Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
В данном учебном пособии, предназначенном для студентов агрономических, лесотехнических, зоотехнических, ветеринарных и экономических факультетов сельскохозяйственных институтов, изло- женытеоретические основы общей физики, предусмотренные программой. Оно может быть использовано также студентами других институтов, где физика изучается по сокращенной программе в сравнении с программой втузов.
На упомянутых факультетах курс физики проходят за короткий срок (один учебный год) при небольшом количестве учебных часов (около 80 лекционных и 80 лабораторно-практических часов). Математическая подготовка студентов определяется очень кратким курсом высшей математики, заканчивающимся в первом семестре.
В связи с этим предлагаемый «Курс физики» написан в небольшом объеме* (однотомник) при минимальном использовании аппарата высшей математики, не выходящего за пределы табличных формул простейших производных и интегралов. Выводы многих физических закономерностей даются в упрощенном виде; в ряде случаев эти выводы носят характер качественно-теоретических обоснований.
Кроме того, пришлось в основном отказаться от исторических обзоров, описания физической аппаратуры и методов измерения, а также от систематического изложения материала, входящего в курс физики средней школы. Повторение отдельных вопросов школьного курса имеет место лишь в той мере, в какой это необходимо для связности изложения.
Чтобы облегчить чтение книги ст удент ам-заочникам, во «Введении» (см. § 3) даются необходимые сведения о некоторых математических понятиях и символах, применяемых в пособии, но не встречавшихся в школьных курсах математики и физики. С этой же целью книга снабжена значительным количеством рисунков и подробным предметным указателем.
Многие примеры, приводимые для иллюстрации рассматриваемых физических процессов и явлений, взяты из областей, связанных с агробиологическими науками и сельскохозяйственным производством.
Это относится и к примерам решения задач, которые введены в окончания завершенных разделов книги.
В книге применяется только одна система единиц измерения физических величин — Международная система единиц (СИ)——с ее кратными и дольными единицами; наряду с ними используется лишь небольшое количество наиболее употребительных внесистемных единиц (минута, час, литр, градус Цельсия, электронвольт.) Система СГС исключена из основного текста и представлена только в приложениях I и II. Все формулы части III («Электричество и магнетизм») даны в рационализованном виде; нерационализованный вид этих формул представлен только в приложении III.
Материал книги согласован с действующей программой по физике для сельскохозяйственных вузов; избыточный (сверхпрограммный) материал выделен петитом. Настоящее издание пособия отличается от третьего его издания сравнительно небольшими по объему дополнениями и уточнениями.
Р, Грабовский
Введение
Предмет физики. Связь физики с другими наукамии производством
Мир, окружающий нас, материален: он состоит из вечно существующей и непрерывно движущейся материи. Материей в широком смысле слова называется все, что реально существует в природе (Вселенной) и может быть обнаружено человеком посредством органов чувств или с помощью специальных приборов. «Материя есть философская категория для обозначения объективной реальности, которая дана человеку в ощущениях его, которая копируется, фотографируется, отображается нашими ощущениями, существуя независимо от них》. Конкретные виды материи многообразны. К ним относятся элементарные частиц (электроны, протоны, нейтроны и др.), совокупности небольшого числа этих частиц (атомы, молекулы, ионы), физические тела (совокупности множества элементарных частиц) и физичес- кие поля (гравитационные, электромагнитные и др.), посредством ко* торых вз аимодейст в у ют различные материальные частицы.
Неотъемлемым свойством материи является движение, под которым следует понимать все изменения и превращения материи, все процессы, протекающие в природе. «Движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова, т. е. понимаемое как форма бытия материи, как внутренне присущий материи атрибут, обнимает собою все происходящие во Вселенной изменения и процессы, начиная от простого перемещения и кончая мышлением».
Разнообразные формы движения материи исследуются различными науками, в том числе и физикой^*. Физика изучает наиболее простую и вместе с тем наиболее общую форму движения материи: механические, атомно-молекулярные, гравитационные, электромагнитные, внутриатомные и внутриядерные процессы. Эти разновидности фи・
заческой формы движения являются наиболее общими потому, что они содержатся во всех более сложных формах движения материи, изучаемых другими науками. Например, процессы жизнедеятельности организмов, изучаемые биологией, всегда сопровождаются механическими, электрическими, внутриатомными и другими физическими процессами (но, конечно, не сводятся к этим процессам). Таким образом, можно сказать, что предмет исследования физики составляют общие закономерности явлений природы.
Этим, однако, не исчерпывается связь физики с другими науками. Физика позволяет создавать приборы и вырабатывать методы исследования, необходимые для успешного развития всех ёстественных и прикладных наук. Трудно переоценить значение, которое имели, например, микроскоп в развитии биологии, телескоп — в астрономии, спектральный анализ ——в химии, рентгеновский анализ ——в медицине и т. п. Все естественные и прикладные науки широко и плодотворно применяют теперь метод меченых атомов, электронную аппаратуру и другие физические приборы и методы исследования. Почти все эти науки имеют сейчас специальные физические разделы: астрофизика —в астрономии, физическая химия — в химии, биофизика — в биологии, агрофизика ——6 агрономии, электрофизика —— в электротехнике; металлофизика ——в металловедении и т. д. Можно поэтому утверждать, что физика является фундаментом, на котором строятся все естественные и прикладные науки.
Следует подчеркнуть, что связь физики с другими науками взаимна'. развиваясь с помощью физики, эти науки обогащают физику своими достижениями и ставят перед нею новые задачи, разрешая которые физика развивается и совершенствуется сама.
По предмету и методу своих исследований физика тесно связана с философией и способствует формированию материалистического мировоззрения; методом физических исследований является материалистическая диалектика. Этот метод исходит из признания материи единственной основой мира, рассматривая сознание как свойство высокоорганизованной материи — человеческого мозга — отражать объективный мир. Метод материалистической диалектики рассматривает все явления окружающего нас мира (в том числе и физические явления) в их взаимосвязи и взаимодействии, в их развитии и изменении путем перехода количества в качество, обусловленном борьбой внутренних противоречий (противоположностей), заложенных в этих явлениях.
Всякое физическое исследование начинается с наблюдения, т. е. с изучения физических явлений в естественной, природной, обстановке. Затем на основании размышлений и логических обобщений высказывается рабочая гипотеза ——научное предположение, объясняющее эти явления. Гипотеза проверяется экспериментом, т. е. изучением явлений путем их воспроизведения в искусственных, лабораторных условиях. Гипотеза, подтвержденная экспериментом, становится научной теорией, которая в дальнейшем подвергается неоднократной проверке практикой, вносящей в теорию необходимые дополнения и уточнения.
Сущность описанного метода исследований может быть выражена кратко следующими словами В. И. Ленина: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и。加 него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности».
Физика оказывает весьма большое влияние на развитие производства как через соответствующие естественные науки, так и непосредственно. Достаточно напомнить, что физика дала производству электроэнергию, все виды транспорта, радиосвязь, телевидение, ядерную энергетику и т. д.
Учитывая назначение данного курса, уместно несколько подробнее отметить роль физики в сельскохозяйственном производстве. Еще в 1788 г. один из основателей отечественной агрономии И. М. Комов писал в книге «О земледелии»: «Земледелие же и с высокими науками тесный союз имеет, каковы суть история естественная, наука лечебная, химия, механика и почти вся физика и само оно не что есть иное, как часть физики опытной, только всех полезнейшая». В течение многих лет большим энтузиастом в деле внедрения физики в сельское хозяйство был один из крупнейших советских физиков — акад. А. Ф. Иоффе.
Не останавливаясь на таких общеизвестных вопросах, как механизация и электрификация сельскохозяйственного производства и внедрение во все его отрасли современной контрольно-измерительной аппаратуры, укажем на некоторые специфические направления творческого содружества физики с сельским хозяйством.
Процессы жизнедеятельности сельскохозяйственных растений в значительной мере определяются физическими условиями среды, в которой развивается растение: световым, тепловым, водным и воздушным режимами. Задача физики состоит в изучении этих условий и установлении наиболее благоприятных режимов для роста сельскохозяйственных культур. Не менее важным является решение аналогичной задачи применительно к сельскохозяйственным животным.
Для повышения урожайности сельскохозяйственных культур и продуктивности животноводства большое значение имеет изучение проблемы фотосинтеза и исследование методом меченых атомов процессов питания растений и животных.
Для изменения наследственности сельскохозяйственных животных и растений и стимулирования их роста весьма перспективными являются исследования по воздействию на живые организмы таких физических факторов, как ультразвуковые колебания, различного рода радиоактивные излучения, электромагнитные волны и т. п.
Актуальной агрофизической проблемой является разработка физических приемов улучшения структуры почвы (закрепление песков
и т. п.) и прогрессивных методов обработки земли (скоростная вспашка, применение виброплугов и т. д.).
При изложении настоящего курса роль физики в сельскохозяйственном производстве будет по мере возможности подчеркиваться. Однако уже из приведенного, далеко не полного перечня агрофизических проблем и задач очевидно, что современный агроном или зоотехник должен хорошо знать основы физики и уметь творчески применять физические закономерности 8 своей практической деятельности.
О единицах измерения и размерностифизических величин
Большинство физических законов представляется в виде формул, связывающих численные значения различных физических величин. Для получения этих значений необходимо измерять физические величины. Измерение физической величины сводится к сравнению ее с однородной физической величиной, принятой за единицу. Для каждой физической величины единицу измерения можно выбирать совершенно произвольно, независимо от других величин. Однако на практике в целях удобства поступают иначе. Произвольно выбирают единицы измерения только для нескольких (семи) физических величин. Эти величины и их единицы измерения называют основными. Единицы измерения всех остальных физических величин устанавливают на основании законов (формул), связывающих эти величины с основными. Такие величины и их единицы измерения называют производными.
Совокупность всех основных и производных единиц измерения физических величин называется системой единиц.
В СССР утверждена Международная система единиц — СИ (система интернациональная). Основными физическими величинами СИ является длина, масса, время, термодинамическая температура Кельвина, сила электрического тока, сила света и количество вещества. За основные единицы приняты соответственно следующие семь: метр (м), килограмм (кг), секунда (с), кельвин (К), ампер (А), кандела (кд) и моль (моль).
Производные единицы устанавливаются указанным ранее способом. Например, на основании известной формулы равномерного прямолинейного движения
где s — путь, / — время, единица скорости оказывается равной 1м/с.
Ранее наряду с СИ применялась физическая система (СГС), основными единицами которой являются сантиметр (см), грамм (г) и секунда (с).
Более подробно единицы измерения будут рассматриваться на протяжении всего курса при ознакомлении с соответствующими физи-
ческими величинами. Кроме того, в приложении II дана сводная таблица единиц измерения физических величин, приведены точные определения основных единиц Международной системы и даны необходимые 木 ним разъяснения.
Единицы измерения любой производной физической величины можно выразить через основные единицы (пользуясь формулами, связывающими производную величину с основными). Иначе говоря, любую физическую величину можно выразить в основных единицах измерения. Выражение физической величины в основных единицах измерения называется размерностью физической величины. Поясним это на примере работы Л.
Единицей измерения работы является джоуль. Для определения размерности работы выразим работу через основные физические величины — путь s, массу т и время /:
л г V S2
= Fs = mas = т — s = т —,
где 尸一сила, а — ускорение. Подставив теперь в правую часть полученного равенства вместо основных физических величин их единицы измерения в СИ, получим размерность работы в этой системе: кг • м2/с2. Результат определения размерности физической величины принято записывать условным равенством, в котором эта величина заключается в квадратные скобки. Применительно к нашему примеру это равенство записывается так:
[Л] = кг • м2 • с~2.
Размерности обеих частей физических равенств должны быть одинаковыми, Это положение позволяет проверять правильность любых физических формул, в частности формул, получаемых при решении задач. ^Проверим, например, формулу пути s равномерно ускоренного движения:
S = %£ Ч—~ , где v0 — начальная скорость, а ——ускорение;
s] = м; [vot]=丄• с = м;с2 = м.
с
Кроме того, размерность помогает глубже уяснять физический смысл формул. Рассмотрим в этом плане, например, закон Бойля—— Мариотта:
pV = const,
где р ——давление, V ——объем данной массы газа при постоянной температуре. Определим размернсють левой части этого уравнения:
IpV] = — • м3 = Н • м = Дж.
J м2
Это есть размерность энергии (или работы). Следовательно, более глубокий физический смысл закона Бойля—Мариотта состоит в том, что при изотермическом процессе энергия (внутренняя} газа остается неизменной.
Таким образом, размерность играет немаловажную роль при анализе физических закономерностей.
§ 3. О некоторых математических понятияхи символах
С самого начала и на протяжении всего курса мы будем широко пользоваться некоторыми математическими символами и понятиями, не встречавшимися (или редко применявшимися) в школьном курсе физики. Дадим необходимые в этой связи пояснения.
О знаках малости, неравенства и п р и- ближенного равенства
Для обозначения малых величин (или малых изменений величин) принято ставить перед этими величинами знак Д (буква гречес* кого алфавита《дельта》)*. Например, A/и ——малая масса, Д/ —малый промежуток времени и т. д.
Помимо общеизвестных знаков неравенства > и < употребляются знаки у= (не равно),》(гораздо больше) и《(гораздо меньше).
Для обозначения приближенного равенства применяется знак ^. Например, радиус Земли R 6400 км.
О натуральных логарифмах
Наряду с десятичными логарифмами (log) применяются натуральные логарифмы (In), основанием которых служит иррациональное число е ^ 2,71828. Переход от десятичного логарифма к натуральному совершается по формуле ln^ ^ 2,31ogN.
О б абсолютном значении и порядке величины
Абсолютным значением величины называется ее значение, взятое с положительным знаком; условно обозначается посредством заключения величины в прямые скобки. Если, например, ускорение а = = ——4 см/с2, то абсолютное значение ускорения |а| = 4 см/с2.
Порядком величины называется ближайшее к ее значению число, которое может быть выражено в виде 10九.Например, ускорение силы тяжести g = 981 см/с2 имеет порядок 103 см/с2, длина световой волны 入=0,000045 см имеет порядок 10~5 см и т. п.
О кратных и дольных единицах измерения
Наряду с основными ( и производными) единицами измерения физических величин применяются кратные и дольные единицы, образующиеся путем умножения первых на 10〃 . При этом к названиям исходных единиц добавляются следующие приставки:
Кратные единицы
Дольные единицы
наименование приставки
множитель
обозначение
наименование приставки
множитель
обозначение
Тера
Ю12
Деци
10-1
Д
Гига
109
Санти
10-2
Мега
106
Милли
10-3
м
Кило
103
Микро
10-6
мк
Гекто
102
Нано
10-9
н
Дека
101
Пико
10-12
п
миллиметр=106 ом.миллиметр=106 ом.Примеры образования кратных и дольных единиц: 1 — 10~3 метра, 1 пикофарада = 10"12 фарады, 1 мегаом
миллиметр=106 ом.
миллиметр=106 ом.
О символической записи суммы Сумму большого числа однородных величин
@1 + 的 + "з + * * * 十 ％т + ап
принято записывать сокращенно с помощью знака S (буква греческого алфавита «сигма») следующим образом:
1=пп
Е %, или £%・
£=11
Стоящие при знаке суммы числа 1 и п (пределы суммирования) показывают, что надо складывать все величины а» подряд, начиная с а】 и кончая ап.
О способах усреднения величин
Существует ряд способов вычисления среднего значения величины по нескольким (п) отдельным ее значениям хь %2, х3, ..., хп. Мы будем пользоваться следующими тремя из них:
а) средним арифметическим значением % величины называется сумма отдельных значений величины, деленная на их число:
%=/十%2+%3+… +%〃%=/十%2+%3+… +%〃пп
%=/十%2+%3+… +%〃
%=/十%2+%3+… +%〃
п
п
в) средним квадратичным значением % величины называется квадратный корень из суммы квадратов отдельных значений величины, деленной на их число:
x,= y3±3±3±Z±±=/；，右•
Результаты усреднения, полученные этими способами, обычно мало отличаются друг от друга (но все же %*>%〉％ ).
Линейные операции над векторами
Все физические величины подразделяются на две группы: на скалярные величины (скаляры} и векторные величины (век- торь>.
_ Скалярная величина полностью определяется численным .Р значением. Скалярами являются, например, время, площадь, масса, работа. Действия над скалярами производятся по правилам алгебры и диффер ен ци а л ьн ого и интегрального V исчислений.
Векторная величина полностью определяется численным Рис. 1 значением и направлением. Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила. В отличие от скаляров векторы обозначаются полужирными буквами или буквами со стрелкой сверху*. Например, v ——вектор скорости, F ——вектор силы и т. п. Графически вектор изображают отрезком со стрелкой на конце. Длина отрезка соответствует (в произвольном масштабе) численному значению вектора; стрелка указывает направление вектора. На рис. 1 изображен вектор силы тяжести Р, численное значение которого равно 4 Н (ньютон^.
Векторы, имеющие одинаковые численные значения и направления, равны между собой. Отсюда следует, что при параллельном переносе вектор не изменяется.
Два численно равных, но противоположно направленных вектора А и В называются противоположными векторами. Для них имеет место равенство
А = — В или В = — А.
Действия над векторами производятся по правилам векторного исчисления. Познакомимся с некоторыми из них.
Сложение векторов. Сложение векторов производится по правилу параллелограмма. Чтобы сложить два вектора А и В (рис. 2, а), необходимо путем параллельного переноса совместить их начала и построить на векторах параллелограмм (рис. 2, б). Вектор С , являющийся диагональю п ар аллелогр амма, представляет собой искомую сумму:
А + В = С・
вектора с концом первого, вектора с концом второго, 2, 8). Этот способ, называв-вектора с концом первого, вектора с концом второго, 2, 8). Этот способ, называв-Рис. 2Рис. 2
вектора с концом первого, вектора с концом второго, 2, 8). Этот способ, называв-
вектора с концом первого, вектора с концом второго, 2, 8). Этот способ, называв-
Рис. 2
Рис. 2
Из рис. 2, 6 следует, что данные векторы можно сложить и дру
гим способом, совмещая начало второго Вектор С, соединяющий начало первого также представляет искомую сумму (рис.
мый правилом треугольника, особенно удобен при сложении нескольких векторов, например четырех: А, В, С и D (рис. 3, а). В этом случае начало второго вектора совмещают с концом первого, начало третьего — с концом второго и т. д. (рис. 3,6). Вектор Е, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой данных векторов:
A+B + C + D = E.
Рис. 3Рис. 3
Рис. 3
Рис. 3
Он не зависит от последовательности, в которой производилось сложение векторов, в чем легко убедиться путем соответствующих построений.
Вычитание векторов. Вычитание вектора В из вектора А можно заменить сложением А с вектором (— В), противоположным В (рис. 4, а):
Рис. 4
Тогда, применяя правило треугольника, получим вектор разности С (рис. 4, б).
Умножение и деление вектора на скаляр. При умножении вектора А на скаляр п получается вектор, совпадающий по направлению с А и равный по величине nA. Скаляр 几 может иметь любые значения (целые и дробные, положительные и отрицательные). Поэтому данное правило умножения является вместе с тем и правилом деления вектора на скаляр. Примером умножения вектора на скаляр может служить определение перемещения s по скорости v и времени / (при равномерном прямолинейном движении):
V/ = s.
Примером деления вектора на скаляр является определение ускорения а по силе F, действующей на тело, и массе т тела:
F
О градиенте физической величины
弘 V 例 V 伤 V 外 V 以Если некоторая физи-
厂J уческая величина имеет в
[••]Iкаждой точке пространст-
IIjI]ва определенное (иное, чем
外；一・'”▼苏 ~Tj—т1ax в других точках) значе-
II z ；1ние, то говорят, что эта
I IIвеличина распределена 8
Рис §пространстве. Простран ст-
исвенно распределенным яв
ляется, например, атмосферное давление: в различных точках атмосферы его значения различны.
Если пространственно распределенная физическая величина <р возрастает в некотором направлении ОХ, то пространственную быстроту'» ее возрастания удобно характеризовать отношением изменения величины Д<р к расстоянию △%, на котором это изменение происходит (рис. 5). Ось ОХ располагают в направлении максимального возрос- тания величины <р; . расстояние Ах следует брать возможно меньшим. Отношение
△屮=屮2 -
△%& —
называется градиентом* физической величины ср и обозначается так:
grad 屮=—.
Ах
Таким образом, градиентом физической величины называется ее изменение, приходящееся на единицу расстояния 6 направлении на- ибольшего возрастания. Следовательно, градиент есть вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания физической величины.
Понятие градиента применимо к любой физической величине (ско* рости, плотности, температуре, давлению и т. д.), если только она имеет пространственное распределение. Размерность градиента равна размерности физической величины, деленной на размерность длины. Например, размерность градиента скорости
[grad v] = —= с"1,
с • м
размерность градиента температуры
[grad Т] = К • м"1.
Известно, что средний градиент температуры земной коры (геотермический градиент) направлен к центру Земли и составляет около
0,03 К/м. Это означает, что температура земной коры возрастает в среднем на 3° С на каждые 100 м глубины.
О кривизне и радиусе кривизны кривой На различных участках кривой линии ее кривизна может быть различной. Для оценки кривизны линий введены понятия кривизны и радиуса кривизны.
Малые участки As^ и As2 кривой линии ab всегда можно совместить с некоторой окружностью (рис. 6). Радиусы Ri и 乩 этих окружностей называются радиусами кривизны кривой линии на данных участках. Если вообще участок кривой бесконечно мал (As->0), то можно говорить о радиусе кривизны R кривой в данной точке.
Величина, обратная радиусу кривизны, называется кривизной кривой линии:
Отметим, что у прямой линии R = оо, а К = 0.
!• Физические основы механики
Глава I. Движение материальной точки(основы кинематики)
Общий случай криволинейного движения материальнойточки; основные характеристики движения
Простейшим видом движения материи является механическое движение, представляющее собой перемещение в пространстве тел или их частей относительно друг друга.
Различают три вида механического движения тел ——поступательное, вращательное и колебательное. При поступательном движении твердого тела все его точки описывают совершенно одинаковые (при наложении совпадающие) линии и имеют одинаковую скорость и одинаковое ускорение (в данный момент времени). Определение вращательного движения тела дано в § 21, колебательного в § 27.
Если форма и размеры тела не оказывают существенного влияния на характер его движения, то такое тело можно рассматривать как материальную точку. Материальной точкой называется тело, фор- мой и размерами которого можно пренебречь в данной задаче. Последняя оговорка весьма существенна: при рассмотрении одного движения тела можно считать его материальной точкой, тогда как при рассмотрении другого движения того же самого тела это может оказаться не- допустимым. Например, изучая движение Земли вокруг Солнца, можно и Землю и Солнце считать материальными точками. Изучая же движение Земли вокруг своей оси, нельзя принимать Землю за материальную точку, так как на характер вращательного движения Земли существенно влияют ее форма и размеры.
Перемещение тела можно рассматривать только относительно какого-либо другого тела или группы тел. Поэтому при изучении движения материальной точки необходимо прежде всего выбрать систему отсчета, т. е. систему координат, связанную с телом, относительно которого рассматривается движение материальной точки. Такой системой отсчета может служить, например, прямоугольная система координат XYZ, связанная с какой-нибудь точкой О земной поверхности (рис. 7). Тогда положение материальной точки Л в любой момент времени определится координатами xyz. К вопросу о системах отсчета мы еще вернемся в § 14.
Линия, описываемая движущейся материальной точкой, называется траекторией. Отрезок траектории ВС, пройденный точкой за некоторый промежуток времени, представляет путь, пройденный точкой
за этот промежуток времени (рис. 7). Движение называется прямолинейным, если траектория '— прямая линия, и криволинейным, если траектория ——кривая линия.
Пусть материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, прошла за малый промежуток времени Д/ малый путь As (рис. 8). Проведем касательную АС к траектории в точке Л и хорду АВ. Отношение пути, пройденного материальной точкой, к промежутку времени, за который этот путь пройден, называется средней скоростью движения %р：
As77
(1)
В общем случае криволинейного (и прямолинейного) движения величина средней скорости может быть различной на разных участках траектории и зависеть от величины рассматриваемого пути As, или, что то же, от величины промежутка времени А/. Будем бесконечно уменьшать промежуток времени, т. е. положим А/->0. Тогда точка В будет стремиться к точке 4, хорда АВ — к дуге As и обе они в пределе совпадут с касательной АС. Таким образом, криволинейное движение по малой дуге As перейдет в прямолинейное движение по бесконечно малому отрезку касательной к траектории
Рис. 7
вблизи точки Л, а средняя скорость на малом
пути As перейдет в
мгновенную, или истинную, скорость и в точке Л. Поэтому величина мгновенной скорости
у = lim%p = lim —.
⑵
Как видно из рис. 8, мгновенная скорость направлена по касательной к траектории.
Итак, мгновенная скорость движения в любой точке траектории есть вектор, направленный по касательной 及 траектории, а по величине равный пределу средней скорости при стремлении промежутка времени к нулю:
V = limvco.
Из формул (1) и (2) следует, что скорость измеряется в м/с. Движение материальной точки называется равномерным, если его скорость не изменяется с течением времени; в противном случае движение называется неравномерным. Неравномерность движения характеризуется физической величиной, называемой ускорением.。
Пусть материальная точка переместилась за малый промежуток времени А/ из А, где она имела скорость vi, в В, где она имеет сконто изменение (приращение) скорости точки есть вектор Av, равный разности векторов конечной и начальной скоростей:
Д V = v2 — vr
Отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, называется средним ускорением аср:
Из правила деления вектора на скаляр следует, что среднее ускорение направлено так же, как приращение скорости, т. е. под углом к траектории в сторону ее вогнутости (см. рис. 9).
В общем случае величина среднего ускорения может быть различной на различных участках траектории и зависеть от величины промежутка времени, по которому проводится усреднение. Будем уменьшать промежуток времени. В пределе при А/ -> 0 точка В будет стремиться к точке Л и среднее ускорение на пути АВ превратится в мгновенное, или истинное, ускорение а в точке А. Поэтому
⑷⑷а = limact) = lim .
⑷
⑷
AffO A …А/
Итак, мгновенное ускорение движения s любой точке траектории есть вектор, направленный под углом ^ траектории в сторону ее вогнутости, а по величине равный пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени 及 нулю.
Из формул (3) и (4) следует, что ускорение измеряется в м/с2.
Вектор ускорения принято раскладывать на две составляющие, одна из которых направлена по касательной к траектории и называется касательным, или тангенциальным, ускорением ак, другая —— по нормали к траектории и называется нормальным, или центростремительным^, ускорением ац (рис. 10). Ускорение и его состав-
* Будучи перпендикулярным к касательной, вектор ац направлен по радиусу кривизны траекторий к центру кривизны。(рис. 10); отсюда название 一 центростремительное ускорение.
ляющие связаны между собой очевидными соотношениями:
а = ак + ац; а = М 瞇 + 〃； •
Касательное ускорение изменяет только величину скорости, а центростремительное ускорение — только ее направление. Очевидно,
что криволинейное движение происходит всегда с ускорением, так как в этом случае скорость обязательно будет изменяться (по край
ней мере по направлению).
dvdvПользуясь понятиями высшей математики, можно заменить пределы отношений, стоящих в • формулах (2) и (4), производными и написать:
dv
dv
由 о = di
где ds, dv и d/ означают соответственно бесконечно малые изменения (дифференциалы^
перемещения, скорости и времени. Следовательно, скорость представляет собой производную перемещения по времени, а ускорение ——
производную скорости по времени.
Мы ознакомились с общим случаем неравномерного движения материальной точки по криволинейной траектории произвольной формы. В последующих параграфах рассмотрим частные случаи: прямо* линейное движение и движение по окружности.
Прямолинейное движение материальной точки
При прямолинейном движении центростремительная составляющая ускорения отсутствует (ац = 0), поэтому полное ускорение совпадает со своей касательной составляющей (а = ак).
Движение, происходящее с постоянным ускорением (а = const), называется равномерно переменным (равномерно ускоренным, если а>0, и равномерно замедленным, если а<0). В этом случае мгновенное ускорение будет равно среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (3) получим
а = &ра = &рДиДиО — °оО — °од/д/
а = &р
а = &р
Ди
Ди
О — °о
О — °о
д/
д/
откуда
(5)(5)V = v0 +at,
(5)
(5)
где v0 ——начальная скорость движения, и — скорость в момент времени /.
Средняя скорость на любом отрезке пути s в этом случае равна ^^•. Тогда, учитывая формулу (1), можно написать, что
%р%рAsAsА/А/s = uо十"/—2s = uо十"/—2
%р
%р
As
As
А/
А/
s = uо十"
/—2
s = uо十"
/—2
откуда
s= "。十 0 /
2•
Подставляя выражение о из формулы (5), получим
S = % + %十山/
2，
ИЛИ
S(6)
Решая совместно уравнения (5) и (6) и исключая из них время /, получим
”一若=2as.(7)
Формулы (5), (6) и (7) справедливы для любого равнопеременного прямолинейного движения, в том числе для свободного падения тела и для движения тела, брошенного вертикально вверх. В этих случаях, как известно, а = g = 9,81 м/с2 (ускорение силы тяжести).
Для равномерного прямолинейного движения и = % = const и а = 0. В этом случае формула (6) примет вид
(8)(8)s = vt.
(8)
(8)
Движение материальной точки по окружности
Рассмотрим движение материальной точки по окружности с постоянной по величине скоростью. В этом случае, называемом равномерным движением 九。окружности, касательная составляющая ускорения отсутствует (ак == 0) и ускорение совпадает со своей центростремительной составляющей (а = ац). Определим величину центростремительного ускорения.
Пусть за малый промежуток времени А/ точка прошла путь As, переместившись из 4, где она имела скорость vb в В, где она имеет скорость v2, а радиус-вектор движущейся точки повернулся на малый угол Дер (рис. 11). Построим вектор изменения скорости Av = = v2 — Vi и определим его величину \v\^AOB =上 BCD как углы с взаимно перпендикулярными сторонами: с^ = с^ = и, так как по величине скорость постоянна. Следовательно, АЛОВ и №CD подобны как равнобедренные с одинаковыми углами при вершине, поэтому
Ди АВ A U
Тогда, согласно формуле (4),
а = lim = lim
AffO А/ AffO
U • /3R・AfU • /3R・Afили, учитывая, что и и R постоянны и а = %, получим
U • /3R・Af
U • /3R・Af
и 1. АВ
-lim .
R A£fO Af
При А/, стремящемся к нулю, хорда АВ стремится к дуге As, поэтому
limAffOlimAffOАВ i・ As
lim
AffO
lim
AffO
=lim = v.
А/ A，o At
Следовательно,
龜=家(9)
Рис. 11 позволяет еще раз убедиться в том, что полученное ускорение действительно является центростремительным. В самом деле, при А/тО будет и Ау тО. При этом векторы Av и а, имеющие одинаковое направление (см. § 4), совпадут с радиусом окружности и будут направлены к ее центру О.
Рис. 11Рис. 11(!)(!)А/А/(Ю)(Ю)Наряду со скоростью v равномерное движение материальной точки по окружности можно характеризовать так называемой угловой скоростью з, понимая под нею отношение угла Д(р поворота радиуса R (т. е. отношение углового пути) к промежутку времени Д/, за который этот поворот произошел (см. рис. 11):
Рис. 11
Рис. 11
(!)
(!)
А/
А/
(Ю)
(Ю)
скорости (о = lim -—скорости (о = lim -—didi
скорости (о = lim -—
скорости (о = lim -—
di
di
Единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду (рад/с или с"1). Радиан в секунду — угловая скорость равномерно вращающегося тела, при которой за время 1 с совершается поворот тела относительно оси на угол 1 рад. В отличие от угловой скорости з скорость V принято называть линейной.
Умножая обе части равенства (10) на R и учитывая, что R • Д(р = =As (так как Д(р измеряется в радианах), получим соотношение, связывающее линейную скорость с угловой:
(И)(И)V =(oR.
(И)
(И)
Введем еще две характеристики движения материальной точки по окружности: период вращения Т (время одного оборота точки по окружности) и число оборотов s единицу времени y Частота враще-
* Для неравномерного движения вводится понятие мгновенной угловой
&〃灭).Очевидно, что Т и 丫 一 величины взаимно обратные:
7 = 4
(12>
Единицей измерения периода вращения является секунда (с); единицей измерения частоты вращения — герц (Гц). Герц — частота, при которой за время 1 с происходит один цикл периодического процесса.
Так как за период Т радиус окружности, связанный с материальной точкой, повернется на угол 2л, то, согласно формуле (10),
Из формул (11), (12) и (13) следует, что
v』R = 2^R
(14}
При неравномерном движении материальной точки по окружности вместе с линейной скоростью изменяется и угловая. Поэтому можно ввести понятие углового ускорения (по аналогии с линейным ускорением а).
Средним угловым ускорением рср называется отношение изменения угловой скорости Аз к промежутку времени А/, за который это изменение произошло:
(15)
Мгновенным угловым ускорением р называется предел среднего углового ускорения при стремлении промежутка времени к нулю:
Af-0 Д/
(16}
При R = const изменение Аз обусловлено только изменением А и. Поэтому, согласно формуле (11),
Au = R • Аз,
откуда
Подставляя последнее выражение в формулу (16), получим
RА…
откуда
а = 0R.
(17)
Угловая скорость и угловое ускорение — величины векторные. Вектор угловой скорости со направлен из центра О окружности с радиусом R, по которой
движется материальная точка Л, перпендикулярно плоскости этой окружности (рис. 12) в сторону поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается в направлении линейной скорости v («правило буравчика»). Очевидно, что вектору — <о соответствует противоположное направление движения (вращения) материальной точки. Что касается углового ускорения ?, то его направление совпадает с направлением вектора изменения угловой скорости А <о.
(D = — иR(D = — иRа7а7При равнопеременном движении материальной точки по окружности (ац = const, ак = const) линейная скорость и пройденный путь определяются по формулам (5) и (6), в которых в качестве ускорения надо брать его касательную составляющую. Поделив обе части каждой из этих формул на радиус окружности и учитывая, что, согласно формулам (11) и (17),
(D = — иR
(D = — иR
а
7
а
7
получим соответствующие выражения для угловой скорости ① и угла ср поворота радиуса (углового пути)：
(18)(18)①=%)+队
(18)
(18)
где(d0— начальная угловая скорость движения материальной точки.
Задача 1. С крыши дома высотой " = 16 м через равные промежутки времени падают капли воды, причем первая ударяется о землю в тот момент, когда пятая отделяется от крыши. Найти расстояние четвертой капли от крыши в момент удара первой капли о землю.
Решение. Падение капель является равноускоренным движением без начальной скорости с ускорением g = 9,81 м/с2. Поэтому, согласно формуле (6),
откуда время падения первой капли
Так как капли отрываются от крыши через равные промежутки времени, то время падения четвертой капли % =力/4, а ее растояние от крыши
gf； g 2〃 Я 16 м
=—-•= --— == 1 м
2216g1616
Задача 2. Трамвай начал двигаться равноускоренно по закругленному участку пути и, пройдя расстояние s = 250 м, развил скорость ^ = 36 км/ч. Найти касательное, центростремительное и полное ускорения трамвая через 40 с после начала движения. Радиус закругления R = 200 м.
Решение. При равноускоренном движении без начальной скорости, согласно формуле (7),
у2 = 2а®,
где ак — касательное ускорение (изменяющее величину скорости). Тогда
№100 м2/с22s2 • 250 м№100 м2/с22s2 • 250 м=0,2 м/с2.=0,2 м/с2.
№100 м2/с2
2s2 • 250 м
№100 м2/с2
2s2 • 250 м
=0,2 м/с2.
=0,2 м/с2.
Скорость, которую приобретает трамвай по истечении времени / = 40 с, согласно формуле (5), есть
以=а/ = 0,2 м/с2 • 40 с == 8 м/с.
Тогда, по формуле (9), центростремительное ускорение
= 0,32 м/с= 0,32 м/су2 64 м2/с2aй =—=ur 200 м
= 0,32 м/с
= 0,32 м/с
и полное ускорение
а = у^ 4 +《 =/(0,04 + 0,10) м2/с4 = 0,37 м/с2.
Задача 3. Барабан молотилки вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте мо = 180 об/мин. С момента сбрасывания приводного ремня барабан тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением 0 = 3 рад/с2. Через какое время / барабан остановится? Какое число ^ оборотов сделает он до остановки?
Решение. Согласно формуле (18), при равнозамедленном движении угловая скорость барабана в конце торможения со =⑴。——0/, где з()——начальная угловая скорость барабана. Так как по условию задачи s = 0, то со。= 0 f. Но, согласно формулам (12) и (13), з()= 2冗yq. Поэтому
2冗Yq2 ・ 3,14 • 3 об/мин2冗Yq2 ・ 3,14 • 3 об/мин3 рад/са3 рад/са=6,3 с=6,3 с
2冗Yq2 ・ 3,14 • 3 об/мин
2冗Yq2 ・ 3,14 • 3 об/мин
3 рад/са
3 рад/са
=6,3 с
=6,3 с
(поскольку оборот и радиан безразмерны).
Угловой путь барабана от начала торможения до остановки, согласно формуле (18), равен
В*昵2
「= з" — 3 = 2 moz ——
Подставляя в последнюю формулу выражение f и учитывая, что ср = 2冗N, получим
2冗2%2冗2%4兀2吟
2冗2%
2冗2%
2tzN =
В
откудаоткуда3,14・9с-23,14・9с-2Зе”Зе”= 9,4 (оборота).= 9,4 (оборота).
откуда
откуда
3,14・9с-2
3,14・9с-2
Зе”
Зе”
= 9,4 (оборота).
= 9,4 (оборота).
Глава П. Основные законы динамики
Законы Ньютона. Масса и сила
В предыдущей главе мы рассматривали движение тел (материальных точек) вне зависимости от причин, его вызывающих. Соответствующий раздел механики называется кинематикой. Теперь перейдем к разделу, называемому динамикой, в котором движение тел изучается в связи с вызывающими его физическими причинами ——силами.
Основные законы динамики были сформулированы в 80-х годах XVII столетия Ньютоном. Они представляют собой обобщение результатов многовекового человеческого опыта. Приведем современные формулировки трех законов Ньютона.
Первый закон Ньютона (закон инерции):
всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел не выведет его из этого состояния.
Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инерцией、Опыт показывает, что при одинаковом воздействии различные тела по-разному изменяют свою скорость. Иными словами, одинаковые воздействия вызывают у различных тел различные ускорения. Следовательно, величина ускорения, приобретаемого телом, зависит не только от величины воздействия, но и от некоторого собственного свойства тела. Это свойство тела характеризуют физической величиной, называемой массой. В этом смысле можно сказать, что масса есть мера инерции тела,
Масса является одной из основных физических величин. Подчеркнем, что она характеризует не только инерцию тел, но и их гравитационный свойства (тяготение, см. § 12). Кроме того, масса характеризует «эн ер госодержан ие» тела (см. § 20).
Масса тел определяется путем сравнения с массой некоторого произвольно выбранного эталонного тела. По международному соглашению, таким эталоном является платино-иридиевый цилиндр, хранящийся в Париже и называемый килограммом массы (кг); эта масса принята за единицу массы —— 1 кг. Тысячная доля килограмма называется граммом массы (г). С высокой степенью точности масса 1 см3 дистиллированной воды при 4 ℃ равна 1 г.
Отмеченное в законе инерции «воздействие других тел» (как причина, изменяющая состояние данного тела) получило общее название силы, действующей на данное тело. Опыт показывает, что различные силы сообщают одному и тому же телу различные ускорения. Кроме того, оказывается, что сила есть вектор, направленный так же, как вектор вызванного этой силой ускорения. Обобщение приведенных опытных фактов составляет содержание второго закона Ньютона:
ускорение а, приобретаемое телом под действием силы F, направлено так же, как сила, а по величине пропорционально силе и обратно пропорционально массе m тела:
Fa〜—.т
Из последнего соотношения следует, что F 〜ma. Вводя коэффициент пропорциональности k, получим
F =厉па.(1)
Единицы измерения силы можно выбрать так, чтобы 々=L Для этого примем за единицу силы такую силу, которая единичной массе- сообщает единичное ускорение. Тогда из соотношения (1) получим 1 (силы)=左• 1 (массы) • 1 (ускорения), откуда следует, что А = = 1. Вообще, 8 физической формуле коэффициент пропорциональности можно принимать равным единице, если по этой формуле устанавливается единица измерения одной из величин, входящих 6 формулу. Этим приемом мы будем очень часто пользоваться в дальнейшем. Если же все физические величины, входящие в формулу, имеют уже единицы измерения (установленные по другим физическим соотношениям), то коэффициент пропорциональности нельзя выбирать произвольно. В этом случае численное значение коэффициента определяется опытным путем.
Итак, полагая в формуле (1)々=1, получим
F = та.(2)
В таком математическом виде принято выражать второй закон Ньютона (основной закон динамики поступательного движения). Подчеркнем, что под F подразумевается результирующая всех сил, действующих на тело.
Если одно тело действует на второе, то в свою очередь второе тело действует на первое. Например, груз, давящий на опору, испытывает давление со стороны этой опоры. Соотношение между силами, приложенными к взаимодействующим телам, описывается третьим законом Н ьют о н а (закон действия и противодействия):
два взаимодействующих тела действуют друг на' друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению*.
F12 — F21，(3)
где F12 — сила действия первого тела на второе, F2]——сила действия второго тела на первое.
Из формулы (3) следует, что только одно взаимодействие двух тел друг с другом не может вызвать движения обоих тел в одном и том же направлении. Для того чтобы два взаимодействующих тела пришли в движение в одном направлении, должно иметь место взаимодействие их (или одного из них) с некоторым третьим телом. Например, тепловоз тянет вагоны не за счет своего взаимодействия с вагонами, а за счет своего взаимодействия с опорой (рельсами), обусловленного трением (см. § 11).
На основании законов Ньютона можно уточнить формулировку понятия силы: сила ——физическая величина, характеризующая взаимодействие тел, в результате которого они приобретают ускорение,
Следует, однако, подчеркнуть, что действие силы проявляется не только в ускорении движения тел. Сила вызывает также деформацию (изменение формы) тела (см. § 10). Например, груз, висящий на проволоке, растягивает ее. По величине деформации можно определить величину силы. На этом, как известно, основано измерение силы пружинным динамометром.
Установим теперь единицу измерения силы. В соответствии с формулой (2) за единицу силы следует принять силу, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2 8 направлении действия силы. Эта единица называется ньютоном (Н):
Н = кг • м/с2.
Закон изменения количества движения (импульса)
Пользуясь математическим выражением второго закона Ньютона (2), можно определять значения движущей силы, массы и ускорения тела для данного момента времени. Однако зачастую бывает необходимо определять эти характеристики для любого наперед заданного момента времени (будущего или прошедшего). Для такого рода расчетов применяется закон изменения количества движения, являющийся одним из выражений второго закона Ньютона.
Пусть в течение некоторого промежутка времени / на тело массой т, двигавшееся ранее со скоростью v0, подействовала постоянная си- ла F. Она будет сообщать телу постоянное ускорение а, в связи с чем к концу промежутка времени тело приобретет скорость v. Тогда, согласно второму закону Ньютона, можем написать
口 V --v0
F = /па = m 尸, или
Ff = mv — mv0. (4)
Если на тело действует не одна, а несколько сил, то под F следует понимать их результирующую. Произведение массы тела на его скорость называется количеством движения (или импульсом) тела; произведение движущей силы на время ее действия называется импульсом с〃- лы. Эти физические величины являются векторными. Формула (4) выражает (для постоянной силы) закон изменения количества движения:
импульс постоянной силы, действующей на тело, равен изменению количества движения тела.
Так как сила, действующая в течение малого промежутка времени А/, практически является постоянной, то закону изменения количества движения можно дать еще такую формулировку:
импульс силы, действующей на тело в течение малого промежутка времени, равен изменению количества движения тела за этот промежуток времени.
Этот закон позволяет определять конечную скорость движения тела по его начальной скорости и импульсу движущей силы.
Чтобы применять закон изменения количества движения к случаям действия переменной силы, надо обобщить понятие импульса силы на любой промежуток времени. С этой целью разобьем промежуток времени / на и столь малых промежутков: А/, Л/г, Д/3,…，А&, что силу, действующую в течение каждого из них, можно будет считать постоянной и соответственно равной Fi, F2, F3, ..., F^. Тогда, согласно формуле (4), для каждого из этих промежутков времени напишем:
F]・ А% =加% — mv0,
F2 • Д/2 = mV?—团％,
F3 . M =加V3 -团V2，
Fr .卽兀=mvn — mVnT， поскольку скорость в начале каждого последующего промежутка времени равна скорости в конце предыдущего промежутка времени. Складывая равенства, получим i=^n
工匕，м = mvn — mv0.(5)
/=1
Сумма, стоящая в левой части равенства, называется полным импульсом переменной силы. Следовательно,
полный импульс переменной силы, действующей на тело, равен изменению количества движения тела,
Закон сохранения количества движенияв изолированной системе
Изолированной системой называется группа тел, взаимодействующих друг с другом и не взаимодействующих ни с какими иными телами^. Понятие изолированной системы будет рассмотрено подробнее в связи с термодинамическими процессами и энтропией (см. § 69 и 72). Здесь мы только отметим, что абсолютно изолированных систем не существует. Невозможно полностью изолировать систему от внешней (окружающей) среды хотя бы потому, что нет абсолютных теплоизоляторов и средств, экранирующих действие гравитационных полей. Однако во многих случаях взаимодействие системы с внешней средой может оказаться несущественным для тех протекающих в системе процессов, которые рассматриваются в данной задаче. Поэтому в целом ряде конкретных задач реальные системы можно считать изолированными. В конце этого параграфа мы рассмотрим в качестве примеров несколько таких систем.
Представим себе механическую изолированную систему, состоящую из и тел. Пусть для наглядности это будут упругие шары, беспорядочно движущиеся в некоторой части пространства (благодаря взаимным столкновениям). Сталкиваясь друг с другом, тела изменяют свое количество движения. Рассматривая взаимодействие тел в тече** Если даже и имеет место действие внешних сил, то их результирующая дол
жна быть равна нулю.
ние небольшого промежутка времени Д/ и применяя к каждому из тел закон изменения количества движения (4), напишем:
F1 •* =加 J；一m屮1，
F2 • Д/ =团2V2 —加2V2，
F» •& =恤v；—恤Vj,
F“ •加=m$ — mnvn,
где Fj — результирующая всех сил, действующих на Le тело, mi — масса f-го тела, % и v» — его скорости в начале и в конце промежутка времени At Складывая эти равенства почленно, получим
i=nt—ni—n
/=1/=1i=!
Левая часть равенства представляет собой произведение Д/ на геометрическую сумму всех сил, действующих на тела изолированной системы. Силы эти —внутренние', внешние силы на изолированную систему не действуют. Так как, по третьему закону Ньютона, каждой силе соответствует равная по величине противодействующая сила, то при сложении все эти силы взаимно уничтожаются, и левая, а следовательно, и правая часть последнего равенства обратятся в нуль. Тогда
i—ni=n
Это означает, что сумма количества движения всех тел не изменяется со временем:
团1% + m2v2 + m3v3 +h ^nvn = const.(6)
Формула (6) выражает закон сохранения количества движения: в изолированной системе сумма количеств движения всех тел есть величина постоянная.
Этот закон справедлив и для любого промежутка времени /, в чем легко убедиться, применяя в данном выводе к каждому из тел обобщенный закон изменения количества движения (5). Закон сохранения количества движения применим не только к механическим, но и ко всяким изолированным системам. Он находит широкое отражение в природе и технике.
Рассмотрим явление отдачи (откатка) орудия при выстреле. Определяющую роль в этом явлении играет сила взаимодействия снаряда и орудия. Она значительно превосходит силы трения (см. § 11) и тяготения (см. § 12), действующие на снаряд и орудие при выстреле. Поэтому можно считать систему снаряд ——орудие изолированной и применить к ней закон сохранения количества движения:
mv + MvQ = const,(7)
где m и v — масса и скорость снаряда, М н V。一 масса и скорость орудия. Так как в начале промежутка времени Af (до выстрела) система покоилась(V = V。= 0), то константа в формуле (7) равна нулю. При выстреле система разделяется на две части (снаряд и орудие), которые могут разлететься только вдоль общей прямой. Поэтому равенство (7) справедливо как для векторов скоростей, так и для их числовых значений. Тогда получим
mv + Mv0 = 0, откуда
Так как т^М, то %《。； знак минус указывает на противоположность направления скоростей орудия и снаряда. Оба эти следствия, как известно, согласуются с опытом.
Особый интерес представляет приложение закона сохранения количества движения к явлению «непрерывной отдачи», происходящему в реактивном двигателе (ракете). В этом случае изолированная система состоит из тела ракеты и вытекающего из его сопла газообразного продукта сгорания. Приближенно ракету можно рассматривать как орудие, непрерывно стреляющее струей газа и потому непрерывно движущееся в сторону, противоположную направлению этой струи. Однако пользоваться формулой (8) для расчета скорости ракеты уже нельзя хотя бы потому, что (в отличие от массы орудия) масса ракеты непрерывно изменяется — уменьшается по мере расхода горючего материала.
Ракета ——единственный аппарат, способный приходить в движение и изменять свое движение без опоры (без посредства внешней среды). Поэтому реактивный двигатель является единственно возможным двигателем космических снарядов и кораблей.
Приоритет в области теории и практики реактивного движения принадлежит нашей стране. Первый проект реактивного летательного аппарата был составлен в 1881 г. студентом Института инженеров путей сообщения, революционером Н, И. Кибальчичем (казненным за участие в покушении на Александра II). К сожалению, этот проект был обнаружен только после Великой Октябрьской революции. В 1897 г. профессор Петербургского университета W. В. Мещерский вывел уравнение движения тела переменной массы. Исключительно большую роль в развитии теории реактивного движения и космических полетов сыграли работы К・ Э, Циолковского, выполненные в начале текущего столетия. Обширные исследования советских ученых завершились в последнее время успешными запусками первых в мире искусственных спутников Земли, искусственной планеты, межконтинентальных баллистических снарядов и автоматической станции «Венера-4», совершившей посадку на поверхность Венеры.
Триум^юм советской науки и техники явились первый в мире космический полет человека на корабле-спутнике 《Восток》, осуществленный 12 апреля 1961 г. Ю. А. Гагариным, и первый выход человека в космическое пространство из корабля-спутника «Восход-2»,
выполненный 19 марта 1965 г. Л. Л. Леоновым. Эти события открьь ли новую эру в истории человечества — космическую эру.
В природе реактивное движение используется некоторыми живыми организмами. Например, кальмары, спруты, медузы и некоторые двустворчатые моллюски передвигаются посредством отдачи воды^ выбрасываемой ими из особых полостей тела. При этом кальмары развивают весьма большую скорость движения, достигающую 70 км/ч.
Своеобразным реактивным снарядом является «бешеный огурец» —— растение южного Крыма. Внутри созревшего плода этого растения находится жидкость под повышенным давлением. Будучи оторванным от стебля, «бешеный огурец» вырывается из рук и отлетает в сторону за счет отдачи струи жидкости, выбрасываемой из отверстия, образующегося в месте крепления к плодоножке.
Рис. 13Рис. 13Задача 4. Две гири весом R = 19,6Н и Р2 = 9,8 Н соединены нитью и перекинуты через невесомый блок (рис. 13). Найти ускорение а, с которым движутся гири, и натяжение нити.
Рис. 13
Рис. 13
Решение. Ускоряющая сила F = Pi — Р2, или, по второму закону Ньютона,尸=(加m2) а, где тх = ^- и 加2 = ^"* gg
есть массы гирь. Тогда из равенства (加i + 加2) а = Pi — % получим
匕一匕9,8h…
а === з,27 м/с2.
恤+加23 кг
Натяжение нити со стороны первой (падающей) гири
Т] = Pi —恤а = 19,6 — 2 • 3,27 = 13,1 (Н).
Натяжение нити со стороны второй (поднимающейся) гири 厶=Р?十加2a = 9,8 + 1 • 3,27 = 13,1 (Н).
Таким образом, Ti = Т2, чего и следовало ожидать, учитывая невесомость (безынерционность) блока. Общее доказательство этого нетрудно получить, подставив выражение ускорения а в формулы для Ti и Т2, что предоставляется сделать читателям.
Задача 5. Граната, летящая со скоростью и = 10 м/с, при разрыве разлетелась на два осколка. Большой осколок, масса 加【которого составляла 60% массы т всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью и】=25 м/с. Найти скорость и? меньшего осколка.
Решение. Рассматривая гранату как изолированную систему, можем написать по закону сохранения количества движения (6):
mv = tn^Vi + 加 2内， где 加2 — масса меньшего осколка.
Очевидно, что 加】= 0,6 m и 加2 = 加 一 0,6 m = 0,4 /п. Поэтому mv =- = 0,6 mvi + 0,4 /пи?, откуда
=—12,5 (м/с).=—12,5 (м/с).и — 0,6 их10—15
=—12,5 (м/с).
=—12,5 (м/с).
& = g = FT"
Знак «минус» показывает, что меньший осколок летит в направлении, противоположном первоначальному направлению движения гранаты.
§ 10. Силы упругости
До сих пор мы говорили о силе вообще, не интересуясь ее происхождением. Теперь перейдем к рассмотрению некоторых конкрет-
НЬ1Х разновидностей сил, широко представленных в природе и технике и играющих важную роль в механических процессах. К ним относятся силы упругости, трения, тяготения и некоторые другие. Начнем с рассмотрения сил упругости.
Как уже отмечалось, сила может деформировать тело — смещать составляющие его чзстицы относительно друг друга. При этом (в соответствии с третьим законом Ньютона) внутри деформированного тела возникает противодействующая сила, равная по величине деформирующей силе и называемая силой упругости. Например, груз, растягивающий пружину, подвергается действию силы упругости пружины. Силы упругости обусловлены взаимодействием между частицами (молекулами и атомами) тела и имеют в конечном счете электрическую природу (см. ч. II, § 35 и 51).
Существует несколько видов деформации тел: одностороннее растяжение или сжатие, всестороннее растяжение или сжатие, кручение, сдвиг, изгиб. Каждый вид деформации вызывает появление соответствующей силы упругости.
Опыт показывает, что
сила упругости 尸,возникающая при малых деформациях любого вида, пропорциональна величине деформации (смещения) А%:
(9)(9)F =—々• А%,
(9)
(9)
где k — коэффициент пропорциональности. Это положение называется законом Гука. Знак минус указывает на противоположность направлений силы упругости и смещения.
Деформация называется упругой, если после устра- 人箪〃〃〃佇нения деформирующей силы силы упругости полностью
восстанавливают первоначальные форму и размер тела. При малых смещениях Ах деформацию реальных тел можно считать упругой. При больших смещ^пях Ах возникает остаточная деформация — тело не восста
навливает полностью свои форму и размер (см. ч.Н,
§52). При значительных деформациях может даже произойти разрушение тела (разрыв ——при растяжении, излом — при изгибе и т. п.).
Рассмотрим упругую деформацию одностороннего растяжения стержня (рис. 14). Пусть к нижнему концу закрепленного стержня длиной % и площадью поперечного сечения S приложена деформирующая сила 尸-Стержень удлинится на величину Дх и в нем возникнет сила
FxFxупругости F=—尸'• Опыт показывает, что удлинение*пропорционально деформирующей силе и первоначальной длине стержня и обратно пропорционально площади его поперечного сечения:
Fx
Fx
откудаоткуда(10)
откуда
откуда
(И)(И)ES • Ах
(И)
(И)
где Е — коэффициент, х ар актер из ующи й упругие свойства вещества стержня, называемый модулем упругости, или модулем Юнга. Согласно формуле (10),
e =上l.(12)
S^x
Полагая А% = % и 5 = 1, получим Е = F\ т. е. модуль упругости численно равен силе, растягивающей вдвое стержень единичной площади поперечного сечения^. Модуль упругости измеряется в ньютонах на квадратный метр (Н/м2).
Очевидно, что все изложенное ранее остается справедливым и для
деформации одностороннего сжатия, если считать А% не удлинением, а укорочением стержня.
Не останавливаясь на других видах деформации, отметим только, что все они в конечном счете могут быть сведены к соответствующим комбинациям деформаций одностороннего растяжения и сжатия. Например, деформация изгиба стержня сводится к деформации одностороннего растяжения верхней части стержня при одно
временной деформации одностороннего сжатия нижней его части (рис. 15;尸‘ и 尸——деформирующие силы). Поэтому при изгибе верхняя часть стержня как бы работает на растяжение, а нижняя — на сжатие. Очевидно, что средняя часть стержня почти не оказывает сопротивления изгибу. Это обстоятельство учитывается в технике и находит отражение в природе. Например, стержни, работающие на изгиб, обычно делают полыми (трубчатыми), чем достигается экономия материала и облегчение конструкций без ущерба для прочности. Стебли злаковых растений и кости птиц имеют трубчатое строение, молодые неокрепшие листья бывают свернуты трубкой и т. п.
Силы трения
Весьма распространенным взаимодействием тел является трение. Сила, препятствующая скольжэнию сопри кас ающи хс я тел друг относительно друга, называется силой трения. Она направлена по касательной к поверхности соприкосновения тел противоположно скорости скольжения данного тела (трение скольжений. Трение существует и в случае неподвижных относительно друг друга тел (трение покоя}. Максимальная сила трения покоя равна по величине той наименьшей внешней силе, которая вызывает скольжение тел. С момента начала скольжения сила трения несколько уменьшается (сила трения скольжения всегда меньше максимальной силы трения покоя).
Благодаря трению равномерное прямолинейное движение тела возможно только тогда, когда сила трения скольжения уравновешена внешней {движущей) силой.
* Следует отметить, что практически измерять модуль упругости таким методом нельзя, так как подавляющее большинство реальных тел разрушается при растяжениях, значительно меньших двукратного.
Трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей ——взаимным зацеплением выступов на них. При достаточно гладких поверхностях главной причиной трения становятся силы сцепления между молекулами трущихся поверхностей (см. § 36).
Опыт показывает, что сила трения FTp приблизительно пропорциональна силе Р, прижимающей соприкасающиеся тела друг к другу (т. е. силе нормального давления):
Ар =々Р・ (13)
Множитель Л называется коэффициентом трения. Он зависит от рода вещества и качества обработки трущихся поверхностей. В некоторой мере он зависит также от относительной скорости скольжения и от внешних условий (температуры, влажности и т. п.). Следует подчеркнуть, что коэффициент трения является довольно грубой характеристикой сил трения. Определяется он экспериментально по формуле (13). В технических таблицах обычно даются средние значения коэффициента трения. Например, для стали по стали k = 0,17, для стали по дереву k = 0,48.
Трение играет большую роль в природе и технике. Посредством трения осуществляется необратимый переход всех видов энергии в теплоту (см. ч. II, гл. XI). Благодаря трению приходит в движение и останавливается транспорт. Действие органов передвижения и хватательных органов живых существ основано на трении скольжения. Трение удерживает корни растений в почве, песок ——в железнодорожной насыпи и т. п.
В сельскохозяйственной практике на различии значений коэффициента трения у семян разных зерновых культур основано разделение смеси этих семян на составные части. Смесь зерен, например овса и проса, медленно высыпается из бункера на движущуюся бесконечную ленту, расположенную под углом к горизонту. Угол наклона ленты подбирается так, чтобы зерна овса удерживались на ней силой трения и увлекались вверх, а зерна проса, у которых коэффициент трения с материалом ленты меньше, чем у зерен овса, скользили по ленте вниз. В результате зерна овса и проса будут ссыпаться с разных сторон «ленточного сепаратора».
В тех случаях, когда трение играет вредную роль, его уменьшают, помещая между трущимися поверхностями вязкую жидкость (смазку). Тем самым внешнее трение твердых тел заменяют значительно меньшим внутренним трением жидкости, с которым мы ознакомимся в § 58.
Другой способ уменьшения трения — замена скольжения качением'. применение колес, катков, шариковых и роликовых подшипников. Коэффициент трения качения в десятки раз меньше коэффициента трения скольжения. Существенно, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела. В связи с этим у транспорта, предназначенного для движения по плохим дорогам (у телег,
например), колеса имеют большой радиус. Сила трения качения FTp.K выражается формулой
„Р
4р・к = п五，
где Р—сила нормального давления, R — радиус катящегося тела, 刁一коэффициент трения, зависящий от свойств материала соприкасающихся поверхностей; как видно из формулы,刀 имеет размерность длины.
В природе трение качения встречается редко. Можно только указать на шарообразность семян некоторых растений (горох, каштан, орех), способствующую откатыванию этих семян на более далекие расстояния от материнского растения.
Силы тяготения (гравитационные силы)
Изучая движение небесных тел и падение тел в земных условиях, Ньютон установил закон всемирного тяготения, согласно которому материальные точки притягиваются друг к другу с силой F, пропорциональной 〃％ массам т^ и т^ и обратно пропорциональной квад- рату расстояния 广 между ними:
尸=T 21^丄・(14)
Закон справедлив также для взаимодействия шаров и взаимодействия большого шара с малым телом. При этом под г следует понимать расстояние между центрами шаров. Коэффициент 丁 = =6,67 • 10口 Н • м2/кг2 был определен экспериментально и назван гравитационной постоянной*. Согласно формуле (14) физический смысл гравитационной постоянной заключается в том, что она равна выраженной в ньютонах силе тяготения между двумя точечными массами в 1 кг каждая, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга.
Из формулы (14) следует, что силы тяготения огромны для небесных тел и ничтожны для микрочастиц. Так, сила тяготения между Землей и Луной имеет порядок 102° Н, а между двумя почти соприкасающимися (г = 3 ・ 10~8 см) молекулами кислорода — 10-32 Н.
Притяжение между телами осуществляется через пространство, которое, казалось бы, не заполнено никакой материальной средой. Однако такое представление привело бы к идеализму — к необходимости приписать осуществление взаимодействия между телами некоему духовному началу. Согласно м атер и а л ист ичес ко й философии взаимодействие между материальными телами может осуществляться только материальным посредником. В данном случае таким посредником является гравитационное поле (поле силы тяготения).
Гравитационное поле — это особый вид материи, посредством которого осуществляется взаимное притяжение тел. Формально гравитационное поле можно определить как пространство, в котором
действуют гравитационные силы. Однако при этом надо отчетливо представлять, что поле материально.
Все сказанное полностью относится и к другому виду взаимодействия через пространство ——к электромагнитному взаимодействию, которое будет рассмотрено позднее (см. ч. III). Вообще современная физика считает, что существует два вида материи: вещество и поле. Свойства поля существенно отличаются от свойств вещества. Если вещество подвержено действию некоторого поля, то и само оно способно создавать такое поле. Поэтому всякое взаимодействие тел через пространство можно схематически представить следующим образом: первое тело создает поле, которое действует на второе тело; в свою очередь второе тело действует своим полем на первое тело. Взаимоотношения поля с веществом (частицами) исследованы еще далеко не достаточно. Изучение этих взаимоотношений составляет одну из важнейших проблем современной физики.
Возвращаясь к закону всемирного тяготения и применяя его к случаю взаимодействия земного шара с телами, расположенными вблизи земной поверхности, получим
где М — масса Земли, R — ее радиус, m — масса тела, й — его высота над земной поверхностью. Так как R》h, то выражение силы тяготения тел к Земле можно представить в виде
С другой стороны
F = mg,(16)
где g ——ускорение свободного падения тел вблизи земной поверхности. Из формул (15) и (16) следует, что
m ,，一、
g = 丁 № = COnst,В)
так как『Л1 и R — постоянные величины. Таким образом, из закона всемирного тяготения следует, что вблизи Земли все тела падают с одинаковым ускорением g ^ 9,81 м/с2.
Строго говоря, благодаря вращению Земли вокруг своей оси величина ускорения g не является постоянной, а несколько изменяется в зависимости от широты и высоты места (приведенное значение g соответствует широте 45° на уровне моря). В этой связи оказывается переменной величиной и сила тяжести, как будет показано в § 15.
Центростремительная сила
Равномерное движение тела по окружности характеризуется, как мы видели, центростремительным ускорением (см. § 6). Сила любой природы〉вызывающая это ускорение, называется центростремитель- 36
ной силой. Она приложена к телу, направлена к центру окружности и, согласно второму закону Ньютона, равна
===加ah =====加ah ==т — = m(i)2/?,т — = m(i)2/?,(18)(18)
===加ah ==
===加ah ==
т — = m(i)2/?,
т — = m(i)2/?,
(18)
(18)
где m — масса тела, 〃口 一 центростремительное ускорение, и и со — линейная и угловая скорости,艮一радиус окружности.
Центростремительная сила создается связью, удерживающей тело на окружности; она обусловлена реакцией связи на стремление тела
удалиться от центра окружности. Рассмотрим в качестве примера движение шарика по окружности на резиновом шнурке (рис. 16). Сообщим шарику Л скорость V перпендикулярно шнуру (связи) ОЛ, закрепленному в точке О. Шарик начнет двигаться по инерции прямолинейно, удаляясь от точки О. При этом шнур растягивается и возникающая в нем упругая сила, препятствуя прямолинейному движению шарика, заставит шарик двигаться по раскручивающейся спирали. Когда возра
стающая по мере растяжения шнура си
ла упругости станет достаточной для того, чтобы воспрепятствовать удалению шарика от точки О, он начнет двигаться по окружности радиусом R. Очевидно, что при этом упругая сила связи будет равна центростремительно访 силе:
Таким образом, в рассматриваемом случае роль центростремительной силы играет сила упругости шнура.
Если по какой-либо причине скорость шарика возрастет до значения ui>u, то он опять начнет удаляться от центра О по спирали до тех пор, пока упругая сила дополнительно растянувшегося шнура не заставит его двигаться по окружности радиусом R>R. При этом опять сила упругости связи станет равна центростремительной силе:
На этом принципе основано, например, действие центробежного регулятора (Уатта), в котором связью грузов с осью вращения служит шарнирно-рычажная система.
При некоторой достаточно большой скорости вращения шнур не выдержит растяжения и разорвется, а шарик полетит прямолинейно —— по касательной к окружности. Именно так летят раскаленные частицы —искры, отрывающиеся от точильного круга.
Разрыв связи может произойти у махового колеса при слишком большой скорости вращения. На разрыве связи основано действие таких центробежных механизмов, как, например, сушильная машина, медогонка, молочный сепаратор, центробежный насос (в частности, воздушный насос веялки), зерноочистительная установка «Змейка». В сушильной машине связью является сцепление воды с тканью, в медогонке —сцепление меда с сотами, в сепараторе ——вязкость моло-
Рис. 17Рис. 17ка, в центробежном насосе —трение воды (или воздуха) о вращающиеся лопасти насоса, в «Змейке» —трение зерен о винтовые желоба.
Рис. 17
Рис. 17
Примером природного центробежного механизма может служить мак-самосейка. Верхушка раскачиваемого ветром растения быстро описывает круговые дуги. При этом спелые семена, связанные с коробочкой только трением, разбрасываются через верхние ее отверстия по касательным к этим дугам.
Рассмотрим еще один пример — вращение эластичного резинового шара с угловой скоростью(о вокруг оси, проходящей через его центр (рис. 17). Мысленно разобьем шар на маленькие частицы ——шарики одинаковой массы и представим, что сцепление между ними обеспечивается резиновыми шнурами (связями,, к которым шарики прикреплены. Так как массы и угловые скорости у всех шариков одинаковы, то, согласно формуле (18), наибольшая центростремительная сила будет действовать на шарики, наиболее удаленные от оси вращения. Таких шариков больше всего в «экваториальном» слое шара и меньше всего в «приполярных» слоях. Поэтому связи сильнее растянутся в «экваториальном» слое. В результате шар примет форму эллипсоида вращения. Аналогично деформируется земной шар: он растянут у экватора и приплюснут у полюсов так, что экваториальный радиус на 1/300 больше полярного.
В заключение отметим, что, согласно третьему закону Ньютона, вместе с центростремительной силой, приложенной к телу, возникает равная ей по величине, но противоположно направленная сила, приложенная к связи: она называется центробежной силой.
Инерциальные и неинерциальные системы отсчета.Силы инерции
Система отсчета, движущаяся (относительно звезд) равномерно н прямолинейно (т. е. по инерции), называется инерциальной. Очевидно, что таких систем отсчета ——неисчислимое множество, поскольку любая система, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы отсчета равномерно и прямолинейно, тоже инерциальна. Системы отсчета, движущиеся (относительно инерциальной системы) с ускорением, называются неинерциальными.
Опыт показывает, что
во всех инерциальных системах отсчета все механические процессы протекают совершенно одинаково (при одинаковых условиях).
Это положение, названное механическим принципом относительности (или принципом относительности Галилея}, было сформулировано в 1636 г. Галилеем. Галилей пояснял его на примере механических процессов, совершающихся в каюте корабля, плывущего равномерно и прямолинейно по спокойному морю. Для наблюдателя, находящегося в каюте» колебание маятника, падение тел и другие механические процессы протекают точно так же, как и на неподвижном корабле. Поэтому, наблюдая эти процессы, невозможно установить ни величину скорости, ни даже сам факт движения корабля. Чтобы судить о движении корабля относительно какой-либо системы отсчета (например, поверхности еоды), необходимо вести наблюдения и за этой системой (видеть, как удаляются предметы, лежащие на воде, и т. п.).
К началу XX в. выяснилось, что не только механические, но и тепловые, электрические, оптические и все другие процессы и явления природы протекают совершенно одинаково во всех инерциальных системах отсчета. На этом основании Эйнштейн в 1905 г. сформулировал обобщенный принцип относите л ьности, названный впоследствии принципом относительности Эйнштейна:
во всех инерциальных системах отсчета все физические процессы протекают совершенно одинаково (при одинаковых условиях).
Этот принцип наряду с положением о независимости скорости распространения света в вакууме от движения источника света (см. § 20) лег в основу специальной теории относительности, разработанной Эйнштейном.
Законы Ньютона и другие рассмотренные нами законы динамики выполняются только в инерциальных системах отсчета. В неинерциальных системах отсчета эти законы, вообще говоря, уже несправедливы. Рассмотрим простой пример, поясняющий последнее утверж* дение.
На совершенно гладкой платформе, движущейся равномерно и прямолинейно, лежит шар массой т; на этой же платформе находится наблюдатель. Другой наблюдатель стоит на Земле недалеко от места, мимо которого вскоре должна пройти платформа. Очевидно, что оба наблюдателя связаны с инерциальными системами отсчета.
Пусть теперь, в момент прохождения мимо наблюдателя, связанного с Землей, платформа начнет двигаться с ускорением а, т. е. сделается неинерциальной системой отсчета. При этом шар, ранее покоившийся относительно платформы, придет (относительно нее же) в движение с ускорением а, противоположным по направлению и равным по величине, ускорению, приобретенному платформой. Выясним, как выглядит поведение шара с точек зрения каждого из наблюдателей.
Для наблюдателя, связанного с инерциальной системой отсчета —— Землей, шар продолжает двигаться равномерно и прямолинейно в полном соответствии с законом инерции (поскольку на него не действуют никакие силы, кроме силы тяжести, уравновешиваемой реакцией опоры).
Наблюдателю, связанному с неинерциальной системой отсчета — платформой, представляется иная картина: шар приходит в движение и приобретает ускорение —— а без воздействия силы (поскольку наблюдатель не обнаруживает воздействия на шар каких-либо других тел, сообщающих шару ускорение). Это явно противоречит закону инерции. Не выполняется и второй закон Ньютона: применив его, наблюдатель получил бы, что 0 (сила) = — ma, а это невозможно, так как ни т, ни а не равны нулю.
Можно, однако, сделать законы динамики применимыми и для описания движений в неинерциальных системах отсчета, если ввести в рассмотрение силы особого рода — силы инерции. Тогда в нашем примере наблюдатель, связанный с платформой, может считать, что шар пришел в движение под действием силы инерции
尸н = — ma・
Введение силы инерции позволяет записывать второй закон Ньютона (и его следствия) в обычной форме (см. § 7); только под действующей силой надо теперь понимать результирующую «обычных» сил (F) и сил инерции (FJ
F + FH = та, (19)
где т — масса тела, а ——его ускорение.
Силы инерции мы назвали силами «особого рода», во-первых, потому, что они действуют только в неинерциальных системах отсчета, и, во-вторых, потому, что для них в отличие от «обычных» сил невозможно указать, действием каких именно других тел (на рассматриваемое тело) они обусловлены. Очевидно, по этой причине к силам инерции невозможно применить третий закон Ньютона (и его следствия); это является третьей особенностью сил инерции.
Невозможность указать отдельные тела, действием которых (на рассматриваемое тело) обусловлены силы инерции, не означает, конечно, что возникновение этих сил вообще не связано с действием каких-либо материальных тел. Имеются серьезные основания предполагать, что силы инерции обусловлены действием всей совокупности тел Вселенной (массой Вселенной в целом).
Дело в том, что между силами инерции и силами тяготения существует большое сходство: и те и другие пропорциональны массе тела, на которое они действуют, и потому ускорение, сообщаемое телу каждой из этих сил, не зависит от массы тела. При определенных условиях эти силы вообще невозможно различить. Пусть, например, где-то в космическом пространстве движется с ускорением (обусловленным работой двигателей) космический корабль. Находящийся в нем космонавт будет при этом испытывать силу, прижимающую его к «полу» (задней по отношению к направлению движения стенке) корабля. Эта сила создаст точно такой же эффект и вызовет у космонавта такие же ощущения, какие вызвала бы соответствующая сила тяготения.
Если космонавт считает, что его корабль движется с ускорением а относительно Вселейной, то он назовет действующую на него силу силой инерции. Если же космонавт будет считать свой корабль неподвижным, а Вселенную — несущейся мимо корабля с таким же ускорением а, то он назовет эту силу силой тяготения. И обе точки зрения будут совершенно равноправными. Никакой эксперимент, выполненный внутри корабля, не сможет доказать правильность одной и ошибочность другой точки зрения.
Из рассмотренного и других аналогичных примеров следует, что ускоренное движение системы отсчета эквивалентно (по своему действию на тела) возникновению соответствующих сил тяготения. Это положение получило название принципа эквивалентности сил тяготения и инерции (принципа эквивалентности Эйнштейна)} данный принцип положен в основу общей теории относительности.
Силы инерции возникают не только в прямолинейно движущихся, но и во вращающихся неинерциальных системах отсчета. Пусть, например, на горизонтальной платформе, могущей вращаться вокруг вертикальной оси, лежит тело массой т, связанное с центром вращения О резиновым шнуром (рис. 18). Если платформа начнет вращаться с угловой скоростью з (и, следовательно, превратится в неинерци- ,то благодаря трению тело тоже будет вовлечено во вращение. Вместе с тем оно будет перемещаться в радиальном направлении от центра платформы до тех пор, пока возрастающая сила упругости растягивающегося шнура
не остановит это перемещение. Тогда тело начнет вращаться на расстоянии г от центра О.
С точки зрения наблюдателя, связанного с платформой, перемещение шара относительно нее обусловлено некоторой силой 尸匸皿 Это есть сила инерции, псюкольку она не вызвана действием на шар других определенных тел; ее называют центробежной силой инерции. Очевидно, что центробежная сила инерции равна по величине и противоположна по направлению силе упругости растянутого шнура, играющей роль центростремительной силы, которая действует на тело, вращающееся по отношению к инерциальной системе (см. § 13) Поэтому
А1.н =俏炉乙(20)
следовательно, центробежная сила инерции пропорциональна расстоянию тела от оси вращения.
Подчеркнем, что центробежную силу инерции не следует смешивать с «обычной» центробежной силой, упомянутой в конце § 13. Это силы различной природы, приложенные к разным объектам: центробежная сила инерции приложена к телу, а центробежная сила — к связи.
В заключение отметим, что с позиции принципа эквивалентности сил тяготения и инерции простое объяснение получает действие всех центробежных механизмов: насосов, сепараторов и т. п. (см. § 13).
Любой центробежный механизм можно рассматривать как вращающуюся неинерциальную систему, вызывающую появление поля тяготения радиальной конфигурации, которое в ограниченной области значительно превосходит поле земного тяготения. В этом поле более плотные частицы вращающейся среды или частицы, слабо связанные с ней, отходят к ее периферии (как бы идут «ко Дну»).
§ 15. Вес тел. Ускорение силы тяжести. Невесомость
Введение сил инерции упрощает и делает более наглядным решение целого ряда вопросов и задач о движении тел в неинерциальных системах. Получим сейчас уточненные выражения веса тела и уско
IIIIрения силы тяжести (см. § 12).
I
I
I
I
Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести. Вес тела равен силе, с которой неподвижное относительно Земли и находящееся в пустоте тело давит на горизонтальную опору или растягивает пружину вследствие притяжения к Земле.
Таким образом, вес тела равен силе тяжести; поэтому мы зачастую будем пользоваться этими терминами как равнозначными.
Если бы Земля не имела суточного вращения, то вес тела равнялся бы силе тяготения тела к Земле, определяемой по формуле (15). Благодаря суточному вращению Земли (в котором участвуют
и все земные тела) на тело М, лежащее на земной поверхности, кроме силы тяготения F, направленной по радиусу R к центру О Земли, действует центробежная сила инерции F^, направленная по линии продолжения радиуса г от оси вращения Земли (рис. 19). Разложим Ftt>11
н.н— в на-н.н— в на-на две составляющие:尸‘1rH——в направлении радиуса /? и 尸［
н.н— в на-
н.н— в на-
уравновеши-уравновеши-правлении, пер пенди кул яр ном /?. Составляющая £г/ц.и
уравновеши-
уравновеши-
вается силой трения тела о земную поверхность; составляющая Ff^n
противодействует силе тяготения тела к Земле. Поэтому сила притяжения тела к Земле, т. е. вес Р тела, выразится разностью силы тяготения 尸 и составляющей центробежной силы инерции 尸［и:
Р =尸一К.и =尸一Гц.и cos %
где <р — географическая широта местонахождения тела. Учитывая формулы (15) и (20), получим
Р = Т —^—加о?，cos %
где m — масса тела, М — масса Земли, со = 7,3 • 10~5 рад/с —угловая скорость суточного вращения Земли. Но г = /? cos ср, поэтому
р = 丫嗡一 m^R C0S2.(21)
Из формулы (21) следует, что вес тела зависит от широты места: уменьшается от полюса к экватору благодаря увеличению в этом направлении cosq)и R (см. § 13). На полюсе
Р = I -^丁，на экваторе Р = 丁 —团炉欠.
Так как ускорение силы тяжести g = —, то т
g = Т 章—G)2R C0S2 % (22)
Следовательно, ускорение силы тяжести также уменьшается от полюса к экватору. Правда, это уменьшение столь мало (не превышает 0,5%), что во многих практических расчетах его не учитывают.
С помощью сил инерции можно просто объяснить так называемое состояние невесомости, Тело, подверженное этому состоянию, не оказывает давления на опоры, даже находясь в соприкосновении с ними; при этом тело не испытывает деформации.
Состояние невесомости наступает в случае, когда на тело действует только сила тяготения, т. е. когда тело свободно движется в поле тяготения.
Это имеет место, например, в искусственном спутнике Земли, выведенном на орбиту и свободно движущемся в поле земного тяготения, т. е. вращающемся вокруг Земли (см. § 19).
При вращательном движении возникает, как мы уже знаем, центробежная сила инерции. Так как центробежная сила инерции, действующая на каждую частицу тела, находящегося в спутнике (и самого спутника), равна по величине и противоположна по направлению силе тяготения, действующей на соответствующую частицу, то эти силы взаимно уравновешиваются. В результате тело не подвергается деформации и не оказывает давления на стенки спутника (и другие возможные опоры), т, е. оно оказывается невесомым.
Невесомыми становятся и тела, находящиеся в космическом корабле, свободно (с выключенными двигателями) перемещающемся по любой траектории в безвоздушном пространстве в поле тяготения. Разумеется, что вместе со всеми телами, находящимися в корабле, становится невесомым и космонавт.
Физиологическое ощущение невесомости у космонавта выражается в отсутствии привычных напряжений и нагрузок, которые обусловлены силой тяжести. Прекращается деформация внутренних органов, исчезает постоянное напряжение ряда скелетных мышц, нарушается деятельность вестибулярного аппарата (обеспечивающего чувство равновесия человека), пропадает чувство 《верха》 и «низа», осложняется осуществление некоторых естественных функций организма. Столь привычные действия, как, например, выливание воды из сосуда, тоже вызывают затруднения: воду теперь приходится буквально вытряхивать
из сосуда.
Для устранения перечисленных и других трудностей при длительном пре* бывании человека в космосе на космической станции предполагается создавать
искусственную «весомость». С этой целью станцию будут конструировать в виде большого вращающегося диска с рабочими помещениями, расположенными на его периферии. Возникающая при этом центробежная сила инерции будет выполнять роль недостававшей силы тяготения.
С вращением Земли вокруг своей оси связано еще одно немаловажное явление: отклонение тел, движущихся по земной поверхности, от первоначального направления. Пусть тело массой т, двигаясь прямолинейно в северном полушарии, например вдоль меридиана, переместилось с широты 屮1， которой соответствует линейная скорость вращения Ui, на широту ср2, которой соответствует скорость о? (рис. 20). Сохраняя по инерции свою первоначальную скорость вращения 勿，тело будет иметь на широте 屮？ большую
р 20скорость вращения, чем находящаяся под ним
1 *земная поверхность. Иначе говоря, на широте
屮2 тело приобретает ускорение。长 относительно земной поверхности, направленное вправо перпендикулярно к перемещению s тела. В результате тело отклонится вправо от первоначального (меридионального) направления движения и его траектория (относительно земной поверхности) окажется криволинейной.
Наблюдатель, связанный с вращающейся Землей (и потому не замечающий ее вращения), объяснит данное явление действием на тело некоторой силы инерции, направленной вправо перпендикулярно к скорости перемещения тела и равной по величине FK = maK. Эта сила получила название кориолисовой силы, или силы Кориолиса.
Сила Кориолиса действует только на движущиеся (относительно Земли) тела. Будучи перпендикулярной к скорости движения тела, она изменяет только направление, но не величину этой скорости; в северном полушарии кориолисова сила направлена вправо, в южном полушарии — влево. Во избежание недоразумений подчеркиваем, что сила Кориолиса возникает при любом (а не только при меридиональном) направлении движения тел.
Величина силы Кориолиса пропорциональна скорости движения тела, его массе и угловой скорости суточного вращения Земли. Поскольку угловая скорость вращения Земли невелика, сила Кориолиса может принимать боль
шие значения и вызывать существенные отклонения только у тел, движущихся с большой скоростью (например, у находящихся в полете межконтинентальных баллистических ракет).
Если движение тел на земной поверхности ограничено (в боковом направлении) какой-либо связью, то тело будет давить на эту связь с силой, равной кориолисовой. При длительном воздействии сила Кориолиса, несмотря на ее сравнительно малую величину, вызывает заметный эффект. Благодаря ей реки северного полушария подмывают правые берега (закон Бера), а воздушные течения приобретают правое вращение (по часовой стрелке). Действием силы Кориолиса обусловлен и повышенный износ правого рельса железнодорожных путей в северном полушарии.
Задача 6. К сухожилию длиной / = 12 см и диаметром d= 1,6 мм подвесили груз F = 68,6 Н. При этом оно удлинилось до 厶=12,3 см. Определить модуль упругости Е сухожилия.
сухожилия.сухожилия.Решение. Сухожилие подвергается деформации одностороннего растяжения, поэтому, согласно формуле (12),
сухожилия.
сухожилия.
где S ——площадь поперечного сечения, А/ ——величина удлинения
冗猎Так как о = 4冗猎Так как о = 43,14 . 1,62 • IO"6 м23,14 . 1,62 • IO"6 м244=2 ・ g м2,=2 ・ g м2,
冗猎
Так как о = 4
冗猎
Так как о = 4
3,14 . 1,62 • IO"6 м2
3,14 . 1,62 • IO"6 м2
4
4
=2 ・ g м2,
=2 ・ g м2,
аатотоД/ =厶一/ = 0,123 м — 0,120 м = 0,003 м,
а
а
то
то
с68,6Н . 0,12м,
Е == 1,4* 10^ Па.
2 • 10-« м2 . 3 . 10~3'
Задача 7. Найти силу тяги 尸，развиваемую мотором автомобиля, движущегося в гору с ускорением а= 1м/с2 (рис. 21). Уклон горы равен 1 м на каждые 25 м пути, масса автомобиля т=1000 кг, коэффициент трения 々=0,1.
Р е ш е н и е. Выразим вес автомобиля:
Р = mg.
Разложим его на две составляющие (рис. 21): силу 尸 1, скатывающую автомобиль с
горы (параллельно поверхности горы), и силу 尸2， прижимающую его к поверхности горы, т. е. силу нормального давления (перпендикулярна к поверхности горы).
Мотор движущегося в гору автомобиля должен преодолевать скатывающую силу 尸 1 и силу трения FTp; кроме того, он должен обеспечить автомобилю ускорение а. Поэтому сила тяги
F = Fi + Ftp +尸 уск，
где Еуск — сила, сообщающая автомобилю ускорение а.
Угол а наклона горы равен углу между силами F2Hp (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами), а по условию задачи
sin а = ^^ = 0,04.
По второму закону Ньютона,
Р g *
Согласно формуле (13),尸тр =论尸2 =论Р cos а.
ТогдаТогда尸=Р sin а + /гР сев а + Р — g尸=Р sin а + /гР сев а + Р — gsin а + 论 cos а +sin а + 论 cos а +7)^7)^= 9,8 . 103Н 0,04 + 0,1 • ]Л1 — 0,0亚 += 9,8 . 103Н 0,04 + 0,1 • ]Л1 — 0,0亚 +1м/с2 \ —9,8 м/с2 )=1м/с2 \ —9,8 м/с2 )=2352 H.2352 H.
Тогда
Тогда
尸=Р sin а + /гР сев а + Р — g
尸=Р sin а + /гР сев а + Р — g
sin а + 论 cos а +
sin а + 论 cos а +
7)^
7)^
= 9,8 . 103Н 0,04 + 0,1 • ]Л1 — 0,0亚 +
= 9,8 . 103Н 0,04 + 0,1 • ]Л1 — 0,0亚 +
1м/с2 \ —
9,8 м/с2 )=
1м/с2 \ —
9,8 м/с2 )=
2352 H.
2352 H.
Задача 8. Определить линейную скорость 。 движения Земли вокруг Солнца, принимая массу Солнца М — 2 • 1030 кг и расстояние от Земли до Солнца R = 1,5 • 108 км. Орбиту Земли считать круговой.
Решение. На орбите Землю удерживает центростремительная сила Гц, роль которой играет сила притяжения Солнца F. Поэтому Гц = 尸.Но, согласно формулам (15) и (18),
тМ mv2尸= 7-^7 и = — *
где tn — масса Земли, у = 6,67 • Ю-11 Н • м2/кг2 ■ гравитационная постоян ная. Тогда
/пи?加 м
Рис. 22Рис. 22
Рис. 22
Рис. 22
откуда
_/巫—/ 6,67 • 10-u Н • м2/к「2 ・ 2 • 103。кг
"=I/ к = У1,5 . 10п м
=29,8 • 103 м/с = 29,8 км/с.
Задача 9. Летчик массой 加=70 кг описывает в самолете, летящем со скоростью и = 360 км/ч, вертикальную петлю Нестерова радиусом R = 400 м. Определить силу, прижимающую летчика к сиденью в верхней и в нижней точках этой петли.
Решение. Воспользуемся представлением о силах инерции (см. § 14). В неинерциальной системе отсчета — самолете； делающем вертикальную петлю Нестерова, на летчика действуют две силы: его вес Р и центробежная сила инерции 户&н. Поэтому сила 尸，прижимающая летчика к сиденью в любой точке петли, равна геометрической сумме сил 尸“.н и Р.
Из рис. 22 следует, что в верхей точке петли эта сила равна Fi = Гц.и——Р, а в нижней точке 尸？= =Fu.h+ Р, где Р = mg.
Так как центробежная сила инерции выражается той же формулой (18), что и центростремительная сила, то
/n唄
—^- , тогда
т$
=F~ — mg =
70 KF • 104 м2/с2 —
400 м
686 Н= 1064 Н
F% =
十 mg = 2436 Н,
Глава III. Работа и энергия
§ 16. Работа и мощность
Пусть под действием постоянной силы F тело В совершило перемещение s. Очевидно, что перемещение тела обусловлено только ка
сательной (к траектории) составляющей силы Fcosa, которую мы будем называть движущей силой; нормальная составляющая силы не вызывает перемещения тела по пути s (рис. 23). Для характеристики перемещающего действия силы вводится понятие работы.
Работа равна произведению постоянной движущей силы на величину перемещения'.
4 =(尸 COS a) s = Fs • cos a. (1)
a = 90° сила не совершаетa = 90° сила не совершаетПри 0<a<90° работа положительна —сила вызывает перемещение тела; при 90°<а<180° работа отрицательна — сила препятствует движению тела; при
a = 90° сила не совершает
a = 90° сила не совершает
работы по перемещению тела. Если направления силы и перемещения совпадают (а = 0), то
⑵⑵4 = Fs.
⑵
⑵
Если тело перемещается под действием нескольких сил, то совершаемая ими работа равна сумме работ всех этих сил (т. е. равна работе результирующей этих сил). Отметим, что работа, определяемая произведением векторов силы и перемещения на косинус угла между ними, является скалярной величиной. Физический смысл работы будет выяснен позже (см. § 17 и 18) в связи с понятием энергии.
Единицей измерения работы является джоуль (Дж). Джоуль — это работа, совершаемая силой в 1 Н при перемещении тела на 1 м в направлении действия силы:
Дж = Н • м.
F coszF coszРис. 24Рис. 24В случае переменной силы и криволинейного пути надо разбить весь путь s на столь малые (практически прямолинейные) отрезки A si, A s2, Л s3,.・., As〃, чтобы силы, действующие на каждом из них, можно было считать постоянными и соответственно равными 尸м Тогда полная работа на всем пути
F cosz
F cosz
Рис. 24
Рис. 24
Л = 2 &A"cosaz.
Если график переменной силы изображается кривой ВС, то работа на t-м отрезке пути графически представляется площадью узкого прямоугольника abed, а полная работа на всем пути — площадью фигуры OBCD (рис. 24).
Если путь OD разбит на бесконечно малые отрезки ds, то сумма, стоящая
в правой части последней формулы, переходит в интеграл и выражение работы представляется в виде
0D
{ = ) F cos a ds.
б
Для оценки эффективности механизма важно знать, как быстро совершает он данную работу. С этой целью вводится понятие мощное- ти.
Мощность N измеряется отношением работы ДД к промежутку времени Д/, за который она совершена:
(3)(3)N =——
(3)
(3)
А/
В случае движения тела с постоянной скоростью и под действием силы F (преодолевающей сопротивление движению) мощность может быть выражена формулой
АД 尸• As 口
N === Fv.
Д/ А/
Единицей измерения мощности в СИ служит ватт (Вт). Ватт — это мощность, при которой работа в 1 Дж совершается за время 1 с:
Вт = Дж/с.
В случае переменной мощности вводятся понятия средней мощности
3后
и мгновенной мощности
NN=ИглАЮ=ИглАЮАД dAАД dA
N
N
=Игл
АЮ
=Игл
АЮ
АД dA
АД dA
подробно тому, как вводились понятия средней и мгновенной скоростей (см. § 4).
Энергия
Энергия является важнейшей физической величиной, характеризующей способность тела или системы тел совершать работу; она измеряется величиной максимальной работы, которую при определенных Заданных) условиях может совершить эта система. Например, катящийся шар, сталкиваясь с некоторым телом, перемещает его, т. е. совершает работу. Следовательно, катящийся шар обладает энергией. Растянутая пружина, сокращаясь после устранения деформирующей силы, совершает работу по перемещению своих частей (витков) или какого-либо другого тела. Следовательно, растянутая пружина обладает энергией. Система, состоящая из земного шара и расположенного на некоторой высоте над ним тела, обладает энергией, так как при устранении связи, удерживающей тело на высоте, оно начнет двигаться (падать) и может совершать работу. Подчеркнем,
что катящийся шар, деформированная пружина и поднятое над Землей тело обладают энергией независимо от того, совершают они в данный момент работу или нет: энергия характеризует состояние системы^ способность (возможность) системы к совершению работы при переходе из одного состояния в другое.
Обычно за другое (конечное) состояние системы принимают такое ее состояние, называемое анормальным, в котором она уже не может совершать работу при данных условиях за счет энергии данного вида. Так, например, для растянутой пружины нормальным состоянием является такое, при котором полностью ликвидирована ее деформация, для приподнятого над Землей тела——такое, при котором оно пришло в соприкосновение с земной поверхностью, и т. п.
Из приведенных примеров видно, что энергия связана либо с дви- жением системы или ее частей — в этом случае она называется кине- тической, либо с взаимным расположением взаимодействующих частей системы —— в этом случае она называется потенциальной * *. Потенциальная энергия тесно связана с существованием полей (гравитационных, электрических, магнитных и т. д.).
Изменение энергии измеряется работой, которую может совершить система, переходя из данного состояния в другое. Иными словами, работа Л, совершаемая системой при переходе из одного состояния в другое, равна разности энергий, присущих системе в этих состояниях:
4 = ⑷
где 呼° н Wn ——энергии системы в исходном и конечном состояниях. В соответствии с этим определением получим конкретные выражения энергии для некоторых простейших (механических) систем.
Кинетическая энергия тела. Пусть под действием постоянной тормозящей силы F (например, силы трения) тело массой /и, совершив перемещение s при прямолинейном движении, изменило свою скорость от 叫 до 0n. Тогда работа, совершенная телом против силы торможения,
А = Fs = mas. (5}
Так как движение тела будет равнозамедленным, то
〃 _ % % и
/ 2
где а — ускорение, t — время прохождения телом пути s (см. § 5). Подставляя выражения а н s в формулу (5), после простых преобразований получим
Из сопоставления формул (4) и (6) следует, что величина
представляет собой кинетическую энергию тела. Таким образом, работа. совершаемая движущимся телом у равна изменению (убыли} его кинетической энергии. Если в конце рассматр иваемого перемещения тело останавливается (ип = 0), то совершенная максимальная работа будет равна величине кинетической энергии тела в начале перемещения.
Пользуясь уже применявшимся нами приемом разбивки трактории тела на малые отрезки, было бы несложно доказать, что формула (6) справедлива и в общем случае криволинейного пути и переменной силы.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Определим, например, потенциальную энергию 呼 1T упруго растянутого стержня. Она должна равняться максимальной работе Л, совершаемой силами упругости, восстанавливающими первоначальный размер и форму стержня:
% = 4
Упругая сила равна по величине^
£=,
где % и S — длина и площадь поперечного сечения недеформированно- го стержня, Дх — его удлинение при деформации, Е ——модуль упругости (см. § 10, рис. 14). При вычислении работы Л надо иметь в виду, что сила упругости является переменной величиной: она линейно зависит от удлинения Ах, изменяясь от нуля (при △% = 0) до 尸.Поэтому можно считать, что при перемещении, равном Дх, действует средняя сила упругости
戸=空士 =丄乩
22
Тогда
Следовательно^
呼1,=月筝，(7)
где величина k =сохраняет смысл и размерность коэффициента пропорциональности в законе Гука (см. § 10). Итак, потенциальная энергия упруго растянутого стержня пропорциональна квадрату его удлинения. Отметим, что и при всех других видах дефюрмации
(см. § 10) потенциальная энергия тоже будет пропорциональна квадрату величины деформации (смещения).
Потенциальная энергия тела в гравитационном поле. Определим потенциальную энергию тела массой /и, находящегося в гравитационном поле другого тела массой М на расстоянии г0 от него (рис. 25). Для этого рассчитаем работу Л перемещения первого тела на пути х, соответствующем максимальному сближению тел.
Учитывая переменный характер силы тяготения, разобьем путь на достаточно малые отрезки Дг, на каждом из которых можно считать
Рис. 25
силу тяготения постоянной. Величина силы тяготения на первом отрезке Дг4 изменяется от ^Mtn/rl до ^Мт/rt Положим, что на отрезке- △〃 действует постоянная сила 尸公 равная среднему геометрическому (см. § 3) этих сил:
口 Г о М2т2 Мт
Тогда для работы перемещения тела на отрезке Дг4 = %——г^ получим выражение
А4 = & • а 1 (仆一G)， или
Путем аналогичных рассуждений найдем выражения работы на других отрезках А”，△%，…，厶厂…△%：
Складывая эти равенства, получим после несложных преобразований искомую работу Д:
(8)(8)Отметим, что формулу (8) было бы проще вывести посредством интегрирования:Отметим, что формулу (8) было бы проще вывести посредством интегрирования:где 丫 ——переменное расстояние между центрами тяготеющих масс. Знак минус перед интегралом поставлен в связи с тем, что для сближающихся масс величина dr отрицательна, тогда как работа dA = Fdr должна быть положительной, поскольку перемещение массы происходит в направлении действия силы.где 丫 ——переменное расстояние между центрами тяготеющих масс. Знак минус перед интегралом поставлен в связи с тем, что для сближающихся масс величина dr отрицательна, тогда как работа dA = Fdr должна быть положительной, поскольку перемещение массы происходит в направлении действия силы.Л = 7!
(8)
(8)
Отметим, что формулу (8) было бы проще вывести посредством интегрирования:
Отметим, что формулу (8) было бы проще вывести посредством интегрирования:
где 丫 ——переменное расстояние между центрами тяготеющих масс. Знак минус перед интегралом поставлен в связи с тем, что для сближающихся масс величина dr отрицательна, тогда как работа dA = Fdr должна быть положительной, поскольку перемещение массы происходит в направлении действия силы.
где 丫 ——переменное расстояние между центрами тяготеющих масс. Знак минус перед интегралом поставлен в связи с тем, что для сближающихся масс величина dr отрицательна, тогда как работа dA = Fdr должна быть положительной, поскольку перемещение массы происходит в направлении действия силы.
Из сопоставления формул (4) и (8) следует, что величина
МтМт(9)(9)
Мт
Мт
(9)
(9)
представляет собой потенциальную энергию тяготения. Знак минус обусловлен тем, что по мере самопроизвольного сближения тяготеющих тел их потенциальная энергия должна уменьшаться, переходя в кинетическую. В этой связи уместно отметить, что всякая предоставленная самой себе система стремится перейти в состояние, соответствующее минимуму потенциальной энергии. Из формулы (9) следует, что максимальное значение потенциальной энергии (吼=0) тяготеющие тела будут иметь в том случае, когда они бесконечно удалены (г = оо) друг от друга.
Итак, формулы (8) и (9) показывают, что работа перемещения тела между двумя точками гравитационного поля равна разности потенциальных энергий тела в этих точках:
4 = ”/-(%)〃•
Работа по перемещению в гравитационном поле единицы массы (/и = 1) из рассматриваемой точки на бесконечность (尸п = оо) называется потенциалом гравитационного поля (У) этой точки. Согласно формуле (8)
V ДМ
или вообще,
V =—，(10)
где г ——расстояние точки от массы М, создающей поле.
Из формул (9) и (10) найдем связь между потенциальной энергией тяготения тела массой т и потенциалом гравитационного поля:
(И)(И)из которой следует, что гравитационный потенциал точки поля численно равен потенциальной энергии единичной массы, находящейся в этой точке. Поэтому единицей измерения потенциала является Дж/кг.
(И)
(И)
Сопоставляя формулы (8) и (10), получим
4 =加(匕一Vn) — — m(Vn — %),
(12)(12)где Vo и Vn — гравитационные потенциалы двух точек поля. Таким образом, работа по перемещению тела между двумя точками 6 гравитационном поле равна произведению массы тела на、
(12)
(12)
разность потенциалов этих
точек, взятому с обрат
ным знаком.гп丿
В гравитационном поле ма
неподвижной массы М пе-С
реместим тело массой т,р ' 26
Причем совершим это пе-ис*
ремещение по нескольким
различным траекториям — 7, 2 и 3 (рис. 26). Согласно формуле (8) работа, совершенная при каждом из этих перемещений, одинакова. Следовательно, работа по перемещению тела 6 гравитационном поле не зависит от формы пути, а зависит только от разности гравитационных потенциалов начала и конца пути. Отметим, что силы, работа которых (или против которых) не зависит от формы пути, называются потенциальным и, а поле этих сил —— потенциальным.
Определим теперь потенциальную энергию тела массой т, находящегося на небольшой высоте Л над земной поверхностью. Заменяя в формуле (9) г на R + 九，где R — радиус Земли, получим
где М ——масса Земли. Так как 九《R, то /i/R《l; поэтому (пренебрегая величиной 胪/R? в сравнении с единицей) можно считать, что
Тогда
но 7 — = g [см. § 12, формула (17)]. Поэтому
% = -7号+加g力，% = -7号+加g力，(13)(13)
% = -7号+加g力，
% = -7号+加g力，
(13)
(13)
где — 7 ^- есть потенциальная энергия тела, находящегося на уров
не земной поверхности.
В задачах на притяжение Землей тел, лежащих на земной поверхности, их потенциальную энергию обычно принимают равной нулю. Тогда из формулы (13) получим выражение
(14)(14)呼 n = mgh, известное из школьного курса физики.
(14)
(14)
Закон сохранения и превращения энергии
Механическая энергия (см. § 17) является лишь одним из многих видов энергии. В настоящее время кроме механической энергии известны химическая, электрическая, электромагнитная (в частности, лучистая), ядерная и другие виды энергии, с которыми мы ознакомимся в соответствующих разделах курса. В природе и технике постоянно имеют место переходы (превращения) энергии из одних видов в другие. Приведем примеры процессов, сопровождающихся превращением энергии, объединив их для наглядности в таблицу. При рассмотрении таблицы следует не забывать, что при любых превращениях энергии некоторая ее часть непременно превращается в теп* лоту (энергию беспорядочного движения молекул); это обстоятельство в таблице не отражено.
Процесс или прибор
Превращение энергии
из вида
в вид
Электромашинный генератор (§ 106, 109)
Гальванический элемент Электродвигатель (§100, 109) Зарядка аккумулятора Фитосинтез (§ 120) Фотоэффект (§ 136) Ядерный реактор (§ 143)
Механическая
Химическая Электрическая
»
Электрома гнитная
》
Ядерная
Электрическая
Механическая Химическая
》
Электрическая
Механическая, электромагнитная и др.
Полная энергия системы W складывается из всех присущих системе видов энергии. Опыт показывает, что какие бы превращения энергии ни происходили в изолированной системе,
величина полной энергии изолированной системы остается постоянной:
W = const.
При этом,
будучи несозидаемой и неуничтожаемой, энергия может превра- щаться из одних видов 8 другие.
Эти положения являются наиболее общей формулировкой закона сохранения и превращения энергии: в ней отражены основные свойства энергии — количественная неизменность и качественная изменчивость.
Применительно к неизолированным системам закон сохранения и превращения энергии формулируется так:
изменение энергии AW неизолированной системы равно работе 4, совершаемой системой:
A呼=一4
Если работа совершается внутренними силами самой системы, то 4>0 и энергия системы убывает. Если же работа совершается внешними силами над системой, то А<0 и энергия системы возрастает. К более углубленному рассмотрению закона сохранения и превращения энергии мы еще вернемся в связи с изучением термодинамических процессов (см. ч. II, гл. XI).
Следует подчеркнуть, что закон сохранения и превращевия энергии является результатом обобщения многовекового опыта и имеет большую историю. Идея этого закона была выражена еще в 1748 г. М. В. Ломоносовым в его законе сохранения материи и движения, изложенном им впервые в письме к Эйлеру: «Все перемены, в натуре случающиеся, такого суть состояния, что сколько чего у одного тела отнимается, столько присовокупится к другому. Так, ежели где убудет несколько материи, то умножится в другом месте; сколько кто часов положит на бдение, столько же от сна отнимет. Сей всеобщий естественный закон простирается и в самые правила движения, ибо тело, движущее своей силой другое, столько же оную у себя теряет, сколько сообщает другому, которое у него движение получает».
Последующие работы по изучению взаимосвязи процессов: механических и тепловых (Деви — 1800 г., Карно — 1824 г., Якоби — 1834 г.), химичес- ких и электрических (Вольта — 1799 г.), механических и электрических (①а- радей — 1831 г., Ленц — 1833 г.), химических и тепловых (Гесс 一 1840 г.), тепловых и электрических (Пельтье — 1834 г., Джоуль — 1841 г., Ленц.-* 1842 г.) и обобщающие исследования Майера (1842——1845 гг .) и Гельмгольца (1847 г.) — привели к установлению всеобщего закона сохранения и превращения энергии. Датой его окончательной формулировки можно считать 1860 г., когда Кельвин ввел термин «энергия» вместо термина «сила природы».
Закон сохранения и превращения энергии является всеобщим законом природы, не имеющим исключений; вновь открываемые процессы и явления лишь подтверждают его. Однако именно ввиду всеобщности закона он не имеет общего теоретического доказательства и может быть теоретически выведен только для частных случаев (конкрег- ных процессов).
呼n = mg (Л —ДЛ),呼n = mg (Л —ДЛ),
呼n = mg (Л —ДЛ),
呼n = mg (Л —ДЛ),
Рассмотрим в качестве примера частного доказательства закона сохранения и превращения энергии падение тела на Землю с высоты ”，на которой оно первоначально покоилось (рис. 27). В данной задаче систему тело ——Земля можно считать изолированной. Ее полная энергия W в любом состоянии равна сумме потенциальной энергии тяготения Wn, кинетической энергии тела 取к.т и кине" тической энергии Земли 取к.з・ Имеется в виду кинетическая энергия «падения» Земли: Земля смещается навстречу телу, но это смещение столь мало, что в обычных расчетах никогда не принимается во внимание.
В начальном состоянии 1 Wn = mgH, а 取к.т =哪.3 = 0, поэтому
呼1 =呼" +呼K.T+W^.3 = mg"・
В процессе падения тела потенциальная энергия системы, уменьшаясь, переходит в кинетические энергии тела и Земли. Поэтому для некоторого состояния 2 системы можно написать:
• 2g ("—九)=mg ("—九),
где A h — смещение Земли, а — ускорение на этом смещении, М —масса Земли, ?т н ?з — скорости движения (падения) тела и Земли. Так как
ammg
—=, то а = —- •
g ММ
Тогда
Л4 mg …*
Поэтому
呼2 = % + 叭.т + 叭.з = mg (九一A九)+ mg (H — h) + mg ・ Nh = mgH ・
Следовательно, Wi =呼2，т- e. полная энергия системы в состоянии /ив состоянии 2 одинакова. Поскольку состояние 2 выбрано совершенно произвольно, можно утверждать, что вообще полная энергия этой системы остается постоянной. А это утверждение соответствует закону сохранения и превращения энергии.
Закон сохранения и превращения энергии раскрывает физический смысл понятий энергии и работы. Рассматривая движение материи в широком смысле этого слова как всякий процесс, всякое изменение материи (а не только ее механическое перемещение), можно сказать,
что энергия есть количественная и качественная характеристика движения материи, а работа — количественная характеристика превращения одних форм движения материи 6 другие. Именно так определял понятие работы Ф. Энгельс: «Работа — это изменение формы движения материи, рассматриваемое с его количественной стороны». Таким образом, работа и энергия — различные физические величины, хотя они и имеют одинаковые единицы измерения.
§ 19. О космических скоростях
Так, для запуска искусствен-Так, для запуска искусствен-Как известно, для запуска искусственных космических тел — спутников, планет и звезд ——им необходимо сообщать определенные (довольно большие)
Так, для запуска искусствен-
Так, для запуска искусствен-
начальные скорости, называемые космическими, но го спутника Земли (вблизи Земли) ему должна быть сообщена скорость в горизонтальном направлении не менее 勿=8 км/с (круговая, или первая, космическая скорость). Для запуска искусственной планеты ей необходимо сообщить начальную скорость удаления от Земли не менее 。2 = 11,2 км/с (параболическая, или вторая, космическая скорость). Для запуска искусственной звезды в пределы Галактики она должна получить начальную скорость удаления от Земли не менее 办 = 16,7 км/с (третья космическая скорость), а для запуска искусственной звезды за пределы Галактики — и& = 290 км/с (четверо тая космическая скорость). Впервые в мире космические скорости (以 и с?) были достигнуты в СССР при запуске искусственного спутника (4 октября 1957 г.) и искусственной планеты (2 января 1959 г.).
На основании рассмотренных ранее законов механики мы можем вычислить указанные значения космических скоростей.
силасилаПервая космическая скорость. Для того чтобы тело двигалось вблизи Земли по круговой орбите / (рис. 28), т. е. стало искусственным
сила
сила
спутником, необходимо, чтобы действующая на него центростремительная равнялась силе тяготения:
他苏 mМ
R -§ 12R -§ 12где т ——масса тела, s ——касательная к орбите скорость его движения,
R -§ 12
R -§ 12
радиус орбиты, М — масса Земли, 丫 — гравитационная постоянная (см. “ и 13). При небольших высотах тела над Землей (порядка нескольких сотен километров) можно считать R х; R。= 6400 км, где Ro ——радиус Земли. Тогда
瓦=7驾
Но 7= g [формула (17), § 12]. Поэтому
% = MgRo =М 0,00981 • 6400 = 8 (км/с),
что соответствует первой космической скорости.
При скорости, большей s, тело будет двигаться по эллиптической орбите 2, а при скорости, равной и? (вторая космическая), начнет двигаться по параболической орбите 5 и уйдет из сферы земного притяжения.
Вторая космическая скорость. Для того чтобы тело вышло из сферы земного притяжения и стало обращаться вокруг Солнца, т. е. превратилось в искусственную планету, необходимо сообщить ему такую кинетическую энергию, которая равнялась бы работе перемещения тела с земной поверхности на бесконечность (практически — за пределы заметного влияния земного тяготения). Тогда, полагая в формуле (8) § 12 ro = Rq и 尸 =оо и учитывая, что работа внешних сил отрицательна (см. § 18), получим
где о? 一 начальная скорость отлета тела с Земли. Таким образом, искомая кинетическая энергия равна по величине потенциальной энергии тела, находящегося на земной поверхности. Отметим, что направление скорости и? может быть каким угодно: тело станет искусственной планетой при любом направлении скорости у2.
Из формулы (15) найдем
Рис. 29=—•(16)
Умножая и делая правую часть на Ro и учитывая, что 7 —=g получим
。2 = V^^aS = V2~ Oi 3= 1,4 *8 = 11,2 (км/с),
что соответствует второй космической скорости.
Третья космическая скорость. Для того чтобы тело вышло из сферы притяжения Солнца и удалилось в Галактику, превратившись в искусственную звезду, необходимо сообщить ему кинетическую энергию, равную работе перемещения тела с земной орбиты на бесконечность. Очевидно, что эта работа равна потенциальной энергии тела, находящегося в поле солнечного тяготения на расстоянии радиуса земной орбиты от Солнца (рис. 29):
где Мс — масса Солнца, R = 1,5 • 108 км ——радиус земной орбиты,。——с ко рость тела относительно Солнца. Тогда
о =о =
о =
о =
Умножая и деля подкоренное выражение на R^ и учитывая, что масса Солнца в 332 400 раз больше массы Земли, получим
М 332400R。2Rot 蕊М 332400R。2Rot 蕊33240 0 • 6400,
М 332400R。
2Rot 蕊
М 332400R。
2Rot 蕊
="2 Л/ '"' 15 Ло~ и 11 >2-3,7742,2 (км/с).
Скорость V можно сообщить телу в любом направлении. Очевидно, что выгод, нее всего сообщить ее в направлении касательной к земной орбите (см. рис. 29* так как в этом направлении тело уже имеет относительно Солнца орбитальную
скорость Земли “ = 29,8 км/с. Поэтому относительно Земли достаточно сообщить телу скорость
о = а — и = 42,2 — 29,8= 12,4 (км/с).
Следует, однако, учесть, что скорость и* тело должно иметь после выхода из поля тяготения Земли. Поэтому начальная скорость отлета тела с земной поверхности ?з должна быть несколько больше и*. Для определения % будем исходить из следующих соображений. Чтобы отлетающее с Земли тело могло уйти из сферы земного тяготения, сохранив после этого скорость и*, его кинетическая энергия в момент отлета должна равняться сумме потенциальной энергии тела на земной поверхности и кинетической энергии тела, движущегося со скоростью и*;
2
现03 Мm 他"2
откуда
2 М专=2Тh + "2,
или, согласно формуле (16),
电== / 11,22 + 12,42 = 16,7 (км/с), что соответствует третьей космической скорости.
Четвертая космическая скорость. При этой скорости земное тело смогло бы преодолеть тяготение Галактики и уйти во Вселенную. Расчет четвертой космической скорости довольно сложен, поэтому мы огранич- чимся приближенной оценкой ее значения исходя из следующих соображений.
Астрофизические наблюдения показывают, что среди звезд, движущихся вокруг центра Галактики на том же расстоянии, что и Солнце, не существует ни одной звезды, скорость которой превышала бы 285 км/с*. Это обусловлено, вероятно, тем, что 285 км/с есть та наибольшая скорость, при которой звезды (находящиеся в указанной области Галактики); еще могут оставаться в пределах Галактики; при большей скорости они уже не удерживаются нашей звездной системой. Следовательно, четвертая космическая скорость должна быть несколько больше 285 км/с, т. е. q 七 290 км/с.
Границы применимости классической механики
Рассмотренные нами законы механики получены на основе наблюдений над макроскопическими^* телами (т. е. телами, состоящими из огромного числа атомов), движущимися с небольшими скоростями (по сравнению со скоростью света). Механика макроскопических, не быстро движущихся тел получила название классической механики; ее законы вполне точны для таких тел. Однако в текущем столетии обнаружился целый ряд явлений, не согласующихся с законами и представлениями классической механики.
Было, например, открыто явление дифракции электронов, совершенно не присущее «классическим частицам» (телам). Здесь электрон проявляет свойства, присущие волне (см. § 126). Таким образом, электрон не является частицей в обычном (классическом) смысле слова.
Поэтому применение законов классической механики к электрону (и вообще ко всем микрочастицам) оказывается не всегда возможным.
В классической механике для движущегося тела всегда можно одновременно и точно (т. е. с точностью, допускаемой измерительными приборами) определить его координату % и скорость v (или импульс mv) и, следовательно, найти его траекторию. Между тем оказалось, что для микрочастиц это можно сделать лишь приближенно. Причем произведение неточностей («неопределенностей») Ах и Ди в одновременном определении координаты и скорости не может быть меньше величины 九/2冗/п:
ДхДи >,(17)
2兀
где т ——масса частицы, Л = 6,625 • 10~34 Дж ・ с ——величина, называемая постоянной Планка (см. § 131). Это положение известно как соотношение неопределенностей, или принцип Гейзенберга^^.
Из соотношения неопределенностей следует, что чем больше точность определения координаты частицы, тем меньше точность одновременного определения ее скорости, и наоборот.
Существенно, что невозможность одновременного точного определения координаты и скорости частицы не есть следствие несовершенства измерительных приборов и методов измерения (не есть обычная погрешность измерения). Это принципиальная невозможность, отражающая объективные свойства микрочастиц, их двойственную корпускулярно-волновую природу (см. § 126, 137).
Так как постоянная Планка Л весьма мала, то для тел большой
массы величина —>0; поэтому Дх и Ди могут быть одновременно
2兀
ничтожно малыми. А это значит, что одновременное измерение координаты и скорости макроскопического тела производится практически точно, как и полагает классическая механика.
Соотношение неопределенностей проявляется только для микрочастиц, поскольку ввиду малости их массы величина」一 сущест- 2冗/п
венно отличается от нуля и потому Ах и А。не могут одновременно иметь малые значения.
Вообще говоря, соотношение неопределенностей и для микрочастиц проявляется не во всех случаях их движения.
Рассчитаем, например, неопределенность Ах в координате электрона, движущегося в «луче» электронного осциллографа (см. § 102) со скоростью порядка Ю7 м/с. Пусть скорость электрона определена с достаточно большой точностью — 0,01%, т. е. неопределенность в скорости Ду = 107 • 10~4 = 103 (м/с). Тогда, учитывая, что масса
электрона m = 9,1 • 10~31 кг, получим из соотношения (17) для неопределенности в координате электрона тоже малую величину:
А% =А% =九 =6,625 • 10-342 Tlmки — 2 式・9,1 • 10-31 • 1承九 =6,625 • 10-342 Tlmки — 2 式・9,1 • 10-31 • 1承q^ 10~7 (м) = 0,1 мкм.q^ 10~7 (м) = 0,1 мкм.
А% =
А% =
九 =6,625 • 10-34
2 Tlmки — 2 式・9,1 • 10-31 • 1承
九 =6,625 • 10-34
2 Tlmки — 2 式・9,1 • 10-31 • 1承
q^ 10~7 (м) = 0,1 мкм.
q^ 10~7 (м) = 0,1 мкм.
Следовательно, в данном случае координата и скорость электрона определяются практически точно и его движение можно еще описывать законами классической механики.
Если же рассматривать движение электрона внутри атома, то принцип Гейзенберга даст большую н еоп р еде лен н ост ь в координате или в скорости (см. § 133). Это означает, что электрон в атоме уже нельзя считать обычной «классической частицей».
В начале XX в. было установлено (на опытах с электронами), что вопреки представлениям классической механики масса тела не является постоянной величиной, а зависит от скорости его движения —— возрастает с увеличением скорости по закону
(18)
V (км/с)
m/tnQ
0
1
1 500
1,00001
3 0С0
1,00005
30 000
1,00504
150 000
1,1547
270 000
2,2941
298 300
10,0125
299 640
31,6268
где т0——масса тела, покоящегося относительно наблюдателя {масса покоя}, m ——масса этого же тела, движущегося со скоростью и относительно наблюдателя, с = 299 793 км/с — скорость распространения света в вакууме.
Из таблицы, составленной на основании формулы (18), видно, что при не очень больших скоростях движения (до 3 000 км/с) масса тела почти не изменяется и практически равна массе покоя. При больших же скоростях она заметно возрастает и, например, при скорости V = 270 000 км/с уже более чем вдвое превышает массу покоя.
Из формулы (18) следует, что тело с массой покоя, отличной от нуля, не может двигаться со скоростью света: при и->с будет
ап—8, следовательно, для сообщения телу скорости, равной скорости света, необходимо совершение бесконечно большой работы, что невозможно.
При и《с будет (и/с)2《1； тогда с помощью бинома Ньютона формулу (18) можно представить в виде
m = m0 1 +m = m0 1 +
m = m0 1 +
m = m0 1 +
или, пренебрегая членами выше второго порядка малости,加002
откуда
AU/к = с2 (加一m0) = Ате?, (19) где \ WK — изменение кинетической энергии, Am — изменение массы тела при изменении скорости его движения от 0 до и.
Соотношение (19) оказывается универсальными оно точно выполняется в любых системах и процессах, для любых видов энергии и любых значений скорости. Поэтому вообще можно написать
(20)
млн
呼一（/。= /ne? - ^炉，
(20а)
откуда
(206)
и
U0==铀炉.
(20в)
Величина U° — внутренняя энергия, присущая телу или системе («энергия покоя»); это может быть, например, ядерная энергия, «скрытая» в п< чоящемся атоме (см. § 142). Величина W —— полная энергия системы.
Каждое из соотношений (20)—(20в) выражает универсальный закон взаимосвязи массы и энергии (открытый теоретически Эйнштейном в 1905 г.), согласно которому
изменение массы тела (или системы} сопровождается пропорциональным изменением его энергии,
В свете закона взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии обнаруживается, что масса, которая в классической механике характеризует инертные (см. § 7) и гравитационные (см. § 12) свойства тел, является еще и характеристикой энергосодержания тела. Поскольку вместе с тем масса есть мера количества материи, а энергия —мера движения материи, то закон пропорциональности массы и энергии служит ярким подтверждением фундамент ал ьн ого положения диалектического материализма о неразрывности материи и движения.
Огромное численное значение коэффициента с2 в выражении (20) закона взаимосвязи массы и энергии ведет к тому, что даже очень большие, технически достижимые изменения энергии тела сопровождаются ничтожно малым, практически не обнаружимым изменением его массы: Д/п = ^^ . Например, у космической ракеты массой пос2
коя /и。= 1 500 кг, посланной в сторону Луны со второй космической скоростью 02 = 11,2 км/с, энергия возрастает на
т^ 1500 . 112002 с 40、
厶呼=—у- = = 9,4 • 1010 (Дж),
а масса — всего лишь на
Am =邑匕""q 10т (кг) = 1 мг(1).(3 . Ю8)2
Таким образом, относительное изменение массы ракеты
кт加0кт加0222. V О』КГ7%1500'222. V О』КГ7%1500'
кт
加0
кт
加0
222. V О』КГ7%
1500'
222. V О』КГ7%
1500'
что, конечно, не может быть обнаружено экспериментальным путем.
Поэтому экспериментальная проверка закона взаимосвязи массы и энергии возможна только на явлениях микромира (ядерных процессах или процессах превращения элементарных частиц), сопровождающихся большими изменениями энергии, сравнимыми по порядку величины с произведением 加。^?. В области микромира взаимосвязь массы и энергии проявляется весьма ощутимо. На законе взаимосвязи массы и энергии основаны ядерная физика и атомная энергетика (см. гл. XX).
В связи с тем что законы классической механики оказались применимыми лишь в области, охватывающей не очень быстро движущиеся макроскопические тела, возникли (в начале текущего столетия) два новых раздела физики: квантовая механика и релятивистская механика (теория относительности). Квантовая механика изучает движение в взаимодействие микрочастиц. Теория относительности изучает движения тел, происходящие со скоростями, сравнимыми со скоростью света.
Законы квантовой и релятивистской механики более универсальны, чем законы классической механики: они применимы к любым телам и любым скоростям движения. Надо, однако, подчеркнуть во избежание недоразумений, что ограниченность области применения классической механики не означает, что основные ее законы не точны по существу и что, например, закон сохранения и превращения энергии теряет силу в областях микромира и больших скоростей. Закон сохранения и превращения энергии справедлив для всех без исключения систем и процессов. Неточными являются лишь выражения (формулы) физических величин, даваемые классической механикой; причем эти неточности сказываются только в областях микромира и больших скоростей движения. Например, если тело движется со скоростью v{ относительно системы отсчета Оь которая сама движется относительно другой системы отсчета Ог со скоростью иг, совпадающей по направлению с уь то скорость и тела относительно системы Ог определится, согласно классической механике, по формуле
u = % + S，(21)
а согласно теории относительности — по формуле
V =V =u1 +021+芈u1 +021+芈(22)(22)
V =
V =
u1 +02
1+芈
u1 +02
1+芈
(22)
(22)
где с — скорость света в вакууме.
Формула (21) является приближенной и представляет собой частный случай формулы (22) при небольших значениях скоростей s и и? (в сравнении с с)・ Релятивистская же формула (22) верна для любых значений скоростей. В частности, при сложении двух скоростей, каждая из которых сколь угодно близка к скорости света, релятивистская формула даст результирующую скорость о = с, а не 2с, как это получается по классической механике.
Таким образом, формула (22) согласуется с основным положением специальной теории относительности в том, что скорость света в вакууме —максимальная из возможных в природе скоростей и движение источника света не изменяет ее. Действительно, если источник света движется со скоростью % по направлению или противоположно направлению посылаемого им света, то, полагая в формуле (22) и^ = = с н 内 = 土 Ur, получим
v =v =С ± %= сС ± %= с1土啓с21土啓с2
v =
v =
С ± %= с
С ± %= с
1土啓с2
1土啓с2
Итак, теория относительности и квантовая механика не отвергают, а уточняют представления и законы классической механики и устана^ вливают границы ее применимости.
В последующих разделах книги мы еще встретимся с применением некоторых положений релятивистской и квантовой механики.
Задача 10. Животноводческая ферма, имеющая 办=200 голов крупного н 几2 = 1000 голов мелкого скота, снабжается водой из водонапорной башни высотой "=15 м. Какую работу совершает в сутки насос, подающий воду в башню, если, суточный расход воды составляет 修=60 л на голову крупного скота и V2 = 10 л на голову мелкого? Коэффициент полезного действия двигателя насоса 叮=80%.
Решение. Суточный расход воды V = V\几i + 丫纟几2・ Работа, необходимая для подъема этого количества воды (полезная работа), 4n = РН = =rngH = Ppg瓦 гДе р = 103 кг/м3 — плотность воды, т — масса воды, Р — ее вес.
Тогда работа, совершаемая насосом,
Аз =区=(匕勺 + %〃2)Pg"
(60・200+ 10 • 1000)• lO-з мз. юз кг/мЗ・9,8 м/с2.15 м
сопротивле-сопротивле-Решение. Работа, совершаемая трактором против силы ния почвы (с учетом коэффициента полезного действия),
сопротивле-
сопротивле-
А =尸тр —，
где S/1——путь, пройденный трактором. Тогда мощность мотора трактора
^^ЛFrpSt "叮ЛFrpSt "叮17640 Н ■ 2 » Ю4 м28 • 3600 с • 1,2 м • 0,817640 Н ■ 2 » Ю4 м28 • 3600 с • 1,2 м • 0,8=1,28 ・ КН=1,28 ・ КНВт.Вт.
^
^
ЛFrpS
t "叮
ЛFrpS
t "叮
17640 Н ■ 2 » Ю4 м2
8 • 3600 с • 1,2 м • 0,8
17640 Н ■ 2 » Ю4 м2
8 • 3600 с • 1,2 м • 0,8
=1,28 ・ КН
=1,28 ・ КН
Вт.
Вт.
Задача 12. Баба копра массой т^ = 500 кг падает на сваю массой т2 = =100 кг со скоростью У1 = 4 м/с. Определить: а) кинетическую энергию % копра в момент удар а; б) энергию W2i затрачиваемую на углубление сваи в грунт; в) энергию %, затрачиваемую на деформацию сваи; г) коэффициент полезного действия удара копра о сваю.
500 кг • 16 м2/с?2500 кг • 16 м2/с?2Решение, а) Согласно формуле (6а),
500 кг • 16 м2/с?
2
500 кг • 16 м2/с?
2
—4000 Дж.
Энергия, затрачиваемая на углубление сваи в грунт, должна быть равна кинетической энергии, которой обладает система баба копра — свая в момент удара. Поэтому
m (加1 + 区)〃2
也= 2，
найдем по закону сох-найдем по закону сох-где 〃 — скорость системы в момент удара. Эту скорость
найдем по закону сох-
найдем по закону сох-
ранения количества движения:
加 1S + 加202 =(m1 + 团2)"，
где t»2 = 0 — скорость сваи перед ударом. Тогда
ЛЬ%u =①1+加2
2 （恤+加2）22 团1 +团2
吃吃团1Гn1 + 加2团1Гn1 + 加2г 500 кг
吃
吃
团1
Гn1 + 加2
团1
Гn1 + 加2
4ОО°ДЖ-^ = ЗЗЗЗДЖ-
Кинетическая энергия бабы копра Fi расходуется на углубление сваи в грунт и на деформацию сваи. Поэтому % = W2 + %, откуда % = Wi — —场2 = 4000 Дж — 3333 Дж = 667 Дж.
Так как копер предназначен для забивания (углубления в грунт) свай, то
44^1^1ГП]恤+加2ГП]恤+加2500 кг600 кг500 кг600 кг0,833 = 83,3%.0,833 = 83,3%.
4
4
^1
^1
ГП]
恤+加2
ГП]
恤+加2
500 кг
600 кг
500 кг
600 кг
0,833 = 83,3%.
0,833 = 83,3%.
Глава IV. Вращательное движение твердого тела
§ 21. Основной закон динамики вращения
В этой главе твердое тело рассматривается как совокупность материальных точек, не смещающихся друг относительно друга. Такое не поддающееся деформации тело называется абсолютно твердым.
Пусть твердое тело произвольной формы вращается под действием силы 尸* вокруг неподвижной оси 00’ (рис. 30). Тогда все его точки описывают окружности с центрами на этой оси. Понятно, что все
точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое
ускорение (в данный момент времени).
Разложим действующую силу F* на три взаимно перпендикулярные составляющие: F' (параллельную оси),尸〃 (перпендикулярную оси и лежащую на линии, проходящей через ось) и 尸(перпендикулярную 尸'и 尸〃)• Очевидно, что вращение тела вызывает только составляющая 尸,являющаяся касательной к окружности, описываемой точкой приложения силы. Составляющие 尸'и 尸〃 вращения не вызывают. Назовем 尸 вращающей силой. Как известно из школьного курса физики, действие силы 尸 зависит не только от ее величины, но и от расстояния точки ее приложения Л до оси вращения, т. е. зависит от мо・
мента силы. Моментом М вращающей силы (вращающим моментов называется произведение вращающей силы 尸 на радиус окружности г.
описываемой точкой приложения силы:.
М = Fr.(1)
Мысленно разобьем все тело на очень малые частицы — элементарные массы. Хотя сила 尸 приложена к одной точке Л тела, ее вращающее действие передается всем частицам: к каждой элементарной массе Amf будет приложена элементарная вращающая сила AFZ (см. рис. 30). Согласно второму закону Ньютона,
А/% = Amfaf,
где at —— линейное ускорение, сообщаемое элементарной массе. Умножая обе части этого равенства на радиус 〃 окружности, описываемой элементарной массой, и вводя вместо линейного угловое ускорение р (см. § 7), получим
^Firt = Amfr?p.
Учитывая, что AFfrf ~ AMZ — вращающий момент, приложенный к элементарной массе, и обозначая
⑵⑵А/И", А*7
⑵
⑵
получим
AMi =A厶氏
где A/j ——момент инерции элементарной массы (материальной точки). Следовательно, моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси.
Суммируя вращающие моменты АМ», приложенные ко всем эле- ментаоным массам, составляющим тело, получим
ЕАМ» =眨 А4(3)
где ЕА/И» = М —вращающий момент, приложенный к телу, т. е. момент вращающей силы 尸,ЕА/^ = / ——момент инерции тела. Следовательно, моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных то毋к, составляющих тело.
Теперь можно переписать формулу (3) в виде
М = J0.(4)
Формула (4) выражает основной закон динамики вращения (^торой закон Ньютона для вращательного движения):
момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.
Из формулы (4) видно, что угловое ускорение, сообщаемое телу вращающим моментом, зависит от момента инерции тела; чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Следовательно, момент инерции характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении подобно тому, как масса характеризует инерционные свойства тела при поступательном движении. Однако в отличие от массы момент инерции данного тела может иметь множество значений в соответствии с множеством возможных осей вращения. Поэтому, говоря о моменте инерции твердого тела, необходимо указывать, относительно какой оси он рассчитывается. На практике обычно приходится иметь дело с моментами инерции относительно осей симметрии тела.
Из формулы (2) следует, что единицей измерения момента инерции является килограмм-квадратный метр (кг • м2).
Если вращающий момент М = const и момент инерции тела J = =const, то формулу (4) можно представить в виде
m=/2!^Л,
или
Mt = /(о。一 /о),(5)
где / — промежуток времени, в течение которого угловая скорость вращения тела изменяется от о)0 до о). Произведение М/ (аналогичное импульсу силы 尸f) называется импульсом момента силы, произведение «/з (аналогичное количеству движения пг* называется мо* мгнтом количества движения (моментом импульса).
Формула (5) выражает закон изменения момента количества движения (аналогичный закону изменения количества движения):
изменение момента количества движение тела за некоторый промежуток времени равно импульсу момента силы за тот же промежуток времени.
Подчеркнем, что закон изменения момента количества движения остается справедливым и в общем случае переменного вращающего момента М у= const. Обобщение этого закона проводится посредством рассуждений, аналогичных тем, к которым мы уже обращались при выводе закона изменения количества движения (см. § 8).
Вращающий момент, импульс момента и момент количества движения являются векторными величинами; они направлены по оси вращения в соответствии с правилом буравчика, т. е так же, как вектор угловой скорости (см. § 6).
§ 22. Моменты инерции некоторых тел
Для неоднородных тел и тел неправильной формы момент инерции определяют экспериментально, а для однородных тел геометрически правильной формы — посредством интегрирования. Правда, для тонкого стержня момент инерции %можно рассчитать и элементарным
путем. Пусть тонкий однородный стерйчжень массой т, длиной 厶 площа-
「:严 二рдью поперечного сечения S и плот-
I ^ дгSностью р может вращаться отно-
iсительно перпендикулярной оси
0\00', проходящей через его конец
(рис. 31). Разобьем стержень на ис'большое число и малых элементов
длиной Аг и массой Дт = pS • Аг. Момент инерции каждого такого элемента, согласн о формуле (2),равен
AJ == Дт • г2 = pS • Дг (厂1 С)，
где г = ]/ г».]/；— среднее геометрическое (см.§ 3) расстояние элемента от оси вращения, г— и rt ——соответственно расстояния от начала и от конца элемента до этой оси. Но 厶= (j——1)・ Аг, а 厶=i ・ Аг, поэтому
△J = pS・ AN (j —1"
Умножая и деля правую часть последнего равенства на л3 и учитывая, что п • Дг = /, a pSZ = m, получим
aj = ps」2廿 а -1)»=色1« -1)
〃з/г3
Будем теперь бесконечно увеличивать число 几 элементов, делая тем самым длину Аг каждого из них бесконечно малой. Тогда, согласно
определению, момент инерции J всего стержня будет равен пределу (при оо) суммы моментов инерции всех элементов:
J = lim У1)» =血2]im~J.
8 午 П3"f 8出
Легко убедиться в том, что
[ (i - 1)» = 0。1+1・2 + 2.3 + •••十(〃 - 1)" =
_(九一1) 〃(九十1)
-3.
В самом деле, как показывают непосредственные вычисления, последнее равенство верно для п = 1, 2, §,・..，следовательно, оно верно и для 九 = 々. Покажем, что оно остается справедливым и для и = =左 + 1:
^(i^l)i^^(i^l)l + k(k^l)^^^^ 十 11
+为他+1)=3坤工
Таким образом, рассматриваемое равенство оказывается справедливым для любого целого значения 九,в том числе и для % = 8. Тогда
Аналогично выводится формула и для момента инерции тонкого стержня относительно перпендикулярной оси, проходящей через его середину. Этот расчет читатели могут сделать самостоятельно.
Выведенное выражение момента инерции тонкого стержня проще всего получить посредством интегрирования. Для этого стержень, который мы разбивали раньше на п элементов длиной Л г и массой A tn (см. рис. 31), разобьем теперь на бесконечно большое число бесконечно малых элементов длиной dr и массой dm. Обозначив расстояние от оси ООГ до одного из таких элементов через г, напишем, что момент инерции элемента стержня
dJ = г2dm =，2ps”.
Тогда момент инерции всего стержня
Но масса стержня m = pS/, поэтому
Приведем (без вывода) формулы для расчета момента инерции некоторых однородных тел геометрически правильной формы массой tn относительно оси симметрии ОО.
Момент инерции тонкого стержня длиной I (рис. 32, а)
/ —加2.(6)
12
Момент инерции бруска длиной а и шириной b (рис. 32, б)
(7)
Рис. 32
Момент инерции кольца, внешний радиус которого R, а внутренний — г (рис. 32, в).
/ =丁m便2 +叨.(8)
Момент инерции тонкостенного кольца (обруча) радиусом 页(рис. 32, а)
丿=加靜.(9)
Формулу (9) легко получить, полагая в формуле (8)尸=R =灭.
Момент инерции диска (цилиндра) радиусом R (рис. 32, д)
J = ~ mR2.(Ю)
Формулу (10) легко получить, полагая в формуле (8) г = 0.
Момент инерции шара радиусом R (рис. 32, е)
2
/ = — mR2.(И)
Если ось вращения тела параллельна оси симметрии ОО', но смещена от нее на расстояние d, то момент инерции /' относительно параллельно смещенной оси выражается соотношением, называемым теоремой Штейнера:
『=/ +加猎，(12)
где J — момет инерции тела относительно оси симметрии. Например, момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно к стержню через его конец, равен
что совпадает с результатом расчетов, проведенных в начале данного параграфа.
§ 23. Закон сохранения момента количества движения.Кинетическая энергия вращающегося тела
Сравним попарно между собой следующие законы (формулы) механики поступательного движения и механики вращательного движения: второй закон Ньютона [формула (2), § 7]——с основным законом динамики вращения (4), закон изменения количества движения [формула (4), § 8] — с законом изменения момента количества движения (5), выражение линейной скорости [формула (1), § 4 ]——с выражением угловой скорости [формула (10), § 6]. Бросается в глаза большое сходство в формулировках сравниваемых законов и в структуре сравниваемых формул. Каждой физической величине, х ар актер из ующей поступательное движение, соответствует определенная физическая величина, характеризующая вращательное движение. Например, линейной скорости аналогична угловая скорость, силе — момент силы, массе — момент инерции и т. п. Эти аналогичные физические величины выписаны для наглядности в таблицу.
Постулательное движениеВращательное движение
ВремяtЛинейный путьsЛинейная скоростьиЛинейное ускорение ・.・•.・ аСила FМассатИмпульс силыFtКоличество движенияmvВремяtЛинейный путьsЛинейная скоростьиЛинейное ускорение ・.・•.・ аСила FМассатИмпульс силыFtКоличество движенияmvВремя с..・•Угловой путь У гловая скоростьУгловое ускорение Момент силы Момент инерцииИмпульс момента силы Момент количества движения . • •Время с..・•Угловой путь У гловая скоростьУгловое ускорение Момент силы Момент инерцииИмпульс момента силы Момент количества движения . • •
Времяt
Линейный путьs
Линейная скоростьи
Линейное ускорение ・.・•.・ а
Сила F
Массат
Импульс силыFt
Количество движенияmv
Времяt
Линейный путьs
Линейная скоростьи
Линейное ускорение ・.・•.・ а
Сила F
Массат
Импульс силыFt
Количество движенияmv
Время с..・•
Угловой путь У гловая скорость
Угловое ускорение Момент силы Момент инерции
Импульс момента силы Момент количества движения . • •
Время с..・•
Угловой путь У гловая скорость
Угловое ускорение Момент силы Момент инерции
Импульс момента силы Момент количества движения . • •
Обнаруженное сходство с законами поступательного движения имеет место вообще для всех законов вращательного движения. Пользуясь этим, напишем по аналогии (с помощью таблицы) закон вра« щательного движения, аналогичный закону сохранения количества движения [формула (6), §9]:
J^r + 4% +」評з 十• • • + 厶①几=const,(13)
где 丿》и s’ 一 моменты инерции и угловые скорости тел, составляющих изолированную систему.
Формула (13) выражает закон сохранения момента количества движения*
8 изолированной системе сумма моментов количества движения всех тел — величина постоянная.
Этот закон, как и закон сохранения количества движения, обнаруживается во многих явлениях природы и техники.
Для изолированной системы, состоящей из одного тела, закон сохранения (13) запишется в виде
丿①=const.(14)
Рис. 33Рис. 33叭・вр叭・вргде Д/| — момент инерции частицы, тела. Тогда, суммируя энергии А取》 получим выражение кинетическойгде Д/| — момент инерции частицы, тела. Тогда, суммируя энергии А取》 получим выражение кинетическойад — угловая скорость вращения всех частиц, составляющих тело, энергии вращающегося тела:ад — угловая скорость вращения всех частиц, составляющих тело, энергии вращающегося тела:л/11л/11Л/Л/22
Рис. 33
Рис. 33
叭・вр
叭・вр
где Д/| — момент инерции частицы, тела. Тогда, суммируя энергии А取》 получим выражение кинетической
где Д/| — момент инерции частицы, тела. Тогда, суммируя энергии А取》 получим выражение кинетической
ад — угловая скорость вращения всех частиц, составляющих тело, энергии вращающегося тела:
ад — угловая скорость вращения всех частиц, составляющих тело, энергии вращающегося тела:
л/
11
л/
11
Л/
Л/
2
2
Из формулы (14) следует, что изменение момента инерции тела должно сопровождаться изменением угловой скорости вращения тела: увеличение (уменьшение) J вызывает соответствующее уменьшение (увеличение) о. Это следствие рассматриваемого закона обычно демонстрируют с помощью вращающейся скамьи («скамья Жуковского»). Человек с расставленными в стороны руками вращается, стоя на скамье Жуковского (рис. 33). Затем он быстро опускает руки. При этом его
момент инерции уменьшается, а угловая скорость вращения увеличивается. На законе сохранения момента коли- 0чества движения основаны известный акро-
батический прием «сальто-мортале», балетный прием «пируэт» и т. п. Все свободные гироскопы действуют на основе этого закона: вращающаяся с большой скоростью масса сохраняет вектор момета количества движения, т. е. сохраняет неизменной ось своего вращения. Этим объясняется устойчивость положения земной оси, продольной оси летящего артиллерийского снаряда, ружейной пули, вертикальная устойчивость движущегося велосипеда и т. п.
Пользуясь ранее приведенной таблицей, напишем выражение кинетической энергии вращающегося тела (%.вр) по аналогии с выражением кинетической энергии поступательно движущегося тела (см. § 17):
(15)
где J — момент инерции, ①一угловая скорость вращения тела.
Для того чтобы еще раз убедиться в правомерности применения «метода аналогий» к законам вращательного движения, получим формулу (15) путем вывода. Кинетическая энергия одной частицы вращающегося тела (рис. 30) массой Ат” движущаяся со скоростью ^ по окружности радиусом rh равна
а勿必_ а恤限2 _ AJ"
~~ 一22—'
тело может совершать равняться изменениютело может совершать равняться изменению
тело может совершать равняться изменению
тело может совершать равняться изменению
За счет кинетической энергии вращения работу. Очевидно, что эта работа должна
(убыли) кинетической энергии вращения:
ЛЛ(⑹(⑹
Л
Л
(⑹
(⑹
где а)0 и о —начальная и конечная угловые скорости вращения. В технике для обеспечения равномерного хода машин (тракторов, кораблей, прокатных станов и т. п.) широко используется кинетическая энергия махового колеса: при внезапном увеличении нагрузки машина не останавливается, а совершает работу за счет запаса кинетической энергии вращения маховика.
Если тело одновременно участвует в поступательном и вращательном движениях, то его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного движения, и вращения:
(17/(17/mv2 ,丿⑴ 2w v =.
(17/
(17/
к 92
Это положение надо учитывать при решении многих практически?; задач.
Определим, например, кинетическую энергию обруча радиусом R и массой т. катящегося со скоростью о.
Кинетическая энергия поступательного движения обруча
Для определения 1Гк.вр. найдем угловую скорость вращения обруча и его момент инерции:
с
со = 7- , / = mR2.
Тогда
tnR2v2 mv2
呼 =-
к.вр— 2R2 —2
步к = ^к・п℃т + ^к.вр = т”・
Таким образом, для катящегося обруча 取长.Пост и 步к. вр оказываются одина ковнми. Для тел другой формы соотношение этих энергий будет иным.
Задача 13. Колесо, вращаясь при торможении равнозамедленно, уменьшило в течение времени f = 1 мин частоту своего вращения с vo = 300 об/мин до у = 180 об/мин. Момент инерции колеса J = 2 кг • м2. Определить: а) угловое ускорение колеса 0; б) тормозящий момент М; в) работу торможения А.
Решение, а) Угловое ускорение колеса определим как отношение изменения его угловой скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло:
2п & — y)2п & — y)2冗(5 — 3) об/с60с2冗(5 — 3) об/с60с0,21 (рад/са),0,21 (рад/са),
2п & — y)
2п & — y)
2冗(5 — 3) об/с
60с
2冗(5 — 3) об/с
60с
0,21 (рад/са),
0,21 (рад/са),
где зо н з — угловые скорости вращения колеса в начале и в конце промежутка времени / (напомним, что наименования «оборот» и «радиан» безразмерны)
По основному закону динамики вращения (4), тормозящий момент силы
М =呼=2 кг • м2 • 0,21 рад/с2 = 0,42 Дж.
При торможении колеса кинетическая энергия его вращения расходуется на совершение работы против тормозящих сил. Поэтому, согласно формуле (16),
/2 J
2 = V
4冗2 (寸一丫) = 2 кг • м?・ 2冗• 16 (об/с2) = 640 Дж.
Задача 14. На сплошной цилиндрический вал радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой /л = 10 кг (рис. 34). Найти момент инерции 丿 вала и его массу 加1, если груз, разматывая шнур, опускается с ускорением а = =2,04 м/с2.
Решение. Согласно основному закону динамики вращения (4),
Р
где М —вращающий момент силы Т натяжения нити, § =员一
Рис. 34
угловое ускорение вала.
По определению момента силы,
Так как натяжение нити
=mg = 10 кг ・ 9,8 м/с2 = 98
M = TR.
и ускорение груза обусловлены его весом Р
Н, то Р = Т + та, откуда
7 = Р — та.
Тогда М = (Р — та) R и
(Р —ma) R2 (98 Н— 10 кг • 2,04 м/с?) • 0,25 м?
а2,04 м/с2
= 9,5 кг
Момент инерции сплошного цилиндрического вала* согласно формуле (10), равен
S1R2 =2
откуда
2 J2 • 9,5 кг • м2
m ==
1 R2 0,25 м2
=76 кг»
Глава V. Движение жидкости
§ 24. Основные определения. Уравнение неразрывности
В отличие от твердого тела в жидкости возможны значительные смещения составляющих ее частиц относительно друг друга. Поэтому движущаяся жидкость может изменять свою форму в соответствии с формой русла.
Реальная жидкость сжимаема: ее объем уменьшается, а плотность увеличивается с повышением давления. Однако сжимаемость жидкости
Рис. 35Рис. 35мала. Например, при повышении давления от 105 до 107 Па плотность воды увеличивается всего лишь на 0,5%. В движущейся жидкости обычно не бывает столь больших перепадов давления. Поэтому сжимаемостью движущейся жидкости можно пренебречь.
Рис. 35
Рис. 35
Реальная жидкость вязка: в движущейся жидкости всегда возникают силы внутреннего трения (см. § 58). Если условия движения жидкости таковы, что силы внутреннего трения малы по сравнению с другими действующими в ней силами (давления, тяжести и т. п.), то
жидкость можно считать практи
чески невязкой. Воображаемая жидкость, совершенно не обладающая вязкостью, называется идеальной^.
Рассмотрим некоторый объем внутри движущейся идеальной несжимаемой жидкости. Мысленно отметим в нем ряд точек и изобра
зим векторами скорость движения частиц жидкости, находящихся в данный момент времени в этих точках (рис. 35, а). Проведем линии, в каждой точке которых касательная совпадает с вектором скорости движения частиц жидкости. Такие линии называются линиями тока.
Движение жидкости называется установившимся Стационарны^, если скорость жидкости в каждой точке рассматриваемого объема не изменяется с течением времени. В этом случае линии тока также остаются неизменными и частица жидкости, находящаяся в данный момент на некоторой линии тока, будет все время оставаться на этой линии. Иными словами, при установившемся движении траектории частиц жидкости совпадают с линиями тока. Установившееся движение жидкости имеет место в случаях, когда силы, вызывающие движение, не изменяются со временем.
* При температуре выше 0° С многие реальные жидкости (эфир, ацетон, спирт, вода, ртуть) обладают малой вязкостью и потому их можно рассматривать как идеальные жидкости.
В этой главе рассматривается только установившееся движение идеальной несжимаемой жидкости.
Прежде всего покажем (прибегая к доказательству «от противного»), что линии тока не пересекаются между собой. Предположим, что две линии тока пересеклись. Тогда частица жидкости, находящаяся в точке пересечения, должна двигаться одновременно по двум траекториям, что невозможно. Следовательно, линии тока не пересекаются.
Выделим теперь в движущейся жидкости объем, ограниченный линиями тока (рис. 36, 6). Из положения о непересекаемости линий тока следует, что жидкость не может проходить через боковую поверхность этого объема (ни внутрь объема, ни из него). Таким образом, рассматриваемый объем подобен трубке с непроницаемыми для жидкости стенками. Поэтому объем жидкости, ограниченный линиями тока, называется трубкой тока.
Выберем в трубке тока два поперечных сечения: S4 (где скорость течения жидкости равна 00 и S2 (где скорость течения жидкости равна и?). Так как жидкость не сжимается, не разрывается и не переходит через боковую поверхность трубки, то за время А/ через эти сечения пройдут одинаковые объемы, а следовательно, и одинаковые массы Дт жидкости. Объем жидкости, протекающий через широкое сечение, имеет форму цилиндра с основанием S【и высотой 5 • Af; он равен SiVi • А/. Точно так же объем жидкости, протекающий через узкое сечение, равен S2y2 • Af・ Тогда
S］。］ = $2^2.
Так как сечения были выбраны произвольно, то
Su = const,(1)
для данной трубки тока произведение площади поперечного сечения трубки на скорость течения жидкости есть величина постоянная. Соотношение (1) называется уравнением неразрывности струи. Оно справедливо не только для трубки тока, но и для всякой реальной трубы, для русла реки и т. п. В
Рис збсоответствии с уравнением неразрывности
ис*скорость течения на узких участках реч
ного русла больше, чем на широких и глубоких; скорость воды в струе, вырывающейся из брандспойта, больше, чем в шланге, и т. п.
На рис. 36 изображено с помощью линий тока движение жидкости в трубе переменного сечения. В узкой части трубы, где скорость течения наибольшая, линии тока оказываются сгущенными. Таким образом, картина линий тока дает представление не только о направлении, но и о величине скорости течения жидкости.
§ 25. Уравнение Бернулли
Пусть по наклонной трубке тока (или реальной трубе) переменного сечения движется жидкость в направлении слева направо. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями Si и S2, в которых скорости течения равны соответственно 力 и ⑦(рис. 37). Определим изменение полной энергии, происходящее в этой области за малый промежуток времени Д/. За это время масса жидкости, заключенная между сечениями S； и S3 втекает в рассматриваемую область, а масса, заключенная между сечениями S2 и S2, выте кает из нее. Иных изменений в
рассматриваемой области не происходит. Поэтому величина изменения полной энергии равна разности полных энергий вытекающей и втекающей масс. Учитывая, что полная энергия идеальной несжимаемой жидкости слагается из ее кинетической WK и потенциальной Wn энергий, получим
SW = (WK+Wn)2^(WK+Wn)1
где индексы / и 2 относятся соответственно к сечениям S4 и S2.где индексы / и 2 относятся соответственно к сечениям S4 и S2.(2),
где индексы / и 2 относятся соответственно к сечениям S4 и S2.
где индексы / и 2 относятся соответственно к сечениям S4 и S2.
Как мы уже видели (см. § 24), вытекающая и втекающая массы оказываются одинаковыми (Ат). Вводя в формулу (2) выражения кинетической и потенциальной энергий, напишем
AU7 = ^р_ + \mgh2 — -^р» 一 Amgh「(3)
где g — ускорение силы тяжести.
В соответствии с законом сохранения энергии, найденная величина изменения энергии должна равняться работе АД внешних сил (давления) по перемещению массы Дт:
⑷⑷ДГ = АЛ.
⑷
⑷
Определим эту работу. Внешняя сила давления & совершает работу A4i по перемещению втекающей массы на пути Vi • Д/; в то же время вытекающая масса совершает работу ДЛ2 против внешней силы давления 尸2 на пути у2 • Поэтому
a4 =尸№ .加，A/2 =-尸2u2 • Nt、 а искомая работа
ЛЛ = А%】+厶在2 —尸№ • А/ —尸2内• Af・
Учитывая, чтоУчитывая, что尸1 = P]S] H 尸2 = P2s2,尸1 = P]S] H 尸2 = P2s2,
Учитывая, что
Учитывая, что
尸1 = P]S] H 尸2 = P2s2,
尸1 = P]S] H 尸2 = P2s2,
где Pi и р2—давления на сечениях S* и S?, получим
a4 = %5］力• 4 一 p2s2。2 • 4.
Но
S^ • Af = S2% •加=AK
где AV — объем каждой из рассматриваемых масс (см. § 24). Поэтому
ДЛ = % • AV — р2 * А匕ДЛ = % • AV — р2 * А匕(5)(5)
ДЛ = % • AV — р2 * А匕
ДЛ = % • AV — р2 * А匕
(5)
(5)
Объединяя формулы (3),⑷ и (5), получим после перегруппировки слагаемых
—+ Amg力2 + 〃2 • Ab =———н Amg儿 + Pl • AK
Поделив обе части последнего равенства на AV и учитывая, что Am/АУ = р — плотность жидкости, получим
р^2,Р 曲,
—+ Pg 九 2 + P2 = — + Pg4 + %
Поскольку сечения S, и S2 выбраны произвольно, можно окончательно написать
•^ + pg 力 + Р = const.(6)
Это соотношение, выведенное в 1738 г. Д, Бернулли, называется уравнением Бернулли. Первое слагаемое левой части этого уравнения представляет собой удельную кинетическую энергию жидкости; второе — удельную потенциальную энергию жидкости в поле силы тяжести; третье—удельную энергию жидкости, обусловленную силами давления (удельная энергия — энергия, приходящаяся на единицу объема жидкости).
Единицей измерения давления является паскаль (Па). Паскаль — давление, вызываемое силой 1 Н, равномерно распределенной на поверхности площадью 1 м2;
Па = Н/м2 = Н • м/м3 = Дж/м3.
Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии (удельной) и может быть сформулировано так:
при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления “ кинетической и потенциальной удельных энергий остается постоянной на любом поперечном сечении потока.
Из приведенного преобразования единиц измерения давления в единицы измерения удельной энергии следует, что все члены левой части уравнения (6) можно еще рассматривать как величины давления. Величину р называют статическим давлением, величину ри?/? — динамическим давлением, величину pgh ——гидравлическим давлением. Следовательно, уравнению Бернулли можно дать еще такую формулировку:
8 установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости пол- ное давление, слагающееся из динамического, гидравлического и статического давлений, постоянно на 川обом поперечном сечении потока.
Для горизонтальной трубки тока (или реальной трубы) уравнение Бернулли принимает вид
号-+ р = const (7)
(так как pg九=const).
Из уравнений Бернулли и неразрывности следует, что в местах сужения трубопровода скорость течения жидкости возрастает, а давление понижается.
В заключение остановимся на следующем важном положении. Уравнения (1) и (6) применимы не только к жидкостям, но и к газам в случаях, когда сжимаемостью и вязкостью газа можно пренебрегать. Оказывается, что это можно делать при небольших скоростях движения газа, когда в газовом потоке обычно не возникает больших градиентов скорости, а следовательно, и больших сил вязкости (см. § 50). Что касается сжимаемосги газа, то, как показывают теория и опыт, ею можно пренебречь при скоростях движения газа, меньших скорости распространения звука в нем. Скорость звука в воздухе составляет около 340 м/с = 1224 км/ч. Поэтому воздух, движущийся со скоростью, не превышающей 150—200 м/с, допустимо считать идеальной несжимаемой жидкостью и применять к нему уравнение неразрывности “ уравнение Бернулли.
О некоторых приложениях уравнения Бернулли
Уравнение Бернулли является одним из основных законов механики движения жидкостей и газов (гидро- и аэродинамики), имеющим большое прикладное значение. Приведем несколько примеров.
Гидротурбина. Вода, находящаяся под большим давлением, но имеющая малую скорость, поступает по суживающемуся тру- бэпроводу А через сопло В на лопатки С рабочего колеса D (рис. 38). Согласно уравнению Бернулли, потенциальная энергия давления воды переходит в узком трубопроводе и сопле в кинетическую энергию, за счет которой рабочее колесо приводится во вращение.
Вода
Аналогичным образом поток газа приводит в действие газотурбину.
Гидротаран. Вода движется от плотины по наклейному трубопроводу / (рис. 39). В конце трубопровода имеется подвижная заслонка В, которая может периодически быстро перекрывать трубопровод. При каждом перекрытии потока динамическое давление в нем
внезапно падает до нуля, а статическое давление резко возрастает, перегоняя часть воды по вертикальной трубе С в водонапорный бак.
Простота устройства и эксплуатации гидротарана позволяет применять его везде, где есть хотя бы небольшая речка. Вода из водонапор-
Рис. 40Рис. 40ного бака может быть использована для орошения земель, водоснабжения животноводческих ферм и т. д.
Рис. 40
Рис. 40
Водоструйный насос. Вода течет по трубе, имеющей в узкой части неплотное сочленение (рис. 40). На выходе из трубы давление в струе воды равно атмосферному. Тогда, согласно уравнению Бернулли, давление в суженной части трубы ниже атмосферного. Поэтому воздух из резервуара Д, окружающего сужение, засасывается в трубу через сочленение и выходит из нее вместе с водой. Трубка В присоединяется к сосуду, из которого надо откачать воздух (или какой-нибудь другой газ).
Будучи крайне простым по устройству и эксплуатации, водоструйный насос межет соз
давать разрежения до 90 Па. Водоструйные насосы широко используются в лабораториях, в конденсаторных установках паровых турбин и т. п.
Аналогично водоструйному насосу действует пароструйный насос (инжектор)у служащий для питания водой паровых котлов.
Подъемная сила крыла самолета. На рис. 41 представлена форма поперечного сечения крыла самолета («профиль Жуковского»), разработанная в 1904 г. основателем аэродинамики //. Е. Чуковским. Благодаря этой форме вокруг движущегося крыла возникает циркуляция (круговое течение) воздуха, направленная по
часовой стрелке. Над крылом скорости циркуляции vc и встречного воздушного потока v складываются, под крылом — вычитаются. Поэтому относительная скорость движения воздуха над крылом (у2 = = о + %) превышает относительную скорость под крылом Е = = V —— V), т. е. s V U2, что отражено на рис. 42 густотой линий тока. Тогда, согласно уравнению Бернулли, давление под крылом Pi будет больше, чем над крылом р? (Р2 V р j・ За счет разности давлений р4 ——/?2 возникает подъемная сила 戸 крыла самолета. Отметим, что отчасти подъемная сила обусловлена еще и небольшим наклоном плоскости крыла к направлению движения самолета (угол атаки).
^ Ветер
Рис. 43
Аэрация почвы. Представим себе участок неровной земной поверхности, например вспаханное поле, где валы чередуются с бороздами (рис. 43). Пусть ветер дует перпендикулярно к направлению борозд. Очевидно, что наличие этих неровностей скажется на характере воздушного потока: вблизи земли линии тока будут искривлены и выровняются лишь на некоторой высоте над землей. Поэтому приземный слой воздуха является своеобразной трубкой тока (точнее говоря, «слоем тока》) переменного сечения, ограниченной снизу поверхностью земли, а сверху ——ближайшей горизонтальной поверхностью, образованной невозмущенными линиями тока. Сечение трубки будет наибольшим над бороздами и наименьшим над валами. Тогда в соответствии с уравнением неразрывности и уравнением Бернулли давление воздуха над бороздами 〃 будет больше, чем над валами р2 (。1 V %； Pi > 卩2)・ Благодаря этому в поверхностном слое почвы возникает движение почвенного воздуха, направленное от оснований борозд к вершинам валов (см. рис 43), обеспечивающее газообмен между почвой и атмосферой. Это явление называется аэрацией почвы. Аэрация обогащает почвенный воздух кислородом, а приземный воздух ——углекислотой, создавая тем самым благоприятные условия для развития растений.
При достаточно большой скорости ветра движение воздуха в почве может стать столь интенсивным, что вызовет разрушение (размельчение) почвенных частиц. Таким образом, ветровая аэрация способ- ствует созданию мелко комковатой структуры почвы.
В заключение отметим, что на основе уравнения Бернулли действует карбюратор двигателя внутреннего сгорания, пульверизатор, опрыскиватель сельскохозяйственных растений, ингалятор и другие распылители жидкости.
Задача 15. Из опрыскивателя плодовых деревьев выбрасывается струя жидкости со скоростью % = 25 м/с; плотность жидкости р = 1 г/см8. Какое давление pi создает компрессор в баке опрыскивателя?
Решение. Исходя из уравнения Бернулли (7), напишем
Р 次 pul
где vi, pi — скорость и давление жидкости в баке опрыскивателя, р?—Давление в струе жидкости на выходе из опрыскивателя. Но s = 0, так как скорость жидкости в баке (и шланге) ничтожно мала по сравнению с и2. Кроме того, р2 = 0， поскольку в уравнении Бернулли р представляет собой давление избыточное над атмосферным. Поэтому
103 кг/м3 • 625 м2/с2103 кг/м3 • 625 м2/с222= 3,12 - 105 Па.= 3,12 - 105 Па.
103 кг/м3 • 625 м2/с2
103 кг/м3 • 625 м2/с2
2
2
= 3,12 - 105 Па.
= 3,12 - 105 Па.
Задача 16. На какую высоту h поднимается вода в вертикальной трубке, впаянной в узкую часть горизонтальной трубы (рис. 44) диаметром d = 立 см, если в широкой части трубы диаметром D = 6 см скорость воды oi = 30 см/с при давлении pi = 105 Па?
Рис. 44Рис. 44Решение. По уравнению неразрывности,
Рис. 44
Рис. 44
где Si и S?— площади поперечных сечений трубы в широкой и в узкой ее частях, и2 — скорость воды в узкой части трубы. Тогда
D2 0,062 м2
°2 = В 以=6：必 м2 • 0,3 м/с = 2； м/с.
По уравнению Бернулли (7),
—+ Pi = ~ +
где 卩2 — давление в узкой части трубы (и в вертикальной трубке), р = —103 кг/м3 — плотность воды. Следовательно, давление в вертикальной трубке ниже атмосферного на величину
Р1—Р2 = ~|"(皆一哨= ^^^ (2,72-0,32) м2/с2 = 3,6・ ЮЗа.
Этот недостаток давления уравновешивается столбиком воды в вертикальной трубке. Но вес такого столбика равен p/iSg, где S — площадь поперечного сечения вертикальной трубки, g ——ускорение свободного падения. Тогда
phSg = (pi — a) S,
откуда
Pl—Р2 3,6. ЮЗН/М2
h =4=弋 0,37 м.
pg 103 кг/м3.9,8 м/с2
Глава VI. Колебания и волны
Гармоническое колебание и его характеристики
Колебательным движением (колебанием) называется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от своего состояния равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему. Если этот возврат совершается через равные промежутки времени, то колебание называется периодическим. Наглядным примером колебания может служить движение часового маятника.
Колебательные движения исключительно широко распространены в природе и технике. Вибрация натянутой струны, движение поршня дизеля и ножей косилки, суточные и годичные изменения температуры воздуха, морские приливы и отливы, волнение водной поверх-\
ности, биение сердца, дыхание, тепловое дви-/к 、\“
жение ионов кристаллической решетки твер- /I
дого тела, переменный ток и его электромаг- /\
нитное поле, движение электронов в атоме |〃卜丨艺1 и т. д. — все это в конечном счете коле- \/
бательные процессы. В последующих разде- \/
лах курса мы будем неоднократно встречать-/
ся с различным родом колебаний.|
Несмотря на большое разнообразие коле-рис 45
бательных процессов как по физической при-ис*
роде, так и по степени сложности, все они совершаются по некоторым общим закономерностям и могут быть сведены к совокупности простейших периодических колебаний, называемых гармоническими^, В этой главе рассматриваются именно гармонические колебания.
С основными закономерностями и характеристиками гармонического колебания проще всего познакомиться на примере равномерного движения материальной точки по окружности. Пусть материальная точка М движется против часовой стрелки по окружности радиусом Л с постоянной угловой скоростью(о (рис. 45). Тогда ее проекция N на вертикальный диаметр будет совершать периодические колебания около положения равновесия О, а величина смещения этой проекции (% = ON) изменяться в пределах от +А до —А, также совершая периодические колебания. Величина смещения в любой момент времени / определяется очевидным соотношением
х = Л sin ф.(1)
Так как период вращения материальной точки Т, число ее оборотов в секунду V, угловая скорость(о и угол поворота радиуса ? связаны между собой соотношениями (см. § 6):
屮=(о/ = 21 / = 2冗6,
От греческого слова appiovixoa (гармоникос)——стройный.
то формулу (1) можно написать еще так:
х = Asin(*)/,(2)
х = A sin -^ %(2а)
х = A sin 2nvf.(26)
Соотношения (1)——(26) являются разновидностями уравнения гармонических колебаний. Следовательно, гармоническим называется колебание, при котором изменение колеблющейся величины со временем происходит по закону синуса (или косинуса, если точка М проецируется на горизонтальной диаметр). Смещение х положительно, когда направлено вверх от положения равновесия, и отрицательно, когда направлено вниз. Абсолютное значение максимального смещения / называется амплитудой колебания.
При описании колебательных процессов физические величины Т, у, з н 屮 принято называть иначе, чем мы называли их ранее (см. § 6): Т называется периодом колебания, v ——частотой колебания, з——круговой, или циклической, частотой и 屮——фазой колебания. Единицы измерения этих величин остаются, конечно, прежними.
Фазой колебания ^ = mt называется аргумент тригонометрической функции в уравнении гармонического колебания. Физический смысл фазы состоит в том, что она определяет смещение в любой момент вре^ мени, т. е. определяет состояние колебательной системы. Действительно, например, при ср =п/6 смещение х = 4/2, при <р =冗 ％ = 0, при 屮=万冗 х=——А и т. п. Из уравнения (1) следует, что фазам, различающимся между собой на величину, кратную 2冗,соответствуют одинаковые смещения. Изменение фазы на 2лрад соответствует промежутку времени в один период Т.
Уравнения (1)——(26) написаны в предположении, что в начальный момент времени (/ = 0) фаза колебания была равна нулю (т. е. секундомер пущен в момент прохождения точки ^ через положение равновесия в положительном направлении). Если же в начальный момент фаза уже имела некоторое значение <ро (т. е. в момент пуска секундомера точка 府 уже была отклонена от положения равновесия), то упомянутые уравнения следует писать в виде
% = A sin (<р + 勺°) = A sin (з/ + 屮。)，
где <ро называется начальной фазой. Поскольку выбор начального момента отсчета времени произволен, будем (при рассмотрении одного единственного колебания), как правило, полагать сро = 0.
Скорость V колебания точки N определим как производную смещения (2) по времени:
и = — = cos з£,
или, учитывая правило приведения тригонометрических функций,
о = з4 sin [ cof +о = з4 sin [ cof +
о = з4 sin [ cof +
о = з4 sin [ cof +
Из уравнения (3), видно, что скорость колебания изменяется со временем. Следовательно, колебательное движение совершается с ускорением а, которое можно определить, продифференцировав выражение скорости (3) по времени:
а~^ = 324 cos (з£ + 十)=о)а Л sin ((0/ + тс).(4)
Учитывая формулу (2), можно выразить ускорение через смещение:
а = 0)2力 sin (з/ + тс) — — а)2 Л sin(о/ = —(о2х.(5)а = 0)2力 sin (з/ + тс) — — а)2 Л sin(о/ = —(о2х.(5)
а = 0)2力 sin (з/ + тс) — — а)2 Л sin(о/ = —(о2х.(5)
а = 0)2力 sin (з/ + тс) — — а)2 Л sin(о/ = —(о2х.(5)
Сравнение формул (2) — (4) приводит к следующим выводам.
Как и смещение %, скорость v и ускорение а точки N совершают гармонические колебания с одинаковыми круговой частотой з и пе-
T2兀
риодом Т =—.
со
Амплитуды этих колебаний различны: Л —у смещения, зА —— у скорости и(оМ — у ускорения.
Фазы колебаний также различны: колебание скорости опережает колебание смещения по фазе нал/2 (по времени на 774), колебание ускорения опережает колебание смещения по фазе нал (по времени
на 772).
Для наглядности, изменения %, и и а со временем (при гармоническом колебании), рассчитанные по уравнениям (2а), (3) и (4), приведены в таблице и представлены на рис. 46.
X
V
0
соД
4
0
0
-34
-А
0
0
о)4
о 774 Т/2 ЗТ/4 То 774 Т/2 ЗТ/4 ТО一з2{ О"2力 ОО一з2{ О"2力 ОКак видно на этом рисунке, в момент прохождения колеблющейся точкой положения равновесия (% = 0) ее скорость максимальна (土 оМ), а ускорение равно нулю. Когда же точка максимально отклонится от положения равновесия (% = + 4 или % =——Л), ее скорость равна нулю, а ускорение становится максимальным (——о)М или +(о2А). Знак ускорения всегда противоположен знаку смещения. Следовательно, ускорение всегда направлено к положению равновесия О колеб-
о 774 Т/2 ЗТ/4 Т
о 774 Т/2 ЗТ/4 Т
О
一з2{ О
"2力 О
О
一з2{ О
"2力 О
лющейся точки.
§ 28. Сложение гармонических колебаний
Независимые гармонические колебания могут складываться друг с другом. Например, в точке разветвления проводов трехфазной сети переменного тока (соединенных «звездой») складываются различные синусоидальные переменные токи (см. § 109). В результате возникает более сложное колебание, характер которого зависит от соотношения фаз, частот, амплитуд и направлений слагаемых колебаний. Рассмотрим несколько наиболее простых случаев сложения гармонических колебаний.
Сложение двух колебаний одного направления
Круговые частоты и фазы колебаний одинаковы, амплитуды различные
%i = 4 sE ①W 尤2 = 4 sin з/.
Тогда
% = %i + %2 = (4 + 4) sin ^ = A sin з/,
е. возникает гармоническое колебание такой же частоты с амплитудой, равной сумме амплитуд слагаемых колебаний.
Круговые частоты и амплитуды одинаковы, фазы различные
х1 = A sin з/; %2 =』sin (з/ + 0),
где 0 — разность фаз. Тогда, применяя формулу сложения синусов, получим
х= хг + х2 = 2А cos ~- sin (吼 += В sin (со/ +.(6)
Возникает гармоническое колебание такой же частоты, но отличающееся по фазе от первичных колебаний на половину разности фаз этих колебаний. Амплитуда В = 2A cos —, вообще говоря, меньше суммы амплитуд первичных колебаний. Только при разности фаз, кратной 2л, В = 2А. При разности фаз, равной (2п +1) ^ (где п = =0, 1, 2, 3, ...), В = 0 и слагаемые колебания взаимно «гасятся».
Амплитуды одинаковы, круговые частоты мало отличаются друг от друга:
хх = Л sin х2 == Л sin о)2‘•
Тогда
х = хг + х2 = 2А cosх = хг + х2 = 2А cos⑺⑺
х = хг + х2 = 2А cos
х = хг + х2 = 2А cos
⑺
⑺
Результирующее колебание оказывается не гармоническим, так как оно не соответствует уравнению (2). Однако учитывая, что (согласно
говаяэтому шим). ений,говаяэтому шим). ений,
говая
этому шим). ений,
говая
этому шим). ений,
условию) В ~^£?《2苛-2?, можно считать результирующее колебание почти гармоническим, имеющим круговую частоту
①=о>1 + 0>22，
период т 2тс 4тс / = 0)O)1 + 0)2
и амплитуду 2/cos 也二*,
2
которая очень медленно периодически изменяется со временем (кру
частота колебаний амплитуды о/ =也^坐 слишком мала, по-
период колебаний амплитуды Tf = — — ——— будет боль- о/ 0)! — С02
Такого рода колебания называются биениями. График би- построенный по уравнению (7), представлен на рис. 47.
Процесс возникновения и характер биений нетрудно представить себе, даже не прибегая к расчетам и рисунку. В самом деле, вначале фазы слагаемых колебаний совпадают, поэтому амплитуда результирующего колебания максимальна. Затем первое колебание постепенно отстает по фазе от второго и амплитуда результирующего колебания делается меньше суммы амплитуд исходных колебаний. По мере нарастания разности фаз результирующая амплитуда уменьшается. Когда разность фаз составит 冗,исходные колебания взаимно «пога- сятся» и результирующая амплитуда станет равной нулю. При дальнейшем увеличении разности фаз амплитуда начнет возрастать. Когда разность фаз составит 2% амплитуда достигнет максимума, затем опять уменьшится до нуля и т. д.
Перейдем теперь к случаям, когда частица (или тело) совершает одновременные колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний
Круговые частоты и фазы одинаковы, амплитуды различны: % = 4 sin з£; У = 4 sin з/,
y = ^4y = ^4X.X.где % и у — смещения тела, вызванные первым и вторым колебаниями. Тогда
y = ^4
y = ^4
X.
X.
Рис. 48Рис. 48Это уравнение прямой. Следовательно, результирующее колебание совершается вдоль прямой, проходящей через положение равновесия под углом а к направлению первого колебания (рис. 48):
Рис. 48
Рис. 48
tga=务。
Величина результирующего смещения
— Vx2 + у2 = V 4? + Д2 sin ^t — A sin %
где 4 = ]/ 緒十 & —амплитуда результирующего колебания.
Круговые частоты одинаковы, фазы различаются «а л/2, амплитуды различны:
у = 4 sEу = 4 sE=Л2 cos⑴九=Л2 cos⑴九(8)(8)ТогдаТогда% = 4 sin 叫
у = 4 sE
у = 4 sE
=Л2 cos⑴九
=Л2 cos⑴九
(8)
(8)
Тогда
Тогда
это уравнение эллипса. Следовательно, результирующее движение тела совершается по эллипсу, полуоси которого равны амплитудам слагаемых колебаний (рис.49). Сопоставляя уравнения (8) и рис. 49,
Рис. 49нетрудно установить, что тело
при движении будет описывать эллипс по часовой стрелке. Очевидно, что при разности фаз, равной 3 式/2, тело описывает такой же эллипс против часовой стрелки.
Если Л1 = Л2 = Л, то уравнение эллипса переходит в уравнение окружности (х2 + у2 =力2) и Тело будет описывать окружность.
Не останавливаясь на анализе более сложных случаев сложения колебаний отметим только, что форма и расположение эллипса зависят от величины разности фаз 0. По мере изменения разности фаз эллипс 6)дзт поворачиваться в плоскости слагаемых колебаний вокруг положения равновесия О. Кроме того, он будет деформироваться, оставаясь при этом вписанным в прямоугольник со сторонами, равными удвоенным амплитудам слагаемых колебаний (прямоугольник изображен на рис. 49 пунктиром). При 6 = 0 и 0 = л эллипс вырождается в прямую линию. На рис. 50 представлены траектори и колеблющегося тела при некоторых значениях разности фаз. Стрелками указаны направления движения тела по траектории.
Рис. 50
Если слагаемые колебания имеют различную частоту, то траектории результирующего движения тела будут весьма сложными и разнообразными по форме (фигуры Лиссажу).
Описанные формы траекторий можно непосредственно наблюдать на экране электронного осциллографа (см. § 102), если сообщить электронному лучу одновременные колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Динамика колебательного движения. Маятник
В § 27 мы выяснили, что при колебательном движении ускорение переменно. Следовательно, это движение обусловлено действием ме- ременной силы. Пусть под действием переменной силы 戶 материальная точка массой т совершает гармоническое колебание с ускорением а. Тогда, учитывая формулу (5), можно написать
F = та = — /иа)2% =—尼％ (9) где
k = /mA (Ю)
Таким образом, сила, вызывающая гармоническое колебание, пропорциональна смещению и направлена против смещения. В связи с этим можно дать следующее опредзление гармонического колебания (кроме данного в § 27): гармоническим называется колебание, вызыва-
емое силой, пропорциональной смещению и направленной против смещения. Эта сила стремится возвратить точку в положение равновесия, поэтому ее называют возвращающей силой. Возвращающей силой может быть, например, сила упругости, так как она тоже пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку (см. § 10). Возвращающие силы могут иметь и иную, не упругую природу. В этих случаях они называются квазиупругими силами^.
Если известны масса материальной точки и коэффициент 幺 то из формулы (10) можно определить круговую частоту и период колебания:
з=М^ (11)
T =生=2h (ОT =生=2h (Ои
T =生=2h (О
T =生=2h (О
(12)
Рассмотрим теперь механическую колебательную систему, называемую физическим маятником; это твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести от
носительно горизонтальной оси. Обычно физический маятник представляет собой стержень с утяжеленным концом; другой его конец подвижно связан с горизонтальной осью В, перпендикулярной к стержню (рис. 51). Отклоненный от положения равновесия ОВ на угол а, маятник под действием силы тяжести Р возвращается к этому положению, переходит его по инерции, отклоняется в противоположную сторону, затем опять переходит положение равновесия и т. д. Если трение в подвесе мало, то маятник будет колебаться очень долго. Центр тяжести маятника С будет описывать дугу окружности COD. Условимся считать угол а положительным при откло-
Рис. 51нении маятника вправо от положения рав-
новесия и отрицательным — при отклонении влево.
Возвращающая сила
F = —Р sina = mg s\n а,
где т — масса маятника. Знак минус обусловлен тем, что направления силы и угла отклонения всегда противоположны. При малых откло- нениях (а V 0,14 рад = 8°) sin а ^ а. Тогда
г = — mga = — mg —,г = — mga = — mg —,(13>(13>
г = — mga = — mg —,
г = — mga = — mg —,
(13>
(13>
* T. e. «как бы упругими силами» (от латинского слова quasi — как 6н> якобы).
где х = ОС — дуговое смещение центра тяжести маятника от положения равновесия, / = ВС — длина маятника (расстояние от точки подвеса до центра тяжести). Таким образом, возвращающая сила оказывается пропорциональной смещению и противоположной ему по знаку (т. е. является квазиупругой силой). Следовательно, колебания маятника гармонические.
В соответствии с основным законом динамики вращения (см. § 21) момент М возвращающей силы 尸 выразится соотношением:
M = Fl =刑
где/ — момент инерции маятника относительно оси подвеса,р — угловое ускорение. Тогда
Так как 0 = all (см. § 6), то, учитывая формулу (5), можем написать
F =亲=一^3%(14)
где з — круговая частота колебаний маятника. Сопоставляя формулы (13) и (14), получим
mql = Js*
откуда найдем выражения круговой частоты и периода колебаний физи« ческого маятника:
7=口屮焉・ а6
На практике часто оказывается возможным рассматривать физический маятник как математический. Математическим маятником называется материальная точка, колеблющаяся на невесомой и неде- формируемой нити (рис. 52). Согласно определению момента инерции материальной точки.^м. § 21), момент инерции математического маятника
где т —— масса материальной точки, / —— длина нити. Подставляя это значение J в формулу (16), получим окончательное выражение периода колебаний математического маятника:
Т = 2к]/^・(17)
Из формулы (17) следует, что
при малых отклонениях а период колебания математического ма^ ятника пропорционален квадратному корню из длины маятника, обратно пропорционален квадратному корню из ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.
(18)(18)При гармоническом колебании происходит периодическое взаимное превращение кинетической энергии колеблющегося тела WK и потенциальной энергии Wn, обусловленной действием квазиупругой силы. Из этих энергий слагается полная энергия колебательной системы W:
(18)
(18)
Учитывая формулу (3), напишем
-~- а)2/2 siM (з/ +-~- а)2/2 siM (з/ +-^-) = -~ о)М2 cos2 o)f,-^-) = -~ о)М2 cos2 o)f,(19)(19)
-~- а)2/2 siM (з/ +
-~- а)2/2 siM (з/ +
-^-) = -~ о)М2 cos2 o)f,
-^-) = -~ о)М2 cos2 o)f,
(19)
(19)
где у — скорость движения тела, m ——его масса.
Потенциальная энергия, обусловленная квазиупругой силой, выражается так же, как потенциальная энергия упруго деформированного тела [см. § 17, формула (7)], т. е. должна быть пропорциональна квадрату смещения. Тогда, учитывая формулу (2), находим
% =竺=±A2sin^t.
22
Но А ~ 加吟 поэтому
lFn = £~3242sE2 吼.(20)
Сопоставляя формулы (18) — (20), получим
W = 2；少(cos2 о)/ + sin2(of)= i~l {2.(21)
Таким образом, полная энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату круговой частоты колебания.
О затухающих и вьшужденных колебаниях
Колебательное движение реальной механической системы всегда сопровождается трением, на преодоление которого расходуется часть энергии колебательной системы. Поэтому энергия колебания в процессе колебания уменьшается, переходя в теплоту. Так как энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды, то постепенно уменьшается и амплитуда колебаний (рис. 53; х — смещение, / ——время). Когда вся энергия колебания перейдет в теплоту, колебание прекратится (затухнет). Такого рода колебания называются затухающими.
Для того чтобы система совершала незатухающие колебания, необходимо восполнять извне потери энергии колебания на трение. Для этого надо воздействовать на систему периодически изменяющейся силой
/ = % sin %/, где/0 — амплитудное (максимальное) значение силы, и)в — круговая частота колебаний силы, / — время. Внешняя сила, обеспечивающая незатухающие колебания системы, называется вынуждаю- % щей силой, а колебания си- стемы—вынужденными. Оче- 八 видно, что вынужденные/ \
колебания происходят с ча-/ 1
стотой, равной частоте выну- / I /у ждающей силы. Определим ]/ \/ —
лебаний. Для упрощения рас- \▼
чета пренебрежем силой трения, полагая, что на колеблющееся тело действуют только две силы: вынуждающая /「
и возвращающая 尸.Тогда, согласно второму закону Ньютона,
F + f = та, где m и а — масса и ускорение колеблющегося тела. Но, как было показано в § 27, а = — Тогда
F + / =—加武 х,
где % — смещение колеблющегося тела. Согласно формуле (9), 尸=—то)2х,
где(1)—— круговая частота собственных колебаний тела (т. е. колебаний, обусловленных только действием возвращающей силы). Поэтому
—гп^х + 九 sin %£ = — ^из 況 откуда
х =sin %/•(22)
/И一
Из уравнения (22) следует, что амплитуда вынужденного колебания 4 =^——
т (0)2 -w) зависит от соотношения круговых частот вынужденного и собственного колебаний: при о)в->о)будет (з? _(03 fo и # >g. в действительности благодаря трению амплитуда вынужденных колебаний ос-
тается конечной. Она достигает максимального значения в том случае,
когда частота вынужденных колебаний близка к частоте собственных колебаний системы. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при wB « о) называется резонансом.
Используя резонанс, можно посредством небольшой вынуждающей силы вызвать колебание с большой амплитудой. Подвесим, напри
мер, карманные или ручные часы на нити такой длины, чтобы частота собственных колебаний полученного физического маятника (рис. 54)
совпала с частотой колебаний балансира часового механизма. В результате часы сами начнут колебаться, отклоняясь от положения равновесия на угол а ^ 30°.
Явление резонанса нмеет место при колебаниях любой природы (механических, звуковых, электрических и др.). Оно широко используется в акустике — для усиления звука, в радиотехнике— для усиления электрических колебаний и т. п.
В некоторых случаях резонанс играет вредную роль. Он может вызвать сильную вибрацию конструкций (зданий, опор, мостов и
т. п.) при работе установленных на этих кон
струкциях механизмов (станков, моторов и т. п.). Поэтому при расчете сооружений необходимо обеспечивать значительное различие между частотами колебаний механизмов и собственных колебаний конструк
ций.
В технике распространен еще один вид незатухающих колебаний — так называемые автоколебания, отличающиеся от вынужденных тем, что у них потери энергии колебания восполняются за счет постоянного источника энергии, вводимого в действие на очень короткие промежутки времени (в сравнении с периодом колебаний). Причем этот источник «включается» в нужные моменты вре- мени автоматически самой колебательной системой. Примером автоколебательной системы может служить часовой маятник. Здесь потенциальная энергия приподнятого груза (или деформированной пружины) вводится в действие посредством анкерного механизма. Другим примером может служить замкнутый колебательный контур с электронной лампой; с действием этой автоколебательной системы мы познакомимся позже (см. § 112).
Волновой процесс
Если в упругую среду поместить колеблющееся тело (источник колебаний), то соседние с ним частицы среды тоже придут в колебательное движение. Колебание этих частиц передается (силами упругости; соседним частицам среды и т. д. Через некоторое время колебание охватит всю среду. Однако оно будет совершаться с различными фазами: чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее начнет она колебаться и тем больше будет запаздывать по фазе ее колебание. Распространение колебаний в среде называется волновым процессом, или волной. Примером волнового процесса могут служить вол*
ны на поверхности воды, расходящиеся от места падения камня. Направление распространения волны (колебания) называется лучом. Волна называется поперечной, если частицы среды колеблют ся перпендикулярно к лучу. Если же они колеблются вдоль луча, то волна называется продольной.
В свободно подвешенной длинной пружине возникает поперечная волна, если по нижнему концу пружины нанесен удар в горизонтальном направлении (рис. 55, а). В этой же пружине возникает продольная волна, если удар нанесен в вертикальном направлении (рис. 55, б). Подчеркнем, что частицы среды не перемещаются вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия; перемещается только колебательный процесс, точнее говоря, фаза колебаний (гребни и впадины пружины — в случае поперечной волны или сгущения и разрежения витков пружины — в случае продольной волны).
Продольные волны могут возникать в среде, обладающей упругостью объема, т. е. в твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны возникают только в среде, обладающей упругостью формы (деформацией сдвига), т. е. только в твердых телах.
Чтобы получить наглядное представле
ние о волновом процессе, рассмотримРис. 55
схемы распространения поперечной и продольной волн.
В покоящейся среде, обладающей упругостью формы, отметим и пронумеруем ряд частиц, расположенных вдоль горизонтальной ли-
нии (рис. 56). Пусть в начальный момент (/ = 0) частица / приходит в гармоническое колебание с
периодом Т под действием толчка, направленного вертикально вверх. С некоторым запаздыванием придут в колебание и соседние частицы. Через четверть периода частица / максимально сместится вверх, частицы 2 и 5 также получат некоторое смещение, а до частицы 4 колебание еще
только дойдет. Через половину периода частица максимально сместится вверх, частицы 5 и 6 также получат некоторое смещение, а до частицы 7 колебание еще только дойдет. В это время частицы 3 и 2 будут уже смещаться вниз, а частица / придет в положение равновесия. Очевидно, что к концу периода колебание дойдет до частицы 13 и начнет распространяться далее. Так образуется поперечная волна. Подобные волны возникают, например, в металлическом стержне (или натянутой струне) при ударе, нанесенном перпендикулярно к его длине.
Предположим теперь, что в начальный момент (/ = 0) частица / пришла в гармоническое колебание вдоль линии расположения частиц (рис. 57). С некоторым ,2345??哲夕勿〃％々沙запаздываниемпридут в та-
•” ；…~丁•厂。苏•°кое колебаниеи остальные
/ •：力.一力=〃4частицы среды.Рассуждения,
*——•~• ♦ • •」• •• 与•♦方••加〃2аналогичные предыдущим, по-
•一-•~•~^~•— •一—t*T耳 кажут, что в этом случае
i-<—•^―.~•~^~•~•夕 у_/_•力гобразуется продольная волна
Рис. 57Рис. 57уплотнений и разрежений
Рис. 57
Рис. 57
среды. Такие волны возникают, например, в металличе-
ском стержне при ударе, нанесенном перпендикулярно к его торцу. Между прочим, очень наглядную модель продольной волны можно получить с помощью двух не совсем одинаковых гребенок, наложенных одна на другую (гребенки должны немного различаться частотой зубцов). Глядя на свет через зубцы этих гребенок и передвигая одну гребенку вдоль другой, увидим бегущую продольную волну сгущений и разрежений зубцов.
Скорость распространения упругих колебаний, т. е. скорость волны и, зависит от упругих свойств и плотности р среды:
где % — коэффициент, характеризующий упругие свойства среды. В частности, для продольных волн в твердом теле у = Е; для поперечных волн % = а 0,4£(Е — модуль упругости)
Подчеркнем, что основные закономерности волнового процесса справедливы не только для механических волн упругой среды (волн давления, звуковых и т. п.), но и для волн любой природы, в частности для волн электромагнитного поля (электромагнитных волн).
§ 32. Уравнение волны. Интенсивность волны
Установим зависимость между смещением х частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием у этих частиц от источника колебаний О для любого момента времени f. Для большей наглядности рассмотрим поперечную волну, хотя все последующие рассуждения
будут верны и для продольной волны. Пусть колебания источника яв」 ляются гармоническими (см. § 27):
х = Л sin
где А — амплитуда,①一круговая частота колебаний. Тогда все частицы среды тоже придут в гармоническое колебание с такой же частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникает синусоидальная волна, изображенная на рис. 58.
ния (рис. 46), но по существу они зависимость смещения данной частицы от времени. График волны представляет зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний а данный момент времени. Он является как бы моментальной фотографией волны.Рассмотрим некоторую частицу С, находящуюся на расстоянии у от источника колебаний (частицы О). Очевидно, что если частица О колеблется уже / с, то частицания (рис. 46), но по существу они зависимость смещения данной частицы от времени. График волны представляет зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний а данный момент времени. Он является как бы моментальной фотографией волны.Рассмотрим некоторую частицу С, находящуюся на расстоянии у от источника колебаний (частицы О). Очевидно, что если частица О колеблется уже / с, то частицаА片А片График волны (рис. 58) внешне похож на график гармонического колеба- различны. График колебания представляет
ния (рис. 46), но по существу они зависимость смещения данной частицы от времени. График волны представляет зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний а данный момент времени. Он является как бы моментальной фотографией волны.
Рассмотрим некоторую частицу С, находящуюся на расстоянии у от источника колебаний (частицы О). Очевидно, что если частица О колеблется уже / с, то частица
ния (рис. 46), но по существу они зависимость смещения данной частицы от времени. График волны представляет зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний а данный момент времени. Он является как бы моментальной фотографией волны.
Рассмотрим некоторую частицу С, находящуюся на расстоянии у от источника колебаний (частицы О). Очевидно, что если частица О колеблется уже / с, то частица
А片
А片
С колеблется еще только (f—рис. 58
—т) с, где t — время распро
странения колебаний от 0 до С, т. е. время, за которое волна прошла путь у. Тогда уравнение колебания частицы С следует написать так:
х ^ Л sin(0 (/ — т).
Л sin о)Л sin о)Но т = у/и, где V — скорость распространения волны. Тогда
Л sin о)
Л sin о)
(23)
Соотношение (23), позволяющее определить смещение любой точки волны в любой момент времени, называется уравнением волны. Вводя в рассмотрение длину волны 入 как расстояние между двумя ближайшими точками волны, находящимися в одинаковой фазе*, например между двумя соседними гребнями волны, можно придать уравнению волны другой вид. Очевидно, что длина волны равна расстоянию, на которое распространяется колебание за период Т со скоростью у：
vTvTоо(24)(24)
vT
vT
о
о
(24)
(24)
где y ——частота волны. Тогда, подставляя в уравнение (23) и =入/7 и учитывая, что з = 2n/T = 2nv, получим другие формы уравнения волны:
(25)(25)
(25)
(25)
一 绊Так как прохождение волн ы
彳卜一 сопровождается колебанием ча-
二三二二二二勿~zг у стиц среды, то вместе с волной
^^перемещается в пространстве и энергия колебаний. Энергия, пеРис. 59реносимая волной за единицу
времени через единицу площади, перпендикулярной к лучу, называется интенсивностью волны (или плотностью потока энергии}. Получим выражение для интенсивности волны /.
Пусть в 1 см8 среды содержится 九。частиц массой т. Тогда, в соответствии с формулой (21), энергия колебания среды в единице объема будет равна
где р = тп0 — плотность среды. Очевидно, что за 1 с через площадку в 1 см2 переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 см2 и высотой, равной а (рис. 59); следовательно,
/ = Q。=十 pwM2.(26)
Таким образом,
интенсивность волны пропорциональна плотности среды вскорости, квадрату круговой частоты и квадрату амплитуды волны.
Интерференция волн. Стоячие волны
Если в среде несколько источников колебаний, то исходящие от них волны распространяются независимо друг от друга и после взаимного пересечения расходятся, не имея никаких следов происшедшей встречи*. Это положение называется принципом суперпозиции. Его иллюстрацией может служить распространение водяных волн> вызванных двумя брошенными на поверхность воды камнями (рис. 60).
В местах встречи волн колебания среды, вызванные каждой из
волн, складываются друг с другом (можно сказать: волны складываются) по правилам, рассмотренным в § 28. Результат сложения (результирующая волна) зависит от соотношения фаз, периодов и амплитуд встречающихся волн. Большой практический интерес представляет случай сложения двух (или нескольких) волн, имеющих постоянную разность фаз. Такие волны и создающие их источники колебаний называются когерентными. Сложение когерентных волн называется интерференцией .
Рассмотрим интерференцию двух волн одинаковой амплитуды, исходящих из когерентных источников S' и S〃 и встречающихся в точке
Р (рис. 61). Согласно уравнению волны (25), смещения, вызванные в точке Р первой и второй волнами, равны соответственно:
X, = Л sin (м — 2冗年)н % = / sin ^t — 2冗号)・
Тогда результат сложения определится разностью фаз e = 2h近二丝.
Если
(27)(27)2n红产2叫
(27)
(27)
то в точке Р будет максимума колебания максимально усилят друг друга и результирующая амплитуда будет равна 2Д. Если же
2冗生］绚=(2m+ 1)似2冗生］绚=(2m+ 1)似(28)(28)
2冗生］绚=(2m+ 1)似
2冗生］绚=(2m+ 1)似
(28)
(28)
где и = 0, 1, 2, 3, ..., то в точке Р будет минимум: колебания взаимно погасятся и результирующая амплитуда будет равна нулю (см. § 28).
Условия максимума (27) и минимума (28) можно еще записать соответственно так:
勿一％ =九入=2/г -|-勿一％ =九入=2/г -|-(29)(29)
勿一％ =九入=2/г -|-
勿一％ =九入=2/г -|-
(29)
(29)
4*
% —沙2 =(2〃 + 1)* • (3°)
Разность j/t — % называется разностью хода волн, или разностью хода лучей.
Следовательно, в точке Р будет максимум, если разность хода волн составляет четное число полуволн (целое число волн); если разность хода составляет нечетное число полуволн, то в точке Р будет минимум.
Так как волны распространяются от источников S' hS〃 по всем направлениям, то в пространстве окажется множество точек, удовлетворяющих как условию (29), так и условию (30), т. е. окажется множество точек, соответствующих максимуму и минимуму колебаний. Поэтому интерференционная картина представит собой чередование областей усиления колебаний (максимумов) и областей, где колебания отсутствуют (минимумов). Более подробно эта интерференционная картина будет рассмотрена для случая электромагнитных волн (см. § 121).
Другим важным случаем интерференции волн является сложение двух когерентных волн, движущихся навстречу друг другу вдоль одной прямой. Если уравнение первой волны записать в обычном виде (25):
%i = 4 sin 卜/ — 2тс то уравнение второй волны будет иметь вид
/ = / sin (st + 2к ~-
(знак плюс указывает на движение этой волны в отрицательном направлении оеи OY). Тогда уравнение результирующей волны представится, согласно формуле (6), следующим выражением:
(31)(31)% =占 + / = 24 cos 2тс -~ sin 3f.
(31)
(31)
совершаются колеба- зависящей от ко-для которых у удов-совершаются колеба- зависящей от ко-для которых у удов-(32)(32)Уравнение (31) показывает, что в точках среды ния с частотой з и амплитудой 2Л cos 2冗-у-, ординаты у этих точек. Причем во всех точках, летворяет условию
совершаются колеба- зависящей от ко-
для которых у удов-
совершаются колеба- зависящей от ко-
для которых у удов-
(32)
(32)
или, что то же,или, что то же,cos 2冗千=0,
или, что то же,
или, что то же,
2冗-~- = (2/г 4~ 1) ~ ,
амплитуда колебаний равна нулю. Из формулы (32) следует, что
У — (2〃 + 1),
т. е. в точках с координатой у = 入/4, 3入/4, 5入/4, ... колебания всегда отсутствуют. Эти точки называют узлами волны. Точки, расположенные в середине между узлами, колеблются с наибольшей амплитудой, равной 24. Эти точки называются пучностями волны. Резуль
тат наложения двух встречных волн с одинаковыми амплитудами (периодом) называется стоячей волной (узлы, а следовательно, и пучности все время находятся на одном месте).
На рис. 62, где изображена часть стоячей волны в моменты времени / = 0, 778, 774, ЗТ/8, 772, 5778, 3 774, отчетливо видно, что точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Точки, расположенные справа и слева от каждого узла, колеблются в противоположных фазах. Расстояние между соседними узлами или пучностями равно половине длины бегущих волн, образующих стоячую волну.
Будучи неподвижной, стоячая вода не переносит энергии (происходит как бы компенсация переносов энергии двух бегущих в противоположных направлениях волн).
Стоячие волны обычно возникают в ограниченной среде при интерференции бегущей волны и ее отражения от границы среды. Таковы, например, волны натянутой струны, воздушного столба в трубе ограниченной длины, водяные волны вблизи вертикальных преград (плотин) и т. п.
Фронт волны. Принцип Гюйгенса—Френеля
До сих пор мы рассматривали движение волн, происходящее только в некотором определенном направлении (вдоль одной линии). Это имеет место, например, в стержнях, воздушных столбах, волноводах и т. п. Вообще же от источника колебаний, находящегося в сплошной среде, волны распространяются во всех направлениях. Поверхность, до которой одновременно доходят волны от данного источника колебаний, называется фронтом волны. Форма волнового фронта зависит от формы источника колебаний и свойств среды. При точечном источнике колебаний S волновой фронт в однородной среде имеет форму сферы; лучи, являющиеся радиусами R этой сферы, перпендикулярны к вол-
новому фронту (рис. 63, а). Очевидно, что R = W,
где и —— скорость волны, t — время ее распространения. Волны,
образующие сферический фронт, называются сферическими. Сферический волновой фронт является (в изотропной среде) вместе с тем фазовой, или волновой поверхностью, т. е. поверхностью, все точки которой колеблются в одинаковой фазе.
Если фронт волны представляет собой плоскость, то волна называется плоской. В этом случае лучи параллельны между собой (рис.
6). Небольшой участок сферического волнового фронта, находящегося на достаточном удалении от —>—Xi источника колебаний, мож- _ f I но практически считать аплоским (пренебрегая кри- I визной фронта).
—а ]В неоднородной среде,
—],где скорость волны неоди- —>—\Хкакова в различных напра
влениях, волновой фронт может иметь весьма слож
ную форму.
Если не учитывать затухания, то интенсивность плоской волны не будет изменяться по мере удаления волнового фронта от источника колебаний, так как площадь фронта остается в этом случае постоянной.
Иначе обстоит дело с интенсивностью сферической волны. Энергия колебания W, переносимая в единицу времени через всю площадь S волнового фронта, остается, согласно закону сохранения энергии, постоянной. Но S возрастает по мере удаления фронта от источника колебаний пропорционально квадрату расстояния у, так как S = 4тс^/2. Поэтому
г 啓Г1
/ = — = »
S4兀川у2
т. е. интенсивность сферической волны изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния фронта от источника колебаний. Так как, согласно формуле (26), интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды (/ 〜 〜”)，то 4~1/у, т. е. амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию волнового фронта от источника колебаний. Тогда, заменяя в формуле (25) А на А/у, получим следующее уравнение сферической волны:
При решении задач о распространении волн зачастую бывает необходимо построить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать с помощью метода, называемого принципом Гюйгенса^, сущность которого состоит в следующем.
* Метод предложен в 1690 г. голландским ученым Гюйгенсом.
* Достаточно построить полусферы в направлении движения фронта.** От латинского слова difractus — разломанный* Достаточно построить полусферы в направлении движения фронта.** От латинского слова difractus — разломанный
* Достаточно построить полусферы в направлении движения фронта.
** От латинского слова difractus — разломанный
* Достаточно построить полусферы в направлении движения фронта.
** От латинского слова difractus — разломанный
Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение /, изображенное на рис. 64. Требуется найти его положение через А/ с. Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка средн、до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн. Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться новая сферическая волна. Чтобы построить вторичные волны, вокруг каждой точки исходного фронта опишем сферы радиусом
&/ = р • м
где V — скорость волны. Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (указанных на рис. 64 стрелками). Иными словами, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн. Построив эту огибающую, получим искомое положение 2 волнового фронта.
Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде. В этом случае значения у,а следовательно, и Ар неодинаковы в различных направлениях.
Рассмотрим в качестве примера применения принципа Гюйгенса случай падения плоской волны на преграду с отверстием, размеры которого больше длины волны (рис. 65). Когда волновой фронт дойдет до преграды аа, каждая точка «отверстия станет источником вторичных волн. Построив эти волны* и проведя их огибающую, получим фронт волны, прошедший через отверстие. Он будет плоским только в своей средней части; у границ отверстия происходит загибание волно
вого фронта (а следовательно, и лучей) за преграду. Это явление называется дифракцией волн**.
Однако объяснение дифракции волн, даваемое принципом Гюйгенса, является неполным, так как он ничего не говорит об амплитудах волн,
распространяющихся в различных направлениях, и, следовательно
оставляет открытым вопрос о распределении интенсивности вдоль волнового фронта. Отмеченный недостаток принципа Гюйгенса устранил в 1815 г. французский физик Френель, дополнив этот принцип положением об интерференции вторичных волн.
Согласно Френелю, волну, приходящую в любую точку Р от первичного источника S, можно рассматривать как результат интерференции вторичных волн, приходящих в эту точку от множества эле
ментарных вторичных источников некоторого волнового фронта 尸(рис. 66). Тогда интенсивность волны в точке Р определится путем суммирования всех вторичных волн (с учетом размера AS» вторичных источников, их расстояния 厶 др Р и угла & между направлениями 厶 и нормали п к ASJ.
Принцип Гюйгенса с дополнением Френеля получил название принципа Гюйгенса ——Френеля и оказался весьма плодо
творным для решения многих вопросов о распространении волн. С конкретными применениями принципа Гюйгенса ——Френеля к электромагнитным (световым) волнам мы встретимся в последней части курса (см. гл. XVII и XVIII).
Задача 17. Уравнение колебания материальной точки массой т = 0,016 кг имеет вид х = 0,1 sin I — f + —1м. Найти: а) максимальные значения скорости vm и ускорения ат движения точки; б) значение максимальной силы %, действующей на точку; в) полную энергию W колеблющейся точки.
Решение. Сравнивая уравнение колебаний данной точки с уравнением гармонического колебания (2а), видим, что амплитуда колебания точки Л = = 0,1 м, начальная фаза ро =冗/4 и круговая частота(о = 2兀/Т =兀/8 рад/с, где Т = 16 с — период колебания точки.
Из формул (3) и (4) следует, что скорость и ускорение гармонического колебания точки имеют максимальные значения соответственно при
ПоэтомуПоэтомуsinsin1 и sin ®f + тс) = 1.1 и sin ®f + тс) = 1.3,14-83,14-80m = з4 =0m = з4 =0,1 м/с q 0,04 м/с0,1 м/с q 0,04 м/с
Поэтому
Поэтому
sin
sin
1 и sin ®f + тс) = 1.
1 и sin ®f + тс) = 1.
3,14
-8
3,14
-8
0m = з4 =
0m = з4 =
0,1 м/с q 0,04 м/с
0,1 м/с q 0,04 м/с
。加=е2/=―^"— 0,1 м/с2 ^0,0154 м/с2.
Ь4
Очевидно, что при максимальном значении ускорения будет иметь место и максимальное значение силы, действующей на точку. Поэтому, согласно второму закону Ньютона,
Fm = шат = 0,016 кг • 0,0154 м/са = 2,46 ♦ 10"4 Н.
Полную энергию колеблющейся точки найдем по формуле (21)!
加少*0,016 кг • 3,142 • 0,01 м2
呼=呼===1,23 . Ют дЖф==1,23 . Ют дЖф平
呼=
呼=
==1,23 . Ют дЖф
==1,23 . Ют дЖф
22 • 64 с?
Задача 18. Найти амплитуду В и начальную фазу сро гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями:
Решение. Амплитуды и начальные фазы слагаемых колебаний соответственно равны: Ai = Л2 = Л = 2 м, tp01 =冗/2 и ср02 =冗/4.
Условия задачи соответствуют случаю сложения колебаний одного направления, имеющих одинаковые круговые частоты и амплитуды, но различные фазы (см. § 28). Поэтому начальная фаза результирующего колебания должна отличаться от начальных фаз слагаемых колебаний на половину разности последних, т. е.
.中01 一中02冗 冗/2 一大/4 3冗
中0 = ?02 + 2= 7 +2= рад = 67 30 •
Тогда амплитуда результирующего колебания
В = 2Д cos '^01 2 ^°2 n 2 ・ 2 • cos ~~ 七 3,7 (м).
Задача 19. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, заданных уравнениями
х =з 2 sin з/ и у = 4 cos 5,
Определить траекторию движения точки.
у =» 4 sinу =» 4 sinРешение. Уравнение второго колебания перепишем в виде
у =» 4 sin
у =» 4 sin
• Тогда станет очевидным, что условия задачи соответству
ют случаю сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний, имеющих одинаковые круговые частоты, различные амплитуды (41 = 2ми42 = 4м)и различающиеся на к/2 начальные фазы (см. § 28). Поэтому в соответствии с формулами (8) точка движется по эллипсу, определяемому уравнением
(см. также рис. 49). Полуоси эллипса равны амплитудам слагаемых колебаний, т. е. 2 и 4 м.
Задача 20. Вдоль упругого шнура распространяется поперечная волна со скоростью и = 15 м/с. Период колебаний точек шнура Т = 1,2 с, амплитуда колебаний 4 = 0,02 м. Определить: а) длину волны X и б) фазу 中 и сме-
щение % точки, отстоящей на расстоянии у = 45 м от источника волн в момент времени / = 4 с.
Решение, а) По формуле (24) находим длину волны:
入=оГ о 15 м/с • 1,2 с = 18 м.
Фазу и смещение заданной точки определим из уравнения волны (25):
х = A sin 2汽
Так как фаза определяется выражением, находящимся под знаком синуса в уравнении волны, то
Тогда
х = Д sin <р » 0,02 sin 1,67冗=0,02 sin 301° = — 0,02 sin 59° =s= — 0,017 (м) == — 1,7 см.
Знак минус показывает, что в заданный момент времени точка шнура отклонялась книзу от положения равновесия (см. рис. 58).
2. Молекулярная физика и термодинамика
Глава VII. Общие сведения о строении вещества
§ 35. Основные положения молекулярно-кинетической теории
Представление о том, что все тела построены из мельчайших частиц ——атомов, возникло еще в глубокой древности и было достаточно отчетливо высказано греческим философом Демокритом (V в. до н. э.). Однако в дальнейшем эти атомистические воззрения были забыты и возрождены лишь во второй половине XVII в. Бойлем, а затем в XVIII —XIX вв. разработаны Ломоносовым, Дальтоном, Кре从игом, Больцманом, Максвеллом и другими в качестве научной теории, получившей название классической молекулярно-кинетической теории. Эта теория основана на следующих положениях.
Все вещества состоят из очень маленьких отдельных частиц — молекул. Молекулы, образующие данное вещество, совершенно одинаковы; различные же вещества состоят их различных молекул. В соответствии с чрезвычайным многообразием встречающихся в природе веществ существует и чрезвычайно большое количество различных видов молекул.
Молекулы в свою очередь состоят из еще более мелких частиц —— атомов. Число различных атомов сравнительно невелико и равно числу химических элементов и их изотопов. Различные комбинации из этих немногочисленных атомов и создают все множество видов молекул.
Атомы также не являются пределом делимости вещества, а представляют собой весьма сложные образования, состоящие из электрически положительно заряженного ядра, окруженного отрицательно заряженной электронной оболочкой. Однако классическая молекулярно-кинетическая теория не касается вопроса о строении атомов, рассматривая их упрощенно как твердые частички сферической формы.
Размеры (диаметры) атомов и молекул имеют в среднем порядок 10~8— 10~7 см. Это означает, что десять миллионов молекул, уложенные, вплотную друг к другу вдоль прямой линии, составят молекулярную цепочку длиной всего лишь в 1—10 мм. Очевидно, что при столь малом размере атомов и молекул число их в физическом теле должно быть колоссальным. Действительно, например, в одной капле
воды содержится около 3 ・ 1021 молекул. Молекулярная цепочка, составленная из такого количества молекул, имела бы длину в 300 млн. км, что в 800 раз превышает расстояние между Землей и Луной.
Между молекулами тела одновременно действуют силы взаимного притяжения (сцепления) и силы взаимного отталкивания. При этом
силы отталкивания должны убывать с увеличением расстояния быстрее, чем силы сцепления. Только при этом условии молекулы могут находиться в устойчивом равновесии на некотором определенном расстоянии друг от друга (на котором силы сцепления равны силам отталкивания). Действительно, если под влиянием каких-либо причин молекулы сблизятся на расстояние, меньшее равновесного (т. е. соответствующего устойчивому равновесию), то силы отталкивания начнут преобладать над силами притяжения и восстановят равновесное расстояние между молекулами. Наоборот, если под влиянием каких-либо причин молекулы разойдутся на расстояние, большее равновесного, то начнут преобладать силы сцепления и сблизят молекулы на расстояние, соответствующее равновесному.
Согласно экспериментальным и теоретическим исследованиям, межмолекулярные силы взаимодействия / обратно пропорциональны n-й степени расстояния г между молекулами:
где для сил притяжения п = 7, а для сил отталкивания п принимает значения от 9 до 15. Таким образом, действительно, эти силы очень быстро убывают с увеличением расстояния между молекулами, причем особенно быстро убывают силы отталкивания.
На рис. 67, а представлен примерный характер взаимодействия молекул в зависимости от расстояния между ними. По оси абсцисс отложены расстояния г, по оси ординат — величины сил отталкивания /0 и сил притяжения /п между молекулами, а также результирующей 尸 этих сил. Причем силы отталкивания приняты положительными, а
силы притяжения — отрицательными. Таким образом, для каждого расстояния г результирующая 尸 = % — /п и положительные ее значения соответствуют отталкиванию, а отрицательные — притяжению между молекулами.
Очевидно, что равновесное расстояние г0 между молекулами составляет около 3 • 10~8 см, так как на этом расстоянии 尸=0. При г V 3 * 10~8 см преобладают силы отталкивания (F > 0), а при г > 3 富 10一8 см преобладают силы притяжения (尸 V 0)・ На расстоянии г ^ 1,5 ， 10~7 см межмолекулярные силы практически перестают действовать (尸->0). Таким образом, силы межмолекулярного взаимодействия проявляются на расстояниях такого же порядка, как размер самих молекул.
Установим теперь примерный характер зависимости потенциальной энергии взаимодействия молекул Wn от расстояния между ними. Потенциальную энергию тяготеющих тел, находящихся на бесконеч ном расстоянии друг от друга, мы условились считать равной нулю (см. § 17). Поэтому при г = оо будет Wn = 0. Если молекулы окажутся на расстоянии г ^ 1,5 • 10~7 см друг от друга, то они начнут сближаться за счет работы силы притяжения, а потенциальная энергия молекул будет при этом уменьшаться и достигнет минимального значения (1^п)мин при г = % (при 尸 = 0). Дальнейшее сближение молекул возможно только за счет работы, совершаемой против сил Ът- талкивания. При этом потенциальная энергия молекул начнет резко- возрастать. В результате кривая потенциальной энергии взаимодействия молекул (рис. 67, б) будет иметь минимум при г = г。. Следовательно, положение устойчивого равновесия молекул соответствует минимуму их потенциальной энергии.
График зависимости потенциальной энергии взаимодействия молекул от расстояния между ними называют потенциальной кривой, участок АВС этой кривой принято называть потенциальной ямой, точку В —— дном потенциальной ямы. а ординату DB —— глубиной потенциальной ямы,
Силы межмолекулярного взаимодействия имеют электрическую природу, обусловленную тем, что молекулы состоят из электрически заряженных частиц (положительных — атомных ядер и отрицательных — электронов), которым, как известно, свойственно взаимодействие (притяжение — для разноименно заряженных и отталкивание ——для одноименно заряженных частиц).
Правда, в целом молекула электрически нейтральна. Однако заряды в молекуле расположены (или располагаются в процессе ее сближения с другой молекулой) не вполне симметрично. Благодаря этому молекулы оказываются полярными, подобными электрическим диполям (см. § 76); между их разноименно заряженными «полюсами» возникают силы притяжения, преобладающие над силами отталкивания одноименно заряженных «полюсов». Если же молекулы очень близко подойдут друг к другу, то решающую роль в их взаимодействии начинают уже играть силы отталкивания между сблизившимися электронными оболочками атомов, составляющих эти молекулы.
Молекулы, образующие тело, находятся в состоянии непрерывного беспорядочного движения. При этом они сталкиваются друг с другом и изменяют свою скорость как по направлению, так и по величине. Прав* Да, столкновения в обычном смысле этого слова не происходит, так
как соприкосновению молекул препятствуют резко возрастающие при их сближении силы отталкивания. Однако действие этих сил приводит к тому же результату, что и при обычном столкновении, т. е. к отскакиванию сблизившихся молекул друг от друга.
Скорость движения молекул в теле связана с его температурой: чем больше эта скорость, тем выше температура тела. Таким образом, скорость движения молекул определяет тепловое состояние тела — величину его внутренней энергии; поэтому хаотическое движение молекул также называют тепловым движением. Под внутренней энергией тела подразумевают совокупность кинетической энергии молекул и атомов, образующих это тело, и потенциальной энергии их взаимодействия .
По мере увеличения интенсивности теплового движения среднее расстояние между молекулами возрастает, а сглы сцепления уменьшаются. Этому процессу соответствует переход тела из твердого состояния ь жидкое. При достаточно интенсивном тепловом движении среднее расстояние между молекулами может стать настолько большим (> 1,5 ・ 1Q-7 см), что силы сцепления между ними практически перестанут действовать. При этом тело перейдет в газоо^)азное состояние. Таким образом, от интенсивности теплового движения молекул и от внешних условий зависит, в каком из трех возможных агрегатных состояний находится вещество: твердом, жидком или газообразном.
Изложенные ранее основные положения молекулярно-кинетической теории подтверждаются многочисленными опытными фактами и физическими явлениями; некоторые из них будут рассмотрены в следующем параграфе.
О некоторых явлениях, подтверждающих основныеположения молекулярно-кинетической теории
Под электронным микроскопом можно рассмотреть и сфотографировать отдельные крупные молекулы, например молекулы белка, имеющие диаметр около 4 » 10~7 см. С помощью созданных в последнее время сверхмикроскопов (электронных проекторов) оказалось возможным видеть уже и менее крупные молекулы и даже отдельные атомы. Возможность прямого наблюдения индивидуальных молекул и атомов является исключительно наглядным и совершенно неоспоримым доказательством реальног© существования этих частиц.
Вполне убедительным косвенным подтверждением того, что все физические тела построены из молекул, отделенных друг от друга промежутками, служит изменяемость объема газа, например его сжимаемость. Очевидно, что уменьшение объема возможно только благодаря взаимному сближению составляющих газ молекул за счет сокращения промежутков между ними.
Наличие сил притяжения и отталкивания между молекулами от・ четливо обнаруживается в свойстве твердых тел сохранять свою фор-
му. Даже для небольшой деформации твердого тела необходимо приложить значительное усилие. Понятно, что растяжению тела препятству
ют силы притяжения, а сжатию — силы отталкивания между молеку
лами.
Еще большее усилие потребуется для того, чтобы разрушить тело, например разломать его на части. Очевидно, что это усилие необходи
мо для преодоления сил сцепления между молекулами, для удаления молекул друг от друга на расстояние, при котором силы сцепления становятся исчезающе малыми.
Невозможность восстановить разломанное тело путем простого составления его частей по соответствующим поверхностям излома указывает на то, что силы сцепления действуют на очень малых расстояниях. Дело в том, что поверхности излома всегда оказываются более или менее шероховатыми, причем размеры шероховатостей значительно превосходят размер молекул (рис. 68,а; молекулы изображены точками). Поэтому у соединяемых частей тела (/ и 2) лишь немногие молекулы сближаются на расстояние, достаточное для дей
Рис. 68Рис. 68ствия сил сцепления.
Рис. 68
Рис. 68
Подавляющее же больший-
ство молекул находится слиш
ком далеко друг от друга, так что силы сцепления между ними не действуют. Если поверхности излома очень гладкие, то при их соединении уже большинство молекул сблизится на расстояние действия сил сцепления (рис. 68, б), что обеспечит довольно прочное «слипание» частей тела. Опыт показывает, что, например, две тщательно отполированные стеклянные пластинки, приложенные одна к другой, слипаются настолько прочно, что для их разъединения требуется усилие около 6 • 10б Па.
Очевидно, что сварка, спайка и склейка твердых тел также основаны на действии сил сцепления. Жидкий металл (или клей) заполняет все пространство между соединяемыми поверхностями. Поэтому после затвердевания металла (клея) все молекулы в зоне соединения оказываются сближенными между собой на расстояние, достаточное для действия сил сцепления.
Непрерывное хаотическое движение молекул наиболее наглядна обнаруживается в явлениях диффузии и броуновского движения.
Если поместить капельку брома на дно высокого стеклянного сосуда, то в результате ее испарения через несколько минут около дна co
суда образуется слой пара брома, имеющий темно-бурый цвет. Этот пар довольно быстро распространяется кверху, перемешиваясь с воздухом, так что через час бурый столбик смеси газов в сосуде достигнет 30 см. Очевидно, что перемешивание воздуха с паром брома произошло не под влиянием силы тяжести, а наоборот, вопреки действию силы тяжести, так как первоначально бром располагался ниже воздуха, а плотность пара брома приблизительно в 4 раза больше, чем воздуха. В данном случае перемешивание могло быть вызвано только хаотическим движением молекул, в процессе которого молекулы брома распространялись между молекулами воздуха, а молекулы воздуха — между молекулами пара брома. Рассмотренное явление называется диффузией.
В 1827 г. английский ботаник Броун. исследуя под микроскопом жидкие препараты, случайно обнаружил следующее интересное явление. Взвешенные в жидкости мельчайшие твердые частички совершали быстрые беспорядочные движения, как бы перескакивая с места на место. В результате таких скачков частички описывали зигзагообразные траектории самой причудливой формы.
В дальнейшем это явление неоднократно наблюдалось как самим Броуном, так и другими исследователями в различных жидкостях и с различными твердыми частичками. Чем меньше был размер частичек, тем интенсивнее они двигались. Описанное явление получило название броуновского движения.
Броуновское движение можно наблюдать, например, в капле воды, слегка подчерненной тушью или подбеленной молоком, пользуясь микроскопом с пятисоткратным увеличением. Диаметр броуновской частицы составляет в среднем 0,0001 мм, наибольший же допустимый ее диаметр — 0,005 мм.
На рис. 69 представлена зарисовка траектории одной из броуновских частиц. Местоположение этой частицы отмечалось через каждые 30 с черными точками.
Причина броуновского движения кроется в хаотическом движении молекул. Ввиду tqfo, что броуновская частица имеет малый размер (примерно лишь в сотни раз больший диаметра молекулы), она может заметно перемещаться под действием одновременных одинаково направленных ударов нескольких молекул. В силу хаотичности движения молекул их удары о броуновскую частичку оказываются обычно неском- пенсированными: с разных сторон в частичку ударяет различное количество молекул, причем сила удара отдельных молекул также не вполне одинакова. Поэтому частичка получает преимущественный толчок то с одной, то с другой стороны и буквально мечется в разные стороны в поле зрения микроскопа. Таким образом, броуновские частички
воспроизводят хаотическое движение самих молекул, только движутся они значительно медленнее молекул благодаря своей сравнительно большой массе.
Броуновское движение является как бы увеличенным по масштабу, но замедленным по темпу воспроизведением теплового движения молекул.
Броуновское движение можно наблюдать и в газе, если в нем взвешены достаточно мелкие твердые или жидкие частички, как это имеет место, например, в задымленном или запыленном воздухе, освещенном солнечными лучами.
Один из методов определения постоянной AeoeadpoNА, примененный Перреном, был основан на наблюдении броуновского движения. Значение ^A оказалось равным 6 • 1023 молекул на моль. Более точные измерения, выполненные впоследствии другим методом, дали для постоянной Авогадро общепринятое сейчас значение ^A =6,02252 • 1023 моль"1. Напомним, что под молем (моль) понимается количество вещества, масса которого в граммах равна его относительной молекулярной массе. Точное определение моля дано в приложении II. Количество вещества в 1000 раз большее моля называется киломолем (кмоль).
На основе молекулярно-кинетической теории оказалось возможным объяснить многие свойства тел и понять физическую сущность ряда происходящих в них явлений (теплопроводность, внутреннее трение, диффузию, изменение агрегатного состояния и т. и.). Наиболее плодотворно применяется молекулярно-кинетическая теория к газам. Однако и в области жидкости и твердых тел эта теория позволила установить целый ряд важных закономерностей. Все эти вопросы достаточно подробно рассмотрены в последующих главах второй части курса.
О теплоте и температуре
Как уже отмечалось (см. § 35), тепловое состояние тела (вещества) определяется интенсивностью хаотического (теплового) движения его молекул. При изменении интенсивности этого движения изменяются внутренняя энергия тела и его тепловое состояние. Еще около 200 лет тому назад М. В. Ломоносов в «Размышлениях о причине тепла и холода» писал, что теплота состоит во внутреннем движении материи, которое есть перемена места нечувствительных час/шщ материи (т. е. по современной терминологии, молекул).
Возьмем два тела с различным тепловым состоянием. Пусть в первом теле интенсивность хаотического движения молекул больше, чем во втором. Приведем эти тела в соприкосновении друг с другом — 6 тепловой контакт. Тогда молекулы первого тела, сталкиваясь на границе соприкосновения тел с молекулами второго тела, повышают интенсивность теплового движения последних. В результате тепловое состояние тел изменится: внутренняя энергия первого тела уменьшит-
ся, а второго ——возрастет. Количество внутренней энергии, передан ное (при тепловом контакте) первым телом второму телу, назовем количеством переданной теплоты^.
В качестве характеристики теплового состояния тела введем понятие температуры как физической величины, количественно описывающей интенсивность хаотического движения его молекул. Чем интенсивнее тепловое движение молекул в теле, тем выше его температура. В нашем примере температура первого тела была выше, чем второго. Если при тепловом контакте тепловые состояния тел не изменяются, то их температура одинакова — тела находятся в тепловом равновесии.
При изменении теплового состояния тела кроме температуры изменяются и другие его физические характеристики (например, объем). По количественному изменению этих характеристик (например, объема) можно судить об изменении температуры тела и установить единицы измерения температуры и температурную шкалу. Тело (прибор), по изменению какой-либо физической характеристики которого можно определять его температуру, называется термометром.
Для измерения температуры тела его надо привести в тепловой контакт с термометром и дождаться установления теплового равновесия. Температура тела будет равна температуре термометра, находящегося в тепловом равновесии с этим телом.
Простейшим и наиболее распространенным термометром является жидкостный (ртутный или спиртовой), температура которого определяется по высоте столбика жидкости, находящейся в капиллярной стеклянной трубке с расширением на нижнем конце; с изменением температуры термометра изменяется объем, а следовательно, и высота столбика жидкости. Наиболее распространенной температурной шкалой является шкала Цельсия, за основные точки которой приняты положения верхних уровней столбика жидкости, когда термометр находится в тепловом контакте: 1) с тающим льдом; 2) с паром кипящей воды (при нормальном атмосферном давлении). Расстояние между этими уровнями разделено на 100 равных частей; 0,01 этого расстояния принята за 1 градус температурной шкалы Цельсия (1℃), что соответствует одному кельвину (1 К). Точное определение кельвина дано в Приложении II.
В технике и лабораторных исследованиях для измерения температуры широко применяются электротермометры (термометры сопротивления и термопары). Точное измерение температуры и градуировка термометрических шкал производится посредством газового термометра (нормальная шкала температур), основанного на законе Гей- Люссака (см. § 39).
Немного раньше мы назвали количеством переданной телу теплоты величину изменения внутренней энергии тела в результате теплового контакта. Поэтому количество теплоты измеряют в единицах энергии (работы), т. е. в джоулях.
Опыт показывает, что количество теплоты Q, необходимое для нагревания массы т вещества от температуры Г4 до Т2 кельвинов, пропорционально массе вещества и изменению температуры:
Q = ст (Г2 — А)，
где с — коэффициент пропорциональности, называемый удельной теплоемкостью вещества. Из последней формулы следует
Q 「
加(北一A)
Отсюда видно, что удельной теплоемкостью вещества называется коли- чество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на один кельвин. Единицей измерения удельной теплоемкости являет* ся Дж/(кг ♦ К).
Более подробно вопросы о теплоемкости и температуре будут рассмотрены в последующих главах (см. §§ 39, 42, 43, 44 и 54).
О предмете и методах молекулярной физики
Прежде чем перейти к непосредственному изложению основ молекулярной физики, определим предмет и охарактеризуем (в самых об^ щих чертах) основные методы ее исследований.
Молекулярная физика изучает физические свойства макроскопических тел (газообразных, жидких и твердых), а также совершающиеся в них физические процессы, обусловленные тепловым движением и бза- имодействием микрочастиц (атомов, молекул, ионов), составляющих эти тела.
Так как свойства макроскопических тел (систем) обусловлены протекающими в них ми крое коп ичес кими процессами беспорядочного движения микрочастиц, то объяснить и количественно охарактеризовать свойства макросистем можно на основе рассмотрения этих микропроцессов.
Например, важная макроскопическая характеристика состояния тела — температура — обусловлена, как уже отмечалось, интенсивностью беспорядочного движения молекул этого тела и поэтому может быть количественно выражена через их скорости движения. Но при этом надо иметь в виду, что у молекул, образующих тело, нет единой скорости движения: в любой момент времени каждая молекула имеет свою индивидуальную (случайную) скорость (в этом и заключается беспорядочность теплового движения). Поэтому температуру тела можно выразить только через некоторое среднее значение скорости движения его многочисленных молекул.
Метод описания свойств макроскопических систем на основе усредненных значений характеристик движения микрочастиц, составляющих эти системы, называется молекулярно-кинетическим (статистическим) методом.
Можно, однако, изучать свойства макросистемы (тела), не касаясь ее микроструктуры и совершающихся в ней микропроцессов. Дело в
том, что многие свойства системы связаны еще и с происходящими в ней процессами превращения энергии из одних видов в другие. Основ^ ные законы самих энергетических превращений, называемые началами термодинамики (см. § 69 и 71), были установлены на материале огромного количества наблюдений и являются вполне достоверными. Следовательно, с помощью этих законов тоже можно изучать многие свойства макроскопических систем.
Метод описания свойств макроскопических систем на основе законов превращения энергии, со вер шающегос я в этих системах, называется термодинамическим.
Как статистический, так и термодинамический методы широко используются в исследованиях по молекулярной физике, зачастую дополняя друг друга. Примером такого дополнения может служить рассмотрение вопроса об энтропии в § 72 (термодинамическим методом) и в § 73 (статистическим методом).
Глава VIII. Газы
Экспериментальные газовые законы: Бойля—Мариотта, Гей-Люссака, Дальтона, Авогадро. Абсолютная температура
Состояние данной массы газа принято характеризовать следующими физическими величинами (параметрами состояния): давлениемр, объемом V и температурой Т. Изменение состояния газа, сопровождающееся изменением всех или некоторых из этих величин, называется газовым процессом. Процесс изменения давления газа в зависимости от объема, протекающий при неизменной температуре, называется изотермическим. Процесс изменения объема газа в зависимости от температуры, протекающий при неизменном давлении, называется изобарическим, Процесс изменения давления газа в зависимости от температуры, протекающий при неизменном объеме, называется изохорическим^.
Прежде чем перейти к изучению свойств газа на основе молекулярно-кинетической те- pi ории строения вещества, следует кратко оста- Т новиться на газовых законах (Бойля—Мар йот-L
та, Гей-Люссака, Дальтона, Авогадро), кото- \ рые были открыты опытным путем задолго до \ появления молекулярно-кинетической теории. I \ Эти законы были установлены на опытах с I \ 戶淞 газами, находящимися в условиях, мало от- |\
личающихся от нормальных атмосферных условий, т. е. при небольших температурах 1一—一— ；「 и невысоких давлениях. При низких темпера- 夕 *
турах или при высоких давлениях эксперимент тальные- газовые законы уже неточно отра-ис,
жают свойства газов.
Закон Бойля — Мариотта. Изучая изотермические газовые процессы, английский ученый Бойль (в 1662 г.) и французский ученый Мариотт (в 1667 г.) независимо друг от друга установили следующий закон, получивший название закона Бойля — Мариотта: для данной массы газа 几р〃 постоянной температуре (f = const) давление газа изменяется обратно пропорционально объему',
pV — const,(1)
где £ — температура по шкале Цельсия.
В соответствии с формулой (1) изотермический процесс представляется на графике равнобочной гиперболой ——изотермой (рис. 70).
Законы Гей-Люссака. Изучая изобарические и изохорические газовые процессы, французский физик Гей-Люссак в 1802 г. установил следующие два закона, названные его именем.
Рис. 72Рис. 72
Рис. 72
Рис. 72
Для данной массы газа при постоянном давлении (р = const) объем газа изменяется линейно с температурой:
У = %(1+硝，(2)
где 匕一объем газа при 0° С, V — объем газа при температуре 尸 С, а — коэффициент объемного расширения газа.
Для данной массы газа при постоянном объеме (V = const) давление газа изменяется линейно с температурой:
(3)(3)Р = Ро (1 + т0>
(3)
(3)
где % — давление газа при 0 ℃, р — давление газа при температуре / ℃, у — термический коэффициент давления газа.
Оказалось, что для всех
Vгазов
а = та = т—^— ^ — (KF，273,16273 '7
а = т
а = т
Согласно формулам (2) и (3), изобарический и изохорический процессы представляются на графиках прямыми линиями (изобарами и изохорами), проходящими наклон-
но к оси температур и пересекающими ее в точке / = =_ 273,16 ℃ « — 273 ℃ (рис. 71 и 72).
Точка / = —273 ℃ приня^ та за начало отсчета (нуль) новой шкалы температур, называемой абсолютной (или шкалой Дельвина, или термодинамической шкалой). Температура, отсчитываемая по абсолютной шкале, называет
ся абсолютной, или термодинамической температурой} нуль этой шкалы называется абсолютным нулем. Если цену деления абсолютной шкалы сохранить той же, что и на шкале Цельсия, то абсолютная тем* пература Т будет связана с температурой 力 измеряемой по шкале Цельсия, формулой
⑷⑷Т = / + 273,16 ℃,
⑷
⑷
при этом абсолютный нуль равен —273,16 ℃.
Из формулы (2) следует, что при температуре, равной абсолютному нулю,
f (1+謂=。，
т. е., что при абсолютном нуле температуры
вещество исчезает. Этот явно неверный вывод подтверждает уже упоминавшееся положение о том, что экспериментальные газовые законы неприменимы в области низких температур. Действительно, при низких температурах вещество не может существовать в газообразном состоянии: оно переходит в жидкое или даже в твердое состояние.
Таким образом, воспользовавшись для установления абсолютной шкалы температуры и абсолютного нуля законами Гей-Люссака, мы поступили сугубо формально. Однако Кельвин в 1852 г., исходя из иных физических явлений, теоретически установил ту же самую абсолютную шкалу температур с тем же значением абсолютного нуля, какие формально были получены ранее из законов Гей-Люссака. Поэтому абсолютную температуру и абсолютный нуль не следует рассматривать как формальные понятия, не имеющие физического смысла. Абсолютный нуль — это, как показал Кельвин, самая низкая из возможных температур вещества. Как мы увидим дальше (см. § 42), при абсолютном нуле полностью прекращается хаотическое движение молекул в веществе. Однако это не значит, что в нем прекращается всякое движение. Сохраняется, например, движение электронов в атоме. В настоящее время удается охлаждать малые объемы вещества до температуры, близкой к абсолютному нулю, не достигая последнего лишь на несколько тысячных долей кельвина.
С помощью абсолютной температуры можно придать формуле (2) более простой вид:
吩%(1+砌=%(1+责卜%甯
где TQ = 273 К соответствует 0 ℃ по шкале Кельвина. Следовательно,
(5) т. е.
при постоянном давлении объем газа пропорционален абсолютной температуре.
Преобразуя аналогичным путем формулу (3), получим
—=⑹ Ро / Q
т. е.
при постоянном объеме давление газа пропорционально абсолютной температуре.
Формулы (5) и (6) представляют собой математические выражения законов Гей-Люссака.
На формуле (6) основан упоминавшийся уже ранее метод измерения температуры с помощью газового (водородного) термометра, схематически изображенного на рис. 73. Водородный термометр состоит из баллона Л, наполненного водородом и сообщающегося с левым коленом ртутного манометра. Открытое правое колено манометра соединено с левым коленом посредством гибкого резинового шланга. Баллон приводится в тепловой контакт со средой, температура которой подлежит изменению. Чтобы изменение температуры водорода
8 нее газов'.8 нее газов'.Р = Р1 + 02 + 03 十 Р4 НР = Р1 + 02 + 03 十 Р4 Н(7)(7)
8 нее газов'.
8 нее газов'.
Р = Р1 + 02 + 03 十 Р4 Н
Р = Р1 + 02 + 03 十 Р4 Н
(7)
(7)
происходило изохорически, ртуть в левом колене манометра во время всего измерения поддерживается на уровне метки а, для чего приходится поднимать или опускать правое колено на блоке В рукояткой С. Тогда, применяя формулу (6), получим
Т = — р.&)
Ро
Зная начальное (атмосферное) давление ро и начальную температуру Tq водорода и определив конечное давление р водорода по формуле
Р== Ро +瓦 где h ——разность уровней ртути в коленах манометра, определяют конечную температуру водорода Т по формуле (6Л).
Закон Дальтона. Пусть в некотором объеме находится смесь газов (например, воздух), имеющая давление р. Удалим из объема все газы, кроме одного (например, азота). Тогда он займет весь объем (смеси) и будет иметь давление рг называемое парциальным давлением первого газа. Парциальным давлением газа, входящего в газовую смесь, называется давление, которое имел бы этот газ, если бы он один занимал весь объем, предоставленный смеси. Вновь заполнив объем смесью газов, удалим затем из объема все газы, кроме второго (например, кислорода). Тогда второй газ, заняв весь объем, приобретет давление Р2, являющееся его парциальным давлением. Проведя аналогичные опера
ции со всеми остальными газами смеси, определим парциальные давле
ния третьего газа р3, четвертого газа р4 и т. д.
В 1801 г. английский физик и химик Дальтон установил соотношение между давлением газовой смеси и парциальными давлениями входящих в нее газов, получившее название закона Дальтона:
давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений входящих
Закон Авогадро. На основании опытов с различными газами итальянский ученый Авогадро установил в 1811 г. следующий закон, названный его именем:
при одинаковых температуре и давлении моли любых газов занимают одинаковые объемы.
При нормальных условиях этот объем составляет 0,02241 м 3/моль (22,41 л/моль).
§ 40. Уравнение Клапейрона — Менделеева.Универсальная газовая постоянная
В предыдущем параграфе рассматривались газовые процессы, при которых одна из характеристик состояния газа оставалась неизменной, а две другие менялись. Рассмотрим самый общий случай газового процесса, когда одновременно изменяются и объем, и давление, и температура газа. Закон, описывающий такого рода процессы, был установлен в 1834 г. Клапейроном путем объединения законов Бойля ——Мариотта и Гей-Люссака.
Пусть состояние некоторой массы т газа характеризуется параметрами Vi, pi и Tf. Переведем ее в другое состояние, характеризующееся параметрами R2, Р2 H Т2. Этот процесс осуществим в два этапа: 1) изотермически (7\ = const) изменим объем газа до значения 乙，при этом его давление станет равным 团；2) изохорически (% = const) изменим температуру газа до такого значения 72» при котором давление окажется равным р2-
Первый этап процесса описывается законом Бойля ——Мариотта и потому
V1Pl = b2Ph
откуда
Второй этап процесса описывается законом Гей-Люссака (6) и, следовательно,
Подставляя в последнюю формулу выражение р/, получим
匕% 一 "
откуда
%Pi __ Т2Р2
Это значит, что
для данной массы газа величина pV/T остается неизменной:
^ = 3 = const.(8)
Выражение (3) называется уравнением (законом) Клапейрона.
Некоторым недостатком уравнения Клапейрона является то обстоятельство, что постоянная величина В различна для различные газов. Для устранения этого недостатка Менделеев в 1875 г. несколько видоизменил закон Клапейрона, объединив его с законом Аво- гадро.
Рассмотрим для этой цели моль газа, обозначив его объем qepes VM, называемый молярным. В этом случае уравнение Клапейрона
примет вид
号j8
Согласно закону Авогадро, при одинаковых значениях р и Т моли всех газов имеют одинаковое значение VM и, следовательно, постоянная В будет одинаковой для всех газов. Обозначим это значение В через R, тогда
ттR・R・(9)(9)
т
т
R・
R・
(9)
(9)
Постоянная R называется универсальной газовой постоянной. Из фор* мулы (9) следует, что
рУм = RT.(10)
Это выражение называется уравнением (законом) Клапейрона—Менделеева для моля газа. Так как объем газа пропорционален его массе (при одинаковых р и Т), то
где М — молярная масса газа, а V — объем массы 加 этого газа. Тогда
^Af = V —.т
Подставляя это выражение Vm в формулу (10), получим
или
pV = —RT.(11)
Последнее выражение называется уравнением (законом) Клапейрона —— Менделеева для любой массы газа. Из формулы (11) можно выразить плотность р газа;
吋岳m
но
тогдатогдар = 2 RT,мр = 2 RT,моткудаоткуда
тогда
тогда
р = 2 RT,м
р = 2 RT,м
откуда
откуда
RTRT(12)
RT
RT
Численное значение универсальной газовой постоянной определим из формулы (9), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р = 1,013 • 105 Па, Т = 273 К, Vm = 0,02241 м3/моль):
R = 1，。13・1。5 嚷О芦41.咚吧2. = &32 д*/(к.моль).
Поскольку закон Клапейрона — Менделеева обобщает экспериментальные газовые законы, то и сам он является экспериментальным законом. Перейдем теперь к теоретическому изучению свойств газа на основе мо леку л яр но - кинетичес ко й теории.
§ 41. Основное уравнение кинетической теории идеального газа
С точки зрения молекулярно-кинетической теории находящийся в сосуде газ представляет собой совокупность множества хаотически движущихся молекул. В процессе этого движения молекулы газа ударяют о стенки сосуда. При каждом ударе молекула действует настенку с некоторой, сравнительно небольшой силой, нормальной (перпендикулярной) к поверхности стенки. Ввиду крайней многочисленности молекул стенки сосуда испытывают как бы непрерывное действие некоторой, уже сравнительно большой, нормально направленной силы.
Рассчитанная на единицу площади стенки, эта сила, очевидно, представит гобой давление газа. Таким образом, давление газа обусловлено тепловым движением его молекул и проявляется благодаря ударам молекул о стенки сосуда.
Сила удара молекул зависит от скорости их движения, а следовательно, и от кинетической энергии поступательного движения молекул. Поэтому давление р газа должно являться функцией 屮 средней кинетической энергии поступательного движения его молекул 步：
P-^^Y (13)
Основное уравнение кинетической теории идеального газа как раз и устанавливает зависимость между давлением газа и средней кинетической энергией поступательного движения его молекул, т. е. устанавливает конкретный вид функции ср. Основное уравнение было выведено (в современной форме) немецким физиком Клаузиусом в 50-х годах XIX в.
Прежде чем приступить к выводу этого уравнения, сделаем несколько упрощающих предположений относительно самого газа. Будем считать, что молекулы газа находятся в среднем настолько далеко друг
от друга, что их размерами можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними, т. е. рассматривать молекулы как материальные точки. В таком случае можно пренебречь также и силами взаимодействия (сцепления и отталкивания) между молекулами. Исключение составляют моменты сближения молекул, соответствующие столкновениям между ними. При этом будем считать, что молекулы сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда, в котором заключен газ, как абсолютно упругие шарики, изменяя только направление, но не величину скорости. Наконец, ввиду большого среднего расстояния между молекулами можно пренебречь числом взаимостолкновений молекул по сравнению с числом их ударов о стенки сосуда. Таким образом, наши упрощающие предположения о газе можно кратко сформулировать следующим образом:
0
1. Молекулы — упругие шарики пренебрежимо малого размера (материальные точки).
Силы сцепления между молекулами пренебрежимо малы.
Силы отталкивания между молекулами проявляются только в моменты взаимостолкновений последних.
〃4. Число взаимостолкновений между молеку
лами пренебрежимо мало по сравнению с числом
Рис 74 их ударов о стенки сосуда.
'Газ, удовлетворяющий этим условиям, назы
вается идеальным.
Таким образом, идеальным газом называется такой воображаемый газ, молекулы которого представляют собой упругие материальные точки, не связанные друг с другом межмолекулярными силами сцепле
ния.
Здесь уместно поставить вопрос: не увели ли нас эти упрощающие предположения слишком далеко от действительности? Иными словами не будет ли беспредметным изучение идеального газа? Оказывается, что реальный газ в условиях, близких к нормальным, а также при низких давлениях и при высоких температурах близок по своим свойствам к идеальному газу. Таким образом, рассмотренные (см. §§39, 40) экспериментальные газовые законы справедливы, по существу, для идеального
газа.
Выведем основное уравнение для случая, когда газ находится в сосуде кубической формы. (Это делается только ради упрощения расчета. Вообще же основное уравнение можно вывести для газа, находящегося в сосуде любой формы и даже при отсутствии всякого сосуда.)
Пусть в кубическом сосуде с ребром а находится идеальный газ, состоящий из N молекул; масса каждой молекулы т. Ввиду полной хаотичности движения молекул результат их действия на стенки сосуда будет таким же, как в случае, если бы 1/3 всех молекул двигалась прямолинейно между передней и задней стенками сосуда, 1/3 между правой и левой и 1/3 между верхней и нижней (рис.74). Поэтому допустим, что число молекул, движущихся в каждом из трех взаимно
перпендикулярных (и перпендикулярных к соответствующим стенкам) направлений, равно N' = % N.
Проследим мысленно за одной из молекул, летящей со скоростью。 в направлении правой стенки сосуда (см.рис. 74). Долетев до стенки, мо- кула ударит в нее, отскочит назад, полетит к левой стенке, ударит в нее и т. д. Обозначим силу удара молекулы о стенку через А/, а продолжительность времени удара — через АЛ Тогда импульс силы, сообщенный молекулой стенке при ударе, равен Д/ • А/.
Согласно закону изменения количества движения (см. § 8), импульс силы равен изменению количества дижения:
N • Nt = mv — (— mv) = 2mv.
Знак минус показывает, что скорость при ударе изменяет направление на противоположное.
Молекула действует на правую стенку с силой А/ кратковременно, только в моменты ударов; остальную и притом ббльшую часть времени между ударами она не действует на эту стенку. Поэтому средняя сила А^действия молекулы на правую стенку за одну секунду значительно меньше фактической силы А/. Очевидно, что импульс средней силы равен сумме импульсов всех сил Д/, действующих на стенку в течение одной секунды:
a又1 = a/ .加•瓦
где k ——число ударов молекулы в правую стенку за одну секунду. Число k равно перемещению молекулы за 1 с, деленному на перемещение 2а, совершаемое ею между двумя последовательными ударами в правую стенку (см. рис. 74). Так как перемещение молекулы за одну- секунду численно равно скорости у, то k = ”2а. Тогда средняя сила
2a 2a a
Учитывая, что на правую стенку сосуда действуют и все другие (Nf) молекулы газа, найдем полную силу /, с которой газ действует на правую стенку:
N'N'"
111
где и» = и】,и2, ^з，...., vN^ — скорости молекул. Разделим и умножим правую часть равенства на W: ?
с т№1 у 2
/ ==——У v..
1
Нетрудно установить, что выражениеНетрудно установить, что выражение舐,% представляет собой舐,% представляет собой
Нетрудно установить, что выражение
Нетрудно установить, что выражение
舐,% представляет собой
舐,% представляет собой
квадрат средней квадратичной скорости молекул (см. § 3), которую мы обозначим через 〃• Тогда
с mN'и?
/ =
Разделим обе части последнего равенства на а2 и заменим N，на /М f ― 1 mNu2 а2 3 а3
Но а? = s ——площадь правой стенки сосуда, а а3 = V — объем сосуда. Тогда
/ — 1 mNu?
3~
Очевидно, что f/S = р — давление газа на правую стенку, a N/V =п0 — число молекул в единице объема газа. Поэтому
(14)(14)p =+加几0"2
(14)
(14)
Разделив и умножив правую часть этого равенства на 2, получим
2 ти2
где 团〃2/2 = W — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. Следовательно,
(15)
Очевидно, что совершенно такие же выражения (14) и (15) получаются и для давления газа на каждую из остальных стенок сосуда. Следовательно, формула (14) и (15) дают искомое [формула (13)] выражение давления газа. Они представляют собой разновидности основного уравнения кинетической теории идеального газа (уравнения Клаузиуса). Основное уравнение показывает, что
давление газа прямо пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся 6 единице объема газа.
Подчеркнем, что вывод этого уравнения выполнен посредством статистического метода (см. § 38): рассматривая макроскопическую систему (газ) как совокупность огромного числа беспорядочно движущихся молекул, мы выразили макроскопическую характеристику системы —давление газа ——через усредненное значение характеристики микропроцесса — среднюю квадратичную скорость или среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа.
Основное уравнение получено нами теоретическим путем. Но правильность теоретических выводов всегда следует проверять на опыте. Проведем практическую проверку основного уравнения следующим образом. Если основное уравнение правильно отражает действительность, то из него должны вытекать в качестве следствий экспериментальные газовые законы (см. § 39). Поэтому попробуем вывести из основного уравнения кинетической теории идеального газа, например, закон Бойля — Мариотта.
Подставляя в основное уравнение значение Ло = NN> получим
2 N福
Р = Т
откуда
2-
pV = — nF.(16)
Для данной массы газ N = const; при постоянной температуре скорости молекул газа также остаются постоянными (интенсивность теплового движения мо~ лекул не изменяется), поэтому 步=const. Тогда правая, а следовательно, и левая части формулы (16) должны быть постоянны, т. е.
рУ =э const.
Итак, для данной массы газа при постоянной температуре давление газа обратно пропорционально объему. Следовательно, мы вывели закон Бойля — Мариотта, подтвердив тем самым справедливость основного уравнения кинетической теории идеального газа.
Задача 21. Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при температуре /1 = 7 ℃ равно pi = 105 Па. При нагревании бутылки пробка вылетела. До какой температуры % нагрели бутыль, если пробка выдерживает давление до р2 = 1,3 • 10б Па?
Решение. Поскольку нагревание воздуха в бутыли есть изохорический процесс, применим к нему закон Гей-Люссака (6):
Pi =,
Ра
где Т1 н 「2 — начальная и конечная абсолютные температуры воздуха в бутьь ли. Тогда
&1,3 • 10б Па
A = f = — s'；——・ 280 К = 264 к； Г2 = 91℃.
PiЮ5 Па
Задача 22. Кислород массой m = 10 г находится при температуре 〃 = =10 ®С н давлении р = 3,04 • 108 Па. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем У2 = 10 л. Определить: а) объем Vi газа до расширения; б) температуру % газа после расширения; в) плотности pi и р2 газа до и после расширения.
Решение, а) К исходному состоянию кислорода применим уравнение Клапейрона — Менделеева (11)!
叱=片0
где 7\ = 283 К — абсолютная температура кислорода до нагревания; М = =0,032 кг/моль — молярная масса кислорода, R = 8,32 Дж/(К • моль) — универсальная газовая постоянная. Тогда
mRT1 0,01 кг • 8,32 • Дж/(К • моль) • 283 К
匕。丁 = ~24 1g Mf 4 л
Поскольку кислород нагревался изобарически, применим закон Гей- Люссака (5):
2k = &
где Т? — абсолютная температура кислорода после нагревания. Тогда
10 л
丁2 = # А = -— • 283К = 1180 К； % = 907 ℃.
吟 2,4л
По вытекающей из уравнения Клапейрона ——Менделеева формуле (12),
р М
Поэтому
3,04 • 105 Па • 0,032 кг/моль
р = = 4.13 кг/м3.
8,32 Дж/(К-моль) . 283 К'
3,04 • 105 Па . 0,032 кг /моль
Р2 = 8,32 Дж/(К • моль) . 1180К =°，99 灯加厶
Задача 23. Найти число по молекул водорода в 1 см3, если давление р == =2,66 • 104 Па, а средняя квадратичная скорость молекул и = 2400 м/с.
Решение. Согласно основному уравнению кинетической теории (14),
Где m ——масса молекулы водорода, связанная с молярной массой водорода М = =0,002 кг/моль и постоянной Авогадро %а = 6,023 • 1023 моль-1 очевидным соотношением: m = M/N. Поэтому
3叫 3 • 2,66 • 104 Ra ・ 6,023 • 1(Я i/моль
М〃20,002 кг/моль • 24002 м2/с2
= 4,15 . 1018 м-3 = 4,15 - Ю12 см-з.
§ 42. Средняя кинетическя энергия поступательного движениямолекулы идеального газа
В предыдущем параграфе средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа была выражена через массу молекулы и среднюю квадратичную скорость:
Г = ^
2 °
Поскольку скорость молекулы зависит от температуры газа, то и средняя энергия молекулы должна зависеть от температуры. Важно получить выражение энергии через температуру газа, так как измерение температуры газа выполняется весьма просто, чего никак нельзя сказать
о средней квадратичной скорости. С этой целью обе части основного уравнения (15) умножим на молярный объем газа V^:
9—
Так как п(Ум = Na (где Nk — постоянная Авогадро), то
=告N普
Но, согласно уравнению Клапейрона ——Менделеева (10),
pVM = RT.
Из двух последних формул следует, что
告 Na^ = RT，
откуда
W = — —Т.
2 %
Обозначим R/Na =玄 тогда
(17)(17)W==—kT.
(17)
(17)
2
Очевидно, что k — постоянная величина. Она называется постоянной Больцмана. Из формулы (17) следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа пропорциональна абсолютной температуре и зависит только от нее.
Численное значение постоянной Больцмана определим из формулы
8,32 Дж/(К • моль)6,02 • 1023 1/моль8,32 Дж/(К • моль)6,02 • 1023 1/моль=1,38 • 10-23 д*/к.=1,38 • 10-23 д*/к.
8,32 Дж/(К • моль)6,02 • 1023 1/моль
8,32 Дж/(К • моль)6,02 • 1023 1/моль
=1,38 • 10-23 д*/к.
=1,38 • 10-23 д*/к.
Подставим в формулу (15) вместо W ее выражение из формулы (17) и получим зависимость давления газа от температуры:
р =告％ •告々Т = nQkT.
(18)(18)Из этого выражения находим, что
(18)
(18)
Пл = 一 —0 kT
Из формулы (18) видно, что при одинаковых температуре 〃 давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащееся в 1м3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта.
Определим это число по формуле (18):
毋舞爵支= 2,69，呼MТ.
Пользуясь формулой (17), подсчитаем среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы газа при нормальных условиях:
呼=告盯=年• 1,38 ・ IO』• 273 = 5,7 . 10~21 (Дж).
§ 43. О числе степеней свободы. Внутренняя энергия газа
Молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом и, следовательно, не обладают потенциальной энергией. Поэтому вся энергия молекул идеального газа состоит только из кинетический энер
гии поступательного и вращательного движений. Среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы мы определили в предыдущем параграфе [формула (17)]. Для учета средней кинетической энергия вращательного движения молекулы необходимо ввести в рассмотрение понятие числа степеней свободы тела.
Числом степеней свободы тела называется число независимых координат, определяющих положение тем s пространстве.
Поясним* данное определение. Если тело перемещается в пространстве совершенно произвольно, то это перемещение всегда можно составить из
шести одновременных независимых движений: трех поступательных (вдоль трех осей прямоугольной системы координат) и трех вращательных (вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр тяжести тела) (рис. 75). Иными словами, положение тела в пространстве определяется в этом случае шестью независимыми координатами: тремя линейными(х, у, z) и тремя угловыми (а, В, !)• Следовательно, согласно определению, число степеней свободы произвольно движущегося в пространстве тела равно шести (три поступательных и три вращательных степени свободы). Если свобода движения тела ограничена, то его число степеней свободы меньше шести. Например, тело движется только по плоскости, имея при этом возможность произвольного вращения (катящийся мяч). Тогда число его степеней свободы равно пяти (две поступательных и три вращательных). Железнодорожный вагон имеет одну степень свободы (поступательную), так как он движется только по линии. Колесо вагона имеет две степени свободы: одну поступательную (вместе с сагоном) и одну вращательную (вокруг горизонтальной оси).
Вернемся теперь к вопросу о кинетической энергии молекулы газа. Ввиду полной хаотичности движения молекул все виды их движений (и поступательные, и вращательные) одинаково возможны (равнове- роятнь^. Поэтому на каждую степень свободы молекулы приходится 6 среднем одинаковое количество энергии (теорема Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободь».
Поскольку молекулы движутся совершенно произвольно, они должны были бы иметь по шесть степеней свободы. Однако здесь надо принять во внимание следующее обстоятельство.
Молекулу одноатомного газа (например, Не) можно представить как материальную точку, вращение которой вокруг собственных осей не изменяет ее положения в пространстве. Значит, для определения положения одноатомной молекулы достаточно задать только ее линейные координаты. Поэтому одноатомной молекуле следует приписать число степеней свободы, равное трем (поступательным). С физической точки зрения это обстоятельство можно пояснить так. Кинетическая энергия вращательного движения тела (см. § 23) равна
где ①一угловая скорость вращения, / — момент инерции тела. Для материальной точки
/ = /П 户,
где m ——масса материальной точки, г — ее расстояние от оси вращения. Если материальная точка вращается вокруг своей оси, тог = 0. Но тогда и / = 0 и W&Bp =°・ Следовательно, у одноатомнойО⑶
Рис. 76Рис. 76молекулы на вращательнсе движение (на вращательные степени свободы) приходится бесконечно малая энергия, которой можно пренебречь. Строгое доказательство этого положения возможно только на основе квантовой механики.
Рис. 76
Рис. 76
Молекулу двухатомного газа (например, О2) можно
представить как совокупность
двух материальных точек — атомов, жестко связанных между собой химическими связями (рис. 76, а). Вращение такой молекулы вокруг оси, проходящей через оба атома, не меняет положения молекулы в пространстве. С физической же точки зрения энергия, приходящаяся на вращение молекулы вокруг оси, проходящей через атомы, близка к нулю. Поэтому двухатомной молекуле следует приписать пять степеней свободы (три поступательных и две вращательных).
Что касается трехатомной молекулы (рис. 76, б), то она, очевидно, имеет все шесть степеней свободы (три поступательных и три вращательных). Столько же степеней свободы имеют и другие многоатомные молекулы (четырехатомные, пятиатомные и т. д.).
Для подсчета средней кинетической энергии, приходящейся на одну степень свободы молекулы, воспользуемся формулой (17):
W = —kT.
2
Так как эта энергия получена для одноатомной молекулы (как материальной точки), имеющей три степени свободы, то на одну степень свободы молекулы приходится энергия
WQ = — = —kT.°32
Тогда, согласно упомянутой теореме Больцмана, молекула, имеющая i степеней свободы, будет обладать полной кинетической энергией
取=WQi, или
W = ^-kT.(19)
Следовательно, полная кинетическая энергия молекулы газа пропорциональна его абсолютной температуре и зависит только от нее.
Из формулы (19) вытекает физический смысл абсолютного нуля температуры: при Г = 0 будет и 呼=0, т. е. пр〃 абсолютном нуле прекращается движение молекул газа.
Согласно формуле (19), одноатомная молекула (i = 3) имеет полную энергию
% =年盯，
двухатомная молекула (/ = 5) имеет полную энергию
трехатомная и многоатомная молекулы (Z = 6) имеют полную энергию
W^-^kT^= З^Т.
Тогда внутренняя энергия U некоторой массы газа равна произведению числа ^ молекул, содержащихся в этой массе, на полную кинетическую энергию одной молекулы:
U = NW = N 丄 hT.
Так как для моля газа N = %а, то для внутренней энергии моля получим (учитывая, что k = R/Nа)
貝 Т="а^ 奩 Т，
т. е・
3善ат・阿
Из формулы (19z) легко получить удобное для практических расчетов выражение внутренней энергии U любой массы m газа, учитывая, что число молей этого газа равно т/М, где М — молярная масса, тогда
U =旦 Lrt.(%
М 2'
Следовательно, внутренняя энергия любой массы газа пропорциональна числу степеней свободы молекулы, абсолютной температуре и массе газа.
Несмотря на то что здесь рассматривался идеальный газ, мы уже отказались от одного упрощающего предположения, приписанного ему Молекулы многоатомных газов обсуждались здесь не как материальные точки, а как тела — системы материальных точек.Тем самым учитывалась индивидуальность газа, допускалось их некоторое разнообразие.
Подсчитаем в качестве примера внутреннюю энергию 1 кг кислорода при температуре 27 ℃.
Для кислорода (О2) i = 5, М = 0,032 кг/моль. Тогда, применяя формулу (19〃)，получим
]кг 5
U = . — • 8,32 Дж/(К • моль) • 300 К =195000 Дж.
0,032 кг/моль 2
Оказывается, что энергия теплового движения, заключенная в 1 кг газа, весьма значительна. Однако извлечь ее для практического использования невозможно. Реализовать можно лишь ничтожно малую долю этой энергии (в процессе теплообмена с холодильником, т. е. с телом большой массы, температура которого ниже температуры данного газа).
Теплоемкости газа. Физический смысл универсальнойгазовой постоянной
Помимо удельной теплоемкости с вещества введем понятие молярной теплоемкости См .Молярной теплоемкостью называется количество теплоты, необходимое для нагревания моля вещества на 1 К. Из определения удельной теплоемкости (см. § 37) следует, что она связана с молярной соотношением
См = М • с,
где М ——молярная масса вещества. Единицей измерения См является 1Дж/(К • моль).
Величина теплоемкости газа существенно зависит от того, при каких условиях он нагревается: при постоянном объеме или при постоянном давлении. В первом случае все сообщенное газу тепло идет только на увеличение внутренней энергии газа (так как объем газа не изменяется). Во втором случае требуется еще дополнительное количество тепла на совершение работы расширения газа (так как неизменность давления обеспечивается увеличением объема газа). Поэтому у газа различают две молярные (и удельные) теплоемкости: теплоемкость при постоянном объеме Су и теплоемкость при постоянном давлении Ср. Очевидно, что Ср> Су . Ознакомимся более подробно с этими теплоемкостями.
1. Теплоемкость при постоянном -二± )4方 объеме. Молярной теплоемкостью при постоянном
：_ ； — Jобъеме называется количество теплоты, необходимое
Jдля нагревания моля газа на 1 К при постоянном объе-
же. Так как в данном случае все тепло идет на увеличе- .ние внутренней энергии газа, то молярную теплоем
кость при постоянном объеме можно определить как ：戸' "отношение приращения внутренней энергии моля
'газа А〃м к изменению температуры АТ, вызвавшему
Рис. 77 это приращение:
源=上空.(20)
Но согласно формуле (19'),
AU/W — -у- R • АТ.
Поэтому
& = В R.(20')
Теплоемкость при постоянном давлении. Молярной теплоемкостью при постоянном давлении называется количество теплоты, необходимое для нагревания моля газа на 1 К при постоянном давлении. Как уже отмечалось, на нагревание моля газа расходуется дополнительное количество тепла, равное работе / по расширению газа. Поэтому Ср > & на величину работы А:
Cp = Cv+ А.(21)
Для подсчета этой работы заключим моль газа, имеющий температуру Т, объем Vм и давление р, в цилиндр под поршень площадью S, а затем нагреем его на 1 К при р = const (рис. 77). Расширяясь, газ поднимет поршень на высоту Ай и займет объем 匕^ совершив при этом работу
А = pS • Дй,
где pS — сила, поднимающая поршень; S • ДЛ = ДУ — увеличение объема газа. Но А|/ = 1/\ —九，поэтому
A=p-AV = p(VM^VM)== "м -pVM ・(2У)
Согласно уравнению Клапейрона — Менделеева, pVM = R(T + 1), а pVм = RT, тогда
A^R(T+ l) — RT = RT + R—RT = R・
Итак,
A = R.(22)
Формула (22) позволяет установить физический смысл молярной газовой постоянной: универсальная газовая постоянная численно равна работе по расширению моля идеального газа при нагревании его на 1К (при постоянном давлении}.
Сопоставляя формулы (21) и (22), получим соотношение
СР-Cv + R(23)
называемое уравнением Майера^. Подставляя в это уравнение Су из формулы (20'), найдем выражение Cj
CL十h^=卓r(24)
Обозначим отношение теплоемкостей буквой 7; тогда из формул (20') и (24) получим
俾)
Очевидно, что 7 > 1 и зависит только от сорта газа (числа степеней свободы). Наряду с теплоемкостями 丫 является важной тепловой характеристикой газа.
Из формул (20") и (24) следует, что по значениям теплоемкостей все газы можно разделить на три сорта: одноатомные, двухатомные и многоатомные газы. Поэтому нетрудно подсчитать все возможные значения молярных теплоемкостей и их отношения по формулам (20'), (24) и (25). Результаты подсчетов представлены в таблице. Для универсальной газовой постоянной взято значение R = 8,32 Дж/(К • моль).
Газ
Дж/ (К «моль)
Дж/(К «моль)
т
Одноатомный . . . •
12,48
20,80
1,67
Двухатомный ....
20,80
29,12
1,40
Трехатомный (и более)
24,96
33,28
1,33
Впервые получено немецким ученым Майером.
Опыты показали, что при не очень низких и не очень высоких температурах большинство газов имеет значения теплоемкостей, весьма близкие к теоретически вычисленным; особенно хорошее совпадение г1олучено для одноатомных и двухатомных газов.
Из формул (20') и (24) следует, что молярные теплоемкости Cvm Ср постоянны и не зависят от температуры. Однако непосредственные измерения показали, что это справедливо лишь для одноатомных газов. Теплоемкости многоатомных газов остаются приблизительно постоянными только при температурах, мало отличающихся от нормальной. При высоких температурах теплоемкости оказываются большими, а при низких -™ меньшими теоретически вычисленных, значений. Причем при низких температурах теплоемкости многоатомных газов приближаются к таковым одноатомных газов [Су = 12,48 и & = =20,8 Дж/(К-моль)]. Таким образом, при низких температурах происходит как бы «вымерзание» вращательных степеней свободы, а при высоких температурах, наоборот, — «возбуждение» каких-то новых степеней свободы.
Несоответствие теории опыту обусловлено тем, что, как уже отмечалось (см. § 20), законы классической механики применимы к микрочастицам лишь в определенных границах Области низких и высоких температур лежат вне этих границ. Явления «вымерзания» и «возбуждения» степеней свободы молекул объясняются на основе законов квантовой механики. Здесь дано краткое и притом только качественное объяснение этим явлениям.
В отличие от классической квантовая механика утверждает, что вращательная энергия молекул изменяется не непрерывно, а скачкообразно — определенными порциями (квантами). Обозначим A WB^ квант энергии, который молекула может воспринять на одну вращательную степень свободы. В § 43 было установлено, что средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы, равна
% =十 kT.
При температурах, близких к нормальным, квантД 1rBp мал по сравнению с 1Го, т. е. 1/2^Т$А Т"'вр・ По мере понижения температуры величина Wo приближается к А 闪вр и при достаточно низкой температуре окажется, что
Теперь молекула уже не сможет воспринять при столкновении столь малую энергию 取о на свою вращательную степень свободы и не придет во вращательное движение. Поэтому при низких температурах многоатомные молекулы практически перестают вращаться и движутся только поступательно, как одноатомные молекулы. Таким образом, благодаря «вымерзанию» вращательных степеней свободы у многоатомных молекул остаются только три (поступательные) степени свободы и теплоемкости многоатомных газов становятся такими же, как у одноатомных, т. е. & = 12,48 и Ср = 20,8 Дж/(К • моль).
Многоатомные молекулы рассмотрены здесь как системы жестко связанных атомов. В действительности жесткой связи, конечно, нет: атомы находятся на некотором равновесном расстоянии друг от друга и могут колебаться относительно друг друга. Энергия колебания атомов в молекуле также изменяется лишь квантами Д 1^Кол» а не непрерывно. При низких и близких к нормальной температурах 取о《А 诊кол, поэтому при столкновении молекул их атомы не приходят в колебательное движение, иначе говоря, колебательные степени свободы не «возбуждаются». По мере повышения температуры Wo тоже возрастает и при достаточно высокой температуре
呼о》А呼коп •
Теперь при столкновениях молекул «возбудятся» колебательные степени свободы и атомы придут в колебательное движение. В связи с увеличением числа степеней свободы молекул возрастут и теплоемкости газа.
Итак, квантовый характер поглощения энергии молекулами приводит к авымерзанию^ вращательных степеней свободы (и уменьшению теплоемкостей многоатомных газов) при низких температурах и к《возбу咏дению» колебатель ных степеней свободы ( 〃 увеличению теплоемкостей многоатомных газов) при высоких температурах.
Скорость поступательного движения молекул газа.Распределение числа молекул по скоростям
Для нахождения средней квадратичной скорости поступательного движения газовых молекул напишем полученные ранее (см § 42) выражения средней кинетической энергии поступательного движения молекул:
Г = — и Г = —kT.
2
Приравняв правые части этих выражений, получим
но ^A m = Л4 (молярной массе газа), поэтому
т. е. для данного газа средняя квадратичная скорость молекул пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры и зависи- сит только от нее. Формула (26) выражает среднюю квадратичную скорость молекул через легко измеряемую макроскопическую характеристику газа — температуру. Подсчитаем, например, среднюю квадратичную скорость молекул кислорода при температуре 0 ℃. Так как Т = 273 К, а М = 0,032 кг/моль, то
二m辽460 м/е.
Г0,032 кг/моль
Таким образом, при комнатной температуре молекулы газа движутся со скоростями, близкими к скорости полета снаряда.
Средняя квадратичная скорость — лишь статистическая характеристика движения молекул, полученная путем усреднения различных значений скорости множества молекул В действительности же молекулы движутся с различными скоростями V даже при некоторой заданной температуре Т. Разобьем весь диапазон этих скоростей на малые интервалы, равные Ду. Тогда на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул Д^. (имеющих скорость, заключен-
ную в этом интервале). Очевидно, что отношение NNINv показывает, сколько молекул приходится на каждый единичный интервал скорости, иными словами, каково распределение числа молекул по скоростям; △Л7Ао зависит от скорости и называется функцией распределения числа молекул по скоростям. Эту функцию распределения впервые определил английский физик Максселл теоретическим путем ——на основе теории вероятностей. Максвелловская функция распределения выражается следующей формулой, называемой законом Максвелла:
А。А。/Г〈 2RT/Г〈 2RT(27)(27)
А。
А。
/Г〈 2RT
/Г〈 2RT
(27)
(27)
где ^ — общее число молекул газа, М — молярная масса газа, R — универсальная газовая постоянная, е — основание натуральных
логарифмов.
Рис. 78Рис. 78Из математического анализа закона Максвелла следует, что функция распределения стремится к нулю при
Рис. 78
Рис. 78
0 и при ”->оо, а при
г М
имеет максимум. Обозначим эту скорость буквой 0в и назовем наиболее вероятной скоростью. Наиболее вероятной
(28)(28)называется скорость, вблизи которой на единичный интервал приходится наибольшее число молекул; она рассчитывается по формуле
(28)
(28)
Из анализа закона Максвелла (27) следует, что графически он пред* ставляется кривой линией, исходящей из начала координат, достигающей максимума при d = vB и затем асимптотически приближающейся к оси абсцисс (рис. 78). График наглядно показывает, что молекул с малыми и большими скоростями мало и что большинство молекул имеет скорости, близкие к наиболее вероятной скорости.
Чтобы яснее представить смысл наиболее вероятной скорости и распределения молекул по скоростям, рассмотрим конкретный пример. В некотором объеме кислорода при температуре 0° С содержится ^ = 10е молекул, движу- щихся с различными скоростями и. Распределение числа молекулД Af по скоростям представлено в таблице, где весь диапазон скоростей разбит на интервалы А и = 100 м/с (интервалы взяты немалыми во избежание перегрузки таблицы большим количеством чисел).
Из таблицы видно, что подавляющее большинство молекул имеет скорость в пределах от 200 до 600 м/с. Больше всего молекул приходится на интервал скоростей от 300 до 400 м/с. В этом интервале и заключена наиболее вероятная скорость, равная, согласно формуле (28),
р 2 ♦ 8,32 • 273 - ,
-彥32-。 377 (m/e).
Из закона Максвелла можно получить выражение для вредней厶办 м/с
арифметической скорости и.
广 0—100
二100—200
v200—300
300—400
Формулы (26), (28) и (29) показы-400—500
вают, что скорости 〃, °в 口 少 разли-600=700
чаются между собой только числен-700—800
ными коэффициентами и 〃 > и >800—900
> ^в・ Количественное соотноше- 900—1000 ние между ними таково:1000
14 000
81 000
165 000
214000
206 000
151 000
92 000
48 000
20 000
6 000
3 000
1,4
8」
16,5
21,4
20,6
15,1
и Q 0,92〃，］
с}(3°) Всего
%^0,82〃・J
10е
100
В нашем примере с кислородом при температуре 0 ℃ оказалось, что и = 460 м/с. Тогда по формулам (30) получим Ъ = 423 м/с н % = =377 м/с.
Отметив в соответствии с формулами (30) значения %, и и 〃 на рис. 78, увидим, что средней арифметической скоростью обладает несколько меньшее число молекул, чем наиболее вероятной скоростью, а средней квадратичной скоростью обладает еще меньшее число молекул.
Отметим на оси абцисс (см. рис. 78) один интервал скоростей △少 и проведем ординаты его границ. Площадь очень узкого (заштрихован* кого) прямоугольника равна Ду ~~^ = АЛ\ т. е. числу молекул, име
ющих скорость в интервале As Следовательно, площадь, заключенная между всей кривой распределения и осью абцисс, равна общему числу молекул газа N.
При изменении температуры газа изменяются скорости движения всех молекул, а следовательно, и наиболее вероятная скорость. Поэтому максимум кривой будет смещаться вправо (при повышении температуры) или влево (при понижении температуры) Однако площадь, ограниченная кривой, останется неиз- “ менной, так как общее число 而
молекул газа не зависит от температуры. В связи с этим при повышении температуры кривая распределения будет растягиваться и понижаться, а при понижении температуры, наоборот, — сужаться и повышаться, как это показано на рис. 79.
Для экспериментальной проверки закона Максвелла немецкий физик Штерн в 1920 г. поставил специальный опыт. Прибор Штерна сос
тоял из двух жестко скрепленных друг с другом цилиндрических сосудов, вдоль общей оси которых была натянута платиновая посеребренная проволочка (рис. 80). Основания обоих цилиндров были герметично закрыты и воздух из цилиндров откачан. В узком внутреннем
цилиндре имелась очень узенькая вертикальная щель. При нагревании проволочки током до температуры порядка 1000 ℃ серебро начинало испаряться и внутренний цилиндр наполнялся атомами серебра. Таким образом, Штерн экспериментировал с одноатомным серебряным газом. Те атомы, которые летели от проволочки по радиусу к щели, вылетали во внешний цилиндр (радиусом г) и оседали на его стенке, образуя узенькую серебряную полоску а — проекцию щели (рис. 80 и 81).
Такая картина получилась бы при неподвижном приборе. Но Штерн приводил прибор во вращение с угловой скоростью ① вокруг общей оси цилиндров (см. рис. 81). Поэтому атомы серебра оседали не против щели, а смещались на некоторое расстояние. В итоге на поверхности внешнего цилиндра образовывалась не узенькая серебряная полоска, а широкая полоса ab не одинаковой толщины, показанная в разрезе на рис.81. Полоса получилась широкой потому, что разные атомы имели различные скорости: более быстрые оседали ближе к началу полосы а, более медленные — ближе к его концу Ь. Неодинаковость толщины полосы обусловлена тем, что на разные скорости движения атомов приходится различное число атомов: тем местам полосы, где она тоньше, соответствуют, очевидно, скорости, которыми обла
дает меньшее число атомов.
Таким образом, каждое место (например, d) на разрезе полосы соответствует определенной ско
рости и определенному числу осевших атомов, а вид поперечного разреза полосы (см. рис. 81) характеризует распределение числа атомов по скоростям. В этой связи следует обратить внимание на большое сходство видов максвелловского графика (см. рис. 78) и разреза серебряной полосы (см. рис. 81), что уже является качественным подтверждением правильности закона Максвелла.
Для того чтобы количественно оценить это распределение, надо найти скорости и для ряда мест поперечного разреза полосы и число атомов AN/A。，осевших на каждом из этих мест. Число атомов АМА。 в любом месте d полосы Штерн определял по толщине полосы, а соответствующую скорость V — по расстоянию s от начала полосы а до
* Толщина полосы определялась оптическим методом — по интенсивности проходящего через нее света.
Формула для подсчета и выводится из следующих соображений. За время Z точки поверхности внешнего цилиндра пройдут путь s с линейной скоростью, равной сог, а атомы серебра пролетят путь г со скоростью V. Поэтому
S = и г = vt.
Поделив второе равенство на первое, получим
S(ОГ '
откуда
V =.
S
Значения ① н 厂 известны как характеристики прибора Штерна, значения s определяются непосредственными измерениями на серебряной полосе.
Наиболее точные эксперименты, выполненные впоследствии с помощью усовершенствованного прибора Штерна^ показали, что распределение числа атомов по скоростям, даваемое опытом, находится в соответствии с теоретическим законом Максвелла.
Задача 24。 Чему равна энергия U теплового движения молекул, содержащихся в /и = 20 г кислорода при температуре t = 10 ℃? Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения молекул и какая часть — на долю их вращательного движения?
Решение. Согласно формуле (19〃),
где М = 0,032 кг/моль — молярная масса кислорода, i = 5 — число степеней свободы его молекул. Поэтому
U = 产 к「——・ 3 • 8,32 Дж/(К • моль) • 283 К == 3,68 ♦ 10 Дж. 0,032 кг/моль 2
Так как у двухатомной молекулы на поступательное движение приходится три степени свободы, а на вращательное две (см. § 43), то искомые части энергии U находятся в отношении 3 : 2. Следовательно, на долю поступательного движения приходится энергия
а энергия, выделяемая при охлаждении этого газа при постоянном объеме.
AQ2 =贲 d АТ2,
где tn — масса газа, М — молярная масса газа,仇 и Ср — молярные теплоемко сти газа при постоянном давлении и постоянном объеме.
Поделив почленно первое равенство на второе, получим
AQi△Q2AQi△Q2Ср ЛЛСр ЛЛ
AQi
△Q2
AQi
△Q2
Ср ЛЛ
Ср ЛЛ
или, учитывая формулы (20) и (20‘)，
AQi f + 2 А 7\
AQ2 =〕~ 177
ТогдаТогда160240160240/ +250~i Юб"/ +250~i Юб"откуда ，= 6.откуда ，= 6.
Тогда
Тогда
160
240
160
240
/ +250
~i Юб"
/ +250
~i Юб"
откуда ，= 6.
откуда ，= 6.
Задача 26. В момент взрыва водородной бомбы развивается температура, равная примерно Т = 7 • 10，К・ Считая, что при такой температуре все молекулы полностью диссоциированы, а все атомы ионизованы, найти среднюю квадратичную скорость 〃 ионов водорода.
Решение. Согласно формуле (26),
y入一
где М = 0,001 кг/моль 一 молярная масса водорода. Поэтому
/
3-8,32 Дж/(К . моль) - 7 • 107К_
——а 10е м/с
0,001 кг/моль
§ 46. Средняя длина свободного пробега молекул
Ввиду хаотичности теплового движения траектория молекул представляет собой ломаную линию, похожую на траекторию броуновской частицы. Изломы траектории соответствуют столкновениям молекул друг с другом. Изобразим путь, пройденный некоторой молекулой за одну секунду (рис. 82). Назовем длиной свободного пробега молекулы 入 путь, проходимый ею между двумя последовательными столкновениями. Длина свободного пробега все время меняется. Поэтому следует го
ворить о средней длине свободного пробега 入 как о среднем пути, проходимом молекулой между двумя последовательными столкновениями. Очевидно, что для определения 入 достаточно разделить весь путь, пройденный молекулой за секунду и численно равный ее средней
скорости 〃，на среднее число столкновений z, испытываемых молекулой за секунду:
工(31)
Для определения z учтем размер молекул, рассматривая их как шарики радиусом г (рис. 83). Возьмем мысленно под наблюдение одну из молекул (крайнюю слева на рисунке) и изобразим ① путь, пройденный ею за @勿二 секунду. Остальные моле-七一"■— кулы пока считаем неподвижными. Очевидно, что движущаяся молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых лежат внутри ломаного цилиндра радиусом 2r (осью цилиндра является траектория молекулы). Следовательно, среднее число столкновений z за секунду равно числу молекул ^ в объеме V ломаного цилиндра:
z = Л\ или z = ri。匕
где 几° — число молекул в единице объема. Объем ломаного цилиндра можно с пренебрежимо малой ошибкой приравнять к объему спрямленного цилиндра высотой v и площадью основания л (2г)3. Поэтому
(32)(32)% = 4^r2nQv.
(32)
(32)
В этом выводе мы полагали, что все молекулы, кроме взятой под наблюдение, неподвижны. В действительности они тоже движутся. Поэтому, как показывает более строгий расчет, число столкновений оказывается в /2 раз больше выведенного нами:
z = 4V2^r2nQv. (32)
При более строгом расчете числа столкновений надо исходить не из средней абсолютной скорости о, а из средней относительной скорости и。движения молекул. Если две молекулы движутся со скоростями vi и v2, то относительная скорость v0 первой молекулы относительно второй равна векторной разности этих скоростей (рис. 84):
v0 = Vx —v2.
Согласно теореме косинусов, напишем для величин этих скоростей следующее соотношение:
党=齿 + 〃； 一 2og cos a,
где a——угол между направлениями абсолютных скоростей. Очевидно, что такое же соотношение имеет место и между средними значениями членов последней
формулы, так как среднее арифметическое суммы равно сумме средних арифметических значений слагаемых. Поэтому
¥ =定 + 務—2ид cos a,(33)
где 寸 н 遗 представляют собой квадраты средних квадратичных скоростей. Так как средняя квадратичная скорость одна для всех молекул (и； =W)и обозначается буквой 〃，то
胃 + ^ = 2d.(34)
Ввиду хаотичности движения угол а с одинаковой вероятностью может иметь все возможные значения от 0 до 360°, а cos a — все возможные значения от + 1 до — 1. Поэтому среднее значение из многих произведений, содержащих а, близко к нулю. Тогда, полагая uit^ cosa » 0 и принимая во внимание формулу (34), получим из формулы (33)
定=2〃2,
откуда
|/"^=〃М5~.(35)
Поскольку средняя арифметическая скорость отличается от средней квадратичной только постоянным множителем [см. § 45, формула (30)], соотношение (35) имеет место и для средних арифметических скоростей:
Vq == е "|^г§—、
Подставив в формулу (32) вместо средней абсолютной скорости среднюю относительную скорость и。，получим уточненную формулу для г:
г = 4 m厂兀戸价Б,
совпадающую с формулой (32‘).
Подставляя значение z в формулу (31), найдем выражение для средней длины свободного пробега молекул:
(36)(36)4 M 2汽厂2枕04 M 2汽厂2枕0-I
(36)
(36)
4 M 2汽厂2枕0
4 M 2汽厂2枕0
согласно которому 入 не зависит от температуры. Опыт же показывает, что 入 несколько возрастает с повышением температуры. Это объясняется тем, что с повышением температуры увеличивается скорость молекул, благодаря чему сталкивающиеся молекулы могут ближе подходить друг к другу (преодолевая силы межмолекул я р ного отталкивания). Таким образом, с повышением температуры уменьшается радиус шарообразной модели молекулы, а вместе с ним уменьшаются объем ломаного цилиндра (рис. 83) и число столкновений z. При этом, согласно формуле (31),入 возрастает.
Зависимость средней длины свободного пробега Г от температуры Т выражается формулой Сезерлэнда:
где'% ——значение средней длины свободного пробега, вычисленное по формуле (36), С ——постоянная величина, определяемая опытным путец.
Так как 〃о пропорционально давлению газа р [см. § 42, формула (18)], а\давление в свою очередь пропорционально плотности газа р [см. § 4Q, формула (12)], то, согласно формуле (36), средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению газа или его плотности. Поэтому
%П02Р2Р2
入 2九。1PlPl
Подсчитаем значения z н 又 для газа, находящегося при нормальных условиях. Полагая
广=0,2 ・ 10~9м,% = 2,7 • 1025м-з,万=5 • 102м/с.
найдем по формуле (32‘)
7=4/2 тг(0,2 .10-9)2.27.1025 < 5 ТО?^ ююут).
Тогда по формуле (31) получим
ТТ5 - 102IO】。5 - 102IO】。^ 5 •^ 5 •10-8 м.10-8 м.
Т
Т
5 - 102
IO】。
5 - 102
IO】。
^ 5 •
^ 5 •
10-8 м.
10-8 м.
По мере понижения давления газа средняя длина свободного пробега его молекул возрастает и при сильном разрежении, например при р = 1,33 • 10-3 Па, достигнет нескольких метров. В самом деле, применяя формулу (37), получим
5 • IO-8 1,33 • IO-~~ =1,013-105
откуда
入 2 = 3,8 м.
§ 47. Явления переноса в газах. Уравнение переноса
Хаотическое движение газовых молекул ведет к непрерывному перемешиванию газа. С этим связан ряд следующих важных явлений, происходящих в газах.
Если в различных частях объема газа плотность была первоначально не одинаковой, то с течением времени она выравняется. Точно так же два различных газа находящихся в соприкосновении, равномерно перемешиваются между собою. Это явление называется диффузией (как уже отмечалось в § 36).
В объеме газа, части которого имели первоначально различную температуру, происходит постепенное выравнивание температур^ за счет переноса молекулами своей энергии (см. § 43)
Г = —kT.
2
Это явление называется теплопроводностью (молекулярной).
Пусть газ течет вдоль твердой горизонтальной поверхности АВ (рис.85). Если на достаточно большом расстоянии от поверхности его скорость равна ш, то прилегающий к ней слой газа / будет двигаться очень медленно благодаря трению о поверхность. Второй слой газа 2 будет двигаться уже быстрее, но все же не со скоростью ш, так как он
испытывает трение о первый слой. Третий слой 3, испытывая трение о второй слой, будет двигаться еще быстрее, и т. д. На достаточно большом расстоянии от горизонтальной поверхности скорость течения газа станет, наконец, равной ш. Трение между слоями газа обусловлено переносом молекулами из слоя в слой своего количества движения К = mv (см. § 8). Это явление называется внутренним трением, или вязкостью. Таким образом, благодаря внутреннему трению газ движется вблизи поверхности параллельными слоями, скорость которых убывает в направлении ОХ, перпендикулярном поверхности. Такое движение называется ламинарным*.
Все названные ранее явления обусловлены одной причиной — переносом молекулами газа (в процессе хаотического движения)своихфизи- ческих характеристик: массы (диффузия), или энергии (теплопроводность), или количества движения (внутреннее трение). Поэтому механизм всех этих явлений одинаков и все они объединены общим названием явлений переноса.
Исходя из представлений молекулярно-кинетической теории вы« ведем общее для явлений переноса уравнение переноса. С этой целью определим прежде всего количество молекул, переходящее за промежуток времени А/ через некоторую воображаемую площадку AS, помещенную в газе (рис. 86). Ориентируем ось ОХ перпендикулярно пло-
От латинского слова lamina — пластинка.
щадке AS. Ввиду хаотичности движения молекул допустим (как это уже4делалось в § 41 при выводе основного уравнения кинетической теории газа), что вдоль этой оси движется 1/3 часть всех молекул: 1/6 часть — слева направо и 1/6 часть — справа налево. Тогда за единицу времени через площадку AS перейдет слева направо 1/6 часть всех молекул, находящихся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием AS и высотой, равной средней скорости движения молекул и, т. е. 1/6 n0 ASu, где 几。一число молекул в единице объема газа (концентрация молекул). В таком случае число молекул N、переходящих через площадку AS за время А/ в одном направлении, выразится формулой
N н —^- % V • AS • А/•
Эти молекулы переносят через площадку AS и значения своих физи~ ческих характеристик (массу, энергию, количество движения и т. п.). Рассматривая общий механизм переноса, не будем пока конкретизировать, какую именно физическую характеристику переносят молекулы, и обозначим ее буквойф. Тогда количество физической характеристики, перенесенное молекулами в одном направлении через площадку AS за время А/,
А^Ф = —(4)у) 7 ・ AS • Д/. (38) 6
Очевидно, что такое же количество будет перенесено и в обратном направлении.
Предположим теперь, что рассматриваемый газ неоднороден по своим свойствам, т. е. концентрация п0 его молекул различна в разных местах объема газа и сами молекулы имеют неодинаковые значения физической величины 屮.Тогда количество физической величины п0 ф, содержащееся в единице объема газа, также будет различным в разных местах объема газа. Пусть количество nQ ср убывает в положительном направлении ОХ, будучи равным (几。屮卜 слева от площадки AS и (〃о(р)2 — справа от нее. В этом случае имеет место преимущественный перенос физической величины Мр через площадку AS слева направо; согласно формуле (38), он равен
А (“屮)=(N(P)i —("屮％ = -у【(％ Ф)1 — (% ф)2]^• AS • Д/. (39)
Рис. 87Рис. 87Теперь остается выяснить, исходя из физических соображений, на каком расстоянии от площадки AS следует взять значения п0 ф. Обмен значениями ф и изменение концентрации % происходят только при взаимостолкнове- ниях молекул, т. е. на рассто-
Рис. 87
Рис. 87
янии 又，равном средней длине свободного пробега молекул. Поэтому можно положить, что значения величины поф сохраняются неизменными на расстоянии 入 влево и вправо от Д5. На этих расстояниях и будем брать значения гг0(р (рис. 87). Умножив и разделив на 2又 правую часть формулы (39), получим
А /\1 (枕0 cp)1— (П0 ?)2 -T —4〃С、
A (N屮)= 入 и * AS • А/.(40)
з 2T
(П0 叫一(П0 中)2U。
Как видно на рис. 87, отношение= представляет собой
2又
градиент величины 〃。屮，который мы условились обозначать символом A(”。处~ (см. § 3). То г да формула (40) примет вид
Ах
А(Мр)= — -^ 又石^21. as • а/.(41)
Знак минус обусловлен тем, что перенос физической величины происходит в направлении, противоположном градиенту (qrad ① направлен справа налево, а перенос 屮一слева направо).
Формула (41) называется уравнением переноса. На его основе рассмотрим теперь конкретные явления переноса: диффузию, теплопроводность и внутреннее трение.
§ 48. Диффузия
Пусть в некотором объеме газа имеет место неоднородность в отношении плотности: плотность р убывает в направлении ОХ (рис. 88). Это может быть, например, в случае, когда в левой части объема находится источник О газа (испаряющаяся жидкость).
ЛМ
/六% 勿?"。2m
Рис. 88
Обозначим через р】 и р2 значения плотности на расстояниях Т влево и вправо от AS. Тогда pj > р2. Так как
p =%加，
где т — масса молекулы, одинаковая для всех молекул газа, то и01> > п02, т. е. концентрация молекул убывает в направлении ОХ вместе с плотностью.
Применяя уравнение переноса (41), заметим, что в нашем случае переносимой физической характеристикой является масса молекулы, т. е.屮=加.Поэтому
(42)(42)% ①=几о m = Р，
(42)
(42)
△ (^Ф) = △ (2Vm) = ДЛ4,
где АМ — масса газа, переносимая путем диффузии за время А/ через площадку AS, перпендикулярную направлению убывания плотности. Подставляя выражения (42) в уравнение переноса (41), получим
ДМ = —-L仄方 ・AS •卽・(43)
Ax
Обозначив
十工石=D,(44)
напишем
AM = —。巫・ AS・ Af,(45)
откуда следует, что
масса газа ДТП, переносимая благодаря диффузии через площадку △S, перпендикулярную к направлению ОХ, 6 котором убывает плотность, пропорциональна размеру этой площадки, промежутку времени Д/ переноса 〃 градиенту плотности Ар/А%.
Формула (45) называется уравнением диффузии, или законом Фика (так как немецкий физик Фик получил такое же уравнение из опыта с жидкостями).
Коэффициент пропорциональности D называется коэффициентом диффузии. Полагая в формуле (45) AS = 1 м2, Д/ = 1 с и
丄L = — 1 кг/м4,
А%
получим ЛЛ4 = D, т. е коэффициент диффузии численно равный массе газа, переносимой через площадку 6 1M2 3ale при градиенте плотности 6 — 1 кг/м4. Из формул (44) и (45) следует, что коэффициент диффузии измеряется в м2/с.
Поскольку, как было установлено ранее (см. §§ 45, 46),
формула (44) показывает, что коэффициент диффузии зависит от сорта газа (М) и его состояния (р и Т); он пропорционален квадратному корню из абсолютной температуры газа и обратно пропорционален давлению газа и квадратному корню из молярной массы. Чтобы получить представление о порядке величины коэффициента диффузии подсчитаем егоjio формуле (44) для кислорода при нормальных условиях, принимая 入=5 • 10~8 м, и = 5 • IO? м/с.
Тогда
D = -L X v = А . ю-8. 5 • 102 я^ 8 • IO'6 (м2/с), что соответствует опытным данным по определению коэффициента диффузии.
Строго говоря, мы рассмотрели явление «самодиффузии» газа, т. е. распространение молекул газа между молекулами того же самого газа. В этом смысле коэффициент D можно назвать «коэффициентом самодиффузии». Однако и в случае взаимодиффузии двух соприкасающихся газов уравнение диффузии (45) остается справедливым, а коэффициент взаимодиффузии DB этих газов выражается через их коэффициенты самодиффузии Pi и 力？ следующим соотношением:
п九01 4~ °2九02
/=：'
^01十九02
где По1 и 九о? — концентрации молекул первого и второго газов.
Диффузионные процессы играют весьма важную роль в природе. Достаточно указать на то, что дыхание осуществляется путем диффузии кислорода из внешней среды внутрь организма, сквозь его покров.
Из формулы (43) следует, что диффузионный приток кислорода в организм тем интенсивнее, чем больше поверхность AS соприкосновения организма с внешней средой (т. е. чем больше площадь покрова) и чем меньше толщина А% покрова. Поэтому мелкие организмы, имеющие большую площадь покрова на единицу объема тела, могут обходиться без специальных органов дыхания, довольствуясь притоком кислорода через покров. У более крупных организмов диффузия кислорода через покров оказывается достаточной только в случае очень тонкого покрова, как это имеет место, например, у земноводных. Крупные организмы с грубым кожным покровом нуждаются в специальных дыхательных органах, имеющих большую площадь соприкосновения с окружающей средой: легкие ——у животных, листья ——у растений и т. п. Путем диффузионного обмена через листья осуществляется частично и питание растений.
Отметим, наконец, что диффузия является основным механизмом, обеспечивающим газообмен между почвенным и атмосферным воздухом, т. е. вынос углекислого газа из почвы в атмосферу и перенос кислорода в обратном направлении.
§ 49. Теплопроводность
Пусть в некотором объеме газа температура Т убывает в направлении ОХ (рис. 89). Это может иметь место, например, в случае, когда в левой части О объема находится нагреватель.
Обозначим через Т^ и Т^ значения температуры на расстояниях Т от площадки Д5. Тогда 7\ > Т2. Так как кинетическая энергия газовой молекулы (см. § 43)
W =丄仃，
2
то Wi > 步2, т. е. энергия молекул, находящихся слева от AS, больше энергии молекул, находящихся справа от AS. Поэтому в направлении убывания температуры будет происходить преимущественный перенос энергии, а следовательно, и количества теплоты AQ, поскольку внутренняя энергия газа слагается из кинетической энергии его молекул.
Применяя уравнение переноса (41), заметим, что в данном случае переносимой физической характеристикой является энергия молеку-
Рис. 89
лы, т. е. ф — W. Тогда, поскольку концентрацию молекул % можно считать одинаковой во всем объеме газа,
а (询屮)=А (%取)=a (%亍打)=%亍也.А7,(46)
где АТ = 7\ — Т& Кроме того, очевидно, что
Д^Ф)= A(W) =AQt(47)
rqeAQ — количество теплоты (внутренней энергии), переносимое за время Д/ через площадку AS, перпендикулярную направлению убывания температуры.
Подставляя выражения (46) и (47) в уравнение переноса (41), получим
AQ =入 и Ai。-— k • AS • Af・
3° 2 А%
Умножая и деля правую часть этого равенства на массу молекулы m и учитывая, что 尼=R/Na, напишем
△Q 入 v R Д5 •
3 Nк m 2 Ax
Так как
〃0加=Р， N^m^ М и 善R = R,
где р — плотность газа, М ——молярная масса, Су ——молярная теплоемкость при постоянном объеме, то последнее равенство примет вид
АТ
М = - "Г 入 ° Р R 丁 * AS • А/.
НоНоСу , где су — удельная теплоемкость газаСу , где су — удельная теплоемкость газаприприпостоянномпостоянном
Но
Но
Су , где су — удельная теплоемкость газа
Су , где су — удельная теплоемкость газа
при
при
постоянном
постоянном
объеме. Поэтому окончательно получим
AQ =X V Су ”АТ • AS • Af・(48)
3" Ах
ОбозначивОбозначивVVнайдемнайдемAQ = — х• AS • Д/.AQ = — х• AS • Д/.(49)(50)(49)(50)
Обозначив
Обозначив
V
V
найдем
найдем
AQ = — х• AS • Д/.
AQ = — х• AS • Д/.
(49)
(50)
(49)
(50)
Отсюда следует, что
количество теплоты AQ, переносимое через площадку AS, перпендикулярную направлению ОХ, 6 котором убывает температура, пропорционально размеру этой площадки, промежутку времени Д/ переноса 〃 градиенту температуры ДТ/Дх.
Формула (50) называется уравнением теплопроводности, или законом Фурье (так как впервые такое уравнение вывел французский математик Фурье).
Коэффициент пропорциональности к называется коэффициентом теплопроводности. Полагая в формуле (50) AS = 1м2, Д/ = 1с и ДТ/Дх = — 1К/м, получим
AQ = к,
т. е. коэффициент теплопроводности численно равен количеству теплоты, переносимому через площадку в 1 м2 3ale при градиенте темпера^ туры в — 1 К/м. Из формул (49) и (50) следует, что коэффициент теплопроводности измеряется в Дж/(м • с • К).
Чтобы получить представление о пор ядке величины коэффициента теплопроводности, подсчитаем его по формуле (49) для кислорода при нормальных условиях, принимая
工=5 • 10-8 м, у = 5 . Ю2 м/с, р = 143 • Ю~2 кг/м3,
“ =—R = ―^——8,32 ^ 650 [Дж/(кг • К)].
У 2M 2 . 0,032I一、〃
Тогда
x =十工讪%=十.5・10-8 . 5 . 102 . 143 ， KН . 650 ~
* 8 • 10~3[Дж/(м • с • К)],
что соответствует опытным данным по определению коэффициента теплопроводности.
Поскольку 入 〜丄，а р〜р, то произведение Хр не зависит от давления. Поэтому, согласно формуле (49), коэффициент теплопровод- ности не зависит от давления. Опыт подтвердил этот кажущийся стран
ным вывод.
может оказатьсяможет оказатьсяСледует, однако, иметь в виду, что у сильно разреженных газов, заключенных в сосуд, коэффициент теплопроводности
может оказаться
может оказаться
зависящим от давления. Будем разрежать газ, находящийся например, в кубическом сосуде с ребром 〃 (рис. 90). При этом Т будет увеличиваться, а р — уменьшаться. Поэтому произведение Хр, а следовательно, и м останутся постоянными. Понизим давление до такой степени, что 入 станет равной а. Тогда при дальнейшем разрежении р будет уменьшаться, а 入 уже не сможет увеличиваться —— не позволят стенки сосуда. Поэтому произведение Хр, а следовательно, и 乂 будут теперь уменьшаться вместе с уменьшением давления. Следовательно, коэффициент теплопроводности пропорционален давлению, если средняя длина свободного пробега молекул газа превышает размер сосуда.
Итак, приТ《a y не зависит от р, при 入 > а м 〜 р.
Очевидно, что степень разрежения, при которой 乂 начинает зависеть от давления, определяется размером сосуда: чем больше размер сосуда, тем меньше станет давление. Подсчитаем, например, величину этого давления рх для кислорода, находящегося в сосуде кубической формы с ребром а = 1 см. При давлении рх средняя длина свободного пробега % > 1 см; при нормальном давлении р0 средняя длина свободного пробега 入=5-10~6 см (см. § 46). Так как
=，
t0_
Г
Рх = Ро—，
откуда, подставляя соответствующие значения, получим
% V 1,013 • IO" • 一22_ = 0,507 (Па).
Следовательно, в сосуде с ребром а = 1 см х зависит от давления при давлениях рх V 0,507 Па.
Зависимость коэффициента теплопроводности от давления в разреженном газе используется в устройстве термоса (сосуда Дьюара*). Термос представляет
Изобретен в 1898 г. английским физиком Дьюаром.
собой сосуд с двойными стенками (рис. 91), между которыми находится сильно разреженный 口》а) газ, имеющий поэтому малый коэффициент теплопроводности х. Теплообмен между внутренним объемом термоса и внешней средой происходит практически только через узкую горловину, закрытую пробкой. Поэтому налитая в термос жидкость долгое время сохраняет свою первоначальную температуру.
§ 50. Внутреннее трение (вязкость)
Пусть в ламинарном потоке газа скорость течения убывает в направлении ОХ (рис. 92). Как мы уже видели (см. §47), это может иметь место, например, когда газ течет вблизи твердой стенки.
Вообразим площадку AS, по которой соприкасаются два соседних слоя газа, и обозначим через 叫 и w2 значения скоростей течения на расстояниях лот этой площадки (Ш1> д). Очевидно, что на хаотическое движение молекул наложится скорость потока 叫 ввиду чего молекулы верхнего слоя будут обладать большим количеством движения, чем молекулы нижнего слоя: тз* > mw2. где т — масса молекулы В процессе хаотического движения молекулы верхнего слоя будут переносить свое количество движения в нижний слой, увеличивая тем самым его скорость; в свою очередь
молекулы нижнего слоя будут переносить свое количество движения в верхний слой, уменьшая тем самым его скорость. В результате между слоями возникает внутреннее трение, сила которого будет действовать вдоль площадки AS параллельно скорости потока.
Применяя уравнение переноса (41), заметим, что в этом случае переносимой физической характеристикой является количество движения молекулы:
ер = Л =加侬.
Тогда, поскольку концентрацию молекул п0 можно считать одинаковой во всем объеме газа,
А (поф) = Д (%々)=А (%о加侬)=nom • △叫(51)
где Дш = g — ш2. Кроме того, очевидно, что
А("(р) = А(Л^) = АК,(52)
где АК — изменение количества движения одного слоя относительно другого, происходящее за время Д/ на пограничной площадке AS. Так как изменение количества движения равно импульсу действующей силы, то
АК =尸・А力
где F — сила взаимодействия между слоями газа, действующая в плоскости их соприкосновения, т. е. сила внутреннего трения. Поэтому формулу (52) можно представить в виде
А (^q)) = АК =尸• Af・(53)
Подставляя выражения (51) и (53) в уравнение переноса (41), получим
尸・/V =— К и m • AS • АЛ
30 Ах
Сокращая последнее равенство на А/ и учитывая, что nQm = р, найдем
尸=-丄• AS.(54)
Обозначив
*Х 石р = П,(55)
напишем
尸=_"乂. aS(56)
откуда следует, что
сила внутреннего трения, возникающая в плоскости соприкосновения двух скользящих относительно друг друга слоев газа, пропорциональна площади 〃％ соприкосновения AS и градиенту скорости Аз/А%.
Формула (56) называется уравнением внутреннего трения, или законом Ньютона (так как Ньютон получил такое же уравнение из опыта с жидкостью).
Коэффициент пропорциональности 切 называется коэффициентом внутреннего трения (вязкости). Полагая в формуле (56)
AS = 1 м2 и А© ' = — 1 с-1,
Ах
получим,
F = п,
т. е. коэффициент вязкости численно равен силе внутреннего трения, действующей на 1 м2 площади соприкосновения параллельно движущихся слоев газа при градиенте скорости в — 1 с""1. Из формул (55) и (56) следует, что коэффициент внутреннего трения измеряется в кг/(м-с).
Из пропорциональности 刁 произведению 入 р [формула (55)] следует, что, как и х, коэффициент внутреннего трения не зависит от давления, за исключением случаев сильного разрежения газа, когда средняя длина свободного пробега молекул становится больше размера сосуда. Чтобы получить представление о порядке величины коэффициента внутреннего трения, подсчитаем его для кислорода при нормаль-
ных условиях, принимая У = 5 ・ 10~8 м, и = 5 • 102 м/с и р = =143 • КН к"мЗ：
П = -i-T Вр = В • 5 • 10-8 . 5 . 1Q2. 143 • Ют ^ 1,2 . 10-5 к「/(м • с),
что соответствует опытным данным по определению коэффициента внутреннего трения.
В заключение отметим, что вытекающие из сопоставления формул (44), (49) и (55) соотношения между коэффициентами переноса 力，к н 刀
также находятся в соответствии с опытными данными; это является дополнительным подтверждением правильности рассмотренной нами молекулярно-кинетической теории газа.
Задача 27. Найти коэффициент внутреннего трения 叮 азота при нормальных условиях, если коэффициент диффузии для него при этих условиях D = =1,42 • 10-5 м2/с.
Решение. Согласно формулам (55) и (44),
1
入 up = Dp,
где 入——средняя длина свободного пробега, у — средняя скорость молекул рМ
азота, р — плотность азота. Но, по формуле (12), р = ——，где р и Г — давле
ние и абсолютная температура газа, М = 0,028 кг/моль — молярная масса азота. Подставляя это выражение р в выражение для 刀 и учитывая, что при нормальных условиях р = 105 Па и Г == 273 К, получим
1,42 • 10-5 м2/с • 105 Па • 0,028 кг/моль = 1,8* 10'5 кг/(м-с).
8,32 Дж/(К • моль) • 273К
Задача 28. Найти количество азотаД М, прошедшего вследствие диффузии через площадку AS = 100 см2 за время Af = 10 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном к площадке, равен А р/Д х = — 1,26 кг/м4. Температура азота Т = 300 К; средняя длина свободного пробега молекул азота X = 10"5 см.
Решение. Согласно формуле (43),
АЛ4 =——入 v —• AS • Д/,
3 Ax
где v — средняя скорость молекул. Так как, согласно формуле (29),
где М = 0,028 кг/моль — молярная масса азота, то
1 _ 8RT Ар
am =—-入 •• AS ■ A/
3冗 МА%
1,26 кг/м4.10-2м2.10с =1,26 кг/м4.10-2м2.10с =]р /^ 8-8,32 Дж/(К • моль) • 300К
1,26 кг/м4.10-2м2.10с =
1,26 кг/м4.10-2м2.10с =
—10~7 м 1 /
3 Мтс • 0,028 кг/моль
=2 ・ 10-6 кг.
Задача 29. Какое количество теплоты A Q теряется ежечасно через двойную парниковую раму за счет теплопроводности воздуха, заключенного между ее полиамидными пленками? Площадь каждой пленки AS = 4 ма, расстояние между ними Лх = 30 см. Температура в парнике 6. = 18° С, температура наружного пространства /2 ^ — 20° С. Температуру t воздуха между пленками считать равной среднему арифметическому температур в парнике и в окружающем пространстве. Радиус молекулы воздуха г = 1,5 • 10~8 см. Молярная масса воздуха М = 0,029 кг/моль.
Решение. Согласно уравнению теплопроводности газа (48),
АТ
AQ = —入up“ —-— • AS • А/,3 у А%
где Г"и У— средняя длина свободного пробега и средняя скорость молекул воздуха, р ——плотность воздуха, Су — его удельная теплоемкость при постоянном объеме, А Т/Д х — градиент температуры.
В соответствии с формулами (36) и (18)
4 MJ 冗戸九°4 M2 7cr2p
где По ——число молекул в единице объема воздуха, р』давление воздуха, k = 1,38 • 10一23 Дж/к ——постоянная Больцмана.
По определению градиента (см. § 3).
АхАх0,30,3竺=工一三2二竺—一加 小、
Ах
Ах
0,3
0,3
По условию задачи,
‘2 +厶2‘2 +厶2—20 十 182—20 十 182
‘2 +厶
2
‘2 +厶
2
—20 十 182
—20 十 182
откуда абсолютная температура воздуха между пленками Т = 272 К. Как известно,
где Су — молярная теплоемкость воздуха при постоянном объеме, i = 5 — число степеней свободы молекул воздуха (считаем молекулы воздуха двухатомными).
Теперь, учитывая использованные в задачах 27, 28 выражения для р и 石 можем написать:
八 1 kTAQ = - -3 4 M2冗尸2P八 1 kTAQ = - -3 4 M2冗尸2P8RT pM iAT
八 1 kT
AQ = - -
3 4 M2冗尸2P
八 1 kT
AQ = - -
3 4 M2冗尸2P
•• • R • —- • AS • А/ =
冗例 RT 2 MAx
MASA/24 VT冗/MASA/24 VT冗/1,38・ 10-23 Дж/К-5-4м2-3600 с
MASA/
24 VT冗/
MASA/
24 VT冗/
x
24 /2-3,14 . 1,52-IO"2» м2
XX黑J = 1,5 . 105 Дж. 0,3 м黑J = 1,5 . 105 Дж. 0,3 м8 • 8,32 Дж/(人• моль) • 272 K
X
X
黑J = 1,5 . 105 Дж. 0,3 м
黑J = 1,5 . 105 Дж. 0,3 м
3,14 • 0,029 кг/моль
Глава IX. Жидкости и твердые тела
Особенности строения жидкостей и твердых тел
Прежде всего следует еще раз подчеркнуть, что газ, жидкость и твердое тело представляют собой агрегатные состояния вещества и в этом смысле между ними нет непреодолимого различия: всякое вещество в зависимости от температуры и давления может находиться в любом из агрегатных состояний. Вместе с тем между газообразным, жидким и твердым телами имеются существенные различия. Поскольку у твердых и жидких тел есть много общих свойств, имеет смысл рассматривать в нашем курсе эти два агрегатных состояния совместно.
Существенное различие между газом с одной стороны и твердым и жидким телами с другой стороны состоит в том, что газ занимает весь предоставленный ему объем сосуда, тогда как жидкость или твердое тело, помещенные в сосуд, занимают в нем лишь вполне определенный объем. Это обусловлено различием в характере теплового движения в газах и в твердых и жидких телах.
Молекулы газа практически не связаны между собой межмолекулярными силами (см. §35). Во всяком случае средняя кинетическая энергия WK теплового движения молекул газа гораздо больше средней потенциальной энергии Wn. обусловленной силами сцепления между ними (吼《 步к)・ Поэтому молекулы газа совершают сравнительно боль* шие свободные пробеги, «разлетаясь» друг от друга так далеко, как позволяет размер сосуда, и занимая весь его объем. В соответствии с этим диффузия в газах протекает достаточно быстро.
В твердых и жидких телах силы сцепления между молекулами (атомами, ионами) играют уже существенную роль, удерживая их на определенных расстояниях друг от друга (см. § 35, рис. 67, а). В этих телах средняя потенциальная энергия, обусловленная силами сцепления между молекулами, больше средней кинетической энергии теплового движения молекул、(取ц> 取к)• Иначе говоря, в среднем кинетическая энергия молекул недостаточна для преодоления сил притяжения между ними.
Благодаря плотной «упаковке» молекул в жидкости они уже не совершают свободных пробегов, а как бы《толкутся》на месте (колеблются около некоторого положения равновесия). Лишь время от времени молекула вследствие благоприятной комбинации столкновений может перейти на новое место на расстояние, сравнимое с размером самой молекулы. Естественно, что диффузия в жидкостях протекает значительно медленнее, чем в газах.
В твердом теле частицы (молекулы, атомы, ионы) расположены в геометрически строго определенном порядке, образуя так называемую кристаллическую решетку. Частицы совершают колебательные движения около своих положений равновесия. Переходы частиц с места на место в твердом теле возможны, но весьма редки. Поэтому, хотя диффузия существует и в твердых телах, она протекает здесь еще медленнее, чем в жидкостях.
Физическую сущность различия между твердым, жидким и газообразным состояниями вещества можно еще нагляднее объяснить с по« мощью потенциальной кривой взаимодействия молекул, с которой мы уже знакомились в § 35 (см. рис. 67, б). Воспроизведем эту кривую с некоторыми дополнениями (рис. 93).
По оси ординат отложены значения потенциальной энергии взаимодействия молекул, по оси абсцисс — расстояния г между молекулами. Значения средней кинетической энергии WK теплового движения молекул будем для удобства сравнения откладывать от % уровня дна В потенциальной ямы.
Если средняя кинетическая энергия теплового движения молекул значительно меньше глубины потенциальной ямы (取к.т.《DB), то молекулы совершают небольшие колебания, оставаясь в нижней части потенциальной
ямы (ниже уровня WK^. Эют
случай соответствует твердому состоянию вещества.
Если средняя кинетическая энергия теплового движения молекул немного меньше глубины потенциальной ямы (й^к.ж< DB), то молеку- лы совершают значительные колебательные движения, но все же останутся в пределах потенциальной ямы. Этот случай соответствует
жидкому состоянию вещества.
Если же средняя кинетическая энергия теплового движения молекул значительно больше глубины потенциальной ямы (眩Г》叫 то молекулы вырвутся из нее и, утеряв взаимосвязь, будут двигаться свободно (совершать свободные пробеги). Этот случай соответствует газообразному состоянию вещества.
Таким образом, существенное различие между газом с одной стороны и твердым и жидким телами с другой стороны обусловлено тем》 что у молекул газа значение средней кинетической энергии теплового движения больше глубины потенциальной ямы, а у молекул твердого и жидкого тел ——меньше глубины потенциальной ямы.
Благодаря тому что молекулы твердого тела связаны между собой прочнее, чем молекулы жидкости, для твердого тела в отличие от жидкости характерно постоянство не только объема, но и формы. Рассмотрим несколько подробнее вопрос о кристаллическом строении твердого тела.
Характерным внешним признаком кристалла является его геометрически правильная форма (рис. 94). Так, например, кристалл поваренной соли имеет форму куба (а), кристалл льда — форму шестигранной призмы (б), кристалл алмаза —— форму октаэдра (восьмигранника, б) и т. д. У каждого кристаллического вещества угол между ограничивающими его поверхностями (гранями) имеет строго опреде-
ленное значение (у поваренной соли — 90°, у льда ——120° и т. п.). Кристаллы легко раскалываются но определенным плоскостям, называемым плоскостями спайности. При этом получаются кристаллики меньшего размера, но той же формы. Так, при дроблении кристалла поваренной соли образуются мелкие кубики и прямоугольные параллелепипеды. Отмеченные факты навели в свое время на мысль о том,
Рис. 94Рис. 94
Рис. 94
Рис. 94
что кристаллическое тело построено из элементарных ячеек (кубиков, или шестигранных призм, или октаэдров и т. п. ), плотно приложенных друг к другу. А это означает, что в кристаллическом теле частицы (молекулы или атомы, или ионы) расположены в строго симметричном порядке относительно друг друга, образуя пространственную, или кристаллическую, решетку; места расположения частиц называются
Рис. 95Рис. 95
Рис. 95
Рис. 95
узлами решетки. Эта гипотеза была высказана в 1848 г. французским кр ист а лло гр афом Браве.
Примером простейшей пространственной решетки может служить кристаллическая решетка поваренной соли NaCl (рис. 95, а). Ее элементарная ячейка с ребром а (выделена на рисунке полужирными линиями) образована положительными ионами натрия и отрицательными ионами хлора, рнеположенными в вершинах куба.
Формы пространственных решеток могут быть разнообразными, но не любыми: необходимо, чтобы элементарные ячейки, составляющие решетку, вплотную, без зазоров прикладывались друг к другу, что соответствует минимуму потенциальной энергии решетки. Требуемым образом можно, например, уложить кубические ячейки и ячейки в виде шестигранных призм (рис. 95, б и в), но нельзя уложить ячейки в виде пятигранных призм (рис. 95, а).
В 1890 г. £. С. Федоров теоретически рассчитал все возможные формы кристаллических решеток, ячейки которых допускают плотную упаковку, и установил, что в природе может существовать только 230 различных видов кристаллических решеток, образующих 32 класса симметрии. Проведенные в текущем столетии исследования кристаллов с помощью рентгеновских лучей (см. § 125) подтвердили, что кристаллы состоят из симметрично расположенных частиц (атомов, или молекул, или ионов), образующих кристаллическую решетку. Причем рентгеноструктурным анализом большого количества естественных и искусственных кристаллов было обнаружено только 230 различных видов кристаллических решеток — полное соответствие с теоретическими расчетами Е. С. Федорова.
Симметричность расположения частиц в кристаллической решетке обусловлена тем, что в этом случае силы взаимодействия (притяжения и отталкивания) между частицами уравновешивают - ся (см. § 35). При этом потенциальная энергия частиц минимальна.
Расстояния между частицами в кристалле малы — порядка размера самих частиц (10~8 см). Такого же порядка и расстояние между молекулами в жидкости, поскольку, как известно, при плавлении кристалла не происходит существенного увеличения его объема.
Замечательной особенностью кристалла является его анизотро。 пия^\ 8 различных направлениях кристалл обладает различными физическими свойствами. Так, например, всем без исключения кристаллам присуща анизотропия прочности; подавляющее большинство кристаллов анизотропно в отношении теплопроводности, электропроводности, лучепреломления и т. п. Анизотропия кристаллов объясняется в основном тем, что в пространственной решетке оказывается различным число частиц, приходящихся на одинаковые по длине, но различные по направлению отрезки, как это показано на рис. 96 (на горизонтальном отрезке решетки 8 частиц, на наклонном — 6 частиц, на другом наклонном — 3 частицы). Понятно, что различие в плотности расположения частиц кристаллической решетки по различным направлениям должно приводить и к различию во многих других свойствах по этим направлениям кристалла,
Крметаллическое состояние весьма распространено в природе: большинство твердых тел (минералы, металлы, растительные волокна, белковые вещества, сажа, резина и т. д.) являются кристаллами. Однако не у всех этих тел одинаково отчетливо выражены рассмотренные ранее кристаллические свойства. В этом отношении тела подразделяют на две группы: монокристаллы и поликристаллы. Монокрис талл — тело, все частицы которого укладываются в одиу общую прос” транственную решетку. Монокристалл анизотропен. Монокристаллами
является большинство минералов. Поликристалл — тело, состоящее из множества мелких монокристалликов, беспорядочно расположенных друг относительно друга. Поэтому поликристаллы изотропны, т. е. обладают одинаковыми физическими свойствами по всем направлениум. Примером поликристаллов могут служить металлы. Однако металл можно получить и в виде монокристалла, если обеспечить медленное охлаждение расплава, предварительно введя в него один кристаллик данного металла (так называемый зародыш). Вокруг этого зародыша и будет расти металлический монокристалл.
В зависимости от того, из каких именно частиц образована кристаллическая решетка, различают четыре основных группы решеток: ионную, атомную, молекулярную и металлическую.
Ионная решетка образована разноименно заряженными ионами, удерживающимися в узлах решетки электрическими силами. Ионную решетку имеет подавляющее большинство кристаллов.
Атомная решетка образована нейтральными атомами, удерживающимися в узлах решетки химическими (валентными) связями: у соседних атомов обобществлены внешние (валентные) электроны. Атомную решетку имеет, например, графит.
Молекулярная решетка образована полярными (дипольными) молекулами (см. § 81), удерживающимися в узлах решетки также электрическими силами. Однако для полярных молекул действие этих сил сказывается слабее, чем для ионов. Поэтому вещества с молекулярной решеткой сравнительно легко деформируются. Молекулярную кристаллическую решетку имеет большинство органических соединений (целлюлоза, резина, парафин и т. п.).
Металлическая решетка образована положительными ионами металла, окруженными свободными электронами. Эти электроны и связывают между собой ионы металлической решетки. Такая решетка свойственна металлам.
Современная физика считает твердыми телами именно кристаллические тела. Жидкостям, как уже отмечалось, свойственно беспорядочное расположение частиц, поэтому жидкости изотропны. Некоторые жидкости могут быть сильно переохлаждены, не переходя при этом в твердое (кр ист а л л ичес кое) состояние. Однако вязкость таких жидкостей столь огромна, что они практически теряют текучесть, сохраняя, как и твердые тела, свою форму. Подобные тела называются аморфными^. Таким образом, современная физика считает аморфные тела переохлажденными жидкостями, обладающими огромной вязкостью. К аморфным телам относятся, например, вар, стекло, смола- канифоль и т. п. Понятно, что аморфные тела изотропны. Следует, однако, иметь в виду, что аморфные тела могут с течением времени (длительного) переходить в кристаллическое состояние. В стекле, например, с течением времени появляются кристаллики: оно начинает мутнеть, превращаться в поликрметаллическое тело.
В последнее время в технике широкое распространение получили органические аморфные вещества, отдельные молекулы которых бла-
Годар я химическим (валентным) связям соединяются друг с другом (полимеризуются) в длинные цепочки, состоящие в некоторых случаях из многих тысяч отдельных молекул. Такие вещества называются полимерами *. Типичным представителем полимера являются пластмассы. Очень ценным свойством полимеров является их высокая эластичность и прочность. Некоторые полимеры, например, выдерживают упругое растяжение, в 2—5 раз превышающее их первоначальную длину. Эти свойства полимера объясняются тем, что длинные молекулярные цепочки могут при деформации сворачиваться в плотные клубки или наоборот, вытягиваться в прямые линии. В настоящее время из естественных и искусственных органических соединений создают полимеры с самыми разнообразными наперед заданными свойствами.
§ 52. Деформация твердого тела
В 1-й части (см. § 10 и 17) мы касались вопроса о деформации твердого тела. Теперь на основе представлений о строении твердого тела следует рассмотреть этот вопрос подробнее. Опишем процесс деформа
ции тела с помощью графика, основанного на опытных данных. Для определенности рассмотрим, например, деформацию одностороннего растяжения. По оси абсцисс графика будем откладывать смещение (удлинение) Ах, по оси ординат —напряжение
т. е. деформирующую силу F, приходящуюся на единицу площади поперечного сечения S деформируемого тела (рис. 97).
При небольших напряжениях удли
нение практически пропорционально
напряжению (закон Гука, см. § 10). Эта область деформаций называется упругой деформацией. На графике ей соответствует почти прямолинейный участок Оа. Напряжение ру, соответствующее границе участка а, называется пределом упругости.
При дальнейшем увеличении напряжения наступает пластическая деформация (участок ab): небольшие увеличения напряжения вызы
вают значительные удлинения, приводящие в конечном счете к разрушению (разрыву) тела (точка Ь). Разрыву обычно предшествует состояние, при котором сопротивляемость тела растяжению вновь несколько возрастает (участок cd). Напряжение рп, соответствующее разрушению тела, называется пределом прочности.
Если при деформации тела предел его упругости не был превзойден, то после устранения деформирующей силы тело полностью восстанавливает первоначальную форму; на графике процесс восстанов-
ления идет по линии аО. Если же деформирующее напряжение превысило предел упругости (что соответствует точке К), то после его устранения тело не восстанавливает первоначальной формы, сохраняя навсегда некоторую деформацию Дх0, называемую остаточной. Процесс частичного восстановления формы тела представляется на графике линией К。：
Отметим, что и в случае упругой деформации первоначальная форма тела восстанавливается не мгновенно, а через некоторое время (измеряемое иногда часами и даже днями). Это являние называется упругим последействием,.
Интересное и практически важное явление имеет место при повторных пластических деформациях материала (т. е. при деформациях, сопровождающихся переходами предела упругости). Оказывается, что при каждой такой деформации предел упругости немного повышается, а в процессе многократной деформации может быть повышен значительно. Это явление (и сам процесс) носит название наклепа. Таким образом, наклеп, повышая предел упругости материала, ведет к его упрочнению. В связи с этим наклеп широко используется в технологической практике для упрочнения металлов и сплавов.
Упрочнение материала при наклепе обусловлено тем, что вследствие неоднородности деформации различных кристалликов в поликристалле возникают структурные искажения, вызывающие дополнительные упругие напряжения.
Тела, обнаруживающие большие пластические деформации (т. е. тела, которым на графике деформации соответствуют большие участки ab)t называются пластическими, К ним относятся, например, свинец, цинк, железо. Тела, имеющие небольшую пластическую деформацию или совсем не обладающие ею (рп< VPy)， называются хрупкими. К ним относятся, например, чугун, закаленная сталь, фарфор. Следует, однако, подчеркнуть, что подразделение тел на пластические и хрупкие имеет относительный характер; одно и то же тело при повышенной температуре и медленно проводимой деформации оказывается пластическим, а при пониженной температуре и быстро проводимой деформации ——хрупким.
В свете представлений об атомно-молекулярном строении вещества физическая сущность описанного процесса деформации твердого (кристаллического) тела объясняется следующим образом.
При упругой деформации монокристалла, например при деформации сдвига, происходит только небольшое искажение его пространственной решетки (рис. 98, б). Сопутствующее этому искажению изме-
к нарушению равновесия между силами взаимопритяжения и взаимоотталкивания ионов, в связи с чем в кристалле возникают упругие силы, восстанавливающие первоначальную форму (рис. 98, а) кристалла после устранения деформирующей силы. При упругой деформации не нарушаются межионные связи: каждый ион остается в окружении своих прежних соседей, как это видно на рис. 98, а и 6 (для четырех пронумерованных ионов).
При пластической деформации монокристалла происходит значительное искажение его решетки благодаря скольжению одних ионных
ооплоскостей вдоль других. В результате нарушаются прежние и устанавливаются новые межионные связи: ионы меняют своих соседей, как это видно на рис. 98, 6 (для тех же четырех пронумерованных ионов). При смещении двух соседних слоев друг относительно друга на расстояние, равное удвоенному размеру элементарной ячейки, силы взаимопритяжения и взаимоотталкивания ионов вновь оказываются уравновешенными (решетка вновь принимает соответствующую данному кристаллу форму, на нашем рисунке — кубическую). В связи с этим исчезают упругие силы, способные сместить ионы в исходное положение (см. рис. 98, а). В результате появляется оста
о
о
точная деформация (см. рис. 98, в).
Пластическая деформация одностороннего растяжения также обусловлена скольжением ионных плоскостей друг относительно друга На рис. 99 схематически изображена деформация монокристаллического стержня, подвергнутого одностороннему растяжению. Скольжение слоев начинается в наиболее слабых местах стержня (где решетка ослаблена трещинами и другими дефектами) и постепенно распространяется на весь стержень. В результате в стержне образуются скошенные слои, называемые пачками скольжения (рис. 99, б) Толщина пачек скольжения разнообразна, но имеет порядок 10~5 см. Первоначально гладкая поверхность стержня (рис. 99, а) становится в процессе пластической деформации шероховатой (рис 99, б), что подтверждается опытными данными.
Одновременно с удлинением стержня происходит его утоньшение При этом у стержня появляются местные сужения — шейки (рис. 99, s), в которых и сосредоточивается дальнейшая деформация, приводящая к разрыву стержня (рис. 99, г).
Такова же в общих чертах (но более сложная в деталях) картина деформации поликриста儿几ических тел. Кристаллические зерна распо* ложены внутри поликристалла беспорядочно, в связи с чем беспорядочно расположены и плоскости наиболее легкого скольжения ионных слоев. Благодаря этому пластическая деформация поликристалли- ческих тел требует большего напряжения, чем пл астическая деформация монокристаллов.
Тепловое расширение твердых и жидких тел
При повышении температуры твердого тела усиливается тепловое движение его частиц и среднее расстояние между ними возрастает. Поэтому при нагревании твердое тело расширяется. Опыт показывает, что удлинение А/ тела (линейное расширение) пропорционально изменению его температуры:
Д/ = а/0 • Af,(I)
где /0 — длина тела при температуре /0, I = 10 + Д/ — длина тела при температуре /, Д/ = f——/0, а —— коэффициент линейного расширения. Полагая /0 = 0 ℃, из формулы (1) получим
1 =(2)
а =(3) 州
откуда следует, что коэффициент линейного расширения равен относительному удлинению тела при нагревании на 1 К. Для твердых тел а имеет порядок 10~5 —10~в К'1.
В результате линейного расширения увеличивается и объем тела. Возьмем тело кубической формы с ребром Zo при температуре /0 = 0° С. Его объем Vo = /о. После нагревания до температуры / ребро станет равным "(1 + "), а объем
V =历(1 + 硝］з = Zo(l +3а/ + За2/2 + з).
В связи с малостью а можно пренебречь членами, содержащими а2 и а3, написав
Y = %(1 +3 硝.
Обозначив
За = 0, получим
У = %(1+")・(4)
Величина 0 называется коэффициентом объемного расширения*. Очевидно, что порядок величины у В такой же, как и у а.
Поскольку плотность тела р = m/V, то, согласно формуле (4), получим
р =—
1 +促
где р0 = ш/Vq— плотность тела при температуре / = 0℃. Таким образом, плотность тела уменьшается с повышением его температуры.
Формулы (2), (4) и (5) остаются справедливыми и для жидких тел, только коэффициент объемного расширения у жидкостей больше, чем у твердых тел; он имеет порядок 10"3 — 10~4 К"1.
Благодаря уменьшению плотности с повышением температуры в нагреваемом снизу объеме жидкости (и газа) возникает конвекция'. нижние слои жидкости (газа), как менее плотные, начинают подниматься вверх, а верхние слои опускаются вниз; этим значительно ускоряется нагревание объема. Конвекция играет важную роль в процессах теплообмена в атмосфере и водных бассейнах.
Теплоемкость твердых и жидких тел
Поскольку частица твердого тела колеблется около положения равновесия (узла пространственной решетки), ее энергия слагается из кинетической энергии 取к теплового движения и потенциальной энергии Wn смешения от положения равновесия. В среднем при достаточно высокой температуре эти энергии можно считать одинаковыми. Поэтому в среднем полная энергия одной частицы
呼=«^+呼口 = 2rК.
Поскольку WK = ikT/2 (см. § 43), получим
Г =依
где i ——число степеней свободы частицы, k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура. Так как частица может колебаться в любом направлении, ее число степеней свободы будет равно трем; тогда
Г = 3力Т・
В одном моле химически простого вещества содержится Nх частиц (атомов), где Ма — постоянная Авогадро. Поэтому внутренняя энергия моля
Um = WNa = ЗаТЛ\ = 3 崙 Na Т = 3RT,
а молярная теплоемкость С равна внутренней энергии моля, отнесенной к его температуре, т. е.
С =弊=3R.
Полагая R = 8,32 Дж/(К ・ моль), получим
С = 25 Дж/(К • моль).(6)
Следовательно, атомная теплоемкость всех химически простых кристаллических твердых тел при достаточно высокой температуре равна 25 Дж/(К • моль).
Этот вывод был впервые получен в 1819 г. Дюлонгом и Пти опытным путем, в связи с чем он назван законом Дюлонга и Пти.
В случае твердых химических соединений число частиц в моле будет уже не ^A , a nN^ , где п — число атомов в молекуле. Например, в одном моле поваренной соли NaCl содержится 2^A атомов (ионов Na+ и С1~). Поэтому молярная теплоемкость химического соединения выразится формулой
С = 25〃 Дж/(К • моль).⑺
Следовательно,
молярная теплоемкость твердого химического соединения равна сумме атомных теплоемкостей входящих 6 него элементов.
Этот вывод также был получен опытным путем (в 1864 г. Коппом и затем Джоулем) и носит название закона Джоуля и Коппа.
Из формул (6) и (7) следует, например, что теплоемкость цинка равна 25 Дж/(К • моль), а теплоемкость хлористого кальция СаС12 — 75 Дж/(К-моль).
В таблице приведены значения молярных теплоемкостей некоторых твердых тел, полученные опытным путем, а также вычисленные по формулам (6) и (7). Для большинства веществ теоретические значения теплоемкостей оказываются близкими к опытным значениям.
ВеществоВеществоАлюминий А1 .. Алмаз С Железо Fe .... Кадмий Cd .... Медь Си Окись меди СиО . Поваренная сольNaCl Серебро Ag ... Хлористый кальцийСаС12Алюминий А1 .. Алмаз С Железо Fe .... Кадмий Cd .... Медь Си Окись меди СиО . Поваренная сольNaCl Серебро Ag ... Хлористый кальцийСаС12& Дж/(К моль)& Дж/(К моль)опыт теоретичес- ное коеопыт теоретичес- ное кое25,54 5,8626,80 25,54 24,70 47,3150,66 25,5476,2025,54 5,8626,80 25,54 24,70 47,3150,66 25,5476,20252525252550502575252525252550502575
Вещество
Вещество
Алюминий А1 .. Алмаз С Железо Fe .... Кадмий Cd .... Медь Си Окись меди СиО . Поваренная соль
NaCl
Серебро Ag ... Хлористый кальций
СаС12
Алюминий А1 .. Алмаз С Железо Fe .... Кадмий Cd .... Медь Си Окись меди СиО . Поваренная соль
NaCl
Серебро Ag ... Хлористый кальций
СаС12
& Дж/(К моль)
& Дж/(К моль)
опыт теоретичес- ное кое
опыт теоретичес- ное кое
25,54 5,86
26,80 25,54 24,70 47,31
50,66 25,54
76,20
25,54 5,86
26,80 25,54 24,70 47,31
50,66 25,54
76,20
25
25
25
25
25
50
50
25
75
25
25
25
25
25
50
50
25
75
Следует учитывать, что вытекающая из формул (6) и (7) независимость теплоемкости от температуры имеет место только при достаточно высокой температуре, называемой дебаевской температурой^. При низкой температуре теплоемкость зависит。加 температуры, убывая с уменьшением температуры и приближаясь к нулю при абсолютной температуре, стремящейся к нулю.
Характер зависимости теплоемкости от температуры представлен графически на рис. 100. Что касается численного значения «достаточно высокой температуры», то оно различно для различных веществ. Для
* По имени голландского физика Дебая, разработавшего квантовую теорию теплоемкости твердых тел.
подавляющего большинства веществ комнатная температура уже является «достаточно высокой». Но некоторые вещества составляют исключение (см. табл, на стр. 168). Алмаз, например, имеет теплоемкость, близкую к 25 кал/(К • моль), только при температуре около 1800 К. Зависимость теплоемкости твердых кристаллических тел от
температуры (при низких температурах) связана с «вымерзанием» колебательных степеней свободы частиц пространственной решетки и может
быть объяснена только на основе к Как уже отмечалось (см. § 51), тепловое движение твердых и жидких тел имеет общий характер —— колебание частиц около некоторого положения равновесия. Поэтому законы Дюлонга и Пти, Джоуля и Коппа применимы и для рас。 чета молярной теплоемкости жид- кистей. Например, молярная теплоемкость воды Н2О, согласно формуле (7). равна 75 Дж/(К - моль), что соответствует опытным данным. В таблице приведены для
ВеществоС, Дж/(К-моль)I! 0) оАлюминий А1 ,.25,5425,96Нат рий Na ....31,8233,40Ртуть Hg .... Соляная кислота28,0527,63HCI51,5061,55ВеществоС, Дж/(К-моль)I! 0) оАлюминий А1 ,.25,5425,96Нат рий Na ....31,8233,40Ртуть Hg .... Соляная кислота28,0527,63HCI51,5061,55механики (см. § 44).механики (см. § 44).сравнения молярные теплоемкости
Вещество
С, Дж/(К-моль)
I! 0) о
Алюминий А1 ,.
25,54
25,96
Нат рий Na ....
31,82
33,40
Ртуть Hg .... Соляная кислота
28,05
27,63
HCI
51,50
61,55
Вещество
С, Дж/(К-моль)
I! 0) о
Алюминий А1 ,.
25,54
25,96
Нат рий Na ....
31,82
33,40
Ртуть Hg .... Соляная кислота
28,05
27,63
HCI
51,50
61,55
механики (см. § 44).
механики (см. § 44).
некоторых веществ в твердом и жидком состояниях (опытные данные). В связи с тем что коэффициент объемного расширения твердых и
жидких тел очень мал, различие между теплоемкостями при постоянных объеме и давлении оказывается пренебрежимо малым и не при
нимается во внимание
Диффузия в жидких и твердых телах
Две соприкасающиеся жидкости диффундируют друг в друга до полного перемешива н и я * *. Если, например, на дно сосуда с водой налить при помощи воронки с длинной трубкой раствор медного купороса, то первоначально резкая граница раздела между этими жидкостями начнет постепенно размываться. Полное перемешивание произойдет через несколько месяцев.
АМ = - О 巫• AS • МАМ = - О 巫• AS • М⑻⑻Процесс диффузии жидкостей описывается законом Фика, который был выведен нами ранее для газов (см. § 48, формула (45)]:
АМ = - О 巫• AS • М
АМ = - О 巫• AS • М
⑻
⑻
где АМ — масса жидкости, переносимой путем диффузии з至 время Af через площадку AS, перпендикулярную направлению изменения
плотности, Др/Дх — градиент плотности, D — коэффициент диффузии жидкости.
Учтем, что
△М = m • Д^ и Ар = /и • Ди0,
где m — масса частицы жидкости (молекулы или атома), Д^ — число продиффундировавших частиц, Дп0 — разность числа частиц в единице объема первой и второй жидкостей (разность концентраций молекул), Тогда, поделив обе частицы равенства (8) на /и, получим выражение, связывающее число продиффундировавших частиц с градиентом концентрации молекул:
АМ= —・ as •削.(9)
Ах
Следует иметь в виду, что коэффициент диффузии жидкостей нельзя рассчитывать по формуле (44), выведенной для газов (см. § 48), так как характер теплового движения в жидкости существенно отличен от такового в газах: частицы жидкости не совершают свободных пробегов. Поэтому коэффициент диффузии у жидкостей в сотни тысяч раз меньше, чем у газов, т. е. имеет порядок 10~10 — 10"9 м2/с. В соответствии с этим диффузия в жидкостях протекает гораздо медленнее, чем в газах. Однако в случае больших градиентов концентрации, которые часто имеют место в жидкостях, диффузия может проходить довольно интенсивно и в жидкостях, несмотря на малое значение коэффициента диффузии [см. формулу (9)].
Диффузия наблюдается и в твердых телах, при этом к ней также применим закон Фика [см. (8) и (9) ]. Однако протекает она еще медленнее, чем в жидкостях; коэффициент диффузии твердых тел гораздо меньше, чем жидкостей. Процесс диффузии в твердых телах можно значительно ускорить повышением температуры. Так, например, при температуре 220 ℃ между плотно приложенными пластинами меди и цинка образуется через 12 ч пограничный слой толщиной 0,3 мм, состоящий из частиц меди и цинка. Пластины прочно спаиваются между собой, хотя температуры плавления меди и цинка значительно выше 220 °C (1083 ℃ — у меди и 419 ℃ — у цинка).
В твердом кристаллическом теле частицы расположены очень близ* ко друг к другу и имеют возможность лишь колебаться около узлов пространственной решетки (см. § 51). Поэтому для объяснения диффузии в кристаллах приходится предположить, что в кристаллической решетке существуют «дырки» ——узлы, не занятые частицами. Тогда колеблющаяся частица может перескочить в соседний «вакантный» узел; на ее место может перескочить другая частица и т. д.
Явление диффузии играет важную роль в природе и технике. Благодаря диффузии осуществляется, например, питание растений. Находящаяся внутри корней растения почвенная вода содержит в себе различные растворенные вещества. Вещества, являющиеся питательными для растения, быстро усваиваются им. Поэтому концентрация этих веществ оказывается внутри корней все время меньшей, чем вне корней. Наличие градиента концентрации у поверхности корней под-
держивает в соответствии с формулой (9) непрерывный диффузионный поток питательных веществ из окружающей почвенной воды в корневую систему. Вместе с тем растворенные вещества, не нужные растению и, следовательно, не усваиваемые им, имеют одинаковую концентрацию как внутри, так и вне корней. Отсутствие градиента концентрации приостанавливает диффузионный поток не нужных растению растворенных веществ в его корневую систему.
Аналогичную роль играет диффузия в питании животных и человека. Через стенки желудка и кишечника организм «всасывает» только те растворенные в пище вещества, которые нужны для построения его клеток. Поэтому у стенок пищеварительного тракта создаются градиенты концентрации питательных веществ, поддерживающие диффузию этих веществ в организм.
В свеклосахарном производстве диффузию используют для извлечения сахара из свекольной массы.
Очень важную роль играет процесс диффузии в технологии металлов. На диффузии основана цементация железных и стальных изделий. При прокаливании железа с углем углерод, диффундируя в железо, образует поверхностный слой карбида железа (цемент ——Fe3C). После закалки цементироваиное железное изделие (ось, приводной вал и т. п.) обладает твердым наружным слоем при мягкой, вязкой сердцевине. Аналогичным образом производится цементация железа другими металлами, например хромом, вольфрамом и т. п.
Особый интерес представляет рассматриваемое далее явление диффузии растворителей через полупроницаемые перегородки, называемое осмосом.
§ 56. Осмос
При растворении в жидкости твердого вещества его молекулы равномерно распределяются во всем объеме жидкости, образуя среду, на-
зываемую раствором; жидкость называется растворителем, твердое вещество —— растворенным веществом. Масса m растворенного вещества, приходящаяся на единицу объема V раствора, называется концентрацией раствора * С; следовательно,
(Ю)(Ю)С — т_
(Ю)
(Ю)
Рис. 101Рис. 101=V
Рис. 101
Рис. 101
Растворы малой концентрации называются слабыми, или разбавленными.
Представим себе слабый раствор, налитый в сосуд (рис. 101); молекулы растворенного вещества изображены на рисунке точками. Размеры молекул растворенного вещества малы по сравнению с расстояниями между ними, поэтому взаимодействия между этими мо-
лекулами практически не будет. Таким образом, в слабом растворе растворенное вещество напоминает собой идеальный газ с той лишь разницей, что в растворе свобода движения молекул растворенного вещества ограничена присутствием молекул растворителя. Тем не менее отмеченная аналогия между идеальным газом и растворенным веществом в слабом растворе наводит на мысль о еозможности применения к растворенному веществу законов идеального газа. В частности, можно предположить, что растворенное вещество обладает парциальным давлением 夕，которое по основному уравнению кинетической теории газа (см. § 41) и по закону Клапейрона 亠 Менделеева (см. § 40) выражается формулами
(И)(И)Р =告九。w
(И)
(И)
ииp=亠旦p=亠旦(12)(12)
и
и
p=亠旦
p=亠旦
(12)
(12)
где в данном случае 几。一концентрация молекул растворенного вещества (число молекул растворенного вещества в единице объема раствора), W ——средняя кинетическая энергия молекулы растворенного вещества, m и М —— масса растворенного вещества и его молярная масса, V n Т — объем и температура раствора, R ——универсальная газо
вая постоянная.
Для того чтобы обнаружить это давление, необходимо отделить раствор от чистого растворителя так называемой полупроницаемой перегородкой, пропускающей молекулы растворителя, но не пропускающей молекулы растворенного вещества. Для водного раствора сахара такой полупроницаемой перегородкой являются, например, бычий пузырь, кишечная ткань и некоторые искусственные пластмассовые пленки. Поры в этих перегородках столь малы, что через них могут пройти молекулы воды, но не пройдут более крупные молекулы
сахара.
Проделаем теперь такой опыт. В воронку, раструб которой затянут бычьим пузырем, нальем слабый водный раствор сахара и устано
вим ее в сосуд с чистой водой (рис. 102) так, чтобы уровни жидкостей в воронке и в сосуде совпали. Через некоторое время уровень раствора в воронке, как покажет наблюдение, начнет медленно повышаться и,, наконец, установится над уровнем воды в сосуде на высоте й. Происходит это по следующей причине. Концентрация молекул воды в сосуде больше концентрации молекул воды в воронке на величину концентрации молекул сахара. Поэтому через полупроницаемую перегородку диффундирует больше молекул воды из сосуда в воронку, чем в обратном направлении, что вызывает подъем уровня жидкости в ворон-
ке. Молекулы же сахара не могут перейти через полупроницаемую перегородку из воронки в сосуд. В результате концентрации молекул воды в воронке и в сосуде уравняются, а концентрации молекул сахара останутся различными: л0 —— в воронке и нуль —— в сосуде. Избыточная концентрация п0 молекул сахара создаст, согласно формуле (11), парциальное давление растворенного вещества, уравновешиваемое гидростатическим давлением столбика раствора высотой ft. Рассмотренное явление диффузии растворителя через полупроницаемую перегородку, отделяющую раствор от чистого растворителя, называет- ся осмосом, а возникающее при этом в растворе избыточное давление (равное парциальному давлению р растворенного вещества) называется осмотическим давлением.
Поскольку давление столбика h раствора равно pght то из рассмотренного опыта легко определить осмотическое давление по формуле
р = pg%,
где р — плотность раствора, g —— ускорение силы тяжести. С другой стороны, можно рассчитать осмотическое давление по формуле (11) или (12). Оба расчета дают хорошо совпадающие значения осмотического давления, что подтверждает допустимость аналогии, проведенной между идеальным газом и растворенным веществом в слабом растворе.
Чтобы получить представление о величине осмотического давления, подсчитаем его по формуле (12) для водного раствора тростникового сахара Ci2H 220H при температуре 27 ℃, если концентрация раствора соответствует 0,034 кг сахара на 1 л воды. Согласно химической формуле сахара, его молярная масса равна 0,342 кг/моль. Тогда
P =」L 旦= ^2 5 • 104 (Па).MV 0,342 . 10-3 丿
Осмотическое давление наглядно обнаруживается в следующем общеизвестном явлении. Если сушеную ягоду с неповрежденной оболочкой погрузить в воду, то вскоре ягода набухнет, приняв сферическую форму, что свидетельствует об избыточном давлении внутри ягоды. Это избыточное давление есть осмотическое давление. Оболочка ягоды проницаема для молекул воды, но непроницаема для молекул сахара, содержащегося внутри ягоды. Вода, диффундируя внутрь ягоды, образует там сахарный раствор. В этом растворе, как и в описанном ранее опыте с сахарным раствором, создается осмотическое давление, распирающее оболочку ягоды.
Пользуясь формулой (10), введем в формулу (12) концентрацию раствора С. Тогда
откуда следует, что
осмотическое давление пропорционально концентрации и температуре раствора и обратно пропорционально молярной массе растворенного вещества.
Этот закон был установлен в 1887 г. голландским химиком Вант- Гоффом. Следует подчеркнуть, что, согласно закону Вант-Гоффа^ осмотическое давление не зависит от свойств растворителя.
Закон Вант-Гоффа хорошо оправдывается только для таких слабых растворов, в которых не происходит диссоциации растворенного вещества. Для диссоциированных растворов Электролитов) осмотическое давление оказывается значительно большим, чем следует по закону Вант-Гоффа. Это объясняется тем* что при диссоциации увеличивается число частиц растворенного вещества (из одной молекулы могут образоваться два иона) и, следовательно, согласно формуле (11), увеличивается осмотическое давление.
Явление осмоса играет исключительно важную роль в жизни растительных и животных организмов. Оболочки живых клеток представляют собой полупроницаемые перегородки; они проницаемы для молекул воды и непроницаемы для молекул сложных органических соедиьений, создающихся внутри клетки в процессе се жизкедеятель- ноет и. Благодаря этому внутри клетки образуется раствор и возникает осмотическое давление, делающее клетку упругой, как надутый резиновый мяч. Понятно, что построенные из таких клеток растительные и животные ткани будут обладать большой упругостью и приобретут способность сохранять свою форму. В биологии это обусловленное ссмосом явление носит название тургора клеток.
Осмотическое давление в растительных клетках, окруженных водой, может быть весьма значительным. Например, у моркови оно достигает нескольких атмосфер.
Если клетка организма граничит с концентрированным водным раствором вещества, для которого оболочка клетки непроницаема> то сода переходит из клетки в этот раствор. Происходит так называемое осмотическое высасывание воды из клетки. Им, между прочим» обусловлено чувство жажды, возникающее после приема сладкой пищи.
Посредством таких физиологических процессов, как питание, выделение, дыхание и т. п., поддерживается постоянное осмотическое давление в клетках животных организмов (рсморегулированиё).
§ 57* Теплопроводность жидких и твердых тел
Процесс теплопроводности в твердых и жидких телах описывается тем же законом Фурье, который был выведен нами для газов (см. § 49):
AQ = -xML_. AS •加， (14)
Ax
где x — коэффициент теплопроводности, ДТ/Дх — градиент температуры, Д5 ——площадь, через которую переносится теплота, Д/ — продолжительность времени переноса. Однако коэффициент теплопроводности у твердых и жидких тел значительно больше, чем у газов. Особенно большими значениями х отличаются металлы. Коэффициент теп* лопроводности имеет порядок у газов — 10*3, у жидкостей и неметаллических твердых тел — 10"1, у металлов — 101 Дж/(м • с • К). Максимальное значение х = 423 Дж/(м • с • К) имеет серебро.
Процесс теплопроводности в твердых и жидких телах осуществляется путем взаимодействия колеблющихся частиц (молекул, атомов, ионов), составляющих тело. Наиболее интенсивное колебание частиц, происходящее в области повышенной температуры, передается соседним частицам, постепенно распространяясь на все тело. В металлах, кроме того, теплопроводность значительно увеличивается благодаря свободным электронам, которые могут перемещаться вну* три металла, непосредственно перенося свою кинетическую энергию из области повышенной температуры в область более низкой температуры. Важная роль свободных электронов в процессе теплопроводности подтверждается тем фактом, что коэффициент теплопроводности металлов приблизительно пропорционален их коэффициенту электропроводности. В жидкостях (как и в газах) процесс передачи теплоты может усиливаться конвекцией, если нагретые части жидкости расположены ниже холодных.
Теплопроводность твердого тела в большой мере зависит от его структуры^ наименьшей теплопроводностью характеризуются пористые тела, так как газ, заполняющий поры, имеет сравнительно малый коэффициент теплопроводности.
По мере распространения теплоты в теле его температура повышается — тело, как говорят, прогревается. Через некоторое время после начала нагревания область повышенной температуры распространится от места нагрева на все тело. Этот процесс (распространения температуры) называется температуропроводностью. Скорость его зависит не только от коэффициента теплопровод* ности х тела, но и от удельной теплоемкости с и плотности р тела. Как，показывают опыт и теория, эта скорость пропорциональна отношению
К = — . (15) Ср
Величина К, характеризующая скорость прогревания (или остывания) тела, называется коэффициентом температуропроводности. Из формулы (15) следует, что К измеряется в ма/с (как и коэффициент диффузии). Проиллюстрируем явление температуропроводности следующим примером. Опыт показывает, что свинец прогревается (и остывает) быстрее, чем железо, несмотря на то что коэффициент теплопроводности железа [х = 67,2 Дж(м • с • К)] приблизительно вдвое больше, чем свинца [х = 35,3 Дж/(м • с • К) ]. Дело, по-видимо- му, в том, что свинец имеет больший коэффициент температуропроводности, чем железо.
Проверим это, рассчитав К по формуле (15). Примем для железа с = =499,8 Дж/(кг • К), р = 7,85 • 103 кг/м3, а для свинца с = 126 Дж/(кг • К), I)== 11,3 • 103 км/м3. Тогда получим для железа К* в 0,17 • 10*4 м2/с и для свинца Кев = 0,25 ・ 10"4 м2/с, т. е. действительно КСв>^ж
Если поверхность тела подвержена попеременным нагреваниям и охлаждениям, т. е. испытывает колебания температуры, то эти колебания передаются м в глубь тела. Глубина проникновения температурных колебаний зависит от температуропроводности тела: чем больше коэффициент температуропровод- «ости, тем глубже проникают эти колебания. В этой связи температуропроводность имеет существенное агрофизическое значение: от коэффициента температуропроводности почвы зависит глубина, на которую проникают суточные и сезонные (периодические) колебания температуры земной поверхности.
Коэффициент темпер атуропровод ности почвы имеет порядок 10"7 м2/с для сухих почв и 10~б м2/с для влажных
Вязкость жидкости. Турбулентное движение жидкости
В первой части курса (см. гл. V) рассматривалось движение невязкой (идеальной) жидкости. Реальная жидкость обладает вязкостью (внутренним трением), обусловленной сцеплением между ее молекулами. Благодаря вязкости движение жидкости, как и движение газа, носит ламинарный характер. Сила внутреннего трения 尸 выражается законом Ньютона (см・ § 50):
(16)
где Д^/Дх — градиент скорости течения жидкости, AS ——площадь соприкосновения слоев жидкости,電—коэффициент вязкости (внут
реннего трения) жидкости.
右夕右夕Рис. 103Рис. 103Вязкость жидкости во много раз превосходит вязкость газа. Значение коэффициента вязкости жидкости находится в пределах I0*3—1 кг/(м • с). Вместе с тем вязкость жидкости сильно зависит от температуры — уменьшается с повышением температуры*, так как при этом увеличивается среднее расстояние между молекулами и, следователь-
右夕
右夕
Рис. 103
Рис. 103
но, уменьшается сцепление между ними. У воды, например, ” = =1,8 < 10'3 кг/(м • с) при 0 ℃ и 刀=3,2 • 10~4 кг/(м • с) при 90 ℃.
Вязкость затрудняет течение жидкости по трубе (или иному руслу), уменьшая его скорость.
Французский физик и физиолог Пуазейль в 1841 г. установил, что средняя скорость w ламинарного течения жидкости по трубе пропорциональна градиенту давления Др/Дх жидкости, квадрату радиуса г трубы и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости 刁 жидкости (рис. 103; ламинарное течение вязкой жидкости в трубе при постоянной разности давлений /^—р2 = Ар на ее концах):
Формула (17) называется законом Пуазейля. Знак минус показывает^ что скорость течения направлена противоположно градиенту давления. Так как объем жидкости АV, протекающей за время Д/ череа трубу, выражается формулой
△1/ = S3 • А/ =冗厂如• △厶△1/ = S3 • А/ =冗厂如• △厶(18)(18)
△1/ = S3 • А/ =冗厂如• △厶
△1/ = S3 • А/ =冗厂如• △厶
(18)
(18)
где S = лг2 — площадь поперечного сечения трубы, то, подставив
* Исключение составляет жидкий гелий, который, как обнаружил в 1938 г. /7. Л. Капица, совершенно теряет вязкость (叮=0) при температуре около абсолютного нуля (Т V 2,17 К). «Сверхтекучесть» гелия может быть объяснена только на основе квантовой теории.
17в
выражение скорости из формулы (17) в формулу (18), получим
(19)(19)
(19)
(19)
т. е. объем жидкости, протекающей по трубе, пропорционален четвертой степени радиуса трубы, времени 〃 градиенту давления жидкости и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости. По формуле (19) можно опытным путем определить коэффициент вязкости жидкости, что и было сделано Пуазейлем.
Благодаря вязкости тело, движущееся в жидкости, увлекает прилегающие к нему слои жидкости и потому испытывает сопротивление (трение) со стороны жидкости. Сила сопротивления зависит от скорости движения тела, его размеров и формы. Как уста- «.
новил английский физик и математик Стокс,卜 疗_2^
для тел шарообразной формы, движущихся с неболь- |Т_1 八戸 二| шой скоростью, сила сопротивления жидкости 尸 про- 二二 порциональна коэффициенту вязкости жидкости % ра・ - диусу tuapa г и скорости движения 侬：二一 二-I
尸=6w侬.(20)- I
Формула (20), называемая законом Стокса, применима LI также к движению шарообразных тел в газе, например — 一 к случаю падения дождевых капель в атмосфере.Рис. 104
На шар массой /и и радиусом г, падающий со скоростью ш в жидкости с вязкостью т], действуют три силы: сила тяжести 尸,,выталкивающая сила жидкости 尸2 H сила сопротивления жидкости F (рис. 104). Так как силы 储 и F2 постоянны, а сила 尸 возрастает с увеличением скорости движения шара, то с некоторого момента времени эти силы уравновесят друг друга:
"=尸2+尸.
Тогда шар будет двигаться равномерно. Учитывая, что, по закону Ньютона,
& = mg =石 Mpg
а по закону Архимеда,
色=告"dzg,
где Pi — плотность шара, р2 — плотность жидкости и g — ускорение силы тяжести, напишем
£ "з£ "з寸3p]g = 6M厂侬十 ~- w3p2g,寸3p]g = 6M厂侬十 ~- w3p2g,
£ "з
£ "з
寸3p]g = 6M厂侬十 ~- w3p2g,
寸3p]g = 6M厂侬十 ~- w3p2g,
2r2g (pl — р2)2r2g (pl — р2)刀=刀=откуда после соответствующих преобразований получим выражение
2r2g (pl — р2)
2r2g (pl — р2)
刀=
刀=
9u>
по которому можно определить опытным путем коэффициент вязкости жидкости. Из последней формулы можно выразить скорость падения шара:
5 = 2r2g(Р1 — P2)
По этой формуле определяется, например, скорость падения дождевых капель в воздухе.
Ламинарный характер течения жидкости (или газа) имеет место только при небольших скоростях. При больших скоростях в потоке появляются вихри, перемешивающие между собой все слои жидкости; такое движение называется турбулентным^. В этом случае скорость течения становится почти одинаковой по всему сечению трубы (или иного русла) и лишь вблизи ее стенок возникают очень большие градиенты скорости (рис. 105; w — скорость потока, а — вихрь в потоке).
Сила трения, действующая на тело, находящееся в турбулентном потоке, резко возрастает, становясь про
порциональной уже не первой степени, а квадрату и даже кубу скорости.
Турбулентное движение можно, например, наблюдать в водном потоке на узких и мелких участках русла реки; здесь появляются характерные водяные вихри — водовороты. В воздушном потоке это движение наблюдается, например, вблизи строений; возникающие здесь при сильном ветре воздушные вихри поднимают с земли и «крутят» пыль, обрывки бумаги и другие легкие предметы.
Задача 30. При температуре /о = 0 ©С цинковый стержень имеет длину /or = 200 мм, а медный Z02 = 201 мм. При какой температуре / стержни будут иметь одинаковую длину? Коэффициенты линейного расширения цинкового и медного стержней соответственно равны:
% = 2,9 • Юг град1 и а2 = 1,7 . 10"5 град-1.
Решение. Исходя из формулы (2) можем написать, что при температуре f
/01 О + ai0 = /<)2 (1 + аг0 •
Тогда
=晶一R_ (201 — 200) • КГ? м・ 105「рад =℃
一 %品 -a2厶2 一(2,9• 200- 1,7-201) . 10-3 м и
Задача 31. В объеме У = 0,5 л воды растворено m = 2 г поваренной соли. Найти осмотическое давление р для этого раствора при температуре / = =17 ℃, если стеиень диссоциации молекул соли 75%.
Решение. Согласно закону Вант-Гоффа (13), для недисс-оциированного раствора
CRT
где С = tn/V — концентрация раствора, Т — его абсолютная температура, М — молярная масса растворенного вещества (для NaCl М = 0,023 кг/моль + + 0,035 кг/моль = 0,058 кг/моль), R ——универсальная газовая постоянная.
Диссоциация молекул ведет к увеличению числа частиц в растворе и, еле- довательно, к пропорциональному росту осмотического давления (см. § 56). Поэтому, с учетом диссоциации,
mRT ] 75 0,002 кг • 8,32 Дж/(К • моль) • 290 К • 1,75
° VM ' 5 • Ю~4 м3-0,058 кг/моль
= 2,9 - Юб Па » 3 • Юб Па.
Задача 32. Определить скорость у движения жировых шариков в молоке: а) при естественном отстаивании сливок; б) при отделении сливок посредством молочного сепаратора, где молоко вращается на расстоянии R = 5 см от оси сепаратора с частотой y = 6000 об/мин. Радиус жировых шариков считать равным г = 1 мкм, плотность жирар1 == 0,9 г/см3, плотность обрата р2 == 1 г/см3, коэффициент внутреннего трения обрата 叮=0,0011 г/(см • с).
Решение, а) На жировой шарик, всплывающий в молоке при естественном отстаивании сливок, действуют три силы: направленная вверх архимедова сила 尸2 н направленные вниз сила тяжести Fi и сила внутреннего трения F. Шарик будет двигаться равномерно при условии 尸 + 尸1 =尸？ или
Тогда, учитывая закон Стокса (20), второй закон Ньютона и архимедову силу, можно написать (см. § 58)
4
6式7]m=5ip2 - pi) g.
Поэтому
2 厂а”？一 pi) g2 ・ 10Т2 м2 • 9,8 м/d (1 — 0,9) • 1Ф кг/м?
"9可9 • 0,0011 кг/(м • с)
弋 2 • КГ м/с.
Тогда
4
6冗7)г0 =汽尸3 (p2 — р]) 47C2Y2R,
где 4冗2y2R — центробежное ускорение.
Из последнего равенства получим
8式2产82 - pi）广R
q 4 • 10~4 м/с.q 4 • 10~4 м/с.9 • 0,0011 кг/(м • с)9 • 0,0011 кг/(м • с)8・3,142・10T2 M2 (I —0,9) • 103 КГ/М2 04 1/с2・0,05м
q 4 • 10~4 м/с.
q 4 • 10~4 м/с.
9 • 0,0011 кг/(м • с)
9 • 0,0011 кг/(м • с)
Таким образом, скорость движения жировых шариков в молоке при его Сепарировании приблизительно в 2000 раз больше, чем при естественном отстаивании сливок. Понятно, что время сепарирования во столько же раз меньше времени отстаивания.
§ 59. Внутреннее давление в жидкости. Поверхностноенатяжение и свободная энергия поверхности жидкости
На каждую молекулу жидкости действуют силы притяжения со стороны окружающих молекул, удаленных от нее на расстояние, не превышающее 1,5 ・ 10~7 см (см. § 35, рис. 67), т. е. находящихся (центрами) внутри сферы радиусом R = 1,5 • 10*7 см (см. рис. 106).
Эта сфера называется сферой молекулярного
фобРис. 106фобРис. 106действия. Поскольку радиус г самих молекул составляет приблизительно 5 • 10~8 см, tg R а «Зг, т. е. радиус сферы молекулярного действия приблизительно равен полутора диаметрам молекулы. Следовательно, каждая молекула жидкости взаимодействует только с непосредственно прилегающими к ней соседними молекулами.
фоб
Рис. 106
фоб
Рис. 106
Рассмотрим молекулу, расположенную внутри жидкости (а и б), налитой в сосуд (рис. 107). Со всех сторон ее окружает в
Рис. 107Рис. 107среднем одинаковое число молекул, поэтому результирующая сил притяжения, действующих на молекулу, в среднем равна нулю. Иначе обстоит дело с молекулой, лежащей на поверхности жидкости (б и а). Так как концентрация молекул в расположенном над жидкостью газе мала
Рис. 107
Рис. 107
ло сравнению с концентрацией молекул в жидкости, то результирующая сил, действующих на молекулу, оказывается не равной нулю и направленной внутрь жидкости перпендикулярно ее поверхности. В таком же положении будут находиться все молекулы, лежащие в поверхностном слое жидкости толщиной, приблизительно равной радиусу сферы молекулярного действия. Таким образом, поверхностный моно- молекулярный слой жидкости толщиной 1,5 • IO*"7 см оказывает на всю жидкость давление, равное сумме результирующих сил, действующих на все молекулы, лежащие в одном квадратном метре этого слоя. Это давление называется внутренним, или молекулярным.
Благодаря тому что молекулы жидкости находятся близко друг от друга, жидкость оказывается трудносжимаемой: вступающие в действие на очень малых расстояниях силы отталкивания между молекулами препятствуют сжатию жидкости.
Так как внутреннее давление направлено перпендикулярно поверхности жидкости, то масса жидкости, не подверженная действию внешних сил (рис. 108, а) должна принять форму шара (рис. 108, б), ибо только в этом случае силы внутреннего давления взаимно уравновесятся. Такое явление можно наблюдать на маленьких массах жидкости, для которых действие силы тяжести пренебрежимо мало по сравнению с действием сил внутреннего давления. Сферическую форму принимают, например, мелкие дождевые капли, масло, налитое в смесь воды со спиртом, имеющую плотность, равную плотности масла (опыт Плато). В этом случае сила тяжести, действующая на масло, компенсируется, по закону Архимеда, выталкивающей силой воды, делая масло как бы невесомым.
Форме шара соответствует, как известно, наименьшая поверхность при данном объеме. Следовательно, под влиянием молекулярных сил поверхность жидкости сокращается до минимально возможных размеров. Это означает, что поверхностный слой жидкости подобен эластичной растянутой пленке, например оболочке резинового мяча.
Напряженное состояние поверхностного слоя жидкости называется поверхностным натяжением] оно вызвано силами сцепления между молекулами этого слоя. Выделим мысленно в поверхностном слое жидкости круговой контур длиной / (рис. 109). Молекулы жидкости, составляющие контур, притягиваются молекулами, расположенными внутри контура; силы притяжения касательны к поверхности жидкости и перпендикулярны контуру. Сумма сил притяжения, действующих на контур, ограничивающий поверхность жидкости, называется силой поверхностного натяжения F. Эта сила пропорциональна числу молекул, прилегающих к контуру, которое в свою очередь пропорционально длине контура; следовательно,
尸=М(21)
где а — коэффициент пропорциональности, называемый коэффици- ентом поверхностного натяжения.
Очевидно, что с такой же силой поверхностного натяжения действуют на контур и молекулы, расположенные вне его. Поэтому контур находится в равновесии. Для того чтобы обнаружить действие силы поверхностного натяжения, надо устранить ограниченную им внутреннюю или внешнюю часть поверхности жидкости. Это можно сделать, например, следующим образом. «Натянув» на проволочную раму пленку мыльной воды, надо положить на нее петлю (контур) из тонкой нитки (рис. ПО, а) и затем проткнуть пленку внутри петли (рис. 110,6). Под действием силы поверхностного натяжения со стороны сохранившейся (внешней) части пленки контур немедленно растянется, приняв
Из формулы (21) следует, что
а = -у-» (22)
т. е. коэффициент поверхностного натяжения жидкости равен силе поверхностного натяжения, действующей на единицу длины контура, огран ичивающего поверхность жидкости. Измеряется а в Н/м. Коэффициент поверхностного натяжения жидкости имеет порядок 10"2 — Ю-'Н/м; для воды, например, он равен 0,073 Н/м, для ртути — 0,54 Н/м. С повышением температуры коэффициент поверхностного натяжения уменьшается в связи с увеличением среднего расстояния между молекулами жидкости.
Для растяжения (увеличения) поверхности жидкости необходимо совершить работу против молекулярных сил. Действительно, растяжение поверхностного слоя сопровождается извлечением из глубинных слоев на поверхность новых молекул жидкости, чему препятствуют направленные внутрь жидкости результирующие сил притяжения «глубинных» молекул. Наоборот, при сокращении поверхности молекулярные силы сами совершают работу по затягиванию «лишних» молекул с поверхности в глубь жидкости. Таким образом, при растяжении поверхности жидкости ее потенциальная энергия увеличивается, при сокращении — уменьшается.
Определим работу, совершаемую при сокращении поверхности жидкости. С этой целью «натянем» жидкую пленку на проволочную рамку, правая сторона которой, имеющая длину 厶 может свободно
перемещаться влево от положения, зафиксированного на рис. 111. Тогда под действием постоянной силы поверхностного натяжения эта сторона будет перемещаться влево, а поверхность пленки — сокращаться. Работа АЛ, совершенная при сокращении пленки в связи с перемещением стороны рамки на расстояние А%, выразится формулой
(23)(23)АЛ =尸• А% = 2а/ • Дх = а • AS,
(23)
(23)
где AS = 2/ • А% ——изменение площади поверхности пленки. Множитель 2 обусловлен тем, что пленка имеет две поверхности.
/с/сРабота АЛ совершается за счет уменьшения потенциальной энергии поверхности пленки. Следует подчеркнуть, что при растяжении пленки потенциальная энергия молекул, извлекаемых на поверхность, увеличивается, а их кинетическая энергия (теплового движения) соответственно уменьшается. В резуль-
/с
/с
тате при растяжении пленка несколько охлаждается. Очевидно, что при сокра-рИс. 111
щении пленка будет нагреваться. Изме
нение температуры пленки вызовет изменение коэффициента поверхностного натяжения. Чтобы обеспечить неизменность а, необходимо вести процесс растяжения или сокращения пленки изотермически. Для этого надо растягивать или сокращать пленку медленно, так чтобы изменение ее температуры успевало компенсироваться путем теплообмена с окружающей средой.
Та часть потенциальной энергии поверхности жидкости, которая может перейти в работу по изотермическому сокращению поверхности жидкости, называется свободной энергией поверхности жидкости АIV. Из формулы (23) следует, что
А 取=ДЛ = а ・ AS.
Очевидно, что свободная энергия всей поверхности жидкости равна произведению коэффициента поверхностного нат咒宛ена凡 на площадь этой поверхности',
Г = aS.(24)
Из формулы (24) следует другое определение а:
а =S
т. е. коэффициент поверхностного натяжения равен свободной энергии единицы поверхности жидкости. Поэтому а можно еще измерять и в Дж/м2.
Существование поверхностной пленки можно легко обнаружить, если, например, аккуратно положить на воду лезвие безопасной бритвы: слегка прогнув поверхностную пленку, лезвие останется лежать на
ней. В водоемах по поверхностной пленке воды свободно бегают и прыгают насекомые «водомерки». Улитка «прудовик», имеющая массу до 50 г, ползает по нижней стороне поверхностной пленки воды, как муха по потолку. Наличием поверхностной пленки обусловлено образование пены на воде, представляющей собой скопление множества мелких пузырьков воздуха, под этой пленкой: пузырьки приподнимают пленку, не прорывая ее. Слипание мокрых волос, мокрых песчинок и т. п. также связано с жидкими пленками, с их стремлением приобрести минимальную поверхность. При соприкосновении друг с другом нескольких мокрых песчинок окружающие их тонкие водяные оболочки сливаются в одну, поверхность которой (рис. 112, б) будет меньше суммы поверхностей оболочек на отдельных песчинках (рис. 112, а).
В результате этого комплекс песчинок
оказывается прочно стянутым поверхностной пленкой воды.
乙/ ло, растворенное в воде, уменьшает еекоэффициент поверхностного натяжения ис,с 0,075 до 0,045 Н/м. Вещество, ослабляющее поверхностное натяжение жидкости, называется поверхностно-активным. По отношению к воде поверхностно-активными являются нефть, спирт, эфир, мыло и многие乙/ ло, растворенное в воде, уменьшает еекоэффициент поверхностного натяжения ис,с 0,075 до 0,045 Н/м. Вещество, ослабляющее поверхностное натяжение жидкости, называется поверхностно-активным. По отношению к воде поверхностно-активными являются нефть, спирт, эфир, мыло и многиеНа поверхностное натяжение жидкости большое влияние оказывают нахо- ®дящиеся в ней примеси. Например, мы-
乙/ ло, растворенное в воде, уменьшает ее
коэффициент поверхностного натяжения ис,с 0,075 до 0,045 Н/м. Вещество, осла
бляющее поверхностное натяжение жидкости, называется поверхностно-активным. По отношению к воде поверхностно-активными являются нефть, спирт, эфир, мыло и многие
乙/ ло, растворенное в воде, уменьшает ее
коэффициент поверхностного натяжения ис,с 0,075 до 0,045 Н/м. Вещество, осла
бляющее поверхностное натяжение жидкости, называется поверхностно-активным. По отношению к воде поверхностно-активными являются нефть, спирт, эфир, мыло и многие
другие жидкие и твердые вещества.
С точки зрения молекулярной теории, влияние поверхностно-активных веществ объясняется следующим образом. Силы притяжения между молекулами самой жидкости больше сил притяжения между молекулами жидкости и поверхностно-активной примеси. Поэтому расположенные в поверхностном слое молекулы жидкости притягиваются внутрь жидкости сильнее, чем молекулы примеси. В результате молекулы уходят из поверхностного слоя внутрь жидкости, а молекулы поверхностно-активного вещества вытесняются на поверхность.
Некоторые вещества увеличивают поверхностное натяжение жидкости в связи с тем, что их молекулы взаимодействуют с молекулами жидкости сильнее, чем молекулы жидкости между собой. Очевидно, что молекулы таких примесей будут втянуты внутрь жидкости и в поверхностном слое останутся преимущественно молекулы жидкости. По отношению к воде примером такого рода примесей могут служить сахар и соль.
Таким образом, поверхность мыльной воды будет состоять преимущественно из молекул мыла, поверхность водного раствора спирта из молекул спирта, а поверхность водного раствора сахара будет состоять преимущественно из молекул воды.
Между прочим, на действии поверхностно-активных вещетсв основан общеизвестный способ борьбы с малярийными комарами, состоящий в поливе зараженных водоемов нефтью. Личинка комара живет в воде, но дышит воздухом из атмосферы. Поэтому она подвешивается к поверхностной пленке воды, выставляя наружу свой дыхательный орган.
Добавленная в небольшом количестве к воде нефть, будучи поверхностно-активным веществом, значительно ослабляет поверхностную пленку воды. Пленка уже не выдерживает тяжести личинки. Личинка погружается на глубину и, лишенная воздуха, погибает.
Возвращаясь теперь к формуле (24), можно сказать, что уменьшение свободной энергии поверхности жидкости может осуществляться двумя путями: во-первых, сокращением поверхности жидкости и, во-вторых, ослаблением поверхностного натяжения с помощью поверхностно-активных веществ.
§ 60. Дополнительное давление под искривленной поверхностьюжидкости. Формула Лапласа
Под искривленной поверхностью жидкости помимо внутреннего давления создается еще дополнительное давление, обусловленное кривизной поверхности. Представим себе жидкость в трех сосудах, в одном из которых ее поверхность имеет выпуклую форму, в другом —
Рис. 113
плоскую и в третьем — вогнутую. Поскольку поверхностный слой жидкости подобен напряженной пленке, выпуклая поверхность, стремясь сократиться и принять плоскую форму, будет, очевидно, оказывать на жидкость дополнительное давление Ар, направленное так же, как внутреннее давление р (рис. 113, а). По той же причине под вогнутой поверхностью возникает дополнительное давление, направленное противоположно внутреннему давлению (рис. 113, в). Под плоской поверхностью дополнительного давления не будет (рис. 113, б)
Естественно предположить, что величина дополнительного давления должна зависеть от величины силы поверхностного натяжения жидкости и от степени искривленности ее поверхности, иначе говоря, от коэффициента поверхностного натяжения а и радиуса кривизны поверхности R. Характер зависимости тоже очевиден: дополнительное давление должно быть пропорционально коэффициенту поверхностно-
го натяжения и обратно пропорционально радиусу кривизны поверхности жидкости:
Др 〜^-R
Точное выражение для дополнительного давления под жидкой искривленной поверхностью любой формы теоретически вывел в 1805 г. французский математик и физик Лаплас:
аp=±a(靑+ 靑)• (26)
Это выражение называется формулой Лапласа. Знак плюс соответствует выпуклой поверхности, знак минус — вогнутой поверхности; Ri и R2 — радиусы кривизны двух нормальных взаимно перпендикулярных сечений поверхности, изображенных на рис. 114. Если искривленную поверхность пересечь двумя плоскостями (AiOiBi и А2О2В^ так, чтобы они были взаимно перпендикулярны и содержали в себе нормаль и к поверхности в точке М то на поверхности получатся две дуги /^Bi и ЛаВ2 радиусами R{ и R?； это и есть радиусы кривизны нормальных взаимно перпендикуляра ных сечений. Полусумма -~ (-^——Н называется средней кривизной поверхности в точ
ке М. Для всех форм поверхности, которые могут образоваться у жидкости, средняя кривизна остается постоянной для любой пары нормальных взаимно перпендикулярных сечений поверхности в дан
ной точке.
В случае сферической поверхности Ri = R? = R， поэтому, согласно формуле Лапласа, дополнительное давление будет
Др =
.2а士.
R
(27)
Ар = ± —.Ар = ± —.(28)(28)
Ар = ± —.
Ар = ± —.
(28)
(28)
В случае цилиндрической поверхности следует взять одно сечение поперек цилиндра, другое ——вдоль его образующей. Тогда, очевидно, Ri = R и /?2 = 00 (рис. 115). Поэтому дополнительное давление будет
Наконец, в случае плоской поверхности
R、= Rz = 8 и Ар = 土 а
При большой кривизне поверхности, которая имеет место, например, у очень маленьких капелек, дополнительное давление может быть довольно значительным. Подсчитаем А" для капельки воды радиусом 0,001 мм:
2^73^20^ 尸 R10~6 м
Отметим, что из капелек данного размера образуются туманы и дымки. Дополнительное давление играет большую роль в так называемых капиллярных явлениях.
§ 61. Капиллярные явления; формула Жюрена
Рассмотрим некоторые молекулярные явления, обн ар уживающиеся на границе соприкосновения жидкости с твердым телом. Если силы сцепления между молекулами жидкости больше, чем между молекулами жидкости и твердого тела, то жидкость стремится уменьшить границу (площадь) своего соприкосновения с твердым телом, по возможности отступая от него. Капля такой жидкости на горизонтальной поверхности твердого тела примет форму сплюснутого шара (рис. 116, «). В этом
Рис. 116
случае жидкость называется несмачивающей твердое тело. Угол 0, образованный поверхностью твердого тела и касательной к поверхности жидкости, называется краевым. Для несмачивающей жидкости @>90°. Случай, когда 0 = 180°, называется полным несмачиванием. Если силы сцепления между молекулами жидкости меньше, чем между молекулами жидкости и твердого тела, то жидкость стремится увеличить границу соп р икосн овен и я с твердым телом. Капля такой жидкости примет форму, изображенную на рис. 116, 6. В этом случае жидкость называется смачивающей твердое тело; краевой угол 0 V 90°. При 0=0 наблюдается полное смачивание: жидкость растекается по всей поверхности твердого тела.
Очевидно, что смачиваемость и несмачиваемость — понятия относительные: жидкость, смачивающая одно твердое тело, может не смачивать другое тело. Например, вода смачивает стекло, но не смачивает парафин; ртуть не смачивает стекло, но смачивает медь.
На смачивании и несмачивании основан широко распространенный в технике метод флотационного обогащения руды, т е. отделения
руды от пустой породы. Естественную смесь руды с породой измельчают в порошок и взбалтывают в такой жидкости, которая не смачивает руду, но смачивает пустую породу. Одновременно через жидкость продувают воздух. Затем жидкости дают отстояться. При этом смоченные жидкостью частицы породы опускаются на дно. Иначе обстоит дело с частицами руды: жидкость, сокращая границу соприкосновения с поверхностью несмачиваемой частицы руды, «прижимает» к этой частице пузырьки воздуха. В результате частицы руды, «облепленные» пузырьками воздуха, всплывают, как на поплавках, на поверхность жидкости.
Отметим также, что листья и стебли растений не смачиваются во дой благодаря покрывающему их тонкому воскообразному налету — кутикуле. Именно поэтому не размокают под дождем листья деревьев, стога сена, скирды соломы и т. п.
Смачиванием объясняются так называемые сорбционные явления', поглощение молекул жидкости или газа поверхностью (адсорбция) или всем объемом (абсорбций твердого или жидкого тела. Заметная абсорбция обычно имеет место лишь при высоких температуре и давлении, тогда как интенсивная адсорбция происходит и при нормальных атмосферных условиях. Как уже отмечалось, смачивающая жидкость растекается тонким, практически мономолекулярным слоем по поверхности твердого тела. Подобным же образом, адсорбируя окружающий газ, твердое тело покрывается мономолекулярной пленкой газа; второй слой газовых молекул уже не удерживается на этой пленке ввиду малости сил сцепления между молекулами гааа.
« Адсорбирующая способность тела возрастает с увеличением его поверхности. Поэтому особенно хорошо адсорбируют пористые тела, например применяющийся в противогазах активированный уголь (уголь, очищенный путем прокаливания от смолистых веществ и измельченный в порошок).
Благодаря адсорбции почва удерживает образующиеся в ней нужные для растений газы — аммиак, сероводород и др. Уничтожение запаха навоза на скотных дворах путем засыпки сухого торфяного порошка также основано на адсорбции.
Небезынтересно отметить, что в условиях невесомости эффект смачиваемости приводит к тому, что вода в закрытом стеклянном сосуде распределяется по всем его стенкам, а воздух сосредоточивается в средней части сосуда. Описанный факт был впервые экспериментально установлен в августе 1962 г. при групповом полете А. Г. Николаева и /7. Р. Поповича на космических кораблях « Вс сто к-3» и《Восток-4».
Согласно изложенному в начале параграфа, поверхность жидкости, налитой в сосуд, должна искривиться вблизи его стенок: приподняться——в случае смачивающей жидкости (рис. 117, а) и опуститься—в случае несмачивающей (рис. 117, б). В узком сосуде краевые искривления охватывают всю поверхность жидкости, делая ее целиком изогнутой: вогнутой — для смачивающей жидкости (рис. 118, а), выпуклой—для несмачивающей (рис. 118, 6). Такая изогнутая поверхность называется менисков. Узкие сосуды—трубки, щели и т. п. —называются капиллярами.
Благодаря большой кривизне мениска под ним создается значительное избыточное давление, что ведет к поднятию (в случае смачи-
вания) или опусканию (в случае несмачивания) жидкости в капилляре. В самом деле, пусть конец цилиндрического капилляра радиусом г погружен в смачивающую жидкость (рис. 119). Поверхность жидкости в капилляре примет вогнутую сферическую форму. Внутреннее давление р жидкости в капилляре будет меньше, чем вне капилляра, на величину избыточного давления под сферической поверхностью:
Рис. 117Рис. 117а 2аДр =Rа 2аДр =RРис. 118Рис. 118
Рис. 117
Рис. 117
а 2а
Др =
R
а 2а
Др =
R
Рис. 118
Рис. 118
где R — радиус кривизны мениска, а — коэффициент поверхностного натяжения жидкости. Поэтому жидкость в капилляре поднимается на такую высоту Л, при которой оказываемое ею давление станет равным избыточному:
I2а
也Pg =—，
откуда
ЛЛ2apgR2apgR
Л
Л
2apgR
2apgR
где р — плотность жидкости, g — ускорение силы тяжести. Так как угол между радиусами г и R (см. рис. 119) и краевой угол 0 равны между собой (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами), то
R -——cos 8
Подставляя это значение в формулу высоты, получим
(29)(29)—2а cos 8
(29)
(29)
Таким образом, высота поднятия смачивающей жидкости в капилляре обратно пропорциональна его радиусу. Очевидно, что формула (29) применима и к случаю опускания несмачивающей жидкости в капилляре.
Соотношение (29) называется формулой Борелли——Ж юре на (оно было получено в 1670 г. итальянским ученым Борелли и независимо от него английским ученым Жюреном в 1718 г.). Величина 2a/pg, входящая в правую часть формулы Жюрена, называется капиллярной постоянной; она является важной физико-химической характеристикой жидкости.
В очень тонких капиллярах подъем жидкости может достигать большой высоты. Например, в капилляре диаметром 1 мкм вода (р = =103 кг/м3, а = 0,073 Н/м) при условии полного смачивания (0 = 0) поднимется на высоту
山— 2а cos 8 — 2 • 0,073 • 1—~~ — Юз • 9,8 . 5 . IL
Капиллярные явления играют большую роль в природе и технике. Если, как мы видели ранее, поступление питательных веществ в корневую систему растения регулируется процессом диффузии, то подъем питательного раствора по стеблю или стволу растения в значительной мере обусловлен явлением капиллярности: раствор поднимается по тонким капиллярным трубкам, образованным стенками растительных клеток. По капиллярам почвы поднимается вода из глубинных в поверхностные слои почвы. Уменьшая диаметр почвенных капилляров путем уплотнения почвы, можно усилить приток воды к поверхности почвы, т. е. к зоне испарения, и этим ускорить высушивание почвы. Наоборот, разрыхляя поверхность почвы и создавая тем самым прерывистость в системе почвенных капилляров, можно задержать приток воды к зоне испарения и замедлить высушивание почвы. Именно на этом основаны известные агротехнические приемы регулирования водного режима почвы — прикатка и боронование. По капиллярам кладки зданий происходит подъем грунтовой воды (в отсутствие гидроизоляции); по капиллярам фитиля поднимаются горючие и смазочные вещества (фитильная смазка); на капиллярности основано использование промокательной бумаги и т. п.
Отметим, наконец, что пчелы извлекают нектар из глубин цветка посредством очень тонкой капиллярной трубки, находящейся внутри пчелиного хоботка.
Задача 33. Определить вес Р насекомого «водомерки^, бегающего по поверхности водоема, если известно, что под каждой из шести ножек насекомого образуется полусферическое углубление радиусом R = 0,1 мм.
Решение. Поверхностная пленка воды прогибается под ножками водомерки до тех пор, пока сумма силы дополнительного давления искривленной поверхности шести полусферических углублений и выталкивающей силы, равной весу воды в объеме этих углублений, не станет равна весу водомерки. Поэтому, учитывая формулу Лапласа (27) и закон Архимеда, можем написать
2a 2
Р = 6S • Ар + 6Vpg = 6nR2 — + 6 nR3pg,
где Ар — дополнительное давление, обусловленное полусферическим углублением, S — площадь диаметрального сечения углубления, V — объем углубления^ —плотность воды, g — ускорение свободного падения, а = 0,073 Н/м — коэффициент поверхностного натяжения воды. Тогда
Р = 4itR (За + R2pg)= 4 • 3,14 ・ Ют м(3.0,073Н/м +
+ 10-е м2 . 103 кг/м3 • 9,8 м/с?)。2,75 • Ю* Н.
Задача 34. В почвенном монолите за счет его пористости (капиллярности) вода поднялась на высоту Л = 40 см. Считая, что поры имеют цилиндрическую форму, а вода полностью смачивает почву, определить диаметр d почвенных ка。 пилляров (пор).
Решение. Из формулы Б орел л и — Жюрена (29) следует, что
.48 cos 0
d = 2г =
где г — радиус почвенного капилляра, а — коэффициент поверхностного натяжения воды, р ——плотность воды, 0 = 0 ——краевой угол. Тогда
Глава X. Изменение агрегатного состояниявещества (фазовые превращения)
§ 62. Понятие о фазовых превращениях и диаграммесостояний вещества
Как уже отмечалось ранее (см. § 35), всякое вещество может находиться в трех агрегатных состояниях: твердом, жидком и газообразном. Эти состояния называются также фазами вещества. От соотношения между средней кинетической и средней потенциальной энергиями частиц вещества (молекул, атомов, ионов) зависит, в какой именно фазе оно будет находиться (см. § 51), а это соотношение в свою очередь зависит от внешних условий: от температуры и давления. При высоких температурах и низких давлениях вещество находится в газообразной фазе, при низких температурах и высоких давлениях — в твердой фазе, промежуточные значения температуры и давления соответствуют жидкой фазе вещества. Таким образом, в конечном счете фазовые превращения вещества обусловлены изменениями температуры и давления.
Вместо того чтобы описывать условия (температуру и давление) существования фаз данного вещества посредством числовой таблицы, общепринято пользоваться графиком с координатными осями Т (температура) и р (давление). Такой график называется диаграммой состояний или диаграммой равновгсия фаз.
На рис. 120 изображена примерная диаграмма состояний некоторого вещества. Линиями AD, BD и CD поле диаграммы разделяется
на три области, соответствующие условиям существования твердой I, жидкой II и газообразной III фаз. Линии диаграммы называются кривыми фазового равновесия. Они соответствуют условиям сколь угодно долгого сосуществован ия (р авн овесия) двух смежных фаз: кривая AD— сосуществован ию твердого тела и жидкости, кривая CD — жидкости и газа, кривая BD —твердого тела и газа. Точка D называется тройной] она соответ-
ствует условиям сосуществования всех трех фаз вещества. Например, тройная точка воды соответствует одновременному существованию льда, воды и водяного пара, соприкасающихся между собой. Тройная точка воды характеризуется температурой Т = 273,16 К и давлением р = 610,514 Па.
Диаграмма равновесия фаз удобна для выяснения вопроса о том, в каком состоянии находится данное вещество при заданных условиях (р и Т). Ответ получается сразу же после построения на диаграмме точки по заданным координатам (р, Т). Например, при условиях, соответствующих точке /, вещество находится в газообразном состоянии, при условиях, соответствующих точке 2, — в твердом состоянии, а при условиях, соответствующих точке 3,— одновременно в твердом и жидком состояниях (равновесие фаз).
На диаграмме удобно изображать также процессы изменения состояния вещества. Например, изобарическое (р = const) нагревание вещества, находящегося в твердом состоянии (точка 4), изображается прерывистой прямой, параллельной оси абсцисс. Эта прямая показывает, что при температуре, соответствующей точке 5, тело начинает плавиться, при более высокой температуре превращается в жидкость, при температуре, соответствующей точке 6, начинает превращаться в газ и при дальнейшем повышении температуры целиком переходит в газообразное состояние.
Фазовые превращения вещества служат ярким примером проявления общего закона диалектического материализма — закона перехода количественных изменений в качественные. Например, постепенное повышение температуры твердого тела ведет к накапливанию в нем количества ——к увеличению кинетической энергии молекул тела — с сохранением качества: тело продолжает оставаться в твердом состоянии. На определенной стадии нагревания совершается скачкообразный переход количества в качество: при определенной температуре тело плавится, переходя в качественно новое (жидкое) состояние.
В последующих параграфах мы познакомимся с фазовыми превращениями вещества более подробно.
§ 63. Реальный газ. Уравнение Ван-дер-Ваальса
Уравнение Клапейрона——Менделеева (см. § 40) описывает поведение идеального газа, молекулы которого можно рассматривать как материальные точки, не взаимодействующие друг с другом (см. § 41). Молекулы реального газа имеют, как мы знаем, некоторый, хотя и очень малый, размер и связаны между собой силами сцепления, правда, тоже малыми. Однако при низких температурах или при высоких давлениях, когда молекулы газа находятся близко друг от друга, пренебрегать их размерами и силами сцепления уже недопустимо. В этих случаях уравнение Клапейрона — Менделеева, т. е. уравнение состояния идеального газа, оказывается уже весьма неточным. Чтобы получить уравнение состояния реального газа, голландский физик Ван-дер- Ваальс в 1873г . ввел в уравнение Клапейрона ——Менделеева поправки на размер молекул и на действие сил сцепления между ними. Это было
сделано следующим образом. В уравнении Клапейрона — Менделеева
(1)(1)для моля газа
(1)
(1)
% = RT，
где Vm —объем газа, или, что то же, объем сосуда, предоставленный для движения молекул. У реального газа часть b этого объема занимают сами молекулы. Поэтому фактический свободный объем, в котором могут двигаться молекулы реального газа, будет меньше Vm и равен 丸 —ь. Подставляя это значение вместо Ум в формулу (I), получим
(2)(2)P(VM^b)=RT.
(2)
(2)
Объем Ь, занимаемый самими молекулами, больше суммы собствен
ных объемов этих молекул, так как даже при самой плотной упаковке
Рис. 121Рис. 121между молекулами остались бы «бесполезные» зазоры, недоступные для движения молекул (рис. 121). В действительности же эти зазоры будут еще большими, так как силы отталкивания не допустят такой плотной упаковки молекул. Расчеты показывают, что объем, занимаемый самими молекулами моля газа, приблизительно равен учетверенному собственному объему этих молекул:
Рис. 121
Рис. 121
b 软 N а ,
где 7 ——собственный объем молекулы, NA ——постоянная Авогадро.
Давление р в формуле (1), производимое на идеальный газ стенками сосуда, является внешним. Действие сил притяжения между молекулами реального газа вызывает добавочное сжатие газа, создавая тем самым добавочное внутреннее давление //, аналогичное внутреннему давлению жидкости (см. § 59). Поэтому фактическое давление реального газа будет больше р и равно р + р\ Подставляя это значение вместо р в формулу (2), получим
(p + pf)(VM^b)=RT.(3)
Нетрудно установить, что внутреннее давление // должно быть приблизительно пропорционально квадрату плотности газа. Действительно, разделим газ воображаемой плоскостью на две части (рис. 122) и рассмотрим слои газа, прилежащие к этой плоскости. :Очевидно, что сила взаимного притяжения этих слоев про- ；：；；；；；；•；? порциональна числам молекул в каждом их них, т. е. про- :；^:• •WEпорциональна квадрату числа молекул газа. Но число
；¥；：•：；：：；； молекул пропорционально плотности газа р. Поэтому си- ：；；：：；£；； 』а притяжения слоев, а следовательно, и внутреннее £：；•；；•：：давление // пропорциональны квадрату плотности: // 〜р2.
：•••<;•：••■：??•Так как плотность обратно пропорциональна объему, то
внутреннее давление обратно пропорционально квадрату 「•二:母:：•объема:
Рис* 122"3
где а — коэффициент пропорциональности. Подставляя выражение р‘ в формулу (3), получим
(p+ -^7卜九一分= R7・⑷
Это и есть уравнение состояния реального газа или уравнение Ван- дер-Ваальса для моля газа. Преобразуя это уравнение так, как это было сделано с уравнением Клапейрона ——Менделеева (см. § 40), получим уравнение Ван-дер-Ваальса для любой массы 203a m:
(5)(5)
(5)
(5)
где V — объем массы газа, М — молярная масса газа.
При малых давлениях и высоких температурах объем Ум становится большим; поэтому b《н ——《р, т. е. поправки в уравнении Ван-дер-Ваальса становятся пренебрежимо малыми и оно превращается в уравнение Клапейрона — Менделеева.
Величины « и Ь являются почти постоянными для каждого газа. Например, для азота а= 1,35 • 10-1 Н • м4/моль2, Ь = 3,85 • 10**6 м3/моль. Определяются они экспериментально; надо написать уравнение Ван-дер-Ваальса для двух известных из опыта состояний газа (%,匕，九 и р2, V2»「2)н решить систему двух уравнений относительно неизвестных а н Ь.
Проведем некоторый анализ уравнения Ван-дер-Ваальса. С этой целью прежде всего составим таблицы зависимости давления от объема газа при постоянной температуре для нескольких значений температуры (7\ > Тг > Гк > >Тз > 北).Результаты таких расчетов представлены графически на рис. 123. Полученные кривые— изотермы Ван-дер-Ваальса —— оказываются довольно своеобразными:
при низких температурах они имеют волнообразные участки (максимумы и минимумы), при некоторой температуре Ткна изотерме имеется только точка перегиба К, при вы
соких температурах изотермы Ван-дер-Ваальса похожи на изотермы идеального газа (Бойля—Мариотта или Клапейрона—Менделеева).
С математической точки зрения такой характер изотерм объясняется очень просто. Если привести уравнение Ван-дер-Ваальса к нормальному виду, то оно окажется кубическим уравнением относительно объема Vm'
"% — (pb + RT) Va( + qPm — ab = 0.
Кубическое уравнение может иметь либо три вещественных корня, либо один вещественный корень и два мнимых. Очевидно, что первому случаю соответствуют изотермы при низких температурах (три значения объема газа VM\ ^м и VV" отвечают одному значению давления pt), а второму случаю — изотермы при высоких температурах (одно значение объема Vm отвечает одному значению давления р *).
§ 64. Опыт Эндрюса. Критическая температура
Для практической проверки уравнения состояния реального газа и выяснения физического смысла своеобразного характера изотерм Ван-дер-Ваальса удобно воспользоваться результатами опыта, поставленного в 1869 г. незадолго до теоретических * исследований Ван-дер-Ваальса английским химиком Эндрюсом.
Эндрюс экспериментировал с углекислым газом (СО 2). Схема опыта изображена на рис. 124. Под поршнем цилиндра помещался моль углекислого газа. Давление и объем газа при любом положении поршня определялись по манометру М и шкале объемов N. Через герметически застекленное окошко О можно было видеть пространство, занятое газом. Весь цилиндр помещался в термостат, позволявший устанавливать и поддерживать необходимую температуру газа. С помощью этой установки Эндрюс провел с углекислым газом ряд изотермических процессов при различных температурах. Полученные им результаты представлены на рис. 125.
В опыте Эндрюса надо отметить следующее весьма важное обстоятельство. До тех пор пока газ сжимался при высоких температурах (> 304 К), в пространстве под поршнем не происходило никаких видимых процессов, когда же сжатие производилось при низких темпе-
ратурах (V 304 К), Эндрюс увидел, что на некоторой стадии сжатия под поршнем появлялись капельки жидкости (туман), оседающие на стенки и стекающие на дно цилиндра. В конце концов весь цилиндр заполнился жидкой углекислотой. Давление на всей этой стадии, которой соответствуют горизонтальные участки изотерм, оставалось неизменным.
Таким образом, горизонтальные участки («плато») экспериментальных изотерм соответствуют стадии сжижения газа, совершающегося при постоянном давлении. Иначе говоря, плато соответствуй ет сосуществованию жидкой и газообразной фаз.
Давление, при котором начинается сжижение газа, зависит от температуры: уменьшается с уменьшением температуры. Это давление называется упругостью насыщенного пара. Сжижение газа начинается при объеме V^, соответствующем началу плато. По мере сокращения объема от l/“ до V^ все большее и большее количество газа (точнее, насыщенного пара) переходит в жидкость. При объеме, равном и меньшем VM вся углекислота находится в жидком состоянии. Жидкость, как мы уже знаем, трудно сжимаема. Поэтому левая ветвь изотермы, соответствующая жидкой фазе, круто поднимается вверх.
Из сравнения экспериментальных (рис. 125) и теоретических (рис. 123) изотерм следует, что они имеют одинаковый вид с той лишь разницей, что превращению газа в жидкость соответствуют: на изо* термах Эндрюса — участки плато, а на изотермах Ван-дер-Ваальса — волнообразные участки.
Это в общем несущественное различие объясняется следующим образом. Гребень вол,ны (abc) на изотерме Ван-дер-Ваальса соответствует пересыщенному пару, упругость которого больше упругости насыщенного пара при данной температуре (рис. 126). Впадина волны (cdf) соответствует так называемой растянутой жидкости, давление над которой меньше упругости насыщенного пара при данной температуре. Оба эти состояния неустойчивы. Однако при тщательном проведении опыта (газ очищен от посторонних частиц — пылинок, установка нс подвергается сотрясениям и колебаниям температуры, жидкость свободна от пузырьков газа и т. д.) удалось получить участки ab пересыщенного пара и fd растянутой жидкости. При несоблюдении упомянутых предосторожностей пересыщенный пар и растянутая жидкость переходят в насыщенный пар и нормальную жидкость, а волна изотермы превращается в плато*
Рис. 126понятий «пар», «насыщенный пар».Рис. 126понятий «пар», «насыщенный пар».Участки Ьс и cd соответствуют столь неустойчивому состоянию вещества, что их не удается получить на опыте.
Рис. 126
понятий «пар», «насыщенный пар».
Рис. 126
понятий «пар», «насыщенный пар».
Таким образом, опыт Эндрюса показывает, что уравнение Ван-дер- Ваальса хорошо отражает действительность и что его можно рассматривать как уравнение состояния реального газа, описывающее также состояние жидкости и процесс перехода газа в жидкость.
Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что уравнение Ван-дер-
Ваальса, будучи одним из лучших приближений к уравнению состояния, является все же приближенным.
Из опыта Эндрюса и аналогичных опытов с другими газами выяснилось, что газ может быть переведен в жидкое состояние только при температурах, меньших некоторой определенной для данного газа температуры Тк; при температурах, больших Тк, газ нельзя перевести в жидкое состояние никаким давлением. Температура Тк называется критической. Для углекислого газа Тк = 304 К (см. рис. 125).
Итак, критической называется такая температура, выше которой газ нельзя превратить 8 жидкость никаким давлением, а ниже кото-, рой газ можно превратить 6 жидкость при некотором давлении, тем
меньшем, чем ниже температура.
Рис. 127Рис. 127Следовательно, газ, находящийся при температуре, большей критической, отличается от газа, находящегося при температуре, меньшей критической. В этой связи газ, находящийся при температуре, меньшей критической, называется паром.
Рис. 127
Рис. 127
Изучая поверхностное натяжение на границе жидкости и ее пара Д. И. Менделеев в 1860 г., т. е. еще до исследований Эндрюса и Ван- дер- Ваальса, пришел к выводу о существовании критической температуры (названной им температурой абсолютного кипения), при которой различие 8 свойствах между жидкостью и газом исчезает и коэффициент поверх-
ностного натяжения обращается 8 нуль.
Изотерма реального газа, соответствующая критической температуре, точка перегиба К и соответствующее ей состояние вещества, объем и давление, соответствующие критическому состоянию (координаты точки К), называются критическими (см. рис. 123).
Исследуя в конце прошлого века критическое состояние вещества, М. П. Авенариус, Я. Я. Надеждин и другие определили критические
температуры и давления многих газов и газовых смесей.
1
Вещество|
% к
"к，Ma
Вода
647
218
Аммиак
405
112,3
Углекислота ..・
304
72,7
Кислород ....
154
49,7
Воздух (без СО2).
132
38,5
Азот
126
33,4
Водород
13,2
Гелий
5
2,3
Из таблицы, где приведены критические температура и давление некоторых веществ, видно, что, например, вода и углекислый газ в нормальных атмосферных условиях находятся при температуре, мень* шей критической, и потому могут существовать как в жидком, так и в газообразном (парообразном) состояниях. Воздух и водород в
нормальных атмосферных условиях могут существовать только в газообразном состоянии.
На графике изотерм реального газа выделены области, соответствующие газообразной (Г), парообразной (/7) и жидкой (X) фазам, и область (〃М) сосуществования жидкости и насыщенного пара (рис. 127).
Сжижение газов. Эффект Джоуля-^Томсона
Понятие критической температуры сыграло большую роль в физике низких температур и технике сжижения газов. Благодаря ему стало очевидным, что любой газ можно превратить в жидкость путем сжатия с предварительным охлаждением до температуры, меньшей критической.
Сжижать газы начали задолго до исследований Д. И. Менделеева, Эндрюса и Ван-дер-Ваальса. Однако далеко не все газы (азот, кислород, водород, гелий и многие другие) удавалось тогда превращать в жидкость. В связи с этим в середине XIX в. возникло представление, что существует два сорта газов: сжижаемые и несжижаемые («постоянные») газы. Это представление не находило никакого физического объяснения и противоречило общему закону диалектического материализма о переходе количества в качество. С введением понятия критической температуры стали очевидными ошибочность представления о «постоянных газах» и причина неудач с их переводом в жидкое состояние: попытки перевода в жидкое состояние предпринимались при температуре, большей критической, и потому были обречены на неудачу.
Но уже в конце прошлого века швейцарский физик Пикте получил жидкие кислород и азот путем их сжатия, предварительно охладив газы до температуры, меньшей критической, посредством жидкой углекислоты, испаряющейся под пониженным давлением (и потому интенсивно охлаждающейся). В 1884 г. польские физики Вроблевасий и Ольшевский получили жидкий водород, используя в качестве предварительного охладителя кипящий жидкий кислород. Наконец, в 1908 г. голландским физиком Камерлинг-0ннесом был получен жидкий гелий.
В настоящее время все известные газы удалось перевести не только в жидкое, но и в твердое состояние (твердый гелий был получен в 1926 г.).
В технике для сжижения газов широко применяется машина Линде*, основанная на так называемом положительном эффекте Джоуля — Томсона. Английские физики Джоуль и Томсон экспериментально обнаружили, что при расширении реального газа в пустоту (т. е. без совершения внешней работы) его температура изменяется (эффект Джоуля — Томсона). При этом может быть два случая:
при низкой начальной температуре все газьь расширяясь、охлаждаются (положительный эффект Джоуля — Томсона);
при высокой начальной температуре все газы, расширяясь, нагреваются (ртрицательный эффект Джоуля — Томсона}.
Не приводя строгого теоретического доказательства эффекта Джоуля— Томсона, ограничимся некоторым качественным его обоснованием, исходя из характера зависимости результирующей силы взаимодействия молекул от расстояния между ними (см. рис. 67, § 35). Внутренняя энергия U реального газа слагается из кинетической WK и потенциальной Wn энергии его молекул. Если газ расширяется без совершения внешней работы и без теплообмена с окружающей средой, то его внутренняя энергия, согласно закону сохранения энергии, остается неизменной:
U в 叭 + % 匸3 const. (6)
Изобретена в 1895 г. немецким инженером-физиком Линде.
При низкой начальной температуре среднее расстояние г между молекулами газа значительно меньше расстояния гт, соответствующего максимуму силы притяжения между ними. Поэтому расширение газа, т. е. увеличение расстояния г между его молекулами, сопровождается увеличением силы притяжения между ними и, следовательно, увеличением потенциальной энергии Wn (по абсолютной величине). Тогда, согласно формуле (6), кинетическая энергия WK должна уменьшаться. Но кинетичесая энергия пропорциональна абсолютной температуре Т. Следовательно, уменьшение WK будет сопровождаться уменьшением Г. Итак, расширение газа сопровождается его охлаждением.
При высокой начальной температуре 「＞「/. Поэтому расширение газа сопровождаемся уменьшением силы притяжения между его молекулами и, следовательно, уменьшением потенциальной энергии (по абсолютной величине). При этом, согласно формуле (6), возрастает кинетическая энергия, а следовательно, и температура газа. В этом случае расширение газа сопровождается еао нагреванием.
Совершенно очевидно, что для каждого газа должно существовать такое промежуточное значение температуры, при котором газ, расширяясь, не будет ни охлаждаться, ни нагреваться. Эта темпер атур а называете я температурой инверсии TJ. Для подавляющего большинства газов температура инверсии выше нормальной температуры. Поэтому ра・ смиряясь при нормальной температуре, газы охлаждаются. Исключение составляют водород (7\V 193 К) и гелий ⑴ V 15 К), которые нагреваются, расширяясь при нормальной температуре.
Схема машины Линде представлена на рис. 128. Газ, например воздух, сжимается в компрессоре Л до давления порядка 2 • 107 Па и охлаждается в холодильнике X проточной водой (это необходимо в связи с тем, что благодаря
положительному эффекту Джоуля — Томсона при сжатии газ нагревается). Затем сжатый воздух проходит по внутренней трубке / змеевика 3 и расширяется на ее конце В в конденсаторе С до давления в 105 Па. При этом он охлаждается примерно на 20 К. Расширившийся воздух вновь засасывается в компрессор по внешней трубке 2 змеевика, охлаждая вторую порцию сжатого воздуха, текущего по трубке /. Таким образом, вторая порция газа предварительно охлаждается уже в змеевике на 20 К и затем при расширении в конденсаторе еще на 20 К.
Описанный процесс повторяется многократно. Каждая последую* щая порция расширяющегося воздуха будет, очевидно, охлаждаться сильнее предыдущей на 20 К. В результате воздух охладится до тем
пературы, меньшей критической.
图 От латинского слова inversio — переворачивание. Здесь — в смысле перехода от положительного к отрицательному эффекту Джоуля—Томсона.
При дальнейшей работе машины часть расширяющегося воздуха будет переводиться в жидкость и стекать на дно конденсатора. Через кран а жидкий воздух сливается в дьюаровские сосуды для хранения.
Машиной Линде можно переводить в жидкость все газы, у которых температура инверсии выше нормальной (точнее, комнатной). Водород и гелий следует предварительно охлаждать до температуры Т <; 7厂 первый — жидким кислородом, второй ——жидким водородом.
Более эффективными установками для сжижения газа являются детандеры — поршневые машины, в которых газ охлаждается не только за счет расширения, но и за счет совершения внешней работы по передвижению поршня. На этом же принцине работает сконструированный П. Л. Копицей турбодетандер, в котором газ, сжатый всего лишь до 5 • 105 — 6 • 105 Па, охлаждается, совершая работу по вращению турбины.
Жидкий воздух имеет широкое практическое применение. В технике из него получают чистый кислород. Дело в том, что азот, имеющий более низкую критическую температуру, чем кислород (см. таблицу в § 64), улетучивается из жидкого воздуха раньше кислорода. Поэтому через несколько дней в дьюаровском сосуде с жидким воздухом остается один кислород. Путем фракционного испарения жидкого воздуха получают также инертные газы, входящие в его состав: гелий, неон аргон, криптон, ксенон и радон.
Занимая сравнительно малый объем, жидкий воздух удобен для зарядки дыхательной аппаратуры, используемой при высотных и космических полетах; кроме того, жидкий воздух применяется в реактивных двигателях в качестве компонента топливной смеси.
Как источник низкой температуры жидкий воздух используется при производстве вакуумной аппаратуры и при изучении свойств тел при низких температурах.
В смеси с органическим горючим материалом (нефтью, керосином, толченым углем ит. д.) жидкий воздух образует взрывчатое вещество — так называемый оксиликвит, по силе взрыва не уступающий динамиту и применяемый при подрывных работах (в горном деле, в дорожном строительстве и т. п.).
Интересно отметить, что простейшие организмы» замороженные жидким воздухом, не утрачивают своей жизнеспособности.
Испарение и конденсация. Кипение
Средняя кинетическая энергия молекул жидкости зависит от температуры —возрастает с ее повышением. Однако в связи с хаотичностью теплового движения даже при невысокой температуре всегда имеются отдельные молекулы с повышенной скоростью, а следовательно, и с повышенной кинетической энергией. Они могут преодолеть силы
притяжения со стороны других молекул и, «прорвав» поверхностную пленку жидкости, вылететь наружу — перейти в пар. Этот процесс называется испарением. Потеря молекул, обладающих большой кинетической энергией, ведет к уменьшению внутренней энергии жидкости. Поэтому испарение сопровождается охлаждением жидкости. Чтобы испарение происходило при постоянной температуре, необходимо подводить к жидкости теплоту извне. Количество теплоты, необходимое для превращения единицы массы жидкости в пар при данной темпе- ратуре, называется удельной теплотой испарения 入 при этой температуре, Например, для воды при 0 ℃ 入=2,5 • 10е Дж/кг =2,5 МДж/кг.
Испарение жидкости происходит при любой температуре. Очевидно, однако, что с повышением температуры интенсивность испарения должна возрастать, так как при этом повышается кинетическая энергия молекул, что облегчает им «прорыв» поверхностной пленки жидкости.
По этой же причине удельная теплота испарения должна уменьшаться с повышением температуры. Действительно, для воды при 100 ℃ 入=2,26 • 106 Дж/кг = 2,26 МДж/кг.
Хаотически движущиеся молекулы пара, подлетая к поверхности жидкости, могут попасть в сферу действия сил притяжения ее молекул и перейти в жидкость (как бы утонуть в ней). Этот процесс называется конденсацией. При конденсации жидкость нагревается, так как влетающие в нее молекулы пара возвращают ей повышенную кинетическую энергию, унесенную при испарении. Удельная теплота конденсации равна удельной теплоте испарения.
Процессы испарения и конденсации идут одновременно. Если преобладает первый из них, то количество жидкости уменьшается, а количество пара над ней увеличивается. Если же преобладает второй процесс, то имеет место обратная картина. Если число молекул, покидающих жидкость за одну секунду, равно числу молекул, возвращающихся в нее за то же время из пара, то наступает динамическое равновесие: количество жидкости и пара остается неизменным. Пар, находящийся в равновесии с жидкостью, называется насыщенным. На диаграмме состояний (см. рис. 120) этому состоянию соответствует кривая CD. Давление (упругость) насыщенного пара возрастает с повышением температуры, так как при этом возрастают число вылетающих молекул (т. е. плотность пара) и их кинетическая энергия. Это также отражено на упомянутой диаграмме состояний (на・ клоном кривой СО).
Если упругость насыщенного пара станет равной внешнему (атмосферному) давлению, то характер испарения существенно изменится: испарение будет происходить не только с поверхности жидкости, но и во всем ее объеме. Внутри жидкости начинают возникать пузырьки пара, всплывающие на поверхность и разрывающиеся над ней. Этот очень интенсивный процесс испарения называется кипением. Соответствующая ему температура называется температурой кипения. Таким образом, температура кипения жидкости зависит от внешнего давления: возрастает с повышением давления. Это свойство широко используется в технике для повышения темпер ат уры кипения жид-
кости (паровые машины высокого давления, автоклавы и т. л.). С уменьшением внешнего давления температура кипения понижается. Известно, например, что в высогорной местности вода закипает при температуре, меньшей 100 ℃ (на высоте 5 KM — при 82 ℃).
Закипанию жидкости способствуют пузырьки воздуха, обычно находящиеся в ней. Эти пузырьки выполняют роль свободного пространства внутри жидкости, в котором происходит испарение. Пока упругость пара остается меньшей внешнего давления, пузырьки воздуха находятся в сжатом состоянии. Когда же упругость насыщенного пара станет равной внешнему давлению, пузырьки начинают быстро расширяться за счет суммарного давления пара и воздуха, устремляются вверх и прорывают поверхность жидкости. Жидкость, не содержащая пузырьков воздуха, закипает при некотором перегреве, причем кипение начинается у стенок сосуда, поскольку на них всегда имеется адсорбированный воздух.
Если нагревать жидкость в герметически закрытом сосуде, то по мере повышения температуры плотность жидкости будет уменьшаться (за счет расширения), а плотность пара — увеличиваться (за счет повышения упругости насыщения). При этом коэффициент поверхностного натяжения а и удельная теплота испарения 入 будут, как мы уже знаем, уменьшаться (за счет уменьшения сил сцепления между молекулами). Наконец, при температуре, равной критической, плотность жидкости сравняется с плотностью насыщенного пара, а а и X стануj равными нулю. Различие между жидкостью и паром исчезает; вещество превратится в газ в полном смысле этого слова (см. § 64).
До сих пор мы предполагали, что образующийся при испарении насыщенный пар остается над жидкостью. Если же этот пар будет уноситься в окружающее пространство (путем диффузии или благодаря воздушным потокам), то насыщения и динамического равновесия не наступит: жидкость будет все время испаряться, причем тем интенсивнее, чем быстрее уносится прочь ее пар. Такое явление имеет место, например, при испарении с открытых водных басейнов (рек, озер и т. п.). Особенно интенсивно идет испарение в жаркое время при сильном ветре.
Испарение и конденсация играют исключительно важную роль в процессах влагооборота и теплообмена на земном шаре. Благодаря испарению воды с поверхности водных басейнов и с поверхности земли воздух всегда содержит некоторое (переменное) количество водяного пара. Воздух, как говорят, всегда влажен.
Влажность воздуха описывается следующими основными характеристиками.
Абсолютная влажность а — количество водяного пара, содержащееся в единице объема воздуха. Измеряется а обычно в г/м3.
Максимальная влажность Е ——количество водяного пара в единице объема воздуха, которое соответствовало бы насыщению при данной температуре. Максимальная влажность зависит только от температуры.
Относительная влажность / — выраженное в процентах отношение абсолютной влажности к максимальной влажности:
/ = • 100%.
Точка росы т ——температура, при которой пар, находящийся в воздухе становится насыщенным. Она соответствует началу конденсации водяного пара
При конденсации водяного пара в атмосфере образуются: на поверхности Земли и наземных предметах — роса, в приземном слое воздуха ——туман, в свободной атмосфере ——облака. Дождь, выпадающий из облаков, вновь возвращает на Землю испарившуюся с нее воду. Этот кругооборот воды сопровождается кругооборотом теплоты, поскольку в районах, где происходит испарение воды, поглощается огромное количество теплоты, а в районах, где происходит конденсация пара, эта теплота выделяется. Испарением, например, объясняется умеренность климата приморских районов.
Испарение и конденсация регулируют теплообмен и влагообмен животных и растительных организмов. Человеческий организм, например, испаряет за сутки от одного до двух килограммов воды. Излишний нагрев организма сопровождается, как известно, обильным потовыделением. Испарение пота с поверхности кожи и сопутствующее ему поглощение теплоты предотвращает перегрев организма. Растения испаряют воду поверхностью листьев. В связи с этим растения засушливых районов имеют обычно маленькие и немногочисленные листья или даже совсем лишены их. Кроме того, листья этих растений зачастую бывают покрыты тончайшими серебристыми волосками («пушком»), которые затрудняют «проветривание» поверхности листа и, следовательно, замедляют процесс испарения.
Упругость насыщенного пара над искривленнойповерхностью жидкости и над раствором
Представим себе вогнутую (а), выпуклую (б) и плоскую (в) поверх- ности жидкости, вблизи которых находится молекула пара (рис. 129). Очевидно, что молекула, находящаяся над вогнутой поверхностью,
притягивается жидкостью сильнее, а молекула, находящаяся над выпуклой поверхностью,— слабее, чем молекула, находящаяся на том же расстоянии над плоской поверхностью жидкости. Это обстоятельство затрудняет испарение с вогнутой поверхности и облегчает испарение с выпуклой поверхности по сравнению с испарением с плоской поверхности. Поэтому в случае (а) динамическое равновесие жидкости с паром должно наступить при меньшей упругости пара, чем в (б). Следовательно, упругость насыщенного пара над вогнутой поверхностью жидкости меньше, а над выпуклой^—больше, чем над плоской поверхностью.
Величину изменения упругости насыщенного пар а Др над сферической поверхностью (по сравнению с плоской) можно определить
исходя из следующих соображений. Пусть в жидкость, налитую ^в закрытый сосуд, погружен конец полностью смачиваемой капиллярной трубки радиусом г (рис. 130). Тогда в трубке на высоте Л создается вогнутый мениск, радиус кривизны которого также равен г. В сосуде находится насыщенный пар жидкости. Давление этого пара на уровне плоской поверхности обозначим р, а на уровне й, т. е. над мениском,— через рь В связи с тем что в поле силы тяжести давление газа (и пара) уменьшается с высотой, рА меньше р на величину веса столбика пара высотой Л и площадью поперечного сечения 1 см2:
Ар = " — % =png瓦 где рп — плотность пара.
士士РРСогласно формуле Боре л л и—Жюр ена (см. § 61), в случае полного смачивания
士
士
Р
Р
广pg
где р — плотность жидкости, а — коэффициент поверхностного натяжения. Тогда
Рис. 130
Аналогичный расчет для несмачиваемого капилляра покажет, что упругость насыщенного пара над выпуклой поверхностью на такую же величину больше, чем над плоской поверхностью. Поэтому
aР=土丄(7) Г Р
(знак плюс соответствует случаю выпуклой поверхности, знак минус —— случаю вогнутой поверхности).
% 1,2 • 106 (Па).% 1,2 • 106 (Па).Зависимость упругости насыщенного пара от кривизны поверхности жидкости обусловливает целый ряд важных метеорологических явлений. Прежде всего следует подчеркнуть, что в свободной атмосфере нет тех плоских поверхностей^ на которых мог бы конденсироваться водяной пар, насыщенный относительно плоской водной поверхности. Конденсация же пара на отдельных молекулах газов, входящих в состав воздуха, невозможна: крайне малому размеру (радиусу) этих молекул соответствует очень большая упругость насыщенного пара, не встречающаяся в реальной атмосфере. Между тем возникновение облаков свидетельствует о том, что конденсация водяного пара в атмосфере происходит. Дело в том, что пар конденсируется на так на-
% 1,2 • 106 (Па).
% 1,2 • 106 (Па).
зываемых атмосферных ядрах конденсации: пылинках, частицах дыма, кристалликах морской соли и других мелких «посторонних» частицах, всегда взвешенных в воздухе в достаточном количестве. Адсорбируя молекулы водяного пара, эти ядра покрываются мономолекулярной пленкой воды, уподобляясь, таким образом, водяным капелькам достаточно крупного размера. Для дальнейшей конденсации пара на таких капельках уже не требуется больших пересыщений (Др). Особенно активно действуют в этом отношении электрически заряженные ядра конденсации (атмосферные ионы) и гигроскопические растворимые в воде ядра.
Между прочим, сущность известного агротехнического приема защиты растений от заморозков путем «задымления» полей, огородов и садов состоит не только в том, что излучение теплоты с почвы задерживается пеленой самого дыма. Немаловажную роль здесь может играть конденсация пара на частицах дыма (как на активных ядрах конденсации), приводящая к образованию плотного приземного тумана и сопровождающаяся выделением теплоты конденсации.
Если в водяном паре находятся две капельки воды различного размера, причем пар является насыщенным относительно более крупной капельки, то наблюдается следующее интересное явление. Относитель* но меньшей капельки пар, согласно формуле (7), оказывается ненасыщенным и капелька начинает испаряться. Благодаря этому упругость пара увеличивается, он становится пересыщенным относительно крупной капельки и конденсируется на ней. Таким образом, крупная капелька растет за счет мелкой. Такая «перекачка» воды с мелких капелек на более крупные происходит в облаках и является одним из способов укрупнения облачных капелек до размера дождевых капель.
«Перекачку» влаги с мелких капель на крупные можно наблюдать под микроскопом, если подышать на слегка охлажденное предметное стекло, чтобы на нем образовались капли воды.
Дополнительная упругость насыщенного пара над искривленной поверхностью жидкости обусловливает так называемую капиллярную конденсацию на почве. Почвенные капилляры, как правило, смачиваются водой, поэтому почвенная вода образует в них вогнутые мениски. Пар, не насыщенный относительно плоской поверхности, может оказаться пересыщенным относительно менисков воды в почвенных капиллярах и начнет конденсироваться на них.
Если в жидкости растворено какое-нибудь нелетучее твердое вещество (например, сахар в воде), то упругость ее насыщенного пара понижается. Это можно объяснить тем, что число молекул жидкости на единице поверхности раствора меньше, чем на единице поверхности чистой жидкости (часть поверхности занята молекулами растворенного вещества). Поэтому уменьшается число испаряющихся молекул и, следовательно, понижается упругость насыщенного пара.
В 1886 г. французский химик Рауль установил, что
понижение упругости насыщенного пара над раствором пропорции онально числу молекул растворенного вещества 6 единице объема рас-
твора и не зависит от 〃力 химического состава*.
А% = РА% = Р"+勺"+勺
А% = Р
А% = Р
"+勺
"+勺
где р — упругость насыщенного пара над чистым растворителем, 九 1 ——число молей вещества, растворенного в п молях растворителя. Это утверждение называется законом Рауля, который хорошо выполняется для слабых (идеальных) растворов.
Из закона Рауля следует, что температура кипения у раствора выше, чем у чистого растворителя, так как раствор надо нагреть сильнее растворителя, чтобы упругость насыщенного пара над ним стала равной внешнему давлению (см. § 66).
§ 68. Плавление и затвердевание (кристаллизация). Возгонка
Опыт показывает, что всякое кристаллическое твердое вещество переходит в жидкое состояние при вполне определенной температуре. Этот
соответствующая ему температурасоответствующая ему температурапроцесс называется плавлением^
соответствующая ему температура
соответствующая ему температура
н аз ываетс я темпер ату рой плавления. Ход плавления во времени f представлен на рис. 131. По мере сообщения теплоты кристаллу его температура Т сначала повышается, а затем, когда он нагреется до температуры плавления 7”, начнется его превращение в жидкость. При этом, несмотря на продолжающееся нагревание, температура ве-
щества остается постоян
ной, равной Тп. Когда весь кристалл расплавится, температура расплава (т. е. жидкости) опять начнет повышаться. При охлаждении жидкости имеет место обратная картина (нисходящая ветвь кривой а). Сначала температура жидкости понижается; затем начинается кристаллизация, происходящая при неизменной температуре. Когда вся жидкость полностью кр ист алл из уетс я, температура кристалла опять начнет понижаться. Горизонтальные участки кривой а соответствуют сосуществованию жидкой и кристаллической фаз вещества. Температура кристаллизации равна температуре плавле
ния.
Описанный характер процессов плавления и кристаллизации объясняется следующим образом, По мере нагревания вещества кинетическая энергия его молекул возрастает, но остается недостаточной для того, чтобы преодолеть прочные связи, упорядочивающие расположение молекул, и разрушить кристаллическую решетку. Поэтому темпера-* тура вещества повышается, но оно продолжает оставаться в кристаллическом состоянии. Когда кристалл нагревается до температуры
плавления, кинетическая энергия его молекул станет достаточной для разрушения кристаллической решетки. Начнется плавление. Вся теплота, сообщаемая веществу, пойдет теперь на совершение работы по разрушению решетки. Поэтому температура остается постоянной до тех пор, пока не расплавится весь кристалл. После этого сообщаемое тепло пойдет опять на увеличение кинетической энергии молекул вещества и его температура опять начнет повышаться. Если во время плавления прекратить подачу теплоты извне, то процесс плавления приостановится: наступит динамическое равновесие между кристаллической и жидкой фазами.
Аналогично объясняется и характер процесса кристаллизации. Совершая работу по застройке кристаллической решетки, молекулярные силы возвращают в виде теплоты ту энергию, которая была затрачена на разрушение решетки при плавлении. Поэтому, несмотря на продолжающееся охлаждение кр ист а л л из уемого вещества, его температура остается постоянной.
Количество теплоты, необходимое для расплавления единицы массы кристаллического вещества при температуре плавления, называется удельной теплотой плавления 广.Для льда, например, г=3,35 • 105 Дж/кг.
Аморфные твердые тела не имеют определенной температуры плавления; они переходят в жидкое состояние постепенно при непрерывном повышении температуры (кривая б на рис. 131). Это вполне согласуется с представлением об аморфном теле как об очень вязкой (переохлажденной) жидкости (см. § 51). Между аморфным твердым телом и жидкостью нет качественного различия.
Для упорядоченного расположения молекул вещества (его кристаллизации) требуется некоторое время. Если жидкость охлаждается быстро, то возрастающая при этом вязкость может воспрепятствовать размещению молекул в необходимом порядке и тогда вместо кристалла образуется аморфное твердое тело. Наличие в жидкости готовых кристалликов (ядер кристаллизации) облегчает и ускоряет процесс кристаллизации жидкости (подобно тому, как наличие ядер конденсации облегчает и ускоряет конденсацию водяного пара в атмосфере). Поэтому, например, в сахарном производстве в сироп засыпают сахарную пудру.
Температура плавления зависит от внешнего давления: для большинства веществ она несколько увеличивается с повышением давления, как это видно на диаграмме состояний вещества (см. рис. 120), где кривая равновесия фаз AD имеет небольшой наклон вправо. Однако некоторые (немногие) вещества, в том числе лед, чугун, висмут, сурьма, составляют исключение: у них температура плавления уменьшается с повышением давления. Дело в том, что у этих веществ объем при плавлении уменьшается (а не увеличивается, как у всех остальных). Повышение внешнего давления способствует уменьшению объема этих веществ, помогает плавлению, в результате чего температура плавления уменьшается. У льда, например, это уменьшение равно приблизительно 1 К на 13 МПа.
Почему же названные вещества сжимаются при плавлении и, следовательно, расширяются при кристаллизации? Причина лежит в
особенностях структуры этих веществ: их кристаллические решетки имеют большие пустоты. Например, в кр иста л л ичес ко й решетке льда имеются широкие шестигранные каналы (рис. 132), которые при плавлении льда заполняются молекулами воды и объем вещества уменьшается. Поэтому вода плотнее льда. При 0 ℃ плотность льда 920 кг/м 3, а плотность воды 999,9 кг/м3; максимальную плотность, равную 1000 кг/м3, вода имеет при 4 ℃.
Рассмотренное свойство воды играет чрезвычайно большую роль в нашей жизни. Поверхностный слой воды, охлаждаясь ниже 4 ℃, становится менее плотным и остается на поверхности, благодаря чему задерживается осеннее «выхолаживание» водоема. Наоборот, при ве
нафталин,нафталин,сеннем нагреве воды верхние слои, как более плотные, опускаются на дно, ускоряя прогревание водоема. Лед, плавая на воде, предохраняет водоемы от промерзания их до дна. Отметим также, что расширение воды (льда) при замерзании в трещинах горных пород ведет к их постепенному разрушению.
нафталин,
нафталин,
камфара и может слукамфара и может слуИспарение пр исходит не только с поверхности жидкости, но и с поверхности всех твердых тел. Этот процесс называется возгонкой, или сублимацией. Интенсивно возгоняются такие «пахучие» вещества, как
камфара и может слу
камфара и может слу
некоторые другие. Наглядным примером возгонки льда
жить высыхание мокрого белья на морозе.
Однако большинство твердых тел возгоняется крайне слабо, так как прочные связи между упорядоченно расположенными частицами кристалла делают отрыв частиц от его поверхности весьма затруднительным. С увеличением температуры интенсивность возгонки повышается, достигая максимума при температуре тройной точки D (см. рис. 120). Но для большинства веществ нормальная температура (0 ℃) значительно ниже их тройных точек.
При возгонке, как и при испарении, вещество охлаждается. Удельная теплота возгонки S равна сумме удельных теплот плавления г и испарения 入.Например, для воды при 0 ℃
S = г + 入=3,35 • 105 + 25 • 105 = 28,35 • 105 (Дж/кг).
Процессом, противоположным возгонке, является непосредственная (без перехода в жидкость) кристаллизация насыщенного пара. Именно таким путем растут в атмосфере снежинки.
Задача 35. Какую температуру 7 имеет масса кислорода 团=3,5 г, занимающего объем V = 90 смэ при давлении р = 2,84 МПа? Постоянные величины для кислорода имеют значения: а = 1,36 • 10-1 Н • м4/моль3, b н =3,16 • 10~6 м3/моль.
Решение. Газ, находящийся под высоким давлением, необходимо считать реальным (см. § 41 и 63) и применять в нему уравнение Ван-дер-Ваальса (5):
/ * 。、/ т \ т
卜+而一五卄标仪，
8,32 Дж/(К-моль)8,32 Дж/(К-моль)++2,84 • 10е Па +2,84 • 10е Па +где М = 0,032 кг/моль — молярная масса кислорода. Тогда
8,32 Дж/(К-моль)
8,32 Дж/(К-моль)
+
+
2,84 • 10е Па +
2,84 • 10е Па +
1,225 • 10-5 kF • 1,36 • IO"1 Н • м&/моль2、 ~1,024 • 10-3 к「2/моль2・8,1 ・ lO^ мв~ 丿 Х
0,032кг/моль • 9 • 10~б м3\
—3 16 • 10"5 м3/моль I = 289K； / = 16 ℃.
3,5 - IO"3 кг'/
Для сравнения определим теперь температуру азота по уравнению Клапейрона ——Менделеева, рассматривая данный газ как идеальный. Тогда
М "0,032 кг/моль • 2,84 • 106 Па • 9 ♦ 10"6 м3 …с …
Т =— = 二 % 281 K； f = 8 c.
m R3,5 • 10"3 кг • 8,32 Дж/(К ♦ моль)
Следовательно, применение уравнения Клапейрона ——Менделеева к реальному газу ведет к значительной неточности в расчете параметров этого газа.
Задача 36. Автомобиль буксовал на заснеженной дороге в течение времени / = 4 мин, расходуя на буксование мощность ^ = 14,7 кВт. Какое количество снега, имевшего температуру 0° С, растаяло за это время? Удельная теплота плавления снега 厂=3,5 • 105 Дж/кг.
Решение. Энергия буксования автомобиля, равная Nf, перешла посредством трения в теплоту, расплавившую снег при 0° С и равную rm. Поэтому rtn = Nt
и
10,53 кг.10,53 кг.М 14,7 ・ 103 Вт • 4 • 60 сг 3,35 • 105 Дж/кг
10,53 кг.
10,53 кг.
Задача 37. Какое количество теплоты Q потребуется для сушки массы тп = 16 000 кг свежих фруктов, если масса готовой продукции составляет 20% от массы свежих фруктов? Начальная температура фруктов h = 20° С, температура в сушилке /2 = 80° С. Удельная теплота испарения воды при 80° С 入= =2,3 ♦ 10е Дж/кг. Удельная теплоемкость воды с= 4,19 • 103 Дж/(кг • К)
Решение. Для высушивания фруктов необходимо, во-первых, нагреть их от 20 до 80° С, затратив на это энергию Qi = cm{t2 — 九)，и, во-вторых, испарить содержащуюся в них воду массой (/п ——0,2/п) = 0,8/п, израсходовав энергию Q2 = 0,8 \ш. Поэтому
Q = Qi + Qz = С/п (% — G) + 0,8入/и = m [с ⑸一G) + 0,8入]=
=Ю4 кг [4,19 • 103 Дж/(кг • К) • 60К + 0.8 • 2,3 ・ 15 Дж/кг] = 209-108 Дж.
Глава XL Основы термодинамики
О некоторых общих понятиях термодинамики.Первое начало термодинамики
Термодинамика изучает количественные закономерности превращения энергии в различных процесах (тепловых, механических, электрических, магнитных и др.), обусловленного тепловым (беспорядочным) движением молекул.
Уже в первой половине XIX в. перед теплотехникой со всей остротой встал вопрос об увеличении экономической эффективности тепловых машин, решение которого требовало глубокого знания законов энергетических превращений, в первую очередь превращения теплоты в механическую работу. В связи с этим требованием теплотехники возникла и начала быстро развиваться термодинамика.
С некоторыми вопросами термодинамики мы уже встречались в предшествующих главах второй части курса. Теплота и температура (см. § 37), газовые процессы (см. § 39, 40), теплоемкости веществ (см. § 44 и 54), испарение и плавление (см. § 66 и 68) — все это вопросы, относящиеся к области термодинамики. Следует подчеркнуть, что современная термодинамика затрагивает широкий круг вопросов* представляющих интерес для всех естественных наук и для философии в целом. В этой главе рассмотрены только основные законы термодинамики и некоторые термодинамические процессы.
Термодинамика построена в основном на двух фундаментальных законах, полученных из многовекового опыта человеческой деятельности и называемых началами термодинамики. Первое начало описывает количественную и качественную стороны процессов превращения энергии; второе начало позволяет судить о направлении этих процессов.
Прежде всего познакомимся с некоторыми из основных понятий термодинамики.
Термодинамической системой называется макроскопическое тело (или группа тел), которому свойственны процессы, сопровождающиеся переходом теплоты в другие виды энергии и обратные процессы. Примером термодинамической системы может служить газ, заключенный в цилиндр под поршнем. В систему могут входить электрическое, магнитное и гравитационное поля. Отвлекаясь от этих полей, мы ограничимся рассмотрением простейших однородных систем — газов, жидкостей и изотропных твердых тел.
Если внешние условия неизменны, то термодинамическая система, оказавшаяся в этих условиях, приходит через некоторое время в состояние, при котором в ней прекращаются всякие макроскопические изменения. Такое состояние называется термодинамическим равновесием. При термодинамическом равновесии состояние системы в целом может описываться следующими тремя параметрами: температурой Т, давлением р и объемом V. Эти параметры связаны между собой зависимостью, которую в общем виде можно выразить уравнением
〃Т,р Q = 0,
называемым уравнением состояния системы. Для идеального газа таковым является уравнение Клапейрона — Менделеева (см. § 40), для реальных газов и жидкостей ——уравнение Ван-дер-Ваальса (см. § 63). Для твердых тел общего уравнения состояния пока не установлено. Если известны любые два параметра состояния системы, например р и У, то третий параметр Т можно вычислить по уравнению состояния. Именно на этом основаны рассмотренные нами ранее (см. § 37 и 39) способы определения температуры.
Переход системы из одного состояния ("外 京朽 Л) в другое (р2, V2, Т2)называется термодинамическим процессом. На диаграмме состояний (с координатными осями, рнапример, р и V) состояние системы
изображается точкой 卩匕,а процесс — кривой линией 12 (рис. 133). При этом подразумевается, что в 用‘ \каждом данном состоянии систе-
\мы—начальном /, промежуточных
i и конечном 2 — значения темпе- 仿ратуры и давления должны быть
例 2одинаковыми для всех точек (частей)
/7-у системы. Иначе говоря, в каждом
из этих состояний система должна ис* 33находиться в термодинамическом
равновесии. Между тем, например, во время быстрого сжатия газа давление в его части, прилегающей к поршню, будет несколько больше, а во время быстрого расширения — меньше, чем в остальных его частях. Во избежание этой неоднородности (неравномерности) системы термодинамические процессы должны протекать медленно (в принципе — бесконечно медленно)*.
Процесс перехода системы из состояния / в состояние 2 (см. рис. 133) называется обратимым, если возможен процесс перехода системы из 2 в 1, при котором система, пройдя последовательно, но в обратном порядке, через все состояние i первого процесса, вернется 6 начальное состояние /, после чего ни в системе, ни в окружающей среде не останется никаких изменений} в противном случае процесс называется необратимым. Иначе говоря, процесс перехода системы из состояния 1 в 2 обратим, если возможен процесс перехода системы из 2 в lt в результате которого полностью ликвидируются следы обоих процессов как в окружающей среде, так 〃 в самой системе.
Примером обратимого процесса могло бы служить колебание маятника, если бы оно происходило без трения: в течение одного периода колебания маятник возвратился бы в начальное положение, причем ни в окружающей среде, ни в системе (маятнике) не осталось бы следов от происшедших за этот период изменений. Все чисто механические процессы, происходящие без трения, были бы обратимыми. Однако
трение неустранимо. Поэтому часть механической энергии системы всегда переходит в теплоту и безвозвратно рассеивается в окружающей среде. Следовательно, механические процессы необратимы.
Вообще в природе нет обратимых процессов. Наглядным примером необратимости реальных процессов являются процессы теплообмена 〃 расширения газа 6 пустоту. Теплота самопроизвольно переходит
от горячего тела к холодному, но обратный самопроизвольный процесс не имеет места. Газ самопроизвольно расширяется в пустоту, но
обратный процесс — самопроизвольное сжатие ——не имеет места. Здесь дело не в том, что эти процессы самопроизвольно необратимы.
Их нельзя обратить и посредством внешнего воздействия. Действительно, например, при расширении газа в пустоту он не совершает внешней работы и, следовательно, его внутренняя энергия не изменяется. Сожмем теперь газ до первоначального объема сами, совершая внешнюю работу Л против силы давления газа. При этом внутренняя энергия газа возрастает на величину, равную работе Л, и температура газа повысится. Через некоторое время газ отдаст избыток теплоты окружающей среде и примет первоначальную температуру. В результате, хотя газ и вернулся в первоначальное состояние, но во внешней среде появилось и сохранилось изменение*. часть ее механической энергии превратилась в теплоту. Следовательно, процесс расширения газа в пу
стоту является необратимым.
Итак, обратимые процессы — понятие идеализированное. Однако их изучение представляет значительный интерес, поскольку в целом ряде конкретных задач реальные процессы с большой степенью точности можно рассматривать как обратимые. Обратимый процесс есть идеализированная модель реальных процессов, необходимая для успешного изучения последних.
Перейдем теперь к рассмотрению первого начала термодинамики. Допустим, что некоторая система (например, газ, заключенный в цилиндр под поршнем), обладающая внутренней энергией f/b получила количество теплоты Q и, перейдя в новое состояние, хар актер из ующее- ся внутренней энергией (/2, совершила внешнюю работу А (рис. 134). Условимся в дальнейшем считать количество теплоты положительным^ когда оно подводится к системе, а работу ——положительнойкогда система совершает ее против внешних сил. Опыт неоспоримо доказывает, что при любом способе перехода системы из первого состояния во второе изменение внутренней энергии системы / — U* будет одинаковым и равным разности между количеством теплоты Q, полученным системой, и работой Л, совершенной системой;
4 — q = Q — 4
или
Q = (〃2 — U, + 4
Введем обозначение : U2 ——СЛ =AU・ Тогда последнее равенство примет вид
Q = AU + А.(1)
Эта формула и есть математическое выражение первого начала термодинамики. Таким образом, первое начало утверждает, что
все количество теплоты, переданное системе, идет на изменение внутренней энергии системы，и на совершаемую системой работу.
Учитывая, что Q и 4 эквивалентны энергии, можно сформулировать первое начало так: будучи несозидаемой и неуничтожимой, энергия может видоизменяться. В такой формулировке первое начало термодинамики представляет собой общее выражение закона сохранения 〃 превращения энергии (см. § 18).
Если система периодически возвращается в исходное состояние, то изменение ее внутренней энергии ku = 0. Тогда, согласно первому началу термодинамики (1),
4 = Q・
Это означает, что невозможно создать периодически действующий механизм, который совершал бы работу, превышающую получаемую им энергию. Воображаемый механизм, совершающий работу, большую получаемой энергии, называется вечным двигателем первого рода. Поэтому первому началу термодинамики можно еще дать и такую формулировку: вечный двигатель первого рода невозможен, В этой связи интересно отметить, что открытие первого начала термодинамики положило конец многочисленным, но бесплодным попыткам построить вечный двигатель.
Если система, получая бесконечно малое количество теплоты dQ, претерпевает бесконечно малое изменение внутренней энергии dU, то и совершаемая ею работа будет бесконечно малой — dA. В этом случае выражение (1) первого начала термодинамики запишется в дифференциальном виде:
dQ = dU 十 d4(2)
Работа, совершаемая при изменении объема газа.Адиабатические процессы
Представим себе газ, расширяющийся в цилиндре под поршнем от объема 匕 при давлении pi до объема % при давлении р2-
На графике этот процесс изобразится кривой линией 1——2 (рис. 135). Рассмотрим маленький интервал расширения Д 7, для которого давление можно считать приблизительно постоянным и равным р. Как было показано в § 44 [см. рис. 77 и формулу (21')], работа, совершаемая газом при малом расширении, равна произведению р • ЛК На графике видно, что эта работа численно равна площади узкой полоски шириной ДК Разбивая полное изменение объема от Vi до V2 на п малых интервалов: Д^, АР?, △%,•••, AVn, получим, очевидно, что пол
ная работа Д, совершаемая при изменении объема газа, численно равна сумме площадей всех п полосок, т. е. равна площадих ограниченной кривой 12, ординатами р+ ы и осью абсцисс:
i—n
4 = £ Pi • А匕.
Если теперь перейдем от конечных малых интервалов ДУ к бесконечно малым интервалам db, то работа на каждом из этих интервалов будет бесконечно малой и равной
d4 = ° • W.(3)
Интегрируя последнее равенство в пределах от Vi до У2, получим выражение полной работы, совершаемой при изменении объема газа: 匕 ^ p-dV.(4)
Пользуясь последним выражением, рассчитаем работу, совершаемую при изотермическим изменении объема одного моля идеального газа. Согласно закону Клапейрона — Менд
RT
Подставляя это выражение р в формулу (4) и учитывая, что при изо- термическом процессе Т = const, получим
Л =『乎・ W = R7 j?=RT(ln%—In%),
или окончательно
/ = RTln 卫.(5)
Еще проще рассчитывается работа изобарического (р = const) изменения объема газа:
4=J p・W = p [ 〃 = /?(%-%)・
Кроме уже знакомых нам изобарического и изотермического процессов изменения объема газа существует так называемый адиабатический процесс. Адиабатическими называются процессы, про-
исходящие при отсутствии теплообмена между системой 〃 окружающей средой. В этом случае dQ = 0 и формула (2) первого начала термодинамики принимает вид
⑹⑹dA = — dU.
⑹
⑹
Знак минус показывает, что при адиабатическом расширении внутренняя энергия системы уменьшается: система совершает работу за счет своей внутренней энергии. В случае адиабатического сжатия внутренняя энергия системы увеличивается за счет работы, совершаемой внешними силами. Поэтому dU будет положительно, но зато dA примет отрицательное значение (см. § 69) и равенство (6) остается справедливым.
Рассмотрим адиабатический процесс в системе, состоящей из одного моля идеального газа, помещенного в цилиндр, стенки и поршень которого абсолютно нетеплопрсводны. Как известно [см. § 44, формула (20)], внутренняя энергия моля идеального газа равна
U =&Т, (7)
где Су — молярная теплоемкость при постоянном объеме, Т — температура. Так как Ср — постоянная величина, то, дифференцируя равенство (7), получим
(8)(8)dt?= Cv- dT.
(8)
(8)
Подставляя в формулу (6) выражения dA из формулы (3) и dU из формулы (8), получим
р • dV = — Су ・ dT.
Используя закон Клапейрона — Менделеева, заменим р на RTM
RT“R W dT
aV = — С” •, или 7.
Из последнего равенства следует, что адиабатическое изменение объема газа сопровождается изменением его температуры. Интегрируя это равенство в пределах от 匕 до У2 H соответственно от 7\ до Т2, получим
откуда
Потенцируя последнее равенство и учитывая [см. § 44, формулы (23) и (25)], что
R Ср — R [
получим
и
A吋1=北也(Ю) или окончательно
7Vl = const. (И)
Формула (11) выражает за№)н Пуассона, описывающий адиабатические процессы в идеальном газе. Из закона Пуассона следует, что при адиабатическом расширении газа его температура понижается, а при сжатии — повышается.
Для осуществления адиабатических процессов необходима абсолютная теплоизоляция системы от окружающей среды. Наоборот, для осуществления изотермических процессов необходимо обеспечить абсолютную теплопроводность между системой и средой. Однако в природе нет ни абсолютных теплоизоляторов, ни абсолютных теплопроводников. Поэтому реальные процессы изменения объема газа могут быть только близкими к адиабатическим (если теплообмен между системой и средой незначителен) или к изотермическим (если теплообмен между системой и средой хороший).
Для практического осуществления процессов, близких к адиабатическим, возможны два пути: 1) очень быстрое изменение объема газа и 2) изменение объема очень большой массы газа. В обоих случаях не успевает произойти значительного теплообмена между системой (газом) и окружающей средой, что равносильно наличию хорошей теплоизоляции между ними.
Примером адиабатического процесса, осуществляемого первым путем, может служить быстрое накачивание велокамеры насосом. Значительное количество теплоты, выделяющееся при многократном частом сжатии воздуха, не успевает переходить в окружающую среду, в результате чего насос, как известно, заметно нагревается.
Адиабатическими можно считать такие процессы, как расширение и сжатие горючей смеси в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания. Особенно отчетливо выражен адиабатический характер процесса сжатия в дизеле. Дизель не имеет зажигания: адиабатическое нагревание смеси при сжатии приводит к ее самовоспламенению.
Что касается адиабатических процессов в больших массах газа, то они весьма распространены в природе. Если, например, большой участок вспаханного поля а граничит с водным бассейном b и лесным массивом с, то в ясный летний день полевой участок нагреется солнцем сильнее соседних участков (рис. 136). Расположенная над этим участком воздушная масса Л также нагреется сильнее соседних масс В и С и, сделавшись более легкой, начнет подниматься (конвекция). Так как
давление в атмосфере убывает с высотой, то по мере подъема воздушная масса будет расширяться и, следовательно, адиабатически охлаждаться, Когда ее температура понизится до точки росы, водяной пар, находящийся в воздушной массе, начнет конденсироваться на ядрах конденсации. Образуются кучевые облака О, типичные для полуденного времени жаркого дня и потому называемые также «облаками хорошей погоды».
Возвратимся к закону Пуассона и придадим формуле (11) несколько иной вид, выразив температуру через давление. Так как, согласно уравнению Клапейрона ——Менделеева,
то, подставляя это выражение температуры в формулу (11), получим
-= const илиR
pH = const(12)
(поскольку R ・ const = const). Формула (12) представляет собой
закон Пуассона, связывающий изменения объема и давления газа при адиабатическом процессе.
Пользуясь законами Пуассона (12) и Бойля — Мариотта (pV = =const), представим на графике адиабатический и изотермический процессы (рис. 137). Оказывается, что адиабата / идет круче изотермы 2. Это объясняется тем, что при изотермическом расширении давление газа уменьшается только за счет увеличения объема, тогда как при ади
абатическом расширении оно умен® шается и за счет увеличения объема, и за счет понижения температуры.
В заключение выразим работу Л совершаемую газом при адиабатическом процессе, в результате которого температура газа изменяется от Tf до Т2・ Объединяя формулы (6) и (8), получим для элементарной работы
dA = — Су • dT, Интегрируя последнее равенство, найдем
/ = — J Су ♦ dT = — Cv (Т2 — Т^.
или окончательно
/ = 一л а).(13)
Следовательно, работа совершаемая газом при адиабатическом процессе, пропорциональна изменению температуры газа.
§ 71. Цикл Карно. Второе начало термодинамики
Положение о необратимости процессов в природе (см. § 69), указывающее направление этих процессов, представляет собой одно из общих выражений второго начала термодинамики. Более конкретную формулировку и математическое выражение второго начала можно
получить из рассмотрения так называемого цикла Кар兄о、с которым мы познакомимся, введя предварительно понятие о круговом процессе.
Круговым процессом, или циклом, называется процесс, 6 результате которого система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное состояние. Очевидно, что на графике круговой процесс изобразится замкнутой кривой линией (рис. 138). Работа Л, совершаемая при круговом про-
отрицательной.отрицательной.ииВ 1824В 1824г,г,
отрицательной.
отрицательной.
и
и
В 1824
В 1824
г,
г,
цессе, численно равна площади а1Ь2^ ограниченной этой замкнутой линией. Поясним данное утверждение, полагая для определенности, что системой является некоторая масса газа. Цикл состоит из двух последовательных процессов: расширения (〃 ~> / ->&) и сжатия (匕一> 2f а) газа. В соответствии с графическим представлением работы, рассмотренным в § 70 (см. рис. 135), работа Ль совершаемая газом при расширении, выразится площадью фигуры dalbc; эта работа положительна (см. § 69). На тех же основаниях работа Л 2, совершаемая при сжатии газа, выразится площадью фигуры '~" Тогда работа, совершенная при круго
вом процессе,
/ = 4 — 4・
и выразится разностью площадей фигур dalbc и da2加，т. е. площадью фигуры, ограниченной замкнутой линией а1Ь2. Если круговой процесс идет по часовой стрелке («->/-> 2а), то работа будет поло
жительной (так как Л4 — Л 2 > 0); если же круговой процесс идет против часовой стрелки (а 2 f b f а),то отрицательной (так как ?4 2 - 4 V。).
Если в результате цикла совершается некоторая работа 4, то система, периодически повторяющая такой цикл, называется машиной.
_<енер Сади Карно теоретически рассмот
рел работу идеальной тепловой машины, состоящей из одного моля идеального газа (рабочее тело), заключенного в цилиндр под поршнем, нагревателя и холодильника. Эта система периодически совершает обратимые циклы, состоящие из двух изотермических (/ ~> 2 и 3 -> 4) и двух адиабатических (2 -> 3 и ^ ~> /) процессов (рис. 139). Стенки цилиндра и поршень абсолютно нетеплопроводны, а дно цилиндра абсолютно теплопроводно. Однако с помощью абсолютно нетеплопроводной крышки К, прикладываемой ко дну цилиндра, можно было сделать весь цилиндр абсолютно нетеплопроводным. Трение и тепловые потери в системе полностью отсутствуют.
Проследим за работой этой идеальной тепловой машины, получившей название цикла Карно. Изменения состояния системы будем изображать на диаграмме, а положения поршня в цилиндре — на схеме (см. рис. 139).
Газ находится в сжатом состоянии / (рь 丫外 Л), поршень — в положении 1. Чтобы обеспечить изотермическое расширение газа, приведем дно цилиндра в тепловой контакт с нагревателем ", находящимся при температуре 7\.
Когда газ расширится до состояния 2 (р2, V2, 7\), уберем нагреватель и, закрыв дно крышкой К, предоставим газу возможность
закончить расширение адиабатически до состояния 3 (р3, V3, Т2). Совершая работу по расширению, газ охладится; поэтому 7\ V Л.
Чтобы завершить цикл, т. е. вернуть газ в начальное состояние /, а поршень — в исходное положение /, необходимо совершить внешнюю работу сжатия газа. Будем сначала сжимать газ изотермически до состояния 4 (р4, V4, 7\)， заменив крышку холодильника X (при температуре Т2). Причем состояние 4 надо выбрать заранее, с таким расчетом, чтобы из него по адиабате 4fl можно было перевести газ в начальное состояние 1.
Завершим сжатие газа до начального состояния / (рь Р^ 7\) адиабатически, заменив холодильник крышкой К.
Цикл закончен и может быть затем многократно повторен. На участке / ->• 2 газ совершил работу А{ по изотермическому расширению, получив от нагревателя количество теплоты Q{ — Дь На участке 2 f 3 газ совершил работу Аг по ад и абатичес кому расширению за счет своей внутренней энергии. На участке 3 f 4 внешние силы совершили работу 42 no изотермическому сжатию газа; при этом он отдал холодильнику количество теплоты Q2= Д 2. Наконец, на участке 4fl внешние силы совершили работу 4〃 по адиабатическому сжатию газа, повысив его внутреннюю энергию.
Так как газ вернулся в первоначальное состояние, то изменение его внутренней энергии AU = 0. Тогда, согласно первому началу термодинамики [формула (1) ], полученное газом в результате всего цикла количество теплоты Qi ——Q2 должно равняться совершенной им за время цикла работе:
Q] — Qa ~ ^i + « — 4 — 4〃• (14) Нетрудно показать, что по абсолютной величине \А'\= |/〃|. Действительно, оба адиабатических процесса (2 -> 3 н 4 f 7) осуществлялись в одном и том же интервале температур (Tf 72 и Т2 f • Т0. Тогда, согласно формуле (13), будут одинаковыми и совершаемые при этих процессах работы. Поэтому формула (14) примет вид
QiQ2 = 4 — Л2 = Л, (15)
где Л—суммарная работа, совершаемая за весь цикл и численно равная площади 1234, ограниченной графиком цикла. Так как цикл проводился по часовой стрелке, то эта работа положительна. Итак, 6 результате цикла газ, получив количество теплоты Q】от нагревателя и передав часть этого количества теплоты Q2 холодильнику, совершил внешнюю работу, равную
% = Qi — Qz・ (16)
Зададимся вопросом: может ли рассматриваемая тепловая машина совершать работу только за счет получения количества теплоты Q】 от нагревателя, не отдавая части количества теплоты Q2 холодиль-
нику? Иными словами, можно ли теплоту Q】целиком превращать в работу? Очевидно, что при отсутствии холодильника процесс / -> 2-> 3 можно было бы замкнуть (т. е. получить цикл) только посредством обратного процесса 3 2 -> /. Площадь такого цикла, а следовательно, и совершаемая работа будут равны нулю. Таким образом, отдача части теплоты Q2 холодильнику является необходимым условием совершения работы. Но тогда, согласно формуле (16),
A<QV (17)
черпаемый источникчерпаемый источникно и во-но и во-т. е. рассматриваемая тепловая машина не может все полученное количество теплоты целиком переводить в работу. Как показывают опыт и выводы из всей термодинамики, это невоз-
черпаемый источник
черпаемый источник
но и во-
но и во-
можно не только для данной машины, обще.
Невозможен механизм, который все получае
целикомцеликоммое от нагревателя количество теплоты
целиком
целиком
переводил бы в работу; часть этого количества теплоты должна быть отдана холодильнику.
Это утверждение является одной из формулировок второго начала термодинамики, а формулы (16) и (17) — его математическими выражениями. Таким образом, тепловая машина должна работать по схеме, представленной на рис. 140.
Воображаемый механизм, превращающий все количество теплоты в работу, называется вечным двигателем второго рода. Его осуществление дало бы человечеству неис- энергии, поскольку запасы теплоты на Земле практически
неограниченны. За счет одного только количества теплоты, содержащегося в воде морей и океанов можно было бы с помощью вечного двигателя второго рода приводить в движение машины всех фабрик и заводов в течение многих тысячелетий. Причем за первые 1700 лет такой «перекачки» теплоты температура воды в океане понизилась бы в среднем только на одну сотую долю кельвина.
Однако, как мы видели, вечный двигатель второго рода противоречит второму началу термодинамики. Поэтому второе начало можно еще сформулировать так: вечный двигатель второго рода невозможен,
Рассчитаем теперь коэффициент полезного действия 刀 идеальной тепловой машины. Он равен отношению полезной работы к совершенной, т. е., с учетом формулы (15),
R{- 4 = Qi - Qz
Принимая во внимание формулу (5), можем написать
Mi 1口片Mi 1口片R7\ In 千—RA 1n
Mi 1口片
Mi 1口片
Но, согласно формуле (9),
откуда следует, что
V2 —к%—V3
---.или •匕 匕匕 匕
Поэтому все логарифмы в формуле (19) оказываются одинаковыми и могут быть сокращены. Тогда формула (19) примет вид
(20)
или
7) = 1~- ,(21)
откуда следует, чтооткуда следует, что刀V 1,刀V 1,(22)(22)
откуда следует, что
откуда следует, что
刀V 1,
刀V 1,
(22)
(22)
Рис. 141Рис. 141
Рис. 141
Рис. 141
т. е. коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины меньше единицы^. Для его повышения необходимо увеличивать раз
ность температур нагревателя и холодильника. Возьмем такие наиболее благоприятные реально возможные условия: 7\ = 500 К (паровой котел высокого давления) и Т2 = 250 К (воздушное охлаждение в зимнее время). В этом случае
刀=^^ = 0,5 = 50%.
Понятно, что реальные тепловые машины благодаря трению и неизбежным тепловым потерям имеют значительно меньший коэффициент полезного действия (поршневая паровая машина ——до 20%, паровая турбина —до 30% и двигатель внутреннего
сгорания—до 45%).
Обратный цикл Карно (/->4->3->2->/) можно использовать
в качестве идеальной холодильной машины, работающей по схеме, представленной на рис. 141 (7\ > 7\)・ За счет работы внешних сил Л газ (рабочее тело) отнимает от холодильника количество теплоты Q2 и передает нагревателю количество теплоты Q”
§ 72. Энтропия
Из формул (18) и (20), выражающих значение коэффициента полезного действия тепловой машины, следует, что
Qi — Q2 _ Т —北
или
Q2 О?
北^7
откуда получаем
Qi
Л
Q2, как количество теплоты, отдаваемое рабочим
Учтем теперь, что
веществом холодильнику, является отрицательным (см. § 69). Тогда
левую часть последней формулы можно записать в виде алгебраической суммы:
旦+2=0.
А т2
(23)
Отношение
теплоты,
переданной рабочему веществу (или рабочим веществом), к абсолютной темпе
ратуре, при которой происходила эта передача, называется приведенной теплотой, Из формулы (23) следует, что для цикла Карно алгебраическая сумма приведенных теплот равна нулю.
Покажем, что это положение справедливо для любого обратимого кругового процесса 4та->5-> Ь->4 (рис. 142). Разобьем этот процесс на большое число п очень узких (элементарных) циклов Карно с помощью изотерм и адиабат, как показано на рис. 142. При
осуществлении всех элементарных циклов части каждой из адиабат (изображенные штрихами), проходимые дважды в противоположных направлениях, выпадут. Поэтому замкнутая кривая линия АаВЬА, изображающая процесс, приближенно может быть заменена замкнутой ломаной линией АаВЬА, состоящей из малых отрезков изотерм и адиабат. Для каждого из элементарных циклов Карно справедлива
формула (23):
м儿=о, 北1
AQ11
AQli I AQ2之 __ 0
Уt f一一,
△Qi〃 I
где △ Qu —теплота, полученная рабочим телом на Jm участке расширения при температуре Tlh aAQ2j — теплота» отданная им на /・м участке сжатия при температуре Т猊.Суммируя все эти равенства, получим
Если перейдем теперь к бесконечно большому числу (п->оо) бесконечно узких циклов Карно, то ломаная линия превратится в кривую АаВЬА, а суммы формулы (24) — в интегралы:
J -у- + J 半=0, или j 睪"=°- (25) (ЛаВ) (ВЬА) (АаВЬА)
Из равенства нулю интеграла (25), взятого по замкнутому контуру АаВЬА, следует, что подынтегральное выражение dQ/T представляет собой полный дифференциал некоторой функции S, зависящей только от состояния системы и не зависящей от пути, каким система пришла 8 это состояние. Таким образом,
牛=d£ (26)
Функция S была введена в рассмотрение в 1865 г. Клаузиусом и названа им энтропией. Наряду с энергией энтропия является важной характеристикой состояния системы. Физический смысл энтропии мы выясним несколько позже.
Если посредством обратимого процесса система переходит из состояния Л в состояние В, то происходящее при этом изменение энтропии системы определяется путем интегрирования равенства (26):
j dS = S 口 = Sb —= AS = j ~-,(27)
где S/ — энтропия системы в начальном состоянии Л, SB — энтропия системы в конечном состоянии В, AS =SB—Sa — изменение энтропии.
Определим, например, изменение энтропии 0,1 кг воды, охлаждаемой от 18 до 0° С. Вводя обозначения: m = 0,1 кг, с = =4,2 • 103 Дж/(кг • К), Л = 291 К и Т2 = 273 К, где с — удельная теплоемкость, получим, что
AS = J_=『J2^L = cmm~^ = 4,2・lO3・o,iE^_ =
С А = — 21Д*/К・
Следовательно, в процессе охлаждения воды ее энтропия уменьшилась на 21 Дж/К.
Клаузиусом были получены следующие важные положения, которые мы приведем без доказательств.
Энтропия системы, состоящей из нескольких тел, равна сумме энтропий этих тел.
Если в изолированной системе происходят обратимые процессы, то ее энтропия остается неизменной. Если в изолированной спстше происходят необратимые процессы, то ее энтропия возрастает. Энтропия изолированной системы не может уменьшаться ни при каких процессах. Математически эти положения можно записать в виде неравенства
Д5>0,(28)
называемого неравенством Клаузиуса.
Как мы уже знаем (см. § 69), все реальные процессы являются необратимыми. Поэтому можно утверждать, что все процессы в конечной изолированной системе ведут к увеличению ее энтропии. Это положение называется принципом возрастания энтропии. Вместе с тем оно представляет собой еще одну формулировку второго начала термодинамики, указывающую направление реальных процессов:
возможны лишь такие процессы, которые ведут к увеличению энтропии изолированной системы,
В качестве примера принципа возрастания энтропии рассмотрим такой важный процесс, как теплообмен, происходящий в изолированной системе между телом с температурой 7\ и телом с температурой 72 V 丁1・ Первое тело отдает количество теплоты—Д Q, а второе — получает количество теплоты +AQ. Изменение энтропии системы равно алгебраической сумме энтропии обоих тел:
откуда
S? > S].
Таким образом, хотя в результате теплообмена энергия системы не изменилась (в соответствии с первым началом термодинамики), ее энтропия возросла (в соответствии со вторым началом термодинамики).
Рассмотрим еще один пример. Изолированная система представляет собой сосуд, в котором находится моль газа, и вращающееся по инерции колесо массой /и. Благодаря трению часть кинетической энергии колеса перейдет в теплоту и температура системы повысится от 7\ до Т2. Количество теплоты, которые получат газ и колесо, обозначим соответственно через dQ' и dQ〃・ Тогда
dQ‘ = Су • dT и dQ〃 = ст • dT, где Су ——молярная теплоемкость газа при псстоянном объеме, с — удельная теплоемкость материала колеса, dT'— приращение темпе-
ратуры системы. Пользуясь формулой (27), определим изменения энтропии газа Sz —SJ и колеса SJ —S J:
S；- S； = J-^ = CvJ-y- = &・ ln^->。
так как T2 > Л- Следовательно, S2# >SJ nS?" >SJ,t. е. энтропия обеих частей системы возросла.
Таким образом, мы видим, что и в этом случае энергия системы осталась неизменной, а энтропия возросла. Обратим внимание на то обстоятельство, что энергия, не изменяясь количественно, изменилась качественно: механическая энергия (упорядоченного движения колеса) перешла в теплоту (хаотическое движение молекул). Произошло снижение качества энергии, ^обесценивание энергии». Под обесцениванием энергии подразумевается потеря ею способности к дальнейшим самопроизвольным превращениям в другие виды энергии. Действительно, все виды энергии (механическая, электрическая, световая и т. д.) самопроизвольно и притом полностью переходят в теплоту, тогда как для теплоты такие превращения в другие виды энергии не имеют места.
Таким образом, возрастание энтропии изолированной системы указывает на то, что в системе происходит обесценивание энергии. В известном смысле энтропию можно считать мерой обесцененности энергии.
Поскольку теплоте присущ наиболее беспорядочный характер движения материи (хаотическое движение молекул), можно сказать, что возрастание энтропии соответствует увеличению беспорядка в состоянии системы. В этом смысле энтропию можно рассматривать как меру беспорядка состояния системы.
§ 73. О статистическом смысле энтропии и второго началатермодинамики
Из несколько формального математического определения, посредством которого Клаузиус ввел понятие энтропии (dS = dQ/力), трудно уяснить ее физи* ческий смысл. Физическая сущность энтропии была выяснена позднее благодаря статистическим исследованиям Больцмана. Для ознакомления с результатами этих исследований необходимо иметь представление о так называемой вероят~ ности состояния системы (取).
Рассмотрим сосуд, мысленно разделив его на две равные части (рис. 143, а). Пусть в нем находится только одна молекула. Двигаясь хаотически^ она может оказаться как в левой, так и в правой части сосуда, причем оба случая одинаково возможны, или, как говорят, равновероятны.
Вероятность события характеризуется отношением числа случаев осуществляющих данное событие, к числу всех возможных случаев.
2
Рис. 143
Очевидно, что вероятности случая, когда правая часть сосуда оказывается пустой, и случая, когда в ней находится молекула, одинаковы и равны 1/2.
Поместим теперь в сосуд две молекулы, предварительно пронумеровав их (рис. 143, б). Тогда число возможных случаев размещения молекул по частям сосуда станет равным 4 = 2?, а вероятность случая 1/4 = 1/22.
Если в сосуде будут находиться три пронумерованных молекулы (рис. 143, в), то число случаев размещения возрастет до 8 = 23, а вероятность каждого случая уменьшится до 1/8 = 1/23.
При наличии в сосуде четырех молекул (рис. 143, а) число случаев окажется равным 16 = 24, а вероятность каждого случая 1/16 = 1/24.
Нетрудно сообразить, что при наличии в сосуде ^ молекул число случаев размещения этих молекул станет равным 2^, а вероятность каждого случая 1/2&
Таким образом, по мере увеличения числа молекул вероятность каждого случая индивидуального размещения молекул уменьшается.
Учтем теперь, что молекулы пронумерованы совершенно условно. В действительности же невозможно отличить молекулы друг от друга: макроскопическое состояние системы не изменится от того, что, например, молекула 2, находящаяся в левой части сосуда, поменяется местом с молекулой 4, находящейся в правой его части. С этой точки зрения случаи VI — XI (см. рис. 143, а) совершенно тождественны: все они соответствуют одному состоянию системы (газа) — равномерному распределению молекул по объему сосуда. Вероятность этого состояния 曲—6/16, так как оно может осуществляться шестью способами. Точно так же случаи II——V являются тождественными и соответствуют другому состоянию системы, вероятность которого W = 4/16, так как оно может осуществляться четырьмя способами. Тождественные случаи XII—XV соответствуют третьему состоянию системы, вероятность которого W = 4/16. Четвертое состояние (случай I) осуществляется только одним единственным способом; его вероятность 取= 1/16. Такова же вероятность пятого состояния (случай XVI).
Таким образом, система из четырех молекул может находиться в пяти различных состояниях, причем из всех этих состояний наиболее вероятным является равномерное распределение молекул по объему сосуда. Назовем такое состоя
ние равновесным,
С увеличением числа молекул вероятность равновесного состояния будет все более и более возрастать по сравнению с вероятностью любого неравновесного состояния. Например, в двухмолекулярной системе (см. рис. 143, б) вероятность равновесного состояния в два раза больше, а в четырехмолекулярной системе (см. рис. 143, г) — в шесть раз больше вероятности состояния, при котором все молекулы собираются в левой части сосуда. Как показывают статистические расчеты, при очень большом числе молекул ^ вероятность равновесного состояния 呼2 приблизительно в 2扭/了2 раз больше вероятности состояния 犷 1, при котором все молекулы оказываются в левой части сосуда (рис. 144).
Подчеркнем, что равномерное распределение молекул по объему является вместе с тем и наиболее беспорядочным их распределением. Поэтому наиболее
вероятное состояние системы является вместе с тем и наиболее беспорядочным ее состоянием. В этом смысле можно сказать, что вероятность состояния есть мера беспорядка состояния системы.
Очевидно, что предоставленная самой себе изолированная система должна перейти в наиболее вероятное, т. е. равновесное состояние. Всякое отклонение от равновесного состояния влечет за собой уменьшение вероятности состояния; очень неравновесные состояния являются практически неосуществимыми, хотя в принципе они возможны.
Вернемся теперь к необратимым процессам и рассмотрим их в св-язи с вероятностью состояния системы. Почему, например, необратим процесс расширения газа в пустоту? Потому что расширяющийся газ, занимая весь объем сосуда, переходит в наиболее вероятное состояние равномерного распределения молекул по объему. Самопроизвольное сжатие газа означало бы скопление всех молекул в одной части сосуда, т. е. переход системы в наименее вероятное состояние (步=1/2^), которое практически неосуществимо. Почему необратим процесс теплообмена между двумя соприкасающимися телами различной температуры? Потому что переходу теплоты от горячего тела к холодному соответствует наиболее беспорядочное (равномерное) распределение «быстрых» и «медленных» молекул по всей системе (телам), т. е. наиболее вероятное состояние системы. Передача теплоты от холодного тела к горячему означала бы увеличение порядка в распределении молекул (скопление «быстрых» молекул в одном теле, а «медленных» ——в другом), т. е. самопроизвольный переход системы в менее вероятное состояние.
Анализ любого необратимого процесса, происходящего в конечной изолированной системе, привел бы к одному и тому же выводу: необратимые процессы необратимы потому, что они сопровождаются возрастанием вероятности состояния системы.
Вспомним о том, что (как было показано в предыдущем параграфе) необратимые процессы сопровождаются возрастанием энтропии системы.
Таким образом оказывается, что существуют две физические величины — энтропия S и вероятность состояния 取,которые возрастают при необратимых процессах в изолированной системе. Поэтому естественно предположить, что между энтропией и вероятностью состояния должна существовать связь. Согласно исследованиям Больцмана, эта связь выражается формулой:
S = k- \nWt (29)
где 府—постоянная Больцмана (см. § 42).
Итак, энтропия пропорциональна натуральному логарифму вероятности состояния. Следовательно, как и вероятность, энтропия является мерой беспорядка состояния системы. К такому же заключению мы пришли ранее (см. § 72) из несколько иных соображений.
Сопоставляя неравенство Клаузиуса (28) с формулой (29), можно дать еще одну формулировку второго начала термодинамики, отражающую его статистический характер:
при необратимых процессах, протекающих в конечной изолированной системе, вероятность состояния системы возрастает, при обратимых процессах — остается неизменной.
Необходимо подчеркнуть, что второе начало термодинамики (принцип возрастания энтропии) не столь универсально, как первое начало (закон сохранения энергии). В самом деле, случаи уменьшения энтропии (и вероятности состояния) не исключены: они принципиально возможны, хотя мало вероятны. Наглядным примером этому служит броуновское движение (см. § 36). Под влиянием нескомпенсированных ударов молекул броуновская частица может, например, переместиться вверх, против действия силы тяжести. В этом случае некоторое количество теплоты системы самопроизвольно (без воздействия внешних сил) переходит в механическую энергию, т. е. теплота превращается в работу. Иначе говоря, беспорядочное движение молекул самопроизвольно переходит в упорядоченное движение броуновской частицы. При этом энтропия и вероятность состояния системы уменьшаются, что противоречит принципу возрастания энтропии.
Как объяснить это противоречие? Дело в том, что принцип возрастания энтропии применим только к конечным изолированным системам, т. е. к системам, состоящим из достаточно большого, конечного числа молекул. К бесконечным системам и системам, состоящим из малого числа молекул, этот принцип неприменим. Это нетрудно понять. В системе из малого числа молекул вероятность равновесного состояния незначительно превосходит вероятность неравновесного состояния. Например, в случае системы из двух молекул (см. рис. 143, 6) вероятность равновесного состояния всего лишь вдвое больше вероятности лю-
Coro из неравновесных состояний. Переход такой системы в неравновесное сое. тояние и уменьшение ее энтропии весьма вероятны и часто имеют место.
Что касается бесконечной системы (Nts), то в этом случае число состояний становится бесконечно большим. Кроме того, становится бесконечно большим число способов, которыми может осуществиться любое из этих состояний, как равновесие, так и неравновесие. Очевидно, что в этих условиях бессмысленно говорить о наиболее вероятном (равновесном) состоянии системы, ибо все ее состояния равновероятны. Поэтому вероятность состояния и энтропия бесконечной системы остаются неизменными. Следовательно, принцип возрастания энтропии неприменим к бесконечной системе.
В середине XIX в. в связи с открытием второго начала термодинамики возникла так называемая проблема тепловой смерти Вселенной. Суть ее сводилась к следующему. Энтропия Вселенной как изолированной системы все время возрастает, стремясь к некоторому максимуму. В связи с этим различные виды энергии все в большей и большей степени обесцениваются, превращаясь в теплоту. Теплота переходит от горячих тел к холодным. Наконец, температура всех частей и тел Вселенной уравнивается. Устанавливается полное тепловое равновесие: все процессы во Вселенной прекращаются, наступает тепловая смерть Вселенной.
Этот реакционный вывод ведет к другому, не менее реакционному выводу: раз будет конец Вселенной, значит, было ее начало, когда возникло неравновесное состояние, из которого Вселенная переходит постепенно к равновесию. Религия не преминула воспользоваться этим выводом для «научного обоснования» актов сотворения и конца мира.
Ошибочность вывода о тепловой смерти заключается в неправомерном применении принципа возрастания энтропии к бесконечной системе (Вселенной). На несостоятельность этого вывода указал в свое время Энгельс, исходя из общефилософских соображений о бесконечности Вселенной во времени. Он отметил также, что тепловая смерть Вселенной, означая потерю энергией способности к превращениям, противоречит закону сохранения энергии. Способность к превращениям является неотъемлемым свойством энергии. Не подлежит сомнению, что наряду с процессами обесценивания энергии, распространенными в земных условиях, в иных частях космоса столь же распространены пока мало известные нам процессы саморазвития Вселенной, ведущие к концентрации теплоты и превращению ее в другие виды энергии.
Вселенная 6 целом не находится в равновесии и не стремится к какому-либо пределу. Она развивается, и возможности ее развития неисчерпаемы и неограниченны,
В заключение коснемся тепловой теоремы Нернста, согласно которой энтропия равна нулю при абсолютном нуле температуры:
3 = 0 при Т = 0. (30)
Это утверждение следует из соотношения (29). В самом аале, при абсолютном нуле состоянию термодинамической системы соответствует минимальный беспорядок (наибольший порядок): все атомы находятся в определенных местах (узлах кристаллической решетки твердого тела), а все электроны располагаются на самых низких энергетических уровнях. Такое состояние, являясь при абсолютном нуле единственно возможным (достоверным), обладает вероятностью, равной единице. Следовательно, S =々• In 1 = 0. Отметим, что немецкий физик Нернст пришел к соотношению (30) иным путем — изучая изменения теплоемкости тел при низких температурах.
Рассмотренные в этой главе два начала термодинамики и тепловая теорема Нернста (называемая иногда третьим началом термодинамики) лежат в основе теплотехники, позволяя анализировать всевозможные термодинамические процессы и рассчитывать различные тепловые машины (двигатели внутреннего сгорания, паровые и реактивные двигатели).
Задача 38. Кислород массой m = 10 г, находящийся при нормальных условиях, сжимают до объема V2 == 1,4 • Ю~3 м3. Найти давление р? и температуру Т2 кислорода после сжатия и работу А сжатия, если кислород сжимают: а) изотермически; б) адиабатически.
Решение, а) Применяя уравнения Клапейрона — Менделеева [(см. § 40, формула (11)] к начальному состоянию газа, выразим объем кислорода до сжатия:
"加 R7i
1 M %
где, по условию, Ti = 273 K, Pi == Ю6 Па, M = 0,032 кг/моль. Тогда
匕
10-2 кг • 8,32 Д*/(К • моль) - 273K
0,032 кг/моль • 106 Па
При изотермическом процессе Т2 n Ti = 273 К= const. Из закона Бойля — Мариотта [см. § 39, формула (1)] следует, что
КР Па • 7,1 • Ют КР -…г =5 . 106 Па.
1,4 ・1()т мз и
Работу сжатия определим по формуле (5), учитывая, что сжатию подвергнуто т/М молей кислорода:
А Те/ =
10一2 кг • 8,32 Дж/(К • моль) • 273 К In 0,2
0,032 кг/моль
1140 Дж.
да отношение теплоемкостей уда отношение теплоемкостей у
да отношение теплоемкостей у
да отношение теплоемкостей у
Применяя законы Пуассона [см. (12) “=1,4 (см. §
и (11)] и учитывая, что для кислоро- 44), получим
=105 па • 51,4 =9,5 • 105 Па
Tl ЛTl Л匕0 4
Tl Л
Tl Л
丄7 = 273К • 5 = 520К.
Работу сжатия газа определим по формуле (13), учитывая, что сжатию подвергнуто т/М молей кислорода и что его молярная теплоемкость при постоянном объеме Су = iR/2 (число степеней свободы молекулы кислорода i = 5):
1600 Дж,1600 Дж,10-2 кг • 5 • 8,32 Дж/(К • моль) • 247 К2 • 0,032 кг/моль
1600 Дж,
1600 Дж,
Итак, работа изотермического сжатия кислорода оказывается меньше работы его адиабатического сжатия.
В обоих случаях работа сжатия отрицательна, так как ее совершают внешние силы (см. § 69).
Задача 39. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за один цикл работу А = 7,35 • 104 Дж. Температура нагревателя Т1 = 373 К, температура холодильника Т2 = 273 К. Найти коэффициент полезного действия машины 叮，количество теплоты Qi, получаемое машиной за один цикл от нагревателя, и количество теплоты Q2, отдаваемое за один цикл холодильнику.
Решение. По формуле (20) найдем
А —АЛА —АЛ373 — 273 ~373~373 — 273 ~373~= 0,268 = 26,8%.= 0,268 = 26,8%.
А —А
Л
А —А
Л
373 — 273 ~373~
373 — 273 ~373~
= 0,268 = 26,8%.
= 0,268 = 26,8%.
Согласно формуле (16), работа, совершаемая идеальной тепловой машиной за один цикл, равна
A = Qi — Qz
Но, по формуле (18),
区I =
I Q】
Поэтому
QiQiAA7,35 ТО4 ДжО：2687,35 ТО4 ДжО：268=27,4 • 104 Дж.=27,4 • 104 Дж.
Qi
Qi
A
A
7,35 ТО4 ДжО：268
7,35 ТО4 ДжО：268
=27,4 • 104 Дж.
=27,4 • 104 Дж.
Тогда
Q2 = Qi-4n (27,4-7,35)・ 104 Дж = 20,05 • 10« Дж.
Задача 40. Кусок льда массой 加 = 0,1 кг, имевший температуру Л = =240 К, превращен в пар при температуре Т2 == 373 К. Определить изменение энтропии AS, полагая, что давление р = 105 Па оставалось неизменным. Удельная теплоемкость льда Ci = 1,8 • 103 Дж/(кг • К), удельная теплоемкость воды с2 H 4,19 • 108 Дж/(кг • К), удельная теплота плавления льда г = 3,35 X X 10б Дж/кг, удельная теплота кипения воды 入=2,26 • 10е Дж/кг.
Решение. Согласно формуле (27), изменение энтропии системы
AS °* J 学’
где dQ — количество теплоты, получаемое (или отдаваемое) системой при температуре Ti Z н В — характеристики начального и конечного состояний системы (см. § 72).
В рассматриваемом случае система, переходя из начального состояния (лед) в конечное (пар), подвергается следующим изменениям!
Лед нагревается от температуры 7\ до температуры плавления То == =273 К. При этом, согласно формуле (27), его энтропия изменяется на величину
AS】AS】,7。 eg In —»,7。 eg In —»
AS】
AS】
,7。 eg In —»
,7。 eg In —»
где dQi = cimdT — количество теплоты, получаемое льдом при изменении температуры на величину dT.
Лед плавится, превращаясь в воду, при постоянной температуре Го. При этом его энтропия изменяется на величину
2 J 7。 П
где J dQ? » rm *- количество теплоты, полученное льдом при плавлении*
Вода нагревается от температуры 7。до температуры кипения Т?・ При этом ее энтропия изменяется на величину
где dQ& = c^ndT — количество теплоты, получаемой водой при изменении температуры на величину dT.
^+L + C2 1n •—-+—-! 1 /о10“2」^+L + C2 1n •—-+—-! 1 /о10“2」Г273= °」・[1，8 • 103 ^―Г273= °」・[1，8 • 103 ^―3,35 • 13273~3,35 • 13273~+ 4,19 - 103 In+ 4,19 - 103 In3732733732732,26・10« ]~373J2,26・10« ]~373J
^+L + C2 1n •—-+—-! 1 /о10“2」
^+L + C2 1n •—-+—-! 1 /о10“2」
Г273
= °」・[1，8 • 103 ^―
Г273
= °」・[1，8 • 103 ^―
3,35 • 13
273~
3,35 • 13
273~
+ 4,19 - 103 In
+ 4,19 - 103 In
373
273
373
273
2,26・10« ]~373J
2,26・10« ]~373J
П Вода выкипает, превращаясь в пар, при постоянной температуре Т2. I.ри этом ее энтропия изменяется на величину
Г dQ& Xm
где §dQ4 = 入加 一 количество теплоты, полученное водой при испарении (кипении).
Общее изменение энтропии системы
AS — ASj_ + AS? + AS3 + AS4 = т I Ci 1п
= 882,4 (Дж/К).
Электричество и магнетизм
Глава XII. Электростатика
Электризация тел. Электрический заряд
Еще в VII в. до н. э. древнегреческий ученый Фалес указал на способность янтаря, натертого шелком, притягивать легкие предметы. Но лишь в конце XVI в. английский врач и физик Гильберт заинтересовался явлением, описанным Фалесом. Он провел соответствующие опыты и обнаружил, что свойством притягивать легкие предметы обладает не только натертый шелком янтарь, но и стекло, фарфор и многие другие тела, предварительно натертые кожей, сукном и тому подобными мягкими материалами. Это явление Гильберт назвал электризацией* .
Оказалось, что электризация бывает только двух родов\ положительная (которую приобретает, например, стекло, натертое кожей) и отрицательная (которую приобретает, например, кожа, натиравшая стекло). Выяснилось также, что разноименно наэлектризованные тела взаимно притягиваются, а одноименно наэлектризованные —— отталкиваются.
Электризацию долгое время объясняли существованием особых электрических жидкостей (положительной и отрицательной), перемещающихся внутри тела или перетекающих из одного тела в другое. Только в 1881 г. была высказана (немецким физиком и физиологом Гельмгольце^ гипотеза, объясняющая электрические явления существованием электрически заряженных элементарных частиц. Впоследствии эта гипотеза подтвердилась открытием электрона (в 1897 г. английским физиком Дж. Дж. Томсоном) и протона (в 1919 г. английским физиком Резерфордом), Масса электрона т = 9,1091 • 10~31 кг, его заряд е = — 1,6021 • 10-19 Кл (кулон). Протон имеет положительный заряд, равный по величине заряду электрона; масса протона в 1836 раз больше массы электрона. Существуют и другие элементарные частицы (позитроны, мезоны, нейтроны, нейтрино и т. д.), среди которых имеются как заряженные, так и нейтральные. С ними мы познакомимся позже (см. гл. XX).
Все заряженные элементарные частицы имеют одинаковый по величине заряд, равный заряду электрона и называемый элементарным электрическим зарядом. Элементарный заряд является наименьшим
От греческого слова vjXsxTpov (электрон) — янтарь.
(из известных) электрическим зарядом; это своего рода «атом электричества».
В наэлектризованном (заряженном) теле числа положительных и отрицательных элементарных частиц различны; в незаряженном теле эти числа равны между собой.
Тела, в которых электрические заряды могут свободно перемещаться, называются проводниками. Существуют два рода проводников. К проводникам первого рода относятся все металлы. Перемещающимися в них зарядами являются свободные электроны; перемещение не вызывает химических изменений в этих проводниках. К проводникам второго рода относятся электролиты (растворы солей, кислот и щелочей), в которых перемещаются положительные и отрицательные ионы, что ведет к химическим изменениям в самих проводниках.
Тела, в которых возможность перемещения зарядов весьма ограничена (мало свободных электронов или почти нет ионов), называются диэлектриками, или изоляторами. К ним относятся, например, янтарь, стекло, дистиллированная вода, спирт. Промежуточное положение занимают полупроводники (селен, германий, кремний, графит и др.). Их электропроводность в значительной мере зависит от внешних условий, главным образом от температуры. В последующих параграфах мы более подробно рассмотрим свойства диэлектриков (см. § 81, 82), проводников (см. § 80, 85——88, 91—93) и полупроводников (см. § 89, 90).
Участвуя в каких-либо процессах, электрические заряды могут перемещаться с одного тела на другое или перераспределяться в пределах одного тела, но не могут уничтожаться и создаваться. Иными словами,
изолированной системе алгебраическая сумма электрических зарядов остается постоянной.
Это положение называется законом сохранения электрического заряда.
Единицей измерения электрического заряда (количества электричества) служит, как уже отмечалось, кулон (Кл). Эта единица уста・ навливается из соотношения (известного по школьному курсу физики), связывающего силу постоянного тока / в проводнике с электрическим зарядом q、прошедшим через поперечное сечение проводника, и временем / его прохождения [см. § 84, формула (1)]:
g = 〃• (1)
Согласно (1), кулон—количество электричества, проходящее через поперечное сечение проводника при токе 1 А за время 1 с:
К/ = А • с.
Единица силы тока — ампер — является основной в СИ (см. § 2). Она устанавливается на основе взаимодействия двух параллельных проводников с током и потому точное ее определение будет дано позднее (см. § 100, а также приложение II).
§ 75・ Взаимодействие электрических зарядов в вакууме.Электрическое поле и его напряженность
Электростатика изучает взаимодействие и условия равновесия покоящихся электрически зароенных тел, а также свойства этих тел, обусловленные электрическими Нарядами.
Первые количественные исследования по электростатике были выполнены в 1785 г. французским физиком Кулоном, который опытным путем (с помощью крутильных весов) установил, что
два точечных заряда взаимодействуют в вакууме с силой 尸，пропорциональной величинам зарядов q^ и q% обратно пропорциональной квадрату расстояния г между ними “ направленной по линии, соединяющей эти заряды (закон Кулоне»
尸=论丛也,(2)
г2
где k — коэффициент пропорциональности.
Формула (2) справедлива не только для точечных зарядов, но и для заряженных шаров конечного размера, В этом случае г есть расстояние между центрами шаров. Сила взаимодействия заряженных тел иной формы вычисляется путем векторного сложения сил взаимодействия всех точечных зарядов, составляющих заряды этих тел.
Коэффициент пропорциональности в формуле (2) целесообразно (рационально) представить в виде
a=—--,(3)
4汽电
где величина е0 называется электрической постоянной (или диэлектрической проницаемостью вакуума). Заметим далее, что коэффициент k нельзя положить равным единице (и, следовательно, значение е0 нельзя выбрать произвольно), поскольку единицы измерения всех физических величин, входящих в формулу (2), уже установлены ра・ нее. Поэтому значение 山,а следовательно, и s0 необходимо определить опытным путем (см. § 7).
Учитывая формулу (3), запишем теперь закон Кулона (2) для взаимодействия зарядов 8 вакууме в окончательном виде:
尸=迎强一.(4)
4兀m
Опытное определение величины е0 дало для нее значение Ю^/Збл = =8,85 ・ Ют? единиц СИ. Размерность е0 легко определить из закона Кулона (4):
[]=j2ill£2L = J2!L = M-3・KrT ・с& ・ А2.
(Л 卜2]н • м2
В § 80 будет показано, что такая размерность соответствует размерности отношения фарада/метр (где фарада — единица измерения
электроемкости). Поэтому единица измерения электрической постоянной е0 называется фарадой на метр (Ф/м). Итак,
е0 = 8,85 ・〔Of ①/м.
Введение множителя 4л в знаменатель коэффициента пропорциальности в законе Кулона (4) обусловлено следующей причиной. Если бы это не было сделано, то во многие формулы электричества (электростатики и электромагнетизма), в том числе в формулы, часто встречающиеся на практике (в электротехнике и радиотехнике), вошел бы множитель 4л; или 1/4л (см. приложение III).
Чтобы освободить большинство таких практически важных формул от иррационального множителя 4л (и тем самым упростить их), достаточно искусственно ввести в правые части формул закона Кулона (4) и закона Ампера (магнитное взаимодействие токов, см. § 95) множитель 1/4л, одновременно изменив в 4л раз значения электрической постоянной % и магнитной постоянной р.о (см. § 95), что и было сделано нами. Правда, при этом менее важные в практическом отношении формулы электричества соответственно усложняются.
Указанное преобразование формул электричества называется их рационализацией t и преобразованные таким способом формулы называются рационализованными. Международная система единиц измерения (СИ) построена на рационализованных формулах электричества.
Отметим, что рационализация формул электричества оправдана не только практической целесообразностью, но и определенным физическим смыслом: множитель 4л в законе Кулона отражает сферическую симметрию электрического поля одиночного заряда.
В применявшихся ранее других системах единиц измерения физических величин (в частности, в системе СГС) использовались только не рационализованные формулы электричества. Правило преобразования рационализованных формул в нерационализованные (правило дерационализации) сформулировано в приложении 111. Там же приведены некоторые формулы электростатики и электромагнетизма, записанные в рационализованном и в нерационализованном видах.
Электрические заряды, находясь на расстоянии друг от друга, взаимодействуют между собой через пространство. Как мы уже знаем (см. § 12), такое взаимодействие может осуществляться только посредством поля, в данном случае —— электрического. Электрическим полем называется вид материи, посредством которого взаимодействуют электрические заряды. Каждое заряженное тело окружено электрическим полем. Всякий заряд, помещенный в это поле, подвергается, согласно формуле (4), действию силы.
Пусть в некоторой точке поля заряда Q находится малый положительный заряд % —так называемый пробный заряд. На него будет действовать сила Fo. Отношение F。/% представляет собой силу, действующую на единичный положительный заряд; оно не зависит от величины пробного заряда и потому может служить характеристикой электрического поля. Векторная величина
Е=-^ (5)
называется напряженностью электрического поля. Она направлена так же, как сила 尸° (поскольку % — скаляр). Таким образом, напряженность электрического поля 6 данной точке есть вектор, равный по
Рис. 146Рис. 146Рис. 147Рис. 147
Рис. 146
Рис. 146
Рис. 147
Рис. 147
мещенный 6 эту то^щ/ и совпадающий с ней по направлению. Из формулы (5) следует, что 5^ единицу напряженности электрического поля принимается напряженность такого поля, которое действует на заряд в 1 Кл с силой в 1 Ц. Размерность
(£| =」"'=== м • кг • с~8 • А1
Как будет показано в § 78, Н/Кл = вольт/метр (где вольт — единица измерения потенциала электрического поля). Поэтому единица измерения напряженности электрического поля полу- чила название вольт на метр (В/м).
Электрическое поле ве- /广
сьма наглядно изобража- /
ется с помощью силовых/口 g
линий. Силовой линией эле-'」：
ктрического поля называет-4
ся линия, 8 каждой точке которой касательная сов-Рис* 145
падает с вектором напряженности поля (рис. 145). Силовые линии проводятся с такой густотой, чтобы число линий, пронизывающих воображаемую площадку в 1 м2, перпендикулярную полю, равнялось величине напряженности поля в данном месте. Тогда по изображению электрического поля можно судить не только о направлении, но и о величине напряженности поля. Например, в окрестностях точки Л (см. рис. 145) Е = =2 В/м, а в окрестностях точки 8 Е = 4 В/м.
Электрическое поле называется однородным, если во всех его точках напряженность Е одинакова. В противном случае поле называется неоднородным,.
На рие. 146 и 147 изображены электрические поля положительного и отр ицательного точечных зарядов. Исходя из положительного
заряда (или входя в отрицательный заряд) силорые линии теоретически простираются до бесконечности.
Величина напряженности электрического, поля, создаваемого точечным (или шаровым) зарядом д, определяется по формулам (4) и (5) следующим образом:
e =旦=里:一,%4 兀 6(/2go
откуда
Рис. 148Рис. 148где г — расстояние от заряда, создающего поле, до точки, в которой определяется напряженность. Таким образом, напряженность поля точечного заряда оказывается обратно пропорциональной квадрату расстояния от этого заряда.
Рис. 148
Рис. 148
Число силовых линий, пронизывающих некоторую поверхность (реальную или воображаемую), расположенную в электрическом поле, называется потоком напряженности электрического поля N через эту поверхность. Если поверхность перпендикулярна силовым линиям и напряженность поля Е одинакова на всей поверхности, то, очевидно,
^ = ES,(7)
где S ——площадь поверхности.
Согласно формуле (7), единицей измерения потока напряженности электрического поля является вольт-метр (В-м); тогда размерность
[AfJ = [Е] [S] = м2 = м3 • кг • с~з. A~Lм
Если поверхность не перпендикулярна силовым линиям и напряженность поля на различных его участках различна, то надо разбить поверхность на малые площадки AS, на каждой из которых можно считать напряженность поля Е постоянной (рис. 148). Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен
Д^ = Е • AS' = EAS cos а,
где а — угол между силовой линией и нормалью п к площадке AS, AS' — проекция площадки AS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность представится суммой элементарных потоков:
N = ^ Et AS, cos %,где k — число элементарных площадок.
§ 76?0лектрическии диполь. Поле диполя
Электрическим дип^ем^ называется совокупность двух равных по величине разноименнЬкс точечных зарядов q, расположенных на некотором расстоянии / 而穴 от друга (рис. 149). Произведение
Q = Р
называется моментом диполя; прямая линия, соединяющая заряды, называется осью диполя. Обычно момент диполя считают направленным по оси диполя в сторону положительного заряда.
на основании формулы (6) написатьна основании формулы (6) написать
на основании формулы (6) написать
на основании формулы (6) написать
Рис. 149
Определим величину напряженности поля на продолжении оси диполя и на перпендикуляре к середине его оси.
Напряженность поля н а продолжении оси диполя. Согласно рис. 149, напряженность Е поля диполя в точке 4 направлена вдоль оси диполя и равна разности напряженностей & и 瓦，создаваемых положительным и отрицательным зарядами:
Е =旦 一 Е_ .
Обозначив через г расстояние от Л до середины оси диполя, можем
Тогда после простых преобразований получим
Полагая г》/, т. е. рассматривая поле на достаточно большом расстоянии от диполя, пренебрежем /2/4. Тогда
Напряженность поля н а перпендикуляре к середине оси диполя. Согласно рис. 150, напряженность Е поля диполя в точке А равна векторной сумме на-
От греческих слов & (ди) — два, лоХоа (полос) — полюс.
пряженностей Е+ и Е_, создаваемых положительным и отрицательным зарядами:
Е = Е+ + Е_・
Так как по величине заряды одинаковы и ^= г_, то по величине Е+ = Е_. Тогда £ является диагональю ромба, поэтому
Е = 2Е+ cos а.
Но
/
g2
Е+ = ―2— и cos а .
4吗在Г+
Следовательно,
£=』$・ ⑼£=』$・ ⑼Полагая, как и раньше, г》1, примем г+ ^ г Тогда
£=』$・ ⑼
£=』$・ ⑼
Таким образом, на большом расстоянии ‘от диполя напряженность электрического поля диполя обратно пропорциональна кубу расстояния.
Аналогичные предыдущим построения вектора напряженности, выполненные для других точек пространства, окружающего диполь, покажут, что поле диполя имеет вид, представленный на рис. 151.
§ 77. ТеоремаГ Остроградского—Гаусса и ее приложения
Определим поток напряженности поля электрических зарядов q^ 92, 9з，..., qn через некоторую замкнутую поверхность, окружаю- щую эти заряды (рис. 152). Причем будем считать поток отрицательным, если он направлен внутрь поверхности; в противном случае будем считать его положительным.
Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиусом R, окружающей один заряд q, находящийся в ее центре (рис. 153). Согласно формуле (6), напряженность поля на всей сфере одинакова и равна
4叫R2
Силовые линии ^цаправлены по радиусам, т. е. перпендикулярно поверхности сферы. ЭК) дает возможность применить для расчета потока напряженности К'、@ормулу (7):
N = ESH —2— 4nR2 = 2, (10) 4叫审 е0
где S = 4nR2 — площадь сферической поверхности.
Окружим теперь сферу произвольной замкнутой поверхностью. Как видно на рис. 153, каждая силовая линия, пронизывающая сферу, пронижет и эту поверхность. Следовательно, формула (10) справедлива не только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности.
Теперь вернемся к общему случаю произвольной поверхности, окружающей 几 зарядов (см. рис. 152). Очевидно, что поток напряженности через эту поверхность равен сумме потоков, создаваемых каждым из зарядов:
7^,
N = - X外.е° 7N = - X外.е° 7или окончательно
N = - X外.е° 7
N = - X外.е° 7
(И)
Таким образом,
поток напряженности, пронизывающий любую замкнутую поверхность, окружающую электрические заряды, пропорционален алгебраической сумме окруженных зарядов.
Это положение называется теоремой Остроградского ——Гаусса*^.
Теорема Остроградского——Гаусса представляет значительный практический интерес: с ее помощью можно очень просто определять напряженность полей, создаваемых заряженными телами различной
о з а р я-н и т и.о з а р я-н и т и.формы. Рассмотрим несколько примеров.
о з а р я-н и т и.
о з а р я-н и т и.
Напряженность поля равномерн генной бесконечной прямолинейной
Прежде всего выясним, каков вид поля этой нити. Мысленно разобьем заряженную нить на бесконечно большое число точечных зарядов (рис. 154, а). Из некоторой точки Л опустим на нить перпендикуляр 幺0・ Очевидно, что точечные заряды В и С, симметричные относитель-
Рис. 155Рис. 155
Рис. 155
Рис. 155
но АО, создадут в 4 напряженность Е, направленную перпендикуляр - яо нити. Так как вся нить состоит из симметричных (относительно АО) пар точечных зарядов, то результирующая напряженность поля в точке 4 будет направлена вдоль линии ОЛ. Иначе говоря, силовая линия, содержащая точку Л, есть прямая, исходящая из нити и перпендикулярная ей.
Проведя аналогичные рассуждения относительно других точек пространства, окружающего нить, придем к выводу, что электрическое поле равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити изображается радиальными силовыми линиями, перпендикулярными нити (рис. 154, б). Такой же вид будет иметь и поле конечной нити; искажения появятся только в окрестностях ее концов.
Определим теперь величину напряженности поля нити в некоторой точке 4 на расстоянии г от нити (рис. 155). Пусть линейная пло* .тность заряда нити (т. е. заряд, приходящийся на единицу длины) равен р (Кл/м). Окружим часть Л длины нити воображаемым цилинд- ром，ось которого совпадает с нитью, а боковая поверхность содер-
жит точку А, Согласно теореме Остроградского — Гаусса, поток напряженности через пдверхность этого цилиндра равен
n=_£%=F，(12)
где £ 力 =р论—— заряд части нити, окруженной цилиндром. С другой стороны, согласно формуле (7),
^ = ES = Е • 2农М,(13)
где S = 2лгЛ — площадь боковой поверхности цилиндра. Приравнивая друг к другу правые части соотношений (12) и (13), получим
Е =—-- 2 兀 е0r
Следовательно, напряженность поля нити обратно пропорциональна первой степени расстояния.
С помощью формулы (14) можно рассчитывать напряженность поля заряженного провода, тонкого стержня и т. п.
Напряженность" о- л я равномерно заряженной бесконечной плоскости. Проводя рассуждения, подобные тем, которые име
ли место при выяснении вида поля
нити, нетрудно убедиться, что силовые линии поля бесконечной заряженной плоскости перпендикулярны этой плоскости (рис. 156). Определим величину напряженности поля плоскости в некоторой точке Л. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости (т. е. заряд, приходящийся на единицу площади) равна а (Кл/м2). Построим воображаемый цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости, а правое основание содержит точку Л. Плоскость делит цилиндр по
полам.
N 二十工仇N 二十工仇aSaS(15)(15)Согласно теореме Остроградского — Гаусса, поток напряженности через поверхность этого цилиндра
N 二十工仇
N 二十工仇
aS
aS
(15)
(15)
где £ % = oS ——заряд части плоскости, окруженный цилиндром.
S — площадь основания цилиндра. Весь поток проходит только через основания цилиндра, так как силовые линии параллельны боковой поверхности цилиндра. На обоих основаниях напряженность поля £ одинакова, так как точки Л и 5 симметричны относительно плоскости. Тогда, согласно формуле (7),
N = E・2S,(16)
где 2S — площадь оснований цилиндра. Приравнивая друг к другу правые части соотношений (15) и (16), получим
Таким образом, напряженность поля бесконечной заряженной плоскости пропорцион ал ьн а поверхностной плотности заряда и не зависит от расстояния до плоскости. Следовательно, поле плоскости является однородным.
Напряженность поля между двумя бесконечными п а- раллельнымиразноименно
заряженнымиплоскостями.
Пусть поверхностные плотности заряда плоскостей равны + а и —а. На рис. 157 дан вертикальный разрез плоскостей; поле положительно заряженной плоскости изображено сплошными силовыми линиями, поле отрицательно заряженной плоскости ——прерывистыми. Так как по величине поверхностные
плотности заряда плоскостей одинаковы, то, согласно формуле (17), напряженности поля (£\ и £_), создаваемого каждой из плоскостей, одинаковы:
Как видно на рис. 157, поля между плоскостями складываются (силовые линии направлены в одну сторону). Поэтому напряженность поля между плоскостями Е = Е+ + £_, или
£= —.(18)
Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (силовые линии направлены навстречу друг другу). Поэтому здесь напряженность поля Е = 0.
Таким образом, поле между двумя бесконечными разноименно заряженными параллельными плоскостями однородно, а слева и справа от плоскостей оно отсутствует. Такой же вид имеет поле конечных параллельных плоскостей; искажение появляется только вблизи их границ.
С помощью формулы (18) можно рассчитывать напряженность поля внутри плоского конденсатора (см. § 82).
§ 78. Работа перемещения зарядав электрическом поле. Потенциал
На всякий заряд, находящийся в электрическом поле, действует сила, которая может перемещать этот заряд. Определим работу А перемещения точечного положительного заряда q из точки О в точку
п, совершаемую силами электрического поля отрицательного заряда О (рис. 158). По закону Кулона, сила, перемещающая заряд, является переменной и равной
4 冗 £(/2
где г — переменное расстояние между зарядами. Заметим, что по такому же закону (обратной пропорциональности квадрату расстояния) изменяется сила, перемещающая массу т в гравитационном поле массы М
/ 一 范4式叫/ 一 范4式叫qQ4к£0г0qQ4к£0г0(см. § 17). Поэтому работа перемещения заряда в электрическом поле (совершаемая электрическими силами) выразится формулой, аналогичной формуле работы перемещения массы в гравитационном поле (совершаемой гравитационными силами):
/ 一 范
4式叫
/ 一 范
4式叫
qQ4к£0г0
qQ4к£0г0
ИЛИ
(19)(19)
(19)
(19)
\ 4冗*4式叫/
Формула (19) выводится точно таким же путем, каким была выведена формула (8) в § 17.
Еще проще можно вывести формулу (19) посредством интегрирования:
.// Q
А = — I 尸.dr = — qQ I -~ = q ;
JJ 4тге0г2冗 60rzi
Знак минус перед интегралом поставлен в связи с тем, что для сближающихся зарядов величина dr отрицательна, тогда как работа dA — F • dr должна быть положительной, поскольку перемещение заряда q происходит в направлении действия силы.
Сопоставляя формулу (19) с общей формулой (4) из § 17, придем к выводу, что величина () представляет собой потенциаль-
\4冗£/ /
ную энергию Wn заряда в данной точке электрического поля:
(20)
Знак минус показывает, что по мере перемещения заряда силами поля его потенциальная энергия убывает, переходя в работу перемещения. Величина
4呻4呻(2D
4呻
4呻
равная потенциальной энергии единичного положительного заряда = + 1), называется потенциалом электрического поля, или электрическим потенциалом. Электрический потенциал не зависит аг величины перемещаемого заряда и потому может служить характеристикой электрического поля, подобно тому, как гравитационный потенциал служит характеристикой гравитационного поля.
Подставив выражение потенциала (21) в формулу работы (19), получим
4 = 9(% —屮J(22)
или
Полагая g = + 1, получим
% — % = 4
Таким образом, разность потенциалов двух точек поля равна работе сил поля по перемещению единичного положительного заряда из одной точки 8 другую.
Переместим теперь заряд g (действуя против сил поля) из некоторой точки на бесконечность (гл = оо)・ Тогда, согласно формулам (21) и (23),(рп = 0 и
?о ^ — •(24)
а
При g = + 1 получим (р0 = Л. Следовательно, потенциал точки электрического поля равен работе перемещения единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность.
Из формулы (24) установим единицу измерения потенциала, называемую вольтом (В):
В = Дж/Кл.(25>
т. е. вольт является потенциалом такой точки поля, при перемещении из которой заряда + 1 Кл на бесконечность совершается работа 6 1 Дж. Размерность потенциала
闸=-^-=丄^ = м2 • кг • с*8 ・ А*口 [g] Кл
Теперь, учитывая формулу (25), можно показать, что установленная в §75 единица измерения напряженности электрического поля действительно равна В/м:
Н = Н・м = Д* =旦
Кл Кл»м К』・м м •
Если заряд Q, создающий поле, отрицателен, то силы поля препятствуют перемещению единичного положительного заряда на бесконечность, совершая тем самым отрицательную работу. Поэтому потенциал любой точки поля, созданного отрицательным зарядом, является отрицательным (подобно тому, как отрицателен гравитационный потенциал любой точки поля тяготения). Если же заряд, создающий поле, положителен, то силы поля сами перемещают единичный положительный заряд на бесконечность, совершая положительную работу. Поэтому потенциал любой точки поля положительного заряда является положительным. Исходя из этих соображений можно записать выражение (21) в более общем виде:
屮=± /_,(26)
где знак минус относится к случаю отрицательного заряда, а знак плюс — к случаю положительного заряда Q.
Если поле создается несколькими зарядами, то его потенциал равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов (потенциал — скалярная величина: отношение работы к заряду). Поэтому потенциал поля любой заряженной системы можно рассчитать на основе приведенных ранее формул, предварительно разбив систему на большое число точечных зарядов.
Рис. 159Рис. 159Работа перемещения заряда в электрическом поле, как и работа перемещения массы в гравитационном поле, не зависит от формы пути, а зависит только от разности потенциалов начальной и конечной точек пути. Следовательно, электрические силы являются потенциальными силами (см. § 17). Поверхность, во всех точках которой потенциал одинаков, называется эквипотенциальной. Из формулы (22) следует, что работа перемещения заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю (так как(р0=(рп). Это означает, что силы электрического поля направлены перпендикулярно эквипотенциаль
Рис. 159
Рис. 159
ным поверхностям, т. е. силовые линии поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям (рис. 159).
Таким образом, электрическое поле характеризуется двумя физическими величинами: напряженностью (силовая характеристика) и потенциалом (энергетическая характеристика); выясним, как они связаны между собою. Пусть положительный заряд q перемещается силой электрического поля с эквипотенциальной поверхности, имеющей потенциал <р0, на близко расположенную эквипотенциальную поверхность, имеющую потенциал фп<ф0 (см. рис. 159). Напряженность поля Е на всем малом пути Ах можно считать постоянной. Тогда работа перемещения
\A~qE- А%,(27)
где qE — сила, перемещающая заряд на пути А%. С другой стороны, АА = 9 (?о —輔=9 • А%(28)
где
Из формулы (20) следует, что потенциальная энергия Wn взаимодействия двух зарядов 尔 и 92, расположенных на расстоянии г другИз формулы (20) следует, что потенциальная энергия Wn взаимодействия двух зарядов 尔 и 92, расположенных на расстоянии г другРис. 160Рис. 160* При этом предполагается, действуют никакие другие силы.* При этом предполагается, действуют никакие другие силы.
Из формулы (20) следует, что потенциальная энергия Wn взаимодействия двух зарядов 尔 и 92, расположенных на расстоянии г друг
Из формулы (20) следует, что потенциальная энергия Wn взаимодействия двух зарядов 尔 и 92, расположенных на расстоянии г друг
Рис. 160
Рис. 160
* При этом предполагается, действуют никакие другие силы.
* При этом предполагается, действуют никакие другие силы.
%) — %! = №
Из формул (27) и (28) получим
Е — = — grad ср;(29)
А%
знак минус обусловлен тем, что напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала, тогда как градиент потенциала направлен в сторону возрастания потенциала (см. § 3 и рис. 159).
Итак, напряженность поля равна по величине и противоположна по направлению градиенту потенциала. Формула (29) также показывает, что единицей измерения напряженности электрического поля является 1 В/м.
§ 79. О неустойчивости статических системэлектрических зарядов
от друга, выражается соотношением 土*,(зо)
4ке0Г
где знак плюс соответствует взаимодействию одноименных, а знак минус — разноименных зарядов.
На рис. 160 представлен график зависимости взаимной потенциальной энергии этих зарядов от расстояния между ними, построенный по формуле (30) (две гиперболы: верхняя — для одноименных зарядов, нижняя— для разноименных). График показывает, что потенциальная энергия системы двух зарядов не имеет минимума и, следовательно, ни при каком их расположении не может находиться 8 устойчивом равновесии (и вообще 8 равновесий. В самом деле, одноименные заряды (д】% 〉0) будут удаляться друг от друга, пока не разойдутся на бесконечно большое
что, кроме кулоновских сил, на заряды не
расстояние, а разноименные заряды (g^g2 V 0)—сближаться вплоть до соприкосновения и взаимной нейтрализации. В обоих случаях система полностью разрушится.
Можно доказать, что не только у системы из двух зарядов, но и у системы из любого числа зарядов при любом их расположении потенциальная энергия взаимодействия не имеет минимума и потому устойчивое статическое распределение электрических зарядов, находящихся на конечных расстояниях друг от друга, невозможно.
Это положение носит название теоремы Ирншоу.
Во избежание недоразумений подчеркнем, что устойчивое равновесие заряженных частиц — молекул в жидких и твердых телах (см. § 35) и ионов в кристаллах (см. § 51) не является статическим. Оно носит динамический (колебательный) характер и обусловлено одновременным действием межмолекулярных сил притяжения и отталкивания. Причем зависимость сил притяжения и сил отталкивания от расстояния между заряженными частицами выражается различными и отличающимися от закона Кулона закономерностями (см. § 35).
Теорема Ирншоу сыграла важную роль в развитии теории строения атома. Именно из нее был сделан вывод о том, что атом не представляют собой статическую (не
подвижную) систему зарядов и что устойчивость атома может быть обеспечена только непрерывным движением его частиц — электронов (см. § 132). Здесь мы опять встречаемся с примером того, как физические закономерности подтверждают фундаментальное положение диалектического материализма о неразрывной связи между материей и движением.
Система из многих разноименных электрических зарядов при определенном их взаиморасположении и определенном соотношении между их величинами, вообще говоря, может находиться в равновесии, однако это равновесие не будет устойчивым. Так, например, пять зарядов gi, «纟，•••，9s составят равновесную систему, если один из них (д。помещен в центр квадрата, а остальные — в его вершинах (рис. 161) и если qi — q, а
% = 0з = % = 95 = — ~(2— 1) Q ^1,04д・
Однако малейшее случайное смещение Д заряда gi немедленно приведет к его дальнейшему перемещению вплоть до объединения с другим зарядом (в данном случае д5); одновременно остальные заряды начнут удаляться друг от друга и разойдутся на бесконечное расстояние. В результате система полностью разрушится.
Анализ любых других частных случаев равновесия многозарядовых систем показывает, что все они соответствуют неустойчивому равновесию.
До сих пор предполагалось, что заряды и их поля находятся в sa- кууме. В последующих параграфах мы рассмотрим, какое влияние на электрическое поле и на взаимодействие электрических зарядов оказывает вещественная среда — проводники и диэлектрики.
§ 80. Проводники в электрическом поле. Электроемкость.Энергия заряженного проводника
Поместим в однородное электрическое поле нейтральный проводник, например металлический шар. Под влиянием поля свободные электроны проводника начнут перемещаться против поля. В результате левая часть поверхности шара зарядится отрицательно, а правая, на которой окажется недостаток электронов, — положительно (рис. 162). Это явление называется электростатической индукцией^. Индуцированные заряды создадут внутри проводника свое собственное поле, которое, очевидно, будет направлено противоположно внешнему чтолю, первоначально пронизывавшему проводник. Пе
Рис. 162рераспределение зарядов в проводнике будет
происходить до тех пор, пока внешнее поле внутри проводника не скомпенсируется собственным полем зарядов. При этом результирующее поле внутри проводника отсутствует, напряженность становится равной нулю, перераспределение зарядов прекращается. Отсутствие поля внутри, проводника означает, что все его точки имеют одинаковый потенциал, т. е. проводник является эквипотенциальным телом и поверхность проводника служит эквипотенциальной поверхностью. Но в таком случае силовые линии внешнего поля вблизи проводника должны расположиться перпендикулярно поверхности проводника. Итак, внесенный в электрическое поле проводник, если даже он не заряжен, вызывает искажение этого поля: вблизи проводника оно становится неоднородным. На рис. 162 изображены силовые линии поля (прерывистые) и эквипотенциальные поверхности (сплошные линии) вблизи проводника.
Очевидно, что электрическое поле будет отсутствовать не только внутри сплошного проводника, но и внутри полостей, имеющихся в проводнике, например внутри полого шара. На этом свойстве проводников основана так называемая электростатическая защита: прибор, который надо защитить от действия внешнего электрического поля, окружают со всех сторон проводником, например густой металлической сеткой.
Если проводник заряжен, то сообщенные ему заряды будут удаляться друг от друга под действием кулоновских сил отталкивания на возможно большее расстояние. Поэтому электрические заряды располагаются только на внешней поверхности проводника. Внутри проводника свободных зарядов нет. Наибольшая поверхностная плотность
заряда оказывается на выпуклых частях проводника: ребрах, остриях и т. п. Вблизи этих частей создается наибольшая напряженность поля заряженного проводника.
Так как поверхность проводника является эквипотенциальной, то заряженный проводник можно характеризовать потенциалом. Опыт показывает, что по мере увеличения заряда проводника возрастает и его потенциал: при изменении заряда на величину dq потенциал изменяется на величину d(p, но отношения
e=业=2 dy ср
(31)
где q ——заряд, ф ——потенциал проводника, остаются постоянными. Величина С называется электроемкостью проводника. Это важная электрическая характеристика проводника, зависящая только от его размера и формы. Следует, однако, подчеркнуть, что данное утверждение справедливо лишь для уединенного проводника. Если же вблизи проводника находятся другие тела, то поля их зарядов (собственных или индуцированных) изменяют потенциал, а следовательно, и емкость проводника. Таким образом, согласно формуле (31), электроемкость уединенного проводника численно равна заряду, изменяющему потенциал проводника на единицу.
Единицей электроемкости является фарада —— емкость такого уединенного проводника, которому заряд в 1 Кл сообщает потенциал в 1 В:
Ф = Кл/В
Согласно формуле (31), размерность электроемкости
IS
[Q]
闸
На рис. 163 изображены с помощью силовых линий электрические поля уединенного точечного заряда q (а) и уединенного проводящего шара (6) радиусом г, несущего заряд д. На расстоянии 》г от точечного заряда и от центра шара эти поля оказываются совершенно одинаковыми. Поэтому потен-
Рис. 163
циал поверхности шара радиусом г и емкостью С равен потенции ал у эквипотенциальной поверхности, находящейся на расстоянии г
от точечного заряда (эта поверхность изображена на рис. 163, а прерывистой линией). Тогда, согласно формулам (31) и (26),
(32)(33)(32)(33)откуда и
(32)
(33)
(32)
(33)
Из формулы (33) непосредственно следует, что электрическая постоянная е0 должна, как это отмечалось в § 75, измеряться в фарадах на метр (Ф/м).
Выразим из формулы (32) радиус шара г:
Сг =.
4тсе0
Если С = 1 ф, то, учитывая, что % = 8,85 • 10*12 Ф/м, получим
1Ф4 ♦ 3,14 • 8,85 • IO"①/м1Ф4 ♦ 3,14 • 8,85 • IO"①/м=9 • Ю9м=9- 10екм.=9 • Ю9м=9- 10екм.
1Ф
4 ♦ 3,14 • 8,85 • IO"①/м
1Ф
4 ♦ 3,14 • 8,85 • IO"①/м
=9 • Ю9м=9- 10екм.
=9 • Ю9м=9- 10екм.
Следовательно, емкостью в 1 Ф обладает уединенный проводящий шар радиусом в 9 • 106 км. Это чрезвычайно большая единица емкости. Поэтому в технике часто пользуются внесистемными единицами — микрофарадой и пикофарадой'. 1 мкФ = 10-в Ф, 1 пФ= 10"в мкФ, что соответствует емкостям уединенных проводящих шаров радиусами 9 км и 0,9 см.
Землю в целом можно считать проводящим шаром радиусом R = 6400 км. Тогда электроемкость земного шара равна
64 • 105 м • 1 Ф , С = ―——= 711 . 10-е ф = 711 мкФ.
9 • Ю9 м
Для зарядки проводника необходимо совершить определенную работу против кулоновских сил отталкивания между одноименными зарядами. Эта работа идет на увеличение электрической энергии заряженного проводника. Определим энергию заряженного проводника. Пусть первоначально нейтральному проводнику, имеющему емкость С, сообщается заряд д. Причем зарядка производится постепенно: малыми порциями заряда dg, переносимыми из бесконечности, где потенциал(р0 = 0. По мере зарядки потенциал проводника возрастает. Обозначим этот переменный потенциал через ф. Тогда малая работа %4, совершаемая при переносе очередного заряда dg, выразится, согласно формуле (22), соотношением
dA = (ср0 —哈• dq =—中• dg.
Согласно формуле (31), dg = С • d(p, поэтому
dA = — C(p • d<p.
Полная работа по зарядке проводника равна сумме всех малы х работ dA:
Л = J dA = — C J <p ・d(p =— C(p2.
оо
Знак минус показывает, что работа совершается внешними силами против сил поля заряженного проводника. Такую же по величине, но положительную работу может теперь совершить (в процессе разрядки) сам заряженный проводник. Поэтому энергия заряженного провод- ника W выразится формулой
(34)(35)(34)(35)W
(34)
(35)
(34)
(35)
2
или, согласно формуле (31),
Й7=丝=金2 2С *
§ 81. Диэлектрики в электрическом поле.Поляризация диэлектриков
Опыт показывает, что помещенный в электрическое поле диэлектрик приобретает полярность: та часть его поверхности, в которую входят силовые линии, заряжается отрицательно, а противоположная часть — положительно. Это явление называется поляризацией диэлектрика. По внешнему проявлению процесс поляризации диэлектрика схож с рассмотренным ранее процессом электростатической индукции проводника. Однако по существу эти процессы различны. В диэлектрике нет свободных зарядов, которые могли бы перераспределяться под действием поля. Все разноименные заряды в диэлектрике попарно связаны (электронная оболочка атома связана с его ядром, отрицательные ионы кристалла связаны с его положительными ионами и т. п.). Поляризация кристаллических диэлектриков и диэлектриков, состоящих из неполярных молекул, обусловлена небольшими смещениями связанных зарядов друг относительно друга. Поляри- зация диэлектриков, состоящих из дипольных молекул, обусловлена поворотом связанных зарядов относительно центра связи. Рассмотрим перечисленные виды поляризации более подробно.
.Поляризация диэлектриков, состоящих из н е-
十十полярных молекул. Неполярная молекула (или атом) может быть схематически представлена в виде положительно заряженной центральной области (атомного ядра), симметрично окруженной отрицательно заряженной оболочкой (электронной). Относительно внешнего пространства такая молекула
十
十
является нейтральной (рис. 164, а). Под влиянием электрического поля напряженностью Е положительный заряд сместится в направлении поля, а электронная оболочка вытянется в противоположную сторону {рис. 164, б). Молекула станет полярной {дипольной}, подобной электрическому диполю (рис. 164, 8). Такого рода поляризация молекул называется электронной. Очевидно, что при помещении диэлектрика
Рис. 165Рис. 165в электрическое поле все неполярные молекулы превратятся в дипольные, расположенные цепочками вдоль силовых линий поля, как показано на рис. 164, а, где черными кружками обозначены отрицательные заряды, а белыми — положительные.
Рис. 165
Рис. 165
В результате торцы диэлектрика приобретут разноименные заряды — диэлектрик поляризуется. Степень электронной поляризации диэлектрика зависит от его свойств и от ве-
личины напряженности поля Е.
Поляризация ди- электриков, состоящих из полярных мо- л е к у л. У некоторых диэлектриков молекулы всегда (и в отсутствие внешнего поля) несимметричны в электрическом отношении, т. е. являются ди・ польными. К таким диэлектрикам относятся, например, вода, аммиак, эфир, ацетон. Благодаря тепловому движению диполь- ные молекулы расположены в диэлектрике беспорядочно, т. е.
оси дипольных молекул имеют самые разнообразные направления (рис. 165, q). Поэтому диэлектрик в делом оказывается неполяризованным. Под влиянием электрического
поля все дипольные молекулы диэлектрика повернутся так, что их оси расположатся приблизительно вдоль силовых линий поля. В результате диэлектрик поляризуется (рис. 165, 6). Такого рода поляризация называется ориентационной, или дипольной, поляризацией. Полной ориентации молекул препятствует тепловое движение. Степень ориен-
тационной поляризации зависит от свойств диэлектрика, величины напряженности поля Е и температуры.
При исчезновении внешнего поля исчезает и поляризация диэлектрика, так как тепловое движение сразу же разрушает ориентацию молекул. Существуют, однако, и такие диэлектрики, называемые с* нетоэлектриками, у которых значительная поляризация сохраняется и после исчезновения поля. Это объясняется тем, что в сегнетоэлектриках имеются области самопроизвольной поляризации: микроскопические объемы, в каждом из которых все дипольные молекулы ориентированы одинаково. Внешнее поле поворачивает в сегнетоэлектрике не отдельные полярные молекулы, а целые полярные объемы. После исчезновения электрического поля тепловое движение сможет дезориентировать такие объемы только в случае достаточно высокой температуры*. В противном случае сегнетоэлектрик остается поляризованным и после исчезнования поля. Типичными сегнетоэлектриками являются сегнетова соль (NaKC4H4O6 « 4Н2О) и титанат бария (ВаТЮ3).
Поляризация диэлектриков, являющих- с я ионными кристаллами. У кристаллических диэлектриков с ионной решеткой каждая пара соседних разноименных ионов подобна диполю (рис. 165, 8). В электрическом поле эти диполи деформируются: удлиняются, если их оси направлены по полю, и укорачиваются, если оси направлены против поля (рис. 165, а). В результате диэлектрик поляризуется. Такого рода поляризация называется ионной. Степень ионной поляризации зависит от свойств диэлектрика и от напряженности поля Е.
Некоторые кристаллы (кварц, турмалин и др.) поляризуются при механической деформации. При сжатии пластинки такого кристалла, вырезанной в определенном направлении, ее плоскости оказываются разноименно заряженными и внутри пластинки возникает электрическое поле. При растяжении пластинки ее полярность и направление поля изменяются на противоположные. Это явление называется пьезоэлектрическим эффектом, а соответствующие вещества — пьезоэлектриками**. Пьезоэлектрический эффект обусловлен деформацией структурных группировок молекул пьезоэлектрика, нарушающей симметричность каждой из этих группировок в электрическом отношении.
Существует и обратный пьезоэлектрический эффект (являющийся частным случаем электрострикции): во внешнем электрическом поле пластинка пьезоэлектрика деформируется вдоль поля (сжимается или растягивается в зависимости от направления поля).
Пьезоэлектрический эффект используется в технике для измерения быстро изменяющихся давлений и для исследования ультразвуковых колебаний. Обратный пьезоэлектрический эффект используется для возбуждения ультразвуковых колебаний. Пьезокварц применяет-
* Эта температура называемая точкой Кюри, различна у разных сегнетоэлектриков; например, у титаната бария она равна 391 К.
** От греческого слова 冗(式з (пьезо) — сжимаю.
ся для стабилизации высокочастотных электрических колебаний, поскольку частота собственных механических колебаний пьезокварца характеризуется очень устойчивым постоянством.
§ 82. Электрическое поле в диэлектрике. Диэлектрическаяпроницаемость. Вектор электрической индукции
Поляризация диэлектрика в электрическом поле ведет к ослаблению этого поля внутри диэлектрика. Действительно, пусть напряженность поля между двумя безграничными параллельными разноимен-
十十十十十十+++十十+++++十十十十十十+++十十+++++Рис. 166Рис. 166но заряженными пластинами, находящимися в вакууме, равна Ео (рис. 16&). Поместим теперь между пластинами однородный изотропный диэлектрик. Поляризуясь, он создаст свое собственное поле напряженностью Е‘, направленное против внешнего поля Ео. Поэтому результирующая напряженность поля в диэлектрике Е меньше £0 на величину £:
十十十十十十+++十十+++++
十十十十十十+++十十+++++
Рис. 166
Рис. 166
ЕЕОтношение напряженности поля в вакууме к напряженности поля в однородной изотропной диэ- лектрической среде при неизменных зарядах, создающих поле, называется относительной диэлектрической проницаемостью £ этой среды (или просто диэлектрической проницаемостью):
Е
Е
(36)
Очевидно, что е — величина безразмерная. Относительная диэлектрическая проницаемость количественно характеризует свойство диэлек- трика поляризоваться в электрическом поле. Численные ее значения для различных диэлектриков приводятся в справочных таблицах«
Диэлектрическая проницаемость всех газов близка к единице (1,0001—1,01). У большинства неполярных диэлектрических жидкостей е лежит в пределах от 2 до 2,5, у твердых диэлектриков ——от 2,5 до 8, у полярных жидкостей —от 10 до 81. У сегнетоэлектриков е достигает очень больших значений ——порядка 104 и, кроме того, существенно зависит от величины напряженности внешнего поля. Для вакуума, согласно формуле (36), s = L
Заметим, что проводник можно рассматривать как неограниченно поляризующийся диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е = оо. Тогда, согласно формуле (36), напряженность поля внутри проводника
что соответствует выводу, полученному в § 80.
Так как напряженность электрического поля равна силе взаимодействия электрических зарядов, рассчитанной на единицу заряда, то
及及где 尸о — сила взаимодействия зарядов в вакууме,尸——сила взаимодействия тех же зарядов в диэлектрике. Поэтому формулу (36) можно переписать в виде
及
及
(37)
Следовательно, диэлектрическая проницаемость показывает также, во сколько раз уменьшается сила взаимодействия зарядов, находящихся в вакууме, если он заполнится однородным изотропным диэлектриком.
Сила 尸° взаимодействия точечных зарядов (^ и д?) в вакууме равна, согласно закону Кулона (см. § 75),
爲=爲=力％力％4兀ёУ2 '4兀ёУ2 '
爲=
爲=
力％
力％
4兀ёУ2 '
4兀ёУ2 '
где г — расстояние между зарядами. Тогда, учитывая формулу (37), получим для силы (尸)взаимодействия этих же зарядов в диэлектрике следующее выражение:
(38)(38)р = ет4тг£0ега
(38)
(38)
(закон Кулона для взаимодействия зарядов в диэлектрической среде).
Произведение электрической постоянной % на относительную ди- электрическую проницаемость е среды называется абсолютной диэлектрической проницаемостью еабс среды:
еабс = %&・
Поскольку е — безразмерная величина, sa6c измеряется в тех же единицах (Ф/м) и имеет такую же размерность (м~3 • кг-1 • с4 • А2), что и электрическая постоянная е0.
Подчеркнем еще раз, что значение относительной диэлектрической проницаемости е определяется только свойствами среды, значение электрической постоянной е0 — только выбором системы единиц измерения, а значение абсолютной диэлектрической проницаемости за- висит как от свойств среды, так и от системы единиц измерения.
Все полученные в предыдущих параграфах данной главы формулы, описывающие электрдцеские поля и взаимодействия электрических зарядов в вакууме, остаются справедливыми и в случае, когда эти явления имеют место в однородном изотропном диэлектрике.
Только в формулы, содержащие электрическую постоянную е0, необходимо вводить относительную диэлектрическую проницаемость е в качестве сомножителя при е0 (формулы, не содержащие е0, не требуют никаких дополнений). Таким образом, например, выражения
закона Кулона (4), напряженности электрического поля точечного заряда (6), потенциала (26) и теоремы Остроградского — Гаусса (11) применительно к условиям однородного изотропного диэлектрика примут соответственно вид:
Е =Е =??4冗%炉，q4冗6附2 ' Q4ле0ег4冗%炉，q4冗6附2 ' Q4ле0ег(39)(39)(40}(40}(41)(41)
Е =
Е =
?
?
4冗%炉，q
4冗6附2 ' Q
4ле0ег
4冗%炉，q
4冗6附2 ' Q
4ле0ег
(39)
(39)
(40}
(40}
(41)
(41)
(42)(42)
(42)
(42)
Наиболее сложным оказывается изучение электрических явлений в неоднородной диэлектрической среде. В такой среде е имеет различные значения, изменяясь на границах диэлектриков скачкообразно (претерпевая разрыв непрерывности). Это затрудняет применение формул (39) — (41). Что касается теоремы Остроградского — Гаусса, то в этих условиях она вообще теряет смысл. В самом деле, благодаря различной поляризуемости разнородных диэлектриков напряженности поля в них будут различными. Поэтому различно и число силовых линий в каждом диэлектрике. Часть линий, исходящих из зарядов, окруженных замкнутой поверхностью, будет заканчиваться на границах раздела диэлектриков и не пронижет данную поверхность.
Это затруднение можно устранить, введя в рассмотрение новую физическую характеристику поля — электрическую индукцию (или вектор электрической индукции). Сделаем это следующим образом. Предположим, что в вакууме создано однородное электрическое поле напряженностью Ео. Заполним вакуум параллельными слоями различных диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями &公 е2, е3 и т. д., располагая их перпендикулярно напряженности поля. Очевидно, что напряженности поля в различных диэлектриках будут различными, равными соответственно Е】,Е2, Е3 и т. д. Однако, согласно формуле (36),
в^Е^ = ^2^2 ^1 Е3Е3=== •・• === Е。== const.
Умножая все части этих равенств на электрическую постоянную е0, получим
^o^i^i = ®о®2^2 = &0&3Е3 =••♦== %Ео = const.
Введем обозначение
(43)(43)%еЕ = D.
(43)
(43)
Тогда предпоследнее соотношение примет вид
D] = D? === D§ ^2 • • • ^ D。== conste
Вектор D, равный произведению напряженности электрического поля в диэлектрике на его абсолютную диэлектрическую проницаемость, называется электрической индукцией; по направлению он совпадает с вектором напряженности Е. Электрическая индукция вакуума Do = =% Ео・
Согласно формуле (43), единицей измерения электрической индукции является кулон на квадратный метр (Кл/м2), а размерность
3 = [е01 • [£)=岗•圉=м2・с・А・
В отличие от напряженности Е электрическая индукция D постоянна во всех диэлектриках. Поэтому электрическое поле в неоднородной диэлектрической среде удобнее характеризовать не напряженностью Е, а индукцией D. С этой целью вводятся понятия линий индукции и потока индукции совершенно таким же образом, каким в § 75 вводились понятия силовых линий и потока напряженности.
В выражении (40) напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом в диэлектрике, перенесем абсолютную диэлектрическую проницаемость еое в левую часть равенства. Тогда, учитывая формулу (43), получим выражение электрической индукции точечного заряда в диэлектрике:
DD4кг24кг2(44)(44)
D
D
4кг2
4кг2
(44)
(44)
Следовательно, для преобразования формулы напряженности электрического поля Е в диэлектрике в соответствующую формулу электрической индукции D достаточно в левой части этой формулы заменить Е на D и исключить из правой ее части абсолютную диэлектрическую проницаемость % е.
Ниже приведены полученные по этому общему правилу выражения: электрической индукции поля на продолжении оси диполя
на перпендикуляре к середине оси диполя
0=(46)
бесконечной прямолинейной равномерно заряженной нити
(47)
бесконечной равномерно зар яженной плоскости
D = -~(48)
и между двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями
D = о,D = о,(49)
D = о,
D = о,
где р ——момент диполя, р — линейная плотность заряда нити, о — поверхностная плотность заряда плоскости.
Так как электрическая индукция D не испытывает разрыва на границах различных диэлектриков, то все линии индукции, исходящие из зарядов, окруженных некоторой замкнутой поверхностью, пронижут ее. Поэтому для потока индукции Nd теорема Остроградского — Гаусса полностью сохраняет свой смысл и для неоднородной диэлектрической среды. Математическое выражение этой теоремы можно представить формулой
(50)(50)"о =£%•1
(50)
(50)
§ 83. Конденсатор. Энергия электрического поля
Как мы уже видели (см. § 80), проводник, обладающий большой электроемкостью, должен иметь очень большие размеры. Например, уединенный металлический шар емкостью в 1 мкФ имеет радиус 9 км. Можно, однако, создать
такую систему, состоящую из проводников, разделенных диэлектриками, которая будет обладать большой емкостью при малых размерах. Такого рода электрическая система называется конденсатором. Простейший конденсатор состоит из
двух параллельных металлических пластин — обкладок, разделенных тонким слоем диэлектрика (рис. 167). Обкладкам этого конденсатора, называемого плоским, сообщаются разноименные равные по величине заряды.
В соответствии с формулой (31) емкость С плоского конденсатора равна отношению заряда q одной из его обкладок к разности потенциалов <р 1——ф 2 этих обкладок:
(51)(51)С = ^—
(51)
(51)
T1-¥2
(52)(52)Введем обозначения: d ——расстояние между обкладками конденсатора, S — площадь каждой обкладки, а — поверхностная плотность заряда обкладки, е — диэлектрическая проницаемость среды, находящейся между обкладками. При малом значении d можно считать поле внутри конденсатора однородным. Тогда, учитывая, что напряженность поля Е равна по величине градиенту потенциала, можно написать
(52)
(52)
% —屮2 = Ed、
или, учитывая формулу (18) и наличие диэлектрика,
一屮2 d♦
Подставляя последнее выражение в формулу (51) и учитывая, что q = oS, получим формулу емкости плоского конденсатора:
(53)(53)С = e“S
(53)
(53)
Из этой формулы следует, что емкость плоского конденсатора тем больше, чем больше площадь обкладок и диэлектрическая проницаемость среды, разделяющей их, и чем мень- .
66Рис. 168Рис. 168ше расстояние между обкладками.
6
6
Рис. 168
Рис. 168
Практически конденсатор обычно изготовляют из двух тонких, узких и длинных лент металлической фольги, проложенных очень тонкой лентой пропарафи- нированной бумаги. Получающаяся трех・ слойная полоса свертывается плотным рулоном. Такой конденсатор, имея размеры спичечного коробка, обладает емкостью 10 мкФ (металлический шар такой же емкости имел бы радиус 90 км). В конденсаторах переменной емкости применяются обычно газообразные и жидкие диэлектрики.
В связи с тем, что вне конденсатора
электрическое поле отсутствует (см. § 77), заряженный конденсатор не может индуцировать заряды на расположенных по соседству с ним проводниках. Поэтому соседние проводники не влияют на емкость конденсатора. Конденсаторы находят широкое применение в
электротехнике.
Несколько конденсаторов можно объединить в батарею. Определим емкость конденсаторной батареи при параллельном и последова
тельном соединениях конденсаторов.
У всех параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках одинакова и равна<рл—(рд, так как обкладки соединены проводником (рис. 168, а). Сумма одноименных зарядов на обкладках % + «2 + ••• + 9九=9・ Емкость такой батареи равна
С =——2——=—包1^11包-
¥q — Yb ¥q — *b ¥q — ¥bTa ~ Td
где ——= & — емкость первого конденсатора,
% —*ь
—^= С2 — емкость второго конденсатора и г. д.
% — »
Поэтому
С =工 &•(54)
У последовательно соединенных конденсаторов (рис. 168, б) заряды всех обкладок одинаковы по величине и равны q, а разность потенциалов
?1 — ?п = (?1 — ?2)+ (?2 — ?3)+ ••• + (?п-1 — ?П)-
Емкость такой батареи e =, а — ¥〃 откуда
1 = 一中1 一中〃 = 登L 一?2 [平2—中3 +…+ ?〃 -1——中〃
c qqqд'
где $二?а，’ = Jвеличина, обратная емкости первого конденсатора, i£?•，二？3，・ величина, обратная емкости второго ком- денсатора, и т. д. Поэтому
* = £ 击.(55)
Небезынтересно отметить, что орган для накапливания электрической энергии, имеющийся в некоторых рыб (электрический скат, электрический угорь и др.), представляет собой батарею конденсаторов значительной емкости, находящуюся под довольно высоким напряжением и развивающую при разряде большую мощность (у электрического угря напряжение достигает 1000 В, а разрядная мощность —1 кВт). Эта батарея состоит из тонких чередующихся слоев проводящей (нервной) и непроводящей (соединительной) ткани. Электроэнергия вырабатывается нервной системой спинного мозга.
С помощью плоского конденсатора американский физик Милликен в 1909 г, впервые осуществил экспериментальное определение величины заряда электро! на е. Идея опыта Милликена состояла в следующем. Между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора приложена разность потен-
-£~1 , +u_JО"
Рис. 169
циалов 屮 1——屮2； измеряемая вольтметром V (рис. 169). Расстояние между пластинами d; нижняя пластина заряжена отрицательно. В пространство между пластинами вбрызгиваются посредством пульверизатора мельчайшие капельки жидкого масла, а воздух в этом пространстве ионизируется ультрафиолетовыми лучами. Образующиеся ионы могут присоединяться («прилипать») к масля• ным капелькам. В результате многие из капелек оказываются электрически заряженными.
На отрицательно заряженные капельки действуют две силы: направленная вниз сила тяжести
Fr = mg и направленная вверх электрическая сила
尸 з = qE,
где m — масса капельки, q — ее заряд, Е — напряженность электрического поля, g — ускорение силы тяжести. Наблюдая за одной из таких капелек с помощью микроскопа М и изменяя посредством потенциометра R разность потенциалов, можно подобрать такое значение <рх—ср2, при котором капелька неподвижно повиснет в воздухе. Это означает, что по величине
F3 = FTi откуда
q^ — g-(56)
Так как очень мелкие капельки практически шарообразны (см. § 59), то массу наблюдаемой капельки можно определить из очевидного соотношения
т =冗少卩,(57)
6
где D — диаметр капельки, измеряемый с помощью микроскопа М, р — плотность масла. Подставив в формулу (56) выражение массы (57) и выражение напряженности поля (52), получим соотношение
° Qpgd/м、
6 (支一?2) позволяющее рассчитывать величину заряда q.
На основе многочисленных измерений Милликен установил, что заряд q оказывается всегда или равным, или кратным некоторому элементарному заряду е, т. е. заряду электрона.
Современные измерения заряда электрона усовершенствованным методом Милликена и другими методами показали, что
gn 1,6021 ・ К)Т9 кл.
Как всякий заряженный проводник, конденсатор (см. рис. 167) обладает электрической энергией, которая в соответствии с формулой (34) равна
呼=e (中1 一*2户
или, учитывая формулы (52) и (53)
WW£% Е2sd
W
W
(59)(59)Ho Sd = Q — объем, заключенный между обкладками конденсатора, поэтому
(59)
(59)
Поскольку все электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора, можно считать, что формула (59) выражает энергию электрического поля конденсатора. При этом оказывается, что энергия электрического поля пропорциональна квадрату его напряженности и объему охваченного им пространства. Этот вывод свидетельствует в пользу представления о материальности (реальности) поля.
W = -2—— 2W = -2—— 2(60)(60)Энергия электрического поля, приходящаяся на единицу занимаемого им объема, выражается соотношением
W = -2—— 2
W = -2—— 2
(60)
(60)
Величина w называется плотностью энергии электрического поля.
Задача 41. Две длинные параллельные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии г = 0,1 м друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях одинакова и равна р = 10~6 Кл/м, Найти величину и направление напряженности Е результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии а = г =• 0」м от каждой нити.
Решение. Изобразим поперечное сечение (48С) нитей через заданную точку С, напряженности Ei и Е2 электрических полей этих йитей и напряженность Е результирующего* электрического поля (рис. 170).
Так как ДЛВС равносторонний и заряды нитей одинаковы, то £\ = В2, а Е является диагональю ромба (СЕ^Е%), У которого 上 EiCE = 30®. Поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам, можем написать
Е
—=旦 cos 30°.
Но, согласно формуле (14), Е】= ,где ^0 = 8,85 • 10~12 Ф/м,
е=1 (для вакуума). Тогда получим
E = 2E|8S3。。。上2E = 2E|8S3。。。上2ие0ЕГие0ЕГ10-ьКл/м -0,87°2 c
E = 2E|8S3。。。上2
E = 2E|8S3。。。上2
ие0ЕГ
ие0ЕГ
':=3,13 • IS В/м.3,14 - 8,85 - Ю-I2Ф/м . 0,1м'/
Напряженность Е перпендикулярна расстоянию г между нитями и лежит в плоскости АВС.
Задача 42. Шарик массой m = 1 г и зарядом q = 10~8 Кл перемещается из точки 4, потенциал которой <рл = 600 В, в точку 8 с потенциалом ,区=0. Чему была равна скорость шарика в точке 4, если в точке 8 он-a стала равной 。8= 20 см/с?
Решение. Перемещаясь в электрическом поле от большего потенциала к меньшему (т. е. по полю), положительно заряженный шарик ускоряется силами поля и его кинетическая энергия возрастает. По закону сохранения и
превращения энергии (см. § 17), приращение кинетической энергии шарика А 呼 должно равняться работе Л, совершаемой силами поля:
А呼=4
Но AW =呼^ — WA =— — , где WB и WA — кинетические энер
гии шарика соответственно в точках В и Л. Вместе с тем, согласно формуле (22), 4 = q&A —¥в). Поэтому
加吟加吟加若加若=9（北一中В），=9（北一中В），
加吟
加吟
加若
加若
=9（北一中В），
=9（北一中В），
откуда
勿/4 *10'2 м2/с2 -• 600B n
уули КГ
=0,167 м/с.
Задача 43. Между пластинами заряженного плоского конденсатора вставлена слюдяная пластинка (е = 6). Какое она испытывает давление при напряженности электрического поля конденсатора Е = 1000 кВ/м?
Решение. Давление на слюдяную пластинку обусловлено силой взаимного притяжения 户 разноименно заряженных пластин конденсатора и равно
尸
где S ——площадь каждой пластины. Следовательно, необходимо определить силу притяжения двух параллельных разноименно заряженных пластин, приходящуюся на единицу площади. Для этого одну из пластин конденсатора будем рассматривать как создающую электрическое поле напряженность &, а другую —как заряд д?，находящийся в этом поле. Тогда, согласно формуле (5), сила действия первой пластины на вторую 尸=72Ei = a25£i, откуда сила притяжения пластин, приходящаяся на единицу площади (т. е. давление р), будет равна
гдеа2 ——поверхностная плотность заряда второй пластины. Но, согласно фор
муле (17), Ei =, где ci — поверхностная плотность заряда первой
2е0е
пластины.
Учитывая, что для конденсатора ai = а2 = а, можем написать
Так как в соответствии с формулой (18) Е =, то о = &q &Е и, следова
тельно, 配€七2 8,85 . 10-1аФ/м » 6 » 1012В2/ма“
Р = —— =2= 26,5Па・
Задача 44. Шар, погруженный в масло (в == 4), имеет потенц иал у == =4500 В и поверхностную плотность заряда о =» 1/3 • 10~ь Кл/ма. Найти: а) радиус г; б) заряд д; в) емкость Сиг) энергию 呼 шара.
q
Решение, а) Согласно формуле (31) <р = -— • Но заряд шара g = oS =
=а • 4лг2 (где S —* площадь шара), а согласно формуле (32), емкость шара С = 4冗 %”. Поэтому
4虱炉 га4虱炉 гаср = 4ТС£О£Гср = 4ТС£О£Г
4虱炉 га
4虱炉 га
ср = 4ТС£О£Г
ср = 4ТС£О£Г
откудаоткуда、 еое力产n、 еое力产n8,85 * 10-12Ф/м * 4 . 4500В°「•；；•一；『… ，。 « 1,4 . IO"2 м.1,13 . 10-5 Кл/м28,85 * 10-12Ф/м * 4 . 4500В°「•；；•一；『… ，。 « 1,4 . IO"2 м.1,13 . 10-5 Кл/м2б) q = 4№а == 4 . 3,14 . 1,42 • Ю~4 ма . 1,13< IQ-» Кл/м2 « 2,8< 10~8 Кл.б) q = 4№а == 4 . 3,14 . 1,42 • Ю~4 ма . 1,13< IQ-» Кл/м2 « 2,8< 10~8 Кл.
откуда
откуда
、 еое
力产n
、 еое
力产n
8,85 * 10-12Ф/м * 4 . 4500В°
「•；；•一；『… ，。 « 1,4 . IO"2 м.
1,13 . 10-5 Кл/м2
8,85 * 10-12Ф/м * 4 . 4500В°
「•；；•一；『… ，。 « 1,4 . IO"2 м.
1,13 . 10-5 Кл/м2
б) q = 4№а == 4 . 3,14 . 1,42 • Ю~4 ма . 1,13< IQ-» Кл/м2 « 2,8< 10~8 Кл.
б) q = 4№а == 4 . 3,14 . 1,42 • Ю~4 ма . 1,13< IQ-» Кл/м2 « 2,8< 10~8 Кл.
в) Св) Сq 2,8，10~8 Клq 2,8，10~8 Кл屮屮4 500 В4 500 В= 6,2・1尸2①.= 6,2・1尸2①.
в) С
в) С
q 2,8，10~8 Кл
q 2,8，10~8 Кл
屮
屮
4 500 В
4 500 В
= 6,2・1尸2①.
= 6,2・1尸2①.
г) Согласно формуле (34),2г) Согласно формуле (34),26,2 . 10Т2 ①.452 . 1Q4 в26,2 . 10Т2 ①.452 . 1Q4 в222="6,3・ 10f Дж.="6,3・ 10f Дж.
г) Согласно формуле (34),
2
г) Согласно формуле (34),
2
6,2 . 10Т2 ①.452 . 1Q4 в2
6,2 . 10Т2 ①.452 . 1Q4 в2
2
2
="6,3・ 10f Дж.
="6,3・ 10f Дж.
Глава ХШ・ Постоянный электрический ток
§ 84. Электричес1шй ток. Сила тока. Электродвижущая сила.Напряжение
Электрическим током называется упорядоченное (т. е. происходящее в определенном направлении) движение электрических зарядов. За направление тока принято считать направление движения положительных зарядов. Обычно электрический ток возникает под влиянием электрического поля.
Зарядим два проводника / и 2 разноименным электричеством до потенциаловф! и(р 2 и соединим их третьим проводником 3 (рис. 171). Разность потенциалов ф i—ср 2, возникающая при этом на концах соединительного проводника, создает внутри него электрическое поле, направленное в сторону падения потенциала. Если соединительный проводник является проводником первого рода, то в нем под действием поля начнется перемещение отрицательных зарядов (электронов) в направлении 23/, т. е. по проводнику пойдет ток в направлении 132,
(1)заряда Ад. Ток, сила(1)заряда Ад. Ток, силаКоличество электричества (величина заряда) Ад, проходящее за одну секунду через поперечное сечение проводника, называется силой тока /:
(1)
заряда Ад. Ток, сила
(1)
заряда Ад. Ток, сила
где А/ — промежуток времени прохождения
и направление которого не изменяются со временем, называется 九。・ стоянным; в противном случае ток называется переменным.
Как уже отмечалось (см. § 74), в СИ единица силы тока ——ампер (А)——является основной, установленной на основе взаимодействия двух параллельных проводников с током; точное определение ампера дано в § 100 и в приложении II. По формуле же (1) устанавливается единица заряда в СИ — кулон (см. § 74).
Возвращаясь к рис. 171, заметим, что движение электронов по соединительному проводнику приведет к разрядке проводников / и 2 и к ликвидации разности потенциалов между ними. В результате напряженность поля внутри проводника будет равна нулю и ток прекратится. Для поддержания постоянного тока необходимо иметь специальное устройство Г, внутри которого все время происходило бы разделение разноименных зарядов и перенос положительных зарядов на проводник /, а отрицательных ——на проводник 2. Такое устройство называется генератором, или источником тока.
Очевидно, что силы, разделяющие заряды в генераторе, имеют неэлектрическую природу, так как электрические силы могут только
соединять, но не разделять разноименные заряды. Поэтому силы, разделяющие заряды в источнике тока, называются сторонними электро- разделительными силами. Природа сторонних сил может быть разнообразной. В генераторе постоянного тока эти силы возникают за счет энергии магнитного поля и механической энергии вращения якоря; в аккумуляторе и гальваническом элементе — за счет энергии химических реакций; в пол уп р оводни ковом фотоэлементе — за счет электромагнитной энергии (света) и т. п.
Итак, простейшая электрическая цепь постоянного тока должна состоять из соединительного проводника 3 а источника тока Г, непрерывно заряжающего проводники / и 2, называемые полюсами источника тока (см. рис. 171).
Разделению и переносу зарядов внутри источника тока препятствуют, во-первых, внутреннее электрическое поле, направленное от положительного полюса к отрицательному, и, во-вторых, сопротивление среды источника тока (например, вязкость электролита в аккумуляторе или в гальваническом элементе). Поэтому работа сторонней электр ор аз де л ител ь ной силы Л слагается из работы Ль совершаемой против сил электрического поля внутри источника тока, и работы Л\ совершаемой против сил сопротивления среды этого источника:
А ^А^^
По величине работа
4= 9(% —平 2)，
где q — арифметическая сумма зарядов (положительных и отрицательных), переносимых сторонней силой на полюсы источника тока вопреки действию электрического поля. Поэтому можно написать
А =—+ Af.
Работа, совершаемая сторонней электроразделительной силой внутри источника при перемещении между его полюсами единичного заряда, называется электродвижущей силой источника тока (э. д. с.). Обозначив э. д. с. буквой g, получим
召= ,йЛи 召=(中 1 —中2)+ .(2)
Если полюсы источника тока разомкнуты (соединительный проводник 3 отсутствует), то 4' = 0, так как в этом случае сторонняя сила не перемещает зарядов внутри источника тока, а лишь поддерживает установившееся (на полюсах) разделение зарядов. Тогда, согласно формуле (2),
£ =屮1 —屮2，
т. е. электродвижущая сила равна разности потенциалов на полюсах разомкнутого источника тока. Разность потенциалов на полюсах источника тока, замкнутого внешней электрической цепью, называется напряжением источника тока. Напряжение меньше э. д. с. на величину Л 7 q. Таким образом, электродвижущая сила равна той максимально возможной разности потенциалов,которая устанавливается на полюсах данного источника тока, когда они разомкнуты. На любом участке внешней электрической цепи, т. е. между любыми двумя поперечными сечениями соединительного проводника 3, существует некоторая разность потенциалов ^а——(рь = U； она называется напряжением, или падением напряжения, на этом участке цепи (см. рис. 171).
Очевидно, что как электродвижущая сила, так и напряжение измеряются единицами потенциала (вольт).
Источники постоянного тока можно соединять между собой в батареи. Как правило, батареи составляются из источников, имеющих одинаковые электродвижущие силы. При последовательном соединении соседние источники присоединяются друг к другу разноименными полюсами; э. д. с. такой батареи равна сумме э. д. с. всех источников тока. При параллельном соединении положительные полюсы всех источников соединяют вместе; так же поступают и с отрицательными полюсами. В этом случае э. д. с. батареи остается равной э. д. с. отдельного источника; однако от такой батареи можно получить большую силу тока (равную сумме сил токов отдельных источников).
§ 85. Ток в металлических проводниках. Сопротивление.Законы Ома. Работа и мощность тока
Как уже отмечалось (см. § 74), ток в металлических проводниках представляет собой упорядоченное движение свободных электронов (электронная проводимость). Это представление было окончательно подтверждено опытами Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси (1912 г.) и Стюарта и Толмена (1916 г.)*. Суть опытов состояла в следующем. Катушка изолированной проволоки приводилась в быстрое вращение вокруг оси, проходящей через центры проволочных витков. При резком затормаживании катушки в ней появляется электрический ток. Количественные измерения показали, что этот ток представляет собой инерционное движение частиц, имеющих массу и заряд электрона. Ток в катушке оказывается весьма кратковременным, так как движущиеся по инерции электроны, сталкиваясь с ионами кристаллической решетки металла, быстро теряют свою скорость (упорядоченного движения). Таким образом, металлический проводник оказывает току определенное сопротивление. Для того чтобы преодолеть это сопротивление и получить постоянный электрический ток, необходимо поддерживать внутри проводника постоянное электрическое поле, т. е. необходимо поддерживать постоянную разность потенциалов (напряжение) на концах проводника. Очевидное, что сила тока должна зависеть по крайней мере от двух факторов: от напряжения, приложенного к проводнику, и от сопротивления проводника.
Еще в 1826 г. немецкий физик Ом опытным путем установил, что сила тока / в проводнике пропорциональна напряжению U между концами этого проводника:
/ = Ш,(3)
где k — коэффициент пропорциональности, называемый электропроводностью, или проводимостью, проводника. Величина
обратная проводимости, называется электрическим сопротивлением проводника. Вводя в формулу (3) сопротивление R, получим
Соотношение (4) выражает закон Ома для участка цепи (не содержащего источника тока):
сила тока 6 проводнике пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника.
Согласно формуле (4), за единицу измерения сопротивления следует принять сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В устанавливается ток силой в 1 А. Эта единица названа омом (Ом):
Ом = В/А.
Размерность сопротивления
因=段=^ = м2・кг・с-з・А-2・U] А
Поскольку сопротивление, оказываемое току металлическим проводником, обусловлено столкновением свободных электронов с ионами металла, можно предполагать, что это сопротивление должно зависеть от формы, размеров и вещества проводника. Согласно экспериментальным исследованиям Ома, сопротивление проводника прямо пропорционально его длине / и обратно пропорционально площади поперечного сечения S:
R = Р 停，(5)
где коэффициент пропорциональности р, характеризующий материал, из которого изготовлен проводник, называется удельным сопротивле^ наем вещества проводника. Из формулы (5) следует соотношение
р =号;(6>
полагая в нем S = 1 и / = 1, получим р = R. Следовательно, удельное сопротивление вещества равно выраженному 6 омах сопротивлению
куба с ребром 1 м из данного вещества пр〃 токе, параллельном одному из ребер куба. Размерность
[р]=」&1 ；jj" Ом • м = м3 • кг • G"3 ・ AR
Согласно формуле (6), единицей удельного сопротивления является 1 ом-метр (Ом • м) : удельное сопротивление такого вещества, куб из которого с ребром 1 м имеет сопротивление 1 Ом.
На практике удельное сопротивление зачастую измеряют во внесистемных единицах, не имеющих специального названия: Ом * мм2/м и Ом • см2/см = Ом • см (последняя единица называется иногда омосантиметром). Очевидно, что
1 Ом ・ см = 0,01 Ом • м и 1 Ом • мм2/м = 10~в Ом ・ м.
Сопротивление и удельное сопротивление проводников зависят от внешних условий, особенно от температуры. С повышением температуры усиливается хаотическое движение ионов металлической решетки, затрудняя тем самым упорядоченное движение электронов. Поэтому сопротивление металлов увеличивается с повышением температуры. Опыт показывает, что в первом приближении сопротивление всех металлов связано с температурой линейной зависимостью:
7?=%(1，十成)，(7)
где Rq — сопротивление проводника при 0 ℃, t ——температура, а— температурный коэффициент сопротивления. Для большинства металлов (при не очень низкой температуре) а 弋 0,004 Кг1.
На зависимости сопротивления от температуры основано устройство электротермометров сопротивления1： по величине сопротивления проводника рассчитывается температура, соответствующая этому сопротивлению.
При очень низких температурах, меньших 8 К, сопротивление некоторых металлов (алюминия, цинка, свинца и др.) скачкообразно уменьшается до нуля: металл становится абсолютным проводником. Это явление называется сверхпроводимостью. Ток, однажды возбужденный в замкнутом сверхпроводнике, не встречает сопротивления и потому существует («циркулирует») очень долгое время (несколько суток!). Явление сверхпроводимости было открыто Камер- линг-Оннесом еще в 1911 г. Оно может быть объяснено только на основе квантовой теории.
Введем в формулу (4) выражение сопротивления (5):( / _ 1 и и S Р /1/
где 1/р = 7 — удельная проводимость вещества проводника. Учитывая, что градиент потенциала (напряжения) U/1 «» Е ——напряженность электрического поля в проводнике» а £ =力—плотность тока (ток через единицу площади поперечного сечения проводника), получим
/ =任.⑹
Это соотношение, связывающее плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в данной точке, называется законом Ома s дифференциальной форме.
Определим-теперь работу, совершаемую постоянным током в проводнике, имеющем сопротивление R и находящемся под напряжением Фх——ф2 = U. Так как ток представляет собой перемещение заряда q под действием электрического поля, то работу тока можно определить по известному соотношению (22), полученному в § 78:
4=
Учитывая формулу (1) и закон Ома (4), можно написать для работы тока еще следующие выражения:
⑼(9〃)⑼(9〃)Л = IUt,
⑼
(9〃)
⑼
(9〃)
А = %,
где / — время, за которое рассчитывается работа. Поделив обе части каждого из этих равенств на время /, получим соответствующие выражения мощности N постоянного тока;
N = /U,(10)
N = /2R,(10，)
n =号(10")
Если сила тока измеряется в амперах, напряжение — в вольтах, сопротивление —в омах и время ——в секундах, то работа тока выражается в джоулях, а мощность — в ваттах.
Помимо системных единиц работы (см. § 16) в электротехнике широко применяются такие внесистемные единицы работы тока, как ватт-час, гектоватт- час и киловатт-час; 1 Вт • ч соответствует работе тока мощностью в 1 Вт в течение 1 ч:
1 Вт • ч = 3600 Вт • с = 3,6 • 103 Дж;
1 кВт . ч = 103Вт • ч = 3,6 • 10е Дж.
Отметим, между прочим, что при вспашке одного гектара земли электротрактор совершает работу приблизительно в 40 кВт-ч.
Опыт показывает, что ток всегда вызывает некоторое нагревание проводника. Нагревание обусловлено тем, что кинетическая энергия движущихся по проводнику электронов (т. е. энергия тока) переходит в теплоту при каждом столкновении электрона с ионом металлической решетки проводника. Если падение напряжения U в проводнике вызвано одним только сопротивлением проводника, то вся работа тока идет на нагревание проводника (и окружающей среды).
В этом случае количество теплоты Q, выделяющееся в проводнике, определяется равенствами:
Q = А = IUt = /2R/ = -^―Q = А = IUt = /2R/ = -^―(И)(И)
Q = А = IUt = /2R/ = -^―
Q = А = IUt = /2R/ = -^―
(И)
(И)
Данные соотношения выражают закон Джоуля — Ленца. Впервые этот закон был установлен опытным путем Джоулем (1843 г.) и независимо от него Э. X. Ленцем (1844 г.).
На тепловом действии тока основан целый ряд электрических приборов и установок: тепловые электроизмерительные приборы, лампы накаливания, электропечи, электросварочная аппаратура, установки для обогрева почвы в _ / ― парниках, бытовые электронагревательные при- 亠 с боры и т. п.
Отметим, что в цепи, состоящей из несколь- « ких электронагревательных приборов, соеди-G
ненных последовательно, сила тока во всех 弓Ч
приборах одинакова. Поэтому в соответствии с J формулой (11) наибольшее количество теплоты выделится в приборе с наибольшим сопротивлением. При параллельном соединении эле- ' % 力 ктронагревательных приборов одинаковым будет напряжение на всех приборах. В этом случае, ^0* 172 согласно формуле (11), наибольшее количество теплоты выделится в приборе с наименьшим сопротивлением.
В заключение найдем зависимость между электродвижущей силой £ источника тока и силой тока / в замкнутой электрической цепи (рис. 172). Сопротивление R проводника, соединяющего полюсы источника тока, принято называть внешним, а сопротивление г самого источника тока ——внутренним сопротивлением. Согласно формуле (2),
qq(12)
q
q
где ср】一^q)2 = U — напряжение на внешнем сопротивлении, А!— работа перемещения заряда q внутри источника тока, т. е. работа тока на внутреннем сопротивлении г. Тогда, согласно формуле (9), Af = /2「» Подставляя это выражение работы в формулу (12) и учитывая, что q — It и U = IR、можем написать
откуда
(13)(13)& = /R + /г.
(13)
(13)
Так как, согласно закону Ома (4), произведения IR и " представляют собой падения напряжения на внешнем и на внутреннем участке цепи, то соотношению (13) можно дать следующее толкование: в замкнутой
электрической цепи электродвижущая сила источника тока равна сумме падений напряжения на всех участках цепи.
Приведя соотношение (13) к виду
R +，R +，(14)
R +，
R +，
получим выражение закона Ома для замкнутой электрической цепи: сила тока пропорциональна электродвижущей силе и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи (R + г).
Понятно, что соотношение (13) также является выражением этого закона Ома.
Если в цепь источника тока с электродвижущей силой £ и внутренним сопротивлением г последовательно включить несколько проводников сопротивлениями Ri, R2, R3 и т- Д-» то, согласно соотношению (13), сила тока в такой цепи будет равна
/
Ri + & + Кз + …+ г
Сумма Ri + R2 + R3 ^~ ••• + г представляет собой полное сопротивление цепи. Таким образом, полное сопротивление цепи, состоящей из нескольких последовательно соединенных проводников, равно сумме сопротивлений отдельных проводников.
§ 86. Разветвленная электрическая цепь.Правила Кирхгофа
До сих пор мы рассматривали простейшие электрические цепи, состоящие только из одного замкнутого проводящего контура (рис. 173). Такие цепи называются неразветвленныма. На всех участках неразветвленной цепи силы тока одинаковы. Расчет неразветвлен- ных цепей (т. е. определение силы тока, э. д. с. и сопротивления) легко выполняется с помощью законов Ома (4) и (14).
Рис. 173Рис. 173Более сложной является разветвленная электрическая цепь. Она состоит из нескольких замкнутых проводящих контуров (АВСА, A CD А и т. д.), имеющих общие участки; в каждом контуре может быть несколько источников тока (рис. 174). Силы тока на отдельных участках замкнутого контура разветвленной цепи могут быть различными
Рис. 173
Рис. 173
Рис. 174
как по величине, так и 九。направлению (см., например, контур АВСА). Непосредственный расчет разветвленной цепи по законам Ома затруднителен, но может быть значительно упрощен применением пра- б〃4 Кирхгофа (сформулированных в 1847 г. Кирхгофом).
Назовем узлами разветвлений такие точки цепи, в которых сходится не менее трех проводников (например, точка 4 на рис. 174). При этом ток, входящий в узел, будем считать положительным, а ток, выходящий из узла, — отрицательным. Первое правило Кирхгофа утверждает, что
алгебраическая сумма сил /пока 6 узле разветвления равна нулю:
S/ = 0. (15)
Соотношение (15) выражает тот факт, что при постоянном токе не происходит накопления зарядов в узлах (потенциалы узлов остаются неизменными). Следовательно, за единицу времени одинаковое количество электричества входит в узел и выходит из него.
Применительно к узлу А первое правило Кирхгофа запишется так:
Л + Л 一 /4 + 厶一/6 =。.
Второе правило Кирхгофа относится к замкнутым контурам разветвленной цепи. Условимся считать положительным направление обхода контура по часовой стрелке*. Для контура АВСА оно указано прерывистой линией со стрелкой. Токи, идущие в положительном наг/равлении обхода, будем считать положительными, противоположные токи — отрицательными. Точно так же будем приписывать электродвижущим силам знак плюс, если они создают ток в положительном направлении обхода контура; в противном случае будем приписывать электродвижущим силам знак минус. Второе правило Кирхгофа утверждает, что
в замкнутом контуре разветвленной цепи алгебраическая сумма электродвижущих сил источников тока равна алгебраической сумме произведений сил тока на сопротивления соответствующих участков этого контура:
£6 = E/R. (16)
Соотношение (16) является обобщением закона Ома (13) на случай контура разветвленной цепи, содержащей несколько источников тока. Отметим, что, не будучи связанным с постоянством тока, второе правило Кирхгофа применимо также и к цепи переменного тока.
При расчете разветвленной цепи надо, пользуясь правилами Кирхгофа, составить независимые уравнения для нескольких узлов (15) и контуров (16); число уравнений должно равняться числу искомых величин (сил тока, э. д. с. и сопротивлений). Для составления независимых уравнений надо использовать только такие контуры, которые различаются хотя бы одним участком, и только такие узлы, которые различаются хотя бы одной силой тока. Направления иско-
Вообще говоря, выбор этого направления произволен.
тметров, соединенныхтметров, соединенныхждения трех произвольным (указаны на уравнения: для узла Аждения трех произвольным (указаны на уравнения: для узла А
тметров, соединенных
тметров, соединенных
ждения трех произвольным (указаны на уравнения: для узла А
ждения трех произвольным (указаны на уравнения: для узла А
мых сил тока выбираются произвольным образом. Если направление, принятое для какой-либо из сил тока, не соответствует действительному, то в результате расчета по правилам Кирхгофа эта сила получится отрицательной.
Чтобы лучше освоить применение правил Кирхгофа, рассмотрим конкретный числовой пример.
Разветвленная цепь состоит из трех гальванических элементов и трех вольно схеме, изображенной на рис. 175. Электродвижущие
силы элементов имеют значения £i = 1 В, 君2 = 2В и ^з = 1,5 В. Вольтметры обладают сопротивлениями 丸i = 2000 Ом, R》=3000 Ом и R3 = 4000 Ом. Необходимо определить силы тока в вольтметрах (пренебрегая сопротивлением гальванических элементов).
В цепи имеются два узла А и В и три g контура А1В2А, А2ВЗА и А1ВЗА. Очевидно, что для них можно составить только три независимых уравнения (для одного узла и для двух контуров). Этого достаточно для нахо-
сил тока (Л, /2 и /3). Выбрав образом направления сил тока рисунке стрелками), напишем
厶+厶一厶=з0,для контура Л1 В2А•-员 + £需=—A Ri +/2 R2Pдля контура А2 ВЗА
}}
}
}
Выразив из первого уравнения силу тока
，2 =，3 —厶
и подставив ее в два других уравнения, напишем:,员+后2 = /3 % - /1 (Rl + R2),一^2 一 嘉=一厶依2 + R3) + Л &.
Подставив численные значения э. д. с. и сопротивлений, получим систему урав-нений
3000/8 — 5000厶=1, 7000/8 — 3000/! = 3,5,
решая которую, найдем /8 = 558 мкА (м〃. кроампер) и Л = 135 мкА. Затем из первого уравнения получим /2 = 423 мкА.
Пользуясь правилами Кирхгофа^ легко рассчитать сопротивление цепи, составленной из нескольких (напри-
мер, трех) проводников, соединенных параллельно (рис. 176).
Для контура AR2BRiAt не содержащего э. д. с., можем написать
/2 ^2 人凡=。,
откуда
12№
Следовательно, силы тока 8 параллельно соединенных проводниках обратно пропорциональны сопротивлениям проводников.
Для узла А
но, согласно закону Ома (4),
где U =屮力——q)B—напряжение, приложенное к проводникам; R —— полное сопротивление параллельно соединенных проводников. Тогда получим
ии 、 и 、 и
RRi Rz 為
откуда
丄=丄+丄+丄
R Ri R2 •
Данный вывод справедлив для любого числа проводников. Поэтому
专=》/(18)
т. е. полная проводимость параллельного соединения проводников равна сумме проводимостей отдельных проводников. Таким образом, при параллельном соединении нескольких проводников их общая проводимость больше проводимости каждого отдельного проводника, а общее сопротивление меньше сопротивления каждого отдельного проводника.
На практике часто приходится от тока основной сети ответвлять определенную часть в некоторый участок цепи, пропуская остальную часть тока через параллельно подключенное к этому участку сопротивление, называемое шунтом. Сопротивление шунта рассчитывается на основании формулы (17). Пусть, например, надо пропустить через амперметр Л n-ю часть тока / (рис. 177, а). Введем обозначения: Rm н Ro — сопротивления шунта и амперметра, /щ и /о — силы тока через шунт и амперметр. Согласно формуле (17),
RmЛ)
Rq/ щ
Учитывая, что, по условию, /о = //п, а согласно правилу Кирхгофа, /山=/一
—/о = /о(几』i), получим выражение для расчета сопротивления шунта:
Яш=・九一1
Шунтированным амперметром можно измерять силы тока, превышающие те, для которых данный амперметр был предназначен.
Нередко также встречается необходимость измерять вольтметром напряжения, превышающие те, для которых он предназначен. В этом случае надо увеличить сопротивление вольтметра, последовательно присоединив в нему дополнительное сопротивление R^.
Рис. 177
Пусть, например, требуется измерить напряжение U на участке /—2 эле к» трической цепи вольтметром К, который рассчитан на напряжение Uo, в п раз меньшее, чем U (рис. 177, 6). Определим величину необходимого дополнительного сопротивления R^.
Обозначив напряжение на дополнительном сопротивлении через иЛ и силу тока в нем через /, можем написать
〃 + м = а
По условию, U = 〃％, тогда
力=% (—1)
или
/& = /% 5-1), что после сокращения на / даст искомое выражение для расчета дополнитель* но го сопротивления:
& = Rq (几一1)・
Само собой разумеется, что результаты измерений, полученные с помощью шунтированного амперметра или вольтметра с дополнительным сопротивлением» надо увеличить в п раз.
§ 87. Контактная разность потенциалов.Термоэлектрические явления
В 1797 г. итальянский физик Вольта опытным путем установилt что при тесном соприкосновении двух разнородных металлов между ними возникает разность потенциалов, зависящая только от их %〃• мического состава и температуры (первый закон Вольты).
Эта разность потенциалов названа контактной. Вольта же выявил ряд металлов, в котором каждый предыдущий металл при контакте с одним из последующих приобретает положительный потенциал (ряд Вольты):
Al, Zn, Sn, Cd, Pb, Sb, Bi, Hg, Fe, Cu, Ag, Au, Pt, Pd.
Под тесным соприкосновением подразумевается сближение поверхностей металлов на расстояние порядка размера ячейки кристаллической решетки, что может быть обеспечено, например, путем сварки металлов. Рассмотрим причины, вызывающие контактную разность потенциалов.
На рис. 178 схематически изображена часть кристаллической решетки металла. Силы притяжения к положительным ионам решетки, действующие на свободные электроны, нахо« дящиеся внутри металла, s среднем взаимно уравновешиваются. Это дает возможность электронам свободно передвигаться внутри металла между узлами решетки. Если же по какой- либо причине (см. § 88) электрон е выйдет за пределы металла (через поверхность а&), то на него начнут
действовать неуравновешенные силы притяжения со стороны ионов поверхности металла и со стороны того избыточного положительного заряда, который возник в металле в связи с потерей электрона е. Результирующая сила 尸,направленная в сторону металла, возвратит электрон в металл. Таким образом, для того чтобы покинуть металл и уйти в окружающую среду, электрон должен совершить работу против сил притяжения к металлу, действующих на расстоянии порядка размера кристаллической ячейки (10~8 см).
Работа А, которую необходимо совершить электрону, чтобы уйти из металла в окружающую его пустотуt называется работой выхода электрона из металла.
Работу выхода принято измерять в электронвольтах (эВ). Один электронвольт равен работе перемещения электрона в электрическом поле между точками с разностью потенциалов в 1 В. Так как заряд электрона | е\ = 1,6 • 10"19 Кл, то
1 эВ = 1,6 . IO'19 Кл • 1В = 1,6 • 10Т9 дж.
металлов различна. Для打+ 4二~1%металлов различна. Для打+ 4二~1%Рис. 179Рис. 179Величина работы выхода у различных чистых металлов она колеблется в пределах нескольких электронвольт (у цезия А = 1,81 эВ, у платины / = 6,27 эВ).
металлов различна. Для
打+ 4二~1%
металлов различна. Для
打+ 4二~1%
Рис. 179
Рис. 179
Осуществим теперь контакт двух различных металлов / и 2, имеющих работу выхода соответственно Л1И Л 2, причем Л 1<4 2
(рис. 179). Очевидно, что свободный электрон, попавший (в процессе теплового движения) на поверхность раздела металлов, будет втянут во второй металл, так как со стороны этого металла на электрон действует большая сила притяжения (Л 2>^i)« Следовательно, через поверхность соприкосновения металлов происходит «перекачка» свободных электронов из первого металла во второй, в результате чего первый металл зарядится положительно, второй — отрицательно. Возникающая при этом разность потенциалов(pt——(р2 создает электрическое поле напряженностью Е, которое затрудняет дальнейшую «перекачку» электронов и совсем прекратит ее, когда работа перемещения электрона за счет контактной разности потенциалов станет равна разности работ выхода:
e(d—屮；)=4 — 4，
или
屮:一中：=一,(19)
где е ——абсолютная величина заряда электрона. Значение 屮；——屮； составляет обычно около одного вольта.
Предположим теперь, что в контакт приведены два металла / и 2, имеющие одинаковые работы выхода Ai = A2f но различные концентрации свободных электронов п01 и п02<п01 (число электронов в единице объема). Тогда начнется преимущественный перенос свободных электронов из первого металла во второй. В результате первый металл зарядится положительно, второй — отрицательно. Между металлами возникнет разность потенциалов(pt—(р2, которая прекратит дальнейший преимущественный перенос электронов. Теоретический расчет показывает, что разность потенциалов зависит от соотношения концентраций свободных электронов в металлах и от температуры Т:
中 12»(20)
где k ——постоянная Больцмана. При комнатной температуре значения ф^—ф^ имеют порядок 10"1 В.
В общем случае контакта металлов, различающихся и работой выхода и концентрацией свободных электронов, контактная разность потенциалов, согласно формулам (19) и (20), равна
g1 一中2=一生二里 Е 也.(21)
Из формулы (21) непосредственно следует первый закон Вольты, поскольку контактная разность потенциалов выражается только через характеристики проводников (Дь Л 2, п01 и n02, Т).
Приведем в соприкосновение несколько (например, четыре) разнородных металлических проводников, имеющих одинаковую температуру (рис. 180, а). Пользуясь формулой (21), легко показать,
что сумма контактных разностей потенциалов соприкасающихся пар проводников
(中1 - ?2)+ (屮2 -93)+ (屮3 -中4)=中1 一①4.
Следовательно,
разность потенциала на концах разомкнутой цепи, составленной из нескольких последовательно соединенных проводников, равна контактной разности потенциалов, создаваемой концевыми проводниками (/ 〃 4), и не зависит от промежуточных проводников (2 и 3).
Это положение, также установленное экспериментально Вольтой, называется вторым законом Вольты.
Если теперь непосредственно соединить между собой концевые проводники (рис. 180, б), то существовавшая между ними разность потенциалов компенсируется равной по величине разностью потен« циалов 屮 1——平4， возникающей в месте контакта проводников / и 4. Поэтому контактная разность потенциалов не создает тока в замкнутой цепи металлических проводников, имеющих одинаковую температуру.
Отметим, что упомянутая в § 74 электризация трением также обусловлена контактной разностью потенциала. При контакте двух диэлектриков внешние электроны атомов, расположенные у поверхности соприкосновения диэлектриков, переходят преимущественно на диэлектрик с меньшей диэлектрической проницаемостью (т. е. на «лучший» диэлектрик, у которого внешние электроны проч нее связаны со своими атомами)*. В результате тело с меньшей диэлектрической проницаемостью заряжается (в месте соприкосновения) отрицательно, а тело с большей диэлектрической проницаемостью — положительно. При разделении тел они оказываются разноименно наэлектризованными. Так как в диэлектриках подвижность зарядов очень ограничена, то для ускорения электризации приходится увеличивать площадь контакта, что достигается путем многократного перемещения одного тела по другому. Это перемещение сопровождается трением, которое, следовательно, является лишь сопутствующим электризации процессом.
Контактная электризация имеет место и в коллоидных растворах: жидкость и взвешенные в ней твердые частицы (или частицы другой жидкости) заряжаются разноименно. При помещении коллоидного раствора в электрическое поле взвешенные частицы начинают передвигаться вдоль силовых линий поля. Это явление называется электрофорезом * *. Контактной электризацией обусловлено и явление электроосмоса*, перемещение жидкости в неподвижном пористом теле, помещенном в электрическом поле.
Электрофорез широко используется в производстве для отделения коллоидных взвесей, выделения эмульсий из нефти, очистки фруктовых соков, улавливания пыли и дыма из воздуха и т. п. Электроосмос применяется для сушки волокнистых и пористых веществ, например сена (холодная электросушка).
Контактная разность потенциалов играет важную роль в работе электровакуумных приборов, особенно электронных ламп с сеточным управлением, влияя на крутизну их вольт-амперной характеристики (см. § 88).
Зависимостью контактной разности потенциалов от температуры обусловлено явление, называемое термоэлектрическим эффектом.
Составим замкнутую цепь из двух разнородных металлических проводников / и 2. Температуры контактов (спаев) а и & будем поддерживать различными: 盼△% Т>Ть (рис. 181). Тогда, согласно формуле (21), контактная разность потенциалов в горячем спае больше, чем в холодном: AU〃>AUb. В результате между спаями а и Ь возникает разность
потенциалов
& — AU@ — △〃匕==(?i 一 ?2)a — (% —中2)力，
называемая термоэлектродвижущей силой, а в замкнутой цепи пойдет ток /. Пользуясь формулой (2), получим
или
& = а(Та-Т/ (22)
где коэффициент а = — In — является постоянной величиной для данной пары металлов (если пренебречь зависимостью концентраций электронов п01 и п02 от температуры).
Замкнутая цепь проводников, создающая ток за счет различия температуры контактов между проводниками, называется термоэлементом, или термопарой. Формула (22) показывает, что термоэлектродвижущая сила термопары пропорциональна разности температур спаев (контактов).
В 1834 г. французский физик Пельтье обнаружил явление, обратное термоэлектрическому. Если по замкнутой цепи, составленной нз двух разнородных металлических проводников / и 2, пропускать ток /' от постороннего источника в том же направлении, в котором при термоэлектрическом эффекте шел бы термоток, то спаи а и & приобретут различную температуру. Спай а, который при термоэлектрическом эффекте поддерживался бы при более высокой температуре, будет теперь охлаждаться, спай & — нагреваться (рис. 182). При нзме-
нении направления тока /' спай а будет нагреваться, спай b — охлаждаться. Это явление названо эффектом Пельтье.
Физическая сущность эффекта Пельтье заключается в следующем. Благодаря контактным разностям потенциалов в спаях а н 6 создаются контактные электрические поля е напряженностями Е (показаны на рис. 182 сплошными стрелками). В соответствии с указанным направлением тока /' электроны в спае & движутся против контактного поля, а в спае а — по полю (направления движения электронов показаны прерывистыми стрелками). Следовательно, в спае 6 поле ускоряет электроны; кинетическая энергия их возрастает. При столкно
вениях с ионами металла в спае
6 такие электроны передают ионам энергию, повышая внутреннюю энергию спая. Поэтому спай 6 будет нагреваться. В спае а поле тормозит электроны; кинетическая энергия их уменьшается, При столкновениях с ионами металла в спае а такие электроны получают от ионов энергию, понижая внутреннюю энергию спая. Поэтому спай а будет охлаждаться.
Очевидно, что при изменении направления тока /' на противо
положное нагреваться будет спай а, а охлаждаться — спай &, так как теперь в спае а электроны ускоряются, а в спае 6 — тормозятся
контактным электрическим полем Е.
Следует подчеркнуть, что металлические термопары дают малую
термоэлектродвижущую силу, не превышающую нескольких милливольт при разности температур спаев, равной 100 К. Коэффициент полезного действия таких термопар составляет примерно 0,1%. Поэтому практическое использование металлических термопар в качестве генераторов тока (термоэлектрический эффект) и холодильников (эффект Пельтье) экономически невыгодно. В этом отношении значительно большие возможности предоставляют полупроводниковые термопары, практическое применение которых рассмотрено позже (см. § 90). Что касается металлических термопар, то их практическое
использование в основном ограничивается измерением температур, С этой целью составляется цепь, изображенная на рис. 183. Спай 6
термопары, составленной из провод- ников / и 2, поддерживается при постоянной известной температуре Ть (например, при температуре тающего льда). Спай а помещается в среду, температура Та которой подлежит измерению. Зная коэффициент а данной термопары и измеряя милливольтметром G термо-
электродвижущую силу £, рассчитывают температуру Та по формуле полученной из соотношения (22). Обычно шкалу милливольтметра градуируют непосредственно в кельвинах.
Термоэлектрический термометр обладает существенными преимуществами перед ртутным. Он очень чувствителен, имеет малую температурную инерцию, применим в широком диапазоне температур, позволяет измерять температуру малых объемов среды (практически — точек среды). Кроме того, он допускает дистанционные измерения, т. е. определение температуры объекта, расположенного на большом расстоянии от места измерения или недоступного для непосредственного измерения (например, определение температуры зерна в засеках зернохранилища или овощей и клубнеплодов в буртах).
Эмиссия электронов. Термоэлектронная эмиссия.Электронные лампы
В металле всегда имеется некоторое количество свободных электронов, обладающих повышенной кинетической энергией и потому способных вылететь за его пределы. Затем вылетевшие электроны будут вновь втянуты в металл (см. § 87), но на их место вырвутся другие свободные электроны. Между электронами, вылетающими из металла и влетающими в него, устанавливается подвижное равновесие, в результате которого над поверхностью металла образуется своеобразное электронное облако. Испускание электронов металлом называется электронной эмиссией*. Это явление отчасти подобно испарению жидкости.
При нормальных внешних условиях электронная эмиссия выражена слабо. Для повышения ее интенсивности следует увеличить кинетическую энергию свободных электронов до значений, равных или больших работы выхода. Этого можно достигнуть различными способами. Во-первых, созданием электрического поля очень большой напряженности (порядка 10е В/см), способной вырывать электроны из металла (холодная эмиссия). Такая эмиссия используется, например, в электронных микропроекторах (см. § 102). Во-вторых, бомбардировкой металла электронами, предварительно разогнанными электрическим полем до очень большой скорости. Каждый из бомбардирующих электронов может вырвать из металла несколько новых электронов (вторичная эмиссия}. В-третьих, интенсивным освещением поверхности отрицательно заряженного металла (фотоэмиссия}. На фотоэмиссии основано явление внешнего фотоэффекта и устройство вакуумного фотоэлемента (см. § 136). В-четвертых, нагреванием металла. Эмиссия электронов, обусловленная нагреванием металла, называется термоэлектронной эмиссией. Термоэлектронная эмиссия как источник интенсивных электронных потоков (лучей, токов) широко исполь-
От латинского слова emissio — выпуск.
зуется во многих электронно-вакуумных приборах: электронных осциллографах (см. § 102), электронных микроскопах (см. § 102), рентгеновских трубках (см. § 125), электронных лампах и т. д.
С основными закономерностями термоэлектронной эмиссии мы познакомимся при рассмотрении принципа устройства электронной лампы. Простейшими электронными лампами являются трехэлектродная лампа — триод (рис. 184) и двухэлектродная лампа ——диод. Триод состоит из стеклянного баллона 4, внутри которого соосно укреплены три металлических электрода: тонкая нить / (катод или накал), тонкостенный цилиндр 2 (анод) и помещенная между ними редкая «спираль» 3 (сетка), Воздух из баллона откачан. Диод отличается от триода только отсутствием сетки. На электротехнических схемах электронные лампы изображаются так, как показано на рис. 185 (а —триод, б — диод). *
Принцип действия электронной лампы рассмотрим сначала на примере диода. Включим диод в электрическую цепь, схематически изображенную на рис. 186 (%н — батарея накала, Ва — анодная батарея). Вокруг катода, разогреваемого током накала /н, обра
зуется электронное облако. Под действием электрического поля, создаваемого анодным напряжением U (приложенным между катодом и анодом), электроны из этого облака устремятся к аноду и создадут в цепи анодный ток /а (анодное напряжение измеряется вольтметром V,
анодный ток — амперметром Л). Очевидно, что анодный ток можно усиливать, повышая анодное напряжение U (с помощью потенциометра R), так как при этом будет возрастать скорость движения электронов в лампе. Однако возможности этого способа усиления тока ограничены. При некотором значении напряжения Um сила анодного тока достигает максимальной величины и при дальнейшем повышении напряжения останется постоянной, равной /т. Это явление называется насыщенным, а ток 1т— током насыщения. Насыщение обусловлено тем, что все электроны, испускаемые за некоторый промежуток времени катодом, достигают анода за этот же промежуток времени.
При токе насыщения электронное облако полностью рассасывается. Описанная зависимость анодного тока от напряжения графически изображена на рис. 187. Аналитически эта зависимость (для участка ОС кривой /, т. е. при условии UvUm) выражается формулой Лэнгмю- ра — Богуславского^
『21а = ви 叱(23)
，f где В — коэффициент, зависящий от фор- /7 мы, размеров и взаимного расположения электродов.
//Чтобы повысить ток насыщения, необ-
// 折ходимо увеличить число электронов,
〃испускаемых катодом в единицу време
ни. Для этого следует повысить темпе1，” а ратуру катода, увеличив тик накала.
ит 〃 Кривая 2 на рис. 187 относится к более Рис. 187высокой температуре, чем кривая /.
'Зависимость тока насыщения от тем
пературы катода выражается теоретической формулой Ричардсона^
1т = CST『M,(24)
где S — площадь катода, 7 — абсолютная температура катода, Л — работа выхода электронов из катода, е — основание натуральных логарифмов, 左 ——постоянная Больцмана, С ——эмиссионная постоянная, теоретическое значение которой одинаково для всех металлов
и равно С = 6,02 • 105 А/(м2 • К2).
U
График (рис. 188), построенный на основа
нии формулы (24), показывает, что (при высоких температурах) ток насыщения резко возрастает с повышением температуры.
Подчеркнем, что ток через электронную лампу может идти только в одном направлении, т.е. только в том случае, когда анод соединен с положительным, а катод — с отрицательным полюсами анодной батареи 5a (см. рис. 186). Если —Т анод соединить с отрицательным полюсом батареи, то испускаемые катодом электроны оттал- ис. 188 киваются анодом и возвращаются на катод; тока в цепи не будет ——лампа «заперта». Таким образом, электронная лампа обладает односторонней вентильной) проводимостью. На этом основано применение лампы в качестве выпрямителя переменного тока. Предназначенные для этой цели диоды называются кенотронами.
Одна из возможных схем кенотронного выпрямителя изображена
на рис. 189. Являющийся обычно синусоидальным (см. § 106), переменный ток периода Т подается в первичную обмотку трансформа
тора N. Во вторичной обмотке возбуждается ток такого же периода. График этого тока представлен на рис. 190, а (/ — сила тока, / — время). Цепь вторичной обмотки трансформатора состоит из двух контуров 1421 и 3423. Крайние точки вторичной обмотки 1 и 3 попеременно, через каждый пол у пер иод, приобретают положительный потенциал. Поэтому лампы Ki и Л2 будут
Рис. 189Рис. 189«запираться» и «открываться» / попеременно через каждый
Рис. 189
Рис. 189
Рис. 190
полупериод. В результате на участках 1К14и ЗК^4 возникают токи
противоположных направлений. Эти токи являются пульсирующими, имеющими полупериодные перерывы (рис. 190, б и 8). На участке же 4R2 ток идет все время и притом в одном направлении (используются оба пол у пер иода). График этого выпрямленного тока представлен на рис. 190, а. Описанный выпрямитель называется двухпо- лупериодным. Каждый из контуров /К142 и ЗК、绰 в отдельности представляет собой однополупериодный выпрямитель.
Рассмотрим теперь действие
триода. Анодным током триода
Рис. 191Рис. 191можно управлять посредством сетки, изменяя напряжение между сеткой и катодом (при неизменных анодном напряжении и токе накала). Для этого триод включается в цепь по схеме, изображенной на рис. 191. Сеточное напряжение Uc создает между катодом и сеткой допол-
Рис. 191
Рис. 191
нительное электрическое поле, которое, накладываясь на основное поле (между анодом и катодом), будет ускорять или замедлять (в зависимости от знака заряда на сетке) движение электронов, испускаемых катодом, т. е. увеличивать или уменьшать анодный ток /а.
ГрафикГрафикВ связи с тем что сетка расположена близко к катоду (ближе, чем анод), влияние сеточного напряжения на анодный ток преобладает над влиянием анодного напряжения Ua. Поэтому незначительное изменение сеточного напряжения вызывает значительное изменение анодного тока. При достаточно большом отрицательном заряде на сетке ее электрическое поле может оказаться сильнее анодного поля. В этом случае электроны, испускаемые катодом, не смогут попасть на анод и анодный ток прекратится (сетка «запирает» лампу).
График
График
зависимости анодного тока от сеточного напряжения, па
зываемый сеточной характеристикой лампы, представлен на рис. 192. Ордината /т верхнего конца характеристики соответствует току насыщения. Отрицательная абсцисса (— U。) соответствует сеточному напряжению, запирающему лампу. Средняя часть АВ характеристики относится к диапазону анодных токов, соответствующих нормальной работе лампы (рабочая часть характеристики). В этом диапазоне изменение анодного тока связано с изменением сеточного напряжения приблизительно линейно. Чем больше крутизна рабочей части характеристики, тем резче возрастает анодный ток при повышении сеточного напряжения.
Одним из важных применений триода является использование его в качестве усилителя слабых колебаний тока и напряжения. Принципиальная схема такого усилителя была дана на рис. 191. Если се-
точное бания,точное бания,напряжение U^ и сеточный ток /с претерпевают слабые коле- то анодный ток /а будет совершать синхронные (одновременные) колебания такого же характера, но значительно усиленные (по амплитуде). Эти колебания можно еще раз усилить, подавая их на сетку второй лампы, затем на сетку третьей лампы и т. д. (многоступенчатое усиление). На рис. 193 изображены сильные колебания анодного тока /а, воспроизводящие слабые колебания сеточного тока /с (по оси абсцисс отложено время /).
точное бания,
точное бания,
Другое важное применение триода —генерирование электромагнитных волн —будет рассмотрено в § 112.
Ток в полупроводниках. Собственная и примеснаяпроводимости полупроводников
Проводники имеют удельное сопротивление порядка Ю-7 Ом м (и меньше), диэлектрики — порядка 108 Ом・м (и больше).
Удельное сопротивление большинства веществ лежит между указанными пределами. Эти вещества называются полупроводниками. В научном и практическом отношении наибольший интерес представляют твердые полупроводники. Типичными их представителями являются кремний, германий, селен, теллур и некоторые другие.
Как и у металлов, проводимость твердых полупроводников обусловлена перемещением электронов. Однако условия перемещения электронов в металлах и полупроводниках существенно различны, на что, в частности, указывает отмеченное резкое различие значений удельного сопротивления металлов и пол уп р оводн и ков. В отличие от металлов полупроводникам свойственны следующие основные особенности.
Во-первых, сопротивление полупроводников уменьшается с повы~ шением температуры. Причем влияние изменения температуры сказывается на изменении сопротивления больше у полупроводника, чем у металла (при изменении температуры на один кельвин сопротивление металла возрастает в среднем на 0,004, а сопротивление полупроводника уменьшается в среднем на 0,06 сопротивления при 273 К).
Во-вторых, электрический ток в полупроводниках осуществляется не только перемещением свободных электронов, но и перемещением связанных (с атомами) электронов. При некоторых условиях связанные электроны играют решающую роль в проводимости полупроводника.
В-третьих, небольшое количество примеси может QqeHb сильно изменить сопротивление полупроводника. Сотые доли процента примеси могут изменить сопротивление полупроводника в десятки тысяч раз.
Выясним причины этих особенностей полупроводников, прибегая к некоторым упрощенным представлениям и схемам.
При низких и нормальных температурах в полупроводнике имеется небольшое число свободных электронов: подавляющее большинство электронов связано с атомами. Этим объясняется плохая проводимость (большое удельное сопротивление) полупроводников. Немногие из имеющихся в полупроводнике свободных электронов ведут себя при- -близительно так же, как свободные электроны в металле. В отсутствие электрического поля они движутся хаотически, а при наличии поля приобретают еще и направленное движение (против поля), создавая тем самым слабый ток в полупроводнике. Проводимость, обусловленная движением свободных электронов, называется электронной, или проводимостью п-типа (от слова negative——отрицательный).
Для того чтобы связанный электрон стал свободным, необходимо увеличить его кинетическую энергию. С этой целью надо сообщить ему извне энергию, равную (или бдльшую) работе освобождения от
связи с атомом, что можно сделать, например, путем нагревания полупроводника. Следовательно, с повышением температуры число свободных электронов в полупроводнике возрастает.
Увеличение концентрации свободных электронов повышает проводимость и соответственно снижает сопротивление полупроводника. Правда, с ростом температуры усиливается хаотическое движение атомов полупроводника, затрудняя тем самым упорядоченное движение электронов, что вызывает увеличение сопротивления полупроводника. Однако влияние роста концентрации свободных электронов на сопротивление полупроводника преобладает над влиянием усиления хаотического движения атомов. Поэтому с псвышением температуры сопротивление полупроводника уменьшается.
В металле имеется большое число свободных электронов даже при самых низких температурах. В связи с этим повышение температуры металла практически не изменяет концентрацию свободных электронов в нем, а ведет лишь к усилению хаотического движения частиц металла. Поэтому при повышении температуры сопротивление металлов возрастает.
Высокое удельное сопротивление полупроводника и резко выраженная зависимость его сопротивления от температуры позволяют изготовлять полупроводниковые термометры сопротивления, обладающие малыми размерами и большой чувствительностью сравнительно с металлическими электротермометрами сопротивления. Полупроводниковый термометр сопротивления называется термистором^. Приемная часть термистора может иметь размеры в десятые доли миллиметра. Это дает возможность использовать термистор для измерения температуры очень малых объектов, например отдельных малых (практически — точечных) участков растительных и животных организмов. Термистором можно обнаруживать изменения температуры в миллионные доли кельвина. Благодаря столь высокой чувствительности термистор реагирует на изменение освещенности.
Помимо рассмотренной электронной проводимости для полупроводников характерен еще один тип проводимости, обусловленный перемещением связанных электронов. Чтобы понять это странное, на первый взгляд, явление, следует учесть, что соседние атомы кристаллического полупроводника связаны между собой внешними (валентными) электронами. Наиболее прочной является двухэлектронная связь, при которой каждые два соседних атома имеют во внешних электронных слоях по два общих электрона. Рассмотрим, например, германий. Он четырехвалентен, т. е. его атом имеет четыре внешних электрона, каждый из которых одновременно принадлежит одному из четырех соседних атомов германия.
Германий имеет кубическую гранецентрированную кристаллическую решетку. В такой решетке каждый атом германия находится
в центре тетраэдра (правильного четырехгранника с треугольными гранями), вершинами которого являются четыре ближайших атома германия (рис. 194).
Плоскостная схема электронных связей между атомами германия изображена на рис. 195, а. Кружками обозначены атомы германия (занумерованы римскими цифрами), точками — внешние электроны (занумерованы арабскими цифрами), линиями ——электронные связи
связи, осуществляемой однимсвязи, осуществляемой одниматомов (каждая линия соответствует электроном).
связи, осуществляемой одним
связи, осуществляемой одним
Рис. 194Рис. 194Рис. 195Рис. 195Пусть под влиянием внешнего воздействия (нагревания, освещения и т. п.) электрон / из связи атомов /—// стал свободным (рис. 195, б). Уход электрона равносилен появлению в области бывшей связи положительного заряда р, равного по величине заряду электрона. Такой положительный заряд, образующийся при освобождении электрона (при разрыве связи), принято в теории полупроводников называть ^дыркой». Итак, одновременно с возникновением свободного электрона образуется дырка. Разорванная связь может быть легко восстановлена за счет любого связанного электрона из соседней связи, например благодаря переходу электрона 8 из связи атомов II—/// (рис. 195, 6). Перемещение электрона 8 в разрыв связи /—// сопровождается перемещением дырки в связь //—///. Разорванная
Рис. 194
Рис. 194
Рис. 195
Рис. 195
связь II—III может в свою очередь восстановиться, например за счет перехода связанного электрона 9, сопровождающегося перемещением дырки в связь III—IV (рис. 195, а), и т. д.。
Таким образом, при наличии разорванных связей (дырок) в полупроводнике начинаются переходы (перескоки) связанных электронов из одной соседней связи в другую и одновременные переходы дырок в противоположном направлении. В отсутствие внешнего электрического поля эти переходы носят хаотический характер. При наличии поля на хаотическое движение накладывается упорядоченное: связанные электроны перемещаются против поля, дырки — по полю. Упорядоченное движение дырок создает ток в полупроводнике. Проводимость, обусловленная перемещением дырок, называется дырочной, или проводимостью p-типа (от слова positive — положительный).
Прибегая для наглядности к еще большей схематизации, можно представить процессы электронной и дырочной проводимостей посредством рис. 196. Полупроводник находится в электрическом поле напряженностью Е. Электрон, вырвавшийся из атома /V, становится свободным и «безостановочно» движется в направлении, противоположном полю.* Это электронная проводимость. Атом /V, лишившийся электрона, становится положительным ионом — дыркой (рис. 196, а). К этому иону присоединяется связанный электрон из соседнего справа ней- гльтате чего в атоме V образуется дырку V заполняет связанный электрон из
О Нейтральный атом (^Подожишьный ион(дь!рна)
• Свободный элентрон
^^Перемещение связанного злентрона 尸飞 Перемещение дырни
Рис. 196
трального атома 匕
в
ка (рис. 196, б). Затем
атома V/, образуя в этом атоме дырку (рис. 196, в). Потом дырка образуется в атоме VII и т. д. Эстафетное движение дырок в направлении поля (или, что то же, движение связанных электронов против поля) соответствует дырочной проводимости.
Суммарное движение свободных электронов и дырок образует ток в полупроводнике. Так как освобождение электрона сопровождается появлением дырки, то число свободных электронов в полупроводнике должно равняться числу дырок. Опыт и расчеты показывают, что свободные электроны и дырки перемещаются приблизительно с одинаковой скоростью. Поэтому ток в полупроводнике приблизительно в равной мере обусловлен как электронной, так и дырочной проводимостями. Такая электронно-дырочная проводимость называется собственной проводимостью полупроводника.
* В движении свободного электрона возможны и остановки, если на его пути окажется положительный ион — дырка.
Можно привести следующую аналогию электронно-дырочной проводимости. В зале кинотеатра со среднего кресла одного из рядов встает зритель и идет влево вдоль ряда к выходу. На освободившееся кресло пересаживается соседний зритель справа, на его место — следующий сосед справа и т. д.
В результате свободное место перемещается вдоль ряда вправо.
Движение первого зрителя служит аналогом электронной проводимости, пересаживание остальных зрителей ——аналогом дырочной проводимости.
В чистых полупроводниках имеет место собственная проводимость. Однако идеально чистых полупроводников в природе нет, а искусственная их очистка от всех примесей крайне сложна (практически невозможна). Между тем наличие даже небольшой примеси в полу
проводнике оказывает большое влияние на его проводимость, создавая так называемую примесную проводимость полупроводника. Некоторые примеси обогащают полупроводник свободными электронами, вызывая в нем преимущественную электронную проводимость. Такие примеси называются донорными (дающими), а полупроводники ——электронными, или полупроводниками n-типа. Другие примеси обогащают полупроводник дырками, создавая в нем преимущественную дырочную проводимость. Такие примеси называются акцептор1 ными (принимающими), а полупроводники ——дырочными, или полупроводниками p-типа. Поясним сказанное опять-таки на примере германия.
Введем в германий небольшое количество пятивалентного элемента, например мышьяка. Каждый атом мышьяка войдет в связь четырьмя своими внешними электронами с четырьмя соседними атомами германия. Пятый внешний электрон мышьяка окажется «лишним», не участвующим в установлении между атомных связей (рис. 197, а). Под влиянием теплового движения или иных воздействий этот электрон легко может стать свободным. Практически каждый атом введенного мышьяка создает в полупроводнике по одному свободному электрону (0,0001% примеси мышьяка увеличивает число свободных электронов в германии примерно в 1000 раз!). Существенно, что при этом число дырок не увеличивается, так как освобождение «лишних» электронов не разрывает междуатомных связей. В результате германий обогащается свободными электронами; примесная электронная
проводимость становится в нем основной. Германий превращается в примесный электронный полупроводник.
Введем теперь в германий небольшое количество трехвалентного элемента, например индия. Каждый атом индия прочно соединится тремя своими внешними электронами с тремя соседними атомами германия. Связь с четвертым атомом германия окажется непрочной, так как у индия нет четвертого внешнего электрона (рис. 197, 6). Поэтому каждый атом введенного индия создаст в полупроводнике г；о одной дырке. Существенно, что при этом число свободных электронов 〃е увеличится, В результате германий обогатится дырками; примесная дырочная проводимость станет в нем основной. Германий превратится в примесный дырочный полупроводник.
Таким образом, путем введения в полупроводник малых доз соответствующих примесей можно в широких пределах изменять величину и даже тип проводимости полупроводника. Изготовление примесных полупроводников с наперед заданными электрическими свойствами является важнейшей отраслью производства полупроводников.
Запирающий слой. Полупроводниковые выпрямители,усилители и термоэлектрические батареи
〃 - кип
z一^—^р-тип
；++ ++
二二 1
1 +4
а/
I+ +
I+ +
1 + +
^сВоШныв электроны®дыркиРис. 198^сВоШныв электроны®дыркиРис. 198Весьма важное явление имеет место в зоне контакта двух полупроводников различного типа проводимости——электронного (и) и дырочного (р). Так как в первом из них велика концентрация свободных электронов, а во втором —дырок, то через поверхность соприкосновения полупроводников происходит диффузия свободных электронов из электронного полупроводника в дырочныйи
^сВоШныв электроны®дырки
Рис. 198
^сВоШныв электроны®дырки
Рис. 198
диффузия дырок в противоположном направлении (р-> ->п). В результате пограничный слой со стороны /7-ПОлупроводника заряжается от
рицательно, а со стороны n-полупроводника — положительно, т. е.в зоне контакта образуется ^двойной электрический слой^ (рис. 198). Возникающее в этом слое электрическое поле напряженностью £" будет, очевидно, препятствовать дальнейшему переходу электронов в направлении птр и дырок в направлении р+п. В итоге при определенном значении напряженности Е' установится равновесие: прекратятся преимущественные перемещения электронов и дырок в указанных направлениях.
Толщина слоя / имеет порядок 10~5 см, контактная разность потенциалов в слое ——порядок 10一丄 В (для обычно применяемых в тех
нике полупроводников). Такую разность потенциалов (потенциальный барьер) могут преодолеть только электроны и дырки, обладающие большой кинетической энергией, соответствующей температурам в несколько тысяч кельвинов. При нормальной температуре слой I является непроницаемым ——имеющим очень большое сопротивление ——для
перехода электронов в направлении п->р и дырок в направлении р->л. Поэтому пограничный слой I называется запирающим слоем.
Сопротивление запирающего слоя можно изменить с помощью внеш
дырочному — отрицательныйдырочному — отрицательныйаанего электрического поля, В самом деле, присоединим к электронному
дырочному — отрицательный
дырочному — отрицательный
а
а
полупроводнику положительный, полюсы источника тока (рис.
199, а). Тогда напряженность внешнего поля Е, совпадающая по направлению с напряженностью Е‘，еще дальше отодвинет свободные электроны и дырки от места контакта полупроводников. Запирающий слой расширится и его сопротивление возра
Рис. 199Рис. 199стет. Ток через контакт не пройдет. Точнее говоря, пойдет очень слабый ток, обусловленный собственной проводимостью полупроводников, так как внешнее поле способ- i ствует переходу через запи- | рающий слой неосновных носителей тока: свободных эле
Рис. 199
Рис. 199
ктронов из дырочного полупроводника в электронный и
дырок из электронного по
лупроводника в дырочный. Но концентрации свободных электронов'в дырочном полупроводнике и дырок в электронном полупроводнике весьма малы. Поэтому в данном случае ток будет пренебрежимо малым. Направление п->р, практически не пропускающее тока.
называется запирающим.
Изменим полярность приложенного внешнего напряжения (рис. 199, 6). Тогда напряженность внешнего поля Е, направленная противоположно напряженности Е\ будет перемещать свободные электроны и дырки навстречу друг другу. Запирающий слой сузится и его сопротивление уменьшится. При определенном значении приложенного внешнего напряжения сопротивление запирающего слоя станет равным сопротивлению самих полупроводников (запирающий слой исчезнет). Через полупроводники пойдет сильный ток. Направление р~>%, пропускающее ток, называется пропускным.
Таким образом, запирающий слой обладает вентильной проводимостью, что позволяет использовать его для выпрямления переменного тока, подобно диоду в ламповом выпрямителе (ем. § 88). Зависимость
силы тока через полупроводниковый диод от приложенного напряжения изображена на рис. 200. Ветвь кривой ОА соответствует пропускному току, ветвь ОВ — слабому обратному току собственной проводимости полупроводников. В электрорадиотехнике наиболее распространены меднозакисные, селеновые, германиевые и кремниевые диоды.
Рис. 200Рис. 200На рис. 201 представлена принципиальная схема меднозакисного (купроксногд) выпрямителя. На медную пластину Си наращен слой закиси меди Си2О. Часть меднозакисного слоя, прилежащая к медной пластине, обогащается примесью меди и становится электронным поНа рис. 201 представлена принципиальная схема меднозакисного (купроксногд) выпрямителя. На медную пластину Си наращен слой закиси меди Си2О. Часть меднозакисного слоя, прилежащая к медной пластине, обогащается примесью меди и становится электронным полупроводником. Наружная часть一叩k1+力~1лупроводником. Наружная часть一叩k1+力~1%%\шш法шш\шш法шшр-типр-типРис. 202Рис. 202меднозакисного слоя обогащена (в процессе изготовления выпрямителя) кислородом и является дырочным полупроводником. Поэтому в толще закиси меди образуется запирающий слой с пропускным направлением тока от закиси меди к меди (р~>и).Из полупроводников изготовля * ются и триоды, называемые транзисторами. Транзистор состоит из трех полупроводниковых пластин (рис. 202). Крайние пластины Э и К, на-меднозакисного слоя обогащена (в процессе изготовления выпрямителя) кислородом и является дырочным полупроводником. Поэтому в толще закиси меди образуется запирающий слой с пропускным направлением тока от закиси меди к меди (р~>и).Из полупроводников изготовля * ются и триоды, называемые транзисторами. Транзистор состоит из трех полупроводниковых пластин (рис. 202). Крайние пластины Э и К, на-Рис. 201
Рис. 200
Рис. 200
На рис. 201 представлена принципиальная схема меднозакисного (купроксногд) выпрямителя. На медную пластину Си наращен слой закиси меди Си2О. Часть меднозакисного слоя, прилежащая к медной пластине, обогащается примесью меди и становится электронным по
На рис. 201 представлена принципиальная схема меднозакисного (купроксногд) выпрямителя. На медную пластину Си наращен слой закиси меди Си2О. Часть меднозакисного слоя, прилежащая к медной пластине, обогащается примесью меди и становится электронным по
лупроводником. Наружная часть
一叩k1+力~1
лупроводником. Наружная часть
一叩k1+力~1
%
%
\шш法шш
\шш法шш
р-тип
р-тип
Рис. 202
Рис. 202
меднозакисного слоя обогащена (в процессе изготовления выпрямителя) кислородом и является дырочным полупроводником. Поэтому в толще закиси меди образуется запирающий слой с пропускным направлением тока от закиси меди к меди (р~>и).
Из полупроводников изготовля * ются и триоды, называемые транзисторами. Транзистор состоит из трех полупроводниковых пластин (рис. 202). Крайние пластины Э и К, на-
меднозакисного слоя обогащена (в процессе изготовления выпрямителя) кислородом и является дырочным полупроводником. Поэтому в толще закиси меди образуется запирающий слой с пропускным направлением тока от закиси меди к меди (р~>и).
Из полупроводников изготовля * ются и триоды, называемые транзисторами. Транзистор состоит из трех полупроводниковых пластин (рис. 202). Крайние пластины Э и К, на-
зываемые соответственно эмиттером и коллектором, имеют дырочную проводимость; средняя пластина О, называемая основанием, имеет электронную проводимость. Очевидно, что в транзисторе образуются два запирающих (во взаимно противоположных направлениях) слоя: один ——между эмиттером и основанием, другой — между коллектором и основанием.
На рис. 202 представлена простейшая схема транзисторного усилителя слабых колебаний напряжения. Батарея 6长 включена между основанием и коллектором в запирающем направлении (минус на р-полупроводнике) и потому
не должна вызывать тока в коллекторе. Батарея 6^ включена между эмиттером и основанием в пропускном направлении (плюс на р-полупроводнике); под ее влиянием дырки из эмиттера перемещаются в основание. Затем эти дырки свободно проходят через запирающий слой между основанием и коллектором, поскольку, как уже отмечалось, для дырок n-полупроводника переход 〃тр является пропускным. В результате в цепи батареи Бк возникает ток.
Таким образом, эмиттер «впрыскивает» дырки в основание (подобно тому, как катод электронной лампы впрыскивает электроны в пространство между катодом и анодом), а коллектор «отсасывает» эти дырки из основания (подобно тому, как анод лампы отсасывает электроны). Транзистор имеет очень тонкое основание (его толщина порядка 10~3 см). Это необходимо для того, чтобы дырки переходили из основания в коллектор, не успев воссоединиться со свободными электронами основания.
Напряжение Uc，приложенное между эмиттером и основанием, играет роль сеточного напряжения лампового усилителя (см. рис. 194). Оно может увеличивать или уменьшать поток дырок из эмиттера в основание (в зависимости от того, в каком направлении ——пропускном или запирающем — оно приложено). Поэтому в случае колеблющегося напряжения Uc всякое его изменение Д Uc ведет к изменению концентрации дырок в основании, что в свою очередь вызывает соответствующее изменение тока в цепи коллектора и изменение Д Uа напряжения l/“ на резисторе R. Так как Uq》Uc (сопротивление R велико), то AUq》AUc・ Таким образом, слабое колебание напряжения в цепи эмиттера вызывает сильное колебание напряжения на выходном сопротивлении цепи коллектора.
Пол уп р оводн и ковые диоды и триоды могут иметь весьма малые размеры (порядка 1 см и менее), не нуждаются в нагреве (накале), просты по устройству, механически прочны, имеют большой срок службы. Поэтому они успешно конкурируют с электронными лампами
Еще одним важным полупроводниковым прибором, основанным на действии запирающего слоя, является полупроводниковый фотоэлемент. С ним мы познакомимся при изучении внутреннего фотоэффекта (см. § 136).
В § 87 отмечалось, что термоэлектродвижущая сила полупроводниковых термопар значительно больше, чем металлических. Теперь, после ознакомления с основными свойствами полупроводников, это различие нетрудно понять.
Если стержень из электронного полупроводника нагревать с одного конца и охлаждать с другого, то в горячем конце повысится концентрация свободных электронов (см. § 89). К тому же эти электроны будут иметь повышенную кинетическую энергию. Поэтому начнется преимущественный перенос электронов в направлении падения температуры, в ходе которого горячий конец стержня будет заряжаться положительно, а холодный — отрицательно (попутно отметим, что стержень из дырочного полупроводника приобретает за счет преимущественного переноса дырок на холодный конец противоположиую полярность: его горячий конец заряжается отрицательно, а холодный ——положительно). Возникающее при этом внутри полупроводника электрическое поле препятствует дальнейшему преимущественному переносу электронов на холодный конец стержня. В результате установится равновесное состояние при определенной для данного полупровод-
ника разности потенциалов (термоэлектродвижущей силе) между концами стержня. Существенно, что у металлического стержня подобного эффекта не будет, так как концентрация свободных электронов
Горячий спай
в металлах практически не зависит от температуры. Поэтому очевидно, что в замкнутой термопаре, составленной из металла и электронного
полупроводника,
возникает
Можно также составить стержней — электронного и
термопару
ток, направленный в металле от горячего (положительно заряженного) спая к холодному (рис. 203).
из двух полупроводниковых
движущие силы, возникающие в каждом руются, поскольку, как уже отмечалось, тронного и дырочного полупроводников
дырочного. Очевидно, что термоэлектро-
из этих стержней, сумми- нагреваемые концы элек- заряжаются разноименно. Термоэлект р од в и ж ущая
сила полупроводниковых термопар составляет около 0,1 В на 100 К разности температур (примерно в 100 раз больше, чем у металлических термопар), а их коэффициент полезного действия доходит до 8% (примерно в 80 раз больше, чем у металлических термопар). Это позволяет использовать полупроводниковые термопары не только для измерения температуры, но и в качестве генераторов тока, непосредственно преобразующих теплоту s электричество.
На рис. 204, а изображен термоэлектрогенератор ТГК-3, представляющий собой надетую на стекло керосиновой лампы кольцеоб
разную термобатарею, составленную из большого числа полупроводниковых термопар, расположенных радиально; устройство термобатареи схематически показано на рис. 204, 6. Внутренние (обращенные к стеклу) спаи термопар нагреваются до 570 К, внешние спаи имеют температуру около 330 К. Термоэлектрогенератор ТГК-3 успешно применяется для питания радиоприемников. Более мощный термо- электрогенератор ТГУ-1, нагреваемый керогазом, используется для питания колхозных и совхозных приемопередающих радиостанций «Урожай».
Эффект Пельтье (см. § 87) также выражен у полупроводниковых батарей значительно резче, чем у металлических. Поэтому полупроводниковые холодильники оказываются экономически выгодными. Устройство такого холодильника очень простое. В стенку теплоизолированного шкафа вмонтирована полупроводниковая термобатарея, у которой все охлаждающиеся (при пропускании тока) спаи находятся внутри шкафа, а все нагревающиеся спаи — снаружи. Внутренние спаи охлаждают воздух в холодильнике, а наружные спаи нагреваюг окружающую среду.На этом принципе устроен, напрнмер, бытовой холодильник «Днепр». Очевидно, что при пропускании тока через термобатарею холодильника в противоположном направлении холодильник превратится в нагревательную установку ——сушильный шкаф.
Ограничиваясь пока этими примерами практического использования полупроводников, отметим, что полупроводники ПОЗВОЛЯКУГ просто и экономично разрешать многие технические и научные проблемы. Этим объясняется большое и быстро возрастающее значение полупроводниковых приборов в народном хозяйстве.
§ 91. Ток в жидкостях. Электролиз. Законы Фарадея
Вещества, раствор которых в воде и некоторых других диэлект
рических жидкостях проводит электрический ток, называются электролитами. К ним относятся главным образом соли, кислоты и ще
лочи. Молекулы электролита и растворителя являются дипольными (см. § 81). Поэтому в растворе каждую молекулу электролита окружает группа молекул растворителя так, как это показано на рис. 205. Очевидно, что молекулы растворителя стремятся как бы разорвать молекулу электролита на две части; этому способ
ствует также тепловое движение — колебание атомов в молекуле электролита. В результате большинство молекул электро
лита распадается на положительные ионы (катионы} и отрицательные ионы (flHuoHb* например, молекула NaCl распадается в водном растворе на катионы Na+ и анионы С1". При этом возможен, конечно, и распад на ионы некоторых молекул самого растворителя. Описанный процесс называется электролитической диссоциацией.
Обратному процессу — воссое
динению (рекомбинации) ионов электролита в нейтральные молекулы ——препятствует образующаяся на ионах сольватная оболочка^ состоящая из молекул растворителя (рис. 206).
Степенью, или коэффициентом, диссоциации называется отношение числа диссоциированных молекул электролита п к общему числу его молекул 几。：
(25)
Рис. 207Рис. 207(числа 〃 и /г。 относятся к единице объема раствора, т. е. представляют собой соответствующие концентрации). Степень диссоциации зависит от природы электролита и растворителя, от концентрации электролита /г。и от температуры. В слабых растворах (п0->0) почти все молекулы электролита диссоциированы (а ^ 1), с повышением концентрации степень диссоциации уменьшается (за счет рекомбинации). При повышении температуры а увеличивается, так как усиливающееся при этом колебательное движение атомов в молекулах электролита способствует распаду этих молекул на ионы.
Рис. 207
Рис. 207
В отсутствие электрического поля ионы электролита вместе со своими сольватными оболочками движутся хаотически. При на
личии поля их движение упор я доч ивается: катионы движутся по полю, анионы ——против поля. В жидкости возникает электрический ток, обусловленный встречным движением разноименных ионов. Такого рода проводимость называется ионной.
Кроме указанных растворов ионной проводимостью обладают расплавы солей и окислов металлов: они также относятся к группе электролитов.
Определим плотность тока i в жидкости, т. е. заряд, переносимый за 1 с через воображаемую площадку в 1 см2, перпендикулярную направлению движения ионов (рис. 207). Так как перенос зарядов осуществляется ионами обоих знаков, то
i = q+n+v+ + q」i_v_,
где 9+ и g_ ——заряды катионов и анионов, п+ и п_ — концентрации этих ионов, 。+ и и_ — средние скорости упорядоченного движения этих ионов. Учитывая, что раствор в целом нейтрален, можем написать
(26)(26)9+% = q/_ = qn,
(26)
(26)
где q — заряд иона любого знака, п ——концентрация ионов этого же знака. Величина заряда иона обусловлена потерей (для катиона) или сохранением (для аниона) валентных электронов при диссоциации
молекулы. Поэтому, обозначив валентность иона через г, найдем
q =(27)
где е ——абсолютное значение заряда электрона. Тогда, учитывая формулы (26) и (27), получим
i = ezn (% + j)・(28)
В электрическом поле на движение иона оказывают влияние две силы: во-первых, ускоряющая электрическая сила
尸 э = qE,
где Е ——напряженность поля (см. § 75), во-вторых, тормозящая сила внутреннего трения жидкости FTp. Если ион с его сольватной оболочкой считать шаром с радиусом г, то, согласно закону Стокса (см. § 58),
/ = 6К屮叫
где 7] — коэффициент вязкости жидкости. При установившемся движении (которое наступает практически одновременно о появлением поля) % =尸тр, тогда
и = —^- £ =叫(29)
6К7]Г
где
"(30)
— подвижность иона. Из формулы (29) следует, что и = v при Е = 1. Таким образом, подвижность иона равна скорости равномерного движения этого иона под действием электрического поля единичной напряженности. Как видно из формулы (30), подвижность ионов возрастает с повышением температуры (за счет уменьшения вязкости жидкости »). При комнатной температуре « ^ 5 • 10~8 м2/(В *с).
Учитывая формулу (29), запишем выражение плотности тока (28) в виде
i = ezn (% + 〃一)Е,(31)
или
j = 丫£(32)
где
Т = ezn (〃+ + 〃-)(33)
—удельная электропроводность жидкости. Таким образом, выражения (31) и (32) представляют собой закон Ома 6 дифференциальной форме (см. § 85) для жидкости. Величина
егп (也 + u_)
является удельным сопротивлением жидкости. Так как с повышением температуры подвижность 〃 и концентрация п ионов возрастают, то, согласно формуле (34), с повышением температуры сопротивление жидкости уменьшается (в отличие от сопротивления металлических проводников).
Подходя к электродам, ионы электролита нейтрализуются (превращаются в нейтральные атомы) и оседают на электродах (анионы —— на аноде, катионы — на катоде) или же выделяются около электродов в виде газа (первичная реакция). Зачастую нейтрализовавшиеся ионы вновь вступают в реакцию с растворителем, образуя новые ионы, которые затем оседают на электродах (вторичная реакция).
Выделение на электродах продуктов разложения раствора (расплава) электролита при прохождении через этот раствор (расплав) тока называется электролизом. Отметим, что электролиз является частным случаем электрофореза (см. § 87).
Количественные закономерности электролиза установил в 1836 г. английский физик Фарадей. Эти закономерности нетрудно вывести теоретически на основе представления、об ионной проводимости.
Если за время / у электрода нейтрализуется п ионов, каждый из которых имеет валентность z и массу т, то электрод получит заряд
q = ezn\
где е ——заряд электрона. При этом на электроде осядет масса вещества
М = mk
Отношение
—=-=尼(35)
есть постоянная для данного вещества величина, называемая электрохимическим эквивалентом этого вещества. Очевидно, что электрохимический эквивалент равен количеству вещества, выделяющегося на электроде при прохождении через раствор единицы количества электричества. Для серебра, например, 6= 1,118 • Ю"6 кг/Кл, для меди k == 0,329 • 10~6 кг/Кл. Из формулы (35) следует, что
М — kg = hit、(36)
где / — сила тока, протекающего через раствор. Это соотношение выражает первый закон Фарадея:
масса вещества, выделяющегося на электроде, пропорциональна количеству электричества, прошедшего через раствор.
Умножим и разделим выражение k (35) на постоянную Авогадро
к =
"a ez
Учитывая, что Nмт = А —молярная масса вещества, получим
左=+ j(37)
где
尸—N & e
(38)
——универсальная постоянная, называемая постоянной Фарадея. Постоянная Фарадея равна постоянной Авогадро, умноженной на величину элементарного заряда. Отношение Л/г называется химиче- ским эквивалентом вещества. Формула (37) выражает второй закон Фарадея:
электрохимический эквивалент вещества пропорционален его химическому эквиваленту.
Объединив оба закона Фарадея, получим
(39)(39)1 4 Alt m =q = 尸 z " Fz
(39)
(39)
откуда следует, что F = q при М = Л/г, т. е.
постоянная Фарадея равна по величине количеству электричества, при прохождении которого через раствор на электроде выделяется один килограмм-эквивалент вещества.
Согласно опытным данным,
尸=9,6487 . 104 Кл/моль.
е =е =9,6487 • IO’ Кл/мо〃ьТ6,0225 моль-19,6487 • IO’ Кл/мо〃ьТ6,0225 моль-1Определив так постоянную Фарадея, найдем величину заряда электрона, пользуясь соотношением (38):
е =
е =
9,6487 • IO’ Кл/мо〃ьТ
6,0225 моль-1
9,6487 • IO’ Кл/мо〃ьТ
6,0225 моль-1
1,6 . 10-19Кл.
Электролиз находит весьма широкое применение в технике. Электролизом получают некоторые металлы (например, алюминий из расплава бокситов, содержащих окисел А12О3) и очищают от примесей многие металлы, полученные неэлектрическими методами (электро- рафинирование). Электролизом соответствуюдих растворов получают некоторые газы (кислород, водород, хлор и др.) и тяжелую воду. Посредством электролиза различные изделия покрывают слоем металлов {гальваностегия), а также изготовляют рельефные металлические копии нужных изделий, например типографские клише (гальванопластика). На электролизе основана зарядка аккумуляторов.
Отметим, что все жидкости животных и растительных организмов являются растворами электролитов. Поэтому постоянный ток через живой организм сопровождается химическими реакциями и перераспределением электрических зарядов в организме, что вызывает в нем разнообразные раздражения. Такие раздражения заставляют рыбу плыть против электрического поля, созданного в воде. На этом осно-
ван электролов рыбы (внутри рыболовной снасти помещается электрод, подключенный к положительному полюсу источника тока).
Интенсивность раздражения и других физиологических действий тока определяется главным образом силой тока. Токи в несколько сотых долей ампера приводят к серьезным поражениям человеческого организма, а более сильные токи могут оказаться смертельными. Сила тока, проходящего через организм человека, зависит от его электросопротивления, которое в основном определяется сопротивлением кожи (удельное сопротивление кожи имеет порядок IO? Ом ・ м). Вообще говоря, сопротивление человеческого тела весьма значительно; так, например, при сухой неповрежденной коже рук сопротивление тела от конца одной руки до конца другой составляет около 15 000 Ом.
Небезынтересно отметить, что среди сельскохозяйственных животных очень чувствительны к действию тока лошади. Ток, совершенно безвредный для человека, зачастую оказывается смертельным для лощади. Таким образом, распространенное выражение «лошадиная доза» является в данном случае неподходящим.
§ 92. Ток в газах. Несамостоятельный и самостоятельныйгазовые разряды
В отличие от растворов электролита газ при нормальных условиях состоит из нейтральных молекул (или атомов) и потому является изолятором. Проводником электрического тока газ становится только в том случае, когда хотя бы часть его молекул ионизируется (превращается в ионы) под влиянием внешнего воздействия (ионизатора). При ионизации из молекулы газа вырывается обычно один электрон, в результате чего молекула становится положительным ионом. Вырвавшийся электрон либо остается некоторое время свободным, либо сразу же присоединяется («прилипает») к одной из нейтральных молекул газа, превращая ее в отрицательный ион. Таким образом, в ионизированном газе имеются положительные и отрицательные ионы и свободные электроны.
Для того чтобы выбить из молекулы (атома) один электрон, ионизатор должен совершить определенную работу, называемую работой ионизации; для большинства газов она имеет значения, лежащие в пределах от 5 до 25 эВ. Ионизаторами газа могут служить рентгеновские лучи (см. § 125), радиоактивные излучения (см. § 139), космические лучи (см. § 145), интенсивное нагревание, ультрафиолетовые лучи (см. § 120) и некоторые другие факторы.
Наряду с ионизацией в газе идет процесс рекомбинации ионов. В результате устанавливается равновесное состояние, характеризующееся определенной концентрацией ионов, величина которой зависит от мощности ионизатора.
При наличии внешнего электрического поля в ионизированном газе возникает ток, обусловленный движением разноименных ионов во взаимно противоположных направлениях и движением электронов.
Благодаря малой вязкости газа подвижность газовых ионов в тысячи раз больше, чем ионов электролита, и составляет примерно IO» м2/(В・с).
При прекращении действия ионизатора концентрация ионов в газе быстро падает до нуля (в связи с рекомбинацией и выносом ионов к электродам источника тока) и ток прекращается. Ток, для существования которого необходим внешний ионизатор, называется несамостоятельным газовым разрядом.
При достаточно сильном электрическом поле в газе начинаются процессы самоионизации, благодаря которым ток может существовать и в отсутствие внешнего ионизатора. Такого рода ток называется ш- мостоятельным газовым разрядом.
Процессы самоионизации в общих чертах заключаются в следующем. В естественных условиях в газе всегда имеется небольшое количество свободных электронов и ионов, создаваемых такими естественными ионизаторами, как космические лучи и излучения радиоактивных веществ, содержащихся в атмосфере, почве и воде. Достаточно сильное электрическое поле может разогнать эти частицы до таких скоростей, при которых их кинетическая энергия превысит работу ионизации. Тогда электроны и ионы, сталкиваясь (по пути к электродам) с нейтральными молекулами, будут ионизировать их. Образующиеся при соударениях новые (вторичные) электроны и ионы также разгоняются полем и в свою очередь ионизируют новые нейтральные молекулы и т. д. Описанная самоионизация газа называется ударной ионизацией.
Свободные электроны вызывают ударную ионизацию уже при напряженности поля порядка 103 В/м. Что касается ионов, то они могут вызвать ударную ионизацию только при напряженности поля порядка 105 В/м. Это различие обусловлено рядом причин, в частности тем, что для электронов длина свободного пробега в газе значительно больше, чем для ионов. Поэтому электроны приобретают необходимую для ударной ионизации кинетическую энергию при меньших напряженностях поля, чем ионы. Однако и при не слишком сильных полях 几。・ ложительные ионы играют весьма важную роль в самоионизации газа. Дело в том, что энергия этих ионов оказывается достаточной для выбивания электронов из металла . Поэтому разогнанные полем положительные ионы, ударяясь о металлический катод источника поля, выбивают из него электроны, которые в свою очередь разгоняются полем и производят ударную ионизацию нейтральных молекул.
Ионы и электроны, энергия которых недостаточна для ударной ионизации, могут, тем не менее, при столкновении с молекулами приводить их в возбужденное состояние, т. е. вызывать некоторые энергетические изменения в их электронных оболочках. Возбужденная молекула (или атом) переходит затем в нормальное состояние, испуская при этом порцию электромагнитной энергии ——фотон (процессы
возбуждения атомов и испускания и поглощения ими фотонов будут рассмотрены в § 132—136). Испускание фотонов проявляется в cse- чении газа. Кроме того,(|ютон, поглощаемый какой-нибудь из молекул газа, может ионизировать ее; такого рода ионизация называется фотонной. Наконец фотон, попадающий на катод, может выбивать из него электрон (внешний фотоэффект), который затем вызовет ударную ионизацию нейтральной молекулы.
КатодКатод
Катод
Катод
®-^^ ионизация шленулы 伍蒜北統产 шктрона. 〃з китоди Л Испускание ротони мо/feRy/iQiij 脈的鈍舵 нноИ столкпоЗвнием г ионом
Рис. 208
В результате ударной и фотонной ионизаций и выбивания электронов из катода положительными ионами и фотонами количество ионов и электронов во всем объеме газа резко (лавинообразно) возрастает. Для существования тока в газе теперь уже не нужен внешний ионизатор. Газовый разряд становится самостоятельным. Описанный процесс самоионизации газа схематически показан на рис. 208, где нейтральные молекулы изображены белыми кружками, положительные ионы — кружками со знаком плюс, электроны — черными кружками, фотоны — волнистыми линиями.
На рис. 209 представлен экспериментальный график зависимости силы тока / в газе от напряженности поля Е или от напряжения U между катодом и анодом источника поля, поскольку
где 厶——расстояние между электродами. На участке кривой Оа ток возрастает приблизительно пропорционально напряженности поля (т. е. по закону Ома). Это объясняется тем, что с увеличением напряженности возрастает скорость упорядоченного движения ионов и электронов, а следовательно, и количество электричества, проходящее за 1 с к электродам (ток). Очевидно, что возрастание тока прекратится тогда, когда напряженность поля достигнет величины, при которой все ионы и электроны, создаваемые внешним ионизатором за 1 с, будут за это же время подходить к электродам. Максимальный
ток /т, соответствующий этой напряженности Еь, называется током насыщения (участок 6с). Величина тока насыщения пропорциональна мощности ионизатора. При достаточно большой напряженности поля Ес начинается самоионизация газа, а при дальнейшем увеличении напряженности наступает самостоятельный газовый разряд. Таким образом, участок кривой Od соответствует несамостоятельному газовому разряду, а ветвь кривой, лежащая правее точки d,——самостоятельному газовому разряду.
Таковы общие черты газового разряда. Вместе с тем характер (тип) разряда существенно зависит от давления, температуры и химического состава газа, а также от материала, формы, размеров и взаимного расположения электродов. В следующем параграфе рассмотрены основные типы самостоятельного газового разряда.
§ 93・ Типы самостоятельного газового разряда
Искровой разряд. При больших напряженностях электрического поля (около 30 000 В/см) в газе, находящемся при нормальном или повышенном давлении, возникает искровой разряд (пробой газа). Он имеет вид ярко светящегося извилистого разветвленного канала (стримера), мгновенно возникающего между электродами. Разряд носит прерывистый во времени характер (канал то вспыхивает, то гаснет) и сопровождается сильным треском.
Искровой разряд обусловлен ионными и электронными лавинами, вызванными ударной и фотонной ионизацией и выбиванием электро-
нов из катода положительными ионами. При этих процессах выделяется большое количество энергии. Поэтому газ в канале разряда нагревается до очень высокой температуры (порядка 104 К), чем и вызвано его свечение. Треск искрового разряда обусловлен звуковыми волнами, возникающими при резком расширении нагревающегося в канале газа.
Примером грандиозного искрового разряда в естественных условиях является молния. Она представляет собой электрическую искру, проскакивающую между грозовым облаком и Землей или между двумя грозовыми облаками. Длина молнии может достигать нескольких километров, диаметр канала молнии 25 см, сила тока в канале 105 А. Продолжительность молнии имеет порядок 10~6 с. Грозовые явления, в частности молния, были экспериментально исследованы впервые в середине XVIII в. М. В. Ломоносовым и Г. А Рихманом и независимо от них американским ученым Франклином.
В лабораторных условиях с помощью искрового разряда получают плазму (газ в состоянии полной ионизации). Искровой разряд используется для предохранения электрических линий передач от перенапряжения (искровой разрядник), а также для воспламенения горючей смеси в двигателе внутреннего сгорания. При малой длине газоразрядного промежутка искровой разряд вызывает разрушение (эрозию} поверхности металла. На этом основана электроискровая обработка металлов (резание, сверление и т. п.).
Коронный разряд. При нормальном и повышенном давлениях газа, находящегося в неоднородном электрическом поле, вблизи заостренных частей электродов наблюдается коронный разряд, представляющий собой слабое фиолетовое свечение газа, сопровождающееся легким шипением. Разряд обусловлен ударной ионизацией газовых молекул электронами и ионами, разогнанными до больших скоростей сильными электрическими полями, которые, как известно, создаются вблизи заостренных частей электродов (см. § 80). Свет испускается возбужденными молекулами газа при их переходе в нормальное состояние.
Коронный разряд возникает, например, около проводов высокого напряжения, у вершин мачт и других остроконечных предметов. На коронном разряде основано действие молниеотвода. Сильное электрическое поле, возникающее в атмосфере во время грозы, вызывает коронный разряд у вершины молниеотвода. Этот разряд непрерывно отводит в землю атмосферные электрические заряды, не позволяя им накапливаться вблизи здания, и тем самым предохраняет здание от удара молнии (или принимает удар на себя).
Дуговой разряд. Дуговой разряд возникает при сравнительно небольших напряжениях (около 60 В) между двумя близко расположенными друг от друга электродами (угольными или металлическими). При атмосферном давлении он имеет высокую температу-
py 5000——6000 К и сопровождается ослепительно ярким свечением. Плотность тока в дуговом разряде достигает нескольких тысяч ампер на 1 мм?.
Дуговой разряд обусловлен в основном термоэлектронной эмиссией раскаленного катода. Первоначальный нагрев катода происходит за счет теплоты, выделяемой током в месте соприкосновения электродов, имеющем большое сопротивление. Затем электроды раздвигаются и эмиттируемые электроны вызывают ударную ионизацию газа. После этого катод поддерживается в накаленном состоянии за счет бомбардировки положительными ионами.
Дуговой разряд был открыт в 1802 г. В. В. Петровым. В настоящее время этот вид разряда используется для сварки металлов (ду
1 h НН I
Рис. 210
говая электросварка}, выплавки специальных сталей (дуговая печь), освещения (дуговой фонарь, прожектор) и т. п. Отметим, что свет дугового разряда в ртутных парах, находящихся при пониженном давлении, богат ультрафиолетовыми лучами. В связи с этим ртутные дуговые лампы используются в качестве источника ультрафиолетовых лучей для научных исследований, а также для лечебных целей «искусственное горное солнце»). Баллон лампы изготовляется из кварцевого стекла, почти не поглощающего ультрафиолетового излучения (поэтому лампа называется кварцевой).
Тлеющий разряд. Тлеющий разряд наблюдается в газе при низком давлении (около 13 Па) и большой напряженности электрического поля (около 80 В/см). Разряд имеет вид спокойно светящегося столба Л (рис. 210), заполняющего почти все пространство между электродами газоразрядной трубки (положительный столб)\ не светящейся остается только небольшая область В около катода (катодное темное пространство). Свечение создают возбужденные молекулы; цвет свечения зависит от природы газа.
Тлеющий разряд вызван ударной ионизацией, производимой электронами, выбиваемыми из катода положительными ионами. Вблизи катода эти электроны еще только начинают ускоряться полем. Поэтому в области В они практически не производят ни ударной ионизации, ни даже возбуждения молекул газа, чем и объясняется отсутствие свечения в этой области. Достигая положительного столба Л, электроны приобретают уже достаточную кинетическую энергию и потому ионизируют газ в этом столбе. Образующиеся при ударной
ионизации положительные ионы устремляются к катоду и выбивают из него новые электроны, которые б свою очередь опять ионизируют газ в области А, и т. п. Таким образом, непрерывно поддерживается тлеющий разряд.
Отметим, что в связи с малой ионизацией области В (сравнительно с областью А) в ней сосредоточено почти все падение напряжения, создаваемого источником тока.
Так как в разреженном газе мала концентрация ионов (и нейтральных молекул), то, во-первых, не происходит пробоя газа и, во-вторых, общее количество энергии, выделяющееся в газе, оказывается небольшим, в связи с чем свечение газа остается холодным.
При дальнейшем разрежении газа его свечение ослабевает и при давлении порядка 0,1 Па практически прекращается. Но зато появляется зеленое свечение стекла (стенок) трубки. Свечение стекла вызвано ударами электронов, которые в условиях столь сильного разрежения редко сталкиваются с молекулами газа и потому разгоняются до скоростей, сравнимых со скоростью света. Поток этих электронов называется катодными лучами, или электронным пучком. Встречный поток положительных ионов называется Качаловыми лучами, или ионным пучком.
При дальнейшем понижении давления зеленое свечение стекла ослабевает и при давлении порядка 10~3 Па прекращается.
Трубки с тлеющим разрядом применяются в качестве источников света (лампа дневного света). В этом случае они заполняются парами ртути с примесью аргона, а стенки трубки покрываются изнутри флуоресцирующим веществом (люминофором). Такие лампы экономичнее ламп накаливания (см. § 135). Газоразрядные трубки, заполненные гелием или неоном, используются для декоративных целей и для рекламных надписей.
В лабораторных исследованиях и в некоторых электронных приборах тлеющий разряд используется в качестве источника ионных и электронных пучков.
Примером тлеющего разряда в естественных условиях является полярное сияние. Оно возбуждается в верхних (разреженных) слоях атмосферы потоками заряженных частиц, извергаемых из активных областей Солнца и собираемых магнитным полем Земли в зонах зем* ных (магнитных) полюсов (см. § 94 и 101).
Задача 45. Небольшая сельская гидроэлектростанция расходует ежеминутно V — 240 мз воды. Высота напора воды 九=4 м. Сколько электроламп может обслуживать такая установка, если каждая лампа потребляет ток / = ==1 А при напряжении U — 220 В? Коэффициент полезного действия всей гидроустановки т] = 75%.
Решение. Электролампы включаются в осветительную сеть параллельно; поэтому в соответствии с первым правилом Кирхгофа (15) сила тока в шинах электростанции равна 孔/, где и ——число ламп. Тогда, согласно формуле (10), потребляемая электролампами мощность ^ = nIU.
С другой стороны, мощность, даваемая электростанцией, равна
、4 mg% Vpg/z
где А ——работа, совершаемая падающей водой за время / = 60 с, tn ——масса этой воды, р == 103 кг/n? — плотность воды, g — ускорение свободного падения. Эта мощность и потребляется электролампами. Поэтому можем написать
Vogh пШ =Vogh пШ =77
Vogh пШ =
Vogh пШ =
7
7
откуда
р 535.р 535.1А • 220В • 60с1А • 220В • 60сVpghri 240 м3 • 103 кг/м3 • 9,8 м/с2 • 4м • 0,75
р 535.
р 535.
1А • 220В • 60с
1А • 220В • 60с
Задача 46. Напряжение на шинах электростанции Uo = 6600 В. Потребитель находится на расстоянии / = 10 км. Какой площади поперечного сечения S надо взять медный провод для устройства двухпроводной линии передачи, если сила тока в линии / = 20 А и падение напряжения в проводах U составляет 3%? Удельное сопротивление меди р = 1,7 • 10-8 Ом • м.
Решение. Согласно формуле (5),
SS2/2/RR
S
S
2/
2/
R
R
2/р/2 • 104 м ・ 1,7 ・ 10-8 Ом • м • 20A0,03%=0,03 - 660СВ2/р/2 • 104 м ・ 1,7 ・ 10-8 Ом • м • 20A0,03%=0,03 - 660СВ=3,4 • 10-5 “а = 34 мм2.=3,4 • 10-5 “а = 34 мм2.соотношение Rx ~ R。— , по котосоотношение Rx ~ R。— , по кото
2/р/2 • 104 м ・ 1,7 ・ 10-8 Ом • м • 20A
0,03%=0,03 - 660СВ
2/р/2 • 104 м ・ 1,7 ・ 10-8 Ом • м • 20A
0,03%=0,03 - 660СВ
=3,4 • 10-5 “а = 34 мм2.
=3,4 • 10-5 “а = 34 мм2.
соотношение Rx ~ R。— , по кото
соотношение Rx ~ R。— , по кото
где R — сопротивление провода.
В соответствии с законом Ома (4) U = /R. Но, по условию, U = O,O3Uo. Тогда
d о,озц)
К =—;-
и
Задача 47. На рис. 211 изображена схема «мостика Уитстона»*, широко применяемая для измерения сопротивлений проводников. В схеме имеются источник тока с электродвижущей силой & проводник с известным сопротивлением Rq, проводник с измеряемым (искомым) сопротивлением R#, гальванометр G и однородный провод АС (реохорд), по которому может перемещаться скользящий контакт. Под реохордом расположена отсчетная линейка, служащая для определения длин /х и /2 участков (пл-еч) реохорда.
Для измерения сопротивления устанавливают контакт D в такое положение, при котором ток в ветви гальванометра прекращается (стрелка гальванометра не отклоняется). При этом имеет место
рому и определяют искомое сопротивление Rx. Как получить это соотношение?
Решение. Введем обозначения сил тока и сопротивлений для всех участков разветвленнсй цепи мостика, указав также направления токов
Предложена в 1844 г. английским физиком Уитстоном.
/см. рис. 211). Теперь, используя правила Кирхгофа (15) и (16), напишем:
G —^о — ^g = 0 (Для узла В),
A一厶+厶=°(Для Узла D)，
lx Rx +，G Ro — /1R1=° (для контура ABDA),
/0 Ro — /2R2— J Rg =。(Для контура BCDB)
и учитывая первые два урав-и учитывая первые два урав-По условию, /g = 0. Поэтому последние уравнения примут вид: /*==/(), /1 = /2，^Х ^Х = ^1 ^1* /() R。н 厶 R?・
и учитывая первые два урав-
и учитывая первые два урав-
Деля почленно третье уравнение на четвертое нения, получим
R%^
откудаоткудаR)&
откуда
откуда
R# = Ro"~
代2
Согласно формуле (5), % = р 停Согласно формуле (5), % = р 停и & = Р§,и & = Р§,где р и S — удельное согде р и S — удельное сопротивление и площадь поперечного сечения провода АС. Поэтомупротивление и площадь поперечного сечения провода АС. ПоэтомуииR# = R。?"2R# = R。?"2
Согласно формуле (5), % = р 停
Согласно формуле (5), % = р 停
и & = Р§,
и & = Р§,
где р и S — удельное со
где р и S — удельное со
противление и площадь поперечного сечения провода АС. Поэтому
противление и площадь поперечного сечения провода АС. Поэтому
и
и
R# = R。?
"2
R# = R。?
"2
Задача 48. Спай железо-константановой термопары помещен внутри картофельного бурта; второй ее спай находится в тающем льде. Какова температура Т внутри бурта, если стрелка гальванометра термопары отклонена на п = 40 делений? Цена деления гальванометра z = 10-6 А, его сопротивление г = =10 Ом. Сопротивление R проводов термопары пренебрежимо мало. Постоянная термопары а = 5 • 10-5 В/К.
Решение. Согласно, формуле (22), термоэлектродвижущая сила S — =а ・ АТ, где АТ = Т ——Т。, То = 273 К — температура второго спая.
По показанию гальванометра, сила тока в термопаре / = nz. Согласно закону Ома (14), S = /(R + /j, где, по условию, А 0. Тогда g = /厂= nzr = =а •△ Г, откуда
nzr 40 • 10-е а . 10 Ом
=■ =8К,а 5 - 10-5 В/К
тогда Т = 381 К.
Задача 49. Какое количество электрической энергии W надо израсходовать, чтобы при электролизе раствора азотнокислого серебра (AgNO3) выделилось М = 500 мг серебра? Разность потенциалов на электродах U = 4 В, молярная масса серебра А == 0,108 кг/моль, валентность серебра г = 1.
Решение. Согласно объединенному закону Фарадея (39), АME?
М =-^—q, откуда q = ———, где F=9,6487-104 Кл/моль ——постоянная Фа
радея.
Потребляемая при электролизе энергия выразится соотношением (см. § 85)
ТогдаТогда呼呼MFzUАMFzUАW = qU.
Тогда
Тогда
呼
呼
MFzU
А
MFzU
А
5 • 10~4 кг • 9,6487 • 104 Кл/моль • 1 • 4В7—~；—— = 1787 Дж,
0,108 кг/моль
Глава XIV. Электромагнетизм
§ 94. Постоянный магнит и круговой ток. Магнитные полямагнитов и токов
Магнитные явления были известны еще в глубокой древности из наблюдений над свойством природного магнитного железняка (за- кись-окись железа FeO • Fe2O3) притягивать железные предметы и намагничивать их. Тогда же были замечены магнитные свойства Земли, благодаря которым стержневой магнит, уравновешенный на острие, самопроизвольно устанавливался почти вдоль географического меридиана. Основанный на этом свойстве компас существовал в Китае еще примерно 3000 лет тому назад.
Первое подробное исследование и описание свойств постоянных магнитов было выполнено в 1600 г. Гильбертом. Выяснилось, что постоянный магнит имеет два полюса ——концевые области, притягивающие железные предметы с наибольшей силой, и расположенную между ними нейтральную зону, которая практически не обнаруживает сил притяжения. Между полюсами магнита существует различие, выражающееся в том, что, как уже отмечалось, магнит всегда ориентируется одним определенным полюсом на север, а другим — на юг; первый назван северным, или положительным магнитным полюсом, второй — южным, или отрицательным магнитным полюсом. Оказалось также, что разноименные полюсы магнитов взаимно притягиваются, а одноименные — отталкиваются .
В результате этих исследований в физике возникло представление об особой магнитной субстанции, сосредоточенной в полюсах магнита и названной соответственно положительной и отрицательной «магнитной массой» («магнитным зарядом»). Однако наряду с этим появилось и серьезное сомнение в реальности такой субстанции, поскольку оказалось, что никаким способом невозможно разделить полюсы магнита, т. е. получить отдельно друг от друга положительный и отрицательный «магнитный заряд» (подобно тому, как отделяют положительные и отрицательные электрические заряды, образующиеся, например, при электризации тел). Из разрезанного поперек оси магнита всегда получались два меньших магнита, каждый из которых имел северный и южный полюсы.
Уже в XVIII в. было обращено внимание на намагничивание железных предметов и перемагничивание компаса, если вблизи них происходил грозовой разряд. Это наводило на мысль о связи магнитных явлений с электрическими. Справедливость такого предположения была экспериментально подтверждена в 1820 г. датским физиком Эрстедом, установившим, что, как и постоянный магнит, электрический ток в проводе воздействует на расположенную поблизости маг- н 1тную стрелку, ориентируя ее вполне определенным образом (перпен-
дикулярно проводу). Тогда же французский физик Ампер экспериментально обнаружил и подробно исследовал магнитное взаимодейст
вие двух проводников с током.
Последующие опыты, поставленные в XIX в. рядом ученых, показали, что магнитные свойства обнаруживает не только ток в проводах, но и ток в жидкостях и газах и вообще всякий движущийся электри» ческий заряд. Неподвижный электрический заряд воздействует (посредством электрического поля) на электрические же заряды, но не на магнитную стрелку; магнитное воздействие свойственно только движущимся электрическим зарядам
Рис. 212
ная к магнитной силовой линии в
(и изменяющимся электрическим полям).
Таким образом, выяснилось, что вокруг движущихся электрических зарядов (токов) возникает еще один вид поля — магнитное поле, посредством которого эти заряды взаимодействуют с магнитами или с другими движущимися электрическими зарядами.
Так как магнитное поле является силовым полем, то его удобно изображать графически посредством силовых линий, подобно тому, как это делалось в отношении электрического поля (см. § 75). Касатель- любой ее точке должна совпадать по
направлению с силой, с которой магнитное поле действует в этой точке
на положительный магнитный полюс. Конфигурацию магнитных си
ловых линий в
каждом конкретном случае можно установить, например, с помощью магнитной стрелки, ориентирующейся вдоль этих линий; за направление линии принято считать направление от южного к северному полюсу стрелки. Как известно из школьного курса физики, весьма наглядное представление о магнитных силовых линиях можно также получить с помощью железных опилок, насыпанных тонким слоем на стекло. На рис. 212 изображено изученное
Рис. 213
таким путем магнитное поле длинного стержневого магнита (магнитной спицы).
В упомянутом опыте Эрстеда силовые линии магнитного поля, созданного током / в прямолинейном проводе, представляют собой концентрические окружности, перпендикулярные проводу, центры которых находятся на этом проводе (рис. 213). Направление силовых линий магнитного поля тока определяется по правилу буравчика^ рукоятка буравчика, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направлении магнитных силовых ли-
ний. В отличие от силовых линий электрического поля магнитные силовые линии всегда замкнуты (т. е. не имеют ни начала, ни конца).
В соответствии с правилом буравчика магнитное поле кругового тока / имеет вид, представленный на рис. 214, а； на этом же рисунке Йзображено магнитное поле очень короткого постоянного магнита —— магнитного листка (рис. 214, б). Сравнение рис. 214, апб обнаруживает полное сходство магнитных полей кругового тока и постоянного магнита. Поэтому круговой ток ориентируется во внешнем магнитном поле точно так же, как и постоянный магнит: он устанавливается своей осевой линией (т. е. центральной силовой линией собственного магнитного поля) вдоль внешнего магнитного поля.
Рис. 214
В связи с отмеченным сходством магнита с круговым током Ампер в 1820 г. выдвинул гипотезу о том, что магнитное свойство постоянных магнитов обусловлено существующими в них элементарными круговыми токами. Однако происхождение этих токов оставалось неясным вплоть до начала текущего столетия, когда благодаря открытиям в области строения атома выяснилось, что круговые токи образованы вращательным движением электронов вокруг собственных осей и вокруг ядер атомов.
Таким образом, было окончательно установлено, что в природе нет особой магнитной субстанции ——«магнитных масс» или «магнитных зарядов»; магнитные свойства вещества обусловлены элементар- ними круговыми токами 6 атомах и молекулах этого вещества.
Более подробно вопрос о природе магнетизма мы рассмотрим в § 99, а сейчас перейдем к изучению магнитного поля и электромагнитных явлений на основе магнитного взаимодействия токов.
Первоначальное изучение электромагнитных явлений и магнитного поля как силового поля можно осуществить несколькими различными способами. Во-первых, на основе воздействия поля на постоянный магнит (магнитную стрелку); именно этот способ исторически и был использован в качестве исходного для изучения электромагнитных явлений. Во-вторых, на основе воздействия поля на замкнутый контур (рамку) с током. В-третьих, на основе взаимодействия токов посредством их магнитных полей. Эти способы являются лишь методическими вариантами начала изложения электромагнетизма и приводят, конечно, к одинаковому результату в описании электромагнитных явлений.
Мы воспользуемся третьим способом ——магнитным взаимодействием то- гоз, поскольку из выражающего это взаимодействие закона Ампера почти непосредственно следуют (легко выводятся) важнейшие закономерности электромагнетизма: закон Био — С авара — Лапласа и формула Ампера.
§ 95・ Магнитное взаимодействие токов в вакууме;закон Ампера
Как уже отмечалось (см. § 94), магнитное взаимодействие токов было впервые изучено Ампером. С помощью подвижных проволочных контуров, помещаемых в специальное приспособление («станок Ампера»), Ампер установил, что величина силы А尸 взаимодействия двух малых участков проводников (проводов) / и 2 c токами пропорциональна длинам Д/1 и Д/2 этих участков, силам тока 人 и /2 в них и обратно пропорциональна квадрату расстояния г между участками (рис. 215):
AF 〜厶‘2 • AAA%,.⑴
Рис. 215
За направление участков A/t и Д/2 принимаются направления идущих по ним токов.
Дальнейшие экспериментальные исследования и теоретические расчеты Ампера и других ученых показали, что сила А户 12 воздействия первого участка М на второй Д/2 зависит от их взаиморасположения — пропорциональна синусам углов аир:
А尸 12 〜si口 a sin p,(2)
где а ——угол между 八厶 и радиусом-вектором г^, соединяющим А厶 с Д/2, а В — угол между Д/2 и нормалью % к плоскости Q, содержащей участок Д/1 и радиус-вектор 广色(рис. 216). Причем направление
нормали ni определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается от участка А/】к радиусу-вектору 厂^，
Тогда, объединяя формулы (1) и (2) в одну формулу (3) и вводя коэффициент пропорциональности 电 получим математическое вы-
ражение закона Ампера для силы магнитного взаимодействия токов (точнее говоря, действия первого тока на второй):
А尸12 =尼А尸12 =尼/“2 •厶厶厶厶sin a sin В彳2/“2 •厶厶厶厶sin a sin В彳2(3)(3)
А尸12 =尼
А尸12 =尼
/“2 •厶厶厶厶sin a sin В
彳2
/“2 •厶厶厶厶sin a sin В
彳2
(3)
(3)
Рис. 217Рис. 217Эта сила приложена к участку Д/2, перпендикулярна ему и расположена в плоскости Q. Направление AF12 также определяется по правилу буравчика: оно совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается от А/2 K нормали zii (см. рис. 216).
Рис. 217
Рис. 217
Введем теперь понятие элемента тока. Элементом тока называется вектор, равный по величине произведению Idl бесконечно малого участка длины dl проводника на силу тока / в нем и направленный вдоль этого тона (рис. 217). Тогда, переходя в формуле (3) от малых участков проводников Д/ к бесконечно малым их участкам d/, можно записать закон Ампера 6 дифференциальной форме (для элементов тока):
//2由1由2 sin a sin b/ 八
Подчеркнем, что элементы тока в электромагнитных закономерностях (в частности, в законе Ампера) играют такую же роль, какую играют электрические заряды в электростатических закономерностях (в частности, в законе Кулона).
Следует отметить, что закон Ампера в форме (4) находится в кажущемся противоречии с третьим законом Ньютона: силы d户 12 и dF21, действующие на первый и второй элементы тока, в общем случае не равны по величине друг другу и расположены не по одной прямой. Это противоречие объясняется тем, что на опыте можно осуществить и исследовать только взаимодействие замкнутых контуров конечной длины, а не отдельных элементов тока. Поэтому третьему закону Ньютона должно удовлетворять взаимодействие замкнутых контуров 8 целом, а не отдельных его участков. И взаимодействие таких контуров действительно удовлетворяет третьему закону Ньютона.
Коэффициент пропорциональности в формуле (4) целесообразно представить в виде
4兀4兀(5)
4兀
4兀
где величина 卩° называется магнитной постоянной (или магнитной проницаемостью вакуума); делитель 4n введен в связи с рационализацией формул электричества (см. § 75). Заметим далее, что коэффициент k нельзя положить равным единице (и, следовательно, значение №о нельзя выбрать произвольно), поскольку единицы измерения всех физических величин, входящих в формулу (4), уже установлены ранее. Поэтому значение 6, а следовательно, и(x0 необходимо определить опытным путем.
Учитывая формулу (5), запишем закон Ампера (4) для взаимодействия элементов тока в вакууме в окончательном виде:
dF 12 —dF 12 —出/也弘也 sin a sin 8出/也弘也 sin a sin 84吒24吒2(6)(6)
dF 12 —
dF 12 —
出/也弘也 sin a sin 8
出/也弘也 sin a sin 8
4吒2
4吒2
(6)
(6)
Опытное определение величины рь0 дало для нее значение 4兀 х X 10~7 = 1,26 • Ют единиц СИ. Размерность 因 легко определить из закона Ампера (6):
［闯=［闯=［尸］罔 ［円明［尸］罔 ［円明=м • кг • с— • А-2.=м • кг • с— • А-2.
［闯=
［闯=
［尸］罔 ［円明
［尸］罔 ［円明
=м • кг • с— • А-2.
=м • кг • с— • А-2.
В § 104 будет показано, что такую же размерность имеет отношение генри/метр (где генри—единица измерения индуктивности). Поэтому единица измерения магнитной постоянной называется генри на метр (Г/м). Итак,
阿=4兀• 10~7 Г/м.
§ 96. Напряженность магнитного ноля. Формула Ампера.Закон Био—Савара—Лапласа
Поскольку электрические токи взаимодействуют друг с другом посредством своих магнитных полей, количественную характеристику магнитного поля можно установить на основе закона этого взаимодействия ——закона Ампера. С этой целью представим себе проводник / произвольной формы, по которому идет ток / (рис. 218). Разобьем
проводник на множество элементарных участков и рассмотрим один из таких участков d/. Он создает в пространстве магнитное поле. В точку О этого поля, находящуюся на расстоянии г от dl, поместим элемент тока 厶壮".Тогда, согласно закону Ампера (6), на этот элемент будет действовать сила
d尸一Bq"odldl。sin a sin 卩d尸一Bq"odldl。sin a sin 卩4冗户4冗户⑺⑺
d尸一Bq"odldl。sin a sin 卩
d尸一Bq"odldl。sin a sin 卩
4冗户
4冗户
⑺
⑺
где a— угол между направлением тока / на участке dl (создающем поле) и направлением радиуса-вектора г, а 0 — угол между направле-
нием элемента тока /od/o и нормалью п к плоскости Q, содержащей dl и г.
В формуле (7) выделим часть, не зависящую от элемента тока /od/o, обозначив ее через d":
Idl sin a4兀户Idl sin a4兀户(8)(8)
Idl sin a
4兀户
Idl sin a
4兀户
(8)
(8)
Величина dH зависит только от элемента тока /d/, создающего магнитное поле, и от положения рассматриваемой точка О 6 этом по欣.
Поэтому величина dH может служить количественной характеристикой магнитного поля; ее называют напряженностью магнитного поля. Напряженность магнитного поля ——векторная величина, направленная по касательной к силовым линиям поля.
В § 95 (см. рис. 213) отмечалось, что направление силовых линий магнитного поля определяется по правилу буравчика (рукоятка буравчика, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направлении силовых линий). Применяя это правило к рассматриваемому случаю, нетрудно установить, что напряженность магнитного поля dH в точке О направлена по нормали п к плоскости Q, содержащей участок проводника dl (создающий поле) и точку О (см. рис. 218).
Из формулы (8) следует, что размерность напряженности магнитного поля
[Н]=旦® = А • МУ
Эта же величина — ампер на метр — принята за единицу измерения напряженности магнитного поля (ее определение дано в следующем параграфе).
При графическом изображении магнитного поля магнитные силовые линии (напряженности) принято проводить с такой густотой, чтобы число линий, пронизывающих воображаемую площадку в 1 м2, перпендикулярную полю, равнялась величине напряженности поля в данном месте. Таким образом, вид магнитного поля, изображенного посредством силовых линий, позволяет определять как направление, так и величину напряженности этого поля в любой его точке. Поле, напряженность которого везде одинакова, называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.
Введем выражение напряженности магнитного поля (8) в закон Ампера (7). Тогда получим
d尸=^QlQdlQdH sin。， (9)
где В — угол между направлениями тока (/0) и магнитного поля (d"). Формула (9), называемая формулой Ампера, выражает зависимость силы, с которой магнитное поле действует на находящийся в нем элемент тока /od/o от напряженности этого поля. Эта сила расположена в плоскости Q перпендикулярно d" (или направлению тока /0) и dH (см. рис. 218 и 216). Ее направление легко определяется по ^правилу левой рукш> (известному из школьного курса физики): если ладонь левой руки расположить так, чтобы вектор напряженности маг-
нитного поля входил в ладонь, а четыре вытянутых пальца направлялись вдоль тока, то отставленный большой палец покажет направление силы, действующей на этот ток (рис. 219).
Полагая в формуле (9) 0 = 90° (элемент тока /odZo расположен перпендикулярно магнитному полю), получим
dFdF(У)(У)
dF
dF
(У)
(У)
" =f也=丄［^^小.由4我山户" =f也=丄［^^小.由4我山户(Ю)(Ю)
" =f也=丄［^^小.
由4我山户
" =f也=丄［^^小.
由4我山户
(Ю)
(Ю)
Исходя из этого соотношения и из рис. 218, можно дать следующее определение напряженности магнитного поля: напряженность магнитного поля направлена по касательной к силовой линии поля, а по величине равна отношению силы, с которой поле действует на единичный элемент тока {расположенный перпендикулярно полю в вакууме}, к магнитной постоянной.
Возвратимся теперь к соотношению (8). Оно носит название закона Био — Савара — Лапласа и в принципе позволяет рассчитывать величину полной напряженности магнитного ноля, создаваемого током, идущим по проводнику любой формы. Очевидно» что для вычисления полной напряженности Н магнитного поля, создаваемого в точке О током /, идущим по
проводнику / (см. рис. 218), надо геометрически суммировать элементарные напряженности d〃，создаваемые всеми элементарными участками dl проводника (и рассчитываемые по закону Био — Савара — Лапласа).
Если проводник целиком расположен в одной плоскости, то напряженности поля dH от всех его участков имеют одинаковое направление и потому геометрическое суммирование сводится в этом случае к алгебраическому суммированию, т. е. к интегрированию. Тогда закон Био — Савара — Лапласа примет вид
Знак (/) показывает, что интегрирование производится по всей длине / проводника.
В следующем параграфе рассмотрено несколько примеров расчета полной напряженности магнитного поля Н по закону Био — Савара —
Лапласа для случаев, когда весь проводник с током, создающим поле, расположен в одной плоскости. Напомним, что направление напряженности следует определять по правилу буравчика (ввинчиваемого по направлению тока).
§ 97. Некоторые приложения закона Био—Савара—Лапласа
1. Напряженность магнитного поля к онеч-1. Напряженность магнитного поля к онеч-ного прямолинейного про Обозначим буквой R расстояние от проводника с током / до точки О, в которой определяется напряженность поля (рис. 220). Выделим в проводнике элементарный участок dl на расстоянии г от точки О. Так как для всех элементарных участков проводника ток / имеет одно значение, то полная напряженность магнитного поля Н в точке О, согласно формуле (10), равнаного прямолинейного про Обозначим буквой R расстояние от проводника с током / до точки О, в которой определяется напряженность поля (рис. 220). Выделим в проводнике элементарный участок dl на расстоянии г от точки О. Так как для всех элементарных участков проводника ток / имеет одно значение, то полная напряженность магнитного поля Н в точке О, согласно формуле (10), равна4 兀4 兀(И)(И)Из точки О проведем радиусом г отрезок дуги 4В = г • 2a. Ввиду малостиИз точки О проведем радиусом г отрезок дуги 4В = г • 2a. Ввиду малостиучастка d/, аучастка d/, аследовательно, и угла daследовательно, и угла daможно считать, что молинеен, ^АВС =можно считать, что молинеен, ^АВС =отрезок АВ пря- 90° и /ВСА = а.отрезок АВ пря- 90° и /ВСА = а.Тогда из ^АВС получим г ・ da =dl • sina, откудаТогда из ^АВС получим г ・ da =dl • sina, откудаводника с током.водника с током.
1. Напряженность магнитного поля к онеч-
1. Напряженность магнитного поля к онеч-
ного прямолинейного про Обозначим буквой R расстояние от проводника с током / до точки О, в которой определяется напряженность поля (рис. 220). Выделим в проводнике элементарный участок dl на расстоянии г от точки О. Так как для всех элементарных участков проводника ток / имеет одно значение, то полная напряженность магнитного поля Н в точке О, согласно формуле (10), равна
ного прямолинейного про Обозначим буквой R расстояние от проводника с током / до точки О, в которой определяется напряженность поля (рис. 220). Выделим в проводнике элементарный участок dl на расстоянии г от точки О. Так как для всех элементарных участков проводника ток / имеет одно значение, то полная напряженность магнитного поля Н в точке О, согласно формуле (10), равна
4 兀
4 兀
(И)
(И)
Из точки О проведем радиусом г отрезок дуги 4В = г • 2a. Ввиду малости
Из точки О проведем радиусом г отрезок дуги 4В = г • 2a. Ввиду малости
участка d/, а
участка d/, а
следовательно, и угла da
следовательно, и угла da
можно считать, что молинеен, ^АВС =
можно считать, что молинеен, ^АВС =
отрезок АВ пря- 90° и /ВСА = а.
отрезок АВ пря- 90° и /ВСА = а.
Тогда из ^АВС получим г ・ da =dl • sina, откуда
Тогда из ^АВС получим г ・ da =dl • sina, откуда
водника с током.
водника с током.
или, учитывая, что rsina = R,
成_da
Вводя последнее выражение в формулу (11) и переходя от интегрирования по длине к интегрированию по углу а в пределах от at до а 2, получим
"=丄 f s'" J da = —-— f sin a • da (cos a2 — cos
4兀 J R4兀 RJ4冗R '2 D
%a*
или окончательно
(12)(12)H = ； м (cos % — cos a2).
(12)
(12)
(15)(15)
(15)
(15)
Направление Н перпендикулярно плоскости листа (обращено к читателю).
Напряженность магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с ток о м. Этот расчет легко выполнить, пользуясь формулой (12). В самом деле, в случае бесконечно длинного проводника а】=0° и а?= =180°. Тогда cosoci ——cosa2 = [1—(——1) ] = 2. Поэтому напряженность магнитного поля Н бесконечного прямолинейного тока равна
Практически по этой формуле можно рассчитывать напряженность поля от конечного, но достаточно длинного проводника, т. е. в слу
чаях, когда расстояние R значительно меньше длины проводника / (R《/)・
На основании формулы (13) дается определение единицы измерения напряженности магнит- 、ного поля — ампера на метр (о которой упоми-
卜\налось в § 96). Положим в этой формуле /=1 А
¥ и R = 1/2冗 м; тогда получим Н = 1 А/м. Следовательно, ампер на метр есть напряженность Il ” магнитного поля, создаваемого длинным пря- // молинейным проводом с током в 1 А на расстоя- / нии 1/2н м от его оси.
/3. Напряженность магнитно-
「 го поля в центре кругового ток а . В этом случае а =90°, а / и r=R (где R — радиус кругового контура) имеют постоянные значения для всех участков dl (см. рис. 221). Поэтому в соответствии с формулой (10) напря
женность магнитного поля Н в центре кругового тока равна
или, поскольку / = 2hR,
Произведение силы кругового тока / на обтекаемую им площадь S называется магнитным моментом рт кругового тока:
% = /S =価 2/.
Магнитный момент является вектором, расположенным перпендикулярно плоскости кругового тока в его центре О и совпадающим по направлению с напряженностью магнитного поля в центре кругового тока (рис. 221).
Как уже отмечалось в § 94, круговой ток подобен постоянному магниту; во внешнем магнитном поле он ориентируется так, что его собственное поле совпадает G внешним. Можно, следовательно, сказать, что круговой ток поворачивается во внешнем магнитном поле таким образом, что его магнитный момент устанавливается е направлении внеилнеео поля.
Напряженность магнитного поля на оси кругового тока. Определим полную напряженность поля, создаваемого круговым током / в точке А, лежащей на его оси N№; круговой контур ориентирован перпендикулярно плоскости листа (рис. 222). Выделим в контуре два
Рис. 222Рис. 222
Рис. 222
Рис. 222
диаметрально противоположных элементарных участка dl и построим векторы элементарной напряженности dH полей, создаваемых этими участками в точке А. Разложим dH на две составляющие: dHr — направленную по оси N№ и d”B——перпендикулярную ей.
Из рис. 222 следует, что для каждой пары диаметрально противоположных участков d/ составляющие dHB равны между собой по величине и противоположны по направлению, а составляющие dHr равны по величине и одинаково на* правлены. Поэтому при геометрическом сложении элементарных напряженностей dH от всех участков dZ составляющие dHB взаимно уничтожаются и полная напряженность Н в точке А будет равна алгебраической сумме всех dHTi т. е. интегралу, взятому от dHr по всему круговому контуру /:
" =(16)
(О
Согласно рисунку, р < dHr = dH cos 8 = -у- dH
—Савара — Лапласа (8),/或 sina4кг2IRdl—Савара — Лапласа (8),/或 sina4кг2IRdlТогда, учитывая, что, по закону Био
—Савара — Лапласа (8),
/或 sina
4кг2
IRdl
—Савара — Лапласа (8),
/或 sina
4кг2
IRdl
d"=
叫=叫=4兀г34兀г3и что а = 90°, можем написать
叫=
叫=
4兀г3
4兀г3
Подставляя последнее выражение в формулу (16) и учитывая, что /, R и г для всех участков контура одинаковы, получим
Так как Z = 2几 R н，= pR?十 , то окончательное выражение напряжен' ности поля примет вид
(17)(17)rr /R2
(17)
(17)
"=2(个+*片•
Эта напряженность направлена вдоль оси кругового тока.
Отметим, что при го = 0, т. е. для центра кругового тока, выражение (17) даст
что совпадает с выведенной ранее формулой (14).
§ 98. Магнитные поля соленоида и тороида
Соленоидом* называют катушку цилиндрической формы из проволоки, витки которой намотаны в одном направлении (рис. 223). Магнитное поле соленоида представляет собой результат сложения
Рис. 224Рис. 224
Рис. 224
Рис. 224
полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую' ось. На рис. 223 показаны четыре витка соленоида с током /• Для наглядности полувитки, расположенные за плоскостью листа, изображены прерывистыми линиями. На этом рисунке видно, что внутри соленоида силовые линии каждого отдельного витка имеют одинаковое направление, тогда как между соседними витками они имеют противоположные направления . Поэтому при достаточно плотной намотке соленоида противоположно направленные участки силовых линий соседних витков взаимно унич-
тожатся, а одинаково направленные участки сольются в общую замкнутую силовую линию, проходящую внутри всего соленоида и охватывающую его снаружи.
Детальное изучение магнитного поля длинного соленоида, проведенное с помощью железных опилок, показывает, что это поле имеет вид, изображенный на рис. 224*. Внутри соленоида поле оказывается практически однородным, вне соленоида — неоднородным и сравнительно слабым (густота силовых линий здесь весьма мала).
Внешнее поле соленоида подобно полю стержневого магнита (см. рис. 212). Как и магнит, соленоид имеет северный С и южный Ю полюсы и нейтральную зону.
Напряженность И магнитного поля внутри длинного соленоида рассчитывается по формуле
"=勺， (18)
где / — длина соленоида, и — число его витков, / — сила тока в нем. Произведение In принято называть числом ампер-витков.
Формула (18) является частным случаем выражения напряженности поля внутри соленоида конечной длины, которое в свою очередь выводится следующим образом.
На рис. 225 изображен про- -,
дольный разрез соленоида вертикальной плоскостью, проходящей через его ось. Длина соленоида радиус его витков R, число витков п, сила тока, идущего по соленоиду, /.
Рассматривая соленоид как совокупность вплотную приложенных друг к другу витков (круговых токов /), имеющих общую ось, определим напряженность магнитного поля в точке Л на оси соленоида как сумму напряженностей от всех его витков. Для этого выделим малый участок длины dr о соленоида.
В нем содержится 个〃о витков. Согласно формуле (17), напряженность поля
одного виткадет равнаодного виткадет равна2(R2 +用可，2(R2 +用可，.Поэтому напряженность поля от участка % бу *.Поэтому напряженность поля от участка % бу */R2 п而通3LT/，/R2 п而通3LT/，(19)(19)
одного витка
дет равна
одного витка
дет равна
2(R2 +用可，
2(R2 +用可，
.Поэтому напряженность поля от участка % бу *
.Поэтому напряженность поля от участка % бу *
/R2 п
而通3LT/，
/R2 п
而通3LT/，
(19)
(19)
Из рис. 225 видно, что m « RMga. Тогда R% + * «» ₽а (1 + ctga«) =»
R2da
я dr。о — R —г-т— . Подставляя эти выражения /?含 十 N. и 沙° в sin2 asin3 a
* Соленоид считается длинным, если его длина4 по крайней мере, в 4— 5 раз больше диаметра, а витки вплотную прилегают друг к другу.
формулу (19) и производя сокращения, получим
d"=d"=— sina . da. 2Z— sina . da. 2Z
d"=
d"=
— sina . da. 2Z
— sina . da. 2Z
““/九■^у- (cos a2 — cos %)./九■^у- (cos a2 — cos %).Рис. 226Рис. 226и/2”и/2”
“
“
/九
■^у- (cos a2 — cos %).
/九
■^у- (cos a2 — cos %).
Рис. 226
Рис. 226
и/
2”
и/
2”
Интегрируя последнее выражение в пределах от a = ai до a = a2, найдем полную напряженность поля в точке А:
(20)
У достаточно длинного соленоида a2T0° и ai->180®. В этом случае формула (20) примет вид
соответствующий формуле (18).
Таким образом, внутри достаточно длинного соленоида напряженность магнитного поля практически везде одинакова; она направлена вдоль оси соленоида в соответствии с правилом буравчика.
Практически важное значение имеет также магнитное поле тороида — катушки из проволоки, навитой на тор (рис. 226). Магнитное поле тороида однородно и замкнуто внутри самого тороида; вне тороида поле отсутствует. Тороид можно рассматривать как свернутый кольцом достаточно длинный со
леноид, и для расчета напряженности магнитного поля тороида можно пользоваться формулой (18):
(21)
где I = 2冗尸一длина оси тороида, г — радиус тороидального кольца, / — сила тока, п — число витков тороида.
§ 99. Диамагнитные, парамагнитные и ферромагнитныевещества. Магнитная проницаемость. Магнитная индукция.
Поток магнитной индукции
До сих пор мы предполагали, что рассматриваемые магнитные поля существуют в вакууме (или в воздухе, что практически одно и то же). Посмотрим теперь, какое влияние на магнитное поле оказывает среда (вещество).
Опыт и теория показывают, что все вещества, помещенные в магнитное поле, приобретают магнитные свойства, т. е. намагничиваются.
и потому в некоторой мере изменяют внешнее (первоначальное) поле. При этом оказывается, что одни вещества ослабляют внешнее поле, а другие — усиливают его; первые называются диамагнитными, вторые —парамагнитным а веществами, или, короче, диамагнетиками и парамагнетиками. Среди парамагнетиков резко выделяется группа веществ, вызывающих очень большое усиление внешнего поля. Эти вещества называются ферромагнетиками.
Подавляющее большинство веществ относится к диамагнетикам. Диамагнетиками являются такие элементы, как фосфор, сера, сурьма, углерод, многие металлы (висмут, ртуть, золото, серебро, медь и др.), большинство химических соединений (в том числе вода и почти все органические соединения). К парамагнетикам относятся некоторые газы (кислород, азот) и металлы (алюминий, вольфрам, платина, щелочные и щелочноземельные металлы). В довольно малочисленную группу ферромагнетиков входят железо, никель, кобальт, гадолиний и диспрозий, а также некоторые сплавы и окислы этих металлов и некоторые сплавы марганца и хрома.
Выясним физические причины диа-, пара- и ферромагнетизма.
В атомах и молекулах любого вещества имеются круговые токи, образованные движением электронов по орбитам вокруг ядер — орбитальные токи. Каждому орбитальному току соответствует определенный магнитный момент (см. § 97), называемый орбитальным магнит^ ным моментом. Кроме того, электроны обладают собственнымили спиновым, магнитным моментом. Собственным магнитным моментом обладает также ядро атома. Геометрическая сумма орбитальных 〃 спиновых магнитных моментов электронов и собственного магнитного момента ядра образует магнитный момент атома (молекуль» вещества.
У диамагнитных веществ суммарный магнитный момент атома (мо儿екуль» равен нулю, так как имеющиеся в атоме орбитальные, спиновые и ядерные магнитные моменты взаимно компенсируются (рис. 227, а; атомы изображены точками). Однако под влиянием внешнего магнитного поля у этих атомов возникает (индуцируется} магнитный момент, направленный всегда противоположно внешнему полю (рис. 227, б; индуцированные магнитные моменты изображены стрелками; Н ——напряженность внешнего магнитного поля). В результате диамагнитная среда намагничивается и создает собственное магнитное поле, направленное противоположно внешнему полю и потому ослабляющее его.
Под влиянием внешнего магнитного поля плоскости электронных орбит начинают прецессировать вокруг силовой линии магнитного поля, проходящей через ядро атома, т. е. начинают совершать движение, подобное тому, которое
совершает диск волчка вокруг силовой линии q>авитационного поля (вертикали), проходящей через точку опоры волчка.
Прецессионное движение электронных орбит эквивалентно круговому току. Так как этот ток индуцирован внешним полем, то, согласно правилу Ленца (см. § 103), его собственное магнитное поле, а следовательно, и его магнитный момент направлены противоположно внешнему полю.
Индуцированные магнитные моменты атомов диамагнетика сохраняются до тех пор, пока существует внешнее поле. При ликвидации внешнего поля индуцированные магнитные моменты атомов исчезают и диамагнетик размагничивается.
а
V〉'Х
б
У атома (молекулы) парамагнитных веществ орбитальные, спиновые и ядерные магнитные моменты не компенсируют друг друга. Поэтому атомы парамагнетика всегда обладают магнитным моментом, являясь как бы элементарными магнитами. Однако атомные магнитные моменты расположены беспорядочно и потому парамагнитная среда в целом не обнаруживает магнитных свойств (рис. 227, в). Внешнее поле поворачивает атомы парамагнетика так, что их магнитные моменты устанавливаются преимущественно в направлении поля (рис. 227, а); полной ориентации препятствует тепловое движение атомов. В результате парамагнетик намагничивается и создает собственное магнитное поле, всегда совпадающее по направлению с внешним полем и потому усиливающее его. При ликвидации внешнего поля тепловое движение сразу же разрушает ориентацию атомных магнитных моментов и парамагнетик размагничивается. В парамагнетике, конечно, имеет место и диамагнитный эффект — появление индуцированных магнитных моментов, ослабляющее внешнее поле. Однако диамагнитный эффект остается незаметным на фоне более сильного пара* магнитного эффекта.
Таким образом, если в пустом пространстве существует магнитное поле, имеющее напряженность Я, то при заполнении этого пространства однородной средой результирующая напряженность магнитного поля "' будет равна
Hf = H±^. (22)
где А〃 ——напряженность поля, создаваемого самой средой; знак плюс относится к случаю парамагнитной среды, знак минус — к случаю диамагнитной среды. Добавочная напряженность А" магнитного поля, создаваемого самой средой за счет диамагнитного или парамагнитного эффекта, пропорциональна напряженности внешнего поля. Поэтому формулу (22) можно записать в виде
(23)(23)h’ =用,
(23)
(23)
где |л — безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый относительной магнитной проницаемостью среды (или просто магнитной проницаемостью). Коэффициент 卩 характеризует магнитные свойства среды, ее способность намагничиваться под влиянием внешнего поля. Очевидно, что у вакуума 卩=1 ("'=力),у диамагнетиков |х<1 ("'V"), а у парамагнетиков 卩>1 ("'>"). Вообще говоря, у диамагнитных и парамагнитных (исключая ферромагнетики) веществ магнитная проницаемость мало отличается от единицы, как это видно из таблицы, в которой приведены значения магнитной проницаемости некоторых веществ.
Диамагнетики
卩
Парамагнетики
卩
Ферромагнетики
卩
Водород ...
Вода
Медь
Висмут
0,999937 0,999991 0,999912 0,999824
Азот ....
Кислород ・. Алюминий ・・ Вольфрам .・
1,000013 1,000017 1,000023 1,000175
Кобальт ・・ Никель .・.
Железо ・.• I Сталь • • •
100—180
200—300
5000—10 009
10 000—20 000
Магнитное поле в веществе принято характеризовать не результирующей напряженностью /Г, а величиной В, равной произведению Н на магнитную постоянную 阿 и называемой индукцией магнитного поля (магнитной индукцией):
В = Но^»
или, согласно формуле (23),
В = ^Н. (24)
Размерность [В] = [|л0][77] == м • кг • с-2 • А" • А • м*1 = кг X X с~2 . A~i. Единица измерения магнитной индукции называется тесла (Т)*. Ее определение дано в следующем параграфе.
Как и напряженность магнитного поля ", магнитная индукция является вектором. В однородной изотропной среде направления 8 и Н совпадают друг с другом.
Произведение |i0|i = |лабс называют абсолютной магнитной проницаемостью среды. Она имеет такие же размерность и единицу измерения, что И |Х0.
Так как у вакуума 卩 =1, то магнитная индукция в вакууме
舔=Н)"・ (25)
Тогда формулу (24) можно записать в виде
8 =网 (26)
откуда следует определение величины а： относительная магнитная проницаемость среды показывает, во сколько раз изменяется индукция магнитного поля, существовавшего в пустоте, если пространство, охваченное этим полем, заполняется данной средой.
Введение новой характеристики магнитного поля — магнитной индукции — можно в известной мере обосновать тем обстоятельством, что, согласно полученной в § 96 форуле (9), сила действия магнитного поля на проводник с током 依・ посредственно определяется не напряженностью поля ", а произведением ^qH, т. е. магнитной индукцией Во (в вакууме). Физический смысл Во следует из формулы (9) того же параграфа: магнитная индукция в вакууме равна силе, с которой магнитное поле действует на единичный элемент тока, расположенный перпендикулярно полю.
Отметим далее, что напряженность поля Н зависит только от макроскопических токов ( в проводниках), создающих это поле, и не зависит от среды; она одинакова во всех веществах. Магнитная же индукция В, характеризующая результирующее поле в веществе, зависит как от макроскопических токов, создающих поле, так и от микроскопических (молекулярно-атомных) токов в веществе (ориентирующихся в поле напряженностью 方);она различна в различных веществах (магнетиках).
В этой связи напряженность Н магнитного поля аналогична электрической индукции D электрического поля (см. § 82), а индукция В магнитного поля айалогична напряженности Е электрического поля (см. § 75). Поэтому было бы вернее назвать магнитную индукцию напряженностью, а напряженность магнитного поля — индукцией. Однако по историческим причинам им были даны (и до сих пор сохранены) противоположные названия.
В § 97, 98 были выведены формулы (12) — (14), (17), (18), (20), (21) напряженности магнитных полей, создаваемых в вакууме проводниками различной формы с током. Если поля создаются не в вакууме, а в среде с относительной магнитной проницаемостью 也 то, умножая обе части каждой из упомянутых формул на |10|л и учитывая формулу (24), получим соответствующие выражения индукции В магнитных полей этих проводников. Например, индукция магнитного поля кругового тока представится формулой
где |л0 ——магнитная постоянная.
У ферромагнетиков магнитная проницаемость не только очень велика (см. таблицу выше), но и непостоянна; она зависит от напряженности намагничивающего поля ". С ростом " а сначала быстро возрастает, достигая максимума, а затем уменьшается, приближаясь (при очень сильных полях) к значению а =■ 1 (рис. 228, а). Поэтому, хотя формула (24) остается справедливой и для ферромагнитных веществ, магнитная индукция в этих веществах уже не будет пропорциональна напряженности намагничивающего поля: при сравнительно небольшой напряженности Нт индукция достигает большого значе-
ния Bm (насыщения), после чего она изменяется уже медленно — пропорционально изменению Н (рис. 228, 6), т. е. примерно так, как в парамагнитном веществе. Зависимость 卩 н 力 от " была исследована впервые в 1872 г. А, Г. Столетовым.
отставания изменений магнитной индукцииотставания изменений магнитной индукции67)・ Рассмотренное явление от изменений напряжен-67)・ Рассмотренное явление от изменений напряжен-
отставания изменений магнитной индукции
отставания изменений магнитной индукции
67)・ Рассмотренное явление от изменений напряжен-
67)・ Рассмотренное явление от изменений напряжен-
Если в ферромагнетике, намагниченном, например, до состояния насыщения 方皿，начнет уменьшаться напряженность поля ", то индук
ция В тоже будет уменьшаться; однако ее уменьшение происходит не по линии 10, а по линии 12 графи
ка намагничивания, представленного на рис. 229.
При " = 0 ферромагнетик не размагничивается полностью: в нем сохраняется остаточная магнитная индукция Во. Для его полного размагничивания необходимо создать противоположное внешнее поле напряженностью Н =——"к； эта напряженность называется коэрцитивной силой, При дальнейшем увеличении противоположного поля ферромагне-
тик начнет перемагничиваться (линия 34) и при Н =— Нт намагнитится до насыщения в противоположном направлении (В = — Bm). Затем ферромагнетик можно опять размагнитить (линия 456) и вновь перемагнитить до насыщения Вт (линия
ности намагничивающего поля называется манитным гистерезисом, а замкнутая кривая 12451 —петлей гистерезиса.
Площадь, ограниченная петлей гистерезиса, характеризует работу, затрачиваемую внешним полем на однократное перемагничивание ферромагнетика. Эта работа выделяется в виде теплоты. Очевидно, что для уменьшения потерь на перемагничивание ферромагнетика (например, сердечника трансформатора) следует применять ферромагнетики, имеющие малую площадь петли гистерезиса и, следовательно, характеризующиеся малым значением коэрцитивной силы (магнитномягкие материаль1). Для изготовления постоянных магнитов следует применять ферромагнетики, характеризующиеся большим значением коэрцитивной силы (магнитно-жесткие материалы).
Ферромагнетики обладают еще одной существенной особенностью: при определенной (для каждого ферромагнетика) температуре 0, называемой точкой Кюри, они теряют свои магнитные свойства (у железа 0 = 1043 К, у никеля © = 633 К). При температуре выше точки Кюри ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик с 戶=1.
Рассмотренные особенности ферромагнетика обусловлены тем, что в нем имеется множество сравнительно крупных самопроизвольно намагниченных до насыщения областей, называемых доменами^. Линейные размеры домена имеют порядок 10"2 см. Домен объединяет многие миллиарды атомов; в пределах одного домена магнитные моменты всех атомов ориентированы одинаково**. Однако ориентация самих доменов разнообразна (рис. 230, а). Поэтому в отсутствие внешнего магнитного поля ферромагнетик в целом оказывается ненамаг- ниченным.
С появлением внешнего поля напряженностью Н домены, ориентированные своим магнитным моментом в направлении этого поля, начинают увеличиваться в объеме за счет соседних доменов, имеющих иные ориентации магнитного момента; ферромагнетик намагничивается (рис. 230, 6). При достаточно сильном поле Нт все домены целиком поворачиваются в направлении поля и ферромагнетик быстро намагничивается до насыщения (рис. 230, в).
* В этом отношении ферромагнетик подобен сегнетоэлектрику, имеющему области самопроизвольной поляризации (см. § 81).
♦* Точнее говоря, одинаково ориентированы спиновые магнитные моменты электронов всех атомов.
При ликвидации внешнего поля ферромагнетики полностью не размагничиваются, а сохраняют остаточную магнитную индукцию, так как тепловое движение не в состоянии быстро дезориентировать столь крупные совокупности атомов, какими являются домены. Этим объясняется магнитный гистерезис. Для размагничивания ферромагнетика необходимо приложить коэрцитивную силу. Размагничиванию способствуют также нагревание и встряхивание ферромагнетика. При температуре, равной точке Кюри, тепловое движение оказывается способным дезориентировать атомы в самих доменах, вследствие чего ферромагнетик превращается в парамагнетик.
Ферромагнитные материалы широко используются в технике. Из них изготовляются магнитные экраны, ленты для магнитной звукозаписи, постоянные магниты, сердечники электромагнитов для многих приборов и механизмов (телефона, телеграфного аппарата, трансформатора, магнитного крана) и т. п.
На свойствах ферромагнетика основано действие магнитной се- меочистительной машины, служащей для очистки семян с гладкой поверхностью (льна, клевера, люцерны и других культур) от семян сорняков с шероховатой поверхностью. Исходный материал смешивают с ферромагнитным порошком, обволакивающим шероховатые семена сорняков, которые благодаря этому притягиваются к электромагнитному барабану машины. Производительность машины ЭМС-1 составляет около 200 кг зерна в час.
За последнее десятилетие большое значение приобрели искусственные полупроводниковые ферромагнетики, названные ферритами, или оксиферрами. Ферриты — сложные металлические окислы (соли железной кислоты) с магнитной проницаемостью, лежащей в пределах от 10 до 2000. Удельное электрическое сопротивление ферритов в миллиарды раз больше, чем металлов. Следовательно, в ферритах очень малы потери на вихревые токи (см. § 103). В связи с этим из ферритов изготовляют сердечники трансформаторов и других электромагнитных приборов, работающих на переменных токах высокой частоты.
В заключение введем понятия линий магнитной индукции и потока магнитной индукции (магнитного потока).
Магнитное поле в среде удобно изображать графически посредством линий индукции, т. е. линий, в каждой точке которых касательная совпадает с вектором магнитной индукции В. Число линий индукции, пронизывающих воображаемую площадку в 1 м2, перпендикулярную полю, должно равняться величине магнитной индукции на этой площадке.
Поток магнитной индукции Ф через некоторую поверхность S равен числу линий индукции, пронизывающих эту поверхность. Если поле однородно и поверхность перпендикулярна линиям индукции, то
①=SS = WHSf (27)
где Н — напряженность намагничивающего поля, р. — относительная магнитная проницаемость среды,阿一магнитная постоянная.
В соответствии с формулой (27) за единицу магнитного потока при-
нимают магнитный поток через площадку в 1 м2, перпендикулярную магнитному полю, магнитная индукция которого равна 1 Т. Эта единица называется вебе ром (Вб); другое определение вебера дано в § 103. Размерность [Ф] = [В 1 [S ] = м2・кг ・с-2・Ат.
§ 100. Действие магнитного поля на проводник с током.Определение ампера
Сила d尸，с которой магнитное поле действует на элементарный участок d/ проводника с током /, выражается формулой Ампера (9); учитывая соотношение (25), эту формулу можно записать в виде
dF = IBQdl sin。，
где Во — магнитная индукция в вакууме; 6 — угол между dl и З. Если проводник находится не в вакууме, а в среде с магнитной
проницаемостью 俨，то индукция магнитно-
Рис. 231Рис. 231го поля изменится в 世 раз. В этом случае в формулу Ампера вместо В。следует подставить произведение 世综=В:
Рис. 231
Рис. 231
d 尸=/3d/sin。，
где В — индукция магнитного поля в среде.
В случае однородного магнитного поля
(В = const) и прямолинейного проводника
(В = const) конечной длины / (рис. 231) формула Ампера примет вид
ь=IBl sin0=阿1"" sin0，(28)
где Н — напряженность поля. Направление силы 尸，действующей на проводник, определяется правилом левой руки (см. § 96); на рис. 231 она перпендикулярна плоскости листа и направлена на читателя. Очевидно, что наибольшая сила действует на проводник, расположенный перпендикулярно полю (0 = 90° и р = 270°):
尸=IBl = ^Q^IHl.(29)
На проводник, расположенный вдоль поля, поле не действует: при Р = О9 и Р = 180° будет 尸=0.
Из формулы (29) определяется физический смысл магнитной индук-* ции как силы, с которой однородное магнитное поле действует на перпендикулярный этому полю прямолинейный проводник длиной в 1 м с током в 1 А. По этой же формуле (29) устанавливается единица измерения магнитной индукции — тесла: Т = Н/(А • м), т. е. тесла есть магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой в 1 Н на прямолинейный проводник длиной 1 м с током 1 А, расположенный перпендикулярно полю. Размерность тесла была установлена в § 99.
Рассмотрим практически важный случай действия магнитнрго поля на рамку (замкнутый проводящий контур) с током. Пусть рамка
с током / расположена в однородном магнитном поле индукцией В, причем плоскость рамки параллельна полю. Рамка имеет только одну степень свободы — может поворачиваться вокруг оси 00’ (рис. 232, а). На параллельные полю стороны рамки Ьс и da поле не действует. На стороны ab и cd, равные /, будет в соответствии с правилом левой руки и формулой Ампера действовать пара сил F = В//, которая повернет рамку так, что ее плоскость окажется перпендикулярной полю (рис. 232, б). Это положение является равновесным', соответствующий ему момент пары сил равен нулю; си
лы, действующие теперь на рамку, могут только деформировать, но не поворачивать ее.
Практически благодаря инерции рамка не сразу установится в
положение равновесия: сначала она совершит несколько затухающих колебаний около этого положения. Изменим направление тока в рамке в тот момент, когда она немного перейдет через положение
равновесия (в направлении перво начального вращения). Тогда силы 尸 тоже изменят свое направление на противоположное и повернут рамку на 180° (в направлении первоначального вращения) до следующего положения равновесия. Следовательно, если изменять направление тока в рамке в моменты перехода ею положения равновесия, то рамка будет непрерывно вращаться вокруг оси О。'. На этом
явлении основано устройство эле
ктродвигателя, преобразующего электрическую энергию в механи
ческую.
Определим работу, совершаемую при перемещении проводника с током в магнитном поле. Рассмотрим случай, когда прямолинейный проводник длиной / с током / перемещается по направляющим проводам в однородном магнитном поле с индукцией В; плоскость перемещения проводника перпендикулярна полю (рис. 233). Очевидно, что работа d/, совершаемая при перемещении проводника на расстояние dx, равна
dA =尸• d% = BIl • dx = 3/ • dS,
где F — перемещающая сила; dS = / • dx — площадь, описанная
проводником при перемещении. Так как, согласно формуле (27), В • dS = йф есть поток магнитной индукции через . площадь dS、тоd/ = / • d①.(30)Таким образом, работа перемещения проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на поток магнитной индукции через площадь, описанную проводником при перемещении.Рассмотрим замкнутый контур abcda, частью которого является наш проводник / (см. рис. 233). Очевидно, что относительно этого контура (деформирующегося в процессе перемещения проводника 0 величина d① представляет собой изменение потока магнитной индукции через площадь, обтекаемую током /. Тогда соотношению (30) можно сопоставить следующую формулировку: работа тока 8 магнитном поле равна произведению силы тока на изменение потока магнитной индукции через площадь, обтекаемую током. Это самое общее определение работы тока в магнитном поле. Оно справедливо для случаев любого движения замкнутого контура с током как в однородном, так и в неоднородном магнитном поле, а также для случаев деформирующегося контура и неподвижного контура, площадь которого пронизывается изменяющимся потоком магнитной индукции.В заключение определим силу взаимодействия двух длинных параллельных проводников, по которым идут одинаково направленные токи /4 и /2 (рис. 234). Пусть длина каждого из проводников /, а расстояние междупроводником при перемещении. Так как, согласно формуле (27), В • dS = йф есть поток магнитной индукции через . площадь dS、тоd/ = / • d①.(30)Таким образом, работа перемещения проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на поток магнитной индукции через площадь, описанную проводником при перемещении.Рассмотрим замкнутый контур abcda, частью которого является наш проводник / (см. рис. 233). Очевидно, что относительно этого контура (деформирующегося в процессе перемещения проводника 0 величина d① представляет собой изменение потока магнитной индукции через площадь, обтекаемую током /. Тогда соотношению (30) можно сопоставить следующую формулировку: работа тока 8 магнитном поле равна произведению силы тока на изменение потока магнитной индукции через площадь, обтекаемую током. Это самое общее определение работы тока в магнитном поле. Оно справедливо для случаев любого движения замкнутого контура с током как в однородном, так и в неоднородном магнитном поле, а также для случаев деформирующегося контура и неподвижного контура, площадь которого пронизывается изменяющимся потоком магнитной индукции.В заключение определим силу взаимодействия двух длинных параллельных проводников, по которым идут одинаково направленные токи /4 и /2 (рис. 234). Пусть длина каждого из проводников /, а расстояние между乙4乙4/2/2ггРис. 234Рис. 234
проводником при перемещении. Так как, согласно формуле (27), В • dS = йф есть поток магнитной индукции через . площадь dS、то
d/ = / • d①.(30)
Таким образом, работа перемещения проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на поток магнитной индукции через площадь, описанную проводником при перемещении.
Рассмотрим замкнутый контур abcda, частью которого является наш проводник / (см. рис. 233). Очевидно, что относительно этого контура (деформирующегося в процессе перемещения проводника 0 величина d① представляет собой изменение потока магнитной индукции через площадь, обтекаемую током /. Тогда соотношению (30) можно сопоставить следующую формулировку: работа тока 8 магнитном поле равна произведению силы тока на изменение потока магнитной индукции через площадь, обтекаемую током. Это самое общее определение работы тока в магнитном поле. Оно справедливо для случаев любого движения замкнутого контура с током как в однородном, так и в неоднородном магнитном поле, а также для случаев деформирующегося контура и неподвижного контура, площадь которого пронизывается изменяющимся потоком магнитной индукции.
В заключение определим силу взаимодействия двух длинных параллельных проводников, по которым идут одинаково направленные токи /4 и /2 (рис. 234). Пусть длина каждого из проводников /, а расстояние между
проводником при перемещении. Так как, согласно формуле (27), В • dS = йф есть поток магнитной индукции через . площадь dS、то
d/ = / • d①.(30)
Таким образом, работа перемещения проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на поток магнитной индукции через площадь, описанную проводником при перемещении.
Рассмотрим замкнутый контур abcda, частью которого является наш проводник / (см. рис. 233). Очевидно, что относительно этого контура (деформирующегося в процессе перемещения проводника 0 величина d① представляет собой изменение потока магнитной индукции через площадь, обтекаемую током /. Тогда соотношению (30) можно сопоставить следующую формулировку: работа тока 8 магнитном поле равна произведению силы тока на изменение потока магнитной индукции через площадь, обтекаемую током. Это самое общее определение работы тока в магнитном поле. Оно справедливо для случаев любого движения замкнутого контура с током как в однородном, так и в неоднородном магнитном поле, а также для случаев деформирующегося контура и неподвижного контура, площадь которого пронизывается изменяющимся потоком магнитной индукции.
В заключение определим силу взаимодействия двух длинных параллельных проводников, по которым идут одинаково направленные токи /4 и /2 (рис. 234). Пусть длина каждого из проводников /, а расстояние между
乙4
乙4
/2
/2
г
г
Рис. 234
Рис. 234
ними г (「《/)・ Применяя правило буравчика, установим, что напряженность поля ”2, создаваемая вторым проводником в том месте, где находится первый проводник, направлена перпенди куляр но плоскости листа за эту плоскость. Согласно формуле (13),
2”
Применяя правило левой руки, найдем, что поле второго проводника действует на первый проводник с силой Fb направленной в сторону второго проводника. В соответствии с формулой Ампера (29)
Аналогичные рассуждения покажут, что первый проводник действует на второй с силой
尸2 = 110tx乩厶/ = ^О^ J1厶厶
равной по величине силе 尸】，но противоположной ей по направлению (в полном соответствии с третьим законом Ньютона).
Таким образом, два проводника с токами одинакового направления взаимно притягиваются с силой
р = 阿甘人/2z
Противоположно направленные токи взаимно отталкиваются с силой, определяемой по этой же формуле (31).
как уже отмечалось (см. § 74 и 84), на основе взаимодействия параллельных токов вводится определение единицы силы тока в Международной системе единиц ——ампера (^стандартного ампера^. Поясним это определение, пользуясь формулой (31).
Пусть два параллельных очень длинных тонких проводника с токами /4 = /2 = 1 А находятся на расстоянии г = 1 м друг от друга в вакууме (а = 1). Тогда, согласно формуле (31), два противолежащих участка I этих проводников, длиной по 1 м каждый, будут взаимодействовать с силой
口4兀• 10"7м • кг • с~2 • А-2 • 1А2 • 1 м с 口
г — 2 •
2冗• 1 м
где 4л • 10-7 м • кг • с"2 • А~2 — значение и размерность магнитной постоянной [л0. Следовательно, ампер ——сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным 6 вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы между ними силу, равную 2 • 10~7 ньютон на каждый метр длины.
Отметим, что хотя стандартный ампер и является основной единицей СИ, его выбор был не совсем произвольным. Стандартный ампер установлен с учетом того, чтобы его величина практически совпадала с величиной применявшегося ранее международного ампера (определяемого на основе электролиза водного раствора азотнокислого серебра). Стандартный ампер равен 1,00015 международного ампера, т. е. отличается от него на 0,015%.
Движение заряженных частиц в электрическоми магнитном полях. Определение удельного заряда
и массы электрона
И электрическое и магнитное поля действуют на движущиеся в них заряженные частицы. Поэтому заряженная частица, влетающая в электрическое или магнитное поле, отклоняется от своего первоначального направления движения (изменяет траекторию), если только это направление не совпадает с направлением поля. В последнем случае электрическое поле только ускоряет (или замедляет) движущуюся частицу, а магнитное поле вообще не действует на нее. Рассмотрим практически наиболее важные случаи, когда заряженная частица влетает в однородное поле, созданное 6 вакууме (е = 1, рь == 1), имея направление, перпендикулярное полю.
Частица в электрическом поле. Пусть частица, имеющая заряд е и массу т, влетает со скоростью и в электрическое поле плоского конденсатора (рис. 235, а). Длина конденсатора
равна х, напряженность поля равна Е. Предположим для определенности, что частица является электроном (е V 0)・ Тогда, смещаясь
в электрическом поле вверх, она пролетит через конденсатор по криволинейной траектории и вылетит из него, отклонившись от первона
чального направления на отрезок у. Рассматривая смещение у как проекцию перемещения на ось Y равномерно ускоренного движения частицы под действием силы поля
尸=еЕ = та, (32)
можем написать
где Е — напряженность электрического поля, а — ускорение, сообщаемое частице полем, / — время, в течение которого совершается смещение у. Так как, с другой стороны, / есть время равномерного движения частицы вдоль оси конденсатора с постоянной скоростью и, то
t = —
и
Тогда
а =а =
а =
а =
Подставляя это значение шениеПодставляя это значение шениеускорения в формулу (32), получим соотно-
Подставляя это значение шение
Подставляя это значение шение
(33)
представляющее собой уравнение параболы. Таким образом, заряженная частица движется в электрическом поле по параболе; величина отклонения частицы от первоначального направления обратно пропорциональна квадрату скорости частицы.
Отношение е/т заряда частицы к ее массе называется удельным зарядом частицы.
Частица в магнитном поле. Пусть та же частица, которую мы рассматривали в предыдущем случае, влетает теперь в магнитное поле напряженностью Н (рис. 235, б). Силовые линии поля, изображенные точками, направлены перпендикулярно плоскости рисунка (на читателя). Движущаяся заряженная частица представляет собой электрический ток. Поэтому магнитное поле отклонит частицу вверх от ее первоначального направления движения (следует учесть, что направление движения электрона противоположно направлению тока). Согласно формуле Ампера (29), сила, отклоняющая частицу на любом участке траектории (участке тока) /, равна
F = ^НП.
Но ток
где t — время, за которое заряд е проходит по участку /・ Поэтому
尸=2о" -у- /•
Учитывая, что /// = q получим
F = ev^H. (34)
Сила 尸 называется лоренцевой силой. Направления 尸，и и " взаимно перпендикулярны. Направление лоренцевой силы F можно определять по правилу левой руки, подразумевая при этом под направлением тока / направление скорости и и учитывая, что для положительно заряженной частицы направления / и и совпадают, а для отрицательно заряженной частицы эти направления противоположны.
Будучи перпендикулярна скорости и, лоренцева сила изменяет только направление скорости движения частицы, не изменяя величины этой скорости. Отсюда следуют два важных вывода:
Работа лоренцевой силы равна нулю, т. е. постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей (не изменяет кинетической энергии частицы).
Напомним, что в отличие от магнитного поля электрическое поле изменяет энергию и величину скорости движущейся частицы.
Траектория частицы является окружностью, на которой частицу удерживает лоренцева сила, играющая роль центростремительной силы. Радиус г этой окружности определим, приравнивая между собой лоренцеву и центростремительную силы:
откудаоткудаmv
откуда
откуда
(35)(35)Таким образом, радиус окружности, по которой движется частица, пропорционален скорости частицы и обратно пропорционален напряженности магнитного поля.
(35)
(35)
т = —т = —一 271T一 271TНа рис. 235, 6 видно, что отклонение у частицы от ее первоначального направления движения уменьшается с ростом радиуса г. Из этого можно заключить, учитывая формулу (35), что отклонение частицы в магнитном поле уменьшается при увеличении скорости частицы. При увеличении напряженности поля отклонение частицы увеличивается. Если бы в случае, изображенном на рис. 235, б, магнитное поле было более сильным или охватывало более обширную область, то частица не смогла бы вылететь из этого поля, а стала бы все время двигаться по окружности радиусом г. Период обращения частицы Т равен отношению длины окружности s к скорости частицы и:
т = —
т = —
一 271T
一 271T
(36)(36)Следовательно, период обращения висит от ее скорости.Следовательно, период обращения висит от ее скорости.частицы в магнитном поле не за-частицы в магнитном поле не за-
(36)
(36)
Следовательно, период обращения висит от ее скорости.
Следовательно, период обращения висит от ее скорости.
частицы в магнитном поле не за-
частицы в магнитном поле не за-
или, учитывая формулу (35),
7 一 2汽加
угодно долго двигаться в таком поле,угодно долго двигаться в таком поле,
угодно долго двигаться в таком поле,
угодно долго двигаться в таком поле,
Если в пространстве, где движется заряженная частица, создать магнитное поле, направленное под углом а к ее скорости vt то дальнейшее движение частицы представит собой геометрическую сумму двух одновременных движений: вращения по окружности со скоростью usina в плоскости, перпендикулярной силовым линиям, и перемещения вдоль поля со скоростью ucosa (рис. 236, а). Очевидно,что результирующая траектория частицы окажется винтовой линией, навивающейся на силовые линии поля. Это свойство магнитного поля используется в некоторых приборах для предотвращения рассеивания потока заряженных частиц. Особый интерес в этом отношении представляет магнитное поле тороида (см. § 98, рис. 226). Оно является своеобразной ловушкой для движущихся заряженных частиц: «навиваясь» на силовые лннн% частица будет сколь не покидая его (рис. 236, 6). Отметим,
что магнитное поле тороида предполагается использовать в качестве «сосуда» для хранения плазмы в термоядерном реакторе будущего (о проблеме управляемой термоядерной реакции будет сказано в § 144).
Влиянием магнитного поля Земли объясняется преимущественное возникновение полярных сияний в высоких широтах. Заряженные частицы, летящие к Земле из космоса, попадают в магнитное поле Земли и перемещаются вдоль силовых линий поля, «навиваясь» на них. Конфигурация магнитного поля Земли такова (рис. 237), что частицы приближаются к Земле преимущественно в полярных областях, вызывая тлеющий разряд в свободной атмосфере (см. § 93).
С помощью рассмотренных закономерно стей движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях можно экспериментально определять удельный заряд и массу этих частиц. Именно таким путем были впервые определены удельный заряд и масса электрона. Принцип определения состоит в следующем. Поток электронов (например, катодные лучи) направляют в электрическое и магнитное поля, ориентированные так, что они отклоняют этот поток в противоположных направлениях. При этом подбирают такие значения напряженностей Е и 方，чтобы отклонения, вызванные силами электрическо
го и магнитного полей, полностью взаимно компенсировались и электроны летели прямолинейно. Тогда, приравнивая между собой выражения электрической (32) и лоренцевой (34) сил, получим
откудаоткуда(37)(37)eЕ =冲0
откуда
откуда
(37)
(37)
По формуле (37) можно рассчитывать скорость электронов, поскольку значения 步^七 и Н известны.
После того как достигнута полная компенсация отклонений, электрическое поле выключают. В оставшемся магнитном поле электроны начинают двигаться по окружности, радиус которой, согласно формуле (35), равен
(38)(38)/пи
(38)
(38)
第0"
Значение г можно рассчитать по величине отклонения у электрона в магнитном поле и по ширине х области, охваченной этим полем (см. рис. 235, 6). В самом деле, из рисунка видно, что х2 4- (г — у)?= =「2. Следовательно,
胪+户
Из соотношений (37) и (38) получается после простых преобразований формула для вычисления удельного заряда электрона:
ттЕФо环•ЕФо环•(39)(39)
т
т
Е
Фо环•
Е
Фо环•
(39)
(39)
Измерения дали
—=1,7588 - 10й К л/кг.т
Так как е = 1,6021 ♦ 10'19 Кл, то масса электрона оказывается равной
т = 9,1091 ・ IO』кг.
Подобным же образом можно определять удельный заряд и массу любых частиц.
Подчеркнем, что приведенное значение массы электрона соответствует массе покоя. Точные измерения, полученные описанным методом, показали, что при больших скоростях движения (сравниваемых со скоростью света) масса электрона заметно возрастает с увеличением скорости (см. § 20).
§ 102. О некоторых приборах и установках, основанныхна движении заряженных частиц в электрическом и магнитномполях
Особенности движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях широко используются в современных физико-технических установках и приборах. Далее кратко описаны принципы устройства и действия некоторых из этих приборов.
Электронный осциллограф. Основной частью электронного осциллографа* является электроннолучевая трубка, устроенная следующим образом. В узком конце вакуумного баллона находится цилиндрический катод 2, нагреваемый металлической спиралью /, через которую пропускается ток (рис. 238). Дно цилиндра 2 покрыто слоем металла, имеющего малую работу выхода электронов. Диафрагма 5 выделяет из эмиттируемых катодом электронов узкий электронный пучок (электронный луч). В электрическом поле, создаваемом между катодом 2 и цилиндрическим анодом 4, электроны
разгоняются до скоростей порядка 104 км/с. Подогреваемый катод, диафрагма и анод составляют электронную пушку.
Электронный луч проходит через два отклоняющих конденсатора 5 и 6, пластины которых расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях, и падает на экран 7, покрытый люминесцирующим веществом. В месте падения луча на экране появляется светящаяся точка О.
Рис. 239на пластины конденсатооа 5 по-Рис. 239на пластины конденсатооа 5 по-Если подать на пластины конденсатора 6 постоянное напряжение, то направление электронного луча изменится и светящаяся точка сместится вдоль вертикали. В случае переменного напряжения электронный луч начнет колебаться в вертикальной плоскости, а на экране появится светящаяся вертикальная линия, длина которой зависит от величины приложенного напряжения. По длине этой линии можно определять величину очень слабых напряжений и токов.
Рис. 239
на пластины конденсатооа 5 по-
Рис. 239
на пластины конденсатооа 5 по-
С помощью специальной схемы_
дается переменное напряжение U пилообразной формы (рис. 239; t — время). Под влиянием такого напряжения светящаяся точка будет равномерно двигаться по горизонтали, например вправо, а затем скачком возвращаться в крайнее левое положение. Этот периодически повторяющийся процесс, называемый горизонтальной разверткой луча, даст на экране горизонтальную светящуюся линию.
Если на вертикальное колебание луча, обусловленное исследуемым напряжением, наложить горизонтальную развертку, то луч будет описывать на экране кривую зависимости исследуемого напряжения от времени. Если это напряжение изменяется периодически, то, подобрав соответствующую частоту горизонтальной развертки, можно получить на экране неподвижный график исследуемого напряжения и сфотографировать его.'
Электронный луч практически безынерционен. Поэтому с помощью осциллографа можно исследовать очень быстро протекающие (за десятимиллионные доли секунды) электрические процессы. Возможно также, и это весьма важно, осциллографическое изучение неэлектрических процессов (колебаний температуры, давления, плотности и т. п.), предварительно преобразованных в электрические процессы с помощью соответствующих электрических датчиков.
Помимо электронного осциллографа электроннолучевая трубка применяется в радиолокаторе, телевизоре, электронном микроскопе, электронно-вычислительной машине и многих других приборах.
Масс-спектрограф. Масс-спектрограф служит для определения массы ионов (заряд которых известен). Схема этого прибора изображена на рис. 240. Поток А ионов исследуемого вещества, представляющий собой каналовые лучи тлеющего газового разряда (см. § 93), пропускают через узкую щель диафрагмы D, выделяющую из потока узкий «ионный луч» 3. Этот луч проходит сначала через электрическое поле плоского конденсатора Е, а затем через маг-
нитное поле Н. Электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны. Силовые линии магнитного поля, изображенные крестиками, направлены перпендикулярно плоскости рисунка за эту плоскость. При таком расположении полей ионный луч отклонится в электрическом и в магнитном полях в противоположных направлениях.
Рис. 240Рис. 240
Рис. 240
Рис. 240
Предположим, что все ионы имеют одинаковый заряд е и массу 加力 но движутся с несколько различными скоростями. Тогда в электрическом поле ионный луч будет расщеплен: быстрые ионы отклонятся от первоначального направления меньше, медленные ионы — больше. Войдя в магнитное поле, эти ионы будут отклоняться в противоположную сторону, причем опять же быстрые ионы отклонятся меньше, медленные — больше (см. § 101). В результате траектории всех ионов пересекутся («сфокусируются») в одной точке.
Предположим теперь, что в ионном луче имеются еще ионы массой 加2Vmi Все эти ионы сфокусируются в другой точке 2 Если в луче присутствуют еще ионы массой m^Zjm^ 团4之加в и т д., то они сфокусируются соответственно в точках 3, 4 и т. д.
Расчеты показывают, что «фокусы^ для всех ионов находятся приблизительно на одной прямой CF. Если вдоль этой прямой расположить фотографическую пластинку, то на ней получится ряд узких полосок (линий) /, 2, 3, 4 и т. д. (рис. 241). Каждая из этих линий создана ионами определенной массы m「т2,加於 m4 и т. д..
Таким образом, масс-спектрограф разлагает ионный луч по мае- сам ионов, подобно тому, как оптический спектрограф разлагает световой луч по длинам световых волн (отсюда название «масс-спектрограф»). Совокупность линий, полученных на фотопластинке (см. рис. 241), называется масс-спектрограммой.
Зная параметры прибора и расстояния между линиями масс-спек- трограммы, можно вычислить значения масс исследуемых ионов. Относительное количество ионов данной массы определяется по величине суммарного заряда ионов, образующих соответствующую этой массе линию масс-спектрограммы (величина заряда измеряется чувствительным гальванометром).
С помощью масс-спектрографа были впервые обнаружены изотопы химических элементов (см. § 138). Первые точные измерения массы изотопов и процентного содержания изотопов в их естественных смесях также были выполнены посредством масс-спектрографа.
Электронный микроскоп. С помощью электрического и магнитного полей можно придавать траекториям заряженных частиц весьма разнообразные формы. Можно, в частности, создать поле такой конфигурации, что оно будет собирать (фокусировать) в одну точку параллельные электронные лучи или, наоборот, будет превращать параллельные лучи в расходящиеся. Электрические и магнитные поля, способные симметрично отклонять и фокусировать электронные лучи, называются электронными линзами (электростатическими, или магнитными, или электромагнитными — в зависимости от того, какое именно поле воздействует на эти лучи).
В оптическом микроскопе увеличенное изображение объекта получается, как известно, благодаря соответствующему ходу световых лучей, создаваемому системой стеклянных линз (см. § 117).
В электронном микроскопе создается соответствующий ход электронных лучей при помощи системы электронных линз^.
Электронный микроскоп состоит из герметично закрывающейся трубы (в которой поддерживается разрежение порядка 10"*3 Па), электронной пушки, системы электронных линз и люминесцирующего экрана. Создаваемые пушкой электронные лучи проходят через исследуемый объект (помещенный на коллодиевой пленке толщиной около 0,01 мкм) и систему электронных линз и падают на экран. В результате на экране получается увеличенное изображение (тень) объекта. Так как более плотные места объекта задерживают электронные лучи сильнее, чем менее плотные, то на изображении выявляется структура объекта', темные области изображения соответствуют более плотным местам объекта. Изображение в электронном микроскопе получается настолько четким, что его можно сфотографировать. На рис. 242 приведены электронно-микрофотографии вирусов табачной
* В отличие от оптического микроскопа электронный микроскоп дает действительное увеличенное изображение предмета (на люминесцирующем экране).
мозаики (а), увеличенные в 150 000х и вирусов гриппа (б), увеличенные в 70 ОООх.
В отличие от оптического микроскопа, у которого максимальна возможное увеличение имеет порядок 103 раз, электронный микро
скоп может давать, вообще говоря, сколь угодно большое увеличение. Это связано с очень большой разрешающей способностью элек
тронного микроскопа, т. е. с его способностью давать раздельное изображение очень мелких, близко расположенных друг от друга деталей объекта (см. § 123 и 126). Современные электронные микроскопы
обладают максимальным увеличением порядка 105 раз.
Рис. 243Рис. 243Электронный микропроектор. Электронный микропроектор представляет собой безлинзо- вый электронно-оптический увеличитель, схематически изображенный на рис. 243. В центре сферического баллона радиусом R помещен катод — металлический шарик крайне малого радиуса г ^ 10-5 см На внутренней поверхности баллона нанесен слой люминесци- рующего вещества, служащий экраном для электронных лучей и одновременно анодом. В баллоне создано разрежение порядка 10~6 Па. Напряженность эле-
Рис. 243
Рис. 243
ктрического поля вблизи катода составляет около 107 В/см. Столь сильное
поле вызывает холодную эмиссию электронов с поверхности катода (см. § 88). Электроны летят радиально от катода к аноду (экрану). Под ударами этих электронов экран светится.
Если вблизи катода поместить исследуемый объект, то он будет задерживать часть электронных лучей, благодаря чему на экране получится увеличенное теневое изображение (проекция) этого объекта. Максимальное увеличение, равное отношению R/г, получится, очевидно, в том случае, когда объект нанесен непосредственно на поверхность катода.
Электронный проектор дает увеличение порядка 10е раз. С его помощью удается получать изображения отдельных молекул, адсорбированных поверхностью катода проектора. Причем на экране виден не только общий контур молекулы, но и ее структура (сгущения и разрежения электронных оболочек).
Циклотрон. Циклотрон служит для ускорения движения заряженных частиц (электронов, протонов, дейтонов, альфа-частиц и т. д.) до очень больших скоростей, близких к скорости света. Такие частицы используются для исследования атомных ядер, для получения радиоактивных изотопов и т. п.
Принципиальная схема циклотрона изображена на рис. 244, а. Между полюсными наконечниками сильного электромагнита 3 помещена вакуумная ускорительная камера (не показана на рисунке), в которой находятся две полукруглые металлические коробки / и 2f
называемые дуантами. К дуантам приложено переменное напряжение периода 7, создающее в промежутке между дуантами переменное электрическое поле того же периода. Магнитное поле электромагнита перпендикулярно электрическому полю дуант.
Заряженную частицу вводят в центр промежутка между дуантами (рис. 244, б). Ускоряемая электрическим и отклоняемая магнитным полями, частица входит в первый дуант / и описывает там полуокружность. К моменту выхода частицы из первого дуанта полярность
Рис. 244
напряжения на дуантах изменяется. Поэтому частица вновь ускоряется электрическим полем и переходит во второй дуант 2, описывая в нем полуокружность, теперь уже большего радиуса (см. § 101). Так как, согласно формуле (36), период обращения частицы в магнитном поле не зависит от ее скорости, то частица будет ускоряться электрическим полем всякий раз, когда она входит в промежуток между дуантами. Для этого, конечно, необходимо, чтобы приложенное к дуантам напряжение имело период
7 _ 2式加
где е — заряд частицы, т — ее масса, Н — напряженность магнит* ного поля, “о — магнитная постоянная.
В результате частица будет двигаться по раскручивающейся спирали, достигнет периферии дуант и вылетит из них (под влиянием отклоняющего заряда q), имея огромную скорость и большую кинетическую энергию. Например, протон может быть разогнан в циклотроне до энергии в 22 миллиона электронвольт (МэВ).
При очень больших скоростях масса частиц начинает заметно возрастать с увеличением скорости (см. § 20). В связи с этим период обращения частицы (как видно из приведенной ранее формулы) тоже возрастает, делаясь не равным периоду напряжения, приложенного к дуантам. В результате электрическое поле перестает ускорять частицу и даже начинает тормозить ее. Этот недостаток циклотрона можно устранить, если по мере роста-скорости частицы синхронно увеличивать период напряжения, приложенного к дуантам. Ускоритель,
в котором увеличивается период электрического напряжения, называется синхроциклотроном, или фазотроном.
тт• — силобые линии магнитного пшг @^ q __ газовые ионы, 1и2-злектроды• — силобые линии магнитного пшг @^ q __ газовые ионы, 1и2-злектродыРис. 245Рис. 245Наиболее мощным ускорителем заряженных частиц является синхрофазо^ трон, В нем частицы разгоняются не по спирали, а по окружности постоянного радиуса. Для этого необходимо синхронно изменять напряженность магнитного поля и период электрического напряжения. В синхрофазотроне, построенном в г. Дубне, протоны разгоняются до энергии в 10 млрд. эВ. Диаметр кольцевого магнита этого синхрофазотрона равен 56 м.
т
т
• — силобые линии магнитного пшг @^ q __ газовые ионы, 1и2-злектроды
• — силобые линии магнитного пшг @^ q __ газовые ионы, 1и2-злектроды
Рис. 245
Рис. 245
Самым мощным из существующих сейчас в мире ускорителей элементарных частиц является ускоритель протонов, построенный под г. Серпуховом и пущенный в 1967 г. В нем протоны разгоняются до чудовищной энергии, достигающей 76 миллиардов эле^ ктронволып.
Магнитогидродинамический генератор. На движении заряженных частиц в магнитном поле основан разрабатываемый сейчас, в принципе весьма простой, способ получения электрической энергии — магнитогид родинами^ ческий генератор (МГД-генератор). Газ, предварительно нагретый до высокой температуры (порядка 2800 К) и потому сильно ионизированный, продувают через канал поперек постоянного магнитного поля (рис. 245). Под действием лоренцевой силы положительные и отрицательные газовые ионы движутся в противоположные стороны (поперек газового потока), и достигая электродов (/ и 2), изготовленных из хромита лантана, сообщают им противоположные электрические заряды. С этих электродов во внешнюю цепь отводится электрический ток. МГД-генератор весьма перспективен, так как превращает тепло в электрическую энергию непосредственно — без механического преобразования (и, следовательно, не имеет движущихся деталей). Кроме того, благодаря очень высокой температуре, рабочего вещества (газа) он обладает повышенны м коэффициентом полезного действия.
Первый опытный МГД-генератор начал работать в СССР в апреле 1967 г.
Задача 50. На рис. 246 изобра-
Рис. 246Рис. 246жено поперечное сечение прямолинейных параллельных бесконечно длинных проводников с током. Расстояния между проводниками АВ = = ВС = 5 см; силы токов /х = /2 и /3 = 2/]. Найти на прямой АС точку 府,в которой напряженность магнитного поля токов 厶，厶 и 厶 равна нулю.
Рис. 246
Рис. 246
Решение. Применение правила буравчика показывает, что искомая точка М может находиться только на участке 4В, так как толь-
ко на этом участке напряженности полей "卜 Н? и Я3 всех трех токов направлены не в одну сторону; в этой точке Н?= 冃i + "§ (см. рис. 246).
Введем обозначения: АМ = х, АВ ^= а,厶=/. Тогда на основании формулы (13) можем написать
/2/
2冗(а — х)2yx2兀(2а — х)'
откуда после несложных алгебраических преобразований получим
2
х ==0 2 3,33 см
Задача 51. Необходимо изготовить соленоид длиной Z = 20 см н диаметром D = 5 см, создающий напряженность магнитного поля Н = 1008 А/м. Рассчитать: а) число ампер-витков /九 этого соленоида; б) разность потенциалов U, которую надо приложить к концам соленоида, если он изготовлен из медной проволоки диаметром d = 0,5 мм. Удельное сопротивление меди р = =1,71 • 10-8 Ом • м.
Решение, а) Согласно формуле (18), Я = /л//, где 九 一 число витков соленоида, / — сила тока в нем. Тогда /〃 = HI = 1008 А/м • 0,2 м = =201,6 А = 201,6 ампер-витка (см. § 98).
£
б) По закону Ома, U = /R = /р-^- , где R — сопротивление провода, S =
=л d2/4 — площадь поперечного сечения провода, L ~лРл — длина провода. Поэтому
UU2,76 В・2,76 В・4pD(/n)4 • 1,71 ・ 10~8 Ом • м • 0,€)5 м • 201,6厶
U
U
2,76 В・
2,76 В・
25 ・ IO— М2
Задача 52. Два длинных горизонтальных провода с током расположены параллельно друг другу на расстоянии /• = 8 мм один от другого, причем верхний провод закреплен жестко, а нижний свободно висит в воздухе.
Какой силы /1 и какого направления ток должен для этого течь по верхнему проводу, если по нижнему идет ток /2 = 1А? Вес одного метра длины нижнего провода р == 2,5 • 10~3 Н/м.
Решение. Очевидно, что нижний провод будет свободно висеть только в том случае, если его вес 尸 компенсируется силой 尸 притяжения со стороны верхнего провода, ток в котором должен иметь такое же направление, как и в нижнем проводе (см. § 100). Поэтому, обозначив длину провода буквой I, можно написать
F 0 Р О pl
или, учитывая формулу (31),
■ pl.■ pl.27V27V卩 0MJ2'
■ pl.
■ pl.
27V
27V
где магнитная постоянная 世о = 4л • 10~? м • кг • с*2 • А*2, относительная магнитная проницаемость воздуха 世=L Тогда
2冗з2 . 3,14 . 8 . КГ3 м • 2,5 . 10~8 Н/м .
/ Q о•"・■・‘・……— — — е=з 100 A.
氏以2 4 • 3,14 ・ 10T M . KP/(c2 ・ 42). 1A
Задача 53. В однородном магнитном поле, индукция которого 8 = и 0,5 Вб/м2, движется равномерно проводник длиной / = 10 см. По проводнику течет ток / = 2 А. Скорость движения проводника о == 0,2 м/с и направлена перпендикулярно магнитному полю. Определить работу А Л перемещения проводника за время А / » 10 с и мощность ^, расходуемую на это перемещение.
Решение. Воспользуемся рис. 233 (из § 100), поскольку он подходит к условиям данной задачи. Согласно формулам (30) и (27),
ДА = / • ДФ = /В • AS = IBI • А%,
*eAS—площадь, описываемая движущимся проводником, ДФ—поток магнитной индукции через эту площадь, Д х =必 / — перемещение проводника за время А Тогда
АА = /В/у-Д/=2А=0,5Вб/м2-0,1 м-0,2 м/с- Юс = 0,2А，Вб =0,2А-В-с =0,2 Дж,
ДА 0,2 ДжА/ = —16с —=ДА 0,2 ДжА/ = —16с —=0,02 Вт.0,02 Вт.
ДА 0,2 Дж
А/ = —16с —=
ДА 0,2 Дж
А/ = —16с —=
0,02 Вт.
0,02 Вт.
Задача 54・ Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом а = 30° и начинает двигаться по винтовой линии. Индукция магнитного поля В = 1,3 • 10~2 Вб/м2. Найти радиус г витка и шаг d винтовой линии.
Решение. Прибегая к помощи рис. 236, а (из § 101), соответствующего условиям этой задачи, и пользуясь формулой (35), можем написать
mv sin аГ= ~"еВ~，
где т = 9,1 ・ 10~31 кг — масса электрона, е = 1,6 ・ 10"19 Кл — его заряд, 。一скорость электрона, usina — проекция скорости движения электрона на направление, перпендикулярное магнитному полю.
Скорость V электрон приобретает в электрическом поле (с разностью потенциалов U). Поэтому кинетическая энергия электрона должна равняться работе перемещения электрона в электрическом поле, т. е.
ТогдаТогда
Тогда
Тогда
mv sin а 9,1 • 10~з1 кг • 4,6 • 1Ф м/с • 0,5кг • м3
~еВ= 1,6 . 10-19 Кл • 1,3 • IO"2 Вб/м2 = Кл . В . с2
10-210-2Дж • мДжДж • мДж10-2 м =10-2 м =смсм
10-2
10-2
Дж • м
Дж
Дж • м
Дж
10-2 м =
10-2 м =
см
см
Шагом винтовой линии называется расстояние между двумя соседними ее витками. Поэтому
d = Tv cos а,
где Т — период вращения электрона, ucosa — скорость движения электрона вдоль поля. Очевидно, что Г = —： . Тогда
V sin а
d = 2w • ctga = 2М§• 3,14 • 10~2 м = 0,109 м = 10,9 см.
Г лава XV. Электромагнитная индукцияи переменный ток
Электромагнитная индукция. Закон Фарадея.Правило Ленца. Токи Фуко
В § 100 было установлено, что помещенный в однородное магнитное поле замкнутый проводящий контур abed с током (см. рис. 233) подвергается деформадии: участок Ьс = / приходит в движение и площадь, ограниченная контуром, изменяется. Естественно предположить, что может существовать и обратное явление: возникновение тока в контуре, деформирующемся в магнитном поле. Такое явление было экспериментально обнаружено в 1831 г. Фарадеем. Более того, Фарадей обнаружил, что электрический ток возбуждается не только при деформации контура, но и в случаях, когда жесткий контур движется поступательно или поворачивается в магнитном поле, а также в случаях, когда неподвижный контур находится в изменяющемся со временем (нестационарном) магнитном поле (при этом изменение поля может осуществляться любым способом).
Ток, возбуждаемый магнитным полем в замкнутом контуре, называется индукционным током、а само явление возбуждения тока посредством магнитного поля — электромагнитной индукцией. Электродвижущая сила, обусловливающая индукционный ток, называется электродвижущей силой индукции.
Рассмотрим несколько опытов, с помощью которых Фарадей изучал явление электромагнитной индукции (рис. 247).
К замкнутому контуру (плоскость которого перпендикулярна плоскости рисунка) приближается северный полюс магнита (рис. 247, а). При этом в контуре индуцируется ток 人,вызывающий отклонение стрелки гальванометра Г. Магнитные поля магнита и индукционного тока изображены линиями индукции В н В「Если движение магнита прекращается, то индукционный ток исчезает.
Северный полюс магнита удаляется от контура (рис. 247,①. Тогда в контуре индуцируется ток, противоположный току, индуцированному в предыдущем случае.
К контуру приближается южный полюс магнита (рис. 247, 8). В этом случае индуцированный ток имеет такое же направление, как в случае удаления северного полюса магнита.
Южный полюс магнита удаляется от контура (рис. 247, а). Тогда индуцированный ток направлен так же, как в случае приближения северного полюса магнита.
В контуре включается ток / (ключом /Q или же в этом контуре увеличивается (реостатом R) имевшийся уже ток (рис. 247, 0). Тогда в соседнем контуре индуцируется ток /“ направленный противоположно току /. Если изменение тока / прекращается, то индукционный ток исчезает.
В контуре выключается или же уменьшается ток / (рис. 247, е). Тогда в соседнем контуре индуцируется ток /р направленный одинаково с током /.
Характерная особенность рассмотренных случаев состоит в том, что в каждом из них имеет место изменение потока магнитной индукции через площадь, ограниченную контуром. Действительно, в случаях а, в, д этот поток увеличивается со временем, а в случаях 6, е, е — уменьшается со временем.
Рис. 247Рис. 247
Рис. 247
Рис. 247
Обобщая результаты своих многочисленных опытов по электромагнитной индукции, Фарадей пришел к следующим выводам.
В замкнутом контуре индуцируется ток во всех случаях, когда происходит изменение потока магнитной индукции через площадь, ограниченную контуром,
d①d①Величина электродвижущей силы индукции £» пропорциональна скорости изменения потока магнитной индукции 之①/df:
d①
d①
⑴
где Ф — поток магнитной индукции, f ——время.
В 1833 г. Ленц установил общее правило для определения направления индукционного тока, получившее название правила Ленца: индуцированный ток имеет такое направление, что его собственное
магнитное поле компенсирует изменение потока магнитной индукции, вызывающее этот ток.
Иными словами, индукционный ток направлен так, что его собственное магнитное поле препятствует изменению потока магнитной индукции, вызвавшему этот ток. Нетрудно убедиться, что во всех рассмотренных случаях (см. рис. 247) направление индукционного тока соответствует правилу Ленца. Например, при увеличении тока / в первом контуре (см. рис. 247, 0) увеличивается поток магнитной индукции через второй контур. Для компенсации этого увеличения собственное магнитное поле Bf тока /р индуцированного во втором контуре, должно быть направлено противоположно полю В первого контура. Отсюда следует, что индукционный ток 厶 противоположен току I. При удалении северного полюса магнита (см. рис. 247, б) поток магнитной индукции через контур уменьшается. Для компенсации этого уменьшения собственное поле В, индукционного тока должно быть направлено так же, как поле 8. Тогда, согласно правилу буравчика, индукционный ток будет направлен по часовой стрелке (если смотреть в направлении поля).
В любом случае электромагнитной индукции имеет место превращение энергии из одних видов в другие. Например, при перемещении магнита относительно контура (см. рис. 247, а, 6, в, и а) механическая энергия движения магнита превращается посредством магнитного поля в электрическую энергию индукционного тока и, конечно, в теплоту, выделяемую этим током на сопротивлении контура. Так как при любых энергетических превращениях соблюдается закон сохранения энергии, то величину электродвижущей силы индукции можно определить исходя из этого закона. Для этого вернемся к рис. 233 и посмотрим, какие энергетические превращения имеют место в контуре abed, содержащем источник тока с электродвижущей силой ё0. В § 100 мы уже выяснили, что подвижный участок / этого контура будет перемещаться (вправо). Пусть перемещение участка I на расстояние dx происходит за время dt Согласно формуле (30), совершаемая при этом работа равна
d/' = / • d①， где / — сила тока в контуре, d①一изменение потока магнитной индукции через площадь, обтекаемую током (или, что то же, через площадь, ограниченную контуром).
Одновременно с перемещением участка /, т. е. одновременно о деформацией контура, происходит, согласно закону Джоуля ——Ленца, нагревание всего контура. Работа нагревания контура равна
d/〃 = /2R ・应，
где R — полное сопротивление контура.
Деформация и нагревание контура производятся в конечном счете источником тока, включенным в контур. Так как работа источника тока за время dt равна dA = So /Л, то, в соответствии с законом сохранения энергии,
dA = d4 + dA", или So/ •或=/ • d①十 CR •成，
откуда
/ d①\
久十 （一万）
R
d①d①Последнее выражение можно рассматривать как закон Ома для контура, в котором помимо электродвижущей силы £° источника тока имеется добавочная э. д. с., равная ——d①/df, возникающая в связи с изменением потока магнитной индукции через площадь, ограниченную контуром. Эта э. д. с. представляет собой электродвижущую силу индукции £±:
d①
d①
⑵
Таким образом, в соответствии с выводом Фарадея (1) электродвижущая сила индукции оказывается пропорциональной скорости изменения потока магнитной индукции. Выражение (2), называемое законом Фарадея, является универсальным', оно справедливо для всех возможных случаев электромагнитной индукции. Знак минус показывает, что э. д. с. индукции £» направлена так, что магнитное поле индукционного тока препятствует изменению потока магнитной индукции dФ: если поток увеличивается (d①>0), то gjV° и поле индукционного тока направлено навстречу потоку; если же поток уменьшается (d①v°), то 召》>0 и направления потока и поля индукционного тока совпадают. Короче говоря, знак минус в формуле (2) есть математическое выражение правила Ленца.
Исходя из формулы (2) можно дать другое определение единице потока магнитной индукции ——веберу: если поток магнитной индукции через площадь, ограниченную контуром, изменяется на 1 Вб за 1 с, то в контуре индуцируется э. д. с., равная 1 В. Следовательно,
В = Вб/с,
откуда
Вб = В • с.
Остановимся теперь на вопросе о природе электродвижущей силы индукции. В случаях движения контура в магнитном поле э. д. с. индукции обусловлена действием лоренцевой силы на заряды, находящиеся в контуре. В самом деле, пусть, например, участок металлического контура (рис. 248, а) движется со скоростью и, пересекая магнитное поле (силовые линии которого, изображенные точками, перпендикулярны плоскости рисунка). Вместе с этим участком движутся находящиеся в нем электроны. Поэтому на каждый электрон е будет действовать лоренцева сила F, направленная вверх (учитывая, что электрон заряжен отрицательно). В результате на участке / произойдет разделение зарядов: свободные электроны переместятся кверху и между концами участка возникнет разность потенциалов, равная электродвижущей силе индукции.
В случаях неподвижного контура, находящегося в переменном (нестационарном) магнитном поле, возникновение э. д. с. индукции нельзя объяснить лоренцевой силой, так как она не действует на неподвижные заряды. Для объяснения природы электродвижущей силы индукции в этих случаях необходимо предположить, как это сделал Максвелл (см. § 105), что переменное магнитное поле Н создает 6 пространстве переменное же электрическое поле Е и что силовые
Рис. 248
линии магнитного поля концентрически охвачены силовыми линиями электрического поля (рис. 248, 6). Такое электрическое поле — с замкнутыми силовыми линиями—называется вихревым 九。〃ем. Силы вихревого электрического поля производят разделение зарядов в проводящем контуре, создавая в нем переменную разность потенциалов, равную электродвижущей силе индукции.
Индукционные токи возникают не только в линейных (проволочных) контурах, но и в массивных сплошных проводниках, пронизываемых изменяющимся магнитным полем. Такие токи называются токами Фуко по имени французского физика Фуко, впервые обнаружившего их.
Токи Фуко являются вихревыми: они замыкаются в толще самого проводника, проходя в плоскостях, перпендикулярных потоку магнитной индукции. Так как электрическое сопротивление массивного проводника невелико, то токи Фуко могут достигать большой величины, вызывая значительное нагревание проводника. В связи с этим токи Фуко используются для плавки металлов в специальных электропечах.
Для уменьшения потерь электроэнергии на токи Фуко сердечники электромагнитов, трансформаторов, электрогенераторов и электродвигателей собирают из отдельных, электрически изолированных друг от друга пластин или стержней; в последние годы вместо сборных железных сердечников широко применяют сплошные сердечники из феррита (см. § 99).
§ 104. Взаимная индукция и самоиндукция
Взаимная индукция и самоиндукция являются частными случаями
электромагнитной индукции.
Взаимной индукцией называется возбуждение тока в контуре при
изменении тока в другом (соседнем) контуре. Предположим, что в
Рис. 249Рис. 249①2 =幽人，①2 =幽人，⑶⑶контуре J идет ток /〕 (рис. 249). В магнитном поле этого тока находится соседний контур 2. Магнитный поток Фг, связанный с контуром 2, пропорционален магнитному потоку, связанному с контуром /. В свою очередь магнитный поток, связанный с контуром /, пропорционален силе тока 厶 в этом контуре; поэтому можно написать
Рис. 249
Рис. 249
①2 =幽人，
①2 =幽人，
⑶
⑶
где коэффициент пропорциональности М называется коэффициентом взаимной индукции, или взаимной индуктивностью обоих контуров. Само собой разумеется, что если бы ток проходил по второму контуру, то магнитный поток ① 1, связанный с первым контуром, зависел от силы тока /2 во втором контуре и выражался соотношением, аналогичным (3), т. е. Ф4 = М/2.
Предположим теперь, что за время dt ток в контуре / изменяется на величину dlv Тогда, согласно формуле (3), магнитный поток, связанный с контуром 2, изменится на величину
d① 2 = М • dlv
в результате чего в этом контуре появится э. д. с. взаимной индукции, равная (по закону Фарадея)
⑷⑷
⑷
⑷
Формула (4) показывает, что электродвижущая сила взаимной индукции, возникающая в контуре, пропорциональна скорости изменения тока в соседнем контуре и зависит от взаимной индуктивности этих контуров.
Для определения взаимной индуктивности и единиц ее измерения перепишем формулу (3) в виде
⑸⑸М = &
⑸
⑸
Очевидно, что взаимная индуктивность двух контуров равна магнитному потоку, связанному с одним 〃з контуров, когда 6 другом контуре идет ток, равный единице. Единицей измерения взаимной индуктивности является генри (Г):
Г = Вб/А.
Размерность взаимной индуктивности (и единицы ее измерения —— генри) равна
|М] = "^" = -2^ = м2 • кг • с" . AR
В § 95 было сказано, что размерность магнитной постоянной 卩о, равная м • кг • с"2 • А*2, совпадает с размерностью отношения генри/метр и потому единица измерения 卩о называется генри на метр. Теперь можно убедиться в справедливости этого утверждения:
М
Взаимная индуктивность зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости среды, но не зависит от силы тока в кон- туре.
Получим выражение взаимной индуктивности двух однослойных проволочных катушек, намотанных на общий железный сердечник (рис. 250). Пусть катушка 2, имеющая п2 витков, плотно намотана поверх катушки /, имеющей 〃〕витков (обмотка второй катушки изображена прерывистой линией). Катушки имеют общую длину / и почти одинаковую площадь поперечного сечения S; магнитная проницаемость среды равна 卩.Ток /ь идущий в первой катушке, создает магнитное поле, которое пронизывает как первую, так и вторую катушку. Поэтому каждый виток второй катушки связан с магнитным потоком
①/ = НоН^ [S,а вся вторая катушка связана с магнитным потоком①2 =①‘几2 =?於"№几不
где 〃i = nJ i/Z —напряженность магнитного поля, создаваемого первой катушкой (соленоидом). Тогда
不阿№八1几2%S
① 2,
откуда, согласно формуле (5),
М =阿呐亞.(6)
Этой же формулой можно пользоваться для приближенного вычисления взаимной индуктивности двух многослойных катушек, если толщина слоев мала по сравнению с диаметром катушек.
Если за время dt ток в первой катушке изменяется на величину d/i, то, как следует из формул (4) и (6), во второй катушке возникает электродвижущая сила взаимной индукции
g ___ 卩oR九 1Л2sg ___ 卩oR九 1Л2sdtdt⑺⑺
g ___ 卩oR九 1Л2s
g ___ 卩oR九 1Л2s
dt
dt
⑺
⑺
55niniРис. 251Рис. 251dTdT
5
5
ni
ni
Рис. 251
Рис. 251
dT
dT
Рассмотренный случай взаимной ин дукции двух катушек практически весьма важен. На нем, например, основано , действие индукционной катушки (боби- 〃2 "В 兄ьс), используемой для зажигания го- I рючей смеси в двигателях внутреннего I сгорания, а также действие трансформатора, широко применяемого в электрорадиотехнике для изменения силы и напряжения переменного тока.
Трансформатор был изобретен в 1876 г. П. Н, Яблочковым. Принципи-
альная схема трансформатора показана на рис. 251. Первичная / и вторичная 2 катушки (обмотки), имеющие соответственно n4 и 九纟 витков, надеты на замкнутый железный сердечник. Магнитное поле сердечника изображено линиями магнитной индукции (замкнутые прерывистые линии).
Если по какой-либо причине магнитный поток в сердечнике изменяется на величину d① за время df, то в соответствии с законом Фарадея в обмотках индуцируются электродвижущие силы:
Предположим теперь, что указанное изменение магнитного потока было вызвано подключением к первичной обмотке внешней переменной э. д. с., равной 8[. Тогда во второй обмотке появится э. д. с. взаимной индукции, равная 召？. Отношение этих э. д. с. равно
⑹⑹红=旦=k.
⑹
⑹
Величина 幺 называемая коэффициентом трансформации, показывает, во сколько раз э. д. с. во вторичной обмотке больше (или меньше) э. д. с. в первичной обмотке.
Согласно закону сохранения энергии, мощности тока в обеих обмотках должны быть одинаковыми. Поэтому можно написать
з厶=也厶， ⑼
или, учитывая формулу (8),
魯(10)
где /1 и /2 — переменные токи соответственно в первичной и вторичной обмотках. Следовательно, токи в обмотках обратно пропорциональны числам витков этих обмоток.
Таким образом, применяя трансформатор с соответствующим коэффициентом трансформации, можно в любом наперед заданном отношении повышать или понижать переменную электродвижущую силу и соответственно понижать или повышать ток. Повышающий трансформатор (々＞1) применяется, например, при передаче электроэнергии на большое расстояние (для снижения потерь на джоулево тепло в линии передачи, пропорциональных квадрату силы тока). Понижающий трансформатор (々＜1) используется, например, при электросварке (поскольку для нее требуется большой ток при низком напряжении).
Отметим, что при выводе формулы (10) не учитывались потери энергии в самом трансформаторе, хотя в действительности они, конечно, имеют место (нагревание обмотки, токи Фуко в сердечнике, утечка магнитного потока, перемагничивание сердечника). Однако эти потери весьма незначительны: коэффициент полезного действия современных трансформаторов достигает 98%. Поэтому формула (10) вполне пригодна для практических расчетов.
Контур, в котором изменяется ток, индуцирует ток не только в других, соседних, контурах, но и в себе самом: это явление называется самоиндукцией.
Магнитный поток Ф, связанный с контуром, пропорционален току / в контуре? Поэтому можно написать
①(И) где множитель 厶 называется коэффициентом самоиндукции, или инду' ктивностью контура.
Предположим теперь, что за время dt ток в контуре изменяется на величину dl, Тогда, согласно формуле (11), магнитный поток, связанный с контуром, изменится на величину
d①=L ♦ di、
в результате чего в этом контуре появится электродвижущая сила самоиндукции
пропорциональная скорости изменения тока и зависящая от индуктивности контура. Знак минус показывает, что э. д. с. самоиндукции (а следовательно, и ток самоиндукции) всегда препятствует изменению основного (внешнего) тока. Если основной ток увеличивается
0), то &V0 и ток самоиндукции направлен навстречу основному току. Если же основной ток уменьшается (^> V 。), то £>0 и ток самоиндукции направлен одинаково с основным током.
Наглядным примером явления самоиндукции служат так называемые экстратоки замыкания и размыкания, возникающие при включении и выключении тока в контуре, обладающем значительной индуктивностью. При включении тока возникает экстраток замыкания, направленный противоположно включенному току и потому задерживающий нарастание этого тока; если в контуре имеется электрическая лампочка, то она разгорается не сразу, а с заметным запаздыванием (тем большим, чем больше индуктивность контура). В момент выключения тока возникает экстраток размыкания, направленный одинаково с выключаемым током и потому усиливающий этот ток (задерживающий его спадение). Вследствие этого на размыкаемом участке цепи (ключе, рубильнике и т. п.) образуется искра.
При быстром выключении тока в цепи, содержащей электромагнит с большой индуктивностью, экстраток размыкания может оказаться столь большим, что вызовет перегрев обмотки и даже обгорание ее изоляции. Поэтому выключение электромагнитов производят постепенно, уменьшая основной ток с помощью реостата.
Из формулы (11) следует, что г Ф
т. е. индуктивность контура равна связанному с ним магнитному потоку, если 8 контуре идет ток, равный единице. Очевидно, что индуктивность L измеряется в тех же единицах, что и взаимная индуктивность М. Индуктивность зависит от формы и размеров контура и от магнитной проницаемости среды.
Получим выражение индуктивности соленоида с железным сердечником (электромагнита). Для этого достаточно положить в формуле (6) ги =几2 =及,так как в данном случае соленоид играет роль и первичной и вторичной катушек. Тогда
L=处产 (13)
где п — число витков соленоида, / — длина соленоида, S ——площадь его поперечного сечения. По этой же формуле можно рассчитывать и индуктивность тороида (кругового соленоида).
Энергия магнитного поля.
Понятие об электромагнитной теории Максвелла
Как мы уже знаем, магнитное поле неразрывно связано с током: оно появляется, изменяется и исчезает вместе с появлением, изменением и исчезновением тока. Следовательно, часть энергии тока все-
гда идет на создание магнитного поля. Поэтому магнитное поле должно обладать энергией, равной работе, затрачиваемой током на создание этого поля, или, что то же, на создание потока магнитной индукции, связанного с током. Именно наличием энергии у магнитного поля объясняется физическая сущность явления электромагнитной индукции, в частности самоиндукции. Ток, включенный в контур, не сразу достигает своего максимального значения (определяемого законом Ома), а нарастает в течение некоторого (небольшого) промежутка времени, потому что часть энергии тока расходуется в это время на создание магнитного поля. Это «затормаживание» включаемого тока равносильно возникновению в контуре противотока самоиндукции. Достигнув максимального значения, ток становится постоянным. При этом становится постоянным и его магнитное поле. При выключениии тока его магнитное поле исчезает. Однако, согласно закону сохранения энергии, энергия магнитного поля не может исчезнуть. Она переходит в энергию тока самоиндукции, усиливающего выключаемый ток.
Таким образом, явление электромагнитной индукции основано на взаимных превращениях энергий электрического тока и магнитного поля. Исходя из этих представлений, получим выражение величины энергии магнитного поля.
Пусть в некотором контуре с индуктивностью L включается ток； возрастая от 0 до максимального значения, равного /, он создает магнитный поток
①=LL
Изменение тока на малую величину di сопровождается изменением магнитного потока на малую величину
g = L・ dL(14)
В § 100 было показано, что для изменения магнитного потока на d@ ток должен совершить работу
dA = / • d①，
или, учитывая формулу (14),
d/ = L/ • d/.
Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна
Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром, 步=罟.(15)
Пользуясь формулой (15), рассчитаем энергию магнитного пол я тороида. Так как напряженность этого поля
то сила тока / в тороиде равна
HlпHlп(16)(16)
Hlп
Hlп
(16)
(16)
где 几—число витков тороида, / — его длина. Подставим в выражение (15) значение / из формулы (16) и 厶 из формулы (13). Тогда получим
2，
(17)(17)или, учитывая, что SI = 2 —объем тороида,
(17)
(17)
2
Все магнитное поле тороида сосредоточено внутри него. Поэтому объем тороида Q является вместе с тем и объемом, занимаемым магнитным полем. Таким образом, энергия магнитного поля оказывается пропорциональной квадрату его напряженности и объему охваченного им пространства.
(18)(18)Из формулы (17) следует, что энергия магнитного поля, приходящаяся на единицу занимаемого им объема, т. е. плотность энергии магнитного поля 侬乂，выражается соотношением
(18)
(18)
Подчеркнем, что формула (18), выведенная для однородного поля (тороида), остается справедливой для любого магнитного поля.
В § 83 было получено выражение плотности энергии электрического поля
е0еЕ2
аналогичное по форме выражению (18) плотности энергии магнитного ноля.
Если в пространстве имеются и электрическое и магнитное поля, то плотность энергии электромагнитного поля будет равна
(19)(19)恥 M =叫 + %Л =亍(%2е2 + 卩 0g/2),
(19)
(19)
где г0 и ц0 ——электрическая и магнитная постоянные, е и ц — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.
В 60-х годах прошедшего столетия Максвелл разработал теорию единого электромагнитного поля, согласно которой переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле, а переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле. Эти вторичные переменные поля имеют вихревой характер: силовые линии порождающего поля концентрически охвачены силовыми линиями порождаемого поля. В результате образуется система «переплетен-
ных» между собой электрических и магнитных полей. Некоторое представление о характере переменного электромагнитного поля может дать рис. 252, являющийся как бы мгновенным снимком этого поля. Прямая линия £0 изображает одну из силовых линий первичного переменного электрического поля, горизонтальные окружности " изображают силовые линии вторичных переменных магнитных полей, а вертикальные окружности Е — силовые линии вторичных переменных электрических полей. Постоянные электрические и магнитные поля являются лишь частными случаями единого электромагнитного поля.
Будучи первоначально связаны с зарядами и токами, переменные электрические и магнитные поля могут затем существовать незави
симо от зарядов и токов (отделяться от них) и, порождая друг друга, перемещаться в пространстве со скоростью
и=-…1.,(20)
V %WoR
или, если подставить численные значения и размерности е0 и 卩°, и _ 士空 м/с.(2(У)
疗
Такими переменными электромагнитными полями, отделившимися от породивших их токов, являются радиоволны, свет, рентгеновские лучи и гамма-излучение (фотоны).
Согласно формуле (20‘)，в вакууме (е = 祖 =1) электромагнитные поля распространяются со скоростью 3 • 108 м/с = 300 000 км/с, что, как известно, соответствует скорости света, определенной экспериментальным путем.
Совпадение размерного коэффициента (3 • 108 м/с) в формуле электромагнитной теории Максвелла (立О') со скоростью распространения света в вакууме не явлйется случайным. Оно указывает на существование глубокой связи между электромагнитными и оптическими явлениями: как будет выяснено в последней части курса, свет представляет собой распространение электромагнитных волн.
Перемещаясь в пространстве, электромагнитное поле переносит присущую ему электромагнитную энергию. Плотность потока электромагнитной энергии 左,т. е. энергия, переносимая за единицу вре-
мен и через единицу площади, перпендикулярной направлению переноса (см. § 32), выражается соогношением
(21〉(21〉々=叫0，
(21〉
(21〉
где дм и у определяются по формулам (19) и (20).
Поток электромагнитной энергии оказывает давление р на преграду, находящуюся на его пути; это давление пропорционально
(22)(22)плотности потока:
(22)
(22)
Р = (1 十 X)侬зм，
где коэффициент отражения. Если преграда полностью отражает поток электромагнитной энергии (/ = 1), то р = 2иуэм. Если же пре
града полностью поглощаетграда полностью поглощаетМаксвелл предположил,Максвелл предположил,его (% = 0), то р =唸
града полностью поглощает
града полностью поглощает
Максвелл предположил,
Максвелл предположил,
Важным понятием, введенным Максвеллом, является ток смещения. Предположим, что к обкладкам плоского конденсатора приложена переменная э. д. с. (рис. 253). Тогда в подводящих проводах пойдет переменный ток проводимости, обусловленный движением электронов. Между обкладками конденсатора, разделенными вакуумом^ заряды отсутствуют и потому тока проводимости быть не может. Здесь существуют только переменное электрическое поле напряженностью Е и порождаемое им переменное магнитное поле напряженностью Н. что ток проводимости, идущий во внеш
ней цепи, замыкается внутри конденсатора особым током — током
смещения, пропорцион ал ьн ым скорости изменения напряженности электрического поля Е и равным току проводимости во внешней цепи. Этому току смещения Максвелл приписал переменное магнитное поле ", существующее внутри конденсатора. Так как ток смещения в вакууме не представляет собой перемещения электрических зарядов, то он не выделяет джоулева тепла.
Если пространство между пластинами конденсатора заполнено диэлектрической средой, то изменение электрического поля сопровождается поворачиванием электрических диполей (полярных молекул или атомов), составляющих диэлектрик (см. § 81). Смещение зарядов при поворотах этих диполей образует дополнительный ток смещения ——поляризационный ток (выделяющий джоулево тепло).
Таким образом, согласно теории Максвелла,
в пространстве, охваченном переменным электрическим полем, возникает ток смещения, слагающийся из тока смещения в вакууме и поляризационного тока смещения. Переменные токи проводимости, существующие в незамкнутых контурах, всегда замыкаются токами смещения.
Электромагнитная теория Максвелла подтвердилась многочисленными экспериментальными исследованиями; некоторых из них мы коснемся в IV части курса.
§ 106. Контур, вращающийся в магнитном поле.Синусоидальный переменный ток. Работа и мощностьпеременного тока
Возбуждение электродвижущей силы индукции в контуре, вращаемом в магнитном поле, используется в технике для получения электрического тока.
Рассмотрим плоский прямоугольный контур abed, который может вращаться вокруг оси 00\ перпендикулярной магнитному полю (рис. 254). Пусть магнитное поле является однородным: индукция В = const и контур вращается”
о) = const. Тогда магнитный поток Ф, связанный с контуром в любой момент времени f, будет равен
①=J3S cos 屮=BS cos %
где S — площадь, ограниченная контуром, а ф =о)/ —— угол поворота контура, отсчитываемый от начального положения контура, при котором S丄В.
При вращении контура поток Ф периодически изменяется. В связи с этим в контуре возникает периодически изменяющаяся э. д. с. индукции, равная, согласно закону Фарадея,
& 吧-=BS to sin &九dt
Так как максимальное значение этой э. д. с. (наступающее при sin <о/ = 1) равно
£т = BS(o, то
8 = Smsin(ot(23)
Следовательно, если в однородном магнитном поле равномерно вращается проводящий контур, то 8 нем возникает переменная электродвижущая сила、изменяющаяся 〃о закону синуса. Эта э. д. с. создает в контуре синусоидальный переменный ток силой
/ =sin= /т sin(о£,(24)
Rq Ro
где /m = Sm/RQ —максимальное значение силы тока, а R。一 омическое сопротивление контура и электрической цепи, в которую отводится ток (посредством щеток N、скользящих по кольцам К).
Переменный ток является колебательным процессом (гармоническим колебанием). Поэтому названия характеристик колебательного процесса (см. § 27) сохраняются и за характеристиками перемен-
ного тока. Именно:召^ называется амплитудой электродвижущей силы, 1т —— амплитудой тока, <о ——круговой частотой тока, <о/ —— фазой тока. Переменный ток характеризуется также периодом тока Т и частотой тока v, причем
(25)
На рис. 255 представлены графики электродвижущей силы и силы тока Очевидно, что изменения (колебания) э. д. с. и силы тока совершаются в одинаковых фазах.
Рассмотренный способ получения переменного тока лежит в основе устройства электромашинного генератора переменного тока*.
В промышленных генераторах магнитное поле. создается мощным электромагнитом. Вращающийся контур состоит из и последовательно соединенных витков проволоки, намотанной на ферромагнитный сердечник (ротор генератора). Поэтому электродвижущая сила, возбуждаемая в таком генераторе, равна
(26)(26)е = jBSsnsino)九
(26)
(26)
Современные генераторы переменного тока могут создавать напряжение в несколько десятков тысяч вольт; их мощность достигает 300 000 кВт и более.
Ог контура, вращаемого в магнитном поле, можно получить и постоянный ток. Для этого надо соединить концы контура с полукольцами К工 и К? (рис.戈6). ри повороте контура на 180° направ
ление тока в нем изменится на противоположное. Но при этом щетки М и N2 придут в соприкосновение с противоположными полукольцами К? и Поэтому во внешней цепи ток идет всегда в одном направлении. Правда, этот ток будет пульсирующим (рис. 257). Для сглаживания пульсаций
От латинского слова generator — производитель.
(27)(27)(28)(28)(29)(29)(30)(30)sin2 срsin2 ср1 — cos 2cp1 — cos 2cp
(27)
(27)
(28)
(28)
(29)
(29)
(30)
(30)
sin2 ср
sin2 ср
1 — cos 2cp
1 — cos 2cp
ротор генератора постоянного тока изготовляется из нескольких многовитковых контуров, расположенных в различных плоскостях.
Еслн через обмотку ротора генератора пропускать ток, то под действием лоренцевой силы ротор придет во вращение. Таким образом, электромашинный генератор тока может быть превращен в электродвигатель. Отметим, что первый электродвигатель, имевший практическое применение, был сконструирован в 1834 г. В. С.兄коби. В 1839 г. Якоби построил лодку, приводимую в движение электродвигателем мощностью в 735 Вт. Лодка везла против течения 14 пассажиров (по р. Неве).
Получим теперь выражения работы и мощности переменного тока. В § 85 было показано, что работа А, совершаемая за время / постоянным током / на резисторе сопротивлением Ro, равна
力=户&九
а мощность ^ постоянного тока выражаэтся соотношением ^ = /2 &•
В случае переменного тока величина / изменяется со временем; однако для очень малого промежутка времени dt можно считать ее постоянной (/= const). Поэтому для выражения элементарной работы dA, совершаемой переменным током за время dt, можно воспользоваться формулой (27) и написать
dA = /2 R。或,
или, учитывая формулы (24) и (25),
dA =仪 Rq • sin 3 •或=爲 R。• sir^ —亍• • dt.
Работу Л, совершаемую переменным током за один период 7, получим интегрированием выражения (29) по времени в пределах от 0 до Т:
4 = f dA =点 R。j sin2 -^ •山=勺 R。T*.
Это интегрирование выполняется следующим образом. В выражении
обозначим 2к//Г = * н перейдем к новым пределам интегрирования (от у = О до * = 2冗).Тогда, учитывая, что
получим
cos 2屮• d2中=冗 +sin 2中 =к.
Среднюю мощность N переменного тока определим, поделив работу А на период
Введем обозначение
и назовем
(31)
эффективной силой переменного тока, или эффективным (действующим) током. Тогда
(32)(32)N =嗡 Ro
(32)
(32)
Из взаимного сравнения соотношений (28) и (32) следует, что мощность переменного тока можно рассчитывать по формуле мощности постоянного тока (28), если вместо силы постоянного тока / брать эффективную силу переменного тока /эф.
Таким образом, эффективная сила переменного тока равна силе такого постоянного тока, который имеет ту же мощность, что 〃 данный переменный ток. Эффективный ток /Эф и постоянный ток / производят одинаковый внешний эффект, например выделяют в проводнике одинаковое количество джоулева тепла (отсюда название — эффективный ток). Согласно формуле (31), эффективный ток приблизительно в 1,41 раза меньше максимального (амплитудного) тока:
/эф ^0,71 Iт.
Аналогично эффективному току вводится понятие эффективного (действующего) напряжения:
(33)(33)Um
(33)
(33)
и^ф = —/— ^0,71 Um，/2
где Um——максимальное (амплитудное) значение переменного напряжения.
Обычно электроизмерительные приборы показывают эффективные значения переменного тока и напряжения. Стандартное напряжение электроосветительной сети, равное 220 В, является именно эффективным напряжением; амплитудное же значение напряжения составляет около 310 В.
Поэтому
о
и, в соответствии с формулой (30), работа
4 =受仆 t.
Пользуясь понятиями эффективного тока и напряжения, можно написать следующие выражения работы и мощности переменного тока:
А = /；ф RJ ^ ^эф и@ф，= —^* А(34》
Ro
02
N = /^ф Rq == /9巾 °з巾=——•(35>
Rj
Следует подчеркнуть, что формулы (34) и (35) выражают работу и мощность переменного тока на омическом (активном} сопротивлении:
% = р+，
где / ——длина, S ——площадь поперечного сечения, р — удельное сопротивление проводника (см. § 85). Именно с этим омическим сопротивлением мы встречались до сих пор при изучении постоянного тока. Иначе обстоит дело в случае переменного тока. Емкость и индуктивность электрической цепи создают для переменного тока дополнительный вид сопротивления ——реактивное сопротивление, к рассмотрению которого мы теперь переходим.
§ 107. Емкостное и индуктивное сопротивления
В цепи постоянного тока конденсатор представляет собой бесконечно большее сопротивление: постоянный ток не проходит через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора. Цепи переменного тока конденсатор не разрывает： попеременно заряжаясь и разряжаясь, он обеспечивает движение электрических зарядов, т. е. поддерживает переменный ток во внешней цепи. Исходя из электромагнитной теории—.
Максвелла (см. § 105), можно сказать, что перемен- ।
ный ток проводимости замыкается внутри конденсатора током смещения. Таким образом, для ne-L|
ременного тока конденсатор представляет собой石々С*纥*
конечное сопротивление, называемое емкостным со・?|
противлением.I
Опыт и теория показывают, что сила перемен- L1
ного тока в проводе существенно зависит от формы, которая придана этому проводу. Сила тока будет.Рис. 258
наибольшей в случае прямого провода. Если же провод свернут в виде катушки с большим числом витков, то сила тока в нем значительно уменьшится: особенно резкое снижение тока происходит при введении в эту катушку ферромагнитного сердечника. Это означает, что для переменного тока проводник помимо оми
ческого сопротивления имеет еще дополнительное сопротивление, зависящее от индуктивности проводника и потому называемое индуктивным сопротивлением. Физический смысл индуктивного сопротивления состоит в следующем. Под влиянием изменений тока в проводнике, обладающем индуктивностью, возникает электродвижущая сила самоиндукции, препятствующая этим изменениям, т. е. уменьшающая амплитуду тока 1т, а следовательно, и эффективный ток /эф- Уменьшение эффективного тока в проводнике равносильно увеличению сопротивления проводника, т. е. равносильно появлению дополнительного (индуктивного) сопротивления.
Получим теперь выражения для емкостного и индуктивного сопротивлений.
(36)(36)Емкостное сопротивление. Пусть к конденсатору емкостью С (рис. 258) приложено переменное синусоидальное напряжение (э. д. с.)
(36)
(36)
£ = ^т sin з».
Пренебрегая падением напряжения на малом омическом сопротивлении подводящих проводов, будем считать, что напряжение на обкладках конденсатора 〃 равно приложенному напряжению:
Ug = £ = £加 sin з/.
В любой момент времени заряд конденсатора q равен произведению емкости конденсатора С на напряжение Uc (см. § 83):
q = CUс = С£〃 sin ш/.
Если за малый промежуток времени dt заряд конденсатора изменяется на величину dg, то это означает, что в подводящих проводах идет ток /, равный
齒齒(37)(37)dUc. /
齒
齒
(37)
(37)
С — C^m”COS 3t = &ffi • sifl I 3f -|-
Так как амплитуда этого тока
I tn = ^т С%
Запишем формулу (37)Запишем формулу (37)ввто окончательно получим
Запишем формулу (37)
Запишем формулу (37)
в
в
(38)
Последнее соотношение выражает закон Ома; величина 1/<оС, играющая роль сопротивления, представляет собой сопротивление конденсатора для переменного тока, т. е. емкостное сопротивление
R。R。11(39)(39)
R。
R。
1
1
(39)
(39)
Таким образом, емкостное сопротивление обратно пропорционально круговой частоте тока и величине емкости. Физический смысл этой зависимости нетрудно понять. Чем больше емкость конденсатора и чем чаще изменяется направление тока (т. е. чем больше круговая частота со), тем больший заряд проходит за единицу времени через поперечное сечение подводящих проводов. Следовательно, / ~ Сз. Но сила тока и сопротивление обратно пропорциональны друг другу.
Следовательно, сопротивление Rc 〜—~—.
Рассчитаем емкостное сопротивление конденсатора емкостью С = 10 мкФ = =10~5 Ф, включенного в цепь переменного тока частотой y = 50 Гц:
R — —R — —2 • 3,14 • 50 ・ 10-52 • 3,14 • 50 ・ 10-5Ом = 315 Ом.Ом = 315 Ом.
R — —
R — —
2 • 3,14 • 50 ・ 10-5
2 • 3,14 • 50 ・ 10-5
Ом = 315 Ом.
Ом = 315 Ом.
При частоте v = 5000 Гц емкостное сопротивление того же самого конденсато* ра снизится приблизительно до 3 Ом.
Из сопоставления формул (36) и (38) видно, что изменения тока / и напря* жения £ совершаются в различных фазах: фаза тока на 冗/2 больше фазы напряжения. Это означает, что максимум тока fт наступает на четверть периода (Т/4) раньше, чем максимум напряжения £加(рис. 259).
Итак, на емкостном, сопротивлении ток опережает напряжение на четверть периода (по времени) или на 90° (по фазе)*.
Физический смысл этого важного явления можно пояснить следующим образом. В начальный момент времени конденсатор еще не заряжен (Ud®» 0). Поэтому даже очень малое внешнее напряжение легко перемещает заряды к пластинам конденсатора, создавая ток / (см. рис. 258). По мере зарядки конденсатора напряжение Uc на его обкладках растет, препятствуя дальнейшему притоку зарядов. В связи с этим ток в цепи уменьшается, несмотря на продолжающееся увеличение внешнего напряжения £. Следовательно, в начальный
момент времени ток имел максимальное значение (/ = /,„). Когда £, а вместе с ним и Uc достигнут максимума (что произойдет через четверть периода), конденсатор полностью зарядится и ток в цепи прекратится (/ = 0). Итак, в начальный момент времени ток в цепи максимален, а напряжение минимально и только еще начинает нарастать; через четверть периода напряжение достигает максимума, а ток уже успевает уменьшиться до нуля. Таким образом, действительно ток опережает напряжение на четверть периода.
Индуктивное сопротивление. Пусть через катушку самоиндукции с индуктивностью L идет переменный синусоидальный ток
I — Im sin ш/,(40)
обусловленный переменным напряжением (э. д. с.) £, приложенным к катушке 〈рис. 260). При этом в катушке появится электродвижущая сила самоиндукции
(41)(41)玩=一厶警.
(41)
(41)
Пренебрегая падением напряжения на малом омическом сопротивлении подводящих проводов и самой катушки (что вполне допустимо, если катушка изготовлена, например, из толстой медной проволоки), будем считать, что приложенное напряжение уравновешивается электродвижущей силой самоиндукции (равно ей по величине и противоположно по направлению):
g =—坛.
Тогда, учитывая формулы (40) и (41), можем написать:
£ = L£ = Ldidtdidt=LIт О) COS о)/ ==LIт О) COS о)/ =lm Ls sinlm Ls sinз/ +з/ +
£ = L
£ = L
di
dt
di
dt
=LIт О) COS о)/ =
=LIт О) COS о)/ =
lm Ls sin
lm Ls sin
з/ +
з/ +
Так как амплитуда приложенного напряжения
$т =】т 厶3，(42)
то окончательно получим
£ = £加 sin 卜 + -^-^ .(43)
Запишем формулу (42) в виде / 一 ” I т = T
Последнее соотношение выражает закон Ома; величина з£, играющая роль сопротивления, представляет собой индуктивное сопротивление катушки самоиндукции:
R 厶=u)L.(44)
Таким образом, индуктивное сопротивление пропорционально круговой частоте тока и величине индуктивности. Такого рода зависимость объясняется тем, что, как уже отмечалось в предыдущем параграфе, индуктивное сопротивление обус
ловлено действием электродвижущей силы самоиндукции, уменьшающей эффективный ток и, следовательно, увеличивающей сопротивление. Величина же этой электродвижущей силы (и, следовательно, сопротивления) пропорциональна индуктивности катушки L и скорости изменения тока, т. е. круговой частоте(о.
Рассчитаем индуктивное сопротивление катушки с индуктивностью 厶= =1 Г, включенной в цепь переменного тока с частотой y = 50 Гц:
Rl =sL = 2冗"=2 • 3,14 • 50 Гц 1Г = 314 Ом.
При частоте y = 5000 Гц индуктивное сопротивление той же самой катушки возрастает до 31 400 Ом.
Подчеркнем, что омическое сопротивление катушки (с железным сердечником), имеющей индуктивность 1 Г, составляет обычно лишь несколько Ом.
Из сопоставления формул (40) и (43) видно, что изменения тока / и напряжения £ совершаются в различных фазах, причем фаза тока на л;/2 меньше фазы напряжения. Это означает, что максимум тока наступает на четверть периода (Т/4) позже, чем максимум напряжения (рис. 261).
Итак, на индуктивном сопротивлении ток отстает от напряжения на четверть периода (по времени), или на 90° (по фазе)*. Сдвиг фаз обусловлен тормозящим действием электродвижущей силы самоиндукции: она препятствует как нарастанию, так и убыванию тока в цепи, поэтому максимум тока наступает позднее, чем максимум напряжения.
Если в цепь переменного тока последовательно включены индуктивное и емкостное сопротивления, то напряжение на индуктивном сопротивлении будет, очевидно, опережать напряжение на емкостном сопротивлении на полпериода (по времени), или на 180° (по фазе).
Как уже упоминалось, и емкостное и индуктивное сопротивления носят общее название реактивного сопротивления. На реактивном сопротивлении электроэнергия не расходуется] этим оно существенно отличается от активного сопротивления. Дело в том, что энергия, периодически потребляемая на создание электрического поля в конденсаторе (во время его зарядки), в том же количестве и с той же периодичностью возвращается в цепь при ликвидации этого поля (во время разрядки конденсатора). Точно так же энергия, периодически потребляемая на создание магнитного поля катушки самоиндукции (во время возрастания тока), в том же количестве и с той же периодичностью возвращается в цепь при ликвидации этого поля (во время убывания тока).
В технике переменного тока вместо реостатов (омического сопротивления), которые всегда нагреваются и бесполезно расходуют энергию, часто применяются дроссели (индуктивное сопротивление). Дроссель представляет собой катушку самоиндукции с железным сердечником. Оказывая значительное сопротивление переменному току, дроссель практически не нагревается и не расходует электроэнергию.
§ 108. Обобщенный закон Ома. Электрический резонанс.Коэффициент мощности электрической цепи
Рассмотрим практически важный случай электрической цепи: последовательное соединение омического, емкостного и индуктивного сопротивлений. При этом воспользуемся методом векторных диаграмм, с которым мы уже по* знакомились при изучении гармонических колебаний (см. § 27).
Применительно к электрическим колебаниям (т. е. к переменному току) метод векторных диаграмм заключается в следующем. Переменную синусоидальную электродвижущую силу (напряжение)
£ —歸 sin 3f
можно изобразить как проекцию ON на ось ординат радиуса-вектора ОМ =也加 вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью s (рис. 262). Фаза электродвижущей силы £ в любой момент времени t равна углу + поворота радиуса-вектора ^т, отсчитываемому от оси абсцисс (屮=sf). Подобным же образом можно, конечно, изображать и силу переменного синусоидального тока.
На рис. 263, а представлена векторная диаграмма амплитудных значений тока 1т и напряжения % на омическом сопротивлении (сдвиг фаз между //п и £加 равен нулю).
На рис. 263, бив представлены аналогичные диаграммы для случаев индуктивного сопротивления (/^ отстает от £外 на 90° по фазе) и емкостного сопротивления (/т опережает 8“ на 90° по фазе).
Пусть в цепи, содержащей последовательно соединенные резистор, конденсатор (емкостью С) и катушку самоиндукции (индуктивностью L), действует пе-
Рис. 263Рис. 263
Рис. 263
Рис. 263
ременная синусоидальная э. д. с. £ частотой з (рис. 264). Обозначим сопротивление этих элементов цепи соответственно через R。，Rc и RL ? а напряжения на них ——через UQt Uc и Ul . Очевидно, что по всей цепи будет идти общий ток /.
Построим векторную диаграмму амплитуды общего тока 1т и амплитуд напряжения на резисторе Uo, на конденсаторе Uc и на катушке Ul (рис. 265). Амплитуда внешней электродвижущей силы ^т должна равняться геометрической сумме этих напряжений. Выполняя геометрическое сложение, показанное на рис. 265, получим для величины 8т следующее выражение:
=/党+经一%产
Так как напряжение на участке цепи равно произведению тока на сопротивление этого участка, то
"о = ^т ^о>
Ul =】mRL = 】msL,(45〉
и。= 1 т % = /皿工3 •
Тогда
勿=]a& 凡)2 + Um &)2 = * J飞十卜厶一+ j， откуда
Поделив обе части последнего равенства на К» получим соответствующее соотношение для эффективных значений тока и э. д. с.:
(47)(47)
(47)
(47)
Каждое из последних соотношений (46) и (47) выражает обобщенный закон Ома для цепи переменного тока. Величина
(48)(48)
(48)
(48)
представляет собой полное сопротивление цепи пер еменного тока.
На рис. 265 видно, что электродвижущая сила£〃 и сила тока /т сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол <р:
R「RcR「Rc(49)(49)
R「Rc
R「Rc
(49)
(49)
Таким образом, величина и направление сдвига фаз зависят от соотношения между величинами сопротивлений. Если R「.> Rc , то электродвижущая сила опережает ток. Если Rl <Rc • то электродвижущая сила отстает от тока. Если же &乙=Rg，то колебания э. д. с. и тока происходят в одинаковой фазе (сдвиг фаз ср = 0). В последнем случае, т. е. при
1
sL = -— ,(50)
в цепи наступает так называемый электрический резонанс (резонанс напряжений)', соотношение (50) выражает условие электрического резонанса. Согласно формулам (48) и (47), полное сопротивление цепи будет в данном случае наименьшим и равным только одному омическому сопротивлению <«£ —―胃=
=0, поэтому R = R。，а ток в цепи — наибольшим и равным
R。R。(51)
R。
R。
Итак,
при электрическом резонансе (резонансе напряжений) в цепи, состоящей из последовательно соединенных омического, емкостного “ индуктивного сопротивлений, полное сопротивление цепи минимально, а ток максимален 〃 совпадает по фазе с приложенной электродвижущей силой.
Согласно условию (50), электрический резонанс наступает при круговой частоте
(52)(52)_ 1
(52)
(52)
з ~ VLC
11или при частоте
1
1
(53)
2a /ТС эта частота называется резонансной частотой электрической цепи.
Из примеров, приведенных в § 107, следует, что частота \ = 50 Гц является резонансной для цепи, в которой последовательно соединены конденсатор емкостью С = 10 мкФ и катушка самоиндукции индуктивностью £ = 1「; в этом случае Ад = R^ = 315 Ом. Если омическое сопротивление этой цепи Ro = 10 Ом, а эффективное значение приложенной э. & с. £эф = 127 В, то эффективная сила тока
/§ф = _^ = 12,7А,
а эффективные напряжения на конденсаторе и на катушке
(% )Эф = (〃 )Эф 0 厶巾必 о %ф &4000 в
При уменьшении омического сопротивления ток в цепи и напряжения на реактивных сопротивлениях будут, очевидно, возрастать. Например, при Rq = ==1 Ом будет /эф = 127 A, a (Uc )Эф = (Ul )эф = 40 000 В.
Таким образом, при резонансе напряжений ток в цепи может достигать очень больших значений, а напряжения на реактивных сопротивлениях могут во много раз превышать приложенную электродвижущую силу.
В § 106 было получено выражение средней мощности, выделяемой переменным током на активном сопротивлении,
2 п /зф ^эф-
Если в цепи имеется реактивное сопротивление, то сдвиг фаз 中》возникаю щий между током и напряжением, ведет к некоторому снижению мощности, выделяемой в цепи. В этом случае средняя мощность равна
"=/®ф %ф cos 屮.(54)
Формулу (54) нетрудно получить путем следующих рассуждений. При наличии сдвига фаз ±<р мгновенные значения тока и напряжения выражаются соотношениями:
/ == /加 sin (3ё 士 中).
U =Um sin 3Z・
Поэтому мгновенная мощность будет равна
Nt о IU 0 Im Um sin (со/ 士 ср) sin о>7 =，卩;加[cos( ± ср) — cos (25 士 ср)] =»
о ”cos <p — •cos(2з/ ± <p) /9ф^эф cos ср — /Эф€7эф cos (2侬 土⑴*
/2 • /2/2 • /2
Среднее значение мощности N за период 7 (а следовательно, и за любой промежуток времени f》T) равно разности средних значений членов /Эф /巾• cos? и /эф^эф* cos (2з/ 土<р). Но первый член есть постоянная величина, не зависящая от времени, а второй — периодическая функция времени^ поэтому среднее его
значение за период равно нулю [в течение периода cos (2зЕ ± ?) одинаково часто принимает как положительные значения, так и равные им отрицательные значения]. Таким образом, действительно,
^ = /эф U@4)cos.
Множитель coscp называется коэффициентом мощности электрической цепи. Максимальное значение, равное единице, cosy имеет при отсутствии сдвига фаз между током и напряжением (? = 0), т. е. при электрическом резонансе. В этом случае выделяемая в цепи мощность будет максимальной и равной
N = /§ф力巾
Следовательно, для повышения мощности, отдаваемой переменным током в цепь, необходимо добиваться возможно большего значения коэффициента мощности путем включения в цепь таких индуктивных и емкостных нагрузок, которые соответствуют условию электрического резонанса (50).
Увеличение коэффициента мощности электрических сетей («борьба за cos?》) является одной из важнейших народнохозяйственных задач в области электроэнергетики.
§ 109. Понятие о трехфазном токе
В настоящее время наиболее распространенной системой получения, пе
редачи и потребления электроэнергии является трехфазная система переменного тока, разработанная и впервые осуществленная выдающимся русским электротехником Доливо-Добровольским в 1888—1891 гг.
Схема генератора трехфазного тока изображена на рис. 266. На статоре генератора 4 находятся три полюсные обмотки /, 2 н 3, смещенные относительно друг друга по окружности статора на 120®. Внутри статора вращается постоянный магнит (ротор) 5, благодаря чему в обмотках статора возбуждаются переменные электродвижущие силы, имеющие одинаковую частоту, но смещенные друг относительно друга на 120° по фазе (на треть периода по времени):
瓦=^m 3口叽
^2 = &m sE (з/ — 120°),匾=£加 sin (з/ — 240°).
Такой же сдвиг фаз имеют токи, создаваемые в обмотках этими электродвижущими силами. Таким образом, генератор трехфазного тока представляет собой совокупность трех генераторов обычного (однофазного) переменного тока.
Существует два способа соединения обмоток генератора: звездой и треугольником.
При соединении звездой начала всех обмоток объединяются и подключаются к одному «нулевому» проводу О линии передачи; концы обмоток /, 2 н 3 подключаются к соответствующим «фазовым» проводам линии (рис. 267, а).
Если между нулевым и каждым из фазовых проводов включены одинаковые нагрузочные сопротивления (например, электролампы), то в нулевом проводе тока не будет. Действительно, в данном случае по нулевому проводу пойдут три тока /1, /2, /3, сдвинутые по фазе на 120® и потому дающие суммарный ток / = 0; сложение токов показано на векторной диаграмме (рис. 268). Следова-
тельно, нулевой провод оказывается ненужным и четырехпроводная линия может быть заменена трехпроводной (рис. 267, 6)*.
Рис. 267
Соединение обмоток генератора треугольником показано на рис. 269; в этом случае линия передачи является также трехпроводной (/, 2 и 3).
Таким образом, трехфазная система дает существенную экономию в проводах линии передачи: от трехфазного генератора идет трехпроводная (максимум четырехпроводная) линия, тогда как для трех однофазных генераторов потребовалась бы шестипроводная линия передачи.
Другое важное преимущество трехфазной системы состоит в том, что благодаря отсутствию скользящих контактов (щеток и коллектора) трехфазный генератор оказывается весьма простым по устройству и надежным в действии.
Трехфазный ток создается постоянным по величине вращающимся магнитным полем ротора генератора. Опыт и теоретический расчет показывают, что имеет место и обратный процесс: если обмотки трехфазного генератора включены в сеть трехфазного тока, то внутри статора появляется постоянное по величине вращающееся магнитное поле. На этом основано устройство и действие трехфазного асинхронного электродвигателя, схема которого изображена на рис. 270.
Обмотки статора электродвигателя включаются в сеть трехфазного тока. Ротор электродвигателя имеет две замкнутые накоротко полюсные катушки & и К2. Благодаря вращению магнитного поля статора эти катушки пронизываются изменяющимся магнитным потоком, в результате чего в каждой из них индуцируется ток. Согласно правилу Ленца, индуцированный ток противо-
действует изменению магнитного потока. Противодействие выражается в том, что ротор приходит во вращение, синхронное с вращением поля статора (угловые скорости вращения ротора и поля статора становятся одинаковыми). При этом условии магнитный поток, пронизывающий катушки, перестает изменяться и индукционный ток в них прекращается.
Если теперь дать на ротор мотора механическую нагрузку (тормозящий момент), то вращение ротора начнет замедляться. При этом в катушках Ki и К^ вновь появится индукционный ток и ротор опять^приобретет вращающий момент, позволяющий мотору преодолевать тормозящий момент нагрузки, т. е. совершать механическую работу.
Таким образом, ротор нагруженного асинхронного двигателя вращается с некоторым отставанием от поля статора, т. е. асинхронно. Это отставание ха- *0ктеризуется так называемым скольжением:
N — %
— • 100%, N
где ^ — число оборотов в минуту поля статора, п — число оборотов в минуту ротора. При нормальных нагрузках скольжение S составляет обычно 3—4%.
Простота получения вращающегося магнитного поля в трехфазном электродвигателе является третьим, самым важным преимуществом трехфазной системы переменного тока.
Задача 55. Реактивный самолет движется со скоростью и = 950 км/ч. Найти электродвижущую силу индукции 6%, возникающую на концах крыльев такого самолета, если вертикальная составляющая напряженности земного магнитного поля Н = 40 А/м и размах крыльев самолета / = 12,5 м.
Решение. Металлическое крыло летящего самолета подобно прямолинейному проводнику, пересекающему магнитное поле и изображенному, например, на рис. 248, а (см. § 103). Тогда, согласно закону Фарадея ⑵，на концах крыла возникает электродвижущая сила индукции
d① в0卩" • dS
где d①一изменение потока магнитной индукции через площадь dS, описываемую крылом за промежуток времени dt. Так как эта площадь имеет форму прямоугольника со сторонами / н и • dt, tq dS — lv • dt и
& = — ^^Hlv = — 4兀• 10一7 г/м • 40 А/м • 12,5 м • 264 м/с == — 0,166кг-м2/(с3 • А) = —0,166Дж/(А • с) = — 0,166В.
Задача 56. Соленоид изготовлен из медной проволоки, имеющей пло* щадь поперечного сечения Si = 1 мм2. Длина соленоида I = 25 см, его омическое сопротивление R = 0,2 Ом. Определить индуктивность L соленоида (без сердечника). Удельное сопротивление меди р = 1,71 • 10~8 Ом • м.
Решение. Согласно формуле (13), г 阿卩紋S
где п — число витков, S — площадь поперечного сечения соленоида (или его витка); магнитная проницаемость 出=1 (в отсутствие сердечника).
Введем обозначения: h — длина проволоки, г — радиус витка (т. е. радиус поперечного сечения соленоида). Тогда можем написать три очевидных равенства:
厶
R = p, 乙=2冗иМ и S =冗г2.
Si
Из первых двух равенств следует, что
2虱%2虱%2兀砰2兀砰Zi RS】
2虱%
2虱%
2兀砰
2兀砰
Вводя это выражение г в последнее равенство, получим
4汽几2P2
откуда
出科 R2S； 4к • 10-7Г/м . 0,04 Ом2 . 10~12м2“
4兀・ 2,9 • 10~1б()м2 • 0,25м4兀・ 2,9 • 10~1б()м2 • 0,25м4кр2/4кр2/L = L = = 5,4 ・ 10~б Г
4兀・ 2,9 • 10~1б()м2 • 0,25м
4兀・ 2,9 • 10~1б()м2 • 0,25м
4кр2/
4кр2/
Задача 57. Соленоид длиной / = 50 см и площадью поперечного сечения S = 2 см2 имеет индуктивность 厶=2 • 10~7 Г. При какой силе тока / плотность энергии магнитного поля внутри соленоида w = 10~3 Дж/м3?
Решение. Согласно формуле (18),
=2
где Н = 1nli есть напряженность магнитного поля внутри соленоида, п — число витков соленоида.
По формуле (13) имеем
阿м2 s
А。, откуда
LI
Подставляя выражения Н и 卩。* в формулу (18), получим после преобразований
• м2/е • А?)• м2/е • А?)
• м2/е • А?)
• м2/е • А?)
Задача 58. В сеть переменного тока напряжением 力巾=НО В и часто" той у = 100 Гц последовательно включены конденсатор емкостью С = 5Х X 10*6 Ф и катушка самоиндукции с индуктивностью L = 0,2 Г с омическим сопротивлением Ro = 4 Ом.
Определить: а) эффективную силу тока /Эф в цепи; б) частоту тока ^рез, при которой в данном контуре наступит резонанс напряжений (резонансную частоту); в) силу тока /рез в цепи и напряжение на зажимах катушки (U )рез и на пластинах конденсатора (Uc %ез при резонансе напряжений. 厶
Решение. Условию данной задачи соответствует электрическая схема, изображенная на рис. 264 (см. § 108), в которой роль активного сопротивления играет омическое сопротивление самой катушки.
Эффективная сила тока определится по обобщенному закону Ома (47):
где <о= 2冗丫 ~ 2 • 3,14 • 100 Гц = 628 с-1— циклическая частота переменного тока. Поэтому
110 В
/160м2 + ( 628L . 0,2Г
\628 с-・ 5 • 10-5 ф
с В • с В • с _ .==TZ== ~~"= Ом,Ф Кл А • сс В • с В • с _ .==TZ== ~~"= Ом,Ф Кл А • стотоГ Вб В • с с
с В • с В • с _ .==TZ== ~~"= Ом,
Ф Кл А • с
с В • с В • с _ .==TZ== ~~"= Ом,
Ф Кл А • с
то
то
Так как 口 = = Ом и
с А • с А • с
НОВ/16 Ом2 + 8798,4 0м2НОВ/16 Ом2 + 8798,4 0м21,17 А.1,17 А.
НОВ
/16 Ом2 + 8798,4 0м2
НОВ
/16 Ом2 + 8798,4 0м2
1,17 А.
1,17 А.
Резонансная частота определится по формуле (53)：
‘ре3 =—= ——一
2冗九e2.3.14 了仇2 r • 5 • 1(厂5学
Так как уГ?^ u斗陪=j/卫/..注
то
|рез = 50 с"1 = 50 Гц.
в) В соответствии с формулой (50), при резонансе напряжений (〃厶)рез= = (Uc)pe3・ Тогда, согласно формуле (47),
, 4巾 иОвPeL-^j407, 4巾 иОвPeL-^j407= 27,5А.= 27,5А.
, 4巾 иОв
PeL-^j407
, 4巾 иОв
PeL-^j407
= 27,5А.
= 27,5А.
Общее значение (UL )рез и (Uc )рез найдем из соотношений (45):
(“L )рез g Iрез wpe3 £ и /рез * 2冗Урез Ь « 27,5 А • 2 • 3,14 • 50 Гц • 0,2 Г q 1727 В
поскольку А，Гц • F =
А • Вб В • с
с • А
В.
Глава XVI. Электрические колебанияи электромагнитные волны
§ 110. Электромагнитные волны
В § 105 отмечалось, что, согласно теории Максвелла, переменное электромагнитное поле представляет собой совокупность переменных взаимно перпендикулярных электрических и магнитных полей (см. рис. 252), перемещающихся в пространстве со скоростью
V =—-…-
Кsoe出о俨
где г и 科、一относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Распространение электромагнитного поля сопровождается переносом электромагнитной энергии.
Источниками электромагнитного поля, или, как говорят, источниками электромагнитного излучения, служат всевозможные пере- менные токи: переменный ток в проводниках, колебательное движение
ионов, электронов и других заря
© Z /；
о
женных частиц, вращение электронов в атоме вокруг ядра и т. п.
Простейшей системой, эквивалентной переменному току, является электрический диполь с гармо
Р-0 必弘
Рис. 271
нически изменяющимся моментом р. В начальный момент заряды + q и — q такого диполя совмещены
друг с другом и потому р = 0 (рис. 271). Через четверть периода заряды расходятся на максимальное расстояние I и момент диполя достигает максимального значения р = q厶 Через пол пер иода заряды вновь сходятся (р = 0), а затем (через три четверти периода) расходятся в противоположнЬге стороны на расстояние /, в связи с чем момент диполя опять становится максимальным, но имеющим противоположное направление (р = — q/)・ Затем процесс периодически повторяется.
Создаваемое диполем и распространяющееся от него электромагнитное поле имеет следующие основные черты (рис. 272):
Напряженность электрического поля £ колеблется в плоско-
сги оси диполя перпендикулярно направлению электромагнитного излучения г (т. е. перпендикулярно электромагнитному лучу).
Напряженность магнитного поля Н колеблется перпендикулярно электромагнитному лучу 厂 и напряженности электрического поля Е・ Таким образом, векторы Е, Н и г взаимно перпендикулярны.
Колебания напряженностей Е и Я совершаются в одной фазе.
Амплитуды напряженностей Ет и Нт зависят от направления электромагнитного луча (от угла ф): излучение максимально в направ
лении, перпендикулярном оси диполя (<р = 90°), и равно нулю в направлении оси диполя (ф = 0°).
Максимум электромагнитного поля, создающийся в некоторый момент времени в точке А (см. рис. 272), перемещается затем вдоль луча г со скоростью а Через промежуток времени, равный одному периоду колебания зарядов диполя, в точке Л создается второй максимум поля, перемещающийся вслед за первым. За вторым максимумом следует (через период) третий максимум и т. д.
Таким образом, электромагнитное
Рис. 272Рис. 272поле распространяется 6 виде попере
Рис. 272
Рис. 272
чной электромагнитной волны (рис. 273), состоящей из двух совпадающих по фазе волн — электрической (т. е. волны напряженности электрического поля) и магнитной (т. е. волны напряженности
(1)(1)магнитного поля). Период (частота) электромагнитной волны равен периоду (частоте) колебания излучающего диполя. Длина 入,период 7, частота 丫 и скорость и распространения электромагнитной волны связаны между собой очевидным соотношением
(1)
(1)
入=vT =—у
Чем чаще следует друг за другом максимумы электромагнитного поля, т. е. чем больше частота электромагнитной волны, тем боль шая энергия переносится этой волной. Расчеты показывают, что интенсивность электромагнитной волны, 〃〃〃，что то 兆е, плогмость потока электромагнитной энергии^, пропорциональна (при одинаковых прочих условиях) квадрату частоты волны (см. § 32). Поэтому
источником интенсивных электромагнитных волн, способных переносить электромагнитную энергию на значительное расстояние, должен быть переменный ток частоты порядка миллиона герц. Переменные токи столь высокой частоты принято называть электрическими ко- лебаниями.
Понятно, что никакие механические (электромашиныые) генераторы не могут создать переменного тока частотой 10е Гц (для этого якорь генератора должен был бы совершать миллион оборотов в секунду!). В качестве генератора электрических колебаний и источника электромагнитных волн высокой частоты применяется колебательный контур.
§ 111. Закрытый колебательный контур
Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки самоиндукции (рис. 274).
Для возбуждения в контуре электрических колебаний необходимо предварительно зарядить конденсатор. Тогда в начальный момент времени /0 (рис. 274, а) контур будет обладать энергией, сосредоточенной в электрическом поле конденсатора. Напряженность этого
LUmLUm274274
LUm
LUm
274
274
поля будет максимальной (Е = Ет). В последующий момент конденсатор начнет разряжаться. В контуре появится возрастающий со временем ток /, а в катушке самоиндукции возникнет магнитное поле -напряженностью 〃・ По мере разрядки конденсатора его электрическое поле ослабевает, а магнитное поле катушки усиливается.
В момент времени 乙 конденсатор полностью разрядится (рис. 274, 6). При этом напряженность электрического поля конденсатора станет равна нулю (Е = 0), а напряженность магнитного поля катушки достигнет максимального значения (” ="皿)；максимальным станет также и ток (/ = /^. Теперь вся энергия контура будет
сосредоточена в магнитном поле катушки. В последующий момент времени магнитное поле катушки начнет ослабевать, в связи с чем в ней индуцируется ток, идущий (согласно правилу Ленца) в том же направлении, в котором шел ток разрядки конденсатора. Благодаря этому конденсатор будет перезаряжаться.
В момент времени /2 конденсатор полностью- перезарядится (рис. 274, б); напряженность поля в нем опять достигнет максимальной величины, но будет иметь противоположное направление (Е = =—Em)； ток в контуре прекратится (/ = 0); напряженность магнитного поля катушки станет равна нулю (Я = 0). Таким образом, энергия контура вновь окажется сосредоточенной в электрическом поле конденсатора. Затем начнется разрядка конденсатора в обратном направлении. В контуре появится ток, а в катушке возникнет магнитное поле. Очевидно, что направления тока и магнитного поля будут противоположны предыдущим их направлениям.
В момент времени /3 конденсатор полностью разрядится (рис. 274, а). Электрическое поле конденсатора ликвидируется (Е = =0), а магнитное поле катушки возрастет (в противоположном направлении) до максимального значения (” = — Я^). При этом энергия контура сосредоточится в магнитном поле катушки. В последующий момент времени магнитное поле катушки начнет ослабевать и индукционный ток, препятствующий этому ослаблению, перезарядит конденсатор.
В результате к моменту времени £ = 7 система (контур) возвращается в исходное состояние (см. рис. 274, а) и начинается повторение рассмотренного процесса.
Таким образом, в контуре возникают электрические колебания с периодом Т; в течение первой половины периода ток идет в одном направлении, в течение второй половины периода — в противоположном направлении.
Электрические колебания в контуре сопровождаются периодическими взаимными превращениями энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки самоиндукции, подобно тому, как механические колебания маятника (изображенные на рис. 274 снизу: vm — максимальная скорость движения маятника) сопровождаются взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. В данном сравнении потенциальная энергия маятника аналогична энергии электрического поля конденсатора, кинетическая энергия маятника — энергии магнитного поля катушки, скорость V движения маятника — силе тока в контуре. Роль инерции маятника играет самоиндукция катушки, роль силы трения, действующей на маятник,——омическое сопротивление контура.
Если бы в контуре не было потерь энергии (на нагревание проводников и на электромагнитное излучение), то электрические колебания совершались бы по гармоническому закону и были бы незатухающими, подобно тому, как были бы незатухающими механические колебания маятника при отсутствии трения.
В соответствии с условием электрического резонанса (см. § 108) частота электрических колебаний, возникающих в контуре, должна 13* 387
равняться резонансной частоте контура:
где L — индуктивность, С — емкость контура. Из формулы (2) следует, что период электрических колебаний в контуре равен
T^^VlC.(3)
Это соотношение называется формулой Томсона (теоретически получена Томсоном в 1853 г.).
Для возбуждения электрических колебаний высокой частоты следует, согласно формуле (2), применять колебательный контур малой емкости и самоиндукции. Например, в контуре, имеющем емкостью С = 0,0001 мкФ = 10"10 Ф и индуктивность 厶=0,0001 Г, частота электрических колебаний будет равна
y =L — Гц « 1,6 • 10е Гц.
2Tt VTC 2 - 3,“ g • 107。
Колебания столь высокой частоты могут, как уже отмечалось, создавать интенсивное электромагнитное излучение. Надо, однако, иметь в виду, что из-за неизбежных потерь энергии (главным образом на омическом сопротивлении контура) электрические колебания практически очень быстро затухают. Для осуществления непрерывных колебаний и, следовательно, для непрерывного генерирования электромагнитных волн необходимо периодически, и притом как можно чаще, восполнять потери энергии в контуре, подзаряжая конденсатор с помощью какого-либо приспособления.
В качестве такого приспособления немецкий физик Герц в 1886 г. использовал индукционную катушку (см. § 104). С двадцатых годов текущего столетия для возбуждения незатухающих электрических колебаний используется электронная лампа (см. § 88), а в последнее время — и транзистор (см. § 90).
Вибратор Герца. Автоколебательный контур.О диапазоне частот электромагнитных волн
Герц ввел в колебательный контур искровой промежуток /, на который подавалось переменное напряжение со вторичной обмотки индукционной катушки 2 (рис. 275). Это напряжение заряжало конденсатор контура. Когда разность потенциалов между обкладками конденсатора становилась достаточно большой, в искровом промежутке возникала искра, замыкающая контур и вместе с тем отключающая («закорачивающая») индукционную катушку. В это время в контуре совершалась серия электрических колебаний. При исчезновении искры контур размыкался и колебания прекращались. Но тогда индукционная катушка вновь заряжала конденсатор; в искровом проме-
жутке вновь проскакивала искра, а в контуре совершалась повторная серия электрических колебаний и т. д.
В дальнейшем, чтобы увеличить частоту электрических колебаний и тем самым повысить интенсивность электромагнитного излучения контура, Герц в соответствии с формулой (2) уменьшил индуктивность и емкость контура, убрав из него катушку самоиндукции и раздви-
Рвс. 275Рис. 276Рвс. 275Рис. 276
Рвс. 275Рис. 276
Рвс. 275Рис. 276
Рис. 277Рис. 277
Рис. 277
Рис. 277
нув пластины конденсатора (рие. 276, q). Наконец, он осуществил так называемый открытый колебательный контур вибратор Герца): прямолинейный проводник с искровым промежутком посредине, обладающий малыми емкостью и индуктивностью (рие. 276, б). В этом
вибраторе переменное электрическое поле уже не было сосредоточено внутри конденсатора, а окружало вибратор снаружи, что существенно повышало интенсивность электромагн итного излучения.
Очевидно, что вибратор Герца представляет собой электрический диполь с переменным моментом, рассмотренный в § НО. Электромагнитное излучение открытого вибратора / (рис. 277) Герц регистрировал с помощью второго вибратора 2, имеющего такую же частоту собственных колебаний, что и излучающий вибратор, т. е. настроенного 8 резонанс с излучателем и потому называемого резонатором. Когда электро-
магнитные волны достигали резонатора, в нем возникали электрические колебания, сопровождающиеся проскакиванием искры через искровой промежуток.
Пользуясь вибратором и резонатором, Герц в 1887—1891 гр.
экспериментально исследовал структуру и закономерности распространения электромагнитных волн. Он установил, в частности, что электромагнитные волны являются поперечными и обладают свойствами, присущими любым другим волнам: отражаются от преград (металлических), преломляются на границе раздела двух сред (диэлектрических) и интерферируют друг с другом.
Герц экспериментировал с электромагнитными волнами длиной порядка 102 см, что соответствует частоте 3 • 108 Гц. В 1895 г. П. ". Лебедев, применяя миниатюрный вибратор, получил волны миллиметровой длины. Еще более короткие волны (длиной около 0,1 мм) были получены в 1923 г. А. А. Глаго- левой-Аркадьевой с помощью массового излучателя, в котором многочисленными вибраторами служили искры, проскакивающие между металлическими опилками, взвешенными в трансформаторном масле. Эти электромагнитные волны перекрывали область инфракрасных (тепловых) волн, излучаемых колебаниями электрических зарядов атомов и молекул.
Существенный недостаток вибратора Герца состоял в том, что частота подачи энергии от индукционной катушки в контур была зна
чительно меньше частоты собственных колебаний контура. Поэтому электрические колебания вибратора Герца представляли собой се
рии затухающих колебаний, следующие одна за другой через небольшие промежутки времени (рис. 278, I — сила тока, f — время).
Для осуществления незатухающих электрических колебаний необходимо обеспечить автоматическую подачу энергии с частотой, равной частоте собственных колебаний контура, т. е. необходимо создат ь автоколебател ьную систему (см. § 30). Такой автоколебательный контур удалось сделать, применяя электронную лампу (триод).
Одна из схем автоколеба
тельного контура представлена на рис. 279. К закрытому колебательному контуру / через триод 2 подключен источник постоянного напряжения (батарея 召 J. Между сеткой и катодом лампы включена катушка £г, индуктивно связанная с катушкой контура 厶好
Действие такой электрической системы можно описать, прибегая к некоторым упрощениям, следующим образом. При включении батареи накала 8纟 лампа «отпирается» (см. § 88) и в анодной цепи появляется возрастающий со временем ток /1 (на рис. 279 его направление показано стрелками). Этот ток, во-первых, зарядит конденсатор
контура и, во-вторых, создаст в катушке магнитное поле, которое пронижет также катушку 厶Так как это поле усиливается со временем, то, согласно правилу Ленца, в катушке L? индуктируется ток /2, противоположный току /【.Сеточный ток /2 зарядит сетку лампы отрицательно, в связи с чем лампа «запрется».
Таким образом, лампа произвела зарядку конденсатора и затем отключила контур от источника энергии (батареи £0, разомкнув анодную цепь.
Начавшееся в контуре электрическое колебание будет теперь совершаться обычным порядком, рассмотренным нами в предыдущем параграфе (см. рис. 274). В течение второй четверти периода ток в контуре перезарядит конденсатор и прекратится. Так как в эю время магнитное поле катушки а следовательно, и катушки L2 ослабевает, то, согласно правилу Ленца, ток в сеточной катушке пР°ш должает идти в прежнем направлении. Поэтому сетка получит дополнительный отрицательный заряд и лампа останется 《запертой》.
В течение второй половины периода в контуре пойдет ток обратного направления, сначала усиливающийся (в третьей четверти периода), а потом ослабевающий (в последней четверти периода). Поэтому, опять-таки в соответствии с правилом Ленца, в сеточной катушке 厶 2 направление тока изменится на обратное и отрицательный заряд сетки начнет уменьшаться. К концу периода этот заряд ликвидируется, лампа «откроется» и произведет подзарядку конденсатора. Затем начнется повторение описанного процесса.
Таким образом, лампа периодически—к началу каждого периода колебаний — подает в контур энергию от анодной батареи. Благодаря этому 8 контуре совершаются незатухающие электрические колебания.
Предположим теперь, что с контуром / индуктивно связан откры- гый колебательный контур 3 (L3 — индуктивность контура 5), имеющий одинаковую с контуром / частоту собственных колебаний (см. рис. 279). Тогда в открытом вибраторе 3 возникнут незатухающие электрические колебания и он станет источником непрерывного электромагнитного излучения.
Электромагнитные волны имеют весьма широкий диапазон частот у и длин 入.Волны различной частоты существенно отличаются друг от друга как по своим свойствам, так и по способам получения. В этой связи принято подразделять электромагнитные волны на несколько видов. Такое подразделение приведено в таблице (см. стр. 392).
Следует, однако, иметь ' в виду, что указанные в таблице граничные частоты (и длины) волн являются в некоторой мере условными. Резкой границы между соседними видами электромагнитных волн не существует: частотные интервалы соседних видов волн взаимно перекрываются.
Вид волн
Длина волны, м
Частота волны, Гц
Источник излучения
Низкочастотные волны
104
< 3・104
Механический генератор переменного тока
Электрические колебания макроскопических систем
Радиоволны
ЮК)-】
3，104—З-Ю10
Колебательный контур и вибратор Герца
Ультрарадиоволны
10-1—10-4
3.1010—3-1012
Массовый излучатель
Инфракрасные лучи
g_77ioT
3・ 1012—4.1014
Лампы
Атомн о-молекулярные колебания
Световые лучи
7,7.10-7—
—4J0-7
4 • 1()14
—7,5・1014
Ультрафиолетовые лучи
4・ 10-7—10-8
7,5・10】4— 3「(Я
Рентгеновские лучи
10-8—10-11
3.1016—3.1019
Трубки Рентгена
1'амма-лучи
<107
>3.1019
Радиоактивный распад
Основные свойства и способы получения коротковолновых видов электромагнитного излучения (свет, рентгеновские лучи, гамма-лучи) рассмотрены в последней части курса.
Радиосвязь
Идея использования электромагнитных волн для передачи сигналов на большие расстояния (идея радиосвязи), была впервые высказана в 1889 г. А. С. Поповым. Им же в 1895 г. был построен и продемонстрирован в действии первый радиоприемник, основанный на релейной схеме: ничтожно малая энергия электромагнитных волн использовалась посредством когерера для управления местным исто-
чником энергии (электробатареей), питающим регистрирующий аппарат (электрозвонок). Уже в 1896 г. Попов осуществил радиотелеграфную связь на расстоянии 250 м, а в 1899 г. (применив изобретенную им антенну)——на расстоянии 50 км. В 1900 г. IV Всемирный электротехнический конгресс присудил Попову почетный диплом и золотую медаль за изобретение радио.
В современных радиоприемниках для управления местным источником энергии применяются электронная лампа или транзистор (вме-
гМ 巾 1~|гМ 巾 1~|
гМ 巾 1~|
гМ 巾 1~|
сто когерера). Схемы современной передающей и приемной радиоаппаратуры весьма разнообразны и сложны. Знакомясь с принципом радиосвязи, ограничимся рассмотрением простейших (принципиальных) схем радиопередатчика и радиоприемника, приведенных нз рис. 280.
Схема радиопередатчика (рис. 280, а) подобна схеме автоколебательного контура, рассмотренной в предыдущем параграфе (см. рис. 279). Различие между ними заключается только в том, что в сеточную цепь лампы передатчика включена вторичная обмотка повышающего трансформатора Тр, а открытый колебательный контур. излучающий электромагнитные волны, осуществлен в виде катушки самоиндукции 厶，соединенной с высоко поднятой антенной А и зем лей В. В первичную обмотку трансформатора включены батарея & и угольный микрофон М.
Если в микрофон М не поступают звуковые волны, то в контуре передатчика совершаются обычные электрические колебания постоянной амплитуды (рис. 281, а; / — амплитуда, t — время). Если же на мембрану микрофона падает звуковая волна, вызванная, например,
Рис. 281Рис. 281
Рис. 281
Рис. 281
речью или музыкой, то мембрана приходит в колебание, соответствующее этой звуковой волне (рис. 281, б). Звуковые колебания мембраны оказывают на угольный порошок микрофона переменное давление, в связи с чем такие же колебания испытывают сопротивление микрофона и сила тока в первичной, а следовательно, и во вторичной обмотках трансформатора. В результате на сетке лампы создается дополнительное переменное напряжение, изменяющееся в соответствии со звуковыми колебаниями мембраны. Колебания сеточного напряжения изменяют амплитуду электрических колебаний контура передатчика. Теперь, как говорят, высокочастотные электрические колебания контура несут на себе звуковые колебания мембраны микрофона (рис. 281, е). Процесс наложения звуковых колебаний на электрические колебания контура называется звуковым модулированием электрических колебаний.
Очевидно, что электромагнитные волны, излучаемые передатчиком, несут на себе звуковые колебания, т. е. также будут модулированными. Достигнув антенны приемника (см. рис. 280, б), эти волны вызовут в катушке Li и в индуктивно связанном с ней контуре 厶2c2 электрические колебания, подобные колебаниям в контуре передатчика (рис. 281, б)・ Контур 厶 2c2 включен в сеточную цепь лампы. Поэтому совершающиеся в нем электрические колебания будут управлять током и на-
пряжением в анодной цепи лампы. В результате в анодной цепи возникнут электрические колебания, подобные колебаниям в се
точной цепи, но усиленные и выпрямленные (рис. 281, а)・ Обладая большой инерцией, мембрана телефона не успевает следовать за колебаниями высокой частоты (электрическими), она реагирует только на звуковые колебания, наложенные на колебания высокой частоты. Благодаря этому мембрана телефона воспроизводит звуковые колебания, совершаемые мембраной микрофона, т. е. воспроизводит звуки, поступающие в микрофон передатчика (рис. 281, d).
Рис. 282Рис. 282Таков в общих чертах процесс телефонной радиосвязи. Эта связь
Рис. 282
Рис. 282
осуществляется посредством электромагнитных волн длиной от нескольких километров до нескольких десятков метров. Принципиальные схемы передатчика и приемника, приведенные на рис. 280, используются и для телевизионной радиосвязи, но в этом случае микрофон передатчика заменяется иконоскопом, а телефон приемника — кинескопом.
Иконоскоп представляет собой электроннолучевую трубку (см. § 102) особого устройства: вместо люминесцирующего экрана в ней н аходится светочувствительная мо-
заика М (рис. 282). Эта мозаика со・
ставлена из очень большого числа (порядка миллиона) изолированных друг от друга серебряных шариков / (диаметром около 0,1 мм), покрытых цезием. Шарики размещены на одной стороне слюдяной
пластинки 2, обратная сторона которой покрыта слоем металла, образующим сигнальную пластину 3. Каждый шарик является миниатюрным фотоэлементом (см. § 136): при освещении из него вырываются электроны и шарик заряжается положительно. В совокупности с сигнальной пластиной шарики светочувствительной мозаики составляют конденсатор.
Изображение передаваемого объекта 4 фокусируется на поверхность мозаики посредством оптической системы 5、При этом каждый шарик мозаики приобретает положительный заряд, величина которого
пропорцион а льн а освещенности данного шарика.
Электронный луч 6 пробегает по всей площади мозаики в течение 1/25 с (описывая 625 горизонтальных строчек) и поочередно нейтрализует положительные заряды шариков. При каждой такой нейтрализации происходит изменение заряда сигнальной пластины, вызы-
вающее соответствующее изменение напряжения на сетке лампы передатчика. Таким образом, электрические колебания передатчика модулируются колебаниями заряда сигнальной пластины, зависящими от освещенности отдельных участков передаваемого изображения.
Приемник (телевизор) воспроизводит модулированные колебания передатчика и после выпрямления и усиления подает их на специаль ное устройство, управляющее интенсивностью электронного луча кинескопа (электроннолучевой трубки). Электронный луч кинескопа движется строго синхронно с электронным лучом иконоскопа, воспроизводя за 1/25 с на люминесцирующем экране (посред- „ ством светящегося пятна переменной яркости)
все передаваемое изображение — кадр. В тече・ 、 ние 1 © сменяется 25 таких кадров, поэтому /Д\глаз воспринимает их как единое движущееся
IJизображение (подобное кинематографическому
\ —/изображению).
\°/ Число сигналов, передаваемых за 1 с, при
/ телевизионной связи значительно больше, чем при р адйоте лефон ной. Поэтому телевизионная связь осуществляется на электромагнитных вол- Рис. 283 нах более высокой частоты ——порядка 107 Гц, что соответствует длине волны порядка 10 м.
Столь короткие волны не отражаются от верхних ионизированных слоев атмосферы, а распространяются только по прямой линии. Поэтому телевизионная связь возможна лишь на расстоянии прямой видимости между передающей и приемной антеннами*.
Важным применением радиосвязи является радиолокация, позволяющая определять на расстоянии до 200—300 км местоположение крупных предметов, например самолетов, кораблей, айсбергов, скрытых темнотой или туманом, а также наблюдать на экране локатора силуэты этих предметов, очертания береговой полосы и т. п.
Радиолокация основана на отражении ультракоротких (обычно дециметровых) радиоволн от препятствий. Местоположение препятствия определяется следующим образом. В течение очень короткого промежутка времени, измеряемого миллионными долями секунды, радиолокатор посылает в пространство узкий пучок радиоволн (импульс электромагнитного излучения). Попадая на препятствие, импульс отражается от него, возвращается на станцию отправления и улавливается приемником локатора. Отправленный и отраженный электромагнитные импульсы регистрируются на экране электроннолучевой трубки локатора в виде пиков / и 2, появляющихся на горизонтальной развертке (рис. 283). Локатор отправляет импульсы периодически через малые промежутки времени, поэтому пики / и 2 видны на экране все время. Время Д /, прошедшее с момента отправления импульса до момента приема отражения этого же импульса, определяется по скорости V движения электронного луча, производящего горизонтальную развертку, и расстоянию d ме#кду пиками / и 2:
▲ d
А/ =—.
Тогда расстояние I между локатором и препятствием, отразившим импульс, определится из очевидного соотношения
, А/ с/ = с=d,
22〃
где с n 3 • 108 м/с — скорость распространения электромагнитного импульса.
Направление на препятствие определяется по положению (углу поворота) антенны локатора.
Задача 59. Колебательный контур состоит из воздушного конденсатора с площадью пластин S = 100 см2 каждая и катушки с индуктивностью L = =10~5 Г. Период электрических колебаний в контуре Т = 10"7 с. Определить расстояние между пластинами конденсатора.
Решение. Исходя из формулы Томсона (3), получим
С =s ■.
4冗2L
С другой стороны (см. § 83), емкость плоского конденсатора
где ео = 8,85 ・ 10~12 Ф/м —электрическая постоянная, е = 1 ^ относительная диэлектрическая проницаемость воздуха.
Приравнивая между собой правые части двух равенств, выражающих С, получим
4冗2 %広 LS4 - 3,142 ・ 8,85 ・ 1СГ12 ①/м • 1。-5 р • 1()-2 乂2
^Ю-14с2=
=3,5 ・ IO— м = 3,5мм, поскольку
Ф • Г • м2 Кл • Вб • м А • с • В • с • мм • с2В • с2 • А В • с2 • А М*
Задача 60. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L = 2,5 • 10""6 Г и двух конденсаторов, соединенных между собой параллельно, емкостью С = S • 10-3 мкФ каждый. Определить период Т электрических колебаний в контуре и длину 入 излучаемых контуром электромагнитных волн.
Решение. При параллельном соединении конденсаторов их общая емкость С равна сумме емкостей соединяемых конденсаторов (см. § 83). Поэтому С = 2С'. Тогда, пользуясь формулой Томсона (3), получим
Т = 2n K2LC = 2 ・ 3,14 К" 2 • 2,5 • g「・ 5 ・ к)т ①=10~« с,
В • с • Кл А • с2 поскольку Г • Ф = —~— —— = с2.
Согласно формуле (1),入=〃Т, где о = 3 • 108 м/с — скорость распростра* нения электромагнитных волн, Г = период этих волн. Так как период электромагнитных волн равен периоду создающих их электрических колебаний (см. § 110), то
入=UT = 3 ・ 108 м/с • 10~в с = 300 м.
Оптика и атомная физика
Глава XVII. Общие сведения о природеи свойствах света
Природа света
Оптика — раздел физики, в котором изучаются вопрос о природе света, закономерности световых явлений и процессы взаимодействия света с веществом.
В течение последних двух с половиной столетий представление о природе света претерпело весьма существенное изменение. В конце XVII в. сформировались две принципиально различные теории о природе света: корпускулярная теория, разработанная Ньютоном, и волновая теория, разработанная Гюйгенсом. Согласно корпускулярной теории, свет есть поток материальных частиц (корпускул), летящих с большой скоростью от источника света. Согласно волновой теории, свет представляет собой волну, исходящую от источника света и распространяющуюся с большой скоростью в «мировом эфире» —— неподвижной упругой среде, непрерывно заполняющей всю Вселенную. Обе теории удов лет вор ител ьн о объясняли закономерности, присущие некоторым световым явлениям, например законы отражения и преломления света. Однако такие явления, как интерференция, дифракция и поляризация света, не укладывались в рамки этих теорий.
До конца XVIII в. подавляющее большинство физиков отдавало предпочтение корпускулярной теории Ньютона. В начале XIX в. благодаря исследованиям Юнга (1801) и Френеля (1815 г.) волновая теория была в значительной мере развита и усовершенствована. В ее основу лег принцип Гюйгенса — Френеля, с которым мы уже ознакомились в главе «Колебания и волны» (см. § 34). Волновая теория Гюйгенса —— Юнга — Френеля успешно объяснила почти все известные в то время световые явления, в том числе интерференцию, дифракцию и поляризацию света, в связи с чем эта теория получила всеобщее признание, а корпускулярная теория Ньютона была отвергнута.
Слабым местом волновой теории являлся гипотетический «мировой эфир», реальность существования которого оставалась весьма сом-
нительной. Однако в 60-х годах прошедшего столетия, когда Максвелл разработал теорию единого электромагнитного поля (см. § 105), необходимость в «мировом эфире» как особом носителе световых волн отпала: выяснилось, что свет представляет собой электромагнитные волны и, следовательно, их носителем является электромагнитное поле. Видимому свету соответствуют электромагнитные волны длиной от 0,77 до 0,38 мкм (см. таблицу на стр. 392), создаваемые колебаниями зарядов, входящих в состав атомов и молекул. Таким образом, волновая теория о природе света эволюционировала в электромагнитную теорию света.
Одним из важнейших экспериментальных доказательств справедливости электромагнитной теории света послужили опыты Физо (1849 г.) Фуко (1850 г.) и 血 айке几 ьсома (1881 г.): э кспер имент а л ьн ое значение скорости распространения света совпало с теоретическим значением скорости распространения электромагнитных волн, полученным из электромагнитной теории Максвелла. Другим не менее важным подтверждением электромагнитной теории явились опыты П. Н, Лебедева (1899 г.): измеренное им световое давление на твердые тела (см. § 137) оказалось равным давлению электромагнитных волн, рассчитанному на основе теории Максвелла (см. § 105).
Представление о волновой (электромагнитной) природе света оставалось незыблемым вплоть до конца XIX в. Однако к этому времени накопился достаточно обширный материал, не согласующийся с этим представлением и даже противоречащий ему. Изучение данных о спектрах свечения химических элементов, о распределении энергии в спектре теплового излучения черного тела, о фотоэлектрическом эффекте и некоторых других явлениях привело к необходимости предположить, что излучение, распространение и поглощение электромагнитной энергии носит дискретный (прерывистый) характер, т. е. свет испускается, р аспростр ан яется и поглощается не непрерывно (как это следовало из волновой теории), а порциями (квантами). Исходя из этого предположения немецкий физик Планк в 1900 г. создал квантовую теорию электромагнитных процессов, а Эйнштейн в 1905 г. разработал квантовую тюрию света, согласно которой свет представляет собой поток световых частиц——фотонов. Таким образом, в начале текущего столетия возникла новая теория о природе света — квантовая теория^ возрождающая в известном смысле корпускулярную теорию Ньютона. Однако фотоны существенно (качественно) отличаются от обычных материальных частиц: все фотоны движутся со скоростью, равной скорости света, обладая при этом конечной массой («масса покоя» фотона равна нулю).
Важную роль в дальнейшем развитии квантовой теории света сыграли теоретические исследования атомных и молекулярных спектров, выполненные Бором (1913 г.), Шредингером (1925 г.), Дираком
(1930 г.), Фейнманом (1949 г.), А Л. Фоком (1957 г.) и др.
По современным воззрениям, свет ——сложный электромагнитный процесс, обладающий как волновыми, так и корпускулярным и свойствами. В некоторых явлениях (интерференция, дифракция, поляризация света) обнаруживаются волновые свойства света; эти явления описываются волновой теорией. В других явлениях (фотоэффект, люминесценция, атомные и молекулярные спектры) обнаруживаются корпускулярные свойства света; такие явления описываются квантовой теорией. Таким образом, волновая (электромагнитная) и корпускулярная (квантовая) теория не отвергают, а дополняют друг друга, отражая тем самым двойственный характер свойств света. Здесь мы встречаемся с наглядным примером диалектического единства противоположностей: свет является и волной и частицей. Уместно подчеркнуть, что подобный дуализм присущ не только свету, но и микрочастицам веществ, например, как уже отмечалось (см. § 20), электрон, рассматриваемый обычно как частица, в некоторых явлениях обнаруживает себя в качестве волны (см. § 126).
Современная физика стремится создать единую теорию о природе света, отражающую двойственный корпускулярно-волновой характер света; разработка такой единой теории пока еще не завершена.
В данном курсе волновые свойства света рассматриваются в гл. XVIII, а корпускулярные (квантовые) свойства света — в гл. XIX (в связи с вопросом о строении атома). При описании волновых свойств света мы будем пользоваться принципом Гюйгенса — Френеля и общими понятиями и характеристиками волнового процесса, введенными в § 31—34 первой части курса (такими, как фронт световой волны, когерентные источники света, световой 九у% частота света, длина световой волны и т. д.). Поэтому, приступая к изучению оптики, следует повторно прочесть указанные параграфы.
Отражение и преломление света. Полное отражение
Опыт и теория показывают, что в различных прозрачных средах свет распространяется с различными скоростями, меньшими скорости света в вакууме. Среда, во всех точках которой скорость распространения света одинакова, называется оптически однородной средой. Рассмотрим исходя из волновой Теории явления отражения и преломления монохроматического света на плоской границе раздела двух различных, оптически однородных сред.
Пусть плоский фронт световой волны ОА падает на границу раздела двух сред, скорости света в которых равны с, и с2Vс, (рис. 284). Связанные с этим фронтом световые лучи / и 2 составляют с нормалью к границе раздела угол а (угол падения). На границе раздела двух сред свет частично отражается (лучи 5 и 4), а частично проходит (пре
ломляется) во вторую среду (лучи 5 и 6). Применяя принцип Гюйгенса ——Френеля, построим фронты отраженной и преломленной волн.
В точку 8 свет приходит позднее, чем в точку О, на время
" Ab г =.
&
За это время из точки О (как из вторичного источника света) в первой среде успевает распространиться полусферическая волна радиусом
а во второй среде — полусферическая волна радиусом
= с2f = АВ.
Ci
От всех остальных точек границы ОВ (кроме самой точки В) также распространяются вторичные полусферические волны, радиусы которых окажутся убывающими в направлении от О к В (эти вторичные волны на рисунке не показаны). Огибающая всех волновых полусфер первой среды даст фронт отраженной волны BD, а огибающая всех полусфер второй среды — фронт преломленной волны BE.
На рис. 284 видно, что дОДВ = ABZ)O (как прямоугольные, имеющие общую гипотенузу и по одному одинаковому катету: OD = =г = /8). Поэтому 上=上力ВО. Но ^.AOB = a, a』DBO = =p (как углы co взаимно перпендикулярными сторонами), следовательно,
a =。，a)
где угол р называется углом отражения.
Соотношение (1) выражает закон отражения света:
падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с перпен-
дикуляром, проведенным к границе раздела сред в точке падения； угол падения равен углу отражения.
Если отражающая поверхность является не зеркально гладкой, а шероховатой, то свет отражается от нее по всевозможным направлениям; такое отражение называется диффузным. В реальных условиях отражение бывает всегда в большей или меньшей мере диффузным.
Возвращаясь к рис. 284, учтем, что
厶=红=也,АВ = OB- sin а, ОЕ = OB ・ sin г.
Г2 & 0e
Тогда получим
sin а —
⑵⑵sin т с2
⑵
⑵
где угол т называется углом преломления. &го соотношение выражает закон преломления света:
падающий и преломленный лучи лежат 8 одной плоскости с перпендикуляром к границе раздела сред, проведенным s точке падения; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скорости света 8 первой среде к скорости света во второй среде.
Из формулы (2) следует, что при а = 0 будет н 丁 = 0 (так как с/с2 子 0), т. е. луч, падающий нормально на границу раздела сред, не преломляется.
Обозначим
сс
q = и q =，
仆n2
где с ——скорость света в вакууме, a ni и пг — безразмерные величины, называемые абсолютными показателями преломления первой и второй сред. Абсолютный показатель преломления (или просто показатель преломления) является важной оптической характеристикой среды: он показывает, во сколько раз скорость света в данной среде меньше скорости света в вакууме. Очевидно, что абсолютный по
казатель преломления вакуума равен единице.
Вещество
Показатель преломления
Воздух
1,0003
Вода
1,333
Спирт (этиловый) •.
1,362
Стекло (крон) ....
1,515
Стекло (флинт)...
1,752
Алмаз
2,420
Значения показателей преломления некоторых веществ для монохроматического желтого света с длиной волны 入=0,589 мкм приведены в таблице.
Учитывая, что показатели преломления двух сред обратно пропорциональны скоростям распространения света в этих средах, можно записать закон преломления в виде
sin а —_ n2 _
⑶⑶sin I & 仆
⑶
⑶
где 九2i = %/勿 называется относительным показателем преломления второй среды относительно первой.
Из двух сред, имеющих различные показатели преломления, среда с меньшим показателем называется оптически менее плотной, а среда с большим показателем — оптически более плотной.
В соответствии с определением, данным в начале этого параграфа, можно сказать, что оптически однородной является среда, во всех точках которой оптическая плотность (показатель преломления) одинакова.
Земная атмосфера является оптически неоднородной средой: ее показатель преломления непрерывно уменьшается по мере увеличения высоты над земной поверхностью. Благодаря этому световой луч, идущий в атмосфере, проходит как бы через множество тонких параллельных (друг другу и земной поверхности) слоев, показатель преломления которых уменьшается с увеличением высоты слоя. На границе раздела каждой пары таких слоев происходит преломление луча по закону преломления (3). В результате луч света в атмосфере искривляется, оказываясь обращенным выпуклостью вверх (от Земли). Это явление называется рефракцией света в атмосфере.
Рефракция света в атмосфере дает возможность видеть объекты, которые фактически (геометрически) находятся уже под горизонтом места наблюдения. Чем сильнее рефракция, тем более удаленные за горизонт объекты представляется возможным наблюдать.
В этой связи небезынтересно отметить, что очень сильная рефракция имеет место в нижнем слое (высотой около 12 км) атмосферы планеты Венеры. Здесь кривизна световых лучей оказывается больше кривизны поверхности планеты. Благодаря такой «сверхрефракции》лучи света могут проникать далеко за геометрический горизонт места; на высоте же около 12 км луч может (в принципе) обогнуть всю планету по кругу.
Если свет проходит из оптически более плотной среды (с показателем преломления 九0 в оптически менее плотную среду (с показателем 麓2V%), например из стекла в воду, то, согласно формуле (3), угол падения а будет меньше угла преломления 丁 (рис. 285, а). Поэтому при некотором угле падения (а = А) угол преломления окажется равным 909, т. е. преломленный луч будет скользить вдоль границы раздела сред, не входя во вторую среду (рис. 285, б). Угол Л называется предельным углом падения. При а>/ свет полностью отра-
жается в первую среду (рис. 285, s). Это явление носит название полного отражения света.
Согласно формуле (3),
sin А _ 九2sin 90° = ~ = “21，
откуда sin Л = n21.
Исходя из этих соотношений можно определять относительный показатель преломления двух сред (по измеренному значению угла Л), а также абсолютный показатель преломления одной из сред, если показатель другой среды известен. Оптический прибор, служащий для этой цели и основанный на явлении полного отражения, называется рефрактометром.
В последнее время явление полного отражения нашло оригинальное техническое применение. Речь идет о волоконной оптике, сущность которой состоит в следующем. Стеклянная нить покрывается слоем оптически менее плотного вещества. Луч света, падающий на торец такой нити, проходит через всю нить (испытывая многократные полные отражения от ее боковой поверхности) и выходит через другой ее торец независимо от того, каким образом изогнута нить. Жгут, составленный из множества таких нитей, образует светопровод, позволяющий как угодно искривлять путь светового пучка. Если перед торцом светопровода поместить освещенный объект, то на другом торце светопровода проявится точное его изображение. Причем сам светопровод может быть произвольным образом изогнут, даже завязан в узел. Светопроводы используются для изготовления гибких перископов (зондов), с помощью которых можно рассматривать объекты, недоступные непосредственному наблюдению (например, внутреннюю поверхность цилиндра автомобильного двигателя, внутренность желудка и т. п.).
Во многих оптических приборах (поляриметр, рефрактометр, спектрометр и др.) для преломления света используются стеклянные призмы. На рис. 286 показан ход луча монохроматического света в призме. После двукратного преломления (на левой и на правой гранях призмы) луч оказывается отклоненным от первоначального направления на угол 8, называемый узлом отклонения. Угол 0, заключенный между преломляющими гранями, носит название преломляющего угла призмы.
падения а. Исходя из преломления воздухападения а. Исходя из преломления воздухаУгол отклонения 8 зависит от преломляющего угла 9 и показателя преломления призмы п. Эта зависимость легко устанавливается для призмы с малым преломляющим углом (тонкой призмы) в случаях малого угла закона преломления и принимая показатель равным единице, можем написать
падения а. Исходя из преломления воздуха
падения а. Исходя из преломления воздуха
sin а = nsin у и nsin% = sinh.
При малых а и 6 будут также малы у, аА и 丁】.Поэтому в последних равенствах синусы углов можно заменить самими углами:
a =硏 и лаl = T丄.
На основании теоремы о внешнем угле треугольника из △ BED следует, что
8 = Т + %.(5)
На том же основании из △38 находим
6 =他一Т)+ % — %)•
Подставляя выражения а и 丁^ из формулы (4) и учитывая формулу (5), получим после простых преобразований
(6)(6)& =(九—1)0.
(6)
(6)
Отметим, что угол 8 принимает минимальное значение в случае симметричного хода луча (т. е. когда а = 丫^ н луч BD параллелен основанию призмы).
Дисперсия света. Спектры
Значение показателя преломления среды определяется в основном свойствами этой среды; однако в некоторой мере оно зависит еще от длины волны (или от частоты) света, так как световые волны различной длины распространяются в данной среде с различной скоростью. Поэтому одна и та же среда по-разному преломляет различные монохроматические лучи.
Зависимость показателя преломления среды от длины волны света носит название дисперсии света^, В более широком смысле дисперсией света называют разложение света в спектр, происходящее при его преломлении, интерференции или дифракции.
Дисперсия называется нормальной, если показатель преломления возрастает с уменьшением длины световой волны. В противном случае дисперсия называется аномальной. Бесцветные прозрачные среды (т. е. среды, слабо поглощающие свет) обладают нормальной дисперсией; они наиболее сильно преломляют фиолетовые (коротковолновые) лучи. У окрашенных сред может иметь место аномальная дисперсия.
Благодаря дисперсии луч белого света, проходящий через преломляющую среду, оказывается разложенным на различные монохроматические лучи. Попадая на экран, эти лучи образуют дисперсионный спектр — совокупность разноцветных полос.
Наиболее отчетливо дисперсионный спектр обнаруживается при преломлении света в веществе, имеющем клинообразную форму, например в призме. На рис. 287 показан случай дисперсии света в стеклянной призме. Так как стекло обладает нормальной дисперсией, то угол отклонения для фиолетового
луча (6ф) больше, чем для красного (%)•рис. 287
От латинского слова dispersio — рассеяние.
Угол D между лучами, соответствующими крайним цветам дисперсионного спектра, называется углом дисперсии; от него зависит ширина спектра. Из формулы (6) и рис. 287 следует, что
D == ^ф — \ = (Пф — к» 0»
где Иф и пк — показатели преломления призмы для фиолетового и красного цвета. Разность иф — пк обычно служит количественной характеристикой дисперсии вещества. Вообще же мерой дисперсии является отношение изменения показателя преломления Ам к соответствующему изменению длины световой волны А入,т. е. величина Ди/ДХ.
Призмы применяются в спектрометрах и спектрографах для получения дисперсионных спектров.
Внешний вид спектров может быть весьма разнообразным в зависимости от свойств источника света. Различают три основных типа спектров: сплошные, линейчатые и полосатые,
В сплошном спектре представлены все цвета (длины волн), причем переход от одного цвета к другому совершается постепенно (непрерывно), как это видно на форзаце в конце книги (поз. а).
Линейчатый спектр состоит из ряда резко очерченных цветных линий, отделенных друг от друга широкими темными промежутками (поз. б). Каждой линии соответствует одна определенная длина световой волны*. Полосатый спектр состоит из большого числа линий, расположенных отдельными группами. В каждой такой группе линии настолько сближены, что при наблюдении в прибор с небольшой разрешающей способностью вся группа представляется в виде отдельной полосы (поз. в). Таким образом, каждой полосе спектра соответствует некоторый интервал длин световых волн.
Линейчатые спектры излучаются отдельными (не взаимодействующими друг с другом) возбужденными атомами. Излучение обусловлено переходами связанных электронов на более низкие энергетические уровни (орбиты).
Полосатые спектры излучаются отдельными возбужденными мо- лекулами„ Излучение вызвано как электронными переходами в атомах, так и колебательными движениями самих атомов в молекуле.
Сплошные спектры излучаются совокупностями многих взаимодействующих между собой молекулярных и атомных ионов. Основную роль в излучении играет хаотическое движение этих частиц (колебательное и вращательное), обусловленное высокой температурой.
Из сказанного следует, что раскаленные твердые и жидкие вещества и сжатые газы дают сплошной спектр излучения. Для разреженных газов (атомы и молекулы которых возбуждены, например, нагреванием или электрическим разрядом) характерны линейчатые и полосатые спектры. Причем газы, состоящие из многоатомных молекул (кислород, углекислый газ, водяной пар ит. д.), дают полосатый спектр, а одноатомные газы (инертные газы, пары металлов, диссоциированные многоатомные газы)——линейчатый спектр.
Точнее, очень узкий интервал длин волн.
Для каждого химического элемента (находящегося в состоянии разреженного газа или пара) характерен вполне определенный спектр излучения (по числу спектральных линий, их цвету и взаимному расположению). На этом основан спектральный метод определения химического состава веществ (спектральный анализ).
Если свет от источника, дающего сплошной спектр, предварительно пропущен через разреженный газ (или пар), то на спектре появляются черные линии (или полосы), которые соответствуют линиям (или полосам) спектра излучения данного газа. Такого рода спектр, называемый спектром поглощения, обусловлен тем, что, согласно закону Кирхгофа (см. § 130), газы поглощают точно те линии спектра, которые они сами излучают. Примером спектра поглощения может служить спектр поглощения солнечной атмосферы (фотосферы): на сплошном спектре излучения Солнца отчетливо видны черные линии поглощения, называемые фраунгоферовыми линиями (поз. г).
Исследование спектров имеет очень большое значение для выяснения процессов, происходящих в атомах и молекулах, и познания структуры вещества.
Более подробно вопрос о спектрах — в частности, механизм их образования—рассмотрен в гл. XIX на основе квантовых представлений о природе света.
§ 117. Тонкие линзы. Микроскоп
Для изменения направления световых лучей в оптических приборах широко используются линзы*. Линзой называется прозрачное (чаще всего стеклянное) тело, ограниченное двумя криволинейными (обычно сферическими) поверхностями или одной криволинейной и одной плоской поверхностью. На рис. 288 изображены поперечные сечения двояковыпуклой (а) и двояковогнутой (б) сферическихДля изменения направления световых лучей в оптических приборах широко используются линзы*. Линзой называется прозрачное (чаще всего стеклянное) тело, ограниченное двумя криволинейными (обычно сферическими) поверхностями или одной криволинейной и одной плоской поверхностью. На рис. 288 изображены поперечные сечения двояковыпуклой (а) и двояковогнутой (б) сферическихлинз (Ri, /?2 и Аз — ради- Прямая SS',линз (Ri, /?2 и Аз — ради- Прямая SS',усы сфер), проходящая кривизны образующихусы сфер), проходящая кривизны образующих288288Рис.Рис.через центры поверхностей, линзу, назы-через центры поверхностей, линзу, назы-вается главной оптической осьювается главной оптической осьюсто осью)сто осью)(или про-(или про-линзы.линзы.Мы будем рассматривать только тонкие линзы, толщина О4О2 которых пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны линзы (рис. 289). У тонкой линзы имеется точка О, обладающая тем свойством, что проходящие через нее лучи практически не преломляются линзой. ЭтуМы будем рассматривать только тонкие линзы, толщина О4О2 которых пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны линзы (рис. 289). У тонкой линзы имеется точка О, обладающая тем свойством, что проходящие через нее лучи практически не преломляются линзой. ЭтуN'N'NNРис. 289Рис. 289
Для изменения направления световых лучей в оптических приборах широко используются линзы*. Линзой называется прозрачное (чаще всего стеклянное) тело, ограниченное двумя криволинейными (обычно сферическими) поверхностями или одной криволинейной и одной плоской поверхностью. На рис. 288 изображены поперечные сечения двояковыпуклой (а) и двояковогнутой (б) сферических
Для изменения направления световых лучей в оптических приборах широко используются линзы*. Линзой называется прозрачное (чаще всего стеклянное) тело, ограниченное двумя криволинейными (обычно сферическими) поверхностями или одной криволинейной и одной плоской поверхностью. На рис. 288 изображены поперечные сечения двояковыпуклой (а) и двояковогнутой (б) сферических
линз (Ri, /?2 и Аз — ради- Прямая SS',
линз (Ri, /?2 и Аз — ради- Прямая SS',
усы сфер), проходящая кривизны образующих
усы сфер), проходящая кривизны образующих
288
288
Рис.
Рис.
через центры поверхностей, линзу, назы-
через центры поверхностей, линзу, назы-
вается главной оптической осью
вается главной оптической осью
сто осью)
сто осью)
(или про-
(или про-
линзы.
линзы.
Мы будем рассматривать только тонкие линзы, толщина О4О2 которых пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны линзы (рис. 289). У тонкой линзы имеется точка О, обладающая тем свойством, что проходящие через нее лучи практически не преломляются линзой. Эту
Мы будем рассматривать только тонкие линзы, толщина О4О2 которых пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны линзы (рис. 289). У тонкой линзы имеется точка О, обладающая тем свойством, что проходящие через нее лучи практически не преломляются линзой. Эту
N'
N'
N
N
Рис. 289
Рис. 289
От латинского слова lens — чечевица.
идущий вдоль оптической осиидущий вдоль оптической осиРис. 290Рис. 290
идущий вдоль оптической оси
идущий вдоль оптической оси
Рис. 290
Рис. 290
точку называют оптическим центром линзы; она лежит на пересечении главной оптической оси со средним сечением NN' линзы. Любая прямая 尸尸‘，проходящая под углом к главной оптической оси через оптический центр линзы, называется побочной оптической осью. Луч, (главной или побочной), носит название центрального луча.
Линзу можно представить как совокупность множества призм (рис. 290). Тогда становится очевидным, что выпуклая линза отклоняет лучи к оптической оси, а вогнутая ——от оптической оси. Поэтому выпуклая линза называется собирающей, а вогнутая ——рассеивающей^.
Покажем, что лучи, исходящие из некоторой точки Л, лежащей на оптической оси, под небольшими углами а к этой оси, собираются линзой в одну точку А и расположенную также на оптической оси и называемую изображением точки Л (рис. 291).
Построим плоскости, касательные к поверхностям линзы в точках М и jV (т. е. в местах падения луча на линзу и выхода его из линзы), и проведем в эти точки радиусы R н R2 кривизны линзы. Тогда луч
AMNAi можно будет рассматривать как луч, преломленный в тон* кой призме с преломляющим углом 0. Учитывая малость углов а, р, аь р! и толщины линзы, можно написать следующие приближенные
равенства:равенства:ftj 圮 % 力0^ ", 4a ^ 6,ftj 圮 % 力0^ ", 4a ^ 6,a tg a =5 AD aa tg a =5 AD a% 公；tg % =% 公；tg % =ARARВ ^ sin。^ -^ ,В ^ sin。^ -^ ,% ^ sin % = ~-, Al% ^ sin % = ~-, Al⑺⑺
равенства:
равенства:
ftj 圮 % 力0^ ", 4a ^ 6,
ftj 圮 % 力0^ ", 4a ^ 6,
a tg a =
5 AD a
a tg a =
5 AD a
% 公；tg % =
% 公；tg % =
AR
AR
В ^ sin。^ -^ ,
В ^ sin。^ -^ ,
% ^ sin % = ~-, Al
% ^ sin % = ~-, Al
⑺
⑺
где Ai — высота (над оптической осью) точки М падения луча на линзу,九2 ——высота точки N выхода луча из линзы, а и & ——соответственно расстояния от источника света Д, и от его изображения ЛА до оптического центра линзы. Из треугольников АНА^ и BEBt следует, что
6 = a + % и 0 = р 4~ Pi* Тогда, принимая во внимание формулы (7), получим
8 =+а_ и н =上丄一 + 区一,
a bRz R»
Но, согласно формуле (6),
В = (и — 1) 0, где и — абсолютный показатель преломления линзы. Поэтому
十+十=（九一1）（*+十+十=（九一1）（*+(8)(8)
十+十=（九一1）（*+
十+十=（九一1）（*+
(8)
(8)
Рис. 292оо), т. е. если лучи падают на лин-Рис. 292оо), т. е. если лучи падают на лин-фор-фор-
Рис. 292
оо), т. е. если лучи падают на лин-
Рис. 292
оо), т. е. если лучи падают на лин-
фор-
фор-
Последнее соотношение называется формулой линзы, В формулу не входит высота Ль Это означает, что расстояние & не зависит от местоположен и я точки М, т. е. что все лучи, исходящие из точки /, соберутся после
преломления различными частями линзы 8 одной точке Л^
Если точка А находится
бесконечно далеко от линзы (а = зу параллельно главной оптической оси (рис. 292), то, согласно муле (8),
называетсяназывается⑼⑼
называется
называется
⑼
⑼
Соответствующее этому случаю расстояние b = OF — f фокусным расстоянием линзьг.
Ri RzS-1)(R1 + R2)
Оно зависит только от показателя преломления и радиусов кривизны линзы. Точки 尸'и F, лежащие по обе стороны от линзы 屮 рас-
Рис. 293Рис. 29311十1" =十1" =(Ю)(Ю)
Рис. 293
Рис. 293
1
1
十1" =
十1" =
(Ю)
(Ю)
стоянии, равном фокусному, называются фокусами линзы (соответственно передним и задним). Таким образом, фокусом линзы называется точка, 8 которой после преломления собираются все лучи, па・ дающие на линзу параллельно главной оптической ос〃.
Плоскости Q' и Q, проходящие через фокусы перпендикулярно главной оптической оси, носят название фокальных плоскостей линзы.
Можно показать (на чем мы не останавливаемся), что лучи, падающие на линзу параллельно побочной оптической оси, сходятся после преломления в точке N, лежащей в фокальной плоскости. Оче
видно, что эта точка находится на пересечении центрального луча MN с фокальной плоскостью (рис. 293).
Принимая во внимание формулу (9), можно записать формулу линзы (8) в виде
。一，。一，(12)(12)
。一，
。一，
(12)
(12)
Величина О, обратная фокусному расстоянию /, называется оптической силой линзы:
D = }(П)
Оптическая сила измеряется в диоптриях. Диоптрия равна оптической силе линзы с фокусным расстоянием в один метр.
В отличие от собирающей линзы рассеивающая линза имеет мнимые фокусы. В мнимом фокусе сходятся (после преломления) воображаемые продолжения лучей, падающих на рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси (рис. 294).
Формула линзы (10) остается справедливой и для рассеивающей линзы, только в этом случае расстояния f н 力 следует считать отрицательными:
1 1 1
Оптическая сила рассеивающей линзы отрицательна.
Пользуясь формулой линзы (10), можно определять расстояние & от изображения предмета до линзы, если известны фокусное расстояние / и расстояние а от предмета до линзы:
Линейный размер изображения 九 определяется по линейному размеру
предмета т из очевидного соотношения (рис. 295)
ОтношениеОтношениепу =—пу =—называется линейным увеличением линзы.
Отношение
Отношение
п
у =—
п
у =—
Изображение предмета, даваемое линзой, можно получить непосредственным геометрическим построением, не прибегая к расчету по формулам (12) и (13). Для этого достаточно провести от каждой из
крайних точек предмета по два луча. Один луч должен быть параллельным оптической оси (проходит через фокус после преломления в линзе), другой — центральным (не преломляется линзой). Пересечение двух таких лучей дает изображение крайней точки предмета. Примеры построения изображений приведены на рис. 296, 297.
Если предмет помещен между фокусом и двойным фокусом линзы, то изображение получается действительным, увеличенным, перевернутым и находящимся за двойным фокусом линзы (рис. 296).
Если предмет помещен между фокусом и линзой, то изображение оказывается мни
мым, увеличенным и прямым (рис. 297). Этот случай
соответствует применению линзы в качестве лупы (предмет помещается вблизи переднего фокуса, глаз — в заднем фокусе).
Как было показано при выводе формулы линзы, лучи, исходящие под малыми углами к оптической оси из некоторой точ-』/
ки А, лежащей на этой оси, собираются $ ~а2а^ линзой в одну точку Лх. Однако при боль-V
шом диаметре линзы часть лучей падает на нее под большими углами к оптическойис*
оси (рис. 298). Такие лучи собираются уже в другой точке Л2- В результате изображение точки Л приобретает вид размытого пятна. Этот недостаток линзы называется
сферической аберрацией^. У выпуклой линзы лучи, падающие на ее края, собираются ближе, чем лучи, падающие на ее центральную часть (ОЛ2<ОЛ1); у вогнутой линзы имеет место обратное явление. Благодаря этому можно создать оптическую систему из соответствующим образом подобранных собирающей и рассеивающей линз, у которой сферическая аберрация почти полностью отсутствует. В некоторых случаях сферическую аберрацию ослабляют путем диафрагмирования краевых лучей.
В связи с дисперсией фокусное расстояние линзы для лучей различного цвета оказывается различным (рис. 299). Поэтому при использовании белого или иного немонохроматического света изображение предмета, даваемое линзой, имеет окрашенные края. Этот недостаток линзы называется хроматической аберрацией. Собираю
щая линза приближает к оптической оси сильнее фиолетовые лучи, чем красные (см. рис. 299; FK ——фокус для красного луча,戶ф ——фокус для фиолетового луча), а рассеивающая линза, наоборот, приближает к оптической оси сильнее красные лучи (рис. 300). Благодаря этому можно создать оптическую систему, не имеющую хроматической аберрации. Такая система (ахроматическая линза) состоит из склеенных между собой собирающей и рассеивающей линз, обладающих различной дисперсией.
В 1941 г. Д. Д. Максутовым была создана безаберрацион ная оптическая система (менисковый телеобъектив), состоящая из вогнутого сферического зеркала и выпукло-вогнутой сферической линзы (мениска). Зеркало и мениск в отдельности обладают большими аберрациями (сферическими), имеющими противоположные знаки; в менисковом телеобъективе эти аберрации полностью компенсируются.
Менисковые оптические системы с большим успехом применяются в телескопах (менисковый телескоп Максутова), фотоаппаратах и других оптических приборах.
Для значительного увеличения малых объектов применяется микроскоп —оптическая система, состоящая в простейшем случае из короткофокусной собирающей линзы (объектива) Oi с фокусным расстоянием /об и длиннофокусной собирающей линзы (окуляра) О2 с фокусным расстоянием /ок (рис. 301). Предмет АВ помещается на расстоянии, немного большем /об, от объектива. Действительное, увеличенное и перевернутое изображение АгВ" оказывается на расстоянии, немного меньшем /ок, от окуляра; оно рассматривается в окуляр,
От латинского слова aberratio — уклонение
Рис. 301Рис. 301/об/об/об/обОбщее увеличение микроскопа N объектива и окуляра:Общее увеличение микроскопа N объектива и окуляра:равно произведению увеличенийравно произведению увеличений"=%6 %к ="=%6 %к =ILfo6 /окILfo6 /ок(15>(15>
Рис. 301
Рис. 301
/об/об
/об/об
Общее увеличение микроскопа N объектива и окуляра:
Общее увеличение микроскопа N объектива и окуляра:
равно произведению увеличений
равно произведению увеличений
"=%6 %к =
"=%6 %к =
ILfo6 /ок
ILfo6 /ок
(15>
(15>
как в лупу, в результате получается мнимое, увеличенное и перевернутое (относительно предмета) изображение AffBf\ находящееся от окуляра на расстоянии L, называемом расстоянием ясного зрения (для нормального глаза L 25 см). Расстояние / между «внутренними» фокусами объектива и окуляра называется оптической длиной
тубуса микроскопа (обычно / = =16 см).
На рисунке сильно преувеличены расстояния от предмета АВ до фокуса объектива и от изображения А'В' до фокуса окуляра. Кроме того, не соблюдено соотношение расстояний L,厶 /об и /ок; в действительности /об и/ок гораздо меньше L и / (по этим причинам изображение 4〃В〃 предмета оказалось расположенным между объективом и окуляром, хотя обычно оно располагается по одну сторону с предметом АВ от объектива)*. Учитывая это, получим на основании формулы (14) следующие приближенные выражения увеличений объектива %б и окуляра уок:
%6
Практически увеличение микроскопа не может превышать 2500— 3000. Это связано с ограниченной разрешающей способностью микроскопа, обусловленной дифракционными явлениями (см. § 123).
Глаз как оптическая система.Спектральная чувствительность глаза
Глаз представляет собой довольно сложную оптическую систему, заключенную в защитной белковой оболочке 1 (рис. 302). К белковой оболочке прилегают сосудистая оболочка 2 и сетчатая оболочка (сетчатка) 3, состоящая из мельчайших светочувствительных элементов размером меньше 0,001 см. Эти элементы являются окончаниями нервных волокон зрительного нерва 4, связывающего глаз с головным мозгом.
В передней части глаза белковая оболочка переходит в прозрачную роговую оболочку (роговица) 5, а сосудистая оболочка — в радужную оболочку 6, имеющую посередине отверстие, называемое зрач~ ком. Позади зрачка расположен хрусталик 7 — прозрачное упругое тело в форме двояковыпуклой линзы. Вся полость глаза заполнена прозрачной жидкостью. У глазной жидкости показатель преломления
ОРис. 302ОРис. 302равен 1,33, у роговицы — 1,38 и у хрусталика —в среднем 1,44.
О
Рис. 302
О
Рис. 302
Изображение предмета, рассматриваемого глазом, помещается на сетчатке; оно является действительным, уменьшенным и перевернутым (правильное впечатление о расположении предмета создается благодаря корректирующему действию мозга).
Зрачок глаза играет роль диафрагмы: его диаметр изменяется в соответствии с количеством света, попадающего в глаз.
Под действием особой (ресничной) мыш-
цы кривизна поверхностей хрусталика, а следовательно, и его фокусное расстояние могут изменяться. Этим обеспечивается резкость получаемого на сетчатке изображения предметов, находящихся на различных расстояниях от глаза. Способность глаза приспосабливать фокусное расстояние хрусталика к расстоянию до наблюдаемого предмета называется аккомодацией^.
В ненапряженном состоянии (при расслабленной ресничной мышце) глаз приспособлен к наблюдению далеких предметов, расположенных на расстоянии 8—10 м и более. Аккомодация позволяет получать отчетливое изображение предметов, находящихся на меньших расстояниях, но не меньше расстояния ясного зрения, равного, как уже отмечалось, 25 см.
Размер изображения зависит в конечном счете от величины угла зрения а между лучами, идущими в глаз от крайних точек предмета (рис. 303). Наименьший угол зрения, под которым еще можно различать форму предмета, составляет примерно 1 мин, что соответствует рассмотрению отрезка длиной около 0,07 мм, находящегося на расстоянии ясного зрения. При а<Г все изображение помещается на одном светочувствительном элементе сетчатки и предмет воспринимается как точка.
В связи с существованием предельного угла зрения (а = Г) невооруженным глазом нельзя рассматривать как близкие, но слишком мелкие предметы, так и крупные, но слишком далекие предметы. В этих случаях пользуются оптическими приборами, увеличивающими угол зрения (микроскопом — в случае мелких близких объектов и телескопом-—в случае крупных далеких объектов).
Наиболее распространенными дефектами глаза являются близорук кость (изображение предмета получается перед сетчаткой) и дальнозоркость (изображение получается за сетчаткой). Эти дефекты исправляются посредством очков с рассеивающими (при близорукости) или собирающими (при дальнозоркости) линзами.
Перейдем теперь к вопросу о чувствительности глаза. Светочувствительные элементы, выстилающие сетчатку, подразделяются на так называемые палочки и колбочки. Палочки более чувствительны к свету (благодаря им осуществляется сумеречное зрение), но не реагируют на различие в цвете. Кслбочки менее чувствительны к свету, но обладают спектральной чувствительностью, благодаря им мы различаем цвета.
Глаз чувствителен лишь к очень узкому интервалу длин волн —— от 0,77 до 0,38 мкм (видимый свет)*, причем даже в этом интервале чувствительность глаза к различным длинам волн неодинакова. Наибольшей чувствительностью глаз обладает к длине волны 入= =0,555 мкм, т. е. к зеленому цвету. Чувствительность глаза для более длинных и более коротких волн резко снижается, достигая нуля для инфракрасного и ультрафиолетового излучений. Поэтому несколько источников монохроматического света, обладающих одинаковой мощностью, но испускающих свет различного цвета, представляются глазу неодинаково яркими. Наиболее ярким кажется источник зеленого цвета. Для того чтобы, например, красный свет (入= =0,76 мкм) казался столь же ярким, как зеленый, необходимо, чтобы его мощность в 20 000 раз превышала мощность зеленого света (!).
Отношение мощности Wm монохроматического излучения с длиной волны 入皿 =0,555 мкм (зеленый свет) к мощности 吃 монохроматического излучения с длиной волны 入,вызывающего ощущение такой же яркости, как излучение с длиной волны km, называется функцией видности, или коэффициентом видности излучения с длиной волны 入：
匕=先 (16)
Коэффициент видности служит мерой спектральной чувствительности глаза. Согласно формуле (16), коэффициент видности зеленого света равен единице.
Значения коэффициентов видности были определены путем усреднения результатов многочисленных измерений и утверждены Между- наррдной осветительной комиссией. На рис. 304 представлен график спектральной чувствительности глаза: по оси абсцисс отложены значения длин волн 入(в микрометрах), по оси ординат — значения коэффициентов видности 匕・
Отметим, между прочим, что в связи с максимальной чувствительностью глаза к зеленому свету этот свет был принят в качестве разрешающего сигнала семафора и светофора.
Под действием света светочувствительное вещество сетчатки разлагается, что ведет к снижению чувствительности глаза. В темноте светочувствительное вещество восстанавливается и чувствительность глаза сильно возрастает. В этих условиях глаз способен реагировать на свет ничтожно малой энергии — порядка 10-17 Дж (что приблизительно соответствует свету, испускаемому стеариновой свечой, на
Ц75\ 0,80 \мкмI Йн{ррикрпсныиЦ75\ 0,80 \мкмI Йн{ррикрпсныи
Ц75\ 0,80 \мкм
I Йн{ррикрпсныи
Ц75\ 0,80 \мкм
I Йн{ррикрпсныи
ходящейся в совершенно прозрачной атмосфере на расстоянии порядка 100 км от глаза).
Интересно отметить, что глаза пчел весьма чувствительны к ультрафиолетовому свету, но совершенно не воспринимают красного. Именно поэтому пчелы не посещают и не опыляют красных цветов (за исключением цветов красного мака, которые хорошо отражают ультрафиолетовые лучи солнца и поэтому представляются пчелам у льтр афиолетовым и). Большинство красных цветов посещается и опыляется мелкими птицами благодаря тому, что глаза почти всех птиц обладают особенно высокой чувствительностью к красному свету.
Вообще говоря, у многих насекомых, в том числе у большинства вредителей, максимум чувствительности зрения лежит в ультрафиолетовой части спектра. В связи с этим разработан и в последнее время успешно применяется на практике (в сельском и лесном хозяйстве) новый способ борьбы с вредными насекомыми — ^ультрафиолетовая ловушкам, где приманкой служит ультрафиолетовый свет ртутно-кварцевой лампы.
Основные фотометрические характеристики
(17)(17)Световое излучение, проходящее через некоторую поверхность, можно характеризовать количеством энергии, переносимой электромагнитной волной через эту поверхность за одну секунду, т. е. мощностью излучения 呼入 через данную поверхность. Эта энергетическая характеристика излучения называется потоком световой энергии. Однако, как мы уже видели в предыдущем параграфе, зрительное ощущение зависит не только от мощности излучения, но и от спектральной чувствительности глаза (от коэффициента видности). Поэтому во многих случаях (когда приемником света является глаз) оказывается более удобным характеризовать световое излучение произведением мощности излучения 呼入 на коэффициент видности V入.Эта психофизическая, или фотометрическая, характеристика излучения, учитывающая спектральную чувствительность глаза, называется световым потоком Ф :
(17)
(17)
①人=呼入八•
Если излучение осуществляется волнами различной длины, то световой поток Ф такого немонохроматического излучения слагается из световых потоков ①入 для каждой длины волны:
(18)(18)①=e①入=e吟%.
(18)
(18)
Таким образом, можно сказать, что световым потоком называется поток, све
товой энергии^ оцениваемый по зрительному ощущению.
Наряду со световым потоком основными фотометрическими характеристиками являются сила света, освещенность и яркость.
Понятие силы света вводится с помощью представления о точечном источнике света. Источник света считается точечным, если его размер мал по сравнению с расстоянием до места наблюдения и если он испускает свет равномерно по всем направлениям. Точечным источником является, например, звезда, наблюдаемая с Земли, или электрическая лампочка, наблюдаемая на расстоянии нескольких десятков метров, и т. п.
Сила света измеряется световым потоком, создаваемым точечным источником света в единичном телесном угле. Если световой поток Ф создан точечным источником О в телесном угле Q (рис. 305), то сила света / выразится соотно
шением
(19)
Телесным углом называется часть пространства, ограниченная конической поверхностью (см. рис. 305). Величина телесного угла измеряется отношением площади S, вырезаемой этим углом на поверхности сферы (с центром О в вершине телесного угла), к квадрату радиуса сферы R:
Единицей измерения телесного угла является стерадиан (пространственный радиан) — угол, вырезающий единичную глэщадь на сфере единичного радиуса.
Очевидно, что телесный угол, охватывающий все пространство вокруг источника света, равен 4л стерадиан:
4nR24nR24式.4式.
4nR2
4nR2
4式.
4式.
В качестве единицы измерения силы света принята кандела (кд) —сила света, испускаемая при определенных условиях эталонным источникам света специальной конструкции (см. приложение II).
Согласно формуле (19),
①= /Q,(20)
откуда следует, что единицей светового потока является световой поток, создаваемый точечным источником с силой света, равной одной канделе, 8 телесном угле 8 один стерадиан. Эта единица называется люменом (лм):
лм = кд-стер.
Для количественной оценки освещения поверхностей вводится понятие освещенности. Освещенностью Е поверхности S называется отношение светового потока Ф, падающего на данную поверхность, к величине этой поверхности (рис. 306). Иными словами, освещенность равна световому потоку, падающему на единицу поверхности:
(21)
Если линейные размеры поверхности S малы по сравнению с ее расстоянием до источника света О, то можно написать
URгде So — проекция S на плоскость, перпен
дикулярную оси ОМ потока, а — угол ме
Рис. 306жду S и So. Тогда
cos аcos а
cos а
cos а
Подставляя это выражение S в формулу (21) и учитывая формулу (20), получим
(22)(22)/ cos аe =
(22)
(22)
Таким образом, освещенность поверхности, создаваемая точечным источником света, пропорциональна силе света и косинусу угла падения света на эту поверхность и обратно пропорциональна квадрату расстояния до поверхности.
Зависимостью освещенности от угла падения световых лучей объясняется смена времен года: в северном полушарии освещенность земной поверхности максимальна летом (когда углы а падения солнечных лучей малы) и минимальна зимой (когда углы а велики). Это колебание освещенности вызывает соответствующее колебание температуры на земной поверхности.
Уместно также отметить, что в связи с прямой зависимостью Е от cosa оказывается целесообразным высевать более светолюбивые растения на южных (в северном полушарии) склонах земной поверхности (которым соответствуют наименьшие значения углов а).
За единицу освещенности принимается люкс (лк) — это освещенность поверхности площадью 1 м2 световым потоком в 1 лм, падающим перпендикулярно к поверхности:
лк = лм/м2.
Чтобы дать наглядное представление о единицах освещенности, отметим, что освещенность, создаваемая прямыми солнечными лучами, имеет порядок 105 лк, освещенность, необходимая для чтения, составляет около 4Q лк, а освещенность, создаваемая полной луной, равна примерно 0,2 лк.
До сих пор мы говорили только о точечных источниках света. Однако во многих случаях источники света являются протяженными: при рассмотрении таких источников глаз различает их форму и размеры.
Для протяженных источников сила света уже не может служить достаточной характеристикой. В самом деле, из двух источников, излучающих свет одинаковой силы, но имеющих различные размеры (площади), меньший источник кажется более ярким, так как он дает большую силу света с единицы площади. Поэтому для протяженных источников света вводится дополнительная характеристика, называемая яркостью.
Яркость В протяженного источника света S измеряется силой света, излучаемого с единицы площади видимой (перпендикулярной направлению ^ на-
блюдения) поверхности этого источника (рис. 307; М — изображение источника света S на сетчатке глаза):
В =,(23)
где /——сила света, So——видимая поверхность.
Единицей измерения яркости является кандела на квадратный метр (кд/м2).
Отметим, что яркость поверхности полуденного Солнца имеет порядок 109 кд/м2, спирали электролампы накаливания — ——10е кд/м2, пламени керосиновой лампы —— 104 кд/м2, ночного безлунного неба — IO— кд/м2.
Наименьшая различимая глазом яркость имеет порядок 10"6 кд/м2.
§ 120. Поглощение света. О физиологическом действии света
При прохождении света через какую-либо среду всегда имеет место частичное его поглощение, обусловленное превращением электромагнитной энергии в теплоту и другие виды энергии.
Вещества, слабо поглощающие свет, принято называть прозрачными', вещества, обладающие сильным поглощением, — непрозрачными. Однако такое подразделение носит относительный характер, посколь
ку прозрачность зависит не только от природы вещества, но и от толщины его слоя. В самом деле, например, алюминий принято считать непрозрачным веществом, а воду — прозрачным. Между тем очень тонкий слой алюминия достаточно хорошо пропускает свет, тогда как толстый слой воды практически непрозрачен (набольших глубинах оке
ана царит, как известно, почти полная темнота).
Для количественной оценки процесса поглощения света введем понятие интенсивно- сти света J. В соответствии с определением интенсивности волны, данном в § 32, назовем интенсивностью света (или плотностью потока световой энергии) количество энергии, переносимое светом за 1 с через площадь в 1 м2, перпендикулярную световому лучу.
Пусть параллельный пучок монохромати
ческих лучей падает на пластину поглощаю
щего вещества перпендикулярно поверхности пластины (рис. 308). Мысленно выделим внутри пластины бесконечно тонкий слой dx, находящийся на расстоянии х от ее поверхности. Изменение интенсивности света dJ*, происходящее в этом слое в связи с поглощением, будет пропорционально толщине слоя dx и интенсивности падаю
щего на слой света /*:
(24)(24)dJ* ^ —左J* • dx、
(24)
(24)
где 左 一коэффициент поглощения, х ар актер изующий поглощательную способность данного вещества и не зависящий от толщины слоя.
Знак минус указывает на ослабление света в слое d%(a/#vO)・ Перенесем Jх в левую часть равенства (24) и проинтегрируем полученное выражение по всей толщине а пластины (от % = 0 до % = q и от J = 〃 до J* = J)：
JoО
Тогда получим, q】o
In — Ra, или
J =厶e一*%(25)
где ")— интенсивность света, падающего на пластину, J — интенсивность света, прошедшего через пластину. Это соотношение называется законом Бугера^.
Из формулы (25) следует, что при
a = — будет -^- = е ^ 2,72.kJ
Таким образом, коэффициент поглощения вещества есть величина, обратная толщине такого слоя данного вещества, при прохождении которого интенсивность света ослабляется е е раз (приблизительно в три раза).
Для различных веществ значения коэффициента поглощения весьма различны. Например, для воздуха (при нормальном давлении) k имеет порядок 10~3 м~< для стекла — 1 м~‘, для металлов — 10е м~* Это означает, что для трехкратного ослабления интенсивности света достаточен слой металла толщиной
а = ―5— м = 1 мкм,
Ю6'
или слой стекла толщиной
a =丄-м = 1 м,
или слой воздуха толщиной
a =м = 1 км.
io-з
Вообще говоря, всякое вещество обладает в большей или меньшей мере селективным (избирательным) поглощением, т. е. значение коэф・
фициента поглощения зависит от длины волны света. Так, например, вода и водяной пар сильно поглощают инфракрасное излучение. Обыкновенное стекло хорошо пропускает видимый свет, но значительно ослабляет инфракрасное излучение (с длиной волны 入>2 мкм) и почти полностью поглощает ультрафиолетовое излучение (入 V <0,38 мкм). Листья живых растений обладают значительным поглощением во всем видимом спектре, кроме зеленой (0,52 mkmV入V <0,60 мкм) и темно-красной (入>0,70 мкм) его части; это поглощение вызвано пигментом—хлорофиллом. содержащимся в листьях.
На избирательном поглощении основано действие светофильтров — стеклянных пластин и желатиновых пленок с примесью определенного красящего вещества. Светофильтр пропускает свет только в какой- либо определенной части спектра (соответствующей цвету светофильтра), поглощая все остальное излучение.
Избирательное поглощение лежит в основе так называемого пар* никового эффекта. Грунт парника нагревается обычно тремя источниками тепла: во-первых, видимым светом, свободно проходящим через стекло парниковых рам, во-вторых, биотопливом и, в-третьих, специальными обогревательными системами (водяными или электрическими). Собственное излучение нагретого грунта как тела, обладающего невысокой температурой, является инфракрасным (см. § 131). Но, как уже отмечалось, стекло поглощает инфракрасное излучение. Благодаря этому значительная часть энергии излучения грунта вновь превращается в теплоту и используется для обогрева парника. Таким образом, стекло защищает парник от потери теплоты путем длинноволнового излучения.
В последние годы в парниковых рамах вместо стекла начинают с успехом применять прозрачный полимер — полиамидную пленку. В отличие от стекла пленка обладает высокой прозрачностью не только для видимого, но и для у льтр афиолетового излучения и очень сильно (примерно на 90%) поглощает инфракрасное излучение. Вместе с тем полиамидная пленка весьма эластична, легка, достаточно прочна и долговечна. Эти качества позволяют сооружать легкие временные конструкции для защиты отдельных ценных растений, целых гряд и даже участков полей.
Парниковый эффект под полиамидным укрытием выражен более резко, чем под стеклянным. Применение полиамидной пленки ( и некоторых других прозрачных полимеров) ведет к заметному повышению урожайности сельскохозяйственных культур и улучшению качества урожая.
Поглощением света обусловлены в конечном счете все виды воздействия света на вещество, в том числе и физиологические его воздейст^ вия.
Самым важным из процессов, протекающих на Земле под действием света, безусловно, является фотосинтез.
Фотосинтез заключается в превращении неорганических веществ (8о0“ и углекислого газа) в органические (углеводь^)] он осуществляется под влиянием солнечного света, поглощаемого хлорофиллом, “ сопро* вождается выделением газообразного кислорода.
Фотосинтез является сложной окислительно-восстановительной реакцией, которую можно записать (без промежуточных ее звеньев) в виде следующего условного уравнения:
6СО2 + 6Н2ОС6Н12О6 + 6О2.
хлорофилл
По приближенным подсчетам, наземные и водные растения земного шара ежегодно производят посредством фотосинтеза около 450 млрд, тонн органических веществ.
Непрерывно создавая органические вещества, освобождая атмосферу от углекислого газа и пополняя ее кислородом, фотосинтез обеспечивает условия, необходимые для существования жизни на нашей планете.
Несмотря на грандиозные размеры общей (на всем земном шаре) фотосинтетической деятельности зеленых растений, лишь небольшая доля энергии солнечного света, поглощаемая растением, используется непосредственно для фотосинтеза. Эта доля обычно не превышает 5% (для яровой пшеницы ——3,26%, для картофеля ——3,02%, для кукурузы —2,30% и т. п.).
Так как ор ганическая масса растения создается в процессе фотосинтеза то одним из эффективных путей повышения урожайности сельскохозяйственных культур является увеличение интенсивности фотосинтеза (увеличение коэффициента использования световой энергии для фотосинтеза). По этому пути идет новая отрасль сельскохозяйственного производства, получившая название светокультуры (искусственное досвечивание растений при усиленной подкормке углекислотой и проточном методе корневого питания).
Весьма существенное влияние свет оказывает и на животные организмы. С одним из видов такого влияния мы уже ознакомились в § 118 ——это действие света на орган зрения. Кроме того, свет действует на кожный покров. Видимое и инфракрасное излучения вызывают главным образом поверхностное нагревание кожи. Ультрафиолетовое излучение вызывает фотохимическую реакцию в наружном слое кожи, ведущую к образованию коричневого пигмента («загар»). Этот пигмент, называемый меланином, сильно поглощает ультрафиолетовые лучи, предохраняя тем самым организм от их чрезмерного воздействия. Умеренные дозы ультрафиолетового излучения благотворно влияют на организм: усиливают его сопротивляемость инфекционным заболеваниям и улучшают обмен веществ.
Для человека, животных и растений свег является совершенно необходимым жизненным фактором, поскольку, как показывает опыт, его отсутствие или недостаток нарушает нормальную деятельность организма; недостаток света не может быть компенсирован никакими другими воздействиями (обогреванием, питанием и т. д.).
Ультрафиолетовое излучение длиной волны меньше 0,28 мкм обладает сильным бактерицидным действием ——убивает бактерий; используется для обеззараживания воздуха в помещениях, для стерилизации молока и т. п. Это излучение можно создать, например, посредством кварцевой лампы (см. § 93). В солнечном свете, достигающем земной поверхности, излучение с длиной волны, меньшей 0,29 мкм, отсутствует, так как оно полностью поглощается озоном (О3) находящимся в высоких слоях атмосферы (на высотах от 12 до 50 км).
Инфракрасные лучи играют важную роль в жизни змей. Сравнительно слабо развитые зрение, слух и обоняние компенсируются у змеи острой воспри-
19° 30’19° 30’имчивостью к инфракрасному излучению. На голове змеи между глазами и ноздрями расположены два углубления, в которых находятся своеобразные «термолокаторы» —органы, чувствительные к инфракрасным лучам. С помощью этих термолокатеров змея улавливает даже слабое тепловое излучение, исходя* щее от мелких птиц и животных, и определяет их местоположение. Поэтому даже в совершенной темноте змея точно бросается на свою добычу.
19° 30’
19° 30’
Задача 61. Луч света падает под углом а = 30° на плоскопараллельную стеклянную пластинку и выходит из нее параллельно первоначальному направлению (рис. 309). Показатель преломления стекла и = 1,5. Какова толщина пластинки, если расстояние между лучами ВС = 2 = 1,94 см?
Решение. Полагаем, что окружающей пластинку средой является воздух, показатель преломления которого близок к единице. Тогда, по закону преломления света (3), найдем угол преломления^ луча в пластинке:
sin а0,5
sin В ：：=二———о, 333 откудз
九1,5
Из прямоугольных треугольников ADB и АСВ следует, что d = АВ • cos В и I = АВ • sin (а —卩).
Деля первое равенство на второе, найдем
/cos 01,94 • IO-м • cos 19。30’
sin(a —В) n sin 10° 30z
Задача 62. Показатель преломления стекла для крайних красных лучей спектра равен ni = 1,510, а для крайних фиолетовых п2= 1,531. Определить расстояние АI между фокусами для красных и фиолетовых лучей двояковыпуклой линзы с радиусами кривизны Ri = R? = R = 15 см.
Решение. Эта задача о хроматической аберрации линзы (см. рис. 299, § 117).
f =f =Ri R2(九一1)(R + R2)Ri R2(九一1)(R + R2)R2 (д — 1)R2 (д — 1)Согласно формуле (9), фокусное расстояние линзы равно
f =
f =
Ri R2
(九一1)(R + R2)
Ri R2
(九一1)(R + R2)
R2 (д — 1)
R2 (д — 1)
Обозначим фокусные расстояния линзы для красных и для фиолетовых лучей соответственно через & и 屈 тогда можем написать
R /]1\R (九2 —六i)
2 [几 1 - 1九2 - 1 /2 (九1 - 1)(几2 - 1)
5,8 •入0一3 м = 5,8 мм5,8 •入0一3 м = 5,8 мм0,15м • 0,021
5,8 •入0一3 м = 5,8 мм
5,8 •入0一3 м = 5,8 мм
2 • 0,51 • 0,531
Задача 63. Фокусное расстояние объектива биологического микроскопа /об = 2 мм, фокусное расстояние окуляра /ок = 4 см, оптическая длина тубуса микроскопа / = 18 см. Определить увеличение микроскопа N и расстояние d от объектива до изображения предмета.
Решение. Воспользуемся оптической схемой микроскопа, представленной на рис. 301 (см. § 117).
Согласно формуле (15), увеличение микроскопа равно
IL 18 см • 25 см
^ = 562,5»
/об /ок 0,2 см • 4 см
где 厶 = 25 см — расстояние ясного зрения.
Из рис. 301 следует, что d = %к + ^ + /об
—L = 4 см + 18 см + 0,2 см — 25 см = — 2,8 см. (Знак минус указывает на то, что изображение расположено по одну сторону с предметом от объектива.) Задача 64. В эксперименте по светокультуре (см.
§ 120) проводится досвечивание огурцов, растущих на площадке квадратной формы со стороной / = 160 см (рис. 310). Источником света служит лампа накалива* ния силой света / = 500 кд, подвешенная на высоте 九=4 м над центром площадки. Какова максимальная и минимальная освещенности Е посадки?
Решение. Согласно формуле (22), освещенность равна
МаксимальнаяМаксимальнаяс / cos a
Максимальная
Максимальная
e =—--
где а—— угол падения лучей, г — расстояние от источника света до освещаемого места.
освещенность Е】освещенность Е】этого места а = 0 н потомуэтого места а = 0 н потому:макс будет, очевидно, в центре посадки; для
освещенность Е】
освещенность Е】
этого места а = 0 н потому
этого места а = 0 н потому
/ cos 0500 кд
Л2
16 M2
31,25 лк
Емнн будет в угловой части посадки на рас-Емнн будет в угловой части посадки на рас-
Емнн будет в угловой части посадки на рас-
Емнн будет в угловой части посадки на рас-
Минимальная освещенность стоянии
от лампы; для этого cos a
места tga =
/ /2 1,6м . 1,4
2А
2 • 4 м
0,28, от-
куда а =15° 40'. Тогда Емин
/ cos a / cos3 a
500 кд • 0,9633
出
16 M2
27,81 лк.
Глава XVIII. Волновые свойства света
§ 121. Интерференция света. Интерферометр
Изучая закономерности распространения упругих колебаний среды, мы познакомились с явлением интерференции волн (см. § 33). Естественно предположить, что в случае световых (электромагнитных) волн такое явление также может иметь место. Опыт подтверждает это предположение: интерференцию световых волн, сходящихся в некоторой точке пространства, можно непосредственно наблюдать, если только эти волны являются когерентными (т. е. имеют постоянную разность фаз), или, что то же, если когерентны источники этих волн (см. § 33).
Нетрудно понять, что никакие два светящихся тела не могут быть когерентными источниками света. В самом деле, свет, исходящий от светящегося тела (например, от нити электролампы), представляет собой совокупность множества электромагнитных волн, излучаемых отдельными частицами (атомами и молекулами) тела. Условия излучения этих частиц очень быстро и беспорядочно изменяются. Для того чтобы два светящихся тела являлись когерентными источниками света, волны, излучаемые всеми частицами первого тела, должны отличаться по фазе от волн, излучаемых всеми частицами второго тела, все время на одну и ту же величину. Такое событие практически совершенно невероятно. Поэтому для получения когерентных источ- • ников прибегают к искусственному приему: «раздваивают» свет, н& ходящий от одного источника.
Это «раздвоение» можно осуществить, например,I
посредством экрана с двумя малыми отверстиямиI
(рис. 311). В соответствии g принципом Гюйгенса —& 丁 &金
Френеля источник света S создает в отверстияхк
экрана вторичные источники света Si hSz. Очевидно,I
что всякое изменение фазы волн, излучаемых основ-к
ным источником S, сопровождается точно такими же》^)
изменениями фаз волн, излучаемых вторичными исто-|
чниками Si и S2. Следовательно, у волн, излучаемых|
источниками Si и S2, разность фаз все время остается неизменной, т. е. источники являются когерент- Рис- ^11 ными.
Другой способ получения когерентных источников основан на отражении света от двух плоских зеркал, установленных под углом а, близким к 180° (рис. 312). Эта оптическая система называется зеркалами Френеля. Когерентными источниками служат изображения Si и S? основного источника света S.
В § 33 было показано, что результат интерференции двух волн в некоторой точке Р (рис. 61) зависит от величины разности хода лучей (волн); там же были выведены условия интерференционного максимума (29) и интерференционного минимума (30). Применим эти условия к случаю интерференции световых волн, создаваемых когерентными источниками S4 и S2 и сходящихся в точке Р (см
рис. 312). Если в разности хода лучей Д/ == SiP —S2P укладывается целое число волн (четное число полуволн), т. е. если
то в точке Р будет максимум света (入 —— длина волны,九 = 0,1, 2, 3, ...). Если же в разности хода укладывается нечетное число полуволн, т. е. если
加 = (2%+ (2)
то в точке Р будет минимум света (темнота)*.то в точке Р будет минимум света (темнота)*.Рис. 313Рис. 313ные максимумы (на рис. 313 данные максимумы (на рис. 313 данВыясним теперь, как выглядит Р интерференционная картина, соз^ даваемая на экране двумя коге- х рентными источниками монохроматического света Si и Sa. Пусть расстояние между этими источниками d, а расстояние от источников до экрана 厶，причем d《L (рис. 313). Определим расстояния х от точки О (одинаково удаленной от S4 и S2) до тех точек Р, в которых будут наблюдаться интерференцион- вертикальный разрез экрана).Выясним теперь, как выглядит Р интерференционная картина, соз^ даваемая на экране двумя коге- х рентными источниками монохроматического света Si и Sa. Пусть расстояние между этими источниками d, а расстояние от источников до экрана 厶，причем d《L (рис. 313). Определим расстояния х от точки О (одинаково удаленной от S4 и S2) до тех точек Р, в которых будут наблюдаться интерференцион- вертикальный разрез экрана).Из прямоугольных треугольников PCS【и PBS2 находим:Из прямоугольных треугольников PCS【и PBS2 находим:
то в точке Р будет минимум света (темнота)*.
то в точке Р будет минимум света (темнота)*.
Рис. 313
Рис. 313
ные максимумы (на рис. 313 дан
ные максимумы (на рис. 313 дан
Выясним теперь, как выглядит Р интерференционная картина, соз^ даваемая на экране двумя коге- х рентными источниками монохроматического света Si и Sa. Пусть расстояние между этими источниками d, а расстояние от источников до экрана 厶，причем d《L (рис. 313). Определим расстояния х от точки О (одинаково удаленной от S4 и S2) до тех точек Р, в которых будут наблюдаться интерференцион- вертикальный разрез экрана).
Выясним теперь, как выглядит Р интерференционная картина, соз^ даваемая на экране двумя коге- х рентными источниками монохроматического света Si и Sa. Пусть расстояние между этими источниками d, а расстояние от источников до экрана 厶，причем d《L (рис. 313). Определим расстояния х от точки О (одинаково удаленной от S4 и S2) до тех точек Р, в которых будут наблюдаться интерференцион- вертикальный разрез экрана).
Из прямоугольных треугольников PCS【и PBS2 находим:
Из прямоугольных треугольников PCS【и PBS2 находим:
吋= /?+} +告):
PS； к U 十PS； к U 十
PS； к U 十
PS； к U 十
откуда
PS? - PS^ = 2xd,
или
(PS】一PS?) (PS】+ PS?) = 2%d・
Ho
PS】一 PS2 = &, a PSi + PS^2L・
Следовательно,
Д/ • 2L = 2xd
и
⑶⑶X _ L • Al .
⑶
⑶
Учитывая формулы (1) и (2), получим, что максимумы света располагаются на расстоянии
х = пх = п辽辽⑷⑷
х = п
х = п
辽
辽
⑷
⑷
а минимумы ——на расстоянии
(5)(5)% = (2и + 1) —
(5)
(5)
от точки О. Эти максимумы и минимумы имеют соответственно вид светлых и темных полос, параллельных друг другу. Центральный максимум, соответствующий 〃 = 0, проходит через точку О. Расстояние между соседними максимумами (или минимумами), очевидно, равно
⑹
Таким образом, интерференционная картина, создаваемая на экране двумя когерентными источниками света, представляет собой чередование светлых и темных полос (рис. 314). Особенно четкой эта картина получается в случае, когда вместо точечных источников света используются узкие параллельные светящиеся щели.
Так как, согласно формуле (6), А% обратно пропорционально d, то при большом расстоянии между источниками света Si и *S2 расстояние между интерференционными полосами может оказаться неразличимо малым. ° Поэтому для получения четкой интерферен- ， ционной картины следует пользоваться источниками света, расположенными на возможно л< меньшем расстоянии друг от друга (d《£).
На основании формулы (6) можно экспе- О риментально определять длину световой волны по измеренным значениям d, L и Ах.
Отметим, что при использовании не монохроматического, а, например, белого света, интерференционные максимумы для каждой длины волны будут, согласно формуле (4),
смещены друг относительно друга. В результате все светлые полосы приобретут радужную окраску.
Интерференционная картина очень чувствительна к величине разности хода интерферирующих волн: ничтожно малое изменение разности хода вызывает заметное смещение интерференционных полос. На этом основано устройство интерферометров — приборов, служащих для точного измерения малых длин и углов, а также для определения показателя преломления прозрачных сред. В промышленности интерферометр широко используется для контроля качества (гладкости) металлических и других шлифованных поверхностей.
На рис. 315 приведена принципиальная схема микроинтерферометра Линника, предназначенного для выявления и измерения микроскопических неровностей поверхности.
Пучок S монохроматических световых лучей (с длиной волны 入) попадает на полупрозрачный слой Р (тончайший слой серебра, нанесенный на диагональное сечение стеклянного куба). Рассмотрим ход одного из лучей / этого пучка. На полупрозрачном слое луч / «раздваивается»: частично проходит через слой и падает на зеркало С (луч Г), а частично отражается и падает на исследуемую поверхность В (луч /"). Затем луч 7’ (после отражений от зеркала и от полупрозрачного слоя) и луч /〃 (после отражения от исследуемой поверхности и прохождения через полупрозрачный слой) идут в микроскоп М. Будучи когерентными, эти лучи интерферируют; результат их интерференции виден в поле зрения микроскопа.
Предположим, что в разности хода лучей Г и /〃 (равной удвоенной разности расстояний между полупрозрачным слоем и зеркалом и между полупрозрачным слоем и исследуемой поверхностью) укладывается одна длина волны 入.Тогда эти лучи дадут в поле зрения микроскопа интерференционный максимум.
Зеркало С составляет очень небольшой угол 9 с нормалью N к пучку S. Благодаря этому в пучке S найдется такой луч 2, падающий на полупрозрачный слой немного выше луча что создаваемые им когерентные лучи 2’ и 2〃 будут иметь разность хода, равную 2入.Эти лучи также дадут интерференционный максимум, расположенный рядом с интерференционным максимумом лучей Г и /〃.
Кроме рассмотренных лучей / и 2 в пучке S имеются еще и другие (не показанные на рисунке) лучи 3, 4, 5 н т. д., которые создают пары когерентных лучей 3’ и 3〃，4’ и 4〃，5’ и и т. д. с разностями хода, равными соответственно ЗХ, 4人，5入 и т. д. Эти лучи также дадут ряд интерференционных максимумов.
Между интерференционными максимумами расположатся интерференционные минимумы, соответствующие разностям хода, равным 357
нечетному числу полуволн: — X, —к, —к и т. д. В результате в поле зрения микроскопа возникает система чередующихся светлых и темных параллельных полос.
В случае гладкой исследуемой поверхности интерференционные полосы будут прямолинейными (рис. 316, а). Если же на поверхности имеется какая-либо неровность, например борозда, то для лучей, отражающихся от этой борозды, разность хода изменится, что приведет к смещению (изгибу) интерференционных полос в области, соответствующей борозде (рис. 316, б). Изгибы интерференционных полос как бы обрисуют контур борозды. Размер изгиба А (измеряемый посредством окулярной шкалы микроскопа) пропорционален глубине борозды, поэтому по величине А можно определять глубину борозды. Если неровностью является не борозда, а гребень, то изгибы интерференционных полос будут направлены в противоположную сторону.
Таким образом, интерференционная картина, наблюдаемая в микроинтерферометре, позволяет судить о форме и характере дефекта исследуемой поверхности и определять размеры дефекта с большой степенью точности (до 0,01 мкм).
§ 122. Об интерференции света, отраженногоот прозрачных пленок
Познакомимся с некоторыми интерференционными явлениями, возникающими при отражении света от тонких прозрачных пластин (пленок).
Пусть на тонкую пленку толщиной d падают параллельные лучи монохроматического света (рис. 317). Очевидно, что из некоторой точки С будут выходить два практически совпадающих когерентных луча: луч /, отраженный от верхней поверхности пленки, и луч 2, отраженный от нижней ее поверхности. Понятно, что разность хода АI этих лучей зависит от Nвеличины угла падения а и от толщины пленки d. КроУме того, А/ зависит еще и от показателя преломления
1 /п вещества пленки, так как на участке АВС луча 2
световые волны распространяются со скоростью в п раз г. меньшей, чем на участке DC луча /. Это ведет к увели-
"04I чению разности фаз волн, а следовательно, и разности
月хода лучей. Поэтому в данном случае следует рас
сматривать оптическую разность хода лучей:
Рис. 317
Д/ = (43 + ЗС)九—(CD + —.
Член 入/2 появляется в связи с тем, что у световой волны, отражающейся от оптически более плотной среды, фаза изменяется нал, а у волны, отражающейся от оптически менее плотной, среды, фаза не изменяется. Так как луч / отражается (в точке С) от оптически более плотной среды, а луч 2 отражается (в точке В) от оптически менее плотной среды, то разность фаз этих лучей изменяется на л , что соответствует изменению разности хода лучей на Х/2.
Если разность хода равна целому числу длин волн 入 падающего света, то лучи / и 2 максимально усилят друг друга. Нетрудно усмотреть, что (при данном значении а) такой результат интерференции будет иметь место не только для точки С, но и для всех других точек поверхности пленки. Поэтому глазу, аккомодированному на поверхность пленки, вся пленка представится ярко освещенной. Если же А / равна нечетному числу полуволн, то все отраженные от ее поверхности лучи взаимно погасятся и пленка будет „казаться темной.
Таким образом, изменяя угол падения а, мы будем видеть пленку попеременно то светлой, то темной.
Предположим теперь, что под пленкой находится среда оптически более плотная, чем пленка; тогда изменение фазы на л; произойдет как у луча /, так и у луча 2. Следовательно, разность хода этих лучей не получит дополнительного изменения на 入/2. В самом деле,
А/ = ((АВ + ВС)几 + Х/2] — (CD + 入/2) = (АВ + ВС) ti — CD.
В случае очень тонкой пленки при не слишком больших углах падения можно считать 4В + ВС = 2d и CD = 0; тогда Д / = 2d九.Поэтому для пленки толщиной d = Х/4п разность хода лучей практически при всех (не слишком больших) углах падения будет равна 入/2, что соответствует условию минимума интерференции, т. е. взаимному гашению отраженных лучей. Это значит, что от такой пленки свет практически не отражается и полностью проходит в оптически бо・ лее плотную среду, находящуюся под пленкой.
Это интерференционное явление широко используется в оптической промышленности для так называемого просветления оптики. Дело в том, что в сложных оптических системах (фотобъективах, перископах и т. п.) значительная часть световой энергии отражается от поверхностей линз; это заметно снижает яркость и контрастность изображения рассматриваемых (или фотографируемых) объектов и создает блики. Если на поверхность линз нанести прозрачную пленку толщиной Х/4п, изготовленную из вещества с показателем преломления п.
немного меньшим показателя преломления стекла линз, то такая пленка не будет отражать света; благодаря этому качество изображения заметно улучшится (оптика просветлеет).
Обычно на поверхность линз наносят пленку из кремнезема или из фтористых солей. Кроме того, просветляющую пленку можно создать непосредственно на поверхности линзы путем обработки этой поверхности растворами кислот (метод И. В. Гребенщикова). 、
До сих пор мы имели дело с плоскопараллельной пленкой. Рассмотрим теперь пленку переменной толщины, например клинообразную (рис. 318). В отраженном свете поверхность такой пленки уже не покажется разномерно освещенной, так как разность хода лучей, интерферирующих в различных (по толщине) местах пленки, будет неодинаковой. Эта разность сохраняется постоянной только вдоль линий, параллельных ребру клина, и убывает в направлении от основания к ребру (рис. 318, а). Поэтому поверхность клинообразной пленки пред-
Рмс. 318
ставится покрытой чередующимися светлыми и темными полосами, параллельными ребру клина (рис. 318, б). Очевидно, что чем больше угол клина 8, тем быстрее изменяется разность хода лучей вдоль клина и тем чаще расположены интерференционные полосы.
При использовании белого света интерференционные полосы несколько расширяются, приобретая радужную окраску. Это объясняется зависимостью разности хода от длины волны: в каждой светлой полосе максимумы для различных длин волн располагаются раздельно.
В отличие от клинообразной пленки у пленки со случайным распределением толщины интерференционные полосы могут иметь самую разнообразную криволинейную форму. При освещении этой пленки белым светом возникает весьма причудливая по форме и расцветке интерференционная картина. Такую картину дают мыльные пленки, нефтяные пятна на поверхности воды, крылья мелких насекомых, жировые налеты на стекле и другие тонкие пленки толщиной порядка 10~4 см. В более толстых пленках цветные интерференционные полосы оказываются настолько сближенными, что частично перекрывают друг друга и интерференционная картина становится неразличимой. Поэтому интерференцию света в толстых пленках можно наблюдать только при использовании строго монохроматического света.
§ 123. Дифракция света. Разрешающая способностьоптических приборов
Если между экраном А и освещающим его источником света поместить другой экран В с отверстием, то на экране / появится светлое пятно, ограниченное тенью (рис. 319, а и б). Границу тени можно найти геометрическим путем, полагая, что свет распространяется прямолинейно,, т. е. световые лучи являются прямыми линиями (см. рис. 319, а). Однако более тщательное наблюдение показывает, что граница тени не является резкой; это особенно заметно в случаях, когда размер d отверстия очень мал по сравнению с расстоянием L
Рис. 319Рис. 319зываетсязываетсяаг экрана до отверстия (d《£)・ Тогда пятно на экране А представляется состоящим из чередующихся светлых и темных колец, постепенно переходящих друг в друга и захватывающих также область геометрической тени (рис. 320, 6). Это говорит о непрямолинейности распространения света от источника S, о загибании световых лучей (волн) у краев отверстия В (рис. 320, а). Описанное явление»непря- молинейного распространения света вблизи преграды (огибание световым лучом преграды) носит название дифракции света, а получающаяся на экране картина на- _ использовании белого света дифракционная картина приобретает радужную окраску.
Рис. 319
Рис. 319
зывается
зывается
Напомним, что дифракция свойственна не только световым, но и вообще всяким волнам (см. § 34).
Кроме отверстий в экранах дифракцию вызывают также и непрозрачные предметы (преграды), помещенные на пути распространения света, необходимо только, чтобы размер предмета был малым по сравнению с расстоянием до места наблюдения дифракционной картины. На рис. 321 приведены фотографии типичных дифракционных картин, даваемых круглым отверстием а, прямоугольной щелью б, проволокой в и винтом г.
Рис. 321
Отчетливые дифракционные картины получаются в случаях, когда
на пути распространения света находятся очень мелкие преграды размером порядка длины световой волны. Следует, однако, подчеркнуть, что вопреки довольно распространенному представлению сравнимость размера преграды с длиной волны света не является необходимым условием для наблюдения дифракции.
через запотевшее оконное стекло, на мельчайших водяных каплях.через запотевшее оконное стекло, на мельчайших водяных каплях.Дифракционные картины нередко возникают в естественных условиях. Так, например, цветные кольца, окружающие источник света,
через запотевшее оконное стекло, на мельчайших водяных каплях.
через запотевшее оконное стекло, на мельчайших водяных каплях.
наблюдаемые сквозь туман или обусловлены дифракцией света
Дифракция обнаруживает волн овые свойства света и потому может быть объяснена на основе принципа Гюйгенса — Френеля следующим образом. Пусть свет от источника S падает на экран Л через круглое отверстие ab в экране В (рис. 322). Согласно принципу Гюйгенса —Френеля, каждая точка участка аЬ фронта световой волны (заполняющего отверстие)
является вторичным источником
света. Эти источники когерентны, поэтому исходящие от них лучи (волны) / н 2, 3 и 4 и т・ д. будут интерферировать между собой. В зависимости от величины разности хода лучей на экране Л в точках г, 4ит. д. возникнут максимумы и минимумы освещенности. Таким образом, на экране Л в области геометрической тени появятся светлые места, а вне этой области ——темные места, создавая описанную ранее (кольцеобразную) дифракционную картину.
Дифракцией света обусловлена разрешающая способность оптических приборов, т. е. способность этих приборов давать раздельные изображения мелких, близко расположенных друг к другу деталей (точек) предмета. Объектив всякого оптического прибора обязательно имеет входное отверстие. Дифракция света на входном отверстии объектива неизбежно ведет к тому, что изображения отдельных точек наблюдаемого предмета (самосветящегося или освещаемого) оказываются уже не точками, а светлыми дисками, окаймленными темными и светлыми кольцами. Если рассматриваемые точки (детали) предмета находятся близко друг от друга, то их дифракционные изображения (в фокальной плоскости объектива) могут более или менее взаимно перекрываться (рис. 323, а).
Две близкие точки / и 2 предмета можно еще видеть раздельно, если светлые диски их дифракционных изображений взаимно перекрываются не более чем на величину радиуса диска (рис. 323, б). Если же диски перекрываются более чем на радиус (рис. 323, в), то раздельное видение точек становится невозможным; прибор уже не разделяет, или, как говорят, не разрешает, таких точек.
Наименьшее расстояние Ay (см. рис. 323, б), при котором две точки предмета еще можно видеть раздельно, называют разрешаемым расстоянием. Разрешающую способность оптического прибора принято измерять величиной 1/Ау, обратной разрешаемому расстоянию.
Расчеты показывают, что для микроскопа разрешаемое расстояние выражается формулой
Ар = 0,61,(7)
几 sin 〃/2
где 人——длина волны света, п ——показатель преломления среды, находящейся между предметом и объективом, и ——апертурный угол*, т. е. угол, образованный крайними лучами светового пучка, попадающего в объектив (рис. 324). Произведение nsinu/2 называется числовой апертурой.
Согласно формуле (7), разрешающая способность микроскопа 1/Ад пропорцион альн а числовой апертуре и обратно пропорциональна длине волны света. Следовательно, для повышения \W разрешающей способности микроскопа необходимо
УОбъектинШ увеличивать его числовую апертуру. Однако возможности увеличения апертуры весьма огра ниче- ны, поскольку sin〃/2 не может быть больше единицы, а и либо равен единице, если предмет на- предмет ходится в воздухе, либо немногим больше един и- Iцы, если предмет помещен в иммерсионную жид-
Рис. 324 кость**, например, в глицерин (и = 1,47) или кедровое масло (и = 1,52). Таким образом、числовая апертура микроскопа имеет порядок единицы. Тогда из формулы (7) следует, что для микроскопа разрешаемое расстояние равно приблизительно половине длины световой волны, т. е. Ау ^ 0,3 мкм (если полагать 入 ^ 0,5 мкм). Это означает, что в оптический микроскоп нельзя рассматривать предметы, размер которых меньше 0,3 мкм (3 ・ ЦП см).
Разрешающая способность ставит предел полезному увеличению микроскопа. При увеличении порядка 103 разрешаемому расстоянию
* От латинского слова apertura — отверстие.
** От латинского слова immersio — погружение. У наиболее оптически плотных иммерсионных жидкостей величина 几 не превышает 1,6——1.7
(0,3 мкм) соответствует достаточно крупное изображение (0,3 мм). Очевидно, что добиваться большего увеличения (т. е. более крупного изображения) не имеет смысла, так как оно не выявит никаких новых подробностей в структуре рассматриваемого предмета.
§ 124. Дифракция от щелей. Дифракционные спектры.Дифракционная решетка. О рассеянии света в мутной среде
В лабораторной практике дифракционную картину получают обычно от узких светящихся щелей. Поэтому случаи дифракции света
от одной, от двух и от многих параллельных щелей мы рассмотрим более подробно.
Дифракция от одной щели. Пусть на экран В с узкой прямоугольной щелью падает пучок параллельных монохроматических лучей нормально к экрану (рис. 325,力 Все лучи, проходящие через щель в первоначальном направлении, собираются линзой С в одну точку О экрана Д, расположенного в фокальной плоскости линзы (точнее говоря, лучи собираются в одну линию, проходящую через О параллельно щели). Разность хода между всеми этими лучами равна нулю, так как линза не создает разности хода лучей^. Следовательно, через точку О пройдет светлая полоса (максимум освещенности), параллельная щели.
Учтем теперь, что благодаря дифракции лучи от щели пойдут не только в первоначальном направлении, но и под различными углами ср к этому направлению (ср называется углом дифракции). Рассмотрим пучок лучей, дифрагирующих от щели под
Рис. 325Рис. 325таким углом 屮=(р4, что разностьтаким углом 屮=(р4, что разность* Как видно на рис. 325, Q, путь света, проходящего от щели до точки О через утолщенные (центральные) части линзы, короче пути света, проходящего через тонкие (краевые) части линзы. Однако, с другой стороны, свет, идущий вдоль «центральных» лучей, распространяется с меньшей средней скоростью, чем свет, идущий вдоль «краевых» лучей (так как в первом случае он проходит, более длинные участки пути внутри линзы, где скорость распространения света меньше, чем в воздухе). В результате путь от щели до точки О свет проходит вдоль всех лучей практически за одинаковое время. Это означает, что линза не создает разности фаз световых волн, а следовательно, и разности хода лучей. Поэтому параллельные лучи, собранные линзой в какой-либо точке, сохраняют ту оптическую разность хода (см. § 122), которую они имели до прохождения через линзу.
Рис. 325
Рис. 325
таким углом 屮=(р4, что разность
таким углом 屮=(р4, что разность
хода Д/ между крайними лучами пучка будет равна длине световой волны 入=2十(рис. 325, б). Тогда весь пучок можно разделить на такие две равные зоны / и //, называемые зонами Френеля, для которых разность хода между каждым лучом первой зоны и соответствующим лучом второй зоны окажется равной 入/2. Будучи собраны линзой на линии, проходящей через точку 0“ эти лучи проинтерфе- рируют и взаимно погасятся. В результате через 01 пройдет темная полоса — дифракционный минимум. Очевидно, что такой же дифракционный минимум пройдет через точку О/, симметричную точке 0】 (ход лучей, образующих этот минимум, на рисунке не показан).
Рассмотрим другой пучок лучей, дифрагирующих под таким углом Ф =屮2，что разность хода А/ между крайними лучами пучка равна 3V2 (рис. 325, 6). Тогда весь пучок можно разделить на три зоны Френеля: /, // и ///. Понятно, что две соседние зоны (например, / и //) погасят друг друга (так как разность хода между лучами этих зон равна 人/2), а третья зона останется непогашенной и даст дифракционный максимум на линии, проходящей через точку 02. Такой же максимум появится на линии, проходящей через точку 02\ симметричную 02. Освещенность максимумов 02 и 0^ будет значительно меньше освещенности максимума О, поскольку в О попадает весь световой пучок, проходящий через щель, тогда как в Ог и。2‘ попадает только по одной третьей части такого пучка.
Путем аналогичных рассуждений нетрудно показать, что, за максимумами 5 и。2‘ расположатся минимумы, создаваемые лучами, дифрагирующими под углом, при котором пучок лучей можно разделить на четыре зоны Френеля (Д/ = 4〃2). Далее расположатся максимумы, создаваемые лучами, дифрагирующими под углом, соответствующим пяти зонам Френеля (А/ = 6入/2). В эти максимумы попадает уже по одной пятой части всего пучка, проходящего через щель, поэтому их освещенность будет меньше освещенности максимумов а ио2’・
Переходя к обобщению, можно сказать, что
пучки лучей, дифрагирующих под углами, соответствующими нечетному числу зон Френеля, создают на экране дифракционные максимумы, а пучки луней, дифрагирующих под углами, соответствующими четному числу зон Френеля, создают дифракционные минимумы. Освещенность максимумов уменьшается при увеличении угла дифракции лучей, создающих эти максимумы.
Таким образом, дифракционная картина, получаемая от одной щели, представляет собой чередование темных и светлых полос, симметрично расположенных по обе стороны от центральной светлой полосы. Освещенность светлых полос быстро убывает по мере удаления от центральной полосы. Эта дифракционная картина представлена на рис. 326 (см. также фотографию на рис. 321, 6).
Как мы уже показали, дифракционные максимумы получаются при разности хода лучей Д/ = (2и + 1)-~-, а дифракционные мини-
мумы — при Д/ = 2и -у-. Но из рис. 325 очевидно, что А/ =asin(p, где а — ширина щели. Следовательно, при дифракции света от одной щели дифракционные максимумы наблюдаются под углами, для которых
sin(p = (2n + 1)十，sin(p = (2n + 1)十，Рис. 326Рис. 326
sin(p = (2n + 1)十，
sin(p = (2n + 1)十，
Рис. 326
Рис. 326
а дифракционные минимумы — под углами, для которых sin ф = 2п -~ •
Дифракция от двух и от многих параллельных щелей. Пусть пучок параллельных монохроматических лучей падает перпендикулярно экрану В с двумя параллель-
ными щелями, находящимися на расстоянии d друг от друга (рис. 327). Тогда эти щели становятся когерентными источниками света.
Если за экраном В помещена собирающая линза С, то на экране А, расположенном в фокальной плоскости линзы, возникнет дифракционная карти на, являющаяся результатом двух процессов: диф
ракции света от каждой отдельной щели и интерференции света от о5а〃％ щелей. Однако основные черты этой картины определяются вто
рым процессом, к ознакомлению с которым мы и перейдем.
Рассмотрим лучи, падающие, например, на левые края обеих щелей. Благодаря дифракции свет от щелей будет распространяться во всевозможных направлениях (рис. 327, а). На рис. 327, б видно, что разность хода А/ параллельных лучей, дифрагирующих от щелей под углом ф, равна
А/ = dsincp.
Будучи собраны линзой С в одну линию (проходящую параллельно щелям через точку D экрана Л), эти лучи проинтерферируют; результат интерференции будет зависеть от величины разности хода А/. При разности хода, равной целому числу волн, т. е. при
d sin <р、= иХ,
лучи дадут на экране Л интерференционный максимум. При разности хода, равной нечетному числу полуволн, т. е. при
dsin ф = (2и + 1)告，
лучи да外у十 на экране интерференционный минимум.
Таким образом, углы дифракции, соответствующие максимумам освещенности экрана, определятся из соотношения
sin ср = и-~- ,(8)
а углы дифракции, соответствующие минимумам освещенности, —из соотношения
sin ф = (2п +(9)
где и — целые (положительные и отрицательные) числа натурального ряда (九=± 0, 1, 2, 3,...).
Согласно формуле (8), по обе стороны от центрального максимума, которому соответствует значение 九=0, располагаются первые максимумы ——правый (п = + 1) и левый (п =——1), далее располагаются вторые максимумы (и = + 2 и и = — 2) и т. д. Однако возможное число максимумов является ограниченным: оно не может быть больше, чем d/入.В самом деле, согласно формуле (8),
•d
sm ф = и :—,
но sin(p《l, следовательно,
Освещенность Е различных максимумов неодинакова. Сильнее всего освещен центральный максимум (л = 0), первые максимумы (九 = ± 1) освещены слабее, вторые максимумы (九 = ± 2) — еще слабее и т. д. (рис. 328; по вертикали откладывается освещенность
дифракционной картины, по горизонтали — расстояния до центрального максимума). Это обусловлено тем, что, как было выяснено при рассмотрении дифракции от одной щели, освещенность экраня, создаваемая дифрагирующими лучами, уменьшается по мере увеличения угла дифракции.
Расчеты, которых мы не будем касаться, показывают, что при дифракции света от совокупности многих параллельных щелей, расположенных близко друг к другу, создается такая же дифракционная картина, как в случае двух щелей. Только максимумы получаются более яркими и узкими, а
разделяющие их миниму
мы —широкими и практически совершенно темными. Расстояние между соседними максимумами и их яркость возрастают по мере увеличения числа щелей.
Формула (8), определяю^ щая местоположения максимумов пр〃 дифракции от двух щелей, остается справедливой и в случае ди-
фракции от многих щелей.
Согласно формуле (8), местоположение каждого максимума зависит от длины волны света X. Чем больше 入，тем больше sin(p, т. е.
тем под большим углом дифракции ф получается максимум для этой волны. Отсюда следует, что при использовании белого света каждый максимум (кроме центрального) приобретает радужную окраску, причем внутренний его край (по отношению к центральному максимуму) станет фиолетовым, а наружный — красным, так как фиолетовому цвету соответствуют наиболее короткие волны, а красному — наиболее длинные; между фиолетовым и красным краями максимума расположатся остальные спектральные цвета (рис. 329). В этой связи дифракционные максимумы принято называть дифракционными
Спектр второго порядна 傍必Спектр второго порядна 傍必Рис. 329Рис. 329
Спектр второго порядна 傍必
Спектр второго порядна 傍必
Рис. 329
Рис. 329
спектрами, а число и — порядком спектра. Спектр нулевого порядка остается белым, так как, согласно формуле (8), при м = 0 угол дифракции ср = 0 для всех длин волн 入.
,Следует отметить, что дифра-
■ ■ ■ ■■■■■■■ мм кционные спектры высоких по
рядков начинают налагаться Рис 330Друг на друга. Так, в случае
*использования белого света спек
тры второго и третьего порядков уже частично перекрываются 〈длинноволновый участок спектра 2-го порядка налагается на ко> ротковолновый участок спектра 3-го порядка).
Совокупность большого числа узких параллельных щелей, расположенных близко друг от друга, называется дифракционной решет- кой. а расстояние 2 между соседними щелями ——периодом решетки (рис. 330, схема). Решетку, имеющую постоянный период и одинаковую ширину всех щелей, называют регулярной.
Дифракционные решетки изготавливают путем нанесения тонких штрихов (царапин) на поверхности стеклянной пластинки (прозрач- ная решетке^ или металлического зеркала (отражательная решетка}. Очевидно, что в таких решетках роль щелей играют промежутки между штрихами. Штрихи наносятся алмазным резцом с помощью делительной машины. Лучшие дифракционные решетки имеют до 1200—
1500 штрихов на миллиметр, что соответствует периоду (d) 0,83—0,56 мкм.
Посредством дифракционной решетки проводятся очень точные измерения длины световых волн. Для этого пользуются дифракционным спектроскопом, схема которого изображена на рис. 331. Дифракцион
ная решетка / установле
на на неподвижном круге 2, имеющем угловые деления. Свет от источника S проходит через узкую щель коллиматора 5 и падает на решетку. Поворачивая зрительную трубу 4, набодят ее визир на исследуемую линию дифракционного спектра. Отсчет угла дифракции ср, соответствующего этой линии, производят g помощью нониуса 5, связанного со зрительной трубой. Затем в формулу
入入d^也中d^也中
入
入
d^也中
d^也中
полученную из формулы (8), подставляют измеренное значение угла Ф и порядок спектра и, в котором наблюдалась линия, и вычисляют длину волны 入.
Вообще говоря, .дифракционной решеткой может служить не только совокупность щелей, но и совокупность большого числа любых неоднородностей (отверстий и преград) на плоскости или в объеме; в последнем случае решетка называется пространственной. Пространственной (нерегулярной) решеткой является, например, так называемая мутная среда, т. е. среда, в которой взвешено множество очень мелких частиц какого-нибудь инородного вещества. К мутным средам относятся коллоидные растворы, задымленные газы и т. п.
Проходя через мутную среду, свет дифрагирует от ее беспорядочно (нерегулярно) расположенных микронеоднородностей и распространяется во всевозможных направлениях, т. е., как говорят, рассей- вается (не создавая какой-либо определенной дифракционной картины). Поэтому дифракцию света в мутных средах обычно называют рассеянием света. Такое рассеяние наблюдается, например, в запыленном воздухе, пронизываемом солнечными лучами: благодаря рассеянию света на пылинках лучи становятся видимыми со стороны.
Особый интерес представляет так' называемое молекулярное рассеяние света, происходящее в жидкостях и газах, совершенно очищенных от посторонних частиц. В данном случае свет дифрагирует (рассеивается) от мельчайших уплотнений среды (флуктуаций плотности), обусловленных случайными скоплениями значительного числа молекул в отдельных местах объема жидкости (или газа); эти скопления создаются при беспорядочном тепловом движении молекул.
Интенсивность рассеянного света при молекулярном рассеянии очень мала; она становится заметной лишь в случаях, когда свет проходит через большую толщу рассеивающей среды.
В заключение отметим, что молекулярным рассеянием света в атмосфере объясняются голубой цвет неба и желтоватый оттенок солнечного диска. Согласно закону Рэлея,
интенсивность J рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны 入：
丿〜丄.
Следовательно, из белого (солнечного) света, проходящего через атмосферу, рассеиваются преимущественно короткие волны, соответствующие синему и голубому цвету. В связи с этим свет, прошедший через атмосферу, состоит преимущественно из длинных волн, придающих ему и солнечному диску оранжево-желтый оттенок.
Дифракция рентгеновских лучей.Формула Вульфа—Брэггов
В 1895 г. немецкий физик В. Рентген открыл особый вид электромагнитного излучения (коротковолнового) с длиной волны 10-2— 10"5 мкм, названный впоследствии рентгеновскими лучами. Эти лучи
вызывают свечение экрана, покрытого люминофором (см. § 135),
и почернение фотоэмульсии, благодаря чему их можно использовать для фотографирования.
более плетные веществаболее плетные веществаРентгеновские лучи проходят через непрозрачные для обычного света тела: дерево, металл, кость, мышечную ткань и т. д. Причем
более плетные вещества
более плетные вещества
Рис. 332Рис. 332поглощают рентгеновские лучи сильнее, чем менее плотные. Если рентгеновские лучи проходят через объект, характеризующийся неравномерным распределением плотности вещества, то на экране (или фотопластинке), помещенном позади объекта, появляется теневое изображение, на котором распределение освещенности соответствует распределению плотности вещества в объекте. Так, например, на теневом изображении кисти руки (рис. 332) мышечная ткань дает слабую тень, кость — более сильную, а металлическое кольцо С и осколки пули Я и В дают очень резкую тень.
Рис. 332
Рис. 332
Благодаря таким свойствам рентгеновские лучи широко применяются в медицине и технике для исследования
внутреннего строения тел, например для обнаружения изменений в организме (рентгенодиагностика) и выявления дефектов в деталях машин (рентгенодефектоскопия).
Кроме того, рентгеновские лучи используются в лечебных целях. Больные клетки и ткани организма обладают повышенной чувствительностью к рентгеновским лучам. Поэтому соответствующей дозой рентгеновского облучения можно подавлять и даже разрушать больные ткани организма (например, злокачественные опухоли), не поражая соседних здоровых тканей.
Рентгеновские лучи возникают при резкой остановке электронов, быстро движущихся в рентгеновской трубке. Современная рентгеновская трубка состоит из металлического анода Л и катода ^, подогреваемого током, проходящим по вольфрамовой спирали / (рис. 333). Эти электроды находятся в баллоне 2 с высоким вакуумом (10"5 Па). Между катодом и анодом приложено напряжение U, достигающее 105 В.
Электроны, эмиттируемые катодом и разгоняемые электрическим полем до скоростей порядка 100 000 км/с, ударяются об анод. Движение электронов представляет собой электрический ток, а
мзменение скорости их движения соответствует перемене тока, что, как известно, соп р овождаете я возникновением электромагнитных волн. Очень резкое торможение электронов, происходящее при их ударе об знод, создает коротковолновое электромагнитное излучение, называемое тормозным рентгеновским излучением. Оно имеет сплошной спектр, поскольку различные электроны тормозятся с несколько различными ускорениями и, следовательно, испускают волны различной длины.
При очень больших напряжениях U наряду с тормозным излучением возникает так называемое характеристическое рентгеновское излучение, имеющее линейчатый спектр. Такое излучение создают атомы анода, возбуждаемые ударами электронов, поэтому вид линейчатого спектра зависит от химического состава вещества, из которого изготовлен анод. Более подробно характеристическое излучение рассмотрено в § 134 (в связи со строением атома).
Рис. 334 Рис. 335
Волновая природа рентгеновских лучей была экспериментально подтверждена в 1912 г. немецкими физиками Лауэ, Фридрихом и Книппингом, обнаружившими явление дифракции рентгеновских лучей от кристаллов. В этих экспериментах кристалл играл роль пространственной дифракционной решетки.} рассеивающими центрами служили узлы (атомы или ионы) кристаллической решетки. На рис. 334 представлена фотография дифракционной картины, создаваемой рентгеновскими лучами, проходящими через кристалл бериллия. Пятна на этой фотографии соответствуют дифракционным максимумам рентгеновских волн определенных длин (остальные волны, входящие в сплошной спектр тормозного рентгеновского излучения, рассеиваются кристаллом равномерно, вызывая равномерное потемнение фотопластинки—фон).
Дифракция рентгеновских лучей имеет место как при прохождении их через кристалл, так и при отражении от него. Условие, необходимое для дифракции рентгеновских лучей, можно получить исходя из следующих соображений.
Пусть пучок параллельных рентгеновских лучей падает на кристалл под углом скольжения ф к системе параллельных плоскостей, проходящих через узлы (атомы) кристаллической решетки (рис. 335). Такие атомные плоскости можно рассматривать как полупрозрачные зеркала, частично, пропускающие и частично отражающие рентгенов-
ские лучи. Следовательно, отраженные лучи выходят из кристалла также под углом 屮 к атомным плоскостям. Будучи когерентными, эти лучи создают на фотопластинке изображение дифракционных максимумов при условии, что разность хода соседних лучей (АВ + ВС = =2dsin(p) составляет целое число длин волн:
2d sin ф = лк, (10)
где d — расстояние между атомными плоскостями, п = 1, 2, 3,.... Соотношение (10) называется формулой Вульфа — Брэггов. Углы <р измеряются на фотографии дифракционной картины (по положению дифракционных максимумов).
Если известна длина волны рентгеновского излучения, то по формуле (10) можно определять расстояния d, характеризующие структуру кристаллов; такой метод исследования строения тел называется рентгеноструктурным анализом.
При использовании кристалла известной структуры (с известным расстоянием d) формула Вульфа — Брэггов дает возможность определять длины волн, входящих в состав рентгеновского излучения. На этом основан метод определения химического состава вещества, называемый рентгеноспектральным анализом. Исследуемое вещество бомбардируют быстрыми электронами (поместив его, например, на анод разборной рентгеновской трубки), в результате чего оно испускает характеристические рентгеновские лучи, падающие на кристалл известной структуры. Сфотографировав возникающую при этом дифракционную картину, измеряют углы 屮 и рассчитывают по формуле (10) соответствующие длины волн. Полученный таким образом линейчатый спектр дает возможность судить о химическом составе излучающего вещества, поскольку каждому химическому элементу присущ вполне определенный спектр характеристического излучения (см. § 134).
О дифракции микрочастиц и волнах де-Бройля
В 1923 г. французский физик де-Бройль высказал гипотезу о существовании глубокой аналогии между свойствами света и вещества, предположив, что, подобно свету, вещество должно обладать как корпускулярными, так и волновыми свойствами. В частности, всякой движущейся микрочастице должна соответствовать (может быть сопоставлена) волна длиной
где m — масса микрочастицы, и — ее скорость, Л — 6,625 X X10-34 дж.с — постоянная Плйнка. Соотношение (11) получило название формулы де-Бройля.
Рис. 336Рис. 336力 一 6,625 • 10-34 口水• emv 9,1 • IO-31 кг • 1,4 • 108 м/с力 一 6,625 • 10-34 口水• emv 9,1 • IO-31 кг • 1,4 • 108 м/с^ 5 • 10"12m = 5 • 10-вмкм.^ 5 • 10"12m = 5 • 10-вмкм.
Рис. 336
Рис. 336
力 一 6,625 • 10-34 口水• e
mv 9,1 • IO-31 кг • 1,4 • 108 м/с
力 一 6,625 • 10-34 口水• e
mv 9,1 • IO-31 кг • 1,4 • 108 м/с
^ 5 • 10"12m = 5 • 10-вмкм.
^ 5 • 10"12m = 5 • 10-вмкм.
Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де-Бройля было дано в 1927 г. Дэвиссоном и Джермером, обнаружившими дифракцию электронов, отраженных от монокристалла никеля. Позднее дифракция электронов наблюдалась также при прохождении
электронного пучка через тонкие пленки металлов и других веществ. При этом возникали дифракционные картины, подобные тем, которые дает дифракция рентгеновских лучей. На рис. 336 представлена фотография дифракционной картины, создаваемой электронами, про
ходящими через кристалл хлористого натрия.
Дифракция является волновым процессом, поэтому дифракция электронов доказывает существование электронных волн (волн деБройля). Эти волны дифрагируют от кристалла подобно рентгеновским лучам.
Весьма существенно, что формула Вульфа —Брэггов, выведенная для случая дифракции рентгеновских лучей, оказалась справедливой и в случае дифракции электронов: значение длины электронной волны, рассчитанное по формуле Вульфа — Брэггов (по данным опытов с дифракцией электронов), совпало с ее значением, вычисленным по форму-
ле де-Бройля.
Рассчитаем по формуле (И) длину волны 入,соответствующую электронным лучам, используемым в электронном микроскопе (см. § 102). Скорость V электрона в электронном микроскопе составляет около 140 000 км/с = 1,4 -108 м/с, массу электрона т можно считать равной его массе покоя /и0 = 9,1 • 10"31 кг, поскольку, согласно таблице (см. § 20), при данной скорости отношение m/mQ ^ 1. Тогда
Таким образом, длина электронной волны в электронном микроскопе приблизительно в 100 000 раз меньше средней длины волны видимого света (0,5 мкм). Именно этим объясняется очень большая разрешающая способность (очень малое разрешаемое расстояние Ду) электронного микроскопа в сравнении с оптическим микроскопом (о чем упоминалось в § 102). Действительно, учитывая, что числовая апертура электронного микроскопа равна примерно 0,05, получим, пользуясь формулой (7), для разрешаемого расстояния электронного микроскопа значение
М = 0,61 • 2,詳比 6 ・ КТ" (м) = 6 • IO' см
(напомним, что для оптического микроскопа Ду = 3 • 10~5 см). Размер атомов и молекул имеет порядок 10"8 см; следовательно, в пр ин-
ципе под электронным микроскопом можно рассматривать отдельные атомы и молекулы вещества*.
Помимо дифракции электронов была экспериментально обнаружена и исследована дифракция нейтронов, атомов, молекул и других микрочастиц, что окончательно подтвердило наличие волновых свойств у микрочастиц и дало возможность рассматривать и описывать движение этих частиц как некий волновой процесс, характеризующийся определенной длиной волны, рассчитываемой по формуле де-Бройля.
Вообще говоря, волны де-Бройля присущи всяким движущимся частицам, в том числе и макроскопическим телам. Однако у тел большой массы эти волны оказываются столь короткими, что их совершен* но невозможно обнаружить. Например, для ружейной пули массой /и = 9 г, летящей со скоростью у = 400 м/с, длина волны де-Бройля 入=丄=9乌上屮_2 .]0i(m).
mv 9 • 4 • Ю"1
В связи с этим можно считать (как это и делается в классической механике), что макроскопические тела не обладают волновыми свойствами.
§ 127. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет.Поляризация света в турмалине. Поляроиды
Свет, излучаемый отдельным атомом, представляет собой электромагнитную волну, т. е. совокупность двух поперечных взаимно перпендикулярных волн — электрической (образованной колебанием век
тора напряженности электрического поля Е) и магнитной (образованной колебанием вектора напряженности магнитного поля Н), идущих вдоль общей прямой г, называемой световым лучом (рис. 337).
Луч (свет), у которого электрические колебания совершаются все время в одной и только одной пло« скости, называется поляризованным лучом (светом)**; разумеется, что при этом магнитные колебания совершаются в другой (перпендикулярной) плоскости (названной пло
скостью поляризации света}. Из данного определения следует, что свет, излучаемый отдельным атомом, является поляризованным (во
всяком случае в течение всего периода излучения этого атома).
* Разрешаемое расстояние современных электронных микроскопов достигает 5 ・ 10-8 еm.
** Точнее говоря, плоско поляризованным или линейно поляризованным, так как существуют еще круговая и эллиптическая поляризации которых мы не рассматриваем.
Опыт и теория показывают, что химическое, физиологическое и другие виды воздействия света на вещество обусловлены главным образом электрическим и колебаниями. Поэтому, а также для упрощения рисунков, изображающих световую волну (или луч), мы будем в дальнейшем говорить только об электрических колебаниях, а плоскость, в которой они совершаются, называть плоскостью световых колебаний, или просто плоскостью колебаний. Тогда луч поляризованного света можно схематически изобразить так, как это сделано на рис. 338, а (луч перпендикулярен плоскости рисунка;
а 5 6
Рнс. 338
векторы соответствуют амплитудным значениям напряженности элек- трического поля Е).
На практике мы никогда не встречаемся со светом от одного отдельного атома, поскольку всякий реальный источник света (светящееся тело) состоит из множества атомов, излучающих беспорядочно, т. е. испускающих световые волны со всевозможными ориентациями плоскости колебаний. Эти волны налагаются друг на друга, в результате чего любому лучу, исходящему от реального (естественного) источ- ника света, будет соответствовать множество разнообразно ориентированных плоскостей колебания (рис. 338, б). Такой луч (свет) является неполяризованным и называется естественным лучом (светом).
Обычно интенсивность излучения каждого из атомов, составляющих светящееся тело, в среднем одинакова; поэтому у естественного света амплитудные (максимальные) значения вектора Е одинаковы во всех плоскостях колебания. Бывают, однако, случаи, когда у светового луча амплитудные значения вектора Е оказываются неодинаковыми для различных плоскостей колебания; такой луч называется частично поляризованным. На рис. 338, в изображен частично поляризованный луч, у которого колебания совершаются преимущественно в вертикальной плоскости.
В отличие от естественного поляризованный свет характеризуется не только интенсивностью (зависящей от амплитуды напряженности поля Е) и цветом (зависящим от длины волны 入),но еще и положением
плоскости колебаний. Поэтому, например, поляризованные лучи /, 2 и 3 (рис. 339), интенсивность и цвет которых одинаковы, не тождественны друг другу. Однако человеческий глаз не обнаруживает различия между поляризованными лучами, имеющими различную ориентацию плоскости колебания, и вообще не отличает поляризованного света от естественного.
Естественный свет можно поляризовать, т. е. превратить его в поляризованный свет. Для этого надо создать такие условия, при которых колебания вектора напряженности электрического поля Е могли бы совершаться только вдоль одного определенного направления. Подобные условия могут, напри- нмер, иметь место при прохождении есте-
Хственного света через среду, анизотро- _.「 пную 6 отношении электрических коле-
J баний. Как известно, анизотропия свойственна кристаллам (см. § 51). Поэтому можно ожидать поляризации света, проходящего через кристалл. Действи- ис,тельно, опыт показывает, что многие
природные и искусственно созданные кристаллы поляризуют проходящий через них естественный свет.
В самых общих чертах физическая сущность процесса поляризации света, проходящего через кристалл, состоит в следующем. Согласно электромагнитной теории Максвелла (см. § 105), переменное электрическое поле световой волны вызывает в кристаллическом диэлектрике переменный поляризационный ток, т. е. переменное смещение заряженных частиц (атомов, ионов), составляющих кристаллическую решетку. Поляризационный ток выделяет джоулево тепло; следовательно, в кристалле происходит превращение световой энергии 6 теплоту.
Благодаря анизотропии кристалла возможная величина смещения его частиц, а следовательно, и сила поляризационного тока оказываются неодинаковыми для различных плоскостей кристаллической решетки. Очевидно, что световая волна, идущая в плоскости, соответствующей значительным возможным смещениям частиц, вызывает сильный поляризационный ток и потому практически полностью поглощается кристаллом. Если же световая волна идет в плоскости, соответствующей малым смещениям частиц, то она вызывает слабый поляризационный ток и проходит через кристалл без существенного поглощения.
Таким образом, из электрических колебаний естественного света, имеющих всевозможные направления, через кристалл проходят (без поглощения) только те, которые совершаются в плоскости, соответствующей минимуму поляризационного тока; остальные колебания в той или иной мере ослабляются, так как через кристалл проходят только их проекции на эту плоскость. В результате у света, прошедшего через кристалл, электрические колебания совершаются лишь в одной определенной плоскости, т. е. свет оказывается поляризованным.
К природным кристаллам, поляризующим свет, относится, например» турмалин. Естественный луч, прошедший через пластинку турмалина 1, вырезанную параллельно оптической оси ОО， кристалла, полностью поляризуется и имеет электрические колебания только в главной плоскости Q, т. е. в плоскости, содержащей оптическую ось и луч (рис. 340).
340340
340
340
его поляризация.Если за пластинкой / помещена вторая пластинка турмалина 2, ориентированная так, что ее оптическая ось перпендикулярна оптической оси пластинки /, то через вторую пластинку луч не пройдет (так как его электрические колебания перпендикулярны главной плоскости Q пластинки 2). Если же оптически оси пластинок /м2 составляют угол а, отличный от 90\ то свет (луч) проходит через пластинку 2. Однако, как это следует из рис. 341, амплитуда Е световых колебаний, прошедших через пластинку 2, будет меньше амплитуды Eq световых колебаний, падающих на эту пластинку:Е === Eq cos а.его поляризация.Если за пластинкой / помещена вторая пластинка турмалина 2, ориентированная так, что ее оптическая ось перпендикулярна оптической оси пластинки /, то через вторую пластинку луч не пройдет (так как его электрические колебания перпендикулярны главной плоскости Q пластинки 2). Если же оптически оси пластинок /м2 составляют угол а, отличный от 90\ то свет (луч) проходит через пластинку 2. Однако, как это следует из рис. 341, амплитуда Е световых колебаний, прошедших через пластинку 2, будет меньше амплитуды Eq световых колебаний, падающих на эту пластинку:Е === Eq cos а.
его поляризация.
Если за пластинкой / помещена вторая пластинка турмалина 2, ориентированная так, что ее оптическая ось перпендикулярна оптической оси пластинки /, то через вторую пластинку луч не пройдет (так как его электрические колебания перпендикулярны главной плоскости Q пластинки 2). Если же оптически оси пластинок /м2 составляют угол а, отличный от 90\ то свет (луч) проходит через пластинку 2. Однако, как это следует из рис. 341, амплитуда Е световых колебаний, прошедших через пластинку 2, будет меньше амплитуды Eq световых колебаний, падающих на эту пластинку:
Е === Eq cos а.
его поляризация.
Если за пластинкой / помещена вторая пластинка турмалина 2, ориентированная так, что ее оптическая ось перпендикулярна оптической оси пластинки /, то через вторую пластинку луч не пройдет (так как его электрические колебания перпендикулярны главной плоскости Q пластинки 2). Если же оптически оси пластинок /м2 составляют угол а, отличный от 90\ то свет (луч) проходит через пластинку 2. Однако, как это следует из рис. 341, амплитуда Е световых колебаний, прошедших через пластинку 2, будет меньше амплитуды Eq световых колебаний, падающих на эту пластинку:
Е === Eq cos а.
В каждом кристалле имеется направление, относительно которого атомы (или ионы) кристаллической решетки расположены симметрично; оно называется оптической осью кристалла. Подчеркнем, что оптическая ось — это не какая-то одна линия, а определенное направление в кристалле; все прямые, про^ веденные в кристалле параллельно этому направлению, являются оптическими
осями.
Если естественный луч идет вдоль оптической оси, то все его электрические колебания перпендикулярны ей. В таком случае (благодаря симметричному расположению частиц кристалла относительно оптической оси) все электрические колебания совершаются в одинаковых условиях и все они проходят через кристалл. Поэтому естественный луч, идущий вдоль оптической оси, не поляризуется. При всех иных направлениях луча имеет место
Так как интенсивность света пропорциональна квадрату ампли туды световых колебаний, то
(12)(12)J = Jo cos2 а,
(12)
(12)
где </()— интенсивность света, падающего на пластинку 2, J — интенсивность света, прошедшего через эту пластинку. Соотношение (12) называется законом Малюса*.
Таким образом, поворот пластинки 2 вокруг поляризованного луча сопровождается изменением интенсивности света, прошедшего через эту пластинку; максимум интенсивности имеет место при а = =0°, минимум (соответствующий полному гашению света) — при а = 90°.
Пластинка /, поляризующая естественный свет, называется поляризатором, а пластинка 2, посредством которой изменяется интенсивность поляризованного света (и тем самым обнаруживается факт поляризации), называется анализатором. Понятно, что обе пластинки совершенно одинаковы (их можно поменять местами); данные названия характеризуют лишь назначение пластинок.
Следует отметить, что турмалин обладает значительным селективным поглощением ——пропускает преимущественно зеленый свет; это является недостатком турмалина как поляризатора (и анализатора).
В последние годы для поляризации света широко применяются так называемые поляроиды (поляризационные фильтры). Поляроид представляет собой прозрачную полимерную пленку толщиной около 0,1 мм, содержащую множество мелких искусственных кристалликов —поляризаторов, например кристалликов герапатита (сульфат йодистого хинина). Оптические оси всех кристалликов герапатита ориентируются в одном направлении в процессе изготовления поляроида. Поляроидная пленка сравнительно недорога, весьма эластична, имеет большую площадь, обладает почти одинаковым (незначительным) поглощением для всех длин волн видимого света.
Одним из интересных практических применений поляроида является его использование на автотранспорте для защиты водителей от слепящего действия фар встречных автомашин. С этой целью на ветровое стекло и на стекла фар наклеиваются поляроидные пленки, оптические оси которых параллельны и составляют 45° с горизонтом. Тогда, как это видно на рис. 342, оптическая ось поляроида ветрового стекла одной машины будет перпендикулярна оптической
Рис. 342
Открыт в 1810 г. французским физиком Малюсом.
оси поляроида фар встречной машины (ориентация оптических осей показана на рисунке стрелками). Согласно закону Малюса, при такой ориентации оптических осей поляроидов поляризованный свет фар не пройдет через ветровое стекло встречной машины; следовательно, водитель практически не видит света фар встречных машин (но увидит, конечно, эти машины в свете фар своего автомобиля).
§ 128. Двойное лучепреломление. Поляризация светав исландском шпате. Призма Николя
В связи со сложностью структуры кристалла процесс поляризации света в них является, вообще говоря, значительно более сложным, чем он описывался в предыдущем параграфе. Оказывается, что из естественного луча» прохо
дящего через кристалл, образуется не один, а два луча, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях. Электрические колебания одного из этих лучей перпендикулярны главной плоскости кристалла; он называется обыкновенным лучом (обозначается буквой о). Электрические колебания другого
луча совершаются в глав-3
ной плоскости; он назььис,
вается необыкновенным лу
чом (обозначается буквой е). Очевидно, что при любом направлении обыкновенного луча его электрические колебания перпендикулярны оптической оси 00' кристалла (рив. 343, а); поэтому обыкновенные лучи распространяются по всем направлениям с одинаковой скоростью & = const и, следовательно, показатель преломления и0 для обыкновенного луча есть величина постоянная (п0 = с/с。= const, где с — скорость света в вакууме) У необыкновенного луча угол между направлением электрических колебаний и оптической осью отличен от прямого и зависит от направления луча (рис. 343, б); поэтому необыкновенные лучи расп ростра ня ются по различным направлениям с различными скоростями: се =/= const. Отсюда следует, что показатель преломления для необыкновенного луча пе является переменной величиной, зависящей от направления луча:
пе = 一一方 const.
Благодаря различию показателей преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей эти лучи претерпевают в кристалле не-
одинаковое преломление; они разделяются (раздваиваются) и идут в нескольких различных направлениях. Это явление называется двойным лучепреломлением. Оно имеет место и в турмалине и в поляроиде. Однако эти вещества очень сильно поглощают обыкновенный луч, поэтому через достаточно толстую пластинку турмалина (1 мм) или пленку поляроида (0,1 мм)
проходит только один поляризованный луч (необыкновенный).
Иначе обстоит дело при поляризации света в кристалле исландского шпата. Он одинаково прозрачен для обыкновенного и необыкновенного лучей и
потому обладает ярко вьь раженным двойным лучепреломлением, в чем легко убедиться по кажущемуся раздвоению какого-либо предмета (например, надписи), рассматриваемого через кристалл исландского шпата (рис. 344).
Кристаллы, полученные из исландского шпата, имеют обычно форму ромбоэдра ——шестигранника, все грани которого являются ром
бами с тупым углом 102° (рис. 345). Короткая диагональ ОО' ромбоэдра является направлением оптических осей исландского шпата. Все плоскости, параллельные граням ромбоэдра, являются плоскостями спайности (см. § 51), по которым шпат легко раскалывается. Поэтому природный кристалл исландского шпата можно расколоть не только на ромбоэдры, но и на четырехгранные призмы с гранями в форме параллелограммов.
На рис. 346 показан ход лучей при двойном лучепреломлении в кристалле исландского шпата. У этого кристалла показатель пре- ломления для обыкновенного луча и0 больше показателе преломления для необыкновеиного луча nJ*. Поэтому угол преломления обык-
идут на небольшом расстоянииидут на небольшом расстоянииРис. 347Рис. 347
идут на небольшом расстоянии
идут на небольшом расстоянии
Рис. 347
Рис. 347
новенного луча 丁。меньше, чем необыкновенного ^: sin а = 〃° sin ^0= =〃о sin，，но /г。〉%, следовательно, 70 V7夕 Интенсивности обыкновенно1,0 н необьжновенног© лучей одинаковы и равны половине интенсивности падающего (естественного) луча. При выходе из призмы эти лучи становятся параллельными и
один от другого. Поэтому при не очень узком падающем пучке света пучки обыкновенных и необыкновенных лучей частично налагаются друг на друга, давая (в области наложения) неполяризованный свет (рис. 347).
Исландский шпат широко используют в качестве поляризотора и анализатора во многих оптиче-
ских приборах. Для этого из шпата изготовляют поляризационную призму, пропускающую только один сорт поляризованных лучей (например, необыкновенные лучи).
Наиболее распространенной поляризационной призмой является призма Николя. Для ее изготовления торцовые грани продолговатой четырехгранной призмы (выколотой из куска шпата по плоскостям спайности) сошлифовывают так, чтобы они составляли с ребрами острый угол 68° (рис. 348). Затем призму распиливают на две части
вдоль плоскости, перпендикулярной торцовым граням и главной плоскости. Отшлифовав поверхности распила, их склеивают канадским бальзамом.
Показатель преломления канадского бальзама меньше nQ , но больше 九е・ Следовательно, для обыкновенного луча бальзам является средой оптически менее плотной, а для необыкновенного луча — более плотной, чем исландский шпат Поэтому обыкновенный луч, падающий на слой бальзама под углом, большим предельного, претерпевает полное отражение (см. § 115), а необыкновенный луч при любых углах падения проходит через Зтот слой.
Если естественный луч падает на торцовую грань призмы Николя параллельно основанию призмы АВ (см. рис. 348), то необыкновен-
ный луч проходит через призму, почти не отклоняясь от первоначального направления, а обыкновенный луч, претерпев полное отражение от слоя канадского бальзама, поглощается зачерненной поверхностью основания АВ. Таким образом, сквозь призму Николя проходит только один поляризованный луч (необыкновенный) с электрическими колебаниями в главной плоскости призмы
Явление поляризации света служит убедительным экспериментальным подтверждением поперечности световых (электромагнитных) волн, поскольку поляризоваться могут только поперечные (а не продольные) волны.
Плоская поляризация света имеет место не только при его прохожденииПлоская поляризация света имеет место не только при его прохождениичерез кристаллы, но и при преломлении и отражении на границе изотропных, диэлектрических сред. В этом случае отраженный и преломленный лучи час-через кристаллы, но и при преломлении и отражении на границе изотропных, диэлектрических сред. В этом случае отраженный и преломленный лучи час-ЕстестбенмъшЕстестбенмъшПолностью,лоляриг-зоВанныи 勿《Полностью,лоляриг-зоВанныи 勿《ВоздухВоздухРис. 349Рис. 349Частично поляризованный %夕Частично поляризованный %夕Среда с поназате- IV 90° лвм преломпения I VСреда с поназате- IV 90° лвм преломпения I Vтично поляризуются во взаимно перпендикулярных плоскостях (у преломленного света электрические колебания совершаются преимущественно в плоскости падения). Степень поляризации зависит от величины угла падения. При некотором определенном угле падения а, (рис. 349) отраженный свет оказывается полностью поляризованным (преломленный свет остается частично поляризованным). Угол а,, называемый углом полной поляризации, связан с относительным показателем преломления отражающей среды п законом Брюстера*тично поляризуются во взаимно перпендикулярных плоскостях (у преломленного света электрические колебания совершаются преимущественно в плоскости падения). Степень поляризации зависит от величины угла падения. При некотором определенном угле падения а, (рис. 349) отраженный свет оказывается полностью поляризованным (преломленный свет остается частично поляризованным). Угол а,, называемый углом полной поляризации, связан с относительным показателем преломления отражающей среды п законом Брюстера*
Плоская поляризация света имеет место не только при его прохождении
Плоская поляризация света имеет место не только при его прохождении
через кристаллы, но и при преломлении и отражении на границе изотропных, диэлектрических сред. В этом случае отраженный и преломленный лучи час-
через кристаллы, но и при преломлении и отражении на границе изотропных, диэлектрических сред. В этом случае отраженный и преломленный лучи час-
Естестбенмъш
Естестбенмъш
Полностью,лоляриг
-зоВанныи 勿《
Полностью,лоляриг
-зоВанныи 勿《
Воздух
Воздух
Рис. 349
Рис. 349
Частично поляризованный %夕
Частично поляризованный %夕
Среда с поназате- IV 90° лвм преломпения I V
Среда с поназате- IV 90° лвм преломпения I V
тично поляризуются во взаимно перпендикулярных плоскостях (у преломленного света электрические колебания совершаются преимущественно в плоскости падения). Степень поляризации зависит от величины угла падения. При некотором определенном угле падения а, (рис. 349) отраженный свет оказывается полностью поляризованным (преломленный свет остается частично поляризованным). Угол а,, называемый углом полной поляризации, связан с относительным показателем преломления отражающей среды п законом Брюстера*
тично поляризуются во взаимно перпендикулярных плоскостях (у преломленного света электрические колебания совершаются преимущественно в плоскости падения). Степень поляризации зависит от величины угла падения. При некотором определенном угле падения а, (рис. 349) отраженный свет оказывается полностью поляризованным (преломленный свет остается частично поляризованным). Угол а,, называемый углом полной поляризации, связан с относительным показателем преломления отражающей среды п законом Брюстера*
(13)(13)tg а〃 =九
(13)
(13)
(при этом отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны).
Отметим, что, например, для стекла а〃 у 57°, а для воды а〃 ^ 53°.
Вращение плоскости колебаний поляризованного света.Поляриметр
Некоторые вещества, называемые оптически активными, поворачивают (вращают) плоскость электрических колебаний поляризованного света, проходящего через них (не изменяя при этом амплитуды колебаний). Это явление называется вращением плоскости поляризованного света. Оно схематически показано на рис. 350. При прохождении поляризованного луча через оптически активное вещество Л плоскость колебаний Q поворачивается вокруг луча на угол 0.
К оптически активным веществам относится ряд твердых тел (кварц, киноварь, сахар и др.) и многие жидкости (скипидар, водный раствор
сахара, никотин, винная кислота и т. д.). Вещества, поворачивающие плоскость колебаний по часовой стрелке (если смотреть навстречу лучу), называются правовращающим и, а вещества, поворачивающие эту плоскость в противоположном направлении,——левовращающими. Многие оптически активные вещества существуют в двух разновидностях —правовращающей и левовращающей.
Вращение плоскости колебаний поляризованного света обусловлено особенностями структуры активных веществ (асимметричным
центра симметрии, ни плоскостицентра симметрии, ни плоскостистроением молекул, не имеющих ни симметрии).
центра симметрии, ни плоскости
центра симметрии, ни плоскости
Угол 6 поворота плоскости колебаний поляризованного света прспорционален толщине / слоя вращающего вещества, через который проходит свет (рис. 350): 0 = а/; в случае раствора этот угол пропорционален еще и концентрации раствора С:
® = а/С.(14)
Коэффициент а, называемый удельным вращением, характеризует вращательную способность вещества (для раствора а равен углу, на который поворачивается плоскость колебания поляризованного света, проходящего через слой раствора единичной толщины и единичной концентрации).
Удельное вращение а зависит от длины волны света 入.Поэтому одно и то же активное вещество поворачивает плоскость колебаний волн различной длины на различные углы. Так, например, слой водного раствора тростникового сахара толщиной в 1 дм при концентрации в 1 г сахара на 1 см3 раствора поворачивает плоскость колебаний красного света (入=0,656 мкм) на 53°, желтого света (入= =0,589 мкм) — на 66,5° и зеленого света (入=0,535 мкм) — на 82°. Этэ явление называется вращательной дисперсией. Обычно © возрастает с уменьшением 入.
На вращении плоскости колебаний поляризованного света основан простой и весьма точный метод определения концентрации растворов оптически активных веществ; сущность его состоит в следующем.
Свет от источника S пропускают через светофильтр F и поляризатор Р, превращая его в монохроматический поляризованный свет (рис. 351). Наблюдая в окуляр О, поворачивают анализатор Д таким о5разом, чтобы свет не проходил через него, т. е., как говорят,《устанавливают анализатор на темноту». Очевидно, что при этом главные плоскости поляризатора и анализатора взаимно перпендику^лярны. Отсчет ©i положения анализатора производят по кругу К, имеющему угловые деления. Затем между поляризатором и анализатором помещают стеклянную трубку R, заполненную исследуемым раствором При этом поле зрения окуляра просветлеет, поскольку раствор повернет плоскость колебаний на некоторый угол 0 и она не будет уже перпендикулярна главной плоскости анализатора. Очевидно, что на
(15)(15)5 ・ 10"4 м • 5 • 10一3 м5 ・ 10"4 м • 5 • 10一3 м1;1;5 м5 м=5 • 10"7 м = 0,5 мкм=5 • 10"7 м = 0,5 мкм
(15)
(15)
5 ・ 10"4 м • 5 • 10一3 м
5 ・ 10"4 м • 5 • 10一3 м
1;
1;
5 м
5 м
=5 • 10"7 м = 0,5 мкм
=5 • 10"7 м = 0,5 мкм
такой же угол следует повернуть анализатор, чтобы вновь установить его на темноту. Выполнив это, снимают отсчет 02 по кругу К и находят угол 0 = ©1 — 02-
Согласно формуле (14),
Из этого соотношения можно определить концентрацию С по измеренным значениям 0 и / и известному для данного активного вещества значению а.
Прибор, служащий для определения концентрации растворов оптически активных веществ, называется поляриметром; на рис. 351 дана его принципиальная схема. Поляриметр, предназначенный для измерения концентрации водных растворов сахара [а = = 66,5- 10'2-К«м2/кр = 66,5 К - см V(r *дм) для желтого света 1, носит название сахариметра^ он широко используется в сахарном производстве и в медицине. ”
Задача 65. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между мнимыми изображениями источника света равно d = 0,5 мм, расстояние до экрана L = =5 м. В зеленом свете на экране получились интерференционные полосы на расстоянии Лх = 5 мм друг от друга. Найти длину волны 入 зеленого света. Решение. Условия задачи соответствуют рис. 312—314 из § 121.
Согласно формуле (6), расстояние между соседними интерференционными полосами А х =入Тогда
Задача 66. На дифракционную решетку нормально падают световые лучи. При повороте зрительной трубы гониометра на некоторый угол 屮 в поле зрения видна линия 入==0,44 мкм в спектре третьего порядка ( п = 3). Будут ли видны под этим же углом какие-либо другие спектральные линии, соответствующие длинам волн лежащим в пределах видимого спектра (от 0,4 мкм до 0,7 мкм)?
Решение. Согласно формуле (8), применимой и к дифракционной решетке (см. § 124), можем написать
d sin 中==пХ =几# А*,
где d — период решетки, пх — порядок спектра, в котором возможлэ существование спектральной линии 入*. Тогда
1,11,1Но, согласно условию, отношение 入/入# заключено в пределах оз 0,44/0,4 до 0,44/0,7 = 0,63, т. е."
1,1
1,1
откуда следует, чтооткуда следует, что0,63 vj < 1,1,
откуда следует, что
откуда следует, что
0,63 V"^~V 1」.или, учитывая, что 勿=3,
1,89 V 九* V 3,3.
Поскольку пх есть целое число, возможны два случая!几*= 2 и пх = 3. Но случай 九*= 3 отпадает, так как и тоже равно 3, а линии, относящиеся к одному порядку спектра, не могут накладываться друг на друга. Следовательно, пх = 2.
п3
Тогда 入*==入®» 0,44 мкм -—«» 0,66 мкм, что соответствует красному пх2
цвету; X = 0,44 мкм соответствует синему цвету (см., например, рис. 304).
Итак, на синюю линию (入 и 0,44 мкм) спектра третьегв порядка накладывается красная линия (入大工 0,66 мкм) спектра второго порядка.
Задача 67. Электронный пучок, падающий на алюминиевую пластинку, дает при отражении дифракционную картину, причем угловое отклонение (от центра этой картины) дифракционного максимума второго порядка а = Г Период кристаллической решетки алюминия (расстояние между атомными плоскостями) d == 0,405 нм. Какова скорость электронов в пучке?
Решение. Задача описывает волновые свойства движущихся электронов (см. § 126).
Длина волны, соответствующая электронам пучка, определится из формулы Вульфа — Брэггов (10):
2d sin 屮
где 〃 и 2 亠 порядок максимума,中 в 90 — а есть угол скольжения пучка (см. § 125).
Согласно формуле де-Бройля (11), h т Л
где т — масса электрона, h *» постоянная Планка. Тогда nh2 • 6,625 • 10*84 Дж • с1
9 ся -，…'，“ —с=я —…-，“”—ii — CS3 1 ,8 • 10® м/с.
2md sin (90° — a) 2 ・ 9,1 ・ lO^] KF . 4 05 . ^0 m・0,9998
Задача 68. Чему равен угол а между главными плоскостями поляр из ато ра и анализатора, если интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор и анализатор, уменьшилась в четыре раза? Поглощением света пренебречь.
Решение. При прохождении света через поляризатор интенсивность света уменьшается вдвое. Поэтому Jq «* /*/2, где /* — интенсивность естественного света, Jo — интенсивность света, прошедшего через поляризатор.
При прохождении света через анализатор интенсивность света уменьшается по закону Малюса (12》
J о J。cos2 af
где / 一 интенсивность света, прошедшего через анализатор. Но, по условию задачи, J = /*/4, поэтому
—/* «» ~«/* СОЕ2»,
42
откуда cos a •=
и « « 45°»
Глава XIX. Квантовые свойства светаи строение атома
§ 130. Тепловое лучеиспускание и лучепоглощение.Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа
Электромагнитное излучение обусловлено, как уже неоднократко отмечалось, колебаниями электрических зарядов, в частности зарядов, входящих в состав атомов и молекул вещества. Так, например, колебательное и вращательное движения молекул и атомов создают инфракрасное излучение, определенные перемещения электронов в атоме создают видимое и ультрафиолетовое излучение, торможение свободных электронов создает рентгеновское излучение и т. д.
Самым распространенным в природе видом электромагнитного излучения является тепловое излучение, или лучеиспускание^ оно совершается за счет энергии теплового движения атомов и молекул вещества, т. е. за счет внутренней энергии вещества, и потому ведет к охлаждению излучающего тела. Лучеиспускание присуще всем телам при любой температуре, отличной от абсолютного нуля. Тепловое излучение имеет сплошной спектр, однако распределение энергии в нем существенно зависит от температуры: при низких температурах тепловое излучение является преимущественно инфракрасным, при высоких температурах — видимым и ультрафиолетовым.
Всякое тело, излучая само, вместе с тем поглощает часть лучистой энергии, испускаемой другими (окружающими) телами; этот процесс называется лучепоглощением. Он ведет к нагреванию данного тела.
Очевидно, что, теряя энергию путем лучеиспускания и в то же время получая энергию путем лучепоглощения, данное тело должно в конце концов прийти в состояние теплового, или лучистого, равновесия, при котором потеря энергии за счет лучеиспускания компенсируется притоком энергии за счет лучепоглощения. Температура, соответствующая этому состоянию, называется температурой лучистого равновесия.
Лучистое равновесие является обычным состоянием тел, предоставленных самим себе.
Для количественной оценки процессов лучеиспускания и луче- поглощения вводятся следующие характеристики.
Полная лучеиспускательная способность тела Е — величина энергии, испускаемой с единицы площади поверхности тела за 1 с; измеряется в Дж/(м2 -с).
Полная лучепоглощательная способность тела А — отношение лучистой энергии, поглощаемой телом, ко всей падающей на него лучистой энергии; очевидно, что А ——безразмерная величина.
Значения Е и Д зависят от природы тела и температуры.
Опыт показывает, что величина энергии, испускаемой (поглощаемой) телом, различна для различных длин волн. В связи с этим вводится понятие спектральной лучеиспускательной (лучепоглощатель- ной) способности.
Спектральной лучеиспускательной способностью тела Е入 называется лучеиспускательная способность, рассчитанная для узкого интервала длин волн А入(от 入——А入/2 до 人斗•△入/2). Аналогичным образом вводится понятие спектральной лучепоглощательной способности
Лучепоглощательная способность всех реальных тел меньше единицы. Так, например, для видимой части спектра лучепоглощательная способность алюминия равна 0,1, меди—0,5, воды—0,67.
Воображаемое тело, поглощающее при любой температуре всю падающую на него лучистую энергию, называется абсолютно черным телом,\ лучепоглощательная способность такого тела для всех длин волн одинакова и равна единице (4入= 4 = 1). Для видимой части спектра телом, близким по своим свойствам к абсолютно черному, является сажа (Л = 0,95).
Практически наиболее совершенным абсолютно черным телом является малое отверстие в стенке замкнутой полости, внутренняя поверхность которой зачернена (рис. 352). Луч, попавший в отверстие, многократно отражается стенками полости и практически не выходит обратно, поскольку при каждом отражении значительная часть его энергии поглощается стенками
Абсолютно черное тело, поглощая падающую на него лучистую энергию, вместе с тем само излучает. Поэтому при низкой температуре полости отверстие в ней кажется черным; если же полость на- грета до высокой температуры, то отверстие представляется ярко светящимся. Примерами практически абсолютно черных тел могут служить зрачок глаза и смотровое отверстие мартеновской печи.
Выясним теперь, как связаны между собой лучеиспускательная и лучепоглощательная способности тела. Представим себе изолированную систему из двух тел, имеющих различную температуру и могущих обмениваться энергией только путем лучеиспускания и лучепогло- щения. Через некоторое время в такой системе установится тепловое равновесие. Обозначим лучеиспускательные и лучепоглощательные способности тел при температуре лучистого равновесия соответствен^ но через Е', Е〃 и 4‘，Ап. Предположим, что первое тело испускает с 1 м2 поверхности за 1 с в и раз больше энергии, чем второе, т. е.
© = %Е〃.
Но тогда оно должно и поглощать в п раз больше энергии, чем второе тело, т. е. должно иметь место равенство
4 = /М〃；
в противном случае первое тело начнет нагреваться (или охлаждаться) за счет второго тела и его температура будет изменяться, что про-
тиворечит условию теплового равновесий.^Из двух последних равенств следует, что
Если изолированная система состоит из многих тел с лучеиспускательными способностями Е\ Е", £"'', ... и лучепоглощательными способностями Л\ А", 4'〃, ... и одно из них является абсолютно черным, то аналогичные рассуждения приведут к следующему выводу:
(1)(1)
(1)
(1)
где & — лучеиспускательная способность абсолютно черного тела (его лучепоглощательная способность равна единице и потому не написана в качестве делителя при g).
Соотношение (1) представляет собой закон Кирхгофа:
для всех тел при данной температуре отношение лучеиспускатель^ ной способности к лучепоглощательной способности есть постоянная величина, равная лучеиспускательной способности абсолютно черного тела при той же температуре.
Этот закон остается справедливым и для спектральных лучеиспускательной и лучепоглощательной способностей тел:
(Г)(Г)以_反一且4 - 4 - "
(Г)
(Г)
Из закона Кирхгофа вытекают три важных следствия.
Лучеиспускательная способность любого тела при данной температуре равна произведению его лучепоглощательной способности на лучеиспускательную способность абсолютно черного тела при той
же температуре:
(2)(2)Е = А&,
(2)
(2)
Е人=4 £人•
Лучеиспускательная способность любого тела меньше лучеиспускательной способности абсолютно черного тела при той же температуре (Е = 4^, но Д<1, следовательно, £<：£).
Если тело не поглощает каких-либо волн, то оно и не испускает их (丛=4入队，поэтому при 力入=0 будет н 以=0).
Соотношения (2) позволяют определять лучеиспускательную способность любого тела, если известна его лучепоглощательная способность А и лучеиспускательная способность абсолютно черного тела 召；значения Д и S определяются опытным путем.
Основным источником нагревания почвы является, как известно, солнечног излучение. Изменяя лучепоглощательную способность поверхности почвы путем покрытия этой поверхности различными красителями, можно в довольно значительных пределах регулировать .температуру теплового равновесия верхнего слоя почвы. Этот прием, широко применяемый в агрономической практике, называют мульчированием. В качестве покрытий, носящих общее название
мульчи, используют молотый мел, торфяной и угольный порошки, битум, нигрозин и т. п.
Очевидно, что для увеличения лучепоглощательной способности почвы (и, следовательно, для повышения температуры почвы) надо применять темную мульчу, а для уменьшения лучепоглощательной способности почвы (и понижения температуры почвы) — светлую мульчу.
Законы излучения абсолютно черного тела. Квантовый характер излучения. Формула Планка
волн А入，в котором определена 敬 *.волн А入，в котором определена 敬 *.Распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела было изучено экспериментально к концу прошлого столетия. В качестве абсолютно черного тела использовалась полость с малым отверстием (см. рис. 352), а также уголь.
волн А入，в котором определена 敬 *.
волн А入，в котором определена 敬 *.
На рис. 353 представлен график распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела при температуре Т = 1259 К. По оси абсцисс отложены длины волн к (в микрометрах); по оси ординат отложены (в усло-
вных единицах) отношения (^х /ДХ) спектральной лучеиспускательной способности абсолютно черного тела £入 к интервалу длины
Таким образом, площадь» ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, представляет собой полную лучеиспускательную способность £ абсолютно черного тела при температуре 1259 К, т. е. величину энергий, испускаемой с единицы площади его поверхности за 1 с (У 飞,• А'=工 £入=£ ) • Из графика следует, что при данной температуре максимум излучения абсолютно черного тела приходится на длину волны km ^2,4 мкм (инфракрасное излучение).
Зависимость полной лучеиспускательной способности 名 от температуры описывается законом Стефана — Больцман^',
полная лучеиспускательная способность абсолютно черного тем пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры:
⑶⑶£ = 0 Tt где о — постоянная Стефана — Больцмана\
⑶
⑶
а = 5,67 • 10-8 Вт • мт • у.
* Отношение 6入/А 入 обычно называют спектральной плотностью энергетической светимости.
** Получен экспериментально в 1879 г. австрийским физиком Стефаном и в некоторой мере теоретически обоснован в 1884 г. Больцманом.
Зависимость длины волны кт от температуры выражается законом Вина*:
длина волны, соответствующая максимуму излучения абсолютно черного те儿а、обратно пропорциональна его абсолютной температуре:
⑷
где b — постоянная Вина\
b = 0,28979 . Ют м - К・
Для иллюстрации законов Стефана — Больцмана и Вина на
рис. 354 показано распределение энергии в спектре излучения угля при различных температурах (спектр излучения угля близбк кспек
тр у излучения абсолютно черного тела). На рисунке видно, что с повышением температуры лучеиспускательная способность возрастает (площадь, заключенная между кривой распределения и осью абсцисс, увеличивается), а длина волны km, соответствующая максимуму излучения, уменьшается (максимум кривой распределения смещается влево).
Наглядным примером, подтвер. ждающим уменьшение km с ростом температуры тела, является изме
нение цвета свечения нагреваемого металла. Сначала металл остается темным (km лежит в инфракрасной области); затем при достаточно высокой температуре появляется красное свечение металла («красное каление»), потом оранжевое, желтое и, наконец, голубовато-белое свечение («белое каление»).
Следует, конечно, иметь в виду, что металл не является абсолютно черным телом. Однако, согласно следствию (2), вытекающему из закона Кирхгофа, характер распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела сохраняется в общих чертах и для не
черных тел.
Из рисунка видно, что при температуре Г = 6000 К максимум излучения приходится на видимый свет (入皿 с0,5 мкм). Отсюда следует, что наиболее выгодный в световом отношении тепловой источник света должен иметь температуру около 6 000 К. Однако и у такого источника световой коэффициент полезного действия (т. е. отношение энергии излучения, приходящейся на видимую часть спектра, ко всей энергии излучения) оказывается малым — порядка 15%, поскольку, как это видно из рисунка, значительная доля энергии излучения приходится на инфракрасные лучи. У современных осветительных электроламп температура нити накала равна приблизи* тельно 3 000 К, что соответствует величине светового коэффициента
Получен в 1893 р. немецким физиком Вином.
полезного действия порядка 3%. Таким образом, электролампа в большей мере греет, чем светит.
На законе Вина основана оптическая пирометрия — метод определения температуры раскаленных тел (металла ——в плавильной печи, газа — в облаке атомного взрыва, поверхности звезд и т. п.) по спектру их излучения. Именно этим методом была впервые определена температура поверхности Солнца. Максимум энергии солнечного излучения приходится на видимый свет длиной волны km = = 0,47 мкм. Следовательно, согласно закону Вина, абсолютная температура поверхности Солнца
'т'т0,28980,47 • 10-40,28980,47 • 10-4К ^6160K.К ^6160K.
'т
'т
0,2898
0,47 • 10-4
0,2898
0,47 • 10-4
К ^6160K.
К ^6160K.
Таким образом, верхняя кривая распределения (см. рис. 354) приблизительно соответствует распределению энергии в спектре солнечного излучения.
Для нашей планеты Солнце является основным и чрезвычайно мощным источником лучистой энергии. На верхней границе земной атмосферы интенсивность солнечного излучения составляет около 8,4 х X 104 Дж/(м2 • мин); эта величина называется солнечной постоянной. На земной поверхности интенсивность солнечного излучения в среднем на 25% меньше (вследствие поглощения в атмосфере).
Законы Стефана——Больцмана и Вина являются частными законами излучения абсолютно черного тела: они не дают общей картины распределения энергии по длинам волн при различных температурах. В конце прошлого века был предпринят ряд попыток теоретически установить закон распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, т. е. получить формулу, выражающую спектральную лучеиспускательную способность 惠入 этого тела как функцию длины волны 入 и абсолютной температуры Т:
孔=〃入，Т)・ (5)
Однако эти попытки приводили к результатам, противоречащим опыту. Лишь в 1900 г. немецкий физик Планк, нашел вид функции (5). Для этого ему пришлось отказаться от установившегося в физике представления об электромагнитном излучении как о непрерывной электромагнитной волне, могущей иметь любую частоту и в соответствии с этим переносить любые количества энергии. Планк высказал чрезвычайно смелую гипотезу, согласно которой электромагнитная энергия может излучаться и распространяться только вполне определен- ными (для данной излучающей системы) отдельными порциями е, или квантами, Таким образом, можно сказать (пользуясь понятиями классической физики), что электромагнитные волны переносят энергию только в количествах, кратных величине кванта энергии е;
количество переносимой энергии может быть равным е или 2е, или Зе, или вообще не (где 几= 1, 2, 3, ...), но не может быть равным дробному числу квантов, например Зе/4 или 9е/5.
Величина кванта энергии пропорциональна частоте излучения (обратно пропорциональна длине волны 入)：
е = Av == ft -~-,(6)
где с — скорость света в вакууме, h = 6,625 • 1034 Дж • с — постоянная Планка, или квант действия^. По формуле (6) можно вычислить величину кванта энергии для излучения любой длины волны. Например, для зеленого света (X = 0,555 мкм) получим
о 厄 6,625 7 0-34 . 3 ・ 108
е = 丁 = —~^「т Дж = 3,6 • 10~1а Дж.
В таблице приведены значения квантов энергии для некоторых длин волн, соответствующих различным видам электромагнитного излучения.
Вид нзлученма
Длина волны
Частота (Гц)
Величина кванта (Дж)
Радиоволны
103 М е= 1 км
3.10й
2・10-28
10° М =□ 1 М
3・108
2・g5
Видимый свет
5,6• Ют м = 0,56 мкм
5,4/84
3610R
Рентгеновские лучи ・.
м ■ 1 Нм
3-1017
2 ・ 10F
Гамма-излучение ....
10"12 м = 1 им
3-1020
2・ 10-1Я
Из таблицы видно, что при больших длинах волн величина кванта крайне мала. Поэтому в общем потоке энергии, исходящем от длинноволнового излучателя (например, макрос коп ичес кого генератора радиоволн), отдельный квант энергии совершенно незаметен, в связи с чем прерывистость излучения энергии не обнаруживается. В коротковолновом излучении величина кванта энергии сравнительно большая. Благодаря этому в потоке энергии, исходящем от коротковолновых микроизлучателей (атомов и молекул), отдельные кванты энергии становятся заметными, обнаруживая тем самым прерывистость (квантовый характер) излучения.
Процесс поглощения электромагнитной энергии веществами так* же носит прерывистый (квантовый) характер.
Таким образом, между процессами, совершающимися в макро- и микромире, существует не только количественное, но и качественное различие. Поэтому законы классической физики, полученные из наблюдений нал макрообъектами, не могут или, точнее говоря, не всегда могут быть пригодны для описания процессов, совершающихся в микрообъектах. Именно этим была обусловлена бесплодность по-
пыток теоретически вывести закон распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, исходя из понятий классической физики.
На основе представлений о квантовом характере теплового излучения Планк получил следующее выражение спектральной лучеиспускательной способности абсолютного черного тела:
2 ithc2
где 入一длина волны, Т — абсолютная температура, с — скорость света в вакууме, А — постоянная Больцмана, е — основание натуральных логарифмов.
Формула Планка (7) находится в полном соответствии с опытными данными. Из этой формулы получаются как следствия законы Стефана —Больцмана и Вина.
На основе теории Планка Эйнштейн в 1905 г. создал квантовую {фотонную) теорию света, а Бор в 1913 г. разработал квантовую теорию строения атома.
Отметим, что квантование энергии свойственно не только электромагнитному излучению, но и многим другим физическим процессам. Так, например, квантованием энергии колебательных и вращательных движений атомов и молекул объясняется зависимость теплоемкости многоатомных гатов от температуры, наблюдаемая при высоких температурах (см § 44)
Квантовые свойства света обусловлены особенностями структуры микроскопических излучателей света — атомов и молекул. В связи с этим дальнейшему ознакомлению с квантовыми свойствами света целесообразно предпослать основные сведения о строении атома.
Строение*атома (ядерная модель). Дискретностьэнергетических состояний атома. Постулаты Вора
К началу XX в. было с полной достоверностью установлено, что в состав каждого атома входят электроны. Вместе с тем было известно, что атом в целом электронейтрален. Отсюда следовало, что отрицательный заряд электронов должен компенсироваться положительным зарядом каких-то других частиц, также входящих в состав атома.
В 1911 г. английский физик Резерфорд предложил ядерную (планетарную) модель строения атома. Согласно этой модели, весь положительный заряд и почти вся масса (>99,94%) атома сосредоточены в атомном ядре, размер которого ничтожно мал (порядка 10"х 3 см) по сравнению с размером атома (10~8 см). Вокруг ядра по замкнутым (эллиптическим) орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Заряд ядра равен по абсолютной величине суммарному заряду электронов.
Таким образом, атом в целом является чрезвычайно «ажурным» микрообразованием: совокупностью небольшого числа очень малых частиц вещества (ядра и электронов), распределенных в сравнительно очень большом объеме.
Предположение о вращении электронов вокруг ядра Резерфорд сделал в связи с тем, что, согласно теореме Ирншоу (см. § 79), атом в виде статической системы не может быть устойчивым.
Что касается предположения о наличии в центре атома одного
массивного, но весьма малого ядра, то Резерфорд доказал это экспериментально на опытах с рассеянием альфа-частиц, проходящих через вещество. Альфа-частицы, испускаемые радиоактивными элементами, движутся со скоростью порядка 104 км/с, имеют положительный заряд, равный двум элементарным зарядам, и массу, в 7350 раз боль
шую массы электрона (см. § 139).
Схема опытов Резерфорда показана на рис. 355; а-частицы, испускаемые радиоактивным веществом, двигались в вакууме и, проходя через фольгу 尸(толщиной около 1 мкм), падали на люми- несцирующий экран Q. Удар каждой а-частицы об экран вызывал кратковременную вспышку —сцин・ тил几я^ию琛, наблюдаемую в ми
кроскоп.
Наблюдения показали, что большинство а-частиц проходит сквозь фольгу без заметного отклонения от первоначального направления, некоторые частицы отклоняются на небольшой угол и лишь немногие сильное отклонение.
Рис. 356Рис. 356Естественно предположить, что отклонение а-частиц вызвано их взаимодействием («столкновением») с массивными атомными ядрами (рис. 356), поскольку легкие электроны не могут существенно изменить движение сравнительно тяжелых и очень быстрых а- частиц.
Рис. 356
Рис. 356
Из того факта, что значительное отклонение испытывают только немногие а-частицы, следует, что лишь некоторые из них проходят вблизи ядер; а это в свою очередь означает, что атомные ядра имеют малый размер и расположены в веществе фольги на
очень больших расстояниях друг от друга.
Полагая, что ядро и а-частица вз аимодейству ют (отталкиваются) по закону Кулона, Резерфорд теоретически рассчитал картину рассеяния а-частиц, получив результат, хорошо согласующийся с опытными данными.
Исследования Резерфорда позволили определить порядок размера ядра (10~13 см) и величину его заряда. При этом оказалось, что заряд q ядра, выраженный в элементарных зарядах % равен порядковому номеру Z химического элемента в периодической системе Менделеева:
g = eZ
От латинекого слова scintillatio — сверкание, искрение.
и вместе с тем равен числу электронов в электронной оболочке атома.
Однако резерфордовская модель строения атома не укладывалась в рамки законов классической физики. В самом деле, согласно законам классической электродинамики, электрон, вращаясь вокруг ядра (т. е. двигаясь с ускорением), должен непрерывно излучать электромагнитные волны, частота которых равна частоте вращения электрона. Так как это излучение сопровождается непрерывной потерей энергии, то электрон должен постепенно приближаться к ядру, двигаясь по спирали, и в конце концов упасть на ядро. По мере приближения электрона к ядру частота вращения электрона, а вместе с ней и частота электромагнитного излучения должны непрерывно изменяться. Следовательно, атом должен давать сплошной спектр излучения.
Таким образом, с точки зрения классической физики атом оказывается неустойчивой (недолговечной) системой, дающей сплошной спектр излучения. Между тем и то и другое противоречит опыту. В действительности атомы представляют собой весьма устойчивые образования, характеризующиеся линейчатым спектром излучения.
Тщательные исследования спектров излучения различных разреженных газов (т. е. спектров излучения атомов) показали, что каждому газу присущ вполне определенный линейчатый спектр. Более того, обнаружилось, что спектральные линии можно распределить по группам (сериям)', линии, принадлежащие к одной серии, связаны между собой определенной закономерностью. Так, например, в видимой части спектра излучения водорода Бальмер обнаружил серию линий, частота которых выражается эмпирической формулой
y =тУ⑻
\ 22 出/
где 几=3, 4, 5, ..., R — постоянная Ридберга^, равная 3,28985х Х1О1& с!
К=&656мкм 宀万・川勿К=&656мкм 宀万・川勿0,Ш〃434 0^10
К=&656мкм 宀万・川勿
К=&656мкм 宀万・川勿
Инфра- [КраснаяВ и димыйИнфра- [КраснаяВ и димыйРис. 357Рис. 3575,21 严 5ig^7^
Инфра- [Красная
В и димый
Инфра- [Красная
В и димый
Рис. 357
Рис. 357
Серия Бальмера схематически представлена на рис. 357. Над спектральными линиями проставлены соответствующие им значения длин волн 入 и частот v, вычисленные по формуле (8). Первая слева линия "а имеет ярко-красный цвет; в формуле Бальмера ей соответствует п = 3. Линия 方° — голубая (и = 4), линия Н、— синяя (п =
Сериальная формула полученная в 1885 г. швейцарским физиком Баль мером, имела несколько иной вид. К данному виду (8) ее привел шведский фи зик Ридберг,
= 5) и линия "в ——фиолетовая (п = 6). Остальные линии этой серии лежат в у льтр афиолето во й части спектра.
В спектре водорода имеется еще несколько серий, в частности серия, открытая в 1906 г. английским физиком Лайманом в ультрафиолетовой части спектра, и серия, открытая в 1908 г. немецким физиком Пашеном в инфракрасной части спектра. Серия Лаймана описывается формулой
(9)
где п = 2, 3, 4, ..., а серия Пашена — формулой
з-占卜0。)
где и = 4, 5, 6, ... Все сериальные эмпирические формулы имеют одинаковую структуру; причина этого сходства выяснена в следующем параграфе.
Линейчатый характер спектров излучения (и поглощения) атомов говорит о том, что атом может излучать (и поглощать) энергию не в любых количествах (отличающихся друг от друга на сколь угодно малую величину), а только вполне определенными порциями ——квантами. Отсюда следует, что атом может находиться лишь в определенных (дискретных) энергетических состояниях} переходя из одного состояния в другое, он излучает (или поглощает) квант энергии, равный разности энергий начального и конечного состояний (т. е. до излучения и после него).
Исходя из представления о дискретности энергетических состояний атома датский физик Н, Бор в 1913 г. усовершенствовал атомную модель Резерфорда, создав квантовую теорию строения атома. В ее основу положены следующие три постулата (постулаты Бора):
Электроны могут двигаться в атоме не по любым орбитам, а только мо орбитам вполне определенного радиуса.
На этих орбитах, называемых стационарными, или устойчивыми, момент количества движения электрона кратен величине Л/2л:
тог = п-у— ,(11)
где т — масса электрона, и—его скорость; г—радиус орбиты; п — целое число, называемое квантовым (〃 = 1, 2, 3, ...); Л — постоянная Планка. Очевидно, что формула (11) является условием квантования радиуса орбит,
Движение электронов по стационарным орбитам не сопровожу дается излучением (поглощением} энергии.
Переход электрона с одной стационарной орбиты на другую сопровождается излучением (или поглощением) кванта энергии.
Величина hv этого кванта равна разности энергии (丸 и 步2) стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения):
加=% —%.(12)
Соотношение (12) называется условием частот.
Таким образом, частота электромагнитных волн, излучаемых атомом, определяется не частотой вращения электронов в атоме, а разностью энергии стационарных состояний атома.
Постулаты Бора, сохранив в основном модель атома Резерфорда, вместе с тем освободили ее от упомянутых ранее двух недостатков (противоречий опыту).
В настоящее время постулатам Бора придается более общая формулировка: атом устойчив только в состояниях, соответствующих определенным значениям энергии (取 1,取2，呼3，•♦•)； переход атома из одного устойчивого состояния в другое сопровождается излучением или поглощением кванта энергии, величина которого определяется условием частот (12).
§ 133. Квантовая теория строения атома водорода (по Бору).Объяснение спектров излучения и поглощения водорода
В атоме водорода вокруг ядра (протона), несущего один элементарный заряд е, движется один электрон. Ядро можно считать неподвижным, поскольку его масса в 1840 раз больше массы электрона; орбиты электрона можно (в первом приближении) полагать круговыми.
Очевидно, что центр остр ем ител ь ной силой, удерживающей электрон на орбите радиусом г, является кулоновская сила притяжения между электроном и ядром:
(13)
где т — масса электрона, и — его скорость, % = 8,85 • 10^12 Ф/м — электрическая постоянная.
Решая уравнение (13) совместно с уравнением (11), получим после простых преобразований выражение радиуса стационарных орбит атома водорода
% 2 気加决% 2 気加决(14)(14)
% 2 気加决
% 2 気加决
(14)
(14)
где квантовое число и имеет значения 1, 2, 3, ... . По формуле (14) можно рассчитать радиус любой стационарной орбиты. Так, например, радиус ближайшей к ядру орбиты (几=1) равен
公；0,53 • 10~10м = 53 пм.公；0,53 • 10~10м = 53 пм.(6,625 • 10-34 д^ • с)2 • 8,85 • 10-12 ①/М3,14 • (1,6 • 1079 к〃)2 . 9,1 • 10-31 кг
公；0,53 • 10~10м = 53 пм.
公；0,53 • 10~10м = 53 пм.
В правой части уравнения (14) все величины, кроме 拉，являются постоянными. Следовательно, радиусы стационарных орбит относятся между собой как квадраты чисел натурального ряда, т. е. как 1 : 4 : 9 : 16 и т. д.
Орбиты водородного атома, рассчитанные по формуле (14), изображены на рис. 358; выраженные в пикометрах значения радиуса
358358орбит равны: п = 53, гг = 212, % = =477, г4 = 848; "=1325 и гв=1908 пм (орбиты большого радиуса вычерчены неполностью).
358
358
Определим теперь полную энергию W электрона в атоме. Она слагается из кинетической энергии WK поступательного движения электрона по орбите и потенциальной энергии I丿口 притяжения электрона к ядру.
(15)(15)Учитывая формулу (13), получим
(15)
(15)
Что касается гии электрона, тоЧто касается гии электрона, топотенциальной энер- она должна быть от
Что касается гии электрона, то
Что касается гии электрона, то
рицательна и равна
叭=岸一(16)
[согласно расчету потенциальной энергии системы двух разноименных зарядов, который был выполнен в § 78, формула (20) ]. Поэтому
展叭十叭=(17)
т. е. полная энергия электрона оказывается отрицательной и равной по абсолютной величине его кинетической энергии.
Подставляя в формулу (17) выражение радиуса (14), получим
По этой формуле можно рассчитать энергию электрона для любой стационарной орбиты. Так, например, для ближайшей к ядру орбиты (〃 =1) получим
19,1 • IO® кг •(1,6 • IO” кл”
W := 一・""|- • …-
I2 8 • (6,625 ・ 10-34 д* •炉(8,85 • 10~12Ф/м)2
^ -21,68 • [Of Дж = - 13,55зВ.
Величина полной энергии электрона, находящегося на стацио- парной орбите, называется уровнем энергии атома (или энергетическим уровнем). На рис. 359 схематически изображены уровни энергии водородного атома, рассчитанные по формуле (18); здесь же указаны соответствующие им значения энергии в электронвольтах (1 эВ = 1,6 ・ 10R Дж).
Согласно формуле (18), энергия атома возрастает с увеличением квантового числа и, или, что то же, с увеличением радиуса электронной орбитьь. Здесь надо учитывать, что энергия W отрицательно поэтому уменьшение ее абсолютной величины соответствует возрастанию энергии. Минимумом энергии (取=—13,55 эВ) атом обладает при движении электрона по ближайшей к ядру орбите (п = 1), а максимумом энергии (W = 0)——при движении электрона по самой дальней орбите (и == оо).
СерияПашенаСерияПашенаСериябальпераСериябальперап 匸16!^ 乃 orcs'。％ 37 0 二二= = == =―-п 匸16!^ 乃 orcs'。％ 37 0 二二= = == =―-
СерияПашена
СерияПашена
Сериябальпера
Сериябальпера
п 匸16
!^ 乃 orcs'。％ 37 0 二二
= = == =―-
п 匸16
!^ 乃 orcs'。％ 37 0 二二
= = == =―-
СерияСерияНайманаНаймана孑J7rи—WE,5536
Серия
Серия
Наймана
Наймана
Нормальный'
уровень
Рис. 359
При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую (ближнюю к ядру) орбиту излучается квант энергии, равный разности энергетических уровней атома до излучения и после него. Так, например, переход электрона со второй орбиты (п = 2) на первую (и = 1) сопровождается излучением кванта 九丫2fl = ——3,38 —— —(— 13,55) = + 10,17 эВ, а переход электрона с третьей орбиты (п = 3) на вторую (м = 2) сопровождается излучением кванта 也丫3一2 = =——1,50 — (— 3,38) = 1,88 эВ. Этим излучениям соответствуют следующие значения частот (длин волн):
丄0ML ^ 2,46 - 101ь(Гц)(也产 0,122 мкм),
&2 =丄將％，广 冗 4,55 - 1014 (Гц) (к °‘659 мкм).
Самопроизвольный переход электрона на более далекую орбиту т. е. самопроизвольный переход атома на более высокий энергетический уровень невозможен. Для осуществления такого перехода необходимо сообщить атому определенное количество энергии извне, т. е. возбудить атом. Так, например, переход электрона о первой стационарной орбиты на вторую совершается при поглощении атомом кванта, равного Ю,17 эВ. а переход электрона со второй орбиты на третью — поглощением кванта, равного 1,88 эВ.
Таким образом, атом может излучать и поглощать волны только вполне определенных частот (длин), чем и обусловлен линейчатый характер водородного спектра.
Нормальным состоянием атома является такое, при котором электрон движется по самой близкой к ядру орбите (九 —1). В этом случае атом не может излучать, поскольку электрон не имеет возможности перейти g этой орбиты еще ближе к ядру. Энергетический уровень Ц7 == — 13.55 эВ, соответствующий нормальному состоянию атома, называется нормальным уровнем', все остальные уровни называются возбужденными.
Выведем теперь общую формулу частоты v излучения атома. Для этого подставим выражение энергии (18) в условие частот (12):
где 〃口刃一квантовое число и энергия, еоответггвуютие начать» ному состоянию атома (до излучения), а % я 呼° - те же характерна* тики конечного состояния атома (после излучения). Величина постоянного множителя, стоящего в правой части формулы (19), оказывается равной постоянной Ридберга:
в чем легко убедиться, подставляя в формулу (20) чиеленные значения универсальных постоянных (/и,鼠 й). Тогда формула (19) примет вид
* В спектроскопических исследованиях для характеристикв линий за частую пользуются не частотой излучения м а так называемым волновым чис
лом — в"5Г‘ где о — скорость света в пустоте,入 — длина волны. В 9ToM случае формула (21) сохраняет свой вид, но постоянная Ридберга приобретает иное значение!
R'宀等説"…
Сопоставление формулы (21) в эмпирическими сериальными формулами (8), (9) и (10) показывает, что они являются частными случаями формулы (21). В самом деле, при 仆=1 н 〃 = 2, 3, 4,…формула (21) дает серию Лаймана, при %= 2 н 九=3, 4, 5,..・—серию Бальмера, при /г。= 3 и 九 в 4, 5, 6, ... — серию Пашена.
Следовательно, спектральные линии серии Лаймана соответствуют излучению атома водорода при пецеходе электрона со второй, третьей, четвертой и т. д. орбит на первую; линии серии Бальмера соответствуют излучению при переходе электрона с третьей, четвертой, пятой и т. д. орбит на вторую; линии серии Пашена соответствуют излучению при переходе электрона в четвертой, пятой, шестой и т. д. орбит на третью. .
Так как газ состоит из множества различно возбужденных атомов, то в нем одновременно совершаются все возможные типы переходов электрона. Поэтому в спектре излучения водорода одновременно представлены линии всех серий (при том, конечно, условии, что атомы все время возбуждаются посредством какого-либо внешнего источника энергии).
Образование спектральных серий Лаймана, Бальмера и Пашена схематически показано на рис. 358 и 359.
Отметим, что в каждой серии расстояние между спектральными линиями постепенно уменьшается в сторону коротких волн и в конце концов линии практически сливаются (см., например, рис. 357). Таким образом, каждая серия оказывается ограниченной со стороны коротких волн. Эта граница называется головой серии; ее частота определяется по формуле (21) при 〃 = 8 что соответствует падению свободного электрона на одну из стационарных орбит водородного иона (протона).
Рассмотренная теория строения атома водорода применима и к водородоподобным атомам, т. е. к ионизированным атомам, содержащим только один электрон (например, к ионам Не+, Li++, Ве+++) Однако в этом случае при выводе формул следует полагать заряд ядра равным не е, a eZ (где Z — атомный номер элемента).
Применительно к водородоподобным атомам спектральная формула Бора (21) примет вид
"=心(±-3). (22)
Квантовая теория Бора сыграла важную роль в развитии физики. Количественно объяснив строение атома водорода и сложную структуру водородного спектра, она наметила правильный подход к изучению внутриатомных процессов. Правда, непосредственное использование теории Бора (в том виде, в каком она изложена ранее) для расчета спектров многоэлектронных атомов оказалось не-
возможным. Понадобилось дальнейшее развитие этой теории, завершившееся созданием современной квантовой механики, количественно объясняющей все особенности строения и свойств атомов и молекул.
Тем не менее теория Бора дает возможность качественно (и притом весьма наглядно) объяснить общие черты строения многоэлектронных атомов и их спектров, в,частности дает возможность обосновать закономерности расположения химических элементов в периодической системе Менделеева.
Ограниченность квантовой теории Бора обусловлена тем, что она не вполне последовательна в своих построениях: базируясь на квантовых исходных положениях (постулатах), она пользуется законами классической механики для описания движения электронов в атоме (в этом смысле ее можно было бы назвать «полуквантовой» теорией).
Между тем электрон в атоме уже не является обычной (классической) частицей, в чем легко убедиться, применив к этому электрону принцип Гейзенберга (см. § 20). Так как скорость электрона в атоме имеет порядок 10е м/с, то неточность в ее определении по крайней мере не должна превышать величины самой скорости, т. е. максимально допускаемая неточность А。= 10е м/с. Тогда, согласно соотношению неопределенностей (принципу Гейзенберга), неточность в определении координаты
九6,625 • 10-34
Д% ==;—■— ^ 10To (m) = 10-8 см.
2кт • Ad 2 • 3,14 • 9,1 • IO』.Юб
Ho IO— см есть размер самого атома. Следовательно, понятие местоположения электрона в атоме теряет смысл. Лишаются содержания и такие классические понятия, как траектория электрона в атоме и перемещение при его переходе с одной орбиты на другую (т. е. из одного энергетического состояния в другое). Итак, действительно, атомный электрон не является обычной частицей (в классическом смысле этого слова).
В связи с этим современная квантовая механика не устанавливает точного положения электронов в объеме атома, а рассматривает лишь вероятность нахождения электрона в том или ином месте объема. Это значит, что с точки зрения квантовой механики заряд электрона не сосредоточен в том месте, где в данный момент находится электрон, а распределен («размазан») по всему объему атома, образуя электронное облако переменной плотности. Плотность электронного облака в любой точке объема атома пропорциональна вероятности нахождения электрона в этой точке.
В современной квантовой механике состояние движения электронов в атоме характеризуется не одним, а четырьмя квантовыми числами (главным, побочным, магнитным и спиновым).
Главное квантовое число 〃 принимает только целочисленные значения от 1 до оо.
Побочное (или орбитальное) квантовое число / принимает целочисленные значения от 0 до 九一1 (всего п значений).
Магнитное квантовое число mi принимает целочисленные значения от — £ до + /, включая 0 (всего 2/ + 1 значений).
Спиновое квантовое число ms может иметь только два полуцелых значения + 1/2 и — 1/2.
Совокупность электронов, характеризующихся одним и тем же значением главного квантового числа (п), образует электронный слой, или энергетический уровень атома.
Совокупность электронов с одним и тем же значением побочного квантового числа (/) образует подгруппу, или энергетический подуровень. Электроны дан-
но го подуровня несколько различаются между собой величиной энергии, обладая различными значениями магнитного g) или спинового (т5) квантовых чисел. Таким образом, квантовые числа определяют возможные значения энергий электронов в атоме, т. е. возможные энергетические состояния атома.
Распределение электронов в атоме по энергетическим уровням и подуровням (т. е. по значениям квантовых чисел) осуществляется на основе следующих двух принципов:
принципа Паули , согласно которому
в атоме не может быть электронов, характеризующихся одинаковой комбинацией значений квантовых чисел\ иначе говоря, 6 атоме состояния всех электронов различны}
принциЪа минимума энергии:
распределение электронов в атоме соответствует минимуму энергии атома
Учитывая принцип Паули, можно найти максимальное число электронов в любом электронном слое атома. Так как mi имеет (2/ + 1) значений, а при каждом т/ величина ms принимает два значения, то число электронов с данными 九 и / равно 2(2/ + 1). При данном п величина / принимает 几 значений от 0 до (п— 1). Поэтому максимальное число электронов, характеризующееся данным значением п, т. е. максимально возможное число электронов в данном слое, равно (в соответствии с формулой суммы членов арифметической прогрессии)
2 ⑵ + 1) = 2 • - L 2—"工•丄• л = 2na.
Устанавливаемые квантовой механикой закономерности внутриатомных процессов с исключительной точностью подтверждаются опытными данными, однако она уже не обладает той наглядностью и простотой, которые (с позиции привычных представлений) присущи теории Бора.
§ 134. Понятие о строении многоэлектронных атомови образовании оптических и рентгеновских (характеристических)спектров
Теоретические и экспериментальные исследования в частности изучение атомных спектров, показали, что, подобно атому водорода, многоэлектронные атомы обладают дискретными энергетическими уровнями. Дискретность уровней обусловлена главным образом наличием в атоме ряда электронных слоев с определенными значениями радиуса. Каждый электронный слой можно схематически представить как совокупность стационарных эллиптических орбит. Причем орбиты принадлежащие одному электронному слою, в некоторой (небольшой) мере различаются между собой либо эксцентриситетомt
либо ориентацией в пространстве. Поэтому даже электроны, которые находятся в одном электронном слое, отличаются друг от друга своим состоянием: они движутся по различным стационарным орбитам. По одной же орбите может двигаться не более двух электронов, которые в этом случае различаются направлением собственного момента количества движения (спина). Таким образом,
6 одном атоме не может быть двух или нескольких электронов с тождественным состоянием движения (принцип Паули).
На рис. 360 дана примерная схема одного электронного слоя; точками изображены электроны, движущиеся по четырем стационарным орбитам, образующим этот слой.
Рис. 361Рис. 361
Рис. 361
Рис. 361
Электронные слои принято обозначать (начиная с ближайшего к ядру слоя) буквами ^, L, М, N, О и т. д. (в порядке латинского алфавита). На рис. 361 представлена схема электронных слоев атома (без соблюдения их относительного расстояния от ядра).
Наибольшее количество m электронов, которое может находиться в одном слое, определяется квантовым соотношением (см. § 133):
т = 2* (23)
где % — главное квантовое число, являющееся вместе с тем номером слоя (п = 1, 2, 3, ...). Таким образом, в /<-слое (и = 1) может находиться максимум 2 электрона, в L-слое (% = 2) — 8 электронов, 7И-слое (% = 3) — 18 электронов и т. д. Общее число электронов в атоме равно заряду ядра, выраженному в элементарных зарядах.
У невозбужденного атома электроны заполняют ближайшие к ядру слои, что соответствует минимуму энергии атома.
На рис. 362 схематически изображены атомы химических элементов, составляющих первые три периода системы Менделеева (см. вклейку на обложке). Электроны показаны точками; относительные расстояния между электронными слоями не соблюдены.
Вообще говоря, диаметр слоев у различных атомов различен. По мере увеличения заряда ядра диаметр внутренних слоев уменьшается (они как бы «подтягиваются» к ядру). Что касается наружного слоя, то благодаря экранирующему- действию внутренних слоев его диаметр изменяется незначительно. Поэтому размеры различных атомов оказываются приблизительно одинаковыми (порядка 10-8 см).
Следует подчеркнуть, что приведенная схема является весьма грубой; мы пользуемся ею исключительно в целях наглядности.
На схеме видно, как происходит заполнение электронных слоев по мере увеличения заряда ядра. У атомов, относящихся к первому периоду системы Менделеева (Я и Не), электроны находятся только в К-слое, причем у гелия этот слой уже заполнен. У атомов, относящихся ко второму периоду, заполнен К-слой и имеются электроны в L-слое, заполнение которого завершается у неона. У атомов, относящихся к третьему периоду, заполнены слои К и L н имеются электроны в М-слое, заполнение которого завершается у аргона.
Группы
Начиная с четвертого периода системы Менделеева порядок заполнения слоев усложняется. На некоторых участках системы новый слой начинает заполняться раньше, чем завершилось заполнение предыдущего слоя; на других участках, наоборот, происходит заполнение незаконченных внутренних слоев, а число электронов в наружном слое остается неизменным.
Эти《аномалии》в порядке заполнения слоев имеют место у атомов с большим количеством электронов. Они обусловлены взаимодействием электронов, делающим такие аномалии энергетически более «выгодными», т. е. соответствующими минимуму энергии атома.
Нетрудно заметить, что общее число электронов в атоме химического элемента (а следовательно, 〃 заряд ядра) равно порядковому (атом- ному) номеру элемента в системе Менделеева, число электронных слоев равно номеру периода, к которому относится элемент, а число электронов во внешнем слое равно номеру группы, занимаемой элементом в этой системе.
Известно, что все элементы, относящиеся к одной группе системы Менделеева (например, Н, Li, Na, К, Pb, Cs), обладают сходными химическими свойствами. Вместе с тем атомы всех этих элементов имеют во внешнем слое одинаковое число электронов, называемых валент- ными. Следовательно, периодичность химических свойств атомов, установленная Менделеевым, вызвана особенностью строения атомов', периодическим повторением числа валентных электронов.
Активная роль валентных электронов при химических реакциях обусловлена следующей причиной. Валентные электроны сравнитель-
но слабо связаны с ядром, так как они наиболее удалены от него и, кроме того, экранированы внутренними электронными слоями. Энергия, поглощаемая или выделяемая при химических реакциях, не превышает нескольких электронвольт. Такое количество энергии оказывается достаточным только для перемещения (перераспределения) валентных электронов; для перемещения внутренних электронов (связанных с ядром значительно сильнее) оно является слишком малым.
Как и у атома водорода, возникновение спектров излучения многоэлектронных атомов обусловлено переходами электронов из одного электронного слоя в другой, расположенный ближе к ядру. Само собой разумеется, что предварительно атом должен быть возбужден.
Если энергия возбуждения невелика (порядка 10 эВ), то возбуждаются только внешние энергетические уровни атома, т. е. имеют место только переходы внешних электронов (из валентного и соседнего с ним слоя) в более далекие электронные слои (не заполненные электронами). Через малый промежуток времени (порядка 10'8 с) эти электроны возвращаются
в исходные слои. При этом испускаются небольшие кванты энергии, частоты которых соответствуют оптическому спектру (спектру видимого света и части инфракрасного и ультрафиолетового излучения).
На рис. 363 схематически показан процесс оптического излучения возбужденного атома, у которого слои К. L w М целиком заполнены, а два валентных электрона переведены из ^-cлoя в следующие слои (О и Р). При обратном переходе этих электронов в ^-cлoй излучаются кванты с частотами у〃-& byo-n Vv°fN・ Излучения изображены волнистыми линиями.
Атомы, относящиеся к одной группе периодической системы, имеют сходные оптические спектры, что подтверждает основную роль валентных электронов в образовании оптического спектра.
Оптический спектр молекулы резко отличается от оптических спектров атомов, входящих в данную молекулу. Это объясняется тем, что при образовании молекулы изменяются («обобществл я юте я») валентные слои атомов, т. е. именно те слои, которые ответственны за возникновение оптических спектров.
Для того чтобы вызвать перемещение электронов, находящихся во внутренних слоях атома, необходима большая энергия возбуждения, порядка 104——105 эВ. Это обусловлено, во-первых, сильной связью внутренних электронов с ядром и, во-вторых, тем, что внутренние слои целиком заполнены (поэтому внутренние электроны можно перевести только на периферию атома). Через малый промежуток времени — порядка 10~8 с — на «вакантное место», освобо-
лившееся во внутреннем электронном слое, перейдет электрон из соседнего внутреннего слоя или с периферии атома. Этот процесс сопровождается испусканием большого кванта энергии; его частота соответствует характеристическому (рентгеновскому) излучению.
Возникновение некоторых серий характеристического излучения схематически показано на рис. 364. Самой жесткой (высокочастотной) является К-серия. Она возникает при электронных переходах L->К (линия! Ка)，М—К (линия Кв), Nf К (линия KJ и т. д., которым соответствуют частоты:
Vj К = Й ，^Mf к — Й ，、NfK = а
и т. д. (где h ——постоянная Планка, а 刃殁, Wl , ^м и UZ^—значения энергии электрона в слоях К, L, М и N), В пределах этой серии наиболее мягкой (имеющей наименьшую частоту) является линия Ка а наиболее жесткой —— линия, соответствующая непосредственному, переходу свободного электрона в К-слой (не показана на рисунке).
Наряду с К-серией возникают и более мягкие рентгеновские серии: L-серия, Ad- серия и т. д.
Жесткость рентгеновского излучения возрастает по мере увеличения заряда атомного ядра, т. е. по мере увеличения атомного номера элемента.
В 1913 г. английский физик Мозли
Рис. 364Рис. 364экспериментально установил, что
Рис. 364
Рис. 364
корень квадратный из частоты v, соответствующей данной линии характеристического рентгеновского излучения, является линейной функцией атомного номера Z элемента'.
Му = aZ — b,
где 〃 и b —— постоянные величины. Это соотношение называется законом Мозли.
Объединение атомов в молекулу не затрагивает внутренних электронных слоев атома, ответственных за возникновение рентгеновского спектра. Поэтому характеристический спектр молекулы представляет собой совокупность характеристических спектров атомов, образующих данную молекулу.
§ 135. Люминесценция, Законы фотолюминесценциии некоторые ее практические применения
Свечение вещества (т. е. испускание видимого света), обусловленное переходами атомов и молекул вещества с высших энергетических уровней на низшие, называется люминесценцией, или холодным све-
чением. Люминесценции должно предшествовать возбуждение атомов и молекул вещества. После устранения возбудителя люминесценция продолжается в течение некоторого промежутка времени, зависящего от природы люминесцирующего вещества и изменяющегося в широких пределах: от миллиардных долей секунды до многих часов и даже суток. По продолжительности «послесвечения» люминесценция подразделяется на флуоресценцию (кратковременное «послесвечение») и фосфоресценцию (длительное «послесвечение»). Впрочем, это подразделение весьма условно.
Свечение, обусловленное тепловым движением атомов и молекул (т. е. тепловое излучение), не относится к люминесценции. К ней не относятся также отражение и рассеяние света и некоторые другие виды свечения тела, прекращающиеся одновременно с устранением причины, вызвавшей их.
Чтобы отличить люминесценцию от этих видов свечения, ей можно дать следующее определение: люминесценция есть свечение вещества, являющееся избытком над тепловым излучением этого вещества мр〃 данной температуре и имеющее конечную длительность (т. е. не прекращающееся одновременно с устранением вызвавшей его причины).
Вещества, обладающие ярко выраженной способностью люмине- сцировать, называются люминофорами.
В зависимости от способа возбуждения люминесценции различают несколько ее видов.
Фотолюминесценция возбуждается видимым и ультрафиолетовым излучением. Примером фотолюминесценции может служить свечение часового циферблата и стрелок, окрашенных соответствующим люминофором.
Рентгенолюминесценция возбуждается рентгеновскими лучами; ее можно наблюдать, например, на экране рентгеновского аппарата.
Радиолюминесценция возбуждается радиоактивным излучением (см. § 139); наблюдается, например, на экране сцинтилляционных счетчиков (см. § 140).
Катодолюминесценция возбуждается электронным лучом; наблюдается на экранах осциллографа, телевизора, радиолокатора и других электроннолучевых приборов. В качестве люминофора, покрывающего экран, используются главным образом сульфиды и селениды цинка и кадмия.
Электролюминесценция возбуждается электрическим полем; имеет место, например, в газоразрядных трубках.
Хемилюминесценция возбуждается химическими процессами в веществе. Таковы, например, свечение белого фосфора, гниющей древесины, а также свечения некоторых споровых растений, насекомых, морских животных и бактерий.
Таким образом, люминесценция является своеобразным генератором {^антовым генераторов. непосредственно преобразующим энергию электромагнитных волн различной длины, а также механическую, электрическую и химическую энергию в энергию видимого света.
W 71 W 71 Степень преобразования поглощаемой энергии WQ в энергию люминесценции W характеризуется энергетическим выходом люминесценции'.
W 71
W 71
(24)
Спектр люминесценции зависит от природы люминесцирующего вещества и вида люминесценции.
Из всех перечисленных видов люминесценции рассмотрим подробнее только фотолюминесценцию, имеющую большое практическое применение.
Экспериментальное изучение спектров фотолюминесценции показало, что они, как правило, отличаются от спектров возбуждающего излучения.
Спектр люминесценции и его максимум сдвинуты 6 сторону более длинных волн относительно спектра, использованного для возбуждения.
Эту закономерность, называемую правилом Стокса, легко объяснить на основе квантовой теории. Энергия поглощаемого кванта 加° частично переходит в другие виды энергии, например в теплоту. Поэтому энергия кванта люминесценции 九y должна быть меньше 九％. Следовательно, v<v0, а 入>%, где 人 и 入° — длины волн, соответствующие излученному и поглощенному квантам.
Иногда может иметь место так называемая антистоксовская люминесценция, при которой 入V%・ Это бывает в случае, когда квант поглощался уже возбужденной молекулой. Тогда в квант люминесценции входит не только часть энергии поглощенного кванта, но и энергия возбуждения молекулы. Понятно, что в этом случае ftv>ftv0, а 入V%.
Существенной особенностью жидких и твердых люмипсфоров является независимость их спектра люминесценции от длины волны возбуждающего света. Благодаря этому по спектру фотолюминесценции можно судить о природе вещества жидких и твердых люминофоров.
Энергетический выход люминесценции может при некоторых условиях быть очень большим, достигающим 0,8； У жидких и твердых тел он зависит от длины волны возбуждающего света. Согласно за кону Вавилова^.
энергетический выход люминесценции 电 сначала растет пропори ционально длине волны возбуждающего света Хо, а затем (достигнув максимума} резко падает до нуля.
На рис. 365 приведен график зависимости * от Хо, полученный Вавиловым для раствора флуоресцеина.
Как и правило Стокса, закон Вавилова объясняется квантовыми свойствами света. Действительно, представим себе наиболее благоприятный случай, когда каждый квант возбуждающего света ftv0 приводит к образованию кванта люминесценции 九у. Тогда энергети-
чес кий выход люминесценции, очевидно, равен отношению этих квантов:
” =——,или V]==.
Рис* 366Рис* 366Но 入 не зависит от % (у жидких и твердых люминофоров). Следо вательно, в последней формуле при изменении 入° будет изменяться только % т. е. энергетический выход будет пропорционален 入°. Срыв кривой энергетического выхода происходит при больших длинах волн 人°, которым соответствуют слишком малые кванты 九％, уже не способные возбуждать люминесценцию.
Рис* 366
Рис* 366
Люминесценция находит широкое применение в осветительной технике: на ней, например, основана люминесцентная лампа, Люминесцентная лампа состоит из стеклянной трубки, у которой внутренняя поверхность стенок покрыта тонким слоем люминофора (рис. 366). В торцы трубки впаяны электроды. Трубка наполнена парами ртути и аргоном; парциальное давление паров ртути составляет около 1 Па, парциальное давление аргона — 400 Па.
Люминесцентная лампа включается в электросеть последовательно с дросселем и стартером (служащим для предварительного разогрева электродов).
Возникающий в лампе газовый разряд вызывает электролюминесценцию паров ртути. В спектре этой люминесценции наряду с видимым светом имеется ул ьтр афиолето вое излучение (длиной волны 0,257 мкм), оно возбуждает фотолюминесценцию люминофора, нанесенного на стенки лампы. Таким образом, в люминесцентной лампе совершается двойное преобразование энергии: электрическая энергия превращается в энергию ультрафиолетового излучения паров ртути, которая в свою очередь превращается в энергию видимого излучения люминофора.
Изменяя состав люминофора, можно изготовлять лампы g требуемым спектром фотолюминесценции. Таким путем изготовляются люминесцентные лампы белого света, тепло-белого света, холодно-белого сгета и дневного света.
Спектральный состав излучения ламп дневного света близок к рассеянному свету северной части небосвода; лампа холодно-белого света имеет спектр, подобный спектру прямой солнечной радиации. В связи с этим люминесцентные лампы успешно применяются для «досвечивания» сельскохозяйственных культур, выращиваемых на защищенном грунте*.
Распределение энергии W\ в спектре излучения лампы дневного света показано на рис. 367.
Люминесцентные лампы экономичны (их световой коэффициент полезного действия в 10—20 раз больше, чем у ламп накаливания) и весьма долговечны (срок службы доходит до 10 000 часов).
Другим важным применением люминесценции является люминесцентный анализ ——метод определения состава вещества по спектру его фотолюмин есцен ци и, возбуждаемой ультрафиолетовыми лу чами. Будучи очень чувствительным, люминесцентный анализ позволяет обнаружить малейшие изменения в химическом составе вещества и тем самым выявлять различие
между объектами, кажущимися совершенно одинаковыми. Этим методом можно, например, выявлять самые начальные стадии загнивания пищевых продуктов (люминесцентный контроль свежести продуктов), обнаруживать следы нефти в пробах почвы, извлеченных из буровых скважин (люминесцентная разведка нефти), и т. п.
С ПОМОЩЬЮ фотолюминесценцииРис. 367
можно обнаружить тончайшие трещины на поверхности деталей машин и других изделий (люминесцентная дефектоскопия). Для этого поверхность исследуемого изделия смазывают жидким люминофором. Через 15—20 мин поверхность обмывают и вытирают. Однако в трещинах поверхности люминофор остается. Свечение этого люминофора (при ультрафиолетовом облучении изделия) отчетливо обрисует конфигурацию трещин.
Укажем, наконец, на использование фотолюминесценции для маскировочного освещения и декоративных целей (применение флуоре> сцирующих и фосфоресцирующих красок).
При фотолюминесценции атомы люминесцирующего вещества излучают совершенно несогласованно (беспорядочно): их излучения разновременны, имеют различные частоты и разности фаз, распространяются по всевозможным направлениям. Поэтому яркость фотолюминесценции оказывается незначительной. Однако в последние годы удалось найти способ искусственно вызывать когерентное одинаково направленное излучение множества атомов, создающее узкий пучок монохроматического света, превосходящего по яркости обычную люминесцен- цию в миллионы раз. Прибор, в котором осуществляется такое излучение, назван оптическим квантовым генератором, или лазером*,
Название «лазер» образовано из первых букв английских слов: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (усиление света посредством вынужденного излучения). В зависимости от применяемого рабочего вещества различают кристаллические, газовые и жидкостные лазеры.
Чтобы лазер начал действовать, необходимо перевести большое число атомов его рабочего вещества в одинаковые возбужденные состояния, так называемые метастабильные состояния, в которых атом пребывает сравнительно долгое
время (значительно превышающее 10~8 с). Для этого рабочему веществу передается достаточная электромагнитная энергия от специального источника (метод «накачки»). Теперь в рабочем веществе лазера (имеющем форму тонкого длинного цилиндра, одним основанием которого является зеркало, другим — частично прозрачное зеркало) начнутся почти одновременные вынужденные переходы всех возбужденных атомов в нормальное состояние. Эти переходы сопровождаются почти одновременным испусканием множества световых квантов (фотонов) Н, имеющих одинаковую частоту и фазу и движущихся по одному направлению ——вдоль оси лазера. Поток этих фотонов и образует узкий, мощный пучок монохроматического света, выходящий из лазера.
Лазер дает световой пучок очень малой расходимости. Будучи, например, направлен на Луну, такой пучок создает на ее поверхности световое пятно диаметром всего лишь в 3 км (луч обычного прожектора создал бы на таком же расстоянии световое пятно диаметром в 40 000 км). Плотность энергии в луче ла” зера исключительно велика — тысячи и десятки тысяч Дж/(см2 ・ с); причем расчеты показывают, что это еще далеко не предельные значения возможных плотностей. С помощью линзы можно сфокусировать свет лазера так, что он мгновенно расплавит и испарит освещенный участок любого материала.
Все это делает лазер исключительно перспективным прибором, уже сейчас широко используемым во многих областях науки и техники. Сварка микро объектов*, сверление и резка сверхтвердых материалов, ускорение хода химических реакций, передача световых сигналов на сверхдальние расстояния (космическая связь), глазная хирургия (разрушение опухолей на сетчатке)——таков далеко не полный перечень применений лазера.
Отметим, что наряду с оптическими квантовыми генераторами созданы квантовые генераторы в диапазоне коротких радиоволн —мазеры*^
§ 136. Фотоэффект. Законы фотоэффекта. Фотоэлементы
Фотоэффектом называется освобождение (полное или частичное) электронов от связей с атомами и молекулами вещества под воздейст^ вием света (видимого, инфракрасного 〃 ультрафиолетового). Если электроны выходят за пределы освещаемого вещества (полное освобожде- ние), то фотоэффект называется внешним (открыт в 1887 г. Герцем и подробно исследован в 1888 г. А. Г. Столетовым). Если же элек- троны теряют связь только со «своими» атомами и молекулами, но остаются внутри освещаемого вещества в качестве «свободных элек* тронов» (частичное освобождение), увеличивая тем самым электропроводность вещества, то фотоэффект называется внутренним (открыт в 1873 г. американским физиком У. Смитом).
Внешний фотоэффект наблюдается у металлов. Если, например, цинковую пластинку, соединенную с электроскопом и заряженную отрицательно, осветить ультрафиолетовыми лучами, то электроскоп быстро разрядится; в случае положительно заряженной пластинки разрядки не происходит. Отсюда следует, что свет вырывает из металла отрицательно заряженные частицы; определение величины их заряда (выполненное в 1898 г. Дж. Дж. Томсоном) показало, что эти частицы являются электронами.
Принципиальная измерительная схема, с помощью которой исследовался внешний фотоэффект, изображена на рис. 368. Отрицатель-
ный полюс батареи присоединен к металлической пластинке К (катод), положительный — к вспомогательному электроду А (анод). Оба электрода помещены в эвакуированный сосуд, имеющий кварцевое окно 尸(прозрачное для оптического излучения). Поскольку электрическая цепь оказывается разомкнутой, ток в ней отсутствует. При освещении катода К свет вырывает из него электроны (фотоэлектроны}.
устремляющиеся к аноду; в цепи появляется ток (фототок).
и при различных условиях осве-и при различных условиях осве-Рис. 368Рис. 368Схема дает возможность измерять силу фототока (гальванометром G) и скорость фотоэлектронов при различных значениях напряжения (U) между катодом и анодом щения катода.
и при различных условиях осве-
и при различных условиях осве-
Рис. 368
Рис. 368
Экспериментальные исследования, выполненные Столетовым, а
также другими учеными, привели к установлению следующих основных законов внешнего фотоэффекта.
Фототок насыщения / (т. е. максимальное число электронов, освобождаемых светом в 1 & прямо пропорционален световому потоку Ф:
/ =々①， (25)
где коэффициент пропорциональности k называется фоточувствительностью освещаемой поверхности (измеряется в микроамперах на люмен, сокращенно — мкА/лм).
Скорость фотоэлектронов возрастает с увеличением частоты падающего света и не зависит от его интенсивности.
Независимо от интенсивности света фотоэффект начинается только при определенной (для данного металла) минимальной частоте света, называемой «красной границей'» фотоэффекта.
Второй и третий законы фотоэффекта нельзя объяснить на основе волновой теории света. Действительно, по этой теории, интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды электромагнитной волны, «раскачивающей» электрон в металле. Поэтому свет любой частоты, но достаточно большой интенсивности, должен был бы вырывать электроны из металла; иначе говоря, не должно было бы существовать «красной границы» фотоэффекта. Этот вывод противоречит третьему закону фотоэффекта. Далее, чем больше интенсивность света, тем большую кинетическую энергию должен был бы получить от него электрон. Поэтому скорость фотоэлектрона должна была бы возрастать с увеличением интенсивности света; этот вывод противоречит второму закону фотоэффекта.
Законы внешнего фотоэффекта получают простое истолкование на основе квантовой теории света. По этой теории, величина светового потока определяется числом световых квантов (фотонов), падающих в единицу времени на поверхность металла. Каждый фотон может взаимодействовать только с одним электроном. Поэтому мак-
симальное число фотоэлектронов должно быть пропорционально световому потоку (первый закон фотоэффекта).
Энергия фотона 瓜 поглощенная электроном, расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла (см. § 87); оставшаяся часть этой энергии представляет собой кинетическую энергию фотоэлектрона 加^及(где 加一масса электрона, и — его скорость). Тогда, согласно закону сохранения энергии, можно написать
九V -九V -m02m0222+ 4+ 4(26)(26)
九V -
九V -
m02
m02
2
2
+ 4
+ 4
(26)
(26)
Эта формула, предложенная в 1905 г. Эйнштейном и подтвержденная затем многочисленными экспериментами, называется уравнением Эйнштейна,
Из уравнения Эйнштейна непосредственно видно, что скорость фотоэлектрона возрастает с увеличением частоты света и не зависит от его интенсивности (поскольку ни Л, ни v не зависят от интенсивности света). Этот вывод соответствует второму закону фотоэффекта.
Согласно формуле (26), с уменьшением частоты света кинетическая энергия фотоэлектронов уменьшается (величина Л постоянна для данного освещаемого вещества). При некоторой достаточно малой частоте v = % (или длине волны 入° = c/v0) кинетическая энергия фотоэлектрона станет равной нулю (加 у2/2 = 0) и фотоэффект пре* кратится (третий закон фотоэффекта). Это имеет место при 九％ = 4, т. е. в случае, когда вся энергия фотона расходуется на совершение работы выхода электрона. Тогда
% = ， м』讨 入о • (27)
Формулы (27) определяют «красную границу» фотоэффекта. Из этих формул следует, что она зависит от величины работы выхода (от материала фотокатода).
Металл
入о, мкм
Д, эВ
Платина
0,235
5,29
Вольфрам
0,276
4,50
Цинк
0,290
4,19
Торий
0,364
3,41
Натрий
0,552
2,25
Цезий
0,620
1,89
Цезиевая пленка на
вольфраме ....
0,913
1,36
Из таблицы видно, что, например, цезиевая пленка, нанесенная на вольфрам, дает фотоэффект даже при инфракрасном облучении, у натрия фотоэффект может быть вызван только видимым и ультрафиолетовым светом, а у цинка — только ультрафиолетовым.На внешнем фотоэффекте основан важный физико-теИз таблицы видно, что, например, цезиевая пленка, нанесенная на вольфрам, дает фотоэффект даже при инфракрасном облучении, у натрия фотоэффект может быть вызван только видимым и ультрафиолетовым светом, а у цинка — только ультрафиолетовым.На внешнем фотоэффекте основан важный физико-текоторых металлов.которых металлов.В таблице приведены значения работы выхода Л (в электронвольтах) и красной границы фотоэффекта 人° (в микрометрах) для не
Из таблицы видно, что, например, цезиевая пленка, нанесенная на вольфрам, дает фотоэффект даже при инфракрасном облучении, у натрия фотоэффект может быть вызван только видимым и ультрафиолетовым светом, а у цинка — только ультрафиолетовым.
На внешнем фотоэффекте основан важный физико-те
Из таблицы видно, что, например, цезиевая пленка, нанесенная на вольфрам, дает фотоэффект даже при инфракрасном облучении, у натрия фотоэффект может быть вызван только видимым и ультрафиолетовым светом, а у цинка — только ультрафиолетовым.
На внешнем фотоэффекте основан важный физико-те
которых металлов.
которых металлов.
хнический прибор, называемый вакуумным фотоэлементом (ои явля«
ется некоторым видоизменением установки, схематически изображенной на рис. 368).
Катодом К вакуумного фотоэлемента служит слой металла, нанесенный на внутреннюю поверхность эвакуированного стеклянного баллона В (рис. 369; G — гальванометр)； анод Л выполнен в виде металлического кольца, помещенного в центральной части баллона. При освещении катода в цепи фотоэлемента возникает электрический
ток, сила которого пропорциональна вели
чине светового потока.
Большинство современных фотоэлементов имеет сурьмяно-цезиевые или кислородно- цезиевые катоды, обладающие высокой фоточувствительностью. Кис^юродно-цезиевые фотоэлементы чувствительны к инфракрасному и видимому свету (чувствительность 20 一 80 мкА/лм); сурьмяно-цезиевые фотоэлементы чувствительны к видимому и ультрафиолетовому свету (чувствительность 50 -150 мкА/лм).
В некоторых случаях для увеличения чувствительности фотоэлемента его наполняют аргоном при давлении порядка 1 Па. Фототок в таком фотоэлементе усилива
ется вследствие ионизации aprQHa, вызванной столкновениями фотоэлектронов с атомами аргона. Фоточувствительность газонаполненных фотоэлементов составляет около 1 000 мкА/лм.
Внутренний фотоэффект наблюдается у пол уп роводн и ков и в меньшей мере у диэлектриков. Схема наблюдения внутреннего фотоэффек
Рпс. 370Рпс. 370та показана на рис. 370. Полупроводниковая пластинка Р присоединена последовательно с гальванометром G к полюсам батареи. Ток в этой цепи незначителен, поскольку полупроводник обладает большим сопротивлением. Однако при освещении пластинки ток в цепи резко возрастает. Эго обусловлено тем, что свет вырывает из атомов полупроводника электроны, которые, оставаясь внутри полупроводника, увеличивают его электропроводность (уменьшают сопротивление).
Рпс. 370
Рпс. 370
Фотоэлементы, основанные на внутреннем фото* эффекте, называются полупроводниковым и фотоэле- ментами, или фотосопротивлениями. Для их изго-
товления используют селен, сернистый свинец, се
рнистый кадмий и некоторые другие полупроводники. Фоточувствительность полупроводниковых фотоэлементов в сотни раз превышает фоточувствительность вакуумных фотоэлементов. Некоторые фотоэлементы обладают отчетливо выраженной спектральной чувствительностью. У селенового фотоэлемента спектральная чувствительность близка к спектральной чувствительности человеческого глаза (см. рис. 304, § 118).
Недостатком полупроводниковых фотоэлементов является их заметная инерционность: изменение фототока запаздывает относительно изменения освещенности фотоэлемента. Поэтому полупроводнике-
вые фотоэлементы непригодны для регистрации быстропеременных световых потоков.
На внутреннем фотоэффекте основана еще одна разновидность фотоэлемента ——полупроводниковый фотоэлемент с запирающий слоем или вентильный фотоэлемент. Схема этого фотоэлемента дана на рис. 371.
жащеи гальванометр G.жащеи гальванометр G.Рис. 371Рис. 371точный отрицательныйточный отрицательныйМеталлическая пластинка М и нанесенный на нее тонкий слой полупроводника Р соединены внешней электрической цепью, содер- Как было показано (см. § 90), в зоне контакта полупроводника с металлом образуется запирающий слой В, обладающий вентильной проводимостью: он пропускает электроны только в направлении от полупроводника к металлу. При освещении полупроводникового слоя в нем, благодаря внутреннему фотоэффекту, появляются свободные электроны. Проходя (в процессе хаотического движения) через запирающий слой в металл и не имея возможности перемещаться в обратном направлении, эти электроны образуют в металле избы- 1ряд. Полупроводник, лишенный части «сво
жащеи гальванометр G.
жащеи гальванометр G.
Рис. 371
Рис. 371
точный отрицательный
точный отрицательный
их» электронов, приобретает положительный заряд. Разность потенциалов (порядка 0,1 В), возникающая между полупроводником и металлом, создает ток в цепи фотоэлемента.
Таким образом, вентильный фотоэлемент представляет собой генератор тока, непосредственно преобразующий световую энергию в электрическую.
В качестве полупроводников в вентильном фотоэлементе используют селен, закись меди, сернистый таллий, германий, кремний. Фоточувствительность вентильных фотоэлементов составляет 2000 •— 30 000 мкА/лм.
Коэффициент полезного действия современных кремниевых фотоэлементов (освещаемых солнечным светом) достигает 12—15%; по теоретическим расчетам, его можно повысить до 22%.
Поскольку фототок пропорционален световому потоку, фотоэлементы используются в качестве фотометрических приборов. К таким приборам относятся, например, люксметр (измеритель освещенности) и фотоэлектрический экспонометр.
Фотоэлемент позволяет преобразовывать колебания светового потока в соответствующие колебания фототока, что находит широкое применение в технике звукового кино, телевидения и т. п.
Исключительно велико значение фотоэлементов для телемеханизации и автоматизации производственных процессов. В сочетании с электронным усилителем и реле фотоэлемент является неотъемлемой частью автоматических устройств, которые, реагируя на световые сигналы, управляют работой различных промышленных и сельскохозяйственных установок и транспортных механизмов.
Весьма перспективным является практическое использование вентильных фотоэлементов в качестве генераторов электроэнергии. Ба- тареи кремниевых фотоэлементов, получившие название солнечных батарей, успешно применяются на советских космических спутниках и кораблях для питания радиоаппаратуры. Для этого общая площадь фотоэлементов должна быть достаточно большой. Например, на космическом корабле «Союз-3» площадь поверхности солнечных батарей составляла около 14 м2.
Когда коэффициент полезного действия солнечных батарей будет повышен до 20—22%, они, несомненно, приобретут первостепенное значение среди источников, вырабатывающих электроэнергию для производственных и бытовых нужд.
Масса и импульс фотона. Световое давление.Эффект Комптона. Флуктуации света
В первой части курса (см. § 20) мы познакомились с универсальным законом взаимосвязи (пропорциональности} массы и знергиа:
Г = тс2,(28)
где в самом общем случае т есть масса материи (частицы, или системы частиц, или, наконец, области поля), W — ее энергия, с — скорость света в вакууме. Применим этот закон к световому кванту — фотону — для определения его массы и количества движения (импульса).
Так как фотон обладает энергией W =九丫，то, согласно формуле (28), он должен иметь массу
Фотон движется со скоростью света с, поэтому его количество движения (импульс)
(30)
Из формул (29) и (30) следует, что с увеличением частоты излучения V масса и импульс фотона возрастают; их численные значения для некоторых видов излучения приведены в таблице.
Вид излучения
у,「ц
тф, кг
/ИфС, КГ・М・СТ
Видимый свет
5,4-1014
4 ・ 10-36
1,2・10-27
Ультрафиолетовые лучи ..
3-1015
2,2・10-з5
6,6 • IS
Жесткие рентгеновские лучи
8-1018
6•10-32
1,8 • КПЗ
Гамма-излучение
3-1020
2210-30
6,6・10-22
Масса фотона оказывается крайне малой; однако для жестких рентгеновских лучей она уже сравнима с массой электрона, а для гамма- излучения даже превышает массу электрона.
Поскольку фотоны обладают количеством движения (импульсом), световой поток должен оказывать давление на преграды, встречающиеся на его пути. Проще всего рассчитать световое давление на основе квантовой теории, рассматривая свет как поток фотонов.
WПусть монохроматический пучок света частотой
I 二V и интенсивностью <7 падает нормально на неко-
S —卜… -一торую площадку S (рис. 372). Так как интенсив-ность J есть энергия света, падающего на пло-
/С施勿щадь в 1 м2 за 1 с, а энергия одного фотона рав*
на 九у, то
Рис. 372・
J — Nh^,(31)
где ^ — число фотонов, падающих на площадь в 1 м2 за 1 с.
Импульс силы, сообщаемый фотоном площадке S, равен, согласно закону изменения количества движения (см. § 8), разности количеств движения фотона до и после «удара» фотона о площадку. Если площадка полностью поглощает свет, то этот импульс будет равен
(количество движения фотона после удара равно нулю, поскольку поглощенный фотон прекращает свое существование). Если же площадка полностью отражает свет, то фотон сообщит ей импульс
2代2代
2代
2代
(количества движения падающего и отраженного фотонов имеют противоположные знаки).
Давление света р равно полному импульсу, полученному за 1 с площадкой в 1 м2 от всех N падающих на нее фотонов. Следовательно>
р = W-^~
(для поглощающей площадки) и
p^2N —с
(для отражающей площадки). Тогда, учитывая формулу (31), получим
р 7~.р 7~.(32)
р 7~.
р 7~.
(для поглощающей площадки) и
(33)(33)р
(33)
(33)
с
(для отражающей площадки).
Отметим, что к таким же результатам приводит электромагнитная (волновая) теория Максвелла [см, § 105, формулы (21) и (22) и два следствия из них 1.
Экспериментально световое давление было впервые обнаружено и измерено в 1900 г. /7. Н. Лебедевым посредством очень тонкого и
изящного опыта. Принципиальная схема этого опыта дана на рис. 3737 К стеклянной нити /, натянутой в эвакуированном сосуде 2, прикреплены две легкие пластинки 3 н 4, одна из которых имеет зачерненную поверхность (поглощает свет), а другая ——блестящую (отражает свет)
Пластинка, на которую направлялся пучок света, смещалась под действием светового давления При этом нить закручивалась на некоторый угол, измерявшийся с помощью зрительной трубы и зеркальца 5, приклеенного к нити. По величине угла закручивания рассчитывалось давление
света на данную пластинку.
Значения свеювого давления, полученные Лебедевым на опыте, совпали с теоретически рассчитанными значениями давления света В частности, оказалось, что давление свега на отражающую поверхность (блестящую пластинку) вдвое больше, чем на поглощающую (зачерненную пластинку)
Несмотря на то что световое давление одинаково успешно объясняется и квантовой и волновой теориями, данное явление имеет специфически квантовый характер Это особенно отчетливо обнаруживается при освещении малых объектов слабым световым потоком, содержащим небольшое число ^массивных» фотонов, например при освещении свободных электронов жесткими рентгеновскими лучами. В этом случае электрон испытывает заметные толчки от отдельных фотонов.
Взаимодействие фотонов с электронами впервые наблюдалось на опыте в 1923 г американским физиком Комптоном Он обнаружил, что при рентгеновском облучении вещества, содержащего свободные или слабо связанные электроны, происходит рассеяние рентгеновских лучей, сопровождающееся увеличением длины волны рассеянного излучения (эффект Комптона).
Схема эффекта Комптона изображена на рис. 374. Фотон, имеющий энергию 力％, сталкиваясь с электроном 仇 передает ему часть cb(/R энергии В результате электрон отскакивает в сторону, а фотон изме-
няет направление своего движения (рассеивается). Очевидно, что энергия рассеянного фотона Av<Av0 (поскольку часть энергии фотон передал электрону). Следовательно, v<v0, а 入>% (где 入 и % — длины волн рассеянного и падающего фотонов).
Опыт и теория показывают, что увеличение длины волны рассеянного фотона ДХ =入一％ зависит только от угла рассеяния 0:
А入=0,00242 (1 — cos 0) нм.
Пожалуй, самым простым и наглядным подтверждением квантовых свойств света являются опыты Вавилова, непосредственно наблюдавшего флуктуации яркости слабого светового потока, вызванные случайными изменениями числа фотонов в этом потоке.
Дело в том, что порог чувствительности глаза очень низок: в области зеленого света (入=0,550 мкм) глаз, адаптированный к темноте, способен реагировать на световой поток, соответствующий примерно всего лишь 50—100 фотонам, падающим на сетчатку за 1 с.
Вавилов наблюдал пучок света, который автоматически перекрывался ка
ждую секунду на промежуток времени в 0,9 с. Пока световой поток был не слишком слабым, наблюдатель воспринимал каждую вспышку света (длившуюся в течение 0,1 с). Однако при достаточно слабом световом потоке некоторые вспышки уже не оказывали воздействия на глаз наблюдателя Чем слабее становился световой поток, тем чащг получались пропуски вспышек. Очевидно, что этим пропускам соответствовали такие участки слабого светового пучка, в которых число фотонов оказывалось, по случайным причинам, меньше порогового значения Таким образом, были непосредственно обнаружены флуктуации числа фотонов в световом потоке, подтвердившие фотонную структуру света.
Заканчивая обзор свойств света и процессов взаимодействия света с веществом, проведенный в этой и предшествующих главах последней части курса, следует еще раз подчеркнуть, что свет имеет двойственную (корпускулярно-волновую) природу: фотон является частицей (массой 团中)и вместе с тем волной (частотой v).
С позиции привычных (классических) представлений, основанных на наблюдении за объектами макромира, такая двойственность кажется совершенно недопустимой. Частица макромира занимает ограниченную область пространства и движется по определенной траектории (или покоится); волна же распределена в пространстве непрерывно и ее энергия передается всем точкам пространства. Поэтому нельзя представить себе объект макромира, в котором совмещались бы и свойства частицы и свойства волны.
Однако нет никаких оснований приписывать микрочастицам все свойства частиц макромира (тел.) Ведь не пытаемся же мы приписать, например, электрону какой-либо запах, цвет, шероховатость и т п., хотя эти свойства, безусловно, присущи макрочастице.
Микрообъекты существенно (качественно) отличаются от привычных нам объектов макромира. В частности, некоторым микрочастицам (элементарным частицам) свойственны взаимные превращения (см. § 145).
Итак, двойственность природы микрочастиц, в том числе и фотона, следует воспринимать как объективную реальность, отражающую многообразие свойств материи.
Задача 69. Вследствие лучеиспускания Земля теряет в среднем 91 Дж в секунду с каждого квадратного метра своей поверхности. Принимая Землю за абсолютно черное тело, определить среднюю температуру Т ее поверхности и длину волны 入加，на котирую приходится максимум излучаемой энергии.
Решение. По закону Стефана — Больцмана (3),
£ = "4,
где £ = 91 Дж/(ма • с) — лучеиспускательная способность Земли, е* — постоянная Стефана — Больцмана. Тогда
% 72 7罪7・К£Х『с・£ = 200К = — 73。С.
Согласно закону Вина (4),
入加7 = b,
=1,45 • 10-5 м = 14,5 мкм.=1,45 • 10-5 м = 14,5 мкм.где b — постоянная Вина. Поэтому b 2,898 • 10-Зм • К 加=方=200 k
=1,45 • 10-5 м = 14,5 мкм.
=1,45 • 10-5 м = 14,5 мкм.
Таким образом, максимум лучеиспускательной способности Земли приходится на длинноволновую (инфракрасную) часть спектра.
Необходимо пояснить, что столь низкую рассчитанную нами среднюю (температуру 200 К) Земля имела бы в отсутствие атмосферы. Атмосфера (точнее, всегда содержащийся в ней водяной пар) очень сильно поглощает длинноволновое излучение Земли и нагревается им. Нагретая атмосфера в свою очередь лучеиспускает. Часть этого излучения идет к Земле и поглощается ею, вызывая нагревание земной поверхности. Поэтому фактическая средняя температура Земли оказывается значительно более высокой, чем рассчитанная нами. Таким образом, атмосфера предохраняет Землю от чрезмерного охлаждения, создает грандиозный по масштабу (для всей Земли в целом) парниковый эффект (см. § 120).
Задача 70. Найти угловую скорость s и период вращения Т электрона на первой боровской орбите в атоме водорода.
Решение. По первому постулату Бора (11),
hmvr = п,2兀
где т ——масса электрона, г ——радиус орбиты, и ——линейная скорость электрона на этой орбите, h ——постоянная Планка, п = 1 ——квантовое число, соответствующее первой орбите. Учитывая, что о = wr, можем написать
。 也= и・2冗
Согласно формуле (14)：
где е — заряд электрона, е0— электрическая постоянная. Подставляя это выражение радиуса в формулу первого постулата Бора, получим
冗加?43,14 рад -9,1» 10~31 кг • 1,64 • 10~7в Кл4
з = — = 4,4• IOS рад/с
2£；九3加2 • 8,852 • 10-24 ф2/м2 . б,625з . 1()-ю2 джз . сзу
Период вращения электрона найдем из соотношенияПериод вращения электрона найдем из соотношения
Период вращения электрона найдем из соотношения
Период вращения электрона найдем из соотношения
= 1,43 • 10-^ с.= 1,43 • 10-^ с.72兀6,28 рад
= 1,43 • 10-^ с.
= 1,43 • 10-^ с.
—з ~ 4,4 • 1016 рад/с
Задача 71. Красная граница фотоэффекта для вольфрама 入° = 275 нм.
Определить работу выхода Л электрона из вольфрама и максимальную скорость vm электронов, вырываемых из вольфрама светом с длиной волны X = 180 нм.
Решение. Согласно формуле (27), выражающей красную границу фо- то эффект а,
入 hc
где с — скорость света в вакууме. Поэтому
А —А —= 7,2。1079 д笊== 7,2。1079 д笊=he 6,625 • 10~34 Дж • с • 3 • Ю8 м/с 2,75 • 10-7 м
А —
А —
= 7,2。1079 д笊=
= 7,2。1079 д笊=
7,2・ ！0Т9д〉к
1,6 ТОТ» дж/эв — ' ' •
Согласно уравнению Эйнштейна (26),
где т — масса фотоэлектрона, y = с/入一частота света. Тогда
一 2(死一4人)—
(6,625 • 10-34 Дж • с ♦ 3 • 108 м/с —7,2 • 10-19 Д* • 1,8 • 10一7 »л)—
9,1*10-31 кг・1,8・10-7 м=9,1 • 105 м/с.
Задача 72. Вычислить длину волны 入 фотона, импульс которого равен импульсу электрона, обладающего скоростью ” = 104 км/с.
Решение. Согласно формуле (30), импульс фотона равен 九y/c, где y ис — частота и скорость фотона. Приравнивая этот импульс импульсу электрона т〃，где 加一масса электрона, и учитывая, что y = с/入，получим
h
•у- = /ио,
откудаоткудаhmuhmu6,625 • 10-34 д水• ％9,1 • 10~31кг • 107м/с6,625 • 10-34 д水• ％9,1 • 10~31кг • 107м/с=7,3・ КГ4】м— 73 пм.=7,3・ КГ4】м— 73 пм.
откуда
откуда
h
mu
h
mu
6,625 • 10-34 д水• ％
9,1 • 10~31кг • 107м/с
6,625 • 10-34 д水• ％
9,1 • 10~31кг • 107м/с
=7,3・ КГ4】м— 73 пм.
=7,3・ КГ4】м— 73 пм.
Такая длина волны соответствует частоте y = 4,1 • 1018 Гц; следовательно, данный фотон принадлежит к жестким рентгеновским лучам (см., например, таблицу в § 137).
Глава XX. Атомное ядрои внутриядерные процессы
Общие сведения об атомных ядрах. Изотопы
Исследование атомных ядер началось в XX в., причем наиболее интенсивно оно проводилось в последние десятилетия (с 30-х годов по настоящее время). Таким образом, ядерная физика является одним из самых молодых разделов физики. Тем не менее результаты, которые уже удалось получитЬ в этой области, оказались исключительно важными в научном и практическом отношении. Достаточно указать хотя бы на то, что исследование ядер и внутриядерных процессов привело к открытию и практическому использованию ядерной энергии.
Согласно гипотезе, высказанной в 1932 г. Д. Д. Иваненко и являющейся теперь общепризнанной, в состав всех атомных ядер входит только два вида элементарных частиц ——протоны и нейтроны.
Протон имеет положительный заряд, равный заряду электрона (т. е. элементарному заряду е = 1,6021 • 10~19 Кл), и массу покоя тр = 1,6726 • 10-27 кг Нейтрон не имеет заряда; его масса немного больше массы протона: тп = 1,6749 • 10~27 кг. Протон принято обозначать буквой р, нейтрон — буквой 〃； общее название этих частиц —нуклоны^.
Массу ядер и элементарных частиц обычно выражают в атомных единицах массы (а. е. м.). За атомную единицу массы принята 1/12 массы изотопа углерода С12; 1 а. е. м. = 1,66 • 10~27 кг. Следовательно, тр = 1,00728 а. е. м., a mn = 1,00866 а. е. м. Таким образом,
тр^ тп^ \ ^. е.м. = 1,66 • 10~27кг.(1)
В § 134 было показано, что заряд атомного ядра любого химического элемента, выраженный в элементарных зарядах, равен атомному нэмеру Z этого элемента. Но заряд ядра слагается из зарядов протонов; следовательно,
число протонов Nр 6 атомном ядре элемента равно атомному номеру Z элемента:
Np = Z.(2)
Почти вся масса атома заключена в его ядре (см. § 132). Но масса ядра слагается из масс всех нуклонов, входящих в ядро. Тогда, согласно соотношению (1), сумма чисел протонов Nр и нейтронов Nn должна быть равна массовому числу атома, т. е. целому числу А, ближайшему к атомной массе (выраженной в а. е. м.): Nр + Nn А, или, учитывая формулу (2), Z + Nn = А. Следовательно, число нейтронов с атомном ядре элемента равно разности между массовым чис~ лом и атомным номером элемента'.
N〃=4-Z・(3)
* От латинского слова nucleus — ядро.
Таким образом, по массовому числу и атомному номеру химического элемента можно непосредственно определять число протонов и число нейтронов, содержащихся в атомном ядре этого элемента.
Атомные ядра химических элементов принято обозначать символом zX4 где X — символ элемента, 4 — массовое число, Z — атомный номер. Например, 2Не4 означает атомное ядро гелия, 8О1в — атомное ядро кислорода и т. п.
На рис. 375 схематически изображены ядра атомов водорода 1H', гелия 2Не4, лития 3Li7 и бора бВХ1; черными шариками представлены протоны, белыми — нейтроны.
Атомы, ядра которых состоят из одинакового числа протонов, но из различного числа нейтронов, называются изотопами. Так,
например, у водорода имеется четыре изотопа: протий (легкий водород) Н, дейтерий (тяжелый водород) D, тритий (сверхтяжелый водород) Т и недавно открытый четырехнуклонный водород, еще не получивший специального названия. Ядро протия (протон) 1Hl состоит из одного протона (Л = 1), ядро дейтерия (дейтон) jH2 —— из протона и нейтрона (4 = 2), ядро трития (тритон)旧？ 一 из протона и двух нейтронов (Л = 3), ядро четырехнуклонного водорода ]Н& — из протона и трех нейтронов (4=4). В соединении с кислородом дейтерий образует тяжелую воду (D2O) тритий ——сверхтяжелую воду Т2О.
Тяжелая вода всегда содержится в природной воде, правда, в очень небольшом количестве — примерно 0,016%; может быть выделена из природной воды путем многократной перегонки или посредством электролиза (см. § 91). Сверхтяжелая вода встречается в совершенно ничтожных количествах (порядка 10~16 %) в дождевой воде.
Все изотопы одного химического элемента имеют одинаковое строение электронных оболочек. Поэтому у изотопов данного элемента одинаковы как химические свойства, так и те физические свойства, которые обусловлены главным образом структурой электронной оболочки, Что касается физических свойств, обусловленных структурой ядра (массовое число, плотность, радиоактивность и т. д.), то они заметно различаются. Понятно, что это различие наиболее отчетливо выражено у самых легких химических элементов.
Из периодической системы Менделеева (см. в начале книги) видно, что атомные массы некоторых элементов значительно отличаются от целых чисел. В 1919 г. английский физик Астон с помощью масс- спектрографа (см. § 102) установил, что такие элементы представляют собой смесь нескольких изотопов. Это является главной причиной не- целочисленности атомных масс элементов; другая причина, связанная с §ак называемым дефектом массы, будет рассмотрена в § 142.
В настоящее время установлено, что большинство химических элементов, встречающихся в природе, представляет собой смесь изотопов. В частности, природный водород состоит на 99,985% из протия и на 0,015% из дейтерия.
Согласно теории ». И, Френкеля, атомное ядро можно уподобить капле жидкости (капельная модель ядра). Нуклоны, составляющие ядро, связаны между собой особыми силами притяжения ——ядерными силами, подобно тому как молекулы в капле жидкости связаны между собой молекулярными силами сцепления.
Устойчивость атомных ядер большинства элементов говорит о том, что ядерные силы исключительно велики: они должны превышать значительные кулоновские силы отталкивания, действующие между протонами, расположенными очень близко друг от друга. Ядерные силы проявляются только на очень малых расстояниях — порядка 10~13 см. При незначительном увеличении расстояния между нуклонами ядерные силы уменьшаются до нуля и кулоновские силы разъединяют протоны (разрушают ядро).
Ядерные силы являются силами особого рода ——не гравитационными и не электрическими. Их природа и свойства изучены еще недостаточно. В настоящее время наиболее вероятной считается мезонная теория ядерных с〃〃, согласно которой нуклоны взаимодействуют друг с другом путем обмена особыми элементарными частицами—мезонами (см. § 145).
Благодаря ядерным силам нуклоны столь тесно «упакованы» в ядре, что плотность р вещества в атомных ядрах оказывается колоссальной. Определим порядок величины этой плотности. Будем считать ядро шарообразным, имеющим радиус
Г = 10Т5 /д(м),
где А — число нуклонов в ядре (т. е. массовое число). Масса ядра равна сумме масс всех входящих в него нуклонов: тА = 1,66 ・ 10-27 А (кг). Тогда
р = ZL1— =1 У ： 1°^ 4,1 • 1017 кг/м3 = 4,1 • 108 т/см3.
2兀广3. 3,14 • 10-45 • А
33
Таким образом, 1 см3 ядер но го вещества весил бы около четырехсот миллионов тонн (!), тогда как 1 см3 одного из наиболее тяжелых химических эле-
ментов —платины — весит всего лишь 22,5 грамма. Это сопоставление ука - зывает на чрезвычайную ажурность структуры атомов, молекул и макроскопических объектов (тел).
Наиболее устойчивыми являются ядра легких элементов, состоящие из приблизительно одинакового числа протонов и нейтронов. У самых тяжелых элементов (расположенных в периодической системе после свинца), ядра которых состоят из большого числа нуклонов (с преобладанием нейтронов), ядерные силы уже не обеспечивают устойчивости ядра. Такие ядра могут самопроизвольно распадаться» превращаясь в ядра более легких элементов. Это явление носит название естественной радиоактивности.
§ 139. Естественная радиоактивность. Альфа-, бета-и гамма-лучи. Законы радиоактивного распада
Естественная радиоактивность была открыта в 1896 г. французским физиком Беккерелем, обнаружившим, что соли урана испускают невидимые лучи, способные вызывать люминесценцию, проникать
через слои непрозрачных веществ, ио-
Фотографиуесная пластинкаФотографиуесная пластинкаПо своемуПо своемунизировать газы, вызывать почернение фотографической пластинки. Дальнейшие исследования, проведенные П. Кюри и М. Кюри-Склодовской, Резерфордом и другими учеными, показали, что естественная радиоактивность свойственна не только урану, но и многим тяже-
Фотографиуесная пластинка
Фотографиуесная пластинка
По своему
По своему
в частности радию (двав частности радию (двалым химическим элементам, актинию, торию, полонию и
в частности радию (два
в частности радию (два
последних элемента были открыты в 1898 г. Пьером и Марией Кюри). Все эти элементы были названы радиоактивными элементами, а испускаемые ими лучи ——радиоактивными лучами (радиоактивным излучением).
составу радиоактивное излучение является сложным:
в него входят три различных вида излучения, получивших названия альфа-лучей, бета-лучей и гамма-лучей. Познакомимся с природой и основными свойствами этих лучей.
Альфа-лучи отклоняются электрическим и магнитным полями; представляют собой поток атомных ядер гелия 2Не4, называемых а-частицами (см. рис. 375). На рис. 376 изображено отклонение а-частиц магнитным полем (силовые линии поля, перпендикулярные плоскости рисунка, направлены на читателя и показаны точками). Каждая а-частица несет два элементарных положительных заряда + 2е и обладает массовым числом 4. Альфа-частицы вылетают из ядер радиоактивных элементов со скоростями от 14 000 до 20 000 км/с, что соответствует кинетическим энергиям от 4 до 9 МэВ.
Пролетая через вещество, а-частица ионизирует его атомы, действуя на них своим электрическим полем («выбивает» электроны из ‘атомов вещества). Израсходовав энергию на ионизацию атомов, а-час- тица останавливается; при этом она захватывает два электрона (из имеющихся в веществе свободных электронов) и превращается в атом гелия.
Путь, проходимый а-частицей в веществе (до остановки), называется ее пробегом, или проникающей способностью, а число пар ионов, создаваемых а-частицей на пробете, называется ее ионизирующей способностью. Очевидно, &о чем больше ионизирующая слссобность частицы, тем меньше ее пробег.
Пробег а-частиц в воздухе (при нормальном давлении) составляет 3—9 см, а их ионизирующая способность равна 100 000 — 250 000 пар ионов (в среднем 30 000 пар ионов на 1 см пробега). Таким образом, а-частицы обладают высокой ионизирующей способностью, но небольшой проникающей способностью.
Альфа-лучи полностью псглощаются, например, слоем алюминия толщиной 0,06 мм или слоем биологической ткани толщиной 0,12 мм.
Бета-лучи отклоняются электрическим и магнитным полями; представляют собой поток быстрых электронов, называемых ^-частицами. Масса их в 7350 раз меньше массы а-частицы. Средняя скорость ^-частиц составляет около 160 000 км/с. На рис. 376 показано отклонение р-частиц магнитным полем
В отличие от а-излучения p-излучение имеет сплошной энергетический спектр, т. е. содержит |3-частицы со всевозможными значениями энергии (или, что то же, всевозможными значениями скорости). Ядра одного и того же радиоактивного элемента выбрасывают Р-час- тицы и со скоростью, близкой к нулю, и со скоростью, близкой к скорости света. Энергия |3-частиц лежит в пределах от сотых долей МэВ до нескольких МзВ.
Поскольку |3-частица имеет весьма малую массу, большую (в среднем) скорость и несет только один элементарный заряд, ее ионизирующая способность значительно — в среднем в 100 раз —меньше, а пробег во столько же раз больше, чем у а-частицы. Пробег Р-частиц (высокой энергии) достигает в воздухе 40 м, в алюминии — 2 см, в биологической ткани — 6 см.
Экспериментально установлено, что атомные ядра одного и того же радиоактивного элемента теряют при p-распаде вполне определенное, одинаковое количество энергии. Поэтому все |3-частицы, испускаемые данным элементом, должны были бы обладать одинаковой энергией. Между тем, как уже отмечалось, p-излучение характеризуется сплошным энергетически?л спектром, что также было установлено экспериментально. Таким образом, энергия, уносимая |3-частицами из ядер, оказывается меньше энергии, испускаемой ядрами при р-рас- паде. Этот экспериментальный факт не согласуется с законом сохранения энергии. В связи с этим Паули высказал в 1931 г. гипотезу о том, что при каждом акте |3-распада вместе с Р-частицей из ядра выбрасывается еще одна крайне легкая, незаряженная частица, назван-
ная впоследствии ае^триАо. Нейтрино и р-частица совместно уносят из ядра всегда одно и то же количество энергии. Но в различных актах p-распада эта энергия распределяется между нейтрино и Р-час- тицей по-разному (случайно), чем и объясняется сплошной характер энергетического спектра Р-излучения.
Гамма-лучи представляют собой поток фотонов, имеющих очень высокую частоту — порядка 1020 Гц, что соответствует очень короткой длине волны — порядка 10~12 м. Энергия 「фотонов имеет порядок 1 МэВ.
Являясь крайне жестким электромагнитным излучением, у-лучи во многом подобны характеристическим рентгеновским лучам. Они не отклоняются электрическим и магнитным полями (см. рис. 376), распространяются со скоростью света, при прохождении через кристаллы обнаруживают дифракцию. Но в отличие от рентгеновских лучей, 「луни испускаются атомным ядром (при его переходе из возбужденного состояния в нормальное).
Поглощение *[-лучей в веществе обусловлено в основном тремя процессами: фотоэффектом (см. § 136), эффектом Комптона (см. § 137) и образованием электронно-позитронных пар. Последний процесс (детально изученный в 1934——1935 гг. французским физиком Ф. Жолиб) состоит в том, что у-фотон, обладающий энергией /iv ^1,02 МэВ, пролетая вблизи атомного ядра, может (под влиянием ядерного поля) превратиться в пару элементарных частиц ——электрон и позитрон — и прекратить свое существование (позитрон имеет массу, равную массе электрона, и несет положительный элементарный заряд; обозначается буквой е+ или Р+). Ионизирующая способность у-лучей невелика; в воздухе она имеет порядок 100 пар ионов (в среднем 1—2 пары ионов на 1 см《пробега》).
Гамма-лучи являются одним из самых проникающих излучений. Наиболее жесткие у-лучи проходят через слой свинца толщиной 5 см или через слой воздуха толщиной в несколько сотен метров; тело человека они пронизывают насквозь.
Подчеркнем, что радиоактивное излучение испускается атомными ядрами, а не их электронными оболочками. Для a-излучения это очевидно, поскольку электронная оболочка не содержит протонов и нейтронов (образующих а-частицу); для (3-излучения это следует из того факта, что оно не зависит (не изменяется) от каких бы то ни было воздействий на электронные оболочки радиоактивных атомов. Бета- частицы не входят в состав ядра, но возникают в нем в процессе ядерного распада (благодаря превращениям нейтронов в протоны; см. § 141). И а- и 0-распады обычно сопровождаются у-излучением.
Очевидно, что радиоактивное излучение ведет к превращению атомов излучающего элемента в атомы другого элемента.
При испускании р-частицы заряд ядра увеличивается на единицу, а масса практически не изменяется (ввиду малости массы р-частицы). Следовательно, по мере p-распада радиоактивный элемент превращается в другой элемент с атомным номером, на единицу большим, и с тем же массовым числом. Иначе говоря,
〃р〃 ^-распаде элемент смещается 6 периодической системе на один номер вправо без изменения массового числа.
Символически это смещение записывается так:
z+Г+ »・⑷
Например,
83Bi^->84Po2^ + r
При испускании а-частицы заряд ядра уменьшается на 2 единицы, а массовое число — на 4 единицы. Следовательно,
при а-распаде элемент смещается 6 периодической системе на два номера влево с уменьшением массового числа на четыре единицы^
zX'f z_2yl+2Н1.(5)
Например,
8正。21° +82Pb2" + 2h1.
Правила (4) и (5), определяющие смещение радиоактивного элемента в периодической системе, называют законами смещения (сформулированы в 1913 г. немецким физико-химиком Фаянсом и независимо от него английским радиохимиком Содди).
Радиоактивный распад ведет к постепенному уменьшению числа атомов радиоактивного элемента. Он носит случайный характер в том смысле, что нельзя предсказать, когда и какой именно атом распадется. Можно говорить только о вероятности распада каждого атома за определенный промежуток времени.
Число атомов dN, распадающихся за время d/, пропорционально времени и общему числу N атомов радиоактивного элемента:
dN = -\N • dt,(6)
где 入一коэффициент пропорциональнцсти, называемый постоянной распада данного элемента. Знак минус указывает на уменьшение числа атомов радиоактивного элемента со временем. Из (6) следует, что
т. е. постоянная распада равна относительному уменьшению числа атомов данного элемента в единицу времени.
Интегрируя уравнение (6) в пределах от / = 0 до /, получим
N = N°L,(7)
где Nq — число атомов элемента в начальный момент времени, N — число атомов этого же элемента, оставшихся по истечении времени f. Соотношение (7) называется законом радиоактивного распада; графически этот закон представлен на рис. 377.Для характеристики быстроты распада радиоактивного элемента вводится понятие периода полураспада. Периодом полураспада Ггде Nq — число атомов элемента в начальный момент времени, N — число атомов этого же элемента, оставшихся по истечении времени f. Соотношение (7) называется законом радиоактивного распада; графически этот закон представлен на рис. 377.Для характеристики быстроты распада радиоактивного элемента вводится понятие периода полураспада. Периодом полураспада ГРис. 377Рис. 377называется время, в течение которого ко- личество атомов исходного элемента уменьшается вдвое. Из (7) следует, чтоназывается время, в течение которого ко- личество атомов исходного элемента уменьшается вдвое. Из (7) следует, чтооткудаоткудаIn 2In 20,6930,693(8)(8)Величина т, обратно пропорциональная постоянной распада, представляет среднее время жизни радиоактивного атома:1Следовательно,Величина т, обратно пропорциональная постоянной распада, представляет среднее время жизни радиоактивного атома:1Следовательно,Г = с • In 2,Г = с • In 2,юткудас = —— — 1,44 7\In 2т е. среднее время жизни приблизительно в полтора раза больше периода полураспада.Значения Т,工 и 入 у различных радиоактивных элементов весьма различны (см. таблицу на стр. 503). Наряду с такими «долгоживу- •яшми》элементами, как уран 92^38(丁 = 4,5 . Ю9 лет), встречаются Л4 такие «короткоживущие» элементы, как, например, полоний 84Ро214 (Г = 1,5 ・ g с).Число атомных распадов, совершающихся в радиоактивном элементе за 1 с, называется активностью а этого элемента:юткудас = —— — 1,44 7\In 2т е. среднее время жизни приблизительно в полтора раза больше периода полураспада.Значения Т,工 и 入 у различных радиоактивных элементов весьма различны (см. таблицу на стр. 503). Наряду с такими «долгоживу- •яшми》элементами, как уран 92^38(丁 = 4,5 . Ю9 лет), встречаются Л4 такие «короткоживущие» элементы, как, например, полоний 84Ро214 (Г = 1,5 ・ g с).Число атомных распадов, совершающихся в радиоактивном элементе за 1 с, называется активностью а этого элемента:dN dtdN dtИз формул (6), (8) и (9) следует, чтоИз формул (6), (8) и (9) следует, чтоа =入 N =а =入 N =N . 1п2N . 1п2ТТ(9)(9)
где Nq — число атомов элемента в начальный момент времени, N — число атомов этого же элемента, оставшихся по истечении времени f. Соотношение (7) называется законом радиоактивного распада; графически этот закон представлен на рис. 377.
Для характеристики быстроты распада радиоактивного элемента вводится понятие периода полураспада. Периодом полураспада Г
где Nq — число атомов элемента в начальный момент времени, N — число атомов этого же элемента, оставшихся по истечении времени f. Соотношение (7) называется законом радиоактивного распада; графически этот закон представлен на рис. 377.
Для характеристики быстроты распада радиоактивного элемента вводится понятие периода полураспада. Периодом полураспада Г
Рис. 377
Рис. 377
называется время, в течение которого ко- личество атомов исходного элемента уменьшается вдвое. Из (7) следует, что
называется время, в течение которого ко- личество атомов исходного элемента уменьшается вдвое. Из (7) следует, что
откуда
откуда
In 2
In 2
0,693
0,693
(8)
(8)
Величина т, обратно пропорциональная постоянной распада, представляет среднее время жизни радиоактивного атома:
1
Следовательно,
Величина т, обратно пропорциональная постоянной распада, представляет среднее время жизни радиоактивного атома:
1
Следовательно,
Г = с • In 2,
Г = с • In 2,
юткуда
с = —— — 1,44 7\In 2
т е. среднее время жизни приблизительно в полтора раза больше периода полураспада.
Значения Т,工 и 入 у различных радиоактивных элементов весьма различны (см. таблицу на стр. 503). Наряду с такими «долгоживу- •яшми》элементами, как уран 92^38(丁 = 4,5 . Ю9 лет), встречаются Л4 такие «короткоживущие» элементы, как, например, полоний 84Ро214 (Г = 1,5 ・ g с).
Число атомных распадов, совершающихся в радиоактивном элементе за 1 с, называется активностью а этого элемента:
юткуда
с = —— — 1,44 7\In 2
т е. среднее время жизни приблизительно в полтора раза больше периода полураспада.
Значения Т,工 и 入 у различных радиоактивных элементов весьма различны (см. таблицу на стр. 503). Наряду с такими «долгоживу- •яшми》элементами, как уран 92^38(丁 = 4,5 . Ю9 лет), встречаются Л4 такие «короткоживущие» элементы, как, например, полоний 84Ро214 (Г = 1,5 ・ g с).
Число атомных распадов, совершающихся в радиоактивном элементе за 1 с, называется активностью а этого элемента:
dN dt
dN dt
Из формул (6), (8) и (9) следует, что
Из формул (6), (8) и (9) следует, что
а =入 N =
а =入 N =
N . 1п2
N . 1п2
Т
Т
(9)
(9)
Таким образом, активность элемента пропорциональна его количест Бу и обратно пропорциональна периоду полураспада.
За единицу активности принята активность 1 г радия, получившая название кюри:
Ки = 3J • 1010 расп./с.
Продукт радиоактивного распада химического элемента может сам быть радиоактивным. Поэтому процесс радиоактивного распада обычно проходит через ряд промежуточных стадий, образуя цепочку радиоактивных элементов, заканчивающуюся стабильным элементом. Такая цепочка элементов называется радиоактивным семейством. В настоящее время известны четыре радиоактивных семейства.
Семейство урана — радия\ начинается с урана 92(/238 (Т = 4,5х X 109 лет) и заканчивается изотопом свинца 82РЬ208.
Семейство нептуния] начинается с трансуранового элемента нептуния 93Np237 (Т = 2,2 • 10е лет) и заканчивается изотопом висмута 83Bi209. Следует отметить, что природного нептуния на Земле уже яет, так как он полностью распался; сейчас нептуний получают посредством искусственных ядерных реакций.
Семейство актиния^ начинается с актиноурана 92AcU235 (Т = =7,3 • 108 лет) и заканчивается изотопом свинца 82РЬ207.
Семейство тория\ начинается с тория 9oTh232 (Т = 1,4 • IO】。лет» и заканчивается изотопом свинца 82РЬ208.
В таблице приведены все члены радиоактивного семейства урана-радия (дочерние элементы помещены под материнскими) и указан вид радиоактивного распада каждого из членов.
Элемент
Символ
Вид распада
Период полураспада
Уран
9产弋
a
4,5-109 лет
24,1 дня
Торий
00Th234
У
Протактиний
心34
0
1,14 мин
Уран
92g
a
2,7-103 лет
Торий
仙23。
a
8,2-104 лет
Радий
88R#26
a
1622 года
Радон
8而俨2
a
3,8 дня
Полоний
风218
a
3,05 мин
Свинец
8fb214
в
26,8 мин
Висмут
83Bi214
B，a
19,7 мин
Полоний
◎ 2T4
a
1,5-Ю'1 с
Таллий
8iT3。
0
1,32 мин
Свинец
82Pb21°
В
22,2 года
Висмут
8aBi'“°
3
4,97 дня
Полоний
84Po21°
a
139 дней
Свинец
82Pb2。6
Стабилен
ОО
Пользуясь этой таблицей и законами смещения (4) и (5), нетрудно- составить символическую запись всей цепи радиоактивных превращений, происходящих в данном семействе.
§ 140. О методах наблюдения и регистрации микрочастиц
При изучении атомных ядер и внутриядерных процессов (как естественных, так и искусственно вызванных) приходится иметь дело с крайне малыми частицами (электронами, протонами, а-частицами и т. п.). Для наблюдения и регистрации этих микрочастиц ядерная физика пользуется в основном следующими приборами и методами: ионизационным счетчиком, сцинтилляционным счетчиком, камерой
Вильсона, пузырьковой камерой, толстослойной фотографической эмульсией.
Ионизационный счетчик основан на возникновении газового разряда при ионизации газа движущейся заряженной микрочастицей.
Наиболее распространенным ви-
дом ионизационного счетчика является счетчик Гейгера — Мюллера, схема которого представлена на рис. 378. В стеклянном баллоне / (наполненном газом под давлением порядка 104 Па) находится цилиндрический конденсатор 2, внутренним электродом которого служит металлическая нить 3. На конденсатор подано напряжение от батареи 4 через высокоомное (порядка 109 Ом) сопротивление 5.
сатора пройдет кратковременный ток,сатора пройдет кратковременный ток,Если в конденсатор влетит заряженная микрочастица, то производимая ею ионизация газа вызовет газовый разряд. В цепи конден-
сатора пройдет кратковременный ток,
сатора пройдет кратковременный ток,
сопровождающийся падением напряжения на резисторе 5. Это колебание напряжения усиливается обычными радиотехническими способами и затем регистрируется вспышкой сигнальной лампочки или движением стрелки электромеханического счетчика.
способность счетчика (со специальным стигает 10 000 частиц в секунду.способность счетчика (со специальным стигает 10 000 частиц в секунду.Таким образом, счетчик Гейгера — Мюллера регистрирует каждую ионизирующую частицу. Разрешающая пересчетным устройством) до-
способность счетчика (со специальным стигает 10 000 частиц в секунду.
способность счетчика (со специальным стигает 10 000 частиц в секунду.
Сцинтилляционный счетчик основан на радиолюминесценции, т. е. на флуоресценции вещества под ударами частиц радиоактивного излучения.
Сцинтилляционный счетчик, схематически изображенный на рис. 379, представляет собой совокупность прозрачного моно-
кристаллического люминофора (сцинтиллятора} С и многокаскадного фотоэлектронного умножителя В. Фотоэлектронный умножитель имеет один катод К и несколько анодов Ль /2, Л3 и т. д. ; потенциал каждого последующего анода выше, чем предыдущего.
Счетчик действует следующим образом. Микрочастица, например а-частица, падая на сцинтиллятор С, вызывает в нем кратковременную вспышку (сцинтилляцию). Свет этой вспышки вырывает электроны из катода К. Вырванные фотоэлектроны летят к аноду Л i и выбивают из него по нескольку вторичных электронов. Возросший поток электронов направляется к аноду Л 2, где также выбивает вторичные электроны, и т. д. В результате на выходе фотоэлектронного умножителя возникает значительный импульс тока, регистрируемый счетным устройством.
Таким образом, сцинтилляционный счетчик ^( отмечает каждую микрочастицу, падающую на сцинтиллятор. Разрешающая способность сцинтилляционных счетчиков на несколько порядков выше, чем ионизационных счетчиков.
Камера Вильсона основана на том, что ионы, создаваемые в воздухе пролетающей микрочастицей, становятся ядрами конденсации (см. § 67) для пересыщенного пара. Изобретена в 1912 г. английским физиком Вильсоном.
Камера Вильсона состоит из цилиндра /, герметически закрытого стеклянной крышкой 2, и поршня 3 (рис. 380). При резком опускании поршня воздух, находящийся в рабочем объеме камеры (над поршнем), адиабатически расширяется и охлаждается. Водяной пар, содержащийся в воздухе, становится пересыщенным и конденсируется на ионах, созданных микрочастицей, влетевшей в камеру через тонкую часть стенки цилиндра. Весь путь частицы оказывается усеянным водяными капельками. Освещая рабочий объем камеры, можно увидеть и сфотографировать этот путь, или, как его принято называть, трек.
По виду трека можно судить о природе ионизирующей частицы (например, трек электрона тоньше и длиннее трека а-частицы).
В 1924 г. П. Л. Капица и Д. В. Скобельцын разработали метод исследования частиц посредством камеры Вильсона, помещенной в сильное магнитное поле.
В этом случае треки оказываются изогнутыми (частица имеет за・ ряд). По радиусу их кривизны можно определять массу, заряд и скорость ионизирующих частиц.
На рис. 381 изображены треки а-частиц, сфотографированные в магнитной камере Вильсона.
Пузырьковая камера основана на том, что ионы, возникающие на пути заряженной микрочастицы, движущейся внутри растянутой жидкости (см. § 64), становятся центрами парообразования. Изобре-
тена в 1952 г. американским физиком Д. Глезером. Представляет собой сосуд с расширительным устройством, наполненный жидкостью в состоянии, близком к растянутому. В качестве жидкости применяются эфир, фреон, жидкий азот, пропан и др.
Исследуемая микрочастица, пролетая через камеру, ионизирует молекулы жидкости; одновременно расширительное устройство резко снижает давление в камере. Жидкость становится растянутой и закипает; в ней возникают мельчайшие пузырьки пара, в первую очередь на ионах. Поэтому весь путь микрочастицы оказывается усеянным пузырьками, хорошо видимыми благодаря специальному освещению. Это позволяет наблюдать и фотографировать треки.
Так как жидкость является достаточно плотной средой, то движущиеся в ней микрочастицы сильно тормозятся и останавливаются, пройдя сравнительно короткий путь.
Благодаря этому с помощью пузырьковой камеры можно исследовать микрочастицы, обладающие очень высокой энергией (камеру Вильсона такая частица пронизала бы насквозь, не дав законченного трека).
Метод толстослойных фотографических эмульсий основан на том, что заряженная микрочастица, попадая в слой мелкозернистой фотоэмульсии, оставляет в нем скрытый след своего пути.
Рис. 382Рис. 382После проявления фотоэмульсии след чернеет. По длине, форме, степени почернения и другим характеристикам следа (рассматриваемого под микроскопом) можно определить массу, заряд, скорость и энергию частицы.
Рис. 382
Рис. 382
Этот метод разработан в 1926—1929 гг.
Л. А Мысовским и Л. П. Ждановым. Фотоэмульсией служит желатиновый слой, содержащий микрокристаллы бромистого серебра; толщина слоя около 1 мм.
попировать в течениепопировать в течениеПоскольку фотоэмульсию можно экс- длительного времени, данный метод оказы-
попировать в течение
попировать в течение
вается особенно ценным для наблюдения редко встречающихся микрочастиц и исследования редких ядерных процессов. На рис. 382 показаны следы, оставленные в фотоэмульсии осколками атомного ядра, разрушенного ( в точке Д) быстрым протоном; один из этих осколков затем распался (в точке В) на три частицы.
В заключение подчеркнем, что с помощью рассмотренных методов можно непосредетвенно наблюдать только заряженные частицы. Нейтральные частицы непосредственно не наблюдаются, так как они не производят ионизации атомов вещества (и, следовательно, не дают треков).
Данные о массе, скорости и энергии нейтральных частиц получают косвенно, изучая характер действия этих частиц на заряженные (при расчетах пользуются законами сохранения энергии и количества движения).
§ 141. Ядерные реакции* Искусственная радиоактивность
Изучение естественной радиоактивности показало, что превращение одного химического элемента в другой обусловлено внутриядерными процессами, т. е. изменениями, происходящими внутри атомных ядер. В связи с этим были предприняты попытки искусственного превращения одних химических элементов в другие путем воздействия на атомные ядра. Эффективным средством такого воздействия оказалась бомбардировка атомных ядер частицами высокой энергии (от нескольких миллионов до десятков миллиардов электрон-ЕОльт).
Рис. 383Рис. 383Первоначально в каче-
Рис. 383
Рис. 383
7“7“стве бомбардирующих частиц использовались а-ча- стицы радиоактивного излучения. В дальнейшем стали применять и другие заряженные частицы, предварительно сообщая им очень большую скорость
7“
7“
(кинетическую энергию) в
специальных ускорителях, например в циклотронах (см. § 102). Кроме того, теперь используются потоки заряженных и нейтральных частиц, создаваемые ядерными реакторами (см. § 143).
Процесс превращения атомных ядер, обусловленный воздействием на них быстрых элементарных частиц (или ядер других атомов), называется ядерной реакцией.
Первая искусственная ядерная реакция была осуществлена в 1919 г\ Резерфордом, превратившим атомные ядра азота в ядра изотопа кислорода; в качестве бомбардирующих частиц использовались а-частицы естественного радиоактивного излучения. Реакция проводилась в камере Вильсона, наполненной азотом. После а-облучения азота в рабочем объеме камеры появились атомы изотопа кислорода и атомные ядра водорода, т. е. протоны.
Данная реакция протекает следующим образом (рис. 383): а-час> тица попадает в атомное ядро азота 7N14 и поглощается им. Образующееся при этом промежуточное ядро 9Х18 (ядро изотопа фтора SF18} оказывается неустойчивым: оно мгновенно выбрасывает из себя один протон, превращаясь в атомное ядро изотопа кислорода 8О17. Эту реакцию можно записать так:
7№4 + 户1 f9p 8 f gO^ + iH1,
или
?№4 + af 9卩 8 f 8。17+".
Сейчас пользуются еще более сокращенным способом записи ядерных реакций. После символа ядра-мишени указывают в скобках бомбардирующую частицу и все другие частицы, появляющиеся в результате реакции; за скобкой ставят символ ядра-продукта (атомный номер элемента обычно не пишут). Применительно к рассматриваемой реакции этот способ записи выглядит так:
№&(% р)О生
На рис. 384, а приведена фотография, на которой зафиксирован процесс превращения одного из атомных ядер азота в камере Вильсона. Веерообразно расходящиеся белые нити являются треками
Рис. 384
а-частиц. На конце одного из треков (точка ^) имеется характерное разветвление — «вилка» (ее схема дана на рис. 384, 6). Здесь а-час- тица вклинилась в ядро азота, в результате чего образовались ядро изотопа кислорода и протон. Короткий толстый трек ядра кислорода направлен влево вверх, а длинный тонкий трек протона — вправо вниз.
Таким образом, опыт Резерфорда подтвердил возможность осуществления искусственных ядерных реакций и вместе с тем непосред- ственно показал, что протоны входят в состав атомных ядер и могут быть выделены (выбиты) из этих ядер.
Как видно на фотографии (см. рис. 384, а), лишь немногие а-час- тицы попадают в ядро и вызывают ядерную реакцию. Это объясняется, во-первых, тем, что атомные ядра расположены сравнительно далеко друг от друга, и, во-вторых, тем, что между положительно заряженным ядром и а-частицей возникают (при их сближении) очень большие кулоновские силы отталкивания; поэтому в ядро может вклиниться только а-частица, обладающая достаточно высокой энергией. В этой связи отметим, что наиболее эффективными снарядами для обстрела атомных ядер являются нейтральные частицы (особенно нейтрон), поскольку между ними и ядрами нет электростатического отталкивания.
Рассмотрим еще одну ядерную реакцию (проведенную в 1932 г. английским физиком Чедвиком)^ в результате которой был впервые обнаружен нейтрон. При бомбардировке бериллиевой пластинки а-частицами (рис. 385) ядро бериллия 4Ве9 захватывает а-частицу и, испуская нейтрон п, превращается в ядро углерода 6С12:
《ВУ + 2a& f б1 + о”.
Нейтроны, вылетающие из бериллия, направляются в камеру Вильсона, наполненную азотом. При попадании нейтрона в ядро азота 7N14 образуются ядро бора 5ВИ и а-частица:
n他+ 0标f5B" + “.
Сам нейтрон не дает трека в камере (см. рис. 385), но по трекам ядра бора и а-частицы можно рассчитать, что данная реакция вызвана нейтральной частицей массой в 1 а. е. м., т. е. нейтроном.
Отметим, что свободный нейтрон существует недолго. Он либо вступает в ядерную реакцию с каким-нибудь атомным ядром, либо
Рис. 385Рис. 385превращается в протон, испуская р -частицу и нейтрино: 九(р, v)p. Следовательно, нейтрон радиоактивен; согласно опытным данным, его пе- ®—
Рис. 385
Рис. 385
риод полураспада составляет " около 11,7 мин (см. примечание на стр. 527).
Все ядерные реакции сопровождаются испусканием
тех или иных элементарных
частиц (в том числе 7-фотонов). Продукты многих ядерных реакций оказываются р ад ио акт и вным и; их называют искусственно радиоактивными изотопами. Явление искусственной р адио акт и вност и было открыто в 1934 г. известными французскими физиками Фредериком и Ирен 恥几ио-Кюри.
Примером получения радиоактивных изотопов может служить реакция захвата нейтронов фосфором 1бР31. При этом захвате испускается у-фотон и образуется радиоактивный изотоп фосфора 1БР32:
15рз1 + п^15рз2 + ъ
Период полураспада изотопа фосфора Т = 14,3 дня; распад ядра изотопа, сопровождающийся испусканием р-частицы*, ведет к образованию стабильного изотопа серы 16S32:
Как и естественно радиоактивным веществам, искусственно радиоактивным изотопам свойственны「, 0・ и а-распады. Однако имеются и такие искусственно радиоактивные изотопы, которые обладают по-
* Напомним, что одновременно с р-частицей испускается нейтрино (см. § 139).
зитронным распадом, т. е. испускают позитроны (см. § 139 и 145). Примером образования позитронно радиоактивного изотопа может служить реакция бомбардировки алюминия а-частицами, открытая Жолио-Кюри. В данном случае ядро алюминия 13А127 испускает нейт« рон и превращается в ядро радиоактивного изотопа фссфсра 15Р30, период полураспада которого Т = 2,5 мин. Этот изотоп, испуская позитрон §+, превращается в стабильный изотоп кремния 14Si30. Реакция идет по схеме:
13Al27 + QCf ]5P2° + %；15P30->14Si30 + p+.
В промышленном масштабе искусственные радиоактивные изотопы получают путем облучения (главным образом нейтронного) соответствующих химических элементов в ядер ном реакторе.
В настоящее время получено по нескольку изотопов для каждого химического элемента; их общее число превышает 1 5С0. Многие из них широко применяются в качестве меченых атомов (см. § 146) в самых разнообразных отраслях человеческой деятельности.
Элем ент
Изотоп
Вид распада
Период полураспада
Углерод
5720 лет
Азот
9,9 мин
Кислород
8015
2,1 мин
Натрий
宀2
Г, 7
2,6 года
Фосфор
1产
14,3 дня
Сера
16s35
87,1 дня
Калий
19K42
广，7
12,4 часа
Кальций
2045
К
152 дня
Марганец
2m56
匕Т
2,6 часа
Железо
26F19
46,3 дня
Кобальт
27M
5,3 года
Цинк
3oZ№
Г，I
250 дней
Мышьяк
33As76
Г> 7
26,8 часа
Иод
К，т
8 дней
В таблице приведены характеристики некоторых искусственных радиоактивных изотопов, наиболее употребляемых в биологии и сельском хозяйстве. С помощью этих изотопов исследуются процессы питания сельскохозяйственных растений и животных, миграция насекомых, фотосинтез, передвижение грунтовых вод, проводится радиоактивное облучение семян, ведется борьба с вредителями сельскохозяйственных растений и т. п (см. § 146).
Для уничтожения вредителей зерна практикуется его облучение перед за* сыпкой в элеваторы гамма-лучами радиоактивного изотопа кобальта 2760°®. При этом погибают личинки амбарного долгоносика и других опасных вредителей, но полностью сохраняются питательные и хлебопекарные свойства зерна.
Продуктовый картофель, подвергнутый перед закладкой в хранилище воздействию определенной дозы радиоактивного облучения, предохраняется от ве-
сенне-летнего прорастания без всякого изменения пищевых качеств. Вместе с тем малые дозы предпосевного облучения семян сельскохозяйственных культур, как правило, ускоряют созревание этих культур, увеличивают количество и улучшают качество урожая.
§ 142. Энергия связи и дефект массы атомного ядра
Как уже отмечалось (см § 138), нуклоны прочно связаны в ядре атома ядерными силами. Для разрыва этой связи, т. е. для полного разобщения нуклонов, необходимо затратить некоторое количество энергии (совершить некоторую работу).
Энергия, необходимая для разобщения нуклонов, составляющих ядро, называется энергией связи ядра. Величину энергии связи можно определить на основе закона сохранения энергии (см. § 18) и закона пропорциональности массы и энергии (см. § 20).
Согласно закону сохранения энергии, энергия нуклонов, связанных в ядре, должна быть меньше энергии разобщенных нуклонов на величину энергии связи ядра £. С другой стороны, согласно закону пропорциональности массы и энергии, изменение энергии системы AW сопровождается пропорциональным изменением массы системы 厶加：
АГ = △恤* (10) где с — скорость света в вакууме. Так как в рассматриваемом случае △阳 и есть энергия связи ядра £, то масса атомного ядра должна быть меньше суммы масс нуклонов, составляющих ядро, на величину А/п, которая называется дефектом массы ядра. По формуле (10) можно рассчитать энергию связи ядра £, если известен дефект массы этого ядра Дт.
В настоящее время массы атомных ядер определены с высокой степенью точности посредством масс-спектрографа (см. § 102); массы «уклонов также известны (см. § 138). Это дает возможность определять дефект массы любого ядра и рассчитывать по формуле (10) энергию связи ядра.
В качестве примера рассчитаем энергию связи ядра атома гелия. Оно состоит из двух протонов и двух нейтронов. Масса протона тр = = 1,0073 а. е. м., масса нейтрона тп = 1,0087 а. е. м. Следовательно, масса нуклонов, образующих ядро, равна 2mp + 2mn = =4, 0320 а. е. м. Масса же ядра атома гелия 加笈=4,0016 а. е. м. Таким образом, дефект атомного ядра гелия равен
А优=4,0320 - 4,0016 = 0,03 а. е. м., или
Дт = 0,03 • 1,66 ・ 10-27 * 5 ・ з(к「)・
Тогда энергия связи ядра гелия равна
£ = A；77c2 = 5・【Of.，is，дж _ 4,5・ Ют дж= 1^222!эВ 28 МэВ.
Общая формула для расчета энергии связи любого ядра в джоулях по его дефекту массы будет, очевидно, иметь вид
& = с? {[Ztnp + (А — Z) • mj — /nJ,
где Z ——атомный номер, А — массовое число. Выражая массу нуклонов и ядра в атомных единицах массы и учитывая, что
。2.1а.е.м. = 金 1山，1，66:1。二 эB = 931 МэВ
1,6 • ЮТ
можно написать формулу энергии связи ядра в мегаэлектронвольтах；
g = 931 [Zmp + (力 一 Z)团〃一mJ(11)
Энергия связи ядра, приходящаяся на один нуклон, называется удельной энергией связи е. Следовательно,
У ядра гелия
Е =个=7 (МэВ).
Удельная энергия связи характеризует устойчивость (прочность) атомных ядер: чем больше е, тем устойчивее ядро.
Согласно формулам (11) и (12),
QQ1
£ = 一^— [Zm。+ (Л — Z) тл — т^.(13)
Еще раз подчеркнем, что в формулах (11) и (13) массы нуклонов и ядра выражены в атомных единицах массы (см. § 138).
По формуле (13) можно рассчитывать удельную энергию связи любых ядер. Результаты этих расчетов представлены графически на рис. 386; по оси ординат отложены удельные энергии связи в МэВ, по оси абсцисс — массовые числа А. Из графика следует, что удельная энергия связи максимальна (8,65 МэВ)
у ядер с массовыми чис- ис*лами порядка 100; у тяжелых
и у легких ядер она несколько меньше (например, 7,5 МэВ у урана, 7 МэВ у гелия). У атомного ядра водорода iH1 удельная энергия связи равна нулю, что вполне понятно, поскольку в этом ядре нечего разобщать: оно состоит только из одного нуклона (протона).
Всякая ядерная реакция сопровождается выделением или же поглощением энергии. График зависимости е от А позволяет определить,
при каких превращениях ядра происходит выделение энергии и при каких — ее поглощение. При делении тяжелого ядра на ядра с массовыми числами А порядка 100 (и более) происходит выделение энергии (ядерной энергии). Поясним это следующим рассуждением. Пусть, например, произошло разделение ядра урана U?38 (力工=238) на два
атомных ядра («осколка») с массовыми числами А2 = 119. Удельная энергия связи ядра урана е4 = 7,5 МэВ, удельная энергия связи каждого из новых ядер е2 = 8,6 МэВ. Для разобщения всех нуклонов, составляющих атомное ядро урана, необходимо затратить энергию, равную энергии связи ядра урана:
召 1 =气4 = 7,5 • 238 = 1785 (МэВ).
При объединении этих нуклонов в два новых атомных ядра ( с массовыми числами 119) выделится энергия, равная сумме энергий связи новых ядер:
统=2£2Л2 = 2 ・ 8,6 ・ 119 = 2046,8 (МэВ).
Следовательно, в результате реакции деления ядра урана выделится ядерная энергия в количестве А8, равном разности между энергией связи новых ядер и энергией связи ядра урана:
△8 =調一負=2046,8 - 1785 = 261,8 (МэВ).
Выделение ядер ной энергии происходит и при ядерных реакциях иного типа — при объединении (синтезе) нескольких легких ядер в одно ядро. В самом деле, пусть, например, имеет место синтез двух ядер натрия Na23 (4】=23) в ядро с массовым числом А2 =46. Удельная энергия связи ядра натрия е【=7,9 МэВ, удельная энергия связи синтезированного ядра е2 == 8,4 МэВ. Для разобщения всех нуклонов, образующих два ядра натрия, необходимо затратить энергию, равную удвоенной энергии связи ядра натрия:
% = 2%4 = 2 ・ 7,9 ・ 23 = 363,4 (МэВ).
При объединении этих нуклонов в новое ядро (с массовым числом 46) выделится энергия, равная энергии связи нового ядра:
庵=%4 = 8,4 • 46 = 386,4 (МэВ).
Следовательно, реакция синтеза ядер натрия сопровождается выделением ядер ной энергии в количестве А£, равном разности энергии связи синтезированного ядра и энергии связи ядер натрия:
= % - % = 386,4 — 363,4 = 23 (МэВ).
Таким образом, мы приходим к выводу, что
выделение ядерной энергии происходит как при реакциях деления тяжелых ядер, так и при реакциях синтеза легких ядер, Количество ядерной энергии А8, выделяемое каждым прореагировавшим ядром, равно разности между энергией связи £ 2 продукта реакции и энергией связи & исходного ядерного материала:
а8 =金一瓦・(14)
Это положение является исключительно важным, поскольку на нем основаны промышленные способы получения ядерной энергии.
Отметим, что наиболее выгодной, в отношении энергетического выхода, является реакция синтеза ядер водорода Н1 или дейтерия
D2, поскольку, как это следует из графика (см. рис. 386), в данном случае разность энергий связи синтезируемого ядра и исходных ядер будет наибольшей.
Реакция деления. Цепная реакция. Ядерный реактор
Делиться, т. е. распадаться на две части, может только возбужденнее ядро. Для возбуждения ядра необходимо сообщить ему достаточное количество энергии (энергии возбуждения), что можно сделать путем обстрела ядра, например а-частицами или протонами. Наиболее эффективными «снарядами» являются, как уже отмечалось, нейтроны, поскольку они будучи электрически нейтральными, не испытывают электростатического отталкивания со стороны ядра.
В 1938—1939 гг. благодаря работам ряда ученых была открыта реакция деления ядер урана, обстреливаемых нейтронами. Основываясь на капельной модели ядра, можно описать эту реакцию следующим образом.
Захватив нейтрон п ядро урана U становится возбужденным и деформируется (рис. 387). Если возбуждение невелико, то ядро, освобождаясь от излишка энергии путем испускания 7-фотона или нейтрона возвращается в устойчивое состояние. Если же энергия возбуждения достаточно велика, то в ядре образуется перетяжка, аналогичная перетяжке между двумя ча
стями раздваивающейся капли жидкости. Ядерные силы, действующие в узкой перетяжке, уже не могут противостоять значительной кулоновской силе отталкивания одноименно заряженных частей ядра. Перетяжка разрывается и ядро распадается на два «осколка», разлетающихся с огромными скоростями в противоположные стороны. Кроме того, в момент деления из ядра выбрасываются 2——3 нейтрона, называемые мгновенными.
Энергетический спектр мгновенных нейтронов простирается от очень малых энергий ——порядка 1 эВ и менее (соответствующих тепловому движению нейтронов при нормальной температуре), примерно до 10 МэВ. Большинство мгновенных нейтронов имеет энергии 1——2 МэВ. Нейтроны, обладающие энергией, большей 1,5 МэВ, называются быстрыми, нейтроны меньшей энергии ——медленными (нейтроны с очень малыми энергиями носят название тепловых).
Осколки разделившегося ядра являются радиоактивными: они испускают 7-фотоны, р-частицы и нейтроны; эти нейтроны в отличие
от мгновенных называются запаздывающим и (выбрасываются в течение нескольких минут после акта деления). Число запаздывающих нейтронов ссставляет около 1 % всех нейтронов, образующихся при делении.
Способностью делиться на две части под действием нейтронов обладают ядра всех тяжелых элементов. Наиболее важными в практическом отношении делящимися материалами являются 5 ран 92U238, актиноуран 92^235, искусственный изотоп урана gzU^' и плутоний 94Pli239. Ядра 92U 235 , 92建33 и 94Pu239 делятся под действием как быстрых, так и медленных (в том числе и тепловых) нейтронов, а ядра 92U238 —— только под действием быстрых нейтронов. Медленные нейтроны поглощаются ураном-238, не вызывая деления Продукты деления тяжелых ядер разнообразны: их массовые числа лежат в пределах от 70 до 160. Однако чаще всего массы осколков данного ядра относятся как 2 к 3. Примером такого деления может служить распад актиноурана на изотопы криптона и бария с испусканием трех нейтронов:
92U235 + 〃 т збКУз + мВ即。+ Зи.
Наряду с делением под действием нейтронов имеет место самопроизвольное деление тяжелых ядер, правда, в очень незначительной мере; например, в 1 г урана происходит всего лишь около 20 самопроизвольных распадов в час. Это явление было открыто в 1940 г. советскими физиками К. Л. Петржаком и Т. Н. Флеровым.
Энергия, освобождающаяся при делении тяжелого ядра, составляет около 200 МэВ, причем примерно 80% этой величины выделяется в виде кинетической энергии осколков; остальные 20% приходятся на энергию радиоактивного излучения осколков и кинетическую энергию мгновенных нейтронов.
Если учесть, что энергия нейтрона, вызывающего деление ядра (т. е. затрачиваемая энергия), не превышает 7—10 МэВ, а обычно бывает значительно, меньшей, то окажется, что ядерно делящиеся материалы могут служить источником колоссальных энергий. Например, энергия, освобождающаяся при делении всех ядер, содержащихся в 1 кг урана-235, равна примерно 2,3 ・ 107 кВт ・ ч. Для сравнения укажем, что такое количество энергии выделяется при сгорании 2 000 000 кг бензина, или 2 500 000 кг каменного угля, или, наконец, при взрыве 25 000 000 кг тринитротолуола (тротила).
Следует, однако, иметь в виду, что для выделения больших количеств ядер ной энергии необходимо, чтобы делению подвергалась значительная часть ядер, содержащихся в массе «ядер но го горючего». Поэтому реакция деления должна быть саморазвивающе山са、или цеп- ной\ при каждом акте деления должны появляться новые нейтроны, из которых хотя бы один вызывал следующий акт деления.
Наиболее просто цепная реакция осуществляется в веществе, ядра которого делятся под действием медленных нейтронов, например в уране-235. В самом деле, достаточно какому-нибудь случайному («блуждающему») нейтрону попасть в одно из ядер урана-235, как произойдет деление данного ядра (рис. 388). Возникающие при этом 2—3 мгновенных нейтрона попадут в 2—3 других ядра урана, вызвав их деление. В результате появится 4——9 мгновенных нейтронов, способных вызвать деление следующих 4—9 ядер, и т. д.
Несмотря на то что при делении каждого ядра урана возникает 2—3 нейтрона, не все они вызывают деление других ядер; часть нейтронов может быть захвачена ядрами неделящихся (или трудно делящихся) примесей, присутствующих в ядер ном горючем, часть нейтронов может вылететь через поверхность объема горючего материала, не успев столкнуться с его ядрами. Существуют и другие причины, уменьшающие число нейтронов, активно участвующих в цепной реакции.
Развитие цепной реакции характеризуется так назы
ваемым коэффициентом размножения нейтронов К, который измеряется отношением числа ^i нейтронов, вызывающих деление ядер вещества на одном из этапов реакции, к числу N^ нейтронов, вызвавших деление на предыдущем этапе реакции:
Например, цепной реакции, изображенной на рис. 388, соответствует коэффициент размножения нейтронов
К— = 2.
24
Коэффициент размножения зависит от ряда факторов, в частности от природы и количества делящегося вещества и от геометрической формы занимаемого им объема. Одно и то же количество данного вещества имеет наибольшее значение коэффициента К при шарообразной форме объема, поскольку в этом случае потеря мгновенных нейтронов через поверхность объема будет наименьшей (шар имеет минимальную поверхность при данном объеме).
Масса делящегося вещества, в которой цепная реакция идет с коэффициентом /С = 1, называется критической массой данного вещества. Для чистого актиноурана критическая масса составляет около 40 кг (при шарообразной форме объема).
Если масса ядерного горючего меньше критической, то /<<1 и реакция деления не будет развиваться (затухнет). Если масса горючего равна критической, то К = 1 и цепная реакция будет идти с постоянной интенсивностью; такая реакция применяется в ядерных реакторах. Если же масса горючего больше критниеско访，то К〉1; в этом случае цепная реакция будет бурно развиваться и может привести к взрыву. Такая реакция имеет место в атомной бомбе.
В атомную бомбу заложена масса делящегося вещества (например, актиноурана), превышающая критическую, но разделенная на несколько частей, каждая из которых меньше критической. Бомба взрывается после того, как эти части быстро сближаются и объединяются (посредством взрыва обычного взрывчатого вещества).
В зоне взрыва атомной бомбы температура повышается до десятков миллионов кельвинов, а давление достигает сотен миллиардов паскалей. Взрыв сопровождается интенсивным испусканием 7-фотонов и нейтронов. Кроме того, местность в окрестностях взрыва заражается радиоактивными продуктами деления ядер (ядерными осколками). В дальнейшем это заражение распространяется на огромные территории (посредством воздушных и водных течений).
Для промышленного получения ядер ной энергии необходимо управлять цепной реакцией, поддерживая значение коэффициента размножения нейтронов равным единице. Это осуществляется путем введения в массу ядерного горючего подвижных управляющих стержней, содержащих кадмий или бор, которые являются сильными поглотителями нейтронов. Вначале управляющие стержни выдвигаются из котла с ядерным горючим и цепная реакция идет при К>1. Затем, когда нейтроны размножатся в достаточном количестве, управляющие стержни вдвигаются в котел и, поглощая часть нейтронов, замедляют цепную реакцию. Глубина погружения стержней автоматически регулируется так, чтобы К = 1. При этом реакция стабилизируется: число нейтронов, образующихся в единицу времени, остается постоянным.
Установки, предназначенные для промышленного получения ядер- ной энергии, называются ядерными реакторами^*.
На рис. 389 изображена схема ядерного реактора, работающего на природном уране, предварительно обогащенном ураном-235 до 5% (природный уран состоит на 99,3% из 92U238 и на 6,7% из 92U235). Уран вводится в реактор в виде стержней.
Цепная реакция ведется на медленных (тепловых) нейтронах, которые хорошо поглощаются ядрами урана-235, вызывая их деление, и сравнительно слабо поглощаются ядрами урана-238. Для этого пространство между урановыми стержнями заполняется замедлителем нейтронов, в качестве которого используется, например, графит.
Уранобый стертУранобый стертРис 389Рис 389
Уранобый стерт
Уранобый стерт
Рис 389
Рис 389
Осколки урановых ядер, образующиеся в процессе цепной реакции, затормаживаются замедлителем, отдавая ему свою кинетическую энергию. Благодаря этому температура в активной зоне реактора повышается до 800——900 К. Посредством теплоносителя (тяжелой воды или расплавленного металла, циркулирующего по трубам) теплота отводится из активной зоны реактора и превращается в механическую и затем в электрическую энергию.
Я ар яду с выделением энергии 6 ядерном реакторе происходит образование и накопление нового ядерного топлива ——плутония 04Ри239.
Управляющий стержень
Замедлитель нейтроноб
Канал для облучения Отражать нейтроноЬ
Заш.итньш корпус
Тшоносишь
Дело в том, что ядро 92U238, поглотив медленный нейтрон, превращается, испуская у-фотон, в ядро радиоактивного изотопа 92U238 с периодом полураспада Т = 23 мин. В свою очередь это ядро испускает р-частицу и превращается в ядро радиоактивного трансуранового элемента нептуния 93Np239 с периодом полураспада Т = 2,3 дня. Ядро нептуния, испуская р-частицу, превращается в ядро трансуранового элемента плутония 94Ри239. Описанная реакция идет по схеме 92U238 +拉 f 92U239 十 丁
II
ОЗМ +『
II
2
ОО
J>U239 + 匕
Плутоний-239 является хорошим ядерным топливом: его ядра делятся под действием медленных нейтронов, подобно ядрам урана-235. Плутоний радиоактивен: он испускает а-, р- и ^-лучн. Его период полураспада Т = 24 100 лет, благодаря чему плутоний можно накапливать в больших количествах.
Ядерный реактор является мощным источником нейтронных потоков и радиоактивных излучений, используемых для изготовления искусственных радиоактивных изотопов. Вещества, которые надо подвергнуть облучению, помещаются в специальные каналы, проделанные в защитном корпусе реактора (см. рис. 389).
Реакция синтеза (термоядерная реакция). Энергия звезд
Синтез двух (или нескольких) легких ядер в одно ядро сопровождается, как мы уже знаем (см. § 142), выделением ядер ной энергии. Например, при реакции синтеза ядер дейтерия и трития в ядро гелия выделяется энергия 17,5 МэВ:
1Н2 + [Нз f 2Не4 + 九 + 17,5 МэВ.
Простой расчет показывает, что если такой реакции подвергнутся все ядра, содержащиеся в 1 кг смеси дейтерия с тритием, то выделится колоссальное количество ядер ной энергии W:
IF =丄к「• б,02・ 1023 м吧士 ・ us ・ 1обэв ・ 1,6 ・ Ют。Дж/эВ = 0,0025кг • моль-1
=7,2 . 1014 Дж
(0,0025 кг • моль1 — молярная масса смеси, состоящей из равного числа дейтронов и тритонов). Эта энергия в 8 с лишним раз больше энергии, выделяющейся при реакции деления 1 кг урана-235.
Очевидно, что для объединения двух ядер в одно они должны, преодолевая кулоновскую силу взаимного отталкивания, сблизиться на расстояние порядка 10'13 см; тогда дальнейшее их сближение (“ объединение) совершат уже ядерные силы. Следовательно, объединяемые ядра должны обладать достаточно большой кинетической энергией для совершения работы против кулоновских сил отталкивания; это является необходимым условием осуществления реакции синтеза.
Как показывают расчеты, для осуществления реакции синтеза дейтерия и трития в гелий дейтроны и тритоны должны обладать кинетической энергией порядка 0,01 МэВ*. Следовательно, 8 принципе синтез гелия можно осуществлять путем обстрелатритонов дейтронами, ускоренными до энергии 0,01 МэВ. Однако практически этот способ оказывается совершенно неэкономичным. Дело в том, что ввиду ма-
лости размера реагирующих частиц (дейтронов и тритонов) вероятность их столкновения крайне мала: лишь очень немногие дейтроны будут сталкиваться с тритонами. В результате энергия, затраченная на ускорение дейтронов, окажется больше энергии, выделившейся при реакции синтеза. 。
Реакция синтеза станет эффективной (экономически выгодной) только в том случае, если в смеси дейтерия с тритием все ядра (или по крайней мере значительная часть их) будут обладать энергией порядка 0,01 МэВ. Этого можно достигнуть путем нагревания смеси до такой температуры, при которой средняя кинетическая энергия теплового движения атомов смеси приблизится к 0,01 МэВ. Нетрудно показать, что такая температура измеряется десятками миллионов кельвинов. Действительно, средняя кинетическая энергия W теплового движения частицы выражается соотношением
W = —kT
2
где k — постоянная Больцмана, Г — абсолютная температура (см. § 42). Тогда
7 =三.史=二=7 7 000 000 (К).
3 论 3 1,38 ♦10-33
Итак, реакция синтеза может идти только при температуре в десятки миллионов кельвинов, в связи с чем она получила название термоядерной реакции. При этой температуре «термоядерное горючее» является плазмой9 т. е. газом, состоящим из электронов и «оголенных» ядер (лишенных электронной оболочки).
В земных условиях столь высокие температуры создаются только во взрывающейся атомной бомбе. Поэтому пока что освоена только термоядерная реакция взрывного типа, реализуемая в водородной бомбе.
Водородная бомба представляет собой массивный герметизированный сосуд, наполненный жидкой смесью дейтерия с тритием. В верхней внутренней части сосуда помещается небольшая атомная бомба, при взрыве которой смесь дейтерия с тритием мгновенно нагревается до температуры в десятки миллионов кельвинов. Благодаря этому происходит бурная термоядерная реакция, заканчивающаяся взрывом водородной бомбы.
Сила взрыва водородной бомбы в десятки раз превосходит силу взрыва атомной бомбы.
Осуществление управляемой термоядерной реакции встречается с большими трудностями. Чтобы создать термоядерный реактор, необходимо обеспечить регулируемое нагревание плазмы до десятков миллионов кельвинов. Кроме того, что особенно сложно, необходимо полностью устранить соприкосновение плазмы со стенками какого бы то ни было вещественного сосуда.
В настоящее время в СССР и других странах ведутся теоретические и экспериментальные исследования по созданию условий для управления термоядерной реакцией. Возможно, что плазма будет соз-
даваться с помощью искрового разряда (см. § 93) и удерживаться в определенной области пространства посредством тороидального магнитного поля (см. § 101).
Осуществление управляемой термоядерной реакции полностью разрешит энергетическую проблему, поскольку сырье (вода) для получения дейтерия имеется на Земле в практически неограниченном количестве.
Термоядерные реакции являются, по-видимому, единственным источником энергии, излучаемой Солнцем и звездами. Эти космические тела более чем на 50% состоят из водорода, а температура в их центральной части имеет порядок десятков миллионов кельвинов.
Таким образом, на Солнце и звездах имеются все необходимые условия для развития термоядерных реакций.
Одна из таких реакций, называемая протонно-протонным циклом (р—p-циклом) состоит из нескольких последовательных ядерных превращений, в результате которых четыре протона объединяются в ядро гелия; при этом испускаются у-фаэтон, два нейтрино и два позитрона. Результат р—p-цикла можно записать так:
41H1->2He4 + 2?+ + 2v + T.
Энергия, выделяющаяся в каждом р—p-цикле, составляет около 25 МэВ, что соответствует 628 млрд. Дж на 1 г водорода (I).
Расчеты показывают, что запас водорода на Солнце обеспечит осуществление термоядерных реакций в течение многих миллиардов лет.
Космические лучи. Элементарные частицы
Первичные космические лучи представляют собой поток атомных ядер (преимущественно протонов и а-частиц), влетающих с огромными скоростями в зем、 ную атмосферу из мирового пространства. Столкновение этих ядер с ядрами атомов, входящих в состав воздуха, приводит к образованию новых ядер и различных элементарных частиц; их поток носит название вторичных космических лучей. Первичные космические лучи в значительной мере поглощаются атмосферой, поэтому земной поверхности достигают главным образом порожденные ими вторичные космические лучи.
Космические лучи были открыты в 1912 г. немецким физиком 6・ Гессом. Происхождение этих лучей еще не выяснено; существует лишь ряд гипотез, среди которых наиболее приемлемой считается гипотеза В. Л. Гинзбурга и И. С. Шкловского о генерации космических лучей при вспышках сверхновых звезд. Для изучения космических лучей используются ионизационные приборы, описанные в § 140.
Интенсивность космических лучей имеет максимум на высоте около 20 км над уровнем моря (благодаря образованию вторичных космических лучей). С уменьшением высоты интенсивность уменьшается (за счет поглощения лучей атмосферой), достигая на уровне моря минимального значения (здесь лучами создается в среднем 1,8 пары ионов в 1 см8 воздуха за 1 с).
Средняя энергия частиц первичного космического излучения (на верхней границе атмосферы) составляет около 104 МэВ, отдельные частицы обладают энергией порядка 101а МэВ. Следовательно, космические лучи являются источником частиц сверхвысоких энергий, еще не достигнутых в лабораторных условиях (в ускорителях). При взаимодействии таких частиц с веществом происхо-
дят принципиально новые ядерные реакции, изучение которых углубляет наши знания о свойствах ядер и элементарных частиц. Именно в этом состоит главная научная ценность космических лучей. Уместно отметить, что большинство элементарных частиц было впервые обнаружено в космических лучах.
Переходя к вопросу об элементарных частицах, следует уточнить определение этого понятия. Элементарными называются частицы, которым на современном уровне знаний нельзя приписать определенную внутреннюю структуру, т. е. нельзя представить их состоящими из каких-либо других частиц. Сейчас известно 32 вида элементарных частиц, не считая резонансов, т. е. исключительно короткоживущих частиц со средним временем жизни порядка 10"28 с (в настоящее время известно около 100 резонансов).
Элементарные частицы характеризуются массой (покоя), электрическим зарядом, средним временем жизни и некоторыми другими величинами (которых мы не будем касаться). По значению массы покоя Л4о элементарные частицы можно подразделить на следующие 4 класса: фотоны (Mq = 0), лептоны* (Мо>О, но меньше или равна массе электрона), мезоны** (Мо больше массы электрона, но меньше массы протона) и барионы*** (Мо равно или больше массы протона, но меньше массы дейтрона); среди барионов различают нуклоны и более тяжелые частицы —гипероны*
В таблице (стр. 525—527) приведены все известные элементарные частицы (за исключением резонансов) и даны некоторые их характеристики; масса частиц выражена в массах покоя электрона, электрический заряд — в элементарных зарядах.
С фотонами, лептонами и нуклонами мы уже познакомились в предшествующих разделах курса. Новые элементарные частицы — мезоны и гипероны — являются неустойчивыми (короткоживущими); они возникают при ядерных реакциях, вызванных частицами сверхвысокой энергии (миллиарды электронвольт). Кроме того, пи-мезоны и мю-мезоны образуются при распаде ка-мезонов и геперонов. Пи-мезоны, по-видимому, играют роль ядерных сил: на расстояниях порядка 10~18 см нуклоны взаимодействуют между собой путем обмена пи-мезонами (см. § 138). Мезоны и гипероны были впервые обнаружены в кос* мических лучах.
При рассмотрении таблицы обращают на себя внимание следующие факты.
Только три из элементарных частиц — электрон, протон и нейтрон —. являются основными: из них построены атомы и в конечном счете весь окружаю* (ций нас вещественный мир.
Заряд элементарной частицы (выраженный в элементарных зарядах) равен либо +1, либо — 1, либо 0; двух- и многозарядных частиц нет.
Большинство элементарных частиц неустойчиво и имеет крайне малое время жизни.
Каждой частице (кроме фотона и пи-ноль-мезона) соответствует так называемая античастица. Частица и античастица имеют одинаковую массу и величину электрического заряда, но различаются знаком заряда (а при отсутствии заряда — направлением какой-либо из не рассматривавшихся нами характеристик, например направлением магнитного момента). Примером частицы и античастицы являются электрон и позитрон (антиэлектрон), протон и антипротон, мю-плюс-мезон и мю-минус-мезон и т. п.
♦ От♦♦ От♦*♦ От♦♦♦♦ От***** Qy♦ От♦♦ От♦*♦ От♦♦♦♦ От***** QyПри столкновении частицы с античастицей обе они перестают существовать как таковые, превращаясь в другие элементарные частицы; этот процесс носит название аннигиляции пар*****. Примерами аннигиляции пар могут служить превращение протона и антипротона в пи-ноль-мезоны (р+р->2а°) и превращение электрона и позитрона в фотоны (е~ + е+->2у). Выяснено, что вообще все эаряо1сенные элементарные частицы могут аннигилировать со своими античасти-
♦ От
♦♦ От
♦*♦ От
♦♦♦♦ От
***** Qy
♦ От
♦♦ От
♦*♦ От
♦♦♦♦ От
***** Qy
нами, образуя фотоны ♦. Наблюдаются также процессы, обратные аннигиляции, в результате которых возникают частицы и соответствующие им античас- тнцн・ Этот процесс называется образованием пар. Примером образования пар может служить превращение фотона в электрон и позитрон (см. § 139).
В настоящее время экспериментально обнаружено множество процессов (помимо аннигиляции и образования пар), при которых одни элементарные час- тнцы превращаются в другие. Приведем несколько примеров.
Самопроизвольное превращение свободного нейтрона в протон с испусканием электрона и нейтрино:
九—► р + е~ + y .
Превращение протона, находящегося в атомном ядре, в нейтрон с испусканием позитрона и антинейтрино:
р-> 九 + е+ + у.
Превращение протона в ка-плюс-мезон и ламбда-ноль-гиперов под действием жесткого фотона (энергией порядка 1000 МэВ):
o + L К+ +А。.
Следует подчеркнуть, что при всех взаимопревращениях элементарных частиц строго соблюдаются основные законы сохранения (массы, энергии, количества движения, электрического заряда) и закон пропорциональности массы и энергии.
Способность к взаимным превращениям является фундаментальным свойством элементарных частиц.
В заключение отметим, что в последнее время многие физики придерживаются гипотезы о существовании очень небольшого числа «истинно элементарных частиц», обладающих дробными электрическими зарядами и названных квар- ками\ из комбинаций кварков образуются все остальные частицы. Предпринятые для проверки этой гипотезы экспериментальные поиски кварков (в космических лучах и в потоках, создаваемых мощными ускорителями частиц) уже увенчались некоторым успехом: в 1969 г. зарегистрировано 11 случаев (6 в СССР и 5 в Австралии), которые, по-видимому, соответствуют обнаружению свободных кварков.
§ 146. Об использовании ядерной энергии
За последние годы в области практического использования ядерной энергии сформировались два основных направления: во-первых, развитие я&рной энергетики и, во-вторых, применение радиоактивных изотопов.
Ядерной энергетикой называется осуществляемое в промышленных масштабах преобразование ядерной энергии в другие виды энергии (механическую, электрическую и др.), используемые затем для производственных и бытовых нужд. Преобразование совершается обычно по следующей схеме (рис. 390). Теплота, отводимая теплоносителем из активной зоны ядерного реактора /, передается воде, находящейся в парогенераторе 2, и превращает эту воду в пар. Пар приводит в действие паровую турбину <?, которая в свою очередь приводит в действие электромашинный генератор тока 4.
Возникновение ядерной энергетики следует датировать июлем 1954 г., когда в СССР была введена в эксплуатацию первая в мире
атомная электростанция (АЭС) мощностью 5000 кВт. Сейчас в СССР, США и Англии построены более мощные АЭС. Согласно имеющимся программам Международного агентства по использованию атомной энергии (МАГАТЭ), общая мощность атомных электростанций во всем мире будет быстро возрастать.
Ядерная энергия используется также в атомных двигателях. В этой связи следует упомянуть ледокол «Ленин» с атомным двигателем мощностью 44 000 кВт, построенный в СССР в 1957—1959 гг.
Эксплуатация атомных электростанций пока что наиболее целесообразна в тех районах, которые удалены от месторождения обычных видов топлива (угля, нефти, газа) и бедны гидроресурсами. Основным преимуществом атомных двигателей транспортного типа является то, что они могут длительное время работать без пополнения горючим; это особенно важно для кораблей полярного плавания и подводных лодок.
В последние десятилетия благодаря быстрому развитию промышленности и росту городов во многих странах ощущается недостаток технической воды. В этой связи сейчас решается проблема опреснения морской воды в промышленных масштабах с широким использованием для этой цели атомной энергии.
Исключительно многообразным является применение ядерной энергии, излучаемой искусственными радиоактивными изотопами. Радиоактивные излучения используются для автоматического контроля и управления некоторыми технологическими процессами (например, для измерения и регулирования толщины проката пластмассовых, металлических, резиновых и других лент и пленок), для стерилизации лекарственных препаратов (в фармацевтической промышленности) и пищевых продуктов ( в консервном производстве), для лечения от некоторых кожных и внутренних заболеваний (например, терапев-
Класс
Название
Сим- вол
Античастица
Масса покоя
Заряд
Среднее время жизни (с)
Примечание
Фотоны
Фотон
i
7
0
0
ОО
Возникает при внутриатомных и внутриядерных процессах, а также при аннигиляции пар
нейтрино
У
；
<0,0005
0
оо
Возникает при р~-распаде и распаде мю-мезонов
антинейтрино
У
У
<0,0005
0
ОО
Возникает при ?+-распаде и распаде мю-мезонов
Лептоны
мюонное нейтрино
V
%
<0,0008
0
OQ
Возникает при распаде мю-мезонов
мюонное антинейтрино
%
%
<0,0008
0
ОО
Возникает при распаде мю-мезонов
электрон
«一
g+
-1
8
Образует электронную оболочку атома. Кроме того, возникает при образовании электронно -позитронных пар (см. § 139)
позитрон
в+
1
+1
8
Возникает в процессе Р-распада и при образовании электронно-позитронных пар
Мезоны
мю-плюс
出+
厂
206,8
十1
2,21 JO-
Возникают при распале пи- мезонов и ка-мезонов
мю-минус
1206,8 j —1
2,21・10-6
Класс
Название
Символ
Античастица
Масса покоя
Заряд
Среднее время жизни (с)
Примечание
Мезоны
ПИ-НОЛЬ
те0
兀。
264,2
0
2,3・ Ige
Возникают при взаимодействии частиц высокой энергии с атомными ядрами, а также при распаде ка-мезонов и гиперонов
ПИ-ПЛЮС
兀+
冗一
273,2
-4-1
2,55・1l
пи-минус
тс"
а+
273,2
-1
2,55-IO**8
ка-плюс
^+
к-
966,6
+ 1
1,22-IO-8
Возникают при взаимодействии частиц сверхвысокой энергии с атомными ядрами
ка-минус
К-
к+
966,6
—1
1,22-10-8
ка-ноль
К。
к°
974,2
0
1,0.10-ю
антика-ноль
天。
к。
974,2
0
1.0.10-10
Барионы
нуклоны
протон
р
1836,1
+1
ОО
Образует атомное ядро
антипротон
Р
р
1836,1
—1
ОО
Возникает при взаимодействии частиц сверхвысокой энергии
нейтрон
л
п
1838,6
0
1013*
Образует атомное ядро
антинейтрон
п
л
1838,6
0
1013
Возникает при взаимодействии частиц сверхвысокой энергии
Продолжение
Класс
Название
Символ
Античастица
Масса покоя
Заряд
Среднее время жизни (с)
Примечание
Барионы
гипероны
ламбда-ноль
А。
Ло
2182,8
0
2,51.10内
Возникают при взаимодействии частиц сверхвысокой энергии с атомными ядрами
антиламбда-ноль
А»
А。
2182,8
0
2,51 • IN
сигма-ноль
£。
而
2331,8
0
< io-11
антисигма-ноль
So
S°
2331,8
0
IL
сигма-плюс
S+
s+
2327,7
+1
0,81 • IO"
антисигма-плюс
S+
£+
2327,7
-1
0,8Ы0-10
сигма-минус
£_
少
2340,6
-1
1,61.10-1°
антисигма-минус
折
s-
2340,6
+1
1,61.10-ю
кси-минус
s-
E~
2580,2
—1
1,3.10-1°
антикси-минус
曲
s-
2580,2
十1
1,3-1O-io
кси-ноль
So
So
2566
0
l,5・10T。
антикси-ноль|
1 E®
Eo
2566
0
l,5・10fj
Продолжение
* Для с&ободных нейтронов. Для нейтронов, входящих в состав различных 3 -радиоактивных атомных ядер, среднее время жизни имеет различные значения, а для нейтронов, образующих стабильные ядра, оно равно бесконечности.
тическое4 7-облучение злокачественных опухолей) и т. д. Посредством радиоактивных изотопов проводится облучение семян сельскохозяйственных культур и самих растений с целью вызвать изменение (в нужном направлении) некоторых наследственных свойств растения (скороспелости, морозоустойчивости, устойчивости к болезням и т. п.).
Особенно широкое распространение во всех областях научной и практической деятельности человека получил метод меченых атомов, основанный на использовании радиоактивных изотопов. Сущность этого метода состоит в следующем.
Микроскопическую дозу радиоактивного изотопа (обычно с небольшим периодом полураспада) вводят в один из участков исследуемой системы, например в почву около корней растения, в струю водного или воздушного потока, в ткань живого организма, в смазку двигателя и т. п. Затем с помощью счетчика или иного регистратора радиоактивных излучений (см. § 140) наблюдают за перемещением введенного изотопа в данной системе. Анализируя результаты этих наблюдений, можно получить весьма ценные сведения о процессах, совершающихся в исследуемой системе (и не поддающихся изучению посредством каких-либо других современных методов).
Поясним применение метода меченых атомов на примере исследования процесса питания сельскохозяйственных растений фосфором.
В почву под исследуемые растения вносят фосфорное удобрение с примесью изотопа фосфора 1бР32. После этого растения подвергакуг периодическому обследованию о помощью счетчиков радиоактивного излучения. При этом выясняется (по интенсивности излучения, исходящего от различных частей растения): когда фосфор поступает в корневую систему, с какой скоростью он перемещается внутри растения, как распределяется в растении, как участвует в обмене вещества и т. п. Эти исследования обычно дополняют радиоавтографированием (авторадиографированием): растение срезают, высушивают и накладывают на фотографическую пластинку (экспонирование производится в темноте в течение 20—30 ч). Благодаря действию радиоактивного излучения меченых атомов на фотопластинке после ее проявления получается отпечаток растения (радиоавтограф). По степени почернения различных участков радиоавтографа можно судить о распределении фосфора внутри данного растения. Такие радиоавтографы получают от нескольких растений, срезанных в различное время. Анализ серии радиоавтографов и значений интенсивности радиоактивного излучения, измеренных счетчиком, позволяет получить достаточно полное представление о процессе питания растений фосфором.
На рис. 391 изображен радиоавтограф томата, срезанного в двухнедельном возрасте через 36 ч после корневой подкормки меченым фосфором 16Р82. Этот радиоавтограф показывает, в частности, что
Рис. 391Рис. 391молодые листья (/м2) поглощают фосфор сильнее, чем старые (5 и 4).
Рис. 391
Рис. 391
С помощью метода меченых атомов успешно изучаются такие важные для сельскохозяйственного производства проблемы и вопросы, как фотосинтез, рациональное применение удобрений, усвоение различных элементов^ растениями, внекорневая подкормка растений, питание сельскохозяйственных животных, синтез молочного жира и мышечных белков, передвижение воды и водяного пара в почве, миграция насекомых, действие инсектицидов*, износ трущихся деталей автотракторных двигателей и многие другие.
В заключение отметим, что даже те весьма краткие сведения о ядерной энергетике и применении радиоактивных изотопов, которые оказалось возможным привести в данной главе, указывают на очень важную роль ядерной энергии в народном хозяйстве. Можно с уверенностью сказать, что эта роль будет с каждым годом возрастать.
Задача 73. В агробиологических исследованиях методом меченых атомов зачастую используют радиоактивный изотоп фосфора 1ЙР32 с периодом полураспада Т = 14,3 дня. При распаде этого изотопа из ядра его атома выбрасывается электрон и нейтрино.
фосфора и определить числафосфора и определить числаНаписать я дерную реакцию распада изотопа
фосфора и определить числа
фосфора и определить числа
А"1 и A 2V£ атомов, распадающихся за промежутки времени Д 6 = 10 дням и 友= 1 с. Первоначальное число атомов изотопа No = 1,9 • 1019.
Решение. Применяя правило записи ядерных реакций (см. § 141) и учитывая, что при испускании электрона ядро атома теряет один отрицательный элементарный заряд, практически не теряя массы, а также то обстоятельство, что нейтрино не обладает ни зарядом, ни (практически) массой, можем на・ писать:
ibP32f “з + у + кХз 久
По периодической системе элементов Менделеева найдем, что элементом с атомным номером 16 и массовым числом 32 является сера leS32. Следовательно,
IbP82 Tl6s82 + e + v,
т. е. при распаде изотопа фосфор а образуется стабильный изотоп серы.
Согласно закону радиоактивного распада (7),
N = *小,
где 入—постоянная распада, ^ — число атомов данного радиоактивного изотопа, оставшееся по истечении времени /.
Jn2
Так как N = Nq —AN и, согласно формуле (8),入工一—,то можем на« писать
—1п2— -4-
М)—NN о Ng 0/(3° 2)
* От латинских слов: insecium — насекомое, caedo — убиваю.
Учитывая, что е^ = 2, получим
Аm=乂q一2一7"")=1,9 . 1019(1-2*^) = 1,9- 1019 (1—0.615)=
«7,3 • 1018 атомов.
В принципе таким же образом рассчитывается число ДЛ^а. Однако при этом
встретится трудность в вычислении величины 2. В самом деле,
■严2 =匚_-J- с~"— сз 0,00000081, а 2*о.<хххюо81 невозможно вычислить Т 14,3.24 • 60.60
даже по семизначным таблицам логарифмов. Поэтому в данном случае (и вообще в случаях, когда Д /<Т) следует делать приближенный расчет А "% по формуле (6), переходя в ней от дифференциалов к конечным малым приращениям и полагая N п ^o：
1п2
厶必=入М • А% = М)—— М = 1,9 • 1019 • 0,693 • 0,00000081 = 1,1* 1013 атомов.
Задача 74. При бомбардировке дейтроном (1Н2) ядро бериллия 4Ве* выбрасывает нейтрон (on1). Записать эту ядерную реакцию и вычислить выделяющуюся в ее ходе энергию A W.
Р е.ш е н и е. Произведя предварительную запись реакции в виде
再3+ 1巾1/1 +孤1。，
найдем по периодической системе элементов, что 5Х10 есть изотоп бора — 6В10. Следовательно,
4ве» + 担2 -謂1。+ W
Выделяющуюся при реакции энергию определим по закону пропорциональности массы и энергии (10):
AU7 = c2*^mt
тде с — скорость света в вакууме, Ат — изменение массы при реакции, т. е. разность между массой частиц, образующихся в результате реакции, и массой частиц, вступающих в реакцию:
аm =(吗吧+m山2)一 (%B1。+ ”球).
В физических таблицах найдем: fn^ = 9,01505 а. е. м., m^t = =2,01474 а. е. м., т#Вю = 10,01612 а. е. м.,加户=1,00866 а. е. м. Тогда» произведя расчет, получим
Am = 0,00501 а.е.м. =0,00501 ・ 1,66 ・ 10~27 кг = 8,317 • 1О-зокг>
AIF = с2 • Д/п = 9 • IO16 м2/с2 ♦ 8,317 - 1О・зо Кг=7,5. 10"13 Дж ^
7,1 • 10-13 дж
1,6- 10-^Дж/эВ - 10«'
Задача 75. Вычислить энергию связи 8 и дефект массы А т ядра изотопа углерода 6С12..
Решение. Согласно общей формуле (11), выражающей энергию связи ядра, имеем
£ = 931 [Zmp + (A — Z) Ш" — тя),
где mpt тп и тя— соответственно массы протона, нейтрона и ядра вС12, выра* женные в атомных единицах массы, Z = 6 — атомный номер данного изотопа, д == 12 — массовое число изотопа.
Так как тр ^ 1,0073 а. е. м. и m产 1,0087 а. е. м. (см. § 138), ат/ =12 а. е. м., то
£ = 931 [6 ・ 1,0073 +(12 — 6) • 1,0087 — 12] МэВ =89,37 МэВ=89,37 . 10® • 1,6- 10-1» Дж = 1,43 • 10・и Дж.
Дефект массы определим по закону пропорциональности массы и энергии (Ю)：
АтАт1,43 . 1Q-11 Дж9 ・ 101бм2/с21,43 . 1Q-11 Дж9 ・ 101бм2/с21,59 ・ 10-28 кг.1,59 ・ 10-28 кг.
Ат
Ат
1,43 . 1Q-11 Дж
9 ・ 101бм2/с2
1,43 . 1Q-11 Дж
9 ・ 101бм2/с2
1,59 ・ 10-28 кг.
1,59 ・ 10-28 кг.
Задача 76. Атомная электростанция мощностью Р = 500 000 кВт, работающая на уране 92U235, имеет коэффициент полезного действия »i = 20%. Тепловая электростанция той же мощности, работающая на каменном угле, имеет коэффициент полезного действия и)2 = 75%.
Определить годовой расход (массу) горючего атомной электростанции (т» и тепловой электростанции (т2), если за каждый акт деления ядра 92U235 выделяется энергия Wi = 200 МэВ, а теплотворная способность каменного угля 酬2 = 2,93 • 10? Дж/кг.
Решение. Введем обозначения: А 加—масса атома 92U285,几—число атомов урана, распавшихся за один год работы электростанции. Тогда, учитывая, что A m = M/Nа , где М = 0,235 (кг • моль"1) — молярная масса 92^235 и Na — постоянная Авогадро, можем написать
АА
А
А
Энергия, выделяемая всеми атомами урана, распавшимися за время f = =1 году, равна mwi. Часть этой энергии, идущая на совершение полезной работы и обусловливающая данную полезную мощность Р атомной электростан• ции, будет равна
呼1 =九51%.
С другой стороны, очевидно, что
吃=Pf・
Приравнивая между собой правые части двух последних равенств, найдем
Подставив это выражение 九 в выражение т^ получим
PtA 5 • 108 Вт • (365 • 24 • 60 • 60) с • 0,235 кг/моль
恤=5%N；(2 . Ю8 .1,6 - Ю"10) Дж . 0,2.6,02 . 1023 моль"1 = 961
Энергия, выделяемая за год каменным углем, сжигаемым на тепловой электростанции, равна 团2酬2・ Часть этой энергии, идущая на совершение полезной работы, будет равна
闷2 =加232小==p'，
откуда
Р， 5 . 108 Вт . 3,15 . 107c
~ '=二 一「——-.一二「二. 一 •- = 7.17 • 10® кг.
耽小 2,93 - 107 Дж/кг . 0,75
小2 7,17 • 108
Таким образом, из отношения= ——=7,4б・ 105 следует, что 〃о
恤 9о1
массе расход ядерного горючего почти в миллион раз меньше, чем расход каменного угля.
Приложение 1
Некоторые физические постоянные
Название
Символ
Численное значение в системе
международной (СИ)
физической (СТС)
Ускорение силы тяжести (нормальное)
g
9,80665 лье"
980.665 СМ • с-
Гравитационная постоянная
7
6,670」0-имЗ・кг-1・с-2
6,670-10~8 СМ8・гТ・С~2
Скорость света в вакууме
с
2,99793-Ю8 м・с・т
2,99793-Ю1» см-с"1
Постоянная Авогадро
АМ
6,02252.1023 мольт
6,02252・ 1(Я моль"1
Число Лошмидта ..
2,68713-10а» м-ь
2,68713-Ю1» емт
Универсальная газовая постоянная ....
R
8»31510 Дж^К^-моль**1
8,31510・107 3pгx
Постоянная Больцмава
k
1.38054UО-23 Дж-К*1
ХКТ моль т 1,38054・ КТ" эрг-К"» 2,8946ЛО14 СГСЭ.моль-1
Постоянная Фарадея ・
尸
9,6487.104Кл« моль"1
Постоянная Планка .
h
6,62491/О-% д*.с
6,62491-10-27 эрг-с
Постоянная Стефана- Больцмана ...
о
5,6697・10~8 Дж.лг2х
5,6697» 10~5 эрг• см" х
Постоянная Вина ..
b
Хс7・К・4 2,8979.10-» м.К
Хст・кг 2,8979-g см・К
Постоянная Ридберга (в выражениях частоты)
R
3,28985-Ю1».с-1
3,28985-1016 L
Постоянная Ридберга (в выражениях волнового числа)...
R
10973731 мТ
109737,31 см-1
Заряд электрона ...
G e
1.602Ы0-19 Кл
4,80298*КГ10 СГСЭ仔
Масса покоя электрона
m
9,109Ы0-81 кг
9,109Ы0-а8 г
Масса покоя протона
Масса покоя нейтрона
mp
1,67261 • Ют? кг
1,67261-IO』г
m〃
1,67491-КГ27 кр
1,67491 • 10Т4 г
Атомная единица мае- сы ••••■••*
а.е.м.
1,66053-IO"27 кр
1,66053-10-24 г
Приложение П
Единицы измерения физических величин (Обозначения основных единиц помещены в рамки)
Название величины
Символ
Система единиц
Си
сгс
название и обозначение
размерность
название и обозначение
размерность
I. Механические
! и тепловые единицы
Длина
/
метр 1 м 1
м
сантиметр | см |
см
Масса
m
килограмм 1 кг |
кг
грамм 1 г 1
г
Количество вещества ....
п
моль 1 моль 1
моль
моль 1 моль 1
моль
Время
секунда | с |
с
секунда | с |
с
Плоский угол
У
радиан (рад)
безразмерная
радиан (рад)
безразмерная
Телесный угол
Q
стерадиан (ср)
стерадиан (ср)
》
Плотность
Р
кг/м3
м~3-кг
г/см3
СМ~8. г
Скорость
V
м/с
МрТ
см/с
см-с-1
Ускорение
а
м/с2
М・「2
см/с2
см • с"2
Угловая скорость
Угловое ускорение
<0
3
рад/с рад/с3
L】 с~2
рад/с рад/с2
сТ
С-2
Сила
卜
ньютон (Н)
м-кг-с-2
дина (дин)
см-г-с~2
Давление (напряжение) ....
Работа (энергия, количество
Р
паскаль (Па)
мТ・КГ・сТ
дин/см2
СМТ・Г・С-2
теплоты)
джоуль (Дж)
м2 • кг•с*2
эрг (эрг)
СМа-Г«С"3
Мощность
ватт (Вт)
М2 • КГ • С~9
эрг/с
см2・г・с7
Момент инерции
кг-м2
м2-кг
г-см2
СМ2. V
Абсолютная температура ...
кельвин 1 К 1
к
кельвин 1 К [
к
5
3
3
Удельная теплоемкость,.
с
Дж/(кг-К)
м2 • С-2 ・ КТ
эрг/(г-К)
см2.С-2・ КТ
Название величины
Символ
Си
СГСЭ
название и обозначение
размерность
название и обозначение
^мерность
Система единиц
Сила тока
Количество электричества (за- „РЯД) Разность потенциалов (напряжение, э. д. с.)
Электрическое сопротивление .
Электрическая емкость .... Напряженность электрического поля
Поток напряженности электрического поля
Диэлектрическая проницаемость
Электрическая индукция ...
Поток электрической индукции
Напряженность магнитного поля
Магнитная проницаемость •..
Магнитная индукция
Магнитный поток
Индуктивность (взаимная ин- дуктивность)
Частота
Сила света .
Световой поток
Освещенность
Яркость
ампер 1 А 1
А
СГСЭ/
кулон (Кл)
А«с
C「C3q
вольт (В)
м2«кг«с"8-А-1
СТСЭу
ом (Ом)
м2-кг-с-8-А"2
СГСЭ^
фарада (Ф)
М-2.КГ-1.С4.Д2
сантиметр (см)
вольт на метр (В/м)
М・КГ・с7・АТ
СГСЭ£
вольт-метр (В-м)
м3-кг«с"3-А-1
СГСЭд/
фарада на метр (Ф/м)
мТ・К「Т・СГ • А2
1 СГСЭг 1
кулон на квадратный метр (Кл/м2)
Ы2・с・А
кулон (Кл)
с- А
C2nd
ампер на метр (А/м)
мТ・А
сгсэн
генри на метр (Г/м)
М・КГ・С~2・А~2
сгсэ^
тесла или вебер на м2 (Т или Вб/м2)
кг•сек"2•а-1
сгсэв
вебер (Вб)
м2 • кг ・「2. АТ
СГСЭф
генри (Г)
м2«кг-с~2«А"а
СГСЭд
герц (Гц)
с-1
герц (Гц)
кандела | к〃 |
кд
люмен (лм)
кд
люкс (лк)
М-2.КД
кандела на квадрат-
м-3-кд
2. Электрические, магнитные и световые единицы
ный метр (кд/м2)
g PRC £ ^ £ D ^ я мгв ф L V / ф £Б
СмЗ/2・ г"2 . с^
CW? . f1/2 ・ с-
СМ”？ • J/? . с-1 СМ"*1-С
СМ
СМ』./2 •「1
СмЗ/2 •卩2 ,с-1 безразмерная СМ—1/2. г1/2.с-1
СМ?/? • /2 • с-1 СМ”？ • Г1/2 • С*3 СМ"2-С2 em-.用2
СМ”？ •用2
СМ-1«Са 厂
Основные единицы Международной системы (СИ)
Основными величинами СИ служат длина, масса, время, термодинамическая температура, сила электрического тока, сила света и количество вещества. Ниже даются определения основных единиц этой системы.
Метр (м) — длина, равная 1 650 763,73 длин волн в вакууме излучения, со- ответствуюи^го переходу между уровнями 2рю и 5d& атома криптона-86.
Килограмм (кг)—масса Международного прототипа килограмма.
Секунда (с) — время, равное 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.
Кельвин (К) — 1/273Д6 часть термодинамической температуры тройной точки воды.
Ампер (А) — сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным, прямолинейным проводникам бесконечной длины ц ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2 • 10~7 Н на каждый метр длины.
Кандела (кд) — сила света, испускаемого с поверхности площадью 1/600000 м2 полого излучателя, в перпендикулярном этому излучателю направлении, при температуре затвердевания платины при давлении 101325 Па.
Моль (моль) — количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в нуклиде 12С массой 0,012.
Приложение III
Некоторые формулы электростатики и электромагнетизма, записанные в рационализованном и нерационализованном видах
Название закона или физические величины
Вид формулы
рационализованной
нерационализованной
Закон Кулона для электрических зарядов
F==— 4кеоег2
Напряженность электрического поля точечного заряда или шара
4кеоег2
? 。亠
Напряженность электрического поля бесконечной прямолинейной заряженной нити
e =———— 2汽% e，
戶2P
Напряженность электрического поля бесконечной заряженной плоскости
Е =―— 2еое
2冗G
? =
%£
Напряженность электрического поля плоского конденсатора
а e =
E =
%e
Теорема Остроградского — Гаусса
£q£
4冗E0
N = %e
Электрическая индукция точечного заряда
41V2
D =— 戸
Название закона или физической величины
Вид формулы
рационализованной
нерационализованной
Потенциал электрического поля точечного заряда
4тсе0£Г
Электроемкость проводящего шара
С = 4jC£q£/*
c = e附
Электроемкость плоского конденсатора
d
4冗d
Плотность энергии электрического ноля
£o的
9 -2
6游e2
8兀
Закон Био — Савара — Лапласа
/ sin a dl
an = " 二， 4冗尸
/ sin ad/ an -
「2
Напряженность магнитного поля прямого тока
2付
"2/
n = г
Напряженность магнитного поля в центре кругового тока
2 r
-2冗/
h =
Напряженность магнитного поля внутри длинного соленоида
In
吟学
Сила взаимодействия двух параллельных токов
戶一2灯
2阿m"2! r —
г
Индуктивность соленоида
4大“0俨九？S
Плотность энергии магнитного поля
卩0*屮
2
No出屮 w 一
8冗
Сопоставляя между собой соответственные рационализованные и нерацио- нализованные формулы электричества, приведенные в таблице, нетрудно установить следующее правило преобразования рационализованных формул в не- рационализованные (правило дерационализации): в рационализованных формулах, содержащих электрическую постоянную £о, или электрическую индукцию D, или напряженность магнитного поля Я, надо эти величины делить на 4冗, а в формулах, содержащих магнитную постоянную "о, надо эту величину мно^ жить на 4л. В формулах, не содержащих s0, D, Я и к。, различия между рационализованным и нерационализованным видами нет. Такие формулы не включены в данную таблицу.
Нерационализованные формулы применяют только при использовании системы единиц СГС.
Предметный указатель
Аберрация света сферическая 412
—- — хроматическая 412
Абсолютная шкала температуры (Кельвина) 118
Абсолютно твердое тело 66
— черное тело 459
Абсолютный нуль температуры 118, 132
Абсорбция 188
Авогадро закон 120
—постоянная 113
Автоколебания 94, 390
Автоколебательный контур 390
Авторадиография 528
Агрегатные состояния 110, 158, 192
Адиабата 219
Адиабатические процессы 215—219
Адсорбция 188
Аккомодация глаза 414
Активированный угодь 188
Активность радиоактивных элементов 502
Акцепторные примеси 295
Альфа-лучи (частицы) 498, 499
Аморфные тела 162, 208
Ампера закон 319
—формула 321, 336
Ампер-витки 327
Ампер (единица) 339, 536 •
Амплитуда колебания 84
Анализатор 450
Анизотропия 161, 448
Анионы 301
Аннигиляция пар 522
Антинейтрино 509, 523, 525
Антинейтрон 526
Антипротон 526
Антистоксовская люминесценция 481
Античастицы 522
Апертура числовая 434
Апертурный угол 434
Атом 107, 465
Атомная бомба 517
—единица массы 495
一 электростанция 524
Атомный вес 495
—двигатель 524
—номер 477, 495
Ахроматическая линза 412
Аэрация почвы 81
Барионы 522, 526, 527
Бера закон 45
Бернулли уравнение 77—79
Бета-лучи (частицы) 499, 500
Биения 87
Био—Савара—Лапласа закон 322
Близорукость 415
Бобина 360
Бойля—Мариотта закон 117, 127
Больцмана постоянная 129
— теорема 131
—формула (энтропии) 230
Бора постулаты 468, 469
Бора — Уилера правило 515
Борелли—-Жюрена формула 189, 190
Браве гипотеза 160
Броуновское движение 112, 113
Брюстера закон 454
Бугера закон 419, 420
Буравчика правило 23, 316
Вавилова закон 481
—опыты 4^° флуктуации света)
Валентные электроны 477
Ван-дер-Ваальса изотермы 195
— уравнение 195
В а нт-Гоффа закон 173, 174
Ватт (единица) 48
Вебер (единица) 336, 356
Вектор 12
Векторных диаграмм метод 375
Вероятность события 227
—состояния системы 227—229 Вес 42
Вечный двигатель второго рода 222
первого рода 214
Вещество 36
Взаимная индукция 358
Вибратор Герца 389
Вильсона камера 505, 507
Вина закон 462
—постоянная 462
Вихревое поле 357, 364
Вихревые токи 357
Влажность абсолютная 203
—максимальная 203
—относительная 203
Внутреннее (молекулярное) давление 180, 194
— трение в газе 146, 154, 155
——в жидкости 176
Внутренняя энергия газа 132, 133
Водородная бомба 520
Водородоподобные атомы 473
Водоструйный насос 80
Возбуждение колебательных степеней свободы 136, 137
Возбужденные уровни атома 472
Возгонка 209
Волна 94, 95
—плоская 102
—поперечная 95, 96
—продольная 95, 96
—стоячая 100, 101
—сферическая 102
Волновая поверхность 102
—теория света 398—400
Волновое число 472, 473
Волны де-Бройля 444, 445
Волоконная оптика 404
Вольт (единица) 248
Вольты ряд 281
Вольты законы 280, 282, 283
Вращательная дисперсия 455
Вращающий момент 66
Вращение плоскости колебаний (поляризации) 454, 455
Второе начало термодинамики 211, 219, 222, 226, 230
Вульфа—Брэггов формула 444
Вымерзание вращательных степеней свободы 136, 137
Вынужденные колебания 93
Выпрямитель кенотронный 288
—купроксный 298
Вязкость 146, 154, 155, 176
Газовый процесс 117
—разряд дуговой 310, 311
искровой 309, 310
——коронный 310
——несамостоятельный 307, 309
— —самостоятельный 307—309
——тлеющий 311
Газотурбина 80
Галилея принцип относительности 39
Гальванопластика 305
Гальваностегия 305
Гамма-лучи 500
Гармоническое колебание 83
Гейгера — Мюллера счетчик 504
Гейзенберга принцип 60
Гей-Люссака законы 117—119
Генератор тока 269, 368, 379
Генри (единица) 359
Геотермический градиент 15
Герц (единица) 22
Гидротаран 80
Гидротурбина 79
Гильберта опыты 235, 315
Гинзбурга и Шкловского гипотеза 521
Гипероны 522, 527
Гироскоп 72
Гистерезис магнитный 333
Главная плоскость кристалла 449
Глаз 413—415
Голова спектральной серии 473
Гравитационная постоянная 35
Гравитационное поле 35
Градиент 14, 15
Гребенщикова метод просветления оптики 431
Гука закон 32
Гюйгенса принцип 102
Гюйгенса — Френеля принцип 104, 398, 433
Давление 78, 123
—гидравлическое 78
—динамическое 78
—под искривленной поверхностью жидкости 185, 186
—световое 490, 491
—статическое 78
Дальнозоркость 415
Дальтона закон 120
Движение 5, 6
Двойное лучепреломление 451, 452
Двойной электрический слой 296
Дебаевская температура 168
Де-Бройля формула 444
Дейтерий 496
Дейтон 496
Дерационализация формул электричества 536
Детандер 201
Дефект массы 497, 511
Деформация твердого тела 32, 33, 163—165
— остаточная 163
—пластическая 163
—упругая 32
Джоуль (единица) 47
Джоуля — Коппа закон 168
Джоуля — Ленца закон 275
Джоуля — Томсона эффект 199, 200
Диаграмма равновесия фаз 192
Диамагнетики 329, 330
Динамика 25
Диод 287
Диоптрия 410
Дисперсия света 405
Дифракционная решетка 440
Дифракционный спектроскоп 440
Дифракция волн 103
—микрочастиц 445, 446
—рентгеновских лучей 443, 444
—света 431
— — от двух и более щелей 437— 439
одной щели 435—437
—электронов 445
Диффузия 112
—в газах 145, 148, 149
— в жидкостях 169
—в твердых телах 169, 170
Диффузное отражение света 402
Диэлектрики 236, 255—257
Диэлектрическая проницаемость 259, 260
Длина волны 97
— свободного пробега молекулы 142
Домены 334
Донорные примеси 295
Дроссель 375
Дуанты 349
Дьюара сосуд 153
Дэвиссона и Джермера опыты 445
Дюлонга и Пти закон 168
Единицы измерения физических величин 8—9, 533—535
Жидкий воздух 200, 201
Закон взаимосвязи массы и энергии 61, 62
—всемирного тяготения 35
—изменения количества движения (импульса) 27, 28
— момента количества движения 68
— отражения света 401
—преломления света 402
—радиоактивного распада 501, 502
—смещения (радиоактивного) 501
—сохранения и превращения энергии 55, 56, 214
——количества движения 28, 29
— — момента количества движения 71
——электрического заряда 236
Законы фотоэффекта 485, 486
Запирающий слой 297
Затухающие колебания 92
Иваненко гипотеза 459
Идеальная жидкость 75
—тепловая машина 220, 223
二 холодильная машина 223
Идеальный газ 124
Изобара 118
Изобарич^Ю1е процессы 117, 118,
Изолированная система 28, 226
Изоляторы 236
Изотерма 117
Изотермические процессы 117, 215
Изотопы 347, 496
Изотропия 162
Изохора 118
Изохорические процессы 117—119
Иконоскоп 395
Иммерсионная жидкость 434
Импульс 27
— момента силы 67
—силы 27
Индуктивность контура 361
—соленоида 362
Индукционная катушка 359, 360
Индукционный ток 353
Индукция магнитная 331
—электрическая (вектор) 261
—электромагнитная 353
—электростатическая 252
Инерциальные системы отсчета 39
Инерция 25
Интенсивность волны 98, 385
—света 419
Интерференция волн 99
—света 425
в тонких пленках 430, 431
Интерферометр 428, 429
Инфракрасные лучи 392, 421—423
Ионизаторы 306
Ионизационный счетчик 504
Ионизация газа 306
——-ударная 307
——фотонная 308
Ионизирующая способность 499
Ионы газовые 306
—электролита 301
Ирншоу теорема 251
Исландский шпат 452
Испарение 202
Источник тока 269
Каналовые лучи 312
Кандела 417, 536
Капельная модель ядра 497
Капиллярная конденсация 206
Капиллярная постоянная 190
Капиллярные явления 187 —189
Капилляры 188
Карно цикл 219, 220
обратный 223
Катионы 301
Катодные лучи 312
Катодолюминесценция 480
Квант действия 464
Квантовая механика 63, 136, 474
—теория света 399, 463—465, 485
Квантовые числа 468, 474
Квантовый генератор 480, 483
Квант энергии 136, 463
Кварки 523
Кварцевая лампа 311, 422
Кенотрон 288
Килограмм массы 25, 535
Киломоль 113
Кинематика 16, 25
Кинескоп 395
Кипение 202
Кирхгофа закон 460
—правила 276, 277
Клапейрона закон 121
Клапейрона —Менделеева закон 121, 122
Классическая механика 59
Клаузиуса неравенство 226
—уравнение 123
Когерентные волны 99
—источники света 425
Когерер 392
Колебательный контур 386—388
Количество движения 27
—теплоты 114
— электричества 236
Коллектор 298
Комптона эффект 491
Конвекция 167, 175, 218
Конденсатор электрический 262
Конденсация 202
Контактная разность потенциалов 281
Концентрация раствора 171
Кориолиса сила 44
Корпускулярная теория света 398
Космические лучи 521, 522
—скорости 57—59
Коэрцитивная сила 333
Коэффициент взаимоиндукции 358
—видности 415, 416
—вязкости газа 155
— — жидкости 176, 177
—диссоциации 302
—диффузии газа 149
——жидкости 170
——линейного расширения 166
— мощности электрической цепи 379
—объемного расширения газа 113
— — — жидкости и твердого тела 166
— поверхностного натяжения 181 ^ 183
—поглощения (света) 419
Коэффициент полезного действия солнечной батареи 488, 489
—一 一тепловых машин 223
——一 трансформатора 361
一 ——фотоэлемента 488
— размножения нейтронов 516
—самоиндукции 361
— сопротивления температурный 273
—температуропроводности 175
— теплопроводности газа 152, 153
— —жидких и твердых тел 174, 175
—трансформации 361
—трения 34, 35
Краевой угол 187
Красная граница фотоэффекта 485,
486
Кривизна 15
—поверхности средняя 186
Кривые фазового равновесия 192
Кристаллизация 207
Кристаллическая решетка 159—162
——атомная 162
——ионная 162
— — металлическая 162
——молекулярная 162
Критическая изотерма 198
—масса (ядер но го горючего) 517
—температура 198, 199
—точка 198
Критический объем 198
Критическое давление 198, 199
— состояние 198
Круговой ток 317, 324, 235
Круговые процессы 219
Кулона закон 237
Кулон (единица) 235, 236
Кучевые облака 218
Кюри (единица) 503
Кюри точка 257, 334, 335
Лазер 483
Ламинарное движение 146, 176
Лапласа формула 186
Лебедева опыт 491
Ленгмюра — Богуславского формула 288
Ленца правило 354
Лептоны 522, 527
Линде машина 199, 200
Линейная плотность заряда 244
Линза магнитная 347
—рассеивающая 408
—собирающая 408
—тонкая 407
—электромагнитная 347
—электростатическая 347
Линзы 407, 408
Линзы формула 409, 410
Линии тока 75
Линника микроинтерферометр 428
Лиссажу фигуры 89
Логарифм натуральный 10
Лошмидта число 129
Лоренцева сила 341
Лупа 411
Луч 95
Лучеиспускание 458
Лучеиспускательная способность 458, 459
Лучепоглощательная способность
458, 459
Лучепоглощение 458
Луч естественный 447
—ионный 345
Лучистое равновесие 458
Луч необыкновенный 451
—обыкновенный 451
—поляризованный 446
—частично поляризованный 447
—центральный 408
—электромагнитный 384
—электронный 344
Люкс 418
Люксметр 488
Люмен 417
Люминесцентная лампа 482
— дефектоскопия 483
Люминесцентный анализ 483
Люминесценция 479
Люминофоры 480
Магнит 315—317
Магнитная постоянная 319
—проницаемость 331, 332
—спица 316
Магнитное поле 316, 363
——Земли 343
Магнитно-жесткие материалы 334
Магнитной индукции линии 335
Магнитно-мягкие материалы 334
Магнитный листок 317
—момент 324
——атома 329
—,— —индуцированный 329, 330
———орбитальный 329
————спиновый 329
—полюс 315
—поток 335
Магнитно-гидродинамический генератор 350
Мазер 484
Майера уравнение 135
Максвелла закон распределения 138
—электромагнитная теория 364— 366
Малюса закон 450
Мандельштама и Папалекси опыт 271
Масса 25
—покоя 61
Массовое число 495
Массовый излучатель 390
Масс-спектрограмма 346
Масс-спектрограф 345, 346
Материальная точка 16
Материя 5
Машина 220
Маятник математический 91
—физический 90
Мезонная §笋рня ядерных сил 497,
Мезоны 522, 525, 526
Мениск 188
Менисковый телеобъектив 412
Метастабильные состояния атома 483
Механический принцип относитель* ности 39
Меченых атомов метод 510, 528, 529
Микроскоп 412*
Микрофарада 254
Микрофон 393, 394
Микрочастицы 60
Милликена опыт 264, 265
«Мировой эфир» 398, 399
Модулирование электрических колебаний 394
Модуль Юнга 33
Мозаика светочувствительная 395
Мозли закон 479
Молекула 107
Молекулярная масса относительная 113
Молекулярные силы 108, 109
Молниеотвод 310
Молния 310
Момент инерции 67—70
—количества движения 67
—силы 66
—электрического диполя 241
Монокристалл 161
Монохроматический свет 400
Мощность 48
—переменного тока 369, 379
—постоянного тока 274
—ионизатора 306
Мутная среда 441
Мысовского и Жданова метод фотоэмульсий 506
Наклеп 164
Напряжение на участке электрической цепи 271
Напряженность магнитного поля 320—322
—электрического поля 238, 239
Начала термодинамики 211
Невесомость 43, 44
Неинерциальные системы отсчета 39
Нейтрино 500, 523, 525
Нейтрон 495, 509, 526
Нейтроны быстрые 514
—запаздывающие 515
—мгновенные 514
Нейтроны медленные 514, 517
—тепловые 514, 517
Необратимые процессы 212, 213, 226, 230
Неопределенностей соотношение 60, 61
Нернста теорема 231
Несмачивающая жидкость 187
Николя призма 453
Нормальный уровень атома 472
Нуклоны 495, 526
Ньютона закон (внутреннего трения) 155, 176
—законы (механики) 25, 26
Ньютон (единица) 27
Обесценивание энергии 227
Обобщенный принцип относительности 39
Образование пар 500, 522
Обратимые процессы 212, 213, 226, 230
Оксиликвит 201
Оксиферы 335
Ома законы 272, 273, 276, 303, 377
Ом (единица) 272
Оптическая длина тубуса микроскопа 413
— ось кристалла 449
——линзы главная 407
一 一 一 побочная 408
—пирометрия 463
—плотность среды 403
—разность хода лучей 430
—сила линзы 410
—активность вещества 454
Оптический центр линзы 408
Оптически однородная среда 400,
403
Орбитальные токи, 329
Освещенность 417, 418
Осмос 171
Осмотическое давление 173
Основное уравнение кинетической теории газа 123—126
Основной закон динамики вращения 67
Остаточная магнитная индукция 333
Остроградского — Гаусса теорема
243, 260, 262
Ось электрического диполя 241
Отдача 30
—непрерывная 30
Относительности теория 41, 63
Падение напряжения 271
Пар 198
Парамагнетики 329, 330
Пар насыщенный 202
Парниковый эффект 421, 493
Пароструйный насос 80
Пар пересыщенный 197, 206
Парциальное давление 120
Паскаль (единица) 78
Паули принцип 475, 477
Пачки скольжения 165
Пельтье эффект 284, 285, 301
Первое начало термодинамики 211, 214
Переноса явления 145—148
Переохлажденная жидкость 162
Период вращения 22
—дифракционной решетки 440
Периодическая система Менделеева 476, 477
Период колебания 84
—полураспада 502
Пикофарада 254
Плавление 207
Плазма 192, 310, 520
Планка постоянная 60, 464
—формула 465
Пластические тела 164
Плато опыт 181
Плоскости спайности 160
Плоскость поляризации 447
—световых колебаний 447
Плотность потока энергии 98, 385
—тока 273, 302
—энергии магнитного поля 364 — — электрического поля 265, 266 Плотность энергии электромагнитного поля 364
Поверхностная плотность заряда 245
Поверхностно-активные вещества 184
Поверхностное натяжение 181
Поглощение света 419—422
Подвижность ионов 303, 307
Подъемная сила крыла самолета 80
Позитрон 500, 509, 510, 525
Показатель преломления абсолютный 402
——относительный 402, 403
Поле 5, 36
Поликристалл 161, 165,
Полимеризация 163
Полимеры 163
Полное отражение света 403, 404
Полупроводники 236, 291
—дырочные 295, 296
—электронные 295, 296
Полупроницаемые перегородки 172, 173
К
олюсы источника тока 270 олюсы магнита 315, 316
Поляризатор 450
Поляризационная призма 453
Поляризация диэлектриков 255— 257
——дипольная 256
——ионная 257
——электронная 255
—света 446—450, 454
Поляриметр 456
Полярное сияние 312, 343
Поляроиды 450
Попова опыты 392, 393
Порядок величины 10
—дифракционного спектра 440
Постоянная распада 501
Потенциал гравитационный 52
Потенциальная яма 109, 159
Потенциальные силы 53, 249
Потенциальный барьер 297
Потенциал электрический 248
Поток магнитной индукции 335
—напряженности электрического поля 240
—световой энергии 416
—электрической индукции 261
Правило левой руки 321
—параллелограмма 12
— треугольника 13
Предел прочности 163
—упругости 163
Предельный угол падения 404
Преломляющий угол призмы 404
Приведенная теплота 224
Принцип возрастания энтропии 226
Пробный заряд 238
Пробой газа 309
Проводимость вентильная 297
—дырочная 294, 295
—ионная 302
—примесная 295, 296
—собственная 294
— удельная 273
—электронная 291, 295
Проводники второго рода 236
—первого рода 236
Проникающая способность 499
Просветленная оптика 430
Пространственная решетка 160, 161
Протий 496
Протон 235, 496, 507, 526
Протонно-протонный цикл 521
Пуазейля закон 176, 177
Пуассона закон 217, 218
Пузырьковая камера 505
Пучность стоячей волны 101
Пьезоэлектрики 257
П ьезоэле ктр и чес кий эффект 257
Работа 47, 48
—выхода электрона из металла 281, 486
—газа при адиабатическом расширении 219
———изобарическом расширении 215
изотермическом расширении
—ионизации 306
— переменного тока 369
Работа постоянного тока 274
—тока в магнитном поле 338
Радиоавтография 528
Радиоактивность естественная 498
—искусственная 507—510
Радиоактивные изотопы 510. 523 528, 529'
—лучи 498
—семейства 503
—элементы 498
Радиолокация 396
Радиолюминесценция 480
Радиосвязь телевизионная 395
—телефонная 392—394
Радиус кривизны 15
Размерность 9, 10
Разность потенциалов 248, 271
—хода лучей (волн) 100, 425, 430
Разрешающая способность оптических приборов 433, 434
Разрешаемое расстояние 434
Ракета 30
Рассеяние альфа-частиц 466
Рассеяние света 441
——молекулярное 441
Расстояние ясного зрения 413
Раствор 171
Растворитель 171
Растянутая жидкость 197
Рауля закон 206, 207
Рационализация формул электричества 238, 535, 536
Реактивное движение 30
Реакция связи 37
Резонанс 94
—электрический 377
Резонансы 522
Резонатор Герца 389
Рекомбинация ионов 301, 306
Релейная схема 392
Релятивистская механика 63
Рентгеновские лучи тормозные 443 — — характеристические 443, 479 Рентгенолюминесценция 480
Рентгеноспектральный анализ 444
Рентгеноструктурный анализ 444
Рефрактометр 404
Рефракция света 403
Ридберга постоянная 467, 472, 473
Ричардсона формула 288
Рэлея закон 441
Само диффузия 150
Самоиндукция 361, 362
Самоионизация газа 307
Самопроизвольной поляризации области 257
Самопроизвольного намагничивания области 334
Сахариметр 456
Сверхпроводимость 273
Сверхтекучесть 176
Сверхтяжелая вода 496
Свет 400
Световой коэффициент полезного действия 462
Световой поток 417
Светокультура 422
Светопровод 404
Светофильтры 421
Свободная энергия поверхности жидкости 183
Сдвиг фаз между током и напряже
нием 373, 374, 377
Сегнетоэлектрики 257
Сезерленда формула 144
Сжижение газов 199, 200
Сила 25, 26, 31
—возвращающая 90
—вынуждающая 93
—квазиупругая 90
—нормального давления 34
—поверхностного натяжения 181
—света 417
—тока 236, 269
—трения 33, 34
—тяготения 35
—тяжести 42
—упругости 31, 32
—центробежная 38
—центростремительная 36, 37
Силовые линии магнитного поля 316, 335
——электрического поля 239
——электрической индукции 261
Силы инерции 40—42
Синхрофазотрон 350
Синхроциклотрон 350
Система отсчета 16, 39
—единиц измерения 8, 533—534
Скаляр 12
Скорость звука в воздухе 79
—мгновения 17
—наиболее вероятная 138
—света в вакууме 61
Смачивающая жидкость 187
Соленоид 326, 327
Солнечная батарея 489
—постоянная 463
Сольватная оболочка 301
Сопротивление активное (омическое)
272, 371
—внешнее 275
— внутреннее 275
—дополнительное 280
—емкостное 371—373
—индуктивное 373—375
—полное 275, 276, 377
— реактивное 371
—удельное 272, 291, 304
— электрическое 272
Сорбционные явления 188
Спектральная лучеиспускательная способность 459
—лучепоглощательная способность 459
—плотность энергетической светимости 461
—серия Бальмара 467, 473
一 一Лаймана 468, 473
——Пашена 468, 473
Спектральная формула Бора 472 — чувствительность глаза 415, 416 Спектральный анализ 407 Спектр дисперсионный 405 —дифракционный 439, 440 —линейчатый 406, 467 —оптический 478 —поглощения 407 —полосатый 406
—рентгеновский 443, 479
—сплошной 406, 467
Среднее время жизни атома 502
Стационарные орбиты атома 468
Степень диссоциации 302
Стерадиан 417
Стефана—Больцмана закон 461
—постоянная 461
Стокса закон 177
—правило 481
Столетова опыты 333, 485
Сторонние электроразделительные силы 270
Стример 309
Стюарта и Тольмена опыт 271
Сублимация 209
Суперпозиции принцип 98
Сфера молекулярного действия 180
Сцинтиллятор 504
Сцинтилляционный счетчик 504, 505
Сцинтилляция 464
Тангенциальное ускорение 18
Телесный угол 417
Температура 114, 120
—абсолютная 118
—инверсии 200
—кипения 202
— кристаллизации 207
—лучистого равновесия 458
—плавления 207, 208
—термодинамическая 118
Температуропроводность 175
«Тепловая смерть» 231
Тепловое движение молекул ПО 一 излучение 458
—равновесие 114, 458
Тепловой контакт 113
Теплоемкость газа при постоянном давлении 134, 136 — — 一 一 объеме 134—136 —жидкостей 169 —молярная 133
Теплоемкость твердых тел 167—169
—удельная 115, 133
Теплопроводность газа 146, 150—153
—жидких и твердых тел 174, 175
Теплота 113, 114
Термистор 292
Термический коэффициент давления газа 118
Термобатарея 300
Термодинамика 211
Термодинамическая система 211
Термодинамический процесс 212
Термодинамическое равновесие 211
Термометр газовый 119, 120
—жидкостный 114
—термоэлектрический 285, 286
Термопара 284, 300
Термос 153
Термоэлектрический эффект 284
Термоэлектрогенератор 300
Термоэлектродвижущая сила 284, 300
Термоэлектронная эмиссия 286
Термоэлемент 284
Термоядерная реакция 519
Тесла (единица) 331, 336
Ток насыщения 287, 288
—переменный 269, 468
—постоянный 269
—поляризационный 366
—проводимости 366
—смещения 366
—трехфазный 379, 380
Толстослойных фотоэмульсий метод 506
Томсона формула 388
Тороид 328, 342
Точечный источник света 417
Точка росы 203
Траектория 16
Транзистор 298
Трансурановые элементы 503, 518
Трансформатор 360
Трек 505
Трение внутреннее 34
—качения 34
—покоя 33
—скольжения 33
Третье начало термодинамики 231
Триод 287
Тритий 496
Тритон 496
Тройная точка 192
Трубка тока 76
Турбо детандер 201
Турбулентное движение 178
Тяжелая вода 496
Тяжелые ионы 306
Увеличение линзы 411
—микроскопа 413
Угловая скорость 21
Угловое ускорение 22
Угловой путь 21
Угол атаки 81
—дисперсии 406
—дифракции 435
—зрения 414
—отражения 401
—падения 400
—полной поляризации 454
—преломления 402
—скольжения 443
Удельная теплота возгонки 209
——испарения 202
——конденсации 202
— — плавления 208
Удельное вращение 455
Удельный заряд 341, 344
Узел кристаллической решетки 160
—разветвления электрической цепи 276
—стоячей волны 101
Ультрафиолетовые лучи 392, 421, 422, 458, 483
Универсальная газовая постоянная 122, 123, 135
Упругое последействие 164
Упругость насыщенного пара 197, 202, 204—207
Уравнение внутреннего трения (газа) 155
—волны 97
—гармонических колебаний 84
—диффузии (газа) 149
—неразрывности струи 76
—переноса 148
— состояния системы 211, 212
— теплопроводности (газа) 152
Уровень энергии атома 471
Усилитель тока (напряжения) 290, 298
Ускорение касательное 18, 19
— мгновенное 18
— нормальное 18, 19
—свободного падения 36, 43
—среднее 18
Условие частот 469
Установившееся движение жидкости 75
Фаза вещества 192
—колебания 84
——начальная 84
Фазовая поверхность 102
Фазовые превращения 192
Фазотрон 350
Фарада 253
Фарадея закон (электромагнитной индукции) 354, 356
—законы (электролиза) 304, 305
—опыты (по электромагнитной ин-дукции) 353—355
—постоянная 305
Фаянса и Содди законы 501
Ферриты 335, 358
Ферромагнетики 329, 332—335
Физика 5, 6
Фика закон 149, 169
Фитильная смазка 190
Фитотрон 7
Флотационный метод обогащения руды 187
Флуктуация 229
—света 495
Флуоресценция 480
Фокальные плоскости линзы 410
Фокус линзы 410
——мнимый 410
Фокусное расстояние линзы 409
Фосфоресценция 480
Фотолюминесценция 480—482
Фотон 307, 308, 399. 486. 489, 490.
500, 525
Фотосинтез 421
Фотосопротивление 487
Фотосфера 407
Фототок 485
Фоточувствительность фотоэлемента
585, 587, 588
Фотоэлектронный умножитель 505
Фотоэлектроны 485
Фотоэлемент вакуумный 486, 487
—вентильный 488
—полупроводниковый 487, 488
Фотоэмиссия 286
Фотоэффект внешний 484—486
—внутренний 484, 487
Фраунгоферовы линии 407
Френеля зеркала 425
—зоны 436
Френкеля теория (строение ядра) 497
Фронт волны 101
Фуко токи 357
Фурье закон 152, 174
Характеристика электронной лампы 290
Характеристическое излучение 443,
479
Хемилюминесценция 480
Химический эквивалент 305
Холодильник полупроводниковый
301
Хрупкие тела 164
Цвет неба 441
Цельсия шкала 114
Цементация 171
Центробежная сила инерции 41 — 43
Центробежные механизмы 38, 42
Центростремительное ускорение 18, 20, 21
Цепная реакция 515, 516
Цикл 219
Циклическая частота 84
Циклотрон 348, 349
Частота 22, 84
—круговая 84
—резонансная 378, 388
Число степеней свободы 130—132
—столкновений молекулы за секунду 143
Чувствител ьность глаза 415, 416
Штейнера теорема 70
Штерна опыт 140
Шунт 280
Эйнштейна принцип относительности 39
——эквивалентности 41
—уравнение (фотоэффекта) 486
Эквипотенциальная поверхность 249
Экспонометр фотоэлектрический 488
Экстратоки 362
Электризация 235, 283
Электрическая постоянная 237, 238
—цепь 270, 276
Электрические колебания 386
Электрический диполь 241, 384
—заряд 235, 236
Электрическое поле 238, 239
неоднородное 239
——однородное 239
Электродвигатель 337, 369
—асинхронный 381
Электродвижущая сила 270, 271 индукции 353—356, 367, 368 Электроемкость 253 — плоского конденсатора 263 Электролиз 304
Электролит 301
Электролитическая диссоциация 301
Электродов рыбы 305, 306
Электролюминесценция 480
Электромагнитная волна 385, 392, 446
Электромагнитная теория света 399
Электромагнитное излучение 384
—поле 364, 365
Электрон 235, 465, 525
Электронвольт 281
Электронная лампа 287—290
—пушка 345
—эмиссия 286
一 一вторичная 286
холодная 286
Электронное облако 286, 474
Электроннолучевая трубка 344
Электронные волны 445
—линзы 347
—слои 575—579
Электронный микропроектор 348
Электронный микроскоп 347
Электронный осциллограф 344
Электроосмос 283
Электропроводность 272
Электрорафинирование 305
Электростатическая защита 252
Электрострикция 257
Электротермометр сопротивления 273
Электрофорез 383, 304
Электрохимический эквивалент 304
Элементарная ячейка кристалла 160
Элементарные частицы 5, 235, 522, 523, 525-527
Элементарный заряд 235, 264, 265
Эмиттер 298
Эндрюса изотермы 196
—опыт 196, 197
Энергетическая светимость 458
Энергетические уровни атомов 471
Энергетический выход люминесценции 481
Энергия 48
—внутренняя 110, 113, 114, 133
—вращения 72
—заряженного проводника 255
——конденсатора 265, 266
—звезд 521
—кинетическая 49, 50
—колебания 92
Энергия магнитного поля 364
—покоя 62
—потенциальная 50—53
一 связи ядра 511—513
удельная 512
—удельная 78
—электрического поля 266
一 электромагнитного поля 364
Энтропия 225, 230
Эрстеда опыты 315, 316
Эффективное напряжение 370
Эффективный ток 370
Ядерная модель атома 465. 466. 469— 471
Ядерная энергетика 523, 524
—энергия 512, 513, 519
Ядерные реакции 507—510
——деления 512—514
синтеза 512, 513, 519
—силы 497
Ядерный реактор 517—519
Ядра конденсации атмосферные 206, 218
—кристаллизации 208
Ядро атома 465, 495—498
Яркость 418, 419
СОДЕРЖАНИЕ
3 5 8103 5 810Предисловие
3 5 810
3 5 810
Введение
Предмет физики. Связь физики с другими науками и производством
О единицах измерения и размерности физических величин
О некоторых математических понятиях и символах...
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Глава 1. Движение материальной точки (основы кинематики)
161920161920Общий случай криволинейного движения материальной точки; основные характеристики движения
161920
161920
Прямолинейное движение материальной точки
Движение материальной точки по окружности ・ ・ ・.
2527^ ^ ^ ^ ^ ^ ^2527^ ^ ^ ^ ^ ^ ^Глава 11. Основные законы динамики
2527^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
2527^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
Законы Ньютона. Масса и сила
Закон изменения количества движения (импульса) ...
Закон сохранения количества движения в изолированной системе• ・ ・
Силы упругости
Силы трения
Силы тяготения (гравитационные силы)
Центростремительная сила ..
Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
Вес тел. Ускорение силы тяжести. Невесомость*
4748545759^^71757779^^^4748545759^^71757779^^^Глава 111. Работа и энергия
4748545759^^71757779^^^
4748545759^^71757779^^^
Работа и мощность
Энергия
Закон сохранения и превращения энергии ・ ・ ・.・
О космических скоростях
Границы применимости классической механики ・ ・ ・ ・
Глава IV. Вращательное движение твердого тела
Основной закон динамики вращения
Моменты инерции некоторых тел
Закон сохранения момента количества движения. Кинетическая энергия вращающегося тела
Глава V. Движение жидкости
Основные определения. Уравнение неразрывности •. .
Уравнение Бернулли
О некоторых приложениях уравнения Бернулли ・ ・ ・ ・
Глава VI. Колебания и волны
Гармоническое колебание и его характеристики• •・ ・
Сложение гармонических колебаний
Динамика колебательного движения. Маятник・ ・ ・ ・
§ 30. О затухающих и вынужденных колебаниях
§ 31. Волновой процесс
§ 32. Уравнение волны. Интенсивность волны
§ 33. Интерференция волн. Стоячие волны .
§ 34. Фронт волны. Принцип Гюйгенса ——Френеля
2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Глава VH. Общие сведения о строении вещества
Основные положения молекулярно кинетической теории .
О некоторых явлениях, подтверждающих основные положения молекулярно-кинетической теории
О теплоте и температуре
О предмете и методах молекулярной физики
Глава V11L Газы
Экспериментальные газовые законы: Бойля ——Мариотта, Гей- Люссака, Дальтона, Авогадро. Абсолютная температура .
Уравнение Клапейрона ——Менделеева. Универсальная газовая постоянная
Основное уравнение кинетической теории идеального газа
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа
О числе степеней свободы. Внутренняя энергия газа ...
Теплоемкости газа. Физический смысл универсальной газовой постоянной
Скорость поступательного движения молекул газа. Распределение числа молекул по скоростям
Средняя длина свободного пробега молекул
Явления переноса в газах. Уравнение переноса ....
Диффузия
Теплопроводность
Внутреннее трение (вязкость)
Глава IX. Жидкости и твердые тела
Особенности строения жидкостей и твердых тел ....
Деформация твердого тела
Тепловое расширение твердых и жидких тел
Теплоемкость твердых и жидких тел
Диффузия в жидких и твердых телах
Осмос
Теплопроводность жидких и твердых тел
Вязкость жидкости. Турбулентное движение жидкости ..
Внутреннее давление в жидкости. Поверхностное натяжение и свободная энергия поверхности жидкости
Дополнительное давление под искривленной поверхностью жидкости; формула Лапласа
Капиллярные явления. Формула Борелли ——Жюрена ...
Глава X. Изменение агрегатного состояния вещества (фазовые превращения)
§ 62. Понятие о фазовых превращениях и диаграмме состояний вещества
Реальный газ. Уравнение Ван-дер-Ваальса
.Опыт Эндрюса. Критическая температура
Сжижение газов. Эффект Джоуля — Томсона ....
Испарение и конденсация. Кипение
%. Упругость насыщенного пара над искривленной поверхностью
“ жидкости и над раствором
§ 68. Плавление и затвердевание (кристаллизация). Возгонка .
6364656667
2 4 6 81
9 9 9 9 0
07101315
7
3 7 2 5 8 0 4
3 3 4 4 4 5 5 и 1* 11 1* 11 11 1
158
163
166
167
169
176
180
185
187
2 3 6 ю 1
9 9 9 9 0
4 7
^20
Глава XI. Основы термодинамики
О некоторых общих понятиях термодинамики. Первое начало термодинамики 211
Работа, совершаемая при изменении объема газа. Адиабатические процессы 214
Цикл КарноВторое начало термодинамики 219
Энтропия . .223
О статистическом смысле энтропии и второго начала термодинамики 227
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Глава XII. Электростатика § 74. Электризация тел. Электрический заряд 235
Взаимодействие электрических зарядов в вакууме. Электрическое
поле и его напряженность 237
Электрический диполь. Поле диполя 241
Теорема Остроградского — Гаусса и ее приложения . .242
Работа перемещения заряда в электрическом поле. Потенциал247
О неустойчивости статических систем электрических зарядов 250
Проводники в электрическом поле. Электроемкость. Энергия заряженного проводника 252
Диэлектрики в электрическом поле. Поляризация диэлектриков 255
Электрическое поле в диэлектрике. Диэлектрическая прони* цаемость. Вектор электрической индукции 258
Конденсатор. Энергия электрического поля 262
Глава XIII. Постоянный электрический ток
Электрический ток. Сила тока. Электродвижущая сила. Напряжение 269
Ток в металлических проводниках. Сопротивление. Законы Ома. Работа и мощность тока 271
Разветвленная электрическая цепь. Правила Кирхгофа . .276
Контактная разность потенциалов. Термоэлектрические явления 280
Эмиссия электронов. Термоэлектронная эмиссия. Электронные лампы 286
Ток в полупроводниках. Собственная и примесная проводимости полупроводников ...291
Запирающий слой. Полупроводниковые выпрямители, усилители и термоэлектрические батареи 296
Ток в жидкостях. Электролиз. Законы Фарадея ....301
Ток в газах. Несамостоятельный и самостоятельный газовые разряды 306
Типы самостоятельного газового разряда 309
Глава XIV. Электромагнетизм
Постоянный магнит и круговой ток. Магнитные поля магнитов и токов 315
Магнитное взаимодействие токов в вакууме; закон Ампера 318
Напряженность магнитного поля. Формула Ампера. Закон Био — Савара — Лапласа 320
Некоторые приложения закона Био — Савара — Лапласа 323
Магнитные поля соленоида и тороида 326
Диамагнитные, парамагнитные и ферромагнитные вещества. Магнитная проницаемость. Магнитная индукция. Поток магнитной индукции 328
Действие магнитного поля на проводник с током. Определение ампера 336
Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Определение удельного заряда и массы электрона339
О некоторых приборах и установках, основанных на движении заряженных частиц в электрическом и магнитном полях ・344
Глава XV. Электромагнитная индукция и переменный ток
Электромагнитная индукция. Закон Фарадея. Правило Ленца. Токи Фуко
Взаимная индукция и самоиндукция
Энергия магнитного поля. Понятие об электромагнитной теории Максвелла
Контур, вращающийся в магнитном поле. Синусоидальный переменный ток. Работа и мощность переменного тока .
Емкостное и индуктивное сопротивления
Обобщенный закон Ома. Электрический резонанс. Коэффициент мощности электрической цепи
Понятие о трехфазном токе
362367 371375379362367 371375379Глава XVI. Электрические колебания и электромагнитные волны § ПО.Электромагнитные волны 384
362
367 371
375
379
362
367 371
375
379
Закрытый колебательныйконтур 386
Вибратор Герца. Автоколебательный контур. О диапазоне частот электромагнитных волн 388
Радиосвязь 392
ОПТИКА И АТОМНАЯ ФИЗИКА
Глава XVII. Общие сведения о природе и свойствах света § 114. Природа света
Отражение и преломление света. Полное отражение ..
Дисперсия света. Спектры
Тонкие линзы. Микроскоп
Глаз как оптическая система. Спектральная чувствительность глаза...
Основные фотометрические характеристики ....
Поглощение света. О физиологическом действии света ..
Глава XV111. Волновые свойства света § 121. Интерференция света. Интерферометр § 122. Об интерференции света, отраженного от прозрачных пленок § ,123. Дифракция света. Разрешающая способность оптических приборов
Дифракция от щелей. Дифракционные спектры. Дифракционная решетка. О рассеянии света в мутной среде ....
Дифракция рентгеновских лучей. Формула Вульфа ——Брэггов
О дифракции микрочастиц и волнах де-Бройля ....
Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Поляризация света в турмалине. Поляроиды ....
Двойное лучепреломление； Поляризация света в исландском шпате. Призма Николя
Вращение плоскости колебаний поляризованного света. Поляриметр ...
Рлава XIX. Квантовые свойства света и строение атома
Тепловое лучеиспускание и лучепоглощение. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа
Законы излучения абсолютно черного тела. Квантовый характер излучения. Формула Планка
Строение атома (ядер на я модель). Дискретность энергетических состояний атома. Постулаты Бора
Квантовая теория строения атома водорода (по Бору). Объяснение спектров излучения и поглощения водорода ...
398 400405 407413416419398 400405 407413416419425 430431435 441444446451454425 430431435 441444446451454458461465469475458461465469475Понятие о строении многоэлектронных атомов и образовании оптических и рентгеновских (характеристических) спектров § 135. Люминесценция. Законы фотолюминесценции и некоторые ее практические применения
398 400
405 407
413
416
419
398 400
405 407
413
416
419
425 430
431
435 441
444
446
451
454
425 430
431
435 441
444
446
451
454
458
461
465
469
475
458
461
465
469
475
Фотоэффект. Законы фотоэффекта. Фотоэлементы
Масса и импульс фотона. Световое давление. Эффект Комптона, Флуктуации света
Глава XX. Атомное ядро и внутриядерные процессы
Общие сведения об атомных ядрах. Изотопы
Естественная радиоактивность. Альфа-, бета- и гамма-лучи. Законы радиоактивного распада + .
О методах наблюдения и регистрации микрочастиц .. .
Ядерные реакции. Искусственная радиоактивность ..
Энергия связи и дефект массы атомного ядра
Реакция деления. Цепная реакция. Ядерный реактор . .,
Реакция синтеза (термоядерная реакция). Энергия звезд .
Космические лучи. Элементарные частицы
Об использовании ядерной энергии
Некоторые физические постоянные
Единицы измерения физических величин
Некоторые формулы электростатики и электромагнетизма, записанные в рационализованном и нерационализованном видах Предметный указатель*
4
8
4
489
5 8471491323 4949505051515152525353
535537
Ростислав Иванович Грабовскийкурс физики
Редактор Г. Н. Дьяченко. Художественный редактор Н. В. Майкова. Техническийредактор Л. А. Григорчук. Корректор М, И. Козлова.
Сдано в набор 15/1-74 г. Подп. к печати 19/VI-74 г. Формат 60X9QVie. Бум. тип. № 2. Объем 34,5 печ. л. 34,5 усл. п. л. 36,47 уч.-изд. л. Изд. № ФМ/531. Тираж 100 000 экз. Цена 1 р. 20 к. План выпуска литературы издательства «Высшая школа» (вузы и техникумы) на 1974 г. Позиция № 63. Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14. Издательство «Высшая школа>
Ярославский полиграфкомбинат «Союзполиграфпрома» при Государственном комитетеСовета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Ярославль, ул. Свободы, 97. Зак. 31.
*** Слово «физика» имеет греческое происхождение: ср2о(физис) — природа. Так было названо большое сочинение древнегреческого ученого Аристотеля, написанное в III в до н. э. и содержащее все имевшиеся к тому времени сведения о природе (сведения по геометрии, астрономии, земледелию, медицине, ботанике и т. д.). Таким образом, первоначально физика включала в себя все естественные науки. Со временем эти науки выделились из физики
б) средним геометрическим значением х величины называется корень n-й степени из произведения и отдельных ее значений:
〜 п/
% ~~ "|/ %]%2%з •- ％71
** От латинского слова gravitas —тяжесть.
** От латинского слова potentia — возможность.
** От греческого слова (лахрос (макрос) — большой, крупный.
** Сформулирован в 1927 г. немецким физ и ком -тео р ети ком Гейзенбергом^
* Так как, согласно формуле (20), относительное изменение массы
Дт/т0 == ^W/mQc2.
* От греческого слова а*哪& (аморфос) — бесформенный.
От греческого слова 冗oAvpisps： (полимерос) — многообразный.
** Исключение составляют случаи, когда жидкости плохо растворимы друг в друге (например, вода и масло). Тогда диффузия охватывает лишь небольшой пограничный слой между ними.
б) При отделении сливок посредством сепаратора роль силы тяжести играет центробежная сила инерции 尸ц.н (см. § 14) и жировые шарики будут те
** Первоначально выведена русским математиком М. В. Остроградским в качестве общематематической теоремы; позднее (независимо от него) установлена немецким математиком и физиком Гауссом применительно к электрическому полю.
* В цепь могут входить также электроизмерительные, электронагревательные и другие электрические приборы и аппараты, носящие общее название элементов электрической цепи.
** От греческого слова «pop-qaio (форезис) — перемещение.
** Выведена английским физиком Ричардсоном,,
* Предполагается, что амплитуды волн одинаковы. В противном случае в точке Р произойдет не полное гашение, а лишь ослабление света.
** Клей вырабатываемый из смолы канадской пихты; его показатель преломления п = 1,550.
* Установлен английским физиком Брюстером в 1815 г. Так как в рассматриваемом случае (рис. 349) первой средой является воздух, то относительный показатель преломления второй (отражающей) среды практически равен ее абсолютному показателю преломления п.
** Название «мазер» образовано из первых букв английских слов; Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation (усиление микроволн посредством вынужденного излучения).
** Первый атомный реактор был построен под руководством Э. Ферми в 1942 г. (в Чикагском университете).
* Первоначальный разогрев звезд произошел, по всей вероятности, в результате сжатия звездной материи под действием гравитационных сил (т. е. в результате превращения потенциальной энергии тяготения в теплоту).
* В этой связи может возникнуть вопрос: почему не превращаются в фо・ тоны все электроны и протоны, образующие атомы вещества? Этого не происходит только потому, что в Галактике число античастиц (позитронов, антипротонов и т. д.) крайне мало в сравнении с числом частиц.
Возможно, что существуют галактики, в которых, наоборот, очень мало частиц и атомы вещества (точнее говоря, антивещества) построены там из античастиц (позитронов, антипротонов и антинейтронов).
Р. И. ГРАБОВСКИЙ
КУРС ФИЗИКИ
Четвертое издание(переработанное)
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов сельскохозяйственных высших учебных заведений
530
Г75
УДК 53(075)
Рецензент: кафедра физики Волгоградского сельскохозяйственного института
Грабовский Р.И.
Г75 Курс физики. Учеб, пособие для с/х ин-тов. Изд. 4・е, перераб. и доп. М., «Высш, школа», 1974.
552 с. с ил.
Учебник составлен в соответствии с программой по физике для сельскохозяйственных институтов. В нем приводится достаточное количество примеров, связанных с агробиологическими науками и сельскохозяйственным производством.
Настоящее издание (3-е вышло в 1970 г.) отличается от предыдущих некоторыми (небольшими по объему) дополнениями и изменениями, способствующими улучшению содержания.
Предназначается для студентов неинженерных факультетов сельскохозяйствен - вых вузов. Многие разделы учебника могут быть использованы и студентами инже- нерных факультетов.
53053020401 — 141
530
530
001(01)—74 63~~74