ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга является отражением многолетней практики преподавания электродинамики на физических факультетах Московского государственного университета имени М. В Ломоносова и Университета дружбы народов имени Патриса Лумумбы. Перед авторами стояла вдвойне трудная задача. С одной стороны, необходимо было отобрать из множества чрезвычайно интересных и глубоких результатов, достигнутых в электродинамике к настоящему времени, только самое существенное и необходимое для понимания предмета и для дальнейшей самосто ятельной работы студентов в этой области. С другой стороны, пользуясь ограниченными математическими средствами, доступными студентам-физикам младших курсов, нужно было дать строгий вывод ряда фундаментальных положений, составляющих основу современной теории электромагнитного поля.

Чтобы выполнить эту программу, авторы решили прибегнуть к помощи самого читателя, рассчитывая на его активную работу по усвоению излагаемого материала. С этой целью в книгу включен ряд задач, зачастую составляющих неотъемлемую часть текста, решение которых представляется необходимым для понимания всего последующего. Хотя наиболее трудные задачи и снабжены решениями, помещенными в конце книги, читателю рекомендуется заглядывать в них лишь после того, как

многократные попытки найти самостоятельное решение не дали результатов.

Предполагается, что читатель знаком с элементами теории дифференциальных уравнений в частных производных и с основами векторного и тензорного анализа. Однако для удобства в конце книги имеется математическое приложение, в котором дано краткое изложение всех необходимых для понимания основного текста математических сведений. Поэтому, чтобы освежить их в памяти и вместе с тем привыкнуть к обозначениям, используемым в книге, рекомендуется сначала ознакомиться с приложением. Очень хорошим дополнением к настоящему курсу является «Сборник задач по электродинамике» В. В. Батыгина и И. Н. Топтыгина. Некоторый дополнительный материал, который при первом чтении может быть опущен, набран петитом.

Авторы благодарны проф. О. С. Иваницкой и проф. Ю. М. Лоскутову, которые внимательно прочитали рукопись и высказали ценные критические замечания, способствовавшие улучшению книги.

ВВЕДЕНИЕ

Почему возникают электрические силы? Как они передаются? Что при этом происходит в пространстве? Подобные вопросы возникают сами собой при первом же знакомстве с электричеством. Даже сегодня, когда картина во многом прояснилась и человечество достигло грандиозных успехов в изучении и использовании электричества, все еще нельзя дать на них исчерпывающие ответы. Электродинамика, изучающая электромагнитные процессы, является сейчас одной из самых разработанных областей человеческих знаний, а уравнения Максвелла» описывающие электромагнитное поле и получившие многочисленные подтверждения на опыте, не могут не вызывать чувства восхищения своим изяществом и красотой *.

В буквальном переводе «электродинамика» —— это учение о движении и взаимодействии электрических зарядов. Но такая расшифровка не отражает существа дела, ибо главное содержание электродинамики есть учение об электромагнитном поле и его связи с зарядами и токами.

Первоначально делались попытки свести все электрические явления к прямому взаимодействию электрических зарядов, т. е. предполагалось, что электрические силы мгновенно пе-

* История создания уравнений Максвелла очень поучительна, и читатель может ознакомиться с нею, например, по увлекательно написанной книге В. /7. Карцева «Приключения великих уравнений» (М., 1970).

редаются через пустоту, а само их существование является прирожденным свойством заряженных тел. Все внимание при таком подходе было сосредоточено на электрических зарядах и токах, поле же вводилось по аналогии с гравитационным полем лишь как удобное математическое понятие. Эти взгляды разделяли Ампер, Риман, Вебер, Кирхгоф, Гельмгольц и др. Это была эпоха господства теории дальнодействия.

Нужна была проницательность М. Фарадея, чтобы искать причину не в самих зарядах и токах, а в окружающем их пространстве. Он представлял себе силовые линии как вполне реальные образования и провел множество хитроумнейших экспериментов по их обнаружению. Один из них привел его к открытию электромагнитной индукции. Но умозрительные представления Фарадея явно проигрывали в сравнении с безупречно математически оформленной электродинамикой дальнодействия и поэтому не могли рассчитывать на признание.

Нужен был гений Дж. К. Максвелла, чтобы увидеть в неуклюжем языке фарадеевых силовых линий гармонию математики. Тщательно проштудировав труды Фарадея, Максвелл сумел сконцентрировать все их содержание в восьми коротких уравнениях, которым суждено было стать краеугольным камнем теории электромагнитного поля. Так благодаря трудам Фарадея и Максвелла стала пробивать себе дорогу теория близкодействия, в основе которой лежало фарадеево представление об особом материальном носителе электромагнитных сил——электромагнитном поле.

Эволюция представлений об электромагнитном поле имеет долгую историю. Отметим лишь наиболее значительные ее вехи.

Максвелл был сторонником механистической точки зрения и представлял электромагнитное поле в виде натяжений и деформаций особой всепроникающей среды——эфира. Исторически эти представления сыграли положительную роль, так как помогли Максвеллу найти правильную математическую форму для уравнений электродинамики. Одним из следствий этих уравнений было предсказание Максвеллом электромагнитной природы света.

Творец электронной теории Г. Л. Лоренц тоже был сторонником эфира. Считая, что электромагнитное поле—это особое состояние эфира, он тем не менее уже не наделял последний какими-либо механическими свойствами. Напротив, в конце концов он пришел к выводу, что присутствие эфира не может быть замечено ни в одном электродинамическом опыте. Эфир у Лоренца оставался непознаваемой «вещью в себе». Сознавая его бесполезность, Лоренц все же не смог сделать последний решительный шаг ——отказаться от эфира. Эго было сделано создателем теории относительности А. Эйнштейном. Позже постепенно сложилось представление об электромагнитном поле как о самостоятельно" материальной сущности, являющейся носителем электромагнитных взаимодействий и распре деленной в пространстве. Это представление полностью разделяется и современной наукой.

Сейчас мы обладаем многими несомненными доказательствами разнообразнейших материальных проявлений электромагнитного поля. Сюда относятся и опыты Г. Герца (1887) по обнаружению электромагнитных волн, и опыты /7. Н. Лебедева по измерению светового давления (1901), и прецизионные опыты Р.« Паунда и Г. Ребки (I960) по «взвешиванию» света, и многие другие.

В настоящее время помимо электромагнитных сил известны также и наиболее универсальные, присущие всем объектам гравитационные силы, и мощные ядерные силы, действующие на чрезвычайно малых расстояниях порядка 10"13 см внутри ядер, и сравнительно небольшие, но важнейшие в микромире, слабые взаимодействия, вызывающие распады элементарных частиц. В первом (классическом) приближении современная атомистическая картина строения материи может выглядеть следующим образом: материя состоит из заряженных и нейтральных элементарных частиц (электронов и нуклонов) и различного вида полей (электромагнитного, ядерного, гравитационного и др.), обусловливающих взаимодействие элементарных частиц. При более детальном (квантовом) описании материи полям также нужно сопоставлять особые частицы——кванты паля (кванты электромагнитного поля —фотоны, ядерного — мезоны И т. д.).

Однако в отличие от короткодействующих ядерных и слабых сил электромагнитные и гравитационные силы являются далекодействующими, т. е. наиболее медленно убывающими с расстоянием между частицами. Именно это позволяет рассматривать электромагнитные и гравитационные поля как макроскопические объекты и ограничиться лишь классическим (а не квантовым) описанием.

Уравнения Максвелла как раз и представляют собой математически строгое и полное выражение законов движения электромагнитного поля как макроскопического объекта.

Глава1Глава1УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА КАК РЕЗУЛЬТАТ ОБОБЩЕНИЯ ОПЫТНЫХ ФАКТОВ

Глава

1

Глава

1

В данной главе, следуя индуктивному методу и опираясь на небольшое число опытных фактов, будут выведены основные уравнения макроскопической электродинамики ——уравнения Максвелла. Вместе с тем для более глубокого усвоения основ электродинамики и для уяснения ее места среди других физических дисциплин безусловно будет полезен анализ взаимосвязи ряда экспериментальных фактов и таких фундаментальных физических законов, как законы сохранения энергии и импульса.

§ 1. АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ ОПЫТНЫХ ФАКТОВ

Электродинамика возникла на основе анализа и обобщения многих экспериментальных фактов. Перечислим наиболее важные из них, сыгравшие решающую роль в процессе ее становления.

Закон сохранения электрического заряда. Уже в простейших опытах по электризации тел трением и через влияние было установлено, что все они прекрасно согласуются с гипотезой о существовании двух видов «электрических жидкостей» — положительной и отрицательной (Ш. Дюфз, Б. Франклин, Р. Сим- мер, М. Фарадей) *, взаимно притягивающихся, но отталкивающих себе подобную. Количество содержащейся в наэлектризованном теле <(элект-

* Гиндаль Дж. Лекции об электричестве. С.-Петербург, 1885; Ньоцци AL История физики. М・,1970.

рической жидкости》стали называть электрическим зарядом Q этого тела, а о величине его судили по степени электрического влияния данного тела на другое.

Как выяснилось, электрический заряд не может быть уничтожен —при непосредственном контакте заряженных тел он лишь перераспределяется между ними.衣

Это как раз и составляет содер-I

жание закона сохранения электри- 1

ческого заряда, физический смысл ,( i丁

которого стал ясным лишь после

открытия в 1899 г. английскимI * I ㊀

физиком Дж. Дж Томсоном пер- i

вой элементарной частицы ——элект-'

рона. В классических опытахр^с 〔〔

Р. Милликена (1909) было уставов-'

лено, что заряд любого тела кратен заряду электрона (е =——4,803242х X10-1° СТС/, так что роль «электрических жидкостей» должны играть свободные электроны и ионы. Обозначая их заряды %, найдем для полного заряда Q в некотором объеме V выражение

（1.1）（1.1）（2 =击,

（1.1）

（1.1）

где символ / W V означает, что суммирование проводится по всем зарядам из объема V.

Если объем V окружен замкнутой поверхностью S, ю сохранение электрического заряда означает, что Q может измениться только в случае, когда заряды ， пересекают поверхность S Вводя силу электрического тока /, равную количеству электричества, вытекающему из объема У за 1 с, закон сохранения электрического заряда можно записать в виде

(L2)(L2)dQ/df

(L2)

(L2)

Задача 1.1. Пусть через еанну с электролитом течет постоянный ток силой / (рис 1.1). Если процесс установившийся, то положительные ионы нейтрализуются на катоде К приходящими туда электронами. Поэтому сила тока положительных ионов равна /+ = /. Аналогично, отрицательные ионы нейтрализуются на аноде а, и поэтому их сила тока равна /-=/. В результате через сечение АВ ванны проходит ток силой /+ + /-=2), что явно противоречит закону сохранения заряда (1.2). В самом деле, ^если окружить катод замкнутой поверхностью, то сила входящего в нее тока равна 2/, а выходящего——/ Таким образом, на катоде должен накапливаться положительный заряд Однако ничего подобного не наблюдается. Как можно разрешить этот парадокс? У казать ошибку в рассуждениях.

Закон Кулона для электрических зарядов. Этот закон был установлен французским ученым Ш. Кулоном в 1785 г. и определяет силу взаимодействия двух точечных покоящихся электрических зарядов ег и с?, находящихся на некотором расстоянии г друг от

друга в точках 门 и г2 соответственно. Тогда сила, действующая на первый заряд со стороны второго, равна

Fn^^r/r3,(1.3)

где г；% —%,厂三丨吓

Здесь и в дальнейшем при изложении законов электродинамики мы используем абсолютную систему единиц Гаусса (СГС). В основу этой системы положены механические единицы (сантиметр, грамм и секунда), а единичный заряд определяется из закона Кулона, записываемого в форме (1.3).

Интересно отметить, что сам Кулон установил свой закон довольно грубо, непосредственно измеряя силу взаимодействия двух зарядов с помощью крутильных весов. Однако еще в 1771 г., т. е. за 14 лет до Кулона, английский физик Г. Кавендиш с помощью необычайно простого опыта сумел вывести закон 1/г2 с гораздо большей точностью, но результат свой не опубликовал. Сейчас опыт Кавендиша известен каждому школьнику, однако не все догадываются, что из него непосредственно следует закон Кулона,

Кавендиш взял металлический шар и две плотно облегающие его металлические полусферы с ручками из изолятора (рис. 1.2). Зарядив шар, он обжал его полусферами, а затем разнес их. Заряд шара, измеренный после этого, оказался равным нулю. Отсюда Кавендиш и сделал вывод, что между

двумя точечными зарядами должна действовать сила вида 1/г2.

Задача 1.2. Предположив центральный характер взаимодействия . двух электрических зарядов, т. е. записав силу взаимодействия 6 виде F12 = e1e2/ (г) г/г, найти вид функции / (г) на основании результатов опыта Кавендиша. Исследовать, как изменились бы эти результаты, если бы закон взаимодействия не подчинялся зависимости 1/г2.

Закон Кулона позволяет ввести понятие электрического поля, задаваемого напряженностью Е, т. е. силой, действующей на единичный положительный заряд. В частности, всякий неподвижный точечный заряд е окружен электрическим полем вида

Е = ег"з.(1.4)

Опыт показывает, что электрические поля от нескольких неподвижных зарядов складываются как обычные векторы. Это означает, что для электрических сил справедлив четвертый закон механики, или принцип независимости действия сил. Обычно это положение формулируется в виде гипотезы о линейности взаимодействия, больше известной как принцип суперпозиции.

Задача 1.3. Очень наглядным является изображение электрического поля Е с помощью линий напряженности, т. е. линий, в каждой точке которых направление касательной совпадает с направлением вектора напряженности Е поля. Воспользовавшись принципом суперпозиции^

найти картину линий напряженности электрического поля, создаваемого двумя равными и противоположными по знаку точечными зарядами е】 = —。2 = —е，разнесенными на расстояние / (рис. 1.3). Рассмотреть предельный случай асимптотического поля (г》，).

Взаимодействие магнитов и токов. С удивительными свойствами магнитов люди познакомились еще в далекой древности, но первое их систематическое экспериментальное изучение было проведено английским врачом и физиком В. Гильбертом в конце XVI в. Результаты его исследований были обстоятельно изложены в труде «О магните», вышедшем в 1600 г. В числе многих других Гильберт отметил два следующих свойства

магнита:

магнит имеет два полюса: положительный (северный) и отрицательный (южный), причем одноименные полюсы отталкиваются,

а разноименные——притягиваются;

невозможно получить магнит с одним полюсом.

Количественный закон взаимодействия магнитных полюсов был установлен гораздо позже (1785) Кулоном одновременно с его же

законом для электрических зарядов. Эти законы оказались совпадающими по форме. А именно: если взять две достаточно длинные магнитные спицы (рис. 1.4), чтобы можно было пренебречь влиянием далеких полюсов, то сила взаимодействия двух ближайших полюсов имеет вид

F[$)= (1.5)

Здесь ть 2—магнитные массы (или заряды) полюсов. Кроме того, мы ограничились случаем взаимодействия в пустоте, так как среда существенно искажает его.

Закон (1.5) позволяет по аналогии с электрическим полем ввести магнитное поле В (или магнитную индукцию— не совсем удачное название, сложившееся исторически), определяемое как сила, действующая на единичный магнитный заряд. Так, точечный магнитный заряд 加 оказывается окруженным магнитным полем

(1.6)(1.6)В = тГ“з

(1.6)

(1.6)

Однако аналогия с электрическим полем здесь и кончается, ибо уже второе свойство магнитов, отмеченное Гильбертом, говорит о существенно различной природе магнитного и электрического

полей. В самом деле, в отличие от электрических зарядов магнит

ные заряды невозможно отделить от их антиподов. В том, что это действительно так, можно убедиться очень просто: отломив север

ный полюс магнита, мы увидим, что в месте разлома опять появляются полюсы противоположных знаков (рис. 1.5). Эго свойство очень просто объясняется с точки зрения представлений о молекулярной структуре- вещества. Действительно, достаточно лишь предположить, что каждая

нулю:нулю:молекула представляет собой элементарный магнитик с полюсами ± 加『,чтобы убедиться, что в любом объеме V, заключающем какое- то число молекул, суммарный магнитный заряд оказывается равным

нулю:

нулю:

(1.7)(1.7)2 他y = 0.

(1.7)

(1.7)

lev

Но истинная природа магнетизма стала проясняться лишь после знаменитого опыта Г. Эрстеда (1820), обнаружившего магнитное действие электрических токов. Поднеся компас к проводнику с током, он увидел, что магнитная стрелка устанавливается перпендикулярно проводу (рис. 1.6). Дальнейшие исследования французских физиков 次.Б. Био и Ф. Савара показали, что магнитное поле

спадает обратно пропорционально расстоянию от провода. П. С. Лаплас, узнав об этих опытах, высказал предположение, что, по-ви- димому, каждый элемент тока создает магнитное поле, индукция которого меняется по закону 1/г2. В дальнейшем эта гипотеза была подтверждена и положена в основу закона Био——Савара —Лапласа (1820), определяющего магнитную индукцию элемента тока /dl (рис. 1.7):

dB = ^[dk]$, (1-8)

где с ——электродинамическая постоянная, имеющая размерность скорости и равная 2,997925'1010 см/с.

Однако все упомянутые исследователи исходили из неверного представления, предполагая, что проводник с током сам становится магнитом, почему и проявляет магнитное действие. Вскоре в опытах Фарадея (1821), а затем Эрстеда и Ампера было обнаружено и обратное воздействие магнитного поля на токи. Именно: оказалось, что сила, действующая в магнитном поле В на элемент тока /dl, равна

dF = ^[dlB]. (1.9)

Этот факт уже никак нельзя было объяснить, задавая какое- либо распределение магнитных масс вдоль провода, так как сила, действующая на них, была бы направлена вдоль В в противоречии с (1.9).

Здесь-то и выступил с необычайно смелой гипотезой Ампер. Он предположил, что не проводник с током является магнитом,

а сам магнит эквивалентен системе замкнутых токов (гипотеза

молекулярных токов Ампера). Правильность своей точки зрения Ампер сумел доказать рядом убедительных опытов по взаимодействию токов между собой. Постулировав некоторый закон взаимодействия двух элементов тока, он вывел с его помощью закон Био—Савара—Лапласа и закон Кулона для магнитных полю

сов. Кроме того, он сумел показать, что катушка с током ведет себя как прямой магнит (рис. 1.8) и что круговой ток эквивалентен магнитному листку (знаменитая теорема эквивалентности Ампера).

dF|2=^///dli[dUUg.dF|2=^///dli[dUUg.(МО)(МО)Закон взаимодействия двух элементов тока (рис. 1.9) может быть непосредственно выведен из (1.8) и (1.9):

dF|2=^///dli[dUUg.

dF|2=^///dli[dUUg.

(МО)

(МО)

Очевидно, что он не согласуется с третьим законом механики:

dF12 + dF“ = 1 厶/Jdk (dlj) — dk (d%r)] ^，0.

Однако никакого противоречия здесь нет, ибо (по закону сохранения заряда) все реальные токи должны быть замкнутыми, а при взаимодействии двух замкнутых контуров Сг и С2 действие уже равно противодействию, поскольку

dF12 + <1Fl 一 警[d% (dlR) + dL (dIM)] 1

и поэтому согласно соотношению £(d1V)屮=0 имеем с

/^(dF12 + dF21) = 0.

с2

Таким образом, с точки зрения Ампера, магнитные заряды не существуют вовсе, а единственным источником магнитного поля является электрический ток. В связи с этим магнитное поле В физически более правильно определять не из закона Кулона (1.5), а из формулы Ампера (1.9) как силу, действующую на элементарный ток.

Отмечая фиктивный характер магнитных зарядов, следует все же иметь в виду, что во многих задачах использование этого понятия позволяет значительно облегчить выкладки. Этот прием особенно эффективен при расчете магнитных полей постоянных магниюв. Попробуйте, например, решить следующую качественную задачу, пользуясь молекулярными токами Ампера и фиктивными магнитными зарядами.

Задача 1.4.8 цилиндрическом магните вдоль оси просверлено тонкое

отверстие. Как направлен 6 нем вектор магнитной индукции?

Одним из важных следствий закона Био——Савара — Лапласа является следующее правило; или закон Ампера, утверждающий, что работа, совершаемая магнитным полем над единичным магнитным зарядом при обнесении его вокруг постоянного тока / по любому замкнутому контуру С, ориентированному по току, равна 4п//с, т. е.

/(Bdl)=^/.(1.11)

с

Задача 1.5. Вывести закон Ампера из закона Био—Савара —Лапласа, предварительно показав, что индукция магнитного поля, создаваемого замкнутым током /, может быть вычислена по формуле

Ъ= — ~1 grad Q,(1.12)

где Q ——телесный угол, под которым виден контур тока из точки наблюдения.

Задача 1.6. Записав получающуюся из опыта Эрстеда силу dFffiT действующую на магнитный заряд т со стороны элемента тока /dl, 6 виде dtm = ml [dlr] / (^)/г» найти функцию /(г), использовав тот опытный факт, что ^магнитное поле вне равномерной тороидальной обмотки с током отсутствует (если пренебречь составляющей тока вдоль тороида)..-

Задача 1.7. Показать, что формула Ампера (1.9) есть следствие закона Кулона для магнитных полюсов, закона Био — Савара—Лапласа и допущения, что 〃р〃 взаимодействии магнитного заряда с элементом тока выполняется третий закон механики.

Задача 1.8. Вывести из формулы Ампера (1.9), что на точечный заряд е, движущийся е магнитном поле В со скоростью в, действует сила Лоренца

F=e[kB]/& (1.13)

Закон электромагнитной индукции Фарадея. В 1831 г. вышла работа английского физика М. Фарадея, в которой он описал ставший теперь классическим эксперимент, открывший новую главу электродинамики. В этом эксперименте, обнаружившем единство и взаимосвязь электрического и магнитного полей, мы впервые встречаемся с качественно новым объектом ——электромагнитным полем

Фарадей взял железное кольцо с двумя обмотками, в одну из которых включил гальванометр G, а в другую — источник тока (рис. 1.10). При замыкании или размыкании ключа К стрелка

Рис. 1,10Рис. 1.11

гальванометра отклонялась. Токи, появлявшиеся при этом, Фарадей назвал индукционными. Их появление он связывал с тем, чго линии магнитной индукции, возникавшие вблизи первичной обмотки при замыканйи ключа К, расширяются, стремясь заполнить железное кольцо, и при этом пересекают вторичную обмотку.

В правильности этих заключений Фарадей убедился, выполнив еще один опыт (рис. 1.11): в металлическом диске, вращающемся в поле постоянного магнита, также обнаруживаются индукционные токи. Много раз повторяя свои опыты в различных вариантах, Фарадей пришел к выводу, что при всяком пересечении проводником магнитных линий индукции в последнем появляется индукционный ток, причем протекший заряд AQ пропорционален числу пересеченных силовых линий ДФ и обратно пропорционален электрическому сопротивлению проводника R, т. е.

RNQ = NGlc. (1.14)

Следует отметить, что за несколько лет до Фарадея американский физик Дж. Генри проделал похожие эксперименты (рис. 1.12, а, 6), но, считая, что накопленных фактов еще недостаточно, не торопился опубликовать свои результаты .

Сформулированное Фарадеем положение (1.14) получило название закона электромагнитной индукции. Но надо сказать, чго формулировка Фарадея при всей своей общности страдает рядом недостатков, затрудняющих ее использование. Прежде всего в (1.14) смешиваются две существенно различные причины, порождающие ДФ. Именно: пересечение проводником магнит-

〃力 ных силовых линий может проРис. 1.12исходить либо вследствие дви

жения проводника, либо вследствие изменения магнитного поля. В каждом из этих двух случаев ДФ считается по-разному. Наконец, входящее в (1.14) электрическое сопротивление /? —совершенно конкретная харак

теристика проводящего контура ——не позволяет использовать этот закон для описания процессов в окружающем пространстве, к чему так стремился сам Фарадей.

Последний недостаток можно исправить, если привлечь открытый в 1827 г. немецким физиком Г. Омом закон, выражающий сопротивление R контура через силу тока / и электродвижущую силу (э. д. с.) 3, определяемую как работа, совершаемая над единичным зарядом при обходе им замкнутого контура:

(1.15)(1.15)R = £〃・

(1.15)

(1.15)

Чтобы исправить первый недостаток, т. е. унифицировать определение ДФ, Максвелл ввел связанный с контуром С магнитный поток

(1.16)

где S ——натянутая на контур С правоориентированная поверхность (см. задачу 14 приложения), и предложил отождествить ДФ с приращением Ф. В таком случае [если учесть законы (1.2) и (1.15)] вместо (1.14) получится

(1」7)

Это и есть максвелловская формулировка закона электромагнитной индукции Фарадея.

Задача 1.9. Показать, что формулировки Максвелла и Фарадея закона электромагнитной индукции эквивалентны только для четко определенных и топологически неизменных (односвязных) контуров. Рассмотреть в качестве примеров опыт Фарадея (см. рис. 1.11) и опыт с тороидом. (рис. 1.13; тороидальная обмотка с током охвачена металла、 ческим челноком D, позволяющим перевести щупы гальванометра G, не разрывая его i^enut из точки А 8 точку В). Каким будет показание гальванометра?

Задача 1.10. Трансформатор имеет тороидальные обмотки, вдетые одна е другую (рис. 1.14). Учитывая, что магнитное поле первичной обмотки сосредоточено внутри нее и не пересекает витки вторичной обмотки, выяснить, не противоречит ли работа этого трансформатора фарадеевской формулировке закона электромагнитной индукции.

проводник с током впроводник с током вРис. 1.16Рис. 1.16

проводник с током в

проводник с током в

Рис. 1.16

Рис. 1.16

Заметим, что знак минус в (1.17) выражает так называемое правило Ленца (1834), устанавливающее направление индукционного тока или э. д. с. индукции(^. Согласно ему индукционный ток направлен так, что противодействует вызвавшей его причине.

Задача 1.11. Вывести правило Ленца из закона сохранения энергии, предположив, что энергия электромагнитного поля положительна Задача 1.12. Объяснить опыт Араго (1824), в котором вращающийся медный диск увлекал подвешенный над ним магнит (рис. /./5).

При анализе экспериментов с магнитным полем Фарадей уподоблял магнитные силовые линии тонким и \ пругим резиновым

шнурам, стремящимся сократит вся и одновременно расшириться в поперечном направлении. Таким образом, по Фарадею, линии индукции испытывают продольные натяжения и оказывают поперечное давление на своих соседей. На основе этих представлений Фарадей пришел к двум правилам, которые наи'лн широкое применение в электротехнике и известны как правила «мотора» и《динамо»

Чтобы их сформулировать, рассмотрим проводник с током в магнитном поле Во. Полное поле В, очевидно, складывается из Во и собственного поля тока Ви т. е. В = Во + Bt. Тогда

магнитном поле движется в сторону слабейшего поля в его окрестности (из рис. 1.16 видно, что соответствующая сила обусловлена стремлением линий индукции «выпрямиться»). Согласно правилу «динамой, ток, индуцированный в

движущемся проводнике, стремится увеличить индукцию магнитного поля в области, куда движется провод-

ник.

Задача 1.13. Обосновать правила «мотора» и《3以兄<加。》.

Задача 1.14. Показать, что закон Ампера (1.11) следует из закона электромагнитной индукции Фарадея и закона сохранения энергии.

Указание: обнести магнитный заряд вокруг провода с током и рассчитать работу э. д. с. индукции.

Задача 1.15. Зная силу тока /〕холостого хода и силу тока /2 торможения электродеигате л я постоянного тока, найти его максимальную мощность при заданном напряжении питания &. Как она изменится при увеличении магнитного поля статора 6 几 раз?

Электромагнитные свойства вещества. До сих пор мы рассматривали взаимодействие зарядов и токов в вакууме, не учитывая влияния окружающей среды. Однако это влияние весьма существенно. Чтобы понять поведение вещества в электромагнитном поле, необходимо принять во внимание его молекулярную структуру и прежде всего то, что заряды, входящие в его состав, могут под действием внешних силовых полей либо перемещаться в пределах одной молекулы, т. е. оставаться связанными, либо переходить от одной молекулы к другой, т. е. быть свободными.

Обычно свободными являются электроны в металлах и ионы в электролитах и ионизованных газах. Они-то и вносят основной вклад в ток проводимости . В случае приложенных электрических полей Е, малых по сравнению с молекулярными полями, ток проводимости удовлетворительно описывается линейным законом Ома

1 = UQR\»(1.18)

где приложенное к образцу между точками / н 2 напряжение 2

〃2=，(Edl).(1.19)

Важной характеристикой образца является его проводимость R^. Отнесенная к образцу длиной 1 см и площадью поперечного сечения 1 см2, она называется удельной электрической проводимостью или электропроводностью о. В общем случае о зависит от температуры Т, концентрации примесей, напряженности поля Е и других факторов. По электропроводности о все вещества условно делят на три группы: проводники (о > 1016 с-1), диэлектрики (о < 102 с-1) и полупроводники (102 с-1 < о < 1016 с"1).

Поскольку диэлектрики имеют относительно низкую электропроводность, их поведение в электрическом поле в основном определяется связанными зарядами. Последние, смещаясь под действием внешнего поля Ео, созданного, например, конденсатором, между обкладками которого помещен исследуемый образец, приводят к поляризации вещества, проявляющейся в ослаблении напряженности Е поля внутри диэлектрика:

Ео = еЕ,(1.20)

где е — диэлектрическая проницаемость вещества. Надо сказать,

что зависимость (1.20) является очень грубым упрощением, справедливым лишь для не очень сильных полей и изотропных сред. Гораздо чаще связь Ео и Е является тензорной и нелинейной, т. е. типа

凡= е*(Е)ЕА， (1.21)

или еще более сложной *.

Для большинства газообразных веществ диэлектрическая проницаемость е лишь немного превышает 1(£ ——1 〜10^" + ю~3), но в жидкостях и кристаллах она может быть весьма значительной (£ 〜102). Особый интерес представляют сегнетоэлектрики, имеющие £~ Ю4. Для них характерно наличие областей с чрезвычайно высокими внутренними полями ——доменов. При наложении электрических полей, превышающих некоторое критическое значение, может произойти пробой диэлектрика, в результате чего он превращается в проводник (резко растет о).

Магнитные свойства сред также весьма разнообразны. Вещества, искажающие приложенное внешнее магнитное поле Во, называются магнетиками, В отличие от диэлектриков здесь принято выражать внутреннее поле В образца через внешнее поле Во, т. е.

В『В°, (1.22)

где 卩——магнитная проницаемость вещества (хотя по аналогии с диэлектриками более естественно было бы назвать так величину 1/卩). Как и (1.20), соотношение (1.22) является очень грубым приближением, верным лишь для слабых полей, и в большинстве случаев должно быть заменено более сложным.

Надо отметить, что всем веществам присущ диамагнитный эффект, т. е. эффект ослабления поля (для чистых диамагнетиков 卩< 1). Обусловлен он тем, что при включении внешнего магнитного поля Во в веществе наводятся индукционные токи, которые по правилу Ленца ослабляют поле. Но эффект этот обычно очень слаб (1 —— 卩〜 ~ 10-6. 10-4), и на него накладываются более сильные, вызванные молекулярными токами (парамагнетизм). Последние всегда ориентируются по внешнему полю и увеличивают его (для парамагнетиков 卩 > 1). Для большинства веществ парамагнитный эффект тоже очень слаб (卩一1 〜10-= 10-4) и существенно зависит от температуры. Однако имеются вещества с резко выраженной доменной структурой (ферромагнетики), для которых 卩~ 103 и зависимость В от Во сильно нелинейна. Некоторые из них сочетают ферромагнитные и диэлектрические свойства (ферродиэлектрики).

Особого внимания заслуживает явление сверхпроводимости, открытое голландским физиком Г. Камерлинг-Оннесом (1911). Проявляется оно при чрезвычайно низкой температуре у некоторых металлов и сплавов и состоит не только в полном исчезновении сопротивления (а — оо), но и в выталкивании из образцов магнитного

поля (эффект Мейсснера). Тем самым сверхпроводник ведет себя как идеальный диамагнетик (В = 0 эквивалентно 卩=0). Удивительные свойства сверхпроводников получили объяснение лишь совсем недавно (1957).

УСЛОВИЕ МАКРОСКОПИЧНОСТИ И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА

Ознакомившись с основными опытными фактами, лежащими в основе электродинамики, их необходимо, следуя индуктивному методу, сопоставить друг с другом, проверить взаимную согласованность и установить минимальный набор фундаментальных уравнений, из которых следуют все остальные. По существу, именно это и было сделано Дж. К. Максвеллом (1864).

Но сначала обратим внимание на то, что все упомянутые опыты проводились с макроскопическими телами, т. е. с телами, содержащими большое число заряженных частиц (W 〜 1023). Поэтому и уравнения, которые могут быть выведены из этих опытов, тоже должны быть макроскопическими. Чтобы приспособить к новым условиям уже известный математический аппарат, проще всего положить в его основу понятие физического бесконечно малого объема АУ Под последним обычно понимается объем, достаточно мапый по сравнению с объемом V макроскопического объекта, но вместе с тем содержащий достаточно много частиц, чтобы отношения типа AQ/AV, где △Q = 2 ^/ — полный заряд внутри AV, мало менялись при изменении AV. Последнее означает, что характерный размер АУ“з намного превосходит среднее расстояние между частицами /. Если ввести характерный размер макроскопического объекта (L = V1^), то станет ясно, что

P<^^^L\ (2.1)

В дальнейшем, называя теорию макроскопической, мы будем подразумевать, что так введенный масштаб АУ"' является в ней минимально возможным, т. е. все рассматриваемые расстояния А% превосходят его: Ах ДУ1/3.

В макроскопической теории отношение AQ/AV является вполне определенной функцией точки г (которую естественно считать центром области АУ) и называется плотностью электрического заряда р (макроскопической). Таким образом,

ртг)=*£д. (2.2)

При этом заряд в произвольной области V представится в виде

Q(f) = , р«, r)diz. (2.3)

Введем теперь еще одно важное понятие ——плотности электрического тока ]. Для этого рассмотрим площадку AS с нормалью п (рис. 2.1) и подсчитаем заряд AQ, пересекший ее за промежуток времени △九 Выделим сначала заряды е『,имеющие скорости 皆八 лежащие в некотором интервале % =(廿一厶廿/2,廿 + Aw/2) co средней скоростью 廿.Тогда все такие заряды» находящиеся в объеме призмы с высотой (iw)A£ и основанием AS, пройдут за время А/ че

рез площадку AS Учитывая, что плотность выделенных электрических зарядов равна

нахочим чаряд, пересекший площадку AS за отрезок времени А£ со средней скоростью 廿：

△Q" = (nw) А/Asp。=崂^ £ (n®)e(-.

Теперь, чтобы найти полный заряд AQ, достаточно лишь просуммировать AQu по всем возможным интервалам /„:

£(пи,)е尸(nj)A/AS,(2.4)

I w AV

где введена плотность электрического тока

jm表£力ё:(2.5)

(е АУ

Из (2.4) сила тока через поверхность S равна

/ = ,(nj)dS.

S

(2.6)

Запишем теперь закон сохранения электрического заряда (1.2) для некоторого объема V, окруженного замкнутой поверхностью S (рис. 2.2). В этом случае (2.6) и теорема Гаусса—Остроградского дают

/ = , (nj)dS = , div jd匕

V

В предположении, что поверхность S не изменяется со временем, (1.2) примет вид

轴 pd 展瑞 dU= — “ivjdK

У

У

V

Так как объем V выбран произволыю, то

(2.7)(2.7)0р/02 + div j = 0.

(2.7)

(2.7)

Так выражается закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме.

Задача2.1. Показать, что при бесконечно малом смещении зарядов на вектор 6г "尤 плотность р изменяется на

6р = —div (рбг).(2.8)

Мы уже говорили о делении зарядов на связанные и свободные. Сохраняя обозначения р и j для плотностей свободных зарядов и токов, полные плотности, очевидно, можно представить в виде

(2-9)(2-9)рПОЛН р __j рСВЯЗ ^ПОЛН = j + jCBH3

(2-9)

(2-9)

Иногда * встречается несколько иное деление зарядов: на собственные (принадлежащие веществу) и внесенные (или сторонние), причем первые удовлетворяют условию нейтральности среды

Qco6 = \p吟展0，

где интеграл берется по всему объему вещества. Мы, однако, не будем отличать собствен耳не заряды от связанных, т. е. будем полагать рсо6 = рсвяз, хотя такое отличие иногда бывает существенным (например, при описании ионизованной среды — плазмы). Если же связанные заряды не удовлетворяют условию нейтральности

\pCB»3dy = 0,(2.10)

то избыточный заряд можно условно объявить свободным.

В большинстве электродинамических задач предполагается, что закон сохранения имеет место как для свободных, так и для связанных зарядов в отдельности, т. е. исключаются процессы перехода связанных зарядов в свободные и обратно. Поэтому разумно принять, что

OpnonH/Of + divjn^H =0,(2.1 la)

Зрсвяз/况 + div ]связ = 0.(2.116)

Задача 2.2. Показать, что из условия нейтральности (2.10).〃 закона сохранения связанного заряда (2,116) вытекает следующее представление для связанных зарядов и токо8:.

рсвяз = —div Р,(2.12)

『ваз = ар/0/ + сго{ м,(2.13)

где введенные поляризованность Р и намагниченность М исчезают вне вещества . Выразить через Р 〃 М дипольный р и магнитный m моменты образца, определяемые следующим образом:

(2-14)(2-14)(2.15)(2.15)pm) рСвЯЗ г dV#

(2-14)

(2-14)

(2.15)

(2.15)

m = ^ j [rjCB"3] dK.

В дальнейшем мы изучим сначала наиболее простои случаи допустив, что распределение зарядов и токов задано, т. с. 「口。门” н jnojiH суть известные функции / иг. Поскольку здесь не выделяются связанные заряды, то этот случай эквивалентен электромагнитному полю в вакууме. В последующем мы максимально приблизим задачу к реальной, приняв, что известно лишь распределение свободных зарядов и токов, т. е. р и j. Этот случай является наиболее общим и соответствует рассмотрению электромагнитного поля в веществе.

ЗАКОН КУЛОНА И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Рассмотрим совокупность точечных зарядов е” помещенных в точках г,. По закону Кулона, каждый из зарядов 匕 создает в окружающем пространстве электрическое поле

E,・(「)=ejR"R；,(3.1)

где R『м г—J■厂 Согласно принципу суперпозиции, полная напряженность поля равна

e(r)=乎咚看比.(3.2)

Для перехода к макроскопическому описанию разобьем все пространство на ячейки AV^ с центрами г* и перепишем (3.2) в виде

Е(”£Х 后R，・

々££厶唳’

С другой стороны [см. (2.1)], К = г —г个 г —r% = R%, и поэтому, вводя согласно (2.2) макроскопическую плотность заряда р (г), найдем

e,前R产焉' .鼻,外=离严(吟А%.

Заменив суммирование по ячейкам АУ% объемным интегралом, вместо (3.2) получим

ЕкТ"^""，，33)

где R г — г'.

Выражения (3.2) и (3.3) являются исходными для установления одного из важнейших уравнений электродинамики, которому подчиняется электрическое поле Е (г). Рассматривая Е (г) как объективную реальность, мы как бы забываем о силовом происхождении Е,

о лежащем в основе (3.2) законе Кулона. Принимая полевую гипотезу, мы предполагаем объективное существование в окружающем пространстве физической величины Е (г) независимо от того, помещается ли в точку г пробный заряд или нет.

Подсчитаем поток поля Е『сквозь замкнутую поверхность (рис. 3.1):

Л/,. = ^(пЕ,.)с!5.

Вводя телесный уголdQ/. = dS(nRJ R尸,

4以〃 при г［？" О при гг £ V,4以〃 при г［？" О при гг £ V,под которым виден элемент поверхности dS из точки「，заключаем, что

4以〃 при г［？" О при гг £ V,

4以〃 при г［？" О при гг £ V,

где V — объем, заключенный внутри S. Поэтому поток полного поля Е

N = $ (nE) dS = 2 ^^. =4л £ е『三 4nQ,

где Q —заключенный внутри поверхности S заряд.

Используя макроскопическое представление о распределенном заряде, получаем

(3.4)(3.4),(nE) dS = 4л \ р dV. SV

(3.4)

(3.4)

Это есть теорема Гаусса в интегральной форме. Применяя теорему Гаусса — Остроградского

夕(nE)dS = §divEdU

и учитывая, что объем V произволен, приходим к дифференциальной форме теоремы Гаусса:

(3.5)(3.5)div Е =4лр.

(3.5)

(3.5)

Будем считать это уравнение справедливым для электромагнитного поля независимо от границ применимости закона Купона, т. е. не только для статического, но и для зависящего от времени поля Е.

Выясним теперь, не противоречит ли (3.5) уравнению (3.3). Решение этой задачи, как и многих других, значительно облегчается, если использовать введенную английским физиком /7. А. М. Дираком 6-функцию 6 (%). Она является не обычной, а так называемой

обобщенной функцией . Это означает, что сама она не определена, т. е. нельзя говорить о каких-либо ее значениях, определены лишь интегралы от ее произведения с какой-либо достаточно «хорошей» (например, непрерывной) функцией f (х). При этом для любого е > О имеет место равенство

+ е

，f(x)6(x)dx = f(0).(3.6)

-£

Трехмерная 6-функция определяется с помощью аналогичного равенства

$ f(r)6(r)dV = f(O),(3.7)

где「= 0 ?几.

В связи с анализом свойств 6-функции здесь будет уместно привести определение 5-巾ункнни, данное Л. Эйлером. В своей классической работе «Метод нахождения кривых линий ...», посвященной решению изопериметрической задачи, он приходит к следующей формуле для вариации функционала / [у (x)J в окрестности некоторой точки х°:

5/ = 5 § Z 回 /) dx = § Ьу(х—х°) [Zy — (Z^Yx] dx,

где 6g (х——x°)——«треугольная» функция, график которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием dx и высотой a/dx, проведенной в точке х°.

Полагая н пределе dx—~► 0, Эйлер из условия 6/ = 0 выводит свое знаменитое еариационное уравнение Z； =(Z；,)；. Нетрудно видеть, что при этом «треугольная» функция переходит в 6-функцию, т. е.

2

-= 6 (х一

Что же касается возможности самого предельного перехода dx —► 0, то с точки зрения Эйлера он вполне допустим, так как Эйлер не был сторонником теории «монад» Лейбница и считал дифференциал dx безгранично делимым.

Задача 3.1. Выразить 6 (г — а) и 6 (г) через одномерные ^функции в декартовых, цилиндрических и сферических координатах

Задача 3.2Показатьt что если функция ф (х) имеет набор -одно

кратных нулей {%『}, то

6停⑴t器需(38)

Задача 3.3. ^-функции:Задача 3.3. ^-функции:Показать, что справедливо следующее представление для

Задача 3.3. ^-функции:

Задача 3.3. ^-функции:

6")=±div 一亲 ,(3.9)

которое физически можно интерпретировать как плотность точечного заряда. Убедиться с его помощью, что (3.3) является решением уравнения (3.5), удовлетворяющим условию потенциальности

(3.10)(3.10)rot Е =0.

(3.10)

(3.10)

Задача 3.4. Сфера радиуса а заряжена равномерно зарядом Q. Найти напряженность Е поля вне сферы, внутри нее 〃 на ее поверхности.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ

Для получения основного уравнения, которому подчиняется индукция магнитного поля, порождаемого постоянными токами j (г), воспользуемся законом Ампера (1.11). С учетом (2.6) последний запишется так:

£(Bdl)=品卜nj)dS, (4.1)

где S — правоориентированная поверхность, натянутая на контур С. Применяя теорему Стокса, находим

J (n rot В) dS =学/ (nj) dS.

Так как поверхность S произвольна, то rotB = 4nj/c(4.2)

(закон Ампера в дифференциальной форме).

Поскольку закон Ампера является следствием закона Био —— Савара — Лапласа (см. задачу 1.5), то, очевидно, последний как раз и дает готовое решение уравнения (4.2). В самом деле, согласно (2.4), /dl-jdV.(4.3丿

Поэтому, если элемент тока /dl помещен в точке г', то вместо (L8) имеем

dB(r) = !d『[j'R]R-3,(4.4)

где R三г —У；『wj(r').

Интегрируя (4.4) по всем распределенным токам, находим

Задача 4.1.Показатьt что (4.5) есть решение (4.2), удовлетворяю-

щее условию соленоидальности

div В-0.(4.6)

Согласно (4.6), магнитные заряды в свободном виде не существуют. В самом деле, взаимодействия электрических и магнитных

зарядов тождественны. Поэтому можно применить теорему Гаусса (3.4) и к магнитному полю. Тогда магнитный поток Ф сквозь замкнутую поверхность S с учетом (1.7) равен

(4.7)(4.7)Ф = ^ (nB) dS =4乳 £ m- = 0.

(4.7)

(4.7)

Отсюда по аналогии с (3.5) следует (4.6).

Из уравнения (4.7), выражающего факт неразделимости магнитных зарядов противоположных знаков, вытекает, что магнитные силовые линии всегда замкнуты. В связи с этим можно считать (4.6) справедливым не только для статических, но и для зависящих от времени магнитных полей В. Что же касается закона Ампера (4.2), то (см. § 6) он нуждается в дальнейшем обобщении на нестационарный случай.

ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ФАРАДЕЯ

Найдем теперь дифференциальную форму закона электромагнитной индукции Фарадея. Для этого воспользуемся формулировкой Макс

(5.3)(5.3)велла (1.17) и ограничимся случаем неподвижных контуров (как учесть движение контура, мы установим в § 50). Так как, по определению, э. д. с. индукции в контуре С равна

(5.3)

(5.3)

6=f(Edl),(5.1)

■ с

то, применяя теорему Стокса, преобразуем (1.17) к виду

步(Edl) = J(n rot Е) dS= —1J (n 器)dS, (5.2)

1 ав1 авrotErotEс di *с di *где S — правоориентированная поверхность, натянутая на контур С. Ввиду произвольности S из (5.2) следует, что

1 ав

1 ав

rotE

rotE

с di *

с di *

Это и есть дифференциальная форма закона электромагнитной индукции Фарадея.

Согласно (5.3), переменное магнитное поле В порождает в каждой точке пространства вихревое электрическое поле Е (рис. 5.1) с отличной от нуля циркуляцией (5.1) (в противоположность потенциальному электростатическому полю, для которого ^^0, так как rotE = 0). Взаимосвязь электрического и магнитного полей, выражаемая уравнением (5.3), позволяет рассматривать их как различные проявления единого электромагнитного поля.

Задача 5.1. Показать, что уравнение (4.6) можно рассматривать как начальное условие на поле В.

§ в. ТОК СМЕЩЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ВАКУУМЕ

Уравнение (4.2) не может быть справедливым в нестационарном случае, поскольку из него следует, что div j = 0, тогда как согласно (2.7) div j = — dp/泣.

Противоречие исчезает только в стационарном пределе, когда dp/df = O. Поэтому уравнение (4.2) необходимо обобщить, добавив справа некоторый вектор, исчезающий в стационарном случае, т. е. вектор вида 丸/3£, названный Максвеллом током смещения:

r°tB=?(j +箝(6.1)

Учитывая (2.7), получаем

div (dC/dt) = — div j = dp/d厶 или согласно (3.5)

m(4n—等)=0.(6.2)

Самым общим решением (6.2) будет 4п (5С/30 = dE/dt -f- rot а, где а — произвольный вектор. Простейшее предположение rot а = 0, сделанное Максвеллом, было обосновано им, пожалуй, лишь соображениями эстетического порядка*. В самом деле, в этом случае появляется некоторая симметрия основных уравнений, поскольку уравнение (6.1) приобретает вид

rotB = ^^ + ^j(6.3)

и внешне (при j = 0) становится похожим на уравнение (5.3). Конечно, справедливость уравнения (6.3) в конце концов обосновывается экспериментальным подтверждением вытекающих чиз него следствий.

Итак, естественно сделать предположение, что в простейшем случае, когда электромагнитное поле возбуждается в вакууме заданными зарядами и токами, уравнениями для определения поля являются (3.5), (4.6), (5.3) и (6.3). Эта гипотеза была выдвинута Максвеллом, и вытекающие из нее следствия оказались в блестящем согласии

с опытом.

Система уравнений

III

4 口 1 @Е 4л .+ с , 1 ^В п

rot В= — j, rot Е Нд7- = 0,

(6.4)(6.4)div Е = 4лр,div Е = 4лр,div В = 0div В = 0с О/ с「1 с di

(6.4)

(6.4)

div Е = 4лр,

div Е = 4лр,

div В = 0

div В = 0

называется в вакууменазывается в вакуумеуравнениями Максвелла для электромагнитного поля при наличии заданных зарядов и токов. Уравнения, со-

называется в вакууме

называется в вакууме

держащие источники р и j, обычно называют первой группой уравнений Максвелла, а уравнения, не содержащие р и j,——второй группой.

Задача 6.1. Убедиться s непротиворечивости системы (6.4), доказав^ что уравнение (3.5) можно рассматривать как начальное условие на поле Е.

Систему уравнений (6.4) можно записать и в интегральной форме, если воспользоваться теоремами Стокса и Гаусса ~ Остроградского:

(6・5)(6・5),(пЕ) dS = 4冗,р dP,

(6・5)

(6・5)

^(Edl) = -l~f(nB)dS, £(nB)dS = 0.

C0 gS

Выписанные уравнения выражают соответственно обобщенный закон Ампера, теорему Гаусса, закон электромагнитной индукции Фарадея и отсутствие магнитных зарядов

Задача 6.2. Доказать следующие теоремы Дж. Дж. Томсона： 1) если электромагнитное поле порождается системой зарядов, движущихся с постоянной скоростью и < с, то

В = ^[еЕ]; (6.6)

если электромагнитное поле порождается системой постоянных то- кое, движущихся с постоянной скоростью v < ct то

(6.7)(6.7)Е=^ [Вф].

(6.7)

(6.7)

Задача 6.3. 6 1949 а итальянский физик Э. Ферми предложил теорию ускорения космических лучей, предположив, что причиной ускорения заряженных частиц может быть их взаимодействие с блуждающими магнитными аоблаками-^t т. е. гигантскими скоплениями межзвездного газа, пронизанного магнитным полем. Обосновать механизм ускорения Ферми, пользуясь (6.7).

ДИЭЛЕКТРИКИ. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ

Переходя к наиболее общему случаю — описанию электромагнитного поля в веществе, мы сразу же сталкиваемся с серьезными" трудностями. Сложность проблемы обусловлена тем, что, рассматривая реальное вещество, мы имеем дело с громадным количеством заряженных частиц, движение которых невозможно точно описать. Чтобы продвинуться в решении вопроса, приходится строить определенные модели вещества, делая при этом упрощающие предположения о поведении составляющих его частиц.

В первую очередь нас будет интересовать поведение в электромагнитном поле связанных зарядов и токов. В этом отношении наиболее просты в описании идеальные диэлектрики и магнетики.

Диэлектрик, как и любая другая макроскопическая среда, состоит из совокупности тесно связанных между собой положительных и отрицательных зарядов. В среднем диэлектрик электрически нейтрален, но под действием пронизывающего его электрического поля Е положительные и отрицательные заряды смещаются в противоположные стороны, т. е. происходит поляризация вещества. Пользуясь1 только условием нейтральности, можно установить (см. задачу 2.2), что возникшая при этом плотность связанного заряда рсвяз допускает представление

рсвяз 三 рр =—山丫 р, (7.1)

где поляризованность Р исчезает Ёне вещества. Попытаемся выяснить физический смысл вектора Р.

Поскольку под действием поля Е в каждой молекуле происходит смещение положительных зарядов е广 относительно отрицатель

ных е[=——е『,то молекулы поляризованного диэлектрика можно рассматривать как электрические диполи с дипольными моментами pz = ef qz, где qz —— смещение зарядов в молекуле (рис. 7.1). Сам же поляризованный диэлектрик макроскопически удобно представлять себе как совокупность двух взаимопроникающих сред, состоящих соответственно из положительных и отрицательных зарядов и смещенных одна относительно другой в каждой точке на некоторый вектор q (г). Если при q=0 заряды компенсируют друг друга и результирующая плотность заряда равна нулю, то при q 暖 0 в неоднород-

Р“с 7 1 ном диэлектрике может появиться плотность связан- '• кого заряда рр^0.

Заметим, что смещение q имеет порядок размера молекул и поэтому в макроскопической теории, где Iql^AV1/3, может считаться бесконечно малым. В связи с этим результирующая плотность заряда р^, возникающая вследствие смещения положительно заряженной среды на вектор q+, а отрицательно заряженной — на вектор q~, может быть найдена из формулы (2.8). Полагая в ней соответственно 3「=q± и р = р土，получаем Зр± = — div (р士q土). Таким образом,

рр = 6р+ + 6р~ — — div (p + q+ + p~q~)-= — div P, (7.2)

откуда с учетом приближенного равенства р+ я^ —— р~ найдем (с точностью до ротора произвольного вектора)

P = p+q++p~qf ^р+ (q+-q-) = p+q・ (7.3)

Несмотря на малость q, вектор Р далеко не мал из-за чрезвычайно высокой плотности р+^ —— р~.

30

Заметим, что формула (7.2) допускает следующую очень наглядную иллюстрацию. Предположим, что смещение положительно заряженной среды на вектор q+ = q произошло в некотором объеме V (рис. 7.2), Тогда ясно, что в этом объеме возникает заряд Q» равный убыли положительного заряда:"

Q = — , (nq) р+ dS= — § div (p + q) d匕

что в точности соответствует (7.2).

Задача 7.1. Сопоставив (7.2) с (2.8) и (2.7), показать, что вектор q может быть представлен s виде

где симмапмснир ведется только по положительным зарядам.

С подхощью (7.4) и (7.3) приведем поляризованность к виду

Р = ^£Р『，(7・5)

ге АУ

что позволяет интерпретировать ее как среднюю (макроскопическую) плотность дипольного момента вещества. Заметим, что только на основании условия нейтральности (2.10) дать такую интерпретацию вектору Р еще было нельзя (см. задачу 2-2).

Очевидно, что электрическое поле Е создается как свободными, так и связанными зарядами. Поэтому внутри диэлектрика уравнение (3.5) должно быть записано в виде

div Е = 4л (р + рр),

или с учетом (7.1)

div (Е + 4лР) = 4лр・

Вводя обозначение

D = E + 4jiP,(7.6)

получаем

div D =4лр,(7.7)

где D—вектор электрической индукции. Он может быть интерпретирован как напряженность электрического поля, которое создавали бы свободные заряды плотностью р в вакууме.

В общем случае поляризованность Р может очень сложно зависеть от напряженности поля Е. Однако для большинства диэлектри-

ков при не слишком большой напряженности эта зависимость линейная. В самом простом случае изотропного диэлектрика

Р = хЕ,(7.8)

где х — коэффициент поляризации веществаt или диэлектрическая восприимчивость.

С учетом (7.8)

D = (1 + 4лх) Е 三 еЕ,(7.9)

где е = 1+ 4лх — диэлектрическая проницаемость. Нетрудно видеть, что это определение е согласуется с (1.20). В самом деле, для всех простейших диэлектриков х > 0. Поэтому е > 1 и £>〉Е. Согласно (7.7), поле D, создаваемое точечным зарядом е, совпадает с полем Е, создаваемым тем же зарядом в вакууме [см. (1,4)]. Следовательно, напряженность поля, создаваемого зарядом е в диэлектрике, в е раз меньше напряженности поля, создаваемого "тем же зарядом в вакууме. Поэтому закон Кулона в диэлектрической среде имеет вид

F12 =^АГ/(ег3).(7.10)

МАГНЕТИКИ. НАМАГНИЧЕННОСТЬ

Магнетик, или намагничивающуюся среду, удобно описывать как совокупность элементарных внутримолекулярных токов (гипотеза Ампера), часто называемых токами намагничения *. Поскольку каждый молекулярный ток замкнут, то эффективно его можно представить в виде линейного тока /八 охватывающего некоторую площадку S, (рис. 8.1、 с геометрическим моментом

Рлс. 8.1В таком случае i определению, равенРлс. 8.1В таком случае i определению, равенS『=，n dS.

Рлс. 8.1

В таком случае i определению, равен

Рлс. 8.1

В таком случае i определению, равен

гнитный момент молекулярного тока I^ по

m 尸厶 Sj/c(8.1)

Задача 8.1.Показатьt что формула (8.1) согласуется с определе

нием магнитного момента (2.15).

Макроскопически каждую точку магнетика можно характеризовать намагниченностью (намагничением)

£ т< =ГДЙ £ g，(8.2)

Ze AVieДУ

равной, очевидно, средней плотности магнитного момента в среде. Для выяснения роли, которую играет этот вектор в описании магнетиков, удобно воспользоваться моделью двух сред. Иначе говоря,

* Эти токи обусловлены как движением электронов вокруг ядер в атомах, так и собственным вращение" электронов (спиновый магнетизм),

32

по аналогии с диэлектриком будем рассматривать магнетик как наложение противоположно направленных распределенных токов j+ и j~, компенсирующих друг друга при отсутствии намагничения. Эти токи можно представить/

себе в виде стационарныхС』。

потоков двух сред, заряжен-

ных соответственно положи- »=

тельно и отрицательно При 广—尸

намагничивании (например, ^ ^4 叫戸 ' под влиянием внешнего по-

ля Во) токи j+ и j- сместятся^А у"*/ 、

в каждой точке друг отно-V^^^

сительно друга на некоторыйрис 8.2

вектор q, в результате чего

появится полный ток / через поверхность S, натянутую на некоторый контур С

В самом деле, элемент dl контура С опишет при смещении на вектор q площадку ndS = [qdl] (рис. 8.2). Но | q | имеет порядок размера молекулы и в макроскопической теории может считаться бесконечно малым. Поэтому убыль потока j+ через S, которая н определяет ток равна

/ = — £(j+[qdl]).(8.3)

Воспользовавшись теоремой Стокса, приведем (8.3) к виду

/ = \ ("加 dS,s

(8.4)(8.4)j川三 rot[qj + ]

(8.4)

(8.4)

—плотность тока намагничения.

Пользуясь модельной формулой (8.4), можно уже сравнительно просто показать, что*

jM = с rot М.(8.5)

Для этого по аналогии с представлением

Г е AV! ё AV AV

введем сначала плотность j, молекулярных токов, т. е. положим

Z6AV ДИ

После этого введем смещения qz «положительных» молекулярных токов с плотностью j扌 относительно «отрицательных» jf и при-

2 Зак. 2222

mphhm (8.4) для вычисления ]ж. Тогда М в (8.5) имеет вид (с точностью до градиента произвольного скаляра)

is АУ АУ

или [см. (4.3)]

м=В £ 厅强q,di]. (8.6) i Е ДУс扌

Предположим, что контур С扌 получается смещением из С『(рис. 8.3). Тогда, поскольку геометрический момент замкнутой поверхности равен нулю, т. е.

，ndS = О, s

находим

^*[qz-dl] = § njdS + § n『dS 三 Sj + S~,

C$SfSf

Поэтому (8.6) с учетом равенства /： = /[ = /『 примет вид

m =鳥£a(*+Sг)三鳥e/,6， AV

что совпадает с (8.2).

Задача 8.2. Показать, что плотность тока намагничения (8.5) не дает вклада s полный ток через какое-либо сечение образца.

УЧЕТ ТОКОВ НАМАГНИЧЕНИЯ И ПОЛЯРИЗАЦИИ

Если воспользоваться представлением (2.13) для плотности связанных токов ]связ, то видно, что

产"3 =卜 + 储，(9.1)

где jM = с rot М — плотность тока намагничения, a jp ——дополнительная плотность тока, названная плотностью тока поляризации:

}p = dP/dt.(9.2)

Физический смысл этого тока проясняется, если воспользоваться

представлением (7.5) для вектора Р:

丄$电l=丄у 6+

W 乙 d/ АУ 乙 ％ d/ '

IGAVie AV

Очевидно, что плотность jp тока связана с изменением относите .^ ъного расположения зарядов в молекулах, чем и обусловлено ее название.

Если имеется намагниченная и поляризованная среда, то в уравнении (6.3), содержащем плотность тока ]полн, необходимо учесть токи намагничения и поляризации. Очевидно, это уравнение следует записать в виде

2B一；崇=學0 +ь+加.

Используя (8.5) и (9.2卜 получаем

rot (В - 4пМ) -1 - J (Е + 4jtP) = ^- j.(9.3)

Вводя обозначение

(9.4)(9.4)НмВ-4 冗 М

(9.4)

(9.4)

и замечая, к видуи замечая, к видучто [см. (7.6)] E + 4nPwD, приводим уравнение (9.3)что [см. (7.6)] E + 4nPwD, приводим уравнение (9.3)rotH —rotH —1 8D 4л .1 8D 4л .(9.5)(9.5)

и замечая, к виду

и замечая, к виду

что [см. (7.6)] E + 4nPwD, приводим уравнение (9.3)

что [см. (7.6)] E + 4nPwD, приводим уравнение (9.3)

rotH —

rotH —

1 8D 4л .

1 8D 4л .

(9.5)

(9.5)

где Н — вектор напряженности магнитного поля.

Отметим, что в общем случае намагниченность М весьма сложно зависит от магнитного поля В. Это хорошо видно на примере ферромагнетиков. Однако существуют и такие магнетики, у которых для не очень сильных полей намагниченность пропорциональна магнитному полю В. К ним относится большинство диамагнетиков и парамагнетиков. Для них можно положить М = аВ, т. е. [см. (9.4)]

Н = (1 — 4ла) В = В/[Л,

где 1/科=1 — 4па.

Эти линейные зависимости можно также записать в виде

М = %Н,(9.6)

В = (1 + 4乳％) Н 三卩Н,(9.7)

Исторически первоначально магнитное поле вводилось посредством закона Кулона для фиктивных магнитных зарядов, поэтому ；/ названа магнитной восприимчивостью, а [л —магнитной проницаемостью

Как мы уже отмечали, существует два вида простейших магнетиков: диамагнетики и парамагнетики. Для диамагнетиков 0<(л< 1, Ге. —1/(4п) < % < 0 (ос < 0), а для парамагнетиков [л > 1, т, е. Х>0 (ос> 0).

* Однако ясно, что логичнее было бы, по аналогии с х и s для диэлектриков, назвать так соответственно — а и l/卩，так как вектор В, а не Н, служит Д〃я непосредственного описания магнитного поля.

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В СРЕДЕ

Учитывая все вышесказанное, уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде можно представить в таком виде:

IIrotH—F37= —rotH—F37= —div D — 4np,div D — 4np,IIr"E + 4■雾=0,div B = 0,IIr"E + 4■雾=0,div B = 0,(ЮЛ)(ЮЛ)

I

I

rotH—F37= —

rotH—F37= —

div D — 4np,

div D — 4np,

II

r"E + 4■雾=0,div B = 0,

II

r"E + 4■雾=0,div B = 0,

(ЮЛ)

(ЮЛ)

причемпричемD = E + 4nP, H = B —4лМ,D = E + 4nP, H = B —4лМ,(Ю.2)(Ю.2)

причем

причем

D = E + 4nP, H = B —4лМ,

D = E + 4nP, H = B —4лМ,

(Ю.2)

(Ю.2)

где P и M зависят от E и В.

Для простейшего, но широко распространенного класса диэлектриков и магнетиков Р~ и М пропорциональны Е и В. Для таких веществ

(10.3)(10.3)D=eE, В = |Ш,

(10.3)

(10.3)

где е и |л, вообще говоря, суть функции координат и времени.

Система уравнений (10.1), (10.3) является уравнениями Максвелла в том виде, как они первоначально были сформулированы. Решая эт\ систему при заданных р, j и * 科，можно определить Е, D, В и Н

В интегральной форме эта система переписывается так:

^(Hdl)-l^J(nD)dS=¥“nj)dS, css

(104)(104)炉(Edl)+g 鳥g(nB)dS = O,

(104)

(104)

dS = 4ЛdS = 4ЛvvssdS = 0,dS = 0,

dS = 4Л

dS = 4Л

v

v

s

s

dS = 0,

dS = 0,

причем правоориентированная поверхность S, натянутая на контур С、считается не зависящей от времени.

Задача 10.1. Записать уравнения Максвелла (10.1) в цилиндрических и сферических координатах.

S 11. ЗАКОН ОМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

В макроскопической физике и в инженерной электро- и радиотехнической практике токи создаются в проводниках под действием поля Е и сторонних э. д. с., характеризуемых некоторой напряженностью Есгор, Сторонними называются силы, отличные от сил, действующих на заряды в электромагнитном поле, но способные перемещать заряды и тем самым создавать токи. Сторонние силы могут

36

быть химического, диффузионного, механического и другого происхождения. Возникают они при наличии градиента плотности, температуры и вследствие других факторов. Сторонние силы действуют, например, в гальванических элементах, аккумуляторах4термопарах и т п, В широком классе проводников сила тока / пропорциональна напряжению (/12, т. е. справедлив линейный закон Ома (1.18). Однако при наличии сторонних э.д.с. этот закон должен быть обобщен и заменен законом Кирхгофа для участка цепи ：

/a2 =u12+品2，(11.1)

где по аналогии с (1.19)

22Рис. ПЛ

t/12 = $(Edl),吼2=\(ECTOPdl).(11.2)

При вычислении интегралов в (11.2) предполагается, что они мало меняются при изменении положений точек /, 2, взятых где-то на поперечных сечениях проводника Slt 2 (рис. 11.1). Поэтому закон (11.1) справедлив только для квазилинейных проводников, для которых можно пренебречь поперечными размерами по сравнению с продольными, т. е. /S^z«厶2・ Тогда, выбрав бесконечно малый участок проводника /12, имеем

/ =，(nj)dSa(nj)S.

Так как j || n |j dl, то из (11.1) и (11.2) выводим, что

j-a(E + ECT0₽).(11.3)

Здесь мы воспользовались определением электропроводности а, согласно которому для цилиндрических проводников R^? =/i2/(gS).

Соотношение (11.3) известно как дифференцбальный закон Ома.

В случае анизотропных сред вместо а следует писать тензор электропроводности а, т. е. полагать

尸=歩用怎十七严).(11.4)

Следует отметить, что, хотя закон Кирхгофа (11.1) верен лишь для стационарных токов, не зависящих от времени, соотношение (11.3) часто обобщают и на нестационарный случай.

Задача 11.1. Показать, что для квазилинейных проводников сопротивление участка может быть вычислено по формуле

2

&2 = ) G(r)S (г)，("6)

1

ad。S (「)一 площадь поперечного сечения, всюду нормального к линиям тока. Получить аналогичную формулу для анизотропных, проводников.

Добавляя (11,3) к- уравнениям (10.1) и (10.3), получаем систему уравнений, позволяющую вычислять поля Е и В, если заданы сторонние э. д. с. и распределение зарядов на отдельных элементах рассматриваемой системы проводников, диэлектриков и магнетиков. Следует, однако, вновь отметить, что линейный закон (11.3) и соотношения (10.3) справедливы лишь для узкого, хотя и весьма распространенного, класса проводников, диэлектриков и магнетиков. В более общем случае все эти «законы» не верны и должны быть заменены более сложными функциональными связями.

§ 12. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

До сих пор предполагалось, что £,科，а являются произвольными функциями f и г. Однако, как правило, они оказываются кусочнонепрерывными функциями координат, т. е. претерпевают разрывы на некоторых границах раздела. Обусловлено это тем, что применяемые на практике технические устройства включают в себя элементы, обладающие различными е, ц, а.

В связи с этим можно получить решение уравнений Максвелла лишь в отдельных областях пространства, где коэффициенты £, [л, а непрерывны. Полученное таким »образом общее решение системы дифференциальных уравнений содержит некоторые произвольные (функции. Чтобы их определить и получить решение для всей совокупности областей, необходимо наложить граничные условия, или, как говорят, «сшить» решения на границах областей.

Эти условия «сшивания», налагаемые на векторы Е, D, В, Н, легко вывести, используя интегральную форму уравнений Макс*велла (10.4). В самом деле, прн-

'」менять в пограничной области урав- /^*""3Г ?\ нения в дифференциальной форме 卜=^>^ 力нельзя, так как поля на границе

j /' могут терпеть разрывы» поэтому 、~"// пространственные производные ат

них могут не существовать. Однако уравнения в интегральной

Рмс. 12.1форме, безусловно, должны выпол

няться, так как они являются

непосредственным следствием экспериментальных фактов.

Используем, например, интегральную теорему Гаусса (3.4) в применении к вектору D [см. (10.4)]. В качестве объема V возьмем бесконечно малый цилиндр с основанием S и высотой h, верхний и нижний торцы которого лежат соответственно в диэлектриках 2 н / (рис. 12.1). Так как цилиндр мал, то уравнение

，(nD) dS = 4乳 § pdP

запишется в виде

(nD2) S —(nDJ S + <D> Ih = 4哂S,

где n — нормаль к поверхности раздела, / — длина окружности основания, <£)> —среднее значение нормальной к боковой поверхности составляющей D.

Пусть h—^О при фиксированном S. При вычислении предела учтем, что поле D всюду ограничено, так что слагаемое <D> lh исчезает. Однако в пограничной области могут существовать столь большие скопления заряда, что даже в пределе 九一^ 0 заряд внутри цилиндра на элементе dS граничной поверхности может быть отличным от нуля и равным

dQ = lim p/zdS = t]dS, (12.1)

где "——поверхностная плотность электрического заряда. Окончательно при /г —> 0

(nD2) —(пО1) = 4лт]..(12.2)

Следовательно, нормальная составляющая вектора электрической индукции не имеет разрыва на поверхности раздела двух диэлект

риков только в том случае, когда на последней нет свободного поверхностного заряда. При нали

чии же поверхностного заряда нормальная составляющая D изменяется на границе скачком на 4乳刀.

Аналогично получаются граничные условия и для вектора магнитной индукции В. Согласно последнему из уравнений (10.4),

откудаоткудаS(nB)dS = 0,

откуда

откуда

(12.3)(12.3)(пВ2) —(nBJ = 0,

(12.3)

(12.3)

т. е. нормальная составляющая вектора магнитной индукции не имеет разрыва на поверхности раздела двух магнетиков.

Применим первое из интегральных уравнений Максвелла (10.4) к контуру С (рис. 12.2), получающемуся при рассечении цилиндра (рис. 12.1) вдоль нормали п:

f (Hdl) —； 0 系(kD) dS^MJ (kj) dS,

где k = [пт]; г ——единичный вектор, касательный к поверхности раздела. Пусть теперь /i — O при малом фиксированном /. Тогда

т.(也 _ н J / + (пН)& " (nH)a h -|4(kD)lh = ^~ (kj)伍

Примем во внимание конечность Н и dD/dt. а также то, что в пограничной области могут протекать столь большие токи, что

39

даже в пределе 九一＞0 сила тока, протекающего сквозь контур С на участке d/ поверхности раздела, может быть отлична от нуля и равна

d/工 lim (kj)/id/-(ki)d/.(12.4)

Вектор i называется в таких случаях поверхностной плотностью тока. В результате имеем.

(тН2) — (tHj) = 4乳(ki)/c.(12.5)

Подставив в (12.5) т = [kn], найдем, ввиду произвольной ориентации к в касательной плоскости,

[пН2] —[nHj] = 4ni/c(12.6)

Таким образом, касательная проекция [пН] вектора напряженности магнитного поля непрерывна на границе раздела двух сред, если отсутствует поверхностный ток проводимости. При наличии же последнего она испытывает на границе раздела скачок, равный 4ni/&

Аналогично выводится граничное условие для касательной проекции вектора напряженности электрического поля. Оно следует из второго уравнения (10.4) и имеет вид

[回一[呜]=0,(12.7)

т е. касательная проекция вектора напряженности электрического поля не имеет разрыва на поверхности раздела двух сред

Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред с различными с н 卩 имеют такой вид:

(nD2) — (nDJ = 4nf], [пЕ2] —[nEJ = 0;

4л(12.8)

[制]-[矶]=号l6丛)一(点)=0.

§ 13. силы, действующие на заряды и токи

Рассмотрим макроскопический элементарный объем dV, которому соответствуют некоторый распределенный свободный электрический заряд dQ^pd丿 и элемент тока /dl = jdk. Тогда согласно закону Кулона и формуле Ампера (1.9) на этот объем в электромагнитном поле будет действовать сила

dF = dQE + 4 LdlBl = (РЕ + 7 [jB]) dV, (13.1)

что позволяет ввести плотность силы f = dF/dV, действующей на распределенные заряды и токи:

』pE + ^[jB].(13.2)

(13.3)(13.3)f = — Og/Of+ div f,f = — Og/Of+ div f,(13.1)(13.1)

(13.3)

(13.3)

f = — Og/Of+ div f,

f = — Og/Of+ div f,

(13.1)

(13.1)

Естественным следствием (13.2) (см. задачу 1.8) является выражение для силы, действующей в электромагнитном поле на отдельный точечный заряд е и получившей название силы Лоренца:

F =е(Е + ；[智В]

По аналогии, выражение (13.2) называется плотностью силы Лоренца в электромагнит ном поле.

Задача 13.1. Показать, что при отсутствии вещества плотность . силы Лоренца может быть приведена к виду

(13.5а)(13.5а)亲(P + G) = -,*dS,亲(P + G) = -,*dS,(13.6)(13.6)или с учетом (13.4)или с учетом (13.4)dP/d/ = F=§ fdV,VdP/d/ = F=§ fdV,V

(13.5а)

(13.5а)

亲(P + G) = -,*dS,

亲(P + G) = -,*dS,

(13.6)

(13.6)

или с учетом (13.4)

или с учетом (13.4)

dP/d/ = F=§ fdV,V

dP/d/ = F=§ fdV,V

или в компонентах

产= 一0g 片 / 我+ 0"加,

где

g=[EB]/(4nc),f ——тензор натяжений Максвелла, имеющий компоненты

(13 56)

Для выяснения физического смысла g и Т‘左 воспользуемся законом сохранения импульса и покажем, что электромагнитному полю необходимо приписать механический импульс. Пусть источники электромагнитного поля, т. е. свободные заряды и токи, сосредоточены в некотором объеме V, окруженном неподвижной поверхностью S, и обладают механическим импульсом Р. Если через G обозначить импульс электромагнитного поля в юм же объеме, то ясно, что суммарный импульс системы «поле-|- источники» может измениться лишь в результате перетекания импульса электромагнитного поля через поверхность S. Поэтому можно записать

где ^ — плотность потока импульса электромагнитного поля в f-м направлении.

В то же время, по второму закону динамики, сила, действующая на источники со стороны электромагнитного поля, равна

Преобразуя последний интеграл к поверхностному с помощью теоремы Гаусса — Остроградского (2П.6), находим

Сравнение этой формулы с (13.6) показывает, что

T・f. g—плотность импульса электромагнитного поля, а —7號一плотность поiона ^■й компоненты импульса электромагнитного поля в i-м направлении.

Здесь уместно отметить, что оправдать подобную интерпретацию g и Tlk можно лишь соображениями простоты, ибо представление (13.5) не является единственным: нетрудно видеть, что существует бесчисленное множество комбинаций из полей и их производных, которые обращают правую часть (13.4) в тождественный нудь.

При рассмотрении электромагнитного поля в среде необходимо учитывать еще и силы, действующие на связанные заряды и токи. Однако их уже нельзя рассчитывать по формуле (13.2). В самом деле, макроскопическую плотность силы Лоренца естественно определить (см. § 2) как

G(13.8)

где Е(-, В/ ——электромагнитное поле в точке нахождения Z-ro заряда за вычетом его собственного поля. В случае свободных зарядов, распределение которых мало меняется в пределах Д/, можно заменить Е" В, на среднее (макроскопическое) поле Е, В, так что из (13.8) с учетом (2.2) и (2.5) сразу вытекает (13.2). Однако в случае связанных зарядов их распределение существенно меняется уже в пределах одной поляризованной молекулы, так что подобную замену сделать нельзя и, следовательно,

宀 * рсв^Е + [产牙зв]/с.(13.9)

Если обобщить соотношение (13.4), выражающее закон сохранения импульса, на случай электромагнитного поля в среде, т. е. положить

"ОЛН = f + fCB*3 = — //出 + diV 6,(13.10)

то согласно (13.9) выражения для v и 0 будут уже отличаться от (13.5). Чтобы найти соответствующие изменения, необходимо вычислить fcBH3, т © плотность сил, действующих в электромагнитном поле на электрические и магнитные дипольные моменты молекул. Но даже и в этом случае v и 0, так же как g и Т, еще нельзя определить однозначно

Задача 13.2. Воспользова^шись законом сохранения момента импульса, показать, что тензор натяжений 6 должен быть симметричным, т. е.

Задача 13.3. Рассчитать подъемную силу постоянного магнита, использовав тензор натяжений Максвелла.

§ 14, ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Выясним теперь, как формулируется в электродинамике один из важнейших физических законов ——закон сохранения энергии, и покажем, что электромагнитному полю в заданном объеме, как и всякому другому материальному объекту, можно приписать энергию *.

* То, что электромагнитному полю необходимо приписать механический импульс, было установлено в § 13.

42

Рассмотрим электромагнитное поле в системе, состоящей из неподвижных проводников, диэлектриков и магнетиков, т. е. в среде, характеризуемой определенным образом распределенными и не зависящими от времени ст (г), е (г) и 卩(г), или же соответствующими тензорами ст (г), е (г) и 卩(г) в анизотропной среде. Под действием силы (13.3) заряды в проводниках перемещаются и за 1 с поле совершает над каждым из них работу (F皿). Плотность мощности, затрачиваемой на перемещение свободных зарядов, определяется тогда как

5 £ 储叫= н e,®同，(14.1)

i€ AV€€ AV

т. е. работа совершается только электрическим полем.

Задача 14.1 К(ж понять, что магнитное поле В может совершить работу над проводом с током или над железным шариком и в то же время не может изменить энергию отдельного заряда

Между тем ясно, что в стационарной системе по закону сохранения энергии совершаемая полем работа будет рассеиваться в виде теплоты, т. е. выражение (14.1) должно представлять собой плотность выделяемой тепловой мощности q. Поскольку рассматриваются свободные заряды, то (см. § 13)・ можно заменить в (14.1) поле Е« на макроскопическое поле Е. Тогда с учетом (2.5) найдем, что

9 =(正).(14.2)

Если же проводники подчиняются закону Ома, то

7 = (jE) = of2 =广/or.(14.3)

Это дифференциальная форма закона Джоуля——Ленца, определяющего плотность тепловой мощности, выделяемой в проводящей среде *.

Общее количество теплоты, выделяемое во всем объеме проводников за 1 с, равно

P =，(jE)dL'(14.4)

Преобразуем теперь (jE), используя уравнения Максвелла (10.1): (jE)=±{(ErotH)—^Е^)}.

Учитывая, что (Е rot Н) — (Н rot Е) — div [ЕН], и используя уравнения второй группы (10.1), получаем

(jE)=—急{(喏)+ (噸讣一div{訂[ЕН]}.(14.5)

Если выполняется простейшая линейная связь D — еЕ, В ~^Н, где е,卩 не зависят от времени (неподвижная среда), то (14.5) пре

образуется к виду

q = (jE) = — dwtdt — div S,(14.6)

где-

w = [(ED) + (BH)], S = ^[EH],(14.7)

Таким образом, подстановка (14.6) в (14.4) с учетом независимости поверхности S иг времени дает

'尸=—^г jwdU—0(nS)dS.(14.8)

VS

Последнее соотношение позволяет раскрыть физический смысл да и S. В самом деле, поскольку левая часть (14.8) представляет собой работу за одну секунду, совершаемую электромагнитным полем в объеме V над свободными зарядами, ю, очевидно, правая часть (14.8) в соответствии с общим законом сохранения энергии

должна быть связана с убылью энергии электромагнитного поля в обьеме V или с притоком ее к этому объему. В частности, если рассмотреть стационарный процесс, когда dw/dt = 0, то энергия электромагнитного поля в объеме / не изменяется и джоулевы потери компенсируются притоком электромагнитной энергии извне. Таким образом, мы- убеждаемся, что вектор S имеет смысл плотности потока электромагнитной энергии в среде.

В другом частном случае, когда система не излучает и，(nS)dS=0,

выделение джоулева тепла связано с убылью энергии электромагнитного поля в объеме /. Тем самым оказывается, что w может быть интерпретирована как плотность энергии электро магнитного поля в среде *.

Теорема (14.6) впервые была доказана английским физиком Дж. Пойнтингом в 1884 г. и называется теоремой Пойнтин^а, a S —— вектором Пойнтинга Следует отметить, что теорема Пойнтинга является частным случаем более общей теоремы, доказанной русским ученым Н. А. Умовым в 1874 г., т. е. раньше Пойнтинга, для любого вида энергии, распределенной в пространстве с некоторой плотностью w Умов впервые ввел в науку понятие плотности потока энергии S. Согласно ему, в случае когда теплота не выделяется,

(14.9)(14.9)兆/出十div S = 0,

(14.9)

(14.9)

т. e. энергия ведет себя подобно распределенной субстанции, способной вытекать и втекать в заданный объем через окружающую его поверхность. Введенный Умовым вектор плотности потока энер-

гии получил название вектора Умова. Поэтому вектор Пойнтинга для плотности потока электромагнитной энергии часто называют еще и вектором Умова—Пойнтинга.

Задача 14.2. Сформулировать теорему Пойнтинга при наличии сторонних э.д.с, •

СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ

Мы употребляли до сих пор абсолютную (гауссову) систему единиц СГС, основными механическими единицами которой являются сантиметр, грамм и секунда, а единица количества электричества определяется из закона Кулона (1.3). Но главным в системе Гаусса является форма записи уравнений электромагнитного поля и выражения для силы, действующей на заряд:

rot Н—!^ =号 j，divD = 4np,

r"E + 3* = 0, divB=0,(15.1)

D = eE, В = p-H, F =e (E + ^~ [kB]),

причем для вакуума & =卩=1 и с = 2,997925* 1010 см/с. Преимуществом этой системы является то, что уравнения имеют симметричный вид и содержат лишь одну размерную постоянную с, имеющую физический смысл скорости света в пустоте, и один безразмерный множитель 4n. Кроме того, так как в пустоте е = |i = 1, то векторы индукций и напряженностей не различаются, что имеет простой физический смысл.

Хевисайд и Лоренц пользовались «рационализированной» системой Гаусса, в которой единицы количества электричества и силы тока выбраны так, что в основных уравнениях не содержится безразмерный коэффициент 4зх. В системе Хевисайда——Лоренца уравнения поля и выражение для силы имеют такой вид:

r°tH—divD = p,

rotE + T# = °> divB=0,”2)

D = E + P = £E, в = h+m『h,

F = e(E+Y"B]),

причем для вакуума e = p, = 1.

Эта система отличается от системы Гаусса лишь тем, что в за- коны взаимодействия зарядов и токов входит множитель 1/(4п)

45

[к примеру, закон Кулона имеет вид 尸^二匕色/^以产)]и поэтому единица заряда в ]/*4л раз меньше, чем в системе Гаусса. Соответственно единицы напряженностей полей в /4п раз больше, так как сила, действующая на заряд в поле, имеет одинаковый вид в обеих системах.

В последнее время в электро- и радиотехнике используется рационализированная система МКСА. В ней, как видно из названия, используются основные единицы: метр, килограмм, секунда и ампер и, кроме того, из уравнений изгоняется коэффициент 4л (как это делали Хевисайд и Лоренц). Однако главное отличие этой сис гемы состоит в том, что в уравнениях Максвелла отсутствует мйожи1ель с, но при этом для вакуума выбираются отличные от единицы £ н 卩，т. е. векторы напряженностей и индукций различаются между собой. В качестве единиц количества электричества, силы тока и напряжения выбираются соответственно кулон, ампер и вольт (так как они взаимозависимы, то достаточно выбрать лишь одну из этих единиц, например кулон).

Вместо (15.1) в рационализированной системе МКСА имеем:rotH—^ = j, divD = p,

rotE +器• = (), divB=0,(15.3)

D = %E + P, H = MB — M,

F=e(E + WB]).

Чтобы выразить E, D, В, H, j, p через соответствующие величины в гауссовой системе Ег, Dr, Вг, Нг, jr, рг, т. е. найти коэффициенты в уравнениях:

гг = Rvt mr~Mmt е^ = Qe, Ег=зЕ,-

Dj, = dD, Вг — bBt Нг —ЛН, 工=RdPr=Qp/R3, jr =pr% =Qj/R2,% = Rc,

где *z— масса заряженной частицы, перепишем уравнения (15.1) в новых единицах и приведем их к виду (15.3), выбрав для этого соответствующие коэффициенты з, d, b, h и считая, что R = 102; 財= 1(?； Q = 2,997925 JOT

Если опустить уравнения второй группы, то уравнения (15.1) для вакуума в новых единицах примут такой вид:

Il rot H f-=——J,

C ot C R2 J，

d div D = 4п 青 р,d div D = 4п 青 р,dD = зЕ,dD = зЕ,45.4)45.4)

d div D = 4п 青 р,

d div D = 4п 青 р,

dD = зЕ,

dD = зЕ,

45.4)

45.4)

лн=&в, f=^(5e+4m]).

Чтобы (15.4) было эквивалентно (15.3), необходимо положить:

(15.5)(15.5)ch/d = 1, R2d/(4jiQ) = 1; сэ/b = 1;

(15.5)

(15.5)

М R/(Qa) = 1; % = з/d；闷=力/氏

Подставляя с = 2,997925• 108 м/с и указанные выше значения R, М и Q в (15.5), получаем:

= 2,997925 • 10” Ь= 10$ м/с; А = 4л • 10~3 с/м;

d = 4п• 2,997925-106; £? = 4n (2,997925)2.109;

卩0 = 4л • 10-7 С2/М2.

Таким образом, в рационализированной системе МКСА выполняется соотношение е0^0 = 1/с2.

Глава2Глава2СТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ

Глава

2

Глава

2

Простейшими задачами теории электромагнитного поля являются стационарные задачи, когда все входящие в основные уравнения (10.1) величины не зависят от времени /. В этом случае производные по времени равны нулю и система (10.1) разбивается на две подсистемы — 5) и м)：

3)div D = 4лр,rot Е = 0,D = Е + 4лР(в простейшем случаеD = dE).

財)

rot Н = 4nj/c,div В —0,

B = H+4nM (в простейшем случае В =卩 Н).

При решении электростатических задач используется система 5), а при решении магнитостатических —система М). Однако плотность тока j, входящая в 財)，в наиболее распространенном случае определяется из закона Ома: 片0化 + 敢叩)，т. е. зависит от Е. В этом случае для нахождения j необходимо использовать решение системы 3).

Из-за наличия токов проводимости магнитостатические задачи в общем случае относятся к стационарным, но неравновесным системам, так как в последних происходит непрерывное выделение теплоты. Электростатические же задачи относятся к равновесным системам. Перейдем к рассмотрению элекаростатических 3dаач.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ, СОЗДАВАЕМОЕ ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЗАРЯДОВ. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА

Уравнения электростатики 5) позволяют определять напряженность электрического поля:

во всем пространстве по заданному распределению зарядов,

в некоторой области V по заданным условиям на ее границе S и заданному распределению зарядов внутри 匕

в диэлектрической среде при наличии заряженных проводников,

в диэлектрической среде при наличии внешнего поля с напряженностью Ео

Рассмотрим первую задачу. Уравнения электростатики в вакууме имеют такой вид:

divE = 4np, rot Е = 0.(16.1)

Эти уравнения можно использовать и для определения поля Е в диэлектрике, если задано распределение связанных зарядов рсвяз _ _ divP которое надо добавить к плотности р свободных зарядов *

Поскольку rot Е = 0, то

Е = — grad ср 三一\7ф,(16.2)

где (р — электростатический потенциал. Подставляя (16.2) в (16.1), получаем

Д(р = —4пр,(16.3)

т. е. уравнение Пуассона для потенциала ср. В случае р —0 。乩) превращается в уравнение Лапласа

Д(р = 0.(16.4)

Уравнения Лапласа и Пуассона суть дифференциальные уравнения в частных производных эллиптического типа. Как известно, для их решения необходимо задавать определенные граничнъу условия, т. е. значения 屮 или (пЕ) на границе S рассматриваемой области. В физике наиболее важно решение задач при естественных граничных условиях, когда S —> оо. В этом случае обычно полагают, что ср (г) —> const при г —* оо. В простейшем случае ср —0.

При решении многих задач приходится использовать общее решение уравнения Лапласа. Чтобы найти его, изучим некоторые свойства этого уравнения.

Задача 16.1. Убедиться, что функция фг = (аг)г является решением

(в общем случае комплексным) уравнения Лапласа, если при /》2 считать, что а — постоянный изотропный вектор, т. е. а2 —0.

Чтобы удовлетворить условию 〃2 = 0, выберем декартов вектор з = “，0, 1)ц запишем 恥 в сферических координатах:

(pz = г1 (cos 3 + i sin Scosa)/.(16.5)

Заметим, что 中“〜"можно представить в виде конечного ряда Фурье по а:

(cos 3 + i sin 3 cos а)г — P^ (cos 3) +

+ 2 二("*箫尸『(cos 3) cos та,(16.6)

коэфсрициентами которого являются полиномы Лежандра Рг (cos 3)= wP；(cos8) и присоединенные полиномы Лежандра

2л

戶7 (cos 3) = im "^卷” У (cos 3 +1 sin 3 cos tx)z cos ma da. (16.7) о

Запаса 162 Вычислить P『(cos 9) при / = 0, 1, 2.

Задача 16.3. Доказать, используя (16.7). справедливость разложения

I^^E^fav^^il-^PHcosd) (a<r), (16.8)

из которого вытекает еще одно представление для полиномов Лежандра:

匕(cos 竹)=(―屮胃(av)z ；，(16.9)

где cos O = (ar)/(ar), a — постоянный вектор.

Задача 【6.4 Доказать, что если ф (г) — решение уравнения Лапласа, 力“)厂-iq?("-2)— также е?о решение при г ^： 0 (теорема К е л ь・ в и и а). Показать, что другими его решениями будут (aV) Ф (г) и (a [rv]) ф (г), где а ——постоянный вектор

Знания вышеупомянутых свойств уравнения Лапласа вполне достаточно для построения его общего решения. В самом деле, по теореме Кельвина, решением, например, будет функция (厂 *0)

厂‘屮％ (”т)=(cos 3 +1 sin Scosa)'. (16.10)

В частности, при / = 0 отсюда находим простейшее решение 1/г, отвечающее полю точечного заряда. Но тогда ясно, что

также является решением при 厂长 0, так как оно получается из 1/г /-кратным действием оператора (а\?)«

Если рассмотреть оператор (е3 [г\?]) = 5/да, то с его помощью можно выделить из (16.5) любую компоненту Фурье. В самом деле, если подействовать на (16.5) оператором

Л (g 亲)，(m'#m)

то останется лишь член, содержащий ехр (/та). Таким образом, каждый член ряда Фурье в (16.5) или (16.10) является решением

уравнения Лапласа. Поэтому, используя принцип суперпозиции, общее решение уравнения Лапласа можно записать в виде

оо/

ф(г)= £ (а“' + Ь“тт)£ 尸『(cos 3)6〃 cos та + % sin/па), (16.11) f =0т = 0

где а” %, ст, dm — произвольные постоянные.

Задача 16.5. Предположив, что потенциал ф не зависит от одной из координат, показать, что общее решение соответствующего двумерного уравнения Лапласа 6 цилиндрических координатах имеет вид

Ф =(力0十〃о in г) (Соа4"^О)4"

十 У (a^m+bmf~m)(cm cos ma十dm sin ma),(16.12)

где am, bm, cm, dm—произвольные постоянные; m = 0t 1, 2,...

ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТРАНСТВЕННО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАРЯДОВ

Потенциал точечного заряда е, помещенного в начале координат, согласно (3.9) равен

Ф = е/г.

Убедимся, чго это решение можно использовать для нахождения потенциала пространственно распределенных зарядов. С этой целью представим с помощью 6-функции плотность произвольно распределенного заряда р в виде

р(г)= p(r,)6(R)dV,, R = r —г，，

и подставим в уравнение Пуассона (16.3):

Дф(г) = —4л $ p(r,)6(R)dV,.(17.1)

С другой стороны, из (3.9)

A(l/R) = —4n5(R),(17.2)

поэтому (17.1) можно переппсагь:

Аф(г)= Jp (г：) А (4) dH = A j 中 d『.

Следовательно, решение уравнения Пуассона (16.3) во всем пространстве имеет вид

где(р0 (г) —некоторое решение уравнения Лапласа. По своему физическому смыслу потенциал 屮。должен определяться распределение* бесконечно удаленных зарядов, не входящих в р(г). Поэтому если считать, что в распределении р (г) учтен вклад всех имеющихся зарядов, в том числе и находящихся в бесконечности, то можно положить(р0 (г) = 0 и

¥(r)=f 喏 d『， (17.4)

+ 8+ 8или подробнее

+ 8

+ 8

(17.5)(17.5)〃 » — ff「- рЗ, У，吟改 dyd/

(17.5)

(17.5)

中('"‘)一 )))Q-炉尸+й一“)2十(2一2，)叩/2

Такой выбор согласуется и с законом Кулона (3.3), который не противоречит (17.3) только при условии V(p0 = 0.

Задача 17.1. Записать решение уравнения Пуассона в случае сферически симметричного распределения заряда р (г).

Задача 17.2. Показать, что решение (17.4) удовлетворяет естественному граничному условию ф —► 0 при г —«► 8, только если р (г) убывает, при 尸一>8 быстрее, чем г-2.

В физических приложениях часто приходится искать решение уравнения Пуассона в некоторой области 匕 ограниченной замкнутой поверхностью S. В этом случае по аналогии с (17.3) положим

УУ(17.6)(17.6)

У

У

(17.6)

(17.6)

Как видно, (17.6) является решением уравнения Пуассона и удовлетворяет заданным граничным условиям на S, если(р0 удовлетворяет уравнению Лапласа и определенным граничным условиям на S. Тем самым задача сводится к решению уравнения Лапласа в области V при некоторых граничных условиях на S.

Как мы убедимся позже, в физических задачах могут встречаться три типа граничных условий:

на S задан потенциал ср (задача Дирихле);

на S задана нормальная составляющая поля (пЕ) (задача Неймана);

на одной части S задан потенциал <р, а на другой ее части —— нормальная составляющая поля (пЕ) (смешанная граничная задача).

Покажем, что в любом случае эти условия определяют напряженность поля Е однозначно. В самом деле, если это не так и существуют два разных решения уравнения Лапласа 中伊 и (р『)，то их разность 卫三屮俨——(р，п также удовлетворяет уравнению Ди~0, причем на S либо и —в. либо (nV) u = Q. Поэтому если применить теорему Гаусса — Остроградского к вектору uVu, для которого div (uVu) ~ =(Vw)2, то

J(Vu)2d/= ^u(nV)udS = 0,(17.7)

что возможно только при Vu = 0. Доказанная теорема единственности, очень важна, так как вызывает уверенность в правильности найденных частных решений, если они удовлетворяют граничным условиям.

Задача 17.3. Вывести закон Ленгмюра для плоского О&оОо, т е. показать, что плотность / тока через диод связана с напряжением U на нем соотношением

где I — расстояние между катодом и анодом; е, т — заряд и масса электрона. Считать, что сила тока далека от насыщения, так что на катоде Е —0, m е электронное облако вблизи катода почти равновесно. Кроме того, принять, что начальная скорость эмиссионных электронов также равна нулю

ПОТЕНЦИАЛ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ЛИНЕЙНЫХ ЗАРЯДОВ

Если заряд сосредоточен на некоторой поверхности S, то, вводя поверхностную плотность заряда “(г), определяющую заряд на элементе поверхности dS согласно формуле dQ = “dS, легко получить из закона Кулона выражение для потенциала

Ф(г)= у^аз\(18.1；

Но (18.1) можно вывести и из общей формулы (17.4). Так, если поверхность S задается уравнением f(r)=O, то удобно ввести новые координаты и1, и2, и3, в которых новое уравнение поверхности есть 口з = о. с этой целью положим

状=/(「)(18.2)

и будем считать r = r(t?, и2, и3). Но элемент объема d，= dSd/, где d/ —смещение вдоль нормали к поверхности, которое с учетом (18.2) равно

d/ = df/|Vf| = d〃3/|Vf|.(18.3)

Теперь ясно, что для согласования (18.1) с (17.4) необходимо положить

p(r) = nl WJ6 (u3) = r)|V/|6[/(r)].(18.4)

При практическом использовании формулы (18.1) ее удобно записывать в координатах и1. Для этого можно исходить из выражения для объема (см. задачу 9 приложения):

dV = V gdu1 du2 df? = dS du31 V/ |-1,(18.5)

где

g — det II g/feII，gik~ ^~77~77^ *(18.6)

Но на поверхности и3 =0 вектор Or/drz3 совпадает с нормалью, а век- Т0Ры dr/dt?, dr/ди2 лежат в касательной плоскости. Поэтому

§13 ~ §23 = 0, ggg — I V^ |-2, g=(gii&2 —g；2)g33

н ИЗ (18.5)

dS = I V/| J?du1 du2 = PKi^i^da】 du2, (18.7)

53

т. е. гауссова форма элемента поверхности, которая удобна, если ьоверхность задается параметрически уравнением r=r(u1, и2). Тогда (18.1) принимает вид

屮(r) = j |г*；Ю)| Jgiigza-gKd^dtA (18.8)

Если заряд оказывается сосредоточенным вдоль некоторой линии С, то вводится линейная плотность заряда х (г), определяющая заряд на элементе длины d/ по формуле dQ = xd厶 Тогда из закона Кулона

(18.9)

Задача 18.1. Показать^ что объемная плотность заряда в случае^ когда заряд с линейной плотностью 乂 (г) распределен вдоль линии, задаваемой пересечением двух Поверхностей /г (г) =0, /а(г) = О, цавна

р (г) = % (г) ”片(г)] 6 仇(г)] L需黒F(18.10)

Задача 18.2. Найти потенциал равномерно заряженного кольца радиуса о “ заряда е. Результат выразить через полный эллиптический интеграл первого рода

л/2

к®= [(0<*<1).

J У 1 — Л2 sin2 § о

§ 19. ПОТЕНЦИАЛ ОГРАНИЧЕННОЙ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ (МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ)

Рассмотрим систему зарядов, сосредоточенную в некоторой области V, т. е. предположим, что р 芒 0 только внутри V. Пусть область V

Рис. 19.1Рис. 19.1конечна и может быть включена в некоторый шар радиуса а. Поместим начало координат。в центр этого шара и введем обозначения: г — радиус-вектор точки наблюдения, г' — радиус-вектор произвольного заряда (рис. 19.1).

Рис. 19.1

Рис. 19.1

Очевидно, что потенциал данной системы зарядов может быть вычислен по формуле (17.4):

屮(г)= § 厘算. (19.1)

Однако пусть нас интересует поле на больших расстояниях от системы, т. ё. при г^а. Поскольку на таких расстояниях р = 0, 54

то потенциал 屮 удовлетворяет уравнению Лапласа и поэтому представляет собой убывающую часть общего решения (16.11):

屮(r)=® £ r-^-1^ (cos 0) (alm cos ma+ blm sin ma). (19.2) 2 =0 m = 0

Такое представление потенциала называется мультипольным разложением, коэффициенты а1т и Ь1т — мультипольными моментами порядка (/, т) данной системы зарядов, а число п~21 -мульти- польностью.

Очевидно, потенциал 2г-поля имеет вид

r-1-^^ (cos d) (alm cos tna + b[m sin ma)(19.3)

и убывает при г —> оо как г~1~1, В частности, при 1 = 0(п = \) получаем поле одиночного заряда (монополя), при / = 1 (п =^2) —поле диполя, при 1 = 2(п = 4) — поле квадруполя и т. д.

Коэффициенты мультипольного разложения (19.2) зависят от характера распределения заряда р (г). Чтобы установить эту зависимость, обратимся к общей формуле (19.1) и произведем в ней разложение в ряд Тейлора:

宀二£ 与Li；，(19.4)

справедливое при г〉а〉г'. Тогда

屮(r) = £*gp(r')(r'V)，；dK(19.5)

или в координатной форме

屮(г) = £ Цр-『р(г‘)…匂a； ； w 三 仁0у

三工,(19.6)

где введен тензор 2г-польного момента

Q‘…力=，p(r')%& ・・.％&dH・(19.7)

Одним из неудобств координатного мультипольного разложения (19.6) является то, что не все слагаемые в нем независимы, так как согласно (19.3) потенциал 2г-поля должен содержать только 2/十1 произвольную постоянную, а число независимых компонент у тен・ зора Q，】…力 равно

N = q+2 = 2/ + 1 + / (/ - 1)/2 > 2/ + 1.(19.8)

Задача 19.1. Доказать формулу (19.8), предварительно убедившись в си мметр ич ноет и тензора Q 1 ' 1.

Таким образом, между потенциалами типа (19.6) должны существовать тождественные соотношения — по /(/——1)/2 соотношений на каждый 2г-поль. Чтобы понять, в чем здесь дело, изучим поле ота дельного мультиполя подробнее. Сначала построим

-а о? +е 2СПОЛЬ. Перенесем заряд е на вектор а】н в точку,

■ где он находился, поместим новый заряд—— е. Так строится диполь (/ = 1). Сместим теперь диполь на вектор а2 и в точки, где размещались прежние заряды, поместим заряды противоположных знаков.

соответ-соответ-Так получается квадруполь (рис. 19.2),

соответ-

соответ-

ствующий значению / = 2. Совершив указанную операцию / раз, мы и получим 2г-поль.

Задача 19.2.Задача 19.2.Показать、что потенциалПоказать、что потенциална болыиих расстояниях от него равен0 = е(—1)' [q (a/V)на болыиих расстояниях от него равен0 = е(—1)' [q (a/V)построенного выше 21-поляпостроенного выше 21-поля丄丄(19.9)(19.9)

Задача 19.2.

Задача 19.2.

Показать、что потенциал

Показать、что потенциал

на болыиих расстояниях от него равен

0 = е(—1)' [q (a/V)

на болыиих расстояниях от него равен

0 = е(—1)' [q (a/V)

построенного выше 21-поля

построенного выше 21-поля

丄

丄

(19.9)

(19.9)

Очевидно, что число различных 2г-полей определяется числом независимых комбинаций / векторов ап .. ., аг Допустим, что 论 векторов мы установили вдоль оси Z. Тогда / — й-оставшихся векторов можно установить либо вдоль оси X, либо вдоль оси Y. Таких комбинаций возможно 2——左+1, так как вдоль оси X можно установить 0, 1, 2, ..,, l — k векторов. Следовательно, полное число комбинаций равно

N =£ (Z-ft + l)=l(/+l)(Z+2)

и совпадает с числом независимых компонент тензора Q* …忆

Однако не все эти комбинации приводят к независимым потенциалам. В самом деле, при /》2 среди / векторов могут встретиться два одинаковых, т. е. а1^=а2 = «е5, где е5 —один из базисных векторов. В этом случае между потенциалами '(19.9) появится линейная связь, основанная на тождестве

£ (еЛ)21 = А(у) = 0.(19.10)

Таких тождеств, очевидно, столько же, сколько существует возможностей выбора двух совпадающих векторов, т. е. С?. Отсюда ясно, что число независимых потенциалов 中^ равно

М = %-& = 2/ + 1,(19.11)

как и должно быть согласно (19.3).

Задача 19.3,Показатьу что если для некоторой системы зарядов

Q 1々=0 при 々 < /, то результат вычисления Q '… ％ не зависит от

выбора начала координат.

Вычислим теперь напряженность Е электрического поля, создаваемого диполем с дипольным моментом р. Полагая в (19.9) / = 1, /=р/% имеем:

Ф1 = — (pV)r-1 = (pr)/r3;(19.12)

Ei = — V(pi = — V (pr)厂-з = [з「(pr) —pd]厂5 (19.13)

Картина линий напряженности этого поля изображена на рис. 19.3 (см. задачу 1.3).

Задача 19.4. Найти с помощью (19,9) напряженность Е2 электрического поля квадруполя.

Рассмотрим более подробно квадрупольный член разложения потенциала произвольной ограниченной системы зарядов . Согласно (19*6), имеем

屮 2=4q%&(；).(19.14)

Учитывая тождества (19.10), к тензору квадрупольного момента Q" всегда можно добавить единичный тензор вида a8ik, где а——постоянная. Поэтому при расчете Q'比卞 *

вместо (19.7) удобно использовать формулу~-\ |^

Q/ = g p(「')(/’/々_&什'2/3)dK(19.15)

Построенный тензор Q удовлетворяет Рис |9 3 инвариантному условию

SpQ = Q； = 0(19.16)

и поэтому имеет не шесть, а только пять независимых компонент в полном согласии с (19.11).

Задача 19.5. Получить двумерное мультипольное разложение, справедливое для распределений заряда р (г), не зависящих от одной 〃з координат “ сосредоточенных внутри некоторого цилиндра конечного радиуса а. Найти двумерный аналог формулы (19.9).

На практике, пользуясь мультипольными разложениями (19.2) или (19.6), обычно ограничиваются лишь первыми несколькими членами ряда. Для выяснения точности такого приближения воспользуемся оценкой； вытекающей из (19.6):

也max Q …(19.17)

где %= max | q" ■■ Ч | а~1. В частности, если плотность заряда огра- ничена, т. е. |р(г)Кр0, то согласно (19.7) kt < 4лр0«3/3. Сравнивая потенциалы ближайших мультиполей 屮^ и q?z+1)замечаем, что если 岛 и 电+ 1 одного порядка, то

®+1/%|~а/г・(19.18)

ср(г) =「Г)嚅 ds，,ср(г) =「Г)嚅 ds，,(20.2)(20.2)

ср(г) =「Г)嚅 ds，,

ср(г) =「Г)嚅 ds，,

(20.2)

(20.2)

Поэтому, ограничившись первыми неисчезающими членами разложения в (19.6), мы получаем тем лучшее приближение, чем меньше а/г.

§ 20. ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СЛОЯ

Среди систем, не имеющих полного электрического заряда, пред

ставляет интерес совокупность распределенных по некоторой по

верхности S электрических диполей. Такую систему можно представить в виде двойного электрического слоя, т. е. в виде двух близких поверхностей, смещенных одна относительно другой на малое расстояние / (г) и заряженных противоположно. Пусть п — вектор нормали к поверхности S, направленный от отрицательных зарядов к положительным. Тогда в точках, соединенных вектором смещения 1 = п/, поверхностные плотности заряда отличаются лишь знаком (рис. 20.1): “+=——“_=刀.Поэтому элемент двойного слоя dS обладает дипольным моментом

(20.1)(20.1)dp = “IdS

(20.1)

(20.1)

и потенциал в точкеи потенциал в точкеР наблюдения [см. (19.12)] равен

и потенциал в точке

и потенциал в точке

где R=r —— r'; т = 1]/ —мощность двойного слоя, численно равная поверхностной плотности дипольного момента.

Замечая, что dS'(n'R)二 R'dQ, где dQ —элемент телесного угла, под которым видна из точки наблюдения площадка dS', имеем

(20.3)(20.3)Ф (г) = т dQ.

(20.3)

(20.3)

В частном случае однородного двойного слоя, когда т~const, Ф = tQ,(20.4)

где Q —телесный угол, под которым видна из точки наблюдения вся поверхность S. При этом знак Q положителен, если смотреть со стороны положительных зарядов, и отрицателен, если смотреть с противоположной стороны. Поэтому для однородного двойного слоя при переходе через поверхность потенциал испытывает скачок, равный

Ф+ ~<р_ = [ср] = 4ят. (20.5)

Это нетрудно понять, так как в использованном нами дипольном приближении следует считать / — 0, а при этом напряженность

68

электрического поля внутри двойного слоя согласно (12.2) должна неограниченно расти, если считать т фиксированным:

—(пЕ) = 4冗“ =4лт// —> оо.(20.6)

Из (20.6) нетрудно получить, что разность потенциалов на слое равна М = -(Е1)= 4пт.

Задача 20.1. Показать, используя (20.3), что формула (20.5) справедлива “ для неоднородного двойного слоя,

ПОЛЕ СВЯЗАННЫХ ЗАРЯДОВ

Рассмотрим поляризованный диэлектрик, заполняющий некоторую ограниченную область /. Зная поляризованность Р(г), можно определить, согласно (7.1), плотность связанных зарядов рр=—div Р, а затем по формуле (17.4) вычислить потенциал создаваемого ими электрического поля:

屮(r)=J 粤.[更券皿'，(21.1)

VV

где использовано обозначение pA = Pp(r'), div'Р'-= div Р (г')「

Однако пользоваться формулой (21.1) не очень удобно, так как поляризованность Р может испытывать разрывы на границах между различными диэлектриками, а это, как известно, приводит к появлению связанных поверхностных зарядов, учет которых представляет дополнительную трудность.

Задача 21.1. Показать, что сингулярные части div Р 〃 rot М, обусловленные разрывами векторов Р 〃 М 〃о некоторой поверхности S', заданной уравнением f(「) = 0, имеют такой вид:

div рснн「= (у/ [рр § [/ (г)],(21.2)

rot Мсхнг = j vf [МП В [/ (「)],(21.3)

где [Р] и [Щ —скачки Р /z М на S'.

От указанной трудности можно избавиться, если воспользоваться тождеством

div'* = + div'P'+嚟2(21.4)

и показать, что вклад в (21.1) div'(P'/R) равен нулю. Нетрудно видеть, что это действительно так, если в нашем случае применима теорема Гаусса — Остроградского, ибо согласно ей

(div，占 dH =dS，= 0,(21.5)

поскольку на поверхносги S, охватывающей объем V и проходящей вне диэлектрика/ Р =0.

Чтобы убедиться в применимости теоремы Гаусса — Остроградского, исследуем сингулярности функции div' (P'/R)・ Они могут

■59

быть двух видов: либо за счет нуля знаменателя R=0, что соответствует выбору точки наблюдения внутри области V, либо за счет разрывов поляризованности Р. В первом случае окружим точку К=0 сферой малого радиуса а и с учетом (21.4) запишем неравенство

I УаС другой стороны,I УаС другой стороны,VaVaP〉d『P〉d『(21.6)(21.6)

I Уа

С другой стороны,

I Уа

С другой стороны,

Va

Va

P〉d『

P〉d『

(21.6)

(21.6)

P'；V I & max I pA I，RdRdQ = max | pb 12n”,IVa

J ^^- d『& max I P' I J dRdQ = max | P' 14na UqVa

и поэтомуи поэтомуlim a 0lim a 0%d『%d『=0.=0.

и поэтому

и поэтому

lim a 0

lim a 0

%d『

%d『

=0.

=0.

Рис. 21.1Рис. 21.1агаг= max g Vg,= max g Vg,j—^d^= Jl(V74PJ)6(f)dr.j—^d^= Jl(V74PJ)6(f)dr.(21.7)(21.7)

Рис. 21.1

Рис. 21.1

аг

аг

= max g Vg,

= max g Vg,

j—^d^= Jl(V74PJ)6(f)dr.

j—^d^= Jl(V74PJ)6(f)dr.

(21.7)

(21.7)

Если же вектор P терпит разрыв на некоторой поверхности S*

заданной уравнением f(r)=O, то здесь можно воспользоваться соот-

ношением (21.2). Запишем сначала неравенство (21.6) для области /е, представляющей собой е-окрестность S' (рис. 21.1). Для второго интеграла в (21.6) имеем оценку 卜

и поэтому он исчезает при е —> 0, в то время как оставшийся в (21.6) интеграл с учетом (21.2) принимает вид

Вводя смещение d/‘ вдоль нормали nz к S' и замечая, что dy‘ = dM'd/' и V/=п‘df'/d/', преобразуем этот интеграл к виду

Таким образом, в пределе е —> 0 имеем

fdiv^dH 第好 dS，= ,啥 dS，， (21.9)

J R J kX К .'

где Se — граница /е. Поэтому теорема Гаусса — Остроградского оказывается применимой даже к области сингулярности /е.

Обосновав таким образом применимость теоремы Гаусса —Остроградского к области V, получаем с учетом (21.1) и (21.5) следующее выражение для потенциала связанных зарядов:

屮(「)= /欝 dM.(21.10)

V

Принимая во внимание соотношения (7.5) и (19.12), нетрудно убедиться, что это суммарный потенциал всех диполей из V:

g(r) = X(^^"‘ 氏=「一r「(21.11)

В некоторых случаях бывает удобно представить решение (21.10) в несколько ином виде, введя электрический вектор Герца П:

Ф-—divn.(21.12)

Нетрудно видеть, что электрический вектор Герца П просто связан с поляризованностью Р:

H(r) = j 卡署(21-13)

В заключение отметим, что соотношение (21.9) могло бы быть выведено и на основании граничного условия (12.2). В самом деле, повторяя вывод условия (12.2) в применении к соотношению рР = =——div Р, находим связь поверхностной плотности т)р связанных зарядов со скачком поляризованности [Р]:”

心=(пР0-(пР2)^-(п [Р])・(21.14)

Поэтому соотношение (21.9) представляет вклад поверхностных связанных зарядов в общий потенциал:

п°в = ff把異dS'.

Задача 21.2. Используя соотношения (21.2) w (21.3), получить граничные условия (12.8) с помощью уравнений Максвелла 6 д ифферен ц и аль - мой форме.

ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ПРОВОДНИКОВ

Рассмотрим систему заряженных проводников, помещенных в диэлектрическую среду с проницаемостью е (「卜 Внутри каждого проводника, обладающего конечной электропроводностью а (г), справедлив закон Ома j = aE, из которого следует, что в статическом случае, когда j =0, внутри проводника

Е = 0.(22.1)

Учитывая потенциальность электрического поля, т. е. полагая Е = — Vcp, выводим отсюда, что внутри проводника и на его поверх- н℃тн потенциал ср постоянен:

Ф = const.(22.2)

(22.3)(22.3)(22.4)(22.5)(22.4)(22.5)Но последнее условие границе раздела S *. ВНо последнее условие границе раздела S *. В<2 = -i/e(nV)(pdS.<2 = -i/e(nV)(pdS.(22.7)(22.7)

(22.3)

(22.3)

(22.4)

(22.5)

(22.4)

(22.5)

Но последнее условие границе раздела S *. В

Но последнее условие границе раздела S *. В

<2 = -i/e(nV)(pdS.

<2 = -i/e(nV)(pdS.

(22.7)

(22.7)

Кроме того, заряды в проводниках располагаются только на их поверхностях, поскольку объемная плотность заряда, согласно (22.1), исчезает:

4np = div E = 0.

В то же время в диэлектрике в соответствии с (7.7) потенциал ср должен удовлетворять уравнению

div (eV(p)=——4лр и граничным условиям (12.8):

(nD2) — (nDi) = 4冗％ [n (E2 — EJ] - 0.

вытекает из непрерывности потенциала на самом деле, если функция /(г) = ср2 —— обращается в нуль на поверхности S, то уравнение последней есть, очевидно, f (г) = 0. Поэтому с учетом выражения для нормали n = V//| V/1 условие [nV (ср?——Ф1)] = 0 удовлетворяется тождественно.

Рассмотрим теперь оставшееся условие (22.5) на границе S проводника с диэлектриком (рис. 22.1). Поскольку в проводнике D = E=0, то в диэлектрике вблизи границы с проводником выполняется равенство

(nD) = — е (nVcp) = 4лг|,(22.6)

позволяющее записать полный заряд проводника в виде

Итак, граничные условия, отбирающие нужные решения уравнения (22.4), имеют вид:

на поверхностях проводников S; (i = i, 2, ...), несущих заданные заряды Qz или поддерживаемых при заданных потенциалах 屮九 屮=屮尸 const, Qz = — ~ ^ e (nV) ср dS;(22.8)

на граничных поверхностях между диэлектриками при отсутствии свободных поверхностных зарядов

[屮]=0，(n[eV(p]) = 0.[屮]=0，(n[eV(p]) = 0.(22.9)(22.9)

[屮]=0，(n[eV(p]) = 0.

[屮]=0，(n[eV(p]) = 0.

(22.9)

(22.9)

основной задачи:Фр найти их заряды Q『иосновной задачи:Фр найти их заряды Q『инеобходима для конечности напряженностинеобходима для конечности напряженности

основной задачи:

Фр найти их заряды Q『и

основной задачи:

Фр найти их заряды Q『и

необходима для конечности напряженности

необходима для конечности напряженности

При этом возможны две постановки

заданы потенциалы проводников потенциал <р (г) в диэлектрике;

заданы заряды проводников Q” найти их потенциалы q\ и потенциал ср (г) в диэлектрике.

Докажем единственность решения этих задач. Будем исходить из противного, предположив, что имеется два разных решения q^ и(р2. Тогда их разность и— ^—(р2 согласно (22.4) удовлетворяет соотношению

div (euVu) = е (Vu)2.(22.10)

Интегрируя его по объему V диэлектрика, ограниченному поверхностями S； проводников, найдем с помощью теоремы Гаусса —— Остроградского

§ е (Vu)2 dY = £ f 〃е (nV) 〃 dS. (22.11)

Замечая, что для первой постановки задачи на поверхностях S『 будет и = 0, а для второй постановки и = const, но в то же время О е (nV) и dS — 0, убеждаемся, что правая часть в (22.11) исчезает.

Ввиду положительности Е это возможно только при условии, что Гц = 0, т. е. напряженность Е поля определяется однозначно, п потенциалы cpz и ср —с точностью до общей постоянной.

Задача 22.1. Показать, что поверхностная плотность заряда на проводниках максимальна s точках наибольшей кривизны поверхности. Предварительно доказать, что вблизи проводника

(nV) In (nD) = —2^, (22.12)

где п —нормаль к поверхности^ К— ее средняя кривизна.

Задача 22・2. Показать, что замкнутая проводящая оболочка является экраном от внешних электрических полей, а в случае ее заземления,能.е. при ее контакте с проводником очень больших размеров,— еще w от внутренних. Показать также, что поле вне оболочки отсутствует^ если она охватывает нейтральную систему зарядов.

Задача 22.3. Внутри металла вырезана сферическая полость радиуса а. Верхняя w нижняя ее половины заполнены диэлектриком с про- ницаемостями £j w £3 соответствен но. 8 центре полости помещен точечный диполь с моментом р. Найти потенциал ф s диэлектрике 〃 распределение заряда на поверхности полости. Рассмотреть случаи ориентации диполя вдоль плоскости раздела сред w перпендикулярно ей. Рассмотреть также двумерный вариант задачи, т. в. цилиндрическую полость 〃 двумерный диполь.

ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Получим выражение для энергии электростатического поля, создаваемого произвольной ограниченной системой зарядов, находящихся в диэлектрической среде. Выделим произвольную, но достаточно большую область V。，включающую систему зарядов и ограниченную некоторой замкнутой поверхностью S. Тогда энергия электростатического поля, содержащаяся в Vo, согласно (14.7) равна

叭=*§(DE)W. (23.1)

Vo

Полагая Е = — V(p и интегрируя по частям, находим

Ге =-^{^^^^V-j^^ (nD) dS.(23.2)

Будем теперь считать поверхность S сферой бесконечно большого радиуса R. Тогда при 7? —> оо потенциал g убывает как Q/(%R), где ето — диэлектрическая проницаемость среды на бесконечности, a Q —полный свободный заряд системы, равный по теореме Гаусса

Q = A^(nD)ds.

Все это позволяет получить следующую оценку для поверхностного интеграла в (2j.2):

急?<p(nD)dS =占十0(点).

Таким образом, при R 一 оо (23.2) упрощается и с учетом (7.7) принимает вид

IFe -yjpfdl/,(23.3)

где V ——область, занятая свободными зарядами.

Учтем теперь, что потенциал ср удовлетворяет уравнению Пуассона Д(р =—4n (р 十 рр) и поэтому может быть записан в форме

屮("I 言［耙，(23.4)

где V'—область, занятая свободными и связанными зарядами. Подставляя (23.4) в (23.3), получаем выражение для энергии электростатического поля в среде:

%=4u耳二型山死(23.5)

В частном случае системы зарядов в вакууме (р「= 0) из (23.5) получается обычно используемое симметричное выражение

^e^jJJp^dVdr.(23.6)

Если заряды считать точечными, то (23.6) будет содержать расходящиеся интегралы, отвечающие собственным энергиям отдельных зарядов. В самом деле, если заря丄 с равномерно распределен по поверхности шарика радиуса а, то энергия электростатического поля, очевидно, равна

1^。6 =?2/(2a)(23.7)

и при а —0 оказывается бесконечной. Поэтому при рассмотрении системы точечных зарядов из (23.6) обычно исключают бесконечную собственную энергию, оставляя лишь энергию взаимодействия раз-

ных зарядов. Нетрудно видеть, что энергия поля в результате такой операции принимает вид

吃=%£吕=4e分屮,，(23.8)

где(pz —потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме г-го, в точке нахождения последнего.

Задача 23.1. Используя формулу (23.8), показать, что система зарядов &е может находиться е устойчивом равновесии только под действием электростатических сил (теорема И р нш оу).

Задача 23.2.В модели атома, предложенной Дж. Дж. Томсоном,

положительный заряд непрерывно распределен подобно желе в шаре некоторого радиуса а, электроны же вкраплены в него словно изюм в пудинг. В модели простейшего атома водорода электрон находится в центре, 〃 при малейшем смещении из положения равновесия на него действует возвращающая сила, очевидно, равная -^-\ х2р+ (%) dx,

(0式**f)

где р+—плотность положительного заряда-желе. Таким образом, в воз- му щен ном атоме электрон должен колебаться вблизи устойчивого положения равновесия.Нет ли здесь противоречия с теоремой Ирншоу?

Изучим теперь более подробно вклад среды в энергию электростатического поля. Используя связь D = Е + 4лР, этот вклад можно записать в виде

ГР=1у (ЕР) dK (23.9)

Чтобы выяснить физический смысл этой величины, воспользуемся лредставлением поляризованности Р в форме (7.5):

=£2=£2ie дуie ду11i£ АУi£ АУ(23.10)(23.10)

=£2

=£2

ie ду

ie ду

1

1

i£ АУ

i£ АУ

(23.10)

(23.10)

где I qz I — эффективное расстояние между зарядами с^ в i-甘 молекуле-диполе. Рассматривая молекулы как квазиупруго связанные заряды и вводя эффективный коэффициент упругости 々，условие равновесия упругих и электрических сил можно записать в виде e^i = kqit откуда вытекает следующее представление для энергии (23.9):

呼戶=》£e〃q,E,) = ^£w’：. (23.11)

Таким образом, энергию эл ктростатического поля, запасенную з диэлектрике, можно интерпретировать как потенциальную энергию растянутых упругих молекул.

Однако даже без привлечения каких-либо модельных представ- “ений о молекулах-диполях, в предположении лишь линейности связи Р(Е) = хЕ, можно показать, что (23.9) представляет собой работу, которую необходимо затратить, чтобы создать в среде поляризацию Р. В самом деле, используя (23.10) и считая, что напряженность Е поля мало изменяется в пределах ячейки AIZ, элемен- 3 № 2222 65

тарную работу электрического поля над связанными зарядами среды можно записать в виде

6^е = SeJE.Sr,-) = $ (Е6Р)<1У,(23.12)

откуда в предположении линейной зависимости Р = хЕ и вытекает (23.9). Таким образом, можно с уверенностью сказать, что выражение (23.9) представляет собой энергию, запасенную в диэлектрике при создании в нем электрического поля Е.

Задача 23.3. Показать, что если в поле заданной системы зарядов внести нейтральный диэлектрический образец с проницаемостью, отличающейся от проницаемости среды на малую величину бе, то 6 первом приближении энергия системы изменится 〃а

6戚е=-爲“喩 dk.(23.13)

Показать также, что при внесении незаряженного проводника энергия системы уменьшится.

Энергия электростатического поля данной системы, очевидно, зависит от ее геометрических свойств, т. е. от некоторых обобщенных координат 7П %, .. . Поэтому знание функции We (q^ 蚤，...) позволяет вычислить обобщенные силы 尸门 действующие между элементами системы. Действительно, по принципу возможных перемещений,

3%=一nf画,，(23.14)

откуда

Fi = —dWjdq「(23.15)

Задача 23.4. Вычислить силу F w момент сил L, испытываемые диполем р 8 поле другого диполя р\ расположенного 〃а расстоянии а от первого.,

ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ПРОВОДНИКОВ

Поскольку в проводниках статический заряд распределен только по поверхностям, потенциал вдоль которых не меняется, то энергия такой системы [см. (23.3)] равна

叭二4"£炉nidS = }£cpj夕 T]dS =^£中@ '(24.1)

где (р;- и Qi — соответственно потенциал и заряд i-ro проводника. Решив основную задачу электростатики, т. е. найдя распределение потенциала ф (г) в окружающем пространстве, всегда можно, согласно (22.7), вычислить заряды проводников Q「В то же время, по теореме единственности (см. § 22), функция 屮(г) однозначно

определяется потенциалами проводников ср.. Поэтому и заряды проводников Qj—некоторые однозначные функции всех потенциалов 6，<р2,Из-за линейности уравнений поля (22.4) эти функции могут быть только линейными. Поэтому должна существовать связь вида

Q「= 2 &%佻， (24 2) и обратно:

中尸不(24.3)

Постоянные коэффициенты Cik называются емкостными коэффициентами системы проводников, a Sik — потенциальными коэффициентами. При этом коэффициенты 寸仃 называют собственными емкостями, а &% при i*启——коэффициентами взаимной емкости или коэффициентами электростатической индукции.

Задача 24.1. Показать, что емкостные коэффициенты С^ могут быть представлены в виде

c"=2a/+ aDС注 = -因々a卢初 (24.4)

где а注，/ 抬力,определяются конфигурацией векторных линий поля D.

В частности, если среда кар актер изуется тензором диэлектрической проницаемости е и векторная трубка, начинающаяся с площадки dS『 i-eo проводника, имеет нормальное сечение dS <r) = dS〃f (с), mo

а*=§ 4л § (т-£_1-т) / (г) d/ ' dS『， (24.5)

где линейный интеграл берется вдоль векторной линии D = tD, а по- верхностный — по той части поверхности i-го проводника^ с которой начинаются линии D；左,связывающие i-й и k-й проводники; а；。представляет собой вклад линий D, уходящих s бесконечность.

Из (24.5) следует, что aik > 0, поэтому [см. (24.4)] С^ > О, тогда как Clk < 0, i ^ k. Последнее обстоятельство является выражением того простого факта, что на проводниках всегда наводятся заряды противоположного знака. В самом деле, если заземлить все проводники, кроме ^-го, то наведенный на i-м проводнике заряд [см. (24.2)] равен Q,. = &押炉 Но если(pfe > 0, то очевидно, что собственный заряд ^-го проводника Q^〉0, тогда как наведенные заряды Q? < 0 при i * k.

Наконец, из (24.5) вытекает, что коэффициенты aik симметричны, 「е. a{k = aki. Поэтому симметричными являются и емкостные коэффициенты:

&后=&广 (24.6)

Выражение (24.6), известное как соотношение взаимности, часто формулируют в виде теоремы взаимности Грина, смысл которой состоит в следующем. Рассмотрим два состояния одной и той же снстемн проводников. Пусть в одном из них заряды и потенциалы

проводников Qi，ф/, а в другом —Q；, ср；. Тогда, используя (24.2) и (24.6), имеем

2 Qt^Pf ~ S C/(p/(Pj = S Chj喉срj = NQhW*(24・7)

Это и есть теорема взаимности Грина.

Для одиночного проводника

Q = С<р,(24.8)

где С —собственная емкость проводника. В частности, для металлического шарика радиуса а, находящегося в однородном диэлектрике с проницаемостью е и несущего заряд Q, получаем cp = Q/(£Q>, т. е. C = £Q. В случае двух проводников, несущих равные и противоположные заряды Qi =——Qz = Q, из (24.2)

Q=C (%一%).(24.9)

Такая система проводников обычно называется конденсатором, а коэффициент С —его емкостью.

Задача 24.2. Показать, что емкость конденсатора выражается через емкостные коэффициенты по формуле

С =(。11。22 — C；2)/(Cii +2С]? +С??)*(24.10)

Если обкладки конденсатора расположены очень близко друг от друга, то в соответствии с (24.5) имеем а^》％。и а12^>а20, так что приближенно можно считать C11C22 — Ci2 ^ а12 («10 + п20), тогда как Cj 1 + 2С12 十 С22 = а10 + а20. Таким образом, согласно (24.10), емкость конденсатора примерно равна

С I Ci? [•

Задача 24.3. Два одинаковых проводящих тела, одно из которых имеет заряд Q, далеко отстоят друг от друга. При помощи первоначально незаряженного третьего проводника заряд переносится с одного тела на другое. Какими будут окончательные заряды всех трех проводников после многократного повторения операции переноса^ если при первом контакте заряд Q первого тела уменьшился на 1 /п часть?

Выразим теперь энергию системы заряженных проводников через их потенциалы или заряды. Подставляя в (24.1) последовательно (24.2) и (24.3), находим

叭2以屮[屮产 4"£s汴QQ.(24.11)

kA

Отсюда следует еще одно явно симметричное представление для емкостных и потенциальных коэффициентов:

3丸一無网h '小(24丄)

Из условия положительности квадратичной формы (24.11) получаем полезные неравенства

0门>0; &心^一С3>0, i^k.(24.13)

Задача 24.4. Найти емкость конденсатора, образованного двумя большими плоскими пластинами площадиSf наклоненными под углом В друг к Ьругу. Минимальное и максимальное расстояния между пластинами 两 и &» Краевым эффектом пренебречь.

Задача 24.5. Как изменится емкость сферического конденсатора с радиусами оболочек а и b >а при малой деформации внешней оболочки? Как изменится емкость при 八а儿ом растяжении конденсатора &а расстояние d 8 одном из его центральных сечений?

Задача 24.6. Найти емкость конденсатора, обкладки которого представляют собой усеченные конические поверхности с

углами раствора а 〃 В〉а, вложенныеРис. 24.1

одна в другую (рис. 24.1). Радиусы усе

чения а 〃 Ь》а. Краевым эффектом пренебречь.

Задача 24.7. Показать, что распределение поверхностного заряда на проводниках таково, что энергия электростатического поля минималь-

на (т е о р е ма В. Т о м с о н а).

§ 25. ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ

Рис. 25.1Рис. 25.1444-444-Можно выделить особый класс задач электростатики, относящихся к случаю, когда поле на бесконечности не исчезает, а стремится к некоторому постоянному однородному полю Ео. Рассмотрим два простейших примера задач такого рода, когда во внешнем поле Ео находятся проводящий либо диэлектрический шары.

Рис. 25.1

Рис. 25.1

4

4

4-

4

4

4-

Поместим начало координат в центр проводящего шара радиуса а и выберем- сферические координаты (направление Ео соот- заземлим шар, тогда внутри него 片 т оо потенциал совпадает с по

ветствует 3 = 0). Для простоты пп-тоииил п т = П R口分 шяпя ппиветствует 3 = 0). Для простоты пп-тоииил п т = П R口分 шяпя ппиФ = Eor cos 3 (出"3 — 1).Ф = Eor cos 3 (出"3 — 1).(25.1)(25.1)тенциалом внешнего поля ——Eor cos^. Чтобы удовлетворить граничному условию ср (г —д) — 0, из общего решения (16.11) уравнения Лапласа необходимо выбрать часть, пропорциональную cos3:

ветствует 3 = 0). Для простоты пп-тоииил п т = П R口分 шяпя ппи

ветствует 3 = 0). Для простоты пп-тоииил п т = П R口分 шяпя ппи

Ф = Eor cos 3 (出"3 — 1).

Ф = Eor cos 3 (出"3 — 1).

(25.1)

(25.1)

Из полученного решения видно, что во внешнем поле Ео шар поляризуется и приобретает дипольный момент р = E0cz3. При этом поверхностная плотность заряда на нем оказывается равной (рис. 25.1)

(25.2)(25.2)1即丨3 口 Q

(25.2)

(25.2)

刀=—h—Ч =t~^oCOS&.

Рассмотрим диэлектрический шар с проницаемостью 8 во внешнем поле Ео. По аналогии с предыдущим случаем потенциал вне тара (область /) будем искать в виде

(25.3)(25.3)% = — £or cos 3 + (&/严)cos 8,

(25.3)

(25.3)

тогда как внутри шара (область 2) дипольный член должен отсутствовать, поскольку он расходится при 尸=0, а поле внутри шара должно быть конечным. Поэтому полагаем

(p2 = C2r cos&.(25.4)

Подставляя потенциалы (25.3) и (25.4) в граничные условия (22.9), получаем систему уравнений для определения неизвестных постоянных & и С2:

—Еьа 十 &/q2 — C2a,旦 + 2C\/q3 = — eC2.

Разрешая ее, находим:

& =炉々(с — 1)/(£ + 2), & = — 3当/(£ + 2),

что соответствует следующему виду потенциалов:

屮i = E«rcos9(U£—l), % =—制,cos8. (25.5)

Анализируя решение (25.5), убеждаемся, что напряженность поля внутри шара постоянна и равна

Е? = ЗЕ0/(е + 2).(25.6)

Это означает, что шар оказывается поляризованным с постоянным вектором поляризации

(25.7)(25.7)р =吁1 р 一 3 £—】F4л 口一а?订1 。，который соответствует дипольному моменту шара

(25.7)

(25.7)

(25.8)(25.8)Р = а』Е。и поверхностной плотности связанных зарядовg =(nP) = ^r詔 JcosS.

(25.8)

(25.8)

Обратим внимание на то, что в пределе с —> 8 решение задачи с диэлектрическим шаром переходит в соответствующее решение задачи с проводящим шаром. Физически это объясняется тем, что при в —> оо связанные заряды становятся свободными и диэлектрик ведет себя как проводник.

Задача 25.1. Проводящий шар радисуа а окружен диэлектрической оболочкой радиуса Ь с проницаемостью е w помещен s постоянное внешнее поле Ео. Найти потенциал <р во всех областях w поверхностную плотность заряда на таре. Задача 25.2. Бесконечный проводящий цилиндр рис< 25.2радиуса а помещен на плоской границе двух диэ~

'*лектриков с проницаемостями &j 〃 е2- В среде

с проницаемостью е^ задано постоянное поле Ео, перпендикулярное плос^ кости раздела (рис. 25.2). Найти потенциал ① во всех областях и рас* пределение заряда на цилиндре.

§ 26・ НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

Изучим два популярных метода решения задач электростатики, основанные на использовании некоторых свойств симметрии исходных уравнений и граничных условий.

Метод отражений применяется в тех случаях, когда границы раздела сред плоские. Проще всего понять этот метод, рассмотрев случай проводящего полупространства. Пусть, скажем, плоскость г=0 разделяет проводник (г < 0) и диэлектрик (г > 0)с проницаемостью е, в котором задано распределение свободных зарядов р (г). Для нахождения потенциала ср в диэлектрике необходимо .решить уравнение (22.4) с граничным условием 屮(2 = 0) = 0. Предварительно произведем симметричное продолжение функции е (г) на область г < 0, т. е. положим

£с(г) = е(х，У，|z|). (26.1)

Допустим, что известно некоторое решение срс уравнения

div (ecV(pc) — — 4np (26.2) во всем пространстве (обратим внимание на то, что р = 0 при г < 0). Рассмотрим теперь функцию(pz =——ср, (%，У» ——乞卜 Используя свойство инвариантности оператора div (ecV) относительно отражения г —> —г, нетрудно убедиться, что 屮'удовлетворяет однородному уравнению

div(eV(p/) = 0 (26.3) в области г > 0. Очевидно, что (р7 — потенциал, созданный отраженными источниками с плотностью р‘=——р(х, у,——z). С учетом всего сказанного ясно, что решением исходной задачи является функция

срУ、?)—牝(招 У，— г). (26.4)

Физический смысл решения (26.4) очевиден из самого способа его построения: потенциалы (рс и ср' создаются соответственно распределением заряда р при отсутствии проводящей среды и поверхностными зарядами, сосредоточенными на границе раздела z = 0.

В качестве наглядного примера, иллюстрирующего метод отражений, рассмотрим следующую задачу. Пусть плоскость ? = 0 разделяет два диэлектрика с проницаемостями Ej (г < 0) и е? (г > 0). В точке А (0, 0, а) в области г > 0 расположен точечный заряд е. Используя метод отражений, потенциал поля будем искать в виде (рис. 26.1)

屮1 = с /(£J2)» ①2 = ^/(^2^J + с /(£/1)' (26.5)

Иначе говоря, кроме истинного заряда е мы взяли еще два фиктивных заряда с' и с", помещенных в симметричные точки. С помощью этих фиктивных зарядов как раз и описывается поле поверхностных зарядов, сосредоточенных на границе раздела г = 0. Подставляя (26.5) в граничные условия (22.9), получаем систему уравнений для определения неизвестных постоянных е' и е":

e"/% =侈 + 夕)/%, e" н e —ё'.

Решение этой системы имеет такой вид:

е' = е (% — %)/(% + %)，е" = 2鸣/⑻ + %).(26.6)

С его помощью можно вычислить поверхностную плотность Пр связанных зарядов на границе раздела (рис. 26.1)：

g — (n [PD =4 (п 岡)=辭盒瑞•(267)

Подсчитаем с и. л у взаимодействия внесенного заряда е с этими связанными зарядами. Согласно (23.8), энергия взаимодействия равна

% =扌约广為=£言義，MM)

откуда находим силу взаимодействия &, обычно называемую «силой изображения»:

芹一 d^e ^3 E2一E夕6 Q、

Метод инверсии основан на применении теоремы Кельвина (см. задачу 16.4). Суть его состоит в следующем. Допустим, что мы знаем решение уравнения Пуассона А(р =——4лр в некоторой области V. Совершим теперь преобразование инверсии радиуса а с центром в некоторой точке г0:

ф^ (r)=：fl(p (ryR, У 三出R/必，(26.10)

где R ~г —г0. При этом преобразовании область V перейдет в некоторую другую область V\ а уравнение Пуассона, согласно теореме Кельвина, примет вид

Аф' = (q/R)5A« (У) = — 4n (a/R)5P (У),(26.11)

что эквивалентно введению в области Vf нового распределения зарядов с плотностью

p'(r) = (a/R)5P (г”(26.12)

Таким образом, преобразование инверсии связывает между собой решения двух разных задач электростатики.

Используем метод инверсии для решения следующей задачи. Пусть имеется заземленная проводящая сфера радиуса а и вне ее задано некоторое распределение зарядов р+ (г). Введем обозначения У土 для областей пространства вне и внутри сферы (рис. 26.2).

Согласно (17.6), будем искать решение уравнения Пуассона

厶屮=—4пр+(26.13)

в области К+, удовлетворяющее граничному условию (р = 0 на поверхности сферы, в виде

Ф=У dU' + 外，(26.14)

где(р0 —некоторое решение уравнения Лапласа.

Для нахождения (р0 поместим в области К_ инвертированные заряды, плотность которых, согласно (26.12), равна

р-(г) = —(а/г户 р+(a2r〃2),(26.15)

и рассмотрим создаваемый ими потенциал

岸*d『.(26.16)

Чтобы убедиться в выполнении граничного условия, вычислим потенциал(р0 на поверхности сферы в некоторой точке Л (рис. 26.2). Для удобства введем обозначения (ОР± = г士, /尸± = R士) и воспользуемся тем, что условие инверсии rj一 =炉 эквивалентно подобию ДОДР- и Д ОАР+, из которого следует, что

r+/a~a/r^ = R/R_ = const.(26.17)

Этот факт не удивителен и является выражением известного свойства окружности быть геометрическим местом точек, для которых отношение расстояний до двух заданных точек постоянно (окружность Апполония). Используя (26.17), а также закон преобразования при инверсии элемента объема

dV+ = r^dr+dQ-= (a/r_)6dV_, для точек на поверхности сферы имеем

J ~无~— R +

что эквивалентно выполнению граничного условия ср = 0. Таким образом, решение задачи имеет вид

Задача 26.1. На расстоянии 2 от проводящей плоскости параллельно ей помещен бесконечный проводящий цилиндр радиуса а с зарядом 乂 на 7 см длины. Считая окружающую среду однородным диэлектриком с проницаемоешью е, найти в ней потенциал 屮 и силу притяжения 尸 цилиндра 及 плоскости.Задача 26.1. На расстоянии 2 от проводящей плоскости параллельно ей помещен бесконечный проводящий цилиндр радиуса а с зарядом 乂 на 7 см длины. Считая окружающую среду однородным диэлектриком с проницаемоешью е, найти в ней потенциал 屮 и силу притяжения 尸 цилиндра 及 плоскости.

Задача 26.1. На расстоянии 2 от проводящей плоскости параллельно ей помещен бесконечный проводящий цилиндр радиуса а с зарядом 乂 на 7 см длины. Считая окружающую среду однородным диэлектриком с проницаемоешью е, найти в ней потенциал 屮 и силу притяжения 尸 цилиндра 及 плоскости.

Задача 26.1. На расстоянии 2 от проводящей плоскости параллельно ей помещен бесконечный проводящий цилиндр радиуса а с зарядом 乂 на 7 см длины. Считая окружающую среду однородным диэлектриком с проницаемоешью е, найти в ней потенциал 屮 и силу притяжения 尸 цилиндра 及 плоскости.

СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПРОВОДНИКИ

И ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Поскольку в проводниках объемная плотность электрического заряда равна нулю, то в электростатическом поле на них действует только поверхностная сила с некоторой поверхностной плотностью t. Очевидно, что сила dF, действующая на элемент поверхности dS, может быть представлена в виде

dF = tdS = r|E'dS, (27.1) где Е‘ — напряженность действующего поля^ определяемая как на* пряженность Е полного поля за вычетом вклада элемента dS.

Таким же методом,

как в задаче 3.4, можно

показать, что

= Е/2, и поэтому

t = г|Е/2.

(27.2)

В то же время [см.

(22.6) и (22.8)]

『京6d)，e=nе.

(27.3)

Все это позволяет

представить поверхностную

плотность сил,

действующих на проводник, в виде

t =急(DE) п 三侬e”(27.4)

Таким образом, проводники в электростатическом поле испытывают растяжение, очевидной причиной которого является расталкивание поверхностных зарядов. Интересно, что численно это растяжение совпадает с плотностью электростатической энергии 切^

Перейдем теперь к вычислению сил, действующих в электростатическом поле на диэлектрическую среду. Для этого воспользуемся выведенным ранее соотношением (23.13), согласно которому изменение энергии системы при малом изменении диэлектрической проницаемости среды равно

6% = —急/?6&dH(27.5)

В общем случае диэлектрическая проницаемость е является сложной функцией плотности вещества т(г), температуры Т, напряжений в среде и многих других параметров. Для простоты предположим, что е зависит лишь от плотности вещества и явно от точки г, т. е. е = е (г, т). В таком случае для вычисления сил, действующих на диэлектрик, можно воспользоваться принципом возможных перемещений и рассмотреть бесконечно малое смещение диэлектрика на вектор 6а (г) в некоторой малой области К Тогда

бе = е [г — 6а, т' (г)] —е[г, т (г)]=е [г — 6а, т (г — 6а) + 6т] — с [г, т(「)]^

— (6aVe) + 6т @/dr),(27.6)

где 5т — (г) — т (г — За) т* (г 4- 6а) — т (г).

Воспользуемся законом сохранения массы вещества при деформации г'=「+ 6а, согласно которому

б (xdlZ) = Y『)dH — т(г) di/ = 0.(27.7)

Преобразуем элемент объема di/' к старым переменным, введя якобиан преобразования ?, т. е. полагая dl/' = ?dl\ где

3 = det II " (卄 + 6成)；1 = det |! 6? + "(6卄川公； з

И ［1 +“•(6凉)］大；1 + div 5a.(27.8)

Подставляя (27.8) в (27.7), получаем

6т = 一 т div 6а.(27.9)

Таким образом, из (27.6) находим

6е = — (6aVe) — т (д^/дт) d iv 6а.(27.10)

Подставляя (27.10) в (27.5), находим для изменения энергии выражение

6»\ =急『曰［(6aVe) + T^div6al dK (27.11)

С другой стороны, (27.11) должно быть пропорционально, согласно принципу возможных перемещений, элементарной работе внешних сил. Вводя плотность сил fgBH3, действующих на диэлектрик, имеем

5吃,(f产3§a)dH(27.12)

Для того чтобы привести bWQ к виду (27.12), выполним во втором слагаемом (27.11) интегрирование по частям. Возникающий при этом поверхностный интеграл обращается в нуль, поскольку вне области 匕 по условию, ба =0. Таким образом,

6IFe =亲!［尸传aVe) — 6ak 卜|^Е2)］ сП/. (27.13)

Сравнивая (27.13) и (27.12), находим следующее выражение для плотности сил, действующих на диэлектрик в электростатическом поле:

▽ 急？Ve +急 V (嚟£2). •(27.14)

Задача 27.1. Показать, что при электризации тел трением или при wx близком контакте положительно заряжается вещество с большей диэлектрической проницаемостью (закон Кёна).

Для разреженных диэлектриков выражение для плотности силы (27.14) упрощается. В этом случае е можно считать линейной функ-

цией т, положив е^ 1 +ст. В этом приближении т(де/дт) ^ е — 1 и (27.14) принимает вид

f产= ^YE2.(27.15)

Формулу (27.15) можно получить и в микроскопической теории. В самом деле, как следует из решения задачи 23.4, на диполь р в электростатическом поле Е действует сила

F = V(pE) = (pV)E.(27.16)

Суммируя (27.16) по всем диполям р, из физического бесконечно малого объема AV и считая напряженность Е『действующего поля совпадающей с напряженностью Е среднего поля в среде, что справедливо для разреженных диэлектриков, находим

毆=击e F产鳥2(p,Y)Ef1€ ДУSAV

^鳥 2 (p,V)£』(PY)E.(27.17)

Нетрудно видеть, что (27.17) сводится к (27.15), если учесть, что 4冗卩=(е——1) Е, и использовать тождество (2П.4д), согласно которому

(EV) Е - VE2/2 一 [Е rot Е] - V尸/2,(27.18)

поскольку rot Е =0.

Если в диэлектрике имеются свободные заряды, распределенные с плотностью р, то плотность сил, действующих на среду в электростатическом поле, равна

UPE一急上叫6十e醍ё2嚓｝(27.19)

Иногда бывает удобно, поступая так же, как при решении задачи 13.1, представить (27.19) в виде

fe=divf(e„(27.20)

где f(с)——тензор электрических натяжений, имеющий компоненты

Т^^Е<Е^Е^е-^^.(27.21)

Согласно (27.20), полная сила Fe, действующая на диэлектрик в некоторой области V, равна

Fe = § fedv= J div T(e>dV.(27.22)

Используя теорему Гаусса—Остроградского в форме (2П.6), сведем объемный интеграл в (27.22) к интегралу по поверхности S, окру- 76

жающей объем V:

£ = , (n-t(e)) dS = ^ [卷(пЕ)Е —备(с—t 新 n] dS. (27.23)

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ, СОЗДАВАЕМОЕ ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТОКОВ. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

Перейдем к рассмотрению магнитостатических задач. В этом случае и<ходными уравнениями являются:

rot Н = 4л]/с, div В =0,

В = Н + 4лМ (в простейшем случае В = р11).

С их помощью можно определить индукцию В магнитного поля, возникающего в магнетиках при наличии:

токов с заданной плотностью j;

постоянных магнитов;

внешнего магнитного поля с напряженностью На;

сверхпроводников (с заданными полными токами).

Найдем сначала индукцию магнитного поля, создаваемого заданными токами в вакууме , т. е. решим систему уравнений:

rotB = 4冗jG divB = 0.(28 1)

Плотность тока j (г), согласно первому уравнению (28.1), подчиняется стационарному закону сохранения:

div j = 0.(28.2)

Чтобы удовлетворить второму из уравнений (28.1), воспользуемся тождеством div rot А — 0 и положим

В =rot А,(28.3)

введя векторный потенциал А.

Подставляя (28.3) в первое из уравнений (28.1), имеем

rot rot А = 4nj/&(28.4)

или с учетом соотношения (2П. 13)

A A —Vdiv А- —4л]/г.(22 5)

Заметим, что из уравнения (28.3)при заданном магнитном поле В вектор-потенциал А определяется неоднозначно. В самом деле, согласно тождеству rot V гр = 0, вместо А всегда можно взять другой вектор А', отличающийся на градиент произвольного скаляра 屮:

A』A + V取(28.6)

Но последний всегда можно выбрать так, чтобы div А' = 0. Для

этого достаточно подчинить гр уравнению a屮=-div a.

Таким образом, всегда можно положить div А — 0 и находить вектор-потенциал А как решение системы уравнений:

АА = — 4nj/% div А = 0.(28.7)

Замечая, что в декартовых координатах любая из компонент вектора А удовлетворяет уравнению типа Пуассона, можно по аналогии с (17.4) записать решение уравнений (28.7) для всего пространства в виде

А(г)Т 曙岭(28.8)

где R =「一г'. При этом нетрудно убедиться, что (28.8) удовлетворяет условию div А 0. В самом деле, переходя в (28.8) к новой переменной интегрирования R, имеем

с div А = div J "「/* dI/欠=j div j^—R)找欠，

что действительно обращается в нуль [см. (28.2)].

Отметим, что к решению (28.8) следует еще добавить вектор Ао, удовлетворяющий уравнению Лапласа АА0 = 0 и условию div Ао = 0. Однако если система токов ограничена и физически приемлемыми считаются только решения, исчезающие на бесконечности, то ясно, что Ао = О. Это следует из того, что Ао является векторной гармонической функцией и по принципу максимума может удовлетворять граничному условию lim Ао = 0 только при Ао ~ 0.

Применяя к (28.8) операцию ротора, находим индукцию магнитного поля:

откуда следует закон Био——Савара——Лапласа:

B = K^d『.(28.9)

Тем самым еще раз доказана эквивалентность (28.1) и (28.9). Для однородного магнетика в (28.9) вместо В нужно поставить Н.

Задача 28.1. Найти вектор-потенциал A w индукцию В магнитного поля, создаваемого: а) прямым током /; б) бесконечной прямой катушкой с током силой /, имеющей м витков на 1 см и радиус а.

Перейдем теперь к задаче о нахождении индукции В в неоднородном магнетике, характеризующемся магнитной проницаемостью *(г). В этом случае необходимо использовать уравнение

подставляя в которое (28.3), находим

(28.11)(28.11)rot (十 rot А)j

(28.11)

(28.11)

Допустим, что требуется найти индукцию В в некоторой области V, ограниченной замкнутой поверхностью S. При этом можно выделить три типа граничных задач:

на поверхности S задан вектор [nA], где п — внешняя нормаль к S;

на поверхности S задан вектор [пН];

на части поверхности S задан вектор [nA], а на другой ее части ——вектор [пН].

Покажем, что во всех этих задачах магнитное поле определяется однозначно, а векторный потенциал——с точностью до градиентного преобразования.

Предположив противное, примем, что существуют два разных решения А】и А2. Тогда их разность и 三 А】——А2, согласно (28.11) и (2П.4а), будет удовлетворять уравнению

div [± rot u] =-i- (rot и)2.(28.12)

Интегрируя (28.12) по области V и применяя теорему Гаусса — Остроградского, находим

f 4r (g и尸 W =炉 + ([nu] rot u) dS. (28.13)

Очевидно, что поверхностный интеграл в (28.13) исчезает с учетом наложенных граничных условий, ибо во всех случаях либо [пи], либо [п rot и] обращаются в нуль на поверхности S. Но тогда из(28.13) вытекает, что rotu = 0. Это и доказывает теорему единственности.

Наконец, остановимся на граничных условиях (12.3) и (12.6), которые должны накладываться в тех случаях, когда магнитная проницаемость испытывает разрыв на некоторой поверхности S' внутри области V. Прежде всего необходимо наложить условие непрерывности вектор-потенциала А на поверхности S':

[А] = 0. (28.14)

Это делается для того, чтобы индукция В была конечной. В самом деле, если принять, что А может иметь скачок [А] на S', то согласно (21.3) индукция на S' имеет сингулярную часть

В —^[Vf[A]]6[f(r)],

где f(r) = O — уравнение поверхности S'. Таким образом, поле В принимает бесконечные значения в точках поверхности S', что физически недопустимо.

Задача 28.2. Показать, что граничное условие (п [В)) = 0 является следствием (28.14).

Таким образом, с учетом (12.6) на границе раздела двух магнетиков должны выполняться следующие условия：

[А] = 0, [п[-^го1А]]=^1,(28 15)

где i — поверхностная плотность токов проводимости на границе раздела.

§ 29. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ОГРАНИЧЕННОЙ СИСТЕМЫ ТОКОВ (МАГНИТНОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ)

Предположим, что токи с плотностью j сосредоточены в некоторой области пространства Vt которую можно заключить в сферу конечного радиуса а. Подставив в общее выражение для вектор-потенциала

a(г) = ；§若产，(29.1)

разложение (19.4), найдем для г > а > rf

A(r) = £^Km；dH=Е Jl^-%7 …"®「4；' (29.2) /=0 Vz=o

где введен тензор 2г-польного магнитного момента

冗，…../々j，d『，(29.3)

каждая компонента которого является вектором.

Вычислим низшие мультипольные моменты Ж(0) и JW(1) [которыми на основании оценки типа (19.18) можно ограничиться при определении А, если 尸》а]. Для этого удобно воспользоваться соотношением (28.2) и условием ограниченности системы токов, согласно которому j = 0 при г > а. Умножим (28.2) на произвольную функцию / (г) и проинтегрируем по области V, применив теорему Гаусса—Остроградского:

J/(r) divjdV = -J(jV)/dV+ 炉 f(r)(nj)dS = O. (29.4) VVS f 8

Но поверхностный интеграл в (29.4) исчезает, так как / = 0 при г〉а. В результате получается тождество

J(jV)/(r)dV = O.(29.5)

Подставляя f(r) = xz в (29.5), находим

S(jV) /dv=, /47 = 0.

Иначе говоря,

3f(0) = $ jdV = O.

(29.6)

Далее, выбирая в (29.5) f(t)^=rxk, имеем

$ (jV)rxft dV ^^Цх11 + гjk)dV = G.(29.7)

С помощью (29.7) первый член мультипольного разложения (29.2) преобразуется к виду

Ai = — ^gj'(r'V)；dV' = ^§r'(N)；dU' =ВV ，

н 贵[_『(гУ + г'(『V)] ； d『=-4g [Г门 V]； W,

или, если ввести магнитный момент системы токов m = ^J[rj]dy,(29.8)

V к виду Аг-[тг]/г3.(29.9)

Используя тождество (справедливое при г〉0)

rotW = —V曙，(29.10)

доказанное при решении задачи 1・5, индукцию, соответств у ющую векторному потенциалу (29.9), можно записать по аналогии с электростатикой:

B1 = -V^E-V5， 一 (29.11)

т. е. введя магнитный скалярный потенциал 屮口 отвечающий магнитному диполю с моментом т:

屮 1 — (mr)/r3.(29.12)

Нетрудно видеть, что, повторяя процедуру построения электрических мультиполей и взяв за исходное векторный потенциал (29.9) магнитного диполя, можно прийти к магнитостатическому аналогу формулы (19.9):

А,=(—1 尸值(飼粤 (29.13)

В качестве конкретного случая системы ограниченных токов рассмотрим замкнутый линейный ток силой /, текущий по некоторому контуру С. Поскольку для линейного тока jdV=，d1 и сила тока / постоянна в любом сечении контура С в соответствии с (28.2), то формула (29.1) в этом случае примет вид '

А=4-/^- (29.14)

Применяя теорему Стокса (2П.8а), приводим (29.14) к интегралу го правоориентированной поверхности S, натянутой на контур С:

А = g g [nV]靑 dS，=』j 嘿 dS，.(29.15)

Очевидно, что (29.15) можно представить как вектор-потенциал двойного магнитного слоя (магнитного листка):

A = j 嘤а(29.16)

где элементарный магнитный момент равен'

dm' = /n'dS7c,(29/7)

что соответствует мощности двойного магнитного слоя тт= //с.

Нетрудно видеть, что если ввести скалярный магнитный потенциал 2，отвечающий (29.15), то он будет иметь такой же вид, как и для двойного электрического слоя:

屮=£更霄=」Q，(29.18)

где Q ——телесный угол, под которым виден контур С из точки наблюдения (см. задачу 1.5). Очевидно, что потенциал 《 не является однозначной функцией точки ——при обходе вокруг контура с током он испытывает приращение, равное

仲]=4冗丁 = 4п〃с(29.19)

Но если в случае двойного электрического слоя скачок потенциала на его поверхности обусловлен тем, что внутри бесконечно тонкого двойного слоя напряженность электрического no/я оказывается бесконечно большой [см. (20.6)], то отмеченная неоднозначность магнитного скалярного потенциала обусловлена двусвязностью области определения функции 屮(все пространство, за исключением контура с током). Эту область можно сделать односвязной, проведя разрез по некоторой поверхности S, натянутой на контур, и считая,, что на ней потенциал 2 испытывает скачок (29.19). Но поскольку поверхность S можно произвольно сместить так, чтобы точка наблюдения не попала на нее, то всегда оказывается справедливым преобразование (29.15) и представление скалярного магнитного потенциала в виде (29.18).

Таким образом, мы пришли к выводу, что магнитное поле замкнутого линейного тока силой / тождественно полю магнитного листка мощностью тт ^ //с, натянутого на контур тока {теорема эквивалентности Ампера). В пользу этого утверждения говорит и результат задачи 8.1, согласно которому магнитные моменты замкнутого линейного контура с током и магнитного листка оказываются одинаковыми и имеют вид

m=*,[rdl] = ^jndS. '(29.20)

Задача 29.1. Найти индукцию магнитного поля линейного кругового тока. Результат выразить через полные эллиптические интегралы первого и второго рода:

'Л/2л/2

к 伍)=j у^з^甬；Е 3)= j 邙匕1 一/2 sm2 0. (29.21)

『0о

Найти асимптотическое выражение для поля вблизи контура с током и вдали от него.

ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ МАГНИТОВ

В постоянном магните отсутствует ток проводимости, однако в каждой его точке существуют намагниченность М (г) и обусловленный ею ток намагничения с плотностью jM=crotM. Поэтому вектор- потенциал, создаваемый этим током, может быть определен как

A = j^^d『.(30.1)

Однако использование этой формулы представляет значительные неудобства, вызванные необходимостью учета поверхностных токоз намагничения, возникающих на границах раздела двух магнетиков. В связи с этим (см. § 21) преобразуем формулу (30.1), воспользовавшись тождеством

rot'⑺ Trot'M'-MR]提(30.2)

С учетом соотношения (21.3) можно обосновать применимость в данном случае теоремы Остроградского (2П.5в), по которой

grot，dH = ,啥 dS，=0,(30.3)

поскольку вне магнетика М = 0. Поэтому, интегрируя тождество (30.2) по объему магнетика V и используя (30.3), имеем

уу

у

у

что совпадает в соответствии с (29.9) с векторным потенциалом распределенного магнитного момента с плотностью М

Формулу (30.4) иногда записывают и в иной форме, полагая

%м[ dr rot Z,(30.5)%м[ dr rot Z,(30.5)

%м[ dr rot Z,(30.5)

%м[ dr rot Z,(30.5)

где введен вспомогательный вектор

z = §^d『，(30.6)

называемый магнитным вектором Герца. Согласно (30.6), вектор Z, очевидно, удовлетворяет уравнению

△Z = —4пМ,(30.7)

'83

с учетом которого магнитная индукция может быть представлена в виде

В = rot A — rot rot Z = V div Z — AZ = V div Z +4nM. (30.8)

Отсюда следует, что напряженность магнитного поля равна

Н = В — 4лМ = V div Z.(30.9)

С другой стороны, для того чтобы удовлетворить уравнению rot Н —0, справедливому при отсутствии токов проводимости, можно ввести скалярный магнитный потенциал 屮，положив

н = —V 屮.(30.10)

Сравнение с (30.9) показывает, что

' 屮=—div Z,(30.11)

т. e. знание магнитного вектора Герца Z позволяет вычислить как векторный, так и скалярный потенциалы магнитного поля.

В качестве иллюстрации отмеченных выше особенностей поля постоянных магнитов рассмотрим конкретный случай цилиндрического магнита, однородно намагниченного вдоль оси. Поскольку намагниченность М внутри магнита постоянна, а вне его исчезает, то ток намагничения с плотностью j^ = с rot М течет только по поверхности. Поверхностную плотность тока намагничения находим так же, как в задаче 21.2, используя уравнение jM = crotM:

，= с[ММ"(30.12)

Таким образом, цилиндрический магнит эквивалентен соленоиду с током силой iM = cM на 1 см (рис. 30.1).

В то же время (см. § 29) поле линейных токов соленоида совпадает с потенциальным полем магнитных листков, если точка наблюдения не попадает на их поверхность. Следовательно, для расчета индукции В вне магнита можно заменить его стопкой магнитных листков. Вследствие постоянства М внутренние магнитные заряды компенсируют друг друга и вся стопка оказывается эквивалентной поверхностным магнитным зарядам, расположенным на торцах ци-

ли едра (рис. 30.2). При этом плотность связанных магнитных зарядов может быть введена по аналогии с (7.1) и (21.14):

Рмн —divM = ^ div Н, Нм = —(п[М]),(30.13)

свободных же магнитных зарядов не существует, так как divB = 0・ На практике расчет поля постоянных магнитов представляет значительные трудности, поскольку зависимость М (Н) зачастую описывается сложной нелинейной функцией, значения которой к тому же определяются способом достижения заданного поля Н (гистерезис). Вот почему иногда бывает полезным идеализированное приближение, когда полагают

В-цН + 4лМ0,(30.14)

где Мо (г) —известная функция, задающая постоянное (остаточное) намагничение образца. Очевидно, что вектор (ц ——1) Н/(4л) представляет собой индуцированное намагничение. Если воспользоваться методом скалярного магнитного потенциала, положив Н 工—V”, то уравнение divB = 0 дает

div (卩？ф) = 4冗 div Мо.(30.15)

Таким образом, задача оказывается аналогичной соответствующей задаче электростатики. При этом граничные условия на поверхности раздела двух магнетиков имеют такой вид:

[叫=о, (n [HVn，]) = 4ji(n [Мо]).(30.16)

Задача 30.1. Магнит представляет собой шар радиуса а с поста- янной намагниченностью Мо и проницаемостью 卩，Найти индукцию магнитного поля вне и внутри магнита.

Задача 30.2. Маленький магнитик с моментом m находится на расстоянии а от. стенки из мягкого железа (卩» 1). Найти индукцию магнитного поля.

Нетрудно видеть, что задачи на определение индукции магнитного поля в магнетиках при наличии однородного внешнего поля Нв аналогичны соответствующим задачам электростатики и их решение поэтому достигается заменой &一卩，Е —Н, D —> В в известных решениях электростатических задач.

МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДНИКОВ

Рис. 31.1Рис. 31.1Поведение сверхпроводников в магнитном поле обладает некоторыми особенностями, изучению которых мы и поев："

Рис. 31.1

Рис. 31.1

Как известно, впервые сверхпроводимость была обнаружена Г. Камерлинг-Оннесом в 1911 г. при исследовании электрических свойств ртути в области низких температур.

Оказалось, что при температуре Ткр = 4,19 К сопротивление ртути становится неощутимо малым, причем спад сопротивления очень резок (рис. 31.1). Впоследствии сверхпроводимость была обнаружена у многие металлов и сплавов (белоеолово, цинк, алюминий, ...— всего более 300).

Для того чтобы проверить, действительно ли сопротивление сверхпроводников строго обращается в нуль при Т < Ткр, английский физик Коллинз провел следующий опыт. При температуре, превышающей критическую (7\〉Ткр), он помещал оловянное кольцо в магнитное поле и охлаждал его до некоторой температуры Т2 < < 7\р， при которой олово становилось сверхпроводником. После этого магнитное поле выключалось и время ст времени проводилось измерение наведенного в кольце тока. Это измерение осуществлялось косвенно: к кольцу подносилась небольшая обмотка, и по силе тока, наведенного в ней, можно было судить о силе тока в самом кольце. Никаких изменений силы тока в кольце не было обнаружено в течение 2,5 лет. Поэтому для оценки сопротивления кольца Коллинз взял за основу предел точности измерительной аппаратуры и нашел, что удельная проводимость сверхпроводящего кольца не меньше о л; 3・ 1022 Ом-1-см-1 ^ 3・ 10й с「(31.1)

т. е. примерно в 101е раз выше, чем у меди. Таким образом, можно с большой уверенностью сказать, что сопротивление сверхпроводников действительно обращается в нуль при температуре, меньшей критической.

Вскоре выяснилось, что на критическую температуру Ткр， которая обычно меньше 20 К, сильно влияет внешнее магнитное поле. Если для определенности брать образцы цилиндрической формы и помещать их в магнитное поле, параллельное оси, то при заданной температуре Т < Ткр найдется такое поле Якр (Г), при котором сверхпроводимость пропадает. Для большинства сверхпроводников зависимость //кр(Т) неплохо аппроксимируется параболой (рис. 31,2):

乩 р(Т) =乩 р(0)(1—Т2/%)・(31.2)

Таким образом, сверхпроводимость наблюдается только при температуре и напряженности внешнего магнитного поля, не превышающих некоторых критических значений. Обычно напряженность критического поля невелика и составляет "八 加例сотни эрстед (за исключением некоторых

, /сплавов — сверхпроводников второго рода,

НормальныйЧ' примером которых может служить сплав прододник ниобия с оловом Nb3Sn, имеюш,ий Нк^ = \=2・ 0 3К).

проводник \В первые годы изучения сверхпроводи-

\мости многие исследователи склонны были

^>- рассматривать сверхпроводники как иде- 、°т альные проводники, т. е. проводники с

Рни 3L2бесконечной проводимостью (а = оо).Одна

ко в 1933 г. немецкие физики В. Мейсснер и Р. Оксенфельд открыли явление, которое опровергало эту гипотезу: ими было доказано, что сверхпроводники являются идеальными диамагнетиками. Это означает, что сверхпроводники полностью выталкивают из себя магнитное поле, т. е. внутри них всегда В = 0 (или формально 卩=0). 66

a)a)Рис. 31.3Рис. 31.35)5)/5/5— J 體=,(Edl) = O.С— J 體=,(Edl) = O.С(31.3)(31.3)

a)

a)

Рис. 31.3

Рис. 31.3

5)

5)

/5

/5

— J 體=,(Edl) = O.

С

— J 體=,(Edl) = O.

С

(31.3)

(31.3)

В идеальный же проводник (о — оо) магнитное поле проникать может. Чтобы понять, в чем здесь дело, рассмотрим подробнее опыт Мейсснера—Оксенфельда. Они выбрали сферический образец из сверхпроводника и при Т > Гкр по-

местили его в магнитное поле. При этом поле полностью проникало в образец, поскольку он находился в нормальном (несверхпроводящем) состоянии и имел |Л ^ 1. Затем температура была понижена до критической, так что образец стал сверхпроводящим. Если бы это был идеаль-

ный проводник, то он сохранил

бы захваченный магнитный по

ток, поскольку при о = оо н конечной плотности тока j было бы E = j/o = On, по закону электромагнитной индукции Фарадея,

Поэтому при выключении внешнего магнитного поля наведенные в образце токи создали бы в точности такой же магнитный поток, как прежний (рис. 31.3, а). Однако измерения конфигурации линий индукции вблизи образца при включенном внешнем поле Hq показали (рис. 31.3,6), что поле в образец не проникает. В то же время при выключенном внешнем поле никакого собственного магнитного поля у образца не оказалось.

Задача 31.1. Убедиться, что отсутствие сопротивления у сверхпроводников является следствием эффекта Мейсснера.

Более детальные исследования показали, что магнитное поле В все же проникает в сверхпроводник на небольшую глубину 九；^10~2см, затухая в нем по закону ехр (——x/入). Однако если ограничиться макроскопическим описанием массивных образцов, размеры которых значительно превышают глубину проникновения магнитного поля в образец, то можно считать, что внутри сверхпроводников В = 0 (и точно так же Н = М = 0). Поэтому из основных уравнений магнитостатики

div В = 0, rot Н = 4яj/c (31.4) следует, что сверхпроводящие токи текут лишь в тонком поверхностном слое образца. При этом поверхностная плотность тока может быть найдена из граничных условий (12.3) и (12.6), согласно которым

(nB) = O, i=^[nH]. (31.5)

Это означает, что вблизи сверхпроводника вектор индукции В направлен касательно к его поверхности, а касательная составляющая Н определяет силу и направление поверхностного тока.

Поскольку в сверхпроводниках rot Н ^=0, то удобно воспользоваться методом векторного потенциала, а не скалярного. Полагая В — rot А, находим, что внутри сверхпроводников rot А = 0, т. е.

А = V%. (31.6)

Если сверхпроводящая область V односвязна, то скалярная функция % однозначна. Это видно из того, что в этом случае на любой замкнутый контур С, проведенный в V, всегда можно натянуть поверхность S, целиком лежащую в V. Но тогда на S будет rot А = 0 и приращение / при обходе контура С, согласно теореме Стокса, оказывается равным

[%]=步(Adi) = \ (n rot A) dS 二 0. (31.7) c s

Учитывая однозначность % и то, что вектор-потенциал А задан с точностью до градиента, можно считать, что внутри односвязного сверхпроводника •

А = const. (31.8)

Если же область V многосвязна (например, кольцо), то не на всякий контур С можно натянуть поверхность, целиком лежащую в V. Поэтому, используя (31.7), убеждаемся, что функция / оказывается неоднозначной. В этом случае необходимо пользоваться представлением (31.6), а не (31.8), т. е. избавиться от V% с помощью калибровочного преобразования (28.6) невозможно.

Уравнение (31.8) наводит на мысль, что роль сверхпроводников

в магнитостатике аналогична роли проводников в электростатике. Однако тот факт, что в магнитостатике сверхпроводников приходится пользоваться векторным, а не скалярным потенциалом, приводит к некоторым существенным отличиям. Особенно наглядно это проявляется в задачах с плоской сверхпроводящей границей, в которых работает метод отражений. В качестве примера рассмотрим классический опыт В. К. Аркадьева с «парящим» магнитом.

Если небольшой магнитик уронить на поверхность сверхпроводника, то он не долетит до нее, оттолкнется вверх и, немного пока

чавшись, застынет на некотором расстоянии от поверхности. Причина такого поведения магнитика очень проста: при падении магнита его поле наводит в сверхпроводнике вихревые токи, а магнитное поле этих токов препятствует, по закону Ленца, проникновению внешнего магнитного поля в сверхпроводник. Поле этих токов и выталкивает

магнит наверх.

То же самое получается и при использовании метода отражений. Чтобы выполнить граничное условие (пВ) = 0 или (31.8), необходимо, чтобы отраженные магнитные заряды (рис. 31.4) имели те же знаки, 88

что и отражаемые (заметьте, что в методе скалярного потенциале заряды отражаются в свои антиподы). Нетрудно видеть, что при соответствующем отражении токов знак их изменяется: j—> ——j.

Задача 31.2. Найти вектор-потенциал магнитного поля небольшого магнита с моментом т, расположенного на расстоянии а от сверхпроводящей стенки. Сравнить с результатом задачи 30.2.

Задача 31.3. Два сверхпроводящих провода радиуса а расположены на расстоянии 2/ друг от друга в среде с проницаемостью 卩.По прободам текут равные 〃 противоположно напрабленнь/е токи силой /. Найти вектор-потенциал s окружающем пространстве,

Задача 31.4. Сверхпроводящий шар радиуса а помещен s однородное внешнее поле Но. Найти индукцию магнитного поля вне шара и плотность поверхностных токов на нем. Г о же、е случае цилиндра 8 поперечном поле Но.

Задача 31.5. Показать, что в односвязном сверхпроводнике при отсутствии внешних магнитных полей не могут протекать стационарные поверхностные токи.

Рассмотрим влияние формы сверхпроводящего образца на его поведение во внешнем магнитном поле. Если, скажем, взять сферический образец, то из результатов задачи 31.4 следует, что но внешнем поле Но, удовлетворяющем условию

2/з 耳 к算 V Н @ V "кр， (31.9)

поле на экваторе будет превышать критическое //кр. Но тогда в экваториальной области сверхпроводник должен перейти в нормальное состояние (рис. 31.5,

Рис. 31.5Рис. 31.5заштрихованная область), причем на границе нормальной и сверхпрОЕюдлщей областей внутри шара поле Н, очевидно, равно //кр. Но это обстоятельство тотчас же приводит к противоречию. Действительно, в области Ь, включающей в себя все пространство вне шара и нормальную зону образца, очевидно, rot В = 0. Поэтому с учетом уравнения div В = 0 имеем

Рис. 31.5

Рис. 31.5

(3L10)(3L10)АВ = V div В — rot rot В =0,

(3L10)

(3L10)

т. е. В является векторной гармонической функцией. В таком случае, согласно принципу максимума *, она должна принимать свои экстремальные значения на границах области V. В соответствии с результатами задачи 31.4 на границах V имеем:

max В — Нс, min 6 = 0.max В — Нс, min 6 = 0.(31.11)(31.11)

max В — Нс, min 6 = 0.

max В — Нс, min 6 = 0.

(31.11)

(31.11)

Но тогда всюду в области У спраредливо неравенств。0 V 8 в 厶卩，из которого следует, что заштрихованная область должна быть не нормальной, а сверхпроводящей

Чтобы разрешить указанное противоречие, Р. Пайерлс и Ф. Лондон в 1936 г. высказали гипотезу, согласно которой 戸 интервале (31.9) образен переходит в особое состояние, названное ими промежуточным. В этом состоянии весь образец распадается на очень мелкие чередующиеся нормальные н сверхпроводящие области, причем в нормальных областях 8 = "кр, а в сверхпроводящих 8 = 0. В 1937 г. Л. Д. Ландау сделал дальнейшее предположение о ламинарной структуре промежуточного состояния. Со гласно Ландау, должны существовать отдельные нити в нормальном состоянии, пронизывающие толщу ссрхпроход- ника параллельно друг другу и выходящие на поверхность обра^иа. Вскоре такая структура действительно была обнаружена на опыге.

См. приложение.

ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ постоянных токов

Рассмотрим ограниченную систему токов, погруженную в магнетик с проницаемостью 卩(f). Выделим некоторую область Уо с границей S, включающую нашу систему токов. Тогда [см. (14.7)] энергия магнитного поля, содержащаяся в Уо, равна

叭=急 J(BH)dK(32.1)

Полагая В = rot А и применяя теорему Гаусса— Остроградского, с учетом тождества div [НА] —(A rot Н) —(Н rot А) находим

，卜m=* §(ArotH)dU —急夕(n[HA])dS. (32.2)

"s

Для ограниченной системы токов, согласно (29.9), асимптотическое поведение вектор-потенциала А при г оо имеет вид

А = [п1г]/г3,

где m — полный магнитный момент системы. Отсюда нетрудно получить следующую оценку для поверхностного интеграла в (32.2), приняв, что поверхность S представляет собой сферу как угодно большого радиуса R:

8л g(n[HA])dS =3卩集)戸 +。(点)(32.3)

Таким образом, при R т g поверхностный интеграл в (32.2) исчезает и выражение для энергии магнитного поля с учетом уравнения rotH = 4nj/c принимает вид

% = + “jA)d 匕(32.4)

где V ——область, занятая токами проводимости.

Замечая, что поле В создается как токами проводимости, так и токами намагничения, можно записать следующее уравнение для векторного потенциала А:

AA = -^(j+U

Решение его [см. (28.8)] имеет вид

A(r) = 4j77=F|dV，-'(32.5)

где V’ ——область, занятая90Jj j£?dUd『,(32.6)токами проводимости и намагничения.где V’ ——область, занятая90Jj j£?dUd『,(32.6)токами проводимости и намагничения.Подставляя (32.5) в (32.4), получаем следующее выражение для энергии магнитного поля постоянных токов:Подставляя (32.5) в (32.4), получаем следующее выражение для энергии магнитного поля постоянных токов:

где V’ ——область, занятая

90

Jj j£?dUd『,(32.6)

токами проводимости и намагничения.

где V’ ——область, занятая

90

Jj j£?dUd『,(32.6)

токами проводимости и намагничения.

Подставляя (32.5) в (32.4), получаем следующее выражение для энергии магнитного поля постоянных токов:

Подставляя (32.5) в (32.4), получаем следующее выражение для энергии магнитного поля постоянных токов:

Для однородного магнетика с постоянной проницаемостью 卩 вместо (32.5), очевидно, имеем

и поэтому (32.6) упрощается:

% =步仃毋TdUd"(32.8)

Интересно отметить далеко идущую аналогию между магнито- и электростатикой, которая, в частности, проявляется в сходстве формул (32.6) и (23.5), а также (32.8) и (23.6). В обоих случаях энергия взаимодействия элементарных токов или зарядов изменяется с расстоянием по закону 1/R..

Обычно токи текут по проводникам, занимающим некоторые области Уп У2, ... В то же время из условия стационарности токов divj = O вытекает, что линии тока являются замкнутыми. Выделяя области и『，отвечающие полным токам силой 厶,очевидно, можно положить j - = /zf. (г) и переписать (32.8) в виде

%=表£厶」(，(32.9)

где введены коэффициенты

J J 黑；咚？(32.10)

называемые взаимной индуктивностью при i*力口 индуктивностью при 力=目 Для квазилинейных проводников подстановкой j；dV= = /『dl каждый объемный интеграл в (32.10) сводится к линейному: 厶产卩步夕晋端・◎"")

cick

Однако такое упрощение допустимо только при вычислении взаимной индуктивности Lik непересекающихся квазилинейных проводников, когда F/方『&. В противном случае необходимо пользоваться общим выражением (32.10).

Задача 32.1. Полагая в (32,10) t = rotgf, где div g/=0, показать, что для Lg справедливо представление

L從=4ЛН， (g/g& d匕(32.12)

Для квазилинейных проводников смысл коэффициентов Lik становится особенно понятным. В самом деле, в этом случае, вводя магнитный поток ①；через контур С£ i-го проводника, находим

叭=击"jA) d展击 £ « /, (Adi)』击 £ /,Фр (32.13)

Сравнение с формулой (32.9) показывает, что

? М；e丄/4= £①® (32.14) 在 k

где ①i% = L[kI〃c — магнитный поток, создаваемый током силой /k и пронизывающий контур 。厂 Таким образом, для квазилинейных проводников коэффициенты 厶汴 можно определять либо из энергии [см. (32.9)]. либо из магнитного потока [см. (32.14)].

Задача 32.2. Рассчитать индуктивности 厶 тороидальной катушки, имеющей ^ витков. Максимальный и минимальный радиусы тороида равны соответственно b 〃 а.

Посмотрим теперь, как изменится выражение для энергии магнитного поля в присутствии сверхпроводников. Если сверхпроводящая область V односвязна, то внутри нее [см. (31,8)] А = const и поэтому ее вклад в энергию равен

%=*“jA)dk = *Ajjdk = O

на основании (29.6). Это означает, что односвязный сверхпроводник не может быть самостоятельным источником магнитного поля в полном соответствии с задачей 31.5.

Допустим теперь, что сверхпроводящая область V многосвязна. Ясно, что, проведя достаточное число разрезов S“ область V всегда можно сделать односвязной. В этом случае, полагая [см. (31.6)] А = V%, имеем

% = ^ j (j W) d昨 £ 击,(nj) М,- dS = £ 击 /, [%],, (32.15)

где [%L ——скачок % на разрезе S『,/工——сила тока через разрез S『. Сравнение (32.15) с (32.13) показывает, что в квазилинейном случае скачок 仅卜 соответствует магнитному потоку ①广

Задача 32.3. Вычислить индуктивность L тонкого сверхпроводящего кольца радиуса а. Радиус сечения провода 厂° «а.

Задача 32.4. Гонкое сверхпроводящее кольцо находится в магнитном поле Но, перпендикулярном его плоскости. Найти зависимость силы тока / 6 кольце от напряженности HQ, меняющейся。加 нуля 3。критического значения //кр 〃 затем вновь спадающей до ку儿兄.

Найдем еще выражение для энергии магнитного поля в присутствии постоянных магнитов. В этом случае уже нельзя полагать 侬m = (ВН)/(8п), поскольку В*|лН. Рассматривая идеализированное приближение (30.14), для изменения плотности энергии магнитного поля, согласно (14.5), получим

6%=4(НЗВ)=*(НЗН) = 3(卷环).

Таким образом, можно считать, что в случае идеализированных постоянных магнитов

%=卷印=R(BH)_^(M°H) (32.16)

и полная энергия магнитного поля равна

呼m =急 £ (ВН)報_； «М°Н) W.呼m =急 £ (ВН)報_； «М°Н) W.(32.17)(32.17)

呼m =急 £ (ВН)報_； «М°Н) W.

呼m =急 £ (ВН)報_； «М°Н) W.

(32.17)

(32.17)

Первый интеграл в (32.17), как и (32.1), сводится к (32.4) и исчезает, если j=0, т. е. если поле создается лишь самим магнитом. Таким образом, полная энергия магнитного поля постоянных магнитов равна^m = -4J'(M0H)dK (32.18)Первый интеграл в (32.17), как и (32.1), сводится к (32.4) и исчезает, если j=0, т. е. если поле создается лишь самим магнитом. Таким образом, полная энергия магнитного поля постоянных магнитов равна^m = -4J'(M0H)dK (32.18)Нетрудно видеть, что Wm > 0, так как Мо и Н анти параллельны.Нетрудно видеть, что Wm > 0, так как Мо и Н анти параллельны.Наконец, для ферромагнетиков, когда гистерезисные явления не позволяют ввести однозначную функцию В(Н), нельзя определить энергию магнитного поля. В этом случае можно лишь вычислять ее изменения. Замечая, что4п8% = (Н8В) = 8 (НВ)-(В6Н), при изменении напряженности поля ст % до Н2 получим^ следующее изменеНаконец, для ферромагнетиков, когда гистерезисные явления не позволяют ввести однозначную функцию В(Н), нельзя определить энергию магнитного поля. В этом случае можно лишь вычислять ее изменения. Замечая, что4п8% = (Н8В) = 8 (НВ)-(В6Н), при изменении напряженности поля ст % до Н2 получим^ следующее изменение энергии:ние энергии:Рис. 32.1Рис. 32.1唳一叫I = М J [(ВМ) — (В|НJ_ j (ВЗН)卜匕(32.19)唳一叫I = М J [(ВМ) — (В|НJ_ j (ВЗН)卜匕(32.19)При возвращении в ту же точку, т. е. при обходе гистерезисной петли (рис. 32.1), в 1 см3 ферромагнетика, согласно второму началу термодинамики, должно выделяться количество теплотыПри возвращении в ту же точку, т. е. при обходе гистерезисной петли (рис. 32.1), в 1 см3 ферромагнетика, согласно второму началу термодинамики, должно выделяться количество теплоты

Первый интеграл в (32.17), как и (32.1), сводится к (32.4) и исчезает, если j=0, т. е. если поле создается лишь самим магнитом. Таким образом, полная энергия магнитного поля постоянных магнитов равна

^m = -4J'(M0H)dK (32.18)

Первый интеграл в (32.17), как и (32.1), сводится к (32.4) и исчезает, если j=0, т. е. если поле создается лишь самим магнитом. Таким образом, полная энергия магнитного поля постоянных магнитов равна

^m = -4J'(M0H)dK (32.18)

Нетрудно видеть, что Wm > 0, так как Мо и Н анти параллельны.

Нетрудно видеть, что Wm > 0, так как Мо и Н анти параллельны.

Наконец, для ферромагнетиков, когда гистерезисные явления не позволяют ввести однозначную функцию В(Н), нельзя определить энергию магнитного поля. В этом случае можно лишь вычислять ее изменения. Замечая, что

4п8% = (Н8В) = 8 (НВ)-(В6Н), при изменении напряженности поля ст % до Н2 получим^ следующее измене

Наконец, для ферромагнетиков, когда гистерезисные явления не позволяют ввести однозначную функцию В(Н), нельзя определить энергию магнитного поля. В этом случае можно лишь вычислять ее изменения. Замечая, что

4п8% = (Н8В) = 8 (НВ)-(В6Н), при изменении напряженности поля ст % до Н2 получим^ следующее измене

ние энергии:

ние энергии:

Рис. 32.1

Рис. 32.1

唳一叫I = М J [(ВМ) — (В|НJ_ j (ВЗН)卜匕(32.19)

唳一叫I = М J [(ВМ) — (В|НJ_ j (ВЗН)卜匕(32.19)

При возвращении в ту же точку, т. е. при обходе гистерезисной петли (рис. 32.1), в 1 см3 ферромагнетика, согласно второму началу термодинамики, должно выделяться количество теплоты

При возвращении в ту же точку, т. е. при обходе гистерезисной петли (рис. 32.1), в 1 см3 ферромагнетика, согласно второму началу термодинамики, должно выделяться количество теплоты

,8侬由=—亲步В8Н）〉0.,8侬由=—亲步В8Н）〉0.(32.20)(32.20)

,8侬由=—亲步В8Н）〉0.

,8侬由=—亲步В8Н）〉0.

(32.20)

(32.20)

Это происходит потому, что при перемагничивании домены поворачиваются, что сопровождается разрывом сцепления между ними, т, е. работой против сил «трения».

Задача 32.5. Показать, что если 6 магнитное поле, созданное задам ными постоянными токами, внести магнетик с проницаемостью^ отли* чающейся &а бц от проницаемости окружающей средыt то изменение энергии поля равно

61rm =急§耳26ndz(32.21)

Показать также, что при внесении сверхпроводника энергия поля уменьшается.

§ 33・ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА СВЕРХПРОВОДНИКИ И МАГНЕТИКИ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Начнем с вычисления силы, действующей па сверхпроводник. Так как в объеме сверхпроводника j=6, то исчезает и объемная плотность силы Лоренца fm = [jB]/c = 0, тем более что внутри сверхпроводника В=0. Поэтому ясно, что на сверхпроводник могут действовать лишь поверхностные силы. Очевидно, что поверхностная плотность силы Лоренца равна

t = [iBq&(33.1)

где i = с [пН]/(4я)——поверхностная плотность тока, В'——индукция действующего магнитного поля. Поскольку внутри сверхпроводника В = 0, то, повторяя рассуждения задачи 3.4, нетрудно убедиться, что В' = В/2, где В —индукция магнитно! о поля у поверхности сверхпроводника, удовлетворяющая граничному условию (пВ) — 0. Таким образом,

t = [iB]/(2c)- —n (BH)/(8n) m — n^m,(33.2)

откуда видно, что сверхпроводн^ в магнитном поле испытывает поверхностное давление, численС равное плотности энергии магнитного поля (магнитное давление). Причину этого давления, очевидно, следует искать во взаимодействии поверхностных токов.

Для того чтобы найти силы, действующие в магнитном поле на магнетик, характеризующийся проницаемостью "(f), воспользуемся соотношением (32.21). Как и в § 27, рассмотрим бесконечно малое смещение магнетика на вектор 6а (г) в некоторой малой обласги У. Тогда из (32.21) по аналогии с (27.11) получим

бГт = -^-р2 [传а?м) + т樂 div3a]diz.(33.3)

Однако, как было выяснено в задаче 14.1, энергия системы зарядов может измениться лишь за счет работы 6Ле вихревого электрического поля, возникающего при смещении магнетика. Эта работа равна и противоположна по знаку работе 6Лт магнитного поля над молекулярными токами. В итоге, приравнивая убыль энергии магнишого поля работе вихревого электрического поля, имеем

8 呼щ = — 6Ле = 8Лт.(33.4)

Вводя плотность сил fma3> действующих на магнетик в магнитном поле, можно записать

6Лт = $(^яз6а) dK(33.5)

V

Подставляя выражения (33.3) и (33.5) в (33.4), имеем

瞰=一黑 w+±v(嚼屮)(33.6)

в полной аналогии с (27,14).

64

Для разреженных магнетиков, когда 卜iq 1+стк 1, формула (33.6) упрощается и принимает вид

fSa3^(H-l)V№/(8n).(33.7)

К этому выражению можно прийти и в микроскопической теории. В самом деле, из соотношения (33.4) следует, что если известно выражение для энергии Wm магнитного поля как функции некоторых обобщенных координат 分，％, то обобщенные силы 尸I могут бьп ь найдены по формуле

巳—dWm/dqr(33.8)

Задача 33.1. Найта силу и момент сил, действующие на точечный магнитный момент m в магнитном поле Во*

Представим теперь магнетик как совокупность молекул, обладающих магнитными моментами шг Тогда плотность силы, действующей на магнетик в магнитном поле В, согласно результату задачи 33.1 равна

£(m，V)B,・・(33.9)

I е AV

Заменяя индукцию В( действующего поля на среднюю индукцию В, чго допустимо для разреженных сред, и вводя намагниченность

м=+ х т<=тн>

из (33.9) с учетом тождества (HV) Н = V//2/2, справедливого при rot Н =0, находим

f宵3 = (MV) В卩(卩一1) ?//2/(8я),

что согласуется с (33.7) для(i 1.

Нетрудно видеть, что согласно (33.7) парамагнетики (卩〉1) должны втягиваться в область сильнейшего магнитного поля, а диамагнетики (卩 <；1) — выталкиваться из этой области.

Наконец, в том случае, когда в магнетике текут токи проводимости, плотность сил, действующих на магнетик в магнитостатическом поле, очевидно, равна

fm = “B]-亲急V 卜零环).(33.10)

Поступая так же, как при решении задачи 13.1, иногда бывает удобно представить (33.10) в виде

口 =由f)，(33.П)

где f(m) —тензор магнитных натяжений, имеющий компоненты

Т^ = ^Н^Н^^-^)(33.12)

С помощью формулы (33.11) полную силу, действующую на магнетик, занимающий некоторую область V, можно свести к поверхностному интегралу по границе области S:

% =，居(ПН) н — * (м 一標)n] dS. (33.13)

СТАЦИОНАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

До сих пор мы считали токи проводимости заданными, не останавливаясь на причинах того, как практически можно поддерживать их неизменными во времени. Однако ясно, что в проводящей среде, в которой согласно закону Джоуля — Ленца (14.3) происходит постоянное выделение теплоты, стационарный ток может поддерживаться лишь сторонними электродвижущими силами. Вводя напряженность Е°【°р поля этих сторонних сил, запишем основные уравнения, определяющие плотность тока j и напряженность Е электрического поля в среде, характеризуемой электропроводностью О (Г) и диэлектрической проницаемостью в (г):

divj = O, j =о-(Е + Ест°р),

diy(&E) = 4np, rot Е = 0.I • J

Как и в электростатике, решение уравнений (34.1) сводится к отысканию потенциала ср, поскольку уравнение rot Е = 0 удовлетворяется подстановкой Е =——V(p. В итоге система (34.1) сводится к одному уравнению

div [<т (— V(p + Есгор)]工 0,(34.2)

тогда как уравнение div(eE) = 4「p используется для определения плотности свободного заряда р уже после того, как найдено электрическое поле Е. Ясно, что любая задача магнитостатики, сводящаяся к решению уравнения (34.2), аналогична соответствующей электростатической задаче, ибо получается из последней заменами：

е —a, D —— oVcp. 4лр — div (оЕстор). (34.3)

Как уже отмечалось, для обычных проводников при не очень сильных полях Е электропроводность а можно считать не зависящей от Е. В простейшем частном случае однородных проводников о является постоянной в каждой точке заданного проводника, и тогда уравнение (34.2) сводится к следующему:

Лер = div Есто₽,(34.4)

т. е. к уравнению Пуассона с плотностью «сторонних» зарядов

рстор = — div Естор/(4п).(34.5)

Весьма распространен класс сторонних сил, для которых в отдельных областях можно ввести сторонний потенциал, т. е. положить

Естор = _ уфсгор#(34.6)

Примером таких сил могут служить диффузионные силы Ест°р= = aVq термоэлектрические силы Естор = |3Vr и др. Используя (34.6), вместо (34.4) в соответствующих областях найдем

А(ф + фстор)= 0. (34.7)

Очевидно, что во всем пространстве соотношение (34.6) не может выполняться, ибо тогда циркуляция Есгор по любому замкнутому контуру, т. е. сторонняя э.д.с., оказалась бы равной нулю. В качестве примера возьмем термоэлектрические силы E^^^PVT1. Пусть замкнутая цепь С образована двумя кусками разных металлов / и 2, спаи которых А и В нагреты до температур Тл и Тв соответственно (рис. 34.1). Характеризуя каждый металл своей постоянной 卩，для сторонней э.д.с. находим выражение

S = f^T = iTB 一 二)(自一随长 0.

с

В большинстве практических задач приходится определять потенциал ① и плотность тока j в системе однородных проводников

с электропроводностями о『,соприкасающихся по некоторым границам раздела (рис. 34.2). При этом сторонние э.д.с. появляются лишь

на границах раздела, исчезая в толще проводников. Поэтому внутри проводников и граничащих с ними однородных диэлектриков выполняется уравнение Лапласа Дф = 0. При сшивании решений в разных областях необходимо использовать граничные условия, вытекающие из (34.1). Так, уравнение rot Е = 0 приводит к граничному условию

[nE2] = [nEt],(34.8)

которое (см. § 22) эквивалентно условию непрерывности потенциала ср или условию q)i—-(р2 ^ const. Уравнение divj=O приводит к граничному условию

(川 2)= (nh),(34.9)

т. е. к непрерывности нормальной составляющей тока.

Задача 34.1. Найти поверхностную плотность свободного заряда и закон преломления линий тока на границе двух сред с удельными проводимостями。工,о2 и диэлектрическими проницаемостями £厶 е2.

4 N 222297

Наконец, третье условие получается из уравнения

(34.10)(34.10)j =o(ECT°P — V(p)

(34.10)

(34.10)

интегрированием вдоль линии, перпендикулярной поверхности раздела S (рис. 34.3). С учетом (34.9) находим

222

ф<_ Ф2 + £ (Е-ор dl)= “nj)号=(nj) j ^ .(34.11)

ill

Устремляя точки / и 2 друг к другу и вводя сопротивление

R12三R12三(34.12)(34.12)

R12三

R12三

(34.12)

(34.12)

поверхности раздела по отношению к протекающему нормально ей зоку /, перепишем (34.11) в виде

1 R*2 ~ Ф1 —屮2 + 612,1 R*2 ~ Ф1 —屮2 + 612,(34.13)(34.13)

1 R*2 ~ Ф1 —屮2 + 612,

1 R*2 ~ Ф1 —屮2 + 612,

(34.13)

(34.13)

где введена сторонняя э.д.с.

(34.14)(34.14)2^12=$(E^dl).

(34.14)

(34.14)

При этом предполагается, чго ^12 постоянна на поверхности S. Обычно это условие хорошо выполняется для квазилинейных проводников, в сечении которых ^13 меняется весьма незначительно.

Суммируя соотношение (34.13) участков некоторой квазилинейной Кирхгофа для участка цепи:Суммируя соотношение (34.13) участков некоторой квазилинейной Кирхгофа для участка цепи:для ряда последовательных цепи, получаем второй закондля ряда последовательных цепи, получаем второй закон

Суммируя соотношение (34.13) участков некоторой квазилинейной Кирхгофа для участка цепи:

Суммируя соотношение (34.13) участков некоторой квазилинейной Кирхгофа для участка цепи:

для ряда последовательных цепи, получаем второй закон

для ряда последовательных цепи, получаем второй закон

£-中2 + £6月./гk£-中2 + £6月./гk(34.15)(34.15)

£-中2 + £6月.

/гk

£-中2 + £6月.

/гk

(34.15)

(34.15)

В частном случае замкнутой цепи, полагая 屮1 =屮2，находим

J/к二力 6产 S(34.16)

Если цепь изолирована и имеет полное сопротивление R, то получаем обычный закон Ома 6 =/R.

98

Наконец, если проинтегрировать уравнение divj=O по некоторой малой области V, в которой сходятся несколько квазилинейных проводников (рис. 34.4), то с помощью теоремы Гаусса — Остроградского найдем

f (nj)dS = £ 厶=0,(34.17)

где S —граница области V. Полученное соотношение называется первым законом Кирхгофа и, очевидно, выражает закон сохранения электрического заряда.

Полученные выше граничные условия имеют разный вид на поверхностях раздела проводник — проводник и проводник ■— диэлектрик. В первом случае уравнения (34.8) и (34.10) при дополнительном предположении

Е；*р = 0,(34.18)

означающем, что сторонние силы действуют только на границе, приводят к скачку касательной составляющей плотности тока на границе:

[nji]M1 = [nj2]/cr2.(34.19)

Далее, из условия (34.9) находим

(nj) = О](呜)=CF3 (пЕ2),(34.20)

что позволяет [см. (22,5)] выразить поверхностную плотность заряда на границе через нормальную плотность тока:

「含回(呜)7(呜)]=嚮後一含).(34.21)

В случае границы проводник — диэлектрик (nj) =0, откуда с учетом (22.6) находим:

(пЕпр°в) = 0, е(пЕДЙЭЛ)-=4яг1.(34.22)

В то же время из условия (34.8) следует, что

[пЕдиэл] = [пЕпров] = ^ [nj].(34.23)

СИСТЕМА ИДЕАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ В СРЕДЕ С МАЛОЙ ПРОВОДИМОСТЬЮ

Рассмотрим систему хороших проводников-электродов с удельной проводимостью о。一 8, погруженных в плохо проводящую среду с удельной проводимостью о«о()・ В этом случае определение потенциала ф в проводящей среде сводится к основной задаче электр)- статики. В самом деле, поверхностная плотность заряда на электродах [см. (34.21)] равна

(35.1)(35.1)4*4*=(可)/ s so \ ^e(nj)^ s(nE)4л \ о о。丿 ~ 4ла — 4л

(35.1)

(35.1)

4*

4*

99

как и в электростатике. Кроме того, токи /『,стекающие с электродов, обычно бывают известны, поэтому плотность тока j является ограниченной величиной, порядок которой определяется отношением j 〜/"Sj, где Sf —площади поверхностей электродов. Отсюда следует, что внутри электродов напряженность поля Е оказывается исчезающе малой:

Е 〜/f/(G£) ~。・

Поэтому потенциал 屮 внутри электродов можно считать постоянным:

ф = ф. = constz.(35.2)

При этом силы токов /广 стекающих с электродов, определяются напряженностью поля Е в окружающей среде:

厶=£ (nj) dS = £ о (nE) dS.(35.3)

Таким образом, задача определения потенциала ф в проводящей среде сводится к решению уравнения div(uV(p) = 0 с граничными условиями (35.1) —(35.3). Но в § 22 для этой задачи была доказана теорема единственности, по которой потенциал ср однозначно определяется либо заданием потенциалов электродов 屮订 либо заданием стекающих с них токов /*『.В связи с этим ясно, что между силами токов /『и потенциалами 屮月 должна существовать линейная связь, аналогичная связи зарядов Q^ и потенциалов 屮『в электростатике:

% = ¥&/•(35.4)

Коэффициенты Rik1 определяемые геометрией электродов и удельной проводимостью среды а (г), называются коэффициентами сопротие- ления.

Задача 35.1. Показать, что обратная матрица сопротивления Т?^1 для случая проводящей среды, характеризуемой тензором проводимости а (г), может быть представлена в виде

R优=勿0十 2九月，k层=-5次，»卢力， (35.5)

где

""=\ \ "Г)(号g7•力 d/ 7d&•,(35.6)

причем интегрирование осуш^стб儿足етс兄 母。всем линиям тока, соединяющим электроды номеров i и k. Обозначения те же, что 〃 в задаче 24.1.

Если среда однородна и изотропна, т. е. ее электропроводность о и диэлектрическая проницаемость е постоянны, то сила стекающего с электрода тока может быть выражена через заряд электрода:

У,- = а/ (nE)dS = I / (nD) dS =Q;,(35.7)

В последнем случае потенциал определяется с точностью до постоянной.

Подставляя (35.7) в (35.4), находим

(35.8)(35.8)『产&4

(35.8)

(35.8)

Сравнение (35.8) с (24.3) показывает, что коэффициенты сопротивления для однородной среды оказываются пропорциональными потенциальным коэффициентам 5沦：

弋左 н &S/论/(4 冗 о). (35.9)

Рассмотрим теперь важный случай двух проводников-электродов. Задавая силу токов 人 工一/2 — Л мы предполагаем, чю проводники имеют «стоки» (рис. 35.1). Используя соотношение (35.4), нетрудно найти, что в данном случае

叫一屮2 = / (R" -2R2 + 凡2)= /R, (35.10)

что по форме совпадает с законом Ома. Введенная здесь величина

R 三 Ri】一 2R2 + R22R 三 Ri】一 2R2 + R22(35.11)(35.11)

R 三 Ri】一 2R2 + R22

R 三 Ri】一 2R2 + R22

(35.11)

(35.11)

называется полным сопротивлением системы двух электродов. Нетрудно видеть, что в однородной среде сопротивление системы [см. (35.9)1 обратно пропорционально ее емкости:

R = е/(4лаС). (35.1 ?)

Если эчектроды 7 и 2 заземлены и поверхность земли являекя плоскостью симметрии системы (рис. 35.2), то вместо (35.12) имеем

(35. В)(35. В)R = Е/(2лаС).

(35. В)

(35. В)

В заключение этого параграфа подсчитаем тепловую мощность, выделяемую в проводящей среде при наличии системы идеальных

проводников-электродов, то выделяемая тепловаяпроводников-электродов, то выделяемая тепловаяЕсли проводящая среда занимает область I/, мощность (14.4) равнаЕсли проводящая среда занимает область I/, мощность (14.4) равна

проводников-электродов, то выделяемая тепловая

проводников-электродов, то выделяемая тепловая

Если проводящая среда занимает область I/, мощность (14.4) равна

Если проводящая среда занимает область I/, мощность (14.4) равна

P = §o£2dM=\(jE) dKP = §o£2dM=\(jE) dK(34.14)(34.14)

P = §o£2dM=\(jE) dK

P = §o£2dM=\(jE) dK

(34.14)

(34.14)

Делая подстановку E = —— Vkp и интегрируя по частям, получаем с учетом уравнения divj=O и граничного условия (35.2)

P = —§(jV(p) dV = 2^(nj)<pdS =

=£ 屮*(nj) dS = J］屮/ = W RiJ J&(35.15)

Полученная квадратичная форма должна быть положительна, откуда вытекают полезные ограничения на коэффициенты R"

R门〉0,弋尺就一依加2〉0,(35.16)

а также еще одно важное представление этих коэффициентов:

然(35.17)

Задача 35,2. Показать, что в проводящей среде распределение токов, опекающих с идеальных электродов, таково, что тепловыделение минимально.

ПОЛЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ПРОВОДНИКА С ТОКОМ

II ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Поставим задачу об определении поля бесконечного цилиндрического проводника с током. Ее можно рассматривать как идеализацию реальной задачи, в которой проводник с током является замкнутым н в некоторой его части включена сторонняя э.д.с. Пусть проводник находится в вакууме, имеет радиус а и постоянную электропроводность а. Выберем цилиндрические координаты, направив ось Z вдоль проводника. Тогда простейшим решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим условию Е「= 0 внутри проводника, является

ср (г < а) ф! = — £г, j = % = gE, Е = const, (36.1) т. е. напряженность поля Е и плотность тока j постоянны внутри проводника и направлены вдоль его осп.

Потенциал вне провода ср (г > й) ^(р2 также должен удовлетворять уравнению Лапласа

「第)十醤=°(36・2)

п граничному условию при г ~а

屮2 = % = — Ez，(36.3)

Из (36.3) выводим, что(р2 = — Ezf (г), где f (а) = 1. Поэтому из (36.2) следует, что f (г) удовлетворяет уравнению

(〃')'=О с очевидным решением

f(r) = (ln+)/(lnq + C),

где С —произвольная постоянная. Полагая С = — In rQt получаем 102

окончательное выражение для потенциала вне провода:

屮 2 = — Е?屮 2 = — Е?In ("人)In ("人)ln(a/r0) *ln(a/r0) *(36.4)(36.4)

屮 2 = — Е?

屮 2 = — Е?

In ("人)

In ("人)

ln(a/r0) *

ln(a/r0) *

(36.4)

(36.4)

Ег4ла 1п (а"о)Ег4ла 1п (а"о)(36.5)(36.5)

Ег4ла 1п (а"о)

Ег4ла 1п (а"о)

(36.5)

(36.5)

Таким образом, появляется некоторая поверхность г = г0, на которой ср = 0. Физически она соответствует поверхности проводника,

по которому течет обратный ток. Появление этой поверхности — одно из следствий идеализации задачи, т. е. предположения о бесконечности провода. По сути дела, решение (36.4) описывает потенциал в коаксиальном ка

беле, по внутренней жи-Рис. 36.1

ле которого (радиуса а)

течет прямой ток, а по внешней оболочке (радиуса 人)——обратный. Из (36.4) с помощью (34.22) находим распределение поверхност

ного заряда на проводе:

Следовательно, заряд распределен симметрично относительно плоскости 2 = 0.

В решении был исключен из рассмотрения участок провода со сторонней э.д.с. Предположим, что она действует в некотором сечении провода на малом участке длиной А/. Тогда на этом сечении потенциал испытывает скачок, равный IR12 —受Пренебрегая сопротивлением участка (/?12 —> 0), можно считать, что

［屮］12 —^12 ~ £"СГОрА/. (36.6)

Участок с э.д.с. подобен конденсатору, в котором вектор напряженности Е направлен противоположно полю в остальной части проводника. Картина такого поля изображена на рис. 36.1.

В то же время линии индукции представляют собой систему колец с центрами на оси проводника. Следовательно, на поверхности провода вектор Пойнтинга S направлен внутрь проводника и равен

/2а/2а(36.7)(36.7)

/2а

/2а

(36.7)

(36.7)

Поэтому на длину / провода приходится поток электромагнитной энергии

IS I 2ла/ = лй2//2/^,

равный тепловой мощности, рассеиваемой в объеме V = па2/ провода в согласии с законом Джоуля — Ленца. Однако в области действия сторонней э.д.с. вектор электрической напряженности имеет противоположное направление при неизменности вектора магнитной индукции. Поэтому на этом участке вектор Пойнтинга направлен от

проводника наружу Такимпроводника наружу ТакимЭ.Д-С. тите яЭ.Д-С. тите яявляется в толщеявляется в толщеисточником проводника.источником проводника.ровней э.д.с. Таким образом,ровней э.д.с. Таким образом,образом, область действия сторонней энергии, которая впоследствии погло- Для замкнутого проводника картина векторных линий вектора Пойнтин- I a S изображена на рис. 36.2Проведенный анализ этой задачи о"наруживает ошибочность распро- странснього мнения, будто энергия переносится движущимися электронами вдоль провода с током На самом же деле она поступает в проводник из окружающего его пространства в виде энергии электромагнитного поля При этом источником электромагнитной энергии, из которого она поступает в окружающее простраи- ctlo, является область действия сто- элекромагнитная энергия переноситсяобразом, область действия сторонней энергии, которая впоследствии погло- Для замкнутого проводника картина векторных линий вектора Пойнтин- I a S изображена на рис. 36.2Проведенный анализ этой задачи о"наруживает ошибочность распро- странснього мнения, будто энергия переносится движущимися электронами вдоль провода с током На самом же деле она поступает в проводник из окружающего его пространства в виде энергии электромагнитного поля При этом источником электромагнитной энергии, из которого она поступает в окружающее простраи- ctlo, является область действия сто- элекромагнитная энергия переноситсяот источника тока к омическим сопротивлениям, где она превращается в теплоту, не по проводу, а в свободном пространстве.от источника тока к омическим сопротивлениям, где она превращается в теплоту, не по проводу, а в свободном пространстве.

проводника наружу Таким

проводника наружу Таким

Э.Д-С. тите я

Э.Д-С. тите я

является в толще

является в толще

источником проводника.

источником проводника.

ровней э.д.с. Таким образом,

ровней э.д.с. Таким образом,

образом, область действия сторонней энергии, которая впоследствии погло- Для замкнутого проводника картина векторных линий вектора Пойнтин- I a S изображена на рис. 36.2

Проведенный анализ этой задачи о"наруживает ошибочность распро- странснього мнения, будто энергия переносится движущимися электронами вдоль провода с током На самом же деле она поступает в проводник из окружающего его пространства в виде энергии электромагнитного поля При этом источником электромагнитной энергии, из которого она поступает в окружающее простраи- ctlo, является область действия сто- элекромагнитная энергия переносится

образом, область действия сторонней энергии, которая впоследствии погло- Для замкнутого проводника картина векторных линий вектора Пойнтин- I a S изображена на рис. 36.2

Проведенный анализ этой задачи о"наруживает ошибочность распро- странснього мнения, будто энергия переносится движущимися электронами вдоль провода с током На самом же деле она поступает в проводник из окружающего его пространства в виде энергии электромагнитного поля При этом источником электромагнитной энергии, из которого она поступает в окружающее простраи- ctlo, является область действия сто- элекромагнитная энергия переносится

от источника тока к омическим сопротивлениям, где она превращается в теплоту, не по проводу, а в свободном пространстве.

от источника тока к омическим сопротивлениям, где она превращается в теплоту, не по проводу, а в свободном пространстве.

Задача 36.1. ^a^ изменятся ре^улотаты данного параграфа, если учесть( что на движущиеся в проводнике электроны кроме электрического поля Е действует также и магниггное поле тока^

ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ ОМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОДНИКОВ

Электрический ток в проводяшей среде образуется движущимися электронами и ионами. Следуя определению плотности тока

и считая для простоты, что носителями тока являются положительно заряженные ионы с зарядом % и отрицательно заряженные электроны (или ионы) с зарядом * находим

j=^ Е 讶+岳 Е 咪(37.1)

1€ ДУIWAl/

Вводя среднюю скорость зарядов

где N ± — средняя концентрация частиц, имеем

\=^e+N +v+ 十6_%一5・(37.2)

При не слишком большой напряженности Е средняя скорость ионов линейно зависит от приложенного поля (закон Ома), т е.

刀± = 6土 Е,(37.3)

где 卩土——подвижность ионов. Ее физический смысл проясняется, если рассмотреть стационарное движение зарядов в проводнике под действием поля Е и эффективной силы трения——у刀.Тогда из условия стационарности выводим*

yv = eE, |3 = е/%(37.4)

т. е. подвижность 0 обратно пропорциональна коэффициенту трения у.

С учетом (37.3) находим

j =(N +е+^+ + 2，_0一) e 三 gE, откуда получается следующее выражение для удельной проводимости:

о = Д/+е+В++№_е_>.(37.5)

Если носители тока ионизованы однократно, то е± = ±е и o^e(N+^^-N^.), пли с учетом (37.4)

".gН戌("+/?斗 + 2一/7.).(37.6)

Итак, удельная проводимость среды определяется средними концентрациями ионов М± и их коэффициентами трения ?±

В металлах и твердых проводниках с электронным механизмом проводимости ?+ = 8 и (37.6) сводится к

0 =合修一/Y..(37.7)

Учтем теперь, что чаще всего проводники электрически нейтральны, т. е. не имеют свободного избыточного заряда, так как в среднем концентрация свободных зарядов N_ компенсируется зарядами кристаллической решетки- N一 х N屮三 N. Если все же избыточный заряд р и имеется, то он обычно очень мал (см. задачу 36.1), т. е можно положить ® = e(N * — N _)«eN и считать

0(1 -^4=°。(1 一忐)(37.8)

где Оо=у?#/у； ум?—. Таким образом, практически электропроводность о не зависит от р. В предыдущих параграфах мы использовали именно это предположение.

Согласно вышесказанному, для вычисления удельной проводимости о нужно знать коэффициент трения у. Одной из простейших моделей металлического проводника, позволяющей вычислить у, является электронная модель Друде. В этой модели ионы кристаллической решетки считаются неподвижными, характер же движения электронов предполагается следующим. В промежутке между двумя последовательными столкновениями с ионами решетки электроны ускоряются действующим электрическим полем Е, однако в процессе столкновения вся приобретенная ими энергия теряется. Пусть / — средняя дл»наевдбодаого пробега электрона, % =(3龙丁/加尸方——его лиловая скорость, т = 〃％ — среднее время свободного пробега.

Тогда средняя направленная скорость свободного движения электрона

и = ^Ет/(2т),(37.9)

откуда находим среднюю плотность тока:

j = Neu — NerE]?m) = оЕ и удельную проводимость:

о = 2合工/(2 加)=Ne4/(2mv0) = Ne2 M2У^йТ)・(37.10)

Полученная оценка о основывалась на предположении, что т = 〃％, т. е. 〃«必 или eEl^kT. Очевидно, что модель Друде оказывается несостоятельной в области низких температур и сильных электрических полей.

В заключение рассмотрим один интересный эффект, связанный с предположением о справедливости закона Ома j = oE. Если среда однородна и изотропна, т. е. обладает постоянными е и а, то из уравнений

5р/д/ + div j = 0, j = oE; div E = 4лр/е, нетрудно получить, что

Op/df + 4лор/е = 0.(37.11}

Очевидным решением этого уравнения является

р (/, г) = р0 (г) ехр (—4ла//е),(37.12)

где р0 (г) — распределение заряда в момент / —0. Из этого решения следует, что в проводящей среде всякое локальное скопление заряда рассасывается за характерное время —врелгя релаксации, равное

/РеЛ = е/(4ла).(37.13)

Чем больше удельная проводимость среды, тем быстрее происходит рассасывание свободных зарядов, очевидной причиной которого является их кулоновское расталкивание.

Зада ча 37.1.Проинтегрировав соотношение (37.12) по все чу про

странству, получим

Q =，р dV = ехр (—4ла^/е)，podV = Qoexp (—4jw〃£),(37.14)

что nредставляется противоречащим закону Сохранения заряда Q. Выяснить у е чем здесь дело./

ПЕРЕМЕННОЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Глава

3

§ 38. ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ ИЛИ ВАКУУМЕ

Перейдем к рассмотрению наиболее общего случая электромагнитных полей, подчиняющихся системе уравнений Максвелла (10.1) в однородной среде с постоянными в и 卩(или в вакууме, если & =卩=1). Соответствующая система уравнений имеет такой вид:

rot Н—-1® =^ j, divD = 4np,rotE4-l^=0, divB = 0,

D = eE, В = |iH.

Сначала рассмотрим электромагнитное поле в той области пространства, где отсутствуют свободные токи и заряды. Тогда выполняются уравнения:

rotH —丄穿=0, divD = 0, D = eE,

(38.1)

rotE + ^ 絹=0, div В = 0, В = цН.

С учетом постоянства g и 卩 перепишем эти уравнения в таком виде:

(1), divE=0, (3)

CN-C =- н = ^ Е

(2),

Дифференцируя первое по 乙 имеем

div Н = 0. (4)из уравнений

(38.2)

(38.2)

r°t历

а2Е

с а/2 ‘

или с учетом второго уравнения

Поскольку div Е = 0, то

rot rot Е — V div Е —АЕ = — ДЕ и поэтому

△Е —康窮=0,(38.3)

где_

^Ф = с/У ёц.(38.4)

Таким образом, мы получили волновое уравнение, описывающее распространение волн со скоростью и4r Нетрудно убедиться, что вектор Н подчиняется такому же уравнению

АН—皆需"(38.5)

Итак, можно сказать, что любая компонента векторов Е, Н подчиняется общему волновому уравнению

АМ(38.6)

Решение этого уравнения записывается наиболее просто в случае, когда 屮 зависит лишь от х и Л Тогда уравнение (38.6) сводится к следующему:

(急一*詣)屮=。・(38.7)

Замечая, что

дх2 鳥 dt2 一 [0% г'ф ~St) \dx'~v^~dt)'

сделаем замену переменных (& = % ——匕％Z, 1n = % + u曲/), в соответствии с которой

А 1 /д 1 д \ д 1 / ^ , \ д\

и (38.7) принимает вид =

Отсюда следует, что общим решением волнового уравнения (38.7) является функция

屮(九 ％) = f 1 (占)+ h ⑴)к f 1 (% — %/) +『2 (尤 + %/),(38.8)

где fn /2 — произвольные функции. Полученное решение представляет собой суперпозицию двух возмущений, распространяющихся соответственно вправо и влево со скоростью 。曲.

Для электромагнитных волн в вакууме уравнение (38.6) принимает вид уравнения Даламбера、

□до,(38.9)

{ @2

где введен оператор Даламбера 匸]三厶一浜产.

Изучим свойства решений уравнения Даламбера в трехмерном случае в некоторой области V. Прежде всего докажем, что всякое решение уравнения Даламбера однозначно определяется заданием в начальный момент времени f = 0 двух функций (屮 и Ор/。%)，а также заданием на границе области S для t > 0 либо функции 2，либо (nV)ip. В самом деле, предположим, что это не так и что найдутся два различных решения уравнения Даламбера pi и ^2，удовлетворяющие одним и тем же начальным и граничным условиям. Тогда их разность u ^ ipi ~ 1р2 также является решением уравнения Даламбера □ 〃 = 0 с нулевыми начальными и граничными условиями. В то же время интеграл

сохраняется во времени, поскольку

ss^1 = У r^u + (Vu Vu)l dV = J[«Aw + (Vu Vu)]dV ==§ div {u Vu) dM = , 〃 (nV) 〃 dS = 0,

s

s

ибо на поверхности S для любого момента времени 方》0 辽(nV)〃=0. Однако 〃 = 〃 = 0 в момент / = 0, т. е. Vu^=0 и / = 0, что возможно только при и = 0, откуда и следует единственность решения.

Итак, общее решение уравнения Даламбера содержит две произвольные функции, соответствующие заданию в начальный момент времени 2 и d^)ldt. Однако нахождение этого общего решения упрощается, если заметить, что всякому решению 2 можно сопоставить независимое от него решение d^/dt. Таким образом, достаточно найти решение, содержащее лишь одну произвольную функцию.

Если разыскиваемое решение 屮 уравнения Даламбера сферически симметрично, т. е.屮=2(九 厂)，то (38.9) принимает вид

1% с 1/2

—(丁2) 2* 02 ' = 0,

Тем самым для функции г1^ получается уравнение типа (38.7). Пользуясь общим решением (38.8) этого уравнения, убеждаемся, что любое сферически симметричное решение уравнения Даламбера имеет вид

屮('，r) = ；[/(r—b) + g(r +。/)],(38.10)

где f и g—произвольные функции. Следует только иметь в виду, что, за исключением выбора g(%) = — / (—х), функция (38.10) имеет в точке г = 0 особенность и поэтому удовлетворяет уравнению Даламбера всюду, кроме этой точки.

Если же разыскиваемое решение уравнения Даламбера не является сферически симметричным, то для его нахождения приходится пользоваться специальными методами математической физики. Ознакомимся с одним из них, предложенным Пуассоном и получившим название метода сферических средних , Делая подстановку 2=/и, приведем уравнение Даламбера к виду

1 /1 д2

△и = К 4 (切)=-7©и)■(38.11)

Сравнение (38.11) с (2П. 16) показывает, что и можно считать сферическим средним от некоторой функции / (г) по сфере радиуса a — ct, т. е. согласно (2П. 15)

屮=切=/</(г)〉g三备 6 /(「+ <?急)dS”(38.12)

Второе независимое решение получается дифференцированием (38.12) по /, н, таким образом, общее решение уравнения Даламбера имеет вид

2(/，г) = ^(/ < f (г) >с/) + / <g(r) >сг =

底 f /(r+ 娱)帆]+亲 步 g(r+/dS8.(38.13)

Задача 38.1. Получить сферически симметричное решение (38.10) с помощью (38.13).

Особую роль в теории электромагнитного поля играет частное решение уравнения Даламбера, обозначаемое Do (/, г). Оно является сферически симметричным и удовлетворяет следующим начальным условиям:.

А(о, Г) = о； ^51』=6 (Г).(38.14)

Пользуясь представлением 6-функции в сферических координатах (см. задачу 3.1): 6(г) = —(Опг)-"'(г), с помощью (38.14) и (38.10) находим, что для Do

' f(r) = —g(r),搭[―广(r) + g‘(г)] = —耳6;⑺， откуда (г) — 6 (г)/(4лс) и, таким образом,

&(厶 r)=R[6(r —徜一3&+с切.(38.15)

Задача 38.2. Показать, что решение уравнения Даламбера t отвечающее начальным условиям х|? |/=0 = / (г); d^/dt ^=o = g (г), можно записать в виде

2(/, r)= j〔Do", R)g(r，)+^Do(/,R)/『)]d『，(38.16)

где R = | г —г' |.

§ 39. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Рассмотрим случай, когда электромагнитное поле зависит лишь от % —и巾/, т. е. распространяется со скоростью ^巾=，/|/£卩 вдоль

векто-(39.1)векто-(39.1)(39.2)(39.2)оси X. Тогда уравнения (38.2), записанные для компонент ров Е и Н, примут такой вид:

векто-

(39.1)

векто-

(39.1)

(39.2)

(39.2)

dHz & ОЕу 。邑 林 °% дЕх дЕх 仆

dx —c dt * dx —cd/' dt ——'

Решение этой системы выглядит следующим образом:

Еу = ЕЛ} (x — v^t), 〃z= ]/^Еа> (х —%/), Ex = constv Ez = E^(x-V^t), "?=_ ]/^ E⑵(x —%/),"* = const?,

где E(d, E{2} — произвольные функции x~v^t. Исключая неинтересные с физической точки зрения постоянные поля Ех и "芯，получаем два независимых решения исходной системы уравнений:

J = Е<» (х - иФ0，/е Еу = /R〃z，ElJHH (39.3)

Ez = E<* (x — %t), Gz = —“y, Ex = Ey = Hx = Hz = 0.(39.4)

Направив вдоль оси X единичный вектор s, убеждаемся, что векторы Е и Н должны быть связаны соотношением

/йн =/e[sE],(39.5)

ИЛИ”

В = ]/ £卩[sE] = с [$Е]/Уф.

Полученные независимые решения уравнений (38.2) отвечают двум возможным видам линейной поляризации плоской электромагнитной волны. Особенностью этих решений является поперечность электромагнитного 孔0力咒,выражающаяся равенствами (sE) = (sB) ==0.

Используя (39.5), плотность энергии электромагнитного поля и век гор Пойнтинга для полученных решений можно представить в следующем виде:

w = е£2/(4л)二卩环/(4冗)，S = su曲⑪=sot/ КE|i.(39.6)

Частным случаем отмеченного решения являются монохроматические плоские еолны, для которых функции Е{1\ Е(2) выбираются в виде

Л cos [k (尤一(先/) +叫，

где А и ср — некоторые постоянные. При этом Л называется ампли- шудой волны, а ср — фазовой постоянной. Часто используют более Удобную комплексную форму, имея в виду, что физический смысл имеют соответственно действительная или мнимая части решения, объединение которых возможно вследствие линейности исходных уравнений. С учетом этого монохроматическую плоскую линейно поляризованную волну удобно описывать следующим образом:

E = Eoi〔(kr『sf+吗 Е； = Е°, B = ^[sE], (§Е) = 0, k-s^. (39.7)

Аналогично, для монохроматической плоской эллиптически поляризованной волны

Е = (Е户+ 田俨)e"(kr)e+% e产2> = E产，eg”)

B = -^[sE], (sE) = O, (E「E俨)=0, k = s持，’

причем в случае равенства |Е$)| = |Ер| получается волна, поляризованная по кругу.

Задача 39.1. Рассмотреть суперпозицию двух эллиптически поляризованных плоских монохроматических волн, распространяющихся в противоположных направлениях:

Е =[(Е「+ /Е$)) e-is'+(E' +疋俨)е心口 小化叱

E» = e$e*,(力e$)=%6, Г, s=l, 2.

Вычислить усредненные по времени плотность энергии ш и вектор Пойнтинга S, понимая под усреднением по времени операцию

lim 1 f /(/)d^.(39.9)

Zoo / J 0

Итак, монохроматическая плоская волна всегда может быть представлена в виде суперпозиции линейно поляризованных волн, каждая из которых характеризуется амплитудой Ей, единичным вектором поляризации е「,『 = 1, 2, и волновым вектором к. При этом два возможных вектора поляризации еп е2 и вектор к образуют ортогональную тройку векторов. Кажому вектору к соответствуют два возможных значения частоты s = ± kv^, отличающиеся лишь знаком, что приводит к изменению направления распространения волны. Следовательно, для получения общего решения уравнений Максвелла без источников в однородной среде достаточно взять суперпозицию решений вида

[Ei (к) e-空％' + Ег (к) е'"%[ е"кг),(39.10)

т. е. рассмотреть интеграл Фурье

+ 8

Е(/, г) = §，§ [Е1(к)е-^ + Е2(к)ав]е"кг)(ре, (39.11)

где з = | к |о巾,(kElj2) = 0, d3k = d^xdky d^. Эта формула описывает действительное поле Е, если

Е】(к) = К(—к).(39.12)

В последнем нетрудно убедиться, взяв комплексное сопряжение от (39.11) и сделав замену переменной интегрирования к —>—к. Воспользовавшись соотношением (39.5), находим индукцию магнитного поля, отвечающую решению (39.11):

+ 8

в0, г) = с jjj {[kEJe-^-[kE2] e^} e‘ 仰)嘗. (39.13)

Во многих физических задачах приходится рассматривать во儿но・ вые пакеты, представляющие собой решения уравнений Максвелла типа (39.11), (39.13), которые достаточно быстро спадают на бесконечности. Очевидно, что волновые пакеты описывают сгустки электромагнитного поля, занимающие некоторые ограниченные области пространства. Для описания движения волнового пакета удобно ввести понятие его центра масс, т. е. точки с радиус-векторомR = 4.(39.14)\wdVВо многих физических задачах приходится рассматривать во儿но・ вые пакеты, представляющие собой решения уравнений Максвелла типа (39.11), (39.13), которые достаточно быстро спадают на бесконечности. Очевидно, что волновые пакеты описывают сгустки электромагнитного поля, занимающие некоторые ограниченные области пространства. Для описания движения волнового пакета удобно ввести понятие его центра масс, т. е. точки с радиус-векторомR = 4.(39.14)\wdVЗадача 39.2. Найти закон движения центра масс волнового пакета в однородной среде; убедиться, что его скорость не превышает, и巾.Показать ,что если волновой пакет не расплывается^ перемещаясь в вакууме как единое целое, то его скорость равна с, а между энергией ” и импульсом G существует связьС2G = cW. (39.15)Задача 39.2. Найти закон движения центра масс волнового пакета в однородной среде; убедиться, что его скорость не превышает, и巾.Показать ,что если волновой пакет не расплывается^ перемещаясь в вакууме как единое целое, то его скорость равна с, а между энергией ” и импульсом G существует связьС2G = cW. (39.15)Обратимся теперь к знаменитым опытам /7. Н. Лебедева по измерению давления света. Этими опытами впервые была доказана электромагнитная природаОбратимся теперь к знаменитым опытам /7. Н. Лебедева по измерению давления света. Этими опытами впервые была доказана электромагнитная природасвета. Еслисвета. Еслипоместить некоторое пог-поместить некоторое пог-лощающее тело в поло электромагнитной волны, то согласно (13.4) на него действует сила с плотностьюлощающее тело в поло электромагнитной волны, то согласно (13.4) на него действует сила с плотностьюf = — dg/df + div Т.f = — dg/df + div Т.(39.16)(39.16)Если соотношение (39.16) усреднить по времени, то dgldt, очевидно, исчезает и для средней плотности силы имеемЕсли соотношение (39.16) усреднить по времени, то dgldt, очевидно, исчезает и для средней плотности силы имеем(39.17)(39.17)h=div Т.h=div Т.Интегрируя (39.17) по объему V тела и применяя теорему Гаусса ——Остроградского в форме (2П.6), найдем полную силу, действующую на тело:Интегрируя (39.17) по объему V тела и применяя теорему Гаусса ——Остроградского в форме (2П.6), найдем полную силу, действующую на тело:F = ^ МУ = ^(п-Т)а5.VF = ^ МУ = ^(п-Т)а5.V(39.18)(39.18)

Во многих физических задачах приходится рассматривать во儿но・ вые пакеты, представляющие собой решения уравнений Максвелла типа (39.11), (39.13), которые достаточно быстро спадают на бесконечности. Очевидно, что волновые пакеты описывают сгустки электромагнитного поля, занимающие некоторые ограниченные области пространства. Для описания движения волнового пакета удобно ввести понятие его центра масс, т. е. точки с радиус-вектором

R = 4.(39.14)

\wdV

Во многих физических задачах приходится рассматривать во儿но・ вые пакеты, представляющие собой решения уравнений Максвелла типа (39.11), (39.13), которые достаточно быстро спадают на бесконечности. Очевидно, что волновые пакеты описывают сгустки электромагнитного поля, занимающие некоторые ограниченные области пространства. Для описания движения волнового пакета удобно ввести понятие его центра масс, т. е. точки с радиус-вектором

R = 4.(39.14)

\wdV

Задача 39.2. Найти закон движения центра масс волнового пакета в однородной среде; убедиться, что его скорость не превышает, и巾.Показать ,что если волновой пакет не расплывается^ перемещаясь в вакууме как единое целое, то его скорость равна с, а между энергией ” и импульсом G существует связь

С2G = cW. (39.15)

Задача 39.2. Найти закон движения центра масс волнового пакета в однородной среде; убедиться, что его скорость не превышает, и巾.Показать ,что если волновой пакет не расплывается^ перемещаясь в вакууме как единое целое, то его скорость равна с, а между энергией ” и импульсом G существует связь

С2G = cW. (39.15)

Обратимся теперь к знаменитым опытам /7. Н. Лебедева по измерению давления света. Этими опытами впервые была доказана электромагнитная природа

Обратимся теперь к знаменитым опытам /7. Н. Лебедева по измерению давления света. Этими опытами впервые была доказана электромагнитная природа

света. Если

света. Если

поместить некоторое пог-

поместить некоторое пог-

лощающее тело в поло электромагнитной волны, то согласно (13.4) на него действует сила с плотностью

лощающее тело в поло электромагнитной волны, то согласно (13.4) на него действует сила с плотностью

f = — dg/df + div Т.

f = — dg/df + div Т.

(39.16)

(39.16)

Если соотношение (39.16) усреднить по времени, то dgldt, очевидно, исчезает и для средней плотности силы имеем

Если соотношение (39.16) усреднить по времени, то dgldt, очевидно, исчезает и для средней плотности силы имеем

(39.17)

(39.17)

h=div Т.

h=div Т.

Интегрируя (39.17) по объему V тела и применяя теорему Гаусса ——Остроградского в форме (2П.6), найдем полную силу, действующую на тело:

Интегрируя (39.17) по объему V тела и применяя теорему Гаусса ——Остроградского в форме (2П.6), найдем полную силу, действующую на тело:

F = ^ МУ = ^(п-Т)а5.

V

F = ^ МУ = ^(п-Т)а5.

V

(39.18)

(39.18)

Таким образом, электромагнитное поле оказывает на поверхность тела давление

p = (n3).(39.19)

Если тело занимает полупространство х > 0 и электромагнитные волны падают на его поверхность нормально, то с учетом (13.56) и того, что Ех = Bx = Qf имеем

р = рх = — Txx = w.(39.20)

В другом частном случае изотропного излучения, когда вследствие статистической независимости различных компонент полей

£\"以=£'23用/3, BfBk - B2^ik/3t Tг=56//3,

электромагнитное давление равно

Р=7/3.(39.21)

Пользуясь полученными результатами, уже нетрудно объяснить и опыты Лебедева. В этих опытах на поглощающее тело некоторой массы 历 падает пакет электромагнитных волн, занимающий некоторый объем V = Sl (рис, 39.1).

Поскольку пакет поглощается телом в течение времени //с, то импульс, сообщенный телу согласно соотношению (39.20), справедливому в пренебрежении расплыванием пакета, т. е. при условии £х <^ £, 6芯«8, равен

Р = F〃c = IZp/c = IZ&C =谚/c = W7&

где W^&yV—энергия волнового пакета, не зависящая от времени по закону сохранения энергии. Вводя массу 乒工 волнового пакета, т. е. принимая его импульс равным G —p,fC, из закона сохранения импульса получаем

G— p.fC= W !с. (39.22)

Отсюда вытекает важная связь между энергией и массой волнового пакета, которая независимо могла быть получена и из соотношения (39.15);

(39.23)(39.23)10 = p,fC2.

(39.23)

(39.23)

ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД

Изучим распространение электромагнитных волн в пространстве, заполненном двумя однородными средами, разделенными плос・ костью z ^= 0 и характеризующимися постоянными проницаемостями £,卩 (г < 0) и е\ ц' (г > 0). Скорость распространения плоских электромагнитных волн в каждой из сред согласно (38.4) равна соответственно

Уф р С/丿鼠，Уф = с/Уг^,(40.1)

В простейшем частном случае при наличии плоской границы раздела z = 0 электромагнитное поле описывается тремя монохроматическими плоскими волнами: в области г < 0 имеются падающая Е, В (волновой вектор к) и отраженная Е", В" (волновой вектор к") волны, а в области г > 0 — преломленная волна Е‘, В' (волновой вектор к'). Падающую волну будем считать линейно поляризованной, т. е. представимой в виде

Е = Ее」(кг)-峭，В = ]/ e(i [sE], ($Е)=0, к = $со/%.(40.2)

При этом на границе z = 0 с нормалью п должны выполняться граничные условия (12.8), которые при отсутствии свободных поверхностных зарядов и токов проводимости имеют такой вид:

(пЕ‘)-еп-(Е + Е"), (пВ‘)= п• (В + В”)，(40.3)

[пЕ，] = [п(Е + Е")], l[nBq = l[n(B + Bw)L (40.4)

Замечая, что в этих уравнениях стоят векторы, содержащие фазовые множители типа expfz (kr) —/to/], мы приходим к выводу, что граничные условия могут быть выполнены только при совпадении всех фаз. Это означает, что для любого вектора г, лежащего в плоскости раздела, т. е. удовлетворяющего условию (пг) = г = 0, должны выполняться равенства

(кг) = (к 丁) = (%「)・(40.5)

т. ет. е“ sina k球С£ =С£,—-== — = _——sina 々 ％ м“ sina k球С£ =С£,—-== — = _——sina 々 ％ м

т. е

т. е

“ sina k球

С£ =С£,—-== — = _——

sina 々 ％ м

“ sina k球

С£ =С£,—-== — = _——

sina 々 ％ м

Из (40.5) следует, что векторы к', к" лежат в плоскости векторов к, п. Вводя углы падения а, отражения а" и преломления а\ перепишем условие (40.5) в виде (рис. 40.1)

ksina — k1 sinaz =々“since".

Замечая, что / =力,и вводя показатели преломления сред и = ]/е^ и ri ^У^^г, получаем известные законы геометрической оптики:

(40.6)

Для разрешения уравнений (40.3), (40.4) удобно различать два возможных случая в зависимости от того, лежит ли вектор Е в плоскости падения k, п или перпендикулярен ей.

В первом случае, когда вектор Е лежит в плоскости падения к, п, очевидно, (пВ) = 0 и уравнения (40.3) и (40.4) с учетом (40.2) и закона Снеллиуса дают (рис. 40.2):

Ста"。一。。十％ cos a 人一幺一d， откуда после несложных преобразований находим:

户，一 2Е()(м/献)sin 2a 尸〃 一产 (科/科‘)sin 2a—sin 2* ,дп ° - sin 2az + (ц/цг) sin 2a *0 ~ 0 sin 2a—(p7p/) sin 2a，(4°」)

При 卩=р/ эти формулы упрощаются:

—_ 尸 tg 他一废)

J 一 sin (a+a^cos (a—M) * 乙。一 5 母(Rd)' 收学

Во втором случае, когда вектор Е перпендикулярен плоскости падения к, п, т. е. (пЕ) = 0, граничные условия дают (рис. 40.3):

Eq + Eq, К^J^ E；cosa'/ е/ц (Ео —^) cos a,

откуда

戶， 尸〃 _ f 1—也便)(tga/tgd)°

l +(W)(tga/tga》。。耳(М?) (tg a/tg d)'(驮里)

При 卩=|V эти формулы упрощаются:

(40.10)(40.10)np cos a sin аг 尸〃—尸 sin (а‘ 一а)上。 = /上。 sin (a+(?)，组=£。而夜彳0.

(40.10)

(40.10)

Очевидно, что падающая волна с произвольной поляризацией может быть представлена в виде суперпозиции линейно поляризо

ванных волн, векторы поляризации которых либо лежат в плоскости падения, либо перпендикулярны ей. Таким образом, к рассмотренным выше двум случаям сводится любая задача о распространении электромагнитных волн при наличии плоской границы раздела двух сред *.

При нормальном падении следует положить а — 0 и в соответствии с законом Снеллиуса а' =ап，п' f 0. Тогда из формулы (40.7) получаем:

EZ = 2Eq/(1 4-х),£；-£0(х-1)/(х+1), I •'

(40.12)(40.12)В частности, для нормального падения, согласноВ частности, для нормального падения, согласноходим：ходим：例=（詔例=（詔纫=%(击у, ^ /$纫=%(击у, ^ /$(40.11), на-(40.13)(40.11), на-(40.13)где х = \knf!^f^ — V&，卩/(qu/). Пользуясь выражением (39.6) для вектора Пойнтинга S = s 堤 ~^ — Е2, нетрудно подсчитать коэффициенты отражения 例 и прохождения 纱，которые определяются соответственно как отношения интенсивностей отраженной или преломленной волн к интенсивности падающей волны. Таким образом,

(40.12)

(40.12)

В частности, для нормального падения, согласно

В частности, для нормального падения, согласно

ходим：

ходим：

例=（詔

例=（詔

纫=%(击у, ^ /$

纫=%(击у, ^ /$

(40.11), на-

(40.13)

(40.11), на-

(40.13)

Нетрудно убедиться, что в соответствии с законом сохранения энергии 贸 + 易=1.

Рассмотрим теперь случай, когда 卩=卩'и волна падает на границу под углом Брюстера а = В，определяемым условием

tgB = * 儿(40.14)

Очевидно, что

sin az = sin § (n/n') = cos p.

Иначе говоря, выполнено соотношение

a'+p = n/2.(40.15)

Соотношения (40.8) и (40.10) известны как формулы Френеля.

Поскольку в этом случае tg (а 4-а') = оо, то, как видно из (40.8), Е； = 0, т. е. отсутствует отраженная волна, поляризованная в плоскости падения. Таким образом, если падающая под углом Брюстера волна имеет смешанную поляризацию, то отраженная волна будет поляризована перпендикулярно плоскости падения, т. е. будет удовлетворять условию (пЕ") = 0. Этим явлением можно воспользоваться для получения плоскополяризованных световых пучков.

Другое интересное явление имеет место при падении волны из более плотной среды в менее плотную (п > п') под углом

а = а0 = arcsin (孔‘ /п).а = а0 = arcsin (孔‘ /п).(40.16)(40.16)

а = а0 = arcsin (孔‘ /п).

а = а0 = arcsin (孔‘ /п).

(40.16)

(40.16)

При этом sin а' — 1, т. е. а'=冗/2. Эго означает, что преломленная волна идет вдоль границы раздела двух сред. Отмеченное явление называется полным внутренним отражением. Исследуем в этом случае поле в области г > 0 более подробно. Если а > а0, то

откуда

cos аcos а(40.17)

cos а

cos а

Физически это означает, что в полученном решении, описывающем поле преломленной волны, волновой вектор &； является мнимым. Так, считая плоскостью падения (X, Z), убеждаемся, что поля Е‘ и В' содержат множитель вида

exp [ikf (xsin 倉 +之 cosa')]=

= exp [土勿z (sin2(z/sin2 %— 1)1/2 ] exp [z^'xsina/sinao]. (40.18)

Решение co знаком плюс соответствует растущему на бесконечности полю, и поэтому оно должно быть отброшено как физически нереализуемое. Оставшееся решение (40.18) описывает электромагнитную волну с затухающей в направлении Z амплитудой. При этом волна распространяется вдоль границы раздела двух сред.

В заключение отметим, что гея развитая выше теория отражения и преломления электромагнитных роли легко обобщается на случай комплексных проницаехостей & и 卩(см. § 61). Как легко убедиться, в этом случае амплитуды электромагнитных волн содержат затухающие множители такого же типа, как при полном внутреннем отражении.

Задача 40.1. Найти коэффициент отражения света от металличе-ского зеркала и оказываемое на него давление при нормальном падении,

ПОЛЕ ЗАДАННЫХ ЗАРЯДОВ И ТОКОВ В ВАКУУМЕ

Ранее нами было установлено, что уравнения Максвелла допускают существование решений, описывающих свободное электромагнитное поле и представляющих собой суперпозицию электромагнитных

волн, распространяющихся в вакууме со скоростью света с. Рассмотрим теперь электромагнитное поле в присутствии зарядов и токов.

Предположим, что известны плотности зарядов р (/, г) и токов j(f, г), удовлетворяющие закону сохранения электрического заряда r) + divj(/, г) = 0.(41.1)

Для нахождения полей Е и В, порожденных этими источниками, ьоспользуемся уравнениями Максвелла (6.4):

=(a), divE = 4np (б),

с 团 с(41.2)

rotE + ^雰=0 (в), divB = 0 (г).

Чтобы удовлетворить уравнению (41.2г), положим

В-rot А.(41.3)

Тогда уравнение (41.2в) примет вид

Е(Е + *=。

с очевидным решением

E = — V(₽T*.(41.4)

Подстановка (41.3), (41.4) в оставшиеся уравнения (41.2) приводит к следующим уравнениям для потенциалов ср и А:

(41.5)(41.5)△А-擋-：#А + Ю = —吸,a屮 + 扭 div a =- 4np.

(41.5)

(41.5)

Однако равенства (41.3), (41.4) определяют электромагнитные потенциалы <р и А неоднозначно, так как поля Е и В не изменяются при замене:

A = A' + Vip, Ф —(pz—4"*， (41.6)

где гр — произвольный скаляр. Преобразование (41.6) называется калибровочным.

Неоднозначностью определения потенциалов можно воспользоваться для упрощения полученных уравнений (41.5). К примеру, Лоренц предложил накладывать на потенциалы условие

(41.7)(41.7)dWA + ^ 詳=0,

(41.7)

(41.7)

известное как условие Лоренца. Если первоначально введенные потенциалы 屮‘，А' нс удовлетворяют этому условию, то новые потенциалы ср, А, связанные со старыми калибровочным преобразованием (41.6), будут ему удовлетворять, если скаляр 屮 считать решением уравнения

□屮=_(divA，+g*).

При этом очевидно, что 屮 определено с точностью до решения 电)уравнения Даламбера П^ = 0.

Итак, наложив на потенциалы условие Лоренца (41.7), получим для их определения следующую систему уравнений:

<р = -4лр, □A=—^j, divA + g 雾=0.(41.8)

'Задача 41.1. Использовать ^вывернутъ^ потенциалы ①,а, А, сделав подстановку Е=—vT4~rot а, В=— ^j+rot А. Получить для них уравнения, наложив дополнительные условия div a = div А = 0.

Заметим, что вместо условия Лоренца можно наложить на потенциалы и любое другое условие. Например, часто встречается условие кулоновской, или поперечной, калибровки

(41.9)(41.9)div А = 0.

(41.9)

(41.9)

В этом случае из (41.5) вытекают следующие уравнения для потенциалов:

А(р = —4лр, divA = 0.А(р = —4лр, divA = 0.(41.10)(41.10)

А(р = —4лр, divA = 0.

А(р = —4лр, divA = 0.

(41.10)

(41.10)

Как видно, уравнение для потенциала ср оказывается статическим, чем и обусловлено первое название использованной калибровки —«кулоновская». Второе название показывает, что для плоских волн, когда А 〜exp [f (kr)]t (41.9) эквивалентно условию «поперечности» (kA) = 0.

Несмотря на множество возможных дополнительных условий, система уравнений (41.8) используется чаще других, ибо содержит одинаковые уравнения для ф и А. В связи с этим вполне достаточно решить только уравнение для скалярного потенциала 屮,а векторный потенциал А получится формальной заменой р —> j/c. Таким образом, нахождение электромагнитного поля, порожденного заданными источниками, сводится к решению уравнения

ф = —4лр.(41.11)

Существует несколько методов его решения. Воспользуемся наиболее простым и физически наглядным методом функций Грина. Функцией Грина оператора Даламбера называется функция G(/ —，，г—г'), удовлетворяющая уравнению

*口6 = 一6(/ —，)6(r—i).(41.12)

Нетрудно видеть, что знание функции Грина позволяет получить решение уравнения (41.11) простым интегрированием：

+ 8

(р(^, г) = 4л j df J G (t — f, г —r,)p(Z,, r/)dV,+ <р0, (41.13)

где(р0 — некоторое решение уравнения Даламбера.

Физически функция Грина представляет собой потенциал, порожденный точечным мгновенно действующим источником. Заменой переменных R = r —匕 Т =t — f всегда можно добиться, чтобы этот источник находился в начале координат R = 0 и включался в момент времени Т==0. Поэтому простейшая функция Грина является сферически симметричной по переменной R и удовлетворяет уравнению

書黑(RG)一^飘=羡6，依)3(7), (41.14)

где мы воспользовались представлением трехмерной б-функции в сферических координатах (см. задачу 3.1): 6 (г) = — (2пг)т 6' (г).

Сделаем теперь замену переменных, уже использованную в § 38:

E = R-cT, n = R + cT, u = RG.(41.15)

Тогда уравнение (41.14) примет вид

為=亲6(11T(41.16)

Нам достаточно указать какое-либо частное решение % уравнения (41 16), что легко сделать, дважды проинтегрировав его правую часть. Однако результат будет зависеть от выбора пределов интегрирования, для установления которых нужно привлечь некоторые дополнР1тельные сведения об искомом решении.

В частности, если принять физический принцип причинности, согласно которому поле порождается источниками и до их включения должно отсутствовать, то необходимо наложить условие G(T < 0) = 0. Соответствующая функция Грина называется запаздывающей. Для ее получения нужно выбрать частное решение исчезающее при Т —— 8. Замечая, что при фиксированном R и Т —* — оо, очевидно, g —> + оо, г| —> — оо, искомое решение % можно получить следующим интегрированием правой части (41.16):

%怎切=一卷『证，j dn'6(n'—F)6，(g).(41.17)

Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой, вытекающей из свойств 6-функции:

X

J f(x')d(x' — y)dx' = O(x — y)f(y),(41.18；

где 0(х~ у) —ступенчатая функция Хевисайда [0 (%) = (1 -)-sign х)/2] С учетом (41.18) находим

Ui 回 U=-W“(Lg)&(SdF・

Выполняя интегрирование по частям и замечая, что согласно (41.18) е(х) = Ь(х), имеем

"1 = V ° ⑺ Y)6 е)_* 卜(п _ &)6(『)dr = ^-9 ⑺一凱 6(三)一6(喇

Возвращаясь к переменным R и Т н учитывая (38.15), находим

«ИТ, R) = ^8(C[6(R-cT)_6(R+cC] = c2R8(T)&(r, R).

Поскольку 〃i(T <0)=0, то функция Грина С = 〃т7?-1 является запаздывающей и имеет вид

G-n (Т, R) = с?®(7)Dq(兀 R)(41.19)

Далее, так как при подстановке (41.19) в (41.13) вклад в интеграл будет давать только область Г > 0, в которой 8 (7) = 1 и Do (7, R) = 6(R —cT)；(4jtRc), то (41.19) эквивалентно представлению

G^(T, R什暴MR —6, (41.19а) которое обычно и используется. Полученное решение описывает сферическую волну, расходящуюся от источника

Приведем еще др}гой мегод решения уравнения (41.12,, использующий преобразованье Фурье по времени. В теории интеграла Фурье доказывается справедливость след>ющего представления для 6-функции.

Используя его и записывая преобразование Фурье для функции Грина+ 8

G(7. R)=£ J eT8TGs(R)d3,

находим, что Gw (R) удовлетворяет уравнению

0十炉仍2) Gg(R)=-3(R).

Соответствующее однородное уравнение (при R 户 0)имеет простые решения вида exp (± khR/c) /R. Поэтому метод в<*риации постоянных подсказывает подстановку % (R) = u (R)/R. Учитывая (3 9) и свойство б-функции, выражающееся соотношением / (R) 6 (R) = / (0) 6 (R), найдем, что u(R) подчиняется уравнению

(о彖)=-3(r), которое, в частности, удовлетворяется, если

V (0)= 1 /(4h),优+炉1；/<：2 = 0.

Таким образом, частнсе jешение уравнения для Gw (R) имеет вид

°3(R)= sM"exp,•影)+Зехр(_,?)],

где постоянные Л и В связаны условием 4 + 8 = 1. Для Л = 1, В = 0 это реше» нне приводит к функции Грина

G(T，R)=£ j exp '/«_")愣=点6低一%=2.

Замечая, что уравнение (41.14) инвариантно относительно замены Тт — Т, другое его решение можно получить из (41.19) указанной заменой. Оно будет соответствовать опережающей функции Грина

G。呻(Т, R) = — c28(—T)2(T, R) = ^6(R + "), (41.20)

исчезающей при Г > 0, а при Т < 0 описывающей сферическую волну, сходящуюся к источнику. Очевидно, что такое решение противоречит физическому принципу причинности и на этом основании обычно отбрасывается. Однако следует заметить, что разность запаздывающей и опережающей функций Грина [см. (38.15)] равна

(41.21)

т. е. соответствует решению уравнения Даламбера, которое физически можно интерпретировать как влияние бесконечно удаленных источников. Поэтому, если такое влияние не исключено, отбрасывать опережающие решения нецелесообразно.

Очевидно, что произвольную функцию Грина G оператора Даламбера всегда можно представить в виде

(41.22)(41.22)G(7\ R) = G^(T, 7?) + Gq(T, R),

(41.22)

(41.22)

где Go —некоторое решение уравнения Даламбера. В частности, можно рассмотреть функцию Грина

(41.23)(41.23)G")=^G3^ — ac2DQ, а = const,

(41.23)

(41.23)

которая при а = 0 совпадает с запаздывающей, а при 〃 = 1——с опережающей. Если принять физический принцип причинности и ограничиться запаздывающей функцией Грина, то согласно (41.13) получи гея следующее частное решение уравнений поля (41,8):

(41.24)

известное как запаздывающие потенциалы,

Аналогично, если в (41.13) использовать опережающую функцию Грина (41.20), то получится другое частное решение —о〃ере- жающие потенциалы,——отличающееся от (41.24) тем, что в подынтегральных выражениях стоит f + R/c вместо £ —— R/c

Задача 41.2. Показать, что запаздывающие потенциалы удовлетворяют условию Лоренца.

Чтобы получить общее решение уравнений Максвелла, необходимо к запаздывающему решению (41.24) добавить произвольное решение 屮『 Ао уравнения Даламбера, удовлетворяющее условию Лоренца. Например, если воспользоваться представлением (38.16) для решения уравнения Даламбера, то наиболее общее выражение для скалярного потенциала ф, удовлетворяющее уравнениям поля (41.8), можно записать в виде

屮(九 r) = ,p《一* 1 )* +jpo(九R)gГ) + ^。0(九R)f(「')]d『，

(41.25) где f и g — произвольные функции. Аналогичное выражение можно получить и для векторного потенцала А.

Выбор того или иного решения обусловлен характером физической задачи, принятыми граничными и начальными условиями. В обычной постановке задачи зависящая от времени часть ри} включается лишь в некоторый момент времени /「 Естественно, что влияние такого включения источников должно проявиться несколько позже, т. е. при /〉/0 (принцип причинности), и поэтому физически допустимым решением является лишь запаздывающее. Однако и? исключена и другая возможность, когда электромагнитное поле порождается бесконечно удаленными источниками. В таком случае соответствующее решение будет выглядеть как свободное и должно добавляться к запаздывающему решению.

Физическая выделенность запаздывающих решений обусловлена тем, что в обычной постановке задачи мы хотим описать будущее некоторой системы, зная ее прошлое. Однако вполне допустима и другая постановка задачи, когда прошлое системы необходимо восстановить по се настоящему и будущему, т. е. рассмотреть обратную эволюцию системы. Нетрудно видеть, что в этом случае должны использоваться опережающие решения. Одно из интересных проявлений опережающих решений будет рассмотрено нами позже в связи с задачей о реакции излучения (см. § 47).

В заключение отметим, что наличие двух типов равноправных решений——запаздывающих и опережающих ——у системы уравнений (41.8) связано с инвариантностью оператора Даламбера при отражении времени. Выбор же запаздывающего решения выделяет направление течения времени, что неизбежно при описании макроскопических электромагнитных процессов.

ОтбрасыванЕ е опережающих потенциалов можно обосновать, исходя из более общих——термодинамических соображений. Согласно второму закону термодина- ми^и, невозможно создать тепловую машину второго рода, которая непрерывно совершала бы работу за счет охлаждения единственного резервуара теплоты. Если окружающее излучатель пространство, заполненное электромагнитным излучением, рассматривать как тепловой резервуар, то излучатель может извле- ка гь и з него полезную работу лишь при отрицательном среднем потоке электро- магнитнсй энергии (т. е. при потоке энергии к излучателю) и будет затрачивать работу на излучение при положительном среднем потоке. Но средний поток энергии положителен в случае использования запаздывающих потенциалов и отрицателен в случае опережающих (см. § 43). Второе начало запрещает отрицательный поток энергии от излучателя, поэтому можно считать опережающие потенциалы запрещаемыми вторым началом термодинамики.

§ 42. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ ВЕКТОРЫ ГЕРЦА

Если система источников нейтральна, т. е. удовлетворяет условию ,pdU = 0,(42.1)

т。 (см. задачу 2,2) закон сохранения заряда (41.1) будет тождест-

венно выполнен, если ввести поляризованность Р и намагниченность М, положив:

р = — di V Р, j = dP/dt + с rot М.(42.2)

В таком случае электромагнитные потенциалы ф и А могут быть найдены из уравнений:

□ ф = 4n div Р,

□ А=-普雾—4nrotM,(42.3)

divA + 爲"

Для того чтобы выполнить условие Лоренца, удобно ввести электрический П и магнитный Z векторы Герца, сделав подстановку:

= — div П, A = g 祟+「otZ.(42.4)

Тогда уравнения (42.3) приводятся к следующему виду:

I ^ (ПП + 4лР) + rot (OZ + 4лМ) = 0,依？切

div (□!! + 4nP) = 0.

Из последнего уравнения следует, что □ П + 4лР = го1 а,

где а—произвольный вектор. Тогда первое из уравнений (42.5) сводится к следующему：

rot(nZ + 4nM + yg) = 0.

Из него в свою очередь вытекает, что

Z+4nAi=-lJ + Vx,

где % ——произвольный скаляр.

Воспользуемся теперь неоднозначностью векторов Р и М (см. задачу 2.2), замечая, что подстановка

Р-Р—言 rota, М-М —+左翁

не меняет источников р, j, а тем самым и поля, ими порождаемые. Поэтому без ограничения общности можно положить а = 0 и х = 0. В результате уравнения для векторов Герца П и Z упростятся:

И = — 4лР, W = —4лМ,(42.6)

Выбирая запаздывающее решение этих уравнений как наиболее

соответствующее физической постановке задачи , имеем:

П(/,У)卷Z(f, Г)小«, r[*П(/,У)卷Z(f, Г)小«, r[*(42.7)(42.7)

П(/,У)卷Z(f, Г)小«, r[*

П(/,У)卷Z(f, Г)小«, r[*

(42.7)

(42.7)

Легко видеть, что в статическом пределе (с—> оо) формулы (42.7) переходят соответственно в (21.13) и (30.6), т. е. векторы П и Z переходят в соответствующие статические векторы Герца.

Используя решение (42.7), по формулам (42.4) нетрудно найти потенциалы ф, А, а затем поля Е и В. Последние можно выразить непосредственно через векторы Герца:

(42.8)(42.8)Е = —4лР + rot rotn—1А rot Z,B = rotrotZ + l^rotn.

(42.8)

(42.8)

§ 43. ПОЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО

И МАГНИТНОГО ВИБРАТОРОВ ГЕРЦА

В качестве полезного применения векторов Герца вычислим электромагнитное поле, создаваемое изменяющимся во времени дипольным моментом p(Z). Конкретной реализацией такого переменного диполя может служить, например, поляризо- +'化丿自 ванная молекула с переменным расстоянием /(/) между ее разделенными зарядами или простейшая антенна — электрический вибратор Герца, длина которого I постоянна, а заряд отдельного полюса меняется со временем (рис. 43.1). Если рассматривать поле вибратора Ц на расстоянии г»/, то его можно считать сосредоточенным диполем и положить P = p(f)5(r), М = 0.“

Тогда из (42.7) находим векторы Герца:П

Н = ；Р(Т)'(43.1)

Для получения поля вибратора используем формулы (42.8) с учетом того, что вне вибратора Р — 0, т. е. 刃±田

E = rotrotH, B = ^^rotII.Рнс. 43.1

Согласно (2П.4в), имеем

lot n = rot"‘ у "')= — % [гр]—^[rp],

где р —функция запаздывающего аргумента t‘ = t — r心 точкой обозначено дифференцирование по времени. Далее, используя (2П4г), находим

rot rot и = — £ div р + р div 今一(pV) % + ^г (“) Р —

—為 divRpdiv 為—(pV)^ + ^(rV)p =

=i_(rp)—р-+зц^—i-+47(rp)+24^-A-r^C Vr3/5，2c 1 厂3,2 ' г/ 1 厂％Г С2

В результате получаем следующие выражения для поля вибратора:

Е = %{зп(пр)_р+£[Зп(пВ)-Е]+^[п[пС]]},〈《в 2)

в =一悬喇一亲[而],

где введен единичный вектор п = г/г.

В выражениях (43.2) можно выделить три составные части:

Е = Е⑼ + Е(1) + Е(2), В = В(°)+ В⑴ + В电

в зависимости от степени их убывания при г —> оо. Первая часть, убывающая как г"3, представляет собой поле квазистатического диполя в ближней (квазистационарной) зоне:

Е^=±[Зп(пР)-Р], В© = 0.(43.3)

Вторая часть, убывающая как представляет собой поле

1 cP квазистатического тока поляризации 工亦：

E<D = *[3n(np) — p], В^ = -±[пр].(43.4)

Но если магнитное поле В⑴ возникает в полном соответствии с законом Био —Савара——Лапласа (1.8), то появление электрического поля Е“)обязано исключительно запаздыванию. Нетрудно видеть, что на малых расстояниях этот член можно не учитывать, так как

р « — г/с)弋 р (/) —р г/с

и слагаемое в Е, пропорциональное L, исчезает. Однако имеется область, в которой этот член существенен.

Наибольший интерес представляет третья чааь поля вибратора, зависящая от р и убывающая на больших расстояниях как г-1:

Е'2> = ,i [п [пр]]- В⑵=—占[吋].(43.5)

Это слагаемое, обычно называемое полем излучения, соответствует дальней (волновой) зоне. Поскольку при достаточно больших г это поле является преобладающим, то именно им определяется поток излучаемой вибратором электромагнитной энергии.

Для оценки размеров ближней и дальней зон введем следующие длины:

ai = min-^-, a2 = minc"} IpI {О

где р0 = max р (/), Тогда с помощью (43.2) нетрудно установить, что ближняя и дальняя зоны определяются соответственно неравенствами

г «min {%, %}, г» (a?/%) max{&, &}.

Замечая, что векторы Е(2), В(2), п образуют ортогональную тройку:

8出=в® = — £ [nji], Е(2) = Еизл = [Визлп], (43.6) нетрудно подсчитать вектор Пойнтинга (рис. 43.2):

S = ±[E』叫= ^[n 评.(43.7)

Интегрируя (43.7) по сфере радиуса г, находим мощность, излучаемую вибратором:

Pi = ,(nS)ddQ=^Mf_£)『.(43.8)

Особенность формулы (43.8) состоит в том, что р необходимо брать в запаздывающий момент времени，工 f —〃с.

Задача 43.1.Показатьt что импульс, уносимый электромагнитным

излучением вибратора Герца, равен нулю.

Формулу (43.8) можно использовать для вычисления мощности излучения медленно движущегося одиночного заряда. В самом деле,

для этого достаточно рассмотреть диполь, один из зарядов которого

неподвижен. Примером такой системы может служить атом водорода, в котором легкий электрон движется вокруг практически неподвижного тяжелого протона (рис. 43.3). Поскольку

неподвижный заряд создает лишь статическое поле, то вся излучаемая энергия определяется подвижным зарядом е. Поэтому, полагая в (43.8) р = е三(/), для мощности излучения одиночного заряда

127

находим

b =割啬 卜_/)1 =卸",一/)1 •(43.9)

Это соотношение известно как формула Лармора.

Практический интерес представляет гармонический вибратор Герца, когда зависимость р (/) имеет вид

р = р0 cosw/.(43.10)

В этом случае применение формулы (43.2) дает:

Е = Re(Eoe-IW "-"С))，B = Re 笛代一心("〃С))，

где амплитуды Ео и Во удобно представить в виде разложения по степеням 々/• = з〃с = 2пг/九：

Ed = [Зп (про) —р0](1 —加)"3—[п [пр。]]炉"，(43.11)

В。= [пр。] (1 — ikr) ik/r2.

При этом в ближней зоне, как и в статике, получим (kr <^ 1) :

Ео = —V[(p°r)"3], В° = о,、

тогда как в волновой зоне (々г 沙 1)

Ео —^[п[пр0]]/г, В0-=[пЕ0],

В этом случае мощность излучения равна

Р=^соУз(£ —善)，(43.12)

или после усреднения по времени

R = сМр；/(Зсз)=(2 口爪)4 (加 с/3).(43.13)

Отметим важное для практики обстоятельство: мощность излучения вибратора обратно пропорциональна АЛ

Полученные результаты можно применить и для расчета излучения простейшей антенны, для которой p(f) = /e(f), p = li. Считая ток возбуждения в антенне периодическим (/ = Zo coswZ), для средней мощной и излучения найдем

R =户2/2з2/(ЗсЗ)= *&,(43 14)

где,

R 尸等=4(竽 У(43.15)

называется сопротивлением излучения антенны или ее эквивалент ным сопротивлением, поскольку потери на излучение эквивалентнь тепловым потерям на омическом сопротивлении R.

Задача 43.2. Рассчитать энергию, теряемую электроном при рассеянии на ядре с порядковым номеров Z.

В качестве другого применения векторов Герца рассмотрим магнитный вибратор Герца, представляющий собой, например, небольшую рамку с током, обладающую магнитным моментом m (/). Рассматривая поле рамки на большом расстоянии от нее, магнитный момент можно считать точечным, т. е. положить M=in(f)6(r), Р = 0. Тогда с помощью (42.7) находим следующие векторы Герца:

Z = ；m , — /) , П = 0.(43.16)

Вычисление электромагнитного поля по векторам Герца (43.16) аналогично случаю электрического вибратора Герца, что позволяет использовать результаты последних расчетов, если в них совершить подстановку: р —* m, Е —> В, В —* — Е. В итоге находим:

.1

(43.17)(43.18)(43.19)(43.17)(43.18)(43.19)Е = 7 [пт] + 高[пт],

(43.17)

(43.18)

(43.19)

(43.17)

(43.18)

(43.19)

—т] 4-^-[п[пт]]^.

При этом мощность излучения равна

円=2"向2/(3*.

Для монохроматического магнитного вибратора Гепца

m = m0 cos со/, e = Re 也代，信-m)，B = Re (Boe( 阿-确)， где амплитуды Ео и Во нмзют такой вид:

% = — [nm0] (1 — ikr) ik/r2,

Bu = [3n (nm0) —m0](l — ikr)/r^ — [n [nm0]]依/几

Усредненная по времени мощность излучения, очевидно, равна

Р[ = о)4加/(3^3)=(層с/3) (2冗/九产.(43.20)

Если в качестве примера взять рамочную антенну с током силой /= /0cosG)Z и постоянной площадью рамки S, то ее магнитный момент равен т= IS/с, а средняя по времени мощность излучения

Р}=懣① 4s2/(з*)= Ar ,(43.21)

где введено эквивалентное сопротивление антенны

a =等=式学)g(43.22)

.44. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Рассмотрим систему источников р, j, занимающую некоторую ограниченную область 匕 которую можно заключить в сферу конечного радиуса а. При подсчете мощности излучения этой системы уже на основании оценок типа (43.14) и (43.21) можно заключить, что следует исключить из рассмотрения статические части р и j. Поэтому

5 № 2222129

систему можно заведомо считать нейтральной. Кроме того, если задаться некоторой минимальной допустимой мощностью излучения (порог чувствительности детектора), то следует исключить и низкочастотную составляющую источников р и j, т. е. можно считать, что их разложения в интеграл Фурье начинаются с некоторой минимальной частоты д:

p(f, г)=， ехр (—心/)p(o(r)ds;

3尸(44.1)

j (厶 r)= )exp (―沁f) L)(r) dw.

Из закона сохранения заряда (41.1) выводим, что

—iwpa + div jo = 0,(44.2)

т. е. справедливо верное для нейтральных систем представление

р (厶 г) = — div J 备 jg (г) ехр (―心£) dw.(44.3)

Производя также разложение в интеграл Фурье запаздывающих потенциалов (41.24), i р 'дставим их фуръе-образы в виде

屮з(Г)川 PsQ^^dH, As(r) = §j3(r，)^^ldK 左=搭.

(44.4)

Если нас интересует поле вне системы источников, т. е. при г〉а, то можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора

(44.5)(44.5)exp(/R)=二丄(—J • УУ exp(i储

(44.5)

(44.5)

Подставляя (44.5) в (44.4), получаем мультипольное разложение запаздывающих потенциалов, которое с учетом нейтральности системы принимает вид

中8 (r)=三与灯р。 (r) (J vy书出他，

二：(44・6)

А"К) = N^ 巾3『)С ^^ d"/ = 0У

Вводя фурье-образы тензоров электрического и магнитного мульти пол ьных моментов:

(^•々三*3(0/...%‘〃(11/',(^•々三*3(0/...%‘〃(11/',(44.7)(44.8)(44.7)(44.8)

(^•々三*3(0/...%‘〃(11/',

(^•々三*3(0/...%‘〃(11/',

(44.7)

(44.8)

(44.7)

(44.8)

разло;к^ние (44.6) мо^;ю переписать в координатной форме:

亍，(44.9)

Аз(г)= £*МГ“® …靠響也.

Рассмотрим теперь поведение потенциалов в волновой зоне, т. е, в области, где выполнено неравенство

旣沙L旣沙L(44.10)

旣沙L

旣沙L

Ввиду неравенства |①]》5三苗。(44.10) вытекает из условия

V>1>V>1>(44.11)

V>1>

V>1>

при выполнении которого можно положить

О1 咚*哼[/ (nr，)T 曰学[t (kr，)y,

где n = г/г, k^^n. Но тогда разложение (44.5) принимает вид

(44.12)(44.12)響 ^ £ % [- / (кОГ ~

(44.12)

(44.12)

/ = 0

Подстановка (44.12) в (44.4) дает представление фурье-образов потенциалов в волновой зоне:

д)а (r)«yp«(r/)eI (kR, dlz，； A^De^gmOe'aadH, (44.13)

откуда преобразованием Фурье получаются сами потенциалы:

中(厶 r)Q^§p[f —苧，r']dy‘，

А(/, r),^Jj[/_喀，r[d『，(44，I4)

а также их мультипольное разложение:

中(/，г) 0 f(Pc«J £%(^)—

丫 丁(44.15)

A«, r)m£Af Е* (肾…—千)人…％•

Задача 44.1. Показать» что в волновой зоне между потенциалами ф « А, а также между их мультипольными членами 屮工 и А^ выполняется связь

屮= (nA),(pz = (nAf_i).

(44.16)

Из (44.13) следует, что ряды в (44.15) сходятся тем быстрее, чем лучше выполнено неравенство 力〃应 1, поскольку отношение последовательных мультипольных членов по порядку величины равно

Mz/^z-il~|cPz + i/Tzl~^,

где предполагается, что частота з =力с дает наиболее существенный вклад в фурье-разложение потенциалов.

Используя полученные представления для потенциалов, нетрудно вычислить в волновой зоне и сами поля Е и В. При этом [см. (44.14)] можно пользоваться правилом

V = —^・(44.17)

В итоге получаем:

внзп = — ± [nA], Еизл = — [пВизл],(44.18)

где А определяется выражением (44.15). Аналогично получаем в волновой зоне и вектор Пойнгинга:

S = £[nA『.(44.19)

Задача 44.2. Показать, что если 8 разложении (44,15) ограничиться двумя первыми членами, что допустимо при выполнении условий типа I р I а《с I р I, то мощность излучения может быть представлена в виде суммы электрического дипольного, магнитного дипольного и электричек ского квадрупольного излучений:

(РУ 十急⑺产+ 备【3Q:Q—(Sp Q)2].、(44.20)

Исходя из соотношений (44.2) и (44.16), можно утверждать, что электрический 2'・по』ь будет давать мощность излучения юго же порядка, что магнитный 2г-1-поль при условии, что соответствующие мульти пол ьные моменты отличны от нуля. Это обстоятельство имеет большое практическое значение и часто используется при оценке мощности излучения реальных систем.

ИЗЛУЧЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ АНТЕННЫ

Пусть имеется линейная антенна длины /, в которой возбуждается ток частоты з. Направляя ось Z вдоль антенны и замечая, что на ее концах j = 0, исследуем тот простейший случай, когда в антенне возбуждена гармоническая стоячая волна тока плотностью

j= Io sin [nN (z〃+ 1/2)] 6 (х) 6 (у) exp (—心f),(45.1)

где【尸/危； N — некоторое целое число, определяющее тип возбуждения антенны. Особый интерес представляет резонансное возбуждение, когда k = ^/c=^nN/I. В этом случае N представляет собой число полуволн тока, укладывающихся в длине антенны.

В соответствии с (44.3) можно положить

р = — div Р, j = dP/d£, P = tj/s(45.2)

и ввести электрический вектор Герца П, который в волновой зоне [см. (44.14)] может быть записан в виде

Не京苧，r[dH.(45.3)

Подставляя (45.1) в (45.3), находим

П^ 专 1心73，j sin 卜N (" + })]仆叩 dz‘. (45 4)

Используя сферические координаты, начало которых помещено в середину антенны, имеем (kR j = & (г — z‘cosS), и (45,4) принимает вид

n^打尸g"〃0j sin 卜2 仟+引 e-MosGdz，. (45.5)

—//2

Вычисление интеграла (45.6) дает

и * У [ е-'з(‘-〃с)e'KN/2 RF兽•(45.6)

2①厂 0(jrJV"尸-片2 cos2 。''

Заметим, что А = П/с =——，力П. Поэтому [см. (44.19)] усредненная по времени угловая плотность мощности излучения равна

鵠=*| = г嚟[пА]』г噤[п吋，

или с учетом (45.6)

(45.7)(45.7)dP【_ " /& 冗""Vc；l2 q sin2 [л^/2 —(々〃2) cos 分] 瘟=丽正〈用丁丿Sm»一[(n耳"户-左2 C0S2例2

(45.7)

(45.7)

В дальнейшем нас будет интересовать случай резонансного излучения, когда k^nN/l и (45.7) принимает вид

(45.8)(45.8)dP[— /о sin2 [лУ sm2 (*&/2)] dQ — 8nc sm2 仆

(45.8)

(45.8)

Из (45.8) видно, что минимумы излучения определяются условием sin [яА/ sin2 (&/2)] = 0, откуда

= 2arcsin]/m/X; m = 0, 1, ..., М(45.9)

число максимумов совпадаетполуволн, укладывающихсячисло максимумов совпадаетполуволн, укладывающихсявое распределение мощвое распределение мощности излучения (диагности излучения (диаграмма направленности)рамма направленности)для %= 1, 2, 3 изобрадля %= 1, 2, 3 изображено на рис. 45.1.жено на рис. 45.1.Если ^ великоЕсли ^ великот. е. число минимумов равно ^^- 1, а с ^ и равно, таким образом, числу в длине антенны. Угло-

число максимумов совпадаетполуволн, укладывающихся

число максимумов совпадаетполуволн, укладывающихся

вое распределение мощ

вое распределение мощ

ности излучения (диаг

ности излучения (диаг

рамма направленности)

рамма направленности)

для %= 1, 2, 3 изобра

для %= 1, 2, 3 изобра

жено на рис. 45.1.

жено на рис. 45.1.

Если ^ велико

Если ^ велико

ходится на угол 8 ^ходится на угол 8 ^(”》1), то первый максимум излучения при-

ходится на угол 8 ^

ходится на угол 8 ^

Q 3j2*"-5. В этом случае

gin [jtA sir? (3/2)]sin 8

в то время как для центрального максимума (если 及=2也 + 1) •& = л/2, т. е.

sin [л^ sin2 (^^)], 1

Поэтому интенсивность первого бокового лепестка излучения антенны больше интенсивности центрального лепестка в 〃/0 раз, т. е. в основном излучение идет в направлении проводника антенны, который играет в этом случае роль ведущей линии (волновода).

Усредненная по времени полная мощность излучения антенны [см. (45.8)] равна

下Т 霊 ® = "к，(45.10)

где сопротивление излучения

ллsin2sin2л^ sin2л^ sin2оо8、dO2 丿 sin й8、dO2 丿 sin й(45.11)(45.11)

л

л

sin2

sin2

л^ sin2

л^ sin2

о

о

8、dO

2 丿 sin й

8、dO

2 丿 sin й

(45.11)

(45.11)

Заменой переменной 2л^siп2 (&/2)^=х (45.11) приводится к виду

2nN

R = ±，(1 -cos X)^ = -^[In (2л^)-Ci (2^)], (45.12) о

где у= 1,7811... — постоянная Эйлера, a Ci (х)= —— J cosxy ——ин

тегральный косинус.

Очевидно, что при %》1 членом Ci (2вМ) можно пренебречь. Тогда

R 比 In (2jt%y)/(4c).R 比 In (2jt%y)/(4c).(45.13)(45.13)

R 比 In (2jt%y)/(4c).

R 比 In (2jt%y)/(4c).

(45.13)

(45.13)

ПОЛЕ ПРОИЗВОЛЬНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА

Пусть точечный заряд е движется по заданной траектории г = |(/) со скоростью w (/) = &(/). Для описания электромагнитного поля, 1юрождаемого таким зарядом, введем плотности заряда и тока:

p(f, r) = e“i•一自(切；j(f, г) = ^(/)б[г-^(О].(46.1)

Кроме того, будем предполагать, что применимо запаздывающее решение уравнений поля, т. е. отсутствует как излучение, приходящее из бесконечности, так и тепловое излучение (《температура》 〔акуума равна нулю).

134

В данном случае удобнее записать запаздывающие потенциалы в форме (41.13), воспользовавшись запаздывающей функцией Грина (41.19):

(46.2)(46.2)"«, г)-с$ p(f, ^^^(R-cT) dr df；А(/, г) = $ j(f, r')RT3(R — cT)d『d，,

(46.2)

(46.2)

где Т = /—f, R = |r —r'|. Подставляя (46.1) в (46.2) и выполняя объемное интегрирование с учетом свойств 6-функции, находим:

Ф(Л r) = e“|/ —f + ；R('，r)]RT(，，Г) df;

А(/, г) = ^6р_/ + ：П(九 r)]u&)RT(，，г)”，(46'3)

где R(/, r) = |r-I(r)| = |R|.

Используем свойство (3.8) 6-функции, согласно которому для всякой функции f (^), имеющей однократные нули ，=力,справедливо представление

"『(£')]=卓帝評•(4М)

В данном случае

fd-f + R(乙 r)/c,(46.5)

поэтому

户(Q = l—(no)/&(46.G)

где n = R/R. Если считать, что заряд движется со скоростью у < с, то f (f) > 0. При этом функция / (f) монотонна и уравнение f (行=0 имеет единственный корень ? = g：

g = f — R(& г)/с.(46.7)

Таким образом, согласно (46.4) и (46.6), имеем

dlf-t + Rif, г)/с] = 6 修 一 D [ 1 _ (iw)/c]t.(46.8)

Подставляя (46.8) в (46.3), преобразуем запаздывающие потенциалы:

屮(詳 r)= [cR_(uR)k ； А(/, г)=[《R —(UR)]匕,(46.9)

где индекс g означает, что выражение в скобке берется в запаздывающий момент времени, определяемый уравнением (46.7). Полученное решение (46.9) известно как потенциалы Льенара — Вихерта. Особенность их состоит в том, что электромагнитные потенциалы в точке наблюдения г в момент времени t определяются положением и скоростью заряда в некоторый предшествующий момент времени G(f* г), вычисляемый из (46.7).

С помощью потенциалов Льенара — Вихерта нетрудно вычислить и поля Е и В, создаваемые произвольно движущимся зарядом. Предварительно замечая, что

d^/dt = [1 —(ггп)/с]т, VG = — п [с —(пи)]'1,(46.10)

находим последовательно, опуская индекс запаздывания 白：

V ®R) = Z + vgd ®R)2g = е — п [(而R) — и2] [с — (пи)]"1,

rot Z= — [пи] [с —(ПФ)]"1,

_ V吋 爾二品F V RR _ ®R)]=

— ec洲一у2Ц- (^R)

一 R2 [c—(n©)]2 _ 舒十 П(砌—_ *

1 dA —1 HA 甚 _е百

—Т" "Э7 —dt — R [c—(口叫頁一，

-^^p[c(no) + ®R)-叫；

rot A = c-i rot ((pii) = (ф/с) rot ^ + ^'1 [v屮矶=

R[C-(ne)]2R2[c—(口叫3 比 ° 十 90」，

В результате получаем следующие выражения для полей:

F — /«2—济)(С"一V)」"[(e"一》)研I!.以6 11、

I [C—(nJ)]3R2 十[c—(nJ)]3R 仆丿

B =『nFk(16 12)

Для подсчета мощности, теряемой неравномерно движущимся зарядом на излучение, нужно составить выражение для вектора Пойнтинга S и оставить в нем члены, обратно пропорциональные R% поскольку интегрирование будет производиться по бесконечно удаленной поверхности Иначе говоря, необходимо рассмотреть волновую зону. Поскольку в ней поле поперечно, т. е. удовлетворяет условию (пЕизл) = 0, то вектор Пойнтинга имеет вид

гдегде(46.13)(46.13)(46.14)(46.14)S = ±n (Е~2,

где

где

(46.13)

(46.13)

(46.14)

(46.14)

"" [(c门 一『)力]]]

I [с—(ne)|3 R /厂

Подставляя (46.14) в (46.13), для углового распределения мощности излучения dP"dQ=(nS)a находим выражение

暇 к е2c !(孙 2 (no) (/) 由2 "或 \

dQ 4ir I [c—(ne)]4 十[c — (n^)]5 I 丿[c —(nt?)]6 J ^ *I '丿

Интегрируя (46.15) по бесконечно удаленной замкнутой поверхности, можно получить полную мощность излучения Рр однако она не совпадет с истинными потерями энергии заряда на излучение.

Чтобы понять, почему это так, окружим заряд некоторой замкнутой и жестко связанной с ним поверхностью, например сферой радиуса R с центром в точке нахождения заряда в запаздывающий момент времени & Очевидно, что поток энергии сквозь такую поверхность и определяет истинные потери энергии заряда РЕ. Но поскольку поверхность перемещается в пространстве со скоростью и заряда, то поток энергии сквозь нее определяется не только вектором Пойн- тинга, но еще и переносной плотностью потока энергии, равной ——ют. Таким образом, результирующая плотность потока энергии сквозь поверхность определяется вектором

S' = S(46.16)

Замечая, что для поля излучения плотность энергии равна

w 二(Еизл)2/(4я)工(nS)/c,

для скорости потерь энергии зарядом в данном направлении найдем

將=R2 (ns，) = R2 (nS屮—啖-需[1 —明，(46.17) или с учетом (46.10)

時 d” 招 dt(46.18)

Таким образом, если некоторая порция электромагнитной энергии была испущена зарядом за время 也 то в точке наблюдения она регистрируется в течение времени df = dg [1 —(пи)/с] Это обстоятельство позволяет записать скорость потерь энергии зарядом на излучение в виде

4=一備广"■(46.19)

Задача 46.1. Показать, что полная мощность излучения и скорость потерь энергии на излучение точечным зарядом е имеют, такой вид:

厶=学｛曲2逐二呼一[询2(e2-叫-3h.(46.21)

Соотношение (46.21) впервые было получено А. Льенаром в 1898 г. Нетрудно видеть, что в пределе v/c—>0

Л —^― g(<(46.22)

т. е. получается уже известный нам результат Лармора (43.9). В этом случае в волновой зоне

Енз” = ^｛%[п[по]]｝；, Визл = [пЕизл]:, (46.23) что соответствует дипольному излучению, описываемому вектором Пойнтинга

S=磊｛當(沁ё2或.(46.24)

137

В случае, когда 〃тс, наблюдается резкая анизотропия излучения, Так, Е“зп 〜(1 — 〃/с)~2 一> оо в направлении движения заряда, т. е. при n==Z/〃, и Еизл конечно при п = — v/v. Это говорит о том, что излучение в основном направлено вперед, будучи сосредоточенным в узком конусе вблизи вектора скорости частицы. Примером такого направленного излучения может служить синхротронное излучение, испускаемое ультрарелятивистским зарядом, движущимся в магнитном поле со скоростью, приближающейся к световой.

Задача 46.2. Показать, что максимум излучения улыпрарелятивистс- кой частицы приходится на направление, составляющее с вектором скорости и угол

今 р а (а) (1 —v2/c2)i/2 , (46.25) где а (а)—коэффициент, зависящий от угла а между векторами V и V. В частности, если а ^ л/2, то а = (У 34—1)1/2 / У 3, если же а 卢冗/2, то а= ]/"7/2.

Задача 46.3. Найти потенциалы ф, А электромагнитного поля, создаваемого точечные зарядом е, движущимся с постоянной скоростью о. Рассмотреть также гипотетический случай сверхсветовой скорости, V > с.

СИЛА РЕАКЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ

Рассмотрим заряженную частицу с энергией Е и импульсом Р, взаимодействующую с электромагнитным полем, занимающим некоторую область V, граничную поверхность которой S мы впоследствии расширим до бесконечности. Запишем, основываясь на теореме Пойн- тинга, закон сохранения энергии для данной системы:

言(Е +取)=一夕(nS)dS = — P[, (47.1)

где W — энергия электромагнитного поля в области У, a Pj — мощность излучения. Для оценки Р【воспользуемся дипольным приближением, допустив, что вклад высших мультипольных моментов ничтожно мал. Наконец, будем считать скорость заряда малой по сравнению со скоростью света (и«с). В таком случае [см. (43.9)], приняв, что поверхность S —сфера бесконечно большого радиуса R, в центре которой расположен заряд % имеем

%=1^[”,—等)『， (472)

С другой стороны, при и«с, согласно (46.10), 式 ^ df, что позволяет перейти в (47.1) от времени наблюдения f к времени испускания излучения g = f —R/c：

^(Е +取)=—等亩 @『 (47.3)

Наконец, используя результат задачи 43.1, запишем еще и чакон сохранения импульса для системы:

*(P + G) =張(P + G)=0, (47.4)

где G~ импульс электромагнитного поля в области V. Из соотношений (47.3) и (47.4) вытекает, что всякий излучающий заряд должен испытывать дополнительную силу со стороны испускаемого им электромагнитного поля. Согласно (47.4), эта сила, обычно называемая силой реакции излучения^ равна

FR = dP/dg = — dG/%(47.5)

где G — импульс электромагнитного поля, порожденного зарядом. Замечая, что по теореме живых сил dE = ®dp), из (47.5) и (47.3) выводим

-翡(患)' + ®Fr).(47.6)

Поскольку левая часть (47.6) имеет вид полной производной, то наиболее общее решение этого уравнения относительно Fr есть

FR = vU(r) + [0K] + ^ 窮，(47.7)

где К — произвольный вектор, U (г) — произвольная скалярная функция точки. Но, согласно (47.5), FR = — dG/d& т. е. имеет вид полной производной. В связи с этим в (47.7) следует положить U н =：К = 0 и оставить член 2е2tl/(3产)，определяемый состоянием движения самого заряда и описывающий силу реакции излучения

Fr = 2е 汨/(3*.(47.8)

Если заряженная частица имеет массу m и движется в поле внешних сил F, то с учетом силы реакции излучения (47.8) уравнение ее движения можно записать в виде

mz = F + 2合g/(3C3).(47.9)

Чтобы проиллюстрировать, к каким изменениям в характере движения частицы приводит учет силы реакции излучения, рассмотрим случай однородной внешней силы F = F(£). Вводя обозначения 2е2/(3тс3) м х, F/他三g ⑺，перепишем уравнение движения (47.9) в виде

而—乂方=g (/).(47.10)

Для решения этого уравнения найдем сначала функцию Грина задачи G (Г), где 『 = £ —— £'. Последняя удовлетворяет уравнению

g一乂0= 6(7).(47.11)

Замечая, что G задана с точностью до постоянной и при Т ^0 Удовлетворяет однородному уравнению G — xG = 0 с решением

G.^^C. + C^

будем искать G (Т) в виде

G (Т) = &ет〃 + 0 (Г) (С2е^ + С)(47.12)

139

Подставляя (47.12) в (47.11), находим С3 = — С2 == 1, т. е.

G (7) = СеТ/乂 + 8 (Т) (1 — ^丁小),(47.13)

где С — произвольная постоянная, выбор которой приводит к важным физическим последствиям. В частности, если ограничиться запаздывающим решением, исчезающим при Г < 0, то

G3an (Г) =9(Т)(1 -е^).(47.14)

Физически G3an представляет собой скорость покоившейся при 7 < 0 частицы, на которую действует импульсная сила б (Г). Однако G3an= 1 — е7^ при Г > 0, т. е. частица начинает самоускоряться в направлении, противоположном действию силы. Такое решение, очевидно, не поддается физической интерпретации. Поэтому выберем функцию Грина из условия ее ограниченности при Г > 0. В таком случае необходимо выбрать 1, т. е.

G (Т) = 8 (Т) + [1 — 8 (Г)] е«(47.15)

Решение уравнения движения (47.10), отвечающее такому выбору функции Грина, имеет вид

。(力=%+ § g(f')G(/ — /)d，，(47.16)

где /= lim 疗(/), если считать, что g(t) достаточно быстро убывает при / —»- — оо [в большинстве физических задач g(2) = 0 при / < /0]. Подставляя (47.15) в (47.16), находим

tоо

0(/) = /+，g(，)” + J g(，)e(i)/W「(47.⑺

Если первые слагаемые в (47.17) имеют обычный ньютоновский вид, то последнее слагаемое несколько необычно. Нетрудно видеть, что оно соответствует учету опережающих воздействий, появление которых связано с высшими производными в уравнении движения. Если бы при оценке мощности излучения Р『мы учитывали высшие мультипольные моменты (магнитный дипольный, электрический квадрупольный и т. д.), то эффект опережения был бы еще более сильным.

Появление опережающего воздействия можно было бы понять, если бы частица была протяженной. Так, например, заряженный шарик радиуса а испытывает воздействие электрического поля Е (г) в тот момент, когда его центр находится на расстоянии а от точки г. В данном же случае время опережения по порядку величины равно 乂， а эффективный размер хс = 2е2/(3тс2). Таким образом, излучающин точечный заряд ведет себя как протяженная частица, аффективна” структура которой обусловлена полем излучения. Например, электрону, масса которого т^9,1 ■ I0-?8 г, соответствует эффективный 140

размер , получивший название классического радиуса электрона и равный

r0^e2/(mc2) = 2,8-10-^ см.(47,18)

Задача 47.1. Найти затухание скорости заряженной частицы е по- стоянием магнитном поле В, считая силу реакции излучения малой.

РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН СВОБОДНЫМИ ЭЛЕКТРОНАМИ (ФОРМУЛА ТОМСОНА)

Рассмотрим произвольную неизлучающую систему зарядов и токов. Если эта система окажется в поле электромагнитной волны с заданной плотностью потока энергии So, то под действием поля вол

ны в системе возникнут изменяющиеся во времени мультиполь- ные моменты, а это [см. (44.15)] приведет к тому, что система начнет излучать.

Очевидно, что мощность излучения dP『в некоторый телесный угол dQпропорциональна I So |. Поэтому одной из важных характеристик такой системы зарядов и токов должно быть отношение

do = d?/|SJ (48.1)

имеющее размерность площади и называемое дифференциальным сечением рассеяния системы. Если воспользоваться квантовыми представлениями об электромагнитном поле, т. е. ввести кванты света —— фотоны, то da будет численно равно площади, на которую падают фотоны, рассеянные в телесный угол dC (рис. 48.1). Интегрируя (48.1) по всем направлениям, получаем полное сечение рассеяния

5 小 Q = 3 (48Z

В качестве примера рассмотрим рассеяние электромагнитных волн свободным электроном. Уравнение его движения в поле волны [см. (47.9)] можно записать в виде

(48.3)(48.3)/?切=е (Е + [&В] 6) + 2е2^/(3с3).

(48.3)

(48.3)

nw ee + 20百/(3炉).nw ee + 20百/(3炉).(48.4)(48.4)Считая движение электрона достаточно медленным, т. е. полагая и«с, и учитывая, что для плоской электромагнитной волны | Е | = ■ |В|, можно пренебречь членом [?В]/с по сравнению с Е и переписать (48.3) так:

nw ee + 20百/(3炉).

nw ee + 20百/(3炉).

(48.4)

(48.4)

Полагая в (48.4) Е = Ео ехр (—心f), и=бехр(—心/), т. е. рассматривая только вынужденное движение электрона и пренебрегая зависимостью Е от г, находим

(48.5)

Поскольку для плоской падающей волны |S0| = c| Е|2/(4л), а мощность излучения в телесный угол dQ [см. (46.24)] равна

dP/ =盛 im?#dQ,dP/ =盛 im?#dQ,(48.6)(48.6)то с помощью (48.5) нетрудно найти дифференциальное сечение рассеяниято с помощью (48.5) нетрудно найти дифференциальное сечение рассеянияdodoе4 dQе4 dQI [пЕ] |2 Ло s п2 ^ dQI [пЕ] |2 Ло s п2 ^ dQi卢 I 1 + ,2з「о/(3с) |2 ТЁр- — 1 + [2з厂о/(3с)]2i卢 I 1 + ,2з「о/(3с) |2 ТЁр- — 1 + [2з厂о/(3с)]2(48.7)(48.7)

dP/ =盛 im?#dQ,

dP/ =盛 im?#dQ,

(48.6)

(48.6)

то с помощью (48.5) нетрудно найти дифференциальное сечение рассеяния

то с помощью (48.5) нетрудно найти дифференциальное сечение рассеяния

do

do

е4 dQ

е4 dQ

I [пЕ] |2 Ло s п2 ^ dQ

I [пЕ] |2 Ло s п2 ^ dQ

i卢 I 1 + ,2з「о/(3с) |2 ТЁр- — 1 + [2з厂о/(3с)]2

i卢 I 1 + ,2з「о/(3с) |2 ТЁр- — 1 + [2з厂о/(3с)]2

(48.7)

(48.7)

где -& —угол между направлением излучения п и вектором поляриза-ции е = Ео/Ео падающей волны, г^ — классический радиус электрона.Теперь уже нетрудно подсчитать и полное сечение рассеяния

G (CO)=G (CO)=1 + [2з 入/(%)『1 + [2з 入/(%)『8л 9 % ^~Го.8л 9 % ^~Го.(48.8)(48.8)

G (CO)=

G (CO)=

1 + [2з 入/(%)『

1 + [2з 入/(%)『

8л 9 % ^~Го.

8л 9 % ^~Го.

(48.8)

(48.8)

зависимость которого от частоты представлена на рис. 48.2. В предельном случае низких частот, когда 3厂。«，, находим

lim а(со) = по = 8лг^/3.(48.9)

<о -> О

Эта формула впервые была получена Дж. Дж. Томсоном и названа его именем. Из нее следует, что полное сечение рассеяния электромагнитных волн свободным электроном имеет по-

Рис. 48.2Рис. 48.2石 рядок площади круга радиуса г0. Поэтому г0 = ё^Ктс^) можно вполне обосно* ванно рассматривать как характерный

Рис. 48.2

Рис. 48.2

размер электрона, его классический радиус.

Задача 48.1. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния эллиптически поляризованных плоских электромагнитных волн свобод^ ным электроном.

КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ

ТОКИ И ПОЛЯ

ГлаваПри решении многих электродинамических за*дач весьма полезным оказывается так называе

мое приближение квазистациопарного поля. Его применяют при анализе линейных цепей переменного тока, при расчете длинных линий, в магнитной гидродинамике и в других областях. Чаще всего это приближение эффективно в тех случаях, когда характерные частоты изменения токов и полей не очень велики и поэтому длины 入 электромагнитных волн, которые могут излучаться системой, значительно превосходят ее линейные размеры /. Иначе говоря, если ввести характерное время Т изменения полей, то предполагается выполнение условия

«Т,(IV.1)

которое можно назвать достаточным условием квазистационарности. Электромагнитное поле в этом случае напоминает по структуре поле вибратора Герца в ближней зоне и получило название квазистационарного. Уравнения для полей в квазистационарном приближении оказываются более простыми, что позволяет эффективно использовать их для решения широкого круга задач.

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В КВАЗИСТАЦИОНАРНОМ СЛУЧАЕ

Квази стационарное приближение, основанное на условии (IV. 1), соответствует предположению о медленности процессов. Это означает,

耳тд всякое изменение поля в какой-либо части системы практически мгновенно передается в любую ее точку, т. е. фаза изменения поля во всех точках системы практически одна и та же. Иными словами, при анализе процессов в системе можно пренебречь запаздыванием, заменив, например, в выражении для запаздывающих потенциалов (41.24) аргумент t — R/c на t. В результате потенциалы ср и А можно записать в виде

屮«，r) = gf^d『； A(Z, r) = |Jlg^ldr,(49.1)

откуда следует, что они являются решениями уравнений

Д(р = — 4лр, АА = —4nj/c,

не отличающихся от стационарных. Особенность этих уравнений состоит в том, что время t все же входит в них параметрически — через источники р и j. Поэтому при вычислении полей Е и В воспользуемся обычным определением

Е =—1^-_ V(p, В = rot А,(49.2)

учитывающим вихревой характер электрического поля.

Таким образом, уравнения для полей е квазистационарном приближении действительно упрощаются. Для получения этих упрощенных уравнений в случае неоднородной среды с проницаемостями е(г) и ц(г), а также при наличии проводников с удельной проводимостью о (г) воспользуемся методом электромагнитных потенциалов в специальной калибровке

div(EA) = 0.(49.3)

Тогда уравнения Максвелла принимают следующий вид:

div (е Vq)) =——4np,

rot(lrot А)=^ j—j-^-(V(p + 7^) .(49.4)

Если в области с линейным размером I рассматривать решения этих уравнений, существенно изменяющиеся за некоторое время 71, то при выполнении условия (IV.1) в среднем по области

rot(#ot А.)|>rot(#ot А.)|>8 /Ас2 d产8 /Ас2 d产(49.5)(49.5)

rot(#ot А.)|>

rot(#ot А.)|>

8 /А

с2 d产

8 /А

с2 d产

(49.5)

(49.5)

В самом деле, в среднем по области | rot (ц-1 rot А) | имеет порядок 4(/2卩)，тогда как порядок | ес~2 д2А/д/21 есть гАЦс^Т2). Поэтому (49.5) является следствием (IV. 1). С учетом неравенства (49.5) уравнения Максвелла для квазистационарных процессов можно записать в таком виде:

г"(^в) = ^1卷'碧，div(8 V(p) = —4лр,г"(^в) = ^1卷'碧，div(8 V(p) = —4лр,rot Еrot Ес dtс dt,div В = 0.,div В = 0.(49.6)(49.6)

г"(^в) = ^1卷'碧，div(8 V(p) = —4лр,

г"(^в) = ^1卷'碧，div(8 V(p) = —4лр,

rot Е

rot Е

с dt

с dt

,div В = 0.

,div В = 0.

(49.6)

(49.6)

Они отличаются от полных уравнений Максвелла (10.1) тем, что в первой группе уравнений сделано пренебрежение вихревой частью Е по сравнению с потенциальной частью, что можно выразить неравенством

1^1>4|^|-(497)

Это неравенство можно считать определяющим условием квазистационарности вместо (IV.1). Такое предпочтение оправдано тем, что, например, для длинных линий условие (IV.1) нарушено, тогда как уравнения (49.6) справедливы, ибо выполнено неравенство (49.7).

Наконец, для хороших проводников уравнения (49.6) могут быть подвергнуты дальнейшему упрощению, если предположить выполнимость неравенства

а? >8.(49.8)

Поскольку согласно закону Ома j = а(Е + Естор), то (49.8) сводится к предположению о малости плотности тока смещения по сравнению с плотностью тока проводимости:

备開|匂m(499

С учетом (49.9) уравнения (49.6) принимают такой вид:

"g8)=口，div (ее) = 4пр,rotE =—丄零，divB = 0.

Как видно, индукция В подчиняется уравнениям магнитостатики, что позволяет использовать все результаты этого раздела. Вмес.е с тем необходимо учитывать, что электрическое поле Е не является безвихревым.

КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ

В ЛИНЕЙНЫХ ПРОВОДНИКАХ

Из общих уравнений Максвелла для квазистационарных процессов нетрудно получить основные уравнения для токов в системе квазилинейных проводников, обычно используемые при расчете линейных цепей, содержащих такие элементы, как резисторы, конден саторы и катушки индуктивности. Однако проще всего эти расчетньк уравнения вывести из закона сохранения электрического заряда г закона электромагнитной индукции Фарадея. Но если в (10,4) заког. Фарадея был сформулирован в виде

f(Edl)= -^J(n 患)dS=-扌票，(50.1

/s

где Ф—магнитный поток сквозь неподвижный контур /，то наиболее общая его формулировка (1.17) предполагает произвольно деформирующийся проводящий контур (см., однако, задачу 1.9). При этом э. д. с. в контуре оказывается равной

1 d①с d/ '1 d①с d/ '(50.2)(50.2)

1 d①

с d/ '

1 d①

с d/ '

(50.2)

(50.2)

Покажем, что уравнение (50.2) может быть выведено из (50.1),

если учесть движение контура. Для этого введем скорость и движе

Рис. 50.1Рис. 50.1ния произвольной точки контура (рис.

Рис. 50.1

Рис. 50.1

. Поскольку за время d/ элемент контура d2 опишет ориентированную площадку

n dS = [dl u] d/,

то вызванное движением контура изменение магнитного потока равно

5Ф = —d/^(B[dlu]).(50.3)

В результате полная скорость изменения магнитного потока

票=穿一,®B]dl).(50.4)

С учетом (50.1) соотношение (50.4) можно переписать в виде

$(ЕУ1) = -；^,(50.5)

где

Е'=Е + ^[иВ](50.6)

——эффективная^ или действующая, напряженность электрического поля 8 движущемся контуре.

Отсюда видно, что если

(50.7)(50.7)居三夕（E，dl）,

(50.7)

(50.7)

то (50.5) эквивалентно (50.2). Легко понять, что в движущемся проводнике истинная э. д с. описывается именно формулой (50.7), поскольку на заряды, создающие ток в движущемся проводе, действует полная сила Лоренца

F = e(E + ；[uB]) = eE〈

Итак, будем исходить из уравнения (50.5), которое применим дляИтак, будем исходить из уравнения (50.5), которое применим дляквазилинейных проводниковквазилинейных проводников卜Е' dl) = - § (Ectop dl) + J 衅卜Е' dl) = - § (Ectop dl) + J 衅—SCW? + IR.—SCW? + IR.(50.10)(50.10)

Итак, будем исходить из уравнения (50.5), которое применим для

Итак, будем исходить из уравнения (50.5), которое применим для

квазилинейных проводников

квазилинейных проводников

卜Е' dl) = - § (Ectop dl) + J 衅

卜Е' dl) = - § (Ectop dl) + J 衅

—SCW? + IR.

—SCW? + IR.

(50.10)

(50.10)

Задача 50.1. Найти з. д. с. & униполярной машины, представляющей собой постоянный сферический магнит радиуса а, вращающийся с угловой скоростью о. Один из подвижных контактов расположен на полюсе» а другой — на экваторе (р〃с. 50.2).

описания токов в некоторой системе (включающих различные омические нагрузки, катушки самоиндукции, трансформаторы, цепи электродвигателей и тому подобное), которые могут содержать и разрывы в виде конденсаторов.

Заметим, что внутри движущегося проводника, согласно закону Ома, j ^^(Е7 + Естор), или

Е』— Естор + "о,(50.8)

а внутри конденсатора, по условию (49.7),

= —V(p. (50.9)

Используем (50.8) и (50.9) для вычисления контурного интеграла в (50.5). При этом для проводящего участка контура Д/ с сопротивлением R

В то же время для участка с конденсатором емкостью С (рис. 50.3)

(50.11)(50.11)

(50.11)

(50.11)

где е(/) —заряд конденсатора. Зная силу тока, проходящего через конденсатор, и принимая для простоты е(0) = 6, имеем

с (%) = — § / (/) df*о

С учетом соотношений (50.10) и (50.11) для некоторого замкнутого контура 1$

?(e'出)=£ (一 身^ + /阳+喜 pz d/) ,(50.12)

где сумма распространяется на все элементы контура. Вводя взаимную индуктивность Lik двух элементов, по которым протекают токи

117

силой // и /却 для магнитного потока ①$, связанного с контуром ls и входящего [см. (50.5)] в левую часть (50.12), получаем

①尸营££〃/•(50」3)

£ W 2$ k

В результате (50.12) принимает вид

* (±2 g 厶/+ /典・ + ^-『/* d/)= £ 6?ор. (50.14)

Мы получили второй закон Кирхгофа для линейной цепи переменного тока: сумма сторонних з. д. а, взятая по некоторому замкнутому контуру, равна сумме падений напряжений на всех индуктивных, емкостных 〃 омических элементах этого контура.

Наконец, для разветвленных цепей уравнения (50.14) следует дополнить первым законом Кирхгофа. Для его получения воспользуемся соотношением

言 Y 察)=0，(50.15)

являющимся очевидным следствием (49.6) и выражающим закон сохранения электрического заряда в квазистационарном приближении. Интегрируя (50.15) по некоторому объему, включающему точку разветвления цепи, и используя теорему Гаусса — Остроградского, получим

f(nj)dS-f±(nV)^dS = O,

SS

или

§/产 0,(50.16)

где сумма берется по всем ответвлениям, сходящимся в данной точке, а под токами /论 понимаются как юки проводимости, так и квазистационарные токи смещения. Соотношение (50.16) к представляет собой первый закон Кир^офа: сумма сил токов, притекающих л: точке разветвления цепи, равна нулю.

Итак, для расчета линейных цепей с квазистационарными токами достаточно составить и решить систему уравнений Кирхгофа (50.14) и (50.16). В наиболее распространенном случае, когда токи и э. д. с. зависят от времени гармонически:

厶= /£е-з,贫т°Р = ^е-叫

a Cz и Lik не зависят от времени, второй закон Кирхгофа принимает вид

2 £Z/Jg =，峭，(50.17)

где введена матрица комплексного сопротивления (импеданс)

Z分三 Rjbjk + "%^С^-^с^(50.18)

действительная часть которой содержит активные сопротивления R^ а мнимая — реактивные сопротивления X,色工%也(toC/)-1 —①%色с"*.

В качестве примера рассмотрим простую厶

(50.19)(50.19)цепь, состоящую из последовательно включенных индуктивности 厶，емкости С и сопротивления R (рис, 50.4), В этом случае

(50.19)

(50.19)

где

Z = R + iX, X = (соС)'1 —(oL/c2.(50.20)

Отсюда видно, что между током и э.д.с. появляется сдвиг фаз <р: 薔e-忆tg屮=^ =姦一胞， (50.21)

что принято изображать на диаграмме ток — напряжение (рис. 50.5). Если подсчитать выделяющуюся в цепи тепловую мощность, то найдем _ '

R戸=R I /。产/2 = cos 叫 6。/。|/2・ (50.22)

В связи с этим сдвиг фаз ср, определяемый соотношением (50.21), часто называют углом потерь. Будучи весьма важной характеристикой линейной цепи, позволяющей определить в ней тепловые потери, cos ср обычно все-

Рис. 50.5Рис. 50.5гда указывается в паспортах различных технических устройств, например электродвигателей переменного тока.

Рис. 50.5

Рис. 50.5

Замечая, что импеданс Z системы яв- ^— ляется функцией частоты(о приложенной э.д.с., нетрудно определить ту частоту %, при которой сила тока в цепи максимальна, т. е. наступает резонанс. Согласно (50.21), при этой частоте |Z| минимально, откуда ImZ = 0, т. е.

д -=c(LC)~ 1/2.д -=c(LC)~ 1/2.(50 23)(50 23)

д -=c(LC)~ 1/2.

д -=c(LC)~ 1/2.

(50 23)

(50 23)

Соотношение (50.23) для резонансной частоты известно как формула Томсона *. Нетрудно видеть, что при этой частоте 屮=0, т. е. потери в цепи максимальны — контур отбирает от источника максимальную энергию.

Часто в реальных конденсаторах и катушках индуктивности также наблюдаются потери, что связано с проводимостью используемых материалов. Эти потери удобно описывать с помощью формализма комплексных проницаемостей * * е = е' + £е", В = р/+，рЛПо

лагая С = еС0 и L = н^о» импедансы конденсатора и катушки индуктивности можно представить в следующей форме:

Zc =爲寿，Zz = 一 而4(Q + 中")/风(50.24)

Тогда соответствующие углы потерь имеют такой вид:

(Pc = arctg(E/X),(pz = —arctg(p//p/)(50.25)

Задача 50.2. Записать уравнения Кирхгофа для линейной цепи, изображенной на рис. 50.6.

§ 51. ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ

В ЦЕПИ ЛИНЕЙНЫХ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ：

ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ

Из уравнений Максвелла в квазистационарном приближении нетрудно получить теорему Пойнтинга, которая выглядит так же, как и в общем случае:

(jE) = — dw/dt -divS, S = c [EH]/(4n),(51.1)

но с тем отличием, что выражение для плотности энергии электромагнитного поля равно

侬=叫+侬m = e (V中)2/(8冗)+n哥/(8冗)，(5L2)

т. е. оставляется лишь потенциальная часть электрического поля Е = — у(р. В связи с этим wQ отлична от нуля практически только в конденсаторах, т. е. полная электрическая энергия равна

%=5"叩吊£各(51.8)

в то время как магнитная энергия Wm имеет обычный вид, как и для системы постоянных токов:

Wm=\wmdV = ^^LihIiIk.(51.4)

k

Запишем теперь интегральную теорему Пойнтинга:

g(jE)dM=—±”e + Wm)— $ (nS)dS.(51.6)

Поверхностный интеграл в (51.5), описывающий потери системы на излучение, в квазистационарном приближении исчезает, так как [см, 49.6)] на поверхности S, которую будем считать сферой бесконечно большого радиуса имеем:

Е〜RE Н〜RR |S|〜R」

Наконец, преобразуем интеграл в левой части (51.5). Полагая в соответствии с законом Ома

j = ри + G (Е + [11В]/С + ЕСТОР), где и —скорость движения проводников или обкладок конденсаторов, находим

，(jE) dU = $ U'7q — (『ЕСТОР) + (uf)] w.(51.6)

Здесь j' = j — pu — плотность тока в неподвижных проводниках, f = рЕ J-^-1 [j4 — плотность силы Лоренца. Поскольку для линейных токов YdV = /dl, то

，U"/0_(j，ECTOP)] d7 = £(/沁一/咼т°Р).

Наконец, слагаемое ^ (uf) dF в (51.6) представляет собой мощность силы Лоренца и в соответствии с теоремой живых сил может быть приведено к виду，(uf) dU = dT/df, где Т — кинетическая энергия системы. В результате уравнение (51.6) можно переписать:

$ (jE) dV = £ (/訳L /碗吗 + d?7d/.(51.6a)

k

Подстановка (51.6a) в (51.5) позволяет записать закон сохранения энергии в системе квазистационарных токов в виде

+ 含£厶，厶+^ё^=予/碘 Т。Р-"a)・ ◎L7)

Структура этого уравнения подсказывает мысль о существовании далеко идущей аналогии между системой квазистационарных токов и механической системой с диссипацией. В самом деле, если заряды С/ рассматривать как обобщенные координаты, то силы токов = — е； должны играть роль обобщенных скоростей. При этом уравнения Кирхгофа (50.14) и (50.16) можно записать в форме уравнений Лагранжа:

в которых функция Лагранжа и диссипативная функция Рэлея имеют соответственно такой вид：

纷=£传/次,一/?6产).(51.10)纷=£传/次,一/?6产).(51.10)

纷=£传/次,一/?6产).(51.10)

纷=£传/次,一/?6产).(51.10)

Таким образом, энергия % магнитного поля играет роль кинетической, а энергия WQ электрического поля —роль потенциальной энергии, что полностью согласуется с выведенными ранее выражениями для обобщенных сил (23.15) и (33.8).

Отмеченное обстоятельство позволяет легко вычислять механические силы взаимодействия токов и зарядов, обычно называемые пондеромоторными силами. Так, если коэффициентыCz или Lik1 входящие в Л, явно зависят от некоторых геометрических параметров qs (обычно размеров или расстояний), которые могут изменяться со временем, то соответствующие им обобщенные силы находят по обычному правилу:

%=鼠=££/八舞一£导费信），%=鼠=££/八舞一£导费信），(51.11)(51.11)

%=鼠=££/八舞一£导费信），

%=鼠=££/八舞一£导费信），

(51.11)

(51.11)

Если к лагранжиану Л добавить соответствующую механическую часть, зависящую от q$ и q$, то нетрудно получить и уравнения движения для параметров qs с учетом пондеромоторных сил (51.11), действующих на элементы системы со стороны электромагнитного поля.

В качестве примера возьмем катушку самоиндукции длины /, поперечного сечения лг2, с обмоткой из N витков провода. Тогда сила, действующая на катушку в направлении /, равна

Q /2 о /4д2№Л2吊=羽力(-一Q /2 о /4д2№Л2吊=羽力(-一…/22л2№г2…/22л2№г2<0,<0,(51.12)(51.12)

Q /2 о /4д2№Л2吊=羽力(-一

Q /2 о /4д2№Л2吊=羽力(-一

…/22л2№г2

…/22л2№г2

<0,

<0,

(51.12)

(51.12)

т. е. соленоид стремится растянуться, что качественно объясняетсят. е. соленоид стремится растянуться, что качественно объясняетсяотталкиванием тех элементовотталкиванием тех элементовРис. 51.1Рис. 51.1

т. е. соленоид стремится растянуться, что качественно объясняется

т. е. соленоид стремится растянуться, что качественно объясняется

отталкиванием тех элементов

отталкиванием тех элементов

Рис. 51.1

Рис. 51.1

т. е. соленоид стремится сократиться, что качественно объясняется притяжением двух соседних витков с током. В то же время сила, действующая вдоль г, равна

(51.13)(51.13)尸 _ /2 @ (4冗呐2r2、一 /24冗呐2r

(51.13)

(51.13)

尸 Г 1? dr( -^丿-—Л〉U，

витков, токи в которых противоположны. Так, в известных опытах П. Л. Капицы по созданию сверхсильных магнитных полей сила тока достигала миллионов ампер ai зачастую катушки разрывались, -не выдерживая нагрузок.

Задача 51.1. Катушка индуктивности массы т, подвешенная за один конец, подключенный к источнику постоянного напряжения с э.д.с. g (рас. 51.1), свободным концом опущена в ртуть. Найти закон движения свободного кон ца катушки и закон изменения силы тока в ней.

§ 52・ СКИН-ЭФФЕКТ

Рассматривая в § 36 задачу о поле прямого провода с постоянным током, мы обнаружили, что ток равномерно распределен по сечению провода. Но оказывается, что для переменного тока это уже не так. В самом деле, магнитный поток сквозь контур в продольном сечении провода (рис. 52.1) в случае переменного тока изменяется со временем, а это означает, что циркуляция напряженности Е электрического поля по этому контуру отлична от нуля. Отсюда следует, что поле Е меняется в радиальном направлении, поэтому распределение плотности тока j = nE также оказывается неравномерным по сечению провода. Расчеты показывают, что практически ток

протекает в тонком поверхностном слое провода, откуда и происходит название этого явления — скин-эффект.

Для высокопроводящих материалов толщина скич-слоя оказывается очень малой. Если она мала по сравнению с радиусом пр。-

Р с 52.；Р с 52.；вод?. то расчете, ьыполненнне для цилиндрического провода, н>

Р с 52.；

Р с 52.；

значительно отличаются от расчетов скин-эффекта в проводящем полупространстве. Рассмотрим поэтому именно эту задачу. Пусть однородная проводящая среда занимает полупространство z〉0, обладаем электропроводностью g, проницаемостями е, ц и граничит с вакуумом (рис. 52.2). Запишем уравнения Максвелла в квазистационярногл приближении внутри прогодпика：

rot Н =——gE (a), div Е = 0 (6,

rot Е =^布(R)，divH = J(F).

Здесь р = 0, так как рассматривается установившийся процесс и все внесенные свободные заряды [см. (37.12)] должны рассосаться за время релаксации т = е/(4ла).

Дифференцируя по / уравнение (52.1а), находим

откупаоткупа4 dH 4g @Е rot 寸=—зт dt c dt4 dH 4g @Е rot 寸=—зт dt c dt—rot rot E = — AE, 卩 "'—rot rot E = — AE, 卩 "'дf 4几0卩deдf 4几0卩de(52.2)(52.2)

откупа

откупа

4 dH 4g @Е rot 寸=—зт dt c dt

4 dH 4g @Е rot 寸=—зт dt c dt

—rot rot E = — AE, 卩 "'

—rot rot E = — AE, 卩 "'

дf 4几0卩de

дf 4几0卩de

(52.2)

(52.2)

Аналогичное уравнение получается и для магпииюго поля:

△Н =誓嘗.(52 3)

Задача 52.1. Показать, что уравнения (52,2) и (52.3) допускают

е области V при граничном условии [пЕ] = О или [“Н] = 6 только затухающие во времени решения.

На основании результата задачи 52.1 можно сделать вывод, что квазистационарное поле в области z〉0 может существовать долгое время только при условии, что на границе области z = 0 поддерживается некоторое внешнее поле (в случае задачи о проводнике это соответствует заданию внешнего напряжения, приложенного к проводу). В частности, если на границе задано периодическое поле Ео ехр (—心力)，направленное по оси X, то решение задачи следует искать в виде

Е = (Е, 0, 0); j =(jE = (j, 0, 0).

Тогда из div Е — 0 выводим, что dE/dx = Q, т. е. Е зависит только от у и г. Но поскольку нас интересует задача о распределении плотности тока в цилиндрическом проводнике, которую мы упростили, то зависимость от у можно не рассматривать, имея в виду лишь азимутально-симметричные решения. Поэтому полагаем Е =Е (г) ехр (—而f) и запишем (52.2) в виде

Е" (%) = — г^лацсос-^ (г).(52.4)

Решение уравнения (52.4) очевидно:

e(z)=旦守2, 乂= 土 С1//4gm.

Отбрасывая нарастающее в глубь проводника поле как физически неосуществимое, выбираем решение с Rex < 0, т. е.

х = (f — 1)/6, 6 = с//2:гш卩со.(52.5)

Таким образом, напряженность электрического поля в проводнике изменяется по закону

E(f, z)^E^~^4l^-^\(52.6)

Как видно, она экспоненциально затухает в глубь проводника. При этом роль эффективной глубины проникновения поля в проводник играет параметр 6, называемый толщиной скин-слоя и определяемый формулой (52.5). Числовые оценки, выполненные для меди (卩=1, п = 5- 1017с-1) при частоте 50 Гц, показывают, чго 6 ^ 2см. Поэтому в проводниках обычных сечений скин-эффект проявляется лишь при гораздо большей частоте.

Для нахождения магнитного поля в проводнике воспользуемся уравнением (52.1в), из которого для периодических полей

Н = —i —rotE.(52.7)

Подставляя (52.6) в (52.7), находим:

Н = (0, ", 0)； H = — Ec(\+i)/(^).(52.8)

Используем полученное решение для расчета сопротивления 1 см цилиндрического провода радиусом а. Если а «8, то очевидно, что результат будет такой же, как при постоянной силе тока, так как плотность тока почти постоянна по сечению провода. 154

Если же а» 6, то результат будет иным и получить его можно с помощью (52.6), положив

Е (^, г) Е° екр [伍一г) (f — 1)/6] exp (— i硝.(52.9)

Прежде всего вычислим на основе (52.9) полную силу тока че

рез сечение провода:

/ = 2пп \ Erdr (1 4- 0 лаа6Еое-1，сй/.(52.10)

о

Теперь воспользуемся законом Джоуля — Ленца, согласно которому тепловые потери в 1 см провода определяются его сопротивлением R и равны

аа

R~P = 2n \ (〃о) F dr = лаЕ^ § е~ 2(”力川厂 dr冗аоЗЕ計2. (52.11)

оо

Замечая, чго 戸=(паоЗЕо)2, находим сопротивление 1 см провода:

(52.12)(52.12)R = (2冗曲6尸.

(52.12)

(52.12)

тывать лишь сопротивление самоготывать лишь сопротивление самогоАнализ этой формулы показывает, что фактически нужно учи- скин-слоя (рис. 52.3), т. е.

тывать лишь сопротивление самого

тывать лишь сопротивление самого

в обычной формуле для сопротивления R = (nS)"1 вместо поперечного сечения S = ла2 нужно подставлять площадь кольца толщиной 6. Приближение такого рода, основанное на неравенстве а》3, обычно называется приближением Рэлея.

Задача 52.2. Подсчитать внутреннюю индуктивность / см провода радиусом а 6 рэлеевском приближении.

Однако опыт показал, что зависимость сопротивления провода от частоты тк па R ~ Jot, как предписывает формула (52.12), сохраняется далеко не для всех частот, удовлетворяющих условию квазистационарнисти (49.8). Оказалось# что в области достаточно высоких частот, при которых глубина проникновений поля в проводник и длина свободного пробега /0 электронов в металле сравнимы, т. е. 6 W /о или

c2/(2n(j[xZo) Ws《u/齿c2/(2n(j[xZo) Ws《u/齿(52.13)(52.13)

c2/(2n(j[xZo) Ws《u/齿

c2/(2n(j[xZo) Ws《u/齿

(52.13)

(52.13)

наблюдается более быстрый рост сопротивления с частотой. Это явление, полу- чившее название аномального скин-эффекта, объясняется тем, что при 6 ^ /0 перестает быть справедливым локальный закон Ома j = oE. В самом деле, если, например, воспользоваться электронной моделью Друде, то электрическое поле будет разгонять электроны не в течение времепи-их свободного пробега, как предполагалось в этой модели, а в течение времени их пребывания в скин-слое, причем поле существенно меняется на протяжении этого слоя. Таким образом, электроны будут находиться в области ускоряющего их поля гораздо меньшее время, что приведет к уменьшению силы тока или эквивалентному возрастанию сопротивления.

Как можно показать*, длина свободного пробега электронов растет с убыванием температуры 7 быстрее, чем Г-1, так что условие (52.13) выполнено и для обычных частот, но при низких температурах. Таким образом, условия для проявления аномального скин-эффекта выполняются как при высоких частотах и нормальных температурах, так и в области обычных частот, но низких температур.

Удовлетворительное объяснение аномального скин-эффекта было дано Г. Рейтером и Э. Зондхаймсром в 1648 г. Они пришли к следующей нелокальной связи j и Е, обобщающей локальный закон Ома:

g黑『普 e-R"，，(52.14)

где R — г—У. Таким образом, согласно (52.14), плотность тока J (г) определяется вначениями поля Е в некоторой окрестности точки г с размерами порядка /0.

Задача 52.3. Показать, что в пределе Zo—> 0 закон Рейтера——Зонд- хаймера (52.14) переходит в обычный закон Ома.

Задача 52.4・ Показать, что в рэлеевском приближении сила, действующая на проводящее тело s переменном магнитном поле частоты со, может быть записана 8 виде

. 市=^f ［函］dS,(52.15)

敢 S—поверхность тела. -

§ 5В. ДЛИННЫЕ ЛИНИИ

Рассмотрим длинную двухпроводную линию (рис. 53.1). Введем емкость С, индуктивность L и сопротивление R линии на 1 см которые будем считать постоянными величинами. Тогда для участка 6х линии эти параметры, очевидно, равны:

3e = e3%, 5厶=£3%，6R = R6k.

Найдем уравнения для силы тока / и напряжения U в линии, являющихся некоторыми функциями f и %. В качестве исходных

Рис. 53.1 линии). Таким образом,Рис. 53.1 линии). Таким образом,возьмем уравнения (49.6), из которых, в частности, вытекает закон сохранения заряда в обычной форме: dp/% + div j = 0.

Рис. 53.1 линии). Таким образом,

Рис. 53.1 линии). Таким образом,

Заряд &Q = $xCU участка линии Зх может изменяться как из-за разности сил токов в точках х и 尤+舐，так и из-за утечки (разряд

备 3Q = ЗхС "^~ = / (х) — / (尤 + 6х) — GbxU,(53.1)

где последний член, в котором G = const, описывает утечку в линии согласно закону Ома. Переходя в (53.1) к пределу Зх―О, находим

CdU/dt + д!/дх + GU = 0.(53.2)

♦ Виттель Ч. Введение в физику твердого тела. М., 1963, с. 338—342.

Наконец, запишем второй закон Кирхгофа для участка линии 6х: 6%R/ = —6xLc-2dI/dt + U (x) — U(x + 8x)t

откуда после перехода к пределу Зх — О выводим

/R = — Lc-^dl/dt 一 dU/dx.(53.3)

Уравнения (53.2) и (53.3) называются телеграфными и являются основными при описании процессов в длинных линиях.

Дифференцируя (53.2) по х, а (53.3), умноженное на С, —по / и вычитая полученные уравнения одно из другого, находим

(L/d)C 盜一赛一G 禁+ RC^ =。.(53.4)

Подставляя в (53.4) dU]дх> взятое из (53.3), приходим к уравнению

Замечая, что уравнение (53.5) содержит волновой оператор, отвечающий скорости распространения волны

^ = с(£С)т/2,(53.6)

попробуем искать решение этого уравнения в виде

/(力 x) = f(尤一％f)占(%),(53.7)

что соответствует неискаженной волне, форма которой сохраняется, а амплитуда изменяется вдоль линии.

Подставляя (53.7) в (53.5) и приравнивая нулю коэффициенты при независимых функциях f и 儿 имеем:

r-0^ = 0, 2c噌+ 也力9厶 +e頂е)=0, откуда—

E(x) = e-M^3 — 2c2 (GR)lli^ф1 + GL + c^RC = 0.(53.8)

Последнее соотношение в (53.8) с учетом (53.6) принимает вид (/GZ-c/^C)2 =0,

и поэтому неискаженная волна существует только при выполнении условия―

「V車士/前三以(53.9)

Как видно из (53.8), амплитуда неискаженной волны экспоненциально затухает вдоль линии. Для определения волны напряжения U (/, х) воспользуемся уравнением (53.3), подставляя в которое (53.7) имеем

0U2x = a^ (f'-VGRf), откуда

U (Л x)==atf = al(tt х),(53.10)

т. е. вдоль линии сохраняется постоянным отношение

и(/, %)//(/, x) = a^c-1V~LiC,(53.11)

называемое волновым сопротивлением линии.

Если на конце линии поставить нагрузку R^, то для непрерывности U н / необходимо выполнение условия

R^c-^VLiC, (53.12)

называемого условием согласования нагрузки с линией, В этом случав в линии по-прежнему нет .искажений, т. е. отсутствует отраженная волна.

Итак, мы нашли волны тока и напряжения в двухпроводной линии без искажений. Однако в произвольной линии условие (53.9) может и не выполняться. В этом случае форма волны оказывается более сложной. Для ее нахождения удобно воспользоваться методом Фурье, положив

/(九 х) = ^ / (со) exp [ik (со) х — t(o/] d(o( (53.13) где fe((o) —неизвестная функция, подбираемая так, чтобы / (九 х) удовлетворяло уравнению (53.5). Нетрудно видеть, что это выполняется при условии

с喳2 (со) = dLc + 而(GL + c2RC) 一 c2GR. (53.14)

Уравнение (53.14), называемое дисперсионным уравнением двух^ проводной линии, имеет для 尼(①)два очевидных решения, отличающихся знаком и соответствующих двум типам бегущих волн в линии —прямой и отраженной.

§ 54. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ В МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИХСЯ ДЕФОРМИРУЮЩИХСЯ ПРОВОДНИКАХ (МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА)

Одним из важнейших приложений теории квазистационарных полей является описание электромагнитных процессов в движущихся проводящих жидкостях и газах (астрофизика, физика плазмы). Если среда характеризуется значительной удельной проводимостью и (обычно и 〜1017c-1) и магнитной проницаемостью р, ^; 1, то уравнения Максвелла в квазистационарном приближении примут такой вид:

rotB = ¥j =f{pu + 0(E+^[uB])},,

；в I川 (54.1)

rot Е = — 石，divE = 4np, divB = 0, где и(/, г) —локальная скорость движения среды. Эта скорость подчиняется гидродинамическим уравнениям движения, в которых кроме обычных сил давления, вязкости, тяготения и других внешних сил необходимо учитывать и силу Лоренца

f = pE + [jB]/c.(54.2)

Если ограничиться наиболее простым случаем несжимаемой среды и пренебречь силами вязкости и тяготения, то основные уравнения гидродинамики запишутся в виде

“du/df + (uy) и] = — V卩 + рЕ + [jB]/c,(54.3)

div 0, т = const.

Здесь т —плотность массы; р —давление, определяемое из уравнения состояния среды как некоторая функция плотности т и температуры Т: р = р Т).

Если допустить, что среда квазинейтральна, т. е. р ^ 0, что оправдано в случае высокой проводимости (эффект рассасывания), то можно положить

j = с rot B/(4n) a g (Е + [иВ]/с) и выразить напряженность электрического поля через скорость и жидкости и магнитное поле В:

Е = — ([uB] — vm rot B)/c,(54.4)

где введена магнитная вязкость vm = с2/(4ла). Подставляя (54.4) в уравнение с rot Е — —db/dt, находим

OB/df 二 rot [uB] — vm rot rot B.

или с учетом уравнения divB = 0

dR/dt = rot [uB] + vm AB.(54.5)

Как видно, уравнение (54.5) кроме диффузионного члена vmAB, присутствие которого приводит (см. задачу 52.1) к затухающим во времени решениям, содержит еще вихревой член rot [иВ]. Поэтому вполне можно ожидать, что при соответствующих движениях среды уравнение (54.5) будет допускать и незатухающие решения. Поиск таких решений представляет собой сложную математическую задачу, известную как проблема генерации магнитного поля. К решению этой задачи сводится, в частности, объяснение земного магнетизма.

Задача 54.1. Показать, что вращательное движение среды не приводит к генерации магнитного поля.

Соотношение (54.4) позволяет исключить напряженность Е электрического поля из исходных уравнений, в результате чего получается следующая система уравнений для определения скорости и движения среды и индукции В магнитного поля:

Т [dn/dt + (uv) и] = — ут? - [В rot В]/(4л), 5В/5/ = rot [иВ] Ц- vmAВ, div и = div В = 0.''

Разрешив ее, можно найти напряженность Е электрического поля и плотность заряда р = div Е/(4л), используя (54.4). Приближение, основанное на уравнениях (54.4) и (54.6), называется в связи с этим приближением магнитной гидродинамики.

Характер решений уравнений магнитной гидродинамики, как и в обычной гидродинамике, существенно зависит от числового значения одного безразмерного параметра, получившего название магнитного числа Рейнольдса, Это число возникает при оценке диффузионного члена в правой части уравнения (54.5). Если область характерного изменения магнитного поля имеет размер /, а средняя

скорость движения среды равна и, то порядок вихревого члена rot [uB] есть vB/l, тогда как порядок диффузионного члена vmAB есть vmB/P. Отношение этих двух величин и есть магнитное число Рейнольдса:

Rm =爪/% = 4mw〃c2.(54.7)

В качестве примера оценим магнитное число Рейнольдса для солнечного пятна с характерным размером /〜104 км, средней скоростью солнечной плазмы v ^ 1 км/с и электропроводностью п~ 1013с-1. Подстановка этих данных в (54,7) дает Rm = 107. Оказывается, что для большинства космических объектов магнитное число Рейнольдса велико. Оно становится мальм лишь в равновесии, когда малы скорости движения среды.

В дальнейшем мы ограничимся случаем больших чисел Rg, когда магнитно-диффузионным членом можно пренебречь, т. е. считать vm—►О. В этом приближении, согласно (54.4), можно положить

Е' = Е + [иВ]/с = 0.(54.8)

Но это означает в соответствии с законом электромагнитной индукции (50.5), что для всякого контура С, связанного со средой,

$(ЕТ1) = — ^^ = 0,(54.9)

т. е. магнитный поток сквозь такой контур остается неизменным. Отсюда следует, что в процессе движения среды магнитное поле не отстает от нее, т. е. линии индукции оказываются как бы привязан

ными к веществу, или, образно говоря, «вмороженными» в него.

Эффект «вмороженности» магнитного поля в вещество играет чрезвычайно важную роль во многих астрофизических явлениях. На-

Рис. 54.1Рис. 54.1пример, американский астрофизик Э. Паркер использовал этот эффект для объяснения происхождения магнитных полей на Солнце (теория солнечных пятен). Согласно ему, генерация магнитного поля на Солнце обязана нерегулярному турбулентному движению солнечной плаз

Рис. 54.1

Рис. 54.1

мы. Качественно это объясняется тем, что при турбулентном

движении линии индукции, увлекаясь средой, сильно закручиваются, что и приводит к увеличению интенсивности поля (рис. 54.1). Чтобы понять, почему это происходит, рассмотрим участок магнитной силовой трубки длиной I и с поперечным сечением S. Учитывая закон сохранения массы вещества в трубке и магнитного потока сквозь

ее сечение, имеем:

t/S = const, BS = const.

Отсюда выводим соотношение

В/(т/) = const,

(54.10)

из которого следует, что при всяком удлинении векторной трубки и незначительном изменении плотности среды должно происходить усиление индукции магнитного поля. Нетрудно видеть, что при турбулентном движении среды как раз и происходит удлинение векторных трубок вследствие сильного закручивания линий индукции.

Еще одним важным следствием эффекта «вмороженности» магнитного поля в вещество являются магнитогидродинамические волны, или волны Альвеена, названные так по имени известного шведского астрофизика, впервые предсказавшего их. Физическая природа этих волн такова. Если проводящая жидкость (или газ) находится в постоянном магнитном поле Во и перпендикулярно вектору индукции этого поля в жидкости возникли некоторые локальные смещения, то вследствие «вмороженности» поля в вещество линии индукции должны изогнуться. Но при этом в среде возникают сипы, препятствующие этому изгибу, в чем нетрудно убедиться, проанализировав структуру силы Лоренца в магнитной гидродинамике.

Задача 54.2. Показать, что плотность силы Лоренца 6 гидродинамике можно npedcmaeihnb 6 виде

吧 4nR

4兀ds

магнитной

(54.11)

где R —радиус кривизны линии индукции^ п ——главная нормаль к ней, s~координата вдоль линии. Дать интерпретацию каждого члена 8 р4.11).

Таким образом, мы убеждаемся, что линии индукции сопротивляются своему изгибу и ведут себя как упругие струны (вспомните наглядные представления Фарадея о магнитных силовых линиях — шнурах). Поэтому неудивительно, что вдоль магнитного поля в проводящей жидкости могут распространяться волны искривления. Для их количественного описания воспользуемся основными уравнениями магнитной гидродинамики (54.6). Предположим, что невозмущенная жидкость движется с постоянной скоростью и0 в постоянном и однородном магнитном поле Во. Для возмущенной жидкости

u = Uo + u, В = Во + Ь,

где возмущения скорости и и индукции b магнитного поля подчиним условиям

（叭）=郎。）=0, [b叫=0.

(54.12)

Для того чтобы удовлетворить уравнениям divu = divb = 0, предположим, что все величины не меняются при смещении вдоль и или Ь, т. е. будем рассматривать возмущения типа плоских волн, зависящие лишь от одной из координат плоскости, перпендикулярной и или Ь. Иначе говоря, примем, что

(о\/)и =(叫)Ь —0.

(54.13)

с учетом (54.12) и (54.13) уравнения (54.6) примут такой вид: т 愕 +(u°V)^]=-V(p+-£)+i (B°v) ь, 近=rot [uob] + rot [sB。] + %Ab.

Умножая первое уравнение (54.14) скалярно на В« и принимая во внимание (54.12), находим (Воу) [р + 62/(8^)] = 0, откуда вытекает, что

р + 匕2/(8笃)=const,(54.15)

т. е. сумма гидродинамического и магнитного давлений для рассмотренного типа возмущений остается постоянной. Учитывая (54.15) и замечая, что rot [uBj = (B°v)u, rot [uob] ~ — (uoy) b, преобразуем (54.14):

[0/0/ + (uov)] v = (B°v) Ь/(4лт),(54.16)

[d/dt + (uov)].b = (B„v) v + v„, Ab.

Действуя на второе уравнение (54.16) оператором <3/d/ + (u0V) и учитывая первое уравнение, для поля b получим

[■^■ + (UoV)]?b = ^(B„v)2 Ь + % 僚+ (u-v)] Ab (54.17)

и такое же уравнение для скорости и.

Предположим сначала, что магнитное число Рейнольдса R^ достаточно велико и поэтому магнитной диффузией можно пренебречь, положив 1Vm = °・ В таком случае, полагая, что волны в жидкости распространяются в направлении s со скоростью иЛт имеем；

и =砂(г — и" — *а/), b = b(r —u0Z — SUa【)・

Тогда из (54.17) выводим

4лтг?д (sv)2 b = (В(¥)2 Ь.(54.18)

Замечая, что (Bo\z)b = (Bos) (sV)bt из (54.18) находим скорость распрост ран ен ия волн Альвеена:

ua = (ByS)/}^ 4лт = cos 9筑/]/ 4冗七，-(54.19)

где 3 ——угол между направлением распространения волны и вектором индукции Во. Таким образом, скорость волн, распространяющихся вдоль магнитного поля, оказывается максимальной и равной В。/ /4冗七.Особенность волн Альвеена состоит в том, что они поперечны и могут иметь как угодно большую амплитуду, ибо нигде в процессе вывода не делалось предположения о ее малости.

Если же не пренебрегать магнитной вязкостью, то волны Альвеена должны затухать. Так, рассматривая монохроматическую волну вида

b= b0 exp [г (кг)—心%],

из (54.17) получаем дисперсионное уравнение

[s — (ки0)]2-(В0к)2/(4лт)-[- £% 依[⑴ _ (kuj] = 0.(54.20)

Полагая s = s' +庇"，o/y”，из (54.20) находим:

(У q (ки0) 士 (кВ())/М4冗七,①"^ — vm^a/2,(54.21)

что соответствует волне Альвеена, амплитуда которой затухает по закону'

b ~ ехр (— 1Vm胪〃2).(54.22)

Задача 54.3. Во многих астрофизических исследованиях делается гипотеза о существовании в космическом пространстве бессиловых магнитных полей В, обращающих в нуль силу Лоренца и тем самым не нарушающих равновесия среды. Бессиловое поле подчиняется уравнению

rotB = aB,(54.23)

еде а—некоторая постоянная. Найти общий вид бессилового поля к показать, что в пренебрежении магнитной вязкостью оно реализует минимум энергии магнитного поля в области, на границе которой поле стационарно.■

t 65. МАГНИТНАЯ КУМУЛЯЦИЯ

В 1952 г. была теоретически предсказана возможность генерации сверхсильных магнитных полей (десятки миллионов эрстед) при быстром пластическом обжатии проводящих оболочек, охватывающих магнитный поток. Достаточно быстрое обжатие оболочек предполагалось осуществить с помощью направленного (кумулятивного) взрыва. Впоследствии были сконструированы и практически реализованы специальные взрывомагнитные устройства, в которых сходящаяся взрывная ударная волна производила пластическое сжатие и деформацию проводящего цилиндра или иного вида массивного контура, охватывающего магнитный поток.

Открытое явление, получившее название магнитной кумуляции и основанное на действии закона электромагнитной индукции Фарадея, может осуществляться и в естественных условиях. Например, сверхсильные магнитные поля пульсаров, по-видимому, возникают в результате взрывоподобного сжатия (коллапса) звезд.

Чтобы понять суть магнитной кумуляции, рассмотрим некоторый деформируемый проводящий контур, имеющий сопротивление A (Z) и индуктивность L (0- Тогда, по закону электромагнитной индукции,

^請=4^(〃)= _R/ = _^«/)，(55」)

откуда'

LI = L/ exp (— 〃т)>(55.2)

где Lq=L(O), Ц — I (0), x — эффективное время релаксации контура:

т =《с吓鏘必).(55.3)

Допустим теперь, что контур сжимается за время 方 «т. Тогда из (55.2) следует, что LI ^ А0Л» т- е магнитный поток Ф, связанный ' контуром, практически не успевает измениться за время сжатия. Поскольку

Ф = J (nB) dS « BS,

5

то при сжатии контура, когда уменьшается площадь охватываемой им поверхности S, должно происходить возрастание индукции магнитного поля:

(55.4)(55.4)В ^ BqSjS.

(55.4)

(55.4)

В качестве проводящего контура возьмем медный цилиндр с начальным радиусом г0 = 5 см, толщиной стенок d0 = 1 см и некоторой

Рис. 55.1Рис. 55.1высотой /, которая не войдет в окончательные расчетные формулы (рис. 55.1). Тогда сопротивление цилиндра вихревым токам, очевидно, равно

Рис. 55.1

Рис. 55.1

R 2пг/(о 山)，(55,5)

если считать, что d«r. Оценивая индуктивность по формуле L н 4л2г2//, находим

dR/厶=(2冗ord)-】 с3.

(55.6)

Поскольку при сжатии металла плотность его почти не меняется, 70 из постоянства объема цилиндра выводим, что rd = const и отношение R/L также неизменно при сжатии цилиндра. В итоге время релаксации оказывается равным

т = 2лог^0с~2 0,02 с. (55.7)

Отсюда видно, что единственный путь для осуществления сжатия медного цилиндра за время, гораздо меньшее вычисленного,— это использование кумулятивного взрыва. Только взрывная волна может обеспечить столь большие скорости пластической деформации металла и создать давление, способное противодействовать магнитному давлению рт~ В2/(8л), оказываемому на проводящую среду магнитным полем (так, pm = 106 атм при В = 5・1О

Магнитная кумуляция представляет собой концентрированное превращение химической энергии взрывчатого вещества в энергию лагнитного поля, создаваемого вихревыми токами, протекающими а сжимаемой взрывом проводящей оболочке. Соответствующий энергетический расчет элементарен:

Плотность силы, действующей на проводящую среду в магнитном поле, линии индукции которого почти прямолинейны, согласно (54.6) и (54.11) равна

f = — Vp — [В rot В]/(4л) 一 V (р + о)

Чтобы противодействовать магнитному давлению рт, во взрывной волне должна быть сконцентрирована энергия с плотностью ◎ = В частности, w = 4-1010 эрг/см3 при В= 106 Гс. Такую энергию можно высвободить при взрыве 1 г тринитротолуола.

Практическое применение магнитной кумуляции весьма многообразно:

создание компактных магнитно-кумулятивных ускорителей элементарных частиц па энергии свыше миллиарда электронвольт (хотя подобный ускоритель может быть использован всего один раз, стоимость получения импульса ускоренных частиц оказывается гораздо меньшей, чем в обычных стационарных уско* ригелях);

пол\чение сверхвысокотемпературной плазмы при сжатии магнитного потока с «вмороженной» в него плазмон магнитно-кумулятивным способом (такая плазма может быть использована для осуществления управляемого термоядерного синтеза);

использование магнитной кумуляции для передачи сверхвысоких давлений на металлические поверхности и для разгона небольших металлических объектов до космических скоростей, что неосуществимо другими и^вестными метсдамк.

§ 56. ЭФФЕКТ ХОЛЛА И МГД-ГЕНЕРАТОРЫ

Рассмотрим проводящую среду, обладающую несколькими типами носителей тока, каждый из которых вносит свой вклад в плотность гока и электропроводность. Обозначая различные типы носителей тока индексом а, для неподвижной в целом среды, помещенной з электромагнитное поле, имеем

L(e + J [uaB]Y (56.1)

где Са，Ng иа — соответственно заряд, средняя концентрация (плотность числа частиц) и средняя скорость носителей тока типа а. Кроме того, будем считать среду квазинейтральной, т. е. удовлетворяющей условию

220=0.а

Соотношение (56,1) можно переписать в виде обычного закона Ома j = о • Е,(56.2)

если ввести тензор электропроводности о, зависящий от индукцш: магнитного поля. При этом среда, помещенная в магнитное поле, приобретает анизотропные свойства, т. е. сила токов, протекающих в ней, оказывается зависящей от направления электрического поля. Для получения о запишем соотношение (56.1) для отдельного носителя тока:

ja = oaE + Xa[kB],(56.3)

где 乙x = Oa/(NcAQ・ Разрешая (56.3) относительно ja, получаем век- 165

торное соотношение

G = i/存{E +x/EB] + 泣В (ЕВ)}.(56.4)

Записав его в координатной форме, находим:

G = £ к,。更=qr^i (&%+Ха“'8с+^В^).(56.5)

В частности, если векторы Е и В перпендикулярны, то из (56.4) следует, что наличие магнитного поля £ сказывается в двух отношениях:

электропроводность в направлении Е уменьшается в 1 +乂^8? раз；

появляется ток Холла плотностью

)У" = ГЙ/[ЕВ],(56.6)

перпендикулярный вектору Е и обязанный действию силы Лоренца (еа!с) [иаВ]. Очевидно, что в сильных магнитных полях, когда велик параметр Холла 卩仪三乂仪区》1, ток Холла является преобладающим.Эффект Холла находит многочисленные применения в технике,перпендикулярный вектору Е и обязанный действию силы Лоренца (еа!с) [иаВ]. Очевидно, что в сильных магнитных полях, когда велик параметр Холла 卩仪三乂仪区》1, ток Холла является преобладающим.Эффект Холла находит многочисленные применения в технике,а в последние годы она в последние годы он®®®®®®®®© ® © ©© ® © ©++стал активно использоваться для прямого преобразования тепловой энергии в электрическую, представляющего собой одну из самых перспективных отраслей энергетики. К генераторам такого типа относятся и магнитогазодинамические генераторы (МГД-генераторы). Принцип их действия состоит в следующем. Если в пространстве между двумя электродами создать магнитное поле В и на-стал активно использоваться для прямого преобразования тепловой энергии в электрическую, представляющего собой одну из самых перспективных отраслей энергетики. К генераторам такого типа относятся и магнитогазодинамические генераторы (МГД-генераторы). Принцип их действия состоит в следующем. Если в пространстве между двумя электродами создать магнитное поле В и на-

перпендикулярный вектору Е и обязанный действию силы Лоренца (еа!с) [иаВ]. Очевидно, что в сильных магнитных полях, когда велик параметр Холла 卩仪三乂仪区》1, ток Холла является преобладающим.

Эффект Холла находит многочисленные применения в технике,

перпендикулярный вектору Е и обязанный действию силы Лоренца (еа!с) [иаВ]. Очевидно, что в сильных магнитных полях, когда велик параметр Холла 卩仪三乂仪区》1, ток Холла является преобладающим.

Эффект Холла находит многочисленные применения в технике,

а в последние годы он

а в последние годы он

®®®®

®®®®

© ® © ©

© ® © ©

+

+

стал активно использоваться для прямого преобразования тепловой энергии в электрическую, представляющего собой одну из самых перспективных отраслей энергетики. К генераторам такого типа относятся и магнитогазодинамические генераторы (МГД-генераторы). Принцип их действия состоит в следующем. Если в пространстве между двумя электродами создать магнитное поле В и на-

стал активно использоваться для прямого преобразования тепловой энергии в электрическую, представляющего собой одну из самых перспективных отраслей энергетики. К генераторам такого типа относятся и магнитогазодинамические генераторы (МГД-генераторы). Принцип их действия состоит в следующем. Если в пространстве между двумя электродами создать магнитное поле В и на-

1] править туда поток ионизованного газа R(плазмы), то под действием силы Лоренца

Рис. 56.1заряды разных знаков будут разде

ляться, скапливаясь на электродах (рис.

. Возникающая при этом разность потенциалов может быть подключена к некоторой нагрузке R. Э. д. с. такого генератора, оче

видно, равна

(56.7)(56.7)S = иВ1/с,

(56.7)

(56.7)

где “一скорость потока плазмы, / — расстояние между электродами. Сила тока в нагрузке при этом определяется законом Ома:

/ = /S = oS (— Е + иВ/с) = U [R、(56.8)

где U — Е1 — напряжение на генераторе, S — площадь электродов.

Вводя внутреннее сопротивление r = l/(oS) генератора и параметр нагрузки

/г ~ R/(R + г) = U/6 = Ес/(Ви),(56.9)

нетрудно вычислить мощность МГД-генератора:

(56.10)(56.10)p=IU = tSjE = o/S (〃8/с)2 右(1 一初

(56.10)

(56.10)

Отсюда видно, что генераторный режим (夕 > 0) осуществляется только при 1, т. е. при

и > сЕ/В.，(56,11)

Если же приложить к электродам достаточно большое внешнее напряжение U и добиться нарушения неравенства (56.11), то плазма будет выталкиваться из магнитного поля силой плотностью с~х [jB]〜 ~[ЕВ]. Так работают плазменные двигатели и насосы для жидкого металла. Таким образом, МГД-генератор оказывается обратимым и может работать как в генераторном, так и в моторном режимах.

Из формулы (56.10) следует, что мощность МГД-генератора определяется магнитной индукцией В, электропроводностью о плазмы и скоростью и ее потока. Поскольку основной вклад в электропроводность плазмы дают электроны, то на практике часто используют в качестве рабочего тела благородные газы с небольшими примесями (присадками) легкоионизуемых щелочных металлов. Важной характеристикой МГД-генератора является его электрический коэффициент полезного действия т]э, равный отношению генерируемой электрической мощности Р к механической мощности N、затрачиваемой на проталкивание плазмы в магнитном поле и, очевидно, равной

N =(u[jB])/S/c.(56.12)

Для вычисления плотности тока в (56.12) можно воспользоваться условием квазинейтральности плазмы и перейти в систему отсчета потока, в которой справедлива формула (56.2). При этом вследствие квазинейтральности плотность тока не изменится, а напряженность электрического поля станет равной Е' = Е + [иВ]/с Таким образом,

j = o・E' = о-(Е +^иВ]/с).(56.13)

Подставляя (56.13) в (56.12), нетрудно вычислить и коэффициент т]з・ Поскольку генерируемая электрическая мощность возни

кает в результате торможения и охлаждения плазмы в процессе прохождения плазменного потока по МГД-кана- лу, то для наиболее эффективного использования энергии плазмы важно на выходе канала получить плазму как можно более холодную и с наименьшей возможной скоростью потока. Расчеты показывают, что выбор оптимального режима работы МГД-генератора существенно определяется изменением профиля канала вдоль течения.

Задача 56.1. Рассчитать мощность иРис. 56.2

коэффициент т)э。"兄 генератора Холла, имеющего короткозамкнутые секционированные электроды и единую нагрузку R (р〃с・ 56.2).

Глава5Глава5ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ СРЕД

Глава

5

Глава

5

В основе макроскопической электродинамики Максвелла, как мы убедились в предыдущих главах, лежит описание электромагнитных процессов в средах, свойства которых задаются феноменологически с помощью соотношений

Р = Р(Е, В), М = М(Е, В), j = j(E, В), рассматриваемых как результат обобщения данных макроскопических опытов. Однако в конце XIX в., когда с открытием электрона стало ясно, что в состав атомов входят заряженные частицы, заряд которых кратен заряду электрона, возникла задача «объяснения» макроскопических параметров типа е,卩，о на основе моделирования атомной структуры. С исчерпывающей полнотой эта задача была поставлена и в основном решена замечательным голландским физиком Г. А. Лоренцем (1853—1928). В главном своем труде «Теория электронов», говоря о недостаточности описания вещества с помощью коэффициентов е,卩，о, он писал: «Если мы хотим понять, каким образом электрические и магнитные свойства зависят от температуры, плотности, химического строения или кристаллического состояния вещества, то мы не можем удовлетвориться простым введением для каждого вещества этих коэффициентов, значения которых должны определяться из опыта; мы будем принуждены обратиться к какой-нибудь гипотезе относительно механизма, лежащего в основе всех этих явлений» *.

* Лорентц Г. А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения. Л.— М., 1934, с. 21-22.

С точки зрения Лоренца фундаментальная роль в этом механизме должна отводиться «электронам», под которыми он понимал все заряженные частицы, входящие в состав атомов, т. е. отрицательно заряженные электроны и положительно заряженные ядра атомов. Для построения «электронной теории» в соответствии с намеченной программой Лоренц сформулировал в 1888 г. следующие исходные гипотезы:

Все вещество состоит из положительно и отрицательно заряженных электронов. Никаких других материальных объектов, кроме электронов, не существует.

Электроны находятся в электромагнитном эфире, состояние которого описывается электромагнитным полем, подчиняющимся уравнениям Максвелла в вакууме.

Электрон можно представить себе в виде заряда, распределенного с некоторой плотностью р в очень малом объеме.

Движение электронов определяется действующей на них электромагнитной силой с плотностью f = p(E+c~1|>В]).

Макроскопические поля суть средние по времени и пространству от микроскопических полей.

Эфир неподвижен в определенной инерциальной системе отсчета.

Не все из этих постулатов могут быть оправданы с современной точки зрения. Прежде всего следует отметить, что для описания структуры атомов уже нельзя использовать законы классической механики, их место должны занять новые закономерности — квантовые. В частности, помимо заряда необходимо учитывать и такие характеристики микрочастиц, как спин, магнитный момент и т. д. В основном квантовые эффекты проявляются при описании взаимодействия микрочастиц: наряду с известными электромагнитными силами существуют еще обменные силы, спин-орбитальные, спин- спиновые и др. Наконец, совершенно излишней является гипотеза Лоренца о неподвижном электромагнитном эфире, анализ которой дан в части курса, посвященной теории относительности.

Будучи ограниченными классическим описанием материи, мы не в силах исправить все недостатки схемы Лоренца, но для получения основных следствий электронной теории вполне достаточно следующих исходных постулатов:

Вещество имеет атомистическую структуру. Fro электромагнитные свойства обусловлены легкими отрицательно заряженными электронами с зарядом е = —4,803242 СГС^ и тяжелыми положительно заряженными ядрами с зарядами, кратными заряду электрона.

Эти элементарные заряды являются источниками микроскопического электромагнитного поля, которое вне зарядов подчиняется уравнениям Максвелла — Лоренца, т. е. уравнениям Максвелла в пустоте.

Модели атомов, молекул и самих электронов нельзя построить без допущения сил неэлектромагнитного происхождения, структура которых должна разумно постулироваться.

Л\акроскоаические поля Е и В суть средние по пространству и времени от соответствующих микроскопических полей е и Ь.

Наконец, забегая несколько вперед, следует потребовать, чтобы уравнения Максвелла — Лоренца для полей е и b и уравнения движения зарядов были ковариантны по отношению к преобразованиям Лоренца. В связи с этим введение неподвижного электромагнитного эфира оказывается излишним.

§ 57. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА - ЛОРЕНЦА

И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Согласно вышейзложенным постулатам, уравнения Максвелла—Лоренца для микрополей е и b имеют такой вид:

rot b = g祟十^尸？ dive = ”pMHKp*

''1 0b(57.1)

rot e=—у — , divb = 0.

При этом микроскопические плотности заряда и тока могут быть представлены в- форме

рмнкр«, г) = £р,.(/, Г)； j"”KP (厶 Г) = £}(/, Г),

где Pj, j; —плотности заряда и тока для отдельной заряженной частицы номера i. Если частицы считать точечными, то

Р/ = Р$°Ч«，г) = е,6[г-Г/(川， j,・=j* (/, г)=纤办6 [г - г,. (/)], где гг (£)——радиус-вектор положения частицы, 勺 ⑺一ее скорость, е『—заряд. Но в таком случае не учитывается, например, тот важный факт, что заряженные частицы могут- обладать собственными магнитными и электрическими дипольными моментами. Используя представления (2.12) и (2.13) для плотностей связанных зарядов и токов, учтем подобные структурные эффекты, добавив к р『。и 豆。" следующие источники:

р； = — div лг, j； = 0吃/灾 十 с rot 向，

где л; и |iiz — вспомогательные векторы, исчезающие вне частицы номера i и в практических расчетах принимаемые 6-образными. Таким образом,

рмнкр (詳『)二 W {ег-6 [г — 一(%)] — div 几J,

p '(57.2)

产кр (/, г) = * {e(vfi [r — r; (0] + dn^'dt十 c rot gj.

Поскольку заряженные частицы движутся по сложным, запутанным траекториям, то порождаемые ими микрополя е и b имеют нерегулярную, случайную структуру. В то же время макроскопические поля Е и В, подчиняющиеся уравнениям Максвелла (10.1), являются регулярными функциями, ибо порождаются макроскопическими источниками рп°”н и jno”H, получающимися усреднением соот-

ветствующих микроскопических источников (57.2). Поэтому и макроскопические уравнения Максвелла должны получаться усре^не- нием микроскопических уравнений Максвелла — Лоренца (57.1).

Под усреднением какой-либо микроскопической величины ，(厶 г) мы будем понимать усреднение по физическому бесконечно малому объему ДУ, определенному соотношением (2.1), и по физическому бесконечно малому интервалу времени А/, определение которого мы сейчас дадим. Если усреднение по объему необходимо потому, что в макроскопической теории рассматриваются объекты, состоящие из большого числа частиц, то усреднение по времени вызвано тем, что микроскопические поля, даже усредненные по пространству, остаются хаотически изменяющимися во времени в связи с беспорядочным Движением порождающих их частиц. Если у0 —средняя тепловая скорость движения частиц, а I — среднее расстояние между ними, то характерное время изменения микроскопических величин имеет порядок % = 〃Uq. С другой стороны, всегда можно ввести характерное время Т изменения макроскопических величин, в качестве которого обычно берут время релаксации системы (37.13), либо период колебаний в случае периодических процессов. В таком случае физический бесконечно малый интервал времени А/ должен удовлет- 一 ворять условию

(57.3)

Тогда усреднение некоторой микроскопической величины / (/, г) определяется следующим образом:

"(/' г)〉三击/ / /(/ +，r + r')d/'dl/'.(57.4)

Отсюда видно, что операция усреднения <...> линейна и обладает свойствами

V</> = <V/>,京力=倖〉.(57.5)

Применяя операцию усреднения (57.4) к уравнениям Максвелла — Лоренца и используя (57.5), находим:

rot <b> = у-^- <е> + ^ <]чикр>, div <е> = 4n <рмикР>,

]О(57.6)

rot <е>= — 7 ^-<ь>» div〈b〉= 0.

Сравнивая систему уравнений (57.6) с уравнениями Максвелла (10.1), убеждаемся, что для их согласования необходимо положить:

<е> = Е,〈рмнкр〉三 pno〃H = p_div Р,

<b〉= B,〈jMHKp〉三 роли = j +雰 +ciotM.(577)

Выясним теперь более подробно, пользуясь представлением (57.2) для микроскопических источников, какова структура р, j, Р и М.

Прежде всего, пользуясь свойством ^-функции, найдем вклад точечных ИСТОЧНИКОВ В рпопн и jnain：

(57.8)(57.8)<产P，Г)〉=击§ E e,df',

(57.8)

(57.8)

<]jm^' r)>= дГдР? E e也.(£+，)d*

где символ iWAV' означает, что суммирование проводится по всем зарядам, которые в момент времени / + ^ оказались в объеме Д/ с центром в точке г. Отсюда видно, что выражения (57.8) отличаются от (2.2) и (2.5) только дополнительным усреднением по времени.

Оценим теперь вклад в (57.8) связанных зарядов, которые будем обозначать индексом а. Пусть некоторая молекула номера k имеет объем Vk. Чтобы найги ее вклад в рт°ч и『。厶 заметим (на основе неравенства Vft^ ДУ), что для всякого заряда номера а, принадлежащего молекуле, |「仪卩«厶]/, если начало координат поместить в центр масс молекулы. Поскольку в дальнейшем будет производиться усреднение по объему АР, то в рт°ч можно провести разложение по степеням га. В таком случае, обозначая р；?，——вклад молекулы но- viepa k в рт04, имеем

fCV，Г)= Е @6 [г —%(/)] = £ -1 £ (М)" е/(г), что соответствует обычному разложению по мультиполям. Если же учесть условие нейтральности молекулы, согласно которому

~

Р騎 «, г)=££ (r“)"ea3(r)=-divP却，(57.9)

"=1 а € %

p鑑1 = ЕЕ(-?「'？/&(«•/)” — "(!•).(57.10)

а w Kr «=1

Задача 57 1.Показатьt что вклад отдельной молекулы номера k 6 jT04

может быть представлен е виде 8Р；務/df+ c『ot М恭，,гое

М；£"= S Е(57.11) а е n = I

Теперь уже нетрудно получить явное выражение для поляризованности Р и намагниченности М. Для этого достаточно просуммировать (57.10) и (57.11) по всем молекулам и учесть в соответствии с (57.2) собственные магнитные и дипольные моменты заряженных частиц. В результате после усреднения получаем:

Р = £〈呵>+齐 £ 涼，М = £е> +击 X еа[?^Ц, (57.12) jа е(а е ДУ

где волнистой чертой обозначено усреднение по интервалу времени Д/. При выводе этих формул мы, используя неравенство | га |3 <^ ДУ. пренебрегли высшими членами разложения (几〉1) в (57.10) и (57.11), относящимися к высшим мультипольным моментам.

Из вида формул (57.12) следует, что векторы Р и М, возникающие в электронной теории, отличаются от ранее введенных векторов (7.5) и (8.2) практически лишь дополнительным усреднением по времени. Это обстоятельство позволяет интерпретировать их как средние плотности дипольного и магнитного моментов среды.

Наконец, очевидно, что р и j получаются при усреднении точечных частей микроскопических плотностей свободных зарядов и токоа. Обозначая свободные заряды индексом 卩,имеем:

Р = £ев〈6(г —гр)〉， j = 2e3 <г>р6(г —гэ)>, (57.13)

что после усреднения приводится к виду (57.8).

Таким образом, установлено, что макроскопические уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде получаются в электронной теории путем пространственно-временного усреднения соответствующих микроскопических уравнений Максвелла ——Лоренца. Теперь остается выяснить, как в электронной теории могут быть получены конкретные уравнения состояния вещества типа Р = Р(Е), М = М(В).

Задача 57.2. Введя, микроскопические потенциалы, электромагнитного поля, т. е. положив е ——V0 — с~】0а/0/, b —rota, показать, что уравнения Максвелла — Лоренца (57.1) могут быть получены из вариационного принципа

(е2 —Ь2)+— ®микр)—«рмнкр］加 dV = 0(е2 —Ь2)+— ®микр)—«рмнкр］加 dV = 0(57 .⑷(57 .⑷

(е2 —Ь2)+— ®микр)—«рмнкр］加 dV = 0

(е2 —Ь2)+— ®микр)—«рмнкр］加 dV = 0

(57 .⑷

(57 .⑷

при у слови и, что вариации 5力 и 6а исчезают на границах области интегрирования. Вывести отсюда выражение для силы Лоренца.

ДИЭЛЕКТРИКИ В ПОСТОЯННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Особенность диэлектриков, т. е. сред, поляризующихся под действием электрического поля, состоит в том, что их молекулы обладают электрическими дипольными моментами р, в общем случае зависящими от действующего на них поля Е‘. Как будет ниже показано, действующее на отдельные молекулы поле Е', часто называемое локальным, отличается от среднего поля Е ^ <е> в среде и совпадает с последним лишь для достаточно разреженных веществ.

Считая поле Е' слабым по сравнению с внутримолекулярным, можно произвести разложение функции Р(Е') в ряд Маклорена и ограничиться линейным приближением:

р(Е‘)р (0) +(Е'募)Р(Е')*=°三 Ро + «- Е',(58.1)

где а — тензор поляризуемости молекулы, имеющим компоненты 。〃/。£'* |e，=q・(58.2)

Таким образом, в общем случае в дипольном моменте молекулы можно выделить постоянную часть р0, не зависящую от поля Е' и называемую собственным дипольным моментом молекулы, а также часть а，Е\ линейно зависящую от поля и называемую в связи с этим индуцированным дипольным моментом. При этом, вообще говоря, направление индуцированного момента не совпадает с направлением поля Е', что является проявлением анизотропии молекул. В простейшем случае изотропных молекул можно положить - %卜=a6命(58.3)

поэтому

Р = Ро + а£'・(58.4)

Подобная зависимость имеет место, например, в случае, когда заряды 土е, разделяемые в поляризуемой молекуле, удерживаются в положении равновесия квазиупругой силой, пропорциональной смещеникг F =——Лг. Нетрудно показать, что в этом случае поляризуемость а = ?2/々,поскольку при равновесии ^『 = еЕ‘ и индуцированный дипольный момент равен er = Efe2/k.

В свя^и с зависимостью (58.4) интересно выделить два крайних типа изотропных молекул, наблюдаемых в природе:

квазиупругие молекулы, у которых р0 — 0, т. е. р = аЕ‘ (в качестве примера можно указать молекулы СН4 и СС14);

дипольные молекулы, у которых р0 ^= 0, а квазиупругий член аЕ' мал по сравнению с собственно дипольным р0 (примером являются молекулы Н2О, НС1, СН3С1).

Диэлектрики, состоящие из квазиупругпх молекул, называются диэлектриками I класса (или неполярными), а состоящие из дипольных молекул——диэлектриками II класса (или полярными). Поляризация диэлектриков I класса возникает за счет растягивания зарядов в каждой из молекул под влиянием поля Е‘, в диэлектриках же II класса она возникает за счет поворачивания «жестких» диполей по направлению вектора Е‘.

Для нахождения поляризованности Р среды необходимо в соответствии с (57.12) просуммировать дипольные моменты отдельных молекул по физическому бесконечно малому объему А/ и произвести усреднение по времени. В статическом случае, когда время усреднения А/ велико по сравнению с временем установления термодинамического равновесия, усреднение по времени может быть заменено усреднением по равновесному статистическому ансамблю систем, находящихся в различных состояниях, как это доказывается в статистической физике. В рассматриваемом случае, когда взаимодействие молекул друг с другом и с внешним полем может быть представлено в виде суммы взаимодействий отдельных молекул с некоторый эффективным внешним полем (роль которого в данном случае выполняет локальное поле Е'), для усреднения величин, относящихся

к отдельным молекулам, можно использовать распределение Больцмана . Согласно этому распределению, вероятность встретить молекулу в состоянии с обобщенными координатами q, лежащими в некоторой области конфигурационного пространства с объемом dg, равна

d^, (58.5)

где U(7)— энергия взаимодействия молекулы с эффективным внешним полем, Z — постоянная нормировки, Л~ постоянная Больцмана, Т — температура среды.

Для нахождения энергии взаимодействия U (q) заметим, что [см. (27.16)] сила, действующая на диполь р в электрическом поле Е、 равна

F = (pV) E，= (p°V) Е』а(Е”)日，

откуда просто вычислить потенциальную энергию вза имодей ств и я * *:

Для вычищения поляризованности Р нужно найти среднее значение дипольного момента молекуль】：

СР〉三,pdttz =ZT $ ре-и⑷/(s)dq.(58.7)

Считая поле Е' однородным и замечая, что постоянная нормировки, определяемая условием ，d!T = l, равна

Z = § е-и (GM dg, убеждаемся, что

<р> = Е‘(а + р0 <cos 8〉/Е‘)，(58.8)

где ^ —угол между векторами р0 и Е'・ При этом

<cos 8〉= , cos 8 еЗcos ° sin 8 dS ( , eBcos ° sin 3 d8) ,(58.9)

0丿

где § = PqE'/(JzT).

Интеграл (58.9) легко вычисляется дифференцированием по параметру В：

<cos 8〉=盡 Е j eBsso sin 8 dS =击 In ^—^^ =厶(卩)， о

где L (|3)——функция Ланжевена (рис. 58.1), имеющая следующее исимптотическое поведение при малых и больших 0:

(58 10)(58 10)7 心1侔/3，6«1；

(58 10)

(58 10)

L(R) = cthB—片、[_尸，₽>i.

Если среда однородна и плотность числа молекул (концентрация) равна N, то [см. (58.8)] поляризованность оказывается равной

P = "E* +台厶(赛)]P = "E* +台厶(赛)](58.11)(58.11)

P = "E* +台厶(赛)]

P = "E* +台厶(赛)]

(58.11)

(58.11)

Для обычных условий, когда Т〜300 К, р0—Ю'14 СГСЭ, Е~1С「СЗ, получаем |3^10'-4<^i. Поэтому можно воспользоваться приближением 厶偉)^|3/3 и привести (58.11) к виду

р = МЕ'[а~Ь%/(3/гТ)]. (58.12)

Тогда критические поля, при которых приближение (58.12) перестает быть справедливым, определяются условием §〜1 и имеют по

так как достигается притак как достигается прирядок Екр〜10&7 В/см. Из (58.11) следует, что при сверхнизкой температуре, когда 卩沙 1, может на- счупить насыщение диэлектрика, т. е. поляризованность примет максимально возможное значение

так как достигается при

так как достигается при

Рмакс = "Е'(а + %/?). (58.13)

вимо, что ввимо, что вПри комнатной температуре насыщение практически неосущест- стонь высокой напряженности поля,

вимо, что в

вимо, что в

диэлектрике наступает пробой.

Формулой (58.11) можно воспользоваться для вычисления диэлектрической проницаемости среды, если известны поляризуемость молекул а, их собственный дипольный момент р0, а также связь действующего поля Е' со средним полем Е. Что касается поляризуемости молекул, то она может быть обусловлена как деформацией под действием поля Е‘ электронных орбит, так и смещением ионов, составляющих молекулы. Считая смещения электронов и ионов малыми, можно предположить, что они сопровождаются действием возвращающей квазиупругой силы F =——/「=——mw2r, где w ——соответствую- дая резонансная частота поглощения, которая в случае электронов лежит в оптическом диапазоне, а в случае ионов—в инфракрасном. Суммируя дипольные моменты всех зарядов, составляющих молекулу, нетрудно вывести следующее выражение для поляризуемости:

(58.14)(58.14)a=£%也哨.

(58.14)

(58.14)

Надо сказать, что квантовая теорШ подтверждает справедливость формулы (58.14), причем в большинстве случаев основной вклад в поляризуемость дают электроны.

Таким образом, выяснить природу поляризуемости можно, если привлечь некоторые модельные представления о молекулах. Из (58.14) следует, что поляризуемость а имеет размерность объема и поэтому должна быть пропорциональна объему молекулы, т. е.

а 〜* (58.15)

где а ——радиус молекулы. Этот результат в самом деле получается во всех известных модельных схемах, как классических, так и квантовых.

Задача 58.1. Вычислить поля ризу ем ость а для следующих моделей молекул: а) молекула ——металлический шарик (Мосотти); б) молекула—пудинг (Дж. Дж. Томсон}; в) планетарная модель Бора ——Резерфорда.

Займемся теперь вычислением напряженности Е‘ действующего поля. По определению, Е' — напряженность поля, действующего на заряды внутри некоторой выделенной молекулы. Ясно, что Е'=^=Е, ибо в Е' существенный вклад дают ближайшие молекулы, тогда как Е получается усреднением молекулярных полей по достаточно большому объему Ак. Для нахождения Е' воспользуемся методом, предложенным Лоренцем. Окружим молекулу сферой некоторого радиуса R, такого, чтобы вне сферы распределение молекул можно было считать в среднем равномерным, а сам диэлектрик рассматривать как непрерывную среду, т. е. рассчитывать в нем поле методами макроскопической электродинамики. Таким образом, напряженность поля Е\ вычисляемую в центре сферы, можно разбить на две части:

Е—Е1 + Е2， (58.16)

где Ег — напряженность поля, создаваемого всеми молекулами, расположенными внутри сферы, а Е2 — напряженность внешнего поля и поля молекул, расположенных вне сферы. При этом, конечно, нужно исключить и напряженность поля самой выделенной молекулы, ибо его действие на поляризуемый заряд учитывается в квазиупругой силе F = — kr.

Нахождение поля Е2 сводится к решению известной задачи о поле внутри сферической полости, вырезанной в однородно поляризованном диэлектрике с поляризованностью Р и полем Е на бесконечности. Электростатический потенциал(р2 для этой задачи может быть найден методом, изложенным в § 25. Очевидно,

屮2 (г < R) = —(Е26，ф2 (г > R) = (Cr) г-3 —(Er), (58.17)

где С—дипольный момент поверхностных зарядов на границе полости, равный, как нетрудно видеть, дипольному моменту вырезанного шара, взятому со знаком минус, т. е. С =——(4л/3) R3P. Поэтому из условия непрерывности потенциала на границе шара выводим

Е2 = Е -C/R3 = Е + 4кР/3・ (58.18；

Вычисление же Ej представляет гораздо большие трудности. Считая, например, молекулы точечными диполями с моментами р, ориентированными по вектору Е, для напряженности Ег в центре шара находим выражение

Е1= 2 [-ЗгДрг^ + ргП/г?.(58.19)

Результат вычисления этой суммы существенно зависит от расположения молекул внутри шара. Если считать, что молекулы расположены симметрично (например,- в случае простой кубической кристаллической решетки) или же хаотично (газ, жидкость), то все слагаемые компенсируются, так как сумма сводится к сферическому среднему вида一

，[р — 3n (pn)] dQ = 0.

В других случаях (например, для кристаллических решеток с некубической симметрией) это, однако, не так и Ег=^=0. Для простоты будем все же полагать Е] = 0. Тогда

Е' = Е + 4лР/3.(58.20)

Для большинства изотропных сред формула (58.20) достаточно хорошо описывает связь действующего и среднего полей.

Задача 58.2. В методе Лоренца напряженность действующего поля Ех вычисляется е предположении, что дипольные моменты молекул ориентированы по полю Е. Это предположение можно считать оправданным d儿兄 неполярных сред или же для полярных веществ 6 относительно сильных полях. Если же поле слабо, то дезориентирующее влияние соседних молекул 6 пол凡рных средах может оказаться значительным. Чтобы его учестьамериканский физик Л. О н с а г е р предложил 6 1936 г. следующий метод. Если рассмотреть сферическую полость столь малого радиуса R, чтобы внутри нее могла поместиться лишь одна молекула^ то

■ напряженность поля 6 полости и есть, очевидно, Е'. Вне полости она Oftucbisaemc汽 выражением (58.17). Показать, что е этом случае

Е' = ЕЗе/(2&+1).(58.21)

Подставляя (58.20) в (58.12) и выражая оттуда Р, находим

Р =匸協誘 Е = хЕ,(58-22)

где ап — полная поляризуемость молекулы, выражаемая формулой Ланжевена——Дебая

* = а + 代/(3/гТ)(58.23)

и включающая в себя наряду с электронной и ионной составляющими еще и ориентационную часть р^心hT\ обусловленную средней проекцией собственного дипольного момента р0. Зная восприимчивость х, нетрудно подсчитать и диэлектрическую проницаемость:

е = 1 + 4ю<=1+匸卷(58.24)

В предельном случае малых плотностей, когда Nan<^ 1,

е ^ 1 + 4nNani(58.25)

что фактически предполагает совпадение напряженностей среднего и действующего полей.

Разрешая (58.24) относительно N%、получаем более удобное для проверки на опыте соотношение Клаузиуса——Мосотти\

(Е 一 1)/(6 + 2) = 4 冗 Мх/3.(58.26)

Замечая, что концентрация N связана с массовой плотностью т вещества соотношением kN鹏如=N、где M — молекулярный вес, 乂厶一 постоянная Авогадро, перепишем (58.26) в виде8g

諾胃=善必吟(58.27) 60

где 4 冗N дап/3 = 2,54 • 1024an — молярная поляризуемость вещества. 20 Ее линейная зависимость от обрат- ° ной температуры, вытекающая из (58.23), хорошо подтверждается на опыте (рис. 58.2). Однако выяс

нилось, что формула (58.27) непригодна для описания чисто полярных веществ, обладающих значительными собственными дипольными моментами. В этом случае можно считать выполненным неравенство

诉/(3/Т)》а,(58.28)

с учетом которого (58.24) принимает вид

£ = 1 +4шУр；/[За(Т —7\р)]，(58.29)

где

7\产 4nW豳(9用.(58.30)

Отсюда видно, чю формула (58.29) неприменима в области температур, близких к критической, где е может принимать как угодно большие и даже отрицательные значения. Отмеченное явление получило название поляризационной катастрофы.

Как было показано Л. Онсагером, причина возникновения этой ккатастрофы» лежит в неприменимости метода Лоренца для вычисления напряженности действующего поля. Как следует из (58.29), это выражение имеет смысл лишь при v 4nNpl/(3kT) ^ 1, когда оно сводится к следующему:

с = 1 十*(1 —v/3)~x ^ 1 + ¥十、2/з(58.31)

е = 1 + 3ev/(2e + 1).е = 1 + 3ev/(2e + 1).(58.32)179(58.32)179Поэтому метод Лоренца может быть оправдан лишь при ”«1. Если же 1V 〜1, то этот метод не работает и должен быть заменен Другим. В частности, если воспользоваться методом Онсагера, то в соответствии с (58.21)

е = 1 + 3ev/(2e + 1).

е = 1 + 3ev/(2e + 1).

(58.32)

179

(58.32)

179

Разрешая это соотношение относительно е и выбирая положительное решение, имеем

Рис. 58.3Рис. 58.3eT[l+3v + 3(l+» + v2yq.(58.33)

Рис. 58.3

Рис. 58.3

Как видно, выражение (58.33) имеет смысл при всех значениях v, т. е. исключает поляризационную катастрофу, а при V <^ 1 дает

& а; 1 + w + 5W/3,& а; 1 + w + 5W/3,(58.34)(58.34)что незначительно отличается от (58.31)*

& а; 1 + w + 5W/3,

& а; 1 + w + 5W/3,

(58.34)

(58.34)

Задача 58.3. Цилиндр из диэлектрика с полной поляри^ вуемостью ап вращается с малой угловой скоростью ① вокруг своей оси 8 постоянном магнитном поле Во (рис. 58.3). Найти напряженность электрического поля Е и распределение связанного заряда рсвяз в цилиндре, пренебрегая краевым эффектом, т. е. считая, что длина цилиндра намного превосходит его радиус а.

ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ НАМАГНИЧИВАНИЯ

Приступая к объяснению магнитных свойств вещества в рамках электронной теории, следует отметить, что строгая теория магнетизма может быть только квантовой. Тем не менее наглядные полукласси- ческие представления электронной теории оказываются очень полезными для понимания физического механизма намагничивания. Нашей задачей будет вычисление намагниченности М, возникающей в магнетиках под влиянием внешнего магнитного поля Н:

М = %Н, % =(卩一1 )/(4л),(59.1)

причем согласно (57.12)

m =击£研，(59.2)

т0 = тс + ^-^[г,г>(.],т0 = тс + ^-^[г,г>(.],(59.3)(59.3)где П1[ «)——магнитные моменты отдельных молекул вещества, усредненные по времени. Замечая, что в плотность молекулярных токов основной вклад дают легкие электроны, а не тяжелые, почти неподвижные ядра атомов, магнитный момент отдельной молекулы можно представить в виде

т0 = тс + ^-^[г,г>(.],

т0 = тс + ^-^[г,г>(.],

(59.3)

(59.3)

где тс — сумма собственных магнитных моментов зарядов, составляющих молекулу; е ——заряд электрона Второе слагаемое в (59.3) обычно называют орбитальным магнитным моментом молекулы, поскольку он обусловлен движением молекулярных электронов [см. (57.12)]; вектор шс называют спиновым магнитным моментом.

При вычислении намагниченности М мы будем различать слабо- и сильномагнитные вещества. В первом случае магнитным взаимодействием ближайших молекул можно пренебречь и считать индукцию В' действующего поля практически совпадающей со средней индукцией В — <Ь>. К этом} классу веществ относятся диа- и парамагнетики, обладающие малой магнитной восприимчивостью %. В то же время в сильномагнитных веществах, к которым относятся, например, ферромагнетики , магнитное взаимодействие ближайших молекул настолько велико, что именно оно в основном определяет индукцию действующего поля 8’沙 8. Описание магнитных свойств сильномагнитных веществ требует дополнительной гипотезы о взаимосвязи индукций среднего и действующего полей и дано отдельно (см. § 60).

Итак, начнем с простейшего случая слабомагнитных сред. При помещении такой среды в магнитное поле В последнее оказывает на нее двоякое воздействие. С одной стороны, магнитные моменты молекул будут стремиться повернуться вдоль вектора В, а с другой стороны, возникающие при включении поля вихревые молекулярные токи несколько изменят сами магнитные моменты молекул. Чтобы учесть последний эффект, заметим, что при включении магнитного поля В возникает вихревое электрическое поле напряженностью Е =——L ON[dt、которое разгоняет электроны, сообщая им допол- нительный импульс

Р‘ = § еЕ df = — еА/с (59.4) о

Если поле В однородно, то А ~ [Вг]/2 и поэтому дополнительный импульс (59.4) принимает вид

P，= me[R「]， (59.5) где

Й =—eB/(2mec) (59.6)

— ларморова угловая скорость .

Соотношение (59.5) составляет содержание знаменитой теоремы Лармора (1897), согласно которой при включении магнитного поля электроны в молекулах приобретают дополнительное вращение с угловой скоростью Q.

Задача 59.1. Показатьу что Q — вектор угловой скорости прецессии электронных орбит в магнитном поле, если произвести усреднение по быстрым движениям электронов в атомах.

Для того чтобы учесть эффект ориентации магнитных моментов молекул в магнитном поле В, воспользуемся, как и в § 58, статистическим методом, т. е. запишем энергию взаимодействия молекулы с магни!ным полем и произведем усреднение магнитного момента

молекулы по распределению Больцмана (58.5). Принимая во внимание теорему Лармора и учитывая результат задачи 33.1, согласно которому лагранжиан взаимодействия спинового магнитного момента тс молекулы с индукцией В равен (тсВ), составим гамильтониан:

"=W壶(Pt + me[Qr,F — (mcB),(59.7)

где Pz — невозмущенные импульсы электронов. С учетом (59.6) и (59.3) это выражение можно преобразовать к виду

"=£ 费 P—gB) + 謠^ £ [Br#(59.8)

где m0 — невозмущенный магнитный момент молекулы. Возмущенный же магнитный момент, учитывающий ларморову прецессию, очевидно, равен

m = m0 +V^trjQr,.]].(59.9)

i

Из (59.8) легко получить энергию взаимодействия молекулы с внешним магнитным полем В:

и = — (т°В) + 忌 £ [Вг,.р,(59.10)

которую мы используем при составлении распределения Больцмана (58.5). Сравнение (59.9) с (58.4) и (59.10) с (58.6) показывает, что при вычислении среднего магнитного момента молекулы можно воспользоваться результатами предыдущего параграфа. Таким образом, усредняя (59.9), находим

<т〉= В 曙 <C0S 3> + g 蚩 <[г,- [Йг,.]]>,(59.11)

где 3—угол между векторами т0 и В. Пользуясь аналогией с диэлектриками, заменим〈cos3〉функцией Ланжевена L [ | rn01 B/(kT)]t хотя, строго говоря, такую замену делать нельзя, ибо в квантовой теории показывается, что магнитный момент может иметь лишь дискретный набор проекций на направление магнитного поля, причем две ближайшие проекции отличаются на eh/^nm^p}——магнетон Бора. Таким образом, можно сказать, что замена 〈cos3〉 функцией Ланжевена допустима лишь при выполнении неравенства

I I》> eh/(4nmQc),(59.12)

т. е. при достаточно больших магнитных моментах, когда дискретный характер их проекций становится неощутимым. Кроме того, полагая,

что каждая молекула содержит Z электронов, которые распределены почти сферически симметрично, получаем оценку

工 <[г,-[Йг,.]]> « — g^ S〉В.

В результате для среднего магнитного момента молекулы найдем следующее приближенное выражение:

〈m> = B [粤丄(嗯为一謠〈产>]•(59.13)

В частности, если | m01 B<^.kT, т. е. если достаточно высока температура Т магнетика или же слабо поле В, то можно воспользоваться приближением 厶(х)^%/3 и, умножив (59.13) на концентрацию ^ молекул, записать намагниченность М в виде

(59.14)(59.14)

(59.14)

(59.14)

среды:(59.15)среды:(59.15)广［」苧（詳蒞з）广［」苧（詳蒞з）Отсюда нетрудно найти и магнитную проницаемость

среды:

(59.15)

среды:

(59.15)

广［」苧（詳蒞з）

广［」苧（詳蒞з）

В частности, если при отсутствии магнитного поля молекулы вещества не обладают магнитным моментом, т. е. т0 = 0, то среда диамагнитна и магнитная проницаемость ее описывается формулой Ланжевена — Паули:

и^[1 +2nNZe2 ^/(Зт^2)]-1 < 1.(59.16)

Если же молекулы обладают при отсутствии поля отличным от нуля магнитным моментом ш0, то обычно всегда выполняется неравенство

и согласно (59.15) магнитная проницаемость среды равна

卩=[1 _ 4л^пl5/(3^)]-1 > 1.(59•⑺

Таким образом, такое вещество оказывается парамагнитным. Если учесть, что обычно 卩一1«1, то магнитную восприимчивость парамагнетика можно представить в виде

% = С/Т,(59.18)

где С = ^mo/(3^) — постоянная Кюри. Зависимость (59.18) парамагнитной восприимчивости от температуры была впервые экспериментально обнаружена французским физиком П. Кюри в 1895 г. и известна как закон Кюрк. Теоретически этот закон был обоснован /7. Ланжевеном в 1905 г.

Задача 59.2. Вычислить магнитную проницаемость слабомагнитной среды с учетом отличия индукции В' действующего поля от средней индукции поля В. Убедиться, что вычисление В' соответственно по методам Лоренца и Онсагера дает следующие выражения:

В，= В—8пМ/3, В，= ЗВ/(2|х+ 1).(59.19)

183

§ СО. ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА ПО ВЕЙССУ

Из сильномагнитных веществ мы рассмотрим только ферромагнетики. основным свойством которых является способность намагничиваться почти до насыщения даже в относительно слабых магнитных полях порядка 100 Э. Ферромагнетики широко распространены в природе, хотя из чистых химических элементов только шесть обладают ферромагнитными свойствами. К ним относятся железо, никель, кобальт, гадолиний и при очень низкой температуре — эрбий и диспрозий. Ферромагнитными являются многие сплавы, в том числе и сплавы из неферромагнитных элементов, получившие название гейслеровых.

Перечислим главные свойства ферромагнетиков, обнаруженные на опыте.

Ферромагнетики обладают чрезвычайно большой магнитной восприимчивостью %〜103+10。 и уже в слабых полях приходят в состояние насыщения (рис. 60.1, где М§ и Н3 — намагничение и напряженность насыщения). Экспериментально зависимость / (〃) (рис. 60.2) впервые была измерена А. Г. Столетовым, который во избежание размагничивающего влияния полюсов использовал тороидальные образцы.

Р(с 60.3Р(с 60.3

Р(с 60.3

Р(с 60.3

Для ферромагнетиков характерны гистерезисные явления, обнаруживающиеся при перемагничивании образцов. Это означает, что зависимость М(Н) оказывается функциональной, т. е. М зависит

от всей предыдущей истории изменения Н(/). В частности, при выключении внешнего магнитного поля наблюдается остаточное намагничение Мг = М(0), для уничтожения которого необходимо приложить противоположно направленное поле 乩，называемое задерживающим полем (или коэрцитивной силой) (рис. 60.3). Нс может быть порядка 1 Э для магнитно-мягких материалов (железо, пep^faллoй) и порядка 100 Э для магнитно-жестких материалов (хромистая сталь, кобальтовая сталь).

В монокристаллических ферромагнитных образцах были обнаружены области самопроизвольного (спонтанного) намагничения, получившие название доменов. Обычно это области правильной формы, намагничение в которых достигает насыщения даже при отсутствии внешних магнитных полей. Однако образец в целом, содержащий много по-разпому намагниченных доменов, практически не обладает намагничением, поскольку магнитный поток каждого домена замыкается на ближайших к нему соседях (рис. 60,4). Реальность существования доменов была подтверждена многими опытами и, в частности, методом порошковых фигур (метод Акулова — Биттера). С помощью этих фигур можно проследить распределение намагничения на поверхности ферромагнитных кристаллов. Кроме того, детальный анализ хода кривой намагничивания на ее крутом участке показал, чго намагничение меняется скачкообразно при плавном нарастании " (скачки Баркгаузена, 1919). Возникают эти скачки при перемагничивании отдельных доменов (рис. 60.5).

Рис. 60.5Рис. 60.5

Рис. 60.5

Рис. 60.5

Магнитные свойства ферромагнитных кристаллов оказываются сильно анизотропными. В частности, в монокристаллах существует направление легкого намагничивания, обычно совпадающее с криста л лографи ческой осью. При намагничивании кристалла в этом направлении кривая намагничивания идет наиболее круто. Например, в монокристалле кобальта направление легкого намагничивания совпадает с гексагональной осью (рис. 60.6; ось 00) Ход кривых намагничивания при намагничивании кристалла кобальта вдоль этой оси и перпендикулярно изображен на рис. 60.7 (кривые 7 н 2 соответственно).

Рис. 60.6Рис. 60.7Рис. 60.8Рис. 60.6Рис. 60.7Рис. 60.8

Рис. 60.6Рис. 60.7Рис. 60.8

Рис. 60.6Рис. 60.7Рис. 60.8

Ферромагнитные свойства образцов (в частности, спонтанное намагничение) наблюдаются лишь в кристаллическом состоянии при температуре, не превышающей предельную температуру Тс, называемую ферромагнитной точкой Кюри. При нагревании выше этой температуры спонтанное намагничение исчезает (рис. 60.8) и ферромагнетик становится парамагнетиком, восприимчивость которого меняется по закону Кюри — Вейсса

(60.1)(60.1)% = С/(Т —®)

(60.1)

(60.1)

где 0 — парамагнитная точка Кари. Опыт показывает, что 0 > 70 и разнос!ь 0 — Тс составляет 15——40 K. Значения Тс для некоторых материалов приведены в следующей таблице:

Материал

Fe

Со

2

Gd

Dy

MnBi

СгТе

%，к

1043

1400

631

289

105

630

336

В области низкой температуры (Т ^Тс) спонтанное намагничение меняется по закону трех вторых^ Ф. Блоха:

此(Т)=此(0) (1 - 订3/2), (60.2)

где постоянная а 〜 10~6; М3 (0)——намагничение абсолютного насыщения, устанавливающегося в образце при помещении его в чрезвычайно сильное внешнее магнитное поле.

В опыте Эйнштейна——де Гааза (1915) было установлено, что при перемагничивании ферромагнитного образца он приобретает дополнительный момент импульса

ДК = e^m/(mQc)

вокруг направления перемагничивания, где Am — изменение магнитного момента образца. Таким образом, отношение | АК |/| Am | оказалось равным отношению собственных механического и магнитного моментов электрона. Все это указывало на спиновую природу ферромагнетизма. Позднее, в работах ». И. Френкеля и В. Гайзен- берга (1928), было установлено, что это действительно так. Ими было показано, что учет квантовых обменных сил приводит к следующей энергии взаимодействия U двух атомов со спиновыми моментами S] и S2：

U = -2?(S]S2),

где ^ — обменный интеграл, который оказывается положительным, если в атомах имеются внутренние незаполненные электронные оболочки, радиус которых меньше радиуса атомов более чем в 1,5 раза. В таком случае, согласно распределению Больцмана, наиболее вероятным состоянием будет то, когда спины атомов (а значит, и их магнитные моменты) направлены в одну сторону. Таким образом,

оказывается выгодным образование областей, в которых магнитные моменты атомов одинаково ориентированы (домены). Очевидно, что беспредельный рост доменов также невыгоден, ибо при этом возрастает энергия магнитного поля, порождаемая магнитными моментами атомов. Поэтому в конце концов устанавливаются некоторые промежуточные размеры доменов, в общем случае зависящие от размеров образца

Итак, мы убедились, что ферромагнетизм является коллективным эффектом', если бы в парамагнетике существовало взаимодействие, заставляющее магнитные моменты атомов ориентироваться в одном направлении, то получился бы ферромагнетик. Последовалельное описание такого взаимодействия (обменного) возмоу<но только в рамках квантовой теории, однако неплохие качественные результаты получаются и в классической полуфеноменологической теории, с самого начала принимающей гипотезу о существовании этого взаимодействия и определенной его структуре. Описанием ферро магнетизма в рамках такой теории мы и ограничимся.

Впервые представление об особом молекулярном поле, выстраивающем магнитные моменты атомов в ферромагнетике, было введено в 1892 г. русским физиком Б. Л. Розингом. Позднее, в 1907 г., французский физик /7. Вейсс построил теорию, основанную на предположении о том, что индукция действующего магнитного поля в ферромагнетике, названного им внутренним, имеет вид

В' = Н+?М, (60.3)

где у — некоторая постоянная порядка 104. Здесь следует отд:етить, что если бы молекулярное поле Вейсса имело магнитное происхождение, то [см (59.19)] было бы у = 4л/3 <^ 104

Оценить индукцию В' внутреннего поля можно из следующих соображений. Очевидно, что тепловое движение атомов противодействует ориентирующему влиянию поля В' и при температуре Т ~ТС эти эффекты должны быть равными. Допуская, что Тс^ 1000 К, а магнитный момент а гома имеет порядок магнетона бора 卩8 = 0,9х X 1О~20 эрг/Гс, приравниваем тепловую энергию энергии магнитного взаимодействия:

卩〜kTс，

откуда В'〜107 Гс. '

В том, что на самом деле в ферромагнетике таких магнитных полей быть не может, v беж дает простой расчет. Поскольку среднее расстояние между атомами / 10-8 см, то индукция Mai нитного поля примерно равна

8〜卩в〃з〜Ю3 Гс.

В опытах советского физика 牙 Г. Дорфмана (1927) по рассеянию электронов в намагниченном до насыщения ферромагнетиче было прямым путем показано, что молекулярное поле Вейсса имеет немагнитную природу (по квантовой теории оно представляет собой часть кулоновского взаимодействия электронов, зависящую от ориентации их спинов).

Итак, примем гипотезу Вейсса (60.3) и используем ее для описания отдельной области спонтанного намагничения, или области Вейсса (домена). Если т0 — собственный магнитный момент атома, а ^ — концентрация атомов, то намагничение абсолютного насыщения, очевидно, равно Mw = ^m0. Дальнейшие рассуждения такие же, как в теории парамагнетизма Ланжевена. В частности, для намагничения М (в предположении, что М и Н параллельны) получаем m=m/(1^^) = m8乙(1^^十4^m).(60.4)

Соотношение (60.4) можно рассматривать как трансцендентное уравнение относительно М. Для анализа этого уравнения его удобно представить в параметрической форме, введя новые переменные:

% 三 I I "/(々7、)+ 丫 I Eq |Л1/(&Т), у = M/Mg.

Тогда

9 н aх一力=l⑴三 cth% -%一1，(60.5)

где

а = kT/{y I mJ MJ = kT/^N)4 b H/(yMJ = 〃/(? |m0|^.

Графическое решение уравнения (60.5) сводится к нахождению точки пересечения кривой Ланжевена y^=L(x) и прямой у = ах —b (рис. 60.9). Замечая, что

И (х) = х-2 — sh7_r& 1/3,

рассмотрим две области значений параметра а: а > г/3 и а < г/3.

L。〉% 偉〉a).''

В этом случае существует единственная точка пересечения, отвечающая парамагнитной восприимчивости, т. е. отсутствию спонтанного намагничения (если Я = 0, то М = 0). Поэтому температура, определяемая условием a = х/3, должна играть роль точки Кюри:

Тс = уш 汹/(3 左).(60.6)

В частности, для высоких температур Т»Тс， когда 尤«1, можно положить L (х) ^ х/3, что соответствует y = 3b(3a— I)'1. В результате получается намагничение зида

М^М^у^ 3HTd[y (Т 一 Тс)]，(60.7)

изменяющееся с температурой по закону Кюри — Вейсса (60.1),

в котором ферромагнитная и парамагнитная точки Кюри совпадают (последнее говорит о грубости теории Вейсса).

а •< % (6 < а).

В этом случае при малых магнитных полях (Ь«1) возможны три точки пересечения (рис. 60.10), но из них только одна термодинамически устойчива. Так, при 方》0 устойчива точка, отвечающая 7W > 0. Это и есть область спонтанного намагничения. В частности, если " = 0нТ«Тс, т・е・Ь = 0，а«1 и %》1,то получается уравнение

откуда л:%。-】一1 и у = ах ^ 1——а, что соответствует линейной зависимости спонтанного намагничения от температуры:

A4 = M」l-T/(3Tc)]・(60.8)

Таким образом, в теории Вейсса не получается закон «трех вторых» Блоха.

Если изменить направление приложенного внешнего поля, т. е.

взять // < 0, то термодинамически устойчивой становится точка,

отвечающая минимальному значению^ <0. Иначе говоря, область Вейсса будет перемагничиваться. Далее, поскольку при достаточно больших // < 0 решение с М〉0 пропадает, то зависимость М (Я) будет разрывной (рис. 60.11), чем и объясняются скачки Баркгаузена.

Таким образом, уже для элементарных' областей Вейсса возникает явление гистерезиса. Если же предположить, что реальный макроскопический образец состоит из многих областей Вейсса (доменов), то нетрудно видеть, что при его перемагничивании также наблюдается яв

ление гистерезиса, хотя оно и осложнено

эффектами анизотропии, наличием дефектов кристаллической решетки и т. д. Гладкая кривая (петля гистерезиса) получается при этом усреднением по многим областям Вейсса (см. рис. 60.5).

§ 61. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ

И ПОГЛОЩЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

В оптике хорошо известно явление дисперсии света, т. е. зависимость скорости Уф распространения света в среде от его частоты(о. Поскольку [см. (38.4)]

&由НСIV е卩三<?/几,

то показатель преломления среды п = )/£卩 также зависит от частоты. Подобная зависимость наблюдается не только в оптическсм Диапазоне, но и для электромагнитных волн любых других частот.

Первое удовлетворительное объяснение явления дисперсии и одновременно поглощения электромагнитных волн в средах было дано в рамках электронной теории Лоренца.

Очевидно, что явление дисперсии в первую очередь связано с влиянием электромагнитного поля распространяющейся в среде волны на дипольные моменты молекул: р = р0-|-аЕ/. Для упрощения примем, что молекулы достаточно массивны, а частота ① достаточно велика, поэтому можно пренебречь изменением р0 со временем . Таким образом, будем учитывать лишь индуцированный дипольный момент а巨

В качестве модели молекулы рассмотрим отдельный электрон с зарядом е и массой те, смещенный на г (/) относительно положительно заряженного остова. Если скорость электрона мала по сравнению со скоростью света, т. е. |г|«с, то в выражении для силы Лоренца е (Е' +с'1 [гВ']) можно пренебречь вкладом магнитной индукции В' волны, поскольку В'〜Е'・ Принимая еще, что электрон удерживается в молекуле квазиупругой силой —/?г, и учитывая силу реакции излучения, запишем уравнение движения электрона в виде

mer + kr =еЕ‘ +2е2「/(ЗсЗ).(61.1)

Решение этого уравнения можно использовать для вычисления полной плотности тока jnojlH в среде, если предположить, что основной вклад в нее дают электроны. В частности, считая среду однородной с электронной концентрацией NQt имеем

严』h -〈严р〉^n訴(61.2)

Запишем теперь усредненные уравнения Максвелла — Лоренца (57.6);

rot В = у^ + -^рздн, div Е = 4лрп0ЛИ,

rotE = —雰，divB = 0

и будем считать все величины в них периодическими во времени:B-=Bw(r)e'IW/, E = Es(「)e7^,

рП0Лн = pg (г) e-叫 jno^H к 猫⑺

С другой стороны, замечая, что по закону сохранения количества электричества

рз = — i div 猫/①三— div Pw> где

P(0 —订"①(61.3)

—поляризованность, запишем уравнения Максвелла в таком виде:

rot Bw + i(oDw/c —0, div Ds = О,

rot Eg —心Bg/c = 0,(1“Вз = 0.

Здесь

Dg三 Ей)4-4лРш.(61.5)

Для нахождения поляризованности Рю воспользуемся уравнениями (61.1) и (61.2). Именно: рассматривая лишь установившееся движение электрона, т. е. полагая

г = гое-^(61.6)

и считая, что напряженность Е‘ мало меняется в пределах молекулы, из (61.2) выводим*

Рй>= У0о・(61.7)

Наконец, принимая напряженность действующего поля равной

Ещ==ЕС0Ч-4лРК}/3

и учитывая (61.6) и (61.7), находим из (61.1)

р 二 _滥'(4n)S (t)c — CD2 —(Y(0

Здесь ? = 2e2(02/(3他6)； (^ =喘一唠/3,喘=为/恨，w^ = 4Я^e^2/^e» где 丫 ——коэффициент лучистого трения; соо — собственная частота колебаний электрона в изолированном атоме; сос ——собственная частота электронных колебаний в атоме в среде (т. е. измененная под влиянием полей окружающих атомов); ^ — плазменная частота, соответству юща я колебаниям свободных электронов в квазиней- тральной среде {плазменные или ленгмюровские колебания).

Задача 61.1. Показать, что поляризационная плотность заряда рр? возникающая при малом смещении электронов в квазинейтральной плазме, подчиняется уравнению колебаний Рр + ^прр —О-

Имея выражение (61.8) для поляризованное™, нетрудно найти и вектор электрической индукции:

D&)= Ез + 4пРз = еЕз, (61.9) где введена комплексная диэлектрическая проницаемость

£(6= 1 +о^/(о)2 —о)2 —(уо)). (61.10)

Здесь уместно замсхигь, что у в (61.10) можно считать коэффициентом лучистого трения только в предположении, что столкновения •молекул друг с другом и со свободными электронами маловероятны. В самом деле, в результате столкновений часть энергии электронов переходит в энергию движения самих молекул, т. е. в теплоту. Эти |ютери энергии электронами необходимо добавить к чисто электромагнитным потерям на излучение. Феноменологически это делается добавлением к 丫 некоторой не зависящей от з части.

Полученное выше выражение для 8 (со) характерно для одноре- ^нансной осцилляторной модели вещества, в которой предполагается, что собственные частоты всех электронов одинаковы и рав- 『；” сос. На самом же деле это не так, тем более что нужно учиты- Ltib еще и колебания ионов, собственные частоты которых обычно

лежат в инфракрасной области. Для того чтобы учесть все электронные частоты, обычно вводят функцию распределения дисперсионных электронов по частотам f(^. Нормируя ее на единицу, т. е. полагая

口 ®)d% = 1.

О

"/(sjdsc можно интерпретировать как концентрацию электронов, собственные частоты которых лежат в интервале (сос —dwc/2, сос + +(1й)с/2). В таком случае выражение (61.10) принимает вид

£(8)=1+嚅J；61.11)

J Зс — 3 —"3 о

Интересно, что такое же выражение получается и в квантовой теории, где / (сос) называется силой осциллятора.

Каков физический смысл комплексной диэлектрической проницаемости? Для выяснения этого выделим действительную и мнимую части е = e‘十注、Тогда

£‘ к" _ 1 I w2 ?(冠一炉)厶恤)d(Oc

(61.12)(61.12)о

(61.12)

(61.12)

f / We) Y①⑴口 d(t)c

(/ 一炉)2高2co2 ・

Из (61.12) следует, что е' является четной, а 8,,~-нечетной функциями частоты:

门一①) = е'((о),门一со) — — г" (со),(61.13)

и, кроме того, справедливо неравенсгво

“у,(з)=「零 JY實？ > 0.(61.14)

J(Ct)c —to2) + 丫2載

Как было показано еще в § 50, е" связано с тепловыми потер”- ми. Для того чтобы убедиться, что это действительно так и что тепловые потери пропорциональны явно положительному значению сое", подсчитаем среднюю за период Т = 2п/з мощность силы «трения» Ftp =——meyr, действующей на 'отдельный электрон:

(FTpr) = — т^ (г)2 = — meyw21 г012/2.

Выделяемая тепловая мощность получается отсюда умножением на концентрацию электронов NJ (сос) и интегрированием по(о「

彳=N е We/2)咨 \ I Г。|2 f 但)d3c.о

Подстановка сюда выражения для | г0 р, вытекающего ih (01 丿 и (61.8), дает в соответствии с (61 14)

7= I Ew р j {а^^ = е" I ⑸⑸

Сравнивая соотношение (61.15) с известным выражением для д>1：о- улевых потерь一

眾 =иЕ2 = о|Е^2/2,

,приходим к выводу, чю электропроводность а (ю) среды и £”(©) связаны между собой:

0 (s)=善ё" (3)=与萼,7 J丝言?「⑹，⑹

4几J ((De — <02) + ?2f°2

В частности, для металлов, в которых основной вклад в проводимость дают свободные электроны с 恥=°，имеем

о (w)工 丫嗚/[4п (со2 + у®)].(61」7)

Это соотношение известно как формула Друде~Зинера, выражающая зависимость электропроводности металлов от частоты.

Заметим, что с помощью (61.16) выражение для 8 приводится к виду

е (з) = J (з) + 14ла (з)/со,(61.18)

откуда следует, чго для металлов в статическом пределе е имеем полюсную особенность типа

е (s — 0)14па/а>,(61.10)

где g — статическая электропроводность.

Особый интерес представляет структура е для 广幵个”不兀 в которой основную роль играют свободные электроны с юс ^и, г. е. мо/<- но положить f(g) = 26_®) и, согласно (61.11),

е ®)= 1 —嚼/® ® + iy)].(61.2(》

Очевидно, чго такое поведение диэлектрической проницаемое-]и характерно для любой среды в пределе чрезвычайно высоких частот, поскольку при з—оо все электроны можно считать свободными. Если в формуле (61.20) пренебречь потерями, т. е. положить з 沙 Y，го

е ®) = 1 —(з口/①)2.(61.21)

Изучим теперь распространение электромагнитных rcoh в диспергирующей среде. Начнем с самых простых плоских минохрома in- ческих волн, т. е. положим в уравнениях (61.4)

Ea)= Eekr), Bs=BQkr),

где Eu и Во —постоянные векторы. Тогда с учетом (61.9) нм戶戶м:

[кВ0] = — зеЕ"с, е (кЕ0) =0,(61.22)

[кЕ。] = зВ"% (kBJ = 0.

7 № 2222г з

Исключая из этих уравнений Во, приходим к волновому уравнению (о2еЕ0/с2 ==й2Е0 — к (кЕ0),(61.23)

которое допускает два типа решений, соответствующих поперечным и продольным волнам.

Поперечные волны удовлетворяют условию (кЕ0) — 0, т. е. векторы Еа, Во, к образуют правую ортогональную тройку (рис. 61.1). В этом случае из волнового уравнения (61.23) выводим, что

依=de (①)/*(61.24)

т. е. волновой вектор к является комплексным. Считая, что волна распространяется вдоль оси Z, т. е. полагая к — (0, 0, й), имеем

k =⑴丿 е/с =研/с,(61.25)

где '_

刀=几 + М = /е(61.26)

—комплексный показатель преломления.

Для выяснения физического смысла п н nf запишем электромагнитное поле волны:

где 九° = 2пс/①——длина волны в вакууме. Отсюда следует, что 冷' определяет затухание амплитуды волны на расстоянии порядка длины

касается и, то это обычный показатель преломления, определяющий скорость перемещения поверхности постоянной фазы Ф = со(/ —пг/с)-^ =const, т. е. фазовую скорость волны v^~c/n.

Разделяя действительную и мнимую части в соотношении J/T— п + находим:

几=2-1/2(|&| + 吟1/2, /Г = 27/2(|е|-")】/2 = е"/(2初(61.28)

Зависимость г) (со) в простейшем случае, когда вблизи частоты со имеется лишь одна изолированная собственная частота(ос и поэтому можно ограничиться однорезонансным приближением, дана на рис, 61.2 194 ' -

[и (со) —кривая 7, п* (со) —кривая 2]. Анализ зависимости пг (со) показывает, что коэффициент у, обычно удовлетворяющий условию ^«①口 имеет смысл ширины линии поглощения.

В частности, в области прозрачности вещества, т. е. вдали от линии поглощения, когда и можно положить 几^丿£’ и пх ^ ^{^Уг1}, в однорезонансном приближении

(61.29)относительно(61.30)(61.29)относительно(61.30)出у " ^ 1 +嚅/(曉-炉).

(61.29)

относительно

(61.30)

(61.29)

относительно

(61.30)

Вспоминая, что 峻=妳一唠/3, и разрешая (61.29) 唸 приходим к соотношению

絞一1 一 ％_ 4л^е2/(3те)

П2 + 2 一 3(% — Ct)2) 一 Ct)2 —Ct)2 ，

известному как формула Лоренца — Лоренца. Она была выведена в 1880 г. независимо голландцем Г. А. Лоренцем и датчанином Л. Лоренцем. Согласно этой формуле, при заданной частоте (п2 — 1)х К (/г? й~ 2)-I оказывается пропорциональным концентрации электронов. Очевидно, что формула Лоренца — Лоренца является обобщением (при з片 0) соотношения Клаузиуса — Мосотти (58.26).

Перейдем к рассмотрению второго типа плоских волн в среде —— продольных, В этом случае [кЕо] = О, поэтому из уравнений (61.22) следует, что /

В。н D()= eEq = 0, (61.31)

т. e. эти волны чисто электрические и могут существовать только для тех частот со〃 которые являются корнями уравнения

8 (о)() = 0. (61.3?)

Если ① достаточно велико, то в-пренебрежении потерями можно воспользоваться упрощенным выражением (61.21), из которого следует, что д・ = зп. Таким образом, в соответствии с результатом задачи 61.1 продольные волны связаны с поляризационными колебаниями электронов в среде и поэтому часто называются волнами поляризации или волнами Бора, который впервые использовал их для расчета потерь энергии заряженной частицы, движущейся и среде.

Задача 61.2. Показать, что в области прозрачности средняя по времени плотность энергии периодического электромагнитного поля 6 среде имеет вид

码 тМ® 嗯(№ + |В“Н (61.3?)

В реальных физических задачах часто приходится исследовать распространение в среде не только плоских электромагнитных волн, но и волновых пакетов. Волновой пакет в диспергирующей среде можно построить по аналогии с (39.11) и (39.13). Ограничившись

поперечными волнами, имеем:

Е (厶 г) = Re , , \ Е„ (к)占®)-血(Ю，d3fe,

；：(61-34)

В (/, г) = cReЕ [кЕ。(к)] е"")-淑©/ 赢,

где d% = d&d& dA，(кЕо) = О, ю (к) —решение дисперсионного уравнения (61.24).

* Рассмотрим достаточно узкие волновые пакеты, т. е. примем, что функция I Ео (k) I имеет резко выраженный максимум в некоторой точке к — к0. Для описания поведения такого волнового пакета удобно ввести понятие о его центре, который можно считать совпадающим с радиус-вектором

自（方）三"戸2w/（,序程），自（方）三"戸2w/（,序程），(61.35)(61.35)

自（方）三"戸2w/（,序程），

自（方）三"戸2w/（,序程），

(61.35)

(61.35)

где усреднение производится по периоду То~ 2n/(cfe0).

Задача 61.3. Показать, что скорость центра волнового пакета совпадает с групповой скоростью, которая может быть вычислена по формуле

。=0(/)=饗 LkJ矶 36)

где cd' = Re co (k). Предполагается^ что время / удовлетворяет неравенству t^ (k0) <^ 2л; co" = Im co (k).

Таким образом, практически для любого времени вычислять групповую скорость по формуле (61.36) можно только в прозрачной области, в которой з"«с(У. В этом случае, дифференцируя no к соотношение (61.24), находим

,_ 2必

ИЛИ

“ -(d/dco) (псп)—匸Pi((t)/m) (d几7<1①)| *(6 L37)

Отсюда видно, что в области нормальной дисперсии, когда dn/dw > 0, групповая скорость не превосходит фазовую, т. е. у < <и由= с/м. Однако в области аномальной дисперсии, когда dn/dco<0, будет у > Уф, а поскольку при этом возможны значения n < 1, то групповая скорость может превосходить скорость света. Между тем, как видно, например, из рис. 61.2, область аномальной дисперсии совпадает с областью поглощения, в которой пользоваться формулой (61.36) нельзя и выводы из нее неправомочны.

Задача 61.4. Показать, что 6 области прозрачности групповая скорость совпадает со скоростью центра масс волнового пакет% т. е.兄8・ ляется скоростью переноса энергии.

Помимо фазовой и групповой скоростей часто употребляются еще понятия скорости сигнала и скорости фронта сигнала. Под сигналом обычно понимается волновой пакет с резко ограниченными краями. Его передняя кромка называется фронтом. Можно показать, что скорость фронта сигнала в любой среде равна скорости света в вакууме [теорема Т. Леви-Чивита (1913)]. Причину этого нетрудно понять, если заметить, что в области фронта поле испытывает резкие изменения, а это, в свою очередь, связано с присутствием в фурье-разложении поля бесконечно больших частот. Но согласно (61.21) е(о)^оо) I, поэтому среда ведет себя по отношению к таким изменениям поля как вакуум. Очевидно, чго это связано с инертностью заряженных частиц.

Структура фронта сигнала в диспергирующей среде была подробно изучена А. Зоммерфельдом и Л. Бриллюэном в 1914 г. Они обнаружили, что в среде с поглощением в промежутке между

фронтом и основной группой можно выделить две области с заметно повышенной интенсивностью поля. Бриллюэн назвал их первым 卫 вторым предвестниками . Как и следовало ожидать, скорости их не превышают % а скорость основной группы, или скорость сигнала, отличается от групповой скорости и, вычисленной по формуле (61.36), только в области поглощения. Зависимость скорости сигнала от частоты схематически изображена на рис. 61.3 (на примере однорезонансной модели).

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА

Глава6Глава6И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Глава

6

Глава

6

В предыдущем изложении основных законов электродинамики умышленно обходились вопросы, связанные с выбором системы отсчета координат и времени, к которой эти законы относились. Не затрагивалась и проблема пе； рехода от одной системы отсчета к другой» движущейся относительно первой. Приступая в настоящей главе к анализу этих вопросов, следует признать, что опираться при этом можно лишь на достижения механики, под влиянием которых и формировались представления человечества о пространстве и времени. Развитие механики убеждает в полном равноправии всех инерциальных систем отсчета, что нашло свое отражение в известном принципе относительности Галилея. Согласно этому принципу, уравнения механики Ньютона имеют один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета, или, как говорят, являются ковариантными * относительно преобразований Галилея, осуществляющих переход от одной инерциальной системы отсчета к другой.

В связи с этим было бы естественно ожидать, что и в электродинамике равноправие инерциальных систем отсчета не будет нарушено, т. е. что уравнения Максвелла — Лоренца имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Однако положение оказалось не столь простым, как это представлялось на первый взгляд, и расширение принци-

* О понятиях ковариантности и инвариантности см. приложение, а также в кн.: Бергман /7. Г. Введение в теорию относительности. М., 7947, гл. 2.

па относительности на электродинамику потребовало пересмотра установившихся представлений о пространстве и времени *. Чтобы понять суть возникших противоречий, рассмотрим более подробно принцип относительности Галилея в классической механике.

§ 62. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ И ГИПОТЕЗА ЭФИРА

Принцип относительности Галилея опирается на два основных до

пущения:

время является абсолютным, т. е. единым для всех инерци

альных систем отсчета;

скорости складываются как евклидовы Из этих допущений и вытекают известные преобразования Галилея, связывающие между собой две инерциальные системы отсчета. Пусть, например, система отсчета £' движется относительно системы отсчета g со скоростью и. Считая оси координат в обеих системах параллельными и совпадающими в момент времени / = 0(рнс. 62.1), имеем:

векторы **.

「'=「一日九 尸

Рнс. 62・1

или, направляя ось X вдоль о:

£ = х —也，У = У， 2’= Z, /'=

(62 1)

Нетрудно убедиться, что преобразования Галилея (62.1) являются прямым следствием соотношения ，= /, выражающего абсолютный характер времени, и закона сложения скоростей:

"х = "；+и, "у =况］, Uz = Ug,

、62.2)

или в векторной форме

u н й‘ 十日,

где u = dr/d/ и u' = dr7df — скорости материальной точки в системах Ен" соответственно.

Рассмотрим уравнения механики Ньютона для замкнутой системы материальных точек с массами ”，между которыми действуют силы F注(»片々)，зависящие от относительных расстояний:

色=装=£ F话(％ -Гf)•

(62.3)

Замечая, что ускорения точек, а также относительные расстояния являются инвариантами преобразований Галилея:

d2rz/d/2 = cPWd/% 门一％ =「；一 儿 (62.4)

убеждаемся, что уравнения (62.3) инвариантны относительно этих преобразований. Однако в случае действия произвольных сил уравнения Ньютона только ковариантны по отношению к преобразованиям Галилея и неинвариантные силы следует при этом рассматривать как внешние, т. е. механическую систему нельзя считать замкнутой.

Задача 62.1. Из требования ковариантности силы Лоренца относительно преобразований Галилея вывести закон преобразования электромагнитных полей Е 〃 В.

Что касается уравнений электродинамики Максвелла — Лоренца, то они оказались нековариантными относительно преобразований Галилея, а все попытки получить желанную ковариантность, как-то изменив форму уравнений, не принесли успеха, ибо приводили к противоречию с опытом.

Задача 62.2. Убедиться 6 нековариантности относительно преобразований Галилея волнового уравнения и уравнений электродинамика Максвелла—Лоренца,

Нековариантность уравнений электродинамики по отношению к преобразованиям Галилея представлялась, однако, естественной с позиций «эфирных» теорий, вводивших гипотетический электромагнитный эфир и рассматривавших электромагнитное поле как особого рода натяжения в нем (по аналогии с натяжениями в упругой среде). Подобное представление об электромагнитном поле было еще у Максвелла. Фактически его придерживался и Лоренц, считавший электромагнитное поле особым состоянием электромагнитного эфира, покоящегося относительно некоторой выделенной системы отсчета.

Если принять существование электромагнитного эфира, то очевидно, что уравнения Максвелла — Лоренца могут быть справедливыми лишь в единственной системе отсчета, связанной с эфиром. Во всякой другой системе отсчета эфир будет двигаться, а это должно сказаться на уравнениях поля. Иначе говоря, в любой «эфирной» теории предполагается существование «эфирного ветра», а это означает, что в уравнениях поля должна содержаться в качестве параметра скорость рассматриваемой системы отсчета относительно эфира. Таким образом, представление об эфире оказывается несовместимым с принципом относительности Галилея, в чем наглядно убеждает следующий мысленный эксперимент.

Рассмотрим электромагнитную волну, порождаемую точечным источником света в момент времени / = 0, и выясним, как будет выглядеть ее распространение в двух инерциальных системах от-

счета, движущихся друг относительно друга со скоростью о. Пусть, скажем, система 2 связана с неподвижным эфиром, а система X’ движется вдоль оси X со скоростью у, так что в момент / = 0 их

Рис. 62.2Рис. 62.2начала отсчета совпадают с положением источника. Тогда в момент /=? > 0 свет достигает точек, расположенных на расстоянии R = cT от начала координат г = 0. Поэтому в системе S уравнение фронта волны имеет вид

Рис. 62.2

Рис. 62.2

炉 + + / — с2T2 = 0. (62.5)

Однако в системе £' к момен- ту f = Т положение источника сместится вдоль оси X на отрезок — vT и уравнение той же волновой поверхности примет вид (рис. 62.2)

(£ + ")2 + 式2 + z，2 - с2T2 工 0. (62.6)

Таким образом, в системах N ” 2’ уравнение волнового фронта выглядит по-разному. Но, как хорошо известно из теории дифференциальных уравнений в частных производных» волновая поверхность является характеристической и ее вид определяется только коэффициентами соответствующих уравнений Поэтому уравнения электромагнитного поля, в результате решения которых и получаются соответствующие волновые фронты (62.5) и (62.6), также должны выглядеть по-разному, что говорит об их нековариантности *.

Итак, «эфирная» концепция электромагнитного поля отрицает принцип относительности Галилея и допускает возможность опытного обнаружения эфирного ветра. В конце прошлого века «эфирная» концепция считалась единственно возможной и для обнаружения эфирного ветра были поставлены многочисленные эксперименты, на важнейших из которых мы и остановимся.

§ 63. ПОПЫТКИ ОБНАРУЖЕНИЯ ЭФИРНОГО ВЕТРА

Вопрос о возможности обнаружения движения относительно эфира стал обсуждаться еще в первой половине прошлого века т. е. до создания Максвеллом электромагнитный теории света. Возник этот вопрос в оптике, где к тому времени на смену корпускулярной теории света Ньютона пришли волновые представления Гюйгенса —— Френеля, согласно которым свет рассматривался как возмущение в эфире, распространяющееся в нем наподобие волн в твердом теле. Из многочисленных экспериментов, касающихся проверки «эфирной» концепции, мы остановимся лишь на двух —опытах Л. И. Физо и Л. Майкельсона.”

Опыт Физо был поставлен в 1851 г., т. е. до появления ieo-

рии Максвелла, с целью обнаружить возможное увлечение светоносного эфира движущимся телом. Схема опыта следующая (рис. 63,1). Световой луч от источника S с помощью полупрозрачной посеребренной пластинки а расщепляется на два луча, которые системой зеркал направляются по замкнутому пути навстречу один другому. На этом пути световые лучи проходят водяной поток, движущийся со скоростью и, и на выходе образуют интерференционную картину Л

Рис. 63.1

На опыте обнаруживается смещение интерференционных полос в зависимости от скорости потока и, что соответствует частичному увлечению эфира водой. При этом скорость света в движущейся воде оказывается равной

% = 0几十(1 - 1/n2) у, (63.1) где с/п ——скорость света в неподвижной воде (п — ее показатель преломления). Формула (63,1) и, в частности, выражение для коэффициента увлечения ‘

а = 1 — 1/п2 (63.2) были теоретически выведены Френелем, исходившим из представлений об эфире как непрерывной среде, заполняющей все тела с плотностью, пропорциональной п2. В связи с этим а назван коэффициентом увлечения Френеля.

Задача 63.1. Объяснить опыт Физо: I) с помощью электронной теории Моренца; 2) исходя из квантовых представлений。свете как о совокупности частиц — фотонов.

Как видно, опыт Физо позволяет определить скорость среды по отношению к прибору (в данном случае ™ интерферометру), но не по отношению к неподвижному эфиру. Позднее Лоренц пока зал, что во всех опытах первого порядка*, в которых наблюдаемый

/2 было/2 былонаправленонаправлено(63.3)(63.3)

/2 было

/2 было

направлено

направлено

(63.3)

(63.3)

эффект пропорционален скорости и, измерить скорость эфирного ветра невозможно. Такое измерение можно провести лишь в опытах второго порядка, в которых наблюдаемый эффект пропорционален у2. Классическим примером последних является знаменитый опыт Майкельсона.

Опыт Майкельсона впервые был поставлен в 1881 г., а затем повторялся в 1887 г. и 1904—1905 гг. (рис. 63.2). Измерения про-

водились с помощью специально сконструированного для этого опыта интерферометра Майкельсона, располагавшегося вместе с источником света S на массивной каменной плите, плавающей в ванне со ртутью. Если V — скорость движения Земли относительно эфира, то вращением плиты можно так ориентировать интерферометр, чтобы либо плечо /п либо плечо

вдоль V. Луч света, испускаемый источником S, с помощью полупрозрачной пластинки а расщепляется на два луча, которые после

отражения от зеркал т〔 и т2 вновь возвращаются к пластинке и, взаимодействуя, образуют интерференционную картину I.

Если плечо 13 ориентировано вдоль скорости z, то, следуя «эфирной» концепции, нетрудно рассчитать время 厶，которое требуется второму лучу для прохождения плеча /2 туда и обратно:

Время f], требующееся первому лучу для прохождения плеча L туда и 'обратно, легко находится из рассмотрения треугольника атхаг

(рис. 63.3). Длина основания этого треу

гольника равна смещению пластинки а за время 友，т. е. и^, и поэтому длина боковой стороны равна 厶=(/； + 况绐4)i/\ Поскольку свет следует вдоль траектории ат^а' длиной

2L=e厶，то

友тот广

Теперь легко можно подсчитать разность /1 —/2, определяющую вид интерференционной картинн:

[(]-炉/成)1/2]-W2/C2 J ・

(63.5)

Если же вдоль скорости 力 ориентировать плечо 厶,то лучи / и 2 поменяются местами и получится другая разность

&三 4 - /；&三 4 - /；22сс1 f 2 /镇(］一风绚1瓜1 f 2 /镇(］一风绚1瓜(63.6)(63.6)

&三 4 - /；

&三 4 - /；

2

2

с

с

1 f 2 /镇(］一风绚1瓜

1 f 2 /镇(］一风绚1瓜

(63.6)

(63.6)

в результате чего интерференционная картина изменится. При длине волны X света смещение интерференционных полос определяется изменением разности хода лучей (в долях X)

б = Т(е，_0)=T(Z1 + Z2)[(1 -*尸_(1 •(63.7)

Для оценки 6 разумно предположить, что скорость v порядка скорости движения Земли вокруг Солнца, т. е. и/с 〜10-4. В таком случае ‘

6~2i+AfzV. (63.8)

В первом опыте Майкельсона сумма длин плеч интерферометра Z1 + /2 составляла 25 м, а в последующих —еще больше. Поэтому для 九=10~ь м из (63.8) следует, что 6 > 1/4, Такое смещение интерференционных полос может быть надежно зарегистрировано визуально, однако в опытах оно не наблюдалось. Таким образом, эфирный ветер обнаружить не удалось, что послужило основанием для сомнений в справедливости «эфирной» концепции *.

§ 64. ГИПОТЕЗЫ ФИЦДЖЕРАЛЬДА И ЛОРЕНЦА

(64.1)(64.1)В 1891 г. для объяснения отрицательного результата опыта Майкельсона ирландский физик Дж. Фицджеральд выдвинул гипотезу, согласно которой все тела, движущиеся относительно эфира со скоростью V, сокращаютС51 в направлении движения по закону

(64.1)

(64.1)

где /п— продольное размеры тела, неподвижного относительно эфира. Г1одс1аьовка (64.1) в (63.5) и (63,6) дает

2 (厶一厶)7vT-v2}?2 (厶一厶)7vT-v2}?(63.5a)(63.5a)

2 (厶一厶)7vT-v2}?

2 (厶一厶)7vT-v2}?

(63.5a)

(63.5a)

откуда 6 = 0 в соответствии с опытом.

Но даже примирившись с гипотезой Фицджеральда, несмотря на всю ее искусственность, все же нельзя было исключить возможность обнаружения эфирного ветра в каком-нибудь другом опыте. В самом деле, заметим, что скорость Z в (63.7) может быть пред-

ставлена в виде

О = ^сТ 刃3,

где Zc —скорость Солнца относительно эфира, ®3 —скорость Земли относительно Солнца. Поскольку в течение года s заметно меняется, то при 厶声 ％ [см. (63.5а)] интерференционная картина также меняется. Такой опыт по наблюдению интерференционной картины в течение длительного времени был поставлен в 1932 г. американским физиком Р. Кеннеди, но дал отрицательный результат.

Отрицательный результат опыта Мацкельсона Лоренц считал убедительным аргументом в пользу пересмотра концепции эфира, которую он до этого защищал. Не удовлетворившись формальной гипотезой Фицджеральда и своими собственными доказательствами ее, основанными на некоторых допущениях о характере сил взаимодействия атомов в веществе, Лоренц стал искать такое обобщение преобразований Галилея, которое гарантировало бы невозможность обнаружения эфирного ветра в любом оптическом или электродинамическом опыте второго порядка. В 1904 г. ему удалось найти такие преобразования. Первоначально он их представил в таком виде:

хг = ухг, у' =у, z' = z,，= //у —(64.2)

где xv — x — vt — координата 尤，преобразованная по Галилею; у = н (1—и?/с?)-】/?—множитель, отражающий сокращение тел по гипотезе Фицджеральда. Но самым ценным в предложении Лоренца было введение нового времени f, не совпадающего со старым временем / вопреки представлению об абсолютном времени . Исключив из (64.2) переменную 打，найдем:

一uf), yf ~ у, z' = £, f'=y(f — vx/c2). (64.3)

Следует отметить, что подобные преобразования рассматривались еще в 1887 г. немецким физиком В. Фохтом в статье, посвященной принципу Доплера, но в форме (64.3) впервые были получены в 1900 г. Дж. Лармором в книге «Эфир и материя». В 1904 г. эти преобразования были использованы А. Пуанкаре и по предложению последнего были названы преобразованиями Лоренца.

Однако Лоренц считал новые координаты 尤'，у', г' и время f лишь формально вводимыми переменными, использование которых удобно, так как позволяет сохранить неизменной форму уравнений электродинамики . Истинными же координатами и истинным временем он считал исходные переменные 尤，у, г, Л Таким образом, Лоренц не смог до конца отказаться от концепции эфира и признать, что принцип относительности справедлив и в электродинамике при условии замены преобразований Галилея преобразованиями

Лоренца. Он не сумел распространить принцип относительности на все физические явления, как это сделал в 1905 г, А. Эйнштейн. доказавший универсальный характер преобразований Лоренца, выведя их из принципа относительности. Если бы Лоренц четко указал, что новые переменные /, у'，之‘，У так же реальны и столь же полно описывают пространство и время, как и старые переменные х, у, z, /, то он первым утвердил бы принцип относительности и первым обратил бы внимание на относительность одновременности пространственно-разобщенных событий, следующую из предложенных им преобразований. Все эти и последующие достижения принадлежат Эйнштейну, построившему теорию относительности.

ПОСТУЛАТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Отрицательные результаты опыта Майкельсона и ряда электродинамических опытов (типа опытов Траутона —Нобля, Эйхенвальда и др 水)поставили под сомнение концепцию эфира и да^ти основание к распространению принципа относительносги на электродинамические явления. Необходимость возврата к принципу относительности была глубоко осознана Эйнштейном, который впервые предложил исходить не из концепции эфира, а из утверждения, что электромагнитные явления описываются одними и теми же уравнениями Максвелла——Лоренца во всех инерциальных системах отсчета. Но поскольку уравнения электродинамики нековариантны по отношению к преобразованиям Галилея, Эйнштейн поставил задачу—отыскать новые преобразования, по отношению к которым уравнения электродинамики были бы ковариантными и которые соответствовали бы новым, измененным представлениям о пространстве и времени. Такими преобразованиями оказались преобразования Лоренца.

Эйнштейн вывел преобразования Лоренца, исходя из двух основных постулатов — относительности и постоянства скорости света, используя при этом некоторые общие представления о свойствах пропранства и времени. Постулаты Эйнштейна содержат следующие утверждения:

Во всех инерциальных системах отсчета все физические явления протекают одинаково, т. е. по одним и тем же законам (постулат 〃/w принцип относительности).

Скорость света не зависит от движения источника света 以 одинакова во всех инерциальных системах отсчета (постулат постоянства скорости света).

Если первый постулат является распространением принципа относительности Галилея на все физические явления, а не только на электродинамические, то второй постулат фактически содержится в первом, поскольку процесс распространения электромагнитной

* Беккер Р. Т( орня электричества. М.— Л., 1941, т. 2, § 45; Мандельштам Л. Я. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М.» 1972.

световой волны, согласно первому постулату, должен во всех инерциальных системах отсчета протекать одинаково. Однако второй постулат представляется особо важным, так как он в явной

форме отрицает «эфирную» концепцию в оптике и электродинамике

и одновременно раскрывает фундаментальную роль электродинамической постоянной с в общей теории пространства и времени.

Если исходить из концепции электромагнитного эфира, опирающейся на преобразования Галилея, то постулаты Эйнштейна пред

Рис. 65.1Рис. 65.1ставляются противоречивыми. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть мысленный опыт со светом (см. § 62). В самом деле, фронт световой волны в системе 2 в момент времени f = T будет иметь вид сферы 贸 радиуса сТ с центром в точке г — 0, Однако в системе 》'фронт той же самой свеговой волны должен, согласно постулатам Эйнштейна, изображаться сферой 笈'того же радиксасГ, но с центром в точке г' =0 (рис. 65.1). Таким образом, волновые

Рис. 65.1

Рис. 65.1

разных системах отсчетаразных системах отсчетафронты одной и той же световой волны в

разных системах отсчета

разных системах отсчета

не совпадают!

На первый взгляд кажется, что для разрешения этого «очевидного» противоречия нужно либо отказаться от принципа постоян

ства скорости света, т. е. считать, что скорость света зависит от скорости движения источника, либо отказагься от обоих постулатов и принять «эфирную» концепцию. Однако более внимательное рассмотрение парадокса показывает, что причина его возникновения лежит в неявном использовании укоренившегося в нашем сознании представления об абсолютном времени, когда мы молчаливо полагаем / и отождествляем принцип относительности с требованием ковариантности по отношению к преобразованиям Галилея.

В самом деле, если отказаться от условия f' = f н считать, что /' =，(/, х), как это было, например, предложено Лоренцем, то становится очевидным, что сферы 况 н 况'не должны совпадать, поскольку каждая из них является геометрическим местом одновременных событии в своей системе отсчета, а одновременные события в системе》,вообще говоря, не являются таковыми в системе, и наоборот. Таким образом, в системе £ сфера 奧'также является фронтом световой волны, но каждая из его точек взята в свой момент времени.

Итак, кажущаяся противоречивость постулатов Эйнштейна устраняется, если отказаться от представления об абсолютном времени

и считать одновременность пространственно-разобщенных событий относительной, т. е. связывать пространственные координаты и время в движущихся друг относительно друга системах отсчета не преобразованиями Галилея, а иными преобразованиями, удовлетворяющими постулатам Эйнштейна. Как выяснится, таковыми являются преобразования Лоренца.

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОДНОВРЕМЕННОСТИ

Для вывода преобразований Лоренца нам понадобятся некоторые общие представления о свойствах пространства и времени.

Пространство и время суть формы существования материи. Эти формы являются всеобщими' никакая материя не существует вне пространства и времени, как и пространство и время немыслимы без материи. Поэтому, говоря о свойствах пространства и времени, необходимо иметь в виду, что они являются отражением наиболее общих свойств материи и законов, управляющих ее движением. Опираясь на законы, лежащие в основе механики и электродинамики и не вызывающие в настоящее время сомнения, можно выделить следующие наиболее общие свойства пространства, трехмерность, изотропность и однородность. Важнейшим же свойством времени является его однородность .

Для пояснения этих свойств отметим, что наглядно пространство изображается координатной сеткой, служащей для регистрации всех возможных положений, которые могут занимать материальные объекты. Координатная сетка может быть привязана к некоторому избранному материальному телу, называемому телом отсчета. Если тело отсчета абсолютно жесткое, то его точки могут считаться изображающими точки координатной сетки. Для нумерации последних используются три числа — координаты (в простейшем случае —— декартовы), что и является выражением трехмерности пространства. Равноправие всех трех декартовых координат отражает изотропию пространства, а произвольность выбора начала координат —его однородность.

Отвлеченным изображением времени может служить упорядоченная от прошедшего к будущему последовательность моментов времени, которые могут отсчитываться некоторыми идеальными (стандартными) часами. В каждой пространственной точке могут быть установлены свои часы, отсчитывающие время в данной точке. При этом все идеальные часы считаются тождественными, т. е. ритм их хода при переносе часов в одну и ту же пространственную точку должен быть одинаковым. Свобода выбора начала отсчета времени является отражением его однородности. •

Координатная сетка, связываемая с избранным телом отсчета, и упорядоченные последовательности моментов времени, сопостав-

ляемые каждой точке пространства и отсчитываемые помещенными туда стандартными часами, образуют в своей совокупности то, что называют системой отсчета. При этом само тело отсчета (или их набор) совместно с установленными в каждой пространственной точке Стандартными часами образуют базис системы ответа 來.Среди всевозможных систем отсчета физически выделяются инерциальные системы отсчета, движущиеся по закону инерции, т. е. связываемые с телами отсчета, на которые не действуют никакие внешние силы (практически такие тела отсчета могут быть реализованы лишь приближенно).

Выбрав некоторую инерциальную систему отсчета, исследуем понятие одновременности событий. Как было замечено раньше, понятие одновременности относительно, поэтому необходимо дать строгое его определение, согласованное с постулатами Эйнштейна. При этом речь будет идти о пространственно-разобщенных' событиях, поскольку для событий, происходящих в одной точке, одновременность не отличается от галилеевской.

При определении одновременности пространственно-разобщенных событий воспользуемся конкретным физическим процессом — распространением света в вакууме, скорость которого, согласно второму постулату Эйнштейна, постоянна и равна с. Пусть имеются два события, происходящие в точках Мг и W соответственно. Для синхронизации часов С\ и С2, помещенных в этих точках, □》стнм световой сигнал из точки 囿 в момент времени 友(по часам CJ Предположим, что этот сигнал пришел в точку М2 в момент /2 (по часам &), мгновенно отразился и возвратился в точку Mt в момент (по часам CJ.

Очевидно, что время, затрачиваемое на путь туда или обратно, должно быть одинаковым (вследствие постоянства скорости света). Поэюму необходимо считать, нто /2 — /, = /； — или

才2 =(厶+ 4)/2・ (66 1)

Иначе говоря, часы С2 должны быть установлены так, чтобы в момент прихода сигнала в точку М2 их показание было 勾[в соответствии с (66 1)] Такого рода световая синхронизация часов и была положена Эйнштейном в основу определения одновремен-

* Следует особо различать систему отсчета и систему координат. Последняя, включающая з себя координатную сетку и способ отсче та моментов времени и не включающая тела отсчета, имеет вспомогательный характер и в зна- читель ной мере может быть выбрана произвольно, хотя, конечно, существуют и привилегированные системы координат, наиболее просто и точно отражающие свойства рассматриваемого явления. Этот вопрос особенно важен в общей теории относительности (Фок В. / Теории пространства, времени и тяготения. М., 1955, § 1—2) Отметим, что, выбрав некоторую систему отсчета, привязанную к реальному телу отсчета, можно рассмотреть другое, роображасмое^тело отсчета с заданным законом движопия и связать с ним новую систему отсчета (однако в общей теории относительности принято систему отсчета связывать только с реальными телами).

Ml*2 ности пространстсенно^разобиженных событий,

、^/ Очевидно, что возможны и другие способы

\^/ синхронизации часов. Например, световой сиг-

X / нал может высылаться в точки Мх и М2 из

\ /некоторойравноудаленной от них точки Ма

Х^(рис,66.1).Тогда время, показываемое -часами

М3С] иС2 вмомент прихода сигнала, должно

Рис. 66.1бытьодинаковым

ВЫВОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА - ЭЙНШТЕЙНА

При выводе преобразований Лоренца будем считать принятыми следующие положения:

однородность пространства и времени, означающая, что вид преобразований не должен зависеть от выбора начала отсчета пространственных координат или времени;

изотропность пространства, т. е. равноправие всех пространственных направлений;

принцип относительности, т. е. полное равноправие всех инерциальных систем отсчета;

постулат постоянства скорости света, т. е. одинаковость скорости света во всех инерциальных системах отсчета.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета 2 и ", с которыми свяжем декартовы системы координат. Систему отсчета W условно назовем неподвижной, а систему 2’ (также условно) — движущейся в системе S со скоростью V. Если рассматривать пространственновременное описание некоторого материального процесса в системах S и S\ то эти описания должны быть эквивалентными, т. е. связанными между собой. Иначе говоря, в различных системах отсчета лишь по-разному изображается один и тот же пространственно-временной континуум, свойства которого являются отражением свойств материи. Поэтому должны существовать формулы преобразования от одной системы отсчета к другой, которые мы сначала запишем в самом общем виде:

г' =f (/, г),(67.1)

где <р и f — некоторые неизвестные функции. Для определения их конкретного вида воспользуемся сформулированными выше четырьмя требованиями.

Если рассмотреть два различных события (/,,厶)и (%, г,), то разности 勾一/； и Га—-г； могут зависеть только от 勾一厶 и г2 —гп как того требует принцип однородности пространства-времени. Таким образом,

屮(& г2)-ф(11( г1)=Ф(/8-/1, г2-г,);

f (%，「2)—f 仏，rj= F 仇一 г? —rj,(

* Нетрудно убедиться, что подобную синхронизацию часов можно осуществить и с помощью частиц равной массы, выбрасываемых из точки 7И3> если только обеспечить равенство их импульсов.

где Ф и F — некоторые новые функции. Принимая, что в момент / = 0 начала отсчета в системах W и £' совпадают, имеем: <р (0, 0) = 0, f (0, 0) = 0. Поэтому, полагая в (67.2)左=0, ^ = 0, находим:

屮(‘2，「2)=①(&『2)； f (‘2，「2)н F (勾，「2)"

Тогда уравнения (67.2) преобразуются к виду

中(厶，Г2)一中(厶，г1)=中(/2 -g，7-h)；

из которого следует, что функции ф и f линейны по / и г.

Будем теперь считать оси координат в системах £ н £' параллельными и совпадающими в момент времени f = 0. Тогда вследствие изотропности пространства единственным выделенным направлением будет направление скорости s Иначе говоря, единственным вектором, от которого параметрически могут зависеть функции преобразования Ф и f в (67.1), является вектор скорости z. Ориентируя ось X вдоль z и учитывая линейность функций ф, f, а также совпадение плоскостей 尤'=0 и x = vt、заметим, что из параллельности осей координат в системах S и S' следует пропорциональность 尤',у',之'и соответственно x — vt, у, z. При этом коэффициенты пропорциональности в уг и ze одинаковы вследствие равноправия осей У и Z. Наконец, f может зависеть лишь от / и х вследствие выделенности направления X. Учитывая все сказанное, запишем преобразование (67.1) в таком виде:

£=y(x — uf), g'=ccy, г' =аг,产=卩(f — ux/rj), (67.4)

где коэффициенты а, у,卩，丫। могут зависеть лишь от у2, поскольку при изменении направления осей X и X' на обратное и одновременном обращении знака скорости у преобразование (67.4) не должно меняться, как это следует из изотропности пространства.

Нетрудно понять, что все вышеприведенные рассуждения эквивалентны утверж дению, что 'F — полярный вектор, а Г——скаляр, линейно зависящие от / и г В самом деле,『'может быть только линейной комбинацией векторов г,廿(г») и 刃九 а 厂一комбинацией скаляров f и (иг)

(67.5)(67.5)г' = ас+В刃(rz) —у vt,t‘ =第十£ (「力)，

(67.5)

(67.5)

где а, р, т，卩，8, как скаляры, могут зависеть лишь от V2. Далее, поскольку в системе Е система 2' дгижется со скоростью », то г' = 0 эквивалентно г = е/. Но тогда из (67.5) следует, что а + М — у - 0, и (67.5) принимает вид

〔67.6)〔67.6)1=а「+(у—а) и (гг»)/у2—丫叽,/ =財十 е (гг»),

〔67.6)

〔67.6)

что эквивалентно (67.4), если считать ось X параллельной е.

Воспользуемся принципом относительности и рассмотрим обратный переход ——от системы S' к системе S. Вследствие равноправия систем отсчета S и Sz этот переход описывается теми же формулами (67.4), но с заменой и на —и (рис. 67.1):

% = ¥(%' + ”')，у = ау‘，£ = az',力=卩(/'+ ш：7т|). (67.7)

Подставляя (67.4) в (67.7), находим:

% = ? [?(尤 一 и/) + ф/ —卩№尤/?]], у = Wg,z = а空，t ^[k2t —卩2ux/q + 卩и?(尤一y/)/rj.

Пс「кс』ьку полученные соотношения должны выполняться тождественно, то функции а, у, ц, rj оказываются связанными между собой：

Y(Y —照 2/哨=1, yv (ц —у)-=0,从 2一卩 *2/"=], 41(卩一y)/n=0

Отсюда сразу находим, гетствуст преобразованиюОтсюда сразу находим, гетствуст преобразованиючто а=±1. Однако случай а = — 1 соот- К= — у, ?'= — г; мы же предполагали

Отсюда сразу находим, гетствуст преобразованию

Отсюда сразу находим, гетствуст преобразованию

направления осей координат в £ н " одинаковыми. Поэтому остается единственный выбор

а = 1.(67.8)

Далее, поскольку и # О н у*0 (иначе xz = 0), то

卩=丫，Y2 = (1 — у2/Л)~1- (67.9)

В результате преобразование (67.4) принимает вид

£=у(х—Н), у'=у, г' = г, С ~ у (t~Wi q),(67.10)

где У н (1 —у2/т])~1.

Итак, нам оо ал ось определить только одну неизвестную функцию 刀(№). Дл» этого воспользуемся еще раз принципом относительности и рассмотрим новую инерциальную систему отсчета 2", движущуюся относительно 2’ вдоль оси X’ со скоростью ”' По принципу отно- сизельности преобразование от системы Е к системе 2" также должно иметь вид (67.10) с некоторой новой скоростью ” и новыми значениями ? = ¥(力，rj = rj(у2):

/ = 丫(尤—卅)，у" = у, z" = z, * = ?(£ —их/").(67.11)

Однако то же самое преобразование можно получить, совершив сначала переход от S к £\ а затем от 2’ к Z"火.При этом

/ ??' [x — vt~vr (t — ux/叫],

V = yyf [^―(yx/r|) — d (尤一喲/rf].(67.12)

Сравнив (67.1 1) и (67.12) и, в частности, коэффициенты при ж в выражении для х" и коэффициенты при t в выражении для найдем:，

Y = Y7‘(1 +^'7л)» 7 = уу' (i +uU/rf).

* Это является выражением группового характера разыскиваемых преобрази ванин.

212

Отсюда следует, что

rf = “ = const,(67.13)

т. е. “ не зависит от и. Таким образом, согласно (67.9) и (67.13), у есть функция у2 и фундаментальной постоянной q

丫 = 士(1 — у2/л)~1/з-

Однако решение, отвечающее отрицательным у, следует отбросить, так как при v^O должно получаться тождественное преобразование, т. е. у (0) = 1. Окончательно

Y = (1 一u2/叫-1/2. (67.14)

Для определения постоянной т) воспользуемся постулатом постоянства скорости света. Рассмотрим плоскую световую волну, распространяющуюся^ вдоль оси X. Уравнение волнового фронта этой волны в системе отсчета S имеет вид

(67.15)(67.15)х — ct ~ 0.

(67.15)

(67.15)

Однако в системе W', согласно постулату о постоянстве скорости света, уравнение волнового фронта должно выглядеть точно так же: £—с尸=0.(67.16)

Преобразуя левую часть (67.16) с помощью (67.10) и учитывая (67.15), находим

yvt (1 -炉//) = 0.

Поскольку 0 и у 声 0, то

т| = с2.(67.17)

В итоге преобразования Лоренца, выведенные на основании постулатов Эйнштейна, принимают такой вид:

Т 1 一叫炉Т 1 一叫炉У — t ——УХ/с2 /1 —MdУ — t ——УХ/с2 /1 —Md(67.18)(67.18)

Т 1 一叫炉

Т 1 一叫炉

У — t ——УХ/с2 /1 —Md

У — t ——УХ/с2 /1 —Md

(67.18)

(67.18)

Обратные преобразования получаются заменой и на —и: х' + и/,, ,f + vx' /с2

/ 1一№£2 3?，/1 — t，2/C2

С помощью (67.6) нетрудно получить преобразования Лоренца и в общем случае, когда скорость 切 имеет произвольное направление. Тогда в векторной записи имеем:

г' = г — W +(Y — 1)(⑺刃/叫

U = 丫 [f —(『z)/叫，(67.20)

где 丫 = (1—v2/c2)-1^2.

Итак, нами получены преобразования координат и времени, осуществляющие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой. В этих преобразованиях в концентрированной форме и содержатся новые представления о пространстве и времени, вытекающие из принципа относительности, распространенного на все физические явления, включая электродинамические.

Задача 67.1. Убедиться в инвариантности оператора Даламбера □ относительно пре образована й Лоренца [установить на основании этого ковариантность волнового уравнения □《)= ()〃 уравнения Клейна ——Лор- дона (□—加2)屮=0 (m = const) для, скалярного поля 屮卜 Показать, что уравнения механики Ньютона нековариантны относительно преобразований Лоренца,

ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА

Рассмотрим некоторые следствия преобразований Лоренца, выявляющие то новое, что они вносят в представления о пространстве и времени. 一

Предельный случай медленных движений (и«с). В механике макроскопических тел, имеющей дело со скоростями, гораздо меньшими скорости света, хорошо подтверждается принцип относительности, основанный на преобразованиях Галилея. Поэтому в пределе медленных движений преобразования Лоренца должны сводиться к преобразованиям Галилея. Однако если считать v；c —> 0, т. е. 7 f 1, то преобразования (67.18) принимают такой вид:

= x — vt, z'=z, V = t — vx/c2, (68.1)

Как видно, они отличаются от преобразований Галилея тем, что вместо абсолютного времени Е = t вводится местное время Лоренца /'= f“ест = / _ и%/。？. Однако для реальных физических задач пространственные координаты можно считать ограниченными. Поэтому, исключая бесконечно удаленные точки, т. е. полагая vx <^ c2tt убеждаемся, что преобразования (68.1) в самом деле переходят в преобразования Галилея,

Таким образом, новая теория пространства-времени, основанная на преобразованиях Лоренца, удовлетворяет принципу соответствия, переходя в пределе медленных движений в старую теорию Ньютона — Галилея. Выполнение принципа соответствия является необходимым условием, предъявляемым ко всякой новой теории, поскольку старая, хорошо проверенная теория обязательно должна содержаться в новой в качестве предельного случая, т. е. при изменении входящих в теорию параметров в некоторой ограниченной области.

Преобразования Лоренца теряют физический смысл при z〉с. В самом деле, в этом случае у —(1 — у2/с2)-1/2 становится мнимой величиной, а вместе с ней мнимыми оказываются и новые координаты 尤'и время L. Но результаты любых измерений пространства и времени выражаются в действительных числах, поэтому физический смысл имеют лишь действительные координаты и время. Следовательно, системы отсчета, движущиеся со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, не имеют физического смысла и должны быть изъяты из рассмотрения. В месте с тем преобразования, осуществляющие переход к таким системам и рассматриваемые формально математически, безусловно могут оказаться полезными при решении некоторых задач.

Задача 68.1. Рассмотреть комплексное преобразование Лоренца вида:

/ = у(х—呜，у' = iy^ zz = iz, f = у (t—vx/c2)t

где 丫 =[(己2/,2)— I]-1^2 , v > с, и убедиться, что относительно этого преобразования остается инвариантным уравнение Даламбера, 〃。не уравнение Клейна — Гордона ・

Относительность одновременности. Ранее, анализируя распространение световой волны в двух инерциальных системах отсчета S и ", находящихся в относительном движении, мы пришли к выводу, что постулаты Эйнштейна непротиворечивы только при допущении относительности одновременности пространственно-разобщенных событий. Убедимся теперь в этом с помощью преобразований Лоренца, При этом для упрощения картины вообще не будем рассматривать координаты у и z. ^

Пусть в неподвижной системе отсчета S зафиксированы два пространственно-разобщенных события (厶,尤J и (^2,尤2),尤2*尤1・ Посмотрим, как будут выглядеть эти события в системе £', движущейся со скоростью V. Применяя преобразования Лоренца, имеем:

尤2 -尤1 口 Y [(%2 -尤1) U (»2 -厶)])

Допустим, что в системе S события одновременны, т. е.

3 fl.(68.3)

Тогда в системе S\ согласно (68.2), справедливы соотношения ^2—%； = 一 (/ -%i) 0Y/e2,尤2 -%;=Y (% -尤办(68.4)

откуда

^2 — /；=—(尤;—％；) v/C' =7^ 0.(68.5)

Таким образом, события, одновременные в системе S, становятся неодновременными в системе S\ т. е, одновременность пространственно разобщенных событий относительна Это обстоятельство является тем существенно новым, что вносится преобразованиями Лоренца в наши представления о пространстве-времени.

В самом деле, в классической механике Ньютона, основанной на принципе относительности Галилея, время считалось абсолютным и

признавалась лишь пространственная относительность, т. е. относительное^ одноместности событий, разделенных во времени. Так, если в системе £ события （厶，尤丿 и 〃力尤?）происходят в одной точке （尤1 = /） н в разные моменты времени （厶彳％）, то в системе S\ согласно преобразованиям Галилея, они будут разделены отрезком %； —— ％； = =0（厶一为）¥=0. Что же касается одновременности событий, то она считалась абсолютной:力一£；=勾一厶・

Чтобы нагляднее представить себе относительность одновременности, рассмотрим ее проявление на конкретной модели. Допустим, чго в системе W' одновременно вспыхнули расставленные вдоль оси X' лампочки. Тогда в системе S вспышки не будут одновременными и лампочки зажигаются последовательно одна за другой, причем фронт вспышек, согласно （68.2）, перемещается со скоростью

и — （%2 尤1）/（‘2f 1） C^/V.

Эта скорость связана с относигельной скоростью и систем W и "соотношением

uv = c2,（68.6）

использованным в свое время Луи де Бройлем для описания «волн материи». Де Бройль предположил, что со всякой неподвижной частицей массы т0 связан некоторый периодический процесс частоты %工^也2/力，Где 2л^ = h~ постоянная Планка. Иначе говоря, он постулировал существование волнового поля

屮（九尤）=丸0-3叱

изменяющегося по гармоническому закону одновременно во всех точках пространства. Если же частица движется со скоростью и, то, считая поле 屮 скалярным, найдем, что в системе £', связанной с частицей, поле де Бройля имеет вид

（tr,比'）=屮声-出山，

а в системе S, согласно преобразованиям Лорснна,

屮（/,尤）=屮'（，£）=屮声13"一打2

где u = *2,（o = 3oY，y = （1 -*/炉）一1/2.

Таким образом, с каждой движущейся со скоростью v частицей связано поле де Бройля в виде плоской волны, распространяющейся в пространстве с фазовой скоростью &, определяемой соотношением （68.6）.

Ограниченность скорости распространения сигнала. Формулы （68.2） позволяют также сделать вывод о том, что скорость любого сигнала, т. е. возмущения, переносящего информацию, не может превышать скорость света с. В самом деле, пусть сигнал, посылаемый из точки % в момент времени %, принимается в точке х2 в момент 216

времени /2 (рис. 68.1). Очевидно, что момент испускания сигнала предшествует моменту его приема, т. е. " < %, а скорость распространения сигнала равна

% = (/ 一 %)/(% - 幻♦ (68.7)

В то же время в движущейся системе отсчета " [см. (68.2) и (68.7)]

为一4=(厶一厶)Y(1-u%d).(68.8)

последовательностьпоследовательность脸 х"с*на〃 (tz>x^脸 х"с*на〃 (tz>x^Поскольку для всех реальных систем отсчета и < с, то при % < с всегда vvc < с2 и поэтому из (68.8)厶 < 总 т. е. моментов испускания сигнала и его приема сохраняется неизменной во всех реальных инерциальных системах отсчета.

последовательность

последовательность

脸 х"с*на〃 (tz>x^

脸 х"с*на〃 (tz>x^

Pl С. 6bJPl С. 6bJизменениеизменениеОднако если vc > с, то найдутся системы отсчета, удовлетворяющие условию

Pl С. 6bJ

Pl С. 6bJ

изменение

изменение

для которых с^с > с2, поэтому f〔 < f；. Но такое вательности моментов испускания и поглощения сигнала в зависимости от выбора системы отсчета (всегда произвольного) несовместимо с принципом причинности, по крайней мере в той форме, в какой он выполняется для всех макроскопических процессов. Согласно этому принципу, всякая информация сначала посылается (причина), а затем принимается (следствие), обращение же причины и следствия местами невозможно.

Итак, принимая принцип причинности, мы вынуждены признать, что скорость передачи информации не может превышать скорость света с. Однако этот вывод не следует переносить на все без исключения физические процессы, поскольку не все процессы можно превратить в сигналы, т. е. использовать для передачи информации. Примером таких процессов могут-быть, скажем, вышеупомянутые волны де Бройля, распространяющиеся с фазовой скоростью, превышающей скорость света. Это связано с тем, что бесконечная монохроматическая волна не несет никакой информации и поэтому не может быть сигналом. Передать информацию можно лишь с помощью группу волн, центр которой распространяется с групповой скоростью (61.36). В частности, для волн де Бройля, как можно показать, групповая скорость совпадает со скоростью и частицы, ассоциируемой с этой волной, и связана с фазовой скоростью 〃 волны соотношением (68.6). При этом 〃〉с, так как и < с, ибо предполагается, что с частицей всегда можно связать систему отсчета.

Допустимо существование и реальных частиц, движущихся со скоростью, большей скорости света, если отказаться от обычно подразумеваемой независимости процессов их испускания и поглощения. Для обычных, досветовых, частиц (и < с) процесс испускания (эмиссии) во рсех возможных системах отсчета предшествует процессу поглощения (абсорбции). Для сверхсветовых же частиц (и > с) последовательность процессов эмиссии и абсорбции зависит от выбора системы

отсчета [см. (68.8^, т. е. произвольна. Таким образом, если допустить, что сверхсветовая частица, испущенная в то“ке Xj эмиттером Е, поглощается в точке %2 регистрирующим прибором — абсорбером Л, то в некоторой другой возможной системе отсчета процесс абсорбции в точке 芯 предшествует процессу эмиссии в точке х；. Тем самым нарушается макрсскопическая причинность, так как следствие (регистрация частицы) предшествует причине (испусканию частицы). Если же для сверхсветовых частиц не противопоставлять процессы поглощения и испускания, а рассматривать их как единый процесс эмиссии ——абсорбции, или абсорбции—эмиссии, т. е. не считать возможной регистрацию лишь одного процесса поглощения частицы, а полагать осуществимой только регистрацию всего процесса сразу в обеих точках & и 匕，т0 противоречия с принципом причинности не возникнет

Таким образом, теории от нос итель ности не противоречит допущение о существовании точечных объектов, движущихся со сверхсветовой скоростью, испускаемых и поглощаемых обычными частицами в различных прост ранственных точках. Однако последовательность процессов эмиссии и абсорбции для этих объектов относительна, т, е. завмснт от выбора системы отсчета. Такие гипотетические сверхсветовые частицы (тахионы) представляются в одной системе отсчета движущимися от точки Xi к точке х2» а в другой — от х2 к %i. Подробнее о свойствах тахионов будет сказано в § 96.

Помимо эффекта десийхронизации имеются еще два кинематических эффекта теории относительности (уже второго порядка), наиболее поражающие воображение: это эффекты сокращения движущихся масштабов и замедления движущихся часов.

ИЗМЕНЕНИЕ ДЛИНЫ ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ

Пусть некоторое тело движется относительно неподвижной системы отсчета 2 со скоростью v. Свяжем с ним подвижную систему отсчета 2 и допустим, что сравнением с эталонными масштабами, установленными в той же системе, найдено, что длина тела равна /(1 . Под длиной же движущегося тела следует, очевидно, понимать расстояние между положениями его концов, зарегистрированными в неподвижной системе отсчета в один и тот же момент времени. Однозре мен ноешь измерения положений концов тела является существенно необходимым условием опыта. Нарушение этого условия привело бы к тому, что измеренная длина могла бы оказаться какой угодно, в том числе даже отрицательной.

Если концы тела расположены в плоскости, перпендикулярной вектору скорости z (рис. 69.1), то измерение его длины в обеих системах У м £' даст одно и то же значение /01 поскольку [см. (67.18)] у'=у и z' = z. Выбор же момента измерения тоже никак не сказывается на измеряемой длине, так как подстановка х2 = хг и % =左 в (68.2) дает 器=/；, т. е. регистрация положений концов тела производится одновременно как в системе £, так и в системе X

Однако картина существенно изменится, если тело будет вы тянуто вдоль оси X, т. е. вдоль направления движения (рис. 69.2).

Если в системе 彳 моменты регистрации положений концов тела совпадают (厶=匕)，то из-за относительности одновременности пространственно-разобщенных событий в системе 2r эти моменты уже не совпадают, поэтому результат измерения длины отличается от /0, ибо /0 может получиться только при условии /； = /£

Рис. 69.1Рис. 69.1

Рис. 69.1

Рис. 69.1

С точки зрения наблюдателя в системе》длина тела, очевидно, равна

1 = х2—尤 1(69.1)

при условии 4=友・ Поскольку %；—xj — lQt то [см. (68.2)] имеем /° = У (尤2—%) = у/, откуда

/ = /0—^/合.(69.2)

Таким образом, движущееся тело сокращается в направлении своего движения. Формула сокращения (69.2) имеет такой же вид, как и формула Фицджеральда (64.1), но входящая в нее скорость v является уже не скоростью тела относительно эфира, как в (64.1), а относительной скоростью систем отсчета X н £- Поэтому в отличие от формулы сокращения Фицджеральда соотношение (69.2) имеет относительный, обратимый характер.

Действительно, если связать с телом систему 三，а длину его измерять в системе 廿‘，то надо считать lQ = x2——хт и

/ =兄-%;，为=九(69.3)

Теперь уже для нахождения связи между / и /0 нужно использовать не формулы (68.4), а аналогичные соотношения, вытекающие из обратных преобразований Лоренца (67.19):

尤2 -尤1 = Y [(% Z-%;)+ u (为一G)]»

(69.4)

/2 一G " Y[他2 -/；) + D (抬-比0/炉]

Полагая согласно (69.3) в первой из этих формул /； = /；, получаем 无2——尤i = y(x；—尤；),т. е. опять / = /0 К1 —v2/c2.

Закнм образом, при измерении длины движущегося тела всегда обнаруживается его сокращение. В то же время по формуле Фицджеральда (64.1) тело сокращается лишь в случае, когда оно наблю- дается из системы отсчета, свя- занной с неподвижным эфиром;

R\^^5^3^—»^^＞亦если же тело покоится относи-

衣 8тельно эфира, то из движущей-

Рис. 69.3ся системы отсчета оно долж

но представляться удлиненным. Итак, в эфирной теории эффект сокращения абсолютен, тогда как в теории относи!ельности он относителен и обусловлен относительностью одновременности пространственно-разобщенных событий.

Задача 69.1・ Стержень собственной длины /0 движется вдоль оси X неподвижной системы отсчета 2 订。скоростью и. Какоб будет результат, измерения его длины /' в системе 廿‘，движущейся относительно 2 с。скоростью и?

IЗадана 69.2. Стержень АВ собственной длины Zo скользит со скоростью о вдоль стенки, имеющей отверстие той же ширина /oj (рис 69.3). 8 тот момент, когда стержень поравнялся с отверстием, ОА получает извне некоторый импульс 〃о направлению к стенке 〃 проходит через отверстие. Как будет выглядеть этот процесс s системе ]отсчета N'，движущейся вдоль ciuphku со скоростью v ?

Запаса 69.3. Два электрона помещены в постоянное электрическое поле Е плоского конденсатора. В момент времени / — 0 электроны неподвижны и расстояние между ними равно /. Каково расстояние между электронами е момент, когда они приобретут скорость v?

§ 70. ИЗМЕНЕНИЕ ХОЦА ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСОВ

Для измерения хода часов С', движущихся со скоростью и относительно неподвижной сипемы отсчета £, свяжем с ними систему отсчета 2y и сравним их показания с показаниями синхронизованных часов & и С2, помещенных соответственно в точках % и х2 системы X Сравнение будем производить в те моменты, когда часы С' проходят через данные точки (рис. 70,1). Пусть в эти моменты показания часов & и С2 равны соответственно А и 厶，а показания часов Сг — f； н %. Вводя соответствующие промежутки времени %* % =： —£； и 工=为一&нза・ меча я, что в системе у положение часов С' не из-

меняется, т. е. %； = х\ из (69.4) выводим %—Л — Y (^—幻，или

U j—MdU j—Md(70.1)

U j—Md

U j—Md

Таким образом, промежуток времени, отмечаемый движущимися часами, оказывается меньшим, т. е. ход часов замедляется. Это означает, что в неподвижной системе отсчета все процессы в движущихся объектах протекают замедленно. Вследствие равноправия систем虽*. этот эффект должен быть обратимым, т. е. не только ход часов (7 замедляется по отношению к ходу часов С системы 工 но и, наоборот, наблюдение в системе X должно показать замедление хода часов С по отношению к ходу часов С'. Непроти

воречивость этого утверждения можно пояснить следующим образом.

При измерении хода часов С системы 2 из движущейся системы мы должны иметь в 2'笈в。？ часов С； и С^ рас-

положенных в некоторых точках х； и х；, и сравнивать их показания с показаниями часов С в те моменты, когда положения последних суть х^ и 兄(рис. 70.2). Поскольку эта процед}ра не отличается от предыдущей, проделанной е системе £, то неудивительно, что получается тот же z результат, что и в (70〔). Как видно, все вновь сво

дится к относительности одновременности пространственно-разобщенных событий: совпадающие показания часов С； и С2 не будут таковыми в системе £ и, наоборот, совпадающие показания часов С1 и С2 оказываются различными в движущейся системе отсчета 2- Обратимый характер соотношения (70.1) наглядно иллюстрируется сле

дующими задачами.

Задача 70.1 Часы движутся вдоль оси X системы £ со скоростью 〃. Каков их ход при измерении s системе 2', движущейся относитепьн.о Е со скоростью о?

Задача 70.2. Выберем в качестве модели часов цилиндрическую полость высоты / с отражающими стенками, между которыми циркулирует световой импульс. Период колебаний для этих часов, очевидно, равен т = 2//с. Показать■, что если часы движутся со скоростью » (рис 70 3), то период колебаний вследствие изменения формы полости станет равным т" — у2//с

Как мы убедились, эффект замедления хода движущихся часов можно получить из эффекта сокращения движущихся масшгабов, и поэтому относительный, обратимый характер обоих эффектов обусловлен одной и той же причиной — относительностью одновременности пространственно-разобщенных событий.

Формула (70.1) впервые была экспериментально проверена при

исследовании космического излучения. В верхних слоях атмосферы

оно представляет собой в основном быстрые протоны. При их торможении происходит интенсивное рождение более легких заряженных частиц, в частности электронов е~, позитронов е+ и (л^-ме- зонов. Последние нестабильны и распадаются по закону

出土-土+電+%

переходя в пару нейтрино-антинейтрино w и электрон (позитрон). Период полураспада для медленных 卩-мезонов составляет примерно т0 = =2,2- 10"6 с. За это время ji-мезоны, даже если бы они двигались со скоростью света, сумели бы

проникнуть в атмосферу лишь на глубину 1 = =с%а0,66 км, т. е. не достигли бы поверхности Земли. На самом же деле интенсивный поток быстрых 科-мезонов обнаруживается и вблизи Земли, что говорит об увеличении времени жизни быстрых

р,-мезонов по сравнению с медленными.

Замедление времени, выражаемое формулой (70.1), повседневно проверяется при измерениях времен жизни нестабильных элементарных частиц, порождаемых в экспериментах с высокоэнергичными

частицами, получаемыми на ускорителях.

§ 71. ПАРАДОКС ЧАСОВ

В предыдущем параграфе мы установили, что эффект замедления хода часов, равномерно движущихся относительно системы отсчета наблюдателя, сам но себе еще не является парадоксальным, так как

объясняется относительностью одновременности пространственноразобщенных событий. Однако забвение этого обстоятельства или слишком вольное с ним обращение иногда приводят к противоречию» обычно формулируемому в виде парадокса часов, или парадокса близнецов. Суть его состоит в следующем.

, Пусть имеются двое часов Д и В, причем с часами А связана инерциальная система отсчета S, считающаяся неподвижной. Часы В первоначально находились вместе с часами Л, но затем были отнесены от них на достаточно большое расстояние i и вновь возвращены к часам А. Для простоты допустим, что часы В удалялись и воз

?ис. 71.1?ис. 71.1вращались с одной и той же постоянной скоростью и, а время, в течение которого их скорость изменялась, мало по сравнению с 22/и (рис. 71.1).

?ис. 71.1

?ис. 71.1

(71-1)(71-1)В этом приближении время путешествия часов 8, измеренное часами А, очевидно, равно

(71-1)

(71-1)

(71.2)(71.2)Межд\ тем часы Б [см. (70.1)] отсчитают время % = т(1 — и2/с2)^2,

(71.2)

(71.2)

если считать, что испьиываемое ими ускорение мало и почти не влияет на их ход. Следовательно, по возвращении из путешествия показания часов В будут меньше показаний часов 4 на

Ат = т；一％ = ^([—j/ 1 — %).(71.3)

Если расстояние / достаточно велико, то это время может быть весьма значительным даже при движении с нерелятивистской скоростью и«& Действительно, в этом случае

At^Zu/炉.(71.4)

, Парадокс возникает, если в соответствии с принципом относи- дгельности повторить рассуждения, пр-инимая неподвижными не часы А, Ь часы В. Тогда представляется, что на то же самое время Ат показания часов А должны быть меньше показаний часов В. Но в действительности отстать должны лишь вполне определенные часы, поскольку в конце эксперимента часы Л и В оказываются в одной точке и связь их показаний является реальным фактом, не зависящим от процедуры измерения.

Если меньшими оказались показания часов В, то это означает, что в системе 2* связанной с ними, все процессы, в том числе и биологические, шли замедленно. Поэтому если одного из двух близнецов поместить в систему S, а другого—в 2', то второй близнец вернется из путешествия более молодым, чем первый. Однако при выборе в качестве исходной системы Е' более молодым должен оказаться именно первый близнец.

Парадокс разрешается тем, что в действительности системы S п Е‘ неравноправны, ибо система £' неинерциальна вследствие изменения скорости часов В. Поэтому при описании эксперимента в системе Е' нельзя уже использовать формулу (70.1), выведенную в предположении инерциальности системы отсчета наблюдателя. При торможении часов В, очевидно, должна быть но-новому произведена синхронизация часов в системе Е' и возникшее таким образом рассогласование, как нетрудно видеть, приведет к замедлению хода часов В по сравнению с часами А.

Чтобы в этом убедиться, установим в системе 2’ двое часов В м 8、 разделенных расстоянием //1 —^匕忆含(именно на такое расстояние в системе Е‘ должны удалиться часы А), показания которых к:ы будем сравнивать с показаниями часов А. Вследствие симметрииJ「^^力

процесса рассмотрим только первую его половину, когда часы удаляются друг от друга и тормо- зяте я (рис. 71.2). Пока система Е' 卄 一匸一

движется с постоянной скоростью'

и и является тем самым инерци-Рис 71.2

альной, показания часов В и В\ измеренные в системе £, должны различаться на А/, определяемое формулой (69.4):

А/ = у/ (1 — v2/c2)1/2 v/c2 = Iv1^.(71.5)

Именно это рассогласование и должно быть учтено при торможении системы Е'. В самом n「g в момент торможения часы В\ очевидно, должны показывать время т^= (llv)V 1 — у2/с2, тогда как часы Д, совмещенные с ними, в соответствии с формулой (70.1) должны были бы показывать время т/= (〃о)(1 — */吃 Однако, как мы уже выяснили, при торможении снсте^н £' пользоваться этой формулой нельзя, ибо синхронизацию часов В и В' необходимо произвести по-новому. Поэтому истинное показание часов 4 в момент торможения отличается от т/ именно на величину рассогласования (71.5) и равно

Y + Af = 〃и.(71.6)

Отсюда легко вывести, что разность показаний часов Д и 5 с учетом второй половины процесса вновь описывается формулой (71.3).

Совсем недавно * этот эффект был подтвержден прямыми опытами, в которых сравнивались показания цезиевых часов, облетевших вокруг Земли на реактивном самолете, и таких же часов, остававшихся на Земле.

§ 72. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРЕОБР.43ОВАНИЙ ЛОРЕНЦА

Пространство и время всегда выступают неизменными спутниками при описании физических процессов. Поэтому мысль об их объединении в единое четырехмерное многообразие возникла довольно давно. Еще в 1764 г.氷.Л. Даламбер писал об этом в своей статье «Размерность» во французской энциклопедии. Однако геометрическое описание такого многообразия во времена Даламбера выглядело бы очень искусственно, так как при своем физическом обосновании оно могло опираться только на классическую механику и лежащий в ее основе принцип относительности Галилея. Замечая, что относительно преобразований Галилея остаются инвариантными как расстояние между двумя точками R = |『2 ——「i|, так и промежуток времени между двумя событиями Т =厶—厶，в качестве «расстояния» между двумя пространственно-временными точками (厶，rj и (勾，％) можно было бы взять некоторую положительную функцию R и Т. В частности, выбор «расстояния» в виде

5евкл = (7?2 + а2Р)1/2,(72.1)

где а —некоторая постоянная с размерностью скорости, отвечал бы евклидову варианту геометрии пространства-времени. Физический

* Hafele /「С, Keating R. Е. Around-the-World Atomic Clocks: Observed Relativistic Time Gains — Science, 1972, 177, n° 4044, p. 168.

224

смысл постоянной а в этой схеме остается неясным, что и подтверждает ее искусственность.

Совершенно в ином свете предстает эта проблема, если привлечь принцип относительности Эйнштейна. Оказывается, что, хотя величины R и 7 изменяются при преобразованиях Лоренца, из них единственным образом строится инвариантная квадратичная форма

S2 = с2T2一R2 = c2(t2~ t^ — I % —「1 匕(72.2)

Задача 72.1. Убедиться 6 инвариантности квадратичной формы (72.2) при преобразованиях Лоренца.

Опираясь на этот факт, известный геометр Г. Минковский построил новую геометрию пространства-времени. Выступая в 1908 г. в Кельне на собрании немецких естествоиспытателей и врачей он предложил в качестве «расстояния» между двумя пространственно-временными точками взять величину

s = [d(%— 疗一К —г/叩/2,(72.3)

получившую название интервала. Поскольку фундаментальная форма

является знакопеременной, то геометрия Минковского существенно отличается от четырехмерной евклидовой геометрии и, чтобы отметить это различие, часто называется псевдоевклидовой.

По терминологии Минковского, пространственно-временное многообразие, т. е. совокупность всех возможных значений х, у, z, f, называется миром, а отдельное событие, происходящее в пространственной точке 尤，у, z в момент времени 九——мировой точкой. Множество мировых точек, изображающее движение отдельной материальной точки, называется мировой линией этой точки.

В геометрии Минковского интервал s, связывающий два события, т. е. две мировые точки, может быть действительной или мнимой величиной в зависимости от знака квадратичной формы (72.2). В связи с этим выделим следующие качественно различные интервалы:

времениподобный (s2 > 0)；

пространственно-подобный (s2 < 0);

нулевой (§2 = 0).

Происхождение этих названий связано с тем, что вследствие инвариантности интервала при преобразованиях Лоренца существует такая система отсчета, в которой при s2 > 0 оказывается R = 6 и s = cT, т. е. длина интервала измеряется при помощи часов. Аналогично, при s2 < 0 существует такая система отсчета, в которой 7 = 0, но R#=0, т. е. длина интервала измеряется масштабной линейкой.

События, разделенные пространственно-подобным интервалом, очевидно, не могут быть связаны причинно. В самом деле, если в некоторой системе отсчета Т = 0, но R 寸=0, то сигнал, связывающий Эти два события, должен был бы распространяться с бесконечной скоростью, что невозможно (см. § 68).

* Минковский Г. Пространство и время.——В сб.: Принцип относительности, М・，1973, с. 167.

Если же события разделены времениподобным интервалом, то они могут быть связаны причинно. Это позволяет ввести порядок следования событий, остающийся неизменным в любой системе отсчета, несмотря на относительность одновременности.

Выясним теперь, что представляют собой в геометрии Минковского преобразования Лоренца. Вводя обозначения

炉=力，％i = x,炉=弘 х3 = г(72.4)

и полагая

и/с 三 0 = th 屮，(72.5)

запишем преобразования Лоренца, отвечающие движению системы отсчета вдоль осн А1, в таком виде:

尤'° = chWx° — sh 屮尤 *

= — sh 屮 x。+ ch 屮 xl,(72.6)

X" =炉，/3Н炉， где, очевидно,

ch 2 = у = (1 —炉)-1/2, sh 屮=0»(72.7)

He рассматривая для простоты координаты х2 и х3, изобразим преобразование (72.6) на обычной декартовой плоскости Х°, XL Плоскость Х°, X、на которой расстояние между двумя точками измеряется интервалом, называется плоскостью Минковского. Очевидно, преобразования (72.6) представляют собой переход от прямоугольной системы координат к косоугольной с дополнительным растяжением. Поскольку при таком переходе каждая точка плоскости занимает некоторое положение на соответслвующей ей гиперболе

(犬 У —(尤 i)2 = const,(72.8)

то преобразования (72.6) иногда называют гиперболическим поворотом. Так как ch\f = cos lip и shW = — z sin i4?t то гиперболический поворот можно еще представить в виде поворота на мнимый угол 々=叫 в плоскости X", X，где х& 三［尤°:

cosax4 —sin ах1,尤"=sin ax'+ cosa xL (72.9)

На плоскости Минковского могут быть наглядно проиллюстрированы все следствия преобразований Лоренца. Но предварительно полезно выяснить некоторые особенности псевдоевклидовой геометрии ЛАинковского. Прежде всего отметим, что роль окружностей на плоскости Мгнковского играют гиперболы s2^ const, т. е. кривые вида

(х° — a)2 —(炉一б)? = ± d®,

с центром в точке (а, 6) н с минимальным расстоянием до него d.

Задача 72.1. Показать, что во всяком треугольнике АВС на плоскости Минковского, вершины которого соединены интервалами одного рода (либо пространственно-подобными, либо времениподобными), большая сторона превосходит сумму двух других. Например,

|ЛВ| > |ВС|+|СА|・(72.10)

Изучим теперь свойства гиперболического поворота (72.6). На плоскости Минковского Х°, X1 новые оси координат X" и X" имеют вид прямых

%。=0-1炉，尤0 = 6尸，

и является прямая х° = х1 I О А I и I OB I изображаюти является прямая х° = х1 I О А I и I OB I изображаютРис. 72.1Рис. 72.1причем биссектрисой угла между ни (рис. 72.1). Пусть единичные отрезки соответственно масштабы измерения времени и длины в неподвижной системе отсчета W. При гиперболическом повороте точка 4 перейдет в точку С, лежащую на гиперболе (х0)2 —(хг)2= 1, а точка В — в точку 力，лежащую на гн・ перболе (х0)2 — (х1)2 = — 1. Так как гиперболы играют роль окружностей, то I ОС I I О А I = 1 и I 0D | =

и является прямая х° = х1 I О А I и I OB I изображают

и является прямая х° = х1 I О А I и I OB I изображают

Рис. 72.1

Рис. 72.1

I О В | = 1, т. е. новыми масштабами (в движущейся системе отсчета £') будут единичные отрезки |0С| и \ 0D\.

Задача 72.2. "оказать, что хорд* типа 44" (рис. 72.1), проведенные параллельно оси Х'】, рассекаются осью Х'° пополам (аналогичным свойством обладает, очевидно, и ось X'】 по отношению к хордам гиперболы BD).

Из указанной теоремы, в частности, вытекает, что касательная к гиперболе в точке С параллельна оси X". Нетрудно видеть, что эта теорема является псевдоевклидовым вариантом известной теоремы евклидовой геометрии, гласящей, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. В самом деле, гипербола АСАп играет в псевдоевклидовой геометрии роль окружности с центром в точке О, а ось X，。является ее диаметром. Следовательно, отрезки | 44" | и I ОА' I должны быть ортогональными в псевдоевклидовом смысле. Это действительно так, поскольку их скалярное произведение [см. (72.6)] исчезает. Забегая несколько вперед, укажем, что псевдоевклидово скалярное произведение двух векторов а=(а°, а1) и 力=(力。，Ь】)на плоскости Минковского Х°} X1 определяется следующим образом (см. § 73):

(泌)=淤加一0空1. (72.11)

Рассмотрим теперь на плоскости Минковского эффекты сокращения длин движущихся масштабов и замедления хода движущихся часов. Начнем с измерения длин. Пусть единичный масштаб |0В| (рис. 72.1) неподвижен в системе S, т. е. мировые линии его конпов суib прямые х】 = 0 (ось X。)и х1 = 1 (касательная к гиперболе в точке В). При измерении длины этого масштаба в системе Е‘ мы сравниваем его с масштабом | 0D | в момент х" = 0 (ось X"). Пересечение мировой линии *=1 и оси X" дает точку В'. Таким образом, измеренная длина есть | ОВГ |. Подставляя в (72.6) х/0 = 0, х1— 1, находим х'1 = I 0Bf | = у-1 в соответствии с (69.5).

Чтобы убедиться в обратимости этого эффекта, рассмотрим единичный масштаб 10D | в системе Е'・ Мировые линии его концов 8* 227

то для измерениято для измерения\АО\>\АВ\ + \ВО\,\АО\>\АВ\ + \ВО\,(72.12)(72.12)

то для измерения

то для измерения

\АО\>\АВ\ + \ВО\,

\АО\>\АВ\ + \ВО\,

(72.12)

(72.12)

суть 尤3 = 0 (ось Х，°) и х'1= 1 (касательная к гиперболе в точке D). При измерении длины этого масштаба в системе Е мы сравниваем его с соответствующим масштабом | ОВ | в момент 犬=0 (ось X1). Пересечение мировой линии 尤"=1 и оси X1 дает точку D'. Подставляя в (72.6) £1=1 и х° — 0, получаем | OD' | ~ у-1 в соответствии с (69.2).

Перейдем теперь к измерению промежутков времени. Возьмем часы в системе S (мировая линия —ось X”) и для измерения их хода в системе £' установим в последней еще двое часов (мировые линии—прямая О'/ и ось Х'°). Пересечение мировых линий непод

вижных и движущихся часов и определяет показание неподвижных часов —отрезок времени | ОА | = 1, который, очевидно, нужно сравнивать с отрезком I 0Аг | — показанием движущихся часов. Отрезок I О А1 I = I О'Д I найдем из (72.6), подставляя туда /1 = 0 и 尤。=1. При этом получим I О А! \ = х，0 = у в соответствии с (70.1).

Если же имеются часы в системе Е‘ (мировая линия —ось Х'°),

их хода в системе Е установим в последней двое часов (мировые линии —ось Х° и прямая。"。). Пересечение указанных мировых линий и определяет показание движущихся часов——отрезок I ОС\ — 1, который следует сравнить с |ОС'| — показанием неподвижных часов. Отрезок | ОС' | найдем из (72.6), подставляя туда хч = 0 и 尤' =1, что дает | ОС | = х° = у, как и должно быть.

На плоскости Минковского наглядно разъясняется и парадокс часов. На рис. 72.2 изображены мировые линии часов A (OB'В"А) и часов В (ОБА). Длины этих мировых линий, деленные на скорость света, и определяют показания часов А и В. Поскольку отрезки, об— разующие треугольник О АВ, времениподобны, X то можно применить неравенство (72.10), из кото рого вывод им, что

т. е. часы В покажут меньшее время, чем часы А. В нашем примере (рис. 72.2) I АО I = 7, I Лй |4- |О8| = 6, причем линии синхронизации (одновременности) для часов Л изображены штрих-пункти- ром, а для часов В — штрихом.

Поскольку неравенство (72.12) содержит лишь интервалы, т. е. имеет инвариантный характер, то эффект отставания часов В от часов 4 также инвариантен, т. е. должен наблюдаться в любой инерциальной системе отсчета. Однако система g', связанная с часами 8, неинерциальна, поэтому, строго говоря, парадокс часов может быть разрешен только в результате распространения понятия интервала на неинерциальные системы отсчета (неинерциальное движение тел), что достигается заменой (72.2) выражением для бесконечно малого инк рвала ds = (сМГ2— с!7?2)1/а.

Тем не менее на плоскости Минковского можно отчетливо увидеть, как проявляется этот эффект неинерциальности. В самом деле, на участке ОВ, где система 工’инерциальна, ход часов Л отстает от хода часов В, так как \uBl I < | ОВ |. Однако в окрестности точки В, где скорость системы £' изменяется, происходит поворот линий синхронизации часов В на угол В' В В" и при этом возникает поправка | ВГВГ | в оценке показаний часов А в системе ^. Ее учет и позволяет разрешить парадокс, так как, несмотря на дополнительное отставание хода часов А от хода часов В на участке В А (I В,ЛД I < I В А I), окончательный результат определяется неравенством (72.12).

Здесь, пожалуй, уместно привести слова известного немецкого физика-теоретика А. Зоммерфельда, который в примечании к очередному изданию статьи Г. Минковского «Пространство и время»* писал: «Как отметил Минковский в одной из бесед со мною, элемент

собственного времени di не есть полный дифференциал. Таким

образом, если соединить две мировые точки О и Р двумя различ

di.di.Если первая мироЕсли первая миро1212ными мировыми линиями / и 2, то

di.

di.

Если первая миро

Если первая миро

12

12

вая линия проходит параллельно оси f, вследствие чего первый переход в координатной системе, положенной в основу, означает покой, то легко видеть, что ，dt=九 ^ dx < Л ... Для того чтобы можно 12

было сравнивать движущиеся часы с часами, покоящимися в мировой точке Р, первые, конечно, должны быть ускорены (путем изменения скоростей или направлений). Отставание движущихся часов

указывает, следовательно, не столько на «движение», сколько на «ускоренное движение». Поэтому здесь нет противоречия с принци

пом относительности».

§ 73. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ

Преобразования Лоренца представляют собой действительные линейные преобразования координат х°,炉,炉,尤з, сопоставляемых каждой точке четырехмерного пространственно-временного континуума: з

=X a5""；卩=°, 1, 2, 3.(73.1)

у=0

При этом матрица преобразования Л, называемая иногда матрицей Лоренца, для перехода к системе отсчета, движущейся вдоль оси Х\ имеет вид

YTy00А =一師Y0000100001YTy00А =一師Y0000100001(73.2)(73.2)

Y

Ty

0

0

А =

一師

Y

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

Y

Ty

0

0

А =

一師

Y

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

(73.2)

(73.2)

* Минковский Г. Пространство и время, —В сб.: Принцип относительности, ОНТИ, 1935, с. 208-209.

где р = и/с, у — (1 —р2)~1/2. Обратное же преобразование осуществляется с помощью матрицы Л-1(|3) = Л(——卩)・ В дальнейшем для упрощения записи мы будем принимать правило суммирования Эйнштейна с условием, что латинские индексы i, j,々，厶нумеруют пространственные координаты (компоненты) 1, 2, 3, а греческие 隔 V, о, т, .. . — пространственно-временные 0, 1, 2, 3.

Закон преобразования (73.1) можно положить в основу четырехмерной классификации всех физических величин совершенно аналогично тому, как это было сделано в трехмерном случае (см. приложение). Начнем с определения четырехмерного вектора (сокращенно— 4-вектор). Именно: контравариантными компонентами 4-вектора а назовем совокупность четырех величин 砂，因 а2, а3, которые при преобразовании Лоренца изменяются так же, как координаты х^, т. е. по закону

(73.3)

Контравариантными компонентами 4-тензора ранга п назовем величины 7”| ・”门,которые при преобразованиях Лоренца изменяются так же, как произведения соответствующих компонент 4-век- юров:

(73.4)(73.4)7'貝「・М= Дщ , # ^^п^Р^^.^п^

(73.4)

(73.4)

Используем теперь важную особенность физического пространства-времени, открытую Минковским и состоящую в том, что геометрия пространственно-временного континуума является псевдо- евклидовой. Согласно Минковскому, мерой расстояния между двумя близкими точками 尤 и 尤 + dx является элементарный интервал ds, квадрат которого равен

ds2 = (dx0)2 — (dx】)2 —(d^)2 — (dx)三 guvd^ d炉. (73,5)

Здесь мы ввели псевдоевклидов четырехмерный метрический 1 ензор g^v, определяемый диагональной матрицей

1000

0-100

||gHV|| = diag[l, —1, — 1, —1]=

00—10

(73.6)

000 —1

и, очевидно, совпадающий со своим обратным: (gT严 EgM、'=g"V・

Задача 73.1.Показатьt что метрический тензор (73.6) инвариантен

при преобразованиях Лоренца.

С помощью метрического тензора gHV можно ввести ковариантные компоненты 4-вектора а, полагая

^UV«V,(73.7)

т. е. а0 = а°, % = —" Закон преобразования ковариантных компонент следует из инвариантности интервала относительно преобразо-

230

ваний Лоренца. Вводя соответствующую матрицу преобразования А: % = А沁，(73.8)

с учетом (73.7) имеем

ds2 = d九 dx^ = ск^ск'м = dxvA^dxa.

Отсюда

小=｛；： W(73.9)

т. e. ковариантные компоненты преобразуются с помощью обратной транспонированной матрицы Лоренца Л = [Л-1]Т. Из этого результата сразу же следует, что псевдоевклидово скалярное произведение двух 4-векторов а = (* а) и b = (b。，Ь), определенное как

(而)з 0%。- (ab) = a館冲=研玩,(73.10)

является инвариантным при преобразованиях Лоренца.

В зависимости от знака своего квадрата 废=(0口)4-вектор а называется времениподобным (о? > 0), пространственно-подобным (а2 < 0) или изотропным (标=0).

Задача 73.2. Показать, что два ортогональных изотропных 4-вектора параллельны, т. е. из a2~b2~ (ab) =0 следует, что аМ- = КЬ^, где 入 ——некоторый скаляр.

По аналогии с (73.7) нетрудно определить ковариантные компоненты тензора ранга 几：

(73.11)(73.12)(73.13)(73.11)(73.12)(73.13)7山…陽〃 -g 山 "gunYn7 V‘ v", а также его смешанные компоненты:

(73.11)

(73.12)

(73.13)

(73.11)

(73.12)

(73.13)

T%…V* =g"ViSgvwO次T。…"m山…

где n^m + Л Закон их преобразования очевиден:

Tц1…山门=入工 ・"а器…"小

T'回…々一入6дост A Ui A也…%

Из структуры (73.6) метрического тензора g^” вытекает, что при опускании или подъеме некоторого индекса v компонента тензора не меняется, если ” = 0, и меняет знак, если v = i = 1, 2, 3.

Тензор ранга 几》2 называется либо симметричным, либо антисимметричным по некоторым индексам хГ и %$, если при их перестановке его компоненты не меняются либо соответственно меняют знак, т. е.

小1……Vs…"口 — ± 7V……Vr…Vm.

Задача 73.3. Показать, что при преобразованиях Лоренца свойство симметрии или антисимметрии тензора сохраняется/ Подсчитать число независимых компонент симметричного тензора ранга и.

Имея два тензора М… и N … рангов ^ и п соответственно, можно образовать новый тензор ранга ги-|■几 с компонентами

т^- UmVt . Vn —Ц/лД/Vi.. vn>

Эта операция называется внешним или тензорным умножением. Ее можно дополнить операцией свертки、когда некоторые верхние индексы полагаются равными соответствующим нижним индексам и по ним производится суммирование:

Очевидно, что каждая свертка уменьшает ранг тензора на 2. В частности, свертка в тензоре второго ранга приводит к 'скалярной величине, называемой шпуром или следом этого тензора:

n^Spf.

Построенная нами четырехмерная классификация физических величин, т. е. представление их в виде компонент релятивистских тензоров различных рангов , не является, однако, полной, поскольку мы ограничились собственными преобразованиями Лоренца, представляющими собой лишь частный случай общих преобразований Лоренца. Последние обычно определяются как линейные преобразования вида (73.1), оставляющие инвариантной фундаментальную квадратичную форму (73,5). Очевидно, что общие преобразования Лоренца включают в себя помимо чистых преобразований Лоренца типа (73.2) еще трехмерные повороты, задаваемые ортогональными матрицами вида

Ao = 1» До — А,- — О, IД I = det Л ~ 1, а также отражения пространства и времени, для которых соответственно

д — 4- diag [ 1, —1, 一1, —1 ] = 土 I gy”%

Задача 73.4. Вывести из инвариантности ds2, что | Л | = i 1 из

(А牀=1+ 2(A；)2ss 1-(73.14)

В связи с неравенством (73.14) общие преобразования Лоренца разделяются на два класса:

ортохронные (/\8》1), сохраняющие направление времени；

антихронные (入；&—1)，изменяющие направление времени на обратное.

В большинстве физических рассмотрений обычно ограничиваются ортохронными преобразованиями Лоренца, которые в свою очередь делятся на собственные преобразования Лоренца、отвечающие IЛ I — 4-1, и несобственные преобразования Лоренца, выделенные условием IЛ I = — 1 и включающие отражение пространства.

Поскольку дважды повторенное пространственное отражение эквивалентно тождественному преобразованию, т. е. /V =/三 = diag[l, 1, 1, 1], то поведение любой физической величины при пространственном отражении допускает лишь две возможности: либо она ведет себя при этом как соответствующа я компонента тензора, либо приобретает дополнительный знак минус, преобразуясь как компонента псевдотензора [см. (1П.9)]. При классификации физических величин относительно пространственных отражений полезную роль играет четырехмерный полностью антисимметричный псевдотензор Леви-Чивита е^гот, меняющий знак при перестановке любых двух индексов и связанный с трехмерным символом Леви-Чивита и'/尼 условием

£°з=£/分(73 15)

Задача 73,5. Показать, что 8gvaT инвариантно относительно орто- хронных преобразований Лоренца

Если имеется некоторый несимметричный тензор не выше четвертого ранга, то его можно свернуть с ?乩”。匕 Полученный таким путем новый псевдотензор называется дуальным исходному, а сама операция — дуальным сопряжением. Так, скаляру <р, вектору 工乩 и антисимметричным тензорам 屮认”， 屮觇”％ (р^ат можно сопостави] ь дуальные им псевдовеличины:

фцУОТ =^UVOT*P» 屮(IVO н gp/V5 ① ° , *puv ~ ^UV0T<P°T/2,屮口 ецуатфУоТ/3!, *р — £jiv(jt(P^vot/4!.

Важным примером дуального сопряжения является вычисление объема 4-параллелепипеда Q(a, b, с, d), построенного на четырех линейно независимых векторах а, Ь, & d:

а0 й1 废 а3

加3

Q(a, b, c, d) = — E^a^bvcodx -成 宦 炉 宦・(73.16)

d° 蕾 d2 d3

Задача 73.6. Доказать справедливость соотношения

加

鹤

(73.17а)

6£

〃 вывести из него л ос лед ователь ным и

свертками

тождества:

区能赭

e VeVeV

Op 想

m(73.176)

cOcdq0

OXOpb&

е^агеЛрат=2(^б5：-6^ б»,(73.17b)

6з°%^g=-6成.(73.17г)

§ 74. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Основные операции трехмерного векторного анализа легко распространяются и на четырехмерный случай. Так, четырехмерным аналогом оператора Гамильтона V является оператор дифференцирования (^-градиент)

謚三电=@* V)， (74J)

который при преобразованиях Лоренца ведет себя как 4-вектор, в чем можно легко убедиться *, рассмотрев дифференциал скалярной функции

dcp = d尤m0屮/0Х乩=dxR 0以中.

Очевидно, что величины 0乩屮 являются ковариантными компонентами 4-вектора. Векторные свойства 4-градиента сохраняются и в случае, когда он применяется к произвольному тензору. Объясняет ся это тем, что матрица преобразований А не зависит от координат:

d厶7a…^(尤')=次(a*，.，a?"% • ^(x))dxv/dx^ =

Производя свертку в выражении д^Т^- •, получаем четырехмерный аналог дивергенции

д^ 三 DivT…(74.2)

В результате этой операции возникает новый тензор, ранг которого на единицу меньше. Так, в применении к вектору получается скаляр (дцЛ^ = inv), а в применении к тензору второго ранга — 4-векюр (д1ьТ^ = Bv).

С помощью д^ оператор Даламбера можно представить в виде

□三 一 ％ * = — gz %成.(74.3)

Четырехмерным аналогом ротора некоторого 4-вектора Л является антисимметричный тензор

d^Av — dv4»i 三(Rot 力)|1屮(74.4)

Перейдем теперь к некоторым интегральным теоремам в четьь рехмерном случае. Прежде всего построим элементарный 4-объем dQ как объем 4-параллелепипеда с направляющими 4-векторами cdf, dx, dj/, dz:

dQ = — euvax cd产 d炉 dy° d#・(74.5)

Отсюда очевидна инвариантность 4-объема относительно собственных преобразований Лоренца. Если выбрать направляющие векторы ортогональными, положив

cd卅= (dx。，0, 0, 0); dxM = (0, dx% 0, 0);

d疗= (0, 0, dx2, 0); dz@ 彳(0, 0, 0, dx3),

* См. задачу 67.1.

то получим обычное выражение

dQ = dx° dx1 dxa dx3.(74.6)

Задача 74.1. Убедиться в инвариантности ^-объема (74.6) при собственных преобразованиях Лоренца. Вывести отсюда инвариантность четырехмерной 6-функции:

6 (х) ^ 6 (х°) 6 (К) 6 Q2) 6 (尤3).(74.7)

Соотношение (74.5) можно также переписать в виде

dQ = cd卅 dau,(74.8)

введя направленный элемент гиперповерхности

dop,三一eUVOT dxv dyo dz°.(74.9)

Поскольку все физические величины (заряд, масса, энергия, импульс и т. д.) получаются как интегралы по 3-объему от соответствующих плотностей, то чаще всего приходится иметь дело с пространственно-подобными гиперповерхностями, для которых псевдовектор d0M. является времениподобным, т. е. da^, dag > 0. В таком случае можно ввести инвариантный элемент гиперповерхности (псевдоскаляр)

da = (dau 也个咒(74.10)

и записать dag в виде

dau = Иц da,(74.11)

где Иц = dcru/do — единичный времениподобный вектор нормали к гиперповерхности.

Задача 74.2. В приложениях часто используется инвариантная трехмерная ^-функция о (х I а), заданная на пространственно-подобной гиперповерхности и (с нормалью п^) и связанная с четырехмерной Ь-функ- цаей соотношением

6(%)=6(电工儿)6(门0).(74.12)

Убедиться, что 6 (% |。) обладает обычным свойством Ь-функции:

XI。)〃 = ｛：(/&,

и показать что п^д^ 6 (х | и) = 0.

Задача 74.3. Доказать справедливость следующего интегрального представления ^-градиента:

%=。吧,呑/%(74.13)

где и—замкнутая гиперповерхностьt охватывающая 4 объем Q, стяги- бающийся в точку.

Из представления (74.13) вытекает важная в приложениях четырехмерная теорема Гаусса ——Остроградского:

§ d^T^u-vn dQ = , 丁久…“к d(Ju,(74.14)

где о— -замкнутая гиперповерхность, окружающая 4-объем Q.

Задача 74.4. Доказать четырехмерную теорему Стокса: 步4血"=,仇儿一Ov4")dS"v,(74.15)

Сs

где S ——правоориентированная поверхность, натянутая на замкнутый контур С, dSRv ——ее элемент^ определяемый двумя бесконечно малыми касательными к S векторами dx и 6%:

dS^v = 2T (d%R В%” 一dx” 6尤觇).

Вышеперечисленных сведений вполне достаточно для формулировки законов электродинамики в ковариантной четырехмерной форме. Но прежде чем переходить к этой формулировке, выясним некоторые особенности релятивистской кинематики точки.

§ 75. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ

В пространстве Минковского всякая движущаяся материальная точка изображается мировой линией (рис. 75.1). Поскольку элементом длины такой мировой линии является элементарный времениподобный интервал ds = (d尤乩(1%")【/2, то единичный касательный

вектор к мировой линии имеет компоненты

dxu/ds = dxu/j/ (d%°)2 ——(dx)2.(75.1)

Вспоминая, что собственное время т в системе отсчета S\ связанной с материальной точкой, определяется длиной интервала

dt = ds/c = df，1 — 〃2/炉，(75.2)

U^ ^с dx"/ds = dA^/dT.U^ ^с dx"/ds = dA^/dT.(75.3)(75.3)где и — трехмерная скорость точки с компонентами d»7df, можно ввести 4-вектор U, имеющий размерность скорости и пропорциональный касательному вектору к мировой линии:

U^ ^с dx"/ds = dA^/dT.

U^ ^с dx"/ds = dA^/dT.

(75.3)

(75.3)

Этот 4-вектор называется четырехмерной скоростью точки и имеет следующие компоненты:

”4)

В предельном случае медленных движений, когда 〃«с，получим U" (% и),

т. е. 4-вектор U фактически сводится к трехмерной скорости и и удовлетворяет, таким образом, принципу соответствия.

Очевидно, компоненты 4-скорости U" преобразуются по закону (73.3), т. е.

U^^y(U^^U^ U'』Y(UTU°), U” = 〃2, и1^и\ (75.5)

Важным свойством четырехмерной скорости является постоянство ее длины:

(75.6)(75.6)

(75.6)

(75.6)

Дифференцируя (75.6) по т, найдем интересное соотношение

t/^dt/^/dT^O,(75.7)

выражающее факт ортогональности четырехмерных скорости и ускорения точки. Последнее тоже является 4-вектором и имеет сле・ дующие компоненты:

dU^ = / (иа)а . и (аи) \侬只、

gl一〃2/毋，1—汉北^ 十 c2 (1—長2分2)2 丿，]。0丿

где а = du/d/ — трехмерное ускорение точки. В предельном случае медленных движений, очевидно,

dU@/dg(0, а).(75.9)

Задача 75.1. Убедиться в том, что ^-вектор ускорения пространственно-подобен.

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ

(76.1)? f --?：(76.2)(76.1)? f --?：(76.2)Поскольку U = uU°/c [см. (75.4)], то из (75.5) вытекает следующий закон преобразования трехмерных скоростей:

(76.1)

? f --?：

(76.2)

(76.1)

? f --?：

(76.2)

厶—1 —Uxv/c2 旬 一1—Uxv/c2 *% — 1—uxv/c2 *

Обратные преобразования получаются из (76.1) заменой

Иногда бывает удобной и векторная запись формул (76.2):

u = [l + (u‘Q)/c2]t [?-%' +" + (! — Y~i) (口切)叫02]・(76.3)

Если при и«с из (76.3) вытекает нерел ятиви стек ий закон сложения скоростей (uqu'+q), то в области v^ с законы евклидовой геометрии в пространстве скоростей оказываются уже несправедливыми

Из (76.3), в частности, следует, что если и—а% то и 〃一* с. Иначе говоря, если складывать две скорости, близкие к скорости

света, то вновь получается околосветовая скорость. Здесь особенно отчетливо проявляется отклонение релятивистского закона сложения скоростей от нерелятивистского. Другой его особенностью является некоммутативность-. результат сложения двух скоростей и' и и отличается от результата сложения скоростей 刀 н и'. Очевидно, что это обусловлено неравноправием складываемых скоростей, среди которых выделенную роль играет относительная скорость двух систем отсчета.

Из условия инвариантности интервала d尤乩 dx" = d尤后 d%'", которое можно переписать в виде

(炉―箇)&2 =(炉 __ d) df”，(76.4)

следует, что

sign (f2 -箇)=sign 6 —小).

Это означает, что при переходе к любой инерциальной системе отсчета досветовые скорости (и < с) остаются досветовыми (и7 < с), световые скорости (〃 = с) остаются световыми (uz — с), а сверхсветовые скорости (и > с) — сверхсветовыми (uz > с).

Задача 76.1. Вывести из (76.3) соотношение

辽=口 +(U‘t»)/c2JT {(『十外)2 — [We]2/^2} 1/2(76.5)

и убедиться, что оно согласуется с формулой, вытекающей из (76.4):

/「二次2/产=y- " 1 + (曾W)/叫 t /1一加2〃2,(76.6)

Релятивистские формулы сложения скоростей позволяют легко объяснить результат опыта Физо (см. § 63). Здесь необходимо сложить две скорости： скорость света в неподвижной воде и' =с/п и параллельную ей скорость и водяного потока. Применяя (76.2), получаем следующую скорость распространения света в движущейся воде:

〃=(公 +°) (1 +〃'и/с2)Т = С/^ + и (1 —/1~2) [] +“(M)]T.

Учитывая малость отношения v/c, нетрудно вывести подтвержденную в опыте Снзо формулу Френеля

с/^ + и (1 —】〃”)•

АБЕРРАПНЯ И ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА

ДЛЯ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ

Суть этих классических эффектов состоит в том, что если источник света и наблюдатель находятся в относительном движении, то наблюдаемый закон движения источника и частота испускаемого им света изменяются при изменении скорости наблюдателя. Посмотрим, как объясняются зти явления в теории неподвижного эфира.

Начнем с явления аберрации. Пусть, скажем, световая волна распространяется под прямым углом к скорости наблюдателя и по

23§

отношению к неподвижному эфиру. Световой луч (рис. 77.1) достигает глаза наблюдателя только в том случае, если последний наклонит зрительную трубу по направлению движения на угол

(77.1)(77.1)ф' =arctg®/c)・

(77.1)

(77.1)

Что касается изменения частоты света, то его происхождение также нетрудно понять. Так, если наблюдатель А движется к ис

точнику В со скоростью V относительно эфира (рис. 77.2), го за 1 с он, очевидно, насчитает больше гребней волн, чем неподвижный наблюдатель, в 1+и/с раз. Таким образом, наблюдаемая частота света о/ связана с частотой (о, регистрируемой неподвижным наблюдателем, соотношением Доплера

(77.2)(77.2)с/ =(о(1 +”с).

(77.2)

(77.2)

В отличие от классических «эфирных» теорий, которыми указанные эффекты объясняются раздельно, в теории относительности они оказываются связанными и описываются единым образом. При этом выясняется, что происхождение этих эффектов чисто кинематическое.

Если источник света достаточно удален, то порождаемые им волны можно считать плоскими. Рассмотрим поэтому распространяющуюся в вакууме плоскую монохроматическую электромагнитную волну. Введем две инерциальные системы отсчета £ и S\ оси которых будем считать параллельными, а скорость системы £' относительно S —направленной по оси X и равной 0 =阻 Пусть в системе W волна распространяется

в направлении s (рис. 77.3). Тогда каждая компонента электромагнитного поля содержит фазовый множитель

ехр (— i①)=exp [i (kr)—而E],(77.3)

где k = s(o/c — волновой вектор. Согласно принципу относительности, уравнение поверхности волнового фронта d①=0 ковариантно относительно преобразований Лоренца. Это означает, что левая часть уравнения, т. е. фаза Ф, представляет собой некоторый 4-тензор. Но единственным 4-тензором с одной компонентой является 4-скаляр, поэтому фаза Ф должна быть релятивистским скаляром. Ее действительно можно представить в виде скаляра

①=М — (кг) = ^цхц,(77.4)

если ввести волновой 4-вектор

々м = ®/&(о§/с),(77.5)

важным свойством которого является изотропность:

依二軌耻t=o.(77.6)

Получим теперь компоненты 4-вектора А'" в системе отсчета 2\ Очевидно, в системе W

к = (—kQ sin ф, —A0 coscp, 0);々。=口"％

и преобразованием Лоренца получаем:

勿О=?他。一体1),貶1 = Y(炉一做。)，斤2口斤，証3 =依.(77.7)

Поскольку в системе Е'

k' — (—ft/Q sin(p\ —kf^ cos(p\ 0);々'° =(o7&

то из (77.7) находим:

о/ =(оу(1 +0sin(p), sin 屮'=(b + sin(p)/(l +P sin ф).(77.8)

Эти общие формулы и дают объединенное описание аберрации и эффекта Доплера. В частности, при ср = О получаем чистую аберрацию, а при (р ~ л/2 — чистый эффект Доплера (продольный). Так, при(р = 0

sin(p/ =Р， (1/=зу=со(1—伏)т/2.(77.9)

Видно, что релятивистский угол аберрации <р' ^ arcsinp отличается от угла аберрации arctgP в «эфирной» теории. Совпадение получается лишь для малых скоростей и «с. Другим важным отличием релятивистской аберрации от классической является изменение частоты света (о'=(оу, часто называемое поперечным эффектом Доплера.

Задача 77.1. Показать, что в《зф tip ной» теории получается правильный угол аберрации, если учесть сокращение Лоренца—Фицджеральда. Задача 77.2. Источник света движется относительно наблюдателя со скоростью г. Как связаны между собой видимое и истинное положения источника? Рассмотреть случай двойной звезды, неподвижной отно^ “ сительно наблюдателя и вращающейся с некоторой угловой скоростью

(рис. 77.4). Можно 力〃 утверждать, чти 8 соответствии с формулой (77.8) в том положении, когда компоненты звезды находятся 〃а одной линии с наблюдателем (屮=0), они будут казаться пространственно разделенными?

Для описания релятивистского эффекта Доплера предположим в (77.8)屮=冗/2 и найдем:

(р' = п/2, со' = в)7 (1 +И ~ w 1^(с + и)/(с —и). (77.10)

Очевидно, что релятивистская формула для продольного эффекта Доплера совпадает с классической формулой (77.2) лишь в пределе медленных движений.

Задача 77.3. Найти закон отражения света от движущегося зеркала, скорость 舒 которого ориентирована произвольно относительно зеркала

Задача 77.4. Описать аберрацию 〃 эффект Доплера для света в прозрачной среде с показателем преломления 几(со). Найти поправку к коэффициенту увлечения Френеля, обусловленную эффектом Доплера.

Задача 77.5. Описать аберрацию 〃 эффект Доплера для полей 屮土(х), подчиняющихся уравнениям (口 干 m?)屮± = 0,

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА

В КОВАРИАНТНОЙ ФОРМЕ

Ковариантность какого-либо закона природы по отношению к преобразованиям Лоренца, очевидно, соблюдается, если этот закон удается представить в виде системы четырехмерных тензорных уравнений. Попробуем представить в явно ковариантной форме уравнения Максвелла в вакууме:

III

divE = 4np, divB = 0,

rotB_l^^±Lj, r°tE + ；吟=0.(78.1)

Но сначала обратим внимание на то, чю из уравнений (78.1) вытекает уравнение непрерывности

03bt + div j = 0,(78.2)

выражающее закон сохранения электрического заряда. Этот закон универсален, т. е. выполняется в любой инерциальной системе отсчета, и поэтому уравнение (78.2) должно быть лоренц-ковариант- ным. Это возможно лишь в случае, когда его левая часть является релятивистским скаляром. Такое представление левой части (78.2) оказывается действительно возможным, если ввести 4-вектор плотности тока / с компонентами

产= (ср，D； ср =『.(78.3)

(78.4)(78.4)Тогда уравнение (78.2) принимает вид

(78.4)

(78.4)

т, е. его левая часть является четырехмерной дивергенцией.

Закон сохранения электрического заряда можно записать и в интегральной форме, если проинтегрировать (78.4) по некоторому 4-объему Q, окруженному замкнутой гиперповерхностью а, и использовать четырехмерную теорему Гаусса — Остроградского (74.14):

,九产dQ = 6产do弘=0.,九产dQ = 6产do弘=0.(78.5)(78.5)

,九产dQ = 6产do弘=0.

,九产dQ = 6产do弘=0.

(78.5)

(78.5)

Предположим теперь, что заряды и токи, как это обычно имеет

место, сосредоточены в некоторой ограниченной области простран-

ства. Тогда в качестве четырехмерной области Q можно взять 4-объем, заключенный

между двумя пространственно-подобными гиперповерхностями 04 и %(Ри& 78.1). Поскольку вклад бесконечно удаленных областей в интеграл (78.5) будет исчезающим, равенство (78.5) примет вид

(78.6)

01

Оно означает, что инвариантный интеграл

(78.7)(78.7)Q [0] = ^ j 产d0u = I" 0 九标产duао

(78.7)

(78.7)

оказывается не зависящим от выбора пространственно-подобной гиперповерхности и. Поэтому в качестве последней можно, например, выбрать гиперповерхность x° = const, для которой вектор нормали имеет компоненты % =0, 0, 0), поэтому dau = (dV, 0, 0, 0). Тем

самым равенство (78.7) принимает вид

Q =，pdU = const(78.8)

к выражает, таким образом, интегральный закон сохранения электрического заряда.

Из структуры 4-вектора плотности тока 严= (ср, j) нетрудно вывести закон преобразования плотностей заряда р и тока j при преобразованиях Лоренца (67.18):

Р^Т(Р/ + 广々/合)，尸=丫 (尸 + Р%}, /2 = Г, /3 - Г3.(78.9)

В частности, если в системе отсчета £' заряды были неподвижны и распределены с некоторой плотностью р', то『“ = (ср‘，0, 0, 0) и поэтому в системе £，относительно которой заряды движутся со скоростью V вдоль оси X, согласно (78.9) имеем

P = YP‘，j = YpW = pe.'(78.10)

Таким образом, появляется конвекционный ток с плотностью ри и вследствие лоренцева сокращения масштабов в направлении движения происходит увеличение плотности заряда.

В другом частном случае, когда в системе отсчета 2y имелась лишь плотность тока j 芳 0, а плотность заряда была равна нулю, т. е.『“ = (0,『),в системе 2 найдем:

『=Y产，戸=岸，j3 =『3,p=广"/e2 =广0/以 (78.11)

Если увеличение плотности тока можно объяснить тем же лорен- цевым сокращением масштабов, приводящим к уплотнению движущихся зарядов, то появление некоторой плотности заряда р представляется на первый взгляд парадоксальным и противоречащим закону сохранения заряда. Однако на самом деле никакого проти-

讲讲Рис. 78.2Рис. 78.2следует уже из инварн-следует уже из инварн-воречия здесь нет. Действительно, если р' = 0 в системе 才，то из уравнения непрерывности (78.2) следует, что div，『=0, т. е. токи должны быть замкнутыми (рис. 78 2). Поэтому, если проводник с током привести в поступательное движение со скоростью 叽 то согласно (78.11) на участках с противоположными токами возникнут и противоположные плотности заряда v. При этом результирующий заряд Q в проводе, очевидно, равен нулю, что антности заряда:

讲

讲

Рис. 78.2

Рис. 78.2

следует уже из инварн-

следует уже из инварн-

Q = g pd，= Q，= , p'd，' ~ 0.

Задача 78.1. Вычислить электрический и магнитный дипольные моменты плоского линейного кругового тока / радиуса а, перемещающее гося со скоростью о

КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

Поскольку в уравнения Максвелла (78.1) кроме источников ри!, образующих 4-векюр, входят только векторы электромагнитного поля Е и В, то лоренц-ковариантность уравнений (78.1) может лишь означать, что пара векторов Е и В при преобразованиях Лоренца выражается сама через себя. Иначе говоря, векторы электромагнитного поля являются компонентами некоторого четырехмерного тензора. Единственным 4-тензором с шестью компонентами является антисимметричный тензор второго ранга. Обозначая компоненты этого тензора FR попытаемся определить его структуру, приведя к явно ковариантной форме левые части уравнений (78.1).

Начнем с первой группы уравнений Максвелла. Для удобства

* См. задачу 6.2.

запишем их в декартовых координатах *:

О + &旦 + д?Е? + д3Е3 = (4л/с)尸，

一д()Е1 +。+ “旦一д3В2 = (4л/с) J1,

—“刍一“旦 +。+ “В[ = (4л/с) /2,(79.1)

—“Ез + “约一。2吕 +。= (4л/с) /3.

Нетрудно видеть, что уравнения (79.1) можно представить в четырехмерной форме:

д^^АяГ/с,(79.2)

При этом контравариантные компоненты тензора F叫 обычно называемого тензором элекmромагнитного поля^ изображаются антисимметричной матрицей

p^v —_广州协_p^v —_广州协_p^ n^» о в 生0旦邑 o旦p^ n^» о в 生0旦邑 o旦p^ n^ n^ оp^ n^ n^ о(79.3)(79.3)

p^v —_广州协_

p^v —_广州协_

p^ n^» о в 生0旦邑 o旦

p^ n^» о в 生0旦邑 o旦

p^ n^ n^ о

p^ n^ n^ о

(79.3)

(79.3)

Что касается второй группы уравнений Максвелла, то, предварительно записав их в декартовых координатах:

。+d1 8[十刃82 + аез - 。,

-"6]+ 0 -02?3 十03e2 =。，

-%筑十次生十。一。3?1 =。, 一"旦—。1?2十”旦+。= 0, убеждаемся, что они также допускают явно ковариантное представление:

九户з=0,(79.4)

взе£'о 二 — D^ о -^о一一 о R^ R^ R^ou-户взе£'о 二 — D^ о -^о一一 о R^ R^ R^ou-户где компоненты тензора 戸"電 изображаются антисимметричной матрицей

взе£'о 二 — D^ о -^

о

一一 о R^ R^ R^o

u-户

взе£'о 二 — D^ о -^

о

一一 о R^ R^ R^o

u-户

(79.5)

Легко проверить, что тензор 尸"電 является дуально сопряженным тензору F* т. е. связан с ним соотношением

戸з=ez5fП/2.(79.6)

Вследствие этого (79.4) можно переписать и как ураьнения для 。煤尸 va + ^v^an + ^a^ м-v =。・(79.7)

* Напомним, что у трехмерных векторов Е, В ковариантные и контравариантные компоненты совпадают, т. е. Е{ = Е1 и 以=8匕 244

Задача 79.1. Убедиться е эквивалентности уравнений (79.7) и (79.4).

Итак, ковариантная запись уравнений электродинамики Максвелла в вакууме дается системой уравнений (79.2) и (79.7).

ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Для получения формул преобразования векторов Е и В электромагнитного поля при переходе к движущейся системе отсчета можно, безусловно, воспользоваться законом преобразования компонент тензора 尸叫

尸'z = NJA/叫

Однако существует и более короткий путь, основанный на использовании свойства антисимметрии тензора электромагнитного поля. Заметим прежде всего, что компонента тензора второго ранга F^ преобразуется как произведение соответствующих компонент двух 4-векторов A^BV. Поэтому, если направить ось X вдоль скорости движущейся системы отсчета 舒，то вследствие инвариантности поперечных компонент 4-вектора А2 и А3 компоненты 尸"и 尸電 должны преобразовываться как 4 векторы. Это обстоятельство с учетом свойства антисимметрии 尸"電=—尸電"позволяет установить закон преобразования всех компонент тензора 尸“電，кроме 尸％ Однако [см (79.6)]尸1工户2з, т е 尸о】 преобразуется как инвариантная составляющая дуально сопряженного тензора 户叫 Учитывая все сказанное, можно записать следующие формулы преобразования для тензора электромагнитного поля-

尸，01 = fg, /7,027 (尸。2 —5f12),F?2* 尸23,£U2 = 丫 (£12 —卩尸02),или с учетом (79.3):£； = Ei, E^ = y (Е2 — pfi3), 界=&, 52=?(当+ё邑)， Эти формулы можно записать и в i尸，01 = fg, /7,027 (尸。2 —5f12),F?2* 尸23,£U2 = 丫 (£12 —卩尸02),или с учетом (79.3):£； = Ei, E^ = y (Е2 — pfi3), 界=&, 52=?(当+ё邑)， Эти формулы можно записать и в i尸…3 = 7(f03 _e尸13), 尸 U3 = y(尸 I3 — B 尸 03),尸…3 = 7(f03 _e尸13), 尸 U3 = y(尸 I3 — B 尸 03),£； = V(£3 + m^з - Y (83 -ё旦).компактной векторной£； = V(£3 + m^з - Y (83 -ё旦).компактной векторной(80.1)(80.1)(80.2)(80.2)форме:форме:

尸，01 = fg, /7,027 (尸。2 —5f12),

F?2* 尸23,£U2 = 丫 (£12 —卩尸02),

или с учетом (79.3):

£； = Ei, E^ = y (Е2 — pfi3), 界=&, 52=?(当+ё邑)， Эти формулы можно записать и в i

尸，01 = fg, /7,027 (尸。2 —5f12),

F?2* 尸23,£U2 = 丫 (£12 —卩尸02),

или с учетом (79.3):

£； = Ei, E^ = y (Е2 — pfi3), 界=&, 52=?(当+ё邑)， Эти формулы можно записать и в i

尸…3 = 7(f03 _e尸13), 尸 U3 = y(尸 I3 — B 尸 03),

尸…3 = 7(f03 _e尸13), 尸 U3 = y(尸 I3 — B 尸 03),

£； = V(£3 + m

^з - Y (83 -ё旦).

компактной векторной

£； = V(£3 + m

^з - Y (83 -ё旦).

компактной векторной

(80.1)

(80.1)

(80.2)

(80.2)

форме:

форме:

(80.3)(80.3)E； = Е и, Ei = 丫 (E丄十[кВ]/以в II =B|], в丄= Y(B 丄一[kEpc),

(80.3)

(80.3)

где символами || и 丄 обозначены соответственно продольная и поперечная составляющие векторов. Обратные преобразования, очевидно, получаются заменой 舒一—— в.

В полученных законах преобразования (80.3) отчетливо выявляется тесная взаимосвязь и глубокое внутреннее единство электрического и магнитного полей, выступающих как различные проявления единого электромагнитного поля. В частности, одним из ярких свидетельств этого единства являются уже известные нам теоремы Дж. Дж. Томсона *, непосредственно вытекающие из (80.3). Так,

См. задачу 6.2.

если в движущейся системе отсчета У' имеется только магнитное поле В', то в неподвижной системе £, согласно (80.3), появится поперечное электрическое поле Е = —[^Врс. Аналогично если в системе £' имеется лишь электрическое поле Е', то в системе 2 появится поперечное магнитное поле В = [^Е]/с.

Задача 80.1. , Приняв закон преобразования для поперечной составляющей силы Fl = yF丄(см. § 84), вывести из (80.3) выражение для силы Лоренца, действующей на заряд в магнитном поле В.

— 歹 В качестве важного применения формул (80.3) рассмотрим задачу о нахождении элект- * \ I / /а Ромагнитного поля, создаваемого точечным за- \ I / /f рядом е, движущимся с постоянной скоростью \ \ / / / S Очевидно, что в собственной системе отсчета W заряда имеется лишь электрическое ■丁 поле с напряженностью

ЕЛ/"(80.4)

/ / [ \Применив формулы преобразования, обрат-

Г ! 1ные (80.3) и предварительно записанные в ком-

Рис. 80.1 пактной форме:

Е = (1 — у)舒(用历叶丫 (Е，— [вВ]/с),

В = (1 — Y)0 (秒 В，)/№ + Y (В，+[г»Е,]/с),(80'5)

найдем, что в неподвижной системе 2

E = yE' + (1—y)w(tE'}/02, В = [©Е]/с.(80.6)

Подставляя сюда (80.4) и учитывая, что согласно (67.20)

г' =「一 ？в£ +(Y — 1) (「叨 в/и{

после несложных преобразований находим

Е = 丫 靑(I/)= Г^Т^^•б。？

Анализ этой формулы показывает, что при больших скоростях и, когда |3 ^ 1, поле практически концентрируется в плоскости, перпендикулярной движению (рис. 80.1). Показателем релятивистского сжатия поля является отношение■

Е (尤一” = а, y=Z = 0)=(] — B2)*/2

Е (х — ” = 0, y=z = a/K2)'

Задача 80.2. Металлический шарик радиуса a w заряда е движется с постоянной скоростью г. Показать, что сила Лоренца, действующая на элементарный заряд на поверхности шарика, может быть представлена в виде F = — у屮，где «— конвекционный потен- 'ц и а л. Найти форму эквипотенциальной поверхности « = const (э л- л ипсо ид Хевисайда).

Задача 80.3. Найти электромагнитное поле точечного электрического диполя с моментом р, движущегося с постоянной скоростью г.

§ 81. ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Во многих приложениях неоценимую пользу может оказать знание инвариантных комбинаций, составленных из компонент электромагнитного поля. Можно указать две такие инвариантные комбинации:

% = 一й"川/2,北=一F网儿"4,(81.1)

в которых для удобства выбраны числовые коэффициенты ——1/2 и —1/4. Воспользовавшись матричными представлениями (79.3) и (79.5) для тензоров F"” и 戸乂電 электромагнитного поля, инварианты (81.1) можно выразить через Е и В:

%=£2一52, % = (eB). (81.2)

Отметим, что согласно (81.1) только % является истинным скаляром, тогда как % является псевдоскаляром, т. е. изменяет знак при пространственном отражении.

Задача 81.1. Показать, что характеристические числа матрицы 尸§ выражаются через инварианты (81.2).

Из существования инвариантов (81.2) можно вывести ряд полезных свойств электромагнитного поля. Например, из явного вида 力 следует, что с помощью преобразования Лоренца нельзя перевести чисто магнитное поле в чисто электрическое, и наоборот. Это связано с тем, что инвариант % изменил бы при этом знак, что невозможно. Далее, из явного вида инварианта 52 вытекает, что если векторы Е и В ортогональны в некоторой системе отсчета, т. е. 北=0, то и в любой другой системе отсчета они будут оставаться ортогональными. Таким образом, свойство ортогональности векторов Е и В является инвариантным относительно преобразований Лоренца.

Интересной особенностью обладает плоская электромагнитная волна. Поскольку для нее £ = В и (ЕВ) = 0, то 5\ = ?2 = 0. Поэтому в любой инерциальной системе отсчета плоская электромагнитная волна остается плоской волной.

Задача 81.2. Каким условиям должны удовлетворять векторы Е 〃 В, чтобы существовала такая система отсчета, з которой либо Е = 0, либо В = 0?

Существует и другой способ вывода инвариантов (81.2), основанный на использовании формул преобразования электромагнитного поля (80.3) и позволяющий просто установить отсутствие других инвариантов, кроме 北 и Ja. Именно: применим формулы (80.3) к комплексному вектору

X = Е 4- t'B,(81.3)

впервые введенному английским физиком Л. Зильберштейном в 1907 г. Тогда Для преобразованного вектора X' найдем

Х“=Х“， X 丄= у(Х 丄一"еХ]/с).(81.4)

Воспользуемся теперь комплексным представлением (72.9) для гиперболического поворота, положив

s у — cos a, »YB = sina, а= г arth р.

Тогда формулы (81.4) примут такой вид:

X；=Xj], X；=cos а X 丄一sin a [eX]/s(81.5)

Нетрудно видеть, что преобразование (81.5) представляет собой трехмерный поворот вокруг направления г, при котором, как известно, квадрат вектора остается неизменным, т. е.

X，2=X2 = ev,или■

(Е + /В)2 = £2_ 82 + 2» (BE) = inv.(81.6)

Разделяя в (81.6) действительную и мнимую части, убеждаемся, что существуют только два независимых инварианта (81.2) электромагнитного поля.

ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

По аналогии с введением трехмерных скалярного 屮 и векторного А потенциалов электромагнитного поля, для решения системы уравнений Максвелла в четырехмерной форме удобно ввести четырехмер» ный векторный потенциал Л электромагнитного поля, положив

尸"V =儿儿一出4・(82.1)

Нетрудно видеть, что уравнение (82.1) является ковариантной записью соответствующих трехмерных уравнений Е = —V(p — —LdA/df, В = rot А, если считать, что 4-потенциал Л имеет компоненты

4"=(9，a).(82.2)

Заметим, что подстановкой (82.1) автоматически удовлетворяется вторая группа уравнений Максвелла. В самом деле,

也兴V =康" "％仇4 一女人)/2*0

как свертка антисимметричного тензора 册例 с симметричными тензорами д^д0Ах и д^Аа.

Обратим внимание на то, что соотношением (82.1) 4-потенциал Л определен неоднозначно, а именно: новый 4-потенциал с компонентами

4h=4也+0以①，(82.3)

отличающийся от старого на 4-градиент произвольного скаляра Ф, тоже удовлетворяет (82.1), поскольку

Это свойство 4-потенциала является выражением уже известной нам градиентной, или калибровочной, инвариантности электромагнитного поля

(р‘=Ф+「巧①/况，a‘ — a -Vф

Чтобы уменьшить произвольность выбора 4-потенциала, на него можно наложить некоторое дополнительное условие. Если считать это условие линейным и лоренц-ковариднтным, то оно определяется

248

(82.4)(82.4)однозначно и известно как условие Лоренца ^雾+ divA = d^“ = 0.

(82.4)

(82.4)

Очевидно, ему всегда можно удовлетворить, совершив калибровочное преобразование (82.3) с подходящей скалярной функцией Ф. В самом деле, подстановка (82.3) в (82.4) дает

-d^Ф = □①=-0也4 匕

т. е. скаляр Ф удовлетворяет неоднородному уравнению Даламбера, решение которого задается с точностью до произвольного решения Фо свободного уравнения Далам- бера □①° — 0. Таким образом, даже при наложенном условии Лоренца (82.4) 4-потенциал Лц остается определенным с точностью до 4-градиента диФ0, где Фо —скалярное решение уравнения Далзм- бера.

Перепишем теперь в терминах 4-потенциала первую группу уравнений Максвелла в вакууме. Подставляя (82.1) в (79.2), имеем

d^v^d^Av-d^A^^(^nlc) Г，

или с учетом условия Лоренца (82.4)

(82.5)(82.5)□ %煤=—(4п/с)严.

(82.5)

(82.5)

Очевидно, что уравнения (82.5) являются ковариантной записью трехмерных уравнений (41.8) для потенциалов электромагнитного поля:

□屮=—4лр, □ А = — (4п/с) j.

Задача 82.1. Показать, что запаздывающее решение уравнений (82.5) может быть представлено в форме, ковариантной относительно орто- хронных преобразований Лорениа:

/к (х) =_|. j е (х。一父。)6【(х —『)2］产(£) dN,(82.6)

или е эквивалентной форме Конвея — Г ерглотца:

网灯=目声可帆(82.7)

где контур С в комплексной плоскости х'° изображен на рис. 82.1.

Задача 82.2. Найти ковариантное представление для потенциалов Льенара— Вихерта

Задача 82.3. Дать ковариантную формулировку метода векторов Герца.

КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В СРЕДЕ

При наличии среды, очевидно, изменится лишь первая группа уравнений Максвелла, содержащая плотности связанных зарядов и токов. Поэтому нам следует записать в ковариантной форме только уравнения связи между поляризованностью Р и намагниченностью М, с одной стороны, и плотностями связанных зарядов рсв*з и токов увяз — с другой. Как известно, эти уравнения имеют такой вид:

рсвяз = — div Р, }связ = с rot М + dP/dt. (83.1)

Вводя 4-вектор плотности связанного тока /^яз~ (срсвяз, ]связ) и антисимметричный тензор поляризации ——намагничения S^' заданный матрицей

------o%此o%此2M MoЛОМ2M MoЛОМ(83.2)(83.2)

---

---

o%此

o%此

2M MoЛОМ

2M MoЛОМ

(83.2)

(83.2)

уравнения (83.1) можно переписать в явно ковариантной форме:

(83.3)(83.3)jc^3 = cd^v.

(83.3)

(83.3)

Задача 83.1. Показать, что диэлектрик с поляризованностью Р, движущийся со скоростью г», приобретает намагниченность М = (Рг]/с. Поскольку электромагнитное поле в среде порождается плотностью полного 4-тока j + то в соответствии с (79.2) имеем

%Q』(4硒)⑴+尚Q,(83.4)

или с учетом (83.3)

九G" = (4ji/c)广，(83.5)

где введен новый антисимметричный тензор

G2 =尸内 _ 4nsz.(83.6)

Соотношение (83.6) представляет собой ковариантную запись известных трехмерных уравнений:

D ~ Е + 4лР, Н = В —4nM.

задается следующей антисим-задается следующей антисим-Поэтому структура тензора G^v метричной матрицей:

задается следующей антисим-

задается следующей антисим-

G3G30 5 4 50 5 4 5cf 乩 Y оNo Ycf 乩 Y оNo Y(83.7)(83.7)

G3

G3

0 5 4 5

0 5 4 5

cf 乩 Y оNo Y

cf 乩 Y оNo Y

(83.7)

(83.7)

Предположим теперь, что нам известны трехмерные тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей £ и R, входящие в феноменологические уравнения состояния неподвижного вещества (система отсчета £'):

!)"=或e4夕f =武牙4 , 33.8)

Очевидно, что этими уравнениями, записанными предварительно в ковариантной форме, и следует дополнить системы уравнений (83.5) и (79.7). Поскольку уравнения (83.8) задают линейную связь двух 4-тензоров G煤電 и Л^, то их ковариантная запись должна иметь вид

6内=篠冲叫(83.9)

Введенный здесь 4-тензор проницаемостей 入貝，очевидно, антисимметричен по верхним и нижним индексам. Чтобы выписать его компоненты в собственной системе вещества Е‘，воспользуемся соотношениями, вытекающими из структуры тензоров G弘葷 и 尸卩”：

G" = _Q4 尸叮= _?〈 Gik = — d%5, Bi = — sik/Ff^/2. (83.10)

С помощью (83.10) уравнение (83.8) можно представить в виде

G期 =或尸，。% G% = e®Sw而一1)下加/2.(83.11)

Сравнивая (83.)1) с (83.9), находим следующую структуру тензора 入审 в собственной системе 2' среды:

晦=或/2;驾=入患=0,篇(口Т»/2.(83.12)

В частном случае изотропной среды, когда 或=£僦 и |4 =卩俄, 峨=啾/2,九定=eМ加"(2卩)=隔僦-6汕)/(2从).(83.13)

Переходя к системе отсчета 2, относительно которой среда движется с некоторой скоростью и, с помощью (83.12) или (83.13) всегда можно восстановить компоненты тензора 喘 в системе 2 и записать, таким образом, уравнения Максвелла в среде в ковариантной форме:

弘G1^ = (4п/с)广，G^ -入鸵尸в, d^Fvo ~F ^vP(Щ + ° juv 0.(83.14)

В случае изотропной среды, как было впервые показано Минковским, уравнения связи (83.9) могут быть значительно упрощены. В самом деле, используя 4-скорость U среды, введем 4-векторы:

Е仇二 F^Uv/ct 5煤=F^Uvlc.

Z)a = GzUjc,"眛=g内力/& обладающие тем свойством, что в собственной системе среды они сводятся соответственно к Е‘，В', D', Н‘，между которыми существует связь

В』М，＞ = £Е-

Однако известно, что если два 4-вектора параллельны в некоторой системе отсчета, то они параллельны и в любой другой. Поэтому, вводя скалярные величины е и 卩,определяемые соответст-

вен но как диэлектрическая и магнитная проницаемости среды в ее собственной системе отсчета, уравнения связи (83.9) можно заменить следующей парой уравнений:

или

◎В/ = zF^U^ 戸却4 =卩⑦叨仇(83.15)

Уравнения (83.15) известны как уравнения Минковского для движущихся сред. В трехмерной форме они принимают такой вид:

D + [uH]/c = e(E + [uB]/c), B-[uE]/c = n(H-[uD]/c).8

Задача 83.2. Показать, что из уравнений Минковского (83 15) вытекают. следующие соотношения между тензорами G^B и £аР

(G^-eF^)(Ga^-eFal3)= (f^-nG^)(Fap-цбар)=

=(G«P -eF«P)(Fa|J- nGap) = 0,(83.17)

или 8 трехмерной форме.

(D — eE)• (бВ — Н) = (В — р.Н)• (Е — |iD) — 0,(83 ]&)

(D — gE)・(E —林 D)+(B —林 Н)・(еВ —Н) = 0.《'丿

严=(tj/c)尸弘"Uy ：严=(tj/c)尸弘"Uy ：Задача 83.3. Показать, что ковариантной формой дифференциального закона Ома в среде с изотропной электропроводностью а является уравнение

严=(tj/c)尸弘"Uy ：

严=(tj/c)尸弘"Uy ：

(83.19)

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА

Глава7Глава7В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Глава

7

Глава

7

В этой главе мы изучим движение точечной заряженной частицы в электромагнитном поле. Для этого нам потребуются 5 равнения динамики материальной точки, которые согласовывались бы с релятивистской кинематикой (см. § 75). Ясно, что уравнения динамики Ньютона

d2rdu 匸

d/2出

не годятся вариантны Галилея, ане годятся вариантны Галилея, адля этой цели, поскольку они ко по отношению к преобразованиям не Лоренца, и поэтому справедли

не годятся вариантны Галилея, а

не годятся вариантны Галилея, а

вы лишь для медленных движений (况 «с) Следовательно, необходимо обобщить уравнения динамики Ньютона и сделать это так, чтобы новые уравнения были лоренц-ковариантными и в предельном случае скоростей, малых по сравнению со скоростью света, переходили в уравнения Ньютона. Именно такое обобщение уравнений динамики материальной точки и было предложено Г. Минковским.

УРАВНЕНИЯ МИНКОВСКОГО

Уравнения динамики материальной точки, предложенные Минковским, внешне имеют ту же форму, что и уравнения Ньютона, но оперируют с четырехмерными величинами (4-координатами, 4-скоростями, 4-ускорениями и 4-силами), характеризующими движение частицы в псевдоевклидовой геометрии Минковского.

Уравнения Минковского имеют вид

例嚟=再匕(84.1)

Скалярная числовая величина 历 в этих уравнениях характеризует инерционные свойства частицы и называется ее собственной массой. Роль времени в уравнениях Минковского играет инвариантное собственное время т частицы, роль скорости — 4-скорость U, а роль силы —4-вектор силы /, являющийся обобщением трехмерной ньютоновской силы F.

В предельном случае медленных движений, когда 〃这с, пространственные компоненты 4-скорости U переходят в обычную трехмерную скорость и, а собственное время dx — d/ (1——и^/с2)1^ перестает отличаться от ньютоновского времени d九 Поэтому если потребовать, чтобы пространственные компоненты 4-вектора силы 犷 также переходили в этом пределе в ньютоновскую силу F, то пространственные уравнения Минковского, очевидно, будут удовлетворять нужному принципу соответствия с уравнениями динамики Ньютона.

Остается лишь выяснить смысл временного уравнения Минковского (卩= 0), Для этого воспользуемся тождеством /[/“ = * или

UadUMdwnO,(84.2)

с учетом которого из (84.1) выводим

U 尸=U。/。一(UjF) = 0.(84.3)

Соотношение (84.3) позволяет выразить F0 через 断:’

” =(#U)/U。=(部 u)/&(84.4)

Таким образом, с^° при 况 «с совпадает с мощностью внешней силы, т. е.

c<F° =⑸u) ^ (Fu).

Эго обстоятельство наводит на мысль, что временное уравнение Минковского является ковариантным обобщением теоремы живых сил в механике Ньютона. Чтобы проверить эту догадку, запишем 历cU° в предельном случае 况«с:

例川。 =歹簪^=例户+^必^ +…(84.5)

Поскольку 历炉 является постоянной величиной, то временное уравнение Минковского в этом приближении принимает вид

糸传甌2)= (Fu),

т. е. в самом деле совпадает с теоремой живых сил.

Итак, мы пришли к выводу, что уравнения Минковского выражают закон изменения энергии и импульса частицы под влиянием внешних сил. В связи с этим введем понятие 4-импульса частицы 环=历/(84.6)

(84.7)(84.8)(84.7)(84.8)компоненты которого удобно представить в виде 彳"—(me, mu),

(84.7)

(84.8)

(84.7)

(84.8)

где

вариантной форме:вариантной форме:Тогда уравнения Минковского записываются в следующей ко-

вариантной форме:

вариантной форме:

(84.9)

Замечая, что dx = d^ (1 —u^lc^yi2, и вводя обозначение

F =断 Ml 一"2俨,(84.10)

уравнения Минковского можно записать и в следующей трехмерной форме

^(mc2)==(Fu), ^-(mu) = F.(84.11)

Трактуя первое из уравнений (84.11) как теорему живых сил, мы видим, что энергией частицы в релятивисткой механике следует назвать величину

Е = т%(84.12)

а релятивистским импульсом ——векюр

Р = mu. ■ (84.13)

По аналогии с ньютоновским выражением для импульса величин}^ т называют инертной или динамической массой. В отличие от собственной массы 团 частицы она переменна, т. е. зависит от скорости и частицы в соответствии с (84.8) и, кроме того, является не скаляром, а временной компонентой 4-вектора. Таким образом, в трехмерной интерпретации уравнения релятивистской динамики описывают движение частицы с переменной мяссой т (и), которая оказывается связанной с энергией Е частицы соотношением (84.12). Последнее было впервые получено Эйнштейном и часто называется соотношением эквивалентности энергии и массы.

Задача 84.1. Вывести соотношение эквивалентности Эйнштейна, воспользовавшись допущением, что взаимодействие между частицами передается со скоростью света, а также приняв, что е дополнение & закону сохранения энергии выполняется закон сохранения инертной массы. Получить отсюда зависимость (84.8).

В связи с соотношением эквивалентности Эйнштейна обратим внимание на важную особенность релятивистской энергии £ =^ те2: для неподвижной частицы она не обращается в нуль, как нерелятивистская кинетическая энергия mu2/2, а оказывается равной постоянной величине

(84.14) называемой собственной энергией частицыГ Если в нерелятивистской механике энергия материальной точки определяется из теоремы

живых сил d£ — (udP) с точностью до аддитивной постоянной, то в релятивистской теории отбросить постоянную £0, не нарушив тензорных свойств Е, очевидно, нельзя. В самом деле, разность Е — Eq уже не является компонентой какого-либо 4-тензора, поскольку £0 —скаляр, а Е — временная составляющая 4-вектора.

Отметим, что согласно определению (84.6) 4-импульса свободной частицы ，认= (Е/с, Р) его инвариантная длина связана с важной характеристикой частицы ——ее собственной массой 历：

次=(9％驴")1/2% =(£2 _ c2P2产/2/炉=Ev.(84.15)

Задача 84.2. Показать, что элемент объема dr фазового проспгран- ства частицы с собственной массой 例，определяемый как

dF = d 守У您 2d 砂 3d户d^dx3,(84.16)

является инвариантом ортохронных преобразований Лоренца. Пока* зать также, что инвариантом собственных преобразований Лоренца является величина

d好亍好1好2(1您3跣£(84.17)

§ 85. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДА

ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Если материальная точка обладает электрическим зарядом е и находится во внешнем электромагнитном поле, то на нее действует сила Лоренца, которую необходимо записать в четырехмерной ковариантной форме, т. е. выразить 4-вектор силы F через тензор 尸认葷 электромагнитного поля и 4-скорость U частицы.

Известно, что всегда можно однозначно восстановить 4-вектор силы 于 по нерелятивистской силе F. Существует несколько методов такого восстановления. Самый наглядный среди них ——прямой метод Он состоит в следующем. Допустим, что в некоторый момент времени 图 частица имеет скорость и. Тогда можно рассмотреть ее движение в инерциальной системе отсчета S\ движущейся именно с этой скоростью.

Ясно, что для моментов времени, бесконечно мало отличающихся от момента /0, скорость частицы близка к и, т. е. движение ее в системе 2' заведомо нерелятивистское. Поэтому уравнения движения в системе £' имеют известную нерелятивистскую форму:

dE7df' = (WF‘)，dP'/d，= F‘， (85.1)

где предполагается известным вид силы F'. Теперь, чтобы найти 4-вектор силы 沛、достаточно лишь совершить переход к неподвижной системе отсчета.

Задача 85.1. Найти прямым методом 4-вектор силы Лоренца 苏.

Однако на практике прямым методом пользуются довольно редко из-за его громоздкости, тем более что в большинстве случаев удается восстановить 4-силу 仔 исходя лишь из принципа соответствия и требования релятивистской ковариантности. Покажем, что таким путем можно восстановить и 4-вектор силы Лоренца.

Замечая, что нерелятивисткая сила Лоренца

F = e(E+[uB「c)(85.2)

линейна по электромагнитному полю, попытаемся построить 4-вектор силы (F так, чтобы он был линеен по тензору 尸乩電 электромагнитного поля. Поскольку из других тензоров, согласно (85.2), можно использовать лишь 4-вектор скорости U частицы, то единственное приемлемое выражение для (Fu имеет вид

(仔从= a#"Uv,(85 3)

где постоянная а должна определяться из принципа соответствия .

В пределе медленных движений выражение (85.3) сводится к следующему:

尹” = a{(Eu), сЕ + [иВ]},

и его сравнение с (85.2) показывает, что необходимо выбрать а — е/с, т. е.

彳卜 1 = о尸dU”/c(85 4)

Таким образом, уравнения Минковского, описывающие движение заряда в электромагнитном поле, принимают вид

必当上=£戸iv °(85 5)

ат (

Отделяя в (85.5) временную и пространственные компоненты, находим:

必 * = !(UE)，^^ = 5{U°E + [UB]},(85.6)

или после подстановки с!т=- d/ (1 — u2/^2)1/2 и введения инертной массы т;

^-(me2) = e(uE), ^ (mu) = е ^Е +-^ [uB]) .(85.7)

Временное уравнение в (85.7), очевидно, представляет собой релятивистскую теорему живых сил и получается из пространственных уравнений скалярным умножением на и.

Задача 85.2. Найти закон движемся заряженной частицы массы. ^ е параллельных электрическом Е и магнитном В полях, которые считаются постоянными 〃 однородными

В заключение отметим, что в полученных релятивистских уравнениях движения заряда во внешнем электромагнитном поле не учитывается собственное поле заряда, т. е. сила реакции излучения считается пренебрежимо малой. Такое предположение оправдано только для движений в слабых электромагнитных полях, когда ускорения, испытываемые заряженной частицей, малы. В дальнейшем мы снимем это ограничение и получим релятивистское выражение для силы реакции излучения.

§ 86. ЛАГРАНЖЕВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Полученные выше релятивистские уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле, так же как и соответствующие нерелятивистские уравнения, могут быть выведены из принципа наименьшего действия, т. е. записаны в лагранжевой форме. Как известно из классической механики, для голономных систем, подверженных действию консервативных сил, можно построить главную функцию Гамильтона, или функцию действия,

S = \ L(q, 7) d厶(86.1)

выражаемую через лагранжиан L системы, являющийся некоторой функцией обобщенных координат q и скоростей q. В частности, для точечной частицы массы 必,движущейся в силовом поле с потенциальной функцией V (г), лагранжиан равен

L (г, г) ~ 历Р/2 — V (г).(86.2)

При этом основные уравнения механики имеют вид уравнений Лагранжа

которые могут быть получены из вариационного принципа

6s = 0(86.4)

при дополнительном условии 67 (^) = 67 (^) = 0..

В релятивистском случае вариационный принцип (86.4) должен быть представлен в лоренц-ковариантной форме. Для этого необходимо, чтобы действие S было релятивистским скаляром. Если рассматривается движение частицы во внешнем поле, то, как известно из классической механики, элементарное действие dS можно записать в виде

dS = (Pd「)一〃df,

где Р — обобщенный импульс частицы, /7 — гамильтониан. dS можно представить в форме скалярного произведения:

dS = — ^ц dd,(86.5)

если ввести 4-вектор 5^^ = (Н/с, Р). В частности, для свободной частицы собственной массы 此 имеем 沪=MU、поэтому

dS=—e^U^dxM = — o^JUy U 煤 dt =—历c2dt.

Таким образом, для свободной релятивистской частицы

L = dS/df = — М* К1 — u2/c2.(86.6)

В нерелятивистском пределе (况 «с) лагранжиан сводится к

—o^C2+e<U2/2+ ...,

т. е., с точностью до аддитивной постоянной, к кинетической энергии частицы.

Чтобы установить структуру обобщенного 4-импульса 守 для заряженной частицы в электромагнитном поле, заметим, что лагранжиан L, отвечающий нерелятивистскому движению заряда е в электростатическом поле с потенциалом <р, содержит член — е(р. Таким образом, обобщенный 4-импульс 俨 должен быть линейным по электромагнитным потенциалам. Единственным таким 4-вектором будет лишь комбинация вида

俨=成u+a4 '(86.7)

Следовательно, член ——о(р появится в лагранжиане при а = е/с. Итак, в присутствии электромагнитного поля

簧卩+е%а%(86.8)

что приводит к функции Лагранжа

l=—历炉 /1 一必便—绅 + e (uA)/c(86 9)

и функции действия

s = —К或i十卷厶dr.(86.10)

Задача 86.1. Показать, что лагранжиан (86.4) приводит к правильным уравнениям движения заряженной частицы в электромагнитном лод^.

В качестве поучительного примера использования релятивистских уравнений Лагранжа рассмотрим классическую задачу о бетатроне, т. е. задачу о движении заряженной частицы в переменном аксиально симметричном магнитном поле В. Пусть в цилиндрических координатах г, а, г компоненты магнитной индукции В имеют такой вид:

Br = BJt, г, г); 5а =0；邑=丛(九 A z).

Введем вектор-потенциал А, положив

( = 4 = 0; 4a =4(/, г, z); Вг = — dA[dz; Bz^r~^d (rA)/dr.

Тогда

*=慕/约28川Г三誥=?〈邑>，(86.11)

о

где Ф —магнитный поток сквозь окружность радиуса г; <В2> — средняя индукция магнитного поля внутри этой окружности.

Запишем теперь лагранжиан (86.9) в цилиндрических координатах:

厶=—历已2 []—(厂2 +/*2(x2 + Z?)/c2]1/2 + (f?/c) raA.

С его помощью получаются следующие уравнения Лагранжа:

亲(т/)= тг总+ 力В»

^^а + ^гА^О,(86.12)

^(тг)^ — ^тВг,.

где точкой обозначена полная производная по времени и введена инертная масса

m = а^\\ -(戸+产游+目/用- и2.

Выясним теперь возможность существования стационарной круговой орбиты z = 0, г = R. В этом случае уравнения (86.12) будут удовлетворены, если 5r = 0, т. е. В『В, и

та+ ~ В ~Q, ^ (mRa+~|■力)=0.(86.13)

Отсюда с учетом (86.11) находим необходимое условие существования стационарной круговой орбиты, получившее название бетатронного условия:

^伊-員8>)=0.(86.14)

Оно означает, что индукция магнитного поля на стационарной круговой орбите меняется в два раза медленнее, чем средняя индукция внучрн орбиты. Если в начальный момент времени В = 0, то из (86.14) получается более простое условие Видероэ:

'2В = 6(86.15)

Найдем закон изменения энергии частицы Е = тс3 с изменением индукции 5 магнитного поля. Для этого достаточно воспользоваться теоремой живых сил

^ (k) = —-|- RaA

и исключить а с помощью (86.13). Тогда

景(£2) = — 2emcRaA = ^ (e2R2B2), что соответствует следующему закону изменения энергии с ростом индукции магнитного поля:

£ = (e2R2B2 十 const)1/2.(86.16)

ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Релятивистские уравнения движения заряда в электромагнитном поле можно также представить в форме канонических уравнений Гамильтона:

q尸 дН/др1Ч 内=—汕/0%・(87.1)

Для этого следует, пользуясь лагранжианом (86.9), определить каггонические обобщенные импульсы:

*pi^dL/dq^(87.2)

разрешить уравнения (87.2) относительно обобщенных скоростей д： и, наконец, построить гамильтониан системы

" = £"4—丄，(87.3)

выразив его через обобщенные координаты и импульсы q「р「

Однако в декартовых координатах эту процедуру можно сократить, воспользовавшись соотношением (86.8) и тождеством 几〃乩= =d. Учитывая, что обобщенный 4-импульс ? имеет компоненты 兴 н(Н1с、Р), находим

0^須队。乩=印紡=W夫—еЛи!с){^ —с# 煤/с) = (Н — е^[^ — (Р—еА/с)2.

(87.4)

Разрешая (87.4) относительно Н, получаем

〃 с [(Р — еА/с)2 + с<2с2]1 /2 斗 绅.(87.5)

Найденное выражение и представляет собой функцию Гамильтона, соответствующую релятивистскому движению заряженной частицы в электромагнитном поле.

Задача 87.1. Получить канонические уравнения Гамильтона, отвечающие гамильтониану (87 5)

Замечая, что Р — (е/с) А = o<U, в нерелятивистском случае выражение (87.5) можно упростить, воспользовавшись малостью отношения

(Р — рА/С)2/(必 2c2)« 1

Ограничившись первым нетривиальным членом разложения, имеем н\}2 + е^,(87.6)

что при отсутствии магнитно! о поля (А =0) совпадает с обычным нерелятивистским гамильтонианом с точностью до аддитивной постоянной 浓Z

На основании выражения (87.5) нетрудно получить и релятивистское уравнение Гамильтона — Якоби для функции действия S. Для этого заметим, что [см. (86.5)]

叫=-九S・(87.7)

Поэтому подстановка (87.7) в (87.4) дает'

^V = ^S + ^ А^ (d^S +7 尸)=

=3 停 + 绅『-(vS-^Ay，(87 8)

т. е. релятивистское уравнение Гамильтона —兄&。6〃 для заряда в электромагнитном поле.

Задача 87.2. Исследовать методом Гамильтона ——»%/〃 движение электрона в кулоновском поле ядра с порядковым номером Z.

СИЛА РЕАКЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ

Как уже отмечалось выше, в уравнениях движения (85.5) учитывается лишь внешнее электромагнитное поле 尸从”， действующее на заряд е, но игнорируется поле излучения самого заряда. Иными словами, в этих уравнениях не учитывае1ся сила реакции излучения, которая в нерелятивистскодг случае, согласно (47.8), равна

FR-2e2ii/(3c3).(88.1)

В релятивистском случае, когда скорость частицы сравнима со скоростью света, это выражение должно быть обобщено и заменено 4-вектором /r, сводящимся к (88.1) лишь в пределе медленных движений.

Имея в виду, что всегда можно однозначно восстановить 4-вектор 5rr по его нерелятивистскому аналогу Fr, применив прямой метод (см. § 85), попытаемся выявить структуру релятивистской силы реакции излучения, наложив условие, чтобы в мгновенно сопутст^ вующей системе отсчета она имела компоненты

Г^ = (0, Fr).(88.2)

Из структуры Fr следует, что 犷r может зависеть лишь от характера движения заряда, но не от вида внешних сил. Иначе говоря, в 仔\ могут входить различные производные от U, но не выше второго порядка. Всем этим условиям, очевидно, удовлетворяет 4-вектор

/R』帯+畤+ 2，(88.3)

где а, р, у —некоторые скалярные функции, зависящие от dU/dt HUMе

Заметим теперь, что F r, как любой 4-век гор силы, должен удовлетворять условию (84.3)：

U 卩罗賞=0.(88.4)

Поэтому, подставляя (88.3) в (88.4), находим

叫『+13乙不+沙产=0.

Отсюда с учетом тождества (84.2) и вытекающего из него соотношения

d (口 dU「 dU从 dU@ t 〃 d2U乩 c

ЕщеЕщеодна возможная комбинацияодна возможная комбинация卅。心卅。心d%产/dr dT2d%产/dr dT2нами отброшена, такнами отброшена, так

Еще

Еще

одна возможная комбинация

одна возможная комбинация

卅。心

卅。心

d%产/dr dT2

d%产/dr dT2

нами отброшена, так

нами отброшена, так

как является псевдовектором.

получим

d2u@ = & d% dt/Udx2 с? dt dt

(88.5)

Таким образом, нам остается определить лишь две скалярные функции: а и (3. Воспользуемся для этого свойством нечетности 莎r при отражении времени:

^r (—七)=一跻r CO， (88.6) вытекающим из аналогичного свойства Fr. Для того чтобы структура (88.3) была согласована с (88.6), необходимо, чтобы функции а и 0 обладали следующими свойствами симметрии:

а(—т)=а(т)，р(— т) = — Р(т). (88.7)

Поскольку а и 0 можно строить только из U н dU/dx, то из (88.7) следует, что Р должно быть пропорциональным U乩dU@/dT=0, т. е. |3 = 0, а а может быть произвольной функцией от инварианта (dt//dT)2, который в нерелятивистском пределе сводится к —и2. Однако сравнение с (88.1) показывает, что в этом пределе а совпадает с постоянной 2?2/(3炉)，т. е. не может зависеть от и2. Таким образом, а = 2е2/(3сз)и с учетом (88.5) получаем окончательно

吋吋2е叫dz。*1 .少不气dUv2е叫dz。*1 .少不气dUv可 I dx2可 I dx2c2 \ dr drc2 \ dr dr(88.8)(88.8)

吋

吋

2е叫dz。*1 .少不气dUv

2е叫dz。*1 .少不气dUv

可 I dx2

可 I dx2

c2 \ dr dr

c2 \ dr dr

(88.8)

(88.8)

Задача 88.1. Получить формулу (88 8) прямым методом.

Теперь уже нетрудно записать и релятивистские уравнения движения заряда в электромагнитном поле с учетом силы реакции излучения. Для этого достаточно добавить 4-силу 犷r в правую часть уравнений Минковского (85.5):

(88.9)(88.9)〃 dU乩 е G”『.2e2「d2U" . U^ /dt/V]

(88.9)

(88.9)

Эти уравнения движения впервые были получены в 1938 г. английским физиком /7. А. М. Дираком и обычно называются клас- сическими уравнениями движения Дирака ~ Лоренца.

Задача 88.2. Показать, что скорость потерь энергии заряженной частицы на излучение является инвариантом и определяется формулой

(88.10)

В качестве полезного примера использования уравнений движения (88,9) рассмотрим^ задачу о синхротронном излучении, т. е. об излучении ультрарелятивистского заряда, движущегося в сильном магнитном поле В. В этом случае скорость заряда близка к скорости света, т. е. w ^ с и и“^|и|»с. В первом приближении примем, что заряд е движется по окружности некоторого радиуса R поперек магнитного поля В, а сила реакции излучения оказывает незначительное влияние на характер его движения, т. е. ее можно считать малой по сравнению с силой Лоренца.

Чтобы убедиться в обоснованности этого допущения, запишем в указанном приближении пространственную часть уравнений (88.9):Чтобы убедиться в обоснованности этого допущения, запишем в указанном приближении пространственную часть уравнений (88.9):^祟="|[ив].^祟="|[ив].(88.11)(88.11)Поскольку (UB) = 0 и для движения по окружности радиуса R|dU/dT| = |U|2//?,Поскольку (UB) = 0 и для движения по окружности радиуса R|dU/dT| = |U|2//?,то из (88.11) выводим標卜"=盘中.то из (88.11) выводим標卜"=盘中.(88.12)(88.12)Таким образом, энергия частицы оказывается связанной с радиусом орбиты соотношениемТаким образом, энергия частицы оказывается связанной с радиусом орбиты соотношениемЕ = ^lcU° ^ Me I U I = eRB.Е = ^lcU° ^ Me I U I = eRB.(88.13)(88.13)Оценим теперь | 衝r|. Дифференцируя (88.11) по т, находимОценим теперь | 衝r|. Дифференцируя (88.11) по т, находимd2U I еВ |dUd2U I еВ |dU(88.14)(88.14)Наконец, из уравнений (88.9), записанных в форме 历嚟=击①阮)，^^ = m[UB]十毋r,Наконец, из уравнений (88.9), записанных в форме 历嚟=击①阮)，^^ = m[UB]十毋r,(88.15)(88.15)следует, что отношенияследует, что отношения『品卜，』『品卜，』Id U。Ah II dU/dx IId U。Ah II dU/dx Iдолжны быть одного порядка малости, в (88.8) для 断r приближенно равнодолжны быть одного порядка малости, в (88.8) для 断r приближенно равноПоэтому второеПоэтому второеc〃ai аемоеc〃ai аемое一募u然X 一篇U]U,(联了и тем самым намного (в | U 附^ раз) превосходит первое一募u然X 一篇U]U,(联了и тем самым намного (в | U 附^ раз) превосходит первоеслагаемое,слагаемое,пропорциональное (88.14). В результате получается следующая оценка для интересующего нас отношения:пропорциональное (88.14). В результате получается следующая оценка для интересующего нас отношения:2©з I и |2 в2©з I и |2 в26263^е6- 3^2屋3^е6- 3^2屋2 в.2 в.(88.16)(88.16)

Чтобы убедиться в обоснованности этого допущения, запишем в указанном приближении пространственную часть уравнений (88.9):

Чтобы убедиться в обоснованности этого допущения, запишем в указанном приближении пространственную часть уравнений (88.9):

^祟="|[ив].

^祟="|[ив].

(88.11)

(88.11)

Поскольку (UB) = 0 и для движения по окружности радиуса R|dU/dT| = |U|2//?,

Поскольку (UB) = 0 и для движения по окружности радиуса R|dU/dT| = |U|2//?,

то из (88.11) выводим

標卜"=盘中.

то из (88.11) выводим

標卜"=盘中.

(88.12)

(88.12)

Таким образом, энергия частицы оказывается связанной с радиусом орбиты соотношением

Таким образом, энергия частицы оказывается связанной с радиусом орбиты соотношением

Е = ^lcU° ^ Me I U I = eRB.

Е = ^lcU° ^ Me I U I = eRB.

(88.13)

(88.13)

Оценим теперь | 衝r|. Дифференцируя (88.11) по т, находим

Оценим теперь | 衝r|. Дифференцируя (88.11) по т, находим

d2U I еВ |dU

d2U I еВ |dU

(88.14)

(88.14)

Наконец, из уравнений (88.9), записанных в форме 历嚟=击①阮)，^^ = m[UB]十毋r,

Наконец, из уравнений (88.9), записанных в форме 历嚟=击①阮)，^^ = m[UB]十毋r,

(88.15)

(88.15)

следует, что отношения

следует, что отношения

『品卜，』

『品卜，』

Id U。Ah I

I dU/dx I

Id U。Ah I

I dU/dx I

должны быть одного порядка малости, в (88.8) для 断r приближенно равно

должны быть одного порядка малости, в (88.8) для 断r приближенно равно

Поэтому второе

Поэтому второе

c〃ai аемое

c〃ai аемое

一募u然X 一篇U]U,(联了

и тем самым намного (в | U 附^ раз) превосходит первое

一募u然X 一篇U]U,(联了

и тем самым намного (в | U 附^ раз) превосходит первое

слагаемое,

слагаемое,

пропорциональное (88.14). В результате получается следующая оценка для интересующего нас отношения:

пропорциональное (88.14). В результате получается следующая оценка для интересующего нас отношения:

2©з I и |2 в

2©з I и |2 в

26

26

3^е6- 3^2屋

3^е6- 3^2屋

2 в.

2 в.

(88.16)

(88.16)

В частностн, для электрона

九 р IO"16 [£/Ис2)]2В,

т. е.九«1 для практически достижимых значений энергии электрона и индукции магнитного поля.

Подсчитаем теперь скорость энергетических потерь на излучение.

Согласно (88.15) и (88.16), имеем

一票=今(U版)=кeв = 羨2 0，

или в другой форме, с учетом (88.13), d£_2e2c / £ \4

Таким образом, скорость потерь энергии на синхротронное излучение пропорциональна четвертой степени энергии заряженной частицы .

Практически важным показателем являются относигельные потери энергии частицы на излучение за один оборот:

一竿=一^ 響= 2М = /(爲(88.18)

В частности, для электрона с энергией Е = 10 「зВ в магнитном поле с индукцией В = Ю4 Гс имеем

—АЕ/Е 弋 10-162л [Е/(о4с2)]2В а 2,5・ 10'3,

т. е. относительные потери энергии на излучение составляют 0,25% на o6opoi.'

ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС

В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Глава8Глава8И РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКЕ

Глава

8

Глава

8

В этой главе мы дадим релятивистскую формулировку законов сохранения энергии и импульса для электромагнитного поля, для системы зарядов, взаимодействующих посредством электромагнитного поля, и для произвольной системы взаимопревращающихся материальных частиц.

§ 89. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Начнем- с релятивистской формулировки теоремы Пойнтинга, рассмотренной в § 14 в трехмерном виде. Введем 4-вектор f плотности силы Лоренца, положив

产=/1月内儿. (89.1)

Подробно расписав это выражение, убеждаемся, что 4-вектор f имеет следующие компоненты:

fu={(jE)/c, рЕЧ-[jB]/c)} = (q/c, f), (89.2) т. е. его временная часть пропорциональна плотности тепловой мощности g = (jE), выделяющейся в проводниках с током, а пространственная часть совпадает с плотностью силы Лоренца f, действующей со стороны электромагнитного поля на распределенные заряды и токи.

Преобразуем теперь выражение (89.1) с помощью уравнений Максвелла ——Лоренца. Полу-

чая из (79.2)чая из (79.2)имеемимеем产=昴尸。，fv = ^FvJa-^Fvad^,产=昴尸。，fv = ^FvJa-^Fvad^,или после тождественного преобразования4n& = % (人“尸^ 一 尸皿или после тождественного преобразования4n& = % (人“尸^ 一 尸皿(89.3)(89.3)Перестановка немых индексов 仪二卩 с учетом антисимметрии 尸乩“ позволяет привести второе слагаемое в (89.3) к виду尸殴九八" =尸*^ (九八" +%凡”)2Но ［см. (79.7)］^U^va + 九尸以” Н - 0v尸aц, = 0期尸ца,Перестановка немых индексов 仪二卩 с учетом антисимметрии 尸乩“ позволяет привести второе слагаемое в (89.3) к виду尸殴九八" =尸*^ (九八" +%凡”)2Но ［см. (79.7)］^U^va + 九尸以” Н - 0v尸aц, = 0期尸ца,так чтотак что川飞凡a =戸叼/皿/2 以俨叩如)/4.В результате соотношение (89.3) принимает вид 九一九然，где введен тензор 6 с компонентами川飞凡a =戸叼/皿/2 以俨叩如)/4.В результате соотношение (89.3) принимает вид 九一九然，где введен тензор 6 с компонентами(89.4)(89.4)(89.5)(89.5)важным свойством которого является исчезающий следSp0-0*t = °-Для дальнейшего будет более удобным перейти в (89.4) травариантным компонентам广二一%6Rважным свойством которого является исчезающий следSp0-0*t = °-Для дальнейшего будет более удобным перейти в (89.4) травариантным компонентам广二一%6R(89.6)-к кон-(89.6)-к кон-(89.7)(89.7)гдегде®"V =—亲伊а尸Bgap _ } g『М尸爾］.Очевидно, что тензор 0 симметричен, т. е. @乩"=@叫 его отдельные компоненты:6。=急(Е2 + В) 9" = Н" 亲［ЕВ］；,⑶—亲［丄以+ BzBft —у 6Zft (Е2+ B2)j .®"V =—亲伊а尸Bgap _ } g『М尸爾］.Очевидно, что тензор 0 симметричен, т. е. @乩"=@叫 его отдельные компоненты:6。=急(Е2 + В) 9" = Н" 亲［ЕВ］；,⑶—亲［丄以+ BzBft —у 6Zft (Е2+ B2)j .(89.8)(89.8)РаспишемРаспишем(89.9)(89.9)

чая из (79.2)

чая из (79.2)

имеем

имеем

产=昴尸。，

fv = ^FvJa-^Fvad^,

产=昴尸。，

fv = ^FvJa-^Fvad^,

или после тождественного преобразования

4n& = % (人“尸^ 一 尸皿

или после тождественного преобразования

4n& = % (人“尸^ 一 尸皿

(89.3)

(89.3)

Перестановка немых индексов 仪二卩 с учетом антисимметрии 尸乩“ позволяет привести второе слагаемое в (89.3) к виду

尸殴九八" =尸*^ (九八" +%凡”)2

Но ［см. (79.7)］

^U^va + 九尸以” Н - 0v尸aц, = 0期尸ца,

Перестановка немых индексов 仪二卩 с учетом антисимметрии 尸乩“ позволяет привести второе слагаемое в (89.3) к виду

尸殴九八" =尸*^ (九八" +%凡”)2

Но ［см. (79.7)］

^U^va + 九尸以” Н - 0v尸aц, = 0期尸ца,

так что

так что

川飞凡a =戸叼/皿/2 以俨叩如)/4.

В результате соотношение (89.3) принимает вид 九一九然，

где введен тензор 6 с компонентами

川飞凡a =戸叼/皿/2 以俨叩如)/4.

В результате соотношение (89.3) принимает вид 九一九然，

где введен тензор 6 с компонентами

(89.4)

(89.4)

(89.5)

(89.5)

важным свойством которого является исчезающий следSp0-0*t = °-

Для дальнейшего будет более удобным перейти в (89.4) травариантным компонентам

广二一%6R

важным свойством которого является исчезающий следSp0-0*t = °-

Для дальнейшего будет более удобным перейти в (89.4) травариантным компонентам

广二一%6R

(89.6)

-к кон-

(89.6)

-к кон-

(89.7)

(89.7)

где

где

®"V =—亲伊а尸Bgap _ } g『М尸爾］.

Очевидно, что тензор 0 симметричен, т. е. @乩"=@叫 его отдельные компоненты:

6。=急(Е2 + В) 9" = Н" 亲［ЕВ］；,

⑶—亲［丄以+ BzBft —у 6Zft (Е2+ B2)j .

®"V =—亲伊а尸Bgap _ } g『М尸爾］.

Очевидно, что тензор 0 симметричен, т. е. @乩"=@叫 его отдельные компоненты:

6。=急(Е2 + В) 9" = Н" 亲［ЕВ］；,

⑶—亲［丄以+ BzBft —у 6Zft (Е2+ B2)j .

(89.8)

(89.8)

Распишем

Распишем

(89.9)

(89.9)

(89.10)(89.10)Таким образом, тензор 0 имеет следующую пространственновременную структуру:

(89.10)

(89.10)

где w — плотность энергии электромагнитного поля, S — вектор Пойнтинга, g = S/c2 — плотность импульса электромагнитного поля, t — тензор натяжений Максвелла. В связи с такой структурой тензор 0 получил название тензора энергии ——импульса электромагнитного поля.

Разделяя убеждаемся, соотношенийРазделяя убеждаемся, соотношенийвременную н пространственную части уравнения (89.7), что оно является ковариантной записью известных (13.4) и (14.6):

Разделяя убеждаемся, соотношений

Разделяя убеждаемся, соотношений

产=—dghjdt + ①尸匕 g = — dw/dt — div S,

анализ которых позволил нам в свое время выяснить физический смысл о, g, S м Tlk. Повторим теперь те же рассуждения, но уже в четырехмерной ковариантной форме.

Допустим, что источниками электромагнитного поля являются движущиеся заряженные частицы, сосредоточенные в некоторой ограниченной области V и обладающие полным 4-импульсом

盼乳)=(&m，C, P(mJ*

Тогда теорему живых сил иТогда теорему живых сил изарядов можнозарядов можнозаписать в видезаписать в видевторой закон Ньютона для системывторой закон Ньютона для системы

Тогда теорему живых сил и

Тогда теорему живых сил и

зарядов можно

зарядов можно

записать в виде

записать в виде

второй закон Ньютона для системы

второй закон Ньютона для системы

(89.11)(89.11)=“V W.

(89.11)

(89.11)

Однако эта запись не является релятивистски ковариантной. Чтобы сделать ее таковой, введем понятие центра масс системы зарядов, который движется как материальная точка с собственной массой М =(隽乩(Е)夕[к))】" с-1, равной собственной массе системы, и 4-импульсом У\т)・ 4-скорость центра масс, очевидно, равна U — =沙馬施、и поэтому можно считать известной мировую линию центра масс хц (т), параметрически определяемую его собственным временем т.

Построим теперь гиперплоскость а (т) с нормалью n^U/c, т. е. ортогональную мировой линии центра масс. Если dx^ — элемент этой мировой линии, а ёац —элемент гиперплоскости а (т), то [см. (74,8) и (74.11)] элемент 4-объема dQ можно представить в виде

(89.12)(89.12)dQ = cd/dU = dx" бац = cdxda.

(89.12)

(89.12)

Вспоминая, что dr = d/ (1 —и2/^)1^, где и——скорость центра масс, из (89.12) выводим

d(y = dlZ(l—〃2/喲72.(89.13)

Таким образом, чтобы получить ковариантную формулировку уравнения (89. ] 1), достаточно поделить его на (1 — u2/c2)V2；

(89.14)

Проинтегрируем уравнение (89.14) по т от момента т〔 до момента т2, которым соответствуют гиперплоскости и〔 и % (рис. 89.1), и учтем соотношения (89.7) и (89.12). В результате получим

^т, Ы- ^ym)[aj = lpvdQ = __LJ d(i0)lv dQ, (89.1：)

где Q —4-объем, заключенный между гиперплоскостями ат и G?. Если считать, что в промежутке времени т2 — ^ электромагнитнс е поле сосредоточено в некоторой ограниченной области пространства *, то по теореме Гаусса — Остроградского (74.14) имеем

(89.16)(89.16)§ дц0Цг，(1Q = ^ 0^ бац — § ®4* бац,

(89.16)

(89.16)

Qа201

поскольку вклад гиперповерхности, замыкающей 4-объем Q на пространственной бесконечности, равен нулю.

Подставляя (89,16) в (89.15), получаем

^m)[^] + 4 j 6内 d^ =今結」。/ + 4 J ®“” d。屮(89.17)

т. e. 4-вектор

0

не зависит от выбора пространственно-подобной гиперплоскости а и, следовательно, сохраняется во времени. В связи с этим равен

ство (89.17) естественно интерпретировать как закон сохранения энергии — импульса системы 《источники + электромагнитное поле», а 4-вектор

^^f) [aj^l Jo^dCTu (89.18)

рассматривать как 4-импульс электромагнитного поля. Выбирая гиперплоскость а ортогональной оси Х°, получим

公％ = ^ j ®°、'dU, (89.19)

т. е. 4-вектор 夕％ = (Еус, Pf) имеет следующие компоненты:

(89.20)(89.20)Е\= ^ w(\V ~Wt Р( — ^ g dV^ = G.

(89.20)

(89.20)

Задача 89.1. Показать, что ^-вектор 少(力 является времениподобным или изотропным.

Обратим внимание на неоднозначность выбора тензора энергии — импульса электромагнитного ноля 0. В самом деле, если рассмат-

Системы с такими свойствами обычно называют островными.

ривать (89.7) как уравнение относительно 6“" при заданном fv, то наряду с тензором 0, определяемым формулой (89.8), этому уравнению будет удовлетворять и всякий другой тензор вида

百收 _ qhv + %х砌”，・(89.21)

если Х“к” = —Х^а”. Справедливость этого утверждения вытекает из очевидного тождества д^даХ^ = 0.

Задача 89.2. Показатьу что преобразование (89.21) ле меняет величину 4-импульса (89.19) для островной системы.

Отмеченное обстоятельство имеет общий характер и присуще релятивистской теории поля (а не только электродинамике). Это объясняется тем, что в релятивистской теории поля закон сохранения энергии — импульса описывается уравнением типа (89.4), допускающим калибровочное преобразование (89.21). Обычно это преобразование используется для симметризации тензора энергии —— импульса, если первоначально найденный тензор 0 этим свойством не обладает. При этом для замкнутой системы полей всегда можно подобрать такой вспомогательный тензор Х""”, что будет справедливо равенство @^ = @皿(см. § 95).

Однако построенный нами тензор (89.8) уже является симметричным, поэтому отпадает необходимость в выборе вспомогательного тензора X"叫 Оказывается, можно строго показать, что симметричные тензоры 0 не допускают калибровочного преобразования (89.21) и, таким образом, определяются однозначно. Для доказательства воспользуемся следующим простым алгебраическим результатом.

Задача 89.3. Показать, что тензор третьего ранга Xa^v, антисимметричный по первым двум индексам и симметричный по последним, тождественно равен нулю.

Таким образом, мы приходим к выводу, что требование симметрии тензора энергии — импульса определяет его однозначно. Остается лишь выяснить, на чем основано само это требование. Как было установлено в задаче 13.2, требование симметрии тензора натяжений Максвелла Tlk = Tki вытекает из закона сохранения момента импульса, поэтому остается доказать только равенство @以=6『°, или в векторной форме

g = S/*(89.22)

известное как теорема Планка.

Задача 89.4. Доказать теорему Планка, исходя из симметрии тензора натяжений Максвелла.

Нетрудно видеть, что по своему физическому смыслу теорема Планка является выражением эквивалентности энергии и массы для электромагнитного поля. Это особенно ясно при сравнении (89.22) с релятивистским соотношением

Р-£и/с2,(89.23)

вытекающим из (84.12) и (84.13). 270

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ МАССЫ

Тот замечательный факт, что электромагнитное поле обладает энергией и импульсом, составляющими 4-вектор

叭i)=灯-(90.1)

а

привел многих физиков и, в частности, первооткрывателя электрона Дж. Дж. Томсона к заманчивой и простой идее об электромагнитном происхождении массы электрона . Качественно электромагнитный механизм появления инертных свойств у электрона действительно выглядит очень просто: если неподвижный электрон окружен только электрическим полем, то движущийся — еще и магнитным, на создание которого необходимы некоторые затраты энергии. Однако более пристальный анализ проблемы показывает, что чисто электромагнитное объяснение массы электрона все же невозможно. Причин для этого несколько.

Прежде всего для вычисления электромагнитной массы электрона необходимо рассмотреть конкретную его модель, т. е. задать распределение зарядов и токов внутри электрона. В простейшей статической модели электрона, предложенной Г. Лоренцем и М. Абра- гамом, р = р (г), j = 0, т. е. распределение заряда считается сферически симметричным . Однако ясно, что отдельные элементы такого электрона, будучи одинаково заряженными, должны расталкиваться и для их сдерживания необходимо вводить какие-то дополнительные силы неэлектромагнитного происхождения. Очевидно, эти сдерживающие силы должны иметь какой-то материальный носитель, т. е. кроме электромагнитного должно существовать по крайней мере еще одно поле, взаимодействие которого с электромагнитным и приводит к появлению сдерживающих сил. Но всякое материальное поле обладает 4~импульсом 盼(由” дающим вклад в полный 4-импульс системы 个= 5、(т)+护⑴.

С отмеченным обстоятельством связана и другая трудность электромагнитной теории массы. Именно: при вычислении электромагнитного 4-импульса (90.1) обнаруживается, что результат зависит от выбора гиперплоскости интегрирования а, т. е. не является однозначным. Чтобы понять причину неоднозначности, достаточно проинтегрировать уравнение (89.7) по некоторому 4-объему 0, заключенному между двумя пространственно-подобными гиперповерхностями а, и а2 (рис.

, и преобразовать интеграл в поверхно-рИс. 90.1

стный с помощью теоремы Гаусса — Остроградского. В результате, предполагая островной характер системы, найдем

，广dQ = § ®uv dO"_, ®uvd01v(90.2)

60102

Отсюда, поскольку 广暖 0, и вытекает, что электромагнитный 4-импульс 货(八 в общем случае зависит от выбора гиперповерхности интегрирования а.

Однако указанный недостаток легко устраняется, если ввести вспомогательное поле, обусловливающее сдерживающие силы. Сопоставляя этому полю тензор энергии — импульса 0(т) и 4-импульс

^m, = 4J0->dCTn.(90.3)

можно определить сдерживающие силы равенством 脸6卩=亠广 и по аналогии с (89.7) положить■

唸ер = — %®院=一产(90-4)

Подставляя (90.4) в (90.2) и применяя теорему Гаусса —Остроградского (74.14), находим

，7^^"=，?收也"，(90.5)

где введен полный тензор энергии — импульса системы t ^ 0(т) + 0, согласно (90.4) и (89.7) удовлетворяющий дифференциальному закону сохранения

九小” = 0.(90.6)

Равенство (90.5), вытекающее из (90.6) в предположении островного характера системы, известно как теорема Беккера. Оно выражает закон сохранения полного 4-импульса системы

5>v = ^m)+^f)=4f7，tlv dcJix(90.7)

и независимость последнего от выбора поверхности интегрирования а. В частности, считая и гиперплоскостью а0, ортогональной оси Х°, получаем обычно используемое выражение для 4-импульса:

(90.8)(90.8)夕” =^ j 丁。~ dlZ = ； § (@端 + 0OV) dV.

(90.8)

(90.8)

Таким образом, на основании теоремы Беккера указанное выше противоречие разрешается.

Между тем, если не вводить сдерживающие силы, но условиться о выборе единственной поверхности интегрирования а, например гиперплоскости а0, ортогональной к оси Х°, то противоречие все же возникнет [и вновь в связи с уравнением (90.2)]. Чтобы лучше понять причину этого, полезно сначала ознакомиться с двумя распространенными точками зрения на преобразования Лоренца.

Пусть некоторый объект £) описывается набором физических величин Х = {4, 8, С, ...являющихся компонентами некоторых 4-тензоров. При преобразовании Лоренца набор X перейдет в новый набор Х，= {4‘, В\ С\ ...}, являющийся некоторой функцией старого. Возникающие при этом отношения между наборами X, X’ и объектом О могут рассматриваться с двух различных точек зрения, отождествление которых приводит к принципу относительности

Пассивная точка зрения, или точка зрения двух наблюдателей, рассматривает наборы X н X' как соответствующие одному и тому же объекту О, описываемому двумя разными наблюдателями из своих систем отсчета 2 и 2\ Таким образом, получается соответствие

Активная точка зрения, или точка зрения одного наблюдателя, рассматривает наборы X и X' как соответствующие двум тождественнЪ1М объектам D и £)\ находящимся в рау1ичных состоя hfihx и описываемым из одной системы отсчета 2. В этом случае имеем соответствие

Н /

В первом подходе преобразования Лоренца, связывающие наборы X и X', осуществляют лишь <(перевод)> физических величин с языка наблюдателя в £ на язык наблюдателя в S\ При этом уравнения для X также должны «переводиться» с одного языка на другой и форма их при этом может существенно меняться. Лишь с принятием принципа относительности, который в данном случае является дополнительным постулатом, из всех возможных уравнений отбираются те, форма которых при преобразованиях Лоренца остается неизменной.

Во втором же подходе вследствие тождественности объектов Q и О' наборы X н X’ должны соответствовать разным решениям одних и тех же уравнений. Таким образом, активная точка зрения предполагает, что преобразования Лоренца образуют группу инвариантности исходных уравнений, т. е. переводят одно их возможное решение в некоторое другое возможное же решение. Преобразования с такими свойствами были хорошо известны в физике еще до создания теории относительности. Классическим их примером являются канонические преобразования в механике, переводящие один возможный набор канонических переменных Х = {д, р; /, "}, подчиняющихся уравнениям Гамильтона с гамильтонианом // = —Я (/, д, р), в другой возможный набор канонииеских переменных X' = {“，“； f, Н\ также подчиняющихся уравнениям Гамильтона, но с новым гамильтонианом Н' = Н，«', д', р‘). Можно сказать, что

Bargmann И. Relativity — Reviews of Modern Physics, 1957, 29, p. 161.

с активной точки зрения, одним из ярких представителей которой был Лоренц, преобразования Лоренца рассматриваются как особого рода канонические преобразования, выделенные из всех других своей универсальностью.

Поскольку при активном преобразовании Лоренца система отсчета остается неизменной и физический смысл придается лишь нспреобразованным координатам и времени, то становится понятной ошибочность широко распространенного мнения о том, что активная точка зрения содержит в себе принцип относительности Эйнштейна. На самом же деле последний предполагает единство активной и пассивной точек зрения, когда преобразованным пространственно-временным координатам придается такой же физический смысл, как и непреобразованным.

Вернемся теперь к электромагнитной теории массы, ограничившись статической моделью электрона и приняв, что при вычислении 4-импульса (90.1) выбирается фиксированная гиперплоскость а0, ортогональная оси Х°. Очевидно, такой выбор соответствует активной точке зрения на преобразования Лоренца, когда система отсчета остается неизменной, а преобразуются “лишь полевые величины, т. е. 6乩”.Покажем, что так определенные компоненты 4-импульса

(90.9)(90.9)

(90.9)

(90.9)

не образуют 4-вектор . В самом деле, если считать, что 4-импульс (90.9) соответствует движущемуся электрону, то для неподвижного электрона

落g = 4 f 6'°v (r) diz.

или после переобозначения переменных интегрирования (г 一 г')

，芯=4"『®'”(CdH 三!/ ®'“v(x')d0G (90.10)

Напомним, что (т0 — гиперплоскость, ортогональная оси Х'°. Отсюда, используя тензорный закон преобразования Э'^ и do] через 6as и daa, находим

先 Q=^§A證a6(x)doa, (90.11)

где А —матрица Лоренца, а гиперплоскость и связана с и。 преобразованием Лоренца. Сравнивая (90.11) с (90.9), убеждаемся, что правильный закон преобразования 5\# = А§乎％ получается лишь

в случае, когда

，@"vdO"=\ 刖V*".(90.12)

ао0

Анализируя это соотношение в рамках статической модели электрона, немецкий физик М. Лауэ пришел к утверждению, ставшему известным как теорема Лауэ, которую можно сформулировать следующим образом.

Для того чтобы электромагнитный 4-импульс Z%, вычисленный для статической додели электрона 几。формуле (90.9), преобразовывался как 4-вектор при активных преобразованиях Лоренца, &е- 'обходимо 〃 достаточно, чтобы в собственной системе отсчета электрона выполнялись условия

J 0«dI/ = O.(90.13)

Задача 90.1. Доказать теорему Лауэ, опираясь на соотношения (90.2) [и (90.12).

Однако из существования нулевого следа у тензора энергии — импульса электромагнитного поля з

о左= е； + ®；=— £ ®・『+5=о

вытекает, что в любой электромагнитной модели электрона з

2 , ®〃 dV = J dV > 0,

т. е. условия теоремы Лауэ не выполнены. Поэтому компоненты электромагнитного 4-импульса ?&), вычисленные для движущегося электрона, не удовлетворяют правильному релятивистскому соотношению (89,23).

Задача 902 Вычислить 少% в моделях электрона Абрагама и Лорен ца. Убедиться в нарушении соотношения (89.23).

Итак, мы убедились, что электромагнитная теория массы без введения сдерживающих сил противоречива. Впервые в рамках статической модели электрона сдерживающие силы были введены А. Пуанкаре, когорый-j по аналогии с гидродинамикой, предложил записывать их в виде

度呻=-0佟院(90.14)

При этом в собственной системе отсчета электрона

0^ = diag[O, р, р, р],(90.15)

где р —давление Пуанкаре, Таким образом, в собственной системе сдерживающая сила равна fCAep= — Vp и условие равновесия имеет вид

рЕ —V" = 0.рЕ —V" = 0.(90.16)

рЕ —V" = 0.

рЕ —V" = 0.

275

Переписав (90.16) в произвольной системе отсчета как /” = =__ f^^ получаем дифференциальный закон сохранения энергии —— импульса

(@乩” + 0^) = д^ = 0. (90.17)

Таким образом, полный тензор энергии-импульса t = ©4-0Р удовлетворяет условиям теоремы Беккера, что позволяет записать полный 4-импульс в - виде

盼"=盼抬+少吕二^父它^ 十日肾^匕(90.18)

Вычисляя его в собственной системе электрона, где Р = 0, находим собственную энергию £0 электрона, которая вследствие (90.15) оказывается совпадающей с -электростатической энергией:

Ео = J Г"» dV = J 0-00 dl/ = ^_ ^ Е2 dV/_(90.19)

Представляя электрон в виде шарика радиуса а, заряженного по поверхности зарядом % имеем

旦= е2/&),'(90.20)

что позволяет вычислить собственную массу электрона:

^ =旦便=發/(2國2).(90.21)

Обратно: задавшись собственной массой 必 с помощью (90.21) можно получить характерный размер'

г()не%历炉)2,8-10-S см,(90.22)

условно называемый электромагнитным радиусом электрона.

Очевидно, в произвольной системе отсчета, в которой электрон имеет 4-скорость U, в соответствии с (90.18) и (90.21) полный 4-импульс электрона может быть записан в виде

彳=夕⑺ 4-，俨p = MU = 8u/(2就2).~ (90.23)

При этом помимо электромагнитного 4-им пульса ?(力 существенный вклад в 驴 дает 4-импульс 夕р, обусловленный давлением Пуанкаре. В соответствии с вышесказанным каждый из этих 4-импульсов порознь не является 4-вектором относительно активных преобразований Лоренца — таковым является лишь полный 4-импульс. Что же касается собственной массы электрона (90.21), то в схеме Пуанкаре она является чисто электромагнитной.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

И ИМПУЛЬСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ И ПОЛЕЙ

В предыдущих параграфах мы получили законы сохранения энергии и импульса для системы зарядов, взаимодействующих посредством электромагнитного поля. Рассмотрим теперь произвольную совокупность частиц, взаимодействующих посредством некоторой 276

системы полей, которой, по аналогии с электромагнитным случаем, припишем тензор энергии — импульса 6(力 такой, что плотность 4-силы f”, действующей на. частицы со стороны полей, оказывается равной

(91.1)

Если, с другой стороны, по аналогии с (90.14), эту плотность 4-силы представить в виде дивергенции некоторого «материального» тензора 0(т), то для полного тензора f = ^(f)+©(m)> очевидно, справедливо равенство

ацТ^ = О.(91.2)

В таком случае выполняются условия теоремы Беккера, что позволяет записать сохраняющийся полный 4-импульс в виде

今V = ^_ § T°v dtz = 3 §(®需 + 6程J dK(91.3)

Обычно в полном 4-импульсг выделяют 4-импульсы отдельных материальных частиц 守(〃)и 4-импульс полей ?(», полагая

0 = §落”) + 落"，(91-4)

или в компонентах:

E = 2£„ + £f,(91.5)

P = ?P“ + Pf，-(91.С)

где Ел —энергия 几-й частицы; Рп —ее трехмерный импульс; Е『и Pf —соответственно энергия и трехмерный импульс полей, переносящих взаимодействие.

Производя такое разбиение полного 4-импульса, следует помнить (см. § 90) что каждый из 4-импульсов 驴(喲 или 彳⑴ в отдельности, вообще говоря, уже не является 4-вектором в отличие от полного 4-импульса 5V 4-векторами они будут лишь в случае, когда частицы практически не взаимодействуют друг с другом и с рассматриваемой системой полей. В самом деле, только тогда каждую частицу можно окружить некоторой замкнутой поверхностью Sn, в точках которой выполнено равенство

少=0.(91.7)

Нетрудно видеть, что условия (91.7) и (91.2) эквивалентны условиям теоремы Беккера, поэтому можно определить 4-импульс частицы как

т. е. произвести интегрирование по объему Vn. ограниченному поверхностью Sn. Из той же теоремы Беккера следует, что компоненты ^п)образуют 4-вектор, т. е. справедливо соотношение (89.23).

Аналогично строится и 4-импульс полей, переносящих взаимодействие:”

где Vf — все пространство за вычетом областей Vn. Очевидно, что компоненты 少％)также образуют 4-вектор.

Указанные выше условия (91.7) можно считать всегда выполненными в реальных физических экспериментах с элементарными частицами. В этих экспериментах обычно изучается взаимодействие частиц, выводимых из ускорителя, с частицами неподвижной мишени. Сам процесс взаимодействия падающих частиц с мишенью занимает ничтожные доли секунды, а большую часть времени частицы находятся в свободном состоянии. Поэтому если рассматррь вать состояния нашей системы частиц лишь в моменты времени, достаточно отдаленные от момента непосредственного взаимодействия (т. е. рассматривать либо сближение частиц, либо их разлет), то все частицы можно считать практически невзаимодействующими. Такие состояния принято называть асимптотически свободными.

Каждой системе взаимодействующих частиц можно сопоставить инвариантную сохраняющуюся ^величину — собственную массу этой системы'

历=3 (今駿个/2 = & [(下邑 + А ) 2 - d ( JР” + " У『"•(9 1.8)

Если же состояние асимптотически свободно, то можно определить и собственные массы поля и отдельных частиц：

^=.±(Е]-с^1\ 必=% (母一С叩力/2.(91.9)

Нетрудно убедиться, что имеет место неравенство

■+(91.10)

выражающее неаддитивность собственной массы, т. е. несовпадение собственной массы системы с суммой собственных масс составляющих ее частей.

Для доказательства неравенства (91.10) выберем систему отсчета, связанную с центром масс системы частиц (коротко — система центра масс), в которой Р = 0. Тогда собственная масса с^гстемы равна

= 2 必％ + Ef/M,(91.11)

где у„ = (1 — р^)~1/2, фп = ип — скорость 几•济 частицы в системе центра масс. Отсюда с учетом очевидных неравенств 丫〃》1 н £\》崛後 и следует (91.10).

278

В современной теории элементарных частиц каждому полю сопоставляются особые частицы — кванты этого поля (в частности, электромагнитному полю сопоставляются фотоны ——кванты света). Предполагая кванты поля асимптотически свободными, можно произвести разбиение: .

и таким образом свести систему частиц, взаимодействующих посредством поля, к совокупности свободных частиц. В этом случае неравенство (91.10) принимает вид

(91.12)

где ^t — собственные массы асимптотически свободных частиц, включая и кванты поля .

Так как скорость фотона 〃 = & то убеждаемся с помощью (89.23), что для него

(91.13)(91.13)Р = Ей/с2 = Es/c；

(91.13)

(91.13)

где s —единичный вектор, направленный вдоль импульса фотона. Следовательно, собственная масса отдельного фотона равна нулю:

(91.14)

Поэтому для совокупности фотонов неравенство (91.12) принимает вид

(91.15)(91.15)^>0,

(91.15)

(91.15)

т. е. собственная масса произвольного поля излучения, вообще говоря, отлична от нуля, хотя собственные массы отдельных фотонов, составляющих это поле, равны нулю. Этот результат легко понять, если с учетом (91.13) записать собственную массу совокупности фотонов ;

/%[(А 广佯％)у

(91 16)

Это выражение равно нулю только в случае, когда все векторы sz одинаково направлены, т. е. все фотоны движутся в одном направлении. В общем же случае произвольно движущихся фотонов (szsft) < 1 И о< > 0.

Задача 91.1. Частица с массой 战、налетает на неподвижную частицу с массой ^& （мишень）, и 8 результате их столкновения рождаются частицы с массами 历《卢0 （，=1, 2, ...）, т. е. идет, реакция 蹤1 +历2 ~^二必；.Найти порог реакции Т。, т. е. минимальную кинетическую энергию налетающей частицы, при которой данная реакция может идти.

Задача 91.2. При описании реакций типа 历工十/^—>Мз十必4 удобно использовать инвариантные переменные Мандельстама

S=（，I十少2）2,/仍一73）2,〃=（九一？炉.

4

Показать, что они удовлетворяют тождеству $十£十〃 =2 必/匸纟,

6 свою очередь эквивалентному тождеству

回回 1-（%73） -（少杼 3） = （例：一必:一必^-0^）。2 ⑵（91.17）

Задача 91.3, Найти порог реакции 历i + g^? ^^g/i + Y，в ко

торой рождается фотон у с энергией Е и частицы с массами 必;户 0.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Изучим более подробно релятивистский закон сохранения энергии для системы частиц и полей, выражаемый равенством （91.5）:

.?E“ + £f = E = const.（92.1）

Чтобы выяснить физический смысл входящих сюда величин, запишем А в нерелятивистском приближении, полагая 6〃«1・

У?” =W%d（l —圜-1/2л；¥（必i十必"力 2）.（92.2）

Что касается полевой энергии ，*, то ее всегда можно представить в виде энергии взаимодействия источников, если предварительно выразить поля через источники, решив уравнения поля. Поэтому в нерелятивистском4 приближении полевая энергия £f переходит в потенциальную энергию U взаимодействия частиц, как это имеет место, например, в электродинамике в квазистационарном случае （см. § 51） и как это видно из выражения （87.6） для гамильтониана заряда во внешнем электромагнитном поле. Таким образом, в нерелятивистском приближении

Е = £ ^d + （£ 必〃,；/2 +。）Е 2 必，+ £“ер,（92.3）

п\ пл

где £неР —обычная нерелятивистская энергия системы взаимодействующих частиц.

Отсюда следует, что если не наблюдается превращений частиц друг в друга, т. е. £必“ остается неизменной, то в нерелятивист- с ком приближении справедлив обычный закон сохранения энергии: 280

£нер = const. Однако в том случае, когда наблюдаются взаимопревращения частиц, 2^и может измениться и закон сохранения энергии должен формулироваться в виде (92.3).

Учитывая все сказанное, в релятивистском случае удобно ввести понятие активной энергии

8 三 Е — цс2,(92.4)

где ц = 2°^/ (все поля заменяются соответствующими частицами —— квантами поля). Нетрудно видеть, что в нерелятивистском приближении при отсутствии превращений частиц активная энергия играет роль полной энергии и в различных макроскопических процессах именно она переходит в тепловую энергию. В связи с этим активную энергию вполне обоснованно можно назвать энергией в термодинамическом смысле.

При превращениях частиц активная энергия изменяется на величину

△(^ — — △卩 с2,(92.5)

называемую энергетическим выходом реакции. Таким образом, всякое уменьшение с уммы собственных энергий системы частиц сопровождается увеличением активной энергии, Этот закон порождения активной энергии системы за счет собственных энергий составляющих ее частиц лежит в основе всей ядерной энергетики. Для его иллюстрации обратимся к некоторым простейшим примерам.

Начнем с наиболее важной в практическом отношении ядерной реакции деления, которая осуществляется в топках атомных электростанций — атомных реакторах. Эта реакция происходит следующим образом. Ядро урана-235, поглощая медленный нейтрон, переходит в короткоживущее ядро урана-236, которое делится на два тяжелых ядра-осколка, испуская при этом два-три нейтрона. Например, если испускаются два нейтрона и образуются ядра стронция-94 и ксенона-140, эта реакция записывается следующим образом:

口 +?35U — 23bU 一 84Sl' + 】4QXe + 2n.

Применяя формулу (92.5), для энергетического выхода реакции получаем выражение

△8 =炉(с^и—历Sr — °^Xe —必n)(92.6)

Формулу (92.6) можно упростить, если ввести понятие энергии связи ядра Е°в, которая только знаком отличается от активной энергии ядра, рассматриваемого как совокупность нуклонов. Tav, если ядро имеет атомный номер Л и состоит из Z протонов и A — Z нейтронов, то его энергия связи равна

Е* —(^ д = [o^pZ + о^п (4 — Z)] с2 — о^дС2,(92.7)

где 历р и о^п — собственные массы протона и нейтрона соответственно. С помощью (92.7) формулу (92.6) можно привести к прак-

тически более удобному виду:

Л(^ = S\J — S Sr — ^Xe・(92.8)

Используя опытные данные по энергиям связи интересующих нас ядер 产(1746 МзВ), 94Sr(799 МэВ), 140Хе(1141 МэВ)], для активной энергии, выделяющейся в урановом котле при каждом акте деления, находим △忠^ ] 94 МэВ

В качестве второго простейшего примера рассмотрим реакцию аннигиляции электрона и позитрона, т.. е. их превращение в два фотона:

е~ + е+ 2?

Очевидно, Ац = — 2必^ так как фотон не имеет собственной массы Таким образом, выделяющаяся активная энергия равна

△^ = 2吸炉。1 МэВ(92.9)

Часто в физической литературе процесс порождения активной энергии при превращениях частиц, сопровождающихся изменением суммы их собственных масс, называют «превращением массы в энергию». Однако подобная терминология не выражает содержания данного процесса и может привести лишь к ошибочным философским выводам о якобы исчезающей материи или уничтожимом движении.

На самом деле во всех таких процессах не изменяется ни релятивистская энергия Е, ни релятивистская собственная масса системы 掀、 т. е. никаких превращений массы в энергию не происходит. Если все же процесс порождения активной энергии обозначать термином «превращение», то можно лишь говорить о превращении скрытой внутренней энергии системы е ее активную форму. Мерой скрытой внутренней энергии системы является при этом сумма собственных энергий отдельных составных частей системы.

Задача 92.1. Фотонный звездолет массы 现、работающий на реакции е+ + &1 —► 2?, имеет параболический отражатель с фокусом а 〃 радиусом раствора R (рис. 92 1) Каждую секунду вблизи фокуса происходит N аннигиляций электронов 〃 позитронов, поступающих туда навстречу друг другу со скоростью v. Найти силу тяги двигателя и закон изменения скорости звездолета со временем.

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВСТРЕЧНЫЕ ПУЧКИ

Одним из основных источников получения частиц высоких энергий в лабораторных условиях являются ускорители элементарных частиц, Современные ускорители представляют собой грандиозные сооружения, строительство и обслуживание которых требуют колоссальных затрат средств и энергетических ресурсов. О масштабах этих затрат можно судить на основании элементарной формулы

£ = eBRt

вытекающей из (86.16) п выражающей энергию Е ультрареляти- вистской заряженной частицы, движущейся в магнитном поле В. Из этой формулы видно, что размеры ускорителя R растут линейно с энергией частицы, поскольку технических возможностей для увеличения магнитных полей в настоящее время почти не существует. Все это заставляет физиков либо искать новые методы ускорения элементарных частиц, либо более эффективно использовать частицы уже достигнутых энергий.

Последнее как раз и осуществляется в ускорителях на встречных пучках. Если в обычных ускорителях пучок ускоренных частиц направляется на неподвижную мишень, то здесь осуществляется лобовое столкновение двух встречных пучков (это могут быть либо пучки от двух отдельных ускорителей, либо, если это частицы разных по знаку зарядов, два встречных пучка в одном накопительном кольце). Оказывается, что таким способом ——при заданной энергии ускоряемого пучка, значение которой ограничивается параметрами ускорителя, — можно многократно увеличить долю активной энергии, идущую на порождение новых элементарных частиц.

Чтобы проиллюстрировать возможности ускорителей на встречных пучках, рассмотрим процесс лобового столкновения двух частиц с массами о<г и &<2. Пусть ^^ 5\ и 夕；，夕Z суть 4-импульсы наших частиц соответственно в лабораторной системе отсчета, где Р2 = 0, и в системе центра масс, где Р； = —Р；. Запишем в обеих системах очевидный инвариант

(少产2)工(牙院J.(93.1)

Тогда

откуда, замечая, что

(ру = (РТ = (Е「+ Е/)/(2с?) — (历;+ 历 3)仆/2, находим

Е 历2 = (Е； + ЕТ/(2с2)—拠 + 历鼻)c2/2.(93.2)

Вводя активные энергии частиц, т. е полагая

6 三 &—g^jC2, 2£ 三 £\ + Е〔 一(g<i +历2)*

из (93.2) получим

林%d = 2F?十2f (例1十历J隐(93.3)

Для анализа этой формулы удобно перейти к безразмерным переменным е = £/(历2c2)，&' = 6’ 1(^小.Тогда (93.3) принимает вид

е = 2е，2 + 2е, (1+^Мз).(93.4)

В нерелятивистском случае ez <^ 1 и поэтому

е ^ 2ef (1 十洌丿历2),(93.5)

что для - частиц одинаковой массы соответствует хорошо известному учетверению кинетической энергии при удвоении скорости.

Однако в ультрарелятивистском случае, когда е' ^> 1, можно считать

е^2е'2,(93.6)

т. е. е»е'・ Это означает, что относительно незначительные затраты активной энергии (2е‘)при столкновении встречных пучков оказываются по своей эффективности эквивалентными намного большим (в е7 раз) затратам активной энергии (т) в случае падения на неподвижную мишень Это обстоятельство говорит о чрезвычайной эффективности ускорителей на встречных пучках в ультрареляти- вистской области.

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕПСТВИЯ

ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Как и уравнения механики, уравнения Максвелла могут Сыть записаны в лаг- (.анжевой форме, часто применяемой в современной теории поля. Для вывода полевых уравнений Лагранжа экономнее всего воспользоваться принципом наименьшего действия, или вариационным принципом. Важным преимуществом вариационного подхода является единообразие вывода как уравнений поля, так и вытекающих из них законов сохранения. Ра ди общности разумно сформулировать вариационный принцип для произвольного поля, а электромагнитное поле рассмотреть в качестве примера, иллюстрирующего общий метод

Пусть н которое поле описывается и независимыми функциями 〃$ (х), s = l, 2, ..., п, пространственно-временных координат. В основе вариационного подхода к теории поля лежит выбор гамильтонова действия S, которое должно быть некоторым функционалом от поля и обычно берется в виде

(94.1)(94.1)S [us\ Q]-y С Z(%, %%)dQ.

(94.1)

(94.1)

Здесь Q —некоторый 4-объем: Z — плотность функции Лагранжа, или лаг- ранж.ева плотность, являющаяся релятивистски инвариантной функцией от поля и его первых производных

Для формулировки вариационного принципа зададим произвольное бесконечно малое преобразование координат и полей

6хц (х)三 ％'"(%)— J, 6〃s (%)三 〃；(£) — us (x).(94.2)

Кроме полной вариации поля 6〃$ нам понадобится еще вариация формы поля, определяемая как

(94.3)(94.3)3〃，(尤)==從(х) — us (x).

(94.3)

(94.3)

Из (94.3) следует важное свойство вариации формы:

За/s (%)三 3n«s (x)-e“"s (х) = d^us (x).(94.4)

Orраничиваясь величинами первого порядка малости, имеем

8%S (%)= Us (%')- 〃s (尤)一("5 (尤')- "$ (a)) bms(X)-du〃s 6犬也

Таким образом, полная вариация связана с вариацией формы соотношением

В% = 8% 十 d»sbd.(94.5)

С помощью (94.4) и (94.5) нетрудно установить, что

60口人 = du5〃5+3%"0u入%.，(94.6)

Получим, наконец, вариацию элементарного 4-объема 6dQ 三 dQ' — dQ, предварительно найдя якобиан J преобразования координат с точностью до величин первого порядка малости по

2 = det (I0口门(= det || В； + %6%" (, JJ (1 +%*) « 1 十 6血"，

v = О

откуда

(Q4 7)(Q4 7)вариациивариации((94.8)((94.8)6dR = dR(J -l) = dQ Э^бх^.

(Q4 7)

(Q4 7)

вариации

вариации

((94.8)

((94.8)

Теперь у нас есть все подготовительные формулы для вычисления действия:

0［公①))dQ，-0［公①))dQ，-6S = S，—S ——6S = S，—S ——

0［公①))dQ，-

0［公①))dQ，-

6S = S，—S ——

6S = S，—S ——

у J Z (%(%), д^и, (х) dQ Q^ § (Z6dQ + 6Z dQ).

Вводя обобщенный полевой импульс

冗s冗s0(0/ s)0(0/ s)(94.9)(94.9)

冗s

冗s

0(0/ s)

0(0/ s)

(94.9)

(94.9)

и используя соотношения (94.5) и (94.6), находим

=E ［赛"(8辽3十九"/＞炉)+ "(065+5%"0"斗

что с учетом соотношения

s = I преобразуется к виду

6Z = 2v，bxv + £ (薪 8〃s + ”切 8aj .(94.10)

Подстановка (94.10) и (94.7) в (94.8) дает

(94 11)(94 11)=} § ［0卩 ^^^ л公8%十 Z3%“ )+ ^^ ('^6卩九卜)8〃$ dR.

(94 11)

(94 11)

Первое слагаемое в (94.11), имеющее вид четырехмерной дивергенции, можно привести с помощью теоремы Гаусса—Остроградского к интегралу по замкнутой гиперповерхности о, окружающей 4-объем Q. В результате получается следую- щее выражение для полной вариации действия, известное в вариационном исчислении как формула Адамара:

t f ")8“sdQ(94.12)

Исключая из поверхностного интеграла 而$ при помощи (94.5) и вводя канонический тензор энергии — импульса

2 ^dvus—X^v,(94.13)

S — 1 можно привести 3s к форме, наиболее часто используемой в физике:

BS[ QJ = ^" 6 ^22 几？b〃s - 7"%尤")do乩十

+т J 11dQ-(94」4)

0 s = 1、

Формула Адама pa (94.14) является основой вариационной формулировки теории поля и позволяет получить как уравнения поля в лагранжевой форме, так и вытекающие из них законы сохранения. Для этого необходимо принять следующий вариационный принцип.

^равнения, которым подчиняются полевые функции 〃§, таковы, что их решения реализуют экстремум функционала действия S [us | Q] среди всех функций, принимающих заданные значения на границе области Q.

Согласно этому принципу, объемный интеграл в (94.14) должен исчезать, а так как вариации 5〃$ произвольны, то дня этого необходимо, чтобы выполнялись равенства

。口乳?—。学/@辽5 = 0(s=l, 2, ..., л),(94.15)

которые согласно (94.9) принимают вид

，и (。("/-狂二。(s=l, 2n).(94.16)

Это и есть лагранжева форма уравнений поля.

Очевидно, что с учетом уравнений (94.15) формула (94.14) упрощается и вариация действия 3s оказывается зависящей лишь от вариаций поля и координат на граничной гиперповерхности о:

Применим теперь изложенный формализм к электромагнитному полю. В этом случае роль полевых функций будут играть 4-потенциалы 力",а в качестве лагранжевой плотности можно использовать инвариант

2=一鳥小1吋.

Чтобы убедиться в том, что предложенная лагранжева плотность является правильной, вычислим сначала обобщенный полевой импульс л,匕 Учитывая, что 尸аВ = 0а4з —О^Аа, находим поэтому

卩— dZ —1 .ар "а|3 — — !

1n—0(小厂—丽2位仔皆石

С другой стороны,

az/oM= - jjc, так что уравнения Лагранжа (94.15) принимают вид

-崇林(心 gaQ+4" / А=。•

После поднятия индекса X эти уравнения, очевидно, совпадают с (79.2), т. е. с первой группой уравнений Максвелла. Что же касается второй группы уравнений Максвелла (79.4), то она, как известно, эквивалентна соотношению 尸 ав =力4(3-0/a.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

КАК СЛЕДСТВИЕ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА

Формула Адамара позволяет получить не только уравнения поля, но и явный вид всех сохраняющихся в силу этих уравнений величин. При этом выясняется, что каждый закон сохранения оказывается тесно связанным с инвариантностью действия относительно некоторого преобразования координат или полевых функций. Чтобы установить эту связь, рассмотрим N различных бесконечно малых преобразований вида

BSh = Xp (%) 6九r，》c%=U「(％)63(r=l, 2,N),(95.1)

где X，и U?)— некоторые функции координат, 3入「一постоянные бесконечно малые параметры. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема Нетер. Если действие S инвариантно относительно ^ бесконечно малых преобразованай (95.1), то существует N сохраняющихся в силу уравнений поля величин

а Г [а]f ( Уdo (г=1, 2М),(95 ⑵

не зависящих в случае островной системы от выбора пространственно-подобной гиперповерхности а.

Доказательство теоремы основано на использовании формулы Адамара. Из инвариантности действия относительно преобразований (95.1) следует, что &「)S = 0. Поэтому при подстановке (95,1) в (94.17) находим

6cs = 6* ^，(^冠小"-T"vx；>)dOu=0・(95.3)

Для островной системы в случае 4-объема Q, ограниченного двумя пространственно-подобными гиперповерхностями О] и о2> из (95.3) следует равенство

5г [cfi] = 2? [s],(95.4)

полностью доказывающее теорему.

"%"%Рис. 95.1Рис. 95.1Поскольку пространственно-подобная гиперповерхность о в (95.2) совершенно произвольна, то ее можно немного деформировать в окрестности некоторой точки (рис. 95.1) и записать равенство (95.4), выбрав 6 = 0,电二仃十含。：

"%

"%

Рис. 95.1

Рис. 95.1

2r [а+6о] —Jr[a] = O.

Отсюда, пользуясь формулой (74.13), нетрудно вывести соответствующие дифференциальные законы сохранения:

Зц ^ 2 л^и^ — Т^Х^ = О.(95.5!

В качестве иллюстрации теоремы Нетер рассмотрим преобразования сдвига и поворота в четырехмерном пространстве, предполагая, что действие S инва риантно относительно этих преобразований. В случае бесконечно малого сдвига иа постоянный вектор 6% имеем

§8® =6gB%a,6〃s = 0,

т. е.

х旷=6， иУ)= О.(95.6)

Подстановка (95.6) в (95.5) приводит к дифференциальному закону сохранения

办 А = о,(95.7)

что соответствует интегральной сохраняющейся величине

少v = ；§"vd°4(95.8)

В конце этого параграфа на примере электромагнитного поля мы убедимся, что 4-вектор (95.8) является 4-импульсом системы

Рассмотрим теперь преобразование бесконечно малого четырехмерного поворота

В%口 = В 九 цд?%”，(95.9)

где 6九“V——бесконечно малый «угол» поворота в плоскости X", Х^. Очевидно, что индекс г в (95.1) соответствует в этом случае двойному индексу (g)三几 Таким образом, 6九/ ——обычный угол трехмерного поворота, а — сбХ0/ — и^ —— относительная скорость двух систем отсчета, задающая некоторое бесконечно малое преобразование Лоренца.

Задача 95.1./7оказат>, что В九口” = —6^vuf воспользовавшись инва

риантностью интервала относительно преобразований (95.9).

С учетом антисимметрии 6X^V представим наше преобразование координа! и полей в та ком biw

В% = 1/2 认机出干？ В"§=1/2 иУ”Нц.%(95.10)

где Х；"з=В^%" — 6｝匕 и")=— Up7"〉一некоторая функция, определяемая тензорными свойствами полей 〃$. Тогда соответствующий дифференциальный закон сохранения (95.5) имеет вид —

办而入 uv=o,(95.11)

где введены обозначения:.

x^T^v —xvT^+ S^v,(95J2)

SW= £ ：4u"=_s入叫(95.13)

Сохраняющаяся величина, очевидно, имеет вид

即vVS^Wd%\95.14)

Физический смысл ее мы выясним на примере.^дектррмагнитного подя в конце параграфа..,

Заметим теперь, что канонический тензор энергии — импульса 亍，вообще говоря, не является симметричным, т. е. T^v ^「v^. Поэтому подстановка (95.12) в (95.11) с учетом (95.7) дает

'a^^v=rw-TWv.(95.15)

Оказывается^ что равенство (95.15) можно использовать для построения нового тензора

严=7、3田叫(95.16)

симметричного и удовлетворяющего дифференциальному закону сохранения

而旷=0,(95.17)

если 儿屮=—XU%、Именно: оказывается справедливой следующая теорема.

Теорема Белинфанте *. Гензор (95.16> удовлетворяет дифференциальному закону сохранения (95.17) 〃 симметричен, если

X 九从 V =(s^v — svW _ S^v)/2.(95.18)

Для доказательства убеждаемся, что Х%и” =——X"*v, поскольку S入乩”= =—S^ [см. (95.13)]. Поэтому (95.17) является следствием (95.7);

0仙®“ = 3u』0.

Далее, с помощью (95.15) тензор 0 можно привести к виду

0M-V =(w”+ Т®)/2 —纵(S^ + S"v)/2,(95.19)

откуда очевидна его симметрия. Теорема доказана.

Из теоремы ：Ве』ннфанте с учетом результата задачи 89.2 следует, что сохраняющийся 4-вектор 炉 может быть записан в виде

-\ ©uv доц.(95.20)-\ ©uv доц.(95.20)少=丫沙^

-\ ©uv доц.(95.20)

-\ ©uv доц.(95.20)

Покажем, что и 历山” также может быть выражено через тензор 8. Для этого образуем новый тензор

M®Vm%u ©xv_xv0Xuj(95.21)

который вследствие (95.17) и свойства симметрии ®uv = 6vn удовлетворяет дифференциальному закону сохранения

дкМ^ = 0,(95.22)

Подставляя (95.16) в (95.21), имеем

MHiv = %ut九V —状7九口 + 九 xtXv — rv^ —=九v —#旷7九卩 + aT (%uXT%vxt九u)—л卩人丫 十 XvK^.

Но [см. (95.18)] Xv^u — X从九v = s九口”，поэтому

М入网=而九^一况厅九皿，(95.23)

где K^Miv三 #ихт九v + %vxi^u = — K%tuv・(95.24)

Благодаря антисимметрии тензора (95.24) можно испольчовять результат задачи 89.2 и с учетом (95.11) и (95.22) получить

历uv = J_ C而du】=丄c J 儿с о历uv = J_ C而du】=丄c J 儿с оM%“v du 九.M%“v du 九.(95.25)(95.25)

历uv = J_ C而du】=丄

c J 儿с о

历uv = J_ C而du】=丄

c J 儿с о

M%“v du 九.

M%“v du 九.

(95.25)

(95.25)

Итак, с помощью симметричного тензора энергии —импульса 0 можно вычислять сохраняющиеся величины 广v и 历и匕 Чтобы выяснить их физический смысл, рассмотрим конкретный пример свободного электромагнитного поля (，从=0).

Прежде всего на основании (94.19) и (94.13) вычислим 丁卩竺

Ev =—亲 ^а^а+ 急(Ра^) guv.Ev =—亲 ^а^а+ 急(Ра^) guv.(95.26)(95.26)

Ev =—亲 ^а^а+ 急(Ра^) guv.

Ev =—亲 ^а^а+ 急(Ра^) guv.

(95.26)

(95.26)

Поскольку Tuv 户『vu, то необходимо строить симметричный тензор 0. Замечая, что Л является 4-вектором, найдем вариацию ЗАи при преобразоваПоскольку Tuv 户『vu, то необходимо строить симметричный тензор 0. Замечая, что Л является 4-вектором, найдем вариацию ЗАи при преобразоваМ0^ W.М0^ W.(95.36)(95.36)

Поскольку Tuv 户『vu, то необходимо строить симметричный тензор 0. Замечая, что Л является 4-вектором, найдем вариацию ЗАи при преобразова

Поскольку Tuv 户『vu, то необходимо строить симметричный тензор 0. Замечая, что Л является 4-вектором, найдем вариацию ЗАи при преобразова

М0^ W.

М0^ W.

(95.36)

(95.36)

нии (95.9) по аналогии с 6尤也

6人=6九可/v = 3入内(院力V一&*)⑵(95.27)

Сравнением (95.27) с (95.10) находим

U^ = ^AV-^.(95.28)

Поэтому согласно (95.13)

S^uv= п纪Т山> =(?"段一户%v)/(4n),(95 29)

что позволяет найти тензор Белинфанте (95.18):，

XW = —尸 ММ“/(4 冗).(95.30)

Теперь уже нетрудно с помощью (95.16) и уравнении поля 6九尸九得=0 вычислить симметричный тензор энергии——импульса 0:

®AV = _* ①也戸明厂｝ (FaB%B)gM，(95.31)

очевидно, совпадающий с (89.8). Таким образом, 4-вектор (95.20) совпадает с 4-импульсом 落£)электромагнитного поля.

Рассмотрим сохраняющийся антисимметричный тензор 例卩章=——^丫"・ для выяснения его физического смысла вычислим сначала его пространственные

компоненты

(95.32)

Замечая, что £『丸/М。尼』/(2с)=[『g]i，где g —плотность импульса электромагнитного поля, имеем

為ё善第"/勿/= c "gh d匕(95.33)

т. е.历一вектор момента импульса электромагнитного поля.

Что касается 飕\ то, вводя радиус-вектор центра масс электромагнитного поля

* =击「‘守‘俏(95.34)

с учетом (95.20) получаем

е^о/ = ^ §(х"е。；一ме°。)dy = x。驴'一R夕и.(95.35)

Дифференцируя (95.35) по времени, находим dRf/dЁ = <?7:/5^三*

т. е. сохранение величин 历限 выражает не что иное, как закон равномерного поступательного движения центра масс электромагнитного поля.

Сохраняющийся антисимметричный тензор 感 обычно называют релятивистским тензором момента импульса полевой системы, а соответствующий тензор третьего ранга М人快丫一релятивистским тензором плотности момента импульса.

Возвращаясь к фундаментальной теореме Нетер, лежащей в основе вариационной формулировки законов сохранения, можно сказать, что сохранение 4-импульса 个 является следствием инвариантности действия относительно 4-сдвигов, а сохранение релятивистского момента импульса /—следствием ннаарнантно- сти действия относительно 4-поворотов» включающих в себя как прост ранствен- ные повороты, так и собственные преобразования Лоренца,

§ 96. ТАХИОНЫ

Как отмечалось в § 68, гипотеза о существовании частиц, движущихся со сверхсветовой скоростью, физически приемлема и не противоречит теореме Эйнштейна о предельности скорости сигнализации, если отказаться от одного привычного представления. Имеется в виду представление о возможности создания эмиттера, испускающего сверхсветовую частицу в заранее обусловленный момент времени из заданной пространственной области, и абсорбера (детектора), регистрирующего поглощение такой частицы в определенной пространственной области. Иначе говоря, сверхсветовые частицы физически допустимы как точечные объекты, удовлетворяющие принципу переключения, согласно которому абсорбер становится эмиттером, а эмиттер — абсорбером при переходе к системе отсчета, в которой изменяется последовательность моментов поглощения и испускания в пространственно разобщенных точках.

На возможность существования сверхсветовых частиц было обращено внимание * в 1960 г. Впоследствии (1967 г.) американским физиком Дж. Фейнбергом эти частицы были названы тахионами. Соответственно обычные, досветовые, частицы называют брадионами, а частицы, движущиеся со скоростью света,— люксонами.

Если тахион, как и всякая реальная физическая частица, имеет импульс Р, энергию Е и собственную массу с<, причем согласно (84.13) и (84.15)

Р = £и/隐必 2c2 = (£“)2 _р2

то

(96.1)(96.1)此2=(Е/с2)2 (1 一〃2%2) < 0,

(96.1)

(96.1)

так как для тахиона и > с. Иначе говоря, собственная масса тахиона — не действительная, а мнимая величина. Последнее очевидно также из определения 4-импульса (84.6), так как компоненты V^ при 〃 > с суть мнимые величины и поэтому при действительных 介口 собственная масса 历 должна быть мнимой.

Мнимость собственной массы тахиона не представляется чем-то более удивительным, чем мнимость пространственно-подобного интервала. Для тахиона собственная масса 历 уже не имеет смысла массы покоя, так как эта частица во всех реальных системах отсчета имеет сверхсветовую скорость (см. § 76), т. е. не может не двигаться. Поэтому интуитивно наглядные представления о собственной массе обычных частиц не могут быть перенесены на случай тахионов.

Вместо мнимой величины 历 для характеристики тахиоиа можно ввести действительную величину /, положив

曲=屮・ (96.2)

4-импульса(96.3)(96.4)4-импульса(96.3)(96.4)Тогда основное соотношение (84.15) для тахиона и компоненты (84.6) примут такой вид:

4-импульса

(96.3)

(96.4)

4-импульса

(96.3)

(96.4)

Р2 —(£/С)2 = JI%?,

(

卜 С //Ц^/С2-1 /

т. е. будут явно действительны при 〃 > с.

* Терлецкий 兄./7. Принцип причинности и второе начало термодинамики -— ДАН СССР, 1960, 133, с. 329.

10*

Согласно последним формулам, энергия тахиона стремится к нулю при и ―► со 0 бесконечно растет при приближении и к наименьшему предельному аиачеиию с Что касается импульса тахиоиа, то | Р |—- цс при и—► оо, | Р |—► Е/с при 〃 一► с Таким образом, в отличие от обычных частиц (брадиоиов) импульс тахиона по абсолютному значению всегда превышает м，а энергия ие имеет нетривиального наименьшего значения.

Следует еще раз отметить принципиальное отличие тахионов от обычных частиц, состоящее б том, что тахион никогда ие может находитьси в покое, т. е. не существует реальной системы отсчета, в которой скорость тахиона обратилась бы в нуль. Однако существует система отсчета, в которой скорость тахиона бесконечна. В этой системе отсчета тахион можно представлять себе не как дви- жущуюси точку, а как иа мгновение возникающий и исчезающий объект, вытянутый вдоль прямой линии, соединяющей точки абсорбции — эмиссии *

Экспериментально тахионы еще не обнаружены. Однако неизвестны и теоретические опровержения возможности существования тахионов, которые были бы логически неуязвимы.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

ПриложениеПриложениеИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Приложение

Приложение

Здесь мы ввели обозначение для частной производной Э* ^ д/дхк и использовали очень удобное правило суммирования Эйнштейна, согласно которому по повторяющимся верхнему и нижнему индексам всегда производится суммирование.

Мы видим, что соотношение (1П.4) позволяет вычислить бесконечно малое смещение точки в любой системе координат и задает, таким образом, закон преобразования бесконечно малых смещений d%『(или скоростей) при преобразовании координат. Ввиду универсальности соотношения (Ш.4), которое справедливо для произвольных преобразований координат (1П.З), удобно именно его положить в основу классификации физических величин.

Прежде всего дадим определение вектора. Три величины a' (f = 1, 2, 3) определяют трехмерный вектор а, если они при преобразовании координат изменяются так же, как и dM, т. е.

a'i = 0"‘a&. (1П.5)

Числа а' называются в этом случае контра^ариантными компонентами вектора а. Прймером вектора может служить вектор скорости материальной точки ty = dr/dt

Если мы возьмем 几 векторов а⑴，а(2), …，а(п>( то из их компонент можно образовать произведения вида aj^ а^ ... а1^, где £仪=1, 2, 3; а= 1, 2, ..., п. Величины Т"…‘％ которые при преобразовании координат изменяются так же, как эти произведения, т. е. по закону

■ T"…"”=a耳户…戏"片#…(ш.6) определяют тензор ранга 几(или валентности п) и называются его контравари- антными компонентами.

Полезно отметить, что с этой точки зрения радиус-вектор точки г не является настоящим вектором (тензором первого ранга), поскольку его закон преобразования (1П.З) совпадает с (1П.5) только для линейных преобразований координат вида

£； = /；/, (1П.7)

где Ak ——не зависящая от х матрица. Компоненты ускорения d2r/d/2 также образуют вектор только по отношению к линейным преобразованиям.

Частным случаем преобразований (1П.7) являются вращения, включающие в себя повороты координатных осей и отражения. Если ограничиться только вращениями, то данная классификация физических величин совпадает с хорошо известным разбиением величин по тензорным представлениям группы вращений *. В частности, преобразование отражения в декартовых координатах принимает вид

поэтому для тензора ранга п

Т"…•％=(_[)叮匕…“(ш.8)

Однако встречаются еще и такие физические величины, которые при отражении приобретают дополнительный знак минус по сравнению с (1П.8). Подобные величины получили название псевдовеличин (или аксиальных величин). Для псевдотензоров, обозначаемых 亍"・—'% получается тогда следующий закон преобразования при отражении:

亍％••・5 =(—1尸十叮小•・5,(Ш.9)

при поворотах же они ведут себя как нормальные тензоры.

* Г ель фонд И. Л4., Минлос Р. А.., Шапиро 3・兄 Представления группы вращений и группы Лоренца. М., 1958.

294

Рассмотрим теперь закон преобразования координат (1П.З) в случае, когда координаты хх—декартовы, а х — произвольные другие. В декартовых координатах всегда можно ввести ортогональную тройку базисных единичных векторов е； и положить

r = e/x/f.(1П. 10)

Если заданы два вектора а и Ь с декартовыми компонентами а『и 扭 соответственно, то ортогональность базиса позволяет записать их скалярное произведение в виде

з

(ab) = a'b ^ I a 11 b I cos (а, Ь)=Уа9『，(1П. 11)

что является простым следствием теоремы Пифагора.

Выберем две близкие точки г и г + dr и вычислим квадрат расстояния между ними, воспользовавшись произвольными координатами х. Из (1П.4) * (1П.10) имеем

dF = e/d#" = ef dkfl dxA = h尼 d%尼,(Ш.12)

где 卜总三立必/乙 Поэтому квадрат расстояния

d№= (dr dr)=(卜也色)d%『dxA = g/ d/ dx3(1П.13)

где

3

g 注三(％由应=£ di f^ dkf^ = gki.(1П.14)

Величины g* образуют метрический тензор, характеризующий выбранную систему координат 尤L В частности, в декартовых координатах

зз

d/2= 2 (dx〃)2= £ g；”dx"dx'风(in.15)

II, k — \

t. e. g^k = b(k s 6^ —символ Кронекера, равный 1 при i — k н 0 при f 卢瓦 Координаты, для которых g/ = 0 при i W 々,называются ортогональными.

Задача 1. Найти векторы h； 〃 вычислить с их помощью компоненты метрического тензора g【力 е цилиндрических и сферических координатах.

Очевидно, что ортогональные координаты характеризуются тремя параметрами 九jw|h", называемыми параметрами Ламе. При этом

3

d/2= 2 *(dx')a.(111.16)

= 1

Заметим, что d/2 можно всегда привести к инвариантной, т, е. не зависящей от вида используемых координат, форме, если ввести обозначение

dxz = gik dxA,(1П.17)

В таком случае для декартовых координат d%户 d%& и поэтому

d?= d%； dW = d%『dM.(1ПЛ8)

Подставляя в(1П. 18) закон преобразования (1П.4), находим

d%j d#“ = d%； dkt1 d%尼三 d/ dxA, откуда

dxA= dx^ dkfl.一 (1П 19)

Величины а/, преобразующиеся так же, как dx/, т. е. по закону (1П.19), и совпадающие с а" в декартовых координатах, называются ковариантными ком* понентами вектора а.

Задача 2.Показатьt что a> = g從战

По аналогии с (1П.18), квадрат длины вектора а и ^скалярное произведение

двух векторов а и b можно определить как

(1П.20)(1П.20)а2三 а[Н =且注а'а储(ab)三 а(Ь! ~§^а1Ь^.

(1П.20)

(1П.20)

Задача 3. Показать, что скалярное произзедение двух векторов а 〃 b не зависит от выбора системы координат, т. °, является инвариантом.

Инвариантные величины часто называют скалярами или тензорами нулевого

ранга.

Задача 4. Показать, что величины д^, где ср (%)——скалярная функция точки, являются ковариантными компонентами вектора, обозначаемого V中三 grad 屮(％) (градиент). Здесь у (набла) — так называемый векторный оператор Гамильтона. Убедиться, что V(p = hid'(p 〃 dtp = =(d「v(p). Записать v<p 8 цилиндрических 〃 сферических координатах.

Определим теперь ковариантные компоненты 7厶 in тензора ранга 枕 как величины, преобразующиеся как произведения ковариантных компонент 几 векторов 4：)*)…吧)и совпадающие с 丁'，…勿 в декартовой системе координат. Таким образом, в соответствии с (1П.19)

人."”=出产..@/可"人.(1П.21)

Аналогично определяются смешанные компоненты тензора 丁^丁 + 乜}」"，т. е. m раз ковариантные и 枕 раз контравариантные. Они преобразуются как произведения соответствующих компонент векторов *)…力胃 々貓;}…《办 и в декартовой системе координат совпадают с 7

Задача 5. Показать, что 乙・= g^・• g熊尸…也

Задача 6.Показатьt что преобразованиеt обратное (1П.21), имеет вид

飙…如九…"(022)

Задача 7. тензора иЗадача 7. тензора иПолучить закон преобразования смешанных компонент показать, что

Задача 7. тензора и

Задача 7. тензора и

+ 1 …—а е- • -kmhn+1 • • -

Из определения тензора сразу следует, что произведение компонент двух тензоров ЛГ'・ и N…рангов тип дает компоненты нового тензора Т…ранга m + 枕. При этом, например,

li • ■ 'lm

Такой способ получения новых тензоров называется внешним или тензорным умножением. Кроме того, применяется еще и дополнительная операция, называемая сверткой и состоящая в суммировании по некоторым парам индексов разной вариантности. Внешнее умножение, дополненное сверткой, называется внутренним умножением тензоров. Примером внутреннего умножения является образование скалярного произведения двух векторов.

Задача 8. Показать, что каждая свертка уменьшает ранг тензора на 2. В частности,

М М‘— * 加卜—* .kn = 丁乳• ■ • ^я

Чаще всего приходится иметь дело с тензорами второго ранга Т% обозначаемыми f. Внутреннее умножение в таких случаях обозначается точкой, а свертка в самом тензоре Т—знаком Sp. Тогда, к примеру» равенства

出.=t/版，中 = T 也 aga.

7m=必•/绅，(р=m%7/,

Ъершишутся^ле^гющим об(»азом：

a = 3b； ф = аТ* b;

f ==М *N; q)= Sp (M*N) М:Л.

Из тензоров третьего ранга нам нужен всего один ——единичный псевдотензор Леви~Чивита е1^, который полностью антисимметричен, т. е. меняет знак при перестановке любых двух индексов, а в декартовых координатах е" 123 —1. В силу псевдотензорности при отражениях е；『走 остается неизменным. С помощью £‘/尼 можно двум векторам а и b сопоставить псевдовектор [ab], называемый их векторным произведением:

[ab]』£"％/)总.(Ш.23)

Задача 9. Убедиться в тензорных свойствах символа Леви-Чивита 6〃左 〃 найти его выражение в произвольной системе координат, исходя из того, что инвариантный элемент объема может быть записан либо в виде dH = gl/2 dx1 dx2 dx3, где g= det || gik II = I gik I» либо как элемент oбъeмat построенный на трех векторах dx, dy, dz, m. e. db = Ej% dM d" d#.

По аналогии с (1П.23), каждому вектору а можно сопоставить псевдовектор, обозначаемый [\?а]三 rot а и называемый ротором или вихрем вектора а. Его контравариантные компоненты образуются по правилу

(rot ар 三 £“％ 勿纵.(1П.24)

Задач% 10. Убедиться, что формула (1П.24)определяет компоненты псевдовектора. Записать rot а 8 цилиндрических и сферических координатах.^ используя физические компоненты 力；出 (без суммирования) вектора а.

Мы ознакомились с двумя дифференциальными операциями векторного анализа—взятием градиента и ротора. Существует еще и третья операция — взятие дивергенции вектора, обозначаемая div а = (\7а) и определяемая следующим образом:

div а 三 g-L2 山(gWfl/).(1П.25)

Задача 11. Показать, что div а является скаляром. Выразить div а 6 цилиндрических и сферических координатах.

В заключение этого параграфа разъясним смысл часто используемых в физике понятий ковариантности и инвариантности уравнений. Уравнение принято называть ковариантным относительно некоторого преобразования координат, если в результате преобразования оно не меняет своей формы, т. е. левая и правая его части преобразуются одинаково. Если же еще окажется, что преобразованное уравнение, будучи выраженным в новых координатах, не содержит параметров преобразования, то оно называется инвариантным относительно этого преобразования *. В этом же смысле используется и понятие инвариантных тензоров. Именно: тензор называется инвариантным относительно некоторого преобразования координат, если преобразованный тензор, будучи выраженным в новых координатах, оказывается неизменным, т. е. не зависящим от параметров преобразования. К примеру, относительный радиус-вектор г2——Г1 двух точек инвариантен относительно сдвига г'=「+ а, а тензоры 6^ и &〃％ инвариантны относительно вращений (6^ = 83 壮1* =百『夬\

2П. ВАЖНЕЙШИЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Для получения практически важных соотношений, используемых в векторном анализе, оказывается полезным следующее интегральное представление для опе-

ратора Гамильтона:

v= limfl ^ndS.(2П.1)

Смысл этой записи состоит в том, что три основные днфференциальные операции grad, div и rot могут быть представлены в таком виде:

grad ф= \7ф= Hm

£f 0

M 0 n① dS,

(2П.2а)

div a 曰(va)= lim * f (na) dS,

(2П.26)

rot a 曰[va]= lim」(

Sf 0 P :

夕[na] dS.

(2П.2в)

Здесь V — бесконечно малый объем, содержащий точку г, в которой вычисляются grad ф, div a, rot a; S — замкнутая поверхность, окружающая V; dS ——ее элемент; п—единичный вектор внешней нормали к S; lim означает, что поверх- Sf о ность S стягивается к точке г.

Формулы (2П.2) проясняют смысл обозначений (уа) и [уа]. В связи с представлением (2П. 1) оператор Гамильтона v часто называется оператором объемного дифференцирования.

Задача 12. Убедиться в справедливости представления (2П.2), взяв в качестве объема У тар с центром 6 точке г.

Задача 13. Пользуясь (2П.2), вычислить div г, rot г, grad (аг), rot [аг], grad 屮(г), div А (г), rot А (г), где а — постоянный вектора

В дальнейшем, если специально не оговорено, мы будем пользоваться де* нартовыми координатами, в которых оператор V выглядит особенно просто:

з

V(2п.з)

Если объект действия оператора v зафиксирован, то в соответствии с (2П.2) с ним можно обращаться, как с обычным вектором. В то же время [см, (2П.З)} он является оператором дифференцирования. В частности, в соответствии с правилом d (ЛВ) = (с!Л) A dB имеем

V (4B) = (v/l) В^- A\jBt или, помечая объект действия оператора v жирной точкой (•) внизу, условимся писать

V(48) = V/18 + V48,

Вычислим, к примеру, div [ab]:

div [ab] ^ (V [ab]) = (u [ab]) + (V [ab]).

С каждым слагаемым, помеченным точкой •, можно работать уже по правилам векторной алгебры, т. е.

(V[ab]) = (b [va])^(b rot а),

(V [ab]) = — (a [V^j) ^3 — (a rot b).

В результате находим

(2П.4а)(2П.4а)div [ab] = (b rot a) — (a rot b).

(2П.4а)

(2П.4а)

Аналогично можно доказать и многие другие полезные тождества:

div ((ра) = ф div а + (а\7ф),.(2П.46)

几 rot ((pa) =(prot a + [v<pa],(2П.4в)

rot [ab] = a div b—b div a + (b\?) a—(av) b#(2П.4г)

grad (ab) = [arot b] + [b rot a] + (b\?) a + (aV)b,(2П.4д)

где в последних двух тождествах использовано обозначение (av)s of ^f для оператора дифференцирования вдоль вектора а.

Из представления (2П.2) вытекают также и некоторые полезные интегральные теоремы. Для их получения выберем некоторый объем V, окруженный поверхностью S, и разобьем его на достаточно большое число ^ ячеек. Пусть i-я ячейка имеет объем AV；, окруженный поверхностью AS;. Тогда, по теореме Лагранжа , внутри AV/ найдутся такие точки「黑，「俨，г『，Что будут справедливы соотношения:

(na) dS»[па] dS.(na) dS»[па] dS.ДК/ \?ф (г/11) = у пф dS,

(na) dS»

[па] dS.

(na) dS»

[па] dS.

Д/j div a (rj3))=

AVzrota(r<3))=

J \?Ф <JV = ^ пф dS.J \?Ф <JV = ^ пф dS.Произведем теперь суммирование по всем ячейкам н положим ^―>*8. Тогда в пределе левые частн перейдут в интегралы по объему У, а правые части — в интегралы по внешней поверхности S, поскольку интегрирование по внутренним поверхностям ASg производится дважды, с противоположными значениями нормали п В результате получим следующие： интегральные соотношения, являющиеся различными вариантами общей теоремы Остроградского:

J \?Ф <JV = ^ пф dS.

J \?Ф <JV = ^ пф dS.

(2П.5а)

(2П.56)

(2П.5в)

Наиболее часто используемое соотношение (2П.56) известно как теорема Гаусса— Ост р оградского

Теорему Остроградского можно применять и к компонентам тензоров. Подставим, например, в (2П.5а) вместо <р компоненту тензора 穴尼.Тогда

j д)Т^ 6V = ^ rij-T^ dS.

Свертка по ^ и / дает

£ divTdy = ^(mf)dS,(2П.6)

vs

где div f — вектор с компонентами diTik,

Если б (2П.5а) положить(р=〃о, то получается широко используемая формула интегрирования ло частям:

uVfdV =i= j unudS—J v^u dV.(2П.7)

VSV

Отметим, что здесь 乩 н о можно считать произвольными тензорами.

Задача 14. Получить с помощью (2П.5а), (2П.5в) следующие теоремы Стокса:

J [nv<pl dS = , тф dZ,(2П.8а)

У (п rot a) dS==^ (та) dZ,(2П.86)

ade S—поверхность у натянутая на замкнутый контур С; т—единичный вектор, касательный & контуру и направленный по правому винту относительно п (т е. поверхность S является правоориентированной относительно контура С) Вывести (217 8а) из (2П.86).

Указание: выбрать в качестве объема У бесконечно малый цилиндр.

Задача 15. Вывести из теорем Стокса следующие полезные тож・ дества:

rot grad 屮三 О,(2П.9)

djv rot a 三 0.(2П. 10)

Вектор e, удовлетворяющий условию rot e —0, называется потенциальным или безвихревым. Как следует из (2П 9), в этом случае е = — \?Ф，где <р—произвольный скаляр (скалярный потенциал). Вектор Ь, удовлетворяющий условию div b =0, называется соленоидальным. В этом случае b — rot а, где а^―произвольный вектор (векторный потенциал).

Задача 16. Убедиться^ что для уравнений

1 v<p = e(x), rot a = b (х), div d — f (х), где е (%), b (х) и / (х) суть заданные функции, наийолзе общими peui^ ниями являются соответственно:

屮=，г*е (Лх) dX，+const,о

а = , А [Ь (Лх) г] dA + VW (х),-

о

1

d = r J Л2/ (Ax) d% + rot с (%)о

при произвольных ^ (х) и с (х). Найти условия, на векторы е (х) u b (х)( при которых зти решения существуют.

Изучим теперь важнейший для приложений оператор Лапласа Д ei(VV)* Его особенность состоит в том, что он является инвариантным (скалярным) оператором как в применении к скалярной, так и к векторной функции. В применении к скаляру ср (х) он определяется так:

Д<р м djv grad ф.(2IL11)

Используя определения div и grad в произвольных координатах, имеем

Ag=g-L2改也1押》中).

С другой стороны,办<p = g配。绅，откуда

3

西=£ g^i办屮=史為3恤论=1

где ^*—контравариантные компоненты метрического тензора, определяемые условием g*g^/ = % Итак,

A(p = gT/2必(仆戶火 ％<р)・(2П.12)

Задача 17. Записать Дф в декартовых, цилиндрических и сферических координатах»

В применении к вектору а оператор А определяется следующим образом:

Ла 三 grad div а — rot rot а.(2П.13)

Задача 18. Показать, что в декартовых координатах (Ла)/ —Л^/^ div grad а(, m. е. (2П.13) согласуется с (2П 11). Найти физические компоненты вектора Да 8 цилиндрических и сферических координатах.

Задача 19. Используя разложение скалярной функции 屮 6 ряд 7е近. лора

屮(「+ *) = £ ^(*V严屮(г),

доказать справедливость следующего представления для Лф：

Дф (г) = 1\ ^ Даф (г),(2П 14)

где Даф—среднее уклонение функции ср в объеме шара радиуса а с центром 6 точке г, т. е.

m学")三爲 /【学"+自)一屮(Г)] d%

Уа

В приложениях часто приходится иметь дело с гармоническими функциями. Функция ф называется гармонической в области V, если внутри нее она удовлетворяет уравнению Лапласа Лф = 0. Важным свойством гармонической в области V функции является то, что она принимает свои наименьшее н наибольшее значения на границе области У (принцип максимума).

Задача 20. Доказать принцип максимума^ пользуясь представлением (2П.14) для Лер.

В заключение обратим внимание на важное свойство сферических средних, часто используемое при решении уравнений, содержащих оператор Лапласа Сферическим средним некоторой функции ср (г) называется величина

<<Р(г)>а=* 步 @(r + a&)dSg,(2П.15)

представляющая собой среднее значение функции ф (г) на сфере радиуса о с центром в точке г.

Задача 21. Показать, что

△&〉а =工丽(О&〉а)・(2П 16)

Замечая, что (р (г) — lim <ф (г)>а, выводим из (2П.16) еще одно интересное предсгавлеиие для оператора Лапласа:

(2П.17)(2П.17)1 д2Дф(0= hm — д-5[а<(Р (г)>а].Qf 0 “ UU

(2П.17)

(2П.17)

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

А — вектор-потенциал электромагнитного поля; Л^ — 4-потенциал электромагнитного поля; а—трехмерное ускорение

В ——индукция магнитного поля; В'—индукция действующего магнитного поля; b — напряженность (индукция) микроскопического магнитного поля

С——емкость конденсатора; С^——емкостные коэффициенты; с—скорость света в вакууме”

D ——индукция электрического поля;纫一диссипативная функция Рэлея, коэффициент прохождения электромагнитной волны

Е — напряженность электрического поля; Е' — напряженность действующего электрического поля; Ест°р—напряженность сторонних электродвижущих сил; Е — релятивистская энергия; Е°—собственная энергия частицы; g—электродвижущая сила, активная энергия; е—напряженность микроскопического электрического поля; е/ — базисные векторы; е(——электрический заряд отдельной частицы; е——заряд электрона

F — трехмерная сила; Fr — сила реакции излучения;犷м— 4-вектор силы; А^—тензор электромагнитного поля; 户卩” —тензор, дуальный 尸乩竺 f — объемная плотность силы; f“ — 4-вектор плотности силы; </> — среднее по углам или по статистическому ансамблю от/; / —среднее по времени от f;仍一скачек f

G — импульс электромагнитного поля; G—функцияГрина; g — плотность импульса электромагнитного поля; g"” 一 метрический тензор

Н — напряженность магнитного поля; Нкр—критическая напряженность магнитного поля; Нс — коэрцитивная сила； Н — гамильтониан

/—сила электрического тока; J—якобиан преобразования; i—поверхностная плотность тока проводимости; ；附—поверхностная плотность тока намагничения

j—плотность тока проводимости; 加一плотность тока поляризации; )д| ——плотность тока намагничения;『丄一 4-вектор плотности тока

к—трехмерный волновой вектор; k—волновое число,

параметр н占грузки; Л^ ——четырехмерный волновой вектор

L—момент сил; L—индуктивность, лагранжиан; L/ — взаимная индуктивность? Z — лагранжева плотное гь

М ——намугниченносгь; Л4s ——намагничение насыщения; М^ — остаточное намагничение; 41x^v —релятивистский тензор плотности момента импульса;历——собственная масса, молекулярный вес; ^妙"一релятивистский тензор момента импульса; JW” ". ~——тенчор магнитного мультипольного момента; m — магнитный момент; тс —спиновый магнитный момент; т0 — невозмущенный магнитный момент молекулы, /л— инертная масса, магнитный заряд

^ ——концентрация (плотность числа частиц), механическая мощность; п — единичный век гор внешней нормали; п ——показатель преломления (действительный)； п'——коэффициен! поглощения электромагнитных волн

Р — поляризованность, трехмерный импульс; Р—тепловая мощность (джоулева); Р[ — мощность электромагнитного излучения; РЕ—скорость потерь энергии заряженной частицы на излучение;乡、以一4-вектор импульса; р — электрический дипольный момент; р ——давление, обобщенный импульс; рт — магнитное давление Q ——полный электрический заряд; Q 1 *——тензор электрического мультиполь* ного момента; q ——плотность тепловой мощности, обобщенная координата

R ——электрическое (активное) conротивление, расстояние между двумя точками； 总上々一коэффициенты сопротивления, R〔 — сопротивление излучения; /?т —магнитное число Рейнольдса;笈——коэффициент отражения электромагнитной волны； г— радиус-вектор; R —г— г'

S — вектор По访нтинга; S — гамильтоново действие; S/丸一потенциальные коэффициенты; s——единичный лучевой вектор; s ——пространственно-временной интервал Г — температура, Т = Е — £'; Ткр —критическая температура; Тс — ферромагнитная точка Кюри; Т — тензор натяжений Максвелла; T^v ——каионический тензор энергии — импульса; t — поверхностная плотность силы; / — время

U"=(U。， U)—4-скорость частицы; U ——электрическое напряжение, потенциальная энергия； и——трехмерная скорость частицы

V — объем; AV——физический бесконечно малый объем; R — относительная скорость двух систем отсчета, групповая скорость, скорость частицы; v^ — фазовая скорость; % — скорость сигнала

W—энергия электромагнитного поля; з—пло1ность энергии электромагнитного поля

X/夬一матрица реактивного сопротивления； 尤/—пространственные координаты точки; xU—четырехмерные координаты точки

Z* — матрица комплексного сопротивления (импеданс)

а ——поляризуемость молекулы, азимутальный угол; а — тензор поляризуемост» молекулы, апполная поляризуемость молекулы

0 — угол Брюстера; В = о/с

у—коэффициент лучистого трения; 丫=(1—f2/c2)-1/，2

В — толщина скин-слоя; ё^ — символ Кронекера; 6(尤)一дельта-функция

g — диэлектрическая проницаемость (в том числе комплексная); е‘ = Re е; е" = Im е; е — тензор диэлектрической проницаемости; £〃左一трехмерный символ Леви-Чи- вита; eUvcrt一четырехмерный символ Леви-Чивита

Z — магнигный вектор Герца; ^ — запаздывающее время

Г|—поверхностная плотность свободного электрического заряда, комплексный показатель преломления; т)р—поверхностная плотность связанного электрического заряда

8 — парамагнитная точка Кюри;❷卩、一симметричный тензор энергии — импульса;

6 (%)——функция Хевисайда

乂一диэлектрическая восприимчивость

Л —электромеханическая функция Лагранжа; А* ——матрица Лоренца; Х<—длина волны;入鸵一4-тензор промицаемостей

卩一магнитная проницаемость (в том числе комплексная); p/ = Rep,卩"=Im“; 卩一тензор магнитной проницаемости;卩^一магнетон Бора vm ——магнитная вязкость

П ——электрический вектор Герца; л^ ——обобщенный полевой импульс … р—плотность свободного электрического заряда, рр ——плотность связанного электрического заряда

S — инерциальная система отсчета; о — электропроводность, полное сечение рассеяния; о—тензор электропроводности

т ——единична访 касательный вектор; т ——мощность электрического двойного слоя, плотность массы, время релаксации, собственное время; т^ — мощность двойного магнитного слоя

Ф ——магнитный поток, фаза электромагнитной волны; <р ——скалярный потенциал электрического поля, угол потерь

у — магнитная восприимчивость

4 ——скалярный потенциал магнитного поля

0 — ларморова угловая скорость; Й——телесный угол, четырехмерный объем; to——круговая частота;①,——частота собственных электронных колебаний в атоме; оп — плазменная (ленгмюровская) частота

РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ

К ЗАДАЧАМ

Ы. Следует учесть, что вблизи элек7родов диссоциация молекул идет более интенсивно, чем рекомбинация ионов Пусть сила тока ионов, рождающихся у катода, равна /к = /к , а у анода /а = /^. На катоде нейтрализуются рожденные положительные ионы /к и приходящие от анода /J , т. е. сила катодного тока равна 冗 4-卄—/. Аналогично, на аноде /£ + /£ = /, и через сечение АВ течет ток силой /J Ц- 1^ 1^ + ^ — !

Приравнивая нулю силу. дейс7вующую со стороны равномерно заряженной сферы радиуса 广 на заряд в точке Л (г0 < /), имеем

! ( J才)箒 d"。，

где /?=(寸+戸一2"n)i/2, y = cosO Переходя к переменной интегрирования R, сводим уравнение к следующему:

~ С 旦①(R)dR=0.

где Фг (R) = / (R). Решение этого уравнения дает ф (R)= 二 a + b/R, где а,匕 ——постоянные интегрирования Таким образом, f(R) = —— b/R2 и при всякой другой зависимости шар в опыте Кавендиша оставался бы заряженным

В полярных координатах (рис. 1) уравнение линий напряженности имеет вид (厂Т，+ ^Г1) [/2 ——(г2 —『1)2] = =const, где /■] >2 = (/2/4十人 土" cos 今尸獴，вдали от зарядов г'1 sin2 О' —const

По закону Био—Савара—Лапласа, в точке Р контура &, охватывающего проводник С2 с током, индукция магнитного поля равна

В = ^ f ЕН >

где r = r》一г3, у и з—единичные касательные векторы к Ct » С2. После скалярного умножения на постоянный вектор а это выражение с учетом теоремы Стокса принимает вид

(аВ) = J j(口 rot2 [га| 尸川)dS?,

•лежит на поверхности S, натянутой на С2. Из (2П. 4г) выводим rot2 fra] r~3 = — (av) rr~3, так что

где r W 0, т. е.где r W 0, т. е.РРненеРР(aB} = —^-(av)j (nr) l3 ds2.

где r W 0, т. е.

где r W 0, т. е.

Р

Р

не

не

Р

Р

s

Отсюда, вводя элемент телесного угла dQ — dS2 (nr) r~3, получаем ( 1.12). Учитывая неоднозначность функции Q (г), изменяющейся на 4冗 при обходе &, приходим к закону Ампера:

55（口Q小）=智?.

5

5

Q

д {Jr J од {Jr J о（广2-壮严2（广2-壮严2" = 0." = 0.Приравнивая нулю индукцию магнитного поля вне бесконечного прямого цилиндря радиуса R, приходим к уравнению

д {

Jr J о

д {

Jr J о

（广2-壮严2

（广2-壮严2

" = 0.

" = 0.

"2, a > R (рис. 2). Решением 今того"2, a > R (рис. 2). Решением 今того

"2, a > R (рис. 2). Решением 今того

"2, a > R (рис. 2). Решением 今того

где ①'(r) = f(r),以=(总2十絞十 2Ra sin а) уравнения является г①(广)=匕=const, т. е.

Если проводящий контур является четко определенным и топологи- чески неизменным, то эквивалентность, формулирювок Максвелла и Фарадея еле- дует из 70rо, что при всяком изменении магнитного потока, связанного с контуром, линии индукции пересекают его. В противном случае верна лишь фарадеевская формулировка. Так. в опыте Фарадея (рис. 1.11) контур не являеюя четко определенным, ибо неизвестно, по какому пути следуют электроны внутри диска. Если же связать магнитный поток Ф с

воображаемым контуром OAGO, то

dO/dZ = 0, но э. д. с. индукции & к 0, ибо диск пересекает Линни индукции, т. е. А① I 0・ В опыте же с тороидом контур С гальванометра не является топологически неизменном, ибо к нему прирастает петля челнока D. Поэтому, хотя d①/也卢 0, все же 8 = 0, так как контур С не пересекает линий индукции.

Если бы правило Ленца было неверным, то ток индукции был бы направлен так, что, взаимодействуя с магнитным полем, обеспечил бы дальнейший свой рост.

а значит, и неограниченный рост связанной с ним энергии в противоречии с зако

ном ее сохранения

Приравняем работу Л, совершаемую магнитным полем тока / над магнитным зарядом т при его медленном обносе вокруг тока, и работу А' возникающей при этом э. д. с. индукции:

А = /п § (В dl) = 4= С ^/ d/ — — Ф = ~^— / $

где ①=4冗加——магнитный поток полюса 他. 306

L15* "макс = (" — /1)2&/(4/亂 где /] *Встат*

Положить в (2.7) j = pdr/6L

p = jpdV, m=£/g|rP] dP+§Md匕

В сферических координатах из (3.7) выводим: д (г) = (2лг2)~г д (г)= ——(2гсг)г》(г); 6 (г—а) = 5 (г — а) 6 (9—餘)5(а—aa)/(r2 sin 仆).

Формула (3.8) получается переходом к переменной интегрирования 乡=屮(尤) в интеграле , / (х) 6 ftp (х)] dx.

Заменяя сингулярное выражение гг-3 на lim г [г (г2-j-а)]-1 и замечая, а —> + О

что div (”-3) = 0 прн /■卢 0, преобразуем (3.7) по теореме о среднем и теореме Гаусса — Остроградского:

< г (г2 а) ； 4л ? а-> +0 г2+а '

Е = Er = Q (г — а) Qr~2, где 0 (х) —ступенчатая функция Хевисайда, т. е. 0 (х > 0)二 1, 9(х < 0) = 6. Для нахождения Е {г — а) вычисляем силу dF, действующую на элемент заряда dQ со стороны всех остальных зарядов, т. е. Е (г — а)= =dF/dQ. Но dF/dQ = E — £со6, где E = Q/〃2 — напряженность поля вне сферы, Eco6 = q/2a2——напряженность собственного поля элемента заряженной поверхности, совпадающая вблизи этой поверхности с напряженностью поля равномерно заряженной бесконечней плоскости.

Так как [j*R]/?-3 = rot (j,/^-1), то (4.6) очевидно. Далее, rot「ot (『R-】)= = Vdiv(j'R~i) — j'A(R-i). Поэтому, взяв рогор от (4.5) и учитывая (3.9), находим

rot В —c-1v div，j'RTdI/‘十 (4л/с) j.

Переходим к переменной интегрирования R = г ——г'： vdiy，j(r——R)A~)(!!/〃 = =V，R-i div j (г—R)dVR=0, так как div j — 0. Отсюда и следует (4.2).

5.1. Взяв дивергенцию от (5.3), найдем д (div B)/dZ — 0. Поэтому, если (4.6) верно при / = 0, то оно верно всегда.

6Л. Полагая /< = div Е—4пр, из (6.3) находим дК/д1 = —4冗(div j + @p/df)三0 с учетом (2.7). Поэтому, если /< = 6 при / — 0, то К 三 0. С учетом результата задачи 5.1 убеждаемся, что для отыскания полей Е и В достаточно решить уравнения (5.3) и (6.3), т. е. система (6.4) непротиворечива.

В первом случае j = p% и р, Е, В суть функции от г —田t. Поэтому вектор X = В—с-1 [^Е], согласно (6.4), удовлетворяет уравнениям rot X =0, div X = =с~2 (t?v) (^^) или X = vw и Л(р = с-2 (^V)2 (р. Для ограниченной системы зарядов X ―* 0 прн 广一> оо. Поэтому умножение последнего уравнения на ф и интегрирование по частям дает § [(V屮产——，-2(审旷屮)2] dV = 0. При и < с подынтегральное выражение строго положительно, т. е. v<P = X = 0.

Во втором случае для вектора Y ^ Е4-с-1 [^В] получаем уравнения div Y — ——с? (&V)(&Y) = 4兀[р ——с-2 (^j)], rotY = 0. Однако для равномерного движения зарядов необходимо, чтобы в тех точках, где р W 0, было F = е (Е-|-сТ [оВ]) = 0, или Y = 0. Но тогда в этих точках р = с~2 (ej), и всюду div Y —c~2(v v) (^Y) = 0. Тем самым все сводится к первому случаю.

Согласно (6.7), в магнитном облаке, движущемся со скоростью и, существует электрическое поле Е =с~г [Ви]. На частицу заряда е, входящую в облако со скоростью 修°, действует сила (е/с)[(修° — и) В], и прирост кинетической энергии 11 *30俨

Рис. 3Рис. 3откуда и следует (8.1).2откуда и следует (8.1).211.1. &211.1. &2(ПР 7・П)(ПР 7・П)J S")J S")d/, где п~ j/лd/, где п~ j/л

Рис. 3

Рис. 3

откуда и следует (8.1).

2

откуда и следует (8.1).

2

11.1. &2

11.1. &2

(ПР 7・П)

(ПР 7・П)

J S")

J S")

d/, где п~ j/л

d/, где п~ j/л

打。выходе из облака равен АТ = — (е伍)(и [В Аг]). Но е (г0 [В Arj) > 0 (рис. 3) и поэтому sign АТ = — s/gn (uco). Таким образом, частица будет приобретать энергию, двигаясь навстречу облаку, и терять ее, его нагоняя. Однако первое более вероятно, и в среднем частица ускоряется. Это видно из следующего. Пусть распределение облаков по скоростям изотропно и задается функцией /(〃). Тогда число столкновений частицы с облаками за 1 с пропорционально / (〃) I и —— 修° J, а среднее значение (uz>0) пропорционально § f 化)I и — / I (ut»0) d3u < 0.

7.1. Рассматривая (7.2) как (2.7), проинтегрированное no малому промежутку времени, имеем р+ dq/df = j и с учетом (2.2) и (2.5)

平岩=工"招，

I € AY£ e AV

откуда после интегрирования по времени псвимаем (7Л).

Умножая скалярмо магнитпьш момент линейного тока

m =击叭Г川

на постоянный вектор а ина постоянный вектор а иприменяя теорему Стокса, находим

на постоянный вектор а и

на постоянный вектор а и

(ma)=~- J (n rot [arj) dS = ^-j (na) dS,

У множа я (13.10) вектор но на г и интегрируя по объему V, занятому источниками (включая среду), находим

e"h、Xj (/"。^十粤)dY =е〃" jx/“€>3 dV.(1)

Последний интеграл преобразуется интегрированием по частям:

—£"7 0/й d^ + E疗在 g 々々6^ dS.⑵

『s ,

Левая часть (1) по второму закону динамики приводится к виду (d/d?)(Л<；т}十";R)，где JW(m> и JW(f) суть моменты импульсов исючников и поля. Поэтому правая часть (1) должна сводиться к поюку мсмента импульса поля через окружающую поверхность S Но тогда объемный интеграл в (2) должен исчезать, откуда в//； = @/；i.

Интегрируя по поверхности S тела, находим F —F3 = ^ п/6з dS = s

=^―，[(nB) %—^ В'"，dS у 82so/(8冗)，где So — площадь полюсов магнита

Если и — скорость перемещения провода с「оком, 山=办一и — скорость свободного заряда е『относительно провода, то плотность мощности силы Лоренца равна

- >、(办丿=工丁 ' “‘{(ug戸I) ；(u“uB])}w

CAI-

I € АУl 匕

三;(u|jB]) + ；(nuB])wO.

Первое слагаемое, очевидно, характеризует видимую работу магнитного поля над проводом с током, а второе — его невидимую работу по смещению зарядов в проводе, которую можно еще рассматривать как работу вихревого электрического поля Е = сТ [нВ].

g = (jECT°P)—dwldt — div S

A(p£ = /(/—1) a2(pz_2.

162 P()=l, Pi = cos 也 P； = —sin 也 p2 = (3cos2 今一1)/2, P； = —⑶?”]!!?。, P^ = 3se2 仇

中(/■) = 4П j p (尸)r' dr' +号，p (尸)(尸)2 "’. гО

В плоском диоде уравнение Пуассона имеет вид <р" (х) = —4лр (х) с граничными условиями: на катоде ср (0) =(pf (0) = 0, на аноде q(，) = U. Из закона сохранения энергии найдем скорость эмиссионных электронов V (х) = (2| е | (р/т)1'2, откуда р (х)= = —"и, где ] = const. Поэтому ① удовлетворяет уравнению <р" = (а2/4)屮~〔方 при а2 = 8л/ (2т/1 е I)’’？. Его первый интеграл имеет вид (屮'户=а^ф"?. Отсюда 平'на*" и 4ф3/4 =3ах Отсюда и следует закон Ленгмюра.

18 2. В сферичесгвх коордш^пах (рис 4)

о ekK(k) , 2о ekK(k) , 24" s；n 04" s；n 0合+г2+2ar s.n 0合+г2+2ar s.n 0Так как К ⑷ а 1п(4/ 匕1 —讶)при ^^ 1, то вблизи кольца (心弋冗/2, г и а)屮弋

о ekK(k) , 2

о ekK(k) , 2

4" s；n 0

4" s；n 0

合+г2+2ar s.n 0

合+г2+2ar s.n 0

—|^/(ла)] In [г*/(8б?)|, где введено расстояние от точки наблюдения до кольца J = (a2+戸—2" S⑴ 0)1/2 .

ф^ — ( 1ф^ — ( 1Если 々 * 1, го к (万)之(1 +/2/4 +9内/64 + …)Я/2 и вдали от кольца (Г》а)

ф^ — ( 1

ф^ — ( 1

19.2. Учесть, что при г А。/

Ф/ (г) = Ф/-1 (「一a?) —Qt (г) у — ®у)勺/т (4

19.4, Используя (19.9) и (19.13), находим

Е・2 = 30г-7 {5r (ajr) (а2г) —г2132(3^)Ч-а|(а2г) —г(а,а2))}.

1^.5. Если заряд сосредоточен в ци-тиндрической области с поперечным сече' ннем S, то из (19.1) находим

<p(r) = —2，p(r，)ln|r—r」dS，,

где г —двумерный радиус-вектор. Отсюда по аналогии с (19.6) получаем мулы и- польное разложение (г > а > г1):

屮(「)= т£…1口 г,

где тензор мультипольного момента равен

Q”…〃 =j р (rj 尤'k —尤"dS';厶=1,2.

s

Очевидным аналогом формулы (19.9} является

屮£(「)= (—1)' + 12乂 Д (a*) In г.

Согласно (20.3), вклад элемента dSJf поверхности двойного слоя в потенциалы 屮土 справа и слева от слоя равен 土 2лт (г). Если 屮‘——вклад всех остальных элементов, то(р±=(р' 土 2лт (г), откуда и вытекает (20.5).

Учесть, что вблизи S' Рсннг二二俨} @ {/(「)}, Мсинг = [М] 0 {/(г)}, и использовать формулу 6* (х) = 6 (х).

22.1. Запишем для элемента векторной трубки поля D (рис. 5) теорему Гаусса: (rijDj) dS( — (п2О2) dS2. Вводя главные радиусы кривизны R) и R2 поверхности проводника (рис. 6), имеем: dg」А【&deq dg, dSz = (А ^ + d/) (&十 d/) dec】(1仪2・

Поэтому (n2D2) — (njDj) ——2/< (n2D2) d，，где К =(A” +A厂)/2 — средняя кривизна. При d/—* 0 получаем (22.12).

Используем сферические координаты (0 = 0——направление р). Если диполь ориентирован вдоль или перпендикулярно плоскости раздела, то имеем соответственно：

1.(р =1.(р =2р cos 0 /.戸 \ (£1 +网)г2 \ _布)2р cos 0 /.戸 \ (£1 +网)г2 \ _布)6р cos 9出二立运口▽6р cos 9出二立运口▽d, 2);d, 2);2.2.112)，n-^cosO ”1, 2).2)，n-^cosO ”1, 2).

1.(р =

1.(р =

2р cos 0 /.戸 \ (£1 +网)г2 \ _布)

2р cos 0 /.戸 \ (£1 +网)г2 \ _布)

6р cos 9

出二立运口▽

6р cos 9

出二立运口▽

d, 2);

d, 2);

2.

2.

1

1

2)，n-^cosO ”1, 2).

2)，n-^cosO ”1, 2).

В двумерном случае (цилиндрич<ские координагы):

. 4pcosa Л A12pcosa I с、

.屮=宀~「 1 - 二7 ， 3 =々7~л一「' = 1，2 ;

® + &2)八 出 /(£i + e2) а2'

с 2р cos а / . г2 \, с、

.屮『-^-(1 -庐} Mucosa (，= 1，2).

При смещении заряда е『на вектор 6г энергия системы 呼2 изменится на e/(3「v)2 屮〃2. Полученная квадратичная форма знакопеременна, так как сумма диагональных элементов ее матрицы равна 勺厶屮〃2 = (). Поэтому положение равновесия системы зар9Aов не может быть устойчивым.

В модели а гома Томсона напряженность поля равна

£ =—今+ 步 5 产p+d, (r<a),О

т. е. £ < 0 вследствие нейтральности атома. Поэтому, чтобы удержать положительные заряды в равновесии, необходимо ввести неэлектрические отталкивающие силы, так что противоречия с теоремой Ирншоу нет.

Пусть Е, D и Е', D' — соответственно поля до и после внесения диэлектрического образца. Из теоремы Гаусса — Остроградского \ Е《》—D)dV = 0, гак

как div(D'—D)=0. Поэтому изменение энергии поля равно 喚一％ = =-^- У [(ОТ7) — (DE)] dV —-^- J(E — e') (EE*) dV, откуда и следует (23.13). Если в область Уо вносится незаряженный проводник, то

呼ё-呼e = 一薪"呼ё-呼e = 一薪"(DE) dV + 2_^(DE) dV + 2_^[(»E') —(DF)] dV,[(»E') —(DF)] dV,

呼ё-呼e = 一薪"

呼ё-呼e = 一薪"

(DE) dV + 2_^

(DE) dV + 2_^

[(»E') —(DF)] dV,

[(»E') —(DF)] dV,

где Vx — область, не занятая проводником. Применяя теорему Гаусса — Остро* градского к области Vj с границей S】，имеемгде Vx — область, не занятая проводником. Применяя теорему Гаусса — Остро* градского к области Vj с границей S】，имеем§ EJ(A—D) dP =§ EJ(A—D) dP =в div(D‘一D) dVв div(D‘一D) dVdS = 0,dS = 0,так как div (D‘一D) =0 и проводник нейтрален. Поэтомутак как div (D‘一D) =0 и проводник нейтрален. Поэтому啖—叭= _R『 (DE)dV-2_啖—叭= _R『 (DE)dV-2_(D*—D) (E/—E) dP(D*—D) (E/—E) dP< 0.< 0.23.4. Из (23.8) и (19.13) находим энергию взаимодействия двух диполей К： =— (рЕ')=—3 (pa) (pza)/a5+ 4~(РР')/аЗ, где Е' — напряженность поля диполя р' (рис. 7). С помощью (23.15) находим:3F ="{5а (ра) (р%) —а2[р(ру)+ р，(ра) —а(рр)]},23.4. Из (23.8) и (19.13) находим энергию взаимодействия двух диполей К： =— (рЕ')=—3 (pa) (pza)/a5+ 4~(РР')/аЗ, где Е' — напряженность поля диполя р' (рис. 7). С помощью (23.15) находим:3F ="{5а (ра) (р%) —а2[р(ру)+ р，(ра) —а(рр)]},L= |рЕ'] = 3 [ра] (р，а)/а5一[рр」/аз.L= |рЕ'] = 3 [ра] (р，а)/а5一[рр」/аз.• Построим векторные трубки поля D, соединяющие проводники с потенциалами срь ф2 и зарядами Qi, Q2 соответственно. По теореме Гаусса, (nD) dS (「)= =4冗1][ dS「 где rji ——поверхностная плотность заряда на первом проводнике. Поэтому D — 4^Tr]J (г) и E = £-i，D, что позволяет записать разность потенциалов в виде (pj —— 屮2= , (Ei)d/ = 4nY]i \ (т *е-1-т) / (г) dZ. Суммируя по всемD 12D12взаимным векторным линиям D12, находим связанный с ними заряд первого проводника Q12 =，5 dS】=。12 (屮 1——屮2)・ В случае системы проводников, аналогично, Qfk = a/#((Pf —— 屮片)， откуда получаем соотношение Q$= £ Q/ == 2 aik(Ф/——<Pfe)» из которого и вытекает (24.4).Qi = Qz=Q (几一1)/(2几一1), Q3 = Q/(2，?一1).В цилиндрических координатах 屮= аа +力，где а, b ——постоянные. Поэтому емкость равна С —S sin (Р/2) [2лр (d2 —必)]-】In (厶/心).Если при деформации конденсатора объем, занятый полем, изменился на 61/, то изменение энергии поля равно 6Fe = [£"2/(8л)| 6V = — Q26C/(2C2). Поэтому ва = -號b以 [4 兀力 2(Ь 一 a)2]t； ^2 =d(a+6) [4 (a -m「二В сферических координатах(р = С, In tg (i^/2) + C2, где С1( 2 —постоян• Построим векторные трубки поля D, соединяющие проводники с потенциалами срь ф2 и зарядами Qi, Q2 соответственно. По теореме Гаусса, (nD) dS (「)= =4冗1][ dS「 где rji ——поверхностная плотность заряда на первом проводнике. Поэтому D — 4^Tr]J (г) и E = £-i，D, что позволяет записать разность потенциалов в виде (pj —— 屮2= , (Ei)d/ = 4nY]i \ (т *е-1-т) / (г) dZ. Суммируя по всемD 12D12взаимным векторным линиям D12, находим связанный с ними заряд первого проводника Q12 =，5 dS】=。12 (屮 1——屮2)・ В случае системы проводников, аналогично, Qfk = a/#((Pf —— 屮片)， откуда получаем соотношение Q$= £ Q/ == 2 aik(Ф/——<Pfe)» из которого и вытекает (24.4).Qi = Qz=Q (几一1)/(2几一1), Q3 = Q/(2，?一1).В цилиндрических координатах 屮= аа +力，где а, b ——постоянные. Поэтому емкость равна С —S sin (Р/2) [2лр (d2 —必)]-】In (厶/心).Если при деформации конденсатора объем, занятый полем, изменился на 61/, то изменение энергии поля равно 6Fe = [£"2/(8л)| 6V = — Q26C/(2C2). Поэтому ва = -號b以 [4 兀力 2(Ь 一 a)2]t； ^2 =d(a+6) [4 (a -m「二В сферических координатах(р = С, In tg (i^/2) + C2, где С1( 2 —постоянные. Поэтому емкостьные. Поэтому емкостьравнаравнаtg (6/4)] Г tg G/4)」tg (6/4)] Г tg G/4)」

где Vx — область, не занятая проводником. Применяя теорему Гаусса — Остро* градского к области Vj с границей S】，имеем

где Vx — область, не занятая проводником. Применяя теорему Гаусса — Остро* градского к области Vj с границей S】，имеем

§ EJ(A—D) dP =

§ EJ(A—D) dP =

в div(D‘一D) dV

в div(D‘一D) dV

dS = 0,

dS = 0,

так как div (D‘一D) =0 и проводник нейтрален. Поэтому

так как div (D‘一D) =0 и проводник нейтрален. Поэтому

啖—叭= _R『 (DE)dV-2_

啖—叭= _R『 (DE)dV-2_

(D*—D) (E/—E) dP

(D*—D) (E/—E) dP

< 0.

< 0.

23.4. Из (23.8) и (19.13) находим энергию взаимодействия двух диполей К： =— (рЕ')=—3 (pa) (pza)/a5+ 4~(РР')/аЗ, где Е' — напряженность поля диполя р' (рис. 7). С помощью (23.15) находим:

3

F ="{5а (ра) (р%) —а2[р(ру)+ р，(ра) —а(рр)]},

23.4. Из (23.8) и (19.13) находим энергию взаимодействия двух диполей К： =— (рЕ')=—3 (pa) (pza)/a5+ 4~(РР')/аЗ, где Е' — напряженность поля диполя р' (рис. 7). С помощью (23.15) находим:

3

F ="{5а (ра) (р%) —а2[р(ру)+ р，(ра) —а(рр)]},

L= |рЕ'] = 3 [ра] (р，а)/а5一[рр」/аз.

L= |рЕ'] = 3 [ра] (р，а)/а5一[рр」/аз.

• Построим векторные трубки поля D, соединяющие проводники с потенциалами срь ф2 и зарядами Qi, Q2 соответственно. По теореме Гаусса, (nD) dS (「)= =4冗1][ dS「 где rji ——поверхностная плотность заряда на первом проводнике. Поэтому D — 4^Tr]J (г) и E = £-i，D, что позволяет записать разность потенциалов в виде (pj —— 屮2= , (Ei)d/ = 4nY]i \ (т *е-1-т) / (г) dZ. Суммируя по всем

D 12D12

взаимным векторным линиям D12, находим связанный с ними заряд первого проводника Q12 =，5 dS】=。12 (屮 1——屮2)・ В случае системы проводников, аналогично, Qfk = a/#((Pf —— 屮片)， откуда получаем соотношение Q$= £ Q/ =

= 2 aik(Ф/——<Pfe)» из которого и вытекает (24.4).

Qi = Qz=Q (几一1)/(2几一1), Q3 = Q/(2，?一1).

В цилиндрических координатах 屮= аа +力，где а, b ——постоянные. Поэтому емкость равна С —S sin (Р/2) [2лр (d2 —必)]-】In (厶/心).

Если при деформации конденсатора объем, занятый полем, изменился на 61/, то изменение энергии поля равно 6Fe = [£"2/(8л)| 6V = — Q26C/(2C2). Поэтому ва = -號b以 [4 兀力 2(Ь 一 a)2]t； ^2 =d(a+6) [4 (a -m「二

В сферических координатах(р = С, In tg (i^/2) + C2, где С1( 2 —постоян

• Построим векторные трубки поля D, соединяющие проводники с потенциалами срь ф2 и зарядами Qi, Q2 соответственно. По теореме Гаусса, (nD) dS (「)= =4冗1][ dS「 где rji ——поверхностная плотность заряда на первом проводнике. Поэтому D — 4^Tr]J (г) и E = £-i，D, что позволяет записать разность потенциалов в виде (pj —— 屮2= , (Ei)d/ = 4nY]i \ (т *е-1-т) / (г) dZ. Суммируя по всем

D 12D12

взаимным векторным линиям D12, находим связанный с ними заряд первого проводника Q12 =，5 dS】=。12 (屮 1——屮2)・ В случае системы проводников, аналогично, Qfk = a/#((Pf —— 屮片)， откуда получаем соотношение Q$= £ Q/ =

= 2 aik(Ф/——<Pfe)» из которого и вытекает (24.4).

Qi = Qz=Q (几一1)/(2几一1), Q3 = Q/(2，?一1).

В цилиндрических координатах 屮= аа +力，где а, b ——постоянные. Поэтому емкость равна С —S sin (Р/2) [2лр (d2 —必)]-】In (厶/心).

Если при деформации конденсатора объем, занятый полем, изменился на 61/, то изменение энергии поля равно 6Fe = [£"2/(8л)| 6V = — Q26C/(2C2). Поэтому ва = -號b以 [4 兀力 2(Ь 一 a)2]t； ^2 =d(a+6) [4 (a -m「二

В сферических координатах(р = С, In tg (i^/2) + C2, где С1( 2 —постоян

ные. Поэтому емкость

ные. Поэтому емкость

равна

равна

tg (6/4)] Г tg G/4)」

tg (6/4)] Г tg G/4)」

247 Изменение энергии поля при произвольном изменении распределения зарядов в проводниках равно

Р/с. 8ное изменение проницаемости 6f — 6NР/с. 8ное изменение проницаемости 6f — 6Nэтом совершает работу, то его энергия уменьшится, т. е. |см (23 13}] 8几 = - £%£]p]—£,2^£2^2 =。2 I %]I(eТ2 J 以2)у < 0♦ 0теЮДa 修〉f■?.этом совершает работу, то его энергия уменьшится, т. е. |см (23 13}] 8几 = - £%£]p]—£,2^£2^2 =。2 I %]I(eТ2 J 以2)у < 0♦ 0теЮДa 修〉f■?."、4l^（3广1（2"）k一2Е],产"、4l^（3广1（2"）k一2Е],产^ar sin 兮々2十"+ 2ar sin仆^ar sin 兮々2十"+ 2ar sin仆

Р/с. 8

ное изменение проницаемости 6f — 6N

Р/с. 8

ное изменение проницаемости 6f — 6N

этом совершает работу, то его энергия уменьшится, т. е. |см (23 13}] 8几 = - £%£]p]—£,2^£2^2 =。2 I %]I(eТ2 J 以2)у < 0♦ 0теЮДa 修〉f■?.

этом совершает работу, то его энергия уменьшится, т. е. |см (23 13}] 8几 = - £%£]p]—£,2^£2^2 =。2 I %]I(eТ2 J 以2)у < 0♦ 0теЮДa 修〉f■?.

"、4l^（3广1（2"）k一2Е],产

"、4l^（3广1（2"）k一2Е],产

^ar sin 兮

々2十"+ 2ar sin仆

^ar sin 兮

々2十"+ 2ar sin仆

где I/q——область, занятая проводниками, a Vj — диэлектрдасом. Как и в з^рче 23.3, ,Е ・(D，— D) db = 0, откуда

步;—Ке 餐 急 § (D'E') d^+急 § * (E'-E)2dV > 0.

v,

г] — 9A£0 cos 0/(4〃)；屮(г < b) = 3人Eg соь 0 (削/八一1) 6 (г — а); ср (г > b)= --EQr cos f> {1 — (X/r3) [63(8 — 1 )4-t?3 (2e 卜 1)]}, где A [e +2+2 (e —1) fl11^3]"1.

屮(r < a) = 0,屮[=—£or cos О (1 —а2/г2), 02 = — (Si/t'a) & 广 cos 5 (1 —а%?)； “нЗсКо cos 3/(4兀)

26.1. В диэлектрике(p = —(2k/e)x X]n(r/rf) (рис. 8), т. e. эффективно поле создав тс я двум? параллельными нитями с зарядами 土 к, положение которых <ОО] — Z, d=，一了”二鬲 находится из (26.17). Потенциал цилиндра(р0—(2х/е) X Xln(a/d), что позволяет вычислить энергию поля 1取《 = 乂屮"2 ?( силу притяжения цилиндра к плоскости (на 1 см длины) F =—0步 JO/=—Ю①/(£ //—a2).

Допустим, что под д( йствисм эл：. ктричсского поля в пограничном слое некоторое количество электронов 8N перс шло из области 匕=丫 в среде / в область %=厂 в среде 2, вызывая локаль- т. е. 6сг~ — 6е2 < 0. Так как поле при

В цилиндрических координатах имеем:

/ — /2» 6 = 6口 =》/(⑺，А = Аг = — (2J/с) \п r\

/ = ja, 3 = 8? = (4冗")тг/В (а —广)，4 =片夕=8r/2 +Н (广一«) 2nnla2/(cr).

В сферических координатах (рис. 4) имеем:

^ In ( 4/ /1 —胪)，т. е. Л ^ (2//с) [1п (2а/>) — 2], где г' = (а2 + г2 — 2ar sin 仆尸汽一^ In ( 4/ /1 —胪)，т. е. Л ^ (2//с) [1п (2а/>) — 2], где г' = (а2 + г2 — 2ar sin 仆尸汽一А = [mr]"3 +[т'「']/(г')з, где m' = m —2n (mn). 片=(=—(2/|i/c) In (々/а) (рис. 9; d = l~ К/2— fl2),Вша^ -卩В (г-a){Н0[1 +。3/(2Г明-зг (ног)炉/(2书}, Виил = рО (r-а)因 JI 十 а?〃2)-2「(Ног)壮“卄А = [mr]"3 +[т'「']/(г')з, где m' = m —2n (mn). 片=(=—(2/|i/c) In (々/а) (рис. 9; d = l~ К/2— fl2),Вша^ -卩В (г-a){Н0[1 +。3/(2Г明-зг (ног)炉/(2书}, Виил = рО (r-а)因 JI 十 а?〃2)-2「(Ног)壮“卄

^ In ( 4/ /1 —胪)，т. е. Л ^ (2//с) [1п (2а/>) — 2], где г' = (а2 + г2 — 2ar sin 仆尸汽一

^ In ( 4/ /1 —胪)，т. е. Л ^ (2//с) [1п (2а/>) — 2], где г' = (а2 + г2 — 2ar sin 仆尸汽一

А = [mr]"3 +[т'「']/(г')з, где m' = m —2n (mn).

片=(=—(2/|i/c) In (々/а) (рис. 9; d = l~ К/2— fl2),

Вша^ -卩В (г-a){Н0[1 +。3/(2Г明-зг (ног)炉/(2书}, Виил = рО (r-а)因 JI 十 а?〃2)-2「(Ног)壮“卄

А = [mr]"3 +[т'「']/(г')з, где m' = m —2n (mn).

片=(=—(2/|i/c) In (々/а) (рис. 9; d = l~ К/2— fl2),

Вша^ -卩В (г-a){Н0[1 +。3/(2Г明-зг (ног)炉/(2书}, Виил = рО (r-а)因 JI 十 а?〃2)-2「(Ног)壮“卄

Вдали oi юка 伏 «) К в|1Т 壮/4 +《左』/34| (又⑵，Е в [1—4-2/4 —3^4/64] (л/2),

т. е. 4 = ла2一. Вблизи от тока (А ^ 1): £ ^ 1, К у

с^-\「2 卜2打 SE 0)3/2/

расстояние or точки наблюдения до контура.

Магнитный потенциал нм( ет 8H工 屮(г > а) = — G (Ног) г-，屮(厂 < fl) — — (Hor), где Ho= — 4лМо (卩* 2)т = Н (г < а).

ip = (mr)/ry4-(m/r/)/(r/)3. где т'= =—m + 2n (mn), п — нормаль к стенке；厂，г'— расстояния до магнита и его отражения соответственно.

Магнитный поток Ф, связанный со сверхпроводящим контуром С, не можег измениться, ибо в сверхпроводнике В — 0 и линии индукции не могут пересечь контур. Поэтому справедливо равенство (31.3), отк уда R=0.

31 a согласно31 a согласноПрименим теорему Стокса к одной из линий индухц^и С, касающейся, граничному условию (пВ) — 0, поверхности сверхпроводника. Имеем

31 a согласно

31 a согласно

夕(В dl)с夕(В dl)ссс8d/= )(n rot В) dS = 0,8d/= )(n rot В) dS = 0,

夕(В dl)

с

夕(В dl)

с

с

с

8d/= )(n rot В) dS = 0,

8d/= )(n rot В) dS = 0,

то магнитный поток【крез негото магнитный поток【крез негототоКВН）—（ВН）］КВН）—（ВН）］db,db,

то магнитный поток【крез него

то магнитный поток【крез него

то

то

КВН）—（ВН）］

КВН）—（ВН）］

db,

db,

так как поверхность S можно расположить вне образца благоляпя его сАно- связности. Отсюда В = 0.

Г = 4лц№( /У— j/"7)2.

Со гласно результату задачи 29.1, ьб/изн кольцу 4 = % =(2//с) [1п (8а/га) — 2], откуда L = 4лй [In (8а/г0) — 2|.

Вначале сила тока растет линейно с напряженностью На поля (рис. 10, участок ОА), поскольку ①=兀。2〃0 — £//& где L = 4ла X Х[1п (8а/г0) —2]. Но при 〃з= На напряженность поля вблизи внешнего обода кольца, где

и кольцои кольцоона максимальна, станет равной Нкр

и кольцо

и кольцо

перейдет в промежуточное состояние,

этом HKV — [2//(сг0)| + 2Н0, г. е. поле склады-

искаженногоискаженноговается из поля тока 2//(сг0)

искаженного

искаженного

внеш нс го поля 2//0 (см. задачу 31.4) — учасюк

ЛВ. Отсюда "а = ^ 〃кр ( 1+器

〃о>〃кр/2 кольцо перестает быть сверхпроводящим и наведенный в нем ток отсутствует (участок 8С8). С убыванием поля, т. е. при 儿 < "кр/2, кольцо вновь переходит в промежуточное состояние, когда напряженность поля рблизи внутреннего обода равна 〃кр = =2儿一2/,(сг0) (участок BD). В самом деле, если бы при этом кольцо Сыло сверхпроводящим,

был бы постоянным:①=几〃2日0—Li /с = ла2Нк^/2, откуда / — (2//0 — /Укр) па-х Xc/(2L), и вблизи внутреннего обода Н=2На—21 /(cr^=^2НQ—(2//0—/7кр) яа2/^/.^). Оценим разность И—/7кр— (2Н0—Нкр) [\—ла2/(Ьг^]. Положив 尤三 а/(4«), имеем у = jia2!{Lr^ —х (In 32х — 2)~1 > х (In х-р 1,5)-1, ибо In 32 < 3,5. Таким образом, уже при х > 3 будет у > \ и Н > /-/1{р, т. е. достаточно тонкое кольцо не будет сверхпроводящим.

Поскольку при внесении магнетика rot (Hz—Н) = 0, то Н' — Н = vx и ,В • (Н‘ 一 Н) dV — —，％divBdP = 0. Аналогично получаем ，В' • (Н‘ 一 Н) dV —0,

откуда и следует (32.21).

Если в область 九 с границей S。вносится сверхпроводник,

где Vi — область, не занятая сверхпроводником. Поскольку (nBz) | s0 —0 и Н' — Н = VX в области %, то

『В“М —H)dV = -『В“М —H)dV = -X div В' dP —X div В' dP —,(nBz) %dS=O, S。,(nBz) %dS=O, S。

『В“М —H)dV = -

『В“М —H)dV = -

X div В' dP —

X div В' dP —

,(nBz) %dS=O, S。

,(nBz) %dS=O, S。

В результате

旷木一设巾二一*^(BH)dY—(в'-в).(н-—н) аи < о.

Bl JJ

Со1юс【ав〃м то печному магнитному моменту m плотность тока j — с rot {тб (г)}. Энергия его взаимодействия с магнитным полем Во = rot Ао

равна l^m==-~ J(JAe) dV = (шВ0). Отсюда (см. задачу 23.4) F= Wh = (my)B« L = [rnBJ

34.1. Из уравнений (34.8) и (34.9) наход-им (рис. И)：

°1 ctg а1 =仃2 ctg 仪2, ^Л = (nj)(82/^2 一 Si/cjj).

Для любого сечения трубки тока, соединяющей проводники с потенциалами epi и (р2> (可)dS = (nih)加 1, где dS] — элемент поверхности первого проводника. Выбирая п = т = j//t находим Е = a-1.j=j1/ (г) (а~1 * т), где / (г) = dS)/dS (г). Интегрируя Е вдоль линии тока, находим

22

<Р1—屮2 = § (Е dl) = A / ИО (T-a-^^dZ.

Суммируя ji по всем линиям тока, связывающим проводники, получим，/] dS〕曰 /12 =

=(屮]—(р2) ^12» где &12 задается (35.6). Для произвольного набора проводников 〃 = =分厶々=屮上 (仇飞+ X 6*)- 2 仇%中历 rw %0 относится к линиям тока, уXо-

дящим в бесконечность. Отсюда и вытекает представление (35.5).

Если заданы силы токов 〃, стекающих с электродов S『，то при любом изменении распределения токов в проводящей области Р

,Е・(『一j)dV=, tpdiv 什一j) dV + W 夕屮 n・(『一j) dS = O.

Поэтому изменение джоулевых потерь равно

\ [(j/E,) —(jE)] d，=) cj(E' —E)2db > 0.

О, — и)—О, — и)—цилиндри-цилиндри-Записывая закон Ома в вл де j = a (Е4-С'1 [vB]), гд^ 书=(0,

О, — и)—

О, — и)—

цилиндри-

цилиндри-

скорость электронов проводимости, находим поле внутри провода з 匸二二二二二？：： веских координатах: В~ Ва = 2лг//с, Ег — ~ 2лг/и/с2; Ег = //а, и вектор Пойн- тинга' Sr = — г/2/(2а), 5工=—冗厂？产口/發，что соответствует плотности заряда

,・、/2••z \ In (r/rn)

p = Wj)/”，где / = /z = 1 /(яа^). Потенциал вне провода ср =/(―^不丿 jn j@； 卜 что соответствует поверхностной плотности заряда т|=/ (лй2о/с24-г/а) [4ла X Х1п(а〃(1)]Т*

Противоречия с законом сохранения заряда не возникнет, если записать (37.14) в виде —dQ/d/= 4ji(jQ/£ = и 夕(пЕ) dS — сила тока сквозь бесконечную сферу

239.1. &=爵 £(£”,r,S= 1239.1. &=爵 £(£”,r,S= 12

2

39.1. &=爵 £(£”,r,S= 1

2

39.1. &=爵 £(£”,r,S= 1

5 =£ (—W + 1(E呼

竹 r. S=1

Учитывая, что энергия волнового пакета U7 = ^ ш dV есть интеграл движения, и используя теорему Умова — Пойнтинга dw/dt-{- div S = 0, имеем u = dR/d/=!F-i j r (dw/dt)叱=—Г"1 ^ rdivSdl/^F-1 ^ SdV( т. e. центр масс пакета движется с постоянной скоростью 修(так как ，§ dP —— интеграл движения)・

3f4 -

Так как. 1 S 1 V eен/(4Л)= 2 mЁ卩e应气/(8门｝4 (8£2+段/**巾/佃()=0电2，то t/Vu» Ег*1111 волновой пакет движется в вакууме как единое целоег то Е = 1=Е(г —%»), В = В(「——®/), где а<с. Если и < с, то из теорем Тсмсона (6.6｝ и (6.7) выводим: сЕ = [В矶，сВ — [®Е]* 匸 & Е (и2 — с2) = ?г(®Е) — 0, или Е 三 О, ■что невозможна. Поэтому остается принять, что v~c. Но в таком случае S = c叫 (ЕВ) = 0\ Е=В w плотность импульса 且=5/仪=整代/产，откуда и вытекает (39.15). Заметим, что если пакет движется вдоль оси z, то напряженность Е (г ——с/) поля удсвлетвор'яег уравнению (^2/^х2Н- d^jdy2) Е = 0-, т. е. дв\мернсму уравнению Лапла-ся. Поэтому если Е (х, у——* 8)= 0, то по принципу максим)ма Е = 0. Это означает, что в поперечном направлении пакет не должен быть ограниченным.^ т. е. Е (х, у—>8｝卢0・ Как следует из (16.12), таксе поле должно иметь вид Е (z ——ct) (плеская волна).

Для расчета давления света на зеркало используем (39.20), полагая В = [sE] и В" = 5'Е"| = —[sE"l：卩= /=(ЁТЁ^(8兀) + (&ТКф7(8л) = Е气 1+贸)/(4兀).43.1. Согласно (13.4) и (13.56), импульс, уносимый излучением в одну секунду, с учет(,м (43.6) равенdS = , п [б2/(4л)] dS — ^n [пр]2 dQ/(4nc4) = 0.Для расчета давления света на зеркало используем (39.20), полагая В = [sE] и В" = 5'Е"| = —[sE"l：卩= /=(ЁТЁ^(8兀) + (&ТКф7(8л) = Е气 1+贸)/(4兀).43.1. Согласно (13.4) и (13.56), импульс, уносимый излучением в одну секунду, с учет(,м (43.6) равенdS = , п [б2/(4л)] dS — ^n [пр]2 dQ/(4nc4) = 0.Для монохроматических волн металл межно рассматривать как среду с комплексной диэлектрическс>й- проницаемостью & w &'4~ -j-z^aa,^). Поэтому, полагая в (40.13), к= Vе, имеем 况= |(/ б —0/( К£ + 0 I2 или для 仃》3 笈 Q 1— V2со/(ла).

Для расчета давления света на зеркало используем (39.20), полагая В = [sE] и В" = 5'Е"| = —[sE"l：卩= /=(ЁТЁ^(8兀) + (&ТКф7(8л) = Е气 1+贸)/(4兀).

43.1. Согласно (13.4) и (13.56), импульс, уносимый излучением в одну секунду, с учет(,м (43.6) равен

dS = , п [б2/(4л)] dS — ^n [пр]2 dQ/(4nc4) = 0.

Для расчета давления света на зеркало используем (39.20), полагая В = [sE] и В" = 5'Е"| = —[sE"l：卩= /=(ЁТЁ^(8兀) + (&ТКф7(8л) = Е气 1+贸)/(4兀).

43.1. Согласно (13.4) и (13.56), импульс, уносимый излучением в одну секунду, с учет(,м (43.6) равен

dS = , п [б2/(4л)] dS — ^n [пр]2 dQ/(4nc4) = 0.

SS

432 Орбитой электрона будет гипербола (рис. 12) р/г — 1 Ц-е cos (О —储), где 8 = (1+ 4£2^2/a2)1 2, p = 262£/a, a —Ze2, £ =叭?；/2, tg% = —2E力/а. Считая излучение слабым, используем интеграл движения г26 —6с"о и запишем п отерп энергии на излучение в виде

+ 8

…口,2 叫4е2a2 , g Z%】。 Г„ / 3 .2Е^\.ЗЕЬД

J ссSmeC^bVa J 厂3力％炉少E2G° L \ z 乙 e /乙e」

В случае рассеяния на малые углы ЕЬ^>а и получается известная формула Бора А”jiZ2e6/(З/п^с^Ь-Ч'о).

Используя потенциалы Герца, из (44.14) выводим ^ — с-1 (пП), А — =с~ ^—c~"nZ], откуда и следует (44.16).

В указанном приближении & у (ЖЦ-с~ 1Ж/'п/)/г( откуда Pi = ^ (北产+ + ~〈[пЛ?『1・[п求竹 ntnk>t где <.. .> означает усреднение по углам. Умножая (44.2) на W и интегрируя по объему, находим JH = p/c, а после умножения (44.2) на хй* и интегрирования получаем 3fsi =——[nm]4-n*Q/(2c), где Q ——тензор квадрупольного момента системы. В результате второе слагаемое в мощности излучения преобразуется к виду —^[nm]2-]-^ [nQ*n]2+-^-(m[nQ*п])у Но последнее слагаемое исчезает, так как с учетом симметричности тензора Q и равенства 3 <л/л^> = 6；^ оно сводится к Q^^Skii — О1. При вычислении скаляра /("^ <[nQ*n]2> используем в качестве осей координат главные оси тензора Q, в которых Q^— =@@Поэтому K= QlQk <n1nk -冠窟>=@为)/5-(№)/电 так как 15〈冠冠> =1十23注.Отсюда и вытекает (44.20).

Для получения Р【и РЕ нужно проинтегрировать по сфере выражения

О даетО даети (46.17). Из сферического треугольника, натянутого на векторы V, $, п (рис. 13), находим cos % = cos 今 cos а Ц-sin Osin a cos Ф; Поэтому усреднение по углу <(п%)2)© =(6)2 (п®)2/и2-|-[1—3 (пи)2/и2] [с®]2(2и2)'1, <(п®)>0—(п®) ^)!^.

О дает

О дает

J*J*Наконец, после усреднения по 9 получаем (46.20) и (46.21).

J*

J*

Исследуя на максимум выражение〈dP石/dQ、®, полученное в задаче 46.1, приходим к уравнению Xu2 (X-j- +1)_ 1Ц- 8w/3 + w2/c2 — 1=0, где 辽=1 — (пи) с/и2,入= =6 ⑺ 2/[廿 и『} — 3c2/(2z?2)一 1 /2. Из этого уравнения с учетом того, что при и^с (рис. 13)九^ ctg2a—1, ^十 4- 1 ^ ctg2a ——2~i(l—г|2/с2), получается нужный результат.

Используя цилиндрические координаты и полагая 乙，= t；z, х^ г—и?, приводим уравнение (46.7) к форме

у (х)三(г2 + х2) "ММ — (х — z + W)2 = o

Проанализируем его решения в двух случаях: и < с и г > с. Luce. В этом случае корни равны

尤 1 2= Y° {(2 —Н) 士 仞с) [(z —吟2 +『2/丫2卩/2 卜，Y = (1—t?2/c2)~"2.

Поскольку y(N—ut) = (и2/с2) |г24- (г—屮产]> 0. То X2.> Z~vt > Xi и условию запаздывания g < t удовлетв( ряет лишь 也 Подстановка этого корня в потен циалы Льенара — Вихерта дает:

Ф (/, г) —еу [г2-Ь у2 (z — 0/)2厂 I'®; А =(ри/с

ной волне47.1..48.1.,ной волне47.1..48.1.,! — конусу Маха.〃 = "()ехр |—2收/Г/©"产状)".Для эллиптически по/ярнз’bfiho访 пл( ской волныЕ = &(еТ /а |se)) ехр [/ (кг) —，М], к = sw/c, (es) = 0, а ?= 1.! — конусу Маха.〃 = "()ехр |—2收/Г/©"产状)".Для эллиптически по/ярнз’bfiho访 пл( ской волныЕ = &(еТ /а |se)) ехр [/ (кг) —，М], к = sw/c, (es) = 0, а ?= 1.2. и > с. В этом случае корни равны 乙方=w°{3 — z) 士(d/c)[(z — и/)2 — r2/v2]1/2}； у = Цу2ус2^ — I]-". WcKQ/bK、y(z —E)〉0, то условию запаздывания удевлет- воряют оба корня, если 2~J (л^ Ч- х2) — v2 (z — vt) > г——vt, или г < Ы. Отсюда ф —2(^v [(г—”产旷2一r2]_ !/2 0 ^ 一 г — л/v), А =(р%/с Это поле представляет соб й коническую электрсмягнитную >парную волну, аналогичную сверхзвуксвой удар-

ной волне

47.1..

48.1.,

ной волне

47.1..

48.1.,

! — конусу Маха.

〃 = "()ехр |—2收/Г/©"产状)".

Для эллиптически по/ярнз’bfiho访 пл( ской волны

Е = &(еТ /а |se)) ехр [/ (кг) —，М], к = sw/c, (es) = 0, а ?= 1.

! — конусу Маха.

〃 = "()ехр |—2收/Г/©"产状)".

Для эллиптически по/ярнз’bfiho访 пл( ской волны

Е = &(еТ /а |se)) ехр [/ (кг) —，М], к = sw/c, (es) = 0, а ?= 1.

Согласно (48,1), (48.5) и (48.6), дифференциальное сечение равно

do = kdQ [1 Т (пе)2 (а2—1)4-а2(ns)'2| (1 Ч-а2)'1 {1 + [2coro/(3c)J'2} полное же сечение с впадает с (48.8).

Согласно (50.7) и задаче 30.1,育=(т(о)/(ос),『де m = М^пМ (卩十 2)f 】一 магнитный момент шара..

Полагая /, = —е『(i=l, 2, 3), имеем:

厶叁 /e2 + (ё:-ё2)/& = e- Rg,L2e2/C2+ l23е3/e2'~(/一ё2)/& + 内/e2 = - ^2^2#L3e^/c-~\- L23e2/c2—e3/Cs^0.

Обозначая через z координату свободного конца катушки и считая, что разрыв цепи происходит при г — 0, имеем:

a = 后2/6 -mgz/2+L*/(2d),纫=r/2/2-/^8(一力，

где L — a {I — z)~】，。=4兀？N2r2 Уравнения движения имеют такси вид:

2z+3g = 3乡2/(加矶乡+乡(，—z) Rc2/au ^B (-z),g0 L1 /g2.

График процесса представлен на рис. 14..

П^сле скалярного умножения (52.3) на Н и интегрирования по частям с учетом граничных условий находим

^5^ j HMV = -^(rotH)2dV < 0, т. е. dH/dt < 0.

Записав (52.10) в виде I ^ Ей^ (~ М) Z-1, находим импеданс Z — (2лааб)~1 (1—(), откуда ^внутр£2 = —Im Z/(o = (2лаа6(о)~1.

Полагая в цилиндрических координатах 〃 = 〃а, Для В「日 ^^, согласно (54.5), получим уравнения dBr/dt — vm (Д — r _ 2) Br, dBz/dt = vm ЛВ2, из которых, как и в задаче 52.1, вытекает, что 占广，В2 затухают с течением времени. Таким

образом, при / —> оо fuB] —> 0 и (54.5) принимает вид 0В/О/ — vm АВ, т. е. в соответствии с задачей 52.1 В —> 0 ири / —^8.

В~ (a-J-rot) rot С, где С удовле1воряет уравнению Гельмгольца (Л + а2) С = 0. Согласно (54.23) и (54.5), векторный потенциал А уде влет- воряет \равнениям rot А =аА, dA/^Z — [u rot А]. Поэтому для его реальных вариации 6А — =[u rot А] б/, (6А rot А) — 0 и вариация магнигмей энергии в области У с границей М равнз

6»由=止 У B*(rot 6А —adA) dV —

=± у 6A*(rot В — аВ) d匕

Здесь выполнено интегрирс вание по частям с учетом того, что 6Als =0. Поэтому с учегсм (54.23) 61rm = °，т- е. бессн/свое поле реализует минимум энергии магнитного поля.

Считая пре видимость электронной и полагая Е = (—?, 0, 0); Е'= = Е^с~1 [uB] = (—Е,—辽8/с, 0); j = 0x, jy, 0), согласно (56.13) и (56.5), получаем- /х = а/ (1—fe) рйи/с; /( = — d (1 孑8%) 8辽/с, где h= U丨<§ = Ес]®нВ)— параметр нагрузки, о'三 о (1 十旷厂二 Отсюда для объема V = 1 см3 находим1 электрическую Р и механическую /V мощности: Р — — /х£х = с'^В2 (u/c)2 k (1—片)， ^^ — jyBu/c = G, (1 +P2^) B2u2/c2 и % = P/A/ = B2‘(1一左)(1+§2舟-i.

1. Согласно (25.1), дипольный ме мент металлического шарика радиуса а равен р = аЗЕ, т. е. а = а2 2. Считая, что в а тс ме Томсона (см. задачу 23.2) положительный заряд равномерно распределен по объему шарика радиуса а, находим возвращающую силу, возникающую при смещении электрона: F =——「迎/炉 Отсюда а = а3. 3. Усредняя по времени и по ориентациям орбиты уравнение движения электрона в атоме тег — —е2гг ~3 -[-еЕ и полагая ^rr~3> ^ а-3 <г>, i де а^К1 <т^ ——б- ровский радиус атсма водорода, находим <г>= Е(73/г, т. е. опять а~ «:1. Строгий квантовый расчет дает а = 9а3/2.

Подстан^ вка в граничные условия (22.9) потенциала (р (г < R) ~ 三一£V cos О', (р (г > R)~ cos О1 (С/r2—Er) дает уравнения Е' ~ Ё ^CR~3, £'= £ (Е +2СК~з), разрешая которые приходим к (58.21).

Учитывая действие силы Лоренца и центробежный эффект, находим напряженность действующего поля Е，二 Е 十(4兀/3) Р + те«>「(Q + ①)/% где 盘= — еВ^/^т^с), и полярнзованность Р= NeanE* = Neccn [Е + 他еЗ「傳 十①)/?] X X(f—4a^Vean/3>~1. Отсюда 举产^二—2^eaп (meo>/e) (ш-pQ) (1 +8^Neari/3)-1, E = _ 2лосвязг0 (。一厂)，т]связ--рСвЯ3^/2.

Момент силы Лоренца представим в виде (р/с)[г[еВ]] = [СК] + 十 ^ (壷[г [гВ]]) . где ◎ = —сВ/(2т©，К = те [г®]. При усреднении по быстрым электронным движениям последнее слагаемое исчезает и получается уравнение прецессии момента К с угловой скоростью ◎ (теорема Резаля): К — [ЙК].

По Лоренцу и Онсагеру имеем соответственно:卩=(3十2旷)(3 — v)-1,

卩=(1/4) [3v-h 14-3(1+ 2V/3 + 丫2尸/2 ],

f де v = (4л^e/3) [mo/(^T) —Zf2 <r2>/(2mec2)].

Пусть q «, г) —отклонение электрона от среднего положения г. Тогда пи.чяризсваннссть равна Р — ^eeq и Р = E^ee2/me. С учетом квазинентральносги плазмы имеем рр — — div Р = div Е/(4л), т. е. рр-[-(0прр —0.

ООООУчитывая, что энергия отдельного электрона равна те (<о2 + о)с) г2/2, при усреднении получаем

ОО

ОО

屮=7^ (] eg 产 + | Bg 户)+号 ne О

что приводится к виду (61.33) в области прозрачности.

Выражение §位2(1匕 пользуясь представлением 6-функции б (к—к')= =(2兀)一3 s е"к~к')・r dv, запишем в форме

-у Re J Ео(к) ・К(к')е〃〔备x)-s(k)] f Д ^(к-И-r d3^ d3^ dP =

=-4炉Re§ Ео(к)-Ео(кЛ)产&忆…化)鳴5 (к—к) dMd"\

что после интегрирования по частям сводится к следующему: 4冗3/, | Ео (к) |2Х Хехр [2(ow (к) “(ds'/Ok) cP电 Если si《2冗，то ехр (2со,7) « 1, поэтому 自(/)= / f I Ео『(0(y/dk) d*

.Учитывая, что функция | Ео (к) | отлична от нуля лишь ,IE。》

в малой окрестности точки к=к”，приводим | (/) с помощью теоремы о среднем к (61.36).

функциивается вфункциивается вСогласно результату задачи 39.2 и с учетом сильной локализации I Ео (k) I вблизи к — к0 скорость центра масс волнового пакета запнсы- виде 修=呼一1§ SdV^S/ш, где в соответствии с (61.22) и (61.33)

функциивается в

функциивается в

S =尸喂 I Ео (ко)户，) Ео (ко)户?(co%，)I •

8лсо(ко)'16лсо "I 03 '|k=k°

ПоэтомуПоэтому

Поэтому

Поэтому

E' = E+cT[dB], В' = В.

1. Поляризованность и плотность тока в диэлектрике, движущемся со скоростью vt имеют такой вид:

Р = 5 £ e^t (/, г); Ролн= д^ £ е/М„.г)+ орполн, 1€АУ16 AV

где q?(f, г) — смещение заряда ⑦ относительно точки г образца, выбранной центром ячейки АР. Поскольку dq/ = q, (/+ df,「+ 幻山)一q『(f, г) = d"@/方f 十(修v)] q,, то jnouH = бр/@/+(оу)p一adivP и уравнения Максвелла принимают такой вид:

1 円4л

rot В = — — (Е + 4兀Р)4--^-[(修V)Р —% div Р],

rotE=—丄空div В = О,с dt

div(E十43Tp) = 0, Р=^(Е+^["В]).

сг, £0 В

Отсюда, пренебрегая членами порядка 叫风 получаем уравнение ДВ—— -^"

в виде плоской волны В = В()е'位门73‘，гдев виде плоской волны В = В()е'位门73‘，где(st?)рость волны равна(st?)рость волны равна=0 с решением 1/2=0 с решением 1/2,л — К е, s ——единичный вектор. Фазовая ско-,л — К е, s ——единичный вектор. Фазовая ско-

в виде плоской волны В = В()е'位门73‘，где

в виде плоской волны В = В()е'位门73‘，где

(st?)

рость волны равна

(st?)

рость волны равна

=0 с решением 1/2

=0 с решением 1/2

,л — К е, s ——единичный вектор. Фазовая ско-

,л — К е, s ——единичный вектор. Фазовая ско-

уHsu пуHsu п

уHsu п

уHsu п

Если рассмотреть движение отдельного фотона в неподвижном диэлектрике в течение времени At, то в среднем в течение времени А//〃 фотон находится в свободном состоянии, двигаясь со скоростью с, все же остальное время он находится в поглощенном состоянии в атомах. Поэтому средняя скорость фотона равна с/п. Если диэлектрик движется со скоростью е, то время свободного движения фотоня в том же направлении равно сА〃[(с—&)门丨，длительность же поглощенного состояния останется прежней, т. е. Л/ (1 — 1 /м). Таким образом, за время АТ = © с ° ^ + 厶/ ( ] -；) фотон пройдет путь Д/ = ——^с + А/(1——^)力 т. е. его средняя скорость равна 對)= А//АТ у c/n-^v (1 — л _2).

Г = /о(1—^“2)1/2 (l—W2/C2)l/2 (1—〃u£2)T.

В системе » ширина отверстия /0 У1—у2/с2 < /0 и, казалось бы, стержень не сможет пройти сквозь него. Но если в системе £ моменты прохождения концов стержня Л и 5 через отверстие совпадают, то в системе £' они отличаются на 1^/с2, т. е. сначала через отверстие проходит конец В, а затем Д. Очевидно, что стержень при этом изогнется.

Расстояние останется неизменным. Преобразование Лоренца здесь неприменимо, ибо начальное и конечное состояния системы, как не отвечающие тождественным объектам, не могут быть им связаны.

. Tz — т (1 —М/с?厂"2(1 —uv；c2^ 工=工0(1— u2/c2j- 1/2 t

. Для движущихся часов вектор I (рис. 70.3) переходит в 1’ = =1 + sin а е (у~ 1— 1) //沙,и для промежутков времени /土, затрачиваемых световым импульсом на прохождение цилиндра соответственно туда и обратно, и случаются уравнения с") = М/'； + (Г)2 士 2(书1)£士. Отсюда f + + / _ 曰 F = 2у，/с.

Пусть сторона АВ в треугольнике АВС на плоскости Минковского (рис. 15)——наибольшая. Проведем через точку С две гиперболы CD и СЕ с центрами в точках ЛиЙ соответственно. Тогда (72.10) вытекает из того, что 14cl = —[AD I и IСВ I — J ЕВ I по построению.

Любой 4-вектор вида с^ = а^ ——厶力忆 где А ——некоторый скаляр, является изотропным. Если в некоторой системе отсчета 加 卉 0, то, взяв 九= а°/加，в тон же

системе отсчета получим с° — 0, с2 = =«0)2 = 0, T. e. mе0, или。"=A力也

Согласно задаче 19.1,

% = £ сЗ=а+ 3

s = 0

Из инвариантности ds2 следует, что ДрДа^|лу = ^ра- Взяв детерминант от этого матричного уравнения, находим I А |2— 1, а положив в нем В = а = 0, имеем А§А沼цд>=1, или (А^У —1(浦户=L

Применив (73.4) и учитывая,Рис. 15

что для собственных преобразований Ло

ренца I A I = 1, получаем e^vou — A^A^A^A^f^Pv^ — ергот | д |_；Бц\чп, Инвариантность же e^VOT при пространственных отражениях вытекает из (73.15).

Используя полную антисимметрию €^VOT, достаточно проверить (73.17а) для компоненты 协翳^^二一1.

Вводя векторы 1 и I', задающие положение неподвижной и доижущейся зрительных труб соответственно, с учетом сокращения Лоренца—Фицджеральда

имеем 1' = 1 + 廿(丫一1—1)(ь1)г?-2 Из треугольника ДОВ (рис. 16) находим cos2a=(&]，)叫冏，2)=(132T 2g sin(p + siM 屮)(1+a +20 sin(p)-L Отсюда, полагая

*(el) =廿/sin 中‘， выводим основное уравнение аберрации

sin(pz —(Р 4-sin(p) (1 +Bs【n@)-i.

р<Х77.2. Различие в видимом А и истинном В положениях

/ М&\источника обусловлено запаздыванием светового сигнала.

I' ) Нз треугольника АОВ (рис. 17) находим tg(p* =(6 +

\/4-sin(p)/cos ф. Как видно, угол ф* отличается от угла 中'в

丄1r丄1r\ I /(77.8), определяющего в собственной системе источника (в

丄1r

丄1r

~ В+°0-%+费 黑}~ В+°0-%+费 黑}s 1十В注(") °市=T=С"(3') + Рs 1十В注(") °市=T=С"(3') + Рк = /г'° [s'M 十等丫历十便一1) n' (s'и) и/v2]. Отсюда находим фазовую Скорость света в системе наблюдателя при [s'例=0 и в линейном приближении по § = и/с:

~ В+°0-%+费 黑}

~ В+°0-%+费 黑}

s 1十В注(") °市=T=С"(3') + Р

s 1十В注(") °市=T=С"(3') + Р

Полученное выражение для коэффициента увлечения а отвечает условиям опыта Физо и впервые было найдено Г А. Лоренцем. В общем случае а определяется способом вхождения свеча в движущуюся среду. Так, в опыте Физо свет сначала попадает в переходный слой неподвижной воды, прилегающий к трубе, т. е. можно считать, чю источник cseia находится в самой среде. Однако в опытах с твердыми телами свет сразу входит в движущуюся среду. Поэтому в собственной системе среды для света вне ее К = у勿° + у氏"(§'&)/& или о/—со а * 一(Wb) gjc. Так что при [М砌=0 а= 1 — п~2 + |(dn/do))«]/n2. Если же (Ме) = 0, то в линейном приближении а— 1——л~2.

В собственной системе кругового тока /^ = (0,『)，а в неподвижной системе /н = {(&『) у/с, Y Ч-(V—1) (1?}') т?/^2}. При вычислении дипольного момента р_* ^ prdV кольца с током делаем замену переменных интегрирования「=「'十 十(丫―1—])(&「)&/* dV = dVy 1 и полагаем 『dH = /'dl'・ Простые вычисления даюг р=/'с 一2§，|vn'] =с-"ет'|, где пУ — собственный магнитный момент кольца с током“

При вычислении м『нн；но「о м( мента учитываем конвекционный ток с плотностью ре, т. е. m = —[r(j-j-pt?)| dl^ = т^ + (у-г —1) (t?m') t?/t<2.

Согласно (80.6) и (80.7), на элементарный заряд g действует сила F = g (e+e-"eв))=?д自_3卜"一创+г丄(]_声力=一承也 где 仔=(尤一況产十 十(“ + ?2)(1 — у),屮=绚(1—們店.Поверхность W = cQnst является эллипсоидом Хевисайда:f=號(1一俨).

Если р' — дипольный момент в собственной системе диполя и | = Гц — —vt 4Y-"丄，то

Е = у-за-5[3(「一”)(рУ)— Р(Р； + 1%)], В=с-1 [еЕ].

Характеристическое число 入 матрицы Гу является корнем уравнения

I 尸弋一入邕 | = М-%2(£2 —82)-(ВЕ))=6.

В первом случае В =，-】 [еЕ], а во втором Е — с-1 [Вт?1, где | и | < с,

С помощью (41.19) запаздывающее решение уравнений (82.5) запишем в виде 4出(х) = 4兀с-2，G3a» (х —『)严(％') dQ'. Но с учеюм (3.8) G^n = =0 (Г) 6 (c^ — R2) с/(2л), откуда и следует (82.6).

Контурный интеграл в (82.7) сводится к вычет} в полюсе х,(, = х° — R, что приводи! к обычному выражению для запаздывающих потенциалов.

Пользуясь инвариантной трехмерной 6-функцией (см. задачу 74.2), плотность 4-гока для точечного наряда е можно записать в виде /"(%) = =eU^ (т) 6 (х—2(t)S ⑴)，где т — собственное время частицы, 戏'=无觊⑴—ее мировня линия, а (т) — псостранственно-подобная гиперплоскость с нормалью 门虱=。从,0, проходящая через точку Е^")・ Учитывая, что [см. (74.8)] dQ，=rdt，dL, преобразуем (82.6) к виду 4" (х) = 2е § 9 国} — 0 (+')]。吼 О § [(х —Е (ОН dt', где выполнено интегрирование по do'. Но [см. (3.8)] 0 |х° — 5° (тх)] 6 [(х —自(Y))2] = =5 (т ——тх) [2 (x^ ——gn(T))(/^(т)]'1, где т (尤)——запаздывающий корень уравнения (%_J(t))2 = o. в результате получаем следующее ковариантное представление для потенциалов Льенара — Вихерта： /战(х) = et/u (т) [(%”一冲(t)) Uv (т)]

Вводя анIисимметричные 4-тензоры

■ 3 2 1 п z Z о

o

oz о щщщ

%心心Q

%о

D^* о ^ ^ о D^ D^ D^

запишем уравнения (42.2), (42.4) и (42.6) в таком виде: /v=c0rts现匕肥=0圈以”,

□Z^v=— 4л5^.

83.1. Из закона

преобразования тензора (83.2) выводим:

*y《一！gh

M，=Y(M+^g)d

1—Y

ф (&Р);

1 —Y

© (иМ).

Поэтому, если в

собственной системе среды М' = 0, то в неподвижной системе

М =с~г [Рс]. То же получается и из уравнений Максвелла — Лоренца. Так, согласно задаче 63.1, в движущемся диэлектрике роЛн = dP/dt + (гт\?) Р — edivP =

=OP/Of+ rot [P矶三OP/Of+ c rot Мт откуда М = с-"Ре].

83.3. 4-векторы /ц и F^iVUv параллельны, так как в собственной системе

среды они сводятся соответственно к век горам j и сЕ, связанным законом Ома

j = aE. Отсюда и следует (83.19).

84.1. Рассмотрим произвольную частицу с инертной массой 他，энергией Е и импульсом Р. Согласно предположению о распространении взаимодействия со

скоростью света, любой акт взаимодействия включает в себя некоторый элемеи-

гарный процесс с участием частиц, движущихся со скоростью света и =

с (рис. 19).

Поскольку для такого процесса выполняются законы сохранения энергии и

инертной массы, то dE + d& = 0; dm + dR = 0, где е, р. и р = цс суть

ственно энергия, c2 = c2=const, то

инертная Месса и импульс «световой»

(cdc) = O и из

山=>цД 历 с) — 4-вектор

подобные 4-векторы dl>

соответ-

частицы. Так как

теоремы живых сил имеем d£ = (cdp) =。2(]竹.

Отсюда d£ = — de = —c2dp. = c2dm, т. е. соотношение эквивалентности Эйнштейна, Далее, из теоремы живых сил выводим d£=(udP) = — w2dm+ 2_ 1mdw2 = c2dm. Решение этого диф-

феремциального уравнения имеет вид (84.8), где 成一постоянная интегрирования.

84.2. Рассмотрим элемент

dEy гиперпо-

верхи ости 夕从夕从=(^262 в ^-пространстве, построенный па 4-векторах d^v, d&Zd"#.

Так как 夕出d个出=7卩dQ^ = 7出d贸ц = О, dtp, = —ejuvaTd^^7 d Ф° d^.T == ArjidX, где

ю

нормали к Iиперповерхнос ги. Таким образом, времени-и 夕出 параллельны, поэтому отношение их временных

компонент есть инвариант. При этом 技。/驴。=(10彳，если выбрать d，*=(d少,

d，】，0, 0); d@G = (d®, 0, d少％ 0); d5^ = (d况。，0, 0, d少з).

Далее, рассмотрим гиперповерхность в х-прострапстве с элементом г/сУц —

-e|1V0T(1炉 d，d# , построенном на

пространственно-подобных 4-векторах

dxv, d/, d#. Если выбрать dxv— (0, dx\ 0, 0); dp。= (0, 0, d№. 0); d# =

=(0, 0, 0,(1炉)，т. е, считать dOp, элементом гиперповерхности с Лц = (1, 0, 0, 0), то dSfido^ = dS0do° = dT.

85.2. Пусть Е — (0, 0, £); В = (0, О, В),

а начальные условия

нормалью

при т = 0

имеют такой вид:尤现=0; 夕从=(彦°/% р). Вводя обозначения со = еВ/((^с)\ 入三 eE/(Wc), запишем уравнения Минковского (85.5): х° =入吟 х1 = сох2;炉=—①炉; ^ = Хх°, обозначая точкой дифференцирование по т. Интегрирование с учетом начальных условий дает:

sh Хт\ . срз /ch Хт—1 ch Хт/ ' еЕ \ sh Хт

（：:）=鳥

^硏（北）+（1-3碇（_々）］

87.2. В данном случае /м = (Ze/| г |, 0) и движение является плоским. Запишем уравнение Гамильтона — Якоби в полярных координатах г, а:

(穿产*)5(紛

Используя два интеграла движения: энергии dS/dt = —£" = const и момента

импульса dS/da = K —const, находим 5 = Ка—£7 4-

—“J%*)十

Для определения траектории электрона положим dS/dK = а0 —const, т. е.

Ze 2

ct()= ct + K \ du—a^'c?十2£ ■ °? 〃十

一今「

Если Ze2/(^c) ^ р < 1, то траектория имеет вид г рг [1 +fii cos М 1 —р幺 X X(a—Оо)]т, где smpT jl —後电(1—p2)/f2]1/2；仍三长匸(1 —p2)/p£\ Если Е < 揪®、то ех < 1 и траектория «эллипсовидна» (вращающийся эллипс). Если £ —^^2, то &i=l и траектория «параболовидна» (инфинитное движение). Если Е > /с?, tq £i > 1 и траектория «гиперболсвидиа»: электрон приходит из бес- коиечнссти, совершает несколько оборотов вокруг ядра и уходит в бесконечность.

Если р > 1, то траектория имеет вид г =内[е2 ch рр2— 1 (a——ct0)——l]-1, где e2 ^ p ~111 + &#2^ (p2—l)/£2]i/2； p2 = Kc (p2—1)/(рЕ). В этом случае траектор ия закручивается вокруг начала координат. При f < о<с2 движение финитно (е2 > 1), а при £ > с<с2—инфинитно 他 < 1).

.2. Согласно (4G.19), РЕ=~(д£)изл/с!^ причем в мгновенно сопутствующей системе отсчета Ре |2е3/(3с3)] (du'/d^)2- Далее, (д£)изл = у (dfJ^^ + Y (идРгИЗЛ)= HYldE)'"'", так как согласно задаче 43.1 с)Р,иэл = 0. С учетом равенства df'= = с!т; = у-1(1С, отсюда следует, что 尸£=尸尸.

892 Используя (89.21), составим丄(停叩一0°и)dV=— j daXa0^ d匕 Но так1,2, 3 и по теореме Гаусса — Остроградского

разностькак Ха°к

淤=就D一叫=

—X°a忆 то a = t =

с учетом островного характера

системы имеем 5从= Игл 丄 $ п；Х'°к dS = 0. Очевидно, что для острсвной систе- мы любой тензор К"，со свойством /(九工…=—К%… удовлетворяет соотношению § ЗаК九从dofi = 0, где a ——прсстранственно-подобная поверхность.

89.3. Циклически переставляем индексы:

Xajrv= — x^a” — — Х^”а =—Ха”К = — Ха从¥三 0.

Х”“а = х^^ =

89.4. Пусть /俱* = 2-!(@uv— ®vg). Если Qik = ^ki( то в любой системе отсчета Aik ^ О, что возможно только при условии, что 力'° 三 0.

S0.1. Запишем соотношение (90.2), считая, что электрон движется со скоростью о, и выбирая в качестве лсверхностей /, о2 соответственно гиперплоскости а (х° — 0) и о0 [х°=(г^)/с] (рис. 20), связанные друг с другсм преобразованием Лоренца. С учетом (90.12) имеем

秆V』)NdQ = )j ®^don = 0.

COO(j

В собственной системе отсчета электрона /、= —^(@^v (г), т, е.

(I■叨/С

dV j dx°/v (г) = —-— J (rv) dfiiv dl^ = 0. о

Предполагая систему сстровной (так как £ — г"а, 0 — г-4 при г ―>8), пссле интегрирования по частям находим 界” J 6IV dl/ — 0, или f 6/vdV=O, что эквивалентно (90.13), так как в собственной системе электрона ,®『о(1У=с7%)= 0.

Для электрона, двнжушегсся со скор( стью 廿、имеем:

В=сТ|гтЕ|,如=()斗 6? Sin? О)七2/俨兀)；^=3 |t?£2—Е(^Е)]/(4лг2),

где 6 ——угол между вектс рами г —廿£ и е. Считая электрон пс верхнсстно заряженном эллипсоидсм Хевисайда (модель Лоренца) | г ——f?f |=ау~1 (1—р2 sin2 ^)~ly2t поле Е определяем из (80.7). Интсгрирс вание tf и g по объему дает: Е/ = =(1 + 炉/3)合丫/(20); Ру— т2егуI(Зас2) В мидели Абрагама напряженность поля рассчитывается более сложно и св1 дится к напряжениссти поля эллипсоида *.

Порог реакции соответствует минимальной энергии системы, когда в системе центра масс все образе вавшиеся част ицы неподвижны. Запишем поэте му сохраняющуюся собственную массу системы ди реакции в лабораторной системе, а после реакции — в системе центра масс: [(£, + 晶呼一 P»F /2 = Z 团2. Отсюда 7'0 =々一%产=1*/(2。4叫(以必:・y一(必1+以叫.

Из чакона сохранения 4-импульса 5\ + 夕2 = ?3+ 夕4 и условий ,3

列=捅i& ВЫВОДИМ ?:=例:不=(广1 十，2 -73)2 = g 或2+2 [回少2)—(夕]5\) 一

Если W—ссбственная масса системы частик 。夕；,то полная энергия системы минимальна, когда частицы с^ \ относительно неподвижны. Т( гда о^Г ~ = 2^； и реакнмю можно представив в виде 少夕】卜历？——*〃з■+历4， гДе g<3 = °，历4 = ^'・ Из тождества (91,17) выводим с2Е^2 — ExE-^cP-^E cos ^ — —Eo#2c2= (с^，2 — <^|—о<2)с4/2, где 心一угсл рассеяния фотона в лаборатерней системе. Отсюда dEi/d^^ Е sin О (Р^)2 [£Ej cos ^-^сР^ (о^г^2 —片)]〜'，т. е. ми- ннма〃ьн<е значение А соответствует углу 6 = 0, если ЕЕ1-[-сР1 (о<2с2 —七)> О, и углу 0 — л, если cPi(g^2c纟一£) — f£i < 0. В обоих случаях cqs&仆=1 и (ЕР1С)2 = П + £\ (f—0<関2)产，где 入三(历'2—e<^—'g^)c4/2十七例炉.Корни этого уравнения относительно £х имеют вид (для 入>0)

£^ =［历2c2 （Md-2E）］T {%（历炉一石）土七［V +成2必» （2七一历2。2）］"2}.

> 历2吟 t。七丁 > 入7(0^2吟 > 0 > 比.таким образом, Tq = e；-必6.> 历2吟 t。七丁 > 入7(0^2吟 > 0 > 比.таким образом, Tq = e；-必6.Отсюда видно, что если 或之产 > 2f, то fi > £f > 入/(^M?) > 0, а если 2£ >

> 历2吟 t。七丁 > 入7(0^2吟 > 0 > 比.таким образом, Tq = e；-必6.

> 历2吟 t。七丁 > 入7(0^2吟 > 0 > 比.таким образом, Tq = e；-必6.

Рис. 21.Рис. 21.Рассчитаем силу тяги двигателя в собственной системе звездолета. При подсчете импульса вылетающих фо- тонсв следует нметь в виду, что по свойству параболически го отражателя лучи, выходящие из фокуса, при отражении становятся параллельными. Область зеркала разобьем на две части: /—где отражаются все фотоны; // — где отражается половина фоте нов (рис. 21). Замечая, что импульс фотона Р； = е血еС (1—у?/с2)- 1 /2, и считая распределение рождающихся фотонов изотропным, в областях / и // имеем соответственно:

Рис. 21.

Рис. 21.

dP)/df'= — 2P；/V cos 齿；dP；〃dl =

=—2TP；/V (1—cos 仆1 + 2-1 siM 仆]),

* Лорентц* ЛорентцГ.Г.А. Теория электронов н ее применение к явлениям света иА. Теория электронов н ее применение к явлениям света итеплового излучения. ОНТИ, 1934, с. 329.теплового излучения. ОНТИ, 1934, с. 329.

* Лорентц

* Лорентц

Г.

Г.

А. Теория электронов н ее применение к явлениям света и

А. Теория электронов н ее применение к явлениям света и

теплового излучения. ОНТИ, 1934, с. 329.

теплового излучения. ОНТИ, 1934, с. 329.

где tg 仇= 4aR/(R2 — 4о2). Поэтому сила тяги равна,

耳=-肃(匕十尸力=2ЛМеС (1 —。2/吟-"2 (R4—8a& + 4a2R2)/(R2 + 4a2)2.

Чтобы составить уравнение движения звездолета, заметим, что сила тяги является инвариантом. Полезно доказать эю двумя разными способами. Bo-пер вых, из закона преобразования 4-силы

Р = FUo/c —u (FU) Yd-h (7— 1) (uF) U°u/(cu2); 丫= (1 —^2/с2)-1/2(

вытекает, что F] = F 口. Во-вторых, импульс, получаемый звездолетом в лабораторной системе отсчета, есть разность между импульсом вылетевших фотонов и импульсом использованного горючего (е土). Таким образом, FT = — d (Pv—Pe)/d^. С другой стороны, dr = dr= df/丫 н Ру,「= у(Р；. е—uEj, е/с2)- Hq Р；=0 и Е；=员. Так что Ft= — dP；/d/'= F；・

Разделим теперь импульс Р звездолета на две части: импульс корпуса Рх и горючего Р2, т. е. Р = Pj 4 Р2- Рассмотрим два близких момента времени f и ffAf, выделив делю горючего, сгорающего к моменту времени f + A2. Тогда из закона сохранения импульса имеем Р* (/) |-AP# (2) = Р (/十 Af) + АР$" (f 十 At), где, очевидно, Р* (/)=历(£ + А£) U, Р (£ 丄厶£) = /(/十 Af j (U + AU). Отсюда получаем уравнение движения о< (/) dU/df = — d (рУ — Р产)/df = FT= F；. Полагая 历(f)= =e^0—ат, где a=2^eN (1 — t,2/c2)-1/2, и интегрируя это уравнение с начальным условием 〃(0)= 0, находим:

и = с {^ — 1)/(入十1), X = \М(о/(с^о—&т)产；乂 三 2尸т/(осс).

Решения и ответы к задачам приложения

В цилиндрических координатах %】 =「, 尤2 =仪,№ = z (рис. 22) имеем: hi = e「，hg = ear, h3 = ег, gt& = diag 11, г2, 1]. В сферических координатах лг】 = г, 炉=6, х3=а (рис. 23) имеем:也=一，儿=€今几 h3=^ear s,n 3, g/=di ag [ 1 "2,『25^25.

Запишем элемент объема в произвольных координатах: dP= dx'】 d%，2 d%'3 = = J dr1 d%2 dx:i, где j -^ | d：fk | — якобиан преобразования. Взяв детерминант от матричного соитношеиия (1П.14), находим g = j g/左 | = | 0/"「= У 2, т> & dP = —g〔 /2 dr1 d%2 也九

Рис. 23Рис. 23

Рис. 23

Рис. 23

Закон преобразования е1/й вытекает из инвариантности элемента объема, построенного на трех векторах dx, dy, dz*

dl/ = (dx [dy &])=卜彳汴 dx'j d*/ dz'^ =

=尸 ^rnV °"欠 dd dy必 dz« = Plmn d, d夕力 dz".

Таким образом, ?lmn -= djl dmp dnt^i}k - | dkfl | e；mil =- gi ^г^ Аналогично ПО тучим宙/"=g-丄评8力々=g一也"屁

В произвольных координатах rot а = h/ (rot a)z — Ь,8^А dja^.

Выведем (1П.25), исходя из декартовых координат: div а = =济а"=少(d^lfak) dxJIdк,( =3/丸 +。丸 dfe djf1 OW/Зл:".

Прямым дифференцированием якобиана 3 убеждаемся, что JT%J = =旗 d/厂 dk/dx". так что div а = 3 т% (3。走).Отсюда

(div ayiHR =r— d {rar)jdr -\~г-1даа/да-\- daz/dzr

{d【v а)сфер=г-20(г%)/〃 + [d(sin今旬)/38 + Ooa/d。](尸 sin 今)一工.

div r = 3, rot r = 0, \?(ar) = a, rot [аг] — 2а» V(p (r) —(pzn, div A (r) = (nA'), rot A (r) = [nA^, 口三「".

Запишем соотношение (2П.5а) для цилиндра (рис, 24):

▽中=Й；夕 М dS =含 £ n" d/+n0 (ng ф.

Отсюда после векторного ум ножения на п0 и следует (2П.8а). Аналогично, (2П.86) вытекает из (2口乐)：

rota=ra；/lna,dS=Z!s；/|n，a|dZ + |no---'Sс

называют только 16. Условияназывают только 16. Условияпосле скалярного умножения на п0. Заметим, что если в (2П.86) положить а == с(р, где с ——постоянный вектор, то получается (2П.8а). Поэтсму теоремой Стокса обычно ненне (2П.86).

называют только 16. Условия

называют только 16. Условия

ювания решений: rot е = 0, div b — 0,

В произвольных ортогональных координатах

厶中=£ (^hh3)~r^i (h^h^r2 д^)\

a中畔=£脸)；А子吟；糸，雾)+与貶■ +需；

砍吗ер=3惊(Г嚼)十為■謚需)+鳥^需卜

厶“中⑴二鳥/ (^v)2 ф (r) d 1/? + 0 (^) = 0,1 а2 ДФ (r) 0 (a4).

Допустим, что гармоническая функция ф принимает максимальное значение ф0 в некоторой внутренней точке О. Рассмотрим шар малого радиуса а с центром в этой точке. Среднее уклонение ф в этом шаре Даф = О («4), в то время как (р (о)—— 屮0 = 0(。2). Поэтому внутри шара найдутся как точки, где ф < ф0, так и точки, где 応 > ф0, что противоречит исходному допущению.

Из определения （2П.15） сферического среднего имеем

△ J <ф（г）>^ 4^s2ds = A ^ 屮（「+ W）dl/g = , А 評（r + £）dP& что преобразуется по теореме Гаусса—Остроградского к

/ （nV）屮（г+ 自）（15三=a2 , （自У） ф （г+若）dSg =

Sa得=1

="* 0 ^中（r + о自）d% = 4g2- <ф>а.

Дифференцирование полученного равенства по а и дает （2П.16）.

ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аберрация 238 , 239, 240

Абрагам М, 271

Ампер 6, 13

Амплитуда волны 111, 112

Антенна 132

Аркадьев В. К. 88

Базис системы отсчета 209

Био Ж. 5. 12

Брадионы 291

Бриллюэн Л. Л. 197

Вебер 6

Вектор волновой 112, 194

—Герца магнитный 83» 84, 124

— —электрический 61, 124

—Пойнтинга 44, 111, 132, 136, 137

——поляризации волны 142

—трехмерный 294

—Умова 45

— Умова — Пойнтинга 45

Вибратор Герца гармонический 128

——магнитный 129

электрический 125, 129

Восприимчивость магнитная 35

——диэлектрическая 32

Время десинхронизации 215

—релаксации 106

—собственное 220, 254

Выход реакции энергетический 281

Гамильтониан 258, 261

Генри Дж. 15

Геометрия Минковского 225, 226

Герц Г. 7

Гильберт В. 11

Гипотеза Лоренца 205

— Фицджеральда 204

Градиент 296

Г юн тер //* М. 25

Давление магни гное 94

—Пуанкаре 275

—электромагнитное 113

Даламбер 质.Л. 224

Дефект массы 279

Диамагнетики 19, 35, 86, 95

Диэлектрики 18, 29, 69

Дивергенция 297

Диполь 55

Дирак П. А. М. 24, 263

Дисперсия 196

Длина волны комптоновская 141

Домены 19

Дюфэ Ш. 8

Емкости собственные 67, 68

Емкость 68

Задача Дирихле 52

—Не讣м』на 52

Закон Ампера 13, 14, 18, 26, 29

—Био—Савара — Лапласа 12, 13

—взаимодействия полюсов магнитных 11

—Джоуля—Ленца 43

——индукции электромагнитной 16, 18.

27, 29

一 Кена 75

— Кирхгофа 37

— — второй 98, 148

——первый 99, 148

—Кулона 9, 10, 23

—Ома 36, 37, 61, 104

—оптики геометрической 115

——намагничения——намагничения

——намагничения

——намагничения

—Peiw-s^ — Зондхап^ра 156

—Снеллиуса 115

— сохранения заряда электрического

21, 22, 99, 118, 145, 241, 242

— —импульса 41, 42, 138

——4-импульса 272

——энергии 138, 151, 280

— — энергии-импульса 269, 277

Заряд 20, 21, 22

— проводника 62

Зильберштейн JI. 247

Зоммерфельд A. 197, 229'

Зоидхаймер 3. 156

Излучение синхротронное 138

Изотропия пространства 208

Изотропность 240

Импеданс 148

Импульс 114

Индуктивность 91

— взаимная °1

Индукция магнитная 11, 12, 13, 84

— электрическая 31

Интервал 225

—времениподобный 225

—пространственно-подобный 225

-нулевой 225'

Кавендиш Г. 10

Камерлинг Оннес 几 19, 85 -

Капица /7. Л. 152

Квадруполь 55

Кванты 279

Кеннеди Р. 205

Компоненты ковариантные 230, 295

—контравариантные 230, 294

— — смешанные 296

Конденсатор 68

Координаты 293

—ортогональные 295

Коэффициент поглощения 194

—отражения 116

—прохеждения 116

—увлечения 202

Коэффициен!Ь! взаимной индукции 67

—емкостные 67

—потенциальные 67

Лагранжиан 258, 259

Лаплас П. С. £2

Ландау Л. Д. 89

Лармор Дж. 181, 205

Лауэ М. 275

Лебедев /7. ". 7, 113

Линия мировая 225, 236, 268

Линии силовые магнитные 27

Лобачевский Н И. 237

Лондон Ф. 89

Лоренц Г. А. 6, 4 5, 195, 205, 271

Лорену Л. 195

Льрнар А. 137

Люксоны 291

Масса инертная 255

— пакета волневого 114

—собственная 254, 256, 268, 278, 279

Магнетизм спиновый 32

Магнетики 19, 32

Майке ль сон А. 201

Максвелл Дж. К. 6, 16, 20, 28

Матрица Лоренца 229

Мейсснер В. 86

Метод инверсии 71

— отражений 71

— сферических средних 110

Милликен Р. 9

Минковский Г. 225, 229, 253

Мир 225

Модель Др уде злек 邛 онна 月 105, 106

——электрона статическая 271

Момент дипольный 30, 58

——шара 70

—магнитный 82

——системы токов 91

—мультипольный 55

Монополь 55

Мощность излучения 128, 132. 134, 136, 137

— слоя двойного электрического 58

———магнитного 82

Мультипольность 55

Намагниченность 22, 32, 35, 83,85 94, 124, 250

Напряженность поля магнитного 35

— — электрического 23, 57, 146

Пайерлс 2 89

Пакет волновой 113

Парадокс часов 222, 223

Парамагнетизм 19

Парамагнетики 35, 95

Плотность заряда 20, 134 — — линейная 54

——объемная 44, 62

■— — поверхностная 39, 53, 97, 99

— зарядов связанных 59, 70

— — сторонних 96

— мощности излучения 133

———тепловой 43

— потока энергии электромагн итной 44

■— силы 40, 94, 95, 74, 75

——Лоренца 41, 42, 94

—тока 21, 77, 104, Юб, 134

33, 34, 84

——поверхностная 40, 80, Q4

——поляризации 34

— энергии поля магнитного 94, 111, 137, 195

— — — электрического 150

———электромагни гнс1g 150

Плотность функции Лагранжа 284

Поворот гиперболический 226

Повороты трехмерные 232

Подвижность ионов 105

Пойнтинг Дж. 44

Показатель преломления комплексный 194

Поле гравитационное 7

—магнитное 11,為，27, 77

—электрическое 10, 27

—электромагнитное 6, 7, 15, 27, 107； НО

—ядерное 7

Полиномы Лежандра 50

Полупроводники 18

Поляризация 30, 111

Пол яр изованкость 30, 31, 59, 60, 61『'

70, 116, 124, 250

Постоянная тонкой структуры 141

— фазовая 111

—электродинамическая 12

Постулаты теории относительности 206

Потенциал векторный 77—80, 82, 83

— запаздывающий 122

—конвекционный 246

—магнитный 82

—опережающий 122

—поля электрического 56

—слоя электрического 58'

—скалярный 81

— четырехмерный 248

Потенциалы Льенара — Вихерта 135 ,

Поток поля магнитного 92, 148

——электрического 24

—энергии электромагнитной 102

Правило Ленца 17'

—суммирования Эйнштейна 294

Преобразование калибровочное 77,

118

Преобразования Галилея 199, 214

—координат 293

—Лоренца 210, 214, 225, 226, 232

——Лоренца—Эйнштейна 213

Приближение магнитной гидродинамики 159

—Рэлея 155

Принцип вариационный 286

— максимума 301

—наименьшего действия 284

—относительности Галилея 198, 199

—переключенля 291

— причинности физический 120

—суперпозиции Ю

Произведение векторное 297

Проницаемость диэлектрическая 18, 32, 193

—магнитная 19, Л5

Псевдовеличины 294

Псевдотензоры 2^4

Пуанкаре А. 205, 275

Радиус электрона классический 141 Разложение потенциалов мультипольное 55, 130, 131

Реакюры атомные 281

Рассеяние волн электромагнитных 141

Рейтер Г. 156

Резонанс 149

Ротор 297

Савар Ф. 12

Самоиндукция 15

Свертка 296

Сверхпроводимость 19

Сверхпроводники 86, 88

Свойства пространства—времени 208

Сегнетоэлектрики 19

Сечение рассеяния системы дифференциальное 141, 142

полное 141, 142

Сила электродвижущая 27, 97, 146

— Лоренца 41, 200, 246

—реакции излучения 139

Силы гравитационные 7

—диффузионные 97

— пондеромоторные 152

—термоэлектрические 97

—электромагнитные 152

Символ Кронекера 295

Симмер Р. 8

Скаляры 296

Скин-эффект 153

—аномальный 155

Скорость волн электромагнитных 114

—волны фазовая 194

—групповая 196

—потерь энергии 137, 263

—сигнала 197

— точки четырехмерная 236

—фронта сигнала 197

Слой двойной электрический 58

Соболев С. Л. 25

Соотношение взаимности 67

—Доплера 239

— Клаузиуса—Мосотти 195

—эквивалентности массы и энергии 255

Сопротивление активное 149

—излучения антенны 128, 129, 134

■— линии волновое 157

—реактивное 149

—системы 101

Тахионы 218, 291, 292

Тело отсчета 208

Тензор Белинфанте 290

— Леви — Чивита 233

—метрический 295

—момента — импульса 290

———,плотность 2so

—натяжений 41, 42, 95

—поля электромагнитного 244, 2 5

Teinop поляризации — намагничения 250

—ранга 294

—четырехмерный 230

— энергии — импульса поля электромагнитного 268, 272, 290

Теорема Беккера 272

—Белинфанте 289

—взаимности Грина 67, 68

—Гаусса 24, 29

— Гаусса — Остроградского 24,59,

299, 235

—единственности 52, 63, 79, 109

—живых сил 254, 257, 260, 268

—Иришоу 65

—Кельвина 50

—Лармора

—Лауэ 275

Леви — Чивита 197

Остроградского 299

—Heiep 287

—Планка 270

—Пойнтиш а 44, 150

сло/ьения скоростей 237

—Ci око 300, 2%

—Tgmcoim 69

—эквиваленгности Ампера 82

Теория близкодействия 6

—дальподепегвия 5

— относи1ел>ности 206

Толщина скин слон 154

Ток смещения 28

Токи индукционные 15

Томсон Дж. Дж. 9, 29, 65, 142, 271

Точка мпр( вая 225

У гол Брюстера 116

—потерь 149, 150

Умножение тензорное 233, 29G

Умов Н А. 44

Уравнение волновое 108, 194

— Гамильтона — Якоби 261

—Даламбера 108, 109, НО

— дисперсионное линии двухпроводной 158

—Лапласа 49

—Пуассона 49

—фронта волны 201

Уравн(ння Гамильтона 260

— движения Дирака — Лоренца 263

—JIai ранжа 260

Уравнения Максвелла 28, 36. 118, 144, 153, 158, 250

— Минковского 252, 253, 254, 255

—телеграфные 157

— электродинамики 248

— электростатики 49

Ускорение четырехмерное 237

Ускорители 283

Условие бетатронное 260

—Видерсэ 260

—калибровки 119

—I ь-вазистаиионарности достаточное

——определяющее 145

—Лоренца 118, 249

—coi ласовапия нагрузки с линией 158

Фарадей М. 6, 8> 13, 15, 16

Фейнберг Дж. 29

Ферми Э, 29

① t ppcRK элс ктр ики 19 Ферромагнетики 19, 93 Физо А. И. 201

Фццд-жеральд Дж. 204

Форма уравнении поля лагранжева 286

Форм\ ла Адамара 287

Друде — Зинера 193

—Лармора 128

Лоренца — Лоренца 195

—Томсона 149

Формулы Френеля 116, 238

Фотщ.ы 279

Фахт В. 203 ⑦/анклин 6. 8 Ф\нкция Грина 119, 120—122 —действия 259

—Лагранжа 151, 259

—обобщенная 25

——Рэлея диссипативная 151

Центр масс пакета волнового 113

——системы зарядов 268

Число Рейнольдса магнчтное 159

Шварц Л. 25

Ширина линии поглощения 195

Шнур 232

ОГЛАВЛЕНИЕ

3355Предисловие

3

3

5

5

Введение

Глава

1

Уравнения Максвелла как результат обобщения опытных фактов

1-2-Q^ 4^ ^ 6§§§§§§

§ 7.

§ 8.

§ 9.

§ ю.

l2-3-4-5

§§§§§

Анализ основных опытных фактов8

Условие макроскопичности и закон сохранения электрического заряда20

Закон Кулона и электрическое поле23

Магнитное поле постоянных токов26

Закон электромагнитной индукции Фарадея 27

Ток смещения и уравнения Максвелла в вакууме28

Диэлектрики. Электрическая поляризация29

Магнетики. Намагниченность32

Учет токов нама[ничения и поляризации34

У равнения Максвелла для электромагнитного поля в среде36

Закон Ома в дифференциальной форме36

Граничные условия38

Силы, действующие на заряды и токи40

Энергия электромагнитного поля42

Системы единиц45

Глава2Глава2Стационарные поля

Глава

2

Глава

2

Электрическое поле, создаваемое заданным распределением зарядов. У равнение Лапласа49

Потенциал пространственно распределенных зарядов51

Потенциал поверхностных и линейных зарядов53

Потенциал ограниченной системы зарядов (мультипольное разложение)54

Потенциал двойного электрического слоя58

Поле связанных зарядов59

Поле заряженных проводников61

Энергия элект ростатического поля63

Энергия системы заряженных проводников66

Проводники и диэлектрики во внешнем поле69

Некоторые специальные методы решения задач электростатики71

Силы, действующие на проводники и диэлектрики в электростатическом поле74

Магнитное поле, создаваемое заданным распределением токов Векторный потенциал77

Магнитное поле ограниченной системы токов (магнитное мультипольное разложение)80

Поле постоянных магнитов83

Магнитные свойства сверхпроводников85

Энергия магнитного поля постоянных токов 90

Силы, действующие на сверхпроводники и магнетики в постоянном магнитномполе94

Стационарный электрический го к96

Система идеальных пронодникоь в среде с малой проводимостью99

Поле цилиндрического проводника с током и превращение энергии в цепи псстоянного тока102

§37. Простейшая модель омически! о сопротивления проводников104

ГлаваПеременное электромагнитное поле

3

§ 38. Переменное электромагнитное ноле в однородной среде или вакууме107

§ 39. Плоские электромагнитные волны110

§ 40. Отражение и преломление электромагнитных

волн на плоской границе раздела двух сред 114 § 41Поле заданных зарядов и 】()ков в вакууме117

R 42.Электрический и магнит ный векторы Герца123

§ 43. Поля электрического и магнитного вибрато

ров Герца125

§ 44Мульти поль ное разложение загмздывающих

потенциалов129

§ 45.Излучение линейной антенны132

§ 46.Поле произвольно движущегося заряда134

§ 47Сила реакции излучения138

§ 48,Рассеяние эле стромагнитных волн свобод

ными электронами (формула Томсона)141

ГлаваКвазистационарные токи и поля

Л§ 49. Уравнения Максвелла в квазистациоиариом

吋случае143

§ 50. Квазистационарные токи в линейных проводниках145

§ 51. Превращение энергии в цепи линейных квази- стацнонарных токов. Электромеханическая аналогия150

§ 52.Скин-эффекг153

§ 53.Длинные линии156

§ 54Квазистационарные полявмедленно движу

щихся деформир>ющихся проводниках (магнитная гидродинамика)158

§ 55.Магнитная кумуляция163

§ 56.Эффект Холла и МГД-генераторы165

ГлаваЭлектронная теория сред

Е§ 57. У равнения Максвелла — Лоренца и макри、

Uскопические уравнения Максвелла170

Глава6Глава6Глава7Глава7Глава8Глава8173180184189173180184189199201204206208210214218220222224229234236237238241243245247248250199201204206208210214218220222224229234236237238241243245247248250253256258260262253256258260262266271276280266271276280

Глава

6

Глава

6

Глава

7

Глава

7

Глава

8

Глава

8

173

180

184

189

173

180

184

189

199

201

204

206

208

210

214

218

220

222

224

229

234

236

237

238

241

243

245

247

248

250

199

201

204

206

208

210

214

218

220

222

224

229

234

236

237

238

241

243

245

247

248

250

253

256

258

260

262

253

256

258

260

262

266

271

276

280

266

271

276

280

Диэлектрики в постоянном электрическом поле

Электронная теория намагничивания

Теория ферромагнетизма по Вейссу

Электронная теория дисперсии и поглощения электромагнитных волн

Релятивистская кинематика и электродинамика

Принцип относительности Галилея и гипотеза эфира

Попытки обнаружения эфирного Beipa

Гипотезы Фицджеральда и Лоренца

Постулаты теории относительности

Общие свойства пространства-времени иопределение одновременности

Вывод преобразований Лоренца——Эйнштейна

Общие следствия преобразований Лоренца

Изменение длины движущихся тел

Изменение хода движ\ щихся часов

Парадокс часов

Четырехмерная геометрическая интерпретация преобразований Лорейна

Четырехмерные векторы и тензоры

Четырехмернып векторный анализ

Четырехмерные скорость и ускорение точки

Теорема сложения скоростей

Аберрация и эффект Доплера для световой волны

Закон сохранения электрического заряда в ковариантной форме

1 Ковариантная запись уравнений электродинамики

Формулы преобразования для электромагнитного поля

Инварианты алектромэгнитного поля

Четырехмернын потенциал электромагнитного поля

Ковариантная запись уравнений Максвелла в среде

Движение заряда в электромагнитном поле

, У равнения Минковского

У равнения двнженггя заряда во внешнем электромагнитном поле

Лагранжева форма уравнений движения заряда в электромагнит ном поле

Гамильтонова форма у равнепин движения заряда в электромагнитном поле

Сила реакции излечения

Энергия л импульс в электродииамике и релятивистской механике

Энергия и импульс электромагнитного пп пя

Электромагнитная теория массы

Законы сохранения энергии и импульса для системы част иц и полей

Закон сохранения энергии

Релятивистские встречные пучки283

Принцип наименьшего действия дляэлектромагнитного поля284

Законы сохранения как следствиевариационного принципа287

Тахионы291

Приложение Основные сведения из векторного анализа

Ш. Классификация физических величин. Тензоры 293

Важнейшие формулы и теоремы векторного анализа297

Список принятых обозначений302

Решения и ответы к задачам305

Предметно-именной указатель32Й

Яков Петрович Терлецкий

Юрий Петрович Рыбаков

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Зав. редакцией литературы по физике и математике

Е ■ С. Гридасова'

Редактор Г h Чернышева

Младшие редакторы С, А, Доровских Н П Майкова

Художественный редактор В. И. Пономаренко

Технический редактор Н. В. Яшукова

Корректор Г. И. Кострикова

ИБ № 2163

Изд. № ФМ-612. Сдано в набор 13.03.80. Подп. в печать 1 0.1 0.80. Формат 60x90/16. Бум. тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 2 1 усл. печ. л 20,28 уч.-изд. л. Тира* 15000 экз. Зак № 2222 Цена 95 коп

Издательство «Высшая школа»,

Москва, К-51 , Неглииная ул., д. 29/14

Отпечатано с матриц ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первой Образцовой типографии имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,'в Московской типографии

№ 4 Союзполиграфпрома Государственного коми гета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли Москва, 129041, Б. Переяславская ул., 46

* Памятная надпись, сделанная Дираком 3 октября 1956 г. на стене кабинета теоретической физики Московского государственного университета, гласит: «Physical law should have mathematical beauty», что означает: «Физический закон должен быть математически изящным».

* Непрерывность потенциала В ПОЛЯ.

** В данном случае дипольное приближение применимо, если 九» / (см. § 44).

** Формализм комплексных пронадаемостей применяется при описании распространения электромагнитных волн в поглощающих средах (см., в частности, задачу 40.1).

2 ** Потенциальность силы легко установить; положив Е'= —V屮'и учитывая

* Отметим, что под принципом относительности здесь понимается общее утверждение о равноправии при описании законов природы всех инерциальных систем отсчета вне зависимости от используемых преобразований пространственно-временных координат.

** Это допущение можно заменить постулатом об евклидовости пространства.

** Лорентц Г. А. Теории и модели эфира. М.— Л., 1936.

** т0 обычно называется собственным временем подвижной системы отсчета.

* Эти свойства тахионов напоминают свойства виртуальных частиц, вводимых в квантовой теории поля Тахионы можно рассматривать как реально представимые виртуальные частицы с пространственно-подобным 4-импульсом. Подробнее см.: Терлецкий »• П. Парадоксы теории относительности. М., 1966.

* 一^^ нположении А) направление, в котором должен быть исп\ -

Кк^щен световой сигнал, чтобы достичь наблюдателя В ча

стности, в примере с двойной звездой, если скорости ее компонент равны u = g то в положении, когда они находятся на лннни наблюдения, в соогветстзим с (77.8) sin 屮'= =土 В・ Но это вовсе не означает, что видимый угловой размер звезды должен быть равным 2 arcsin §. Напротив,

в этом положении он равен пулю, а под углами д'— =士 arcsin В должны быть испущены фотоны, чтобы попасть к наблюдал ел ю под углом ср — 0 (рис. 18).

77.3. Пусть п—внешняя нормаль к поверхности зер-

18 кала, о — его скорость. Если в неподвижной системе падающий луч задается волновым 4-вектором 左"=(s/c,

sco/с), то отраженный луч описывается 4-вектором k с компоненiами:

访=左。卜—|У (п①[(ns) —~^ (пи) + ~i^ (s®) (п叨

A0 js—2 f п + ^^(п%)修)[(ns) —-^-(п©) + ^^ (s^) (nt?)

77,4. В среде с показателем преломления л ((о) волновой 4-вектор k для света, распространяющегося в направлении s, имеет вид 々乩= {^, s — /г (со) ^. Если среда движется относительно наблюдателя со скоростью V и волновой 4-вектор в ее собственной системе есть Wt то в системе наблюдателя ^ = vk^ [1 +(^sz) nf/c],

Я. П. ТЕРЛЕЦКИЙ, Ю. П. РЫБАКОВ

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Допущено

Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей университетов

МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1980

ББК 22.313

Т35

УДК 538.3

Рецензенты—кафедра теоретической физики МТУ и проф. О. С. Иваницкая (Институт физики АН БССР)

Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П.

Т35 Электродинамика: Учеб, пособие для студентов университетов ——М.: Высш, школа, 1980. — 335 с., ил.

В пер.: 95 к.

В предлагаемом учебном пособии дается изложение классической электродинамики в соответствии с существующей университетской программой этого курса В первой части курса, посвягцеииой электродинамике Максвелла—Лоренца, помимо традиционных вопросов рассмотрены явление сверхпроводимости, магнитная кумуляция, элементарная теория МГД- генераторов и др Во второй части, посвященной релятивистской электродинамике, последовательно раскрываются релятивистские представления о пространстве-времени, значительное внимание уделено релятивисте кой формулировке законов сохранения, полевой теории массы, теории тахионов и другим принципиальным вопросам В пособни много оригинальных задач, углуоляюгцих и дополняющих излагаемый материал

Предназначается для студентов физических специальностей универси~ тетов

т 20407—4371 001 (01) — 80т 20407—4371 001 (01) — 8040—8040—8017040400001704040000537ББК 22.313537ББК 22.313

т 20407—437

1 001 (01) — 80

т 20407—437

1 001 (01) — 80

40—80

40—80

1704040000

1704040000

537

ББК 22.313

537

ББК 22.313