ЧАСТЬ I

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Глава I. Электрические заряды и электрическое поле 9

Взаимодействие электрических зарядов. Единицы измерении заряда . . . 9

Электрическое поле. Вектор напряженности электрического поля . . . .15

Элементарные электрические заряды . . 22

Электрическое поле в диэлектрике. Свободные и связанные заряды28

ГлаваII. Расчет электростатических поле#32

Вектор электростатической индукции.Поток индукции . . 32

Теорема Гаусса 39

Примеры применения теоремы Гаусса42

Потенциал электростатического поля49

ГлаваIII. Проводники и диэлектрики 60

Проводники в электростатическом полебО

Диэлектрики в электростатическом поле64

Поле в неоднородной среде и на границах раздела диэлектриков 72

Электрическая емкость проводников 76

Энергия электрического поля 84

часть п

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток

Глава IV Законы постоянного тока91

Электрический ток. Ток проводимости91

Закон Ома для участка цепи Сопротивление проводников. 93

Закон Ома для замкнутой цепи98

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа102

Работа, мощность и тепловое действие тока109

I лава V. Основы электронной теории металлов114

Свободные электроны в металлах114

Закон Ома с точки зрения электронной теории металлов . 117

Основы современной теории металлов122

Контактные явления и термоэлектродвижущая сила . . . . 132

Термоэлектронная эмиссия. Электронные лампы140

Глава VI. Электрический ток в электролитах, диэлектриках и полупроводниках 149

Закон Ома для электролитов 149

Проводимость газов. Несамостоятельный разряд154

Типы газовых разрядов159

Пробой диэлектриков169

Полупроводники173

ЧАСТЬ III

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Глава VII. Магнитное поле токов187

Развитие представлений о природе магнетизма 187

Магнитное поле тока 193

Действие магнитного поля на ток. Взаимодействие параллельных токов201

Системы единиц. Единицы измерения тока, магнитной индукции и напряженности магнитного поля205

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля. Магнитное поле соленоида . . 211

Поток вектора магнитной индукции. Магнитные цепи . . .217

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле223

Глава VIII. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле 226

Движение зарядов в магнитном поле226

Удельный заряд и масса электрона. Масс-спектроскопия . . 234

Электронно-лучевые приборы Электронный микроскоп . . 238

Поле одиночного движущегося заряда. Взаимодействие движущихся зарядов244

ГлаваIX. Электромагнитнаяиндукция249

Открытие явленияэлектромагнитной индукции249

Природа и величина электродвижущейсилыиндукции..251

Вращение рамки в магнитном поле262

Взаимная индукция. Трансформаторы255

Самоиндукция. Вихревые токи 271

Энергия магнитного поля278

ГлаваX. Магнитное поле ввеществе282

Природа магнитных свойств тел. Диамагнетизмипарамагнетизм 282

Вектор намагничения 289

Ферромагнетизм295

Глава XT. Электрические колебания и электромагнитные волны . . . 306

Ток смещения. Взаимосвязь электрического и магнитного полей306

Скорость распространенияэлектромагнитных полей . ... 311

Колебательный контур 317

Возбуждение электрическихколебаний328

Электромагнитные волны335

Радиосвязь345

Приложение I. Единицы измерения электрических и магнитных величин в разных системах, их размерности, переводные множители 350

Приложение II. Электроизмерительные приборы353

Предметный указатель .. . . 362

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

В настоящем издании сделан ряд небольших улучшений, имеющих целью оттенить физическую сущность изучаемых явлений.

Изложение ведется в’международной системе единиц СИ и в абсолютной гауссовой. Особое внимание уделяется тому, чтобы научить читателя легко и свободно пользоваться выбранной им системой единиц и в случае необходимости без затруднения переходить от одной системы единиц к другой.

Г. А. Зисман, О. М. Тодес

Октябрь 1964 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящее пособие представляет собой второй том курса общей физики, написанного нами в соответствии с ныне принятой программой для втузов.

Общая установка, которой придерживались авторы, была изложена в предисловии к первому тому и остается неизменной.

Второй том содержит учение об электричестве. Часть I посвящена электростатике, часть И—электрическому токуй часть Ш — электромагнетизму.

Секция физики Ленинградского дома ученых организовала широкое рецензирование рукописи настоящего тома специальными кафедрами ряда высших учебных заведений Ленинграда, что существенно помогло авторам в окончательной его доработке. Авторы выражают свою искреннюю признательность Секции физики ЛДУ и всем лицам, взявшим на себя труд прочтения и обсуждения рукописи.

Во втором томе курса §§ 1, 2, 5—27, 52—54 и Приложение II написаны О. М. Тодесом, §§ 3, 4 и 28—51 и Приложение I написаны Г. А. Зисманом.

Авторы будут благодарны всем кафедрам физики и отдельным лицам, которые поделятся с нами соображениями, направленными иа улучшение курса.

Г. А. Зисман, О. Л1. Тодес

Февраль 1959 г.

ЧАСТЬ I

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

ГЛАВА I

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Взаимодействие электрических зарядов.

Единицы измерения заряда

Издревле человечеством наблюдалось мощное проявление атмосферного электричества — молния. Свыше двух тысяч лет известна и другая группа электрических явлений—электризация при трении тел: потертый янтарь и некоторые другие вещества приобретают свойство притягивать легкие предметы. Однако изучение электрических (от греческого слова «электрон» — янтарь) явлений началось лишь в XVII веке.

Первый крупный научный успех в выяснении природы электричества был достигнут в середине XVIII века. В 1752—1753 гг. Ломоносов и Рихман в России и Франклин в Америке экспериментально доказали общность атмосферного электричества и электризации при трении. Мощная молния и слабые искорки, наблюдаемые в темной комнате при расчесывании волос гребнем, оказались одним и тем же электрическим разрядом в воздухе, различающимся лишь масштабом явления.

Для количественного изучения электричества Рихман сконструировал первый электроскоп, состоявший из металлической линейки с прикрепленной к ней тонкой нитью. При электризации нить, отталкиваясь от линейки, отклонялась на некоторый угол, измерявшийся транспортиром.

Ломоносов создал первую теорию атмосферного электричества. Согласно этой теории атмосферный воздух находится в состоянии непрерывного движения. Лучи Солнца нагревают поверхность Земли, которая в свою очередь нагревает прилегающие к ней слои воздуха. Нагретый воздух поднимается кверху, а на его место опускается более тяжелый холодный воздух из верхних слоев атмосферы. Движущиеся друг относительно друга массы воздуха при трении заряжаются, и это в большом масштабе воспроизводит электризацию при трении небольших предметов.

Уже первые попытки объяснить природу электрических явлений повлекли за собой важные практические применения. Для защиты от атмосферных электрических разрядов Франклин предложил молниеотвод— высокий металлический шест, отводящий молнию в землю мимо защищаемого им сооружения.

Исходя из простых и изящных опытов, Франклин выдвинул теорию существования двух разнородных электрических жидкостей и предложил современную терминологию. Электрический заряд, скапливающийся на потертой кожей стеклянной палочке, был назван «положительным», а заряд, скапливающийся на потертом мехом куске смолы, — «отрицательным».

На основании опытов можно заключить, что одноименные заряды отталкиваются друг от друга; разноименные заряды притягиваются друг к другу, а при соединении в равных количествах—нейтрализуются.

Силы, возникающие между заряженными телами, действуют на все электрически заряженные частицы, входящие в состав заряженных тел, в том числе и на те, чей нескомпенсированный заряд обусловливает наблюдаемый заряд тела. Если эти"3аряды тесно связаны с телом, то последнее начнет перемещаться вместе с ними, и по силе, действующей на тело, можно судить о величине электрических взаимодействий. При определенных условиях заряды могут переходить с одного тела на другое или уходить из тела через его поверхность.

Процессы движения электрических зарядов и сопутствующие им явления будут разобраны в двух последующих разделах этого тома (часть И «Электрический ток» и часть 111 «Электромагнетизм»). В этом же разделе мы рассмотрим статические, т. е. непо- движн!ые, з а р~яд'ы"и"~с т а ти ч е с к и е, не меняющиеся" со временем, электрические пол_а. Будем считать, что перемещения зарядов отсутствуют и силы, действующие на заряды, целиком определяются взаимным расположением зарядов. Взаимные перемещения зарядов нам придется учитывать лишь при выводе соотношений для работы и энергии Эти перемещения мы здесь будем считать бесконечно медленными, т. е. настолько 'медленными, чтобы силы взаимодействия можно было предполагать практически не зависящими от скорости движения зарядов”""

Рассмотрение электростатических взаимодействий заряженных тел мы начнем с простейшего случая взаимодействия точечных зарядов, играющих в учении об электричестве такую же рол"ь7 как материальные точки в механике. "Точечным зарядом Я называется наэлектризованное тело, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми оно взаимодействует. В случае про- тяженных зарядов, размерами которых пренебрегать нельзя, следует

мысленно расчленить их на^достаточно малые элементЫд^каждый из которых может рассматриваться как точечный заряд.

Количественное изучение взаимодействия точечных зарядов, осуществленное французским физиком Кулоном в 1785 г , проводилось с помощью чувствительных крутильных весов. На тонкой кварцевой нити был подвешен горизонтальный стержень с маленьким заряженным шариком на конце. Второй заряженный шарик подносился

к первому на некоторое расстояние в той же горизонтальной пло

скости. В результате электростатических сил притяжения или

отталкивания (в зависимости от знаков обоих зарядов) упругая

нить закручивалась на некоторый угол а (см. рис. 1.1), тем больший, чем больше была сила взаимодействия между зарядами. Предварительно была определена зависимость угла закручивания нити от приложенной к шарику силы. Радиусы заряженных шариков были малы по сравнению с расстояниями между ними, так что заряды можно было считать точечными. Величину заряда каждого шарика можно было уменьшать в известное число раз, приводя его в соприкосновение с одним или несколькими такими же шариками.

Обозначим величины взаимодействующих

зарядов через у1 и ^ и расстояние между

ними через г, Из опытов Кулона следовало, что сила взаимодей- ствия между зарядами г пропорциональна каждому щ зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними;

(1.1)(1.1)р Ч1Че

(1.1)

(1.1)

В опытах Кулона электрические заряды находились в воздухе. Дальнейшие опыты показали, что наличие вещества вокруг зарядов влияет на вёличину" силы их взаимодействия.

Если при прочих равных условиях (величинах зарядов и их взаимном расстоянии) пространство заполнить однородной непроводящей средой (воздухом, керосином, маслом, стеклом и т. п ), то сила взаимодействия между зарядами уменьшится. Природа этого явления будет рассмотрена ниже, в §§ 4 и 10. Влияние той или иной среды на величину электрического взаимодействия между за^ рядами можно оценить, если сравнить силы между зарядами в от- сутствие среды (г0) и при ее наличии (г). — ■"-Цазтгета отйойГОниё VwTT'.TT'’ диэлектрической пр они- цаемостью среды и обозначим эту величину через е:

^=б. (1.2)

Из (1.2) следует, что е есть безразмерная величина. Таким образом, при наличии непрбводящеГ'среды, в которую помещены заряды, закон Кулона принимает вид

219«_ /1 .ri

Для пустоты 8=1, для керосина 8 = 2, у сухой бумаги 8 = 2-= 2,5, у воды е = 80, а для воздуха при атмосферном давлении 8=1,0006, т. е. практически евоэД=1.

Единицы измерения силы и расстояния были введены в т. 1 в разделе механики. Здесь мы встречаемся с новой величиной — количеством электричества или электрическим зарядом q, единицу измерения которой можно выбрать различным образом. Исторически использовались различные системы единиц: электростатическая" (£Г£Эк. электромагнитная (СГСМ), система Гаусса (СГС!1 или просто СГС), практическая (МКСА)— рационализованная и нерациона- лизованная. С 1964 г. ввёдёна~междуна~ро'дна"я~система СИ.'Общая сводка систем и переводные коэффициенты приведены в Приложении I в конце тома. Мы во всем дальнейшем изложении будем использовать лишь две системы — СГС и СИ.

Абсолютная гауссова система единиц базируется на системе СГС (сантиметр, грамм массы, секунда). Сила измеряется в производных единицах-—динах (1 дин = 1 г-cMjceK2), основанных на выборе коэффициента пропорциональности во втором законе Ньютона равным единице. Положим аналогично равным единице и коэффициент пропорциональности в законе Калона, т._ е. напишем

(1-4)(1-4)р 91?3

(1-4)

(1-4)

Тогда этот закон определит СГС единицу заряда. При 8=1, т. е. в вакууме, и при г1|2=1 заряды qx=q^=\ должны быть выбраны так, чтобы ГЬ2 = 1. Следовательно, СГС единица заряда есть такое количество электричества, которое действует на равный ему заряду помещенный в вакууме на расстоянии 1 см, с силой, рае- ной 1 дин (обТ"заряда точечные). Отсюда следует размерность заряда в системе Гаусса

[^] = [F]1/2 [г2]1/2 = г1/2слз/гсек-1. (1.5)

В системе СИ для измерения электрических величин вводится не производная, а независимая четвертая единица. В качестве основной электрической'ё'динйцы выбрана практическая единица тока—ам п е р точное определение которой будет приведено в § 327 Единицей заряда в системе СИ является кулон (у), т. е.

количество электричества, протекающее за 1 сек через поперечное ^сечение проводника при токевпепи, равном 1 а:

1к = 1а ««=2,998-10” («3-10д)СГС ед. заряда. (16)

При введении независимой единицы заряда закон Кулона (1 4) должен содержать коэффициентпро порциональности, имеющий определенную величину и размерность. Мы запишем этот коэффициент в виде отношеция двух величин к0 и 80, т. е. положим

Fi^^-О-7)

Величина еп носит название электрической пос то ян щой, а множитель ^0— коэффициент Р а ци о_нцл и з а ц_ии. Поверхность шара’'3^'1л^ и Ъолнь7й^ телесный угол равен 4л. Поэтому в системе СИ для так называемой рационализации записи формул во все соотношения, описывающие сферически симметричные взаимодействия, вводится дополнительный множитель рационализации к0=-^. Этот множитель вводится и в закон Кулона, запись которого в системе СИ принимает вид

Произведение *

У=еа(1-9)

носит название абсолютной диэлектрической проницаемости данной среды. Величины е^и^е^ в системе СИ являются размерными. Из (1.8) следует, что

[Еа1 = Iе о! = [JfjTp =,0-10)

где, как известно, 1 н = 1 кг-м[секг = 105 дин — единица силы в системе СИ (ньютон).

Для определения величины е0рассмотрим пример взаимодействия двух точечных зарядов в 1 к каждый, помещенных в пустоте на расстоянии 1 м друг от друга. Согласно (1.4) и (1.6) сила взаимодействия между ними равна

I(100J

Сопоставляя это с (1.8), имеем

откуда

80 = 8,86.10-"

(LH)

— = —1—=9 • 10* —5—

е0 4ле0к2

(1.12)

Для того чтобы записать закон Кулона в форме, пригодной для обеих систем единиц, можно воспользоваться соотношением (1.7), учитывая, что

в системе Гаусса Ао=1 и е0 = 1, м 13»

а в системе СИ /г—— и 8Л=8,86.10~ 0 4л о ’

н-м1

В системе Гаусса рационализация не применяется и ft0=l.

Формула (1.7) определяет величину сил взаимодействия между зарядами. Поскольку сила есть векторная величина, надо еще

охарактеризовать и ее направление. Для

Рис. 1.2.

-^ этого введем радиус-вектор r1)t, проведенный от первого заряда q^ ко второму qt (рис. 1.2). Если заряды одно- именны, то сила F ,, испытываемая зарядом qt со стороны заряда qT (сила отталки-

вания), будет совпадать по направлению с г, , Введем единичный вектор направления r1)t/rlj8, где г1г—величина радиус-вектора. Тогда закон Кулона в векторной форме примет вид

Силу, испытываемую зарядом qt со стороны заряда q4, получим простой перестановкой в (1.14) индексов 1 и 2.

^0 ^2^1

(1.15)

где

(1.16)

представляет собой радиус-вектор, проведенный от второго заряда к первому. Из формул (1.14)—(1.16) следует, что

т. е. взаимодействие электрических зарядов удовлетворяет третьему закону Ньютона.

Формулы (1.14) и (1.15) остаются справедливыми и в случае разноименных зарядов. Произведение q^ в последнем случае отрицательно, и обе силы меняют свое направление—отталкивание заменяется притяжением.

§ 2]

Электрическое поле. Вектор напряженностиэлектрического поля

Удаленные друг от друга точечные электрические заряды взаимодействуют по закону (1.14). Возникает вопрос: каким образом осуществляется это взаимодействие при отсутствии вещества между _зарядами, т. е. каков материальный носитель взаимодействия? Этим носителем является связанное с зарядами электрическое по л е.”"

"Неподвижный заряд 9, расположенный в какой-либо точке пространства, неразрывно связан с электростатическим полем в окружающем пространстве. Это поле заполняет все пространство и, в частности, проявляется в виде силы F, с которой оно воздействует на помещаемый в различные точки поля пробный заряд/.

Не "существует электростатических полей, не связанных снарядами, как не существует «голых» — не окруженных пол биоэлектрических зарядов. В последующих разделах мы увидим, что нестатические, переменные электрические поля могут существовать совместно с переменными магнитными полями в отрыве от электрических зарядов. В настоящем разделе мы рассматриваем неподвижные заряды и соответственно не меняющиеся в пространстве и времени статические электрические поля. Для краткости подобные^ электростатические поля мы_будем называть просто электрическими, во всяком случае там, где это не может вызвать путаницы.

гЕ Fое-о > ■ ■>$ Ч Рис 1 3гЕ Fое-о > ■ ■>$ Ч Рис 1 3Возвращаясь к рассматриваемому случаю взаимодействия двух точечных зарядов q и q* (рис. 1.3), мы можем теперь толковать возникновение механических сил ^Ь F между ними следующим образом. С зарядом q связано окружающее его электрическое поле. Это поле действует на помещаемый в него второй заряд q' с некоторой силой F, определяемой харак

гЕ F

ое-о > ■ ■>

$ Ч Рис 1 3

гЕ F

ое-о > ■ ■>

$ Ч Рис 1 3

тером поля в той точке, где находится заряд д'. Поскольку поле, связанное с зарядом q, зависит от положения этого заряда в пространстве, то сила F зависит от расположения пробного заряда q' по отношению к q, т. е. от радиус-вектора г, проведенного от q к q*. В свою очередь с зарядом q' связано собственное электрическое поле, которое по закону (1.14) действует на заряд q с силой —F, зависящей от тоГб, в какую точку поля он помещен.

В случае статических полей электрические поля, создаваемые зарядами д и д', не взаимодействуют друг с другом и каждое из них не оказывает воздействия на «собственный» заряд, создающий

данное поле. Электрическое поле, связанное с зарядом q, существует независимо от наличия или отсутствия других зарядов. Однако обнаружить его мы можем лишь с помощью сил, испытываемых каким-либо другим пробным зарядом q', помещенным в это поле. Этим обстоятельством и пользуются для количественной характеристики электрического поля.

Будем рассматривать заряд q как «источник» электрического поля, в которое на расстоянии г помещен пробный заряд q*. Согласно закону Кулона (1.14) на последний будет действовать сила

F=*o—*£.= ?'—, г,(2.1)

Отсюда видно, что сила, действующая на пробный заряд, помещенный в данную точку поля, зависит от величины этого заряда q' и прямо пропорциональна последней. С другой стороны, множитель пропорциональности, т. е. величина ^78г, не зависит от q и определяется только величиной заряда q, свойствами среды е и положением в пространстве той точки, в которой изучается поле,— значением радиус-вектора г. Эгу величину и можно принять для количественной характеристики электрического поля:

1 Е=^г=Л.(2.2)

| eoeriu qх

Вектор Е носит название вектора напряженности электрического поля. С помощью его можно переписать выражение (2.1) для механической силы, действующей на пробный заряду', в виде

F=#'E.(2.3)

Следовательно, Е —F при //'=4-1, и вектор напряженности электрического поля численно равен силе, действующей в данной точке на помещенный в нее пробный единичный положительный точечный заряд.

Формула (2.2) определяет вектор напряженности электрического поля точечного заряда q. Величина этого вектора

£-з-^-.(2Л)

убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника. В системе Гаусса е„=1, к„=\ и -

| Ет 3 —^5 СГС ед. напряженности поля.(2.4а)

Используя (1.5), можно определить размерность этой единицы:

1 СГС ед. напряженности поля=1 г!б .см-,1»-сек-1.

(2.46)(2.46)i-n ,i = ni-n ,i = nу, Mi r1 = 1 M^3 ‘у, Mi r1 = 1 M^3 ‘(2-7)(2-7)

(2.46)

(2.46)

i-n ,i = n

i-n ,i = n

у, Mi r

1 = 1 M^3 ‘

у, Mi r

1 = 1 M^3 ‘

(2-7)

(2-7)

В системе СИ &0 = 1/4л и-—

Е q qн

т-8-4леоетг4леа/2 к

Если электрическое поле создается не одним, а несколькими точечными зарядами qv qv ..., qn (рис. 1.4), то это поле будет действовать на пробный заряд q', помещенный в некоторой точке, поля, с результирующей силой F. Опыт показывает, что силы, возникающие в результате электри--

веского взаимодействия, складываются\

по тем же законам, как и силы в ме-\

ханике, т. е. вектор F равен геомет-\+?'. Н

рической сумме сил Ff, создаваемых *?/«

электрическими полями каждого заряда и определяемых по закону Кулона:

Рис. 1.4.

где г; — радиус-вектор, проведенный из гочки z-го заряда в точку поля, куда помещен пробный заряд q'.

Складывая эти силы и вынося общий множитель q', получим$

(2-6)

где

представляет собой вектор напряженности электрического поля, создаваемого всей системой зарядов. Из (2.7) следует, что вектор напряженности электрического поля системы зарядов равен геометрической сумме напряженностей полей, создаваемый в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Это соотношение носит название принципа наложения, (с у п е р п о з и ц и и) электрических полей. С его помощью можно в общем виде рассчитывать электрические поля любых сколь угодно сложных систем электрических зарядов.

Графически поле характеризуют с помощью так называемых линий напряженности, или силовых линий. Эти линии проводятся так, чтобы касательные к ним в каждой точке пространства совпадали по направлению с вектором Е в той же самой точке (см/рис. 1.5). Таким образом, силовая линия указывает направление вектора напряженности электрического поля в каждой точке, через которую она проходит.

Линии напряженности характеризуют поле весьма неполно. Электрическое поле есть непрерывный материальный объект, линии же напряженности могут быть проведены с любой, но все же конечной густотой.

Чтобы с помощью линий напряженности охарактеризовать не только направление, но и величину вектора Е, условно принимают,

Рис. 1.5,Рис. 1.5,что число линий, проходящих через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно этим линиям, должно равняться численной величине Е в данной области поля. Таким образом, величина напряженности поля характеризуется густотой линий напряженности; в тех областях, где величина Е больше, линии напряженности проходят гуще, и наоборот.

Рис. 1.5,

Рис. 1.5,

В случае поля точечного заряда, согласно (2.2), Е [J г и ли-

а) ^>0а) ^>0б) ^ < О Рис. 1.6.б) ^ < О Рис. 1.6.нии напряженности направлены по радиусам, проведенным из заряда. Для положительного заряда (9^>0) эти линии исходят из заряда и уходят в бесконечность (рис. 1.6, а\ Для отрицательного заряда (^<0) вектор Е направлен против радиус-вектора г, а линии напряженности идут из бесконечности и сходятся в точке нахождения заряда (рис. 1.6,6). Согласно (2.4) Е~ l^rs, так что густота линий напряженности должна убывать обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда. Так как площадь поверхности сферы, через которую проходят эти линии, сама возрастает пропорционально квадрату расстояния, то общее число линий будет оставаться постоянным на любом

а) ^>0

а) ^>0

б) ^ < О Рис. 1.6.

б) ^ < О Рис. 1.6.

линий на- могут на- только на но нигделиний на- могут на- только на но нигдерасстоянии от заряда. Как мы увидим ниже, то свойство

линий на- могут на- только на но нигде

линий на- могут на- только на но нигде

пряженности, что они чикаться или кончаться электрических зарядах,

в пространстве между ними (или уходить в бесконечность), сохраняется и для полей, создаваемых любой системой электрических зарядов.

В качестве примера принципа наложения электрических полей

рассмотрим поле так называемого постоянного электрического диполя, который будет часто встречаться в дальнейшем изложе-

§ 2]

нии. Диполем называется совокупность двух одинаковых по абсо- лютной 'величине разноименных зарядов + и —q, расположенных на расстоянии 1 друг от друга. Мы ограничимся случаями, когда расстояние Z мало по сравнению с расстоянием г от центра диполя О до точки М^ в которой определяется напряженность электрического поля диполя Е (рис. 1.7), При этом условии (7<^г) зависимость Е от радиус-вектора г и угла 9 между г и единичным вектором п, направленным вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному, будет выражаться, как мы покажем, сравнительно

просто. В непосредственной же близости от зарядов (г«/) поле имеет значительно более сложный характер.

Соединим точку наблюдения М с обоими зарядами радиус-векторами г, и г2, проведенными из последних. Тогда вектор напряженности электрического поля Е,, создаваемого зарядом —q в точке М, будет направлен против радиус-вектора г,, а вектор напряженности электрического поля Ее, создаваемого зарядом -Vq в точке М, будет направлен по радиус-вектору г„ как это изображено на рис. 1.7. Векторы Е, и Е2 определяются по формуле (2.2), а полный вектор напряженности электрического поля в точке М равен их геометрической сумме:

E=El + E2 = fe0^r1 + fe -±^г2.(2.8)

Из треугольника OLM на рис. 1.7 видно, что вектор г является геометрической суммой вектора г2 и вектора OL = -Ln. Отсюда

г2~ г—jn и аналогично ^-г + ^-п.(2.9)

Опуская из точки L перпендикуляр на радиус-вектор г, мы видим, что величина последнего равна сумме двух отрезков:

г = ON + МИ=-^- cos 6 + NM.

Используя условие 1<^.г, мы можем считать в прямоугольном треугольнике LNM катет NM с точностью до величин второго порядка малости (~ /2) равным гипотенузе гг; тогда

гг«г^-cos0 и аналогично г, «г + -^- cosO. (2.10)

Подставляя (2.10) в (2.8), получаемПодставляя (2.10) в (2.8), получаем(2.11)(2.11)

Подставляя (2.10) в (2.8), получаем

Подставляя (2.10) в (2.8), получаем

(2.11)

(2.11)

Раскрывая скобки в знаменателях по формуле бинома Ньютона и отбрасывая члены, содержащие малые порядков Г и /’, имеем

(г ± 4г COS 0) » г5 ± Зг2 -4г COS0 = r8 f 1 i 4т-— COS 0^1 ,

Воспользуемся известным правилом приближенного деления, согласно которому при д<^1 с точностью до членов второго порядка

1 I т 61 ± 6“ 1 — 6»1 I т 61 ± 6“ 1 — 6»» 1 =р 6.» 1 =р 6.

1 I т 6

1 ± 6“ 1 — 6»

1 I т 6

1 ± 6“ 1 — 6»

» 1 =р 6.

» 1 =р 6.

Тогда

I ~I_lTyTcoS0

/;~ч ;\ ~-3

Г Г ± -^ COS 9 I Г! ( I ± — — COS 6

Подставляя (2.12) в (2.II) и раскрывая все скобки, получим окончательно

Ex ka-cos 0—nV(2.13)

0 e0er3 \ r)''

Отсюда видно, что напряженность поля диполя определяется не в отдельности величиной зарядов q и расстоянием между ними /, а произведением

Р=Чк (2.14)

которое называется электрическим моментом диполя, или просто дипольным моментом. Поскольку ось диполя имеет вполне определенную ориентацию в пространстве, то дипольный момент является вектором. Этот вектор р направлен вдоль оси ди-

поля от отрицательного заряда к положительному, т. е. по направлению введенного нами выше единичного вектора п. Следовательно,

р—qln. .(2.15)

Подставляя (2.14) и (2.15) в (2.13), получаем

Зр — cos 6 — р

Е=А0 —$ ( 3 — cos9—п ) = А —г-—,.(2.16)

0е0ег8 \ г)8о8г

Таким образом, напряженность электрического поля диполя В прямо пропорциональна величине дипольного момента р и в любом направлении (для любых значений 9) убывает с ростом г как 1/г3,

т. е. быстрее, чем поле одиночного заряда (убывающее -^1/г2). Происходит это потому, что заряды диполя имеют разные знаки и их поля частично погашаются.

Рассмотрим точку N, лежащую справа от заряда -^-q на продолжении оси диполя (рис. 1.8). Для этой точки 9 = 0, cos 9 = 1, г=ш и

ЕНоеи = 60—,(3п —(2.17) °eoersv ' «воег’ ° еоег’''

Это соотношение остается справедливым и для точек, лежащих на оси диполя слева от последнего, где 0=л, cos9 =— 1, но г =—гп.

Для точки М, лежащей на перпендикуляре к оси диполя, 6=л/2, cos6 = 0 и

Ед, оси= ^о^Д" •(2.18)

Величина напряженности поля в точке М в два раза меньше, чем в точке N на оси диполя (при том же значении г), а направление вектора Е противоположно направлению момента диполя.

В общем случае произвольного 0, возводя выражение (2.16) в квадрат и принимая во внимание, что скалярное произведение (гп)

равно г cos 6, можно легко вычислить величину вектора Е:

£=/=.-^/7+3^9.(2.19)

CqC/

Устремляя I к нулю, a q к бесконечности так, чтобы их произведение ql»=p оставалось неизменным, получаем так называемый точечный диполь (/=0),

поле которого изображено на рис. 1.9. В случае точечного диполя соотношение 1<^.г остается верным при всех значениях г, следовательно, формулы (2.16)—(2.19) верны без ограничений.

Элементарные электрические заряды

При электризации трением оба трущихся тела заряжаются разноименно—одно положительно, а другое отрицательно. При этом абсолютные величины зарядов обоих тел (т. е. без учета их знаков) оказываются равными, и при соприкосновении они могут вновь нейтрализовать друг друга.

Это объясняется тем, что при трении происходит не возникновение электричества, а лишь разделение положительных и отрицательных зарядов, поровну существующих в нейтральных телах. Рассмотрим замкнутую систему, через поверхность которой заряды не переходят. Обозначим через qv^i=\, 2, 3, ...) величины отдельных зарядов, находящихся в системе; для положительных зарядов q^O, а для отрицательных qt<LO. Тогда, как показывает опыт, при всех процессах электризации и нейтрализации заря- .дов внутри системы (замкнутой!) выполняется закон сохранения электрического заряда

2?, —const (3.1)

— алгебраическая сумма электрических зарядов в замкнутой системе остается постоянной.

Изучая явления электролиза, Фарадей в начале XIX века установил прямую пропорциональность между количеством электричества, прошедшим через раствор электролита, и количеством вещества, выделившимся на электродах. Этот факт указывал на тесную связь электрической субстанции с веществом. Представления об атомисти-

элементарные электрические зарядыэлементарные электрические заряды2323§ 3]

элементарные электрические заряды

элементарные электрические заряды

23

23

ческом строении вещества приводили тогда к предположению о том, что и электрическая субстанция не является непрерывной, а существует в природе в виде совершенно определенных «дискретных» порций: с каждым ионом (заряженным атомом) вещества связана определенная порция электричества. Из законов Фарадея для электролиза (подробнее см. § 24) следует, что с каждым атомом любого одновалентного химического элемента, выделяющимся на электроде, связана одна и та же порция электрического заряда, с каждым двухвалентным атомом—ровно вдвое большая порция и т. д.

Однако вплоть до начала XX века само существование атомов и молекул оспаривалось многими учеными. Кроме того, законы электролиза были установлены для макроскопических количеств вещества, и могло возникать сомнение: может быть пропорциональность между количествами прошедшего электричества и выделившегося вещества соблюдается лишь в среднем для большого количества атомов, каждый из которых переносит с собой несколько различные порции заряда. Поэтому гипотеза о дискретной («атомной») природе электричества требовала прямого экспериментального доказательства.

В 20-х годах XIX века была установлена связь между электрическими и магнитными явлениями, и центр тяжести интересов физиков переместился в область изучения свойств электромагнитного поля, создаваемого зарядами. В теоретических работах Фарадея и Максвелла была установлена возможность распространения электромагнитных полей независимо от создающих эти поля движущихся электрических зарядов. Опытами Герца и Попова было подтверждено существование электромагнитных волн, и последние получили широкое применение в технике.

То обстоятельство, что электрические заряды всегда окружены полем, а поле может существовать и изменяться независимо от зарядов, приводило к представлению о первичности поля и вто- ричности зарядов. В наши дни с открытием новых взаимодействий (ядерного, «слабого», связанного с нейтрино,— см. т, III, ч. III) проблема еще более усложнилась и, по-видимому, далека от решения. Ее рассмотрение выходит далеко за пределы нашего курса.

Изучение катодных лучей, открытых в разрядной трубке Круксом в 1870 г., привело к заключению, что мельчайшие заряженные частицы, вырываемые из атомов вещества, обладают отрицательными зарядами. Эти частицы были названы электронами. Измеряя радиус кривизны траектории пучка электронов, заворачиваемых в магнитном поле, можно было определить удельный заряд электрона е[т1 т. е. отношение его заряда е к массе т (подробнее см. часть III, гл. VIII, § 38). Многочисленные опыты показали, что (при скоростях электронов, много меньших скорости света)

величина удельного заряда е[т для всех электронов одинакова. Это указывало на тождественность всех электронов, вырываемых из атомов различных веществ, на одинаковость их заряда е и массы (покоящейся) т.

Величина е[т для электрона оказалась в 1836 раз больше, чем ejM для положительного иона водорода Н+, т. е. для атома водорода, от которого оторван один электрон. Таким образом, физики пришли к заключению, что атомы вещества содержат «тяжелые» положительно заряженные частицы и «легкие» отрицательно заряженные частицы—электроны. Сообщая телу добавочное число электронов, мы заряжаем его отрицательным электричеством. Отнимая от тела часть электронов, мы заряжаем его положительно.

При обычных макроскопических процессах число участвующих в них электронов столь велико, что дискретность заряда может не учитываться в такой же мере, как несущественно при отмеривании порции жидкости то обстоятельство, что эта порция должна содержать целое число молекул. Однако для понимания механизма электрических явлений знание природы элементарных носителей электрического заряда совершенно необходимо. Для установления количественных закономерностей многих процессов существенной является и абсолютная величина элементарного заряда е.

Экспериментальное определение величины е и тем самым прямое доказательство дискретности электрического заряда было впервые осуществлено в 1909 г. Милликеном. Идея опытов Милликена состоит в следующем.

Представим себе микроскопическую капельку какой-нибудь нелетучей жидкости (например, минерального масла), помещенную между двумя строго горизонтальными пластинами, заряженными электричеством противоположного знака (плоский конденсатор). Меняя с помощью батареи и реостата заряд пластин, можно создавать в пространстве между пластинами вертикально направленное электрическое поле Е различной напряженности.

Под воздействием радиоактивных излучений, рентгеновых или ультрафиолетовых лучей воздух между пластинами конденсатора ионизуется и в нем появляются отрицательно и положительно заряженные ионы, т. е. молекулы с избытком или недостатком электронов. Эти ионы оседают на капельке масла и заряжают ее. Обозначим полный заряд, приобретенный капелькой к данному моменту, через q. Тогда можно, изменяя величину и направление электрического поля Е в конденсаторе, подобрать его таким, чтобы электрическая сила Еэа, действующая на капельку ^Гаа=дЩ, в точности уравновесила вес последней mg ^т — масса капельки):

(3.2)(3.2)qE—mg.

(3.2)

(3.2)

(3.3)(3.3)При этом капелька повиснет в воздухе и будет оставаться неподвижной, как это изображено на рис. 1.10. Если масса капельки т известна, то легко определить несомый ею заряд:

(3.3)

(3.3)

4 Е

Определение массы капельки ничтожных размеров является наиболее трудной частью опыта. Крошечные капельки масла Милликен получал, разбрызгивая с помощью пульверизатора масло над верхней пластиной конденсатора. Некоторые из этих микроскопических капелек, оседая, проникали в пространство между пластинами через

Рис. 1.10.Рис. 1.10.

Рис. 1.10.

Рис. 1.10.

небольшое отверстие в верхней пластине. Как правило, вследствие трения при разбрызгивании эти капельки приобрет ли некоторый первоначальный заряд.

В отсутствие электрического поля (£=0) капелька под действием силы тяжести начинала ускоренно падать. По мере возрастания скорости падения на нее действовала все большая сила трения о воздух Fw направленная против силы тяжести и уменьшающая ускорение капельки. Микроскопические капельки масла под действием сил поверхностного натяжения принимают строго сферическую форму, и силу трения для них можно рассчитывать по закону Стокса:■

£тр = 6лг]гп,(3.4)

где т] — вязкость воздуха, г — радиус капли и к — скорость ее падения.

Зная плотность масла 6, можно выразить массу капли т и ее вес mg через ее радиус:

^т«ж=т§"=улг36^.(3.5)

Спустя весьма короткий промежуток времени сила трения сравнивается с силой тяжести и капля начинает падать равномерно с

(3.6)(3.6)постоянной скоростью у0 такой, что

(3.6)

(3.6)

у лг’б^блгг]^.

'тд'тдн5 <3-Л и ее весн5 <3-Л и ее весНаблюдая за падающей каплей в отсчетный микроскоп (см. рис. 1.11), можно определить ее перемещение за определенный промежуток времени и тем самым найти величину d0. Из (3.6) тогда находится радиус капли

'тд

'тд

н5 <3-Л и ее вес

н5 <3-Л и ее вес

Р.«. 1.11.m?=6nl1,./4X=. (3.8)

Подбирая напряженность электрического поля Ev каплю можно остановить и определить находящийся на ней заряд qx=mgjEv Затем включается облучение воздушного промежутка до тех пор, пока капля не приобретет дополнительный положительный или отрицательный заряд и ее равновесие нарушится. Изменяя напряженность электрического поля до некоторого значения Еж, вновь добиваются равновесия капли и определяют ее новый заряд q1—mgjE1. Затем вновь включают облучение воздушного промежутка и т. д.

Получив ряд последовательных значений заряда капли qv qv q,, ..., Милликен установил, что как сами величины qb так и их последовательные разности являются целыми кратными некоторого элементарного заряда е, т. е.

§ 31 элементарные электрические заряды 27 электролиза. При выделении на электродах одного килограмм-атома, т. е. М6 атомов, одновалентного вещества через раствор проходит вполне определенное количество электричества F. Отношение

представляет собой заряд, переносимый одним одновалентным ионом. Измерения дали значение /?= 96,5-10'к, число Авогадро Na = =6,02.102' молекул в килограмм-молекуле. Отсюда для е получается то же значение (3.10).

Изучение строения атомов показало, что атомы состоят из положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена почти вся масса атома, и движущихся вокруг ядра отрицательно заряженных электронов. Электроны во всех атомах одинаковы и имеют массу покоя /»е=9,11 • Ю-28 г и заряд е=—4,80-Ю-10 СГС ед. заряда =—1,6.10-19 «.Ядра различных атомов имеют разную массу, а нх положительный заряд является целым кратным заряду электрона. Наиболее легкое ядро атома водорода, частица, называемая протоном, имеет массу mp=l,67.10-24 г и заряд е=4-4,80 • 10~10 СГС ед. заряда = 4* 1,6-10“19 к.

Атом в целом электрически нейтрален, суммарный заряд всех его электронов равен по величине и обратен по знаку заряду ядра. Если от атома оторвать один или несколько электронов, то возникает положительно заряженный ион. Если к атому присоединяется один или несколько лишних электронов, то возникает отрицательно заряженный ион. Процессы переноса электронов или ионов с одного тела на другое обусловливают электризацию или нейтрализацию этих тел.

Закон сохранения заряда (3.1) представлялся ранее простым следствием неуничтожимости элементарных заряженных частиц—электронов и протонов. Положение, однако, усложнилось в 30-х годах нашего века, когда были открыты новые элементарные частицы — н е й т р о н и позитрон. Нейтрон является частицей с массой, близкой к массе протона, тп^тр, и зарядом, равным нулю. Позитрон же представляет собой положительный электрон, т. е. имеет массу me = 9,l 1 ■ 10-28 г и заряд е= 4-4,80-10~10 СГС ед. заряда = + 1,6’ 10“19 к. Одновременно с открытием этих частиц было обнаружено, что все известные частицы способны к взаимным превращениям.

Так, например, при встрече позитрона (е+) с электроном (е-) обе частицы превращаются в два нейтральных фотона жестких у-лучей:

е+4-е-->2у. (3.12)

Нейтрон (п), находящийся в свободном состоянии, в среднем через 12 минут распадается на 3 частицы: положительно заряженный протон (р+), отрицательно заряженный электрон и нейтральную частицу малой массы, получившую название антинейтрино (v):

п -> р+ 4-е“ 4-v (3.13)

Указанные процессы превращения одних элементарных частиц в другие могут протекать и в обратном направлении. Например, достаточно жесткий

электрически нейтральный у-квант вблизи тяжелого ядра может превращаться в пару противоположно заряженных частиц—электрон и позитрон:

(3.14)(3.14)у -+ е" +е+.

(3.14)

(3.14)

Ядра атомов состоят из протонов и нейтронов, которые способны при определенных условиях превращаться друг в друга как по реакции (3 13), так и в противоположном направлении, по реакции

p+-»n + e+ + v, (3.15)

где v — нейтрино, причем тяжелые частицы остаются внутри ядра, а легкие (электрон, позитрон, нейтрино и антинейтрино) вылетают за пределы атома.

Наконец, наряду с относительно тяжелыми ядерными частицами (нейтрон, протои) и легкими (электрон, позитрон, нейтрино, антинейтрино) в последние годы был обнаружен целый ряд неустойчивых частиц с различными массами, как промежуточными между массой электрона и массой протона (мезоны), так и с массами больше массы протона (гипероны). Существуют положительные, отрицательные и нейтральные мезоны и гипероны, причем электрически заряженные мезоны и гипероны имеют заряд, в точности равный элементарному заряду е= ± 4,80-10~10 СГС ед. заряда.

При взаимных превращениях различных элементарных частиц, примерами которых являются написанные выше реакции (3.12) — (3.15), происходит возникновение и исчезновение отдельных элементарных зарядов. Однако и в этих случаях, как при макроскопических процессах разделения зарядов, алгебраическая сумма зарядов исчезающих частиц равна алгебраической сумме зарядов возникающих частиц.

Таким образом, закон сохранения электрического заряда является совершенно универсальным, справедливым при всех макроскопических и микроскопических процессах. Сам же электрический заряд является одним из свойств элементарных частиц, у которых он может принимать лишь одно из трех значений:

+ 4,80-10-1“ СГС ед. заряда,

(3.16)(3.16)0,

(3.16)

(3.16)

— 4,80-10-10 СГС ед. заряда.

Электрическое поле в диэлектрике.Свободные и связанные заряды

Рассмотрим причины того, что наличие непроводящего вещества между электрическими зарядами уменьшает их взаимодействие, т. е. что напряженность электрического поля в среде оказывается меньшей, чем в вакууме.

Все тела (твердые, жидкие и газообразные) состоят из атомов и молекул. Последние представляют сложные системы электрических зарядов, хотя в целом электрически нейтральны. В некоторых телах часть микроскопических зарядов может свободно перемещаться

§ 4] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ 29 через все тело. Такие тела способны проводить электрический ток и называются проводниками электричества. В других телах свободные заряды отсутствуют, и все микроскопические заряды тесно связаны друг с другом и движутся вполне опредёленным образом. Такие тела не проводят электрического тока и называются диэлектриками, или изоляторами.

Подробнее к вопросу о свойствах проводников и диэлектриков и количественным закономерностям электрического поля в различных телах мы обратимся в следующих параграфах. Здесь же остановимся лишь на некоторых общих понятиях и явлениях.

Элементарные микроскопические заряды имеют величину е=4,8-10-10 СГС ед. заряда= 1,6-10-“ к. При размерах атома г -^- 1О~10 ж напряженность электрического поля внутри атома в соответствии с (2.4а) имеет огромную величину, порядка

£=ет=Ц^9,10’=1’5,10’^л

во много раз превышающую достижимые в технике макроскопические поля, имеющие порядок 107 в/ж.

Однако в целом диэлектрик нейтрален. В любом макроскопическом объеме, большом по сравнению с атомными размерами, суммарные величины всех положительных и отрицательных элементарных зарядов равны друг другу и их электрические поля в значительной степени взаимно компенсируются, весьма быстро убывая за пределами вещества.

Строго говоря, в точной микроскопической теории любое нейтральное вещество представляет собой огромное множество заряженных частиц, движущихся в вакууме. Истинное электрическое поле Еист, создаваемое этими зарядами, весьма резко меняется от точки к точке и быстро колеблется с течением времени вследствие их движения.

Если поместить внутрь диэлектрика макроскопически малое (но большое по сравнению с атомными размерами) заряженное тело, то суммарная действующая на него сила будет определяться средним значением Еист по всей макроскопически малой области, занимаемой телом. Благодаря большой (по сравнению с электронами и атомами) инертности макроскопически малого заряда очень быстрые колебания истинного поля не будут успевать сказываться на движении последнего. Воздействие поля на этот заряд будет определяться средним значением Еист за макроскопически малый промежуток времени, достаточно большой по сравнению с периодами колебаний микроскопических зарядов.

Следовательно, макроскопическое поле Е', действующее на макроскопически малый заряд q’, есть среднее от истинного

(4.1)(4.1)микроскопического поля ЕиСТ:

(4.1)

(4.1)

ЕЯСТ=Е'.

При отсутствии внешнего поля ЁИС1=0.

Внешнее поле Ео вызывает смещение микроскопических зарядов и появление поля ЁЯС1—Е'. Следовательно, заряд в диэлектрике будет находиться под действием поля Е=Е0+-Е', отличного от поля Ео. Это обстоятельство и учитывается введением диэлектрической проницаемости в закон Кулона.

Рис. 1.12,Рис. 1.12,Поместим пластину из диэлектрика во внешнее однородное перпендикулярное к пластине, как это изображено на рис. 1.12. Выделим мысленно макроскопически малый объем v внутри пластины. Под действием внешнего поля Ео микроскопические заряды в объеме и начнут смещаться: положительные по полю, а отрицательные— против поля (см. рис. 1.12). Микроскопические заряды, составляющие диэлектрик, связаны и

Рис. 1.12,

Рис. 1.12,

удерживаются друг около друга весьма большими внутренними силами, величина которых, как подсчитывалось выше, во много раз превышает внешнее поле Ев. Поэтому смещение зарядов внутри диэлектрика (так называемая поляризация диэлектрика) будет невелико, но тем значительнее, чем больше приложенное внешнее поле Ео.

При равномерном смещении всех зарядов суммарный заряд любого макроскопически малого элемента объема диэлектрика не

изменится, т. е. останется равным нулю.

Подобная компенсация, однако, не будет иметь места на границах диэлектрика. Как видно из рис. 1.12, на правой границе диэлектрика возникает избыток положительного, а на левой границе—избыток отрицательного заряда. Эти поверхностные заряды

создают внутри диэлектрика дополнительное макроскопическое поле Е', линии которого направлены от плюса к минусу, т. е. против линий внешнего поля Ео. Таким образом, результирующее электрическое поле внутри диэлектрика Е по величине будет равно разности *

Е=Ей-Е<Ей (4.2)

и уменьшается по сравнению с тем полем Ей, которое было бы в данном месте в отсутствие диэлектрика.

Количественные закономерности, связывающие Е' и Е с Е61 будут разобраны ниже, в § 10. Здесь же ограничимся простыми

3131ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ§ 41

31

31

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ

качественными соображениями. Очевидно, чем сильнее внешнее поле Еа, тем сильнее будут смещаться микроскопические заряды внутри диэлектрика и тем больше избыточных связанных зарядов появится на обеих поверхностях диэлектрической пластины. Будем считать, что величина этих зарядов пропорциональна полю Ео. Поскольку создаваемое ими дополнительное поле Е' в свою очередь пропорционально величине этих зарядов (как это видно из разобранных выше примеров (2.2) и (2.13)), то должна соблюдаться пропорциональность

Е'-Еа и Е=Еа-Е'^Е6.(4.3)

Вводя соответствующий коэффициент пропорциональности, можно последнее соотношение записать в виде равенства

5=^,(4.4)

откуда, учитывая (4.2), заключаем, что величина в должна быть больше единицы.

Именно это ослабленное поле и будет действовать на пробный заряд д', помещенный в данную точку диэлектрика. Согласно (2.6) E=F при gr'=4-l, т. е. вектор напряженности электрического поля в данной точке численно равен силе, действующей на единичный пробный точечный положительный заряд, помещаем, й в эту точку. Слово «точечный» при этом следует понимать макроскопически: пробный заряд должен быть мал по сравнению с расстояниями до других макроскопических зарядов, создающих внешнее поле Ео, но, с другой стороны, должен быть достаточно велик по сравнению с атомными размерами, так чтобы на него оказывало воздействие не истинное резко меняющееся микроскопическое поле Еист, а усредненное макроскопическое поле Е'.

Таким образом, диэлектрик в электрическом поле поляризуется и создает дополнительное поле Е', источниками которого являются связанные с диэлектриком микроскопические заряды разных знаков, смещенные в разные стороны и, следовательно, частично разделенные. В приведенном выше примере диэлектрической пластины в однородном внешнем поле связанные заряды концентрируются на ее границах. В более общем случае неоднородных полей и диэлектриков сложной конфигурации поляризация соседних объемов диэлектрика будет различной и связанные заряды будут распределяться не только по поверхности, но и по объему диэлектрика.

ГЛАВА II

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Вектор электростатической индукции.Поток индукции

Основной прикладной задачей электростатики является расчет электрических полей, создаваемых в различных приборах и аппаратах (конденсаторы, кабели, электровакуумные приборы и т. д.). В общем виде эта задача решается с помощью закона Кулона и принципа наложения при использовании формул (2.2) и (2.7). Однако уже разобранный в § 2 простейший пример поля двух точечных зарядов (постоянный диполь) иллюстрирует сложность вычисления этим путем распределения значений вектора Е в пространстве. При наличии большого числа точечных или пространственно распределенных зарядов эта задача сводится к сложному суммированию или интегрированию.

Еще ббльшие трудности вызывает расчет электрических полей при наличии в пространстве диэлектриков или проводников, внутри которых под действием внешнего поля Ео происходит смещение и перераспределение микроскопических зарядов, создающих свое дополнительное поле Е'.

Поэтому для практического решения основных задач электростатики был разработан целый ряд вспомогательных методов и приемов, использующих подчас весьма сложный математический аппарат. Мы рассмотрим лишь один из простейших методов, основанный на применении теоремы Остроградского — Гаусса (называемой в электротехнике просто теоремой Гаусса). Для вывода ее придется предварительно ввести ряд важных вспомогательных понятий, таких как вектор электростатической индукции и поток этого вектора. Существенную ро^ь для понимания физических свойств поля играют вводимые в данной главе понятия потенциальной энергии и электрического потенциала поля.

В местах появления положительных связанных зарядов -будут возникать новые линии суммарного вектора напряженности электри-

ческого поля Е, а в местах появления отрицательных связанных зарядов эти линии будут исчезать. Вследствие этого при переходе через границу диэлектрика напряженность электрического поля Е

и характеризующая ее густота линий поля изменяются скачком. Еще сложнее будет выглядеть картина линий поля в случае, когда связанные заряды распределены в диэлектрике непрерывно (что будет иметь место в неоднородном поле и в случае диэлектрика произвольной формы).

центре сферической по-центре сферической по-Рассмотрим простейший пример. На рис. 1.13 изображен слу

центре сферической по-

центре сферической по-

чай, когда точечный заряд q помещен в лости внутри безграничного диэлектрика. Внутри полости вакуум, е=1 и

E„=^7(5-1)

В диэлектрике е>1 и

На границе полости с диэлектриком концентрируются связанные отрицательные заряды, напряженность поля уменьшается

в е раз и соответственно скачком умень- рИс 1 13 шается густота силовых линий.

Скачкообразное изменение вектора напряженности электрического поля и числа линий напряженности на границах диэлектриков создает ряд неудобств при расчете электрических полей. Поэтому

вводят вспомогательное векторное поле t,

1 Р=8еЕ=8()8Е. (5.3)

Вектор D, равный произведению вектора напряженности электрического поля на абсолютную диэлектрическую проницаемость среды в данной точке, носит название вектора электростатиче- ской индукции (иногда — вектора электрического смещения).

" В гауссовой системе единиц е0=1 и D и Е имеют одинаковые размерности. Для вакуума D=E. В системе СИ размерности D и Е различны, в вакууме D и Е не совпадают. Это обстоятельство является существенным недостатком системы единиц СИ, обусловленным введением отличной от единицы и размерной величины ег.

Подставляя (5.1) и (5.2) в (5.3), легко убедиться, что в рассмотренном выше примере вектор электростатической индукции точечного заряда и в полости, и в диэлектрике выражается одной и той же формулой: „ г

Dr з. = ^7- (54>

2 Г. А. Зисман и О, М Тодес

В системе Гаусса абсолютная диэлектрическая проницаемость ея есть величина безразмерная (в0—1 и ея=е) и вектор D согласно (5.3) имеет ту же размерность, что и Е, а в пустоте (е=1) оба эти вектора тождественно равны друг другу. В этой системе &0 = 1 и вектор электростатической индукции точечного заряда равен

(5.4а)(5.4а)DT.S. = ^- у СГС ед. индукции.

(5.4а)

(5.4а)

В системе СИ и численные значения, и размерности векторов D и Е различны (даже в пустоте, что является большим неудобством системы СИ). Размерность вектора D в этой системе будет

Г 1 ГК2 Н К

= L60]Т "

В системе СИ А0==1/4л и вектор электростатической индукции точечного заряда равен

От.З.От.З.д г к4лг8 г м21д г к4лг8 г м21(5.46)(5.46)

От.З.

От.З.

д г к4лг8 г м21

д г к4лг8 г м21

(5.46)

(5.46)

смотренного выше (рис. сти, согласно (5.4) линии изображено на рис. 1.14.смотренного выше (рис. сти, согласно (5.4) линии изображено на рис. 1.14.

смотренного выше (рис. сти, согласно (5.4) линии изображено на рис. 1.14.

смотренного выше (рис. сти, согласно (5.4) линии изображено на рис. 1.14.

Из определения (5.3) и равенства (2.7) следует, что для поля вектора D имеет место принцип суперпозиции, как н для поля Е:

(5.5)(5.5)d-2d„

(5.5)

(5.5)

т. е. вектор электростатической индукции, создаваемый в данной

точке поля системой электрических зарядов, равен геометрической сумме векторов индукции, создаваемых в той же точке каждым из зарядов в отдельности.

Поле D графически изображается линиями индукции точно так же, как и поле Е. Линии индукции проводят так, чтобы в каждой точке их направление совпадало с направлением вектора D в этой же точке, а число линий, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную к ним, равнялось бы численному значению D в данном месте.

Общая картина поля D оказывается более простой, чем поля Е. Для рас- 1.13) примера заряда в центре поло- вектора D пойдут непрерывно, как это Сопоставляя рис. 1.13 ирис. 1.14, можно

видеть основное различие между полями Е и D. Линии вектора Е начинаются (и кончаются) на любых как свободных, так и связан-

Е = ^—0 г2 гЕ = ^—0 г2 г(5.6)(5.6)Рис. 1,15.Рис. 1,15.

Е = ^—

0 г2 г

Е = ^—

0 г2 г

(5.6)

(5.6)

Рис. 1,15.

Рис. 1,15.

ных зарядах, и поэтому на границе диэлектрика густота этих линий изменяется скачком. В отличие от этого, линии вектора D начинаются (и кончаются) только на свободных зарядах, и па границе

диэлектрика их густота остается неизменной.

Если бы в рассмотренном примере диэлектрик вовсе отсутствовал, то для точечного заряда в пустоте (s= 1) напряженность электрического поля была бы равна

Сопоставляя (5.4) с (5.6), мы видим, что

Dt.3. = 80E0,(5.7)

т. е. при наличии диэлектрика вектор D с точностью до постоянного множителя е0 (зависящего от выбора системы единиц) совпадает с вектором напряженности электрического

поля Ео в отсутствие диэлектрика. Правда, соотношение (5.7) выполняется лишь в самых простейших случаях. В общем случае диэлектрика произвольной формы характер распределения линий вектора

D может весьма существенно отличаться от картины поля Ео. На рис. 1.14 было показано сферически симметричное поле Ео точечного заряда +? в вакууме. Поместим в это поле диэлектрик Л произвольной формы. Тогда на поверхности диэлектрика, ближайшей к заряду q, сконцентрируются отрицательные связанные заряды, а на противоположной границе — положительные заряды, как это изображено на рис. 1.15, а. Эти заряды создадут дополнительное довольно сложное поле Е', линии которого показаны пунктиром. Полное поле Е = Е0 + Е' будет отличаться от поля Ее особенно сильно внутри диэлектрика, но и вне диэлектрика линии Е перестанут быть сферически симметричными и примут вид, изображенный на рис. 1.15, б.

Умножая вектор Е на еа,.мы получим вектор D, линии которого изображены на рис. 1.15, в. Вне диэлектрика ей = е0=1 (в системе Гаусса) и линии D пойдут так же, как и линии Е на рис. 1.15, б. Внутри диэлектрика е=ей>-1, линии D направлены так же, как и Е, но густота их возрастает так, что на границах диэлектрика количество линий индукции не изменяется. Сопоставляя рис. 1.15, в и а, мы видим, что в этом случае линии вектора D существенно отличаются от линий вектора Ео, т. е. Вт^е0Е0.

искомые величины вектора напряженности электрического поляискомые величины вектора напряженности электрического поляНепрерывность линий индукции значительно облегчает вычисление вектора О при заданном распределении свободных зарядов. После того же, как будет найдено распределение значений вспомогательного вектора D во всех точках пространства, можно найти

искомые величины вектора напряженности электрического поля

искомые величины вектора напряженности электрического поля

с помощью простого деления на соответствующие значения диэлектрической проницаемости:

J <5-8)

Для вывода основного уравнения, связывающего поле вектора D с распределением свободных зарядов (см. ниже, § 6), введем предварительно еще одну вспомогательную величину—поток вектора D че

рез поверхность.

Рассмотрим простейший случай однородного поля, в котором D—const, т. е. вектор индукции повсюду одинаков и по величине, и по направлению. В этом случае все линии индукции прямые и идут параллельно на одинаковом расстоянии друг от друга (см. рис. 1.16). Построим площадку 5 произвольной формы, перпендикулярную линиям вектора D, и определим поток индукции через

нее как произведение D на S:

(5.9)(5.9)N=DS.

(5.9)

(5.9)

Поскольку через единицу площади проходят D линий индукции, то величина N численно равна полному числу линий индукции, пронизывающих эту площадку. Проведем теперь площадку S наклонно к линиям индукции (см. рис. 1.17). Ориентация площадки

в пространстве характеризуется перпендикулярным к ней вектором

нормали п. При этом сторона площадки, из которой выходит нормаль п, иазы- вается положительной, а противоположная сторона— отрицательной). Угол а между направлением вектора индукции и нормалью п к площадке может изменяться от 0 до 180®. Для нахождения числа N" линий индукции, проходящих через эту площадку, спроектируем последнюю на плоскость, ■ перпендикулярную

вектору D. Из рис. 1.17

видно, что через площадку S и ее проекцию 5пр проходит одинаковое число линий индукции, равное

N=DSnp = DS cosa=DnS, (5.10)

где Dn=D cosa—проекция вектора индукции на направление нормали к площадке.

Величина /V, определяемая формулой (5.10), называется пото- ком вектора электростатической индукции (или потоком вектора электрического смещения) через площадку S. Термин поток заимствован из гидродинамики: определяемый аналогично (5.10) поток вектора скорости численно равен объему жидкости, протекающей за единицу времени через данную площадку.

Поток индукции есть скаляр, который в зависимости от величины угла а может быть как положительным, так и отрицательным. При a <90° линии индукции направлены по отношению к площадке в ту же сторону, как и вектор п, выходят из ее положительной стороны, и, следовательно, W>0 (см. рис. 1.18, а).

При ос$>90® линии индукции входят в положительную сторону площадки и N<0 (см, рис. 1.18, бу Наконец, при а —90° cosa = 0 и /V—О, так как линии индукции в этом случае скользят вдоль площадки и не пересекают последнюю (см. рис. 1.18, в).

ность S:ность S:N=^D cos a AS, (S)N=^D cos a AS, (S)(5-12)(5-12)

ность S:

ность S:

N=^D cos a AS, (S)

N=^D cos a AS, (S)

(5-12)

(5-12)

В общем случае неоднородного поля (D^ const) и произвольной неплоской поверхности S (n^ const) для нахождения полного потока вектора электростатической индукции N через площадку ее следует мысленно разбить на отдельные бесконечно малые площадки AS

(см. рис. 1.19). Считая каждую такую площадку практически плоской и поле в ее пределах практически постоянным, можно по формуле (5.10) вычислить поток линий индукции, проходящих через эту площадку:

&N=D cos a AS=

=Dn\S. (5.11)

Суммируя элементарные потоки AN, проходящие через каждый участок поверхности AS, по всем таким элементарным участкам, мы найдем полное число линий индукции N, пронизывающих поверх

В пределе эта сумма заменится соответствующим интегралом по поверхности:

N= ^ D cos a. dS= J DndS.(5.13)

(A)(S)

Из (5.12) и (5.4) следует, что поток вектора электростатической индукции N имеет размерность электрического заряда и в системе единиц СИ измеряется в кулонах.

Если поле создается системой электрических зарядов ^; (Z=l, 2, 3, ...), то по принципу наложения (5.5) вектор электростатической индукции D в любой точке поля равен геометрической сумме векторов D,, создаваемых каждым /-м зарядом в этой точке. Проекция геометрической суммы векторов на любое направление (в том числе и на направление нормали к площадке п) равна алгебраической сумме проекций всех этих векторов на то же направление. Согласно (5.12) поток N пропорционален величинам Dn. Поэтому для произвольной поверхности S поток вектора электростатической индукции N, создаваемый системой электрических зарядов, равен алгебраической сумме потоков индукции Nit создаваемых каждым зарядом в отдельности:

N^^. (5.14)

§ 6. Теорема Гаусса

Закон Кулона в форме (2.2) и правило наложения электрических

полей (2.7) в принципе позволяют рассчитать поле, создаваемое любой

системой точечных зарядов. В случае непрерывного распределения заряда в пространстве суммирование в (2.7) следует заменить соответствующим интегрированием. Практически, однако, вычисление соответствующих сумм и интегралов часто представляет собой весьма трудоемкую математическую задачу. Поэтому был разработан целый ряд вспомогательных методов и приемов, упрощающих вычисление. Одним из таких практически важных и простых методов является применение теоремы Гаусса, краткий вывод кото

рой мы приведем ниже. Эта теорема

позв о л яет найти поток вектора электростатической индукции через

замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды.——

Рассмотрим сначала один точечный заряд q, помещенный в центре сферы произвольного радиуса г (см. рис. 1.20), и вычислим полный поток индукции N, проходящий через всю поверхность этой сферы наружу. Из (5.4) следует, что в этом случае численное значение вектора D на всей сфере 5 (г=const) одинаково

и равнои равно(6.1)(6.1)D — к —

и равно

и равно

(6.1)

(6.1)

U-S.3. % ,.2 "

Кроме того, направление вектора D при этом в каждой точке совпадает с направлением внешней нормали к сфере. Тогда входящий в формулу (5.12) cosa = cos0° = 1. Поэтому полный поток индукции через нашу сферу равен

^==^ОА5а=О^А5^А0г4-4лгг==^4^ (6-2) так как полная поверхность сферы 5=4лг2.

Из (6.2) следует, что поток индукции, создаваемый точечным зарядом, для сферы любого радиуса с центром в источнике поля одинаков и численно равен к-^м. Проведя две такие концентри

ческие сферы радиусами гг и г.ческие сферы радиусами гг и г.Рис. 1.21.Рис. 1.21.(см. рис. 1.21), мы видим, что число линий индукции N, пронизывающих обе сферы, одинаково. Между этими сферами линии индукции идут непрерывно, нигде не заканчиваясь и не возникая вновь. Поэтому, если мы проведем между этими двумя сферами замкнутую поверхность S, произвольной формы, тоже охватывающую наш точечный заряд q, то полное число линий индукции N через эту поверхность будет также равно А0-4л9.

ческие сферы радиусами гг и г.

ческие сферы радиусами гг и г.

Рис. 1.21.

Рис. 1.21.

При вычислении потока через замкнутую поверхность, так же как и в случае сферы, вектор

нормали п следует считать направленным по отношению к поверхности наружу. Линии индукции, выходящие из объема, ограниченного данной поверхностью, создают положительный поток, линии же, входящие в объем,—отрицательный поток.

Если между нашими сферами с произвольными радиусами расположить замкнутую поверхность 5„ не охватывающую заряда q, то, как видно из рис. 1.21, каждая линия индукции будет пересекать эту поверхность дважды один раз с положительной стороны (войдет в поверхность), а друго]1_£аз с отрицательной стороны (выйдет из поверхности). "Поэтому алгебраическая сумма линий индукции, проходящих через замкнутую поверхность 5^, т^е. полный поток индукции’"77~через эту поверхность, будет равна

нулю.

Таким образом, для одного точечного заряда q полный поток индукции через любую замкнутую поверхность S будет равен

N—kg-toq,N=0,N—kg-toq,N=0,(6-3)(6-3)если заряд расположен внутри замкнутой поверхности;

N—kg-toq,

N=0,

N—kg-toq,

N=0,

(6-3)

(6-3)

если заряд расположен вне замкнутой поверхности,

и результат этот от формы поверхности не зависит.

В соответствии с (5.14) в общем случае электрического поля, создаваемого произвольной системой точечных зарядов (см. рис. 1.22),

Рис. 1.22.Рис. 1.22.полный поток индукции, проходящий через замкнутую поверхность 3, равен

Рис. 1.22.

Рис. 1.22.

N=2N =А0.4л27(., (6.4)

где окончательное суммирование распространяется только на заряды, расположенные внутри этой поверхности. Отсюда получается окончательная формулировка теоремы Гаусса: поток вектора электростатической "инЗук- ции через любую замкнутую

поверхность численно равен

алгебраической сумме находящихся внутри этой поверхности зарядов, умноженной на 4лй0.

В гауссовой системе е0 = 1, 1гй= 1 и математическая запись теоремы Гаусса принимает вид:

(6.4а)(6.4а)Ь=4 л 2

(6.4а)

(6.4а)

В системе СИ &0=1/4л и

(6.46)(6.46)N^^qp

(6.46)

(6.46)

Теорема Гаусса может быть применена не только к векторному полю D, но и к полю Ео, создаваемому только свободными зарядами. Действительно, если убрать из прля все диэлектрики, то '

Овак е<>Ед. J1(6.5)

Подставляя. (6.5) в (6.4) и вводя понятие потока вектора напряженности электрического поля''

^o^S^oCO^C”) &S=2£0K AS-(6.6)

получаем

Л'0=Г4я^^<6-7>

Теорему Гаусса можно было бы вывести также для полного макроскопического поля Е, если учитывать все его источники —как свободные, так и связанные заряды Поскольку, однако, распределение связанных зарядов само зависит от Е, то пользоваться подобным соотношением неудобно, и на практике оно не применяется.

Как будет показано в следующем параграфе, теорема Гаусса (6.4) позволяет сравнительно просто рассчитывать электрические поля при симметричных распределениях зарядов и окружающих их диэлектриков. В более общем случае целесообразно, применяя теорему Гаусса к любому макроскопически малому объему, перейти от интегрального соотношения (6.4) к эквивалентным ему дифференциальным. Эти дифференциальные уравнения в частных производных рассматриваются и решаются в теоретической электродинамике (уравнения Максвелла).

Примеры применения теоремы Гаусса

Разберем несколько примеров применения теоремы Гаусса к расчету электрических полей в простейших практически важных случаях.

Пример 1. Поле равномерно заряженной сферы.

Сферу радиуса R, помещенную в среду с диэлектрической проницаемостью в, зарядим так, чтобы весь ее заряд q равномерно распределился по поверхности (рис. 1.23, а). На каждой единице площади поверхности шара будет тогда находиться заряд

Величина о называется поверхностной плотностью электрического заряда (ее единицей является, например, К.М2}.

Так как заряд расположен совершенно симметрично, то и создаваемое им электрическое поле также должно обладать сферической симметрией. Следовательно, линии вектора индукции D должны быть направлены по радиусам, проведенным из центра шара (рис. 1.23, а), а численное значение D может зависеть только от расстояния г до центра шара. Вид этой зависимости

D = D^ (7-2)

мы найдем с помощью теоремы Гаусса.

Представим себе мысленно вспомогательную сферу S' произвольного радиуса r> R, концентрически охватывающую наш шар. Эта сфера изображена на рис. 1.23, а штрих-пунктиром. Вычислим поток индукции через сферу S'. Из (5.12) и (7.2) следует

N = ^ DdS cosa=Z)(r) ^ dS • 1 = D (г)-4№.(7.3)

Так как r^R, то суммарный заряд, заключенный внутри этой сферы, равен полному заряду шара:

(7.4)(7.4)2^ = 9.

(7.4)

(7.4)

Подставляя (7.3) и (7.4) соответственно в левую и правую частиПодставляя (7.3) и (7.4) соответственно в левую и правую части

Подставляя (7.3) и (7.4) соответственно в левую и правую части

Подставляя (7.3) и (7.4) соответственно в левую и правую части

формулировки теоремы Гаусса (6.4), получаем О (г) • 4№ = &0 • 4^7, откуда

7^ (г)7)вне шара = feQ —-(7.5)

и соответственно

5вне шара —5вне шара —еое 0 е0ег2 "еое 0 е0ег2 "(7.5а)(7.5а)

5вне шара —

5вне шара —

еое 0 е0ег2 "

еое 0 е0ег2 "

(7.5а)

(7.5а)

Для изображенной на рис. 1.23,а пунктиром сферы S" радиуса r<ZR поток индукции выражается также формулой (7.3). Однако в этом случае внутри сферы S" зарядов нет и

2<Л=0.(7.6)

Подставляя (7.3) и (7.6) в (6.4), получаем О(г) • 4лг2 = 0; следовательно,

(7.7)(7.7)ОвцуТрИ шара==

(7.7)

(7.7)

и

^внутри шара — 0.

(7.8)

Сравнивая (7.5) с (2.4), видим, что электрическое поле снаружи шара, равномерно заряженного по поверхности, в точности такое же, как если бы весь заряд шара д был сосредоточен в одной точке — центре .шара. Внутри же шара поля, создаваемые зарядами, расположенными на отдельных участках его поверхности, взаимно компенсируются и суммарное поле равно нулю. График зависимости Е от г вне и внутри шара изображен на рис. 1.23, б; видно, что на границе шара напряженность электрического поля меняется не непрерывно, а скачкообразно, возрастая от 5=0 внутри шара до

(7.9)

на внешней его поверхности.

П р и м е Р...2. Поле равномерно заряженной плоскости.

Представим себе равномерно заряженную бесконечную плоскость (рис. 1.24) с постоянной поверхностной плотностью заряда о. Линии индукции в этом случае, очевидно, должны быть направлены симметрично в обе стороны от плоскости и идти перпендикулярно ей. Из симметрии также следует,, «то абсолютная величина вектора индукции /) может зависеть только от расстояния х до плоскости.

Для нахождения вида зависимости /)=£)(х) мы применим теорему Гаусса к замкнутой цилиндрической поверхности, изображенной на том же рис. 1.24. Ось цилиндра перпендикулярна заряженной

плоскости, и последняя делит высоту цилиндра 2х пополам. Оба основания параллельны заряженной плоскости и имеют одинаковую площадь S.

Поток индукции через цилиндрическую поверхность равен

N= 2 D AS cos а + 2 5 OAScosa. (7.10) бок. нов.основ

На боковой поверхности вектор D параллелен поверхности и cosa = 0. На торцах цилиндра вектор D перпендикулярен поверхности и cosa=l, а величина D одинакова на обоих основаниях; следовательно,

N=4 2 D^SA=2DS.ОСНОВN=4 2 D^SA=2DS.ОСНОВ(7.11)(7.11)

N=4 2 D^SA=2DS.

ОСНОВ

N=4 2 D^SA=2DS.

ОСНОВ

(7.11)

(7.11)

(7-12)(7-12)Проведенная цилиндрическая поверхность вырезает из плоскости такую же площадку 6’ с полным зарядом

(7-12)

(7-12)

S^-oS.

Подставляя (7.11) и (7.12) соответственно в левую и правую части (6.4), получаем

WS = ke-4noS,

откудаоткудаОпл = Ао • 2лст = constОпл = Ао • 2лст = const(7-13)(7-13)

откуда

откуда

Опл = Ао • 2лст = const

Опл = Ао • 2лст = const

(7-13)

(7-13)

и соответственно

(7.14)(7.14)(7.14а)(7.14а)2ло_

(7.14)

(7.14)

(7.14а)

(7.14а)

СПЛ-«0 Ео8 •

ВВсистеме Гаусса е0 = 1, А0 = 1_и_

В

В

2зта

4

системе СИ еа = е0Е, А0=1/4я, и благодаря этому в окончатель-

ном выражении

(7.146)(7.146), _ a опл ~ 2еое 2ео

(7.146)

(7.146)

отсутствует множитель, содержащий 4л (поле не обладает сфери-

ческой симметрией).

Из (7.13) следует, что по обе стороны плоскости вектор индукции D во всех точках одинаков по величине и направлению, т. е. образует однородное поле (D = const).

Для отрицательно заряженной плоскости о < 0 и линии индукции

справа и слева входят в плоскость, кончаясь на отрицательных зарядах. В случае равномерно заряженной плоскости с конечными размерами L выражение (7.13) будет справедливым для точек поля, находящихся на расстоянии х от плоскости, достаточно малом по сравнению с L, и не слишком близких к ее краям. У краев же пластины и на расстояниях, сравнимых с размерами последней, электрическое'поле перестает быть однородным.

Пример 3. Поле между двумя плоскостями, равномерно с одинаковой плотностью заряженными разноименными зарядами (плоский конденсатор).

Рассмотрим систему двух бесконечных плоскостей (пластин), расположенных параллельно друг другу и равномерно заряженных зарядами противоположного знака с одинаковой поверхностной плот-

ностью. Поверхностную плотность заряда на пластинах обозначим — о (рис. 1.25). Линии индукции D+,

соответственно через +° и создаваемые положительной

5

Е=0_

т

"Е*0

■—-—+

Рис. 1.25.

но из чертежа, вне конденсатора направлены противоположно друг т. е. поле отсутствует:

Т^внешн^^б И

пластиной, идут в обе стороны от пластины, как показано на рис. 1.25 простым пунктиром. Абсолютная величина вектора индукции равна 6о.2ло. Поле, создаваемое отрицательной пластиной, D_, также однородно и имеет ту же абсолютную величину &-2ло, но линии индукции его направлены к пластине, как показано на том же рисунке штрих-пунктиром.

Результирующее поле, создаваемое обеими плоскостями, определится по принципу наложения (5.5). Как вид-

линии индукции от обеих пластин другу и взаимно компенсируются,

^внешн — 0.

(7.15)

(7.16)(7.16)Внутри же конденсатора оба поля направлены одинаково и Овнутр—^„ • Зло + А„ • 2ло=До • 4ло.

(7.16)

(7.16)

Отсюда напряженность поля в любой точке между пластинами

(7.17)(7.17)р 7)внутр&0 4ло

(7.17)

(7.17)

Свиутр——

где е — относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами. В пустоте напряженность поля между пластинами равна

(7.18)(7.18)Ей = — 4ло.

(7.18)

(7.18)

80

Из (7.15) и (7.17) следует, что поле безгранично протяженного плоского конденсатора целиком сосредоточено между его пластинами и однородно. Полученный результат можно приближенно применять и для конденсаторов конечных размеров, причем ошибка в расчете внутреннего поля будет тем меньше, чем меньше расстояние между пластинами d по сравнению с линейными размерами самих пластин. На рис. 1.26 изображена примерная картина линий поля в реальном плоском конденсаторе конечных размеров.

Суммарное поле Т^нутр действует на любой посторонний заряд q', помещенный между пластинами. На заряды же, расположенные на

(7.14), созда-(7.14), созда-Рис. 1.26.Рис. 1.26.каждой из пластин, действует вдвое меньшее поле ваемое только другой пластиной конденсатора. Поле положительной пластины направлено от нее и действует на отрицательные заряды второй пластины с силой, направленной против поля, т. е. с силой притяжения. Поскольку эти заряды связаны о^пластиной, то па всю пластину площади 5 действует суммарная сила притяжения

(7.14), созда-

(7.14), созда-

Рис. 1.26.

Рис. 1.26.

(7.19)(7.19)F= q E—oSk — ^k. — S.

(7.19)

(7.19)

4° eoe 0 eoe

Такая же сила притяжения действует и на положительную пластину; между пластинами конденсатора возникает взаимное притяжение с силой на единицу площади

0—.(7.20)

J S 0 еое''

Подобные механические силы, возникающие между заряженными макроскопическими телами, носят название пондеромоторных сил. Эти силы действуют на проводники и диэлектрики, помещаемые в электрическое поле, и заставляют их перемещаться в этом поле и деформироваться. Общий метод вычисления пондеромоторных сил будет указан ниже, в § 13. Измеряя пондеромотор- ные силы, например, с помощью пружинных весов, мы получаем возможность определения величин электрических зарядов и полей механическим путем. На этом принципе работают так называемые абсолютные электрометры.

Пример 4. Поле равномерно заряженного шара.

Сферу радиуса R, изображенную выше на рис. 1.23, а, зарядим равномерно по всему объему. Объемную плотность заряда обозначим

Учитывая те же условия симметрии, как и в примере 1, можно написать, что для сферы произвольного радиуса г с центром, совпадающим с центром нашего шара, поток вектора электростатической индукции будет

(7.22)(7.22)N^D^ 4лл2.

(7.22)

(7.22)

При r>R суммарный заряд, заключенный внутри сферы, равен полному заряду шара q и на основании теоремы Гаусса, так же

(7.23)(7.23)как и в примере 1,

(7.23)

(7.23)

2vBHe шара — ^q г2 •

Z4 з г8»1=ет«г’=?р.Z4 з г8»1=ет«г’=?р.По теореме ГауссаПо теореме ГауссаО(г)4лг2 = &0 4л?^О(г)4лг2 = &0 4л?^(7.24)(7.24)ииПри r<R суммарный заряд, заключенный внутри сферы, будет равен

Z4 з г8

»1=ет«г’=?р.

Z4 з г8

»1=ет«г’=?р.

По теореме Гаусса

По теореме Гаусса

О(г)4лг2 = &0 4л?^

О(г)4лг2 = &0 4л?^

(7.24)

(7.24)

и

и

(7-25)(7-25)(7.26)(7.26)п _к»чг

(7-25)

(7-25)

(7.26)

(7.26)

8=1, а вне поля имеем8=1, а вне поля имеемшара в^1, то для напряжен-шара в^1, то для напряжен-^внутри шара— ^з •

8=1, а вне поля имеем

8=1, а вне поля имеем

шара в^1, то для напряжен-

шара в^1, то для напряжен-

Если внутри шара ности электрического

р ^о4

^внутри шара-—■ g ^з

р к»д

'-вне шара — g^f2

В центре шара при г=0 напряженность электрического поля равна нулю. С ростом г величина Е линейно возрастает до некоторого максимального значения finax= = —j на поверхности шара. На границе с диэлектриком напряженность электрического поля изменяется скачком и вне шара постепенно убывает от значения £™х = ^ ДО нуля. График зависимости Е от г вне и внутри шара согласно (7.26) при е=1, т. е. в отсутствии скачка, изображен на рис. 1.27.

Расчет напряженности электрического поля внутри шара можно было провести и иным способом. Если разбить весь шар на элементарные объемы dv, то каждый из них будет обладать зарядом Qdu и создавать в некоторой точке М внутри шара, находящейся от него на расстоянии х, элементарную напряженность поля

JEm=^2L.(7.27)

Суммируя эти поля от всех объемчиков, расположенных на различных расстояниях х от точки Af, можно найти полное поле в этой точке

(7.28)(7.28)Ем= ( dEM.

(7.28)

(7.28)

Результат вычислений по формуле (7.28) полностью совпадает с расчетом внутри шара по формуле (7.26).

При вычислении по формуле (7.28) мы складываем поля от всех элементарных зарядов Qdu, в том числе и от заряда, расположенного в точке Лк

Рассмотренные в настоящем параграфе примеры демонстрируют практическую важность использования теоремы Гаусса для вычисления

электрических полей, обладающих симметрией. Применяя указанный метод, читатель сможет сам рассчитать поле сферического или цилиндрического конденсатора. Приведем без вывода решение для последнего случая.

Пусть два коаксиальных бесконечно длинных цилиндра радиусами Rt и R1‘>R1 (рис. 1.28) равномерно заряжены по всей поверхности электричеством противоположных знаков. Поверхностная тЬтбтн6ст1Г~Зиряда на обоих цилиндрах, чтобы на единицу высоты каждого цилиндра приходился одинаковый по абсолютной величине заряд qv должна быть различной. Выбирая

замкнутые поверхности в виде коаксиальных цилиндров различных

радиусов г и применяя теорему Гаусса, можно доказать, что все электрическое поле сосредоточено между цилиндрами, направлено перпендикулярно ИХ' поверхностям и убыва'еТ~бб’ратно~пропорцио

нально расстоянию г от их оси но формуле

(7.29)(7.29)F — k ^31_^цил. конд. — «„мг -

(7.29)

(7.29)

В радиолампах и ионизационных счетчиках радиоактивных излучений противоположно заряженные электроды (катод и анод) выполняются обычно в виде цилиндрической нити и коаксиального с ней внешнего цилиндра.

Такой же характер имеет электрическое поле в коаксиальном кабеле, где полость между центральной жилой и цилиндрической броней заполняется диэлектриком. При радиусе внешнего цилиндра, малом по сравнению с его длиной, образованный обоими цилиндрами цилиндрический конденсатор можно считать практически бесконечно длинным и для расчета электрических полей использовать полученный выше результат (7.29).

Потенциал электростатического поля

На точечный электрический заряд q', находящийся в электрическом поле Е, действует сила F — q'E. При перемещении заряда в поле эта сила совершает работу. Можно доказать для самоед, общего случая, что величина работы по перемещению заряда q* в электростатическом поле зависит лишь от его начального и конечного положений и не зависит от пути движения.

F—^'Е — qF—^'Е — q/М г/М ге08л2 ге08л2 г

F—^'Е — q

F—^'Е — q

/М г

/М г

е08л2 г

е08л2 г

Мы докажем это важное положение сначала для частного случая электрического поля точечного заряда, а затем обобщим полученный результат на случай поля, отвечающего произвольному распределению зарядов. На рис. 1.29 изображены линии поля, создаваемого точечным зарядом q, и траектория перемещения проб

ного заряда q*. Выделим бесконечно малый отрезок этой траектории dl. При перемещении заряда q' на отрезке dl на него действует сила

(8-1)(8-1)

(8-1)

(8-1)

и совершается элементарная работа

dA = Fdl cos (F, dl) = q'-^Ц- dl cos (г, dl).

Из чертежа видно, что величина d/cos(r, dl) есть проекция перемещения

dl на направление радиус-вектора г и численно равна приращению длины радиус-вектора:

dl cos (г, dl) = dr.

Поэтому окончательно имеем

(8.2)

Для нахождения полной работы, совершаемой полем при перемещении пробного заряда q' из положения 1 в положение 2, следует выражение (8.2) для элементарной работы проинтегрировать по всему пути:

। Из (8.3) слепует, что то же выражение для работы получится итГри перемещении пробного заряда между указанными двумя точками и по любому другому пути, изображенному на рис. 1.29 пунктиром. Таким образом, работа перемещения пробного заряда q' в поле, создаваемом одиночным точечным зарядом q, действительно не зависит от пути перехода из начального положения в конечное и является функцней'тгачотЯГого (г,) и конечного (г2) расстояний между зарядами q и q'. Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным полем. ~ "

Введем следующую функцию расстояния т между зарядами:

W^=k>^+ С>(8-4)

где С—произвольная постоянная. Сопоставляя (8.4) и (8.3), видим, что разность значений этой функции в положениях / и 2 дает работу, производимую электрическими силами при перемещении заряда q' из точки 1 в точку 2. Действительно,

r(rj—r(rj=ko^ + d —L +=(8.5)

‘ 3 I °еоеч j L °60er2^ J 0 М V irJ v

и

(8.6)

В рассматриваемом случае как выражение для работы Л,„ так и вид функции IF(г) симметричны относительно обоих зарядов q и q’. Эта симметрия характерна для точечных зарядов и связана с тем, что вектор F представляет собой силу взаимодействия между обоими зарядами.

Анализируя соотношение (8.6) и сопоставляя его с аналогичными соотношениями в механике, мы приходим к заключению, что функция IF(г) должна рассматриваться как потенциальная энер- ги я взаимодействия точечных зарядов д п д , находящихся Tia расстоянии г"друг от друга. Формула (8.6) тогда означает, что работа электрических сил при перемещении заряда q* произведена за счет уменьшения потенциальной энергии взаимодействия q и q'. Поскольку q играет в данном случае роль источника поля, а движется в этом поле заряд q', функцию IF (г) можно называть потенциальной энергией заряда q' в данном электрическом поле, созданном зарядом q.

Здесь, как и в механике, потенциальная энергия определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной С. Это связано с тем, что физический смысл имеет, собственно говоря. лишь разность потенциальных энергий в двух точках пространства, выражающая"'ра5оту7" производимую при переходе из одной точки в другую. При нахождении же этой разности произвольная постоянная исключается, как видно из (8.5).

В рассмотренном выше (рис. 1.29) примере будем перемещать пробный заряд д' из точки 1 за пределы поля, т. е. в бесконечность, где напряженность электрического поля fT.3. равна нулю. Такую бесконечно удаленную точку (г2 = оо) можно выбрать за начало отсчета потенциальной энергии и положить потенциальную энергию в этой .точке равной нулю:

^ = 0.(8.7)

Для этого необходимо в общем выражении (8.4) положить произвольную постоянную С—0.

Из формул (8.4) — (8.7) тогда следует:

A.^^W-W.^W^q'^ (8.8)

п потенциальная энергия заряда q' в точке г, численно равна работе, которую надо затратить, чтобы удалить q' из данной точки поля в бесконечность. Для одноименных зарядов qq'">Q и Wt > 0, т. е. энергия их взаимодействия положительна, и при раздвижении этих зарядов на бесконечность силы отталкивания между ними могут совершить положительную работу Д1.»>0. Для разноименных зарядов qq'<.0, т. е. энергия взаимодействия отрицательна, и для раздвижения этих зарядов на бесконечность придется затратить внешнюю работу —Д^® против электростатических сил.

Следует твердо помнить, что потенциальная энергия есть энергия взаимная, причем оба взаимодействующих заряда входят в выражение для потенциальной энергии их взаимодействия совершенно симметрично. К выражению (8.8) для взаимной потенциальной энергии зарядов можно прийти, считая, что заряд q находится в электрическом поле заряда q, либо что заряд q находится в электрическом поле заряда q'. ■

Перейдем теперь к общему случаю произвольного распределения зарядов — «источников поля». Как было установлено выше (принцип наложения), суммарное поле, создаваемое системой зарядов, равно сумме полей точечных зарядов, образующих систему. Следовательно, сила, действующая на пробный заряд q', равна геометрической сумме сил, а работа при его перемещении в электрическом поле всех зарядов системы равна алгебраической сумме работ перемещения в поле каждого из зарядов. Поскольку эта работа для каждого из полей не зависит от фортпя пути, то она не зависит от формы пути для суммарного пб?ГП протГЗвбльной (статической) системы зарядов. Следовательно, работа по перемещению пробного заряда в произвольном электрическом поле выражается формулой

2

Д12=У Fd/cos (F, d\^=q'j Еdlcos (E?dl) = W\—Wv (8.9) 1 1

аналогичной выражению (8.6). Здесь под Wx и W2 следует понимать значения потенциальной энергии пробного заряда в точках / и 2 суммарного поля.

Функция Wb общем случае является суммой выражений типа (8.8) с соответственными значениями расстояний rt от пробного заряда q' до каждого из источников поля *).

117117Из (8.9), далее, видно, что работа и энергия прямо пропорциональны величине пробного заряда q . Отношение

117

117

(8.10)

зависящее от положения пробного заряда, но уже не зависящее от численной величины последнего, характеризует свойства поля в дайной его точке и называется электрическим потенциалом или просто потенциалом этой точки.

Сохрани^ введенное выше условие (8.7) для начала отсчета энергии, находим, что

0,(8-11)

г. е. потенциал электрического поля численно измеряется работой, совершаемой полем при перемещении единичного положи? тельного пробного заряда (<?'=-*-1) по любому пути из данной точки в Оесконечность *). " 'Из (8.9) и (8.11) вытекает, чтог. е. потенциал электрического поля численно измеряется работой, совершаемой полем при перемещении единичного положи? тельного пробного заряда (<?'=-*-1) по любому пути из данной точки в Оесконечность *). " 'Из (8.9) и (8.11) вытекает, что

г. е. потенциал электрического поля численно измеряется работой, совершаемой полем при перемещении единичного положи? тельного пробного заряда (<?'=-*-1) по любому пути из данной точки в Оесконечность *). " '

Из (8.9) и (8.11) вытекает, что

г. е. потенциал электрического поля численно измеряется работой, совершаемой полем при перемещении единичного положи? тельного пробного заряда (<?'=-*-1) по любому пути из данной точки в Оесконечность *). " '

Из (8.9) и (8.11) вытекает, что

(8.13)поле(8.13)полеЛ1,г = ^'(Ф1— ФЛ

(8.13)

поле

(8.13)

поле

т. е. работа по перемещению заряда в электростатическом

измеряется произведением величины переносимого заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек пути и не зависит от формы пути.

Размерность потенциала в гауссовой системе равна(ф] = ^= сл’^-г'^-сек"1.

Полагая в (8.13) ^'=1СГС ед. заряда, А^—Хэрг, мы получим Ф,—ф2=1 СГС ед. потенциала, иначе говоря, за единицу разности потенциалов в гауссовой системе принимается разность потенциалов между двумя такими точками поля, при перемещении между

трическими зарядами. Так, в рассмотренном в § 7 примере 2 безграничной заряженной плоскости бесконечно удаленные точки, лежащие справа и слева от плоскости и в самой плоскости, не равноценны друг другу. В подобных случаях иногда бывает удобно выбирать иную нормировку константы в выражении для потенциальной энергии и полагать 1^ = 0 в какой-нибудь условной точке поля.

*) Или в ту точку поля, для которой потенциал условно принят равным нулю, как указывалось в предыдущей сноске,

которыми 1СГС единицы положительного заряда совершается работа в \эрг. В системе СИ, аналогично полагая в (8.13) ^' = 1 к и Д, е = \дж, получим ф,—<Р2=1 в, т. е. 1 вольт есть разность потенциалов между такими двумя точками поля, при перемещении между которыми заряда в 1 кулон совершается работа в 1джоуль. Так как \дж=\Очэрг, а 1 к я 3-Ю’СГС ед. заряда, то

,1 дж10’ эрг1

1 в = —.— = , ,«' = 07^ СГС ед. потенциала.

1«3-10э СГСЭ ед. заряда 300

Потенциал ф является столь же важной характеристикой электрического поля, как и вектор напряженности Е.

Для графического изображения распределения потенциала в электростатическом поле пользуются системой так называемых поверхностей равного потенциал'а"" f эТв"ип б т е"н ц и а л ь н ы х п о в е р х- ностей). Каждая така"Т"повёрхДост1Гпр”ёдН^ ность всех точек поля, "имеющих бдно’~и то"же "значение потенциала"

(8.14)(8.14)ф = const.

(8.14)

(8.14)

Эти поверхности проводятся в пространстве так, чтобы численное значение потенциала на двух соседних поверхностях отличалось повсюду на одинаковую величину Дф (например, на 1 вольт).

В качестве примера рассмотрим потенциал поля точечного заряда q. Выше мы установили (см. (8.8)), что помещенный в это поле на расстоянии г от источника пробный заряд q' обладает потенциальной энергией W= Ч~^- •

Разделив обе части этого равенства на q’, мы получим искомое выражение для потенциала точечного заряда:

=(8.1о)

В системе Гаусса

фт 3 = -™- СГС ед. потенциала,(8.15а)

q<1>T•3 " 4Л8О8Г q<1>T•3 " 4Л8О8Ги в системе СИ

q

<1>T•3 " 4Л8О8Г

q

<1>T•3 " 4Л8О8Г

(8.156)

Этот потенциал убывает обратно пропорционально расстоянию г от источника поля. Из (8.15) следует, что

фт.з. = const при Г = const,

т. е. поверхности равногот. е. поверхности равногопотенциала будут концентрическими сфе

т. е. поверхности равного

т. е. поверхности равного

рами, описанными вокруг источника поля на возрастающих рас

стояниях друг от друга, как это изображено на рис 1.30.

Проведем на том же рис. 1.30 линии напряженности поля. Согласно (2.2) эти линии исходят из точечного заряда и направлены вдоль радиусов, т.е. перпендикулярны к поверхностям равного потенциала. Эта взаимная перпендикулярность 'ЛИйИЙ"п®лЯ" й эквипотё'нциальных поверхностей остается справедли- -ВОй, _и_.для ."сколь угодно"' сложных электростатических полей. Действи

тельно, проведем в произвольномРис. 1.30.

поле поверхность равного потен

циала <p = const и рассмотрим две ее бесконечно близкие точки 1 и 2 (см. рис. 1.31). Переместим из 7 в 2 вдоль поверхности пробный заряд q'. Тогда согласно (8.13)

—Ф) = 0.(8Л6)

т. е. работа перемещения пробного заряда вдоль поверхности

равного потенциала равна нулю

С другой стороны, выразим ту же работу через напряженность поля:

cos (Е, dl) = 0cos (Е, dl) = 0(8.18)(8.18)^ г=р dl cos (F, d\^ = q’E dl cos (Ё, dl). (8.17) Сравнивая (8.16) и (8.17), видим, что так как q' и dl произвольны и не равны нулю, то, следовательно,

cos (Е, dl) = 0

cos (Е, dl) = 0

(8.18)

(8.18)

— вектор напряженности поля Е перпендикулярен к псГверх’ностй равного потенциала в тдчк'е"их'"'пе’Гед'ёЧейия.Т "

— Проведем теперь две бесконечно близкие

эквипотенциальные поверхности ф= const и

<р-j-dtp = const (рис. 1.32). Как было доказано выше, вектор напряженности поля Е направлен по нормали п к поверхности ф. Эта нормаль из точки 1 пересекает эквипотенциальную поверхность <р 4- dtp = const в точке 2. Отрезок 1— 2 имеет длину dn и представляет кратчайшее расстояние от точки 1 до второй экви- потенциальной поверхности. При перемещении пробного заряда q' из

точки 1 перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности в точку 2 будет совершена работа dA, равная

(8.19)(8.19)dA = Fdn cos(F, x^ — q'E dn.

(8.19)

(8.19)

Выражая с помощью (8.13) ту же работу через потенциалы, получим

(8.20)(8.20)(8.21)(8.21)dA = q [<р— (<p + <Zq>)] =—q'dy.

(8.20)

(8.20)

(8.21)

(8.21)

Сравнивая (8.19) с (8.20), получим окончательно:

1

dtp dn "

Величина , характеризующая быстроту изменения потенциала ап

в пространстве, носит название градиента потенциала. уГрадиент есть вектор, направленный

/по нормали к поверхности. Знак ми-

нус в формуле (8.21) показывает, /чт0 вектоР напряженности электри-

ческого поля численно равен градиенту х'тхпотенциала, но направлен в противо-

х. положную сторону, т, е. в сторону -<\ Г падения потенциала.

Если мы проведем из точки 1 ^■^координатную ось, например ось х,

рис J 32.то ее направление составит с нор

малью некоторый угол а; эта ось пересечет поверхность tp-j-rftp в некоторой точке 2'. Вычисляя работу на перемещении dx, получим

(8.22)(8.22)направление оси х.(8.23)направление оси х.(8.23)q'Exdx =—q'd^.

(8.22)

(8.22)

направление оси х.

(8.23)

направление оси х.

(8.23)

где Ех — Ecosa—проекция вектора Е на

* — дх* — дхОтсюда

* — дх

* — дх

Результат этот очень важен: выбранная нами ось х может быть повернута в любом направлении. Поэтому формула (8.23) может читаться так: составляющая вектора напряженности электрического поля в данной точке По любому направлению равна производной от потенциала по этому направлению в той же точке, взятой с отрицательным знаком.

Пользуясь (8.23), можно, зная потенциал поля <р, найти вектор напряженности поля Е, определив все три его составляющие Ех, Еу и Ez.

§ 81

Действительно, для составляющих поля Еу и Ег имеем

Е = -^-У ди '

Выразим вектор В через его составляющие:

E = i5, + i5y + kEz(8 25)

Подставляя сюда значения составляющих (8.24), имеем

E=-fi+.(8 26)

\ дх ' ду 1 дг J''

Следовательно, электрическое поле можно описать-равным образом с помощью вектора напряженности Е или скалярного потенциала <р, выражающихся друг через друга с помощью соотношений (8.12) и (8.26).

Из (8.21) следует, что в системе СИ единица напряженности электрического поля имеет размерность вольт/метр. 1 в^м есть напряженность такого электрического поля, потенциал которого убывает на 1 вольт при перемещении на 1 метр перпендикулярно эквипотенциальной поверхности:_____——————.

1

1в/л—^=3,33-10~‘ СГС ед. напряженности.

Из (8.21) вытекает также, что в общем случае произвольного поля в тех его точках, где напряженность Е больше, будут расположены гуще не только линии вектора Е, но и перпендикулярные к ним эквипотенциальные поверхности. Действительно, вблизи этих точек расстояния dn, на которых потенциал изменяется на одинаковую величину dtp, будут соответственно меньше, чем в точках d® с меньшими значениями отношения-у-. ап

Для рассмотренного в предыдущем параграфе шара, равномерно

заряженного по поверхности, поле вне шара имеет такое же значение, как у точечного заряда, сосредоточенного в центре шара. Отсюда можно заключить, что потенциал вне шара будет также выражаться формулой (8.15), справедливой для точечного заряда. Внутри же шара £—0, а следовательно, -^- = 0, и потенциал во всех этих точках постоянен (<p = const) и равен потенциалу на поверхности (при r = RY Таким образом, в этом случае

ии^^■^T ПРИ r>R^^■^T ПРИ r>R(8.27)(8.27)^к^ ПРИ'<Я-^к^ ПРИ'<Я-(8.28)(8.28)

и

и

^^■^T ПРИ r>R

^^■^T ПРИ r>R

(8.27)

(8.27)

^к^ ПРИ'<Я-

^к^ ПРИ'<Я-

(8.28)

(8.28)

Если известна ление потенциалаЕсли известна ление потенциала

Если известна ление потенциала

Если известна ление потенциала

График изменения Е и ф вне и внутри подобной равномерно заряженной сферы изображен на рис. 1.33.

напряженность поля во всех точках, то распреде- ф можно найти интегрированием равенства (8.21). Рассмотрим пример подобного интегрирования.

Напряженность поля вне бесконечного плоского кондеи с атора,изображенногосхе- мат идески на рис, 1.26, равна нулю. Следовательно, согласно (8.21) электрические потенциалы справа и слева от пластин будут постоянными. Однако численные значения этих постоянных ф, и ф2 будут

различны из-за наличия внутри конденсатора электрического поля, определяемого формулой (7.17).

Проведем ось х перпендикулярно к пластинам вправо и начало координат (х—0) поместим на левой положительно заряжённой пластине. Перенесем пробный заряд ф=--1 вдоль оси от левой

пластины с потенциалом ф, на некоторое расстояние х внутрь конденсатора в точку, потенциал которой обозначим через ф (х). Согласно (8.9) и (8.12) работа по переносу этого заряда определит разность потенциалов:

Xя

Ф2 — ф(х) = У Ех dx=^E dx = Ex,(8.29)

Я=0о

и, следовательно, потенциал в точке х равен

Ф^^Ф,— Ех = ^ — —^-х.(8.30)

Обозначим толщину конденсатора через d. Тогда потенциал правой обкладки будет равен

Ф*=Ф,~^d(8-31)

и разность потенциалов внутри конденсатора составит

Ф^Ф^^-d.(8-32)

В данном случае начало отсчета ф может быть выбрано в любом месте, и для- упрощения расчета можно положить равным нулю любое из значений фф или ф2.

График изменения потенциала и напряженности электрического поля вне и внутри плоского конденсатора изображен на рис. 1.34.

ГЛАВА III

ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ

Проводники в электростатическом поле

Наэлектризуем какое-либо тело, т. е, сообщим ему некоторый заряд q. Тогда, как показывает опыт, в зависимости от строения и свойств тела этот заряд или перераспределится по телу, или же останется в том месте, где произведёна"элёктризация. Те тела, в ко- торых электрическй71™аряд'“мож'СТ’бвобод11о перемещаться по всему телу, называются про в о‘д н йЗГа мТГЗТцщ^ же, в ко-" торых заряды не могут “перемещаться из одной части в" другую, называются изо л Я Т'ОУОГЙТ" и7Гй~~д~й"э л~е "кТрТТк а м йТТТоово и ни-" ками~’являютсяГвсе металлы, а также электролиты и ионизованные газы. Такие вещества, как слюда, стекло, эбонит, фарфор, чистая вода, являются диэлектриками.

Указанное деление является до некоторой степени условным и зависит от длительности наблюдения. В быстропеременных полях (например, для рентгеновых лучей, в которых электрическое поле меняет свое направление на противоположное за период Г»10-18—■ 1О~20 сек) металлы будут вести себя, как диэлектрики, поскольку заряд за время изменения электрического поля не успеет переместиться по телу на сколько-нибудь заметное расстояние. Известна, далее, большая группа тел, обладающих способностью переносить заряд, но значительно слабее, чем в металлах; эти тела называются полупроводниками. Наконец, даже в таком типичном диэлектрике, как стекло, при достаточно длительном наблюдении (месяцы, годы) можно обнаружить постепенное перераспределение заряда по всему телу.

Огромная количественная разница в проводимости тел обусловливает резкие качественные различия в их поведении и оправдывает введенное выше деление тел на проводники и диэлектрики в электростатике, т. е. для статических полей, практически не изменяющихся в течение наблюдения. Кроме того, следует указать, что разница в проводимости различных тел в свою очередь обусловлена качест-

вследствие взаимного отталкивследствие взаимного отталки

вследствие взаимного отталки

вследствие взаимного отталки

венной разницей в строении этих тел, в распределении и подвиж

ности составляющих их микроскопических электрических зарядов (электронов, ионов, атомных ядер).

Исторически деление тел на проводники и диэлектрики относится ко времени начала изучения электризации тел при трении. Долгое

время считалось, что электризоваться при трении могут только тела, в настоящее время называемые диэлектриками. Только в начале прошлого века первым русским электротехником В. В. Петровым была экспериментально показана возможность электризации металлов трением («стеганием»). Трудность электризации металлических тел трением, очевидно, была связана с тем, что заряд, выделявшийся в местах натирания, распределялся по всему телу и соединенным

с ним телам, в частности и по телу экспериментатора.

Вопросы строения проводников и механизма перемещения зарядов в них будут разбираться подробнее в следующем разделе, посвященном законам электрического тока. Пока же мы определим проводники как тела, в которых электрические заряды способны перемещаться под действием сколь угодно слабого электростатического поля. При электризации проводника сообщенный ему

заряд будет перераспределяться до тех пор, пока в любой точке внутри проводника напряженность электрического поля, создаваемого данным распределением зарядов, не станет равной нулю:

[ £прОВ = 0- (ЭЛ)

Из (8.21) тогда следует, что

<PnpOB = const. (9.2)

т.е. электрический потенциал всех точек внутри и на поверхности проводника одинаков. Сообщенный проводнику избыточный заряд

вания составляющих его микрозарядов должен, очевидно, распределиться по поверхности проводника. Это распределение зависит от формы проводника и должно быть таким, чтобы создаваемое им внут$^ проводюТка'ТтдТиГудбм стационарности (9.1) йД9?2уГИзЧ1остоянс^а‘п6тёнцйала~вдоль повёрхности'слёду- ет, что линии электрического поля в изоляторам, окружающих проводник, "должны быть перпендикулярны к поверхности проводника, как это показано~на рис. 1.3^7”

*~ТТостройвДр‘йс7‘Т.В5) бесконечно малый цилиндр, пересекающий границу проводник—изолятор, и применив к этому цилиндру теорему

Гаусса, можно показать, что на границе

ии(9.3)(9.3)D=Dn=k^n.a

и

и

(9.3)

(9.3)

Е=Еп=к6^,п 0 еов ’

где а—поверхностная плотность заряда на проводнике.

В проводниках могут свободно перемещаться не только заряды, пржд£8ЛШ?1ЦаШ1£^^^заряды, из"которых

ЕоЕоРис. 1.36.Рис. 1.36.состоят атомы и молекулы про- водника (электроны, ионы). Поэтому при помещении незаряженного проводника во внешнее электрическое поле Ео свободные микроскопические заряды будут перемещаться к его поверхности, положительные— по полю, а отрицательные — против поля (см.

Ео

Ео

Рис. 1.36.

Рис. 1.36.

Рис. Г37.Рис. Г37.рис. 1.36, а). На одном конце проводника будет скапливаться избыток положительного заряда, а на другом — избыток отрицательного до тех пор, пока создаваемое" этими зарядами дополнительное поле Едоп не скомпенсирует внешнее поле Ё во всех точках внутри проводника. При" этом суммарноё'~"“~~ поле

Рис. Г37.

Рис. Г37.

Е = Е0+ЕДО„ (9.4) внутри проводника и на его поверхности будет удовлетворять условиям (9.1) — (9.3), а вблизи проводника будет заметно отличаться от своего первоначального значения Ео (рис. 1.36,6). Заряды на противоположных краях проводника называются индуктированными, или наведенными.

Линии суммарного поля Е и вектора D будут частично кончаться на индуктированных отрицательных зарядах и вновь начинаться (в таком же количестве) на индуктированных положительных зарядах. Эквипотенциальные поверхности <p = const будут огибать проводник, а одна из них, потенциал которой равен потенциалу проводника, будет пересечена последним (рис. 1.37).

Следует помнить, что в электростатике поверхность любого проводника, а ""'слёдоватёльно',' ‘ 'и с и с те мы^соёдйне иных" "проводников образует одну эквипотенциальную поверхность.

Возникновение индуктированных "зарядов^на проводнике, помещенном в электрическое поле, используется для зарядки проводников при помощи так называемых электростатических индукционных машин. Если отвести индуктированный заряд одного

знака на другой проводник (например, в землю) и отключить последний, то первый проводник останется заряженным электричеством противоположного знака (рис. 1.38, а и б).

Отсутствие поля внутри проводника, помещенного в электрическое поле, широко применяется в технике для электростатической защиты от внешних электрических полей (экранировки) различных электрических приборов и проводов. *

Рис. 1.39

Очевидно, поскольку внутри проводника Е=0 и <p = const, наличие полостей внутри проводника никак не скажется на распределении зарядов и значениях Е и ф. Следовательно, в замкнутой полости внутри проводника (рис. 1.39) всегда Е = 0 и ф = const. Если прибор должен быть защищен от воздействия вне его элек- трического поля, то его можно поместить в подобной замкнутой

полости внутри проводника. Заметим, что, как правило, достаточной электростатической защитой являются не только сплошные

Рис. 1.40.Рис. 1.40.металлические стенки полости, но и замкнутые экраны из густой метал- .лической сетки.

Рис. 1.40.

Рис. 1.40.

Если поместить на внутреннюю поверхность полого проводника электрический заряд, то этот заряд немедленно перейдет на наружную поверхность проводника, повышая потенциал последнего. Этим пользуются в электростатических генераторах, применяемых в ядер- ной технике. На рис. 1.40 изображен схематический разрез генератора Ван-де-Граафа. Электрический

заряд передается бесконечной непроводящей ленте, переносящей его внутрь большой металлической сферы. Там заряд снимается и переходит на наружную поверхность проводника. Таким образом удается постепенно сообщить сфере очень большой заряд и достигнуть разности потенциалов в

несколько миллионов вольт.

Диэлектрики в электростатическом поле

В идеальном диэлектрике нет свободных зарядов, способных под действием электрического поля перемещаться через весь ди- электрикПСгомы ""и" молекулы диэлектрика'содержат р"авныё количества положительных и отрицательных микроскопических зарядов и в целом электрически нейтральны. Как указывалось выше, в § 4, электрические поля, определяющие взаимодействие микроскопических зарядов, имеют внутри атомов величину порядка

10й «/« = 10" дж(к-м—1011 б^м

и во много раз превышают величину максимальных достижимых на практике макроскопических полей (~107 в/л). Этим объясняется высокая устойчивость атомов и молекул во внешних электрических полях и относительно слабое воздействие этих полей на стационарное распределение зарядов внутри атома.

Характер этого воздействия зависит от конкретного строения тела. В зависимости от строения мы можем разделить все диэлектрические вещества на три большие группы.

К первой группе принадлежат диэлектрики, у которых «центры тяжести» положительных и отрицательных” зарядов совпадают. Таковы, например, парафин, бензол и ряд других углеводородов,

газообразные водород, азот и др. Молекулы таких диэлектриков в отсутствие внешнего электрического поля не обладают дипольным моментом (рис. 1.41, а). Во внешнем поле «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов молекулы смещаются в противоположные стороны на некоторое расстояние /, малое по сравнению с размерами молекулы (рис. 1.41.61, Каждая молекула при этом приобретает дипольный электрический момент

величина которого в первом приближении прямо пропорциональна приложенному полю Е. При снятии йнешнего поля молекулы вод- вращаются в первоначальное состояние и дипольный момент обращается в нуль. Подобные"диполи называются «упругими».

Вторую группу диэлектриков составляют такие вещества, как в ода, нитробензол и др., молекулы которых имеют асимметричное строение' при этом «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов молекулы не совпадают друг с другом и молекула представляет собой «жесткий» диполь даже в отсутствие внешнего поля.

Численная величина дипольного момента таких полярных молекул обычно имеет порядок

p = ql« 10"” л:-10“’° ^и= IO-29/с-л,

или, что то же самое, р« ю-и СГС.

При отсутствии внешнего поля (Е = 0) дипольные моменты отдельных молекул вследствие теплового движения в каждый данный момент времени ориентированы в пространстве хаотично. Среднее

3 Г. А. Зисман н О. М Тодес

значение проекции вектора р на любое направление при этом тождественно равно нулю (ря = 0), и диэлектрик в целом дипольным моментом не обладает.

При помещении такого диэлектрика в однородное внешнее поле на каждый жесткий диполь будут действовать электрические силы, стремящиеся повернуть его вдоль поля. Вращательный момент возникающей пары сил (рис. 1.42) будет равен

Mav,=Fh—qElsma=qlEsma=pE sin (р, Е). (10.2)

С другой стороны, хаотическое тепловое движение препятствует ориентации диполей по полю и вновь располагает жесткие диполи под самыми различными углами а к направлению поля. В результате этих противоположных воздействий среднее значение проекции дипольного момента молекулы на направление поля jpE=pcosa станет не равным нулю. Величина рЕ будет в первом приближении прямо пропорциональна~напря- 5<ейноети поля £ и обратно пропор- _ _,циональна абсолютной температуре

Т. Весь диэлектрик в целом будет обладать дипольным моментом, направленным вдоль внешнего поля Е.

3■ К третьей группе относятся кристаллические диэлектрики, имеющие ионное строение (хлористый натрий, хлористый калий и др.). При внесений-их в электрическое поле происходит некоторое небольшое смещение положительных ионов кристаллической решетки по полю, а отрицательных — против поля. Такой диэлектрик в целом также будет обладать дипольным моментом, направленным вдоль .внешнего поля и пропорциональным величине последнего.

Как мы видим, во всех перечисленных группах диэлектриков при внесении их во внешнее электрическое поле происходит изменение состояния, называемое поляризацией диэлектрик а, которое заключается в том, что весь объем диэлектрика приобретает электрический момент.

Эта поляризация во всех случаях приводит к уменьшению напряженности поля, создаваемого внешними зарядами в диэлектрике. Выше, в § 4, это ослабление электрического поля в диэлектрике мы характеризовали величиной диэлектрической проницаемости е. Если сила взаимодействия между зарядами в пустоте равна Fe, а в диэлектрической среде Е, то согласно закону Кулона

следовательно, напряженность поля в диэлектрике

£=7°.(Ю.З)

Очевидно, что значение величины е зависит от строения и свойств молекул диэлектрика, а также от способности диэлектрика поляризоваться во внешнем электрическом поле.

Для установления количественных закономерностей поляризации мы рассмотрим случай простейшей геометрической конфигурации — диэлектрическую пластинку, заполняющую плоский конденсатор и находящуюся, следовательно, в практически однородном внешнем электрическом поле Ео (см. рис. 1.43). В результате поляризации пластинка приобретет дипольный момент Рр, являющийся суммой дипольных моментов pt всех молекул диэлектрика в данном объеме:

Р,=Зр,-(Ю.4)

Дипольный момент единицы объема, называемый вектором поляризации, очевидно, будет равен

где d—толщина пластинки, 5—площадь ее грани и V=Sd—ее объем.

Вектор Р направлен вдоль электрического поля Е, в котором находится диэлектрик. Для не слишком сильных полей в соответствии с опытом можно принять, что величина вектора поляризации пропорциональна величине напряженности поля, т. е.

Р~Е.(10.6)

В системе единиц Гаусса вектор поляризации имеет размерность [заряд! .[длина] [заряд]

'—[объем] = [длина]'5 ’ С0ВПадаюЩУю с размерностью напряженности поля, и коэффициент пропорциональности безразмерен.

„г. / я \ п / к к3 я \

В системе СИ размерности "1 — 1 и—5—J различны.

Поэтому соотношение (10.6) принято писать в виде

Р=ивеЕ,(10.7)

где безразмерный множитель и называется диэлектрической восприимчивостью данного вещества и зависит от его строения.

В результате возникновения объемной поляризации на гранях диэлектрика, обращенных к пластинам конденсатора, концы молекулярных диполей окажутся некомпенсированными соседними

диполями, как это имеет место внутри диэлектрика. Поэтому, как изображено на рис. 1.43, на правой грани, обращенной к отрицательной пластине конденсатора, окажется избыток положительного заряда с некоторой поверхностной плотностью +а'. На противоположной грани диэлектрика, обращенной к положительной пластине конденсатора, окажется избыток отрицательного заряда с такой же по абсолютной величине поверхностной плотностью —о'. Эти так называемые поляризационные, или связанные), заряды не могут быть переданы соприкосновением дру- гому телу бе'з разрушения молекул диэлектрика, так как они обусловлены самими поляризованными молекулами.

Образование поляризационных зарядов приводит к возникновению дополнительного электрического поля Е'. Как видно из рис. 1.43, внутри диэлектрика это дополнительное поле Е' направлено против внешнего поля Ео и ослабляет последнее. Поэтому результирующее электрическое поле Е внутри диэлектрика равно

Е=Ей—Е'.(10.8)

Дополнительное поле Е' может быть рассчитано как поле, созданное двумя плоскими гранями диэлектрика, равномерно покрытыми поляризационными зарядами с поверхностной плотностью ± о'. Тогда ь

согласно (7.18) £ =-Мяа' и ео

Е=Е — —•4ло/.(10.9)

Ео

Для выяснения величины поверхностной плотности поляризационных зарядов о' свяжем последнюю с величиной вектора поляризации Р. Согласно (Ю.5) полный дипольный момент пластинки диэлектрика равен

PT=PV=PSd.(10.10)

С другой стороны, тот же дипольный момент по определению (4.7) должен равняться произведению величины поляризационного заряда каждой грани q'=o'S на расстояние между зарядами, т. е. на толщину пластинки d:

P^a'Sd,(10.11)

Сравнивая (10.10) и (10.11), мы видим, что поверхностная. плотность поляризационных зарядов а' численно равна величине. актора поляризации диэлектрика Р. Подставляя это значение а' в (10.9) и используя соотношение (10.7), получим

Е=Ей—*^.4яР=Ее—4л ЬйнЕ. (10.12)

Из (10.12) можно найти искомую величину результирующего электрического поля Е внутри диэлектрика:

(10.13)(10.13)р Е» .

(10.13)

(10.13)

1 + 4лй0х'

Сопоставляя (10.13) с (10.3), мы можем выразить относительную диэлектрическую проницаемость среды через электрическую вос-

приимчивость диэлектрика:

(10.14)(10.14)(10.14а)(10.14а)е = 1 + А0-4лх.

(10.14)

(10.14)

(10.14а)

(10.14а)

В системе Гаусса &0=1, е0 = 1 и

е = 1 +4лхгс.

В системе СИ &„=1/4л и

(10.146)электростатических(10.146)электростатическихе= 1 + хси- J

(10.146)

электростатических

(10.146)

электростатических

Ввиду так называемой рационализации^записи

формул в системе СИ численное значение диэлектрической воспри- имч’йвости х в ней будет в 4л раз больше, чем в системе СГС.

Из рассмотренного выше механизма поляризации диэлектриков

следует, что вектор поляризации Р всегда направлен вдоль реального поля Е. Следовательно, электрическая восприимчивость х всегда положительна (х>0) и е>1. В газах поляризация отдель

ных молекул происходит независимо друг от друга и х прямо пропорциональна плотности газа. У диэлектриков с жесткими диполями

ориентационная поляризация и восприимчивость, как уже указывалось выше, обратно пропорциональны абсолютной температуре.

Особую группу“дйэлёктрйк’ов"^оставляют так называемые сег^ нетоэлектрики, нашедшие в последнее время широкое' практическое применение. Свое название они получили по имени типичного представителя этой группы—сегнетовой соли (двойной натриево-калиевой соли виннокаменной кислоты), поляризационные характеристики которой были подробно изучены советскими физиками И. В. Курчатовым, П. П. Кобеко и др.

В кристаллах сегнетоэлектриков самопроизвольно возникают макроскопические области, в которых дипольные моменты отдельных молекул ориентированы одинаково и при отсутствии внешнего электрического поля. При этом в каждой соседней области эта

ориентация различна, и кристалл в целом дипольным моментом не обладает (рис. 1.44).

При внесении сегнетоэлектрика во внешнее электрическое поле начинают ориентироваться по полю сразу целые поляризованные области. Поэтому даже в слабых электрических полях такой диэлектрик обладает высокой диэлектриче-

Рис. 1.44.Рис. 1.44.ской проницаемостью е, достигающей нескольких тысяч.

Рис. 1.44.

Рис. 1.44.

При нагревании сегнетоэлектрика области самопроизвольной поляризации при некоторой температуре разрушаются и диэлектрическая проницаемость е падает до обычных значений порядка нескольких десятков. У сегнетовой соли эта критическая температура сравнительно низка, около 4*25° С. От подобного недостатка свободен изученный советским физиком Б. М. Булем новый сегнетоэлектрик — титанат бария, обладающий высокой диэлектричес

кой проницаемостьюкой проницаемостьюв широком интервале температур. Оказалось,

кой проницаемостью

кой проницаемостью

что титанат бария является представителем целой группы новых сегнетоэлектриков, имеющих близкое строение и обладающих ря

дом технически важных свойств.

Деформация электронных орбит в атомах при помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле, т. е. образование упругих

диполей, происходит во всех случаях. Однако благодаря большой устойчивости внутриатомных движений эти деформации весьма малы, не изменяют существенным образом строения всего диэлектрика, а обусловленная ими электрическая поляризация при наличии жестких диполей является лишь небольшой добавкой к ориентационной поляризации последних (повороту по полю).

' В некоторых твердых диэлект

риках, построенных определенным

образом из полярных молекул (жестких диполей), было обнаружено интересное явление, получившее название пьезоэлектриче- ства. Если кристалл такого вещества подвергнуть упругой деформации, например растяжению (рис. 1.45, а) или сжатию (рис. 1.45,5),

то составляющие его молекулярные диполи могут определенным образом поворачиваться и изменять поляризацию кристалла. При

этом на противоположных гранях кристалла появляются связанные заряды, создающие электрическое поле и разность потенциалов между этими гранями. При переходе от растяжения к сжатию и обратно меняется знак поляризации и возникающей разности потенциалов.

В подобных кристаллах обязательно наблюдается и обрат в ы й пьезоэлектрический эффект: если к кристаллу приложить внешнюю разность потенциалов, то, как, например, изображено на рис. 1.46, вследствие поворота диполей будут наблюдаться деформации растяжения или сжатия.

На рис. 1.45 и 1.46 изображены случаи, когда кристалл вырезан так, что электрическое поле и деформация взаимно перпендикулярны. Можно создать такую ориентацию кристаллических осей, что электрическое поле и деформация будут параллельны друг другу. Кроме того, в третьей группе диэлектриков (стр. 66), имеющих ионное строение, есть такие, у которых положительные и отрицательные ионы в электрическом поле решетки смещаются в противоположных направлениях, создавая общую деформацию всего кристалла.

Изменение размеров тел иод действием внешнего электрического поля в общем случае называется электрострикцией. При взаимном смещении противоположно заряженных элементов1 тела во внешнем поле электрострикция будет происходить независимо от направления поля.

Пьезоэлектрические и электрострикционные свойства кристаллов кварца, сегнетовой соли, титаната бария и некоторых других диэлектриков широко используются в так называемых электроакустических приборах для преобразования механических (звуковых и

ультразвуковых) колебаний в электрические и обратно. Пьезоэлектрические датчики позволяют регистрировать деформации, толчки, преобразовывая их в электрические импульсы, которые передаются на большие расстояния к записывающим электрическим приборам.

Русский ученый Эпинус в 1757 г. обнаружил еще одно интересное свойство некоторых твердых диэлектриков. Оказалось, что в кри- сj а л ле турмалина молекулярные диполи все направлены вдоль одной из его кристаллографических осей. Такой кристалл в целом всегда поляризован даже в отсутствие внешнего электрического поля, до некоторой степени аналогично тому, как кусок железа сохраняет свое намагничивание в отсутствие внешнего магнитного поля.

Поляризационные заряды, находящиеся на противоположных гранях кристалла турмалина, притягивают находящиеся в воздухе в небольших количествах заряженные пылинки и ионы. Прилипая к граням кристалла (рис. 1.47), эти пылинки и ионы постепенно нейтрализуют поляризационные заряды и уничтожают поле поляризованного кристалла.

- Однако если такой кристалл нагреть, то вследствие теплового расширения поляризация единицы объема — вектор Р — уменьшится и компенсация поляризационного заряда адсорбированными ионами и пылинками нарушится. Это изменение поляризации АР (7) можно обнаружить по создаваемому им электрическому полю. Подобное явление зависимости естественной поляризации кристаллов от температуры называется пироэлектричеством.

Пироэлектрическими свойствами обладают лишь некогорые вещества, кристаллизующиеся в так называемой триклинной кристаллографической системе, обладающей весьма низкой пространственной симметрией.

Поле в неоднородной среде и на границахраздела диэлектриков

В предыдущем параграфе мы рассмотрели пример плоскопараллельной пластины из диэлектрика, помещенной в однородное внешнее поле Ео (см. рис. 1.43). Эта пластина поляризовалась и приобретала дипольный момент единицы объема Р. Дополнительное поле, создаваемое поляризованной пластиной, можно было рассчитывать, как поле плоского конденсатора с поверхностной плотностью заряда а' = ± Р.

В соответствии с (7.15) и (7.18) напряженность поля равна нулю вне диэлектрической пластины, а внутри нее, учитывая направление

§ 111этого ПОЛЯ,§ 111этого ПОЛЯ,(11.4)(11.4)Вне диэлектрикаВне диэлектрикаЕ + — 4лР80Е + — 4лР80(И.5)(И.5)Р = 0 и Овак=е0Е.Р = 0 и Овак=е0Е.(И.6)(И.6)

§ 111

этого ПОЛЯ,

§ 111

этого ПОЛЯ,

(11.4)

(11.4)

Вне диэлектрика

Вне диэлектрика

Е + — 4лР

80

Е + — 4лР

80

(И.5)

(И.5)

Р = 0 и Овак=е0Е.

Р = 0 и Овак=е0Е.

(И.6)

(И.6)

ь

Е = —— 4лР.(11.1)

Ео

Полная напряженность поля в диэлектрике

Е=»Е +Е' = Е —^-4лР.(11.2)

ео

Следует отметить, что выражение (11.2) для полной напряженности поля остается справедливым и в вакууме вне диэлектрика. В этих точках пространства поляризация отсутствует (Р = 0) и автоматически Е=Е0.

При не слишком сильных полях в соответствии с (10.7) вектор поляризации пропорционален напряженности поля и

Р=хе„Е.(11.3)

Из (Н.2) и (11.3) окончательно находим, что

(11.2а)(11.2а)Ер1 +4лА0ке0 е

(11.2а)

(11.2а)

По определению вектора электростатической индукции (5.3) имеем.—— - । - —'•'

р

D=eo6E = eoe ^.

Сопоставляя (11.4) + (11.2), мы можем окончательно записать:

Определение вспомогательного вектораЬ (11.5) является более общим, чем (5.3). При нелинейной зависимости Р от Е уравнение (11.3) становится чисто формальным, так как тогда диэлектрическую восприимчивость х и связанную с ней относительную диэлектри-

ческую проницаемость

(И.7)(И.7)6=1+ А0-4лк

(И.7)

(И.7)

следует считать сложными функциями величины напряженности поля Е. Соотношение же (11.5) остается справедливым при любом сколь угодно сложном законе зависимости Р от Е.

Внесем в электрическое поле Ео, созданное внешними зарядами, кусок диэлектрика не в виде плоскопараллельной пластинки, а имеющий более сложную форму. Тогда дополнительное поле Е', создаваемое диэлектриком, уже не будет сосредоточено внутри. jiero, как в случае плоскопараллельной пластинки, и выйдет нару'ясу.

Суммарное полеСуммарное поле(U.8)(U.8)Е-Ео + Е'

Суммарное поле

Суммарное поле

(U.8)

(U.8)

изменится не только внутри диэлектрика, но и снаружи его. Источ

никами этого суммарного поля являются не только внешние, но и поляризационные заряды. Поэтому линии вектора напряженности поля будут начинаться и кончаться не только на внешних, но и на

поляризационных зарядах, а на границах диэлектрика, где сосредо

Рис. 1.48.Рис. 1.48.точены последние, число линий вектора Е будет скачкообразно меняться.

Рис. 1.48.

Рис. 1.48.

Рассмотрим небольшой участок поверхности диэлектрика на границе его с вакуумом. Вектор поляризации диэлектрика на этом участке обозначим через Рт . Поверхностная плотность поляризационных зарядов ог будет "~2151внз^как_^_в £Дучае пластинки, величине Р. Расчленим, как показано— тга 'рис. 1.48, суммарное поле Е на поле Е', создаваемое поверхностными поляризацион-

ными зарядами, и поле Е#, создаваемое всёми"“остал"ьнымй заря

дами (как внешними, так и расположенными на противоположном конце диэлектрика).

На расстояниях, малых от поверхности, можно считать ее плоской и вычислять Е' для бесконечной плоскости, заряженной с поверхностной плотностью q' = P. Линии этого поля будут перпендикулярны к поверхности и по обе стороны от нее направлены в противоположные стороны. В соответствии с (7.14) справа, в вакууме, Е = -5.2л(т' = ~ • 2 л Р, а слева, в диэлектрике, Е’= -^лР.

еоеоЕо

Поэтому суммарное поле в диэлектрике Етзл у самой границы раздела будет меньше, чем суммарное поле в вакууме Евак с про- к тивоположной стороны этой границы, на величину — 4лРдиэл, т. е.

. -- -~—* ! !'■■——^—Ед

+(П.9)

Умножим обе части этого равенства на электрическую постоянную е0. Тогда получим:

бо^вак— 6 о

■диэл

Ад

4л Р ।

"диэл )•

(11.10)

В вакууме поляризация отсутствует, в —1 и в соответствии с (11,5) и (5.3)'

8о^вак == ^вак-(И-И)

В диэлектрике согласно (11.5)

80 (^двэл + ^"^л ^диэл) = 8о (1 +ё7’^Л>{8о) ^ДиЭл”

= ео8^пиэл~ ^ДИЭЛ’ (11-12)

Из (11.9) следует, что на границе диэлектрика, вследствие наличия поляризационных зарядов,

1 ^вак 7-диэл»

(11.13)

НО’

^вак ^диэл-

(11-14)

При выводе соотношений (11.9) и (1

.14) мы предполагали, что

линии поля и направление вектора поляризации перпендикулярны к границе раздела. В общем случае, когда линии поля не перпендикулярны к границе раздела, соотношение (11.14) остается справедливым лишь для нормальных составляющих вектора D:

D_ вак=Dn(11.15)

На границе двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемос- тями е, и ег при наличии внешнего поля возникают поляризационные заряды разного знака с различными поверхностными плотностями 4*ffi и —а2 (см. Рис. 1.49). / Ещ _ Дополнительное поле, создаваемое этими зарядами, перпендикулярно поверхности, поэтому нормальные составляющие по-Рис- *-4®-

лей Е, и Ег в обеих средах у границы раздела различны, а касательные составляющие одинаковы, т. е.

(11.16)(11.16)^н—Etv

(11.16)

(11.16)

как это изображено на чертеже.

Векторы электростатической индукции в обеих средах соответственно равны

D1 = 8AB1 И Da=8o8SEr(11.17)

Аналогично рассмотренному выше случаю границы диэлектрик — вакуум нормальная составляющая вектора индукции на границе

(11.18)(11.18)(11.19)(11.19)Рис. 1.50.Таким образом, приРис. 1.50.Таким образом, приDtiDu егDtiDu ег(11.20)(11.20)

(11.18)

(11.18)

(11.19)

(11.19)

Рис. 1.50.

Таким образом, при

Рис. 1.50.

Таким образом, при

DtiDu ег

DtiDu ег

(11.20)

(11.20)

двух диэлектриков остается непрерывной:

Dni = Dny

Из (11.17) и (11.18) следует, что

e,fni— S^ni

На рис. 1.49 изображен случай, когда ег> е,. При этом Еп1 *<ЕП1

и линии вектора Е при переходе через границу раздела пре

ломляются, отклоняясь от перпенди-

куляра к границе раздела.

Из (11.16) и (11.17) следует, что

при Е,при Е,е, и Dts> DtT. При переходе

при Е,

при Е,

через границу раздела из диэлектрика

с меньшим значением е в диэлектрик с большим значением е нормальная составляющая вектора D остается неизменной, а касательная увеличивается, так что линии индукции преломляются под таким же углом,

как и линии напряженности поля (см. рис. 1.50).

переходе через границу раздела двух

диэлектриков изменяется не только вектор напряженности электрического поля Е, но и вектор электростатической индукции D. Однако поток индукции через произвольную площадку AS на границе раздела, равный по определению (5.11)

(11.21)(11.21)NN=D„^S,

(11.21)

(11.21)

с обеих сторон поверхности на основании (11.18) остается неизменным. Следовательно, число линий индукции, переходящих через границу, не меняется. Поэтому теорема Гаусса (6.4) остается справедливой для вектора D в самом общем случае при наличии в поле диэлектриков любой формы и размеров. “

Электрическая емкость проводников

Зарядим уединенный проводник, сообщив ему некоторый заряд q. Этот заряд распределится по поверхности так, чтобы напряженность поля внутри проводника равнялась нулю (см. § 9). Для нахождения электрического поля, создаваемого заряженным проводником в про-

принциппринципизвольной точке М вне его (см. рис. 1.51), применим наложения (2.7). Тогда получим

принцип

принцип

ЕМ —52 Е<— 52 йiiЕМ —52 Е<— 52 йiiд, ч е^Г; Чд, ч е^Г; Ч(12.1)(12.1)

ЕМ —52 Е<— 52 й

ii

ЕМ —52 Е<— 52 й

ii

д, ч е^Г; Ч

д, ч е^Г; Ч

(12.1)

(12.1)

т. е. вектор напряженности электрического поля в точкет. е. вектор напряженности электрического поля в точкеМ равенМ равенгеометрической сумме полей, создаваемых в этой точке каждымгеометрической сумме полей, создаваемых в этой точке каждымиз элементарных точечных зарядов qb на которые можно разбить весь заряд проводника.Аналогичным образом вычисляется и электрический потенциал в точке Млиз элементарных точечных зарядов qb на которые можно разбить весь заряд проводника.Аналогичным образом вычисляется и электрический потенциал в точке МлФм = 52 Ф(~ 5-’ (12-2)tI ° 1Фм = 52 Ф(~ 5-’ (12-2)tI ° 1т. е. как алгебраическая сумма потенциалов, создаваемых каждым изт. е. как алгебраическая сумма потенциалов, создаваемых каждым изРис. 1.51.Рис. 1.51.элементарных точечных зарядов.Поместим теперь на тот же проводникэлементарных точечных зарядов.Поместим теперь на тот же проводникзаряд q', в п раз бользаряд q', в п раз больший первоначального, q' = nq. Чтобы поле внутри проводника вновь равнялось нулю, заряд q* должен распределиться по поверхности проводника подобно заряду q, т. е. все q'. будут также в йший первоначального, q' = nq. Чтобы поле внутри проводника вновь равнялось нулю, заряд q* должен распределиться по поверхности проводника подобно заряду q, т. е. все q'. будут также в йраз больше соответствующих величин qt.Вычисляя потенциал в точке 7И, получимраз больше соответствующих величин qt.Вычисляя потенциал в точке 7И, получимф^=52 к ^=52 к ~=«2 к ~=«фм> (12-3)ф^=52 к ^=52 к ~=«2 к ~=«фм> (12-3)т. е. потенциал в каждой точке поля возрастает прямо пропорционально заряду проводника. Это утверждение, конечно, справедливо и для всех точек внутри и на поверхности проводника, потенциал которых одинаков (см. § 9). Обозначая потенциал самого проводника через <р, получимт. е. потенциал в каждой точке поля возрастает прямо пропорционально заряду проводника. Это утверждение, конечно, справедливо и для всех точек внутри и на поверхности проводника, потенциал которых одинаков (см. § 9). Обозначая потенциал самого проводника через <р, получим(12.4)(12.4)Вводя соответствующий коэффициент пропорциональности, переВводя соответствующий коэффициент пропорциональности, перепишем (12.4) в видепишем (12.4) в виде

т. е. вектор напряженности электрического поля в точке

т. е. вектор напряженности электрического поля в точке

М равен

М равен

геометрической сумме полей, создаваемых в этой точке каждым

геометрической сумме полей, создаваемых в этой точке каждым

из элементарных точечных зарядов qb на которые можно разбить весь заряд проводника.

Аналогичным образом вычисляется и электрический потенциал в точке Мл

из элементарных точечных зарядов qb на которые можно разбить весь заряд проводника.

Аналогичным образом вычисляется и электрический потенциал в точке Мл

Фм = 52 Ф(~ 5-’ (12-2)

tI ° 1

Фм = 52 Ф(~ 5-’ (12-2)

tI ° 1

т. е. как алгебраическая сумма потенциалов, создаваемых каждым из

т. е. как алгебраическая сумма потенциалов, создаваемых каждым из

Рис. 1.51.

Рис. 1.51.

элементарных точечных зарядов.

Поместим теперь на тот же проводник

элементарных точечных зарядов.

Поместим теперь на тот же проводник

заряд q', в п раз боль

заряд q', в п раз боль

ший первоначального, q' = nq. Чтобы поле внутри проводника вновь равнялось нулю, заряд q* должен распределиться по поверхности проводника подобно заряду q, т. е. все q'. будут также в й

ший первоначального, q' = nq. Чтобы поле внутри проводника вновь равнялось нулю, заряд q* должен распределиться по поверхности проводника подобно заряду q, т. е. все q'. будут также в й

раз больше соответствующих величин qt.

Вычисляя потенциал в точке 7И, получим

раз больше соответствующих величин qt.

Вычисляя потенциал в точке 7И, получим

ф^=52 к ^=52 к ~=«2 к ~=«фм> (12-3)

ф^=52 к ^=52 к ~=«2 к ~=«фм> (12-3)

т. е. потенциал в каждой точке поля возрастает прямо пропорционально заряду проводника. Это утверждение, конечно, справедливо и для всех точек внутри и на поверхности проводника, потенциал которых одинаков (см. § 9). Обозначая потенциал самого проводника через <р, получим

т. е. потенциал в каждой точке поля возрастает прямо пропорционально заряду проводника. Это утверждение, конечно, справедливо и для всех точек внутри и на поверхности проводника, потенциал которых одинаков (см. § 9). Обозначая потенциал самого проводника через <р, получим

(12.4)

(12.4)

Вводя соответствующий коэффициент пропорциональности, пере

Вводя соответствующий коэффициент пропорциональности, пере

пишем (12.4) в виде

пишем (12.4) в виде

q — С<р или С=^ .q — С<р или С=^ .(12.5)(12.5)

q — С<р или С=^ .

q — С<р или С=^ .

(12.5)

(12.5)

Коэффициент С называется электрической емкостью проводника. Изменим заряд проводника на Д^. Тогда его потенциал

возрастает на Аф, так что

# +Дд-=С(ф-Ь Аф).(12.6)

Из (12.5) и (12.6) получаем, что

А^=САф,(12.7)

и, следовательно, при Аф=1 С=А^.(12.8)

Таким образом, электроемкость проводника численно равна величине заряда, который нужно сообщить данному проводнику для увеличения его потенциала на единицу.

Из формулы (12.5) можно определить'размерность и установить единицы измерения электроемкости. В системе СГС

[g] г'1 -см'г-сек.-1 [ф] еЧг .смЧг ,ceK-i ’

т. е. электроемкость имеет размерность длины и измеряется в сантиметрах.

В системе СИ за единицу электроемкости принимают емкость такого проводника, при сообщении которому заряда в 1 кулон его потенциал изменяется на 1 вольт. Эта единица называется фарадой ^ф или F):

, ,1 к 3-10’ СГС ед. заряда

1ф= — = ч—=

300 СГС ед. потенциала

= 9'10" СГС ед. емкости (сл).]

Так как фарада представляет собой крупную единицу, то на практике обычно пользуются ее миллионной долей, называемой микрофарадой:lJf«g6=ly,F= 1Q~°F = 9- 105сл^ или даже еще

в миллион раз меньшей единицей, называемой микромикрофарадой или пикофарад ой: 1лдб= l^/cjzwg6= lp,p,F= lpF= 10 ~12 F = = 0,9 см."~*

(12.9)(12.9)Подсчитаем электроемкость уединенного сферического проводника. Из соображений симметрии очевидно, что сообщенный ему заряд распределится равномерно по поверхности проводника. Используя полученное для этого случая выше, в § 7 и § 8, решение, можно на основании (8.28) написать выражение для потенциала шара:

(12.9)

(12.9)

где R—радиус шара, q—его заряд и е—диэлектрическая проницаемость окружающей проводник среды. Подставляя выражение

§ 12]ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКОВ

(12.9) в общую формулу для электроемкости (12.5), получаем

СшаРа = ^.(12.10)

Электроемкость шара прямо пропорциональна его радиусу и диэлектрической проницаемости окружающей среды. В системе СГС

СШара=еК см.(12.10а)

В системе СИ4—.——-

Сшара= 4ле08/? уб, I(12.106)

В формуле (12.106) радиус шара измеряется в метрах и, следовательно, диэлектрическая проницаемость е и е, в этой системе измеряется в $(M — Kje-м=.кг!дж-м=кг1н-м\ что совпадает с размерностью этой величины (2.10).

Земной шар является уединенным сферическим проводником с радиусом /?=6400 км. Диэлектрическая проницаемость окружающей среды практически равна единице. По формулам (12.10) электроемкость Земли равна

C3 = 6,4-10s см^ЧШ мкф.

Уединенные проводники имеют обычно электроемкость С значительно меньше электроемкости Земли. Сообщая проводнику заряд q, мы повышаем его потенциал до значения ф.

Заземлим такой проводник, т. е. соединим его с Землей, потенциал которой будем условно считать равным нулю (фэ —0). Вследствие разности потенциалов заряд с проводника будет перетекать в Землю до тех пор, пока в обоих телах не установится один и тот же потенциал:

где q'— заряд, оставшийся на проводнике, a q" = q— q*— заряд, отданный Земле.

Из (12.11) следует, что

=q'<q"«q и ф'<ф,(12.12)

т. е. при заземлении проводника малой емкости практически весь его заряд перейдет в Землю, потенциал этого проводника будет равен потенциалу Земли, а последний изменится на практически ничтожную величину ф'. Таким образом, заземляя различные проводники, мы приводим их к одному и тому же потенциалу Земли, который условно принимаем за начало отсчета, т. е. ф3 = 0.

Вопрос о том, каков же «на самом деле» потенциал Земли, если за нуль считать потенциал точек, бесконечно удаленных от

поверхности Земли, ие является при этом существенным. Вследствие непрерывно падающих на Землю потоков космических лучей (в основном положительно заряженных протонов) и корпускулярного излучения Солнца (в основном отрицательных электронов) суммарный заряд Земли ф3 может быть отличен от нуля и постепенно изменяться со временем. Лишь систематические измерения электрического поля за пределами атмосферы с помощью спутников Земли смогут определить qa и соответственно ^a=qaiC3. Кроме того, существует определенная разность потенциалов между земным шаром и окружающей его атмосферой, обеспечивающая напряженность поля в непосредственной близости к поверхности Земли порядка 100 в^м. Однако наличие практически постоянного или медленно изменяющегося земного электрического поля не дает возможности наблюдателю, находящемуся на земной поверхности, определить абсолютный потенциал Земли (по отношению к бесконечно удаленным точкам). Измеряя же лишь разности потенциалов, мы можем выбирать начало отсчета ф произвольно и полагать, как указывалось выше, условно ф3— 0.

Из приведенных соотношений и примеров следует, что электроемкость уединенного проводника зависит от его геометрических размеров, формы и диэлектрических свойств окружающей среды и не зависит от величины заряда проводника.

Если проводник не является уединенным, т. ё. вблизи него находятся другие проводники, то, заряжаясь, он будет наводить на поверхности соседних проводников заряды обоих знаков (см. § 9). Эти индуктированные заряды будут создавать дополнительное поле и изменять потенциал заряжаемого проводника. В результате увеличение его потенциала Аф при сообщении некоторого заряда Аф будет зависеть от размеров и расположения окружающих проводников. Отношение С= Аф/Дф для электроемкости проводника зависит, следовательно, не только от Формы и рячмррлп чаражад.м4ад^-ордт водиика, но и от его расположения относительно остальных проводников.

Как ^ыло показано в §§ 9 и 10, дополнительные поля Е' индуктируемых и поляризационных зарядов всегда направлены против поля источника Ео. Поэтому при внесении в среду, окружающую за ряженный проводник, других проводников и диэлектриков поле рассматриваемого проводника ослабляется, а его потенциал падает. В соответствии с (12.5) электроемкость проводника при этом возг РЗЫает.по сравнению с емкостью того же проводника в вакууме в отсутствие других проводников и диэлектриков. Идя по этому пути, можно создавать приборы большой емкости, называемые конденсаторами (накопителями заряда).

Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных прослойкой диэлектрика. Приближая вторую обкладку к первой

и помещая между ними вещество с высокой пиэпектричег1тй пропн цаемостью е, можно создать конденсаторы большой емкости и накапливать на их о6кладках~большие' заряды при незначительной разности потенциалов и малых объемах системы. Практически очень важно, что электрическое поле конденсатора сосредоточивается почти целиком в узком зазоре между его обкладками, так что его электроемкость не зависит от наличия других проводников и диэлектриков вблизи конденсатора.

При приложении к конденсатору некоторой разности потенциалов

его обкладки заряжаются равными по величине зарядами противопо-

ложных^ знаков." Йод электроемкостью конденсатора С„ понимается отношение заряда одной из его обкладок q к разности потенциалов

<р2— <$>X=U между обкладками:

С — qq“ Фг — Ф1U 'С — qq“ Фг — Ф1U '(12.13)(12.13)Простейшей конструкцией конденсатора является плоский конденсатор, состоящий из двух проводящих плоских пластин (см. рис. 1.52), пространство между которыми заполнено диэлектриком с проницаемостью е.

С — qq

“ Фг — Ф1U '

С — qq

“ Фг — Ф1U '

(12.13)

(12.13)

Когда линейные размеры I пластин велики по сравнению с расстоянием d между пластинами (d<^Z), можно пренебрегать краевыми эффектами и считать электрическое поле Е внутри конден

-б-бРе PiРис. 1 52Ре PiРис. 1 52<з =<з =qqS •S •(12.14)(12.14)сатора практически однородным, а заряд q — распределенным по пластинам равномерно с поверхностной плотностью

-б

-б

Ре Pi

Рис. 1 52

Ре Pi

Рис. 1 52

<з =

<з =

q

q

S •

S •

(12.14)

(12.14)

В этом случае напряженность электрического поля между пластинами согласно (7.17) равна

£=feo^ = ^E"^.(12.15)

С другой стороны, пользуясь соотношением (8.21) между напряженностью поля и градиентом потенциала, для нашего случая однородного поля имеем

(12.16) иПи,иа }''

Сравнивая оба эти выражения для напряженности поля, получимU , 4п<?

или окончательно *—"

г= e°e-S

спл К и k»-W

(12.17)

В системе Гаусса е0=1, &0=1 и

г е S

См « — 4пс( С *

(12.17а)

В системе СИ k=— и___

о 4 л

СМ., = ^Ф.(12.176)

д

Как видно из (12.17), электроемкость плоского конденсатора зависит от его геометрических размеров (площади пластин 5), от

взаимного расположения проводников, т. е. от расстояния до соседней пластины d, и от диэлектрической проницаемости диэлектрика е. Для увеличения емкости конденсатора следует увеличивать площадь пластин, уменьшать расстояние между ними и подбирать диэлектрическую прослойку с максимальным значением е. Выбор диэлектрика, однако, ограничивает возможность уменьшения расстояния между пластинами d.

При сближении пластин конденсатора возрастает напряженность электрического поля E=Ujd в диэлектрической прослойке. В очень сильных полях (порядка 107 в/де) диэлектрик перестает быть изолятором. Для каждого диэлектрика имеется определенное максимально допустимое значение напряженности электрического поля jEnpo6, выше которого ток в диэлектрике

—0 и 0—

Cl+ *7i 11 ~Ч1

А

С,А-Цг || — Чг

*Чз II ~9з

Сз

Рис. 1.53.

8

сразу достигает очень больших значений и вызывает его разрушение, как говорят, пробой диэлектрика. Для предотвращения пробоя расстояние между пластинами не следует делать меньше некоторого минимального значения

мин р . ♦ ^проб

(12.18)

а при постоянном расстоянии между пластинами к конденсатору нельзя прикладывать разность потенциалов, превышающую некоторое максимальное значение

Ццакс~ ^‘^проб'(12.19)

называемое пробивным напряжением данного конденсатора.

Для увеличения емкости конденсаторов С без сильного увеличения их линейных размеров конденсаторы соединяют параллельно в батарею. Для расчета емкости батареи при параллельном соединении конденсаторов рассмотрим схему такого соединения, изображенную на рис. 1.53. Пусть емкости соединяемых конденсаторов равны С,, Cz, . . ., Сп, а их заряды соответственно £v 4v - - • i 4п- Разность потенциалов U, приложенная между точками Д и 8, одинакова для всех конденсаторов. Тогда, согласно (12.13), заряд каждого конденсатора равен:

qv = CxU, q^CJJ,. . ., qn=CnU.(12.20)

Складывая эти равенства и замечая, что полный заряд системы -7=»i + -78 + . ■ . + 4», получим

9=!,Н + •+9„=(C, + C2-b...4-C„)U.(12.21)

Полная электроемкость батареи конденсаторов С6 равна отношению полного заряда системы q к приложенной разности потенциалов U;

гг(12.22)(12.22)С — q—77i

г

г

(12.22)

(12.22)

При параллельном соединении конденсаторов емкость батареи равна сумме емкостей включенных в батарею конденсаторов.

для предотвращения пробоя системы прибегают к последовательному соединению конденсаторов (рис. 1.54). Если к концам батареи приложить разность потенциалов U, то крайние пластины системы зарядятся разноименными зарядами ± а. Вследствие электростатиче- ской индукции на всех промеж у - точных пластинах наведутся за"- ряды, также численно равные ±<у, как это показано на схеме.

При этом полная разность потенциалов 77= ^Ц распределится между конденсаторами соответственно их емкостям:

U! Сх' U1 — C2’Un Сп*(12.23)

Складывая все эти равенства, получим

и— Ц + Ц + • • • + 0^=4 ^ +с7 + • • • +^) • (12.24)

Отношение U/q=\]C6 есть величина, обратная электроемкости всей системы, и иногда называется ее потенциальным коэффициентом. (12.24) следует, что "

QVV = c7^’c7^ ' '' ^С^^^СГ ’ (12.25) т. е. при последовательном соединении конденсаторов обратная величина емкости всей батареи равна сумме обратных величин емкостей соединенных в батарее конденсаторов. Легко также видеть, что

1=у1>Сб Yci1=у1>Сб YciCiCiс6с6ctct

1=у1>

Сб Yci

1=у1>

Сб Yci

Ci

Ci

с6

с6

ct

ct

■— при последовательном соединении конденсаторов электроемко сТпГ^атарёй^мвныйё электроемкости каждого из конденсаторов ." ' ‘ '

Однако при этом падение потенциала на каждом из конденсаторов U^U, и можно, не опасаясь пробоя, соединять в батарею конденсаторы с меньшими расстояниями d и большими емкостями.

§ 13. Энергия электрического поля

Сообщим уединенному проводнику некоторый заряд q. Тогда вокруг него возникнет электрическое поле и потенциал проводника примет значение vp = q'!C. Чтобы увеличить заряд проводника на dq, придется принести этот заряд из бесконечности к поверхности проводника и затратить на это работу, равную

г/Л=(ф— ф„) dq = q dq — -^q dq,(13.1)

если считать ф» = 0.———

Эта работа совершается внешними силами, перемещающими заряд против сил электрического подя проводника. При обратном перемещении заряда dq с поверхности проводника в бесконечно удален

ную точку силы электрического поля совершат точно такую же по величине работу dA. Следовательно, заряженный проводник обладает потенциальной энергией W„ за счет которой совершается работа его разрядки.

При увеличении заряда проводника на dq его потенциальная энергия возрастает на величину dW, равную работе dA, совершен

(13.2)(13.2)ной внешними силами_____^__ dW=dA = -^qdq.

(13.2)

(13.2)

Потенциальную энергию незаряженного проводника (<7=Ои<р=О), не создающего вокруг себя электрического поля, будем считать

равной нулю. Тогда энергия W проводника, заряд которого достиг некоторой величины q, может быть найдена интегрированием выражения (13.2):

wqq

W^dW=^qdq=^qdq = ±q~.(13.3)

00о

Используя зависимость (12.5), связывающую заряд проводника с его потенциалом, можно получить окончательное выражение для энергии заря,женно г о проводника в виде

(13.4)(13.4)

(13.4)

(13.4)

Как мы видели в § 9, внутри заряженного проводника электрическое поле отсутствует. В процессе зарядки проводника электрическое поле возникает в пространстве, окружающем проводник. Поэтому мы будем считать, что электростатическая энергия заряженного проводника локализована в окружающем его электрическом поле и распределена в последнем с различной объемной плотностью в соответствии с различной величиной напряженности поля Е на разных расстояниях от проводника.

Для нахождения связи между объемной плотностью энергии (энергией единицы объема) электрического поля и его напряженностью рассмотрим простейший случай однородного поля между пластинами плоского конденсатора.

Процесс зарядки такого конденсатора можно представить как последовательное перемещение бесконечно малых порций заряда dq с одной пластины на другую, в результате чего одна из пластин будет заряжаться положительно, а другая — отрицательно и между ними будет возникать постепенно возрастающая разность потенциалов U=qlCK. Повторяя ход вывода, приведенного выше для уединенного проводника, легко получить выражение для полной электростатической энергии заряженного конденсатора:

T.=frr^u=^c.v,T.=frr^u=^c.v,(13.5)(13.5)

T.=frr^u=^c.v,

T.=frr^u=^c.v,

(13.5)

(13.5)

совершенно аналогичное выражению (13.4).

Подставляя в (13.5) значения электроемкости и разности потенциалов в плоском конденсаторе (12.17) и (12.16), после преобразованийполучим-

^„..-1^= УГЧЯ£У‘—r£-Sd-r£v' <>

плотность энергииплотность энергииполяполя

плотность энергии

плотность энергии

поля

поля

(13.7)(13.7)W Е2

(13.7)

(13.7)

° V 60.8п ’

оказывается прямо пропорциональной квадрату напряженности элек

трического поля.

В системе СГС

(13.7а)(13.7а), в Ег эрг

(13.7а)

(13.7а)

.„. е Е2 дж.„. е Е2 дж° 8л см3

.„. е Е2 дж

.„. е Е2 дж

(13.76)

Соотношение (13.7) выведено нами в простейшем случае однородного поля. Оно остается справедливым и для любых неоднородных полей, в которых напряженность поля Ей плотность энергии У, меняются от точки к точке.

Согласнозаконупропорциональности массы и энергии (т. I, гл. И, § 9), если электростатическое поле обладает энергией, то

каждый элемент его объема обладает массой. Масса единицы объему

электростатического поля равна

Q =(13.8)

где с = 3 • 1010 см!сек—скорость распространения света в пустот,е. При напряженности электрического поля в 3000 в/слг= 10 СГС ед. напряженности из (13.7а) и (13.8) находим плотность массы такого

поля:

р ——~ 4-10~21 —

'8л.9- 1020 ~ * и см3"

Видно, что она очень мала даже по сравнению с плотностью весьма разреженного газа (при р— 10“’ мм рт. ст. имеем дгаза?«10“1г г/сл?’).

С другими свойствами электрического и магнитного полей, более детально подтверждающими современные взгляды, что эти поля представляют собой особую форму материи, непрерывно распределенной в пространстве, мы познакомимся в дальнейших разделах курса.

Из выражения для энергии W системы заряженных тел можно определить величину механических (пондеромоторных) сил Е, действующих между этими телами. Пусть энергия системы заряженных и поляризованных тел W зависит от какого-либо параметра х, например от размеров или координат одного из тел. Изменим этот параметр на величину dx, например, переместив данное тело. Тогда действующая в системе сила Рх совершит работу

dA=Fxdx (13.9)

Fxdx= — dW,Fxdx= — dW,(13.10)(13.10)

Fxdx= — dW,

Fxdx= — dW,

(13.10)

(13.10)

энергии системы, т. е.энергии системы, т. е.за счет уменьшения потенциальной

энергии системы, т. е.

энергии системы, т. е.

Рассмотрим конкретный пример плоского конденсатора с площадью пластин 5 и расстоянием между ними х. Энергия этого конденсатора согласно (13..5) и (12.17) равна

(13.11)(13.11)W=^=k .2л-^х=й0— Sx

(13.11)

(13.11)

2СК е eoeS »iv

и при постоянных зарядах на пластинах (у = const) прямо пропорциональна расстоянию между пластинами х. Подставляя в (13.10) значение W и производя дифференцирование, подучим искомую силу

F= — = — ^о — 5- (13-12)

Знак минус указывает, что эта сила направлена против увеличения х, т. е. является силой притяжения. Таким образом, (13.11) приводит к тому же выражению для силы притяжения на единицу площади пластин f=Fx{S, что и полученное ранее (7.20).

Поскольку электростатическое поле неразрывно связано с электрическими зарядами, то энергию поля V можно также рассматривать как энергию взаимодействия зарядов. В случае двух точечных зарядов <?г- и <?у, находящихся в пустоте на расстоянии г^ друг от друга, согласно (8.8) энергия их

взаимодействия равна

(13.13)(13.13)у/. = ^> ^J

(13.13)

(13.13)

4 Ео ГИ

Если в пространстве имеется ^ различных точечных зарядов (1, /" = 1, 2, 3N1), то полная потенциальная энергия системы И? будет равна сумме

взаимных энергий всех пар зарядов, входящих в систему!

(13.14)(13.14)^=4 2>-?=4 Пгт2

(13.14)

(13.14)

i^i i^i 0 Ч

Множитель ’/2 в этом выражении нужен потому, что при суммировании по всем г и / от 1 до IV каждое взаимодействие учитывается дважды. Например, энергия взаимодействия зарядов ^2 и q3 входит под знаком суммы в (13.14)

два раза: один раз как -ДД5Д5 при z = 2 и / = 3 и второй раз как —

Bq Г23 Ео Г82

при 1 = 3 и / = 2. В каждом из членов значки i и / разные (i ^ /): члены с / = / не учитываются, так как они соответствуют самодействню зарядов, которое для принятых нами точечных зарядоь равно бесконечности (П7=0).

Рассмотрим случаи, когда заряду распределен равномерно по поверхности сферы радиуса 7?. Для вычисления энергии такой системы проще всего воспользоваться формулой (13.3). Поскольку электроемкость шара С численно равна его радиусу R (в системе СГС). то

(13.15)(13.15)w -51-151

(13.15)

(13.15)

(7.5а) напряженность электрического поля(7.5а) напряженность электрического поляС другой стороны, согласно вне заряженной сферы равна

(7.5а) напряженность электрического поля

(7.5а) напряженность электрического поля

E = S_

Ь г1 "

По (13,7) находим плотность энергии в окружающем пространстве)

8л8л8лг4 ‘8лг4 ‘Разобьем это пространство на бесконечно тонкие сферические слои радиуса г и толщины dr. Поверхность такого слоя равна 4лг2, а объемdV = 4лгг dr.Энергия электрического поля, заключенная в этом объеме, равнаРазобьем это пространство на бесконечно тонкие сферические слои радиуса г и толщины dr. Поверхность такого слоя равна 4лг2, а объемdV = 4лгг dr.Энергия электрического поля, заключенная в этом объеме, равна^=^^ = 8&4лг^г = ^\^=^^ = 8&4лг^г = ^\(13.16)(13.16)Поскольку внутри сферы (г < R) поле отсутствует, для нахождения полной энергии поля надо проинтегрировать (13 16) в пределах от г = 7?Поскольку внутри сферы (г < R) поле отсутствует, для нахождения полной энергии поля надо проинтегрировать (13 16) в пределах от г = 7?ДО Г = 002ДО Г = 002С — — 51- J г» — 2R RС — — 51- J г» — 2R RПолученный результат, естественно, совпадает с формулой (13.15), выведенной другим путем К тому же выражению мы бы пришли, если бы мысленно разбили заряд q на бесконечно малые порции и подсчитали полную энергию парных взаимодействий по формуле (13 14)Если заряд qраспределен не только на поверхности, но и в объеме сферы, то поле внутри нее уже не равно нулю. Это вызывает увеличение энергии системы сверх (13.15) Если заряд q распределен равномерно по всему объему шара радиуса R, то полная энергия системы равна (вычислений мы не поивопим.1Полученный результат, естественно, совпадает с формулой (13.15), выведенной другим путем К тому же выражению мы бы пришли, если бы мысленно разбили заряд q на бесконечно малые порции и подсчитали полную энергию парных взаимодействий по формуле (13 14)Если заряд qраспределен не только на поверхности, но и в объеме сферы, то поле внутри нее уже не равно нулю. Это вызывает увеличение энергии системы сверх (13.15) Если заряд q распределен равномерно по всему объему шара радиуса R, то полная энергия системы равна (вычислений мы не поивопим.1w шара — 5 R 'w шара — 5 R '(13 17)(13 17)Используя выражения для энергии взаимодействия точечных (13 13) и (13.14), можно проанализировать вопрос об устойчивости неподвижных электрических зарядов Мы уже неоднократно отмечали тоИспользуя выражения для энергии взаимодействия точечных (13 13) и (13.14), можно проанализировать вопрос об устойчивости неподвижных электрических зарядов Мы уже неоднократно отмечали тозарядовсистемызарядовсистемыобстоятельство, что любое вещество построено из электрически заряженных частиц. Естественно возникает вопрос о том, возможны ли такие конфигурации неподвижных друг относительно друга заряженных частиц, которые представляли бы собой атомы, молекулы и т. д. Подчеркнем, что речь идет об устойчивости системы под действием одних только электростатических сил Полученный результат будет справедлив для любого—дискретного или непрерывного — распределения зарядов.обстоятельство, что любое вещество построено из электрически заряженных частиц. Естественно возникает вопрос о том, возможны ли такие конфигурации неподвижных друг относительно друга заряженных частиц, которые представляли бы собой атомы, молекулы и т. д. Подчеркнем, что речь идет об устойчивости системы под действием одних только электростатических сил Полученный результат будет справедлив для любого—дискретного или непрерывного — распределения зарядов.

8л

8л

8лг4 ‘

8лг4 ‘

Разобьем это пространство на бесконечно тонкие сферические слои радиуса г и толщины dr. Поверхность такого слоя равна 4лг2, а объем

dV = 4лгг dr.

Энергия электрического поля, заключенная в этом объеме, равна

Разобьем это пространство на бесконечно тонкие сферические слои радиуса г и толщины dr. Поверхность такого слоя равна 4лг2, а объем

dV = 4лгг dr.

Энергия электрического поля, заключенная в этом объеме, равна

^=^^ = 8&4лг^г = ^\

^=^^ = 8&4лг^г = ^\

(13.16)

(13.16)

Поскольку внутри сферы (г < R) поле отсутствует, для нахождения полной энергии поля надо проинтегрировать (13 16) в пределах от г = 7?

Поскольку внутри сферы (г < R) поле отсутствует, для нахождения полной энергии поля надо проинтегрировать (13 16) в пределах от г = 7?

ДО Г = 002

ДО Г = 002

С — — 51- J г» — 2R R

С — — 51- J г» — 2R R

Полученный результат, естественно, совпадает с формулой (13.15), выведенной другим путем К тому же выражению мы бы пришли, если бы мысленно разбили заряд q на бесконечно малые порции и подсчитали полную энергию парных взаимодействий по формуле (13 14)

Если заряд qраспределен не только на поверхности, но и в объеме сферы, то поле внутри нее уже не равно нулю. Это вызывает увеличение энергии системы сверх (13.15) Если заряд q распределен равномерно по всему объему шара радиуса R, то полная энергия системы равна (вычислений мы не поивопим.1

Полученный результат, естественно, совпадает с формулой (13.15), выведенной другим путем К тому же выражению мы бы пришли, если бы мысленно разбили заряд q на бесконечно малые порции и подсчитали полную энергию парных взаимодействий по формуле (13 14)

Если заряд qраспределен не только на поверхности, но и в объеме сферы, то поле внутри нее уже не равно нулю. Это вызывает увеличение энергии системы сверх (13.15) Если заряд q распределен равномерно по всему объему шара радиуса R, то полная энергия системы равна (вычислений мы не поивопим.1

w шара — 5 R '

w шара — 5 R '

(13 17)

(13 17)

Используя выражения для энергии взаимодействия точечных (13 13) и (13.14), можно проанализировать вопрос об устойчивости неподвижных электрических зарядов Мы уже неоднократно отмечали то

Используя выражения для энергии взаимодействия точечных (13 13) и (13.14), можно проанализировать вопрос об устойчивости неподвижных электрических зарядов Мы уже неоднократно отмечали то

зарядовсистемы

зарядовсистемы

обстоятельство, что любое вещество построено из электрически заряженных частиц. Естественно возникает вопрос о том, возможны ли такие конфигурации неподвижных друг относительно друга заряженных частиц, которые представляли бы собой атомы, молекулы и т. д. Подчеркнем, что речь идет об устойчивости системы под действием одних только электростатических сил Полученный результат будет справедлив для любого—дискретного или непрерывного — распределения зарядов.

обстоятельство, что любое вещество построено из электрически заряженных частиц. Естественно возникает вопрос о том, возможны ли такие конфигурации неподвижных друг относительно друга заряженных частиц, которые представляли бы собой атомы, молекулы и т. д. Подчеркнем, что речь идет об устойчивости системы под действием одних только электростатических сил Полученный результат будет справедлив для любого—дискретного или непрерывного — распределения зарядов.

Неустойчивость системы из двух точечных зарядов очевидна Одноименные заряды отталкиваются до бесконечности, а разноименные—притягиваются до полного соприкосновения и нейтрализуются На рис. 1.55 изображен график зависимости потенциальной энергии этой системы от расстояния:

И?(г) = ^,

как для одноименных (<7,<72 > 0), так и разноименных (7]^2<0) зарядов.

В обоих случаях взаимодействие стремится уменьшить потенциальную энер

гию системы Для одноименных зарядов №7мин = 0 при г= оо, а для разноименных 1УМИИ =—оо при г=0. Условием устойчивого равновесия любой системы является минимум ее потенциальной энергии. Для рассмотренной системы двух точечных зарядов этот минимум наступает лишь при полном разрушении системы (разведении одноименных зарядов на бесконечность или полном слиянии разноименных зарядов).

Рассмотрим систему из трех точечных зарядов. В этом случае возможны конфигурации, при которых все три заряда находятся в равновесии, однако это равновесие будет неустойчивым. Подобное равновесие будет возможным, если: 1) все заряды не одного и того же знака, 2) заряды расположены вдоль одной прямой, 3) величины зарядов находятся в оп-

-^q +q -4qА г 0 г в°)АОВ6)-4q*q -4q—о—| р -сА Ох В6)-^q +q -4qА г 0 г в°)АОВ6)-4q*q -4q—о—| р -сА Ох В6)ределенном соотношениир . „

-^q +q -4q

А г 0 г в°)

АОВ

6)-4q*q -4q

—о—| р -с

А Ох В

6)

-^q +q -4q

А г 0 г в°)

АОВ

6)-4q*q -4q

—о—| р -с

А Ох В

6)

Проведем через положительныйЕис>

заряд -\-д прямую линию и располо

жим на ней на равных расстояниях г по обе стороны заряда + q два одинаковых отрицательных заряда —д'. Заряд д тогда будет находиться в равновесии. Чтобы заряд —д’ также находился в равновесии, сила притяжения его к заряду q должна уравновешиваться силой отталкивания другого заряда — q’> т. е.

г (2г)8 '

откуда q' = Aq (см. рис. 1.56, а).

(13.18)(13.18)W(y)=4W(y)=4%дгfr= + y2%дгfr= + y2>0,>0,Полная энергия взаимодействия этих зарядов, находящихся в равновесии, будет равна

(13.18)

(13.18)

W(y)=4

W(y)=4

%дгfr= + y2

%дгfr= + y2

>0,

>0,

т. е. больше, чем в положении равновесия. На заряд + q будет действовать сила, направленная к положению равновесия. По отношению к подобному смещению исходное равновесие оказывается устойчивым.

Дадим теперь центральному заряду + q смещение х вдоль оси системы (рис. 1.56, в) и подсчитаем полную энергию в этом случае:

№ лл 8?2 4?2 4?2 - 8?2 8»2f - ^2хг

' Г г + х Г — X г гг — X2 г (г2—X2) '

При таком смещении потенциальная энергия уменьшается и по отношению к нему исходное равновесие оказывается неустойчивым. На сместившийся заряд в этом случае действует сила, стремящаяся еще более удалить его от положения равновесия.

Оставим теперь центральный заряд + q на месте и дадим обоим отрицательным зарядам —Aq одинаковые смещения Аг в разные стороны (рис. 1.56, г). Поскольку W, не зависит от г, то IT (Аг)=0, и при таком смещении потенциальная энергия не изменяется вовсе. По отношению к подобному перемещению равновесие системы оказывается безразличным.

Испытывая различные другие изменения конфигурации зарядов, можно убедиться, что среди них имеются такие, при которых изменение' потенциальной энергии А1Г = 1^ — И7, либо положительно, либо отрицательно, либо равно нулю. Однако если хотя бы при каком-либо одном типе изменения конфигурации потенциальная энергия ее уменьшается (а такой случай — при х ф 0—мы уже разобрали), то это изменение будет возрастать и исходное равновесие в, целом неустойчиво.

Анализируя выражение (13.14) в общем виде, можно-доказать так называемую теорему И р н ш о у: устойчивое статическое распределение электрических зарядов невозможно;

Поскольку люоое пространственное распределение зарядов может быть представлено в виде системы бесконечно большого числа бесконечно малых зарядов, то все сказанное относится к любой статической системе. Следовательно, устойчивая статическая система зарядов возможна лишь в том случае, если, кроме электрических сил, в ней действуют еще другие силы неэлектрической природы.

В случае атомных систем между ^электронами и ядрами, кроме кулоновых сил, действуют еще силы тяготения. Однако эти силы изменяются с расстоянием по такому же закону, а по- абсолютной величине ничтожно малы по сравнению с электростатическими.

Таким образом, электроны, входящие в атомы и молекулы, не могут образовать устойчивые статические системы. Атомы и молекулы не могут быть ие чем иным, как динамическими системами электрических зарядов. Этот факт является прекрасной иллюстрацией положения диалектического материализма о невозможности существования материи без движения.

ЧАСТЬ И

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

ГЛАВА IV

ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА

§ 14. Электрический ток. Ток проводимости

Электрическим током называется направленное движение электрических зарядов. При этом возможны различные случаи. Зарядим какое-либо тело, т. е. сообщим ему электрический заряд, и будем перемещать это тело в пространстве. В этом случае

электрические заряды будут перемещаться вместе с макроскопическими телами, на которых они находятся (рис.2.1, а). Такой ток называется конвекционным (переносным) током,

Рассмотрим теперь пр о в о д н и к, в котором создано и поддержи- ваетс я внешнее электрическое поле Е. Находящиеся внутри проводника свободные электрические заряды будут двигаться: положительные — по п олю, а отрицательные — против поля (рис. 2.1,5). Случай, когда микроскопические электрические заряды движутся внутри неподвижного макроскопического тела (твердого, жидкого или газообразного), носит название тока пр о-

водимости.

Третьим случаем является так называемый ток в вакуум е, когда микроскопические электрические заряды движутся в пустоте независимо от макроскопических тел. Примером могут служить потоки электронов в электронной лампе (рис. 2.1, в).

Изучение законов электрического тока мы начнем с наиболее

простого и технически наиболее важного случая тока проводимости, идущего по проводнику. Введем сначала некоторые основ

ные понятия.

dq dtdq dtЗаряженное тело А соединим проводником с землей (рис. 2.2). Тело Л будет разряжаться, и через проводник пойдет электрический ток. За промежуток времени dt заряд тела А уменьшится на некоторую величину dq. Отношение

dq dt

dq dt

называется током в проводнике. Термин «сила тока», как устаревшийназывается током в проводнике. Термин «сила тока», как устаревший(14.1)

называется током в проводнике. Термин «сила тока», как устаревший

называется током в проводнике. Термин «сила тока», как устаревший

иине соответствующий физическому смыслу описываемого им понятия, ныне не употребляется.

и

и

/=^=constdt/=^=constdtЕсли за равные промежутки времени через любое сечение проводника проходят одинаковые количества электричества, то ток

/=^=constdt

/=^=constdt

не будет зависеть от времени. Такой ток принято называть постоянным и обозначать

символом /. Если же ток

со временем меняется, т. е. Jg/rf/z^const, то он является переменным, и обозначается буквой 1\.

Величина тока в системе СИ измеряется в амперах, причём эта величина определяется как добавочная, четвертая единица (см. § 32). Единица заряда — кулон определяется через ампер: это заряд, протекающий через сечение проводника за 1 сак, при токе в нем 1 а: *

1 к = \ а-1 сек « 3-10* СГС ед. заряда.

В общем случае при прохождении тока в проводнике переме- щаются заряды обоих знаков, движущиеся в противоположных направлениях. В связи с этим понятие о направлении электричТ- ского тока является до некоторой степени условным. Исторически сложилось так, что за направление электрического тока условились считать направление движения положительных зарядов, или, что то же самое, направление, обратное движению отрицательных зарядов.

Возвращаясь к рис. 2.2, мы можем сказать, что уменьшение заряда тела Д на dq происходит как за счет уноса некоторого количества положительных зарядов dqX вдоль направления тока по проводнику в землю, так и за счет перехода некоторого количества отрицательных зарядов dq~ из земли по проводнику к телу А против направления тока. В общем случае dq будет представлять собой арифметическую сумму двух количеств dq=dqX -V^qL и

(14-2)(14-2).dq^ + dCdt

(14-2)

(14-2)

§ 15. Закон Ома для участка цепи.Сопротивление проводников

Рассмотрим отрезок однородного цилиндрического проводника длиной I (рис. 2.3). Для того чтобы в этом проводнике шел постоянный ток /, необходимо внутри проводника поддерживать постоянное электрическое поле Е. Так как напряженность электри

Рис 2 3.Рис 2 3.ческого поли равна градиенту потенциала, взятого с обратным знаком (см. § 8), то

Рис 2 3.

Рис 2 3.

^Ф фгФ1

(15.1)(15.1)_ Ф1 — ф2 _ U I I ’

(15.1)

(15.1)

где ф, и <р2—электрические потенциалы в начальном и конечном

сечении проводника, а

(15-2)(15-2)<7=Ф1—ф.

(15-2)

(15-2)

— падение потенциала на выделенном нами участке электрической цепи /—2, называемое на пряже н и е м, приложенным к проводнику. _

При изменении напряжения U меняется и ток /, текущий в проводнике. В 1826 г. Ом экспериментально установил прямую пропорциональность между током и напряжением:

U.

'Обозначим коэффициент пропорциональности, характеризующий электрическую проводимость проводника, через О; величина R, обратная пр о в о д и м о с т и проводника, R=ljG называется ег о электрическим сопротивлением; тогда

I=GU=Xu.К

Рис. 2.4.Рис. 2.4.длине / площадидлине / площадиr=q4-r=q4-(15.4)(15.4)

Рис. 2.4.

Рис. 2.4.

длине / площади

длине / площади

r=q4-

r=q4-

(15.4)

(15.4)

Сопротивления разных проводников численно различны. На рис. 2.4 приведены экспериментальные графики / и 2 закона Ома (15.3) для двух проводников с различными сопротивлениями. Уравнение (15,3) определяет соотношение между током и напряжением Для конечного участка цепи и поэтому иногда называется зако- н ом Ома в интегральной форме: ток, идущий в проводнике, численно равен отношению приложенного напряжения к сопротивлению проводника.

Закон Ома в интегральной форме позволяет определить единицы сопротивления проводника: если U=\ и /=1, то R=l. В системе СИ единицей сопротивления является ом. Это —СОШЗР- тивление такого проводника, в котором при напряжении 1 в идет ток в 1 я:

, СГС ед. напряжения

I вOUU

1 0Я==Га =3-109 СГС ед. тока =

~9-10п СГС еД- сопротивления.

Сопротивление проводника R зависит от его геометрических размеров и формы, а также материала, из которого сделан проводник. Для цилиндрических проводников сопротивление

прямо пропорционально их и обратно пропорционально

поперечного сечения 5:

Коэффициент пропорциональности q называется удельным сопротивлением вещества, из которого сделан проводник. Из соотношения

RS

о=— определяются размерность и единицы измерения удельного сопротивления.

В системе СГС ток имеет размерность [/]—ру= г'^-см^^-сек-2,

а напряжение ^и] = ^ = гЧ=- см1^- сек-1. Отсюда размерность со-

а удельное сопротивлениеа удельное сопротивлениепротивления \£\=утт = сек- см

а удельное сопротивление

а удельное сопротивление

[q] = [/?J ^—сек имеет ту же размерность, что и время.

В системе СИ 1 ол=1 е/1 а — 1 дж^к-а=\ дж[аг ■ сек. Если R измерять в ом, I—в * и S—в л?, то Q измеряется в ом-м1^м = = ом-м, следовательно, 1 ом-м есть удельное сопротивление вещества, цилиндрик которого длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 л2 имеет сопротивление 1 ом.

Применяемые в технике проводники имеют обычно большую длину и малое поперечное сечение. Поэтому длину проводов измеряют в м, а площадь поперечного сечения — в мм1. Соответственно этому удельное сопротивление измеряется в ом-мм2[м и численно равно сопротивлению провода длиной в 1 м и площадью поперечного сечения 1 мм1, сделанного из данного материала:

, ОМ-ММ2 1 ол-(10-’ л)2

1=-= 10 ом • м.

Наименьшими удельными сопротивлениями обладают серебро и медь. На практике электрические провода обычно изготовляются из меди:

qCu=1)7.10 ом-м = 0,0X7—-—

или алюминия:

Qai = 2,9-10~8 ом • м 0,029—————,

Хотя при равном сопротивлении алюминиевый провод и будет толще медного, но благодаря малому удельному весу алюминия вес его погонного метра будет меньше соответствующего веса медного провода того же сопротивления; поэтому при определенных условиях целесообразно применять алюминиевые провода.

Удельное сопротивление такого типичного изолятора, как стекло, равно 5-10” ом-м, т. е. примерно в 10” раз больше, чем у меди.

Для сравнения в таблице приведены удельные сопротивления некоторых металлов и сплавов при комнатной температуре.

Удельные сопротивления некоторых металлов и сплавов

Материал

Q- 10е OM-At

Материал

Q• 10е ОМ-М

Серебро . . . .

0,016

Железо . . .

0,086

Медь

0,017

Платина . . .

0,107

Золото . . . .

0,023

Свинец . . . .

0,210

Алюминий . .

0,029

Никелин . . .

0,420

Вольфрам . . .

0,056

Манганин . .

0,430

Цинк

0,060

Константан .

0,500

Никель . . . .

0,070

Ртуть . . . .

0,958

Латунь . . . .

0,080

Нихром . . .

1,100

Подставляя выражение (15.4) в (15.3), преобразуем закон Ома

, и US

К виду

т=^т-<15-5)

Величина

4=7(15-6)

носит название плотности тока, и на практике измеряется в ггм\ В соответствии с (15,1) Ujl=E есть напряженность элек- трического поля в проводнике.

Величина, обратная удельному сопротивлению,

называется удельн ой проводимостью или электропро- в.одностью данного вещества^ При введенных обозначениях

соотношение П5.5) имеет вид

/=уЕ J(15.8)

и носит название закона Ома в дифференциальной

форме.

Для проводников переменного сечения (рис. 2.5) зависимость сопротивления от геометрических размеров уже не будет выра

жаться столь простым соотношением, как (15.4). Здесь величина тока / в любых двух сечениях проводника будет одинаковой, так как в противном случае между этими сечениями накапливался бы электрический заряд, изменялось электрическое поле и ток перестал бы быть постоянным. Плотность же

тока в различных сечениях и даже в разных точках одного и того же сечения может быть различной и по величине и по направлению. В этом случае внутри проводника будет неоднородным и электрическое поле, вектор напряженности которого Е будет изменять свою величину и направление от точки к точке. Однако соотношение (15.8) между j и Е" остается справедливым в любой точке внутри проводника. Учитывая векторный характер величин j и Е, закон Ома в дифференциальной форме (для каждого бесконечно малого уча'стка в проводнике) должен быть записан в виде

Сопротивление данного проводника зависит от внешних условий и в первую очередь от температуры н давления. На механизме температурной зависимости сопротивления мы остановимся несколько подробнее в последующих главах при теоретическом выводе закона Ома. Здесь же пока приведем некоторые экспериментальные данные.

Опыт показывает, что в первом приближении сопротивление металлических проводников линейно возрастает с температурой по закону

(15.10)(15.10)Rt=-RAXA-atY

(15.10)

(15.10)

Для чистых металлов температурный коэффициент сопротивления а « 0,004=4-10-’ град"' и близок к ^. На рис. 2.6 приве

ден примерный график зависимости сопротивления металла от

абсолютной температуры Т. Как показывают теория (см. ниже, § 21) и опыт, при Т—>-0° К сопротивление металла стремится к нулю.

Для некоторых металлов и сплавов вблизи абсолютного нуля температуры наблюдается (при некоторой характерной для каждого из иих температуре) скачкообразное падение сопротивления практически до нуля. Проводник при этом переходит в так называемое сверхпроводящее

состояние. Если в замкнутом

контуре из сверхпроводника создать электрический ток, то этот ток будет неделями течь в сверхпроводнике, практически не уменьшаясь по величине. Температуры перехода в сверхпроводя

щее состояние для разных металлов различны и лежат в интервале примерно от 2° К до 10° К.

Температурная зависимость сопротивления металлических проводников широко используется в технике для создания термометров сопротивления. Помещая в печь спираль известного сопротивления Ro и измеряя ее сопротивление Rt, можно согласно (15.10) определить температуру / печи. С другой стороны, эта температурная зависимость оказывает вредное влияние на работу точных электроизмерительных приборов, меняя сопротивление последних при изменении внешних условий. Так как разница температур зимой и летом в данном месте может достигать 60°, то величина аМ может доходить до ^25%.

4 Г. А. Зисман и О М. Тодес

Для предотвращения вредного влияния изменения сопротивления с температурой приходится предусматривать специальные компенсационные схемы или изготавливать провода из специальных сплавов с низким температурным коэффициентом, как, например, константана, у которого а й? 0,002-10~* град-1, т. е. примерно в 2000 раз ниже, чем у меди.

Если к проводнику прикладывать значительные усилия, то он деформируется и несколько изменяет свои геометрические размеры и структуру. При этом в соответствии с (15.4) несколько изменяется его сопротивление. На этом принципе основаны электрические тензометры, позволяющие измерять значительные и быстро меняющиеся давления.

§16. Закон Ома для замкнутой цепи

При наличии в проводнике электрических полей, создаваемых электрическими зарядами, постоянный ток невозможен. Действительно, соединим, например, проводником два тела, несущих заряды противоположного знака и —Ч- В проводнике тогда возникнет электрическое поле и потечет ток. В процессе прохождения тока оба тела будут разряжаться, разность потенциалов между ними будет падать и ток уменьшится до нуля. Таким образом, электрическое поле может создать в проводнике лишь кратковременный импульс тока.

Поскольку ток в проводнике нейтрализует помещенные на его концах заряды, то для поддержания постоянных разности потенциалов и тока необходимо все время прикладывать так называемые сторонние силы неэлектрической природы, непрерывно разделяющие электрические заряды и поддерживающие постоянство имеющихся полей.

Природа таких сторонних сил может быть различна. В электро- форной машине происходит непрерывное разделение положительных и отрицательных зарядов за счет механической работы. В гальваническом элементе происходит разделение зарядов за счет энергии химической реакции. В фотоэлементе падающий свет вырывает из поверхности металла отрицательно заряженные частички—электроны. В генераторе на электростанции заряды разделяются действующими на них силами магнитного поля.

Во всех перечисленных и в ряде других случаев на отдельных участках цепи на электрические заряды действуют сторонние силы FCTOp, перемещающие на этих участках,, заряды против направления электрического поля Е. Обозначим через

г

ЕСГОР=^Р (16.1)

напряженность поля сторонних сил, т. е. силу, действующую на единичный положительный заряд (/ = 4-1) в проводнике. При на-

(16.2)(16.2)линии сторонних полей закон Ома в дифференциальной форме (15.9) примет более общий виц; .

(16.2)

(16.2)

j~Y (Е + Естор).

Перейдем от дифференциальных соотношений к интегральным. Рассмотрим замкнутую цепь, на участке /—2 которой включен сторонний источник тока, например гальванический элемент, как это показано на рис. 2.7. Выделим мысленно малый элемент тока длиной dl так, чтобы на этом участке можно было считать площадь

Рис. 2.7Рис. 2.7поперечного сечения проводника S постоянной, а поля и плотность тока—однородными и направленными перпендикулярно поперечному сечению проводника. Тогда (16.2) перепишется в виде

Рис. 2.7

Рис. 2.7

/=Т (5 + £Стор), или

Т = ^(-^ + £стор). (16.3)

на Qdl—dljy получим*):на Qdl—dljy получим*):Умножим обе части равенства (16.3)

на Qdl—dljy получим*):

на Qdl—dljy получим*):

/^=-d<p + £CIOPd/,

и проинтегрируем по участку проводника от 1 до 2:

(16.4)(16.4)аа

(16.4)

(16.4)

1 j V+j^m dL11

Величина Qdl)S—dR нечно малого участкаВеличина Qdl)S—dR нечно малого участкапредставляет собой сопротивление беско- проводника, а

Величина Qdl)S—dR нечно малого участка

Величина Qdl)S—dR нечно малого участка

а

— полное сопротивление всего участка цепи. Разность ф,—ф2 = Ц ecfb падение потенциала "иа данном участке. Наконец,

й

(16.5)(16.5)( Е dl= 6

(16.5)

(16.5)

J сюр *

1

носит название электродвижущей силы (э. д. с.) источника

тока, включенного на этом участке; этот интеграл численно равен работе, совершаемой сторонними силами при переносе ими по цепи

единицы положительного заряда.

Таким образом, (16.4) выражает собой закон Ома в ин т е- гральной формегдля участка цепи, содержащего э. д. с.:

^,2=^,2 + ^(16-6)

Если на данном участке источник тока отсутствует (£ = 0), то (16.6), естественно, переходит в обычный закон Ома (15.3).

Перемещая сечение 2 Нее дальше вдоль проводника, мы, наконец, достигнем такого положения, когда 2 совпадает с /. В этом

случае ф2 = ф1 и Ut 2 — ф,—ф2 = 0, т. е. полное падение потенциала в замкнутой цепи равно нулю. При движении вдоль направления тока вне источника тока 5стор=0 и потенциал непрерывно

падает, а внутри источника ток течет против направления электрического поля Е и потенциал возрастает до своего исходного

значения, как это показано на рис. 2.8.

Для такой замкнутой цепи закон Ома (16.6)

примет вид 1— ■

(16-7)

где /?полн есть полное сопротивление всей цепи, а э. д. с.

S=^£CIopdZ (16.8)

численно равна работе переноса единичного положительного заряда через всю цепь.

Практически могут наблюдаться случаи,

когда сторонние силы сосредоточены на сравнительно узких участках цепи А/, например в очень узком слое у электродов гальванического элемента. На таком малом участке AZ среднее значение сторонней силы £'стор очень велико, так что произведение £„ор AZ имеет конечное значение и создает почти вертикальный «скачок» потенциала, как это изображено на рис. 2.8.

Рассмотрим пример источника тока с э. д. с. 8 и внутренним сопротивлением г, замкнутого на внешнюю цепь (потребителя)

66Рис. 2.9.Рис. 2.9.с сопротивлением R. В цепь включены электроизмерительные приборы: амперметр Л, измеряющий ток /, и вольтметр V, измеряющий напряжение U у потребителя. В качестве последнего используем реостат R переменного сопротивления (рис. 2.9). Полное сопротивление всей цепи равно сумме сопротивления источника и сопротивления потребителя:

6

6

Рис. 2.9.

Рис. 2.9.

Яполн='+/г,(16.9)

и закон Ома для всей цепи (16.7) примет вид

/(/? + /■)=§.(16.10)

Z=JLZ=JLПоэтому ток зависит от сопротивления внешней цепи R по закону

Z=JL

Z=JL

(16.11)

(16.12) дает зависимость напряжения от сопротивления(16.12) дает зависимость напряжения от сопротивления(16.12)(16.12)Поскольку на участке внешней цепи э. д. с. отсутствует, то закон Ома для

(16.12) дает зависимость напряжения от сопротивления

(16.12) дает зависимость напряжения от сопротивления

(16.12)

(16.12)

Формула

нагрузки R.

В пределе, когда R—>0, источник тока замкнут накоротко.

В этом случае ток максимален:

(16.11а)

а напряжение во внешней цепи равно нулю:

17=0.17=0.(16.12а)

17=0.

17=0.

В противоположном предельном случае, R—>оо, цепь разомкнута и ток отсутствует:

/=JL=O,(16.116)

(16.126)(16.126)а напряжение максимально:

(16.126)

(16.126)

ОО

и равно э. д. с. источника.

Из (16.126) вытекает, что электродвижущая сила источника численно равна напряжению на его зажимах при разомкнутой внешней цепи.

§ 17. Разветвленные ценя. Правила Кирхгофа

В разветвленных электрических цепях вычисление токов, идущих по отдельным ветвям, представляет известные трудности. Для упрощения этих вычислений удобно воспользоваться двумя правилами Кирхгофа.

Для вывода правил Кирхгофа рассмотрим изображенную на рис. 2.10 произвольную разветвленную цепь, состоящую из ряда соединенных друг с другом проводников с определенными сопро- ^тивлениями и ряда источников

Дес=—Г-Аэ- д- с-

Рис. 2.10.Рис. 2.10.'Назовем уз л а м и все точки,

Рис. 2.10.

Рис. 2.10.

узлами цепи,узлами цепи,в которых сходится не менее трех проводников нашей цепи, и обозначим их через А, в,С, D. Обратим внимание на то, что согласно приведенному определению точки /, П, III ие являются узлами. На всем участке AIB между узлами А и S, состоящем из последовательно соединенных проводников и источника э. д. с., идет один и тот же ток. Перенумеруем все участки нашей цепи, расположенные между цифрами 1, 2, . .., 7. Суммарные сопротивления проводников и источников тока на каждом участке обозначим соответственно через Rv Rv ..., Rr Величины электродвижущих сил, включенных на некоторых участках цепи, обозначим через 8Р &и, $ш.

узлами цепи,

узлами цепи,

При замыкании цепи через каждый участок пойдет определенный постоянный ток. Перенумеруем эти токи I I ..., Iv как и сопротивления соответствующих участков. Задача состоит в том, чтобы рассчитать величину и направление каждого из этих токов по известным сопротивлениям участков и э. д. с. источников тока.

Подойдем к решению поставленной задачи алгебраически и охарактеризуем направления идущих через участки цепи токов их знаками. Поскольку до окончательного решения задачи эти знаки заранее не известны, то отметим на рис. 2.10 направления всех токов произвольно. Если при этом направление тока указано”йф^ вильно, то мы получим в ответе для него положительную величину. Если же ответ окажется отрицательным, то, значит, ток течет в направлении, обратном предположенному.

Договорившись об обозначениях н направлениях токов, приступим к выводу первого правила Кирхгофа. Рассмотрим какой-либо

-А + 7, + 7, + 7,^0.-А + 7, + 7, + 7,^0.(17.1)(17.1)£/л=0.(17.2)£/л=0.(17.2)-72-/.-/5 + /.=о-72-/.-/5 + /.=о(17.3)(17.3)

-А + 7, + 7, + 7,^0.

-А + 7, + 7, + 7,^0.

(17.1)

(17.1)

£/л=0.(17.2)

£/л=0.(17.2)

-72-/.-/5 + /.=о

-72-/.-/5 + /.=о

(17.3)

(17.3)

из узлов цепи, например узел Л, изображенный отдельно на рис. 2.11. Из чертежа видно, что токи 7„ 7, и /4 направлены к узлу и за время dt приносят в этот узел суммарный заряд (7t + 7, -V^dt. Ток /, направлен от узла и уносит за то же время заряд Ixdt. Полное увеличение заряда в узле А за произвольный промежуток времени dt равно

dQA=-7, dt + (7, + /, + 7J dt =V-k + 7, + 7, + 7J dt.

В цепи постоянного тока потенциалы всех точек цепи, а значит и узлов, должны оставаться неизменными. Следовательно, в ‘этих узлах не могут накапливаться электрические заряды ни положитель

ного, ни отрицательного знака. В частности, для узла А величина dQA должна равняться нулю для любого промежутка времени dt, т. е.

Аналогичные уравнения можем выписать для всех узлов цепи. Таким образом, мы получаем систему уравнений, выражающих первое пр а в и л о Кирхгофа:

алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

При этом надо соблюдать следующее правило знаков: токи, приходящие к узлу, считать положительными, а уходящие — отрицательными. ’“ 1

Выпишем соответствующие уравнения для узлов 8 и С _

и

(17.4)(17.4)A + Zi-Z^O.

(17.4)

(17.4)

Сопоставляя их с (17.1), видим, что в уравнение (17.3) входят величины токов /, и /„ не входившие в (17.1), а в уравнении (17.4) участвует величина тока /„ не входившая в оба предыдущих уравнения (17.1) и (17.3). Благодаря такой структуре эти три уравнения являются независимыми друг от друга.

Если мы теперь захотим использовать аналогичное уравнение для узла D*.

_/,_/,+ /,=0,(17.5)

то обнаружим, что в этом уравнении нет ни одной новой величины тока, которая бы уже не входила в какое-либо из предыдущих

трех уравнений, и что (17.5) не является новым независимым уравнением. Легко убедиться, что, складывая почленно все четыре уравнения (17.1), (17.3), (17.4) и (17.5), мы получим просто тождество: 0 = 0.

Число неизвестных токов равно числу участков цепи. Количе- ство узлов цепи меньше числа участков. Число же независимых уравнений, составленных по первому правилу Кирхгофа, меньше числа узлов, а следовательно, и числа неизвестных токов. Поэтому для определения всех неизвестных величин необходимо составить ряд дополнительных уравнений. Для этого служит второе правило Кирхгофа.

Рассмотрим произвольно выбранный замкнутый контур, напри- мер, ЛBIA. Обозначим потенциалы узлов А и В (см? рис. 416) соответственно через <рл и <рв и условимся о положительном на- правлении обхода, например, по часовой стрелке. В ветви ВА ток 1. идет по направлению обхода и должен считаться положительным. Э. д. с. 8ц обусловливает ток в направлении обхода по контуру и также должна считаться положительной. Падение потенциала UBA на участке ВА равно разности потенциалов конечной и начальной точек. Полное сопротивление всего участка (включая и внутреннее сопротивление источника тока) обозначено через Rv Согласно (16.6) закон Ома для этого участка цепи, содержащего э. д. с., имеет вид

7,#,=8п + <Рв—фд.(17-6)

Во второй ветви AIB ток /2 идет против направления обхода и э. д. с. 8, действует в том же направлении. Поэтому обе эти величины должны учитываться с отрицательным знаком. Закон Ома для участка цепи АВ имеет вид

-Л^^-^ + фл-Фв-(17.7)

Складывая почленно равенства (17.6) и (17.7), мы исключим неизвестные потенциалы узлов и получим

—iJ\VIlR1=— 8, + Sjp(17.8)

Это уравнение выражает второе правило Кирхгофа для замкнутого контура ABIA-.

алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления в ветвях замкнутого контура равна алгебраической сумме э. д, с., встречающихся в этом контуре:

^1^=^.(17.9)

6i

При этом также следует строго придерживаться правила знаков: токи, идущие вдоль выбранного нами направления обхода (в дан-

§ 17)

ном случае по часовой стрелке), считаются положительными, а идущие против направления "обхода ^отрицательными. Соответственно этому э. д. с,, которые действуют по выбранному направ- лению обхода в контуре, считаются положительными, а против направленияобхода—-отрицательными Уравнение (17.9) является обобщением закона Ома для замкнутоГцепи (16.7) и показывает, что при обходе вокруг любого замкнутого контура мы возвращаемся в ту же самую точку с тем же значением потенциала.

Пользуясь вторым правилом Кирхгофа, следует составить аналогичные уравнения для всех независимых замкнутых контуров, входящих в разветвленную цепь. Говоря о независимых контурах, мы имеем ввиду следующее: составим уравнение второго правила Кирхгофа для контура ABDA;

-kRt-iJWJk—Kv (17.10)

Этот контур содержит, по сравнению с предыдущим контуром ABIA, два новых тока /4 и /„, и уравнение (17.10) является независимым от (17.8).

Если, однако, мы теперь составим уравнение второго правила Кирхгофа для контура A1BDA;

-I^-I^+I^-^, (17.11)

то увидим, что этот контур не включает ни одного нового элемента (тока или э. д. с.), который бы не входил в предыдущие два контура. Поэтому уравнение (17.11) не является новым, независимым от двух предыдущих — (17.8) и (17.10). Нетрудно убедиться, что оно автоматически получается, если почленно сложить эти два уравнения: (17.8)-|-(17.10)=(17.11).

Поэтому при составлении уравнений для второго правила Кирхгофа (так же, как и для первого) следует внимательно следить, чтобы каждый новый рассматриваемый контур содержал хотя бы один элемент, который не содержится в предыдущих контурах. Если это условие не будет соблюдено, ошибки не произойдет, но вычисления усложнятся, так как мы получим лишние уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленныхГ

Совокупность независимых уравнений, составленных по первому правилу Кирхгофа для узлов и по второму — для контуров, оказывается достаточной, чтобы найти все (или интересующие нас) токи в разветвленной цепи. Задача сводится, таким образом, к решению системы линейных уравнений, общее число которых равно числу неизвестных токов.

Применим правила Кирхгофа к цепи, состоящей из сопротивлений Rv RX1 ..., Rn, включенных параллельно друг другу (рис. 2.12) и замкнутых на общий источник тока с э. д. с. $ и внутренним сопротивлением г.

Первое правило Кирхгофа в применении к узлу Л дает

к=п

/_; /,_...-/„=0, или /=5 4.(17.12)

6=1

Уравнение для узла ВУравнение для узла Всоставлять нет необходимости, так как к нему примыкают те же элементы контура.

Уравнение для узла В

Уравнение для узла В

Для замкнутых контуров, проходящих через каждое отдельное сопротивление и э. д. с., согласно второму правилу Кирхгофа имеем

(17.13)(17.13)/,/?,=§—1г, ' JtRt=&—Jr,

(17.13)

(17.13)

l„Rn=6-lr.

Определяя отсюда токи Iv /,, ..., 1п и подставляя их в (17.12), получим

6=1 *

Решая полученное уравнение относительно тока /, находим

У=Ц— = _L_.(17Л4)

ТД: М ПОЛИ

Как видно из (17.14), полное сопротивление всей цепи /?полн является суммой сопротивления источника г и суммарного сопротивления включенной последовательно с ним системы из соединенных параллельно друг другу проводников R. Последнее определяется из соотношения

R^V. ”™^—(17.13)

показывающего, что при параллельном соединении проводников величина, обратная сопротивлению всей системы (т. е. ее проводимость), равна сумме проводимостей всех проводников.

Полное же сопротивление всей цепи находится по правилу сложения сопротивлений для последовательного соединения:

^полв—f 4~ R.(17.16)

В качестве второго примера применения правил Кирхгофа рассмотрим схему так называемого измерительного мостика Уитстона. Четыре сопротивления Rv Ry Rt и R4 образуют его плечи. В одну диагональ АС моста включена батарея с э. д. с. S и сопротивлением Re. В другую диагональ BD включен гальванометр с сопротивлением Rr (рис. 2.13).

Уравнения первого правила Кирхгофа для узлов А, в и С имеют вид

/б-/.-/,=0, /,-/,—4 =0, 4 + 4-/б=о.

(17.17)(17.17)Легко видеть, что уравнение для узла D ничего нового не дает.

(17.17)

(17.17)

Уравнения второго правила Кирхгофа

ров ABCS A, ABDA и BCDB имеют вид

к R» + lxRt-V 1^ = ^ ' 1XRX + 4 Rr —^Rf—Q, Rr =0.

(17.18)(17.18)Из шести уравнений (17.17) и (17.18) можно определить шесть неизвестных. Если заданы все сопротивления и э. д. с., то такими неизвестными будут токи, текущие в цепи. Если какое-либо из сопротивлений, например Rv неизвестно, то на опыте измеряют ток /г , идущий через гальванометр, и из уравнений (17.17) и (17.18) вычисляют остальные пять неизвестных токов и величину Rt. Такая схема носит название и е- равновесного мостика Уитстона.

(17.18)

(17.18)

для независимых контудля независимых конту88Рис. 2.13.Рис. 2.13.Изменяя известные сопротивления Rv биться такого положения, чтобы ток через

для независимых конту

для независимых конту

8

8

Рис. 2.13.

Рис. 2.13.

Rt или Rv можно до- гальванометр обратилсяRt или Rv можно до- гальванометр обратилсяв нуль (/р = 0). Тогда из уравнений (17.17) находим

Rt или Rv можно до- гальванометр обратился

Rt или Rv можно до- гальванометр обратился

4 Л и 4 4,

а из уравнений (17.18) получим

4^=4^. и /,7?, = /^

(17.19)(17.19)Отсюда легко вывести, что =ИЛИ

(17.19)

(17.19)

Равенство (17.19) показывает, что для определения искомого со-Равенство (17.19) показывает, что для определения искомого со-противления Rt в случае равновесного моста достаточно знать лишь величину сопротивления Rt и отношение сопротивлений R,[RV Э. д. с. батареи, питающей мост, и сопротивления батареи и гальванометра сущест-противления Rt в случае равновесного моста достаточно знать лишь величину сопротивления Rt и отношение сопротивлений R,[RV Э. д. с. батареи, питающей мост, и сопротивления батареи и гальванометра сущест-веиной роли для определения сопротивления Rx не играют.В часто применяющемся на ке реохордном мостикевеиной роли для определения сопротивления Rx не играют.В часто применяющемся на ке реохордном мостикеискомогоискомогопракти-Уитстонапракти-Уитстона(рис. 2.14) сопротивления Rt и Rt представляют собой одну калиброванную проволоку (реохорд). Контакт гальванометра с реохордом (точка D) делается подвижным, и в момент равновесия моста измеряется положение движка на шкале, расположенной(рис. 2.14) сопротивления Rt и Rt представляют собой одну калиброванную проволоку (реохорд). Контакт гальванометра с реохордом (точка D) делается подвижным, и в момент равновесия моста измеряется положение движка на шкале, расположеннойпараллельно реохорду. В этом случае отношение сопротивлений R,[R4 равно отношению длин обоих участков реохорда ипараллельно реохорду. В этом случае отношение сопротивлений R,[R4 равно отношению длин обоих участков реохорда и^1=^^1=^хI—х"хI—х"(17.20)(17.20)В измерительной технике использу ется и неравновесный мостик Уитстона. В конце § 15 упоминался электрический тензометр. В качестве таких тензометров применяются тонкие константановые проволочки с сопротивлением 50— 200 ом. наклеенные на изоВ измерительной технике использу ется и неравновесный мостик Уитстона. В конце § 15 упоминался электрический тензометр. В качестве таких тензометров применяются тонкие константановые проволочки с сопротивлением 50— 200 ом. наклеенные на изолирующую пленку (рис. 2.15). Для компенсации внешних температурных воздействий в плечи моста (рис. 2.13) включаются два одинаковых тензометра с равными сопротивлениями:Rt=Rt=r. (17.21)Один из тензометров наклеивается на деформирующуюся деталь, а второй остается свободным. Добиваются равенства тока в гальванометре нулю в отсутствие деформации. Из условия (17 19) для равновесного моста и (17.21) находим, чтоRS=R4=R. (17.22)лирующую пленку (рис. 2.15). Для компенсации внешних температурных воздействий в плечи моста (рис. 2.13) включаются два одинаковых тензометра с равными сопротивлениями:Rt=Rt=r. (17.21)Один из тензометров наклеивается на деформирующуюся деталь, а второй остается свободным. Добиваются равенства тока в гальванометре нулю в отсутствие деформации. Из условия (17 19) для равновесного моста и (17.21) находим, чтоRS=R4=R. (17.22)Сварка или спайкаСварка или спайкаРис. 2.15.Рис. 2.15.При деформации детали и приклеенного к ней тензометра сопротивление последнего изменяется на некоторую величину Дг. ТогдаПри деформации детали и приклеенного к ней тензометра сопротивление последнего изменяется на некоторую величину Дг. ТогдаRx = t?t\t и Rx = r.Rx = t?t\t и Rx = r.(17.23)(17.23)

Равенство (17.19) показывает, что для определения искомого со-

Равенство (17.19) показывает, что для определения искомого со-

противления Rt в случае равновесного моста достаточно знать лишь величину сопротивления Rt и отношение сопротивлений R,[RV Э. д. с. батареи, питающей мост, и сопротивления батареи и гальванометра сущест-

противления Rt в случае равновесного моста достаточно знать лишь величину сопротивления Rt и отношение сопротивлений R,[RV Э. д. с. батареи, питающей мост, и сопротивления батареи и гальванометра сущест-

веиной роли для определения сопротивления Rx не играют.

В часто применяющемся на ке реохордном мостике

веиной роли для определения сопротивления Rx не играют.

В часто применяющемся на ке реохордном мостике

искомого

искомого

практи-

Уитстона

практи-

Уитстона

(рис. 2.14) сопротивления Rt и Rt представляют собой одну калиброванную проволоку (реохорд). Контакт гальванометра с реохордом (точка D) делается подвижным, и в момент равновесия моста измеряется положение движка на шкале, расположенной

(рис. 2.14) сопротивления Rt и Rt представляют собой одну калиброванную проволоку (реохорд). Контакт гальванометра с реохордом (точка D) делается подвижным, и в момент равновесия моста измеряется положение движка на шкале, расположенной

параллельно реохорду. В этом случае отношение сопротивлений R,[R4 равно отношению длин обоих участков реохорда и

параллельно реохорду. В этом случае отношение сопротивлений R,[R4 равно отношению длин обоих участков реохорда и

^1=^

^1=^

х

I—х"

х

I—х"

(17.20)

(17.20)

В измерительной технике использу ется и неравновесный мостик Уитстона. В конце § 15 упоминался электрический тензометр. В качестве таких тензометров применяются тонкие константановые проволочки с сопротивлением 50— 200 ом. наклеенные на изо

В измерительной технике использу ется и неравновесный мостик Уитстона. В конце § 15 упоминался электрический тензометр. В качестве таких тензометров применяются тонкие константановые проволочки с сопротивлением 50— 200 ом. наклеенные на изо

лирующую пленку (рис. 2.15). Для компенсации внешних температурных воздействий в плечи моста (рис. 2.13) включаются два одинаковых тензометра с равными сопротивлениями:

Rt=Rt=r. (17.21)

Один из тензометров наклеивается на деформирующуюся деталь, а второй остается свободным. Добиваются равенства тока в гальванометре нулю в отсутствие деформации. Из условия (17 19) для равновесного моста и (17.21) находим, что

RS=R4=R. (17.22)

лирующую пленку (рис. 2.15). Для компенсации внешних температурных воздействий в плечи моста (рис. 2.13) включаются два одинаковых тензометра с равными сопротивлениями:

Rt=Rt=r. (17.21)

Один из тензометров наклеивается на деформирующуюся деталь, а второй остается свободным. Добиваются равенства тока в гальванометре нулю в отсутствие деформации. Из условия (17 19) для равновесного моста и (17.21) находим, что

RS=R4=R. (17.22)

Сварка или спайка

Сварка или спайка

Рис. 2.15.

Рис. 2.15.

При деформации детали и приклеенного к ней тензометра сопротивление последнего изменяется на некоторую величину Дг. Тогда

При деформации детали и приклеенного к ней тензометра сопротивление последнего изменяется на некоторую величину Дг. Тогда

Rx = t?t\t и Rx = r.

Rx = t?t\t и Rx = r.

(17.23)

(17.23)

Подставляя значения сопротивлений (17.22) и (17.23) в уравнения (17.17) и (17.18) и решая эту систему с точностью до малых второго порядка относительно Дг, после несложных, но громоздких преобразований находим

^R^R(г 4- Я) (/?б г 4- Ry R -f- 2r R*)(г 4- Я) (/?б г 4- Ry R -f- 2r R*)kr.kr.

^R

^R

(г 4- Я) (/?б г 4- Ry R -f- 2r R*)

(г 4- Я) (/?б г 4- Ry R -f- 2r R*)

kr.

kr.

Измеряя ток /г в диагонали неравновесного моста, можно найти абсолютное (Дг) и относительное (Дг/r) изменение сопротивления тензометра и отградуировать 7Г непосредственно в единицах деформации детали или приложенного к ней напряжения.

Для измерения с помощью тензометров быстропеременных деформаций и напряжений гальванометр в диагонали моста заменяют специальным записывающим электрическим прибором — шлейфовым осциллографом. Ввиду малости возникающих в диагонали напряжений Ur = IrRc они предварительно усиливаются.

§ 18. Работа, мощность и тепловое действие тока

Рис. 2.16.Рис. 2.16.Рассмотрим участок цепи, не содержащий э. д. с. (рис. 2.16, а). На этом участке приложена разность потенциалов Ц1Ж и идет ток /. За некоторый промежуток времени / через участок пройдет заряд q—It. При этом силы электрического поля совершат работу по переносу заряда q от точки с более высоким к точке с более низким потенциалом:

Рис. 2.16.

Рис. 2.16.

^(ф.-фЛ-Ц.А (18-1)

В соответствии с законом Ома (15.3) эту работу можно выразить через сопротивление участка /?:

A=JUlilt=I1Rt = ^-t. (18.2)

Если на участке цепи находится источник тока (рис. 2.16, б), то при переносе

заряда q работу совершают как силы электрического поля, так и сторонние силы:

Л= (£/„„ + §)/#.(18.3)

Используя закон Ома (16.6) для такого участка, можно привести (18.3) к виду, аналогичному (18.2):

Д = «7„8 + £)Я=/Ч,Л(18.4)

В случае замкнутой цепи (2.16, в) из двух слагаемых работы

A=UuJt-\-&It

первое обращается в нуль, так как полное падение потенциала Uli4 во всей цепи равно нулю. Поэтому

A = ^t = PRnMHt,(18.5)

где /?полн выражается формулой (16.7).

Интересно отметить, что полная работа электрических сил UXillt в замкнутой цепи равна нулю, так как в одной части цепи ток течет по полю, а в другой части—против поля. Внутри источника тока работают сторонние силы; они разделяют заряды, создают электрическое поле и запасают энергию. Эта энергия расходуется во внешней цепи на поддержание в ней электрического тока. Поэтому в конечном счете в замкнутой цепи совершает работу (18.5) только приложенная э. д. с.

Работа, совершаемая за единицу времени:

4 = ^08-6)

есть выделяемая мощность. Для участка цепи

^=/Ц,8 + /$.(18.7)

Для всей цепи

Р„олв=/§.(18.8)

Наконец, мощность, выделяемая во внешней цепи,

PBB=IU=PR=^.(18.9)

В системе СГС работа измеряется в эргах, а мощность — в эрг [сек. В системе СИ ток измеряется в амперах, напряжение — в вольтах, работа

[А]=1ША=t

=3-10’СГС ед. тока-Эду СГС ед. потенциала-1 сек =

—10’ эрг= \дж.

Соответственно мощность в этой системе измеряется в единицах доклеек=вт.

Для поддержания в цепи постоянного тока необходимо совершать работу А; энергия электрического тока в проводнике непрерывно расходуется и переходит в другие формы энергии. Действительно, опыт показывает, что проводник, по которому течет ток, нагревается и в нем выделяется некоторое количество тепла Q. Если при этом не возникает никаких других форм энергии (например, нет химических превращений, совершаемых током), то по закону сохранения энергии

A=Q.(18.10)

Следовательно, во внешней цепи выделяется в форме тепловой энергии

IUt = rRt=^ t дж.'

Поскольку 1 дж=0,24 кал, то

илиили жеилиили жеQ=0,24/‘/?/ кал.(18.11а)Q—O^MUt кал,(18.116)Q=0,24-5-1 кал.(18.11b)Q=0,24/‘/?/ кал.(18.11а)Q—O^MUt кал,(18.116)Q=0,24-5-1 кал.(18.11b)

или

или же

или

или же

Q=0,24/‘/?/ кал.

(18.11а)

Q—O^MUt кал,

(18.116)

Q=0,24-5-1 кал.

(18.11b)

Q=0,24/‘/?/ кал.

(18.11а)

Q—O^MUt кал,

(18.116)

Q=0,24-5-1 кал.

(18.11b)

Эти соотношения выражают закон Джоул я—Л е ица. На рис. 2.17 изображена установка Ленца (1844 г.). Перевернутый стакан закрыт пробкой и заполнен спиртом. Через пробку введены толстые

проводники, подводящие ток к находящейся внутри стакана спирали. Сверху через специальное отверстие вставлен термометр Т, измеряющий температуру спирта.

При пропускании через спираль в течение некоторого времени определенного тока / спирт нагревается от начальной температуры Т, до температуры Т,. Зная теплоемкость всей массы спирта С, можно определить количество тепла, приобретенное спиртом:

Q=C(T8 —Т.). (18.12)

Для компенсации теплообмена спир-Рис. 2.17.

та с окружающей средой Ленц при

менил исключительно остроумный и простой метод. Он наливал в свой стакан-калориметр холодный спирт с температурой Г,, на несколько градусов ниже температуры окружающей среды Те. Пропуская ток и нагревая спирт, Ленц прекращал опыт в тот момент, когда температура спирта Т, превышала температуру окружающей среды ровно на столько градусов, на сколько она первоначально была ниже, т. е. на

Т —Т =Т —Т

1 г о 11Г

Таким образом, за первую половину опыта, пока спирт был холоднее окружающей среды, он получал от последней некоторое дополнительное количество тепла Q'. Но зато во вторую половину опыта, когда спирт становился теплее окружающей среды, он отдавал последней обратно ровно такое же количество тепла Q'. Следовательно, измеренное Ленцем тепло Q в точности было равно количеству тепла Q, выделенному электрическим током.

В результате исключительно точных для своего времени опытов Ленц доказал, что выделяющееся тепло Q прямо пропорционально квадрату тока /.

Если соединить последовательно два проводника с различными сопротивлениями, то по этим проводникам будет идти одинаковый ток /. Тогда согласно (18.11а) в проводнике с ббльшим сопротивлением будет выделяться большее количество тепла.

Это следует учитывать при включении электронагревательных приборов (электроплиток, утюгов, чайников и т. д.). Сопротивление электропроводки Ro должно быть значительно меньше, чем сопротивление прибора R. При соблюдении этого условия выделение тепла в проводах будет очень мало, следовательно, опасность их воспламенения будет исключена. Кроме того, напряжение сети U6 будет практически целиком приложено к прибору, так как падение напряжения на электропроводке IR^ пренебрежимо мало. Следовательно, для расчета теплоотдачи электроприбора следует пользоваться формулой (18.11 в):

Q= -Лдж.

В рассмотренном случае Q~\^R, так что мощность электроплитки увеличивается при уменьшении R, т. е. при укорочении ее спирали. Отметим еще раз, что это справедливо до тех пор, пока R остается большой величиной по сравнению с сопротивлением электропроводки Ro.

Иначе обстоит дело, если в цепь включено очень малое по сравнению с R^ и R сопротивление А/?. Падение напряжения на таком сопротивлении ничтожно, и ток I в цепи определяется лишь сопротивлением проводки Re и приборов большого сопротивления R: J=Uoj(R'\- R^^U^fR. Следовательно, для расчета количества тепла, выделяемого иа А/?, следует пользоваться формулой (18.11а):

bQ=llbR дж.

В этом случае тепловая мощность AQ// определяется только током в цепи 1.

Выполняя такое сопротивление из тонкой проволочки длины А/ и поперечного сечения S, мы видим, что

или

т. е. количество тепла, выделяющееся на единицу длины проволочки, т#м больше, чем меньше ее сечение. При некотором крити-

ческом токе /кр тепла в проволочке выделится так много, что она расплавится и разомкнет последующую цепь. На этом принципе основано действие плавких предохранителей, обычно называемых «пробками», которые ограничивают ток в цепи. Если сечение проволочки предохранителя будет взято слишком большим («жучок»), то предохранитель будет пропускать, не расплавляясь, слишком большие токи, опасные для всей проводки.

Если сопротивление R прибора неизвестно, то, определяя ток через прибор / и напряжение на его контактах U (с помощью амперметра и вольтметра), находят Q по фор-

муле (18,116).

При соединении ряда приборов необходимо /\

помнить следующее./\

При параллельном соединении приборов | пиит I на зажимах всех приборов будет одинаковое I/

напряжение U6. Следовательно, наибольшую \/

мощность будет, согласно (18.11в), отдавать х./

прибор с наименьшим сопротивле- ^

н и е м.

При последовательном соединении при-

боров ток 7, текущий через них, будет одним '*

и тем же (i=Uj(R1+R1s~\-Rt-\- ■ ■.), где Rv Рис> 2-18- Rt и т. д.— сопротивления первого, второго

и т, д. приборов). Наибольшую мощность будет отдавать, согласно (18.11а), прибор с наибольшим сопротивлением.

При нагревании тел электрическим током до высокой температуры часть выделяемой им энергии уходит с отдаваемым телом излучением, например светом. Это используется в так называемых электрических лампах накаливания. На рис. 2.18 изображена первая лампа накаливания, изготовленная А. Н. Ладыгиным. В стеклянную колбу впаяны два толстых медных электрода малого сопротивления, соединенных между собой угольным стерженьком. При пропускании тока тепло выделяется главным образом в угольном стерженьке, имеющем относительно высокое сопротивление; стерженек накаливается и испускает свет. Часть угля при этом сгорает до тех пор, пока не израсходуется имеющийся в баллоне кислород воздуха. Впоследствии в лампах накаливания угольная нить была заменена вольфрамовой, допускающей более высокую температуру нагрева.

ГЛАВА V

ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ МЕТАЛЛОВ

§19. Свободные электроны в металлах

В растворах электролитов находятся свободные ионы, и прохождение электрического тока связано с одновременным переносом вещества к электродам. Какого же рода свободные заряды находятся в металлических проводниках и связаны ли эти заряды с атомами металла? Для ответа на этот вопрос и выяснения природы носителей электрического тока в металлах был поставлен целый ряд специальных опытов.

||1 -| Си | At | Си |т~Рис. 2.19.||1 -| Си | At | Си |т~Рис. 2.19.В опытах Рикке (1901 г.) цилиндры из различных металлов с тщательно пришлифованными основаниями были прижаты друг к другу и через них весьма длительное время пропускался электрический ток (рис. 2.19). По окончании опыта цилиндры были разобраны и проанализированы на взаимное проникновение металлов. При этом были обнаружены лишь следы взаимного проникновения, не превышающие результатов обычной диффузии атомов в твердых телах.

||

1 -| Си | At | Си |т~

Рис. 2.19.

||

1 -| Си | At | Си |т~

Рис. 2.19.

Таким образом, оказалось, что перенос электрического заряда в металлах не связан с переносом самого вещества металла. Носи

тели электрического тока не связаны с атомами и одинаковы во всех металлах. В металлический проводник, по которому идет постоянный ток, с одного конца входит такое же количество этих носителей тока, какое выходит с другого его конца, и заряд проводника при этом не изменяется.

Наличие в металле свободно перемещающихся зарядов должно проявляться в ряде инерционных эффектов. Если трамвай резко затормозить, то находящиеся внутри пассажиры будут двигаться по инерции вперед и скопятся у передней площадки вагона. Аналогично, если резко затормозить движущийся кусок металла, то

находящиеся в нем свободные заряды, двигаясь по инерции, будут скапливаться у переднего конца его и между концами проводника возникнет определенная разность потенциалов. Так можно определить знак этих зарядов и их относительную подвижность.

Существование подобных электроинерционных эффектов было установлено в 1913 г, Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси с помощью следующего опыта. Катушка, соединенная с телефоном, приводилась в колебательное движение вокруг своей оси (рис. 2.20). Для увеличения амплитуды частота возбуждаемых крутильных колебаний подбиралась совпадающей с собственной частотой упругого

подвеса. Благодаря инерции свободных зарядов на концах катушки возникала переменная разность потенциалов, и телефон издавал звук.

Количественные измерения относительной инертности носителей электрического тока в материалах были произведены в 1916 г. Стюартом и Толмэном. В их опыте катушка из проводника приводилась в быстрое вращательное движение вокруг своей оси (рис. 2.21). Обозначим окружную скорость вращения катушки -через т. С той же скоростью т движутся совместно с катушкой к свободные заряды в проводнике. Затем за сравнительно короткий промежуток времени катушка резко тормозится. Двигаясь по инерции и собираясь на одном конце катушки, свободные носители тока создают переменную разность потенциалов U. Катушка замкнута на баллистический гальванометр, измеряющий импульсы тока, и под действием возникшей э. д. с. в цепи начинает идти переменный ток I. По закону Ома

U—IR, где R—полное сопротивление цепи. Возникшая при инерционном разделении зарядов в катушке разность потенциалов создает в проводнике электрическое поле E=U[L (£ — полная длина провода

в катушке), которое, тормозя движущиеся заряды, уменьшает их количество движения тт (т—масса носителя тока) до нуля. Обозначим заряд носителя тока через е. Мгновенная сила, действующая на этот заряд, равна f—еЕ. Импульс этой силы f dt за бесконечно малый промежуток времени равен изменению количества движения заряда mdv.

Отсюда

т dv~f dt = eE dt = ^- dt — ^-i dt = e-~dq,

где dq—idt— элементарное количество электричества, протекшее через гальванометр за время dt (элементарный импульс тока). Интегрируя полученное равенство по времени торможения катушки, получим

Оq

С л Re С л

1 tn dv= —1 dq, оо

где q— полный заряд, протекший через баллистический гальванометр и измеряемый по отбросу последнего. Выполняя указанное интегрирование, получаем

Таким образом из опытов Стюарта и Толмэна был определен удельный заряд е]т носителей электрического тока в металлах. Первые измерения дали

£ _4 8 • 10*7 с£5.^-_1а-Ряда = — 1,6.10'* к!кг. (19.2) т ’ г 1 I \ г

Незадолго до этого Милликен определил элементарный электрический заряд, который оказался равным е=±4,8* 10~*° СГС ед. заряда= 1,6-10~и к. Отсюда можно было оценить, что масса носителей тока в металлах

тяа10-!7г=10-*в«г (19.3)

и примерно в 2000 раз меньше массы самого легкого атома—атома водорода.

Полученные значения удельного заряда и массы практически совпали с соответствующими значениями, измеренными ранее для электронов, движущихся в вакууме.

Таким образом, было окончательно установлено, что носителями электрического тока в металлах являются свободные электроны.

§ 20. Закон Ома с точки зрения электронной теории металлов

Целый ряд фактов и косвенных данных привел физиков к выводу о наличии в металлах свободных электронов еще к началу XX века, задолго до того, как это было доказано прямыми опытами Стюарта и Толмэна. Перенеся на металлы некоторые представления и выводы кинетической теории газов, Лоренц и Друде разработали стройную теорию металлов, объяснявшую и связывавшую целый ряд свойств последних.

Вследствие сильного взаимодействия между атомами металла при соединении последних в кристаллическое твердое тело, самые внешние их электроны перестают быть свя- t—,

занными с отдельными атомами и легко©©фф

переходят от одного атома к соседнему (©—*"1

и далее через всю кристаллическую решетку./©©©®|

В узлах кристаллической решетки распо- \Q1

лагаются положительные ионы металла,\©ф)©©)

а между ними хаотически движутся свобод- /©^ © ^/

ные электроны, образуя своеобразный элект-\©фгфф)

ронный газ (рис. 2.22).<— I

Считая, что каждый атом одновалент- рис. 2.22. ного металла отдает по одному электрону, а двухвалентного — по два, можно определить концентрацию свободных электронов в металлах. По порядку величины она оказывается равной 10!’-н10г“ электрон^8.

При столь большой концентрации электронов их взаимодействие между собой, как и с ионами кристаллической решетки металла, весьма велико. Однако, поскольку средняя сила, действующая на электрон со стороны всех остальных электронов и ионов, равна нулю, можно в первом приближении считать каждый электрон свободным, а его взаимодействие с ионами решетки и прочими электронами рассматривать как ряд последовательных соударений. Системе электронов в этом приближении приписывается лишь кинетическая энергия.

Вспомним теперь, что именно этим отличается описанный в томе I (часть II) идеальный газ. Поэтому Лоренц и Друде попытались построить теорию металлов, исходя из представления о том, что «электронный газ» в металлах есть идеальный газ, подчиняющийся законам статистики Максвелла—Больцмана. Мы остановимся весьма коротко иа результатах Лоренца и Друде, ибо, как это будет показано ниже, последнее предположение оказалось совершенно неправильным.

В результате взаимодействия электронов и ионов металлической решетки, обусловленного их столкновениями, обе системы частиц должны приобрести одну и ту же температуру Т. Следовательно,

средняя энергия хаотического движения электронов должна равняться

— = -АГ22"— = -АГ22"(20.1)

— = -АГ22"

— = -АГ22"

Отсюда средняя квадратичная скорость электронов равна

(20.2)

Подставляя значения k= 1,38-10"“ дж/град и »=9,1 • 10_" кг, получаем, что дкв при комнатной температуре, т. е. при Т^300°К, равна цкв=110 км/сек. Поскольку электрон пролетает расстояние, равное длине свободного пробега /, с некоторой средней скоростью и (близкой к «кв), то время свободного пробега т равно

Г=1.(20.3)

и

Если создать внутри металла однородное электрическое поле напряженностью Е, то свободные заряды в металле приобретут дополнительную скорость v в направлении электрического поля (точнее, против поля, так как заряд электрона е<0). Суммарная скорость заряда с складывается из хаотической и и направленной v скоростей:

c=u + v.(20.4)

Хаотическая скорость направлена то по полю, то против поля, и поэтому среднее значение вектора и равно нулю. Следовательно, суммарная скорость с в среднем направлена по полю и равна

c=u + v=u + v=v.(20.5)

Рассмотрим изображенный на рис. 2.23 отрезок проводника с поперечным сечением S. Направим вектор напряженности электри

ческого поля Е вдоль проводника. Каждый из свободных зарядов е внутри проводника приобретает направленную скорость v по полю. За промежуток времени dt через площадку 5 пройдут все те заряды, которые находятся на расстоянии от площадки 5, не превышающем

величину vdt, т. е. все заряды, заключенные в объеме цилиндра Svdt. Если число свободных зарядов в единице объема обозначить через п, то заряд dq, который пройдет за это время через поперечное сечение проводника в направлении электрического поля, будет

§ 20] ЗАКОН ОМА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ МЕТАЛЛОВ 119 равен

dq—enSv dt.(20.6)

Отсюда величина тока, текущего в проводнике, равна

/=§ = еЛ^,(20.7)

а плотность тока

)=^- = еп1).(20.8)

Учитывая векторный характер скорости и плотности тока, можно переписать (20.8) в виде

j=env.(20.9)

При выводе этих формул мы считали, что свободные заряды положительны и движутся по полю. В случае свободных электронов е<0, но и т<0, т. е. направлена против поля, знак же произведения е» остается положительным, и электрический ток, как это было установлено в § 14, все равно идет в направлении электрического поля.

На основании (20.8) можно оценить порядок величины направленной скорости движения электронов. Возьмем, например, сравнительно сильный ток, плотность которого

ГГ10-^ = 10'мм*10-^ = 10'мм*км*-секкм*-сек

Г

Г

10-^ = 10'мм*

10-^ = 10'мм*

км*-сек

км*-сек

Тогда для медного проводника, концентрация электронов в котором п=8-10“ м~\

—/10’ к1м*-сек о ,, А о

у = е« = 1,6710-^.8:10^-«^8‘10^i«K = ^ ^1 сек.

Следовательно, даже при значительных токах

®<«кв,(20.10)

и наличие электрического тока не сказывается на соотношениях (20.1)—(20.3).

Заряд е, помещенный в электрическом поле Е, испытывает действие силы f=eE и приобретает ускорение ии—/1т=еЕ^т. Поэтому направленная скорость заряда у в течение времени свободного пробега не остается постоянной, а линейно возрастает со временем. Однако в конце свободного пробега электрон сталкивается с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию, и его дополнительная направленная скорость падает до нуля.

На графике рис. 2.24 изображена зависимость направленной скорости электрона о от времени t. За каждый период свободного пробега т нарастает от нуля до своего максимального значения

fMaKC = ™tfMaKC = ™t(20.11)(20.11)еЕ еЕ1— Т = —=m та

fMaKC = ™t

fMaKC = ™t

(20.11)

(20.11)

а затем сразу падает до нуля. В результате, хотя на каждом отрезке свободного пробега электрон движется ускоренно, но

в среднем за много таких отрезков он перемещается в направлении поля практически равномерно со средней скоростью

У _ ^маке + ® __ £макс __22 2mu

Подставляя (20.12) в (20.8), мы получаем

7=7^ £-(20.13)

т. е. закон Ома в дифференциальной форме (15.8).

Таким образом, электронная теория объясняет механизм электропроводности металлов, предсказывает основную закономерность явления—закон Ома-—и дает величину коэффициента пропорциональности в этом законе, т. е. электропроводности;

пе?1

4 =^20Л4>

(20.14а)(20.14а)Для меди (в системе Гаусса) 13-10» о_,

(20.14а)

(20.14а)

Y —Q ~ 1,7-Ю"’^2'10 СеК •

Подставляя в (20.14) вместо п и и оцененные выше значения, заряд е и массу электрона т, можно оценить длину свободного пробега в медном проводнике: /=а2-10~’ л, т. е. она имеет порядок нескольких десятков междуатомных расстояний.

Однако полученный результат не следует понимать как экспериментальное подтверждение правильности всех предположений Лоренца и Друде. Действительно, средняя длина свободного пробега электрона получена здесь из экспериментального значения у. а не независимым образом из теории (и сравнена с опытом). И хотя выведенная таким путем численная величина I представляется разумной, обольщаться этим результатом нельзя. Более того, как будет показано в следующем параграфе, положения теории Лоренца—Друде привели к некоторым явным противоречиям с опытом.

Тем не менее работы Лоренца и Друде сыграли большую роль в развитии правильных представлений о природе металлов.В этих работах впервые была сделана попытка выяснить механизм явлений, происходящих в металлах. Так, например, электронная теория позволяет понять механизм выделения тепла электрическим током. Электрическое поле совершает работу и ускоряет электроны в металлах. Накапливаемая ими энергия при столкновениях с ионами передается решетке и нагревает металл. Отсюда можно вывести теоретически выражение закона Джоуля—Ленца.

Приведем схематически этот вывод. Средняя кинетическая энергия электрона в начале свободного пробега равна лш*/2, а в конце пробега т(ы + -имакс)г/2. Приращение энергии за счет работы электрических сил

д- _ m (U + У„акс)8 Г^_т / —vUcV^MaKC

222 I ^“^макс +2 у 2>

так как направление хаотической скорости и с одинаковой вероятностью может совпадать с направлением тмакс (wMaKC > 0) и быть прямо противоположным (ЦЦиакс < 0).

Эта энергия Де, накапливаемая электроном при его свободном пробеге, спустя время т отдается ионам решетки. Полная энергия, выделяющаяся в единице объема проводника за единицу времени, равна

лА? _ пй тимакс __пйт ег1гЕ* _ пеЧ ^г _ ^,(20 16) т /2 I 2 m»M« 2mu

Это соотношение представляет собой дифференциальную форму закона Джоуля—Ленца. Для перехода к интегральным соотношениям выделим участок цилиндрического проводника длиной £ и с площадью поперечного сечения S. Мощность, выделяемая в объеме

V=SL этого участка, равна

Р=Ру=Мт) ==^20Л^

Ч X ьл

4 S

где R==qL)S есть полное сопротивление этого участка.

Нетрудно убедиться, что выражение (20.17) тождественно ранее выведенному выражению (18.9) для закона Джоуля—Ленца.

§21. Основы современной теории металлов

Классическая электронная теория металлов, основы которой изложены в предыдущем параграфе, предсказывает, кроме закона Ома, и другие закономерности. Остановимся на некоторых из них.

Средняя энергия одного электрона

ё=^кТ,(21.1)

и средняя энергия электронного газа в единице объема

W=n6 = ^knT.(21.2)

Следовательно, теплоемкость единицы объема электронного газа будет равна

^^^^(21.3)

а теплоемкость, отнесенная к одному электрону,

Св = ^к.(21.4)

Высокая концентрация электронного газа и большая подвижность свободных электронов обусловливают легкую передачу заряда—высокую электропроводность металлов—и интенсивный перенос энергии—высокую теплопроводность металлов—по сравнению с диэлектриками. Считая, что практически вся теплопроводность металлов обусловлена свободными электронами, можно рассчитать коэффициент теплопроводности электронного газа к методами кинетической теории газов. Используя формулы молекулярной физики (том I, часть II), найдем

к=^йпСв.(21.5)

Сопоставляя (21.5) с выражением для коэффициента электропроводности

Y—»(2L6>

2mu

видим, что металлы различаются концентрацией свободных электронов п и длиной свободного пробега /. Металлы, у которых произведение nl больше, обладают одновременно и большей электропроводностью и большей теплопроводностью.

Составим отношение X к у; тогда величина nl сократится:

(21.7)(21.7)(21.4),(21.8)(21.4),(21.8)X 2ти*С, 4 еС,"у- Зе’ ~ 3"~ёг '

(21.7)

(21.7)

(21.4),

(21.8)

(21.4),

(21.8)

Подставляя вместо е и С, их выражения согласно (21.1) и

получим

ь=зГ*уу \ е У

Отношение теплопроводности к электропроводности для всех металлов должно быть одинаково и должно расти прямо пропорционально абсолютной температуре. Это соотношение было экспериментально установлено еще в XIX веке Видеманом и Францем. Численный коэффициент в экспериментальном законе Видемана и Франца оказался очень близким к теоретическому значению в (21.8).

Однако это согласие теории с опытом вскоре оказалось нарушенным. Произведенные Лоренцем уточненные расчеты с учетом распределения электронных скоростей по Максвеллу привели к замене в теоретической формуле (21.8) множителя 3 на 2 и к резкому увеличению расхождения теории с опытом.

Второе затруднение классической электронной теории возникло при сопоставлении с опытом формул (21.3) и (21.4). Рассмотрим 1 кичограмм-атом одновалентного металла. Он состоит из Ne = — 6,02.10” ионов, колеблющихся около своих положений равновесия, и N6 свободных электронов. Колебательная теплоемкость твердого тела по закону Дюлоига и Пти равна

С = 3R = 25——ч.

аткг-атом-град

Теплоемкость электронного газа

R= 12,5—з.

эл 262- ’ кг-атом-г рад

Таким образом, по электронной теории теплоемкость одновалент-

ных металловных металловдолжна составлять п р I р 5 —кг-атом.град"

ных металлов

ных металлов

Однако опыт теплоемкость лонга и ПтиОднако опыт теплоемкость лонга и Птипоказывает, что теплоемкость металлов так же, как твердых диэлектриков, в соответствии с законом Дю- близка к 25—ж-3 , Таким образом обнаружилось

Однако опыт теплоемкость лонга и Пти

Однако опыт теплоемкость лонга и Пти

кг-атом-градJ

124 Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток [гл. V неожиданное и непонятное явление практического отсутствия теплоемкости у электронного газа.

Третьим затруднением классической электронной теории металлов явилась невозможность правильно объяснить с ее помощью температурную зависимость сопротивления (15.10).

В знаменателе выражения (20.14) или (21.6) для электропроводности стоит средняя скорость й, которая в соответствии с (20.2) должна быть пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры. Для объяснения же зависимости (15.10) электропроводность должна быть обратно пропорциональна абсолютной температуре Т в первой степени, а не VТ.

Приведенные выше противоречия указывают на то, что классическая электронная теория, представлявшая электрон как материальную точку, подчинявшуюся законам классической механики, не учитывала некоторых специфических свойств самого электрона, которые еще не были известны к началу XX века. Эти свойства были установлены позднее при изучении строения атома, и в 1924 г. была создана новая, так называемая квантовая или волновая механика движения электронов.

На основе квантовой механики советский физик Я. И. Френкель и немецкий физик А. Зоммерфельд разработали современную электронную теорию металлов.

Мы не можем здесь оперировать законами квантовой механики. Однако мы не связаны и с необходимостью производить точные расчеты. Наша цель состоит в изложении правильных и наглядных представлений о природе электрических процессов в металлах и других твердых телах. Мы будем исходить из современных представлений о строении атома, частично знакомых читателю, на которых мы сейчас коротко остановимся.

Атом состоит из ядра, вокруг которого движутся электроны. Орбиты электронов не произвольны, а строго определенны. Орбиты подразделяются по слоям, причем энергии электронов, занимающих орбиты одного слоя, сравнительно близки друг к другу. Энергии же электронов, орбиты которых относятся к разным слоям, различаются уже на весьма большие величины. На каждой орбите может одновременно находиться не более двух электронов. Однако и эти электроны не тождественны в своих свойствах. Установлено, что электроны обладают собственным, т. е. внутренне им присущим, моментом количества движения—спином (от английского слова «spin»—«веретено»). Электроны, движущиеся по одной орбите, должны отличаться направлением спина, т. е. также находятся в различных состояниях.

Таким образом, электроны, образующие электронную оболочку атома, подчиняются следующему закону: никакие два электрона не могут находиться в одном и том же состоянии. Этот закон.

получивший название принципа Паули, оказался совершенно универсальным и применимым не только к электронам в атомах, но и к любым системам электронов).

Построим график энергий электронов для разных орбит какого- либо сложного атома (рис. 2.25). Наличие на данной орбите электрона— одного или двух — будем отмечать условно точками (острие стрелки спина, направленной на нас) и крес- ( тиками (оперение стрелки, направленной от нас), как это 11 показано на рисунке.

Самым важным для дальнейшего является то обстоя- О тельство, что качественно график уровней энергии системы электронов твердого тела имеет такой же вид. Согласно принципу Паули состояния электронов в любой ~z^2 системе должны различаться (двух электронов в одном — и том же состоянии быть не может), а различным состо-"•"^‘Т

яииям будут отвечать, вообще говоря, хоть сколько-ни- "*~ * будь различные энергии.

При образовании твердого тела из отдельных атомов и молекул происходит следующее. Состояния электронов, движущихся вокруг отдельных ядер на внутренних—*—*

электронных оболочках, практически не меняются. Что же * касается внешних электронных оболочек, то они ■*-*— в результате сближения отдельных атомов и возникающего при этом сильного взаимодействия между электронами перестраиваются. В одних случаях электроны продолжают удерживаться молекулами или ионами, которым они принадлежали. В этом случае подвижность электронов ограничена, и вещество представляет собой твердый диэлектрик, не способный проводить электрический ток, -*--*- а лишь поляризующийся в электрическом поле. В других случаях электроны (валентные), как уже отмечалось выше, освобождаются, приобретают подвижность в веществе. Рис 2.25. В этом случае последнее представляет собой проводник — металл (промежуточный случай—наличие большого числа слабо связанных, почти свободных электронов — будет рассмотрен ниже, в параграфе, посвященном полупроводникам).

Особенно простую и наглядную картину электрических свойств твердых тел можно получить с помощью графиков энергии электронов в твердом теле, подобных графику энергий электронов в атоме (рис. 2.25).

Как и в случае отдельных атомов, значения энергии электронов в твердом теле образуют системы полос, в которых возможные

00Рис. 2.26.Рис. 2.26.

0

0

Рис. 2.26.

Рис. 2.26.

значения энергии составляют множество очень близко расположенных уровней энергии, прерываемых полосами, в которых возможные для электронов значения энергии отсутствуют (рис. 2.26). Энергия, отвечающая переходу электрона с одного уровня на другой, соседний, внутри полосы совершенно ничтожна, во всяком случае много меньше средней кинетической энергии атомов кТ при комнатной температуре. Поэтому изменение состояния электрона внутри такой полосы можно было бы считать непрерывным, если бы не важное, отмеченное уже выше, обстоятельство — принцип Паули. Число различных состояний в случае их непрерывного изменения бесконечно велико. При ступенчатом же изменении состояний, т. е. при дискретной их последовательности, число состояний в каждой полосе конечно, а следовательно, в соответствии с принципом Паули и число электронов, способных находиться в этих состояниях, также конечно. Если, например, в полосе В все состояния заняты (на каждом энергетическом уровне по два электрона с противоположными спинами), то ни один электрон больше в эту полосу попасть не может.

Согласно принятой терминологии мы будем называть полосы, в которых заключены разрешенные уровни, разрешенными зонами (на рис. 2.26 полосы А, В, Q; полосы же, в которых разрешенные уровни отсутствуют (полосы а и 0 на рисунке), будем называть' запрещенными зонами.

Подчеркнем, что наличие разрешенных энергетических уровней и полос еще не означает наличия электронов на них, как и в атоме наличие орбит—возможных путей движения электронов — не означает, что на этих орбитах обязательно находятся электроны.

Рассмотрим случай, когда нижние разрешенные зоны полностью укомплектованы электронами, ширина запрещенной зоны значительна (^кТ), а над нею расположена зона, в которой электронов нет (рис. 2.27). описываемое таким распределением электронов, есть диэлектрик. Действительно, состояние системы электронов может измениться только в том случае, если часть из них перейдет из нижних разрешенных энергетических зон в верхнюю разрешенную, но не занятую электронами зону. Но для этого нужна большая энергия, превышающая энергию теплового движения (--/г 7*) или энергию, которую электрон может приобрести во внешнем поле (случай очень больших полей, когда наступает пробой диэлектрика, мы здесь не рассматриваем). Следовательно, состояния элект-

ронов, ограниченные сверху широкой запрещенной зоной, меняться не могут. В частности, электроны не могут приобрести под влиянием слабого внешнего поля добавочную скорость (энергию), отвечающую возникновению тока проводимости. Значит, вещество, представленное рассмотренным энергетическим графиком, есть изолятор.

Рассмотрим теперь случай, когда в верхней занятой зоне остаются незанятые энергетические уровни. Как мы увидим сейчас, этот случай отвечает металлам. Будем называть верхнюю, свободную от электронов часть разрешенной зоны з о- Е ной проводимости. Переход электронов на уровни этой части разрешенной зоны связан с приобретением D ими добавочной энергии (скорости), обусловливающей прохождение электрического тока. Начнем рассмотрение со случая, когда вещество обладает температурой, рав- — — ной абсолютному нулю. Соответствующее этому случаю распределение электронов показано на рисунке 2.28, а: все нижние энергетические уровни заняты парами электронов с противоположными спинами. При Т=0°К энергия всей системы, в том числе и электронов, должна быть наименьшей из всех возможных. Хотя электроны, 7^7 расположенные на верхних уровнях, и обладают срав- нительно большой энергией, но перейти в состояние с меньшей энергией они не могут: ведь эти состояния уже заняты другими электронами. А появление двух или г „ нескольких электронов в одном и том же состоянии-•—*-

невозможно (принцип Паули). Энергию электронов, зани- ~^~"*Т мающих самый высокий энергетический уровень (при -•--*— Т=0°К), мы будем обозначать емакс. Ее величина по по- * и рядку равна 10“" эрг. Такого же порядка величины Рис- 2.27. и средняя кинетическая энергия электронов при абсолютном нуле температуры. Для сравнения отметим, что средняя кинетическая энергия молекул одноатомного газа при комнатной температуре (Tss:300oK) составляет всего лишь 5-10-1* эрг. Следует твердо помнить, что огромная кинетическая энергия электронного газа в металлах обусловлена принципом Паули и имеет нетепловое происхождение. Ее нельзя отнять за счет понижения температуры. Это читателю уже известно: ведь движение электронов в атомах также не прекращается при приближении вещества к Г=0°К. В атомах электроны также не собираются все на нижнем энергетическом уровне (в первом слое орбит). Следовательно, рассмотренный нами электронный газ в металлах при абсолютном нуле дает нам еще один пример того, что материя без движения немыслима. Абсолютный нуль для любых систем (диэлектриков, металлов и т. д.) означает не полное отсутствие движения, но состояние с минимальной возмож-

ной энергией, которую уже нельзя уменьшить за счет охлаждения.

С повышением температуры ко-

ЕЕлеблющиеся ионы решетки начи-

ьпнают передавать электронам энер

гию и переводить часть электро- ду нов на более высокие энергетиче

ские уровни. Однако даже при ком

а) Рис 2.28. б)а) Рис 2.28. б)натных температурах средняя энергия теплового движения ~^кТ мала по сравнению со средней энергией электронов при абсолютном нуле ёг=о = ео, и эта порция энергии достаточна лишь для перевода электрона на один из ближайших энергетических уровней. Рассматривая электроны, движущиеся на низших уровнях, мы видим, что все ближайшие более высокие уровни полностью заняты электронными парами. Нижний электрон мог бы перейти на более высокий энергетический

а) Рис 2.28. б)

а) Рис 2.28. б)

уровень, лишь перепрыгнув все вышележащие, которые заняты. Но для такого большого энергетического скачка энергии порядка кТ недостаточно. Поэтому поглощать тепловую энергию могут лишь электроны, находящиеся на наиболее высоких уровнях, как это показано на рис. 2.28, б, а таких электронов в металле сравнительно мало. Таким образом, подавляющая часть электронов «приморожена» к своим энергетическим уровням, и все они не способны принимать добавочную энергию. В этом обстоятельстве и состоит разгадка ничтожно малой теплоемкости электронного газа. При не слишком высоких температурах воспринимать добавочную энергию («нагреваться») могут лишь очень немногие электроны, энерге

тические уровни которых расположены в непосредственной близости от свободных уровней. Для их перехода на более высокий свободный уровень нужна лишь

энергия ^kT, и такой переход становится возможным. Но при обычных температурах относительное число таких электронов столь мало, что их доля в общей теплоемкости тела остается практически незаметной.

электронного газа получаетсяэлектронного газа получаетсяэнергия наиболее высоко поднявэнергия наиболее высоко поднявОбщий ход зависимости приходящейся на один электрон в металле средней энергии ё(Г) с изменением абсолютной температуры Т

электронного газа получается

электронного газа получается

энергия наиболее высоко подняв

энергия наиболее высоко подняв

показан на рис. 2.29 (полная энергия

умножением ё (7) на число электронов N, так что график ее зависимости от температуры имеет тот же вид).

Соображения Я. И. Френкеля позволяют очень наглядно показать общий характер зависимости ё от Т. Действительно, при низких температурах число возбужденных (перешедших на более высокие энергетические уровни) электронов п' определяется из условия, что добавочная

шихся электронов имеет порядок средней энергии теплового движения:

л'Де « АГ, где Де—разность энергий соседних уровней. Отсюда

, кТ

П =-7- ,Де *

а общая добавка к энергии электронного газа равна

,,-(АГ)’

л АГ«.

Де

Следовательно, и добавка к средней энергии, приходящейся на один электрон, возрастает пропорционально Г*. Обозначая коэффициент пропорциональности через а, имеем

е = е0+«Г1 (при обычных Г).(21.9)

При очень низких температурах

(21.9а)(21.9а)е ж е0 = const,

(21.9а)

(21.9а)

и, следовательно, теплоемкость, отнесенная к одному электрону, при обычных температурах

Св=^=2аГ,(21.10)

5 г Л. Зисман и О. М. Тодес

а при низких температурах

С, —*0.(21.10а)

При очень высоких температурах (порядка десятков тысяч градусов, недостижимых при обычных условиях для твердых металлов), кТ становится столь большой величиной, что возбуждаются электроны всех уровней, а не только верхних. Теперь число возбуждаемых электронов уже постоянно и равно полному их числу и далее не меняется с ростом температуры. Принимаемая каждым из них средняя энергия пропорциональна Т, и электронный газ приобретает свойства классического газа:

"г=^кТ, Се=-|- £ = const.

Таким образом, кривая зависимости ё от Т, как это видно из рис. 2.29, идет вначале как парабола второй степени, затем переходит в кривую, асимптотически стремящуюся к классической прямой: ёкласс = ’/2 кТ. Отметим еще раз, что при обычных условиях этот участок кривой недостижим, так как металл обращается в пар задолго до достижения указанных температур.

В теоретическую формулу подтвержденного опытом закона Видемана— Франца (21.7) входит произведение 7?Се. По классической электронной теории

И=^ кТ, Се = -|-й = const и ИСе~Т.

По современным представлениям соотношения средней энергии и теплоемкости получаются обратными:

"е^Е0 = const и Се=2аТ~Т.

В результате по-прежнему произведение еСе ~ Т. Точные вычисления дают Окончательное выражение:

(21.11)

отличающееся от (21.8) лишь численным множителем и еще лучше согласующееся с опытом.

Из практического постоянства средней энергии ё следует, что и й = const. Поэтому температурная зависимость удельного сопротивления

=(21Л2)

может определяться лишь длиной свободного пробега /. При абсолютном нуле температуры электроны движутся сквозь весь кристалл,

не испытывая столкновений. Следовательно, при Т—^0°К

(21.13)(21.13)I—>ОО И Q —fO.

(21.13)

(21.13)

Причиной этого также является волновая природа электрона. При Т— 0°К ионы металла образуют неподвижную кристаллическую решетку, и электронные волны, огибая ионы, проходят через весь кристалл, не отклоняясь в стороны.

С повышением температуры ионы металла приходят в тепловое колебательное движение, нарушающее идеальную правильность кристаллической решетки. То сближаясь, то удаляясь друг от друга, ионы создают «флуктуации» плотности, на которых происходит рассеивание электронных волн, соответствующее соударениям электронов с кристаллической решеткой. Чем выше температура,тем интенсивнее и чаще возникающие флуктуации кристаллической решетки и тем короче длина свободного пробега электрона. Согласно вычислениям l~ Т-' и q^T,(21.14)

в полном соответствии с опытом.

Правильность изложенных представлений подтверждается и другими фактами. Неоднородности в кристаллической решетке можно создавать и другим путем, например внедряя в металл атомы примесей. И действительно, достаточно сравнительно небольшого количества примесей к чистому металлу, чтобы его сопротивление резко возросло. Известно, что серебро (Ag) имеет сопротивление меньшее, чем алюминий (А1). Однако если к чистому А1 добавлять Ag,то сопротивление будет не убывать, а возрастать. При 9О°/о Ag сопротивление будет примерно в 15 раз больше сопротивления чистого А1 и в 30 раз больше, чем у чистого серебра. Причина

состоит в том, что решетка, образующаяся из атомов двух сортов, оказывается весьма нерегулярной, в силу чего и возрастает сопротивление сплава. Лишь когда количество Ag в сплаве будет близким к 1ОО°/о, сопротивление сплава начнет уменьшаться, как это показано на рис. 2.30.

Таким образом, современная теория металлов, учитывающая волновые свойства электрона, разъясняет противоречия, возникающие в классической электронной теории, и правильно предсказывает целый ряд новых фактов.

§ 22. Контактные явления и термоэлектродвижущая сила

Электроны в металле свободно перемещаются через весь кристалл, но не покидают его. Как только электрон выходит наружу, весь кусок металла заряжается положительно и втягивает этот электрон обратно. Между тем, обладая кинетической энергией,

электроны непрерывно «выскакивают» из металла на расстояния, не превышающие атомных размеров, и втягиваются обратно. В результате решетка из положительных ионов будет снаружи обволакиваться тонким слоем отрицательных электронов, и на всей поверхности металла образуется двойной электрический слой, как показано на рис. 2.31, а. Этот двойной слой является своеобразным конденсатором, препятствующим новым электронам выходить изнутри металла наружу.

Обозначим разность потенциалов на обкладках этого

конденсатора через ф. Работа, необходимая для вырывания из металла неподвижного, т. е. не обладающего кинетической энергией, электрона, равна еф. На эту величину потенциальная энергия электрона, вышедшего из металла, будет превышать его потенциальную энергию внутри металла (рис. 2.31, 6).

Но в металле неподвижных электронов нет, и подавляющая их часть обладает большой кинетической энергией. Обозначим через емакс наибольшую кинетическую энергию электрона в металле и отложим эту величину на графике рис. 2.31, б. Для выхода из металла электронов с кинетической энергией емакс должна быть произведена работа

д = еф — емакс, (22.1)

где А— наименьшая работа, необходимая для выхода электрона из металла,— называется работой выхода электрона. Вели-

чина Д меньше eq), так как наиболее быстрые электроны за счет своей кинетической энергии могут частично проникать в двойной слой и для их выхода из металла достаточно преодолеть лишь часть общей разности потенциалов q> (от точки К на рис, 2.31, б до точек, находящихся снаружи металла), равную Р.

Величина Р определяется из соотношения

д

А = еР, или Р— —,е ’

(22.2)(22.2)и носит название контактного потенциала данного металла. Для различных металлов контактный потенциал меняется в пределах от 1 до 10 вольт. Для практических целей весьма важно иметь в виду, что контактный потенциал и работа выхода существенно

(22.2)

(22.2)

зависят от чистоты металла и обработки его поверхности.

Приведем в соприкосновение два различных металла. До их контакта потенциал в воздухе ' между металлами будет одинаков, как это показано на рис. 2.32, а. При этом полная энергия электронов верхнего заполненного уровня в первом металле: eq>,— —е1,макс—ePn.отличается от полной энергии соответствующих электронов во втором металле: «ф2 —С2,макс=еЛ- ПРИ соприкосновении метал

лов электроны получат возможность переходить из одного металла в другой. Немедленно начнется переход электронов из того металла, где энергия верхнего заполненного уровня более высока, во второй металл. Этот переход будет продолжаться до тех пор, пока верхние уровни в обоих металлах не сравняются. При этом установится динамическое, подвижное равновесие.

В случае рис. 2.32, а видно, что часть электронов из первого металла перейдет во второй (еР, < ePt). В результате потери части электронов первый металл зарядится положительно, значит, потенциальная энергия электронов в нем уменьшится. Наоборот, второй металл, приобретший эти электроны, зарядится отрицательно, и потенциальная энергия его электронов возрастет. Возникшая

134 Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [гл V в результате контакта металлов добавочная разность потенциалов обозначена через Рх 2, а добавочная разность энергий — через еРх4; из рис. 2.32, б видно, что

ePx-VePx^ePv т. е.

Рх- (22.3)

Разность потенциалов, возникающая между двумя кусками металла при их соприкосновении, Рх1, носит название контактной разности потенциалов, которая, как следует из (22.3), равна разности контактных потенциалов этих металлов.

Рис. 2.33.Рис. 2.33.Рис. 2.34Рис. 2.34

Рис. 2.33.

Рис. 2.33.

Рис. 2.34

Рис. 2.34

Контактная разность потенциалов не создает электрического тока, так как потенциалы электронов, способных менять свое состояние (электронов верхней занятой зоны, рядом с которой имеются свободные зоны), в точности равны. Как показано на рис. 2.33, величина Рхг есть разность потенциалов между поверхностями обоих металлов в окружающем их пространстве, в котором при этом создается электрическое поле. Поле это может быть весьма заметным, поскольку величина Рх , может достигать нескольких вольт. Это обстоятельство необходимо всегда учитывать при создании электроизмерительных приборов, электронных приборов и т. п.

Если соединены последовательно три металла (рис. 2.34), то контактная разность потенциалов между концами цепи находится по правилу

Л,.= Л,2+ Рг,г = Р-Рх + Рг-P^P.-Pv (22.4) т. е, равна разности контактных потенциалов крайних металлов и не зависит от прочих металлов, находящихся между ними.

Если составить из нескольких металлов замкнутую цепь, как показано на рис. 2.35, то

2Р. = Р1-Л = 0-(22-5)

т. е. контактная разность потенциалов в замкнутой цепи равна нулю и не вызывает тока.

Строго говоря, простая картина распределения потенциалов и энергий электронов в металлах, изображенная на рис. 2.31 и

рис. 2.32, является точной лишь при абсолютном нуле температуры. Как указывалось в § 21, при повышении температуры в металле появляется небольшое количество электронов,

п* ~ Т,

с энергиями, несколько превышающими величину емакс. Это приводит к небольшому уменьшению работы выхода электрона еР и контактного потенциала Рх металла. /• Вследствие различной структуры электронных уровней указанные величины у раз- А.

личных металлов изменяютсяпо-разному,/\

а значит, контактная разностьпотенциалов||

Р =Рг— Pt будет также несколько ме-I 3 \/2/

няться с температурой.\/

При Г>О°К становится возможным \ I / целый ряд других так называемых термо-I ./

электрических явлений в метал-Рис 2 35

лах. Остановимся здесь на имеющих важ-' ' "

ное практическое значение явлении Пельтье и термоэлектродвижущей силе (термоэдс).

Как мы видели в §§ 20 и 21, электронный газ в металле во многом схож с идеальным газом, свойства которого мы рассматривали в томе 1, хотя и отличается от него закономерностями движения составляющих его частиц (волновые свойства электрона, принцип Паули). В частности, высокая подвижность частиц должна обусловливать существование в электронном газе различных кине

тических процессов переноса, вызываемых наличием градиентов концентрации, температуры или электрического потенциала. Одним из таких процессов является рассмотренная выше электропроводность металлов, т. е. перенос заряда электронами, движущимися под действием электрического поля £=—dtp;dx, приложенного к металлу.

При наличии электрического тока в металле поток направленно движущихся электронов переносит с собой определенную энергию, т. е. электрический ток сопровождается пропорциональным ему потоком энергии.

Составим замкнутую цепь из двух металлов / и 2, спаянных в сечениях А и В,

и будем пропускать через эту цепь постоянный ток / от внешнего источника (рис. 2.36). Тогда при равенстве токов в каждом из металлов потоки энергии в обоих металлах будут несколько различными. Точная теория показывает, что это различие обусловлено

различным соотношением между энергией и скоростью у электронов, переброшенных тепловым движением на более высокие уровни (п^ электронов в первом металле и пг во втором).

Если за время t через спай А пройдет количество электричества q=It, то за то же время к спаю А из первого металла подойдет поток энергии $tq и уйдет во второй металл р2^, где Р, и Р2 — соответствующие коэффициенты пропорциональности между током и энергией в обоих металлах. Если р, >• Р2, то разность этих потоков

9х,,=Фх-^<1=пх,1д=пъ1и(22-6>

останется в месте спая и выделится в виде тепла.

В спае В будет иметь место противоположная ситуация: приходящий из второго металла поток энергии будет меньше потока, уходящего в первый металл, и в этом спае будет поглощаться такое же количество тепла, т. е.

Qa,x = -Qx,a-(22.7)

Наблюдающееся, таким образом, при прохождении тока в цепи, составленной из разнородных металлов, охлаждение одних спаев и нагревание других носит название я в л е н и я Пельтье. Коэффициент пропорциональное iи П12, характеризующий количество тепла, выделяемое или поглощаемое при прохождении через спай единицы заряда (^_1), называется коэффициентом Пельтье для данной пары металлов

Кроме тепла Пельтье, в цепи выделяется и тепло по закону Джоуля — Ленца, зависящее от сопротивления участков цепи. В результате на участке, содержащем спай А, будет выделяться мощность

QA = RAP-V^p=RAIHni)2I,(22.8)

а на участке, содержащем спай В,— мощность

^=RBI2 + ^ = RBr—Hli2L(22.8')

Тепло, выделенное в единицу времени во всем контуре с полным сопротивлением Я=/?л-(- RB, будет равно

Q Qa + Qb

= RAI2 + П1>2/+ RbF-H1i2I= (Ra + RB^ P=RP (22.9) и подчиняется закону Джоуля—Ленца. Однако, сверх того, происходит добавочный перекос тепла Q1)2 от одного из спаев контура к другому, причем при перемене направления тока на обрат-

ное тепло будет выделяться в спае В и поглощаться в спае Д. Это явление нашло себе различные технические применения.

Так, в качестве электрического нагревателя выгоднее использовать вместо обычного омического сопротивления контур, схематически изображенный на рис. 2.36, вынося охлаждающийся спай во внешнюю среду. При этом нагреваемый объем получит не только количество тепла по закону Джоуля — Ленца, но и добавочное тепло Пельтье, которое будет отнято от внешней среды наружным охлаждающимся спаем и выделится на втором спае внутри объема. Заметим, однако, что такой добавочный поток тепла не означает возможности «отапливания помещения только за счет дальнейшего охлаждения наружного морозного воздуха», как об этом иногда писали. В согласии со вторым началом термодинамики в данном случае процесс переноса тепла от более холодного тела к более горячему возможен лишь за счет необратимого превращения электрической энергии тока (упорядоченного движения электронов) в тепловую на омическом сопротивлении. Охлаждение соответствующих спаев при прохождении через них тока представляется, в свою очередь, перспективным для создания удобных электрохоло- дильных устройств, не содержащих движущихся элементов (мотор, компрессор). Эта идея уже начинает реализоваться, но при замене металлов полупроводниками, о которых будет идти речь ниже.

Из (22.8) видно, что джоулево тепло пропорционально /2, а тепло Пельтье пропорционально /. Поэтому охлаждение одного из спаев за счет явления Пельтье может стать заметным на фоне общего разогрева лишь при сравнительно малых токах, когда П, J>RB1\ или

п12

(22.10)

Однако чем меньше ток /, тем меньше и абсолютная величина поглощаемого спаем тепла. Для увеличения эффекта следует подбирать п4ры металлов с наибольшими значениями коэффициента Пельтье ПЬ2. Для металлов при обычных температурах ПП1« да5-10~1 дж)к; для полупроводников же значение П1|2 может быть на несколько порядков выше.

Эффект Пельтье можно обратить. Если прохождение тока в замкнутой цепи вызывает нагревание одних и охлаждение других спаев, то, наоборот, нагревание одних и охлаждение других контактов приводит к появлению тока в цепи (эффект Зеебека, или термоэлектрический эффект) в отсутствие внешнего источника.

Пусть температура Тй во всех точках однородного металлического стержня (рис. 2.37) одинакова; значит, повсюду одинаковы концентрации, средние энергии и скорости свободных электронов.

При этом через любое сечение 1—/ стержня за единицу времени про

ходит одинаковый поток электронов слева направо и справа налево.

Нагреем один конец стержня и будем его поддерживать при постоянной температуре Т>7'0. Противоположный же конец будем непрерывно охлаждать так, чтобы его температура Та оставалась неизменной. Тогда в стержне установится градиент температуры, и через него будет идти постоянный поток тепла. Перенос тепла в металлах осуществляется в основном движением свободных электронов. При этом электроны, про-^^^

ходящие через сеченне 1 — /из а) г2;12L

области с более высокой темпера-'/ X

турой, переносят с собой больше /и-\

Рис. 2.37.Рис. 2.37.।।

Рис. 2.37.

Рис. 2.37.

Рис. 2.38.

энергии, чем электроны, проходящие через то же сечение в противоположном направлении. Вследствие различия скоростей электронов, находящихся в областях с различными температурами, окажется различным и число электронов, проходящих через сечение / — / в противоположных направлениях, и на концах стержня начнут скапливаться заряды противоположного знака. Внутри стержня возникает электрическое поле, препятствующее дальнейшему разделению зарядов и выравнивающее потоки электронов в противоположных направлениях. Таким образом, в равновесном состоянии наличие градиента температуры вдоль стержня создает постоянную разность потенциалов на его концах, величина которой пропорциональна градиенту температуры.

Если спаять в одном месте два разнородных металла / и 2 и нагреть спай до некоторой температуры Т, превышающей температуру обоих концов То (рис. 2.38, а), то из-за различного падения потенциала вдоль обоих металлов и их электронных концентраций потенциалы свободных концов будут различны, и между металлами возникнет постоянная разность потенциалов U. Если нагреть такой спай до другой температуры Т' (рис. 2.38, б), то между свободными концами установи гея другое значение разности потенциалов U*. Соединяя свободные концы одинаковых металлов (как показано на рис. 2.38 пунктиром), мы видим, что в замкнутой цепи из двух разнородных металлов возникает электродвижущая сила

^хг = и— U', (22.11)

если между спаями поддерживается постоянный перепад температур

^Т—Т—Т. Эта величина называется термоэлектродвижущей силой (термоэдс) и создает в замкнутой цепи (рис. 2.39) постоянный электрический ток. Производная

^,2=^ (22.12)

характеризует возрастание термоэдс для данной пары металлов при нагревании одного из спаев на Is и обычно весьма мала. Для пар железо—медь, железо — константан, широко применяемых в технике при измерениях температур, ех имеет порядок 50 -Мкв)град. Для высокотемпературной пары платина — платинородиевыйсплав этот

коэффициент примерно в 10 раз меньше.в

Термодинамический расчет приводит кд,

весьма простому соотношению между коэф-7 д'

фициентами Пельтье и термоэдс:'и

2

(22.13)

Из (22.13) следует, что на данном участкеРис- 2-3®-

коэффициент Пельтье П112 прямо пропорционален абсолютной температуре. При абсолютном нуле термоэдс и коэффициент Пельтье обращаются в нуль.

Измеряя величину термоэдс, можно определить разность температур между спаями, помещенными в различные резервуары. Для таких практических применений подбирают термопары, у которых коэффициент е1>2 в широком интервале температур остается практически постоянным. В этом случае э. д.с. прямо пропорциональна разности температур горячего и холодного спаев:

eli2 = const и ®112 = е1)2(Т— Тйу(22.14)

Необходимо подчеркнуть принципиальную разницу между контактной разностью потенциалов и термоэлектрическими явлениями. Контактные потенциалы имеют сравнительно большую величину (порядка нескольких вольт) и характеризуют электрическое поле вне проводников между наружными поверхностями последних. Контактная разность потенциалов есть статический эффект, не исчезающий и при абсолютном нуле температуры. В противоположность этому термоэлектрические явления представляют собой чисто кинетические эффекты, наблюдаемые при наличии потоков тепла или заряда (т. е. тока). Возникающие при этом разности потенциалов по абсолютной величине малы (доли милливольта). При абсолютном нуле количество электронов п', обусловливающих эти эффекты, равно нулю и все термоэлектрические явления исчезают.

Постоянство еп 2 и линейная зависимость (22.14) соблюдаются далеко не всегда и не во всем интервале температур. Для ряда

систем с повышением температуры горячего спая термоэдс изме

няется не монотонно, сначала возрастает, а затем убывает и даже

переходит через нуль (точка инверсии). Кроме того, величина

термоэдс (и коэффициента Пельтье) чувствительна к внешним механическим воздействиям, искажающим структуру металла и энергетические уровни электронов. Поэтому применяемые в технике и для научных исследований термопары всегда нуждаются в тщательной индивидуальной градуировке. '

В электрических схемах и приборах всегда имеются спаи или контакты раз

личных по своему составу и обработке проводников. При колебаниях температуры окружающей среды в этих местах контактов возникают неконтролируемые блуждающие термоэдс. Вследствие малости этих термоэдс они обычно не сказы

ваются на работе приборов, но при очень точных и тонких измерениях необходимо учитывать и предотвращать возможность подобных

влияний.

С другой стороны, термоэдс имеет широкое полезное практическое применение, как простой электрический метод измерения температур. При подобных измерениях с помощью термопар или термоэлементов один из спаев поддерживается при вполне определенной постоянной

Рис. 2 41.окружающей среды. Для повыРис. 2 41.окружающей среды. Для повытемпературе Го (например, помещается в тающий лед) и измеряется идущий в замкнутой цепи термоток

Рис. 2 41.

окружающей среды. Для повы

Рис. 2 41.

окружающей среды. Для повы

1=^ = ^Т-Т^ (22.15)

с помощью гальванометра, как это изображено на рис. 2.40. В более грубых технических термопарах один из спаев имеет просто температуру

шения чувствительности термоэлементов их соединяют последовательно в термобатарею (рис. 2.41). При прецизионных измерениях предпочтительнее измерять не термоток (22.15), а непосредственно термоэдс, компенсируя ее известной электродвижущей силой.

§ 23. Термоэлектронная эмиссия. Электронные лампы

Вследствие хаотичности теплового движения отдельные электроны металла время от времени приобретают избыток кинетической энергии, превышающий работу их выхода еР, и вылетают из металла. Происходит своеобразное «испарение» электронов из ме-

талла в окружающую среду, тем более интенсивное, чем выше его температура.

Когда некоторая часть электронов выходит из металла, он заряжается положительно и втягивает электроны — происходит «конденсация» электронного пара обратно в металл. В результате этих двух противоположных процессов устанавливается определенная

концентрация электронного пара над металлом, ничтожно малая при обычных температурах и резко возрастающая при повышении температуры. Испускание электронов нагретыми металлами носит название термоэлектронной

эмиссии.

Для исследования явления термоэлектронной эмиссии составим схему, изображенную на рис. 2.42. В стеклянный баллон впаяны два электрода — катод К и анод А. Катод представляет собой металлическую спираль, нагреваемую протекающим в ней током /ц от вспомогательной цепи накала. Реостат накала RH позволяет регулировать величину этого тока, из

меряемого амперметром Лн, и нагревать катод до различных температур Т.

Между катодом и анодом прикладывается значительная разность потенциалов Ua (до 100—200 в). Это напряжение снимается с анодной батареи Б через потенциометр и измеряется вольтметром Vv Передвигая движок Д потенциометра П, можно изменять величину

определяемого э. д. с.потенциалов U& элекопределяемого э. д. с.потенциалов U& элекUx от нуля до максимального значения, батареи.

определяемого э. д. с.

потенциалов U& элек

определяемого э. д. с.

потенциалов U& элек

Под действием приложенной разности

троны, испущенные накаленным катодом, движутся к положительному электроду, аноду и замыкают цепь. Чтобы эти элект

роны не отклонялись в стороны при столкновениях с газовыми молекулами, баллон Л откачивается до вакуума. Ток /а в анодной цепи измеряется последовательно включенным миллиамперметром mA.

На рис. 2.43 изображена примерная зависимость анодного тока /а от анодного напряжения Ua. Приложенное между электродами поле будет перетягивать часть электронов из электронного «облачка» вокруг накаленного катода на второй электрод и нарушит равновесие. Убыль электронов в «облачке» приведет к тому, что скорость

«конденсации» электронов станет меньше скорости их испускания катодом, часть «испарившихся» из катода электронов уже не вернется обратно и отсосется электрическим полем к аноду. Чем выше

напряженность электрического поля между электродами, тем ббльшая часть испущенных электронов увлекается полем и направляется к аноду и тем меньшая часть их захватывается катодом.

В слабых полях вследствие наличия значительного объемного заряда электрическое поле вблизи катода сильно искажается. Это приводит к тому, что зависимость анодного тока )а от приложенной разности потенциалов Ua (вольт-амперная характеристи-

к а)к а)имеет даже в слабых полях нелинейный характер. По расчетам Лэнгмюра и Богуславского Ja на этом участке пропор

к а)

к а)

ционально L^’ («закон трех вторых»).

При больших разностях потенциалов практически все электроны, «испаряющиеся» с катода, уносятся на анод и ток /а перестает увеличиваться с ростом Ua. Это максимальное значение /а носит название тока насыщения /нас.

Если повысить температуру катода от 7, до 72>7 то испускание электронов усилится и вся вольт-амперная характеристика пойдет выше (см. рис. 2.43).

Увеличится при этом и ток насыщения /нас. Точный теоретический расчет с учетом волновых свойств электронов в металле приводит к следующей зависимости плотности тока насыщения от температуры:

7ер

(23.1)(23.1)-^=АТге 4

(23.1)

(23.1)

Здесь 5 — площадь катода, 7—его абсолютная температура, е=2,7182— основание натуральных логарифмов, а в показателе стоит отношение работы выхода электрона из металла еР*^ к средней энергии теплового движения кТ. Для чистых металлов теоретическое значение константы равно

Л = 120

см1 •града

При Р=3 в=0,01 СГС ед. потенциала и при комнатной температуре, 7=300°К, еР 1,6.10-и.З kT~ 1,38.10-=". ЗОО*1

на

6-116 = 1 о' 2-3 = IO-60-* = 4-10~”.

/ насS/ насSСледовательно, ток насыщения

/ насS

/ насS

120-3002.4.10-$,«4-10-41—

т. е. неизмеримо мал.

Однако с повышением температуры ток насыщения очень круто возрастает. Согласно (23.1) при увеличении температуры на 5° множитель Т1 возрастает примерно на 2°/о, а множитель е"кТ— почти в 3 раза. Зависимость (23.1), изображенная на рис. 2.44, определяется главным образом экспоненциальным (показательным) множителем, и при температурах порядка 2000° термоэлектронный ток в вакууме достигает вполне измеримых значений.

(см. § 22), такого снижения незначительных примесей(см. § 22), такого снижения незначительных примесейДля снижения температур накала, при которых термоэлектронный ток достигает заметной величины, необходимо уменьшать величину работы выхода еР в показателе выражения (23.1) или контактный потенциал Р. Поскольку последний существенно зависит от состояния поверхности металла можно добиться с помощью добавления

(см. § 22), такого снижения незначительных примесей

(см. § 22), такого снижения незначительных примесей

в поверхностный слой металла. Так, покрытие вольфрамовых нитей одномолекулярным слоем тория резко снижает работу выхода и дает возможность получать заметную термоэлектронную эмиссию уже при температурах порядка 1000°С. Широкое применение имеют так называемые оксидные катоды, поверхность которых состоит из окисей металлов (бария и др.), частично разлагающихся при накале.

Откачанный баллон Л с впаянными внутри него двумя электродами К и А, изображенный на рис. 2.42, является простейшим электровакуумным прибором — двухэлектродной электронной лампой, или диодом.

Если в описанном выше опыте изменить направление электрического поля и присоединить накаливаемый электрод К не к минусу, а к плюсу батареи, то поле будет прижимать электронное облачко к электроду, электроны будут возвращаться обратно на нить и через безвоздушный промежуток ток идти не будет. На этом принципе основано применение диодов для выпрямления переменного тока. Будучи включенным в электрический контур, диод играет в нем роль клапана, пропускающего ток лишь в одном направлении. Как показано на рис. 2.45, в течение того полупериода, когда на

катоде минус, а на аноде—плюс, электрический ток проходит через лампу. В течение же второго полупериода изменения внешнего напряжения, когда на катоде плюс, а на аноде минус, лампа «заперта», цепь разорвана, и ток в обратном направлении не идет (однополупериодное выпрямление).

Для использования обоих полупериодов переменного напряжения можно применить электронную лампу с двумя впаянными в нее анодами (двойной диод), включив ее по схеме, изображенной на рис. 2.46. Внешний источник переменного тока создает во вторичной обмотке трансформатора Т переменную разность потенциалов. Средняя точка трансформатора выводится наружу и является

Рис. 2.45.Рис. 2.46,

минусом для цепи выпрямленного тока. Крайние точки трансформатора подаются на аноды лампы Л. Для накала катода служит дополнительный трансформатор Tv Испускаемые из катода электроны идут к тому из анодов, который в этот момент имеет положительный потенциал, и замыкают цепь соответствующей половины трансформатора Т. Так как согласно § 14 направление тока / противоположно направлению движения отрицательных электронов, то вывод, сделанный от катода, всегда является плюсом по отношению к средней точке трансформатора Т и через включенное между ними внешнее сопротивление R течет ток постоянного направления от катода к аноду (двухполупериодное выпрямление).

Этот выпрямленный ток не является постоянным в полном смысле этого слова. Он постоянен лишь по направлению, а не по величине. На рис. 2.47, а показан график зависимости тока от времени во внешней цепи без электронной лампы. Переменный ток i обычно меняется по синусоидальному закону:

1 = 1о51П(оЛ (23.2)

Выпрямляющий диод срезает отрицательную половину периода и дает импульсы тока (рис. 2.47, б). Двойной же диод по схеме рис. 2.46 изменяет направление тока в отрицательном полупериоде на обратное и создает выпрямленный пульсирующий ток (рис. 2.47,в).

Рис. 2.48.Рис. 2.48.

Рис. 2.48.

Рис. 2.48.

Мощные выпрямительные лампы для выпрямления значительных токов носят название кенотронов. Кенотроны имеют большие габариты и высокую эмиссию электронов. Для уменьшения влияния объемного заряда возле катода приходится между анодом и катодом прикладывать большие разности потенциалов (порядка киловольт).

Другим способом ослабления действия объемного заряда электронов, вылетающих из катода, является заполнение баллона небольшими количествами газа, например ртутными парами. Возникающие при столкновениях с быстрыми электронами положительные ионы газа движутся к катоду и нейтрализуют объемный заряд отрицательных электронов. Такие лампы, называемые газотронами, могут работать как выпрямители при значительно более низких напряжениях, чем кенотроны.

При накале нити катода проходящим через нее током вдоль нити получается заметное падение потенциала, искажающее электрическое поле между катодом

и анодом внутри лампы. Поэтому целесообразно накаливать катод не непосредственно, а с помощью специального подогревающего

элемента, электрически с ним не контактирующего.

Включение в лампу третьего промежуточного управляющего электрода— «сетки» — делает возможным ее применение для усиления

переменных напряжений. На рис.2.48 приведена схема трехэлектродной лампы — триода, работающей как усилитель. Разность потенциалов Ua создает внутри лампы электрическое поле. При плоских электродах поле можно считать однородным, а его напряженность—равной

Е = ^-, (23.3)

где L — расстояние между катодом и анодом. Если поместить сетку вблизи катода на расстоянии Z<^£, то повышение потенциала в месте расположения сетки:

(23.4)

будет еще незначительным. Прикладывая тогда между катодом и сеткой сравнительно небольшую отрицательную разность потенциалов ис, можно вернуть часть летящих электронов обратно к катоду и сильно уменьшить анодный ток, а при 11/с | > Ц— даже полностью запереть лампу. Наоборот, при положительном 0е можно сильно увеличить анодный ток.

Если в анодную цепь включено большое сопротивление R, то падение напряжения на этом сопротивлении:

(23.5)(23.5)U=IdR,

(23.5)

(23.5)

изменяется прямо пропорционально анодному току /а. Таким образом, небольшие изменения потенциала Ue на сетке могут создавать во много раз большие изменения потен- f"циала U в анодной цепи.

Чтобы все электроны, испускаемые катодом, попадали на анод, последний делают в виде цилиндра, охватывающего накаленную нить К со всех сторон. На рис. 2.49 приведен схематический разрез через трехэлектродную лампу. Нить, натянутая вдоль оси, является катодом К. Вокруг этой нити с небольшим зазором намотана спираль, служащая сеткой С. Электроны, испускаемые накаливаемой нитью, проходят в зазоры между витками спирали и попадают на цилиндр, служащий анодом. Вся эта система помещается в откачанный баллон Л.

Рис. 2.49.Линии поля в такой лампе направлены по ра

диусам, и поле неоднородно. Однако все качественные закономерности, рассмотренные в настоящем параграфе, включая закон трех вторых, остаются справедливыми и при таком расположении электродов.

В настоящее время электронные лампы от миниатюрных до огромных, на самые различные мощности, широко используются в электро- и радиотехнике, автоматике и телемеханике. В зависимости от назначения лампы в нее может быть впаян ряд дополнительных управляющих электродов.

Выход электронов из металла может происходить не только при его нагревании, но и за счет других воздействий. Так, при освещении поверхности металла электроны могут вырываться за счет энергии падающего света. Основные закономерности такой фотоэлектронной эмиссии будут разобраны в томе HI при рассмотрении фотоэлектрического эффекта.

При ударе о поверхность металла электрона, предварительно разогнанного электрическим полем до очень большой скорости, возможна вторичная электронная эмиссия. При этом за

счет энергии ударяющего электрона может быть вырван не один, а несколько электронов. Это явление используется в различных типах электронных умножителей. Принципиальная схема электронного умножителя изображена на рис. 2.50. Электрон, вырванный из первого электрода (например, под действием света),

попадает на второй электрод (д и н о д), пройдя ускоряющую разность потенциалов S. При этом из второго электрода выбиваются 6 электронов. Эти электроны падают на третий электрод, пройдя такую же разность потенциалов S, и выбивают из него 68 электронов и т. д. При л+1 электродах число электронов, вылетающих из последнего электрода, в 6" раз больше числа электронов, вырванных из первого электрода. При 6=1,35 (чистый металл) и /2 = 20 полный коэффициент умножения 6" имеет порядок 400. Для кислородноце- зиевых катодов величина 6 достигает значений 5—10 и коэффициент умножения 6" может быть очень большим. Суммарная разность потенциалов п&, приложенная ко всему умножителю, обычно порядка 1000 в.

Если приложить между двумя металлическими пластинами очень большую разность потенциалов, то электрическое поле может вырывать свободные элект

роны из отрицательно заряженной плас-Рис. 2 51.

тины и затем переносить их к положи

тельной. Подобная холодная (автоэлектронная) эмиссия электронов наблюдается лишь в очень высоких полях, напряженностью порядка 10ae/cj7. Для получения столь высоких напряженностей поля катод делают в виде маленького металлического шарика радиуса г (точнее, закругленного острия проволочки с г «НО-7 -и), а анодом служит внутренняя поверхность большой колбы, в центре которой располагается шарик (рис. 2.51). Как было найдено в § 7,

напряженность поля у поверхности заряженного шарика

Е=-^(23.6)

и может быть сделана очень большой при достаточно малых г. Это явление используется в электронном микропроекторе. Вырванные электроны ударяются с большой скоростью об анод и при соответствующем подборе материала последнего вызывают его свечение. Если на поверхности катода находится адсорбированная молекула М, то в этом месте автоэлектронная эмиссия затруднена и на аноде наблюдается тень М' от этой молекулы, увеличенная в очень большое число (Rlr) раз (R—радиус анода).

ГЛАВА VI

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ЭЛЕКТРОЛИТАХ,ДИЭЛЕКТРИКАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ

§ 24. Закон Ома для электролитов

Электролитами называются вещества, молекулы которых состоят из ионов противоположных знаков, удерживаемых друг около друга кулоновскими силами притяжения, К электролитам относятся кислоты, щелочи и соли. При растворении электролитов в воде значительная часть молекул в растворе распадается на ионы. Вода имеет высокую диэлектрическую проницаемость (е=81), в силу чего электрическое взаимодействие между ионами сильно уменьшается. Сравнительно небольшая кинетическая энергия молекул, обусловленная их тепловым движением, достаточна при этом, чтобы вызвать их диссоциацию. Это явление называется электролитической диссоциацией.

Таким образом, при растворении электролитов в воде или в другой полярной жидкости в ней возникает значительное количество свободных ионов обоего знака, тем большее, чем выше концентрация растворенного электролита. Обозначим число свободных положительных ионов в единице объема раствора электролита через л+ и отрицательных ионов — через п_. Заряды ионов кратны элементарному заряду е=4,8-1О~10 СГС ед. заряда и зависят от валентностей ионов. Обозначим эти валентности соответственно через z + и z_. Так как раствор в целом нейтрален, то суммарные заряды положительных и отрицательных ионов в единице объема по абсолютной величине равны друг другу:

nJrzJre = n_z_e.(24.1)

Для упрощения дальнейшей записи введем сокращение

п^г+ — п^г_ — nz.(24.2)

При растворении в воде, например, серной кислоты H2SO4 последняя диссоциирует на положительно заряженные ионы водорода

и кислотный остаток, несущий двойной отрицательный заряд: H8SO42Н+-[-SO". Следовательно, в этом случае д+=1 и д_ = 2, а число ионов водорода в растворе п+ соответственно в два раза больше, чем число отрицательных ионов п_.

Высокая диэлектрическая проницаемость воды обусловлена тем, что молекулы Н8О представляют собой жесткие диполи, обладающие значительным электрическим дипольным моментом. Ближайшие

к иону электролита дипольные молекулы воды поворачиваются к нему противоположно заряженными полюсами и притягиваются, образуя вокруг иона своеобразное «облако», перемещающееся вместе с ним. Это облако не вполне стабильно; в результате теплового

движения отдельныедвижения отдельныеРис. 2.52.Рис. 2.52.молекулы отрываются от иона, а на их место приходят другие. При движении иона в растворе под радиусом иона следует понимать радиус г его гидратной оболочки (рис. 2.52).

движения отдельные

движения отдельные

Рис. 2.52.

Рис. 2.52.

Эта оболочка препятствует обратному соединению (рекомбинации) ионов в нейтральные молекулы. Само притяжение к окружающим диполям и является тем фактором, который ослабляет внутримолекулярные связи и обусловливает диссоциацию молекул на составляющие их ионы.

Если в растворе электролита создать электрическое поле напряженностью Е, то поло

жительные ионы начнут двигаться по полю, а отрицательные — против поля и возникнет электрический ток. Рассмотрим для примера положительный ион с зарядом z^e, На этот ион в электрическом поле будет действовать сила

Рэл^^+^Е- (24.3)

Под ее действием ион начнет ускоренно двигаться вдоль поля, и скорость его направленного движения v+ будет возрастать. Вследствие большого радиуса гидратной оболочки движущийся в растворе ион испытывает значительную силу трения FTp. Рассматривая ион вместе с оболочкой как твердый шарик радиуса г+, движущийся в вязкой жидкости с коэффициентом внутреннего трения (вязкостью) т|, можно определить силу трения по закону Стокса:

(24.4)(24.4)Етр = —6лт)Г+у+.

(24.4)

(24.4)

По мере увеличения скорости иона возрастает сила трения и уменьшается его ускорение. Практически через очень короткий промежуток времени сила трения станет равной по величине силе электрического поля, и ион далее будет двигаться равномерно с некоторой постоянной скоростью v+. При равномерном движении

геометрическая сумма сил, действующих на ион, равна нулю;

Рэл + Ртр=0, ИЛИ

д+еЕ— 6лт]г + у+ = 0.

Отсюда можно найти искомую скорость иона:

V.(24.5)

+ 6ЛК)Г++''

Коэффициент пропорциональности

называется подвижностью положительного иона. Он зависит от заряда и размера иона и от вязкости раствора. Из (24.5) следует, что й+ = г>+ при £=1. Иными словами, подвижность иона численно равна скорости его' равномерного движения при напряженности электрического поля, равной единице.

Аналогичным образом мы получим для отрицательных ионов

v_ = —= — &_Е,(24.7)

блг _ Г|'

где

=(24.8)

ОЛГ_1]

— подвижность отрицательного иона. При комнатной температуре подвижности ионов в воде имеют порядок

в^смв]м

С повышением температуры вязкость раствора резко падает и подвижности ионов соответственно возрастают.

В § 20 предыдущей главы нами было выведено выражение для плотности электрического тока при направленном движении однозарядных частичек одного знака:

} = nev.(24.9)

Эту формулу легко обобщить на растворы электролитов, содержащие ионы обоих знаков:

j=«+^+ev+4-n_ (—д_е) v_.(24.9а)

Подставляя в (24.9а) вместо v+ и v_ их выражения (24.5) и (24.7) и учитывая (24.2), получим

(24,10)(24,10)•y^nze (&+ + &_)Е,

(24,10)

(24,10)

т. е. закон Ома в дифференциальной форме. Коэффициент пропорциональности в этой формуле

(24.11)(24.11)у=лге (&+ + А_)

(24.11)

(24.11)

есть электропроводность раствора электролита, которая зависит от концентрации свободных ионов и от нх подвижностей. В противо

положность металлам электропроводность растворов электролитов возрастает с температурой благодаря увеличению подвижностей ионов.

Около металлических электродов, опущенных в раствор элек

тролита, картина процесса усложняется и возникает целый ряд по

бочных явлений. Если внутрибочных явлений. Если внутриэлектролита ток переносится зарядами обоего знака, то вблизи, например, отрицательного электрода — катода — отрицательно заряженные ионы уходят от него, их концентрация л_ падает практически до нуля и ток переносится только положительными ионами — катионами. В противоположность этому к положительному электроду—аноду— подходят только отрицательные ионы—анионы (рис. 2.53). Поэтому вблизи электродов перестает соблюдаться равенство (24.2) и электрическое поле искажается.

бочных явлений. Если внутри

бочных явлений. Если внутри

Подходя к электродам, ионы

разряжаются и превращаются в нейтральные атомы или радикалы. При этом анионы отдают свои избыточные электроны металлическому аноду. Двигаясь по внешней цепи, эти свободные электроны доходят до катода и переходят

оттуда на подошедшие катионы, разряжая последние, как это схематически показано на рис. 2.53.

Нейтрализовавшиеся атомы оседают на электродах. Если они

химически активны, то у электродов протекают вторичные реакции, приводящие в конечном счете к разложению воды. Так, например, при разрядке иона Na+ на катоде выделяется атом Na, бурно реагирующий с водой:

Na+H2O-*NaOH+H.

В результате натрий обычно уходит в раствор, где он опять ионизуется, а на катоде выделяется газообразный водород. Выделение на электродах первичных или вторичных продуктов разложения раствора при прохождении через него электрического тока называется электролизом.

Электролиз слегка подкисленной воды с разложением ее на водород и кислород впервые наблюдал в 1802 г. В. В. Петров. В настоящее время электролиз воды применяется для получения чистого водорода и для обогащения воды так называемой тяжелой водой D,O. В обычной воде рек, морей и океанов всегда присутствует в небольшом количестве тяжелая вода. В процессе электролиза на катоде выделяется главным образом легкий водород, а остаток обогащается дейтерием.

Количественные законы выделения вещества при электролизе были экспериментально установлены в 1836 г. М. Фарадеем В отличие от металлов перенос электрического заряда в растворах электролитов связан с переносом вещества самого электролита и выделением этого вещества на электродах. Если за некоторое время t у электрода разрядятся N ионов валентности z, то они перенесут с собой к электроду суммарный заряд

q=Nez.(24.12)

Разряжаясь у электрода, эти ионы оставляют на нем массу

M=Nm,(24.13)

где т— масса одного осаждающегося атома.

Разделим второе из этих равенств на первое. Тогда полученное отношение

^^^К(24.13а)

есть постоянная величина, не зависящая от количества прошедших через раствор ионов; она называется электрохимическим эквивалентом данного вещества.

Отсюда мы получаем первый закон Фарадея’

M=Kq = KIt(24.14)

— количество М выделившегося на электроде вещества прямо пропорционально протекшему через раствор количеству электричества q. Электрохимический эквивалент К численно равен массе вещества М, выделившейся на электроде прн прохождении через электролит единицы количества электричества (^=1). Для серебра электрохимический эквивалент равен

Kkg= 1,18.10~е кг^к.

Преобразуем выражение (24.13а) для К, умножив его числитель и знаменатель на число Авогадро No. Тогда получим

^т mN6 1 Аег М6ег N„e ~г '

Здесь А — тМй— атомный вес вещества, A^z— так называемый

химический эквивалент этого вещества, а

N6e=F(24.15)

— так называемая константа Фарадея. Отсюда получается второй закон Фарадея:

К=7Р(24.16)

■—электрохимический эквивалент данного вещества К прямо пропорционален его химическому эквиваленту A[z. Объединяя оба закона, получим

M = ^Aq.(24.17)

Отсюда можно установить физический смысл постоянной Фарадея:

F=q при М= —,

т. е. постоянная Фарадея численно равна количеству электричества, которое должно пройти через раствор для выделения на электроде одного килограмм-эквивалента (кг-экв) данного вещества. Измерения дают•

F= 9,6487 -10’ к[кг-экв.

Из (24.15) видно, что, измерив F и иайдя заряд электрона е, можно определить третью универсальную постоянную — число Авогадро Л/е.

Первым практическим применением электролиза был изобретенный в 1838 г. Б. С. Якоби метод гальванопластики. Пропуская длительное время ток через раствор медной соли, Якоби получил на катоде медную пластинку однородной толщины, повторявшую форму катода. В настоящее время электролитические методы широко применяются для получения и очистки цветных металлов, для создания антикоррозийных покрытий и в ряде других областей техники.

Таким образом, при прохождении электрического тока в электролитах его энергия расходуется на различные химические реакции. Обратные процессы получения электрического тока за счет энергии химических превращений, протекающие в гальванических элементах и аккумуляторах, подробно разбираются в курсе общей химии.

§ 25. Проводимость газов. Несамостоятельный разряд

Молекулы газов нейтральны, и газы поэтому являются хорошими электрическими изоляторами. Если разорвать цепь источника тока и создать в ней воздушный промежуток, как показано на рнс. 2.54, а, то гальванометр, включенный в цепь, покажет отсутствие электрического тока.

Поднесем к воздушному промежутку пламя газовой горелки, как показано на рис. 2.54, б. В пламени протекают интенсивные химические реакции, за счет энергии которых отдельные атомы могут возбуждаться и ионизоваться. Образующиеся в пламени горелки ионы переходят в воздушный промежуток и под действием приложенной к нему разности потенциалов начинают двигаться к электродам; в цепи появляется ток.

Ионизация газа может происходить под действием других источников энергии,например при облучении рентгеновыми лучами (рис. 2.54, а). В качестве ионизатора газа можно применять и ультрафиолетовые лучи и у-лучи.

Обычно атмосферный воздух всегда ионизован под действием излучений радиоактивных элементов земной коры и приходящих из мировых глубин так называемых космических лучей. Однако равновесная концентрация ионов в воздухе не превышает нескольких десятков пар ионов в кубическом сантиметре, и, чтобы воздух стал заметно проводить электрический ток, его надо подвергнуть воздействию интенсивных. ионизаторов.

При ионизации газовых молекул под действием внешнего источника из молекулы обычно вырывается один электрон и остается положительный молекулярный ион с зарядом -^-е. Вырвавшийся электрон обычно присоединяется к какой-либо другой молекуле и образует отрицательный молекулярный ион с зарядом —е. Оба типа ионов одновалентны (z=l), имеют одинаковую концентрацию п, ио несколько различные подвижности ^+ и к_. Под действием внешнего электрического поля эти ионы начинают двигаться, и возникает электрический ток.

Так же как и в случае электролитов, плотность тока /связана с напряженностью электрического поля Е соотношением [см. (24.10)]

j—ne (k+-]-k_)E.(25.1)

Подвижность газовых ионов много больше подвижности ионов в электролитах, определяемой зависимостями (24.6) и (24.8). Однако

концентрация газовых ионов во много раз меньше соответственных концентраций для электролитов. Даже прн наличии сильного ионизующего агента проводимость газов невелика по сравнению с проводимостью электролитов.

Следует подчеркнуть еще одно важное обстоятельство, отличающее прохождение электрического тока в газах от явлений, происходящих в электролитах. Концентрации свободных ионов л + и п_ в электролитах зависят от концентрации растворенного вещества и взаимодействия с молекулами растворителя, определяющего степень диссоциации. Вследствие относительно большой концентрации ионов, их малой скорости и длины свободного пробега электрический ток может существенно изменить концентрации ионов не во всем объеме, но лишь в непосредственной близости к электродам.

В отличие от этого, концентрации ионов в газе малы, и наличие тока, уносящего ионы к электродам, может нарушить баланс ионов во всем объеме и изменить их концентрацию п. Поскольку п оказывается функцией /, соотношение (25.1) только формально похоже на закон Ома, а на самом деле прямой пропорциональности между j и Е может и не быть. Чтобы выяснить эту зависимость, разберем подробнее ситуацию, изображенную на рис. 2.54, в.

Обозначим площади электродов через 5 и расстояние между ними через L. Облучение будем считать постоянным и однородным, создающим в единице объема за единицу времени а пар ионов. Наряду с ионизацией газа непрерывно происходит и обратный процесс рекомбинации встречающихся ионов в нейтральные молекулы — так называемой молизации газа. Концентрации ионов обоего знака будем считать одинаковыми и обозначим через л. Тогда число рекомбинирующих пар ионов в единице объема за единицу времени будет пропорционально как концентрации положительных ионов л, так и концентрации отрицательных ионов л, т. е. пг. Обозначим число рекомбинирующих пар через рла, где р — коэффициент пропорциональности, зависящий от вероятности рекомбинации ионов при их соударениях.

Общее число пар ионов в объеме между электродами равно nSL. Изменение этого числа за единицу времени SL^ определяется числом вновь возникающих во всем объеме пар a$L, числом исчезающих при рекомбинации пар pn’SZ, и числом пар ионов, разряжающихся за единицу времени на электродах. Это последнее в свою очередь равно отношению заряда, приходящего за единицу времени

/ /3 к электродам, к величине заряда одного иона, т. е. равно — = — .

Таким образом, баланс числа ионов, образующихся и исчезающих

§ 25] проводимость газов, несамостоятельный разряд 157 в газовом промежутке между электродами, будет выражаться уравнением

SLd4 = aSL—WSL —1-atг е

или

При равномерной ионизации а = const, и спустя короткий промежуток времени устанавливается равновесие между числом возникающих и исчезающих ионов. С этого момента n = const и ^=0, так что уравнение (25.2) принимает вид

а = ряг + 1.(25.3)

Исключая из (25.1) и (25.3) величину п, мы получим искомую зависимость / от Е в виде квадратного уравнения. Не анализируя детально общее решение этого уравнения, разберем наиболее интересные предельные случаи.

) В слабых полях плотность тока незначительна и количество ионов, разряжающихся на электродах, пренебрежимо мало по сравнению с числом ионов, рекомбинирующих в объеме газа, т. е.

^<рп8.(25.4)

При этом условии из (25.3) получаем

а = рл=,(25.5)

или

»= /|-(25.6)

Концентрация ионов в газе определяется отношением вероятностей ионизации и рекомбинации и практически не зависит от плотности тока. Подставляя (25.6) в (25.1), получаем

j=V —е <&+ WE~ Е,(25.7)

Г р

т. е. в этом случае имеет место закон Ома с постоянной электропроводностью

у=пе (&++ £_)= 1/^—е (&++ &_) = const. (25.8) К р

) В противоположном предельном случае сильных полей плотность тока велика, и практически все образующиеся в объеме ионы

уходят к электродам, не успевая рекомбинировать. В этом случае ^Ж(25.9)

И

a=L.(25.10)

Отсюда находим

j= aeL=унас = const,(25.11)

т. е. с дальнейшим повышением приложенного напряжения ток перестанет расти и остается постоянным. Это максимальное значение тока

/иас=Унас^— eaSL,(25.12)

при котором все образующиеся ионы уходят к электродам, носит название тока насыщения.

На рис. 2.55 приведена полная зависимость у от Е. Начальный линейный участок соответствует области применимости закона Ома. В переходной области jleL а рл2 и зависимость у от Е определяется полным уравнением

. еЧк*А-к_УЕ4 т/р2 (A++fe_)= £= 1 2 ae2 (й++й_)2£2

20е£+ К [ ^eL J + В

(25.13) Наконец, на участке насыщения эта зависимость имеет вид горизонтальной прямой.

Интересно отметить, что в области насыщения согласно (25.1)

пЕ= const,(25.14)

т. е. на этом участке с ростом приложенного напряжения равно

весная концентрация ионов и электропроводность у=пе(^++^-) падают обратно пропорционально напряжению U—EL, а сопро-

тивление R=—я- растет прямо у о

пропорционально U. Таким образом, газовый промежуток, ионизуемый

посторонним источником энергии, является примером переменно

го сопротивления, постоянного при слабых полях и растущего пропорционально напряжению в сильных.

При высоких напряжениях вольт-

амперная характеристика, изобра

женная на рис. 2.55, вновь начинает загибаться кверху. Это

связано с тем, что положительные/ ионы теперь подходят к катоду

с большой скоростью и энергией и выбивают из него дополнительные электроны. Последние в свою очередь, проходя через разрядный промежуток к аноду, ускоряются настолько, что начинают ионизовать встречные нейтральные молекулы (эта ударная ионизация подробнее будет рассмотрена в следующем параграфе). В результате этих процессов в газе создаются дополнительные ионы, равновесная концентрация последних п возрастает, плотность тока } увеличивается по сравнению с током насыщения.

Однако если убрать внешний источник, то прекратятся и первичные (а=0) и вторичные процессы ионизации и спустя короткий промежуток времени (пока все имеющиеся и создающиеся ионы не дойдут до электродов) ток уменьшится до нуля. Поэтому такой разряд называется несамостоятельным.

§ 26. Типы газовых разрядов

Самостоятельным называется такой разряд, для поддержания которого нет необходимости в постороннем источнике, непрерывно ионизующем газ. В этом случае ток, проходящий через разрядный промежуток, сам создает новые ионы, компенсирующие непрерывную убыль ионов, разряжающихся на электродах. Процессы возникновения новых ионов как в самом газе, так и на электродах весьма многообразны и недостаточно полно изучены даже к настоящему времени. Наиболее важным из них является процесс ударной ионизации нейтральных молекул газа ионами, ускоряемыми внешним электрическим полем в разрядном промежутке.

Обозначим напряжение, поданное на разрядный промежуток, через U, а расстояние между электродами — через L. Тогда напряженность электрического поля в газе равна

£=^.(26'П

На расстоянии, равном длине свободного пробега I, падение напряжения

Ul = Ei=U^-(26.2)

составляет лишь некоторую долю полного падения напряжения U. Кинетическая энергия, приобретенная ионом с зарядом е, на длине свободного пробега равна

eKaH = et/t=^.(26.3)

Абсолютные концентрации ионов в разрядном промежутке, как правило, невелики и во много раз меньше концентрации нейтральных молекул. Поэтому в конце свободного пробега ион практически всегда сталкивается с нейтральной молекулой и передает

ей часть накопленной им кинетической энергии екин. Пока величина Ut не превышает примерно 1 вольта, соударения ионов с молекулами являются упругими. Поскольку массы ионов в газе близки к массам нейтральных молекул, то по законам соударения упругих шаров (см. том I, глава II) почти вся кинетическая энергия (26.3) иона передается им той молекуле, с которой он сталкивается. На каждой следующей длине свободного пробега ион вновь ускоряется, накапливает кинетическую энергию £кин и отдает ее при столкновении следующей молекуле газа. Нейтральные молекулы, получившие эту энергию, отдают ее при последующих столкновениях другим молекулам, и газ при прохождении через него электрического тока нагревается.

С возрастанием величины Ut кинетическая энергия иона в конце его свободного пробега становится достаточной для «деформации» нейтральных молекул и перевода их в «возбужденное состояние». Механизм возбуждения атомов и молекул состоит в том, что какой-либо из внутренних электронов, получив добавочную энергию, переходит на новую орбиту, более удаленную от ядра. Обратный переход возбужденной молекулы в исходное состояние происходит по большей части почти мгновенно, с уносом излишка энергии, испускаемой световой частицей—фотоном. Следовательно, часть кинетической энергии ионов будет превращаться в энергию излучения, испускаемого газом. Таков механизм возникновения свечения в газе, сквозь который проходит электрический ток (газосветные трубки, полярные сияния и т. д.). Возбужденные молекулы могут также разрываться на атомы и радикалы, что дает начало различным химическим реакциям, сопровождающим газовый разряд (образование озона, окислов азота и т. д.).

При Uz порядка 10 — 30 вольт (в зависимости от рода газа) энергия иона в конце свободного пробега становится достаточной для вырывания электронов из молекул, с которыми сталкивается ион. При этом нейтральная молекула превращается в положительный ион, а оторванный электрон может присоединиться к другой нейтральной молекуле, образуя отрицательный ион. Эти новые ионы и электроны в свою очередь также разгоняются электрическим полем и могут производить дальнейшую ударную ионизацию нейтральных молекул.

В соударениях, сопровождающихся ионизацией или возбуждением молекул, часть кинетической энергии ударяющего иона переходит в энергию «деформации» молекул, и удар будет «неупругим». Применяя законы сохранения количества движения и энергии (том I, глава II) к такому удару, можно показать, что необходимая кинетическая энергия ударяющего иона екин должна в несколько раз превышать минимальную энергию Аемин ионизации или (соответственно) возбуждения нейтральной молекулы.

Возвращаясь к соотношению (26.2), мы видим, что падение потенциала на длине свободного пробега Ut зависит не только от приложенного градиента потенциала Uji., но и от длины свободного пробега /. Последняя в свою очередь зависит от давления газа./? и, как показано в томе 1, глава VII (за исключением области, в которой I« L), обратно пропорциональна давлению:

(26.4)(26.5)(26.4)(26.5)/-^1

(26.4)

(26.5)

(26.4)

(26.5)

Следовательно,Следовательно,и и екин ~ Lp,и и екин ~ Lp,Р

Следовательно,

Следовательно,

и и екин ~ Lp,

и и екин ~ Lp,

и условия возникновения ударной ионизации в газе облегчаются при понижении давления, т. .е. при разрежении газа.

Процессы возникновения новых ионов при разряде могут происходить не только в объеме газа, но и на электродах. Электроны, а в некоторых случаях и ионы могут вырываться из металлических электродов в результате фотоэффекта, т. е. поглощения световых частиц—фотонов, возникающих в газе при разряде, как это описывалось выше. Вырывание электронов может происходить и при ударе об электроды подходящих к ним дсстаточно быстрых ионов или электронов (вторичная электронная эмиссия), вследствие разогрева и т. п.

Для пояснения влияния перечисленных выше факторов на про

в газе рассмотрим результаты, пов газе рассмотрим результаты, поРис. 2.56.Рис. 2.56.хождение электрического тока

в газе рассмотрим результаты, по

в газе рассмотрим результаты, по

Рис. 2.56.

Рис. 2.56.

лученные А. Г. Столетовым при изучении фотоэлектрического эффекта—вырывания светом электронов из металла. Мы будем толковать результаты опытов Столетова на основе современного представления о механизме фотоэффекта.

Схема опыта Столетова изображена на рис. 2.56. Одно из оснований цилиндрической камеры было за-

крыто прозрачной кварцевой пластинкой. Через это

окошко пучок ультрафиоле

товых лучей освещал металлическую пластинку, служившую вторым основанием, и вырывал из нее электроны. Пластинка Л* была присоединена к отрицательному полюсу батареи и являлась катодом. АнодомА служила помещенная внутри камеры металлическая сетка с широ-

6 Г. А Зисман и О. М. Тодес

кими ячейками, пропускавшими свет. Под действием приложенной разности потенциалов U электроны двигались от катода к аноду через газ, заполнявший камеру. Гальванометр Г измерял ток I, идущий в цепи. Через специальный отвод из камеры можно было откачивать воздух и менять его давление р. Расстояние между электродами L можно было варьировать с помощью микрометрического винта.

При постоянном значительном напряжении U Столетов наблюдал, что с уменьшением давления в камере ток в цепи сначала возрастал, достигал некоторого максимального значения zMaKc, а затем снова падал до некоторой величины z'o, постоянной при низких давлениях. На рис. 2.57 приведены некоторые из кривых зависимости i от р при различных приложенных напряжениях ^71>C/2>^73. Все эти кривые при низких давлениях сходились к тому же значению z0. Величина давления рМакс, при которой наступал максимум тока, однако, была при этом различной. Меняя U и L, Столетов установил, что

-р-У-— = const.(26.6)

LPMaKe

ударная ионизация возможна, и сударная ионизация возможна, и сПостоянство ze связано с тем, что напряжения Uv U4 и U5 достаточно велики, чтобы в области вакуума все вырванные из пластинки К электроны достигали анода и устанавливался ток насыщения. При впуске в камеру небольшого количества газа ток возрастал. Эго показывает, что, кроме вырванных из катода электронов, при прохождении их через газ возникают новые ионы за счет ударной ионизации. При малых значениях напряжения U=U, ударной ионизации ие происходит, так как даже при прохождении полной разности потенциалов энергия eUa, приобретаемая электроном, недостаточна для такой ионизации молекул газа. При больших напряжениях стом давления число образую

ударная ионизация возможна, и с

ударная ионизация возможна, и с

щихся вторичных ионов возрастает (левый участок кривых рис. 2.57 до максимума).

Однако с увеличением давления уменьшается длина свободного пробега электронов, падают накапливаемая на этом пути их кинетическая энергия и способность ионизовать газовые молекулы. При некотором давлении кинетическая энергия электрона станет меньше

предельного значения, при котором еще возможна ионизация молекул данного газа, и с дальнейшим ростом давления ток начнет

падать вследствие уменьшения подвижности первичных электронов и возвращения части их обратно на катод.

Сопоставляя (26.6) с (26.5), мы видим, что максимум тока в опытах Столетова соответствует некоторому вполне определенному значению средней кинетической энергии, приобретаемой электроном на длине свободного пробега в газе. Поскольку / есть средняя длина свободного пробега, а отдельные электроны проходят без столкновения в газе несколько различные /,-, как меиьшие, так и ббльшие /, то после достижения рмам при дальнейшем росте давления явление ударной ионизации в газе не прекратится сразу, и разрядный ток i будет уменьшаться постепенно. Таким образом, в описанном опыте Столетова выявились все основные процессы, наблю

■я U »■я U »К насосуК насосуРис. 2.58.Рис. 2.58.дающиеся в газовом разряде: вырывание заряженных частиц из электродов, размножение ионов при ударной ионизации и зависимость этих процессов от напряженности поля и от давления.

■я U »

■я U »

К насосу

К насосу

Рис. 2.58.

Рис. 2.58.

Рассмотрим теперь, как протекают эти явления в основных типах газовых разрядов.

Тлеющий разряд.

Приложим между электродами, впаянными в противоположные концы длинной стеклянной трубки (рис. 2.58), разность потенциалов в несколько тысяч вольт и будем откачивать воздух из этой трубки. При снижении давления до величины порядка 1 щлг рт. ст. падение потенциала на длине

свободного пробега возрастает настолько, что имеющиеся в небольшом количестве в воздухе свободные ионы, двигаясь к электродам и ударяясь о них, начнут выбивать новые электроны. Газовый промежуток начнет слабо проводить электрический ток; энергия ионов в конце свободного пробега будет еще недостаточной для ударной ионизации в газе. Сталкиваясь с газовыми молекулами, электроны и ионы будут лишь возбуждать их электроны на более высокие уровни. Последние, возвращаясь затем в свои нормальные состояния, излучат избыток энергии в виде света. В результате газ начнет светиться, причем цвет свечения будет зависеть от химической природы газа. .

Общее количество энергии, выделяющейся в газовом промежутке, невелико, и светящийся газ остается холодным. Газосветные трубки, наполненные разреженным гелием или неоиом и светящиеся при прохождении через них слабого тока при высоком напряжении,

широко применяются для различных уличных надписей и реклам.

При дальнейшем понижении давления до величины порядка 0,01 мм рт ст. тлеющий разряд разбивается на отдельные светящиеся столбики — страты (рис. 2.58). В газе возникает ударная ионизация, ток через газовый промежуток усиливается, но общее число ионов все же недостаточно для пробоя.

При еще ббльших разрежениях, порядка 10-5—10“' мм рт. ст., ионы и электроны проходят через всю трубку, практически не сталкиваясь с молекулами, ток падает и свечение газа прекращается. Наблюдается лишь слабое зеленое свечение стенок стеклянной трубки в тех местах, где на нее попадает поток электронов.

Искровой разряд. При давлениях порядка атмосферного и выше длина свободного пробега электронов и ионов слишком мала и газы практически не проводят электрический ток. В них возможен лишь несамостоятельный разряд, описанный в предыдущем параграфе.

Однако при очень больших полях разность потенциалов U, на длине свободного пробега становится достаточной для начала ударной ионизации, которая осуществляется в основном электронами. По причинам, которые будут выяснены в 111 томе, электроны в газе имеют значительно ббльшую длину свободного пробега, чем ионы. Следовательно, проходя при этом ббльшую разность потенциалов, электроны приобретают ббльшую энергию, чем ионы, что и объясняет особую роль первых в механизме ударной ионизации.

Электрон с достаточно большой кинетической энергией при встрече с нейтральной молекулой ионизует ее. В сильных электрических полях оба электрона (первичный и вторичный) вновь разгоняются, практически не прилипая к нейтральным молекулам и не образуя тяжелых отрицательных ионов. Эти два электрона, приобретая энергию в электрическом поле, ионизуют еще две встречные молекулы и т. д. Таким образом, через газовый промежуток к аноду будет двигаться со скоростью порядка 10* л[сек все нарастающая в числе «лавина» электронов. Остающиеся на ее пути положительные ионы вследствие своей большой массы и относительно низкой подвижности практически не успевают заметно изменить своих положений и лишь образуют положительный объемный заряд, искажающий поле между электродами.

Наличие электронной лавины само по себе еще не приводит к пробою газа. Оно лишь является причиной возрастания тока с увеличением напряженности поля и расстояния между электродами L (рис. 2.57). Для наступления пробоя каждая лавина должна стать источником появления в газе новых электронов, являющихся родоначальниками новых лавин. Эти новые электроны могут возникать за счет различных вторичных процессов в объеме газа или должны вырываться из катода.

Оставшиеся после прохождения электронной лавины положительные ионы движутся к катоду, сталкиваясь с нейтральными молекулами и ускоряясь электрическим полем. Подходя к катоду, эти’ ионы разряжаются и тем самым замыкают ток во внешней цепи. При достаточно большой напряженности поля положительные ионы, ударяясь о катод, начинают вырывать из него свободные электроны, становящиеся родоначальниками новых лавин. Исходя из этих представлений, Таунсенд и Роговский развили теорию электрического разряда, позволившую довольно удовлетворительно оценить критическую напряженность электрического поля £кр, необходимую для наступления пробоя в газе.

По достижении критической напряженности £кр картина происходящих в газе процессов усложняется и уже не поддается точному расчету.

Объемные ионные заряды сильно искажают электрическое поле и создают местные флуктуации его напряженности. При ионизации атомов может происходить вырывание электронов из глубоко лежащих внутренних оболочек. При перескоке внешних электронов атома на эти освободившиеся места испускаются ультрафиолетовые и рентгеновы лучи, которые могут производить дополнительную ионизацию в объеме газа и создавать новые электронные лавины.

В результате электронные лавины концентрируются в узком канале сильно ионизованного газа, и этот канал, называемый стрим- мером, начинает очень быстро, со скоростью порядка 10е м/сек, продвигаться от анода, где концентрация электронных лавин наибольшая, к катоду. Доходя до катода, стриммер замыкает цепь, и между электродами проскакивает искра.

Искра представляет собой тонкий ветвистый шнур сильно ионизованного газа. Благодаря высокой электропроводности канала искры через него проходит очень сильный ток, обычно полностью разряжающий источник приложенного высокого напряжения. В этом канале происходит интенсивное выделение энергии, получаемой электронами и ионами от электрического поля, газ разогревается до очень высоких температур и ярко светится. Резкое повышение давления, сопровождающее разогрев газа, создает ударные и звуковые волны. Таков, в частности, механизм образования атмосферных разрядов — молнии и сопровождающего ее грома.

Для осуществления искрового разряда в воздухе при атмосферном давлении и нормальной влажности необходимы электрические поля напряженностью порядка 3000 кв/м. Попадая в область более низких напряжений, электронная лавина перестает размножаться, ионы разных знаков рекомбинируют друг с другом, и разряд затухает. Такие условия осуществляются, например, у поверхности острия, поддерживаемого при высоком потенциале. В непосредственной близости от острия, как это показано на рис. 2.59,

напряженность электрического поля весьма велика и возникает область ударной ионизации. По мере удаления от острия напряженность ноля падает, и разряд не доходит до второго электрода. В результате возбуждения молекул газа электронным ударом вокруг острия возникает светящаяся «корона» (коронный разряд).

Высокая температура и давление обусловливают мощное механическое воздействие искрового разряда. С помощью искры можно, например, проплавлять отверстия. На этом принципе основан электроискровой метод обработки металлов. С помощью электрической искры можно в закаленной стали «сверлить» строго калиброванные отверстия диаметром до 0,05 м, обрабатывать сверх

твердые сплавы, проделывать в металле винтовые каналы и т. д.

Рис. 2 59.Рис. 2 59.Мощный искровой разряд в воде позволяет дробить на мельчайшие частички самые твердые материалы.

Рис. 2 59.

Рис. 2 59.

При очень сильных токах в газе или при весьма высокой температуре значительная доля молекул газа (вплоть до 100%) ионизуется и газ превращается в систему быстро движущихся положительных ионов и электронов. Такое состояние газа называется плазмой. Электропровод

ность плазмы чрезвычайно велика, так как все частицы, входящие в плазму, заряжены (многие ионы — многократно) и обладают подвижностью.

Недра звезд и в том числе Солнца, обладающие температурой в десятки миллионов градусов, представляют собой плазму.

В настоящее время ученым удалось получить при мощном электрическом разряде плазму с температурой порядка нескольких миллионов градусов. Это исключительно высокая температура, в сотни

раз превышающая ту, которую удавалось до сих пор получить в лабораторных условиях.Целью этих исследований является создание управляемой термоядерной реакции, достичь которой еще не удалось. К этому мы вернемся еще в Ш томе.

Дуговой разряд. Создав огромную для своего времени гальваническую батарею, В. В. Петров в 1802 г. обнаружил, что при разведении друг от друга угольных электродов, через которые шел ток, цепь не разрывалась и между электродами возникало ослепительное пламя электрической дуги. В этом пламени

можно плавить металлы и использовать его для освещения.

Высокая температура в электрической дуге создает сильно ионизованный воздушный промежуток, проводящий электрический ток. Благодаря низкому сопротивлению этого промежутка величина напряжения на дуге не превышает 50—80 в.

Механизм процессов, протекающих в электрической дуге, очень

сложен. Лишь спустя сто лет, в 1902 г., В. Ф. Миткевич показал,

что образование и поддержание дугового разряда обусловлено термоэлектронной эмиссией из раскаленного ударами ионов катода.

При прохождении дугового разряда угольные электроды сгорают и на аноде образуется выгорев-

Рис. 2.61.Рис. 2.61.ДугаДугаРис. 2.60.Рис. 2.60.шая впадина — кратер (рис. 2.60). При атмосферном давлении температура кратера электрической дуги в воздухе имеет порядок 4000°, а с повышением давления может быть доведена до 10 000°.

Рис. 2.61.

Рис. 2.61.

Дуга

Дуга

Рис. 2.60.

Рис. 2.60.

Идея Петрова об использовании электрической дуги для плавления металлов была разработана в 1881 г. Н. Н. Бенардосом, создавшим электросварку (рис. 2.61). В 1890 г. Н. Г. Славянов заменил угольный электрод металлическим, который создавал дугу и сам плавился, сваривая металлические швы. Советский ученый Е. О. Патон создал специальные электросварочные головки (рис. 2.62)

Рис. 2 64.Рис. 2 64.Рис. 2 63.Рис. 2 63.

Рис. 2 64.

Рис. 2 64.

Рис. 2 63.

Рис. 2 63.

и машины, автоматизировавшие процесс электросварки. Недавно украинский ученый К. К. Хренов разработал методы электросварки под водой. При высокой температуре дуги вода испаряется, и дуга проходит в своеобразном газовом пузыре над свариваемой деталью (рис. 2.63).

При пониженных давлениях ионизованный газ в дуге остается холодным, как в случае тлеющего разряда. Такая холодная дуга

горит в парах ртути над поверхностью жидкой ртути в ртутных выпрямителях и кварцевых лампах.

Идея Петрова о применении дуги для освещения была практически осуществлена

в 1876 г. П. Н. Яблочковым. Непрерывное сгорание угольных электродов требовало создания специальных часовых механизмов для безостановочного сближения углей. В свече Яблочкова, изображенной на рис. 2.64, это затруднение преодолено исключительно простым и остроумным способом. Угольные электроды расположены параллельно друг другу и отделены легко плавящейся каолиновой прокладкой. Дуга, образующаяся между концами угольных стержней, по мере сгорания их выплавляет каолиновую прокладку и обнажает следующий слой угля. Свеча Яблочкова явилась первым электрическим источником света. В дальнейшем ее вытеснила лампа накаливания. Однако в наиболее мощных прожекторах в качестве источника света по-прежнему служит электрическая дуга.

§ 27. Пробой диэлектриков

В обычных условиях хорошими изоляторами,В обычных условиях хорошими изоляторами,твердые неметаллические тела являются не проводят электрического тока и при

В обычных условиях хорошими изоляторами,

В обычных условиях хорошими изоляторами,

внесении в электрическое поле проявляют только диэлектрические свойства — поляризуются. Так же как в чистых воде или воздухе, в них практически нет свободных зарядов. Свободные ионы и

Рис. 2.65Рис. 2.65электроны возникают в твердых диэлектриках лишь под действием внешних источников, в частности, при нагревании.

Рис. 2.65

Рис. 2.65

В ионных кристаллах типа NaCI в узлах кристаллической решетки расположены попеременно положительные и отрицательные ионы (например, Na+ и С1~ на рис. 2.65). Однако эти ионы не являются свободными и лишь колеблются около своих положений равновесия с амплитудами, которые возрастают с повышением температуры. Вследствие хаотичности теплового движения ампли-

туды колебаний ионов различны и по

стоянно изменяются по величине. Время от времени тот или иной из ионов (например, средний из ионов Na+ на рис. 2.65) случайно приобретает от своих соседей очень большую кинетическую энергию, превышающую его энергию связи, и срывается из положения равновесия, уходя в пространство между узлами кристаллической решетки. В междоузлиях ион связан значительно слабее и может перемещаться далее вдоль решетки. Оставшийся пустым узел образует «дырку», в которой не хватает положительного заряда, и, значит, эта дырка как бы заряжена отрицательно. Аналогичная «дырка», но уже положительная, образуется в узле при уходе из него иона С1~.

На освободившееся место в узле может перескочить соседний положительный ион, и тем самым дырка переместится иа один «шаг» вдоль решетки. Возможные перемещения ионов в междоузловом пространстве показаны на рис. 2.65 стрелками. Ионы и дырки диффундируют в кристалле до тех пор, пока при встрече иона с соответствующей дыркой они не рекомбинируют. Этот случай показан на том же рис. 2.65 справа. В результате этих противоположных процессов — срыва ионов из своих положений равновесия и рекомбинации их с дырками—в кристалле устанавливается равновесие. Как показал Я. И. Френкель, равновесная концентрация

сорванных ионов и дырок выражается формулой )

п+ = п_=п6е”И1(27.1)

где е+— энергия срыва иона из положения равновесия в межДо- узловое пространство. Эти концентрации равны нулю при абсолютном нуле (е“®—>0) и очень резко возрастают с повышением температуры.

Если приложить к кристаллу внешнее электрическое поле, то возникает направленное движение сорванных со своих нормальных мест «свободных» положительных ионов по полю и свободных отрицательных дырок против поля. Аналогично будут вести себя и возникающие в кристалле свободные отрицательные ионы г;- соответствующие им положительные дырки (рис. 2.65, внизу). В результате всех этих процессов через кристалл пойдет слабый электрический ток. Аналогично (24.10) и (24.12) плотность этого тока будет выражаться формулой

Н^п^е^(27.2)

и электропроводность кристалла будет равна

N='21n1zielti.(273)

Здесь п(— концентрации, zt— валентности и А; — подвижности всех имеющихся в кристалле «свободных» зарядов — сорванных ионов разного знака и соответствующих дырок. Следует отметить, что передвижение дырки в кристалле есть на самом деле последовательное перемещение ионов, перескакивающих на ее место. Таким образом, прохождение электрического тока в ионных кристаллах связано с переносом ионов, составляющих кристалл, и представляет своеобразный электролиз в твердой фазе. Доходя до электродов и разряжаясь, ионы превращаются в нейтральные атомы, выделяющиеся на электродах. И действительно, точные опыты, проведенные при длительном пропускании тока через ионные кристаллы, подтвердили приложимость законов Фарадея (24.17) к этому случаю.

В случае неионных кристаллов носители электрического тока имеют несколько иную природу. Тепловое движение ионизует отдельные нейтральные атомы или молекулы и вырывает из них электроны. Последние движутся вдоль решетки. Образовавшиеся

при их отрыве положительные дырки также перемещаются вдоль кристалла за счет перескока на их место электронов с соседних атомов или молекул (рис. 2.66). При встрече свободные электроны

Рис. 2.66.Рис. 2.66.

Рис. 2.66.

Рис. 2.66.

возрастают с темпе-возрастают с темпе-Рис. 2.67.Рис. 2.67.

возрастают с темпе-

возрастают с темпе-

Рис. 2.67.

Рис. 2.67.

и дырки рекомбинируют, и их равновесная концентрация определяется формулой, аналогичной (27.1). Соответственно и в этом случае будут справедливы закон Ома (27.2) и выражение для электропроводности (27.3).

Поскольку концентрации свободных зарядов ni и их подвижности к; в твердых диэлектриках ре ратурой, то удельное сопротивление диэлектрика

Q =! = =—*(27.4)

очень резко убывает с температурой. На рис. 2.67 сопоставлены зависимости удельного сопротивления металлов и диэлектриков от температуры. Масштабы на этом рисунке несколько искажены, так как ддиэл обычно в 1010—10’5 раз больше, чем дмет. Сопротивление металлов мало и в соответствии с (15.10) медленно линейно растет с температурой; в противоположность этому, сопротивление изоляторов велико и круто, экспоненциально падает с температурой.

Последнее обстоятельство обусловливает возможность так называемого теплового пробоя диэлектриков, теория которого была разработана Н. Н. Семеновым и В. А. Фоком.

Пусть к изолятору приложена некоторая разность потенциалов U. Благодаря малой концентрации носителей тока сопротивление изолятора Ra при начальной температуре 70 очень велико и через изолятор идет очень слабый ток /а=и^й, Этот ток выделяет в диэлектрике тепло

QQ0 “ Ro0 “ Ro(27.5)(27.5)

Q

Q

0 “ Ro

0 “ Ro

(27.5)

(27.5)

Рис. 2.68.Рис. 2.68.няется со повышениеняется со повышение

Рис. 2.68.

Рис. 2.68.

няется со повышение

няется со повышение

и разогревает диэлектрик до некоторой температуры Т> То. При этой температуре сопротивление изолятора RT уменьшается, ток через него J=UIRT возрастает и увеличивается выделяемая мощность

(2Т6)

В результате изолятор нагревается еще сильнее, еще более возрастает идущий через него ток и выделяющееся тепло и т. д.

Процессу прогрессирующего саморазогрева и увеличения тока препятствует теплоотдача от нагретого изолятора в окружающую среду. Скорость теплоотдачи Q~ пропорциональна разности температур между изолятором и окружающей средой, т. е.

Q- = а(Т—Т9). (27.7)

На рис. 2.68 изображена прямая теплоотдачи (27.7) и кривые скорости тепловыделения (27.6) при различных приложенных напряжениях иг<,иг<_ Ur При низком напряжении U, линии (27.6) и (27.7) пересекаются в точке А при температуре 7,, близкой к начальной. Через диэлектрик идет слабый ток, и он слегка разогревается до тех пор, пока скорость теплоотдачи (Q“) не срав-

скоростью теплоприхода (Q+), после чего дальнейшее температуры прекращается. При высоком напряжении U6

по мере разогрева теплоприход растет с температурой быстрее, чем теплоотвод, и устойчивое равновесие становится невозможным. Спустя короткое время после приложения напряжения температура в центре диэлектрика повышается настолько, что он проплавляется,

возникает хорошо проводящий канал между электродами (рис. 2.69), через который проходит очень большой ток. Напряженность поля, при которой наступает пробой диэлектрика, называется пробивным напряжением. Величину пробивного напряжения иг можно найти из графика рис. 2.68 по условию касания кривых теплоприхода и теплоотдачи.

Для типовых изоляционных материалов, применяемых в технике, пробивные напряжения имеют порядок сотен кв/см. Для фарфора £про6 « 90— 120 KsjcM, для стекла £про6«300 кв1см, для слюды £Про6» 500 KejcM. Тепловой пробой имеет

как керо- Благодаря пробоя не в твердыхкак керо- Благодаря пробоя не в твердыхместо и в таких жидких диэлектриках, син или трансформаторное масло, текучести жидкости в этом случае остается проплавленного канала, как изоляторах.

как керо- Благодаря пробоя не в твердых

как керо- Благодаря пробоя не в твердых

При низких температурах и хорошем теплоотводе тепловой пробой твердых диэлектриков затруднен. В этом случае пробой наступает лишь Рис. 2.69. в очень сильных электрических полях, порядка 10* —10“ кв[см, и носит чисто электрический характер (ударная ионизация электронами, срыв ионов из узлов решетки полем и т. п.).

§ 28. Полупроводники

Высокая концентрация свободных электронов в металлах обусловливает их хорошую проводимость и низкое удельное сопротивление Q„ei«10-‘—10"* ом-м. В типичных изоляторах концентрация свободных зарядов ничтожно мала и удельное сопротивление достигает величин порядка Оизол^^’—Ю1вол< м. За последние десятилетия привлекли внимание физиков и все шире внедряются в технику вещества с промежуточными свойствами — так называемые полупроводники, имеющие удельное сопротивление порядка рПолупров~Ю~2—Ю* ом-м.

Необычайная чувствительность электропроводности полупроводников к ничтожным концентрациям различных примесей затрудняла исследование их свойств и потребовала разработки новой технологии изготовления веществ исключительно высокой чистоты. С другой стороны, строго дозированная добавка малых количеств примесей позволяет изготавливать полупроводники с практически любыми наперед заданными свойствами. Добавляй разные примеси в различные участки одного и того же кристалла, оказалось возможным получать полупроводники с внутренними контактными потенциалами на границах этих участков, обусловливающими одностороннюю проводимость подобных контактов. Так были созданы

полупроводниковые выпрямители и усилители, обладающие целым рядом преимуществ по сравнению с электронными лампами (малые габариты, ничтожная потребляемая мощность, прочность и долговечность).

Для понимания особенностей полупроводников, резкого различия свойств диэлектриков, полупроводников и металлов необходимо детальнее, чем это было сделано в § 21, разобраться в механизме возникновения зон, их возможных структурах и возможных поведениях электронов в этих зонах.

При объединении атомов вещества в кристалл валентные электроны коллективизируются, образуя единую систему. Электрическое поле образовавшейся ионной решетки периодично, как и положения ионов в ней. Как показывает теоретический анализ, отдельные электроны движутся в строго периодическом поле примерно так же, как движутся свободные электроны, т. е. сохраняя неизменной свою скорость (как уже указывалось, сопротивление проводника обусловливается нарушениями периодичности решетки, вызываемыми, в частности, тепловыми колебаниями ионов; о другой особенности движения электрона в периодическом поле, приводящей к необходимости введения понятия «эффективной массы», будет сказано дальше). Энергетически возможные состояния электронов образуют разрешенные зоны, отделенные друг от друга запрещенными зонами, охватывающими состояния, которые в данных условиях невозможны.

Напомним, что электроны подчиняются принципу Паули, так что каждое возможное состояние либо вакантно, либо занято одним и только одним электроном.

При коллективизации валентных электронов могут иметь место различные случаи:

В верхней из зон, в которой электроны имеются, все уровни заняты. Ширина А£ запрещенной зоны, расположенной над этой занятой зоной, велика по сравнению с кТ (рис. 2.70, а): ЬЕ>кТ.

В этом случае изменение состояний электронов при относительно малых воздействиях на них невозможно: свободные разрешенные состояния слишком далеки. Под действием не слишком сильного электрического поля ток не возникнет. Это — диэлектрик.

В верхней зоне занята лишь часть уровней, при обычных температурах — нижняя. Электроны, расположенные вблизи вакантных уровней, могут легко переходить на них. Вещество проводит электрический ток. Это — металл.

Частично заполненная верхняя зона может образовываться в двух случаях ).

.1.10Рис. 2.70.0Рис. 2.70.

.1

.1

0

Рис. 2.70.

0

Рис. 2.70.

В простейшем случае число электронов, входящих в верхнюю зону, меньше числа уровней в ней. Это имеет место, например, для одновалентных металлов, у которых число возможных уровней ровно вдвое больше числа заполняющих эти уровни электронов (рис. 2.70, б). Совершенно иная картина имеет место для таких металлов, как кальций, кадмий, цинк. Подсчет показывает, что у этих ме

таллов число электронов, образующих верхнюю зону, в точности равно числу уровней в ней. Однако у этих веществ верхняя граница заполненной зоны оказывается выше нижней границы следующей за ней разрешенной зоны. Щели между заполненными и вакантными разрешенными состояниями нет; более того, зоны частично перекрываются. Проводимость возможна, это — металлы с перекрывающимися зонами. На рис. 2.70,в уровни «вакантной зоны», перекрывающиеся с уровнями заполненной, показаны слева от оси Е. Об особенностях проводимости в этих случаях будет сказано дальше.

Та же картина уровней, что и в диэлектрике, но при узкой запрещенной зоне. Это — п о л у-

проводник. Так, для таких типичных полупроводников, как германий, Д Е—1,2-10-12 эрг (при Т=0°К), кремния — А Е= 1,9-10~12 эрг (также Т=0°К). Эти величины превышают кТ (при Т ^-300° К) в несколько десятков раз.

При такой ширине запрещенной зоны уже при комнатной температуре некоторое, относительно очень небольшое число электронов переходит из заполненной зоны на уровни верхней, вакантной. В этих условиях полупроводник уже будет проводить электрический ток. Естественно, что число электронов, носителей тока,

очень заметно зависит от температуры вещества, резко возрастая с ростом Т.

В металлах концентрация свободных электронов практически постоянна, а их подвижность падает с ростом температуры, так что электрическое сопротивление металлов при этом медленно повышается (см. §§ 15 и 21). В полупроводниках же рост температуры сопровождается быстрым увеличением числа электронов в верхней зоне и, следовательно, сильным уменьшением электрического сопротивления, аналогичным случаю диэлектриков (см. § 27 и рис. 2 67).

Сравнительно невысокое (по отношению к диэлектрикам) электрическое сопротивление полупроводников позволяет включать их в электрическую цепь и использовать в качестве термосопротивле-

его температура весьма быстро ряемой среды. Точность таких долей градуса, обусловлена тем изменение температуры на 1°С ского сопротивления на 2—3%, iего температура весьма быстро ряемой среды. Точность таких долей градуса, обусловлена тем изменение температуры на 1°С ского сопротивления на 2—3%, iний в различных управляющих реле и для создания весьма чувствительных и малоинерционных электрических термометров. Определение температуры при этом сводится к измерению электрического сопротивления маленького кристалла полупроводника (или тока в цепи). Линейные размеры применяемых кристаллов составляют доли миллиметра, масса, а значит, и теплоемкость кристалла малы, и поэтому сравнивается с температурой изме- измерений, достигающая тысячных , что у некоторых полупроводников приводит к изменению электриче- 1, следовательно, ничтожное измене

его температура весьма быстро ряемой среды. Точность таких долей градуса, обусловлена тем изменение температуры на 1°С ского сопротивления на 2—3%, i

его температура весьма быстро ряемой среды. Точность таких долей градуса, обусловлена тем изменение температуры на 1°С ского сопротивления на 2—3%, i

ние температуры приводит к измеримому изменению сопротивления.

Благодаря сравнительно небольшой величине энергии Af, необходимой для выбрасывания электрона в зону проводимости, сопротивление ряда полупроводников чувствительно к освещению видимым светом. Если, как показано на рис. 2.71, направить свет на один конец полупроводника, то выброшенные светом в зону проводимости электроны будут диффундировать через весь кристалл, и произойдет уменьшение удельного сопротивления во всех точках полупроводника, а не только в том конце, который был освещен. Включая в цепь последовательно батарею и гальванометр, мы установим резкое возрастание тока в цепи при освещении полупроводника. Подобные фотосопротивления, электрическое сопротивление которых зависит от их освещенности, теперь применяются в качестве фотореле в различных схемах автоматического управления.

Существенным отличием от металлов, предопределяющим совершенно исключительные возможности технического использования

полупроводников, является двойственная природа носителей заряда в полупроводниках. Выбрасывание электрона из валентной зоны в зону проводимости означает не только появление электрона, способного реализовать прохождение тока в веществе. Такой переход означает также появление дырки в ранее заполненной зоне, т. е. вакантного места, на которое могут теперь переходить другие электроны заполненной зоны. Недостаток в данном месте одного элементарного электрического заряда эквивалентен наличию равного

ЕЕРис. 2 72Рис. 2 72

Е

Е

Рис. 2 72

Рис. 2 72

по величине избыточного положительного заряда. При возникновении электрического поля в движение придут не только отрицательно заряженные электроны зоны проводимости, но и дырки, которые начнут перемещаться, как положительно заряженные частицы. Электроны будут испытывать ускорение против поля, дырки—по полю. В результате ток будет обеспечиваться движением как электронов проводимости, так и дырок. Эти токи называются соответственно электронным и дырочным.

На рисунке 2 72, а показан механизм возникновения проводимости в полупроводнике. За счет энергии теплового движения ионной решетки или энергии поглощенного излучения некоторое число электронов преодолевает запрещенную зону, переходя из заполненной зоны в верхнюю разрешенную (пунктирные стрелки). Эти электроны могут реализовать обычный для металлов электронный ток проводимости. Вот почему верхняя зона называется зоной электронной проводимости.

В нижней зоне, которая была прежде полностью укомплектована (все состояния были заняты), теперь появились незанятые состояния — дырки, число которых в точности равно числу электронов,

перешедших в верхнюю зону. Наличие дырок — вакантных состояний означает для других электронов зоны возможность менять свое состояние, в конечном итоге — участвовать в механизме проводимости. В соответствии с этим рассматриваемую зону можно назвать зоной дырочной проводимости. Механизм дырочной проводимости столь существен, что нам хотелось бы, чтобы читатель ясно представил себе его природу.

Мы говорили уже о том, что отсутствие отрицательного заряда — дырку — можно формально описать как наличие добавочного положительного заряда. Очевидно, однако, что движение дырки есть результат коллективного движения электронов зоны дырочной проводимости. Приведем простой механический пример.

Заменим в сосуде с водой каплю воды, поднятую вверх пузырьком воздуха (рис. 2.73). Пузырек воздуха это «дырка» в распределении капель воды ниже уровня поверхности жидкости. В поле тяжести все капельки жидкости испытывают силу, направленную вниз. В рассматриваемом случае движение вниз (по полю) реализуется в результате действия двух механизмов. Поднятая над поверхностью жидкости капелька падает вниз (по полю!). Пузырек воз

духа в жидкости движется вверх (против поля!). Но совершенно очевидно, чго движение пузырька вверх есть не что иное, как результат коллективного движения капель жидкости вниз. Оба механизма приводят к движению капель жидкости вниз. Но второй механизм выглядит как движение пузырька, который может быть описан как особая капля, обладающая отрицательной массой — движущаяся против поля тяжести. Модель, конечно, груба, но должна помочь воображению. Наличие вакансий в почти полностью заполненной зоне позволяет электронам этой зоны менять свои состояния, приобрести некоторую «подвижность». При этом одни вакантные состояния замещаются, другие—освобождаются: происходит перемещение дырки, которая может быть описана как квазичастица с зарядом, обратным заряду электрона.

Время жизни носителей тока в полупроводниках—электронов и дырок ограничено. Из зоны электронной проводимости электроны могут возвращаться на вакантные уровни нижней зоны (переходы, обратные по отношению к показанным на рис. 2.70, а). Такая рекомбинация электрона и дырки приводит к исчезновению обоих носителей тока. Среднее время жизни свободных носителей тока зависит от многих причин. При данных условиях постоянная концентрация носителей есть результат динамического равновесия: число образующихся пар носителей равно числу рекомбинирующих пар.

Ранее указывалось, что перемещение электрона в периодическом поле решетки напоминает движение свободного электрона. Одно из существенных отличий состоит в следующем. При движении свободного электрона его ускорение равно силе, деленной на массу. Взаимодействие электрона с решеткой приводит к тому, что отношения между силой и ускорением электрона меняются. Эффект можно описать, считая, что масса электрона равна некоторой «эффективной» массе. К сожалению, даже для данного вещества нельзя точно ввести определенную эффективную массу электрона: эта формально вводимая величина зависит не только от структуры решетки, но и от кинетической энергии электрона. Этим, когда возможно, пренебрегают, вводя в рассмотрение среднее значение эффективной массы. Для германия эта величина составляет примерно */, от истинной массы электрона. Дырке также сопоставляется эффективная масса, которая, как и для электрона, может меняться в широких пределах. Дырку можно также рассматривать как электрон с отрицательной эффективной массой.

Важной характеристикой электронов и дырок, как носителей тока, является их подвижность (см. также § 24) — средняя скорость перемещения, или скорость дрейфа, в электрическом поле с единичной напряженностью (один вольт на метр). Эта величина составляет для электронов и дырок в германии соответственно 0,38 и 0,18 M2je-ceK. Для кремния соответственно 0,13 и 0,05 м^в-сек.

До сих пор мы рассматривали полупроводники, образованные одинаковыми атомами. Эти чистые полупроводники обладают, как мы видели, всегда равным числом электронов в зоне электронной проводимости и дырок. Обычно эти полупроводники называются полупроводниками с собственной проводимостью или собственными полупроводниками.

Особую роль в физике и технике играют, однако, так называемые примесные полупроводники. Ничтожные количества примесей резко меняют электрические свойства полупроводников. При этом примесью обычно для краткости называют не только наличие атомов других элементов, нарушающих правильность кристаллической решетки, но и любые ее нарушения: наличие атома того же элемента, находящегося не в узле, а в междоузлии решетки, либо отсутстие атома в узле. В дальнейшем для определенности мы будем рассматривать нарушения решетки, обусловленные наличием реальных примесей—атомов других элементов.

Наличие примесных атомов сказывается на поведении полупроводника двояко. Если, например, в кристаллической решетке чистого четырехвалентного полупроводника германия один из атомов заместить атомом пятивалентной сурьмы, то последний легко отдаст лишний пятый электрон. В той же решетке атом трехвалент-

ного индия, заместивший один из атомов германия, будет стремиться присоединить к себе четвертый электрон.

Примеси, отдающие электроны, называются донорными; примеси, стремящиеся присоединить к себе электроны, — а кц е п т о р- ными. Таким образом, атомы сурьмы в кристаллической решетке

германия являются донорами, атомы индия — акцепторами.

Следующим весьма важным обстоятельством является тот факт, что наличие любых примесей с различной энергией связи валент

Рис. 2.74.Рис. 2.74.ных электронов (в том числе и простых искажений решетки) ведет к появлению отдельных разрешенных уровней в запрещенной зоне. Новые разрешенные уровни доноров и акцепторов могут располагаться в различных участках запрещенной зоны. Особенно резко меняются свойства полупроводника, если новые донорные уровни оказываются вблизи зоны проводимости (рис. 2. 72, б), либо акцепторные уровни—вблизи заполненной зоны (рис. 2.72, в). Рассмотрим оба этих весьма важных случая в отдельности.

Рис. 2.74.

Рис. 2.74.

При донорных уровнях вблизи зоны электронной проводимости она обогащается электронами за счет атомов донора. Эти электроны обеспечивают хорошую электронную проводимость полупроводника. В то же время дырочцая проводимость будет практически отсутствовать. Атом донора, отдав лишний (в Структуре решетки) элект-

рон, становится положительным ионом. Но этот последний не способен перемещаться и не может участвовать в проводимости. Более того, дырочная проводимость, которая имела бы место при отсутствии доноров, снизится, поскольку избыточные электроны будут частично рекомбинировать с дырками, уменьшая тем самым их число.

Таким образом, при наличии донорной примеси, которой отвечают добавочные разрешенные уровни вблизи зоны проводимости, полупроводник приобретает в основном электронную проводимость.

Рассмотрим конкретный пример. На рис. 2.74, а изображена плоская схема кристалла германия. Германий четырехвалентен. Это значит, что во внешней оболочке его атомов имеются четыре слабо связанных электрона, которые осуществляют связь между данным и соседними атомами. На схеме эти связи показаны пунктирными стрелками.

Заместим теперь один из атомов германия каким-нибудь пятивалентным атомом (сурьма, мышьяк). Из пяти электронов внешней оболочки атома примеси четыре будут вести себя, как электроны атома германия. Пятый же электрон окажется свободным. Таким образом, атом примеси превратится в положительный ион (рис. 2.74, б). При отсутствии добавочных взаимодействий свободный электрон будет удерживаться вблизи положительного иона. Однако их связь будет слаба, и под действием уже небольшого поля этот электрон сможет перемещаться против него, участвуя тем самым в электронной проводимости кристалла.

Во втором из рассматриваемых случаев картина оказывается обратной. На расположенные вблизи занятой зоны уровни акцепторов переходят электроны из заполненной зоны. Эти электроны, присоединившись к атомам акцептора, превращают их в отрицательные ионы. Таким образом, в этом случае «примерзают» к своим местам отрицательные заряды, не способные теперь участвовать в механизме проводимости тока. Но зато в заполненной зоне после перехода части электронов на акцепторные уровни остаются дырки. Ток в полупроводнике будет осуществляться главным образом за счет передвижения этих дырок. Таким образом, при наличии акцепторных уровней вблизи занятой зоны полупроводник обладает в основном дырочной проводимостью.

Пусть, например, в рассмотренную выше решетку германия введены атомы трехвалентного индия (рис. 2.74, в), во внешней оболочке которых имеются три электрона. Вследствие структуры решетки, атом индия должен будет стремиться к захвату еще одного электрона, которым может быть один из свободных электронов (по принятой выше терминологии — электрон из зоны электронной проводимости). Таким образом, электроны, которые при отсутствии примеси были бы свободны, «оседают» на атомах акцептора и подвижностью будут обладать главным образом дырки.

В зависимости от механизма проводимости мы будем называть такие полупроводники электронными или дырочными и обозначать соответственно буквами и (от слова «negativ», что означает отрицательный знак подвижного заряда) или р (от слова «positiv»—положительный).

В § 36 (пример 3) описан эффект Холла, с помощью которого можно определить экспериментально знак электрического заряда носителей в проводнике.

Относительное количество свободных электронов и дырок в собственном полупроводнике при любых реальных условиях весьма мало. Отсюда следует, что ничтожные примеси доноров или акцепторов (порядка миллионных долей) весьма сильно меняют электрические свойства полупроводников. Поэтому дозировка примесей при изготовлении полупроводников имеет решающее значение. Естественно, что дозировке должно предшествовать изготовление идеально чистых, лишенных примесей полупроводников. Обычными химическими методами достижение необходимой степени чистоты вещее iBa невозможно. В настоящее время с помощью ряда физических методов достигают такой степени чистоты, что атом примеси приходится на 1015 и даже 10” атомов полупроводника. Описание этих методов выходит за рамки нашего учебника.

Однако и при наличии активных примесей количество свободных носителей заряда в полупроводниках много меньше (в 10’—10s раз), чем в металлах. Поэтому электрическое сопротивление полупроводников значительно выше, чем металлов.

Перейдем теперь к рассмотрению свойств контактов полупроводников с различными механизмами проводимости, т. е. п- и р-полу- проводников. Выше, в § 22, мы рассмотрели явления, происходящие при контакте двух металлов. Различие в верхней границе энергии электронов в металлах приводило к их перераспределению. При контакте происходил переход части электронов из одного металла в другой; потенциалы металлов менялись так, что верхний уровень энергии электронов оказывался одинаковым в обоих металлах. При этом существенно, что из-за высокой концентрации электронов необходимый скачок потенциала (контактная разность потенциалов) обеспечивается переходом малой части электронов через тончайший поверхностный слой соприкасающихся металлов.

В полупроводниках концентрация свободных зарядов мала; возникающие в месте контакта поля проникают в полупроводники на значительную глубину (до 10-5 сл, т. е. в десятки раз большую, чем в металлах) и существенным образом перераспределяют свободные носители заряда в области контакта. Рассмотрим практически важный случай, когда контактный потенциал дырочного полупроводника выше, чем электронного. Это как раз имеет место

Рис. 2.75.Рис. 2.75.

Рис. 2.75.

Рис. 2.75.

в случае контакта примесных полупроводников германий -|-иидий (р-кристалл) и германий + мышьяк или сурьма (п-кристалл).

Область контакта окажется обедненной подвижными зарядами, например, в силу взаимного уничтожения встречающихся электронов и дырок. В области контакта в п-кристалле останутся ионы

атомов донора, заряженные положительно, а в р-кристалле — ионы атомов акцептора, заряженные отрицательно. Эти объемные заряды

ионов создадут поле, скачок потенциала которого показан условно батареей, нарисованной пунктиром (рис. 2.75). Поле в области кон

такта препятствует диффузии в нее с одной стороны подвижных дырок, а с другой — электронов.

Присоединим теперь к этому кристаллу стороннюю э. д. с. так, как это показано на рис. 2.76, а: минус — к n-кристаллу и плюс—■

к р-кристаллу. Внешнее поле будет уменьшать поле, созданное в области контакта, т. е. облегчит передвижение свободных носителей заряда в этой области. Ток через кристалл будет сравнительно большим. Переменим теперь полюсы внешней э. д. с. (рис. 2.76, б). В этом случае внешнее поле в области контакта действует так же, как и внутреннее, т. е. обедняет ее подвижными носителями заряда. Сопротивление этой области сильно возрастает, ток проводимости резко уменьшается. При данном напряжении внешнего источника э. д. с. прямой ток в десятки и сотни раз превышает обратный ток.

Приложим к нашему кристаллу с п — р-переходом переменную разность потенциалов U, меняющуюся со временем t по синусоидальному закону (рис. 2.77, о). Тогда в течение положительного полупериода, когда напряжение достигает максимальной величины + £/макс, в цепи будет идти сильный ток с наибольшим значением /Макс

В отрицательном же полупериоде при U=—UMaKC имеем /=—Агин> где /мин <^ ^макс •(28.1)

В результате в цепи пойдет почти выпрямленный ток, как показано на рис. 2.77, б, и полупроводник будет служить выпрямителем аналогично диоду (см. § 23).

При наличии контакта полупроводников различного типа друг с

другом или с проводником в цепи возникают такие же термоэлек-

АЛА.ААЛ.Рис. 2.77АЛА.ААЛ.Рис. 2.77трические явления, как и при контакте различных металлов (см. § 22). Однако порядок величины этих эффектов в полупроводниках значительно выше. Дело в том, что в полупроводнике движущийся электрон переносит и может передавать ионам решетки не только энергию своего теплового движения, имеющую порядок kT, но и во много раз большую энергию «диссоциации» Де, которая может выделиться при рекомбинации его с дыр

АЛА.

ААЛ.

Рис. 2.77

АЛА.

ААЛ.

Рис. 2.77

кой. Поэтому коэффициент пропорциональности 0, между потоком

тепла и током зарядов в полупроводниках значительно выше, чем в металлах. Отсюда вытекает, что коэффициенты Пельтье

„ оП12

П|11 = р,—р, и термоэдс е1)2 =-у-у полупроводников значительно больше, чем у металлов.

Полупроводниковые термоэлементы обладают в сотни раз большей чувствительностью, чем металлические термопары, и значительно большим к. п. д. преобразования тепловой энергии в электрическую. Составленные из них термобатареи могут стать весьма удобной «машиной» для получения электричества за счет тепла, машиной, отличающейся от других полным отсутствием движущихся частей. Например, небольшие полупроводниковые термогенераторы, изготовленные в виде абажуров, дают за счет тепла керосиновой лам

пы ток для питания лампового радиоприемника.

В СССР впервые в мире построен электрический генератор «Ромашка», который с помощью термоэлементов непосредственно превращает тепло, выделяемое при реакции деления атомных ядер («атомную энергию»—см. т. III, ч. III) в электрическую энергию.

Особенно широкие перспективы применения полупроводников в радиотехнике возникли после создания полупроводниковых усилителей (транзисторов). Для уяснения принципа работы транзисторов

представим себе германиевый кристалл с двумя внутренними переходами р — п — p-типа. На рис. 2.78 изображена принципиальная схема получения такого кристалла. На пластинку германия п-типа помещают с двух сторон кусочки индия и нагревают до расплавления последнего. При этом атомы индия диффундируют внутрь пластинки, создавая с обеих ее сторон" области с проводимостью p-типа. Центральная часть полученного кристалла называется ос- нованием или базой транзистора.

Включим между основанием и обоими участками p-типа две батареи в противоположных направлениях, как это показано на

рис. 2.79. Левая батарея включена в пропускном направлении р—n-перехода, и от эмиттера к базе идет ток /8 при сравнительно низком сопротивлении ги. Правая батарея включена в запорном направлении п—р-перехода, и от базы к коллектору идет ток /к при высоком сопротивлении переходного участка г„>ги-

Увеличим теперь ток эмиттера на некоторую величину Д/ При этом из эмиттера в базу будет поступать дополнительное количество дырок. Диффундируя к коллектору, эти дырки подхватываются полем батареи коллектора, и ток в цепи коллектора увеличивается на некоторую величину Д7К, по порядку величины близкую к Д/э. Изменения токов связаны с изменением напряжений по закону Ома; отношение

называется коэффициентом усиления транзистора по напряжению. Как видно из (28.2), этот коэффициент может быть достаточно большим, и, следовательно, небольшие изменения

напряжения в цепи эмиттера &UB смогут вызывать большие изменения напряжения ДС/К в цепи коллектора, аналогично тому, как это происходит в триоде (см. § 23). Роль управляющей сетки в данном случае играет левый электрод—эмиттер.

По сравнению с электронными лампами кристаллические полупроводниковые выпрямители и усилители имеют ряд преимуществ. Они малогабаритны, не имеют хрупких стеклянных частей и не нуждаются в затрате электрической энергии на нагрев катода. Они всегда готовы к работе, в отличие от электронных ламп, у которых предварительный разогрев требует нескольких минут. Недостатком транзисторов является сильная температурная зависимость их электрических характеристик. При перегреве полупроводника в нем возникает столь большое количество носителей электрического тока (электронов и дырок), что полупроводник становится проводником и теряет свои ценные свойства.

ЧАСТЬ III

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ГЛАВА VII

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ

§ 29. Развитие представлений о природе магнетизма

Магнитные свойства постоянных магнитов, их способность притягивать железные предметы были известны еще древним грекам. Земля также является магнитом, и явления земного магнетизма были использованы китайцами для создания компаса, т. е. свободно вращающейся магнитной стрелки, указывающей ориентацию стран

света.

В пространстве, окружающем намагниченные тела, возникает магнитное поле. Помещенная в это поле маленькая магнитная

стрелка устанавливается в каждой его точке вполне определенным

образом, указывая тем самым на- правлеиие поля Тот конец стрелки, который в магнитном поле Земли указывает на север, называется северным, а противоположный конец— южным. При отклонении стрелки от направления магнитного поля на стрелку действует механический крутящий момент Мкр, пропорциональный синусу угла отклонения а и стремящийся повернуть ее вдоль указанного направления (рис. 3.1).

Как мы видим, взаимодействие постоянных магнитов отличается от

взаимодействия электрических зарядов, но сходно с взаимодействием электрических диполей, испытывающих в однородном электрическом поле результирующий м о м е н т сил, но не силу (гл. 111, § 10). Подобно электрическому диполю, постоянный магнит в одно-

родиом магнитном поле стремится повернуться по полю, но не пе,- ремёщается~в'~цём1

Рис. 3.2.Рис. 3.2.Существенное отличие постоянных магнитов от электрических диполей заключается в следующем. Электрический диполь всегда состоит из зарядов, равных по величине и противоположных по знаку. Эти заряды можно отделить друг от друга и расположить на различных телах, например, разрезав диполь пополам по плоскости, перпендикулярной к оси диполя. Постоянный же магнит, будучи разрезан таким образом пополам, превращается, как показано на рис. 3.2, в два меньших магнита, каждый из которых имеет и северный и южный полюсы. Никакое деление не дает возможности получить отдельно источники северного и южного магнетизма— магнитные заряды. Причина этого состоит в том, что «магнитных зарядов» (или, как иногда неточно говорят, «магнитных масс») в природе не существует.

Рис. 3.2.

Рис. 3.2.

Подводя итоги сведениям о магнетизме, накопленным к 1600 г., Гильберт высказал мнение, что, несмотря на некоторое внешнее сходство, природа электрических и магнитных явлений различна. Все же к середине ХУШвека окрепло убеждение о наличии тесной связи между электрическими и магнитными явле

ниями. Однако природа этой связи тогда установлена быть не могла из-за отсутствия достаточно мощных источников тока.

В 1820 г. Эрстед открыл явление отклонения магнитной стрелки гальваническим током и тем самым сделал первый существенный шаг в выяснении хар а к тер а~~свя~з й~э лёктри ческих: й магнитных явлений. Затем ГейЗТюссак и Араго наблюдали намагничение железа постоянным током, идущим в проводнике. Ампер обнаружил притяжение между проводами, по которым проходят параллельные токи, и отталкивание между противоположно направленными токами. Им же была выдвинута гипотеза о том, что свойства постоянных магнйтов "обусловлены цйркулирующими в их толще постоянными круговыми ""токами "(м о л е к у л я р н' ы м и "токами).“

"Многочисленные последующие опыты показали, что магнитное поле тесно связано с электрическим током. Электрический ток порождает в пространстве вокруг себя магнитное поле, а проходя в магнитном поле другого тока, испытывает со стороны последнего механические воздействия.

Поскольку электрический ток представляет собой поток движущихся заряженных частиц, то сказанное означает, что магнитное поле порождается движущимися зарядами и что другие движу- щйе^"'з^яЗьГи^пытмают' в этом поле механические силы. По- коящиёся“ЁГаряды'П13^^по закону Кулона (Т.1Г). Это

взаимодействие сохраняется и при любом движении зарядов. Но в случае движения зарядов возникает дополнительное магнитное поле, обусловливающее появление добавочного, магнитного взаимодействия. ,

Однако начинать изучение магнитного поля с рассмотрения взаимодействия отдельных движущихся зарядов было бы слишком сложно. Поле отдельно взятого движущегося заряда состоит из электрического и магнитного полей, причем оба поля определяются положением заряда в пространстве, а значит, — для движущегося заряда — зависят от времени.

Значительно проще обстоит дело в случае электрических токов в проводах. При прохождении постоянного тока в линейном проводнике последний в целом остается нейтральным, так что электрическое поле вне проводников практически отсутствует, и мы имеем возможность изучать магнитное поле в чистом виде. Кроме того, это поле в случае постоянного тока не будет зависеть от времени: каждый из движущихся в проводнике зарядов дает свой переменный вклад в общее магнитное поле, но поток заря

женных частиц в каждом участке проводника не меняется со

временем.

При этом, однако, возникает следующая трудность. Контур с постоянным током всегда замкнут. Очевидно, что магнитное поле контура с током зависит от его размеров и фбрмы.^СГГэтйх^же величин зависит и механическое воздействие, испытываемое контуром с током, помещенным во внешнее магнитное поле.

б электростатике подобного рода "трудность не"имеет места;

любое распределение зарядов можно рассматривать как систему

точечных зарядов, взаимодействие которых легко может быть изучено. В случае магнитного _поля токоз_,£гпко нельзя: реально неосуществим беско-I иечно малый отрезок постоянного тока.]

Для непосредственного измерения механических воздействий в магнитном поле пробный элементарный ток целесообразно выбрать не в виде отрезка проводника с током, а в виде самостоятельного замкнутого тока—плоской рамки площадью 5, обтекаемой постоянным то

ком /. В качестве положительной нормали, или, для краткости, просто нормали, к поверхности рамки выберем нормаль, связанную с током I правилом правого винта. На рис. 3.3 изображена пробная рамка с током и единичный вектор нормали п. Как следует

из опыта, в однородном магнитном поле рамка с током не пере

мещается в пространстве, а лишь поворачивается, т. е. на нее

действует некоторый крутящий момент сил Мкр. Рамка находится в равновесии (устойчивом), если направление ее нормали и совпадает с направлением магнитной стрелки (от южного полюса к северному), помещенной в то же место магнитного поля (см. рис. 3.4).

Магнитное поле будем характеризовать с помощью вектор а ^1Л г н и т н ой индукции "В 3 а на правление В в дан ной точ'ке примем в соответствии со сказанным выше направление вектора нормали п к поверхности элементарного контура с током, установившегося в положении равновесия (устойчивого) в этой точке поля. Как и в случае электрического поля, мы можем ввести для наглядности линии ин дукции магнитного поля. Эти линии, касательные ж1Гкоторым в каждой их точке совпадают ~с~нГап’равлениём

Рис. 3.4.Рис. 3.5.

вектора магнитной индукции В в этой точке, изображены на том же рис. 3.4. Т> величине вектора магнитной индукции В мы будем судить по величине крутящего момента, испытываемого пробной рамкой при ее повороте в магнитном поле, и определим В как величину, прямо пропорциональную этому моменту:

В-Л4кр. (29.1)

Опыт показывает, что в данной точке поля крутящий момент, действующий на рамку, прямо пропорционален ее площади S (независимо от формы рамки), току I и синусу угла а между направлением вектора индукции В и нормалью к поверхности рамки п:

Л4кр ~ /Ssina. (29.2)

Вводя обычным образом коэффициент пропорциональности к', численное значение которого определяется выбором системы единиц, можно объединить соотношения (29.1) и (29.2) в одно:

J4Kp=A'/S5sina. (29.3)

Крутящий момент есть вектор. Этот вектор Мкр перпендикулярен к плоскости вращения, проходящей через векторы п и В, как показано на рис. 3.5, так что векторы п, В и Мкр образуют правую систему координат. Так как абсолютная величина векторного

(29.4)(29.4)произведения [пхВ] равна | [n X В] |= 1 -В sin (п, В) = В sin а, то соотношение (29.3) в векторной форме примет вид

(29.4)

(29.4)

Мкр = к" S [п х В] = [A7Sn X В].

Сопоставляя (29.3) и (29.4) с формулой (10.2), мы видим, что величина /5п играет ту же роль, что и вектор момента электрического диполя в однородном электрическом поле. Обозначим эту величину через рт и назовем ее по аналогии магнитным моментом контура с током:

рот = А75п=ргеп. (29.5) Тогда выражение (29.4) для крутящего момента, действующего на контур с током в магнитном поле, примет вид

(29.6)(29.6)(29.7)(29.7)Мкр=[р„ХВ],

(29.6)

(29.6)

(29.7)

(29.7)

так что для модуля AfKp имеем

MK¥=PmB sin (рТв).

Соотношение (29.6) позволяет определить величину вектора магнитной индукции В в данной точке. Если поместить в эту точку элементарную рамку с единичным магнитным моментом рт — 1 и повернуть ее плоскость вдоль линий поля так, чтобы угол (рт, В) = = а=90° и since— 1, то В=714кр.

Таким образом, располагая пробной рамкой с известным маг

нитным моментом рт, мы можем изучать различные магнитные

поля. Единственное условие состоит в том, что поверхность рамки должна быть настолько малой, чтобы поле в области рамки было практически однородно, т. е. вектор В был бы одинаковым во всех точках на поверхности рамки.

Если контур с током достаточно велик, то уже нельзя считать магнитное поле внутри контура однородным и применять к нему формулы (29.3)—(29.7). Для нахождения воздействия магнитного поля на такой кон

тур следует мысленно расчленить его

на совокупность большого числа бесконечно малых контуров с тем же током /, как это показано на рис. 3.6. Как видно из рисунка,

токи на соприкасающихся границах выделенных внутренних контуров взаимно уничтожаются, так что суммарный ток не отличается от исходного. Внутри каждого из этих элементарных контуров можно считать магнитное поле практически однородным и вычислять Мкр

по приведенным выше формулам. Механическое действие магнитного поля на весь контур определится тогда сложением механических воздействий на каждый из элементарных контуров.

Помимо макроскопических токов, идущих в проводниках, в любом теле существуют микроскопические токи, создаваемые движением электронов в атомах и молекулах. Эти микроскопические молекулярные токи создают свое магнитное поле и могут поворачиваться в магнитных полях внешних токов. Если возле какого-либо тела поместить проводник с током (макроток), создающий вокруг себя магнитное поле, то под действием этого поля микроскопические токи во всех атомах будут определенным образом поворачиваться и создадут в теле дополнительное поле. Таким образом, вектор магнитной индукции В характеризует результирующее магнитное полё7 создаваемое^ макро- и~м'икротоками. При одном и том же токе / в проводе и прочих равныхусловиях_£елй- чина вектора"В‘в~разл11чных средах будетиметь разные значения,.

Для характеристики магнитного поля, создаваемого самим макро- током, ввёдёй ТСпОмогатеЛБнбё"~пбнятйё ве к т оран а п“ р я ж е н- ности магнитного п~о л я Н, не зависящего от свойств среды. В абсолютной гауссовой системе единиц при отсутствии намагничивающихся тел, т. е. в вакууме *), вектор Н совпадает с вектором В:

Ввав = Н. (29.8)

В системе единиц СИ Вван отличается от Н постоянным численным и размерным множителем ц0:

ВВак=В,Н. (29.8а)

По аналогичному поводу (введение размерной электрической постоянной е6) мы уже сделали ряд замечаний (см. § 5). Здесь также следует отметить, что представление магнитного поля тока в вакууме Ввак в виде двух зависимым образом определяемых величин лишено фййийеёйб^б ёййсЛа. Не обсуждая здесь вопроса о том, окупается ли это более Простой записью формул, мы приводим эту систему как общепринятую.

В системе СИ величину р0 принято называть магнитной п остшгтгтго~й.'НЗ^сошотпий^угсОТТТТ^йст^^^ единиц при наличии среды

В = рН (29.9)

и безразмерная величина ц показывает, во сколько раз магнитное поле макроскопических токов Н усилено за счет поля микротоков

среды. Как мы видели, р,0 этого не отражает, поскольку Н в системе СИ есть не физически наблюдаемая, а просто вспомогательная величина.

В системе СИ характеристикой среды является размерная величина ца:

В = №ак=№Н^цаН.(29.10)

Эту величину, равную, как это следует из (29.10),

Н^ННо,(29.11)

называют в системе СИ абсолютной магнитной проницаемостью, а величину ц— магнитной проницаемостью данной среды.

Легко видеть, что можно~для "общности написания формул писать в них множитель ц0, помня, что в гауссовой системе единиц величина ц0= 1 и безразмерна.

Мы начнем изучение магнитных полей с простейшего случая магнитного поля линейных токов в вакууме, т. е. с изучения поля вектора напряженности Н.

§ 30. Магнитное поле тока

,—Calion био-Со^орс— Лоии<>еА „

Магнитное поле постоянных токов изучалось Био и Саваром, окончательная формулировка найденного ими закона принадлежит Лапласу. Поэтому закон, с помощью которого выражается магнитное поле постоянных токов, носит название закона Био — Сав а р а — Л а п л а с а.

Выше отмечалась основная трудность, связанная с формулировкой такого закона. Магнитное поле линейного тока зависит не только от величины тока /, но и от формы контура с током. В электростатике поле распределенных зарядов Е также зависит от их расположения в пространстве. Однако там это поле можно было представить как сумму полей точечных зарядов dE, причем поле точечного заряда могло быть непосредственно выделено и изучено. В случае постоянных токов мы также можем полагать, что результирующее поле Н есть сумма полей dH, созданных отдельными элементами тока. Но измерить и изучить поле одного изолированного элемента постоянного тока невозможно: любой постоянный ток течет по замкнутому контуру.

Единственный путь преодоления э%юй трудности состоит в следующем.

а) Предположим, что в любой точке пространства магнитное поле Н, создаваемое всем током в целом, складывается из полей dH, создаваемых элементами этого тока в этой точке. Будем считать, что для магнитных полей, как и для электрических, имеет место

7 Г. А Зисман и О. М Тодес

принцип суперпозиции (наложения), и полная напряженность магнитного поля Н дается векторной суммой (или интегралом) эле-

Рис. 3 7.Рис. 3 7.ментарных напряженностей:

Рис. 3 7.

Рис. 3 7.

H = $dH. (30.1)

б) На основании изученных полей предположим математическую формулу закона, дающего выражение магнитного поля dH мысленно выделенного элемента тока. Если вычисленные на основе б) и с учетом а) магнитные поля для любых контуров будут иметь значения, подтверждающиеся опытом, то высказанные предположения можно считать

правильными.

Пространственное распределение токов в каждой точке характеризуется вектором плотности тока j. Выделим бесконечно малый элемент объема dV в виде цилиндра, площадь основания которого dS перпендикулярна к j, а высота dl направлена вдоль j (diff j), как показано на рис. 3.7. Элемент тока, создающий магнитное поле, характеризуется величинами j и dV и равен

\dV=\dSdl=jdSd\=I dl, '(30.2)

где 1= jdS—полный ток, проходящий через площадку dS.

Для линейных проводников, толщина которых пренебрежимо

мала по сравнению с расстоянием от них г, на котором определяется напряженность магнитного поля, мы будем пользоваться выражением (30.2), где /—ток в проводнике, a dl—элемент длины проводника. По закону Био—Савара—Лапласа магнитное поле dH, создаваемое элементом тока Idl на расстоянии г от него.

обратно пропорционально квадрату расстояния и прямо пропорционально величине элемента тока и синусу угла Р между

векторами Idl и г, т. е.

-.(30.3)-.(30.3),, I dl sin Вdn—R;-

-.(30.3)

-.(30.3)

Как показано на рис. 3.8, вектор dH перпендикулярен к пло-

скости, проведенной через векторы /dl и г по направлению их векторного произведения [/dl х г]. Поэтому в векторной форме закон Био—Савара—Лапласа может быть записан в виде

dH = *dH = *Г/ dlx—1Lr JггГ/ dlx—1Lr Jгг= k= k[/dlxr[г®[/dlxr[г®(30.4)(30.4)

dH = *

dH = *

Г/ dlx—1

Lr J

гг

Г/ dlx—1

Lr J

гг

= k

= k

[/dlxr[г®

[/dlxr[г®

(30.4)

(30.4)

где г'г— единичный вектор, указывающий направление радиус-

вектора г,——

Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора системы единиц расстояний, токов и полей и, следовательно, должен быть связан с введенным выше по формуле (29.8а)

множителем ц0.

Закон*Тйо—Савара—Лапласа был первоначально установлен для постоянного тока в проводниках — тока проводимости. В дальнейшем справедливость этого закона была подтверждена и для других форм движения электрических зарядов.

Для изучения магнитных полей конвекционных токов русский физик А. А. Эйхенвальд в 1901 г. сконструировал специальную установку, схема которой изображена на рис. 3.9. Два соосных диска А а В могут независимо вращаться с произвольной угловой скоростью. Изнутри диски по краю обклеены станиолем. Оба

Рис. 3 8.Рис. 3 8.станиолевых колечка заряжаются от противоположных полюсов батареи и тем самым образуют плоский конденсатор. На каждой из пластин конденсатора распределен заряд ±q, численно равный

Рис. 3 8.

Рис. 3 8.

Рис. 3.9.Рис. 3.9.q=CU, (30.5) где С—электроемкость конденса- _тора, a U—приложенное напря-

Рис. 3.9.

Рис. 3.9.

Приведем во вращение, например, положительно заряженный диск со скоростью п об/сек. Тогда через любое неподвижное сечение, например показанное на рис. 3.9 штрих-пунктиром, заряд q 7*

будет в единицу времени проходить п раз. Следовательно, конвекционный ток через это сечение равен

/ковв=^.(30.6)

Величина и направление магнитного поля Н, создаваемого этим током в произвольной точке /И, измерялись с помощью маленькой магнитной стрелки, помещавшейся в эту точку. То же самое можно было сделать и при вращении второго диска или обоих вместе. Затем вращение дисков прекращалось, диски отключались от батареи, и через станиолевый электрод пропускался постоянный ток проводимости. Для этого колечко включалось во внешнюю цепь, как показано на рис. 3.10. Ток проводимости / измерялся гальванометром Г и регулировался реостатом R. Когда величина I становилась равной /конв, то магнитное поле в точке Af оказывалось точно таким же, как и в случае вращения пластины конденсатора.

Видоизменяя опыт, Эйхенвальд помещал между дисками Ан В пластинку из диэлектрика D. Эта пластинка поляризовалась, и на внешних ее поверхностях появлялись связанные с диэлектриком поляризационные заряды. Вращение одного диэлектрика создавало в колечках два тока взаимно противоположных направлений, магнитные поля которых в точке М не полностью компенсировало друг друга. Чтобы создать такой же ток проводимости, стороны пластинки покрывались проволочными спиралями, ток по которым шел в противоположных направлениях (рис. 3.11).

Во всех случаях Эйхенвальд наблюдал, что конвекционный ток, возникающий при переносе свободных или связанных зарядов, создает точно такое же магнитное поле, как и ток проводимости той же величины. Следовательно, магнитное поле конвекционных токов может также рассчитываться по закону Био — Савара—Лапласа (30.4).

Наконец, в 1911 г. А. Ф. Иоффе проверил на опыте справедливость этого закона для пучка электронов, летящих в вакууме. Схема

установки Иоффе изображена на рис. 3.12. Пучок электронов, вылетающий из накаленного катода, ускорялся электрическим полем и выпускался через щель в аноде А. Двигаясь далее по инерции в вакууме,электроны собирались металлическиммай

Рис. 3.12.Рис. 3.12.цилиндром и отводились в землю. Электронный ток измерялся гальванометром Г. Напряженность магнитного поля определялась по углу закручивания тонкой нити, к которой были подвешены две магнитные стрелочки, как это показано на рисунке. После измерения электронная труб-

Рис. 3.12.

Рис. 3.12.

ка заменялась прямым

проводом, по которому пропускался точно такой же ток проводимости. Опыт подтвердил, что угол закручивания нити, а следовательно, и напряженность магнитного поля в обоих случаях оди

наковы.

С помощью закона Био — Савара — Лапласа (30.4), применяя принцип суперпозиции (30.1), можно вычислить магнитное поле

любых систем токов. В случае распределенных по объему токов в этих формулах, в ^обТйеТствии с соотношением (30.2), следует заменить выражение для элемента тока /<71 = j<7S<7/ на idV. Таким образом, закон Био — Савара —Лапласа играет в учении о магнетизме ту же роль, что и выражение (2.2) для напряженности электрического поля"точечнигь-заряда.

Рассмотрим два примера применения закона Био — Савара — Лапласа для вычисления магнитных полей линейных проводников с током.

Вычислим с помощью (30.4) напряженность поля Н, создаваемого бесконечным линейным током, в точке /И, находящейся на расстоянии Д от этого тока (рис. 3.13). Как видно из чертежа, направление <7Н в точке М остается одинаковым для любых элементов тока 7 <71: <7Н перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами <71 и г (т. е. плоскости рисунка) и направлено

(30.8)(30.8)Таким образом, напряженностьТаким образом, напряженностьРис. 3.14.Рис. 3.14.

(30.8)

(30.8)

Таким образом, напряженность

Таким образом, напряженность

Рис. 3.14.

Рис. 3.14.

на нас, независимо от положения отрезка dl на линейном токе. Следовательно, геометрическая сумма полей dH превращается в алгебраическую, и, зная направление dH, а следовательно, и результирующего поля Н, нам достаточно определить лишь его величину. Закон Био—Савара—Лапласа дает согласно (30.3)

dH=kI-^-dl. (30.7)

Для интегрирования нужно переменные г, /, $ выразить через одну какую-либо из них. В качестве переменной интегрирования выберем

угол р. Имеем

Sltl Р *—/ = 2?ctgP,а sin’P ‘

Подставляя (30.8) в (30.7), находим

dH-fe/^sinp^M-^smpdfk(30‘9>

Интегрируя по всему интервалу 0 ^ Р л, отвечающему области проводника от 1=—оо до / = + °°, находим

л

Нл. т = 6 4 f sin р dp=6 4- [COS р]°=k -L [1 - (-1)] = к. (30.10)

о

магнитного поля бесконечного линейного тока Нп т по величине пропорциональна току и обратно пропорциональна расстоянию от него. Направление Н видно из рисунка.

Полученный результат останется неизменным, если вращать всю плоскость, в которой лежат ток I и точка М (т. е. радиус-вектор г), вокруг оси, совпадающей с линией тока. Отсюда следует, что линии напряженности магнитного поля, касательными к которым являются векторы Н, представляют собой концентрические окружности, изображенные на рисунке 3.14.

Этот результат является хорошим приближением для поля линейного тока в точках, близких от проводника и далеких от его границ.

Так как согласно (30.10) Н ~ \jR, то чем ближе к току, тем гуще расположены линии напряженности. На оси тока (/?=0) напряженность поля должна быть бесконечно велика. Однако бесконечно тонких проводов не бывает. Следует помнить, что

в соответствии с выводом (30.10) это выражение справедливо на расстояниях R, больших по сравнению с диаметром провода it.

Ьесконечно длинных проводников также не бывает. Однако если длина проводника L достаточно велика по сравнению с R, го выражением (30.10) без большой погрешности можно пользоваться. Таким образом, это выражение практически пригодно для расчета магнитного поля тока, идущего по прямому проводу конечных размеров, при условии

d<R<L.(30.11)

В качестве второго примера применения закона Био—Савара— Лапласа вычислим напряженность магнитного поля на оси кругового тока. Пусть окружность, обтекаемая током /, имеет радиус R (рис. 3.15). Определим напряженность магнитного поля Н в точке /И, лежащей на оси окружности с током на расстоянии г0 от ее центра.

Как видно из рисунка, dlj_r> следовательно, dH по величине равно

dH=h1-^-.(30.12)

При этом dH составляет с осью ОМ угол а. Заметим, что любому элементу dl отвечает диаметрально противоположный элемент dV, который дает такую же составляющую на ось ОМ: dH(|=dH(|f а также перпендикулярную к ОМ составляющую dH^= —dH^. Следовательно, при сложении всех составляющих dH^ (интегрировании по всему контуру) все они взаимно уничтожатся, в to время

как составляющие йНц будут складываться. Следовательно, результирующее поле Н будет направлено по оси 0714 (что можно было, впрочем, сразу сказать по условию симметрии задачи относительно оси). Зная направление, мы можем теперь определить величину Н, сложив составляющие dH\\ всех элементов контура. Имеем

dH^ = dH cosa = k^~ cos a. (30.13)

Следовательно, гл/?

C dl = k^R^.(30.14)

о

Заменяя г2 его выражением через радиус тока R и расстояние точки наблюдения поля от центра окружности г0;

гг = ^ + г»

и аналогично

рcosa = — =г

R

(Ф+г^*’

Таким образом, магнитное поле витка с магнитным моментом рт на его оси меняется по такому же закону, как и электрическое поле электрического диполя на его оси (с точностью до коэффициента й/й', определяемого выбором системы единиц). Точный расчет показывает, что на больших расстояниях от витка вся структура

магнитного поля витка будет такой же, как и электрического поля диполя:

Н = —Cos6—nV (30.19)

Этим мы установили некоторую эквивалентность витка по отношению к магнитному полю и диполя — к электрическому полю: 1) магнитное поле витка с током на большом расстоянии от него имеет ту же структуру, что и электрическое поле диполя также на соответствующем расстоянии от него, и 2) механические силы, испытываемые витком с током в магнитном поле, такие же, как для диполя в электрическом поле.

Подчеркнем еще раз, что это не означает одинаковой природы электрического и магнитного полей: электрическое поле обладает источниками — электрическими зарядами; магнитное же поле такими источниками не обладает — магнитных зарядов в природе нет. И если механические силы, испытываемые электрическим диполем в поле Е и витком с током в поле В, одинаковы, как одинакова структура полей Е диполя и Н витка, то внутри диполя и витка с током вид полей Е и Н совершенно различен. К этому вопросу мы вернемся ниже (см. § 48).

§ 31. Действие магнитного поля на ток.Взаимодействие параллельных токов

Крутящий момент, испытываемый рамкой с током в магнитном поле, есть результат воздействия на отдельные элементы рамки I d\ механических сил dF. В предыдущем параграфе указывалось, что нельзя наблюдать поле dH, создаваемое одним элементом постоянного тока /dl, так как этот элемент нельзя отделить от остального

участка цепи с током, создающей результирующее магнитное поле Н. В отличие от этого механическое действие dF, испытываемое отдельным элементом контура с током, помещенного во внешнее поле В, может быть непосредственно измерено.

На рис. 3.16 изображена схема подобного опыта. Батарея ^0 создает ток I в кон

туре, одна из сторон кото

рого длиною / сделана подвижной и может скользить (или катиться) вдоль двух других. Если внести этот контур во внешнее магнитное

поле В, то на подвижную сторону будет действовать механическая сила F, величину которой можно измерить с помощью динамометра. Опыт показывает, что величина этой силы может быть выражена через вектор магнитной индукции В (см. (29.3)):

(31.1)(31.1)F=h'HB,

(31.1)

(31.1)

где к' — коэффициент пропорциональности, величина и размерность которого, как все!да, определяются выбором системы единиц, а сама сила F направлена перпендикулярно току и линиям индукции, как это показано на рис. 3.16.

В общем случае элемента тока 1 d\, расположенного под некоторым углом к линиям индукции В, выражение для величины механической силы т/F дается законом Ампера:

(31.2)(31.2)(31 3)(31 3)dF = к'j dl В sm ^ di, В),

(31.2)

(31.2)

(31 3)

(31 3)

или в векторной форме:

dV=k' [/dlx B] = fe'/[dtx В).

Направление вектора dF может быть найдено согласно (31.3)

по общим правилам векторного произведения или по различным мнемоническим правилам. Приведем ,.Д0ижериводно из них —правилолевой

руки (рис. 3.17): если направить указательный палеи, по полю, а средний—по направлению тока, то отогнутый большой палец левой руки будет показывать направление силы, действующей на ток.

Можно установить, что из закона Ампера (31.3)вытекает выражение (29 4) для крутящего момента, действующего на виток с током в магнитном поле, и что, следовательно, эти два выражения эквивалентны. Покажем это

для простейшего случая рамки со сторонами Z и а, ориентированной в поле так, как это изображено на рис. 3.18.

На рис. 3.18, а ось вращения ОО' прямоугольной рамки перпендикулярна к вектору индукции однородного поля В. На рис. 3.18,6 та же рамка изображена «сверху» так, что ось ОО* перпендикулярна к плоскости рисунка; видно, что силы, действующие на вертикальные стороны рамки, не проходят через ось ОО и образуют пару, момент которой Мкр, согласно (31.2), по модулю равен

MK6=F1h=k'IlBa sina==A75Bsina= pmBsina. (31.4)

Под действием этой пары сил рамка стремится повернуться так, чтобы ее нормаль п, а следовательно, и магнитный момент рт совпали по направлению с вектором индукции поля В.

Величина (31 4) крутящего момента и его направление для рамки с магнитным моментом рт в поле В полностью совпадают с приведенными ранее в формулах (29 3) и (29 7). Совершенно такрй же результат, но много более сложным путем получаем для рамки произвольной формы (плоской). Тем самым мы будем считать дока- дзанным полную эквивалентL ность данного в § 29 опреде

ления действия магнитного поли на элементарную рамку с током и формулы Ампера.

На рис. 3.19 изображена рамка с током, плоскость кото-

Рис 3 19Рис 3 19рой совмещена с плоскостью чертежа. Вектор В перпендикулярен плоскости чертежа и направлен к нам (на рисунке это изображено точками) Ток / в рамке идет по часовой стрелке; нормаль к рамке п и ее магнитный момент рт направлены за плоскость чертежа (что изображено крестиком). По закону Ампера (31 3) на каждый элемент тока I dA действует сила dF в плоскости чертежа, перпендикулярная к элементу тока и направленная внутрь рамки. Момент всех этих сил относительно любой оси, лежащей в плоскости рамки, равен нулю, так как линия действия каждой силы dF пересекает эту ось. Поэтому полный вращающий момент Мкр рамки также равен нулю. То же следует и из формулы (29 7), так как в данном случае векторы рт и В антипараллельны, a sin 180° = 0. В однородном поле В= const геометрическая сумма элементарных сил dF будет равна нулю, и рамка останется неподвижной Действующие по контуру элементарные силы лишь сжимают рамку со всех сторон.

Рис 3 19

Рис 3 19

Рис..3.20.Рис..3.20.

Рис..3.20.

Рис..3.20.

Легко видеть, что это равновесие рамки в поле (pm f| В) неустойчиво. При малейшем повороте рт возникнет пара, которая будет стремиться поворачивать рамку далее так, чтобы рт стало параллельно В. В дальнейшем, говоря о равновесии рамки в поле, мы будем иметь в виду именно это устойчивое равновесие (pm f f В), которое изображено на рис. 3.20. Ток I в этом случае идет против часовой стрелки, и магнитный момент pm = k'ISx\ = k'ialn параллелен вектору индукции В. Линии суммарных сил, действующих на стороны рамки, либо проходят через ось ОО', либо параллельны ей и не дают крутящего момента, а лишь растягивают рамку во все стороны. ^ Разберем важный случай применения формулы Ампера для расчета механического (иногда называемого «пондеромоторным»)

взаимодействия токов, позволяющий установить системы единиц. Рассмотрим два практически бесконечных параллельных линейных тока It и /2, расположенных иа расстоянии R друг от друга в однородной среде

(31.5)(31.5)с магнитной проницаемостью р. Ток 1г создает вокруг себя магнитное поле, линии напряженности которого представляют концентрические окружности (рис. 3.21). Согласно (30.10) напряженность этого поля в точках, где находится второй проводник, равна

(31.5)

(31.5)

Н = А— П1| 2 R R

Вектор магнитной индукции в однородном веществе («магнетик е») равен

07

Sll2=P0^1,2 = PPofe-^L-(3L6)

По закону Ампера сила, действующая со стороны этого магнитного поля на элемент тока второго проводника, равна

dF^^k B^^dlsin^dl, В12 2) = й'рц0А —^ rfZ(31.7)

и направлена в сторону первого тока. Эта сила притяжения на единицу длины проводника составит

A,i = -gr = №6^(31-8)

Выражение (31.8) симметрично относительно токов /, и /2, и, следовательно, на единицу длины первого проводника со стороны второго действует точно такая же сила притяжения f11V=J\,2-

Если оба тока /, и /2 идут в противоположных направлениях (рис. 3.22), то между ними действуют силы отталкивания, величина которых может быть вычислена по той же формуле (31.8).

Системы единиц. Единицы измерения тока,магнитной индукции и напряженности магнитного поля

Рассмотрим взаимодействие двух параллельных проводников в вакууме (р, = 1). Тогда согласно (31.8) сила взаимодействия на единицу длины проводника равна

(32.1)

Мы уделим основное -внимание двум наиболее важным в наши дни системам — СИ и абсолютной гауссовой, с которой, как более простой, мы и начнем.

В гауссовой системе единиц (как и других абсолютных системах) р0 = 1, так что (32.1) принимает вид:

" = (32.2)

Произведение коэффициентов кк', входящее в выражение (32.2), подлежит опытному определению. Их численные значения и размерности зависят от выбора единиц измерения остальных входящих в (32.1) механических и электрических величин.

Гауссова абсолютная система единиц. Напомним, что единица заряда в системе СГС уже определена (см. § 1). Тем самым определена и единица тока: сида тока равна единице, если через поперечное сечение проводника в 1 сек проходит единица заряда.

Как уже указывалось выше, при определении величины магнитной индукции В по крутящему моменту рамки мы должны в общем случае положить

(29.3)(29.3)AlKp=fc7SSsina,

(29.3)

(29.3)

(31.3)(31.3)что следует из закона Ампера

(31.3)

(31.3)

rfF=A7[dlxBJ.

Для вычисления силы взаимодействия линейных токов в вакууме мы должны применить закон Био — Савара — Лапласа

(30 4)

и закон Ампера (31.3) при В = Н

(32.3)(32.3)^ = £7^1 ХН].

(32.3)

(32.3)

Отсюда для силы, действующей на единицу длины одного из двух параллельных токов./t и /а, находящихся на расстоянии R, получим

(32.2):

В этой формуле определены единицы всех входящих в нее величин. Задача состоит, следовательно, в определении размерности и величины произведения Ай'. Сравнивая размерности левой и правой частей равенства

(32.4)

находим

\кк'\ = см"г се«2 = ^ ,\кк'\ = см"г се«2 = ^ ,(32.5)(32.5)

\кк'\ = см"г се«2 = ^ ,

\кк'\ = см"г се«2 = ^ ,

(32.5)

(32.5)

(32.6)(32.6)(32.7)(32.7)

(32.6)

(32.6)

(32.7)

(32.7)

т. е. размерность кк' равна размерности квадрата обратной вели- чищя скорости. Численное значение этой величины может быть определено только на опыте. Эксперимент дает

кк* = — ,с2 '

где с^З-Ю10 см/сек—скорость света в вакууме. Соотношение (3'2.Ь) оставляет произвол в выборе к w к'. В абсолютной гауссовой системе единиц полагают:

к'= к = -С

Таким образом, выведенный выше основные законы приобретают симметричный вид:

закон Био — Савара — Лапласа

dH

1 [dlXH

(32.8)

закон Ампера

dF = 4 l^xH]

(32.9)

или, при наличии среды,

dF = l[dlxB],(32.9а)

Выражение (32.2) в гауссовой системе примет вид

(32.10)(32.10)^ —J_ 2^2 dl с% R

(32.10)

(32.10)

где F выражено в динах, dl и R—в сантиметрах, с—в см[сек и 1г и 1г—в гауссовых единицах силы тока.

Магнитное поле бесконечного линейного тока (30.10) при указанном значении постоянной к примет вид

(32.11)

Отсюда определение единицы напряженности магнитного поля — э р с т е д:' эрстед есть напряженность магнитного поля бесконечного линейного тока силой в с СГС ед. тока (=10 а) на расстоянии 2 см от тока (учет двойки в числителе). , Размерности напряженности магнитного поля Н и индукции В совпадают, так как в системе СГС В=рН, где р— безразмерная величина. В вакууме р = 1 и В = Н.

Единица индукции В носит название гаусса (гс) (В гауссов = —pH эрстед).

В электронике, физике атома и атомного ядра, физике элементарных частиц величины е0 и р0, как правило, не вводятся. Для этих и ряда других разделов физики и техники абсолютная система единиц Гаусса остается одной из наиболее удобных.

Остановимся кратко еще на двух абсолютных системах единиц— - электростатической (СГСЭ) и электромагнитной (СГСМ). Обе эти системы, как и система Гаусса (СГС), исходят из трех основных единиц: массы (г), длины (сл/), времени (сек) и никаких добавочных произвольных единиц не вводят (отсюда и термин—пожалуй, не совсем удачный — «абсолютные» системы, хотя в них, конечно, три исходные единицы выбраны произвольно).

Система СГСЭ. Отличие системы СГСЭ от СГС состоит лишь в том, что вместо (32.7) принимается

к’=\, к = ^ .(32.7а)

В результате единицы всех электрических величин и тока оказываются такими же, как в гауссовой системе, магнитные же единицы отличаются, притом весьма неудобным образом (см. приложение I). е и р определяются, как и в СГС.

Система СГСМ практически удобнее и использовалась чаще, чем СГСЭ. Ее отличие в ином определении производных единиц.

В качестве исходного берется уравнение (32.5), описывающее взаимодействие токов, а не (1.4), описывающее взаимодействие зарядов. В соответствии с этим коэффициент пропорциональности kk’ в (32.5) принимается равным единице:

&й' = 1,(32.76)

и далее, из (32.5) определяется единичный ток:

Бесконечный линейный ток в 1 СГСМ ед. тока взаимодействует с параллельным и равным ему током, находящимся от него на расстоянии в 2 см, так что отрезок тока в 1 см испытывает силу в 1 дину.

Читатель легко проверит, что" 1 СГСМ ед. тока=10 а. 8 и -ц определяются так же, как в системе СГС. Заметим, что удобная единица силы тока — единственное, но часто решающее преимущество этой системы перед системой СГС, где единица тока, равная 10 ale, как правило, неудобна.

Единица заряда определяется в СГСМ через единицу тока: при токе в 1 СГСМ через поперечное сечение проводника прохо- диг в 1 сек 1 Сгсм-ед. заряда (10 кулонов).

Сказанного достаточно, чтобы читатель мог при желании определить все интересующие его величины и писать формулы в этих системах. Сводка единиц, их размерностей и переводных коэффициентов систем СГС, СГСЭ, СГСМ и СИ приведена в приложении I.

Ныне принятая международная система единиц СИ, оперирующая практически удобными единицами, широко применяется в электро- и радиотехнике и ряде других разделов техники. К определению этой системы мы и переходим.

Международная система единиц СИ (Сисгема Интернациональная). Три исходные единицы: масса (кг), длина (ж) и время (сек). Основной особенностью этой системы является введение четвертой «независимой» единицы—силы тока — ампера. Это удобно пра ктически, хотя введение добавочной единицы физически не оправдано.

Ампер—сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызывал бы между этими проводниками силу в 2-10~7 н!м,,

Единица заряда, как и в СГСМ, определяется через единицу силы тока и равна кулону.

В этой системе для «рационализации» записи формул принимают

так что в единицах СИ формула (32.1) имеет вид

(32.12)(32.12)^_ Цо 2/,/гdl 4л А? "

(32.12)

(32.12)

В этом выражении все величины кроме ц0 определены в единицах СИ (ток /—в независимых единицах—амперах). Следовательно, размерность ц0 определяется в этих же единицах из (32.12), а величина — из опыта. Иными словами, в СИ величина (Хо определяется так, чтобы при /, выраженном в амперах, dtwR—в метрах сила F была выражена в ньютонах.

Чтобы получить значение ц0, перейдем в (32.12) к конечным величинам, положив dl равным одному метру. Полагая далее R = 1 м, 11=1г=\ а, получим, учитывая приведенное выше определение ампера:

2-Ю-’ н = 2 а2.

(32.13а)(32.13а)ПосколькуПосколькуОтсюда размерность и величина ц„: Г|т0 = 4л-10-’ н/а2.

(32.13а)

(32.13а)

Поскольку

Поскольку

1 н-дж/м^вт- сек■ м~1 = а- в- сек- м~\

можем переписать ц0 в более удобном для использования виде:

цо = 4л• 10-’ в-сек-м-х • а'\ ^(32.136)

Для читателя, не забывшего из школьного курса определение единицы индуктивности генри (г я), приведем еще одно удобное выражение для ц которое будет выведено нами далее, на стр. 270:

|л0 = 4л(32.1 Зв)

Таким образом, А, А' и ц0 определены. Закон Био — Савара — Лапласа (при отсутствии среды) принимает вид

(32-14)

что в соответствии с (30.10) для напряженности магнитного поля бесконечного линейного тока дает

(32.15)(32.15)12/ I

(32.15)

(32.15)

4л R 12л/? ‘

Отсюда получаем единицу напряженности магнитного поля а м- пер на м е т р (а)м) — это напряженность поля бесконечного линейного тока в 1 а на расстоянии R = -^ метров от него.

Соотношение между этой величиной и напряженностью магнитного поля в гауссовой системе единиц — эрстедом найдем, сопоставляя (32.15) с соответствующей формулой в системе СГС (32.11):

(32.11а)(32.11а)и 1 27

(32.11а)

(32.11а)

Н =—— э.с R

Подставляя сюдаПодставляя сюдас1

Подставляя сюда

Подставляя сюда

метрах, получим Н= \ а\м-.метрах, получим Н= \ а\м-.11амам2£— -г-—— э=4л 10-* э,С 7^-1002л2£— -г-—— э=4л 10-* э,С 7^-1002л(32.16)(32.16)/=1 а=— СГС ед. тока и 7?—^^ в санти

метрах, получим Н= \ а\м-.

метрах, получим Н= \ а\м-.

1

1

ам

ам

2£

— -г-—— э=4л 10-* э,

С 7^-100

2л

2£

— -г-—— э=4л 10-* э,

С 7^-100

2л

(32.16)

(32.16)

или

1 э=79,3-«80- м м1 э=79,3-«80- м м(32.17)(32.17)

1 э=79,3-«80- м м

1 э=79,3-«80- м м

(32.17)

(32.17)

В соответствии с (29.8') в системе единиц СИ индукция в ваку

уме Ввак отличается от Н и равна

BBaK = ^H = 4nlO-75.H^ = 4nlO-’H ^.(32.18)

.-- _■ -■*

Единица индукции в системе СИ называется тесла (тд). Соотношение единиц индукции легко находим. Действительно, при

Н= — =\ —_ Ио миндукция в численно равна ц0, т. е.

в=4л-10“’ тд.

Но при Н=Л ajjn, как это следует из (32.16), индукция в вакууме составляет 4л10-,гс. Следовательно, имеем

4л 10“’ /ид=4л 10"’ гс, или-. । ।■

1 гс=\0-4 тд.(32.19)

Закон Ампера в системе СИ принимает вид

dF=/[dl х В] = цц0/[<ЯХН].(32.20)

В случае вакуума [л = 1 и

dF = M[^ X Н].(32.21)

Ряд формул, которые нам придется рассматривать в дальнейшем, необходимо записать так, чтобы читатель мог пользоваться по собственному выбору как гауссовой системой единиц, так и едини-

цами СИ. Для этого следует сохранить при написании формул величины (смысл которых следует хорошо понимать) Ао (стр. 13, И, 34), к (стр, 194, 195), к' (стр. 190, 202), е0 (стр. 14, 79) и ц0 (стр. 192, 209, 270), придавая им нужные значения в соответствии с выбранной системой единиц:

В гауссовой абсолютной системе единиц (СГС):

к=\, к=—, fc'=—, s0=l, Ц=1.

В Международной системе единиц (СИ):

л*-’ceKa в"1=^'?1Г1^ Гор Л1'3152-1 сек"а2»

|го = 4л 10“’ м~х сек а-1 в=гн-м~х — 4л 10"’ мкг сек-1 а-2.

Обратим внимание читателя на то, что

еЛ=7 п"1пТ 4л ХО--1 м~2 сек2 =;—г2 = Л.

4л9-109(3-108 л/се/с) с1

Таким образом, одна и та же величина 1/с2, что, естественно, входите обе системы. Однако в абсолютной гауссовой системе она делится на два равных множителя. В системе СИ выбор практически удобной добавочной единицы силы тока приводит к разделению величины 1/с2 на множители, различающиеся численно н по размерности.

Сводка электромагнитных физических величин, их размерностей в системах СГС, СИ, СГСЭ и СГСМ, а также соотношений между ними приведена в приложении 1.

§ 33. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля.Магнитное поле соленоида

Теорема о циркуляции вектора Н, которая будет изложена в этом параграфе, имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как—теорема Гаусса в электростатике. В частности, подобно тому, как при симметричном распределении зарядов теорема Гаусса позво- ляла вычислить вектор Е, не прибегая к закону Кулона, теорема о циркуляции "Н "позволит находить напряженностьПчагнйтного поля при наличиЭ"СтГМёТрИИ ТбКОгеТёТйрименения закона Ёио — Савара — Лапласа, что часто очень облегчает вычисления."

Мы докажем теорему о циркуляции Н в целях упрощения вычислений лишь для случая прямолинейного бесконечного тока. Как показывает строгий расчет, тот же результат имеет место и в случае контуров произвольной формы, чем мы и воспользуемся без строгого доказательства.

212212ч. ш. электромагнетизмч. ш. электромагнетизм[гл. VII[гл. VII

212

212

ч. ш. электромагнетизм

ч. ш. электромагнетизм

[гл. VII

[гл. VII

Циркуляцией магнитного поля И по заданному замкнутому контуру L называется интеграл следующего вида:

^ Hdl = ^ Н dl cos (Hfdl) = ^ H£dl,(33.1)

(О(L)(L)

где направление обхода по контуру также должно быть задано. Н£— составляющая Н в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода).

Рассмотрим контур L произвольной формы, лежащий в плоскости, перпендикулярной к бесконечному линейному току / (рис. 3.23). Ток перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен от нас (крестик на чертеже). Линии напряженности магнитного поля представляют собой концентрические окруж- ности в плоскости рисунка, на- ><правленные по часовой стрелке.

/ / /Выберем направление обхода

/\контура L также по часозой

/71 Н стрелке. Рассмотрим отрезок кон-

/ 17. J тура dl. Вектор напряженности

У J7магнитного поля направлен пер-

/ IV9' Iпендикулярно к радиусу-вектору

/^|г и составляет с отрезком dl

I1угол О. Таким образом,

v-^ZZ/Hdl=HdUos^. (33.2)

Рис. 3 23.Проведем два бесконечно близ

ких радиуса-вектора, проходящих через начало и конец dl и составляющих друг с другом угол dtp, и вектор di0, перпендикулярный к этим радиусам-векторам. Из рисунка видно, что

dig— dl cos О и dl^rdtp.(33.3)

Следовательно, dl tos$ = r dtp, а значит,

H dl=Hdl cos 0= Hr dtp.(33.4)

Подставляя сюда значение напряженное in поля линейного тока

Н=ку,(33.5)

находим

Hdl — kyr dtp=fe-2/dtp.(33.6)

Циркуляцию по всему контуру L получим, интегрируя по ср в пределах от 0 до 2л:

2Л

^ H£dl=k‘H^dtp=fe-toL(33.7)

LО

В системе СИ, как уже указывалось, &=1)4л и, следовательно,

^Htd!=L

В системе Гаусса й=1/с и

{^dl-^L

(33.8)(33.8)(33.9)(33.9)Легко видеть,Легко видеть,что полученный результат будет верен не только

(33.8)

(33.8)

(33.9)

(33.9)

Легко видеть,

Легко видеть,

для контура, лежащего в плоскости, и для лГоЖГОчфПСТранст^Т^ (не плоскогбу~контура. Действи- тельноГЛщрёШпщга ЛТббой отре- зок dl контура из его плоскости параллельно линии тока, мы не меняем значения величины Н dl.

Таким образом, циркуляция

перпендикулярной к току, ноперпендикулярной к току, нонапряженности магнитного поля не зависит от формы контура. Как уже отмечалось, можно строго доказать, что этот результат верен не только для линейных токов, но для токов любой формы.

перпендикулярной к току, но

перпендикулярной к току, но

В рассмотренном случае направление обхода по контуру

и направление тока связаны правилом правого винта. При обратном направлении обхода значение циркуляции, сохранив величину, изме

нит знак.

Если контур, расположенный в магнитном поле, не охватывает тока, то циркуляция магнитного поля по этому контуру будет равна нулю. Рассмотрим случай, аналогичный разобранному выше, ио с током, вынесенным за пределы контура (рис. 3.24).

Вычисляя долю циркуляции по участку А—>S—»С, будем иметь

^ Htdl=k‘H J dtpА-* В-*Су0

Вторая часть интеграла циркуляции по участку С—*D—*А будет равна первой с обратным знаком, так как интегрирование по <р ведется между теми же пределами, но в обратном порядке:

Фо

j Hldl=k-1I J t/ф.

С + D -* АФ,

Следовательно,Следовательно,

Следовательно,

Следовательно,

{Ф1Фо 1

(33 10)(33 10)J dtp 4- j dip [—0.

(33 10)

(33 10)

ФоФ1

Этот результат, как и предыдущий, Справедлив для контуров любой формы и для любых токов.

Возможны и более сложные случаи, когда контур несколько раз охватывает ток. В этом случае величину / надо считать столько раз, сколько раз контур обвивается вокруг тока с учетом направления

вращения и соответственно знака тока. Так, на рис. 3.25, а контур охватывает ток два раза, и

^Ht dl= к-4л ( + /4-/)=&-4л2/.

На рис. 3.25, б коитур также охватывает ток два раза, ио в противоположных направлениях, и

^ ^ rf/= й • 4л ( + /—/) = 0.

Если магнитное поле создано системой токов 7,, 1г, ..., 1п, ..., 1№ то вектор напряженности поля Н будет равен

геометрической сумме полей, создаваемых каждым током в отдель

ности, а проекция Н£ на любое направление будет равна алгебраической сумме проекций отдельных векторов. Циркуляция вектора

Н тогда будет равна сумме слагаемых типа (33.7) или (33.10). Поэтому теорема о циркуляции может быть записана в виде

n = N

Ф H£dl=k-to 2 /„ (33.11)

П=1

и читается так: циркуляция вектора напряженности .магнитного поля^ по замкнутому контуру численно равна k-to. у множенном) наалгеб-

раическую сумму токов, охваты

ваемых этим контуром. Каждый ток считается столькскраз, сколько раз он охватывается нашим контуром. Для системы токов, изображенной на рис. 3.26,

п

§ 33) ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 215 т. е. ток /, считается два раза, а ток /„ не охватываемый ни разу, не считается вовсе.

В системе Гаусса соотношение (33.11) примет вид

$Htdl=^-^I„.(33.12)

В системе СИ Д = и

4л

^Htdi=Hfn-(33а3>

п

Теорему о циркуляции (33.11) в электротехнике принято называть за ко ном полного тока, .Эта теорема в конечном с чете является прямым следствием закона Био — Савара—Лапласа.

В качестве примера найдем с помощью теоремы о циркуляции напряженность магнитного поля внутри соленоида. Соленоидом называется совокупность одинаковых последовательно соединенных витков, равномерно навитых на общий каркас или сердечнйк

(рис. 3.27). По виткам проходит одинаковый ток L Если полная длина соленоида / и полное число витков w, то на единицу длины соленоида приходится

^=7 (33.14)

витков.

Магнитные поля, созданные каждым витком в отдельности, складываются. Лиийи вектора Н, охватывающие токи, внутри соленоида расположены густо, а вне его — на больших расстояниях друг от друга, как это показано на рис. 3.27, т. е. напряженность

поля В внутри соленоида велика, а вне его мала и стремится к нулю для бесконечного соленоида.

' вели длина соленоида во много раз больше диаметра его вит ков, то соленоид можно "практически считать бесконечно длинным. Магнитное поле такого соленоида целиком сосредоточено внутри него. Вне соленоида Н = 0, внутри же соленоида линии вектора Н, очевидно, могут быть направлены только параллельно его оси,

а величина Н может зависеть лишь от расстояния до оси. Для нахождения Н в этом случае выделим мысленно конечный участок длины I, на котором расположены w витков, и проведем контур 1 2 3 4 1 (рис. 3.28).

Применяя теорему о циркуляции к этому контуру, получим 2341

§ Ht dl^ ^ Ht dl-V J Htdl-V^ Ht dl=k-4nwL 1234

На участках 1 2 и 3 4 контур перпендикулярен к линиям поля и Ht — 0. На участке 4 1 вне соленоида Н=0, а значит, также и Ht=0. Поэтому из четырех интегралов остается один

333

^Htdl=^ Hdl = H^dl=Hl. 222

Следовательно,

Н1=к-4я,та1

и окончательно.———

(33.15)внутри бес- магнитного(33.15)внутри бес- магнитного(33.16)(33.16)^сол—" 4л/ту0 — const.

(33.15)

внутри бес- магнитного

(33.15)

внутри бес- магнитного

(33.16)

(33.16)

Выражение (33.15) показывает, что во всех точках конечно длинного прямого соленоида напряженность поля одинакова по величине и направлению:

Н = const.

Таким образом, магнитное поле соленоида однородно.

(33.17)(33.17)В гауссовой системе ток выражается в СГС единицах, w0 — числом витков на 1 см длины соленоида, Н—в э, к=\\с и формула (33.15) принимает вид

(33.17)

(33.17)

7/~ ~ ^О"

сил £ о

(33.18)(33.18)В системе СИ ток выражается в а, и/0— в числе витков на 1 м длины соленоида, Н—в а1м, £=1/4л и формула (33.15) принимает вид

(33.18)

(33.18)

Н = pw -сол ' «М

Благодаря рационализации ^ к— ^j в системе СИ для однородного поля множитель 4л исчезает.

На практике предпочитают иногда измерять ток в амперах, а величины w0 и Н—в единицах СГС. Тогда формулу (33.15) можно записать в виде

/y(5) = O,4n/wo ампер-витков на сантиметр. (33.19)

Формула (33.15) справедлива для достаточно длинного соленоида (D<^Z) вдали от его краев. При приближении к концам соленоида

линии вектора Н начинают расходиться и величина напряженности поля падает.

Подобный краевой эффект отсутствует у соленоида, свитого в кольцо (гак называемого тороида), показанного на рис.3.29. При этом все магнитное поле сосредоточивается внутри соленоида и линии вектора Н представляют собой замкнутые концентрические окружности. Выбирая одну из таких окружностей за контур обхода и применяя теорему о циркуляции, легко доказать, что при том же условии D<^.l напряженность магнитного поля в тороиде

рассчитывается по прежней формуле (33.15).

Длину тороида / при этом следует считать по средней линии,

пренебрегаяпренебрегаянебольшим различием между длинами внутренней

пренебрегая

пренебрегая

и внешней окружностей кольца.

§ 34. Поток§ 34. ПотокМагнитные цепиМагнитные цепивектора магнитной индукции.

§ 34. Поток

§ 34. Поток

Магнитные цепи

Магнитные цепи

Поток вектора магнитной индукции вводится так же, как и поток вектора электростатической индукции (см. § 5).

В поле магнитной индукции В через площадку dS с единичной нормалью и проходит поток магнитной индукции или просто

магнитный поток z/Ф, равный, по определению:

(34.1)(34.1)</Ф = (Bn) dS=B cos (п. В) dS

(34.1)

(34.1)

(34.2)(34.2)(рис. 3.30). Замечая, что В cos (п, В) есть проекция вектора В на направление нормали п, получим

(34.2)

(34.2)

dФ=BndS.

Из (34.2) следует, что магнитный поток является скаляром. Считая положительной стороной площадки ту, из которой выходит вектор нормали п, мы видим, что если липни индукции выходят из агой стороны площадки, то угол а = (В, п) острый, COSU>0

Рис. 3 30Рис. 3 30

Рис. 3 30

Рис. 3 30

и магнитный поток положителен (рис. 3.30, а). В противоположном случае, когда линии индукции входят в положительную сторону площадки, угол « = (В, п) тупой, cosa<0 и магнитный поток отрицателен .(рис. 3.30, б).

Так, если площадка dS перпендикулярна к линиям магнитной индукции В, могут иметь место два случая: векторы nttB, тогда cos(n, В)=1 и dФ=BdS; векторы nN В, тогда cos(n, В) = —1 и </Ф=— BdS. Что касается направления п, то в случае незамкнутой поверхности оно связывается с выбранным направлением обхода по"кривой, огран^иГающёйЧГо^р'хнос^Тт^правилу правого винта. На рис. 3.30 выбранное направление обхода показано пунктирными стрелками.

Для вычисления магнитного потока, пронизывающего произвольную криволинейную поверхность 5 в неоднородном магнитном поле, следует эту поверхность мысленно разбить на бесконечно малые площадки dS, которые можно считать плоскими и в пределах которых поле практически однородно. Для каждой из таких площадок элементарный магнитный поток dФ рассчитывается по формуле (34.2). Полный же магнитный поток Ф через всю поверхность 5 равен алгебраической сумме элементарных потоков, т. е.

§ 34]ПОТОК ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

представляет собой интеграл по поверхности 5:

(34.3)(34.3)Ф = $ BndS.s

(34.3)

(34.3)

Рассмотрим замкнутую поверхность (рис. 3.31). В этом случае поверхность не имеет границы — контура, с направлением обхода которого можно было бы связать направление нормали к точкам поверхности. Здесь можно исходить из другого критерия.

Если мы хотим, как и в электростатике, приписать потоку выходящему (изнутри поверхности наружу) положительный знак, а входящему—отрицательный, то следует (как и там) пользоваться единичной внешней нормалью к рассматриваемой поверхности (рис. 3.32). Поскольку линии магнитной индукции не имеют источников и являются замкнутыми, число линий, входящих с одной стороны поверхности, в точности равно числу линий, выходящих с другой ее стороны, и сумма (34.3) равна нулю:

(34.4)(34.4)^ BndS=0,

(34.4)

(34.4)

т. е. магнитный поток через замкнутую поверхность тождественно равен нулю.

Выделим в магнитном поле произвольный замкнутый контур П и построим произвольную поверхность 5, опирающуюся на этот контур (рис. 3.32). Ее будет пронизывать магнитный поток. Но на контур П может опираться любая другая поверхность S', S" и т. д. Легко видеть, что магнитный поток через любую из этих поверхностей один и тот же — он равен магнитному потоку, пронизывающему П.

Формально это следует из того, что любая поверхность, например S', образует вместе с S замкнутую поверхность, к которой применим результат (34.4). Для этого нужно только нормаль п' к поверхности S', определенную направлением обхода вокруг П (показанному на рисунке), заменить обратной нормалью п, показанной пунктиром, с тем чтобы эта нормаль, как и п, на поверхности S была внешней к получившемуся замкнутому объему. Разбивая (34.4) на два интеграла по S и S', имеем

Bnds = $ BndSA- BndS=0.

S + S'S'(n)S (n)

Переходя в первом интеграле от нормали п к п', мы меняем тем самым знак этого интеграла, откуда следует

J BndS= J BndS,

S (n)S'(n')

что и доказывает сделанное утверждение.

О линиях индукции (напряженности) или потоке индукции (напряженности), пронизывающих произвольную поверхность S, натянутую на контур П, мы будем говорить, что они сцеплены с кои- туром П. Согласно сказанному выше поток индукции, сцепленный с контуром П, не зависит от формы поверхности, натянутой на этот контур и пронизываемой потоком.

Таким образом, любая замкнутая линия П в магнитном поле сцеплена с вполне определенным магнитным потоком Ф. Величина этого потока рассчитывается по формуле

Фп= $ B„dS,(34.5)

sn

где интегрирование производится по любой поверхности, опирающейся на контур П.

Из (34.1) определяются единицы магнитного потока: в гауссовой системе такой единицей является м а к с в е л л (лгу с):

1 мкс= 1 гс-1 слга,

в системе СИ—вебер (вб)ид

связь между ними:

1 вб=104 гс-10* слга=10в же.(34.7)

Введение вектора магнитной индукции В и магнитного потока Ф позволяет сравнительно просто рассчитывать магнитные цепи,

содержащие элементы с различными сечениями и магнитными про-

ницаемостями. Рассмотрим для примера простейшую магнитную цепь,

состоящую из кольцеобразного сердечника с узким воздушным за

зором (рис. 3.33). Магнитное поле создается током I в обмотке

сердечника, имеющей чу витков. Проведем показанную на рисунке штрих-пунктиром замкнутую линию, охватывающую все токи. Часть этой линии /с проходит внутри сердечника, а часть /в— в воздушном зазоре. Тогда по закону полного тока (33.11)— (33.13)

^ Htdl = к.4л1чу. (34.8)

Обозначим магнитную проницаемость материала сердечника через и,. и магнитную проницаемость воздуха через цв. Поле внутри сердечника и в воздушном зазоре будем считать однородным, т. е. пренебрежем некоторым рассеянием линий индукции.

Рис. 3.33.Рис. 3.33.Последние непрерывны, и величина В в сердечнике и зазоре практически одинакова. Напряженности же поЛя в сердечнике Нс и в за

Рис. 3.33.

Рис. 3.33.

Следовательно,Следовательно,Ир И tlRС РеПо в РвРоИр И tlRС РеПо в РвРо(34.9)(34.9)зоре На различны и равны соответственно

Следовательно,

Следовательно,

Ир И tlR

С РеПо в РвРо

Ир И tlR

С РеПо в РвРо

(34.9)

(34.9)

(£ Н/Л=НскЦ-Нв!ц = в(А_у к.\(34.10)

(34.11)(34.11)и из (34.8) и (34.10) имеемВ=^о)Г 1Нс Ив

(34.11)

(34.11)

В отсутствие воздушного зазора, если его заполнить тем же материалом, из которого сделан сердечник, магнитная индукция равна

В0 = Ар.В0 = Ар.(34.12)(34.12)4л/ш

В0 = Ар.

В0 = Ар.

(34.12)

(34.12)

0 / Р *

1с в

Ис Рс

Так как сердечники катушек делаются обычно из ферромагнитных материалов, у которых рс^>рв, то из сравнения (34.11) и (34.12) видно, что В<_Вй, т. е. наличие воздушного зазора ослабляет магнитное поле во всей катушке. Чтобы этого не происходило, длина воздушного промежутка должна быть очень мала по

сравнению с длиной сердечника и должна удовлетворять неравенству

ИвИвт. е.т. е.(34.13)(34.13)

Ив

Ив

т. е.

т. е.

(34.13)

(34.13)

Умножив обе части равенства (34.11) на площадь поперечного сечения сердечника S', можно привести его к виду

ф = В5=Ьф = В5=Ь(34.14)(34.14)4л/к>

ф = В5=Ь

ф = В5=Ь

(34.14)

(34.14)

1 /с ,1 /в"

Рсро5 РвРо5

где Ф — магнитный поток, пронизывающий сердечник и воздушный зазор.

Равенство (34.14) по внешнему виду напоминает закон Ома для постоянного тока /, идущего под действием электродвижущей силы § через цепь из двух линейных проводников с длинами Z, и lt, удельными проводимостями Yi и Уг и сечением S:

S _8S _8(34.15)(34.15)

S _8

S _8

(34.15)

(34.15)

где Ri — ~5" и ^г = ^"^—электрические сопротивления этих проводников, a Z? = Z?1 + /?S — полное сопротивление всей цепи. По аналогии с (34.15) соотношение (34.14) называют законом Ома для магнитной цепи.■~"

Величина

(34.16)(34.16)&-4n/w=SM,

(34.16)

(34.16)

создающая магнитный поток Ф, называется намагничивающей или м а г н и т о д в и ж у щ е й силой. Величины

Rm. сRm. с1 ZCпи ^м вНего 151 ZCпи ^м вНего 151 'в1 'в(34.17)(34.17)называются соответственно магнитными сопротивлениями сердечника и воздушного зазора, а их сумманазываются соответственно магнитными сопротивлениями сердечника и воздушного зазора, а их сумма

Rm. с

Rm. с

1 ZCп

и ^м в

Него 15

1 ZCп

и ^м в

Него 15

1 'в

1 'в

(34.17)

(34.17)

называются соответственно магнитными сопротивлениями сердечника и воздушного зазора, а их сумма

называются соответственно магнитными сопротивлениями сердечника и воздушного зазора, а их сумма

для магнитной цепи(34.19)для магнитной цепи(34.19)

для магнитной цепи

(34.19)

для магнитной цепи

(34.19)

(34.18)(34.18)RM — Rm. с 4" Rm. в

(34.18)

(34.18)

— полным магнитным сопротивлением цепи при последовательном соединении.

При введенных обозначениях закон Ома (34.14) принимает вид

ф _ 8м $м

Rm Rm. с 4" Rm. в

Для расчета сложных разветвленных магнитных цепей приме

няются правила, аналогичные используемым для разветвленных

электрических цепей правилам Кирхгофа. В узлах, где сходятся несколько магнитопроводов, выполняется первое правило Кирхгофа 2Ф/ = 0,(34.20)

т. е. алгебраическая сумма магнитных потоков, сходящихся в узел,

равна нулю.

Для замкнутых участков магнитной цепи, содержащих несколько магнитодвижущих сил $м./= A-4n7yWy и несколько магнитных со

противлений /?М, Z=-—КОТО- рые пронизываются соответствующими магнитными потоками Ф;, выполняется второе правило Кирхгофа

2®A/=2X/ (34.21)

—алгебраическая сумма произведений магнитных потоков на

магнитные сопротивления после

довательных участков замкнутого контура равна алгебраической сумме магнитодвижущих сил в этом контуре.

Для примера на рис. 3.34 приведен разветвленный контур, состоящий из электромагнита и якоря с воздушными зазорами.. Как

указывалось выше, при рассмотрении предыдущего примера, по мере уменьшения воздушного зазора уменьшается магнитное сопротивление цепи и возрастают магнитные потоки, магнитная индукция и намагниченность сердечника и якоря. Вследствие этого по мере приближения якоря к электромагниту резко возрастают

силы притяжения между ними.

§ 35. Работа по перемещению проводника с токомв магнитном поле

Проводник с током, помещенный в магнитное поле, испытывает пондеромоторную силу. При перемещении проводника с током поле производит работу. Для вычисления этой работы рассмотрим линейный проводник длиной I с током 1, перемещающийся в однородном магнитном поле В = const. Расположение деталей прибора изображено на рис. 3.35, а; схема поля, тока, сил и перемещений приведена на рис. 3.35, б. Вектор В перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за эту плоскость, что изображено на чертеже крестиками. На элемент тока // действует со стороны магнитного поля,

согласно (31.2), сила

F= к'ИВ,

(35.1)

так как угол р между вен 90° и sin р = 1.

Переместим провод

направлением тока и линиями индукции ра- параллельно самому себе на расстояние dx

по направлению действия силы F. При этом магнитное поле совершит работу

dA — F dx = к'IBl dx= k'IBdS = k' 1 dФ,

так как ldx=dS есть площадь, очерчиваемая проводом при его перемещении в магнитном поле, а BdS = dФ— магнитный поток,

пронизывающий эту площадь. Таким образом,

dA = к'IdФ, (35.2) т. е. работа, совершаемая проводником с током при перемещении его в магнитном

dx

Рис. 3.35.

стеме СГС ток / выражается в

поле, численно равна произведению тока / на магнитный t поток </ф, пересеченный дви- I жутился проводником

• Формула (35.2) остается справедливой и в случае, если проводник движется не перпендикулярно к линиям магнитной индукции, а под некоторым углом, .ж дщм. В си- СГС ед. тока, магнитный поток

dФ—в мкс и работа dA— в эрг. В системе СИ ток выражается в а, магнитный поток — в в-сек (вб), к'=\ и работа получается в дж. X Выведем теперь выражение для работы перемещения замкнутого

Йтура с током в магнитном поле. Для упрощения вычислений рассмотрим прямоугольный контур с током 1 2 3 4 1, плоскость

которого перпендикулярна к линиям вектора магнитной индукции В (рис. 3.36). Линии индукции направлены за плоскость чертежа. Ток направлен по часовой стрелке, и магнитный поток Ф,, сцепленный с контуром, положителен.

Переместим этот контур параллельно самому себе в новое положение /' 2' 3' 4' Г. Магнитное поле в общем случае может быть неоднородным, ив новом положении"с контуром будет сцеплен магнитный" поток Ф,, Проведем пунктирные линии 3 2' и 4 Г, вдемь которых двигались стороны контура. Эти линии выделяют площадку 3 2' Г 4, расположенную между старым и новым

положениями контура и пронизываемую некоторым магнитным потоком Ф'.

(35 3)(35 3)Полная работа Л по перемещению контура в магнитном поле равна алгебраической сумме работ, совершенных магнитным полем по перемещению каждой из четырех сторон:

(35 3)

(35 3)

А— ^1,2 + 212,3 + -^3,4 Jr-A4,i.

(35.4)(35.4)Величины Л213 =Л4Л=0, так как соответствующие стороны при своем перемещении очерчивают нулевую площадь и не перерезают магнитного потока. Сторона 3 4 пересекает поток Ф'+Ф2, и

(35.4)

(35.4)

Д3,4 =А7(Ф'+Ф2).

Провод 1 2 пересекает поток Ф^^Ф', но движется против силПровод 1 2 пересекает поток Ф^^Ф', но движется против силдействия магнитного поля, иД12 =—й'ЦФ^Ф'). (35.5)Из (35.3) — (35.5) оконча-р тельно находимл*Л = &7(Ф$—Ф,). (35.6)Величина Ф2 — Ф1 = ДФ представляет собой и з м е- некие магнитного потока, । тарного перемещениядействия магнитного поля, иД12 =—й'ЦФ^Ф'). (35.5)Из (35.3) — (35.5) оконча-р тельно находимл*Л = &7(Ф$—Ф,). (35.6)Величина Ф2 — Ф1 = ДФ представляет собой и з м е- некие магнитного потока, । тарного перемещенияггX хф'” XX IX хф'” XX IX х х XX х х X3X- х ,3X- х ,ей'ей'XXX XX X2'2'хх,о2.,о2.XXXX4Рис. 3 364Рис. 3 363' хЛ3' хЛXхXхсцепленного с контуром. Для элемен-сцепленного с контуром. Для элемен-

Провод 1 2 пересекает поток Ф^^Ф', но движется против сил

Провод 1 2 пересекает поток Ф^^Ф', но движется против сил

действия магнитного поля, и

Д12 =—й'ЦФ^Ф'). (35.5)

Из (35.3) — (35.5) оконча-р тельно находимл*

Л = &7(Ф$—Ф,). (35.6)

Величина Ф2 — Ф1 = ДФ представляет собой и з м е- некие магнитного потока, । тарного перемещения

действия магнитного поля, и

Д12 =—й'ЦФ^Ф'). (35.5)

Из (35.3) — (35.5) оконча-р тельно находимл*

Л = &7(Ф$—Ф,). (35.6)

Величина Ф2 — Ф1 = ДФ представляет собой и з м е- некие магнитного потока, । тарного перемещения

г

г

X хф'

” X

X I

X хф'

” X

X I

X х х X

X х х X

3

X- х ,

3

X- х ,

ей'

ей'

X

X

X X

X X

2'

2'

х

х

,о2.

,о2.

X

X

X

X

4

Рис. 3 36

4

Рис. 3 36

3' хЛ

3' хЛ

X

х

X

х

сцепленного с контуром. Для элемен-

сцепленного с контуром. Для элемен-

йА = КИФ,(35.7)

т. е. работа dA, совершаемая при перемещении замкнутого контура с током в магнитном поле, численно равна произведению величины тока / на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. |Формулы (35.2) и (35.7) внешне тождественны, но физический смысл величин dФ в них существенно различен.

Соотношение (35.7), выведенное нами для простейшего случая, остается справедливым для контура любой формы в произвольном магнитном полеТьблее' того, если 'контур неподвижен, а меняется вектор магнитной индукции (в результате перемещения источников магнитной, индукции или изменения токов в них^, то при изменении магнитного потока в контуре на величину 4Ф магнитное поле совершает работу dA, рассчитываемую по moWже "формуле (35.7). "‘

8 F. А. Зисман и О М Тодес

ГЛАВА VIII

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

§ 36. Движение зарядов ^ магнитном иоле

Сила, которую испытывает элемент тока, помещенный в магнитное поле, есть результирующая всех сил, действующих на отдельные заряды, движущиеся,в этом элементе. Это позволяет найти силу, действующую на одиночный заряд, перемещающийся в магнитном поле.

Элемент тока, изображенный на рис. 3.37, имеет длину dl и конечную площадь поперечного сечения S. Для упрощения рассуждений примем, что в проводнике имеет место ток зарядов одного знака. Величину каждого заряда обозначим через е, число таких зарядов в единице объема проводника—через п и среднюю ско-

Рис. 3.37.Рис. 3.37.рость их направленного движения в проводнике—через -v. Тогда ток / равен

Рис. 3.37.

Рис. 3.37.

/ = jS=nei)S

и

/ dl=evnS dl=ex)N, (36.1)

где N=nS dl есть полное число движущихся зарядов в элементе тока. Поскольку векторы dl и ev параллельны друг другу (при е>0 vft^l, при е<0 vf|dl, так что evft^l при любом знаке заряда е), то

I d\=NeN. (36.2)

В этой главе мы будем рассматривать движение заряженных частиц в магнитных и в электрических полях. Как уже указывалось, для расчета электромагнитных воздействий на отдельные заряженные

частицы удобно применять абсолютную гауссову систему единиц, которой мы и будем пользоваться в этой главе.

Поместим рассматриваемый элемент тока в постоянное магнитное поле. По закону Ампера (32.9) на этот элемент тока будет действовать сила

<ZF = l[/<Z!xB] = ^e[vxB].(36.3)

Отсюда сила, действующая на одиночный заряд е, движущийся со скоростью v в магнитном поле В, будет равна

f="=~[vXB].(36.4)

(36.5)(36.5)— dB sin (v, В)

(36.5)

(36.5)

Сила, действующая на одиночный электрический заряд в магнитном поле,

f = e[^xB],(36.6)

называется лоренцовой силой.

Поскольку в данной главе мы будем изучать движение заряженных частиц в вакууме или достаточно разреженном газе, а в абсолютных системах Ввак = Н, то формулу (36.6) можно переписать в виде1

f=| [VXH].(36.7)

Здесь е измеряется в СГС ед. заряда, Н—в а, о и с—в сл1сеи и /—в дин).

Взаимная ориентация векторов v, Н и f показана для случая положительных зарядов (е>0) на рис. 3.38, а и для случая отрицательных зарядов (е<0) на рис. 3.38, б. Величина этой силы зависит от угла р между векторами v и Н и равна

/=£©Hsin₽.(36.8)

Отсюда видно, что магнитное поле не действует на заряженную частицу в двух случаях--Гесли v=0> т, е. частица неподвижна,т^или если sinP = O и у|[Н, когда частица движется вдоль линии магнитного поля.

Обозначим массу движущейся частицы через т. Тогда по второму закону Ньютона частица получает ускорение w:

w = ±.(36.9)

Подставляя в (36.9) значение f из (36.7), получаем

(36.10)(36.10)w = — v X Н .

(36.10)

(36.10)

тс 11

При произвольном движении вектор ускорения w имеет две

составляющие—касательное ускорениесоставляющие—касательное ускорениеwK и нормальное wH. Анализируя (36.10), мы видим, что при движении заряда в магнитном поле его ускорение w перпендикулярно к скорости v, т. е. всегда направлено по нормали к траектории. Это следует из того, что вектор [vxHJ, в соответствии с правилами векторного умножения,

составляющие—касательное ускорение

составляющие—касательное ускорение

перпендикулярен к вектору

v (и, конечно, к вектору Н). Следовательно, в этом случае

(36.11)(36.11)сук = 0,

(36.11)

(36.11)

wa~ — v/V sin (vTh).

“тс''

Вспомним (том I, часть I), что изменение величины вектора ско- ртсти обусловлено составляющей ускорения wK=^, в то время как составляющая ускорения wH изменяет направление вектора скорости, не меняя его величины. Следовательно, в нашем случае имеем

^ = 0dt и’^ = 0dt и’или -у = const.или -у = const.(36.12)(36.12)

^ = 0

dt и’

^ = 0

dt и’

или -у = const.

или -у = const.

(36.12)

(36.12)

Значит, при движении заряженной частицы в постоянном магнитном поле скорость ее движения v может изменяться лишь по направлению. Абсолютная же величина скорости и остается неизменной, а значит, не меняется и кинетическая энергия частицы:

„ тиг ,^кин 2 — const.„ тиг ,^кин 2 — const.(36.13)(36.13)

„ тиг ,^кин 2 — const.

„ тиг ,^кин 2 — const.

(36.13)

(36.13)

т. е. постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей. Это может быть получено и из непосредственного рассмотрения выражения для силы f, дей-

ствующей на заряд, движущийся в магнитном поле. Согласно (36.7) эта сила перпендикулярна к скорости, т. е. перпендикулярна *1Г*На- правлению траектории частицы,' и поэтому работа силы равна нулюТ

Следует подчеркнуть, что неизменность величины скорости и кинетической энергии заряженной частицы в магни'тном поле имеет место лишь в том случае^ если это поле постоянно, не зависит от времени. В главе IX будет показано, что переменное магнитное поле ускоряет заряженные частицы (точнее, меняет не только направление, но и величину скорости).

Нормальное ускорение ®/и всегда равно v^jr, где г есть радиус кривизны траектории в данной точке (см. т. 1, гл. 1). Из (36.11) тогда получаем соотношение

— = — vH sin В, или г = - „ , -а,(36.14)

г тс rеН sin р'’

позволяющее определить радиус кривизны во всех точках траектории частицы. Разберем два простейших примера.

Пример 1. Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле Н= const с начальной скоростью v, направленной перпендикулярно к вектору напряженности магнитного поля (vJ_H). Поскольку f и те тоже перпендикулярны к Н, то в дальнейшем вектор скорости будет оставаться перпендикулярным к Н, и вся траектория будет лежать в плоскости, перпендикулярной к вектору напряженности магнитного поля. Тогда sin p = sin90°= 1, из (36.14) получаем, что

г = ^^-— const(36.15)

— радиус кривизны траектории остается постоянным, а сама траектория есть окружность радиуса г. Этот радиус для частиц данной природы (т. е. для данных значений т и е или для частиц с данным отношением е\т> прямо пропорционален скорости частицы if и обратно пропорционален напряженности магнитного поля Н. Длина окружности

L = 2nr=2n,-~(36.16)

также пропорциональна скорости частицы, а период обращения ее в поле

Т= — =2л^(36.17)

а еН'’

зависит не от скорости у, а только от напряженности магнитногр поля /7, заряда е и массы т частицы. Независимость периода обращения Т от скорости у и кинетической энергии частицы играет важную роль в практических приложениях (например, в ускорителе тяжелых частиц—циклотроне, см. стр. 231, 232).

Пример 2. Частица влетает в однородное магнитное поле Н=const, и направление вектора ее скоростиv составляет с линиями магнитного поля угол 0, отличный от 90°. Мы можем разложить v на две составляющие- перпендикулярную (v^) и параллельную (vu) полю, как показано на рис. 3.39. Величины этих составляющих равны т11=ФСО50 и ®^=©sin0. (36.18)

Движение частицы при этом можно представлять как сумму двух независимых движений. Одно из них происходит в направлении Н, а другое—в плоскости, перпендикулярной к Н, в которой действует сила f. Испытывая эту силу, частица будет вращаться по окружности радиусаДвижение частицы при этом можно представлять как сумму двух независимых движений. Одно из них происходит в направлении Н, а другое—в плоскости, перпендикулярной к Н, в которой действует сила f. Испытывая эту силу, частица будет вращаться по окружности радиусаСила, действующая на частицу, /=-^-H-v sm =-^-Hv^ (36.19) лежит в плоскости, перпендикулярной к Н, определяется величиной вектора vj_ и изменяет его направление.

Движение частицы при этом можно представлять как сумму двух независимых движений. Одно из них происходит в направлении Н, а другое—в плоскости, перпендикулярной к Н, в которой действует сила f. Испытывая эту силу, частица будет вращаться по окружности радиуса

Движение частицы при этом можно представлять как сумму двух независимых движений. Одно из них происходит в направлении Н, а другое—в плоскости, перпендикулярной к Н, в которой действует сила f. Испытывая эту силу, частица будет вращаться по окружности радиуса

(36.20)(36.20)tncv i mev sin ВрLеН еН

(36.20)

(36.20)

в плоскости, перпендикулярной к вектору напряженности магнитного поля, и будет совершать один оборот за время Т, определяемое из (36.17).

С другой стороны, поскольку f Д_ Н и f J_ у», то частица будет двигаться вдоль линий магнитного поля с постоянной поступательной скоростью уц = const. Вследствие наложения этих двух движений — поступательного вдоль линий поля и вращательного в перпендикулярной к ним плоскости—частица будет двигаться по винтовой линии с шагом винта _

Л=Т= 2л у cos 0?^ (36.21)

Рассмотренные простейшие примеры показывают, что заряженные частицы, влетающие в постоянное магнитное поле, изменяют направление своего движения и начинают «навиваться» на линии вектора Н. Этим свойством пользуются в некоторых приборах, чтобы удержать пучки заряженных частиц от расплывания. Если частица движется точно вдоль линии Н, то магнитное поле не оказывает на нее никакого воздействия (vjjH и f = 0). Если же частица по каким-либо причинам получит составляющую скорости v;, перпендикулярную к линиям поля, то она все равно не уйдет далеко в сторону от заданной траектории и будет двигаться по винтовой линии, навиваясь на эту траекторию.

Из мирового пространства на Землю приходят потоки заряженных частиц большой энергии — космические лучи. Кроме того, на Землю падает поток заряженных частиц, испускаемых Солнцем. При приближении к земной поверхности эти частицы начинают испытывать действие магнитного поля Земли. На рис. 3.40 показано изменение их траекторий Те из них, которые направляются к магнитным полюсам Земли, будут двигаться почти вдоль линий земного магнитного поля и навиваться на"последние. Так как по мере приближения к земной поверхности напряженность магнитного поля Н возрастает, то согласно (36 20) радиус окружности винтовой линии будет уменьшаться.

Заряженные частицы, подходящие к Земле вблизи экваториальной плоскости, направлены почти перпендикулярно к линиям магнитного поля и отклоняются в с го- рону от своего первоначального направления. Лишь самые быстрые из них(/?~у) смогут дойти до поверхности Земли Такова причина так называемого ш и- р о т н о г о эфф е к т а_, заключающегося в том, чю

интенсивность космическихРис 3 40

лучей, доходящих до Земли , вблйзй экватора, заметно меньше, чем в более высоких широтах. Этим же обстоятельством" ббъясняетСя и то, что свечение в верхних слоях" атмосферы, вызываемое корпускулярным излучением Солнца, наблюдается главным образом в полярных областях (полярные сияния).

Независимость периода обращения Т от скорости частицы в однородном магнитном поле была использована в ускорителе заряженных. частиц, названном циклотроном, применяемом для исследований атомных ядер. Мощное, почти однородное магнитное поле создается между громадными полюсными наконечниками электромагнита, диаметр которых достигает иногда нескольких метров. В этом поле помещается вакуумная камера, в которой ускоряемые частицы могут двигаться, практически не испытывая столкновений с молекулами воздуха. Важнейшей частью этой камеры являются находящиеся в ней д у а н т ы —плоские металлические полукруглые коробки, показанные на рис. 3.41. На дуанты подается переменное

напряжение, так что в щели между ними возникает электрическое поле, способное ускорять заряженные частицы.

Ускоряемые частицы — чаще всего протоны или другие ядра — вводятся в циклотрон вблизи от центра прибора и, обладая малой скоростью, описывают согласно (36.15) дугу окружности малого радиуса. Проходя в электрическом поле между дуантами, они ускоряются и во второй поло-

Рис 3.41,Рис 3.41,вине дуантов проходят по дуге большего радиуса, но за то же самое время, равное половине периода Т;

Рис 3.41,

Рис 3.41,

(36.22)

Если подобрать период подаваемого на дуанты напряжения равным Т, то частицы, проходя между ними,

будут в обоих полупериодах ускоряться. При этом радиусы полуокружностей, описываемых в каждом дуанте, будут возрастать, но время совершения оборота Т в дуантах будет оставаться постоянным, что позволяет

подавать на дуанты переменное напряжение постоянной частоты (значение которой зависит только от е[т для ускоряемых частиц и от напряженности магнитного поля Н^.

Чтобы ускоряемые частицы оставались в центральной плоскости прибора и не отклонялись к верхней или нижней стенкам дуантов,

применяется следующий способ. Полюсам электромагнита придается такая форма, что зазор между ними увеличивается к краям (рнс. 3.42). Если, например, заряженная частица приобретет вертикальную составляющую скорости и отклонится вверх, то, как видно из рисунка, в несколько неоднородном поле Н возникает вертикальная составляю

щая силы, возвращающая час-рис 3 42

тицу обратно в экваториаль

ную плоскость прибора (скорость частицы v направлена от нас перпендикулярно к плоскости рисунка, что показано крестиком). Таким образом устраняется потеря частиц, неизбежная при отсутствии сил, удерживающих их в плоскости траектории. Доходя до

боковых стенок дуантов, ускоренные частицы с помощью специального приспособления выводятся из циклотрона и направляются на мишень.

I>-II>-IВ результате многократного ускорения между дуантами частицы приобретают энергию, которую они могли бы получить при однократном ускорении полем с разностью потенциалов до 10 миллионов вольт. Частиц со значительно большими энергиями циклотрон дать не может: с ростом скорости частиц увеличивается их масса m=mjVl—^lcy, а, значит, согласно (36.22), увеличивается период Т оборота частиц. В результате синхронность между вращением частицы и переменным ускоряющим напряжением нарушается и дальнейшее ускорение Становится невозможным. Эта трудность устраняется в более совершенных ускорителях частиц, в которых напряженность магнитного поля' *й частота переменного элею трического поля в процессе ускорения меняются

I>-I

I>-I

Пример 3. Своеобразный эффект, обусловленный действием лоренцовой силы на свободные заряды в проводнике и носящий название эффекта Холла, позволяет суднгь о знаке этих зарядов.

Представим себе'проводник в виде плоской ленты, расположенный в магнитном поле. Линии напряженности магнитного поля пересекают проводник перпендикулярно к его плоскости. По проводнику течет ток, следовательно, подвижные заряды обладают конечной дрейфовой скоростью v.

На рис. 3.43 проводящая лента изображена в плоскости листа, магнитное поле направлено от нас, за лист, ток течет, как показано стрелкой, слева направо. Пусть носителями тока являются электроны (рис. 3.43,а). Тогда направление дрейфовой скорости электронов будет справа налево. При таком направлении скорости в указанном магнитном поле электроны будут испытывать действие лоренцовой силы 1Л, направленной вверх. Верхний срез проводника будет заряжаться отрицательно, нижний — положительно.

Из рис. 3.43, б видно, что при том же направлении тока, но положительном знаке подвижных зарядов (значит, в частности, при дырочной проводимости), знаки зарядов на срезах проводника сверху и снизу меняются: направление 1Л будет тем же, но теперь вверх будут отклоняться положительные заряды. Это и позволяет экспериментально определять знак электрического заряда носителей тока в проводнике.

Заметим, что и при равной концентрации носителей обоих зарядов холловская разность потенциалов возникает, если дрейфовая

скорость носителей заряда разных знаков различна, что, как правило, имеет место.

Подсчитаем величину холловской разности потенциалов Дф между верхним и нижним срезами проводника для простейшего случая носителей тока одного знака заряда. Обозначим через Ех электрическое поле, обусловленное холловской разностью потенциалов Дф. Обозначая через h ширину ленты — проводника, имеем

Дф=£хй.(36.23)

Перераспределение зарядов прекратится (а следовательно, установится значение Дф), когда электрическая сила, обусловленная полем ЕХ1 т. е. еЕх, будет равна по величине и противоположна по направлению лоренцовой силе f4. Имеем, следовательно,

eEx=fa=keBv или

Ex = kBv.(36.24)

Вспомним теперь, что плотность тока / равна

1j=-g-=n-ve,

где S—поперечное сечение проводника, п — плотность носителей тока, v—дрейфовая скорость. Определяя отсюда v и подставляя найденное значение в (36.24), получаем

<36-25>

Это дает в соответствии с (36.23)

<36-26)

Таким образом, холловская э.д.с. пропорциональна плотности тока, ширине проводника и индукции магнитного поля.

Исследования проводимости металлов с помощью эффекта Холла привели к удивительным выводам: металлы, как и полупроводники, могут обладать проводимостью p-типа! Это относится к металлам с перекрывающимися зонами (см. § 28), у которых дырочная проводимость может превалировать над электронной. В таких металлах, как цинк и кадмий, дырки в среднем более подвижны, чем электроны.

§ 37. Удельный заряд и масса электрона. Масс-спектроскопия

На заряд в, помещенный в электрическое поле напряженностью Е, действует сила

18д=еЕ.(37.1)

На тот же заряд, движущийся со скоростью v в магнитном поле Н (в вакууме) согласно (36.7), действует сила

f = е*магн °f = е*магн °(37.2)

f = е

*магн °

f = е

*магн °

Полная лоренцова сила, действующая на движущийся заряд при одновременном наличии электрического и магнитного полей, равна

f = e<^E+ [ухн] }. (37.3)

(37.4)(37.4)Под действием этой силы частица с массой т получает ускорение

(37.4)

(37.4)

w= —т

Уже один вид этого наиболее общего уравнения движения заряженной частицы в полях позволяет сделать очень важный вывод:

характер движения и траектория заряженной частицы (при одинаковой начальной скорости v0) зависят не от ее заряда или массы в отдельности, а лишь от отношения е/m. Величина е[т носит на

звание удельного заряда данной частицы Чем меньше в]т (т. е чем меньше заряд и больше масса частицы), тем меньше ускорение w и тем меньше изменяется и по величине ипо направлению скорость v частицы в данном поле.

Измеряя скорости и траектории частиц, движущихся в электрических и магнитных полях, можно определить величину и знак их удельного заряда. Таким образом был впервые опре

делен удельный заряд электрона. Если одна из этих величин известна, то по найденному отношению е^т можно определить и вто

рую. Приведем одну из схем экспериментального определения е/т. На рис. 3.44 изображена схема электронно-лучевой трубки,

применяемой в этом опыте. Катод К накаливается током от специальной батареи до температуры Т= 1500 -е- 2000° С и испускает

электроны со средней кинетической энергией mfo/2 порядка *j8kT. Между катодом и анодом прикладывается разность потенциалов U вольт, ускоряющая электроны. По закону сохранения энергии

скорость о электронов, достигающих анода, определяется из соотношения

(37.5)(37.5)mu2 myo eU22 — 300

(37.5)

(37.5)

Множитель 300 в знаменателе правой части этого равенства связан с тем, что 1 6=^ СГС ед. напряжения. При U~ 10*ч-10* в mo2 eU

-тр 300 И С достаточной степенью точности /па2 eU 2 — 300’ или

Анод А представляет собой металлический цилиндр с двумя узкими отверстиями на противоположных торцах. Эти отверстия выделяют тонкий пучок «монохроматических», т. е. обладающих практически одинаковыми по величине и направлению скоростями, электронов. Описанная часть прибора носит название электронной пушки или электронного Прожектора.

Стеклянная колба электронно-лучевой трубки откачана до высокого вакуума, так что электроны, прошедшие через отверстия в аноде, летят далее равномерно и прямолинейно, почти не испытывая соударений с молекулами воздуха. Дно колбы покрыто изнутри специальным составом, светящимся при бомбардировке электронами. Электронный луч, падающий на этот экран Э, создает на нем маленькое светящееся пятнышко.

Поместим электронно-лучевую трубку в магнитное поле Н, созданное соленоидом, перпендикулярным к чертежу. На рис. 3.44 сеченне этого соленоида показано пунктиром, а направление линий магнитного поля, идущих за плоскость чертежа, отмечено крестиками. Измеряя ток I в соленоиде и зная число витков его w, можно по формуле (33.18) определить величину Н. Электроны (а<0) движутся в плоскости чертежа, т. е. v I И. Действующая на них сила согласно (37.2) равна

/*агЯ = ^Н (37.8)

и отклоняет электронный пучок вниз, как это показано на чертеже пунктиром. Как было показано в примере 1 предыдущего параграфа, величина скорости электрона v в магнитном поле не меняется, и в случае однородного поля Н=const электрон будет двигаться

по окружности постоянного радиуса г, так что согласно (36.14)

(37.9)(37.9)v2 е иНг т. с

(37.9)

(37.9)

Измеряя радиус этой окружности и зная скорость электронов, можно тогда из (37.9) определить величину e/w. Поскольку из (37.7) величина о определяется в свою очередь лишь через е]т, то, комбинируя (37,7) и (37.9), получим

/

е U е гН т 150 т с ’

откуда окончательнооткуда окончательное U с2m — 150/-W 1е U с2m — 150/-W 1(37.10)(37.10)

откуда окончательно

откуда окончательно

е U с2

m — 150/-W 1

е U с2

m — 150/-W 1

(37.10)

(37.10)

Вместо изменения U можно к пластинам П конденсатора, расположенным на взаимном расстоянии 6 внутри трубки, приложить дополнительную разность потенциалов U' и создать между ними

_ U'

электрическое поле Е= эдду, перпендикулярное к линиям магнитного поля и направлению электронного луча. Изменяя U', можно добиться того, чтобы сила /эл, действующая на электрон, пролетающий в электрическом поле Е между пластинами /7, уравновесила силу действия магнитного поля. Тогда траектория электронов снова станет прямолинейной, о чем можно судить по возвращению электронного луча обратно в точку О экрана. В этом случае

(37.11)(37.11)(37.12)(37.12)еЕ=е — Н.с

(37.11)

(37.11)

(37.12)

(37.12)

Сокращая е и комбинируя (37.9) с (37.11), получиме с?Еtn гН2 *

где г — радиус траектории электрона в отсутствие дополнительного электрического поля.

В последнем случае можно не измерять г, а определять точно ускоряющую разность потенциалов (7 в электронной пушке. Тогда, комбинируя (37.7) с (37.11), получаем

(37.13)(37.13)е _ 150с2 Е2m — U Н2‘

(37.13)

(37.13)

Тщательные измерения дали для электронов значение

— 5,28.10— 5,28.10и СГС ед, зарядаги СГС ед, зарядаг(37.14)(37.14)

— 5,28.10

— 5,28.10

и СГС ед, зарядаг

и СГС ед, зарядаг

(37.14)

(37.14)

Величина заряда электрона известна из опытов Милликена (см. § 3) и подобных ему и равна ее=—4,803-10-10 СГС ед. заряда.

Следовательно, масса электрона равна

me = 9,109-Ю"2’ г=у^ массы атома водорода. (37.15)

Тщательные измерения е^т для электронов и ионов позволили открыть много новых свойств микроскопических частиц. Было обнаружено уменьшение е/m, вызванное возрастанием массы электрона со скоростью, и установлена зависимость массы от скорости:

Здесь тй—масса покоящегося электрона (при v~ 0), а т—его масса при движении со скоростью т. Объяснение зависимости т от v было дано Эйнштейном в 1905 г.

В принципе теми же методами определяются массы атомов и молекул. Соответствующие приборы для определения масс атомов и молекул (точнее, их ионов) носят название масс-спектрографов. Необходимые ионы получаются с помощью газового разряда Далее они ускоряются, и из пучка их с помощью электромагнитного «монохроматора» выделяются ионы одной скорости. Затем ионы отклоняются электрическими и магнитными полями. По величине отклонения определяется удельный заряд е[М, а отсюда и масса ионов М.

Первые же измерения масс атомов обнаружили существование изотопов. Пучок ионов одного химического элемента в масс- спектрографе после отклонения в магнитном поле расщепился и дал на фотопластинке несколько линий, соответствующих массам-различных изотопов данного элемента, — своеобразный спектр масс. В наши дии точность определения масс атомов с помощью масс- спектрографов (правда, не в граммах, а по отношению к массе эталонного атома) достигает 6 — 8 значащих цифр.

Масс-спектроскопические методы позволяют проводить количественный анализ нефти, состоящей из молекул различных углеводородов, трудно различимых обычными химическими способами. При большой мощности ионного пучка этот метод позволил разделять изотопы в заметных количествах.

§ 38. Электронно-лучевые приборы.Электронный микроскоп

В настоящее время электронные приборы получили широкое распространение. Это вызвано несколькими причинами—легкостью управления электронным пучком («лучом»), практической безынер- ционностью пучка (заметим, что согласно (37.7) и (37.14) электрон,

будучи ускорен полем напряжением в U—\ в, приобретает скорость 594 км/сек и эта скорость растет для небольших напряжений, как VU) ит. д. Среди электронных приборов, получивших самое широкое применение, кроме рассмотренных в § 23 электронных ламп, следует прежде всего назвать электронно-лучевую трубку, применяемую в телевизорах, радиолокаторах, электронных осциллографах и множестве других устройств

Электронно-лучевая трубка состоит из электронного прожектора (более совершенной конструкции, чем описанная в предыдущем параграфе), системы отклонения электронного луча и экрана, светящегося при падении на него электронов.

Конструкция электронного прожектора показана на рис 3 45 Источником электронов является подогревный катод К—цилиндрик с донышком, покрытым тонким слоем вещества, обладающего малой работой выхода Его температуру можно регулировать, меняя ток в нити иакала катода Н. За катодом располагается модулирующий электрод АЦцилиндр Венель- та). Потенциал) подаваемый на Af, отрицателен по отношению к катоду Число

Рис 3.45.

электронов, проходящих через отверстие модулирующего электрода, сильно зависит от его потенциала Варьируя последний, можно менять ток электронного пучка и в конечном итоге—яркость пятнышка на экране трубки. Этим пользуются в кинескопах телевизоров, подавая видеосигнал на модулирующий электрод

Далее следуют два анода 4t и А, с положительными по отношению к катоду потенциалами Ускоряющие электроны электрические поля, возникающие между М и Av а также между Аг и Аг, показаны на рис 3 45 эквипотенциальными поверхностями Конфигурация электродов, а следовательно, форма эквипотенциальных поверхностей поля выбирается так, чтобы электроны не только ускорялись, но и фокусировались в точку иа экране трубки

С помощью специально рассчитанных электрических и магнитных полей электронные пучки можно фокусировать так же, как лучи света фокусируются с помощью лииз Поля, обладающие свойством фокусировать электронные пучки (например, между М и At или между А, и А^, называются э л е к- т р онными линзами, электростатическими или магнитными в зависимости от используемого для фокусировки поля Две электростатические

линзы Лх и Л2 в электронной пушке позволяют фокусировать достаточно мощный пучок электронов в пятнышко диаметром порядка десятых долей миллиметра

Следующим элементом электронно-лучевой трубки является система, управляющая отклонением электронного пучка Для этой цели применяются магнитные или электрические поля. В последнем слу

чае на пути пучка располагаются два конденсатора, плоскости которых повернуты друг к другу под углом 90° (рис. 3 46). Меняя напряженность поля в конденсаторе С, с вертикальными пластинами,

можно отклонять электронный пучок в горизонтальной плоскости;

конденсатор С2 позволяет осуществлять отклонение в вертикальной плоскости.

Скорость электронов в электронно лучевой трубке составляет 10000—20000 км/сек. Проходимый ими путь от управляющего конденсатора до экрана не

превышает 20 — 30 см, а от катода до экрана — не более 50 см. Поэтому прибор является почти безынерционным, позволяя исследовать явления,протекающие за миллионные доли секунды. Особенно удобным для такого рода исследований является прибор, получивший название электро н- но г о осциллографа.

Основной частью электронного осциллографа является электронно-лучевая трубка, на экран которой иногда для удобства наносят координатную сетку. В приборе имеется генератор электрических колебаний, позволяющих подавать на вертикальные отклоняющие

пластины конденсатора переменное напряжение различной частоты.

С помощью этого приспособления можно исследовать электрические колебания в широком диапазоне частот, подавая изучаемую

периодическую э. д. с. на пластины горизонтального конденсатора и подбирая частоту генератора осциллографа так, чтобы на экране получались фигуры Лиссажу (см. т. 1, гл. IV).

С помощью специальной схемы, на описании которой мы не останавливаемся,

на Ct можно подавать напряжение пило

образной формы (рис. 3.47). Под действием этого напряжения электронный луч будет перемещаться на экране по горизонтальной прямой слева направо с постоянной линейной скоростью и, пробежав весь экран, практически мгновенно возвращаться обратно и повторять опять весь путь. Такое движение электронного луча называется р а з в е р т-

§ 38] ЭЛЕКТРОННО-ЛУЧЕВЫЕ ПРИБОРЫ. ЭЛЕКТРОННЫЙ МИКРОСКОП 241 кой. Подавая на Сг изучаемое переменное напряжение и подбирая частоту развертки Сг так, чтобы эти частоты совпадали, можно получить на экране осциллографа неподвижный график изучаемого процесса.

Переводить на «электрический язык» и изучать с помощью катодного осциллографа можно самые различные процессы Приведем несколько примеров.

Можно исследовать деформацию деталей быстроходных машин в процессе их работы, не нарушая при этом работы машин. Для этого на исследуемую деталь наклеивают тонкую целлулоидную ленточку, па которой нанесена полоска графита или приклеен тонкий проводник (тензометр, см §§ 15 и 17) К тензометру через большое сопротивление Д подключается источник постоянного на-4 д-

пряжения U, так что в цепи идет ток I постояннойс-

величины I = U(R При деформации детали датчикS |сТр<Д

растягивается или сжимается, его сопротивлениеС I 2)

меняется (в случае металлического проводника—\

Рис. 3.48.

пропорционально деформации), и вместе с тем меняется разность потенциалов KU на его концах (7= Аб/]Д7? = const, при изменении АД меняется АП) Переменная по величине э д с. Аб/, снимаемая с концов тензометра, усиливается и подается на конденсатор С2 осциллографа На экране получается график деформации детали за период. С помощью специального изменения напряжения развертки, подаваемого на С,, можно растянуть и просмотреть в деталях любой участок изучаемой кривой

Весьма удобными—чувствительными и универсальными — датчиками для решения самых различных задач являются диоды с подвижными электродами. Две простейшие лампы такого типа пОКИУаИЫ н5 фис^ЧЙ1, а и 4 В обеих лампах анод крепится с помощью герметической гибкой металлической гофрированной трубки—сильфона. При колебаниях анода ламп (рис 3 48, а) резко меняется анодный ток или анодное напряжение (в зависимости от схемы установки, которую мы опускаем) С помощью такой лампы легко осуществить микрометр любой чувствительности, исследовать колебания с помощью катодного осциллографа и т д Особым преимуществом ламп с подвижными электродами как датчиков является то обстоятельство, что они непосредственно дают напряжение, достаточное для работы осциллографа, так что необходимость усиления сигналов датчика отпадает Это позволяет с помощью многолучевого осциллографа, т е осциллографа с несколькими одновременно развертываемыми и независимо управляемыми электронными лучами, изучать колебания сразу нескольких узлов машины, что очень важно, когда взаимосвязь таких колебании представляет интерес (см резонанс и вынужденные колебания, т 1,гл. XIII).

Лампа, изображенная на рис. 3.48, б, может служить манометром (в частности, барометром), электрические показания которого можно регистрировать на любом расстоянии от датчика. В зависимости от характера измерений созданы лампы с подвижными электродами самой различной конструкции.

О применении электронно-лучевой трубки в радиолокации и телевидении будет сказано в главе XI. Здесь же мы остановимся на электронном микроскопе.

Важнейшей характеристикой микроскопа является не его увеличение, которое может быть сделано сколь угодно большим, а его разрешаю ш а я способность.' характеризующая возможность различения предельно мелких деталей изучаемого объекта. Если изображения двух точек, находящихся на расстоянии 6 друг от друга, неразличимы, т. е. сливаются в одно, то никакое увеличение не позволит увидеть их раздельно.

Уже отмечалось (т. 1, гл. XIV), что волна рассеивается на преграде, если преграда соизмерима с длиной волны, или задерживается ею, если размеры преграды много больше длины волны. Преграды, малые по сравнению ■

с длиной волны, почти не задер-

Рис. 3.49.Рис. 3.50.

Наименьшая длина волны излучения, видимого глазом, состав" ляет 0,38 як. Частицы вещества с линейными размерами 0,1 як с помощью оптического микроскопа уже нельзя наблюдать.

Выше мы упоминали о волновых свойствах электрона. При ускорении электрическим полем с разностью потенциалов в десятки тысяч вольт электронный пучок может рассматриваться как волна с длиной порядка 10-1“ см. В то же время с помощью электрических и магнитных линз электронными пучками можно управлять так, как обычными световыми лучами управляют с помощью стеклянных линз. Это позволило создать электронный микроскоп.

Мы опишем коротко применяемый редко, но более простой электронный микроскоп с электростатическими электронными линзами.

Заметим предварительно, что удовлетворительные результаты получаются при работе не с отраженным, а с проходящим сквозь объект электронным лучом Поскольку же электроны, обладая зарядом, сильно взаимодействуют с веществом, то для электронных лучей прозрачными могут быть

лишь очень тонкие объекты, толщина которых не превышает десятых долей микрона При изучении бактерий, вирусов и т д. их наносят на поверхность тончайшей коллодиевой пленки, получаемой при испарении капельки жидкого коллодия, растекшейся по поверхности воды.

Электронный прожектор в электронных микроскопах дает монохроматический пучок электронов, проходящих сквозь объект, т. е «на просвет». Вследствие этого от слишком плотных или имеющих слишком большую толщину предметов может быть получено лишь теневое изображение (рис. 3.49).

Обычный диапазон ускоряющих напряжений, применяемых в электронных микроскопах разных конструкций, лежит в области от 50 000 до 200 000 вольт.

Электростатическая электронная линза (рис 3 50) состоит обычно из трех круглых диафрагм с центральными круглыми отверстиями. Крайние диафрагмы имеют одинаковый потенциал (соединены друг с другом), средняя

ОбъентиВОбъентиВПредметОсбетитвльПредметОсбетитвльб)б)а)а)Рис. 3.51.

ОбъентиВ

ОбъентиВ

Предмет

Осбетитвль

Предмет

Осбетитвль

б)

б)

а)

а)

имеет больший либо меньший потенциал. Структура электрического поля линзы показана его эквипотенциальными поверхностями. Выпуклости этих поверхностей в области отверстий диафрагм и образуют лиизу. На рисунке показаны траектории электронов, идущих от дьух точек предмета; траектории сходятся после прохождения линзы, и электроны создают изображение этих точек предмета.

«Ход лучей» в электронном микроскопе показан на рисунке 3 51, а. Для сравнения на рис. 3.51, б показан ход лучей в оптическом микроскопе.

движущихся в элементе длиной dl и ния S. С другой стороны (см. (36.2)),движущихся в элементе длиной dl и ния S. С другой стороны (см. (36.2)),[УХг][УХг]h=gh=g4лг*4лг*

движущихся в элементе длиной dl и ния S. С другой стороны (см. (36.2)),

движущихся в элементе длиной dl и ния S. С другой стороны (см. (36.2)),

[УХг]

[УХг]

h=g

h=g

4лг*

4лг*

§ 39. Поле одиночного движущегося заряда.Взаимодействие движущихся зарядов

Как уже указывалось в § 36, реальный элемент тока имеет длину и ширину и представляет собой совокупность одиночных зарядов q, движущихся параллельно друг другу со скоростью v||tZl (см. рис. 3.52). Магнитное поле dH, создаваемое элементом тока в точке /И, представляет собой геометрическую сумму полей, созда-

ваемых каждым из движущихся зарядов в отдельности. На расстояниях г, больших по сравнению с размерами элемента тока, можно считать, что радиус-вектор г практически одинаков для всех зарядов и каждый одиночный движущийся заряд создает в точке М практически одинаковое магнитное поле h. Тогда

dH=Mi, (39.1)

где (см. (36.1)) N=nS dl— полное чисдо зарядов, площадью поперечного сече-

(39.2)(39.2)I dl=Nqv.

(39.2)

(39.2)

По закону Био — Савара — Лапласа напряженность магнитного поля элемента тока в гауссовой системе равна

(39.3)(39.3)(ZH=IWlXr]_vVkvXr)сг3сг3

(39.3)

(39.3)

Из (39.1) и (39.3) находим напряженность ма!нитного поля, создаваемого одиночным зарядом:

И=ф^);(39.4)

величина h равна

т. е. напряженность магнитного поля, создаваемого одиночным движущимся зарядом, обратно пропорциональна квадрату расстояния г

от заряда до точки наблюдения М и прямо пропорциональна величине заряда q, скорости его движения D и синусу угла между направлением движения заряда v и радиус-вектором г. Направление вектора h перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы v и г, и ориентировано по правилу правого винта вокруг направления V. Линии магнитного поля представляют собой окружности, центры которых расположены на прямой, вдоль которой движется заряд, как это показано на рис. 3.53.

Неподвижный заряд е связан с/\X

окружающим его электрическим по- /I /

лем, напряженность которого равна У^^Г i

Е.=£.(39.6)

Если этот заряд движется со ско-Рис- 3-$3-

ростью v, то с ним оказывается связанным еще магнитное поле, которое в соответствии с только что полученным результатом обладает напряженностью

=139.7)

Точно такое же поле обнаружат приборы, двигаясь мимо неподвижного заряда со скоростью у: абсолютная скорость есть бессмысленное понятие — важна лишь относительная скорость v, в данном случае заряда и прибора — индикатора поля.

Рассмотрим этот вопрос подробнее. С зарядами связаны поЛя Е иН. Эти поля воздействуют на другие электрические заряды, движущиеся в окружающем пространстве, с силой f, определяющейся из (37.3). В общем случае двух произвольно движущихся зарядов взаимодействие, осуществляемое через поля (39.6) и (39.7), очень сложно, и мы его рассматривать не будем. Ограничимся простейшим частным случаем, позволяющим тем не менее сделать весьма важные заключения о взаимосвязи электрических и магнитных полей.

Рассмотрим два одинаковых заряда е, находящихся на расстоянии г друг от друга и движущихся со скоростью v по направлению, перпендикулярному к соединяющей их линии (рис. 3.54). Между этими зарядами будут действовать электрические и магнитные силы. Первые будут силами отталкивания, равными по величине

Л = 7г.(39.8)

Легко видеть, что, как в случае параллельных токов, магнитные силы будут силами притяжения. Величину этих сил легко найти. Магнитное поле, в котором движется, например, второй заряд,

создается первым зарядом, находящимся от него иа расстоянии г, причем vj_r. Отсюда

<39-9>

Подставляя это значение в выражение (36.8), находим (учитывая, что Н lv):

ре2

/магн=- =(39.10)

• Main £у^8х/

Заметим, что выделенный нами в окончательном выражении /маги множитель слева равен /е (39.8). Следовательно,

/магн^^гЛ.(39.11)

Таким образом, в то время как силы электрического отталкивания между зарядами, будучи независимыми от о, остаются постоян-

, fan, fanNeNe^, fMoaH^, fMoaHРис. 3.55.Рис. 3.55."fa»"fa»

, fan

, fan

Ne

Ne

^, fMoaH

^, fMoaH

Рис. 3.55.

Рис. 3.55.

"fa»

"fa»

ними (поскольку г— const), силы магнитного притяжения возрастают с увеличением о, стремясь к значению /е при практически недостижимой скорости и, равной скорости света.

Суммарная сила отталкивания зарядов / равна

/=/е /маги" уг ^С2/"(39.12)

Полученный результат кажется парадоксальным. Суммарная сила взаимодействия (39.12) оказалась зависящей от о, в то время как *t) есть скорость по отношению к произвольно выбранной системе отсчета. Рассматривая те же заряды, но в системе отсчета, движущейся со скоростью в (как это изображено на рис. 3.55), мы нашли бы их неподвижными, и полная сила отталкивания была бы равна

Л=»Г-

Наконец, можем ли мы считать магнитное поле объективно существующим, если оно согласно (39.7) определяется скоростью"у, зависящей от системы отсчета? Как показано на рис. 3. 55, наблюдатель, движущийся вместе с зарядами, не обнаружит никакого магнитного взаимодействия: по отношению к нему заряды покоятся.

Конечно, взаимодействие электрических зарядов есть явление объективное, не зависящее от существования и характера движения наблюдателя. Приведенный выше «парадокс» возник потому, чго мы до сих пор рассматривали электрическое и магнитное поля как независимые и допустили некоторые неточности при вычислении сил /е и /магн. В частности, неподвижный наблюдатель должен учитывать, что при движении электрических зарядов изменяются и их электрические поля, и эти изменения происходят не сразу во всех точках пространства, а распространяются с конечной, хотя и очень большой скоростью с—3-^O^CMjceK. Не останавливаясь на всех деталях получающейся весьма сложной картины, следует лишь указать, что на второй заряд, находящийся в данный момент в точке М, действует электрическое поле, порожденное первым зарядом не в тот же самый момент времени, а несколько раньше, когда он еще находился в какой-то предыдущей точке своей траектории. Следовательно, неподвижный наблюдатель по сравнению с движущимся обнаружит не только появление магнитного поля и силы/ма1№, но н изменение электрического поля и силы fe.

Формально «парадокс» возник потому, что мы рассматривали электрическое и магнитное поля как векторные.

Для векторов характерен определенный закон преобразования при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. По этому закону преобразуется, например, такой «настоящий вектор», как вектор скорости, и т. д.

Вектора электрического и магнитного полей преобразуются по другому закону, и следовательно, строго говоря, эти поля не векторные. В действительности все составляющие электрического и магнитного полей (всего шесть составляющих) образуют величину, называемую тензором второго ран а, компоненты которого преобразуются по иным законам, чем компоненты векторов.

Из законов преобразования тензоров непосредственно видно, как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой наличие электрических составляющих поля приводит к появлению магнитных, и наоборот (например, в собственной системе отсчета, по отношению к которой электрический заряд неподвижен, есть лишь электрические составляющие поля; если перейти теперь к системе отсчета, по отношению к которой заряд и связанное с ним поле движутся, то в новой системе будут и магнитные составляющие поля).

248

ч. m. электромагнетизм

[гл. vm

В рамках нашего учебника мы не можем пользоваться тензорами, а следовательно, и строго указать границы корректности принятых представлений. Сказанное адресовано главным образом гем читателям, которые в дальнейшем захотели бы расширить свои представления о природе электромагнитного поля.

Вместе с тем уже здесь мы хотим подчеркнуть неразрывное единство э л е к т р и ч е с iFoTo и магнитного полей.

Объективно существует единое электромагни т и о е поле.

Разбиение этого поля на электрическое и магнитное является условным и зависит от скорости движения зарядов в выбранной системе отсчета. В следующих главах мы установим еще более тесную взаимосвязь электрического и магнитного полей, чем это было сделано в настоящей главе.

При сравнительно медленных движениях заряженных тел, пока ®<^с, можно не учитывать этой связи и пользоваться выведенными ранее соотношениями для электрических и магнитных полей. Как видно из формулы (39.12), для рассмотренного выше примера относительная неточность порядка уг[с* очень мала для обычных скоростей v, малых по сравнению со скоростью света с.

Для движений со скоростями, приближающимися к скорости света, пришлось пересмотреть не только представления о взаимной независимости электрических и магнитных полей, но и отказаться от еще более привычных представлений о взаимной независимости пространства и времени и независимости их свойств от материи, движущейся в пространстве—времени. Этот пересмотр был произведен А. Эйнштейном, создавшим новую теорию пространства — времени — теорию относительности, в которой наиболее последовательно введено единое электромагнитное поле.

ГЛАВА IX

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

§ 40. Открытие явления электромагнитной индукции

С момента открытия связи магнитного поля с током (Эрстед, 1820 г.) делались многочисленные попытки возбудить ток в контуре с помощью магнитного поля. Задача эта была решена М. Фарадеем, открывшим в 1831 г явление электромагнитной

индукции.

Явление это состоит в следующем. Если поток вектора индукции, пронизывающий замкнутый проводящий контур, меняется, то

в контуре возникает электрический ток. При этом явление совершенно не зависит от способа изменения потока индукции. В качестве иллюстрации приведем некоторые из классических опытов Фарадея. Если свитый в катушку проводник замкнуть на гальванометр и вдвигать в нее постоянный

Рис. 3 56.Рис. 3 56.

Рис. 3 56.

Рис. 3 56.

магнит (рис. 3.56, а), то гальванометр покажет возникновение кратковременного импульса тока. При прекращении движения магнита прекращается и ток. Если изменить направление движения магнита и вытягивать его из катушки, то направление тока в контуре изменяется на обратное. Такое же изменение направления тока

происходит при перемене полюсов магнита. Для получения индукционного тока можно держать магнит неподвижным, а двигать с той же скоростью, но в обратном направлении катушку.

Точно такая же картина наблюдается и при замене постоянного магнита электромагнитом. Если соленоид, по которому пропускается постоянный ток, перемещать относительно катушки (рис. 3.56, б), то в последней также возникает индукционный ток.

Наконец, если обе катушки закрепить неподвижно, но менять магнитное поле, создаваемое первой катушкой, включая или выключая

источник тока или изменяя ток реостатом (рис. 3 56, в), то во второй катушке возникает индукционный ток, тем больший, чем быстрее изменяется ток в первой катушке.

Обобщая результаты всех своих опытов, Фарадей пришел к выводу, что индукционный ток возникает всегда, когда проводник пересекает линии магнитной индукции и в замкнутом контуре изменяется число ухватываемых им линий, т. е. изме

няется сцепленный с ним магнитный поток Ф. Переводя представления Фарадея на современный язык, мы можем сформулировать это так:

э. д. с. индукции, возникающая в замкнутом контуре, зависит

от скорости изменения магнитного потока, сцепленного с контуром, т. е. от d$)[dt.

Для каждого случая индукции Фарадей указывал направление индуктированного тока. Общее правило для нахождения направления этих токов было установлено в 1833 г. Э. X. Ленцем: «. .. если металлический проводник передвигается вблизи гальванического тока или вблизи магнита, то в нем возбуждается гальванический ток такого направления, которое вызвало бы движение покоящегося

провода в направлении, прямо противоположном направлению движения, навязанному проводу извне ...».

Таким образом, изменяя магнитный поток Ф, сцепленный с данным контуром (например, перемещая проводник во внешнем магнитном поле), мы найдем, что индукционный ток имеет такое направление, что создаваемое им дополнительное магнитное ноле препятствует изменению начального магнитного потока Ф.

Если, например, приближать виток (с выбранным направлением нормали п) к северному полюсу постоянного магнита и тем самым увеличив ать магнитный поток, пронизывающий виток (dO/rfi>-0), то в витке возникнет индукционный ток /инд такого направления (рис. 3.57), что на ближайшей к магниту стороне витка образуется тоже северный полюс, препятствующий дальнейшему приближению витка. Ток в витке пойдет против часовой стрелки ($кнд-<0), и его собственное магнитное поле будет уменьшать магнитный поток, сцепленный с контуром.

Если же виток на рис. 3.57 удалять от северного полюса постоянного магнита, то магнитный поток в нем будет у б ы.в а т ь (dQ)jdt << 0) и индукционный ток пойдет по часовой стрелке (§инд> 0)так, что его собственное магнитное поле увеличит магнитный поток.

В обоих случаях магнитное поле возникающего индукционного тока стремится препятствовать вызвавшему его изменению магнитного потока. Уто и есть формулировка правила Ленц а.

§41. Природа и величина электродвижущей силыиндукции

При индуктировании тока в проводнике в последнем начинают двигаться электрические заряды и возникает обусловленное их движением магнитное поле. При этом в контуре накапливается энергия, которая локализована в магнитном поле тока. Эта энергия

накапливается контуром (его полем) за счет работы внешних сил,

возбуждающих индуцированный ток, например, за счет механиче-.

ской работы перемещения магнитов или контуров. В свою очередь энергия индукционного тока может переходить в другие формы энергии, в частности в тепловую. В результате контур будет нагреваться, а ток в контуре—убывать.

В этих процессах так же, как и при всех механических, тепловых

и электрических явле

ниях, строго соблюдается закон сохранения энергии. Поэтому вывод количественного выражения для э. д. с. индукции проще вСего сделать, исходя из закона сохранения энергии.

Рассмотрим плоский контур с подвижной стороной, изображенный на рис. 3.58. Батарея с э. д. с. $0 создает в этом контуре

ток 1е, За время dt через контур проходит заряд dq — I^dt, и батарея совершает работу ^J^dt. Эта работа будет переходить в тепло, и по закону Джоуля—Ленца

Wt=I»Rdt,(41.1)

где R—полное сопротивление всего контура (включая и внутреннее сопротивление батареи). Отсюда в соответствии с законом Ома имеем

/0 = |5.(41.2)

Поместим теперь рассматриваемый контур в однородное магнитное поле с индукцией В. Для простоты положим, что вектор В перпендикулярен к плоскости контура (см. рис. 3.58). Линии В параллельны п, связанному с направлением тока в контуре правилом правого винта, и магнитный поток Ф. сцепленный с контуром, положителен. Каждый элемент контура dl испытывает механическую силу dF. Подвижная сторона рамки будет испытывать результирующую силу Fo.

Позволим теперь подвижному ребру рамки перемещаться вправо с постоянной скоростью V.

dx

-9=^ = const.(41.3)

При этом в результате электромагнитной индукции ток в козтуре изменится и станет равным /. Изменится и сила, действующая на подвижное ребро, которую мы обозначим теперь F.

Сила F за время dt произведет работу dA, равную (F [| v):

dA = F dx—Fv dt.(41.4)

Подставляя сюда значение пондеромоторной силы F, действующей на проводник с током, мы придем к выражению для работы, уже полученному в § 35 (см. (35.1), (35.2));

dA=k'ld<$).(41.5)

Как и в случае, когда все элементы рамки неподвижны, источником работы, производимой контуром, является подключенная к нему батарея. Но при неподвижном контуре эта работа сводилась только к выделению тепла согласно (41.1). В рассматриваемом случае тепло также будет выделяться, но в другом количестве, так как ток в контуре изменился. Кроме того, контур за время dt совершает механическую работу dA в соответствии с выражением (41.5).

Таким образом, общая работа, совершаемая батареей с э. д. с. So за время dt, равна

£Jdt = FRdt^-k'Idq).£Jdt = FRdt^-k'Idq).(41.6)(41.6)

£Jdt = FRdt^-k'Idq).

£Jdt = FRdt^-k'Idq).

(41.6)

(41.6)

§ 41] ПРИРОДА И ВЕЛИЧИНА ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ 253 Разделив это выражение на IRdt, находим

(41.7)(41.7),®° k dtR

(41.7)

(41.7)

Полученное соотношение мы вправе рассматривать как выражение закона Ома для контура, в котором, кроме включенной в него э. д. с. So, имеется еще э. д. с. индукции:

гдегдеОтсюдаОтсюдаили в системе СИ ^'=1 иили в системе СИ ^'=1 и1 = 1R1 = 1Rинаина$инд— ^ .$инд— ^ .6>фW — k06>фW — k0(41 8)(41.9)(41 10)(41 10')(41 8)(41.9)(41 10)(41 10')

где

где

Отсюда

Отсюда

или в системе СИ ^'=1 и

или в системе СИ ^'=1 и

1 = 1

R

1 = 1

R

ина

ина

$инд— ^ .

$инд— ^ .

6>ф

W — k0

6>ф

W — k0

(41 8)

(41.9)

(41 10)

(41 10')

(41 8)

(41.9)

(41 10)

(41 10')

Найденное выражение для э. д. с. индукции ?инд является, как это показали опыты Фарадея, совершенно универсальным и не зависит от способа изменения Ф. Как указывалось в § 40, это изменение может быть обусловлено движением магнитов, проводников с током, с которыми связано поле В, либо изменением тока в них, движением или деформацией контуров и т. п.

Во всех этих случаях, в соответствии с (41.10), э. д. с. индукции $инд в контуре равна скорости улсеныиения потока индукции Ф, пронизывающего этот контур. Знак минус в (41.10) (уменьшение Ф) выражает математически правило Ленца.

В системе СИ Ф выражается в в-сек и~ТГОсЛ5"~Д'йфференциро- вания $инд получается непосредственно в в. Если же Ф и 2ИНД измерять в единицах, принадлежащих к разным системам, то в формулу (41.10) войдет соответствующий переводный множитель. Так,

gЮ-».(41.10а)

' 7 at (сек)'7

В системе Гаусса &' = -- и

(41.11)

с dt ’'7

где 8 измеряется в СГС ед, потенциала.

Для выяснения природы э. д. с. индукции рассмотрим детальнее явления, происходящие в подвижной стороне контура. Для простоты примем, что сторонняя э. д. с. So отсутствует. Ток в контуре будет обусловлен только э. д. с. индукции. Эта э. д. с. не сосредоточена, а действует вдоль всей подвижной стороны контура. Другими словами, в этой стороне возникает вызванное индукцией поле Емго, которое в силу тождественности условий во всех точках движущегося проводника в них одинаково. Следовательно, разность потенциалов на концах проводника, т. е. &ивд, равна произведению Еявд на длину проводника:

^инд = ^инд ^(41.12)

Подставляя значение &инд в системе Гаусса, из (41.11) находим

» Id®1 Bl dx

откуда,

= —/(41.13)

с at с г4'

или, учитывая направление векторов В, Еинд и v,

Ew=—J-[Bxv]=l[VxB).(41.14)

В рассматриваемом случае величину Еипд можно получить непосредственно из выражения лоренцовой силы. Действительно, на частицу с зарядом е, движущуюся вместе с подвижной стороной контура со скоростью v, в поле В действует сила f, равная

f = |[vxB].(41.15)

Такую же силу, действующую на заряд, дает электрическое поле E'=f/e, равное

E'=l[vxB].(41.16)

Таким образом, величина силы, действующей на заряд, которая получена с помощью выражения для лоренцовой силы, в точности совпадает с результатом (41.14).

В рассматриваемом примере введение электрического поля индукции Е' может показаться искусственным приемом. Движение контура происходит в однородном магнитном поле В. Возникающую в контуре э. д. с. индукции $янд (и ее поле Еинд) можно рассматривать как стороннюю э. д. с., обусловленную наличием магнитного взаимодействия поля В и зарядов контура. При этом не ставится вопрос о том, имеется ли в контуре реальное

§ 41] ПРИРОДА И ВЕЛИЧИНА ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ 255 электрическое поле Е' или величина Е' (41.16) введена лишь для удобства написания выражения силы f, действующей на заряд е (в виде f = eE'). Такая точка зрения допустима, однако она формальна и лишает возможности дальнейших важных обобщений, подтверждаемых опытом и свидетельствующих о реальном существовании поля Е'.

Для выяснения этого вопроса вернемся к задаче о поле одной заряженной частицы. В § 39 было показано, что в системе координат, покоящейся по отношению к заряженной частице, поле частицы будет проявляться как чисто электрическое. При движении по отношению к частице (или частицы по отношению к выбранной системе координат) поле частицы проявляется как поле электрическое плюс поле магнитное.

Отсюда был сделан вывод, что в общем случае можно говорить лишь об электромагнитном поле, представляющем некоторое^дин- ctbjl?)- Наличие тех или иных составляющих поля определяется не только природой источников поля, но и характером движения этих источников относительно выбранной системы отсчета.

Так, в системе отсчета, в которой точечный заряд е покоится, его поле представлено лишь электрическими составляющими Е=ег/г“ (см. (39.6)), а магнитное поле равно нулю. В системе же отсчета, относительно которой заряд движется со скоростью v, его поле содержит и магнитные составляющие Н=— vx-^ (см. (39.7)).

с l г J

Совершенно аналогично в системе отсчета, в которой токи покоятся, их поле представлено практически одними магнитными составляющими В. В системе же отсчета, относительно которой эти токи, а следовательно, и поле В движутся, оказываются отличными от нуля и электрические составляющие поля.

Если мы хотим узнать, каковы силы, действующие на заряды в данном элементе контура, движущегося в поле В, то естественно рассмотреть их в системе отсчета, связанной с этим элементом. Переходя к новой системе отсчета, в которой элемент контура неподвижен, а поле В (вместе с токами, его порождающими) движется, мы найдем, что это поле характеризуется отличными от нуля составляющими электрического поля Е'=ЕИИД, которые и были определены раньше (см. (41.14) или (41.16)).

Таким образом, мы имеем две альтернативные точки зрения:

В системе отсчета, в которой покоится поле В и движется элемент контура со скоростью v, мы можем принять, что силы,

*) Как уже указывалось в § 39, последовательно и строго такое описание поля осуществляется в теории относительности, где вводятся не два независимых вектора Е и В, а одиа величина—тензор—с шестью отличными от нуля компонентами, которые отвечают трем составляющим для Е и трем для В.

действующие на заряд е, обусловлены магнитным взаимодействием и равны

tMarH = 7lvXB).(41.17)

В системе отсчета, в которой покоится данный элемент контура (vKOHI=0) и движется магнитное поле, на заряд действуют не «магнитные силы», а чисто электрическое поле индукции Е'. Сила, действующая на заряд в этом элементе контура,

$эл=еЕ',(41.18)

а значение Е', которое дает то же значение силы, чго и (41.17) будет

E' = l[vxB].(41.14) —(41.16)

В рассматриваемом случае величина v есть скорость элемента контура относительно поля. Логичнее, однако, здесь ввести скорость поля vB относительно элемента контура, считаемого неподвижным. Поскольку

v=— vB,(41.19)

последнее выражение для Е' следует переписать так:

Е'= — 1[vbxB],(41.20)

Мы можем толковать полученный результат следующим образом: .магнитное поле В, движущееся со скоростью vB, порождает электрическое поле Е'. В § 50 будет показано, как важна установленная с помощью соотношения (41.20) взаимосвязь полей В и Е'. Здесь же для нас важно лишь то, что в каждом элементе контура, движущегося в В, поле Е' следует считать реальным электрическим полем. При этом для вычисления Е' удобнее пользоваться не записью (41.20), а (41.14) — (41.16), так как различные элементы контура могут двигаться с разными скоростями.

Таким образом, если исходить не из точки зрения стороннего наблюдателя, неподвижного по отношению к полю В, а рассматривать силы, действующие в каждом элементе контура, в системе отсчета, связанной с этим элементом контура, мы должны будем считать, что в контуре имеется реальное электрическое поле индукции Е'. Суммарное действие этих сил по всему контуру и приводит к возникновению в контуре §инд.

Электрическое поле индукции Е' не отличается от электростатического поля Е электрических зарядов по своему действию на электрический заряд в данной точке пространства. Но по своей

М/М/структуре, т. е. в целом, эти поля резко отличаются друг от друга. Электростатическое поле имеет «источники поля»—электрические зарйдйг'Линии напрТГЖПТГйбсти его не замкнуты: они начинаются на положительных и кончаются на отрицательных зарядах. В этом поле работа по перемещению заряда между двумя фиксированными точками зависит только от положения этих точек, но не от формы пути. Отсюда следует, что работа по перемещению заряда по любому затиснутому контуру*" равна нулю. "Значит, и циркуляция электростатического поля по любому замкнутому контуру (численно равная работе по перемещению в этом контуре заряда q = +1)

М/

М/

ЭЛ

^Е^1=0.(4121)

Именно это обстоятельство и позволило ввести новую характеристику электростатического поля — электрический потенциат ср (см. § 8).

В отличие, от электростатического поля поле Е' не имеет источников. Линии напряженности этого поля замкнуты^подобно"" линиям магнитного поля. При перемещении заряда q = + 1 по контуру, совпадающему с замкнутой линией Е', направление перемещения все время совпадает с направлением действия силы (или все время — против нее). Знак элементарной работы dA все время один и тот же. Следовательно, работа, произведенная при обходе всего контура, всегда бтлична от нуля: ':

ф E't dl=$ E'dl Ф 0.

То же самое имеет место, вообще говоря, и для произвольного замкнутого контура П:

S,h„=# E't dl + 0.(41.22)

п

Поля такой структуры в отличие от потенциальных полей (электро- статичеГкбгб пол$г; Поля тяготения) носят название соленоидальных. - ■—1' "

Интеграл (41.22) представляет собой работу, совершаемую индукционным электрическим полем Е' при переносе единичного заряда вдоль замкнутого контура, т. е. он равен электродвижущей силе индукции &инд, возникающей в этом контуре. В разобранном выше примере контура (рис. 3.58)индукционное поле Е'— В -^ возникает лишь в подвижной стороне контура KL, поскольку внешний участок цепи LMK неподвижен относительно магнитного поля. Поэтому интеграл (41.22) сводится лишь к интегралу по подвижной стороне

9 Г. А. Зисман н О М Тодес

и раЬен, как было показано выше,

L

£„нд=/ Е^1 = ^ Е* dl=k'Bl^- = -k'^.(41.23)

к

Это выражение остается, очевидно, справедливым, если все элементы рамки будут перемещаться относительно поля, если рамка будет произвольным образом деформироваться и т д Оно останется также верным, если рамка будет оставаться неподвижной, но в ней будет меняться поток магнитной индукции Ф

Необходимость такого обобщения можно представить себе

наглядно из следующих соображений. Линии поля индукции В не имеют источников и всегда замкнуты Следовательно, если

число линий индукции, проходящих сквозь контур, увеличивается (что отвечает росту потока Ф, проходящего сквозь контур), то это значит, что линии индукции В «проникают» внутрь контура, пересекая его Сила, действующая на электроны в контуре, конечно, не будет зависеть от того, происходит ли пересечение

контура линиями индукции В в силу деформации контура в постоянном поле В или оно обусловлено движением поля, пересекаю щего контур при изменении потока ф, проходящего через контур.

Таким образом, формулу (41.23) мы вправе рассматривать как совершенно универсальное соотношение между циркуляцией электрического поля индукции по любому заданному контуру П ^неизменному или деформируемому') и изменением магнитного

потока Ф, сцепленного с этим контуром.

(41.24)(41.24)I £ Е' dl = —.

(41.24)

(41.24)

В гауссовой системе единиц:

£ E'dl= — 1 —Й z с at£ E'dl= — 1 —Й z с at(41 25а)(41 25а)

£ E'dl= — 1 —

Й z с at

£ E'dl= — 1 —

Й z с at

(41 25а)

(41 25а)

В системе единиц СИ'•*—

^E;d/ = —5.[(41 256)

Это выражение имеет смысл всегда, независимо от того, реализован ли контур П в виде линейного проводника, диэлектрика или речь идет о мысленно выделенном контуре в вакууме.

Если контур имеет вид металлического проводника с сопротивлением R, то в нем возникает ток /МНд, равный

1Я№=^.(41.26)

Если контур сделан из диэлектрика, то каждый элемент его поляризуется в соответствии с действующим в нем электрическим полем Еняд.

Если контур разомкнут, то электрический ток в нем возникнуть не может. В результате действия Еияд в нем произойдет перера"с^ прёделение зарядов, так что на концах проводника скопятся свободные заряды. В системе единиц СИ разность потенциалов между концами проводника I ^и II будет равна

Si п. ЯЯд=р1.ияд^ = -^,(4127)

I

где </Ф— магнитный поток, пересекаемый проводником при его движении за время dt.

Наконец, если заряд движется в вакууме по контуру П, то ,гш?

при каждом обходе этого контура механическая энергия заряда -у возрастает на величину Al-yj, равную работе электрических сил индукции в этом контуре.

А (= ^/, dl=е$ Б' dl = е6,нд.(41 28)

k ' п п

На использовании Еивд в вакууме основан оригинальный ускоритель электронов, получивший название бетатрона. В современных бетатронах электроны получают такую-энергии^ которую они могли бы набрать при прохождении поля с разностью потенциалов в несколько сотен миллионов вольт. При этом их масса возрастает за счет приобретенной кинетической энергии в несколько сот раз, а скорость лишь незначительно отличается от скорости света. Электроны больших энергий, получаемые с бетатронов, используются для изучениЯ—Ядерных реакций и для получения весьма проникающего*' рентгеновского излучения, позволяющего просвечивать детали гигантских машин толщиной в десятки сантиметров.

Бетатрон представляет собой электромагнит, между полюсными наконечниками которого находится полое кольцо (тор), в котором создан вакуум. Разрез бетатрона показан на рис. 3.59. Пучок электронов, испускаемых накаленной нитью, впускается в тор и движется по его осевой окружности С момента впуска электродов ток в электромагните, а значит и поле Н между его наконечниками, возрастает. Следовательно, возрастает и поток индукции, проходящий сквозь окружность —траекторию электронов. Возникающее при этом вихревое электрическое поле ускоряет электроны.

Вспомним теперь, что радиус траектории электронов равен

D стоеН

Электроны будут продолжать двигаться по окружности постоянного радиуса, не попадая на стенки тора, если по мере увеличения их скорости т и массы т магнитное поле растет так, чтобы отношение mvjH оставалось постоянным. С другой стороны, ускорение электронов, т. е. увеличение пит, обусловлено скоростью роста Ф.

Рис. 3.59.

Следовательно, скорость возрастания потока индукции Ф через орбиту электронов и скорость увеличения Н на самой орбите должны быть строго согласованы. Именно с этой целью полюсным наконечникам придается форма, показанная на рис. 3.59. При этом напряженность поля на орбите примерно вдвое меньше, чем в центральных частях потока. Насколько точно оправдывается расчет, исходящий, как указывалось, из факта увеличения не только скорости, но и массы электрона (притом в сотни раз), можно судить по тому, что электроны не сбиваются со своей орбиты в течение многих миллионов оборотов, во время которых происходит их ускорение.

Рассмотрим теперь вопрос о превращении с помощью э. д. с. индукции работы механических сил в работу электрических сил. Для этого обратимся снова к рис. 3.58. Подвижную сторону будем считать металлической; силу, действующую на заряды в этом ребре, будем согласно (41.15) считать лоренцовой силой).

другими электронами и обмениваясьдругими электронами и обмениваясьххх 8 хРис. 3.60.ххх 8 хРис. 3.60.Узл = и + v.Узл = и + v.(41.29)(41.29)

другими электронами и обмениваясь

другими электронами и обмениваясь

ххх 8 х

Рис. 3.60.

ххх 8 х

Рис. 3.60.

Узл = и + v.

Узл = и + v.

(41.29)

(41.29)

Лоренцова сила, возникающая при движении положительных ионов в решетке металла подвижного ребра рамки, направлена вверх (рис. 3.60). Эти ионы не способны перемещаться относительно рамки. Таким образом, сила, действующая на них, всегда перпендикулярна к их перемещениям и работы не совершает.

Электроны же под действием лоренцевой силы (направленной на рис. 3.60 вниз) будут перемещаться вдоль рамки вниз. Сталки

ваясь с ионами решетки и с ними энергией, электроны будут двигаться с некоторой средней скоростью и. Мы не допустим погрешности, приняв для простоты, что истинная скорость электронов вдоль рамки равна и. Таким образом, скорость электронов уэл складывается из двух взаимно перпендикулярных составляющих: и и скорости перемещения рамки у:

Лоренцова сила f8JI, действующая на электрон, обладающий скоростью уэл, будет перпендикулярна к уэл. Поэтому, как было уже показано в § 36, работа, совершаемая этой силой, всегда равна нулю:

^•4=Иэлуэл<// = 0.(41.30)

Разобьем теперь силу f3 на составляющие, одна из которых, f1(, параллельна подвижному ребру рамки, а другая, fj_, перпендикулярна к нему. Тогда (41.30) можно представить в виде

(41.31)(41.31)dA=f|| udt -р f£v dt = 0.

(41.31)

(41.31)

Сила fj_ направлена против перемещения ребра рамки (т. е. против у), и ее работа отрицательна.

Чтобы это ребро перемещалось с постоянной скоростью v вправо, надо приложить к нему внешнюю силу FMex, которая, в пересчете на каждый электрон подвижного ребра, будет равна по величине, но противоположна по знаку fj_:

^х = ^=-~*1(41.32)

(здесь N—число электронов в подвижном ребре рамки).

Сила же <ц гонит электроны вдоль контура, т. е. совершает электрическую работу. Подставляя вместо fl в (41.31) fMex, согласно (41.32) получаем

f n udt—f Mexv di—0,

ИЛИ I I

I f„exv^ = fnU^. I (41.33)

Эта формула показывает, что механическая работа, произведенная над каждым электроном приложенной к рамке внешней силой, отдается этим электроном обратно (« полностью1) в виде электрической работы в конторе,

О брэтим внимание читателя на с ледующее существенное обстоятельство. В § 36 было показано, что в постоянном магнитном поле лоренцова сила не производит работы над движущейся в этом поле заряженной частицей (см (36 12) и (36 13)). Здесь же мы показали, что работа тока, вызванного э. д. с. индукции, в конечном счете обусловлена действием лоренцовых сил на электроны в контуре. Противоречие? *

Никакого противоречия нет. И в рассматриваемом случае результат § 36 (равенство нулю работы лоренцовой силы) учтен формулой (41.30), принявшей теперь вид (41.33).

В данном случае равенство нулю полной работы, производимой лоренцовой силой*" над подвижными электронами (41.30), (41.31), выражает здесь закон сохранения энергии- механическая работа, произведенная над контуром, превращается целиком в работу электрических сил в этом контуре. ’

Из ~ЖГПГЙтгоГо ранее с очевидностью следует, что для получения электрической работы не обязательно механические силы прилагать к самому контуру. Так, например, вместо деформации контура с помощью внешней силы, как это имело место в рассмотренном примере, можно, оставляя контур неизменным, вталкивать в него магнит (т. е. менять поток Ф через контур). При этом работа, затраченная иа перемещение магнита, превратится в работу электрических сил B..KOHjyoe

§ 42. Вращение рамки в магнитном поле

Явление электромагнитной индукции позволяет преобразовывать энергию механического движения в энергию электрического тока и уже около 100 лет широко используется в технике для этой цели. Для выяснения основных принципов и закономерностей промышленных методов генерирования электрического тока рассмот-

рим простейший пример плоской рамки, вращающейся в однородном магнитном поле, изображенной на рис. 3 61, а и б.

Обозначим площадь рамки через 5и угол между нормалью к рамке п и линиями вектора В через а. Тогда магнитный поток, сцеплен

ный с рамкой, будет равен ф = В5соза.(42.1)

Начнем равномерно вращать рамку с угловой скоростью о. Угол а будет расти со временем линейно по закону а=<о/.(42 2)

В рамке тогда будет возникать переменная э. д. с. индукции. В системе единиц СИ ®ивд= —^=BSm sin <о/=

Рис. 3.61.Рис. 3.61.= $макс51п®^(42.3)

Рис. 3.61.

Рис. 3.61.

Зависимость $ннд дальный) характер иЗависимость $ннд дальный) характер и^макс = BSto — ЦЦ f/Sti)^макс = BSto — ЦЦ f/Sti)(42.4)(42.4)от времени носит периодический (синусои- изображена на рис. 3.62. Величина

Зависимость $ннд дальный) характер и

Зависимость $ннд дальный) характер и

^макс = BSto — ЦЦ f/Sti)

^макс = BSto — ЦЦ f/Sti)

(42.4)

(42.4)

определяет максимальные значения, достигнутые колеблющейся э д. с., и называется амплитудой электродвижущей силы или амплитудой напряжения, создавае- ь*мого подобной моделью генера-

z^\тора переменного тока

/\/ \Как видно из (42 4), для увели'\/\_f чения напряжения § на зажимах

\\генератора следует увеличивать ве-

\\ у личины го, Н, р и S. Значительное

увеличение скорости вращения ге-

Рис. 3.62.нератора и приводит к сильному

возрастанию механических напряжений во вращающихся частях. Поэтому во многих странах, в том числе и у нас, принята стандартная частота переменного тока v=<o/2n=5O герц. В некоторых странах стандартная частота тока v=60 герц.

Увеличение магнитной индукции поля В требует установки мощных постоянных магнитов или значительного тока в случае электромагнитов. Поэтому помещают внутрь рамки и электромагнита сердечники из ферромагнитных материалов с большой магнитной проницаемостью р.

Наконец, для увеличения 5 в генераторе вращают не один виток, а целый ряд витков, соединенных последовательно друг

с другом.

В результате использования всех этих возможностей современные генераторы переменного тока могут создавать напряжение в

Рис. 3.63.Рис. 3.63.несколько десятков тысяч вольт при мощности до 500 000 кет в одном агрегате ).

Рис. 3.63.

Рис. 3.63.

Переменное напряжение снимается с вращающегося витка с помощью щеток Щ, схематически изображенных на рис. 3.61. Для получения постоянного тока следует изменить схему коммутации. На рис. 3.63, а изображена схема расположения щеток, при которой виток, повернувшись на 180°, соприкасается с той же самой щеткой про

тивоположным концом.

На рис. 3.63, б изображена зависимость напряжения $ на щетках от времени при такой коммутации. Видно, что ток получается

постоянным по направлению, но пульсирующим по величине.

б)Рис 3.64.б)Рис 3.64.Для сглаживания этих пульсаций применяют следующий способ. Вместо одной рамки применяется несколько. Каждая из них соединяется со щетками в тот момент, когда индуктируемая в ней э. д. с. оказы

б)

Рис 3.64.

б)

Рис 3.64.

вается по величине наибольшей. На рис. 3.64, а показан простейший случай, когда вращающаяся часть генератора состоит из двух рамок, плоскости которых находятся под углом в 90°.

На рис. 3.64, б показаны токи, снимаемые с каждой рамки, и суммарный ток. Увеличение числа рамок приводит к еще большему

сглаживанию тока.

Процесс превращения механической энергии в электрическую можно обратить. Если через рамку, помещенную в магнитное поле, пропускать электрический ток, то в соответствии с (29.3) на нее будет действовать крутящий момент и рамка начнет вращаться. В этом случае мы получим электрический мотор. Первый электрический двигатель был сконструирован Б. С. Якоби и приводился в действие током от батареи из 320 гальванических элементов. В 1839 г. по Неве стал плавать первый в мире электроход, приводившийся в движение этим двигателем. В настоящее время многочисленные электрические двигатели самой различной мощности приводят в движение станки, электровозы, подводные лодки, электротракторы и другие агрегаты. Схемы и конструкции различных электродвигателей и генераторов тока рассматриваются в курсе электротехники.

§ 43. Взаимная индукция. Трансформаторы

Переменное магнитное поле, индуктирующее ток, само в свою очередь может создаваться переменными токами, текущими по другим проводам или в том же контуре. В этих случаях мы говорим о явлениях взаимной индукции и самоиндукции.

Рассмотрим сначала взаимную индукцию двух токов. Контур /, изображенный на рис. 3.65, присоединен к источнику тока 8. С помощью реостата R можно менять ток i, в этом контуре, а ключом К можно этот ток полностью выключать или включать. Ток /, создает вокруг себя магнитное поле, линии индукции

которого пронизывают контур 2, расположенный на некотором расстоянии от контура /. Вследствие этого с контуром 2 будет сцеплен некоторый магнитный поток Ф211. Если ток I в контуре / увеличить, например, вдвое, то во столько же раз возрастут величины Н и В во всех точках окружающего пространства, а следовательно, ровно во столько же раз увеличится и магнитный поток Ф211. Таким образом, магнитный поток Ф211, сцепленный с контуром 2, прямо пропорционален создающему этот поток току /г Вводя соответствующий коэффициент пропорциональности Л4211, зависящий от размеров, формы и взаимного расположения контуров, можно записать:

=(43.1а)

Величина ЛЕ, носит название коэффициента взаимной индукции, или взаимной индуктивности, обоих ксГиу- ров. Из (ТТ/ТРследует,’ что при /, = 1 Ф211.=^2,1, т. е. взаимная индуктивность двух контуров равна магнитному потоку, сцеп- мнному"То"вторым "контуром, ёглиток елервом ~к анту ре равен единице.:—-

Единица взаимной индуктивности в системе СИ носит название генри (гн). Из (43.1) можно найти размерность этой единицы:

Хгк = Ц^,(43.23)

и определить ее величину. 1 гн есть взаимная индуктивность таких двух контуров, если ток в 1 а, текущий в первом контуре, создает во втором контуре магнитный поток в 1 в- сек.

В гауссовой системе единиц коэффициент взаимной индукции вводится так:

(43.16)

Из размерностей входящих в (43.16) величин следует, что

размерность ЛГ2)1 в системе СГС есть размерность длины. Единица индуктивности в системе СГС, согласно (43.16), есть такая индуктивность, при которой ток, равный с СГС единиц тока (10 а), образует во втором контуре магнитный поток в 1 максвелл ^мксу Эта .единица индуктивности носит название сантиметр UmY Зная соотношение между всеми единицами, входящими в (43.1а) и (43.16), легко определить и соотношение между единицами индуктивности. Согласно (43.16)

(43 26)(43 26),с 1 мкс

(43 26)

(43 26)

1 СГС ед тока ’ откуда, используя (43.2), находим

1 гн 1 в-сек 1 СГС ед. тока с-10*._,

1 см С 1 мкс 1 ас/10:

т. е.

1 гн=10 см.(43 3)

Как и всюду прежде, мы можем записать эти формулы в виде пригодном для обоих принятых нами систем единиц, вводя, согласно § 32, коэффициент к' ^в СГСА' = у, в СИ А'=1). Вместо (43.1а) и (43.16) будем писать

Ф^-^Х.Л-(431в>

Если пропускать ток zt через второй контур, а наблюдать магнитное поле около первого контура, то с первым контуром окажется сцепленным магнитный поток Ф, ,, пропорциональный току z,:

Ф^к'М.Л-(«4)

При вычислении коэффициентов М1>г и Mltl надо сначала по закону Био—Савара—Лапласа найти напряженность поля, создаваемого одним из токов в любой точке пространства. Для этого придется вычислять линейный интеграл (30.1). По найденному Н в соответствии с (29.10) находится В в любой точке пространства, после чего с помощью (34.5) рассчитывается поверхностный интеграл для Ф. Можно показать, что оба кратных интеграла Л42|1 и Л)п, равны друг другу и для обоих контуров существует лишь один коэффициент взаимной индукции

(43-5)

Если ток zt, текущий по первому контуру, будет изменяться, то пропорционально ему будет изменяться магнитный поток Фг.u сцепленный со вторым контуром, и в последнем возникнет э. д.с. взаимной индукции

81>В3 инд= — ^'^2= — к- ^к’М1х>= —ь-М^*\ (43 6)

Соотношение (43.6) позволяет дать второе, динамическое, определение величины М. Взаимная индуктивность двух контуров равна э. д, с, индукции возникающей в одном из этих контуров, когда ток в другом контуре убыГаепГн^^ за единицу времени. Соответственно этому определению 1 гн есть взаимная индуктивность таких двух контуров, у которых при равномерном

4Ф, б*, ВЗ ИНД = ^ ~dt

— к^М

dt. ,,, dM

dT~k ^"dt-

убывании тока в одном контуре на 1 а за каждую секунду в другом контуре возни к ает э. д. с. индукции, равная ~1 в. Предлагаем чита - телю определ"йть аналогичным образом единицу индуктивности СГС—1 см.

Следует особо выделить случай многосвязных контуров, например выполненных в виде ряда последовательно соединенных витков. На рис. 3.66 изображены два таких контура. В первом случае (рис 3.66, а) первичный контур выполнен в виде катушки с сердечником и подключен к источнику тока. Вторичный контур состоит из двух витков, надетых на первичный и подключенных к гальванометру Г. Через сердечник и любой виток проходит один и тот же магнитный поток Ф. Этот же поток Ф пронизывает и каждый из витков вторичного контура. Поэтому полный поток через вторичный контур Т равен

Ч^^Ф(43.7)

и взаимная индуктивность обоих контуров Ма в два раза больше, чем в случае одного витка.

В другом случае (рис. 3.66, б) оба витка вторичного контура охватывают катушку в противоположных направлениях, следовательно, полный поток через этот контур

Ч^Ф—Ф=0, (43.8)

и взаимная индуктивность обоих контуров /И5 равна нулю.

При включении тока в первичный контур в случае а гальванометр покажет отброс, вдвое больший, чем для одного отдельного витка. В случае б) гальванометр не дает никакого отброса при включении тока в первичном контуре: во вторичном контуре не возникает э.д. с. индукции.

Это обстоятельство учитывается в так называемой бифи л я р- н о й намотке проводов в тех случаях, когда необходимо избежать возникновения в них паразитных индукционных токов. Провод складывается вдвое и в таком виде наматывается на катушку, как это показано на рис. 8.67. Переменные магнитные поля, воздействующие на провод в каждой соседней паре витков, будут создавать э. д. с. противоположных направлений, и полная э. д. с. во всем проводе всегда будет равна нулю.

Рассчитаем очень важный для практики случай—взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий сердечник (рис. 3.68). Катушка из w, витков намотана на замкнутый сердечник или на его часть. Когда по катушке

идет ток z’j, в сердечнике возникает магнитное поле Н, магнитная индукция В и магнитный поток Ф. Поскольку сердечник не разрезан, то в соответствии с (34.14)

ф=Д.4лрор ^^, (43.9)

где S—площадь поперечного сечения сердечника, I—его длина по средней линии и р—магнитная проницаемость сердечника в данном поле. Через вторичную обмотку, содержащую w2 витков, проходит полный магнитный поток

Фе,t— W=и)2Ф =&• 4лрор ^j^Sz'r(43.10)

Тогда по определению взаимная индуктивность этих двух катушек равна (см. (43.4))

М-^-^^Ч&З.(«3.11)

В системе СГС к' = к= — ,р0= 1, величина р безразмерна, числа витков wt и w2 тоже безразмерны, 5 измеряется в смг и I—в см

и, следовательно, д^4лц m,®iS с^ ^pQ ед, индуктивности). (43.12)

В системе СИ 6=^, *'=1, ц, = 4л.1О-7 гн^, S измеряется в м1, а /—в л и, следовательно,

/M=thM£^gK..(43.13)

Как установлено выше,-! гн=10* см индуктивности.

Подобные две катушки, "н"ас'ажё7ПШБ на общий стальной сердечник, образуют трансформатор переменного тока. Трансформатор был изобретен Яблочковым в 1876 г. для «дробления» света, т. е. для разГ дельного питания отдельных электрических источников све- вг та. Кроме первичной обмотки, i трансформатор Яблочкова соде ржа л СтолЬкб отдельных катушек, сколько было независимых источников света. Размыкание или замыкание каждой из них практически не сказывалось на остальных.-

Обозначим мгновенное значение магнитного потока, пронизывающего любое сечение сердечника, через Ф. К первичной обмотке с числом витков w, (рис. 3.69) подключена переменная внешняя э. д. с. ev По закону Ома ток 1Х в этой цепи будет определяться алгебраической суммой внешней э. д. с. и э. д. с. индукции: ., d(т.Ф),„

(43.14)

где г,— сопротивление обмотки. Практически в трансформаторе падение напряжения на сопротивлении 11г1 при быстропеременных полях малб по сравнению с каждой из двух э. д. с. и

(43.15)(43.15)в^к'™^.

(43.15)

(43.15)

Аналогично э. д. с. ev возникающая во вторичной обмотке,

2221^"? *(4316)

Из (43.15) и (43.16) следует важный вывод;

^^= const.(43.17)

е, iw,

271271САМОИНДУКЦИЯ. ВИХРЕВЫЕ ТОКИСАМОИНДУКЦИЯ. ВИХРЕВЫЕ ТОКИ§ 441

271

271

САМОИНДУКЦИЯ. ВИХРЕВЫЕ ТОКИ

САМОИНДУКЦИЯ. ВИХРЕВЫЕ ТОКИ

Отношение числа витков ^-, показывающее, во сколько раз в. д.с, во вторичной обмотке трансформатора больше, чем в первичной, называется коэффициентом трансформации. Применяя закон сохранения энергии и пренебрегая потерями, мы можем написать, что мощность тока во вторичной обмотке практически равна мощности в первичной:

ej^e^. (43.18)

При ^-> 1 мы имеем повышающий трансформатор, увеличивающий напряжение и понижающий величину тока. Такое преобразование параметров переменного тока необходимо для снижения потерь в проводах при передаче электроэнергии на большие расстояния. Передаваемая мощность W=I^ (черта означает среднее за период). Потери на джоулево тепло при данном сопротивлении сети R составляют AW= RP. Поэтому уменьшение потерь связано с уменьшением тока 1 в сети, что при данном W возможно за счет увеличения S.

При электросварке в электрической дуге необходимо получать большие токи при сравнительно низких напряжениях. Поэтому электросварочные агрегаты подключают к сети с помощью пони- ж а ю щи х трансформаторов, у которых

Самоиндукция. Вихревые токи

Ток I в замкнутом контуре создает вокруг себя магнитное поле, пропорциональное току. Поэтому магнитный поток Ф, сцепленный с контуром, тоже прямо пропорционален току I. Вводя соответствующий коэффициент пропорциональности L, можно записать

Ф = &'£/, (44.1)

где величина вносит название коэффициента самоиндукции, или просто индуктивности контура. Из этого соотношения следует, что индуктивность контура равна магнитному потоку, сцепленному с" контуром' ко^да'ток, создающий этот поток, равен единице. <

Единицы измерения L, естественно, те же, что и для Л1: в системе СИ — гн, а в системе СГС—см.

Индуктивность соленоида с числом витков г» может быть получена из следующих простых соображений. При изменении потока вектора индукции через соленоид в нем возникает э. д.с. совершенно независимо от того, обусловлен этот поток электрическим током в этом же соленоиде или же поток связан с другими токами.

272ч. in. элгктромагнртизм{гл ix

Следовательно, действие соленоида на себя должно быть таким же, как и действие на другой, вполне ему подобный и пронизываемый тем же магнитным потоком соленоид.

Но эта задача уже была решена нами при рассмотрении взаимной индуктивности двух обмоток трансформатора. Теперь нужно лишь приравнять числа витков в обоих катушках. Полагая поэтому в (43.11) w1 = w2 = w, находим

^-сол — ^ ' 4л(1Ц0 —у- .(44.2)

При изменении тока z в контуре будет меняться связанный с контуром магнитный поток и возникнет э. д.с. самоиндукции, равная

$свмоинд--^==-^|.(44.3)

Знак минус в этом выражении показывает, что наличие индуктив- носТи"(77^*б) приводит к замедлению изменения" тока в нем.

Действительно, если ток возрастает со временем, го

а значит,

^самоинд <С О,

т. е. ёсамоинд направлено против тока и тормозит его возрастание, обусловленное. внешним источником.

При уменьшений тока z сб^временемj

и, следовательно,

^самоипд /* 0.

В этом случае $СамоииД тормозит уменьшение тока, вызванное сторонними причинами (в том числе и сопротивлением контура).

Таким образом, наличие индуктивности в электрическом контуре приводит к тому, что контур приобретает своеобразную электрическую инертность, которая выражается в том, что любое измене- ние тока тормозится, притом тем сильнее, чем больше индуктивность контура L.

Как следует из формулы (44.3), если в контуре течет постоянный по величине ток, то индуктивность контура никак не проявляется (di/dt=Q, следовательно, £самоинД=0).

Остановимся на нескольких важных для дальнейшего примерах, в которых мы будем пользоваться ваписью в системе единиц СИ.

4L JL — t^°di L L 14L JL — t^°di L L 1(44.5)(44.5)в видев виде(44.6)(44.6)(44.7)(44.7)

4L JL — t^°

di L L 1

4L JL — t^°

di L L 1

(44.5)

(44.5)

в виде

в виде

(44.6)

(44.6)

(44.7)

(44.7)

Рассмотрим контур, состоящий из индуктивности L, источника э. д. с. So и ключа К, с помощью которого можно выключать э. д. с., не разрывая цепи (рис 3.70), с общим сопротивлением (включая внутреннее сопротивление источника) R. Пусть э. д. с. включается в цепь в момент t = t0. Из-за наличия индуктивности ток в контуре установится не сразу. При возрастании тока возникнет э. д.с. индукции, которая, согласно правилу Ленца, будет направлена против тока, т. е. против включенной э. д. с. So. Следовательно, по закону Ома iR™5 $о 4“ $самоинл ~

Перепишем это уравнение в виде

Представим теперь i суммы «-»=■—*

так что

dt di*

di - di ‘

Подставляя эти значения t и dijdt (44.5), находим, что i* удовлетворяет уравнению

^ + ^/* = 0.(44.8)

Разделяя переменные и интегрируя с учетом начальных условий (7=0, т. е. i* =—6 JR при t = tj, находим

3— L

-«olR откуда или окончательно R

='(44.9)

Подставляя это значение I* в (44.6), находим i:

е L(44.10)

При t, близком к tv функция еблизка к единице и

убывает с ростом t. Следовательно, функция \1—е /.равная при / = /0 нулю, с ростом t увеличивается, а значит, и ток i растет с t. При t—>-оо функция е—>е-»=0 и ток стре

мится к значению &JR, отвечающему закону Ома. График зависимости / от времени приведен на рис. 3.71.

Наличие индуктивности в контуре, как уже отмечалось, приводит к возникновению электрической инерции:установившийся ток отвечает закону Ома, но ток устанавливается не сразу, а постепенно. На установившийся, пр,- стоянный~~~ по величине ток 1= 6^7?индуктивность не действует: <njdt = O, и э. д. с. индукции не возникает.

Закоротим теперь в момент t = t1 контур, выключив из него э. д.с. $в. Обозначим сопротивление контура без источника э. д.с. через г. Ток начнет убывать, а возникающая при этом э. д. с. индукции, согласно правилу Ленца, будет направлена по току. Следовательно, по закону Ома

H=-L^.(44J1)

Разделяя переменные и интегрируя с учетом начальных условий (/= -д = /= const при /^7 ), имеем

$т—И"’<44J2i

откуда или окончательно

Таким образом, в момент выключения $„ при t—tv 1=1, азатем постепенно, с ростом t, убывает, стремясь к нулю. И в этом случае наличие L обусловливает инертность контура. График 1^ при- веден^на рис. 3.72.

равноеравноеttРис. 3.72.Рис. 3.72." ОцёниьПкбрость установления тока (после включения или выключения). Через время после включения в контур э. д. с. x — t— tv

равное

равное

t

t

Рис. 3.72.

Рис. 3.72.

ток отличается от своего устано-

-1 1

вившегося значения в е "2Т2

раза, а через 2 т—в е = ^ узр раза. Таким образом, грубо говоря, время установления тока можно принять равным по порядку величины x = L]R.

размыкания течет ток 1=6JR.размыкания течет ток 1=6JR.Представим себе теперь, что мы не закорачиваем, а размыкаем контур, содержащий индуктивность, в котором в момент

размыкания течет ток 1=6JR.

размыкания течет ток 1=6JR.

Для простоты положим, что сопротивление контура г стремится к

бесконечности (г = оо означает, что контур разомкнут). Тогда

(44.11) дает

, dl ..

-LTt=rl-H-oo.

Так как г—>-оо, то ^—►—оо, т. е. ток будет убывать весьма быстро. Но при этом возникающая в контуре э^д-С. индукции —L^ будет достигать по абсолютной величине громадных значений, много больших, чем напряжение выключенной э. д. с. $„. ГТШТСтавляя-значение I из "(43713) "в~(44.11), найдем^ что Йсамоинд в контуре (при Ot,) равна

£самоИНд = -^ = г|!е L .(44.14)

Таким образом, до выключения 60 э. д. с., действующая в контуре, равна $0. В момент выключения при t—tx появляется на короткое время M==Ljr э. д. с. самоиндукции:

График э. д. с. в контуре до и после момента выключения &0 показан на рис. 3,73.

Из сказанного следует важный практический вывод: контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать. Если он рассчитан на рабочее напряжение $0, то при резком размыкании возникающие в нем большие ёсамоинд могут привести к пробою изоляции и порче электроприборов. Сопротивление в тдкой контур надо вводить постепенно, с тем чтобы ^самоинд не превысила дозволенных значений. Опасным может быть и резкое включение £0, что может вызвать на отдельных участках контура не- t допустимо большие ^самоинд. Ток в контуре после

Рис. 3.73.выключения внешней э. д. с.

$й, обусловленный самоин

дукцией контура, называется экстра током размыкания. Его легко наблюдать в простой схеме "с лампочкой (рис. 3.74). Большая индуктивность с малым омическим сопротивлением вклю

чена параллельно с электрической лампочкой большого сопротивления и низковольтной батареей. При замыкании ключа К лам

мала. Но в индуктив-мала. Но в индуктив-почка не загорается, так как э. д. с. $Q ности L устанавливается сильный ток. При размыкании ключа индуктивность окажется замкнутой на большое сопротивление, э. д. с. индукции резко возрастет, и лампочка вспыхнет.

мала. Но в индуктив-

мала. Но в индуктив-

До сих пор мы рассматривали индукционные токи в линейных проводниках. Но эти токи будут возникать и в толще сплошных проводников при изменении в них потока вектора индукции В. Они будут циркулировать в веществе проводника (напом-

ним, что линии напряженности Енад замкнуты, так как поле Еиид вихревое). Токи, вызванные полями индукции, носят название вихревых токов или токов Фуко. Если в трансформато

ре (рис. 3.69) сделать сердечник сплошным, то часть мощности, подаваемой на первичную обмотку, будет расходоваться на вих

ревые токи, а в конечном счете — иа нагревание сердечника. Мощность, снимаемая со вторичной обмотки трансформатора, ока-

жется меньшей, а нагревание трансформатора может привести к аварии.

Для борьбы с вредным влиянием вихревых токов сердечники трансформаторов, электромагнитов, генераторов и электродвигателей делают не сплошными, а набирают из отдельных листов (рис. 3.69) или прутьев, изолированных друг от друга так, чтобы сопротивление сердечника в направлении движения вихревых тдков было максимальным. В последнее время для изготовления сердечников начинают широко применять новые материалы—-ферромагнитные полупроводники, называемые ферритами, с удельным сопротивлением Q«10"*-j-10s ом-м и достаточно большими значениями ц.

Вихревые токи имеют также и полезные применения. Приведем два примера: на рис. 3.75 изображен медный маятник, прикрепленный к стрелке какого-либо прибора. При колебаниях стрелки маятник перерезает линии индукции между полюсами магнита, и в маятнике возникают вихревые токи. Энергия этих токов берется за счет уменьшения энергии механического движения маятника и быстро переходит в тепло. Такая система часто применяется для рыстрого электромагнитного гашения (демпфирования) механических колебаний различных приборов.

Индукционные вихревые токи используются в специальных электропечах, позволяющих вести плавку не только в отсутствие посторонних веществ, способных загрязнить металл, но даже в вакууме. Этот способ плавки позволяет получать исключительно чистые металлы и сплавы. Индукционная печь (рис. 3.76) представляет собой тигель, помещенный внутрь катушки, в которой пропускается ток высокой частоты. Вихревые токи возникают в самом веществе, предназначенном для плавки, и разогревают его.

В проводах, по которым идут токи высокой частоты, также возникают вихревые токи, существенно меняющие картину распределения плотности тока на различных расстояниях от оси проводника. При этом вихревые токи текут по оси проводника против направления основного тока, на поверхности его — в том же направлении. Таким Ъбразом, результирующий ток по оси проводника ослабляется, а на поверхности—усиливается. Чем больше частота тока, тем меньше толщина поверхностного слоя, в котором текут заметные токи. Это явление получило название скин-эффекта (от английского слова skin — кожа, кожура). В силу скин-эффекта проводники в высокочастотных схемах не имеет смысла делать сплошными. Для уменьшения сопротивления нужно увеличивать их поверхность, а не сечение, т. е. изготовлять проводники в виде трубок. В электропечах этим обстоятельством пользуются, охлаждая трубки катушки, по которым идет ток высокой частоты, с помощью воды, циркулирующей внутри трубок.

В. П. Вологдин использовал токи высокой частоты для поверхностной закалки деталей машин. В мощном переменном поле поверхностные слои металла разогреваются очень быстро, но основная масса металла остается холодной Затем производится быстрое охлаждение разогретой поверхности металла (погружением в воду или в масло). Закаленная таким способом деталь имеет твердую поверхность, но не становится хрупкой, так как металл под тонким поверхностным слоем сохраняет свою вязкость. Достигнуть таких результатов с помощью обычной закалки трудно. Меняя частоту поля, можно производить закалку на любую необходимую глубину. Этот метод закалки деталей ныне широко применяется в промышленности.

Энергия магнитного поля

Рассмотрим произвольный контур с индуктивностью L. В отсутствие тока в окружающем пространстве нет магнитного поля, и магнитный поток, сцепленный с контуром, равен нулю. Когда через контур течет ток I, то с контуром сцеплен магнитный поток

Ф = к'Ы.(45.1)

При изменении тока на di магнитный поток меняется на величину

dФ=k,Ldi.(45.2)

Как было показано в § 35, для изменения магнитного потока на dф необходимо совершить работу

dA = fe'idФ.(45.3)

Эта работа идет на увеличение запаса энергии 17 контура с током

и при уменьшении тока может быть получена обратно и преобразована в другие формы энергии, например в механическую. Таким образом, при возрастании тока в контуре на di энергия контура увеличивается на

dW = k'i dФ=k'^Lidi, (45.4)

В отсутствие тока (t —0) его энергия равна нулю. При увеличении тока до некоторого окончательного значения / энергия контура с током становится равной

W/

dW=k' j Lldi = k’ ^ . о0

Таким образом, контур с током I обладает запасом энергии

W=kW=k,»LP2 1,»LP2 1(45.5)(45.5)

W=k

W=k

,»LP

2 1

,»LP

2 1

(45.5)

(45.5)

Следовательно, в СИ W— 1. LP, где IF выражено в дж, L—в г«, „ цг

/—в а; в гауссовой системе »—^г, где ^ выражено в эрг,

Таким будет поле замкнутого соленоида, показанного на рис. 3.77. (При большой длине и малом сечении тора его поле почти не отличается от поля внутри длинной прямой катушки.) Согласно (44.2) индуктивность этого соленоида равна

(45 6)(45 6),. к w4S

(45 6)

(45 6)

где w—число витков соленоида, /—его длина (в данном случае— длина центральной окружности тора).

Напряженность Н магнитного поля соленоида, согласно (33.15), равна

Н= А4л ^.

Отсюда

k-4nw

(45.7)(45.7)(45.8)(45.8)Подставляя эти значения L и I в выражение для W (45.5), находим

(45.7)

(45.7)

(45.8)

(45.8)

™, ,,2 tv’S НЧг 1 к'

^ * 2 ~ 2 ^ ^^«^ "Т" Т^л®)5 в 2^ ^’^ "й~ ^^ ' (45-9)

Но Sl=V есть объем соленоида. Так как поле в нем однородно,

Рис. 3.77.Рис. 3.77.то из (45.9) следует, что плотность энергии We=W[Sl, т. е.

Рис. 3.77.

Рис. 3.77.

^о==^^.(45.10)

В системе СГС Н измеряется в эрстедах, k—k' и ц0 — 1,

В системе СИ Н измеряется в а^м, к^^’к' ^—-t-

^„„а^^^- I ^5Л2>

—— ——, I

Формула (45.10) выведена нами для

однородного поля, но остается справед- ливой и для неоднородных полей. Объемная плотность энергии магнитного поля прямо пропорциональнаквадрату напряжен- нести магнитного поля в данном месте пространства.

В электростатике нами была выведена аналогичная формула (13.2) для объемной плотности энергии электрического поля

где Е измерялась в СГС-ед. напряженности поля. В тех же единицах при наличии в пространстве и электрического и магнитного полей объемная плотность энергии электромагнитного поля равна

™_бЕ2 + рН2 эрг, ...

Wo, эл.-магн —^—,.(40.14)

или, учитывая, что eE=D и цН=В:

ED-VBH " эл -магн —

(45.15)

Такое вращающеесяТакое вращающееся(46.1)(46.1)

Такое вращающееся

Такое вращающееся

(46.1)

(46.1)

ГЛАВА X

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

§ 46. Природа магнитных свойств тел.Диамагнетизм и парамагнетизм

В предыдущих главах мы чисто формально описывали магнитные

свойства различных тел введением магнитной проницаемости р, по

скольку до рассмотрения законов электромагнитной индукции нельзя было детальнее разобраться в механизме этих явлений.

Магнитные свойства тел обусловлены магнитными свойствами составляющих ИХ частиц и в конечном счете движением электри

ческих зарядов в атомах и молекулах. Разберем простейший случай

одного электрона с массой т и заря- дом е, движущегося с постоянной скоростью к по круговой орбите радиуса г вокруг неподвижного положительного ядра (рис. 3.78).

Вследствие огромной скорости вращения электрона по орбите, ~10” об!сек ^, можно считать, что весь его заряд и масса равномерно, ра спределены по орбите, т. е. можно заменйть~электрон «кольцом»“радйуса г с моментом инерции J=mi*, равномерно вращающимся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью to='u/r.

«кольцо» обладает механическим моментом

количества движения (см. т. I, гл. III)

,г1 D

LMex = Jto—mr — = mvr.

Вектор LMex направлен по оси вращения по правилу правого винта (рис. 3.78).

Поскольку вращающееся «кольцо» заряжено, оно представляет собой замкнутый круговой ток. Один оборот «кольцо» совершает за время

(46.2)(46.2)2 л гх =у

(46.2)

(46.2)

За это время через любое сечение «кольца» проходит весь заряд е. Следовательно, ток

^гс^Т”^1<46-3>

Так как электрон обладает отрицательным зарядом (е<0), этот ток направлен против вращения электрЪ^а^ МапПТТТГай момент контура с током, выраженный в гауссовых единицах ^гс-см*^, равен

е и г юг er1 ***Т

Р- ——JS= — ~— лг—т—=—cd i (46.4) с с 1кг 2с 2с |''

и перпендикулярен к плоскости орбиты. Из рис. 3.78 видно, что р„ для электрона (е<0) направлен противоположно вектору LMex.

Для разных орбит в атоме о и г различны; различны, следовательно, рт и AMe7~~Ui'H~a^^магнитного и механического

орбитальных моментбй ЭЛейтрона бкййь1ИётСЯ Строго постоянным и равном ' ™ '' *——'

Ьюх~^тиг 2/ncJ j

Отношение (46.5) является отрицательным (е<0). Это связано с противоположным направлением LMex и рт для электрона.

Как мы увидим далее, в томе Ш, электроны в атомах могут двигаться лишь по определенным стационарным орбитам, на которых момент их количества движения равен

^■мех, n = /Z "2^" •(46.6)

где п—целое число, а Л=6,62-10-27 эрг-сек (постоянная Планка). Следовательно, магнитный момент электрона в атоме может быть лишь целым кратным элементарного магнитного момента, равного

е h 4,82-10~10>6,62'10-27

Рт~ 2тс 2л ~ 2-9,10-10“и'3>10"’.2л ~0,927-10 гс-см . (46.7)

В соответствии с (30.18) напряженность магнитного поля на оси орбиты равна

(46.8)(46.8)Н ^ЛЕэд оси г5

(46.8)

(46.8)

и при радиусе орбиты порядка 0,5-10-8 ел (атом водорода) в центре орбиты достигает примерно 160 000 гс, но очень быстро убывает с расстоянием.

Чтобы выяснить, как изменяется вращение электрона по орбите и его магнитный момент во внешнем магнитном поле, произведём с ледующий элементарный расчет. Представим себе, что заряженное вращающееся «кольцо» помещено в однородное магнитное поле,

перпендикулярное к его плоскости, и будем постепенно увеличивать напряженность этого поля с некоторой

скоростью dH[dt от H—Q до окончательного значения Н. Первоначальное направление вращения и знак заряда для дальнейшего вывода несущественны.

При изменении магнитного поля, пронизывающего «кольцо», как показано на рис. 3.79 и 3.80, в контуре возникает э. д. с. индукции §инд, которая будет ускорять положительные заряды в направлении, показанном стрелкой, и, по правилу Ленца, будет создавать д о п о л ни тельный маг н и т н ы й м о м е н¥ Крт1 направленный против1 вне ЩнТго м аг нитн"о7о по~ля Н независимо от величины йнаправления"собственного магнитного момента электрона на орбите.

Если обозначить напряженность индуцированного электрического поля через Е и выразить ее в единицах СГС, то

^иид— Е-^пг — с dt — с dt (46.9)

Разобьем мысленно «кольцо» на элементы de. На каждый из этих элементов будет действовать сила Ede и вращающий момент Erde, а на весь заряд е—суммарный вращающий момент

(46.10)(46.10)в е г анМм=еЕг =^-ттврс 2 dt

(46.10)

(46.10)

По второму закону Ньютона для вращательного движения этот

момент внешних сил равен произведению момента инерции обруча

j=mr2 на угловое ускорение dajdt, т. е.

(46.11)(46.11)(46.12)(46.12)е г1 dH ,dto

(46.11)

(46.11)

(46.12)

(46.12)

Отсюда

dm = —-—dH,2mc

и после интегрирования мы найдем изменение частоты вращения заряда на орбите при внесении его во внешнее магнитное поле Н:

(46.13) 2тсх

Знак минус показывает, что дополнительные магнитный момент Дрт во внешнем магнитном поле Н направлен против этого поля. Его величина Дрт определяется из (46.4):

Др„ = ^ Дю= —(46.14) 2с4zTiC®

и в векторной форме—"

^.--ён-(46.15)

В соотношение (46.15) входит величина е2, которая всегда положи

тельна. Поэтому антипараллельность Дрго и Н не зависит от знака е вращающегося заряд а. Это свойство атомных электронов при вне-, се ни и во внешнее магнитное поле создавать дополнительный магнит

ный ""момен 1, напранлеулуй^п р'о т и в поля, носит название д и а-

м а г н е т и з м а.

IT атоме обычно имеется несколько электронов, движущихся по

разным орбитам с различными магнитными моментами рт ^ Как уже упоминалось, электрон обладает, кроме орбитального, механического

и магнитного моментов, еще собственными (спиновыми) магнитным и механическим моментами, словно электрон представляет собой шарик с распределенным по объему зарядом и массой, вращающийся вокруг собственной оси («spin» по-английски значит «веретено»). Теоретический анализ и экспериментальные измерения показали, что спиновый механический момент электрона вдвое меньше его минимального (л=1) орбитального момента и равен , а спи" 2 2 л—

новый магнитный момент равен минимальному орбитальному ^ .

. in———лти

Поэтому их отношение——-—

(46.16)(46.16)Рт, спин е^•мех, спин ^^

(46.16)

(46.16)

вдвое больше, чем отношение (46.5) для орбитальных моментов

Полный магнитный момент атома или молекулы равен геометрической сумме орбитальных и спиновых моментов всех электронов:

'**-.••_ ——II "-—j»—д—.in Г ■l■ll■■lll ^JUIBW1*—*•"*■•' -* *‘ _^"***a-rt-j/'f^.T-f-.-!Wb»t«M1>«i«—м»—- - —,- —,w^*—е—

£pffl>aT=^pmli)- (46Л7)

и также может быть в отсутствие поля Н лишь кратным элементарного магнитного момента ehjinmc или нулем.

Ес л и полный магнитный момент каждого атома в отсутствие пол я равен нулю:. ‘

"' Р^ат^-(«-IS)

то вещество, состоящее из таких атомов, называется диамаг- н и т ншн ,

При внесении диамагнитного атома в магнитное поле Н произойдет следующее. Орбитальный магнитный момент каждого электрон а, как бы этот электрон ни двигался, приобретет со гласно (46. iSj отрицательную по величине добавку. Следовательно, суммарный магнитный момент атома станет отрицательным. Все вещество в целом приобретает в поле магнитный момент, всегда направленный против поля. Диамагнитными, веществами я вл^ют ся^"Т1априйбр7^ис мут, ртуть, фосфор, сера золото, серебро, тао^яптттолтт'птатпп^ нений. ’ ""'—'•-. -•

Согласно (46.15) и (46.17) дополнительный магнитный момент атома диамагнетика в магнитном поле Н равен

eV?

Ар/я, ат~ 2а 4тс“ ^»(46.19)

Обозначая через N число атомов (или молекул) в единице объема вещества, мы находим, что суммарный магнитный момент единицы объема вещества •

Г Pm=^Apm,aT=-SE^H=%H (46.20)

прямо пропорционален напряженности магнитного поля. Коэффициент пропорциональности т, который в данном случае отрицателен, равен

ХднамагнХднамагнNe1 у-! _2 4mc2 2L 'Ne1 у-! _2 4mc2 2L '-^<0(46.21)-^<0(46.21)

Хднамагн

Хднамагн

Ne1 у-! _2 4mc2 2L '

Ne1 у-! _2 4mc2 2L '

-^<0(46.21)

-^<0(46.21)

и носит название м агутной восдрримчивости. Если известно строение атома и радиусы г, всех его электронных орбит, то величина х Ддя данного вещества может быть рассчитана теоретически. В случае газов концентрация частиц N, а следовательно,

и магнитная восприимчивость % прямо пропорциональны давлению газа. В вакууме N—0 и

Х-„=0.(46.22)

У Ln арама гнитных| тел (щелочные, щелочноземельные металлы, кислород и другие) магнитный момент каждого отдельного атома отличен от нуля:

Р„, ат^О.‘ (46.23)

В отсутствие внешнего поля магнитные моменты отдельных атомов расположены хаотически, такчто магнитный момент едини^ ооъема в среднем равен нулю и тело в целом не намагничено. При включении внешнего магнитного поля Н на магнитные моменты отдельных атомов pw будет действовать крутящий момент (29.6), стремящийся повернуть их и установить по направлению магнитного поля. В противоположность этому хаотическое тепловое движение будет стремиться'"дезориентировать Моменты рт, В результате установите я динамическое ра"вновесие7при котором в теле окажете я в среднем-больша цтоматжвгпйЭТ|ГШйпго^полю,

чем прОТИТ'поля.* ' ” "

Проекция магнитного момента атома на направление поля

P»H=Pmcos9(46.24)

у разных атомов в данный момент будет различной, а у каждого отдельного атома непрерывно меняться. При наличии магнитного поля среднее значение cos9 вследствие частичной ориентации уже не будет равно нулю. Как показал П. Ланжевен, величина cos 9 зависит от отношения потенциальной энергии атомарных магнитиков Р^Н в поле к кинетической энергии хаотического тепловюго движения кТ и в не слишком сильных полях равна

см6 = у^.(46.25)

Таким образом, магнитный момент единицы объема парамагнитного тела

^=^„005 9 = ~! Н(46.26)

оказывается прямо пропорциональным ^напряженности поля Н и обратно пропорциональным абсолютной температуре ТТЭтоПябмщзт направлен по полю; в векторной форме

(46.27)(46.27)р^хИ-

(46.27)

(46.27)

Магнитная восприимчивость % в данном случае положительна:

Хпарамагн ЗД^Хпарамагн ЗД^(46.28)(46.28)

Хпарамагн ЗД^

Хпарамагн ЗД^

(46.28)

(46.28)

Конечно, и в парамагнитных телах тоже происходит деформация электронных орбит и появляется диамйёнё+изм. иднако он перекрывается эффектом ориентации магнитных моментов атомов по

полю, и суммарная магнитная восприимчивость оказывается положительной.

Если расположить кусок парамагнитного вещества между по

люсами магнита, то он намагнитится по полю, и возникший на одном его конце северный полюс окажется возле южного полюса магнита и наоборот, как показано на рис. 3.81, а. Поскольку разноименные полюса магнитов

притягиваются, то парамагнитные тела будут втягиваться в магнитное поле. Из аналогичного рис. 3.81,6 видно, что диамагнитные тела, намагничиваясь против поля, будут выталкиваться из магнитного поля.

Коротко о магнитных моментах атомных ядер. Эти моменты по порядку величины равны

1’....»2Н74=5',0'“(46.29)

Это выражение отличается от рт, вл тем, что в знаменателе его вместо массы электрона т стоит масса протона /Ир, которая в 1836 раз больше. Поэтому собственный магнитный момент протона примерно в 2000 раз меньше собственного магнитного момента электрона. В ядрах магнитные моменты отдельных ядерных частиц могут взаимно компенсироваться, частично или даже полностью, как это имеет место для симметричных ядер, таких, как основные изотопы гелия, кислорода и др. Вследствие своей очень малой абсолютной величины магнитные моменты ядер практически не сказываются на магнитных свойствах тел, но их измерение представляет большой интерес для изучения строения атомного ядра.

Для тонких измерений магнитных моментов используют открытое в 1944 г. Е. К, Завойским явление «парамагнитного резонанса». Из (46.5) и (46.13) следует, что вращающийся электрический заряд при внесении в постоянное магнитное поле напряженностью Н получает добавочное вращательное движение вокруг оси,

параллельной полю, с частотой

Д(о=^_//.(46.30)

Частота этой так называемой «прецессии» магнитного момента, например, в случае атомного ядра в поле напряженностью ~1000гс составляет примерно 107 сек-1=10 мегагерц).

Если через парамагнитное тело, помещенное в постоянное магнитное поле Н, пропускать радиоволны, то при совпадении частоты волн с собственной частотой (46.30) наступит явление резонанса и произойдет интенсивное поглощение энергии падающей волны. Пропуская радиоволны с различными частотами и определяя частоту, при которой поглощение максимально, можно определить Дю, а следовательно, и величину «гиромагнитного» отношения PmjLHex для ядер.~'

Вектор намагничения

Атомы и молекулы материальных тел представляют собой сложные системы стационарно движущихся электрических зарядов. Такие движущиеся заряды, как показано в предыдущем параграфе, можно рассматривать как микроскопические «молекулярные токи», каждый из которых обладает магнитным моментом рт и создает вокруг себя магнитное поле. Поле одиночного молекулярного тока довольно быстро уменьшается с расстоянием {~рт1г') и имеет заметную величину лишь на расстояниях порядка молекулярных размеров.

Геометрическая сумма магнитных моментов отдельных молекул рт представляет собой магнитный момент всего тела:

Ри,г=Ж,/.(47.1)

TV)

Магнитный момент единицы объема

P„ = ^=J(47.2)

носит название в е к т о р а н а м а_г н и ч е н и я,

В вакууме молекулярные токи отсутствуют и вектор намагничения тождественно равен нулю

JBaK=0.(47.3)

В отличие от вакуума любое тело, имеющее молекулярное строение (твердое, жидкое или газообразное), может быть намагничено так, что J=/=0. Магнитные свойства тел в этом отношении аналогичны электрическим свойствам диэлектриков, и любое тело может быть названо магнетиком.

В отсутствие внешнего магнитного поля магнетик обычно не намагничен:

J=0 при Н—0.(47.4)

В диамагнитных телах это обусловлено, взаимной компенсапией орбитальных и спиновых моментов внутри каждой отдельной молекулы? так "чтО P'm=0. В парамагнйтпых 1елах рга^0, но вследствие хаотичности теплового" движения магнитные моменты отдельных молекул ориентированы в самых различных направлениях. Вектор намагниченйяТ'оказый'ается при"'это^ТШГйым нулю лишь в среднем для не слишком малых объемов и интервалов времени.

Создаваемые отдельными молекулярными токами магнитные поля также будут непрерывно изменяться по величине и направлению и скомпенсируют друг друга. Их суммарное макроскопическое поле Н' в среднем будет равно нулю в любой точке пространства. При этом микроскопические магнитные поля внутри самих молекул телд могут быть, вообще говоря, отличными от нуля^ ‘ ~

Поместим стержень из магнетика достаточно большой длины I с площадью поперечного сечения S в однородное поле Н= const, созданное внешними макроскопическими токами. Под действием

этого поля стержень намагнитится и приобретет магнитный момент

в расчете на единицув расчете на единицуня, намагничение также моменты молекулярныхня, намагничение также моменты молекулярныхобъема J. В не слишком Сильных полях, как "было показано в предыдущем параграфе, зависимость J от Н можно считать практически линейной:

в расчете на единицу

в расчете на единицу

ня, намагничение также моменты молекулярных

ня, намагничение также моменты молекулярных

J=XH(47-5)

Для парамагнитных тел Хпарамагн>0, а ДЛЯ диамагнитных тел Хдеамагя <0.

Значение 1x1^1 и для разных веществ лежит в пределах от 10~* до 10,*

В однородном тмагнитном 'поле

Н = const, направленном вдоль оси стерж- будет однородным (J=const). Магнитные токов (ря или Дря) будут ориентированы

вдоль оси стержня, а сами токи повернутся своими плоскостями перпендикулярно к этой оси, как это показано на рис. 3.82. В резуль- тате сложения магнитных пол ей—молекулярных токов намагничен - ный магнетик Создает дополнительное макроскопическое магнитное поде Н , отлично^-бт нуля.

Для вычислений TF рассмотрим поперечное сечение магнетика. Поскольку J —const, то можно считать все круговые молекуляр

ные токи в этом сечении одинаковыми и имеющими одно и то же направление. Как видно из рис. 3.82, в местах соприкосновения отдельных молекулярных токов направления Й^сВС^ДТГих^э^йентов

тока противоположны. Поэтому магнитные поля, создаваемые всеми элементами токТТВТ^асположеннымн внутри магнетика, компенсируют друг друга. В результате остается лишь магнитное поле, создавае- мое элементами токов, расположенными на внешней поверхности стержня (отмеченными на рис, З.Й2 жирными стрелками) и образующими некотор1^П^^льтирующий”повёрхн6стныйток)м".

Суммарный магнитный момент всего стержня можно тогда рас- сматривать как момент макроскопического тока /м площадью поперечного сечения 5. Следовательно,

PmV = ^Pm = fe'US.(47.6)

Разделив обе части этого равенства на объем стержня У=5/, получим

J = ^ = fe'^- = h'^t = h'Ie№)(47.7)

т. е. вектор намагничения пропорционален току Л„,обтекающему единицу длины стержня.

Такой стержень, обтекаемый сплошным током /м, можно рассматривать как своеобразный соленоид, на единицу длины которого приходится один виток с током, равным

т-(47.8)

Магнитное поле подобного тока можно рассчитать по формуле (33.15) для соленоида, учитывая (47.7); тогда имеем

//' = А.4л/ед = ^-4лЛ(47.9)

Линии вектора Н' направлены вдоль оси стержня параллельно вектору J. Следовательно, в векторной форме

H' = -p-4nJ.(47.10)

При наличии внешнего поля макроскопических токов полная напряженность среднего макроскопического поля в магнетике будет равна

Hnom = H + H\(47.11)

В гауссовой системе единиц, как указывалось в § 29, это полное поле представляет собой вектор магнитной индукции, т. е. НПОЛЯ = В. В системе СИ вектор В отличается от Нполн постоянным размерным множителем р.0) отличным от единицы, так что

В=Ив(Н + Н') = р.0(н + 4-4^) •(47-12)

Непосредственно наблюдаемой макроскопической величиной является не-Н'-В™

Поскольку В характеризует полное поле, созданное всеми токами, как макроскопическими в проводниках, так и микроскопическими в магнетиках, то линии вектора магнитной индукции В не имеют источников и являются замкнутыми.

Если попытаться определить В, используя, например, закон Био — Савара—Лапласа, то для расчета необходимо полностью знать распределение и направление всех макроскопических и микроскопических токов. Однако величина и ориентация микроскопических токов, создающих поле Н', в свою очередь зависят от поля внешних токов и свойств среды и не могут быть заданы заранее. Поэтому при расчете магнитных полей в среде, содержащей магнетики, нельзя ограничиться одним вектором В, а приходится вводить и вектор Н. Используя (47.12), мы определим вектор напряженности магнитного поля как

H=--G-4nJ. (47.13)

Определенный таким образом вектор Н в пустоте (где JBaK = 0), с точностью до множителя р.о, зависящего от выбора системы единиц, совпадает с В. В магнетиках для установления зависимости между В и Н надо знать связь между J и Н, определяемую свойствами среды, например, по соотношению (47.5) для пара- и диамагнитных тел.

При наличии макроскопических токов /м в однородной среде Н может оыть вычйМёнб ТТЛ закону ьио— Савара — Лап- ласа, а затем подставлено в выражение (47.13). Для поля Н справедливы теорема о циркуляции или закон полного тока (33.11).

Рис 3.83.

Для раздельного экспериментального наблюдения В и Н (а следовательно, для определения J) в магнетике, следует поступать следующим образом. Вырежем в магнетике узкую плоскую щель перпендикулярно к линиям В, как это показано на рис. 3.83. Проводя те же рассуждения, как и в случае рис. 3.82, можно показать, что при таком вырезе на обводе щели как бы появится

нескомпенсироваиный круговой ток. Обратим внимание читателя на то, что в соответствии с направлением молекулярных токов поверхностные токи снаружи магнетика и в щели имеют различное направление. Этот ток будет создавать внутри щели дополнительное поле Н", искажающее поле В. Поскольку этот ток 7М = = —1едЫ =—~^^ (СМ- РИС1 3-83, а^ очень мал, то в центре щели радиуса R создаваемое им поле

ЛГ=—А^^, (47.14)

рассчитанное по (30.16), при &1<^.R будет пренебрежимо мало. Следовательно, на пробную рамку с током, помещенную в такую щель, будет действовать результирующее поле Вщ, практически равное В в толще магнетика.

Рис. 3.84.

Вырежем теперь в магнетике длинную тонкую цилиндрическую щель параллельно линиям поля, как показано на рис. 3.84, а. Тогда в этой щели на единицу ее длины появится нескомпенси- рованный ток IMjl=Iey и результирующее поле в этой щели будет отличаться от полного поля в магнетике на Н"=^-. 4nJ.

Следовательно,

ь

Bm=B—Hop-4nJ.(47.15)

Подставляя сюда вместо В его значение из (47.12), получим

Вщ = Во + р1 4л^ — Вор- -4лЛ = ИоН.(47.16)

В гауссовой системе в этом случае ВЩ=Н.

Физически этот -результат совершенно прозрачен, В длинном цилиндрическом соленоиде напряженность магнитного поля определяется только плотностью тока, обтекающего соленоид, и не вависит от радиуса соленоида. В рассматриваемом случае поверхностные токи на внешней поверхности магнетика и на поверхности щели в нем имеют одинаковую плотность, но разное направление. Эти поверхностные токи эквивалентны токам двух соленоидов,

(47.21)(47.21)

(47.21)

(47.21)

вложенных один в другой. Плотность токов одна и та же, значит, и напряженность поля, порождаемого ими, одна и та же по величине. Но направления токов, а значит, и полей противоположны (см. направления токов на рис. 3.84, б). Поэтому внутри меньшего «соленоида» эти поля (большего и меньшего «соленоидов») в точности компенсируют друг друга. В этом случае внутри щели может наблюдаться только поле, вызванное внешними по отношению к магнетику источниками.

Следовательно, на пробную рамку с током, помещенную в такую длинную цилиндрическую щель, будет действовать лишь поле Н, созданное внешними источниками магнитного поля (макроскопическими токами, другими магнитами и т. д.).

Для пара- и диамагнитных тел в не слишком сильных полях Н'<^.Н, и связь между J и Н практически описывается линейным соотношением (47.5). Из (47.12). и (47.5) тогда следует, что

В = Но H+fr.4nJ = Ио Н+^-4лХН =р0 1+£.4лХ Н.

(47.17)

Сопоставляя (47.17) с (29.10}, мы видим, что величина

1 •4лХ = Н(47.18)

является магнитной проницаемостью данного вещества. Она по

казывает, во сколько раз магнитная индукция в среде возрастает,

а для диамагнитных тел — уменьшается по сравнению с магнитной индукцией, создаваемой теми же макроскопическими точками в пустоте.

Для парамагнитных тел

X > 0 и р-парамагн /• 1,(47.19)

для диамагнитных тел^

Х<0 и цдиамагн< 1.(47.20)

В гауссовой системе единиц

k'=k = ^ и ц = 1+~х; (47.18а) в системе СИ

А' = 1, 6 = 1Ир,= 1+х. (47.186)

Отсюда видно, что значение магнитной восприимчивости в системе СИ благодаря

«рационализации» записи, вводимое в формулы для определения магнитного поля токов Н, оказывается в 4л раз больше, чем

в системе СГС:

Хси= 4лХсгс«

Из (47.17) и (47.18) вытекает связь между напряженностью магнитного поля Н и вектором магнитной индукции В в среде:

В=|10цН=цоН, (47.22)

которую мы обосновали в § 29.

В заключение следует отметить, что соотношение (47.10), которое определяет поле Н', создаваемое самим магнетиком, строго справедливо лишь в случае бесконечно длинного стержня. Если намагниченное тело имеет конечные размеры, то зависимость Н' от J имеет более сложный характер и линии Н' выходят из магнетика наружу в вакуум, как это примерно изображено на рис. 3.85 для однородного намагниченного шара. В этом случае определение вспомогательного расчетного вектора Н по формуле (47.13) является чисто формальной операцией, Н уже будет зависеть не только от внешних макроскопических токов, но и от намагничения магнетиков.

Ферромагнетизм

Особняком от рассмотренных случаев стоит очень важная дл^ техники группа ферромагнитных тел. Свое название они получили от латинского наименования основного представителя этих тел—железа (ferrum). К ферромагнитным веществам, кроме железа. относятся кобальт, никель, гадолиний, некоторые сплавы и химические соединения.

Ферромагнитные тела сильно намагничиваются уже в сравнительно слабых полях. Как показали опыты Э. X. Ленца и Б. С. Якоби, произведенные еще в 1839 г., в таких полях Н* ^Н, но можно, как и для парамагнетиков, считать, что J<7R п В^Н. Однако коэффициенты пропорциональности у и ц у ферромагнетиков имеют очень большие значения и достигают десятков тысяч.

Бурное развитие электротехники во второй половине XIX века позволило получать большие токи и создавать сильные магнитные поля. Широкое применение железных сердечников для концентрации магнитных полей поставило перед физиками задачу детального исследования намагничения железа в зависимости от внешнего магнитного поля Ута задача была решена в~7872 г, А. Г. Столетовым.

Для измерения /У и В он использовал замкнутое железное кольцо прямоугольного поперечного сечения 5 с длиной по осевой линии /. Первичная обмотка этого сердечника, состоявшая из ту, витков, замыкалась на батарею, и через нее проходил постоянный ток /. При этом внутри сердечника, на который был намотан этот соленоид, возникало магнитное поле, напряженность которого согласно (33.15) равнялась

(48.2)(48.2)При включении тока в первичной обмотке сердечник намагничивался, и магнитный поток, пронизывающий сердечник, возрастал от нуля до

(48.2)

(48.2)

ФмаКс = ^

(48.3)(48.3)где В—магнитная индукция в сердечнике. Этот магнитный поток пронизывал витки вторичной обмотки, надетой на сердечник и соединенной с гальванометром. При изменении магнитного потока во вторичной обмотке индуцировалась э. д. с., равная согласно (41 ЛО)

(48.3)

(48.3)

©ИНД—■W2 5F ’

где w4— число витков в этой обмотке, и шел переменный ток ^R— полное сопротивление катушки и гальванометра)

;_6яЮ^фR R di ";_6яЮ^фR R di "(48.4)(48.4)

;_6яЮ^ф

R R di "

;_6яЮ^ф

R R di "

(48.4)

(48.4)

Этот ток за время dt переносил через гальванометр заряд

dq = idt = —^ d^.

(48.5)

Полный заряд q (импульс тока), проходивший через гальванометр,

Ф макс

^ J ^=-^-^=-^6 (48.6)

измерялся по первому отбросу гальванометра. Отсюда могла быть

рассчитана величина В;

о_ qR_

w4S "

Зная Ви Н, можно было

(47.12) найти величину

чения

(48.7)

согласно намагни-

Составив вторичную

обмотку из нескольких секций с различным числом витков и комбинируя их включение, Столетов имел возможность пропускать через первичную обмотку различные токи / и находить J при различных значениях Н.

В результате тщательных опытов Столетов установил, что зависимость J и Н для железа имеет вид, изображенный на рис. 3.86. В слабых полях J круто нарастает с ростом Н, быстрее, чем по линейному закону. Далее рост J замедляется и намагничение стремится к некоторому предельному значению /иас, при котором

Поскольку(48.8)Поскольку(48.8)поворачиваются по полю все молекулярные магнитики. в=^0(// + А.4л/),

Поскольку

(48.8)

Поскольку

(48.8)

то зависимость В от Н имеет вид, изображенный на рис. 3.87. В слабых полях В круто возрастает с ростом Н вследствие быстрого роста J. В сильных полях второе слагаемое в (48.8) остается практически постоянным (7 = 7яас) и ^ увеличивается

только за счет непосредственного увеличения Н.

Если чисто формально распространить формулу (47.22) на ферромагнитные тела и определить магнитную проницаемость как отношение

то р в этом случае является сложной функцией Н, примерный характер которой изображен на рис. 3.88.

Магнитная проницаемость для ферромагнетиков

и=-^=1+^4п4 (48-Ю)

в слабых полях имеет очень большую величину (так как J^>H) и несколько возрастает с ростом Н. В сильных_магнитных полях J= const = 7наг и с ростом Н отношение Т[Н—*0, а ц,—>-1

Кривая зависимости В от Н, изображенная на рйГ. 3.87,' носит название основной кривой намагничения. Если намагнитить ферромагнетик до некоторого состояния, соответствующего точке А иа рис. 3.89, а затем тачать уменьшать напряженность магнитного поля 77, то установившиеся по полю молекулярные магнитики начнут дезориентироваться не сразу и уменьшение В будет происходить йеДЛённеё, чём увеличение этой величины с ростом Н.

При уменьшении Н до нуля часть молекулярных магнитиков

остается ориентированной по первоначальному направлению поля. Таким образом, при снятии внешнего поля ферромагнитное тело, остается намагниченным и представляет собой постоянный

магнит с некоторым остаточ- ным намагничением JnPT и соответствующей остаточной индукцией &

ВОст = Но7;^осг (48-11)

Для полного размагничивания образца необходимо, как видно из рис. 3 89, приложить магнитное поле обратного направления и величины Нв. Величина Нк называется коэрцитивной (задерживающей) силой. В ре- зультате при попеременном изменении направления намагничива

ющего поля Н зависимость В от Н будет изображаться петлеобразной криврй, носящей название п е т ли гистерезиса (изменение В будет запаздывать по отношению к изменению Н\, ————————————

Для изготовления постоянных магнитов применяют ферромаг

нитные вещества с большим остаточным намагничением и большой

коэрцитивной силой («жесткие» стали). Для изготовления сердечников применяют «мягкие» магнитные материалы с малой коэрцитивной силой н большой магнитной проницаемостью, т. е. с оченТкрутым подъемом кривой зависимости В от™Н.

Вследствиегистерезиса понятие магнитной проницаемости можно применять для ферромагнетиков лишь к основной кривой намагничен ияГ'Из^ рйс™"3.89, например, видно, что для постоянного магнита при выключении внешнего поля Н—> 0 имеется остаточное намагничение 5осту^0. Из (48.9) тогда получилось бы, что

(48.12)(48.12)[л=^=оо

(48.12)

(48.12)

Детальное изучение свойств ферромагнитных тел показало, что в последних отдельные микроскопические области (д о м~ё~н~ы) на- магничены до насыщения даже в отсутствие внешнего поля. Однако направление намагничения в каждой такой области (раз- мерами ~ 10“’ ел) различно, и в среднем маТчштныЙ" момент макроскопического объема равен нулю. Посыпая поверхность ферромагнетика мельчайшими железными опнлочками, Н. С. Акулов смог показать, что опилочки скапливаются у «полюсов» этих

областей в делают тем самым видимыми границы между доме

нами.

При внесении ферромагнетика во внешнее магнитное поле на- чииают'Тюварачнваться _и ориентироваться по полю не магнитные

моменты отдельных атомов, как в парамагнитных телах, а сразу целыеобластв"~так называемого Тп~оТГт1Гн~н~<ГЬ~о~ (Самопроизвольного) намагничения. Поэтому с ростом Н магнитная индукция В возрастает очень быстро, и относительная магнитная проницаемость ^^=В^а,0Н имеет очень большие значения уже bi слабых полях. Так как домены поворачиваются по полю скачком, то основная кривая намагничения’

B=f^ на графике с достаточно растянутой шкалой, или, образно говоря, при рассматривании через лупу, будет иметь ступенчатый вид (рис. 3.90).

В достаточно _сильных магнитных полях все домены повернутся по нолю, и 'наступит магнитное насыщение. При выключении внешнего поля единственным фактором, действующим на ориентацию доменов., останется тепловое движение, которое будет™дё^р~йёнтПрб№ТьРис 3 90

домены. Однако~ вслед сТБ'йё”3иачи- тельнбйГэнергии, необходимой для поворота доменов, процесс раз- магнвдя.вадия будет затруднен; этим и вызван гистерезис, показанный на рис. 3.89.“”1'

Для определения природы, носителей ферромагнетизма Эйнштейн и де Гааз в 1915 г. поставили следующий опыт. Ферромагнитный стерженек, подвешенный на кварцевой нити, был намагничен до насыщения. При этом все элементарные магнитики устанавливались по полю. Затем, изменяя направление тока в соленоиде, обвивавшем стержень, последний резко перемагничивали. При этом все элементарные магнитики поворачивались на 180°. Поскольку маг

нитный момент каждого электрона, как указывалось выше, связан с его механическим моментом, то стержень начинал вращаться. Для усиления эффекта Эйнштейн и де Гааз перемагничивали стержень с частотой, совпадающей с частотой собственных крутильных колебаний стержни, т. е. достигали резонанса.

Измеряя полный магнитный и полный механический моменты стержня, Эйнштейн и де Гааз обнаружили, что их отношение

(48.13)(48.13)равно

(48.13)

(48.13)

Гмех 2 тс'

как и ожидалось. Одиако этот результат оказался ошибочным. Указанное отношение в действительности равно е/тс. Теоретически это удалось объяснить лишь после открытия спина электрона (см. § 46).

К тому же выводу пришли в 1917 г. А. Ф. Иоффе и П. Л. Капица. В их опытах намагниченный железный стержень быстро нагревался. Для каждого ферромагнетика существует своя определенная температура, при которой области спонтанного намагничения разрушаются и ферромагнетик превращается в о6ычй0ё,"ПЗ,рамагнитние 'Ге л о. Эта температура носит название точки Кюри и для железа равна примерно 753° С. По достижении точки Кюри стержень размагничивался, магнитные и механические момснт^тдельных элементарных магнетиков поворачивались хаотически во все стороны, и по закону сохранения момента количества движения весь стержень приходил во вращение.

При анализе направления вращения стержня в опытах Эйнштейна и де Гааза, Иоффе и Капицы следует учитывать, что вследствие отрицательного заряда электрона векторы его магнитного и механического моментов направлены в противоположные стороны (см. рис. 3.78).

В течение многих лет оставался невыясненным вопрос о природе сил, удерживающих параллельно друг другу спины электронов внутри каждой области спонтанного намагничения (домена.) В 1928 г. Гейзенберг и Я. И. Френкель показали, что эти силы носят квантовый характер и обусловлены волновыми свойствами электронов. В те же годы Н. С. Акуловым были заложены основы современной теории технической кривой намагничения и установлена тесная связь вида этой кривой с анизотропией магнитных свойств ферромагнитных кристаллов, а также с изменением их размеров при намагничении (так называемая магнитострикция).

Как мы видели выше, в ферромагнетиках вследствие гистерезиса при уменьшении внешнего магнитного поля Н до нуля намагничение тела полностью не исчезает. Обозначим вектор намагничения в таком постоянном магните через Jo. Возникает вопрос, как рассчитывать векторы В и Н, т. е. поле постоянного магнита, в отсутствие внешних макроскопических токов. Решим эту задачу на двух простых примерах.

Пример 1. Рассмотрим однородно намагниченный тороид, диаметр которого D — ljn во много раз больше толщины 6. Линии вектора намагничения Jo представляют собой окружности, проходящие в тороиде. Как мы видели (см. (47.12)), полное магнитное поле В, создаваемое всеми молекулярными токами, может быть рассчитано как поле эквивалентного тока, обтекающего поверхность тороида, и величина этого тока на единицу длины равна

1«. = 1=_— г (48.14) / к' 'ед- ' '

Как указывалось в § 33, к тонкому тороиду применима формула (33.15) для соленоида:

Iк

S = Подсол = М-о^'4л-^ ==М-4л4д=Иор-4л/о.(48.15)

Подставляя это значение В в (47.13), мы найдем величину Н:

R ЪbЬ

Н= —5-.4nJ0 = -^-.4nJQ—^-.4л/о = о. (48.16)

Поскольку снаружи тороида 7Ц, В и Н равны нулю тождественно, то, таким образом, для намагниченного тороида повсюду

Н=0.(48.17)

Если обмотать тороид проволокой и пропускать по ее виткам микроскопический ток /, то вектор Н уже не будет равен нулю и определится величиной макроскопического внешнего тока I по формуле (33.15). То обстоятельство, что при этом изменится величина вектора намагничения J, не изменит величины Н, поскольку, как мы только что доказали, однородно намагниченный тороид создает не поле Н, а только В.

Значит, в случае однородно намагничиваемого тороида вектор Н определяется только внешними токами / и не зависит от J. Как мы увидим в следующем примере, такая простая связь между Ни/ сохраняется только для тороида или бесконечно длинного прямого соленоида. Именно поэтому А. Г. Столетов после тщательного теоретического анализа выбрал для нахождения истинной зависимости J от Н, в отличие от своих предшественников, схему опыта, описанную в начале этого параграфа.

поступим так же, как и в предыдущемпоступим так же, как и в предыдущемпол-при-пол-при-Пример 2. Рассмотрим изображенный на рис. 3.91 круглый стержень длины / и площадью поперечного сечения 5= л/?2 с однородным намагничением Jo = const, направленным вдоль оси стержня. Для нахождения

поступим так же, как и в предыдущем

поступим так же, как и в предыдущем

пол-

при-

пол-

при-

ного макроскопического поля В мере, и заменим намагничение 70 эквивалентным током на единицу длины стержня /0/й' = /ед. Поскольку в этом случае нельзя применить формулу (33.15), справедливую лишь для бесконечно длинного соленоида, то разобьем поверхностные токи на ряд бесконечно тонких колец тол- щиной dy каждое, находящихся на расстоянии у от центральной плоскости. Ток, обтекающий кольцо, будет равен

dl=^-dy = i№ (48.18)

Ограничимся определением полного поля лишь для точек, расположенных на осн. В точке М, находящейся на расстоянии х от центра соленоида

и на расстоянии х—у от выделенного кольца с током di, полное поле, создаваемое этим кольцом, согласно (30.15) равно

2лЯМ/2л/ед R1

dB = uefc —57- = ро^гт- dy.(48.19)

Ц^-Нх-у^'1[R2 + (x-y)4 ^

Обозначим через О угол между осью стержня и прямой, направленной из точки наблюдения М к кольцу с током di. Тогда из рнс. 3.93 видно, что

cos 0' =cos 0' =X — УX — УV R^ + (x-y^V R^ + (x-y^(48.20)(48.20)

cos 0' =

cos 0' =

X — У

X — У

V R^ + (x-y^

V R^ + (x-y^

(48.20)

(48.20)

При переходе к следующему кольцу, т. е. при перемещении на dy (при X = const и J? = const), cos О' изменяется на

d(cos 0) =d(cos 0) =R» dy[R2 + (x-y)^ 1R» dy[R2 + (x-y)^ 1(48.21)(48.21)

d(cos 0) =

d(cos 0) =

R» dy[R2 + (x-y)^ 1

R» dy[R2 + (x-y)^ 1

(48.21)

(48.21)

Знак минус в (48.21) связан с тем, что при перемещении вправо (d»>0) угол 0 растет, а его косинус соответственно убывает (d (casO)<0). Сопоставляя (48.19) с (48.21), получим

dB = —p0fe.2n/ead (cosO).(48.22)

Для нахождения Воси для намагниченного стержня выражение (48.22) надо проинтегрировать в пределах от О=ОЬ соответствующего прямой, на- „--/ a X -j- (//2)\ А „

правленнои на левый край стержня f cos Оу = ■ ), до v = v$,

соответствующего углу прямой, направленной на правый край стержня

[ cosht„ =' '— ■ ) , Тогда получим

k VR2 + Vx-Wj

DCOS^j—COS<>a

Sqcb = м • 4л/ед2 (48.23)

Для бесконечно длинного соленоида <>i = 0, cos Oi = l, а 02 = л, cosOa= — 1 и В = цой-4л/ед> как в предыдущем примере. Для конечного соленоида В достигает максимума в центре соленоида при х = 0 и равно

//2

^макс — Цо^ ‘ 4л/ед ^ /Гт» ** ^^ ‘ 4я^еД •(48.24)

Подставляя полученные значения В в (48.13), найдем значения Н на оси:

# вне стержня =4я'ед>0(48.25а)

и

^внутри стержня = ~й-4л/ед = &• 4л/ед /—- —11 <0. (48.256)

гоI Z . J

Для конечного намагниченного стержня (как это следует из (48.25)) вспомогательный вектор Н отличен от нулй как снаружи, так и внутри стержня, даже в отсутствие внешних макроскопических токов. Вне стержня Н направлен, так же как и В, в положительную сторону оси (см. (48.25, а), учитывая, что Оу < 'О'а, а cos Оу > cos Oj). В противоположность этому внутри стержня Н направлен против В (см. (48.256)).

На рис. 3.92, а показаны линии вектора В. Как всегда, эти линии не имеют источников и замкнуты на себя. На рис. 3.92, б показаны линии вектора Н. Этот вектор при переходе через границы стержня меняет свое направление на обратное, как будто

на этих границах расположены «источники» вектора Н, на верхней—положительные, а на нижней—отрицательные («стоки»). По аналогии с электростатикой (рис. 3.92, в) можно сказать, что на границах стержня расположены фиктивные «магнитные заряды» ± дт, являющиеся концами микроскопических магнитных диполей, заполняющих стержень.

(48 26)(48 26)На этом же примере можно убедиться, что связь между фиктивными магнитными зарядами qm и вектором Н определяется законом, аналогичным закону Кулона:

(48 26)

(48 26)

Действительно, представим себе круглую пластинку радиуса R, равномерно покрытую зарядами с плотностью ат = ^ — ^^г- Будем искать напряженность поля, создаваемую этой пластинкой на оси на некотором расстоянии х от ее плоскости (см. рис. 3.93). Разобьем эту пластинку мысленно на концентрические кольца переменного радиуса о и ширины do Площадь такого кольца будет 2лр dg и заряд dqm = om-2nQ dQ. В точке ?Л составляющие напряженности поля, перпендикулярные к оси, от противо-

положных участков этого кольца взаимно скомпенсируются, и суммарная составляющая вдоль оси будет равна

dHot]i = fe^cosa=kdHot]i = fe^cosa=kom2npdp хг1 гom2npdp хг1 гь ncmxd(p2)(K^+Wь ncmxd(p2)(K^+W(48.27)(48.27)

dHot]i = fe^cosa=k

dHot]i = fe^cosa=k

om2npdp х

г1 г

om2npdp х

г1 г

ь ncmxd(p2)

(K^+W

ь ncmxd(p2)

(K^+W

(48.27)

(48.27)

Интегрируя поля, создаваемые отдельнымиИнтегрируя поля, создаваемые отдельнымикольцами, найдем поле всейкольцами, найдем поле всейпластинки:пластинки:

Интегрируя поля, создаваемые отдельными

Интегрируя поля, создаваемые отдельными

кольцами, найдем поле всей

кольцами, найдем поле всей

пластинки:

пластинки:

р=Д^оси= ^ dHoai = k-2nomр=0р=Д^оси= ^ dHoai = k-2nomр=011хVx^ + R2хVx^ + R2= к • 2лот (1 — cos У).(48.28)= к • 2лот (1 — cos У).(48.28)

р=Д

^оси= ^ dHoai = k-2nomр=0

р=Д

^оси= ^ dHoai = k-2nomр=0

1

1

х

Vx^ + R2

х

Vx^ + R2

= к • 2лот (1 — cos У).(48.28)

= к • 2лот (1 — cos У).(48.28)

Намагниченный стержень, рассматривавшийся нами выше для расчета 7/оси, можно заменить двумя пластинками с поверхностной плотностью фиктивных магнитных зарядов ± от (см. рис 3 92, б). Тогда согласно (48.28) напряженность поля Н в некоторой точке на оси внутри стержни будет равна

^оск, внутри стержня к-2и<Зт (1COS1^)-)-+ k ■ 2nam (1 — cos йп) = к- 4лп^оск, внутри стержня к-2и<Зт (1COS1^)-)-+ k ■ 2nam (1 — cos йп) = к- 4лпCOS ®1 — COS ОзCOS ®1 — COS Оз22-1 . (48.29)-1 . (48.29)

^оск, внутри стержня к-2и<Зт (1COS1^)-)-

+ k ■ 2nam (1 — cos йп) = к- 4лп

^оск, внутри стержня к-2и<Зт (1COS1^)-)-

+ k ■ 2nam (1 — cos йп) = к- 4лп

COS ®1 — COS Оз

COS ®1 — COS Оз

2

2

-1 . (48.29)

-1 . (48.29)

Сопоставляя (48 29) с (48.256), мы видим, что магнитное поле Н намагниченного стержня может быть представлено как поле, создаваемое фиктив

ными магнитными зарядами (полюсами), расположенными на противоположных границах стержня с поверхностной плотностью

ат = ±/ед=±^о/*' (48.30)

и полным магнитным зарядом («магнитной массой»)

J gSl Р т у

Чт = от5=/вд8=-^-=-^р.

(48.31)

Из (48 31) следует, что полный магнитный момент всего стержня Pmv=JeSl действительно равен произведению величины противоположных магнитных зарядов ±qm на расстоянии между ними L

Исторически сложилось так, что постоянные магниты были из-' вестны и их магнитные поля были изучены задолго до того, как было открыто магнитное поле тока и вскрыт механизм магнитных явлений. Поэтому долгое время вектор Н рассматривался как основной и вся магнитостатика строилась аналогично электростатике. Используя длинные тонкие намагниченные стержни с удаленными противоположными полюсами, Кулон экспериментально определил, что их взаимодействие определяется законом

р _ £ ЯтЯт

Г2

§ 48] ферромагнетизм 305 аналогичным закону Кулона для электрических зарядов. Отсюда, далее, был определен вектор напряженности магнитного поля

Н=2_ (48.33)

Ч т

как сила, действующая на единичный магнитный полюс.

Лишь после открытия Эрстеда начало выясняться, что эта аналогия с электростатикой является чисто внешней. Если такая аналогия до некоторой степени и допустима, то аналогом вектора Е в магнетизме является вектор В, а не Н. Реальное электрическое поле, действующее на электрические заряды, есть поле Е, а не введенное для удобства расчетов поле D. Точно так же поле В является реальным полем, действующим на токи, а поле Н вводится для удобства расчетов.

Возвращаясь к рис. 3.92, в, на котором приведено для сравнения поле цилиндрического диэлектрика с зарядами ± q на основаниях, мы можем констатировать, что в этом случае:

вне вещества поля В(=Н) и E(=D) по своей структуре тождественны;

внутри вещества реальные поля В и Е совершенно различны, в частности направлены в противоположные стороны;

структура реального поля Е совпадает со структурой вспомогательного поля И.

Подчеркнем, что реальные поля, действующие на заряды и токи, есть поля Е и В, а поля D и Н являются вспомогательными, вводимыми для удобства расчетов. Следует помнить, что вспомогательное поле D называется индукцией электрического поля и также индукцией магнитного поля В называется реальное магнитное поле.

В тоже время вспомогательное поле Н носит название напряженность магнитного поля, как и напряженность реального электрического поля Е.

Эта досадная неувязка терминологии возникла исторически и связана со способом введения проницаемостей ео и р^: D—еаЕ и В = р.йН (а следовало бы D=eaE и Н=хаВ).

ГЛАВА XI

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

§ 49. Ток смещения. Взаимосвязь электрическогои магнитного полей

В главе IX при рассмотрении явления электромагнитной индукции было показано, что движущееся или изменяющееся со временем магнитное поле В порождает электрическое поле Е. Теперь нам предстоит установить такую же связь между-переменным во времени полем Е и порождаемым этим полем магнитным полем В. На наличие подобной связи указывает рассмотренное нами в § 39 поле движущегося заряда. В этом и пятидесятом параграфах, как и в § 39, мы будем пользоваться гауссовой системой единиц.

Электрический заряд е, движущийся со скоростью v, создает в точке М на расстоянии г электрическое поле

Е=5(49.1)

и магнитное поле (см. (39.7))

(49 2)(49 2)

(49 2)

(49 2)

В последнем выражении величина в скобках справа есть не что иное, как поле Е точечного заряда е (49.1). Это позволяет переписать (49.2) в виде

H=|[vxE]. (49.3)

При движении заряда в связанное с ним электрическое поле Е перемещается вместе с зарядом с той же скоростью

VE = v.VE = v.(49.4)

VE = v.

VE = v.

Отвлекаясь от «источника поля» е и рассматривая лишь поле в данной точке пространства М, мы на основании (49.3) приходим

к заключению, справедливому и в общем случае (а не только для поля, связанного с точечным зарядом е):

если в данной точке пространства имеется электрическое поле Е, перемещающееся со скоростью Ve, то оно порождает в той же точке магнитное поле Н, равное

Н = 1[уеХЕ].(49.5)

Выражение (49.5) не является самым общим. Изменение Е со временем может состоять не только в перемещении Е в прогтран- стве, но, например, и в изменении со временем величины Е В неподвижном поле.

изменением магнитнымизменением магнитнымДля установления общей связи между изменяющимся электрическим полем и порождаемым этим проще всего рассмотреть случай однородного электрического поля между пластинами конденсатора, изменяющегося со временем при разрядке конденсатора. Пусть площадь пластин равна 5. Заряды пластин равны ± q и поверхностная плотность электрич ства на левой (положительной) пластине

изменением магнитным

изменением магнитным

.(49.6)

Пространство между пластинами заполнено диэлектриком. Электрическое поле внутри конденсатора однородно, н вектор электрической индукции D равен

О=4ла. (49.7)

Соединим обкладки конденсатора внешним проводником, как это показано на рис. 3.94. Тогда по проводнику пойдет ток I, и величина зарядов на пластинах начнет уменьшаться. По определению тока (14.1) имеем

1-^. (49.8)

Так как ток идет против часовой стрелки, то мы должны считать его величину отрицательной. Это в соотношении (49.8) учитывается автоматически: так как при разряде конденсатора заряд его положительной (левой) пластины убывает, то ^<0.

У границ пластин линии тока перпендикулярны к поверхности и плотность тока равна

7 S S di dt\Sdi*^У1У)

(49.10)(49.10)Сопоставляя (49.9) с (49.7), можно написать ._ J_dD 4л dt

(49.10)

(49.10)

(49.11)(49.11)Вектор j направлен перпендикулярно к пластинам. Поскольку при разряде конденсатора электрическое поле в нем ослабевает, то вектор D убывает со временем, и его производная по времени dD[dt направлена противоположно вектору D и параллельна j. Соотношение (49.10) на границе проводник — диэлектрик можно тогда записать в векторном виде

(49.11)

(49.11)

4л dt '

Левая часть этого равенства характеризует электрический ток в проводнике — ток проводимости. Правая же часть показывает скорость изменения электрического поля в диэлектрике. Равенство (49.11) этих двух векторов на границе металл—диэлектрик пока-

dD

зывает, что величина как бы продолжает линии тока через диэлектрик и замыкает их. По предложению Максвелла эту вели- чину принято называть плотностью тока смещения

jcMem^^"^ • (49.12)

Указанное название не лишено физического смысла. Подставляя в (49.12) вместо вектора D его значение из (11.5), получаем:

.^-^B + WP) =^^+^. (49.13)

Второе слагаемое (49.13) объясняет происхождение термина «ток смещения»: это —изменение поляризации диэлектрика со временем, с в язэнное со смещениями его зарядов при изменении поля Е.

Если поместить диэлектрик в переменное электрическое поле высокой частоты, то составляющие диэлектрик электрические диполи, поворачиваясь за меняющимся полем, при своем движении сталкиваются с соседними атомами и молекулами и передают им свою энергию — диэлектрик разогревается. В технике этим пользуются, если хотят прогреть диэлектрик сразу по всей его толще.

Поскольку величина dP[dt представляет скорость смещения. реальных зарядов в диэлектрике, то ей соответствует возникающее в окружающем пространстве магнитное поле, которое рассчитывает по закону Био — Савара — Лапласа как поле, порождаемое плотностью тока проводимости jnp0B

Однако величина dPjdt есть лишь часть полного тока смещения (49.13), замыкающего переменный ток i в контуре. Более того, в отсутствие диэлектрика, когда между пластинами конденсатора

в вакууме(49.14)в вакууме(49.14)находится вакуум, Р = 0 и dP/<Z/=O. Следовательно,

в вакууме

(49.14)

в вакууме

(49.14)

,1 dE]смещ. вак-^,1 dE]смещ. вак-^плотность тока смещения равна

,1 dE

]смещ. вак-^

,1 dE

]смещ. вак-^

Максвелл предположил, что этот ток смещения не есть чисто формальное понятие, а что он создает вокруг себя магнитное поле по тем же законам, как токи dPjdi и jnpoB. Многочисленные опыты подтвердили это предположение. Действительно, любое пе

ременное электрическое поле порождает магнитное поле, которое может быть рассчитано из (49.12) по закону Био — Савара — Далласа.

Из рассмотренного примера вытекает одно очень важное следствие: конденсатор в цепи переменного тока не разрывает Шь; переменный тощ идущий по проводам, проходит через конденсатор в виде то

ка смещения, т. е. изменения электрического поля конденсатора. Другими словами, конденсатор в цепи переменного тока не

прерывает его, так как на пластинах конденсатора меняются

заряды, а вместе с ними меняется и электрическое поле в конденсаторе. — - ...... _

Рассмотрим теперь общий случай неоднородного переменного электрического поля. Выделим в той области пространства, где нет движущихся свободных зарядов, произвольный замкнутый контур П. Для нахождения полного тока 'смещения, пронизывающего этот контур, мы должны построить какую-либо поверхность S' или S, опирающуюся на контур П (рис. 3.95), и просуммировать токи, текущие через отдельные элементарные площадки (через S' — токи проводимости, через 5—токи смещения):

1смещ— J Амещ^ — J ^ -^ dS — ^^ ^ D„dS. (49.15) (3)(S)(S)

Интеграл

N=^DndS(49.16)

(3)

представляет собой поток вектора D чер»з поверхность S и кои- тур П, Следовательно,

гсмещ=^^.(49.17)

Для нахождения магнитного поля Н, создаваемого этим током смещения, воспользуемся теоремой о циркуляции (33.11). Результат этот не зависит от выбора между 8' и 8, т. е. учета токов проводимости или смещения:

ффH,dl—— z =‘ сH,dl—— z =‘ сL^^L Ас dt с dtL^^L Ас dt с dtDndS.DndS.(49.18)(49.18)

ф

ф

H,dl—— z =‘ с

H,dl—— z =‘ с

L^^L Ас dt с dt

L^^L Ас dt с dt

DndS.

DndS.

(49.18)

(49.18)

Это соотношение аналогично закону электромагнитной индукции (41.11), который может быть записан в виде

(49.19)(49.19)

(49.19)

(49.19)

Рис. 3 96Рис. 3 96ны по правому винту, какны по правому винту, как

Рис. 3 96

Рис. 3 96

ны по правому винту, как

ны по правому винту, как

Соотношение (49.19) утверждает, что при изменении вектора магнитной индукции В и потока этого вектора Ф со временем вокруг вектора dB[dt возникает вихревое электрическое поле Е,

линии которого направлены по левому винту, как показано на рис. 3.96, а. Переменное магнитное поле порождает электрическое поле.

Соотношение (49.18) утверждает, что аналогичным образом при изменении вектора электростатической индукции D и потока этого вектора N со временем вокруг вектора dDjdt возникает вихревое магнитное поле, линии которого направле- показано на рис. 3.96,6. Пере

менное электрическое поле порождает магнитное поле.

В силу этого переменные электромагнитные поля могут, взаимно порождаясь, существовать независимо от зарядов и токов. Такими

полями, порожденными зарядами и токами, но распространяю

щимися затем в пространстве независимо от этих последних, являются радиоволны, свет, рентгеновы лучи, гамма-излучение'атом- ных ядер. ——-—

'В^ТЛСДующем параграфе мы рассмотрим законы распространения таких свободных электромагнитных полей в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, и покажем, что скорость их распространения равна входящей в формулы (49.18) и (49.19) постоянной с — скорости света в вакууме.

§ 50. Скорость распространенияэлектромагнитных полей

Рассматривавшиеся в предыдущих главах электромагнитные поля были в основном связаны с их источниками. Эльктростатииеские поля (главы 1 — III) были связаны с зарядами, магнитостатические (главы VII, VIII, X)— с токами. Эти поля могли перемещаться вместе со всеми источниками, не отрываясь от них. В главе IX п в § 49 настоящей главы мы установили, что с движущимся магнитным полем связано электрическое поле, а с движущимся электрическим полем — магнитное поле. Уравнения, выражающие Езаимо- связь движущихся полей Е и В, представлены формулами (49.18) и (49.19); однако для дальнейшего интегральное выражение этой взаимосвязи неудобно. Следует получить выражения, связывающие поля Е и В и скорость их перемещения v в любой точке пространства.

Одно такое выражение мы получили в § 41 при выводе индуктированного электрического поля Е' из лоренцовой силы. Если магнитное поле В движется со скоростью vb относительно неподвижного заряда, помещенного в данную точку, то оно создает в этой точке индуктированное электрическое поле, равное согласно (41.20)

Е'=-|[увхВ].(50.1)

Ограничимся сначала случаем распространения полей в вакууме, т. е. положим е=р=1, D=E и В = Н. Тогда

Е' = -1[унхН].(50.2)

Далее, согласно (49.5) электрическое поле Е, движущееся со скоростью Ve, порождает в данной точке магнитное поле

H'=4[veXE].(50.3)

В соотношениях (50.2) и (50.3) источники полей присутствуют, так сказать, косвенно: скорость Уц поля Н есть скорость порождающих это поле токов, a vE есть скорость заряда—источника поля Е.

Поставим теперь следующий вопрос. Не могут ли поля Е' и Н' взаимно порождаться и, следовательно, существовать и двигаться независимо от полей Е и Н, связанных с зарядами и токами?

-(50.4)-(50.4)Предположим, что такое электромагнитное поле возможно. Тогда скорость перемещения обоих взаимосвязанных полей должна быть одной и той же:

-(50.4)

-(50.4)

ve - *н = у.

В уравнении (50.2) магнитное поле, связанное с токами, надо заменить полем И', а в (50.3) поле Е—полем Е'. Мы получим, таким образом, два уравнения, связывающих взаимно порождаемые поля Е' и И';

Е'=—l[vxH']=l[H'xv](50.5)

и

H'=y[vxE'J.(50.6)

Поскольку вектор, выражаемый векторным произведением, всегда перпендикулярен к обоим перемножаемым векторам, то из (50.5) и (50.6) следует, что векторы Е' и Н' перпендикулярны друг к другу и к вектору v, указывающему направление распространения этих полей. Далее, из знаков векторных произведений следует, что все три вектора образуют правовинтовую систему в порядке расположения Е'—*Н'—*v, как это изображено на рис. 3.97.

Из взаимной перпендикулярности этих векторов следуют соотношения для синусов углов между ними:

(50.7)(50.7)sin(v7"E')=sin (Н', v)=sin-^-=+1,

(50.7)

(50.7)

что дает для абсолютных значений векторов Е' и Н', определяемых из (50.5) и (50.6), значения

Е’=^Н'о(50.8)

И

Н' = у vE'.(50.9)

Подставляя Н* из (50.9) в (50.8) и сокращая на Е', находим, что уа , — = 1, или с2 ’

о = с (50.10) (направление v было уже определено, см. рис. 3.97).

Таким образом, мы доказали, что величина скорости распространения свободного (не связанного с зарядами и токами) элек

тромагнитного поля, называемого полем излучения, равна скорости света в вакууме с = 3-1010 см[сек. Этот результат позволил Максвеллу высказать предположение о том, что свет есть частный случай распространяющегося электромагнитного поля.

Отметим еще две важные особенности поля излучения. Из рис. 3.97 видно, что

Е'J_v и Н' J_v,(50.11)

т. е. векторы Е' и Н' всегда расположены поперек направления распространения. Это значит, что электромагнитное поле излучения поперечно.

Подставляя значение т в (50.8) или в (50.9) из (50.10), получаем

(50.12)(50.12)Е' = Н',

(50.12)

(50.12)

т. е. в каждой точке поля излучения напряженности электрического и магнитного полей по величине равны друг другу. Естественно, что это соотношение выполняется лишь в гауссовой системе единиц, в которой размерности Е и Н одинаковы.

Для поля излучения, распространяющегося в однородном изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью ц, скорость распространения излучения уд будет иной и соотношения величин Е' и Н' (50.5) и (50.6) заменятся соответственно на

Е' = -1[УЯХВ'] = —S-[vaxH'l(50.13)

И

Н'=7[^хО']=|[удхЕ'].(50.14)

Взаимная ориентация векторов Е'(D'), Н'(В') и уд останется, следовательно, такой же, как и в вакууме. Останется в силе и вывод о поперечности электромагнитного поля. Используя значения синусов (50.11), получаем для величин векторов Е' и Н' из (50.13) и (50.14)

и

Н Е .(50.16)

Подставляя значение Е* из (50.15) в (50.16) и сокращая на Н', находим

са । откуда

,д = ^.(50.17)

В диэлектриках величина е всегда больше единицы. Величина ц в парамагнитных и ферромагнитных телах также больше единицы, так что

вц>1;вц>1;(50.18)

вц>1;

вц>1;

для диамагнитных тел величина р, может быть меньше. единицы, однако, настолько мало отличаясь от нее, что неравенство (50.18) остается в силе. Таким образом, скорость распространения электромагнитного поля в веществе всегда меньше, чем в вакууме.

Подставляя выражение для скорости (50.17) в-(50.15) или (50.16), находим, что при наличии среды соотношение между величинами напряженности электрического и магнитного полей принимает вид

илиилиV eE^V^h' 'в£,2=|1Н,а.V eE^V^h' 'в£,2=|1Н,а.(50.19)(50.19)

или

или

V eE^V^h' 'в£,2=|1Н,а.

V eE^V^h' 'в£,2=|1Н,а.

(50.19)

(50.19)

Плотность энергии электромагнитного поля излучения, в соответствии с (45.14) и при учете (50.19), может быть представлена одним из нескольких эквивалентных выражений:

l^g—^0, ЭЛ "Ь Го. магнl^g—^0, ЭЛ "Ь Го. магн_еЕ'а + цЯ'2

l^g—^0, ЭЛ "Ь Го. магн

l^g—^0, ЭЛ "Ь Го. магн

~ 8л =

(50.20)(50.20)_ еЕ2 _цЯ" УёрЕ'Н’ эрг

(50.20)

(50.20)

4л 4л 4л см*"

Перемещаясь в пространстве со скоростью ®д = с/Уе|л, электромагнитное поле переносит с собой эту энергию. Поток энергии можно характеризовать введенным в томе I (гл. XV, § 61) вектором Умова

S = ^ova,(50.21)

величина которого, в соответствии с (50.20) и (50.17), равна

сУ"ецЕ Н с с ьргqoi

5 4л Уф 4л £ Н см* сек"'

Вектор S (как и v) параллелен векторному произведению [Е'хН']. Поскольку Е'^Н', то

| [Е'х Н'] | —£'Н',

и окончательное выражение для вектора плотности потока энергии примет вид

S=^[E'xH'].(50.23)

Это выражение для электромагнитного поля излучения было выведено Пойнтингом.

Движущееся электромагнитное поле переносит с собой энергию, плотность которой We, 9л.-магн определяется соотношением (50.20). Согласно теории относительности это поле обладает массой, которая (см. т. I, § 9) распределена в пространстве с плотностью

(so^)

Наличие массы, а следовательно, и количества движения у электромагнитного поля проявляется, например, при «столкновении» его с телами, т. е. при отражении и рассеянии излучений. Наличие этих качеств у поля излучения приводит к существованию светового давления, предсказанного впервые Максвеллом и обнаруженного экспериментально Лебедевым.

В отличие от других форм материи поле излучения не может находиться в состоянии покоя. Оно всегда движется, причем скорость его в пустоте может принимать по величине лишь одно значение, именно с. Эта скорость одна и та же во всех системах отсчета, независимо от их относительного движения. Опытный факт, показывающий, что к движению поля излучения закон сложения скоростей не применим, лежит в основе теории относительности (см. т. III, гл. VIII).

В остальном полю излучения присущи такие же атрибуты, как и другим видам материи: оно обладает энергией, массой, количеством движения. В этом томе мы рассматриваем его как непрерывную материальную субстанцию. В томе III будет показано, что такое рассмотрение является лишь приближением к истинной картине поля и что многие величины, характеризующие поле, меняются не непрерывно, а скачкообразно (см. т. III, гл. X).

Следует отметить, что в соотношениях (50.13)—(50.20) величины е и ц можно принимать постоянными и равными их значениям для статических полей Е и В лишь в тех случаях, когда поле излучения медленно меняется со временем (в случае периодических полей—для полей малой частоты). Действительно, е и ц характеризуют смещения зарядов (Р = хЕ) и ориентацию магнитных диполей (J=%H) вещества под действием внешнего поля. Эти процессы происходят не мгновенно, но требуют некоторого времени для своего установления. \

В переменных полях Е' и И' вследствие инерции движущихся зарядов изменения поляризации Р и намагничения J будут отставать от изменения полей и степень этого отставания будет существенно зависеть от частоты изменения Е' и Н'. Величины 8 и ц являются довольно сложными функциями частоты электромагнитного поля излучения. К этому вопросу мы еще вернемся в томе III при анализе взаимодействия света с веществом и, в частности, при

316 4. HL ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [гл. XI рассмотрении явления, называемого дисперсией света, т. е. зависимости скорости его распространения ®=с/]/е^1 от частоты.

Переменное электромагнитное поле отражается от поверхности металла. Если оно меняется во времени не слишком быстро, то под его влиянием электроны на поверхности металла перемещаются так, что напряженность электрического поля внутри металла оказывается равной нулю. Но если внутри металла электрическое поле Е' равно нулю, то равно нулю и связанное с ним магнитное поле Н'. Из закона сохранения энергии следует, что энергия падающего на металл поля излучения не может исчезнуть. Часть энергии излучения (обычно малая) переходит в джоулево тепло, которое выделяется токами, вызванными на поверхности металла полем излучения. Ббльшая же часть энергии излучения покидает поверхность металла с отраженным излучением.

Формально мы можем рассматривать металл как диэлектрик, в котором заряды могут смещаться сколь угодно далеко, т. е. как диэлектрик с бесконечно большой поляризуемостью, и положить

8мет==^>. (50.25)

Подставляя это значение е в выражение для скорости распространения излучения в веществе (50.17), найдем '

Тмет = -^= = О. (50.26)

Для распространения электромагнитного поля излучения внутри металла следует сделать те же оговорки, что и для диэлектрика. При очень большой частоте изменения поля, соответствующей частоте колебаний рентгеновых лучей и у-лучей радиоактивных веществ, свободные электроны не успеют сколько-нибудь заметно сместиться за время, пока колеблющееся поле Е' изменит свое направление на противоположное. Для таких частот даже в металле е—► !, и такое излучение должно распространяться в металле так же, как излучение более низкой частоты распространяется в диэлектрике. Действительно, рентгеновы лучи пронизывают большие толщи диэлектриков и металлов, распространяясь в них со скоростью, близкой к скорости с распространения света в вакууме.

Внутри замкнутой металлической полости электромагнитное поле излучения может существовать в виде стоячих волн, наподобие стоячих волн воздуха в акустических резонаторах (см. том I, § 59). Как и акустические волны, стоячие электромагнитные волны могут обладать дискретным спектром возможных частот (длин волн). Наибольшая возможная длина волны (наименьшая возможная частота) определяется из условия, чтобы между стенками полости резонатора укладывалась половина волны. Обозначая расстояние между

(50.27)(50.27)стенками через /, имеем

(50.27)

(50.27)

1 С _ о

V=T— 51

Полые металлические резонаторы, в которых возбуждаются стоячие электромагнитные волны (см. § 52), сейчас широко применяются в ультракоротковолновой (деци- и сантиметровой) радиотехнике (радиолокация, телевидение, радиоспектроскопия, ускорители заряженных частиц и т. д.).

§51. Колебательный контур

Как мы видели в начале предыдущего параграфа, электромагнитное поле излучения Е' и Н' создается полями Е и Н, связанными с движущимися зарядами и токами. Поля Е и Н очень быстро убывают с удалением от их источников, по крайней мере обратно пропорционально квадрату расстояния (законы Кулона и Био—Савара — Лапласа). Индуктированные же поля Е' и Н' и на больших расстояниях от источника взаимно порождаются и полностью отрываются от первоначально породивших их зарядов и токов.

Таким образом, любой ускоренно движущийся заряд или изменяющийся ток порождает распространяющееся от него во все стороны электромагнитное поле излучения. Огромное значение и многочисленные практические применения этого излучения (радиоволны, свет, рентгеновы лучи и т. д.) требуют создания таких излучающих систем, в которых поддерживалось бы длительное переменное_дви- жение зарядов и токов, а значит, длительное излучение- электро- магнитных'волн. Простейшей такой системой является электрический колебательный контур.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкостью С и катушки индуктивностью L. Пусть вначале цепь разомкнута, а на обкладках конденсатора находятся заряды ±^0. При этом контур будет обладать энергией W, равной энергии заряженного конденсатора Ц7ЭЛ (см. (13.5)):

Г=^л=5’ (51Л)

которая локализована в электрическом поле конденсатора (рис. 3.98, а). Положим для простоты, что сопротивление контура пренебрежимо мало, так что можно считать R«0.

Замкнем контур ключом К. Конденсатор начнет разряжаться, но ток в контуре будет нарастать лишь постепенно вследствие

Рис. 3 98.Рис. 3 98.

Рис. 3 98.

Рис. 3 98.

«электрической инертности» катушки. По мере уменьшения заряда на обкладках конденсатора его энергия будет убывать. Так как Я — 0 и других возможностей потери энергии здесь нет), энергия контура меняться не должна. Убыль энергии электрического поля конденсатора в точности возмещается увеличением энергии возни- кающего и растущего магнитного поля катушки, (рис. 3.98, б). В тот момент, когда кднденсатор полностью разрядится, ток в контуре будет максимальным. Вслед

за этим конденсатор начнет перезаряжаться, и ток начнет убывать, но постепенно, в силу той же инертности катушки.

Максимальный ток /макс легко вычислить, исходя из закона сохранения энергии. В тот момент, когда 9=0, энергия 1Гэл = 0 и вся сосредоточена в магнитном поле катушки. Следовательно, согласно (45.5)

Г= Гмагв = ^^ = ~ , (51.2) откуда

^=Fh (5L3)

Когда ток прекратится, IFMarH обратится в нуль и ТГМ примет прежнее значение — заряды на обкладках конденсатора достигнут прежней величины и лишь поменяются знаками. Затем возникнет ток обратного направления, конденсатор снова перезарядится, и весь процесс будет повторяться (рис. 3.98, в — б). Таким образом, в

контуре возникнут электрические колебания заряда—тока. Поэтому цепь, представленную на рис. 3.98, называют колебат е л ь- ным контуром. ~ "

"'Эле'ктрйчёские колебания в колебательном контуре можно сопоставить с колебаниями материальной точки под действием квазиуп- ругой силы (см. рис. 3.98, справа). Как было показано в т. 1, § 52, в этом случае происходит непрерывный переход потенциальной

энергии материальной точки, £ппт= ху.1^ к_ в. кпнетическуto, Екта — тУ1^, и обратно. Сопоставление Уэл=д*1^С и Епот=хха'2 и 1^Ман1=А'2^2/2 с Екнн = ют*^, произведенное на рисунке 3.98, наталкивает иа предположение, что и электрические колебания в контуре должны происходить по гармоническому закону. Убедимся в правильности этого предположения, а заодно определим частоту колебаний заряда и тока в контуре с емкостью С и индуктивностью L.

В начальный момент времени, при (=0, заряд на обкладках конденсатора равен ±?0; замыкание контура ключом приводит к возникновению тока I, который вызовет в катушке э. д. с, индукции 6ИНД:

£инд=-^2£^. (514)

По второму правилу Кирхгофа (см, § 17) сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна сумме действующих в этом контуре э. д. с. В данном случае падение напряжения на сопротивлении отсутствует, так как R=0, и остается лишь падение напряжения (7 между обкладками конденсатора

(51.5)

Единственной э.

д. с. в контуре будет £инд.

Следовательно,

уравнение Кирхгофа

для контура примет вид

и=левд.

(51 6)

Подставляя (51.4) и

(51.5) в (51.6), находим

С~ в df

(51.7)

Но

1 dt ’

(51%)

следовательно,

did^q_ dt~dts '

(51.9)

Подставляя (51.9) в (51.7), получаем дифференциальное уравнение, которому подчиняется изменение заряда q в колебательном контуре:

(51.10)(51.10), ,2. d2o , 1 пк Ь№^-с1 = °-

(51.10)

(51.10)

Уравнение гармонических колебаний материальной точки массы т под действием квазиупругой силы с коэффициентом жесткости й (том I, формула (54.3)) имеет вид

№^+ха: = 0. (51.11)

Сравнивая (51.10) и (51.11), видим, что эти уравнения имеют одинаковый вид. Поэтому и решения этих уравнений должны совпадать по форме. Нужно лишь в известном решении уравнения (51.11) заменить т на k^L, а х на -gr. Это означает, что если материальная точка с массой т под действием квазиупругой силы — их совершает гармонические колебания, т. е. координата х точки меняется со временем по синусоидальному закону с частотой ®0— Уи]т (том 1, формула (51.6)), то и величина заряда q будет меняться со временем по такому же закону с частотой

и периодоми периодомРешение видеРешение видеГ _1 1У k’*LC к' VTCГ _1 1У k’*LC к' VTCТ=^=2лА' VLC. tooТ=^=2лА' VLC. tooуравнения (51.10) можно, следовательно,уравнения (51.10) можно, следовательно,q=a cos (й)0/ 4-ф) = о cosq=a cos (й)0/ 4-ф) = о cosк* VLGк* VLG<Р<Р(51.12)(51.13)записать в(51.14)(51.12)(51.13)записать в(51.14)

и периодом

и периодом

Решение виде

Решение виде

Г _1 1

У k’*LC к' VTC

Г _1 1

У k’*LC к' VTC

Т=^=2лА' VLC. too

Т=^=2лА' VLC. too

уравнения (51.10) можно, следовательно,

уравнения (51.10) можно, следовательно,

q=a cos (й)0/ 4-ф) = о cos

q=a cos (й)0/ 4-ф) = о cos

к* VLG

к* VLG

<Р

<Р

(51.12)

(51.13)

записать в

(51.14)

(51.12)

(51.13)

записать в

(51.14)

что легко проверить прямой подстановкой (51.14) в (51.10). Внося q в (51.8), находим, что ток в контуре также меняется по гармоническому закону:

г=-^-= sin (—+ <р\(51.15)

dt к V LC V VLC

но отстает от заряда по фазе на :

— sin (co^-i- ср) — cos ^®0Z +ф —

так что (51.15) можно переписать в виде

к' VLC\к VLC )

Значения постоянных а и ф определяются из начальных условий. В нашем случае эти условия гласят: при / = 0 q — q6 и z = 0;

полагая в (51.14) и (51.15) / = 0, получаем

<70 = асо5ф,(51.17)

0 =sin ф.(51.18)

к' VLC

Так как «^=0, то sin qi = 0, откуда ф = 0 (одно из возможных значений, так как ф определяется с точностью до величины, кратной 2л). Подставляя это значение ф в (51.17), находим a = qtt.

Таким образом, при данных начальных условиях имеем t

9 = 9eCos^Ty^,(51.19)

= к' VIE cos U' VtE 2 /(51 '2°)

(Отметим, что амплитуда тока в (51.20) действительно совпадает с полученной в (51.3) из закона сохранения энергии.)

Возвращаясь к уравнениям (51.10) и (51.11), заметим, что индуктивность L играет в рассматриваемой электрической системе Роль массы т колеблющейся точки, я величина, обратная емкости. I/O—роль коэффициента жесткости х. То обстоятельство, что индуктивность в контуре сообщает ему’ «электрическую инертность», т. е. играет такую же роль, какую играет масса в механике, уже обсуждалось. Аналогию х и 1/С также легко понять физически.

Чем больше х, тем больше меняется сила, действующая на материальную точку, при изменении ее координаты на Дх. Аналогично, чем больше 1/С, т. е. чем меньше емкость конденсатора, тем больше меняется его «электрическая сила»—падение напряжения на обкладках при изменении его заряда на Nq.

Итак, математическое решение задачи об электрических колебаниях в контуре с емкостью и индуктивностью известно; рассмотрим физически происходящие в контуре явления. Для этого удобно воспользоваться графиками функций q и /, показанными на рис. 3.99.

И Г. А. Зисман н О. М. Тодес

Заметим, во-первых, что разность потенциалов между двумя любыми точками колебательного контура равна нулю, так как его омическое сопротивление принято равным нулю. Это означает, что э. д. с. индукции §инд между любыми двумя точками контура все время по величине равна падению напряжения U на обкладках конденсатора и противоположна ему по знаку. Но U обусловлено наличием заряда 7 на обкладках конденсатора, в то время как $инд катушки обусловлена изменением тока в контуре, т. е. величиной di^dt.

В те моменты, когда конденсатор полностью разряжается, q = 0 и (7=0, значит, должна обратиться в нуль и £ияд, т. е. dijdi. В эти моменты ток I должен достигать экстремального значения — максимума или минимума. Это и имеет место, как видно из рис. 3.99 (при t^UL 81J, 7^ и т- Д-).

В начальный момент (=0, q = q6 и i — О. Величина U, а значит, и di[dt имеют максимальное значение. Ток начинает течь, и заряд на пластинах уменьшается. В момент t = 1[4T U=0, q~0, а ток, будучи отрицательным по величине, достигает амплитудного значения iMaKt==qJk* УТс.

«Инертность» индуктивности мешает конденсатору разряд итьс я мгновенно: ток возрастает постепенно, пока действует ускоряющая «электрйческая сила» U конденсатора. Та же инертность мешает току прекратиться в тот момент, когда U становится равным нулю,———

Как видно из 3.99, после момента t=44T заряд q, а следовательно, и U меняют знаки. Ток, поддерживаемый индуктивностью, идет теперь против тормозящего напряжения, все уменьшаясь по модулю. К моменту t = 48T ток прекращается, a q (и U) достигает наибольшего по величине отрицательного значения. Затем процесс повторяется, но при обратных знаках всех величин: q, /, (7, §инд; полный цикл завершается к моменту t—T и повторяется снова. Таким образом, в колебательном контуре, состоящем из индуктивности L и емкости С, при отсутствии сопротивления, /?=0, будут происходить гармонические (незатухающие) колебания заряда и тока с круговой частотой ®0 = \]k'V LC и сдвигом фазы л/2.

Найдем баланс энергии колебательного контура. Энергия конденсатора емкостью С с зарядом q равна

Гвл=^.(13.5)

Энергия катушки индуктивностью L с током ( равна

^агн^'^-(45.9)

Подставляя сюда значения q и I из (51.19) и (51.20) и складывая, находим полную энергию контура и убеждаемся в ее постоянстве:

и7ал+ ^магй = ^ cos=(m00 +4- cos' Ut-^Л -

= 2^ [cos8 (<»„/) +sin2 (©„/)] = ^= const. (51.21)

В моменты / = 0, '/gT, Т, ^Т, вся энергия контура локализована в электрическом поле конденсатора. В моменты времени ^ = '/4^ Ч4Т, 1J, ... вся энергия контура локализована в магнитном поле индуктивности.

Рассмотрим теперь реальный контур с конечным сопротивле- нием R. Применяя правило кирхгофа для этого случая, имеем

Rz + V=^.(51.22)

Выражая все входящие в (51.22) величины через q, как это было сделано раньше (см. (51.2) — (51.5)), получим

k'4^ + R^ + -Lq = 0.(51.23)

Это уравнение вполне аналогично уравнению колебаний под действием квазиупругой силы и силы трения (т. 1, формула (54.6)): т^+^+хх^О.(51.24)

Роль коэффициента трения г играет здесь электрическое сопротивление R. В результате трения в механической системе часть ее энергии переходит в тепло, так что колебания затухают. Наличие сопротивления R в контуре также приводит к тому, что электрическая энергия тратится на выделение тепла (по закону Джоуля—• Ленца), в силу чего электрические колебания должны затухать.

Мы получим решение (51.23), заменив в решении уравнения (51.24) (см. т. I, формулу (54.7)) m на k^L, г на R и и на 1/С. Учитывая начальные условия (при Z = 0): q=q^ и Z=^- = 0, найдем

q=—^К__е ik'^L Cos(<bZ—ср),(51.25)

где

<в = 1/ —— ^— и $ = arctg—5-’ (51.26)

что можно проверить прямой подстановкой в (51.23), Дифференцируя (51.25) по t, находим ток в контуре

1=Л1 =—^т=е 2&,г£ Jib sin (со/—ф)Ч—cos (со/—ф) /.

dttok' VLCI v2k'*Lf

Преобразуя с помощью известных тригонометрических формул скобки в выражении для I, получаем

i =^—е ^,2L sintot=-4^-e" »к'е1- cos (со/—^. (51.27)

йк'ЧСakLCV 2 у '’

Как и в случае механических колебаний, сопротивление R приводит к затуханию электрических колебаний и к уменьшению их частоты. Кроме того, меняется на <р сдвиг фазы между током и зарядом.

При малом сопротивлении R, когда

R X

с. е.

R^k* "У^ (51.28а)

илиили1 R2C )2 4fc'2Lf ’1 R2C )2 4fc'2Lf ’R2C 14k’2L ” к' VTGR2C 14k’2L ” к' VTG(51.29)(51.29)изменения сдвига фазы и собственной частоты незначительны. Приближенно

или

или

1 R2C )

2 4fc'2Lf ’

1 R2C )

2 4fc'2Lf ’

R2C 1

4k’2L ” к' VTG

R2C 1

4k’2L ” к' VTG

(51.29)

(51.29)

Этот случай изображен на рис. 3.100.

При

(51.286)(51.286)R1_

(51.286)

(51.286)

2k'2Lк' КLC

частота со стремится к нулю, а период собственных колебаний Т = 2л^м растягивается до бесконечности. При этом tgф—«-оо, а ф—>.л/2. Таким образом, при условии (51.286) сдвиг фазы между колеба- л .

ниями тока и заряда —g’ + T стремится к нулю.

Наконец, при

(51.28в)(51.28в)7?1

(51.28в)

(51.28в)

^k^L > к- у 15

частота (о становится мнимой и колебание—апериодическим, как показано на рис. 3.101.

Рис 3 102.Рис 3 102.

Рис 3 102.

Рис 3 102.

Перейдем теперь к наиболее важному для приложений случаю,

сторонняя гармоническаясторонняя гармоническая(51.30)(51.30)когда в контур дополнительно включена э. д. с. gCT (рис. 3.102):

сторонняя гармоническая

сторонняя гармоническая

(51.30)

(51.30)

SCT = g0 cos Ш.

Уравнение колебаний заряда q будет отличаться от (51.23) наличием &С1:.

A'^+fig+^-SoCOsQ/.(51.31)

Сопоставляя его с уравнением движения материальной точки под действием квазиупругой силы, силы трения и сторонней гармонической силы (т. I, формула (54.16)):

т^+г^ + хл^/^соз^,(51.32)

мы можем, как это уже делалось, воспользоваться готовым решением. Это решение будет состоять из решения однородного уравнения ^*В0б (при go = O), которое уже было найдено (см. (51.25)), и частного решения ^вын неоднородного уравнения (51.27), которое может быть написано по аналогии с решением уравнения (51.32) (см. т. I, формулу (54.18))'

^Вын = Лсо5(й/+Ф).(51.33)

Соответственно

^ын ” ^р = ~ лй sin (Qf+ Ф) = г0со5(£2/ + Ф'), (51.34)

где амплитуда вынужденных колебаний тока в контуре

(51.35)(51.35)

(51.35)

(51.35)

и сдвиг фазы между /вын и §Ст

O' = arctgO' = arctgR *R *(51.36)(51.36)

O' = arctg

O' = arctg

R *

R *

(51.36)

(51.36)

Напомним, что произвольные постоянные, определяемые из начальных условий, входят только в решение однородного уравнения, соответствующего собственным колебаниям, и не содержатся в частном решении неоднородного уравнения.

Так как собственные колебания из-за наличия сопротивления R

затухают, то через некоторое время в контуре установятся вынужденные колебания тока I, определяемые целиком приложенной переменной э. д. с. SCT по соотношениям (51.34) — (51.36) и не зависящие от начальных условий.

Как и в случае механических колебаний, существует эл е кт ри- чес к иДЦ резонанс. Амплитуда вынужденных колебаний тока z0 резко возрастает, когда Q—>--^ ^=^ как следует из (51.35), ампли-

ООтуда тока достигает максимального значения

О

О

независимо от величины R. Таким образом, резонансная частота

внешней э.д. с. равна

^^ к* ftC Юо’^^ к* ftC Юо’(51.37)(51.37)

^^ к* ftC Юо’

^^ к* ftC Юо’

(51.37)

(51.37)

1к' УТс‘1к' УТс‘ствие сопротивления ш0 =ствие сопротивления ш0 =Резонансная амплитудаРезонансная амплитудат. е. совпадает с частотой собственных колебаний контура в отсут

1

к' УТс‘

1

к' УТс‘

ствие сопротивления ш0 =

ствие сопротивления ш0 =

Резонансная амплитуда

Резонансная амплитуда

(51.38)(51.38)i $о‘о, реэ Р

(51.38)

(51.38)

соответствует амплитуде колебаний напряжения $0 по закону Ома и при R—>0 стремится к бесконечности.

График зависимости /0 от Й при разных значениях R приведен на рис. 3.103. Для малых сопротивлений, удовлетворяющих неравенству (51.28а), эти кривые имеют вид узких вытянутых пиков. Практически с достаточно хорошим приближением можно считать, что в некотором узком интервале частот внешней э. д. с. около частоты соо:

электрический ток в контуре имеет амплитуду, близкую к (51.38), а при частотах й, лежащих вне этого интервала:

иий < Й, 1 й > й, Jй < Й, 1 й > й, J(51 40)(51 40)

и

и

й < Й, 1 й > й, J

й < Й, 1 й > й, J

(51 40)

(51 40)

^1, 2^1, 2(51 43)(51 43)

^1, 2

^1, 2

(51 43)

(51 43)

амплитуда 10 практически равна нулю и ток в колебательном контуре не возбуждается вовсе Для оценки ширины этого интервала частот

ДЙ = Й2—й, (54.41) положим, что при й = й, 2 амплитуда тока i0 в 1^10 = 3,15 раза меньше t0 реа Тогда из (51.35) следует

^ Йй”/. - ^У + R2 = 10R2, ИЛИ

й*'Ч-^=±з/?.

Отсюда

й2 =—;— ± —Г- . (51 42) A'2LC fc'2L

Заменяя в правой части (51.42) Й приближенно на со0 = 1/Д' VLC также приближенно извлекая квадратный корень, как это было сделано при выводе формулы (51,29), находим

(51 44)(51 44)Дй=3 А-

(51 44)

(51 44)

k'^L

Таким образом, если согласно (51 38) iOiPe3 с уменьшением R растет, то полоса частот, которые возбуждают сильный ток в колебательном контуре, с уменьшением R сжимается, как это видно из рис. 3.103 Смещение же собственной частоты со от соо при малых сопротивлениях R в контуре, как видно из (51 29), незначительно, и величина со лежит всегда внутри интервала, между й, и й2. Эти обстоятельства играют важную роль в радиотехнике при настройке приемного контура на частоту передающей радиостанции,

При малых сопротивлениях основной величиной, характеризующей колебательный контур, является круговая частота собственных колебания соо и обратный ей период собственных колебаний

Г= —=2л&'|<^г®0

(51 45)

— формула Томсона. Следовательно, в единицах СИ

7=2n/Zc,(51.45а)

где Т выражается в секундах, L—в генри, С—в фарадах.

В гауссовых единицах

Т=^УТС,(51.456)

где 7 также выражается в секундах, L—в сантиметрах, С—в сантиметрах.

§ 52. Возбуждение электрических колебаний

Колебательный контур, схему действия которого мы разобрали в предыдущем параграфе, является принципиальной основой современной радиотехники. Колебания электрического заряда и тока в контуре создают вокруг контура периодически колеблющееся электромагнитное поле, порождающее электромагнитное излучение, которое распространяется во все стороны в виде электромагнитных волн (см. § 53) и, доходя до какого-либо другого контура, возбуждает в последнем переменный ток той же частоты.

Полная электромагнитная энергия

W="lc + -r'’(52Л)

переходящая из катушки самоиндукции в конденсатор и обратно, в реальном контуре постепенно уменьшается. Часть этой энергии затрачивается на преодоление омического сопротивления и переходит в тепло. Другая часть энергии непрерывно расходуется на создание электромагнитного излучения, уносящего эту энергию в пространство.

Поэтому для создания и поддержания электрических колебаний в контуре к нему надо непрерывно подводить энергию от внешнего источника. Рассмотрим вкратце основные способы возбуждения колебаний электрического контура.

Вначале колебания контура возбуждались сравнительно редкими толчками с помощью индукционной катушки (индуктора). Схема такого способа возбуждения изображена на рис. 3.104. Индуктор И представляет собой катушку с железным сердечником и двумя обмотками. В первичной обмотке, обычно с помощью механического прерывателя, создается пульсирующий ток. Частота разрывов тока достигает 10г—10* раз в секунду. Благодаря большому числу витков во вторичной обмотке в ней индуктируется переменная э. д. с. высокого напряжения, до ~ 10 000 в, и той же частоты. Эта э. д. с. заряжает конденсатор С. Цепь самого колебательного контура, со-

стоящего из емкости С и индуктивности L, разомкнута воздушным промежутком S. В тот момент, когда напряжение на этом разрядном промежутке достигает пробивного значения t/npo6, проскакивает искра, образовавшийся при пробое столб ионизованного воздуха замыкает цепь контура, и в нем возникают собственные колебания высокой частоты. Эти колебания быстро затухают, и контур размыкается до следующей искры.

Рис. 3.104.Рис. 3.104.Рис 3.105.Рис 3.105.

Рис. 3.104.

Рис. 3.104.

Рис 3.105.

Рис 3.105.

На рис. 3.105, а показано изменение э. д. с. вторичной катушки индуктора со временем, а на рис. 3.105, б изображен ток z в цепи колебательного контура. Для наглядности на рис. 3.104 изображен присоединенный к контуру осциллограф О, на экране которого воспроизводится кривая зависимости I от t.

Несмотря на все несовершенство такого метода возбуждения, с его помощью Герц в 1886 г. впервые получил и изучил электромагнитные волны. Из формулы (51,45) следует, что частота собственных колебаний контура с достаточно малым омическим сопротивлением связана с Остальными параметрами контура соотношением

153 21

Отсюда видно, что для увеличения собственной частоты колебаний контура надо уменьшить его емкость С и индуктивность L. Идя по этому пути, Герц оставил в контуре всего один виток, а затем стал уменьшать площадь пластин конденсатора и раздвигать их друг от друга, как показано на рис. 3.106, а — в.

В результате вибратор Г е р ц а получил форму, изображенную на рис. 3.106, в,—двух стерженьков с разрядным промежутком между ними, к которому подводились провода от индуктора.

Принципиально важным для увеличения интенсивности излучения явилось то обстоятельство, что контур при этом стал открытым.

Если в первоначальной форме контура переменное электрическое поле было все заключено внутри конденсатора (рис. 3.106, а), то в окончательной форме оно уже окружало вибратор снаружи (рис. 3.106, в).

Используя такой вибратор, Герц получил электромагнитные волны с частотой v до 10’ сек-1 (10’ гцу Позже П. Н. Лебедев,

применив маленькие тоненькие платиновые стерженьки, сконструировал вибратор с еще большей частотой: ~ 10'° гц.

Частоты собственных колебаний электрических зарядов в атомах и молекулах еще выше и достигают примерно 101г—1015 гц.

Для получения близких к этим частотам электрических колебаний макроскопических вибраторов А, А. Глаголева-Аркадьева в 1922 г. построила прибор, названный ею массовым излучателем, В сосуд А (рис. 3.107) наливается масло со взвешенными в нем мелкими металлическими опилками, непрерывно перемешиваемое мешалкой М, Колесико К, вращающееся вокруг горизонтальной оси, захватывает слой масла с опилками, покрывающий его обод в виде тонкой пленки — своеобразной «шины». Сверху к этой шине подводятся концы проводов от индуктора, возбуждающего электрические колебания в опилках Благодаря непрерывной смене опилок при вращении колесика К они не успевают сгорать от проскакивающих между ними искр. Большое число одновременно возбуждаемых вибраторов обеспечивает достаточную для обнаружения интенсивность электромагнитных волн. Неоднородность размеров и формы отдельных вибраторов вызывает в массовом излучателе одновременные электрические колебания с различными частотами в интервале 1010—10’2 гц, перекрывающем промежуток на шкале частот между электрическими колебаниями атомов и макроскопических вибраторов.

В своих опытах 1887—1891 гг. для регистрации электромагнитного поля, излучаемого вибратором, Герц использовал явление электрического резонанса. Вибратор В, возбуждаемый индуктором И, являлся источником электромагнитного поля определенной частоты (рис. 3.108). Достигая второго контура с искровым промежутком, являющегося в данном случае резонатором Р, переменное магнитное поле возбуждало в нем электрические колебания той же час

Рис. 3.108.Рис. 3.108.Рис. 3.109.Рис. 3.109.тоты, При достаточной амплитуде последних через искровой промежуток резонатора проскакивала искра, сигнализировавшая о приходе электромагнитной волны.

Рис. 3.108.

Рис. 3.108.

Рис. 3.109.

Рис. 3.109.

Для получения максимальной амплитуды колебаний контура Р он настраивался в резонанс с вибратором В.

В данном случае резонатор представляет собой контур, в котором возникают вынужденные электрические колебания. Периодическая э. д.с. возникает в нем под действием переменного электромагнитного поля первого вибратора.

Принцип электрического резонанса используется ив трансформаторе Тесла, схема которого проведена на рис. 3.109. В первичной обмотке этого трансформатора с помощью индуктора И возбуждаются электрические колебания высокой частоты Q = l/j/L^j. Значительная часть подаваемой в контур энергии при этом излучается в пространство в виде переменного электромагнитного поля. Чтобы большая часть этой энергии передавалась во вторичную обмотку и возбуждала в ней электрические колебания значительной амплитуды, частота собственных колебаний вторичного контура to0 --= 1IV LtC4 должна совпадать с частотой вынуждающей силы й. Условие резонанса тогда примет вид

ЦСХ = ЦСХ. (52.3)

Для получения во вторичной обмотке очень высоких напряжений

необходимо делать ее из большого числа витков и тем самым увеличивать ее индуктивность, так что L2^> Lv Для соблюдения условия резонанса (52.3) приходится соответственно сильно уменьшать емкость вторичного контура: Сг^Сх, для чего его делают открытым. С помощью трансформатора Тесла удается получать токи высокой частоты, до 10егц, с напряжением около миллиона вольт. Концы катушки Ьг на воздухе искрят, а в помещенных поблизости разрядных трубках с разреженными газами возникает свечение.

Для переменного тока технической частоты, 50 гц, потери на излучение относительно малы. Поэтому в обычных технических трансформаторах нет необходимости в строгом соблюдении условия резонанса (52.3).

Во всех рассмотренных выше системах частота подвода энергии от индуктора много меньше частоты собственных колебаний контура. Вследствие потерь энергии на джоулево тепло и на излучение после

каждого «толчка» амплитуды колебаний заряда и тока в контуре

быстро убывают (см. рис.

3.105, б). Для техники особый

интерес представляет контур,

кой устойчиво работающийкой устойчиво работающийв котором и при потере энергии могли бы поддерживаться незатухающие колебания. Такой контур способен испускать незатухающие электромагнитные волны. При наличии потерь незатухающие колебания можно получать только за счет постоянного притока энергии в колебательный контур. Создать та

кой устойчиво работающий

кой устойчиво работающий

контур удалось лишь благодаря

колебательный контур с триодом,колебательный контур с триодом,изобретению триода.

колебательный контур с триодом,

колебательный контур с триодом,

Рассмотрим простейший

в котором незатухающие колебания поддерживаются за счет энергии источника постоянной э. д. с. (например, аккумулятора). Схема такого генератора незатухающих электромагнитных колебаний показана на рис. 3.110.

Задача состоит в том, чтобы, грубо говоря, включать и выключать источник постоянного напряжения с частотой, равной частоте колебаний контура V, так, чтобы при включениях э. д. с. источника

усиливала ток в контуре.

Основная идея всех автоколебательных систем (механических и прочих, в том числе рассматриваемой) состоит в том, что «клапан», открывающий доступ энергии в контур, управляется самой колебательной частью прибора (в данном случае—колеба-

тельным контуром). Часть прибора, осуществляющая связь колебательной части и клапана, носит название обратной связи. При таком управлении работой клапана исключается возможность включения и выключения источника энергии «не в такт».

В нашем примере источником энергии является батарея 5а, в цепь которой включен колебательный контур. Клапаном же является триод. Обратная связь реализуется следующим образом. Как известно, небольшие изменения сеточного напряжения (по отношению к катоду) сильно меняют сопротивления триода (см. § 23). Между сеткой и катодом включается катушка L, которая связывается индуктивно с катушкой L колебательного контура. Катушка L индуктирует в L колебания, очевидно, той же самой частоты, что и частота колебаний v в контуре. Таким образом, ток в анодной цепи (анод—«-батарея 5а—«-колебательный контур—«-катод) модулируется с частотой V*). Таким образом, в колебательный контур оказывается включенной сторонняя э. д. с. нужной частоты, передающая ему энергию.

Отвод необходимой энергии в антенну также можно осуществить с помощью катушки L", индуктивно связанной с L. Если частота контура L" близка к v, то передача энергии от L к С будет достаточно большой.

Описанный способ получения незатухающих электромагнитных колебаний используется в современной радиотехнике в области частот от 10s гц (и, при желании, меньших) до 10е гц, что отвечает диапазону длин волн от 3 км до 30 см.

Дальнейшее повышение частоты и переход к так называемому сантиметровому диапазону электромагнитных волн с помощью лампового генератора рассмотренной схемы наталкивается на два существенных затруднения. Во-первых, в соответствии с (52.2) не- обходимо уменьшать размеры самого контура, что, помимо прочих трудностей, снижает мощность контура. Во-вторых, при этом будет не успевать срабатывать «клапан», т. е. электронный поток в лампе.

гц электроны, летяши^гц электроны, летяши^скоростью порядка 10ескоростью порядка 10еДействительно, при частоте порядка 10

гц электроны, летяши^

гц электроны, летяши^

скоростью порядка 10е

скоростью порядка 10е

соТ;соТ;см[сек, за время одного периода

со

Т;

со

Т;

10 11 сек пройдут расстояние всего лишь 10-1 слг=0,1 мм

и будут доходить до противоположного электрода, когда его потенциал будет уже совсем не тот, что был в момент их вылета из катода.

Радиоволны сантиметрового диапазона генерируются с помощью клистронов и магнетронов. Электромагнитные волны возбуждаются в клйстроне Примерно YaK, как возбуждаются звуковые волны в органной трубе или свистке.

Клистрон состоит из двух полых резонаторов Р, и Рг (рис. 3.111), настроенных в резонанс с помощью винтов настройки Н^ и Нг. Донышки резонаторов сделаны в виде сеток С,, Сг, С,, С4, С5, сквозь которые может проходить пучок электронов. Электроны испускаются плоским подогревным катодом К, ускоряются между ним и сеткой Сг и попадают через С2 3 в первый резонатор Рг В зависимости от фазы стоячей волны в Pv т. е. направления вектора Е в области между С2 и С,, элек- троны либо ускоряются в этом поле, либо тормозятся.

Представим себе, что в начальный момент электроны в Р

Рис. 3.111тормозятся. Тогда, выходя в про

странство между резонаторами, они будут двигаться медленнее, чем двигались раньше. Электроны, попадающие в резонатор через время 7/2, будут ускоряться электрическим полем, так что их скорость возрастет. Расстояние между С, и С4— пространство дрейфа — подобрано так, чтобы запоздавшие на 7/2, но более быстрые электроны нагнали электроны, которые движутся медленнее, вблизи С4. В дальнейшем эта же картина будет повторяться с периодом 7.

Таким образом, в результате взаимодействия с полем первого резонатора однородный пучок .электронов, проходящих через С2, разбивается на ряд «сгустков», или пакетов, формирующихся перед сеткой С4. Если фаза поля в резонаторе Рг такова, что пролетающий сквозь него пакет электронов тормозится полем Р2, то это же будет происходить и со всеми последующими пакетами. Это означает, что в Рг электроны будут терять свою энергию, передавая ее электромагнитному полю, амплитуда которого будет возрастать.

Часть этого поля будет поступать через специальную полую металлическую трубку в резонатор Рг, поддерживая колебания в нем. Эта трубка играет роль обратной связи рассматриваемой автоколебательной системы; на рис. 3.111 она обозначена О. С. Часть энергии отводится от Pt с помощью другой металлической трубки — волновода, оканчивающегося металлическим рупором, который является излучателем электромагнитного поля.

Клистроны очень легки и удобны в обращении. Но значительно ббльшую мощность излучения можно получить с помощью магнетрона. Магнетрон представляет собой диод с очень большим анодным напряжением. Однако ток в нем весьма невелик, так как внутри лампы имеется мощное магнитное поле Н, параллельное оси диода. Электроны, вылетающие из катода и ускоряемые электрическим полем по направлению к аноду, отклоняются магнитным

полем и описывают траектории, показанные на рис. 3.112. Двигаясь ускоренно, электроны испускают электромагнитное излучение, которое выводится затем из магнетрона так же, как из клистрона.

Для вывода излучения высокой частоты в пространство в случае волновода можно использовать рупор, в прочих случаях — ан

тенну, механизм действия которой будет разобран в следующем параграфе.

Для передачи электромагнитного поля без излучения его в про-

Рис. 3.112.

Рис. 3.113.Рис. 3.113.странство можно пользоваться также коаксиальным кабелем, состоящим из центрального провода и соосной с ним металлической оболочки (рис. 3.113). Токи в этом кабеле идут по поверхности внутреннего проводника и по внутренней поверхности проводника — оболочки. Электромагнитное поле в таком кабеле целиком распространяется в пространстве между проводниками и вне проводника всегда равно нулю. Поэтому коаксиальный кабель в отличие от обычных «открытых» линий, состоящих из двух параллельных проводников, ничего не излучает.

Рис. 3.113.

Рис. 3.113.

§ 53. Электромагнитные волны

В идеальном колебательном контуре (см. рис. 3.98) электрические заряды противоположного знака то разделяются на противоположных пластинах конденсатора, то компенсируют друг друга в моменты максимума тока. Та же картина движения зарядов и токов наблюдается в вибраторе Герца (рнс. 3.106, в) при возбуждении его индуктором и в антенне, возбуждаемой от лампового генератора (рис. 3.110).

Для выяснения механизма образования электромагнитных волн этими излучателями представим излучатель схематически в виде колеблющегося электрического диполя. Такой простейший вибратор, изображенный на рис. 3.114, состоит из двух зарядов -|-^ и —q, гармонически колеблющихся с некоторой частотой v вдоль вертикальной прямой в противоположные стороны. Амплитуда колебаний обоих зарядов одинакова, а фазы противоположны. На рис. 3.114,

а—ж изображены последовательные положения зарядов системы и линии электрического поля Е.

В момент / = 0 оба заряда находятся в одной и той же начальной точке и электрическое поле отсутствует (рис. 3.114, а). На рис. 3.114, б изображено положение этих зарядов спустя некоторый промежуток времени t после начала движения. Заряды сместились на некоторое расстояние от равновесных положений, и система представляет собой электрический диполь, линии поля которого выходят из заряда -\-q и входят в заряд —q. Однако на более далеких расстояниях от диполя электрическое поле еще отсутствует.

Рис. 3.114.

На рис. 3.114,6 и г показаны положения обоих зарядов спустя четверть периода (^ = !/47) и несколько позже (^>1/47). За это время электрическое поле успевает распространиться на некоторое расстояние от диполя. В момент / = х/27 (рис. 3.114,6) оба заряда проходят через положение равновесия и компенсируют друг друга. Однако электрическое поле, созданное в окружающем пространстве за предыдущее время, не исчезает, и линии этого поля, отрываясь от зарядов, замыкаются сами на себя. В следующий момент, />1/27, заряды вновь расходятся (рис. 3.114, е) и начинают создавать электрическое поле обратного направления. «Отшнуровав- шиесяэ же замкнутые линии вектора Е уходят от источника поля со скоростью с. По истечении первого периода колебания (/=7) от зарядов «отшнуруется» новая группа линий электрического поля, как показано на рис. 3.114, ж, и т. д.

Напомним еще раз, чго линии напряженности электрического поля являются не физической реальностью, а лишь графическим способом описания структуры поля.

«Отшнуровывающееся» поле будет содержать не только электрическую составляющую. Как уже было показано, с движущимся электрическим полем всегда связано магнитное поле. Часть электрического поля, отделившаяся от поля, связанного с зарядами, будет двигаться в пространстве, и ей будет сопутствовать магнитное поле Н', перпендикулярное к Е.

Рис. 3.115.

Если провести из центра колеблющегося диполя произвольный радиус-вектор (луч) г, то, как видно из рис. 3.114, ж, во всех точках луча вектор Е перпендикулярен к лучу и лежит в плоскости, проходящей через луч и ось диполя (плоскости рисунка). От точки к точке луча вектор Е периодически колеблется, изменяя свое направление на противоположное, но оставаясь в той же плоскости. Но так как линии поля движутся вдоль луча, то Е будет периодически изменяться не только в пространстве, но и во времени.

«Отшнуровывание» поля излучения происходит не только от связанного с колеблющимися зарядами электрического поля, но и от связанного с ними магнитного поля. На рис. 3.115, а — ж показаны различные стадии движения линий вектора Н, создаваемых движением зарядов, т. е. переменным током I. Проводя на рис. 3.115, ж луч г, мы видим, что вектор Н перпендикулярен к плоскости, содержащей луч и вектор Е рассмотренного выше поля,

12 Г. А. Зисман и О. М. Тодес

и также периодически колеблется в пространстве и во времени. С этим магнитным полем Н будет связано электрическое поле Е', обусловленное движением «отшнуровавшегося» поля Н.

Как видно, в непосредственной близости от источника возникающее поле носит очень сложный характер. Основными слагающими здесь являются электростатическое поле диполя, которое согласно (2.19) изменяется с расстоянием по закону

(53.1)

и магнитное поле тока, которое по закону Био—Савара—Лапласа убывает с расстоянием по закону

(53.2)

где u = dx[dt— мгновенная скорость движущихся зарядов.

Эти поля взаимно перпендикулярны, и их колебания сдвинуты по фазе на л/2, так же как сдвинуты по фазе колебания заряда и тока в колебательном контуре (см. § 51).

Уже отмечалось, что переменное электрическое поле Е„создает вихревое магнитное поле, а переменное магнитное поле Нт создает вихревое электрическое поле. Эти новые индукционные поля колео- лютёй с "ТОЙ Жё частотой v, что и породившие их поля Ед и Нт, и распространяются от источника со скоростью у, рассчитанной . выше, в § 50.

В результате картина суммарного электромагнитного поля еще более усложняется по сравнению с изображенной на рис. 3.114 и 3.115. Однако общая структура поля и взаимная перпендикулярность векторов Е, Н и г остаются теми же. Изменяются лишь постепенно фазовые соотношения между полями и напряженности их с удалением от источника.

Остается также в силе и зависимость напряженности индукционных полей от угла О между током по оси диполя и направлением радиус-вектора, даваемая законом Био — Савара—Лапласа:

5™, sin О1.(53.3)

Точный расчет электромагнитного поля, излучаемого колеблющимся диполем, довольно сложен. Остановимся лишь на некоторых основных характеристиках этого излучения, основываясь на результатах, полученных в § 50.

В случае гармонических колебаний диполя

qx—qxa sin 2nW(53.4)

и элемента тока

i dl=qu = q'~ = 2nvqx<i cos2nv^(53.5)

§ 531 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 339 индукционные поля

^инд> ^инд ^—^~5Г "^ 57 ^ v s*n 2hv7 (53.6) колеблются с той же частотой и распространяются в виде синусоидальных волн. Зная скорость распространения волны в окружающей среде

можно найти длину бегущей волны X из соотношения

Х=уТ=^ ,(53.8)

справедливого для волн любого типа (см. т. 1, § 55).

В соответствии с (50.19) величины Еинд и Нинд в каждой точке поля пропорциональны друг другу. Следовательно, при периодических колебаниях ЕИЙД и НИЙД одновременно достигают максимальных значений и одновременно переходят через нуль, т. е. колеблются в одинаковой фазе.

Распространяясь во все стороны от источника, электромагнитные волны непрерывно уносят с собой энергию. При установившемся процессе излучения через любую сферу поверхностью 4лг\ окружающую источник, за единицу времени проходит одно и то же количество энергии, равное произведению плотности потока энергии (50.22) на площадь поверхности сферы:

Е Нинд4лг2 = const.(53.9)

Отсюда и из (50.19) следует, что

^инд ^инд у >(53.10)

т. е. индукционные поля убывают с расстоянием много медленнее, чем Ед и Нт, и при г^Х, в так называемой волновой зоне, электромагнитное поле сводится практически к индукционным полям. Собирая результаты (53.3), (53.6) и (53.10), находим, что амплитуды полей в электромагнитной волне

^инд'г •(53.11)

Наибольших значений Е и Н достигают в экваториальной плоскости (О=л/2), а вдоль оси диполя (0 = 0 и О=л) напряженность поля равна нулю.

Вектор Умова — Пойнтннга

S=^[ExHl(53.12)

в каждой точке волны направлен вдоль ее распространения—по радиус-вектору г. Амплитуда потока энергии

с V4Sin20

.(53.13)

Рис. 3.116.Рис. 3.116.Зависимость потока излучаемой энергии от угла О изображена па рис. 3.116 в виде так называемой полярной диаграммы направленности. На этой диаграмме длины отрезков, проведенных из центра диполя под различными углами '&, прямо пропор

Рис. 3.116.

Рис. 3.116.

Рис. 3.117.

циональны потоку энергии 5, излучаемому в данном направлении. Приведенная диаграмма направленности для излучения одиночного вибратора показывает, что излучающая антенна на радиостанции должна располагаться вертикально. При этом максимальное излучение энергии будет происходить в горизонтальной плоскости вдоль поверхности Земли, а вертикально вверх энергия из- лучаться не будет вовсе.

I I Если необходимо получить направленное излучение в самой горизонтальной плоскости, то используют яв- ление интерференции волн. На рис. 3.117 приведен / Iпростейший пример двух антенн, колеблющихся в оди-

I Iнаковой фазе и расположенных на расстоянии А/2 друг

V от друга,—полуволнового диполя (вид сверху). Рис. 3. 118. В точки, лежащие на линии, соединяющей антенны, обе волны будут приходить в противоположной фазе и гасить друг друга. В перпендикулярном же направлении обе волны будут приходить в одинаковой фазе и максимально усиливать друг друга. Диаграмма направленности излучения подобной системы в горизонтальной плоскости будет иметь характерный вид «лепестка», как изображено на рис. 3.117.

Применяя более сложные системы излучателей, можно добиться значительно более узкого лепестка диаграммы направленности (рис. 3.118). Для получения практически параллельного пучка в современных радиолокаторах используют свойство электромагнитных волн отражаться от металлических поверхностей и поме-

щают излучающий диполь в фокусе параболы металлического зеркала. Этот способ применим для радиоизлучения с длиной волны, не превышающей десятка сантиметров, так как размеры отражателей должны быть много больше длины волны, чтобы не сказались дифракционные явления (см. т. I, § 60).

Даже без такого отражения на больших расстояниях от излучающего диполя участок сферической волны можно считать практически плоским. «Моментальный снимок» структуры такой плоской волны показан на рис. 3.119. Плоскости колебаний векторов Е и Н взаимно перпендикулярны, и сами векторы перпендикулярны к направлению распространения v || S (электромагнитные волны поперечны).

Из (53.13) следует, что интенсивность излучения пропорциональна четвертой степени частоты колебаний виб- ратора. Поэтому при рдсчете

линий переменного тока техни- / ческой частоты (v— 50 сел:-1)/н

учитывают лишь потери наРис. 3.119,

нагревание проводов (по закону Джоуля—Ленца) и пренебрегают практически ничтожными потерями на излучение. В противоположность этому для высокой частоты (v ~ 10е сел:-1 и выше) основную роль играют потери на излучение. Эти потери настолько велики, что для поддержания незатухающих колебаний вибратора необходимо подводить к нему порции энергии от внешнего источника через каждый период, как это и делается в ламповом генераторе. По этим же причинам передача токов сверхвысокой частоты по открытым проводам без больших потерь невозможна. В этих случаях используют полые металлические волноводы, в которых «заперто» электромагнитное поле. Весьма часто для этих целей употребляют коаксиальные кабели.

Из полученного выше соотношения (53.6) видно, что частота электромагнитного излучения пропорциональна ускорению движущихся зарядов du^dt. Излучать, следовательно, будет и одиночный заряд, если он движется ускоренно с любым, положительным или отрицательным, ускорением. По сравнению с колеблющимся диполем различие будет состоять лишь в том, что в случае про- изйольиого непёриодически меняющегося ускорения заряд буде~т излучать" ~нё~"мд'нохроматическую волну определенной частоты, а набор волн различных частот.

Примером «тормозного» излучения является сплошной спектр рентгеновых лучей” В изображенной на рис. 3.120 рентгеновской трубке поток электронов, испускаемых накаленным катодом К,

ускоряется, проходя разность потенциалов Uпорядка 20000—70000 в, а затем резко тормозится при ударе о сплошной металлический антикатод А. Вследствие огромного отрицательного ускорения при торможении на очень коротком отрезке пути электроны испускают электромагнитные волны с очень большой частотой, порядка 1018— 10го сек-1. Чем выше приложенное напряжение U, тем ббльшую скорость имеют электроны в момент удара, тем резче они тормозятся и тем более высокую частоту (и соответственно более короткую длину волны) имеют испускаемые ими рентгеновы луйи."

Примером «ускоренного» излучения является испускание видимого света свободными электронами при ускорении их в макро

скопическом поле. Такое излучение возникает в бетатронах

Г Л^ (СМ- § когда электроны

— L)~ приобретают достаточно боль-

хшую скорость (весьма близ-

Vкую к с). Излучение в бетатро-

/ I Xне обусловлено центростре

мительным ускорением, свя-

Рис. 3.120занным с круговым движением

электронного пучка. Предсказание и расчет этого своеобразного явления «светящегося» электрона принадлежат ,Д._ Д._Иваненко_и_И. Я, Помеааиту•

Свечение свободных электронов в бетатроне легко наблюдать, если часть тора, в котором происходит ускорение, сделать из прозрачного материала. При достижении электронами достаточной скорости (т. е. достаточного центростремительного ускорения) появляется красноватое свечение. Дальнейшее увеличение скорости вызывает изменение цвета излучения к голубоватому.

При движении электронов в полях меньшей напряженности, чем в бетатронах, видимое излучение уже не наблюдается — чаще всего оно лежит в радиодиапазоне. Так, по всей вероятности, возникают некоторые радиоизлучения в Галактике, воспринимаемые радиотелескопами.

Электрон, движущийся равномерно е постоянной скоростью уэл = const, не излучает, а лишь переносит с собой электрическое и магнитное поля. Вследствие того, что изменения этого поля, вызванные перемещением электрона, не охватывают мгновенно всего пространства, а распространяются с конечной скоростью, поле в данной точке будет определяться не расстоянием г до положения электрона в данный момент времени, а расстоянием до электрона в предыдущий момент времени:

t' — t —

г

(53.14)

где vr— проекция скорости распространения электромагнитного поля d—c/]/ep на направление радиус-вектора г. Пока

^эл ^ _/— >(53.15)

V ер

указанной незначительной поправкой можно пренебречь.

В вакууме всегда

уЭл<с.(53.16)

При движении же быстрого электрона в какой-либо диэлектрической среде (например, воде) может иметь место случай, когда

(53.17)

V ер

т. е. когда движение электрона происходит со скоростью, превышающей скорость распространения электромагнитного поля в

данной среде (но, конечно, меньшей с). В этом случае, изображенном на рис. 3.121, равномерно движущийся электрон будет опережать свое собственное поле.

На чертеже отмечен ряд последовательных положений движущегося электрона Mv Мг, ЛГ„ М4 в моменты времени ^</2</,<^4.

Чтобы изобразить область пространства, заполненную полем электрона в момент tv поступим следующим образом. Из точки Мх проведем сферу радиусом

r^kt.-t^,(53.18)

На поверхности этой сферы лежат те точки, до которых к моменту /4 дошло поле, созданное электроном, находившимся в момент времени tt в точке Mv Аналогичные сферы радиусов г,= = т(^4— t^, г, — 1»^—Q и r4=v(?4—Q = 0 проведем из точек Mv М, и /И4. Огибающая все эти сферы поверхность конуса будет показывать положение фронта электромагнитного излучения электрона в момент ^4. Пунктиром на том же рисунке показано положение фронта электромагнитного излучения в последующий момент ts > tv когда электрон дошел до точки Ms.

Таким образом, оказывается, что равномерно движущийся электрон' может излучать электромагнитные волны, когда его скорость превышает скорость распространения этих волн в данной среде. Это чрезвычайно интересное явление было обнаружено в 1934 г. П. А. Черенковым в работе, выполненной под руководством С. И. Вавилова.

Теория этого явления, получившего название череиков- с it о г о излучения, была разработана И, Е, Таммом, л И. М. Франком, Не касаясь всех деталей теории, определим из рис. 3.121 угол ^ между направлением этого излучения (лучом и траекторией электрона:

о, MXN cos v=-

мхм4

= "(Ч—Ч) _ V _ с "эл (Ч~ Ч)Ум УЭл« ’

(53.19)

где

п =]/е|Л > 1

(53.20)

— так называемая оптическая плотность, или показатель преломления данной среды.

Черёнковскоё излучение возникает при прохождении через ,_ с

среду лишь очень быстрых частиц, скорость которых т> —; оно широко применяется в современной ядерной физике дЛЯ рёГИстра- ции прохождения энергичных частиц через вещество. В «черен- ковском» счетчике слабая световая вспышка попадает на фотоумножитель (см. рис. 2.50) и регистрируется специальными электронными схемами.

Применяя среды с различной оптической плотностью п, можно с помощью таких счетчиков отбирать частицы с определенными энергиями и подсчитывать их число.

§ 54. Радиосвязь

Длинные электромагнитные волны, которые были впервые использованы для нужд связи, называются радиоволнами.

Рис. 3.122.Рис. 3.122.В 1894 г. А. С, Попову удалось создать чувствительный и удобный приемник для электромагнитных волн, основные принципиальные особенности устройства которого сохранились в современной радиоприемной аппаратуре. Во-первых, Попов применил высоко поднятую приемную антенну, которая значительно увеличивает дальность приема. Во-вторых, Попов осуществил то, что называется релейной схемой: ничтожная энергия приходящих электромагнитных волн принимается не непосредственно (как, например, для возбуждения искры в опытах Герца), а для управления включением местного источника энергии, который и питает регистрирующий прибор. Схема первого радиоприемника Попова изображена на рис. 3.122. Когерер К представляет собой стеклянную трубку, в которой помещены металлические опилки; в оба конца трубки А и В введены провода, соприкасающиеся с опилками. Приходящая электромагнитная волна, создавая в когерере переменный ток высокой частоты, вызывает проскакивание между опилками мельчайших искр, которые сваривают опилки друг с другом.

Рис. 3.122.

Рис. 3.122.

При этом сопротивление когерера резко уменьшается, и он замыкает цепь батареи Б, питающей электромагнит Э,. Электромагнит притягивает стальную пластинку /7, и с помощью контакта Е замыкает цепь второго электромагнита Эг. Последний притягивает к себе стальную пластинку Пг, и соединенный с ней молоточек М ударяет по звонку 3. Притянувшись к Э8, пластинка Пг размыкает контакт и отсоединяет Эг от батареи. Тогда пружина возвращает пластинку Пг в исходное положение, и молоточек М ударяет через резиновый амортизатор по когереру. Когерер встряхивается, и контакты между опилками разрушаются. Вследствие этого сопротивление когерера вновь становится очень большим, цепь батареи размыкается, и приемник вновь готов к работе.

В современных радиоприемниках когерер заменили электронные лампы, но принцип реле остался в силе. Электронная лампа работает, как реле: слабые сигналы, подводимые иа сетку лампы, управляют энергией местных источников тока, включенных в анодную цепь лампы. Схема лампового приемника изображена на

цепи, создаваемого анодной батареейцепи, создаваемого анодной батареейРис. 3.123.Рис. 3.123.рис. 3.123. Приходящая электромагнитная волна воспринимается антенной А и создает слабые электрические колебания в контуре, состоящем из катушки L и конденсатора переменной емкости С. Варьируя емкость конденсатора, настраивают контур в резонанс с частотой колебаний передающей радиостанции. Возникающее в контуре переменное напряжение подается на сетку лампы Л и управляет прохождением значительно более сильного тока в анодной Б. С приемной лампы это напряжение обычно поступает дальше на усилитель У и в телефон Т.

цепи, создаваемого анодной батареей

цепи, создаваемого анодной батареей

Рис. 3.123.

Рис. 3.123.

ми слуха, является нецелесообразным.ми слуха, является нецелесообразным.Даже длинные радиоволны с X « 1—3 км имеют частоту ч=с1Х > 10* гц, лежащую значительно выше области звуковых частот. Поэтому непосредственное преобразование приходящих электромагнитных волн в механические колебания той же высокой частоты, не воспринимаемые органа- Кроме того, чем выше час

ми слуха, является нецелесообразным.

ми слуха, является нецелесообразным.

тота, тем труднее создать малоинерционную механическую систему, которая успевала бы следовать за быстропеременными воздействиями и регистрировать их.

Если обозначить несущую круговую частоту генератора на передающей радиостанции через соо, то для передачи сигналов более низкой частоты Q необходимо изменять излучаемые электромагнитные волны с частотой сигнала, как говорят, модулировать их. Модулировать можно амплитуду (см. рис. 3.124, д), частоту (см. рис. 3.124, б) или фазу испускаемого излучения.

Рассмотрим вкратце принцип амплитудного модулирования. В отсутствие модуляции напряженности электрического и магнитного полей излучения колеблются по гармоническому закону

A cos <оо/.(54.1)

Пусть теперь на передающей станции напряжение микрофона, колеблющееся со звуковой частотой £2, подается на сетку генераторной лампы. Амплитуда несущей волны А перестает быть постоянной и начинает сравнительно медленно меняться с частотой Q по закону

А (/) — Ао4-В cos Ш.(54.2)

Подставляя (54.2) в (54.1) и производя несложные тригонометриче-

ские преобразования, находим

Е (или /7) = (240 + BcosQO cos to6t =

=А0 cos со/ + ~ cos (®0 — Q) ^ Ч-^ cos (®0 + Q) t, (54.3)

Таким образом, изображенное на рис. 3.124, а модулированное колебание эквивалентно трем радиоволнам с близкими частотами: ®0 —й, ®0 и ®0 + Q.

В приемнике радиосигнал дает также модулированный по амплитуде переменный ток, который усиливается в приемном контуре и выпрямляется в детекторе. Затем производится освобождение звукового сигнала от несущей волны; для этого выпрямленный радиосигнал пропускается через контур, состоящий из

Рис 3 124

индуктивности (дроссель) или емкости (конденсатор), соединенных с сопротивлением. При этом инерционность контура, равная tl « ^ или %c«RC,(54.4)

должна быть велика по сравнению с периодом колебаний несущей частоты ТЯес=2л/® но мала по сравнению с периодом звуковых колебаний 7’зв = ^-, чтобы не исказить последние. Полученная таким образом «огибающая» (рис. 3.124, а) поступает в катушку телефона и вызывает колебания мембраны со звуковой частотой Q.

Если приемный контур имеет слишком «острую» настройку, то он будет реагировать лишь на частоты, лежащие в интервале соо ± Асо, где Aco<Q. Тогда, как было показано в § 51, из всего излучения (54.3) он воспримет только первую составляющую с постоянной амплитудой, и ток в нем окажется немодулирован- ным по амплитуде, т. е. сигнал не будет принят.

В случае передачи музыки и речи радиоволны модулируются весьма сложным набором частот и модулированная по амплитуде волна будет представлять собой не сумму воли трех частот, как в рассмотренном выше примере, но целую полосу частот в интервале

соо — Qo < со < соо +Qo, (54.5)

где Qo — наивысшая частота передаваемых звуковых сигналов.

Чтобы звуковые сигналы могли передаваться без искажений, колебательные контуры радиопередатчика и радиоприемника должны пропускать одновременно всю полосу частот (54.5), т. е. обладать не слишком «острой» настройкой.

Поэтому несущие частоты двух радиостанций не должны быть близкими — иначе полосы частот, на которых они работают, будут перекрываться, так что раздельный прием их окажется невозможным. В лучшем случае попытка отстроиться от одной из этих станций приведет к отбрасыванию модулирующих наиболее высоких частот, т. е. к искажению принимаемых сигналов.

При телевизионных передачах частота модулирования значительно больше, чем при радиопередачах. Воспроизведение движущихся изображений требует передачи ежесекундно 25 кадров. При этом каждый кадр для четкого воспроизведения должен быть разбит на сотни тысяч последовательно передаваемых элементов. Таким образом, число передаваемых сигналов (а значит, частота модуляции) должно составлять несколько миллионов колебаний в секунду, так что несущая частота должна по крайней мере иметь порядок десятков миллионов герц. Одна из принятых в СССР несущих частот телевещания равна 5-10’ гц, что отвечает длине волны в 6 метров.

К сожалению, возможность использования для телевидения лишь коротких воли очень ограничивает дальность приема. В то время как длинноволновое радиоизлучение, отражаясь от верхних ионизованных слоев атмосферы, способно огибать поверхность Земли, коротковолновое излучение, не отражаясь от этих слоев, распространяется по прямой. Поэтому дальность приема коротких волн ограничивается линией горизонта, и для увеличения радиуса телевещания необходимо поднимать антенны передающих и приемных станций на большую высоту.

Важным применением радио является радиолокация — определение положения самолетов, кораблей и т. п. с помощью радио-

волн. Способ определения расстояния до объектов основан на точном измерении времени прохождения радиосигнала от радиостанции к цели и обратно (отраженного сигнала). В радиолокации используется радиоизлучение с длиной волны от сантиметров и до метров, обладающее высокой направленностью (см. § 53). Длительность сигнала (импульса электромагнитных волн) составляет мил-

нескольких сот донескольких сот долионные доли секунды. Сигналы повторяются от тысяч раз в секунду (достаточно часто, но так, чтобы одновременно «в пути» в пределах радиуса обзора радиолокатора не оказались два сигнала). На экране электронно-лучевой трубки радиолокатора луч развертывается с постоянной скоростью, причем частота развертки равна числу сигналов, посылаемых в секунду станцией. В момент отправления очередного импульса подается и импульс напряжения на пластины конденсатора, управляющего вертикальным смещением луча. На экране осциллографа возникает отметка, фик-

нескольких сот до

нескольких сот до

сирующая момент отправления сигнала О (рис. 3.125). После этого антенна радиолокатора переключается на прием. Радиосигнал, достигая цели, рассеивается на ней и частично отражается обратно. Отраженный сигнал принимается, усиливается и дает вторую вертикальную отметку на экране осциллографа. Положение первой отметки, получаемой при отправлении сигнала, строго неподвижно. Расстояние между обеими отметками пропорционально времени прохождения сигнала от радиолокатора до цели:

С 1С 1(54.6)

С 1

С 1

и измерение этого времени по особой шкале на экране осциллографа позволяет определить расстояние до цели L

ПРИЛОЖЕНИЕ I

ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХВЕЛИЧИН В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ, ИХ РАЗМЕРНОСТИ,ПЕРЕВОДНЫЕ МНОЖИТЕЛИ

,В абсолютных системах единиц—Гаусса (СГС), электростатической (СГСЭ) и электромагнитной (СГСМ) исходными являются единицы: массы — грамм (г), длины—сантиметр (см) и времени—секунда (сек).

В Международной системе единиц СИ исходными являются единицы: массы—килограмм (кг), длины—-метр (м), времени—се к у нд а (сек) и'силы тока—ампер (а). Последняя единица рассматривается как независимая (определение см. стр. 208).

Для введения производных электрических единиц в системах СГС и СГСЭ исходят из взаимодействия зарядов, определяя из закона Кулона единицу заряда (см. стр. 12).

В системах СИ и СГСМ исходят из взаимодействия токов.

В системе СГСМ закон взаимодействия токов используется для определения единицы силы тока (стр. 208). В системе СИ единица гока введена как независимая и закон взаимодействия токов используется для определения магнитной постоянной р0 (стр. 209).

В большинстве разделов книги формулы записаны так, что их можно читать как в абсолютной гауссовой системе, так и в системе единиц СИ. Для этого нужно положить:

В системе СГС Ао=1; А'=-у, А = -^-, е0=1, р0=1.

В системе СИ > Л' = 1, к = ° 4л4л

10-911

во = т—п ^•■«~1—, n м~хсек ав~1=-т-к-—.м”гкг~хсек1аа, ° 4л-94л9-10’4л9-109

р0=4л-10-7 гк-м-1=4л-10“’ м~хсек а~хв — 4л-10“’ м-кг-сек""^”*.

В приводимой ниже таблице для краткости введены следующие обозначения для величин, не имеющих наименований:

СГС-единица зарядам СГС (q),

СГСМ-едииица напряженности электрического поля ^ СГСМ (Е), СГСЭ-единица индукции магнитного поля = СГСЭ (В) и т. д. Всюду принято приближение с=3-108мсек~1 = 3-1010смсек~1.

Физическая величина, обозначение

Физические величины, их размерности

си

сгс

Соотношение единиц СИ и СГС

сгсэ

сгсм

Электрический заряд q

кулон (к) [9] = а -сек

[9] =см‘1г г'1*сек~2

1 к = 3. 1О’СГС(9)

совпадает с СГС

1 СГСМ (9) = =10 кулон [9]==сл‘/а г'1'2

Напряженность электрического поля Е

J НЬЮТОН _ ^ вольт кулон " метр [5] = м кг сек'5а~х

— см '^г^*сек 1

1- = м

-П$СГС|Е|

то же

1СГСМ (Е) = -».да.СГС(Е> = см'12 г *2сек~2

Индукция электрического поля D

кулон

(метр)2 [О] = м~2сек а

JP]T = см '^ г'^сек 1

1 —= м2

= 4лЗ-105 СГС (О)

» »

1 СГСМ (D) = =З.Ю10СГС (D) [О] =см'^ г'^сек~2

Потенциал электрического поля ф, V

вольт (в) (П=_ = м2кгсек 2а-1

^1 = = см i' г'^сек-1

|-шСГС(1'>

1 СГСМ (V) = -3./„„сгс ОТ JVJ- = сма^ г ,а сек 2

Электрическая емкость С

фарада (ф) [С] = = м~2 кг-1 сек4 а2

сантиметр (см) [С] = см

1 ф = 9-10п см

1 СГСМ (С) = = 9-1020 см [С] =см-1 сек2

ПРИЛОЖЕНИЕ

Продолжение

Физическая величина, обозначение

Физические величины, ^х размерности

СИ

сгс

Соотношение единиц СИ и СГС

СГСЭ

СГСМ

Электрический ток 1

ампер (а)

U] = «

= сх8/’ г'/2 сек-8

1а = 3-109 СГС (7)

> »

1СГСМ(7) = = 3-1010СГС(7) = = 10 а

[7] =см ^ г'^сек-1

Электрическое сопротивление R

ом (ом) ^1 = = м8 кг сек 1 а 2

VRA = cm-1 сек

1 ом =

-9|„т СГС'«

» »

1СГСМ(£) =

= 9^CrCW =

= 10-» ом

[7?] —см-сек-1

Индукция магнитного поля В

тесла (тл) [В1 = кгсек~8 а-1

гаусс (гс)

= см ‘'2 г’^сек-1

'^1 тл = 104 гс

1 СГСЭ (В) = = 3-10,9гс= = 3-10’тл [5] = см~а^ г'^2

совпадает с СГС

Напряженность магнитного поля Н

1 ампер метр [Zf ] = л_3а

эрстед (э)

= см ^2 г'^сек-1

J — = 4л;10-3Э М

1 СГСЭ (77) = = 3‘1010з =

4лЗ-107 “^

= см 'l2 г^сек-8

то же

Магнитный поток Ф

вебер (вб) 8№=12 = лт кг сек 2 а 1

максвелл (мкс) , [Ф] = =см^2 г'^сек-1

|^вб = 108 мкс

1 СГСЭ(Ф) = =3 • 1010 мкс=300 вб [Ф] -=см11т г',г

» »

Индуктивность L

генри (гя) [7.] = = Xs кг сек 2 а 8

сантиметр (см) [L] =сх

1 гя = 10» см

1СГСЭ (£) = =9-1080 см=9-10“ [£] =см-1 сек-8

ПРИЛОЖЕНИЕ

соСиto

разность потенциалов между двумяОбозначения системэлектроизмерительных приборовразность потенциалов между двумяОбозначения системэлектроизмерительных приборовВспомогательные детали могут нахоВспомогательные детали могут нахо

разность потенциалов между двумяОбозначения системэлектроизмерительных приборов

разность потенциалов между двумяОбозначения системэлектроизмерительных приборов

Вспомогательные детали могут нахо

Вспомогательные детали могут нахо

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ

Для количественного измерения электрических (g, I, и, .,,) и магнитных (В, Ф, L, ...) величин применяются различные электроизмерительные приборы: гальванометры Г, амперметры А, вольтметры V и др,, а также комбинации этих приборов в различных измерительных схемах.

Измеряют электрические величины по различным их проявлениям и воз

действиям: а) механическим; например, пластинами может быть измерена по силе их взаимного притяжения; б) химическим; например, количество протекшего электричества может быть измерено по весу выделившегося на электродах вещества; в) тепловым— по нагреву проводника и т. д. Измерение одной величины можно часто заменить измерением другой, с ней связанной. Например, зная сопротивление участка цепи и измерив вольтметром падение напряжения, можно найти величину тока по закону Ома. Измерение может быть абсолютным (измерение q электрометром) или сравнительным (измерение R мостовой схемой). Как правило, всякое измерение в конечном счете сводят к измерению перемещения стрелки или луча света («зайчика») по шкале.

Измерительная аппаратура разделяется на меру (эталоны сопротивления, электродвижущей силы, емкости и т. д.) и измерительный прибор, сравнивающий измеряемую величину с единицей ее измерения. Сам измеритель заключен обычно в корпус, предохраняющий его от механических повреждений.

диться вне корпуса.

Приборы разделяются: а) по характеру замера—на приборы с непосредственным отсчетом и самозаписывающие; б) по условиям работы—на стационарные, переносные и транспортные; в) по точности—на классы 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2; цифра класса, наносимая на шкалу прибора, дает процент погрешности от номинального предела измерения; г) по принципу работы—

магнитоэлектрические, электромагнитные, тепловые, электродинамические и т. д. Символ, указывающий принцип действия прибора, также наносится на его шкалу (см. таблицу этих символов на стр. 353). На шкалу, кроме того, наносятся и другие характеристики прибора: род тока — постоянный (—) или переменный (с/э); установка прибора — вертикально ( ^ ), горизонтально (»->) или под углом (/ 60°); пробивное напряжение изоляции ( д/ 2 кв) и т. д.

Магнитоэлектрические приборы

В лабораториях наиболее употребительными являются магнитоэлектри

ческие приборы, основанные на действии постоянного магнита на катушку,

через которую идет измеряемый ток. Основным магнитоэлектрическим прибором является гальванометр—высокочувствительный прибор, служащий для измерения слабых токов и других электрических величин.

Катушка (рамка) К из тонкой проволоки может вращаться между полюсамиКатушка (рамка) К из тонкой проволоки может вращаться между полюсамиНа'рис. П. 1 изображена схема стрелочного гальванометра.

Катушка (рамка) К из тонкой проволоки может вращаться между полюсами

Катушка (рамка) К из тонкой проволоки может вращаться между полюсами

постоянного магнита. Для усиления магнитного поля внутри расположен железный сердечник Ср. При пропускании тока через катушку она стремится установиться по полю. Вращающий момент Мвр, действующий на катушку, прямо пропорционален току /, т. е. Л4вр = й1/, где коэффициент кх зависит от напряженности поля, созданного магнитом, числа витков катушки, размеров и взаимного расположения элементов прибора. При повороте катушки и связанной

р—.с нею стрелки на некоторый угол ф

рис’Lспиральная пружина Л растягивается

и создает противодействующий момент МуПр. Этот момент прямо пропорционален углу закручивания, т,- е. Л1уПр = 62ф, где коэффициент к4 зависит от размеров и материала пружины. Т1ри равновесии

т. е.т. е.(П. 1)(П. 1)44Вр— МуПр,kj=k2<p и / ~ <р ~ л,

т. е.

т. е.

(П. 1)

(П. 1)

где п — число делений, отмечаемое стрелкой на пропорциональной шкале Ш. Как видно из соотношения (П. 1), шкала магнитоэлектрического гальванометра равномерная.

Следовательно,

I = Сп, или n = SI.

Зависящий от параметров прибора коэффициент пропорциональности С называется -постоянной прибора. Обратная ему величина 8=1/С называется чувствительностью прибора. Обычно постоянная гальванометра имеет порядок величины С^Ю-7 а/дел.

Для увеличении чувствительности гальванометра облегчают его подвижную часть и заменяют спиральную пружину упругой закручивающейся нитью, на которой подвешивают маленькую катушку, так называемую рамку. Схема подобного зеркального гальванометра изображена на рис. П. 2. Для регистрации угла закручивания нити ф к ней при-

кренляют маленькое зеркальце 3. Луч света от источника И падает на зеркальце и, отражаясь, попадает на прозрачную шкалу, расположенную на некотором расстоянии от прибора. При повороте зеркальца световой «зайчик» перемещается иа соответствующее число делений по шкале. Деления обычно измеряются в мм при расстоянии от шкалы до зеркальца в 1 .и.

00Рис. П. 2.Рис. П. 2.

0

0

Рис. П. 2.

Рис. П. 2.

В соответствии с высокой чувствительностью постоянная зеркального гальванометра достигает С==10_" -^^ . Если столь малый ток /=10^“ а измерять электрохимически, то для выделения на электроде 1 мг серебра пришлось бы ожидать около 3000 лет.

Прикрепляя к рамочке дополнительные грузики (рис. П. 3) и увеличивая тем самым ее момент инерции J, можно превратить зеркальный гальванометр в так называемый баллистический г а ль- у/////////////,. ванометр и измерять с его помощью кратковременные шш*™, импульсы тока. Если ток I проходит через рамку в течение короткого""промежутка времени М, то прошедший заряд д = 1 М~ МврМ, т. е. пропорционален импульсу момента сил, действующих при этом на рамку. Из законов механики следует, что этот импульс равен приращению момента коли- м | чества движения рамки, т. е.n ' №

MBpA<=J(co—0), где со—угловая скорость вращения, приобретенная рамкой ф—I I—ф к концу этого промежутка. В результате толчка рамка приобретает кинетическую энергию вращения Ja^l2 и начинает закручивать нить. При этом совершается работа против сил упругости, и через некоторое время, обычно через 5—10 сек, I рамка останавливается, повернувшись на некоторый угол ф. Рис. П. 3. В этот момент вся кинетическая энергия, накопленная рамкой при толчке, перейдет в потенциальную энергию упругой деформации нити, т. е.

Jto^ __ (гф8

упр

где й =—коэффициент упругости нити. Отсюда <р — со, и из последовательных соотношений

<7 = 7 At ~ Мвр At ~ со ~ ф ~ пмакс следует, что прошедший заряд р прямо пропорционален максимальному отбросу «зайчика», т. е.

^"^б^макс*(П-2)

Величина Cg носит название баллистической постоянной гальванометра и обычно имеет порядок 10“’ К. .

MMjM

После остановки нить начнет раскручиваться, и рамка станет совершать колебания, которые вследствие трения будут затухающими. Для успокоения (демпфирования) колебаний рамку замыкают накоротко, и в ней возникают индукционные токи, резко тормозящие ее движение.

Рамка гальванометра наматывается из тонкой проволоки, и через нее нельзя пропускать большие токи. Поэтому гальванометр нельзя включать в обычную цепь постоянного тока во избежание пережога рамки.

Для измерения тока I в цепи применяют амперметры, представляющие собой соединение гальванометра с включенным параллельно ему малым сопротивлением, так называемым шунтом, как показано на рис. П.4. При разветвлении большая часть тока /ш течет через шунт и лишь небольшая доля 7Г—через гальванометр. Так как гш<^гг, то из соотношений

Г^Т " ^Ш^Ш " U г)

полученных на основании законов Кирхгофа, следует:

<7.(П.З)

Т 'г

Ток в гальванометре /г много меньше тока в цепи 7, но прямо пропорционален последнему. Пользуясь этой пропорциональностью, можно отградуировать шкалу гальванометра непосредственно на значения тока в цепи.

При измерениях амперметр включается в цепь последовательно. Во избежание пережога нельзя включать его накоротко с источниками тока. Для уменьшения потерь мощности в амперметре его сопротивление гд=» = еггш1(гг + гш) должно быть мало по сравнению с сопротивлением цепи Гц.

В многошкальных амперметрах имеется набор шунтов, которые могут переключаться в зависимости от величины измеряемых токов.

Включая последовательно с гальванометром очень большое добавочное сопротивление гд^> гг, можно уменьшить проходящий через прибор ток и использовать прибор как вольтметр. Вольтметр включается параллельно участку цепи, на котором измеряется падение напряжения U, как это показано на схеме рис. П.5. По закону Ома ток, идущий через вольтметр (а значит, и через гальванометр):

прямо пропорционален падению напряжения U на участке цепи. Пользуясь этой пропорциональностью, можно отградуировать шкалу гальванометра непосредственно на значения U.

Чтобы включение вольтметра не искажало существенно распределения потенциала в цепи, необходимо, чтобы сопротивление вольтметра во много раз превышало сопротивление участка цепи, гв^>гц. Тогда суммарное сопротивление при параллельном включении

практически ие меняется при включении вольтметра.

В многошкальных вольтметрах имеется набор сопротивлений, которые могут переключаться в зависимости от измеряемых напряжений.

Другие системы электроизмерительных приборов

Приборы магнитоэлектрической системы обладают высокой чувствительностью, но пригодны лишь для измерения постоянных токов. В связи с этим в измерительной технике применяется ряд других систем приборов, пригодных для измерения как постоянных, так и переменных токов. Остановимся на некоторых из них.

На рис. П.6 изображена схема прибора электромагнитной системы. Когда через катушку К проходит ток I, то в ней возникает маг"нитное поле, которое втягивает в катушку желез

ный сердечник С, подвешенный на пружине.

Чем больше ток, тем больше растяжение пружины и поворот связанной с нею стрелки. Конструктивно эти "приборы обычно оформляются так: сердечник делается фигурным и поворачивается вместе со стрелкой вокруг неподвижной оси, а пружина является спиральной, как в магнитоэлектрическом гальванометре.

По катушке прибора могут непосредственно пропускаться большие токи В зависимости от характера тока—постоянного или переменного— градуировка шкалы будет различной.

На рис. П.7 изображена схема теплового прибора. Ток /, идущий по проводнику, разогревает его, и проводник удлиняется. Через систему «рычагов» это перемещение передается одному концу нити Н, намотанной на ролик Р. При этом другой конец нити оттягивается пластинчатой пружиной, и катушка поворачивается, вращая вместе с собой стрелку. Так как выделяющееся тепло и разогрев нити по закону Джоуля—Ленца пропорциональны /’, то шкала теплового амперметра не является равномерной. Приборы этой системы служат для грубых измерений, так как обладают большой тепловой инерцией (проводник с током разогревается и охлаждается постепенно).

В приборах электродинамической системы используется взаимодействие двух катушек, по которым идет ток. На рис. П.8 изображен электродинамический ваттметр W, Первая большая катушка с малым сопротивлением включена в цепь последовательно. По этой катушке идет

такой же ток /, как в измеряемой цепи; он создает в катушке магнитное поле с индукцией В, пропорциональной току I. Внутри этой катушки на перпендикулярной к ней оси помещается вторая катушка с большим сопротивлением, которая включается, как вольтметр.

Ток в этой катушке /, пропорционален падению напряжения U. Магнитное поле первой катушки будет действовать на вторую катушку с крутящим моментом, пропорциональным магнитной индукции В и току во второй катушке Iv т. е. /Икр — В!^ так как В — I, а /, — {/, то Мкр ~ IU.

Поворачиваясь, вторая катушка растягивает спиральную пружину, и крутящий момент уравновешивается моментом упругих сил. Тогда угол поворота катушки и связанной с нею стрелки:

ф ^упр^^кр ~ ^^Л (П.5)

оказывается пропорциональной произведению IU, т. е. мощности, выделяемой током в цепи.

Существует ряд других, менее употребительных систем электроизмерительных приборов, на которых мы не останавливаемся. Измерения некоторых величин требуют составления специальных измерительных схем, содержащих, в частности, различные электронные лампы.

Реостаты, потенциометры, мосты

•М•МшшиишмшшиишмРис. П. 10,Рис. П. 10,Для изменения тока в цепи в нее включают последовательно переменное сопротивление —так называемый реостат. Реостат представляет собой голый металлический провод определенного сечения, намотанный на жесткий каркас. Параллельно этой катушке, как показано на рис. П.9, расположен металлический пруток, по которому передвигается

•М

•М

шшиишм

шшиишм

Рис. П. 10,

Рис. П. 10,

Рис. П. 9.

скользящий контакт (так называемый движок Д). В зависимости от положения движка ток проходит через часть основного провода, сопротивление которого пропорционально его длине.

Схема включения реостата в цепь показана на рис. П.10. На корпусе реостата указываются его полное сопротивление и максимальный допустимый ток.

Для подбора различных сопротивлений в широком интервале применяются так называемые магазины сопротивлений. На рис. П.11

изображен штепсельный магазин сопротивлений, состоящий из толстых медных пластин ничтожно малого сопротивления со сквозными прорезями. Между прорезями включены катушки с точно подобранными сопротивлениями. Вставляя в прорези гпециальные штепсели, можно закорачивать эти катушки и выключать их из цепи. Сопротивление такого магазина равно сумме сопротивлений незакороченных катушек, т. е. определяется тем, какие штепсели вынуты из своих гнезд.

В рычажных магазинах сопротивлений катушки соединяются последовательно в группы одинаковых сопротивлений (1 ом, 10 сии, 100 ом и т. д.), и от каждой катушки делается отдельный отвод. Передвигая рычаг на каждой декаде, как показано на рис. П.12, можно включить в цепь необходимое суммарное сопротивление.

Для деления напряжения используются все три зажима реостата, и последний включается по схеме потенциометра, изображенной на рис. ПЛЗ. Полное сопротивление потенциометра гп включается последовательно с источником напряжения. Чтобы потенциометр не нагревался, по нему должен идти слабый ток и его сопротивление должно быть много больше внутреннего сопротивления источника г. Если, в цепи у потребителя необходимо иметь не полное напряжение источника Е, а некоторую его долю 0, то цепь включают между одной из крайних точек и движком.

Чтобы включение потребителя не искажало распределения падения напряжения на потенциометре, сопротивление цепи должно быть большим:

(П 6)(П 6)Гц ^ гп ^> г.

(П 6)

(П 6)

Только при соблюдении этого условия напряжение у потребителя U будет прямо пропорционально длине участка потенциометра до движка.

R=30+2om=32qm

Рис. П. 12

Для измерения сопротивлений проводников применяют различные мостовые схемы. На рис П. 14 изображен простейший мостик

Уитстона с реохордом. Реохорд представляет собой калиброванную проволоку, сопротивление которой прямо пропорционально ее длине. Параллельно реохорду включается измеряемое сопротивление гх и эталонное г0. В одну из диагоналей моста включается источник тока Е, а в другую — гальванометр и движок. Перемещая движок вдоль реохорда, добиваются отсутствия тока в гальванометре (/г = 0). В этом случае потенциалы точек Д и В схемы одинаковы и падения напряжения на последовательных участках прямо пропорциональны их сопротивлениям:

^2^2'"о

Отсюда находится искомое сопротивление

В магазинных мостиках сопротивления г, и га остаются постоянными, а вместо сопротивления г0 включается магазин сопротивлений.

Схема магазинного мостика с указанием точек включения батареи, гальванометра и искомого сопротивления приведена на рис. П. 15.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автоколебательные системы 332

Ампер 12, 92, 208

Анионы 152

Антинейтрино 27

Бетатрон 259, 260

Вектор индукции на границе раздела диэлектриков 75

— намагничения 289 и д.

— поляризации 67

на границе раздела диэлектриков 75

— Умова—Пойнтинга 339

Вещества диамагнитные 286

— парамагнитные 268, 287 — ферромагнитные 295 и д.

, кривая намагничения 297

Вибратор Герца 329, 335

Волновод 334

Волны электромагнитные, модуляция 346, 347

— —, — амплитудная 347

— —, — частотная 347

, образование 335, 336

, скорость распространения 339

— —, структура 341

Вольт 54

Восприимчивость диэлектрическая 67

— магнитная 286

Выпрямление двухполупериодное 144, 145

— однополупериодное 144

Газотрон 145

Гальванометр 354

— баллистический 355

— зеркальный 354, 355

Гальванопластика 154

Гаусс 207

Генератор Ван-де-Граафа 64

— переменного тока 263

Генри 266

Германий 179, 180

Гистерезис 298

Градиент потенциала 56

Давление световое 315

Детектор 347

Диаграмма направленности 340

Диод 144, 147

— двойной 144

Диполи жесткие 65

— упругие 65

Диполь 18

— полуволновой 340

— точечный 22

Диссоциация электролитическая 149

Диэлектрик (изолятор) 29, 60

—, поляризация 30, 65

Диэлектрики, пробой 169 и д.

—, — тепловой 171

—, три группы 64—66

Домены 298

Дуга электрическая 167

— — холодная 168

Дырка 169

Единицы измерения 350—352

Емкость электрическая плоского конденсатора 81

проводников 76 и д.

Закон Ампера 202

— Био—Савара—Лапласа 193 и д.

— Видемана—Франца 130

— Джоуля—Ленца 111

дифференциальная форма 121

— Кулона 12, 13

для магнитных полюсов 303

— Ома 93 и д.

, дифференциальная форма 95, 151

— — для замкнутой цепи 98—101

Закон Ома для магнитной цепи 222

участка цепи 93—97

электролитов 149 и д.

, интегральная форма 94

— полного тока 215

— сохранения электрического заряда 22

— «трех вторых» 142

— Фарадея 153,-170

Заряд электрический 10 и д.

движущийся, магнитное поле

244 и д.

, поверхностная плотность 42

пробный 15

точечный 10 и д.

удельный 234, 235

элементарный 24

Заряды, движение в магнитном поле 226 и д.

— поляризационные, поверхностная плотность 69

, связанные 68

— электрические индуктированные 62

точечные, энергия взаимодействия 51

Зоны запрещенные 126

— разрешенные 126

Излучатель массовый 330

Излучение тормозное 341

— черепковское 344

Изотопы 238

Индуктивность 271

Индуктор 328

Индукция взаимная 265 и д.

магнитная, вектор 190 , поток вектора 217 и д.

, электродвижущая сила 251 ид.

, электростатическая, ■ вектор 33, 34

, поток вектора 37, 309

Ионизация газов 155

— ударная 159

Искра 164, 165

Кабель коаксиальный 335

Катионы 152

Катоды оксидные 143

Кенотрон 145

Клистрон 333, 334

Колебания электрические в контуре 318 н д.

Конденсатор 45, 81

— плоский 45

— —, емкость электрическая 81 , изменение потенциала 58, 59

Конденсатор плоский, энергия 85

Конденсаторы, соединение параллельное 82

—, — последовательное 83

Константа Фарадея 154

Контур колебательный 317 и д,, 328 и д.

, апериодическое колебание 325

, затухающие колебании 324

— —, изменение заряда 321

, энергия 322

— с током, магнитный момент 191

Корона 166

Космические лучи 231

Коэрцитивная сила 298

Коэффициент взаимной индукции 265

— Пельтье 136

— потенциальный 77

— рационализации 13

— Самоиндукции 271

— трансформации 271

Кулон 12

«Лавина» электронов 165

Лампа накаливания 113

Линза магнитная 242

— электростатическая 243

Линии силовые 17

Лоренцова сила 227, 261

Лучи рентгеновы 342

Магазины сопротивлений 359

Магнетики 289

Магнетрон 334

Магнит постоянный 298

Магнитная цепь 220, 221

Магнитный момент спиновый 285

Магнитодвижущая сила 222

Магнитострикция 300

Магниты, сопоставление с диполями

188

Максвелл 220

Масс-спектрограф 238

Металлы, двойной электрический слой 132

, потенциал контактный 133

, работа выхода электрона 132

—, разность потенциалов контактная 133

, электронная теория 114 и д.

Микропроектор электронный 148

Микроскоп электронный 242, 243

—, разрешающая способность 242

Молизация газов 156

Момент диполя электрический 20

Мостик Уитстона 107, 108, 360

Мотор электрический 265

Мощность тока ПО

Намагничение спонтанное 299

Напряжение 93

— пробивное 82, 173

Напряженность магнитного поля 192 и д.

— электрического поля, вектор 16, 17

, скачкообразное изменение 33

, связь с потенциалом 55—57

Нейтрино 28

Нейтрон 27

Носители электрического тока 116

Оболочка гидратная 150

Обратная связь 333

Ом 94

Опыт Иоффе 196, 197

и Капицы 300

— Мандельштама и Папалекси 115

— Милликена 24, 25

— Рикке 114

— Столетова 161

— Стюарта и Толмана 117

— Эйнштейна и де Гааза 299

— Энхенвальда 195, 196

Осциллограф электронный 240

Падение потенциала 93

Пироэлектричество 72

Плазма 166

Плотность тока 93

Поверхности равного потенциала 54,

55

Подвижность ионов 151

Позитрон 27

Поле магнитное 187, 188

, действие на ток 201 и д.

линейного тока 198

, лиини индукции 190

переменное 310

, перемещение проводника с током 223 и д.

, связь с электрическим полем 188 и д.

— электрическое 10, 15

однородное 36

переменное 310

, связь с магнитным полем 257, 258, 310

— электромагнитное 248

излучения, поперечность 313

, масса 315

Поле электромагнитное, скорость распространения 311 ид.

,в веществе 314

,пустоте 314

, структура 338

— электростатическое плоского конденсатора 45—47

, потенциал 49 и д.

равномерно заряженной плоскости 44, 45

сферы 42, 43

Полупроводник как выпрямитель 184

Полупроводники 60, 165 и д.

— дырочные 181

—, зона проводимости 177

—, контакт 182

— примесные 179, 180

— собственные 179

—, сопротивление 173, 176

—, термоэлектричество 185, 186

, ток дырочный 177

, — электронный 177

электронные 181

.электропроводность 173

Постоянная магнитная 192, 209

— Планка 283

электрическая 13

электроизмерительного прибора 354

Потенциал Земли 79, 80

электрического поля 49, 53

Потенциометр 359

Поток магнитный 217 и д.

через замкнутую поверхность

Правило Кирхгофа второе 104

для магнитных цепей 223

первое 103

левой руки 202

— Ленца 250, 251

Примеси акцепторные 180, 181

— донорные 180, 181

Принцип Паули 125

суперпозиции (наложения) 157

Пробой диэлектрика 82

Проводимость 93

зонная 127

удельная 96

Проводники 29, 60, 61

Проницаемость диэлектрическая среды 11, 13

— абсолютная 13

магнитная среды 193

— — абсолютная 193

Пьезоэлектричество 70, 71

Радиоволны 345 и д.

Радиолокация 349

Радиоприемник Попова 345

Разряд дуговой 166, 167

— искровой 164, 165

— коронный 166

— несамостоятельный 159

— самостоятельный 159, 160

— тлеющий 163, 164

Резонанс парамагнитный 288

— электрический 326, 327

Рекомбинация ионов 150

Реостаты 357, 358

Самоиндукция 265, 271 и д.

Сверхпроводники 97

Свеча Яблочкова 168

Сегнетоэлектрики 69, 70

Силы пондеромоторные 47

— сторонние 93

Система единиц абсолютная гауссова 205—207

электромагнитная 207, 208

электростатическая 12, 207

Гаусса 12

международная (СИ) 12,208—211

МКСА 12

, рационализация13

Скин-эффект 278

Соленоид, индуктивность 271

—, магнитное поле 215—217

Сопротивление добавочное 356

— магнитное 227

— электрическое 93

, зависимость от температуры 97

удельное 94, 95

Спин электрона 124, 205

Страты 164

Стриммер 165

Телевидение 348

Тензометр 98, 108

Теорема Гаусса 39, 41

— Ирншоу 90

Теория Лоренца и Друде 117, 121

— металлов Френкеля и Зоммер- фельда 124

— относительности 248

— Семенова и Фока 171

Термобатарея 140

Термометр сопротивления 97

Термопара (термоэлемент) 139, 140

Термоэлектродвижущая сила 135, 139

Термоэлементы полупроводниковые 184

Ток 91 н д.

— в вакууме 91

Ток конвекционный 91, 195, 196

— круговой, магнитное поле 199

— насыщения 142, 158

— переменный 92

— постоянный 92

— проводимости 91, 308

— пульсирующий 144, 145

— смещения 308 и д.

—, тепловое действие ПО—113

Токи вихревые 276, 277

, практическое использование 277

молекулярные 188

Фуко см. Токи вихревые

Тороид, магнитное поле 217

Транзистор 184, 185

—, коэффициент усиления по напряжению 185

Трансформатор 270, 271

— повышающий 271

— понижающий 271

— Тесла 331

Трнод 145, 146

Трубка электронно-лучевая 235—238

Умножитель электронный 147

Усилители полупроводниковые 185

Фарада 78

Формула Томсона 327, 328

— Френкеля 162

Фотосопротивление 176

Фотоэффект 160, 162

Холла эффект 182, 233

Циклотрон 231, 232

Циркуляция напряженности магнитного поля 211—215

Частицы заряженные, движение в магнитном поле Земли 231

, ускорение 231, 232

Шунг 356

Эквивалент электрохимический 153, 154

Экстраток размыкания 276

Электродвижущая сила 100

Электроизмерительные приборы тепловые 358

, чувствительность 354

электродинамические 357

Электроизмерительные приборы электромагнитные 357

Электролиз 152, 153

Электролит 149

Электрометр абсолютный 47

Электрон 23, 237, 282

—, движущийся по круговой орбите 282

—,, магнитный момент 283

—,, механический момент

283

—, заряд 237

—,'масса 238

— «светящийся» 342

—, удельный заряд 213

Электронная пушка (или прожектор) 236

Электронный газ 117

— микроскоп 243

— осциллограф 240

Электросварка 167, 168

Электрострикция 71

Эмиссия термоэлектронная 141

— фотоэлектронная 146

— электронная вторичная 146

Энергия заряженного проводника 85

— магнитного поля, объемная плотность 280

— электрического поля, объемная плотность 85

, связь с массой 86

Эрстед 207

Эффект Зеебека 137

— пьезоэлектрический 70

обратный 71

— широтный 231

— Холла 182, 233

Явление Пельтье 135, 136, 138

Гирш Абрамович Зисмани Оскар Мовшевич Тодес

Курс общей физики, т. II.М., 1972 г., 368 стр. с илл.

Редактор Е. Б. КузнецоваТехн, редактор К. Ф. БрудноКорректор А. С. Бакулова

Печать с матриц. Подписано к печати 13/IV

1972 г. Бумага 60х90/1в. Физ. печ. л 23

Условн. печ. л. 23 Уч.-нэд л. 21,54.

Тираж 200 000 зкз. Цена книги 70 коп

Заказ № 2892

Издательство «Наука»Главная редакцияфизико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Трудового Красного ЗиамеииПервая Образцовая типографияимени А, А. ЖдановаГлавполиграфпрома Комитета по печатипри Совете Министров СССР.

Москва, М-54, Валовая, 28

9, = ±л,е, (3.9)

где nt—всегда целое число.

Опыты Милликена многократно повторялись, видоизменялись и уточнялись. В результате использования несколько неточных данных о вязкости воздуха и вследствие других мелких погрешностей значение е, полученное Милликеном, оказалось заниженным примерно на О,6*/о. Это было установлено окончательно лишь в 30-е годы и повлекло за собой необходимость пересмотра численных значений многих других важнейших физических постоянных. Современное уточненное значение величины элементарного заряда равно

е=(4,802 ± 0,002). Ю~10СГС ед. заряда=

= (1,601 ± 0,001)-Ю"1^.(ЗЛО)

Определение числа Авогадро Ne, произведенное Перреном в 1916 г., дало возможность вычислить величину элементарного заряда е другим путем, используя установленные Фарадеем законы

*) В общем случае нелинейных проводников и неоднородных полей надо брать скалярное произведение (jgdl), в которое войдет еще косинус угла между J и dl.

L— в см, а /—в СГС ед. тока = — а.

С

Выражение (45.5) очень напоминает выражение для кинетической энергии движущегося тела ^-. Роль скорости о в (45.5) играет ток /, характеризующий интенсивность движения электрических зарядов, а роль массы играет индуктивность контура L. Как уже указывалось выше, L характеризует электромагнитную инерцию контура, так~'же'"к'ак'масса т характеризует механическую инер

цию тела.

Возникает вопрос о том, где локализована энергия IF. Эта энергия остается постоянной, если не меняется ток в контуре, однако ее нельзя непосредственно сопоставить с кинетической" энергией движения электронов в контуре: контур с другой индуктивностью при том же токе будет обладать другой энергией. Единственная возможность—это приписать энергию IF магнитному полю, связанному С TOKOMJ

Энергия dW элемента объема поля dV равна

dW=W6^dV,

где IF0(B)— плотность энергии магнитного поля, т. е. энергия единицы объема магнитного поля В. Для вычисления последней рассмотрим простейший случай, когда поле контура однородно.

Г. А. ЗИСМАН и О. М. ТОДЕС

КУРС

ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

ТОМ II

ЭЛЕКТРИЧЕСТВОиМАГНЕТИЗМ

ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ

Допущено Министерствомвысшего и среднего специального образования СССРв Качестве учебного пособиядля студентов высших технических учебных заведений

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫМОСКВА 1972

530.1 364

УДК 530 (01

г-з-i

М -72

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ко второму изданию 6

Предисловие к первому изданию 7