В литературе и на практике встречается внесистемная единица силы ——кило- грамм-сила (кгс). 1 кгс — это такая сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 9,81 м/с2. А так как сила 1 Н той же массе сообщает ускорение 1 м/с2, то, очевидно, что 1 кгс=9,81 Н.

Формулы размерности широко используются для проверки полученных физических соотношений, так как левые и правые части этих соотношений должны иметь одинаковые размерности. Например, путь при равнопеременном движении вычисляется по формуле

.ат2

s = 0屮 Ч 2~ .

Получим размерность правой части этого равенства:

LT-i. 7+厶t-2.D=厶+厶，

но для левой части

dim s=L,

поэтому

L^=L~\~ Lf

следовательно, формула пути записана правильно.

Инерциальные системы отсчета.

Принцип относительности

Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называются инерциальными. К таким системам относится, например, гелиоцентрическая система отсчета, в которой за начало координат принимают Солнце, а оси проводятся в направлении звезд, которые считаются неподвижными. Инерциальной будет и другая система (группа систем), которая движется относительно выбранной инерциальной системы равномерно н прямолинейно-поступательно.

Если система отсчета движется по отношению к инерциальной системе с ускорением, то она относится к неинерциальным системам, в ко-

торых не выполняются законы Ньютона. Например, если систему отсчета связать с прямолинейно и равномерно движущимся вагоном и повесить в этом вагоне на тонкой нити грузик, то грузик будет находиться в покое относительно стен вагона. При торможении вагона, когда вагон получает отрицательное ускорение, грузик будет отклоняться относительно стен вагона. Здесь наглядно перестает быть справедливым первый (а значит, и второй) закон динамики. Покой тела относительно выбранной системы отсчета нарушен без видимого действия внешней силы. Отклонение грузика произойдет также на криволинейных участках пути, где возникает центростремительное ускорение. Если за систему отсчета принять Землю, то и в этой системе наблюдается нарушение законов Ньютона, что подтверждает, например, отклонение плоскости качания маятника (опыт Фуко). Для многих явлений систему отсчета, связанную с Землей, можно считать инерциальной. Реально используемые системы отсчета в общем случае могут быть инерциальными для одной группы явлений и неинерциальными для других явлений.

Если наблюдатель находится в инерциально движущейся системе, то он не может механическими опытами определить, движется ли система или покоится. Так, в вагоне, движущемся равномерно и прямолинейно, ни движение грузика, ни какие-либо другие опыты не дают возможности отличить движение вагона от того состояния, когда он неподвижен. Все механические явления будут протекать одинаково как в движущемся, так и в неподвижном вагоне. Чтобы выявить, движется ли система равномерно и прямолинейно или покоится, надо оценить это относительно другой системы отсчета. Например, в случае равномерно движущегося вагона движение можно определить относительно предметов вне вагона, которые принимаются за неподвижные. Следовательно, абсолютного движения системы самой по себе нет, есть движение относительно других систем. В этом заключается механический принцип относительности, установленный Галилеем.

Закон сохранения импульса (количества движения). Центр инерции

Закон сохранения импульса (количества движения) может быть выведен из законов Ньютона.

Он имеет место в изолированной (замкнутой) системе тел. Такой системой называют группу тел, на которые не действуют внешние силы. В изолированной системе проявляются внутренние силы, т. е. силы взаимодействия между телами, входящими в систему. Идеально изолированной системы нет, но в ряде случаев внешние силы (или импульсы сил) настолько малы по сравнению с внутренними, что ими можно пренебречь. С определенной степенью точности такую систему считают изолированной.

Рассмотрим взаимодействие двух материальных точек, составляющих изолированную систему. Обозначим массу первой точки через mlt ее скорость до взаимодействия vx, после взаимодействия v；; соответст-

венно масса второй точки т2, ее скорости до и после взаимодействия v2 и V；.

Согласно уравнению (1.18), выражающему второй закон Ньютона, можно записать:

(1.25)(1.25)Fidt = d (тм),F2dT = d(m2v),

(1.25)

(1.25)

или

恤外,](1.25a)

F 2dt — tri^2 m2V2, J

где dt —— время взаимодействия точек, Fi и F2 —— силы их взаимодействия. По третьему закону Ньютона,

F] = -F2,

следовательно, будут равны правые части равенств (1.25а), т. е.

m^； 一一(加2^ -m2V 2)・(1-26)

Значит, при механическом взаимодействии двух точек (тел) изменения их импульсов (количеств движения) равны и противоположны по направлению.

Если система состоит из п материальных точек, то уравнение (1.18) можно записать в виде

2 Fidt = d£ w = dK,

i= 1i= 1

где K=£m»Vi представляет собой вектор импульса всей системы.

Перепишем это равенство в таком виде:

В замкнутой системе внешние силы отсутствуют, т. е. »,・=о, еле- i = 1 довательно,

祭=0, или К = £ m；v,・ = const.(1.27)

i = 1

Это равенство выражает закон сохранения импульса: полный вектор импульса замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

Следовательно, если у одного из тел в изолированной системе изменился импульс, то это могло произойти только за счет изменения импульсов других тел этой же системы.

Закон сохранения количества движения широко применяется для различных расчетов в науке и технике.

—19 —

Рассмотрим пример. С неподвижной тележки массы mi бросают горизонтально предмет массы т2 со скоростью v2. Рассчитаем скорость V» которую приобретает при этом тележка.

Принимаем, что система тележка — предмет во время броска замкнута и импульс ее до взаимодействия равен нулю. После броска импульс останется прежним, поэтому можно записать

①1% + m2V2=0，

отсюда

vi = —-^v2；

т. e., во-первых, скорость тележки будет противоположна по направлению скорости предмета и, во-вторых, она будет меньше скорости предмета в tnjtn、раз.

В данном примере мы пренебрегаем силами трения, действующими на тележку, например силами трения колес о рельсы, колесных осей в подшипниках, и на брошенный предмет (сила трения его о воздух и сила лобового сопротивления).

Закон сохранения количества движения соблюдается для любой изолированной системы: ружье ——пуля, конькобежец (космонавт)—— бросаемый предмет и др. Рассматривая полет ракеты в безвоздушном пространстве без учета притяжения Земли (берется изолированная система), можно установить, что изменение количества движения ракеты равно импульсу силы, который сообщают ей выбрасываемые из сопла ракеты струи газов, образующихся при сгорании топлива. В свою оче

редь импульс силы равен количеству движения струи газов, извергаемых соплом ракеты. Однако расчет осложняется тем, что масса ракеты является переменной величиной, так как количество топлива в процес

се полета ракеты уменьшается.

В динамике широко пользуются понятием центра инерции, или центра масс, механической системы.

Если тело закреплено в точке, являющейся центром инерции, то оно находится в положении безразличного равновесия. В данном случае можно считать, что центр инерции тела совпадает и с его цен

тром тяжести.

Применяя законы Ньютона к отдельным элементам движущегося

тела, можно установить законы движения любой фиксированной точ

ки. Для этого следует определить положение центра инерции системы, состоящей из ^ частиц.

Допустим, что положение центра инерции системы, состоящей из N частиц, фиксировано относительно начала координат и определяется радиусом- вектором Rh. н，который может быть выражен соотношением:

恤「1 + m2「2 + m3「3 + …/ 1 no\

—m1 +加2 +g+…—，<>

где 「1, r2, r3 . . . — радиусы-векторы центра инерции частиц; т,, m2, т3, . . . — их массы; так, например, точка С на рис. 1-5 является центром инерции системы, состоящей из двух материальных точек Шх и т2, с радиусом-вектором Ru<11.

Зная положение центра инерции, определим скорость его движения:

v「Ru・H .(1.29)

dt *

Подставив значение RU.H из уравнения (1.28) в уравнение (1.29), получим

V —恤Vi + 〃22V2 + 加3丫3十 …/ I

①1 仅2十团3 ・， •

В этом выражении числитель представляет собой суммарный импульс, который сохраняется неизменным в замкнутой системе. Следовательно, это соотношение выражает замечательное свойство центра инерции: скорость центра инерции постоянна 6 отсутствие внешних сил.

Как известно, все инерциальные системы координат равноправны. Поэтому можно всегда перейти к системе координат, связанной с центром инерции изучаемой системы, и считать эту точку покоящейся.

Закон всемирного тяготения. Поле тяготения

Фундаментальным законом механики является закон всемирного тяготения (гравитации), установленный Ньютоном.

Согласно этому закону любые две материальные точки взаимодействуют с силой, пропорциональной произведению их масс (тх и т^ и обратно пропорциональной квадрату расстояния г между ними:

(1.31)(1.31)尸=中.

(1.31)

(1.31)

Коэффициент пропорциональности ? называется гравитационной постоянной. Если две материальные точки имеют одинаковые массы, равные единице, и находятся на расстоянии, равном единице длины, то согласно уравнению (1.31) у численно равна силе их взаимного тяготения.

В СИ размерность гравитационной постоянной будет [см. формулы (1.31) и (1.24)]

dim 7dim 7厶m7 — 2 .厶2厶m7 — 2 .厶2

dim 7

dim 7

厶m7 — 2 .厶2

厶m7 — 2 .厶2

Опытным путем установлено, что ной постоянной равноОпытным путем установлено, что ной постоянной равночисленное значение гравитацион-численное значение гравитацион-

Опытным путем установлено, что ной постоянной равно

Опытным путем установлено, что ной постоянной равно

численное значение гравитацион-

численное значение гравитацион-

7=6,67-10-11 м3/(кг-с2).

Проверка закона всемирного тяготения в условиях Земли и при помощи многочисленных астрономических наблюдений подтвердила его всеобщий характер.

Если тела нельзя считать материальными точками, их представляют как совокупность материальных точек и, геометрически суммируя силы взаимодействия отдельных точек, находят результирующую силу тяготения между телами.

(1.31а)(1.31а)Каждое находящееся на Земле тело массы m притягивается к Земле под действием силы, направленной к центру ее и равной

(1.31а)

(1.31а)

尸=К‘

где М — масса Земли, R ——расстояние от тела до ее центра (вблизи поверхности Земли это расстояние приблизительно равно ее радиусу R». Если это тело лежит на неподвижной опоре, то на него действуют две силы — сила реакции опоры N и сила тяготения F. Эти две силы дают равнодействующую силу Fn, направленную перпендикулярно к оси вращения (рис. 1-6):

f+n=f〃，

где Fn есть сила, действующая на тело, движущееся по окружности, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения Земли. Вес тела Р (на рисунке он не показан) — это сила, противодействующая согласно третьему закону Ньютона силе давления N Земли на тело (см. § 5).

Равнодействующая сила Fn согласно второму закону Ньютона вызывает ускорение ап [см. формулы (1.17а) и (1.14)1, т. е.

Fn=mv2k

или с учетом, что и=о)厂[см. (1.39)1,

Fn=m(d2r=m(d2R cos ф.

(1.32)(1.32)Следовательно, Fn имеет максимальное значение на экваторе и 尸九=0 на полюсах. Поэтому во всех точках земной поверхности, кроме полюсов, вес тела Р меньше силы тяготения F. Однако в ряде практических задач можно пренебречь суточным вращением Земли и считать, что вес тела Р равен силе тяготения:

(1.32)

(1.32)

p=?/・

Взаимное притяжение всех без исключения материальных тел природы, наблюдаемое в любой среде, называют гравитационным взаимодействием, которое осуществляется при помощи поля тяготения (гравитационное поле). Это поле наряду с другими физическими полями и веществом является одной из форм материи. В гравитационном поле натела действуют силы, пропорциональные их

массам:

F=mg

F=mg・F=mg・(1.33)(1.33а)(1.33)(1.33а)или в скалярной форме

F=mg・

F=mg・

(1.33)

(1.33а)

(1.33)

(1.33а)

Отсюда имеем

т. е. отношение силы, действующей на тело массы m в какой-либо точке поля, к массе тела выражает ускорение свободного падения в данной точке поля. По аналогии с другими силовыми полями эту величину часто называют вектором напряженности поля тяготения.

Из сравнения формул (1.31а) и (1.33) следует, что

g = Y炉仪з干疗,(L34)

где 7?з — радиус поверхности Земли, масса которой/И, h ——расстояние от центра тяжести тела до поверхности Земли. Из этой формулы вытекает, что, во-первых, ускорение g силы тяжести не зависит от массы и размеров тела и, во-вторых, изменяется с высотой h поднятия тела над поверхностью Земли.

Применим закон всемирного тяготения для вычисления первой космической скорости, при которой тело становится спутником Земли.

На спутник массы т, движущийся вокруг Земли по круговой орбите со скоростью V, действует сила притяжения

которая сообщает телу центростремительное ускорение 4^=*〃，где г=Аз+无——расстояние от спутника до центра Земли, h ——высота его над поверхностью Земли. Согласно второму закону Ньютона можно записать

mu2 тМ

откуда

Если й<^7?з,т. е. спутник движется вокруг Земли вблизи ее поверхности, то его скорость и будет равна первой космической скорости

力=

Подставив числовые значения величин, входящих в формулу:

М^6,0・ 1024 кг, R^6,4・106 м, 7=6,67- 10~и м3/(кг-с2), получим

^1=7,9-10? м/с=7,9 км/с.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Механика определяет твердое тело как тело, взаимное расположение частей которого не изменяется в течение всего времени движения.

Движение твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной самой себе, называется п о- ступательным движением. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют одинаковые по численному значению и направлению скорости и ускорения. Наиболее простым видом поступательного движения является прямолинейное движение. В этом случае траектории всех точек тела —— параллельные прямые.

Рис. 1-7Рис. 1-8

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором все точки его движутся по окружностям, и центры этих окружностей расположены на одной прямой. Эта прямая называется осью вращения.

На рис. 1-7 и 1-8 изображены три положения диска, который скользит по плоскости, причем центр диска движется по круговой траектории (пунктир) с центром О. В первом случае (см. рис. 1-7) движение диска поступательно, так как диаметр АВ (и любой другой диаметр) остается параллельным самому себе. Центр диска движется по окружности вокруг точки О, а другие точки — по окружностям, имеющим такой же радиус, но их центры не совпадают с точкой О. Во втором случае (см. рис. 1-8) движение диска является вращательным, так как любая точка диска перемещается по окружности с общим центром О (если диск имеет толщину, то осью вращения будет служить перпендикуляр к плоскости вращения, проведенный через точку О). К рассмотренному виду движения относится вращение Луны вокруг З^лли, при котором одна ее сторона все время обращена к Земле.

Введем (помимо времени т) кинематические характеристики вращательного движения ——угол поворота <р, угловую скорость со, угловое ускорение 8. На рис. 1-9 показано тело, вращающееся в направлении стрелки. Ось вращения ОХО2 считаем неподвижной. Отрезок перпендикуляра, опущенного на ось из данной точки тела, например 410, называется радиусом вращения. Так как все точки твердого тела

Ф.Ф.тт(1.36)(1.36)

Ф.

Ф.

т

т

(1.36)

(1.36)

сохраняют неизменным взаимное расположение, то радиусы вращения всех точек описывают одинаковые углы за одно и то же время.

Углом поворота 屮 называется угол (например, угол А^А 2), который описывает радиус вращения г за некоторое время т. Углом поворота 屮 определяется угловой путь, пройденный точкой при вращении за время т. Он аналогичен линейному пути s при поступательном движении.

Угол поворота 屮 измеряется в радианах.

Уравнение вращательного движения устанавливает аналитическую связь между углом поворота и временем:

屮=/")•

Например, при равномерном вращении за произволь

ные равные промежутки времени тело поворачивается на равные углы. В этом случае угол поворота 屮 возрастает прямо пропорционально времени:

(1.35)(1.35)(р=сот,

(1.35)

(1.35)

где о — постоянная величина. Она называется угловой скоростью. Угловая скорость со определяется как величина, равная отношению угла поворота радиуса вращения ко временит, в течение которого произошел этот поворот, т. е.

Поскольку <р — безразмерная величина, то со измеряется в с-1. Угловая скорость является вектором, направленным вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта (см. рис. 1-9).

При неравномерном вращении тела угловая скорость меняется со временем, и отношение (1.36) определяет среднюю угловую скорость. Предел этого отношения при условии, что промежуток времени поворота радиуса вращения на бесконечно малый угол стремится к нулю, будет выражать мгновенную угловую скорость, т. е, угловую скорость 6 данный момент времени. Отсюда следует, что

①①d(p7иd(p7и(1.37)(1.37)

①

①

d(p

7и

d(p

7и

(1.37)

(1.37)

т. е. мгновенная угловая скорость численно равна первой производной от угла поворота по времени.

Если за промежуток времени Дт угловая скорость получает приращение Асо, то

lim

Азо At

8 =8 =выражает угловое ускорение, которое характеризует быстроту изменения угловой скорости со временем. Следовательно, математически

8 =

8 =

(1.38)

т. е. угловое ускорение численно равно первой производной от угловой скорости по времени или, с учетом (1.37), второй производной от угла поворота по времени

(1.38а)

Угловое ускорение, как следует из определения, измеряется в с~2. Оно является векторной величиной; при возрастании скорости(о ускорение £ совпадает с ней по направлению, при убывании со направлено в противоположную сторону.

Каждая из точек вращающегося тела движется с определенной линейной скоростью V, направленной по касательной к соответствующей окружности (см. рис. 1-9). Если за малый промежуток времени Дт тело повернулось на угол Д(р, а точка (например, точка Л2) прошла при этом путь As, то можно записать

As=r・ Д(р,

где r=const для данной точки. Согласно определению линейная скорость равна

и= limДг Ои= limДг ОАзДтАзДтlimдг ->оlimдг ->о書書

и= lim

Дг О

и= lim

Дг О

Аз

Дт

Аз

Дт

lim

дг ->о

lim

дг ->о

書

書

т. е. с учетом (1.37)

(1.39)(1.39)v=rco.

(1.39)

(1.39)

Дифференцируя это выражение по времени, находим

dv _dv _d(od(o

dv _

dv _

d(o

d(o

ИЛИ

%=Q%=Q(1.40)

%=Q

%=Q

где at——тангенциальное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса г [см. (1.13)].

Как следует из формул (1.39), (1.40), линейные скорость и ускорение для точек с различными радиусами вращения различны, а угловые скорость и ускорение для всех точек твердого тела в любой момент времени одинаковы.

Каждая материальная точка вращающегося тела движется по окружности, при этом возникает центростремительное ускорение, направленное по радиусу вращения г к центру (оси) вращения и равное [см. (1.14)] an=v2/r. Как при криволинейном движении точки, так и при вращательном движении тела полное ускорение согласно фор

муле (1.15) с учетом выражений (1.40), (1.14) и (1.39) равно

a = мa? + 若=у 产ё2 + ^_ = J/ r2e2 + r2^f

т. е.

а =厂 /合 + ①4.(1.41)

При равномерном вращении твердого тела имеем е = 0,①=const и угловой путь

中=屮0+3t.(1.42)

При равнопеременном вращении 8=const и по аналогии с равнопеременным прямолинейным движением запишем

(О = й)о + ет,(1.43)

屮= % + бс +号工(1.44)

Время одного полного оборота Т называется периодом обращения, а величина, обратная периоду,

v-1/T

называется частотой (измеряется в герцах — Гц).

При 工=7 и фо=О имеем(р=2п, тогда из формулы (1.42) получим, что

(o=2n/T=2nv・

Вращающий момент и момент инерции.Теорема Штейнера

В динамике поступательного движения материальной точки были введены в дополнение к кинематическим величинам сила и масса. Аналогично для изучения динамики вращательного движения тела, помимо рассмотренных кинематических характеристик, вводятся две новые величины — момент силы и момент инерции. На рис. 1-10, а показано тело, имеющее ось вращения О^О? и вращающееся под действием силы 尸,которую можно разложить на две составляющие: вер

тикальную, параллельную оси вращения OiO2, и горизонтальную. Вертикальная составляющая FB может лишь вызвать перемещение тела в направлении оси вращения, поэтому при рассмотрении вращательного движения она исключается; горизонтальная составляющая 尸г вызывает вращение тела. На рис. 1-10, б дано сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через направление горизонтальной составляющей си-

лы, обозначенной через 尸.Действие этой силы, обусловливающей вращение тела, зависит от ее числового значения и расстояния ее от оси вращения. Если это расстояние равно нулю, т. е. сила 尸 будет пересекаться с осью OiO2, то тело вращаться не будет.

Вращающим моментом М, или моментом силы относительно оси, называется величина, равная произведению составляющей силы F на длину перпендикуляра / (плечо), восставленного от ОХО2 на направление силы 尸(см. рис. 1-10, б), т. е.

M=Fl (1.45)

(в СИ измеряется в Н-м).

Момент силы — вектор. Он направлен вдоль оси, причем векторы F и М образуют правовинтовую систему (см. рис. Ы0, а).

Если на тело действует несколько сил, то тело будет в равновесии при условии, что алгебраическая сумма моментов этих сил относительно оси вращения будет равна нулю. Следовательно, при вращательном движении тела необходимо учитывать не только силы, но и их расположение по отношению к оси вращения.

В динамике поступательного движения инерцию тела полностью характеризует его масса. При вращательном движении инерцию, например, материальной точкиf

характеризует не только ее масса, но и расстояние материальной точки до оси вращения.

Допустим, что материальная точка А массы m неравномерно вращается вокруг оси О】。？ по окружности радиуса г под действием силы 尸(рис. 1-11). Ее тангенциальная составляющая FT вызывает ускорение at (нормальная составляющая силы обеспечивает центростремительное ускорение и на угловое ускорение не влияет). Согласно второму закону Ньютона запишем

FT = mat.

Умножим обе части этого уравнения на г:

FT-r = mat-r.

Учитывая соотношения (1.40) для ускорения at и (1.45) для вращающегося момента (плечо силы / равно г), получим

М=тг2г.(1.46)

Это выражение представляет собой уравнение второго закона динамики для вращательного движения материальной точки.

Сопоставляя его с уравнением второго закона Ньютона для поступательного движения, можно заключить, что при вращательном движении роль силы F выполняет вращающий момент М, линейное ускорение а заменяется угловым ускорением 8. Роль массы т выполняет момент инерции материальной точки относительно оси вращения, рав-

-28 -

ный

(1Л7)(1Л7)J=m 产,

(1Л7)

(1Л7)

т.е. произведению массы точки на квадрат расстояния ее до оси. Единицей измерения J в СИ будет 1 кг-м2.

Следовательно, уравнение второго закона Ньютона для вращения материальной точки запишется так:

M = J^(1.48)

Напишем это уравнение для другой материальной точки Лх, масса которой mi (см. рис. 1-11):

А11 —1J I% •

Если mx=m, 此=此 а 厶>厂，то момент инерции точки 4, равный Ji=m片，будет больше (/>/)• Поэтому %Ve при неизменном М. Значит, чем больше момент инерции тела, тем меньшее угловое ускорение оно приобретает под влиянием постоянного вращающего момента. Таким образом, момент инерции тела характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении и зависит не только от массы тела, но и от расположения частиц тела относительно оси вращения.

Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать моменты инерции

всех материальных точек (4, Д 2>рИс. 1-12

4з, . . .), составляющих данное тело (рис. 1-12):

J =m/； +加2W+加3北+〃唱

где /\,厂2, • • •, %——расстояния соответствующей точки до оси вращения О, или

i= 1

В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами dm, и момент инерции тела определяется интегралом

т

J = ^ г2 dm.(1.49)

о

Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела.

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси вращается тело, и от распределения массы по объему тела. Интегрирование уравнения (1.49) наиболее легко осуществить для тех случаев, когда ось проходит через центр тяжести тела. Приведем результаты интегрирования для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему.

—29 —

Момент инерции обруча или тонкостенного полого цилиндра (рис. 1-13) относительно оси OiO2, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр, равен

J=tnR2, (1.50)

где т — масса обруча, R — его радиус.

00Момент инерции диска или сплошного

0

0

оси 0102, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через центр (рис. 1-14), равен

/ = ^mR2.(1.51)

Момент инерции шара относительно диаметра, совпадающего с осью 002 (рис. 1-15),

J = gtnR2.(1.52)

В приведенных примерах оси проходят через центр инерции тела. Момент инерции относительно других осей вращения определяется при помощи теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции /с относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела, и величины та2, где т — масса тела, а — / расстояние от центра инерции до 力， выбранной оси вращения, т. е.

J = Jc + ma\ (1.53)

:Z/2:Z/2В качестве примера найдем момент инерции однородного тонкого цилиндрического стержня длины / и массы т относительно оси О'。；, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец (рис. 1-16). Известно, что момент инерции относительно оси 001, проходящей

:Z/2

:Z/2

Рис. Ы6через середину стержня (центр

(1.54)(1.54)инерции) и перпендикулярной стержню, равен 」с =貝ml? ‘

(1.54)

(1.54)

В данном случае а=〃2 и момент инерции относительно оси О'。； равен

j=訳/2 +团传J

(1.55)(1.55)откуда

(1.55)

(1.55)

J =-у tTll2t

Момент инерции при таком переносе оси вращения увеличился в 4 раза.

Основное уравнение динамики вращательного движения

Уравнение (1.48) динамики вращательного движения материальной точки определяет, что вращающий момент М численно равен произведению момента инерции J на угловое ускорение 8. Как было отмечено, это уравнение аналогично уравнению второго закона Ньютона для поступательного движения, согласно которому

Перепишем уравнение (1.48) для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси под действием р ез у л ьт ир ующего момента М всех внешних сил, в виде

или в векторной форме

£ =号，(1.56а)

где /=卜2加 — момент инерции тела, представляющего совокупность о

точек массы dm. Из этого выражения следует, что угловое ускорение твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси прямо пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой оси.

При постоянном вращающем моменте угловое ускорение также будет постоянным, что обусловливает равнопеременное вращение. Поэтому, если начальная скорость вращения была соо, а через промежуток времени Дт под действием момента М внешних сил она стала равна

(0, то угловое ускорение

3 — (On

8 = —7

Дт

и уравнение (1.48) примет вид

ИЛИ

AfAt = /со —/о%.(1.57)

Величина, равная произведению момента силы М на время его действия Дт, называется импульсом момента сил (или импульсом вращающего момента), а величина, равная произведению момента инерции J тела на его угловую скорость,——моментом импульса (моментом количества движения). Эти величины векторные, совпадающие по направлению соответственно с направлениями векторов Миш. Уравнение (1.57) выражает основной закон динамики для вращательного движения: импульс вращающего момента сил, действующих на тело, равен изменению момента импульса тела (момента количества движения),

Закон сохранения момента импульса

При вращательном движении справедлив закон, аналогичный третьему закону Ньютона.для поступательного движения: при взаимодействии двух вращающихся тел вращающий момент Мх, с которым первое тело действует на второе, равен вращающему моменту М2, с которым второе тело действует на первое, и противоположен ему по направлению, т. е.

М] = —М2・

Если при этом два вращающихся тела взаимодействуют только друг с другом в течение времени Дт (время действия одного тела на другое одинаково), то и импульсы моментов сил, действующих на тела, равны и противоположны по направлению:

М]Ат=—М2Дт.

Тогда на основании уравнения (1.57) закона динамики для вращательного движения можно записать

人(叫一sj=一/2(*一吗)，(1.58)

где Л и J2— моменты инерции первого и второго тел,恥 и(о2— соответствующие их угловые скорости до взаимодействия,(о； и(о；——после взаимодействия.

Преобразуем уравнение (1.58) к виду

J 1®1 + / 2®2 ~ /1^1 + / 2®2・(1.59)

—32 —

Отсюда следует, что сумма моментов импульсов тел замкнутой системы 6 результате их взаимодействия осталась неизменной.

Полученный результат можно распространить на любую систему взаимодействующих тел. При этом надо считать, что внешние силы отсутствуют (изолированная система) или таковы, что их векторная сумма равна нулю. Тогда

i — n

2 /网=const.(1.60)

i = 1

Это равенство выражает закон сохранения момента импульса: если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему тел относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, то векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени.

Предположим, что в изолированной вращающейся системе тел произошло перемещение масс в направлении удаления от оси вращения. При этом увеличится момент инерции, а в соответствии с уравнением (1.60) уменьшится угловая скорость. Иллюстрацией этого служит опыт со скамьей Жуковского, которая представляет собой легко вращающуюся вокруг вертикальной оси платформу. На скамью встает человек с гирями в руках. Если скамью раскрутить и руки человека будут при этом опущены, то как только человек расставит руки с гирями в стороны, скорость вращения скамьи резко уменьшается вследствие увеличения момента инерции человека.

Работа переменной силы. Мощность

Допустим, что тело М под действием постоянной силы F перемещается по прямой в направлении этой силы и точка приложения ее проходит путь s. Величину, равную

A=Fs,(1.61)

называют механической работой силы 尸.Если сила F постоянна и действует под углом а к перемещению тела (рис. 1-17), то, разложив ее на две составляющие: FH, перпендикулярную к перемещению, и FT, совпадающую с ним, найдем [см. (1.61)], что

А =尸 а, или

A=Fs cos а.(1.62)

Работа — скалярная величина. Если вектор силы и направление перемещения образуют острый угол, т.е. cos а>0, то работу считают положительной (Д>0); если угол а ——тупой, то работа отрицательна (Д<0). Если а=л/2, то

4=0, т. е. сила, действующая перпендикулярно к перемещению тела, работы не производит. Например, при отсутствии сил трения не надо бы- 2 № 2907— 33 —

ло бы затрачивать работу на перемещение тела по горизонтальной поверхности, так как при этом сила тяжести направлена по нормали к поверхности.

Определим работу в наиболее общем случае. Пусть тело под влиянием переменной силы перемещается по криволинейному пути из точки Si в точку S2 (рис. 1-18).

Выделим элементарный участок пути ds, на котором силу можно считать постоянной и направление перемещения прямолинейным. Элементарная работа будет равна

dA=F ds cos а, (1.63)

а полная работа на пути SiS2 определится интегралом

4 = § Fdscosa.(1.64)

•St

В ряде случаев при известной аналитической связи между 尸 и s вычисление работы незатруднительно.

Чтобы вычислить работу, построим график зависимости FT=/(s) (рис. 1-19). Элементарная работа dA =FTds=F ds cos а будет изобра-

Рис. 1-19Рис. 1-19

Рис. 1-19

Рис. 1-19

жена площадью полоски с основанием ds, а полная работа на пути S1S2——площадью заштрихованной фигуры с основанием 5х52.

При конструировании и эксплуатации машин необходимо учитывать не только работу, совершенную машиной, но и быстроту выполнения работы. Величина, характеризующая скорость выполнения работы, называется мощностью. Мощность численно равна отношению работы АД к промежутку времени Дт, за который она совершается, т. е.

N =票.(1.65)

Если машина работает неравномерно, т. е. мощность изменяется с течением времени, то формула (1.65) будет определять среднюю мощность, а предел этого отношения при Дт->0 выражает мгновенную мощность (мощность в данный момент):

^= limдт о

АЛ _ dA At — dt

(1.66)

Подставляя dA из формулы (1.63), получим

или

N=Fucosa,(1.67)

где 尸——сила, ds ——элемент пути, а ——угол между направлениями силы и перемещения, v=ds]dx ——скорость движения тела.

Из определения работы (1.61) можно установить единицы ее измерения. В системе СГС единица работы 1 эрг=1 дин -1 см=1 г-см2/с2. В СИ единица работы 1 джоуль (Дж) = 1 Н-1 м= 1 кг-м2/с2=105 дин -102 см=107 эрг.

Внесистемной единицей работы является килограмм-сила-метр (кгс-м). Так как 1 кгс=9,81 Н, то 1 кгс・м=9,81 Дж.

Единицей мощности в СИ согласно формуле (1.65) будет ^^=1 Дж/с = 1 ватт (Вт),

причем 1 Вт = 107 эрг/с.

Кинетическая а потенциальная энергия.Закон сохранения и превращения энергии

Все формы движения материи при соответствующих условиях могут превращаться друг в друга в строго определенных количественных отношениях. Это обстоятельство позволило измерять различные физические формы движения единой мерой и заставило ввести понятие энергии. Энергия ——это общая мера различных процессов и видов взаимодействия.

Изменение энергии системы пропорционально работе А, совершенной внешними силами, приложенными к системе:

a吟財4,

где k — коэффициент пропорциональности.

Положив 々=1, получим

A1F=W%—取 1=儿(1.68)

Поэтому энергия измеряется в тех же единицах, что и работа: в системе СГС — в эргах, в СИ ——в джоулях.

Когда работа внешних сил положительна (4>0), то энергия системы возрастает и, наоборот, если работа внешних сил отрицательна (система совершает работу), то энергия системы убывает. Следовательно, система может совершить работу только за счет изменения своей энергии. Если работа, которую совершает система, равна нулю, то такая система является замкнутой.

К механической энергии относят два вида энергии — кинетическую и потенциальную-

2*— 35 —

Кинетической энергией называется энергия движущегося тела (от греческого слова kinetikos — относящийся к движению).

Для вычисления кинетической энергии предположим, что на тело массы m в течение времени т действует неизменная сила F, которая вызывает изменение скорости на величину и——и。, и при этом совершается работа

A = Fs,(*)

где s — путь, пройденный телом за время 工 в направлении действия силы. Согласно второму закону Ньютона запишем

尸t=m®—%),

откуда

Пройденный телом за время т путь определим через среднюю скорость:S=《pF

Так как при равнопеременном движении %р=(и+%)/2, то

Подставляя полученные выражения для 尸 и s в формулу (*), найдем

4 = %^^Y = m4 = %^^Y = m(0-“) 9 + %) m (02一啸)(0-“) 9 + %) m (02一啸)2222

4 = %^^Y = m

4 = %^^Y = m

(0-“) 9 + %) m (02一啸)

(0-“) 9 + %) m (02一啸)

2

2

2

2

или

ЛЛmv2mv222(1.69)(1.69)дгдгmv2mv222

Л

Л

mv2

mv2

2

2

(1.69)

(1.69)

дг

дг

mv2

mv2

2

2

Сопоставляя это выражение с формулой (1.65), можно сделать вывод, что кинетическая энергия тела массы т, движущегося поступательно со скоростью и, равна при условии, что %=0:

(1.69а)

Следовательно, работа силы F на пути s равна изменению кинетической энергии тела, к которому эта сила приложена.

Приложенная сила может не только вызывать увеличение скорости тела, но и тормозить его. В этом случае работа отрицательна (Д<0) и кинетическая энергия тела будет уменьшаться.

Потенциальная энергия (латинское potentia ——возможность)— это энергия, обусловленная взаимным расположением тел или частей

тел и характером их взаимодействия. При соответствующих условиях возможно изменение потенциальной энергии, за счет чего совершается работа.

Потенциальной энергией обладают упруго деформированные тела, сжатые газы, тела, поднятые над поверхностью Земли, и др.

Для поднятия тела массы т на высоту h необходимо совершить работу (при условии, что v=const)

A=Ph=mgh.

Эта работа пойдет на увеличение энергии замкнутой (изолированной) системы тело — Земля, т. е.

Считая, что в состоянии, когда тело находилось на поверхности земли, энергия системы %=0, получим

4 =取2=取.(1.68а)

Эта энергия W системы тело — Земля и является потенциальной энергией тела, поднятого на высоту h, т. е.

Wn = mgh.(1.70)

При выводе данной формулы предполагалось, что ускорение свободного падения является величиной постоянной. Как указывалось ранее, это справедливо при небольших значениях й, в противном случае необходимо в данную формулу вводить функцию g=f®・

Таким образом, на основании формул (1.69) и (1.68а) можно сказать, что при переходе тела или системы тел из одного состояния в другое совершается работа, которая служит мерой изменения энергии^ обусловливающего этот переход.

Если внутри системы, состоящей из нескольких тел (материальных точек), под действием силы F происходит перемещение тела относительно других тел из одного произвольного положения / в другое 2, то работа 力1,2, совершаемая при этом, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло. Работа 力1,2 определяется только положениями начальной и конечной точек перемещения, т. е. начальным и конечным состояниями системы, как это следует из формул (1.69) и (1.68а). Такая сила F называется консерватценой, или потенциальной.

Рассмотрим процесс изменения состояния тела, поднятого на высоту 瓦 При этом его потенциальная энергия Wn=mgh. Тело начало свободно падать (%=())• Сопротивлением воздуха пренебрегаем. В момент достижения поверхности Земли оно будет иметь скорость

v = ]/ 2gh

и кинетическую энергию

步 к =—=―戸=mgh.

Кинетическая энергия тела, упавшего с высоты 瓦 оказалась равной его потенциальной энергии, которую оно имело до начала падения. Следовательно,

— = mgh.

На поверхности Земли (无=0) потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая в момент удара максимальна. В начале падения = = max, a 1FK=O.

Однако сумма кинетической и потенциальной энергий во всех промежуточных точках пути остается неизменной, если не происходит рассеяния энергии на трение, электризацию и т. д. Следовательно, если не происходит превращения механической энергии в другие виды энергии, то

Гп + ^к = const.(1.71)

Энергия системы тело — Земля будет определяться разностью положений независимо от того, будет ли тело падать вертикально или скользить по наклонной плоскости (силы трения не учитываются). Такая система относится кконсервативным.

Энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной при всех происходящих в ней процессах и превращениях. Энергия может переходить из одних видов 6 другие (механические, тепловые, электрические и т.д,), но общее ее количество остается постоянным.

Данное положение называется законом сохранения и превращения энергии-

Закон является всеобщим, так как справедливость его проверена при исследованиях как микромира (взаимодействие элементарных частиц и т.д.), так и макроскопических процессов.

Закон сохранения и превращения энергии отражает тесную связь физики и философии. Марксистско-ленинская философия определяет материю как объективную реальность, существующую вне нашего сознания и отражаемую им. Движение является формой существования материи.

Движение, понимаемое в таком общем смысле, не может ни исчезнуть, ни создаться из ничего; в природе возможны лишь изменения формы существования материи и энергии их превращений, происходящие в известных количественных соотношениях. Это есть наиболее общая формулировка закона сохранения и превращения материи и энергии^

Исходя из закона сохранения и превращения энергии, определим вторую космическую скорость v2. Эта скорость соответствует минимальной скорости тела, например космического корабля, необходимой для того, чтобы удалить его за пределы действия земного притяжения (т. е., говоря математически, в бесконечность). Сопротивление атмосферы не учитывается. Сила притяжения 尸 тела при его удалении от поверхности Земли будет уменьшаться. Считаем на элементе пути dr силу постоянной и направление ее ——совпадающим с траекторией (cos а=1).

Элементарная работа dA=Fdr, но

「 тМ

尸=Yk

где г — переменное расстояние тела от центра Земли, m — масса тела, М—масса Земли. Тогда

」- тМ丿аА =у~^г dr.

4 = , утМ ^ , или 4 = утМ , ^ ・4 = , утМ ^ , или 4 = утМ , ^ ・Для удаления тела с поверхности Земли (r=R) в бесконечность необходимо затратить работу, совершаемую против силы тяжести, равную

4 = , утМ ^ , или 4 = утМ , ^ ・

4 = , утМ ^ , или 4 = утМ , ^ ・

RRR

R

R

В результате интегрирования получим

力 утm

Кинетическая энергия, которой обладает тело у поверхности Земли, расходуется на совершение вычисленной работы, т. е.

m磋=?mM

откуда вторая космическая скорость равна

Выполнив вычисления, получим

v2 ^ 11,2-103 м/с= 11,2 км/с.

Кинетическая энергия вращающегосяи катящегося твердого тела

Вычислим кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Представим тело как систему материальных точек, массы которых равны mx, m2, т3, . . ., mn, а соответствующие радиусы вращения rlt 厂2, %, • • •, 6г・ Каждая точка движется с линейной скоростью v~mrb где ①一угловая скорость вращающегося твердого тела, одинаковая для всех точек тела, а кинетическая энергия точки будет равна

"Ki 2*

ИЛИ

外尸外尸W/r? •炉—2W/r? •炉—2

外尸

外尸

W/r? •炉

—2

W/r? •炉

—2

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме энергий отдельных точек:

%/■沙2s学2m3中2加储炉

» К 2 I 2 I 2> • • . I 2，

ИЛИ

i=九

117K=■$■£%?，i=1

i = n

где У m^=J — момент инерции сплошного тела (см. § 11). Окончательно получаем

呼к = ¥・(1.72)

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела определяется моментом инерции тела J относительно оси вращения и его угловой скоростью ①.Уравнение (1.72) аналогично

формуле кинетической энергии при поступательном движении (1.69а).

Предположим теперь, что тело вращается, а ось его перемещается, оставаясь параллельной самой себе во время движения. Например, катящийся без скольжения шар совершает вращательное движение, а центр тяжести его, через который проходит ось вращения (точка О на рис. 1-20), переме

щается поступательно.

В этом случае движение тела является и поступательным и вращательным одновременно. Полная кинетическая энергия складывается из энергий поступательного и вращательного движений:

(1.73)(1.73)^к^^пост+^вр.

(1.73)

(1.73)

При этом тело массы m вращается относительно оси, проходящей через центр инерции, с угловой скоростью со, а центр инерции перемещается поступательно с линейной скоростью и. Следовательно, полная кинетическая энергия равна

吗吗mv2mv2几)2几)2

吗

吗

mv2

mv2

几)2

几)2

где J — момент инерции тела.

В качестве примеров вычислим полную энергию катящихся без скольжения тел: 1) обруча (или полого цилиндра), 2) диска (или сплошного цилиндра), 3) шара.

Выражение для момента инерции целесообразно записать в виде

J=hmR2,

где k ——безразмерный множитель, зависящий от формы тела и расположения оси вращения, т — масса тела.

Решая данное уравнение относительно коэффициента 瓦 получим

Коэффициент k для обруча или полого цилиндра будет равен [см.

(1.50)] й = ^2 = 1, для диска 々=1/2, для шара 々=2/5.

Учитывая, что угловая скорость со = v/R, уравнение (1.73) запишем так:

ИЛИ

%=(1+炒哆.(1.74)

Подставляя в данное уравнение значения коэффициента 左,получим выражения для полной кинетической энергии катящихся твердых тел различной формы:

WK = mv2 (обруч);

WK = ^mv2 (диск);(1.75)

7

3)外=而加* (тар).

Пример.

К катящемуся шару массы 1 кг приложили силу 1 Н, под действием которой шар остановился, пройдя путь 1 м. Определить скорость, с которой двигался шар до начала торможения.

Решение. Полная кинетическая энергия катящегося шара до начала торможения равна

呼к = (7/10) ту2;

в момент остановки шара она стала равной нулю. Работа тормозящей силы F на пути s будет равна изменению кинетической энергии шара, т. е.

^\ =国=(7/10)m吟

10* 1 Н • 1 м7.1 кг ^ *2 м/з10* 1 Н • 1 м7.1 кг ^ *2 м/зТог? 7тТог? 7тоткуда

10* 1 Н • 1 м

7.1 кг ^ *2 м/з

10* 1 Н • 1 м

7.1 кг ^ *2 м/з

Тог? 7т

Тог? 7т

V =

§ /7. Удар

Понятие «удар» включает в себя всю совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твердых тел, а также при некоторых взаимодействиях твердых тел с жидкостями и газами (гидравлический удар, взрыв и т. д.).

При ударе твердых тел происходит их деформация. В случае когда после удара форма тел восстанавливается, удар называется упругим. При упругом ударе общая кинетическая энергия соударяющихся тел

—41 —

остается неизменной, следовательно, механическая энергия не перехо* дит в другие формы энергии.

В отличие от этого неупругий удар характеризуется тем, что кинетическая энергия соударяющихся тел частично переходит в другие виды энергии и тело после удара приобретает остаточную деформа

цию.

Рассмотрим прямые центральные соударения двух однородных шаров. При прямом центральном ударе скорости соударяющихся шаров

направлены вдоль прямой, соединяющей центры шаров. Будем считать систему изолированной.

Упругий удар. Пусть шар массы пц движется со скоростью vx и догоняет другой шар массы т2, движущийся со скоростью v2 (и2Vи】; рис. 1-21). В момент удара поверхности шаров деформируются, но этот процесс обратимый, так как их форма мгновенно

восстанавливается и энергия деформации снова без потерь превращается в кинетическую энергию движения шаров. После удара шары будут двигаться с измененными скоростями соответственно 〃】и 〃2・ Для нахождения этих скоростей используем закон сохранения энергии, справедливый для этой системы,

m戒 丄 m2球 —т^ 丄 恤週"~2^丁 = 丁■十丁"

и закон сохранения импульса (количества движения) m卫1 +加202 =m1"1 +m2"2・

Произведем необходимые преобразования:

m1 (%—呜)=m2 (必一%),(1.76а)

тIе1-〃1)=/7?2(〃2—%)•(1.766)

Разделив одно уравнение на другое и произведя сокращение, получим

(1.77)(1.77)01+":1 =力+"2・

(1.77)

(1.77)

Умножив это уравнение на тх и сложив с равенством (1.76, б), найдем скорость второго шара после удара:

=2m101 +02 (加 2 -加1)=2m101 +02 (加 2 -加1)(1.78)(1.78)

=2m101 +02 (加 2 -加1)

=2m101 +02 (加 2 -加1)

(1.78)

(1.78)

Аналогично находится скорость первого шара после удара:

(1.79)(1.79)=2m202 + %(恤一加2)

(1.79)

(1.79)

一①1 +m2

Данные формулы пригодны также и для расчета скоростей шаров, если происходит встречный центральный упругий удар. Однако в этом случае скорости шаров до удара имеют противоположные зна-

ки, что необходимо учитывать при подстановке соответствующих величин в данные формулы.

Разберем два частных случая.

Шары имеют одинаковые массы (mi=m2=m). Тогда, решая уравнения (1.78) и (1.79), получим

"1=02； 〃2 =u1,

е. первый шар приобрел после удара скорость, равную скорости второго шара, и наоборот. Шары обменялись скоростями и видимого результата удара нет, как будто один шар без сопротивления прошел через второй. Это следствие используется в кинетической теории идеального газа. Соударения молекул однородного газа как бы не приводят к изменению скоростей молекул.

2. Второй шар неподвижен (。2=0) и масса его значительно больше первого (т^>т^. Тогда, пренебрегая тх в сравнении с т2, найдем

т. е.

〃尸一小

Следовательно, после удара первый шар отскакивает от второго и меняет направление скорости на противоположное. Импульс в этом случае будет равен

加i〃i-(-m1〃0 =2miUi.

—0Рис. 1-22—0Рис. 1-22Такой же случай имеет место при упругом ударе шара о неподвижную стенку, происходящем под некоторым углом к стенке; нормальная составляющая скорости при этом изменяется только по направ- mf лению, оставаясь прежней по вели- 力 чине.

—0

Рис. 1-22

—0

Рис. 1-22

Этот вывод также используется в кинетической теории газов, так как давление газа определяется количеством и величиной импульсов, которые сообщают при ударе стенке сосуда газовые молекулы.

Неупругий удар. Рассмотрим удар

двух однородных неупругих шаров, массы которых т】и т? ° соответствующие скорости до удара vx и v2 (рис. 1-22). При абсолютно неупругом ударе тела после удара движутся как одно целое со скоростью 〃.

Для нахождения скорости и после удара используем закон сохранения импульса, считая, что внешние силы отсутствуют и масса тела после удара будет (тх+т2):

т卫1 +加202 =(m1 +m2)",-43 —

откуда

(1.80)(1.80)〃=mf1 +加2内

(1.80)

(1.80)

—тх + т2

При неупругом ударе часть механической энергии тел переходит в другие формы энергии (например, тепловую) и затрачивается на работу по деформации поверхности шаров. В этом случае полная энергия системы не изменяется, но кинетическая энергия шаров после удара будет меньше, чем до удара.

Найдем уменьшение кинетической энергии шаров. До удара их кинетическая энергия равна сумме энергий обоих шаров:

W 0 =恤无/2 +恤圖2・

После удара кинетическая энергия равна

刃=(恤 + m2)"2/2=(^2)(色% + m202)2/(恤 + 加2)■

Изменение энергии

ДГ = Г —Го =ДГ = Г —Го =1 (^1 + ^2)22 m1 +m21 (^1 + ^2)22 m1 +m2/ m就 ги2器) \"2/ ,/ m就 ги2器) \"2/ ,

ДГ = Г —Го =

ДГ = Г —Го =

1 (^1 + ^2)2

2 m1 +m2

1 (^1 + ^2)2

2 m1 +m2

/ m就 ги2器) \"2/ ,

/ m就 ги2器) \"2/ ,

или

a步=^船产a包)

Уменьшение энергии A1F с достаточной степенью точности можно считать равным работе сил, создающих остаточную деформацию.

§ 18. Упругое тело. Закон Гука

До сих пор сила рассматривалась как динамический параметр, вызывающий изменение скорости движения тела. Однако в ряде случаев приложенная к телу сила (или силы) не вызывает изменения его скорости, а изменяет форму и объем тела. Иными словами, действие силы вызывает деформацию.

Деформация называется упругой в том случае, когда после снятия нагрузки (т. е. после прекращения действия сил) форма тела восстанавливается, деформация исчезает. Соответственно этому можно сказать, что упругое тело обладает свойством восстанавливать форму и объем после снятия нагрузки.

В отличие от этого тело считается неупругим или пластичным, если форма его не восстанавливается после снятия нагрузки, т. е. тело приобрело остаточную деформацию.

При изменении условий (температуры, нагрузки) упругое тело может перейти в состояние пластичное, и наоборот. Например, упругая стальная пружина при высоких температурах становится пластичным телом, а резина при сверхнизких температурах приобретает свойства упругого тела.

Характер деформаций многообразен, но большинство из них для

упрощения задачи можно свести к двум основным видам: деформации сжатия и растяжения.

Например, при деформации изгиба возникают деформация сжатия в элементах вогнутой части тела и деформация растяжения в элементах выпуклой части тела. При сдвиге элементы тел одновременно сжимаются и растягиваются в двух взаимно перпендикулярных направле

ниях.

Все эти виды деформации, а также многие другие (кручение, срез,

всестороннее сжатие и растяжение и т. д.) рассматриваются в специальных инженерных курсах («Сопротивление материалов», «Строительная механика» и др.). Остано-У/《做仪〃厶

вимся на случае растяжения упругого стержня.八

Предположим, что один конец прямолинейного стального стержня закреплен, а к другому концу его приложена сила 尸(рис. 1-23). В результате z этого стержень растягивается и длина его I увеличивается на величину Д/, которая и определяет деформацию растяжения.

Относительной деформацией 8 называется вели- X— чина, численно равная отношению приращения раз- /z I 才 мера тела к начальному значению размера, т. е.! !

е=А 〃厶(1.82) f

Если мысленно вырезать двумя поперечными сече-у

ниями любой отрезок стержня, выполненного из одно-尸

родного материала, то на площади торцов этого стерж- Рис. 1-23 ня проявится действие внутренних усилий, равных силе 尸.Сила, которую может выдержать стержень, сохраняя свои упругие свойства, зависит от физико-химических свойств материала стержня, а также от площади его поперечного сечения.

Напряжением о называют величину, численно равную отношению усилия 尸 к площади поперечного сечения S:

(1.83)(1.83)a=F/S

(1.83)

(1.83)

(при равномерном распределении усилия по сечению S).

На упругой стадии растяжения стержня относительная деформация его растет прямо пропорционально увеличению напряжения:

8=ао

илиилид/ 7д/ 7F =吋F =吋(1.84)(1.84)

или

или

д/ 7

д/ 7

F =吋

F =吋

(1.84)

(1.84)

где а — коэффициент упругости. При этом изменение поперечных размеров стержня не учитывается.

Это соотношение называется законом Гука, который можно сформулировать так: напряжение о при упругих деформациях тела пропорционально относительной деформации:

(1.85)(1.85)О = Е • 8,

(1.85)

(1.85)

-45 —

где Е называется модулем упругости (модуль Юнга). Очевидно,

Е=1/а・(1.85а)

Если положить 8=1, т.е. вообразить себе случай, что длина стержня увеличилась вдвое, то численно

Е=о.

Большинство реальных упругих материалов не могут выдержать такие нагрузки и, далеко не достигнув увеличения длины вдвое (е=1), разрушаются. Но это не значит, что модуль Юнга имеет лишь теоретическое значение.

Величину его определяют на основании экспериментальных данных и широко используют в практических инженерных расчетах.

§ 19. Упругая и пластическая деформации.Энергия упругодеформированного тела

Рассмотрим вопрос об упругой и пластической деформациях с точки зрения перехода одного и того же тела из упругого в пластичное состояние при увеличении напряжения.

Повторим предыдущий опыт (см. рис. 1-23) по растяжению упругого (стального) стержня. Силу, приложенную к стержню, будем постепенно увеличивать от 尸=0 до предельных значений, при которых произойдет разрыв. При этом будут возрастать напряжение о и относительная деформация 8. Анализи- S 八руя зависимость между напряже-

4нием и деформацией (рис. 1-24),

/、 нетрудно установить, что она име

ет сложный характер.

『Вначале с увеличением нагрузки

/относительная деформация 8 воз/растает прямо пропорционально

/ напряжению о (линейный участок

訂 графика 0—1). В этой о б л а с-

Рис L24ти справедлив закон

* "Гука. Наибольшее напряжение,

соответствующее точке /, до которого сохраняется пропорциональность между ено, называется пределом пропорциональности.

Начиная с напряжения, которому соответствует точка /, упругие свойства тела сохраняются (участок /—2), но пропорциональность между 8 и а нарушается, и закон Гука здесь неприменим.

Точка 2 соответствует напряжению, до которого тело испытывает упругие деформации (предел упругости). Если при данном напряжении снять нагрузку, то тело будет проявлять упругие свойства, и кривая разгрузки совпадет с кривой нагрузки п.

1)В ряде случаев пределы пропорциональности и упругости практически совпадают.

При увеличении нагрузки выше предела упругости (участок кривой выше точки 2) тело теряет свойства упругости и ведет себя как пластичное. Область деформации, соответствующая этим напряжениям, называется областью пластических деформаций.

Если напряжение достигнет значения, соответствующего точке 3, материал начинает «течь» — длина его увеличивается без увеличе* ния нагрузки. Этому состоянию материала соответствует горизонтальный участок кривой. Так как приложенная сила F остается постоянной, а площадь образца S из-за удлинения стержня уменьшается, то а несколько увеличивается (участок 3—4). Точке 4 соответствует предел прочности — это максимальное напряжение, при котором еще не происходит разрушения тела.

За этим пределом образец разрушится (точка 5). В области пластических деформаций (правее точки 2) при постепенном уменьшении нагрузки величина Д/ будет несколько уменьшаться, но очень мало. Если нагрузку снять полностью, то остаточная деформация будет близка к той деформации, которая соответствует началу снятия нагрузки.

Пример.

К проволоке из углеродистой стали подвешен груз массы 100 кг. Длина проволоки 1 м, диаметр 2 мм, модуль Юнга £'=20-1010 Па, предел пропорциональности %= =3,3・ 108 Па. Рассчитать, на сколько увеличится длина проволоки. Превышает приложенное напряжение или нет предел пропорциональности?

Решение. Закон Гука для деформации растяжения имеет вид [см. (1.84)

AZ 1 尸

7=百,豆，

где I ——длина стержня (проволоки), Д/ ——изменение длины,尸 ——приложенная сила, равная силе тяжести груза, т. е. F=mg, S — площадь поперечного сечения стержня (проволоки). Из этой формулы определяем

7 Z«F 1 • 100*9,8«4 Н• м2• м [ ” з 〔 ” А'=百忑=而而帀1Л戸年к=1，57・10-Зм = 1,57 мм.

Предел пропорциональности — это напряжение, до которого сохраняется про- порциональность между деформацией и приложенной силой, т. е. соблюдается закон Гука.

Найдем приложенное напряжение о:

S ЛАР '

а ==3,12.108 Па.

л«4«10-6

Из сравнения этого напряжения с заданным пределом пропорциональности заключаем, что

° < °п・

Напряжение лежит в области пропорциональности 8 и а.

Вычислим потенциальную энергию упруго сжатой пружины или упру годеформированного тела. Для этого необходимо вычислить работу, которая была затрачена на накопление этой энергии.

При упругой деформации сила пропорциональна деформации, в данном случае сжатию пружины:

F=ks.

Элементарная работа сжатия (считаем, что cos а=1) равна

илиилиdA =^sds.dA =^sds.dA = Fds,

или

или

dA =^sds.

dA =^sds.

Полагая, что пружину сжали на величину s, найдем полную работу

(1.86)(1.86)A=h \ sds =掾.о

(1.86)

(1.86)

Так как hs = F, то 力=万• Эта работа определяет запас потенциальной энергии упруго сжатой пружины, т. е.

Wn = ks^2 = Fs/2.

Графически вычисленная работа численно равна площади треугольника ОЬс на рис. 1-25. Если бы сила была постоянной, то работа определялась бы как произведение Fs и соответствовала бы площади прямоугольника Oabc.

§ 20. Сила трения

Такие механические явления, как движение твердых тел в жидких или газообразных средах, относительное перемещение твердых тел, а также слоев газа или жидкости при их непосредственном контакте, сопровождаются трением. Трение подразделяется на два вида — внешнее и внутреннее.

Внешнее трение возникает при относительном перемещении двух соприкасающихся твердых тел в плоскости их касания. Сила сопротивления, возникающая при этом, называется силой трения.

Работа внешних сил, которая идет на преодоление силы трения, превращается в различные виды энергии, причем эта энергия рассеивается в окружающем пространстве. Поэтому трение относится к диссипативным процессам, т. е. процессам, при которых сумма кинетической и потенциальной энергий непрерывно уменьшается, переходя в другие немеханические формы энергии. Трение сопровождается выделением теплоты, электризацией трущихся поверхностей, иногда их разрушением и т. д.

В свою очередь внешнее трение делится на два вида трение скольжения и трение качения.

Трение скольжения характеризуется коэффициентом трения скольжения

(1.87)(1.87)/ = %р/М

(1.87)

(1.87)

где 尸тр—сила трения, N — нормальная составляющая силы, прижимающей тело к поверхности (нормальная нагрузка).

Коэффициент трения, равный отношению двух величин, которые

имеют одинаковую размерность, является безразмерной величиной.

На рис. 1-26 изображено тело, лежащее на наклонной плоскости. В данном случае сила N является составляющей силы тяжести Р тела. Другая составляющая силы Р, вызывающая движение тела, направлена параллельно трущимся поверхностям. Сила трения скольжения FTP возникает в месте контакта, но, считая поперечный размер тела, лежащего на наклонной плоскости,

незначительным, переносим точку ее при

ложения в центр тяжести тела. Направление силы трения скольжения противоположно направлению силы 尸.Эта сила, побуждающая тело двигаться вниз по наклонной плоскости, равна

F=P sin а,

где а — угол наклона плоскости к горизонту.

В свою очередь сила трения скольжения FTp, удерживающая тело на наклонной плоскости, также зависит от угла а, так как

N=P cos а,

и тогда

尸 Tp = /Pcosa.

Таким образом, соотношение сил F и FTp зависит от угла а и физических характеристик трущихся поверхностей, т. е. от коэффициента трения.

Тело начнет двигаться по наклонной плоскости, когда сила станет больше силы трения, т. е.

尸》尸тр・(1.88)

Когда тело находится в покое, действующая в этом случае сила трения называется силой трения покоя (статическая), а коэффициент трения —коэффициентом трения покоя. Увеличивая угол наклона а, можно заставить тело двигаться. В момент начала движения движущая сила F будет равна максимальному значению силы трения покоя. Так как сила трения покоя больше силы трения скольжения, то очевидно, что и коэффициент трения покоя /п больше коэффициента трения скольжения (/„>/).

Коэффициенты трения /п и / в сильной степени зависят от рода и состояния трущихся поверхностей, кроме того, коэффициент трения скольжения зависит и от скорости движения. Во многих случаях он

в начале движения уменьшается с увеличением скорости, а затем возрастает.

Другим видом трения является трение качения. Оно возникает вследствие деформации тел в местах соприкосновения. Сила трения качения определяется формулой Кулона

尸%(1.89)

где 卩к — коэффициент трения качения (измеряется в единицах длины), ^ — сила нормального давления, г — радиус катящегося тела.

Трение качения намного меньше трения скольжения. Поэтому широко распространены подшипники, в которых используется трение качения шариков или цилиндров, что повышает экономичность и долговечность работы подшипников.

При определенных условиях внешнее трение переходит во внутреннее, при котором в зоне контакта нет скачка скорости при переходе от одного тела к другому. Внутреннее, или вязкое, трение возникает при движении тел в вязкой среде или при относительном перемещении соприкасающихся смазанных поверхностей.

Характерной особенностью вязкого трения является то, что оно возникает только при движении. Коэффициент вязкого трения значительно меньше коэффициентов трения скольжения и качения. Иллюстрацией этого может служить следующий опыт. На почти горизонтальной металлической плите лежит кусок парафина. При нагреве поверхности плиты растаявший тонкий слой парафина создает условия вязкого трения, и кусок парафина начнет двигаться по плите, хотя движущая сила (тангенциальная составляющая силы тяжести) будет очень мала.

Сила вязкого трения зависит от вязких свойств среды, скорости движения, формы и размеров тела.

При вязком трении, так же как и при других видах трения, происходит превращение механической энергии в другие виды энергии (в основном в тепловую). Поэтому при движении спутников Земли в атмосфере из-за вязкого трения их корпуса о воздух они сильно разогреваются. Более подробно явление внутреннего трения будет рассмотрено в гл. 4.

Глава 2

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

§ /・ Гармоническое колебательное движение〃 его уравнение

Акустика, радиотехника, оптика и другие разделы науки и техники базируются на учении о колебаниях и волнах.

В общем случае колебательными процессами называются процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые промежут ки времени.

Большую роль играет теория колебательных процессов и в механике, в особенности при расчете на прочность летательных аппаратов,

мостов, отдельных видов машин и т. д.

Рассмотрим механические колебания. Колебательное движение представляет собой периодическое движение, при котором каждый цикл подобен предыдущему.

В случае механических колебаний повторяются изменения положений и скоростей каких-либо тел или частей тел. Эти изменения могут происходить под воздействием сил тяжести, упругих сил, капиллярных или каких-то других сил.

Силу, под воздействием которой происходит колебательный процесс, называют возвращающей силой, так как она стремится тело или материальную точку, отклоненную от положения равнове

сия, вернуть в это положение.

В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) и вынужденные колебания.

Свободные, или собственные, колебания имеют место тогда, когда на колеблющееся тело (материальную точку) действует только возвращающая сила. Свободные колебания являются незатухающими, если не происходит рассеяния энергии в окружающее пространство. Однако реальные колебательные процессы являются затухающими, так как на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению (в основном силы трения).

Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которую называют вынуждающей.

Собственные колебания являются не только самыми распространенными, но и самыми важными в теории колебательных процессов. Условия возникновения и характер вынужденных колебаний в большинстве случаев существенно зависят от характера собственных колебаний, свойственных данной колеблющейся системе.

Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно

считать гармоническими.

Гармоническими (или простыми) колебаниями называются такие колебательные движения, при которых сме

щение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса.

Предположим, что точка В равномерно движется по окружности со скоростью V (рис. 2-1). Тогда проекция этой точки на любой диаметр окружности, например на диаметр CD, будет совершать гармонические колебания около точки О. Точка О в этом случае соответствует положению равновесия колеблющейся точки Вх, которая является проекцией точки В, вращающейся по окружности, и совершает гармонические колебания.

Расстояние проекции точки от положения равновесия (например, OBi) является смещением х.

Наибольшее смещение (ОС или OD) от положения равновесия называется амплитудой смещения А.

За один оборот точки В по окружности ее проекция совершит одно полное колебание и вернется в исходную точку &.

Периодом Т называется время одного полного колебания. По истечении времени Т повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания. За один период колеблющаяся точка проходит путь, равный четырем амплитудам.

Предположим, что в начальный момент времени колеблющаяся точка находится в положении В. За время т, в течение которого проекция точки из В перешла в положение Е, радиус ОВ повернулся на угол 0. Тогда угловая скорость со радиуса ОВ будет равна

s=В/% откуда

Р = сот.

Если отсчет углового пути, пройденного вращающейся точкой В, производить от горизонтального диаметра, то

а=₽+(р,

или

а=сот+(р.(2.1)

Из треугольника ОЕЕХ находим смещение:

х~ОЕ sin а,

или

х=А sin (со 工+屮).(2.2)

Уравнение (2.2), определяющее смещение х как функцию времени, представляет собой уравнение гармонического кол е б а н и я. Величина, стоящая под знаком синуса, т. е. угол а= =сот+ф, называется фазой колебания точки.

Фаза колебания измеряется в угловых единицах и показывает состояние колебательного процесса в каждый момент времени т.

Угол ср определяет положение точки в начальный момент времени то=О и называется начальной фазой колебания.

Угловая скорость определяется из условия, что за период Т радиус ОВ сделает один оборот, т. е. повернется на угол 2л радиан:

①=2к/Т,(2.3)

откуда

Т=2 л/①.(2.4)

Величина со входит в уравнение гармонического колебательного движения (2.2) и носит название круговой, или циклической, частоты.

Число колебаний точки в одну секунду, т. е. частота колебаний,

—52 —

определяется как величина, обратная перйоду колебаний:

или

(2.5)(2.5)v=co/2n.

(2.5)

(2.5)

Частота измеряется в герцах (1 Гц=1 с"1). При частоте в 1 Гц происходит одно колебание за секунду. Частота может измеряться в килогерцах (кГц): 1 кГп = 103 Гц и мегагерцах (МГц): 1МГц=10вГц. Учитывая соотношения (2.3) и (2.5), уравнение гармонического колебания (2.2) можно представить в виде

% = 4 sin (祭T +屮),% = 4 sin (祭T +屮),(2.6)(2.6)

% = 4 sin (祭T +屮),

% = 4 sin (祭T +屮),

(2.6)

(2.6)

или

х = Л sin (2nvT +(p).х = Л sin (2nvT +(p).(2.6а)(2.6а)

х = Л sin (2nvT +(p).

х = Л sin (2nvT +(p).

(2.6а)

(2.6а)

его абсолютного значения. Фазы,его абсолютного значения. Фазы,

его абсолютного значения. Фазы,

его абсолютного значения. Фазы,

Если изобразить графически зависимость смещения х от времени т, то в соответствии с уравнением гармонического колебания получит

ся синусоида (рис. 2-2). При начальной фазе(р=0 синусоида пройдет через начало координат.

Если прибавить к аргументу синуса четное число к, то значение синуса не изменится. Следовательно, фазы, отличающиеся друг от друга на четное число к, т. е. на 2孔冗(где 孔=0, 1, 2, 3,...), считаются одинаковыми.

Прибавление к аргументу синуса нечетного числа л, т. е. (2〃+1)к, изменяет знак синуса, но не меняет

отличающиеся друг от друга на нечетное число л, называются противоположными. Например, колебания

%i=4 sin (сот),

%2=4 sin (砒+冗)

происходят в противоположных фазах.

Гармонические колебания совершаются под действием возвращающей силы 尸，пропорциональной смещению %, т. е.

F=—kx,(2.7)

где k ——коэффициент пропорциональности. Знак минус в данном уравнении указывает, что направления силы F и смещения х противоположны.

Так как сила 尸 по второму закону Ньютона равна

F=ma,

-53 -

где m ——масса колеблющейся точки, а ——ее ускорение, то та=—kx.

Но ускорение a=d2x/dx2, поэтому

—kx, или m 联+ ^% = 0.(2.7а)

Данное уравнение называется дифференциальным уравнением гар・ монического колебания.

Скорость и ускорение при гармоническомколебательном движении. Затухающие колебания

Смещение колеблющейся материальной точки определяется по формуле (2.2):

х=А sin (сот+(р).

Скорость ее является производной от смещения по времени:

v = ^ = co Л cos (сот +(р).(2.8)

Ускорение колеблющейся точки равно производной от скорости по времени:

а =靠=—со2 A sin (сот + <р).(2.9)

Отсюда следует, что при гармоническом колебательном движении ускорение тела прямо пропорционально смещению от положения равновесия и имеет противоположный ему знак, т. е.

а=—со?%.(2.9а)

Заменив циклическую частоту со через период Т или частоту колебаний [см. (2.4) и (2.5)1, представим уравнения для скорости и ускорения в другой форме:

V = 2nv Л cos (2jivt + ф) = -^• Л cos (祭工 + 9)；(2.8 а)

0 =_4Л2V2% =一招.4 sin (争t + 中).(2.96)

Уравнения (2.8а) и (2.96) показывают, что скорость и ускорение колеблющейся точки являются периодическими функциями от времени с периодом Г, равным периоду колебательного процесса.

Из уравнения (2.9а) следуют два вывода: 1) ускорение при гармоническом колебании пропорционально смещению х и противоположно ему по направлению; 2) отношение

а/х=—со2

является постоянной величиной, так как циклическая частота о гармонических колебаний данного тела или системы неизменна. Сле-

крайних положениях, когда веккрайних положениях, когда век

крайних положениях, когда век

крайних положениях, когда век

довательно, механические колебания представляют собой гармонические колебания, если в любой момент времени ускорение а имеет направление, обратное смещению х, а отношение

а/х=—co2=const.

Построим графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени.

Будем считать, что гармонический колебательный процесс происходит без начальной фазы ((ро=О), тогда смещение колеблющейся точки равно

х=А sin сот;

скорость ее будет

и=со4 cos сот=соЛ sin (сот+л/2)=уо sin (сот-|-л/2),

где величина со4=% соответствует максимальному значению скорости и называется амплитудой скорости; ускорение

а=—со2Л sin cot=—a。sin cor=ao sin (сот+л),

где величина coM =a0 выражает максимальное значение ускорения и называется амплитудой ускорения.

Сравнивая уравнения для смещения, скорости и ускорения, видим,

что они изменяются по одинаковому гармоническому закону, однако фаза скорости отличается от фазы смещения на л/2, а фаза ускорения —на л.

На рис. 2-3 в соответствии с приведенными формулами показаны изменения смещения 尤,скорости и и ускорения а в зависимости от времени (время отмечено в долях периода Т). Период Т соответствует изменению фазы на 2 л, а время, равное Т/4,— фазе л/2 и т.д. Поэтому можно сказать, что скорость принимает значения, равные нулю, в моменты времени 勿4, ЗТ/4, 5Т/4 и т.д., или при фазах, равных 冗/2, 3 л/2, 5 л/2 и т.д.

Ускорение колеблющейся точки достигает максимальных значений в

тор скорости меняет свое направление, а именно при / = Т/4, ЗТ/4, 57/4 и т.д.

При прохождении колеблющейся точки положения равновесия (%=0), когда смещение меняет свой знак, а скорость максимальна, согласно формуле (2.9а) ускорение равно нулю. Из приведенных графиков следует, что при движении точки к положению равновесия

направление ее ускорения совпадает с направлением скорости, а при

обратном ее движении направления ускорения и скорости противоположны, т. е. приближение к положению равновесия происходит ускоренно, а удаление от него — замедленно.

Наибольший модуль скорости и соответствует среднему положению колеблющейся точки (%=0), а в крайних положениях, когда х=Д, V = 0, и вектор скорости меняет свое направление.

Все рассмотренные соотношения характеризуют незатухающие колебания. Однако реальные собственные колебания тел и систем являются затухающими, т. е. после первоначального импульса амплитуда колебаний начинает уменьшаться, хотя период колебаний и циклическая частота остаются неизменными.

Затухание колебаний в любой колебательной системе (механической, электрической и др.) обусловлено потерями энергии в этой системе. Потери энергии колебаний в механических колебательных системах происходят из-за трения (внешнего или внутреннего) и излучения упругих волн в окружающую среду; в электрических — из-за наличия активного сопротивления проводников и по другим причинам.

Во многих случаях (при небольших скоростях движения) силы, вызывающие затухание колебаний, пропорциональны скорости. Эти силы называют силами сопротивления (трения):

где 厂——коэффициент сопротивления, v — скорость движения (знак минус означает, что сила трения направлена в сторону, противоположную движению). Тогда уравнение затухающих колебаний материальной точки массы /и имеет вид

х =/40e-6T-sin (сот +(р), (2.10)

где Д0^бт——амплитуда затухающих колебаний (Ао— амплитуда в начальный момент времени); е — основание натуральных логарифмов; 6=r/2m ——коэффициент затухания. Следовательно, амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени / и тем быстрее, чем больше коэффициент сопротивления г и чем меньше масса /и колеблющегося тела.

Скорость затухания колебаний оценивается величиной X, которая называется логарифмическим декрементом затухания и выражается формулой

挡=57, (2.11)

где 4» и Ai+1— амплитуды двух следующих друг за другом колебаний.

Теоретически процесс затухания колебаний длится бесконечно долго. Практически его можно считать закончившимся в случае уменьшения амплитуды колебаний до значения, равного 1 % от первоначального.

§ 3・ Сложение одинаково направленных колебаний. Биения

Рассмотрим сложение одинаково направленных колебаний одного периода, но отличающихся начальной фазой и амплитудой.

Уравнения складываемых колебаний заданы:

无i=4i sin (①t+(Pi), x2=a2 sin (①T+屮2), где Xi, %2 — смещения; Лх, Д 2— амплитуды;屮加(р2— начальные фазы складываемых колебаний.

Результирующую амплитуду найдем с помощью векторной диаграммы (рис. 2-4), на которой отложены векторы амплитуд Ах и А2 складываемых колебаний под углами(рх и(р2 к оси ОХ и по правилу параллелограмма получен вектор амплитуды А. Если равномерно вращать систему векторов и проектировать векторы на ось 0Y, то их проекции будут совершать гармонические колебания в соответствии с заданными уравнениями. Взаимное расположение Ai и А2 остается неизменным, поэтому «колебательное движение проекции результирующего вектора А также будет гармоническим. Отсюда следует вывод, что суммарное движение — гармоническое колебание, имеющее заданную циклическую частоту со.

Найдем модуль амплитуды 4 результирующего колебания. В треугольнике ОКК2 угол ОК2К=[л—(epi—ср2) 1. Так как 0K2=4 2, К?К= =41, то согласно теореме косинусов квадрат суммарной амплитуды равен

力2 =用 + 费—244C0S [л—(%—%)], или

力2 = & + & + 2A1A2cos (% — %)•(2.12)

Начальная фаза ср результирующего колебания определяется по тангенсу ее. Из рис. 2-4 видно, что

4 KD KC + CD tg 屮== 0E + ED，

где отрезки КС и CD есть проекции Ах и А2 на ось ОУ, отрезки ED и ОЕ — проекции Ai и А2 на ось ОХ. Поэтому

tg『嘿*(2.13)

Соотношения (2.12) и (2.13) дают возможность найти амплитуду и начальную фазу результирующего движения и составить его уравнение:

(2.14)(2.14)х=А sin ((от+(р).

(2.14)

(2.14)

—57 —

Анализируя уравнение (2.12), видим, что при сложении одинаково направленных колебаний возможны следующие случаи.

Если разность фаз равна четному числу л, т. е.

Фх—Ф 2 ~~ 2/1 тс

(можно считать, что qh——屮2=0), то колебания совпадают на фазе и усиливают друг друга. При этом

42 =寸+胃+ 2&儿-(4 +4汽

/ —А^А 2,

т. е. результирующая суммарная амплитуда равна сумме амплитуд составляющих колебаний.

При разности фаз, равной нечетному числу к, т. е.

91-5=(2儿+1)%

колебания ослабляют друг друга и результирующая амплитуда равна разности амплитуд складываемых колебаний:

А =А 1—А 2,

так как А2=А1+А1—2 442=(41—儿尸.

Когда(Pi—(р2=(2п+1) л, а амплитуды равны (А^А^, суммарная амплитуда 4=0, т. е. колебания взаимно гасят друг друга.

Если складываемые колебания имеют одинаковые амплитуды (41=42=厶)，но различные периоды, при этом периоды 7\ и Т2 отли

чаются незначительно друг от друга, т. е. разность периодов АТ=7\—Т2 имеет небольшое значение, то при сложении таких колебаний наблюдаются биения. В некоторые интервалы времени вследствие небольшой разности периодов колебания почти совпадают по фазе, т. е. усиливают друг друга, и амплитуда суммарного колебания становится равной 2 4“ При постепенном увеличении разности фаз в другие интервалы времени колеба

ния становятся противофазными, и суммарная амплитуда обращается в нуль. Амплитуда сложного колебания при биениях изменяется со временем периодически. На рис. 2-5 показана результирующая картина сложения колебаний при биениях. Число п биений в секунду (число повторений максимумов или минимумов в 1 с) определяется разностью частот складываемых колебаний, т. е.

(2 Л 5)(2 Л 5)n=v1—w 力

(2 Л 5)

(2 Л 5)

Биение можно наблюдать при звучании двух камертонов, если частоты их колебаний близки друг к другу.

—58

§ 4. Математический а физический маятники

(2.16)(2.16)Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Таким маятником можно, например, считать небольшой тяжелый, шар массы т, подвешенный на тонкой нити, длина / которой намного больше размеров шара (рис. 2-6). Если его отклонить в сторону на угол а от вертикальной линии, то под действием силы F — составляющей силы тяжести Р он колеблется. Другая составляющая Fn, направленная вдоль нити, уравновешивается силой натяжения FHaT нити.

(2.16)

(2.16)

При малых углах а смещение х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис. 2-6 видно, что составляющая силы Р, перпендикулярная нити, равна

F=—mg・sin а, но sin а = 7, поэтому

Эта сила направлена к положению равновесия и поэтому имеет знак, противоположный знаку смещения х. Следовательно, [см. (2.7)]

F=—hx,

где

仁罕(2」7)

—коэффициент возвращающей силы.

Таким образом, возвращающая сила пропорциональна смещению, и маятник при малых углах отклонения совершает гармонические колебания. Возвращающая сила подобна упругой силе и ее называют квазиупругой силой.

Квазиупругая сила согласно формуле (2.16) равна

F=—mg sin а,

но, с другой стороны, по второму закону Ньютона,

г = та = ш ,

d2x而

gsin a.

Из рис. 2-6 следует, что %=/a при малых углах а, тогда d2x 7 d2a

Следовательно, 1 d2a.

/而二-gsma,

или

^ + |sina = 0.(2.18)

Это уравнение называется уравнением движения математического маятника в дифференциальной форме.

Найдем выражение для периода колебаний математического маятника. Так как F=ma, а ускорение [см. (2.9а)1 а=—со2 х, то возвращающая сила равна

尸=-т^х.

Запишем ее в таком же виде, как в выражении (2.7):

F=—kxr

Следовательно, коэффициент квазиупругой силы будет

『trig,(2.17а)

откуда

(о = ]/^М-

Но так как, по определению, циклическая частота а>=2л/Т, то

Т = 2n]/m/kf

или с учетом равенства (2.17) будем иметь

Т = 2 冗/麻(2.19)

Таким образом, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения и не зависит от амплитуды колебаний.

Пример.

По какому закону изменится период Т с поднятием маятника над поверхностью Земли?

Решение. По закону тяготения Ньютона тело массы m притягивается к Земле с силой

£тМ

/ = mg = Y»

где R ——расстояние от центра Земли до центра тяжести тела, М ——масса Земли, у — гравитационная постоянная. Согласно этой формуле можно записать, что

g =更‘

и тогда закон изменения периода колебаний запишется в виде

т. е. при постоянной длине маятника период его колебаний линейно зависит от расстояния до центра Земли.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной оси (оси подвеса), не проходящей

через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести.

В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной. При небольших углах отклонения а физический маятник также совершает гармонические колебания. Будем считать, что сила тяжести физического маятника приложена к его центру тяжести С (рис. 2-7). Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести —сила 尸.Момент этой силы относительно оси О равен

М=—尸•厶=—mgL sin a.

Знак момента силы F относительно оси О про

тивоположен знаку угла поворота маятника и знаку sin а, так как

при удалении маятника из положения равновесия на угол а в направлении по часовой стрелке сила F стремится вращать маятник в направлении против часовой стрелки, и наоборот.

Вращающий момент М в соответствии с основным уравнением динамики вращательного движения равен

где J — момент инерции маятника, е ——его угловое ускорение. ТогдаJ 詳=—mgL sin а,

или

d2a dx2d2a dx2mgLmgLsina = 0.sina = 0.(2.20)(2.20)

d2a dx2

d2a dx2

mgL

mgL

sina = 0.

sina = 0.

(2.20)

(2.20)

Данное уравнение является дифференциальным уравнением качаний физического маятника.

Это уравнение отличается от дифференциального уравнения колебаний математического маятника (2.18) только значением коэффициента при sin а. Если приравнять значения коэффициентов при sin а в обоих дифференциальных уравнениях:

g mgL

то получим

Т・(2.21)

Данная формула определяет приведенную длину физического маятника. т. е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду данного физического маятника.

С учетом этого выражения формулу периода колебаний физического маятника можно записать в виде

7 = 2冗/需，(2.22)

где I = J]mL — приведенная длина маятника, J — момент инерции относительно оси О колебаний, т ——масса маятника, L — расстояние между его центром тяжести С и осью колебания О.

§ 5・ Энергия гармонического колебательного движения

Определим энергию колеблющегося тела, например материальной точки массы т. Скорость точки непостоянна, поэтому кинетическая и потенциальная энергии ее будут переменны.

Потенциальная энергия измеряется работой силы, вызывающей смещение %, т. е. выводящей тело, совершающее гармоническое колебательное движение, из положения равновесия. Эта сила равна возвращающей силе F и обратна ей по направлению. Тогда

Wn = \-Fdx9о

где F=—kx [см. (2.7)], следовательно,

Wn=^kxdx = -^.(2.23)

о

Но Jfe=m(o2, а х=А sin (сот+(р), поэтому потенциальная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, будет равна lFn = (l/2)m(o242 sin2 (сот + ср).(2.24 а)

Так как скорость колеблющегося тела v=(oA cos (сот+屮)，то его кинетическая энергия будет

WK = mv2/2 = (1 /2) m(o2Д2 cos2 (сот + 屮)・(2.24 б)

Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, равна

1^ = Ц7К+ lFn = (1/2) т(о2Д2 [sin2 (сот + ср) 4-cos2 ((от +(р)],

но sin2a+cos2a=l, и поэтому

Г-т(о2Л2/2.(2.25)

Следовательно, полная энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды и не меняется в течение колебательного процесса. В крайних положениях колеблющейся точки ее скорость и=0, т. е. полная энергия равна потенциальной; в положении равновесия смещение %=0, поэтому полная энергия равна кинетической.

§ 6. Вынужденные колебания. Резонанс

Свободные колебания начинаются под действием внешней силы, а затем продолжаются без внешней силы, только в результате действия внутренних сил системы. Частота свободных колебаний, называемая собственной, определяется свойствами самой системы, т. е. упругими свойствами, массой, геометрическими размерами и т. д.

В случае вынужденных колебаний система колеблется под действием внешней (вынуждающей) силы, и за счет работы этой силы периодически компенсируются потери энергии системы. Частота вынужденных колебаний (вынуждающая частота) зависит от частоты изменения внешней силы.

Практически наиболее важным является случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону.

Если частота з изменения вынуждающей силы совпадает с частотой со。собственных колебаний системы, то амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения. Такое явление называется резонансом.

Определим амплитуду вынужденных колебаний тела массы т, считая колебания незатухающими вследствие постоянно действующей силы 尸вн・ Пусть эта сила изменяется со временем т в соответствии с уравнением

尸 BH = R)sinsT,(2.26)

где 尸о— амплитуда силы, со — вынуждающая частота.

Возвращающая сила, обусловливающая колебание тела, F=—kx, а ускорение его а=—со2х. В соответствии со вторым законом Ньютона равнодействующая этих сил равна

尸 вн+^ = т@,

или с учетом выражений для FBH,尸 и。

尸о sin сот—kx = — mco2x, откуда

% =曰戸也研.(2.27)

Используя соотношение (2.17а), можно записать 々=m僦，

где со。一 собственная частота колебаний тела (системы), и тогда

х =——sin (ОТ./из。一m(M

Преобразуя правую часть этого уравнения, получим

尸Q团尸Q团tt)O — tt)2tt)O — tt)2• sin сот.• sin сот.(2.28)(2.28)

尸Q团

尸Q团

tt)O — tt)2

tt)O — tt)2

• sin сот.

• sin сот.

(2.28)

(2.28)

Сравнивая это уравнение вынужденных колебаний с обычной записью уравнения гармонических колебаний (2.2), находим, что ампли* туда вынужденных колебаний равна

ЛВЫЙЛВЫЙ尸0m尸0m必一炉必一炉(2.29)(2.29)

ЛВЫЙ

ЛВЫЙ

尸0m

尸0m

必一炉

必一炉

(2.29)

(2.29)

Анализируя это выражение, можно сказать, что чем меньше разАнализируя это выражение, можно сказать, что чем меньше разность (叫一со2), тем больше Аность (叫一со2), тем больше АВ реальных системах,В реальных системах,зонанс.зонанс.5 =叫или黑=1，5 =叫или黑=1，(2.30)(2.30)

Анализируя это выражение, можно сказать, что чем меньше раз

Анализируя это выражение, можно сказать, что чем меньше раз

ность (叫一со2), тем больше А

ность (叫一со2), тем больше А

В реальных системах,

В реальных системах,

зонанс.

зонанс.

5 =叫или黑=1，

5 =叫или黑=1，

(2.30)

(2.30)

вын・ Следовательно, если вынуждающая частота со приближается к собственной частоте системы, амплитуда колебаний безгранично увеличивается и наступает ре-

в которых имеет место затухание колебаний, амплитуда не может безгранично увеличиваться, она просто достигает наибольших значений (рис. 2-8).

Как видно из рис. 2-8, амплитуда достигает максимума, что соответствует резонансу, при условии

Кривая / на рис. 2-8 соответствует большим значениям сил, вызывающих затухание, а кривая 2 — малым.

Явление резонанса используется для усиления колебаний, например электрических. Однако при конструировании различных машин и сооружений необходимо учитывать даже самую небольшую периодическую силу, с тем чтобы предотвратить нежелательные последствия резонанса.

1)У систем со значительным затуханием резонанс наступает при значениях о, несколько меньших соо.

§ 7. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.Фигуры Лиссажу

Остановимся на сложении колебаний материальной точки М,

которая одновременно колеблется в двух взаимно перпендикулярных направлениях, например в направлении осей X и У (рис. 2-9). Обо

значим смещения по направлению осей координат через хну.

Рассмотрим несколько частных случаев.

Составляющие колебания имеют одинаковую частоту и фазу и различные амплитуды А】и 42・ Принимая начальные фазы равными нулю, напишем уравнения колебаний:

(2.31)(2.31)х = A1sin(dx, I "=4 sin сот. J

(2.31)

(2.31)

Исключив из этих уравнений время % найдем уравнение траектории суммарного движения:

илиилиЛ2Л2(2.32)(2.32)7 =

или

или

Л2

Л2

(2.32)

(2.32)

что соответствует прямой, проходящей через начало координат.

Следовательно, результирующее движение осуществляется вдоль прямой, проходящей через начало координат и наклоненной к оси ОХ под углом а, определяемым из соотношения

tga =兴.

Результирующее движение также является гармоническим колебанием, так как смещение, определяющее положение колеблющейся точки, согласно формулам (2.31) задано уравнением

s = 十 * = 十个.sin сот.(2.33)

Фазы составляющих колебаний отличаются на л/2, а частоты равны.

Уравнения составляющих колебаний запишутся так:

х = 4 sin сот,

y = A2sin (сот + л/2) = Л2 cos сот.(2.34)

Решая совместно эти уравнения, находим

—=sin2 сот, % = cos2 сот.

Складывая эти равенства, получим

(2.35)(2.35)兰+先=1,

(2.35)

(2.35)

т. е. траекторией результирующего колебательного движения является эллипс с полуосями, равными амплитудам 4】и 4? составляющих колебаний (рис. 2-10).

При равных амплитудах Аг=А2=А траекторией суммарного колебательного движения будет окружность.

В общих случаях сложения взаимно перпендикулярных колебаний колеблющаяся точка движется по кривым, называемым фигурами

Рис. 2-10Рис. 2-11Рис. 2-10Рис. 2-11

Рис. 2-10Рис. 2-11

Рис. 2-10Рис. 2-11

Лиссажу (рис. 2-11). Конфигурация этих кривых зависит от соотношения амплитуд, начальных фаз и периодов составляющих колебаний.

На рис. 2-11 показаны три фигуры Лиссажу для случаев, когда отношение периодов 7\/7\ складываемых колебаний равно: а) 1厶； 6) 2/з； в) 3/4.

Фигуры Лиссажу можно наблюдать в электронных осциллографах. Для этого на горизонтальный вход осциллографа подают электрические колебания с частотой 50 Гц, а на вертикальный вход — электрические колебания, частоту которых можно изменять; изменяя тем самым отношение частот составляющих колебаний, можно получить большой набор фигур Лиссажу.

§ 8. Образование волн. Продольные и поперечные волны

Колебательное движение может передаваться от одной точки среды к другой. Предположим, что точка начинает колебаться в среде, и при этом частицы среды жестко связаны между собой. Тогда процесс колебаний начнет передаваться от колеблющейся точки к соседней и распространяться все дальше и дальше. Поэтому можно сказать, что процесс распространения колебаний в данной среде есть волновой процесс.

Например, если закрепить один конец резинового жгута, а другой конец привести в колебание, то по длине жгута начнут распространяться колебания и возникнет волновое движение.

В механике волновой процесс происходит в среде, частицы которой связаны между собой упругими силами. Рассматривая механичес-

кие волны, можно получить соотношения, которые имеют наиболее общий характер и могут быть использованы для описания волновых процессов более сложной природы, например при изучении электромагнитных волн.

Разберем, как образуется поперечная волна. В такой волне смещения колеблющихся точек направлены перпендикулярно скорости распространения волны.

На рис. 2-12 схематически изображено пять последовательных моментов образования волны, которая распространяется вдоль линии 1—5.

Это графическое представление волнового процесса имеет совсем иной смысл, чем график смещения при гармоническом колебании, на котором изображалось смещение одной и той же точки в зависимости от времени (см. рис. 2-2). На каждой строчке рис. 2-12 показано положение ряда частиц в выбранный момент времени.

В начальный момент времени (г=0) все точки расположены на прямой и ни одна из них не выходит из положения равновесия.

Точка / приводится в гармоническое колебание с периодом Т, направленное перпендикулярно линии /——5. Так как соседние точки связаны между собой упругими силами, они тоже приходят в колебание, но с некоторым запозданием.

Через четверть периода (т=Т/4) точка / отклонится от линии равно

весия на максимальное смещение Л. Колебание начали все точки, лежащие слева от точки 2.

После т=Т/4 начнет подниматься вверх и точка 2. Еще через Т/4, т. е. при t=T/2, точка / вернется в положение равновесия, точка 2 достигнет максимального отклонения, и колебания дойдут до точки 3.

При т=ЗТ/4 точка 1 достигнет максимального отрицательного смещения, точка 2 вернется в положение равновесия и колебания достигнут точки 4.

Наконец, за время, равное периоду t=T, точка / вернется в положение равновесия, совершив полностью одно колебание. Колебания распространились до точки 5, все колеблющиеся точки образуют полную волну.

При дальнейших колебаниях точек волновой процесс распространится вправо от точки 5.

В рассмотренном случае образования поперечной волны каждая частица движется только вверх и вниз. У наблюдателя же создается впечатление, что «волна бежит», хотя в действительности происходит

только передача энергии колебательного движения от одной точки среды к другой.

Помимо поперечных волн, в среде могут возникнуть продольные в о л н ы, в которых колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волнового процесса. В продольных волнах вследствие совпадения направлений колебаний частиц и волны появляются сгущения и разрежения.

Возникновение первого или второго вида волн зависит от упругих свойств среды, в которой распространяются волны. В газообразных и жидких средах сдвигу не противостоит упругая деформация. Поэтому ничтожно малая сила способна произвести сдвиг слоев такой среды. Колебательное движение возможно лишь в направлении действия возвращающих сил. Следовательно, жидкости и газы ——это среды, в которых механические волны могут быть только продольными.

В твердых телах, где наряду с упругими деформациями растяжения и сжатия есть упругая деформация сдвига, могут одновременно происходить и продольные, и поперечные колебания, т. е. могут возникать как продольные, так и поперечные волны.

§ 9・ Длина волны, скорость, период. Уравнение волны

На рис. 2-12 в момент времени, равный периоду (t=T), точки / и 5, находящиеся в положении равновесия, имеют одинаковое смещение и одинаковое направление движения (вверх). Поэтому говорят, что точки / и 5 имеют одинаковые фазы. В отличие от этого точки / и 5, хотя смещения у них одинаковые, движутся в противоположные стороны, поэтому говорят, что точки / и 3 находятся в противофазах.

Расстояние между точками / и 5 определяет длину волны А. Длиной волны называется расстояние между ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковых фазах.

Периодом волны Т называется время одного полного колебания ее точек. Величина, обратная периоду, называется частотой волны.

На рис. 2-12 видно, что за время периода (t=T) волновой процесс распространится на расстояние 九.Поэтому длина волны 九 равна расстоянию, на которое распространится волна за период Т.

Скорость волны определяется скоростью распространения колебаний от одной точки среды к другой. Она равна

и="Т.(2.36)

Так как частота v = l/T, то

w=九”(2.37)

Эти соотношения устанавливают связь между длиной волны, периодом (частотой) и скоростью волнового процесса.

Скорость распространения волн тем меньше, чем инертнее среда, т.е. чем больше ее плотность. С другой стороны, она имеет большие значения в более упругой среде, чем в менее упругой.

Скорость продольных волн определяется по формуле

麻，(2.38)

для поперечных

и“ = /ё6(2.39)

где р ——плотность среды, Е — модуль продольной упругости (модуль Юнга), G — модуль поперечной упругости (модуль сдвига).

Так как для большинства твердых тел E〉G, то скорость продольных волн больше скорости поперечных:

4P〉％•

Составим уравнение волны, которое позволит находить смещение всякой точки волны в любой момент времени.

Пусть в точке В находится вибратор — источник колебаний (рис. 2-13). Волны со скоростью и распространяются от источника колебаний вдоль прямой. Уравнение колебаний точки В задано в таком виде 夕_,

хв = А sin 2hvt, (2.40)Z一

где хв——смещение точки В, Л.— ампли-Рнс. 2-13

туда ее колебаний, v— частота, t —— время колебаний.

Все точки вправо от В, например точка С, повторяют колебания точки В с некоторым запозданием. Напишем уравнение колебаний выбранной точки С.

Точка В колеблется в течение времени т. Эти колебания дойдут до точки С через тЛ, поэтому время колебаний точки С будет меньше т и составит (т——т'). Уравнение колебаний точки С запишется так:

х=А sin 2 лv (т—т').(2.41)

Расстояние от точки В до точки С, равное /, волна проходит со скоростью 。中％', откуда

Тогда уравнение (2.41) будет иметь вид

х=А sin 2 nv (т — 〃и).

Учитывая, что и =九w, получим

х = 4 sin 2лх = 4 sin 2лилиили% = 4 sin 2л ^—yj ・% = 4 sin 2л ^—yj ・(2.42)(2.42)

х = 4 sin 2л

х = 4 sin 2л

или

или

% = 4 sin 2л ^—yj ・

% = 4 sin 2л ^—yj ・

(2.42)

(2.42)

Данное уравнение называется уравнением бегущей волны и определяет смещения любой точки среды, находящейся на расстоянии / от вибратора в данный момент времени.

Рис. 2-14Рис. 2-14хх = Л sincoхх = Л sincoт—^) = 4 sin 2л^—у),т—^) = 4 sin 2л^—у),

Рис. 2-14

Рис. 2-14

хх = Л sinco

хх = Л sinco

т—^) = 4 sin 2л^—у),

т—^) = 4 sin 2л^—у),

Стоячие волны

Когда две одинаковые волны с равными амплитудами и периодами распространяются навстречу друг другу, то при наложении этих волн возникают стоячие волны.

Стоячие волны могут быть получены при отражении от препятствия. Допустим, вибратор посылает волну к препятствию (прямая волна). Отраженная от него волна наложится на прямую волну (рис. 2-14).

Уравнение стоячей волны получаем сложением уравнения

прямой волны, имеющего вид

и уравнения отраженной волны, движущейся в направлении, противоположном прямой волне (поэтому расстояние / берем со знаком минус),

厶=4 sins [т—^~^] = 4 sin2n(^~ + }).

Смещение точки, которая участвует одновременно в двух колебаниях, равно алгебраической сумме %2 и 尤匸

% = %2+ %1,

т. е.

% =力[sin 2л (亲 + ~^) + sin 2л (予—2)]・

Так как sin а + sin р = 2 sin ^~- cos ^^ , то

х = 2А cos^-sin^.(2.43)

Это уравнение стоячей волны определяет смещение любой точки волны. В выражении (2.49) множитель

(2.44)(2.44)ЛСТ = 2Д cos (2л7/九)

(2.44)

(2.44)

не зависит от времени и определяет амплитуду любой колеблющейся точки с координатой /. Поэтому уравнение стоячей волны можно записать так:

х = Лст sin (2лт/Т)・х = Лст sin (2лт/Т)・(2.45)(2.45)

х = Лст sin (2лт/Т)・

х = Лст sin (2лт/Т)・

(2.45)

(2.45)

Каждая точка совершает гармоническое колебание с периодом Т. В полученном уравнении стоячей волны амплитуда Дст для каждой точки волны согласно выражению (2.44) вполне определена. Но при

70 —

переходе от одной точки волны к другой она изменяется в зависимости от расстояния I.

Если / давать значения, равные 九/4; 3 九/4; 5 九/4 ит. д., то при подстановке их в формулу (2.44) получим cos (2 л//Х)=0. Следовательно, указанные точки волны остаются в покое, так как амплитуды колебаний их равны нулю. Эти точки называют узлами стоячей волны (см. рис. 2-14, точки 2, 4, 6)・

Пучностями волны называют точки, колеблющиеся с максимальной амплитудой (точки /, 3, 5)・ Пучностям (максимальным амплитудам) соответствуют значения Z, равные 2 九/4; 4 九/4; 6 九/4 и т. д. Следовательно, расстояние между соседними узлами (или пучностями), называемое длиной стоячей волны, будет равно

加=大/2 =恥，(2.46)

где X —— длина бегущих волн.

В стоячей волне все точки среды, в которой она распространяется, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе (синфазно). Точки среды, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе ——фаза их колебаний отличается на л, т. е. при переходе через узел фаза колебаний скачкообразно меняется на л.

В отличие от бегущих волн в стоячей волне отсутствует перенос энергии, вследствие того что образующие эту волну прямая и обратная волны переносят энергию в равных количествах и в противоположных направлениях. В том случае, когда волна отражается от среды более плотной, чем та среда, где распространяется волна, в месте отражения возникает узел, фаза изменяется на противоположную. При этом говорят, что происходит потеря половины волны.

Когда волна отражается от среды менее плотной, в месте отражения появляется пучность и потери половины волны нет.

Звуковые волны. Характеристики звука

Волны, распространяющиеся в любой упругой среде и имеющие частоту в пределах от 20 до 20 000 Гц, называют звуковыми волнами, которые воспринимает человеческое ухо.

Упругие волны с частотами, большими 20 000 Гц, называются ультразвуками, а волны с частотами, меньшими 20 Гц, называются инфразвуками.

Основными характеристиками звука являются высота, сила (или интенсивность) и тембр звука.

Физиологическое понятие — высота звука определяется частотой звуковых колебаний (физическая характеристика).

С изменением частоты звуковых колебаний высота звука изменяется. Органы слуха воспринимают увеличение частоты как повышение высоты тона (звука) и, наоборот, уменьшение частоты как понижение высоты тона.

Сила (или интенсивность) звука оценивается той энергией, которую звуковая волна переносит за время т через поверхность S волны, пер-

пендикулярную направлению ее распространения:

I=W/St.(2.47)

Из этой формулы определяется единица силы звука в СИ:

= 1 Вт/м2.

L」1 М2 •1 С/

Так как полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, равна [см. (2.25)]

W=m^A2l2, то, очевидно, что сила звука пропорциональна квадрату амплитуды.

Сила звука является энергетической характеристикой звуковой волны, не зависящей от особенностей слухового аппарата человека.

Силу звука мы оцениваем субъективно как громкость звука. Это понятие вводится для того, чтобы учесть различную чувствительность человеческого уха к звуковым волнам различной частоты, даже если они обладают одинаковой мощностью.

Слуховой аппарат человека наиболее чувствителен к звукам средней высоты, т. е. к частотам порядка 1 кГц. Минимальная сила звука, воспринимаемая как звуковое ощущение, соответствует порогу слышимости.

Для различных частот порог слышимости неодинаков. Порог слышимости при частоте 1 кГц соответствует силе звука 10~12 Вт/м2, или 10~9 эрг/(см2-с).

При возрастании силы звука выше 102 Вт/м2 звуковые ощущения начинают переходить в болевые. Эти значения силы звука соответствуют порогу болевого ощущения. В отличие от порога слышимости порог болевого ощущения мало зависит от частоты колебаний.

Громкость звука возрастает с увеличением силы звука, но зависимость эта не выражается прямой пропорциональностью.

В качестве характеристики интенсивности звука часто выбирают величину, равную

6=101g£(2.48)

и называемую уровнем силы звука. Здесь /0 — условно выбранный нулевой уровень, соответствующий 10~12 Вт/м2. Величина измеряется в децибелах (дБ).

Тембр звука — это оттенок или окраска его. В том случае, когда имеется сложное периодическое движение, то его можно разложить на простые синусоидальные колебания. При этом частоты простых колебаний, например vx, v2, v3 и т. д., будут кратны частоте v основного колебания. Получающаяся при разложении синусоида с самой низкой частотой соответствует в акустике основному тону, остальные синусоиды соответствуют обертонам (дополнительным тонам). Набор частот колебаний, присутствующих в данном звуке, на* зывается его акустическим спектром.

Тембр звука зависит от того, какие обертоны и какой интенсивности входят в состав сложного звука. Так, например, в звучащей струне скрипки, гитары возникают стоячие волны. При этом узлы будут соответствовать концам струны, а пучность — середине ее. Такие волны соответствуют наиболее низкой частоте — основному тону. В этой же струне одновременно возникают волны с тремя, четырьмя и т. д. узлами. Разделенные узлами части струны будут издавать звуки больших частот, но меньшей силы. Следовательно, наряду с основным тоном струна издает обертоны.

Для оценки тембра звука имеет значение количество и расположение составляющих частот в акустическом спектре. Если в звуке мало обертонов, то звук оценивается как глухой, пустой, неокрашенный; если сильно выражены первые обертоны —— сочный, полный; если сильно выражены высшие составляющие в области 3——6 кГц,— пронзительный, металлический, резкий.

Звуковые волны в газах и жидкостях являются продольными. В твердых телах могут распространяться как продольные, так и поперечные звуковые волны. Скорость их распространения (скорость звука) зависит от упругих свойств среды и плотности.

Процесс распространения звуковых волн в газах схематически можно представить следующим образом: источник механических колебаний передает эти колебания окружающим его газовым молекулам; в результате изменяется давление газа в данной микрообласти пространства. Так как газ обладает упругими свойствами, то он немедленно расширяется и в данном элементарном объеме газа образуется разрежение, а микрообласть повышенного давления перемещается несколько дальше от источника звука и т. д. Процессы сжатия и разрежения протекают очень быстро, поэтому изменение давления газа происходит без теплообмена. Процессы, протекающие без теплообмена (или при полной тепловой изоляции), называются адиабатными. Многие закономерности распространения звуковых волн удалось объяснить, основываясь на теории адиабатных процессов, рассматриваемой в разделе термодинамики.

Используя формулу (2.38) для скорости продольных волн, можно записать, что скорость звуковых волн в газовой среде равна

/F=/^(249)

где а = 1/Е — коэффициент упругости [см. (1.85а)1, р — плотность газа.

Коэффициент упругости газов связан с давлением соотношением а = 1/?р,

где Y ——показатель степени в уравнении адиабатного процесса, равный отношению теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме.

Из уравнения состояния газа (см. § 3 гл. 4) плотность газа оказывается равной

(M — молярная масса газа, R — универсальная газовая постоянная, Т — абсолютная температура).

Подставив два последних выражения в формулу (2.49), получим

•(2・5°)

Из приведенной формулы следует, что скорость звука в газовой среде зависит от температуры, молярной массы газа и величины ?, которая является тепловой его характеристикой, а от давления газа не зависит.

Вычислим скорость звука в воздухе при нормальных условиях. В этом случае 方=0℃ (Т=273 К), ?=1, 40, М=0,029 кг/моль, R = =8,31 Дж/(моль-К).

Подставляя эти значения в формулу, получим

〃 =/専=333 м/с.

У 0,029 моль-К-кг/

Это значение скорости находится в хорошем соответствии с опытными данными.

Эффект Доплера

Если вибратор (источник звука) или приемник звука движутся относительно среды, в которой распространяется звук, то частота звука V, испускаемого источником, или частота звука, регистрируемого приемником, отличаются друг от друга на определенную величину. Это явление называется эффектом Доплера.

Возможны три случая взаимного перемещения приемника и источника звука относительно среды.

Источник звука движется относительно среды со скоростью V； приемник звука покоится.

Если источник звука удаляется от приемника, то длина волны звука, регистрируемого приемником, будет равна

kf = uT+vT=(u+v)T,

где Т — период колебаний вибратора, иТ — расстояние, на которое отойдет звуковая волна от неподвижного вибратора (длина волны) за время Т, vT — расстояние, на которое переместился за период Т источник звука, т. е. длина волны увеличивается, волна как бы растягивается.

Если источник звука приближается к приемнику со скоростью и, то А/ = 〃Т—иТ=(“—и)Т.

Тогда частота звука, регистрируемого приемником в обоих случаях, будет равна

(2.51)(2.51)u _ V

(2.51)

(2.51)

九‘ -1 ± v/u '

где w=c/九=1/7 — частота колебаний источника звука.

Источник звука неподвижен; приемник движется относительна среды со скоростью w.

Так как источник звука неподвижен, то длина волны в среде не изменяется и равна %=〃Т. Однако приемник, движущийся относительно среды со скоростью w, будет регистрировать каждую последующую звуковую волну не через время Т, а через время Т', которое может быть больше или меньше Т.

За время 7V приемник звука переместится на расстояние ±wTr. а звук — на расстояние иТг, и тогда длина волны будет равна

\=иТг ±wTr = (u±w)Tr,

а частота звуковых колебаний, регистрируемых приемником, будет

V=w(1 士⑵/"),(2.52)

так как М = 1/Т', а 〃小=1/T=w.

Источник и приемник звука движутся относительно среды. Объединяя формулы (2.51) и (2.52), получим

Согласно этой формуле при таком движении приемника и источника, когда расстояние между ними сокращается, воспринимаемая частота w' оказывается больше частоты источника звука. Если расстояние между источником и приемником увеличивается, то w' будет меньше, чем V.

Ультразвук и его применение

Ультразвуковые волны обладают частотами, большими верхнего предела звуковых частот, т. е. частотой больше 20 000 Гц. В настоящее время они находят все большее применение в технике, биологии, медицине и других областях науки.

Ультразвуковые колебания могут быть получены с помощью пьезокристаллов. В некоторых кристаллах, например в кристалле кварца, в сегнетовой соли, проявляется пьезоэлектрический эффектп. При деформации этих кристаллов на их поверхностях появляются электрические поляризованные заряды.

Наблюдается и противоположный эффект: ионные решетки кристаллов, помещенные в электрическое поле, испытывают смещение, т. е. пьезокристаллы в электрическом поле претерпевают деформацию.

Пьезоэффект зависит от направления электрического поля. Прямой и противоположный эффекты применяются в электроакустических аппаратах. Датчиком колебаний в акустических аппаратах обычно служит кварцевая пластина, заключенная между металлическими пластинами конденсатора, размеры которой определяют частоту ее собственных колебаний. На пластины конденсатора подается периодически изменяющееся напряжение, что вызывает возникновение в кварце периодически изменяющихся деформаций. При равенстве частоты

I)Подробнее этот эффект рассмотрен в разделе электростатики.

электрических колебаний и одной из собственных частот колебаний пластины возникает резонанс, и кварцевая пластина становится источником сильных механических колебаний.

Такой кварцевый излучатель используется как вибратор, посылающий ультразвуковые волны. Энергия ультразвуковых волн сильно возрастает при действии вибратора в более плотной среде, например жидкости. Для этого используются масла, вазелин и другие вещества.

Ультразвуковые и звуковые волны имеют приблизительно одинаковую скорость распространения. Так как длина волны 九，частота v и скорость V связаны соотношением w=Xv, то длина ультразвуковых волн меньше, чем длина волн звукового диапазона. Например, если считать скорость ультразвука 〃=330 м/с, w=330 кГц, то

л и 330 м・сТ 1

九=丁丽・Тоз・сН=1О Зм=1мм・

Нижняя граница ультразвуковых частот 20 кГц и верхняя граница, которая в настоящее время превышает 200 МГц, определяют интервал изменения длин ультразвуковых волн.

В случае плоской поверхности вибратора, испускающего ультразвуковые волны небольшой длины, можно считать, что такие волны плоские и распространяются параллельными прямолинейными пучками лучей. Такого рода ультразвуковые волны подобны пучку параллельных световых лучей и используются в гидролокации. Посланный от источника ультразвук отражается от препятствия, возвращаясь к приемнику, и по времени возвращения импульса определяется расстояние от источника до препятствия.

Отражение и рассеяние ультразвуковых волн используется в так называемой ультразвуковой дефектоскопии для обнаружения различных дефектов в деталях машин, отливках и т. д.

Механическое действие ультразвука объясняется тем, что при прохождении волны в веществе в местах сгущений и разрежений возникают периодически изменяющиеся давления. При больших мощностях ультразвуковых волн в местах разрежений вследствие больших растягивающих усилий могут возникать микроскопические разрывы материала среды, в которой распространяется ультразвук. Это может привести к разрушению структуры вещества. Такое свойство ультразвука используется для мелкого дробления структуры вещества, например при изготовлении тонких эмульсий.

Менее мощные ультразвуковые колебания с частотами порядка 700 кГц в ряде случаев оказывают лечебное действие и используются в медицине. В этом случае ультразвуковой вибратор передает колебания на ткани организма, в результате чего происходят полезные структурные изменения в тканях.

Прохождение мощной ультразвуковой волны в жидкой среде вызывает большие изменения плотности по направлению распространения волны и сопровождается изменением оптических свойств среды, что находит применение в устройстве световых реле (ультразвуковых модуляторов света).

Глава 3

МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

§ 7・ Давление 8 неподвижных жидкостях а газах

Большая подвижность частиц и малая сжимаемость жидкости являются ее отличительными особенностями. Газы же обладают относительно хорошей сжимаемостью. Однако в ряде задач сжимаемостью можно пренебречь без ущерба для точ

ности решения.

Легкая подвижность частиц жидкости и газа обусловливает отсутствие упругости формы. Жидкости и газы обладают только упругостью объема. Вследствие этого внешнее давление, производимое на жидкость или ааз, передается ими во все стороны равномерно (закон Паскаля).

Проведем мысленно в некотором объеме жидкости, находящемся в равновесии, площадку AS (рис. 3-1). Вследствие упругости отдельные части жидкости действуют друг на друга и, в частности, на площадку AS с

Рис. 3-1Рис. 3-1силой, зависящей от степенисилой, зависящей от степениР =Р =limAS —ОlimAS —ОА尸А尸(3.1)(3.1)сжатия жидкости. Эго воздействие характеризуется давлением, определяемым по формуле

Рис. 3-1

Рис. 3-1

силой, зависящей от степени

силой, зависящей от степени

Р =

Р =

lim

AS —О

lim

AS —О

А尸

А尸

(3.1)

(3.1)

где AF ——равнодействующая всех сил, с которыми жидкость действует на площадку AS. При этом площадка AS может быть ориентирована произвольно, но сила AF действует только по нормали к ней. Действительно, если бы сила была направлена не под прямым углом к выбранной площадке, ее можно было бы разложить на две составляющие ——нормальную и касательную. Тогда составляющая касательная вследствие отсутствия упругости сдвига привела бы жидкость в движение, что противоречит условию неподвижности.

Согласно формуле (3.1) единицами давления являются: в СИ — Па (паскаль), 1 Па = 1 Н/м; в системе СГС — дин/см2. Кроме того, для измерения давления пользуются следующими внесистемными единицами: миллиметр ртутного столба (мм рт.ст.), техническая атмосфера (ат), физическая или нормальная атмосфера (атм)——единица, равная давлению, которое оказывает столб ртути высотой 760 мм.

Приводим соотношения между единицами давления:

Определим давление внутри весомой жидкости, считая ее несжимаемой, т.е. считая ее плотность неизменной с глубиной.

Пусть на жидкость в сосуде действует внешнее давление р0 (рис. 3-2). Выделим мысленно в жидкости вертикальный цилиндр с поперечным сечением S и высотой h.

На верхний слой жидкости действует внешнее давление р0, которое также передастся и другим слоям жидкости. Однако к 9To血у давлению в нижележащих слоях добавляется давление, создаваемое весом слоев жидкости, расположенных выше.

На верхнее основание цилиндра действует сила

尸 O=PoS,на нижнее основание

F=pS,

Рис. 3-2где р — давление на глубине 瓦

Кроме того, вертикально вниз действует вес столба жидкости, находящейся в объеме цилиндра, равный

Fi = mg = phSg,

где р — плотность жидкости, hS — ее объем в цилиндре (т = рУ). Боковые силы не учитываются, так как они взаимно уравновешены.

Запишем условие равновесия выделенного столба жидкости: 尸。 + а =尸， ИЛИ

p()S+pghS=pS •

Из этого равенства следует, что искомое давление р на глубине h равно p=Po+pgA(3.2)

где давление

Pr=pg无(3.3)

называется гидростатическим.

Допустим, что внешнее давление р()=0・ Тогда давление на глубине h равно гидростатическому, т. е.

Р = Рг；

гидростатическое давление обусловлено весом слоев жидкости, лежащих над данным слоем.

Если выделить любой горизонтальный тонкий слой жидкости, то он оказывает одинаковое давление, так как для такого слоя можно считать /i=const и остальные величины в формуле (3.2) тоже постоянны. В этом и проявляется закон Паскаля для рассмотренного случая весомой жидкости. При переходе к более глубоким слоям жидкости давление возрастает [см. формулу (3.3)1.

Воздух, окружающий Землю, находится в поле сил тяготения. Следовательно, давление атмосферы подобно давлению слоев жидкости.

При вычислении атмосферного давления отсчет высоты h ведется от поверхности Земли вверх и учитывается изменение плотности воздуха с высотой. Давление атмосферы на высоте h определяется барометрической формулой

(3.4)

где ро— давление на уровне Земли, е — основание натуральных логарифмов, g — ускорение силы тяжести, р0— плотность воздуха на уровне Земли, h — высота над уровнем Земли.

§ 2. Стационарное течение жидкости.Уравнение неразрывности

Наука, занимающаяся изучением закономерностей движения жидкостей, а также движения тел, находящихся почти или полностью в жидкости, называется гидродинамикой.

Рассмотрим течение идеальной жидкости, в которой отсутствуют силы внутреннего трения (вязкости). Совокупность частиц движущейся жидкости (газа) называют потоком.

Направление скорости в любой точке потока жидкости определяют так называемые линии тока. Линия тока — это такая линия, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной. Густота проведения линий s】52

тока в выбранном масштабе ха-、^―代 一

рактеризует значение скорости.一] \ 纟

На рис. 3-3 изображена од-i

на из линий тока (сплошная ли-丄

ния). В различных точках этойРис. 3-3

линии направления и значения скоростей различны.

Стационарным (или установившимся) является такое течение жидкости, при котором скорости жидкости в каждой точке потока не изменяются со временем. Это означает, что в произвольной точке любой линии тока скорость по величине и направлению остается неизменной, т. е. расположение и формы линий тока также со временем не изменяются. Однако в общем случае скорости в различных точках потока неодинаковы.

Линии тока при стационарном течении совпадают с траекториями движения частиц жидкости.

Выделяя часть потока, ограниченную линиями тока, получим трубку тока. На рис. 3-3 трубка тока ограничена пунктирными линиями. Сечения трубки тока, например Si и S2, различны, поэтому и скорости в этих сечениях неодинаковы.

Условие неразрывности струи предусматривает, что струи жидкости нигде не имеют разрывов. Частицы жидкости при стационарном течении движутся по линиям тока, поэтому боковую поверхность трубки тока жидкость не пересекает. Если за время Дт в трубку тока вошел объем жидкости V, то такой же объем за такое же время Дт должен выйти из трубки тока.

Выберем малый промежуток времени Дт и будем считать, что вместе с жидкостью передвигаются сечения St и S2. Тогда они переместятся на расстояния, соответственно равные /i=Ui・At и /2=у2-Лт- Переместившиеся объемы жидкости таковы:

匕=%• At・Si,У 2 = U 2 • Ат • S 2 •

Но при этом объемы одинаковы, т.е. %=%, поэтому

uS=u2s2・(3.5)

Данное уравнение, выведенное для двух сечений потока несжимаемой жидкости, называется уравнением неразрывности.

В общем случае для идеальной жидкости в стационарных условиях произведение скорости на поперечное сечение трубки тока остается неизменным в любом сечении трубки, т. е. уравнение неразрывности имеет вид

uS=const.(3.6)

Из уравнения неразрывности следует, что в более узких сечениях трубки тока скорость должна быть больше, чем в широких сечениях.

§ 3. Уравнение Бернулли. Давление в потоке жидкости

В стационарном потоке идеальной несжимаемой жидкости вырежем отсек тонкой трубки тока (рис. 3-4) между сечениями Sx и S2.

Во входном сечении Si давление р】，скорость vt и высота сечения над произвольным уровнем/^; в вы- ходном сечении S2 соответственно р2,力,九2・ За промежуток времени IАт масса входящей в отсек жидкос-

ти равна массе жидкости, выходя- Jщей из отсека.

4Масса m жидкости, протекаю-

щей за время Дт через сечение Si, 建1s2о имеет кинетическую энергию, рав-

J二 ную mv^/2, и потенциальную энер- гию mght. В результате действия рИс. 3-4сил давления на сечения Si и S2

со стороны слоев жидкости, находящихся слева от Si и справа от S2, производится работа

Л =p*S\h—p?S 厶、

где путь I* за время Дт равен 厶=力厶％ а путь /2=%Ат. Следовательно, работа Л, совершаемая потоком, равна

A=ptSiVt Ат—р 2SW 2 Ат •

Полная энергия потока, протекающего за время Дт через входное сечение Si, будет

W1=-mv{/2 + mgh1,

—80

а через сечение S2

^2 =m喲2 + mgh2.

Между сечениями Si и S2 аккумуляции энергии нет. Изменение полной энергии жидкости равно работе, совершенной внешними силами (\W = —А), т. е.

mu；/2 + tngh* — т啕 2 — mg% = P2S2v2At — р^^^т.(3.7)

Согласно уравнению неразрывности (3.5) объемы, входящие в S】 за время Ат и выходящие через S2, одинаковы, поэтому можно записать

S Qi Ат—S 2。2 Ат — I/.

Разделив левую и правую части уравнения (3.7) на V и используя формулу плотности p=m/V, получаем уравнение Бернулли для двух различных сечений трубки тока:

Р*/2 + Pg/h + Pi = Р喲2 + pg% + 卩2・ (3.8)

Если весь поток разбить на тонкие трубки тока, то для каждого ее сечения будет справедлива такая запись уравнения Бернулли:

р№/2+pgh-j- p=const,р№/2+pgh-j- p=const,(3.9)(3.9)

р№/2+pgh-j- p=const,

р№/2+pgh-j- p=const,

(3.9)

(3.9)

где слагаемое р называется статическим давлением; член, содержащий скорость и имеющий размерность давления, т. е. р*/2, называется динамическим давлением.

Это уравнение лежит в основе решения многих задач гидродинамики. Оно применимо для таких маловязких жидкостей, как вода, и во многих случаях для воздуха.

В качестве следствий из уравнения Бернулли рассмотрим два случая: горизонтальное течение жидкости и истечение жидкости из отверстия.

При горизонтальном течении жидкости (например, в горизонтальной трубе) /i=const, поэтому в уравнении (3.8) выпадают члены, содержащие 儿 и оно принимает вид

р 优/2 + pi =髓/2 + р2, (3.10)

е. при горизонтальном течении жидкости сумма динамического 〃 статического давлений не изменяется при отсутствии трения.

Статическое давление измеряется с помощью манометра 2, нижний

срез которого параллелен направлению потока (рис. 3-5). Если же

измерительная трубка / имеет изгиб и отверстие трубки направлено навстречу потоку, то частицы жидкости, входя в отверстие, будут тормозиться, т. е. возникнет сила торможения, и трубка покажет большее давление. Манометр / называется трубкой Пито, он измеряет полное

давление — сумму статического и динамического (скоростного) давлений.Рмс. 3-5

Разность уровней в трубках 2 и / определяет динамическое давление. На этом основано измерение скорости потока или скорости тел, движущихся в жидкостях или газе, например, скорости макетов самолетов в аэродинамических трубах.

. При истечении жидкости из отверстия будем считать, что внешнее давление р (например, атмосферное) неизменно и выходное отверстие по сечению мало в

Рис з б сравнении с площадью поверхности и • ' жидкости в сосуде (рис. 3-6).

Скорости V частиц жидкости в сечении выходного отверстия считаем одинаковыми. Одинаковыми будут и скорости движения частиц поверхности, так как поверхность остается горизонтальной. Напишем уравнение Бернулли для любой трубки тока, одно сечение которой

лежит на выходном отверстии, другое — на поверхности жидкости в сосуде:

р№/2 +pgh + p = р*/2 + pgh + Р,

или перепишем его в виде

P^—vD/2 = pg(ht—h).

Так как 瓦一h=H (см. рис. 3-6) и скорость 畛厶 то членом и； можно пренебречь, и мы получим

* = 2g",

откудаоткудаu = U2gH.u = U2gH.(З.П)(З.П)

откуда

откуда

u = U2gH.

u = U2gH.

(З.П)

(З.П)

Следовательно, скорость истечения будет такой же, как и в том случае, если бы частицы жидкости падали свободно с высоты Н.

Формула (3.11) справедлива как для боковых, так и для донных отверстий и не зависит от угла наклона выходного отверстия.

§ 4. Движение тел в жидкостях и газах

Поток вязкой жидкости (газа) может быть ламинарным или турбулентным. В случае ламинарного (слоистого) течения каждый слой потока перемещается, не перемешиваясь с другими слоями. При турбулентном (вихревом) течении происходит образование вихрей и перемешивание различных слоев жидкости или газа.

С увеличением скорости потока ламинарное течение может перейти в турбулентное, а скорость, при которой происходит этот переход, называется Крит ической.

Экспериментально установлено, что важнейшей характеристикой течения является безразмерная величина, называемая числом Рей-

нольдса (Re) и равная

Re = p〃/n,(3.12)

или

Re = EJZv,(3.12а)

где р — плотность жидкости (газа), и — средняя (по сечению трубы) скорость потока, I ——линейный размер, характерный для поперечного сечения 1} трубы, т] — коэффициент вязкости жидкости (динамическая вязкость),

w=n/p(*)

—кинематическая вязкость.

При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное течение; при Re>ReKp (критическое значение) ламинарное течение переходит в турбулентное. Для гладких круглых труб ReKp^2300・

При течении по трубе слои жидкости скользят один по другому, перемещаясь с разными скоростями. При этом слои жидкости, прилегающие к стенам трубы, движутся медленнее, чем слои, удаленные от стен. Наибольшая скорость слоев наблюдается вдоль оси трубы. Это различие скоростей обусловлено наличием трения слоев жидкости друг о друга, которое называется внутренним трением,

В различных жидкостях силы внутреннего трения неодинаковы. При этом считают, что жидкости обладают разной вязкостью.

Ньютон установил, что сила трения между слоями жидкости, движущимися с разными скоростями, зависит от площади соприкосновения слоев и быстроты, с которой меняется скорость при переходе от одного слоя к другому в направлении, пер пендикул яр ном оси трубы. Эта последняя величина носит название градиента скорости. Он измеряется отношением разности скоростей течения двух близких слоев жидкости (Av) к кратчайшему расстоянию между ними (Д/), т. е.

grad V = А〃А/・(3.13)

Следовательно, согласно выводам Ньютона сила внутреннего трения

尸 tp = t)(Au/A/)S,(3.14)

где т] — коэффициент внутреннего трения, приведенный в формуле (3.12), S — площадь соприкосновения слоев.

Динамическая вязкость т] численно равна силе внутреннего трения, действующей на единицу площади параллельно движущихся слоев, когда скорость их движения уменьшается на единицу в направлении, перпендикулярном к перемещению слоя, на единицу длины, т. е. T]=FTp при Аи/А2=1 н S = 1. Коэффициент 刀 зависит от рода жидкости или газа и температуры.

Единицей вязкости в СИ согласно формуле (3.14) является

旧—屮-=—— = Н • с/м2 = Па • с,

Д/м

D Если жидкость течет по круглой трубе диаметром d, то /=d.

а в системе СГС единицей вязкости служит пуаз (П):

1П=1 дин* с/см2.

Приводим соотношение между указанными единицами:

1 Па-с=10 П.

Согласно выражению (*) получим единицы кинематической вязкости: в СИ ——1 м2/с; в системе СГС ——1 см?/с. Эта последняя единица называется стоксом (Ст).

По закону Ньютона (3.14) определяется и сила трения, возникающая между жидкостью и движущимся в этой жидкости телом.

Единица вязкости — пуаз ——названа по имени французского ученого Пуазейля, который одним из первых начал исследования вязкости при течении жидкостей в тонких трубках.

Пуазейль установил, что при течении жидкости по трубе радиуса г при постоянной разности давлений Ap=pi——р2 на ее концах средняя скорость течения находится по формуле

(3.15)(3.15)Ар г2

(3.15)

(3.15)

0=—友丽，

где величина Ар/А% выражает градиент давления.

Силу сопротивления жидкости, возникающую при движении в ней твердых тел, можно определить и по закону, установленному Стоксом при наблюдении за движением шара малого радиуса г. Согласно этому закону сила вязкости при малых скоростях и движения находится по уравнению

(3.16)(3.16)尸=6?vqm.

(3.16)

(3.16)

Оба этих закона используются в лабораторном практикуме для определения опытным путем коэффициентов вязкости различных жидкостей.

Предположим, что на тело набегает поток вязкой жидкости со скоростью и (рис. 3-7). На тело при этом действуют силы вязкости в направлении касательной к каждому элементу поверхности и силы нормального давления.

На поверхности контакта жидкости с телом молекулы жидкости можно считать неподвижными и нарастание скорости происходит в так называемом пограничном слое.

Так как пограничный слой имеет небольшую толщину, в нем градиент скорости достигает больших значений.

Частица жидкости, переходя из точки / в точку 2 (см. рис. 3-7), попадает в область больших скоростей (уменьшается сечение потока) и в соответствии с уравнением Бернулли в область пониженных давлений. При дальнейшем обтекании тела потоком по направлению к точке 3 частица теряет запас кинетической энергии вследствие дей

ствия сил трения и, не дойдя до точки 3, перемещается обратно, что приводит к отрыву ее от пограничного слоя и образованию вихрей.

Таким образом, набегающий ламинарный поток при определенных условиях за обтекаемым телом становится турбулентным.

§ 5・ Физические идеи Жуковского

Рассмотренные в § 4 данной главы вопросы об отрыве потока и образовании вихрей лежат в основе теории подъемной силы крыла самолета.

:отрывается от его задней обтекающих крыло сверху:отрывается от его задней обтекающих крыло сверхуЭта теория разработана великим русским ученым Н. Е. Жуковским и получила дальнейшее развитие в трудах С. А. Чаплыгина и других ученых.

:отрывается от его задней обтекающих крыло сверху

:отрывается от его задней обтекающих крыло сверху

ВРис. 3-8ВРис. 3-8Набегающий воздух обтекает крыло 】 острой кромки, так как скорости слоев, и снизу, неодинаковы. В месте отрыва образуется вихрь Л, который имеет вращательное движение и обладает определенным моментом количества движения (рис. 3-8).

В

Рис. 3-8

В

Рис. 3-8

Однако в замкнутой системе (крыло ——воздух) момент количества движения должен оставаться постоянным (см. § 13 гл. 1), поэтому вокруг крыла образуется вихрь В, который обладает таким же, но противоположно направленным моментом количества движения. В ре

зультате сложения скоростей набегающего на крыло потока воздуха и вихря В скорость воздуха над крылом оказывается больше, чем под крылом. Согласно уравнению Бернулли (3.10) там, где скорость движения воздуха больше, давление должно быть меньше. Следовательно, над крылом давление будет меньше, чем под крылом. В результате разности давлений на верхнюю и нижнюю поверхности крыла возникает подъемная сила Fn, направленная вертикально вверх. Кроме того, на крыло в движущемся потоке действует сила лобового сопротивления 尸л.

Результирующая этих сил равна их геометрической сумме

F = Fn + &

и называется аэродинамической силой.

При больших скоростях в дозвуковой области сила лобового сопротивления пропорциональна квадрату скорости. Для уменьшения лобового сопротивления крылу самолета придают такую форму (каплеобразную), при которой образование вихрей сводится к минимуму.

Часть II

Молекулярная физика. Термодинамика

Глава 4

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ

§ 7・ Термодинамические параметры

Все тела — твердые, жидкие и газообразные — представляют собой совокупность большого числа атомов и молекул. При изучении свойств тел и физических явлений, происходящих с телами, возможны два метода исследований: термодинамический и молекулярно-кинетический. При помощи термодинамического метода изучаются свойства тел без учета молекулярных явлений, происходящих в них. При этом все процессы в макротелах или системах тел рассматриваются с энергетической точки зрения.

При помощи молекулярно-кинетического метода устанавливаются законы протекания различных процессов в макротелах на основании изучения их молекулярной структуры и механизма взаимодействия отдельных молекул между собой. Такие характеристики, как масса отдельных молекул, средняя скорость движения их, средняя энергия молекул и др., увязываются с макроскопическими характеристиками тел (давление, температура и т. д.), которые можно определить непосредственно из опытов.

Каждый из этих методов нельзя рассматривать изолированно друг от друга. Как будет видно из дальнейшего изложения, они тесно связаны между собой.

Рассмотрим свойства газообразных тел и процессы, протекающие в них.

Состояние тела, в том числе газа, определяется всей совокупностью его свойств в заданный момент времени. При определении всех свойств тела необходимо использовать такие величины, которые можно измерять опытным путем во время изменения состояния тела.

Эти величины, характеризующие состояние тела, называются параметрами состояния. К ним относятся плотность, давление, температура.

Плотность р численно равна отношению массы однородного тела к его объему, т. е.

р=т/У.

Обратная ей величина выражает объем единицы массы, или удельный объем

v=V/m.

Как известно из элементарного курса физики, под давлением газа понимают макроскопическое проявление множества столкновений молекул газа о стенки сосуда, в который он помещен.

Если на газ, находящийся в сосуде, действует внешняя сила 尸， перпендикулярная к площади S сосуда и равномерно распределенная по этой площади, то давление газа равно

P=FR.

Температура тела 方一это термодинамическая величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия макроскопической системы. Температура одинакова для всех частей изолированной системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия.

Примечание. Определение понятия температуры принадлежит к труднейшим в физике. Распространенное определение температуры как степени нагретости тела не вскрывает содержания этого понятия. Конкретно физический смысл температуры будет раскрываться постепенно на протяжении изучения всего раздела молекулярной физики и термодинамики.

Разность температур А/ — величина, определяющая отклонение данного тела от теплового равновесия с другим телом.

При оценке температуры используются две шкалы — шкала Цельсия и шкала Кельвина (абсолютная шкала).

Нулевой точкой на шкале Цельсия служит температура таяния льда при нормальном давлении — 0℃, а температура 100°С соответствует температуре кипения воды при том же условии. Вся шкала разбита на равные 100 частей и каждая 0,01 часть шкалы равна ГС.

Единица температуры на шкале Кельвина соответствует градусу на шкале Цельсия, но нуль абсолютной шкалы 1} смещен на 273,15°С в отрицательную область температур. Поэтому

Т=%+273,15,

где Т — абсолютная температура, измеряемая в СИ в кельвинах (К), f — температура по шкале Цельсия.

§ 2・ Понятие идеального газа. Изопроцессы

Газ называется идеальным, если при рассмотрении его свойств соблюдаются следующие условия: а) соударения молекул такого газа происходят как соударения упругих шаров; б) размеры молекул пренебрежимо малы; в) между молекулами не проявляются силы взаимного притяжения.

Таким условиям удовлетворяют обычные газы при сильных разрежениях и не очень низких температурах.

1)Физический смысл абсолютного нуля будет рассмотрен в § 11 гл. 5.

—-87 —

Идеальными газами можно считать такие газы, как гелий, водород, свойства которых уже при обычных условиях отвечают закономерностям идеального газа.

Остановимся на эмпирических газовых законах, которые справедливы для идеальных газов. При переходе газа из одного состояния в другое параметры его изменяются. В том случае, когда масса m газа постоянна и из трех параметров р, V, / при изменении состояния газа один остается постоянным, процесс перехода называется изопроцесс ом.

Изотермический процесс протекает при постоянной температуре (/= =const) и описывается законом Бойля ——Мариотта: при постоянной температуре для данной массы газа произведение давления на объем газа есть величина постоянная, т. е.

pV=const.(4.1)

Графически этот закон изображается

гиперболой (рис. 4-1). Эта кривая носит название изотермы.

Изобарический процесс протекает при постоянном давлении (р= =const) и подчиняется закону Гей-Люссака: объем данной массы газа при постоянном давлении возрастает линейно с ростом температуры'.

У=Х(1+а/),(4.2)

где V — объем при температуре /℃,匕一объем при 0℃, величина а называется термическим коэффициентом объемного расширения и для всех газов имеет одинаковое значение, равное

а = ^Д§КТ・

Изохорический процесс происходит при постоянном объеме (V=const) и описывается законом Шарля: давление данной массы газа 〃р〃 постоянном объеме возрастает л инейно с ростом температуры'.

Р=Ро(1+2，(4.3)

где р ——давление при температуре 产С, р0 — давление при 0℃, величина ? называется термическим коэффициентом давления.

Для идеального газа

у=а.

Графическое изображение этого закона показано на рис. 4-2 (аналогичный график в координатах V, / будет и для изобарического процесса) .

Если экстраполировать график в область отрицательных температур (пунктирная линия), то прямая пересечет ось абсцисс в точке Оь при этом

"=0,

88 —

нулю газ становится твердым телом,нулю газ становится твердым телом,но так как в уравнении (4.3) р田0, то множитель (1+7/)=0. Отсюда

нулю газ становится твердым телом,

нулю газ становится твердым телом,

/=1/%

т. е. при р=0

/=—273,15℃, что соответствует абсолютному нулю.

В действительности задолго до приближения к абсолютному

к которому законы, полученные для идеального газа, неприменимы.

Введя абсолютную температуру Т=/+273,15, можно представить уравнения (4.2) и (4.3) в другом виде. Уравнение (4.2) запишем так:

У _ 1 tV _273,15 + /

% = 1 十而■代，"Ли % = 273,15，

откуда имеем

V т

где 7\=273,15К・ Так как То и У。 постоянны, то для изобарического процесса получим уравнение

= const.(4.4)

Подобно этому, для изохорического процесса будем иметь

у = const.(4.5)

§ 3・ Уравнение состояния идеального газа

Для данной массы идеального газа (m=const) справедливы закономерности, рассмотренные в § 2:

"=const (изотермический процесс);

у = const (изобарический процесс);

р¥р¥=const (изохорический процесс).

р¥

р¥

Эти закономерности можно объединить общим уравнением.

Допустим, начальное состояние газа характеризуется параметрами, соответствующими нормальным условиям р0, 70, То. Будем изменять состояние газа в такой последовательности: 1) повысим температуру до значения Т, не изменяя давления р0, при этом объем газа изменится и станет равным Vq и тогда в соответствии с уравнением (4.4)

запишем

откуда

匕=匕^;

(4.6)

2) изменим давление до значения р при постоянной температуре Т, объем газа при этом станет V и согласно уравнению изотермического процесса (4.1) запишем

pM="・

Используя выражение (4.6), получим几几元=Р匕ИлИ

т. е. можем записать

или

pV = CT,

(4.7)

где С — постоянная величина, называемая газовой постоянной.

Уравнение (4.7) выведено Клапейроном и оно утверждает, что для данной массы газа произведение давления на объем пропорционально абсолютной температуре.

Газовая постоянная С зависит от массы и химического состава газа и от выбора единиц измерения р, V, Т. Если С рассчитать на единицу массы газа, то получим

£ = В. т

(4.8)

Тогда уравнение (4.7) можно записать в виде р——=——/ ,

ИЛИ

ри = ВТ,

(4.9)

где v=V/m — удельный объем газа, величина В называется удельной газовой постоянной.

Количество вещества, выраженное в килограммах и численно равное его молярной массе 府,называется молем. Например, для кислорода О2 М =0,032 кг/моль=32 кг/кмоль. Моль любого (идеального) газа занимает при нормальных условиях (/=0℃, p=i атм= =760 мм рт. ст.) один и тот же объем.

Поэтому газовая постоянная, найденная для 1 моля, будет иметь

одинаковое значение для любого газа. Она называется универсальной газовой постоянной и обозначается через R・

Уравнение (4.7) для 1 моля, занимающего объем Vn будет иметь вид

pV】=RT,(4.10)

и называется оно уравнением Клапейрона — Менделеева.

Если взять не 1 моль газа, а любую массу т, то отношение

N=m[M

определит число молей газа. Умножая обе части уравнения (4.10) на это число, получим

р 計，=%RT，

где произведение объема одного моля Vx на число молей выражает полный объем V газа массы т. Следовательно, для любой массы т газа уравнение состояния примет вид

pV=^RT.(4.11)

Уравнение состояния идеального газа дает связь между всеми величинами (р,匕 Т, т), имеющими осредненное значение.

§ 4. Физический смысл универсальной газовой постоянной

Универсальная газовая постоянная, по определению, равна

где ро, К, То — параметры состояния газа, соответствующие нормальным условиям. Используя значения этих параметров, выраженные в СИ: %=22,41・10-з м3/моль, р0 = 1,013-Ю5 Па, Т0=273,15К, находим

р _ 1,013.105.22,4Ы0-3 Н-м3

К =273Jb м2・моль・К '

Т. е.

R=8,32 Дж/(моль・К).

Универсальная газовая постоянная имеет размерность работы, отнесенной к 1 молю и температуре 1 К.

Выясним физический смысл универсальной газовой постоянной.

Предположим, что в цилиндре под поршнем находится 1 моль газа, объем которого V (рис. 4-3). Газ под поршнем оказывает давление, равное внешнему постоянному давлению, т. е.

р=const.

Пусть газ в цилиндре нагревается на 1 К. Расширяясь, он поднимает поршень на высоту h. Давление на поршень равно p=F/S (尸一

—91 —

7ЩШ\

40

р-constр-constРис. 4-3Рис. 4-3сила, действующая на поршень, S ——его площадь), откуда

р-const

р-const

Рис. 4-3

Рис. 4-3

F=pS.

При этом газ совершает внешнюю работу

A=Fh=pSh.

Произведение Sh определяет приращение объема W=Sh, т. е. работа расширения

A=p-\V.(4.12)

Уравнение состояния для газа до нагревания имеет вид

pV=RT,(4.13)

после нагревания, когда газ в результате расширения занял объем Уп

Р 匕=R(T+1)・(4.14)

Вычитая из уравнения (4.14) уравнение (4.13), получим

p^-V^R.

Так как (匕一У) = АУ, то

pN=R.(4.15)

Сопоставляя выражения (4.12) и (4.15), находим, что

A=R.(4.16)

Из формулы (4.16) следует, что универсальная газовая постоянная численно равна работе при изобарическом расширении 1 моля газа вследствие нагревания его на 1 К・

§ 5・ Основное уравнение молекулярно-кинетическойтеории газа

Рассмотрим процесс взаимодействия движущихся молекул со стенками сосуда, в котором находится данный газ (идеальный). Проведем перпендикулярно стенке сосуда ось X (рис. 4-4).

Предположим, что о стенку ударяется молекула идеального газа массы т. Так как удар упругий, то скорости молекулы до удара и после удара равны между собой по величине, но изменяются по направлению. Разложим вектор скорости v на две составляющие vx и vy. После удара составляющая v^, параллельная стенке, сохраняет свое значение и направление. Составляющая скорости vx не изменяется по величине, но направление меняет на противоположное и после удара будет равна —v^.

По третьему закону Ньютона, сила, с которой воздействует молекула на стенку, равна силе, с которой воздействует стенка на молекулу, но эти силы противоположны по направлению. Следовательно, моле

—92 —

кула и стенка обмениваются равными, но противоположно направленными импульсами силы, и тогда можно записать

/Дт=тДу.

Так как величина составляющей скорости vy во время удара не меняется, то импульс силы будет равен

(—%)1 =2mvx.

Представим себе сосуд в форме куба, ребра которого равны I (рис. 4-5). В сосуде находится однородный газ. Так как движение молекул носит массовый хаотический характер, то ни одно направление дви-

Рис. 4-4Рис. 4-4才才Рис. 4-5Рис. 4-5

Рис. 4-4

Рис. 4-4

才

才

Рис. 4-5

Рис. 4-5

жения не имеет преимущества перед другим. Если в кубе п молекул, то можно считать, что 〃/3 молекул движется в данный момент времени параллельно ребру 7, п/3 ——параллельно ребру 2 и 拉/3 ——параллельно ребру 3.

Проследим за движением молекулы между правой и левой гранями куба.

Пусть скорость молекулы и, масса ее т. При упругом ударе о правую грань изменится направление скорости молекулы; она станет равной—и, и молекула будет двигаться к левой грани. Изменение импульса молекулы будет mv—(—mv)=2mv, т. e.

/Дт=2ту.

Такой же импульс получит стенка. Отскочив от левой грани, молекула снова ударит о правую грань. Между двумя последовательными ударами она проходит путь, равный 2/. Время между двумя последовательными ударами молекулы о стенку равно

Ат=2〃и.

Из двух последних выражений находим, что средняя сила, действующая на стенку, будет

г — 2mv

(4.17)

Газовые молекулы движутся с разными скоростями vx, v2, у3, ..., vn. Так как газ считаем однородным, то предполагаем, что массы молекул равны, т. е.

tn^==- tn 2 -—ПТ 2 ~" • • •—-tn 9

Между правой и левой гранями движется 拉/З всех молекул, поэтому сумк^арная сила ударов о правую грань равна

尸—丄 m・％ (и； +и； + и； + ♦ • ♦ +瑰)夕Тn*尸—丄 m・％ (и； +и； + и； + ♦ • ♦ +瑰)夕Тn*или запишем так:

尸—丄 m・％ (и； +и； + и； + ♦ • ♦ +瑰)

夕Тn*

尸—丄 m・％ (и； +и； + и； + ♦ • ♦ +瑰)

夕Тn*

Обозначим через vKB среднеквадратичную скорость. Квадрат этой скорости, равный

2 _ U； + W + W + • • • + /кв —П，

представляет собой среднее арифметическое из квадратов скоростей отдельных молекул. Тогда

尸=$•罕曉в・(4.18)

Разделив обе части этого выражения на площадь грани S = /2, получим

Отношение 尸偿 выражает давление р газа, а величина n0=n/Z3 — число молекул в единице объема. С введением этих величин уравнение (4.18) запишется так:

р = ^%т 嗯 в・(4.19)

Оно выражает основное уравнение молекулярно-кинетической теории и определяет макроскопическую величину — давление через число молекул в единице объема п0, массу т отдельных молекул и среднеквадратичную скорость их движения vKB.

Уравнение (4.19) можно представить в таком виде:

здесь множитель

2 Р=行

(4.20)

По—

(4.21)

определяет среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы газа. Поэтому основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов примет вид

9 一

Р = @〃о 侬，(4・22)

т. е. давление газа определяется как 2/3 от средней кинетической энергии поступательного движения молекул, которые содержатся в единице объема газа.

Число молекул газа в 1 моле называется числом Авогадро (УА). Опытным путем установлено, что

N』=6,023• [(Я моль"1.

Предположим, что взят 1 моль газа объемом V. Концентрация молекул газа (число молекул в единице объема) будет

% = %а/匕

и тогда уравнение (4.20) примет вид

Р =Р =2 "А 侬^в2 "А 侬^в(4.23)(4.23)

Р =

Р =

2 "А 侬^в

2 "А 侬^в

(4.23)

(4.23)

Но для 1 моля справедливо уравнение состояния [см. (4.10)] pV=RT・

Используя эти два последних выражения и сделав в них несложные преобразования, получим

илиилиТТ2 "A 用脸3"^2~2 "A 用脸3"^2~т =т =2 ^А-2 ^А-(4.24)(4.24а)(4.24)(4.24а)

или

или

Т

Т

2 "A 用脸

3"^2~

2 "A 用脸

3"^2~

т =

т =

2 ^А-

2 ^А-

(4.24)

(4.24а)

(4.24)

(4.24а)

Отсюда следует, что абсолютная температура газа пропорциональна средней кинетической энергии ® поступательного движения его молекул.

Из выражения (4.24а) следует, что средняя кинетическая энергия молекулы равна

而+(4・25)

где величина

k = R/NA

называется постоянной Больцмана и представляет собой универсальную газовую постоянную, отнесенную к одной молекуле.

Постоянная Больцмана 力,равная

8,32

= 1，38・ 1。7 Дж/К,

входит во многие уравнения физики.

Введя постоянную Больцмана, находим зависимость средней кинетической энергии поступательного движения одной молекулы от тем< пературы газа:

萼寻仍(4.27)

или

&=(3/2)々7.(4.27а)

В соответствии с этим нуль абсолютной шкалы температур приобретает такой смысл:

при Т = 0 имеем ^^ = 0, т. е. %в = °・

Это означает, что при абсолютном нуле отсутствует поступательное движение молекул, хотя и остаются другие виды движения, например внутриатомные.

Из формулы (4.27) находим среднеквадратичную скорость:

% =/ 竽，(4.28)

или с учетом выражения (4.26)

%в=/^・(4・28а)

Но так как mN=M ——масса 1 моля, то

(4.286)

Следовательно, зная температуру и молярную массу газа, из выражения (4.286) можно найти среднеквадратичную скорость движения молекул.

Объединяя формулы (4.27а) для средней кинетической энергии и (4.22) для давления газа, получим

р=пМ\(4.29)

т. е. давление р газа пропорционально концентрации молекул 拉。и его абсолютной температуре Т.

§ 6. Распределение молекул 〃о скоростям. Закон Максвелла

Скорости молекул газа имеют весьма различные значения и направления, причем из-за огромного числа соударений, которые ежесекундно испытывает молекула, скорость ее меняется непрерывно.

Поэтому нельзя определить число молекул, которые обладают точно заданной скоростью 〃 и в данный момент времени, но можно подсчитать число молекул, скорости которых имеют значения, лежащие между некоторыми данными скоростями 〃i и и2.

На основании теории вероятности Максвелл установил законо

—96 —

мерность, по которой можно определить число молекул газа, скорости которых при данной температуре заключены в некотором интервале скоростей.

В соответствии с законом распределения скоростей Максвелла число молекул, имеющих скорости в интервале от и до u+du, равно

42dn nule~UQdu0,42dn nule~UQdu0,(4.30)(4.30)

42

dn nule~UQdu0,

42

dn nule~UQdu0,

(4.30)

(4.30)

где и ——общее число молекул идеального газа; е ——основание натуральных логарифмов; 〃о=〃/〃в — относительная скорость, и —— скорость в данный момент времени; 〃в ——наиболее вероятная скорость, т. е. такая скорость, к которой близки скорости большинства молекул.

Если по оси ординат в построенной системе координат отложить функцию распределения

а по оси абсцисс скорость и молекул, то функция распределения графически изобразится кривой, показанной на рис. 4-6. Площадь заштрихованной полоски с основанием d〃 покажет, какая часть от общего числа молекул имеет скорости, лежащие в данном интервале.

Конкретный вид функции распределения /(〃) зависит от рода газа (массы молекулы) и температуры Т・ Давление и объем газа на распределение молекул по скоростям не влияют.

Максимум кривой распределения соответствует наиболее вероятной скорости 〃в・

Из закона распределения эта ско-Рис. 4-6

рость равна

筹(4.31)

Кривая распределения скоростей Максвелла позволяет найти среднюю арифметическую скорость молекулы:

~ = 〃1 + 〃2 + 〃3 + •••+〃〃一n

которая имеет расчетное значение

赛《4.32)

Таким образом, существуют три скорости, характеризующие состояние газа:

наиболее вероятная

средняя арифметическая

среднеквадратичная [см. (4.286)]

В этих формулах R — универсальная газовая постоянная, Т — абсолютная температура, М — молярная масса газа. Из сопоставления приведенных формул следует (см. рис. 4-6)

“в〉“〉〃в・

С повышением температуры, как следует из формулы (4.31), наиболее вероятная скорость возрастает, поэтому максимум распределения молекул по скоростям сдвигается в сторону больших скоростей

(рис. 4-7). На рис. 4-7 кривая 2 соответствует большей температуре Т2, кривая / — меньшей температуре Л (7,2>Л)； при этом 心>〃；.

Следовательно, с ростом температуры возрастает относительное число молекул, обладающих большими скоростями. Площади, ограниченные кривыми I и 2, должны быть равны между собой, так как их величина пропорциональна общему числу молекул, которое в обоих случаях сохраняется неизменным.

Справедливость максвелловского распределения была подтверждена опытами Штерна, в которых непосредственно были измерены скорости молекул и их распределение по скоростям.

§ 7・ Закон распределения Больцмана

При рассмотрении кинетической теории газов и закона распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы газа не действуют никакие силы, за исключением сил ударов молекул. Поэтому молекулы равномерно распределяются по всему сосуду. В действительности молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли.

—98 —

Вследствие этого каждая молекула массы т испытывает действие силы тяжести f=mg (ускорение g свободного падения считаем неизменным).

Выделим горизонтальный элемент объема газа высотой dh и площадью основания S (рис. 4-8). Считаем газ однородным и температуру его постоянной. Число молекул в этом элементе объема равно произведению его объема dV=Sdh на число молекул п0 в единице объема. На все молекулы в выделенном элементе действует сила тяжести

dP=nQ-S-dh-mg,

которая вызывает давление, равное

(4.33)(4.33)dp=^=-^^==-nQmgdht

(4.33)

(4.33)

Знак минус указывает, что с увеличением h давление падает. Согласно формуле (4.29)

где k — постоянная Больцмана, п0 — концентрация молекул, которая также изменяется с высотой, можно записать

dp=kTdnQ.(4.34)

Приравнивая правые части выражений (4.33) и (4.34) и сделав преобразования, получим

黑=一等，也(4.35)

Интегрируя это равенство в пределах изменения высоты от Ло до 八 (соответственно концентрация изменяется от п0 до 〃)：

получим

ln〃一ln〃o = —等(九一%))・

Потенцируя полученное выражение, находим

п —=е 几о

или

n = n^-m^ (a-%)/々T.(4.36)

Если в промежуточных уравнениях вместо р исключить концентрацию молекул, то получится аналогичное уравнение для давления p = pLg(i)/£(4.37)

4*— 99 —

где ро ——давление газа на высоте hQ (за hQ часто выбирают уровень моря, т. е. полагают /го=О, и тогда р0 представляет собой атмосферное давление на поверхности Земли), р — давление газа на высоте h.

Это уравнение называется барометрической формулой.

Из уравнений (4.36) и (4.37) следует, что как концентрация молекул, так и давление уменьшается с высотой по экспоненциальному закону.

Показатель степени при е в формуле (4.36) имеет множитель mg^h—ho),

который определяет приращение потенциальной энергии молекулы газа. Если переместить молекулу с уровня 无。до уровня h, то изменение ее потенциальной энергии будет

^W=mgh—mghQ.

Тогда уравнение (4.36) преобразуется к виду

п = n^^w>kT. (4.38)

Уравнение (4.38) отображает общий закон Больцмана и дает распределение числа частиц в зависимости от их потенциальной энергии.

Он применим к любой системе частиц, слабо взаимодействующих в силовом поле, например в электрическом. В этом случае закон используется при условии, что гравитационные силы малы в сравнении с электрическими. Под потенциальной энергией будет подразумеваться энергия заряженной частицы в электрическом поле.

Выражение (4.38) закона Больцмана было использовано для определения числа Авогадро ——одной из важнейших констант молекулярной физики.

Число столкновений и средняя длина свободногопробега молекул. Эффективный диаметр молекулы

Средние скорости молекул газа очень велики — порядка сотен метров в секунду при обычных условиях. Однако процесс выравнивания неоднородности в газе вследствие молекулярного движения протекает весьма медленно. Так, процессы диффузии, теплопроводности являются сравнительно медленными.

Это объясняется так. Молекулы при перемещении испытывают соударения с другими молекулами. Обычным плотностям газа соответствует в среднем очень большое число столкновений в 1 с. При каждом соударении скорость молекулы изменяется по величине и направлению. Между соударениями молекулы движутся по прямым, и траектории их движения за некоторый промежуток времени Дт представляются набором отрезков ломаной линии различной длины /1, /2, %, •••, 4 (рис. 4-9). Отрезки ломаной не лежат в одной плоскости. Поэтому если молекула вышла из точки Лх и после и столкновений пришла в точку Л2, то эта конечная точка может лежать близко от начальной, и расстояние между началом и концом траектории

Рис. 4-9Рис. 4-9числу соударений, т. е.числу соударений, т. е.入—厶 + %+ 丄3 + • • • + 〃入—厶 + %+ 丄3 + • • • + 〃пп(4.39)(4.39)

Рис. 4-9

Рис. 4-9

числу соударений, т. е.

числу соударений, т. е.

入—厶 + %+ 丄3 + • • • + 〃

入—厶 + %+ 丄3 + • • • + 〃

п

п

(4.39)

(4.39)

оказывается намного меньшим, чем общий пройденный путь. Вследствие этого скорость, с которой молекула диффундирует из одной части газа в другую, значительно меньше средней скорости молекулярного движения.

Для оценки скорости движения молекул вводится понятие о средней длине пути, который молекула проходит без соударений (обозначается 九).Для подсчета этого пути суммируется длина отрезков траектории 厶,/2, /3, ..., /п от соударения до соударения, и этот общий путь делится на число отрезков и, которое равно

Эта формула определяет средний путь, который молекула проходит свободно от соударения до соударения и который носит название средней длины свободного пробега.

Для определения X вычислим сначала число соударений выбранной

молекулы с другими молекулами за единицу времени.

Будем считать, что молекула после соударения продолжает двигаться по прямой со средней скоростью движения и. Молекулы, с которыми соударяется выбранная молекула, в первом приближении считаем неподвижными и принимаем их за сферические тела радиуса г (рис. 4-10). Пусть выбранная молекула движется вправо из положения А】в положение 42 no прямой OiO2- При своем движении она

испытывает соударения с теми неподвижными молекулами, центры которых лежат не дальше чем 2г от траектории движения ОХО2 (например, молекула В с центром О). Иными словами, движущаяся со

средней скоростью и молекула в течение 1 с столкнется с теми молекулами, центры которых находятся внутри цилиндра с осью 0102, радиусом 2r и длиной, численно равной 〃• Действительно, за единицу

времени молекула проходит расстояние, численно равное скорости и. Поэтому объем цилиндра, в котором находятся задеваемые молекулы, равен 4冗产".

Если концентрация молекул и0, то внутри рассмотренного ци

равноеравноелиндра находится число молекул.

равное

равное

4.举) 卩 Это число Z и определяет среднее \ учисло соударений за единицу вре-

Кмени. Так как другие молекулы так

же находятся в движении, то в это

число вводится поправочный множи-

тель, равный /2 Поэтому среднее число соударений за единицу времени определяется формулой

(4.40)(4.40)Z = 4/2冗「2〃％.

(4.40)

(4.40)

Чтобы определить среднюю длину свободного пробега молекул, надо путь, проходимый в единицу времени (численно он равен 〃)， разделить на число соответствующих отрезков пути, т. е. на среднее число соударений Z в единицу времени:

九=〃/z,

или

(4.41)(4.41)又=4声£九。・

(4.41)

(4.41)

Таким образом, средняя длина свободного пробега X не зависит от температуры газа, так как с ростом Т одновременно возрастают и 〃， и Z.

Значение средней длины свободного пробега используется, например, при описании диффузии, теплопроводности и других явлений.

При подсчете числа соударений и средней длины свободного пробега молекул в первом приближении за модель молекулы было принято шарообразное упругое тело.

В действительности каждая молекула представляет собой сложную систему элементарных частиц и при рассмотрении упругого соударения молекул имелось в виду, что центры молекул могут сблизиться до некоторого наименьшего расстояния. Затем возникают силы отталкивания, которые вызывают взаимодействие^ подобное взаимодействию при упругом ударе. Эффективным диаметром и называют это среднее расстояние между центрами молекул, взаимодействующих как при упругом ударе.

Если в формулу {4.41) ввести эффективный диаметр о=2г, то получим

(4.42)(4.42)又=旷』。2旬・

(4.42)

(4.42)

Методы определения 无 известны, и по формуле (4.42) можно найти эффективные диаметры молекул газов.

Явления переноса

Беспорядочное тепловое движение молекул, непрерывные столкновения между ними приводят к тому, что молекулы, хотя и сравнительно медленно, перемещаются из одной точки пространства в другую. В результате столкновений изменяются величина и направление скоростей молекул, что приводит к передаче импульса и энергии. По этой причине в газовой среде, если рассматривать бесконечно малые объемы отдельных участков среды, самопроизвольно возникают

флуктуации плотности (концентрации), температуры и давления газа, которые мгновенно исчезают. Если данные неоднородности вызваны посторонним источником и носят постоянный характер, то хаотическое движение молекул стремится ликвидировать эти неоднородности.

При этом в газе возникают особые процессы, которые носят название явлений переноса. К ним относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее трение 1}.

Если в локальном объеме распределена примесь другого газа (или увеличена плотность данного газа), то хаотическое движение молекул будет способствовать выравниванию концентрации газовых молекул. Процесс выравнивания концентрации газовых молекул (а также молекул жидких и твердых тел) называется диффузией.

В случае неодинаковых температур в различных частях газа те молекулы, которые находятся в более теплых областях, в среднем обладают большей кинетической энергией, чем молекулы в более холодных областях. И здесь молекулярное движение сопровождается суммарным переносом энергии в направлении более холодных частей газа, вследствие чего происходит выравнивание температуры. Этот процесс называется теплопроводностью.

Может происходить также выравнивание скоростей слоев газа, если они движутся с различными скоростями. В среднем импульсы молекул таких слоев различны — молекулы более быстрых слоев имеют большие значения импульсов. Переход молекул из быстрого слоя в более медленный сопровождается переносом импульса и вызывает действие импульса сил, ускоряющих медленный слой. Противоположное по характеру действие оказывают молекулы медленного слоя, перешедшие в быстрый слой,— в этом слое возникают тормозящие силы. Суммарный эффект при этом — выравнивание скоростей слоев. Это явление называется внутренним трением, или вязкостью.

В основе всех этих трех различных физических явлений лежит один и тот же молекулярный механизм — тепловое движение и перемешивание молекул.

Явления переноса можно наблюдать во многих процессах современной техники. Например, при производстве сахара извлечение его из свекловичной стружки (экстракция) обусловлено диффузией. Диффузия используется для очистки полупроводников, разделения изотопов и т. д. Явление теплопроводности встречается в большинстве тепловых процессов в различных машинах и устройствах.

Последовательно рассмотрим явления переноса и законы, которым они подчиняются.

Диффузия. Наблюдения показывают, что в процессе диффузии через площадь поверхности AS, расположенную нормально оси, вдоль которой происходит изменение концентрации вещества, за время Дт переносится масса вещества Д7И, пропорциональная градиенту кон-

* Могут иметь место и более сложные процессы, такие, как термодиффузия, избирательная диффузия (осмос) и др.

центрации dC/dx, площади AS и времени Дт:

АМ=—Q (dC/d%)ASAt.(4.43)

Это уравнение выражает закон Фика. Величина D называется коэффициентом диффузии. Знак минус в формуле (4.43) означает, что масса переносится в сторону убывания концентрации.

Под концентрацией С понимается величина, численно равная отношению массы М данного вещества к объему V смеси:

0=号.(4.44)

Если газ однороден по составу молекул, то эту величину заменяют плотностью р.

Направление Ох, нормальное к поверхностям 1} &, С2, С3, через которые газ диффундирует (в частности, к площадке S), соответствует направлению наиболее интенсивной диффузии, причем газ диффундирует из областей с большей концентрацией в область с меньшей концентрацией (рис. 4-11).

Если положить, что концентрация по направлению Ох изменяется равномерно, то градиент концентрации dC/dx численно равен изме-

с3^с2 =*czнению концентрации на единице

Рис. 4-11длины выбранного направления,

е. градиент концентрации характеризует изменение концентрации по направлению наиболее быстрого ее изменения.

Коэффициент диффузии D в уравнении (4.43) зависит от свойств диффундирующего вещества и условий, в которых оно находится, а также от выбора единиц измерений величин, входящих в формулу.

В СИ единицей коэффициента диффузии является 1 м2/с, в системе СГС — 1 см2/с.

Формула (4.43) характеризует явление диффузии с макроскопической точки зрения. Рассмотрим теперь это явление для газов с точки зрения молекулярно-кинетической теории.

Для упрощения расчетов предположим, что все молекулы газа движутся с одинаковыми скоростями. Так как движение газовых молекул беспорядочно, то любое из возможных направлений движения является равновероятным.

Разложим вектор скорости каждой молекулы на три составляющие 〃х， 〃g, 〃z и будем считать, что все молекулы движутся только в направлении координатных осей: х/3 молекул вдоль оси X,】% вдоль оси У и % вдоль оси Z.

Представим себе систему, в которой в направлении Ох слева на-

D Поверхности Сх, С2, С3 являются поверхностями равной концентрации.

-104 —

право имеется падение концентрации газовых молекул (рис. 4-12). Проведем мысленно перпендикулярно оси Ох плоскость S5 (на рис. 4-12 показан след плоскости), которая разделит систему на две области: / (слева) и II (справа).

Концентрация газовых молекул в области / больше, чем в области II (Ci>C2). Выделим на плоскости S5 площадку AS и подсчитаем число газовых молекул, проходящих через нее за время Дт из области / в область II и обратно. Вдоль оси Ох должна двигаться % всего числа молекул. Половина из них будет двигаться слева направо, а другая половина — справа налево, т. е. через всю плоскость S1S2 из области / в область II движется % часть всех молекул и столько же из области // в область /.

Остальные 2/3 газовых молекул не будут проходить через плоскость S&, так как движутся параллельно

За единицу времени через площадку AS из области / в область II перейдут молекулы, заключенные в объеме цилиндра (или параллелепипеда) с основанием AS и высотой 〃，т. е. их число равно

] —百 〃i〃AS,

где 〃i — число молекул в единице объема в области /, и ——средняя скорость движения газовых молекул.

Масса газа, переходящего из области / в область //за время Дт, будет равна

АМ】=■§" тп^ДЗДт,

где m — масса одной молекулы.

Если концентрации газов в областях / и 〃 равны, то встречные потоки молекул, идущие через площадку AS, будут равны и результирующий перенос массы газа будет равен нулю.

Однако в рассматриваемом случае концентрация газовых молекул в объеме / больше, чем в объеме //, а следовательно, и %>〃2・ Поэтому масса газа АМ，поступающего из области / в область II (слева направо), больше, чем масса газа АМ2, идущего справа налево, и тогда

АЛ! = АМ】一АМ? = -q тп^ДЗДт—^tnn2u\S\T^ или

AM =—拉2)muASAx.(4.45)

Предположим, что количествам молекул в единице объема %, 九2 соответствуют координаты / и х2. Учитывая, что уменьшение

一 105 —

числа молекул в единице объема газа, т. е. концентрации, происходит равномерно в направлении Ох, можно написать

九1 - 九2 — 九1 — 九2 _ ―An%1 %2%2 %1 A%

Величина А〃/А% показывает быстроту изменения числа молекул в единице объема и выражает градиент концентрации. Так как молекулы, проходящие через площадку AS, приходят из того места, в котором они испытали последнее столкновение, т. е. с расстояния, равного средней длине свободного пробега 月(см. рис. 4-12), то А%=%2一 —%i=2 兀 Поэтому

a% 九I 几2%1 —%2

Ах%】—％?2 九

откуда

九1-—拉2=——^.2九.(4.46)

С учетом последнего соотношения выражение (4.45) примет вид

Произведение массы m одной молекулы на их количество п в единице объема есть плотность газа р, т. е. т〃=р; следовательно,

тогда

3

Если газ неоднороден по составу молекул, то плотность газа р в данном уравнении необходимо заменить концентрацией С интересующей нас компоненты газовой смеси, т. е.

АМ=—扌苏^ ASAq

или в дифференциальной форме

dM=-^^(LSd^(4.47)

Сравнивая данное уравнение с законом Фика (4.43), который также является дифференциальным законом, справедливым для малой площадки dS и малого промежутка времени dt:

dM=—D^dSdT,

находим, что коэффициент диффузии равен

0=!凉.(4.48)

—106 -

Таким образом, коэффициент диффузии оказывается связанным с микрохарактеристиками теплового движения молекул ——средней длиной свободного пробега 无 и средней арифметической скоростью 〃 молекул.

Теплопроводность. Явление теплопроводности заключается в переносе теплоты AQ от более горячего слоя с температурой 7\ к более холодному, температура которого Т2.

Закон теплопроводности был установлен Фурье и может быть сформулирован так: теплота AQ, переносимая через элемент площади поверхности AS за время Дт, пропорциональна градиенту температуры dT/dx, площади AS и времени Ат:

AQ=—乂 (dT/d%) ASA%(4.49)

или в дифференциальной форме

dQ=—乂 (dT /dx)dS(k\(4.49a)

при этом направление потока теплоты нормально к поверхности, через которую он распространяется. Величина 乂 называется коэффициентом теплопроводности. Знак минус в уравнении указывает на то, что поток теплоты направлен в сторону падения температуры. Как и в случае диффузии, представляется возможным вывести уравнение теплопроводности для газов с помощью молекулярнокинетической теории и установить, что коэффициент теплопроводности равен

к = ^ с* 林,(4.50)

где 九一средняя длина свободного пробега молекул, и ——средняя скорость их движения, р — плотность, cv——изохорическая удельная теплоемкость (см. гл. 5).

В СИ коэффициент теплопроводности 乂 измеряется в Вт/(м・К), в системе СГС — в эрг/(см-с*К).

Внутреннее трение (вязкость). Закон внутреннего трения, обусловленного переносом количества движения (импульса) молекул установлен Ньютоном (см. § 4 гл. 3): сила вязкости 尸 пропорциональна градиенту скорости du/dx и площади S трущихся слоев, т. е.

尸=—n (d 〃/d%)S, гдет] — коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость).

Для бесконечно малой площади dS закон Ньютона можно записать в дифференциальной форме:

dF=—n (d 〃/d%)dS.(4.51)

Градиент скорости определяется в направлении, перпендикулярном площадке скольжения dS, с правой и левой сторон которой движутся слои с различными скоростями 〃〔 и w2.

По аналогии с другими коэффициентами переноса выводится коэф-

фициент вязкости для газов. Он оказывается равным

П = -^р血，(4.52)

где р — плотность.

Сопоставление формул (4.48), (4.50) и (4.52) показывает, что один коэффициент переноса может быть получен из другого. Связь между ними выражается следующими соотношениями:

(4.53)(4.53)х — т|с у — De ур.

(4.53)

(4.53)

Приводим таблицу, в которой объединены основные данные о явлениях переноса в газах.

Явление переноса

Переносимая величина

Уравнение переноса

Коэффициент переноса

Диффузия

Масса

dM = —D 尊 dS dt ax

D = M統

Теплопроводность

Теплота(внутренняя энергия)

d Q = — x —— dS dt

X = g pCyX〃

Внутреннее трение

Количество движения (импульс)

dF = —dS

или

dK = —n 警 dS dt

Формулы, определяющие коэффициенты переноса, показывают, что коэффициенты вязкости т] и теплопроводности 乂 не зависят от давления. Докажем это.

Если в формулу для средней длины свободного пробега молекул

-p%2九 J

где о ——эффективный диаметр молекул, п0——число молекул в единице объема, подставить из выражения плотности p=mnQ (/и — масса молекулы) значение

Ио = рМ,

получим

(4.54)

Так как о можно считать постоянной величиной, то

加=const.

Следовательно, с ростом давления увеличивается плотность р, т. е. число молекул, переносящих импульс и энергию (p=nkT), но уменьшается 入.Поэтому коэффициенты t] и х не зависят ни от плотности,

ни от давления. В формулу же для D [см. (4.48)1 входит средняя длина свободного пробега X, обратно пропорциональная давлению, поэтому и коэффициент диффузии также зависит от давления р.

Определенные экспериментально коэффициенты переноса позволяют вычислить среднюю длину свободного пробега молекул и их эффективный диаметр.

Уравнения переноса (4.47), (4.49а), (4.51), рассмотренные по отношению к газам, имеют более общий характер. Так, например, уравнение теплопроводности справедливо для газов, жидкостей и твердых тел, уравнение вязкости——для газов и многих жидкостей. Закон Фика справедлив в простейшем случае одномерной диффузии в идеальных растворах и газах. Для твердых тел, у которых основным видом теплового движения являются колебания молекул (ионов, расположенных в узлах кристаллической решетки) около положений равновесия, уравнение диффузии будет иметь несколько иной вид.

Глава 5

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

§ 7・ Внутренняя энергия системы

Законы термодинамики применяются к термодинамической системе, под которой понимается группа макроскопических тел, которой свойственны процессы, сопровождающиеся переходом теплоты в другие виды энергии и обратные процессы.

Термодинамическая система тел как совокупность множества атомов и молекул обладает кинетической энергией движения системы как целого, потенциальной энергией, обусловленной наличием внешнего поля сил, и внутренней энергией движения и взаимодействия микрочастиц этой системы (молекул, атомов, электронов и т. д.), т. е.

w = wK+wn + u.

Внутренняя энергия U тела складывается из кинетической энергии хаотического движения молекул (поступательного и вращательного), потенциальной энергии, обусловленной взаимодействием молекул, энергии колебательного движения атомов в молекуле, а также энергии электронных оболочек атомов и ионов и энергии электростатического 〃 гравитационного полей.

Внутренняя энергия системы U определяется ее состоянием. Так как изменение состояния системы характеризуется параметрами состояния р, V, Т, то внутренняя энергия системы есть функция параметров состояния, т. е. (р, V, Т).

Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния п. Это означает, что одному и тому же состоянию системы соответствует определенное значение внутренней энергии U. Было бы неправильным

D Фуйкция p=/(%) называется однозначной', если при заданном значении аргумента х функция у принимает одно определенное значение.

-109 -

считать, что определенному состоянию системы соответствуют различные значения внутренней энергии, например U工 и (/?, так как это привело бы к нарушению закона сохранения энергии.

В термодинамических процессах рассматривается изменение внутренней энергии Д(/ (или разность энергий) системы при изменении ее состояния. Поэтому выбор начала отсчета внутренней энергии несуществен. Обычно полагают внутреннюю энергию равной нулю при 「=0.

В излагаемом разделе не будут рассматриваться процессы, связанные с изменением внутриядерной энергии и энергии электронных оболочек атомов. Поэтому под внутренней энергией U будем понимать энергию теплового движения частиц, образующих систему, и их потенциальную энергию взаимного положения.

§ 2・ Работа и теплота как формы передачи энергии

Изменение состояния системы тел обусловлено передачей энергии от одного тела системы к другому. Передача энергии может происходить либо в форме механической работы 4, либо в форме теплоты Q, обусловленной тепловым молекулярным движением.

Как указывалось в гл. 1, работа есть мера изменения механической энергии, переданной от одного тела к другому. Совершение работы всегда сопровождается перемещением тела в целом или его макроскопических частей.

Количество энергии, переданной от одного тела к другому в процессе теплопередачи, измер яется теплотой, отданной одним телом другому. Сообщение теплоты не связано с перемещением тел, а обусловлено тем, что отдельные молекулы более нагретого тела передают свою кинетическую энергию отдельным молекулам менее нагретого тела при соприкосновении этих тел.

Теплота и работа как две формы передачи энергии тесно связаны Друг с другом.

Теплота может переходить в работу и, наоборот, работа — в теплоту. Эти преобразования энергии происходят в строго эквивалентных количествах.

В СИ работа и теплота измеряются в одинаковых единицах — джоулях.

Внесистемной единицей измерения теплоты является калория (кал). 1 кал равна теплоте, необходимой для нагревания 1 г воды от 19,5 до 20,5℃.

§ 3・ Работа расширения газа. Теплоемкость

Предположим, что тело (система) равновесно расширяется при равномерном распределении давления по поверхности тела.

Равновесными называются процессы, при которых изменение состояния тела происходит очень медленно (бесконечно медленно).

Пусть элемент поверхности dS тела под действием силы dF переместился на расстояние dh (элемент поверхности dS и сила d尸 считаются

неизменными). Если внешнее давление р, то сила давления dF=pdS. При этом совершается элементарная работа расширения, равная

dA=dF*dh, или dA=pdS*dh.

Произведение dS-dh=dV определяет изменение объема элемента тела при расширении. Поэтому

dA=pdV.

Полная внешняя работа равна

(5.1)(5.1)А = J pdV,

(5.1)

(5.1)

Условимся, как определять знак работы. Если тело (система)Условимся, как определять знак работы. Если тело (система)где 71 и У2 — начальный и конечный объемы тела.

Условимся, как определять знак работы. Если тело (система)

Условимся, как определять знак работы. Если тело (система)

расширяется, объем его увеличивается (dY>0), то внешняя работа считается положительной, т. е.

Д>0.

В этом случае тело, расширяясь, производит работу против внешних сил.

В случае, когда тело (система) сжимается (dV<0), внешняя работа отрицательна, т. е.

4V0；

совершается работа внешних сил надРнс. 5-1

системой.

Пользуясь соотношением (5.1), вычислим внешнюю работу, совершаемую газом при расширении в различных изопроцессах.

При изохорическом процессе (рис. 5-1) V=const, следовательно, приращение объема dV=0. Поэтому внешняя работа равна нулю:

4=0.

При изобарическом процессе р=const (см. рис. 5-1). В соответствии с формулой (5.1) имеем

(5.2)(5.2)4=р \ d匕 или А = р(у2—匕).

(5.2)

(5.2)

Работа определяется произведением давления на изменение объема, что на рис. 5-1 соответствует площади прямоугольника с основанием 匕匕 и высотой р=const.

При изотермическом процессе T=const. Элементарная работа изображается графически на рис. 5-1 площадью полоски с основанием dV. Конечная работа изобразится площадью фигуры с основанием V±V^ которая сверху ограничивается изотермой.

Из уравнения состояния (4.11) находим т ]

Подставляя это значение в формулу (5.1), получим

4 = №哈

Учитывая, что масса газа т, его молярная масса М, R и Т — постоян ные величины, имеем

v2

A=%RT\& = ^RT(E%-ln%),

или

4 =备收哈(5.3)

Подставив уравнение изотермического процесса p^^p^V^ в выражение (5.3), получим

/ = ^RT】n^・(5-4)

В термодинамике для характеристики тепловых свойств тел используется понятие теплоемкости. Как известно, теплота Q, переданная телу или отданная телом, определяется по формуле

Q=mcNt、

где /и — масса тела, с ——удельная теплоемкость его, Д/ — изменение температуры тела.

Удельной теплоемкостью вещества называется величина, численно равная теплоте, которую надо сообщить единице массы однородного тела для повышения его температуры на 1 К

В некоторых случаях в процессе нагревания (охлаждения) тела удельную теплоемкость тела нельзя считать постоянной. Тогда в интервале изменения температуры выделяют такое элементарное изменение температуры dt, при котором с можно считать постоянной. В этом случае элементарное количество теплоты

dQ = mcdt.(5.5)

Из выражения (5.5) получаем истинную, или действительную, удельную теплоемкость:

илиили一丄丝一丄丝(5.7)(5.7)

или

или

一丄丝

一丄丝

(5.7)

(5.7)

По отношению к газам различают две теплоемкости: при постоянном объеме cv (изохорическая удельная теплоемкость) и при постоянном давлении ср (изобарическая удельная теплоемкость).

Помимо удельной теплоемкости, часто целесообразно использовать молярную теплоемкость.

Молярной (или мольной) теплоемкостью С называется величина, численно равная теплоте, которую надо сообщить одному молю вещества для повышения его температуры на 1 К- Очевидно, что она равна произведению удельной теплоемкости вещества на его молярную массу 启，т. е.

С=Ма(5.8)

Согласно формуле (5.7) можно получить единицу удельной теплоемкости в СИ:

回=[鼎Г] = "ж/(кг • К) •

Так как М в СИ измеряется в кг/моль, то единицей мольной теплоемкости С будет 1 Дж/(моль* К).

Первый закон термодинамики и его применениек изопроцессам в газах

Первое начало (зЗкон) термодинамики выражает закон сохранения энергии, согласно которому энергия любой изолированной системы остается неизменной.

В более общем виде закон сохранения энергии утверждает, что элементарная работа, совершенная над системой, А% и переданная системе теплота AQ в сумме равны изменению энергии системы:

^U=^A+^(5.9)

В термодинамике обычно из рассмотрения исключается механическая энергия системы. Поэтому изменение энергии системы сводится к изменению ее внутренней энергии Д(/.

Работа ДЛ, совершаемая над системой внешними силами, равна по величине, но противоположна по знаку работе АЛ' системы против внешних сил (А%=—А4‘). С учетом этого замечания уравнение (5.9) можно переписать в виде

^Q=^U+^Af.(5.10)

Отсюда вытекает следующая формулировка I начала < термодинамики'. теплота, переданная системе 6 процессе изменения ее состояния, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение работы против внешних сил.

Перепишем уравнение (5.10) в дифференциальной форме:

(511)(511)dQ=dU+dA,

(511)

(511)

—113 —

где dU — малое приращение внутренней энергии системых), dQ —— элементарное количество теплоты, dA — элементарная работа. Две последние величины зависят от пути перехода системы из одного состояния в другое, и следовательно, ни Q, ни Л не являются функциями состояния.

Так как dQ и dA не являются полными дифференциалами, то обычно они обозначаются через 3Q и дЛ.

Первое начало термодинамики дает возможность исследовать свойства газов и выявить характеристики, необходимые для тепловых и других расчетов.

Рассмотрим изохорический процесс. Как уже указывалось в § 3, внешняя работа при этом равна

dA=pdV=0,

е. газ не совершает механической работы. Из уравнения 1 начала (5.Н) следует

dQ=dU,(5.12)

е. при изохорическом процессе вся подводимая к газу теплота затрачивается на увеличение внутренней энергии газа.

Удельная теплоемкость при постоянном объеме равна

dQ1 dU

.万,ИЛИ / = № •斤,

откуда

dU =mcvdT,(5.13)

т. e. изменение внутренней энергии идеального газа прямо пропорционально изменению его температуры dT・

При изобарическом процессе (р=const) работа dA = ^=pdV^0 и для 1 моля газа (т=М) уравнение I начала термодинамики примет вид

dQ=CvdT + pdVf(5.14)

где Су — изохорическая молярная теплоемкость. Следовательно, теплота, переданная газу при изобарическом процессе, затрачивается на увеличение его внутренней энергии и совершение внешней работы.

Изобарическая молярная теплоемкость равна

& =崇，откуда dQ = CpdT・

Подставив последнее выражение в уравнение (5.14), будем иметь

CpdT = Cv dT + pdV.(5.15)

D Так как внутренняя энергия является функцией состояния, то ее изменение выражается полным дифференциалом.

Согласно уравнению состояния (4.10) для 1 моля газа запишем (р= =const; R=const)

pdV=RdTt

тогда уравнение (5.15) примет вид

CpdT = CvdT + RdT, откуда получаем

Ср — Cy = R.(5.16)

3tq выражение называется уравнением Майера. Оно показывает, что молярная изобарическая теплоемкость Ср больше молярной изохорической теплоемкости Cv на величину универсальной газовой постоянной R・

Примеры.

Одному молю газа передана теплота AQ. Определить, на сколько меньше будет повышение температуры газа при изобарическом процессе передачи теплоты, чем при изохорическом. Молярную изохорическую теплоемкость Су считать известной и равной

Cv = AQ/AT2.(*)

Решение. При изобарическом процессе молярная теплоемкость

Ср = AQ/A7" 1；

но, по уравнению Майера (5.16), Ср=Су+Я, поэтому

& + R) A& = AQ,

откуда

Повышение температуры при изохорическом нагревании из выражения (*) равно

”2 =營；

следовательно,

AQ Cy+RAQ Cy+R

AQ Cy+R

AQ Cy+R

Газ массы т нагревают в одном случае изобарически, в другом — изохорически на ДТ. Во сколько раз потребуется больше теплоты в первом случае, чем во втором? Имеет ли смысл задавать повышение температуры и массу газа?

Решение. Так как Ср=Мср и Cy=McVi то можно записать при изобарическом нагревании

Д Q1 = тср ДТ,

при изохорическом

AQ2 ~~ mcy NT 1

откуда

AQ2 Су Су，

—115

или, с учетом уравнения Майера (5.16),

AQi —С尸—Су+ R — 1 I R 闻=好=сy =

Таким образом, для любой массы газа при любой разности начальной и конечной температур АТ отношение теплот

AQi

AQ2 Ср есть величина постоянная.

При изотер мическом процессе (T=const) d7=0 и изменение внутренней энергии равно

dU = mcvdT = 0,

т. е. внутренняя энергия газа не изменяется (U=const). Согласно I началу термодинамики теплота dQ, передаваемая газу, полностью затрачивается на внешнюю работу:

dQ=dA или dQ=pdV.(5.17)

Расширению газа (dV>0) соответствует положительная внешняя работа системы. При постоянной температуре (и внутренней энергии) внешняя работа осуществляется за счет подводимой к газу теплоты.

При сжатии газа (dPvO) работа, совершаемая газом, отрицательна, т. е. сжатие осуществляется за счет положительной работы внешних сил над системой. Эта работа превращается в теплоту, но так как процесс протекает при постоянной температуре, то необходимо, чтобы теплота, полученная системой, отводилась.

§ 5、Адиабатический процесс

А диабатический 1} (адиабатный) процесс ——это такое изменение состояния газа, при котором он не отдает и не поглощает извне теплоты. Следовательно, адиабатический процесс характеризуется отсутствием теплообмена газа с окружающей средой.

Осуществить процесс, близкий к адиабатическому, можно в том случае, если газ находится внутри оболочки с очень хорошими теплоизоляционными свойствами. Адиабатическими можно считать быстро протекающие процессы. Кратковременность процесса приводит к тому, что газ почти не успевает обменяться теплотой с окружающей средой. Так, например, в звуковых волнах большие частоты колебаний частиц газа приводят к сжатиям и разрежениям, которые могут считаться адиабатными (см. § 11 гл. 2). Вследствие большой скорости взрыва горючей смеси при работе двигателя внутреннего сгорания можно считать, что этот процесс также происходит адиабатно.

Так как передачи теплоты при адиабатном процессе не происходит, то

dQ=O,

1)От греческого слова «адиабатос» — непереходимый.

-116 -

и уравнение I начала термодинамики принимает вид dU+dA=0, откуда

d%=—dU, или

pdV = —tncvdT,(5.18)

т. е. внешняя работа газа может производиться вследствие изменения его внутренней энергии.

Адиабатное расширение газа (dV>0) сопровождается положительной внешней работой, но при этом внутренняя энергия уменьшается (d「V0) и газ охлаждается. Сжатие газа (dbVO) соответствует отрицательной внешней работе и увеличению внутренней энергии. При этом dT>0, т. е. адиабатное сжатие газа сопровождается его нагреванием.

Охлаждение газа при адиабатном расширении используется в технике для получения низких температур. Работа холодильных установок основана также на адиабатном расширении пара или газа.

Нагревание газа при адиабатном сжатии наблюдается при работе дизельного двигателя, в цилиндре которого воздух так быстро сжимается, что он нагревается больше чем на 500℃. Распыленное топливо, подаваемое после этого в цилиндр, воспламеняется при контакте с раскаленным воздухом.

Предположим, что взят 1 моль газа, т. е. т=М. Тогда уравнение (5.18) запишется так:

pdV = —CvdT,(5.19)

где Cv=Mcv. Разделив это уравнение на уравнение состояния газа (4.Ю)

pV=RT, получим

dV_ —鱼 dT т=—页・Т，

откуда

^料州 0.(5.20)

По уравнению Майера, R=Cp—Cv，и множитель

R Ср—Су Ср [

舊 ~Су =育一L

Отношение теплоемкостей обозначим

中，(5-21)

тогда выражение (5.20) примет вид

Интегрируя это уравнение, получим

(Т—1)1п7+1пТ=С, где С ——постоянная. Преобразуя уравнение и потенцируя его, находим

(5.22)(5.22)(5.23)(5.23)1"宀 + 1117 = &7V”i = const.

(5.22)

(5.22)

(5.23)

(5.23)

Используя уравнение состояния

и умножая его на выражение (5.22), получим 亦丫 = const.

Это уравнение адиабатного процесса носит название уравнения Пуассона и аналогично уравнению изотермического процесса pV=const.

РР2，2，ffПоказатель степени при объеме в уравнении (5.23) 7>1, так как

Р

Р

2，

2，

f

f

Сравнивая адиабату / и изотерму 2, приведенные на рис. 5-2, находим, что адиабата проходит круче, чем изотерма, по отношению к оси V.

Действительно, если исходя из какого-то состояния газа (например, из состояния, соответствующего точке 01), начать его сжимать адиабатно, то температура начнет повышаться, но численные значения произведения "» будут больше, чем при изотермическом

сжатии; поэтому адиабатическое сжатие изобразится кривой 7, идущей кверху круче, чем ветвь изотермы 2, которая следует закону pW=const; если исходя из точки Oi, соответствующей некоторому выбранному состоянию газа, он начнет адиабатно расширяться, то его температура будет падать и адиабата пойдет вниз круче изотермы.

Точка 01 соответствует значению R=1 (в выбранном масштабе).

Реальные процессы не носят строго адиабатического или строго изотермического характера, так как невозможно осуществить ни полной термической изоляции, ни идеального обмена теплотой. Практически реальные процессы являются средними между адиабатическими и изотермическими. Частным случаем реальных процессов являются процессы политропические, для которых имеют место те же формулы, что и для адиабатических, но показатель степени ? имеет значение, промежуточное между Cp/Cv и единицей, и носит название показателя политропы.

Вычислим работу адиабатического расширения 1 моля газа при уменьшении его температуры от 7\ до Т2.

Используя уравнение (5.19), согласно которому dA = —Су d7\ имеем

т2 $ CvdT.

Считая Cv постоянной °, находим

A = CV^ dT^Cy^T. — T^.(5.24)

т2

Используя уравнение газового состояния и уравнение Пуассона, получим другие формулы работы расширения 1 моля газа:

А =(525)

4 =若［1一 (期*；(5.26)

4 =罟(5.27)

Здесь pi, 7i — начальные, а р2, V2 ——конечные значения соответственно давления и объема газа.

Для любой массы m газа значение работы, вычисленное по приведенным уравнениям, должно быть умножено на число молей, т. е. на mIM.

Пример.

Водород массы 4 г, занимая первоначальный объем Vx=0,l м3, расширяется до объема %=1 м3. Вычислить работу расширения: 1) при изотермическом процессе; 2) адиабатном; 3) изобарическом. Начальная температура газа 々=27℃.

Решение. 1. При изотермическом процессе работа расширения равна

где R=8,32 Д*/(моль・ К)・ Согласно условию задачи

т=4・10-Зкг； М=2 кг/кмоль= 0,002 кг/моль; 7\=27十273=300 К；岸=Ю.

Производим вычисления:

4. in- з

Л 奇 腹 8,32.3-102 In 10 Дж = 115-102 Дж=11,5 кДж.

Работу адиабатного расширения удобно вычислить по формуле (5.27) с учетом, что т^М:

1)Это условие справедливо при не слишком больших разностях температур.

—119 —

Для водорода показатель степени адиабаты 7= 1,40; остальные данные

А=зоок； 3=о,1・

Р 2

Делаем подстановку:

4ДЖ.

Вычисляя выражение, стоящее в квадратных скобках, при помощи логарифмирования, получим

А=^^.3・1О2：о,б Дж = 7,5 кДж.

В случае изобарического процесса работа расширения равна А=р(У2-У1).

Из уравнения состояния найдем для начальных условий давление tn RA

получим

4T管伍—％);

4=然胃 厶端吧(1-°'1)"^ = 450・102 дж = 45 кДж.

При данных условиях наибольшая работа расширения соответствует изобарическому процессу, наименьшая — адиабатному.

Степени свободы молекул. Распределение энергиипо степеням свободы

Молекулы можно рассматривать как системы материальных точек (атомов), совершающие как поступательное, так и вращательное и колебательное движения. При исследовании движения тела необходимо знать его положение относительно выбранной системы координат. Для этого вводится понятие о степенях свободы тела. Число независимых координат, которые полностью определяют положение тела в пространстве, называется числом степеней свободы тела.

При движении точки по прямой линии для оценки ее положения надо знать одну координату, т. е. точка имеет одну степень свободы. Если точка движется по плоскости, ее положение характеризуется двумя координатами; при этом точка обладает двумя степенями свободы.

Положение материальной точки в пространстве определяется тремя координатами.

Число степеней свободы молекул будем обозначать буквой /.

Молекулы, которые состоят из одного атома, считаются материальными точками и имеют число степеней свободы i=3. Такими являются молекулы аргона, гелия и др.

Двухатомные жесткие 1} молекулы, например молекулы водорода,

1)В жесткой молекуле взаимное расположение атомов неизменно.

-120 —

азота и др., обладают числом степеней свободы i=5: она имеет три степени свободы поступательного движения вдоль осей OX, OY, OZ и две степени свободы вращения вокруг осей ОХ и OZ (рис. 5-3, а). Вращением двухатомной молекулы вокруг оси OY можно пренебречь, так как момент инерции ее относительно этой оси пренебрежимо мал. Поэтому вклад энергии вращательного движения вокруг оси OY в суммарную энергию двухатомной молекулы можно не учитывать.

Молекулы, состоящие из трех и более жестко связанных атомов, не лежащих на одной прямой, имеют число степеней свободы i=6:

три степени свободы поступательного движения плюс три степени свободы вращения вокруг осей ОХ, ОУ, OZ (рис. 5-3, 6).

В том случае, если расстояние между атомами может изменяться (нежесткие молекулы), появляются дополнительные степени свободы.

Согласно молекулярно-кинетической теории движение молекул носит беспорядочный характер; эта беспорядочность относится ко всем видам движения молекул. Ни один из видов движения не имеет преимущества перед другим.

При статистическом равновесии движений энергия в среднем распределяется равномерно между всеми видами движений.

Закон равномерного распределения энергии по степеням сво

боды мо л екул можно сформулировать

так: статистически 6 среднем на каждую степень свободы молекул приходится одинаковая энергия.

Поступательное движение молекул характеризуется средней кинетической энергией, равной [см. (4.27а)]

而=(3/2)々7,

где k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура газа. Так как поступательному движению соответствуют три степени свободы, то в среднем на одну степень свободы движения каждой молекулы приходится энергия

(5.28)(5.28)①= 32) kT.

(5.28)

(5.28)

В однородном газе, молекулы которого имеют не 3, а любое число степеней свободы /, каждая молекула в среднем обладает энергией движения, равной

而= (〃2)^Т. (5.29)

В этом количественно проявляется закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул.

Пример.

Определить среднюю кинетическую энергию молекулы кислорода, находящегося при температуре 17℃. Во сколько раз она больше средней энергии молекулы гелия при той же температуре? Найти кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в 4 г кислорода.

Решение. У двухатомных молекул кислорода число степеней свободы iK=5. По условию задачи,力=273+17=290 К・ Согласно формуле (5.28) находим

豆О2 = (&/2) = (5/2)• 1,38• 10-23 (ДЖ/К).29ОК=Ю-20 Дж.

Молекулы гелия одноатомные, поэтому %=3. Следовательно,

т. е. энергия молекул кислорода в 1,67 раз больше энергии молекул гелия.

Вращательному движению двухатомной молекулы приписываются две степени свободы, поэтому энергия вращательного движения молекулы кислорода равна

加=2・(1/2)々兀(*)

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа определяется из равенства

W—nwlt(**)

где % — число всех молекул газа, равное произведению числа Авогадро Na на число молей газа v, т. е. n=Nру. Но число молей равно v=m/M (m ——масса газа, М —— молярная масса). Поэтому

n = NA т/М.

Подставив это выражение в равенство (**), получим

W = N А^［而工 или с учетом (*) W = NA^ kT.

Зная, что Na= 6,02-1023 моль-1, /п=4 г = 4-10~3 кг, Мо2 = 32 кг/кмоль= =0,032 кг/моль, находим

ю~3

W = 6,02.1023^2з 1,38.10-23.290 Дж ^ 302 Дж.

Внутренняя энергия идеального газа

В теории идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул считается равной нулю. Поэтому внутренняя энергия идеального газа определяется кинетической энергией движения всех его молекул.

Средняя энергия движения одной молекулы согласно формуле (5.29) равна

w = ^kT.

Так как в 1 моле газа содержится Na молекул (Na— число Авогадро), то внутренняя энергия 1 моля газа будет

Uq = wN а = у йТ Ма・

Учитывая, что постоянная Больцмана k=R/NAi получим

(5.30)(5.30)U。=共厂

(5.30)

(5.30)

Очевидно, для любой массы m газа, т. е. для любого числа молей т/М, внутренняя энергия

U = ^RT・(5.31)

Таким образом, внутренняя энергия U идеального газа выражается через число молей т/М, число степеней свободы молекул i и температуру Т газа. Из (5.31) также следует, что для данной массы газа при неизменном числе степеней свободы молекул внутренняя энергия его пропорциональна абсолютной температуре Т・

Внутреннюю энергию газа можно вычислять по формулам (5.30) и (5.31) только в случае жестких молекул, когда энергия всех молекул является кинетической.

В том случае, когда связи между атомами в молекулах нежесткие, эти соотношения неприменимы. В нежестких молекулах могут возникать колебательные движения под действием квазиупругих сил. При колебательных движениях происходит переход кинетической энергии в потенциальную и обратно. Поэтому в квазиупругих молекулах кинетическую энергию нельзя рассматривать отдельно от потенциальной. Учет колебательных движений может быть сделан условным введением дополнительных степеней свободы. В дальнейшем, как правило, будут подразумеваться жесткие молекулы.

Примеры.1. Внутренняя энергия азота при Какова масса азота?Решение. Из уравнения (5.31)Примеры.1. Внутренняя энергия азота при Какова масса азота?Решение. Из уравнения (5.31)температуре 7=300 К составляет 3 кДж. запишемтемпературе 7=300 К составляет 3 кДж. запишем

Примеры.

1. Внутренняя энергия азота при Какова масса азота?

Решение. Из уравнения (5.31)

Примеры.

1. Внутренняя энергия азота при Какова масса азота?

Решение. Из уравнения (5.31)

температуре 7=300 К составляет 3 кДж. запишем

температуре 7=300 К составляет 3 кДж. запишем

т =т =2U-M Trt2U-M Trt

т =

т =

2U-M Trt

2U-M Trt

Для азота М=0,028 кг/моль, i=5 (двухатомный газ); R=8,32 Дж/(моль・ К). Производим вычисление:

_ 2-3000-28-10-3 н ~5 • 8,32 • 300_ 2-3000-28-10-3 н ~5 • 8,32 • 300кг = 1,35-10~2 кг.кг = 1,35-10~2 кг.

_ 2-3000-28-10-3 н ~5 • 8,32 • 300

_ 2-3000-28-10-3 н ~5 • 8,32 • 300

кг = 1,35-10~2 кг.

кг = 1,35-10~2 кг.

Проверим размерность результата:

п КГ

[т]=[т]=[WT[WTДжмоль= кг.

[т]=

[т]=

[WT

[WT

моль-К

В баллоне емкостью 100 л при нормальных условиях находится гелий. Определить теплоту, необходимую для нагревания гелия на 100 К.

Решение. В данном случае объем гелия остается неизменным и поэтому согласно I началу термодинамики вся подводимая к газу теплота расходуется на изменение внутренней энергии, т. е. AQ=AU. По формуле (5.31) находим, что изменение

внутренней энергии газа равно

у

где АТ — приращение температуры.

Зная объем V газа и его температуру при нормальных условиях, из уравнения состояния pV= (m/M)RT определяем число молей:

m —pV

тогда

AU = ^^RAT, т. е. AQ=*^■△厂

Согласно условию р=1 атм=1,01-105 Па; V—100 л=0,1 м3; 7=273 К； i=3 (одноатомный газ); АТ=100 К- Производим вычисления:

1,(И・1О5.о 1.3.100

AQ =273^2Дж = 5,5 кДж.

Проверим размерность результата:

[Q] = [р] [V] = ~у • м3 = Н • м = Дж.

§ 8・ Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости газов

Молекулярно-кинетическая теория позволила при помощи закона равномерного распределения энергии по степеням свободы вычислить внутреннюю энергию идеального газа.

теория нагре-(5.32)теория нагре-(5.32)Дальнейшим развитием этих закономерностей является теплоемкости газов. Предположим, что 1 моль газа (т=М) вается изохорически. При этом удельная теплоемкость

теория нагре-

(5.32)

теория нагре-

(5.32)

dQ

а молярная изохорическая теплоемкость будет Су СуТИ.

Согласно I началу термодинамики при 7=const подводимая к газу теплота dQ расходуется на изменение внутренней энергии dU。, и соотношение (5.32) принимает вид

斤,

Внутренняя энергия 1 моля газа по формуле (5.30) равнаUq=^RT.

Считая число степеней i неизменным и взяв производную от U、 по Т, находим молярную теплоемкость при постоянном объеме:

Cy = ^R.(5.33)

Молярную теплоемкость при постоянном давлении определяем с помощью уравнения Майера:

C〃 = M + R=^R+R,

(5.34)(5.34)т. е.

(5.34)

(5.34)

Формулы (5.33) и (5.34) позволяют вычислить молярные теплоемкости Cv и Ср по числу степеней свободы, а также дают возможность определить показатель степени ? в уравнении адиабатного процесса (5.23).

По определению, ? равна отношению удельных (или молярных) теплоемкостей, поэтому

「' + 2

14-214-2откуда

14-2

14-2

(5.35)

Следовательно, показатель степени ? определяется числом степеней свободы молекул газа.

В соответствии с (5.35) для одноатомных молекул газа (/=3) имеем

Y = ~|~= 1,67;

для жестких двухатомных молекул "=5)

7

Y = g= 1,40;

для жестких трехатомных и многоатомных молекул (i=6) Y = =1,33.

Каковы же границы применимости рассмотренной классической теории теплоемкостей?

Сопоставим теоретические и экспериментальные данные по определению теплоемкости. Так как теплоемкости Ср и Cv связаны между собой уравнением Майера, то достаточно привести сравнение изохорических теплоемкостей.

Теоретически по формуле (5.33) имеем

Cv =^・8,32 Дж/(моль・К) = i・4,16 Дж/(моль・К),

откуда для одноатомных газов (，=3) получим

Су^ 12,5 Дж/(моль-К),

для двухатомных газов (i=5)

Су = 20,8 Дж/(моль • К),

для газов, у которых молекула содержит три и более атомов (i=6),Су = 25,0 Дж/(моль • К).

Согласно классической теории теплоемкость идеальных газов не зависит от температуры. Однако теплоемкость реальных газов зависит от температуры, поэтому ее определяют для каждого интервала температур отдельно. Приведем экспериментально полученные значения молярных изохорических теплоемкостей для некоторых газов и различных температур и сопоставим их с теоретическими.

Газ или пар

Число атомов в молекуле

Число степеней свободы

Значения С^, Дж/(моль-К)

теоретические

экспериментальные при температурах, ℃

0

100

200

500

1200

2000

Аргон

1

3

12,5

12,5

12,5

12,5

12,5

12,6

12,6

Водород Н2 ...

2

5

20,8

20,4

20,7

21,2

21,6

23,8

26,4

Пары воды Н2О

Углекислый газ

3

6

25,0

24,8

25,2

27,6

29,4

35,2

46,1

СО2

3

6

25,0

28,0

29,9

31,6

36,4

45,7

49,0

Анализируя данные таблицы, можно сделать следующие выводы.

Теплоемкость одноатомного газа аргона хорошо согласуется с теоретическим значением, причем совпадение достаточно точно во всех интервалах температуры от 0 до 2000℃. Теплоемкости других одноатомных газов — гелия, неона, аргона и криптона — также остаются неизменными и близкими к теоретическим значениям в широких пределах изменения температуры.

Расчетная теплоемкость для водорода Н2 близка к экспериментальной приблизительно до температуры 200℃. В ограниченном интервале температур, близких к нормальным условиям, теоретические "теплоемкости двухатомных газов (водорода, азота, кислорода, окиси углерода и др.) достаточно хорошо согласуются с экспериментальными. У некоторых двухатомных газов, например паров хлора С12, уже при нормальной температуре имеются расхождения между теоретическим и экспериментальным значениями теплоемкости.

Пары воды Н2О, как следует из таблицы, при температурах 0— 100℃ имеют опытную теплоемкость, хорошо совпадающую с расчетной, в то время как у углекислого газа СО2 (также трехатомного) уже при невысоких температурах обнаруживается значительное расхождение значений теоретической и экспериментальной теплоемкостей.

Таким образом, только у некоторых трехатомных и многоатомных газов при невысоких температурах теплоемкости, определенные опытным путем, сравнительно близки к расчетным. Большинство газов, состоящих из молекул с большим числом атомов, даже при обычных температурах имеют теплоемкости, значительно превышающие расчетные. Например, пары этилового спирта С2H50H имеют теплоемкость Су, примерно втрое большую теоретической.

Экспериментальные теплоемкости газов, у которых i=5 и i=6, возрастают с увеличением температуры и значительно уменьшаются при низких температурах.

На рис. 5-4 приведены примерные температурные зависимости изохорических теплоемкостей аргона (кривая /——i=3; Су=12,5),

Рис. 5-4Рис. 5-4Cv,A*l(bw/ib・K)Cv,A*l(bw/ib・K)Рис. 5-5Рис. 5-5

Рис. 5-4

Рис. 5-4

Cv,A*l(bw/ib・K)

Cv,A*l(bw/ib・K)

Рис. 5-5

Рис. 5-5

водорода (кривая 2——i=5; Ср=20,8), углекислого газа (кривая 3—£=6; 金=25,0)・ Пунктиром показаны их теоретические теплоемкости. Толь- ко у аргона теоретические и экспериментальные значения теплоемкости хорошо совпадают по всему интервалу температур. Теплоемкость водорода с повышением температуры увеличивается приблизительно по линейному закону. Теплоемкость углекислого газа сразу резко возрастает и уже при 0℃ ее значение превышает расчетную величину.

Характерно значительное изменение теплоемкостей в области отрицательных температур. Так, например, с понижением температуры теплоемкость водорода падает и при температуре около 40 К (около —230℃) приближается к теплоемкости одноатомного газа, а при температуре 320 К близка к теплоемкости двухатомного газа. На рис. 5-5 приведена температурная зависимость изохорической теплоемкости водорода в области низких температур.

Выводы классической теории теплоемкостей применимы в ограниченном интервале температур и для газов, состоящих из несложных молекул.

Возрастание теплоемкостей двухатомных и многоатомных газов с повышением температуры объясняется заметным воздействием коле-

бательного движения атомов внутри сложных молекул на изменение их энергии.

Рассмотрим это положение на примере двухатомной молекулы. «Жесткая» двухатомная молекула имеет три степени свободы поступательного движения и две — вращательного. Так как на одну степень свободы приходится энергия, равная Q0kT、то на пять степеней свободы приходится ^l^kT. Если же атомы двухатомной молекулы совершают колебания вдоль прямой, соединяющей центры атомов, то энергия такой молекулы будет еще больше.

В процессе колебаний атомов происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот, т. е. колеблющийся атом обладает потенциальной и кинетической энергиями.

Так как молекул много, то можно считать, что энергия колебательного движения атомов распределяется поровну, т. е. в любой момент времени х/2 общей энергии колебаний атомов в молекулах составляет кинетическую и % — потенциальную.

Другой причиной, вызывающей рост теплоемкости многоатомных газов с увеличением температуры, является диссоциация молекул. При увеличении температуры газа происходит частичный распад сложных молекул на более простые. Этот процесс называется термической диссоциацией. Затрата энергии на диссоциацию приводит к увеличению теплоемкости газов.

При понижении температуры колебательные движения внутри сложных молекул уменьшаются, энергия этого движения падает и теплоемкость газа уменьшается. При дальнейшем переходе в область более низких температур начинают как бы «отмирать» вращательные степени свободы молекул. Газ начинает проявлять свойства одноатомного газа. Теплоемкость многоатомных газов при очень низких температурах приближается к теплоемкости газа с числом степеней свободы i=3.

Наиболее точная теория теплоемкостей, свободная от ограничений классической, основана на квантовой механике.

По квантовой теории, энергия колебаний изменяется только на величины, кратные элементарной порции hv. Величина

E = /rv

называется квантом энергии при частоте колебаний v (/i=6,62x 义10一34 Дж-с — постоянная Планка).

В двухатомных молекулах частота их колебаний составляет v== = 1013 с-1, что соответствует кванту энергии

8^7-10~21 Дж.

Эта порция (или квант) энергии больше средней энергии, приходящейся на одну степень свободы молекул при обычных температурах. Так, при Т=300 К имеем ®=(i/2)^T^2・ IO-21 Дж. Поэтому изменения энергии колебаний при невысоких температурах не наблюдаются.

При высоких температурах средняя энергия w настолько возрастает, что она становится соизмеримой с энергией колебательного

движения. Поэтому при высоких температурах на теплоемкость влияет уже и колебательное движение молекул.

При понижении температуры влияние колебательного движения на теплоемкость исчезает. Дальнейшее сильное уменьшение температуры приводит к тому, что энергия w становится меньше, чем квант энергии, соответствующей вращательному движению. При этом энергия вращения не изменяется с температурой, и теплоемкость приближается к теплоемкости одноатомного газа (i=3), что соответствует только поступательному движению.

Результаты квантовой теории теплоемкости соответствуют экспериментальным данным в значительно большей степени, чем выводы классической теории.

Пример.

Найти молярную и удельную теплоемкости аргона при постоянном объеме и постоянном давлении.

Решение. В соответствии с классической теорией молярные изохорическая и изобарическая теплоемкости выражаются формулами (5.33) и (5.34), поэтому для одноатомного газа аргона (i=3) получим:

Cj = iR/2 = 3R/2 = 1,5・8,32 Дж/(моль• К) = 12,5 Дж/(моль- К)；

0尸=« + 2) R/2 = 5R/2 = 2,5• 8,32 Дж/(моль• К) = 20,8 Дж/(моль-К).

Удельные теплоемкости соответственно равны:

^-^=40^3 Дж/(к「・К) =313 Дж/(кг.К)；

Ср = }=諮先 Дж/(к「• К) = 520 Дж/(кг-К),

де М=40・ 10-з кг/Моль — молярная масса аргона.

Обратимые и необратимые процессы. Круговой процесс

Тепловые процессы могут быть естественные и искусственные. Течение естественного процесса происходит самопроизвольно. Таковы, например, процесс передачи теплоты от горячего тела к холодному, преобразование при трении работы в теплоту и др.

Искусственные процессы никогда не протекают самопроизвольно. При осуществлении таких процессов необходима компенсация; искусственные процессы всегда сопровождаются процессами естественными. Искусственными являются процессы переноса теплоты от холодного тела к теплому, сжатие газа и др.

Протекание естественных процессов приводит к тому, что нельзя полностью восстановить тем же путем первоначальное состояние. Так, если в результате трения возникла теплота, то за счет этой теплоты нельзя восстановить то движение тела, при котором она возникла. Характерная особенность естественных процессов заключается в том, что они протекают в направлении к состоянию равновесия.

Равновесным состоянием системы называется такое состояние, при котором параметры системы имеют определенные значения, остающиеся без изменения сколь угодно долго.

Положим, что состояние ^ на рис. 5-6 соответствует равновесному состоянию системы с параметрами р2, V2, Т2, а система переходит из состояния М (параметры рп Vx, 7\) в состояние ^ (естественный процесс). Таково, например, выравнивание давления в массе газа, в механике — понижение центра тяжести тела.

Система сама без внешних воздействий не может выйти из состояния равновесия. 厂 Процесс NM изменения состояния соответствует искусственному процессу, который может быть осуществлен только при наличии компенсирующего процесса.

Процесс MN называют прямым, а процесс NM —обратны м. Совершение обоих процессов, прямого и обратного, заставляет систему вернуться в начальное состояние М. Однако после завершения процесса в окружающей среде остаются изменения.

В том случае, когда после завершения прямого и обратного процессов система вернулась в первоначальное состояние и в окружающей среде остались изменения, процесс является необратимым. Необратимость процесса характеризуется невозможностью его обратного протекания через промежуточные состояния в прямом направлении. Все действительные процессы необратимы, так как они сопровождаются такими необратимыми процессами, как теплопроводность, лучеиспускание, трение и др.

Обратимым является такой процесс, после завершения которого и возвращения системы в начальное состояние в окружающей среде не осталось никаких изменений. При обратимом процессе, протекающем в прямом и обратном направлениях, система проходит через одни и те же промежуточные состояния. Обратимый процесс можно было бы осуществить в том случае, если прямое и обратное направления его протекания были бы равновозможны и равноценны.

В реальных условиях обратимые процессы неосуществимы. Однако на практике можно с известным приближением некоторые процессы считать обратимыми.

Очень медленно (в идеальном случае бесконечно медленно) протекающий процесс является обратимым. Бесконечно медленно протекающий процесс называется равновесным процессом. Он складывается из непрерывного ряда равновесных состояний.

Переход системы из одного равновесного состояния в соседнее происходит за конечный промежуток времени.

Круговым процессом,плп циклом,называется такой процесс, при котором термодинамическое тело (система), выйдя из исходного состояния, проходит ряд промежуточных и

снова возвращается в исходное состояние.рИс 5-7

Тепловые машины (двигатели внутреннего сгорания, паровые машины, холодильные и др.) работают циклически.

Рассмотрим круговой процесс, который совершает идеальный газ некоторой массы.

Допустим, что циклический процесс происходит в направлении MANBM (рис. 5-7). При завершении цикла и возвращении газа в состояние М параметры принимают свое первоначальное значение. Так как внутренняя энергия газа является функцией параметров состояния, то при круговом процессе изменение внутренней энергии равно нулю, т. е.

AU = Um-Um = G・

Из I закона термодинамики вытекает, что в этом случае

Q=4,

т. е. суммарная теплота Q, сообщаемая газу во время кругового процесса, расходуется на внешнюю работу А газа.

При расширении газа по кривой MAN совершается положитель* ная работа Дх. Графически ей соответствует площадь фигуры CMAND.

При сжатии по кривой NBM внешняя работа газа отрицательна (т. е. над газом совершается работа внешних сил). Этой работе 4& соответствует площадь фигуры CMBND.

В нашем случае расширение проходило при более высоких давлениях, чем сжатие, т. е. работа ЛХ>Л 2 (площадь С7ИД А^£)>площади СМ В ND). Поэтому суммарная работа положительна и равна

4—4 2・

Этой работе газа соответствует площадь заштрихованной фигуры MANBM.

В рассмотренном случае газ является рабочим телом, т. е. телом, осуществляющим цикл и обмен энергией с другими телами. Если при этом цикл совершается в направлении часовой стрелки, то он называется прямым. Во время прямого цикла газ производит работу Л>0 за счет переданной ему теплоты Q>0.

Прямой цикл соответствует работе теплового двигателя.

При обратном цикле (направление против часовой стрелки) рабочее тело совершает отрицательную работу (AvO) и при этом от него отводится эквивалентная ей теплота Qv6.

Обратный цикл соответствует действию холодильной машины. При этом внешние силы производят работу над рабочим телом и от него отбирается тепло.

Цикл Карно

Анализируя работу тепловых двигателей, французский инженер Карно в 1824 г. пришел к выводу, что наивыгоднейшим круговым процессом является обратимый- круговой процесс, состоящий из двух изотермических и двух адиабатических процессов, так как он харак- 5*— 131 —

теризуется наибольшим коэффициентом полезного действия. Такой цикл получил название цикла Карно.

Во время цикла Карно процесс протекает в идеальной тепловой машине ——такой машине, которая действует без трения, лучеиспускания и т. п., т. е. без необратимых потерь.

В прямом цикле Карно рабочее тело изотермически, а затем адиабат но расширяется, после чего снова изотермически (при более низкой температуре) и потом адиабатно сжимается. Цикл Карно ограничен

ppоодвумя изотермами И и двумя адиабатами 4 (рис. 5-8).

p

p

о

о

Пусть рабочим телом, совершающим цикл, будет 1 моль идеального газа (т=М). Начальному состоянию газа соответствуют параметры 〃，匕, Т (точка /).

Цикл складывается из четырех процессов.

Рабочее тело приводим в контакт с нагревателем — источником тепла постоянной температуры Т. При изо- 7" термическом расширении (на участке /——2) от нагревателя отбирается тепло Q. Вследствие этого температура газа поддерживается неизменной.

Отсоединяем нагреватель от рабочего тела (точка 2; состояние р2, V2, Т) и при тепловой изоляции даем газу адиабатно расширяться (участок 2——3). Внутренняя энергия газа уменьшается и его температура падает до 北.

Приводим газ в контакт с холодильником, имеющим постоянную температуру 兀，причем TqVT. Параметры газа при этом р3, V3, То (точка 3). После этого газ сжимаем изотермически (участок 3——4) и выделяющееся при этом тепло отбирается холодильником.

Рабочее тело отсоединяем от холодильника (точка 4; параметры 「4，U&, Г。) и в условиях тепловой изоляции газ адиабатно сжимается (участок 4——1) до исходного состояния, соответствующего точке 1.

Таким образом, завершен цикл /—2—3—4—/ и в итоге нагреватель отдал газу теплоту Q, а холодильник отобрал теплоту Qo- Разность (Q——Qo) определяет полезную работу газа за один цикл, т. е. 4 = Q——Qo, а работа на адиабатных участках взаимно компенсируется.

Теплота Q равна работе изотермического (T=const) расширения 1 моля газа от объема 7Х до объема У2 (на участке /——2):

Q = RTln 齐

При изотермическом (То=const) сжатии газа на участке 3——4 от объема V3 до 卜4 затрачивается работа, которая переходит в эквивалентное количество теплоты:

Q产RTqE忆

—132 -

Отношение полезной работы 4 газа, совершенной за один цикл, к затраченной энергии нагревателя определяет коэффициент полезного действия тепловой машины:

「宁.(5.36)

Используя формулы для Q н Qo, получим

Точки 2 и 3 лежат на адиабате 2—3, поэтому согласно формуле (5.22) запишем

ту^ = туг^.

Аналогично для точек / и 4 имеем

7УГ1 = Ту?т.

Решая совместно последние два равенства, находим

吟一匕.

Используя это соотношение, из выражения (*) получаем

L中，(5.37)

т. е. к. п. д. цикла Карно идеальной тепловой машины численно равен отношению разности температур нагревателя Т и холодильника То к абсолютной температуре нагревателя.

Формула (5.37) была получена для цикла, в котором рабочим телом служит идеальный газ.

В термодинамике доказывается, что к. п. д. цикла Карно не зависит от состава рабочего тела и определяется формулой (5.37), т. е. к. п. д. любой тепловой машины, работающей по циклу Карно, определяется предельными температурами Т и То, между которыми действует машина.

Из формулы (5.37) вытекает, что п=1 только в том случае, когда температура холодильника То=О. Так как То всегда больше нуля, то даже в идеальной машине всегда

П<1・

Реальные машины, работе которых сопутствуют необратимые потери энергии, имеют к. п. д. ^ еще меньше, чем к. п. д.刀 машины, работающей по циклу Карно. Поэтому для всякого цикла, в котором участвуют необратимые процессы, можно записать

(5.38)(5.38)Q - Qo //-70

(5.38)

(5.38)

Помимо прямого цикла Карно (см. рис. 5-8), можно осуществить обратный цикл, протекающий в направлении /——4——3——2——1 (против часовой стрелки). Обратный цикл имеет следующие стадии:

Адиабатное расширение 7—4 с понижением температуры от Т до TV

Изотермическое расширение 4—3 с отбором теплоты Qo от холодильника.

Адиабатное сжатие 3—2 с возрастанием температуры от То До Т・

Изотермическое сжатие 2—/, сопровождаемое отводом теплоты Q.

В обратном цикле работа газа отрицательна (Д<0), т. е. над газом совершается работа Аг внешними силами (4'=——Д). За счет этой работы энергия в форме теплоты переносится от холодного тела к горячему. Подобные циклы имеют место в холодильных машинах.

Цикл Карно обладает рядом других важных свойств, которые имеют фундаментальное значение для теории теплового двигателя. Работы Карно легли в основу термодинамики тепловых двигателей и сыграли исключительную роль в развитии техники вообще.

§ 77・ Абсолютная шкала температур

Экспериментальное определение температуры основывается на том, что с изменением температуры характеристики и свойства тел (например, объем, давление, электрические свойства) изменяются. Для измерения температуры исследуют и устанавливают зависимость, например, объема выбранного тела от температуры. Это выбранное пробное тело приводят в контакт с исследуемым телом. При установлении теплового равновесия по объему пробного тела оценивают темпер атуру исследуемого тела.

Такой способ измерения температуры зависит от свойства тела, которое выбрано в качестве пробного. Так, если используется изменение объема тела с температурой, то величина одного градуса выбранной шкалы будет зависеть от того, взято ли в качестве пробного (термометр ического) тела жидкое (например, ртуть) или газообразное (например, водород). Хотя расхождения при этом небольшие, нельзя устранить зависимость шкалы от выбора термометрического тела и закономерность изменения данной величины с температурой.

Остановимся на термодинамическом определении шкалы темпе- )атур. Для сравнения температур двух тел используем машину, Работающую по обратимому циклу Карно. К・ п. д. этого цикла равен см. формулы (5.36), (5.37)]

Q — Qoт—то

刀или "=-7^-

Приравнивая правые части этих равенств, получаем

Q —Qo — 7 —Т。

или

一专=1 一笫

откуда

今=肾.(5.39)

Следовательно, отношение теплоты Qo, отдаваемой при цикле Карно холодильнику, к теплоте Q, полученной от нагревателя, равно отношению соответствующих абсолютных температур То/Т・ Это отношение справедливо для рабочих тел любой физической и химической природы, поэтому оно позволяет построить термодинамическую абсолютную шкалу температур, которая не зависит от свойств термометрического тела и особенностей работы термометра.

По решению X Генеральной конференции по мерам и весам, в качестве единственной реперной точки для абсолютной термодинамической температурной шкалы взята тройная точка воды. Это температура, при которой все три фазы воды (твердая, жидкая и газообразная) находятся в равновесии. Этой точке присвоена температура +273,16° (точно).

За единицу температуры в этой шкале берется градус.

Возможность использования цикла Карно для построения абсолютной шкалы температур впервые отметил В. Томсон (лорд Кельвин), именем которого она называется.

Пусть любое рабочее вещество совершает обратимый цикл Карно, а температуры нагревателя и холодильника соответственно равны Т и То. Эти температуры выберем таким образом, чтобы они совпадали соответственно с температурой кипения воды и температурой таяния льда.

Из равенства (*) находим, что

Т= + ・"，а=

Разность температур АТ положена равной 100 единицам (выбирается такой же т-емпературный интервал, как и по шкале Цельсия).

Определив из опыта (например, калориметрическим способом) количества теплоты Q и Qo, можно подсчитать искомые температуры Т и Т(). Если выполнить указанный эксперимент, то для рассматриваемых температур получим значения:

Т=3,73・АТ=373, То=2,73・АТ=273.

Коэффициент полезного действия теплового двигателя, работающего по циклу Карно, не зависит от рода рабочего тела и поэтому результат данного эксперимента совершенно не зависит от того, какое вещество было использовано в эксперименте.

Так как То=273, то нуль абсолютной шкалы сдвинут вниз относительно температуры плавления льда на 273° (точнее, 273,15° п).

и Точка таяния льда на 0,01° лежит ниже тройной точки.

—135 —

В СИ в качестве одной из основных единиц взята единица температуры—кельвин. Приводим определение этой единицы согласно проекту D ГОСТа:«кельвин ——единица термодинамической температуры — 1/273,16 часть термодинамической температуры тройной точки воды».

Температура, равная О К (—273,15℃), называется абсолютным нулем.

В настоящее время в лабораторных условиях удалось достичь температуры, которая только на 0,0044 выше абсолютного нуля. В термодинамике доказывается, что никаким способом нельзя отнять у тела всю его тепловую энергию, т. е. охладить его до абсолютного нуля (принцип Нернста).

При абсолютном нуле все вещества, за исключением гелия, находятся в твердом кристаллическом состоянии.

§ /2. Энтропия

Коэффициент полезного действия машины, работающей по обратимому циклу Карно, равен

1 Тоn = -1 —不.

За счет полученной от нагревателя теплоты Q может быть произведена механическая работа 4 = Q——Qo- Согласно определению к. п. д. равен [см. (5.36)1 n=4/Q, откуда

A = Q-^(5.40)

или

A = Qf*(5.41)

где Т — температура тела, от которого берется теплота (нагреватель), —температура тела, которому передается теплота (холодильник). Уравнение (5.41) справедливо не только по отношению к тепловым машинам. При всяком превращении тепловой энергии максимально возможная работа определяется этим уравнением.

Теплота

Q° = T孑(5.42)

отбирается холодильником и не может быть превращена в работу.

Отношение Q/T характеризует ту часть энергии, которую нельзя превратить в работу в данной системе. Это отношение является мерой рассеяния энергии и выражает величину, называемую энтропией. Рассмотрим подробнее введение этой величины в термодинамику.

Согласно формулам (5.36) и (5.37), выражающим к. п. д. обрати-

1)Имеется в виду проект ГОСТа «Единицы физических величин», выпущенный в 1972 г. Государственным комитетом стандартов Совета Министров СССР (прим, редакции).

мого цикла Карно, можно записать

Q - Qo — 7—T 0

Преобразуем это равенство:

Qo—1 「о . Qo—「о .

Q _ Qo.

A 第=0.(5.43)

Величина, равная отношению теплоты, полученной телом при изотермическом процессе, к температуре, при которой происходит теплопередача, называется приведенной теплотой.

В равенстве (5.43) величина Q означает теплоту, переданную рабочему веществу нагревателем, Qo ——теплоту, отданную рабочим веществом холодильнику. Будем считать, что холодильник, как и нагреватель, тоже передает теплоту рабочему веществу, но при этом QoVO. Тогда будем иметь

享 + 学=0,(5.44)

т. е. алгебраическая сумма приведенных теплот для обратимого цикла Карно равна нулю.

Если весь цикл разбить на бесконечно малые процессы и в течение одного элементарного процесса считать, что передача системе теплоты происходит при постоянной температуре Т источника теплоты (или тела), то для каждого элементарного процесса

а в пределе для любого обратимого цикла

0 瞿= 01)(5.44а)

(кружок на знаке интеграла показывает, что интегрирование проводится по замкнутому контуру).

Можно показать, что если тело переходит обратимым путем из состояния А в состояние В, то интеграл

выражающий сумму приведенных теплот для обратимого процесса, не зависит от пути следования процесса, а определяется только на-

1)Смысл обозначения 6Q (вместо dQ) заключается в том, что это выражение не является полным дифференциалом.

-137 —

чальным и конечным состояниями тела. Отсюда следует, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции S, хар актер из ующей состояние тела, т. е.

dS = *(5.45)

Введенная термодинамическая функция S называется энтропией. Интегрируя это выражение, получим

в

^ = Sb-Sa = \S9(5.46)

где SA и SB ——значения энтропии, соответствующие начальному 4 и конечному В состояниям тела, AS — изменение энтропии в течение обратимого процесса.

Каждому состоянию тела соответствует одно определенное значение энтропии. Поэтому энтропия является однозначной функцией состояния.

Изменение энтропии S2—Si как для обратимых процессов, так и для необратимых не зависит от пути перехода и определяется начальным и конечным состояниями тела. Из этого следует, что при круговом процессе изменение энтропии равно нулю, так как начальное и конечное состояния одинаковы, т. е.

Si=Sz, или

S2—Si=0・(5.47)

Для необратимого процесса согласно формуле (5.38) к. п. д. удовлетворяет неравенству

_Q — Qo / 7-Tq" -—-T- ,

Делая аналогичные преобразования, как и для обратимого процесса, получим

7 十 То <

Объединяя это неравенство с выражением (5.44), запишем

筆 + 第 W0,(5.48)

т. е. сумма приведенных теплот для любого цикла не может быть больше нуля.

Полученное неравенство носит название неравенства Клаузиуса и справедливо для всех элементарных процессов, на которые можно разбить любой (обратимый и необратимый) цикл. Обобщая неравенство на любой круговой процесс, будем иметь

Интегрирование для всего замкнутого процесса даст

6學 &0・(5.49)

Так как при круговом обратимом процессе в замкнутой системе изменение энтропии AS=0 [см. (5.47)], то энтропия системы не меняется, т. е.

S=const.

При необратимом процессе, протекающем в замкнутой системе, теплота в нее не поступает и из нее не уходит, т. е. 6Q=0, поэтому

в

0<CAS=Sb—S力，т. e. Sb^>S力.(5.50)

Это означает, что при необратимом процессе в изолированной (замкнутой) системе энтропия возрастает.

Распространяя эти выводы на произвольный процесс, происходящий в изолированной системе, можно заключить, что

AS》0,(5.51)

т. е. энтропия изолированной системы при любых происходящих в ней процессах не может убывать,

Второй закон термодинамики

Изменение энтропии изолированной системы согласно неравенству (5.51) будет

S2—Si》0,(5.52)

а для элементарного процесса

dS》0,(5.53)

т. е. при обратимых процессах в изолированной системе энтропия не изменяется (S2—Si=0), а при необратимых она возрастает (S2—Sx>0).

Все реальные процессы (тепловые, механические и др.), протекающие в замкнутой системе, необратимы, вследствие чего энтропия системы возрастает. Возрастание энтропии определяет направление процессов, протекающих в системе, и указывает на то, что происходит рассеивание энергии.

Второе начало (закон) термодинамики определяет направление процессов: естественные процессы протекают 6 сторону увеличения энтропии.

Наиболее общее выражение второго начала термодинамики таково: 6 изолированной системе при всех реальных процессах энтропия возрастает или невозможен процесс, единственным результатом которого является превращение в работу теплоты, взятой от нагревателя.

-139 —

Естественные процессы направлены к состоянию равновесия. А так как при этом энтропия возрастает, то устойчивому равновесию изолированной системы соответствует максимальное значение энтропии.

Объединяя первый закон термодинамики, выражаемый формулой (5.П)

dQ=dU+dA, и второй закон, согласно которому dQWTdS, получим

dU+dA^TdS.(5.54)

Произведение постоянной для данного процесса температуры Т на возрастание энтропии dS в течение процесса, т. е. выражение TdS, определяет рассеяние энергии и носит название связанной энергии. Разность

F=dU—TdS

называется свободной энергией системы.

Таким образом, внутренняя энергия системы состоит из двух слагаемых: свободной энергии, которая может превращаться в другие виды энергии в процессе работы без компенсации, и связанной энергии, которая может превращаться в другие виды энергии только ценой компенсации, а эта компенсация всегда приводит к возрастанию энтропии системы.

Для наглядности поясним это положение на примере. Раскаленный металлический стержень обладает внутренней энергией U, но эта энергия механически обнаруживается лишь при совершении работы в результате расширения тела; часть внутренней энергии, не обнаруживаемой механически, остается скрытой. Обозначим ее через а. Тогда свободная энергия F будет равна

F=U—a

и равна работе расширения стержня.

В соответствии со вторым законом термодинамики энтропия определяется через приращение

dS=^,(5.55)

т. е. с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Отсюда следует, что можно вычислить лишь AS=S—So, т. е. изменение энтропии в течение процесса. Третий закон термодинамики, установленный Нернстом, утверждает: энтропия любой системы стремится к нулю при Т->0 и определенным образом фиксированных условиях (например, при постоянном р или V).

Отсюда вытекает ряд важных физических следствий: при Т->О обращаются в нуль вместе с энтропией теплоемкость, коэффициент теплового расширения, термический коэффициент давления.

—140 —

Второй закон термодинамики не является таким же всеобъемлющим и универсальным законом, как первый. Первый закон термодинамики ——это фактически закон сохранения энергии, примененный к тепловым процессам, и поэтому может быть применен ко всем системам и процессам без исключения. Второй закон может быть применен только к изолированным системам конечных размеров.

Если предположить, что принцип возрастания энтропии является универсальным физическим законом, не знающим никаких ограничений, то можно прийти к выводу, что энтропия Вселенной стремится к максимуму. На этом выводе основана так называемая теория тепловой смерти мира. Действительно, если во всех частях Вселенной любые процессы сопровождаются тем, что некоторое количество энергии других видов оказывается преобразованным в теплоту, а теплота передается от горячих тел к холодным, то в природе непрерывно происходит превращение других видов энергии в теплоту и постепенное выравнивание температуры различных тел, т. е. развитие природы ведет к прекращению развития: все виды энергии превращаются в теплоту и в ней находят свою смерть.

Все эти положения привели к развитию различных физических теорий, проникнутых самым реакционным идеализмом (вплоть до обоснования начала и конца света). С такой трактовкой второго закона термодинамики согласиться никоим образом нельзя.

Представление о Вселенной, которая в целом подчинена закону возрастания энтропии и во всех частях и во все времена развивается в одном и том же направлении, глубоко неверно.

Ф. Энгельс со всей очевидностью показал, что второй закон термодинамики нельзя понимать как универсальный принцип, так как в этом случае он противоречит закону сохранения и превращения энергии. Действительно, второй закон, не требуя изменения энергии в количественном отношении, утверждает качественное вырождение энергии, потерю ее основного свойства — способности к превращениям.

Закон возрастания энтропии должен пониматься как частная закономерность, справедливая при определенных физических условиях. С философской точки зрения второй закон термодинамики не может считаться решением вопроса о законах развития мира.

Глава 6

АГРЕГАТНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

Реальные газы

Газовые законы Бойля —Мариотта, Гей-Люссака и следствия из них хорошо соответствуют газам, близким по свойствам к идеальному.

Понятие об идеальном газе является практически удобной абстракцией. Такое понятие дало возможность построить молекулярнокинетическую теорию, рассмотреть вопросы о вычислении теплоемкостей, явления переноса и др. В определенных границах выводы этой теории хорошо подтверждаются экспериментами. Идеальный газ с

молекулярной точки зрения представляет собой множество молекул, хаотически движущихся и не связанных между собой. При этом предполагалось, что собственный объем молекул относительно мал и его можно не учитывать, а молекулы считать материальными точками, и что силы молекулярного взаимодействия отсутствуют.

Разреженные реальные газы (при невысоких давлениях и температурах) хорошо приближаются по свойствам к идеальному газу, так как принятые предположения достаточно точно соблюдаются.

При больших давлениях возникает значительное сжатие газа и объем самих молекул становится сравнимым с объемом газа. Например, ориентировочный подсчет собственного объема молекул воздуха при давлении 100 атм (〜ICPFIa) показывает, что приблизительно 50% объема газа занято объемом самих 尸 молекул и уже нельзя пренебрегать объемом молекул. Кроме того, сжатие газа и сближение при этом молекул приводит к заметному проявлению сил взаимодействия молекул. Характер изменения сил взаимодействия 尸 молекул с изменением

расстояния г между их центрами показан на рис. 6-1 (/ — силы отталкивания, 2 — силы притяжения).

Как видно, силы отталкивания, которые считают положительными, проявляются на меньших расстояниях, чем силы притяжения (их считают отрицательными), и изменение этих сил с расстоянием более резкое, чем изменение сил притяжения. Когда при сближении молекул расстояние между ними станет равным 04, дальнейшее небольшое сближение приведет к такому резкому возрастанию сил отталкивания, которое будет подобно упругому соударению. Силы отталкивания поэтому можно считать действующими кратковременно в течение соударений. Силы притяжения возникают на расстояниях, больших О А. При этом на больших расстояниях они незначительны и изменяются медленно в зависимости от г.

С увеличением плотности газа при обычных давлениях уменьшение межмолекулярных расстояний г вызывает появление значительных сил притяжения.

При исследованиях свойств реальных газов, особенно при высоких давлениях и больших плотностях, были обнаружены заметные отклонения от газовых законов.

Уравнение Ван-дер-Ваальса и его анализ

Эмпирические газовые законы, которые объединяются уравнением состояния, справедливы для идеальных газов. Для реальных газов в уравнение состояния необходимо ввести поправки, учитывающие объем и силы взаимодействия молекул.

Эти поправки были внесены голландским физиком Ван-дер-Ваальсом (1873 г.).

Уравнение состояния для 1 моля идеального газа имеет вид pV=RT,

где р, U, Т — параметры состояния.

Согласно этой формуле объем V газа при сжатии его может стать равным нулю. В случае реальных газов часть объема V занята самими молекулами. Поэтому объем, занимаемый газом, должен быть уменьшен на величину Ь, пропорциональную собственному объему молекул, т. е. в уравнение состояния надо поставить величину, равную

”一 b).

Теоретические расчеты показывают, что величина b в четыре раза превосходит собственный объем молекул.

В реальных газах имеются силы взаимного притяжения молекул, которые действуют дополнительно к силам внешнего давления и как бы сжимают газ. Вследствие этого возникает добавочное внутреннее давление р». Поэтому давление в уравнении состояния заменяется величиной

(Р+Р^

Можно установить, что внутреннее давление 卩力 изменяется пропорционально квадрату концентрации молекул или обратно пропорционально квадрату объема газа, т. е.

Pi= рг，

где а — постоянная, зависящая от природы газа.

Введя в уравнение состояния указанные поправки на объем и давление, получим уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа

в котором а и b — константы, определяемые экспериментальным путем, R — универсальная газовая постоянная.

Величины ап b для различных газов различны и их значения приводятся в справочных таблицах.

В СИ давление выражается в Па, единицей объема в данном уравнении будет мз/моль, поэтому константа а измеряется в Дж-м3/моль2, а константа b — в м3/моль. Иногда константу а выражают во внесистемных единицах — ат*л2/моль2, а константу b — в л/моль.

Для любой массы 加 газа уравнение Ван-дер-Ваальса запишется в виде

{p+^2^(y-^) = vRT.(6.2)

где v=m/M — число молей.

При решении уравнения Ван-дер-Ваальса нетрудно убедиться, что оно будет кубическим уравнением относительно объема У. Поэтому для данных значений давления р и температуры Т оно имеет три корня. Два из этих корней могут быть комплексными. Учитывая, что объем V — вещественная величина, заданным р и Т соответствуют или три значения объема, или одно.

Исследование уравнения (6.1) удобно произвести, рассматривая изотермы Ван-дер-Ваальса. Для этого при данной температуре 7= =const строят графическую зависимость p=f(V). Задавая различные температуры 7\, Т2, Тз, Л，Л，причем

71>Т2>Тз>Л>7,5,

получают семейство теоретических изотерм Ван-дер-Ваальса (рис. 6-2, соответственно изотермы /, 2, 3, 4, 5).

Исследуя графики p=/(Y) на рис. 6-2, сделаем три вывода.

При высоких температурах (например, 7\, которой соответствует изотерма /) изобара AD (и всякая другая) пересекает изотерму в одной точке. Уравнение Ван-дер- Ваальса имеет один вещественный

корень, т. е. каждому значению р и Т соответствует единственное значение объема. Из этого следует, что при высоких температурах вещество находится в однофазном —газообразном состоянии.

Невысоким температурам соответствуют изотермы 2, 3, 4, на которых имеются изгибы.

Изобара AD пересекает изотерму 4 в трех точках Л, В, С. В уравнении Ван-дер-Ваальса это соответствует трем вещественным значениям объема при данных р и Т. Это означает, что вещество однов

ременно находится в трех фазовых состояниях.

Переход от изотермы 5 к изотермам 4, 3 и т. &, соответствующий повышению температуры, приводит к тому, что изгибы на изотермах сглаживаются. Расстояния, например, между точками Л и С уменьшаются и уже на изотерме 2 сливаются в общую точку ——точку К перегиба. В точке перегиба изобара pK=const является касательной к изотерме. Температура Тк, соответствующая этой изотерме, называется критической.

§ 3・ Критическое состояние вещества. Фазовые переходы

Физическая сущность выводов, полученных в § 2, выясняется при рассмотрении экспериментальных изотерм Ван-дер-Ваальса.

Основы этого исследования были заложены трудами Д. И. Менделеева, М. П. Авенариуса, Т. Эндрюса и других ученых.

—144 —

Экспериментальные изотермы могут быть получены путем сжатия газа в изотермических условиях. При этом измеряются давление р и объем V при определенной постоянной температуре T=const.

На рис. 6-3 сплошной линией /——2——3—4 показана одна из экспериментальных изотерм и для сравнения дана теоретическая изотерма (пунктирные участки). Экспериментальные и теоретические изотермы на участках 1—2 и 3—4 с известным приближением можно считать совпадающими. При особых условиях эксперимента могут быть получены участок 2—2', соответст- вующий пересыщенному пару, и участок ' | 3——3', относящийся к перегретой жидкое-“

ти. Это малоустойчивые, метастабильные состояния.

Термодинамическая система может/

находиться в определенном фазовом£

состоянии или одновременно в различ- ^1У/©、、《 ных фазовых состояниях. Под фазой по- I / нимают совокупность всех частей систе- ?；7

мы, обладающих одинаковы ми фи-I—

зическими и химическими свойствами. 〃'

Рассмотрим процесс, происходящийРис. б-з

при сжатии реального газа. При уменьшении объема на участке 1——2 с достаточной степенью точности выполняется газовый закон Бойля——Мариотта. Это участок однофазного (газового) состояния.

На участке 2——3 уменьшение объема происходит без изменения давления. На этой стадии наблюдается изменение агрегатного состояния —сжижение газообразного вещества. Газ в этих условиях считается насыщенным паром. Если на участке 2—3 приостановить изменение объема, то процессы испарения и конденсации будут динамически уравновешены. Вещество на участке 2——3 находится в двухфазном состоянии, т. е. часть первоначального газообразного вещества превратилась в жидкость, а часть осталась в газообразном состоянии.

Соответствующее участку 2—3 давление, при котором протекает сжижение пара, называется давлением насыщения рн. Давление рн для различных температур имеет различные, вполне определенные значения.

Точка 3 соответствует состоянию, когда весь газ превращается в жидкость. Так как жидкость несжимаема, то дальнейшее незначительное изменение объема на участке 3——4 приводит к большому изменению давления.

Экспериментально получая зависимость давления от объема при различных температурах, можно построить серию изотерм (рис, 6-4). Заштрихованная область для любой пересекающей ее изотермы соответствует переходу пара в жидкость (двухфазное состояние). С ростом температуры участки, соответствующие этому переходу, становятся уже. Затем появляется изотерма 3, на которой этот участок обращается в точку К перегиба; ей соответствует критическая температура Тк. При температурах ниже критической есть участок насыщения,

и ни при каких давленияхи ни при каких давленияхРис. 6-4Рис. 6-4

и ни при каких давлениях

и ни при каких давлениях

Рис. 6-4

Рис. 6-4

и вещество может переходить из газообразного в жидкое состояние. Область, не заштрихованная на рис. 6-4 и примыкающая к оси ординат, относится к жидкрму состоянию.

Температурам выше критической соответствует только газообразное состояние вещества (область, условно обозначенная точками на рис. 6-4). В этой области невозможно двухфазное состояние вещества зообразное состояние не может быть переведено в жидкое. Следовательно, критическая температура ——это наивысшая температура, при которой газ может е晔 быть превраи^н в жидкость.

Давление рк и объем 兀,соответствующие точке К перегиба, называются критическими. Параметры рк, Ук и Тк характеризуют так называемое критическое состояние вещества.

На рис. 6-3 горизонтальный участок 2——3 изотермы отделяет участок /—2 от 3—4, которые соответствуют газообразному (/—2) и жидкому (3—4) состояниям. Возвращаясь к рис. 6-4, можно сказать, что по мере повыше

ния температуры эти горизонтальные участки становятся меньшими. Следовательно, разность объемов вещества в газообразном и жидком состояниях с ростом температуры уменьшается. При достижении критической температуры объемы (и плотности) пара и жидкости сливаются в точке К (при этом совпадают молекулярные характеристики пара и жидкости).

Поэтому при критическом состоянии вещества различия в свойствах пара и жидкости отсутствуют. Критическое состояние характеризуется непрерывным переходом пара в жидкость и жидкости в пар. При этом удельная теплота парообразования и коэффициент поверхностного натяжения равны нулю. Для различных веществ критические параметры неодинаковы. Так, критическая температура воды 374℃ (7\=647 К), гелия — 268℃ (Тк=5 К)、водорода — 240℃ (7\= =33 К).

Низкие критические температуры гелия и водорода создают затруднения при сжижении этих газов.

§ 4. Внутренняя энергия реального газа

При вычислении внутренней энергии реальных газов, помимо кинетической энергии, необходимо учитывать потенциальную энергию взаимодействия их молекул.

На малых расстояниях между молекулами проявляются положительные силы отталкивания (см. рнс・ 6-1) и этим силам соответствует

一 146 —

положительная потенциальная энергия. Отрицательным силам притяжения соответствует отрицательная потенциальная энергия.

Кинетическая энергия поступательного и вращательного движений молекул определяет внутреннюю энергию идеального газа. Для одного моля она равна [см. (5.30)] U*= (i/2)RT. Но так как Cv= (i/2)R, то

U、= CvT,(6.3)

где Cv — изохорическая мольная теплоемкость, Т — абсолютная температура газа.

Работа dA сил молекулярного сцепления, которые вызывают внутреннее давление 〃 и изменение объема dV, равна

dA=ptdV.

Так как внутреннее давление (см. § 2) Pi=a/V2, то изменение потенциальной энергии dUz, которое произошло за счет совершения работы d4, равно

dU2 = -~dV.

Интегрируя это выражение, получим 力——£+с

Постоянная С интегрирования находится из условия, что расстояния между молекулами при безграничном увеличении объема возрастают и потенциальную энергию при этом следует считать равной нулю. Тогда

С=0

и для конечного объема V потенциальная энергия будет

/=^" •(6.4)

Внутренняя энергия U для одного моля реального газа равна сумме кинетической энергии С\ и потенциальной энергии молекул (/2, т. е. U=U1+U2, или с учетом выражений (6.3) и (6.4)

U = CVT^・(6.5)

Следовательно, внутренняя энергия реального газа зависит как от температуры Т, так и от его объема К

Наличие потенциальной энергии взаимодействия молекул реального газа проявляется в эффекте Джоуля — Томсона.

Допустим, что газ будет расширяться или сжиматься без теплообмена с внешней средой и без совершения внешней работы. Согласно I началу термодинамики неизменным будет значение внутренней энергии (AU=0; [/=const). И тогда из уравнения (6.5) следует, что при адиабатическом изменении объема будет изменяться температура, но АУ и АТ имеют разные знаки. Следовательно, при расширении

—1*17 —

в таких условиях газ должен всегда охлаждаться, а при сжатии —— нагреваться.

Джоуль и Томсон провели опыт, в котором газ пропускался по теплоизолированной трубке с пористой перегородкой, слева и справа от которой имелись различные давления, т. е. создавалась разность давлений \р=р1—р2. Было обнаружено, что при расширении, которым сопровождается прохождение газа через перегородку вследствие наличия Ар, температура его несколько меняется. Это явление, заключающееся в изменении температуры реального газа при расширении (без теплообмена и совершения внешней работы), получило название эффекта Джоуля — Томсона.

Если температура газа понижается (ATV0), эффект считается положительным', если газ нагревается (ДТ>0), эффект считается отрицательным. Если газ при расширении не нагревается и не охлаждается, то эффект Джоуля — Томсона равен нулю. Такое состояние отображается точкой инверсии. Точка инверсии определяет температуру, вблизи которой эффект меняет свой знак.

Положительный эффект Джоуля — Томсона используется при сжатии газов для получения низких температур.

Глубокого охлаждения газов достигают двумя путями:

Температура газа понижается при его расширении вследствие совершения работы против внутренних сил сцепления молекул.

Температура газа понижается при адиабатном расширении вследствие совершения работы против внешних сил.

Применение первого способа возможно при охлаждении газа ниже температуры инверсии и ниже критической температуры. В настоящее время подвергнуты сжижению и отвердеванию все газы, включая и гелий, критическая температура которого Тк=5 К-

По второму способу охлаждение газа производится с совершением внешней работы в поршневых или турбинных машинах ——детандерах. Наиболее эффективны холодильные машины, разработанные П. Л. Капицей.

В настоящее время получены температуры, близкие к абсолютному нулю,——порядка тысячных долей градуса выше нуля. Низкие температуры широко используются как в научных, так и в технических целях.

§ 5・ УКидкости. Поверхностный слой жидкости

Жидкость по внешним признакам характеризуется текучестью (легким изменением формы), несжимаемостью и наличием свободной поверхности. В жидкостях средние расстояния между молекулами значительно меньше, чем в газах. Поэтому силы взаимодействия между молекулами играют в жидкостях существенную роль.

Поверхностный слой жидкости по своим свойствам отличается от внутренних частей жидкости, что обусловлено молекулярными явлениями.

Молекула, которая находится внутри жидкости, взаимодействует с окружающими ее молекулами. Так как силы взаимодействия стати-

стически симметричны, то суммарный эффект взаимодействия за конечный промежуток времени равен нулю.

В отличие от этого молекулы на поверхности жидкости испытывают большее действие со стороны молекул жидкости, чем со стороны молекул пара и газа, находящихся над поверхностью жидкости.

В поверхностном слое жидкости возникает избыточное молекулярное давление, направленное по нормали внутрь жидкости. Переход молекул из глубины жидкости в поверхностный слой сопровождается работой против сил молекулярного притяжения. Работа, затраченная на образование поверхности жидкости, приводит к увеличению потенциальной энергии молекул поверхностного слоя. Средняя кинетическая энергия частиц, определяемая температурой, в случае равновесного состояния жидкости (T=const) одинакова и в поверхностном слое, и внутри объема жидкости.

Следовательно, поверхностный слой жидкости обладает избыточной свободной энергией.

Свободной энергией называется та часть потенциальной энергии системы, которая изотермически может обратиться в работу. Свободная энергия стремится к минимуму, в силу чего поверхность жидкости стремится к уменьшению. Так, при отсутствии внешних сил жидкость принимает форму шара, т. е. форму тела, которое при данном объеме имеет минимальную поверхность (например, в условиях невесомости).

Значит, все молекулы поверхностного слоя обладают большей энергией, чем молекулы в остальном объеме жидкости. Поэтому в поверхностном слое появляются силы притяжения между молекулами, действующие по поверхности жидкости. Эти силы называются силами поверхностного натяжения, так как они создают в поверхностном слое стремление сжать (сократить) поверхность.

Толщина поверхностного слоя, в котором действует силовое поле, составляет величину порядка нескольких межмолекулярных расстояний, т. е. порядка 10~7 см.

Удельная поверхностная энергия(поверхностное натяжение)

На образование единицы площади поверхности жидкости требуется затратить определенную работу, которая служит мерой свободной энергии. Она определяет удельную поверхностную энергию (или коэффициент поверхностного натяжения).

Коэффициентом поверхностного натяжения называется величина, равная отношению работы А4 изотермического образования поверхности жидкости к площади этой поверхности AS, т. е.

a=A4/AS. (6.6)

Рассмотрим такой опыт. Рамка A BCD затянута пленкой жидкости (рис. 6-5), причем сторона AD пленки может свободно перемещаться. Начальное положение пленки A1D1. При сокращении поверхности жидкости пленка перемещается на расстояние h. Чтобы удержать

久1

力7

// 〃 // //〃〃〃

〃〃〃〃

〃〃〃

〃〃〃〃

〃〃〃

〃〃〃〃

刀

必

ее в равновесии, надо, приложить силу 尸，равную силе поверхностного натяжения. За счет уменьшения свободной энергии будет совершена работа

^A=Fh. (*)

Предполагается, что опыт протекает в изотермических условиях; при этом F=const (в отличие от упругой силы). Если длина стороны AD пленки равна /, то изменение площади пленки (с учетом того, что жидкость на рамке имеет две поверхности) при ее сокращении составит

^S=2h^l.

Так как изменение свободной энергии поверхности численно равно работе молекулярных сил, то из формулы (6.6) запишем

A4=aAS=a・2/iZ.(6.6а)

Сопоставляя это равенство с выражением (*), получим

w2hl=Fh,

откуда

(6.7)(6.7)a=F/2Z,

(6.7)

(6.7)

т. е. коэффициент поверхностного натяжения численно равен силе поверхностного натяжения, приходящейся на единицу длины граничной линии на поверхности жидкости.

Сила поверхностного натяжения направлена по нормали к любому элементу линии по поверхности жидкости и касательна к поверхности жидкости. Коэффициент поверхностного натяжения в СИ измеряется в Н/м, а в системе СГС — в дин/см.

Коэффициент поверхностного натяжения зависит от химического состава жидкостей и температуры.

Явление смачивания

Жидкости по отношению к твердым телам разделяются на смачивающие и несмачивающие.

Например, по отношению к стеклу вода является смачивающей жидкостью, по отношению к парафину — несмачивающей. Ртуть по отношению к стеклу — жидкость несмачивающая, а по отношению к платине ——смачиваклцая.

В том случае, когда молекулы поверхностного слоя находятся вдали от твердой стенки, они взаимодействуют с нижележащими молекулами жидкости и с молекулами пара — газа над поверхностью, причем силой взаимодействия с парогазовой смесью можно пренебречь.

Вблизи твердой поверхности, например около стенки сосуда, поверхность жидкости искривлена (рис. 6-6, 6-7). Поверхность жидкости

в сосуде носит название мениска. На рис. 6-6 изображен мениск вогнутый, например поверхность воды в стеклянном сосуде; на рис. 6-7 — мениск выпуклый (поверхность ртути в стеклянном сосуде).

Молекулы жидкости, находящиеся у стенки, взаимодействуют не только с другими молекулами жидкости, но и с молекулами стенки. Предположим, что молекулы находятся вблизи стенки около точки А. Если сила взаимодействия между молекулами жидкости меньше,

чем сила взаимодействия между молекулами стенки и молекулами жидкости, то равнодействующая 尸 будет направлена в сторону стенки (см. рис. 6-6). Поверхность жидкости при равновесии устанавливается перпендикулярно силе. В рассмотренном случае жидкость приподнята у стенки и наблюдается смачивание твердого тела (стенки) жидкостью.

Если сила взаимодействия молекул жидкости между собой больше, чем сила взаимодействия между молекулами стенки и молекулами жидкости, то равнодействующая сила F направлена внутрь жидкости (см. рис. 6-7). Поверхность жидкости у стенки опущена. Это соответствует несмачиванию твердого тела жидкостью.

Количественная оценка смачивания может быть получена с помощью краевого угла ® между твердой поверхностью и мениском жидкости в точке их соприкосновения.

Краевым углом ® называется угол, составленный стенкой и касательной к поверхности жидкости, проведенной из точки пересечения поверхности жидкости со стенкой. Он отсчитывается внутрь жидкости.

Обобщая рассмотренные случаи, можно сказать, что при смачивании твердого тела жидкостью краевой угол лежит в пределах 0&®& ^л/2. Полное смачивание бывает при краевом угле ®=0.

Если жидкость несмачиваемая, то краевой угол лежит в пределах л/2^0^л. Полное несмачивание бывает в том случае, когда краевой угол 0=л.

Формула Лапласа

Поверхность жидкости представляет собой как бы растянутую пленку, которая стремится сократиться, и при искривленной поверхности возникает добавочное давление под поверхностью жидкости.

Оно является добавочным по отношению к молекулярному давлению под плоской поверхностью.

Добавочное давление под искривленной поверхностью жидкости вычисляется по формуле Лапласа:

局= a(/+ 靑)，(6・8)

где а ——коэффициент поверхностного натяжения, выражение ^ + ^) определяет кривизну поверхности в данной точке. Здесь R】и R2 радиусы кривизны в точке О сечений MON и POQ (рис. 6-8), которые получаются пересечением поверхности жидкости Q двумя взаимно перпендикул^ьрными плоскос-

/У~7 тями, проведенными через нормаль к поверх- / / / ности жидкости в точке О.

М丁厂ТNВ формуле (6.8) радиус кривизны R】 или R2

/// считается положительным, если центр кривиз-

—一ны соответствующего сечения лежит внутри 'жидкости. В противном случае этот радиус счи-

Рис. 6-8таете я отрицательным. Поэтому если мениск вы

пуклый, то добавочное давление положительно (Рл>°) и направлено внутрь жидкости; если мениск вогнутый, добавочное давление отрицательно (рл<0).

Подсчитаем добавочное лапласовское давление рл для частных случаев.

Если поверхность жидкости плоская, кривизна ее равна нулю (рис. 6-9) и тогда

Рл = °・

Когда две твердые близко расположенные параллельные пластины опущены в жидкость, между пластинами может образоваться мениск в форме цилиндрической поверхности (рис. 6-10).

В этом случае линия POQ прямая,?, е. -^— = 0. Линия M0N будет частью окружности, поэтому R.R. Формула (6.8) приобретает вид

Pn = a/R・(6.9)

Если поверхность жидкости сферическая, то R、=Rz=R (R ——

радиус сферы), тогда

(6.10)(6.10)Pn = 2a/R.

(6.10)

(6.10)

Последняя формула может быть выведена исходя из довольно простых соображений. Предположим, что имеется шарообразная (радиуса R) капля жидкости. Внутрь жидкости действует дополнительное давление рл, обусловленное кривизной жидкости. Под влиянием этого давления объем капли должен уменьшиться на бесконечно малую величину dV. Работа сжатия капли будет равна

dA = рл dV p^d (暂冗/?3)= p"rR2 dR.

Изменение поверхностной энергии капельки в соответствии с (6.6а) численно равно работе молекулярных сил, т. е.

dA =adS=ad (4nR2)=^8anRdR.

Приравнивая правые части последних двух выражений, получим

8ал RdR=p&4nR М/?, откуда

рл = 2а/К.

Таким образом, мы вывели формулу, которая является частным случаем формулы Лапласа.

§ 9. Капиллярные явления

Смачивание наглядно проявляется при погружении капиллярных (узких) трубок в сосуд с жидкостью. Если жидкость смачивает капилляр, ее уровень в капилляре будет выше, чем в сосуде. При несма-

чивании уровень жидкости в капилляре устанавливается ниже уровня в сосуде. Это объясняется тем, что капиллярные трубки имеют небольшой радиус, а значит, мениск жидкости в капилляре имеет большую кривизну, вследствие чего возникает большое добавочное давление.

Определим высоту поднятия (или опускания) жидкости в капилляре. Предположим, что жидкость смачивает капилляр (на рис. 6-11 показана увеличенная часть капилляра). В этом случае мениск в капилляре вогнутый и добавочное давление отрицательно; жидкость поднимается в капилляре выше уровня жидкости в широком сосуде. Равновесие наступает, когда гидростатическое давление р поднявшегося столба жидкости уравновесит добавочное давление рл.

Гидростатическое давление (см. § 1 гл. 3) в основании столба жидкости высотой h равно

P=Pg瓦

где р — плотность жидкости, g— ускорение свободного падения.

Поверхность мениска в капилляре можно считать сферической. Тогда добавочное давление

2а

Так как р = %，то

Из рис. 6-11 видно, что радиус кривизны мениска равен

—cos 0 '

где г — радиус капилляра. Поэтому получим

九=竺竺？(6.11)

,т. е. 0=0, то высота,т. е. 0=0, то высотаpgr' 丿

,т. е. 0=0, то высота

,т. е. 0=0, то высота

(6.12)(6.12)Если жидкость полностью смачивающая поднятия жидкости в капилляре будет , 2а п = — • pgr

(6.12)

(6.12)

Полученная формула носит название закона Жюрена. Чем меньше радиус капилляра, тем выше поднимется в нем жидкость.

Капиллярные силы оказывают определенное влияние на давление насыщенного пара над искривленной поверхностью жидкости. Предположим, имеется сосуд с жидкостью, поверхность которой плоская, и давление насыщенных паров над ней равно р. Если опустить в жидкость капиллярную трубку, то возможны два случая: 1) уровень жидкости в трубке ниже уровня жидкости в сосуде. Поскольку давление газа убывает с высотой, то над мениском в капилляре давление будет больше, чем над плоской поверхностью жидкости в сосуде; 2) уровень жидкости в капиллярной трубке выше уровня жидкости в сосуде. Тогда давление насыщенного пара над мениском будет равно р—Ар, т. е. меньше р на величину Ар, равную

Ap = p'g瓦

где ft ——высота капиллярного поднятия (или опускания), р，一 плотность пара. Подставив в это равенство формулу (6.12), получим, что поправка давления на кривизну поверхности равна

酝=今%(6.13)

Упругость (давление) насыщенного пара над выпуклой поверхностью больше, а над вогнутой — меньше, чем над плоской поверхностью жидкости.

Изучение краевых и капиллярных явлений имеет большое познавательное и прикладное значение, например при обогащении руд методом флотации.

Руда, содержащая пустые породы, размалывается; получающийся порошок смешивается со специально подобранной маслянистой жидкостью и взбалтывается, образуется пенистая смесь. Частицы каменистых пород смачиваются водой и оседают вниз. Частицы, содержащие металл, лучше смачиваются маслом, чем водой. Маслянистая пленка на таких частицах способствует их прилипанию к пузырькам воздуха, которые всплывают на поверхность.

Краевые и капиллярные явления наблюдаются в процессах перемещения жидкости в растениях, почвах, грунтах при перемещении влаги при сушке и т. д.

Твердые тела а их свойства. Закон Дюлонга а Пти

Силы взаимодействия молекул вещества по природе могут быть отнесены к электрическим силам, наряду с которыми проявляется действие и других сил. В зависимости от агрегатного состояния могут преобладать либо силы притяжения (в газах на относительно больших расстояниях между молекулами), либо силы отталкивания (в жидкостях при сжатии их). Переход от первого состояния ко второму можно осуществить понижением температуры вещества, вследствие чего уменьшается энергия движения его молекул. Последующее понижение температуры, а значит, уменьшение энергии движения приводит к появлению прочных атомных и молекулярных связей, определяющих твердое агрегатное состояние вещества. В твердом теле расположение молекул таково, что оно препятствует изменению объема и формы тела.

Твердые тела можно разделить на аморфные и кристаллические.

Аморфные тела 1} (стекло, смолы, битумы и др.) не имеют от природы определенной формы, им можно придать путем обработки любую форму.

Внешняя форма кристалла характеризуется наличием закономерно чередующихся граней. В связи с этим естественно было предположить, что и внутренняя структура кристаллов находится в соответствии с правильностью их геометрической формы. Изучение кристаллов при помощи рентгеновских лучей подтвердило, что частицы кристаллов (атомы, молекулы и ионы) имеют определенное правильное и закономерное расположение и образуют пространственную кристаллическую решетку.

В кристаллических телах расположение молекул соответствует минимуму их потенциальной энергии, что отвечает условию равновесия тела.

Остановимся на типах кристаллических решеток.

Кристаллы NaCl, Са2СО3 и подобные им обладают простой кубической структурой и имеют ионную решетку. Например, в узлах решетки кристалла NaCl находятся ионы натрия Na+ (рис. 6-12, черные кружки) и хлора С1_ (светлые кружки). Природа сил взаимодействия частиц в ионных решетках отвечает в основном электроста-

D Аморфные тела по свойствам относят к переохлажденным жидкостям.

тическому (кулоновскому) взаимодействию. Решетки рассмотренного типа называются гетерополярными.

Кристаллические решетки, узлы которых заполнены нейтральными атомами, называются атомными. Силы взаимодействия между атомами имеют более сложный характер, чем чисто электростатические. В атомных решетках имеют место гомеополярные связи одинаковых

атомов.

Атомные решетки имеют такие кристаллы, как алмаз, карборунд.

В молекулярных кристаллических решетках узлы заполнены нейтральными молекулами (кристаллы углекислоты, парафина и др.). Силы связи между молекулами относят к ван-дер-ваальсо- вым силам.

Металлические кристаллические решетки представляют собой узлы из положительно заряженных ионов, между которыми движутся свободные электроны. Совокупность движущихся свободных электронов называется электронным газом. Он обеспечивает хорошую тепло- и электропроводность металлов.

Полупроводники (закись меди, германий и др.) обладают своеоб-

разными свойствами (см. § 14 гл. 8). Они подобны кристаллам с го- меополярными связями.

Кристаллические тела могут быть разделены также на монокри-

сталлы и поликристаллы.

Монокристаллы представляют собой крупные отдельные кристаллы, которые образуются при особых условиях кристаллизации. В последнее время были обнаружены «семейства» монокристаллов горного хрусталя; вес отдельных кристаллов достигал нескольких тонн.

При поликристаллической структуре тело образовано системой связанных мелких кристаллов, расположение которых носит беспорядочный характер.

Электрические, тепловые, механические и оптические свойства в кристаллах зависят от того направления, в котором они определяются. Поэтому кристаллы являются анизотропными телами, свойства которых различны по различным направлениям.

Анизотропность кристаллов обусловлена определенным порядком расположения частиц в кристаллической решетке.

В отличие от этого аморфные однородные тела (плавленый кварц, смолы и др.) во всех направлениях обнаруживают одинаковые свойства, т. е. они обладают изотропностью. Это указывает на беспорядочное расположение частиц в аморфном теле.

Движения частиц твердого тела (молекул и ионов) представляют колебания около некоторых неизменных положений равновесия —— узлов решетки. Возрастание температуры тела приводит к увеличению

отклонений частиц при колебаниях от положений равновесия, что обусловливает тепловое расширение твердого тела. Изменение линейных размеров тела подчиняется закономерности

/=/。(1+成)，(6.14)

где / ——длина в данном направлении при температуре 力 /0 ——длина при 0℃, а ——коэффициент линейного расширения.

У анизотропных тел коэффициент линейного расширения зависит от направления. Это означает, что происходит неодинаковое расширение по различным направлениям, которое приводит к изменению формы тела при нагревании.

Если считать, что расширение происходит одинаково по всем направлениям, то изменение объема тела при нагревании следует закономерности

了=匕(1+因，(6.15)

где V ——объем тела при температуре 勿 70 ——объем при 0℃, р ——коэффициент объемного расширения.

Коэффициенты объемного и линейного расширения, как известно из курса физики средней школы, связаны соотношением

Р^За.(6.16)

Коэффициенты расширения твердых тел невелики; они имеют значения порядка 10-5+10-6 к~1. Однако тепловое расширение твердых тел может вызвать очень большие напряжения. Поэтому в технике следует учитывать последствия теплового расширения твердых тел.

Найдем теплоемкость одноатомного кристаллического тела.

Внутренняя энергия твердого тела складывается из энергии колебаний его частиц.

Колебания частиц для облегчения расчетов считаем гармоническими d и не зависимыми друг от друга. Далее в первом приближении предполагаем справедливым закон равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Колебания атомов могут быть направлены по трем осям. Поэтому атомам надо приписать три степени свободы колебательного движения. На одну степень свободы колебательного движения приходится средняя кинетическая энергия

W^kT/2

и такая же потенциальная энергия

吃=々772.

Значит, полная энергия на одну степень свободы атома равна 々7\ а на три степени свободы атома приходится энергия

Г-З^Т.(6.17)

D Силы, вызывающие колебания частиц в кристаллической решетке, не являются квазиупругими. В первом приближении можно считать, что они зависят от смещения % частиц по закону 尸=——kx+bx2t где член bU характеризует отклонение колебаний от гармонического характера.

Внутренняя энергия одного атома (или моля) вещества будет U ^WNA^3kT^NAi

где NА ——число Авогадро. Так как k=R/NA, то

U=3RT(6.18)

(R ——универсальная газовая постоянная).

Атомная (или соответственно молярная) теплоемкость равна й du

с учетом уравнения (6.18)

C=3R・(6.19)

Полученная формула выражает закон Дюлонга и Пти: атомная теплоемкость химически простых кристаллических твердых тел равна 3R.

Эта зависимость близка к данным экспериментов при достаточно высоких температурах. Для многих тел этот закон хорошо соблюдается при комнатных температурах. Однако такие вещества, как алмаз, кремний, подчиняются данному закону при температурах, значительно больших комнатных.

Приведенное выражение (6.19) показывает, что теплоемкость твердого тела не зависит от температуры, как и в случае газов. Это ограничивает его использование.

В соответствии с формулой (6.19) теплоемкость одноатомных тел имеет

расчетное значение

С=3・8,32 Дж/(моль・ К)=25 Дж/(моль・К)・

На рис. 6-13 показана экспериментальная зависимость теплоемкости одноатомных веществ от температуры для свинца (/), серебра (2), меди (5) и алмаза (4).

Теплоемкости первых трех элементов сравнительно близки к расчетному значению при температуре около 200 К； у алмаза отклонения очень большие. При низких отрицательных температурах теплоемкость приближается к значению, равному нулю.

Квантовая теория теплоемкости твердых тел в широком интервале температур дает значения, более точно совпадающие с экспериментальными.

Изменение агрегатного состояния

Большинство реальных тел могут существовать в трех фазовых состояниях: твердом, жидком и газообразном. Например, система лед — вода ——пар состоит из трех фазовых состояний, совпадающих в данном случае с агрегатными состояниями вещества.

Переход из одного агрегатного состояния в другое, сопровождающийся поглощением или выделением скрытой теплоты и изменением удельного объема, называется фазовым переходом (первого рода).

К фазовым переходам первого рода относится также переход твердого тела из одной кристаллической модификации в другую.

Существуют фазовые переходы второго рода, к которым относятся переходы сверхпроводника в обычное состояние (в отсутствие магнитного поля), ферромагнетика в парамагнетик, некоторые переходы

в сплавах и т. д.

Переход вещества из жидкого состояния в твердое кристаллическое вызывается охлаждением жидкости до некоторой температуры. При

этом усиливаются связи между частицами и уменьшается интенсивность их движения. Под влиянием сил притяжения движение частиц превращается в тепловые колебания около узлов решетки. Происходит процесс кристаллизации. При этом в жидкой фазе возникают микроскопические кристаллы (центры кристаллизации), которые растут посредством отбора все большего количества частиц из жидкой фазы.

Противоположный процесс перехода из твердой фазы в жидкую,

называемый плавлением, сопровождается ослаблением молекулярных связей и увеличением подвижности молекул. Этот процесс осуществ

ляется путем предварительного нагревания твердого тела до определенной температуры. На рис. 6-14 изображена кривая изменения температуры t со временем t при нагревании кристаллического тела.

Кристаллическое тело с ростом температуры вначале остается твердым (участок /—2). Точка 2 соответствует температуре, которая для каждого кристаллического вещества имеет определенное значение. Это температура плавления /пл, которая не изменяется в течение всего плавления (участок 2—3). Подводимая к телу теплота на этой стадии

расходуется только на плавление, т. е. на разрушение кристаллической структуры. Точка 3 соответствует окончанию плавления, а участок 3—4 — нагреванию жидкости.

Переход из твердого состояния, минуя жидкое, в газообразное называется сублимацией (возгонкой). При этом происходит испарение твердых тел. Такой процесс можно наблюдать у льда, иода и других

веществ.

Фазовые прямые и обратные переходы от газообразного в жидкое, от жидкого в твердое и от твердого в газообразное состояние можно рассмотреть при помощи диаграммы в координатах «давление р — температура Т》・

Характер зависимости давления насыщенного пара от температуры для воды показывает кривая 0——/ на рис. 6-15, каждая точка которой отображает условие динамического фазового равновесия на границе пар — жидкость (///—/).

При динамическом равновесии между жидкостью и ее насыщенным паром число молекул, переходящих из жидкости в пар, равно числу молекул, переходящих из пара в жидкость (за одно и то же конечное время).

Кривая 0——2 соответствует зависимости температуры плавления льда от давления и разделяет твердую и жидкую фазу (//—/).

Кривая 0—3 отображает закон изменения давления насыщенного пара льда с температурой. Эта кривая испарения льда разграничивает твердую и газообразную фазы (//—///).

Рис. 6-15Рис. 6-15Все эти кривые пересекаются в одной точке О, которая называется тройной точкой. Она характеризует условия одновременного совместного существования вещества в трех фазах ——жидкой, твердой и газообразной.

Рис. 6-15

Рис. 6-15

Каждому веществу соответствуют определенные значения тройной точки, например для воды имеем температуру /тр=+0,00748℃ при давлении паров льда порядка ртр=5 мм рт. ст. В термодинамической температурной шкале для тройной точки воды установлено значение 7—273,16 К (см. § 11 гл. 5); точка таяния льда находится на 0,01° ниже тройной

точки. Поэтому температуры по шкале Цельсия и Кельвина связаны соотношением

/=(Т—273,15)0(1

Из приведенной диаграммы видно, что с изменением давления меняются температура плавления, температура парообразования и температура сублимации. В результате фазового перехода также резко изменяется объем вещества.

В случае фазового равновесия связь между изменениями давления р и температуры Т описывается дифференциальным уравнением, которое называется уравнением Клапейрона — Клаузиуса:

穿=(6»。)

где dp/dT ——производная от давления по температуре на кривой фазового равновесия, q — теплота фазового перехода, Д7 — изменение объема при фазовом переходе.

Для кривой плавления (кривая 0—2 на рис. 6-15) изменение объема АУ будет равно разности объемов жидкости 丫冰 и твердого тела 丫工 такой же массы, т. е.

7Т.

Для фазового равновесия твердое тело — газ (сублимация; кривая О—имеем

A了 =匕一匕,

а для равновесия жидкость — газ (кривая испарения 0——J) "=吸一嗫.

Соотношение (6.20) позволяет определить наклоны кривых фазового равновесия для каждой температуры перехода. Поскольку g и Т положительны, то наклон кривой будет положительным или отрицательным в зависимости от знака АУ. Для большинства веществ 7Г>УЖ>7Т, поэтому наклоны кривых положительны, т. е. большим давлением соответствуют большие значения температур, другими словами, производная 祭 положительна. Однако для ряда веществ, таких как вода, висмут, гелий, германий, некоторые сорта чугуна, кривая плавления имеет отрицательный наклон, так как жидкая фаза тяжелее твердой, т. е. Д7=7Ж—7т<0, а следовательно, и 备V0. Для таких веществ увеличение давления сопровождается понижением температуры плавления: подвергнув лед сильному сжатию, можно, не повышая температуры выше тройной точки, вызвать его плавление. Однако, как показывают расчеты по уравнению Клапейрона — Клаузиуса и опытные данные, для воды зти сдвиги незначительны. При увеличении давления на 1 атм температура плавления падает всего лишь на 0,007℃.

Для того чтобы изменить температуру плавления льда на один градус, необходимо увеличить давление примерно на 130 атм.

Полимеры и пластики

В настоящее время все большее применение в технике находят высокомолекулярные вещества) которые называются полимерами.

Полимеры бывают природные и синтетические. Синтез полимеров можно осуществить двумя методами.

Первый метод заключается в присоединении друг к другу ряда молекул исходных соединений (мономеров), имеющих малую молярную массу (малый молекулярный вес). Этот процесс называется полимеризацией. В случае полимеризации все мономерные звенья молекулы полимера имеют тот же самый химический состав, что и молекулы мономера, из которого получен данный полимер.

Второй метод осуществляется с помощью пол и конденсаци и смесей соответствующих соединений. В этом случае строение мономерных звеньев несколько отличается от строения реагирующих веществ, так как на каждой промежуточной стадии ступенчатой реакции, приводящей к образованию полимера, выделяется низкомолекулярный побочный продукт (обычно вода).

Если молекулярная цепь полимера состоит из одинаковых структурных звеньев, то полимер называется гомополимером, а если цепь содержит звенья двух или более различных типов, то полимер называется гополимером.

Структура молекул полимеров бывает трех типов: 1) линейная структура присуща тем полимерам, у которых полимеризация протекает главным образом путем последовательного присоединения отдель- 6 № 2907 — 161 —

ных структурных звеньев друг к другу и индивидуальные макромолекулы образуют длинные цепи, в некоторых случаях с боковыми ответвлениями; 2) двухмерная структура, в которой макромолекулы образуют большие плоские листы; 3) пространственная, сетчатая структура макромолекулы.

На основе природных или синтетических полимеров производится большое количество пластиков (пластических масс). По общепринятой классификации, все полимеры и пластмассы делятся на следующие четыре класса: 1) полимеры, получаемые методом цепной полимеризации, и пластмассы, полученные на основе данных полимеров. К ним относятся полимеры этилена, полимеры галоидопроизводных этилена (полиэтилен, полипропилен, полистирол, винипласты, пластикаты и др.); 2) полимеры (и пластмассы на их основе), синтезируемые пут如 поликонденсации и ступенчатой полимеризации. Это фенолформальдегидные смолы (новолак, резол, резит), фурфурольные смолы, аминоальде- гидные смолы, полиэфиры, эпоксидные смолы, полиамиды (капрон и др.), полиуретаны, полимочевины, кремнийорганические полимеры, фенопласты (текстолит, фенолит, гетинакс и др.); 3) химически модифицированные природные полимеры и пластмассы на их основе. В этом классе наибольшее значение для производства пластмасс имеют эфиры, целлюлозы, к которым относятся целлофан, метилцеллюлоза, целлулоид, дуралон, найлонпласт, силопекс и др.; 4) пластмассы на основе природных и нефтяных асфальтов и смол. К ним относятся битумоцел- лолит, пекоасбослой, битуминолит.

В настоящее время на основе полимеров получены пластмассы, обладающие самыми разнообразными физическими свойствами: коррозионной стойкостью, способностью формоваться в изделия сложной конфигурации и переносить резкие изменения температуры, хорошими теплоизоляционными характеристиками, высокими диэлектрическими свойствами, высокой удельной прочностью, малым удельным весом и т. д.

Механические свойства полимеров во многом зависят от сил сцепления между отдельными молекулами. Присутствие в полимерах упорядоченных кристаллических областей способствует значительному повышению их прочности. Очень большое влияние имеет длина молекулярной цепи, степень ее разветвленности и расположение структурных звеньев в макромолекуле. Таким образом, механические свойства полимеров непосредственно связаны с их химической структурой, поскольку она определяет размеры кристаллических областей и их стабильность, жесткость цепи и ее длину, пространственное строение макромолекул.

Высокомолекулярный характер строения полимеров приводит к тому, что многие законы, которым подчиняются твердые низкомолекулярные тела, к полимерам можно применять при определенных условиях. Например, закон Гука в механике устанавливает прямую пропорциональность между относительным удлинением стержня и приложенным к нему напряжением. Для полимеров он фактически неприменим, так как при заданной относительной деформации напряжение является сложной функцией времени, и наоборот, при заданном на-

пряжении относительное удлинение будет зависеть от времени, в течение которого сила действует на стержень. Эта особенность полимеров объясняется их способностью к высокоэластичным, обратимым деформациям и релаксационным характером протекающих в них механических процессов, т. е. зависимостью их от интервала времени действия внешних сил.

Упругие деформации в деталях, изготовленных из полимеров, так же как и в низкомолекулярных телах (металлах), возникают практически мгновенно вслед за приложенным напряжением. Для развития высокоэластичной и вязкотекучей деформации требуется время от долей секунды до нескольких часов (а иногда и больше). Время в данном случае является функцией температуры и строения полимера.

Высокоэластичные деформации полимеров резко отличаются от других деформаций низкомолекулярных твердых тел. Их величина очень велика. Относительное удлинение е=А〃2, где I — начальная длина образца, может быть равным 10 и более. При этом потенциальная энергия остается практически постоянной, а при деформации упругих тел она изменяется. Способность полимеров к таким деформациям объясняется гибкостью макромолекул, значительно изменяющих свою длину под действием внешних сил вследствие изменения длин химических связей и валентных углов.

При повышении температуры до определенного предела происходит деструкция, т. е. разрушение макромолекул полимеров, которое сопровождается понижением их молярной массы (молекулярного веса). В результате деструкции происходит изменение всех физико-химических, механических, электрических и других свойств полимера. Температура, при которой происходит деструкция полимера, ниже его температуры кипения, поэтому получить полимер данного химического состава в газообразном состоянии невозможно. Все остальные состояния, кроме высокоэластичного, характерные для низкомолекулярных соединений (кристаллическое, стеклообразное и жидкое), встречаются и у полимеров. Так как вязкотекучее, высоко эластичное и стеклообразное состояние являются разновидностью аморфного состояния, то при охлаждении полимера от вязкотекучего расплава до стекла происходит лишь превращение его из подвижной системы в твердое тело.

Часть III

Электростатика. Постоянный ток

Глава 7

ЭЛЕКТРОСТА ТИКА

Закон сохранения заряда

В электростатике изучаются взаимодействие и свойства зарядов, неподвижных в той системе отсчета, в которой их рассматривают.

В природе существует два вида электрических зарядов: положительные и отрицательные. Положительный заряд возникает, например, на стеклянной палочке, натертой кожей, а отрицательный —— на янтаре, натертом шерстяной тканью.

Как известно, все тела состоят из атомов. Атом в свою очередь состоит из положительно заряженного ядра и вращающихся вокруг него электронов. Так как электроны заряжены отрицательно, то в целом атом электрически нейтрален. Под влиянием различных внешних причин атом (или молекула) может потерять один или несколько электронов и превратиться в положительно заряженный ион. Если же атом (или молекула) присоединяет к себе дополнительный электрон, то он превращается в отрицательный ион.

Таким образом, электрические заряды могут существовать в виде электронов и положительных или отрицательных ионов. Можно сказать, что существует один род свободного электричества — отрицательные электроны. Поэтому положительный заряд какого-нибудь тела представляет собой недостаток электродов, а отрицательный ——избыток.

Электрические свойства вещества обусловлены его атомным строением. Атомы могут терять и по нескольку электронов, в этом случае их называют многократно ионизированными. Ядро атома состоит из протонов и нейтронов. Каждый протон несет заряд, равный заряду электрона, но противоположный по знаку. Нейтроны являются электрически нейтральными частицами и заряд у них отсутствует.

Помимо протона и электрона, электрическим зарядом обладают многие другие элементарные частицы. Электрический заряд является неотъемлемым свойством этих элементарных частиц.

Наименьшим зарядом является заряд, равный заряду электрона. Он называется элементарным зарядом. Элементарный заряд равен 1,6• 10-19 Кл°. Любой заряд кратен целому числу зарядов электро-

D Единицей заряда в СИ является кулон; сокращенно Кл.

на. Поэтому в процессе электризации заряд тела не может изменяться непрерывно, а только ступенями, дискретно, на величину заряда электрона.

Если положительно заряженное тело начать заряжать отрицательным электричеством, то его заряд сначала уменьшится до нуля, а затем начнет увеличиваться. Отсюда следует, что заряды различных знаков компенсируют друг друга. Этот факт привел к выводу, что в «незаряженных» телах всегда имеются заряды положительных и отрицательных знаков, которые содержатся в таких количествах, что их действие полностью компенсирует друг друга.

При электризации трением происходит разделение положительных и отрицательных зарядов, содержащихся в «незаряженном» теле. В результате перемещения отрицательных зарядов (электронов) электризуются оба тела, причем одно из них положительно, а другое — отрицательно. Количество зарядов как положительных, так и отрицательных во время этого процесса остается неизменным.

Отсюда следует вывод, что заряды не создаются и не исчезают^ а лить передаются от одного тела к другому или перемещаются внутри данного тела. В этом заключается закон сохранения электрических зарядов. Электризации при трении подвержены многие материалы: стекло, эбонит и др. Во многих отраслях промышленности (текстильной, бумажной, мукомольной и т. д.) борьба со статическим электричеством представляет серьезную инженерную проблему, так как электрические заряды, возникающие при трении ткани, бумаги, продукта о детали машин, могут вызвать пожары и взрывы.

Закон сохранения заряда можно сформулировать короче: в изолированной системе алгебраическая сумма зарядов остается неизменной, т. е.

i—n

£% = const・(7.1)

Этот закон остается справедливым и при взаимных превращениях различных элементарных частиц, составляющих ядро и атом в целом.

Закон Кулона. Единицы измерения заряда

Наблюдения показывают, что одноименно заряженные тела отталкиваются, а разноименно заряженные ——притягиваются, т. е. между заряженными телами возникают силы взаимодействия. Французский физик Ш. Кулон опытным путем исследовал закономерности взаимодействия заряженных металлических шариков и установил, что сила электрического взаимодействия двух точечных электрических зарядов прямо пропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

尸=々乌*,(7.2)

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора еди-

ниц измерений физических величинj входящих в формулу, а также от среды, в которую помещены электрические заряды ^, ^2; г — расстояние между ними.

Из приведенной формулировки следует, что закон Кулона справедлив только для точечных зарядов, т. е. таких заряженных тел, линейными размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними.

Запишем закон Кулона в векторной форме:

(7.2а)(7.2а)p = k^.L

(7.2а)

(7.2а)

где г — радиус-вектор, соединяющий заряды % и 夕2, а г=[г|.

Силы, действующие на заряды, являются центральными, они направлены по прямой, соединяющей заряды» причем сила, действующая на заряд 夕工 со стороны заряда ^2, равна силе, действующей на заряд д2 со стороны заряда %, и противоположна ей по направлению.

Для измерения электрических величин используются две системы — Международная система единиц (СИ) и система СГС.

Так как в СИ (см. § 6 гл. 1) одной из основных единиц является единица силы тока — ампер (А), то единица электрического заряда будет производной; она выражается через единицу силы тока. Понятие же силы тока и определение ее единицы будет дано позднее. Единицей заряда в СИ является кулон. 1 кулон (Кл) 一 это количество элект- ричества, проходящее за 1 с через поперечное сечение проводника при токе 1 А, т. е.

Кл=1 А-с.

Коэффициент k в формуле (7.2) принимается в СИ равным

£ 一 4Л80，

и закон Кулона записывается в так называемой рационализованной 】＞ форме:

p[ 仇%

—4ле0 г2 *

Величина е0 называется электрической постоянной.

Основными единицами системы СГС являются механические единицы системы СГС (сантиметр, грамм, секунда). Новые основные единицы дополнительно к указанным трем в системе СГС не вводятся. Коэффициент k в формуле (7.2) считается безразмерным и равным единице. Закон Кулона записывается в нерационализованной форме:

р %%

1)Во многие уравнения, описывающие электрические и магнитные явления, входит множитель 4л. Однако если этот множитель ввести в знаменатель закона Кулона, то он исчезнет из большинства формул электричества и магнетизма, которые наиболее часто применяются для практических расчетов. Такая форма записи уравнений называется рационализованной,

Сила в системе СГС измеряется в динах: 1 дин —1 г-см/с2, а расстояние —в сантиметрах. Предположим, что %=%=% тогда из формулы (7.2 в) получим

g2=F・产.

Если 尸=1 дин, а 厂=1 см, то из этой формулы следует, что за единицу заряда в системе СГС принят такой точечный заряд, который действует (в вакууме) на равный ему точечный заряд, удаленный от него на расстояние 1 см, с силой в 1 дин. Данная единица заряда называется абсолютной электростатической единицей количества электричества (заряда) и обозначается СГС^. Ее размерность

ICFCq = ]/[尸][門=/см・г ・с-2・см2 = смз/2 ・г】/2 •「；

ICFCq Кл.

Чтобы вычислить величину 80, сравним выражения закона Кулона, записанные в системе СГС и СИ. Два точечных заряда по 1 Кл каждый, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют с силой [см. (7.26)]

尸=尸=[Кл2 .[Кл2 .4л80 м24л80 м2

尸=

尸=

[Кл2 .

[Кл2 .

4л80 м2

4л80 м2

эта сила в системе СГС согласно (7.2 в) будет равна

厂 3・109・3・109

F =——^— дин = 9• IO’ дин = 9• IS Н・

Следовательно,

Кл2Кл2= 9-109Н,= 9-109Н,

Кл2

Кл2

= 9-109Н,

= 9-109Н,

Кл2Кл2откуда

Кл2

Кл2

市= 8,85・ IO-】?

4Н.9.10计含

(7.4)(7.4)щены заряды, закон Кулона в СИ имеет вид

(7.4)

(7.4)

4ле0 er2 *

Диэлектрическая проницаемость 8 является безразмерной величиной; она не зависит от выбора единиц измерения и считается равной единице (8=1) для вакуума. Тогда кулоновская сила в вакууме будет

尸 0 =•缪.(7.5)

04л80 г2

Поделив выражение (7.5) на (7.4), получим

Т，(7.6)

т. е. относительная диэлектрическая проницаемость 8 среды показывает, во сколько раз в данной среде сила взаимодействия между точечными электрическими зарядами, находящимися на расстоянии г друг от друга, меньше, чем в вакууме, при том же расстоянии.

Систему СГС для раздела электричества и магнетизма иногда называют системой Гаусса. До введения системы СГС действовали системы СГСЭ (система СТС электрическая) для измерения электрических величин и СГСМ (система СГС магнитная) для измерения магнитных величин. При построении первой принималась равной единице электрическая постоянная 80, при построении второй ——магнитная постоянная р,0.

В системе СГС формулы электростатики совпадают с соответствующими формулами системы СГСЭ, а формулы магнетизма, если они содержат только магнитные величины,—с соответствующими формулами, написанными в системе СГСМ.

Но если в уравнении одновременно содержатся и электрические, и магнитные величины, то это уравнение, записанное в системе Гаусса, будет отличаться от соответствующего уравнения, записанного в системе СГСЭ или СГСМ множителем 1/с (или 1/с2). Величина с, численно равная скорости света (с=3* 1010 см/с), называется электродинамической постоянной.

Поэтому в дальнейшем уравнения электростатики и электромагнетизма будут записаны в нерационализованной форме в системе СГС (Гаусса) и рационализованной форме в СИ.

Закон Кулона в системе СГС имеет вид

Пример.

На двух одинаковых капельках масла недостает по одному электрону. Сила кулоновского отталкивания уравновешивает силу ньютоновского притяжения. Кановы радиусы капелек, если расстояние между каплями значительно превышает их линейные размеры?

Решение. Так как расстояние г между каплями значительно больше их линейных размеров, то капли можно принимать за точечные заряды, и тогда сила кулоновского отталкивания равна

尸= 開к 4Л880Г2，

где е ——положительный заряд капли масла, равный заряду электрона.

Сила ньютоновского притяжения выражается формулой

曲

где 丫 ——гравитационная постоянная, m ——масса капли. Согласно условию задачи Fk=Fh, поэтому

ййЛй л= Ym2.

4Л££о,2'厂24Л££о'

Масса капли выражается через произведение плотности р на объем V, т. е. /п= =рУ, а объем капли радиуса R равен V= (4/3)л/?3. Поэтому т=(4/3)л/?3р, откуда

«3=3/71=Зе

4冗Р 4лр2 УЛ88ОТ *

В этой формуле постоянные л, 80, у известны; 8=1; известны также заряд электрона е=1,6・ 10一19 Кл и плотность масла р=780 кг/м3 (табличные данные). Подставляя числовые значения, находим, что радиус капли масла будет

R=0,363・ 10-7 м.

§ 3. Электростатическое поле. Напряженность.Электрический диполь

Электрическое поле, окружающее заряд, есть объективная реальность, существующая независимо от нас, от нашего сознания и воздействующая на наши органы чувств через посредство приборов. Таким образом, можно сказать, что электрическое поле, так же как и вещество, есть одна из форм существования материи.

Электрическое поле покоящихся зарядов называется электростатическим. Электростатическое поле отдельного заряда можно обнаружить, если внести в это поле другой заряд, на который в соответствии с законом Кулона будет действовать определенная сила. Однако электростатическое поле первого заряда существует и в отсутствие второго заряда, хотя в этом случае оно никак себя не проявляет.

Электростатическое поле характеризуется напряженностью Е этого поля. Напряженность в некоторой точке электрического поля ——это физическая величина, численно равная силе, действующей на помещенный в данную точку паля покоящийся единичный положительный заряд、 и направленная в сторону действия силы.

Внесем в электрическое поле, созданное зарядом д, точечный положительный заряд, называемый «пробным» ^пр. На этот заряд, по закону Кулона, будет действовать сила

畔.(*)

4л80 er2' /

Если в одну и ту же точку поля помещать разные пробные заряды ^пр,晶р и т. д., то на них будут действовать различные силы, пропорциональные этим зарядам. Отношение F/q^ для всех зарядов, вносимых в поле, будет одинаковым и будет зависеть лишь от ^ и г, определяющих электрическое поле в данной точке. Поэтому данная величина, выражаемая формулой

принята в качестве основной характеристики поля. Если положить ?np = h то численно E=F. Следовательно, напряженность является

силовой характеристикой электрического поля. Из формулы (7.7) с учетом выражения кулоновской силы (*) следует

(7.8)(7.8)или в векторной формеили в векторной формеe=才费•爲e=才费•爲(7.8а)(7.8а)

(7.8)

(7.8)

или в векторной форме

или в векторной форме

e=才费•爲

e=才费•爲

(7.8а)

(7.8а)

Из формулы (7.7) следует, что за единицу напряженности принимается напряженность в такой точке поля, в которой на единицу заряда действует единица силы. Поэтому в СИ единицей напряженности будет Н/Кл, а в системе СГС — дин/СГС^. Эта последняя единица называется абсолютной электростатической единицей напряженности (С「Се)・ Соотношение между приведенными единицами

1 昇==10-4СГСе・

При положительном заряде +д, образующем поле, вектор напряженности направлен вдоль радиуса от заряда, при отрицательном ——q — вдоль радиуса по направлению к заряду.

Если поле образовано не одним зарядом, а несколькими, то силы, действующие на пробный заряд, складываются по правилу сложения —шряженность системы зарядов в данной точке

поля равна векторной сумме напряженностей полей от каждого заряда в отдельности

i—n

E = E】 + Ez+ = £ Ej・ (7.9) i=i

Данное положение называется принципом суперпозиции (наложения) электрических полей.

Согласно принципу суперпозиции электрических полей можно найти напряженность в любой точке поля двух точечных зарядов +gi и —夕2 (рис. 7-1). Сложение векторов Ei иЕ2 производится по правилу параллелограмма. Направление результирующего вектора Е находится построением, а его абсолютная величина может быть подсчитана по формуле

E = V& + Е；—ZEiE/osa,(7.10)

где а — угол между векторами Ei и Е2.

Рассмотрим поле, создаваемое диполем. ^Электрический диполь — это система зарядов, равных по величине (qi=qz=q) и противоположных по знаку, расстояние между которыми мало по сравнению с расстоянием до рассматриваемых точек поля.

Основной характеристикой диполя является электрический дипольный момент р, определяемый как вектор, направленный от отрица-

p=g・Lp=g・Lтельного заряда к положительному 〃 равный произведению заряда g на плечо диполя 1:

p=g・L

p=g・L

(7.Н)

Плечо диполя 1 также является вектором, направленным от отри

цательного заряда к положительному, и определяет расстояние между

зарядами. Линия, проходящая через оба заряда, называется осью диполя.

Определим напряженность электрического поля в точке, лежащей посередине на оси диполя (рис. 7-2, а)・ Напряженность поля Е в точке В равна векторной сумме напряженностей Е‘ и Е", создаваемых отрицательным и положительным зарядами в отдельности. На оси диполя между зарядами —g и +g векторы напряженностей Е‘ и Е" направлены в одну сторону, поэтому результирующая напряженность по абсолютной величине равна их сумме.

Если же находить напряженность в точке А, лежащей на продол

жении оси диполя, то векторы Е' и Е" будут направлены в разные стороны и результирующая напряженность по абсолютной величине будет

равна их разности, т. е.

1Г—2_1

илиили—4л80е [& —〃2)2 (г + //2)2 J，

или

или

丄 & + 〃2)2一(Г一〃2)2• (г —//2)2.(г+ //2)2 '

где 广一расстояние между средней точкой диполя и точкой, лежащей на оси диполя, в которой определяется напряженность поля.

Пренебрегая в знаменателе величиной (Z/2)2, так как 吟＞/, получим

(7.12)(7.12)Е = ―, или Е = »,

(7.12)

(7.12)

4冗£庐'4Л808Г3 *

где р ——электрический момент диполя.

В системе СГС данная формула будет иметь вид

(7.12а)

Вычислим напряженность поля в точке С, лежащей на перпендикуляре, восстановленном из средней точки диполя (рис. 7-2,6).

Так как 厶=广&, то имеет место равенство

Вектор результирующей напряженности в точке С по абсолютной величине равен

Е = Ef cosa + Е〃 cos а = ^^ * • cos а.

Из рисунка видно, что cos а = — , тогда

Е= 12g 〃2= 1ql .

一4门院0 f2 ，1 一 4Л880 r! ,

Так как「»/, то можно приближенно считать r^r, и формулу для расчета напряженности в точке, лежащей на перпендикуляре, восставленном из средней точки диполя, представить в следующем виде:

(7.13)(7.13)Е = $(в СИ);

(7.13)

(7.13)

Е = ~ (в системе Гаусса).

Напряженность поля диполя в произвольной точке определяется по формуле

E = $H +3cos2a (в СИ);

° /}(7.14)

Е =券丿 1+3 8s2 а (в системе Гаусса),

где р —электрический момент диполя;厂——расстояние от центра диполя до точки, в которой определяется напряженность поля, а ——угол между радиусом-вектором г и плечом диполя 1.

Пример.

Два одинаковых точечных заряда ^=(72= 10"6 Кл находятся на расстоянии R= = 0,06 м один от другого (рис. 7-3). Определить напряженность поля: 1) в точке В, находящейся на середине отрезка, соединяющем данные заряды; 2) в точке Л, находящейся на перпендикуляре, восстановленном в центре отрезка, соединяющего заряды, на расстоянии /г=4 см от этого отрезка.

Решение. Напряженность поля Е, создаваемого точечными зарядами, находится по принципу суперпозиции, т. е. наложением полей. Таким образом, Е опреде

ляется векторной (геометрической) суммой напряженностей, создаваемых каждым зарядом в данной точке поля: Е=ЕХ+Е2.

Напряженность поля первого точечного заряда равна

а для второго точечного заряда

где % н 倣一заряды, образующие поле, г ——расстояние от заряда до точки, в которой

вычисляется напряженность, е ——относительная диэлектрическая проницаемость среды, 80 ——электрическая постоянная.

Чтобы определить напряженность в точке В (см. рис. 7-3), надо сначала построить векторы напряженностей полей от каждого заряда. Так как заряды положительные, то векторы напряженностей Е' и Е" направлены в разные стороны от точки В по прямой, соединяющей ее с зарядами.

По условию %=%，поэтому

== 0

“4л880Г24л880Г2'

е. напряженность поля в середине отрезка равна нулю.

В точке А напряженность находится путем геометрического сложения векторов Е[ и Е2 (см. рис. 7-3).

Напряженность в точке А будет Еа—Е1 cos a+J cos а. Так как по условию %=%，т。

4л880г1

Из рисунка видно, что

疋=月2 + r2/4 и cos a =丄='•--

a//l2 +2^2/4

Тогда

Ед — ^Еу cos а = 2红也一-.

4冗能q(/i2 + R2/4) }^h2 + R2/4

Подставляем числовые данные с размерностями и производим вычисления:

10-6 Кл・0,04 м

” 2л. 1.8,85.10-12Кл/(Н-м2) ^(0,04)2+^Ц^jм2• |/ (0,04)2 + ^^м，

Еа дй 3-106 н/Кл.

§ 4. Поток вектора напряженности.Электрическое смещение

Электростатическое поле наглядно можно изобразить с помощью силовых линий (линий напряженности). Силовыми линиями называются кривые, касательные в каждой точке к которым совпадают с направлением вектора напряженности Е.

Силовые линии являются условным понятием и реально не существуют.

Силовые линии одиночных отрицательного и положительного зарядов изображены на рис. 7-4.

Так как в качестве пробного заряда, при помощи которого исследуется поле, был взят положительный заряд, то при внесении его в поле положительного заряда силы направлены в сторону от этого заряда. Поэтому считают, что силовые линии выходят из положительного заряда и входят в отрицательный.

В случае поля, образованного несколькими неподвижными зарядами, силовые линии могут иметь самую различную конфигурацию. Совокупность силовых линий позволяет судить об изменении направ-

ления и величины вектора Е в пространстве, характеризует строение электрического поля (его конфигурацию).

Электростатическое поле считается однородным, когда густота и направление силовых линий по всему объему поля сохраняются неизменными. Такое поле графически изображается равноотстоящими друг от друга параллельными прямыми линиями.

Внутри области, не имеющей особых точек (точек, где напряженность равна нулю) и не содержащей границы двух диэлектриков,

Рис. 7-4

электрические силовые линии — плавные кривые: они не имеют изломов или разветвлений, не пересекаются и через каждую точку поля можно провести только одну силовую линию.

Для того чтобы силовые линии характеризовали не только направление поля, но и значение его напряженности, число линий должно быть численно равно напряженности поля Е. Число линий подсчитывается на единице поверхности, перпендикулярной к каждой силовой линии. В случае одиночного заряда эта площадка будет частью шаровой поверхности.

Число силовых линий %е, пронизывающих площадку S, перпендикулярную к ним, определяет поток вектора напряженности электростатического поля.

В общем случае поток вектора напряженности через поверхность S равен

Ne貝E^dS,(7.15)

где Еп — проекция вектора Е на нормаль п к поверхности.

В случае однородного поля и плоской поверхности поток вектора Е через площадку S или ее проекцию S' равен (рис. 7-5).

Ne=ES cos а или NE=EnS,(7.16)

где а — угол между векторами Е и нормалью п к поверхности S.

Предположим, что мы определяем напряженность в точке, лежащей на границе раздела двух сред: воздуха(£^1) и воды(£=81). В этой точке при переходе из воздуха в воду напряженность электростатиче-

ского поля согласно формуле (7.8) умень-*

шится в 81 раз; во столько же раз 丿"\ уменьшится поток вектора напряжен-——| \ ности. При решении различных задач (

на расчет полей прерывность вектора瓜一 —»

напряженности E на границе раздела尸弋《―仅 1 \ *、厂

сред и в диэлектриках создает опреде- ——I~夫-J^~>•

ленные неудобства. Чтобы избежать их, 一|一 />、 вводится новый вектор D, который на- 匚 卜丁 一 зывается вектором электрического сме- * к ” а

щения (вектор индукции). Вектор элек-Рнс. 7.5

трического смещения численно равен

произведению вектора Е на абсолютную диэлектрическую проницаемость среды %=Е()Е, т. е.

(7.17)(7.17)или в скалярной формеили в скалярной формеD^^EqeE.В системе СГС принимается е0=1, поэтому D=eE.D^^EqeE.В системе СГС принимается е0=1, поэтому D=eE.(7.17а)(7.17а)(7.176)(7.176)D = %Е = £0&Е,

(7.17)

(7.17)

или в скалярной форме

или в скалярной форме

D^^EqeE.

В системе СГС принимается е0=1, поэтому D=eE.

D^^EqeE.

В системе СГС принимается е0=1, поэтому D=eE.

(7.17а)

(7.17а)

(7.176)

(7.176)

Из сравнения формул (7.8) и (7.17а) следует, что для поля точечного заряда

D$・％(7.18)

В СИ электрическое смещение измеряется в Кл/м2.

Выражение (7.18) показывает, что электрическое смещение не зависит от свойств среды. Поле вектора D графически изображается аналогично полю вектора напряженности Е.

§ 5・ Теорема Остроградского — Гаусса

Так как строгий вывод теоремы Остроградского — Гаусса довольно сложен и выходит за пределы нашего курса, то сделаем вывод данной теоремы для частного случая, который достаточно убедительно поддается обобщению. Теорема Гаусса позволяет определить поток вектора напряженности от любого количества зарядов. Вначале определим поток вектора напряженности через шаровую поверхность, в центре которой расположен точечный заряд.

По формуле (7.15) имеем Ne= J EndS. Так как Еп=Е cos а (см.

s

рис. 7-5), то для шаровой поверхности (cos а=1) получим

Ne = E・4 冗 С.

Используя формулу напряженности (7.8), находйм

(7.19)

или в системе Гаусса

3£・д・(7.19а)

Таким образом, из каждого точечного заряда выходит поток вектора напряженност и, равный ^/880- Путем обобщения данного положения выводится теорема Остроградского —— Гаусса для общего случая: полный поток вектора напряженности через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на абсолютную диэлектрическую проницаемость % = ££(), т. е.

4 =(7.20)

где qj ——заряд, заключенный внутри поверхности, п — число зарядов.

В системе Гаусса будем иметь

i-n

心=譬？产(7.20a)

Для потока Nd вектора электрического смещения (вектора индукции) можно получить аналогичную формулу

i — n、

N°=£% (В СИ);

点?(7.21)

Nd = 4h 2 % (в системе СГС),

т. е. поток индукции через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Если взять замкнутую поверхность, не охватывающую заряд д, то каждая линия индукции (или напряженности) будет пересекать ее дважды: один раз она войдет в поверхность, другой раз выйдет из нее. Поэтому алгебраическая сумма линий индукции, проходящих через замкнутую поверхность, число которых определяет полный поток индукции N。через эту поверхность, будет равна нулю (N°=0).

Прежде чем рассмотреть несколько частных случаев применения теоремы Остроградского ——Гаусса для определения напряженностей различных электростатических полей, введем понятие о плотности зарядов.

Линейная плотность заряда есть физическая величина, характеризующая его распределение вдоль нити (линии) или тонкого цилиндрического тела и численно равная отношению заряда к длине элемента нити, т. е.

У 贯，(7.22)

а при равномерном распределении заряда по всей длине линейная плотность

Т—=^//.Т—=^//.(7.22а)

Т—=^//.

Т—=^//.

Единицей измерения t в СИ будет 1 Кл/м.

Если заряд dq распределен по некоторому объему dV, то очевидно, что объемная плотность заряда будет численно равна отношению заряда к элементу объема:

Р =黑，(7.23)

а при равномерном распределении заряда

(7.23а)(7.23а)Р=9/К

(7.23а)

(7.23а)

Ее единицей в СИ является 1 Кл/м3.

В тех случаях, когда заряд dq распределен по элементу поверхности dS и глубина проникновения заряда пренебрежимо мала, то поверхностная плотность заряда будет определяться соотношением

о

=嘉・

(7.24)

Если общий заряд q равномерно распределен по площади S, то

o=〃S.

(7.24а)

Поверхностная плотность о измеряется в СИ в Кл/м2.

1. Вычислим напряженность электростатического поля, создавае

мого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Предположим, что сферическая поверхность радиуса R несет на себе равномерно распреде- / ленный заряд д, т. е. поверхностная плотность / о заряда в любой точке сферы будет одина-『

кова.

Возьмем точку 4, отстоящую от центра сферической поверхности на расстоянии г (рис. 7-6). Мысленно проведем через точку А новую сферическую поверхность S, симметричную заряженной сфере.

В соответствии с формулой (7.15) поток вектора напряженности через поверхность

Ne = \ Еп dS = Е -4№.

s

А

Т

Рис. 7-6

S

будет равен

Но по теореме Гаусса N.E—q/^Q. Следовательно,

Е= 4 9 2 (в СИ);

4Л88ОГ2 ' 八

Е =亲(в системе СГС).

при

>R имеем

(7.25)

Сравнивая это соотношение с формулой для напряженности поля точечного заряда, можно прийти к выводу, что напряженность поля вне заряженной сферы такова, как если бы весь заряд сферы был сосредоточен в ее центре.

Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии с уравнением (7.25) можно написать:

Е =姦(в системе СГС).

Проведем через точку В, находящуюся внутри заряженной сферической поверхности, сферу S' радиусом r'VR・ Внутри сферы S' зарядов нет, так как все они расположены на внешней сферической поверхности, т. е. 2 9х=0・ Следовательно, по теореме Гаусса, ^=0, и напряженность электростатического поля внутри полой равномерно заряженной сферы будет равна нулю (Е=0).

Определим напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром).

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной поверхностной плотностью а. Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса OR.

Поток вектора напряженности через эту поверхность будет равен Ne = § Еп • dS = Е • 2лг/.

s

По теореме Гаусса имеем

i—n

Nе =丄% = ~ o2nR厶

Приравнивая правые части данных уравнений, получим

£ = ^•4 (в СИ);]

£ = ^4(всистемеСГС).)依7)

Согласно формуле (7.22а) находим, что линейная плотность заряда цилиндра равна

t = ¥= 5号竺= er・2jtR, откуда о = ^^・

Используя это равенство, находим

(7.28)(7.28)e=^7e eН)；

(7.28)

(7.28)

Е =空(в системе СГС).

Вычислим напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью.

Предположим, что плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен а. Из законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то поля по обе стороны плоскости должны быть одинаковыми по величине.

Ограничим часть заряженной плоскости / воображаемым прямоугольным ящиком 2 (Гауссова поверхность) таким образом, чтобы ящик рассекался пополам (рис. 7-7). Две грани ящика, имеющие площадь S каждая, должны быть параллельны заряженной плоскости. Суммарный поток вектора напряжен

ности равен вектору Е, умноженному :на площадь S первой грани, плюс поток вектора Е через противоположную грань. Поток напря

женности через остальные грани равен нулю, так как линии напря

женности их не пересекают.

Повторяя предыдущие рассуждения и применяя теорему Остроградского —Гаусса, получим

(7.29)(7.29)E.S + E^^.

(7.29)

(7.29)

Но Е1=Е?=Е, тогда напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости будет равна

(7.30)(7.30)Е=^(в СИ);

(7.30)

(7.30)

Е =(в системеЕ =(в системеСГС).СГС).В формулу (7.30) не входят координаты точки, в которой определяется напряженность поля. Следовательно, электростатическое поле

Е =(в системе

Е =(в системе

СГС).

СГС).

бесконечной равномерно заряженной плоскости будет однородным, а напряженность его в любой точке поля одинакова.

Определим напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными разноименно с одинаковыми плотностями.

Как видно из рис. 7-8, напряженность поля между двумя бесконечными параллельными плоскостями, имеющими поверхностные плотно-

сти зарядов —о и +о, равна сумме напряженностей полей, создаваемых обеими пластинами, т. е.

(7.31)(7.31)e=马+马=备+得=訟eСИ), Е =^^ (в системе СГС).

(7.31)

(7.31)

Вне пластин векторы Е от каждой из них направлены в противоположные стороны и взаимно уничтожаются. Поэтому напряженность поля в пространстве, окружающем пластины, будет равна нулю (£*=())•

Работа сил поля при перемещении заряда

Элементарная работа, совершаемая силой 尸 при перемещении точечного электрического заряда ^пр из одной точки электростатического поля в другую на отрезок пути ds, по определению, равна d4=F・ds・cos а,

где а — угол между F и направлением движения.

Если работа совершается внешними силами, то d4V0； если силами поля, то 力4>0・ Интегрируя последнее выражение, получим, что работа против сил поля при перемещении %р из точки а в точку b будет

ь

Д =—，尸・ds・cosa,(7.32)

где F=Eqnp—кулоновская сила, действующая на «пробный» заряд 9пр в каждой точке поля с напряженностью Е. Тогда работа

ь

力=—，Eg11Pds • cos а.(7.33)

Предположим, что результат интегрирования будет зависеть от пути интегрирования или пути перемещения единичного заряда из точки a в точку Ь. Но если бы интеграл (7.33) зависел от пути, то можно было бы перемещать заряд от а к 6 по тому пути, где А меньше, а возвращаться по тому пути, где А больше, и «получить» энергию большую, чем вначале было затрачено. Однако из поля можно «извлечь» энергию только при условии перемещения зарядов, создающих поле, т. е. изменяя при этом само поле. Но в электростатике заряды, создающие поле, неподвижны, и тогда нет способа извлечения из поля энергии при условии, что закон сохранения энергии в электростатике справедлив.

Докажем теперь, что работа, совершаемая при перемещении заряда в электростатическом поле, зависит только от начального и конечного положений заряда.

Пусть «пробный» заряд ^пр перемещается в поле заряда q из точки а, удаленной от q на расстояние q, в точку 6, удаленную от q на расстоя-

—180 —

ние г?, по пути aafb (рис. 7-9, а). Поле точечного заряда радиально, поэтому работа на участке 図'не производится, так как перемещение совершается перпендикулярно вектору Е. Следовательно, работа переноса «пробного» заряда ^пр от а к b равна

99np f dr4Л880 J г299np f dr4Л880 J г2(7.34)(7.34)

99np f dr4Л880 J г2

99np f dr4Л880 J г2

(7.34)

(7.34)

Выберем теперь более сложный путь перемещения пробного заряда (см. рис. 7-9, 6). Траекторией его движения будет то дуга окружности,

то радиус. Каждый раз, когда путь dr идет по радиусу, интегрируется 尸. По первому радиальному участку интеграл берется в пределах от га до %,, по следующему ——от %, до %， и т. д. Сумма всех этих интегралов равна общему интегралу в пределах от а до %， т. е. ответ получается тот же, что и в первом случае. Очевидно, что и для любого пути, составленного из произвольного числа участков такого же вида, получится тот же результат. Для любых траекторий расчет работы по перемещению заряда в электростатическом поле более сложен, но приво

дит к аналогичному результату, т. е.

ь

A=-\Eqnvds,(7.35)

где интеграл берется по любому пути от начальной точки а до конечной точки Ь.

Потенциал. Эквипотенциальные поверхности

Из формулы (7.35) следует, что работа 〃。перемещению заряда из точки а в точку Ь не зависит от формы пути, по которому движется пробный заряд, а зависит только от положения точек а и Ь\ поэтому работа, очевидно, равна убыли потенциальной энергии W этого заряда, т. е.

W^W^ (7.36)

Если выполняемая работа зависит только от положения в электростатическом поле начала и конца пути, то она может быть выражена в виде разности двух чисел.

Возьмем производную точку К и обозначим работу по перемещению «пробного» заряда дпр от К до а через <р (а), а от К до & — через 屮(Ь)・ Затем осуществим перемещение этого заряда от а к b по пути а->К->}・

Так как работу перехода К+а мы обозначили через 屮(а), то обратный переход ат К будет —屮(а). С учетом этого получим

ь

А = — \ Е^пр ds = <р (а) — ф (6).(7.37)

Так как в данном случае играет роль лишь разность значений функции ф, то положение точки К в сущности безразлично. Однако, задавая координаты точки К, мы однозначно определяем величины 屮(а),(р(&) и функцию 屮 вообще, хотя на величину разности 屮(а)—屮(b) положение точки К и не влияет. Как только отправная точка К выбрана, число 屮 определяется в любой точке пространства.

Отсюда следует очень важный вывод: величина 屮 является скаляром электростатического поля и функцией координат х, у, г. Эта скалярная функция 屮 называется потенциалом электростатического поля. Отправная точка К для удобства расчетов во всех случаях помещается в бесконечность. Потенциал бесконечно удаленной точки принимается равным нулю, т. е. 9^=0.

Потенциалом электрического поля называется физическая величина, равная отношению потенциальной энергии, которую приобретает положительный заряд дпр, если его перенести из бесконечности в данную точку пространства, к этому заряду, т. е.

屮(7・38)

Потенциал является энергетической характеристикой поля; он численно равен работе, которую надо затратить против сил электрического поля при перенесении единичного заряда из бесконечности, где потенциальная энергия условно считается равной нулю, в данную точку поля.

Из формул (7.34) и (7.37) получаем следующее выражение для потенциала поля, созданного точечным зарядам д:

小叫 1(7.39)

(р = ^ (в системе СГС).丿

Когда поле образовано несколькими произвольно расположенными зарядами %, д?, • • •,夕几,потенциал его 屮 в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов q)i,屮2,・・•，屮九,создаваемых каждым зарядом в отдельности, т. е.

i—n

屮=2 %•・(7.40)

I = 1

Если заряды %, д2, • • •, ?п можно считать точечными, то суммарный потенциал будет равен

屮=蒜(^ + ^+-・♦+ ^)，亿铀

где「1,「2, • • •, % — расстояние от зарядов соответственно ^, q?,…，q^ до данной точки поля.

Если поле образовано электрическим диполем (см. § 3), то вычисления показывают, что потенциал в какой-либо точке поля, отстоящей от центра диполя на расстоянии г, определяется формулой

cos а (в СИ);

(7.42)(7.42)，4лее0г2 ' 八

(7.42)

(7.42)

(р =乌cosa (в системе СГС),

где p=ql — электрический момент диполя (I — плечо диполя), а — угол между радиусом-вектором г и плечом диполя /(г»/).

Когда точка лежит на оси диполя, то а=0, и потенциал в этой точке будет равен

0一4Л肥（/2屮吋（b0一4Л肥（/2屮吋（b(в СИ);системе СГС).(в СИ);системе СГС).(7.42а)(7.42а)

0一4Л肥（/2屮吋（b

0一4Л肥（/2屮吋（b

(в СИ);

системе СГС).

(в СИ);

системе СГС).

(7.42а)

(7.42а)

Все точки, лежащие на перпендикуляре к плечу диполя, восставленном из его середины, имеют потенциал, равный нулю ((р=0), так как а=90°・

Если из точки а в точку b электростатического поля перемещается заряд д', то при этом совершается работа против электрических сил, равная [см. (7.36) и (7.38)]:

4,2 = %—吃=—д' (%—屮J, (7.43) где 屮1 и 屮2 — потенциалы поля в точках а и b, или

4,1=д'®—%), (7.44)

т. е. работа перемещения заряда, совершаемая полем, измеряется произведением заряда д', переносимого в электростатическом поле, на разность потенциалов конечной ((р2) 〃 начальной (屮。точек пути 〃 не зависит от формы пути.

Совокупность точек, имеющих равный потенциал, образует так называемую эквипотенциальную поверхность, или поверхность равного потенциала (ф=const). С их помощью также можно графически изобразить электростатическое поле.

На рис. 7-10 показано электрическое поле равномерно заряженного диска: сплошные линии — линии напряженности; пунктирные — эквипотенциальные поверхности. Этот рисунок иллюстрирует общее свойство силовых линий и эквипотенциальных поверхностей: силовая линия, проведенная через любую точку, и эквипотенциальная поверхность в этой точке взаимно перпендикулярны (см. пунктир на рис. 7-4). Так как все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, т. е.(рх——(р2=0, то при перемещении заряда вдоль нее работа не совершается. Отсюда следует, что вектор силы, действующей на заряд, а значит, и вектор напряженности все время перпендикулярен к перемещению.

Рис. 7-10Рис. 7-10Следовательно, если заряд перемещается по эквипотенциальной поверхности (ср=const), то работа поля равна нулю:

Рис. 7-10

Рис. 7-10

4 2,i=g'(屮 2-Ф1)=0'(屮一ф) =0・

В общем случае работа перемещения заряда д', совершаемая

полем, равна

A = qr\Esds. (7.45) где Es — проекция вектора напряженности Е на направление перемещения, ds ——элементарное перемещение.

Для однородного поля в результате интегрирования выражения (7.45) получим

A=q'Es cos а, (7.46) где s ——путь, а ——угол между направлениями вектора Е и перемещения.

Связь между потенциалом и напряженностьюэлектростатического поля

Рассмотрим две точки с координатами (х, у, г) и (х+Дх, у, г), между которыми перемещается единичный заряд. Работа, которую надо совершить против сил электростатическогаполя, чтобы перенести этот заряд из одной точки в другую, численно равна разности потенциалов в этих точках, т. е.

% =中(% + A%,协 г) -(p(%, у. 2)=患A%.

Но согласно формуле (7.35) работа по перемещению единичного заряда (д' = 1) на том же отрезке выражается формулой

*+Ах

Дед =— S Е dx = — Ех Дх,

где Ех ——проекция вектора напряженности на координатную ось X. Приравнивая правые части этих уравнений, получим

j=一患，(7.47)

По аналогии запишем

У dy ' z dz

Вектор напряженности Е электростатического поля нормален к эквипотенциальным поверхностям. Поэтому, если вместо направляющих координат х, у, z взять нормаль п к эквипотенциальным поверхностям, то составляющие вектора Ех, Е% EzB данных уравнениях можно будет заменить на Е, и тогда

Е =—翌， (7.48)

или в векторной форме

(7.48а)(7.48а)Е =—禦

(7.48а)

(7.48а)

Величина d(p/dn, характеризующая быстроту изменения потенциала в направлении силовой линии, называется градиентом потенциала и обозначается grad ср. Поэтому предыдущее выражение можно переписать в таком виде:

Е = —gradcp.

Следовательно, вектор напряженности Е численно равен градиенту потенциала, но направлен в противоположную сторону — в сторону падения потенциала.

Определим напряженность электростатического поля между двумя бесконечными параллельными заряженными пластинами, имеющими постоянные потенциалы q)i и(р2 каждая, а расстояние между ними равно d. Так как заряды на пластинах распределены равномерно, электростатическое поле между пластинами является одновременно. (Напряженность поля Е одинакова во всех точках между пластинами.) Силовые линии пер пенди ку л яр ны пластинам, а эквипотенциальные поверхности параллельны им. Применим уравнение (7.48) к данному случаю:

(7.49)(7.49)£ —中1一中2 一巨

(7.49)

(7.49)

2d

где(pi——屮2= U — разность потенциалов между пластинами, обычно называемая напряжением.

Разность потенциалов (напряжение) является важной характеристикой электростатического поля, так как при любых расчетах важно знать не абсолютные значения потенциалов в каких-либо двух точках поля, а именно разность потенциалов между ними. Когда говорят о потенциале в данной точке поля, подразумевают разность потенциалов между этой точкой и другой, потенциал которой условно считают равным нулю (например, принимают равным нулю потенциал Земли).

Согласно формуле (7.38) потенциал и разность потенциалов (электрическое напряжение (/) в СИ измеряются в вольтах:

1В = ^5^

2 1Кл ・

Разность потенциалов между двумя точками поля равна 1 В, если при перемещении между ними заряда 1 Кл совершается работа, равная 1 Дж.

В системе СГС аналогичная единица обозначается 1 СГСи； соотношение между этими единицами

1С「Си = 300В.

Как следует из формулы (7.49), напряженность электрического поля в СИ измеряется в вольтах на метр (В/м), что соответствует Н/Кл (см. § 3), а в системе СГС — в единицах СГСЕ：

1С「Се = 3・104 В/м.

Пример.

К пластинам плоского конденсатора D приложено напряжение 600 В. Поверхностная плотность зарядов на его пластинах а=3,20-10~4 Кл/м2. Определить расстояние между пластинами.

Решение. Напряженность поля конденсатора

E=U&

где U — напряжение на пластинах конденсатора, d — расстояние между ними.

Выразим напряженность полй через поверхностную плотность о заряда на пластинах конденсатора по формуле (7.31)

E=g/88o，

где £= 1 (диэлектрик — воздух), е0 ——электрическая постоянная.

Приравнивая правые части приведенных уравнений, получим

^=_ , откуда d = — .

Вычисляя, находим

/ 6ОО.Ь8,85-10-!2[ а「с 5

d=-帝6：1^б — м=1,65・10-5 м.

Проверка размерности:

В-Кл2-м2 Джlul = о= m.

м・Н・м・Кл Н

§ 9・ Проводники и диэлектрики. Поляризация диэлектриков

В проводниках электрические заряды могут свободно перемещаться под действием поля. Если проводниками являются жидкости и газы, то в них движутся как положительно, так и отрицательно заряженные частицы: положительные и отрицательные ионы и электроны. В металлах же проводимость обусловлена только движением электрически отрицательных частиц — электронов.

Жидкости и газы в обычном состоянии являются плохими проводниками электричества. Если же газ ионизировать, а в жидкости растворить какую-либо соль (такой проводящий раствор будет называться электролитом}, то проводимость их увеличится. Электролиты —— это

D Плоский конденсатор представляет собой две параллельные пластины, расположенные на небольшом расстоянии друг от друга так, что поле практически сосредоточено полностью в пространстве между ними (см. § 13).

вещества и системы, обладающие ионной проводимостью, т. е. ионные проводники.

Свободные заряды, имеющиеся в любом проводнике, перемещаются под действием внешнего электрического поля и спустя очень малый промежуток времени создают обратное поле, полностью компенсирующее внешнее. Поэтому напряженность электрического поля внутри проводника (при отсутствии тока) равна нулю (Е=0)・

Термин «диэлектрик» был введен М. Фарадеем. Диэлектриком является любая среда (газ, жидкость или твердое тело), в которой длительное время может существовать электрическое поле. В отличие от проводников в диэлектриках отсутствуют свободные электрические заряды.

В диэлектрике внешнее электрическое поле вызывает поляризацию атомов, молекул или ионов, суммарное электрическое поле которых является обратным полем поляризации. Это поле в отличие от обратного поля проводника всегда меньше внешнего. Поэтому напряженность макроскопического поля в диэлектрике имеет конечное значение.

Под поляризацией диэлектриков понимают такое изменение состояния вещества, при котором любой элемент его объема во внешнем электрическом поле приобретает электрический дипольный момент.

Различают поляризацию диэлектриков, возникающую под действием внешнего электрического поля и исчезающую после его удаления, а также самопроизвольную (спонтанную) поляризацию. Существует группа материалов, так называемых сегнетоэлектриков, в которых содержатся самопроизвольно (спонтанно) поляризованные области (домены). Если сегнетоэлектрик поместить во внешнее электростатическое поле, то происходит переориентация доменов. Сегнетоэлектрики обладают высокой диэлектрической проницаемостью.

Поляризация остальных диэлектриков осуществляется только под воздействием внешнего электрического поля. При этом различают три вида поляризации: электронную, ионную и дипольную.

Если атом находится во внешнем электрическом поле, то под действием этого поля электронные оболочки атомов немного сдвигаются относительно ядра. Это смещение происходит почти без потери времени, примерно за 10~15 сек. Возникает электронная поляризация. Она вполне упруга и при выключении внешнего поля полностью исчезает за то же время.

Смещение электронных оболочек приводит к образованию дипольного момента в отдельном атоме, так как центры тяжести положительного и отрицательного зарядов атома перестают совпадать. Смещение электронных оболочек у всех атомов происходит в одном направлении, поэтому образующиеся дипольные моменты будут одинаково ориентированы в пространстве. Нарушение правильной ориентировки дипольных моментов атомов (и молекул) будет происходить только лишь в связи с их неупорядоченным тепловым движением.

Ионная поляризация происходит в ионных кристаллах, в которых внешнее электростатическое поле вызывает упругие смещения ионов из их равновесных положений в кристаллической решетке. Эти смещения могут происходить столь же быстро, как и при электронной поля-

ризации. Поскольку при тепловом расширении кристалла силы взаимодействия между ионами ослабевают, то ионная поляризация, как правило, растет при увеличении температуры.

Дипольная поляризация обусловлена тем, что центры тяжести положительного и отрицательного зарядов молекул некоторых веществ несколько сдвинуты относительно друг друга и каждая молекула имеет свой дипольный момент p=ql (q ——заряд положительный или отрицательный, / ——расстояние между центрами тяжести зарядов). Если дипольный момент не изменяется под влиянием внешнего электрического поля, то такая молекула называется жесткой дипольной молекулой, например молекула воды. Векторы дипольных моментов отдельных молекул в обычном состоянии из-за теплового движения ориентированы хаотически, поэтому при отсутствии внешнего электрического поля сами дипольные молекулы не могут создать собственное электрическое поле внутри образца. В результате суммарный дипольный момент диэлектрика равен нулю:

£ Pi = 0・ i = l

Внешнее электрическое поле ориентирует дипольные моменты отдельных молекул, и диэлектрик приобретает определенный макроскопический дипольный момент. За меру поляризации диэлектрика принимается вектор Р, равный отношению дипольного электрического момента диэлектрика к его объему:

t —п

严(7.50)

где pz — вектор дипольного момента молекулы, п — число дипольных молекул (частиц), содержащихся в объеме V диэлектрика.

Вектор Р называется вектором поляризации (или поляризован- ностью); он прямо пропорционален напряженности внешнего электрического поля и выражается формулой (в скалярной записи)

(7.51)(7.51)Р = %%Е (в СИ);

(7.51)

(7.51)

Р = %Е (в системе СГС),

где % ——коэффициент пропорциональности, которой называется диэлектрической восприимчивостью диэлектрика.

Из формулы (7.11), согласно которой p=ql, можно определить единицу электрического дипольного момента. Этой единицей в СИ будет 1 Кл-м. Тогда из выражения (7.50) следует, что вектор поляризации (поляризованность) в СИ измеряется в Кл/м2.

Пропорциональность между поляризованностью Р и напряженностью Е внешнего электростатического поля объясняется в случае электронной и ионной поляризации тем, что с увеличением Е растут дипольные моменты отдельных атомов pz. При дипольной поляризации можно считать р尸const, но в этом случае пропорционально увеличе-

нию напряженности внешнего электростатического поля улучшается ориентация векторов р. Дело в том, что на диполь, помещенный в электрическое поле, действует механический момент, который поворачивает диполь и определенным образом ориентирует его относительно силовых линий поля.

Докажем, что механический момент, поворачивающий диполь, прямо пропорционален вектору Е. Электрический момент диполя, изображенного на рис. 7-11, равен p=ql; он составляет с вектором Е угол а.

На положительный заряд диполя +q действует сила, совпадающая по направлению с вектором Е и равная Fi=qE, а на отрицательный ——противоположно направленная и равная 尸2=—qE. Механический момент этой пары сил равен

M=Fl sin a=qEl sin a.

(7.52)(7.52)Так как ql=p, то M=pE sin a,

(7.52)

(7.52)

т. е. при неизменном дипольном моменте молекулы (р=const) механический момент, действующий на нее, пропорционален напряженности £ внешнего электрического поля и зависит от угла между векторами р и Е.

На рис. 7-11 видно, что внешнее электрическое поле стремится повернуть диполь таким образом, чтобы вектор его электрического момента р совпал по направлению с вектором Е. В этом случае а=0, а следовательно, и М=0. При отклонении диполя от этого положения снова возникает механический момент, который возвращает диполь в первоначальное положение. Дипольная поляризация диэлектрика из-за механизма этого явления часто называется ориентированной поляризацией.

§ 10. Напряженность поля в диэлектрике

Заряженное тело содержит в себе так называемые свободные заряды: электроны или ионы того или иного знака. Электрический диполь, хотя он в целом электрически нейтрален, также содержит в себе отрицательный и положительный заряды. Эти заряды называются связанными. Электрические поля связанных зарядов при беспорядочном расположении диполей взаимно компенсируют друг друга. Если диэлектрик попадает во внешнее электрическое поле, то электрические диполи приобретают в нем определенную ориентацию и связанные заряды создают внутри диэлектрика электростатическое поле, вектор напряженности Е' которого противоположен вектору напряженности Ео внешнего поля. В результате внутри диэлектрика происходит ослабление электростатического поля Ео на величину Е', т. е. суммарное поле будет

Е=Е。一Е'・(7.53)

Предположим, что слой однородного диэлектрика находится между двумя бесконечными параллельными плоскостями, которые имеют поверхностные плотности зарядов +о и —а. В результате поляризации поверхности диэлектрика также приобретают поверхностные плотности заряда ——o' и +о', причем около положительно заряженной пластины будет находиться отрицательно заряженная поверхность диэлектрика.

Так как напряженность внешнего поля Fo определяется при е==1, то согласно формуле (7.17а) можно записать Eq=D]&q, и тогда

откуда

О=е0£+е0^.(7.54)

Применяя формулу (7.31) и учитывая, что е=1, получим

D=£qE+『・(7.55)

Выразим поверхностную плотность заряда диэлектрика『через вектор поляризации Р. В диэлектрике мысленно выделим цилиндр таким образом, чтобы образующая его была параллельна вектору напряженности поля, а площадь основания — пер пен ди ку л яр на ему. Если площадь основания dS, то поляризационный заряд в основании цилиндра будет

dq'=(j'dS・

Если толщина диэлектрика (длина образующей цилиндра) равна 厶 то электрический момент цилиндра будет равен

dp=dqr * /=o'dS • 2=o'dV\

где dV — объем цилиндра.

Согласно определению можно записать, что поляризованность Р равна

т °(7.56)

Подставив данное выражение в формулу (7.55), получим

(7・57)(7・57)D = %E + P (в СИ);

(7・57)

(7・57)

D — E + 4кР (в системе Гаусса).

Произведя замену О=880Е и Р=г^Е [см. (7-17а) и (7.51)], будем иметь

880E=eQE+eQ%Ef откуда находим

(7.5-8)(7.5-8)е=1+% (в СИ);

(7.5-8)

(7.5-8)

е=1+4砍(в системе СГС).

190 —-*

Данное соотношение устанавливает связь между диэлектрической проницаемостью £ и диэлектрической восприимчивостью %.

Так как 8 — безразмерная величина, то и % измеряется в безразмерных единицах.

§ 7/. Пьезоэлектрический эффект а его применение

Возникновение поверхностных электрических зарядов на кристалле кварца при его деформации было названо пьезоэлектрическим эффектом. Если кристалл пьезоэлектрика поместить в электрическое поле, то наблюдается обратный эффект — в кристалле возникают упругие напряжения, в результате чего кристалл деформируется.

Причиной пьезоэлектрического эффекта является смещение электрического и механического равновесия в диэлектрическом кристалле под влиянием внешних воздействий. Если внешнее воздействие отсутствует, то диэлектрический кристалл электрически нейтрален. При наложении электрического поля возникает деформация электронных оболочек и относительное смещение атомов и ионов в структуре кристалла, что приводит к макроскопической деформации образца.

Если же такой кристалл деформируется с помощью внешних механических воздействий, то относительные перемещения элементов структуры вызывают электронную и ионную поляризации, что приводит к появлению зарядов на гранях кристалла. Макроскопическая составляющая пьезополяризации появляется, однако, лишь у диэлектрических кристаллов, не имеющих центра симметрии и обладающих геометрически полярными направлениями.

Наиболее часто применяемыми пьезоэлектрическими материалами являются кварц (SiO2), ди гидрофосфат аммония, сегнетова соль, титанат бария и пьезокерамика. Кварц ——это природный минерал, обладающий механической прочностью, влагостойкостью и большой температурной стабильностью свойств. К недостаткам его следует отнести трудность обработки и сравнительно слабый пьезоэффект. Дигидрофосфат аммония — искусственно выращиваемый сегнетоэлектрический кристалл, обладает хорошим пьезоэффектом, однако недостаточно механически прочен. Наиболее распространенным промышленным пьезоэлектрическим материалом является пьезокерамика, обладающая большой механической прочностью, сильным пьезоэффектом, простотой изготовления и невысокой стоимостью.

Сырье, из которого изготовляется пьезокерамика, измельчается до мелкодисперсного состояния и обжигается в печах при температуре 1300——1400℃. Затем производят поляризацию пьезоэлементов (с установленными серебряными электродами) в постоянном электрическом поле напряженностью 1+2 кВ/мм при одновременном увеличении температуры до точки Кюри (115-4-305℃). Состав пьезокерамики может быть самым различным.

Пьезоэлектрические кристаллы широко применяются в качестве электромеханических преобразователей: стабилизаторов и фильтров радиотехнических частот, пьезоэлектрических манометров,излучателей и приемников ультразвуковых колебаний, пьезометров, звукоснимате-

лей и т. д. Основной частью большинства этих приборов является преобразователь, который состоит из отдельных или объединенных в группы пьезоэлементов, изготовленных из соответствующих пьезоэлектрических материалов. В зависимости от назначения пьезоэлементы могут быть связаны с различными механическими устройствами: мембранами, резонаторами, рупорами и т. д.

В зависимости от назначения прибора используются различные виды деформации, а следовательно, и различные формы пьезоэлементов. Для работы в области высоких звуковых и ультразвуковых частот применяются пьезоэлементы, выполненные в виде пластин, криволинейных оболочек или стержней.

Пьезоэлементы в виде круговых колец применяются в качестве излучателей и приемников в гидроакустике. Для работы в области низких звуковых частот также применяются пластины, причем монтаж их ведется таким образом, чтобы они совершали колебания изгиба или кручения.

§ 72・ Электроемкость проводников

Предположим, что две широкие металлические, параллельно расположенные пластины площадью S каждая разделены слоем диэлектрика, имеющего диэлектрическую проницаемость 8. Суммарные заря-

十6十6■6■6ды +д на одной пластине и —q на другой равномерно распределены по внутренней поверхности каждой пластины, так что поверхностная плотность зарядов равна +о и —о соответственно (рис. 7-12).

十6

十6

■6

■6

Одна пластина обладает потен-

Рис. 7-12циалом Q)!, другая—потенциалом

屮2・ Напряжение, равное разности потенциалов U=q\—(р2, связано с напряженностью поля Е и расстоянием d между пластинами соотношением (см. § 8)

U=Ed,

и напряженность поля между пластинами согласно (7.31) равна

Е = ~.

ее0

Принимая во внимание, что a=^/S, напишем

D=昨方岭“^D=昨方岭“^(7.59)(7.59)

D=昨方岭“^

D=昨方岭“^

(7.59)

(7.59)

или

(7.59 а)(7.59 а)u=為・

(7.59 а)

(7.59 а)

Отсюда следует, что напряжение U между пластинами пропорционально заряду д, т. е. можно написать

(7.60)(7.60)q=CU.

(7.60)

(7.60)

-192 —

Коэффициент пропорциональности называется емкостью (электроемкостью) проводника (или системы проводников).

Электроемкость проводника (или системы проводников) есть физическая величина, равная отношению заряда д, помещенного на проводник, к потенциалу 屮，до которого зарядился проводник:

0弋.(7.61)

Система двух проводящих пластин, рассмотренная в начале параграфа, называется плоским конденсатором, электроемкость которого согласно (7.59а) равна:

(7.62)(7.62)e=竽(b СИ);

(7.62)

(7.62)

。=嘉(8 системе СГС),

т. е. емкость конденсатора зависит от площади S пластин, расстояния d между ними, а также качества диэлектрика — его диэлектрической проницаемости 8.

Каждый отдельно взятый проводник также обладает электроемкостью. Например, электроемкость С уединенной металлической сферы радиуса R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью е, равна:

б CH)； I(7.63)

C = eR (в системе СГС). /

При этом можно подразумевать, что второй обкладкой является сфера бесконечного радиуса, но тогда 屮2=屮8=0, a <Pi=9/(4jree0^)- Если е=1 , то в системе СГС уравнение (7.63) примет вид

и поэтому размерности С и радиуса R шара оказываются одинаковыми, т. е. емкость всякого проводника в системе СГС выражается в единицах длины — сантиметрах. За единицу емкости в системе СГС принимается емкость шара в вакууме(8=1), радиус которого равен 1 см.

Из формулы (7.61), определяющей С, получаем, что в СИ единицей емкости будет кулон на вольт (Кл/В). Эту единицу называют фарадой (Ф). Фарада —— это емкость такого проводника, потенциал которого повышается на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл, т. е.

1①=1^ = ^^22сГСс = 9・1011С「Сс = 9・1011 см.

Это соотношение показывает, что 1 Ф — емкость шара в вакууме, радиус которого равен 9-1011 см. Радиус Земли равен лишь 6,371 • 108 см; отсюда следует, что 1 Ф ——это огромная емкость. Обычно в электротехнике и радиотехнике употребляются дольные единицы фарады —— микрофарада (мкФ) и пикофарада (пФ): 1 мкФ^Ю-6 Ф; 1 п①= 107 ф. Конденсаторы обычно обладают емкостями в интервале от 1 пФ до нескольких миллифарад.

Из формулы (7.63) с учетом, что R=9・ 1(? м, можно вычислить электрическую постоянную £(). Она оказывается равной, как было отмечено в §2,

% =硒=4n• 19109 ①/м = 8,85 • 10-12 Ф/м.

Единица Ф/м соответствует Кл2/(Н-м2).

Пример.

Электрон, пролетев поле с разностью потенциалов (7=10 000 В, попадает в плоский конденсатор длиной 10 см и движется параллельно пластинам на равном расстоянии от них. К пластинам конденсатора, расстояние между которыми d=2 см, приложена разность потенциалов Ui=300 В. Определить вертикальное смещение электрона при вылете из конденсатора.

Решение. По закону сохранения энергии приобретенная электроном в поле кинетическая энергия равна работе электрических сил поля, т. е.

где е — заряд электрона, m и у ——его масса и скорость, U — ускоряющая разность потенциалов.

Из этого равенства определяем скорость, с которой электрон влетает в конденсатор:

V = \~ 2eU /т.(А)

В поле конденсатора электрон участвует одновременно в двух движениях: 1) в горизонтальном направлении вдоль пластин конденсатора. При этом электрон движется по инерции прямолинейно и равномерно и пролетает путь / (длина пластин) за время, равное

&=〃и,

где V — скорость электрона; 2) в вертикальном направлении. При этом электрон движется равноускоренно под действием силы электрического поля (силой тяжести электрона можно пренебречь) и получает смещение, равное

s = a/；/2,(Б)

где /2 ——время движения электрона в вертикальном направлении, а — ускорение, которое согласно второму закону Ньютона равно

а = F 3dlт,(В)

尸зл — сила, действующая на электрон в поле конденсатора.

Но время движения электрона в вертикальном и горизонтальном направлениях одинаково, поэтому

友=/2= 〃u。

Сила, действующая на электрон, равна произведению заряда на напряженность поля конденсатора, т. е.

F зп = еЕ,(Г)

а напряженность выражается через градиент потенциала по формуле

Е=ит(Д)

где 力一разность потенциалов между пластинами, d — расстояние между ними.

-■— 194 1~*

После подстановки выражений (Г) и (Д) в формулу (В) получим с%

Q = —т •ma

Подставляя величины % н а в формулу (Б), найдем

S =— •—.

2/n • d v2

Учитывая выражение (А), получим искомое смещение

Подставив исходные данные, выраженные в СИ, получим 300 В.0,01 М2 00

s=%0,02m・2J04 в-3,75・10 м= 3,75 MM.

§ 73・ Конденсаторы

Конденсатор представляет собой систему из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок. Общая емкость такой системы проводников намного больше емкости каждого из них по отношению к другим проводникам или по отношению к Земле.

Конденсаторы применяются для получения больших электрических емкостей. Емкость плоского конденсатора будет велика, если взять очень большую площадь пластин и маленький промежуток между ними. В радиотехнике для этих целей применяют так называемые слоистые конденсаторы, в которых пластинами служат алюминиевые ленты, а диэлектриком являются листы провощенной бумаги. Такие конденсаторы способны накапливать довольно большие заряды. Если собирать заряд на металлическом шаре, то его потенциал быстро достигает такого значения, что заряды будут «стекать» в воздух. Но если тот же заряд поместить в конденсатор большой емкости, то напряжение близ него будет очень малым.

Электроемкость слоистого конденсатора, т. е. плоского конденсатора, имеющего п слоев диэлектрика толщиной d^ каждый с соответствующей диэлектрической проницаемостью 8Ь будет равна:

(в СИ);

ССssf —пf —п(в системе СГС).(в системе СГС).(7.64)(7.64)

С

С

s

s

f —п

f —п

(в системе СГС).

(в системе СГС).

(7.64)

(7.64)

В зависимости от назначения конденсаторы могут иметь самую различную форму. В § 12 уже приводились формулы для электрических емкостей проводящего шара и плоского конденсатора. Приведем еще

Рис. 7-13Рис. 7-13формулы для расчета емкостей сферического и цилиндрического конденсаторов.

Рис. 7-13

Рис. 7-13

Сферический конденсатор состоит из двух концентрических полых сфер / и 2, пространство между которыми заполнено диэлектриком (рис. 7-13).

Вне конденсатора Е=0, так как поля, создаваемые внутренней и внешней обкладками, взаимно уничтожают друг друга. Между обкладками поле создается только лишь заряженной сферой /• Сфера 2 не участвует в образовании поля, так как внутри полой заря

женной сферы напряженность поля равна нулю.

Согласно формуле (7.39) разность потенциалов между обкладками кон

денсатора равна

Следовательно, электроемкость сферического конденсатора будет:

(7.65)(7.65)。=导『等手(B5；

(7.65)

(7.65)

4Л880 \ГХ Г2/

С = (в системе СГС).J

Положив в этой формуле г2->оо, легко получить выражение (7.63) для емкости отдельного сферического проводника.

Сравнивая формулы (7.63) и (7.65), еще раз убеждаемся, что ем-

кость отдельно взятого проводника меньше емкости конденсатора:

4jt££o/\ < 4冗£% /2 , если 厂2 > 厂1・

Цилиндрический конденсатор состоит из двух, расположенных один внутри другого, коаксиальных цилиндров, имеющих длину / и радиусы /*1 и г2. Рассуждения, высказанные относительно характера образования поля сферического конденсатора, остаются справедливыми и в данном случае. Произведем расчет.

Разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях /\ и「2 от оси заряженного цилиндра, равна

(7.66)(7.66)

(7.66)

(7.66)

Так как т=〃/, то емкость цилиндрического конденсатора

g

2Л88О/

q

• In —

2Л8£О/

1П上

厂1

(в СИ);

(в системе СГС).

(7・67)

Конденсаторы можно соединять в батареи. Емкость батареи конденсаторов зависит от схемы соединения составляющих ее конденсаторов. Различают два вида соединения конденсаторов: последовательное и параллельное. Возможен также и смешанный тип соединения конденсаторов в батарею.

Предположим, что конденсаторы соединены последовательно (рис. 7-14). При зарядке такой батареи разность потенциалов распределится между отдельными конденсаторами и будет равна

А(р = А% + А% + • • • + Лф„ = 2 Aq・・

Если первой обкладке батареи конденсаторов сообщается некоторый зарад д, то такой же заряд вследствие влияния появится на всех обкладках. Знаки зарядов на обкладках одного конденсатора будут при этом, очевидно, разноименными. Следовательно, весь заряд батареи будет равен заряду каждого конденсатора в отдельности. Разности потенциалов Аф】，Д(р2 и т. д. могут быть не равны между собой, так как емкости отдельных конденсаторов вообще могут быть неодинаковы. Поэтому Aq)i=g/Ci,Aq)2 = g/C2，Лф3 = q/C3 и т. д., а для всей батареи

А屮=А% + А屮2+ • • • + А屮〃 =0 (й^ +處十…• +爲)， или

△屮=得，

厶彩

+

Q

С2

Рис. 7-14

Следовательно, емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов можно определить по формуле

^ = ^ + ^+ — +± = £^・(7.68)

При параллельном соединении конденсаторов (рис. 7-15) разность потенциалов батареи равна разности потенциалов каждого отдельного конденсатора:

Общий заряд батареи параллельно соединенных конденсаторов будет + равен сумме зарядов отдельных конденсато-

6& Cjров:

"Г Т T0=%+蚤+••・+索，

Рис. 7-15Рис. 7-15Для каждого конденсатора можно напи- 一197 —

Рис. 7-15

Рис. 7-15

сать

% = С1А(р； «2 =。2厶屮；^3~Сз^ф И т. д.

Сложив почленно данные выражения, получим

q=qH~q2+• •.+力2=(&+e2+• •■+Czi)A中，

но

q=CA ①,

где С — емкость батареи. Отсюда следует, что

С^С. + С^^.+С^^С^(7.69)

i=i

При параллельном соединении конденсаторов емкость батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Используя параллельное соединение большого числа конденсаторов, можно получать батареи, имеющие огромную электроемкость.

Если в батарею включаются п одинаковых по емкости конденсаторов, то при последовательном соединении емкость батареи

С = *(7.70)

а при параллельном —

С=〃&.(7.71)

Конденсаторы, помимо формы, различаются по типу диэлектрика,

величине емкости и рабочему напряжению. Кроме того, конденсаторы

могут изготовляться постоянной, переменной и полупеременной емкости (триммеры).

Рис. 7-16Рис. 7-16Конденсаторы постоянной емкости применяются главным образом в электроизмерительных и радиосхемах. Конденсаторы переменной емкости (рис. 7-16) используются для настройки радиопередатчика и радиоприемников. Их емкость

Рис. 7-16

Рис. 7-16

изменяется путем перемещения (вращения) одной системы пластин (ротора 2) относительно другой (статора /). Воздушные конденсаторы могут работать как под

давлением, так и в вакууме.

К конденсаторам с твердым неорганическим диэлектриком относятся стеклян

ные, слюдяные, керамические, сегнетоке- рамические и полупроводниковые. Широкое распространение в современной радиоаппаратуре получили миниатюрные керамические конденсаторы, отличающиеся малыми размерами и большой удельной емкостью.

§ 14. Энергия электростатического поля.Плотность энергии

Если уединенный проводник имеет заряд д, то вокруг него существует электростатическое поле, потенциал которого на поверхности проводника равен ср, где С ——его емкость. Увеличим заряд на величину dq. При переносе заряда dq из бесконечности должна быть совершена работа, равная

dA =dq (ср ——фоо).

Но потенциал электростатического поля данного проводника в бесконечности равен нулю (屮8=0), тогда

dA = wdq = *dq.(7.72)

При переносе заряда dq с проводника в бесконечность такую же работу совершают силы электростатического поля. Следовательно, при увеличении заряда проводника на величину dq возрастает потенциальная энергия поля, т. е.

dW =dA = ^dq.(7.73)

Проинтегрировав данное выражение, найдем потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его заряда от 0 до q:

取= •歯=塞.(7.74)

о

Применяя соотношение(p=g/C, можно получить следующие выражения для потенциальной энергии W:

^ = у^；呼=4"0丁；W=^q^,(7.75)

где q ——заряд проводника, С ——его емкость.

Энергия электростатического поля, образованного системой точечных зарядов q” равна

吟(7・76)

1

где ср» — потенциал поля, создаваемого (п——1) зарядами (за исключением 力)в точке, в которой находится заряд 力・

Для заряженного конденсатора разность потенциалов (напряжение) равна U=g/C; поэтому соотношения для полной энергии его электростатического поля имеют вид:

啓=；吟；取=^CS； W = ^qU. (7.77)

-199 —

Они справедливы при любой форме обкладок конденсатора.

Объемная плотность энергии эл е кт р ост ат и чес ко го поля — это физическая величина, численно равная отношению потенциальной энергии поля, заключенной в элементе объема, к этому объему; для однородного поля объемная плотность энергии равна

w=W/V.(7.78)

Отсюда следует, что единицей объемной плотности энергии в СИ будет 1 Дж/м3.

Для плоского конденсатора, объем которого равен V=Sd, где S —— площадь пластины, d — расстояние между пластинами, имеем

W 1 С0

Но C — eeQS/d, а Е — U/d, тогда

(7.79)

или

(7.80)(7.80)w^^ED^^ (в СИ);

(7.80)

(7.80)

@ =赛=寝 (в системе СГС),

где Е ——напряженность электростатического поля в среде с диэлектрической проницаемостью % О=880£ ——электрическое смещение поля. Следовательно, объемная плотность энергии однородного электростатического поля определяется напряженностью Е или смещением D.

§ /5. Пондеро моторные силы

Обкладки конденсатора, заряженные разноименно, притягиваются друг к другу. Механические силы, действующие на макрскопические заряженные тела, называются пондеромоторными силами.

Рассчитаем пондеромоторные силы, действующие на обкладки плоского конденсатора. При этом возможны два варианта: 1) конденсатор заряжен и отключен от заряжающей батареи; в этом случае количество зарядов на пластинах остается постоянным g=const; 2) конденсатор заряжен, но не отключен от батареи. В этом случае при перемещении одной из пластин конденсатора будет сохраняться постоянным напряжение (U=const). Рассмотрим оба случая.

Заряд g=const. При удалении одной обкладки конденсатора от другой совершается работа

dA=F・ dx,

за счет которой увеличивается потенциальная энергия системы, равная

Следовательно, dA=dW\ приравнивая правые части этих выражений, получаем

(7.81)

В данном случае при дифференцировании расстояние между пластинами d обозначалось через %.

Напряжение U=const. В этом случае при удалении одной пластины от другой потенциальная энергия поля конденсатора будет уменьшаться, так как будет происходить «утечка» зарядов с пластин. Поэтому

Fdx = — dW=~dFdx = — dW=~d。2、。2、££用少2х2££用少2х2d%,d%,

Fdx = — dW=~d

Fdx = — dW=~d

。2、

。2、

££用少

2х2

££用少

2х2

d%,

d%,

откуда

(7.82)(7.82)少 ££qSU2

(7.82)

(7.82)

h0少=爲=仪蟲у. Тогда

#2對.(л:1 g2

~ 2х2 • I ££oS 丿—2 ££oS

Полученное выражение для F совпадает с формулой (7.81). Оно может быть представлено в различных видах. Если вместо заряда q ввести поверхностную плотность о= =g/S, то формула примет вид

(7.83)

Как указывалось в § 8, напряженность поля конденсатора равна Е= U/x, где х —— расстояние между пластинами. Подставив в формулу (7.82) U2=E2x2, получим, что сила притяжения пластин плоского конденсатора равна

(7.84)(7.84)尸=彳 88qE2S.

(7.84)

(7.84)

Эти силы действуют не только на пластины. Так как пластины в свою очередь давят на диэлектрик, помещенный между ними, и деформируют его, то в диэлектрике возникает давление, равное

F

где S — площадь пластин (каждой). Давление, возникающее в диэлектрике, будет равно:

Р = у££о^2 (в СИ); ]е£2J(7.85)

ри丽(в системе СГС).丿

Примеры.

Плотность энергии заряженного конденсатора равна 300 Дж/м3. С какой силой взаимодействуют обкладки конденсатора, если их площадь равна 100 см2^

Решение. Сила взаимодействия между пластинами плоского конденсатора согласно формуле (7.84) равна

££o・Sf2

плотность энергии заряженного конденсатора выражается формулой

Из сравнения этих равенств следует, что искомая сила взаимодействия определяется с помощью тех величин, которые даны по условию, т. е.

尸=з・s.

Произведем вычисления:Произведем вычисления:戶= 3。。警 1。-2M2 = ЗН・戶= 3。。警 1。-2M2 = ЗН・

Произведем вычисления:

Произведем вычисления:

戶= 3。。警 1。-2M2 = ЗН・

戶= 3。。警 1。-2M2 = ЗН・

Емкость плоского воздушного конденсатора С=900 см; расстояние между пластинами d=4 мм; площадь пластины S=100 см2. На помещенный между пластинами конденсатора заряд ^=4,9* 10~9 Кл действует сила 尸=0,01 гс. Определить: а) напряженность поля и разность потенциалов между пластинами; б) силу взаимодействия пластин; в) энергию поля конденсатора и плотность энергии.

Решение. Заданные величины выразим в СИ: F=0,01 гс=10~б кгс*9,8 ^^ = =9,8・ 10-5 н； q=4,9・ 10-9 К"； С=900 см= 10-9 ①；S= 10-2 м2； d=4* 10~3 м.

Поле между пластинами конденсатора является однородным. Сила, с которой поле действует на заряд д, помещенный между пластинами конденсатора, равна F=qE, откуда напряженность поля конденсатора будет

E=Flq.

Подставив числовые значения, найдем

=9,8-10-5 Н =4,9J0-9 кл=9,8-10-5 Н =4,9J0-9 кл=2・ 104 в/м.=2・ 104 в/м.

=9,8-10-5 Н =4,9J0-9 кл

=9,8-10-5 Н =4,9J0-9 кл

=2・ 104 в/м.

=2・ 104 в/м.

Разность потенциалов между пластинами конденсатора определится из соотношения

U=Ed.

Подставив числовые значения, будем иметь

и = 2・10-4^.4.1о-3м = 80 В.

м

Сила взаимодействия между пластинами определяется по формуле 尸=} ££()E2S,

где £()=8,85・ 10-12 ф/м> е=1 для воздуха. Подставив числовые значения, получим

尸用• 8,85.10-12.4.108. ют н = 1,76・10-5 Н;

проверка размерности:

①• В2 • м2 _ Кл • В2 — Д*「一m-м2 一 В- m 一 м 一

Согласно уравнению (7.77) энергия конденсатора будет

Ф • M2 • В2 . Кл • В2 V

[1F1 ==ф. В2 =——s— = Кл • В = Дж.

м・мН

Объемная плотность энергии поля конденсатора, по определению, равна

W Г

где V ——объем поля. Подставив числовые значения, будем иметь

17,5.10-4Дж/м3.17,5.10-4Дж/м3.70,4・ 10-9 Д* _]0-2.4.]0一3 m3 一

17,5.10-4Дж/м3.

17,5.10-4Дж/м3.

Глава 8

ПОСТОЯННЫЙ ток

§ 7・ Сила тока. Разность потенциалов.Электродвижущая сила

(8.1)(8.1)Всякое упорядоченное движение заряженных частиц (или тел) называется электрическим током. За направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов. Электрический ток, проходящий через данную поверхность, характеризуется силой тока /. Сила тока есть скалярная величина, численно равная количеству электричества, переносимого через площадку S в единицу времени, т. е.

(8.1)

(8.1)

Если за любые равные промежутки времени через любое сечение проводника проходят одинаковые количества электричества и направление движения зарядов не изменяется, то такой ток называется постоянным и тогда

(8.1а)

В Международной системе единиц (СИ) единица силы тока является основной. Она носит название ампера и определяется из взаимодействия двух токов, которое будет рассмотрено в § 4 гл. 9. Из равенства (8.1а) следует определение единицы заряда (см. § 2 гл. 7):

=【т]=А・с=К〃・

В системе СГС сила тока измеряется в единицах С「С/, и согласно (8.1а) имеем

1СГС7=1СГС7=А,А,1СГС夕—為 Кл_ 1

1СГС7=

1СГС7=

А,

А,

илиили1 с = Гс~ = §П^

или

или

1 А = 3・109С「С/.

Распределение электрического тока по сечению проводника характеризуется плотностью тока, которая выражается формулой

(8.2)(8.2).di

(8.2)

(8.2)

?=底・

Если ток постоянный, то его плотность одинакова и равна /=^ =② (8・2a)

Плотность тока j есть векторная величина, направленная вдоль тока “ численно равная количеству электричества, протекающего за единицу времени через единицу площади, ориентированной перпендикулярно току. В СИ плотность тока измеряется в А/м2.

Различают несколько видов электрического тока. Предположим, что имеется макроскопическое заряженное тело (например, шар), которое перемещается в пространстве. Так как вместе с телом будут перемещаться заряды, то возникает направленное движение зарядов, т. е. электрический ток. Такой ток, связанный с движением заряженных макроскопических тел, называется конвекционным (переносным) током.

Если внутри какого-то тела упорядоченно перемещается огромное

число заряженных частиц вследствие того, что в нем создается электри

ческое поле, то такой ток называется током проводимости. Для его получения требуется наличие замкнутой цепи и источника тока. По определению, вектор напряженности поля Е имеет

Рис. 8-1Рис. 8-1направление от положительного заряда к отрицательному. Следовательно, находящиеся внутри проводника положительно заряженные частицы (направление их движения принято за направление тока) будут двигаться по полю, а отрицательные —против поля.

Рис. 8-1

Рис. 8-1

Если электрические заряды под влия-

вакууме. Например, токвакууме. Например, токнием внешнего поля движутся в вакууме, то такой ток называется током 6 в электронных вакуумных лампах, кинеско

вакууме. Например, ток

вакууме. Например, ток

пах и т. д.

Остановимся на отдельных закономерностях, характерных в основ

ном для тока проводимости.

Пусть на концах проводника длиной / имеется разность потенциалов 厶屮=屮1——屮2, которая создает внутри него электрическое поле Е, направленное в сторону падения потенциала (рис. 8-1), так как

(8.3)(8.3)d 屮__屮 2一ф1 _ Ф1 一屮 2 — U

(8.3)

(8.3)

"=—■I=

При этом в проводнике возникает электрический ток, который идет от большего потенциала (屮0 к меньшему ((р2).

Движение зарядов от(рх к(р2 приводит к выравниванию потенциалов во всех точках. Электрическое поле в проводнике при этом исчезает, и ток прекращается. Очевидно, обязательным условием существования тока является наличие разности потенциалов A(p=(pi——(р2¥=0, а для ее поддержания необходимо иметь специальное устройство, с помощью которого будет происходить разделение электрических зарядов на концах проводника (рис. 8-1). Такое устройство называется источником тока.

В качестве источников тока используются гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы, электрические генераторы. Источник тока выполняет одновременно и вторую задачу — он замыкает электрическую цепь, по которой можно было бы осуществлять непрерывное движение зарядов. Ток течет по внешней части — проводнику и по внутренней — источнику тока. Источник тока имеет два полюса: поло-

жительный с более высоким потенциалом и отрицательный с более низким потенциалом. При разомкнутой внешней цепи на отрицательном полюсе (или выводе) источника тока образуется избыток электронов, а на положительном ——недостаток. Разделение зарядов в источнике тока производится с помощью внешних так называемых сторонних сил, направленных против кулоновских сил, действующих на разноименные заряды в проводниках самого источника тока. Природа сторонних сил может быть самой различной: механической, химической, тепловой, биологической и т. д.

Если цепь, состоящая из проводника и источника тока, замкнута, то по ней проходит ток и при этом совершается работа сторонних сил. Эта работа складывается из работы, совершаемой против сил электрического поля внутри источника тока (Лист), и работы, совершаемой против механических сил сопротивления среды источника (Д'), т. е.

4ст = 4ст + 4・(8・4)

Величина, равная отношению работы, которую совершают сторонние силы при перемещении точечного положительного заряда вдоль всей цепи, включая и источник тока, к заряду, называется электродвижущей силой источника тока:

(8.5)(8.5)q "ст 』нст + 4'

(8.5)

(8.5)

Работа против сил электрического поля, по определению, равна 4 нет=9 (% — %)•

Если полюсы источника разомкнуты, то 4=0, и тогда из формулы (8.5) следует, что

^ = 5 Фз»(8・6)

т. е. электродвижущая сила (э. д. с.) источника тока при разомкнутой внешней цепи равна разности потенциалов, которая создается на его полюсах.

§ 2・ Закон Ома

Электрический ток в металлах — это поток движущихся электронов. Движение электронов обусловлено существованием электрического поля в проводнике. Так как сила, с которой воздействует поле на электроны, зависит от напряженности Е электрического поля, то можно предположить, что плотность тока / зависит от напряженности Е.

Опыт показывает, что в случае слабых полей для большинства проводников хорошо соблюдается пропорциональность между плотностью тока и напряженностью внешнего поля:

j=?E.(8.7)

Данное соотношение носит название закона Ома в дифференциальной форме для плотности тока. Коэффициент пропорциональности ? называется удельной проводимостью (или электропроводностью). Так

-205 —

как Е определяется через градиент потенциала ср, то закон Ома принимает вид

Y 步(8・8)

В случае прямолинейного проводника постоянного сечения полный ток

I = jS = — yS^ = yS^=^ = ^U.

Удельная проводимость ? есть величина, обратная удельному сопротивлению,

Р=1/?

С учетом этого соотношения получим

/ =(8-9)

Величина S/р/ характеризует проводимость проводника, а величина, обратная ей,

R = P^(8.10)

называется сопротивлением проводника. В случае однородного проводника (удельное сопротивление р=const) сопротивление прямо пропорционально длине / и обратно пропорционально площади поперечного сечения S.

Электрическое сопротивление проводников в СИ измеряется в омах (Ом). В системе СГС единицей сопротивления является 1 СГС^= =9・10ii Ом.

Если в соотношение (8.9) подставить R, то закону Ома можно придать вид

/ = &(8.11)

Уравнение (8.11) называется законом Ома для участка цепи. Справедливость его проверена многочисленными экспериментами и не вызывает сомнения. Из него следует, что сила тока на участке цепи пропорциональна приложенному напряжению. Коэффициентом пропорциональности в данном случае является величина 1/R. Из уравнения (8.11) следует, что размерность ома будет

В том случае, если имеется несколько проводников с сопротивлениями Ri, R2, Кз, •— каждый, в формулу (8.11) подставляется их общее сопротивление R, которое зависит от метода их соединения. Проводники могут быть соединены последовательно и параллельно.

一 206 -

Предположим, два проводника соединены последовательно (рис. 8-2). Через оба проводника проходит одинаковый заряд за одно и то же время т, так что 1工=I尸 I. Падение напряжения на первом проводнике равно (Л=Ф1——屮2, а на втором 匕^=屮2——屮з・ По закону Ома для участка 尸1 仪^* цепи запишем/& 小

/i^^Ui/Ri； /z^^Uz/Rz，Рис. 8~2

Отсюда падение напряжения на сопротивлении Ri равно U\ = I 工R 工=I R»,

а на сопротивлении R

u2=/2A2 = /R2.

Сложив эти равенства, получим

Ui + U^I^+R^

но и1+и2=屮1--屮3=U, следовательно, U^I^+R,).

Для 儿 последовательно соединенных проводников общее напряжение равно

U=/(Ri+R2+・・・+Rj

Отсюда следует, что при последовательном соединении проводников их общее сопротивление равно сумме отдельных сопротивлений'.

R = Rl + R2 + ・• •+&•R = Rl + R2 + ・• •+&•(8.12)(8.12)

R = Rl + R2 + ・• •+&•

R = Rl + R2 + ・• •+&•

(8.12)

(8.12)

/=人+厶=备/=人+厶=备

/=人+厶=备

/=人+厶=备

При параллельном соединении проводников напряжение U на участке цепи АВ (рис. 8-3) будет одним и тем же, что и для каждого от

дельного проводника, т. е. U=U、= = U2- На входе в группу параллельно соединенных проводников (в точке А) происходит разветвление тока. Из закона сохранения зарядов следует, что ток I равен сумме токов

/1 и 厶・ Отсюда следует

В свою очередь сила тока на всем участке равна

где R — общее сопротивление проводников, соединенных параллельно. Тогда

1瓦+1京иU-R1瓦+1京иU-R

1瓦+1京

иU-R

1瓦+1京

иU-R

откуда

11丄1

По аналогии, для п параллельно соединенных проводников запишем

A A1 代2《厶A A1 代2《厶(8.13)(8.13)

A A1 代2《厶

A A1 代2《厶

(8.13)

(8.13)

Рис. 8-4Рис. 8-4будет U\=IR\, где / — сила передвигая контакт С, можно i и напряжение(А・ Так какбудет U\=IR\, где / — сила передвигая контакт С, можно i и напряжение(А・ Так как

Рис. 8-4

Рис. 8-4

будет U\=IR\, где / — сила передвигая контакт С, можно i и напряжение(А・ Так как

будет U\=IR\, где / — сила передвигая контакт С, можно i и напряжение(А・ Так как

т. е. общая проводимость параллельно соединенных проводников равна сумме проводимостей отдельных проводников.

Распределение напряжения по последовательно соединенным эле

ментам цепи используется в потенциометрах —делителях напря-

жения. В качестве простого потенциометра часто используется обычный трехконтактный реостат (рис. 8-4). На клеммы Л и В реостата подается постоянное напряжение U. Передвигая подвижный контакт С, можно на зажимах ad получить любое напряжение от нуля до U. Например, при данном положении контакта С снимаемое напряжение тока, протекающего по реостату. Но, зменять Ri от нуля до R, а вместе с ним

В замкнутой электрической цепи источник тока имеет определенное электрическое сопротивление г, которое называется внутренним, а сопротивление внешней части цепи называется внешним, или сопротивлением нагрузки (R).

Напряжение, или, как говорят, падение напряжения, на внутреннем участке цепи в соответствии с законом Ома равно

U i=I г,

где г — внутреннее сопротивление, / — сила тока.

При замкнутой внешней цепи э. д. с. источника тока ^ равна сумме падений напряжения на внутреннем сопротивлении источника и во внешней цепи:

S = Ir+U.

Так как, по закону Ома, U=IR, то

(8.14)

где / ——сила тока в цепи, ^ ——электродвижущая сила источника тока, 广一его внутреннее сопротивление, R — внешнее сопротивление. Здесь внешнее и внутреннее сопротивления можно рассматривать как два сопротивления, соединенных последовательно.

Данное соотношение называется законом Ома для замкнутого контура, содержащего э. д. с., или законом Ома для всей цепи.

§ 3・ Законы Кирхгофа

На практике очень часто встречаются сложные (разветвленные) электрические цепи, в которых вычисление сил токов, напряжений и сопротивлений представляет известные трудности. Эти трудности значительно уменьшаются, если применить правила (законы) Кирхгофа, которые базируются на основных законах постоянного тока.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому ни в одной точке проводника не должны накапливаться или исчезать заряды, и относится к узлам. Узлом в разветвленной цепи называется всякая точка, в которой сходится не менее трех проводников.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е. количество зарядов, приходящих в данную точку в единицу времени, равно количеству зарядов, уходящих из данной точки за то же время:

i=n

2 厶=0・(8.15)

1

При этом токи, подходящие к узлу, считаются положительными, а отходящие от него ——отрицательными. Например, для узла Л (рис. 8-5, а) первое правило запишется так:

/1 + /2 + /3 一儿一人=0.

Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома и относится к любому замкнутому контуру разветвленной электрической цепи.

Второе правило Кирхгофа гласит, что 6 любом замкнутом контуре разветвленной цепи алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э. д. с. 6 этом контуре

i = 〃i — n

£ iiRi=2<§c(8.16)

При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа необходимо руководствоваться следующими правилами:

произвольно выбирается направление обхода контура (по часовой стрелке или против);

произвольно выбирается и обозначается на чертеже направление токов во всех участках цепи, причем в пределах одного участка (учас-

ток — это часть цепи между соседними узлами) ток сохраняется как по величине, так и по направлению;

если выбранное направление обхода контура совпадает с направлением тока //, то произведение IR берется со знаком «плюс», и наоборот;

перед 负 ставится знак «плюс», если при обходе контура идем внутри источника от отрицательного полюса к положительному, т. е. если на пути обхода контура потенциал возра-匕 斤 尸

стает, в обратном случае э. д. с. берется_j卜「-、

со знаком «минус».~

Например, для контура AR1BR3R2A - ^ 府 ^10

Рис. 8-5

(рис. 8-5, б) при обходе его по часовой стрелке уравнение (8.16) с учетом знаков примет вид

11R1 -/2& —厶r3 =负+з2 -з3・

В контуре AR^BRAA отсутствует э. д. с., т. е. £»=0, и уравнение (8.16) примет вид

—，з& + / 4& + 厶凡=°・

Правила Кирхгофа позволяют определить силу и направление тока в любой части разветвленной цепи, если известны сопротивления ее участков и включенные в них э. д. с.

Уравнений по первому и второму правилам Кирхгофа надо составлять столько, чтобы число их равнялось числу искомых величин. Используя первое правило Кирхгофа для разветвленной цепи, содержащей т узлов и п ветвей (участков), можно написать m——1 независимых уравнений, а используя второе правило, —(п—m+1) независимых уравнений.

Если при решении уравнений значение какого-нибудь тока получилось отрицательным, то необходимо изменить условно выбранное направление этого тока на обратное, оставляя найденное его абсолютное значение неизменным.

§ 4. Закон Джоуля — Ленца

Если в проводнике течет постоянный ток и проводник остается неподвижным, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание.

В металлических проводниках электрическая энергия, переданная источником тока, превращается в энергию хаотического движения ато-

мов, т. e. в теплоту. Опыты подтверждают данное положение: при прохождении тока по любому проводнику происходит выделение теплоты, равной работе, совершаемой электрическими силами по переносу заряда вдоль проводника.

Предположим, что на концах участка проводника имеется разность потенциалов ср】——(р2= t/. Тогда работа по переносу заряда q на этом участке равна

4=g回一中2)=心

По определению, /=g/t, откуда q=h, где t — время прохождения заряда, т. е.

4 = /Ut・ (8.17)

Если сила тока измеряется в амперах, напряжение — в вольтах, время — в секундах, то работа будет измеряться в джоулях: 1 Дж= =1 А-1 В-1 с.

Так как работа А идет на нагревание проводника, то можно написать, что выделяющаяся в проводнике теплота Q равна работе А электрических сил:

Q=4 = /Ut. (8.18)

Данная формула носит название закона Джоуля — Ленца. Он был установлен английским физиком. Дж. Джоулем в 1841 г. и независимо от него русским физиком Э. X. Ленцем в 1842 г.

В СИ работа и теплота измеряются в джоулях.

Используя закон Ома для участка цепи, перепишем формулу (8.18) следующим образом:

Q=/Ut=/2Rj Или Q=醬. (8.19)

Следовательно, теплота, выделившаяся в проводнике, зависит от сопротивления проводника, силы электрического тока в цепи и времени его прохождения.

Если теплоту измерять во внесистемных единицах ——калориях, а остальные величины —в единицах СИ, то в формулы (8.19) следует поставить коэффициент пропорциональности 々=0,24 кал/Дж, и тогда получим

Q=0,24/Ut = 0,24/2Ri；, или Q=0,24%t. (8.20)

Помимо нагревания проводников, энергия электрического тока может испытывать самые разнообразные превращения. Например, если во внешней цепи включен электродвигатель, то часть электрической энергии источника тока превращается в механическую. Если во внешней цепи включены проводники второго рода (электролиты), то будет происходить превращение части энергии источника тока в химическую, и т. д. Если же внешняя цепь содержит только металлические проводники, то энергия источника тока превращается в теплоту, а если проводники имеют высокую температуру, то будет расходоваться и на излучение.

Преобразуем закон Джоуля ——Ленца в другой вид. Введем плотность тепловой мощности со ——величину, равную энергии, выделенной за время т прохождения тока в каждой единице объема проводника:

(8.21)(8.21)Q

(8.21)

(8.21)

①= ^7Гё，

где Q — теплота, S — поперечное сечение проводника, I — его длина. Принимая во внимание, что Q=I2Rt, a R=p〃S, получим

сосо/2RE /2р/2RE /2р

со

со

/2RE /2р

/2RE /2р

Но I/S=j — плотность тока, а р=1/у, где у — удельная проводимость; тогда

①=£汽(8.22)

или с учетом закона Ома в дифференциальной форме [см. (8.7)1

(о-?£2.(8.23)

Данное соотношение называется законом Джоуля ——Ленца в дифференциальной форме; из него следует, что плотность тепловой мощности равна произведению удельной проводимости проводника на квадрат напряженности Е электрического поля.

Формулы (8.19) можно использовать для расчета мощности N тока, равной работе электрических сил в единицу времени:

N = ^ = IU = I?R или N = %.(8.24)

Мощность тока в СИ измеряется в ваттах: 1 Вт = 1 А-1 В.

Нагревание током проводников в одних случаях является нежелательным явлением, а в других —— полезным. К нежелательным последствиям теплового действия тока относятся значительные потери электрической энергии в проводах линий электропередач, а также разрушение изоляции проводов от нагревания. В ряде случаев теплота, выделяемая в проводниках, целесообразно используется в технике (электрические печи, бытовые электронагревательные приборы — электроутюги, лампы накаливания и т. п.).

§ 5・ Классическая электронная теорияпроводимости металлов

Чтобы понять механизм перемещения электронов, необходимо ввести модель «электронного газа». Согласно этой модели электроны свободно движутся внутри металла наподобие газовых молекул. Вследствие малой инертности электроны при комнатных температурах имеют большие скорости (около 105 м/с) и часто сталкиваются с неподвижными положительными ионами металла. Средний промежуток времени между последовательными столкновениями одного электрона с тем или иным положительным ионом очень мал — около 3-10~16 с. Он зависит от расстояния между ионами и тепловой скорости элект-

рона. При каждом столкновении электрон отражается в новом направлении. Если к проводнику приложено электрическое поле, то за ко-

роткое время между вдоль проводника вроткое время между вдоль проводника встолкновениями оно будет ускорять электрон направлении, противоположном вектору Е, в

роткое время между вдоль проводника в

роткое время между вдоль проводника в

сторону увеличения потенциала. Небольшая добавочная скорость, которую электроны приобретают (вдоль проводника), пропорциональна напряженности поля Е и времени между столкновениями. Электроны по-прежнему движутся с огромными скоростями во всех направлениях, но на эти случайные движения накладывается небольшая упорядоченная скорость, направленная вдоль проводника. При разности потенциалов в несколько вольт на 1 м проводника упорядоченная скорость равна приблизительно 1 см/с. Это упорядоченное движение и обусловливает электрический ток проводимости.

Хотя электроны в металле имеют различные скорости, но для простоты будем считать, что у всех электронов скорость теплового (неупорядоченного) движения одна и та же и равна vr.

Время свободного пробега между двумя столкновениями будет

т =入/и「,т =入/и「,(8.25)

т =入/и「,

т =入/и「,

где X ——средняя длина свободного пробега.

При определении т будем учитывать только неупругие столкновения электронов с атомами металла, при которых энергия электрона передается атому. Если металл поместить в электрическое поле, свободные электроны, помимо хаотического теплового движения, начнут участвовать в направленном движении против силовых линий поля. Сила 尸 поля, действующая на свободный электрон, равна произведению заряда электрона е на напряженность поля E(F=eE)・ Эта сила, согласно второму закону Ньютона, сообщает электрону массы т ускорение, равное

F еЕ

a =-=—

В конце свободного пробега электрон будет иметь скорость упорядоченного движения (если его начальная скорость равна нулю):

u=at,

а средняя скорость упорядоченного движения с учетом (8.25) будет

- ат eft0七=丽- ат eft0七=丽2myT •2myT •(8.26)(8.26)

- ат eft

0七=丽

- ат eft

0七=丽

2myT •

2myT •

(8.26)

(8.26)

Из-за полной беспорядочности теплового движения оно в переносе заряда участия не принимает, поэтому при определении плотности электрическое тока играет роль лишь средняя скорость упорядоченного движения электронов v.

Плотность тока, согласно определению, равна общему заряду всех электронов, проходящих через единицу площади поперечного сечения проводника за 1 с. Если в единице объема находится п электронов, то плотность тока равна

где е — заряд электрона. Подставляя в это выражение значение для о из формулы (8.26), получим

窯窯(8.27)(8.27)

窯

窯

(8.27)

(8.27)

Так как ни один из множителей коэффициента С' не зависит от напряженности поля, то плотность тока оказывается пропорциональной напряженности Е внешнего электрического поля. Данный вывод, следующий из электронной теории проводимости металлов, идентичен закону Ома, приведенному в § 2:

i=、E.

Из сравнения этих двух формул следует, что удельная проводимость металлов равна

? =磊，(8，28)

В 1853 г. Видеман и Франц опытным путем установили, что отношение коэффициента теплопроводности к к коэффициенту электропроводности ? для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и пропорционально их абсолютной температуре.

Это заставляет предполагать, что теплопроводность в металлах, так же как и электропроводность, обусловлена движением свободных электронов. Будем считать, что электроны можно уподобить одноатомному газу, коэффициент теплопроводности которого согласно кинетической теории газов равен

х = у nmv^Cy.

где п — число атомов в единице объема, m — масса атома,九 ——средняя длина свободного пробега электрона, cv — удельная теплоемкость, которая для одноатомного газа равна

3 R 3 々

k — постоянная Больцмана, М — молярная масса.

Подставляя значение удельной теплоемкости в выражение для х, получим

弘= ^~〃％入瓦(8.29)

Из уравнений (8.28) и (8.29) находим отношение коэффициентов тепло- и электропроводности металла:

乂 — nv^kk • 2muT — kmi^

В""2〃e2%—决

Из кинетической теории газов известно, что 嗒=^ 々Т, где Т —

абсолютная температура, тогда

(8.30)

где k и е ——постоянные величины. Поэтому отношение коэффициентов тепло- и электропроводности металла пропорционально абсолютной температуре, что и было установлено законом Видемана ——Франца. Формула (8.27), полученная на основе представлений об «электронном газе», находится в хорошем согласии с опытом.

Подставив значения fe=l ,38-10~23 Дж/К и е=1,60-10~19 Кл в формулу (8.30), находим

上= 2,23・10-8т.

Если по данной формуле рассчитать значение 乂/丫 для всех металлов при Т=300 К, то получим 6,7-10~6 Дж-Ом/(с - К). Если произвести измерение при комнатной температуре, то данное отношение оказывается равным для свинца 7,0-10~6; меди 6,4-10~6 и алюминия 5,8-10~6 Дж-Ом/(с-К). Закон Видемана — Франца для большинства металлов соответствует опыту при температурах 100+400 К, но при низких температурах закон существенно нарушается. Особенно велики расхождения между расчетными и опытными данными при низких температурах для серебра, меди и золота. Имеются металлы (бериллий, марганец), которые совсем не подчиняются закону Видемана — Франца.

Итак, с помощью модели электронного газа были теоретически выведены два важных закона. Следовательно, можно сделать вывод, что эта модель в общих чертах верна. Но попытки расширения области применения этой теории и ее дальнейшего развития приводили к непреодолимым противоречиям с опытом, выход из которых был найден в квантовой электронной теории металлов.

Зависимость сопротивления металлов от температуры. Сверхпроводимость

Экспериментально установлено, что при повышении температуры электрическое сопротивление металла увеличивается. При не слишком низких температурах удельное сопротивление металлов растет пропорционально абсолютной температуре Т:

(8.31)(8.31)p=apoT,

(8.31)

(8.31)

где р0 — удельное сопротивление при 0° С, а ——постоянный коэффициент, приблизительно равный "273 К"1.

Соотношение (8.31) можно переписать в виде

(8.32)(8.32)Р=Ро(1+а2),

(8.32)

(8.32)

где /—температура в ℃.

Согласно электронной теории металлов в идеальной кристаллической решетке электроны движутся, не испытывая электрического сопротивления, т. е. р=0・

Причинами, вызывающими появление электрического сопротивления в металлах, являются посторонние примеси и физические дефекты кристаллической решетки, а также тепловое движение атомов металла, амплитуда колебаний которых зависит от температуры.

Правило Матиссена утверждает, что зависимость удельного электрического сопротивления от температуры р(Т) является сложной функцией, которая состоит из двух независимых слагаемых:

Р (Т) = Рост + Рнд，

где Рост называется остаточным удельным сопротивлением, а рид —

идеальным удельным сопротивлением металла, которое соответствует

сопротивлению абсолютно чистого металла и определяется лишь тепловыми колебаниями атомов.

На основании общих соображений удельное сопротивление идеального металла должно стремиться к нулю, когда Г->0 (кривая / на рис. 8-6). Однако удельное сопротивление как функция от температуры есть сумма независимых слагаемых рид И Рост，и поэтому В СВЯЗИ с наличием примесей и других де

фектов кристаллической решетки металла удельное сопротивление р(Т) при понижении температуры стремится к некоторой постоянной конечной величине рост (кривая 2 на рис. 8-6), иногда переходя минимум и несколько повышаясь при дальнейшем понижении температуры (кривая 3 на рис. 8-6). Для некоторых очень чистых металлов при низких температурах были получены значения р(7), которые в 1044-105 раз меньше удельного сопротивления данного металла при комнатной температуре, однако достичь р(Т)=0 не удавалось. Величина остаточного удельного сопротив

ления рост зависела от наличия дефектов в решетке и содержания примесей, возрастая при увеличении их концентрации.

Если даже количество примесей и дефектов решетки свести к минимуму, то все-таки остается еще один фактор, влияющий на электрическое сопротивление металлов,— тепловое колебание атомов, ко

торое, как утверждает квантовая механика, не прекращается и при температуре абсолютного нуля. В результате этих колебаний решетка перестает быть идеальной и в пространстве возникают переменные силы, действие которых приводит к рассеянию электронов, т. е. возникновению сопротивления.

В 1908 г. была разработана новая низкотемпературная гелиевая методика исследования величины р(Т)・ При определении удельного сопротивления очень чистой платины оказалось, что несмотря на все усилия экспериментаторов, при самых низких температурах величина

р(Т) стремилась к некоторому конечному значению рост. В 1911 г. голландский физик Камерлинг-Оннес провел опыты с ртутью, которую можно получить в очень чистом виде. Он столкнулся с новым, совершенно неожиданным явлением. Удельное сопротивление ртути при температуре 4,2 К (около ——269° С) резко упало до такой малой величины, что его практически стало невозможно измерить. Это явление обращения электрического сопротивления в нуль Камерлинг-Оннес назвал сверхпроводимостью. Неожиданным оказалось и то, что добавление к ртути различных примесей не мешало возникновению явления сверхпроводимости, т. е. полному исчезновению электрического со- %* противления в ней при данной тем- 1П[

пературе (рсверхпр =0).'『*

Электроны в таком проводнике, J/

получив импульс электрических//

сил поля, начинали, не встречая 〃$[//

никакого сопротивления со стороны/

атомов проводника, двигаться по//

инерции. Если сделать замкнутое//

кольцо из такого сверхпроводни- 〃L, 一

ка, то электрический ток в нем не 初 一麺初 力尸

затухает в течение длительного времени. Попытка оценить затуханиеРис- 8-7

тока из опытных данных показывает, что остаточное сопротивление сверхпроводника, если оно существовало, должно быть меньше 1017 раз сопротивления данного проводника при комнатной температуре.

Если с помощью каких-либо внешних источников в замкнутом кольце индуцировать ток, а затем температуру опустить ниже Ткр и отключить внешний источник э. д. с., то в обычном металле ток бы

стро затухает, а в сверхпроводнике он сохраняется неизменным практически неограниченно долго. В процессе дальнейших исследований оказалось, что структура кристаллической решетки, однородность и чистота материала оказывают значительное влияние на характер перехода к рсверхпр ——сверхпроводимости. Это хорошо видно, например, на рис. 8-7, на котором приведены экспериментальные кривые перехода в сверхпроводящее состояние олова различной чистоты (кривая / ——монокристаллическое олово; 2 —— поликристалли- ческое олово; 3 — поликристаллическое олово с примесями). Результаты опытов, проведенных с различными материалами, показали, что при температурах ниже определенной критической температуры Ткр (свойственной данному металлу) некоторые металлы и сплавы переходят в сверхпроводящее состояние. Приведем для них значения критических температур (в К)：

Алюминий1，2Иридий0,14

Бериллий8Кадмий0,56

Ванадий4,9Лантан4,8

Висмут7(5,9)

(3,9 и7,3)Молибден0,9

Гелий1,1Ниобий9,22

Индий 3,4Олово3,73

Осмий Рений Ртуть

Рутений Свинец Таллий

о 14(з,о

1 5 07 9 8

7 7 1944 1 3

Тантал , Технеций Титан .

Торий ..

Уран .. Цинк . < Цирконий

462,4398 955

48,о1 ,о,о,о

Если же температура выше критической, вещество практически скачком переходит в нормальное, несверхпроводящее состояние. Например, олово переходит из сверхпроводящего состояния в нормальное при изменении температуры (в области Ткр) на одну тысячную долю градуса.

Изучая большое число сверхпроводников, американский физик Матиас установил следующие эмпирические правила: 1) явление сверхпроводимости наблюдается у металлов, у которых количество валентных электронов лежит в пределах от 2 до 8; 2) при одинаковом количестве валентных электронов значение критической температуры зависит от типа кристаллической решетки; 3) величина Ткр с увеличением массы атомов уменьшается.

Возникновением явления сверхпроводимости объясняется образование связанных электронных пар. Между электронами действуют силы кулоновского отталкивания. Кроме того, на электроны действуют положительные ионы кристаллической решетки металла, ослабляя кулоновские силы.

В результате взаимодействия электронов с решеткой между отдельными электронами возможно возникновение сил притяжения. Механизм этого взаимодействия носит не только электростатический характер. С точки зрения квантовой теории, эти силы появляются вследствие того, что электроны могут обмениваться фононами ——квантами колебаний решетки. Обмен фононами приводит к слабому притяжению электронов. Если силы притяжения больше сил кулоновского отталкивания, то образуются связанные электронные пар ы с пониженной энергией. Электронный газ, состоящий из таких связанных электронных пар, обладает совершенно иными свойствами, чем обычный электронный газ. При достаточно низких температурах такой газ обладает свойствами сверхтекучест и, так как электроны движутся в сверхпроводнике без трения об узлы решетки. Таким образом, между явлениями сверхпроводимости и сверхтекучести есть глубокая аналогия. Сверхпроводимость есть не что иное как сверхтекучесть электронов в металле.

Нагревание металла, а также прохождение тока по нему приводит к разрыву электронных пар и исчезновению сверхпроводимости. Если сверхпроводник включен в цепь и ток в этой цепи превосходит некоторое критическое значение /кр, то в сверхпроводнике восстанавливается омическое сопротивление и начинается выделение теплоты. Например, в опыте со свинцовой проволокой, которая находится в жидком гелии, выделенная теплота может привести к плавлению проволоки.

На переход металла в сверхпроводящее состояние оказывают

влияние такие внешние факторы, как внешнее магнитное поле, давление и др. Внешнее давление влияет на величину Ткр, при которой металл приобретает свойства сверхпроводника. Характер зависимости может быть различным. Например, для таллия обнаружена нелинейная зависимость Ткр от внешнего давления (рис. 8-8). С увеличением давления таллий переходит в сверхпроводящее состояние при все

более высоких температурах, затем Ткр проходит через максимум и при больших давлениях падает.

При переходе металла в сверхпроводящее состояние изменяются не только его электрические характеристики. Как указывалось выше, при понижении температуры сверхпроводника электроны постепенно образуют пары и перестают переносить теплоту. В результате теплопроводность 乂 чистых металлов сверхпроводников резко падает. На рис. 8-9 приведена зависимость 乂 от температуры для чистого олова; пунктирная линия соответствует значениям коэффициента теплопроводности, которые имел бы металл при отсутствии перехода в сверхпроводящее состояние; сплошная кривая — при сверхпроводящем

состоянии.

В сверхпроводящих сплавах наблюдается обратная картина: при понижении температуры (ниже точки, соответствующей значению Ткр) коэффициент теплопроводности 乂 начинает увеличиваться. Например, для сплава олова зависимость 乂 от температуры имеет вид, изображенный на рис. 8-10 (сплошная кривая — сверхпроводящее состоя

ние; пунктирная кривая — нормальное). Современная теория теплопроводности объясняет это явление тем, что в сплавах вследствие рассеяния электронов на примесях присутствие свободных (не связанных в пары) электронов вызывает лишь снижение коэффициента теплопроводности.

Явление сверхпроводимости получает применение в современной радиотехнике и приборостроении; оно используется для управления

процессами теплопроводности в низкотемпературных приборах, для создания высокочувствительных термометров, элементов счетных машин, гальванометров и т. д.

В настоящее время известно более 20 металлов и сплавов, приобретающих свойства сверхпроводимости при температуре жидкого гелия (——270℃). Учеными разных стран ведутся поисковые работы по созданию искусственных материалов, способных стать сверхпроводниками при обычных температурах. Суть проблемы состоит в том, чтобы получить материал, способный служить идеальным проводником электрического тока. Это позволит без потерь передавать и использовать электроэнергию на любом удалении от источников.

Термоэлектронная эмиссия и ее практическоеприменение

Термоэлектронной эмиссией называется явление испускания электронов нагретыми металлами.

Физическая сущность термоэлектронной эмиссии сводится к следующему. В металлах при нормальной температуре всегда имеется большое количество свободных электронов, находящихся в непрерывном и беспорядочном тепловом движении. Если электрон под действием каких-нибудь причин покинул поверхность металла, то в этой точке поверхности образуется избыточный положительный заряд, который взаимодействует с отрицательно заряженным электроном. Под действием кулоновской силы притяжения электрон воввращается на поверхность металла. Наиболее быстрые электроны вылетают из металла и удаляются от его поверхности на несколько межатомных расстояний. В результате около поверхности образуется электронное облако, несущее определенный отрицательный заряд, а поверхность металла заряжается положительно. Этот своеобразный конденсатор противодействует вылету электронов из металла. Для того чтобы удалить электрон из металла, необходимо совершить определенную работу. Наименьшая величина этой работы называется работой выхода. Она равна

4=е(р, (8.33)

где е ——заряд электрона,屮一величина, называемая потенциалом выхода (измеряется в вольтах).

Работа выхода измеряется в электронвольтах (эВ): 1 эВ — это энергия, которую приобретает электрон, пройдя разность потенциалов в 1 В.

При любой температуре некоторые электроны обладают энергией, достаточной для того, чтобы покинуть поверхность металла. Они вылетают из поверхности металла, и совершается работа выхода, равная убыли их кинетической энергии:

где т, е — соответственно масса и заряд электрона,内 и % — скорости электрона до и после выхода из металла (у поверхности). При обычных температурах количество электронов, имеющих скорость, достаточную для вылета, очень невелико. Существует несколько способов сообщения электронам дополнительной энергии, необходимой для удаления их из металла: нагревание проводника (термоэлектронная эмиссия); облучение металлов видимым и ультрафиолетовым светом (фотоэлектронная эмиссия); воздействие сильного ускоряющего внешнего электрического поля (автоэлектронная, или холодная, эмиссия); бомбардировка металла электронами или ионами. Для того чтобы получить

значительный поток электронов, так называемый эмиттер нагревают до температур, значительно более высо.ких, чем комнатная. Например, тугоплавкие металлы необходимо нагревать до 2000+2500 К・

Для исследования термоэлектронной эмиссии можно использовать установку, состоящую из двух электродов — анода 4 и катода К, которые помещены в вакуум (рис. 8-11). Катод выполнен в виде нити, анод — в виде коаксиального цилиндра. Катод, являющийся источником электронов, подогревается с помощью специальной батареи накала 5Н. Анодная батарея 5а служит для создания электрического поля Евн между катодом и анодом. Когда нить разогрета, возникает электронное облако, несущее отрицательный заряд. В результате включения батареи 5а поток электронов начинает двигаться между катодом и анодом, т. е. в цепи начинает протекать электрический ток. Сила тока зависит от температуры нити, напряжения Ua, которое создает анодная батарея, материала катода и геометрии электродов. Зависимость анодного тока, регистрируемого гальванометром G, от анодного напряжения

f 〃)

называется вольт-амперной характеристикой установки. Такую характеристику можно снять экспериментально, поддерживая напряжение накала постоянным и изменяя напряжение Ua (рис. 8-12).

На вольт-амперной характеристике, изображенной на рис. 8-12, можно выделить три области. Область / соответствует тому случаю, когда к электродам прикладывается задерживающая разность потенциалов (к аноду подключается отрицательный полюс батареи), т. е. поле Е тормозит электроны. Однако ток в цепи все же идет потому, что часть электронов, вылетающих из раскаленной нити, имеет энергию, достаточную для преодоления задерживающей разности потенциалов. Эта часть вольт-амперной характеристики называется «кривой задержки». Помимо электрического поля Евн, создаваемого анодной батареей, между катодом и анодом существует еще поле, обязанное своему возникновению летящим электронам. Электроны, движущиеся от катода к аноду, создают определенный объемный заряд, который вызывает электрическое поле Еоб.

Н а к л адыв ающееся на поле Евн поле электронного облака % будет тормозить электроны при их вылете из катода и ускорять при подлете к аноду (цилиндру). При увеличении разности потенциалов Ua поле £об будет уменьшаться. Поэтому все большее количество электронов станет долетать до анода и сила тока будет расти (область //).

При некотором значении разности потенциалов ((/а = (/0) суммарное поле Евн+^об У катода сделается равным нулю. В этом случае все вылетающие при данной температуре из катода электроны будут достигать анода. Поэтому дальнейшее повышение напряжения Ua не приведет к увеличению анодного тока /. Сила тока станет постоянной (область ///). Такой ток называется током насыщения. Сила тока насыщения при прочих равных условиях зависит от температуры эмиттера. Зависимость плотности тока насыщения /н от абсолютной температуры Т удов летвор ител ьно описывается формулой Ричардсона —Дэшмена

/н = (1—7)572”//^, (8.34)

где г — средний коэффициент отражения электронов от границы эмиттер —вакуум, В — постоянная, зависящая от материала катода, А — работа выхода электрона, k — постоянная Больцмана, е — основание натуральных логарифмов.

Явление термоэлектронной эмиссии используется в электронных лампах. Электронные лампы применяются в следующих целях: а) для преобразования переменного тока в постоянный (выпрямители); б) для усиления колебаний различных частот (усилители); в) для генерирования колебаний.

Электронные лампы конструктивно состоят из баллона, в котором создается разрежение порядка 10~64-10~7 мм рт. ст., и системы электродов: катода, анода и нескольких сеток. Если электрода два (катод и анод), то лампа называется диодом. Трехэлектродная лампа (катод, анод и одна сетка) называется триодом, четырехэлектродная — тетродом, пятиэлектродная — пентодом и т. д.

Диоды бывают двух типов: с катодом прямого накала (рис. 8-13, а) и с катодом косвенного (подогревного) накала (рис. 8-13, б). Вольт-

амперная характеристика диода аналогична кривой, изображенной на рис. 8-12.

Диоды широко используются в качестве выпрямителей переменного тока, и в этом случае они называются кенотронами. На рис. 8-14, а представлена принципиальная схема кенотрона с параллельно включенным конденсатором. Переменный ток, поступающий на диод Д, проходит только в одном направлении, так как электроны летят только от катода к аноду. Когда на катод подается положительный потенциал, то кенотрон «заперт» и тока не пропускает. В результате переменный по величине и направлению ток, пройдя через кенотрон, становится постоянным по направлению, но переменным по величине. Такой ток называется пульсирующим. Напряжение на выходе UB имеет вид кривой, изображенной на рис. 8-14, 6 (кривая 7). Если же параллельно нагрузке Rn включить конденсатор большой емкости Сн, то в течение положительного полупериода конденсатор запасает энергию (заряжается), а когда ток через диод не проходит (отрицательный пол у пер иод), то отдает ее в нагрузку. Этот прием позволяет

сгладить пульсирующее напряжение на выходе кенотрона (рис. 8-14, б, кривая 2).

Если снабдить электронную лампу третьим электродом ——сеткой,

которая располагается между катодом и анодом, то с ее помощью можно управлять анодным током. «Управляющая» сетка помещается ближе к катоду, и поэтому небольшие изменения напряжения на ней вызывают большие изменения силы анодного тока.

Физическая сущность механизма действия управляющей сетки показана на рис. 8-15. На сетку можно подавать как положительное, так и отрицательное напряжение различной величины. Когда на сетку подается большое отрицательное напряжение, то электроны, испускаемые нагретым катодом, отталкиваются сеткой и возвращаются назад на катод (рис. 8-15, а). В этом случае анодный ток равен нулю. При уменьшении отрицательного напряжения на сетке (рис. 8-15, б) часть электронов проскакивает мимо нее и попадает на анод — в цепи катод — анод появится ток. Когда напряжение на сетке равно нулю, триод работает как диод.

Небольшое положительное напряжение, приложенное к сетке, ускоряюще действует на термоэлектроны, способствует рассасыванию

электронного облака у катода (рис. 8-15, в). Анодный ток при этом имеет конечную величину. Положительно заряженная сетка сама захватывает часть электронов, поэтому наряду с током в цепи катод — анод появляется ток в цепи катод — сетка, так называемый сеточный ток. При дальнейшем увеличении положительного напряжения на сетке (рис. 8-15, а) все больше и больше электронов будет захваты-

Анод сегпка --—ОООКатода———Анод сегпка --—ОООКатода———+ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + +OlQQOlQQ一/I出次一一/I出次一〃丿 "〃丿 "00

Анод

сегпка --—

ООО

Катода———

Анод

сегпка --—

ООО

Катода———

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

OlQQ

OlQQ

一/I出次一

一/I出次一

〃丿 "

〃丿 "

0

0

Рис. 8-15

ваться сеткой, что приводит к уменьшению анодного тока и резкому увеличению сеточного тока.

Трехэлектродные лампы (триоды) широко применяются в радиоэлектронике и технике связи в качестве усилителей электрических сигналов и генераторов незатухающих колебаний. В последнее время электронные лампы начинают вытесняться из сферы радиотехники полупроводниковыми приборами, которые имеют перед лампами ряд преимуществ (механическая прочность, миниатюрность, большой срок службы и др., см. § 14).

Помимо электронных ламп, явление термоэлектронной эмиссии используется в электроннолучевых трубках (кинескопах).

Контактная разность потенциалов. Термопара

Если два разнородных металла привести в тесное соприкосновение друг с другом, то между ними возникает разность потенциалов, которая называется контактной разностью потенциалов. Величина контактной разности потенциалов не зависит ни от формы, ни от размера проводников и определяется лишь тем, какие металлы вступили в контакт и какова температура в месте их соприкосновения.

Возникновение контактной разности потенциалов происходит вследствие двух причин: 1) разная работа выхода электронов у различных металлов. Металл, имеющий меньшее значение работы выхода электронов, легче их теряет и заряжается положительно, а металл с большей работой выхода накапливает электроны и заряжается отрицательно. Поэтому между двумя металлами при их контакте возникает разность потенциалов, равная

(Г=(4—4)/е,(8.35)

где 4 и 4 2 — работа выхода соответственно первого и второго металлов, е — заряд электрона;

различная концентрация свободных электронов в металлах. При соприкосновении двух металлов тот из них, в котором концентрация свободных электронов больше, будет их терять и приобретет положительный заряд. Другой металл, имеющий меньшую концентрацию электронов вследствие их диффузии, зарядится отрицательно.

Переход электронов и рост напряжения прекратятся, когда электрические силы уравновесятся сторонними силами, вызывающими диффузию свободных электронов. Разность потенциалов, образующаяся вследствие диффузии свободных электронов, равна

U"T 哨，(8.36)

где k — постоянная Больцмана, е ——заряд электрона, Пх и п2 ——концентрации свободных электронов соответственно в первом и втором металлах.

Суммарная разность потенциалов, обусловленная обеими причинами, будет равна

U = U' + U〃= "t"L + ^ln ^ ・(8.37)

Составим замкнутую цепь из двух разнородных металлов Л и В (рис. 8-16). Эта цепь будет иметь два спая, контактная разность потенциалов у каждого из которых будет Ui и (Д. Поэтому можно считать, что каждый спай обладает определенной электродвижущей силой. Так как в одном из спаев электроны будут двигаться по часовой стрелке, а в другом ——против, то их э. д. с. направлены в противоположные стороны, а суммарная э. д. с. всей цепи равна их разности.

Если температуры спаев одинаковы 7\=7\, то Ui=U2.

Это положение, которое остается справедливым для цепей, составленных из любого количества разнородных металлов, вытекает из законов Вольта.

Согласно первому закону Вольта установлено, что при соединении двух различных металлов между ними возникает разность потенциалов, зависящая только от их химического состава и температуры.

Второй закон Вольта гласит: если составить цепь из последовательно соединенных металлических проводников, находящихся при одинаковой температуре, то разность потенциалов между концами цепи не зависит от химического состава промежуточных проводников. Она равна контактной разности потенциалов, возникающей при непосредственном соединении крайних проводников.

Следовательно, согласно этим законам можно заключить, что при равенстве температур всех спаев в замкнутой цепи, состоящей из различных металлов, алгебраическая сумма контактных разностей потенциалов равна нулю.

Если температуры спаев различны (7\=#7\), то в цепи появляется так называемая термоэлектродвижущая сила, равная

T(Af)哈

Обозначая величину

^比^ =机，(8.38)

которая называется удельной термов. 0. с. и измеряется в вольтах На кельвин (В/К), получим

S = Sq(T1-T2) = S^T.(8.39)

Из приведенной формулы видно, что термоэлектродвижущая сила прямо пропорциональна разности температур спаев.

Такое устройство, состоящее из двух разнородных прородников, может быть использовано для измерения температур. Оно носит название термопары. Если для данной пары металлов известны величина & и температура 7\ одного спая, то, измеряя термо-э. д. с., можно определить неизвестную температуру Т2 второго спая.

Термопара имеет два спая / и 2 4и состоит из двух различных ме-

广таллниескнх проводов, сваренных V своими концами (рис. 8-17). В тер- XВмопаре участок /—2 может быть

72выполнен, например, из константа-

Рис. 8-17новой проволоки, а участки А—/

и 2—В ——из медной. В точках Д и В термопара присоединяется к проводам, идущим к клеммам гальванометра G. Один из спаев (например, спай /) помещают в сосуд Дьюара, в котором поддерживается определенная известная температура, например, 0℃, если сосуд Дьюара загружен тающим льдом. Тогда, помещая второй спай (спай 2) в любую точку тела, можно определить по величине термо-э. д. с. температуру данного участка исследуемого объекта.

Гальванометры, применяемые для этих целей, должны обладать хорошей чувствительностью, так как измеряемые токи очень малы. Приведем средние значения удельной термо-э. д. с. (в мкВ/K) для некоторых пар металлов:

Медь—константан 43

Серебро—платина .. 12

Никель — платина11

Платина —платинородий (5%) 6,4

Термопары имеют малую мощность и низкий к. п. д. и поэтому главным образом используются для измерения температур. Если же

термопары последовательно соединить в батареи — термостолбики или термобатареи, то термо-э. д. с. значительно возрастет. Такие термобатареи стали применяться для получения электрической мощности, т. е. в качестве преобразователей тепловой энергии в электрическую.

Термобатареи в свою очередь образуют весь агрегат-преобразователь, так называемый термоэлектрогенератор. Первые термоэлектрогенераторы имели очень низкий к. п. д. использования тепловой мощности (менее 5%). С применением полупроводников удалось создать термоэлектрогенераторы, которые могут обеспечить к. п. д. 13+15% и выше в широком интервале температур. Основные термоэлектрические материалы, используемые при конструировании термоэлементов,——это твердые растворы на основе теллуридов и селенидов висмута и свинца, а также сплавы кремний ——германий.

За последнее время термоэлектрогенераторы находят все большее применение в малой и средней энергетике, так как они обладают рядом существенных преимуществ перед другими источниками электроэнергии: отсутствие движущихся частей, независимость к. п. д. от габаритов, возможность получения любых соотношений между током и напряжением и т. д.

§ 9・ Термоэлектрические явления

К термоэлектрическим явлениям относятся явления Зеебека, Пельтье и Томсона. Объединение этих трех явлений в одну группу обусловлено существованием взаимосвязи между тепловыми и электрическими процессами в проводниках.

Явление Зеебека состоит в том, что в замкнутой электрической цепи, составленной из разных материалов, возникает термоэлектродвижущая сила, если места контактов поддерживаются при разных температурах.

Математически явление Зеебека описывается формулой (8.39): £ = £о(7\ — Т 2),

где^о — удельная ^термо-э. д. с., зависящая не только от материала проводников, но и от интервала температур; в некоторых случаях при изменении температуры ^0 даже меняет знак (положительный знак £о приписан тем металлам, к которым ток течет через нагретый спай).

Деление Пельтье обратно явлению Зеебека и заключается в том, что если через термопару, спаи которой находятся при одинаковой температуре {Т^Т^, от внешнего источника э. д. с. пропускается электрический ток, то температура одного спая начнет повышаться, а другого понижаться, т. е. дополнительно к джоулевой теплоте в одном спае будет выделяться, а в другом поглощаться теплота Qn- Эта теплота Qn будет пропорциональна силе тока / и времени его прохождения т (т. е. количеству электричества):

где п ——коэффициент Пельтье, зависящий от природы находящихся в контакте материалов.

Эффект Пельтье зависит от направления тока; при перемене полярности контакты меняются местами в тепловом отношении, т. е. горячий контакт начнет охлаждаться, а холодный до этого контакт будет нагреваться.

(8.41)(8.41)Явление Пельтье используется для создания холодильных машин. В таких холодильных агрегатах роль рабочего вещества — хладо- агента ——выполняет электронный газ. Если температура холодного спая остается постоянной, то должно соблюдаться следующее условие теплового баланса:

(8.41)

(8.41)

Qn= Qa>k+ Qt，

где Qn — теплота, которая отводится от спая вещества (теплота Пель-

тье), токатье), токатемпературе горячихтемпературе горячихQa*—теплота, которая выделяется в спае при прохождении (джоулева теплота), Qt—теплота, обусловленная теплопроводностью, т. е. подводимая к спаю извне от более нагретых предметов. Это соотношение накладывает ограничение на величину максимальной разности температур Тщах=Т1—Тг между горячим и холодным спаями. Для увеличения АТтах применяют каскадирование термобатарей. Принцип каскадирования заключается в том, что холодные спаи первой термобатареи охлаждают горячие спаи второй термобатареи, а это приводит к дальнейшему снижению температуры холодных спаев второго каскада. В настоящее время АТтах однокаскадных тер

тье), тока

тье), тока

температуре горячих

температуре горячих

спаевспаевмобатарей достигает 60+65℃, т. е. при

спаев

спаев

.в 30℃ можно получить охлаждение до

—30°С. Важной особенностью явления Пельтье является его обратимость. Этим свойством широко пользуются для создания термостатов

и установок для кондиционирования воздуха.

Термоэлектрические эффекты можно использовать для аккумулирования электрической энергии. Термоэлектрический аккумулятор (рис. 8-18), основанный на явлениях Зеебека и Пельтье, представляет собой металлический резервуар /, заполненный веществом 2, аккумулирующим тепловую энергию. На внешней поверхности резервуара располагаются термоэлементы 3, холодные спаи которых охлаждаются с помощью радиаторов 4 при воздушном способе охлаждения или жидким охладителем. Постоянный электрический ток, проходя через термобатарею, превращается согласно явлению Пельтье в теп

ловую энергию, которая аккумулируется веществом, находящимся в резервуаре, и наоборот с помощью тех же термоэлементов тепловая энергия в соответствии с явлением Зеебека может быть превращена в электрическую.

Деление Томсона наблюдается в однородном проводнике электричества (т. е. в данном случае не требуется наличия двух разнородных проводников) и заключается в том, что вдоль этого проводника устанавливается перепад температур АТ=7\——7\ и тогда при пропускании электрического тока I через него в течение времени т, помимо джоулевой теплоты, будет выделяться или поглощаться в зависимости от направления некоторое количество теплоты (теплота Томсона):

Qt = ^t(T2-A)/g (8.42)

где 々т ——коэффициент Томсона? зависящий от природы материала.

Явление Томсона можно объяснить изменением свойств проводника при его нагревании. В более нагретом конце тепловые скорости электронов значительно больше, чем в холодном, поэтому диффузия электронов от нагретой части к холодной больше, чем в обратном направлении, а следовательно, энергия электронов в нагретом конце выше, чем в холодном. Таким образом, однородный проводник при неравномерном нагревании становится неоднородным. Иными словами, явление Томсона представляет собой в сущности своеобразное явление Пельтье, с той лишь разницей, что в данном случае неоднородность вызвана не различием химического состава проводника, а неоднородностью температуры. Если по такому проводнику пропускать электрический ток против этой рдзности потенциалов, то количество джоулевой теплоты будет меньше на величину Qt, а если возникшая разность потенциалов будет помогать прохождению тока, то дополнительно к джоулевой теплоте выделится теплота Томсона QT.

§ 10. Электрический ток в газах

До сих пор рассматривался электрический ток в металлах, где носителями электрических зарядов являются электроны. Природа электрического тока в газах значительно отличается от тока в металлах. Процесс прохождения электрического тока через газ называется газовым разрядом.

Газовые разряды обычно сопровождаются сильной ионизацией газа, в результате чего пространство между катодом и анодом оказывается заполненным большим количеством ионов и электронов. Такой сильно ионизированный газ называется газоразрядной плазмой, или просто плазмой (см. § 12).

Различают в основном два вида газового разряда: самостоятельный и несамостоятельный.

Если электропроводность газа создается внешними ионизаторами, то электрический ток в нем называется несамостоятельным газовым разрядом.

Перенос зарядов в газах при несамостоятельном разряде осуществляется с помощью ионов (положительных и отрицательных) и электронов. Большинство газов, а также воздух при нормальных условиях являются изоляторами, так как они содержат ничтожно мало ионов. Поэтому если приложенные напряжения не слишком велики, то газы электрического тока не пропускают. Только при очень высоких на

пряжениях через газы начинает проходить электрический ток. При напряжениях порядка нескольких сотен вольт электрический ток проходит через газы только при наличии ионизатора. В качестве ионизаторов могут служить источники ультрафиолетовых, рентгеновских, космических и гамма-лучей. Ионизировать газы можно также путем нагревания и другими способами. Рассмотрим схему, изображенную на рис. 8-19. Между пластинами плоского конденсатора находится воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре. Если к конденсатору К приложено напряжение, равное нескольким сотням вольт, а ионизатор S не работает, то гальванометр G тока не регистрирует. Как только пространство между пластинами конденсатора начинает пронизываться потоком ультрафиолетового излучения от источника S, гальванометр начинает регистрировать прохождение тока по цепи. Если ионизатор S выключить, прохождение тока по цепи (между пластинами конденсатора) прекращается. Этот ток и представляет собой несамостоятельный разряд.

Таким образом, электрический ток в газах появляется 6 результате переноса зарядов электронами, положительными и отрицательными ионами. Одновременно с процессом ионизации в газе протекает противоположный процесс, который называется процессом рекомбинации ионов. При столкновении электрона с положительным ионом они образуют обычную нейтральную молекулу — рекомбинируют. Если к конденсатору не приложено внешнее напряжение, то в определенный момент времени в рабочем объеме конденсатора устанавливается динамическое равновесие, при котором скорость ионизации (количество ионов, образующихся в единицу времени) становится равной скорости рекомбинации ионов. Если между пластинами конденсатора существует электрическое поле, то часть ионов достигнет пластин, другая (меньшая) часть все же рекомбинирует, в результате чего образуются нейтральные молекулы, которые в процессе переноса заряда участвовать не будут. В этом случае скорость ионизации будет выше скорости рекомбинации ионов. При этом заряды могут исчезать не только вследствие объемной рекомбинации и ухода на электроды, но и в результате диффузии из рабочего объема конденсатора в окружающее пространство.

Пусть ионизатор создает в единицу времени в единице объема п0 ионов каждого знака. Убыль ионов вследствие рекомбинации равна Д/io, а электрический ток в газе уносит в единицу времени из единицы объема Д/io ионов каждого знака. Тогда, если пренебречь диффузией ионов, общее число убывающих ионов равно

Дп0 = Дно + А嗚.(8.43)

Количество рекомбинирующих ионов А〃； будет пропорционально—230 —

как числу положительных ионов и+, так и числу отрицательных %一・ Поэтому можно записать

A儿:=Y九+九.=Y/^,

где у—коэффициент пропорциональности, который называется коэффициентом рекомбинации.

Заряд, уходящий из всего объема конденсатора за время т, равен Q = q^Slx,

где SI — рабочий объем конденсатора, S — площадь одной пластины, I — расстояние между ними, q — заряд одного иона. Согласно определению плотности тока запишем

片Q/S%

или с учетом последнего равенства j = q\n；l9

откуда

A拉；=占，(8.44)

Подставив значения А/i； и А/г； в формулу (8.43), получим

a/ = Y屛+力，(8.45)

Проанализируем данную формулу.

Предположим, что в конденсаторе существует настолько сильное поле, что ионы не успевают рекомбинировать и попадают на электроды, т. е. 丫孔；一＞0. Тогда

\nQ=j/ql,

откуда

Такой ток, который определяется лишь мощностью ионизатора (количество ионов Ап。, образующихся в единице объема в единицу времени), называется током насыщения, т. е.

jn = ^nQql.(8.46)

Отсюда следует, что с увеличением Z увеличивается объем конденсатора, а следовательно, растет общее число ионизированных молекул.

Допустим, что ток далек от насыщения. В этом случае число ионизированных молекул приблизительно можно считать постоянным.

Электроны и ионы в газе движутся хаотически. Однако в присутствии электрического поля возникает направленное движение (дрейф) положительных ионов по направлению поля, а отрицательных ионов и электронов ——против поля. Средняя скорость дрейфа и выражается формулой

(8.47)(8.47)и=иЕ,

(8.47)

(8.47)

где Е — напряженность электрического поля, и ——величина, называ* емая подвижностью (подвижность ионов ——это средняя скорость движения иона под действием поля, напряженность которого равна единице).

Величина и имеет различные значения для разных газов. Подвижность электронов сильно зависит от напряженности электрического поля и давления газа, а подвижности положительных и отрицательных ионов от них не зависят. Подвижности ионов значительно меньше подвижности электронов.

Будем считать, что все электроны соединились с нейтральными молекулами и образовали отрицательные ионы. Тогда количество положительного электричества, поступающего на пластину конденсатора, будет равно

Q + = «%?+$%

где g — заряд иона, v+ — его скорость, п0 — количество положительных (и отрицательных) ионов в единице объема, S — площадь пластин, т — время, в течение которого накопился этот заряд, и количество отрицательного электричества также будет равно

Q_ = g%u_ST.

Суммарный перенесенный полем заряд равен

Q = Q + + Q - = Wo ®+ + ?-) S% а плотность тока будет

•/ Q/ I 、

или с учетом (8.47)

j = g%(〃+ + 〃_)E.j = g%(〃+ + 〃_)E.(8.48)(8.48)

j = g%(〃+ + 〃_)E.

j = g%(〃+ + 〃_)E.

(8.48)

(8.48)

Множитель 夕孔。(〃++〃_) можно для токов, далеких от насыщения, считать постоянной величиной, и тогда данная формула выражает собой закон Ома для электрического тока в газах [см. (8.7)]:

На рис. 8-20 приведена зависимость плотности тока / несамостоятельного разряда от напряженности Е электрического поля между пластинами конденсатора. На этом рисунке участок Оа соответствует слабым полям и малым плотностям тока. Для данного участка кривой применим закон Ома. Участок ab представляет переходную область, где нарушается линейная зависимось тока от напряжения; участок Ьс соответствует току насыщения.

Пример.

К пластинам плоского воздушного конденсатора подано напряжение 250 В. Промежуток между плас-

тинами облучается ультрафиолетовым светом. Гальванометр, включенный в цепь конденсатора, показывает /= 10~9 А. Насыщения нет. Определить число пар ионов “о, находящихся в 1 м3 воздуха (концентрацию ионов), если площадь пластины S= = 150 см2, а расстояние между HHMnd=3cM. Подвижность положительных ионов 〃 + = =1,4・10-4 м?/(В・с), подвижность отрицательных ионов и~ = \^-10-4 м2/(В-с).

Решение. Плотность тока / согласно формуле (8.48) равна / = пое (〃++〃_)£；

где е — заряд одного иона (принимаем его равным заряду электрона), Е — напряженность поля. Так как для однородного поля

Е=ит,

где U — напряжение на пластинах конденсатора, то

.пое ("+ + "一)U

Но, по определению, j=〃S (/ — сила тока), тогда получим

_ Id

Подставив исходные данные, выраженные в СИ, получим

10-9 А-0,03 м-В-сп _3

Л° = 0,015 м2」,6J0-19 Кл・(1,4+1,9)・10-4 м2・250 В = Ь М *

Сильное электрическое поле может вызвать в газовой среде самостоятельный разряд, т. е. электрический разряд, сохраняющийся после прекращения действия внешнего ионизатора (участок cd на рис. 8-20). Крутое возрастание силы тока на участке с£ обусловлено возникновением ударной ионизации. Электрические заряды, которые содержатся в газе под действием поля, разгоняются и приобретают кинетическую энергию, достаточную для ионизации встречных молекул ударом. Однако в начале участка cd разряд продолжает оставаться несамостоятельным, несмотря на лавинообразный характер нарастания тока. При дальнейшем увеличении напряженности поля наряду с ионизацией газа ударом в образовании новых носителей заряда начинают участвовать вторичные процессы: эмиссия электронов вследствие ударов положительных ионов о катод, излучение разряда и др., и тогда несамостоятельный разряд переходит в самостоятельный и наступает пробой газа. Напряжение зажигания самостоятельного разряда (напряжение пробоя) зависит от давления газа и расстояния между электродами. Напряжение пробоя при увеличении давления будет больше, так как уменьшается длина свободного пробега ионов и электронов, которые на коротком пути не успевают разогнаться и приобрести энергию, достаточную для ионизации ударом. При увеличении расстояния между электродами падает градиент потенциалов, что также приводит к необходимости увеличения приложенного напряжения.

Различают несколько видов самостоятельного разряда: коронный, тлеющий, искровой и дуговой.

Коронный разряд возникает вследствие неоднородности электростатического поля, которое на отдельных участках достигает вели-

чины, достаточной для возникновения самостоятельного разряда. Неоднородности поля могут появиться, если один из электродов (или оба) выполнен в виде лезвия или острия, т. е. имеет очень большую кривизну. В этом случае происходит концентрация электрического поля в точке — на острие. Около острия наблюдается свечение газа, называемое короной. Ионизация молекул при коронном разряде осуществляется в небольшой области, расположенной вблизи электрода, имеющего малый радиус кривизны, а в остальной части разрядного промежутка происходит фактически несамостоятельный разряд. Электрическое сопротивление этой «темной» области разряда определяет силу тока. Коронный разряд происходит при давлениях газа, близких к атмосферному.

Коронный разряд в газах с низким давлением иногда переходит в тлеющий. Тлеющий разряд может быть получен при любых давлениях вплоть до атмосферного,

f I\ однако большинство исследований

~г—I К—1— проведено, при давлениях от сотых

ф / 靄\ 丿 долей до нескольких миллиметров

/ / / /\ртутного столба. Отличительной

7 2 J 45чертой тлеющего разряда является

Рис. 8-21малая плотность тока на катоде

и большое (порядка сотен вольт) катодное падение потенциала. Испускание электронов холодным катодом происходит вследствие ударов положительных ионов и быстрых атомов о катод, а также по некоторым другим причинам (фотоэффект и др.). Если тлеющий разряд происходит в длинной цилиндрической трубке, наполненной газом, то можно визуально различить ряд резко разграниченных областей разряда (рис. 8-21).

Около катода / располагается небольшая темная область 2 ——первое темное пространство, в котором свечение газа не происходит, так как энергия электронов еще недостаточна для возбуждения молекул газа. Далее идут области отрицательного свечения 3, второго (фара- деева) темного пространства 4 и интенсивного положительного (анодного) свечения 5. В длинных трубках при невысокой степени разрежения анодное свечение занимает значительную часть длины трубки.

Стеклянные трубки, наполненные аргоном (голубое свечение) и неоном (красное свечение), применяются для декоративного и рекламного освещения.

Прерывистая форма электрического разряда в газах, возникающая при атмосферном давления、когда газ ионизирован по всей длине межэлектродного пространства, называется искровым разрядом. Ионизация газа в этом случае происходит не по всему объему, а по отдельным ярко светящимся каналам, так называемым искровым каналам. Их образование может начинаться как от положительного, так и от отрицательного электрода, иногда зарождение каналов начинается в пространстве между электродами. «Лавины электронов, несущихся в искровом канале, вызывают резкое повышение температуры и давления газа, отчего искровой разряд сопровождается характерным треском. В естественных условиях примером искрового раз-

ряда может служить молния. Искровой разряд возникает тогда, когда мощность источника напряжения недостаточна для поддержания стационарного дугового или тлеющего разряда. Поэтому после пробоя газа напряжение резко падает и разряд прекращается. Затем напряжение постепенно увеличивается, наступает пробой, между электродами проскакивает искра и процесс повторяется снова. Напряжение, необходимое для возбуждения искрового разряда, зависит от расстояния между электродами (длины искры) и давления газа. Искровой разряд применяется в технике для измерения высоких напряжений, для резки, сверления и точной обработки металлов, а также при проведении взрывных работ.

При большой мощности источника напряжения искровой разряд превращается в непрекращающийся дуговой разряд. Он характеризуется большой плотностью тока и малой разностью потенциалов между катодом и анодом. Газообразная плазма между электродами имеет температуру около 4800℃ и обладает очень высокой проводимостью. Электрическая дуга была открыта в 1803 г. русским физиком В. В. Петровым и в 1876 г. была применена П. Н. Яблочковым для целей уличного освещения.

§ 1L Катодные и анодные лучи

Поток электронов, вылетающих из катода при тлеющем разряде, получил название катодных лучей. Но наблюдать катодные лучи при тлеющем разряде не удается, так как электроны, вырванные из поверхности катода, сталкиваются с газовыми молекулами и большая часть трубки заполнена областью положительного свечения. Если же уменьшить давление газа в газоразрядной трубке, то средняя длина свободного пробега электронов увеличится и соответственно расширится область первого темного пространства. При давлениях порядка тысячных долей миллиметра ртутного столба первое темное пространство заполняет всю трубку и поток электронов достигает ее противоположного конца. При дальнейшей откачке воздуха область первого темного пространства распространяется до анода и тлеющий разряд прекращается. Получение катодных лучей с помощью холодного катода требует высоких напряжений. Если использовать явление термоэлектронной эмиссии, т. е. применять подогретый катод, то можно получить поток прямолинейно летящих электронов при больших разрежениях газа и в вакууме.

Катодные лучи обладают следующими свойствами.

При ударе о стенку стеклянной вакуумированной трубки катодные лучи вызывают свечение — люминесценцию или катодолюминесценцию.

Под действием катодных лучей начинает светиться не только стекло, но и многие другие тела (так называемые люминофоры). Так, например, углекислый кальций светится красным светом, сернистый цинк — светло-зеленым, сернокислый кальций — зеленым и т. д. Материал люминофора обычно наносится на прозрачную подложку. При торможении электронов материалом экрана большая часть (до 90%)

кинетической энергии электронов переходит в теплоту, а остальная идет на возбуждение катодолюминесценции и на вырывание вторичных электронов.

Катодные лучи, выходя из катода перпендикулярно его поверхности, и далее распространяются прямолинейно. Обладая малой проникающей способностью, они поглощаются любым незначительным препятствием, встречающимся на их пути. Этим свойством пользуются для демонстрации прямолинейности их распространения; если на пути катодных лучей поместить алюминиевую звезду, то ее изображение можно будет увидеть на люминесцирующем экране.

Катодные лучи отклоняются в электрическом и магнитном полях. Поток электронов, проходя между пластинами плоского конденсатора, притягивается положительно заряженной пластиной и отталкивается отрицательно заряженной (рис. 8-22). Это свойство пучка электронов используется во многих электроннолучевых приборах.

Катодные лучи обладают химическим действием. Под их влия-

Рис. 8-22нием в некоторых веществах про

исходят химические превращения, например они способны засвечивать фотопластинки.

При увеличении напряжения между катодом и анодом проникающая способность катодных лучей растет. Если к трубке приложить достаточное напряжение, а в стенке сделать тонкое окошко, то поток электронов можно вывести из трубки. В первых опытах с катодными лучами такое окошко изготавливали из тонкого (толщиной 0,002 мм) листа алюминия.

Катодные лучи приобрели большое значение, когда с их помощью были получены рентгеновские лучи.

Помимо электронов, между катодом и анодом (в сторону катода) движутся положительные ионы. Их поток иногда специально увеличивают, подогревая анод. Приближаясь к катоду, положительные ионы набирают довольно большую скорость. Если в катоде сделать отверстие, то положительные ионы пролетят в закатодное пространство. При этом будет наблюдаться слабосветящийся пучок. Так как они пролетают сквозь катод по специальным каналам, то первое название этих лучей было каналовые лучи; в дальнейшем их стали называть положительными илн анодными лучами (имеется в виду знак частиц, вызывающих свечение). В электрическом поле анодные лучи отклоняются в направлении, противоположном отклонению катодных лучей.

Понятие о плазме

Газ, который имеет достаточно высокую концентрацию ионизированных атомов и молекул, называется плазмой. Одним из методов ионизации газа является нагревание. При увеличении температуры растет скорость газовых молекул, поэтому при столкновениях происходит

ударная ионизация. При температурах порядка 10 000℃ и выше все вещества существуют в виде плазмы, т. е. имеют очень высокую концентрацию ионизированных атомов. Плазма — наиболее распространенное состояние вещества в природе. Все звезды и в том числе Солнце представляют гигантские сгустки высокотемпературной плазмы. Ионосфера Земли также состоит из плазмы.

По методу получения плазму можно разделить на два вида: высокотемпературную и газоразрядную. Плазма ионосферы Земли представляет особый вид плазмы, так как образуется в результате процесса фотоионизации молекул и атомов газа под действием солнечной радиации.

В лабораторных условиях плазма обычно получается с помощью электрических разрядов в газе. Электроны, ионы и нейтральные атомы в газоразрядной плазме обладают различными значениями кинетической энергии беспорядочного теплового движения, которая связана с абсолютной температурой Т известным соотношением

取=(3/2欣Т

(k ——постоянная Больцмана), а значит, обладают различными температурами. Наибольшую температуру имеют электроны (обозначим ее Т^, затем идут ионы (7\) и нейтральные атомы (TJ:

В плазме происходит процесс выравнивания температуры ее компонентов путем обмена энергиями при столкновениях. Но наряду с этим идет процесс приобретения энергии электронами и ионами от источника электрического тока, питающего газовый разряд, поэтому в газоразрядной плазме все время поддерживается высокий перепад температур между электронами и ионами. Так, при тлеющем разряде электронная температура Те обычно порядка 10 000 К(℃), а величины Ti и Tq лежат в пределах 10004-2000 К(℃).

Очень важным свойством плазмы является ее квазинейтральность. Это означает, что ионизированный газ можно называть плазмой только в том случае, когда он в целом электрически нейтрален. В простейшем случае, когда все ионы однозарядны и положительны, их количество должно равняться количеству электронов. Условие квазинейтральности выполняется только для газа, имеющего высокую концентрацию заряженных частиц и занимающего большой объем. Такой газ создает сильное электрическое поле при нарушении равенства между содержанием электронов и ионов. Если происходит утечка электронов из плазмы, то возникающее электрическое поле восстановит равновесие путем задержки электронов и выталкивания положительных ионов. Газы с низкой концентрацией заряженных частиц поддерживать равновесие не могут, квазинейтральность в них быстро нарушается, и поэтому такие газы плазмой названы быть не могут.

Количественно переход ионизированного газа в состояние, которое называется плазмой, оценивается с помощью характерного «плазменного» размера D, называемого дебаевским радиусом экранирования (по

имени немецкого физика Дебая) и равного

(8.49)(8.49)D = 5/7^,

(8.49)

(8.49)

где Те — температура электронов, и — число электронов в единице объема. Вокруг любого заряда происходит преимущественная группировка частиц противоположного знака, приводящая к нейтрализации (экранированию) всей этой системы на расстоянии, приблизительно равном D.

Для того чтобы ионизированный газ стал плазмой, линейный размер 厶 области, занятой ионизированным газом (например, радиус сферической колбы), должен быть во много раз больше дебаевского радиуса экранирования, т. е. L》D, или

(8.50)(8.50)L>5/7^.

(8.50)

(8.50)

На основании изложенных рассуждений плазму можно определить как квазинейтральный коллектив, содержащий большое число заряженных частиц и занимающий область с линейными размерами 厶》О. В этом случае сколько-нибудь заметное нарушение квазинейтральной плазмы становится невозможным из-за возникновения в ней больших

восстанавливающих электрических полей.

Взаимодействие заряженных частиц плазмы посредством кулоновских сил вызывает ряд качественных особенностей, отличающих ее от обычного газа и дающих основание считать ее особым, «четвертым», состоянием вещества. Сю

да относится сильное взимодей- ствие плазмы с внешними электрическими и магнитными полями, связанное с ее высокой электропроводностью. Конкретные проявления этих взаимодействий могут быть самыми разнообразными.

Например, в отличие от нейт

рального газа плазма отражает радиоволны (взаимодействие с электромагнитными полями), под влиянием электрического поля в плазме появляется электрический ток (взаимодействие с электрическим полем) и т. д.

Общим свойством плазмы и обычного газа, состоящего из нейтральных молекул, можно считать присущее им хаотическое беспорядочное движение частиц. В идеальном случае суммарное электрическое поле плазмы равно нулю, так как напряженности полей, создаваемых противоположно заряженными частицами, складываясь между собой, взаимно компенсируют друг друга. Однако вследствие хаотического движения электронов и ионов локальные напряженности электрического поля имеют конечную величину, меняющуюся как во времени, так и в пространстве. Если сделать моментальную фотографию локальных значений Е электрического поля плазмы, то она будет представ-

л ять собой некоторую случайную ломаную кривую, подобную кривой, изображенной на рис. 8-23.

еЕеЕтетеПод влиянием внешнего электрического поля заряженные частицы в плазме, помимо хаотического движения, начинают участвовать в общем направленном движении. Средняя направленная скорость электронов в этом случае будет равна

еЕ

еЕ

те

те

(8.51)

где е ——заряд электрона, те — его масса, Е ——напряженность внешнего электрического поля, v — число столкновений электрона в 1 с, t=l/w — средний промежуток времени между двумя последовательными столкновениями, которые испытывает движущийся электрон. В результате направленного движения заряженных частиц в плазме возникает электрический ток, плотность которого равна

j = enev = ^x-Et (8.52)

Если обозначить величины, стоящие перед Е, через

(8.53)

то мы снова получим закон Ома в дифференциальной форме:

Такая зависимость между напряженностью Е внешнего электрического поля и плотностью тока / означает, что ток в плазме под чиня ется закону Ома.

Физика плазмы в настоящее время развивается в тех направле

ниях, которые являются перспективными с точки зрения использования их в технике.

На первом месте по своему принципиальному значению стоит использование плазмы для осуществления термоядерной реакции —— реакции слияния двух ядер дейтерия (одного из изотопов водорода) с образованием ядер гелия и трития (тоже изотопа водорода), которая открывает доступ к громадным запасам энергии, сосредоточенной в ядрах легких элементов, широко распространенных в природе.

Другим перспективным направлением использования плазмы является разработка метода непосредственного превращения тепловой энергии газа в энергию электрического тока без промежуточных машин и агрегатов. Для этих4 целей при-

меняется магнитогидродинами- 、 ческий преобразователь, прин-丿

ципиальная схема которого да- 〃о е 0 0'

на на рис. 8-24. Как видно из °ш° 三|Т ：：中

рисунка, из сопла выбрасывает-言£—а2

ся струя ионизированного газа —высокотемпературной плазмы,

которая пролетает между двумяРис. 8-24

электродами At и Д2- В пространстве между ними на движущуюся плазму воздействует магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны чертежу и направлены на зрителя. При пересечении заряженными частицами силовых линий магнитного поля на них начинают действовать силы, направление которых зависит от знака частицы. В результате происходит разделение в целом нейтральной плазмы на две компоненты: отрицательную и положительную.

Отрицательная компонента (электроны и отрицательные ионы) направится к электроду 41, а положительная (положительные ионы)— к электроду Л 2. Если замкнуть электроды через внешнюю нагрузку R, то по цепи пойдет электрический ток. В данном случае происходит превращение кинетической и тепловой энергии плазмы в электрическую. Установки, в которых происходит такое преобразование энергии, называются магнитогидродинамическими генераторами (МГДГ).

Электрический ток в жидкостях

Некоторые жидкости обладают способностью диссоциировать с образованием ионов, например вода диссоциирует по следующей схеме

Н2О = Н++ОН-,

где Н+ — положительно заряженный ион водорода, ОН- — отрицательно заряженная гидроксильная группа.

Многие соли, кислоты и щелочи в растворах также обладают способностью к диссоциации. Например, гидроокись натрия (едкий натр) диссоциирует в воде на ионы натрия и гидроксил:

NaOH 之 Na++OH-

Распад молекул растворенного вещества на ионы в результате взаимодействия с растворителем называется электролитической диссоциацией. Степень диссоциации растворенного вещества оценивается с помощью коэффициента диссоциации, выражаемого формулой

а =器，(8.54)

где /?о ——число молекул, распавшихся на ионы, N ——число молекул, введенных в раствор. Коэффициент диссоциации изменяется от нуля, когда электролитическая диссоциация отсутствует, до 1 в случае полной диссоциации. Степень электролитической диссоциации зависит от природы растворенного вещества и растворителя, концентрации раствора и температуры.

Степень диссоциации растворенных веществ, как правило, значительно превышает степень диссоциации жидкости, поэтому последней часто пренебрегают. Такой раствор, насыщенный ионами и способный проводить электрический ток, называется электролитом.

Так же как и в ионизированных газах, в растворах одновременно с процессом электролитической диссоциации протекает процесс ре

—240 —

комбинации ионов, т. е. процесс объединения ионов различных знаков в нейтральные молекулы.

По аналогии с формулой для плотности тока, выведенной применительно к ионизированному газу, для плотности тока в электролите можно написать

j = qnQ (и+ + и^ Е,(8.55)

или с учетом (8.54)

/ =ag^ (〃+ + 〃_) Е,(8.55а)

где g — заряд иона, 〃+, 〃一 一 подвижности соответственно положительных и отрицательных ионов, Е — напряженность внешнего электрического поля.

Для электролитов, так же как и для ионизированных газов, справедлив закон Ома.

Металлы, в которых заряды переносятся с помощью свободных электронов, относятся к проводникам первого рода. В этих проводниках при прохождении электрического тока никаких химических изменений не происходит. Электролиты, обладающие ионной проводимостью, относятся к проводникам второго рода. В этих проводниках при прохождении через них электрического тока происходит разложение растворенных в нем веществ вследствие того, что положительные ионы перемещаются к отрицательно заряженному электроду, а отрицательные ионы — к положительному электроду, т. е. происходит разложение (исчезновение) молекул растворенного вещества из раствора. Одновременно с разложением происходит выделение веществ на электродах.

Такой процесс, при котором на катоде в результате присоединения электронов к ионам образуются продукты восстановления, а на аноде в результате потери электронов — продукты окисления, называется электролизом. Это явление описывается законами Фарадея.

Первый закон Фарадея. Количество т выделившегося на электродах вещества увеличивается пропорционально электрическому заряду д, прошедшему через электролит, т. е.

m=kq,(8.56)

где k — коэффициент, называемый электрохимическим эквивалентом вещества.

Если через электролит за время т протекает постоянный ток силой /, то

m=klT.(8.56а)

Второй закон Фарадея. Электрохимический эквивалент вещества прямо пропорционален его химическому эквиваленту:

J1 л

или(8.57)

где отношение молярной массы Л вещества к его валентности и, т. е. А® называют химическим эквивалентом, С=1/Ь — универсальная постоянная для всех элементов.

Объединяя оба закона, можно записать

т = % ；几,(8,58)

где т — масса вещества, выделившегося на электроде,尸一число Фарадея, которое показывает, какое количество электричества должно пройти через раствор, чтобы на электроде выделился один килограмм- эквивалент вещества ° F=9,65-10~4 Кл/моль, А/п — химический эквивалент, А — масса одного моля вещества, t — время прохождения тока через электролит, п — валентность элемента, I — сила тока.

Практическое использование электрохимических процессов, протекающих в электролитах, дало толчок развитию современной отрасли промышленности — электрохимии. Рождение электрохимии может быть отнесено к прошлому веку, ко времени создания первых гальванических элементов. В наши дни в связи с развитием подводного флота, ракетной техники и радиотехники роль химических источников тока снова сильно возросла. Так, окисно-ртутные элементы применяются как источник питания в аппаратуре космических кораблей, а элементы, содержащие индий, используются в ручных электрочасах.

Электрохимия применяется для получения водорода, хлора, фтора, меди, цинка, кадмия, кобальта, чистого железа, марганца, хрома и других химических элементов. Примером может служить электролиз медного купороса, при диссоциации которого по схеме

CuSO4 —*Cu++ + SO--

образуются катионы меди, разряжающиеся затем на катоде с образованием металлической меди:

Cu++ + 2e—>Cu

Широкое распространение на машиностроительных и приборостроительных заводах получила гальванотехника, с помощью которой на детали машин и приборов наносятся антикоррозионные покрытия.

Электрохимия используется для синтеза органических и неорганических соединений, а также для получения сплавов.

Полупрово дники

Полупроводники занимают промежуточное положение между металлами и диэлектриками. Их электропроводность хуже, чем у металлов, и лучше, нем у диэлектриков.

У металлов валентные электроны слабо связаны с атомами, легко их покидают и под воздействием даже небольших внешних электрических полей переносят заряды. У диэлектриков электроны очень прочно связаны с атомами. Поэтому диэлектрики начинают пропускать электрический ток только тогда, когда приложенное к ним напряжение достигает очень больших значений (напряжение пробоя).

D Килограмм-эквивалентом называется количество килограммов вещества, численно равное его эквивалентной массе.

242 —

В полупроводниках носителями зарядов тоже являются электроны, которые в обычном состоянии связаны с атомами, но под влиянием нагревания, воздействия излучения и других причин легко покидают атомы, и тогда полупроводник начинает пропускать электрический ток. К полупроводникам относят обширную группу твердых веществ, имеющих главным образом кристаллическую структуру. Полупроводниками являются окислы металлов, сернистые соединения (сульфиды) и соединения металлов с селеном (селениды), а также некоторые химические элементы, относящиеся к IV, V и VI группам таблицы Менделеева: германий, кремний, теллур,селен и др.

В таких полупроводниках, как германий и кремний, атомы имеют на внешней орбите по четыре электрона, которые называются валентными. Электроны с наибольшей вероятностью находятся возле линий, соединяющих атом германия с его ближайшими соседями. Схематическое двумерное представление связей атомов германия изображено на рис. 8-25 (действительное же расположение атомов трехмерно). Каждая пара линий на рисунке представляет собой двухвалентную связь.

Когда все валентные электроны связаны, материал является изолятором. Но если ка

ким-либо образом нарушить связи, например, путем повышения температуры, то электрон может быть выбит из решетки. Если при этом к кристаллу приложить внешнее напряжение, то выбитые электроны будут двигаться под действием электрического поля и образуют ток.

Рассмотрим проводимость, создаваемую в химически чистом германии термически возбужденными носителями тока. Она называется «истинной», или《собственной^ проводимостью, так как является свойством химически чистого вещества. Минимальная энергия, необходимая для освобождения электрона из атома й его дальнейшего свободного движения по кристаллу, равна некоторой величине W^ При комнатной температуре для кремния Ц7Д=1,09 эВ, а для германия %=0,72 эВ, т. е. меньше, чем у обычных неметаллов, и достаточна для обеспечения заметной проводимости, созданной термически возбужденными носителями тока.

Проводимость, обусловленная движением свободных электронов, называется электронной, или проводимостью типа п (от латинского слова negative ——отрицательный).

То место, которое ранее занимал электрон, после удаления его из атома, становится вакантным и называется условно <^дырка». Так как атом в целом был электрически нейтрален, дырка заряжена положительно и при наличии внешнего электрического поля движется в сторону, противоположную движению электрона. Движение дырок в непосредственном смысле символично, так как атом, с которым дырка связана, неподвижен. Фактически происходит перемещение элект-

ронов: под действием электрического поля связанный электрон соседнего атома перескакивает и занимает дырку. Но восстановление одной связи приводит к нарушению другой и появлению новой дырки.

Проводимость, обусловленная движением дырок, называется дырочной, или проводимостью типа р (от латинского слова positive —— положительный).

В случае химически чистого полупроводника (собственная проводимость) образуется одинаковое количество свободных электронов и дырок. Такой полупроводник обладает и электронной, и дырочной проводимостями. Примеси обусловливают примесную проводимость: в этом случае может преобладать либо электронная, либо дырочная проводимость. Если в кристалле германия имеются примесные атомы сурьмы, имеющей 5 валентных электронов, то 4 из них образуют ковалентную связь с 6 атомами германия, а пятый (валентный) электрон оказывается слабо связанным с положительно заряженным ионом примеси, так как энергия связи этого избыточного электрона с ионом мала. Вследствие возбуждения эти примесные электроны легко покидают атом и принимают участие в переносе заряда.

Примеси, вызывающие преобладание электронов и создающие в основном электронную проводимость, называются донорными, а полупроводник, содержащий донорные примеси, называется полупроводником п^типа.

Примеси, вызывающие преобладание дырок и создающие в основном дырочную проводимость, называются акцепторными. Полупроводник с дырочной проводимостью называется пол у проводи иком р-типа.

Примесная проводимость полупроводника обычно превышает его собственную проводимость в сотни и даже тысячи раз.

У металла электропроводность сравнительно слабо зависит от температуры и с повышением температуры уменьшается. У полупроводников электропроводность с повышением температуры резко возрастает. Наблюдаемые различия в проводимости металлов и полупроводников легко объяснить, если по аналогии с формулами плотности тока, выведенными для ионизированного газа и электролитов, написать формулу для плотности тока в полупроводниках:

i = e(tiUe + pu}E,

где е ——заряд электрона, п и ие — концентрация и подвижность электронов, р и ир — концентрация и подвижность положительных дырок, Е — напряженность внешнего электрического поля. Принимая во внимание закон Ома j=、E, из последней формулы можно записать выражение для удельной проводимости

Y = е (пие + р〃/. (8.59)

Как указывалось выше, тепловое возбуждение приводит к разрыву ковалентных связей и вырыванию валентных электронов из атомов. Поэтому общая концентрация пир очень сильно растет с температурой.

У металлов уменьшение проводимости при повышении температуры связано с уменьшением подвижности электронов. У полупроводников с ростом температуры подвижности электронов и дырок тоже падают, но это не играет заметной роли, так как рост множителей пир является преобладающим. В результате проводимость с увеличением температуры Т практически растет по экспоненциальному закону

l…/7， (8.60)

Рис. 8-26 есть немногочисленные исключе-Рис. 8-26 есть немногочисленные исключе-где 7о ——удельная проводимость при 0℃,匕一постоянная величина, зависящая от материала; е — основание натуральных логарифмов. Полупроводники при высоких температурах по электропроводности приближаются к металлам, а

Рис. 8-26 есть немногочисленные исключе-

Рис. 8-26 есть немногочисленные исключе-

при низких температурах, когда концентрации электронов и дырок очень малы, становятся хорошими изоляторами.

На рис. 8-26 приведена зависимость электрического сопротивления Rt полупроводников от температуры. Эта зависимость носит резко выраженный характер: при увеличении температуры на 100 К (℃) сопротивление может уменьшаться в сотни, а иногда и тысячи раз в зависимости от диапазона темпера-

тур и материала. Из этого правила

ния: у отдельных полупроводников (например, ВаТЮ3) ход температурной зависимости иной — у них с увеличением температуры сопротивление растет (скачкообразно).

Полупроводники широко используются для измерения и регулирования температуры. Приборы такого типа называются элекшротер^

мометрами сопротивления, или термисторами, а также терморезисторами (резистор в электронной технике означает нелинейное сопротивление).

В том случае, когда полупроводник используется для измерения температуры, через него пропускают очень слабый ток от источника с таким расчетом, чтобы джоулевой теплотой можно было пренебречь. Когда ток мал, термистор практически не нагревается и его температура определяется температурой окружающей среды. Довольно часто термисторы применяются для компенсации температурных изменений сопротивления электрических цепей. Если участки цепи, составленные из металлов, с увеличением температуры увеличивают общее сопротивление цепи, то термистор, включенный в цепь, понижает его; в результате общее сопротивление цепи остается постоянным.

Термисторы применяются также в качестве пусковых реле, реле времени, стабилизаторов напряжений и т. д. Во всех этих случаях температура термистора в основном определяется проходящим через него током и почти не зависит от температуры окружающей среды.

Большую роль в современной физике полупроводников играют р-п-переходы, или электронно-дырочные переходы, которые образуются при контакте полупроводников двух различных типов: p-типа (дырочного) и n-типа (электронного). В полупроводнике n-типа имеется избыток электронов, которые диффундируют в р-полупроводник, имеющий избыток положительных дырок (рис. 8-27). Электроны, скапливаясь около границы раздела, образуют в р-полупроводнике отрицательный объемный заряд, а дырки в n-полупроводнике — положительный. Совокупность этих зарядов на границе раздела двух полупроводников создает запорный слой ——двойной электриче-

㊀^*-㊀㊀㊀㊀㊀^*-㊀㊀㊀㊀㊉㊉㊉㊉ ㊀㊀㊀㊀㊉㊉㊉㊉ ㊀㊀㊀㊀㊉㊉㊉㊉一^㊉Рис. 8-27㊉㊉㊉㊉一^㊉Рис. 8-27^3 ㊀㊀㊀㊀^3 ㊀㊀㊀㊀М ㊉㊉④㊉ ㊀㊀㊀㊀М ㊉㊉④㊉ ㊀㊀㊀㊀

㊀^*-㊀㊀㊀㊀

㊀^*-㊀㊀㊀㊀

㊉㊉㊉㊉ ㊀㊀㊀㊀

㊉㊉㊉㊉ ㊀㊀㊀㊀

㊉㊉㊉㊉一^㊉

Рис. 8-27

㊉㊉㊉㊉一^㊉

Рис. 8-27

^3 ㊀㊀㊀㊀

^3 ㊀㊀㊀㊀

М ㊉㊉④㊉ ㊀㊀㊀㊀

М ㊉㊉④㊉ ㊀㊀㊀㊀

ский слой, поле которого препятствует дальнейшему диффузионному переносу носителей заряда. Заряд двойного слоя и глубина его проникновения в р- и n-области устанавливаются так, что результирующие потоки электронов и дырок в равновесии равны нулю. Если включить р-п-переход в цепь постоянного тока, причем отрицательный полюс подсоединяется к n-полупроводнику (рис. 8-28, а), то в п-полу- проводнике, который потерял электроны в результате диффузии, будет создаваться их непрерывная «подкачка» и через запорный слой пойдет электрический ток. Такое включение р-п-перехода называется прямым. В этом случае толщина запорного слоя резко уменьшается, а его сопротивление падает.

Если поменять контакты и к n-полупроводнику подсоединить положительный полюс батареи, то электрический ток через запорный слой не пойдет (рис. 8-28, б). При таком включении в р-области накапливаются электроны, а в n-области—дырки, что способствует увеличению толщины запорного слоя, а следовательно, и разности потенциалов в месте контакта двух полупроводников. Разность потенциалов запорного слоя препятствует прохождению электрического тока, сопротивление р-п-перехода резко возрастает, и ток через него не пойдет. В этом случае говорят, что р-п-переход имеет обратное, или запорное включение. Этим свойством р-п-перехода пользуются для выпрямления переменных токов, так как ток, протекающий при запорном включении р-п-перехода, во много сотен и тысяч раз меньше^ тока, протекающего при прямом включении (прямой ток).

На этом основан принцип работы полупроводникового диода. Полупроводниковые диоды имеют целый ряд существенных преимуществ перед ламповыми: малый вес, долговечность, механическую прочность,

отсутствие затрат энергии на накал катода и т. д. Недостатком их является зависимость параметров от температуры и влажности.

Помимо диодов, в радиотехнике широкое распространение полу* чили полупроводниковые триоды, или транзисторы (рис. 8-29). В транзисторах имеется два р-и-перехода. Они бывают двух типов: р・п=р・ типа и n-p-n-типа. Средняя часть транзистора называется базой и выполняет роль сетки, крайние части называются эмиттером и коллектором, причем эмиттер играет роль катода, а коллектор — анода. Это устройство позволяет осуществлять усиление электрического сигнала и может выполнять другие функции, для которых предназначен ламповый триод. Физические основы действия транзисторов рассмотрим на примере транзистора п-р-п- типа (рис. 8-29, а). Подобно тому, как это было в диоде, на каждом из р-п-переходов устанавливается контактная разность потенциалов. Внешний источник постоянного тока подключается к транзистору таким образом, чтобы участок эмиттер — база (з — б) работал в прямом направлении, а

участок база — коллектор (б — к) — в запорном. Чтобы не усложнять картину, будем рассматривать только движение электронов. При включении батареи начинается движение электронов через контакт з — б. Толщина базы очень мала — порядка 2- 10~б м (меньше диффузионной длины), поэтому почти все электроны, прошедшие в базу через эмиттерный контакт, проходят и через коллекторный контакт, где на них действует ускоряющее поле. Поэтому ток коллектора /к не превосходит тока эмиттера /э. Для триода имеет место соотношение

/к = а/,,(8.61)

где а — коэффициент усиления по току. В полупроводниковых плоских триодах (вследствие рекомбинации электронов и дырок в области базы) а порядка 0,99.

Величина тока /э зависит от напряжения в цепи эмиттера (/э. Если U? изменяется по определенному закону, то это вызовет изменение /э и /к. Цепь коллектора, через которую проходит /к, замыкается на сопротивление нагрузки Rn (рис. 8-29, б). Падение напряжения на 7?н，равное (/вых=/к- /?н, будет изменяться синхронно с U^. Отношение падения напряжения на нагрузочном сопротивлении 7?н к напряжению на входе схемы называется коэффициентом усиления k по напряжению, т. е.

Е — "вых = /Мн 〜Rh

где Rbx — сопротивление в цепи переменного напряжения (/вх. Обычно величины & и /?вх подбираются таким образом, чтобы можно было получить необходимое усиление.

Часть IV

Электромагнетизм. Электромагнитные колебанияи волны

Глава 9

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКА

§ 7. Магнитная индукция поля. Закон Ампера

Магнитные свойства некоторых железных руд, встречающихся в природе, известны с глубокой древности и получили применение более чем за тысячу лет до нашей эры в устройстве магнитного компаса (магнитная стрелка, свободно вращающаяся вокруг вертикальной оси и показывающая направление север — юг).

Непосредственные опыты убеждают, что магниты (куски железных руд) создают вокруг себя особое магнитное поле, с помощью которого передается воздействие на другой находящийся в данном поле магнит.

Проявление магнитных сил прямого магнита (в виде прямолинейного стержня) сосредоточено в основном на его концах, называемых полюсами магнита. Например, магнитная стрелка поворачивается около концов магнита (направление поворота зависит от полюса) и остается неподвижной, если помещена у средней части магнита.

Магнит ведет себя в магнитном поле так же, как электрический диполь в электростатическом поле: он стремится повернуться по полю. Однако если диполь можно разделить на отрицательный и положительный заряды, то при разломе магнита получаются два новых магнита, каждый из которых снова имеет полюсы (северный и южный).

В дальнейшем было установлено (Эрстед, 1820 г.), что проводники, по которым текут токи, также взаимодействуют с магнитной стрелкой. Положение магнитной стрелки, помещенной около проводника с током, изменяется с изменением величины и направления тока, но она совершенно не реагирует на неподвижные электрические заряды. Отсюда последовал вывод, что способностью создавать магнитное поле обладают лишь движущиеся электрические заряды (электрический ток), а вокруг неподвижных зарядов существует только электростатическое поле.

Магнитное поле, возникающее в пространстве около проводников с током, как и электрическое поле, обусловленное неподвижными электрическими зарядами, является одним из видов матер и и. Ойо обладает определенными физическими свойствами, например свой・ ством инерции, и характеризуется энергией.

Магнитное поле взаимодействует не только с магнитами, но и с движущимися электрическими зарядами, поскольку они сами способны создавать собственное магнитное поле. Поэтому проводники с током испытывают взаимное притяжение или отталкивание в зависимости от направления протекающих в них токов.

Основной характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции В. Эта величина пропорциональна силе, которая действует на северный конец бесконечно маленькой магнитной стрелки, помещенной в данную точку магнитного поля. В различных точках

поля индукция по величине и направлению имеет различные значения.

Действие магнитного поля на проводник с током было исследовано Ампером.

Если поместить проводник с током во внешнее магнитное поле, например между полюсами какого-нибудь магнита, то на этот проводник

будет действовать сила F (рис. 9-1), которую можно измерить. Ука

занное на рис. 9-1 направление силы F соответствует тому случаю, когда вектор В направлен та% как показывают стрелки, а ток течет «на нас» перпендикулярно В. При этом было обнаружено, что сила 尸， действующая на прямолинейный проводник с током, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике, его длине /, магнитной индукции В поля и sin а (а ——угол между направлениями тока и вектора В), т. е.

(9.1)(9.1)F=kIBlsin а,

(9.1)

(9.1)

где k ——коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

Эта формула оказывается справедливой для случая прямолинейного проводника и однородного поля (поле, в котором вектор В постоянен).

В общем случае, когда проводник имеет произвольную форму и поле неоднородно, выражение (9.1) имеет вид

dF = hlB 由 sin (dlfB)dF = hlB 由 sin (dlfB)(9・2)(9・2)

dF = hlB 由 sin (dlfB)

dF = hlB 由 sin (dlfB)

(9・2)

(9・2)

(9.2а)(9.2а)(9.26)(9.26)

(9.2а)

(9.2а)

(9.26)

(9.26)

и носит название закона Ампера.

В СИ закон Ампера для однородного поля и прямолинейного проводника конечной длины / записывается в виде

F=BIl sin а,

а в системе СГС

F = ±B//sina,

где а — угол между направлениями тока в проводнике и вектора В, с — электродинамическая постоянная, равная 3* 1010 см/с.

Для определения направления силы F или вектора В применяют правило левой руки (рис. 9-2): если направить указательный палец

Левой руки по полю, а средний ——по направлению тока, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на проводник с током.

Подтверждением закона Ампера является следующий опыт. По проводнику, который свободно провисает между двумя изоляторами, протекает ток (рис. 9-3). Когда к нему подносят постоянный магнит, то проводник по мере приближения магнита все больше и больше отклоняется в сторону. Магнит действует на проводник с током с силой F. Очевидно, и проводник воздействует на маг- “ нит с такой же силой F, но противоположно направленной и приложенной в данном случае к северному полюсу магнита.

Магнитное поле, так же как и электрическое, можно графически изображать с помощью магнитных силовых линий, или линий магнитной индукции.

Линиями магнитной индукции (линии поля В) называются кривые, касательные к которым 6 каждой точке совпадают с направлением вектора В в этих точках поля. Линии магнитной индукции в отличие от силовых линий электростатического поля всегда замкнуты. Они выходят из северного полюса магнита, вхо

дят в южный и замыкаются внутри магнита.

На рис. 9-3 показаны линии поля магнита Вмагн, а также линии поля, созданного электрическим током, проходящим по проводнику, Втока. Если проводник прямолинейный, то линии магнитной индукции представляют собой концентрические окружности (рис. 9-4), направление которых определяется с помощью правила буравчика: если ввинчивать буравчик (правый винт) по направлению тока /, то вращение его рукоятки покажет направление линий вектора В.

Контур с током в магнитном поле

Пусть контур достаточно малых размеров со сторонами а и /, по которому течет ток /, помещен в однородное магнитное поле с индукцией В и может вращаться вокруг вертикальной оси 00’ (рис. 9-5, а).

—-250 —

00В соответствии с законом Ампера на все четыре стороны контура действуют силы. Силы, действующие на ребра / контура, перпендикулярны к ним и к магнитному полю и поэтому направлены вертикально: они лишь деформируют контур, стремясь растянуть (или сжать) его. Ребра а контура перпендикулярны к В и на каждое из них действует сила F=IaB. Эти силы стремятся повернуть контур таким образом, чтобы его плоскость была перпендикулярна к В. В результате появляется пара сил, момент которой равен

0

0

M=Fh=Fl cos ср,

где h=lcos ср ——плечо силы, <р ——угол между вектором В и стороной рамки I.

По закону Ампера сила равна尸=5/asinB， где В — угол между В и направлением тока.

Но так как сторона а перпендикулярна вектору В, то sin 6=1. Тогда

M=BIalcos <р,(9.3)

силы токасилы токагде произведение а/ равно площади прямоугольного контура с током I, т. е. S=al.

силы тока

силы тока

Величина, численно равная произведена

щего в контуре, на площадь контура S, называется магнитным моментом рт:

Pm=/S.(9.4)

Магнитный момент контура с током является векторной величиной. Направление вектора р7n совпадает с положительным направлением нормали к плоскости контура, которое определяется правилом правого винта: если рукоятка винта вращается по направлению тока в контуре, то поступательное движение винта показывает направление вектора pm (рис. 9-5, 6).

Формула (9.3) с учетом выражения (9.4) примет вид

M=Bpmcos а.(9.5)

В случае контура произвольной формы понятие угла ср в формуле (9.5) теряет свой смысл. Поэтому в данную формулу вводится угол а между векторами рт и В (рис. 9-5, 6):

cos(p=sin (90—(p)=sin a, и тогда

Л； = ртВ sin a = ртВ sin (◎),(9.6)

т. е. момент М, действующий на контур с током 6 однородном магнитном поле, пропорционален магнитному, моменту контура рт, индукции магнитного поля В и синусу угла между направлениями векторов рт 〃 В.

Под действием вращающего момента контур с током повернется перпендикулярно полю, его величина станет равной нулю (7И=0) и вращение прекратится. В этом случае направления р^ и В совпадают. Но такое положение является неустойчивым, так как при небольшом отклонении от положения равновесия возникает вращающий момент, возвращающий контур в исходное положение.

Величина момента достигает наибольшего значения 7Имакс при а=л/2.

Таким образом, располагая рамку с током в различные магнитные поля, которые будут оказывать различные ориентирующие действия на рамку, можно изучать эти поля. Из формулы (9.6) следует (при а=л/2)

8 =也&.(9.7)

Рт

Это отношение принято за количественную характеристику магнитного поля: индукция В есть векторная величина, численно равная отношению момента М пары сил, действующей на контур с током, расположенный перпендикулярно полю, к магнитному моменту контура площадью S с током /.

Для измерения магнитных величин используются Международная система единиц (СИ) и система СГС Гаусса, построение которой рассматривалось в § 2 гл. 7.

Исходя из уравнения (9.7), устанавливаем, что единицей магнитной индукции в СИ будет

図=晶=縣=晟=2a (T).

Магнитная индукция в системе СГС измеряется в гауссах (「с). Соотношение между приведенными единицами:

1 Т=104 Гс.

Определение единицы магнитной индукции будет дано в § 5.

Пример.

В однородном вертикальном магнитном поле с индукцией В—100 Гс находится свободно подвешенный горизонтальный прямолинейный медный проводник. Площадь поперечного сечения S=4 мм2, с каким ускорением проводник начнет выталкиваться из поля, если по нему потечет ток /=8,9 А?

Решение. Сила, действующая на элемент dl тока / в магнитном поле с индукцией В, определяется формулой Ампера (9.2)

dF=BI d/ sin а.

Так как поле однородно и по прямолинейному проводнику течет постоянный ток, то, интегрируя формулу Ампера, получим

F=BIl sin а,

где / — длина проводника. В данной задаче проводник расположен перпендикулярно линиям индукции, т. е. sin а= 1, и тогда 尸=方〃.Согласно второму закону динамики запишем

a—F/m,

где m — масса проводника, равная m=p /S, р — его плотность. Следовательно, ВП8/

Запишем исходные данные, выраженные в СИ: В= 100 Гс= 10-2 Т; /—8,9 A, S=

=4 мм2=4・ 10一6 м2, р=8,9・ IO? кг/мз(из таблиц). Производим вычисления:

_Ю-2.8,9 м ”，2

"_g,9・lO3.4.io-&e_ = 2,5 м/с .

§ 3・ Напряженность магнитного поля.

Закон 6〃о — Савара — Лапласа

Магнитная индукция является характеристикой результирующего магнитного поля в веществе. По аналогии с электростатическим полем, которое характеризуется векторами напряженности и индукции (электрического смещения), для магнитного поля введены векторы индукции и напряженности.

Напряженность магнитного поля " не зависит от свойств среды и является характеристикой поля, создаваемого внешними по отношению к рассматриваемому объекту источниками: естественными магнитами, электромагнитами и др., вектор напряженности магнитного поля совпадает с вектором индукции в изотропной среде.

Магнитная индукция В связана с напряженностью Н магнитного поля соотношениями:

(9.8)(9.8)В =(л|л0Н (в СИ);

(9.8)

(9.8)

В = р,Н (в системе СГС),

где 卩 ——относительная магнитная проницаемость среды, |л0 — магнитная постоянная.

Относительной магнитной проницаемостью 卩 среды называется величина, показывающая, во сколько раз магнитная индукция В поля 6 данной среде больше (или меньше), чем магнитная индукция Во 6 вакууме, т. е.

尸訖(9.9)

Магнитная постоянная 卩о является коэффициентом, зависящимМагнитная постоянная 卩о является коэффициентом, зависящимДля вакуума принимается 卩=1.

Магнитная постоянная 卩о является коэффициентом, зависящим

Магнитная постоянная 卩о является коэффициентом, зависящим

от выбора системы единиц. Значение 卩о приводится в § 4.

Закон Био — Савара — Лапласа определяет напряженность магнитного поля, создаваемого электрическим током.

Пусть по криволинейному проводнику течет ток / (рис. 9-6). Выделим элемент проводника длиной dL

Закон Био — Савара — Лапласа утверждает, что элемент проводника с током создает в точке М магнитное поле, напряженность которого dH пропори

циональна длине dl, силе тока /, синусу угла а между направлением тока и радиусом-вектором г точки М и обратно пропорциональна квадрату расстояния г (г=|г|), т. е.

j т» 1/ sin а/'

dH=^^—^dl (в СИ);

7'(9.10)

dH = — • у^1 аdl (в системе СГС).

Вектор dH перпендикулярен плоскости, содержащей элемент проводника dl и радиус-вектор г, а направление dH определяется по правилу буравчика (правого).

Проводник с током всегда располагается в среде, которая характеризуется магнитной проницаемостью 卩，и поэтому, по закону Био — Савара —— Лапласа, следует определять индукцию магнитного поля в среде. Но так как магнитная индукция В и напряженность Н магнитного поля связаны простым соотношением 8=卩()卩" [см. (9.8)1, то закон Био ——Савара — Лапласа здесь и в дальнейшем будет записан для напряженности магнитных полей, созданных различными по форме проводниками.

Для магнитных полей также соблюдается принцип суперпозиции: при наложении нескольких магнитных полей, имеющих напряженности Н^ Н2, Н3, ..., Н% напряженность результирующего поля Н равна геометрической (векторной) сумме напряженностей складываемых полей:

Н = 2 Ht.(9.11)

i= 1

Если происходит сложение двух полей Hi и Н2, то

Н=Н—Н2, а абсолютное значение вектора напряженности результирующего поля равно

Н = V'Hl + Hl — 2H1H2cosa,(9.12)

где а — угол между векторами Hi и Н2.

Закон Био — Савара — Лапласа (9.10) представлен в виде дифференциального уравнения для напряженности, создаваемой не всем проводником, а лишь его небольшим участком dl. Для того чтобы вычислить полную напряженность в произвольной точке М, необходимо задать форму проводника, по которому течет ток, и произвести интегрирование уравнения.

Вычислим напряженность магнитного поля прямолинейного проводника с током. По формуле Био — Савара — Лапласа, элемент d/ создает в точке М (рис. 9-7) магнитное поле с напряженностью

d〃 = ± •賽弘(*)

Произведем некоторые тригонометрические преобразования. Из рис. 9-7 видно, что

откуда

dl — da — da г2 — г sin a — r0 *

Подставив в выражение (*) вместо d〃产 най денное значение, получим

血二士/sina•冬

В точке М напряженность результирующего Рис. 9-7 поля от всех элементарных участков прямолинейного проводника будет представлять алгебраическую сумму напряженностей слагаемых тюлей, так как все слагаемые будут направлены по одной прямой, перпендикулярной чертежу. Тогда

” =f E'/sina•穿，

Л1

но, учитывая, что сила тока Z и г0 являются постоянными величинами, запишем

Интегрирование производится в пределах от ах=0 до-а2=л, что соответствует изменению / от +оо до —оо:

Н = -：-— • — \ sin a u(x = -j— • — Г— cos— • ^— = -х~~ •—・

4л r0 J4冗厂()l w 4л r0 2n r0

0

Следовательно, напряженность магнитного поля прямого тока на расстоянии а от оси проводника равна

(9.13)(9.13)Т・^(в СИ);

(9.13)

(9.13)

" = (в системе СГС).

Определим напряженность магнитного поля кругового тока. В центре кругового тока для вектора Н магнитного поля sin a=l, так как радиус круга 广 в любой точке окружности перпендикулярен элементу проводника d/ (рис. 9-8). Тогда формула Био — Савара — Лапласа примет вид

d" = *・ 4 dL

Так как сила тока / и радиус г окружности — постоянные величины, то при интегрировании приведенной формулы выносим их за знак интеграла:

Если просуммировать все элементарные отрезки dl по всему контуру, то в результате получим длину окружности, равную 2лг, и тогдаЕсли просуммировать все элементарные отрезки dl по всему контуру, то в результате получим длину окружности, равную 2лг, и тогда

Если просуммировать все элементарные отрезки dl по всему контуру, то в результате получим длину окружности, равную 2лг, и тогда

Если просуммировать все элементарные отрезки dl по всему контуру, то в результате получим длину окружности, равную 2лг, и тогда

Таким образом, напряженность магнитного поля в центре кругового проводника с током равна

(9.14)(9.14)"用(в СИ);

(9.14)

(9.14)

Н = ~ • — (в системе СГС).

Направление вектора Н зависит от направления тока / и определяется по правилу буравчика (см. рис. 9-8).

Напряженность магнитного поля вдоль оси, проведенной через центр кругового тока перпендикулярно его плоскости, будет уменьшаться по мере удаления от кругового тока. Если на этой оси выбрать некоторую точку М (рис. 9-9), то результирующая напряженность Н определяется как векторная сумма напряженностей Нх и Н2, созданных элементами проводника ^厶 и d/2. Формула для расчета напряженности магнитного поля на оси кругового тока в точке М имеет вид в СИ

〃=〃=12лг2/12лг2/4Л（川+炉）3/2，4Л（川+炉）3/2，(9.15)(9.15)

〃=

〃=

12лг2/

12лг2/

4Л（川+炉）3/2，

4Л（川+炉）3/2，

(9.15)

(9.15)

где % ——расстояние от произвольной точки, лежащей на оси кругового тока, до центра круга. Так как магнитный момент кругового тока численно равен pm=SI, где S=nr2 —— площадь круга, а вектор Н и вектор магнитного момента р7n имеют одно направление (см. рис. 9-9)— вдоль положительной нормали к контуру, то формулу (9.15) можно преобразовать к виду

(9.15а)(9.15а)Н — 2Pm一而一(г2+%2)3/2

(9.15а)

(9.15а)

Для приблизительных расчетов, когда %》г, формула (9.15а) принимает вид

〃 绰.(9.156)

Вычислим напряженность магнитного поля соленоида. Соленоидом называется цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков провода, образующих винтовую линию. Если витки намотаны вплотную, то соленоид — это система круговых токов, имеющих одну ось. Напряженность магнитного поля на оси соленоида можно подсчитать по формулам

(9.16)(9.16)Н = п1 (в СИ);

(9.16)

(9.16)

Н = ^-п! (в системе СГС),

где п ——число витков на единицу длины соленоида (если общее число витков равно М а длина соленоида L, то n=N/L}, / — сила тока, c=3・10i° см/с.

Приведенные формулы, строго говоря, справедливы лишь для средней части соленоида, так как на его концах магнитное поле искажается вследствие краевых эффектов.

Из формулы (9.16) устанавливаем, что единицей напряженности в СИ будет

［切=口］•［切=a•m-1 = а/m.

Ампер на метр ——напряженность магнитного поля 6 центре длинного соленоида с п витками на каждый метр длины, по которым проходит ток силой — А. п

В системе СГС напряженность магнитного поля измеряется в эрстедах. Согласно второму выражению (9.8) эрстед (Э)——это напряженность такого магнитного поля, магнитная индукция которого в среде, заполняющей пространство поля, равна р,Гс. Соотношение между единицами напряженности

1А/м = 4к・ 10-3 или 1 3 = М 々^79,6А/м・

Пример.

По круговому витку радиуса г= 10 см течет ток 厶=10 А. В плоскости витка расположен длинный прямолинейный проводник с током /2=6,28 А, который совпадает по направлению с касательной к круговому току. Определить напряженность поля в центре кругового тока.

Решение. Искомая напряженность представляет собой векторную сумму напряженностей кругового и прямолинейного токов

H = Hi + H2.

Напряженности в центре витка направлены вдоль одной прямой перпендикулярно плоскости круга, поэтому в рассматриваемом случае векторная сумма заменяется алгебраической. Так как направление прямого тока совпадает с направлением примыкающего к нему участка кругового тока, то напряженности % и Н2 направлены в одну сторону и складываются арифметически. Следовательно, в данном случае искомая 9 № 2 9 0 7— 257 一

напряженностьнапряженность" = % + "2 = £ +倉" = % + "2 = £ +倉

напряженность

напряженность

" = % + "2 = £ +倉

" = % + "2 = £ +倉

Подставляя исходные данные с учетом, что г=0,10 м, и вычисляя, находим

口 _ 10 А口 _ 10 А6,28 А2.3,14.0,1м6,28 А2.3,14.0,1м=60 А/м.=60 А/м.Закон Био ——Савара — Лапласа можно также применить для расчета напряженности магнитного поля движущихся зарядов.Выразив в формуле (9.10) силу тока I как произведение величины движущихся зарядов е, их числа в единице объема и0 и скорости и движения, т. е. полагаяI=enQvS,Закон Био ——Савара — Лапласа можно также применить для расчета напряженности магнитного поля движущихся зарядов.Выразив в формуле (9.10) силу тока I как произведение величины движущихся зарядов е, их числа в единице объема и0 и скорости и движения, т. е. полагаяI=enQvS,где S ——поперечное сечение проводника, получимгде S ——поперечное сечение проводника, получим—enQvS sin a 出一 4л г2 .—enQvS sin a 出一 4л г2 .(9.17)(9.17)В элементе проводника длиной dl движется n=nQSdl заряженных частиц. Поэтому можно считать, что каждая из них создает магнитное поле напряженностьюВ элементе проводника длиной dl движется n=nQSdl заряженных частиц. Поэтому можно считать, что каждая из них создает магнитное поле напряженностью口 ev sin a4“2口 ev sin a4“2(9.18)(9.18)где a — угол между касательной к траектории и направлением「(「= =Е)・где a — угол между касательной к траектории и направлением「(「= =Е)・Пример.Два электрона движутся в одном направлении по прямой. Скорости их соответственно равны ^1=4000 км/с и у2=8000 км/с. Найти напряженность магнитного поля в точке, отстоящей от траектории на 2 мм, в момент времени, когда второй заряд приблизится к первому на расстояние 2 мм. Взаимодействие зарядов не учитывать.Решение. Напряженность поля движущегося заряда определяется формулой (9.18)Пример.Два электрона движутся в одном направлении по прямой. Скорости их соответственно равны ^1=4000 км/с и у2=8000 км/с. Найти напряженность магнитного поля в точке, отстоящей от траектории на 2 мм, в момент времени, когда второй заряд приблизится к первому на расстояние 2 мм. Взаимодействие зарядов не учитывать.Решение. Напряженность поля движущегося заряда определяется формулой (9.18)Н =Н =约 sin a约 sin a4n，24n，2где е ——заряд электрона, и ——его скорость, г ——расстояние от точки, где в данный момент находится заряд, до точки определения напряженности, a ——угол между г и v.Направление напряженности поля перпендикулярно плоскости, содержащей векторы г и V. В данном случае направления напряженностей от движущихся зарядов совпадают, т. е. искомая напряженность равна сумме этих напряженностей:е sin «1 丄& sin а?где е ——заряд электрона, и ——его скорость, г ——расстояние от точки, где в данный момент находится заряд, до точки определения напряженности, a ——угол между г и v.Направление напряженности поля перпендикулярно плоскости, содержащей векторы г и V. В данном случае направления напряженностей от движущихся зарядов совпадают, т. е. искомая напряженность равна сумме этих напряженностей:е sin «1 丄& sin а?Запишем исходные данные, выраженные в СИ: е=1,6- 10~19 Кл; ^=4000 км/с= =4・ 106 м/с;内=8000 км/с=8- 106м/с;гх=2 мм=2* 10~3 м;厂2=旷8 мм2=2,83- 10~3 м; oq=9O°; a2=45°. Вычисляя, получимЗапишем исходные данные, выраженные в СИ: е=1,6- 10~19 Кл; ^=4000 км/с= =4・ 106 м/с;内=8000 км/с=8- 106м/с;гх=2 мм=2* 10~3 м;厂2=旷8 мм2=2,83- 10~3 м; oq=9O°; a2=45°. Вычисляя, получим

口 _ 10 А

口 _ 10 А

6,28 А

2.3,14.0,1м

6,28 А

2.3,14.0,1м

=60 А/м.

=60 А/м.

Закон Био ——Савара — Лапласа можно также применить для расчета напряженности магнитного поля движущихся зарядов.

Выразив в формуле (9.10) силу тока I как произведение величины движущихся зарядов е, их числа в единице объема и0 и скорости и движения, т. е. полагая

I=enQvS,

Закон Био ——Савара — Лапласа можно также применить для расчета напряженности магнитного поля движущихся зарядов.

Выразив в формуле (9.10) силу тока I как произведение величины движущихся зарядов е, их числа в единице объема и0 и скорости и движения, т. е. полагая

I=enQvS,

где S ——поперечное сечение проводника, получим

где S ——поперечное сечение проводника, получим

—enQvS sin a 出

一 4л г2 .

—enQvS sin a 出

一 4л г2 .

(9.17)

(9.17)

В элементе проводника длиной dl движется n=nQSdl заряженных частиц. Поэтому можно считать, что каждая из них создает магнитное поле напряженностью

В элементе проводника длиной dl движется n=nQSdl заряженных частиц. Поэтому можно считать, что каждая из них создает магнитное поле напряженностью

口 ev sin a4“2

口 ev sin a4“2

(9.18)

(9.18)

где a — угол между касательной к траектории и направлением「(「= =Е)・

где a — угол между касательной к траектории и направлением「(「= =Е)・

Пример.

Два электрона движутся в одном направлении по прямой. Скорости их соответственно равны ^1=4000 км/с и у2=8000 км/с. Найти напряженность магнитного поля в точке, отстоящей от траектории на 2 мм, в момент времени, когда второй заряд приблизится к первому на расстояние 2 мм. Взаимодействие зарядов не учитывать.

Решение. Напряженность поля движущегося заряда определяется формулой (9.18)

Пример.

Два электрона движутся в одном направлении по прямой. Скорости их соответственно равны ^1=4000 км/с и у2=8000 км/с. Найти напряженность магнитного поля в точке, отстоящей от траектории на 2 мм, в момент времени, когда второй заряд приблизится к первому на расстояние 2 мм. Взаимодействие зарядов не учитывать.

Решение. Напряженность поля движущегося заряда определяется формулой (9.18)

Н =

Н =

约 sin a

约 sin a

4n，2

4n，2

где е ——заряд электрона, и ——его скорость, г ——расстояние от точки, где в данный момент находится заряд, до точки определения напряженности, a ——угол между г и v.

Направление напряженности поля перпендикулярно плоскости, содержащей векторы г и V. В данном случае направления напряженностей от движущихся зарядов совпадают, т. е. искомая напряженность равна сумме этих напряженностей:

е sin «1 丄& sin а?

где е ——заряд электрона, и ——его скорость, г ——расстояние от точки, где в данный момент находится заряд, до точки определения напряженности, a ——угол между г и v.

Направление напряженности поля перпендикулярно плоскости, содержащей векторы г и V. В данном случае направления напряженностей от движущихся зарядов совпадают, т. е. искомая напряженность равна сумме этих напряженностей:

е sin «1 丄& sin а?

Запишем исходные данные, выраженные в СИ: е=1,6- 10~19 Кл; ^=4000 км/с= =4・ 106 м/с;内=8000 км/с=8- 106м/с;гх=2 мм=2* 10~3 м;厂2=旷8 мм2=2,83- 10~3 м; oq=9O°; a2=45°. Вычисляя, получим

Запишем исходные данные, выраженные в СИ: е=1,6- 10~19 Кл; ^=4000 км/с= =4・ 106 м/с;内=8000 км/с=8- 106м/с;гх=2 мм=2* 10~3 м;厂2=旷8 мм2=2,83- 10~3 м; oq=9O°; a2=45°. Вычисляя, получим

1,6-10-19 / 4-1064・3,14(4.10-61,6-10-19 / 4-1064・3,14(4.10-68・1Об.о,7О7、а~8-10~6丿齋8・1Об.о,7О7、а~8-10~6丿齋= 2,2・ 10-8 а/м・= 2,2・ 10-8 а/м・

1,6-10-19 / 4-106

4・3,14(4.10-6

1,6-10-19 / 4-106

4・3,14(4.10-6

8・1Об.о,7О7、а

~8-10~6丿齋

8・1Об.о,7О7、а

~8-10~6丿齋

= 2,2・ 10-8 а/м・

= 2,2・ 10-8 а/м・

Проверка размерности:

［切=需=&$е=А/м・

§ 4. Магнитное взаимодействие токов

Если в магнитном поле какого-либо проводника с током находится другой проводник с током, то между ними проявляется сила взаимодействия. Они будут либо притягиваться друг к другу, если направления токов совпадают, либо отталки

ваться, если направления токов противоположны.

На рис. 9-10 изображены отрезки двух бесконечно длинных прямолинейных параллельных проводников с токами /] и /2 в каждом. Предположим, что магнитное поле с индукцией 8】создано током /1, а ток /2 находится в этом поле. Определяя по правилу левой руки направление силы F2, действующей на проводник 2, убеждаемся, что он притягивается к проводнику 1. Согласно закону Ампера сила F2 равна

尸z^^Bi/z/sin а,

где Вх ——индукция магнитного поля, созданного током Л, I — длина участка проводника 2, на который действует сила 尸2, а — угол между В】и направлением тока /2-

Напряженность магнитного поля прямого тока Zx на расстоянии d от оси проводника [см. (9.13)]

или с учетом соотношения (9.8)

(9.19)(9.19)以=器・然

(9.19)

(9.19)

Тогда выражение для силы F2 примет вид

С такой же силой по III закону Ньютона действует магнитное поле с индукцией В2, созданной током Z2, на проводник с током 厶，т. е. чиеленно 尸 1=尸2.

Следовательно, сила взаимодействия двух прямолинейных бесконечно длинных параллельных проводников, рассчитанная на отрезок I проводника, пропорциональна произведению сил токов, протекающих в этих проводниках, и обратно пропорциональна расстоянию между ними, т. е.

(9.20)(9.20)尸 Т"(вСН); '

(9.20)

(9.20)

斤=善• "У (в системе СГС).,

На основании первой формулы (9.20) устанавливается единица силы тока ——ампер, являющаяся основной в Международной системе единиц (СИ): ампер (А) —сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сеченая, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2-10~7 Н на каждый метр длины.

Чтобы найти численное значение 卩о, воспользуемся тем, что согласно определению ампера при h=h=lA и d=l м сила F в формуле (9.20) получается равной 2-10~7 Н/м. Подставим эти значения в указанную формулу (для вакуума 卩=1)：

о. 1П-7. 1 J」

Отсюда

卩0=4冗・10一7 генри/метр (сокращенно Г/м.)

В системе СГС магнитная постоянная измеряется в безразмерных единицах:卩()=1・

§ 5・ Поток вектора магнитной индукции

Понятие потока вектора магнитной индукции вводится по аналогии с потоком вектора Е электростатического поля.

Поток вектора В через площадку S', перпендикулярную полю, численно равен числу силовых линий, пронизывающих эту площадку, т. е.

O=BS\(9.21)

или

①=8Scosa,(9.21а)

где S — площадка, расположенная под углом а к вектору В, S'—— ее проекция на направление, перпендикулярное к линиям В.

Эта величина, выражаемая формулой (9.21 а), носит название магнитного потока,

В случае бесконечно малой поверхности dS, на которой поле вектора В можно считать однородным, магнитный поток равен

d(D=8dseos а=871dS,(9.22)

где a — угол между В и нормалью п к поверхности dS, Вп — проекция В на эту нормаль.

Для конечной поверхности поток вектора магнитной индукции определяется интегралом

(D = S 丛dS,(9.23)

s

где интегрирование ведется по всей площади S.

—260 —

Если поверхность замкнута, то полный поток вектора магнитной индукции через такую поверхность

① 3aMK = 6B〃dS = 0.(9.24)

s

Формула (9.24) выражает теорему Остроградского—-Гаус- с а для магнитного поля.

Это свойство существенным образом отличает магнитное поле от электростатического. Силовые линии электростатического поля могут уходить в бесконечность, поэтому, если внутри замкнутой поверхности находятся заряды, то поток 厶％田0. Линии магнитной индукции всегда замкнуты, поэтому число линий, входящих в некоторый объем пространства, равно числу линий, выходящих из объема. Если входящие потоки брать с одним знаком, а выходящие ——с другим, то суммарный поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность будет равен нулю.

В СИ единицей измерения магнитного потока служит вебер (Вб).

В проекте ГОСТа дано такое определение вебера: вебер ——магнитный поток, при убывании которого до нуля 6 сцепленном с ним контуре сопротивлением 1 Ом через поперечное сечение проводника проходит количество электричества 1 Кл.

Такое определение вебера получим, если в качестве определяющего уравнения воспользуемся формулой, известной из теории электромагнитной индукции:

AQ =—,

где AQ — заряд, протекающий по замкнутому проводнику при изменении на ДФ магнитного потока через поверхность, ограничиваемую проводником. Отсюда

дф= AQ.r； из этой формулы находим единицу магнитного потока:

[Ф]= 1 Кл-1 Ом= 1 Кл-Ом (вебер).

В системе СГС, в которой площадь измеряется в см2, а магнитная индукция ——в гауссах, поток вектора магнитной индукции измеряется в максвеллах; 1 Мкс=10~8 Вб.

Из формулы (9.21) слецует, что

网=鍔=愕=1В6/м2 = 1Т・

Тесла (Т)——магнитная индукция, при которой магнитный поток сквозь поперечное сечение площадью 1 м2 равен 1 Вб.

Понятие потока вектора магнитной индукции широко применяется при расчете магнитных цепей.Магнитной цепью называется совокупность областей пространства, в которых локализовано магнитное поле. Так же как и электрические цепи, магнитные цепи бывают неразветвленные и разветвленные. В неразветвленной магнитной цепи магнитный поток во всех сечениях имеет одно и то же значение. Простейшим примером неразветвленной магнитной цепи служит тороид (рис. 9-11).

Магнитный поток внутри тороида (поле направлено параллельно его оси) равен ①=8S=|i|io"S.

Применяя для тороида формулу напряжённости поля соленоида Н—п1у получим

Ф=|Х|10п/5.

Но 〃=Л7/, где п — число витков на единицу длины тороида, N — общее число витков, I — длина тороида, тогда

NN1

『阿 или Ф =

Если в тороиде имеется зазор ", заполненный вакуумом 卩=1, то сопротивление зазора прохождению магнитного потока, который остается замкнутым, отобразится дополнительным слагаемым в знаменателе последней формулы, после чего она примет вид

Ф= z у (в СИ);

卩卩广十NqS0

Ф =；厂 (в системе СГС).

世S Sq

Данные формулы называются формулами Гопкинсона и применяются для расчета неразветвленных магнитных цепей. Они формально аналогичны закону Ома для электрических цепей:

В данном случае магнитный поток Ф является аналогом силы тока /. По аналогии с электродвижущей силой £ вводится понятие магнитодвижущей силы, которая равна 6m = NI (в СИ); ^加=4пМ/ (в системе СГС).

Электрическое сопротивление проводника равно

R=p〃S 二〃 ?S,

где р — удельное сопротивление, ?= 1/р — удельная проводимость^ I — длина, S — поперечное сечение.

Магнитное сопротивление Rm будет равно для сердечника тороида Rs = 〃NNqS (в СИ); Rm = l/pS (в системе СГС), для вакуумного зазора

「加= Zq/NqSq (в СИ); rm = Iq/Sq (в системе СГС).

С учетом изложенного формулу Гопкинсона можно представить в таком виде

ф = __Rm + Гт

Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля

Предположим, имеется произвольное векторное поле С, или поле вектора С. Проведем в этом поле замкнутую линию длиной L и разобьем ее на элементарные отрезки dl.

一 262 —

Проекцию вектора С на линию £ в каждой точке обозначим CL. Проинтегрируем эту составляющую по замкнутому контуру L:

，С^1.(9.25)

Интеграл называется циркуляцией вектора по контуру. В поле кулоновских сил или ньютоновского притяжения, как и в других потенциальных полях, циркуляция вектора поля по любому замкнутому контуру равна нулю:

(9.26)(9.26)^ CLdl = 0. L

(9.26)

(9.26)

В таких (потенциальных) полях работа, необходимая для перемещения пробного тела из некоторой фиксированной точки 4 в точку Р, является функцией 〃(Р), называемой потенциалом поля, причем

C=grad〃.

К этим полям относятся электростатическое поле, в котором работа кулоновских сил по перемещению заряда не зависит от пути перемещения, а зависит лишь от потенциалов начальной точки <р (А) и конечной (р(Р) и определяется их разностью ф(Л)——屮(Р), и гравитационное поле Земли.

Если перенос заряда осуществляется по замкнутой кривой (контуру), то разность ср (А)——(р(Р)=0, так как заряд приходит в первоначальное положение, и точки Л и Р、сливаются в одну. Поэтому циркуляция вектора напряженности электрического поля, численно равная работе по перемещению единичного точечного заряда вдоль замкнутого контура, равна нулю:

^ELdl = 0. (9.27)

Принципиальное отличие магнитного поля от электрического заключается в том, что циркуляция вектора напряженности магнитного поля не равна нулю. Расчеты, которые здесь не приводятся ввиду их сложности, показывают, что циркуляция вектора напряженности Н магнитного поля вдоль замкнутого контура, охватывающего ток /, равна

^Hldl = I (в СИ);]

£4}(9.28)

，〃丄d/=?/ (в системе СГС). I

Такие поля называются вихревыми, или соленоидальными. Поэтому магнитному полю нельзя приписать потенциал, как это было сделано для электрического поля. Этот потенциал не был бы однозначным,

一263 —

так как при каждом обходе по контуру L он получал бы приращение, равное /.

Вычисление работы по перемещению зарядов в электрическом поле производилось с помощью потенциалов соответствующих точек. Для магнитного поля этим приемом для вычисления работы по перемещению проводника с током в магнитном поле ввиду неоднозначности потенциала воспользоваться нельзя.

Работа 勿。перемещению проводника с током8 магнитном поле

В соответствии с законом Ампера на проводник длины I с током /, находящийся в однородном магнитном поле с индукцией В, действует сила

尸=B〃sin а,

где а —— угол между В и направлением тока /•

IIX X . XX X . XXXXXXXXXXXПусть отрезок проводника, имеющий длину /, перемещается из положения / в положение 2 (рис. 9-12). Так как поле пер пен ди ку л я р но протекающему по проводнику току, направление которого показано на рис. 9-12, то а=1 и

I

I

X X . X

X X . X

X

X

XXX

XXX

X

X

ввFFF=BIL

в

в

F

F

XXXX22Рис. 9-12Рис. 9-12Считая все величины, входящие в данную формулу, постоянными, определим работу по перемещению проводника с током следующим образом:

X

X

X

X

2

2

Рис. 9-12

Рис. 9-12

ЛЛ =F Nx=IBlNx.

Величина /А% равна площади AS магнитного поля В, которую пересек при своем движении отрезок проводника. Тогда

\A=IB\S.

По определению поток вектора магнитной индукции через площадку S, перпендикулярную В, в случае однородного поля, равен

Ф-В5,

а произведение 8As равно изменению потока ДФ, пронизывающего весь контур с током, составной частью которого является подвижный проводник I、т. е.

А4=/М),(9.29)

или в дифференциальной форме для бесконечно малых изменений магнитного потока

d4 = /d(D.(9.29а)

Полагая силу тока постоянной и интегрируя это выражение, получим

А = 1Ф.(9.30)

264 —

Следовательно, работа, совершаемая силами Ампера при перемещении в магнитном поле проводника, в котором ток постоянен, равна произведению силы тока на магнитный поток сквозь поверхность, описываемую проводником при его движении.

В системе СГС работа определяется по формуле

4 = ；/①.(9.30а)

Приведенные формулы имеют общий характер, т. е. применимы для расчета работы по перемещению проводников любой формы, а также для случаев, когда отрезок I перемещается под любым углом к полю.

Движение зарядов в магнитном поле. Сила Лоренца

Движущиеся заряды создают вокруг себя магнитное поле, которое распространяется в вакууме со скоростью света, а в других средах —— с несколько меньшей скоростью. Если заряд движется во внешнем магнитном поле, то между полем движущегося заряда и внешним полем возникает сила взаимодействия. Так как электрический ток представляет поток движущихся заряженных частиц, то сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, является результирующей отдельных (элементарных) сил, каждая из которых приложена к элементарному носителю заряда.

Процесс взаимодействия движущихся зарядов с внешним магнитным полем исследовался Г. Лоренцом, который в результате обобщения опытных данных вывел формулу для расчета силы, действующей со стороны электромагнитного поля на движущуюся заряженную частицу. Поэтому сила, действующая на движущийся в магнитном поле заряд, называется силой Лоренца.

В соответствии с законом Ампера (9.2а) сила, действующая на проводник с током, равна F=BIlsin а. Сила тока, по определению, равна I=qn (q ——заряд, п ——количество зарядов, проходящих через поперечное сечение проводника в 1 с). Очевидно, что

〃=〃()uS,

где п0 ——количество зарядов, содержащихся в единице объема, у —— скорость движения зарядов, S — площадь поперечного сечения проводника. Тогда

Подставив это выражение для силы тока в формулу Ампера, получим

F=qn()vSBlsin а.

Данная сила действует на все заряды, содержащиеся в объеме проводника: V=SL Количество зарядов, находящихся в этом объеме, равно

几几qS/.

—265 —

Тогда сила Лоренца будет равна

厂 Fап(л)В1 sin ао .

% = k =、T~ = quBsma・

Сила Лоренца, действующая на заряд q, движущийся в магнитном поле, пропорциональна заряду, скорости его движения и, магнитной индукции внешнего поля В “ синусу угла между v 〃 В, т. е.

F^ = qvB sin а (в СИ);)

Fa = y t/vBsina (в системе СГС). |(9.31)

За направление электрического тока принимается направление движения положительных зарядов. Поэтому направление силы, действующей на движущиеся положительные заряды, может быть определено с помощью правила левой руки: если указательный, большой и средний пальцы левой руки расположить под прямым углом друг к другу, а указательный направить по полю, средний — по направлению движения заряда, то большой палец левой руки будет указывать направление силы, действующей на заряд.

Сила, действующая на отрицательный заряд, будет направлена в противоположную сторону.

Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно скорости v движения заряда и поэтому она работы не совершает. Она изменяет только направление v, а величина скорости и кинетическая энергия заряда при его движении в магнитном поле не меняются.

Когда заряд движется одновременно в электрическом и магнитном полях, на него действует сила

F工= q[vB] + gE (в СИ);

Бл = у [vB] + ^Е (в системе СГС),

где Е — напряженность электрического поля.

Пример.

Пройдя ускоряющую разность потенциалов 3,52* 103 В, электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция поля 0,01 Т, радиус траектории 厂=2 см. Определить удельный заряд электрона.

Решение. Удельным зарядом частицы называется величина, равная отношению заряда к массе, т. е. е/т.

В магнитном поле с индукцией В на заряд, движущийся со скоростью и перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца F^Bev. Под действием этой силы заряд перемещается по дуге окружности. Так как при этом сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение, то согласно 2-му закону Ньютона можно записать

Кинетическую энергию, равную т^2/2, электрон приобретает за счет работы Л сил электрического поля (A=eU), поэтому имеем

ту2丁ту2丁=eU・=eU・

ту2丁

ту2丁

=eU・

=eU・

Преобразуя эти соотношения и исключив из них скорость, получим формулу для определения удельного заряда электрона:

е _ 2Uт=В^'

Подставив исходные данные, выраженные в СИ, получим

етет= 1,76・ 1U" Кл/кг.= 1,76・ 1U" Кл/кг.2・3,52・10з кл

ет

ет

= 1,76・ 1U" Кл/кг.

= 1,76・ 1U" Кл/кг.

10~4-4-10~4 кг

Проверка размерности:

Г[U] _ В _ Дж-Кл-1 _

広」=[82]卜2] = тл2.м2= К「2.с —4.А-2.М2 =

Дж・ Кл-1 Дж. К л т _ Кл кг-м2«с-2 (А・с)-2.кг —Дж-Кл~2-кг — кг *

Ускорители заряженных частиц. Циклотрон

Для того чтобы исследовать структуру атомных ядер, необходимо их бомбардировать частицами, имеющими большую энергию, т. е. летящими с большой скоростью. Для получения таких частиц в лабо

Рис. 9-13Рис. 9-13раторных условиях используются ускорители различных видов, одним из которых является циклический ускоритель (циклотрон).

Рис. 9-13

Рис. 9-13

В циклических ускорителях заряженная частица, помещенная между полюсами электромагнита, многократно проходит через электрическое поле, каждый раз увеличивая свою энергию на величину от нескольких сотен до нескольких тысяч электрон-вольт. Для управления движением частиц и периодического возвращения их в область ускоряющего электрического поля применяется поперечное магнитное поле.

На заряженную частицу, движущуюся в постоянном магнитном поле, действует сила Лоренца, и в результате частица будет двигаться по окружности постоянного радиуса, если масса и скорость ее остаются неизменными (рис. 9-13). Сила Лоренца 尸л, направ-

ленная по радиусу к центру окружности, вызывает центростремительное ускорение и по 2-му закону Ньютона равняется F—m^lR (m — масса частицы, и — ее скорость, R — радиус орбиты), т. е. Ff = Fu，или

(9.32)(9.32)mv2 * 力у = 0В,

(9.32)

(9.32)

где q — заряд частицы, В ——индукция магнитного поля (векторы v и В взаимно перпендикулярны, т. е. sin а=1). Из этой формулы легко получить выражение для угловой скорости частицы:

(9.33)(9.33)V qB帀=/

(9.33)

(9.33)

Если q, т и В —— постоянные величины, то угловая скорость, а следовательно, и количество оборотов частицы в секунду тоже являются постоянными величинами, не зависящими от энергии частицы. Однако радиус орбиты зависит от скорости движения частицы, так как из равенства (9.32) следует

R =R =mv两mv两(9.34)(9.34)

R =

R =

mv

两

mv

两

(9.34)

(9.34)

С увеличением скорости движения частицы, ростом ее энергии радиус орбиты увеличивается, поэтому частица в ускорителе, например циклотроне, будет двигаться по спирали.

Схема устройства циклотрона дана на рис. 9-14. Между полюсами электромагнита, состоящего из магнита / и обмоток 2, помещают

два металлических электрода 3, на которые подается высокое напряжение от высокочастотного генератора (рис. 9-14, а). Электроды называются ду антами из-за сходства их формы с заглавной латинской буквой D. Вблизи центра магнита в промежутке между дуантами располагается источник 4 заряженных частиц (ионов). Вся система из электродов и ионного источника помещается в вакуумную камеру 5, разрежение в которой достигает 10~5 мм рт. ст. Положительный ион, вылетающий из источника в то время, когда электрод / имеет отрицательный потенциал, приобретает некоторую скорость и в полости дуанта I опишет полуокружность постоянного радиуса, так как внутри дуанта электрическое поле отсутствует (рис. 9-14, б). К моменту выхода иона из дуанта I при помощи высокочастотного генератора изменяется направление электрического поля на обратное: дуант II приобретает отрицательный потенциал, а дуант I — положительный. Поэтому ион вновь ускорится и внутри дуанта II опишет полуокружность уже большего радиуса. Двигаясь в резонансе с высокочастотным полем, ионы будут по спирали приближаться к краю полюса магнита. Их энергия будет расти после каждого прохождения частицей ускоряющей цепи между дуантами. Пучок ускоренных положительных ионов выводят из циклотрона с помощью отклоняющего электрода 6 (см. рис. 9-14, 6), на который подается высокий отрицательный по-

тенциал. Проходя мимо него, пучок ионов изменяет свою траекторию и через окошко, закрытое тонкой фольгой, выходит из камеры.

Циклотрон используется в качестве ускорителя тяжелых частиц —— протонов и многозарядных положительных ионов. Но в циклотроне имеются причины принципиального характера, которые ограничивают возможности значительного увеличения энергии ионов. Кинетическая энергия любой частицы равна EK=mv2/2. Поэтому для получения частиц высоких энергий их надо разгонять до очень больших скоростей, близких к скорости света. Из теории относительности известно, что масса частицы зависит от скорости ее движения:

m =m =加0加0К1 —(〃С)2 'К1 —(〃С)2 '(9.35)(9.35)

m =

m =

加0

加0

К1 —(〃С)2 '

К1 —(〃С)2 '

(9.35)

(9.35)

где m — масса частицы, движущейся со скоростью v, m0 — масса покоящейся частицы, с ——скорость света. В обычных условиях, когда и«с, массу тел можно считать строго постоянной. Однако в ускорителях, где частицы разгоняются до скоростей, близких к скорости света, с изменением их массы приходится считаться. Из формулы (9.33) можно получить выражение для периода вращения заряженной частицы в циклотроне:

2л qBт 2nm

(9.36)(9.36)①丁 = ± откуда т=е

(9.36)

(9.36)

т. е. период обращения прямо пропорционален массе частицы. Поэтому период обращения по мере ускорения частиц растет, тогда как период высокочастотного поля не изменяется. В результате при каждом очередном попадании в ускоряющую щель частицы будут опаздывать, приобретая все меньшую энергию, пока не начнут попадать в тормозящее поле.

Для разгона электронов используется другой ускоритель ——б е- татрон, в котором в качестве побудителя движения используется вихревое электрическое поле. Однако и энергии тяжелых частиц, получаемые с помощью циклотрона, не удовлетворяли ученых. Для достижения больших энергий частиц используются два приема: 1) с увеличением периода обращения частицы уменьшается частота изменения потенциалов дуантов, т. е. частота высокочастотного генератора. Ускорители, в которых используется этот принцип, называются фазотронами; 2) увеличение магнитного поля при неизменной частоте ускоряющего электрического поля. Действительно, если отношение т/В сохранить неизменным, т. е. с ростом массы частицы плавно увеличивать магнитную индукцию поля, то период обращения частицы тоже будет постоянным. На этом принципе работают такие ускорители, как синхротрон и синхрофазотрон.

Электроннолучевая трубка

Электроннолучевые трубки широко используются в различных приборах, например в осциллографах, и отраслях радиотехники — радиолокации и телевидении. В электроннолучевых трубках в каче-

-269 —

стве источника заряженных частиц используется накаленный катод, который испускает электроны в результате термоэлектронной эмиссии. Катод помещают внутри управляющего электрода, имеющего цилиндрическую форму. Изменяя отрицательный потенциал управ-

ля ющего электрода, можно регулировать величину электронного потока и этим менять яркость светового пятна на экране. За управляющим электродом расположены два цилиндрических анода, внутри которых поставлены перегородки с небольшими отверстиями (диафрагмами). Ускоряющее поле этих анодов обеспечивает движение электронов в сторону экрана и одновременно фокусирует электронный

0044поток в узкий пучок (луч). Помимо фокусировки, осуществляемой с помощью электрического поля, в электроннолучевой трубке применяется магнитная фокусировка луча. Для этого на горловину трубки надевается фокусирующая катушка. Лоренцова сила, действующая на электроны в магнитном поле катушки, прижимает их к оси трубки и формирует из электрон-

0

0

4

4

ного потока тонкий луч. Для отклонения сфокусированного луча и перемещения его на экране, так же как и для фокусировки, приме-

няют электрические и магнитные поля.

Электростатическая система отклонения луча состоит из двух пар пластин: вертикальной и горизонтальной. Пролетая между пластинами, электроны отклоняются в сторону положительно заряженной пластины (рис. 9-15, а). Наличие двух взаимно перпендикулярных пар пластин позволяет отклонять электронный луч в горизонтальном и вертикальном направлениях. Магнитная система отклонения луча состоит из двух пар катушек /—Г и 2—2', расположенных на баллоне трубки под прямым углом друг к другу (рис. 9-15, б). В магнитном поле этих катушек на пролетающие электроны действует сила Лоренца.

Магнитное поле горизонтально расположенных катушек вызывает перемещение потока электронов по вертикалям, а поле вертикально расположенных катушек — по горизонтали. Экран электроннолучевой трубки покрыт полупрозрачным слоем вещества, способного светиться при бомбардировке его электронами. К таким веществам относятся некоторые полупроводники ——виллемит, вольфрамовокислый кальций и др.

Основную группу электроннолучевых трубок составляют осциллографические трубки, которые служат для исследования быстрых изменений тока и напряжения. В этом случае исследуемый ток подается на отклоняющую систему, в результате чего отклонение луча на экране будет пропорционально силе этого тока (напряжения).

Эффект Холла

В 1880 г. американский ученый Э. Холл обнаружил, что в проводнике, помещенном в магнитном поле, возникает разность потенциалов в направлении, перпендикулярном вектору магнитной индукции В и току /, вследствие действия силы Лоренца на заряды, движущиеся в этом проводнике.

На рис. 9-16 изображена тонкая пластина проводника, которую пронизывает магнитное поле с индукцией В, направленное перпендикулярно чертежу, причем линии индукции направлены от зрителя и уходят за чертеж (обозначены крестиком).

За направление тока /, как известно； принимается направление движения положительных зарядов, для которых направления вектора скорости v и тока I совпадают (рис. 9-16,а). У отрицательных

зарядов вектор скорости v и ток / направлены в противоположные стороны (рис. 9-16, 6). Применяя правило левой руки, убеждаемся, что сила Лоренца в обоих случаях будет направлена к верхней (на рисунке) грани пластины.

Эффект Холла наблюдается у металлов и полупроводников. У металлов, а также у полупроводников n-типа, где носителями зарядов

Рис. 9-17Рис. 9-17

Рис. 9-17

Рис. 9-17

являются электроны, на верхней грани пластины будут скапливаться избыточные отрицательные заряды, а нижняя грань, испытывая недостаток электронов, зарядится положительно (рис. 9-17, а). В результате между верхней и нижней гранями проводника возникает определенная разность потенциалов (/н.

У полупроводников p-типа, у которых носителями тока являются дырки, имеющие положительный заряд, верхняя (на рисунке) грань приобретает в магнитном поле положительный заряд, а нижняя —— отрицательный (рис. 9-17, б). Исследуя распределение зарядов или знак (/н, можно определить характер проводимости (электронный или дырочный) полупроводника. В процессе изучения эффекта Холла было обнаружено, что некоторые металлы обладают смешанной элект-

ронно-дырочной проводимостью. У таких металлов, вследствие того что дырки обладают большей подвижностью, распределение зарядов между верхней и нижней гранями будет такое же, как у полупроводников р-типа.

Так как вектор В магнитного поля перпендикулярен току / и скорости V перемещения зарядов, то сила Лоренца будет равна

F“ = quB.

Заряды, скопившиеся на верхней и нижней гранях пластины, создают электрическое поле напряженностью Е, которое тоже воздействует на заряды с силой

尸 а”=qE.

Когда устанавливается стационарное распределение зарядов в поперечном сечении проводника, эти две силы уравновешивают друг Друга, т. е.尸“=尸^, поэтому

quB=qE, откуда Е=иВ.(9.37)

Из формулы плотности тока

/=^v,

где q ——заряд движущейся частицы, и — количество частиц в единице объема, и ——скорость их упорядоченного движения, запишем

Подставив данное выражение в формулу (9.37), получим

Е$В・(9.38)

Тогда разность потенциалов между верхней и нижней гранями проводника, расстояние между которыми d, будет равна

〃H = d・E = d•击 В =-^djB.(9.39)

Коэффициент пропорциональности в этой формуле

(МО)

называется постоянной Холла. Уравнение (9.39) примет вид

Un = RdjB,(9.41)

т. е. разность потенциалов между гранями проводника, находящегося в поперечном магнитном поле, прямо пропорциональна толщине проводящей пластины d, плотности тока / и магнитной индукции В.

-272 —

Глава 10

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

§ /・ Явление электромагнитной индукции

При рассмотрении вопроса о движении заряженных частиц в магнитном поле было установлено, что на них действует сила Лоренца.В каждом проводнике содержатся свободные электроны. Если этот проводник (без тока) перемещать в магнитном поле, то каждый электрон, находящийся в проводнике, подвергнется воздействию силы Лоренца. Пусть отрезок проводника длиной / движется перпендикулярно вектору магнитной индукции (рис. 10-1). Линии магнитной индукции В перпендикулярны чертежу и направлены от нас (обозначены крестиками). Сила Лоренца равнаF^evB,где е — заряд электрона, и — скорость движения проводника в магнитном поле, В — магнитная индукция внешнего поля, угол междуПри рассмотрении вопроса о движении заряженных частиц в магнитном поле было установлено, что на них действует сила Лоренца.В каждом проводнике содержатся свободные электроны. Если этот проводник (без тока) перемещать в магнитном поле, то каждый электрон, находящийся в проводнике, подвергнется воздействию силы Лоренца. Пусть отрезок проводника длиной / движется перпендикулярно вектору магнитной индукции (рис. 10-1). Линии магнитной индукции В перпендикулярны чертежу и направлены от нас (обозначены крестиками). Сила Лоренца равнаF^evB,где е — заряд электрона, и — скорость движения проводника в магнитном поле, В — магнитная индукция внешнего поля, угол междуXXXXXXXXX X X X3X X X X3XXXXXXX XX XX XX XXXXXXXXXXXXX冃if!冃if!XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX dxX dxXXXXXXXXРис. 10-1Рис. 10-1

При рассмотрении вопроса о движении заряженных частиц в магнитном поле было установлено, что на них действует сила Лоренца.

В каждом проводнике содержатся свободные электроны. Если этот проводник (без тока) перемещать в магнитном поле, то каждый электрон, находящийся в проводнике, подвергнется воздействию силы Лоренца. Пусть отрезок проводника длиной / движется перпендикулярно вектору магнитной индукции (рис. 10-1). Линии магнитной индукции В перпендикулярны чертежу и направлены от нас (обозначены крестиками). Сила Лоренца равна

F^evB,

где е — заряд электрона, и — скорость движения проводника в магнитном поле, В — магнитная индукция внешнего поля, угол между

При рассмотрении вопроса о движении заряженных частиц в магнитном поле было установлено, что на них действует сила Лоренца.

В каждом проводнике содержатся свободные электроны. Если этот проводник (без тока) перемещать в магнитном поле, то каждый электрон, находящийся в проводнике, подвергнется воздействию силы Лоренца. Пусть отрезок проводника длиной / движется перпендикулярно вектору магнитной индукции (рис. 10-1). Линии магнитной индукции В перпендикулярны чертежу и направлены от нас (обозначены крестиками). Сила Лоренца равна

F^evB,

где е — заряд электрона, и — скорость движения проводника в магнитном поле, В — магнитная индукция внешнего поля, угол между

X

X

X

X

X

X

X

X

X X X X

3

X X X X

3

XXX

XXX

X X

X X

X X

X X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

冃if!

冃if!

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X dx

X dx

X

X

X

X

X

X

X

X

Рис. 10-1

Рис. 10-1

V и В равен 90° (sina=l). Под влиянием силы Лоренца произойдет перемещение зарядов и на концах проводника возникнет некоторая разность потенциалов(рх—(р2. Возникшее электрическое поле Е будет препятствовать передвижению зарядов, и их дальнейшее движение прекратится. Сила, с которой электрическое поле действует на электрон, равна

尸з = еЕ，

где Е — напряженность электрического поля в проводнике.

Силы 尸“ и 尸з равны по величине, но противоположны по направлению, т. е.

еЕ=—evB,

или

Е=—иВ. (10.1)

Напряженность электрического поля в движущемся проводнике длиной / и разность потенциалов(рх—(р2 на его концах связаны соотношением

T1-屮2=承,

поэтому

(10.2)(10.2)(Р1—屮 2=—vBl.

(10.2)

(10.2)

Если такой проводник замкнуть, то при наличии данной разности потенциалов по цеяи пойдет электрический ток. Движущийся в маг

—273 —*

нитном поле участок цепи можно рассматривать как своеобразный источник тока, обладающий определенной электродвижущей силой, называемой электродвижущей силой индукции.

Следовательно, на концах проводника длиной /, движущегося со скоростью и 6 однородном магнитном поле, индуцируется электродвижущая сила, которую в общем случае можно подсчитать по формулам:

机нд = 8〃 sin а (в СИ); )

^инД = у BZvsina (в системе СГС), j (10・3)

где а — угол между векторами v и В.

Выразим э. д. с. индукции /1HA через поток магнитной индукции Ф, когда проводник движется перпендикулярно полю (sin а=1). Скорость движения проводника в этом случае равна (см. рис. 10-1)

где dx — элементарное перемещение проводника в направлении, перпендикулярном вектору магнитной индукции В, совершенное за время dt. Тогда

菰н“ = -案^(*)

Но ldx=dS — площадь, описываемая проводником в магнитном поле, а произведение

dS・B = d(D

——магнитный поток, пронизывающий площадь dS・ Поэтому формулу (*) можно записать в виде

机吻=-整，(Ю.4)

Следовательно, з. 0. с. электромагнитной индукции в контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.

Данное соотношение называется законом Фарадея — Максвелла.

§ 2・ Закон Фарадея — Максвелла

В предыдущем параграфе закон Фарадея — Максвелла был получен для частного случая движения отрезка прямолинейного проводника в направлении, перпендикулярном магнитному полю. Разберем более общий случай движения проводника произвольной формы в магнитном поле.

Возьмем контур A BCD (в принципе произвольной формы), который может вращаться между полюсами постоянного магнита (рис. 10-2). Контур включен в цепь, содержащую э. д. с. 负.

Проанализируем процессы, протекающие в этом контуре, с точки зрения самого общего закона природы — закона сохранения энергии.

Энергия, которую получает контур от источника тока с э. д. с. 晶

равна

Г = ^0/Дт,(Ю.5)

где I — сила тока, протекающего в контуре за время Дт.

Если контур находится вне магнитного поля, то вся энергия расходуется на выделение теплоты, определяемой по закону Джоуля ——

Ленца:

刃=焼厶T=/2rAg

где R — сопротивление проводов контура.

Однако на проводник с током в магнитном поле, по закону Ампера, будет действовать сила, под действием которой контур поворачивается, и при этом совершается работа (см. § 7 гл. 9)

4 = /А0)・

На совершение этой работы будет затрачена энергия %. Тогда на основании закона сох

<^0/Ат = /2RAt + /ДФ,<^0/Ат = /2RAt + /ДФ,(10.6)(10.6)ранения энергии запишем

<^0/Ат = /2RAt + /ДФ,

<^0/Ат = /2RAt + /ДФ,

(10.6)

(10.6)

откуда

机=/+礬

Решая данное уравнение относительно силы тока, получим

(Ю.7)(Ю.7)Г 乐0 —а ①/аt

(Ю.7)

(Ю.7)

Эта формула выражает собой закон Ома для контура произвольной формы, содержащего з. д. с. и перемещающегося во внешнем магнитном поле. Как видно из этой формулы, в результате перемещения контура в магнитном поле в нем индуцируется дополнительная э. д. с.— э. д. с. индукции, равная

【нд — Дх，

или в дифференциальной форме

^инд =^инд =d①dtd①dt(10.8)(10.8)

^инд =

^инд =

d①dt

d①dt

(10.8)

(10.8)

Этот вывод данного соотношения, которое выражает закон Фарадея ——Максвелла, был сделан немецким физиком Т. Гельмгольцем. Так как этот закон был выведен на основании закона сохранения энергии, то можно сказать, что соотношение (10.8), а также и (10.4) справедливо для любого случая изменения магнитного потока Ф, которое может быть вызвано изменением формы контура, его поворотом, перемещением контура в магнитном поле и, наконец, в случае

неподвижного контура изменением со временем магнитного потока самого поля.

Закон Фарадея — Максвелла применим не только к отдельному контуру или витку, но и к катушке, которую можно рассматривать как N витков, соединенных последовательно. В этом случае суммарная э. д. с. будет в ^ раз больше, чем э. д. с. отдельного витка, т. е. формула (10.8) примет вид

(10.9)(10.9)君= — N 后行(в СИ);

(10.9)

(10.9)

<^屯=一密nR=一0后(В системе СГС).

Здесь 4r — величина, называемая потокосцеплением. Потокосцепление —это сумма магнитных потоков, пронизывающих отдельные витки катушки, т. е.

^-Фх+Ф2+Ф3+...+Фь

где ① 1 ——магнитный поток через 1-й виток катушки, Ф2 ——через 2-й виток и т. д.

Если каждый виток катушки сцеплен с одинаковым магнитным потоком (фх=ф2=.. .=Ф^), то

^=NФi.(10.10)

Формулы (10.4) и (10.9) дают мгновенное значение э. д. с. индукции. Если обозначить сопротивление замкнутого контура или катушки через R, то мгновенный индукционный ток будет равен

/ =尊==—j .要(B аи);

(10.11) СГС).(10.11) СГС).RR dxR dt ' 八

(10.11) СГС).

(10.11) СГС).

/ == _=_ (в системе

RRc dtRc dt '

Э. д. с. индукции возникает не только при перемещении замкну

того контура в магнитном поле или перемещении магнита относительно

неподвижного контура. Пусть имеются две катушки с общим железным сердечником, служащим в качестве магнитопровода (рис. 10-3). При замыкании ключа К через катушку 1 пойдет ток, который создает постоянное магнитное поле. Если потокосцепление катушек 1 и 2 идеальное (можно предположить,

что катушка 1 одета на катушку 2), то обе катушки будут пронизываться магнитным потоком Ф. При разомкнутой цепи катушки 1 магнитный поток ①=0. Затем за время Дт его значение возрастает до Ф, т. е. ДФ=Ф—0=Ф, а отношение ДФ/Дт равно некоторой величине. Поэтому при возрастании в катушке / тока от 0 до / в катушке 2 возникает э. д с. индукции, равная

и в ней пойдет индукционный ток, который зарегистрирует гальванометр G. Когда возрастание тока в катушке / прекратится, поток магнитной индукции станет постоянным и А①/At=Q, то <^инд=0. Ток в катушке 2 перестанет идти, и стрелка гальванометра вернется в исходное положение. Такая же картина будет наблюдаться и при размыкании цепи катушки 7, только отброс стрелки гальванометра произойдет в другую сторону, что свидетельствует об изменении направления тока в катушке 2. Если через катушку 1 пропускать переменный ток, то по цепи катушки 2 пойдет переменный ток той же частоты. Этот принцип широко используется в трансформаторной технике.

В 1834 г. профессор Петербургской Академии Э. Ленц установил правило определения направления индукционного тока, которое можно сформулировать так: индукционный ток имеет такое направление, что его магнитное поле противодействует изменению магнитного потока, пронизывающего контур.

Проиллюстрировать правило Ленца можно на следующем простом примере. Предположим, что в катушке индуцируется ток путем перемещения постоянного магнита по оси катушки. Тогда магнитное поле индукционного тока при вдвигании магнита в катушку будет выталкивать магнит, а при выдвигании магнита из катушки будет его задерживать. Таким образом, в том и другом случаях приходится совершать дополнительную работу на преодоление сил сопротивления магнитного поля индукционного тока. За счет этой работы и возникает энергия магнитного поля индукционного тока. Поэтому можно сказать, что правило Ленца подтверждает справедливость закона сохранения энергии.

Математически правило Ленца отображается знаком минус в уравнении закона Фарадея — Максвелла.

Пример.

Приемник автомобиля, движущегося со скоростью 72 км/ч, имеет антенну длиной 1,5 м. Принимая горизонтальную составляющую магнитного поля Земли 方=0,2 3, определить индуцируемую разность потенциалов на концах антенны.

Решение. Э. д. с. электромагнйтной индукции определяется скоростью изменения магнитного потока:

Считая, что антенна пересекает линии напряженности под прямым углом, найдем пересеченный при перемещении антенны на расстояние dh магнитный поток:

d①=卩卩// dh,

где Idh ——пересеченная площадь магнитного потока. Следовательно, э. д. с. индукции будет

qIdh

тdh

Так как 岳~=v—— мгновенная скорость, то э. д. с. равна

£ инд = FNo"/力

一277 -

Запишем исходные данные, выраженные в СИ:卩=1 (для воздуха); pi0= 1,26х X 10-6 p/м； "=о,2 3=О,2・ 79,6 А/м, /= 1,5 м; и=72 км/ч=20 м/с. Производим вычисления:

^инд= 1,26.10-6-0,2.79,6.1,5-20 В = 6-10-4 В.

§ 3・ Самоиндукция и взаимная индукция

Рассмотрим частные случаи явления электромагнитной индукции: самоиндукцию и взаимную индукцию.

Если последовательно с катушкой со стальным сердечником (катушка индуктивности) включить электрическую лампочку, то при замыкании цепи она загорится не сразу, а достигнет полного накала через некоторый промежуток времени. При размыкании цепи лампочка также будет гаснуть постепенно.

Это объясняется тем, что изменение потока магнитной индукции в катушке, происходящее при замыкании и размыкании цепи вследствие изменения тока в ней, индуцирует э. д. с. в той же самой катушке. Поэтому это явление называется явлением самоиндукции. Явление самоиндукции вызывает экстратоки замыкания и размыкания. При замыкании цепи э. д. с. самоиндукции вызывает ток, препятствующий увеличению основного тока в цепи, а при размыкании, наоборот, э. д. с. самоиндукции вызывает ток, препятствующий уменьшению основного тока. Такое направление экстратоков следует из правила Ленца. При выключении рубильников экстраток размыкания вызывает появление искры.

Магнитный поток, сцепленный с контуром, всегда пропорционален силе тока в нем, т. е.

B = LI.(10.12)

В системе СГС эта формула имеет вид

Ф = у£/.(10.12а)

Здесь L — коэффициент самоиндукции, или индуктивность контура.

Строго говоря, вместо потока магнитной индукции Ф в уравнение (10.12) необходимо ставить потокосцепление (полный магнитный поток через контур) У¥=NФ, где N — количество витков контура, т. е.

(10.13)(10.13)У = £/ (в СИ);

(10.13)

(10.13)

Т = —LZ (в системе СГС).

Индуктивность L зависит от формы и размеров цепи или катушки, а также от магнитных свойств среды. Коэффициент самоиндукции является одной из основных характеристик цепи или катушки.

Если геометрия контура и магнитная проницаемость среды, окружающей контур, не изменяются, то L=const. Тогда, используя формулу (10.12), выражение для э.д.с. самоиндукции можно представить

в следующем виде:

(10.14)(10.14)Sc=—L^ (в СИ);

(10.14)

(10.14)

^с =—营乙幫(в системе СГС),

т.е. а.О.с самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока 6 контуре.

При рассмотрении явления самоиндукции для большей наглядности часто используются механические аналогии. Еще Фарадей говорил: «Первое, что приходит в голову, это то, что движущееся по проводнику электричество обладает чем-то вроде количества движения или инерции». Так же как пуля при резком торможении пробивает доску, ток при размыкании цепи пытается «пробить» возникшее препятствие —— заряды продолжают двигаться как бы по инерции. В первом случае кинетическая энергия пули превращается в механическую работу по разрушению препятствия, во втором ——энергия магнитного поля катушки превращается в энергию искры, проскакивающей при размыкании контакта.

Если подключить катушку к внешнему источнику, напряжение которого U меняется во времени, то ток в катушке будет обладать своего рода инерцией. Ток / в такой цепи связан с напряжением внешнего источника соотношением

которое по форме аналогично уравнению второго закона Ньютона для движения материальной точки, имеющей массу m и движущейся под действием внешней силы F:

『dv

F = та = т — .

В этих уравнениях напряжение U от внешнего источника соответствует внешней силе 尸，движущей тело, индуктивность катушки 厶——массе m и т. д. Составим таблицу сопоставляемых величин и понятий:

Материальная точка

Катушка

Сила F

Масса m

Скорость и

Смещение х

Количество движения mv "my2

Кинетическая энергия ——

Разность потенциалов U

/Индуктивность катушки L

Сила тока /

Заряд q

Потокосцепление 厶/ = ▽

Энергия магнитного поля, созданного

厶/2

током, —

Данная аналогия в значительной мере условна. Действительно, нельзя говорить, что LI является количеством движения цепи, так как цепь неподвижна и вообще количество движения ее равно нулю.

Проведенное сопоставление электрических и механических величин надо понимать в том смысле, что, например, LI аналогично ту, так как они одинаково удовлетворяют соответствующим уравнениям.

Явлением взаимной индукции двух контуров называется возникновение э.д.с. индукции в одном из них при изменении силы тока в другом (соседнем).

Изменение магнитного потока d① 12 в первом контуре (см. рис. 10-3), вызванное изменением тока dl2 во втором контуре, равно

d① 12 = М12〃2,(10.15)

где коэффициент пропорциональности М12 называется коэффициентом взаимной индукции, или взаимной индуктивностью контуров.

Если изменяется сила тока dlt в первом .контуре, то изменение потока во втором контуре будет

йФ^М^Ц.(10.16)

Теоретически и экспериментально доказано, что

М12=М21=М・(10.17)

Физический смысл коэффициента взаимной индукции М и коэффициента самоиндукции £ одинаков. Различие заключается в том, что коэффициент L характеризует только один контур, а коэффициент М зависит от формы и конструкции обоих контуров, а также от их взаимного расположения и магнитных свойств среды. Из формул (10.12) и (10.15) следует, что единицей индуктивности в СИ будет

r Г 1【①]B6 р

За единицу индуктивности в СИ, называемую генри (Г), принимают индуктивность контура, с которым при силе постоянного тока в нем 1 А сцепляется магнитный поток 1 Вб.

В системе СГС единица индуктивности имеет размерность см. Соотношение между приведенными единицами индуктивности:

1 Г=109 см.

Инд активность

Рассмотрим два частных случая: индуктивность катушки (коэффициент самоиндукции L) и индуктивность двухпроводной линии (коэффициент взаимной индукции М). Оба коэффициента L п М можно обозначить одной и той же буквой (L), так как они имеют одинаковый смысл.

Индуктивность катушки (соленоида). Будем считать катушку бесконечно длинной, а магнитное поле внутри нее — однородным. Тогда магнитная индукция будет равна

8^^卩卩0// ^^卩卩 q/2/, а полный магнитный поток (потокосцепление) у =N6=NBS=RMnINS, где 卩—магнитная проницаемость сердечника,卩о—магнитная постоянная, n=NN ——количество витков на единицу длины катушки, I — сила тока, N — общее количество витков катушки, S—площадь поперечного сечения.

Произведем некоторые преобразования:

(10.18)(10.18)4r =卩卩0м/ •毕S =卩卩o儿2"S =卩卩0絞卩/,

(10.18)

(10.18)

где V — объем соленоида.

Сравнивая полученное уравнение с формулой (10.13), можно написать

(10.19)(10.19)e =卩卩0儿2у (в СИ);I

(10.19)

(10.19)

£ = 4呻〃2V (в системе СГС). J

При вычислении индуктивности L катушек, соленоидов и тороидов по данным формулам необходимо учитывать, что магнитная проницаемость ферромагнитного сердечника зависит от напряженности магнитного поля Н,

Величину 卩 можно определить по формулам [см. (9.8)1:

(10.20)(10.20)卩=吕(B е⑵；卩=? (в системе СГС),

(10.20)

(10.20)

причем величины Ви" для подстановки в эти формулы находятся по специальному графику 8=/(Н).

Индуктивность двухпроводной линии. Рассмотрим взаимную

индукцию двух прямых параллельных проводников, в которых токи

имеют противоположные направления (рис. 10-4). Для простоты вывода будем считать токи в обоих проводах равными, т. е. 厶=，2=/・ Векторы магнитной индукции Bi и В2 на рисунке не показаны.

Магнитный поток сквозь площадку dS=ldr, создаваемый током 厶 первого провода, будет равен

d① 1 = B，dS = BJdr.

Напряженность магнитного поля пря

молинейного проводника выражается формулой [см. (9.13)1

〃=〃=2g '2g '

〃=

〃=

2g '

2g '

где 厂 ——расстояние от оси проводника до площадки dS. Тогда d① 1 = Brldr =卩 PoHildr =卩卩 ° ^r Idr.

Полный магнитный поток Фх через площадь, ограниченную проводами, будет г-а-г0а-%

9= J 皿=叫叁 £ 7 = Wo^ln^,

где r0——радиус провода. Так как а》「()，то приближенно можна написать а—г()^а, тогда

При равенстве токов, идущих в противоположных направлениях, магнитные потоки Фх и Ф2 равны по величине, а векторы Вх и В2 направлены в одну сторону (можно применить правило буравчика для определения направления этих векторов).

Суммарный поток магнитной индукции между проводами

①=2①I①=2①I(10.21)

①=2①I

①=2①I

(10.22)(10.22)Так как 6 = LI, то в СИ имеем

(10.22)

(10.22)

Энергия магнитного поля

При подключении к источнику постоянной э.д.с. цепи, содержащей индуктивность, ток плавно возрастает от нуля до некоторой постоянной величины I, По мере возрастания тока в среде, окружающей цепь,

создается магнитное поле, в котором запасается энергия, полученная за счет энергии внешнего источника э.д.с. Допустим, цепь содержит катушку с большой индуктивностью. Если одновременно отключить внешний источник э.д.с. и закоротить катушку, то ток в катушке не исчезнет, а будет постепенно спадать. Если бы катушка была сделана из сверхпроводящих материалов, то ток сохра

нял бы свою величину неограниченно долго. Но катушка обладает омическим сопротивлением, и энергия

магнитного поля постепенно превращается в теплоту.

Найдем энергию магнитного поля катушки с индуктивностью L и сопротивлением &，подключенной к источнику с постоянной э.д.с. S и внутренним сопротивлением г0 (рис. 10-5).

Общее омическое сопротивление репи равно

R=%+「o・

При замыкании цепи энергия источника расходуется на преодоление омического сопротивления цепи и преодоление э.д.с. самоиндукции, равной

最=-乙石，

где i — мгновенное значение тока в цепи, которое при включении изменяется от 0 до /•

По второму правилу Кирхгофа,

S + Sc-iR, или S = iR+L^.(10.23)

Умножим обе части последнего уравнения на idt: Sidv = i2R di； + Li di.

Левая часть данного уравнения выражает работу, совершаемую источником за время dt; первое слагаемое правой части ——работу, расходуемую на нагревание проводника, а слагаемое Lidi——дополнительную работу, идущую на создание магнитного поля катушки с индуктивностью L.

Полная энергия, запасенная в магнитном поле при возрастании тока от 0 до /, равна совершенной при этом работе, т.е.

= (в СИ); ]

У}(10.24)

呼=营・岑(в системе СГС), j

где / ——установившаяся сила тока в катушке (соленоиде).

Так как потокосцепление пропорционально силе тока (Т=£/), то

呼=岑=学.(Ю.25)

По определению, потокосцепление равно

y=N&=NBS.(10.26)

Напряженность магнитного поля катушки связана с силой тока в ней соотношением (см. § 3 гл. 9)

Н = п1 = * I, откуда I =^ Н.(10.27)

Подставив выражения (10*26) и (10.27) для силы тока в уравнение (10.25), получим

w 47 NBSIH ВН а ВН

где N ——количество витков катушки, В — магнитная индукция, S—— площадь поперечного сечения катушки, / — длина ее, Н — напряженность магнитного поля, V — объем катушки (поля).

Используя соотношение между индукцией и напряженностью магнитного поля, запишем

Н = —.

I屮0

Тогда энергия магнитного поля будет

W = — V

呼^粵=蟲2);呼^粵=蟲2);wWwW(10.28)(10.28)а плотность энергии, т. е. энергия, заключенная в единице объема магнитного поля, равна

呼^粵=蟲2);

呼^粵=蟲2);

w

W

w

W

(10.28)

(10.28)

==貝(в системе СГС).

8n 8л8л卩 ''

Пример.

Вычислить энергию магнитного поля соленоида, по обмотке которого течет ток силой 2 А. Обмотка выполнена в один слой из проволоки диаметром 0,4 мм, витки плотно прилегают друг к другу, объем соленоида 1500 см3, сердечник немагнитный.

Решение. Энергия магнитного поля соленоида согласно формуле (10.24) равна

а коэффициент самоиндукции соленоида

l=2阿落匕

где 卩。——магнитная постоянная, р, — магнитная проницаемость сердечника, V ——объем соленоида,九——число витков, приходящихся на единицу длины соленоида [см. (10.19)]. Если d диаметр проволоки, то 九=l/d, тогда

2d2

Выразив исходные данные в СИ, производим вычисления:

呼呼= 0,24 Дж.= 0,24 Дж.1,26-IO-6-22.1,5-Ю-з Дж2・(4・ 10-4)2

呼

呼

= 0,24 Дж.

= 0,24 Дж.

Проверка размерности:

阿=1!^=*=¥=ВсА = ВК=Дж・

Токи смещения

При рассмотрении постоянного и переменного токов в проводнике имеют место физические эффекты, которые, как правило, резко отли-

чаются друг от друга.чаются друг от друга.Например, когда по проводнику проходит постоянный ток, то линии тока всегда замкнуты. Обратимся к процессу прохождения переменного тока по цепи, содержащей конденсатор.

чаются друг от друга.

чаются друг от друга.

Между пластинами конденсатора заряды не могут перемещаться. Это приводит к тому, что линии тока обрываются у поверхности пластины конденсатора, в результате чего ток проводимости, текущий по проводнику, соединяющему обкладки кон-

денсатора, оказывается разомкнутым. До сих пор мы исходили из представления, что электрические токи представляют собой движение электрических зарядов по проводникам и что плотность их определяется

значением коэффициента электропроводности проводника. В плоском конденсаторе одна из обкладок его имеет положительный заряде поверхностной плотностью+о, другая — отрицательный с поверхностной плотностью — о (рис. 10-6). При разряде конденсатора через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от обкладки М к N. Величина плотности тока / внутри обкладки конденсатора определяется производной по времени от плотности электрического заряда:

j=^.(10.29)

Ток такой плотности течет от обкладки конденсатора М.

Обратимся теперь к тому, что происходит в это время между обкладками конденсатора. Как известно (см. § 4 гл. 7), электрическое смещение поля связано с напряженностью соотношением

О=80е£,(10.30)

а напряженность поля внутри конденсатора (см. § 5 гл. 7)

Е=言.(1°・31)

Объединяя формулы (10.30) и (10.31), получим, что величина электрической индукции между обкладками конденсатора равна

D=o.(10.32)

При разряде конденсатора меняется со временем поверхностная плотность заряда о пластин конденсатора, следовательно, в соответствии с формулой (10.32), меняется и электрическая индукция D. Математически это будет выглядеть следующим образом:

dD _ dqdr — dr

Так как вектор электрического смещения поля направлен от положительно заряженной пластины N к отрицательно заряженной пластине ТИ, то при разряде конденсатора скорость изменения электрической индукции отрицательна и направлена в сторону, противоположную вектору D. Из сказанного следует, что направление вектора dD

击-совпадает с направлением тока в цепи, в которую включен конденсатор. Как видно из уравнений (10.29) и (10.33), плотность электрического тока / и величина dD/dx равны между собой.

Максвелл назвал величину dD/dt плотностью тока смещения:

3 = g(Ю.34)

Так как численные значения плотности тока смещения /см и плотности тока проводимости /пров равны, то следовательно, линии плотности тока проводимости внутри проводника (естественно включая и пластины конденсатора) непрерывно переходят в линии плотности тока смещения между обкладками конденсатора. Для того чтобы ток был

замкнут, вводится понятие полного тока, который включает в себя сумму плотности тока проводимости и плотности тока смещения, т. е.

/=-/пров + /см.(40.35)

Таким образом, ток смещения это есть скорость изменения электрического смещения, определяемого по формуле

П=гг^Е^Р, а плотность тока смещения

= 石 + 石，(10,36)

где Е — напряженность электрического поля, Р — поляризация (т. е. средний электрический момент единицы объема диэлектрика).

Полная плотность тока смещения, таким образом, состоит из двух физически разнородных частей:

/вак = £% 警(Ю-37)

—плотности тока смещения в вакууме, который характеризуется скоростью изменения электрического поля и не связан с выделением джоулева тепла, и

Лкш1P =樂(10.38)

—плотности тока смещения поляризации, который возникает в диэлектрике и имеет ту же природу, что и ток проводимости /пров, т. е. движение электрических зарядов, но не свободных, а связанных.

Общее для тока смещения в вакууме /вак, в диэлектрике /ПОляр, тока проводимости /пров состоит в том, что при их изменении возникает вихревое магнитное поле, причем закон возникновения магнитного поля одинаков.

Введение тока смещения, по существу, означало открытие того фундаментального факта, что переменное электрическое поле обусловливает возникновение вихревого магнитного поля.

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла есть обобщение закона полного тока и закона индукции Фарадея. Применительно к проводнику закон полного тока в интегральной форме имеет вид (см. § 6 гл. 9)

§HLdl = Inw(10.39)

где левая часть — интеграл по замкнутой линии напряженности магнитного поля; величина Н скалярно умножается на dl — элемент длины этой линии. Правая часть выражает полный ток проводимости.

Максвелл, обобщая уравнение (10.39) и введя в правую часть кроме

тока проводимости также ток смещения

‘Пон = 'пров + 'смещ = 'пров + 'вгГк + 'поляр， получил уравнение

f Н 成=，пров+，вак+ /поляр，(10.40)

впоследствие получившее название первого уравнения Максвелла.

Второе уравнение Максвелла является законом индукции Фарадея. В интегральной форме это уравнение" имеет вид (см. § 2 гл. 10)

,Ed/ =— 黑，(10.41)

где Е — напряженность электрического поля, d/ — элемент длины линии напряженности электрического поля, правая часть — скорость изменения магнитного потока.

Написанные выше интегральные уравнения используются в различных расчетах. Важным результатом теории Максвелла является предсказание им существования электромагнитных волн в пространстве, сделанное при математической обработке уравнений (10.39) и (10.41).

При отсутствии проводников с токами эти уравнения выражают определенную связь между напряженностями электрического и магнитного полей:

fHd/=吆萨 S; f Ed/ =2嚟型 s.

Физическая сущность уравнений Максвелла заключается в том, что электромагнитное поле можно разделить на электрическое и магнитное лишь относительно. Так, например, если рассматривать уравнения Максвелла в вакууме, где нет токов проводимости, оба поля —— магнитное и электрическое ——имеют чисто вихревой характер: силовые линии замкнуты и притом взаимно переплетены. Электрические линии оборачиваются около магнитных, а магнитные — около электрических. В частности, нарастающий кольцевой магнитный поток создает вокруг себя электрический кольцевой поток. Изменение электрического поля приводит к созданию кольцевого магнитного потока и т. д.

Короче говоря, изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле, а изменяющееся электрическое поле возбуждает магнитное поле, причем эти поля взаимосвязаны.

Как известно, уравнения Максвелла вывести нельзя.

Опыты Г. Герца и изобретение радио А. С. Поповым подтвердили теоретическое предсказание Максвелла.

Уравнения Максвелла стоят в одном ряду с такими великими законами природы, как законы механики Ньютона начала термодинамики.

Чтобы пояснить суть этого уравнения, рассчитаем напряженности поля для различных замкнутых силовых линий. Если электрическое поле создано неподвижными зарядами, то циркуляция равна нулю. Если в замкнутом контуре происходит упорядоченное движение электронов, то циркуляция вдоль него равна суммарной э. д. с. источников тока, включенных в этот контур. Из этой суммарной э. д. с. можно выделить э. д. с. самоиндукции, т. е.

，Е d/ = & + &ннд = & — dФ/dt.

В современной физике электромагнитное поле рассматривается как особый вид материи, к которой применимы важнейшие понятия физики: энергия, импульс, масса. К рассмотрению этих вопросов мы еще вернемся в четвертой части данного курса.

8. Практическое применение электромагнитной индукции.

Токи Фуко

Основное практическое применение электромагнитная индукция находит в электрических машинах, в которых происходит преобразование механической энергии (движение проводника в магнитном поле) в электрическую (индуцирование электрического тока). Такие машины называются генераторами.

Генератор состоит из неподвижного электромагнита (статор) и вращающегося якоря. На якоре машины располагаются провода (обмотка), в которых при вращении якоря в магнитном поле наводится э.д.с. Индуцируемый при этом ток называется переменным током, так как наводимые в этом случае э.д.с. непостоянны как по величине, так и по направлению. При помощи дополнительных устройств (коллектора) можно получить от такого генератора ток постоянного направления.

Генераторы переменного тока большой мощности выполняются с неподвижной обмоткой на статоре машины и вращающимся электромагнитом (ротор).

Если в магнитном поле находится проводник с током, то, по закону Ампера (см. § 1 гл. 9), на него действует сила

F=BIl sin а,

которая перемещает его в пространстве. В результате происходит преобразование электрической энергии в механическую.

Первый электродвигатель был изобретен в 1834 г. русским ученым Б. С. Якоби. Явление электромагнитной индукции используется в электромагнитах, трансформаторах и других электрических устройствах.

Переменное магнитное поле индуцирует электрический ток не только в линейных проводниках и контурах, но и в сплошных проводящих средах. В сплошной проводящей среде под воздействием переменного магнитного поля образуются замкнутые токи, которые называются токами Фуко, или вихревыми токами. Вихревые токи, возникая в проводниках, нагревают их согласно закону Джоуля — Ленца и снижают к.п.д. электрических машин, трансформаторов и других электромагнитных аппаратов и механизмов. Кроме того, вихревые токи оказывают размагничивающее действие в электромагнитах.

Для уменьшения потерь энергии вместо сплошных сердечников применяют сердечники, набранные из изолированных тонких листов, или изготавливают их из магнетодиэлектриков, т. е. диэлектриков, обладающих магнитными свойствами.

На тепловом действии вихревых токов основан метод индукционного нагрева металлов, с помощью которого осуществляется нагрев или плавление проводящих материалов (особенно в вакууме).

Глава 11

МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ

7・ Магнетики. Магнитная восприимчивость магнетиков

В настоящее время установлено, что все материальные тела в той или иной мере обладают магнитными свойствами, поэтому термин «магнетики» имеет отношение ко всем веществам без исключения, хотя многие из них обладают очень слабо выраженными магнитными свойствами.' Магнитными свойствами обладают не только макроскопические тела, но и отдельные молекулы, атомы, атомные ядра, а также электроны.

Магнитные свойства веществ зависят от структуры их атомов и атомных ядер, а также от характера взаимодействий между атомами.

Если внести в электрическое поле диэлектрик, то это вызовет изменение свойств как самого диэлектрика, так и поля. Изменение свойств диэлектрика связано с его поляризацией.

При внесении в магнитное поле магнетика также происходит изменение его свойств и изменение магнитного поля. Магнетик намагничивается. Намагниченный магнетик создает собственное магнитное поле, которое складывается с внешним полем. Вектор магнитной индукции В в магнетике будет равен сумме векторов магнитной индукции внешнего магнитного поля Во и магнитной индукции собственного поля магнетика В':

В=В°+В'・(11.1)

Магнитная индукция В характеризует магнитное поле в веществе и связана с напряженностью поля соотношением

В—|Л|Л()7У.

В зависимости от значения магнитной проницаемости 卩 все вещества можно разбить на три группы: 1) парамагнетики, для которых 卩 немного больше единицы (в таких веществах векторы Во и В' направлены в одну сторону); 2) диамагнетики, для которых 卩 немного меньше единицы (векторы В' и Во направлены в разные стороны); 3) ферромагнетики, для них 卩 значительно больше единицы.

В неоднородном магнитном поле парамагнитные тела перемещаются в сторону возрастания напряженности поля (втягиваются полем), а диамагнитные — в сторону уменьшения напряженности поля (выталкиваются полем). Стрелки, изготовленные из парамагнитных материалов, в однородном магнитном поле поворачиваются и становятся по полю вдоль линий магнитной индукции, а стрелки, изготовленные из диамагнитных материалов, становятся поперек поля перпендикулярно к линиям магнитной индукции.

Таким образом, направление вектора В' зависит от свойств магнетика, а его значение — от вектора Во намагничивающего поля, а также размеров и формы магнетика. В некоторых частных случаях, например, когда магнетик заполняет очень длинный соленоид, внутри кото- 10 № 2 90 7一 289 —

(1L2)(1L2)рого магнитное поле однородно, влиянием размеров и формы магнетика можно пренебречь. Тогда связь между В' и Во будет иметь вид

(1L2)

(1L2)

Bf=t^

Величина % называется магнитной восприимчивостью магнетика и является безразмерной величиной. У диамагнитных веществ магнитная восприимчивость является отрицательной величиной (%<0), у парамагнитных — положительной &>0). У ферромагнетиков магнитная восприимчивость зависит от магнитной индукции В。внешнего поля, поэтому зависимость Вг от В。в общем случае нельзя считать линейной.

Магнитная индукция- поля внутри магнетика будет равна

8=&+8'=&+%&=(1 +%)瓦，(Н.З)

а также зависит от магнитной проницаемости 牍 магнетика:

В=^(11.4)

Сравнивая формулы (11.3) и (11.4), устанавливаем, что магнитная проницаемость связана с магнитной восприимчивостью соотношениями:

(11.5)(11.5)卩= 1+% (в СИ);

(11.5)

(11.5)

卩=1十4砍 (в системе СГС).

§ 2・ Вектор намагничения

Магнитный момент контура с током равен [см. (9.4)]

где / — сила тока, S ——площадь, охватываемая этим контуром.

Электрон, движущийся в атоме по круговой орбите, можно уподобить контуру с током. Электрон образует круговой ток, сила которого равна

/=ev,(11.6)

где е — заряд электрона, v — число оборотов электрона в секунду.

Тогда магнитный момент, обусловленный движением электрона по орбите, будет

рт=IS=evnr2(11.7)

(г — радиус орбиты). Так как скорость электрона равна произведению длины орбиты 2 лг на число оборотов в секунду, т. е. и=2 Jtrv, откуда

и то

evr

Эта величина называется орбитальным магнитным моментом электрона.

Помимо орбитального магнитного момента, электрон в атоме обладает собственным механическим моментом импульса, называемым спином электрона, и соответствующим ему собственным магнитным моментом pms.

Результирующий магнитный момент атома образуется в результате сложения векторов магнитных моментов всех элементарных частиц, содержащихся в атоме. Например, электронные оболочки инертных газов магнитно нейтральны, так как их результирующие спиновые и орбитальные магнитные моменты равны нулю. У электронных оболочек переходных элементов таблицы Менделеева наблюдаются большие результирующие орбитальные и спиновые (собственные) магнитные моменты.

Картина еще более усложняется при переходе к коллективам молекул и атомов, так как молекулы жидкостей и газов участвуют в беспорядочном тепловом движении, атомы кристаллов совершают колебательные движения и т. д. Поэтому одно и то же вещество неизменного химического состава при различных температуре, давлении, фазовой структуре может находиться в различных магнитных состояниях.

При наложении внешнего магнитного поля происходит упорядочение направлений векторов рт отдельных атомов и молекул магнетика, в результате чего макроскопический объем V магнетика приобретает определенный суммарный магнитный момент.

Поэтому намагниченность магнетика естественно характеризовать суммарным магнитным моментом, отнесенным к единице объема:

J=击£P加,(11.9)

i = 1

где AV — элементарный объем магнетика, п — число молекул в объеме АУ, pmi——магнитный момент отдельной молекулы.

Суммарный магнитный момент J единицы объема магнетика называется вектором намагничения, или намагниченностью.

В СИ намагниченность J измеряется в А/м, так как из формулы (11.9) имеем — ~ (т. е. в тех же единицах, что и напряженность магнитного поля Я). Ампер на метр (А/м) — намагниченность, при которой вещество объемом 1 м3 имеет магнитный момент 1 А-м2.

Число ориентированных в пространстве молекул магнетика, а также степень их ориентированности относительно поля будут пропорциональны напряженности внешнего магнитного поля ". Отсюда следует

/=%",(11.10)

где % — магнитная восприимчивость магнетика.

Так как размерности J и Н одинаковы, то % оказывается безразмерной величиной.

Индукция Вг собственного магнитного поля магнетика согласно формуле (11.2) равна

Br=^BQ = ^^H,

Но внешнее поле с индукцией В。рассматривается в отсутствии магнетика, т. е. когда 卩=1, следовательно,

3' = %阿".(n.n)

С учетом (11.10) выражение (11.11) примет вид

B' = n3(bCH)； I

B' = 4nJ (в системе СГС). /< 丿

Таким образом, результирующая магнитная индукция в веществе будет

8=阿("+/)•(11.13)

Магнитная индукция В связана с напряженностью магнитного поля известным соотношением В =卩卩о Н. Отсюда следует, что

卩= l+g・(11.14)

§ 3・ Диа- и парамагнетизм и 〃х природа

В диамагнитных материалах, помещенных во внешнее магнитное поле Во, возникают намагниченность и внутреннее поле, направленное навстречу намагничивающему полю.

В молекулах диамагнитных веществ результирующие магнитные моменты, как орбитальные, так и спиновые, равны нулю. Поэтому суммарный магнитный момент диамагнитного поля также равен нулю. Движение электронов, которое создает магнитный момент молекулы, часто уподобляют электрическому току и называют молекулярным током.

Когда диамагнитное тело помещают во внешнее магнитное поле, то вследствие вихревого характера магнитного поля в диамагнетике индуцируются незатухающие молекулярные токи. Эти молекулярные токи, по правилу Ленца, имеют такое направление, что созданное ими внутреннее магнитное поле стремится ослабить внешнее магнитное поле.

Диамагнитный эффект присущ всем без исключения веществам, в том числе и парамагнетикам, но в парамагнетиках его превышает эффект, обусловленный ориентацией магнитных моментов отдельных молекул. Молекулы парамагнетика, имеющие орбитальный и спиновый магнитные моменты, попадая во внешнее магнитное поле, ориентируются в нем таким образом, что собственное поле парамагнетика усиливает внешнее намагничивающее поле. Поэтому магнитная восприимчивость диамагнетика отрицательна, а парамагнетика ——положительна. Если диамагнитный эффект не зависит от температуры, то парамагнитный зависит, так как тепловое движение атомов или моле

кул разрушает ориентацию их магнитных моментов во внешнем магнитном поле.

Зависимость магнитной восприимчивости % парамагнетиков от температуры выражается формулой

% =泉(11.15)

где С ——константа данного вещества, Т — его абсолютная температура.

Это выражение называется законом Кюри. Закону Кюри подчиняются газообразный (парамагнитный) кислород, разбавленные жидкие растворы парамагнитных солей и некоторые парамагнитные соли в кристаллическом состоянии. При очень низких температурах наблюдаются отступления от закона Кюри.

4. Ферромагнетизм. Ферриты

К ферромагнитным веществам относятся железо, сталь, чугун, никель, кобальт и некоторые сплавы. Ферромагнетики играют большую роль в технике.

Ферромагнитные вещества, как отмечалось в § 1, обладают большой магнитной проницаемостью, для них 卩》1, иногда порядка 105.

Если в катушку вставить стальной сердечник, то при том же числе витков катушки и том же значении тока, что и без сердечника, магнитный поток увеличится в сотни раз.

У ферромагнетиков, так же как и у парамагнитных материалов, собственное поле при намагничивании усиливает внешнее поле. Ферромагнитные вещества обладают отличительными свойствами: 1) магнитная проницаемость ферромагнетиков достигает очень больших значений и зависит от напряженности внешнего магнитного поля; 2) намагниченность ферромагнетиков сохраняется и после снятия внешнего поля, причем зависимость между В и Я имеет характерный вид, называемый «петлей гистерезиса».

Эти свойства ферромагнетиков объясняются особенностью их структуры, так называемой доменной структурой.

В ферромагнетике имеются небольшие области, которые называются доменами. Домены имеют размеры порядка 10"34-10-4 см и представляют собой маленькие магнитики, внутри которых магнитные моменты всех молекул направлены в одну сторону. Так как расположение самих доменов беспорядочно, то суммарный магнитный момент большого куска ненамагниченного ферромагнетика равен нулю.

Атом железа имеет шесть внешних электронов. Исследование его спектра показывает, что пять из них имеют одинаковое направление спинового магнитного момента, а один ——противоположное. В результате магнитные моменты двух электронов взаимно компенсируют друг друга, результирующий магнитный момент остальных четырех электронов равен магнитному моменту атома железа. Подобная картина наблюдается и в атомах других ферромагнитных элементов. Если атомы железа, каждый из которых обладает магнитным моментом,

соединить вместе так, чтобы они образовали малую область внутри твердого кристалла, то все векторы магнитных моментов установятся в одинаковом направлении и в результате образуется домен. Параллельное «выстраивание» атомных «магнитиков» внутри домена нельзя объяснить с точки зрения магнитного взаимодействия атомов железа, так как энергия их взаимодействия слишком мала для создания этого эффекта. Параллельная ориентация магнитных моментов обусловлена обменным взаимодействием атомов и имеет сложное теоретическое обоснование.

Намагниченность в пределах каждого домена очень велика. Если бы ферромагнетик состоял из одного домена, то даже в отсутствии внешнего поля он создавал бы значительное собственное магнитное поле. Однако домены в ферромагнетике ориентированы беспорядочно.

Когда образец помещается во внешнее магнитное поле, происходит ориентировка магнитных моментов доменов, домены начинают пере

мещаться, и в результате возникает макроскопическое намагничение. При очень больших значениях напряженности Н внешнего магнитного поля магнитные моменты отдельных доменов выстраиваются параллельно и наступает состояние н а с ы щ е н и я, т. е. при дальнейшем увеличении напряженности Н внешнего поля намагниченность J образца не растет (рис. 11-1).

Зависимость магнитной индукции В от напряженности Н внешнего магнитного поля имеет сложный характер. Согласно формуле (11.1) запишем

В=в°+в‘，

где Во——вектор магнитной индукции внешнего поля, В' — вектор магнитной индукции собственного поля ферромагнетика.

В состоянии насыщения индукция 月'перестает расти и на увеличение В не влияет, но Во с ростом Н продолжает увеличиваться. Поэтому в состоянии насыщения магнитная индукция внутри ферромагнетика продолжает возрастать, хотя и очень медленно. При изменении направления вектора напряженности Н внешнего поля (при перемагничивании) зависимость B=f (”)имеет вид, изображенный на рис. 11-2. В начальный момент времени "=0 и 8=0; затем при увеличе-

нии Н до значения На индукция возрастает по кривой Оа до значения Ва. Начнем плавно уменьшать напряженность внешнего магнитного поля. Если бы в поле находился обычный парамагнетик, то при "=0 его магнитная индукция приняла первоначальное значение, равное нулю. В случае ферромагнетика при "=0 магнитная индукция сохранит некоторое значение Вб (см. рис. 11-2), называемое остаточной индукцией. Для того чтобы уменьшить магнитную индукцию до нуля, необходимо изменить направление вектора напряженности внешнего поля. При значении напряженности "к, которое называется коэрцитивной силой, магнитная индукция ферромагнетика 8=0. При дальнейшем увеличении напряженности ферромагнетик намагничивается в противоположном направлении так, что по абсолютному значению Ва=Вв при На=Нв. Замкнутая кривая, которая получается при вычерчивании зависимости B=f (Я), называется петлей гистерезиса. Из сказанного можно сделать важный вывод: магнитная индукция зависит не только от напряженности поля, но и от предварительного состояния намагничения, т. е. состояния, в котором находился материал. Одному и тому же значению Н могут соответствовать различные величины В (например, при "=0 магнитная индукция может быть равной или 0, или &).

В зависимости от величины коэрцитивной силы ферромагнетики делятся на мягкие и жесткие. Мягкие ферромагнетики имеют узкую петлю гистерезиса и малые значения коэрцитивной силы. Для жестких ферромагнетиков характерна широкая петля гистерезиса и соответственно большие значения коэрцитивной силы.

При перемагничивании ферромагнитные сердечники нагреваются, следовательно, процесс перемагничивания связан с затратами энергии, которые называются потерями энергии н а гистерезис.

При высоких температурах интенсивность теплового движения оказывается достаточной для разрушения доменов, вследствие чего ферромагнетик превращается в парамагнетик. Это превращение происходит при вполне определенной для каждого ферромагнетика температуре, которая называется точкой Кюри. Например, для железа точка Кюри соответствует температуре 1043 К, для кобальта 1393 К, для никеля 631 К, для ферромагнитного сплава никеля с медью (29,7%) 340 К и т. д.

При намагничении магнитных материалов происходит изменение их формы и размеров. Это явление называется мазнитостракцией. В ферромагнитных материалах магнитострикция достигает значительных величин, например их относительное удлинение Д/// будет порядка 10~б4-10~3.

В парамагнетиках и диамагнетиках магнитострикция очень мала. Явление магнитострикции используется при конструировании различных магнитострикционных датчиков, магнитострикционных резонаторов, стабилизаторов, фильтров и т. д.

Химические соединения окиси железа Fe2O3 с окислами других металлов, обладающие как ферромагнитными, так и полупроводниковыми свойствами, называются ферритами.

По своим магнитным свойствам ферриты относятся к антиферромагнетикам. Антиферромагнетизм, так же как и ферромагнетизм, есть проявление электронного спинового магнетизма атомов. Магнитные моменты атомов ферромагнетика в домене ориентированы параллельно, а магнитные моменты атомов антиферромагнетика — антипараллельно. Поэтому самопроизвольно намагниченных участков антиферромагнетик не имеет, если произошла полная компенсация всех магнитных моментов атомов. Однако есть разновидность антиферромагнетиков, у которых эта компенсация магнитных моментов не полная. Такие антиферромагнетики называются нескомпенсированными антиферромагнетиками, или ферримагнетиками. Первыми изученными ферримагнетиками оказались ферриты, вследствие чего возник термин «ферримагнетизм».

Ферриты нашли широкое применение в электро- и радиотехнике.

Глава 12

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

§ 1. Колебательный контур. Формула Томсона

Рис. 12-1Рис. 12-122Колебательные системы, или колебательные контуры, являются неотъемлемой частью любого радиотехнического устройства. В радиопередатчиках колебательные системы используются для излучения электромагнитных волн в пространстве, а в радиоприемниках позволяют выделять необходимый для приема участок спектра частот.

Рис. 12-1

Рис. 12-1

2

2

ле, энергия которого равнале, энергия которого равнаКолебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора и называется замкнутым (рис. 12-1). Когда переключатель П устанавливается в положение /, происходит зарядка конденсатора С до напряжения батареи Um. При этом между пластинами конденсатора образуется электрическое по-

ле, энергия которого равна

ле, энергия которого равна

呼 3 = ^CU%・(12.1)

После перевода переключателя в положение 2, т. е. после замыкания контура, в нем протекают следующие процессы. Конденсатор начинает разряжаться и по цепи пойдет электрический ток i, величина которого увеличивается от 0 до максимального значения /小，а затем снова уменьшается до нуля. Так как в цепи протекает переменный по величине ток, то в катушке индуцируется э. д. с., которая препятствует разрядке конденсатора. Поэтому процесс разрядки конденсатора происходит не мгновенно, а постепенно. В процессе разрядки проис-

(12.2)(12.2)(12.4)(12.4)(12.5)(12.5)(12.6)(12.6)

(12.2)

(12.2)

(12.4)

(12.4)

(12.5)

(12.5)

(12.6)

(12.6)

ходит превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки. Когда сила тока в контуре становится максимальной Imi то W3=0f а энергия магнитного поля катушки будет

呼м = 〃"2.

Затем энергия магнитного поля катушки уменьшается до нуля и за счет ее происходит перезарядка конденсатора до напряжения Um (заряд на пластинах конденсатора.

меняется по знаку), и процесс пов-上

торяется снова.卜《人 /刀

Перезарядка конденсатора до/ |

напряжения Um произойдет только\ Л \ 匕

в том случае, когда в колебательном \ \/ [/ \ \ :

контуре нет потерь энергии. Такойу一X~7——

контур называется идеальным. На\ J / \\

рис. 12-2 представлены графики\।\

изменения напряжения и на конден-J 、

саторе и тока i в катушке для иде- р<厂 川 ального колебательного контура.Рис 12-2

В реальных контурах имеют место следующие потери энергии: 1) тепловые потери, так как R * 0; 2) потери в диэлектрике конденсатора; 3) гистерезисные потери в сердечнике катушки; 4) потери на излучение и др. Если пренебречь этими потерями энергии, то можно написать, что

(12.3)

Колебания, происходящие в идеальном контуре, в котором выполняется это условие, называются свободными, или собственными, колебаниями контура.

Напряжение и на конденсаторе изменяется по закону гармонических колебаний:

〃=Um・sin So%

где со。一 собственная (круговая) частота колебательного контура.

Сила тока в цепи также изменяется по синусоидальному закону, но отстает по фазе (см. рис. 12-2) на л/2. Поэтому зависимость силы тока в цепи от времени будет иметь вид

i = Im Sin(СООТ + 冗/2) = Im COS (OqT.

Продифференцируем выражение для и по времени: т г

石= %UmCos qj.

Так как напряжение на конденсаторе равно

где Q — заряд, С — емкость конденсатора, то получим

d〃 — J_ dQ — 1 .

dt — C dx — С '

Ho i==Im cos So% следовательно, 詳= ^〃cosgv・(12.7)

Приравняем правые части уравнений (12.6) и (12.7):

S。Um COS (оотCOS 5工，

ИЛИ

%Um = 4"乙，откуда /加= Um%C・(12.8)

Подставив значение Im в уравнение (12.3), имеем

(Ж = u^①綬，

откуда круговая частота

5 = 1"氏.(12.9)

Круговая частота связана с частотой w колебаний соотношением

соо—2nv.

Но частота w есть величина, обратная периоду Т (время, в течение которого совершается одно полное колебание напряжения на конденсаторе и тока в контуре):

(Оо=2л;/Т,

поэтому имеем

2л —1

откуда

Т = 2пУЬС.(12.10)

Данное уравнение называется формулой Томсона.

В том случае, когда омическое сопротивление цепи не равно нулю (R # 0), формула Томсона принимает вид

(12.11)(12.11)Т = 2"М，闺(В CQ；

(12.11)

(12.11)

T = 2jt/cj/ 芸—(备у (в системе СГС).

Приведенные формулы предполагают присутствие в контуре омического сопротивления, в котором обязательно будет выделяться джоулева теплота, т. е. будут происходить потери энергии. Поэтому энер-

гия в контуре с каждым колебанием будет убывать. Амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в контуре будут уменьшаться, т. е. в контуре будут иметь место затухающие колебания.

Чтобы получить в контуре незатухающие колебания, его необхо

димо питать от источника переменной э.д.с. Колебания в контуре,

происходящее под действием внешней э. д. с., называются вынужденными.

Источник э.д.с. можно соединить с контуром последовательно и параллельно. В соответствии с этим различают последовательный (рис. 12-3, а) и параллельный (рис. 12-3, б) контуры, в которых генерируются вынужденные колебания.

Пример.

Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности. При максимальном токе в цепи 1 А энергия магнитного поля составляет 10 000 эрг. Чему равен период колебаний контура, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора достигает 1000 В?

Решение. Период колебаний контура определяется формулой Томсона (12.10). При максимальном токе в катушке контур обладает магнитной энергией

^м=£/%/2・

При максимальной разности потенциалов Um на обкладках конденсатора вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе (энергия электрического поля):

% = CU"2.

Если не учитывать потери, то максимальная энергия магнитного поля эквивалентна максимальной энергии электрического поля. Перемножая почленно последние уравнения, получим

j=呼~, откуда У LC — -у―ту—.

Тогда период колебаний в контуре будет вычисляться по формуле

Т = 2冗

1 mU т

Выразив исходные данные в СИ, производим вычисления:

Т_4・3,14・ 10-3 д*—6・10-6 с

1 А-103 Вс.

Проверка размерности:Проверка размерности:

Проверка размерности:

Проверка размерности:

§ 2・ Электромагнитные волны. Опыты Герца

Рассмотренный в § 1 колебательный контур, в котором индуктивность £ сосредоточена в катушке, а емкость С — в конденсаторе, называется системой с сосредоточенным и постоянными, Однако любой

проводник обладает некоторой индуктивностью и емкостью, т. е. может быть использован в качестве колебательного контура. Контур, в котором индуктивность и емкость рассредоточены вдоль всей цепи, называется системой с распределенными постоянными. Представим себе проводник в виде двух отрезков, из которых один заряжен положительно, а другой — отрицательно (рис. 12-4). Такой проводник также может служить в качест- — ° \ $+ + + + + ве колебательного контура, так

I —J~° г I1 как при замыкании ключа в сис-

рис [2.4теме начнется движение зарядов,

'пойдет электрический ток и поя

вится связанное с ним магнитное поле, т. е. все предыдущие рассуждения можно будет повторить снова.

Такой колебательный контур называется открытым в отличие от системы с сосредоточенными постоянными, которая является закрытым колебательным контуром. Любой колебательный контур излучает в окружающее пространство энергию. Предположим, что в данный момент времени напряженность электрического поля максимальна. Через четверть периода это поле исчезает. Но изменение электрического поля равносильно перемещению зарядов, т. е. электрическому току. Поэтому переменное электрическое поле, так же как и переменный электрический ток, возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле. Математические уравнения, описывающие процесс образования магнитного поля переменным электрическим полем, были выведены Максвеллом. В свою очередь, как указывалось ранее, при изменении магнитного поля возникает электромагнитная индукция, т. е. появляется электрическое поле.

Следовательно, если в системе протекает переменный электрический ток, то ее окружают переменные электрическое и магнитное поля. Переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому поле, окружающее колебательный контур, называется электромагнитным полем. Каждая точка электромагнитного поля характеризуется определенными значениями напряженности электрического (Е) и индукции магнитного (В) полей. Напряженность Е и индукция В связаны между собой зависимостью и синхронно изменяются со временем. Изменение В в некоторой точке будет вызывать появление Е не только в этой точке, но и в соседних, и наоборот, изменение Е в этой точке будет вызывать появление магнитного поля во всех точках окружающего пространства, расположенных поблизости. Следовательно, колебательный процесс в контуре будет сопровождаться изменениями окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, т. е. колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию, которая называется энергией электромагнитного поля.

Распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, в котором напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются по периодическому закону, называется электромагнитной

волной. Электромагнитную волну можно графически представить в ви

де двух синусоид, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 12-5). Одна синусоида отображает колебания вектора напряженности Е электрического поля, а другая —— вектора индукции В магнитного поля (оба вектора колеблются в одинаковой фазе). Вектор

скорости распространения электромагнитной волны будет перпендикулярен векторам Е и В.

Электромагнитные волны хорошо излучаются открытым колебательным контуром. В закрытом колебательном контуре электрическое поле практически почти полностью сосредоточено между обкладками конденсатора,

а магнитное — внутри соленоида

Рис. 12-8Рис. 12-8(рис. 12-6, а). Увеличивая расстояние между обкладками и заменяя соленоид линейным проводником (рис. 12-6, б, 6), добиваются перехода к открытому колебательному контуру и увеличения энергии электромагнитного излучения контура. Одновременно возрастает частота электромагнитного излучения, так как согласно формуле Томсона (12.10) период колебаний контура зависит от индуктивности L и емкости С.

Рис. 12-8

Рис. 12-8

А емкость конденсатора при увеличении расстояния между пластинами уменьшается, также значительно уменьшится индуктивность катушки, если ее обмотку вытянуть и превратить в прямолинейный проводник. Следовательно, превращая закрытый колебательный контур в открытый, мы уменьшаем период колебаний (увеличиваем частоту) и увеличиваем интенсивность электромагнитного излучения. Наибольшей интенсивностью излучения будет обладать контур, изображенный на рис. 12-4. Подобным вибратором (рис. 12-7) пользовался Г. Герц (1888 г.) во время лабораторных опытов, подтвердивших существование электромагнитных волн. Вибратор представлял собой медный стержень с двумя металлическими шарами на концах. Посреди стержня находился искровой промежуток. Для возбуждения вынужденных колебаний в этом вибраторе его присоединяли ко вторичной обмотке индукционной катушки. Когда разность потенциалов, подаваемая на две половины проводника от индукционной катушки, достигала определенной величины, в искровом промежутке проскакивала искра.

Еще до опытов Герца было установлено, что искровой разряд конденсатора имеет колебательный характер. Фотографируя искру с помощью вращающегося зеркала, установили, что она состоит е. первая искра, проскочив разрядный промежуток, перезаряжает электроды и вслед за ней (мгновенно), но в обратном направлении проскакивает вторая искра и т. д. Весь этот процесс воспринимается визуально как одна сплошная искра.

Рассматривая вибратор Герца как своеобразный конденсатор, можно было утверждать, что искровой разряд в нем также имеет колебательный характер. Частота колебательного процесса определялась величинами Л и С вибратора.

Так как вибратор расходует энергию на излучение и нагрев, то колебания являются затухающими.

Процесс продолжался до тех пор, пока разность потенциалов оставалась достаточной для пробоя искрового промежутка. После этого вибратор снова получал заряд от индукционной катушки и процесс повторялся снова. В опытах Герца частота колебаний контура достигала 108 Гц. Для обнаружения волн, распространяющихся от вибратора, на некотором расстоянии от него ставился резонатор К с небольшим искровым промежутком Р.

В контуре К под влиянием колебательного процесса в вибраторе возникал индукционный ток и через промежуток Р проскакивала искра. Эти опыты доказали реальность существования электромагнитных волн и возможность их приема.

Герц установил, что все законы оптики применимы к электромагнитным волнам. С помощью ряда тонких экспериментов он обнаружил и исследовал отражение, преломление, интерференцию, дифракцию и поляризацию электромагнитных волн. Герц доказал, что во всех случаях электромагнитные волны ведут себя подобно видимому свету, закономерности поведения которого в то время были хорошо изучены.

Очень важным результатом опытов Герца было определение скорости распространения электромагнитных волн, которая оказалась равной скорости света, т. е. с=3-108 м/с. Опыты Герца подтвердили теорию Максвелла, из которой вытекало, что скорость распространения электромагнитных волн равна скорости света.

По теории Максвелла, скорость распространения электромагнитных волн в среде равна

(12.12)(12.12)и = e/叩,

(12.12)

(12.12)

где е — диэлектрическая проницаемость среды,卩—магнитная проницаемость среды, с — скорость света в вакууме.

§ 3・ Вектор Умова — Пойнтинга

Распространение электромагнитных волн сопровождается переносом энергии, характеризующей электромагнитное поле.

Как было показано ранее, объемная плотность энергии электрического поля равна

吗=e%炉/2,

а магнитного поля

侬 м = ННо^2/^*

Следовательно, в единице объема электромагнитного поля должна содержаться энергия, равная сумме этих двух объемных плотностей:

= % + %=^^ + ^^^，

Так как электромагнитная волна распространяется со скоростью света % то, очевидно, что через единицу площади в единицу времени пройдет поток энергии, равный

S = wc = ^(880£2 + 世卩財2)с.(12.13)

Используя соотношение, которое является следствием теории Максвелла,

формулу (12.13) можно представить в виде

S = 4•(12」4)

Вектор S, который определяется формулой (12.14), а направление которого совпадает с направлением распространения электромагнитной волны, называется вектором Умова ——Пойнтинга, Он численно равен энергии, переносимой электромагнитной волной через единичную площадку в единицу времени.

Шкала электромагнитных волн

Опытами Герца была установлена идентичность природы электромагнитного излучения и света. Из этого следовал очень важный вывод, что видимый свет представляет электромагнитное излучение. Дальнейшие исследования подтвердили, что не только видимый свет, но инфракрасное и ультрафиолетовое излучения, рентгеновские и гамма- лучи имеют электромагнитную природу, т. е. электромагнитные волны имеют очень широкий диапазон частот, или длин волн (рис. 12-8).

Спектр электромагнитного излучения охватывает радиоволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские и гамма-лучи. Названия для излучений, лежащих в

—303 —"

различных областях спектра, сложились исторически. Электромагнитные волны всех участков спектра распространяются в пространстве с одной и той же скоростью. Отличаются они друг от друга только длиной волны:

(12.15)(12.15)к=сЗ

(12.15)

(12.15)

где с — скорость света, v — частота.

Радиоволны и УКВ имеют длину волны от нескольких километров до нескольких сантиметров. Генерируют их с помощью вибраторов различных конструкций. В лабораторных условиях получено с помо-

Ви^ый

РадиоВолны УКВРадиоВолны УКВ^^лучиli^""^^лучиli^""Инфракрасные Рентгеновские лучилучи▲-

РадиоВолны УКВ

РадиоВолны УКВ

^^лучи

li^""

^^лучи

li^""

万9 I 106 、 脏、%'1012 I 加勺 1016^ 1018 | 以广了

7" 勿2勿勿♦2勿"用-6 w-8 %・勿为，"

Рис. 12-8

щью радиотехнических устройств электромагнитное излучение, длина которого измеряется миллиметрами, т. е. находится в диапазоне инфракрасного излучения. Инфракрасное излучение, видимый свет и ультрафиолетовые лучи испускают тела, нагретые до различных температур. Чем выше температура тела, тем короче длина волны испускаемых им электромагнитных волн. Рентгеновские лучи генерируются при резком торможении заряженных частиц — электронов. Гамма- лучи испускаются при радиоактивном распаде атомов.

Часть V

Оптика

Учение о свете и его взаимодействии с веществом называется оптикой.

Вначале оптика ограничивалась изучением видимой области спектра электромагнитных волн. В настоящее время она изучает также участки спектра электромагнитных волн, примыкающие к видимой области: ультрафиолетовое излучение, с одной стороны, и инфракрасное вплоть до радиоволн миллиметрового диапазона — с другой.

Оптика делится на ряд отделов. Оптические явления, которые удовлетворительно объясняются с помощью законов преломления и отражения световых лучей, а также законов движения энергии вдоль лучей, составляют основу геометрической оптики. Методы геометрической оптики применяются для изучения закономерностей искривления лучей в атмосфере, образования радуги, отражения электромагнитных волн от ионосферы и в особенности для расчета и конструирования разнообразных оптических систем — от очковых линз до сложных приборов типа гигантских астрономических телескопов.

Фотометрия изучает законы образования световых пучков с целью определения условий рационального и достаточного для человека освещения. Поэтому при выводе основных законов фотометрии, помимо физических представлений геометрической оптики, важны также физиологические особенности восприятия света человеческим глазом.

Такие оптические явления, как дифракция, интерференция и поляризация, могут быть объяснены и изучены на основе представления о волновой природе света, поэтому их объединяют обычно и включают в отдел под названием волновой оптики.

Отдел оптики, в котором изучаются явления, происходящие при взаимодействии света с веществом среды, когда существенное значение имеет молекулярное строение этого вещества, называется молекулярной оптикой. В эту группу физических явлений, относящихся к молекулярной оптике, входят преломление, дисперсия и молекулярное рассеяние света. Центральное место в молекулярной оптике занимает проблема распространения света в анизотропных средах . Существуют тела с естественной анизотропной структурой. Однако анизотропия может искусственно вызываться следующими способами: а) воздействием на среду внешнего электрического поля (явление Керра); воздействием внешнего магнитного поля (эффект Коттон —— Мутона); в) воздействием механических сил (фотоупругость, динамооптический эффект Максвелла или двойное лучепреломление в потоке). К магнитооптическим явлениям, изучаемым молекулярной оптикой, относятся, кроме того, магнитное вращение плоскости поляризации (явление Фарадея) и магнитооптическое явление Керра. Молекулярная оптика является теоретической основой спектрального анализа.

Помимо перечисленных отделов, оптика занимается изучением вопросов люминесценции, включает в себя оптику движущихся сред, а также новый отдел ——нелинейную оптику, которая приобретает особое значение в связи с получением сверхмощных полей при помощи оптических генераторов, так называемых лазеров и мазеров.

Глава 13

ЭЛЕМЕНТЫ ВОЛНОВОЙ ТЕОРИИ СВЕТА, ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ И ФОТОМЕТРИИ

§ 1. Основы корпуокулярной 〃 волновой теории света.Принцип Гюйгенса

В конце XVII в. Ньютон выдвинул теорию истечения световых частиц (корпускул), которые летят прямолинейно и подчиняются законам механики. По этой теории отражение света уподоблялось отражению упругих шариков при ударе о плоскость, а преломление света объяснялось притяжением световых частиц преломляющей средой, вследствие чего изменяются траектория их движения и скорость. Расчеты приводили к выводу, что скорость световых частиц в более плотных средах больше, чем в воздухе. Однако этот вывод Ньютона в дальнейшем был экспериментально опровергнут. Измерения скорости света, выполненные в 1850 г. Фуко, показали, что скорость света в более плотной среде меньше, чем в воздухе.

Современник Ньютона Гюйгенс выступил с другой теорией света —волновой. Согласно теории Гюйгенса свет распространяется вследствие волнового движения особой среды — эфира. Эфир заполняет все мировое пространство, пронизывает вещество и обладает определенными механическими свойствами — упругостью и плотностью. Таким образом, /волновая теория рассматривала свет как волны в эфире,

подобные звуковым волнам в воздухе или волнам на поверхности воды.

Для анализа распространения света Гюйгенс предложил простой и наглядный метод, названный впоследствии принципом Гюйгенса. Его можно сформулиро- &вать следующим образом, каждая точка среды, до кото-

夕应 рой доходит световое возбуждение, является 6 свою оче- рис [зт редъ центром вторичных волн. Поверхность, огибающая '6 некоторый момент времени эти вторичные волны, ука

зывает положение фронта действительно распространяющгИса волны 6 этот момент времени (рис. 13-1).

Фронтом волны называется геометрическое место точек, колеблющихся в одной и той же фазе.

Пусть в момент времени т фронт волны, распространяющийся в однородной изотропной среде, занимает положение S> Каждую точку этого фронта волны в интервале времени от т до Дт можно рассматривать как источник вторичных волн, которые будут представлять собой сферы радиуса 必т. В момент времени т+Ат поверхностью фронта волны S2 будет огибающая этих вторичных волн.

Волновую теорию Гюйгенса развивали в дальнейшем такие выдающиеся ученые, как Эйлер, Ломоносов, Юнг, Френель, Араго, Фарадей, Максвелл.

И теория Гюйгенса, и теория Ньютона оперировали математическим аппаратом и представлениями классической механики.

Механическое представление о природе распространения света является объединяющей чертой обеих этих теорий. В процессе их развития был разработан строгий математический метод анализа оптических явлений, который сохранил свое значение и до настоящего времени.

Недостатком волновой теории света Гюйгенса являлась необходимость существования эфира — гипотетической среды, в которой распространяется свет (механические колебания). Дальнейшее развитие оптики и, в частности, изучение явления поляризации привело ученых к выводу, что световые волны в отличие от звуковых являются поперечными. Но поперечные волны упругости, т. е. волны, имеющие механическую природу, могут распространяться лишь в твердых телах. Попытка наделить эфир свойствами твердого тела не могла быть успешной, так как эфир не оказывает заметного воздействия на движущиеся в нем тела.

Между тем наука о свете накапливала экспериментальные факты, которые свидетельствовали о взаимосвязи между световыми, электрическими и магнитными явлениями. Это позволило Максвеллу создать электромагнитную теорию света.

§ 2・ Электромагнитная природа света

Электромагнитные волны, как доказывается в электродинамике, возбуждаются изменяющимися во времени электрическими токами, а также отдельными, движущимися с ускорением электрическими зарядами.

В физике волнами называют всякие распространяющиеся в пространстве возмущения состояния вещества или поля. Переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде электромагнитных волн.

Электромагнитное поле образуется переменными электрическим и магнитным полями, которые тесно взаимосвязаны. Оно характеризуется вектором напряженности электрического (Е) и вектором индукции магнитного (В) полей. В случае монохроматической плоской электромагнитной волны векторы Е и В совершают гармонические колебания одинаковой частоты v, называемой частотой волны, которые описываются выражениями:

E = Eosin (2jtvt +(P)Jn

B-Bosin (2jtvt +(p)J< > 丿

или с учетом, что 8=卩卩此

Е = Eq sin (2nvx +(p), I

H = H0 sin (2kvt + (p), J(13.2)

где Eq,Bq, Hq — амплитуды соответственно векторов Е, В, Н, ф — начальная фаза.

Векторы Е и В (а значит и Н) всегда взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распростране-

—307 —

ния волны, т. е. лучу. Отсюда вытекает, что электромагнитные волны являются поперечными.

Эти выводы лежат в основе теории электромагнитных волн, предложенной Максвеллом в 1865 г. На основании своих теоретических исследований он сделал вывод, что свет имеет электромагнитную природу.

Экспериментальное подтверждение электромагнитной теории света было получено в опытах Герца, который показал, что электромагнитные волны подобно свету на границе раздела двух сред испытывают отражение и преломление. Помимо этого, тождественность природы световых и электромагнитных волн подтверждалась одинаковой скоростью их распространения.

Из уравнений Максвелла (см. § 7 гл. 10) для электромагнитного поля, определяющих связь между Е и Н, получена формула, связывающая скорость распространения света и электромагнитных волн в веществе с его электрическими и магнитными свойствами 1см. (12.12)1:

V = сМ&Х・ (13.3)

Из этого уравнения следует, что показатель преломления п связан с электрическими и магнитными параметрами среды формулой Максвелла:

п = у = ]/ец. (13.4)

Последнее соотношение для ряда материалов хорошо согласуется с экспериментальными данными. Однако многие вещества имеют коэффициент преломления, отличный от расчетного. Эти расхождения объясняются тем, что величины е и 卩 измеряются в постоянных электрических и магнитных полях, а при прохождении электромагнитной волны имеет место переменное электромагнитное поле.

Длиной световой волны X называется расстояние, которое электромагнитная волна проходит за одно полное колебание векторов Е и Н, т. е. в течение одного периода Т:

Х=сТ. (13.5)

Скорость распространения света с, частота w и длина волны 九 связаны соотношением

(13.6)

Электромагнитная теория света получила всеобщее признание после того, как русский физик П. Н. Лебедев экспериментально обнаружил (1891—1900) и измерил световое давление, существование которого было предсказано этой теорией. Однако некоторая группа оптических явлений не могла быть объяснена с точки зрения электромагнитной теории света. К ним в первую очередь относятся процессы испускания и поглощения света, фотоэффект, комптоновское рассеяние и т.д. Эти физические явления получили удовлетворительное объяснение с позиции квантовой теории света. Согласно этой теории свет излучается некоторыми определенными порциями ——квантами. Электромагнитным волнам разной длины соответствуют кванты различной

энергии. Каждый световой квант в отдельности обладает корпускулярными свойствами, а их совокупность ведет себя подобно волне. Академик С. И. Вавилов писал, что «... вещество и свет одновременно обладают свойствами волн и частиц, но в целом это не волны и не частицы, и не смесь того и другого. Наши механические понятия не в состоянии полностью охватить реальность, для этого не хватает реальных образов». Таким образом, в настоящее время признанными являются электромагнитная и квантовая теории света.

§ 3・ Законы отражения и преломления света

Принцип Гюйгенса позволяет объяснить законы отражения и преломления света на основе волновых представлений о природе света.

Если световые волны достигают границы раздела двух сред, то направление их распространения изменяется, но они остаются в той же среде, т. е. происходит отражение света.

Допустим, что плоская волна, ограниченная лучами АО и ВС (рис. 13-2, а), распространяющаяся в изотропной среде, падает на границу раздела двух сред Углом падения называется угол У между нормалью п и падающим лучом АО к поверхности ММГ.

Плоский фронт волны ОС, в котором все точки колеблются в одной фазе, достигнет границы раздела ММГ в точке О. В момент времени, когда крайний луч ВС придет в точку D、около точки О, по принципу Гюйгенса, возникнет сферическая волна радиуса OF=CD, так как скорость распространения света в изотропной среде во всех направлениях постоянна. Чтобы определить направление распространения света после отражения, воспользуемся методом Гюйгенса и построим огибающую DF вторичных сферических волн, которая определит фронт отраженной волны. Эта огибающая будет касательной, проведенной из точки D к полусфере с центром в точке О и к любой другой полусфере с центром в точке отражения соответствующего луча (на рис. 13-2 промежуточные сферические волны не показаны, чтобы не загромождать чертежа). Таким образом, касательная DF будет фронтом плоской отраженной волны. Луч, отраженный в точке О, пойдет обратно под углом，и перпендикулярно фронту волны DF.

Легко показать, что прямоугольные треугольники OFD и OCD равны между собой, так как имеют равные катеты OF=CD и общую гипотенузу OD. Из равенства этих треугольников следует, что 乙尸£>0=

=/_COD, которым соответственно равны углы，и，'，как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

Следовательно, угол падения f равен углу отражения i〃, т. е.

Если световые волны переходят из одной среды в другую, то в общем случае направление их распространения изменяется, т.е. происходит преломление света.

Допустим, что световая волна, ограниченная параллельными лучами АО и ВС (рис. 13-2, б), имеет скорость света в первой среде &, а во второй %• Фронт плоской падающей волны ОС достигает раздела двух сред в точке О. Начиная с этого момента, около точки О во второй среде будет распространяться сферическая волна со скоростью с2.

Учитывая, что скорость света в первой среде q, то расстояние CD в этой среде свет проходит за промежуток времени, равный x=CD/c1. За это же время t свет во второй среде пройдет расстояние OF=c2T.

Пользуясь методом Гюйгенса, построим касательную DF, исходящую из точки D к сфере радиуса OE=OF=Cz・ Эта касательная является огибающей всех элементарных сферических волн во второй среде, т. е. является фронтом преломленной волны, а угол г является углом преломления, так как отрезок OFj^DF.

Из чертежа видно, что угол ? является дополняющим до 90° углов АОС и nOD. Поэтому 乙 COD равен углу падения i.

Рассмотрим ODF и 乙〃 1。尸・ Эти углы равны между собой как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, а 乙〃卩户 является углом преломления г. У прямоугольных треугольников OCD и OFD сторона OD является общей. Выразим стороны CD и OF этих треугольников через сторону OD\

CD=OD sin i, OF=OD sin r.

Деля первое равенство на второе, получим

CDsin i/1 о 7、

OF= sin?'

Выше было показано, что CD=*r, а 0尸=&巧 следовательно, также 器=^・(137а)

Приравнивая правые части равенств (13.7) и (13.7а), получим

舒十他(13.76)

где п — величина, постоянная для двух рассматриваемых сред, так как в них 6 и с2 также постоянны.

Из уравнения (13.76) имеем

sin i sin гsin i sin гП・П・(13.8)(13.8)

sin i sin г

sin i sin г

П・

П・

(13.8)

(13.8)

Это отношение не зависит от углов гиги определяется только оптическими свойствами среды.

ВеличинуВеличину

Величину

Величину

" =c1/g2" =c1/g2(13.9)

" =c1/g2

" =c1/g2

называют относительным показателем преломления второй среды по отношению к первой.

Если в качестве первой среды взять вакуум, где скорость света равна с。，то отношение

"абс — Зс、"абс — Зс、(13.9а)

"абс — Зс、

"абс — Зс、

называют абсолютным показателем преломления данной среды. Зная абсолютные показатели двух сред nx=c0M и 〃2=&/^2, можно найти относительный показатель преломления

ии

и

и

При сравнении двух веществ то из них, которое имеет больший абсолютный показатель преломления, называется оптически б о- л е е плотной с р е д о й, и наоборот.

Если c2>^i, то относительный показатель преломления п21>1. Если же среда 1, из которой падает луч, оптически более плотная, чем среда 2, то n2i<l. Например, среда 1 — стекло, а среда 2 — вода, тогда согласно табличным данным имеем и21=-^ =^^- = 0,89.

В этом случае возможно явление полного внутренне- г о отражения — свет, падающий на границу раздела, полностью отражается обратно в первую среду, а преломление прекращается. Для осуществления этого явления необходимо условие: падение луча на границу раздела среды оптически более плотной (в ней свет распространяется) со средой оптически менее плотной (от нее отражается). Полное внутреннее отражение наступает при определенных значениях угла падения i'.

Если n2i<l, то i'<7・ При некотором значении угла падения i/ угол преломления г достигает значения 90°. В этом случае угол падения Г называется предельным.

Например, для границы стекло (среда /) — воздух (среда 2) показатель преломления равен

出1=^=靑=0，677.

Чтобы найти предельный угол для заданных двух сред, запишем

_ sin /Пред2L sin 90。，

откуда

sin /пред — ^21> ^пред — 42°.

—311 -

§ 4. Тонкие линзы

Линза является необходимой и самой существенной частью оптического прибора. Линзой называется тело, обладающее определенным показателем преломления и ограниченное криволинейными (в большинстве случаев сферическими) поверхностями. Кривизна поверхностей характеризуется радиусами кривизны R】и R2 (рис. 13-3). Если радиусы кривизны велики по сравнению с толщиной линзы, то такая

линза называется тонкой. Если это условие не выполняется, то линза является толстой.

Все последующие рассуждения справедливы лишь для тонких линз, так как теория толстых линз требует сложных выводов. Основным методом геометрической оптики является метод построения изображений в линзах, зеркалах или оптических системах. Расчет реаль-

Рис. 13-4Рис. 13-4ных оптических систем производится с учетом ряда факторов, которыми геометрическая оптика пренебрегает. Разберем указанный метод на примере тонкой линзы с радиусами кривизны R、 и R2 (см. рис. 13-3). Прямая, проходящая через оптический

Рис. 13-4

Рис. 13-4

центр линзы перпендикулярно ее главной плоскости, называется главной оптической осью линзы,

остальные прямые, проходящие через оптический центр,— побочными осями линзы. Лучи, идущие вдоль оптических осей линзы, как главной, так и побочных, не испытывают преломления.

Если луч света идет параллельно главной оси, то, пройдя линзу, он придет в точку, называемую фокусом линзы (尸】или F2).

Построим изображение светящегося предмета АВ. расположенного перпендикулярно к главной оптической оси (рис. 13-4). Совокупность изображений всех точек предмета дает его изображение. Из точки 4 предмета проводим два луча: луч АА\ идущий вдоль побочной оси без преломления, и луч ЛС, параллельный главной оси, кото-

рый после преломления проходит через точку 尸2 ——фокус линзы. Точка 4' пересечения этих двух лучей является действительным изображением точки А светящегося предмета. Опустив из точки ДЛ перпендикуляр на главную оптическую ось, получим изображение предмета А'В'.

Величина, равная отношению

囁*аз」。)

будет называться увеличением линзы. Равенство (13.10) вытекает из подобия треугольников АВО и А'В'О.

В данном случае имеет место действительное увеличенное и обратное изображение предмета. Если пред-

AfAf

Af

Af

мет расположен ближе к линзе (между фокусом 尸i и линзой), то действительное изображение не получится, так как лучи АО и CF2 с правой стороны линзы не пересекутся (рис. 13-5). Пересечение лучей произойдет при продолжении их в сторону предмета; полученные при этом изображения называются мнимыми.

Общая формула тонкой линзы имеет вид

± +击=5 _ 1)(表 + 意)；(13.11)

для определения фокусных расстояний, т. е. расстояний от оптического центра линзы до точки фокуса, служат следующие соотношения:

尸= /・/, (13.13)

где а】一расстояние от предмета до главной плоскости линзы, а2—— расстояние от главной плоскости линзы до изображения, %】——расстояние от предмета до ближайшего фокуса, %2 —— расстояние от изображения до ближайшего фокуса (см. рис. 13-4), п ——относительный коэффициент преломления, R】и R?——радиусы кривизны поверхностей линзы, / — фокусные расстояния.

Фокусные расстояния равны по величине и противоположны по знаку, если по обе стороны линзы находится одна и та же среда.

В отдельных случаях (например, хрусталик глаза, объектив иммерсионного микроскопа) это условие не соблюдается. Тогда отношение фокусных расстояний равно отношению показателей преломления веществ, лежащих по разные стороны тонкой линзы:

* =(13.14)

/2几2

Если 几工==几2, то /i*=/'2,

Величина

0=+(13.15)

называется оптической силой линзы и измеряется в диоптриях (м-1). Оптическая сила линзы равна одной диоптрии, если /=1 м.

Оптическая сила системы двух тонких линз, сложенных вплотную и имеющих соответственно оптические силы Dt и О2, равна

D^.+D^(13.16)

или для фокусного расстояния этой системы

аз」7)

где fi и /2— фокусные расстояния линз, составляющих систему. Оптическая сила является одной из основных характеристик линзы, поэтому соотношение (13.11) часто пишется в таком виде:

О = (п-1)(^ + ^).(13.Ha)

Радиусы кривизны считаются положительными для собирающей линзы и отрицательными для рассеивающей. Тогда оптическая сила рассеивающей линзы будет меньше нуля (£><0), а собирающей ——больше нуля (D>0). Однако возможны случаи, когда двояковыпуклая линза не будет собирающей. Если в формуле (13.11 а) относительный показатель преломления выразить через абсолютные коэффициенты преломления линзы (пл) и среды, в которую она погружена (пср), то эта формула примет вид

(靑(13・U6)

Для двояковыпуклой линзы (J + 歯) > 0, но если (пл—— пср)<0, то DV0, т. е. двояковыпуклая линза будет рассеивающей. Так будет, если двояковыпуклую воздушную линзу поместить в воду. Двояковогнутая воздушная линза, погруженная в воду, будет собирающей, а ее оптическая сила ——положительной величиной (D>0).

Пример.

На каком расстоянии от предмета нужно поместить экран, чтобы плосковыпуклая линза с радиусом кривизны поверхности 7?=20 см и показателем преломления п= 1,5 давала изображение предмета, увеличенное в 2 раза?

-314 —

Решение. Так как изображение увеличенное и действительное, то предмет должен быть помещен между главным фокусом и точкой, соответствующей двойному фокусному расстоянию. Учитывая это, построим чертеж и определим соотношение между。1 и а? (см. рис. 13-4). Из подобия ДДВО и 厶“夕。и условия задачи имеем 些=2, откудаa2=2a1. ai

Находим фокусное расстояние по формуле для тонкой линзы: ;=(1)抬+加，

где % ——относительный показатель преломления линзы, & н R?——радиусы кривизны ее поверхностей. По условию задачи Ri=R=0,2 м, R2T 8, а %=1,5, т. е. получим }=(1,5-1)(^+0),十= 0,5•贰=击,

откуда

f = 0,4 м.

Используя формулу (13.12), запишем с условием, что。2=2的：

/ I «2 al 2d]

Вычисляя, получим。1=0,6 м,。2=2。1=2・0,6 м=1,2 м. Расстояние между предметом и экраном будет равно

%+&= 1,2 м+0,6 м= 1,8 м.

§ 5・ Оптические приборы

Оптические приборы многочисленны и разнообразны и применяются в различных областях науки, техники и в быту. Рассмотрим характерные особенности некоторых наиболее широко применяемых оптических приборов.

Лупа ——это одна двояковыпуклая короткофокусная линза или система линз, которые применяются для рассматривания мелких предметов и рисунков. Линза лупы имеет фокусные расстояния от 1 до 10 см. При размещении предмета между фокусом и линзой с помощью лупы получается мнимое прямое увеличенное изображение. Угловое увеличение лупы подсчитывается по формуле

『25/厶(13.18)

где 25 ——это расстояние наилучшего зрения для нормального глаза, см (для близорукого или дальнозоркого глаза это расстояние будет другим); f ——фокусное расстояние линзы, выраженное также в см.

Обычно лупа дает увеличение от 2,5 до 25.

Микроскоп состоит из двух оптических систем: объектива и окуляра; применяется для получения сильно увеличенных изображений малых объектов. В качестве объектива используется сложная система линз, различных по форме и составу стекла, которая работает как одна линза с очень коротким фокусным расстоянием. Рассматриваемый предмет помещается на предметный столик и сверху накрывается тонким (0,15—0,20 мм) покровным стеклом. Иногда пространство между по-

кровным стеклом и первой линзой объектива заполняется прозрачным маслом или водой; такие объективы называются иммерсионными. Этот прием улучшает разрешающую способность микроскопа. Угловое увеличение микроскопа равно

尸％・？2,(13.19)

где ?1=А//1— увеличение объектива, y2=25//2— увеличение окуляра, или

Т =(13.20)

где fi и『2——фокусные расстояния соответственно объектива и окуляра, см; 25 ——расстояние наилучшего зрения для нормального глаза, см; Д —— расстояние (в см) от задней фокальной плоскости объектива до плоскости изображения, даваемого объективом. Это изображение лежит между фокальной плоскостью окуляра и окуляром. Величину Д при очень приближенных расчетах можно считать равной расстоянию между объективом и окуляром.

Объективы обычных микроскопов имеют увеличение от 8 до 90, а окуляры ——от 7 до 15. Поэтому общее увеличение обычных микроскопов лежит в пределах от 56 х до 1350х.

Пример.

Рассчитать увеличение микроскопа, если его объектив имеет фокусное расстояние fi=2,8 мм, окуляр『2=12 мм и расстояние между ними А= 170 мм. Расчет произвести для дальнозоркого глаза, у которого расстояние наилучшего зрения равно 35 см.

Решение. Вычисляем увеличение микроскопа по формуле (13.20):

_ 35 см-17 см丫=碰8 см・1,2 см =

Этот пример показывает, что, исходя из общей формулы увеличения микроскопа, можно сконструировать микроскоп со сколь угодно большим увеличением. Однако это не так. Предел увеличению микроскопа кладут различные искажения, даваемые оптическими системами, являющиеся следствием волновой природы света.

Разрешение микроскопа, т. е. наименьшее расстояние между двумя точками, когда они в микроскопе видны раздельно, равно

(13.21)

y 2〃 sin 屮'7

где 九о——длина волны света, падающая на рассматриваемый предмет; п ——показатель преломления среды, находящейся между предметом и объективом; угол <р (так называемая апертура) образован крайним лучом, идущим в объектив, и оптической осью объектива. Произведение и sin <р называется числовой апертурой объектива и приблизительно равно единице. Отсюда следует, что минимальные размеры рассматриваемого объекта приблизительно равны половине длины волны световых лучей. При обычном видимом свете в микроскопе могут быть различимы объекты размером около 2,5-10~5 см, или 0,25 мкм. Им-

(13.22)(13.22)

(13.22)

(13.22)

мерсионные объективы имеют при прочих равных условиях лучшую апертуру и, следовательно, лучшую разрешающую способность.

Человеческий глаз при нормальной остроте зрения на расстоянии наилучшего видения (25 см) может различать мелкую структуру, состоящую из линий и точек, если соседние элементы структуры находятся друг от друга на расстоянии, не меньшем 0,08 мм.

Зрительные трубы (телескопы, дальномеры, отсчетные трубы) также состоят из объектива и окуляра, но они предназначены для рассматривания деталей удаленных предметов. Действительное уменьшенное изображение удаленного предмета, даваемое объективом, рассматривается через окуляр, служащий как лупа. Увеличение зрительных труб подсчитывается по формуле

y=fi/f

где fi и ,2— фокусные расстояния соответственно объектива и окуляра. Зрительные трубы дают увеличение в 7+20 раз, телескопы — в 7* +200 раз. В отличие от микроскопа объектив телескопа является длиннофокусной линзой (или системой линз с большим фокусным расстоянием).

Недостатки изображения в линзах

Изображение светящихся предметов, получаемое с помощью реальных оптических систем, имеет ряд дефектов. Рассмотрим наиболее существенные из них.

Сферическая аберрация является наиболее общим недостатком изображения, так как она обусловлена широкими пучками лучей и имеет место при прохождении через линзу монохроматического из-I

лучения, т. е. излучения од- ной определенной длины вол- ны. Сущность данного дефек-гп^鼠夕

та изображения заключается< *

в том, что лучи, прошедшие через центральную область линзы, и лучи, прошедшиеРис 13.6

через периферийные участки'

линзы, собираются не в одной точке, даже если источник света точечный.

В результате сферической аберрации изображение точки (рис. 13-6), лежащей на оптической оси системы, получается в виде небольшого кружка.

Диаметр этого кружка р является мерой поперечной сферической аберрации, а расстояние о между изображениями S' и S" точки S ——мерой продольной сферической аберрации.

При определенной комбинации собирательной линзы с рассеиваю* щей (вследствие разности показателей преломления этих линз) можно получить собирающую систему, в которой сферическая аберрация сведена до минимума. При этом линзы, входящие в систему, должны обладать разными показателями преломления.

Хроматическая аберрация имеет место при прохождении через

линзы света, состоящего из излучений различных длин волн (в общем случае белого света). Лучи различных длин волн, входящие в состав белого света, при прохождении через линзы преломляются неодинаково. Показатель преломления стекла для лучей различной длины волны имеет различные численные значения. Фиолетовые лучи имеют наибольший показатель преломления, поэтому они соберутся ближе к линзе. Красные лучи, показатель преломления которых меньше, соберутся дальше от линзы. Поэтому изображение светящейся точки, испускающей белый свет, имеет вид радужного пятна. Этот недостаток изображения в линзах называется хроматической аберрацией. Количественно

линзы из разных стекол с различной удельной дисперсией.

Астигматизм наклонных пучков очень сильно зависит от угла падения лучей на линзу. Чем больше угол между главной оптической осью линзы и падающим пучком света, тем больше астигматические искажения изображения. В результате нарушается подобие между предметом и изображением. Изображение точки предмета в зависимости от ее положения и падения лучей света от нее может иметь вид небольшого кружка, эллипса, отрезка прямой. Изображения предметов, если лучи от них падают на линзу неперпендикулярно, имеют изогнутую поверхность. Искривление плоскости изображения совершенно недопустимо в фотографии, где требуется получение резкого изображения на плоской светочувствительной поверхности.

Уничтожение астигматизма и устранение искривления изображения достигается путем подбора конструктивных элементов системы линз. Системы линз, исправленные на астигматизм, носят название анастигматов.

Дисторсия ——это недостаток изображения, который имеет место, если поперечное увеличение предмета в пределах поля зрения неодинаково. Если поперечное увеличение убывает от центра поля изображения к периферии, то имеет место бочкообразная дисторсия (рис. 13-7, б), а если наоборот, то подушкообразная дисторсия (рис. 13-7, в). На рис. 13-7, а дано нормальное изображение.

Дисторсия обычно не очень вредит наблюдению, но если с помощью оптической системы ведутся геодезические или аэрофотосъемоч- ные работы, то она становится нежелательной. Дисторсия устраняется специальными системами линз.

Полное устранение всех дефектов изображения невозможно. В зависимости от целевого назначения оптического прибора устраняется наиболее опасный для данного прибора недостаток изображения.

Основные фотометрические величины

Световой поток Ф характеризует поток лучистой энергии. Коли

чественная оценка мощности светового потока производится с помощью

человеческого глаза по зрительному ощущению. Но чувствительность

глаза к свету различной длины волны различна, т. е. человеческий глаз световые потоки одинаковой мощности, но разной длины волны, ви

дит неодинаково. Наиболее чувствителен человеческий глаз к зеленым лучам с 九=0,555 мкм. Если их «видность» принять за 1, то все остальные лучи той же мощности будут иметь «видность» меньше единицы.

Для оценки чувствительности глаза при светотехнических расчетах международная осветительная комиссия стандартизовала среднюю кривую видности (рис. 13-8).

Абсциссами кривой видности служат длины волн, а ординатами —величины, обратные энергиям монохроматических излучений, равноярких с точки зрения визу

альной оценки. Величина У仇)называется видностью, или коэффициентом видности.

Снятие кривой видности осуще- рис. 13-8

ствляется методом малых ступеней.

Сначала сравниваются яркости двух световых пучков с близкими по значению длинами волн. (В этом случае разница в цвете сравниваемых пучков не будет вносить погрешность.) Затем определяются мощности

этих двух основных потоков, которые оказывают одинаковое световое ощущение. А по мощности светового потока вычисляется видность, или функция У(Х). Затем все измерения повторяются снова, но уже для другой пары световых пучков.

Выражение для светового потока имеет вид

(13.23)(13.23)О)=Е0)・У(%),

(13.23)

(13.23)

где Е(九)——мощность светового потока в интервале длин волн от 入 до 九+А九；7(Х)——коэффициент видности для данного интервала длин волн.

Световой поток при одинаковой мощности излучения будет зависеть от коэффициента видности, а значит, от длины волны излучения. Световой поток измеряется в люменах (лм).

Источник света характеризуется специальной величиной, называемой силой света (обозначается через I). Точечный источник к однородной среде испускает свет одинаково по всем направлениям. Световой поток в определенном направлении зависит от телесного угла Q:

(13.24)

Так как полный телесный угол равен 4л стерадиан п, то полный световой поток Ф, испускаемый источником, имеющим силу света /, Равен 0)=43 (13.25)

За единицу силы света в СИ принимается кандела 2) (кд) (основная единица).

Согласно проекту ГОСТа дается следующее определение канделы: кандела — сила света, испускаемого с площади 1/600 000 м2 сечения полного излучателя, в перпендикулярном этому сечению направлении, при температуре излучателя, равной температуре затвердевания платины при давлении 101 325 Па.

Из формулы (13.25) следует, что источник света силой в 1 кд испускает в окружающее пространство световой поток, равный 4л люмен (лм).

Если /=1 кд, Q = 1 ср, то световой поток ①=1 лм, т.е. люмен —— это световой поток, испускаемый точечным источником силой света в 1 кд в телесном угле в 1 стерадиан.

Яркость характеризует светящиеся тела по силе света, испускаемой единицей светящейся поверхности, перпендикулярной данному направлению.

Согласно закону Ламберта сила света изменяется в зависимости от угла ср следующим образом:

/ф = /0соз(р,(13.26)

где /ф—сила света в направлении ср; /0——сила света в нормальном направлении; ср ——угол между нормалью к светящейся площадке и направлением светового пучка.

Излучатели, подчиняющиеся закону Ламберта, называются косинусными, или ламбертовыми, излучателями. Для них яркость во всех направлениях одинакова и равна отношению силы света /屮 в направлении ср к площади проекции Snp светящейся поверхности на плоскость, перпендикулярную лучу:

°пр

(13.27)(13.27)НО Snp = So cos ср, поэтому

(13.27)

(13.27)

• cos 屮 S()

т. e. яркость в направлении ср равна яркости в нормальном направлении.

Если светящаяся поверхность криволинейна (шар, цилиндр), то при расчете яркости необходимо брать площадь проекции Snp на плоскость, перпендикулярную лучу.

11 1 стерадиан (ср) — это такой угол, который вырезает на поверхности шара радиуса R площадь, равную R2.

2)Ранее эта единица называлась свечой.

Единицей яркости в СИ является кандела на квадратный метр (кд/м2).

Светимость R численно равна отношению полного светового потока Ф, испускаемого поверхностью светящегося тела, к площади S этой поверхности:

”黑(13.28)

Между светимостью и яркостью имеет место следующее соотношение:

R = nB・(13.29)

Строгий вывод данного соотношения довольно сложен. Для иллюстрации выведем соотношение между яркостью и светимостью для светящегося шара. Светимость шара радиуса г равна

Р — Ф — 4л/ — / .

его яркость

т. е.

R—nB.

В соответствии с формулой (13.28) светимость в СИ измеряется в люменах на квадратный метр (лм/м2).

Освещенность плоский поверхности есть величина, равная отношению светового потока Ф, нормально падающего на эту поверхность, к ее площади S:

Е=~.(13.30)

Освещенность измеряется в люксах (лк):

1 ЛК = 1 лм/1м2 = 1 лм/м2.

Когда известна сила света источника, который освещает поверхность, находящуюся на расстоянии г от него, то освещенность вычисляется по формуле

E={cosi,(13.31)

где i — угол между нормалью к поверхности и лучом.

Пример.

Раскаленная нить автомобильной электрической лампочки создает на расстоянии 1 м в направлении, перпендикулярном к ее оси, освещенность 12 лк. Нить лампы имеет вид цилиндрической спирали диаметром 1 мм и длиной 0,8 см. Определить в заданном направлении силу света и яркость.

Решение. Раскаленная нить автомобильной электрической лампочки может Зыть принята за точечный источник света, так как ее размеры малы по сравнению с расстоянием, на котором измерена освещенность.

Силу света определяем из соотношения £=//г2 (по условию cos г - 1), откуда /= =£г2. Подставляя данные, получим“

/= 12-12 кд= 12 кд.

Яркость поверхности в нормальном к ней направлении равна

8=〃S,

где S — площадь проекции спирали на плоскость, перпендикулярную лучу. Она будет равна произведению длины / спирали на ее диаметр d, т. е. S=/d. Подставляя данные, получим

В = М=77 = 0,8・0,1.1：-4кд/м2.

Глава 14

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

§ 7・ Интерференция световых волн

Интерференция волн — это явление усиления или ослабления колебаний, которое происходит в результате сложения двух или нескольких волн с одинаковыми периодами, распространяющихся в пространстве, и зависит от соотношения между фазами складывающихся колебаний.

Необходимым условием интерференции волн является их коге- рентностьг т. е. равенство их частот и постоянная во времени разность фаз. Этому условию удовлетворяют только монохроматические световые волны. При соблюдении данных условий можно наблюдать интерференцию не только световых волн, но и звуковых, радиоволн и т. д.

Для световых волн, так же как и для любых других, справедлив принцип суперпозиции. Так как свет имеет электромагнитную природу, то применение этого принципа означает, что результирующая напряженность электрического (магнитного) поля двух световых волн, проходящих через одну точку, равна векторной сумме напряженностей электрических (магнитных) полей каждой из волн 'в отдельности.

В частном случае, когда напряженности составляющих полей равны, но противоположно направлены, напряженность результирующего поля будет равна нулю: свет гасится светом. И наоборот, если направления векторов напряженностей электрических полей слагаемых волн одинаково направлены, то происходит увеличение интенсивности света.

Амплитуда резу льтир ующего колебания находится путем геометрического сложения амплитуд исходных колебаний [см. (2.10)]：

屋=爲 + g+ZAi/Vcos (%—%)•(14.1)

Анализируя уравнение (14.1), сделаем выводы:

если 屮2—6=0； 2л; 4л; . . .; 2 fen, где 々=0,1,2, 3,

-322 —

тотоВ первом случае происходит усиление результирующего колеба-В первом случае происходит усиление результирующего колеба-ния, во втором — ослабление. Если при этом 4=42,ния, во втором — ослабление. Если при этом 4=42,/血产仇 В последнем случае происходит полное гашение света светом.Обычно эти условия формулируются не через разность фаз 屮2——屮i, а через разность хода волн б. Известно, что фазе(р=л соответствует пройденный волной путь, равный половине длины волны 九/2. Тогда условие максимумов можно сформулировать следующим образом: максимальное усиление результирующего кол е б а н и я наступает, если р азность хода/血产仇 В последнем случае происходит полное гашение света светом.Обычно эти условия формулируются не через разность фаз 屮2——屮i, а через разность хода волн б. Известно, что фазе(р=л соответствует пройденный волной путь, равный половине длины волны 九/2. Тогда условие максимумов можно сформулировать следующим образом: максимальное усиление результирующего кол е б а н и я наступает, если р азность ходат。Ащах—2』i, ат。Ащах—2』i, а分分'X'X4400为/2为/2Рис. 14-1Рис. 14-1也勿2今吟…夕吟打2也勿2今吟…夕吟打2Л/2Л/2:，一夕=%-勿力:，一夕=%-勿力слагаем л у в о л н,слагаем л у в о л н,ы х волн ры х волн рааили целомуили целомув н а четномучислу длинв н а четномучислу длинчислу п о- в о л н, т. е.числу п о- в о л н, т. е.

то

то

В первом случае происходит усиление результирующего колеба-

В первом случае происходит усиление результирующего колеба-

ния, во втором — ослабление. Если при этом 4=42,

ния, во втором — ослабление. Если при этом 4=42,

/血产仇 В последнем случае происходит полное гашение света светом.

Обычно эти условия формулируются не через разность фаз 屮2——屮i, а через разность хода волн б. Известно, что фазе(р=л соответствует пройденный волной путь, равный половине длины волны 九/2. Тогда условие максимумов можно сформулировать следующим образом: максимальное усиление результирующего кол е б а н и я наступает, если р азность хода

/血产仇 В последнем случае происходит полное гашение света светом.

Обычно эти условия формулируются не через разность фаз 屮2——屮i, а через разность хода волн б. Известно, что фазе(р=л соответствует пройденный волной путь, равный половине длины волны 九/2. Тогда условие максимумов можно сформулировать следующим образом: максимальное усиление результирующего кол е б а н и я наступает, если р азность хода

т。Ащах—2』i, а

т。Ащах—2』i, а

分

分

'X

'X

4

4

0

0

为/2

为/2

Рис. 14-1

Рис. 14-1

也勿2今吟…夕吟打2

也勿2今吟…夕吟打2

Л/2

Л/2

:，一夕=%-勿力

:，一夕=%-勿力

слагаем л у в о л н,

слагаем л у в о л н,

ы х волн р

ы х волн р

а

а

или целому

или целому

в н а четномучислу длин

в н а четномучислу длин

числу п о- в о л н, т. е.

числу п о- в о л н, т. е.

(И.2)(И.2)cos (屮2——屮1)=1 и a=a1+a2\

(И.2)

(И.2)

если 屮2--屮i=冗；3 л; 5л；...;(2々+1)冗,где 左=0, h 2, 3, . . ., то

(И.З)(И.З)cos (屮2—屮i)=—1 и 4 =41—4 ?・•

(И.З)

(И.З)

(И.4)(И.4)6 = 2力^ =力九;

(И.4)

(И.4)

аналогично формулируется условие минимумов: ослабление результирующего колебания будет, если разность хода слагаемых волн равна нечетному числу п о л у в о л н, т. е.

(14.5)(14.5)5 = (2々+1)^,

(14.5)

(14.5)

где k= 0, 1, 2, 3, . . . называется порядком интерференционного максимума или минимума.

Рис. 14-1 иллюстрирует интерференцию волн, имеющих равные амплитуды. Если разность хода равна нечетному числу полуволн, то наблюдается гашение света (рис. 14-1, а); при этом смещения 弘 и у2 имеют разные знаки, и результирующее смещение будет у=0. Если разность хода равна четному числу полуволн, то имеет место усиление света (рис. 14-1, 6; смещения pi и у2 имеют одинаковые знаки, и У=Уг+у^-

§ 2・ Зеркала Френеля

Явление интерференции света подчиняется общим для всех волновых процессов закономерностям. Однако для оптического диапазона волн имеется ряд специфических особенностей, обусловленных особым характером излучателей волн этого диапазона. Излучения двух различных источников света вообще некогерентны и интерференционной картины не дают. Это объясняется тем, что свет представляет суммарное излучение множества источников, каждый из которых имеет определенную частоты и начальную фазу.

Для получения когерентных световых пучков применяются различные искусственные приемы. Физическая сущность всех приборов для наблюдения интерференции Хк света одна и та же: свет от од/" ного источника идет до экра- V на двумя различными путями.

В результате создается вполне 卜 определенная разность хода, которая для некоторых точек экрана равна либо 左九，либо (2 左+1)九/2,т. е. на экране образуется интерференционная картина: чередующиеся темные и светлые полосы, кольца, эллипсы и т. д. Максимально допустимая разность хода до

вольно велика. Среднее время свечения отдельного атома равно 10~8 с. За это время атом испускает группу волн, которые между собой когерентны и могут интерферировать. Поэтому допустимая разность хода лимитируется временем свечения атома. Она равна

5=т・с=10-8 с*3* 1010 см/с=300 см=3 м.

В действительности этот предел всегда значительно меньше. Классическим прибором, позволяющим наблюдать интерференцию света, являются зеркала Френеля (рис. 14-2). Свет, излучаемый источником S, отражается от двух зеркал,расположенных под углом, близким к 180°. В результате получаются два световых пучка, которые распространяются как бы от двух мнимых источников S' и S", излучения которых, безусловно, будут когерентными, так как они являются изображениями одного и того же действительного источника S.

При этом лучи, идущие от источников S' и S" к экрану, расположенному параллельно линии S'S", пройдя различные пути, встречаются на экране и интерферируют. В точке, в которой разность хода от S' и S" равна нулю, всегда будет светлое пятно (полоса). Влево и вправо от* этой точки на расстоянии xk будут наблюдаться чередующиеся максимумы и минимумы освещенности. Так как расстояние между источниками равно d, а расстояние между экраном и прямой SS' равно /, то при условии, что d и / много меньше /, приближенно

получим

4 = Т»(14.6)

т. е.

3=学.(14.7)

По условию максимумов (14.4), данная разность хода равна

5 =翠=2左^ =々九，

откуда расстояние 力-ro максимума от центральной светлой полосы будет равно

xk=kU/d.(14.8)

Следовательно, первый максимум удален от центральной светлой полосы на расстояние

%i=A〃d.(14.9)

Из рис. 14-2 видно, что d/2 =r tg(p, или с учетом, что угол ср очень мал, d/2〜лр, откуда

d=2 пр.(14.10)

Так как L —— расстояние от зеркала до экрана, a r=SO (SO равно расстоянию от точки О до линии SS'),

2=七+几(14•十1)

С учетом соотношений (14.10) и (14.11) формула (14.9) примет вид У 九a+Г)

Из формулы (14.12) следует, что чем меньше угол ср, тем больше будет расстояние между максимумами. При больших углах ср максимумы будут накладываться друг на друга и интерференционная картина будет неясной. Поэтому зеркала Френеля располагаются под углом, близким к 180°, а угол ср близок к нулю.

Из формулы (14.12) можно сделать еще один вывод: если на зеркала падает белый свет, то на экране будут цветные максимумы (цветные полосы), вследствие того что для каждой длины волны будет своя разность хода 6. При этом красные лучи будут удалены от центральной полосы на большие расстояния, чем фиолетовые, так как А,кр>Хфиол и поэтому хКр>хфиол. В этом случае только центральная полоса остается белой, так как для нее разность хода 3=0 для всех длин волн.

_2/・屮r_2/・屮rРешим уравнение (14.12) относительно длины волны:

_2/・屮r

_2/・屮r

(14.13)

Рис. 14-3Рис. 14-36=(ЛВ+ВС) п — ЕС.6=(ЛВ+ВС) п — ЕС.*)*)

Рис. 14-3

Рис. 14-3

6=(ЛВ+ВС) п — ЕС.

6=(ЛВ+ВС) п — ЕС.

*)

*)

В правой части данного уравнения все величины поддаются непосредственному измерению. Таким образом, с помощью зеркал Френеля можно измерять длину световой волны.

§ 3・ Интерференция в тонких пленках

Наиболее типичным и распространенным примером интерференции света в природе является интерференция в тонких пленках: мыльные пузыри, радужная пленка нефти на воде и т. д. Допустим, что тонкую пленку (тонкая стеклянная пластинка, мыльная пленка и т. д.) толщиной d с обеих сторон окружает воздух (рис. 14-3). На нее под углом i к нормали падает параллельный ) пучок лучей, из которого выделяем два луча: I и II. Проводим перпендикулярно лучам плоскость А Е, которая является фронтом волны.

До плоскости АЕ оба луча имели разность фаз(р2—q)i=0 и разность хода 3=0, так как они шли от одно

го источника. От плоскости А£/лучи прошли различные пути. В точке С произошло сложение колебаний, распространяющихся вдоль лучей I и II, которые имеют уже некоторую разность фаз и разность хода 67^0.

Луч I проходит до точки С путь АВС. При этом надо различать путь геометрический и путь оптический. Если свет проходит в среде, показатель преломления которой относительно вакуума равен п, то оптическая длина его пути связана с геометрической длиной пути / соотношением

s—п/.

Поэтому отпическая длина пути луча I будет равна (ДВ+ВС)п. Путь луча II равен ЕС. Разность хода лучей I и II равна

Сделаем тригонометрические преобразования данного уравнения. Из A ABD, равного A BDC, видно (см. рис. 14-3), чтоАВ=ВС = —.cos гИз рассмотрения Л ЛЕС и ЛЛВС следует, что EC=4C・sini, а 24c=2 4D=2d・tg г, т. е.Сделаем тригонометрические преобразования данного уравнения. Из A ABD, равного A BDC, видно (см. рис. 14-3), чтоАВ=ВС = —.cos гИз рассмотрения Л ЛЕС и ЛЛВС следует, что EC=4C・sini, а 24c=2 4D=2d・tg г, т. е.

Сделаем тригонометрические преобразования данного уравнения. Из A ABD, равного A BDC, видно (см. рис. 14-3), что

АВ=ВС = —.

cos г

Из рассмотрения Л ЛЕС и ЛЛВС следует, что EC=4C・sini, а 24c=2 4D=2d・tg г, т. е.

Сделаем тригонометрические преобразования данного уравнения. Из A ABD, равного A BDC, видно (см. рис. 14-3), что

АВ=ВС = —.

cos г

Из рассмотрения Л ЛЕС и ЛЛВС следует, что EC=4C・sini, а 24c=2 4D=2d・tg г, т. е.

ЕС==2 d tg г-sin i.

Воспользовавшись приведенными равенствами и соотношением п = |^, выражение (*) преобразуем к виду о 2d«sin г ♦2d\

о =2dsm 厂•尸=(1 ——sm‘ 厂)=2d • 〃 cos г =

cos rcos гcos /'丿

=2d • 〃 ]/1 —sin2 г = 2d V№—n2 sin2 г = 2d Vп2 ——sin2 Л

Для получения окончательной разности хода необходимо учесть, что световые волны, как и всякие волны, отражаясь от оптически более плотной среды (луч II в точке С), получают дополнительную разность фаз на 冗，т. е. возникает добавочная разность хода в половину длины волны, независимо от того, луч I или II отражается от оптически более плотной среды.

Таким образом, разность хода равна

= 2d j/n2_sin2 力 + 九/2, Или b = 2dn cosr + X/2. (14.14)

Если пленка лежит на материале, имеющем показатель преломления больше, чем у пленки, то оба луча при отражении потеряют по полволны и уравнение (14.14) примет вид

3 = 2川山—5也2九 (14.15)

Разность хода лучей зависит от толщины пленки d, показателя преломления п материала пленки, угла i падения лучей и длины волны 九 падающего света.

Показатель преломления пленки в подавляющем большинстве случаев величина постоянная. Если же сравниваются две различные пленки, то при прочих равных условиях пленке с большим п соответствует и большая разность хода.

Если на плоскопараллельную пленку падает параллельный пучок лучей (см. рис. 14-3), то в результате интерференции в отраженном и проходящем свете на экране получаются чередующиеся темные и светлые полосы в случае монохроматического света и цветные полосы в случае белого света.

Рассмотрим интерференцию монохроматического света при падении на пленку или пластинку расходящегося пучка лучей, например при падении сферической волны. В этом случае результаты интерференции отраженного (и проходящего) света в различных точках пластинки зависят только от углов падения i лучей. Интерференционная картина имеет вид криволинейных чередующихся темных и светлых полос. Каждой из этих полос соответствует определенное значение угла i. Поэтому они называются полосами равного наклона. При нарушении плоско- параллельности пленки или пластинки форма полос равного наклона искажается. Этим пользуются при проверке качества шлифовки плоскопараллельных стеклянных пластин, причем обнаруживается отклонение от плоскопараллельности, равное 0,01 мкм.

Формула (14.14) выведена для случая наблюдения интерференции в отраженном свете. Если интерференционные полосы равного наклона наблюдаются в тонких пластинках или пленках, находящихся в воздухе на просвет (в проходящем свете), то потери волны при отражении не произойдет и разность хода 6 будет определяться по формуле (14.15).

Следовательно, оптические разности хода для проходящего и отраженного света отличаются на Z/2, т. е. максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в проходящем свете, и наоборот.

С увеличением толщины плоскопараллельной пластины влияние угла наклона становится все менее заметным, полосы равного наклона становятся все ближе и ближе друг к другу. При больших толщинах плоскопараллельных пластин интерференцию света в них наблюдать не удается.

Толщина пластинки d оказывает наибольшее влияние на характер интерференционной картины. Предположим, что все остальные параметры в формуле (14.14) постоянны, и рассмотрим два примера интерференции света при переменном d.

Интерференционные полосы в воздушном клине можно наблюдать, если положить одну плоскопараллельную стеклянную пластину на другую, а под один из концов верхней пластинки положить небольшой предмет таким образом, чтобы между ними образовался воздушный клин. В этом случае разность хода лучей определяется также формулой (14.14)

5 = 2d 丿〃 2 —5也2力+入/2.(14.14а)

Допустим, что лучи на клин падают нормально (sin i=0) и показатель преломления воздуха 〃=1, тогда

5=2d+"2.(14.16)

На грани, где стеклянные пластины соприкасаются, d^O, а 5=入/2, поэтому будет наблюдаться темная полоса (минимум).

Первая светлая полоса (々=1) будет при 6=九，так как

= 2^ ~ — 2 -1 - у = X, поэтому 6 = 2d + y = л, откуда получим, что толщина воздушного клина в этом месте будет d=K/4. Воздушный промежуток именно такой величины будет проходить параллельно грани соприкосновения, и светлая полоса будет иметь вид прямой линии.

Вторая светлая полоса будет находиться там, где толщина воздушного клина достигнет значения d=3入/4, так как при этом 3 = 2・2・^ = 2d + ^・

Эти полосы, каждой из которых соответствует своя вполне определенная толщина клина или параллельной пластинки, называются полосами равной толщины. Полосы равной толщины могут быть прямыми линиями, концентрическими окружностями и любой другой формы в зависимости от расположения точек, соответствующих d=const. Угол клина должен быть очень малым, иначе полосы равной толщины будут накладываться друг на друга и их нельзя будет различить.

Полосы равной толщины можно получить, если положить плоско- выпуклую линзу с большим радиусом кривизны (R = 10+100 м) на плоскопараллельную пластинку. Между ними также образуется воздушный клин. В этом случае полосы равной толщины будут иметь вид колец, которые называются кольцами Ньютона; разность хода интерферирующих лучей, так же как и в предыдущем случае, будет определяться по формуле (14.16).

Рис. 14-4Рис. 14-4Определим радиус 々・「о кольца Ньютона (рис. 14-4). Из треугольника АВС имеем

Рис. 14-4

Рис. 14-4

唳=G(R—d?) = к一 Rz + 2Kd-d?,

откуда, пренебрегая d2, так как R》d, получим

Подставляем это выражение в формулу (14.16):

3 = А^・(14」8)

Из условия максимумов (14.4) и форм^^лы (14.18) находим

5 =天 + 0 = 2々0，

откуда

^ = 2々^一^ = (2在一1)^ =他_1/2)九.

Следовательно, радиус fe-ro светлого кольца Ньютона в отраженном свете или темного в проходящем равен

/ = /他一"2)入R(14.19)

Произведя аналогичные несложные выкладки, получим формулу для определения радиусов темных колец в отраженном свете (или светлых в проходящем):

(14.20)

§ 4. Просветленная оптика

При прохождении света через линзы или призмы на каждой из поверхности световой поток частично отражается. В сложных оптических системах, где много линз или призм, проходящий световой поток значительно уменьшается, кроме того, появляются блики. Так, было установлено, что в перископах подводных лодок отражается до 50% входящего в них света. Для устранения этих дефектов оптических систем применяется прием, который называется просветлением оптики. Сущность приема заключается в том, что оптические поверхности покрываются тонкими пленками, создающими интерференционные явления.

Наибольшее просветляющее действие получается при условии

呜〃 = 〃ср•几л，(14.21)

где ипл——показатель преломления пленки, иср——показатель преломления среды, в которую помещена линза,孔口——показатель преломления линзы.

В этом случае разность хода определяется по формуле (14.15)

6 = 2б/К^пл —sin2 i, откуда для нормально падающих лучей имеем

6 = 2б//2пл.

Назначение пленки заключается в гашении отраженного света, т. е. должно соблюдаться условие минимумов

5 = 2赤瓏=(2々+1)^.

Отсюда определяем толщину просветляющей пленки:

d = (2々+1)九/4儿1M.(14.22)

Условие (14.22) предъявляет очень жесткие требования к толщине пленки, так как если она будет равна d=々九/2МцЛ, то присутствие покровного слоя увеличит коэффициент отражения света.

При соблюдении условий (14.21) и (14.22) отражения света не происходит и световой поток проходит сквозь оптическую поверхность без потерь.

Толщина просветляющей пленки, найденная по формуле (14.22), будет действительна лишь для вполне определенной длины волны, а белый свет содержит все длины волн видимого диапазона. Однако 力=0, когда

^мин —入/4%л，(14.23)

можно подобрать однослойные пленки, оказывающие хорошее просветляющее действие почти на весь видимый участок спектра. Кроме того, условие (14.22) не учитывает влияния угла падения лучей. Для того чтобы не происходило отражения света от оптических поверхностей в широком диапазоне длин волн и углов падения, применяются многослойные просветляющие покрытия.

Просветляющее покрытие образуется на поверхности линзы (призмы) путем ее химической обработки (протравливание в кислоте) или путем нанесения пленок фторидов при испарении в вакууме, или механическим путем.

§ 5・ Интерферометры

Явление интерференции в технике применяется не только для просветления оптики. Из анализа формулы (14.14), выведенной для частного случая интерференции света, видно, что явление интерференции можно применить для определения размеров, показателей преломления, углов или угловых размеров и измерения длин волн (интерференционная спектроскопия). Для этих целей служат различные по конструкции приборы, которые называются интерферометрами. В каждом

интерферометре измеряемый параметр является переменной величи

ной, а все остальные ——постоянные. Для определения показателя преломления служат интерференционные рефрактометры Жамена, Рэлея и др. Если известны показатель преломления и длина волны, то можно измерить геометрические длины с точностью до 0,1 九=0,05 мкм,

для чего служат интерференционные компараторы. Для измерения угловых размеров звезд применяются звездные интерферометры. В спектральном анализе используется интерферометр Фабри-Перо, который

дает более высокую точность, чем дифракционные и призменные спект

роскопы. Большое число различных конструкций технических интерферометров разработано в Советском Союзе и среди них несколько моделей микроинтерферометров В. А. Линника, которые позволяют измерять величину микронеровностей поверхностей и служат для контроля чистоты обработки поверхностей, поляризационный интерферометр А. А. Лебе

дева и др.米s

Первым интерферомет-Рнс. 45

ром является интерферометр Майкельсона, принцип конструкции которого до сих пор широко применяется в различных технических интерферометрах.

Прибор Майкельсона удобен тем, что интерферирующие лучи в нем пространственно значительно разделены и поэтому в тот или иной пучок легко поместить исследуемые объекты. Интерферометр Май- кельсонл состоит из двух зеркал 7И1 и М2 и полупрозрачной посеребренной пластинки Pi (рис. 14-5). Свет от источника S, дойдя до полупрозрачной пластинки 尸 1, разделяется на два луча / и 2. Луч / проходит путь А ВАО; луч 2 ——путь АСАО. Длины путей этих двух лучей различны, и вследствие этого они приобретают определенную разность хода. Луч 2 дважды проходит через пластинку Р^. Чтобы скомпенсировать эту разность хода на пути луча 1 установлена пластинка Р2, изготовленная из того же материала и той же толщины, что и пластинка /\. Для удобства анализа строится изображение зеркала М± в полупрозрачной пластинке Р^ Это изображение на рис. 14-5 обозначено

Возникающая интерференционная картина соответствует интерференции в воздушном слое, лежащем между М2 и 7И； и имеющем толщину d. Если зеркала М2 и М[ параллельны между собой, то приемник излучения П будет фиксировать полосы равного наклона, имеющие вид концентрических окружностей. Если зеркала М； и М2 непараллельны, то интерференционная картина будет аналогична интерференции от клина, т. е. будут иметь место полосы равной толщины, иду-

щие параллельно грани этого мнимого воздушного клина. Если шлифовка одного из зеркал имеет дефекты, то интерференционная картина искажается: прямые полосы или кольца будут иметь неправильную, искривленную форму. Помещая вместо одного из зеркал какую-либо деталь, можно по форме колец или полос контролировать качество обработки ее поверхности.

Глава 15

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

§ 7・ Дифракция света. Принцип Гюйгенса — Френеля

Явление дифракции, так же как и явление интерференции, подтверждает волновую природу света. Дифракция света всегда сопровождается интерференцией дифрагированных лучей. Дифракцией называется отклонение света от прямолинейного распространения в однородной среде, когда свет, огибая препятствия, заходит в область геометрической тени.

Дифракция возникает в том случае, когда фронт волны не является безграничным, а частично экранирован.

Анализ явления дифракции света осуществляется на основе принципа Гюйгенса и законов интерференции. В таком объединенном виде это положение волновой оптики получило название принципа Гюйгенса —Френеля.

Согласно принципу Гюйгенса, к-аждую точку фронта волны можно рассматривать как самостоятельный источник колебаний. Френель дополнил этот принцип, введя представления о том, что волновое возмущение в любой точке пространства можно рассматривать как результат интерференции вторичных волн от фиктивных источников, на которые разбивается волновой фронт. Френель впервые высказал предположение, что эти фиктивные источники когерентны и потому могут интерферировать в любой точке пространства, в результате чего элементарные волны могут гасить или усиливать друг друга (см. § 1 гл. 14).

§ 2 Метод зон Френеля.

Прямолинейность распространения света

Принцип Гюйгенса ——Френеля позволяет рассмотреть mhoi ие случаи дифракции света и часто дает результаты, вполне удовлетворительно согласующиеся с опытом.

Рассмотрим действие волнового фронта в какой-либо точке пространства, свободной от препятствий.

Пусть плоский фронт волны W, распространяющейся от точечного расположенного в бесконечности источника света, в некоторый момент т находится на расстоянии МО от точки наблюдения М (рис. 15-1), М ——произвольная точка, амплитуду 4 световых колебаний в которой требуется определить. Во всех точках фронта волны, согласно прин-

ципу Гюйгенса ——Френеля, возникают элементарные сферические колебания, которые распространяются по всем направлениям (вторичные волны) и через некоторое время они достигнут точки М. Амплитуда колебаний в этой точке определяется векторной суммой амплитуд всех вторичных волн. Для определения результирующей амплитуды всех волн Френель предложил метод разбиения волновой поверхности на кольцевые зоны, который впоследствии был назван методом зон Френеля.

Колебания всех точек волнового фронта W происходят в одной фазе. В то же время все точки фронта волны находятся от точки М на различных расстояниях. Обозначим кратчайшее расстояние от точки М до фронта волны 入.Затем разобъем фронт волны на зоны Френеля следующим образом. Из точки М, увеличивая каждый раз радиус г0 на К/2, построим ряд сфер, которые в пересечении с фронтом волны W дадут концентрические окружности. В результате на фронте волны появятся кольцевые зоны, которые и называются з о н ами ① ренеля.

Таким образом получено несколько ок

ружностей на фронте волны с радиусами рк р2; р3 и т. д. Рассмотрим прямоугольные треугольники с основаниями, лежащими на плоскости W€ общей вершиной в точке М. Положим ОВ = р1 тогда ОВ2=ВМ2—— —ОМ2, т. е.

Р；=(々 + 九/2)2-窃=/\Л + М/4;

так как 入« r0, то вторым членом правой части уравнения можно пренебречь, следовательно,

Р； = Г(Д・

Аналогично находим для второй, третьей и т. д. зон:

р2 =(入 + 九)2 —片=2гД + М = 2гД;

- (% + 3入/2)2 - = 3乙九 + 耿2/4 3厂満； для 々-й зоны

Р1 = ^«(15.1)

Для оценки амплитуд колебаний определим площади зон: 1-я зона (круг радиуса р0

2-я зона (кольцо)

S2 = лр2 — лр2 = nzj;

3-я зона (кольцо)

S3 =冗р^ 冗р^ =冗ГQ九；

—333 —

k-й зоны

S 尼=лГо入. (15.2)

Полученные значения площадей зон Френеля говорят о том, что они равновелики, а значит, содержат одинаковое количество когерентных источников света.

Очевидно, что колебания, возбуждаемые в точке М двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода соответственных лучей от этих зон до точки наблюдения М равна 九/2, поэтому при наложении эти колебания должны взаимно ослаблять друг друга. Следовательно, амплитуда А результирующих колебаний, возбужденных волнами, исходящими от всего фронта волны W, может быть представлена в виде знакопеременного ряда

4 = 4 — & + 4—4 + 4 — 4 + • • •, (15.3)

где Ло——амплитуда колебаний в точке М, возбуждаемых действием центральной зоны Френеля; Дх——амплитуда колебаний, возбуждаемых действием первой зоны; A2t Л3, Л4 и т. д.——соответственно амплитуды колебаний следующих зон.

Здесь необходимо отметить, что зоны, достаточно далеко удаленные от центра О, посылают в точку М волны в противофазах практически с одинакового расстояния, вследствие этого их действие полностью уничтожается. Это дает основание утверждать, что для определения эффекта в точке М следует учитывать лишь действия центральных зон. В выражении (15.3) все амплитуды от четных зон входят с одним знаком, а от нечетных —— с другим. Запишем это уравнение в виде

А = ^+^-А1 + ^+^-А3 + ^ + ... (15.4)

Можно считать, что результирующая амплитуда в точке М равна среднему арифметическому амплитуд колебаний, создаваемых в этой точке волнами, приходящими от точек соседних k-x зон:

4 = 4良七中(15.5)

При этом условии выражения, заключенные в скобки в формуле (15.4), будут равны нулю и получаем уравнение вида

Д=Д0/2. (15.6)

Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в точке М такая, как если бы действовала только половина центральной зоны Френеля.

В силу приведенных выше рассуждений можно считать, что действие половины центральной зоны вместе с действием половины второй зоны в точке М компенсирует в ней действие первой зоны, половина второй и четвертой компенсируют третью и т. д., т. е. нескомпенсиро- ванным остается лишь действие половины центральной зоны. Иными словами, колебания, вызываемые в точке М волновой поверхностью 1F,

—-334 —

имеют такую же амплитуду, как если бы действовала только половина центральной зоны. Поэтому и говорят, что свет распространяется как бы в узком канале, сечение которого равно 1/2 центральной зоны Френеля.

Отсюда вытекает во-первых, объяснение прямолинейности распространения света, и, во-вторых, объяснение ряда явлений дифракции согласно принципу Гюйгенса ——Френеля, которые разбиваются на две группы ——дифракцию ① ренеля, наблюдаемую в сферических волнах, и дифракцию Фрунгофера, наблюдаемую в плоских волнах.

Характерные дифракционные явления можно наблюдать при прохождении света через малое отверстие или вблизи малого экрана.

Рассмотрим случай, когда на малое круглое отверстие радиуса а падает плоская волна длиной 九(рис. 15-2). Согласно принципу Гюйгенса ——Френеля плоский фронт волны, совпадающий в момент т с круглым отверстием, можно рассматривать как множество фиктивных источников, испускающих когерентные волны. В точке лежащей

на оси отверстия, эти волны будут интерферировать. Разобьем площадь отверстия на ряд кольцевых зон. Для этого из точки М последовательно проводятся окружности: первая радиусом fi=r0+V2； вторая Г1=г0+2 九/2, третья 厂3=厂。+3 九/2 и т. д.

Так как лучиг идущие из крайних точек зоны, имеют разность хода в полволны, то колебания от этих двух точек приходят в точку М в противоположной фазе. Для каждой точки одной зоны найдется точка в соседней зоне с разностью хода в полволны. Следовательно, в точке М излучение соседних зон сходится с разностью хода, равной %/2. Поэтому, если число зон, которые укладываются 6 отверстии, четное, то в точке М будет темное пятно, а если нечетное, то ——светлое. Если отверстие открывает всего лишь одну зону или небольшое нечетное число зон, то амплитуда колебаний, а значит, и интенсивность света в точке М будут больше, чем в случае отсутствия экрана с отверстием. Максимум интенсивности соответствует размеру а отверстия в одну зону. Число зон Френеля, расположенных на одном и том же отверстии, зависит от расстояния г。. Предположим, что в формуле (15.1) радиус 々-й зоны Френеля равен радиусу отверстия, тогда

р^ = @2 =旣涡，(15.7)

откуда

(15.8)

Если a=const, Х=const, то

k~f(r о).

—335 —■

Поместим в точке М экран и будем его удалять от отверстия. Тогда число зон будет уменьшаться, становясь попеременно то четным, то нечетным числом. В результате на экране в точке М будет то светлое, то темное пятно. Случай, когда на отверстии укладывается одна зона Френеля, соответствует расстоянию между экраном и отверстием, равному

八)=出小.(15.9)

Доказано, что начиная с этого расстояния с увеличением его пучок света становится относительно быстро расширяющимся вследствие явления дифракции.

Расчет амплитуды результирующих колебаний, пришедших в другие точки экрана, более сложен. Из соображений симметрии следует, что интерференционная картина на экране вокруг центрального светлого (или темного) пятна должна иметь вид чередующихся светлых и темных колец с центрами в точке М. Интенсивность максимумов должна убывать при удалении от точки 7И.

Если отверстие освещается не монохроматическим светом, а белым, го кольца имеют радужную окраску, так как число зон Френеля зависит от длины волны [см. (15.4)].

Дифракция от круглых отверстий наблюдается и в случае таких больших отверстий, как объективы телескопов и микроскопов, хотя при этом решающее значение играют краевые эффекты. Светящаяся точка вследствие дифракции будет иметь изображение в виде центрального максимума, окруженного рядом светлых (значительно меньшей яркости относительно центрального максимума) и темных колец. Если в телескоп рассматриваются две звезды, то вследствие наложения дифракционных картин их изображения могут слиться в одно.

При увеличении угла (углового расстояния) между лучами, идущими от этих звезд, их дифракционные изображения в фокальной плоскости объектива могут быть видны раздельно. Наименьший угол, при котором две светящиеся точки видны раздельно, называется разрешающей способностью объектива телескопа и выражается формулой 0= 1,22 含 рад,(15.10)

где 九一длина световой волны; D — диаметр линзы объектива.

Данное соотношение следует из рассмотрения дифракции на круглом отверстии объектива.

Разрешающая способность микроскопау как указывалось в § 5 гл. 13, характеризуется наименьшим линейным расстоянием между двумя светящимися точками предмета, которые могут быть видны в микроскоп раздельно, и определяется по формуле

/ = 0,61—^—,(15.11)

，九・Sin〃'\/

где X ——длина волны света, которым освещен предмет, п —— показатель преломления среды между предметом и объективом, и — половина угла раствора конуса лучей, падающих на объектив от точек предмета.

§ 3. Дифракция от щели

При прохождении света через узкую щель также наблюдается явление дифракции. Пусть щель освещается пучком параллельных лучей, т. е. на щель падает плоская волна. В соответствии с принципом Гюйгенса ——Френеля освещенную щель можно рассматривать как мно

жество точечных когерентных источников света. Поместим за щелью на расстоянии, очень большом по сравнению с шириной щели, экран. Возьмем вначале точку, лежащую на средней линии, т. е. на перпендикуляре к плоскости щели, восставленном из середины щели. Длина пути лучей от всех точечных источников до данной точки почти одина

кова, вследствие чего

происходит взаимное их усиление. Следовательно, на этой линии будет наблюдаться нулевой максимум, который имеет вид ярко освещенной полосы, идущей параллельно щели.

Далее рассмотрим некоторую точку Р, находящуюся сбоку от средней линии (рис. 15-3, а). Пути лучей от различных точечных источников уже не будут одинаковы. Между лучами, идущими от крайннх точечных источников, образуется разность хода, равная

(15.12)(15.12)5=a・sin ср.

(15.12)

(15.12)

где а — ширина щели.

Формула (15.12) получена при допущении, что лучи АР и СР параллельны. Это не вносит большой ошибки, так как пути АР и СР значительно больше а. Лучи от других точечных источников, пришедшие в точку Р, также будут иметь некоторую разность хода. В результате интерференции от множества точечных источников в точке Р может произойти либо усиление (максимум), либо ослабление (минимум) света.

Предположим, что 5=4Р—СР=九，т. е. a・sin 屮=九(рис. 15-3, б). Лучи, идущие в точку Р из точек В и С, имеют разность хода 九/2 и гасят друг друга. Слева от них два точечных источника 1 п Г посылают в точку Р лучи с разностью хода 九/2 и также гасят друг друга и т. д. В направлении 屮 будет первый минимум, который выражается условием

a・sin(pi=2 九/2=%.

Аналогичный результат интерференции лучей в точке Р будет и в случае, когда

5=a・simp2=4 九/2=2 九.

При этом ширина щели делится на 4 зоны, которые попарно гасят друг друга. В этом направлении будет второй минимум, подчиняющийся условию

a・sin 5=2九.

В общем случае условие минимумов имеет вид

a，sin屮=2以/2=々大.(15.13)

Если разность хода крайних лучей равна нечетному числу полуволн, т. е. 5=(2々+1)九/2, то ширина щели делится на нечетное число зон. Каждая зона гасит соседнюю, а оставшаяся последняя в направлении ср дает свет (максимум). Например, в случае первого максимума (々=1) 5=3九/2, ширина щели делится на три зоны, две из них гасят взаимно друг друга, а третья в направлении ср дает свет:

a・sin(р=3九/2.

Условие макси мумо в имеет вид

a・sin(p=(2^+l)九/2,(15.14)

откуда можем записать

sin(p = (^ + ^)^・(15.15)

При неизменной ширине щели максимумы света различной длины волны приходятся на различные углы. Если щель освещается белым светом, то нулевой (центральный) максимум будет белым. По обе стороны от нулевого максимума расположатся максимумы первого порядка. Они будут цветными. Действительно, согласно формуле (15.15) красный свет (九=0,76 мкм) отклонится на больший угол, а фиолетовый (^=0,4 мкм) — на меньший. Между ними будут расположены остальные цвета спектра.

Угол, на который отклонится от средней линии первый и последующие максимумы, зависит также от ширины щели. Узкие щели отклоняют максимумы на большие углы, чем широкие. Если щель достаточно узка и освещена белым светом, то дифракционная картина имеет вид ряда цветных полос, разделенных темными промежутками (минимумами освещенности). Каждый последующий максимум слабее предыдущего, так как в направлении нулевого (центрального) максимума посылает свет вся щель, в направлении первого максимума — лишь 1/3 ширины щели, в направлении второго — 1/5, третьего ——1/7 ит. д. В действительности интенсивность этих максимумов значительно меньше, но более подробный разбор этого явления выходит за рамки нашего курса.

§ 4. Дифракционная решетка

Широкое распространение в научном эксперименте и технике получили дифракционные решетки, которые представляют собой множество параллельных, расположенных на равных расстояниях одинаковых щелей. Дифракционные решетки изготавливаются с помощью делительной машины, наносящей штрихи (царапины) на стекле или другом прозрачном материале. Там, где проведена царапина, материал становится непрозрачным, а промежутки между ними остаются прозрачными и фактически играют роль щелей.

Рассмотрим дифракцию света от решетки на примере двух щелей. При увеличении числа щелей дифракционные максимумы становятся лишь более узкими, более яркими и отчетливыми.

Разность хода (рис. 15-4) двух крайних лучей той и другой щели равна

6=c-sin ф.(15.16)

Здесь с — постоянная решетки, равная сумме ширины а щели и ширины b непрозрачного промежутка между щелями, т. е. с=а+Ь.

Если разность хода равна нечетному числу полуволн:

5="2, 3"2, 5九/2,

то свет, посылаемый двумя щелями, будет взаимно гаситься.

Условие минимумов имеет вид

f-sin(р=(2^+1А/2,(15.17)

где 々=0, 1, 2, 3,

Если разность хода равна четному числу полуволн:

5=0, 2大/2, 4"2,

то свет, посылаемый каждой щелью, будет взаимно усиливать друг Друга.

Условие максимумов будет иметь вид

с sin 屮=2々 k/2^k 九，(15.18)

где 々=0, 1, 2, 3, ..., с — постоянная решетки.

При k=0 условие (15.18) соответствует центральному (нулевому) максимуму; при 左=1 —двум первым максимумам, которые расположены симметрично по обе стороны от центрального, и т. д.

Из формулы (15.18) следует, что лучи различной длины волны будут иметь максимумы в различных направлениях. Поэтому если на ди* фракционную решетку падает белый свет, то решетка разложит его, и на

экране увидим дифракционный спектр, обращенный к центральной белой полосе (нулевой максимум) фиолетовым концом.

Постоянная решетки с связана с числом п штрихов на единицу длины соотношением

с=1/〃(15.19)

Соотношение (15.19) показывает, что чем больше щелей на решетке, тем больше света проходит через нее, поэтому резкость дифракционной картины возрастает с увеличением числа щелей. Сравнивая две щели с п щелями, легко убедиться, что при четырех щелях, отстоящих на одинаковом расстоянии друг от друга, условия для минимумов будут соблюдаться в том случае, если разность хода с sin 屮 от соседних щелей будет равна 入/4; 2九/4; 3九/4 и т. д. Очевидно, что темных полос в этом случае будет в два раза больше, чем при двух щелях. Таким образом, с увеличением числа щелей возрастает число добавочных минимумов между соседними максимумами. Увеличение числа минимумов приводит к увеличению ширины темного промежутка за счет уменьшения ши- рины светлого промежутка. Поэтому с возрастанием числа щелей увеличивается яркость максимумов и они превращаются из расплывчатых максимумов в резкие узкие максимумы, разделенные широкими практически темными промежутками.

Дифракционные решетки широко применяются в спектральном анализе для тех аналитических задач, которые нельзя решить с помощью призменных приборов. Исходя из условия максимума и принимая, что с=1/〃，имеем

sin(р=/Лл,(15.20)

или для спектра первого порядка

% = T^ = Gsin 屮，(15.21)

т. е. по углу отклонения лучей, соответствующих той или иной спектральной линии, если известна постоянная решетки, можно определить длину световой волны. Совокупность длин волн или спектр излучения (или поглощения) позволяет делать заключение о химическом, а иногда и изотопном составе вещества.

В настоящее время решетки обычно изготавливаются путем нанесения алмазным резцом большого числа равноотстоящих штрихов на алюминиевом зеркале, полученном испарением алюминия на тщательно подготовленную стеклянную поверхность. Такая решетка называется отражательной. В зависимости от области спектра и условий применения изготавливаются решетки, имеющие от нескольких штрихов до 1500 штрихов на 1 мм заштрихованной поверхности. Более тесно расположить штрихи технически очень трудно и для видимой области спектра в этом нет необходимости, так как минимальное расстояние между штрихами, при котором наблюдается спектр, равно 九/2.

Для отражательных решеток условие максимумов имеет несколько иной вид:

c(sin ф!—sin 屮2)=2々"2=々大，(15.22)

где с — постоянная решетки, (pi ——угол падения лучей,屮2 ——угол отражения (угол дифракции), отсчитываемый от нормали к решетке.

Помимо обычных и отражательных решеток существуют решетки с профилированным штрихом и вогнутые решетки, у которых штрихи наносятся на поверхность вогнутого сферического зеркала. Такая решетка обладает фокусирующим действием, при этом отпадает необходимость в применении какой-либо дополнительной оптики для получения спектра.

Разрешающая способность решетки определяется формулой

九九(15.23)(15.23)

九

九

(15.23)

(15.23)

где А入 一 наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий X и Z+ДХ, при которой эти линии в спектре видны раздельно.

Разрешающая способность решетки, по Рэлею, равна

r=kv,r=kv,(15.24)

r=kv,

r=kv,

где V — общее число штрихов, k — порядок спектра.

Современные решетки, применяемые в приборах для спектрального анализа, имеют число штрихов 50 0004-120 000, а постоянная с= =1 /6000 или 1/12 000 см.

Для получения высокой разрешающей способности нужно пользоваться спектрами высоких порядков (большие значения 山).Однако это

Рис. 15-5Рис. 15-5

Рис. 15-5

Рис. 15-5

связано с сокращением области, свободной от наложений. Поэтому обычные решетки редко применяются для работы с дифракционными спектрами выше четвертого порядка. Чаще пользуются спектрами первого или второго порядка. Явление наложения заключается в следующем. Из условия максимумов следует

c.sin(p = 2耳令=2焉整，

илиилиk^x== k^z^2^ ^3^3 == * • •k^x== k^z^2^ ^3^3 == * • •(15.25)(15.25)

или

или

k^x== k^z^2^ ^3^3 == * • •

k^x== k^z^2^ ^3^3 == * • •

(15.25)

(15.25)

Пусть 九i=0,8 мкм и наблюдение ведется за спектром первого порядка (первый максимум: 々1=1). Тогда под этим же углом будут наблюдаться

максимумы для 入2=0,4 мкм в спектре второго порядка (々2=2) и для 九з=0,2©7 мкм в спектре третьего порядка (々з=3). От наложений можно избавиться путем выделения изучаемой области спектра с помощью фильтров.

В настоящее время промышленность Советского Союза выпускает для спектрального анализа несколько моделей спектрографов с дифракционными решетками, разрешающая способность которых гораздо выше разрешающей способности призменных спектроскопов. На рис. 15-5 представлен общий вид одного из таких спектрографов.

Глава 16

ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА

§ 1. Естественный а поляризованный свет

Свет представляет суммарное электромагнитное излучение множества атомов. Если из множества элементарных электромагнитных волн выделить одну (любую) волну, то ее можно представить в виде колебаний двух взаимно перпендикулярных векторов напряженностей электрического (Е) и магнитного (Н) полей. Так как электромагнитная волна является поперечной, то оба аI 歹 вектора колеблются в плоскости,

II >-г 宀 перпендикулярной к вектору

广I /скорости — направлению расп* /К *^ /К *” ространения луча. Электромаг-

X ] \\нитная волна, в которой коле-

IIблется лишь один из этих век)торов, невозможна. Электричес-

刀〃 кое поле, в котором изменяется

Рис. 16-1Е, неизбежно порождает магнит

ное поле, в котором по такому же закону изменяется Н, и наоборот. При рассмотрении явления поляри

зации все рассуждения ведутся относительно вектора напряженности Е п, но при этом следует помнить об обязательном существовании перпендикулярного ему вектора напряженности Н.

Представим, что свет распространяется от источника в направлении к читателю. Тогда мгновенная фотография расположения элементарных векторов Е от каждого излучателя будет подобна схеме, изображенной на рис. 16-1, а. Равномерное расположение векторов Е обусловлено большим числом атомарных излучателей. Такой свет называется естественным, или неполяризованным. В таких световых волнах, исходящих от различных элементарных микроизлучателей, векторы имеют различные ориентации колебаний, причем все ориентации равновероятны. Если под влиянием внешних воздействий на свет или внутренних особенностей источника света появляется предпочтительное^

D Так как химическое, физиологическое и другие виды воздействия света на вещество обусловлены главным образом электрическими колебаниями, то поэтому говорят только о колебаниях вектора Е.

наиболее вероятное направление колебаний, то такой свет называется частично поляризованным (рис. 16-1, б).

Неполяризованный (естественный) свет может испускаться лишь огромным числом элементарных излучателей. Электромагнитная волна от отдельного элементарного микроизлучателя всегда поляризована.

Рис. 16-2Рис. 16-2С помощью специальных устройств из пучка естественного света можно выделить луч, в котором колебания вектора Е будут происходить в одном определенном направлении в плоскости, перпендикулярной лучу (рис. 16-1, б). Такой луч будет полностью поляризованным. Плоскость, в которой происходят колебания вектора напряженности Е электрического поля, называется плоскостью колебани й. Плоскость, в которой колеблется вектор напряженности магнитного поля Н, называется плос костью поляризации.

Рис. 16-2

Рис. 16-2

На рис. 16-2 приведены обозначения плоскости колебаний вектора Е.

Если вектор Е колеблется в плоскости чертежа, то в этом случае на направление вектора скорости v наносится ряд черточек (рис. 16-2, а), а если в плоскости, перпендикулярной чертежу, то ——ряд точек (рис. 16-2, б). Естественный луч (рис. 16-2, б) условно обозначается чередующимися черточками (которым соответствует, например, компонента Еу вектора напряженности электрического поля) и точками (соответствующими другой компоненте EJ.

Практически неполяризованным светом можно считать дневной свет, хотя свет от определенного участка неба всегда несколько поляризован. Искусственные источники света, как правило, дают частично поляризованный свет. Вольфрамовая нить электрической лампочки излучает свет, поляризованный до 15+20%, ртутная лампа — до 54-8%, люминесцентные лампы испускают сильно поляризованный свет.

Частичная поляризация света характеризуется степенью поляризации, которая определяется по формуле

(16.1)(16.1)р /макс — /мнн

(16.1)

(16.1)

'макс+ 'мнн

где /макс и /мнн — максимальная и минимальная интенсивности света, соответствующие двум взаимно перпендикулярным компонентам вектора Е.

Для плоскополяризованного света 7мин=0 и 尸=1; для естественного света /макс=，мин и Р=0・

§ 2・ Поляризация света при отражении а преломлениеЗакон Брюстера

Как показывает опыт, отраженный и преломленный лучи всегда частично поляризованы. Степень поляризации зависит от угла падения лучей и коэффициента преломления отражающей среды. Исследуя

это явление, Брюстер установил, что при определенном значении угла падения отраженный свет полностью поляризован. При этом отражается только та компонента вектора напряженности электрического поля, которая параллельна поверхности диэлектрика (перпендикулярна плоскости падения); преломленный луч поляризован лишь частично (рис. 16-3). Согласно закону Брюстера отраженный луч полностью поляризован, если выполняется следующее соотношение между углом падения，и показателем преломления отражающей среды п:

tg，=n. (16.2)

Так как tg 厂Так как tg 厂sin гsm I.

Так как tg 厂

Так как tg 厂

=——- = n, по определению, п = -—,tocosz =smr. cos zsin r

Это возможно, если 厂+「=90°, или i〃+「=90°. Следовательно, если луч

Рис. 16-3Рис. 16-3ризован. Для этого вместо однойризован. Для этого вместо однойпадает на диэлектрик под углом Брюстера, называемым углом полной поляризации, то отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны. На опыте закон Брюстера не выполняется вполне строго.

Рис. 16-3

Рис. 16-3

ризован. Для этого вместо одной

ризован. Для этого вместо одной

Закон Брюстера неприменим в случае отражения света от поверхности проводников (металлов).

Можно добиться, что и преломленный луч будет полностью поля- пластинки пользуются стопой стек

лянных пластинок, расположенных друг за другом так, что свет, выходящий из первой пластинки, падает под углом Брюстера на вторую, из второй ——на третью и т. д. Свет, прошедший через стопу пластинок, после многократных отражений и преломлений практически полностью поляризован.

Двойное лучепреломление. Призма Николя. Поляроиды

Как отмечалось ранее, в природе существуют анизотропные вещества, оптические свойства которых по различным направлениям различны. К таким материалам можно отнести, например, кристаллы исландского шпата и кварца. В естественном луче колебания вектора Е происходят по всем направлениям, а так как свойства кристалла в разных направлениях различны, то колебания вектора напряженности электрического поля в различных плоскостях происходят неодинаково и преломляются на границе раздела двух сред различно. Это означает, что колебания, происходящие в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, которые характеризуются двумя компонентами вектора напряженности электрического поля (Ех и EJ, фактически имеют разный показатель преломления. При этом наблюдается раздвоение луча, или двойное лучепреломление', естественный свет, войдя в кристалл исландского шпата, раздваивается на два луча, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Наиболее часто для этих целейНаиболее часто для этих целейВ одноосных п кристаллах один луч (обыкновенный) имеет плоскость поляризации, параллельную главному сечению, т. е. плоскости, проходящей через направление падающего луча и оптическую ось, а другой (необыкновенный)——перпендикулярную главному сечению. Скорость распространения обыкновенной волны и, следовательно, ее показатель преломления не зависят от направления распространения света, а скорость распространения и показатель преломления необыкновенного луча ——зависят. Двойное лучепреломление имеет место даже при нормальном падении света на естественную грань кристалла, хотя с точки зрения геометрической оптики это не должно иметь место, так как если i'=0, то и「=0. Дело в том, что для необыкновенного луча обычные законы преломления не имеют силы: он может вообще не лежать в плоскости падения, а отклонится в сторону от этой плоскости. Двойного лучепреломления не наблюдается в одноосных кристаллах только лишь при распространении луча вдоль оптической оси.

Наиболее часто для этих целей

Наиболее часто для этих целей

Вдвуосных кристаллах оба

луча необыкновенные, и их показатель преломления зависит от направления распространения.

Явление двойного лучепреломления широко применяется для получения поляризованного света.

используются поляризационные призмы и поляроиды (поляризационные светофильтры). Поляризационные призмы состоят из двух (иногда и трех) трехгранных призм и имеют вид скошенного параллелепипеда. Поляризационные призмы можно разделить на два типа. Призмы первого типа разделяют естественный свет на два луча, причем оба луча —— необыкновенный и обыкновенный ——выходят из призмы под некоторым углом друг к другу. Такие призмы называются двухлучевыми; к ним относится, например, призма, состоящая из стекла и исландского шпата. Ко второму типу относятся однолучевые призмы, которые, как правило, пропускают необыкновенный луч, а обыкновенный задерживают. В отдельных случаях, например в призме, состоящей из двух трехгранных стеклянных призм с прослойкой между ними из исландского шпата, проходит обыкновенный луч, а необыкновенный задерживается.

Рассмотрим устройство призмы Николя (рис. 16-4), изготовленной из исландского шпата СаСО3. Трехгранные призмы, из которых состоит призма Николя, склеены между собой прозрачным веществом —— канадским бальзамом, показатель преломления п которого имеет величину, близкую к среднему значению показателей преломления обыкновенного (о) и необыкновенного (е) лучей (п0=1,659; и=1,549; пе=

= 1,515). (Штриховка на рис. 16-4 указывает направление оптической оси в плоскости чертежа.)

На передней грани призмы естественный свет разделяется на два луча, причем обыкновенный луч отклоняется больше, так как tij^rie. Углы составных призм выбираются такими, чтобы обыкновенный луч на границе склейки призм претерпевал полное внутреннее отражение, а необыкновенный проходил через призмы. Показатель преломления клея меньше показателя преломления обыкновенного луча (п<п0), поэтому слой клея для обыкновенного луча является средой оптически менее плотной и этот луч испытывает полное внутреннее отражение, т. е. угол падения подбирается больше предельного, а затем поглощается боковыми стенками призмы. Для необыкновенного луча слой клея является средой оптически более плотной, так как 〃?<〃，поэтому, несмотря на довольно большой угол падения, этот луч проходит через слой канадского бальзама.

Следовательно, во всех однолучевых призмах, в том числе и призме Николя, происходит раздвоение пучка естественного света на два луча, один из которых проходит через призму, а другой задерживается. В результате этого процесса естественный свет превращается в поляризованный, но его интенсивность, если пренебречь поглощением света в материале призмы, уменьшается в два раза.

Поляризованный свет можно получить также с помощью поляризационных светофильтров, так называемых поляроидов. Поляроиды представляют тонкую (около 50 мкм) пленку, которая с целью защиты от влаги и механических повреждений помещается между двумя пластинами из стекла или полиметилметакрилата или между двумя пленками из ацетилцеллюлозы и т. п.

Механизм поляризующего действия поляроидов и поляризационных призм различен. При прохождении естественного света через поляроид он, так же как и при прохождении через любое другое прозрачное тело, частично поглощается. Однако поглощение света происходит в зависимости от ориентации вектора напряженности электрического поля световой волны. Колебания вектора Е, проходящие в каком-то одном определенном направлении, поглощаются больше, а в других направлениях меньше, т. е. степень поглощения света является функцией ориентации электрического вектора световой волны. Это явление называется анизотропией поглощения, или дихроизмом, который является причиной поляризации света в поляризационных светофильтрах.

Поляризационные приборы (призмы и поляроиды) по своему целевому назначению делятся на поляризаторы и анализаторы. Поляризаторы служат для получения поляризованного света. С помощью анализатора можно убедиться, что падающий на него свет поляризован, и выяснить направление поляризации. Принципиальных различий в конструкционном отношении между поляризатором и анализатором нет, их можно менять местами.

Если плоскости поляризации поляризатора и анализатора параллельны (угол а между плоскостями равен нулю), то поляризованный луч пройдет через анализатор не ослабляясь. Если анализатор повора-

чивать относительно поляризатора, то интенсивность света /а, прошедшего через анализатор, будет убывать и при угле а=90° станет равной нулю.

Если проектировать амплитуду электрического вектора Ео поляризованного света на плоскость пропускания анализатора, то величина проекции будет равна

Еа = E0cosa,(16.3)

где а ——угол между плоскостями поляризации поляризатора и анализатора.

Как указывалось выше, при а=0 имеем 邑=旦，а при а=90° проекция электрического вектора на плоскость пропускания анализатора становится равной нулю. В этом случае говорят, что поляризатор и анализатор скрещены.

Так как отношение интенсивностей света пропорционально отношению квадратов амплитуд:

/а

то получим

следовательно, интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализатор, будет равна

/a = /ncos2a,(16.4)

где /а ——интенсивность света, прошедшего через анализатор; /口 —— интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализатор, когда их плоскости пропускания параллельны друг другу (а=0). Если пренебречь потерями света на отражение от анализатора, то можно сказать, что /口 —— это интенсивность света, прошедшего через поляризатор.

Уравнение (16.4) называется законом Малюса, по которому производится расчет интенсивности проходящего света во всех поляризационных приборах.

Если учесть потери света на отражение, зависящее от а, то закон Малюса следует записать в таком виде:

Л = Мп cos2 а,(16.4 а)

где 々п ——коэффициент прозрачности анализатора или поляризатора. Если а=0 (плоскости поляризации поляризатора и анализатора параллельны), то /а=3/ц или /а =^ 屍Ль где Zo — интенсивность падающего на поляризатор естественного света; если а=к/2 (анализатор и поляризатор скрещены), то Za=0.

Помимо естественной анизотропии, обусловливающей двойное лучепреломление, существует искусственная аниаотропия твердых и жид-

ких веществ, которые в обычном состоянии изотропны. Если кусок стекла сжать в каком-либо направлении, то растянутые и сжатые участки будут анизотропны, и свет, пройдя через них, испытывает двойное лучепреломление. Это явление используется для исследования упругих напряжений в моделях различных деталей и сооружений. Сам метод получил название поляризационно-оптического метода исследования напряжений. Модели деталей машин и строительных конструкций изготавливаются из прозрачных изотропных материалов (стекло, целлулоид, желатин, фенолформальдегидные пластмассы) и помещаются между скрещенными поляризатором и анализатором. Если модель не нагру- ^ жена, то через анализатор свет не проходит. При наложении на модель хнагрузки в полярископе наблюдает

/ ся изображение модели со светлыми Аи темными полосами различной фор

мы. Полосы появляются вследствие интерференции поляризованного света. Свет после поляризатора

проходит через модель и раздваивается, причем оба луча поляризованы и когерентны. Так как показатели преломления этих лучей различны, то они в процессе прохождения через материал модели приобретают разность хода и интерферируют в анализаторе. Разность хода является функцией напряжения, приложенного к данному участку модели. С помощью данного метода можно определить главные нормальные напряжения, а также максимальные скалывающие напряжения. Так как все исследования поляризационнооптическим методом ведутся на моделях, то затем при расчете переходят от напряжений в модели (омод) к напряжениям в детали (адет) согласно формуле

(16.5)(16.5)Одет = Омод = &

(16.5)

(16.5)

где Р и а ——масштабы силового и геометрического подобий.

Дж. Керр обнаружил (1875) возникновение анизотропии у жидких диэлектриков под действием электрического поля. Это явление получило название электрооптического эффекта Керра. В результате эффекта Керра вещество приобретает свойства одноосного кристалла, главная ось которого параллельна полю.

Установка для наблюдения эффекта Керра состоит из поляризатора 尸 и анализатора А, которые являются нйколями (рис. 16-5). Между ними находится конденсатор К, пространство между пластинами которого заполняется жидким диэлектриком (нитробензол, ортонитротолуол, хлорбензол и др.). Поляризатор и анализатор скрещены и свет через анализатор не проходит. Если к конденсатору приложить напряжение, то диэлектрик становится анизотропным и в нем возникает двойное лучепреломление. В поле зрения анализатора будет наблюдаться картина интерференции поляризованных лучей. Разность хода обыкновенного и необыкновенного лучей, поляризованных соответственно поперек и

вдоль поля, выраженная в длинах волн, равна

Е = 8历2,(16.6)

где В ——постоянная Керра, / ——длина пути луча в веществе (в см), Е ——напряженность поля (в единицах СГС).

Объяснение эффекта Керра дали П. Ланжевен и М. Борн. В каждой молекуле диэлектрической жидкости заложены анизотропные оптические свойства, но, так как молекулы движутся хаотически, в целом жидкость изотропна. В электрическом поле молекулы приобретают определенную ориентацию, и жидкость в целом становится анизотропным телом. Ориентацию молекул в электрическом поле разрушает тепловое движение, поэтому с увеличением температуры постоянная Керра В уменьшается. Эффект Керра широко применяется в технике.

Конденсатор Керра (ячейка Керра) применяется в качестве безынерционного светового затвора для модулирования света в звуковом кино, а также в ряде специальных устройств и для научных исследований. Безынерционность действия ячейки Керра объясняется тем, что время исчезновения анизотропии после выключения поля составляет 10-12 с (теоретически). На практике ячейка Керра позволяет фотографировать с экспозицией в 0,01 мкс.

Вращение плоскости поляризации

Некоторые вещества (кристаллы и растворы) при прохождении через них поляризованного света поворачивают плоскость поляризации луча. Такие вещества называют оптически активными. Молекулы оптически активных веществ асимметричны и существуют в виде двух пространственных форм, в виде двух зеркальных антиподов. Оба этих зеркальных антипода по своим физическим и химическим свойствам одинаковы и отличаются друг от друга лишь тем, что один из них вращает плоскость поляризации влево, а другой ——вправо. Если оба антипода смешать в равных количествах, то эта смесь вращать плоскость поляризации не будет. Такая смесь называется рацематом. Плоскость поляризации вращают многие природные вещества: раствор сахара, углеводы, эфирные масла, гормоны, белки и входящие в их состав аминокислоты ит. п. Оптически активные вещества можно получить путем разделения рацематов. Вращательная способность оптически активных веществ определяется методами поляриметрии.

С помощью поляриметра можно вычислить угол вращения ср согласно формуле

冋=時，

или

闸=券，(16.7)

где [(pl ——величина, называемая удельной постоянной вращения раствора, / — длина пол я р иметр ической трубки, Р ——навеска оптически 一349 --

активного вещества, V ——объем раствора, С — весовая концентрация оптически активного вещества.

Величина 1(р] зависит от природы оптически активного вещества и растворителя, температуры и длины волны света.

Иногда определяют молекулярное вращение [М] согласно выражению

[Д4] = 0,01 [ср] -Л4 (Л4—молярная масса). (16.8)

Растворы оптически активных веществ в зависимости от направления вращения плоскости поляризации могут быть правовращающими или левовращающими. Одно и то же оптически активное вещество может иметь как ту, так и другую модификацию.

Иногда эти модификации существенно отличаются по своему физиологическому действию, хотя физические и химические свойства их одинаковы. Например, левовращающий хлоромицетин, так называемый левомицетин, является одним из активных антибиотиков, в то время как правовращающий хлоромицетин лечебными свойствами не обладает; левовращающий аспарагин безвкусен, а его антипод имеет сладкий вкус; правовращающий никотин более ядовит, чем левовращающий, и т. д.

Как видно из приведенных выше формул, методами поляризации можно измерять концентрации оптически активных веществ в растворах, например сахара (сахарометрия), а также отличать правовращающие модификации этих веществ от левовращающих.

Некоторые твердые кристаллические вещества также способны при пропускании через них плоскополяризованного луча поворачивать его плоскость поляризации. Кристаллы кварца, например, оптически активны в направлении, в котором двойного лучепреломления не наблюдается. Удельное вращение в данном случае будет равно

1屮]=屮〃， (16.9)

где / — длина пути луча в кристалле. Удельное вращение [ср], или удельная вращательная способность, является характеристикой данного вещества и, как отмечалось ранее, зависит от длины волны 九 и температуры Т; определяется обычно для длины волны D натрия (九=0,589 мкм). Измерение угла вращения плоскости поляризации производится с помощью поляриметров. В наиболее простом виде этот прибор состоит из двух поляризационных призм — поляризатора и анализатора, между которыми устанавливается оптически активное вещество. Поворот анализатора, необходимый для восстановления затемнения в поле зрения прибора, дает непосредственно угол ср. Чувствительность такого прибора относительно небольшая. Его можно увеличить, применяя различные приспособления, например полутеневое устройство (полутеневой поляриметр).

Вращение плоскости поляризации можно вызвать искусственным путем. Оптически неактивные вещества могут под действием магнитного поля приобрести анизотропные свойства и стать оптически активными. Эта оптическая активность обнаруживается, если поляризованные лучи света идут в направлении поля. Этот эффект называется эффектом

Фарадея и относится к разряду магнитооптических явлений. Он довольно четко наблюдается при прохождении поляризованного света через стекло, бензол, сероуглерод, воду, спирт, бензин, если параллельно лучу создано магнитное поле. Угол поворота плоскости поляризации равен

(16.10)(16.10)『KIB,

(16.10)

(16.10)

где К —— постоянная Верде, зависящая от свойств вещества, длины волны (частоты) и температуры, / — длина пути луча в веществе, В — индукция внешнего однородного магнитного поля.

Эффект Фарадея является магнитным аналогом электрооптического эффекта Керра и также может быть использован для модуляции света.

Глава 17

ДИСПЕРСИЯ СВЕТА

§ 7・ Дисперсия света. Призматический〃 дифракционный спектры

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления п вещества от длины волны X (частоты v) света, или зависимость фазовой скорости световых волн от частоты, т. е.

九=〃入）■九=〃入）■(17.1)

九=〃入）■

九=〃入）■

Таким образом, все явления, связанные с зависимостью показателя преломления от длины волны, принято называть дисперсией.

Следствием дисперсии света является разложение белого света в спектр при прохождении сквозь призму.

Рассмотрим картину распространения света в прозрачной среде. Под действием проходящей электрической волны электроны среды начинают совершать гармонические вынужденные колебания с частотой, равной частоте проходящей волны. Колеблющиеся электроны излучают вторичные волны той же частоты. Между первичной волной и вторичными волнами образуется сдвиг фаз, вызванный запаздыванием колебаний электронов. Результирующая волна (от первичной и вторичных волн) также сдвинута по фазе по сравнению с первичной волной, а следовательно, имеет другую скорость распространения. Сдвиг фаз между первичной и результирующей волнами зависит от частоты колебаний электромагнитного поля, т. е. свет различных длин волн будет иметь различные скорости и распространения, а значит, и различные значения показателя преломления, так как показатель преломления n=c[v.

(17.2)(17.2)Применяя теорию колебаний получим вид функции /(Z), так называемую дисперсионную формулу:

(17.2)

(17.2)

где 九一длина первичной волны,九】一длина волны, соответствующая собственной частоте колебаний электронов вещества, k ——постоянная для данного вещества величина.

Если в диэлектрике имеются электроны с различными собственными частотами колебаний и соответствующими им длинами волн Хь Х2,九з и т. д., то уравнение (17.2) примет вид

п2 ^ 1п2 ^ 1&九2 财九2九2一入:十九2—Х!&九2 财九2九2一入:十九2—Х!(17.3)(17.3)

п2 ^ 1

п2 ^ 1

&九2 财九2

九2一入:十九2—Х!

&九2 财九2

九2一入:十九2—Х!

(17.3)

(17.3)

Как видно из приведенной формулы для случаев, когда 九＞储, 九＞九2, •••, показатель преломления для больших длин волн меньше,

чем для коротких, т. е. красный свет должен отклоняться на меньший угол, чем фиолетовый. Когда с Ауменьшением длины волны происхо-

/ \3 дит монотонное возрастание показа-

/ \теля преломления, то наблюдается

/—片нормальная дисперсия. Изучением

」〃нормальной дисперсии занимался

7И. Ньютон. Если пропустить через

L\г стеклянную призму пучок света от

、$освещенной белым светом щели, па

раллельной основанию призмы, то Рис, 17-1на экране возникнет спектр (рис.

17-1). Наибольшую длину волны и наименьший показатель преломления имеет красный свет, поэтому красные лучи отклоняются призмой меньше других. Рядом с ними будут лучи оранжевого, потом желтого, далее зеленого, голубого, синего и, наконец, фиолетового цвета. Произошло разложение падающего на призму сложного света на монохроматические составляющие. Если все монохроматические составляющие с помощью другой призмы собрать вместе, то можно снова получить белый свет.

Уменьшая длину волны падающего света, можно приблизиться к таким длинам волн, которые будут близки или равны длинам волн, соответствующим собственным частотам колебаний электронов вещества, т. е. к такой области длин волн, когда 九=九1；九=九2 и т. д.

В этой области показатель преломления изменяется скачкообразно: сначала он возрастает, а затем резко падает. Эта область длин волн носит название области аномальной дисперсии. Явление аномальной дисперсии наступает при условии, когда частота внешнего электромагнитного поля равна частоте собственных колебаний электронов среды, т. е. возникает резонанс. Наблюдения аномальной дисперсии позволяют определять собственные частоты колебаний атомов и молекул. Обширные исследования аномальной дисперсии света в парах различных веществ были проведены Д. С. Рождественским.

Явление дисперсии в различных оптических системах играет как положительную, так и отрицательную роль. В линзах фотоаппаратов, микроскопов и телескопов дисперсия света вызывает хроматическую аберрацию и сильно ухудшает изображение; с ней приходится бороться.

Дисперсия света лежит в основе спектрального анализа. По методу получения спектры бывают интерференционные, дифракционные и призматические. Получение и использование в спектральном анализе

интерференционных и дифракционных спектров было рассмотрено выше, поэтому сейчас рассмотрим применение призматических спектров.

§ 2 Спектральный анализ

Простейшая схема спектрального прибора с призмой изображена на рис. 17-2. Свет от щели S, освещенной изучаемым источником, падает

на коллиматор (объектив) Lx и, проходя через него, образует параллельный пучок. После преломления в призме Р пучки света разных длин

которых спектр рассматкоторых спектр рассматволн фокусируются объективом 3 на экране Э, где получается ряд монохроматических (цветных) изображений щели S.

которых спектр рассмат

которых спектр рассмат

В зависимости от способа регистрации спектра спектральные приборы подразделяются на следующие виды: а) спектрографы, в которых поверхность 3 покрывается фотоэмульсией для получе

ния фотографии спектра; б) спектроскопы, в

ривается глазом с помощью окуляра; в) монохроматоры, в которых из спектра с помощью второй щели выделяется небольшой участок, подлежащий изучению; г) фотоэлектрические приборы (квантометры, фотоэлектрические стилометры и т. д.), регистрация спектра у которых осуществляется с помощью фотоэлементов и фотоэлектронных умножи

телей.

Основным элементом спектрального прибора является призма.

Для области нормальной дисперсии зависимость показателя преломления 儿 от длины волны 九 падающе

го света приближенно описывается формулой Коши, имеющей вид

儿=a+ ^ + £，(17.4)

где а, 6, с ——постоянные, характеризующие материал призмы. Из этого выражения наглядно видно, что п падает с ростом 九.Кривые дисперсии некоторых веществ, из которых изготавливаются призмы, даны на рис. 17-3 (а — тяжелый флинт,

б ——легкий флинт, 6 ——баритовый

флинт, г — кристаллический кварц, д — крон I, е — крон II, ж — плавленый кварц, з — флюорит).

Одной из основных характеристик спектрального прибора является его разрешающая способность, или разрешающая сила. Разрешающая способность призмы, так же как и дифракционной решетки, характеризует свойство прибора разделять излучения, отличающиеся 〃о длине волны на величину Ai Чем меньше этот интервал, тем больше разрешающая способность прибора. Разрешающую способность прибора

выражают через безразмерную величину, равную

R4/A 九. (17.5)

Существует три типа спектров: сплошные, полосатые и линейчатые. Раскаленные твердые и жидкие тела, а также газы при большом давлении дают сплошной спектр, в котором один цвет постепенно переходит в другой. Полосатый спектр имеет вид отдельных полос, четких с одного края и размытых с другого. Полосатые спектры характерны для молекул нагретых газов и паров и являются результатом изменения электронной, колебательной и вращательной энергий молекулы.

Спектры молекул совершенно не похожи на спектры атомов, входящих в их состав. Атомы раскаленных газов, находящихся в разреженном состоянии, дают свет, при разложении которого получается спектр, состоящий из отдельных цветных линий, разделенных темными участками. Такие спектры называются линейчатыми. Они появляются в результате электронных переходов внутри атомов и ионов различных элементов, причем каждому элементу соответствует свой индивидуальный спектр.

Все эти три типа спектров являются спектрами испускания. Помимо них существуют спектры поглощения, которые получают следующим образом. Белый свет от источника пропускают через пары исследуемого вещества и направляют на спектрометр или иной прибор, предназначенный для исследования спектра. В этом случае на фоне сплошного спектра будут видны темные линии, расположенные в определенном порядке. Их число и характер расположения позволяют судить о составе исследуемого вещества. Спектр Солнца относится к спектрам поглощения. В спектре Солнца темные линии, носящие название фраунгоферо- вых, получаются в результате поглощения лучей определенной длины атмосферой Земли и скоплениями газов около Солнца.

Для того чтобы получить линейчатый спектр исследуемого вещества, необходимо превратить его в светящийся газ. Для этого существует несколько способов. Если в качестве исследуемого вещества взят газ, то через него пропускают искровой электрический разряд; если твердое вещество, то можно им пропитать электроды вольтовой дуги или поместить на фитиль спиртовой горелки с бесцветным пламенем.

Исследование спектров испускания и спектров поглощения позволяет установить качественный состав того или иного вещества. Количественное содержание определенного элемента в соединении производится путем измерения яркости его спектральных линий.

Спектральный анализ сыграл большую роль в науке. С его помощью был изучен состав Солнца, звезд и туманностей, открыто 25 элементов таблицы Менделеева. В настоящее время спектральный анализ широко применяется в геологии, металлургии, химии и других отраслях науки и техники.

§ 3・ Поглощение света

Световая волна несет с собой поток энергии электромагнитного поля. При прохождении светового пучка сквозь вещество происходит потеря этой энергии вследствие превращения ее в различные формы внутрен-

ней энергии вещества или в энергию вторичного излучения, которое отличается от первичного не только спектральным составом, но и направлением распространения. Поглощение света может приводить к нагреванию вещества, ионизации или возбуждению атомов или молекул, фотохимическим процессам и т. п. Свободные электроны даже тонкого слоя вещества поглощают всю энергию электромагнитной волны. Поэтому металлы прозрачны для света только в очень тонких слоях. Если через среду проходит световой поток Ф, то он будет на расстоянии от % до x+dx ослаблен на величину, равную

—d6=6Kdx,(17.6)

где К — показатель поглощения, зависящий от длины волны света химической природы и состояния вещества. Знак минус указывает на то, что происходит поглощение света. Данное уравнение написано исходя из предположения, что относительное ослабление света в бесконечно тонком слое не зависит от светового потока и пропорционально толщине слоя dx. Отсюда следует

ф = фое-^,(17.7)

где Ф — световой поток, прошедший через слой вещества толщиной %; Фо — падающий световой поток.

Данное выражение называется законом Бугера — Ламберта. Этот закон выполняется до тех пор, пока сохраняется независимость показателя поглощения от светового потока. Если вместо К ввести величину % — показатель поглощения света на единицу концентрации поглощающего вещества, то уравнение (17.7) примет вид

①=①心f点，(17.8)

где С — концентрация вещества.

В таком виде формула называется законом Бугера — Ламберта —— Бера, который справедлив, так же как и закон Бугера — Ламберта (17.7), только для монохроматического света.

Экспериментальное определение показателя поглощения производится с помощью спектрофотометра. Измеряются световые потоки, прошедшие через образцы, изготовленные из одного и того же материала, но разной толщины хх и х2- Согласно формуле (17.7) можем записать

^ = ек(/т,)・(17.9)

Этот метод позволяет исключить погрешности измерения, связанные с отражением и рассеянием света на границах раздела сред. Для характеристики поглощения часто пользуются величиной, называемой пробегом излучения хе, определяя его как расстояние, на котором световой поток ослабляется в е«2,72 раза. Если

* = 2,72 = % то % = %, т. е.票=宀，или \п^ = Кхе,

откудаоткуда(17.10)

откуда

откуда

Таким образом, коэффициент поглощения численно равен единице, деленной на толщину слоя вещества, по прохождении которого интенсивность уменьшается в е=2,72 раза. Приведем значения показателя поглощения и пробега излучения для некоторых веществ:

Вещество

а，мкм

К, 1/см

久，ем

Вода

0,770

0,0024

42

550 000

Стекло

тяжелый флинт

0,450

0,0046

22

550 000

темное нейтральное ...

0,546

10,0

0,1

180

Смола

0,546

140

0,007

13

Графит

0,436

20 000

0,00005

0,11

Золото

0,546

80 000

0,0000012

0,022

Закон Бугера ——Ламберта ——Бера с соответствующими значениями показателя поглощения применим для всего диапазона электромагнитных волн: радиоволн, ультрафиолетового излучения, рентгеновских лучей, инфракрасного излучения, видимого света и гамма-квантов.

Однако этот закон носит приближенный характер, так как не учитывает двух обстоятельств: 1) многократного рассеяния света: фотон, многократно изменив свой путь, может снова вернуться в первоначальный световой поток; 2) зависимости показателя поглощения от длины световой волны. Эта зависимость становится решающим фактором, когда частота электромагнитной волны становится близка или равна частоте собственных колебаний электронов атомов среды. Вследствие резонанса происходит полное поглощение излучения в слое вещества очень малой толщины.

В квантовых генераторах KV0 и наблюдается «отрицательное» поглощение, когда свет, прошедший через вещество, усиливается за счет энергии, полученной веществом от внешнего источника. На измерениях поглощения света в различных областях спектра основан метод химического анализа, так называемый абсорбционный спектральный анализ. Идентификация веществ в этом методе основывается на том, что спектр поглощения отображает индивидуальное и характерное свойство атомов и молекул данного вещества, вследствие чего по спектру удается надежно установить как молекулярный состав, так и количественное содержание отдельных компонентов в смесях. Показатель поглощения можно определить как в проходящем, так и в отраженном свете, так как интенсивность отражения зависит от К・ Для сильных поглотителей применим почти исключительно последний метод.

Рассеяние света

В законе Бугера — Ламберта — Бера (17.8) показатель поглощения складывается из показателя «истинного» поглощения и коэффициента рассеяния:

К = Кцогл+Крас・(17.11)

Коэффициент Крас характеризует то обстоятельство, что в результате рассеяния света световой поток в направлении распространения уменьшается быстрее, чем при наличии одного поглощения. В процессе рассеяния свет изменяет направление распространения, а рассеивающее вещество начинает светиться.

При рассеянии света крупными частицами падающий на них свет отражается под различными углами по законам геометрической оптики.

Если размеры частиц сравнимы с длиной волны падающего света, то решающую роль начинают играть дифракционные явления и этот тип рассеяния называют дифракционным рассеянием.

Если же размеры частиц гораздо меньше длины световой волны, то применяется в первом приближении теория рассеяния света электрическим диполем. Переменное электрическое поле световой волны возбуждает в облучаемом электрическом диполе вынужденные колебания, вследствие чего диполь становится источником собственного излучения, частота которого равна частоте облучающего диполь света. Поэтому частота рассеянного света совпадает с частотой света в первичном пучке. Так как плотность потока энергии пропорциональна квадрату амплитуды, а амплитуда в свою очередь пропорциональна квадрату частоты, то интенсивность рассеянного света пропорциональна частоте в четвертой степени или обратно пропорциональна длине световой волны в четвертой степени:

/〜V1〜匕.(17.12)

Это соотношение было установлено Рэлеем и носит название закона Рэлея.

Из закона Рэлея следует, что лучи с более короткой длиной волны рассеиваются гораздо сильнее. Если через мутное вещество с мелкими частицами проходит белый свет, то рассеянное излучение будет голубоватым, а проходящий свет становится красноватым. Если свет проходит через абсолютно чистое вещество, в котором не содержится посторонних частиц и включений, то, казалось бы, рассеяние света не должно иметь места. Однако рассеяние света наблюдается и в оптически чистых средах и происходит вследствие их оптической неоднородности, вызываемой флуктуациями плотности, анизотропии и концентрации в растворах. Так как флуктуации плотности и концентрации обусловлены молекулярно-кинетической природой строения вещества, то такой вид рассеяния называется молекулярным. Интенсивность молекулярного рассеяния увеличивается с повышением температуры и по этому признаку молекулярное рассеяние можно отличить от рассеяния на мелких частицах, интенсивность которого от температуры не

зависит. Хотя интенсивность молекулярного рассеяния очень слабая, при больших толщинах вещества она становится заметной. Приведем пример. В атмосфере вследствие хаотического беспорядочного движения газовых молекул беспрерывно возникают микроскопические сгущения и разрежения, так называемые флуктуации плотности, что вызывает молекулярное рассеяние света. По закону Рэлея, коротковолновая радиация (голубые и синие лучи) рассеивается сильнее, чем и объясняется голубой цвет неба. Если же наблюдать заходящее Солнце, то вследствие рассеяния голубых и синих лучей его цвет нам кажется красноватым.

Глава 18

ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Принцип относительности

Классическая механика Ньютона базируется на гипотезе о существовании абсолютного пространства и времени. В основе механики Ньютона лежит принцип относительност и Галилея о неразличимости покоя и равномерного прямолинейного движения. Согласно Ньютону все физические величины делятся на абсолютные и относительные. К абсолютным величинам относится пространство. Из этого следует, что наряду с относительным движением тел относительно друг друга существует абсолютное движение ——движение тел по отношению к абсолютному пространству и в абсолютном времени. Абсолютно также и время. Оно течет одинаково на поверхности Земли, в самолете, ракете, на Луне, Солнце и звездах. К абсолютным величинам, не зависящим от скорости тела, можно также отнести массу тела и его геометрические размеры. Если тело не является абсолютно твердым, его размеры в процессе движения могут меняться, но в один и тот же момент времени они будут одинаковы для всех наблюдателей, как бы быстро друг относительно друга они ни двигались.

К относительным величинам в первую очередь относится скорость. Если человек перемещается равномерно и прямолинейно по поверхности Земли со скоростью и=16о км/ч, то для наблюдателя, находящегося на Солнце, это движение не будет прямолинейным и равномерным, а скорость будет совершенно другой: со скоростью и надо геометрически сложить по крайней мере еще две величины ——скорость движения Земли вокруг Солнца (около 30 км/с) и скорость движения поверхности Земли, обусловленную ее вращением вокруг оси. Относительными будут и все те физические понятия и величины, которые зависят от скорости: количество движения, кинетическая энергия и др.

Система отсчета, относительно которой рассматривается движение данного тела, является инерциальной, если по отношению к ней скорость тела, свободного от внешних воздействий, сохраняется неизменной по величине и направлению. В классической механике принимается, что свойства пространства и ход времени во всех инерциальных системах отсчета одинаковы.

Рассмотрим неподвижную систему отсчета Oxyz и движущуюся 0'%'g'z' вдоль оси Ох со скоростью у, когда направления других осей остаются параллельными. Координаты одной и той же точки пространства в этих системах связаны между собой соотношениями:

Р = У； 2 = 2‘； т = т/.Р = У； 2 = 2‘； т = т/.(18.1)(18.1)%' =%—VT；

Р = У； 2 = 2‘； т = т/.

Р = У； 2 = 2‘； т = т/.

(18.1)

(18.1)

"У；

2’ = 2；

= Т；

Эти соотношения, которые называются преобразованиями координат Галилея, справедливы при переходе от одной инерциональной системы к любой другой. Из преобразований координат Галилея, естественно, вытекает и закон сложения скоростей:

〃'=〃士 u,〃'=〃士 u,(18.2)

〃'=〃士 u,

〃'=〃士 u,

где 〃 и 〃‘ 一 соответственно скорости тела в системах Oxyz и О'£”, и — относительная скорость этих систем.

Преобразования Галилея казались очевидными, и они без критики были перенесены на законы распространения света. Теория распространения света в движущихся средах строилась по аналогии с известными закономерностями распространения звука. Звук распространяется в воздухе, а свет — в эфире. Разногласия возникли по вопросу о движении эфира. Герц утверждал, что эфир полностью увлекается материальными телами при их движении и, исходя из этого, создал теорию распространения электромагнитных волн вообще и света в частности. Френель и Ло

ренц придерживались противоположной точки зрения. Они считали, что мировой эфир совершенно неподвижен и при движении материальных тел не захватывается и не увлекается.

Теория увлекаемого эфира позволила Герцу использовать преобразования Галилея и на их основе создать уравнения электродинамики. Экспериментальная проверка этих уравнений была осуществлена Физо. Свет от источника О падает на полупосеребренную пластинку Si, частично отражается (луч 2), частично преломляется (луч 7). Эти лучи когерентны, так как они получены от одного источника. Поэтому, пройдя различные пути, они приобретали некоторую разность хода и, сходясь на зеркале Si, интерферировали (рис. 18-1). Каждый луч проходил через два сосуда с водой. Вначале рассматривалась интерференционная картина, когда вода в сосуде была неподвижной, при этом фиксировалось положение нулевой полосы. Затем вода в сосудах приводилась в движение; при этом один когерентный луч в обоих сосудах шел

по направлению движения воды, а другой ——против движения. Так как движущаяся вода увлекает эфир, то скорость первого луча будет

4 =彳 + 〃(18.3)

а второго

% =穆一4(18.4)

2厶 T =-2厶 T =-пп2L2厶2厶4厶4以炉2L2厶2厶4厶4以炉где с ——скорость света в вакууме, п — показатель преломления воды, и ——скорость движения воды. Ожидаемое изменение интерферецион- ной картины определится добавочной разностью времени распространения лучей, которая равна

2厶 T =-

2厶 T =-

п

п

2L2厶2厶4厶4以炉

2L2厶2厶4厶4以炉

c . 一 c2 。 一e2—济九2 '

0 产。浜t

где 厶一длина одного сосуда с водой.

Если пренебречь величиной。2儿2 ввиду ее малости по сравнению с с2, то формула примет вид

(18.5)(18.5)4厶拉2

(18.5)

(18.5)

T=—5—С2

Тогда разность хода будет

5 = тс5 = тс4Lvn24Lvn2(18.6)(18.6)

5 = тс

5 = тс

4Lvn2

4Lvn2

(18.6)

(18.6)

что приведет к смещению интерференционной картины на m полос, т. е. 6=т兀 откуда

(18.7)(18.7)6 4L切2m = f = —i—

(18.7)

(18.7)

В опытах Физо были известны следующие величины: £ = 150 см; и=700 см/с;九=0,5 мкм; это должно было соответствовать смещению т=0,5 полосы. Однако действительное смещение полос оказалось в два раза меньше.

Теория увлекаемого эфира Герца оказалась в противоречии с опытом. До Герца Френель высказал гипотезу о том, что хотя эфир и неподвижен, но, войдя в движущееся тело, он уплотняется и ча стично увлекается телом, причем коэффициент увлечения равен

%=1-(18.8)

(18.9)(18.9)Тогда смещение интерференционных полос (в опыте Физо) должно быть равно

(18.9)

(18.9)

m=丁（儿-1）・

Произведя подстановку числовых данных из опыта Физо, получим т=0,2 полосы. В опыте было получено значение т^0,2 полосы.

一360 ——

§ 2・ Опыт Майкельсона — Морли

Рис. 18-2Рис. 18-2Опыты по определению абсолютного движения Земли сквозь воображаемый «эфир» были проделаны в 1887 г. Майкельсоном и Морли с помощью интерферометра, которые для увеличения точности эксперимента был подвергнут некоторой модернизации. Главные части прибора (рис. 18-2): источник света А, посеребренная полупрозрачная стек

Рис. 18-2

Рис. 18-2

лянная пластинка В, зеркала СиО, укрепленные на тяжелой плите, которая плавала в ванне с ртутью. Такое устройство позволяло плавно, без сотрясений поворачивать интерферометр.

Вычислим время прохождения светом расстояния / от В до зеркала D и обратно, обозначив промежут-

ки времени соответственно q и т2.

Пока свет проходит расстояние от В до D, сам прибор вместе с Землей, которая движется со скоростью и, переместится на расстояние ^тп так что световому лучу придется пройти путь /+^. Тогда можем за

писать

5l=/+〃j,

откуда

(18.10)

Проведя аналогичные рассуждения при распространении света от D до В, получим

СТ2 = /〃 • <2,

откуда

с-^-ис-^-и(18.11)

с-^-и

с-^-и

Таким образом, луч пройдет путь BDB за время, равное

Ь + Ь = ^,(18.12)

или

9/ /с

(18・13)

В другом плече интерферометра свет затрачивает одинаковое время, равное Тз, на движение в прямом и обратном направлениях, т. е. общее время прохождения расстояния ВСВ будем считать равным 2т3. За время т3 зеркало С сдвинется направо на расстояние 〃т§ и свет пройдет

расстояние стз по гипотенузе ВС. Из прямоугольного треугольника имеем (см. рис. 18-2)

(стз)2=/2+(〃Тз)2,

или

/2 =e2%； - "2w=吟«2 - "2), откуда

т3 = д尸 好—'•(18.14)

3 外2 j2M1 — 〃2/с2' 丿

А общее время равно

2” 7s声(18.⑸

Числители в равенствах (18.13) и (18.15), выражающие время распространения света в покоящемся приборе, одинаковы, а знаменатели разные.

Орбитальная скорость Земли равна 30 км/с. В определенное время суток скорость и, входящая в формулы, становится равной 30 км/с. При вращении интерферометра положение его плеч относительно вектора скорости и будет меняться, что приведет к смещению интерференционных полос. Величина смещения находится из следующих соображений.

Разность времен

Р1— 〃2/с21— 〃2%2 *

11Обозначим 〃2/с2=02, тогда

1

1

С \М1—021—р/ С /1-₽2 \

2/1 По / Оо

Приобретаемая лучами разность хода равна

5 = Ат・с = 2俨.(18.16)

Смещение, выраженное в долях ширины интерференционной полосы, равно

加=^ = ^.02.(18.17)

В опытах Майкельсона и Морли длина оптического пути многократными отражениями была доведена до 11 м и ожидаемое смещение должно было принимать значения т^0,4. Точность прибора была такова, что это смещение было бы надежно зафиксировано, однако этого не случилось. Этим и последующими измерениями был подтвержден отрицательный результат опыта Майкельсона.

—362 -

Зависимости скорости света от направления движения обнаружено не было. Только через 18 лет отрицательные результаты этого опыта объяснил А. Эйнштейн. Чтобы выйти из тупика, Лоренц предположил, что все тела при движении сжимаются, но только в направлении движения. Если длина покоящегося тела /0, то длина движущегося тела (направление скорости и совпадает с длиной тела) будет равна

/ = W1—“а/*(18.18)

Если эту формулу применить к интерферометру Майкельсона — Морли, то выражение (18.13) примет вид

■_ 2〃С Н — 〃2/с2 —2〃с

G12/e2一 一 m2(2 '

т. е. станет тождественным равенству (18.15), которое останется без изменения, так как направление ВС перпендикулярно вектору скорости. В этом случае вращение интерферометра не приведет к смещению интерференционных полос, так как интерференционный эффект, обусловленный движением Земли, полностью компенсируется эффектом сокращения размеров и отрицательный результат в опыте Майкельсона —Морли становится неизбежным.

§ 3・ Постулаты Эйнштейна и преобразования Лоренца

В основу созданной в 1905 г. специальной теории относительности А. Эйнштейн положил два положения, являющиеся следствием экспериментальных фактов. Эти положения называются постулатами специальной теории относительности.

Скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света и одинакова во всех системах координат, движущихся прямолинейно и равномерно друг относитель- . но друга (инерциальных системах).(

Законы природы одинаковы (инвариантны) во всех системах координат, движущихся прямолинейно и равномерно друг относительно друга.4

Специальная теория относительности поз- 人 волила разрешить трудности в электродинамике движущихся сред, связанные с неудачными

попытками обнаружить движение Земли относительно эфира. В настоящее время теория Эйнштейна получила всеобщее признание и стала основой новых отраслей техники: ядер ной энергетики, ускорительной техники и др.

В теории относительности Эйнштейна классические преобр а- зования коорди.нат (преобразования Галилея), описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, заменяются новыми соотношениями —— преобразованиями Лоренца.

Предположим, система координат к' движется относительно системы К с постоянной скоростью и (рис. 18-3), при этом оси X обеих сис-

тем параллельны друг другу. Рассмотрим лишь движение вдоль оси X. Оно определяется относительно системы координат К абсциссой х и временем т, а относительно К'——абсциссой %' и временем т'・ Распространение светового сигнала в положительном направлении оси X описывается уравнением

х=ст,

или

%—ct=0.(18.19)

Для системы координат К' аналогичное уравнение имеет вид £—ст'=0.(18.20)

Движению, происходящему в обеих системах координат, должны удовлетворять как уравнение (18.19), так и уравнение (18.20), что выполняется, если имеет место соотношение

%'—ст/=九(％—ст;),(18.21)

где 九 ——постоянная величина.

Для лучей, распространяющихся в отрицательном направлении оси X, уравнение (18.21) имеет вид

(х+ст),(18.22)

где 卩 ——постоянная величина. Введем вместо 九 и 世 новые постоянные: 一九+卩九--"

Тогда, складывая и вычитая соотношения (18.21) и (18.22), получим х'=ах—Ьст,(18.23)

схг=асх—bx.(18.24)

Определим постоянные а и 瓦

Для начала координат системы К' имеем %'=0, тогда из уравнения (18.23)

% = 3(18.25)

или

и =(18.26)

Если в уравнении (18.23) положить т=0, то

xf=ax.

Из этого следует, что если некоторый отрезок в системе К' равен единице (А%' = 1), то, наблюдая его из системы К (моментальная фотография отрезка), мы обнаружим, что

Если в системе К'т'=0,то, решая уравнения (18.23) и (18.24) совместно, а также используя равенства (18.25) и (18.26), получим

%'=a(1—u2/炉)%.

Отсюда заключаем, что две точки на оси X, находящиеся на расстоянии, равном единице (А%=1), при наблюдении их из системы К' (моментальная фотография) будут разделены расстоянием

А/=а(1—好).(18.28)

Так как оба наблюдения (фотографии) должны быть идентичными, то

； = "(1-*/炉)，или 必=]_踪2-(18.29)

〃 времени〃 времени%—trrК1 —j2/,2UН一№/e2%—trrК1 —j2/,2UН一№/e2Равенства (18.26) и (18.29) определяют постоянные а и Ь. Подставляя их значения в уравнения (18.23) и (18.24), получаем преобразования Лоренца для координаты

〃 времени

〃 времени

%—trrК1 —j2/,2

U

Н一№/e2

%—trrК1 —j2/,2

U

Н一№/e2

(18.30)

(18.31)

(18.32)(18.32)К этим соотношениям добавляем уравнения

(18.32)

(18.32)

§ 4. Кинематика теории относип^ельности.Относительность одновременности

Согласно теории относительности А. Эйнштейна скорость света в вакууме является абсолютной величиной, а такие абсолютные понятия, с точки зрения классической механики Ньютона, как длина, время, масса, стали относительными.

Запишем преобразования Галилея:

%+廿；％' =% — VT；

p = d；у' =У\

Z = N‘；N‘ = Z；

t = Y;tz — т;

и преобразования Лоренца:

V1 -吗C2 'V ]-叫e2 '

У = У‘；У=Р；

2 = z'；z'=z；

T — т/ +"Х/с2 .т，— т — vx/c2

h1 一乙，2£2，—V匚寿京"・

Сравнивая эти преобразования, видим, что при малых скоростях теория относительности А. Эйнштейна совпадает с классической теорией. Законы классической физики входят в теорию относительности как предельный (частный) случай.

Рассмотрим некоторые выводы из теории относительности, вытекающие из преобразований Лоренца.

Координаты х\ х в движущейся и неподвижной системах координат, а также время тл и т не могут быть мнимыми, а это означает, что выражение 1——v2/^2, стоящее под корнем, должно быть больше нуля. Следовательно, v/c^l, т. е. скорость и относительного движения двух инерциальных систем отсчета не может превосходить скорости света в вакууме.

События, происходящие одновременно в разных местах системы К, при наблюдении их из системы R', движущейся относительно К, могут казаться разновременными. Это явление можно назвать нарушением одновремен ноет и удаленных событий. Пусть одно событие произошло в точке %! в момент т0, а другое — в точке % в тот же момент %, тогда соответствующие моменты т； и т； для наблюдателя, находящегося в системе К', отличаются в соответствии с преобразованиями Лоренца на величину, равную

VVV ..

t。一%2)

w一匸=——£亠」——=c — .(18.33)

1Н1—叫潢Ml—№/,2у! _ У2/С2'/

Интервал времени также становится функцией скорости системы:

Ат/ = т；—т；=Ат/ = т；—т；=Ml—吟臣Ml—吟臣З —Дт/Т72/с2 = J 匸評З —Дт/Т72/с2 = J 匸評(18.34)(18.34)

Ат/ = т；—т；=

Ат/ = т；—т；=

Ml—吟臣

Ml—吟臣

З —Дт

/Т72/с2 = J 匸評

З —Дт

/Т72/с2 = J 匸評

(18.34)

(18.34)

где координата %；=/ и момент времени т； соответствуют началу события в системе К', координата %；=%()и момент времени т；——концу события, тг и т2 ——моменты времени, относящиеся к началу и концу события в системе К・

В данном случае Дтл>Дт, т. е. для движущегося наблюдателя время кажется идущим медленнее.

В системе К находится отрезок, расстояние между крайними точками которого равно

/ = %2—巧・

Это же расстояние для движущегося наблюдателя в системе К' окажется равным

r = %2一元=r = %2一元=%2 ~~~ %1 一 U (t2-~ T1)%2 ~~~ %1 一 U (t2-~ T1)

r = %2一元=

r = %2一元=

%2 ~~~ %1 一 U (t2-~ T1)

%2 ~~~ %1 一 U (t2-~ T1)

Так как наблюдатель в системе К' видит оба конца отрезка одновременно, то t；=T；. Но из-за относительности одновременности имеем

t2 一T1 =(%2 一%)获>

т. е. т2—1\峻0, или т2=^=т1. Отсюда следует

〃=%；—%； =亡包笄淮Li) =)/匚歹./,(18.35)

т. е.

Г </.

Для движущегося наблюдателя длина отрезка кажется уменьшенной в направлении движения в V1——§? раз. Все тела кажутся ему как бы сплющенными.

Классическое правило сложения скоростей в соответствии с преобразованиями Лоренца также заменяется более сложным законом. Пусть скорость тела внутри ракеты равна 〃‘，а ракета в свою очередь имеет скорость и по отношению к Земле. Определим скорость и движения тела с точки зрения земного наблюдателя. Составляющие скорости и! будут

以= %F， 旬=齐，"z= 凉，

а составляющие скорости и будут

dxdx以=石，以=石，иуиу=叱 一石，=叱 一石，dz dtdz dt

dx

dx

以=石，

以=石，

иу

иу

=叱 一石，

=叱 一石，

dz dt

dz dt

Используя преобразования Лоренца, получим (工‘ 一функция от т): dxfdxf 丄dxf

dxdxdt 十dt

=--=彳.二"9

% de /1—p2

Iv_ dx

dr' c? dx/*I

'

Отсюда следует

(18.36)

Учитывая это соотношение, преобразуем выражение (*):

Пользуясь этим равенством, можно найти другие составляющие скорости 〃：

"=也・

иу du，

-367 —

но так как y = yf, то

следовательно,

(18.37а)

Аналогично получим

"z =從/1三壯.(18.376)

Из формулы (18.36) следует, что суммарная скорость не равна сумме скоростей, а меньше ее на величину 1+^〃1/炉. Возьмем предельный случай. Пусть тело движется в ракете со скоростью и=% а сама ракета имеет скорость 〃‘=с. Что обнаружит земной наблюдатель? Согласно выражению (18.36) запишем

Значит, если тело движется внутри корабля со скоростью света, то, с точки зрения стороннего наблюдателя, скорость не изменится, она по- прежнему будет равна скорости света.

Этот вывод выражает первый постулат теории относительности Эйнштейна. В случае, когда и«с, мы снова приходим к классическим формулам сложения скоростей.

§ 5・ Релятивистская динамика

Основные уравнения механики Ньютона, которые не являются инвариантными по отношению к преобразованиям Лоренца, также должны быть соответствующим образом изменены.

Одним из основных законов классической механики является закон сохранения количества движения:

mv=const.

Рассматривая взаимодействия тел, например, в процессе удара и пользуясь преобразованиями Лоренца, можно показать, что величина mv не сохраняется, а сохраняются величины вида

где 0 = ?,恤一масса покоя, т. е. масса при и=0. В соответствии с этим масса зависит от скорости (системы отсчета) и определяется по

-368 —

формуле

tntn团0KF，团0KF，(18.38)(18.38)

tn

tn

团0

KF，

团0

KF，

(18.38)

(18.38)

Формула (18.38) получается из предположения, что в релятивистской механике выполняется закон сохранения импульса: при любых процессах, происходящих в изолированной системе, ее полный импульс не изменяется.

Законы механики сохраняют форму ньютоновской механики, а именно: изменение количества движения d(mv) равно импульсу 尸・dt действующих сил, или производная от импульса по времени равна действующей силе:

罢=尸・

dx

Но выражение импульса в соответствии с (18.38) имеет более сложный вид:

p = nwp = nw7!寺7!寺(18.39)(18.39)

p = nw

p = nw

7!寺

7!寺

(18.39)

(18.39)

Тогда уравнение релятивистской динамики будет иметь вид

(18.40)(18.40)(18.41)(18.41)d / т^у \

(18.40)

(18.40)

(18.41)

(18.41)

Выражение (18.40) может быть написано в виде 小V)= F，или黑=尸.

Это тот же классический закон Ньютона, но только здесь масса tn подлежит дифференцированию по времени.

/ Энергия движущегося тела в релятивистской динамике растет со скоростью быстрее, чем в классической механике. Однако возрастание энергии, так же как и в классической механике, вызывается работой силы 尸，следовательно,

dE ds

右=尸石=尸0

Подставляя сюда значения (18.41), находим

dEdEd (tnv) dm » I duo dmd (tnv) dm » I duo dm

dE

dE

d (tnv) dm » I duo dm

d (tnv) dm » I duo dm

ИЛИ

dE = и2dm + 号 d (*).dE = и2dm + 号 d (*).(18.42)(18.42)

dE = и2dm + 号 d (*).

dE = и2dm + 号 d (*).

(18.42)

(18.42)

Решая уравнение (18.38) относительно v2, получаем

缁)，

-369 —

откуда

dS =喉2 K

Подставляя два последних выражения в уравнение (18.42), имеем

откуда после интегрирования получим E=mc2+const.

Если приравнять постоянную интегрирования нулю, то получим энергию, эквивалентную массе покоя, т. е.

Ео=тосХ(18.43)

Полная энергия движущегося тела равна

Е=тс\(18.44)

Уравнение (18.44) выражает один из важнейших законов природы —— закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее полной релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме.

Пример.

Ускоритель сообщает электронам энергию 4,08* 106 эВ. Определить скорость и изменение массы электрона.

Решение. Согласно теории относительности кинетическая энергия частицы равна

皐=m^一恤*(*)

где тс2 — полная энергия электрона, т0с2 ——энергия, соответствующая его массе покоя.

Для электрона согласно табличным данным получим

т0с2=—0,51 МэВ.

В соответствии с формулой (18.38) масса электрона, движущегося со скоростью и, равна

где mQ ——масса покоящейся частицы, с ——скорость света в вакууме. Подставив данное выражение в уравнение (*), получим

Разделим обе части уравнения на 团炉： = —. = - 1. 团雜У1 —у2/с2

Вычислим левую часть данного уравнения:

皐 _4,08J06 зв底？ = 0,51・1()б эВ，

Тогда будем иметь

М1 — ” 'М1 — ” '

М1 — ” '

М1 — ” '

Я —-1 -— 1, или 9 = M1-J2/C2

откуда

Сделав некоторые алгебраические преобразования, получими= ^Х'|у с = 0,98с,

т. е. скорость электронов близка к скорости света, но меньше ее. Зная скорость электронов, определим изменение их массы:

т =т =,откуда m = 9m0.,откуда m = 9m0.

т =

т =

,откуда m = 9m0.

,откуда m = 9m0.

Следовательно, масса электрона, имеющего скорость 0,98 с, в 9 раз больше массы покоящегося электрона.

§ 6. Эффект Доплера

Эффект Доплера заключается в изменении воспринимаемой частоты колебаний при относительном перемещении источника и приемнике волн. При сближении источника и приемника наблюдается возрастание частоты, а при удалении —— уменьшение. Эффект Доплера имеет место и в оптике, и в акустике. В акустике в отличие от оптики имеет значение не только относительное движение наблюдателя и источника, но и скорость их движения относительно сред.

В акустике регистрируемая прибором частота равна

v =(18.45)

где v0 ——число колебаний, испускаемых в 1 с движущимся источником, а — скорость звука, и — скорость движения прибора, регистрирующего колебания, относительно среды (и берется со знаком плюс, если прибор движется по направлению к источнику колебаний), и ——скорость движения источника относительно среды (правило знаков то же).

Для электромагнитных волн эффект Доплера следует из преобразований Лоренца и зависит только от относительной скорости и источника й приемника. При распространении электромагнитных волн в вакууме воспринимаемая частота равна

_H—U2/C2

W = Vq 1 二 и/с •

Вывод данного соотношения делается из следующих соображений. Для неподвижного наблюдателя волна описывается уравнением

s = 4・sin 2冗(，一今)= X-sin2n (vt —йх),(18.47)

где fe^y — волновое число, которое равно числу волн 曲 1 儿・ В системе отсчета движущегося наблюдателя имеем

—т'—vxf/с2— £ — vxr

тогдатогдаs = 4・sin 2ns = 4・sin 2nxf — vx'/c2xf — vx'/c2kk

тогда

тогда

s = 4・sin 2n

s = 4・sin 2n

xf — vx'/c2

xf — vx'/c2

k

k

Произведя перегруппировку членов, получим

s = 4・sin2 冗s = 4・sin2 冗一_笈+ 3e J一_笈+ 3e J= 4・sin2冗[v4z —々'％].= 4・sin2冗[v4z —々'％].3…=洋…3…=洋…々 + \Ш/С2々 + \Ш/С2соответственно частота и вол-соответственно частота и вол-новое число, которые фиксирует движущийся наблюдатель. Так какновое число, которые фиксирует движущийся наблюдатель. Так какc = ^v, откуда 九=三，тоc = ^v, откуда 九=三，то

s = 4・sin2 冗

s = 4・sin2 冗

一_笈+ 3e J

一_笈+ 3e J

= 4・sin2冗[v4z —々'％].

= 4・sin2冗[v4z —々'％].

3…=洋…

3…=洋…

々 + \Ш/С2

々 + \Ш/С2

соответственно частота и вол-

соответственно частота и вол-

новое число, которые фиксирует движущийся наблюдатель. Так как

новое число, которые фиксирует движущийся наблюдатель. Так как

c = ^v, откуда 九=三，то

c = ^v, откуда 九=三，то

1

где с — скорость света. Следовательно, у = v(l+B) = V УТ^

Данная формула аналогична равенству (18.46).

а九uа九uВ результате изменения регистрируемой частоты происходит смещение спектральных линий относительно нормального положения. Если расстояние между источником света и приемником уменьшается, то линии смещены к фиолетовому концу спектра, если увеличивается, то — к красному. Изменение длины волны и относительная скорость источника связаны соотношением

а九u

а九u

(18.48)

где X — длина волны, соответствующая линии в спектре источника, находящегося в покое относительно наблюдателя.

Смещение спектральных линий к красному концу спектра в астрономии получило специальное название — «красное смещение». Красное смещение наблюдается, как правило, в спектрах всех внегалактических туманностей (галактик), для которых удалось сфотографировать спектральные линии. Исключение составляют несколько ближайших к нам галактик, в спектрах которых линии смещены в направлении фиолетового конца. Это исключение объясняется, во-первых, движением солнечной системы в направлении той области неба, в которой видны эти галактики, во-вторых, собственными скоростями галактик, которые на близких расстояниях преобладают над систематическими скоростями удаления, определяемыми по межгалактическому красному смещению. Величина красного смещения определяется соотношением

г=ДШ.(18.49)

Наибольшее измеренное красное смещение составляет z=0,461. Часто величину красного смещения измеряют по скорости и, соответствующей наблюдаемому красному

смещению [см. (18.48)]:

u=e・a九/九.

Доплеровское истолкование красного смещения приводит к представлению о расширении Метагалактики, о взаимном удалении отдельных галактик друг от друга.

Эффект Доплера также широко применяется в радиолокации для определения скорости и направления движения объекта (цели). Доплеровские радиолокационные системы применяются в приборах предупреждения и сигнализации о приближении движущихся целей, в радиовзрывателях, в устройствах для селекции подвижных целей.

Помимо смещения спектральных линий эффект Доплера приводит к их уширению. Доплеровское уширение спектральных линий объясняется движением излучающих атомов. По величине уширения спектральных линий определяют тепловые скорости атомов и ионов. В ряде случаев, кроме теплового движения атомов, нужно учитывать движение отдельных частей излучающей среды. Например, турбулентное движение в атмосферах звезд приводит к доплеровскому уширению линий звездного спектра. Исследование этого уширения является важным источником сведений о строении звездных атмосфер.

Часть VI

Квантово-оптические явления. Элементы атомнойи ядерной физики

Глава 19

КВАНТОВО-ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

§ 7・ Тепловое излучение. Закон Кирхгофа.Формула Рэлея — Джинса

Излучение нагретых тел, так же как свет, радиоволны и т. д., относится к электромагнитным явлениям. Материальная среда (например, жидкость, твердое тело) испускает электромагнитное (тепловое) излучение при любой температуре, кроме температуры, равной абсолютному нулю. Тепловое излучение — излучение нагретых тел, находящихся в термодинамическом равновесии. Оно зависит от температуры тела, так как является следствием хаотического теплового движения молекул и атомов среды.

Энергия, доставляемая за единицу времени на поверхность тела падающими на нее электромагнитными волнами, характеризуется п о- током теплового излучения (измеряется в ваттах). Поток излучения Фэ, испускаемый единицей поверхности тела по всем направлениям, называется энергетической светимостью, или лучеиспускательной способностью тела:

Ra = *・(19.1)

Единицей энергетической светимости в СИ является Вт/м2.

Поток излучения d①九，относящийся к узкому интервалу длин волн 九，K+dK, определяется соотношением

d ①九=о1d 九 dS,(19.2)

где величина 厂九 называется спектральной плотностью энергетической светимости и выражается формулой

Г尸符，(19.3)

т. е. а является функцией распределения энергии по спектру. Она выражает собой мощность излучения с 1 м2 поверхности тела, приходящуюся на единичный интервал длин волн спектра вблизи данной волны

一374 —

九.Измерения показывают, что 小 для данного тела зависит как от длины волны X, вблизи которой взят интервал М, так и от температуры Т тела.

Очевидно, что энергетическая светимость тел является функцией длины волны и температуры и выражается соотношением

R? = ；以认.(19.1а)

о

(19.4)(19.4)Поглощательная способность тела, или коэффициент монохроматического поглощения а九,характеризуется отношением потока излучения, поглощенного данным телом в единичном интервале длин волн, к потоку излучения, падающего на ту же площадь, т. е.

(19.4)

(19.4)

Величина 软 безразмерна.

Если имеется несколько тел, нагретых до различной температуры, то спустя некоторое время произойдет выравнивание температур, даже

если передача теплоты конвекцией и теплопроводностью исключена. Горячие тела путем излучения передают холодным большие энергии, чем получают от них, и так до тех пор, пока не наступит равновесное состоя- ние. В состоянии термодинамического равновесия у тел, обменивающихся энергией лишь путем излучения и поглощения, отношение спектральной плотности энергетической светимости к поглощательной способнос

(19.5)(19.5)ти (次/а九)является постоянной величиной, не зависящей от природы тела, и для всех тел выражается одной и той же функцией от длины волны 九 и температуры Т:

(19.5)

(19.5)

Это соотношение называется законом Кирхгофа. Функция /(九,Т) выражает спектральную плотность гох абсолютно черного тела.

Тело, которое при любой температуре поглощает всю энергию падающего на него электромагнитного излучения произвольной длины волны, называется абсолютно черным телом; для него а^\. В природе таких тел не существует. Реальные тела могут хорошо поглощать излучения какого-то определенного участка спектра и плохо поглощать излучения других длин волн.

Свойства абсолютно черного тела лучше всего воспроизводит тело с небольшим отверстием S в замкнутой полости, стенки которой выполнены из поглощающего материала (рис. 19-1). Луч света, падающий внутрь этой полости через отверстие S, претерпевает многократное отражение. При каждом отражении стенки полости поглощают часть энергии. Поэтому интенсивность луча света, выходящего из отверстия,

во много раз меньше интенсивности входящего. Чем больше величина отношения площади полости к площади отверстия, тем ближе такое тело к абсолютно черному. Поскольку «^^1, то из закона Кирхгофа получаем

厂必= /0，Т)・ (19.6)

Из формулы (19.6) следует, что все абсолютно черные тела при данной температуре обладают одним и тем же распределением излучаемой энергии по длинам волн, т. е. спектральная плотность энергетической светимости всех абсолютно черных тел одинаково изменяется с температурой. С помощью модели абсолютно черного тела можно изучить распределение светимости по длинам волн до температур порядка 3000 К・

Задача о спектральной плотности энергии теплового излучения является основной в теории излучения и ее решению посвятили свои усилия многие выдающиеся физики.

Строгое решение этой задачи дали Рэлей и Джинс, которые исходя из представлений классической физики получили следующую формулу для функции /(X, Т):

〃儿 т)М = 8冗々7 嘗， (19.7)

где Л — постоянная Больцмана, Т ——абсолютная температура. Формула (19.7) носит название формулы Рэлея — Джинса. В шкале частот она принимает вид

№，Т) dv = ^kTdv,(19.8)

или

rovdv = ^kTdv.(19.8а)

Для длинных волн формула Рэлея ——Джинса дает хорошее совпадение с экспериментом, но при коротких длинах волн, т. е. на больших частотах, расчетные значения спектральной плотности 厂必 абсолютно черного тела перестают совпадать с экспериментальными данными (кривая уходит в бесконечность). Интегрируя выражение (19.8 а) по V в пределах от 0 до оо, получаем

Rq3 = §「qv 拠=縹^§ V2 dv = 8・оо

Ясно, что бесконечно большие значения энергетической светимости лишены всякого физического смысла. Создавшееся положение было названо «ультрафиолетовой катастрофой», так как расчеты по формуле Рэлея — Джинса резко расходились с экспериментальными результатами в области коротких длин волн — в области фиолетовых и ультрафиолетовых лучей. Следовательно, классическая физика была не в состоянии объяснить важные экспериментальные факты.

1ehv/kT »1ehv/kT »(19.10)(19.10)ИЛИ2л%2где с — скорость света в вакууме,ИЛИ2л%2где с — скорость света в вакууме,11е%/々九 т-1 'е%/々九 т-1 '(19.11)(19.11)/i=6,62-10~34 Дж-с — постоянная/i=6,62-10~34 Дж-с — постоянная

1

ehv/kT »

1

ehv/kT »

(19.10)

(19.10)

ИЛИ

2л%2

где с — скорость света в вакууме,

ИЛИ

2л%2

где с — скорость света в вакууме,

1

1

е%/々九 т-1 '

е%/々九 т-1 '

(19.11)

(19.11)

/i=6,62-10~34 Дж-с — постоянная

/i=6,62-10~34 Дж-с — постоянная

§ 2・ Квантовая гипотеза и формула Планка

М. Планк указал выход из создавшегося положения, выдвинув гипотезу, что энергия испускается и поглощается не непрерывно, а отдельными квантами (порциями). Энергия каждого кванта равна

£=液，(19.9)

где h — постоянная Планка, v ——частота.

Исходя из гипотезы о квантах света, М. Планк предложил формулу для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела

2лАт3

Планка, X — длина волны, v — частота, А — постоянная Больцмана.

Так было положено начало атомистической теории излучения, которая переросла затем в квантовую теорию.

Кванты излучения различной частоты обладают различными энергиями. Квант электромагнитного излучения, относящийся к оптическому диапазону спектра, называют фотоном.

Согласно закону пропорциональности массы и энергии и гипотезе Планка запишем формулы энергии для фотона:

£=版.

Приравнивая правые части этих уравнений, получим выражение для массы фотона:

团=*,(19.12)

или с учетом, что c = Av,

团=嘉(19•⑶

Если фотон (квант электромагнитного излучения) имеет массу, пропорциональную его энергии, то, умножив массу на скорость света (скорость фотона), мы получим значение импульса фотона:

р=тс(19.14)

Подставив m из (19.12), получим hvh

P = 丁，ИЛИp=元・

Масса покоя фотона равна нулю. Квант электромагнитного излучения существует только, распространяясь со скоростью света. Если его

-377 —

каким-либо способом остановить, то он исчезает. Но, как будет показано в дальнейшем, фотон, обладающий достаточной энергией, может при этом порождать частицы, имеющие массу покоя, например пару электрон — позитрон (позитрон — это положительно заряженный электрон).

§ 3. Распределение энергии в спектре теплового излучения.Законы излучения абсолютно черного тела

Тепловое излучение тел, находящихся в термодинамическом равновесии, имеет сплошной спектр, т. е. излучаются волны всех длин. Если измерить энергию излучения, приходящуюся на равные интервалы 九2——九i=A九，то окажется, что энергия в спектре по отдельным равным интервалам распределена неравномерно и ее распределение зависит от температуры. При низких температурах излучение является

Рис. 19-2Рис. 19-2

Рис. 19-2

Рис. 19-2

преимущественно инфракрасным. При повышении температуры появляется видимое излучение (九=0,76——0,38 мкм), далее ультрафиолетовое. Распределение энергии в спектре излучения по длинам волн изображают графически (рис. 19-1, а). Тепловое излучение всегда состоит из бесконечно большого числа волн, непрерывно заполняющих любой конечный интервал от 九i до Z2. Но в большинстве практически важных случаев отношение ширины интервала 九?——九i к среднему в его пределах значению длины волны может быть довольно мало: (Z2——^i)Acp«10~6. В таких случаях для упрощения считают, что этому среднему значе^ нию длины волны соответствует вся энергия, приходящаяся на указанный интервал 九?——九i=A九.Иначе говоря, считают, что излучение на данном интервале монохроматическое, т. е. одной длины волны. В действительности же монохроматическое излучение не может существовать изолированно от излучения смежных длин волн.

На графике рис. 19-2, а вся энергия излучения, приходящаяся на все длины волн, изображается площадью, находящейся между кривой распределения и осью абсцисс (осью 九).Энергия на узком интервале от к до Z+Л изображена заштрихованной полоской. По оси ординат отложено отношение энергетической светимости dR^, приходящейся на

бесконечно малый интервал, к бесконечно малой ширине этого интервала d%.

Изучение распределения энергии в спектре теплового излучения абсолютно черного тела при различных температурах привело к установлению следующих закономерностей:

спектр излучения абсолютно черного тела является сплошным, т. е. в спектре представлен непрерывный ряд длин волн;

распределение энергии в спектре излучения зависит от длины волны. С увеличением длины волны спектральная плотность энергетической светимости г* увеличивается, достигает отчетливо выраженного максимума при некоторой длине волны Хт, затем уменьшается;

с повышением температуры максимум излучения смещается в сторону более коротких волн. Уменьшение а в сторону более коротких волн выражено более резко, чем в сторону более длинных.

Распределение энергии при различных температурах для видимого света показано на рис. 19-2, б (область, ограниченная пунктиром).

Раскаленное тело, вначале красное, с повышением температуры становится все более и более белым. Это свидетельствует о том, что максимум интенсивности теплового излучения по мере повышения температуры тела смещается к фиолетовому концу спектра, т. е. к его коротковолновой части. Длина волны Кт в спектре излучения абсолютно черного тела, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, определяется законом смещения Вина: 导，(19.15)

где Сг ——постоянная Вина, равная 2,89-10~3 м・К； Т — абсолютная температура тела.

Закон смещения Вина может быть получен из формулы Планка (19.11). Длина волны Хт, соответствующая максимуму распределения энергии в спектре излучения, dr^

определяется условием -^ = 0. Если взять производную и решить полученное трансцендентное уравнение, то после ряда вычислений мы придем к закону смещения Вина.

Максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости возрастает пропорционально пятой степени абсолютной температуры:

г%т = СТ.(19.15а)

Это соотношение носит название второго закона Вина. Коэффициент С" называют постоянной второго закона. Он равен

С〃= 1,30 • 1 Of Вт/(м • нм • К」5).

Закон Стефана — Больцмана устанавливает зависимость энергетической светимости (см. § 1) от температуры: энергетическая светимость абсолютно черного тела про пор ц иональна четвертой степени его абсолютной температуры'.

凡9 ="4,(19.16)

где о ——постоянная Стефана——Больцмана, равная 5,6-10~8 Вт/(м2- К4).

Закон Стефана — Больцмана также следует из формулы Планка (19.11):

о0

Очевидно, что суммарная энерги я изл учени я по всем длинам волн, испускаемая площадкой S абсолютно черного тела за время т, равна

E=gDSt. (19.17)

Законы теплового излучения широко используются в теплотехнике при расчете потоков лучистой энергии, в оптической пирометрии, в астрономии при определении температуры небесных светил и т. д.

§ 4. Фотоэлектрический эффект

При взаимодействии инфракрасных лучей, видимого света, ультрафиолетовых лучей, рентгеновского излучения и гамма-квантов малых энергий с веществом происходит вырывание электронов из вещества.

Явление вырывания электронов из поверхности твердых и жидких тел под действием света носит название внешнего фотоэффекта.

Ионизация атомов и молекул газа под действием света относится к явлению фотоионизации.

Основное влияние на характер протекания фотоэффекта оказывают электрические свойства облучаемого материала (проводник, изолятор, полупроводник), а также энергия фотонов, так как для каждого материала существует минимальное значение энергии фотонов, при которой фотоэффект прекращается.

Рассмотрим внешний фотоэффект, который широко используется в фотоэлементах и фотоумножите л я х.

Впервые явление фотоэффекта было замечено Герцем в 1887 г. Герц обнаружил, что облучение искрового промежутка ультрафиолетовыми лучами облегчает разряд. Первые количественные исследования фотоэлектрического эффекта принадлежат русскому физику А. Г. Столетову, который установил основные законы фотоэффекта. Схема установки, на которой проводил свои опыты А. Г. Столетов, приведена на рис. 19-3. Установка состоит из двух электродов ——сетчатого анода 4 и катода К, батареи Б, гальванометра G и яркого источника света (дуговая лампа). Свет свободно проникает через анод и освещает внутреннюю поверхность другого металлического электрода, который часто выполняется из серебра, алюминия, никеля, меди или цинка.

Каждый раз при включении дуговой лампы в цепи появляется ток, так называемый фототок. Свет вырывает из катода фотоэлектроны, которые притягиваются к сетчатому аноду, и гальванометр регистрирует наличие тока в цепи. Столетов установил, что под действием света вещество теряет отрицательные заряды, так как фототок в цепи появлялся лишь при освещении катода, и что сила фототока зависит от светового потока, материала катода и напряжения на электродах. Если все вырываемые электроны доходят до анода, то в цепи устанавливается ток насыщения. При уменьшении напряжения до нуля сила фототока тоже будет уменьшаться, так как до анода будет долетать лишь часть вырванных из катода фотоэлектронов. Но даже при напряжении, равном нулю, фототок будет иметь место, так как вырванные электроны имеют определенную скорость и часть их достигает анода. По цепи будет идти ток. Ток падает до нуля, если приложить к электродам замедляющее электроны поле, т. е. поменять знаки зарядов пластин. По величине тормозящей разности потенциалов, при которой ток обращается в нуль, можно определить скорость самых быстрых электронов, так как согласно закону сохранения энергии имеем

萼=叫， (19.18)

где т, е, у — масса, заряд и скорость электронов, UQ ——тормозящая разность потенциалов.

Исследования Столетова привели к установлению основных законов фотоэффекта.

Сила фототока насыщения /ф прямо пропорциональна падающему световому потоку Ф:

/产力①， (19.19)

где k ——коэффициент пропорциональности, характеризующий чувствительность данной поверхности к свету (измеряется в амперах на ватт — А/Вт).

Данный закон строго выполняется, если измеряемый ток насыщения образован только электронами, освобожденными светом, что имеет место лишь в вакуумных фотоэлементах. В фотоэлементах, заполненных газом, наблюдается отступление от простой пропорциональности, так как к току электронной эмиссии прибавляется ток ионизации.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется при прочих равных условиях лишь частотой падающего монохроматического света и растет с увеличением частоты. Этот экспериментальный (качественный) факт был теоретически обоснован А. Эйнштейном (1905 г.), который установил количественную связь между энергией, получаемой электроном, и частотой монохроматического излучения.

Согласно представлениям квантовой теории свет излучается и поглощается квантами. Энергия кванта численно равна произведению постоянной Планка h на частоту v излучения, т. е.

E = /lV.

一 381 —

Если энергия света передается электронам металла квантами (порциями), причем энергия одного кванта передается одному электрону, то на основании закона сохранения энергии можно написать

hv=A+mvi/2. (19.20)

Уравнение (19.20) называется формулой Эйнштейна для фотоэффекта. Действительно, при фотоэлектрических явлениях фотон расходует свою энергию e=/tv на работу выхода 4 электрона из вещества и на сообщение электрону скорости у, т. е. на увеличение его кинетической энергии

Рассмотрим вопрос о физической сущности понятия «работа выхода». Кристаллическая решетка металла построена из атомов, которые лишены одного или нескольких электронов, т. е. из положительных ионов металла. Электроны, оторванные от атомов, движутся по всему объему металла и не связаны с каким-либо определенным местом решетки. Электропроводность и теплопроводность металлов определяются именно этими свободными электронами.

Внутри металла электроны могут двигаться свободно, а возле поверхности они испытывают притяжение со стороны положительных ионов, расположенных на поверхности металла, что удерживает их в непосредственной близости к этой поверхности и мешает их выходу за пределы металла. Наличие слоя электронов и положительного слоя ионов создает на поверхности металла двойной электрический слой толщиной порядка 10~8 см. На поверхности проводника имеется скачок потенциала, различный для различных проводников (порядка 3——5 В).

Прохождение электрона через двойной слой должно быть сопряжено с затратой энергии; электрон должен совершить так называемую работу выхода, величина которой определяется простым соотношением

A=e\U, (19.21)

где е ——заряд электрона, AU ——скачок потенциала, который создается двойным слоем. Величина Л измеряется во внесистемных единицах —— электронвольтах (эВ).

В силу этого на поверхности металла имеется «энергетический барьер», препятствующий выходу электронов из металла. Вырывание электронов из металла связано с необходимостью каким-либо способом сообщить им некоторую порцию энергии, которая должна быть затрачена на работу выхода.

Термоэлектронная эмиссия имеет место при увеличении энергии электронов за счет подведенного тепла.

Действуя же на проводник электрическим полем, можно получить холодную эмиссию электронов.

Облучая металл световым потоком, энергия которого передается электронам, мы наблюдаем фотоэлектрическую эмиссию. Если энергия фотона меньше работы выхода, т. е.

Av<A, (19.22)

то фотоэффекта не будет.

Фотоэффект начинается при условии, когда энергия фотона равна работе выхода:

hvQ = A, или 九六=4,(19.23)

где -。(九。)——частота (длина волны), при которой электрон покидает металл со скоростью ит0.

Частота (или длина волны), при которой начинается фотоэффект, определяет так называемую красную границу фотоэффекта. Красная граница фотоэффекта для различных металлов различна и зависит от величины работы выхода. Из поверхности металла цезия, работа выхода у которого равна 1,9 эВ, испускаются электроны при освещении излучением, лежащим в любом участке видимого спектра; калий (работа выхода 2,26 эВ) испускает электроны лишь при освещении его светом с длиной волны менее 0,62 мкм (оранжевые лучи). У вольфрама и платины фотоэффект можно вызвать, лишь облучая их ультрафиолетовыми лучами, так как энергия фотона видимого света меньше работы выхода электрона.

Значение работы выхода фотоэлектронов зависит не только от свойств металла или полупроводника, но и от напряженности внешнего электрического поля.

Если энергия фотона больше 5 кэВ, то фотоэлектрон может развить большие скорости, поэтому при вычислении его кинетической энергии Еэ следует пользоваться формулой релятивистской механики:

皐=卄("7号一)(024)

Начиная с энергий фотона 0,5 кэВ и выше, работой выхода можно пренебречь, тогда

hv = E3 = (m—恤)*(19.25)

где m = /nj}/ 1 —俨.

Как указывалось выше, фотоэффект имеет место при облучении не только металлов, но и по л уп роводни ков, изоляторов, газов. В этих случаях используется ультрафиолетовое или рентгеновское излучение* При соударении с атомом фотон может передать свою энергию электрону и выбить его из электронной оболочки атома. В данном случае энергия выхода будет равна работе, которую необходимо совершить для удаления электрона из атома. Если энергия падающего фотона больше работы выхода, то избыточную энергию фотон передает электрону в виде кинетической энергии. Поэтому фотоэлектроны могут иметь значительную энергию и вызывать ионизацию соседних атомов.

Фотоэлектрический эффект используется в приборах, называемых фотоэлементами, которые в настоящее время получили широкое применение в различных областях науки и техники. Фотоэлементы представляют собой вакуумные или газонаполненные колбы, в которых размещены анод и катод (фотокатод). Для того чтобы анод не задерживал светового потока, его изготавливают в виде решетки, сетки или пе-

тельки. Чувствительный слой фотокатода наносится на внутреннюю поверхность стеклянной колбы. В измерительной технике применяются фотоэлементы с фотокатодами из слоев щелочных металлов: цезий — в длинноволновой области (до 九=1 мкм), кадмий, калий и натрий — в коротковолновой. К аноду прикладывается положительное ускоряющее напряжение, равное примерно 100—120 В (относительно катода); возникающий при освещении фототок определяется гальванометром во внешней цепи или электрометром по падению напряжения на внешнем сопротивлении.

Чувствительность вакуумных фотоэлементов измеряется током насыщения (в микроамперах), приходящимся на 1 лм светового потока, и в области видимого излучения имеет порядок 104-15 мкА/лм.

В новейших фотоэлементах на фотокатод наносят обычно одноатомные слои металлов, активированные чаще всего водородом; такие фото

элементы имеют чувствительность, доходящую до 70 мкА/лм при освещении их обычной лампой накаливания с температурой 2700 К.

Для усиления фототока применяют фотоэлектронные умножители (ФЭУ) — приборы, в которых, кроме фотоэффекта, используется явление вторичной эмиссии электронов. Фотоумножители широко применяются в атмосферной оптике, астрономии, спектральном анализе, в физических и химических исследованиях, звуковом кино, а также для регистрации ядерных излучений. Фотоэлектронный умножитель, принципиальная схема которого изображена на рис. 19-4, представляет вакуумный фотоэлемент с несколькими (7+11, иногда больше) промежуточными электродами 7, 2, 3, 4、называемыми эмиттерами. Эти электроды покрыты веществом, легко испускающим при ударе электроны. Свет, падая на фотокатод К, вызывает фотоэлектронную эмиссию, т. е. выбивает из него фотоэлектроны. Поток электронов направляется под действием электростатического поля на первый эмиттер, выбивая из него вторичные электроны, затем на второй, третий и т. д. Число вторичных электронов зависит от энергии первичных электронов и эмиссионных свойств материала эмиттеров. Если коэффициент вторичной эмиссии каждого эмиттера т, то при п каскадах в фотоумножителе коэффициент усиления будет равен

Коэффициент вторичной эмиссии т — это отношение числа вторичных электронов, испускаемых данным телом, к числу первичных электронов, падающих на него. Например, если коэффициент вторичной эмиссии равен 5, а число эмиттеров 〃=11, то коэффициент усиления

М=5к5・107.

Число электронов на выходе определяется формулой

Z = yKN ^М,

где Ук — квантовый выход фото катода (около 10%), N — число световых квантов, падающих на катод, п — коэффициент сбора фотоэлектронов на первом эмиттере (от 20 до 100%).

Квантовый выход фото катода показывает число электронов, выбитых одним фотоном. Если квантовый выход равен 0,1, значит, в среднем один электрон выбивается каждым десятым фотоном.

Эффективность фото катод а, помимо квантового выхода, определяется его интегральной чувствител ь ностью, измеряемой в амперах на люмен (А/лм). Если фото катод обладает интегральной чувствительностью у, а коэффициент усиления умножителя равен М, то интегральная чувствительность фотоумножителя определяется формулой

YS = Y〃・

В фотоумножителях применяются те же фотокатоды, что и в вакуумных фотоэлементах (в основном сурьмяно-цезиевый и кислородно- цезиевый), но с более низкой интегральной чувствительностью, что объясняется различием технологии изготовления катодов.

Спектральная чувствительность фотокатода зависит от длины волны падающего излучения. Максимум спектральной чувствительности соответствует волнам определенной длины, которая указывается в числе других характеристик ФЭУ.

Если фотоумножитель полностью затемнить, чтобы на фотокатод свет совершенно не падал, то теоретически тока в анодной цепи не будет, но фактически ток все же протекает. Его называют темновым током. Величина темнового тока является одним из основных параметров ФЭУ, так как определяет порог чувствительности фотоумножителя. Возникновение темнового тока объясняется в основном двумя причинами: а) термоэлектронная эмиссия фотокатода и эмиттеров; б) воздействие внешнего электрического поля, вызывающего холодную эмиссию электронов.

§ 5・ Эффект Комптона

В фотоэлектрических процессах фотон передает всю свою энергию электрону. Фотоны больших энергий при столкновении с электронами передают им лишь часть своей энергии, при этом изменяются траектория их движения и частота. Рассеивание электромагнитного излучения на свободных или слабо связанных электронах, при котором отдельный фотон в результате упругого соударения с электроном передает ему часть своего импульса (часть своей энергии), называется эффектом, или явлением, Комптона. Это явление впервые наблюдалось А. Комп-

тоном в 1923 г. Оно возможно и при рассеянии на других частицах, например на протонах. Явление Комптона имеет очень большое значение для физики, поскольку оно показывает, что фотоны, несмотря на их волновую природу, ведут себя как частицы и способны к взаимодействию с другими частицами, напоминающему удар упругих шаров. Схематично это явление изображено на рис< 力^19-5. Падающий фотон имеет энергию, равную e=/tv. В результате соударения часть своей энергии он передает элект- ~ рону и превращается в другой фотон

с энергией e'=/tv', который движется под углом 0 к первоначальному направ- Рис. 19-5лению движения фотона. По закону сох

ранения энергии, сумма начальной энергии фотона hv и энергии покоящегося электрона Е0=т0с2 должна быть равна сумме энергии рассеянного фотона /rv' и полной энергии электрона после соударения (mc2>m0c2), т. е.

hv+tnQC2=hv'+тс2.(19.26)

В процессе соударения электрона и фотона выполняется еще закон сохранения импульса

Р + Рз = Р' +Р；,(19.27)

где р и рэ — начальные импульсы фотона и электрона, р' н р； — импульсы фотона и электрона после рассеяния.

Будем считать, что начальная скорость электрона была равна нулю. Тогда Рз=0・ Импульс фотона [см. уравнение (19.14)] равен

р = hv/c.

После подстановки этого значения векторное равенство (19.27) примет вид

где h —— постоянная Планка, v и v'—— частоты падающего и рассеянного фотонов, с ——скорость света, и ——скорость электрона после соударения с фотоном, m=m0/K 1——Р ——масса движущегося электрона.

С помощью уравнений (19.26) и (19.28) можно точно вычислить направление движения электрона отдачи, а также подсчитать длину волны рассеянного фотона. Поскольку электрону отдачи, часто называемому комптоновским эл ект роном, передается энергия от падающего фотона, длина волны рассеянного фотона должна быть больше длины волны падающего излучения. Можно показать, что изменение длины волны равно

= - —4 = — (1—cos0),

ИЛИ

AZ=-^sin2 (0/2).(19.29)

Величина AXK=/i/moc имеет значение 2,425-10~10 см для электрона и 1,32-10~13 см для нейтрона или протона и называется комптоновской длиной волны (для электрона и нуклона).

Как видно из приведенных формул, изменение длины волны в эффекте Комптона зависит от угла рассеяния фотонов @. Максимальное увеличение длины волны наблюдается при угле © = 180°, т. е.при обратном рассеянии, а минимальное — при малых углах; при наблюдении вдоль первоначального направления движения фотонов (6=0°) эффект рассеяния отсутствует.

Давление света

Давление света выражается в том, что свет оказывает механическое действие, производимое электромагнитными волнами при падении их на какую-либо поверхность. Давление света может быть объяснено с точки зрения как электромагнитной, так и квантовой (или фотонной) теории.

Пусть на поверхность металла падает нормально электромагнитная волна. Под действием электрического поля Е электроны, расположенные на поверхности металла, перемещаются вниз. При этом со стороны магнитного поля В световой волны на каждый электрон, движущийся со скоростью V, действует сила Лоренца %=—evB, направленная внутрь металла перпендикулярно к его поверхности. Таким образом, световая волна должна производить давление на поверхность металла.

Согласно вычислениям, проведенным по электромагнитной теории Максвелла, световое давление выражается формулой

Р =》(1+р), (19.30)

где £"з ——энергетическая освещенность поверхности, т. е. плотность потока световой энергии, падающего на данную поверхность, с ——скорость света, р ——коэффициент отражения света поверхностью, который изменяется от 0 до 1.

Опыты П. Н. Лебедева (1900), который впервые измерил световое давление, показали, что оно соответствует вычисленному по формуле (19.30). Давление света, даже таких сильных источников света, как Солнце и электрическая дуга, ничтожно мало. Его измерению препятствуют многие побочные явления (конвекционные токи, радиометрические явления и т. д.). Для обнаружения светового давления Лебедевым были сконструированы и изготовлены специальные приборы и проделаны опыты, которые по замыслу и осуществлению представляют собой замечательный образец экспериментального искусства.

При фотонной теории световое давление обусловлено тем, что каждый фотон не только несет энергию hv, но и обладает импульсом [см. (19.14)1

р = тфс = hv/c.

Пусть на поверхность непрозрачного тела падает поток фотонов, плотность которого равна N巾 в единицу времени. Если поверхность 13* — 387 —

тела имеет коэффициент отражения р, то 卩乂由 фотонов отразится от нее, а (1——р)2Vф фотонов поглотится телом. Каждый отраженный фотон сообщит телу импульс 卩，равный изменению импульса этого фотона, т. е.

а поглощенный фотон отдает телу свой импульс

hv

p2=丁•

Полный импульс, получаемый единицей площади поверхности тела за единицу времени, равен

Р1РМф + 卩2 (1 —Р)儿由=2 -у- рЛ/ф + ^ (1 —р) Л/ф・ (19.31)

Так как импульс силы есть величина, равная силе, умноженной на время ее действия, т. е.'

то, разделив обе части этого уравнения на площадь S и время т, получим

Р _ Ft _ р

Значит, полный импульс, получаемый единицей поверхности тела в единицу времени, численно равен давлению. Поэтому формула (19.31) выражает световое давление Р, т. е.

Р = 2^р2ф + ?(1—р)"ф = ^Мф(1+р)・ (19.32)

Величина, равная произведению энергии фотона hv на число фотонов Л^ф, падающих на единицу площади тела в единицу времени, есть плотность потока световой энергии, или энергетическая освещенность, т. е.

旦=^%. (19.33)

Подставив данное выражение в формулу (19.32), получим

Р = 3(1+р),

что совпадает с равенством (19.30). Таким образом, и электромагнитная, и фотонная (квантовая) теории с одинаковым успехом решают вопрос о механизме и закономерностях светового давления.

Величина, равная отношению плотности потока световой энергии к скорости ее распространения, выражает объемную плотность энергии, т. е.

(19.34)(19.34)Е/с = w.

(19.34)

(19.34)

—388

С учетом этого соотношения формула (19.30) принимает вид

р=5(1+р).(19.35)

Давление света играет огромную роль в космических процессах, где излучаемая энергия колоссальна. Русский астроном Ф. А. Бредихин, изучая форму и ориентацию кометных хвостов относительно Солнца, установил, что пылевидные частицы и молекулы газов, имеющихся в кометах, испытывают световое давление со стороны солнечных лучей, в результате которого и образуются своеобразные формы кометных хвостов.

В настоящее время большое распространение получила гипотеза, утверждающая, что явление образования хвостов комет связано с протонным «ветром», исходящим из Солнца, а не со световым давлением!

Пример.

Максимум спектральной плотности энергетической светимости солнечной поверхности приходится на длину волны 482 нм. Определить: 1) температуру поверхности Солнца; 2) световое давление на земную поверхность. Коэффициент отражения принять равным 0,6.

Решение. 1. Солнце относится к абсолютно черному телу. Поэтому для определения температуры поверхности Солнца воспользуемся законом Вина:

где Т ——температура тела по шкале Кельвина,九加 ——длина волны, соответствующая максимуму излучения, С'——постоянная Вина [см. (19.15)].

Подставив значения заданных величин в СИ, получим

^ 6000 к.^ 6000 к.2,9-10-3 м-К~ 482-10-9 м

^ 6000 к.

^ 6000 к.

2. Полный поток излучения солнечной поверхности, приходящийся на все длины волн, равен

Ф = Я38.

Энергетическая светимость абсолютно черного тела определяется законом Стефана — Больцмана:

где о ——постоянная Стефана — Больцмана [см. (19.16)]. Площадь поверхности Солнца, радиус которого г,

S=4n 产.

Искомый поток излучения Солнца равен

①=0г4.4П产.

Подставив значения заданных величин в СИ, будем иметь

Ф = 4.3,14.(6,95.108 м)2・5,67・ 10-860004 К4 = 4,5・ 1026 Вт»

Световое давление Р находим по формуле (19.30)

p=$(i + p)，

где J — плотность потока энергии у поверхности Земли, р — коэффициент отражения. Величина Е^ численно равна отношению потока суммарного излучения Солнца

I)Число 60004 следует вычислять путем логарифмирования.

—389 -

к площади сферы радиуса R (R — среднее расстояние от Земли до Солнца, равное

f一①

3—硒^

Подставив данное выражение в формулу для светового давления, получим

一①(1 + р)

Подставив числовые значения, находим

Па = 8,55・10-б Па.Па = 8,55・10-б Па.4,5・ 1026.(i+o,6)

Па = 8,55・10-б Па.

Па = 8,55・10-б Па.

4.3,14(l,495・10ii)2・3・108

Проверка размерности:Проверка размерности:Н м2Н м2= Па.= Па.

Проверка размерности:

Проверка размерности:

Н м2

Н м2

= Па.

= Па.

Глава 20

СТРОЕНИЕ АТОМА. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВЫЕСВОЙСТВА МАТЕРИИ

§ 7・ Опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частицвеществом. Ядерная модель атома

До 1911 г. господствовала модель Томсона, согласно которой атом представлял собой сферу (шарик) диаметром 10~8 см. Равномерно по всему объему сферы распределен положительный заряд. Внутри сферы находятся в равновесии электроны. Силы притяжения между ними

и положительными зарядами уравновешиваются силами отталкивания

электронов. Электроны могут колебаться около своих положений рав

новесия и излучать свет. Но эта модель не могла объяснить закономерности в спектре.

Опыты Резерфорда, выполненные им в 1911 г., привели совсем к другой модели атома. Схема экспериментальной установки, использо-

Рис. 20-1ванной Резерфордом, изображена

на рис. 20-1: / — источник а-ча- стиц, 2 — поток а-частиц, 3 — флуоресцирующий экран, 4 — свинцовый блок, 5 ——зол отд я фольга, D — диафрагма.

Радий и некоторые другие радиоактивные вещества испускают альфа-частицы, которые представляют собой дважды ионизированные атомы гелия, летящие с большой скоростью. Альфа-частица при ударе о флуоресцирующий экран вызывает короткую вспышку видимого света, которую можно наблюдать визуально, если глаз адаптирован на темноту. При отсутствии преграды на пути альфа-частиц они вызывали свечение экрана в виде резко ограниченного пятна. Резерфорд изучал закономерности поглощения альфа-частиц веществом и установил, что слой металла толщиной в несколько сотых долей миллиметра легко по-

глощает поток альфа-частиц. Так как золото является наиболее ковким из известных металлов, то Резерфорд смог изготовить из него очень тонкую фольгу. Он установил, что многие альфа-частицы после прохождения через фольгу сохраняли прежнее направление движения или отклонялись на очень малые углы. Однако некоторые альфа-частицы отклонялись на большие углы, а отдельные из них даже отражались назад. То, что большая часть альфа-частиц проходила через фоль- 一 夕战 гу, не отклоняясь, заставляло считать тонкий золотой листок пустым пространством. Чтобы объяснить большие углы, на которые рассеиваются отдельные альфа-частицы, необходимо было предположить, что они встречают на своем пути что-то небольшое, но очень массивное.

Чтобы примирить эти два взаимоисключающих положения, Резерфорд предложил заменить прежнюю модель атома другой, согласно которой массивный положительный заряд сконцентрирован в центре атома — в ядре, занимающем очень малый объем. При этом положительный электрический заряд, с которым связана почти вся масса атома, равен целому числу Z, умноженному на элементарный положительный заряд, равный заряду электрона. Это относительно тяжелое ядро окружено Z электронами, так что атом в целом электрически нейтрален. Положительно заряженные ядра будут отталкивать или отклонять на тот или иной угол © летящие на них заряженные тоже положительно альфа-частицы (рис. 20-2). Считая, что силы отталкивания подчиняются закону Кулона, Резерфорд вывел зависимость числа рассеянных частиц от угла рассеяния. Эксперимент не только подтвердил первоначальные предположения Резерфорда и справедливость предложенной им модели атома, но и позволил оценить величину зарядового числа Z атома.

Согласно экспериментальным данным положительно заряженное ядро атома имеет диаметр около 10"1а см. Диаметр атома в 100 000 раз больше диаметра ядра и составляет величину порядка 10"8 см.

§ 2・ Закономерности в атомных спектрах водорода

Источником, испускающим электромагнитные волны оптического диапазона, является атом. Поэтому важно изучить структуру атома по закономерностям, которым подчиняется его излучение, или спектрам излучения.

Наиболее простым атомом является атом водорода, спектр которого изображен на рис. 20-3. Рассматривая спектр водорода, можно в расположении спектральных линий наблюдать некоторую закономерность. В 1885 г. преподаватель математики швейцарской высшей школы Бальмер рассмотрел задаиу о длинах волн этих линий как проблему

чисел и вывел формулу, которая позволяла очень точно рассчитывать длины волн спектральных линий видимой области спектра водорода. Дальнейшее совершенствование и обобщение формулы Бальмера было осуществлено Ридбергом и Ритцем. Продолжая исследование спектра водорода, Пашен нашел другую серию линий водорода, лежащую в ин-

办办НепрерывныйспектрНепрерывныйспектр

办

办

Непрерывныйспектр

Непрерывныйспектр

入=&655 мкм Красная линия入=&655 мкм Красная линия4宓妫(предел серии)4宓妫(предел серии)"4协"4% 0М0

入=&655 мкм Красная линия

入=&655 мкм Красная линия

4宓妫

(предел серии)

4宓妫

(предел серии)

Голубая ^иоле- Ультра-тобая (риолегпобая

Рис. 20-3

фракрасной области. Оказалось, что спектр водорода с учетом невидимой части имеет весьма большое число линий. Были найдены серии линий, лежащих как в инфракрасной, так и в ультрафиолетовой областях спектра водорода.

В результате обобщения огромного экспериментального материала, а также теоретических исследований была выведена эмпирическая формула, описывающая все линии спектра водорода и называемая формулой Бальмера — Ридберга'.

訪， (2。」)

где X — длина волны, м, R ——постоянная Ридберга, равная 1,097х X 107 м~1, целые числа пх и п2 имеют для каждой серии и каждой спектральной линии вполне определенные значения, которые приведены в следующей таблице:

Значения лх

Наименование серии

Значения

Область спектра

Серия Лаймана

2, 3, 4 и

Т. д.

Ультрафиолетовая

» Бальмера

3, 4, 5 и

т. д.

Видимая

» Пашена

4, 5, 6 и

Т. д.

Инфракрасная

》 Брэккета

5, 6, 7 и

т. д.

»

》 Пфунда

6, 7, 8 и

Т. д.

Например, для серии Бальмера уравнение (20.1) будет иметь вид

где %2=3, 4, 5...

Величина 1/Z называется волновым числом, выражающим число длин волн, укладывающихся на единицу длины.

§ 3・ Постулаты Бора

Формула Бальмера — Ридберга (20.1) с большой точностью дает все известные линии спектра водорода, но она является эмпирической формулой. Теоретически вывести ее удалось в 1913 г. датскому физику Нильсу Бору.

Н. Бор предложил теорию излучения света атомами, в основу которой были положены идеи М. Планка о дискретности электромагнитного излучения. Эта теория принимает планетарную модель атома, предложенную Резерфордом. Атом водорода состоит из ядра с зарядом +е (протона) и одного вращающегося вокруг него электрона с зарядом —е. Однако в этой модели атома были скрыты определенные недостатки. Согласно классической электродинамике заряд, движущийся с ускорением, должен излучать электромагнитные волны. Если же электрон в атоме водорода, вращающийся по круговой орбите и всегда имеющий при этом нормальное ускорение, излучает, то он теряет энергию на излучение и начинает двигаться по спирали, постепенно приближаясь к ядру. Излучение электрона должно иметь характер сплошного спектра; теряя при излучении энергию, электрон в конце концов должен упасть на ядро, после чего атом прекращает свое существование.

Чтобы объяснить устойчивость атома водорода, а также его линейчатый спектр, Бор постулировал основные положения теории водородного атома.

Первый постулат. Электроны в атоме движутся по некоторым стационарным орбитам без излучения.

Второй постулат. Стационарными орбитами будут те, для которых момент количества движения (импульса) электрона mvnrn равен целому кратному величины 无/2兀，т. е.

加 ％* =孔金，(20.2)

где и ——целое число, называемое главным квантовым числом (孔=1, 2, 3 и т. д.), h ——постоянная Планка, равная 6,62-10"34 Дж・с, т ——масса электрона, vn — скорость электрона на 儿■访 орбите, rn —— радиус n-й орбиты.

Третий постулат. При переходе электрона с любой дальней (2) на любую ближнюю стационарную орбиту (1) атом испускает фотон — один квант энергии, равный

版=e2—£；•(20.3)

При этом, очевидно, атом теряет энергию

ЛЕ=Е2—Ех.(20.4)

Величина кванта энергии равна ДЕ и зависит от того, с какой орбиты и на какую переместился электрон.

При поглощении атомом фотона происходит обратный процесс — перемещение электрона с ближней к ядру стационарной орбиты на дальнюю, и атом приходит в возбужденное состояние.

Используя постулаты Бора, можно теоретическим путем вывести формулу Бальмера — Ридберга. На электрон, движущийся по стационарной орбите, действует со стороны ядра кулоновская сила электростатического притяжения двух зарядов, которая равна

斤 1 Zee

где Z — зарядовое число атома, е — заряд электрона, 80 ——диэлектрическая постоянная, равная 8,85-10~12 Ф/м, гп — радиус n-й орбиты.

Она является центростремительной силой, удерживающей электрон массой т на орбите, т. е.

mvn —] Zee

~ — 4 叫• 71

(20.5)(20.5)Отсюда находим

(20.5)

(20.5)

Подставляя значение скорости vn электрона из уравнения (20.2) в формулу (20.5), находим, что стационарные ((.разрешенные^ орбиты электрона имеют радиусы

(20.6)(20.6)配犷川

(20.6)

(20.6)

—jtmZe2

В соответствии с третьим постулатом Бора энергия фотона равна разности полных энергий электрона на первоначальной и конечной стационарных орбитах.

Полная энергия орбитального электрона равняется сумме его кинетической и потенциальной энергий:

Е=Е—Ер.(20.7)

Используя уравнение (20.5), определяем кинетическую энергию электрона:

E力=譬=需(2°・8)

Потенциальная энергия электрона в электростатическом поле ядра равна

Е 产-备(20.9)

Следовательно, для орбитального электрона полная энергия

Е = Ze? Ze? — _ Ze?

—8л80Гп — 4Л8ОГП ——瓦函7

Подставляя гп из выражения (20.6), находим

Третий постулат Бора [см. (20.3)1 можно представить несколько в ином виде:

八• ^ = £2—Е],

откуда

3 =(20•⑵

Л he'

Подставив в данное уравнение значения полной энергии орбитального электрона, получим формулу Бальмера — Ридберга:

Так как для атома водорода Z=1, то постоянный множитель в формуле Бора, получивший название постоянной Ридберга R, равен

1,097-107 МУ

Вывод формулы Бальмера — Ридберга и объяснение наблюдаемых на опыте закономерностей в спектре водорода, а также вычисление значения постоянной Ридберга было большим успехом теории Бора.

Пример.

Определить энергию фотона, соответствующую четвертой линии серии Бальмера в спектре водорода.

Решение. Энергия фотона выражается формулой

8=%爪，(*)

где 九 ——постоянная Планка, с ——скорость света,九 ——длина волны.

Величину, обратную длине волны, или волновое число, определяем по формуле Бальмера:

；=欠(击-%) ' " = 3, 4, 5,

где R ——постоянная Ридберга, % ——номер орбиты, с которой перешел электрон на вторую орбиту.

Подставив значение 1 爪 из формулы Бальмера в выражение (*), получим (击一%) •

Для четвертой линии видимой части спектра водорода имеем 九=6.

Подставляя численное значение величин, выраженных в СИ, определим искомую энергию фотона:

е = 6,62・10-з4 дх〈.с・3・108 (м/с). 1,097-107 м~1 (%-表)=4,85・ 10一】9 дж.

§ 4. Энергетические уровни

Максимальное значение потенциальной энергии электрона будет равно нулю, оно соответствует положению электрона на расстоянии от ядра, равном бесконечности (г=оо), т. е. ионизованному атому. По

мере приближения электрона к положительно заряженному ядру его электростатическая потенциальная энергия уменьшается. А так как электрон начинает двигаться из бесконечности, где он имел нулевую энергию, его потенциальная энергия должна становиться отрицательной по знаку и возрастать по абсолютной величине по мере приближения к ядру. Приближаться к ядру электрон может не непрерывно, а скачками от одной стационарной «разрешенной» орбиты до другой. Но так как каждой орбите соответствует определенное значение полной энергии электрона, то и энергия электрона имеет вполне определенные численные значения. Для характеристики энергетического состояния электрона в атоме вводится понятие об энергетических уровнях атома. Энергию уровней выражают в электронвольтах. Так как 1 эВ = 1,6х X Юк Дж, то уравнение (20.11) примет вид

—尹盖(зВ).(20.14)

Для первой боровской орбиты (п=1) в атоме водорода (Z=l) значение энергии электрона будет равно 13,6 эВ. Так как в данном уравнении все величины, за исключением п, постоянные, то уровни энергии атома водорода можно определять по упрощенной формуле

Е =—甯 9В.(20.15)

Эта формула дает возможность вычислить значения энергии атома, соответствующие различным значениям квантового числа п, и построить диаграмму энергетических уровней для атома водорода (рис. 20-4). Стрелки показывают некоторые переходы, соответствующие испусканию фотонов различных спектральных серий. В нормальном невозбужденном атоме водорода электрон находится на низшем энергетическом уровне, соответствующем значению квантового числа 〃=1. Это основное состояние электрона устойчиво. Если к атому извне подводится энергия, то он переходит в возбужденное состояние и электрон поднимается на высший энергетический уровень, соответствующий значению п=2, 3,4 ит. д. Возвращаясь в нормальное, устойчивое состояние, атом испускает квант энергии. Если электрон находился в состоянии с 〃=5, то он может сразу вернуться в состояние с 〃=1. Но он может последовательно проходить состояния

с п=4, 2, 1, или 〃=4, 3, 2, 1. В каждом из переходов испускается фотон с энергией, равной разности энергий уровней.

Если невозбужденный атом получает извне порцию энергии, превышающую 13,6эВ, то электрон покидает атом, который при этом становится ионом.

М1 — У2/С2М1 — У2/С21 =eU.1 =eU.(20.17)(20.17)

М1 — У2/С2

М1 — У2/С2

1 =eU.

1 =eU.

(20.17)

(20.17)

§ 5・ Рентгеновские лучи

Рентгеновские лучи — это электромагнитное излучение, занимающее широкий диапазон длин волн: от 800 А (8-10~6 см) до 0,0001 А (10~12 см). Для получения этих лучей служат рентгеновские трубки (рис. 20-5). Это вакуумная трубка, в которой установлены

электроды, соединенные с источником высокого напряжения. Катод представляет собой раскаленную нить и играет роль источника электронов, которые вылетают из него в результате термоэлектронной эмиссии. Электроны, испускаемые накаленным катодом, разгоняются в трубке электрическим полем и ударяются об анод или антикатод. Работа электрическо

го поля, равная произведению заря-Рнс. 20-5

да электрона е на разность потенциа

лов U, т. е. е(7, идет на сообщение кинетической энергии электрону,

поэтому

(20.16)(20.16)mv2 Т7

(20.16)

(20.16)

T=eU・

При больших разностях потенциалов электроны приобретают большую скорость, так что становится необходимым вводить релятивистскую поправку, учитывающую зависимость массы электрона от скорости:

При ударе электрона об антикатод часть его энергии превращается в теплоту (антикатод нагревается), другая часть расходуется на возбуждение рентгеновского излучения, которое возникает в результате резкого торможения электронов. Соотношение между этими долями энергии не постоянно и носит вероятностный характер, поэтому спектр рентгеновского излучения сплошной (белый). Сплошной спектр рентгеновского излучения обладает следующими основными свойствами (рис. 20-6):

а) в коротковолновой области наблюдается резкая граница спектра, которую характеризует некоторая минимальная длина волны Xmin, называемая границей сплошного спектра;

б) с ростом напряжения, подаваемого

на рентгеновскую трубку, эта граница A,min смещается в сторону более коротких длин волн ——рентгеновские лучи становятся более «жесткими»;

в) интенсивность излучения / быстро растет при увеличении ускоряющей разности потенциалов U. Коротковолновая граница рентгеновского спектра, которой соответствует длина волны Xmin, зависит от энергии тормозящего электрона.

Когда вся энергия электрона идет на создание одного фотона, а расходы энергии, превращенной в теплоту, равны нулю, то длина волны этого фотона будет равна A,min. При этом энергия фотона равна

,с

4min

Но согласно уравнению (20.16) она также равна £=eU.

Приравнивая правые части последних двух равенств, находим %е =祭.(20.18)

Пример.

Определить коротковолновую границу сплошного рентгеновского спектра, если ускоряющая разность потенциалов равна 2,5* 104 В.

Решение. Согласно формуле (20.18) находим

九 min =九 min =he7йhe7й6,62・ 10-34 д*.с・3・ 108 м/с1,60.10-19 Кл.2,5«104В6,62・ 10-34 д*.с・3・ 108 м/с1,60.10-19 Кл.2,5«104В= 0,5-10-ю м = 0,5 А.= 0,5-10-ю м = 0,5 А.

九 min =

九 min =

he7й

he7й

6,62・ 10-34 д*.с・3・ 108 м/с

1,60.10-19 Кл.2,5«104В

6,62・ 10-34 д*.с・3・ 108 м/с

1,60.10-19 Кл.2,5«104В

= 0,5-10-ю м = 0,5 А.

= 0,5-10-ю м = 0,5 А.

ускоренных электронов атомамускоренных электронов атомам

ускоренных электронов атомам

ускоренных электронов атомам

На рис. 20-7 приведен спектр рентгеновских лучей, полученных

трубке с молибденовым антикатодом @=35000 В). Здесь по оси % отложе- йы длины волн в А, а по оси у — относительная интенсивность I в условных единицах. На фоне сплошного спектра (/) видны два пика ⑵ интенсивности лучей. Эти пики обусловливают линейчатый спектр рентгеновского излучения, так называемое характеристическое излучение, зависящее от вещества анода. При этом каждый элемент имеет свой (определенный) характеристический спектр.

Как объяснить природу характеристического излучения? Рентгеновские лучи возникают в результате передачи кинетической энергии антикатода, который обычно изготов

ляется из тяжелых металлов, таких, как медь или вольфрам. В сложных атомах нет двух электронов, имеющих одинаковую энергию. Главное квантовое число п в основном определяет энергию электрона. Поэтому энергии двух электронов с и=1 отличаются очень незначительно. Электроны с и=2 имеют большую энергию, чем электроны с и=1, но по величине энергии также отличаются между собой очень мало. Поэто-

му при изучении рентгеновских лучей можно пренебречь малой разницей в энергии у электронов с одинаковым п и рассматривать различия в энергии электронов, связанные с разными 〃•

Электроны с 〃=1 образуют так называемую /<-оболочку, а с 孔=2— L-оболочку. Наиболее тяжелые элементы имеют семь электронных оболочек: К, L, М, N, О, Р в Q.

Ускоренный электрон, если он имеет достаточную энергию, может выбить орбитальный электрон с любой оболочки. На освободившееся место переходит электрон из более удаленной от ядра оболочки; при этом излучается рентгеновский квант. Если, например, электрон удален из самой внутренней /f-оболочки атома под действием налетающего на атом электрона, то на его место может перейти электрон с L・,М-, N- и других оболочек. Этот переход связан с испусканием /<-серии характеристического излучения, состоящей из нескольких линий: Ка, Кв， К?,Первая линия К образуется, когда вакансия заполняется за счет электрона из L-оболочки (〃=2); линия К — при переходе в К・ слой электрона из 7И-оболочки (п=3) и т. д.

Линии серий L-, М- и т. д. характеристического рентгеновского излучения испускаются при освобождении «вакантного» места для электрона соответственно на L- и М・о6олоиках.

Переход электрона из соседней оболочки наиболее вероятен, поэтому на рентгеновских спектрах первые линии любой серии Ка,厶，Ма и т. д.——наиболее яркие, интенсивные линии.

В 1913 г. Мозли провел многочисленные опыты, во время которых испытывал антикатоды, изготовленные из различных материалов. Он установил, что каждому химическому элементу соответствует вполне определенная длина волны Ксг линии рентгеновского характеристического спектра. Причем /<а-линии при уменьшении зарядового числа Z элемента сдвигаются в сторону более длинных волн. Этот результат не только проложил новый путь для определения химических элементов, но и имел большое теоретическое значение. Теория Бора объясняет возникновение как оптических, так и характеристических рентгеновских спектров. В случае рентгеновского излучения в уравнение (20.1) для волнового числа необходимо ввести поправку S на экранирование. Тогда волновое число, соответствующее переходу электрона с начальной орбиты (2) на конечную (1), определится формулой

(20.19)(20.19)

(20.19)

(20.19)

где Z ——зарядовое число; S ——коэффициент, учитывающий экранирующее действие соседних электронов.

Смысл постоянной экранирования S заключается в том, что на электрон, совершающий переход, например на К-оболочку, действует не весь заряд ядра, а заряд ядра, ослабленный экранирующим действием оставшегося на К-оболоике электрона.

Уравнение (20.19), за исключением множителя (Z—S), идентично уравнению Бальмера — Ридберга.

Для a-линий /<-серии характеристического рентгеновского излучения S=l,及1=1, 〃2=2・ В этом случае уравнение (20.19) примет вид

J =(20.20)

Данное выражение, которое называется законом Мозли, полностью объясняет сдвиг 7<а-линий в сторону более длинных волн при уменьшении Z. Закон Мозли часто записывается в виде

K = K(Z—1),(20.21)

где V ——частота, К — постоянная для данной линии.

Энергия фотона, соответствующего a-линии К・серии характеристического излучения, определяется выражением

E№ = ^/°(Z—1)2,(20.22)

где /0 ——энергия ионизации атома водорода, равная 13,6 эВ (2,18х X ЮГ Дж).

§ 6. Дифракция рентгеновских лучей.Формула Вульфа — Брегга

Рентгеновские лучи, так же как и видимый свет, должны давать дифракционную картину при прохождении через дифракционную решетку. Однако попытки получить дифракционную картину рентгеновских лучей с помощью решеток окончились неудачей. Формула дифракционной решетки имеет вид

с sin ср = 2? ^ ,

где с ——постоянная решетки, ср ——угол между нормалью к поверхности решетки и направлением дифрагированных лучей, k ——порядковый

-™ф'-—~喈一2 b—0—1-*0-«—-^——^―*——^― 3-™ф'-—~喈一2 b—0—1-*0-«—-^——^―*——^― 3номер дифракционного максимума, 九——длина волны.

-™ф'-—~喈一2 b

—0—1-*0-«—-^——^―*——^― 3

-™ф'-—~喈一2 b

—0—1-*0-«—-^——^―*——^― 3

Из данного уравнения следует, что если длина волны очень мала по сравнению с постоянной решетки, то угол <р дифракции тоже должен быть очень малым. Поэтому с помощью обычных решеток наблюдать явление дифракции рентгеновских лучей не удается. Рентгеновские

Рис. 20-8лучи испытывают дифракцию на

кристаллах. Кристаллическая решетка (атомы монокристаллов) представляет для рентгеновских лучей пространственную дифракционную решетку. Изобразим три атомные плоскости 1,2,3 кристалла (рис. 20-8). Пучок параллельных рентгеновских лучей падает сверху слева под углом 0 к поверхности кристалла и отражается под таким же углом. Лучи, отраженные от второго слоя,

проходят больший путь, чем отраженные от первого слоя, на величинуab+bc=2d sin 0,

где d ——расстояние между слоями атомов (или ионов) в кристалле.

Для того чтобы лучи, отраженные от соседних слоев, усиливали друг друга, эта разность хода должна быть равна целому числу волн, т. е. равна 々九.Следовательно, максимум интенсивности дифрагированных лучей будет наблюдаться под углами 0, которые удовлетворяют условию

2d sin® =々九. (20.23)

Эта формула называется формулой Вульфа ——Брегга. Она была получена в 1913 г. русским ученым Г. В. Вульфом и независимо от него английским ученым У. Л. Бреггом.

Явление дифракции рентгеновских лучей служит основой рентгеновского структурного анализа, с помощью которого исследуются атомные структуры веществ. В рентгеновском структурном анализе исследуются дифракционные картины монокристаллов, поликристаллов и объектов, не обладающих строгой трехмерной периодичностью: полимеров, аморфных веществ, жидкостей, газов.

Люминесценция а ее виды. Правило Стокса.Люминесцентный анализ

Наиболее распространенным способом получения видимого света является нагревание. Например, в электрической лампочке в качестве источника света служит проволочка из тугоплавкового металла, раскаленная электрическим током; в пламени — атомы газа, раскаленного теплотой, выделяющейся в процессе экзотермической химической реакции, и т. д.

Однако видимый свет возникает не только в результате нагревания тел до высоких температур. Видимый свет испускают живые организмы (рыбы, насекомые, грибы, бактерии), гниющие органические вещества и некоторые неорганические соединения.

Эти виды свечения получили название люминесценции. Люминесценция вызывается также бомбардировкой вещества электронами, возникает при освещении его видимым светом, рентгеновскими и^-лу- чами. Люминесценция —— это излучение, представляющее собой избыток над тепловым излучением тела nput данной температуре и имеющее длительность, значительно превышающую период световых волн.

Первая часть этого определения предложена Э. Видеманом, чтобы разграничить люминесценцию и тепловое излучение тел. Спектр равновесного теплового излучения при температурах, при которых наблюдается люминесценция, лежит вне видимого участка шкалы электромагнитных волн. Поэтому в определении говорится, что люминесцентное излучение представляет собой избыток над тепловым излучением тела (из-за этой особенности данный вид излучения получил название холодного свечения).

Вторая часть определения (признак длительности) введена С. И. Вавиловым, который много сделал для развития теории люминесценции, а также практического использования ее в источниках света. Этот признак вводится для того, чтобы отделить люминесценцию от других видов вторичного излучения ——отражения и рассеяния света, а также от вынужденного испускания, тормозного излучения заряженных частиц, эффекта Черенкова — Вавилова и т. п.

В зависимости от причины, вызывающей свечение, люминесценция делится на несколько видов.

Фотолюминесценцией называется свечение, возникающее при поглощении оптического излучения от постороннего источника; катодолюминесценция вызывается электронной бомбардировкой; хемилюминесценция происходит за счет энергии химических реакций; биолюминесценцией называется свечение, наблюдаемое в живых организмах; триболюминесценция наблюдается при трении или разрушении кристаллов; кристаллолюминесценция — при процессах кристаллизации; электролюминесценцией называют свечение, которое вызывается электрическими разрядами. Люминесци- рующие вещества называются люминофорами 丄).

В каждом из перечисленных выше видов люминесценции к атомам и молекулам люминофора подводится энергия, в результате чего электроны в них переходят на более высокие энергетические уровни или совсем покидают атомы. Через некоторый промежуток времени атомы возвращаются в основное состояние, что сопровождается излучением света в видимой или ультрафиолетовой области спектра. Это излучение имеет для каждого люминесцирующего вещества характерный спектр.

Люминесцентное излучение вызывается сравнительно небольшими группами атомов или молекул, которые образуют центры люминесценции. Под влиянием внешних воздействий атомы, образующие центры люминесценции, переходят в возбужденное состояние. Если возбужденное состояние метастабильно, то время пребывания в нем может достигать 10-4 с (обычное время пребывания атома в возбужденном состоянии приблизительно равно 10— с).

Рассмотрим несколько подробнее такой распространенный в технике вид люминесценции, как фотолюминесценция.

Как указывалось выше, фотолюминесценция возбуждается при помощи внешнего источника видимого или ультрафиолетового излучения. Спектры фотолюминесценции в зависимости от вещества люминофора и внешних условий могут быть линейчатыми, полосатыми и сплошными. Связь между спектром5 поглощения люминофора и спектром фотолюминесценции определяется правилом Стокса (законом Стокса), которое утверждает, что длина волны фотолюминесценции больше, чем длина волны возбуждающего света.

Правило Стокса в квантовой оптике объясняется следующим об-

D Строго говоря, люминофорами называются лишь синтетические люминесци- рующие вещества.

разом. Фотон возбуждающего фотолюминесценцию света имеет энергию h”. Эта энергия частично расходуется на создание кванта с энергией ^люм, частично на различные неоптические процессы, т. е.

hv^hv^ + W, (20.24)

где W ——энергия, пошедшая на процессы, кроме фотолюминесценции.

Так как 1F>O, то ^Л10М<^, т. е. vJII0M<v или 九"юм >

Однако в действительности это правило Стокса не всегда соблюдается, так как часто в спектре фото люми несцен ци и присутствует антистоксовый участок спектра, так называемые антистоксовы линии с длинами волн короче длины волны возбуждающего излучения. Антистоксо- во излучение объясняется тем, что к энергии возбуждающего фотона добавляется энергия теплового движения атомов или молекул люминофора, т. е.

他110M = /ivnorjI + ahT, (20.25)

где ^люм— энергия фотона антистоксового излучения; hvnorjl——энергия фотона, поглощенного люминофором; а ——коэффициент, зависящий от природы люминофора; k ——постоянная Больцмана; Т ——абсолютная температура люминофора.

Из приведенной формулы вытекает, что с увеличением температуры антистоксово излучение должно проявляться все более и более отчетливо.

Правило Стокса остается справедливым в большинстве случаев, если ему дать более общую формулировку (формулировка Л о м м е л я): максимум спектра люминесценции сдвинут 6 сторону длинных волн по отношению к максимуму спектра поглощения. С точки зрения квантовой теории правило Стокса означает, что при фотолюминесценции испускаются фотоны меньшей энергии, чем фотоны возбуждающего света.