ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий курс предназначен для студентов механико-машиностроительных специальностей высших технических учебных заведений (очных, заочных и вечерних), изучающих теоретическую механику по расширенной программе. Он может быть использован и инженерами, желающими пополнить и углубить свои знания в области теоретической механики.

Основой для написания книги послужил курс лекций, который автор читал в течение ряда лет в Московском высшем техническом училище имени Баумана и во Всесоюзном заочном машиностроительном институте.

Книга написана в полном соответствии с утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования СССР программой по теоретической механике для высших технических учебных заведений.

При изложении теоретического материала используется как основной общепринятый в настоящее время векторный метод. При этом особое внимание уделяется выяснению физической сущности законов, теорем и основных понятий механики.

Большое место в книге отводится методам решения задач. Наличие значительного количества подробно решенных задач должно помочь студенту в его самостоятельной работе над курсом.

В конце каждого раздела курса приводятся вопросы для самопроверки, на которые студент должен дать точные ответы, что особенно необходимо при подготовке к экзамену.

2*

При подготовке рукописи к печати учтены ценные замечания члена-корреспондента АН СССР профессора Л. Н. Сретенского (МГУ), профессора А. Г. Ишковой (МАИ), профессора В. М. Пучкова, профессора ①.А. Бахшияна (ВЗПИ), профессора Г. Ю. Джанелидзе (ЛПИ), доцента Г. И. Турилова (МАТИ), доцента Д. Ю. Айзенберга (МАИ), которым автор выражает глубокую благодарность. Автор также очень признателен товарищам по работе ——доценту С. К- Маврину (ВЗМИ) и доценту А. Л. Дворникову (МВТУ)——за внимание, проявленное к его труду.

Автор отчетливо сознает, что при издании новой книги неизбежны недостатки, и будет признателен всем читателям, которые пришлют в адрес издательства свои замечания и пожелания, направленные на улучшение книги.

ВВЕДЕНИ Е

ПРЕДМЕТ, МЕТОД, МЕСТО СРЕДИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

«В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени»*.

Материя, в философском смысле,—— это все то, что реально существует вне нас, независимо от нашего сознания и что может быть воспринято нашими органами чувств непосредственно или с помощью специальных приборов и экспериментов.

Движение, в философском смысле,——это всякое происходящее в пространстве и во времени изменение реальности, всякий процесс. Движение является основным, неотъемлемым свойством материи. Движущаяся материя существует извечно и не может быть ни создана, ни уничтожена. Пространство и время неотделимы от движущейся материи и являются объективными формами ее существования.

Формы движения материи многообразны и взаимно связаны. Наиболее простой формой движения материи является механическое движение. Под механическим движением материального объекта понимают происходящее с течением времени изменение его положения по отношению к другим материальным объектам. Более сложные формы движения материи ——тепловые, химические, электромагнитные и другие процессы ——не сводятся и не могут быть сведены к механической форме движения. Они содержат механическую форму движения, но полностью ею не объясняются и не исчерпываются.

Все многообразие явлений природы есть не что иное, как проявление различных форм движения материи. Участие естественных наук в познании явлений природы заключается в том, что естественные науки изучают основные свойства материи и общие законы различных форм ее движения.

Теоретическая механика относится к разряду естественных наук. Она изучает общие законы механического движения и равновесия мате-

В. И. Ленин. Соч., т. 18, изд, 5, стр, 181.

риальных объектов и возникающее при этом механическое взаимодействие между материальными объектами,

В природе мы наблюдаем различные формы взаимодействия материальных объектов, но в теоретической механике рассматривается только механическое взаимодействие. Под механическим взаимодействием материальных объектов понимают такое их взаимодействие, которое либо приводит к движению (в частности, к покою) одних ма~ териальных объектов относительно других, либо 及 деформации материальных объектов, либо к тому и другому вместе. Так, например, вследствие механического взаимодействия Земли и Солнца мы наблюдаем движение Земли относительно Солнца; тело, лежащее на столе, вследствие механического взаимодействия с Землей и столом находится в покое относительно Земли; детал ь вследствие механического взаимодействия с молотом деформируется.

Установление меры механического взаимодействия материальных объектов привело к понятию силы. Сила в теоретической механике есть величина, которая не только отражает объективное существовав ние механического взаимодействия между материальными объектами, но 〃 является кол и чественной мерой этого взаимодействия.

Таким образом, сила возникает только в результате механического взаимодействия материальных объектов. Поэтому нельзя рассматривать силу как нечто, существующее в природе само по себе, независимо от материального объекта, являющегося ее источником» и мате* риального объекта, испытывающего ее действие. Пользуясь понятием силы, нужно всегда помнить, что только в целях простоты мы заменяем этим понятием механическое взаимодействие между рассматриваемыми материальными объектами.

Механическое взаимодействие между материальными объектами не обязательно осуществляется путем непосредственного контакта. Например, движение тела под действием силы притяжения Земли совершается в воздухе при отсутствии непосредственного контакта между телом и Землей.

Физическая природа сил разнообразна. Вопросе физической природе силы в теоретической механике не играет роли, так как здесь нас интересует только тот эффект, который производят на данный материальный объект действующие на него силы назависимо от физической сущности этих сил.

Из определения механического движения следует, что можно говорить об изменении положения того или иного материального объекта лишь по отношению к другому какому-нибудь материальному рбъекту, который играет при этом роль системы отсчета.

Если положение всех точек материального объекта по отношению к выбранной системе отсчета остается все время неизменным, то материальный объект по отношению к этой системе отсчета находится в покое. Если же положение каких-нибудь точек материального объекта с

течением времени изменяется, то этот материальный объект по отношению к данной системе отсчета находится в движении.

Так как выбор системы отсчета в известной мере произволен и зависит от характера рассматриваемой задачи, то понятия о механическом движении и покое являются по существу относительными, и материальный объект, движущийся по отношению к одной системе отсчета, может находиться в покое по отношению к другой системе отсчета. Поэтому при изучении механического движения всегда нужно знать ту систему отсчета, по отношению к которой будет изучаться данное движение. Если такая система отсчета не задана, то задача изучения механического движения становится в механике неопределенной. Любое механическое движение (и равновесие) имеет объективный характер, и относительность механического движения не означает, что оно субъективно.

Так как в природе абсолютно неподвижных материальных объектов не существует, то принципиально невозможно установить абсолютно неподвижную систему отсчета. Следовагельно, понятия абсолютного движения и абсолютного покоя, т. е. движения и покоя относительно абсолютно неподвижной системы отсчета, не имеют конкретного смысла. В теоретической механике возможность установления абсолютно неподвижной системы отсчета постулируется. Эту систему отсчета можно мыслить как часть введенного Ньютоном трехмерного абсолютно неподвижного пространства, в котором все измерения проводятся на основании аксиом геометрии Эвклида. За основную, или абсолютно неподвижную систему отсчета, отвечающую полностью принятой в теоретической механике совокупности основных законов, условно принимают гелиоцентрическую систему, т. е. систему координат с началом в центре Солнца и осями, направленными к трем так называемым неподвижным звездам. Но при решении многих технических задач движение Земли относительно гелиоцентрической системы не учитывают и абсолютно неподвижную систему отсчета соединяют с Землей. Очевидно, что при этом совершаются некоторые погрешности, которые, однако, невелики и могут быть учтены.

Наряду с предположением о существовании абсолютного пространства, в теоретической механике, следуя Ньютону, делается предположение о существовании абсолютного времени, одинакового для всех точек как абсолютно неподвижной системы отсчета, так и любой подвижной системы отсчета независимо от*характера ее движения.

Все эти представления Ньютона о пространстве и времени были в своей основе материалистическими, поскольку пространство и время признавались им объективно существ ующи ми. Однако понятия пространства и времени устанавливались Ньютоном метафизически, так как он отрывал пространство и время от движущейся материи.

Несмотря на метафизичность учения Ньютона о пространстве и времени, все же для случаев движения тел со скоростями, значительно меньшими скорости света, введенные им понятия пространства и

времени являются пол неценными и достаточно точными абстракциями реального пространства и реального времени.

В определении механического движения, кроме понятий пространства и времени, содержится еще понятие о том, что движется, т. е. понятие о мажриальном объекте, имеющем массу.

В теоретической механике различают материальные объекты только по их геометрической форме, массе и по распределению массы в объемах этих материальных объектов, полагая, что все другие физические свойства одинаковы. Кроме того, в теоретической механике считают, что материальным объектам присуще такое свойство, в силу которого в одном и том же месте не могут находиться одновременно два или большее количество материальных объектов.

В качестве материальных объектов в теоретической механике рассматриваются: абсолютно твердое тело, материальная точка и механическая система материальных точек или тел.

Всякое реальное тело природы вследствие взаимодействия с другими материальными объектами, будет ли оно оставаться в покое или приходить в определенное движение, изменяет свою форму (деформируется). При этом величины этих деформаций зависят от материала тела, его геометрической формы и размеров, а также от действующих на тело сил. Учет этих деформаций имеет существенное значение при расчете прочности частей (деталей) различных инженерных сооружений или машин. При этом для обеспечения необходимой прочности той или иной конструкции материал и размеры ее частей подбирают так, чтобы деформации при действующих силах были достаточно малы. Поэтому при изучении общих законов механического движения и общих условий равновесия твердых тел можно пренебрегать малыми деформациями этих тел и рассматривать их как недеформируемые, или абсолютно твердые. Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остается неизменным, В дальнейшем при изучении теоретической механики будем рассматривать все тела как абсолютно твердые.

Во многих случаях форма и размеры движущегося тела не играют существенной роли. Поэтому вводится понятие о материальной точке, не имеющей протяженности, но обладающей массой. К понятию материальной точки мы приходим, пренебрегая всеми размерами тела по сравнению с его расстоянием от других тел или по сравнению с размерами других входящих в изучаемую проблему тел. Под материальной точкой понимают тело (имеющее массу), размерами которого при изучении, его движения (или равновесия) можно пренебречь. Например, при изучении движения Земли вокруг Солнца можно принять

Землю за материальную точку с массой, равной массе Земли, ввиду того, что размеры Земли весьма малы по сравнению с ее расстояниями от Солнца, и поэтому ими можно пренебречь. Но в задаче о вращении Земли вокруг ее оси уже нельзя принять Землю за материальную точку, а нужно рассматривать ее как тело конечных размеров.

Материальную точку можно рассматривать не только как абстрактный образ тела с массой, равной массе этого тела, но и как абстрактный образ части тела с массой, равной массе этой части. В самом деле, всякое тело можно мысленно разбить на отдельные части, размеры которых по всем направлениям малы по сравнению с размерами всего тела, и, следовательно, этими размерами можно пренебречь. Каждую такую отдельную столь малую часть тела можно принять за материальную точку. Отсюда следует, что всякое тело можно представить состоящим из материальных точек, характер связи между которыми зависит от свойств этого тела. При этом масса всего тела равна арифметической сумме масс всех материальных точек, входящих в состав этого тела.

Если тело конечных размеров совершает поступательное движение, то все его точки движутся одинаково. Чтобы определить в этом случае движение тела, достаточно найти движение одной его точки ——центра тяжести тела, предполагая при этом, что вся масса тела сосредоточена в этой точке. Поэтому поступательно движущееся тело всегда можно рассматривать как материальную точку, совпадающую с его центром тяжести и имеющую массу, равную массе этого тела. Таким образом, не обязательно понимать под материальной точкой тело очень малых размеров. Материальная точка —— это тело (имеющее массу), вращательными движениями которого, по сравнению с посту па тел ъ ным и, можно пренебречь. Заменяя тело материальной точкой, мы не только сохраняем за ним его массу, но также и способность взаимодействовать с другими материальными объектами*.

Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой материальной точки или каждого тела зависит от положения и движения всех остальных. Определяющим признаком механической системы материальных точек или тел является наличие сил взаимодействия между отдельными материальными точками или телами системы. Классическим примером механической системы является наша солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притя二 жения. Другим примером механической системы может служить любая машина или механизм, в которых все тела связаны силами взаимного давления или натяжения. Совокупность материальных точек или тел, между которыми нет никаких сил взаимодействия, например группа летящих самолетов или летящий рой пчел, механическую систему

* На чертеже материальная точка изображается геометрической точкой,

1 Н. Ф. Сахарный

не образует. В теоретической механике рассматривают только механические системы материальных точек или тел.

Если расстояние между двумя любыми материальными точками (или телами) механической системы не изменяется при движении или покое этой системы, то такая механическая система называется неизменяемой', в противном случае механическая система называется изменяемой. В частности, неизменяемой механической системой является абсолютно твердое тело. Примерами изменяемой механической системы могут служить упругие тела, а также механизмы, состоящие из твердых звеньев, перемещающихся относительно друг друга.

Положение и движение механической системы относительно выбранной системы отсчета известно, если известно положение и, следовательно, движение каждой материальной точки, принадлежащей этой механической системе относительно той же системы отсчета, и наоборот. Поэтому изучению движения механической системы должно предшествовать изучение движения одной материальной точки как простейшей механической системы.

По характеру материальных объектов в теоретической механике различают механику материальной точки, механику абсолютно твердого тела и механику механической системы.

Материальная точка абсолютно твердое тело и механическая система —понятия отвлеченные, результат абстракции. Введение этих понятий в теоретическую механику вносит значительное упрощение в исследование механического равновесия и движения реальных материальных объектов. Метод абстракции, таким образом, играет в теоретической механике весьма важную роль.

Применение метода абстракции, обобщение результатов опыта и непосредственных наблюдений позволили теоретической механике установить основные ее законы, или аксиомы. Из этих аксиом, соединенных с методами математического анализа, теоретическая механика получает все дальнейшие выводы о механическом движении и равновесии материальной точки, абсолютно твердого тела и механической системы. Достоверность теоретической механики зависит, таким образом, от достоверности ее аксиоматики, на которой она покоится, так как математические выводы из этой аксиоматики внести ошибок не могут. При этом не следует забывать, что аксиомы теоретической механики так же, как и ее основные понятия, имеют опытное происхождение.

По характеру рассматриваемых задач теоретическую механику делят обычно на статику, кинематику и динамику. В статике рассматриваются вопросы об эквивалентности различных систем сил, приложенных к абсолютно твердому телу, т. е. вопросы о замене заданной системы сил другой, эквивалентной ей по механическому воздействию

на данное твердое тело. Наряду с этим статика занимается также рассмотрением необходимых и достаточных условий равновесия различных систем сил, действующих на абсолютно твердое тело. При этом следует иметь в виду, что устанавливаемые в статике законы сложения сил и приведения любой системы сил к простейшему виду одни и те же как при равновесии твердого тела, так и при его движении. В кинематике рассматриваются общие геометрические свойства механического движения материальной точки, абсолютно твердого тела и механической системы независимо от действия на них сил. Наконец, в динамике изучаются общие законы механического движения материальной точки, абсолютно твердого тела и механической системы с уче* том действия на них сил. Заметим, что динамика пользуется теми же абстрактными представлениями о материальных объектах, что и статика и кинематика, но в дополнение к ним рассматривает основную материальную характеристику материального объекта — его массу.

Теоретическая механика является научной базой теории механизмов и машин, сопротивления материалов, теории упругости и пластических деформаций, гидравлики, гидромеханики и газовой динамики с их многочисленными приложениями в машиностроении, авиации, кораблестроении и других областях техники. Вместе с тем на базе теоретической механики продолжают успешно развиваться вопросы устойчивости движения механических систем, теории колебаний и теории гироскопа. Эти дисциплины также тесно сязаны с теорией автоматического регулирования машин и производственных процессов. Астрономия, внешняя баллистика и физика своим современным состоянием также во многом обязаны теоретической механике.

Роль и значение теоретической механики состоит не только в том, что она представляет собой одну из научных основ современной техники, но и в том, что ее законы и методы способствуют развитию точного естествознания в целом, а также выработке правильного материалистического мировоззрения.

В настоящее время теоретическая механика, основанная на законах Галилея ——Ньютона, называется классической механикой.

Классическая механика имеет ограниченную область применимости. Последующее развитие науки показало, что для описания движения тел——порядка атомных и меньших размеров, а также для тел, размеры которых больше размеров атома, и движущихся со скоростями того же порядка, что и скорость света,— классическая механика оказалась непригодной. Изучение этих проблем является предметом релятивистской и квантовой, или волновой, механики.

И релятивистская и квантовая механика являются как бы некоторым обобщением классической механики в разных направлениях, так что сама класси ческа я механика является частным случаем каждой

из них. Формулы, уравнения и закономерности классической механики могут быть получены из соответствующих соотношений релятивист* ской механики, если в них будем пренебрегать величиной отношения скорости тела к скорости света по сравнению с единицей. Результаты классической механики можно также получить из соотношений кван、 товой механики, если считать в этих соотношениях массу движущегося тела подавляюще большой по сравнению с массой электрона.

В релятивистской механике пространство и время утрачивают пос^ ледние черты той абсолютности, которой они обладали в классической механике. Поеледовательный анализ основных понятий релятивистской механики приводит к установлению взаимосвязи пространства, времени и движущейся материи. Таким образом, метафизическое пред* ставление Ньютона об абсолютном времени и пространстве, существующих независимо от движущейся материи и наряду с ней заменяется в релятивистской механике представлением, выдвинутым диалектическим материализмом, рассматривающим пространство и время как объективные формы существования материи.

В классической механике масса движущегося тела считалась постоянной величиной,、не зависящей от скорости тела, в то время как релятивистской механикой было установлено, что масса тела не является постоянной и зависит от скорости тела.

Релятивистская механика и квантовая механика не опровергли при~ годности классической механики, а только уточнили область приложения классической механики. Эти новые механики лишь строго доказали, что предметом классической механики является изучение общих законов движения тел больших размеров (начиная с размеров молекул) и движущихся медленно по сравнению со скоростью света.

Очень сложная в математическом отношении форма, которую принимают законы релятивистской и квантовой механики, излишне усложняет метод исследования движения всех тел, отличных от микрочастиц (электроны, позитроны и др.), при скоростях, не близких к скорости света, т. е. движений, которые имели и имеют огромное значение в обычной технической практике и небесной механике. Поэтому классическая механика никогда не потеряет своего научного значения и практической ценности.

В данном курсе рассматриваются проблемы только классической механики.

ОСНОВНЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Механика получила свое развитие в глубокой древности под влиянием запросов практики.

Первые дошедшие до нас исследования античных ученых в области механики относятся главным образом к различным вопросам статики.

Великий ученый и философ древности Аристотель (384——322 гг. до н. э.) изложил в своих сочинениях учение о равновесии рычага и других простейших машин, общее учение о движении и силах и первый ввел в науку термин «механика». Метод Аристотеля существенно отличается от современного метода точных наук и носит метафизический характер. Аристотель стремился выяснить причины явлений природы, исходя из общих аксиоматических положений, не прибегая к наблюдению и опыту, и поэтому иногда приходил к результатам, не подтверждающимся действительностью. Так, например, Аристотепь считал, что скорости тел, падающих в пустоте, пропорциональны их весам. Он также считал, что для поддержания прямолинейного и равномерного движения тела необходимо действие постоянной силы. Эти и некоторые другие ошибочные представления Аристотеля о механическом движении держались в науке свыше полутора тысяч лет.

Среди ученых классической древности следует также выделить великого математика и механика Архимеда (287—212 гг. до н. э.) и известного астронома Птоломея (II в. н. э.).

Архимеду принадлежит строгое доказательство условий равновесия рычага. Им были установлены правила сложения и разложения параллельных сил, дано определение центра тяжести ряда геометрических фигур и тел, открыты законы равновесия тел, плавающих в жидкости. Архимеда следует считать основоположником статики и гидростатики как точных наук. Свои теоретические знания в области механики Архимед применял к различным практическим вопросам строительства и военной техники.

Птоломей создал так называемую геоцентрическую систему мира, в которой движение всех небесных тел объяснялось в предположении, что Земля является неподвижной и находится в центре вселенной. Ошибочная теория Птоломея о строении вселенной господствовала в науке в течение двенадцати веков.

В период с III по XIV в. развитие механики, как и других естественных наук, приостановилось вследствие причин исторического характера. Ученые этого периода продолжали придерживаться ложного представления Аристотеля о механическом движении, считая безусловно правильными все положения, содержащиеся в сочинениях этого ученого. Многие исследования этого периода были посвящены отысканию «перпетуум мобиле», т. е. вечного двигателя, работающего без получения энергии извне, и поэтому мало способствовали развитию механики.

Естественные науки, а вместе с ними и механика, начали снова развиваться в эпоху Возрождения, с XV в. В начале этого периода особенно большой прогресс в развитии механики был достигнут благодаря работам знаменитого итальянского ученого Леонардо да Винчи (1452— 1519). Он занимался исследованиями в области теории механизмов, изучал трение в машинах, исследовал движение воды в трубах и движение тел по наклонной плоскости. Им был построен эллиптический

токарный станок, который до сих пор носит его имя. Ему принадлежит идея создания вертолета с двумя винтовыми поверхностями, вращающимися вокруг вертикальной оси, и летательного аппарата с машущими крыльями. Леонардо да Винчи первый познал важность нового понятия механики —— момента силы относительно точки.

Несколько времени спустя Николай Коперник (1473—1543)——один из величайших польских ученых —— доказал несостоятельность основных положений геоцентрической системы мира, созданной Птолемеем, и впервые заложил основы научно правильной картины движения всех планет, включая и Землю, вокруг Солнца. Систему мира, созданную Коперником, называют гелиоцентрической. Благодаря работам Коперника и наблюдениям датского астронома Тихо-Браге немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571—1630) установил свои три знаменитых закона о движении планет, которые и послужили Ньютону основанием для открытия закона всемирного тяготения.

Средневековый период развития механикй заканчивается работами гениального итальянского ученого Галилео Галилея (1564—1642), исследования которого открыли новую эпоху в развитии механики. Исследования Галилея изложены в его сочинении «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящиеся к механике и местному времени». Галилей был зачинателем современной динамики. Он открыл закон инерции и закон независимости действия сил от состояния тела. Им была создана теория параболического движения снаряда. Галилей доказал много весьма важных свойств равноускоренных и равнозамедленных движений. До Галилея силы, действующие на тело, рассматривали только в состоянии равновесия и измеряли действие сил только статическими методами. Галилей установил динамический метод сравнения действия сил. Он является творцом новой отрасли механики ——учения о сопротивлении материалов. Галилей пол костью опроверг неверные представления Аристотеля о механическом движении.

Работы Галилея по динамике были продолжены и развиты знаменитым голландским ученым Гюйгенсом (1629—1695), который создал теорию колебаний физического маятника, введя при этом понятия о центре качаний, о приведенной длине физического маятника и о моменте инерции тела относительно оси. Кроме того, Гюйгенс обобщил введенное Галилеем понятие ускорения на случай криволинейного движения точки и установил понятие о центростремительной и центробежной силах. Ряд его работ относится к теории удара упругих твердых тел.

Завершение построения основ динамики было сделано великим английским ученым Исааком Ньютоном (1643——1727), который в книге《Математические принципы натуральной философии» дал вполне строгую формулировку основных законов классической механики и применил их к решению многих новых задач механики. Ньютону принадлежит открытие закона всемирного тяготения, который лег в ос-

нову небесной механики Им был сформулирован закон параллелограмма сил и закон сложения движений. Одновременно с Лейбницем (1646——1716) Ньютон создал основы анализа бесконечно малых. После Ньютона успех в развитии теоретической механики зависел главным образом от применения в ней анализа бесконечно малых.

В то время как Ньютон разрабатывал динамику, статика получила свое дальнейшее развитие в работах его современника ——французского ученого Вариньона (1654——1722). Вариньон установил в окончательном виде понятие момента силы относительно точки и доказал теорему о моменте ра в нодей ствующей, носящую его имя. Он решил задачи сложения сил, приложенных к одной точке, и параллельных сил, а также установил условия равновесия этих сил. Кроме того, Вариньону при- надл ежит создание основ графостатики. Благодаря Вариньону статика твердого тела получила почти полное завершение.

Систематическое и поеледовательное применение методов анализа бесконечно малых к задачам механики было осуществлено впервые великим математиком и механиком Леонардом Эйлером (1707——1783), который большую часть своей творческой жизни провел в России, будучи членом открытой по указу Петра I в 1725 г. в Петербурге Российской Академии наук. В России механика начала развиваться со времен Эйлера. Творческая сила Эйлера и разносторонность его научной деятельности были поразительны. В работе «Теория движения твердых тел» Эйлер вывел в общем виде дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. В гидродинамике ему принадлежит вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости. Применяя метод анализа бесконечно малых, Эйлер развивает полную теорию свободного и несвободного движения точки и впервые дает дифференциальные уравнения движения точки 8 естественной форме. Им дана формулировка теоремы об изменении кинетической энергии, близкая к современной. Эйлером было положено начало понятию потенциальной энергии. Ему принадлежат первые работы по основам теории корабля, по исследованию реактивного действия струи жидкости, что послужило основанием для развития теории турбин.

Одновременно с Эйлером членом Петербургской Академии наук состоял и великий русский ученый, основатель Московского университета, М. В. Ломоносов (1711 ——1765). Для теоретической механики имеет принципиальное значение открытый Ломоносовым фундаментальный закон природы о сохранении массы и движения. Ломоносов занимался также изучением связи массы инертной и массы тяготеющей. Он был автором целого ряда остроумных механических устройств: прибора для определения вязкости жидкости, гидравлического пресса, модели вертолета с двумя поверхностями, вращающимися в разные стороны, и других. Его научная деятельность и методологические взгляды имели огромное влияние на развитие всей русской науки и, в частности, механики.

Большое влияние на развитие в механике аналитических методов, т. е. методов, основанных на применении дифференциального и интегрального исчисления, оказали труды выдающихся французских ученых Ж- Даламбера (1717—1783) и Ж- Лагранжа (1736—1813).

В 1743 г. Ж- Даламбер в своей работе «Трактат по динамике» уо тановил принцип, носящий его имя, который послужил базой для построения механики систем, подчиненных связям. С помощью этого прин* ципа можно составление уравнений движения несвободной механической системы свести к составлению уравнений равновесия.

В 1788 г. появилось сочинение Ж- Лагранжа «Аналитическая механика», в котором вся механика была изложена строго аналитически на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. При этом Лагранжем были получены дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах. Дальней' шее развитие аналитических методов, предложенных Лагранжем для исследования движения и равновесия несвободных механических систем, привело к установлению ряда дифференциальных и вариационных принципов механики.

В механике наряду с аналитическими методами получают дальнейшее развитие и более наглядные геометрические методы. Из работ этого направления отметим работу французского ученого Пуансо (1777——1859) «Элементы статики», которая явилась основанием совре* менной геометрической статики твердого тела. Пуансо применил геометрические методы исследования также в кинематике и динамике. Он, вместе с Шал ем (1793—1880) и Резалем (1828—1896), является творцом кинематики как са мосто ятел ь но го отдела теоретической механики. При этом кинематика сразу же нашла себе широкую область применения в теории механизмов и машин.

Ряд важнейших исследований по аналитическим методам решения задач механики принадлежит знаменитому русскому математику и механику М. В. Остроградскому (1801 ——1861). Он установил очень важный вариационный принцип динамики -— принцип наименьшего действия, позволяющий сводить изучение движения механических систем к некоторой экстремальной задаче. Этот принцип называется принципом Остроградского——Гамильтона, так как независимо от Остроградского и в несколько менее общем виде он одновременно так、 же был дан английским ученым Гамильтоном (1805——1865). М. В. Остроградский решил также много частных механических задач в области гидростатики, гидродинамики, теории упругости, теории притяжения и баллистики.

Большой вклад в разработку новых методов интегрирования дифференциальных уравнений динамики внесли Гамильтон и немецкий ученый Якоби (1804—1851).

В создании нового направления в исследовании аналитической те、 ории механизмов и машин успешно работал выдающийся русский уче* ный П. Л. Чебышев (1821—1894).

Одной из классических задач механики явл яется задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта задача имеет первостепенное значение для теории гироскопов, нашедшей широкое применение в различных областях современной техники. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо дал для того же самого случая наглядную геометрическую интерпретацию. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет динамическую ось симметрии, проходящую через неподвижную точку. После Эйлера и Лагранжа многие ученые пытались найти новый случай решения этой задачи, т. е. новый случай интегрируемости дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки, но безуспешно.

В 1888 г. Парижская Академия наук объявила конкурс на лучшее теоретическое исследование движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Премию на этом конкурсе получила русская женщина——математик и механик Софья Васильевна Ковалевская (1850——1891). Она дала полное решение этой задачи в новом случае, значительно более сложном по сравнению со случаями Эйлера и Лагранжа Эта работа доставила С В. Ковалевской мировую известность и в значительной степени способствовала прославлению русской науки.

Весьма важную проблему механики составляет изучение устойчивости движения и, в частности, устойчивости равновесия. Наиболее существенные и глубокие результаты по изучению устойчивости движения были получены гениальным русским механиком и математиком А. М. Ляпуновым (1857——1918) Решение этой труднейшей и важнейшей проблемы механики, полученное А. М Ляпуновым, далеко опередило работы в этой области зарубежных ученых.

В конце XIX и начале XX веков начала развиваться механика тел переменной массы, т. е. тел, масса которых изменяется с течением времени. Основные результаты в этом направлении были получены русскими учеными И. В. Мещерским (1859——1935) и К. Э Циолковским (1857—1935).

И. В. Мещерский первый получил основное дифференциальное уравнение движения точки переменной массы и решил ряд задач динамики точки переменной массы для случаев одновременного присоединения и отделения частиц. Работы И. В. Мещерского являются научной основой для изучения движения ракет, реактивных самолетов и других тел переменной массы.

К Э. Циолковский исследовал прямолинейное движение ракеты в среде без сил тяжести и сил сопротивления и вывел формулу для определения скорости ракеты. К. Э. Циолковский ра^рабе^аа теорию полета составных рачяч* ДОМЭНв, что 頂меется-Qiii•制маяьно соотношение весов между отдмжнкм ^тупен§ймй составной ракеты позволяющее достигнуть максимальной скорости. Он дал основные конструктивные очертания жидкостных ракет дальнего действия. К. Э Циолковский

является основоположником ракетной техники и астронавтики, т. е. науки о полетах в космическом пространстве.

Самым выдающимся механиком нашей Родины является Н. Е. Жуковский (1847——1921) — национальная гордость русской науки. Почти четвертая часть его работ относится непосредственно к теоретической механике. Работа Н. Е. Жуковского «О гидравлическом ударе» получила мировую известность. Им проделана большая работа и по теории удара твердых тел. Значительными исследованиями Н. Е. Жуковского являются его работы в области теории регулирования, а также о начале наименьшего действия. Вместе с С. В. Ковалевской он более всех в мире продвинул решение задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Н. Е. Жуковский дал остроумную геометрическую интерпретацию решения С. В. Ковалевской. Таким образом, полное решение этой труднейшей задачи механики принадлежит русским ученым С. В. Ковалевской и Н. Е. Жуковскому.

Н. Е. Жуковский доказал основную теорему о подъемной силе крыла, сформулировал гипотезу для подсчета циркуляции скорости около профиля крыла с острой задней кромкой, предложил ряд теоретических профилей крыльев и разработал вихревую теорию гребного винта. Все это сделало его творцом новой науки ——аэромеханики, являющейся теоретической основой авиационной техники.

В декрете Совета Народных Комиссаров РСФСР, подписанном 3 декабря 1920 г., В. И. Ленин назвал Н. Е. Жуковского «отцом русской авиации». Своими научными открытиями Н. Е. Жуковский поднял на новую ступень развитие авиации, теоретической механики, технических наук и прославил на много столетий Россию и русское имя.

Одним из крупнейших представителей созданной Н. Е. Жуковским школы русских гидроаэромехаников является С. А. Чаплыгин (1869——1942). С. А. Чаплыгину принадлежат выдающиеся исследования в области движения твердого тела вокруг неподвижной точки, исследования движения тел с неголономными связями и др. Наиболее крупные работы С. А. Чаплыгина относятся к гидро- и аэромеханике. Ему принадлежат очень важные исследования по теории механизированного крыла. С. А. Чаплыгин развил теорию крыла, указав на плодотворность применения к этим задачам методов теории функций комплексного переменного. Он является основоположником теории крыла при ускоренных и замедленных движениях. С. А. Чаплыгин разработал теорию решетчатого крыла, нашедшую широкое применение в расчетах турбомашин. С. А. Чаплыгин является основоположником новой науки ——газовой динамики, или аэродинамики •больших скоростей.

Идеи Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, оказавшие огромное влияние на развитие гидро- и аэродинамики не только в России, но и во всем мире, успешно разрабатываются в настоящее время в трудах многих советских ученых.

Большими достижениями в области механики наша страна во многом обязана также А. Н. Крылову (1863——1946). Ему принадлежат капитальные труды по теории гироскопов, баллистике вращающегося снаряда, теории упругости, теории колебаний, а также работы по приближенным вычислениям и уравнениям математической физики. Работы А. Н. Крылова по теории качки корабля на волнении, а также фундаментальные исследования по вопросам плавучести и непотопляемости кораблей, прочности их корпуса, теории девиации компасов ставят его имя в первый ряд создателей современной науки о кораблестроении.

В нашей стране теоретическая механика получила особенно большое развитие после Великой Октябрьской социалистической революции.

Советские механики продвинули далеко вперед развитие идей своих предшественников и открыли новые области плодотворного применения теоретической механики.

Полеты советских искусственных спутников и космических ракет, увенчанные триумфальными космическими полетами советских пилотов-космонавтов, открыли человечеству путь в космос и к планетам солнечной системы. Эти величественные успехи убедительно свидетельствуют о развитии широкого фронта советской науки, прежде всего математики, физики и механики.

Перед отечественной наукой и техникой XXII съездом КПСС поставлена следующая историческая задача: в кратчайший срок занять самые передовые в мире позиции во всех решающих областях науки 〃 техники. Решение этой задачи требует дальнейшего повышения качества подготовки инженерных кадров, расширения теоретической базы их знаний. Этой же цели подчинено и преподавание теоретической механики в высших технических учебных заведениях нашей страны.

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ

СТАТИКА

Г лава I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ

СИЛА, СИСТЕМА СИЛ, ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СИСТЕМА СИЛИ УРАВНОВЕШЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

В статике рассматриваются следующие две основные задачи: 1) сложение сил и приведение системы сил, действующих на абсолютно твердое тело, к простейшему виду; 2) определение необходимых и достаточных условий равновесия действующих на абсолютно твердое тело систем сил.

Все тела в той или иной степени деформируемы. В тех случаях, когда этими деформациями можно пренебречь, тело рассматривается как абсолютно твердое, т. е. предполагается, что расстояния между любыми его точками остаются неизменными.

В статике рассматривают все тела как абсолютно твердые, но для краткости часто называют их твердыми телами или просто телами.

Если данное тело может получить любое перемещение в пространстве, то такое тело называется свободным. Примером свободного тела может служить снаряд, выпущенный из дула орудия.

Мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия, называется в механике силой.

Если в результате действия одного тела на другое происходит изменение движения, в частности изменение покоя другого тела, то тогда говорят о динамическом проявлении силы. Например, в брошенном теле вследствие механического взаимодействия его с Землей происходит изменение движения, и, следовательно, мы наблюдаем динамическое проявление силы тяжести тела, с которой это тело притягивается к центру Земли.

Если же в результате действия одного тела на другое не происходит изменения движения, в частности не происходит изменения покоя дру-

гого тела (вследствие механического взаимодействия этого тела еще и с другими телами), то в этом случае говорят о статическом проявлении силы. Например, если тело лежит на столе, то сила тяжести тела не вызывает изменения движения этого тела (в данном случае ■состояния покоя) вследствие механического взаимодействия тела с опорой (столом), и в этом случае мы наблюдаем статическое проявление силы тяжести тела.

Понятие силы в механике имеет научную ценность потому, что ее можно измерять. Измерение силы в механике основано на сравнении сил. Если сравнивать динамическое или статическое проявление силы с проявлением силы, принятой за единицу измерения, то можно произвести динамическое или статическое измерение силы. При этом две сравниваемые силы считают равными, если их действия на тело в одних и тех же условиях одинаковы. За единицу силы в технической crft- теме единиц (МКГСС) принимается сила в один килограмм (1 кГ), в международной же системе единиц (СИ) за единицу силы принимается один ньютон (1 к).

Как известно из опыта, действие силы на тело вполне определяется численным значением (модулем), направлением и точкой приложения. Поэтому сила, действующая на тело, является величиной векторной.

Для статического измерения сил служат известные из курса физики приборы, называемые динамометрами. Главную часть этих приборов составляет градуированная пружина. Принцип действия динамометра основан на том, что до известных пределов деформация пружины (растяжение или сжатие) пропорциональна силе, ее вызывающей, и исчезает по прекращении действия этой силы. При этом о модуле силы, приложенной к пружине, судят по величине растяжения или сжатия пружины. Такой способ измерения модуля силы основан, таким образом, на равновесии между приложенной силой, модуль которой измеряется, и силой упругости, развиваемой пружиной динамометра. Поэтому этот способ измерения модуля силы можно назвать статическим. Другой, динамический, способ измерения модуля силы будет указан в динамике.

Кроме модуля силы, важно еще указать направление и точку приложения силы. Направление и точка приложения силы зависят от характера механического взаимодействия тел и их взаимного положения. Например, сила тяжести, с которой Земля действует на тело, направлена к центру Земли и приложена к центру тяжести тела. Силы давления двух прижатых друг к другу гладких тел направлены по нор-

мали к поверхностям этих тел в точках их касания и приложены в этих точках и т. д.

Графически сила изображается направленным прямолинейным от-

резком (со стрелкой), силы (рис. 1). Длинарезком (со стрелкой), силы (рис. 1). ДлинаРис. 1Рис. 1совпадающим по направлению с направлением этого отрезка выражает в выбранном масштабе модуль силы, направление отрезка соответствует направлению силы, его начало совпадает с точкой приложения силы. Прямая СД, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Например, линия действия силы тяжести есть вертикаль, проходящая через центр тяжести тела.

резком (со стрелкой), силы (рис. 1). Длина

резком (со стрелкой), силы (рис. 1). Длина

Рис. 1

Рис. 1

Силу, как и всякую векторную величину, будем обозначать какой-нибудь буквой с чертой над ней, например F. Модуль данной силы, как и всякой другой векторной величины, будем обозначать той же буквой, но без черты, например 尸，или символом |F|.

Теперь выясним понятие системы сил, механической эквивалентности систем сил, а

также понятие системы взаимно уравновешивающихся сил.

Совокупность сил, одновременно действующих на данное тело или систему тел, называется системой сил.

Если одну систему сил, действующих на данное свободное тело, можно заменить другой системой сил, не изменяя при этом покоя или его движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.

Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил, а силы, совместное действие которых может быть заменено равнодействующей, называются составляющими. Таким образом, равнодействующая — smo сила, которая одна может заменить действие данной системы сил на твердое тело.

г Нахождение равнодействующей называется сложением сил, а замену одной силы системой сил, производящей на тело то же действие, что и данная сила, называют разложением сил.

В дальнейшем мы увидим, что не всякая система сил может быть заменена одной силой, и, следовательно, не всякая система сил имеет равнодействующую.

Если под действием данной системы сил свободное тело не изменяет своего движения или, в частности, продолжает оставаться в покое, то такая система сил называется системой взаимно уравновешивающихся сил, или уравновешенной системой, или системой, эквивалентной нулю. Иногда говорят, что эта система находится в равновесии.

Сила, которая, будучи присоединена к некоторой системе сил, действующих на тело, приводит эту систему к равновесию, называется уравновеиливающей силой данной системы сил. Очевидно, что в уравновешенной системе сил каждая из сил является уравновешивающей по отношению ко всем остальным.

Под равновесием тела понимают состояние покоя этого тела по отношению к другим телам, играющим роль системы отсчета. Если систему отсчета, по отношению к которой изучается равновесие данного тела, можно считать неподвижной, то равновесие этого тела условно называют абсолютным, а в противном случае——относительным.

В действительности все тела на Земле движутся вместе с Землей вокруг ее оси, вокруг Солнца и вместе с Солнцем в космическом пространстве. Поэтому абсолютного равновесия в природе нет. Однако часто, как уже говорилось во введении, при решении многих практических задач движение Земли не учитывают и считают Землю за неподвижную систему отсчета. Вследствие этого всякое тело, не движущееся относительно Земли, считают находящимся в состоянии абсолютного равновесия. В статике изучают только абсолютное равновесие тел. Вопрос об относительном равновесии будет изучен в динамике.

Ясно, что уравновешенность сил, приложенных к свободному телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела. В равновесии тела будет находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до приложения к нему уравновешенных сил.

По известному из курса физики закону инерции следует, что если на тело не действуют никакие силы или если силы, действующие на него, взаимно уравновешиваются, то это тело или находится в покое, или движется по инерции. Поэтому под состоянием равновесия

тела можно понимать не только состояние покоя, но и движение по инерции. Однако в статике мы под состоянием равновесия материальной точки или тела будем понимать только состояние покоя.

АКСИОМЫ СТАТИКИ И НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ

Изложение ньютоновских общих аксиом теоретической механики мы отложим до начала изложения динамики. Теперь же, приступая к изучению статики абсолютно твердого тела, ограничимся установлением частных аксиом, которые достаточны, чтобы обосновать на них статику, но недостаточны для обоснования всей теоретической механики. При этом в число аксиом статики войдет одна из ньютоновских общих аксиом, т. е. аксиома равенства действия и противодействия. С точки зрения логической строгости необходимо, чтобы число аксиом было минимальным, чтобы они были непротиворечивыми и независимыми. Таким образом, в основе статики лежит несколько аксиом, или истин, принимаемых без математических доказательств и подтверждаемых повседневным опытом. Все же остальные положения статики выводятся и строго доказываются, исходя из этих аксиом.

Аксиома I. Свободное абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены, 6 противоположные стороны по общей линии действия (рис. 2).

Эта аксиома определяет простейшую уравновешенную систему сил. Опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, не может находиться в равновесии.

Аксиома 11. Действие данной системы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять систему сил, эквивалентную нулю.

Из этой аксиомы следует, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.

Следствие I. Не изменяя действия данной силы на абсолютно твердое тело, точку приложения этой силы можно переносить вдоль ее линии действия s любую другую точку тела.

Доказывается это следствие на основании аксиом I и II. А именно, пусть дана сила 尸,приложенная в точке А рассматриваемого абсолютно твердого тела (рис. 3, а). Согласно аксиоме II можно в произвольной точке В, взятой в этом же теле на линии действия силы 尸》 приложить две равные по модулю и противоположно направленные по одной прямой силы F] и F? (рис. 3, 6). Подберем при этом силы Ft и 尸2 так, чтобы они по модулю были равны заданной силе F. Тогда согласно аксиоме I силы ^ и F будут взаимно уравновешены. Согласно аксиоме II мы можем силы 尸】н F отбросить. В результате остается одна сила F?， приложенная в точке В (рис. 3, в) и эквивалентная* прежней силе 尸,которая была приложена в точке Л. Таким образом, следствие доказано.

Так как точку приложения силы, действующей на твердое тело, можно помещать на линии действия где угодно, то точка приложения силы перестает быть характерным элементом силы, и поэтому говорят, что сила есть вектор скользящий.

Следовательно, сила, действующая на твердое тело, определяется ее модулем,, линией действия и направлением вдоль линии действия.

Свобода переноса точки приложения силы вдоль линии ее действия является характерным свойством только абсолютна твердого тела. В деформируемом теле такой перенос силы недопустим. Например, если вдоль стержня к двум концам его приложить две равные по модулю и прямо противоположные по направлению силы & и f2, направленные внутрь стержня, то деформируемый стержень будет сжиматься (рис. 4, а). Если же перенести эти силы вдоль линии их действия (рис. 4, б) в соответственно противоположные концы стержня, то в новом своем положении те же силы F/ и^ будут растягивать стержень. В этом случае говорят, что сила, приложенная к деформируемому телу, есть вектор приложенный (неподвижный). Этот пример показывает, что системы сил, эквивалентные в статическом смысле, могут быть не эквивалентны с точки зрения механики деформируемых тел.

Следствие II. Равнодействующая и уравновешивающая силы равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположи ные стороны.

Докажем это следствие. Предположим, что сила R есть равнодействующая данной системы сил ^, F2, F3,..., F^ действующих на аб_ солютно твердое тело (рис. 5). Приложим к этому телу по линии действия равнодействующей равную ей по модулю, но направленную

На рис, 3, 8 знак со означает, что сила F? эквивалентна силе F.

в противоположную сторону силу R'. Силы R м R взаимно уравновешиваются по аксиоме I.

Не нарушая механического состояния тела, мы можем заменить равнодействующую эквивалентной ей системой сил 尸工，F2l F3,…凡. А так как сила R уравновешивает равнодействующую R, то она будет уравновешивающей и для системы сил Flt F2,尸з,・・・,兄.

Поскольку по условию сила R' равна по модулю и направлена противоположно силе R, то следствие II доказано.

Из этого следствия вытекает, что нахождение силы, уравновешивающей данную систему сил, можно свести к нахождению равнодействующей этой системы сил.

Аксиома 111. Равнодействуюищя двух сил, приложенных к телу в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмм а, построенного на этих силах, а направлена вдоль этой диагонали (рис. 6,а).

Параллелограмм, построенный на данных силах 尸工 и 戸2，называется параллелограммом сил, а сам способ нахождения равнодействующей путем построения параллелограмма называется правилом параллело

грамма сил. Здесь же необходимо заметить, что при нахождении равнодействующей двух сил 尸 1 и 尸2 нет надобности строить весь паралле-

лограмм (рис. 6, а). Достаточно выполнить лишь следующее построение: из конца вектора первой силы Fx (рис. 6, б) проводим вектор второй силы 戸2・ Вектор, соединяющий начальную и конечную точки полученной ломаной линии, изобразит, очевидно, по модулю и направлению р а в нодействующую R этих сил. Этот способ нахождения равнодействующей двух сил называется правилом треугольника сил.

Равнодействующая R является геометрической (векторной) суммой сил 戸 1 и 户2・ Поэтому на основании аксиомы III имеем

R = Е + 戸 2,

где знак «плюс» обозначает операцию геометрического (векторного) сложения сил 戸】и F?, т. е. сложения этих сил по правилу параллелограмма (рис. 6, а) или, что то же самое, по правилу треугольника (рис. 6, б).

Аксиома III позволяет нам рассмотреть два метода для отыскания равнодействующей двух сил, приложенных в одной точке.

Первый из них, называемый графическим методом сложения сил, требует только точного и аккуратного выполнения чертежа. Построив параллелограмм сил (рис. 6, а) или треугольник сил (рис. 6, б) в определенном масштабе и измерив в этом масштабе длину диагонали параллелограмма или длину замыкающей треугольника, мы найдем модуль равнодействующей силы. При этом направление этой равнодействующей силы определяется путем измерения углов % и а2, которые она образует с составляющими силами 耳 и f2.

Второй метод, называемый геометрическим, основан на применении правил геометрии и некоторых формул тригонометрии. Пользуясь этим методом, не следует стремиться точно построить чертеж, так как теперь он будет служить лишь для иллюстрации решения задачи о сложении двух сил, приложенных в одной точке. Из треугольника ABD согласно теореме косинусов найдем модуль р а в но действ ующей

R = ]/V； + 尸;—2 巳尸2 cos (冗一a),

где перед корнем берем знак «плюс», так как модуль вектора всегда число положительное.

Так как cos(k—a)=—cosa, то предыдущее равенство будет иметь вид

R = Н7； + 居十2尸i%cosa,(1)

где a ——угол между линиями действия сил F，и 尸2・

Определим теперь направление равнодействующей. По теореме синусов из того же треугольника АВС будем иметь

sin a2 sin ai sin(7C — a)

⑵⑵Но sin (тс—a)=sin а, следовательно,

⑵

⑵

sin а2 sin “ sin а

Формула (2) позволяет найти синусы углов между равнодействующей и составляющими силами, а следовательно, и сами эти углы.

Пользуясь I и III аксиомами, докажем теперь следующую теорему об уравновешивании двух сил, линии действия которых пересекаются в одной точке третьей силой: если свободное твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих, в одной плоскости, то линии действия этих сил обязательно пересекаются s одной точке.

Доказательство. Предположим, что данное абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием системы трех сил Fi ，尸2，F3, т. е. эта система сил эквивалентна нулю. Пусть дано, что линии действия сил Fr и f2 пересекаются в точке О, а линия действия силы F3 неизвестна (рис. 7). Перенесем точки приложения сил 尸工 и 尸2 по линиям действия этих сил в точку О. Построив на этих силах как на сторонах параллелограмм, заменим эти сида согласно аксиоме III одной равнодействующей R=^F1+F2 (рис. 8). В результате получим систему сил R, F3, эквивалентную прежней системе сил 尸工，f2, F3 и находящуюся по условию в равновесии. Но, согласно аксиоме I, это возможно только в том случае, если силы R я 尸3 лежат на одной прямой, чем и доказывается теорема. Эта теорема будет иметь широкое применение при решении задач. Заметим, что данная теорема дает лишь необходимое условие равновесия, но недостаточное, ибо ясно, что не всякие три силы, линии действия которых пересекаются и лежат в одной плоскости, будут находиться в равновесии.

Рис. 10Рис. 10Рис. 11Рис. 11

Рис. 10

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 11

Аксиома IV. Силы, с которыми действуют друг на друга два тела, всегда равны, по модулю и направлены по одной прямой 6 противополож- ные стороны.

Эта аксиома называется законом равенства действия и противодействия. Смысл аксиомы IV состоит в том, что если тело А действует на тело В с силой 戸в, то одновременно тело В действует на тело А с силой FA =——FB (рис. 9). Одна из этих сил, например Fa, получила название «действие», — а другая 戸з —— «противодействие». Нужно запомнить, что силы Fa^ 戸в не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены не к одному, а к двум разным телам.

Из этой аксиомы следует, что в природе не существует одностороннего действия силы.

Аксиома V. Если деформируемое тело находится под действием некоторой системы сил в равновесии, то равновесие не нарушится и в том случае, если это тело отвердеет (станет абсолютно твердым).

Эту аксиому называют принципом отвердевания. Из принципа отвердевания следут, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для абсолютно твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для_ _

тела. Например, твердый брусок (рис. 10, а, б) находится в равно-

вески под действием двух сил, равных по модулю и направленных вдоль оси бруска друг к другу либо друг от друга, а нить, соответствующая

этому бруску, находится в равновесии только под действием двух сил, равных по модулю и направленных вдоль нити друг от друга (рис. 11). Очевидно, что под действием сил, направленных друг к другу, нить сомнется.

Принцип отвердевания широко используется в инженерных расчетах. Он устанавливает связь между статикой абсолютно твердого тела и статикой деформируемого тела. Этот принцип позволяет результаты, изложенные в статике абсолютно твердого тела, перенести затем не только на исследование равновесия деформируемых тел (сопротивление материалов) и целых инженерных сооружений (строительная механика), но и на равновесие жидкости (гидростатика).

ИССЛЕДОВАНИЕ СВЯЗЕЙ И УСТАНОВЛЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯИХ РЕАКЦИЙ

Тело, некоторым перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным. Всякое тело, ограничивающее свободу перемещения данного твердого тела, является по отношению к нему связью.

\ / В статике абсолютно твердого тела связи, налагаемые У。 на рассматриваемое тело, чаще всего встречаются в виде неподвижных поверхностей, линий и точек,, а также 6 виде гибких, нитей.

_ Таким образом, твердое тело является несвободным, 八乙 если на это тело наложены связи. Например, висящее на 力 гибкой нити тело будет несвободным (рис. 12), так как на ^|-^ него наложена связь в виде нити и оно не может переме- f \ щаться вертикально вниз по направлению вытянутой нити, (6| 丿 не разорвав ее.

Если на твердое тело не наложены никакие связи, то 1 - такое тело очевидно является свободным.

，' Если тело не может покинуть связь, то эта рис [2 связь называется удерживающей. Примером может 'служить случай шарика с отверстием, надетого на

проволоку. Если же тело при некоторых перемещениях может покинуть связь, то такая связь называется неудерживающей. Таким, например, случаем является тело, лежащее на столе. В этом случае тело может перемещаться по столу — связь не нарушается; но можно поднять тело, сняв его со стола, — при таком перемещении связь нарушается. Следовательно, на тело, лежащее на столе, наложена неудерживающая связь. При этом не считается возможным, например, такое движение, при котором тело пробивает доску стола, осуществляющую связь, так как считается, что связи физически неразрушимые. Сила, характеризующая действие связи на тело, называется силой реакции связи. Если считать силу, с которой тело действует на связь, действием, то сила реакции связи является противодействием и при-

ложена к телу. Эти силы нельзя считать уравновешенными, хотя они и равны по модулю и направлены п роти во положно, так как точки приложения этих двух сил принадлежат различным телам.

Все силы, действующие на тело, можно разделить на две группы: силы активные (сила тяжести, сила упругости сжатой или растянутой пружины и т. п.) и силы, реакций связей. При этом активными силами следует считать все силы, не являющиеся силами реакций связей. Характерной особенностью активных сил является то, что модуль и направление каждой активной силы наперед известны и непосредственно не зависят от действия других, приложенных к данному телу сил, а также от движения этого тела и от характера наложенных на него связей. Силы же реакций связей зависят от действия приложенных к нему активных сил, а также от движения этого тела и от характера наложенных на него связей.

Силы реакций связей возникают только тогда, когда тело, на которое наложены связи, под действием активных сил оказывает давление на эти связи. Как только прекращаются эти давления на связи, перестают действовать на тело и силы реакций связей. В этом смысле силы реакций связей называются пассивными силами^.

Для определения силы реакции связи необходимо знать ее модуль, направление и точку приложения. Модуль каждой силы реакции связи всегда зависит от действующих на тело активных сил и является наперед неизвестным. Направление же сил реакций связей известно лишь для некоторых типов связей. Если данная связь препятствует перемещению тела только в одном каком-нибудь направлении, то направление ее реакции противоположно этому направлению. Если же данная связь препятствует перемещениям тела по многим направлениям, то направление силы реакции связи наперед неизвестно и должно (так же, как и модуль силы реакции) определяться в результате решения соответствующей задачи статики. Точка приложения силы реакции связи, как правило, бывает известна.

Аксиома VI. Всякое несвободное тело можно рассматривать как. свободное, если еа。мысленно освободить от связей, заменив их действие соответствующими силами реакций связей.

Эта аксиома называется аксиомой связей, или принципом освобож^ даемости от связей.

Аксиома связей дает возможность применить к несвободному телу условия равновесия, справедливые для свободного тела. Для этого следует мысленно отбросить связи, наложенные на тело, заменив их действие соответствующими силами реакций связей. Затем нужно рассмотреть равновесие этого несвободного тела как тела свободного под действием активных сил и сил реакций связей.

Определение модулей и направлений сил реакций связей имеет пер-

* Пассивные силы не могут сами вызвать движения тела, в отличие от сил а ктивных.

востепенное практическое значение, так как, зная силы реакций, согласно аксиоме IV, будем знать и силы давления на связи. А это, в свою очередь, позволит, пользуясь законами сопротивления материалов, определить, выдержат ли связи данные давления или нет, т. е. рассчитать прочность машины, конструкции или сооружения..

При решении некоторых задач на равновесие тела можно сразу указать направление сил реакций связей. При этом следует лишь определить модули сил реакций связей в ходе решения статических задач.

—Для правильного направления сил

八%реакций связей укажем несколько при-

z^меров наиболее часто встречающихся

/Лсвязей и установим возможное направ-

〈уление их сил реакций.

Связь осуществляется посредством идеально гладкой неподвижной плос-

" 力кости или поверхности (рис. 13). Гла-

/诊 дкой называют такую плоскость или

рис< 1зповерхность, на которой можно прене

Рис. 15Рис. 15бречь трением. Так как такая связь не препятствует скольжению по ней поверхности тела и препятствует только перемещению, направленному по общей нормали к поверхности тела и к связи, то ее сила реакции Na направлена по этой нормали и приложена к телу в точке касания. Поэтому эту

Рис. 15

Рис. 15

Рис. 14

силу реакции называют нормальной силой реакции. Модуль нормальной силы реакции равен давлению, производимому телом на связь, и зависит от активных сил, приложенных к телу.

Заметим, если на идеально гладкую поверхность, осуществляющую связь, опирается в некоторой точке шар, то сила реакции связи направлена по общей нормали к поверхности шара и к связи в точке их касания и проходит через центр шара.

Если поверхность данного тела или поверхность тела, осуществляющего связь, имеет в месте касания заострение, то в этих случаях проведение общей нормали представляет собой операцию неопределенную. В этом случае сила реакции должна быть направлена по нормали к той поверхности, для которой ее проведение является операцией определенной, и приложена к телу в точке касания (рис. 14, а, 6; рис. 15).

Связь осуществляется посредством гибкого тела (нить, канат, цепь и т. п.). Такая связь называется гибкой. Если на тело наложена гибкая связь, то сила реакции приложена к тглу в точке прикрепления гибкой связи. Сила реакции гибкой связи направлена, вообще говоря, по касательной к связи в точке ее прикрепления к телу. В частности, сила реакции гибкой связи 丁左(см. рис. 12) может иметь линией действия ось этой связи.

Связь осуществляется посредством неподвижного цилиндрического шарнира или подшипника (рис. 16). При наложении такой связи рассматриваемое тело неизменно скрепляется с втулкой, которая надевается на болт, неподвижно прикрепленный к соответствующей опоре. Трением между поверхностями втулки и болта во многих случаях можно пренебречь. Связь, осуществляемая посредством такого идеального шарнира, не препятствует ни повороту тела вокруг оси болта, ни его перемещению вдоль этой оси. Эта связь препятствует лишь перемещению тела в направлении нормали к поверхности втулки и болта, и, следовательно, ее реакция может быть направлена только по этой нормали. Нотак как втулка в зависимости от ее расположения и активных сил, приложенных к неизменно скрепленному с ней телу, может прижиматься к любой точке болта, то указать заранее направление реакции даже такого идеального шарнира нельзя. Можно только утверждать, что сила реакции идеального неподвижного

цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, т. е. в плоскости Аху (рис. 16,6). В этом случае линия действия реакции Ra связи всегда проходит через центр шарнира, но модуль Лл и направление (угол а) этой реакции неизвестны. Поэтому при освобождении тела от шарнирной связи силу реакции Ra раскладывают на две составляющие ХА и Ул . Эти составляющие всегда направляют в сторону положительного направления осей координат Ах и Ау, Если в результате решения задачи для Ха и Уд получатся отрицательные значения, то это означает, что в действительности составляющие X百 и YА реакции R л направлены в стороны, противоположные положительному направлению осей координат. Модуль и направление полной реакции 反 л цилиндрического шарнира определяется по формулам:

У = ;cos(R,办=播；cos(R 7)=总，

гдегдеi, j — единичные векторы прямоугольной декартовой системы

где

где

координат.

Однако в некоторых случаях можно точно указать направление реакции неподвижного цилиндрического шарнира. Например, пусть балка AD весом Р, закрепленная на неподвижном цилиндрическом шарнире А, опирается в точке 5 на неподвижную опору, как показано на рис. 17. Реакция Nв неподвижной опоры направлена перпендикулярно к балке AD. Реакцию неподвижного цилиндрического шарнира Л обозначим через /?л-Так как три силы Р, Nb и Ra взаимно уравновешиваются, то линии

действия этих сил должны пересекаться в одной точке, поэтому линия действия реакции Ra неподвижного цилиндрического шарнира А проходит через точку пересечения О

линий действия сил Р н Nb • Следовательно, эта реакция Ra направлена по прямой О А, соединяющей точку О с неподвижной точкой Л (с неподвижным болтом шарнира, рассматриваемым как точка).

Связь осуществляется посредством сферического шарнира (рис.18). Сферический шарнир представляет собой шар, который может вращаться как угодно внутри сферической полости. Направление реак-

Рис. 19Рис. 19Рис. 18Рис. 18ции в этом случае заранее указать нельзя, даже если трение в шарнире пренебрежимо мало. Реакция связи, осуществленной в виде сферического шарнира, может быть направлена по любой наперед неизвестной нормали к поверхности этого шарнира. Если на тело, неизменно скрепленное со сферическим шарниром & (рис. 19)二 действует произвольная пространственная система сил/7!, f2,..., ?л, то при отыс-

Рис. 19

Рис. 19

Рис. 18

Рис. 18

кании реакции сферического шарнира R月 эту неизвестную по модулю и направлению реакцию раскладывают по трем осям координат на три составляющие Х^, У达 н Z月.При этом всегда направляют составляющие реакции R月 в сторону положительного направления осей координат. Если в результате решения задачи модуль какой-нибудь из составляющих будет иметь отрицательное значение, то фактически эта составляющая направлена в сторону, противоположную направлению соответствующей оси координат.

Модуль и направление полной реакции сферического шарнира находятся по формулам:

R尸丿X：+*Z：, cos

где i, j,々 一 единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат.

Связь осуществляется посредством подпятника. ПодпЯ1ник В (рис. 20 и 21) представляет собой соединение цилиндрического шарнира с опорной плоскостью, не позволяющей опускаться телу, на КО' торое эта связь наложена. Реакция подпятника складывается из нор мальной реакции опорной плоскости и реакции цилиндрического шарнира.

Если две какие-нибудь точки данного тела неподвижно закрепим при помощи подпятника и подшипника, то такое тело может вращать* ся вокруг оси, проходящей через эти две неподвижные точки. Пред^ положим, что к телу, ось которого может вращаться в подпятнике В и в подшипнике Д^приложена произвольная пространственная сис- тема сил Хи 尸2,…，Рп (рис. 20). Так как подшипник Л (цилиндрический шарнир) допускает скольжение тела в вертикальном направлении, то его полная реакция не будет иметь вертикальной составляющей и разложится лишь на две составляющие ХдИ Уд. Реакция же подпятника В дает в этом случае три составляющие Xs, Ув и Zs, направлен- ные по трем координатным осям (Хв, У в一 реакции цил и ндрического шарнира, — нормальная реакция опорной плоскости).

В случае действия на рассматриваемое тело произвольной плоской системы сил* направление реакции подпятника и подшипника бу-

дет несколько иное. Например, пусть на подъемный кран (рис. 21) действуют активные силы Рг (вес крана) и /% (вес груза). В этом случае полная реакция подпятника В раскладывается только на горизонтальную Хв и вертикальную Y в составляющие. Подшипник А даст при этом только горизонтальную реакцию Х^, перпендикулярную к оси вращения подъемного крана.

Связь осуществляется посредством невесомого твердого стержня (рис. 22). Предположим, что невесомый абсолютно твердый прямолинейный стержень АВ (рис. 22, а} соединен своими концами с данным телом, равновесие которого мы рассматриваем, и с другим каким-нибудь телом посредством идеальных (лишенных трения) шарниров Л и В, При этом никакие активные силы к этому стержню не приложены. Шарнирные соединения концов стержня называются узлами. Найдем направление реакции, например, стержня АВ. Если вся рассматриваемая конструкция (рис. 22, а) находится в равновесии, то, следовательно, в равновесии находится и сам стержень АВ. Мысленно отделяем стержень АВ ст остальной части конструкции (отбрасываем связи-шарниры) и, чтобы не нарушилось его равновесие, прикладываем к обоим концам стержня АВ силы реакции отбрсшенны^ шарниров. Так как выделенный невесомый стержень АВ, рассматриваемый как свободное тело, находится в равновесии под действием только двух сил —— реакций шарниров 4 и 8, то по аксиоме I эти реакции S'h S% равны по модулю, направлены в противоположные стороны и дей-

ствуют по одной прямой, соединяющей центры этих шарниров, т. е. по продольной центральной оси стержня (рис. 22, 6, в). В зависимости от направления реакции отброшенных шарниров стержень АВ либо растягивается (рис. 22, б), либо сжимается (рис. 22, в). Заметим, что на основании аксиомы IV сила реакции S3 стержня АВ на шарнир А, приложенная к шарниру А (рис. 22, а), равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции 5%шарнира А на стержень ЛВ (рис.22, 6, в). Поэтому сила реакции S3 стержня АВ на рассматриваемое тело также направлена по продольной центральной оси стержня аналогично 5г и S2 (рис. 22, а). При этом сила реакции направлена или от узла стержня, если он воспринимает растягивающее усилие, или к узлу стержня, если последний подвергается сжатию. Очевидно, подобным же образом будут направлены и реакции закрепленных стержней (прямых и ломаных), подпирающих рассматриваемое тело (рис. 22, г).

Во многих задачах нельзя заранее сказать, работает стержень на сжатие или на растяжение. Поэтому при решении задачи на равновесие силу реакции стержня направляют от узла к середине стержня, т. е. предполагают, что стержень работает на растяжение. Результат решения задачи покажет, будет ли это так. Если значение силы реакции получится положительным, то стержень действительно работает на растяжение, а если отрицательным, то стержень фактически сжимается.

Связь осуществляется посредством негладкой неподвижной поверхности (рис. 23, а, б). До сих пор мы рассматривали связи, которые осуществлялись посредством абсолютно гладких поверхностей. В действительности же реальные поверхности бывают негладкими (шероховатыми). Негладкая поверхность не только препятствует перемещению, нарушающему связь, но и оказывает некоторое сопротивление перемещению по этой поверхности. Это сопротивление тоже представ-

ляет некоторую реакцию, направленную по касательной плоскости к поверхности и называемую силой трения скольжения. Сила трения скольжения направлена в сторону, противоположную той, в которую двигают или стремятся сдвинуть тело приложенные к нему активные силы. Как и всякая реакция связи, сила трения определяется теми активными силами, которые действуют на рассматриваемое тело*. Следовательно, реакция негладкой неподвижной поверхности имеет две составляющие: одну — нормальную к поверхности, осуществляющей негладкую связь, а другую — лежащую к общей касательной

плоскости к поверхности тела и поверхности, осуществляющей негладкую связь. Первая составляющая — нормальная сила реакции — на рис. 23, а, 6 обозначена через Na и 川月，а вторая составляющая — сила трения скольжения — на тех же рисунках обозначена через Fa и戸8.

Хотя идеально гладких поверхностей, а следовательно, и связей без трения в действительности не существует, но во многих случаях практики величина силы трения может быть настолько малой, что ею можно пренебречь и практически считать связи идеально гладкими. Примером такой связи является часто применяемая в мостовых и других конструкциях опора на катках (рис. 24). Подвижность катка настолько велика, и, следовательно, сила трения настолько мала, что можно считать эту связь препятствующей лишь перемещению, перпендикулярному к опорной плоскости. Поэтому эта связь характеризуется только одной нормальной реакцией NА.

В § 24 будет рассмотрен еще один вид связи, осуществляемой посредством заделки (балка-консоль).

О том, как учитывается сила трения, мы будем говорить дальше (см. § 26}.

Глава //

ПРИВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ПЛОСКОЙ СИСТЕМСХОДЯЩИХСЯ СИЛ К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ

§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ПЛОСКОЙ СИСТЕМ сходящихся СИЛ

Система сил, в которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил. Система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости, но пересекаются в одной точке, называется пространственной системой сходящихся сил. Система же сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке, называется плоской системой сходящих-

ся сил. Если мы перенесем точки приложения Дь Л2,---, 4n всех сил

尸и 尸2，•••,尸〃 данной尸и 尸2，•••,尸〃 даннойпространственной или плоской системы сходящихся сил в общую точку О пересечения линий действий

尸и 尸2，•••,尸〃 данной

尸и 尸2，•••,尸〃 данной

2525этих сил (рис. 25, а, 6), то согласно первому следствию из аксиом I и П действие этой системы сил на абсолютно твердое тело не изменится. Таким образом, любую систему сходящихся сил можно заменить эквивалентной системой сил, приложенных в одной точке.

25

25

Всюду в статике, а также и в динамике мы будем иметь де

ло со случаями, когда к телу приложена кек 1я-нибудь система сил. Мы

увидим, что сложную систему сил можно заменить по определенным правилам простой системой, действие которой на тело будет таким же, как и действие сложной системы сил. Эта замена сложной системы сил простой системой называется приведением системы сил к простейшей, ей эквивсиентной. Если система сил приводится только к одной силе, ей эквивалентной, то эта одна сила называется равнодействующей системы сил, а приведение системы сил называется в этом случае сложением сил. Обратный процесс носит название разложения сил.

В этой главе прежде всего рассмотрим пространственную систему сходящихся сил, действующих на тело, с целью замены этой системы одной равнодействующей и, в частности, с целью нахождения необходимого и достаточного условия равновесия этой системы сил.

Одновременно рассмотрим указанные две основные задачи статики (приведения и равновесия) и для плоской системы сходящихся сил. Далее мы рассмотрим более трудные задачи приведения и равновесия различных систем сил, требующих более сложных методов и новых понятий.

Предположим, что к точке Л абсолютно твердого тела приложены, например, четыре силы /\, F2, F^, F4, линии действия которых не лежат в одной плоскости (рис. 26, а). Постараемся установить, что эта пространственная система сходящихся сил приводится только к равнодействующей. Для этого будем складывать силы F^ F2,尸3, F4 последовательно, пользуясь уже установленным нами для сложения

двух сходящихся сил правилом силового треугольника. Сначала сложим jio этому правилу какие-либо две из данных сил, например силы 忆н月, для чего из конца вектора силы 尸工(точки В) проведем вектор ВС, равный силе 尸纟・ Равнодействующая /?12 сил 尸工 и F^ изобразится в выбранном масштабе замыкающей стороной треугольника, т. е. вектором ЛС. Сложим по тому же правилу силы R12 и F3, для чего из точки С проведем вектор CD, равный силе % и соединим точки А и D. Вектор AD представляет в выбранном масштабе равнодействующую 欠工23 сил 欠 12 н F3, т. е. заменяет собой действие сил Fls F?, F3. Затем сложим силы /?123 и F4. Для этого проводим из точки D вектор QE, равный силе 尸4, и соединяем прямой точки Л и Е. Вектор Л£, представляя в выбранном масштабе равнодействующую R сил Т?123 и F4, будет, 3 Н Ф Сахарный

очевидно, служить и равнодействующей всей данной пространственной системы сходящихся сил (рис. 26, а).

Процесс определения равнодействующей пространственной системы сходящихся сил удобнее вести, как это видно из рис. 26, а , несколько иным путем (рис. 26, б). № конца вектора силы 尸工(точки В) проводим вектор ВС, равный силе F2- Из конца этого вектора (точки С) проводим вектор CD, равный силе F3. Из конца этого вектора (точки D) проводим вектор DE, равный силе F4. Полученный многоугольник АВС ДЕ называется силовым многоугольником. Стороны этого много

угольника, равные заданным силам и одинаково с ними направленные, называются составляющими силами. Вектор АЕ, соединяющий начало Л первой силы и конец Е последней силы и направленный навстречу составляющим силам, называется замыкающей стороной силового многоугольника. Поэтому можно сказать, что разнодействующая пространственной (〃，следовательно, плоской丿 системы сходящихся сил изображается в выбранном масштабе по модулю и по направлению замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на слагаемых силах (правило силового многоугольника).

Если в точке Л тела приложены три силы 几 F2, / (рис. 27), линии действия которых не лежат в одной плоскости, то равнодействую- щая R этой пространственной системы сходящихся сил изобразится по модулю 〃 направлению диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах, и будет приложена в той же точке Л (правило параллелепипеда сил). В самом деле, для трех сил Fr, F2, ^3 диагональ AD

Рис. 27сил этой системы не лежат вРис. 27сил этой системы не лежат всоответствующего параллелепипеда есть замыкающая сторона AD построенного многоугольника этих сил ABCD. Необходимо иметь в виду, что силовой многоугольник, получающийся при определении равно

Рис. 27

сил этой системы не лежат в

Рис. 27

сил этой системы не лежат в

действующей пространственной системы сходящихся сил (при любом числе сил), не будет плоским, так как линии действия одной плоскости.

Полученное правило определения равнодействующей системы сходящихся сил справедливо при любом числе сил, входящих в состав данной системы.

Нахождение р ав но действ ующей системы сходящихся сил по правилу силового многоугольника называется векторные или геометрическим сложением сил. Нужно заметить, что порядок, в котором производится векторное, или геометрическое, сложение сил, безразличен: при изменении порядка слагаемых сил замыкающая сторона си-

лового многоугольника не изменит ни своего модуля, ни своего на、 правления. Таким образом, мы доказали следующую теорему: пространственная 〃,следовательно, плоская система сходящихся сил в оби^м случае эквивалентна одной силе, являющейся равнодействующей. которая приложена в точке пересечения линий действия всех этих сил и равна их векторной (геометрической) сумме:

R =f1 + F2 +…+%.

Для обозначения векторной (геометрической) суммы сходящихся сил 尸1，尸2, .*■, Fn будем пользоваться обычным знаком £ (сигма): 我=三戸"(1)

n

где знак £ обозначает суммирование стоящих справа от него отме- ценных индексом i сил по всем последовательным значениям этого индекса от i=l до i=/t.

Эту же теорему, но применительно к плоской системе сходящихся сил, можно сформулировать аналогичным образом. Однако при этом нужно указать, что линия действия равнодействующей плоской системы сходящихся сил лежит в той же плоскости, в которой расположены линии действия всех сил этой системы.

. УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ПЛОСКОЙСИСТЕМ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Пусть на свободное тело действует пространственная (или плоская) система сходящихся сил Fx, F2> 一•，尸п (рис. 28, а).

Сложив по правилу силового многоугольника п—1 из этих сил, мы приведем данную систему сходящихся сил к системе двух сил R и 尸小 эквивалентной данной системе Fp F2, ..., Fn, Но из аксиомы I известно, что две силы R* и F幫,приложенные к свободному абсолютно твердому телу, находятся в равновесии в том и только в том случае, если эти силы имеют равные модули и направлены по одной прямой в прямо противоположные стороны (^1=——尸/, т. е. если их равнодействующая Ri+Fn=A равна нулю. Таким образом, необходимым и достаточным условием равновесия пространственной (и, следовательно, плоской 丿 системы сходящихся сил является равенство нулю равнодействующей R этой системы сил, т. е.

з*з*R=R* + 尸也=& + 尸2 + % + …十 Pn =。，

з*

з*

ИЛИИЛИ

ИЛИ

ИЛИ

(1)(1)R=£E = O.j=l

(1)

(1)

Это векторное равенство называют векторным условием равновесия пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся сил. Геометрически это условие выражается требованием, чтобы силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, замыкался сам по себе. Заметим, что в замкнутом силовом многоугольнике конец

вектора последней силы Fп совпадает с началом вектора первой силы Fv а стрелки векторов всех сил указывают одну и ту же сторону обхода периметра силового многоугольника (рис. 28, б).

Таким образом, мы приходим к следующему геометрическом}^ (или графическому) условию равновесия: для равновесия пространственной, а также плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на векторах слагаемых сил ■этой системы, был замкнут.

6. РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛЫ НА СХОДЯЩИЕСЯ СОСТАВЛЯЮЩИЕ

Разложить данную силу на две или несколько сходящихся составляющих сил значит найти такую систему двух или нескольких сходящихся сил, для которой данная сила является равнодействующей.

Разложение силы по двум заданным направлениям. Пусть, например, требуется разложить на две сходящиеся силы силу 尸,модуль и направление которой заданы. Возьмем два произвольных направления ОМ и ON и построим вектор ОА, изображающий в некотором масштабе данную силу F. Из точки Л проведем прямые АВ и ЛС, соответственно параллельные прямым ON и ОМ (рис. 29). Получается параллелограмм ОВАС, для которого сила F является диагональю. Векторы ОВ и ОС дают в том же масштабе составляющие силы, р ав но действ ующа я которых равна F.

Взяв два других произвольных направления ON* и ОМГ и аналогичным образом построив новый пар аллелогр амм OBlACv мы получим другие составляющие силы 0Вх и。。工，дающие в сумме ту же самую равнодействующую.

Таким образом, по данной силе F, очевидно, можно построить бесчисленное множество параллелограммов сил, и, следовательно, задача о разложении данной силы F на две сходящиеся составляющие силы является в такой постановке неопределенной и имеет однозначное решение лишь при задании двух дополнительных условий.

Рис 30Рис 30

Рис 30

Рис 30

Такими дополнительными условиями могут, например, быть: 1) задание двух направлений, по которым должны действовать составляющие; 2) задание модулей обеих составляющих сил; 3) задание модуля одной составляющей силы и направление другой.

Рассмотрим первый случай. Разложим заданную силу F (рис. 29) на две сходящиеся составляющие силы по направлениям, параллельным данным прямым ON и ОМ (линия действия силы и эти прямые лежат в одной плоскости). Задача сводится к построению такого параллелограмма, у которого диагональ будет изображать силу F, а стороны будут параллельны прямым ON и ОМ. Для решения задачи проводим через начало и конец вектора силы F прямые, параллельные ON и ОМ, При этом стороны таким образом построенного параллелограмма ОВ и ОС, направление которых совпадает с заданными направлениями искомых составляющих сил, дадут нам эти искомые составляющие силы в том же масштабе, в каком отложена данная сила Л

Два последних случая предоставляем читателю рассмотреть самостоятельно.

Разложение силы по трем заданным направлениям. Исходя из правила параллелепипеда сил, можно решить задачу о разложении данной силы F на три сходящиеся силы по трем заданным направлениям ON, ОМ и OL, не лежащим в одной плоскости (рис. 30). Для этого, очевидно, достаточно построить параллелепипед, ребра которого ОА, ОВ и ОС имели бы заданные направления, а диагональю OD являлась бы заданная сила F. При этом ребра этого параллелепипеда О А, ОВ и ОС дадут нам модули искомых составляющих данной силы 戸 в том же масштабе, в каком отложена сила F.

§7. ПРОЕКЦИИ СИЛЫ НА ОСЬ И НА ПЛОСКОСТЬ

Проекция силы на ось. Аналитический метод решения задач статики основан на понятии о проекции силы на ось.

Пусть мы имеем силу F, приложенную в точке Л тела, и некоторую ось х, положительное направление которой будем считать от точки а

勿勿

勿

勿

Рис. 31

в ту сторону, где стоит буква х. Предположим, что линия действия силы 尸 и ось хлежат в одной плоскости *. Опустим из начала и конца вектора силы F на ось х перпендикуляры Аа и ВЬ (рис. 31, а). Взятая с соответствующим знаком длина отрезка ab называется проекцией силы F на ось х.

Проекция силы имеет знак «плюс», если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси (рис. 31, а), и знак《минус», если в отрицательном (рис. 31,6). Из этого определения следует, что проекция силы на ось является величиной скалярной.

. * Проекция силы на ось, расположенную любым образом, находится аналогично.

плоскость (рис. 32). Таким обра-плоскость (рис. 32). Таким обра-данную ось:данную ось:

плоскость (рис. 32). Таким обра-

плоскость (рис. 32). Таким обра-

данную ось:

данную ось:

Проекцию силы на ось будем обозначать той же буквой, которой обозначена сила, но со знаком внизу, указывающим наименование оси проекций (например, Fx и Flv, или прописной буквой X и XJ.

Таким образом,

F х = X = ab; = X* =— 〃瓦.

Если провести через начало вектора силы прямую х\ параллельную оси х, то легко видеть, что

ab АС = F cos а,

abi = ЛСХ = — F* cos § = % cos %.

Отсюда

F# = X = F cosa;乙=% = Ficos%,(1)

. проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси проекций.

Проекция силы на плоскость. Проекцией силы 尸 на плоскость

Оху называется вектор F =tz6, заключенный между проекциями на

чала и конца вектора силы 尸 на эту зом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим численным

значением, но и направлением в плоскости Оху. Модуль проекции силы на плоскость определяется по формуле

Fxy =尸 cos?, где р — угол между направлением вектора силы 尸 н ее про- екци и FXy на плоскость Оху.

Заметим, что для нахождения проекции силы 尸, например на ось х, можно сначала найти ее проекцию на плоскость Оху, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость F*v спроектировать на

/\ = F cos。= F cos a cos ^.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ ПО ЕЕ ПРОЕКЦИЯМ НА КООРДИНАТНЫЕ ОСИ

Если сила и ось проекций заданы, то проекция силы на ось определяется единственным образом. Но задание одной проекции силы еще не определяет саму силу, так как различные силы могут иметь одинаковые проекции на одну и ту же ось (рис. 33, а)・

Если линия действия силы 尸 расположена в координатной плоскости Оху (рис. 33, 6), то для определения этой силы нужно знать ее

проекции Fх и Fy на две прямоугольные декартовы оси координат Ох и Оу (аналитический способ задания силы). В этом случае модуль силы F численно равен диагонали прямоугольника, длины сторон которого численно равны абсолютным значениям проекций силы на координатные оси Ох и Оу. Отсюда следует, что модуль силы 尸 равен

(1)(1)?=/个十尸3

(1)

(1)

где перед корнем всегда надо брать знак «плюс», так как модуль силы есть число арифметическое.

Направление силы F определяется из равенств:

cos IF , icos IF , i⑵⑵

cos IF , i

cos IF , i

⑵

⑵

Покажем теперь, что сила 尸 будет вполне определена, если будут известны ее проекции 尸仃 尸у, Fz на три прямоугольные декартовы оси координат Ох, Оу и Ог (рис. 34). В самом деле, из формулы (1, § 7) следует, что

尸人 F cos (f，『)； 々=Feos (戶，j );匕=Feos (户r石).(3)

Отсюда находим косинусы углов между вектором силы и положительными направлениями осей проекций:

которые называются направляющими косинусами.

Возводя равенства (3) почленно в квадрат и складывая их, находим модуль силы F по формуле

?/已可If,(5)

так как

Формулы (4) и (5) позволяют, зная проекции силы на оси координат, найти ее углы с осями и модуль, т. е. определить силу. Заметим, что в формуле (5) перед корнем всегда берется знак «плюс», так как эта формула определяет модуль силы.

Из формулы (6) следует, что из трех направляющих косинусов независимыми являются только два. Поэтому нельзя задавать произвольно три угла 上尸，乙 上尸，/ и 上F,々，образуемых силой F с координатными осями Ох, Оу и Ог.

Докажем теперь следующую теорему о проекции р а в но действ ующей на ось: проекция равнодействующей системы сходящихся сил (безразлично, пространственной или плоской) на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось.

В самом деле, положим, что на точку Л тела одновременно действуют сходящиеся сплыРъ 尸2,尸з，・・・，Fn (рис. 35). Найдем их равнодействующую R по правилу силового многоугольника.

Спроектируем силы F1( F2»---> Рп и их равнодействующую R на данную ось х:

R* u ag;尸打=ab; &* =岳；尸з* =必；F4x = de;尸5* = — eg・

Сложив последние пять равенств, находим

储* + 尸2r + 尸зг + 尸4x 十尸5* = ab + bc + cd + de — eg = ag = RK, или

R I = Fix + 尸2* + %*+&(• + 尸5x，

чем и доказывается теорема.

Данная теорема справедлива при любом числе сил, поэтому аналогично получим

R* = Е” + 尸2 q + ••• + Eg или

⑺⑺п

⑺

⑺

i=l

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙПРОСТРАНСТВЕННОЙ и плоской систем сходящихся сил

Правило силового многоугольника позволяет геометрически (по

строением) определить модуль истроением) определить модуль иzzнаправление равнодействующей R

строением) определить модуль и

строением) определить модуль и

z

z

Рис. 36Рис. 36данной пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся сил; равнодействующая при этом вектор но определяется формулой (1, § 4). Аналитическое решение этой же задачи основано на применении метода проекций и базируется на теореме о проекции равнодействующей на ось (7, § 8).

Рис. 36

Рис. 36

Пусть мы имеем пространственную систему сходящихся сил 戸I,尸2,f3，…，F"，

заданных своими проекция

ми на координатные оси, начало которых взято в точке пересечения линий действия данных сил (рис. 36). Требуется определить модуль и направление равнодействующей R данной системы сходящихся сил. Обозначая проекции иско

мой равнодействующей R на координатные оси х, у п г через R#, Ry

л Rz，а проекции составляющих сил Fx, F2> 尸 з, •••，F也 на те же оси заглавными буквами X, У и Z с соответствующими индексами, на основании теоремы о проекции равнодействующей силы на ось будем иметь

пп

凡=£х，；％ =£匕；R = £z，⑴

i=li=l»=1

Отсюда, подставляя эти значения в формулу (5, § 8), получим следующее выражение для модуля равнодействующей пространственной системы сходящихся сил:

R =卜广A；十Rj不疋=R =卜广A；十Rj不疋=⑵⑵

R =卜广A；十Rj不疋=

R =卜广A；十Rj不疋=

⑵

⑵

Чтобы определить направление равнодействующей R, нужно найти ее углы』R, i, nR, / и』R, k с координатными осями xt у п z. На основании формулы (4, § 8) будем иметь следующие формулы, определяющие направление равнодействующей R:

\ Rx工XjRy£匕

(3)(3)cos[R , t 丿=贡=丁； cos, j 丿=友=歹；

(3)

(3)

где модуль R р ав но действующей R известен из предыдущего равенства (2).

Формулы (2) и (3) полностью решают задачу об аналитическом определении равнодействующей пространственной системы сходящихся сил по заданным проекциям составляющих сил.

После того как найдены величина и направление равнодействующей пространственной системы сходящихся сил, можно найти и линию действия этой равнодействующей. Для этого надо составить уравнение прямой, проходящей через точку Л (хл, уА, гд) пересечения линий действия данных сходящихся сил /\, F2» 尸з，••• Рп и имеющей направление равнодействующей R этих сил. По правилам аналитической геометрии получаем это уравнение в виде*:

X —<4У— У AZ — ZA/八

где х, у, г — текущие координаты, а 办，у〃，z幺一 координаты точки А пересечения линий действия данных сил Fx, F2, Fn (рис? 37).

Если начало декартовой системы координат взято в точке пересечения данных сходящихся сил в пространстве, то уравнение (4) примет вид

=Tz- •

В случае плоской системы сходящихся сил можно принять плоскость, в которой расположены линии действия всех сил этой системы, за координатную плоскость хОу, тогда проекция любой силы на ось г будет равна нулю, и будем иметь

пп

%=£%；№ = £匕.(5) i=l/=1

Модуль равнодействующей в этом случае будет определяться по формуле

а ее направление — по формулам:

cos(R, " =耳=k； cos(R , / 丿=r=耳. (7)

Чтобы получить линию действия равнодействующей плоской системы сходящихся сил, нужно найденное направление (7) провести через ту точку, в которой пересекаются линии действия всех заданных сил.

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ПЛОСКОЙСИСТЕМ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

В § 5 мы установили, что для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этой системы сил равнялась нулю (R=0)・

Выразим теперь это условие аналитически.

Из предыдущего параграфа известно, что модуль равнодействующей пространственной системы сходящихся сил определяется по формуле

Но если 欠=0, то равно нулю и подкоренное выражение. Поскольку стоящие под корнем слагаемые как квадраты некоторых чисел (безразлично, положительных или отрицательных) всегда положительны, то R может равняться нулю только в том случае, если каждое из этих слагаемых равно нулю в отдельности. Откуда следует, что должны соблюдаться следующие три условия:

£М = 0; £匕=0; £Zj = O. (1)

С другой стороны, очевидна и достаточность этих условий для равновесия рассматриваемой системы сил, так как из них следует, что

Таким образом, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из трех выбранных любым образом координатных осей.

Таково условие равновесия пространственной системы сходящихся сил в аналитической форме.

Имея плоскую систему сходящихся сил, всегда можно плоскость, в которой расположены линии действия всех этих сил, принять за координатную плоскость хОу, Тогда третье условие равновесия будет выполнено тождественно, и условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме сведутся к двум следующим условиям:

工X. = 0； £匕=о. ⑵ i=I 2=1

Таким образом, для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из двух, выбранных любым образом координатных осей, лежащих в плоскости, в которой расположены линии действия всех сил.

Если на свободное тело действует система сходящихся сил (безразлично, пространственная или плоская), эквивалентная нулю, то из этого еще не следует, что данное тело будет находиться в покое относительно выбранной системы отсчета, так как при выполнении условий (1) или (2) это тело может двигаться по инерции. Необходимыми и достаточными условиями состояния покоя свободного тела, на ко-

торое действует система сходящихся сил, являются: 1) равнодействующая этой системы сил должна быть равна нулю (R=0) и 2) начальные скорости всех точек рассматриваемого тела также должны быть равны нулю.

Если эти два условия выполняются, то говорят, что данное тело находится в равновесии. Однако иногда под равновесием рассматриваемого тела понимают его движение по инерции, а не только состояние покоя, В связи с этим в статике решают задачи, относящиеся не только к телам, находящимся в покое, но и к телам, движущимся по инерции.

Если же на данное тело наложены связи, то, присоединяя силы реакций связей к активным силам, приложенным к телу, можно рассматривать его как свободное (аксиома связей). При этом в большинстве случаев в задачах статики по некоторым известным активным силам, приложенным к данному несвободному телу, требуется определить неизвестные силы реакций связей, предполагая, что тело находится в покое и что, следовательно, все приложенные к нему активные силы и силы реакций связей уравновешиваются.

При решении таких задач, когда линии действия всех сил, приложенных к телу, включая и силы реакций, пересекаются в одной точке, нужно воспользоваться условиями равновесия системы сходящихся сил в геометрической или аналитической форме. В первом случае для системы сходящихся сил мы определяем искомые силы реакций связей или другие неизвестные в данной задаче величины при помощи построения замкнутого силового многоугольника или чисто графически, строя этот силовой многоугольник в строго определенном масштабе, или вычисляя его стороны по правилам геометрии и тригонометрии (геометрический метод). Однако геометрический метод решения задач статики при числе сил больше трех становится неудобным. При большом числе сил почти всегда выгоднее применять аналитический метод. При аналитическом методе мы находим искомые величины из уравнений равновесия (1) или (2), в левые части которых войдут, кроме проекций известных активных сил, и проекции неизвестных сил реакций связей.

Нужно заметить, что те из соотношений (I) или (2), в которые будут входить проекции сил реакций связей, называют уравнениями равновесия, а те из них, в которые проекции сил реакций связей не будут входить, называют условиями равновесия. Если тело несвободно, то число условий равновесия будет равно числу степеней свободы тела, т. е. числу независимых перемещений, которые может иметь это тело.

При решении задач о равновесии несвободного твердого тела силы реакций наложенных на это тело связей являются величинами, наперед

неизвестными. Число этих неизвестных зависит от числа и характера наложенных связей. Определение неизвестных сил реакций по известным активным силам как раз и составляет содержание большинства задач статики. Соответствующая задача статики может быть решена только в том случае, когда для нее число неизвестных сил реакций не превышает числа уравнений равновесия, содержащих эти силы реакций. Если число уравнений равновесия равно числу неизвестных сил реакций, то такая задача о равновесии тела называется статически определенной. Если же из всех уравнений равновесия все неизвестные силы реакций определить нельзя, потому что уравнений равновесия меньше, чем неизвестных сил реакций, то такая задача о равновесии тела называется статически неопределенной. Для решения статически неопределенных задач методы статики абсолютно твердого тела оказываются недостаточными, и поэтому для определения всех неизвестных сил реакций приходится учитывать упругие свойства тела, т. е. его деформацию. Статически неопределенные задачи решаются в курсах сопротивления материалов или статики сооружений.

В дальнейшем мы будем рассматривать только статически определенные задачи.

При решении задач статики рекомендуется придерживаться следующего порядка:

Выбрать тело (или точку), равновесие которого должно быть рассмотрено в данной задаче.

Освободить выбранное тело от связей и изобразить (расставить) все действующие на это тело (и только на это тело) активные силы и силы реакций отброшенных связей. Тело, освобожденное от связей, с приложенной к нему системой активных сил и сил реакций, следует изображать отдельно. При определении направления сил реакций связей и изображении этих сил на чертеже нужно пользоваться теми соображениями, о которых говорилось в § 3,

Составить уравнения равновесия. Для составления уравнений равновесия необходимо сначала выбрать оси координат. Этот выбор можно производить произвольно, но полученные уравнения равновесия будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно к линии действия какой-либо неизвестной силы реакции. Решение полученных уравнений равновесия следует, как правило, проводить до конца в общем виде (алгебраически). Тогда для искомых величин будут получаться формулы, позволяющие проанализировать найденные результаты; численные значения найденных величин подставляются только в окончательные формулы.

Уравнения равновесия составляются при аналитическом методе

решения задач на равновесие системы сходящихся сил. Однако если число сходящихся сил, равновесие которых рассматривается, равно трем, то удобно применить геометрический метод решения этих задач. Решение в данном случае сводится к тому, что вместо уравнений равновесия всех действующих сил (активных и реакций связей) строится силовой треугольник, который на основании геометр и ческого условия равновесия должен быть замкнут (начинать построение этого треугольника следует с заданной силы). Решая силовой треугольник, находим искомые величины.

Задача 1. Тяжелый шар весом Р килограммов подвешен на нити (рис. 38, а) в точке Л и удерживается в отклоненном на угол а от вертикали положении горизонтальной нитью, привязанной в тотеВ. Найти натяжение нитей.

Решение. Выбираем тело, равновесие которого будем рассматривать. Таким телом будет шар. Вес Р шара известен. Будем рассматривать шар как материальную точку О. Эта точка несвободна. Связи, наложенные на нее, осуществляются нитями ОА и ОВ. Отбрасываем связи (перережем мысленно нити) и заменяем их действие на точку О

реакциями. Тогда точку О можно будет рассматривать как свободную и находящуюся в равновесии под действием плоской системы из трех сходящихся сил: активной Р и реакций Т* и Z2 нитей (рис. 38, б), которые направлены вдоль нитей. Реакции 7\ и 丁2 п0 модулю равны искомым натяжениям нитей. Следовательно, определение натяжений нитей можно заменить определением их реакций 7】и 丁2・

Рассмотрим три метода решения данной задачи.

Графический метод решен и я. Так как три силы Р Т\ и 丁2 находятся в равновесии» то силовой треугольник, составленный из, этих сил, должен замыкаться. Строим этот силовой треугольник: для этого в определенном масштабе строим силу Р, которая нам известна по модулю и направлению, затем через начало и конец вектора Р проводим прямые, параллельные направлениям сил 7\ и 7V Стороны DE и ЕС полученного таким образом замкнутого силового треугольника CDE (рис. 38, в) дают модули и направления искомых реакций нитей. Чтобы найти их модули, а следовательно, и натяжения нитей, остается измерить в принятом масштабе стороны DE и ЕС.

Геометрический метод реше ни я. Искомые стороны DE и £已 силового треугольника CDE можно найти не только путем непосредственного измерения, но и вычислением, применяя правила геометрии и тригонометрические формулы. Из способа построения силового треугольника CDЕ ясно, что 上С£)Е=90°, 』QCE=a и』Z)EC=90°—а (рис. 38, а, 6)： Из силового треугольника CDE видно, что

丁1 = 8s а К「\ 丁2 =尸 tga к!\

Нужно иметь в виду, что геометрический метод решения задач статики при числе сил больше трех становится неудобным.

Аналитический метод решения. Для составления уравнений равновесия необходимо выбрать оси координат. Выбираем систему координат так, чтобы проектирование сил в выбранной системе координат было наиболее удобным и выражения проекций были возможно проще. В данной задаче начало координат возьмем в точке О, равновесие которой мы рассматриваем. Направим ось 。尤 горизонтально вправо, а ось Оу — вертикально вверх (рис. 38, 6).

Из сравнения рис. 38, а м 38, 6 видно, что』(7\, у)=а и』(厶，/) =90。. Составим теперь уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил

£Х = 0; £У = 0.

Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую

координатную ось и приравняем к нулю полученные алгебраические суммы:

£Х — — 7\ cos (90° — а) + 7\ = — 7\ sin а + 7\ = 0;

ЕУ = 7\ cos а — Р = 0.

Рапа я эти уравнения равновесия, находим

北=备M = Ptga

Как мы видим, данную задачу можно решить различными методами. Выбор того или иного метода решения задачи зависит от характера этой задачи и от требований, предъявляемых к точности решения.

Рис. 39

Задача 2. Шарик В весом Р (рис. 39) подвешен к неподвижной точке Л посредством нити АВ и лежит на поверхности гладкой сферы радиуса г; расстояние точки Л от центра О сферы равно d. Длина нити АВ~1. Прямая АО вертикальна. Определить натяжение нити и давление шарика на сферу.

Решение. Решим эту задачу геометрическим методом. Выбираем тело, равновесие которого будем рассматривать. Таким телом будет шарик В. На шарик действует одна активная сила — его вес Р. Будем рассматривать шарик как материальную точку. Эта точка несвободна. Связи, наложенные на нее, осуществляются нитью и поверх-

ностью сферы. Отбрасываем связи и заменяем их действие на точку 8 соответствующими реакциями. Первую связь можно заменить реакцией Г, направленной по нити АВ, вторую ——реакцией N、направленной по радиусу ОВ. Освободив таким образом точку В от связей и заменив их действие на точку реакциями, можно рассматривать эту точку как свободную и находящуюся в равновесии под действием плоской системы из трех сходящихся сил: активной Р и реакций Т и N (рис. 39, б.) Так как точка В под действием этой системы сил находится в равновесии, то согласно геометрическому условию равновесия силовой треугольник, построенный на этих трех силах, должен быть замкнут, что и показано на рис. 39, в. Стороны этого силового треугольника параллельны соответствующим сторонам треугольника ОАВ (рис. 39,а). Следовательно, указанные треугольники подобны, их стороны пропорциональны, т. е.

Р _ N _ тО А = ОВ = ~АВ *

Отсюда получаем модули реакций сферы и нити

N " оа 一 у d ' 1 ОД-г d *

Требующиеся в задаче давление шарика на сферу и натяжение ни

ти будут согласно аксиоме о равенстве действия и противодействия те

ми же по модулю, что N н Т, но противоположно направленными.

Задача 3. Груз 5 весом Р=2丁 поднимается краном ВАС при помощи цепи ДАБ, свободно перекинутой через неподвижный блок Л. Пренебрегая трением цепи о блок, определить усилие в стержнях ЛС и АВ в зависимости от угла а (рис. 40, а), а затем определить угол а так, чтобы усилие стержня АВ равнялось нулю.

Решение. Выбира

ем тело, равновесие ко-ри& 40

торого будем рассмат

ривать. Таким телом будет узел, или точка, Л оси неподвижного бло： ка. Эта точка несвободна. Заменим наложенные на нее связи соот

ветствующими реакциями. Так как стержни АС и АВ нагружены в узле А, а соединения стержней ——шарнирные, то стержни могут быть только или растянуты, или сжаты, и, следовательно, реакции стержней будут направлены вдоль их осей. Стержень АВ будет, очевидно,

растянут, и его реакция Q】будет направлена от Л к В.стержень ДС — сжат, и его реакция Q2 будет направлена от С к Л. Так как трением цепи ДАБ о блок 4 можно пренебречь, то натяжение цели ДАБ, свободно перекинутой через блок, при равновесии будет всюду одинаково; следовательно, силы реакций 7\ и Г2 левой и правой частей этой цепи по модулю равны весу Р груза 5, т. е. Т尸Т?=Р.

Освободив таким образом точку А от связей и заменив их действие на точку реакциями, можно рассматривать эту точку как свободную и находящуюся в равновесии под действием плоской системы из четырех сходящихся сил: 7\, Т2, Q】и Q?, причем модули двух последних сил неизвестны и их требуется вычислить.

Удобнее всего эту задачу решить аналитическим методом, так как при равновесии четырех (и более) снл он проще геометрического. За начало координат берем точку 4, за направление оси х — линию действия силы Qz，ось у проводим перпендикулярно к ней (по линии действия силы Q，， как показано на рис. 40, б.

Составим теперь уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

£Х = 0; £У = 0.

Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую координатную ось и приравняем к нулю полученные алгебраические суммы:

EX = Q? — Т2 cos 30° — 7\ cos а = 0;

£ у = Qi + 7\ sin а — 丁2 cos 60° = 0.

Решая эти уравнения равновесия, находим

Qi = Р(4——sin а ) ; Qz = Р (辞 + cos а ),

где учтено, что 7\ =7\ =「•

Усилие в стержне АВ будет равно нулю в том случае, если

Вsin а = 0, т. е. при а = 30°;

при этом

(22 =Р(亭十岁)=Р限=3,46 !.

Задача 4. Балка АВ поддерживается в горизонтальном положении стержнем CQ. Крепления А, С и D — шарнирные. Определим реакции опор А и D, если на конец балки действует вертикальная сила 尸=5 кГ.

Размеры указаны на рис. 41, а. Весом балки пренебречь.

Решение. Выбираем тело, равновесие которого будем рассматривать. Таким телом будет балка АВ. Отбрасываем наложенные на балку связи (стержень CD и шарнир А) и заменяем их реакциями. Реакция стержневой связи Rc направлена вдоль стержня от С к О (рис. 41, 6). К точке S ба/1ки АВ приложена известная по модулю и направлению активная сила F. Направление реакции неподвижного шарнира 4, вообще говоря, неопределенно. Но так как 6а<ка АВ под действием трех приложенных к ней непараллельных си/i находится в равновесии, то линии действия этих трех сил должны пересекаться в одной точке.

Продолжаем линию действия вертикальной силы 尸 до ее пересечения в точке О с линией действия реакции /<сстержневой связи. Соединяя точку О с точкой /, получаем линию действия реакции Ra шарнира А. Зная модуль и направление силы F одной из трех сил, сходящихся в точке О и находящихся в равновесии, а также зная на правде-

ние двух других сил ^и /?力，можно найти и модуль последних, строя силовой треугольник.

Решим эту задачу аналитическим методом.

Примем точку О за начало координат хОу и проведем координатные оси так, как показано на рис. 41, б. Определим угол, который образует реакция Ra с осью х (ось х параллельна балке /8); 08 = 30в

=C8tg45Q=C8;O/ = v7^Rm5P = H6；cosac=M=7^; sina=^ =

Составим теперь уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

£Х = 0; ЕУ = 0.

Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую координатную ось и приравняем к нулю полученные алгебраические суммы:

£Х н R с cos 45° — Ra cos a = 0;

£У = RgSin 45° — R力sin a — F — 0.

Решая эти уравнения, находим

/?力=7,9 т; %= 10,6 т;区抄=Rj

Задача 5. Из трех прикрепленных к вертикальной стене стержней АО, ВО и СО стержни АО и ВО расположены в горизонтальной плоскости и образуют со стеной угол а=60°, а стержень СО образует со стеной угол 0=30° (рис. 42, а). Стержни прикреплены к стене шарнирами и скреплены шарниром в точке О, к которой прикреплен груз Q весом Р=300 кГ. Определить усилия, действующие вдоль стержней /О, ВО и СО.

Решение. Выбираем тело, равновесие которого будем рассматривать. Таким телом будет узел, или точка, О. Эта точка несвободна; связями служат стержни 40, ВО и СО. Отбросим эти стержневые связи и заменим их действие на точку О силами реакций Sa , Sb и Sc, линии действия которых направлены вдоль стержней ЛО, ВО и СО. Кроме этих трех сил, к узлу О приложена еще реакция Т веревки, на которой подвешен груз Q, равная, очевидно, по модулю весу Р груза Q. В точке О, таким образом, сходятся четыре силы: Т, S〃，Sb и Sc •

Выберем оси координат, как показано на рис. 42, 6, совместив плоскость yOz с плоскостью, в которой действуют силы Т и Sc • При этом силы Sa и Sb будут лежать в координатной плоскости хОу.

Составим теперь уравнения равновесия пространственной системы сходящихся сил:

£Х = 0; £У = 0; EZ = 0.

Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую координатную ось и приравняем к нулю полученные алгебраические суммы:

EX - SrCos 60° — SA cos 60° = 0；

ЕУ = — (S〃 + Sj) cos 30° + S© cos 60° — 0；

—T + Sccos30° = 0, откуда

Sr = —н 346 kF;c cos 30° cos 30°'

с cSc cos 60°,

SA^ Sв2 cos 30° = 100 K「・

Все три силы: Sc, Sa и Sb——получились со знаком «плюс», следовательно, сделанное предположение об их направлении правильно.

Выясним вопрос о том, какие стержни сжаты, какие — растянуты.

Так как стержни 40 и ВО действуют на точку О силами S< hSr, направленными от О к Д и от О к S, то точка О действует на стержни АО и ВО силами, обратно направленными и растягивающими эти стержни. Стержень СО действует на точку О с силой S©, направленной от С к О, следовательно, точка О действует на стержень СО силой, обратно направленной и сжимающей этот стержень. Таким образом, стержни АО и ВО будут работать на растяжение, а стержень СО — на сжатие.

Если бы сразу не было очевидным, какой из стержней сжат и какой растянут, то можно бьмо бы предварительно считать все стержни растянутыми. Отрицательное значение реакций того или иного стержня, полученное в результате решения уравнений равновесия, показало бы, что действительное направление этой реакции противоположно принятому.

МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО точки.

ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА О МОМЕНТЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ

Момент силы относительно точки. Понятие момента силы возникло в связи с определением вращательного действия силы, приложенной к телу, имеющему неподвижную точку или неподвижную ось.

Рис. 43

Представим себе твердое тело, имеющее в точке О сферическую опору (рис. 43, а, б). Рассмотрим силу 尸，приложенную в точке А этого тела. Очевидно, что сила 尸 будет поворачивать тело вокруг неподвижной точки О. Длина перпендикуляра d, опущенного из точки О на линию действия силы 尸，называется плечом этой силы относительно точки О. Так как точку приложения силы можно произвольно перемещать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы F будет зависеть: 1) от модуля 尸 силы 尸 и длины плеча d;

от положения плоскости поворота ОАВ, проходящей через точку О и силу 尸；3) от направления поворота в этой плоскости.

Ограничимся здесь пока рассмотрением плоской системы сил, т. е. когда линии действия сил системы расположены в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил системы является общей и в дополнительном задании не нуждается, а направление поворота в этой плоскости можно охарактеризовать соответствующим знаком, считая поворот вокруг точки О против хода часовой стрелки положительным, а в направлении противоположном — отрицательным.

Тогда для количественного измерения вращательного эффекта силы F можно ввести следующее понятие о моменте этой силы относительно некоторой точки О на плоскости: моментом силы относительно некоторой точки О на плоскости называется скалярная величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на ее плечо относительно этой точки. При этом будем считать, что момент силы 戸 относительно точки О имеет знак «плюс», если эта сила стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки (рис. 43, а), и знак «минус»,——если по ходу часовой стрелки (рис. 43, 6).

Момент силы 户 относительно точки О будем обозначать символом mo (F). Следовательно,

加о(戸)=± Fd.(1)

Заметим, что момент силы относительно точки О можно принимать за скалярную (алгебраическую) величину лишь в тех случаях, когда имеем дело с плоской системой сил. В случае же пространственной системы сил, т. е. когда линии действия всех сил системы расположены в различных непараллельных плоскостях, правило знаков момента силы относительно точки теряет свой смысл.

Таким образом, мы установили, что моменты относительно точки О сил плоской системы отличаются друг от друга численным значением и знаком. При этом численное значение момента силы относительно точки О равно произведению модуля силы на длину ее плеча относительно этой точки.

Отметим в заключение, что геометрически численное значение момента силы 戸 относительно точки О выражается удвоенной площадью треугольника О АВ (рис. 44), вершиной которого является данная точка О, а основанием —— данная сила F:

加0俨)=Fd = 2 пл. △О，В.(2)

Единица момента силы определяется по формуле (1), или m0—Fd,

Положив в этой формуле F=1 кГ, d=l м, получим:

единица момента силы=1 кГ-I м = 1 кГ-м.

Размерность единицы момента силы в системе МКГСС

[m0 ] ~ [F] [d] — кГ*м.

Если же модуль силы выражен в ньютонах (尸=1 н), а длина плеча в метрах (d=l м), то, очевидно, размерность единицы момента в системе СИ выразится в виде

仍%1 =倒矶=

Отметим теперь следующие свойства момента силы относительно

точки:

Момент силы относительно точки не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия, так как при этом не изменяется ни модуль силы, ни длина ее плеча.

Момент силы относительно точки равен нулю только тогда, когда модуль силы равен нулю или когда линия действия силы проходит через точку, так как в этом последнем случае длина плеча равна нулю.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей. Докажем теперь следующую теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно некоторой точки, лежащей в плоскости сил, равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же точки.

Рассмотрим плоскую систему сходящихся сил Д, f2, ..., Fn, приложенных в точке А твердого тела (рис. 45). Их равнодействующая R= £ 尸》 будет приложена в той же точке. По теореме о проекции

равнодействующей на ось получим R= £ FiX. Умножая обе части этого равенства на ОА, получим

OA.Rx^^^OA.Fix}.(3)

Преобразуем эту формулу, для чего найдем момент относительно точки О любой из сил системы, например силы 尸「Очевидно*,

%(尸1) = 2 пл. △О4В — ОА-ОЬ = О А • Flx ,(4)

где 尸i*=Ob ——проекция силы/7! на ось Ох, перпендикулярную к ОА.

Согласно формуле (4) можно преобразовать формулу (3) к виду

% (R) = £ % (Е)・/=1% (R) = £ % (Е)・/=1(5)(5)

% (R) = £ % (Е)・/=1

% (R) = £ % (Е)・/=1

(5)

(5)

Эта формула и дает математическое выражение теоремы Вариньона о моменте ра в недействующей.

T/asa III

СИСТЕМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ТЕОРИЯ ПАР, КАК УГОДНО РАСПОЛОЖЕННЫХ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ

ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ,НАПРАВЛЕННЫХ В ОДНУ СТОРОНУ, К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ

Две параллельные силы можно рассматривать как предельный случай двух сходящихся сил, когда точка схода удалилась в бесконечность. Недоступность точки схода не позволяет непосредственно воспользоваться правилом сложения сходящихся сил. Для того чтобы найти равнодействующую двух параллельных сил F工 и 尸2, приложенных в точках А и В твердого тела, применим следующий прием (рис. 46).

Разложим силу Fr на две составляющие. Одну составляющую Pt направим вдоль линии АВ и зададим ее модуль. Другую составляющую Qi найдем по модулю и направлению с помощью силового треугольника (рис. 46, а). Точно так же поступим с силой /%，при этом состав-

ляющую 瓦 направим навстречу силе Рг и выберем ее равной по модулю силе Р「Составляющую Q2 определим с помощью силового треугольника (рис. 46, 6). Очевидно, что оба построения (рис. 46, а и рис. 46, б) можно соединить в один чертеж (рис. 46, с).

Таким образом, вместо системы двух сил 尸】и % имеем эквивалентную ей систему четырех сил Qi，Q3, Рг и Р2- Найдем равнодействующую

этих четырех сил.

Так как силы /\ и Р2 по модулю равны и действуют вдоль одной линии в противоположных направлениях, то эти силы уравновешены, и, следовательно, их сумма равна , нулю. Остаются силы Qi ]^ и Q2, сходящиеся в точке ' О. Геометрическая сумма ! этих сил, как это видно из рис. 46, с, равна сумме 弓 сил 尸 1 и F2, т. е.

R = & + %(1)

Итак, равнодействующая двух действующих на абсолютно твердое тело дну сторону, равна по модулю

сумме модулей слагаемых с〃九,им параллельна и направлена в ту же сторону.

Чтобы найти линию действия равнодействующей, проведем через точку О прямую, параллельную линиям действия слагаемых сил. Точку пересечения этой прямой с АВ обозначим через С.

Треугольник АСО подобен силовому треугольнику (рис. 46, а), так как их стороны параллельны. По этой же причине подобны треугольник ВСО и силовой треугольник (рис. 46, 6).

СО瓦.СО瓦.Из первых двух треугольников следует, что

СО

瓦.

СО

瓦.

Из вторых двух треугольников имеем

Разделив почленно первую пропорцию на вторую, получим

⑵⑵" c -. &

⑵

⑵

ВС — Fi

так как Рг=Рг.так как Рг=Рг.

так как Рг=Рг.

так как Рг=Рг.

Принимая во внимание свойства пропорций, находим

откудаоткудаВСАСВС + АС АВ F1 + & - R '(3)АС =4В •尸2,8e =需.⑷ВСАСВС + АС АВ F1 + & - R '(3)АС =4В •尸2,8e =需.⑷

откуда

откуда

ВС

АС

ВС + АС АВ F1 + & - R '

(3)

АС =

4В •尸2

,8e =需.

⑷

ВС

АС

ВС + АС АВ F1 + & - R '

(3)

АС =

4В •尸2

,8e =需.

⑷

3-6 с■ g = 2 М.3-6 с■ g = 2 М.

3-6 с

■ g = 2 М.

3-6 с

■ g = 2 М.

Итак, линия действия равнодействующей двух действующих на абсолютно твердое тело параллельных сил, направленных в одну сторону, проходит между точками приложения слагаемых сил на расстояниях от этих точек, обратно пропорциональных модулям этих сил.

Задача 6. К телу в точках Д и В

(рис. 47) приложены две параллельные и направленные в одну сторону силы F1=6 кГ и 尸2=3 кГ. Определить модуль и линию действия равнодействующей, если расстояние между линиями действия данных сил /=6 м.

Решение. Модуль равнодействующей определим по формуле (1):

R = & + % = 6 + 3 = 9 кГ.

Расстояние линии действия равнодействующей R от линии действия силы 尸工 обозначим через %. Тогда по формуле (3) имеем

откуда находим

ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ НЕ РАВНЫХ ПО МОДУЛЮПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ, НАПРАВЛЕННЫХ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ

СТОРОНЫ, К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ

Для отыскания ра в нодей ствующей можно применить тот прием, который уже был применен в предыдущем параграфе. Однако мы воспользуемся более простым способом. Рассмотрим тело, на которое действуют две параллельные силы f\ и F2, направленные в противоположные стороны (рис. 48). Такие силы называются антипараллель-

ными. Пусть F］〉尸2・ Возьмем на продолжении ВА точку С и приложим к ней две у ра в новешенные силы R и R', параллельные силам f\ и F2- При этом модули сил R н R' н положение точки С выберем так,

(1)(1)(2)(2)чтобы удовлетворялись равенства:

(1)

(1)

(2)

(2)

Сложим силы 尸2 и R', тогда по ра в нодействующа я Q будет по дулю 尸工 силы & и приложенаСложим силы 尸2 и R', тогда по ра в нодействующа я Q будет по дулю 尸工 силы & и приложенаВС АС АВ

Сложим силы 尸2 и R', тогда по ра в нодействующа я Q будет по дулю 尸工 силы & и приложена

Сложим силы 尸2 и R', тогда по ра в нодействующа я Q будет по дулю 尸工 силы & и приложена

формулам (1, 3, § 12), найдем, что их модулю равна /^+欠‘，т- е. равна мо- в точке Л. Так как силы f\ н Q экви-

Рис. 49Рис. 49

Рис. 49

Рис. 49

валентны нулю, то их можно отбросить. В результате заданные силы f\ и 尸2 будут заменены одной силой R , которая и является их равнодействующей. Модуль силы R и точка приложения С этой силы определяются по формулам (1) и (2).

Итак, равнодействующая двух антипараллельных сил равна по модулю разности модулей этих сил, им параллельна 以 направлена s сторону большей силы, линия действия равнодействующей проходит вне отрезка, соединяющего точки приложения сл агаемых сил, на расстояниях от этих точек, обратно пропорциональных модулям сил.

Заметим, что последовательно применяя правила сложения двух параллельных сил, а также двух антипараллельных сил, можно найти равнодействующую нескольких параллельных сил, действующих на тело.

Задача 7. На твердое тело действуют две антипараллельные силы (рис. 49), причем известна одна из составляющих F2 и их равнодей-

ствующая R. Определить модуль и точку приложения второй состав ляющей силы/7!，если 尸2=12 кГ; R=4 кГ и ВС=6 м.

Решение. Пусть Л ——точка приложения неизвестной нам силы f\; тогда ее модуль и точку приложения найдем из формул (1) И (2):

R = F工—尸2，или 3 = R + 尸？ = 16 кГt

далее,далее,Fi Rлп R-BC 4-61 г

далее,

далее,

反=丽，hлн 48=不一=而=1,5 М.

ПАРА СИЛ. МОМЕНТ ПАРЫ СИЛ

Мн уже знаем, что система двух сил, как угодно расположенных в одной плоскости, приводится к одной ра в но действующей силе; исклю

чением является система двух взаимно уравновешивающихся сил. В этом параграфе мы установим, что другим исключением является система двух равных по модулю параллельных друг другу и направленных 6 разные стороны сил 尸^ и F2, /〃= нии действия которых не совпадают (рис. 50). Такая система двух сил образует так называемую пару сил, или просто пару, для обозначения которой будем пользоваться символом (^, Г2)*

Плоскость, в которой расположена пара сил, называется плоскостью действия пары.

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары (吊，尸2), т・ е. длина

Плоскость дей ствия пары силПлоскость дей ствия пары силРис. 50Рис. 50перпендикуляра, опущенного из точки приложения Л одной из сил пары на линию действия второй силы, называется плечом пары d*.

Плоскость дей ствия пары сил

Плоскость дей ствия пары сил

Рис. 50

Рис. 50

Напомним, что от сложения двух параллельных сил, неравных

по модулю и направленных в противоположные стороны, получается равнодействующая, модуль и положение линии действия которой определяются по формулам:

R=尸1 一F2 (а>%)；嘗=等=管•

Предположим теперь, что Fr=—F2, тогда R = F] — % = О

Ng AB -F2 AB-F2

ЛС = CT； = -Q— = 8 ,

т. e. pa в нодействующа я пары сил равна нулю, а точка ее приложения находится в бесконечности. Этот результат указывает на то, что пара сил не имеет равнодействующей, т：е, ее нельзя заменить одной силой, еЕ эквивалентной. Вместе с тем сил*、составляющие пару сил、 не находятся в равновесии, так как на основании аксиомы I две противоположные силы уравновешиваются только тогда, когда они действуют по одной прямой, а в данном случае силы имеют различные линии действия.

Пара сил не может быть уравновешена одной силой. Это вытекает из того, что если бы пара уравновешивалась одной силой, то на основании следствия II (см. § 2) она имела бы ра в но действующую, что невозможно.

Так как силы, составляющие пару, не находятся в равновесии, не имеют равнодействующей и не могут быть уравновешены одной силой, то пара сил занимает среди других систем сил особое место. В механике, наряду с силой, приходится рассматривать пару сил как самостоятельный, неприводимый элемент.

Непосредственный опыт, показывает, что пара сил, приложенная к твердому телу, способна привести его во вращательное движение, если только этому не препятствуют наложенные на данное тело связи.

Вращательное действие пары на тело будет тем больше, чем больше плечо пары и модули сил, образующих эту пару, и измеряется так называемым моментом пары. При этом численное значение момента пары определяется как произведение модуля одной из сил пары на плечо этой пары.

Для полной характеристики вращательного действия на тело пары, лежащей в данной плоскости, нужно, кроме численного значения момента, знать еще и направление вращения, которое пара стремится сообщить телу. Будем считать положительным момент такой пары которая стремится повернуть тело против направления вращения совой стрелки, и отрицательным ——момент такой пары, которая стремится повернуть тело по направлению вращения часовой стрелки. Так, например, пара (% %)，изображенная на рис. 51, имеет положительный момент, а пара (Fb F》,изображенная на рис. 52, имеет отрицательный момент.

В данной главе будут рассматриваться свойства пар, расположенных в одной плоскости. Для этого случая по аналогии с моментом силы относительно точки можно ввести следующее определение момента

пары: моментом пары называется скалярная величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо. Будем обозначать момент пары символом m или т (尸1，尸?)• Тогда

tn 士 -- 士 尸2d.

Очевидно, что момент пары равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой (рис. 51, 52):

Заметим, что момент пары, так же как и момент силы относительно точки, можно принимать за скалярную алгебраическую величину лишь в тех случаях, когда мы имеем дело с плоской системой сил. В случае же пространственной системы сил правило знаков момента пары теряет свой смысл.

Отметим, что геометрически численное значение момента пары выражается в виде удвоенной площади треугольника, основанием которого является одна из сил пары, например 尸2，а высотой —— плечо пары d (рис. 53):

加=F2 d = 2 пл. △ АВС.

Размерность единицы момента пары такая же, как и размерность единицы момента силы — кГ-м (в системе МКГСС) и н-м (в системе СИ).

Докажем теперь следующую теорему: алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любой точки, лежащей s плоскости ее действия, не зависит от выбора этой точки и равна моменту пары.

Пусть на твердое тело действует пара сил （尸，尸）Опустим из произвольной точки О перпендикуляр на линии действия сил пары （рис. 54）. Точки пересечения этого перпендикуляра с линиями действия сил пары обозначим через а и Ь. Тогда, так как F'=F,加。（尸）= =^F -Ga и m^Fr）~Fr-Ов. Складывая эти равенства почленно и замечая, что Ob—Oa=d, получим

m0（戸）+m0 （戸）Н戶d =m（戸，Ff）,

где m （尸，尸'）—— момент данной пары. Этим и исчерпывается доказательство теоремы.

Рис. 53Рис. 53Рис. 54Рис. 54卜卜、尸、尸

Рис. 53

Рис. 53

Рис. 54

Рис. 54

卜

卜

、尸

、尸

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПАР

Докажем следующую теорему: действие пары на тело не изменится, если эту пару заменить любой другой парой, лежащей s той же плоскости и имеющей тот 兆е момент.

Пусть в точках N н М твердого тела （рис. 55） приложена пара сил （尸I，尸J） с плечом d]・ Докажем,что эту пару сил можно заменить любой другой парой сил, имеющей тот же момент. Для доказательства проведем через какие-нибудь точки О н Е тела две параллельные прямые на произвольном расстоянии d? друг от друга и продолжим эти прямые до пересечения их с линиями действия сил Fr и 尸\ пары （尸工, F^） в точках Л и В. Перенесем точку приложения силы 尸工 вдоль ее линии действия в точку Л, а силы F；— в точку В. Разложим теперь силу F* по направлениям ВА и AD на силы /% и 尸з, а силу 尸、——по направлениям АВ и BE на силы F； nF^. Так как силы f\ и F； по модулю равны и параллельны друг другу, то очевидно, что F2=——F^ и F3=——尸J. Но силы^зи^ действуют вдоль одной и той же прямой и, как уравно-

Глава ///. Система параллельных сил и теория пар 75 вешенные (аксиома I), могут быть отброшены (аксиома II). Силы же /% 口尸2’можно приложить в точках D ь Е, лежащих на их линиях действия. В результате пара сил (^, FJ) будет заменена парой сил (尸2,尸2‘)с другим плечом и другими силами.

Рис. 55

Докажем в заключение, что моменты этих пар равны. Для этого проведем линии АК и ЛС, соединяющие точку Л с концами векторов сил Fi и F^. Очевидно, что

加［F^ 尸，=2 口几△ ABK；m 伊2，戸2)= 2 пл. △ ABC.

Но у треугольников АВК и АВС основание АВ общее, а высоты одинаковы, так как линия СК параллельна АВ. Следовательно, эти треугольники равновелики и m (尸工，F；)=rn®, F2Z). Таким образом, мы доказали, что пару сил (f\, F/), действующую на твердое тело, можно заменить любой другой парой сил (F2,尸2')， имеющей тот же момент.

Из доказанной теоремы вытекают следующие свойства пары сил: 1. Действие пары на тело не изменится, если переместить пару в другое положение в плоскости ее действия^.

* Заметим, что перенос пары в ее плоскости действия, так же как и перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия, безоговорочно применим только для абсолютно твердого тела.-

5*.

Действие пары на тело не изменится, если одновременно изменить модуль сил пары и величину ее плеча, сохраняя при этом численное значение и знак момента пары.

Из доказанной теоремы и вытекающих из нее свойств пары сил следует, что две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие одинаковые по численному значению и по знаку моменты, эквивалентны, так как они могут быть преобразованы одна в другую. Эквивалентные пары могут различаться своим расположением в плоскости, модулем и направлением сил, длиной плеч, лишь бы только были одинаковы по численному значению и по знаку моменты этих пар.

Доказанная теорема позволяет решить задачу о сложении пар, расположенных в одной плоскости.

§ 16. СЛОЖЕНИЕ ПАР, РАСПОЛОЖЕННЫХ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ. УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПАР

Пара, действие которой на тело заменяет собой действие на него данной системы пар, расположенных в одной плоскости, называется равнодействующей парой, а пары данной системы пар ——ее составляющими. Приведение данной

системы пар, расположенных в одной плоскости, к одной эквивалентной паре, т. е. к равнодействующей паре, называется сложением пар. Так как действие пары на данное тело определяется ее моментом, то операция сложения системы пар, расположенных в одной плоскости, должна приводиться к алгебраическому сложению моментов всех пар этой системы.

Т е о р е м а. Всякую систему пар, расположенных s одной плоскости, можно заменить одной равнодействующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов всех пар этой системы.

Пусть на твердое тело действуют три пары （尸工，FJ）,（尸?，尸2‘）и （F3, F'》, расположенные в одной плоскости и направленные в разные стороны （рис. 56）. Обозначим моменты этих пар через 恤,т2и т3. Тогда будем иметь:

（1）（1）М（e，k）=加1=+尸1%;由（尸2ff2）加2 +f2 d2；m （戸3,瓦）=现3 =一尸3 d3,

（1）

（1）

где di，d2 и &— плечи данных пар.

На основании теоремы об эквивалентности пар заменим данные пары новыми парами (Р( R'),俨2,戸2‘)и (R, &')，имеющими одно общее плечо AB=d (рис. 56) и те же самые моменты:

加咼,PJ = Т P*d = а；

m仍2，Р2)= _ P，2 d =m2；⑵

m [P3， Рз) = — Рз"="凯

Сложив три силы Р], Р2, и Рз，приложенные к точке А, получим их равнодействующую R, модуль которой

К=В + Р2 — Рз； аналогично в точке 8

R =р； + р； — р&

причем очевидно, что (рис. 56, в)

Следовательно, силы R н « образуют пару (R, R'). Найдем момент m этой пары:

ш — ш(R, R ) = R d =(匕 + 匕一Рз)d ~ P-^d ~\- P2d'— P?d.

Принимая во внимание (1) и (2), получим

m = m(R, R) = тг + m2 4- m3 = m(Flf 戸;)+ m(F2, F2) ++m(戸3,戸J,

что и было необходимо доказать.

Если бы заданная система пар состояла из п пар, расположенных в одной плоскости, то мы получили бы для них равнодействующую пару (R , R') с моментом

加(R R')=i>(J Е).(з)

j=l

Выведем теперь условие равновесия системы пар, расположенных в одной плоскости.

Любая система пар, расположенных в одной плоскости, как только что было доказано, может быть заменена равнодействующей парой,

момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар (3). Для того чтобы пары системы пар, расположенных в одной плоскости, уравновешивались, момент равнодействующей пары должен, очевидно, равняться нулю. Это условие не только необходимо, но и достаточно. В самом деле, из равенства

⑷⑷ш(R, R ) — R d — О

⑷

⑷

следует, что или силы равнодействующей пары равны нулю (R = =R= 0), или плечо равнодействующей пары равно нулю (d=0), т. е. равнодействующая пара образована в этом последнем случае двумя силами, равными по модулю и действующими по одной прямой в разные стороны. И в том и в другом случае имеет место равновесие системы пар, расположенных в одной плоскости.

Итак, из формул (3) и (4) следует, что для равновесия системы пар, расположенных s одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов всех данных пар равнялась нулю, т. е.

(5)(5)£ m(F,., Л ) = 0. /=1

(5)

(5)

Задача 8. На невесомую балку АВ длиной /, лежащую на двух опорах Л и В, действует пара сил с заданным моментом М (рис. 57, а). Определить опорные реакции R力 н Rb .

Решение. Рассмотрим равновесие балки, заменив действие наложенных на нее связей реакциями связей (рис. 57, б). На балку действует пара сил с заданным моментом М, стремящаяся повернуть балку против часовой стрелки. Так как балка находится в равновесии, а пара может быть уравновешена только парой, то реакции опор R< и Rb должны составлять пару(&4, RB), вращающую балку в противоположную сторону, т. е. по часовой стрелке. Момент этой реактивной

пары 加（区力,Rb）=—RaL Согласно условию равновесия пар （5） имеем

£/九（Е，Fi}=M~RAl^0, /=1

откуда

откудаоткуда100100200 k200 k

откуда

откуда

100

100

200 k

200 k

Задача 9. К валу приложена пара （F ,尸'）с моментом, стремящим

ся повернуть вал по часовой стрелке, равным 100 кГм （рис. 58）. К тормозному колесу диаметром 分•=50 см, которое заклинено на валу, прижаты тормозные колодки силами Q и Q', равными по величине. Найти величину этих сил, если известно, что между колодками и колесом возникают силы трения 尸Tp=^Q, где 力=0,25 （коэффициент трения скольжения）.

Решение. Рассмотрим равновесие вала. Силы Q н Q' как взаимно уравновешенные можно отбросить. Тогда на вал будут действовать две пары （F, 戸）и （FTp,户^）. Так как вал находится в равновесии, то пара （尸,Ff） должна быть уравновешена парой （FTp,尸吋‘），стремящейся повернуть вал против часовой стрелки. Момент этой реактивной пары 加（尸叮， F；p）=FTp・2r. Согласно условию равновесия пар （5）

£ 优（戸j, К ） = щ （戸，戸'）+ m（FTP ,戸邛）=—100 + FTp*2 г = 0,

Но по условию £p=^Q, поэтому Q二%р=^^= 800 кГ•

Глава / V

ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ

§ 17. ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ СИЛЫ

Докажем следующую теорему: действие силы на твердое тело не изменится, если ее перенести параллельно самой себе s любую другую точку этого тела, приложив при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно той точки, s которую переносится сила.

Пусть на твердое тело действует сила F, приложенная в точке Л (рис. 59, а). Действие этой силы на тело не изменится, если в произвольной точке 8 тела приложить две уравновешенные силы 尸'и F", такие, что F'=F ,尸〃=—F. Полученная система трех сил F ,尸, 尸〃 (рис. 59, 6) эквивалентна одной заданной силе F. При этом система сил 戸，尸'，尸〃 представляет собой силу £', равную силе F , но при

ложенную в точке В, и пару (F , F,f) с моментом m = mB{F)f

так как момент пары (F, Ff,) равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой.

Таким образом, теорема доказана. Если условиться пару (F,戸") изображать круглой стрелкой, то результат, даваемый этой теоремой, можно изобразить так, как показано на рис. 59, в.

Доказанная теорема о параллельном переносе силы кладется в основу при решении задачи о приведении произвольной плоской системы сил к простейшей ей эквивалентной системе.

§ 18. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛК ОДНОЙ СИЛЕ И к ОДНОЙ ПАРЕ

Если линии действия сил данной системы расположены в одной плоскости произвольно, не пересекаются в одной точке и непараллельны между собой, то такая система сил называется произвольной плоской системой сил.

Пусть на твердое тело действует произвольная плоская система сил 尸 1，Р2,...,尸炉 приложенных соответственно в точках Аъ Л2, ..., Ап этого тела (рис. 60,а). Возьмем в плоскости действия сил этой системы произвольную точку О, которую назовем центром приведения, и, пользуясь доказанной в § 17 теоремой, перенесем все заданные силы параллельно самим себе в точку О. При этом получим, что: 1) сила 戸「

приложенная в точке Аъ эквивалентна силе Fxz ( = F0, приложенной в точке О, и так называемой присоединенной паре (尸】，尸工〃=——尸。с моментом m^moiF-^y 2) сила F3, приложенная в точке Л2, эквивалентна силе 尸2‘(=尸2)，приложенной в точке О, и присоединенной паре (尸2，尸2"=一尸2)е моментом 加2=①0(f2)и т. д.,"

Таким образом, в результате приведения имеем систему сил:

尸1 =尸uf2 =f2，.…，尸弘=F几，(1)

приложенных к произвольно выбранному центру приведения О (рис. 60, б), и систему лежащих в одной плоскости присоединенных пар

(А,冗)，(％ 瓦)，...，(戸“，Е),⑵

моменты которых соответственно будут равны

恤=m^F^, m2 = m0 (?2 ), . . . , mn = m0 (戸“).(3)

Приведенные к точке О силыГ/, F2Z, ...,F/можно сложить по правилу силового многоугольника (геометрически) и, следовательно, заменить одной, эквивалентной им, силой R', приложенной к той же точке О и равной их геометрической сумме R'= £ 尸/, или, согласно равенствам (1),

i=l

Все присоединенные пары (2) можно сложить по правилу сложения пар, лежащих в одной плоскости, и, следовательно, заменить их одной парой, расположенной в той же плоскости. Момент этой « 一 — n

равнодействующей пары М。= £ "К尸£，尸｝)= 工 加，， или, согласно равенствам (3),■

Mo=t%(R)・(5)

Величина R', равная геометрической сумме всех сил произвольной плоской системы сил (4), называется главным вектором этой системы.

Величина Мо , равная алгебраической сумме моментов всех сил произвольной плоской системы сил относительно центра приведения О (5), называется главным моментом этой системы относительно центра приведения О.

В результате мы доказали следующую теорему: произвольную плоскую систему сил, действующую на твердое тело, s общем случае можно заменить одной силой, равной главному вектору R системы и приложенной в произвольно выбранном центре приведения О, и одной парой с моментом, равным главному моменту М0 системы относительно центра приведения О (рис. 60, в).

Из этой теоремы видно, что две произвольные плоские системы сил. для которых главные векторы и главные моменты одинаковы, эквивалентны. Таким образом, для задания произвольной плоской системы сил, действующей на твердое тело, достаточно задать ее главный вектор R' и главный момент Мо относительно данного центра приведения О.

Модуль и направление главного вектора произвольной плоской системы сил можно найти или геометрически — построением силового многоугольника, или аналитически ——по формулам для равнодействующей системы сходящихся сил (6 и 7, § 9):

р 二 I Tf^TWF ； (6)

cos (4A7)=等=等；cos (思 /\)=*=步 (7)

Модуль и направление главного вектора R' не зависят от выбора центра приведения О, так как все силы переносятся в центр приведения О параллельно самим себе, и, следовательно, силовой многоугольник будет при перемене места центра приведения одним и тем же. Чтобы подчеркнуть это свойство главного вектора, говорят, что главный вектор произвольной плоской системы сил инвариантен по отношению к центру приведения (R'=invar).

Величина и знак главного момента Мо произвольной плоской системы сил определяется по формуле (5). При изменении положения центра приведения величина и знак главного момента произвольной плоской системы сил изменяются вследствие изменения моментов сил этой системы относительно центра приведения. Следовательно, в общем случае главный момент не инвариантен по отношению к центру приведения. Поэтому, когда говорят о главном моменте произвольной плоской системы сил, то всегда указывают, относительно какого центра приведения он вычислен.

Заметим, что понятия равнодействующей и главного вектора —— это различные понятия и смешивать их нельзя. Главный вектор не является равнодействующей данной системы сил, так как он заменяет эту систему сил не один, а вместе с парой, момент которой равен главному моменту той же системы сил относительно выбранного центра приведения. Различие этих понятий заключается также и в том, что главный вектор может являться свободным вектором (т. е. его начало

может быть выбрано где угодно), в то время как равнодействующая является скользящим вектором (т. е. имеет определенную линию действия). Кроме того, если главный вектор существует, то при этом равнодействующая может и не существовать.

Сходство понятий равнодействующей и главного вектора заключается в том, что если равнодействующая существует, то она геометрически равна главному вектору.

. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ

Предположим, что произвольная плоская система сил приводится к одной силе, равной главному вектору R'f 0 и приложенной к центру приведения, и к одной паре с моментом, равным главному моменту Мо 方0 (рис. 61, а). Докажем, что рассматриваемая произвольная плоская система сил приводится в этом общем случае к равнодействующей силе R=R, линия действия которой проходит через точку Л, отстоящую от выбранного центра приведения О на расстоянии OA=d=^~ ,

(1)(1)Для этого преобразуем пару с моментом Мо так, чтобы силы R и R", составляющие эту пару, оказались равными по модулю главному вектору R'. При этом нужно подобрать плечо пары так, чтобы ее момент m (R , R") оставался равным7И0 . Для этого плечо пары (R ,灭") нужно, очевидно, находить из равенства

(1)

(1)

Пользуясь тем, что пару всегда можно перемещать в ее плоскости действия как угодно, переместим пару (R , R") так, чтобы ее сила R" оказалась приложенной в центре приведения О и противоположно направленной главному вектору (рис. 61, б).

Рассматриваемая произвольная плоская система сил эквивалентна, таким образом, силе R' и паре (R, R"). Отбрасывая силы R и R" как уравновешенные, получим, что вся рассматриваемая система сил заменяется одной силой R=R\ являющейся, следовательно, равнодействующей. При этом линия действия равнодействующей R будет проходить через точку Л, положение которой относительно выбранного центра приведения определяется формулой (1).

Если же в результате приведения произвольной плоской системы сил окажется, что R'#0, а Мо =0, то в этом частном случае эта система сил сразу заменяется одной силой, т. е. равнодействующей R=R〈 линия действия которой проходит через выбранный центр приведения.

Задача 10. К точкам В и С тела'соответственно приложены равные по модулю и взаимно перпендикулярные силы f\ и F2 (F^F^F), отстоящие от точки О тела на равных расстояниях OB=OC=h. Привести эту систему сил к точке О (рис. 62).

Рис. 62Рис. 62Рис. 61

Рис. 62

Рис. 62

Решение. Перенесем силы 尸i и F2 параллельно самим себе в точку О. В результате такого переноса получим (рис. 62) силы F；=Fi и 尸2’=尸2, приложенные в точке О, и присоединенные пары (尸力 尸/) h (尸2，尸2”)，лежащие в одной плоскости с моментами m1HЕг й и т2= =F2 й (силы, образующие эти пары, отмечены на рис. 62 черточками). От геометрического сложения сил FJ и 尸2‘，приложенных в точке О, получим главный вектор данной системы сил

R =尸1 +f2 =f1 +尸2， модуль которого, очевидно, равен

R = OD = VF^ + F^ =尸］/Г# 0.

От сложения присоединенных пар получим равнодействующую пару, момент которой равен главному моменту Мо данной системы сил относительно точки О: .

мО = % +加2 =(f1 +尺)九=2f九方0.

Следовательно, данная система двух сил 戸】и F2 имеет равнодействующую

приложенную в точке 4, которая отстоит от точки О на расстоянии

ОАОА=d ==d =При этомПри этомcos 1Л勺=三=中cos 1Л勺=三=中

ОА

ОА

=d =

=d =

При этом

При этом

cos 1Л勺=三=中

cos 1Л勺=三=中

& равные углы по 45°.& равные углы по 45°.т. е. равнодействующая R образует с обеими данными силами 凡 и

& равные углы по 45°.

& равные углы по 45°.

Задача 11. На мостовую ферму (рис. 63) действуют вертикальные силы 尸 1=20 т и 尸2=40 т соответственно на расстоянии 10 м и 江40 м от левого конца фермы и горизонтальная сила F3—30 т на уровне верхнего пояса фермы, высота фермы равна 6 м. Привести систему сил Flf ^2 и F3 к простей

шему виду.

Рис. 63Решение. Проводим оси ко

ординат так,как показано на рис.63, взяв начало координат в точке Л. Найдем проекции главного вектора заданной системы сил на оси выбранной системы координат:

Rx = £ Х『=储=30 т,凡 ~HYj~~F1~F2~ — GO т,

откуда находим модуль главного вектора R':

R = М(疋)2 + (R犷=67,08 т 方 0.

Найдем теперь главный момент заданной системы сил относительно начала координат Л:

MA = ^mA ^^^{x.Y^-y.X^ 10(—20) + 40(—40) =

Н - 1800 T•丸片0.

Следовательно, данная система сил имеет равнодействующую R=R‘，модуль которой /?=67,08 т.

Теперь найдем линию действия равнодействующей. Момент равнодействующей R относительно начала координат Л определится по формуле

mA (R) = xRy -yRx,

где хну ——координаты точки, лежащей на линии действия равнодействующей. Так как J=30 т и Ry=R《=—60 т, то

叫4(R)= '— 60 х — 30 у.

С другой стороны, по теореме Вариньона о моменте равнодействующей (5, § 11) имеем

mA (R) = S т0 ^ = —1800 т・м.

Следовательно,

—60х — 30у = — 1800 т・м, или

2% + у = 60.

Это и есть уравнение линии действия равнодействующей.

Полагая в этом уравнении у=0, находим, что точка пересечения линии действия равнодействующей R с верхним поясом фермы находится на расстоянии х=30 м от левого конца фермы. Полагая же у=——6 ж, находим, что точка пересечения линии действия равнодействующей R с нижним поясом фермы находится на расстоянии х=33 м от левого конца фермы. Соединяя определенные таким образом точки пересечения линии действия равнодействующей R с верхним и нижним поясами фермы прямой линией, находим линию действия равнодействующей R.

20. ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА О МОМЕНТЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ сил.

УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ РЫЧАГА

Докажем следующую теорему Вариньона о моменте равнодействующей произвольной плоской системы сил: если произвольная плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно любой точки, лежащей в плоскости действия данных сил, равен алгебраической сумме моментов всех составляющих сил относительно той 配е точки.

Доказательство. На рис. 61, б (§ 19) сила R=R‘ приложена в точке Л. Эта точка отстоит от произвольно выбранного центра приведения О на расстоянии

\М I

OA = d = ^,(1)

Сила R является равнодействующей произвольной плоской системы сил. Из рис. 61, б и формулы (1) следует, что абсолютная величина момента равнодействующей R относительно центра приведения О равна

一 丨m|

1mo (反)| = Rd=R 屮(2)

где \Мо I есть абсолютная величина главного момента рассматриваемой системы сил относительно выбранного центра приведения О. Знак же момента р а в нодей ствующей R относительно центра приведения О также всегда совпадает со знаком главного момента М。，т. е. момента napbi(R,R"), как это видно из рис. 61, о, б.

Поэтому вместо (2) будем иметь

% ⑻=〃о •(3)

Но, согласно (5, § 18),

m。=2加0(冗).

Подставляя это в формулу (3), приходим к равенству

%(a=i>°(冗)，(4)

чем и доказывается теорема.

Примем центр приведения О за начало координат (рис. 60, а), и мысленно разложим силу Fh приложенную к точке Л； (хр у) тела на два взаимно перпендикулярных направления —— направления осей координат. Составл яющие силы обозначим буквами Х( и YТогда согласно теореме Вариньона и рис. 60, о момент рассматриваемой силы F» относительно начала координат определяется так:

% (戸J = m0 (元)+ mo (匕)=%匕 一 У1 X:■

Подставляя это равенство в формулу (4), получим

(5)(5)加。圆=£(看匕一次&).

(5)

(5)

Таким образом, если начало координат выбрано в центре приведения и известны проекции всех сил на оси координат и координаты точек приложения этих сил, то момент равнодействующей можно найти по формуле (5). 。

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей (4) дает простой метод нахождения условия равновесия рычага.

Пусть на рычаг первого рода (рис. 64, а) или второго рода (рис. 64, б) действует произвольная плоская система сил f\, F2, ..., Fn и О ——точка опоры. Предположим, что эта система сил приводится к равнодействующей R. Отбросив связь (шарнирную опору), заменим ее действие на рычаг силой реакции связи No ■ При этом рычаг можно рассматривать как свободное тело, к которому приложены только две силы R k No. Так как сила реакции связи 7V0 приложена к точке О, то для равновесия сил R и N。(а следовательно, и для равновесия рычага) необходимо, чтобы и равнодействующая сила R тоже проходила через точку О. Но в этом случае

%闻=0.

Это условие равновесия рычага согласно теореме Вариньцна (4) можно записать в виде

2①俯=。，

т. е. для равновесия рычага необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов всех приложенных к рычагу сил относительно точки его опоры равнялась нулю.

Задача 12. На концы прямолинейного рычага АВ длиной /, закрепленного на шарнире О, действуют силы 尸^ и 尸2, образующие с рычагом углы в工 и а2. Найти расстояние АО при равновесии рычага (рис. 65).

Решение. Так как рычаг АВ находится в равновесии под действием сил 尸 1‘н 尸2，то алгебраическая сумма моментов этих сил относительно опоры О равна нулю, т. е.

т0(?!)+т0(?2) = 0.

Но .m0(Fi) = F1-OA1,

他。(戸2)=一尸2。。当，

где ОЛ1——плечо силы 尸i относительно точки О, а ОВ】——плечо силы F2 относительно той же точки О. Из треугольников OBBX и ОААХ находим

。4 = ОА sin % и

051 = OB sin а2 = (АВ — О A) sin а2 = (/ — О A) sin 出・

Следовательно,

%(F)= F1.OX-sin %;

m0 (戸2)= 一储(/一0%)•sina2.

Уравнение равновесия рычага примет вид

尸1 • ОА sin % —尸2 (/ — ОЛ) sin % =。・，

отсюдаотсюдаОАОА尸2% sin 々2 -

отсюда

отсюда

ОА

ОА

Fi sin gci+ 尸2 sin a2

Задача 13. Предохранительный клапан Л парового котла соединен стержнем АВ с прямым рычагом CD весом 1 кГ и длиной 50 см9

который может вращаться вокруг неподвижной точки С. Диаметр клапана d=6 см, длина отрезка рычага ВС=7 см. Какой груз Q нужно подвесить к концу D рычага для того, чтобы клапан сам открывался при давлении в котле, равном 11 атм (рис. 66, о).

Решение. Предположим, что клапан не конический, а цилиндрический. Так как давление в I атм равно 1 凉， находим силу давления пара на клапан:

п 冗# 3,14-36 — 「

Р= —р1 = ^— •И К「=

Рис. 66Рис. 66ЧIIЧIIгде Fi=ll атм — давление пара вгде Fi=ll атм — давление пара в1 атм, поэтому соответствующая сила будет равна1 атм, поэтому соответствующая сила будет равнакотле. Снаружи давит на клапанкотле. Снаружи давит на клапан-3,14.9-11 кГ,

Рис. 66

Рис. 66

Ч

II

Ч

II

где Fi=ll атм — давление пара в

где Fi=ll атм — давление пара в

1 атм, поэтому соответствующая сила будет равна

1 атм, поэтому соответствующая сила будет равна

котле. Снаружи давит на клапан

котле. Снаружи давит на клапан

Р =竿 Р2 = 3」：36 .1 к「= 3,14・9・1 к「,

где 卩2=1 атм — атмосферное давление. Следовательно, на рычаг CD через стержень АВ передается вверх направленная сила, равная

F = P —Р' = (3,14・9・11』3,14・9・1) кГ = 3,14-9-10 кГ.

В середине £ рычага приложен его вес G=1 кГ, а на расстоянии CD тоже вниз действует искомая сила Q. Реакция R© неподвижной точки С направлена вертикально вверх.

Напишем уравнение равновесия рычага CD (рис. 66, б):

тс(G)+ mc(戸)+乙(Q) = 0.

Реакция Rc неподвижной точки С в это уравнение не входит, так как ее момент относительно точки С равен нулю.

Так какТак какmc(G)= — 1-25;mc(F)= 3.14-9-10-7;

Так как

Так как

%(Q) = —50Q, то уравнение равновесия рычага примет вид

—1.25 + 7-90-3,14 —50 Q= О, откуда

Q = 39,6 кГ\ .

. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛК ОДНОЙ ПАРЕ

В § 18 было доказано, что произвольная плоская система сил экВ § 18 было доказано, что произвольная плоская система сил эквивалентна совокупности силы,вивалентна совокупности силы,равной главному вектору R1 и пары, момент которой равен главному моменту Мо относительно выбранного центра приведения О. Поэтому если в результате приведения произвольной плоской системы сил окажется, что главный вектор R' данной системы сил равен нулю (R'=0), а ее главный момент Мо отличен от нуля (Мо #0), то, очевидно, данная система сил приводится к одной паре с моментом Мо 冃£ 团。(尸). В этом случае главный момент М。не будет зависеть от выбора центра приведения, так как мы пол учили бы, что одна и та же произвольная плоская

В § 18 было доказано, что произвольная плоская система сил эк

В § 18 было доказано, что произвольная плоская система сил эк

вивалентна совокупности силы,

вивалентна совокупности силы,

система сил заменяется разными, не эквивалентными друг другу парами. А это невозможно.

Задача 14. К точкам Л и В тела приложены две равные по модулю и взаимно перпендикулярные силы 尸i и 戶2(尸 1=危=尸)，а в точке С приложена сила 尸з, модуль которой равен Fy2. Сила F3 образует с

направлениями сил f\ и F2 равные углы по 135° (рис. 67). Размеры тела указаны на рис. 67. Привести эту систему сил к точке С・

Решение. Перенесем силы 尸工 и F2 параллельно самим себе в точку С. В результате такого переноса получим силы 8=宽,%=冗 и 尸з, приложенные к точке С, и лежащие в одной плоскости присоединенные пары (Fn F/), (F2,尸2") с моментами 恤=尸1无 и m2=F2/i. Построив на силах久'，尸纟‘匕尸з силовой треугольник, убеждаемся, что он будет замкнут, а поэтому главный вектор R' рассматриваемой системы сил равен нулю. Следовательно, эта система сил приводится только к одной паре сил, момент которой равен главному моменту Мс данной системы сил относительно точки С:

Me = m* + ni2 = F、h± %!г = 2 F h.

22. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙСИСТЕМЫ СИЛ

Выше было установлено, что произвольная плоская система сил, если она не находится в равновесии, приводится или к одной равнодействующей (когда R今0), или к одной паре (когда R'=0).

Однако в результате приведения произвольной плоской системы сил может оказаться, что одновременно главный вектор R' этой системы сил и главный момент ее М0относительно центра приведения равны нулю, т. е.

R' = 0; М。= 0, или

纟冗=0；2% (冗)= 0,(1)

где 0 ——любая точка плоскости.

Условия (1) являются необходимыми и достаточными условиями равновесия произвольной плоской системы сил. В самом деле, условия (1) являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то расематриваемая система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда /?'#0), или к паре (когда Мо ¥=0), и, следовательно, эта система сил не будет находиться в равновесии. Одновременно условия (1) являются достаточными, потому что при &'=0 произвольная плоская система сил может приводиться только к паре с моментом Мо, а так как7Ио = 0, то эта система сил будет находиться в равновесии.

Таким образом, для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и .достаточно, чтобы одновременно и главный вектор, и

главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра приведения равнялись нулю.

Найдем теперь вытекающие из равенств (1) аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил.

В § 18 было установлено, что

R = $ (ЕХ)2 + (ЕУу ； Мо = ^т0 (Е);

отсюда следует, что R' и Af0обращаются в нуль в том и только в том случае, когда

工 Х, = о；工匕=0；工优° (Е)уО.(2)

i=li=l/=1

Эти равенства выражают следующие аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из двух любым образом выбранных в плоскости действия этой системы сил координатных осей и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки той же плоскости были равны нулю.

Одновременно равенства (2) выражают необходимые и достаточные условия равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием произвольной плоской системы сил.

Равенства (2) являются основной формой условий равновесия произвольной плоской системы сил. Они могут быть выражены и в другом виде.

Докажем, например, следующую теорему о трех моментах: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех сил относительно каждой из трех любых точек At В и С, взятых в плоскости действия этой системы сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

У； тА (?,) = 0; • X mB(F；) = 0;纟乙 国)= °・ (3) i=l 1=1 i=l

Необходимость этих условий очевидна, так как при равновесии произвольной плоской системы сил алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки, взятой в плоскости действия этой системы сил, должна равняться нулю. Докажем, что эти условия и достаточны.

Возьмем за центр приведения точку Л. По условию доказываемой теоремы

(4)(4)S mа (e)=О. 1=1

(4)

(4)

поэтому для рассматриваемой системы сил должно быть Л1 л=0. Если при этом главный вектор R丰Q то в этом случае данная система сил приводится только к одной равнодействующей силе R =R'. Соглас- — П—

но теореме Вариньона 团力(欠)=£ 团力(尸)и условию (4) будем иметь

тд (R)= 6

что может быть в двух случаях: или когда равнодействующая сила A=R'=o, или когда ее линия действия проходит через точку Л.

Предположим, что R=R丰0. Взяв последовательно за центры приведения точки В и С и принимая во внимание условия

е тв (а)=。； \ mе (尸/=

i=li=I ■

мы также установим, что линия действия равнодействующей R=R『 пройдет и через точки В и С. А это невозможно, так как точки А, В и С не лежат на одной прямой. Следовательно, при выполнении условий (3) обязательно должно быть /^=/^z=0, и, следовательно, произвольная плоская система сил при выполнении условий (3) будет находиться в равновесии.

Докажем теперь, что условия равновесия произвольной плоской системы сил можно сформулировать так: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех сил относительно каждой из двух любых точек А и В, взятых 6 плоскости действия этой системы, и алгебраическая сумма проекций всех этих сил на любую ось Ок, не перпендикулярную к прямой, проходящей через точки А и В, были равны нулю:

工％ (R) = 0; SmB(Fz) =0;纟 Xj = O.(5)

i=li=l/=1

Необходимость этих условий вытекает из того, что при равновесии произвольной плоской системы сил равны нулю как алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки, взятой в плоскос

ти действия этой системы, так и алгебраическая сумма проекции всех сил на любую ось.

Докажем достаточность этих условий. Для этого примем последовательно точки Л и В за центры приведения. Если для рассматриваемой системы сил выполняются первые два из условий (5), то Мл =0, Мв=0・ При этом данная система сил, как мы уже знаем из § 19, может не находиться в равновесии, а иметь равнодействующую R = R\

- одновременно проходящую через точки А и В (рис. 68). Но согласнр третьему условию должно быть 欠广二 £Х^=0. Так как ось 0% есть произвольная прямая, не перпендикулярная к ЛВ, то это последнее условие может быть выполнено, если равнодействующая R=R‘ будет равна нулю (R=R'=O), и, следовательно, произвольная плоская система сил при выполнении условий (5) будет находиться в равновесии.•

. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

Если линии действия всех сил данной системы расположены в одной плоскости и параллельны между собой, то такая система называется плоской системой параллельных сил. Плоская система параллельных сил является частным случаем произвольной плоской системы сил. Поэтому к плоской системе параллельных сил можно применить условия равновесия произвольной плоской системы сил (см. § 22):

£ Х[ = 0;纟匕=о； i>° (瓦)=о. (1) i=l i=l i=l

Мы можем направить ось Ох перпендикулярно к силам плоской системы параллельных сил, а ось Оу параллельно им (рис. 69). Тогда проекция каждой из сил на ось Ох будет равна нулю и первое из равенств (1) обратится в тождество вида 0—0 независимо от того, уравновешиваются данные силы или нет. В результате для плоской сис-

（2）（2）темы параллельных сил останутся только два условия равновесия:

（2）

（2）

工匕=0； £ 加。（Е） = °，

（=1i=l

ИЛИ

ось Оу равна модулю этой силы, （У尸士尸3ось Оу равна модулю этой силы, （У尸士尸3Рис. 69Рис. 692士匕=0；2他。（е） = 0,

ось Оу равна модулю этой силы, （У尸士尸3

ось Оу равна модулю этой силы, （У尸士尸3

Рис. 69

Рис. 69

так как проекция каждой силы на взятой с соответствующим знаком

Таким образом, для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма всех этих сил равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно произвольной точки, взятой 6 плоскости действия этой системы, также равнялась нулю.

Другая форма условий равновесия для плоской параллельной системы сил, получающаяся из равенств （5, § 22）, имеет вид

工吗（冗）=°； YimB（Fi） =0,（3）

/=12=1

где точки Л и В не должны лежать на прямой, параллельной данным силам.

Следовательно, для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех зтах сил относительно каждой из двух произвольных точек А и В, взятых 6 плоскости действия этой системы, но не лежащих на пря- мойу параллельной данным силам, были равны нулю.

При решении задач этой главы следует иметь в виду все те общие указания, которые были сделаны в § 10.

. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Еще раз подчеркнем, что приступая к решению задач, относящихся к равновесию несвободного твердого тела под действием произвольной плоской системы сил, нужно:

8 Н. Ф. Сахарный

выбрать тело, равновесие которого следует рассмотреть в данной задаче;

освободить от связей выбранное тело и заменить их действие силами реакции;

изобразить в виде векторов все действующие на выбранное тело (рассматриваемое как свободное) заданные силы и силы реакций отброшенных связей;

выбрать систему осей декартовых координат;

составить уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, в которые, кроме активных сил, войдут и реакции связей, и решить их.

Так как тело, равновесие которого рассматривают в данной задаче, находится в покое, то все приложенные к нему силы, включая и реакции отброшенных связей, должны удовлетворять условиям равновесия, полученным в § 22 и 23. При этом нужно применять ту из форм этих условий, которая приводит к более простой системе уравнений.

Для получения более простых уравнений равновесия нужно: а) составляя уравнения проекций, направлять одну координатную ось перпендикулярно к линии действия одной, а если возможно, и двух неизвестных сил; при этом проекция силы на эту ось обратится в нуль, а на ось, ей параллельную,силаспроектируется в натуральную величину, что облегчит решение задачи; б) составляя уравнение моментов, выбрать центр моментов в такой точке (если она есть), через которую проходят линии действия двух неизвестных сил; тогда в уравнение моментов всех сил войдет только одна неизвестная сила. При вычислении момента той или иной силы можно брать момент самой силы или сумму моментов составляющих ее сил в зависимости от того, где проще определяются плечи сил.

Если из уравнений равновесия кайдены реакции связей, а необходимо было найти давления, оказываемые телом на те или иные плоскости (поверхности), то необходимо учесть, что, согласно аксиоме IV, давления равны реакциям по модулю, но направлены в противоположные им стороны.

Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с помощью которых закрепляются балки или мостовые фермы. При этом, кроме балок, имеющих двеопоры, встречается так называемая балка-консоль. Балка-консоль имеет один свободный конец, а другой заделан (защемлен) в стену или в какую-либо массивную часть

конструкции, препятствующую повороту и смещению этого конца в любом направлении (рис. 70, о). В такой неподвижной защемляющей опоре, как правило, в результате действия активных сил Fv F2, F9i...,Fn возникает сила реакции Ra и пара, момент которой Ма называется реактивным моментом (рис. 70, в).

В самом деле, на заделанный конец балки-консоли со сторон опор- ных плоскостей ob, Ьс и cd (рис. 70, 6) действует система распределенных сил реакций, которая может быть приведена к одной равнодействующей реакции R, модуль, направление и точка приложения ко^ торой неизвестны. Перенесем эту силу R параллельно самой себе в точку 4 пересечения оси балки с плоскостью стены od. При этом сила R будет эквивалентна силе Ra (~R)^ приложенной к точке А, и присое^ диненной паре с неизвестным реактивным моментом МА (рис. 70, 6). Силу 欠力 можно изобразить ее составляющими X』и У』. Таким обра- 8*

зом, для нахождения реакции неподвижной защемляющей опоры надо определить три неизвестных величины X/, Уд и М/. Найдем теперь эти величины.

Поскольку на рассматриваемую балку-консоль наряду с произвольной плоской системой активных сил Flf F2, ..., Fn и сил реакций Хл и УлДействует лежащая в той же плоскости пара с реактивным моментом М л, то при составлении уравнений равновесия в уравнения проекций пара не войдет, так как сумма проекций сил пары на любую ось, очевидно, равна нулю. В уравнении же моментов к моментам сил алгебраически прибавится реактивный момент Ма пары, так как сумма моментов сил пары относительно любого центра равна моменту пары (§ 14). Таким образом, уравнения равновесия при действии на балку- консоль указанной системы сил и пары будут

£ % + Ха = 0; £ 匕 + У/ = 0; Етл (F.) +МД = 0.

Отсюда

Х% = —ЕХ,;厶=一£匕；MA^-LmA (Fz).

Из первых двух формул найдем модуль силы реакции:

Ra = МхА^ 二］/■(工 ХУ + (С匕)2.

В частных случаях нагружения консоли в заделке может возникнуть только сила реакции или пара. Возможен также случай, когда действующие на консоль активные силы взаимно уравновешиваются, не вызывая в заделке ни реакции, ни реактивного момента (например, когда балка-консоль нагружена двумя противоположными парами с одинаковыми моментами). ■

Задача 15. Литейный кран АВС имеет вертикальную ось вращения MN. Расстояние MN=b ж, ДС=5 м, вес Pi крана 2 т, центр тяжести его D находится от оси вращения на расстоянии 2 м, вес Р2 груза, подвешенного в точке С, равен 3 т. Найти реакции подшипника Л1 и подпятника N (рис. 71, о).

Решение. Кран АВС является тем твердым телом, равновесие которого мы должны рассмотреть. Связями, наложенными на кран, являются подпятник N и подшипник М. Так как подпятник препятствует всякому поступательному перемещению крана, то его реакцию разложим на горизонтальную Х^ и вертикальную У^ составляющие. Подшипник, не препятствующий перемещению крана вдоль его осн, дает только одну горизонтальную реакцию Хм, перпендикулярную к оси вращения крана. Так как давление крана на подшипник направлено, очевидно, вправо, то реакция Хм направлена влево. Отбросим связи и заменим их действие на кран реакциями XNt YNn Хм(рис. 71,6).

Рассмотрим теперь равновесие крана как свободного твердого тела, на которое действуют активные силы Р工 и Р2 M силы реакций X^> Yn, Хм・ Для составления уравнений равновесия этой произвольной плоской системы сил выбираем оси координат. Начало координат поместим в точке N, Ось Nx направим по горизонтали вправо, ось Ny —■ по вертикали вверх. За центр моментов удобно взять точку N, так как через нее проходят линии действия двух неизвестных сил Х“ и 7'n, и, следовательно, их моменты относительно этой точки будут равны нулю. При таком выборе центра моментов уравнение моментов будет содержать только одно неизвестное.

Следует обратить внимание на то, что начало координат и центр моментов можно поместить в различных точках. •

Составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил в форме

£Х, = 0； £匕=0; ^mN （Е-） = 0.

Для этого алгебраически сложим предварительно вычисленные проекции всех сил на каждую координатную ось, а также моменты этих сил относительно центра моментов и приравняем к нулю полученные суммы:

（1）⑵（1）⑵（3）（3）£X,・ = Xn — Xm = 0；

（1）

⑵

（1）

⑵

（3）

（3）

£匕=厶一A一p2 = 0；

£加川（冗）=Хм・5 —Pi・2 — P2・5 = 0.

Из уравненияИз уравнениянаходим

Из уравнения

Из уравнения

^^ = ^1 + ^2 = 2 + 3 = 5 т.

Из уравненияИз уравнения(3) получаем(3) получаем

Из уравнения

Из уравнения

(3) получаем

(3) получаем

1919=3,8 т.=3,8 т.У — 2Pi +5P2 一 2-2 + 5-3

19

19

=3,8 т.

=3,8 т.

大m= 5—5

Наконец, из уравнения (1) находим

Х“ = Хм = 3,8 т.

Знак «плюс» при Хм, X^ и У^ показывает, что направление этих сил реакций выбрано правильно. Если бы направили реакцию Хм подшипника М вправо, то в ответе получили бы для этой реакции отрицательное значение, что указывало бы на необходимость изменения

Задача 16. На балку с защемленным концом действует на участке CD равномерно распределенная нагрузка интенсивностью д=0,8~т в точке В действует сила F=2 т под углом а=45° к балке, кроме того, на балку действует пара сил с моментом 加=1,2 т-м.

Определить реакции заделки. Размеры указаны на рис. 72, а.

Решение. Балка АВ является тем телом, равновесие которого мы должны рассмотреть. К ней приложена сосредоточенная сила F, пара сил с моментом m и силы, равномерно распределенные вдоль от-

резка CD балки АВ. Эта плоская система равномерно распределенных сил характеризуется ее интенсивностью е，т. е. величиной силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. В рассматриваемом случае интенсивность является величиной постоянной. При статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей Q, т. е. сосредоточенной силой. По модулю эта равнодействующая равна

Q = q• СО = 0,8• 3 = 2,4 т.

При этом сила Q приложена в середине О отрезка CD.

Заметим, что сосредоточенной силой называют такую силу, которая приложена к телу в какой-нибудь одной его точке. Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые в теоретической механике рассматриваются как сосредоточенные, представляют собой по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил. В инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль данной поверхности по тому или иному закону.

Связью, наложенной на балку АВ, является жесткая заделка А. Применяя принцип освобождаемости от связей к балке АВ, заменим действие этой заделки на балку силами реакций Хл и Уд и реактивным моментом Л4л (рис. 72, б). Рассмотрим теперь равновесие балки АВ как свободного твердого тела, на которое действуют заданные силы F, Q и пара сил с моментом т, а также неизвестные силы реакций Х< и У< и пара сил в заделке с реактивным моментом Ма- Для составления уравнений равновесия этой произвольной плоской системы сил выбираем оси координат, как показано на рис. 72, б, и принимаем за центр моментов точку А.

Составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил в форме

£Xf = 0; £匕=0; Етл 伍)=0.

В рассматриваемом случае будем иметь

£Ху = Feos а — Х< = 0;(1)

£У» = 1力 _ Q _ F Sina = 0;(2)

工巾工(尸,+ m — Q-OA — F sin a-AB=0 .(3)

Из уравнения (1) находим

X^ = Fcosa = 2 cos 45° = 2 •岑=/Г = 1,41 т.

Из уравнения (2) получаем _

У/= Q + F sin а = 2,4 + 2 • i^- = 2,4 + 1,41 =3,81 т.

Наконец, из уравнения (3) находим

МД = Q-OA + Fsina-AB — m = 2,4・2,5 十 2•譽・5 — 1,2 =

=11,87 т•加.

Задача 17. Однородный стержень АВ весом Q=20 кГ в точке Л закреплен шарнирно, а в точке С свободно опирается на опору С. НаЗадача 17. Однородный стержень АВ весом Q=20 кГ в точке Л закреплен шарнирно, а в точке С свободно опирается на опору С. Настержень АВ действует пара сил с моментом /и =5 "м, а к концу его В привязана веревка, перекинутая через блок D, на конце которой висит груз весом Р=5у~2 кГ. Определить реакцию шарнира Д и опоры С, если АС~ =2 ВС=40 см, а угол а=45° (рис. 73, а).Решение. Телом, равновесие которого в этой задаче рассматривается, является стержень АВ, К нему приложена пара сил с известным . моментом m и две активные х силы: в точке В наклонная сила Т,равная по модулю весу груза, т. е. Т =Р (неподвижный блок D, не изменяя модул я силы Р, изменяет только ее направление), и настержень АВ действует пара сил с моментом /и =5 "м, а к концу его В привязана веревка, перекинутая через блок D, на конце которой висит груз весом Р=5у~2 кГ. Определить реакцию шарнира Д и опоры С, если АС~ =2 ВС=40 см, а угол а=45° (рис. 73, а).Решение. Телом, равновесие которого в этой задаче рассматривается, является стержень АВ, К нему приложена пара сил с известным . моментом m и две активные х силы: в точке В наклонная сила Т,равная по модулю весу груза, т. е. Т =Р (неподвижный блок D, не изменяя модул я силы Р, изменяет только ее направление), и на

Задача 17. Однородный стержень АВ весом Q=20 кГ в точке Л закреплен шарнирно, а в точке С свободно опирается на опору С. На

Задача 17. Однородный стержень АВ весом Q=20 кГ в точке Л закреплен шарнирно, а в точке С свободно опирается на опору С. На

стержень АВ действует пара сил с моментом /и =5 "м, а к концу его В привязана веревка, перекинутая через блок D, на конце которой висит груз весом Р=5у~2 кГ. Определить реакцию шарнира Д и опоры С, если АС~ =2 ВС=40 см, а угол а=45° (рис. 73, а).

Решение. Телом, равновесие которого в этой задаче рассматривается, является стержень АВ, К нему приложена пара сил с известным . моментом m и две активные х силы: в точке В наклонная сила Т,равная по модулю весу груза, т. е. Т =Р (неподвижный блок D, не изменяя модул я силы Р, изменяет только ее направление), и на

стержень АВ действует пара сил с моментом /и =5 "м, а к концу его В привязана веревка, перекинутая через блок D, на конце которой висит груз весом Р=5у~2 кГ. Определить реакцию шарнира Д и опоры С, если АС~ =2 ВС=40 см, а угол а=45° (рис. 73, а).

Решение. Телом, равновесие которого в этой задаче рассматривается, является стержень АВ, К нему приложена пара сил с известным . моментом m и две активные х силы: в точке В наклонная сила Т,равная по модулю весу груза, т. е. Т =Р (неподвижный блок D, не изменяя модул я силы Р, изменяет только ее направление), и на

середине Е стержня ——вертикальная сила Q (его собственный вес).

Связями, наложенными на стержень АВ, являются шарнир А и опора С. Так как стержень АВ свободно опирается на опору С, то реакция Асзтой опоры направлена перпендикулярно к стержню. Неизвестную по направлению и по модулю реакцию R< шарнира А представляем двумя составляющими Х< и У<, направленными в положительные стороны двух координатных осей Ах и Ау. При этом ось Ах направим вдоль стержня АВ, а ось Ау ——перпендикулярно к нему. Отбросим связи и заменим их действие на стержень АВ реакциями Rc, Х< и Уд (рис. 73, б). Рассмотрим теперь равновесие стержня АВ как свободного твердого тела, на которое действуют активные силы Q

и Ти силы реакции Rc , ^а и Y а, а также пара сил с заданным моментом /и. За центр моментов удобно взять точку Д, так как через нее проходят линии действия двух неизвестных сил X工 и Уд.

Составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил в форме

?% = 0; ?%=0; £加& (e)-0.

Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую координатную ось, а также моменты этих сил относительно центра моментов и приравняем к нулю эти суммы:

£Х? = Х4 —Tcosa = 0; (1)

£匕=乙 + Rc — Q — Tsina 二 0;⑵

£加/ (尸,=必• AC — T • AB cos а — Q • AE —加=0.(3)

Из уравнения (1) находим一：

X/ = Tcosa = 5p^cos45° = 5M%・^ =5 кГ.

Из уравнения (3) получаем

=35 кГ,=35 кГ,口 Т-АВ cosa + Q-AE+m _ 5・60・+ 20・30 + 5

=35 кГ,

=35 кГ,

<С кАС=40

Из уравнения (2) находим

Ул = Q + т Sin а — т?с = 20 + 5 КГ •争一35 = — 10 кГ.

Знак «минус» при YA показывает, что сила реакции Уа имеет направление, противоположное показанному на чертеже.

Задача 18. Между опорами двухконсольной горизонтальной балки CD (рис. 74, а) приложена пара (Р, Р), к левой консоли — равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, а в точке D правой консоли — вертикальная нагрузка Q=4,6 т. Определить реакции опор, если Р=Р，=4 т, g=4 吃，а=2,5 м.

Решение. Двухконсольная балка CD является тем телом, равновесие которого мы должны рассмотреть. К ней приложена пара сил (R Р) с моментом т~Ра и две активные силы: в точке D сила Q и на середине левой консоли сила R = q・CA, являющаяся равнодействующей равномерно распределенной нагрузки (см. задачу i6). Следовательно, все приложенные к балке CD активные силы являются 7 Н,力，Сахарный

вертикальными, так как пару сил (Р, Р‘)，не изменяя ее действия на балку, можно повернуть в плоскости рисунка так, чтобы составляющие пару (Р, Р‘)силы Р и ——Р были вертикальны.

Связями, наложенными на балку CD、являются подвижная шарнирная опора В и неподвижная шарнирная опора 儿 Отбросим эти связи и заменим их действие на балку CD силами реакций. Реакция RB подвижной шарнирной опоры В нормальна к плоскости опоры

(рис. 74, б). Так как все действующие на балку CD активные силы вертикальны, то реакция 欠力 неподвижной шарнирной опоры А также вертикальна. Рассмотрим теперь равновесие двухКонсольной балки CD как свободного твердого тела, на которое действует указанная плоская система параллельных сил (рис. 74, 6). Для составления уравнений равновесия этой системы сил в форме

£吗低)=0; в/nЁ(e)=°

поеледовательно примем за центр моментов точки А и В. При этом уравнения моментов будут содержать только одно неизвестное.

Итак, в данном случае будем иметь

(1)(1)S/Пд (匕)—да • ~2—И m + Rв ' 2a — Q ” 3 а = 0;

(1)

(1)

£加8（元）=%（等+ 2a£加8（元）=%（等+ 2a• 2 а + m — Qa = 0.• 2 а + m — Qa = 0.⑵⑵

£加8（元）=%（等+ 2a

£加8（元）=%（等+ 2a

• 2 а + m — Qa = 0.

• 2 а + m — Qa = 0.

⑵

⑵

Решая порознь уравнения (1) и (2), найдем R/ = 11,5 т; RB = 2,5 т.

§25. РАВНОВЕСИЕ СОЧЛЕНЕННОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Рассмотрим теперь задачу на равновесие не одного тела, а системы тел, свободно опирающихся друг на друга или соединенных между собой какими-нибудь связями и находящимися под действием произвольной плоской системы сил или плоской системы параллельных сил. Такую систему тел называют сочлененной системой.

После отбрасывания внешних связей сочлененная система тел не остается жесткой.

На основании принципа отвердевания система сил, действующая на сочлененную систему тел, должна при равновесии удовлетворять условиям равновесия абсолютно твердого тела. Но эти условия, как известно, являясь необходимыми, не будут достаточными, поэтому из них нельзя будет определить всех неизвестных. Для решения задачи на равновесие сочлененной системы тел необходимо будет дополнительно рассмотреть равновесие какого-нибудь одного или нескольких тел этой системы.

Примером сочлененной системы может служить трехшарнирная арка (рис. 75), состоящая из двух тел (полуарок) с тремя шарнирами А, В и С, из которых первые два являются неподвижными опорными

шарнирами, а третий соединяет эти два тела (полуарки) между собой.

Пусть на рассматриваемую трехшарнирную арку действует произвольная плоская система сил (на рис. 75 изображены только две силы

尸 1 и 尸2 зтой системы). Предположим, что, кроме реакций шарниров А и В, требуется найти неизвестные реакции шарнира С.

Применяя принцип освобождаемости от связей, отбросим мысленно шарнирные закрепления в точках А и В и заменим их действие силами реакций. Модули и направления этих реакций неизвестны. Поэтому необходимо неизвестную по направлению реакцию в каждой из двух шарнирно неподвижных опор А п В разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие Xл» 匕4 н Х& YB (рис. 76). Таким образом, для сочлененной си-

Рис. 77Рис. 77стемы тел, состоящей из двух полуарок (рис. 76), можно составить три уравнения равновесия, в то время как число неизвестных сил реакций равно четырем. Однако данная задача является статически определенной. Докажем это утверждение.

Рис. 77

Рис. 77

Отбрасывая мысленно шарниры АОтбрасывая мысленно шарниры АДля этого рассмотрим равновесие какой-либо полуарки (например, левой, рис. 77, а). На левую полуарку действует одна активная сила 瓦. и С вместе с правой полуаркой,

Отбрасывая мысленно шарниры А

Отбрасывая мысленно шарниры А

заменяем их действие силами реакций. Так как реакция в шарнире С также неизвестна по модулю и направлению, то ее тоже необходимо

предварительно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие Хен Ус- Для левой полуарки можно составить три уравнения равновесия, имея при этом только две новые неизвестные 冗 и Ус (последнееобъясняется тем, что реакция в шарнире А должна быть представлена двумя ранее выбранными составляющими X/ и Уд). Таким образом, рассматривая равновесие всей трехшарнирной арки в целом и левой полуарки, имеем шесть уравнений равновесия и шесть неизвестных. Отсюда видно, что рассматриваемая задача является статически определенной. Эта же задача может быть решена и другим способом, если рассмотреть равновесие левой полуарки (рис. 77, а) и отдельно равновесие правой полуарки (рис. 77, б). В этом случае число уравнений равновесия также равно числу неизвестных, так как согласно аксиоме IV Хс'=—Хс и Ycr~—Ус *

Все эти приемы всегда одинаково законны. Вопрос о применении каждого из них решается в зависимости от того, в каком случае уравнения равновесия получаются более простыми.

Изложенный способ решения задач на равновесие сочлененной системы тел называется методом расчленения.

Для сочлененной системы из п тел, на каждое из которых действует произвольная плоская система сил, методом расчленения можно составить Зи независимых уравнений равновесия, позволяющих найти Зи неизвестных. Однако это вовсе не значит, что при составлении уравнений равновесия для сочлененной системы всегда следует рассматривать равновесие каждого тела в отдельности. Напротив, можно рассматривать и равновесие всей этой системы в целом как одного свободного абсолютно твердого тела или какой-нибудь совокупности тел, входящих в состав сочлененной системы.

Задача 19. На гладкой горизонтальной плоскости стоит переносная лестница, состоящая из двух частей АС и ВС длиной 12 м, весом Р=18 кГ каждая, соединенных шарниром С и веревкой EF. Расстояние BF—AE=2 м. Центр тяжести каждой из частей АС и ВС находится в ее середине. В точке D на расстоянии CD = 1 加 стоит человек, весящий Q=72 кГ. Определить реакции пола и шарнира С, а также напряжение Т веревки EF, если ^ВАС=^^АВС~45° (рис. 78, а).

Решение. Расчленяя сочлененную систему на две части, рассматриваем равновесие левой и правой половин лестницы в отдельности. Для этого освобождаем каждую часть от внешних и внутренних связей и намечаем реакции связей.

На левую часть лестницы, если ее рассматривать как свободное тело (рис. 78, б), действуют активная сила Р, реакции Х(；м Усшзрнира С, реакция Т веревки EF и реакция R若 горизонтальной плоскости.

Составим уравнения равновесия для левой половины лестницы:

£Х尸 一 Хд + Т = 0；

^mA (戸j =ХС-AC sin 45° — Ус -AC cos 45° —P 等 cos 45° —

-T-AE sin 45° = 0.

На правую часть лестницы, если ее рассматривать как свободное тело (рис. 78, в), действуют активные силы Рг и Q, реакции X] и Yc шарнира С, реакция Т‘ веревки EF и реакция Rb горизонтальной плоскости. При этом по аксиоме IV силы X/ и У</ должны быть направлены противоположно Хс н Ус ； по модулю же X с=^с, Ус'^Ус • По этой же причине сила Т'=—Т.

Составим уравнения равновесия правой половины лестницы:£Xi = X% —Т'=0；

ё匕=仆十уe -Q — P = °；

£%(Е) = — ^с -^5^45°—^ • CS cos 45° + Q. ВО cos 45° ++ Р 萼 cos 45。十 厂•尸В sin 45。= О,

где

Рис. 78Рис. 78

Рис. 78

Рис. 78

Решая систему этих шести уравнений равновесия, найдем

Yc - 33 〃； X。- 50,4 Н; Т = 50,4 RA = 51 кГ;

Rb - 57 &厂

Из полученных результатов видно, что все реакции имеют направления, показанные на рис. 78, б, в.

Задача 20. Дана сочлененная с помощью шарнира С система двух тел (рис. 79). Балка АС, изогнутая под прямым углом, имеет заделку в точке А. Круговая арка СВ закреплена в точке В с помощью стержня, имеющего на концах шарниры. На сочлененную систему действуют: 1) силы, распределенные вдоль вертикального прямого отрезка АЕ по линейному закону с максимальной интенсивностью дтак=弓；2) си

лы, равномерно распределенные по дуге BD окружности с интенсивностью д=2工,3) сила F=15 т, направленная под углом 53° к горизонтальному прямому отрезку ЕС\ 4) пара сил, обозначенная круговой стрелкой, с моментом т=10 т-ж. Размеры тел указаны на рис. 79. Весом тел пренебречь. Определить реакции опор А и В.

Решение. Заменим распределенные силы сосредоточенными силами. Рассмотрим прежде всего силы, распределенные вдоль прямого отрезка АЕ по линейному закону. Для этих сил интенсивность q является величиной переменной, растущей от нуля до максимального значения qmax・ Равнодействующая Ri будет определяться аналогично равнодействующей сил тяжести, действующих на однородную треугольную пластину АКЕ. Так как вес однородной пластины пропорционален ее площади, то по модулю равнодействующая & будет равна

& =皆 4E・gmaxH З,3・4 = 6 Т.

Приложена сила R、на треугольника AKE (1; § 54).Приложена сила R、на треугольника AKE (1; § 54).Рис. 80Рис. 80расстоянии ТЛ£=Т• 3=1 м от стороны КЕрасстоянии ТЛ£=Т• 3=1 м от стороны КЕТеперь рассмотрим силы, равномерно распределенные по дуге BD окружности. Из симметрии ясно, что проекции распределенных по дуге BD радиальных сил на ось Оу (рис. 80), перпендикулярную к оси симметрии Ох, равны нулю. Следовательно, их равнодействующая R направлена вдоль оси симметрии Ох. По модулю она будет равна

Приложена сила R、на треугольника AKE (1; § 54).

Приложена сила R、на треугольника AKE (1; § 54).

Рис. 80

Рис. 80

расстоянии ТЛ£=Т• 3=1 м от стороны КЕ

расстоянии ТЛ£=Т• 3=1 м от стороны КЕ

R = IR」=£(8幻 cos 限 где qMk —— сила давления, действующая на элемент дуги длиной А",— угол, образуемый этой

силой с осью Ох. Но из рис. 80 видно, что A/^cos В^=А“力 Отсюда, вынося общий множитель за знак суммы, получим

R = £q、y 丸—qL^yk = q・BD,

где BD — длина хорды, стягиваемой дугою BD. Таким образом, находим (рис. 81)

/?2 ~ q、BD = 2*4 = 8 т,

так как BD = 2r sin30°=2*4--~- = 4 м.

Рассмотрим равновесие всей данной сочлененной системы в целом как свободного твердого тела. Для этого отбросим все внешние связи и заменим их действие на сочлененную систему реакциями связей (рис. 81). На сочлененную систему будут действовать заданные силы 冗，尸，总 заданная пара с моментом т и реакции связей: силы реакции ХдиТд и реактивная пара с моментомТИд задел ки^Д, а также реакция Ув опоры В. Всего будет четыре неизвестных Ха, У а » МА , YBt а независимых уравнений равновесия для их определения можно составить только три. Поэтому данную сочлененную с помощью шарнира С систему двух тел расчленяем по шарниру С, прикладывая к каждой из двух частей в точке С внутренние силы реакции, равные по

модулю, но противоположные по направлению (рис. 82). Таким образом, на левую часть в точке С будут действовать силы Хс и YCf а на правую часть в точке С будут действовать силы Хс =—Хсй УК =——Ус.

Рис. 81

Рис. 82

Учитывая, что нам необходимо найти только четыре неизвестных Хл, Гл , MA, Pg, а независимых уравнений равновесия можно составить шесть, будем составлять уравнения равновесия так, чтобы по возможности в каждое из них входило не более одного нового неизвестного. Не обязательно для каждой части составлять все три уравнения равновесия. Можно поступить и так: составить для правой части (рис. 82, 6) одно уравнение равновесия в форме

£/ис (尸j =—加—R/cos 30° + YBf =0, или

—10-8-4 • ^ + Ув - 4 = 0.

Отсюда

厶=9,4 т.

После этого для сочлененной системы (рис. 81) составим уравнения равновесия в форме

?Х = Xa+R1 — F cos 53° 一 旦 cos 30° = 0;

ЕГ.=厶一尸 sin 53° — % sin 30° + Ув - 0, откуда

ХА н 9,9 т; Ya = 6,6 т.

Для определения реактивного момента М д заделки А составим для левой части (рис. 82, а) уравнение равновесия в форме

(戸j =Fsin53°J —R工 J — Х^ ・3 — 厶・2 + М/ = 0, откуда

МД ~ 37 т м.

Для контроля за правильностью определения реакций в точках Л и В можно составить контрольное уравнение равновесия для сочлененной системы (рис. 81), например в форме £/nc(Fj)=0. Подставляя в это уравнение найденные значения неизвестных Х<, Уд, Ма н Рв, должны получить тождество.

Если, кроме внешних реакций Хд, L, МА. YBf нужно определить неизвестные внутренние силы реакций Хс и Ус, то можно составить уравнения равновесия для правой части (рис. 82, 6) в форме

£% = — Хс — & cos 30° = 0;

LYi二一九一asin 30О+匕=0.

Решая эти уравнения, получим

Хд = — 6,9 т; Yc = 5,4 т.

Задача 21. Дана сочлененная с помощью шарнира В система двух тел (рис. 83, а). Балка АВ имеет заделку в точке А, а балка ВС за* креплена в точке С с помощью шарнирно-подвижной опоры. На сочлененную систему действуют силы, равномерно распределенные вдоль прямого отрезка СК, постоянной интенсивности 夕工 и пара сил с моментом m=qa2, Размеры тел указаны на рис. 83, а. Весом тел пренебречь. Определить реакции опор А и С.

Решение. Рассмотрим равновесие всей данной сочлененной системы в целом как свободного твердого тела.

Для этого заменим распределенные силы сосредоточенными, а также отбросим все внешние связи и заменим их действие на сочлененную систему реакциями связей (рис. 83, б).

Силы, равномерно распределенные вдоль прямолинейных отрез, ков КВ и ВС, соответственно заменим равнодействующими R工 и /?2. По модулю & и & равны

R 工—KB・q — да; R2 = BC-q

а приложены силы 爲 и & соответственно в середине отрезков КВ и ВС.

Таким образом, на сочлененную систему будут действовать заданные вертикальные силы 欠工，/?2, заданная пара с моментом m и реакции связей: силы реакции Х< и Уд и реактивная пара с моментом МА заделки Д, а также вертикальная реакция Ус шарнирно-подвижной опоры С.—

Всего будет четыре неизвестных Ха , Уа^ Л4л, Ус, а независимых уравнений равновесия для их определения можно составить только три. Поэтому данную сочлененную с помощью шарнира В систему двух тел расчленим по шарниру В, прикладывая к балке ВС в точке 3 внутреннюю вертикальную силу реакции YB (рис. 83, в). Таким образом, на правую часть будут действовать три вертикальные силы У^, Ус и R?, из которых первая сила является новой неизвестной.

Составим уравнения равновесия для всей сочлененной системы в целом (рис. 83, б) в форме

£Х, = Х^ = 0;

?匕=乙一&一旦+{ = 0；

E加4 (修)~ — m4 十加Rj/ 1,5" — R2" 2,5 a + уe • 3 a = 0.

Составим одно уравнение равновесия для балки ВС (рис. 83, в) в форме

?以(e)=底。一当号=0.

Отсюда

Подставляя Ус во второе и третье уравнения и решая их, находим

Х^ = 0; Ya = l,5ga; МА = — 1,5 ga2.

Глава Р

ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ И КАЧЕНИЯ

§ 26. ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ

Тело весом Р положим на неподвижную поверхность, которая служит связью (рис. 84, а). Это тело будет находиться в состоянии относительного покоя, так как действующая на него сила тяжести Р уравновешивается нормальной силой реакции связи ^. Приложим к телу

силу Q, лежащую в касательной плоскости, проведенной через точку, в которой тело соприкасается со связью. Если бы реакция опорной поверхности, которая служит связью, сводилась только к нормальной силе N, то сила Q, как бы мала она ни была, оставаясь неуравновешенной, заставила бы тело скользить по связи. Но опыт показывает,

что тело продолжает оставаться в состоянии относительного покоя, пока модуль силы Q не достигнет некоторого определенного максимального значения Qraax, зависящего от природы и состояния соприкасающихся поверхностей, а также от данного давления между ними. При дальнейшем увеличении модуля силы Q тело начнет скользить по связи. Это свидетельствует о том, что, кроме нормальной реакции ^, на тело действует еще другая реакция связи F, лежащая^ плоскости, касательной к связи, и противодействующая скольжению тела по этой связи. Эта сила F называется силой трения скольжения.

До тех пор пока не возникло скольжения тела по связи, будет иметь место равенство

戸=-&

из которого видим, что с увеличением силы Q увеличивается и сила трения скольжения F. Значит, сила трения скольжения F, так же как и сила Q, может изменяться от нуля до некоторого максимального значения Fraax, соответствующего моменту начала относительного скольжения тела по связи. В этом отношении сила трения скольжения неопределенна. Поэтому за меру сопротивления скольжению в состоянии относительного покоя принимают максимальную силу трения скольжения Fmax.

Сила трения скольжения, возникающая при относительном покое тела, называется силой трения скольжения s покое.

Возникновение силы трения скольжения обусловлено многими факторами, среди которых существенную роль играют степень шероховатости поверхностей трущихся тел, силы сцепления, возникающие между частицами поверхностных слоев трущихся тел, и твердость трущихся тел. Если соприкасающиеся тела достаточно тверды и хорошо отполированы, то сила трения скольжения резко уменьшается. Но в инженерных расчетах силу трения скольжения всегда приходится принимать во внимание. Обычно при этом исходят из установленных опытным путем общих законов трения скольжения в покое, которые формулируются следующим образом:

Сила трения скольжения в покое направлена в сторону, противоположную возможному перемещению одного из трущихся тел относительно другого.

Сила трения скольжения в покое не может по модулю превосходить максимальной силы трения скольжения в покое Fraax.

Модуль максимальной силы трения скольжения в покое прямо пропорционален нормальному давлению одного из трущихся тел на другое, или, что то же, модулю нормальной силы реакции:

Fmax = /о М

где /о называется коэффициентом трения скольжения s покое. Из этого равенства следует, что /0 есть число отвлеченное. Экспериментально установлено, что /0 зависит от природы, состояния и степени обработки трущихся поверхностей. При этом /0 не зависит от силы нор^ мяльного давления и площади контакта трущихся поверхностей. Однако следует иметь в виду, что это может быть лишь до некоторой величины удельного давления, т. е. давления, приходящегося на единицу площади контакта трущихся поверхностей.

Для абсолютно гладких тел /0 равен нулю. Для реальных тел он находится в пределах

0</0<1-

Из сказанного следует, что при отсутствии скольжения сила трения скольжения в покое

尸 СЛпах，ИЛИ F^f0N,

где знак равенства относится к тому моменту, когда тело будет нахО' диться, так сказать, на грани между покоем и скольжением.

Из предыдущего следует, что реакция опорной поверхности, которая служит реальной (шероховатой) связью, будет слагаться из двух составляющих: из нормальной реакции ^ и перпендикулярной

к ней силы трения скольжения в покое F. Следовательно, полная реакция опорной поверхности R будет составлять некоторый угол р с нормальной реакцией N (рис. 84, а). При изменении силы трения скольжения в покое F от нуля до Fmax сила R будет меняться от N до /?тах, а ее угол 屮 с нормальной реакцией N будет расти от нуля до некоторого максимального значения 屮。(рис. 84, б).

Угол ср。между направлениями нормальной реакции N и полной реакции ^шах, соответствующей максимальному значению силы трения скольжения в покое Fmax, называется углом трения.

Из рис. 84, б видно, что

Так как ^тах^/о^» то отсюда находим следующую связь между углом трения (р0 и коэффициентом трения скольжения в покое /0:

/о ~ tg 屮м

т. е. коэффициент трения скольжения в покое равен тангенсу угла трения.

Конус с вершиной в точке касания тел, образующая которого составляет угол трения с нормалью к поверхности трущихся тел, называется конусом трения (рис. 85).

Если коэффициент трения скольжения в покое при скольжении тела по поверхности, которая служит связью, в различных направлениях один и тот же, то полная реакция Rmax этой связи отклоняется от нормальной реакции N во всех направлениях на одинаковый угол трения %, и конус трения будет круглым с углом при вершине, равным 2%. Однако это условие не соблюдается, например, при скольжении по дереву в направлении волокон и в направлении, перпенди кул яр ном к ним. Конус трения в этом случае будет сплющен в направлении волокон.

Пусть действующие на тело силы (включая и его вес) приводятся к одной ра в нодействующей силе Q, линия действия которой проходит через точку Л касания тела с поверхностью, служащей связью, и образует с нормалью к связи в этой точке угол а (рис. 86). Перенесем эту силу по линии ее действия в точку А и разложим на две составляющие, из которых одна Q工 лежит в касательной плоскости, проведенной через точку А, авторая Q2 направлена по нормали в точке А к поверхности, которая служит связью. Первая составляющая равна по модулю Qi=Q? tga и будет стремиться вызвать скольжение тела по связи; вторая же вызовет равную себе по модулю и противоположно направленную нормальную силу реакции N. Если /0 есть статический

коэффициент трения скольжения между рассматриваемым телом и связью, то модуль максимальной силы трения скольжения в покое будет

Fmax ~ /о^2 = Q2 tg%,

где <р0-— угол трения; при этом сила Fmax направлена в сторону, противоположную силе Q「 Построив на силах N и F^ax как на сторонах параллелограмм, найдем равнодействующую Rm^ образующую с нормальной реакцией ^ угол трения %.

Для того чтобы тело оставалось на поверхности, служащей связью, в состоянии относительного покоя, необходимо, чтобы сила Q工 была по модулю меньше или равна максимальной силе трения скольжения В покое Fmax，т-巳

Q2 tg a« Qz tg 屮о， или

tg><tg?0>

откуда

Из этого заключаем, ито,@。тех пор пока линия действия равнодействующей всех сил, приложенных к телу, каков бы ни был ее модуль, проходит внутри конуса трения, скольжение тела по связи не возникает. Этим объясняются известные явления заклинивания, или самоторможения частей машины, когда никакой приложенной внутри

конуса трения силой не удается сдвинуть с места соответствующую часть машины.

При совпадении линии действия равнодействующей всех сил, приложенных к телу, с образующей конуса трения наступает момент, когда тело будет находите ся на грани между покоем и скольжением, и при малейшем отклонении ее за пределы конуса трения начинается скольжение тела по связи.

Все изложенное выше относилось к силе трения скольжения в покое.

Сила трения скольжения, возникающая при относительном скольжении одного тела по поверхности другого, называется силой трения скольжения е движении.

Опытным путем установлено, что модуль силы трения скольжения в движении также пропорционален нормальному давлению, т. е.

где / называется коэффициентом трения скольжения в движении. При этом сила трения скольжения в движении направлена противоположно относительной скорости скольжения.

Коэффициент трения скольжения в движении f несколько меньше коэффициента трения скольжения в покое /0. Он зависит не только от природы, состояния, степени обработки поверхностей трущихся тел, но и от относительной скорости этих тел. В большинстве случаев с увеличением скорости коэффициент трения скольжения в движении сначала несколько убывает, а затем сохраняет почти постоянное значение.

На основании вышеизложенного мы имеем теперь возможность решать задачи на равновесие тела или системы тел при наличии сил трения скольжения, если все активные силы, а также нормальные реакции и силы трения скольжения образуют произвольную плоскую систему сил.

При решении задач на равновесие с учетом сил трения скольжения следует иметь в виду все те общие указания, которые были сделаны в § 10 и 24.

Решая эти задали, обычно приходится рассматривать тот момент, когда тело находится на грани между покоем и скольжением, т. е. когда сила трения скольжения в покое достигает своего максимального значения Fmax=/OTV. Если задача решается аналитическим методом, то реакцию шероховатой связи изображают двумя составляющими ?V н Fmax・ Затем составляют обычные уравнения равновесия статики, подставляя в них вместо 尸^ах величины /0^. Решая полученные уравнения равновесия, находим искомые данной задачи.

Когда тело находится в положении критического равновесия, т. е. на грани между покоем и скольжением, то сила трения скольжения в покоеF~Fmax—/0Ar. В остальных положениях равновесия 尸К尸тах= =%N. Значит, эти положения равновесия можно найти, уменьшая в равенстве F~f0N статический коэффициент трения скольжения в покое /0. При А)=0 получим положение равновесия тела в случае, когда связь является абсолютно гладкой. G^eдoвaтeльнo, если в задаче требуется определить все возможные положения равновесия, то для ее решения также можно рассмотреть только критическое положение равновесия. Остальные положения равновесия найдутся, если в полученном решении уменьшать коэффициент трения скольжения в покое /0 до нуля.

Задачи на равновесие тел с учетом сил трения скольжения можно решать и графическим методом.

При графическом решении реакцию шероховатой связи удобнее изображать одной силой 7?, которая в критическом положении равновесия будет отклонена от нормали к поверхности, служащей связью, на уГол трения <р0. При этом в точках соприкосновения поверхностей двух трущихся тел строится угол трения 中°, и если линия действия равнодействующей силы всех внешних сил лежит внутри угла трения 中°, то рассматриваемое тело будет находиться в равновесии.

Задача 22. Тяжелая пластинка находится в покое на негладкой наклонной плоскости (рис. 87, а). Кроме силы веса Р，на пластинку действует горизонтальная сила 尸=甘 Определить угол наклона плоскости к горизонту, если коэффициент трения скольжения в покое равен /0.

Решение. Выбираем тело, равновесие которого будем рассматривать. Таким телом будет пластинка. Примем ее за материальную точку Л4. Эта точка несвободна. Связь, на нее наложенная, осуществляется шероховатой наклонной плоскостью. Отбрасываем связь и заменяем ее действие на точку Л4 реакциями. Тогда точку Л4 можно будет рассматривать как свободную и находящуюся в равновесии под действием плоской системы сходящихся сил: активных сил Р н F, нормальной реакции наклонной плоскости N и максимальной силы трения скольжения в покое Finax, соответствующей началу скольжения пластинки по наклонной плоскости. Ось х направим по наклонной плоскости, ось у —— перпендикулярно к ней.

Предположим, что угол а настолько велик, что точка Л4 стремится двигаться вниз по наклонной плоскости. В этом случае максимальная сила трения скольжения в покое Fmax будет направлена вверх по на* клонной плоскости (рис. 87, а). Составим в этом предположении уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил

£Х н 0; £У = 0.

Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую координатную ось (рис. 87, q) и приравняем к нулю полученные алгебра* ические суммы:

£Х =—尸max —尸 COS a 十 P sin a = 0;

£У =汽一尸 Sin a — p COS a = 0・

Так как

fmax = ЛЛ M尸=与，

то эти уравнения примут вид

N“ + cos a — P sin a = 0；

N g- sin a — P cos a = 0,

откуда находим

соответствующий максимуму угла а, при котором еще возможно равновесие точки Л4.

Предположим теперь, что угол а настолько мал, что точка М стремится двигаться вверх по наклонной плоскости. В этом случае максимальная сила трения скольжения в покое Е^ах переменив свое направление, т. е. будет направлена вниз по наклонной плоскости

(рис. 87, б). В этом предположении уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил, действующих на точку М, примут вид

EX = Nfgу cos а + Р sina = 0;

р

ЕУ = N^-sina — Р cos а = 0,

откуда получимоткуда получимtga =tga =]—3 /о3 + /о]—3 /о3 + /о

откуда получим

откуда получим

tga =

tga =

]—3 /о3 + /о

]—3 /о3 + /о

соответствующий минимуму угла а, при котором будет равновесие точки М.

Таким образом, точка Л4 будет находиться в равновесии в тех случаях, если tga содержится в пределах

Задача 23. Клин с углом заострения 2а нажимают с силой Q и загоняют в дерево (рис. 88, а). Определить силу, с которой дерево сопротивляется раскалыванию, а также силу F, необходимую для того, чтобы вытащить загнанный в дерево клин, если коэффициент трения между щеками клина и деревом /0=tg(p0, где 屮°——угол трения.

Решение. В данной задаче клин является тем телом, равновесие которого рассматривается. Стенки дерева, с которыми соприкасаются щеки клина, являются связями, наложенными на клин. Отбросим эти связи и заменим их действие на клин реакциями связей.

Предположим, что клин упирается в дерево в точках А п В. Тогда в точках Л и В будут действовать на щеки клина две нормальные силы реакции №力 и Nв^ а также две параллельные этим щекам силы трения скольжения 尸』иЕр, которые при забивании клина действуют вверх против его движения (рис. 88, а). Таким образом, на клин, рассматриваемый как свободное твердое тело, будет действовать произвольная плоская система сил Q, Na. Nв,尸力,Fв. Выбирая оси координат Ох и Оу, как показано на рис. 88, q, составим уравнения равновесия этой системы сил в форме

£Х = NА cos а ——Nв cos а + 尸в sin а ——FA sin а = 0;

£УNА sin а 十 Nв sin а 一卜 F^cosa 十尸cos а — Q = 0;

£% (E) =Na・OA — Nb・OB = G

Так как ОА=ОВ, то из третьего уравнения находим

以=壮，

Подставляя это и

尸人"。必h Fb =//b = /M

во второе уравнение, получим

2 NА (sin а + /0 cos а) = Q, откуда находим силу нормального давления на щеки клина, т. е. ту силу, с которой дерево сопротивляется раскалыванию:

N = N = - =2

4 в 2 (sin а 4~ /0 cos а) 2(sin а 4~ tgo0COSa) *

или окончательно

При вытаскивании силой F загнанного в дерево клина будем иметь расположение сил, приложенных к клину, как показано на рис. 88, б. В этом случае

eУ =尸+久［Sina + ^sina —尸厶 cos a — FB cos a = 0, но

Na = Nb； FA.^FB^fQNA^

поэтому модуль искомой силы F будет

尸=2 ^л (f0 cos a ——sin a) = 2 TV貝(tg^cosa — sin <),

или окончательноили окончательно2 дг sin(佻一а)4 COS Фо2 дг sin(佻一а)4 COS ФоЗадача 24. Прокатный стан состоит из двух валов диаметром d= =50 см, вращающихся в противоположные стороны; расстояние между валами Л=0,5 см (рис. 89). Показать, что для возможности захвата

или окончательно

или окончательно

2 дг sin(佻一а)

4 COS Фо

2 дг sin(佻一а)

4 COS Фо

прокатываемого листа углы ДО1О2 и ВО^Рг не должны превышать угла трения между валами и прокатываемым листом. Какой толщины b листы можно прокатывать на этом стане, если коэффициент трения для раскаленного железа и чугунных валов /=0,1?

Решение. Рассмотрим силы, действующие на прокатываемый лист со стороны валов в начальный момент соприкосновения его с валами. При захвате в точках Л и В развиваются направленные по радиусам валов нормальные реакции W/И Nв и направленные по касательным в точках А и В силы трения скольжения 戸а н Fp . Для возможности втягивания листа валами необходимо, чтобы равнодействующая этих сил была направлена в сторону движения листа (вправо). Иначе говоря, для этого необходимо, чтобы алгебраическая сумма

проекций всех сил трения скольжения и нормальных реакций валов на ось х (рис. 89) была положительным числом, т. е.

£Х； = FА cos а + 尸в cos а ——NА sin а ——NBsin а > 0,(1)

где знак равенства соответствует моменту, когда валы перестают затягивать лист.

В силу симметрии конструкции Na=Nв, а следовательно, F〃= ~FB=f^а* Поэтому неравенство (1) примет вид

2 /0 NА cos а — 2 7VAsin а》0,

илиилиtg«<f0 = tg 屮 °,

или

или

откуда

а《中о.

где 屮о— угол трения.

Найдем теперь необходимую ширину b листа. Из рис. 89 имеем

OiA =。2口 = -^- ; OQ2 = d + /i = b 十 d cos а,

откудаоткудаCOS аCOS аd + 九一b= dd + 九一b= d⑵⑵

откуда

откуда

COS а

COS а

d + 九一b

= d

d + 九一b

= d

⑵

⑵

Выразим cos а через tg a:

cos acos a1M 1 ：Flg2 匸1M 1 ：Flg2 匸

cos a

cos a

1

M 1 ：Flg2 匸

1

M 1 ：Flg2 匸

и заменим tgaa большей величиной /2, тогда будем иметь

1cos a./ 1 + /2

Подставляя в это неравенство значение cosa, определяемое формулой (2), получим d+九一匕1

'd 》—，

Отсюда определяем искомую ширину b листа:

b<d + h= 50 + 0,5—5°=0,75 см,

Н +产/不干仃

т. е.

b0,75 см.

Задача 25. На неподвижный цилиндр свободно наложены (рис. 90) два одинаковых однородных стержня АВ и AD длиной 2/ и весом 户 каждый. Стержни связаны друг с другом шарниром А. Определить радиус цилиндра г, если задан угол а=60° и коэффициент трения /0 между стержнями и поверхностью цилиндра.

Решение. На рассматриваемую сочлененную систему двух тел (стержни АВ и 4Q), соединенных между собой шарниром А, наложена внешняя связь, которая осуществляется посредством негладкой поверхности неподвижного цилиндра.

Отбросим эту связь и заменим ее действие на стержни АВ и AD нормальными силами реакций N* и N?，линии действия которых проходят через центр цилиндра О, и силами трения скольжения 冗 иТ2, направленными по касательным в точках L и £ (рис. 90, Q). Рассмотрим теперь критическое состояние равновесия сочлененной системы в целом как одного абсолютно твердого тела и составим для нее уравнение равновесия в форме

Для этого найдем алгебраическую сумму на сочлененную систему сил Л\, N^ 尸1,凡, тельно точки О, и приравняем ее к нулю:Для этого найдем алгебраическую сумму на сочлененную систему сил Л\, N^ 尸1,凡, тельно точки О, и приравняем ее к нулю:моментов, действующих Рь 戸2 = Qi=P относи-моментов, действующих Рь 戸2 = Qi=P относи-£%(耳)=Р (/cosa + rtg 击)一Q —Р« —厂 tg £ ) = 0. (1)£%(耳)=Р (/cosa + rtg 击)一Q —Р« —厂 tg £ ) = 0. (1)Расчленим по шарниру А сочлененную систему, приложив к каждому из тел в точке А внутренние Хд, Тл н 友％=—而，Гд=-Уд (рис. 90, б, б).Рассмотрев равновесие стержня АВ (рис. 90, б), некие£吗(£•) — Pl cos a — A\rtg； = 0,Расчленим по шарниру А сочлененную систему, приложив к каждому из тел в точке А внутренние Хд, Тл н 友％=—而，Гд=-Уд (рис. 90, б, б).Рассмотрев равновесие стержня АВ (рис. 90, б), некие£吗(£•) — Pl cos a — A\rtg； = 0,соответственно силы реакцийполучим урав-' (2)соответственно силы реакцийполучим урав-' (2)а рассмотрев равновесие стержня AD (рис. 90, в),— уравнениеEm'E) = М厂 tg £ —PN = 0.(3)Подставляя в уравнения равновесия (1), (2) и (3) значенияa == 60°； F工=fqN 工;尸2 = /o“2，а рассмотрев равновесие стержня AD (рис. 90, в),— уравнениеEm'E) = М厂 tg £ —PN = 0.(3)Подставляя в уравнения равновесия (1), (2) и (3) значенияa == 60°； F工=fqN 工;尸2 = /o“2，

Для этого найдем алгебраическую сумму на сочлененную систему сил Л\, N^ 尸1,凡, тельно точки О, и приравняем ее к нулю:

Для этого найдем алгебраическую сумму на сочлененную систему сил Л\, N^ 尸1,凡, тельно точки О, и приравняем ее к нулю:

моментов, действующих Рь 戸2 = Qi=P относи-

моментов, действующих Рь 戸2 = Qi=P относи-

£%(耳)=Р (/cosa + rtg 击)一Q —Р« —厂 tg £ ) = 0. (1)

£%(耳)=Р (/cosa + rtg 击)一Q —Р« —厂 tg £ ) = 0. (1)

Расчленим по шарниру А сочлененную систему, приложив к каждому из тел в точке А внутренние Хд, Тл н 友％=—而，Гд=-Уд (рис. 90, б, б).

Рассмотрев равновесие стержня АВ (рис. 90, б), некие

£吗(£•) — Pl cos a — A\rtg； = 0,

Расчленим по шарниру А сочлененную систему, приложив к каждому из тел в точке А внутренние Хд, Тл н 友％=—而，Гд=-Уд (рис. 90, б, б).

Рассмотрев равновесие стержня АВ (рис. 90, б), некие

£吗(£•) — Pl cos a — A\rtg； = 0,

соответственно силы реакций

получим урав-

' (2)

соответственно силы реакций

получим урав-

' (2)

а рассмотрев равновесие стержня AD (рис. 90, в),— уравнение

Em'E) = М厂 tg £ —PN = 0.(3)

Подставляя в уравнения равновесия (1), (2) и (3) значения

a == 60°； F工=fqN 工;尸2 = /o“2，

а рассмотрев равновесие стержня AD (рис. 90, в),— уравнение

Em'E) = М厂 tg £ —PN = 0.(3)

Подставляя в уравнения равновесия (1), (2) и (3) значения

a == 60°； F工=fqN 工;尸2 = /o“2，

получимполучим学 + 言+ 后=°；学 + 言+ 后=°；

получим

получим

学 + 言+ 后=°；

学 + 言+ 后=°；

学一警=。;

^——Р/ = 0./3-

Из второго и третьего уравнений находим

簡 Pl“М=—^— ； М簡 Pl“М=—^— ； М

簡 Pl“

М=—^— ； М

簡 Pl“

М=—^— ； М

Подставляя эти значения в первое уравнение, найдем искомый ра- ■Диус цилиндра

一 У；+9% /

г =4

§ 27. ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ

Сопротивление,Сопротивление,возникающее при качении одного тела по поверх

Сопротивление,

Сопротивление,

ности другого, называется трением качения. Предположим, что негладкий цилиндр

Рис. 91Рис. 91опирается на негладкую горизонтальную плоскость. Если этот цилиндр находится только под действием своего веса Р, то деформации цилиндра и опорной плоскости, которая служит связью, будут симметричными относительно линии действия силы Р (рис. 91). В этом случае реакции связи, распределенные по площадке контакта цилиндра с этой связью, приводятся к одной равнодействующей силе W, рав-

Рис. 91

Рис. 91

ной по модулю и противополож

ной по направлению силе Р. При этом цилиндр будет находиться в состоянии относительного покоя, так как сила тяжести Р уравно

вешивается нормальной реакцией

Приложим теперь к цилиндру в точке О силу Q под углом к горизонту (рис. 92, а) и будем постепенно увеличивать ее модуль, начиная с Q=0. Опыт показывает, что цилиндр сохраняет состояние относительного покоя до тех пор, пока модуль силы Q не достигнет некоторого максимального значения Qmax，зависящего от природы и свойств

10 Н. Ф. Сахарный

данной пары соприкасающихся поверхностей. При дальнейшем увеличении модуля силы Q начнется качение цилиндра по связи.

При действии на цилиндр силы Q деформации цилиндра и связи не будут уже симметричны относительно линии действия силы А Иначе говоря, сила Q обусловливает несимметричное распределение сил реакций связи на площадке контакта ее с цилиндром. Поэтому равнодействующая Rb всех этих сил реакций сместится в сторону

Рис. 92Рис. 92

Рис. 92

Рис. 92

возможного движения цилиндра (рис. 92, а) и будет приложена в точке В. Реакция связи Rb при этом уравновешивает две активные силы и линия ее действия проходит через точку О.

Разложим реакцию Rb на горизонтальную F и вертикальную N составляющие (рис. 92, б) и составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил Р, Q, W н F, действующих на цилиндр, в форме

EX = Q cos а -—尸 н 0；)

£У = Qsin —Р + %=0;(1)

S^(F;j = — Qr cos а + Nd = 0,

где г — радиус цилиндра, a d — расстояние, на которое смещается в сторону возможного движения цилиндра нормальная составляющая N реакции связи. *

Первое и второе уравнения (1) дают модуль силы трения скольжения 歹 препятствующий скольжению цилиндра по связи, и модуль нормальной реакции N связи. Третье же уравнение, если его записать в виде

Nd = Q г cos а или

т = Qr cos а,

выражает собой равенство между так называемым моментом трения качения 加,препятствующим качению цилиндра по связи, и вращающим моментом.

Пользуясь теоремой о параллельном переносе силы (см. § 17), можно силу N перенести параллельно самой себе в точку А (рис. 93), приложив при этом к цилиндру пару с моментом, равным моменту трения качения m=Nd. Тогда результат, полученный на рис. 92, 6, можно условно изобразить в виде рис. 93. Такое изображение удобно применять при решении задач, так как при этом нет никакой необходимости изображать на чертеже деформацию тел в месте их соприкосновения.

Для простоты предположим, что а=0 (рис. 94), тогда

т = Nd = rQ;尸=Q; N = P.

Как показывает опыт, с увеличением модуля силы Q смещение d также растет, но оно не может превзойти некоторого максимального значения о, вполне определенного для данной пары сопри касающихся поверхностей и данной величины нормального давления цилиндра на связь dW6.

При этом, очевидно, будет иметь место неравенство

Ш = dN《Штак = 6М

где 6 называется коэффициентом трения качения, 10*

Таким образом, условие отсутствия качения цилиндра по связи будет иметь вид

откуда

Для случая критического (пускового) момента равновесия цилиндра

Qmax = ； М

Этой формулой можно пользоваться и для определения модуля горизонтальной силы Q, при которой начнется качение цилиндра по связи.

Нужно иметь в виду, что, вообще говоря, цилиндр может не только совершать качение по связи, но и скользить по ней.

Условие отсутствия скольжения цилиндра по связи имеет вид

Q = F&M = f№

где /0—• коэффициент трения скольжения в покое.

Таким образом, если одновременно выполнены условия

QW%N и Q《；M

то не произойдет ни скольжения, ни качения цилиндра по связи.

Если

Q》；M но QVAA，

то цилиндр будет совершать только качение по связи.

Если

Q>fM но Q* N,

то цилиндр будет только скользить по связи.

Если

Q》；N и Q > f0^(

то возможно как качение, так и скольжение цилиндра по связи.

Коэффициент трения качения S определяется опытным путем и зависит от природы и свойств данной пары соприкасающихся поверхностей (цилиндра и опорной плоскости, которая служит связью). Величина коэффициента трения качения 6 будет тем меньше, чем тверже цилиндр и связь, т. е. чем меньше их деформация. Коэффициент трения качения 6 измеряется в единицах длины — в сантиметрах (см) или миллиметрах (мм).

Сила, требуемая для преодоления трения качения, обычно меньше, чем для преодоления трения скольжения, что видно из сравнения равенств

Qmax = /% Н Qmax = М

так как отношение - для большинства ма териалов значительно меньше статического коэффициента трения /0. Поэтому в современной технике стремятся заменить скольжение качением. Примером может служить замена гладких подшипников шариковыми или роликовыми и т. п.

Задача 26. Определить наименьший угол а наклона плоскости к горизонту, при котором ролик радиуса г=5 см начнет скатываться по плоскости, если коэффициент трения качения 8=0,05 см. Проверить, возникает ли при этом сила трения скольжения, достаточная для осуществления качения ролика без скольжения, если коэффициент трения скольжения /о=0,08 (рис. 95).

Решение. По условию задачи нам необходимо рассмотреть

критический (пусковой) момент равновесия ролика, когда момент трения качения т принимает максимальное значение, т. е. 小广公必

Отбрасывая связь, заменим ее действие на ролик силами реакции. При этомна ролик, как на свободное твердое тело, будут действовать вес ролика Р, нормальная реакция N наклонной плоскости, которая служит связью, сила трения скольжения 尸,а также момент трения качения т. Рассматривая критическое состояние равновесия ролика под действием этих нагрузок, составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил в форме

£Х=0; £У = 0; £加〃(戸0=0.

В данном случае эти уравнения равновесия будут иметь вид

£Х = —F + Psina = 0;

2y = ^ — Р cos а — 0;

ИтА^Р^ н ——Pr sin а + /Птах ^ 0.

Учитывая, что /nmaI=W, из второго уравнения получим 血max = ^N = 6Р COS а.

Тогда третье уравнение примет вид

—Р г sin а + 6 Р cos а = 0,

откуда

j 60,05 п П1

tg а =—=乎一=0,01,

следовательно, а — arctg0,01 = 0°35'・

Из первого уравнения имеем

F = Psin а = Р tg а cos а = 0,01 Р cos а,

в то время как максимальная сила трения скольжения 尸так = /% = /дР cos а = 0,08 Р cos а.

Отсюда видим, что условие F<Fmax соблюдается, а поэтому ролик начнет катиться по наклонной плоскости без скольжения.

Глава VI

ГРАФИЧЕСКАЯ СТАТИКА И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПЛОСКИХФЕРМ

§ 28. ПРЕДМЕТ ГРАФОСТАТИКИ

Отдел статики, в котором излагаются графические методы решения статических задач, называется графической статикой или графостатикой. Графические методы решения статических задач преимущественно развиты для плоских систем сил. Хотя эти методы являются

менее точными, чем аналитические, однако они позволяют получить результаты более быстрым и наглядным путем. Точность результата, полученного при графическом решении статической задачи, зависит от точности чертежа. При тщательном его выполнении эта точность обычно бывает достаточной для многих инженерных расчетов.

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ

В этом параграфе рассмотрим следующие три случая приведения произвольной плоской системы сил к простейшему виду.

Случай, когда силовой и веревочный многоугольники являются разомкнутыми. В § 4 было установлено, что равнодействующая сила плоской системы сходящихся сил вполне определяется построением силового многоугольника.

Если же требуется найти равнодействующую произвольной плоской системы сил, то построением только силового многоугольника определяется лишь модуль и направление ра в нодействующей, но линия ее действия при этом остается неопределенной. Оказывается, линию действия равнодействующей в этом случае можно определить построением так называемого веревочного многоугольника.

Пусть на твердое тело действует произвольная плоская система трех сил 尸工，F2, F3 (рис. 96, а). Построим из этих сил в выбранном масштабе силовой многоугольник abed (рис. 96, б). При этом силы & /% н 尸з в силовом многоугольнике обозначим цифрами (номерами)

/, 2 н 3. Замыкающая сторона ad этого разомкнутого* силового многоугольника определяет модуль и направление ра в нодействующей силы /? данной системы сил 尸工，尸2，尸з・ Однако для полного определения равнодействующей рассматриваемой системы сил необходимо еще знать и положение какой-нибудь одной из точек, через которую проходит линия действия этой равнодействующей. Для этой цели построим веревочный многоугольник.

Выберем в плоскости силового многоугольника (рис. 96, б) произвольную точку О, которую назовем полюсом**, и соединим ее с вершинами силового многоугольника лучами Оа, ОЬ, Ос и Od・ При этом первый и последний лучи обозначим соответственно первой и последней буквами греческого алфавита а и ш, а промежуточные лучи пронумеруем цифрами 12 и 23***. Проведением лучей On, ОЬ, Ос и Od мы разложили каждую из сил 尸工，F2 и F3 на две сходящиеся составляющие силы:

戸］=而 + 而 F2^bd+Oc;戸3 = 迈 + 況・ (1)

Теперь возьмем вблизи от линии действия силы 尸工 произвольную точку М. (рис. 96, а) и проведем из нее прямую, параллельную первому лучу а, до пересечения ее с линией действия первой силы 尸工 в точке А. Из точки А проведем прямую, параллельную лучу /2, до пересечения ее с линией действия второй силы F2 в точке В и т. д. Построенная таким путем ломаная MABCN, стороны которой параллельны лучам, проведенным из полюса О в вершины силового многоугольника, называется веревочным многоугольником. Это название объясняется тем, что веревка, закрепленная своими концами в точках М и N п натянутая приложенными к ней в точках А, В и С силами 尸工，F2 и F3, при равновесии принимает форму ломаной MABCN. В рассматриваемом случае веревочный многоугольник оказался разомкнутым * * * *.

Теперь докажем, что данная произвольная плоская система сил 尸工，尸2,尸з приводится к системе двух сходящихся сил аО и Od, направленных по крайним сторонам МА и CN веревочного многоугольника. В самом деле, заменим силы 尸工，F2, F3силами аО и ОЬ, ЬО и Ос, сО и Od, приложив их соответственно в точках А, В, С (рис. 96, а). При этом взаимно уравновешенные силы ОЬ, ЬО и Ос, сО можно отбросить. В результате данная система сил 尸工，耳 F3 действительно оказывается

* Силовой многоугольник будет замкнут, если конец последней силы совпадает с началом первой.

** При этом полюс не должен находиться на сторонах силового многоугольника или на их продолжениях.

*** Эти цифры указывают номера сил, сходящихся в вершине, куда проведен соответствующий луч.

**** Если бы веревочный многоугольник оказался замкнутым, то в нем крайние стороны (в нашем случае МА и CN) были бы направлены по одной прямой

Глава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм 137 эквивалентной системе двух сходящихся сил аО(а) и Od(w), направленных по крайним сторонам МА и CN веревочного многоугольника. Следовательно, продолжив крайние стороны МА и NC веревочного многоугольника до их пересечения, получим точку К, через_^оторую проходит линия действия равнодействующей R сил аО и Od (а значит, и сил 尸工,F2 и 尸з)・ Остается провести через точку К прямую, параллельную замыкающей стороне ad силового многоугольника. Эта прямая и является линией действия равнодействующей R данной произвольной плоской системы сил 尸I，尸2,尸з・

Метод графического определения модуля, направления и линии действия равнодействующей произвольной плоской системы сил, доказанный нами для случая трех сил, применим, очевидно, и к произвольной плоской системе с любым числом сил. Этот метод применим также и к плоской системе параллельных сил, направленных как в одну, так и в разные стороны (рис. 97).

Таким образом, в случае когда силовой и веревочный многоугольники, построенные для произвольной плоской системы сил, являются разомкнутыми, то эта система сил приводится к равнодействующей. Модуль и направление этой равнодействующей определяются замыкающей стороной силового многоугольника, а ее линия действия проходит через точку пересечения крайних сторон веревочного многоугольника и параллельна замыкающей стороне силового многоугольника.

Случай, когда силовой многоугольник является замкнутым, а веревочный разомкнутым. Если силовой многоугольник, построенный для данной плоской системы сил, замкнут, а веревочный многоугольник разомкнут, то эта система сил приводится к паре сил.

9 Н. Ф, Сахарный

В самом деле, пусть требуется привести к простейшему виду три силы F(冗,и F&, изображенные на рис. 98, а.

Рис. 98

Построив для данных сил силовой многоугольник (рис. 98,6), мы видим, что он является замкнутым. При этом лучи аО (или а) и Od (или о)) сливаются. Вследствие этого крайние стороны МА и CN веревочного многоугольника будут параллельны между собой (рис. 98, а). Эти стороны не располагаются вдоль одной прямой, и веревочный многоугольник, следовательно, является разомкнутым.

Используя метод, который был уже нами применен в пункте первом этого параграфа, можно данную систему сил 尸工，&, F3привести к двум силам аО и Оа (так как Od=Oa), равным по модулю и направленным вдоль параллельных прямых 〃％ и CN в противоположные стороны (рис. 98, а). Отсюда следует, что заданная система сил 尸工, F?, F3 действительно приводится к паре сил (аО , Оа)・ Момент этой пары равен aO.fi, где Л —— плечо пары, п ред ста вл яющее собой кратчайшее расстояние между крайними сторонами веревочного многоугольника. При этом следует иметь в виду, что модуль аО силы аО измеряется в масштабе сил, который был выбран при построении силового многоугольника, а плечо пары измеряется в масштабе длин, который был выбран при изображении рис. 98, а.

Случай, когда силовой и веревочный многоугольники являются замкнутыми. Пусть силовой и веревочный многоугольники, построенные для заданных сил 尸工，尸2 и F3, замкнулись (рис. 99, а, б).

В этом случае заданная система сил Fv 尸2,尸з, очевидно, приводится к двум силам аО и Оа, равным по модулю и направленным вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 99, а).

Отсюда следует, что силы аО и Оа, а значит, и силы заданной системы сил F], F2, F3 взаимно уравновешиваются.

Рис. 99Рис. 99

Рис. 99

Рис. 99

Таким образом, графические условия равновесия произвольной плоской системы сил можно сформулировать так: для равновесия произвольной плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы силовой и веревочный многоугольники, построенные для этих сил, были замкнутыми.

§ 30. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ

Так же как и аналитический метод, графический метод определения опорных реакций фермы (или балки), имеющей одну подвижную

и одну неподвижную шарнирные опоры, основан на предположении, что под действием приложенных к ферме активных сил и опорных реакций ферма находится в равновесии. При этом графический метод определения опорных реакций состоит в применении графических условий равновесия произвольной плоской системы сил.

Найдем графическим методом реакции опор I и II фермы, показанной на рис. 100, а. Сначала, выбрав соответствующий масштаб длин, изобразим на чертеже эту ферму и приложенные к ней активные силы 储 и Г2. Обозначим реакцию опоры II через7?3, а опоры I — через 冗.

с*

Теперь, выбрав масштаб для изображения сил, строим из действующих на ферму сил силовой многоугольник, начиная с сил /, 2 (рис. 100, б). Мы видим, что построение силового многоугольника обрывается изображением направления силы /?з，так как модуль /?3 силы R3 нам не известен (не известна точка d). Нам известно только, что конец силы R& будет в точке а, потому что силовой многоугольник при равновесии должен быть замкнут.

Для дальнейшего решения задачи, выбрав полюс О, проводим лучи /2, 23, 41. Направление луча 34 нам неизвестно, так как неизвестно положение вершины d силового многоугольника. Чтобы найти этот луч, строим веревочный многоугольник (рис. 100, а). Направление

Рис. 101Рис. 101

Рис. 101

Рис. 101

линии действия силы R& мы не знаем, но одна точка, принадлежащая этой линии действия,— точка А ——известна. Поэтому построение веревочного многоугольника нужно начинать с построения стороны 4/, проведя ее из точки А до пересечения с линией действия силы 瓦. Далее строим стороны 12 и 23 веревочного многоугольника. Согласно графическим условиям равновесия веревочный многоугольник должен быть замкнутым. Поэтому для построения его стороны 34 следует, очевидно, соединить точку D с А. Теперь можно найти и направление луча 34 на фигуре силового многоугольника. Для этого необходимо из полюса О провести прямую, параллельную стороне DA веревочного многоугольника, до пересечения в точке d (рис. 100, б) с прямой, проведенной через точку с параллельно силе 3 (или /?з). В результате вектор Cd будет изображать в выбранном масштабе искомую силу Кз・ Так как согласно графическим условиям равновесия силовой многоугольник также должен быть замкнутым, то, соединив конец d вектора 3 (или /?3) с началом вектора / (или FJ, получим вектор da, изображающий в выбранном масштабе искомую силу &. За-

дача решена, так как обе искомые опорные реакции 7?3 и R《определены.

Пример графического определения опорных реакций в случае плоской системы параллельных сил показан на рис. 101.

§ 31. ПОНЯТИЕ О ФЕРМЕ

Фермы применяются при постройке мостов, подъемных кранов, зданий, мачт, самолетов и других сооружений.

В теоретической механике под фермой понимают жесткую решетчатую конструкцию, состоящую из прямолинейных невесомых стержней, соединенных по концам идеальными (лишенными трения) шарнирами. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все активные силы к ферме прикладываются только к узлам. Если оси всех стержней фермы и линий действия всех приложенных к ее узлам сил лежат в одной плоскости, то ферма называется плоской, В нашем курсе будем рассматривать методы расчета только плоских ферм. Так как все заданные силы приложены в узлах фермы и трения в шарнирах нет, то каждый прямолинейный невесомый стержень фермы будет находиться под действием только двух сил, приложенных к его концам. Но при равновесии стержня под действием только двух сил эти силы должны быть равны по модулю и направлены вдоль стержня в противоположные стороны. А это значит, что каждый стержень фермы будет испытывать только сжатие или растяжение.

Данное нами определение фермы является идеализированным. Однако оно позволяет произвести расчет реальных ферм, которые встречаются на практике, наиболее простым способом и получить результаты, достаточно близкие к действительности. В реальной ферме стержни, конечно, обладают весом и соединяются между собой не шарнирно, а наглухо, при помощи сварки или заклепок. Вследствие этого стержни реальной фермы будут еще и изгибаться под действием собственного веса. Но так как вес каждого стержня реальной фермы обычно является незначительным по сравнению с силами, приложенными в ее узлах, то для простоты расчета им можно пренебречь. Считая при этом ферму состоящей из прямолинейных стержней, соединенных между собой при помощи идеальных (лишенных трения) шарниров, мы приходим к заключению, что каждый стержень будет испытывать сжатие или растяжение и не будет подвергаться изгибу.

Не всякое шарнирное соединение стержней является фермой. Ферма представляет собой жесткую, или неизменяемую, стержне

вую систему: вследствие наличия стержней узлы фермы под действием приложенных к ним сил не могут изменять своего взаимного положения. Чтобы получить простейшую ферму, достаточно соединить

Рис. 102Рис. 102

Рис. 102

Рис. 102

шарнирами три стержня (рис. 102, а). Если соединить шарнирами четыре стержня, то мы получим не ферму, а механизм (рис. 102, б), в котором под действием приложенных к узлам сил стержни будут

Рис. 104Рис. 104

Рис. 104

Рис. 104

иметь относительные перемещения. Чтобы сделать это шарнирное соединение стержней фермой, достаточно перетянуть его по одной диагонали стержнем (рис. 102, в). На рис. 103 показана плоская ферма,

состоящая из нескольких стержневых треугольников с шарнирными соединениями в вершинах.

Если при снятии хотя бы одного стержня ферма теряет свойства жесткости, то про такую ферму говорят, что она не имеет лишних стержней. Примером фермы без лишних стержней является треугольная ферма (рис. 102, а) или построенная из стержневых треугольников плоская ферма (рис. 102, в и 103). Если же при снятии одного или

нескольких стержней ферма не теряет свойства жесткости, то про такую ферму говорят, что она имеет лишние стержни. Простейшим примером фермы с лишними стержнями является перетянутая двумя диагоналями четырехугольная ферма (рис. 104). Если от этой фермы отнять стержень, направленный по диагонали, то она останется жесткой

(рис. 102, в). Следовательно, второй стержень, направленный по диагонали, с точки зрения обеспечения жесткости является лишним.

В плоской ферме без лишних стержней, образованной из стержневых треугольников, имеет место следующая зависимость между числом стержней k и числом узлов 九：

⑴⑴月=2九——3.

⑴

⑴

В самом деле, в треугольной ферме имеем три узла и три стержня (например, на рис. 103 стержневой треугольник имеет три узла /, II и Ill и три стержня /, 2 и 3). Присоединение каждого следующего узла потребует два стержня (например, на рис. 103 узел IV присоединен двумя стержнями 4 и 5). Следовательно, для получения всех остальных (九一3) узлов потребуется 2 (л—3) стержней. В результате число стержней рассматриваемой фермы 良=3牟2(儿一3)==2n——3. Это равенство как раз и выражает искомую зависимость между числом стержней и числом узлов плоской фермы без лишних стержней.

Если fe<2n——3, то система шарнирно сочлененных концами стержней будет изменяемой стержневой системой и, следовательно, не является фермой (рис. 102, 6). В этом случае конструкция получает подвижность, становится механизмом. Если же fe>2n——3, то ферма имеет лишние стержни (рис. 104), удаление которых не нарушает жесткости фермы (рис. 102, в). Такие фермы пригодны для сооружений, так как лишние стержни практически не являются вредными, наоборот, они улучшают прочность фермы. Однако расчет таких ферм не может быть выполнен методами статики твердого тела. Поэтому мы будем рассматривать плоские фермы без лишних стержней, т. е. те, которые точно удовлетворяют условию (1).

Произвести расчет фермы — это значит определить реакции опор фермы и усилия в ее стержнях, возникающие под действием приложенных к узлам фермы сил*^*.

Каждый стержень своими концами входит в два узла. Если под влиянием действия на него со стороны узлов сил Fr и FJ стержень растягивается (рис. 105, а), то его реакции на узлы (S】,S\) будут направлены от узлов к середине стержня. Если же под влиянием действующих на стержень со стороны узлов сил F2 и F； стержень сжимается (рис. 105, б), то его реакции на узлы (S2, S^) будут направлены от середины стержня к узлам. Следовательно, зная направление реакций стержня, можно определить, будет ли он растянут или сжат. При

этом необходимо обратить внимание на то, что реакции каждого стержня, приложенные к узлам, которые этот стержень соединяет, равны между собой по модулю « противоположны по направлению (Si=―5/, S7=—S/). Эти реакции по модулю равны, очевидно, искомым усилиям

в стержнях.

Так как ферма представляет собой неизменяемую систему, то число неизвестных опорных реакций в ней не должно быть более трех.

Поэтому ферму устанавливают

Рис. 105Рис. 105на две опоры, из которых одна должна быть неподвижная, а другая — установлена на катках. Но, кроме трех неизвестных опорных реакций, требуется еще определить усилие для каждого из k стержней фермы. Всего, таким образом, мы имеем 尼十3 неизвестных. Посмотрим теперь, сколько же можно составить независимых

Рис. 105

Рис. 105

уравнений равновесия для

определения этих неизвестных. Для этого мысленно вырежем какой-нибудь узел фермы, изображенной на рис. 106, а, например узел /V, н рассмотрим этот узел в отдельности (рис. 106, б). К узлу IV приложены данная сила F и реак

ции Slr S3 и S4 стержней /, 3 и 4, соединяющихся в этом узле. При этом реакции S】，S3 и S4 направлены вдоль перерезанных стержней /,

3 н 4 н по модулю равны искомым усилиям в этих стержнях. Приложенная к узлу /V система сил Sn S3, S4, F представляет собой уравновешенную плоскую систему сходящихся сил. Поэтому будем иметь для этого узла два уравнения равновесия (в форме £Х==0, £У=0). Точно так же можно поступить и по отношению к каждому из остальных узлов фермы. Таким образом, получим для фермы с л узлами 2л независимых уравнений равновесия.

Для того чтобы рассматриваемая задача была статически определимой, число неизвестных должно равняться числу независимых уравнений равновесия, т. е.尼上3=2〃, или k~2n——3. Но это равенство, как мы уже знаем, имеет место для фермы без лишних стержней. Отсюда следует, что ферма без лишних стержней является статически определимой.

Отметим, что условие статической определимости фермы 力=2儿一3,

являющееся 6 то же время и условием жесткости, или неизменяемости

Рис. 107Рис. 107фермы, должно, конечно, соблюдаться как для всей фермы в целом, так и для отдельных ее частей. Это условие является необходимым, но, вообще говоря, не будет достаточные. Может случиться, что стержни будут распределены так, что некоторые части фермы будут

Рис. 107

Рис. 107

иметь лишние стержни, а другие не будут иметь достаточного чис- ' ла стержней для сохранения жесткости фермы. Так, например, для фермы, изображенной на рис. 107, условие статической определимости будет соблюдено, но, как нетрудно видеть, такое соединение стержней не будет фермой (средний квадрат).

Для определения усилий в стержнях статически определимых ферм существует ряд способов (как графических, так и аналитических). В этой главе мы рассмотрим следующие способы определения усилий в стержнях статически определимых ферм: способ вырезания узлов, способ Максвелла — Кремоны и способ разрезов фермы.

§ 32. СПОСОБ ВЫРЕЗАНИЯ УЗЛОВ

Поскольку под действием активных сил и опорных реакций ферма в целом находится в равновесии, то в равновесии должен находиться и каждый мысленно вырезанный ее узел. В число сил, приложенных к вырезанному узлу, входят реакции перерезанных стержней, равные по модулю искомым усилиям в этих стержнях, а также заданные силы

и опорные реакции. Так как силы, приложенные к вырезанному узлу, уравновешиваются, то построенный из этих сил силовой многоугольник является замкнутым. Построив замкнутые силовые многоугольники для каждого вырезанного узла фермы, можно графически определить усилия во всех стержнях этой фермы. Эта задача может решаться и аналитически — путем составления и решения уравнений равновесия для сил, приложенных к каждому вырезанному узлу фермы. Обычно при пользовании способом вырезания узлов решают зада

чу графически, так как такое решение проще, нагляднее и скорее приводит к цели. При этом первым нужно вырезать тот узел, в котором соединяются только два стержня. Обычно такими бывают узлы на опорах. Затем уже нужно переходить к следующим узлам, следя за тем, чтобы в очередном узле было не более двух стержней с неизвестными еще реакциями.

В качестве примера используём способ вырезания узлов к ферме, изображенной на рис. 108, а. Эта ферма имеет одну неподвижную шарнирную опору / и одну подвижную опору //. К ферме приложена одна активная вертикальная сила 尸i=2F. Требуется графически, способом вырезания узлов, определить усилия в стержнях этой фермы. В этой

ферме число узлов л=4, а число стержней 々=5. Следовательно, соотношение k—2n—3 выполняется, и ферма является статически определимой, без лишних стержней.

Прежде чем приступить к определению усилий в стержнях фермы по способу вырезания узлов, определяют сначала опорные реакции. Это можно сделать или аналитически из трех уравнений равновесия, в которые, кроме заданных сил, войдут и опорные реакции, или графически —построением замкнутых силового и веревочного многоугольников. В данном случае горизонтальная составляющая реакции в неподвижной опоре равна, понятно, нулю. Что касается вертикальных реакций этого шарнира и подвижной опоры, то вследствие полной симметрии эти реакции, очевидно, равны между собой, и, следовательно, каждая из них равна по модулю ~|■尸^нли 尸.Обозначим эти реакции через N и М (рис. 108, 6).

Определив опорные реакции, переходим к вырезанию узлов. Вырежем сначала узел /. К этому узлу приложены три силы: известная опорная реакция Л\=—尸 и две реакции S^ и 5纟 перерезанных стержней / и 2. Рассматривая эти силы как находящиеся в равновесии, строим для них замкнутый силовой треугольник (рис. 108, 8). Для этого выбираем определенный масштаб сил и в этом масштабе из произвольно выбранной точки проводим вектор, изображающий известную силу N*. Из концов этого вектора проводим прямые, параллельные стержням / и 2, до их пересечения. Точка пересечения этих прямых определяет третью вершину силового треугольника, а длины его сторон определяют модули Si и S2 реакций S^ и S2 стержней / и 2, равные искомым усилиям в этих стержнях (рис. 108, в). Так как направление силы N» нам известно, то, обходя треугольник по периметру в направлении силы N、расставим в нем стрелки и определим тем самым направление искомых реакций S】и S2. Если мысленно перенести векторы S】 и S2 на стержни / и 2, сходящиеся в узле /, то мы заметим, что реакция 邑 направлена по стержню / к этому узлу, следовательно, стержень / сжат; реакция же52 направлена по стержню 2 от узла, следовательно, стержень 2 растянут. Обычно принято растягивающим усилиям условно приписывать знак «плюс», а сжимающим — знак «минус».

После узла / вырежем узел ///*. В этом узле сходятся стержни 3 н 5, реакции в которых еще неизвестны, и стержень 2, реакция которого уже найдена. Строим для этих трех сходящихся сил замкнутый силовой треугольник в том же масштабе (рис. 108, г). Построение это-

го силового треугольника нужно начинать с построения известных сил. При этом необходимо обратить внимание на то, что реакция 5〉 стержня 2, приложенная к узлу Ill, очевидно, равна по модулю и направлена противоположно реакции S2 этого же стержня, приложен” ной к узлу /, т. e.S；=——S2. Чтобы построить теперь силовой треугольник для узла ///, проводим из произвольной точки вектор, изображающий известную силу S2\ далее из начала и конца вектора S?'проводим прямые, параллельные стержням 5 и 3, до их пересечения. Длины сторон полученного замкнутого силового треугольника, параллельных стержням 3 и 5, определяют модули искомых усилий S3 и S5 в этих стержнях. Обходя этот силовой треугольник по его периметру в направлении известной силы52л, находим направление сил S3h S5. Так как вектор S3, как видим из чертежа, направлен к узлу III (если мысленно перенести этот вектор на стержень 3), то отсюда заключаем, что стержень 3 сжат. Вектор S^ направлен от узла ///, следовательно, стержень 5 растянут.

Остается рассмотреть узел //, в котором уравновешиваются известная опорная реакция А^=——尸，известная реакция S^———S5 стержня 5 и неизвестная еще реакция S《стержня 4. Строим для этих трех сходящихся сил замкнутый силовой треугольник (рис. 108, d) в том же масштабе и по тем же правилам, что и ранее. Так как вектор S《, как видим из чертежа, направлен от узла II (если мысленно перенести этот вектор на стержень 4), то отсюда заключаем, что стержень 4 сжат. Вектор S' =——S5 направлен от узла //, следовательно, стержень 5 растянут. Построением этих силовых треугольников заканчивается определение усилий во всех стержнях данной фермы.

К последнему узлу IV приложена заданная сила 尸】и уже найденные реакции S/=—乱，$з'=—S3 и S/=—S& стержней /, 3 и 4. Все же рекомендуется в целях контроля строить силовой треугольник и для последнего узла. При правильности произведенных ранее построений этот силовой треугольник, построенный для известных уже сил, должен получаться замкнутым.

§33. СПОСОБ МАКСВЕЛЛА—КРЕМОНЫ

Примененный нами способ вырезания узлов фермы для графического определения усилий в ее стержнях, несмотря на всю его теоретическую простоту, обладает и существенными недостатками. Если число узлов фермы достаточно велико (а оно на практике может быть порядка десяти -двадцати), то при пользовании этим способом нам приходится строить большое количество замкнутых силовых треугольников (или многоугольников). При этом построение усилий нам приходится повторять дважды для каждого стержня, так как все стержни

фермы входят своими концами в два узла. Это обстоятельство способствует накоплению чертежных ошибок, и, кроме того, по крайней мере половина проделанной при этом работы будет лишней.

Способ Максвелла——Кремоны сводится к построению единой диаграммы, дающей возможность графически определить усилия во всех стержнях фермы, причем усилие в каждом из них строится только один раз.

При построении диаграммы Максвелла—Кремоны нужно строго придерживаться определенных правил. Эти правила рассмотрим на примере построения диаграммы для симметричной фермы, изображенной на рис. 108, а.

Прежде чем приступить к построению диаграммы Максвелла— Кремоны, определяют сначала опорные реакции графическим или аналитическим методом. Для рассматриваемой фермы, на которую действует одна вертикальная сила 尸】=2尸,опорные реакции определяются устно (N尸Nf*=F), о чем уже подробно говорилось в § 32. Условимся изображать действующие на ферму заданные силы « опорные реакции так, чтобы все они проходили вне контура фермы. Например, сила F* изображена в рассматриваемом примере так, что в узле IV находится конец вектора 尸工,а не начало его.

Области, заключенные между линиями действия внешних сил (т. е. заданных сил и опорных реакций) и внешним контуром фермы, называют внешними областями. Области же, расположенные внутри фермы и ограниченные ее стержнями, называют внутренними областями. Внешние и внутренние области будем обозначать большими буквами. В рассматриваемом примере имеем три внешние области А, В, С и две внутренние области Q, Р (рис. 109, а).

При построении диаграммы Максвелла—Кремоны начало и конец каждой силы (как активной, так и силы реакции стержня) будем обозначать малыми буквами, соответствующими наименованиям областей, которые при обходе по часовой стрел ке * * фермы ил и ее узлов лежат слева и справа от силы. Так, при принятом на рис. 109, а обозначении областей сила 尸 1 должна иметь на диаграмме Максвелла—Кремоны обозначение ab (а не Ьа). Точно так же силы N* и ^2 должны иметь обозначения соответственно са и Ьс. Реакции S】и S2 стержней / и 2, сходящихся в узле /, соответственно должны обозначаться ad и de и т. д.

Определив опорные реакции, необходимо переходить к построению 8 выбранном масштабе из действующих на ферму активных сил и

опорных реакций силового многоугольника. Этот многоугольник всегда будет замкнутым, так как все приложенные к ферме силы находятся

в равновесии. Заметим, что построение силового многоугольника активных сил и опорных реакций можно начинать с любой из этих сил, но все остальные силы необходимо строишь в том порядке, в котором мы их встречаем, обходя контур фермы по ходу часовой стрелки.

Так как в рассматриваемом примере все силы Fp N* и %2 параллельны, то на диаграмме Максвелла—Кремоны (рис. 109, 6) отрезки 五，са и Ьс, изображающие эти силы, располагаются на одной

прямой.прямой.Построив замкнутый силовойПостроив замкнутый силовоймногоугольник активных сил и реакций опор, переходим к последовательному построению на диаграмме Максвелла—Кремоны замкнутых силовых многоугольников для сил, сходящихся 8 каждом узле фермы, начиная их построение с узла, где сходятся только два стержня, При этом построение кож- дого силового многоугольника следует начинать с известных сил « наносить все силы (как активные силы и опорные реакции, так и реакции стержней) 8 том порядке, s каком они встречаются при обходе данного узла по

прямой.

прямой.

Построив замкнутый силовой

Построив замкнутый силовой

ходу часовой стрелки. Для рассматриваемой фермы узлами, в которых

сходятся только два стержня, являются узлы / и //• Рассмотрим узел /.

К этому узлу приложены три силы: известная опорная реакция 乂= =——F и неизвестные реакции S】и S2 двух сходящихся в этом узле стержней / и 2. Сила N^ca на диаграмме (рис. 109, б) уже нанесена. Для определения же неизвестных реакций S^ и S2 стержней / и 2 проводим из точки а диаграммы прямую, параллельную стержню 7, а из точки с диаграммы — прямую, параллельную стержню 2, до пересечения этих линий в некоторой точке. Эту точку необходимо обозначить буквой d, как являющейся общей в обозначении искомых реакций ad и de стержней / и 2. Таким образом, для узла / замкнутый силовой треугольник cade, дающий модуль и направление искомых реакций стержней / и 2, построен. Обходя этот треугольник в направлении опорной реакции N^ т. е. в направлении от с к а, видим, что реакции стержней / и 2 изображаются векторами 〃d и dct что соответствует принятому нами обозначению.

Построив замкнутый силовой многоугольник для одного узла, не-

обходимо переходить к следующему узлу и притом опять к такому, 8 котором сходятся только два стержня с неизвестными еще реакциями. Для рассматриваемой фермы такими узлами являются узлы II и ///. Рассмотрим узел ///. В этом узле сходятся три стержня 2, 3 и 5, реакции которых должны быть обозначены при обходе данного узла по часовой стрелке так: cd, dp и рс. При этом реакция стержня 2 на узел / нами уже определена (она изображается на диаграмме вектором de). Реакция этого же стержня на узел /// равна по модулю его реакции на узел /, но противоположна по направлению. Поэтому реакцию данного стержня на узел III следует изобразить на диаграмме вектором cd. Для определения неизвестных реакций dp и рс проводим на диаграмме из точки d прямую, параллельную стержню 3, а из точки с ——прямую, параллельную стержню 5, до пересечения этих линий в точке, которую нужно обозначить буквой р. Таким образом, для узла III замкнутый силовой треугольник cdp% дающий модуль и направление искомых реакций стержней 3 и 5, построен.

Теперь можно рассмотреть или узел 〃，или /V. Рассмотрим узел //• К этому узлу приложены три силы: известная опорная реакция Nz=bct известная реакция ср стержня 5 на узел // и неизвестная еще реакция pb стержня 4 на тот же узел //• Для построения замкнутого силового треугольника bepb и, следовательно, для определения модуля и направления реакции pb остается лишь соединить точки р и Ь. Искомая реакция стержня 4 изобразится на диаграмме вектором pb. Если построение диаграммы Максвелла—Кремоны выполнено достаточно точно, то прямая pb на этой диаграмме должна оказаться параллельной стержню 4.

Рассмотрим, наконец, последний узел IV. Мы видим» что замкнутый силовой многоугольник всех сил, приложенных к этому узлу, на диаграмме уже построен (это будет многоугольник abpda).

Таким образом, диаграмма Максвелла——Кремоны для данной фермы полностью построена.

Рассмотрим теперь, как по диаграмме Максвелла——Кремоны определить, какие стержни сжаты и какие растянуты, а также модуль усилия в каждом из стержней фермы. Пусть, например, требуется определить модуль и характер усилия в стержне 2. Модуль этого усилия определяется по диаграмме в принятом масштабе внешних сил отрезком, соединяющим точки due. Для определения же характера этого усилия необходимо определить по диаграмме направление реакции стержня 2 на один из узлов, / или ///, которые он соединяет. Реакция данного стержня на узел / изображается на диаграмме вектором de. Мысленно перенесем этот вектор на стержень 2 (рис. 109, а). Мы видим, что вектор de направлен от узла /. Отсюда на основании сказанного в § 32 заключаем, что стержень 2 растянут. Ясно, что мы пришли бы

к тому же заключению, перенеся из диаграммы на стержень 2 направление его реакции cd на узел ///.

Реакция стержня / на узел / изображается на диаграмме вектором ad・ Этот вектор, если его мысленно перенести на стержень /, будет направлен к узлу /, и, следовательно, стержень / будет сжат. На диаграмме Максвелла — Кремоны принято изображать растягивающие

усилия тонкими, а сжимающие усилия, являющиеся для стержня более опасными,— жирными или двойными линиями.

После построения диаграммы усилий Максвелла——Кремоны полезно составить сводную таблицу, отметив в ней величины и знаки всех усилий, возникших в стержнях фермы (растягивающим усилиям приписывается знак «плюс», а сжимающим—знак《минус》).

На рис. ПО приведен еще один пример построения диаграммы усилий Максвелла——Кремоны. Если 尸】=2尸，a F—F, то опорные реакции Mi и Ri легко определяются аналитически из следующих уравнений равновесия:

£Х* = -Xi + 尸 2 = 0;

ё匕=匕一尸1 +2口 = 0； £% (戸,=Mi a —尸2a=0’ решая которые, получим

*=尸；匕=尸；/1=尸. Отсюда

& = ]/х； + У、м2 F；

tga =

a = 45°.

Из диаграммы Максвелла—Кремоны видно, что усилие в стержне 5 равно нулю (нулевой стержень). Поэтому на этой диаграмме точки сир совпадают (ср=0). Однако стержень 5 выкинуть нельзя, так как в данной ферме точно обеспечивается условие fe= =2п—3 и, следовательно, при отсутствии этого стержня ферма превратилась бы в механизм. Дело в том, что стержень 5 не работает лишь при действии на ферму сил 尸^ 尸2, Ri и 2Vn, но в случае действия на эту ферму другой плоской системы сил он будет работать, т. е. усилие этого стержня будет отлично от нуля.

§ 34. СПОСОБ РАЗРЕЗОВ ФЕРМЫ

В этом параграфе рассмотрим аналитический способ определения усилий в стержнях фермы, называемый способом разрезов фермы, или способом Риттера.

Применим этот способ к расчету фермы, изображенной на pnc.Jll, а. К этой ферме приложены две активные силы: вертикальная Fx и горизонтальная F2- Размеры фермы указаны на рис. 111, б. Требуется найти усилия в стержнях этой фермы.

Определим сначала опорные реакции. Неподвижная шарнирная опора / имеет две составляющие реакции: горизонтальную Х【и вер- тикальну2Vl. Подвижная же опора // имеет только вертикальную реакцию Уц- Для определения этих опорных реакций составим три уравнения равновесия всех действующих на ферму сил (активных сил и опорных реакций) в форме

£ X: = X]-尸2 =。；

£ 加i(尸 j= — FYaY2*3 a F2 h = 0;

£(尸j = —V\・3 a十尸a +尸纟力=0.

Из этих уравнений находим

X1=尸2； 匕=等尸1 +言尸2； y? = t-尸1 一第尸2.

Переходим теперь к определению усилий в стержнях фермы. Для этого мысленно разрежем ферму на две части, проведя сечение тл, ндпример, через стержни 6, 7 н 8. После этого удалим мысленно одну из частей фермы, например левую, и рассмотрим оставшуюся правую часть. Для того чтобы равновесие оставшейся части фермы не нарушилось, необходимо согласно принципу освобождаемости заменить действие существовавших ранее связей их реакциями, т. е. реакциями 56, S7 hSs перерезанных стержней 6, 7 н 8 на узлы V и VII (рис. 111, б). Реакция каждого стержня фермы может быть направлена только вдоль стержня, от узла, если стержень растянут, и к узлу, если он сжат. Заранее мы не знаем, какие из стержней растягиваются, а какие сжимаются. Поэтому будем считать предварительно все стержни растянутыми, т. е. будем направлять их реакции от узла, как показано на рис. 111, б. Знак《минус» перед модулем найденной реакции стержня будет показывать, что действительное ее направление обратно принятому, т. е. на то, что стержень сжат.

Таким образом, рассматриваемая часть фермы находится в равновесии под действием произвольной плоской системы из пяти сил: 尸2，?2，5б, S? и S8. Так как для произвольной плоской системы сил можно составить только три независимых уравнения равновесия, то производить сечение фермы нужно таким образом, чтобы при этом перерезалось не более трех стержней с неизвестными реакциями. Для определения искомых реакций стержней удобнее всего составлять уравнения равновесия в форме уравнений моментов, беря последовательно за центры моментов точки, в которых пересекаются два из трех перерезанных стержней. При этом в каждое из этих уравнений равновесия будет входить только одна неизвестная сила реакции перерезанного стержня. В тех случаях, когда плечи сил относительно центров моментов вычислить трудно, их можно находить графически, вычертив схему рассматриваемой части фермы в определенном масштабе.

Если из трех перерезанных стержней два параллельны и, следовательно, точка пересечения их лежит в бесконечности, то вместо третьего уравнения моментов составляют уравнение проекций сил на ось, перпендикулярную к параллельным стержням.

Пусть по условию задачи требуется определить реакцию перерезанного стержня 8, зная 尸？ н ?2 H не определяя неизвестных реакций S6 и S7 двух других перерезанных стержней 6 н 7. Для этого нужно составить такое уравнение равновесия произвольной плоской системы сил 尸2, 丫2, 5б, S7, S8, в которое неизвестные S6 и S? не входили бы. Мы

Г лава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм 155 достигнем этой цели, если составим уравнение моментов относитель- го точки V//, в которой пересекаются линии действия сил S6 н &, а именно:

£ ^VH (Е) = S” 十尸2%+% fl = о.

Из этого уравнения равновесия находим

$8 = — (&+*%),(1)

где F2l ан h — положительные числа. Если при этом и У^ будет положительным числом, то знак «минус», стоящий в правой части соотношения (1), указывает на то, что на самом деле реакция S8 имеет направление, обратное показанному на рис. 111, 6, т. е. стержень 8 сжат.

Если же нам требуется определить усилие в стержне 6, не зная усилий в других стержнях (7 н 8), то нужно составить уравнение моментов относительно точки IV:

£ 加 IV 仍)=Y 2 b — S6 A = 0.

Из этого уравнения равновесия находим

56 = 4 %.

Если 丫2〉0, toS6>0, и, следовательно, стержень 6 будет растянут.

Наконец, если нам при том же сечении фермы потребуется найти §7，не зная S& и S8, то нельзя использовать уравнение моментов, ибо силы S6 и S& параллельны (не пересекаются), и, следовательно, нет той точки, относительно которой их моменты одновременно равнялись бы нулю. Поэтому мы составляем уравнение проекции на ось, перпендикулярную к силам S6 и Sg, а именно:

Е У - = S7 cos a + % == 0.

Из этого уравнения равновесия находим

S7 =——

' cos a

Если V3>0, то S7<0, и, следовательно, стержень 7 будет сжиматься.

Преимущества изложенного способа перед графическими способами заключаются в том, что этот способ позволяет определить усилие в любом стержне фермы независимо от усилий в прочих стержнях. А применяя графические способы, нам для нахождения усилия в одном

определенном стержне требовалось найти усилия во всех стержнях, сходящихся в последующих узлах.

Недостатки способа разрезов фермы заключаются в том, что точки пересечения перерезанных стержней, относительно которых берутся моменты, могут находиться и вне пределов чертежа. Поэтому нахождение моментов относительно этих точек будет представлять трудности. На практике способ разрезов фермы применяют обычно в комбинации со способом Максвелла—Кремоны, для того чтобы в случае отсутствия узлов, содержащих только два стержня, найти усилие в каком-нибудь стержне и после этого начинать обычным способом поеледовательное построение диаграммы Максвелла—Кремоны. Кроме того, путем применения способа разрезов фермы можно выборочно производить проверку точности графического расчета фермы по способу Максвелла— Кремоны.

Глава VII

ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛИ ТЕОРИЯ ПАР, КАК УГОДНО РАСПОЛОЖЕННЫХ

В ПРОСТРАНСТВЕ

35. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ КАК ВЕКТОР

В случае произвольной плоской системы сил мы рассматривали момент силы относительно точки как алгебраическую величину, равную произведению модул я силы на ее плечо, взятому со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того направления, в котором сила стремится вращать тело.

В случае же произвольной пространственной системы сил указания только модуля момента силы относительно точки и его знака для полной характеристики вращательного действия силы недостаточно. Взяв произвольную пространственную систему сил и выбрав какую- нибудь точку в пространстве, можно провести через эту точку и через линию действия каждой из сил в отдельности плоскость. Эти плоскости у разных сил будут разными, т. е. они будут расположены под различными углами друг к другу. В этом случае силы, имеющие одинаковые модули моментов относительно одной и той же точки, будут производить различные вращательные действия на тело, если плоскости, проходящие через линии действия этих сил и выбранную в про странстве общую точку, не будут совпадать. Поэтому при рассмотрении произвольной пространственной системы сил необходимо так обобщить понятие момента силы относительно точки, чтобы в определение

этого понятия уже входило задание положения в пространстве плоскости, проходящей через линию действия силы и выбранную в пространстве точку. Положение плоскости в пространстве, как известно, можно задать направлением перпендикуляра к этой плоскости. Таким образом, в определение момента силы относительно точки должны вхо

дить как модуль момента, так и указание

Рис. 112Рис. 112направления перпендикуляра к плоскости, проходящей через линию действия силы и через выбранную точку. Отсюда вытекает следующее векторное определение момента силы 尸 относительно точки。（рис. 112）: моментом силы F относительно точки О называется вектор, приложенный в точке О, равный 〃о модулю произведению модуля силы на ее плечо 以 направленный 〃。 пер* пендикуляру к плоскости ОАВ, проходящей через линию действия силы F « точку

Рис. 112

Рис. 112

О, 8 ту сторону, откуда вращение тела

силой представляется происходящим против часовой стрелки._ — Обозначим момент силы F относительно точки。символом то （尸）・

Модуль этого момента \т（）（F）|—Fd, где d — плечо силы, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из точки。на линию действия силы F.

Выразим теперь момент m0（F） силы 尸 относительно точки。с помощью векторного произведения гх尸,где вектор г~ОА называется радиусом-вектором точки А приложения силы F относительно1 точки О （рис. 112）. Модуль этого векторного произведения （рис. 112）

（1）（1）I г~Х Т| = F г sin （?,尸）=尸 d = 2 пл. △ OAB,

（1）

（1）

Но модуль I mo（F）| вектора-момента mo（F）силы/7 относительно точки О тоже равен Fd или 2 пл.лОАВ, поэтому

（2）（2）［生仍）| = 1『x戸|.

（2）

（2）

Направлен же вектор rXF перпендикулярно к плоскости ОАВ в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение вектора г с вектором силы F （если их отложить от одной точки） видно происходящим против хода часовой стрелки. Но точно так же направлен и вектор-момент

m0(F) силы 戸 относительно точки О. Рассматривая модуль вектора- момента m0(F), определяемый формулой (2), и принимая во внимание его направление, приходим к заключению, что вектор-момент m^F) можно выразить с помощью векторного произведения г XF, т. е.

m0[F} =「X 尸. (3)

Таким образом, момент силы относительно точки равен вектор^ ному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы.

. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО оси

При изучении произвольной пространственной системы сил, кроме уже введенного понятия о векторе-моменте силы относительно точки, необходимо ввести еще понятие о моменте силы относительно оси.

Рассмотрим тело, которое может вращаться вокруг некоторой оси z (рис. 113). Пусть на это тело действует сила 尸,приложенная в точке А тела. Проведем через точку А плоскость ху, перпендикулярную к оси вращения тела z, которая пересекается с плоскостью ху в точке О. —

Разложим данную силу 尸 на две составляющие:尸？，параллельную

оси z, и 尸^у, лежащую в плоскости ху и являющуюся одновременно проекцией силы 尸 на эту плоскость. Составляющая Fz, очевидно, не может повернуть тело вокруг оси 2. Эта составляющая только стремится сдвинуть тело вдоль оси г. Отсюда следует, что весь вращательный эффект, создаваемый данной силой 尸，по отношению к оси г, будет одинаков с вращательным эффектом, создаваемым ее составляющей 尸по отношению к оси z или точке О. Момент силы относительно оси определяется так:

生(戸)=a(%)=m。(％) = 士尸》也 (1)

где символ 加式尸)обозначает момент данной силы 尸 относительно оси z; /п^(尸у)— момент составляющей Fxy силы F относительно той же оси z; /к。(尸％у)——момент составляющей Fxy силы 尸 относительно точки О, в которой ось г пересекается с перпендикулярной к ней плоскостью

Таким образом, момент силы относительно оси равен моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Момент силы 尸 относительно оси считают положительным, если с положительного конца оси поворот, совершаемый составляющей Fxy этой силы 尸，виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу часовой стрелки.

Момент силы относительно оси вполне определяется своей абсолютной величиной и знаком и является, следовательно, алгебраической, а не векторной величиной.

Для того чтобы найти момент какой-либо силы 尸 относительно какой-нибудь оси z, нужно: 1) провести плоскость ху, перпендикул яркую к оси г; 2) спроектировать силу 尸 на эту плоскость и вычислить модуль Fvy ее составляющей Fху\ 3) опустить из точки О пересечения оси z с плоскостью ху перпендикуляр на линию действия составляющей Fxy и найти его длину d, т. е. плечо силы 尸*у относительно точки О; 4) вн・ числить произведение/7^ d； 5) определить знак момента силы Fxy относительно точки О.

Из определения момента силы 尸 относительно данной оси z следует：

Рис. 114Рис. 114угольника кость ху. По известной из геометрии теореме равна площади проектируемой фигуры,угольника кость ху. По известной из геометрии теореме равна площади проектируемой фигуры,

Рис. 114

Рис. 114

угольника кость ху. По известной из геометрии теореме равна площади проектируемой фигуры,

угольника кость ху. По известной из геометрии теореме равна площади проектируемой фигуры,

九 Момент силы 尸 относительно данной оси z не изменяется при переносе точки А приложения этой силы вдоль линии ее действия, так как при этом не изменяется ни проекция Fху силы F на плоскость ху, ни ее плечо d.

Момент силы 尸 относительно данной оси z равен нулю втек слу~ чаях, когда линия действия этой силы и ось z лежат 8 одной плоскости. При этом возможны следующие частные случаи: а) сила 尸 параллельна оси z (в этом случае Fxy=0); б) линия действия силы 尸 пересекает ось z (в этом случае d=0).

Если сила 尸 перпендикулярна к оси г, то модуль ее момента относительно этой оси равен произведению модуля силы на кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью*

§ 37. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ МОМЕНТОМ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНООСИ И МОМЕНТОМ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ, ЛЕЖАЩЕЙНА ЭТОЙ ОСИ

Пусть на тело действует приложенная в точке А сила 尸(рис. 114). Момент этой силы относительно точки。определится, как мы знаем, вектором m0(F), перпендикулярным к плоскости треугольника ОАВ

и по модулю равному удвоенной его площади*, т. е.

I而。(戸)1 = 2 пл. △ ОАВ. (1)

Проведя через взятую на оси z точку О плоскость xyf перпендикулярную к этой оси, и проектируя на плоскость ху силу 尸, найдем момент силы 尸 относительно точки 。：

^{F}=m0[Fx^Fxyd =

=2 пл. A OAfBf.(2)

Но треугольник 04'8'преа・ ставляет собой проекцию тре-

ОАВ на плос- площадь проекции умноженной на

Глава VII. Произвольная пространственная система сил 〃 теория пар 161 косинус угла между плоскостью этой фигуры и плоскостью проекции. Угол между плоскостями треугольников О АВ и О А 'В' равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям, т. е. углу 丁 между вектором момента m0 （F） и осью z.

Поэтому получим, что

пл. △ OAfBf = пл. △ ОЛВ cos у.

Подставляя это равенство в формулу （2）, находим

mz（F ） = 2 пл. △ О АВ cosy.（3）

Проекция вектора-момента т0 （尸）на ось z выразится так: пр」瓦）（戸）］=I瓦（戸）［cost.

Подставляя в это равенство формулу （1）, найдем

nPz ［%（F）］ = 2 пл.Д ОАВ cosy.

Сравнивая это равенство с формулой （3）, получим

m2 （戸）=明回（戸儿（4）

т. е. момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора-момента силы 尸 относительно произвольной точки О, лежащей на этой оси.

. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ МОМЕНТОВ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ

Момент данной силы F относительно точки О （рис. 114） определяется, как мы уже знаем, по формуле

质0（戸）=7х 戸，（1）

где г — радиус-вектор точки А приложения силы F.

Формула разложения вектора т0 （?） по координатным осям 尤， у я z будет иметь вид

瓦,（戸）=пр」% （戸）/+明,［m0 （戸）］i+ np2 ［m0 （戸）低（2）

где /, /,々一единичные векторы координатных осей Ох, Оу и Oz. 12 Н, Фл Сахарный

Как известно из векторной алгебры, векторное произведение г X F можно представить символически через определитель:

У

У

где х, у, z ——координаты точки Л приложения силы F, или проекции радиус-вектора г точки Л на оси координат Ox, Оу, Oz, а X, У, Z —— проекции силы 尸 на те же оси координат.

Таким образом, получим для вектора-момента силы F относительно точки О, принимаемой нами за начало координат, следующее выражение:

mQ(F)= г х F = х у z

X У Z •

Разлагая детерминант по элементам первой строки, получим разложение вектора т0 (F) по координатным осям в несколько ином виде:

т0 (尸)=(у Z— гУ) z + (zX — %Z)/ + (хУ — уХ)々•

Сравнивая это равенство с формулой (2), получим проекции вектора m0(F) на оси координат:

.нр」质0(戸)]=gZ —zV;

пру [т0 (?)] = zX — xZ;

прг [m0 (戸)]=xY — yX.

Но согласно формуле (4, § 37) можно получить следующее аналитическое выражение моментов силы F относительно координатных осей:

mx(F}=yZ~zY\

О)О)ту(F)= zX— %Z;加z (尸)=xY - gX.

О)

О)

С помощью этих формул момент силы относительно оси можно вычислить, зная проекции силы и координаты точки ее приложения.

Рис. 115Рис. 115Z = fsin а;Z = fsin а;У = 0.У = 0.

Рис. 115

Рис. 115

Z = fsin а;

Z = fsin а;

У = 0.

У = 0.

Задача 27. Сила 尸 расположена в плоскости ABCD, параллельной координатной плоскости Oxz, и наклонена к горизонту под углом а； при этом СВ=а, ОС=Ь (рис. 115). Определить момент силы F отно

сительно каждой оси координат.

Решение. Найдем момент mx(F) сил ы F относител ь но оси х. Для вычисления ш^) проектируем силу F на плоскость Oyz; получаем

F?z = F sin а.

Плечо силы 尸yz относительно точки О равно Ь, а поворот ее с конца оси х виден происходящим по ходу часовой стрелки, следовательно

тх (尸)=—bF sin a.

Момент mx(F) силы F относительно оси % можно вычислить аналитически по формуле

тх^] =yZ^zY,(4)

где под 4Hz будем понимать координаты точки В, для которой “= ——Ь, 2=0.

Проекции силы F на оси z я у будут

Подставляя эти значения в формулу (4), получим тот же результат: тх(F)= — b 尸 sin %

но только при этом знак момента получается в результате применения формулы (4).

Найдем теперь момент m^F) силы 戸 относительно оси у. Так как сила F лежит в плоскости, перпендикулярной к оси у, то

ту (戸)=^С (尸)=-F。CE,

где C£=BCsina—asina——плечо силы F. Знак «минус» стоит потому, что поворот силы 尸 с конца оси у виден происходящим по ходу часовой стрелки.

Вычислим теперь my(F) аналитически по формуле

ту (?) = zX —尤Z,(5)

где z и x —— координаты точки В, для которой z=0, х~а.

Проекции силы 尸 на оси х и z будут

X = — F cos a;Z =尸 sin а.

Подставляя эти значения в формулу (5), получим тот же результат ту (尸)=一a 尸 sin a,

при этом знак момента получается в результате применения формулы (5).

Наконец, найдем момент 也石(尸)силы 尸 относительно оси z. Проекция силы F на плоскость ху равна

Fxy = F cos а,.

а ее плечо относительно точки О равно Ь. Поворот силы Fху с конца оси z виден происходящим по ходу часовой стрелки, следовательно:

тг (尸)=—ft Feos а.

Вычислим теперь rnz(F) аналитически по формуле

mz (?) = xY ~ у X,(6)

где под хну будем понимать координаты точки D, для которой %=0 у=——Ь. Проекции силы F на оси Ох и Оу будут

X = — F cos а; У = 0.

Подставляя эти значения в формулу (6), получим тот же результат тг (尸)二—ft Feos Я,

при этом знак момента также получается в результате применения формулы (6).

Задача 28. В плоскости ABCD, параллельной координатной оси 2, расположена сила 尸,образующая с вертикалью угол <р (рис. 116). При этом АЕ~п; DE=m. Определить моменты силы 尸 относительно координатных осей.

Решение. Момент m^F） силы F относительно оси х равен нулю, так как линия действия силы 尸 пересекает ось %.

Найдем момент my（F） силы F относительно оси у. Чтобы найти tn^F\ необходимо разложить силу 尸 на две составляющие Fxh F2 （рис. 116）. По теореме Вариньона о моменте равнодействующей будем иметь

& （戸）=% （А） + % （А）.

Если спроектируем на ось Оу это векторное равенство, то, принимая во Внимание зависимость между моментами силы относительно данной точки и относительно какой-нибудь оси, проходящей через эту точку （§ 37）, получим

g（戸）=my（Fj）+my （戸2）.

Момент my（F^ силы F1 относительно оси Оу будет "равен нулю, так как линия действия силы 尸 1 пересекает ось Оу. По этому будем иметь

% （戸）=% （戸2）.

Момен±/т?у（尸2）силы 戸2 относительно оси 0“ найдем, спроектнро вав силу Е на плоскость Oxz, перпендикулярна^ к оси Оу, и умножив эту проекцию Х2—F2sina = F siny-sina на плечо АВ. При этом будем иметь

/Пу（F）=尸 sin р sin a AB.

Но из треугольников ADE и ABC имеем

sin a =〒加 — и AB = AD ctg 屮—|^m2 + 紋 ctg <p.

my（F）= F sin уmy（F）= F sin уtn）/府+门2tn）/府+门2/тп?十九2 Mg p = F m cos p./тп?十九2 Mg p = F m cos p.Отсюда следует, что

my（F）= F sin у

my（F）= F sin у

tn

）/府+门2

tn

）/府+门2

/тп?十九2 Mg p = F m cos p.

/тп?十九2 Mg p = F m cos p.

Этот результат можно было бы получить аналитически по формуле %（尸）=zX - %Z.

Проекция Z силы 尸 на ось z

Z = —Fcosy.

Однако проекцию X силы F на ось Ох определить значительно труднее, поэтому нужно стремиться к тому, чтобы в формуле (1) исчез член, содержащий X. Для этого выбираем на линии действия силы F точку С, для которой z=0. Тогда

/Пу (R) = — т(—bcosp) = Fmcos(p,

т. е. расчет по аналитической формуле (1) дает тот же результат.

Найдем теперь момент mz(F) силы 戸 относительно оси Ог. Для нахождения m^F) воспользуемся разложением силы 尸 на составляющие и 尸2・ При этом

心(戸)=忆(戸J十mz (戸2).

Так как сила 尸】параллельна оси Oz, то 勿之(尸1)=0・ Сила F2 лежит в плоскости ADE, перпендикулярной к оси Oz, а потому

生(户)=心(戸2)= -/♦eМ・

Непосредственно из рис. 116 следует, что

尸2 =尸 sin р; ЕМ = nsin а =― ” 一, поэтому окончательно имеем

M 他2 + n2

. ТЕОРЕМА О ПЕРЕНОСЕ ПАРЫ В ДРУГУЮ ПЛОСКОСТЬ,ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ ПЛОСКОСТИ ДЕЙСТВИЯ ЭТОЙ ПАРЫ

Докажем теорему: действие пары на твердое тело не изменится, если ее перенести в любую другую плоскость, связанную с твердым телом и параллельную плоскости действия этой пары.

Пусть на твердое тело действует пара (Fv F/) с плечом АВ, лежащая в плоскости 〃i (рис. 117). Проведем плоскость /72, параллельную плоскости 〃i，и возьмем в ней отрезок CD, равный и параллельный отрезку АВ. Приложим в точках С и £> по две взаимно уравновешивающиеся силы 尸2,尸3‘ и F‘2，尸з・ Эти силы возьмем параллельными силам данной пары и равными им по модулю, т. ё.尸2‘=f2=尸3'=尸3=尸/ =

Очевидно, что

（尸1,吊，尸2,尸2,尸3,尸3）S （尸1,f1）, так как

（戸2,瓦，戸3,冤）S 0.

Равнодействующая R' параллельных, направленных в одну сторону и равных по модулю сил F； и 尸з' им параллельна, направлена в сторону действия этих сил и проходит через середину отрезка ВС. При этом R'=2/\. Равнодействующа я R параллельных, направленных в одну сторону и равных по модулю сил Fx и F3 также им параллельна, направлена в сторону действия этих сил и проходит через середину отрезка AD. При этом R=2F* Заметим, что фигура A BCD является параллелограммом, диагонали которого ВС и AD делятся в точке пересечения О пополам. Таким образом, силы R н R' равны по модулю и направлены в противоположные

Рис. 117Рис. 117стороны. Следовательно, силы Rстороны. Следовательно, силы Rи R' как взаимно уравновешенные можно отбросить. В результате лежащая в плоскости 〃i пара （Fx,尸J） действительно заменяется такой же парой （尸2,尸2‘），но лежащей в плоскости 〃2・ Следовательно, теорема доказана.

Рис. 117

Рис. 117

стороны. Следовательно, силы R

стороны. Следовательно, силы R

МОМЕНТ ПАРЫ КАК ВЕКТОР

При рассмотрении пар, не лежащих в одной плоскости, для полной характеристики вращательного действия пары на тело указания только абсолютной величины момента и его знака недостаточно, так как вращательное действие пары на тело зависит еще и от направления в пространстве плоскости действия пары. Поэтому принятое в § 14 определение момента пары следует дополнить указанием направления в пространстве плоскости действия пары. Последнее определяется, очевидно, направлением перпендикуляра к плоскости действия пары. Следовательно, в случае пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики вращательного действия на тело каждой из пар необходимо задать: 1） модуль момента пары； 2） направление перпендику-

ляра к плоскости действия пары и 3） направление вращения пары в ее плоскости. Это приводит к следующему определению момента пары: моментом пары называется вектор, модуль которого равен модулю момента пары, т. е. произведению модуля одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно к плоскости действия пары в ту сторону _ откуда поворот тела данной парой виден происходящим против хода часовой стрелки （рис. //8）・

Момент пары, или вектор-момент пары, будем обозначать буквой т. Так как пару можно перемещать как угодно в ее плоскости действия и переносить из этой плоскости в любую другую плоскость, ей параллельную, то точка приложения вектора-момента т пары безразлична. Поэтому вектор-момент m пары представляет собой свободный вектор. На рис. 119 показано различное положение вектора-момента т пары 伊1,斤）.

Легко видеть, что вращательное действие пары на тело действительно определяется ее вектором-моментом т, так как, проведя любую плоскость, перпендикулярную к т, мы найдем плоскость действия пары, измерив в принятом масштабе длину вектора т, определим модуль момента пары, а по направлению m установим направление вращения тела данной парой.

Докажем, что вектор-момент т пары （Fv 尸?） 〃。модулю и направлению равен векторному произведению радиуса-вектора АВ （рис. 120） на ту из сил F? этой пары, к началу которой направлен радиус-вектор АВ, т. е. ABxF2.

В самом деле,

IАВХ 尸2丨=АВ•尸2 sin 仪=尸2 d = т,

т. е. модуль векторного произведения АВХ F2 равен модулю вектора- момента т пары （F],尸?）• При этом вектор АВ XF2, так же как и вектор- момент т пары （f\,尸2），направлен по перпендикуляру к плоскости

действия пары （尸卜 F2） в ту сторону, откуда вращение пары （Fb F2） видно совершающимся против хода часовой стрелки. Следовательно,

m = АВ X 尸2，（1）

что и требовалось доказать.

Очевидно, что по модулю вектор-момент пары （F^ F^ равен вектору- моменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая сила, т. е. m^\mA（F^\=\mB（Pi）\\ по направлению же векторы m, tnA（F^ и ев（尸J совпадают （рис. 120）. Таким образом, имеем

т = тв （戸J = тл （戸2）・（2）

равен геометрической эту пару, относительноравен геометрической эту пару, относительно

равен геометрической эту пару, относительно

равен геометрической эту пару, относительно

Докажем теперь, что вектор-момент пары сумме векторов-моментов сил、составляющих

произвольной точки О пространства.

Рассмотрим для этого в плоскости П （рис. 121） силы/7! и F2H——尸i， образующие пару （尸（ F^, и обозначим через q и г2 радиусы-векторы точек Л и В приложения этих сил.

Векторы-моменты сил 尸】и F2 пары （尸и 尸2）относительно любой точки О пространства можно записать так:

%（瓦）=*义戸产

=q x （——尸2）= —qx&;

^o仍2 ） =Г2义尸2.

11 Н, Ф. Сахарный

Отсюда геометрическая сумма векторов-моментов сил данной пары относительно точки О будет

Шо （戸 1） + nto （戸2）= — qX 戸 2+QX 尸 2 = （「2 —G）X 戸 2・

Мы видим, что эта геометрическая сумма векторов-моментов представляет вектор, не зависящий от выбора точки О.

Так как г2—r1=AB=ri то эта сумма принимает вид

而о （戸 1） + 团0 （戸2）= г X 戸2 = ЛВх?2,

где АВ XF2—вектор-момент tn рассматриваемой пары. Это и доказывает, что

m = то （А） + то （戸2）・

Заметим, что проще всего вычислять вектор-момент пары （/\, F2） для точки, лежащей на линии действия одной из сил, составляющих пару. В самом деле, определим вектор-момент т этой пары, например для точки Л, лежащей на линии действия силы Ft （рис. 121）. Тогда вектор-момент силы Fx относительно точки Л будет равен нулю, и нахождение вектора-момента т пары （尸七 尸？） сведется к нахождение вектора-момента силы /% относительно точки А. Действительно,

т = тА （戸 1） + тА （戸2）=（戸2）,

так как тл^^О. Но mA（F^^rXF2, поэтому

т = тА （戸2）= г X 戸2,

т. е. мы непосредственно приходит к формуле （1）.

УСЛОВИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДВУХ ПАР

Условие эквивалентности двух пар можно теперь выразить в следующем общем виде: две пары эквивалентны, если их векторы-моменты т*н т? геометрически равны.

Действительно, из условия параллельности векторов-моментов тх и /и? следует, что плоскости действия данных пар параллельны. Обе эти пары можно считать приведенными к одинаковым параллельным плечам, а следовательно, и равным по модулю и параллельным силам. На основании доказанной в § 39 теоремы одна из этих пар может быть перенесена в плоскость действия второй пары. Кроме того, из условия равенства модулей векторов-моментов т】и т2 следует, что данные пары имеют численно равные моменты. Так как по условию векторы-моменты

Ш\ и ли? направлены в одну сторону, то пары имеют оданаковое направление вращения. Но из § 15 мы знаем, что две пары, лежащие в одной плоскости действия и имеющие одинаковые по численному значению и по направлению вращения моменты, эквивалентны. Следовательно, и рассматриваемые нами пары тоже эквивалентны.

СЛОЖЕНИЕ ПАР, ЛЕЖАЩИХ В РАЗНЫХ ПЛОСКОСТЯХ.

УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПАР

Докажем следующую основную теорему о сложении системы пар, лежащих в разных плоскостях: система пар, лежащих в разных плоскостях. эквивалентна одной паре с вектором-моментом, равным геометрической сумме векторов-моментов слагаемых пар.

Рассмотрим сначала сложение двух пар, лежащих в пересекаю- 《 щихся плоскостях /71H 〃2 с [弋' векторами-моментами т1 и m2 ^сХ ；"/ / (рис. 122). Приведем эти пары/

к общему плечу. Для этого на 分 巴岁&不~^二^

линии пересечения плоскостей Zx*^\

П1 и 〃2 выберем произвольный 产一一£^^^々 '

отрезок АВ и, перемещая каж*/

дую из пар в ее плоскости деист-Рйс* 122

вия, приведем их к общему плечу

АВ =北=*, где尸 1，F^ 尸2, ^г'—соответственно силы первой и второй пары.

Сложив по правилу параллелограмма силы ^^ и F2\ приложенные в точке А , получим равнодействующую R’. Точно так же, сложив силы 尸 1 и 尸2， приложенные в точке В, получим равнодействующую 总 Силы R' н R равны по модулю, параллельны (вследствие равенства и параллельности соответствующих сторон параллелограмма сил) и направлены в противоположные стороны. Таким образом, система двух данных пар (尸】，尸 J) и (尸？，Ff^ приводится к одной равнодействующей паре (R, R), лежащей в некоторой плоскости /7, не совпадающей ни с одной 出3叩呼。咬й 〃i и 〃2・ Найдем вектор-момент 加 пары (R , R‘)・ Так как R^F^F^ а вектор-момент всякой пары, в том числе и пары (R , R’)，равен вектору-моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы, то

而=N^xR =屈 х (戸I 十戸J = ABXF1 + ABXF2.

Ho ABxF尸т, а АВ xF2=m2, поэтому окончательно получим

(1)(1)/72 = /П] + 他2,

(1)

(1)

т. е. вектор-момент /п равнодействующей пары по модулю и направлен нию изображается диагональю параллелограмма (рис. /22), построенного из векторов-моментов слагаемых пар. В этом и состоит доказательство теоремы о сложении двух пар, лежащих в пересекающихся плоскостях.

Если на тело действуют 九 пар, лежащих в разных плоскостях, то, складывая эти пары в поеледовательном порядке и применяя каждый раз теорему о сложении двух пар (1), мы установим, что эта система пар .заменится одной равнодействующей парой с вектором-моментом

ш — mi + /п2 十…+ mn =工恤，(2)

гдегде/и工,/7?2，тп— векторы-моменты слагаемых пар.

где

где

При сложении нескольких

пар, лежащих в разных плос

костях, строят из слагаемых векторов-моментов /721，62，…，^n многоугольник, замыкающая сторона которого 6ylдет изображать вектор-момент m равнодействующей пары (рис. 123).

Если слагаемые пары расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях, то в этом случае векторы-моменты слагаемых пар будут направлены по одной прямой, перпендикулярной к этой плоскости, и их

сложение сведется к алгебраической операции (см. § 16),

Так как система пар, лежащих в разных плоскостях, заменяется одной равнодействующей парой с вектором-моментом

п

(3)(3)т ~^mh

(3)

(3)

то очевидно, что для равновесия этих пар необходимо и достаточно, чтобы вектор-момент этой равнодействующей пары был равен нулю, т. е.

илиили(4)(5)(4)(5)/и = О

или

или

(4)

(5)

(4)

(5)

£% = о.

Таким образом, для равновесия системы пар, лежащих s разных плоскостях, необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю геометрическая сумма векторов-моментов составляющих пар, или, иначе、чтобы многоугольник, построенный из этих векторов-моментов, был замкнут.

Из формулы (4) следует, что модуль т вектора-момента т равнодействующей пары должен равняться нулю, т. е. т=0. Последнее согласно формуле (4) будет иметь место только тогда, когда mx=0f my=0 и mz=0.

Отсюда согласно формуле (5) получаем аналитическое условие равновесия системы пар, лежащих в разных плоскостях, в следующей форме

S mix = 0; £团日=0; L miz = 0. (6)

§43. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ^СИСТЕМЫ СИЛ к ОДНОЙ СИЛЕ И к ОДНОЙ ПАРЕ

Если линии действия сил данной системы расположены в разных плоскостях, не пересекаются в одной точке и непараллельны между собой, то такая система сил называется произвольной пространственной системой сил*

俨俨

俨

俨

Задача о приведении произвольной пространственной системы сил к силе и паре, аналогичная задаче, рассмотренной в § 18, решается с помощью теоремы о параллельном переносе силы. Предположим, что к твердому телу приложена произвольная пространственная система сил 尸 1，尸2，•••，尸也(рис. 124, а). Выберем произвольную точку О, принадлежащую телу, в_качестве центра приведения. Приложим к нему две силы F；=F\ и 尸/=——^/(рис. 124, б). От приложения таких двух

уравновешивающих друг друга сил состояние тела не нарушится. Систему сил 冗,^^иР^можно рассматривать как силу/7^, приложенную в центре приведения О, и пару сил （尸】，F\）. Следовательно, вместо ранее имевшейся одной силы 尸】，приложенной в точке Ах, имеем теперь силу F/, приложенную в центре приведения О, т. е. как бы силу^, но перенесенную параллельно самой себе в центр приведения О, и присоединенную пару （尸》尸/） с вектором-моментом т^, При этом вектор-момент 恤 присоединенной пары （厶 尸"J равен вектору-моменту mO（F^） приложенной в точке Ах силы 尸】относительно центра приведения О, т. е. tn^mo （^i）.

Применяя аналогично теорему о параллельном переносе силы ко всем другим силам, вместо сил 尸^ 尸?，•••，尸也，приложенных в разных точках Av A2t ...» Ап тела, получим （рис. 124, а） систему сходящихся сил:

吊=尸1,f2 =尸2 , . •，尸也 =尸小，（1）

приложенных в центре приведения О, и систему присоединенных пар （瓦,及"）,（耳瓦"），…，（月,戸）векторы-моменты которых будут равны

т^т0 {F^ 爲 2 =加 о （尸 2）,Bi = nt。{Т^.（2）

Приложенные к центру приведения О силы F\t F%,..., Ffn можно сложить по правилу силового многоугольника и, следовательно, заменить одной эквивалентной им силой R', равной их геометрической сумме и приложенной в том же центре приведения О. При этом

или, согласно равенствам （1）,

R' = £%（3）

Так же как и для произвольной плоской системы, вектор R', равный геометрической сумме всех сил произвольной пространственной системы сил, называется главным вектором этой системы. Говоря, что вектор R' есть главный вектор данной системы сил F, F2,..., Fn, а не равнодействующей силой той же системы сил, мы подчеркиваем, что главный вектор R' не может заменить действие на тело системы сил Flt 鸟，一 •，尸小 т. е. он не эквивалентен этой системе сил. Главный вектор R' является р ав но действующей системы сил F\,F\ …,尸 J, а не заданной системы сил Fv 尸2，•••，尸公

Чтобы сложить все полученные присоединенные пары, надо геометрически сложить векторы-моменты этих пар. В результате система пар заменится одной парой, вектор-момент которой равен геометрической сумме векторов-моментов присоединенных пар:

Л4。— £加厶

или, согласно равенствам (2),

(4)(4)Мо = £ щ()(尸J,

(4)

(4)

где Sm0(Fz) есть геометрическая сумма векторов-моментов сил дан

ной системы Fv 尸2，…，F^ относительно центра приведения О.

Вектор /И。，равный геометрической сумме векторов-моментов всех сил произвольной пространственной системы сил относительно центра приведения О, называется главным векть ром-моментом этой системы сил относительно того же центра приведения О. Заметим, что так как силы данной системы F” F2, ...» Fn расположены в пространстве совершенно произвольно, то главный вектор-момент Мо по отношению к главному вектору R' может быть направлен под каким угодно углом (рис. 125).

Таким образом, мы доказали сле

дующую теорему: произвольную пространственную систему сил, действующих на твердое тело, s общем случае можно заменить одной силой, равной главному вектору R' системы и приложенной s произвольно выбранном центре приведения О, и одной парой с вектором-моментом, равным главному вектор у-моменту Мо системы относительно центра приведения О (р辽с. /25).

Из доказанной теоремы следует, что две произвольные простран

ственные системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные векторы-моменты, эквивалентны. Следовательно, для задания произвольной пространственной системы сил, действующих на твердое тело, достаточно задать ее главный вектор R' и главный вектор- момент Мо относительно данного центра приведения О.

Векторы R и Мо можно определить и аналитически. Примем за начало координат центр приведения О (рис. 125). По теореме о проекциях геометрической суммы векторов на ось будем иметь следующие выражения для проекций главного вектора R‘=£F七 на оси координат:

(5)(5)R； = £X； R； = £Y; R； = £Z.

(5)

(5)

Отсюда, согласно формулам (4, 5, § 8), находим модуль и направление главного вектора:

(6)(6)cosd/ =體cosd/ =體srsrЕХ~^7~ ； COSЕХ~^7~ ； COScos (R仆)=普.cos (R仆)=普.(7)(7)По той же теореме о проекциях геометрической суммы на ось получим проекции на оси координат и главного вектора-моментаМох =Snpx[m0 ^F^\-, cMOy = £ пру [& (月)]；По той же теореме о проекциях геометрической суммы на ось получим проекции на оси координат и главного вектора-моментаМох =Snpx[m0 ^F^\-, cMOy = £ пру [& (月)]；m3=£ пр/％ (戸J，m3=£ пр/％ (戸J，или, согласно равенству (4, § 37)м。* = £ а 国)> моУ^^ % (R) ； %з = £ 饵(Е) •или, согласно равенству (4, § 37)м。* = £ а 国)> моУ^^ % (R) ； %з = £ 饵(Е) •⑻⑻Отсюда аналогично находим модуль и направление главного вектора-момента М。：Отсюда аналогично находим модуль и направление главного вектора-момента М。：м0 二丿仍加*E)f+ [£ % 间]2 + [£ “ (戸川2；м0 二丿仍加*E)f+ [£ % 间]2 + [£ “ (戸川2；⑼⑼cos [Л1。，icos [Л1。，iм Охм Ох殁” 3伉5殁” 3伉5£皎（元）•£皎（元）•(10)(10)/_А_ cos I Mo, k/_А_ cos I Mo, k=£加z(元)=£加z(元)R = ]Л (£X)2 + (£y)2 + (£Z)2 ;

(6)

(6)

cosd/ =體

cosd/ =體

sr

sr

ЕХ

~^7~ ； COS

ЕХ

~^7~ ； COS

cos (R仆)=普.

cos (R仆)=普.

(7)

(7)

По той же теореме о проекциях геометрической суммы на ось получим проекции на оси координат и главного вектора-момента

Мох =Snpx[m0 ^F^\-, cMOy = £ пру [& (月)]；

По той же теореме о проекциях геометрической суммы на ось получим проекции на оси координат и главного вектора-момента

Мох =Snpx[m0 ^F^\-, cMOy = £ пру [& (月)]；

m3=£ пр/％ (戸J，

m3=£ пр/％ (戸J，

или, согласно равенству (4, § 37)

м。* = £ а 国)> моУ^^ % (R) ； %з = £ 饵(Е) •

или, согласно равенству (4, § 37)

м。* = £ а 国)> моУ^^ % (R) ； %з = £ 饵(Е) •

⑻

⑻

Отсюда аналогично находим модуль и направление главного вектора-момента М。：

Отсюда аналогично находим модуль и направление главного вектора-момента М。：

м0 二丿仍加*E)f+ [£ % 间]2 + [£ “ (戸川2；

м0 二丿仍加*E)f+ [£ % 间]2 + [£ “ (戸川2；

⑼

⑼

cos [Л1。，i

cos [Л1。，i

м Ох

м Ох

殁” 3伉5

殁” 3伉5

£皎（元）•

£皎（元）•

(10)

(10)

/_А_ cos I Mo, k

/_А_ cos I Mo, k

=£加z(元)

=£加z(元)

§ 44. ИЗМЕНЕНИЕ§ 44. ИЗМЕНЕНИЕГЛАВНОГО ВЕКТОРА-МОМЕНТА ПРИ ПЕРЕМЕНЕ ЦЕНТРА ПРИВЕДЕНИЯ

§ 44. ИЗМЕНЕНИЕ

§ 44. ИЗМЕНЕНИЕ

Предположим, что в результате приведения произвольной пространственной системы сил Fv 尸？，•…，尸;1K какому-нибудь центру О мы получили силу, равную главному вектору R=£Fj, приложенному в центре приведения О, и пару, вектор-момент которой равен главному вектору-моменту Mo ~^m0(F^ относительно этого центра приве-

дения (рис. 126). При переносе центра приведения О в новый центр приведения О* главный вектор, очевидно, сохраняет свой модуль и

направление. Главный же вектор-момент изменится, так как при пере

несении каждой силы параллельно самой себе из центра О в новый центр О* будет прибавляться пара. Найдем это изменение. Пусть сила 尸？ данной системы приложена в точке %『Пусть, как показано на рис. 126,乙一радиус- вектор точки /4^ приложения силы 尸才 относительно центра О, г]——радиус-вектор точки А/ относительно нового центра О*, 0*0—радиус-вектор данного центра О относительно нового О*. При этом г]=0*0+ г..

По определению вектора-момента силы относительно точки имеем

优0*(冗)=£ X 冗=(0*0 + rj X Ft = 0*0Х & + q X 冗，

или-

两0* (戸)=0*0 X e + /n0(g)，(1)

где 欣(Е)夕 Х&

Пользуясь этим результатом, можно найти связь между главным вектором-моментом данной системы сил относительно нового центра О* (обозначим его Мо^ и главным вектором-моментом М 0 той же системы сил относительно прежнего центра О. Тогда согласно равенству (1) имеем

Мо* = £ 而О* (冗)=£(0*0 х л) + ^т0 (?,■).

Но Lmo(F^ ==Мо, S0*0xF/=0*0xSFz=0*0X/?/, поэтому окончательно получаем

而=Мо + 0*0 XR', или

Л!。* = Мо + то* 卜R ),(2>

где mo*(R‘)一 вектор-момент главного вектора R, приложенного в прежнем центре приведения。относительно нового центра приведения О*.

Равенство (2) можно переписать в виде

Мо* — Мо = /по* (^ ),

т. е. при изменении центра приведения главный вектор-момент системы сил изменяется на величину, равную вектору'Моменту главного вектора этой системы сил, приложенного s прежнем центре приведения, относительно нового центра приведения.

§ 45. ИНВАРИАНТЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙСИСТЕМЫ СИЛ

Величины, которые не изменяются при каком-либо преобразовании, называются инвариантными по отношению к этому преобразованию. Мы видим, что модуль и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения. Поэтому главный вектор является первым инвариантом произвольной пространственной системы сил, т. е.

R‘= R* = invar,(1)

где R*——главный вектор этой системы сил для нового центра приведения О*.

Что касается главного вектора-момента Мо, то его модуль и направление изменяются с изменением центра приведения. Но скалярное произведение ^•Мо главного вектора R' и главного вектора-момента Мо не зависит от выбора центра приведения, т. е. является emo- рым инвариантом произвольной пространственной системы сил. Докажем это (см. рис. 126). Для центра приведения О имеем

我=e冗；阮=£爲。(冗).

Для нового центра приведения О*

R* = R'； 7й0. ==Mq + 0*0 х^\

Докажем, что

R • Mg = R* • /И(9*.

Очевидно,

歹.羽少=R'.(羽。+时xR') = R・^。+ R' •(师x £)•

Второй член правой части равен нулю, так как в смешанном произведении имеются два равных множителя.

Следовательно,

^**/И0* = R' •而о = invar,(2

что и требовалось доказать.

Так как

Mo*Rr = R cos （r , Л!。） = R，пр必）；，

/И。* *R* = M。* R‘ cos（R , M。*） = R №歹（乂。*），

то согласно равенству （2）

пр^ （M。*）=叩京（Мо） = invar,

т. e. проекция главного вектора-момента M。* относительно нового центра приведения О* на направление главного вектора R' равна проекции главного вектора-момента Мо относительно прежнего центра приведения на то же направление.

Таким образом, для произвольной пространственной системы сил мы имеем два инварианту: первым （векторным） инвариантом данной системы сил является главный вектор этой системы, вторым （скаляр- ным） инвариантом этой системы является скалярное произведение главного вектора на главный вектор-момент, или проекция главного вектора-момента на направление главного вектора.

§ 46. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙСИСТЕМЫ СИЛ К ДИНАМИЧЕСКОМУ ВИНТУ

Пусть в результате приведения произвольной пространственной системы сил к центру О оказалось, что главный вектор /?' и главный вектор-момент Моэтой системы сил отличны от нуля. При этом главный вектор-момент Мо не перпендикулярен к главному вектору Rf , I. е. скалярное произведение главного вектора R' на главный вектор- момент Мо не равно нулю （欠'・附。W0）.

Разложим по правилу параллелограмма главный вектор-момент Мо （рис. 127） на две составляющие М* и Mlt т. е. по направлению главного вектора и по направлению, перпендикулярному к главному вектору, так что

Мо = М\ + Mt

причем

Afi = Мо sin а ;” = MQ cos а.

Это последнее равенство, определяющее проекцию главного вектора-момента Мо на направление главного вектора R', можно, очевидно, записать так:

7И* = пр^, Мо =7И* = пр^, Мо =^-Мо^-МоR% ”0% + Ry Моу + Rz 恤2j/FP + Rj+R』R% ”0% + Ry Моу + Rz 恤2j/FP + Rj+R』(О(О

7И* = пр^, Мо =

7И* = пр^, Мо =

^-Мо

^-Мо

R% ”0% + Ry Моу + Rz 恤2j/FP + Rj+R』

R% ”0% + Ry Моу + Rz 恤2j/FP + Rj+R』

(О

(О

Так как проекция пр戸Л4。главного вектора-момента М она направление главного вектора R не зависит от выбора центра приведения, то отсюда следует, что вектор М* инвариантен по отношению к центру приведения.

Вектор М], перпендикулярный к главному вектору R', заменим парой сил, которую он изображает. При этом плечо этой пары подберем так, чтобы силы пары были равны/?百(=/?‘) и——R. Это плечо, оче- видно, должно быть равным ОА= 乙 .

Ясно, что силы R'n ——欠‘,приложенные в точке О, эквивалентны нулю. Следовательно, в результате получаем силу Ra^^), приложенную в точке А, и пару с вектором-моментом М*, параллельным этой силе.

Так как вектор М* есть вектор свободный, то его можно перенести на линию действия силы 欠若(рис. 128).

Совокупность силы 欠力,равной главному вектору R', и пары, вектор-момент М* которой параллелен силе 7? д, называется динамическим винтов, или динамой.

Проходящая через точку Л прямая ЛЛ\ по которой направлены сила Ra, равная главному вектору R', и главный вектор-момент М* динамы, называется центральной винтовой осью данной системы сил, или осью динамы.

Так как для всех центров приведения, лежащих на центральной винтовой оси, главный вектор-момент направлен по главному вектору, то, очевидно, модуль главного вектора-момента является наименьшим по сравнению с модулем главного вектора-момента данной системы относительно всякого другого центра приведения О, не лежащего на центральной оси. Поэтому главный вектор-момент М* динамы называют наименьшим главным вектором-моментом.

Выведем уравнение центральной винтовой оси данной системы сил. Для этого примем за начало координат центр приведения О (рис. 128). Центральная винтовая ось данной системы сил представляет собой геометрическое место точек Л, для которых векторы R$n Л4* параллельны друг другу. Напишем условие параллельности этих векторов

где р — постоянная линейная величина, называемая параметром динамыЭто условие в проекциях запишется так:

Очевидно, что (см. рис. 127)

М = Mq - то (r4)，⑶

где /и о(7?д) — вектор-момент относительно точки О силы RA = 7?\ действующей вдоль центральной оси.

Моменты chhhRа= R', приложенной к точке Л, относительно координатных осей можно найти по формулам (3, § 38):

Wr (瓦)=yR'z — ZR；；

«у (Ra}= zRx—xU'z,

吃(Ra) = xRy •— yRx,

а поэтому в проекциях равенство (3) напишем так:

— \yRz —次 g)；

My=My~{zRfx~xR^

М? — Mz— [xRy— yRx},

где x, у, z—текущие координаты точки Л на центральной оси. В результате вместо уравнения (2) получим следующие два уравнения, представляющие собой уравнения прямой линии:

(у 旦一Z %) Му — ( zRx — х&) _ 此―(х Ry 一孤*) /八 0

где R'x，欠‘ ，R% и Мх, Л1 , Mz определяются соответственно по формулам (5, § 43) и (8, § 43).

Так как точка Л выбрана на центральной оси совершенно произвольно, то координаты х, у, z всякой точки, лежащей на этой оси, удовлетворяют уравнениям (4). Следовательно, эти уравнения яв* ляются уравнениями центральной оси. Чтобы найти из уравнений (4) точки пересечения центральной оси с координатными плоскостями, положим последовательно в этих уравнениях %=0, у=0 и z=0.

Таким образом, мы доказали следующую теорему: если для данной произвольной пространственной системы сил выполняется условие К'・Л1о 片0, т. е. R'fO и Мо ^=0, и при этом векторы R' и Ro не перпендикулярны 〃 не параллельны друг другу, то такая система сил приводится к динаме. Следует при этом иметь в виду, что свободное твердое тело под действием такой системы сил может одновременно совершать вращательное и поступательное движения, т. е. винтовое движение.

Если для данной системы сил 欠'次0, Л10 fo и при этом главный вектор-момент Мо относительно центра приведения О параллелен главному вектору R', то такая система сил также приводится к динаме, но только ось этой динамы будет проходить через центр приведения О.

СЛУЧАЙ ПРИВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ СИЛ,

НЕ ЛЕЖАЩИХ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ, К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ.ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА О МОМЕНТЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ

В результате приведения произвольной пространственной системы сил может оказаться, что скалярное произведениеRf -Мо равно нулю, а каждый из сомножителей отличен от нуля, т. е. Rf-M0 —0, hoR'#O и Мо #0.

Так как 戸而。=0, то 而。丄必 и, следовательно, сила и пара, к которым приводится данная система сил, лежат в одной плоскости (рис. 129, а). Преобразуем эту пару следующим образом. Возьмем силы R и —R, составляющие пару, равными по модулю R'. При этом плечо этой пары придется взять равным ОЛ = ^ • Расположим пару так, чтобы одна из сил этой пары (на рис. 129, 6 она обозначена через

Рис. 129

—RJ была бы приложена в точке О и была бы направлена в сторону, противоположную направлению главного вектора R'. Другая сила той же пары R равна главному вектору R'(R=R‘)и приложена в точке Л, лежащей на перпендикуляре к R' н Мо. Силы R' и —R взаимно уравновешиваются. Остается одна сила R, приложенная в точке Л. Следовательно, если RJM。=0, ноR丰0 и Мо =^0, то данная система сил приводится к одной равнодействующей R, равной главному вектору R' этой системы сил 〃 приложенной s точке Л, лежащей на перпендикуляре к векторам Rf и Мо на расстоянии ОА =察・

Если М о=0, но R'#0, то система сил, очевидно, также приводится к одной равнодействующей R=R, линия действия которой проходит через центр приведения О. Следует при этом иметь в виду, что свободное тело под действием Тако比 системы сил может совершать только поступательное движение .

Докажем теперь следующую теорему Вариньона о моменте равнодействующей: если данная система сил, как угодно расположенных в пространстве, приводится к равнодействующей, то вектор-момент этой равнодействующей относительно любого центра равен векторной сумме векторов-моментов всех сил этой системы относительно того же центра.

Пусть вектор R есть равнодействующая данной системы сил, приложенная в точке Л (рис. 130, 6). Перенесем равнодействующую R в произвольную точку О (рис. 130, а). Тогда вследствие перенесения вектора R в другую точку появится па吃(R,—R), вектор-момент Мо которой будет равен вектору-моменту т0 (/?)равнодействующей R , приложенной в точке А, относительно точки О, т. е.

М0 = т0 (^). (1)

С другой стороны, если бы мы взяли за центр приведения сразу точку О (рис. 130, а), то данная система сил привелась бы к главному вектору R=£Ft и главному вектору-моменту Мо, перпендикуляр

ному главному вектору R' и равному векторной сумме векторов-моментов всех сил системы относительно центра приведения О, т. е.

мо = ^о^.(2)

Сравнивая правые части равенств (1) и (2), получим теорему Вариньона

质。他)=£%间，(3)

что и требовалось доказать.

СЛУЧАЙ ПРИВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ СИЛ,НЕ ЛЕЖАЩИХ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ, К ПАРЕ

Если главный вектор R' системы сил, не лежащих s одной плоскости9 равен нулю, а главный вектор-момент Мо относительно произвольно выбранного центра приведения О не равен нулю, т. е. R'=0, а М。#0,

т. е. относительнот. е. относительното заданная система сил приводится к одной паре с вектором-моментом Мо (рис. 131). В этом случае главный момент системы не

т. е. относительно

т. е. относительно

изменяется с изменением центра приведения, любого центра приведения главный момент будет равен Мо (Al0 = invar).

Действительно, согласно формуле (2, § 44)

Рис. 131Рис. 131и условию R'=0, имеем

Рис. 131

Рис. 131

訪。*=励。 +0*0 X戸=田0 ,

следовательно, Мо =invar.

Следует при этом иметь в виду, что свободное твердое тело под действием такой системы сил может (но не всегда) совершать только вращательное движение.

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ.

СЛУЧАЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

Условия равновесия произвольной проостранственной системы сил. Остановимся теперь на случае, когда произвольная пространственная система сил такова, что ее главный вектор R' и главный вектор- момент Mq относительно произвольного центра приведения О одновременно равны нулю:

К' = 0; Мо = 0(1)

или

£e=0; £后0(耳)=0.

Очевидно, что такая система сил эквивалентна нулю, т. е. находится в равновесии. Наоборот, если данная система сил находится в равновесии, го должны выполняться условия (1). В самом деле, если бы, например, R'#0, но，。 =0, то данная система сил привелась бы к ра в нодействующей R=R\ приложенной в центре приведения О, и равновесия не было бы. Если бы Rf~Q, но Mo=/=0, то данная система сил привелась бы к одной паре и равновесия также не было бы. Не будет равновесия и в том случае, когда R'#0 и Мо #0, так как сила и пара не могут уравновесить друг друга. Отсюда следует, что для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил 〃 ее главный вектор-момент относительно произвольно выбранного центра приведения одновременно были равны нулю.

Условия (1) называются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил s векторной форме, Этим условиям равновесия можно придать более удобную для практических целей аналитическую форму.

Из формул (6, § 43) и (9, § 43) для модулей главного вектора R' и главного вектора-момента Мо произвольной пространственной системы сил следует, чтоК'н М 0 одновременно обращаются в нуль при соблюдении следующих шести условий:

£ X, = О; 士 匕=О; S 2г = о； £=1 £=1 »=1

" п „ (2)

£ m从巳)=0;£ %(f/ = 0；］ mz^F= 0. t=l i=l j=l

Таким образом, для равновесия произвольной пространс/пвенной системы сил необходимо 〃 достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех этих сил на каждую из трех, любым образом выбранных координатных осей равнялась нулю 〃 чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой *из этих осей также равнялась нулю.

Условия (2) называются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил s аналитической форме.

Заметим, что условия равновесия (2) произвольной пространственной системы сил, приложенных к свободному твердому телу, вообще говоря, не будут условиями равновесия этого тела. Как будет показано в динамике, свободное твердое тело при выполнении условий равновесия (2) может двигаться поступательно, прямолинейно и равномерно вдоль осей координат и одновременно равномерно вращаться вокруг этих осей.

Для того чтобы условия равновесия (2) произвольной пространственной системы сил были одновременно и условиями равновесия свободного твердого тела, к которому эта система сил приложена, необходимо потребовать, чтобы до приложения указанной системы сил тело находилось в покое относительно выбранной системы отсчета. При этом первые три равенства (2) выражают необходимые условия того, чтобы тело не имело перемещений вдоль координатных осей, а последние три являются условиями отсутствия вращений вокруг этих осей.

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил. Если линии действия всех сил данной системы сил расположены в разных плоскостях и параллельны между собой, то такая система сил называется пространственной системой параллельных сил.

Пользуясь условиями равновесия (2) произвольной пространственной системы сил, можно найти условия равновесия пространственПользуясь условиями равновесия (2) произвольной пространственной системы сил, можно найти условия равновесия пространствен

Пользуясь условиями равновесия (2) произвольной пространственной системы сил, можно найти условия равновесия пространствен

Пользуясь условиями равновесия (2) произвольной пространственной системы сил, можно найти условия равновесия пространствен

ной системы параллельных сил.

Пусть на твердое тело действует пространственная система параллельных сил (рис. 132). Так как выбор координатных осей произволен, то можно выбрать координатные оси так, чтобы ось z была параллельна силам. При таком выборе координатных осей проекции каждой из сил на осн% иz/и их моменты относительно оси z будут равны нулю, и, следовательно, ра- .венства £Х(=0, £匕 =0 и £团？(尸J=° удовлетворяются независимо от того, находится ли данная система сил в равновесии или нет, а поэтому перестают быть условиями равновесия. Поэтому система (2) даст только три условия равновесия:

£z( Н 0；£用从尸,Г

0；工加乂冗)=0・(3)

2=1

Следовательно, для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на осн, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из двух координатных осей, перпендикулярных к этим силам, также равнялась нулю.

§ 50. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ И С ДВУМЯЗАКРЕПЛЕННЫМИ ТОЧКАМИ.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Равновесие твердого тела с одной закрепленной точкой. Выведенные в § 49 условия равновесия, а также установленные нами ранее условия равновесия для частных случаев расположения сил являются условиями равновесия свободного твердого тела.

На практике мы обычно имеем дело с телами несвободными. Примером несвободного тела может служить тело с одной неподвижной точкой. Неподвижное закрепление точки тела можно осуществить, например, при помощи сферического шарнира, т. е. приспособления, обеспечивающего неподвижность

точки закрепления тела и допускающего возможность поворота тела вокруг любой оси, проходящей через эту точку.

Пусть на твердое тело с одной закрепленной точкой О (рис. 133) действует произвольная пространственная система сил F/i = l ,2 , ...,п). Под действием этой системы сил возникает сила реакции^0 не. подвижно закрепленной точки О, которая служит связью. Эта реакция неизвестна ни по модулю, ни по направлению. Выбирая начало

координат в неподвижной точке, разложим реакцию R。на три составляющие^, Ry и R?, имеющие направление осей координат. Отбрасывая связь и заменяя ее действие на тело реакциями R*, Ry и R» можно данное несвободное тело рассматривать как свободное и написать для него шесть соотношений равновесия:

Ex, + R* = o； £匕+ Ry = o； £厶 + 旦=0；

⑴⑴4=14=1i=l

⑴

⑴

£ %(f〃 =0；［%(%)=。；工加2(死)Н6 j=li=lj=l

Моменты силы Ro относительно всех трех координатных осей равны нулю, так как сила R。пересекает все эти три оси. Поэтому в последние три соотношения входят только активные снлн£(£=1, 2, ...» п). Те из соотношений (1), в которые не входит реакция связи К。，называются условиями равновесия. В последние три соотношения проекции реакции R。закрепленной точки не входят. Следовательно, эти три соотношения являются условиями равновесия, которым должны удовлетворять активные силы 巳(£=1, 2, ...» п), действующие на тело, чтобы оно оставалось в равновесии.

Соотношения (1), в которые реакция связи 7?0входит, называются уравнениями равновесия, В первые три соотношения проекции реакции

Ко закрепленной точки входят, поэтому эти соотношения являются уравнениями равновесия, из которых можно определить проекции К#, Ry и Rz неизвестной реакции R。и, следовательно, можем найти и реакцию R。.

Равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками. Неподвижное закрепление двух точек Л и В тела можно осуществить, например, при помощи сферических шарниров или подпятников (рис. 134, а). Ясно, что прямая, проходящая через точки А и В, так-

Рис. 134

же будет неподвижной. Эта прямая называется осью вращения. Тело в этом случае имеет возможность поворачиваться вокруг оси вращения. Примем точку А за начало координат и направим ось z по оси вращения АВ. Расстояние между точками Л и В обозначим через h. Пусть на это тело действует произвольная пространственная система сил 吊(£=1, 2, ..., п). Тогда в результате действия на тело сил этой системы в точках закрепления Д и В возникнут силы реакций RA и Rb • Разложим эти неизвестные по модулю и направлению реакций на составляющие по осям координат. Обозначим эти составляющие соответствен- но через Rax » RAy. Raz и Rbx, Кву, Rbz・ Отбрасывая связи и заменяя их действие на тело реакциями R$n R®, можно данное несвободное тело рассматривать как свободное и написать для него шесть соотношений равновесия:

лп

£Х, + Ках+&х=0;£ 匕十欠 4д + Кв“ = 0；

£ 4 + Raz + Rbz =。；

S %(E) — hRBy =0; t 々阊 + hRBx = 0;

Ml2=1

£ ^2(吊)二 о.

В последнее из соотношений (2) неизвестные силы реакций закрепленных точек Л и В не входят. Следовательно, это соотношение является условием равновесия,которому должны удовлетворять задан- ные силы^Дг = 1, 2, ..., п), действующие на тело, чтобы оно оставалось в равновесии.

Первые пять соотношений содержат силы реакций, поэтому они будут являться уравнениями равновесия. Эти пять уравнений равновесия служат для определения шести проекций RAx , R^y, R』z， Rbx> Ray. Rbz неизвестных реакций R^h Rs . Одна неизвестная является лишней. Следовательно, задача будет статически неопределимой. Эта статическая неопределимость устраняется, если предположить, что в одной из точек закрепления, например в точке В, имеется подшипник (рис. 134, б).

Указания к решению задач. Задачи этой главы можно разбить на два основных типа:

задачи, относящиеся к равновесию произвольной пространственной системы сил;

задачи, относящиеся к приведению произвольной пространственной системы сил к простейшему виду.

Принцип решения задач первого типа остается тем же, что и для произвольной плоской системы сил. Установив, равновесие какого тела, будет рассматриваться, отбрасывают наложенные на тело связи, заменяют их действие на тело соответствующими силами реакций и составляют уравнения равновесия этого тела, рассматривая его как свободное. Задачи этого типа решаются при помощи шести уравнений равновесия (в частном случае, когда все заданные силы и реакции связей параллельны, имеем три уравнения равновесия). При составлении уравнений равновесия для определения проекций сил на координатные оси нужно воспользоваться указаниями, данными в § 24.

Новым элементом при решении задач первого типа в составлении уравнений равновесия является вычисление моментов сил относитель-

но осей координат. Ось моментов рекомендуется выбирать лежащей в плоскости одной из неизвестных сил. Тогда момент этой силы относительно данной оси будет равен нулю.

Момент силы относительно координатной оси можно вычис.чить двумя способами: 1) аналитически, пользуясь формулами (3, § 38), выражающими искомый момент силы через проекции этой силы на координатные оси и через координаты ее точки приложения;

геометрически, проектируя данную силу на координатную плоскость, перпендикулярную к этой оси, и вычисляя момент этой проекции относительно начала координат. 、

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие, из которых одна параллельна какой-нибудь координатной оси. Затем нужно воспользоваться теоремой Вариньона о моменте равнодействующей (см. задачу 28).

При решении задач второго типа рекомендуется придерживаться следующего порядка:

Принимаем выбранный нами центр приведения за начало координат и направляем координатные оси так, чтобы можно было проще определять проекции сил на оси и моменты сил относительно этих осей.

Определяем проекции главного вектора R' данной системы и ее главного вектора~момента М о на каждую из трех координатных осей.

Устанавливаем, к какому простейшему виду приводится данная система сил*

Если окажется равной нулю каждая проекция К' на координатные оси и не равной нулю хотя бы одна проекция Мо на те же оси, то R'=0, Мо^, и данная система сил приводится к одной паре, вектор-момент которой равен главному вектору-моменту Мо данной системы сил относительно выбранного центра приведения О (начала координат). В этом случае остается найти модуль и направляющие косинусы главного вектора-момента Л)опо формулам (9, 10, § 43).

Б. Если хотя бы одна из проекций R' на координатные оси не равна нулю, а каждая проекция Л10 на те же оси равна нулю, то R'=#0, Мо =0, и данная система сил приводится к равнодействующей, равной главному вектору R', линия действия которой проходит через центр приведения О. В этом случае остается вычислить модуль и направляю^ щие косинусы этой р а в нодействующей по формулам (6, 7, § 43).

Если хотя бы одна из проекций R' на координатные оси и хотя бы одна из проекций Мо на те же оси не равны нулю, то 7?' ^=0, Мо =^0. Если при этом окажется, что R'・A10=O, т. е. главный вектор-момент Mq окажется перпендикулярным к главному вектору 我‘,то данная

система сил также приводится к равнодействующей, равной главному вектору R'. При этом модуль и направляющие косинусы равнодействующей определяются по тем же формулам (6, 7, § 43). В данном случае точка А приложения равнодействующей, как известно, не совпадает с центром приведения О. Положение точки А приложения равнодействующей силы может быть определено после определения положения Мо при помощи формул (10, § 43). Точка А будет лежать на

перпендикуляре к векторам R и Мо на расстоянии ОА = ^^ При этом перпендикуляр необходимо восставлять в ту сторону, откуда наблюдателю, расположенному по главному вектору-моменту Mq , поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки.

Г. Если же окажется R'-Mo 次0, т. е. если R'#0 и Мо 次Он, кроме того, Мо не перпендикулярен к R- то данная система сил приводится к динаме. В этом случае нужно нацти точку 4, через которую проходит центральная ось данной системы сил, а также модуль вектора-момента М* относительно этой точки. Модуль М* вектора-момента М^ динамы определяется по формуле (1, § 46).

Так как центральная ось данной системы сил параллельна глав* ному вектору R' этой системы, то направление центральной оси необ、 ходимо определить по формулам (7, § 43).

.Координаты хну точки пересечетения центральной оси с плоскостью хоу

определяются уравнениями центральной оси (4, § 46) после подстановки —в них z=0.

'、5Задача 29. Систему двух сил

尸 1=8направленную по оси Oz, и

^Д— —―^~т 尸2=12 ", направленную параллель-

/- / но оси Оу, как указано на рис. 135,

/' / где ОВ = \,Зму требуется привести к

а/>/простейшему виду, определив глав-

/5ный вектор R' и вектор-момент

динамы ЛР. Найти координаты хи у Рис. 135точки пересечения центральной оси

с плоскостью Оху、

Р е ш е н и е. За центр приведения возьмем точку О, которую примем за начало координат； координатные оси Ox, Оу, Oz направим так, как показано на рис. 135.

Чтобы определить для данной системы сил главный вектор R' и главный вектор-момент Мо относительно точки О, найдем проекции этих векторов на координатные оси.

Для проекций главного вектора R' на координатные оси имеем

Rx = £ Xj = 0; Ry — £匕=12; R? = £Zj = 8.

Так как точка приложения силы 尸2 лежит на оси Ох и сила F2 параллельна оси Оу , а точка приложения силы f\ лежит на осях Ох и Оу и сила 尸 1 направлена вдоль оси Oz, то

mJ尸2） = % （与）=。； 他（f2 ） = 12. 1,3 = 15,6;

加上 （戸1% （耳）=饵（瓦）=。，

а поэтому для проекций главного вектора-момента Мо на координатные оси имеем

Мх = £ mx（F）= 0; Му — £/т?у（F）= 0; Mz = S?tiz （fj — 15,6.

По найденным проекциям главного вектора R' определим его модуль и направл яющие косинусы:

^ = /R^+ R^+ R「= V122+ 82 = 14,4 кГ;

cos （斤?『）=£ =0; cos（R? j） = $ =誥；

cos （% 不）=冬=/ •

Далее находим модуль главного вектора-момента Мои его направляющие косинусы:

= ]/Л4： +死 + 此=15,6 кГм;

«4及£；）=需=0; cos 阮y）=需=0;

Так как главный вектор R' данной системы сил не равен нулю, то эта система не может быть приведена к одной паре. Поэтому остается 14 H.包 Сахарный

установить, приводится ли система, состоящая из главного вектора R', приложенного в точке О, и пары с вектором-моментом, равным главному вектору-моменту М。, к равнодействующей или к динаме. Для этого составим выражение для второго инварианта:

戸.而0 = R；M*+ RgMy + R；/Wz = 8・15,6= 124,8 кГМ#。.

Так как второй инвариант нулю не равен, то главный вектор-момецт Л1о не перпендикулярен к главному вектору R', и, следовательно, данная система из двух сил приводится к динаме (рис. 136, а).

Чтобы найти положение центральной оси, составим уравнения (4, § 46), которые в рассматриваемой задаче примут вид

—8y + 12z _8х — 15,6— 12х

0= ТТ =8，

или

3z — 2 у = 0;

х = 0,9.

Если положим в этих уравнениях z=0, то найдем координаты точки Л пересечения центральной оси с координатной плоскостью хОу (рис. 136, б):

% = 0,9; у = 0 (z = 0).

Точку А пересечения центральной оси с плоскостью хОу можно найти и другим путем. Для этого найдем модуль вектора-момента Л1 (рис. 136, а):

Мг = мо sin(^£必)= M°cos(R'A『)=15,6•許=•1^仃儿

Представляя вектор-момент М^ в виде пары {/?д ,——R ), которую он изображает, найдем точку А, принадлежащую центральной оси:

ОА = ^ОА = ^187,2 с с=女=°，9 m，187,2 с с=女=°，9 m，

ОА = ^

ОА = ^

187,2 с с

=女=°，9 m，

187,2 с с

=女=°，9 m，

сил проходит через точку Л ссил проходит через точку Л ст. е. центральная ось данной системы координатами

сил проходит через точку Л с

сил проходит через точку Л с

% = 0,9; у =： 0 (z = 0).

Теперь найдем модуль М* вектора-момента М* данной системы сил относительно любой точки, лежащей на центральной оси (наименьший главный вектор-момент). Разложим по правилу парал-

лелограмма главный вектор-момент Mq относительноточки О на две составляющие (рис. 136, а): М*, параллельную R', и М^ перпендикулярную R'. Заметим, что первая составляющая является искомым наименьшим главным вектором-моментом. Проекция главного вектора- момента Мо на направления главного вектора R' определяется по формуле

Подставляя сюда найденное значение второго инварианта 可・M。 и модуля главного вектора, получим

Т = 8,65 кГм>

14,4

— Так как в данном случае Rf-Мо >0, то параллельные векторы R'=Ra и Л4* направлены в одну сторону.

Задача 30. На вал АВ ворота намотана веревка, поддерживающая груз Q. Радиус тягового колеса R, насаженного на вал, в 6 раз больше радиуса 尸 вала; другие размеры указаны на рис. 137, а. Веревка, намотанная на окружность тягового колеса и натягиваемая грузом Р, сходит с колеса по касательной, наклоненной к горизонту под углом а. Определить величину груза Q, при которой ворот остается в равновесии, а также реакции подшипников Л и В, пренебрегая весом вала и трением в блоке D.

14*

Решение. За начало координат возьмем точку Л, ось Ау направим по оси вала, а ось 4z — по вертикали вверх (рис. 137, б). Считая вращающуюся часть ворота свободным твердым телом, изображаем действующие на него силы: натяжение веревки 7\ по модулю

Рис. 137

равное силе тяжести Р груза Р, силу тяжести Q груза Q и реакции подшипников Ха^а, Xg, Zg. В данной задаче имеем пять неизвест-

ных, подлежащих определению: Хд, Za^^ ^в и Q. Для определения этих неизвестных имеем пять уравнений равновесия (уравнение проекций на ось Ау отпадает, так как все силы перпендикулярны к этой оси, и это уравнение превращается в тождество вида 0—0).

Перед тем как составить уравнения равновесия, вычислим проекции всех сил на координатные оси Ах и Az, их моменты относительно осей Ах, Ау и Az и внесем результаты этих вычислений в следующую таблицу:

Ху,

ZA

Хв

Z石

т

Q

X,

Ху!

0

Хв

0

P cos a

0

4

0

0

Z石

—P sin a

-Q

m* （元）

0

0

0

Zb (叶Ь)

C Psina

-Qb

my (R)

0

0

0

0

P6r

_Qr

检（局

0

0

—Хв 依+6)

0

C p COS a

0

Теперь составляем уравнения равновесия, приравняв к нулю алгебраические суммы проекций всех сил на оси % н z н алгебраические суммы их моментов относительно осей 尤，у н z:

£Х» = Ха +Xg + Pcosa = 0;

£ Z( = Z$ + Z® — Psina — Q = 0;

£ mx (Fj = (a + b) Zs + с P sin a — bQ = 0；' 色 ％低)=GrP — rQ = 0;

£% (吊)=—(а + b) Х^ + с Р cos а = 0.

Из четвертого уравнения определим величину груза, необходимую для равновесия вала Q=6P・

ШИПНИКОВШИПНИКОВИз остальных уравнений найдем неизвестные силы реакций под- 4 н В:

ШИПНИКОВ

ШИПНИКОВ

X.X.а + 6 + сa +ба + 6 + сa +б』^Pcosa; X”+Pcosa;D .6 Pb e 76 Pb с „ .P sma-f+ Q; гв = ^~—Р51па.』^Pcosa; X”+Pcosa;D .6 Pb e 76 Pb с „ .P sma-f+ Q; гв = ^~—Р51па.

X.

X.

а + 6 + сa +б

а + 6 + сa +б

』^Pcosa; X”+Pcosa;

D .6 Pb e 76 Pb с „ .

P sma-f+ Q; гв = ^~—Р51па.

』^Pcosa; X”+Pcosa;

D .6 Pb e 76 Pb с „ .

P sma-f+ Q; гв = ^~—Р51па.

Задача 31. Подъемный кран (рис. 138, а) установлен на трехколес-, ной тележке АВС. Известны размеры крана: AD=DB = \ м; CD = =15 м; СМ=^\ м, KL=4 м. Кран уравновешивается противовесом F. Вес Р крана с противовесом равен 8 т и приложен к точке G, расположенной в плоскости LMNF на расстоянии G"=l м от оси крана MN\ поднимаемый груз Q весит 4 т. Найти давление колес на рельсы для того положения крана, когда плоскость его LMF параллельна АВ

夕夕Рис. 138Рис. 138

夕

夕

Рис. 138

Рис. 138

Решение. Направим оси координат, как указано на рис. 138, б. В качестве тела, равновесие которого мы будем рассматривать, берем трехколесную тележку ЛВС с укрепленным на ней краном. На тележку действуют две вертикальные активные силы: вес 戸 крана с противовесом и груз Q. Отбросив связи А, В и С и заменив их действие на тележку искомыми реакциями R/, К® н Кс, направленными вертикально вверх (трением в опорах пренебрегаем), можно считать тележку свободным твердым телом (рис. 138, б).

В данном случае все силы, приложенные к тележке, параллельны оси 4z, и потому имеем три следующих уравнения равновесия:

£4 =必 + r8+戏一Р一(2 = 0;

£/7Zx— 5Q + 1 Rc + 2 7?石 н 0;

Hmy (F, = 0,5P + 0,5Q — 1,5 R。= °，

где m^P)=m^^^Q, так как линии действия сил Р н R$ пересекают ось Ах.

Подставляя данные из условия задачи в эти урав. ения и решив их относительно Ra, Rb н Rc, получим

Ra = О, RB = 8 т и Rc == 4 т.

Искомые давления колес тележки на рельсы будут равны по модулю найденным реакциям и направлены вертикально вниз. Полученные результаты показывают, что тележка не оказывает давления на опору 力.Однако изменение какого-нибудь условия задачи приведет к возникновению этого давления.

Глава VIII

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

§ 51. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛК РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ.

ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

Если на тело действует пространственная система параллельных и в разные стороны направленных сил 尸小 尸2，•••，尸"(рис. 139), то, выбрав координатные оси так, чтобы ось z была параллельна заданным силам, а плоскость хОу к ним перпендикулярна, по формулам (5, 8, § 43) будем иметь

r；=0；6乂耳)；

Rg = 0； ^Оу = £ Му (Fj)；

Rz = 2尸??；^Oz =0.

По формулам (6, 9, § 43) найдем модуль главного вектора R'=R； и главного вектора-момента Mo =pM3+M20y. При этом из формул (7, 10, § 43) следует, что главный вектор R' при выбранном центре приведения в точке О расположен на оси z, а главный вектор-момент Мо—в плоскости хОу (рис. 139). Следовательно, главный вектор R перпендикулярен к главному вектору-моменту М。, а поэтому пространственная система параллельных сил никогда не приводится к динаме. Она приводится к равнодействующей, если 欠'次0, или к паре, если R'=0, или взаимно уравновешивается, если Р=0 и M0^Q.

Рассмотрим теперь пространственную систему параллельных и одинаково направленных сил Fp f2, „., Fn (рис. 140), приложенных к телу в точках Аъ 才好...» Ап, Очевидно, что эта система сил приводится к р а в нодей ствующей. Найдем эту равнодействующую.

Рассмотрим сначала силы 尸^ и 尸『В главе III, § 12, было показано, что равнодействующая /?12 сил ^ и F2 по модулю равна 欠12=尸1+尸2,

им параллельна и направлена в ту же сторону. При этом линия действия равнодействующей R^ проходит через точку С12, которая лежит на отрезке А^^ соединяющем точки приложения составляющих сил 凡 н 冗，н делит этот отрезок на части, обратно пропорциональные составляющим силам:

F1*A1C12 = F 2' А^С^(1)

Из этого соотношения следует, что положение точки С12 зависит только от модулей составляющих сил и расположения их точек прило

жения и не зависит от направления этих сил. Если силы^ и 尸 2 повернуть около их точек приложения Л-l и Д2 на один и тот же угол в одну н ту же сторону, то точка С12 сохранит свое положение, и равнодействующая К]? повернется вокруг нее на этот же угол.

Рассмотрим теперь силы R12 и F3. Равнодействующая Т?12з этих сил по модулю равна 欠123=欠12+尸3=尸1工尸2+尸з，им параллельна, направлена в ту же сторону и проходит через точку С12з. При этом точка С123 обладает таким же свойством, каким и точка С12.

Применив это рассуждение для равнодействующей Т?123 и силы 尸4 и т. д., придем к заключению, что равнодействующая R пространственной системы параллельных сил Fr, F2> •••，尸冲 направленных в одну сторону, равна по модулю сумме модулей этих сил, им параллельна и направлена в ту же сторону. При этом линия действия равнодействующей проходит через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам Лх, Д2> ••» Лл, т. е. к телу, будет неизменным.

Точка С, через которую проходит равнодействующая системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Найдем теперь координаты центра параллельных сил. Положение точки С по отношению к телу является неизменным и от выбора системы

осей координат Oxyz не зависит. Найдем сначала положение центра двух параллельных сил Fr и F2 (рис. 141).

Пусть радиус-вектор /\ определяет положение точки приложения силы F], а радиус-вектор г2— точки приложения силы F2- Линия действия равнодействующей /?12 этих сил пересекает отрезок АгА2 в точке С12. Изменим направление сил 尸i и F2, повернув их на некоторый произвольный угол а. При этом линия действия новой равнодействующей R 12 будет пересекать отрезок АГА2 также в точке С12. Следовательно, по определению, точка С12 представляет собой центр параллельных сил ?т и F2-Предположим, что радиус-вектор,определяющий положение точки 岂2, есть г12. Очевидно (рис. 141), что

g + 4&2 = r12g + 4&2 = r12И「12 + &2厶2 =「2,И「12 + &2厶2 =「2,

g + 4&2 = r12

g + 4&2 = r12

И「12 + &2厶2 =「2,

И「12 + &2厶2 =「2,

Так как векторы А/ и С12А3 (рис. 141) коллинеарны, то соотношение (1) можно записать в виде

илиили(2)(2)

или

или

(2)

(2)

Разрешая равенство (2) относительно г12)получаем

「1尸1 +f尸2 一尸1 +尸2「1尸1 +f尸2 一尸1 +尸2(3).(3).

「1尸1 +f尸2 一尸1 +尸2

「1尸1 +f尸2 一尸1 +尸2

(3).

(3).

Эта формула определяет положение центра &2 авух параллельных

СИЛf1 и?2，

13 Н. Ф. Сахарный

Для определения радиуса-вектора г123, определяющего положение центра трех параллельных сил:尸° F2 и 尸3，можно воспользоваться формулой (3) и определить по ней положение центра двух параллельных сил:欠1?=尸1+尸2 и 广％ Пусть положение точки приложения силы 尸* определяется радиусом-вектором г3. Тогда положение центра С123 трех параллельных сил:尸卜 F2 и F3―будет согласно формуле (3) определяться так:

~ 一 Г1« ^12 + f3^3— г/］十 Г/2+「3尸3/Д\

Аналогичным приемом мы получил! и радиус-вектор г。, определяющий положение центра С системы п параллельных сил:

7= 7 = g% +，2尸2+…+М也

123 …/平不+一.:二+ 广〃，

ИЛИ.

гс=^—-(5)

или-

,(6)

где R= Yt F「модуль равнодействующей R пространственной си- стемы параллельных сил F* /%，•••，尸仆 ri——радиус-вектор точки приложения 4t силы尸厂

Проектируя векторное равенство (6) на оси координат, получим координаты центра параллельных сил в виде

2尸，巧2尸也e尸自

5^=4— ； % =ZL，、—(7)

Заметим, что формулы (6) и (7) будут справедливы и для параллельных сил, направленных в разные стороны, если в них считать Fi ве- личинами алгебраическими (для одного направления со знаком《плюс》, для другого — «минус») и если при этом R中，

Применим теперь формулы (6) и (7) к определению положения центра тяжести тел.

§ 52. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

Как известно, на каждую z-ю частицу тела, находящегося вблизи земной поверхности, действует направленная вертикально вниз сила рр называемая силой тяжести.

Строго говоря, силы тяжести р? (i=l, 2,..・，и), приложенные ко всем частицам тела, представляют собой систему сходящихся сил, так как линии действия этих сил пересекаются в одной точке — приблизительно в центре Земля. Однако для тел, размеры которых малы по сравнению с земным радиусом, силы тяжести 卩上(f=l, 2, ...» и) всех частиц тела можно считать параллельными друг другу и сохраняющими вблизи земной поверхности постоянную величину при любых поворотах тела. Поле силы тяжести, в котором выполняются эти два условия, называется однородным полем силы тяжести.

Обозначим через Р равнодействующую параллельных сил тяжести Pi (f=l, 2, ..., л). Модуль этой равнодействующей равен весу тела и определяется равенством

р=£&. (1)

Равнодействующая Р параллельных сил тяжести Pz будет при любых положениях тела проходить через одну и ту же неизменно связанную с телом точку С, являющуюся центром параллельных сил тяжести Pt (i=l, 2,…，и). Эта точка и называется центром тяжести тела.

Таким образом, на основании свойства центра параллельных сил можно заключить, что центр тяжести твердого тела обладает тем свойством, что через него проходит линия действия равнодействующей параллельных сил тяжести отдельных его частиц, независимо от расположения тела в пространстве^.

Это свойство позволяет экспериментально определить центр тяжести неоднородного тела сложной конфигурации согласно следующему правилу: достаточно подвесить тело к нити в некоторой точке и построить продолжение нити в теле, затем подвесить тело к нити в некоторой другой точке и также построить продолжение нити в теле, тогда пересечение построенных линий определит центр тяжести этого тела.

Установим теперь аналитические формулы для нахождения координат центра тяжести тела..

* Согласно определению, центр тяжести — это геометрическая точка, которая в частных случаях (например, для кольца) лежит вне пределов тела.

13*

Согласно § 51 имеем следующие формулы для определения координат центра тяжести тела:

С ~ Р，

% = ^V； ZC = -p- >⑵

где 尤“ у» Zj— координаты точек приложения сил тяжести 卩上 частиц тела.

Если обозначим массу тела через Л4, а массы отдельных его частиц — через /и» т2,…,тп, то будем иметь P=Mg, Pt=m»g (i=l, 2,…，n), где g — ускорение силы тяжести.

Подставив эти значения в выражения (2), получим

Пnп

工 т^勺工 mzуi£ tnizt

%—M； yc = —M； 2C = —M，(3)

так как в числителе g как общий множитель выносится за скобку и сокращается с g в знаменателе.

Точка, координаты которой определяются формулами (3), называется центром масс или центром инерции тела.

Положение центра масс зависит лишь от распределения масс в теле и является одной из характеристик этого распределения.

В то время как понятие о центре тяжести имеет смысл только для тела, помещенного в однородное поле силы тяжести, понятие центра масс не связано с понятием о силовом поле, в которое помещено тело, и в этом смысле является более общим.

Для тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, положение центра тяжести и центра масс совпадает.

Если тело однородно, то отношение веса i——ой частицы к ее объему S постоянно, т. е.

= 7 const,

где 丫一 вес единицы объема.

Заменяя в равенствах (2) веса отдельных частиц тела р, через т°±， а вес тела Р через ?К где V — объем всего тела, имеем

£5场£ay

так как в числителе т как общий множитель выносится за скобку и сокращается с 丁 в знаменателе.

Как видно, центр тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, а от величины 丫 не зависит. По этой причине точку С, координаты которой определяются формулами (4), называют центром тяжести объема V.

плп

Выражения £ xz； £ ^上 у^; £ t^ zz называются статическими мо・ ментами объема относительно плоскостей yOz, хОг и хОу.

Если тело представляет собой однородную тонкую пластинку постоянной толщины, имеющую очертание плоской фигуры, то в этом случае аналогично будем иметь

⑸⑸Si打工Sj yt

⑸

⑸

~s~~'S

где S ——площадь всей пластинки, а 邑一площади отдельных ее частей (оси координат хОу расположены в плоскости пластинки).

Точку С, координаты которой определяются формулами (5), называют центром тяжести площади S.

Величины £у* и £s必上 называются статическими моментами плоской фигуры относительно осей у и х. Статический момент плоской фигуры относительно оси 尤 или у может быть величиной положительной, отрицательной и равной нулю, если ось проходит через центр тяжести плоской фигуры. В самом деле, из равенств (5) следует, что если хе =0, то и £邑看=0; при ус=0 и ?巨山=0.

Точно так же получаются формулы для координат центра тяжести линии (согнутая из проволоки кривая)

工乙也£ 4执工％zi

；先； zl 嘖，(6)

где L — длина всей линии,乙——длины отдельных ее частей.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

§53. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИТЕЛ

Способ симметрии. Докажем, что если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести этого тела лежит соответственно или в плоскости, или на оси, или s центре симметрии.

Допустим, например, что однородное тело имеет плоскость симметрии. Проведем в этой плоскости оси Ох и Оу (рис. 142). Вследствие симметрии всякой частице 〃上 тела с координатами (工上，у^ 马)соответствует частица М^ того же объема s с координатами (巧，у尸一z). Поэтому £力马=0 и, согласно последней из формул (4, § 52), 在=6, т. е. центр тяжести однородного тела лежит в плоскости симметрии хОу.

Аналогичное доказательство можно применить и в случаях, когда тело имеет ось или центр симметрии.

Следствия. 1. Центр тяжести отрезка материальной прямой линии лежит s его средине.

Центр тяжести круглого кольца, круглой или прямоугольной пластинки, площади правильного многоугольника и эллипса, объема прямоугольного параллелепипеда и шара и других тел, имеющих центр симметрии, лежит s их геометрических центрах (в центрах симметрии).

Способ разбиения. Этот способ применяется для определения центра тяжести тел сложной геометрической формы. Общий прием определения центра тяжести таких тел состоит в том, что данное тело разбивают на конечное число частей простейшей геометрической формы (если это, конечно, возможно), для каждой из которых положение центра тяжести известно или оно сравнительно легко может быть найдено. Тогда координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам (4, 5, 6, § 52)*, понимая в этих формулах под s，s- и 4 объемы, площади и длины частей, на которые разбито данное тело, фигура или линия, а под хр 物，刍—— координаты центров тяжести этих частей.

Рассматриваются однородные тела, фигуры и линии.

Способ дополнения. Этот способ, являясь частным случаем способа разбиения, применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без вырезов и вырезанных частей известны.

Пусть, например, требуется найти центр тяжести тела, представляющего собой плоскую фигуру с п вырезами.

При определении центра тяжести фигуры с вырезами пользуются теми же формулами (5, § 52), считая в них площади вырезанных частей отрицательными.

Обозначив эти площади через—S。一S2, …,一5Л, а через xvylt х2, Р2； • ••； хл, уп ——координаты их центров тяжести, будем иметь для определения координат центра тяжести данной плоской фигуры с п вырезами следующие формулы:

(1)(1)一 Sq*o — Sl*l — 82*2— • . • ——Sn%nCS()— Si — S2 — . . . —Sr

(1)

(1)

Soj/o 一 S正' —S2yz — • • • — SnUn °So — Si—S2— . . . — 5Л

где So— площадь фигуры без вырезов, а %, %— координаты ее центра тяжести.

Способ интегрирования. Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положение центров тяжести которых известно или легко найти, то тело разбивают сначала на произвольные малые объемы А% для которых формулы (4, § 52) примут вид

£ A S %

хс

п*

Ус n' *

乎。，

А,

i=l

f=l

‘ =1

где %£, у(,石——координаты некоторой точки, лежащей внутри объема

z。= $ J zdo,z。= $ J zdo,(2)(2)Переходя к пределу и предполагая, что число элементарных частиц, из которых состоит тело, неограниченно возрастает, а объем Аи, каждой такой частицы стремится к нулю, будем иметь

z。= $ J zdo,

z。= $ J zdo,

(2)

(2)

хс ~ *V J xdv; ус = -^~ f ydv;М(V)

где V=^dv ——объем рассматриваемого тела. Здесь интегралы распространены по объему всего тела.

Подставляя As^ в формулы (5, § 52) и переходя к пределу, мы получим аналогично координаты центра тяжести плоской фигуры

(3)(3)% = g J xds; % = ± J yds,(S)(S)

(3)

(3)

где S =Jds—площадь рассматриваемой фигуры. Здесь интегралы рас- пространены по площади всей фигуры.

Подставляя А厶 в формулы (6, § 52) и переходя к пределу, получим совершенно аналогично координаты центра тяжести материальной линии:

% = ； J xdZ; % = ； J ydl; % = ； J zd/, (4) 亿)⑷(L)

где L=$dl — длина всей распространены по длинегде L=$dl — длина всей распространены по длинерассматриваемой линии. Здесь интегралы всей линии.

где L=$dl — длина всей распространены по длине

где L=$dl — длина всей распространены по длине

§54. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ НЕКОТОРЫХ ЛИНИЙ, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ

Центр тяжести площади треугольника. Разобьем площадь треугольника ABD (рис. 143) прямыми, параллельными стороне AD7

на большое число узких полосок, которые можно рассматривать как

Рис. 143Рис. 143отрезки материальной прямой линии. Центр тяжести каждой такой полоски лежит в ее середине, т. е. на медиане FB треугольника ABD. Следовательно, и центр тяжести площади треугольника ABD лежит на этой медиане.

Рис. 143

Рис. 143

Разбив площадь треугольника ABD прямыми, параллельными какой-нибудь другой стороне, например BD, и рассуждая аналогичным образом, придем к тому, что центр

тяжести площади треугольника должен лежать на медиане ЕА. Отсю

да заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит s точке пересечения его медиан.

При этом, как известно из геометрии,

(1)(1)CL = —DL.

(1)

(1)

Центр тяжести дуги окружности. Пусть дана дуга АВ окружности радиуса R с центральным углом 2 а (рис. 144). Начало коорди-

нат возьмем в центре окружности и ось Ох направим перпендикулярно к хорде АВ. Очевидно, ось Ох будет осью симметрии для дуги АВ, и, следовательно, центр тяжести дуги окружности АВ лежит на этой оси. Найдем координату хс способом интегрирования. Для этого выделим на дуге АВ элемент d/=Rd中，положение которого определяется углом <р. Координата 尤 этого элемента будет %=Rcos中.Подставляя эти значения в первую из формул (4, § 53), находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра

ВВR2 J costpdp—aR sE аR2 J costpdp—aR sE а(2)(2)где угол а измеряется в радианах.где угол а измеряется в радианах.Рис. 144Рис. 144Рис. 145Рис. 145частности, для дугичастности, для дугиполуокружностиполуокружностиимеемимеем

В

В

R2 J costpdp

—aR sE а

R2 J costpdp

—aR sE а

(2)

(2)

где угол а измеряется в радианах.

где угол а измеряется в радианах.

Рис. 144

Рис. 144

Рис. 145

Рис. 145

частности, для дуги

частности, для дуги

полуокружности

полуокружности

имеем

имеем

Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом 2а (рис. 145). Разобьем мысленно площадь сектора АОВ радиусами, проведенными из центра О, на элементарные секторы с центральным углом d中.Эти элементарные секторы можно рассматривать как плоские треуголь-

2 ники, центры тяжести которых лежат на дуге 4出工 радиуса /?. Следовательно, центр тяжести сектора ОАВ будет совпадать с центром тяжести дуги Л^, положение которого найдется по формуле (2).

(3)(3)(а=у) получим(а=у) получимххсс3"3"(4)(4)

(3)

(3)

(а=у) получим

(а=у) получим

х

х

с

с

3"

3"

(4)

(4)

Окончательно получим, что центр тяжести площади кругового сектора лежит на его оси симметрии на расстоянии от центра.

2 R sin а

丘="3~

где угол а измеряется в радианах.

В частности, для сектора в виде полукруга

Рис. 146Рис. 146

Рис. 146

Рис. 146

Центр тяжести объема пирамиды. Для нахождения центра тяжести пирамиды ABDE (рис. 146) разобьем ее высоту на и равных частей и через точки деления проведем плос-

кости, параллельные основанию.

Если и неограниченно увеличивать, то каждый из полученных слоев можно рассматривать как треугольник. Центры тяжести площадей этих треугольников лежат на прямой ЕС* соединяющей вершину пирамиды Е с центром тяжести С\ ее основания. Следовательно, на прямой ЕС] будет лежать и центр тяжести всей пирамиды.

Точно так же найдем, что центр тяжести данной пирамиды должен лежать на прямой ВС2, соединяющей вершину пирамиды В с центром тяжеси С2 ее грани ADE. Поэтому

искомый центр тяжести пирамиды лежит в точке С, где пересекаются

прямые Е& и ВС2.

Определим положение точки С・ По свойству медиан треугольников

имеем

К& = 4~КВ и К& =』КЕ;

из этих двух равенств следует, что прямые СгС2 и BE параллельны и

С1c2 —扌 BE.

Но так как прямые CtC2 и BE параллельны, то треугольники С^СС^ и ЕСВ подобны.

Из подобия треугольников CQC^ и ЕСВ следует, что

С& — &С21

国== ~3~ '

Следовательно,

ЗС& =СЕ а &Е = С& + СЕ = 4С&,

откуда находимоткуда находимCCi = 4 С£CCi = 4 С£(5)(5)

откуда находим

откуда находим

CCi = 4 С£

CCi = 4 С£

(5)

(5)

Этот результат будет также справедлив для любой однородной многоугольной пирамиды, а в пределе и для однородного круглого конуса.

Таким образом, центр тяжести объема однородной треугольной пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину пирамиды с центром тяжести ее основания, на расстоянии одной четверти длины этого отрезка от центра тяжести основания пирамиды.

Центр тяжести объема полушара. Примем ось симметрии данного однородного полушара радиуса R за ось z, а начало декартовых координат (Oxyz) — в геометрическом центре О этого полушара (рис. 147). Искомый центр тяжести С рассматриваемого полушара лежит на оси симметрии z, поэтому достаточно найти только расстояние 0С~2с . При этом для вычисления искомой координаты Zc применим третью из формул (2, § 53):

(У)

где теперь интегрирование следует распространить по объему V всего полушара. Объем полушара равен ?■冗々.

Для вычисления этого тройного интеграла воспользуемся сфери- чесхими координатами, тогда

х = г sin 6 cos 屮；

у = г sin 6 sin 屮；

z = r cos 6,

где г, 9 и 6 — сферические координаты (см. рис. 147).

Отсюда элемент объема dv—dxdydz=r2 sinB drdAd屮. При этом вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех простых интегралов:

R ТR Тг3 cos 9 sinг3 cos 9 sin6 drd 6 d屮=6 drd 6 d屮=J zdu = (%)J zdu = (%)cos 262 /冗©cos 262 /冗©2 — о2 — о

R Т

R Т

г3 cos 9 sin

г3 cos 9 sin

6 drd 6 d屮=

6 drd 6 d屮=

J zdu = (%)

J zdu = (%)

cos 262 /冗©

cos 262 /冗©

2 — о

2 — о

Следовательно,

1 r 党4% —歹 1 zdu — "2(V)丁崂31 r 党4% —歹 1 zdu — "2(V)丁崂3—P—8 К—P—8 К(6)(6)

1 r 党4

% —歹 1 zdu — "2

(V)丁崂3

1 r 党4

% —歹 1 zdu — "2

(V)丁崂3

—P

—8 К

—P

—8 К

(6)

(6)

Задача 32. Определить положение центра тяжести площади поперечного сечения неравнобокого угольника, полки которого имеют ширину ОА=а, ОВ = Ь и толщину AC—BD=d (рис. 148).

Решение. Разобьем данную площадь на два прямоугольника. Центры тяжести каждого из прямоугольников лежат на пересечении его диагоналей. Координаты этих центров тяжести, так же как и площади прямоугольников, легко определяются из рис. 148.

Площади первого и второго прямоугольников

Si = bd; S2 = (а — d) d.

Координаты центра тяжести

db .

#］三 ~2~， y1 = -2-，

первого и второго прямоугольниковпервого и второго прямоугольниковdУ?=万.dУ?=万.77」I a— d*2 = d + —2」I a— d*2 = d + —2Координаты Хс и ус центра тяжести площади поперечного сечения данного неравнобокого угольника определим по формулам:

первого и второго прямоугольников

первого и второго прямоугольников

d

У?=万.

d

У?=万.

7

7

」I a— d

*2 = d + —2

」I a— d

*2 = d + —2

C 一 S1+ S2 — bd + (a — d) d _az+bd~d2 =2(a+b—d)，

=*勿+旦肉一同斤+ (a _d)d斤_广+ ^一公 % 一 飞1 + S?~ ьd工(仪一d)d - 2 6不一二■而*

Задача 33. Определить положение центра тяжести площади круглой пластины радиуса R, с вырезом в виде прямоугольника со сторо- нагли а и 6 (рис. 149).

Решение. Так как пластина с вырезом имеет ось симметрии, то ее центр тяжести лежит на этой оси. Выбираем начало координат в точке О (рис. 149) и направляем ось Ох по оси симметрии. Для нахождения координаты %с центра тяжести площади пластины с вырезом дополняем площадь этой пластины до полного круга.

Площадь полного круга So= ^R2; центр тяжести этого круга совпадает с началом координат О, следовательно, абсцисса этого центра х0—0.

Площадь вырезанного прямоугольника S]=ab; абсцисса центра тяжести площади этого прямоугольника %!=—.

Применяя первую из формул (1, § 53), найдем абсциссу центра тяжести площади данной круглой пластины с вырезом:

С So —&—*2 — ab —2(hR2 — ab)С So —&—*2 — ab —2(hR2 — ab)

С So —&—*2 — ab —2(hR2 — ab)

С So —&—*2 — ab —2(hR2 — ab)

Задача 34. Определить положение центра тяжести площади кругового сегмента ADB радиуса R, если угол А0В~2^ (рис. 150).

Решение. Так как круговой сегмент имеет ось симметрии, то его центр тяжести лежит на этой оси. Примем эту ось за ось х.

Начало координат возьмем в точке О (рис. 150). Для нахождения координаты центра тяжести площади кругового сегмента ADB дополним эту площадь до площади кругового сектора OADB.

Площадь треугольника АО В определим по формуле 5=竺^^ 二 к АЕ-ОЕ = /?2sinacosa; абсцисса ее центра тяжести 尤1=吾 ОЕ 工

=^ /?cos а.

*。=我哼•*。=我哼•Площадь кругового сектора OADB определим по формуле S0=/?2a;

*。=我哼•

*。=我哼•

абсцисса ее центра тяжести

Применяя первую из формул (1, § 53), найдем абсциссу центра тяжести площади данного кругового сегмента ADB:

2 sin а2

S/0 —R2 а . 丁 R ―― — R2 sin a cos а •于 R COSa

“C — So—S1 —R2a — R2 sin a cos a

2 R sin3 а

一 3 Ct — sin a cos а

§ 55. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ

плоских ФИГУР

Пусть, например, требуется определить положение центра тяжести плоской фигуры, показанной на рис. 151. Для этого разбиваем данную фигуру на части простейшей геометрической формы, положение центров тяжести которых нам известно (в данном примере на три пря-

.моугольника). Отмечаем на чертеже положение центров тяжести &, С2 и С3 этих прямоугольников. В случае однородной фигуры приложенные в этих точках веса прямоугольников пропорциональны их площадям. Поэтому можно на чертеже изобразить эти веса векторами ?\,尸2 и 尸з： Длины которых в произвольно выбранном масштабе пропорциональны площадям Sq S2 и S3 прямоугольников. Построив затем силовой и веревочный многоугольники, находим линию действия рав- нодействугоц^ей^ проходящую параллельно данным параллельным силам 3,尸2 и 尸з через точку К пересечения сторон а и ⑴ веревочного многоугольника.

Так как положение центра параллельных сил, а также центра тяжести не изменится при повороте всех сил на один и тот же угол, то, повернув все силы 尸口 F2 и 尸з вокруг точек &, С2 и С3, например на 90°, вновь строим веревочный многоугольник. Этот веревочный многоугольник можно построить сразу (не строя нового силового многоугольника), если проводить его стороны не параллельно, а перпендикулярно к соответствующим лучам ранее построенного силового многоугольника. Проводя через точку К' пересечения сторон а' и ⑴' нового веревочного многоугольника прямую, параллельную силам %, F^ н F^t находим линию действия их равнодействующей. Так как центр тяжести фигуры есть точка, через которую всегда проходит равнодействующая сил тяжести отдельных ее частей, то он лежит в точке С пересечения прямых КС и К'С.

§ 56. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К РАЗДЕЛУ «СТАТИКА»

В чем состоит предмет статики?

Что следует отнести к основным понятиям статики? Как определяются эти понятия?

Как формулируются аксиомы статики?

Чем отличается несвободное тело от свободного?

Что называется силой реакции связи? Почему сила реакции связи называется пассивной силой?

При каком условии можно рассматривать несвободное тело как свободное?

В чем состоят геометрический и аналитический методы определения равнодействующей плоской или пространственной системы сходящихся сил?

Чем равнодействующая отличается от уравновешивающей силы?

Всякая ли система сил имеет равнодействующую?

Как формулируются условия равновесия системы сходящихся сил в геометрической и аналитической формах?

В чем состоит теорема о трех уравновешивающихся непараллельных силах?

Что называется парой сил?

Как направлен и чему равен по модулю вектор-момент пары? 14. При каком условии две пары будут эквивалентными?

В чем состоит теорема о сложении системы пар, расположенных в одной плоскости и в различных плоскостях?

В чем состоит условие равновесия системы пар, расположенных в одной плоскости и в различных плоскостях?

Как направлен и чему равен по модулю вектор-момент силы относительно данной точки?

В каком случае вектор-момент силы относительно точки равен нулю?

Изменится ли вектор-момент силы относительно данной точки при переносе точки приложения силы по линии ее действия?

Что называется моментом силы относительно данной оси и как выбирается знак этого момента?

В каких случаях момент силы относительно данной оси равен нулю?

Какая существует зависимость между вектором-моментом силы относительно данной точки и моментом той же силы относительно оси, проходящей через эту точку?

Что называется главным вектором произвольной плоской (или произвольной пространственной) системы сил? Какая разница между главным вектором и равнодействующей?

Изменится ли главный вектор данной системы сил при перемене центра приведения?

Что называется главным моментом произвольной плоской системы сил и главным вектором-моментом произвольной пространственной системы сил?

Как изменяется главный вектор-момент произвольной пространственной системы сил при перемене центра приведения? '

При каком условии главный момент произвольной плоской системы сил и главный вектор-момент произвольной пространственной системы сил не зависят от выбора центра приведения?

Какие величины являются инвариантами произвольной пространственной системы сил?

В каких случаях произвольная пространственная система сил приводится к равнодействующей?

В чем состоит теорема Вариньона о моменте равнодействующей произвольной плоской и произвольной пространственной системы сил?

В каком случае произвольная плоская (или произвольная пространственная) система сил приводится к одной паре?

Что называется динамой? В каком случае произвольная пространственная система сил приводится к динаме?

Что называется центральной винтовой осью произвольной пространственной системы сил?

Как формулируются условия равновесия произвольной плоской и произвольной пространственной систем сил?

Сколько неизвестных величин должно входить в уравнения равновесия сил, расположенных в одной плоскости, для того чтобы задача была статически определимой?

В чем заключается метод решения задачи о равновесии системы, состоящей из нескольких твердых тел? Сколько независимых урав-

нений равновесия можно составить в такой задаче, если все силы, действующие на систему, расположены в одной плоскости?

Что называется углом трения? Какая зависимость существует между углом трения и коэффициентом трения?

При каком условии не произойдет ни скольжения, ни качения цилиндра по связи?

При каком условии возможно как качение, так и скольжение цилиндра по связи?

При каком условии имеет место только качение и при каком только скольжение?

В чем основное отличие коэффициента трения качения от коэффициента трения скольжения?

Как формулируются условия равновесия произвольной плоской системы сил в графостатике?

・ Как определить по диаграмме Максвелла—Кремоны, будет ли данный стержень фермы сжат или растянут?

В какой форме составляются уравнения равновесия в способе разрезов фермы?

Какая ферма называется фермой с лишними стержнями?

Какая зависимость существует между числом стержней и числом узлов фермы, не имеющей лишних стержней?

Как формулируются условия равновесия плоской и пространственной системы параллельных сил?

Что называется центром данной системы параллельных сил?

Какая точка называется центром тяжести данного тела?

Какие существуют способы нахождения центров тяжести тел?

В чем заключаются эти способы?

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ

КИНЕМАТИКА

Г ла в а IX

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

§ 57. ВВЕДЕНИЕ

В кинематике изучается движение точек или тел с чисто геометрической стороны, без учета их масс и вне зависимости от действующих на них сил.

В процессе исторического развития теоретической механики кинематические исследования долгое время (до XIX в.) не отделялись от вопросов динамики. Однако развитие техники машиностроения привело к необходимости выделения кинематики в особый раздел теоретической механики, и при этом кинематика стала теоретической основой теории механизмов и машин.

В теоретической механике изучается только механическое движение, г. е. происходящее с течением времени изменение положения одного тела по отношению к другому телу, с которым неизменно связана какая-нибудь система осей координат, называемая системой отсчета. Систему отсчета можно связать с любым телом. Эта система д.ожет быть как условно неподвижной, так и движущейся.

Если координаты всех точек тела в выбранной системе отсчета остаются все время постоянными, то тело по отношению к этой системе отсчета находится в покое. Если же координаты точек тела с течением времени изменяются, то тело по отношению к выбранной системе отсчета находится в движении.

По отношению к различным системам отсчета точка или тело может совершать различные движения или находиться в покое. В этом

смысле покой и движение точки или тела относительны и зависят от выбранной системы отсчета.

Для описания движения точки или тела нужно не только выбрать систему отсчета, но и установить способ определения времени, соответствующего тому или иному положению движущейся точки или движущегося тела в выбранной системе отсчета.

Время в теоретической механике считается универсальным (абсолютным), т. е. протекающим одинаково во всех рассматриваемых системах отсчета и не зависящим от движения одной системы по отношению к другой. При этом время рассматривается как непрерывно изменяющаяся скалярная величина 力 играющая роль независимой переменной (аргумента).

Для измерения времени используются периодические процессы, данные природой (например, вращение Земли вокруг своей оси), либо периодические процессы, создаваемые искусственно (например, колебания маятника в маятниковых часах). За единицу времени обычно принимается одна секунда (1 сек).

Первоначально секунда была определена как интервал времени, равный 24 Mo。" части средних (за год) солнечных суток.

Однако это определение секунды обладает существенным недостатком. Как показали наблюдения, суточное вращение Земли вокруг своей оси, на котором основано определение средних солнечных суток, подвержено колебаниям, закономерности которых пока еще не установлены и учету не поддаются. Возникшая в связи с этим неточность с определением секунды привела к необходимости искать другой эталон единицы времени, не связанный с суточным вращением Земли.

В международной системе единица времени одна секунда (1 сек) определена как интервал времени, равный -侬大不次 0力7 части тропического года для 1900 г. Это новое определение секунды устраняет погрешность прежнего определения. Но для современных научных и технических целей такое определение секунды все-таки не является достаточно точным. Поэтому в дальнейшем предполагается провести работы для создания еще более совершенного эталона времени на базе использования колебаний атомов и молекул.

Отсчет времени ведется от некоторого начального момента (£=0), о выборе которого в каждом случае уславливаются. Всякий данный момент времени t определяется числом секунд, прошедших от начального до данного момента. При этом момент времени считается положительным, если он следует за начальным, и отрицательным, если он предшествует начальному. Число секунд, определяющих два каких- либо последовательных момента времени 友 и 为,называется промежутком времени (Д/=/2——幻・

Всякое твердое тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Разные точки движущегося тела могут совершать.

вообще говоря, различные движения относительно выбранной системы отсчета. Для того чтобы полностью определить движение какого- либо твердого тела относительно выбранной системы отсчета, нужно знать движение каждой его точки относительно той же системы отсчета. Поэтому прежде всего необходимо установить основные положения кинематики то4/с〃，а затем перейти к изучению кинематики твердого тела.

В этой главе будет дано изложение только кинематики точки. В кинематике точки рассматриваются следующие две основные задачи: 1) установление математических способов задания (описания) движения точки по отношению к данной системе отсчета； 2) определение по заданному закону движения точки всех кинематических характеристик этого движения (траектории, скорости, ускорения и т. п.).

Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно выбранной системы отсчета, называется траекторией точки. Форма траектории точки зависит от выбора системы отсчета. Если траектория точки есть прямая линия, то движение точки называется прямолинейным, если траектория точки — кривая линия, то ——криволинейным.

Изучить кинематически движение точки относительно выбранной системы отсчета — это значит определить ее траекторию за данный промежуток времени, а также скорость и ускорение в каждый данный момент времени.

Движение точки считается заданным,если указан способ, позволяющий определить положение точки в каждый момент времени относительно выбранной системы отсчета. Существуют три наиболее распространенных способа задания криволинейного движения точки: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный, или натуральный. Векторный способ применяется главным образом при исследовании теоретических вопросов, а координатный и естественный употребляются преимущественно при решении различных практических задач.

Теперь последовательно разберем эти три способа задания движения точки.

§ 58・ ЗАДАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ВЕКТОРНЫМ СПОСОБОМ

Закон криволинейного движения точки в векторной форме. Пусть точка М движется по отношению к прямоугольной системе осей координат Oxyz (рис. 152). Построим вектор г =ОМ, соединяющий произвольно выбранное условно неподвижное начало координат О с движущейся точкой М. Этот вектор называется радиусом-вектором точки Л4. При движении точки М ее радиус-вектор г будет с течением времени изменяться по модулю и по направлению, и поэтому он представляет собой некоторую векторную величину, зависящую от време-

ни. Такая векторная величина называется вектором-функцией от времени и обозначается символом

/(0-/(0-(1)

/(0-

/(0-

По самой природе движения вектор-функция /(^) должна быть однозначной, непрерывной и дважды дифференцируемой.

Задать движение точки Л4 — значит знать ее положение относительно данной системы отсчета Oxyz в любой момент времени. Векторное уравнение (1) вполне определяет движение точки, так как оно позволяет в любой момент времени t построить соответствующий радиус-вектор г и найти положение движущейся точки Л4. Поэтому это уравнение называют уравнением движения или законом, криволинейного движения точки в векторной форме.

Если г изменяется в зависимости от времени f, то точка М будет двигаться по некоторой траектории. Траектория точки есть геометрическое место концов радиуса-вектора г, следящего за движущейся точкой Л4. В этом смысле траекторию точки часто называют годографом ее радиуса-вектора г. Если r=const, то точка М находится в покое относительно выбранной системы отсчета.

Вектор скорости точки в данный момент времени. Пусть некоторая точка совершает какое-либо движение по криволинейной траектории АВ (рис. 153). Пусть в момент времени t эта точка занимает на траектории положение М, определяемое радиусом-вектором г

а в момент времени &=f+Af — положение 履，определяемое радиусом-вектором 厶.Вектор ММЪ имеющий начало в начальном положении движущейся точки, а конец——в конечном, называется вектором перемещения точки за данный промежуток времени (А/=&——f).

Отношение вектора перемещения точки к тому промежутку времени, в течение которого это перемещение происходит, называется вектором средней скорости точки за этот промежуток времени

Так как Af—положительная скалярная величина, то вектор средней скорости vcp направлен также, как вектор перемещения MMlt т. е. по хорде в сторону движения точки.

Из векторного треугольника OMMt видно, что

откуда перемещение точки М будет

ММГ = « — г ==з Лг,

где Аг представляет собой векторное приращение радиуса-вектора движущейся точки.

Подставляя это значение в выражение (2), получим

%р=4Ь(з)

Таким образом, вектор средней скорости точки за промежуток времени △ £ равен по модулю и направлению отношению векторного приращения радиуса-вектора точки к этому промежутку времени.

Очевидно, что значение вектора средней скорости точки за промежуток времени △£ будет зависеть от величины этого промежутка времени. Чем меньше промежуток времени Af, тем точнее вектор средней скорости будет характеризовать изменение вектора перемещения за единицу времени в течение промежутка Af.

Предел, к которому стремится вектор средней скорости при стремлении промежутка времени Л/ к нулю, называется вектором скорости точки в данный момент времени и обозначается через и. Следовательно,

石=1 im &р) = lim(4)

AJOAJO Д f

г. Поэтому выражение (4) примет видг. Поэтому выражение (4) примет вид(5)(5)Предел отношения 凉 при А,0 представляет собой первую векторную производную от радиуса-вектора точки по времени t и обоз- d г начнется символомили

г. Поэтому выражение (4) примет вид

г. Поэтому выражение (4) примет вид

(5)

(5)

скорости точки s данный моментскорости точки s данный моментv = ~dT

скорости точки s данный момент

скорости точки s данный момент

Следовательно, вектор первой производной от радиуса-вектора этой точки nd времени.

—■ д г

Так как вектор %р=^7 направлен по хорде ММГ в сторону движения и при At—0 точка М± стремится по кривой к точке М, а хорда ММХ переходит в касательную к траектории, то вектор 0= lim-r-； направлен по касательной к траектории в соответствующей (по времени) точке в сторону движения.

Таким образом, вектор скорости точки s данный момент направлен по касательной к траектории точки s сторону движения этой точки.

Следует заметить, что в общем случае модуль вектора скорости в данный момент吃=^ не равняется производной 芻 от модуля радиуса-вектора г точки по времени, т. е. |。|吩粤.

В самом деле, если, например, точка движется по окружности с центром в начале координат, то ее радиус-вектор г меняется с течением времени только по направлению. Отсюда следует, что точка, движущаяся по окружности, имеет скорость и=^?0, так как с течением времени г меняется по направлению, а 才=。，так как все время |7j=const. Отсюда ясно, что 同=用次體.

Из определения скорости следует, что ее размерность будет

[время]

Каждому выбору единицы длины и единицы времени соответствует своя единица скорости. Из структуры размерности скорости можно вывести, как будет изменяться ее численное значение, если изменятся единицы длины и единицы времени. Например, если мы желаем выразить в скорость v=2Qм/сек, то нужно только учесть, что 1ж= ]^&川， 1 сек =gg^ % н с этими символами поступить как с математическими величинами. Подставив, получим

1

сс Мсс 1000 сс 3600 сс о 公 км

и = 20 ——=20 —— = 20 77^7； = 20・3,6 = 72 —. сек11000час

3600

Годограф вектора скорости. Отнесем движение точки М к прямоугольной системе осей координат Oxyz (рис. 154, а). В самом общем случае криволинейного движения вектор скорости v точки

М изменяется как по модулю, так и по направлению. Пусть при этом точка М в моменты времени 九 勾，…，厶 находится в положениях Мъ ТИ2,…，Мп и имеет в эти моменты времени соответствующие векторы скорости % 。2,…，vn-

Чтобы удобнее было следить за изменением модуля и направления вектора скорости и точки М возьмем новую прямоугольную систему осей координат 0丄2寸匚(рис. 154, б), параллельных и одинаково направ-

J6 Н、 Ф Сахарный

Рнс. 155Рнс. 155Разделив вектор △ f, получим векторРазделив вектор △ f, получим векторЛи наЛи насоответствующий промежуток временисоответствующий промежуток времениД уД у% = w，% = w，

Рнс. 155

Рнс. 155

Разделив вектор △ f, получим вектор

Разделив вектор △ f, получим вектор

Ли на

Ли на

соответствующий промежуток времени

соответствующий промежуток времени

Д у

Д у

% = w，

% = w，

ленных осям системы координат Oxyz, и перенесем в неподвижное начало О】 этой новой системы параллельно самим себе все векторы ско ростн& £,....啞 Тогда геометрическое место концов &, В2, ...» Вп этих векторов скорости представит некоторую кривую, которая называется годографом вектора скорости и (рис. 154, б).

Таким образом, годограф вектора скорости представляет собой геометрическое место концов векторов скорости движущейся точки, отложенных от одной и той же произвольной точки пространства.

Так как согласно построению радиусы-векторы годографа скорости суть векторы скорости движущейся точки Mt то непосредственно на этом годографе мы можем не только увидеть, но и измерить изменение направления и модуля вектора скорости V точки М,

В § 59 будет показано, каким образом можно составить уравнение годографа вектора скорости о точки М относительно осей

Вектор ускорения точки в данный момент времени. Пусть в момент времени / движущаяся точка находится в положении М

и имеет вектор скоростной, а в момент 友 приходит в положение Мг и имеет вектор скорости 以(рис. 155). Тогда за промежуток времени △ f="—f вектор скорости получает векторное приращение Аи=~^— и, которое определяет изменение вектора скорости и по модулю, и по направлению.

Если мы отложим мысленно от точки М вектор s и построим параллелограмм, в котором диагональю будет вектор % а одной из сторон一 вектор V, тогда, очевидно, вторая сторона будет изображать вектор Лу.

который называется межуток времени.который называется межуток времени.вектором среднего ускорения точки за этот кр(г

который называется межуток времени.

который называется межуток времени.

Перейдя к пределу, при Af—O получим вектор

w = lim, или w == и,(6)

который называется вектором ускорения точки s данный момент времени.

Учитывая, что и=忆,и подставляя это значение в формулу (6), получим

Таким образом, вектор ускорения точки s данный момент равен первой производной от вектора скорости точки по времени или второй производной от радиуса-вектора точки по времени^.

Установим направление вектора ускорения. Из рис. 155 следует, что вектор Ди, а стало быть, и вектор ©匸卩 всегда должен быть направлен в сторону вогнутости траектории; следовательно, и предел вектора %, т. е. вектор w, также направлен в сторону вогнутости траектории.

Найдем, как располагается вектор ускорения w по отношению к траектории точки. В том случае, когда траектория точки является плоской кривой, вектор ускорения ©, так же как и вектор t^cp.лежит в плоскости этой траектории и направлен в сторону ее вогнутости.

Вообще говоря, может оказаться, что траектория точки не является плоской кривой. Пусть точка совершает движение по некоторой неплоской криволинейной траектории и в момент времени f находится в точке М на этой траектории (рис. 155). Построим в точке М касательную к траектории; единичный вектор этой касательной обозначим через т°. Возьмем на траектории вторую точку Мъ близкую к точке М и построим единичный вектор касательной %. Перенесем вектор т°! параллельно самому себе в точку М и проведем плоскость через два пересекающихся вектора т° и т°. Ориентация этой плоскости в пространстве зависит от вида траектории и определяется заданием двух касательных в точках Л1 и Мг. Очевидно, что вектор % лежит в этой плоскости. Будем теперь точку Мг неограниченно приближать к точке Л4・ Тогда плоскость, определяемая векторами т° и х°ъ будет

поворачиваться около прямой т°, стремясь к некоторому предельному положению. Предельное положение плоскости ^М^1У когда точка Мг неограниченно приближается к точке М, определяет соприкасающуюся плоскость траектории в точке Л4. Следовательно, предел вектора &ср, т. е. вектор w, лежит в соприкасающейся плоскости.

i аким образом, мы приходим к заключению: вектор ускорения точки в данный момент всегда лежит s соприкасающейся плоскости и направлен 6 сторону вогнутости криволинейной траектории.

Теперь найдем, как располагается

вектор ускорения w по отношению к годографу вектора скорости v. Пусть (Г) — годограф вектора скорости и точки М (рис. 156). Пусть моменту £ соответствует радиус-вектор。出 этого годографа (Г), представляющий вектор скорости и точки М, а моменту t^t+M соответствует ра/щуо вектор ОГВХ того же годографа, представляющий вектор скорости t\ = —и+ А^. Ясно, что вектор среднего ускорения к?ср ~ ^буает представлять

собой среднюю скорость точки В на годографе (Г). Так как △£ скаляр, а вектор А и направлен по хорде ВВг годографа (Г), то вектор % также направлен по этой же хорде в сторону изменения вектора скорости и (см. рис. 156). Переходя к пределу, при Aff 0 мы получим вектор

ускорения 加 точки М в момент t или скорость точки В на годографе (Г) в момент £. При этом очевидно, что вектор ускорения w точки М будет направлен по касательной к годографу (Г),в соответствующей (по времени) точке.

Следует заметить, что в общем случае модуль вектора ускорения 而=^ не равняется производной 器 от модуля вектора скорости о точки по времени, т. е. \w\=^~ .

Действительно, если, например, точка равномерно движется по

окружности, то ее вектор скорости v меняется с течением времени

только по направлению. Отсюда следует, что точка, движущаяся равномерно по окружности, имеет ускорение 侬工近 次。，так как с течением времени вектор и изменяется по направлению, а * 石= О, так как все время |u|=const. Отсюда ясно, что 1陋1=^片猾 •

Из определения ускорения следует, что его размерность будет

=【скор/】 г ' [время]=【скор/】 г ' [время][длина][время][длина][время]:[время]=:[время]=[длина][время]3[длина][время]3

=【скор/】 г ' [время]

=【скор/】 г ' [время]

[длина]

[время]

[длина]

[время]

:[время]=

:[время]=

[длина]

[время]3

[длина]

[время]3

Каждому выбору единицы длины и единицы времени соответствует своя единица ускорения. Из структуры размерности ускорения можно вывести, как будет изменяться его численное значение, если изменятся единицы длины и единицы времени. Например, если мы желаем выразить в ускорение 侬=36 j^2，то нужно только учесть, что 1 /см=1000 Mt 1 мин=60 сек, и с этими символами поступить как с математическими величинами. Подставив, получим

侬=36侬=36кммин2кммин2=36=3610001000=36=36юоо3600юоо3600=10=10мcet^мcet^

侬=36

侬=36

кммин2

кммин2

=36

=36

1000

1000

=36

=36

юоо

3600

юоо

3600

=10

=10

мcet^

мcet^

§59. КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯДОЧКИ

Закон криволинейного движения точки при координатном способе задания движения. Положение точки по отношению к прямоугольной декартовой системе координат Oxyz можно определить ее декартовыми координатами х, у, z (рис. 157).

Если координаты точки в выбранной системе отсчета Oxyz остаются все время постоянными, то точка по отношению к этой системе отсчета находится в покое. При движении точки все эти три координаты будут изменяться с течением времени, следовательно, координаты 尤,у, z движущейся точки суть некоторые функции времени. Определить движение точки в прямоугольных декартовых координатах ——это значит найти ее координаты х, у, z как функции времени:

% = %(£)； У^Ь(0； z = % (f). (1

По самой природе движения функции %«), %«) и 厶(f) должны быть однозначными, непрерывными и дважды дифференцируемыми. Уравнения (1) вполне определяют движение точки. Действительно, зная уравнения (1), мы можем найти для каждого данного момента времени соответствующие значения х, у, z и, следовательно, указать положение точки по отношению к выбранной системе отсчета Oxyz. Поэтому урав-

нения (1) называются уравнениями движения точки s прямоугольных декартовых координатах или законом криволинейного движения точки при координатном способе задания движения.

Если во все время движения точка остается в одной плоскости, то можно принять эту плоскость за одну из координатных плоскостей, например за плоскость Оху. Положение точки /И в данной плоскости можно определить двумя координатами х и у (рис. 158), и, следовательно, плоское движение точки определяется двумя уравнениями движения в прямоугольных декартовых координатах

⑵⑵尤=fi (£)； У = f2(0*

⑵

⑵

Определение траектории точки. Рассматривая в уравнениях движения точки (1) или (2) время t как параметр, мы замечаем, что эти уравнения будут являться уравнениями траектории точки в параметрической форме. Исключая время t из уравнений (1) или (2), мы получим уравнение траектории точки в координатной форме, т. е. в виде зависимости только между координатами точки.

Траекторию движущейся точки 7И можно найти и графически, построив по заданным уравнениям движения точки (1) или (2) ряд ее последовательных положений по отношению к выбранной системе отсчета и соединив их плавной кривой.

В большинстве практических задач движение точки определяется геометрическими условиями, вытекающими из заданной конструкции механизма. По этим условиям и находятся уравнения движения и траектория интересующей нас точки.

Движение точки считается известным, если в любой момент времени можно указать положение точки по отношению к выбранной системе отсчета, ее скорость и ускорение.

Определение скорости точки при координатном способе задания движения. Координаты х, у и z движущейся точки можно рассматривать

как проекции радиуса-вектора г этой точки на координатные оси Ох, Оу и Oz. Вводя единичные векторы (орты) i, /, А вдоль осей Ох, Оу, Oz соответственно, можно радиус-вектор г разложить по этим осям и представить в виде

r = x7+yj+zkt(3)

где i, /, А постоянны по модулю и направлению, так как система осей Oxyz предполагается неподвижной, а 尤，у, z изменяются с течением времени. Зная, что вектор скорости и тоикн равен ^ , и дифференцируя выражение (3) по времени, находим

元=黑7十*7十/山(4)

С другой стороны, вектор скорости и, как и всякий вектор, можно разложить по координатным осям и представить в виде

(5)(5)2 =0工十U/+q瓦

(5)

(5)

где %, j и v2一 проекции вектора скорости и на оси координат Ох, Оу и Oz.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах в формулах (4) и (5), получаем

⑹⑹dx 'dy 'dz '

⑹

⑹

% = k= "Uy = *= У；% = H= z.

Таким образом, проекции вектора скорости на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным от соответствующих координат движущейся точки по времени.

Зная проекции вектора скорости и, найдем его модуль по формуле

и = I о I =丿或 + и/ + с^ = ]^Х2 + у2 + Z2 ,(7)

где корень следует брать в его арифметическом значении.

-八一% = U COS W，々丿，-八一% = U COS W，々丿，Чтобы определить направление вектора скорости и, нужно найти его направляющие косинусы с осями координат. По определению проекции вектора на ось имеем

-八一

% = U COS W，々丿，

-八一

% = U COS W，々丿，

% = и cos © i / ; vy= v cos \u, /

откудаоткудаУ а + 办 + /У а + 办 + /Мх12 + 疗 + z11Мх12 + 疗 + z11И X2+^ + z2И X2+^ + z2(8)

откуда

откуда

У а + 办 + /

У а + 办 + /

Мх12 + 疗 + z11

Мх12 + 疗 + z11

И X2+^ + z2

И X2+^ + z2

Определение уравнения годографа скорости точки. Для этого снова обратимся к рис. 154. Так как оси О&В параллельны осям Oxyz и радиусы-векторы годографа скорости суть векторы скорости движущейся точки М, то координаты (£, %,匚)точек годографа скорости должны быть соответственно равны проекциям и*=%=//(£); j=y=ff如; 恥=2=%(£) вектора скорости о на оси Oxyz

』〃〃)； ％ = %")；匚= %(} (9)

Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения годографа. Чтобы получить уравнение годографа скорости в координатной форме, достаточно из уравнений (9) исключить время t.

WWОпределение ускорения точки при координатном способе задания движения. Проекции вектора ускорения точки определяются так же, как и проекции вектора скорости этой точки. Будем исходить из основного определения вектора ускорения, согласно которому

W

W

Учитывая, что г =xf+^+zA, и выполняя дважды дифференцирование г по времени, получим

W —W —鬚"需"备瓦鬚"需"备瓦(10)(10)

W —

W —

鬚"需"备瓦

鬚"需"备瓦

(10)

(10)

так как Л у, k постоянны по модулю и по направлению.

С другой стороны, вектор усксреяия w мсжно разложить по координатным осям и представить его в виде

w => wxi + wyj 十 w2k.w => wxi + wyj 十 w2k.(И)(И)

w => wxi + wyj 十 w2k.

w => wxi + wyj 十 w2k.

(И)

(И)

где wx. 叫 н 叫一 проекции вектора ускорения w на оси координат Ох, Оу и Oz.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах в формулах (10) и (11), получаем

(12)(12)

(12)

(12)

Так как %=尤，％,=у, u?=z, то формулы (12) можно еще представить в следующем виде:

(13)(13)

(13)

(13)

Таким образом, проекции вектора ускорения на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным от соответствующих проекций вектора скорости на те же оси по времени или вторым производным от соответствующих координат движущейся точки по времени.

Модуль вектора ускорения вычисляется по формуле

侬=|з| = Mtt^ + 欧 + 1^ = М 尤2 + “+ 岁,(14)

а его направляющие косинусы с осями координат — по формулам:

=—— =————=—— =————W尤* +严+ Z*W尤* +严+ Z*(15)(15)

=—— =————

=—— =————

W尤* +严+ Z*

W尤* +严+ Z*

(15)

(15)

Если во все время движения точка остается в одной и той же плоскости, например в плоскости Оху, то в этом случае во всех формулах нужно положить z=z=O. При этом модуль и направление вектора скорости движущейся в плоскости Оху точки определяются по формулам:

и = \u\ = V 或 + и； = J/炉 + у2

(16)

cos f一旦一一•

CCSЛ一"

(17)

15 Н. Ф. Сахарный

а модуль и направление ее вектора ускорения — по формулам:

ww(18)(18)严XW严XW了奈+犷了奈+犷(19)(19)

w

w

(18)

(18)

严X

W

严X

W

了奈+犷

了奈+犷

(19)

(19)

Таким образом, зная закон криволинейного движения точки, выраженный уравнениями (1, 2), можно в каждый момент времени определить не только положение точки относительно выбранной системы отсчета, но и основные характеристики ее движения — траекторию, скорость и ускорение.

Прямолинейное движение точки. Если точка М движется по прямой, то, приняв эту прямую за ось Ох (рис. 159), во все время движения будем, очевидно, иметь y=z=0.

Рис. 159Рис. 159

Рис. 159

Рис. 159

Тогда на основании формул (1) найдем, что

尤=% ⑴.-(20)

Уравнение (20) выражает закон прямолинейного движения точки.

Заметим, что величина х в уравнении (20) определяет положение движущейся точки М на оси Ох, а не пройденный ею путь. В самом деле, если точка, двигаясь из начала О, доходит до положения М, а затем, перемещаясь в обратном направлении, приходит в исходное положение О, то в этот момент ее координата х=0, а пройденный за время движения путь будет равен 2 • %, т. е. не равен х. Если же точка М движется вдоль оси в одну сторону и в начальный момент находится в начале координат О, то абсолютное значение координаты х будет являться в то же время и длиной пройденного точкой пути. Таким образом, если сторона движения точки вдоль оси Ох изменяется, то координата этой точки будет с течением времени то увеличиваться, то уменьшаться, тогда как путь, пройденный точкой, может только возрастать.

На основании формул (6, 7 и 8) найдем, что вектор скорости точки направлен по оси Ох, а его проекция на эту ось равна

vx = х = Д7 (0>(21)

так как y=z=0, причем абсолютное значение этой проекции равно модулю вектора скорости и точки, т. е.

” V — \v \ — х = \fi [t)\.(22)

Величина % может иметь знак «плюс» или «минус». Знак х указывает на то, в какую сторону по оси Ох направлен вектор скорости. Если %〉0, то движение точки происходит в сторону возрастания % (вектор скорости и направлен в положительном направлении оси Ох). Если же х< 0, то движение точки происходит в сторону убывания х (вектор скорости и направлен в отрицательном направлении ОСИ ◎)•

На основании формул (13, 14 и 15) находим, что вектор ускорения точки направлен по оси Ох, а его проекция на эту ось и модуль равны

= х = f^r (/);(23)

W = IW = |х| = |/l"(f)l，W = IW = |х| = |/l"(f)l，(24)(24)

W = IW = |х| = |/l"(f)l，

W = IW = |х| = |/l"(f)l，

(24)

(24)

так как z/=z==O.

Если ^>0, то вектор ускорения w направлен в положительную сторону оси Ох; если же х<0, то в отрицательную.

Пусть х>0. Если при этом % >0, то модуль вектора скорости точки возрастает, и, следовательно, прямолинейное движение точки будет ускоренным-, если же х<0, то модуль вектора скорости точки убывает, и, следовательно, прямолинейное движение точки будет замедленным. Очевидно, прямолинейное движение точки будет ускоренным, когда векторы скорости и ускорения направлены в одну сторону, т. е. когда х и х имеют одинаковые знаки (рис. 159), и замедленным, когда векторы скорости и ускорения направлены в разные стороны, т. е. когда х и х имеют разные знаки (рис. 160).

Если за все время движения точки вдоль прямолинейной траектории (вдоль оси Ох) модуль ее вектора ускорения остается неизменным, то такое прямолинейное движение точки называют равномерно* переменнымПри этом в за висимости от того, будут ли величины х и 15*

х иметь одинаковые или различные знаки, прямолинейное движение точки будет равномерно-ускоренным или равномерно-замедленным. Если за все время прямолинейного движения точки модуль ее вектора скорости остается неизменным, то такое прямолинейное дви-

ок・中—

Рис. 160

жение называется равномерным. В этом случае ускорение точки равно нулю.

Определим закон прямолинейного и равномерного движения точки. Пусть

* dx.

% = x = Z= u = const,

или

dx = vdt(25)

и в начальный момент (f = 0) точка М находится от начала отсчета О на расстоянии %=尤0 (рис. 159). Тогда, беря от левой и правой частей равенства (25) интегралы в соответствующих пределах, получим

Xt

丄dx =_u：J dt,

или

X ——％o = uf,

так как y=const. Окончательно находим закон прямолинейного и равномерного движения точки в виде

尤=% +0九(26)

Начало отсчета расстояния х можно выбрать так, чтобы при %=0 расстояние было равно нулю. Тогда закон прямолинейного и равномерного движения будет

X = vt.

Найдем теперь закон прямолинейного и равномерно-переменного движения точки. Пусть

f;.吗=X =萨尸 w = const,

или

(27)

и в начальный момент (/=0) х=х0 и x=x0=v0. Так как ^=const, то, взяв от обеих частей равенства (27) интегралы в соответствующих пределах, получаем

j d(x) = w^[dt, wо

или

X--v0 —3九

Отсюда находим проекцию вектора скорости и на ось Ох

% = % = % + 侬 t.(28)

Эту формулу можно представить в виде dx = vQdt + wtdt.

Беря от обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующих п ределах, получаем

Xtt

\ dx = vQ dt + w.

лгооо

или

% — -^о = ^(/ Н2~，

так как vo=const и w=^const. Окончательно находим закон прямолинейного и равномерно-переменного движения точки в виде.

X = хо + ^0^ Н2~ '

(29)

Скорость этого движения определяется формулой (28).

7. Гармоническое движение. Особый практический интерес представляет прямолинейное движение точки Mt при котором ее расстоя-, ние % от начала координат О (рис. 161) изменяется со временем по закону

х = a sin ш^

(30

где а и о)— постоянные величины.

Прямолинейное движение точки, совершаемое по закону (30), называется простым гармоническим движением. Расстояние % движущейся точки Л4 изменяется в пределах от +。до —а, так как sin o)f изменяется в пределах от +1 до —1. Поэтому рассматриваемое движе^ ние точки М есть колебательное движение. Наибольшее расстояние, на которое точка 7И может удалиться от центра колебаний О, равно а

Рис. 161

и называется амплитудой колебаний} расстояние АВ=2а называется размахом.“

При указанном законе движения в начальный момент /=0 точка М находится в центре колебаний О, так как при /—0 имеем х=0. Из центра колебаний О точка 7И начинает свое движение вправо, так как при небольших значениях f величина sin о)^ положительна.

В дальнейшем движении точка М достигает точки А, а затем перей* дет в точку В и снова вернется в исходную точку О.

За это время точка М совершает пол ное колебание и в дальнейшем движении такие колебания будет повторять. Промежуток времени Т, в течение которого точка 7И совершает одно полное колебание, называется периодом полного колебания. Период полного колебания находим из уравнения

sin о)(/ + Т) = sin «о/,

которое имеет место, если

(оТ = 2тс,

откуда

Т-^.(31)

Надо обратить внимание на то, что период полного колебания не зависит от начального положения движущейся точки. Величина, обратная периоду, называется частотой колебания

(32)

Очевидно, что ^ равно числу полных колебаний в секунду. Заметим, что st называется фазой колебания, s ——круговой частотой колеба-

ния. Из формулы (31) имеем (о =万 ;отсюда следует, что круговая частота колебания определяет число полных колебаний, которое совершает точка в течение 2冗 сек.

Определим теперь скорость и ускорение точки М, совершающей гармоническое движение.

Так как

и

то

и* = а(о cos(о f; wx = — <2(o2sin(33)

Следовательно, в этом движении и скорость, и ускорение точки изменяются с течением времени периодически. Когда точка М находится в центре колебаний О, где х=0 и sin ю/=0, ускорение точки равно нулю, а скорость по абсолютной величине имеет наибольшее значение as (при sin ш/=0 значение cos sf= 士 1). В крайних же положениях Л и В, где х=±а и sin a)/= ± 1, скорость точки М равна нулю (при sin ш/= ± 1 значение cos wZ=O), а ускорение по абсолютной величине имеет наибольшее значение а^.

По знакам vx и wx легко проверить, что, когда точка движется от центра колебаний, ее движение является замедленным, а когда к центру колебаний,——ускоренным.

Аналогичные колебания точка совершает и при законе

尤=a cos ^tt'

только движение в этом случае начинается из положения Л.

Движение точки по закону

х = a sin (ш/ + a)

или, если заменить а на ^ + 0, по закону

х = a cos (ш^ + 0)

также ничем существенным не отличается от рассмотренного. Постоянная величина а (или R) носит название начальной фазы колебания.

8. Указания к решению задач. Задачи по кинематике точки, решаемые методом прямоугольных декартовых координат, можно разделить на следующие основные типы:

составление уравнений движения точки в декартовых координат тах (1, 2) исходя из условий данной задачи;

определение траектории, скорости и ускорения точки из данных уравнений движения точки в декартовых координатах (1, 2).

При решении задач первого типа следует выбирать систему осей прямоугольных декартовых координат, не совмещая начало коорди^ нат с движущейся точкой. Кроме этого, необходимо рассматривать положение движущейся точки в произвольный момент времени f, а не ее начальное и конечное положение, и выразить ее текущие коор、 динаты как функции времени t. При этом текущие координаты движу* щей с я точки можно находить сначала как функции геометрических параметров задачи, зависимость которых от времени определяется или по известным условиям, или находится дополнительно по качественным характеристикам движения.

Решение задач второго типа сводится к использованию соответствующих формул (1——19). Для того чтобы найти уравнение траектории точки в заданной системе координат, достаточно из уравнений движения (1, 2) исключить время 九 Для определения векторов скорости и ускорения точки необходимо путем дифференцирования функций (1,2) по времени найти проекции этих векторов на соответствующие оси координат, а затем по формулам (7, 16, 8, 17) и (14, 18, 15, 19) определить модули направления векторов скорости и ускорения точки.

К задачам второго типа относятся и такие задачи, когда заданы проекции вектора скорости или вектора ускорения точки и требуется определить уравнения движения точки в декартовых координатах (1, 2) и уравнение траектории точки. В этом случае на основании формул (6) и (13) необходимо проинтегрировать заданные функции и определить искомые уравнения движения точки. Для определения произвольных постоянных интегрирования нужно использовать данные начальные или конечные условия, приведенные в условии задачи.

В случае прямолинейного движения точки (по оси Ох) задачи по кинематике точки также могут состоять в определении скорости или ускорения точки*. Для решения этих задач нужно знать закон прямолинейного движения точки (20). Если закон прямолинейного движения точки непосредственно не задан, то решение задачи надо начинать с нахождения этого закона.

Задача 35. В механизме, изображенном на рис. 162, ползуны А и В соединены стержнем АВ длиной /=а+瓦 движутся при вращении кривошипа OD по взаимно перпендикулярным направляющим Ох и Оу・ Кривошип OD длиной — прикреплен к середине стержня АВ шар-

В этом случае траектория движущейся точки известна заранее.

ниром D. Найти скорость и ускорение каждого из ползунов, а также и годограф вектора скорости точкиниром D. Найти скорость и ускорение каждого из ползунов, а также и годограф вектора скорости точкитраекторию, скорость, ускорение 府，находящейся на расстоянии Ь

ниром D. Найти скорость и ускорение каждого из ползунов, а также и годограф вектора скорости точки

ниром D. Найти скорость и ускорение каждого из ползунов, а также и годограф вектора скорости точки

DOA=(p изменяется пропорционально времени, т. е.中=о)£, где a)=const и о)〉0.

Решение. Как было указано, в тех случаях, когда закон движения точки непосредственно не задан, решение задачи надо начинать с нахождения уравнений, определяющих закон движения точки.

Для определения закона движения точек А, В п М примем направляющие Ох и Оу за координатные оси. Прежде всего определим закон движения, скорость и ускорение каждого из ползунов А и В. Так как 0D = =AD, то ОАВ~^>. Обозначая координаты точек Л и В соответственно через хдп ув, получим

%片=Z cos ср; ув = I sin ср или, подставляя 屮=竝,находим

хл — / cos О)/；

от конца А стержня АВ, если уголот конца А стержня АВ, если уголРис. 162Рис. 162% = / sin ®t.% = / sin ®t.Эти уравнения и представляют закон движения каждого из ползунов. Как видим, ползуны совершают гармонические колебательные движения.

от конца А стержня АВ, если угол

от конца А стержня АВ, если угол

Рис. 162

Рис. 162

% = / sin ®t.

% = / sin ®t.

Дифференцируя %片 и ув по времени 九 найдем проекции вектора скорости каждого из ползунов на координатные оси:

vAx = хА =——(i)/sino)Z;

VBy = ув == Oil COS wЛ

Дифференцируя эти выражения по времени 力 найдем проекции вектора ускорения каждого из ползунов

WAx =ХА= -—О)2 / COS 0)/；

WBy = У в = —«>2/sin 3f.

Знаки vax^Ax^ иву, ^ву указывают направление векторов скорости и ускорения ползунов. Ползун Л из рассматриваемого положения движется ускоренно, а ползун В — замедленно.

Теперь определим уравнения движения, траекторию, скорость и ускорение точки М. Обозначая координаты точки М через хм R Ум, из треугольников ВМС и АМЕ находим х^—acos<p, ум~Ьз\х)^, или, подставляя <р=о)厶

хм = a cos wf; Ум = Ь sin w/.

Эти выражения и определяют уравнения движения точки М стержня АВ.

Чтобы получить уравнение траектории точки Л4, нужно из уравнений движения этой точки М исключить время /. Для этого разделим правую и левую части этих уравнений соответственно на коэффициенты при косинусе и синусе и возведем обе части в квадрат, затем, сложив их, получим

-1,

Таким образом, траектория точки Л4 ——эллипс с полуосями а п Ь.

Если в точке Л4 поместить острие карандаша, то оно вычертит в плоскости эллипс, уравнение которого только что найдено.

Дифференцируя уравнения движения точки М по времени f, получим проекции вектора скорости vm точки М на оси координат

vMx =% = —assinsf;

%4 = / = 63COS 3f.

Отсюда находим модуль вектора скорости vM

% = I I ='甩 + 吟=о)，仪2 sin2 o)f + " cos2w^ .

Модуль вектора скорости им оказывается величиной переменной, меняющейся с течением времени.

Дифференцируя vmx и биу по времени 九 получим проекции вектора ускорения wm точки М на оси координат

wMx == —аш2 cosw^;

WMy = yM = ~a^^^

илиили侬Мх =3 аМ ==侬Мх =3 аМ ==

или

или

侬Мх =3 аМ ==

侬Мх =3 аМ ==

% = 4м =

Следовательно, модуль вектора ускорения wM равен

% = I I =/ 4 + Ум = w К 吟+ /4 = 2г,

где г=ОМ есть расстояние движущейся точки М от начала координат.

Что касается направления вектора ускорения ⑪乂，то оно определяется формулами

wMxwMxЗму 一 Ум 一 5 MЗму 一 Ум 一 5 M

wMx

wMx

Зму 一 Ум 一 5 M

Зму 一 Ум 一 5 M

Так как направление отрезка ОМ образует с осями Ох и Оу углы, косинусы которых равны Н—— и , то вектор, направленный от точки М к точке О, имеет направляющие косинусы, соответственно равныеи. Отсюда следует, что вектор ускорения wm направлен вдоль МО к центру описываемого ею эллипса.

Чтобы найти уравнение годографа вектора скорости им, нужно исключить время из выражений для vmx и им#. Имеем

VMxVMxазаз——sin*——sin*

VMx

VMx

аз

аз

——sin*

——sin*

■■牲= COSO)/.

Возводя обе части этих уравнений в квадрат и сложив их, получим искомое уравнение годографа вектора скорости им в явном виде

а2о>2а2о>2Ь2ш2Ь2ш2

а2о>2

а2о>2

Ь2ш2

Ь2ш2

Следовательно, уравнение годографа вектора скорости — эллипс с полуосями аз и Ьз・

Задача 36. Определить траекторию, скорость и ускорение конца А кривошипа ОА и середины М шатуна 48, а также скорость и ускорение поршня В кривошипно-шатунного механизма (рис. 163), если 0А=АВ=2а, а угол 中 при вращении кривошипа растет пропорционально времени: <р=о)九 где w^const и з>0.

У*

1

Рис. 163

Решение. Начнем с определения уравнений движения конца А кривошипа ОА. Возьмем систему координатных осей х п у с началом в точке О. Обозначая координаты точки Л через хд и уа, находим

хл = О A cos ср = 2а cos 屮；

уА = ОА sin 屮=2а sin 屮.

Заменяя 中 его значением, получим уравнения движения точки А в виде

хл = 2a cos 0)/;

уА = 2asiп о)九

Для определения траектории точки Л возведем эти уравнения в квадрат и сложим. Тогда получим

吟 + " = 4a2.

Следовательно, траекторией точки А является окружность радиуса 2а, центр которой совпадает с началом координат. В начальный момент при /=0 мы имеем %若=2仪,^若=0, т. е. движущаяся точка А находится в точке С (рис. 163). При возрастании времени / от 0 до ^ функция XA=2acos(at убывает, а у^ возрастает, будучи положительным. Следовательно, движение точки А по окружности происходит, как видно, против часовой стрелки.

Проекции вектора скорости ид точки Л на координатные оси получим, дифференцируя хд и у^ по времени /

vAx =尤片=——2а ⑴ sin 0)

vAy = yA =2ao)coso)f.

Отсюда находим модуль вектора скорости va

% =区 I =丿吟 + 彌=2аз = const,

т. e. модуль вектора скорости va не меняется с течением времени. Направление вектора скорости va

/ 一 丁 I vAx.,.

COS I %, L J =———=—Sin O)f = — Sin 屮;

Вектор скорости va перпендикулярен к радиусу-вектору ОА точки Л и направлен в сторону, показанную на рис. 163.

Проекции вектора ускорения 酬厶 точки А на координатные оси получим, дифференцируя vax и и』у по времени f,

• *Ахс

wAx = %片=—否…=—2а w2 cos

dvA

wAy = yA = -^— = — 2ao)2sin3/，

или

Отсюда находим модуль вектора ускорения wa

吗4吗4同| = /以+"同| = /以+"=2a2 = const.=2a2 = const.

吗4

吗4

同| = /以+"

同| = /以+"

=2a2 = const.

=2a2 = const.

Модуль вектора ускорения wa также не меняется с течением времени. Таким образом, несмотря на постоянство модул я вектора скорости ид точки А, вектор ускорения wa этой точки не обращается в нуль. Это объясняется тем, что движение точки А происходит по криволинейной траектории и вектор скорости ид все время изменяет свое направление.

Направление вектора ускорения 酬若

Отсюда нетрудно установить, что при рассматриваемом равномерном движении точки Л по окружности ее вектор ускорения wa направлен вдоль АО к центру окружности.

Теперь определим траекторию, скорость и ускорения точки М шатуна АВ. Начинаем с определения уравнений движения точки М. Обозначая координаты точки М через хм и ум^ находим

хм = 2a cos 屮 + a cos 屮；

yM = as\n^.

Подставляя в эти уравнения 中=з/, получим уравнения движения точки

хм = За cos

Для определения траектории точки М представим эти уравнения движения в виде

хмЗахмЗа—cos а)/;—cos а)/;УмаУма=sin⑴九=sin⑴九

хм

За

хм

За

—cos а)/;

—cos а)/;

Ума

Ума

=sin⑴九

=sin⑴九

Возводя обе части этих уравнений в квадрат и сложив их, получим уравнение траектории точки М

9炉

Следовательно, траектория точки М ——эллипс с полуосями За и а.

Дифференцируя уравнения движения точки М по времени f, получим проекции вектора скорости vm этой точки на координатные оси

vMx = % = —За 0)sin 0)f;

%« = Ум = а^ COS Wt.

Отсюда находим модуль вектора скорости vm

% = &1 = /х^+ 曲=a«>]/"9sin2 3f + cos2 3f ‘

т. e. модуль вектора скорости меняется с течением времени в пределах от ymin^aw ДО Утах^Зао).

Дифференцируя значения им#н VMy по времени f, определим проекции вектора ускорения на координатные оси

wMx = хм = — Заз* cossf = — W%；

wMy = 4м = —aWsinsf = —32%

Отсюда находим модуль вектора ускорения wM

% = I而м I =丿4+成 =И叫鬼+嗡=ГЗ»,

где г — модуль радиуса-вектора г точки Л4, проведенного из начала координат О до точки М. Итак, модуль вектора ускорения Wm точки М меняется пропорционально ее расстоянию от начала координат О, т. е. от центра эллипса. —

Направление вектора ускорения wm определим, используя равен

ства:

Отсюда, так же как и в задаче 35, находим, что вектор ускорения Wm движущейся точки М направлен вдоль МО к центру эллипса.

Составим теперь уравнение движения поршня В. Обозначая абсциссу точки В через %в, находим %e=4acos中，или, подставляя 中=з/,

坛—4а coswt

Это уравнение и определяет уравнение движения поршня В.

Найдем теперь скорость и ускорение поршня В. Дифференцируя уравнение движения поршня по времени, получаем проекцию вектора скорости vb поршня на ось 0%

vBx =:%в = — 4a о sin о 九

Знак «минус» показывает, что вектор скорости ив в данный момент направлен в сторону, обратную положительному направлению оси Ох.

Проекцию вектора ускорения Wb поршня на ось Ох получим, дифференцируя vbx по времени 九

wBx =坛=—4ао)2 cos о)Л

Знаки vqx и wBx указывают направление векторов скорости у^ и ускорения ®в・ Поршень из рассматриваемого положения движется ускоренно.

Задача 37. Определить траекторию, а также модули и направляющие косинусы векторов скорости и ускорения точки, если проекции ее вектора скорости на координатные оси выражаются уравнениями:

vx = х = — ro)sin o)f;

в момент f=0:в момент f=0:

в момент f=0:

в момент f=0:

У = Уо = h;

% = %。= Г.

Решение. Найдем сначала уравнение движения точки, для чего проинтегрируем заданные уравнения проекций вектора скорости точки

% = г cos + &;

у — г sin ① f + С2.

Постоянные интегрирования Cj и С2 найдутся из начальных условий. При f=0, %=%о=г. Тогда, подставляя это в %, получим ^=0. Далее, при f=0, У=Уо=万.Подставляя это в у, получим C^h,

Подставляя вместо С* и С2 найденные их значения, найдем искомые уравнения движения точки

% — г cos О)/；

у =九 + rsinof.

Чтобы найти траекторию точки, исключим время / из найденных уравнений движения. Для этого найдем из первого уравнения cossf, а из второго уравнения sinw/.

Возводя обе части каждого изУ*

этих равенств в квадрат и ело-I

жив их, получимI . _'

I

炉丄(У一九产_ 1^\

или

炉+ ® -万)2 =儿

Следовательно, траектория точки М есть окружность (см. рис. 164) радиуса г с центром в точке С (0,而.

В начальный момент времени движущаяся точка М занимает (см. рис. 164) положение A (r,h). При дальнейшем возрастании / координата % точки убывает, а координата у возрастает. Сле-

довательно, точка Л4 движется по окружности в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Дифференци р у я заданные уравнения проекций вектора скорости V точки М по времени 九 найдем проекции вектора ускорения w этой точки на оси координат

^x = X = — rw COS*

5y = у = — г О）2 sin о）九

Найдем теперь модули и направляющие косинусы векторов скорости и и ускорения w

и = I и I = Их2 + "2 = ГО）；

cos Q,『） =号=一 sin o）f = cos （多 + 0），=cos （多 + 屮）;

COS O）f = cos 屮;COS O）f = cos 屮;

COS O）f = cos 屮;

COS O）f = cos 屮;

w = \w \ ™ ]/ %2 + y2 = ro）2；

=-—COS （Of H COS（E + 峭—COS （冗 + <p）；

cos （& j） = -^- = —sinw/ — sin （t： + st） = sin （冗 + <p）.

Следовательно, вектор скорости и перпендикулярен радиусу-вектору СМ движущейся точки М, а вектор ускорения w направлен противоположно этому радиусу-вектору.

ЕСТЕСТВЕННЫЙ, ИЛИ НАТУРАЛЬНЫЙ, СПОСОБ ЗАДАНИЯДВИЖЕНИЯ точки

сительно системы отсчета Oxyz вдоль заданной (известной) криволинейной траектории 厶(рис. 165). Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку А за начало отсчета и, рассматривая траекторию L как криволинейную координатную ось, сообщим ей ориентацию, которую будем обозначать стрелкой. При этом мы будем считать, что обход траектории L в направлении, указанном стрелкой, является положительным, в противоположном направлении — отрицательным. Тогда положение точки М на траектории L будет однозначно определяться криволинейной координатой s, равной расстоянию от точки А до движущейся точки М, измеренному вдоль дуги траектории L и взятому с соответствующим знаком. При движении точки М по траектории L криволинейная коор- / дината s будет с течением вре- 力

мени изменяться, т. е. будет не-Рис. 165

которой функцией от времени f

s ==/(/).(1)

По самой природе движения эта функция должна быть однозначной, непрерывной и дважды дифференцируемой.

Зная уравнение (1), можно определить для любого момента времени / положение движущейся точки Л4 на траектории £, а следовательно, и относительно выбранной системы отсчета Oxyz. Для этого криволинейную координату s вычисляют для рассматриваемого момента времени из уравнения (1) и откладывают ее вдоль траектории L от начала отсчета А. Поэтому уравнение (1) называется уравнением движения или законом движения точки вдоль заданной траектории.

Таким образом, чтобы задать (изучить) движение точки естественным способом, следует знать: а) траекторию точки относительно выбранной системы отсчета; б) начало отсчета криволинейной координаты на траектории с указанием положительного направления отсчета; в) закон движения точки вдоль траектории в виде s=/(/).

Связь между координатным и естественным способами задания движения точки. Если движение точки задано координатным способом (1, § 59), то для перехода к естественному способу необходимо определить: 1) уравнение траектории точки, 2) положение точки в начальный момент времени (координаты %。, у。, % точки А) и 3) закон движения точки по ее траектории. Как определить уравнение траектории точки по заданным уравнениям (1, § 59), нам уже известно. Для

определения положения движущейся точки в начальный момент времени (f=0) необходимо в уравнения (1, § 59) подставить /=0. Теперь определим по уравнениям (1, § 59) закон движения точки по траектории.

Из дифференциальной геометрии известно, что элемент дуги траектории, или дифференциал криволинейной координаты точки, равен

曲=士 ]/"d%2 + dy2 + dz2 ,

где знак «плюс» берется в том случае, когда 曲 соответствует смещению точки в сторону возрастания s, а знак «минус»,—— когда ds соответствует смещению точки в сторону убывания s. Интегрируя это уравнение в пределах от s0 до s и от 0 до /, получим закон движения точки по траектории

S — So = ± J ]/厶2 + %2 + d# ,О

или

S = so ± J УХ2+ у2+ Z2 必，(2)

О

где x=fJ(f), y=f2^)，2=/з«)— первые производные от координат движущейся точки по времени.

Если точка совершает прямолинейное движение, то в этом случае координатный способ задания движения точки, очевидно, сводится к естественному.

Определение скорости точки при естественном способе задания движения. Найдем проекцию ут вектора скорости и точки на направление касательной к заданной траектории. По определению вектора средней скорости точки за промежуток времени А/ мы получим

二 Ar Ar As

где As — длина дуги ММХ (см. рис. 153).

Вектор скорости точки в данный момент времени будет

V = limV = limlim(ASf 0)lim(ASf 0)=limAs—О=limAs—ОA 7 AsA 7 Asp As ds drp As ds dr

V = lim

V = lim

lim

(ASf 0)

lim

(ASf 0)

=lim

As—О

=lim

As—О

A 7 As

A 7 As

p As ds dr

p As ds dr

Но так как

limASf ОlimASf ОА гAsА гAs

lim

ASf О

lim

ASf О

А г

As

А г

As

а направление А г =ММХ в пределе (при As->0) совпадает с касательной к траектории в точке Л4, то 否 есть единичный вектор t° касательной (ее орт), направленный в сторону возрастания (положительного отсчета) криволинейной координаты s. Отсюда находим формулу для определения вектора скорости и точки в данный момент времени в виде

где s=f(f)——закон движения точки вдоль заданной траектории.

Из векторной алгебры известно, что проекция вектора на ось есть скалярное произведение вектора на единичный вектор данной оси. Поэтому проекция % вектора скорости и точки на направление касательной к заданной траектории равна

так как弋。・№ = 1.

Итак,

т. е. проекция вектора скорости точки на направление касательной к заданной траектории равна первой производной от криволинейной координаты s точки по времени. Величина ^ = ^工 имеет знак《плюс》 или «минус» в зависимости от направления движения точки. Если в некоторый момент времени >0, то в этот момент криволинейная координата s возрастает, т. е. точка М движется в сторону увеличения s и направление вектора скорости и совпадает с направлением орта t°.

ds

Если ^ <0, то криволинейная координата s убывает, т. е. точка М движется в сторону убывания s и направление вектора скорости и противоположно направлению орта №.

_ Из формулы (3) видно, что модуль I矶(или и) вектора скорости V точки равен абсолютной величине проекции % вектора скорости и на направление касательной к траектории, т. е.

。=卜| =借Ь (5)

Следовательно, модуль вектора скорости равен абсолютной величине первой производной от криволинейной координаты точки по времени.

Если точка движется только в сторону возрастания криволинейной координаты (перемещение от 4 к Л4), то во все время движения

ds、八ds

吊>°，T■e•济=山1=。■

Таким образом, в этом случае модуль вектора скорости определяется по формуле

и формула (3) принимает вид

V = vx°.

Если же ^<0 (перемещение от Л4 к 4), т. е.吊=—1^| = — и, то формулу (3) можно представить в виде

V — — ис°,

где знак «минус» показывает, что в этом случае вектор скорости и точки направлен в сторону, обратную направлению орта t°.

Определение ускорения точки при естественном способе задания движения. Прежде всего остановимся на некоторых вопросах дифференциальной геометрии. Пусть точка движется относительно системы отсчета Oxyz по некоторой неплоской криволинейной траектории. Предположим, что эта точка в рассматриваемый момент / находится в точке М на траектории (см. рис. 166). Проведем через точку М касательную к траектории и будем определять положительное направление этой касательной единичным вектором 叫 направленным по касательной в сторону возрастания дуговой координаты s и равным по модулю единице. Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную к касательной t°; эта плоскость называется нормальной плоскостью траектории s точке М. Все

Рис. 166прямые, проходящие через точку М и

лежащие в нормальной плоскости, называются нормалями, а линия пересечения плоскостей нормальной и соприкасающейся* называется главной нормалью траектории s точке М. За положительное направление главной нормали принимается направление от точки М в сторону вогнутости траектории. Единичный вектор главной нормали (ее орт) обозначим через п°. —

Прямая, перпендикулярная к касательной -г0 и к главной нормали п°, называется бинормалью к траектории е точке М. Единичный вектор бинормали обозначим через &°; положительное направление ?° выберем так, чтобы три взаимно перпендикулярные вектора t°, п°, &° образовали правую систему осей. Эта система осей называется естественными осями, а прямоугольный трехгранник t°, п°, 6° с вершиной в точке М —— естественным трехгранником. Эта новая система координатных осей будет двигаться по траектории вместе с точкой Л4, следовательно, ориентация осей естественного трехгранника в пространстве будет изменяться в зависимости от вида траектории и закона движения точки по этой траектории.

Векторы t° и п° естественного трехгранника определяют положение соприкасающейся плоскости, векторы п° и Ь°— нормальной плоскости, а векторы 1 и Ь° определяют положение так называемой спрямляющей плоскости (см. рис. 166).

Возьмем на траектории точку М±, близкую к точке М. и построим единичный вектор касательной q° (см. рис. 167, а). Угол А 0 между единичными векторами t° и т」касательных к траектории в двух ее соседних точках М и Мх называется углом смежности. Обозначим дли- ну дуги ММХ через As. Отношение угла смежности АН к соответ-

7 ДО

d8= к，d8= к，(6)(6)ствующей длине As дуги ММХ, т. е. отношение —, называется средней кривизной траектории на участке ММ丄.Предел этого отношения, т. е.

d8

= к，

d8

= к，

(6)

(6)

1・ до lim=

As»。As

называется кривизной траектории s данной точке М. Кривизна траектории вообще не постоянна, а меняется от точки к точке.

Величина р, обратная кривизне, называется радиусом кривизны траектории s данной точке М и равна

1『 к1『 кds前,ds前,(7)(7)

1

『 к

1

『 к

ds

前,

ds

前,

(7)

(7)

^ * О соприкасающейся плоскости траектории в точке М уже говорилось в

Отложим на главной нормали от точки М в сторону вогнутости траектории отрезок ТИС, равный радиусу кривизны траектории в точке М (см. рис. 166); точка С называется центром кривизны траектории в точке М.

Для прямолинейной траектории А0 =0, поэтому ее кривизна к=0, а радиус кривизны равен бесконечности: р=-1 = со.

Если траекторией точки является окружность радиуса R (рис. 167, 6), то, обозначая дугу ММг через ds, а угол МСМг через d6, будем иметь MMj=ds=Rde, и, следовательно, dB d6 1

т. е. кривизна окружности есть величина, обратная радиусу R и постоянная для всех точек.

На этом мы заканчиваем рассмотрение вопросов дифференциальной геометрии.

Определим теперь проекции вектора ускорения w на оси естественного трехгранника. Для этого воспользуемся формулой (3), т. е.

и = “Ч\(8)

где vz =近.В правой части этого равенства будут изменяться с течением времени оба множителя. Проекция ут вектора скорости и нз

касательную к траектории при неравномерном движении переменна; вектор т° в случае криволинейного движения изменяет свое направление с течением времени.

Дифференцируя равенство (8) по времени, получим

wwd 0d 0d%d%d + "d + "d Е~dTd Е~dT(9)(9)

w

w

d 0

d 0

d%

d%

d + "

d + "

d Е~dT

d Е~dT

(9)

(9)

Первое слагаемое в равенстве (9) — вектор 芻 с。направлен по касательной 疋.Второй член имеет направление вектора -^; опре・ делим вектор 团.

Прежде всего вектор ~ перпендикулярен к вектору #• В самом деле, квадрат вектора т：° равен единице, т. е.

Дифференцируя это равенство по времени, находим

0要=。■

Так как скалярное произведение вектора т° на вектор 犢 равно нулю, то вектор 开 перпендикулярен вектору М・ Кроме того, как видно из рис. 167, а вектор 万 лежит в соприкасающейся плоскости, и, следовательно, направление этого вектора совпадает с положительным направлением главной нормали траектории, т. е. с направлением орта п°. Поэтому

dt I I

Из рис. 167, а находим для модуля вектора Дт：0

I I = 2 sin 年.

Отсюда

.до . до

I — ISin Sinс

Ат。 。22 АВ

18 Н* 也 Сахарный

258

Раздел П. Кинематика

переходя к пределу при Aff 0, найдем

1 dt 1 = ~dT'

поэтому

d т。d6 —л

Но

d 6 — d6 ds dt ~ dsdf '

由

причем 豆,

d61

a 岳==к н ? — кривизна траектории, следовательно,

da %

用一 %及

Подставляя

выражение 嘗 в равенство (9), получим

而=粤=*中+冬倉(1°)

или

屯=粤=葡+泞01)

где % заменено на равное ему у3.

Формула (10) дает разложение вектора ускорения ® точки по осям естественного трехгранника. Из этой формулы видно, что вектор ® является геометрической суммой двух векторов: вектора 叫=^-т°,

направленного

по касательной к траектории, и вектора wn=马狀=窃。,

направленного траектории, т. Вектор

по главной нормали траектории в сторону вогнутости е. к центру кривизны.

耽=炉。。 =需。°(12)

называется касательным ускорением точки, а вектор

或=色正=或=色正=(13)(13)

或=色正=

或=色正=

(13)

(13)

называется нормальным ускорением точки.

Проекция вектора ускорения w точки на направление касательной будет

吗=加^ =*=卷，(14)

главной нор-(15)главной нор-(15)а проекция вектора ускорения w точки на направление мали будет

главной нор-

(15)

главной нор-

(15)

где s=/(f) —— закон движения точки вдоль заданной траектории.

Проекция же вектора ускорения w точки на направление бинормали равняется нулю (^д=0), так как вектор ускорения w всегда лежит в соприкасающейся плоскости траектории движущейся точки.

Модуль вектора касательного ускорения находится по формуле

荻 IT学1 = 1詔’(16)

а модуль вектора нормального ускорения — по формуле

回I(17)

Модуль вектора полного ускорения w вычисляется по формуле

Отклонение вектора пол но го ускорения w от главной нормали Мп характеризуется углом а, определяемым формулой (см. рис. 168, а, 6)

(19)(19)tga =

(19)

(19)

Таким образом, если движение точки задано естественным способом, то, зная траекторию (а следовательно, и ее радиус кривизны р 18*

в любой точке) и закон движения (1) точки вдоль этой траектории, мы по формулам (4—19) можем определить модуль и направление векторов скорости и ускорения точки в любой момент времени.

В заключение отметим, что при задании движения точки в декартовых координатах уравнениями (1, § 59) можно также вычислить модуль векторов касательного и нормального ускорений точки. В самом

Рис. 168Рис. 168

Рис. 168

Рис. 168

деле, замечая, что единичный вектор касательной можно представить формулой d= £, получим модуль вектора касательного ускорения

\wx \ ^\W'XQ\\wx \ ^\W'XQ\v*w\v*w\民％ + у У + ZZ|民％ + у У + ZZ|Ma+夕 + z5®Ma+夕 + z5®(20)(20)

\wx \ ^\W'XQ\

\wx \ ^\W'XQ\

v*w\

v*w\

民％ + у У + ZZ|

民％ + у У + ZZ|

Ma+夕 + z5®

Ma+夕 + z5®

(20)

(20)

где

Модуль же нормального ускорения можно вычислить по формуле

wn \ ~ wn = \wX^°wn \ ~ wn = \wX^°I5义v!I5义v!

wn \ ~ wn = \wX^°

wn \ ~ wn = \wX^°

I5义v!

I5义v!

или

(21)(21)xy— yx)2+(yz — zy)2+(z%— XZ『

(21)

(21)

%2+уг + г2

Следователь но > значения выражений (20) и (21) непос р едственно определяются дифференцированием по времени уравнений движения (1, § 59). Поэтому для вычисления нормального ускорения нет необходимости в вычислении радиуса кривизны траектории.

Определив по формуле (21) 叫，можем найти и радиус кривизны траектории по формуле

(22)

Некоторые частные случаи движения точки. Отметим здесь некоторые частные случаи движения точки, вытекающие из формулы

Первый случай: для любого момента времени 9T =0, 叫=0, а значит, и ©=0. В этом случае 叫 =%=次~=。н 吗=

т~ dvТак как 如=肝т~ dvТак как 如=肝=二=0. Отсюда мы получаем, что 办=网 1 = |否| = const и р == оо (так как при движении % -АО). Следовательно, движение точки в этом случае является прямолинейным и равномерным^. .

т~ dv

Так как 如=肝

т~ dv

Так как 如=肝

—0, то u=const, т. е. во все время прямолинейного

и равномерного движения точки вектор ее скорости остается постоянным по модулю и направлению.

Второй случай: для любого момента времени 5T #0, 9A=0. В этом случае wx =^^=需# 0 и 叫=号=。・ Отсюда следует, что v=]vz I =|^|^const и р=оо. Следовательно, движение точки в этом случае является прямолинейным и неравномерным. При этом направ

ление вектора ускорения w или совпадает с направлением движения, т. е. с направлением вектора скорости и, или противоположно этому направлению в зависимости от знака производной ^-. Модуль вектора ускорения равен абсолютной величине производной 写六，или 需Т. e. 3=1叫仁爵=餾.

Таким образом, мы видим, что касательное ускорение возникает за счет изменения модуля вектора скорости, т. е. при неравномерном движении точки.

Отсюда заключаем, что касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по модулю.

Заметим, что при неравномерном движении касательное ускорение обращается в нуль, очевидно, в те моменты времени, когда производ- ds,

на я 否 достигает экстремального значения (максимума или миниму-

* Если при движении точки модуль и вектора скорости у остается неизменным, то такое движение, как уже указывалось в § 59, является равномерным. В противном случае, т. е. когда D^const, движение точки является неравномерным.

ма), так как в эти моменты времени вторая производная 曲 равна нулю.

Третий случай: для любого момента времени шт =0, 叫#0. В этом случае 叫 =警工^ = 0 н 吗 =? 抬 0- Отсюда мы получаем, что и=® |= 剧 =const и р#8. Следовательно, движение точки в этом случае является криволинейным и равномерным. В этом случае вектор ускорения w точки направлен по главной нор- 5 2

мали траектории и по модулю равен 侬=叫=—^.

Таким образом, мы видим, что нормальное ускорение возникает за счет изменения направления вектора скорости, т. е. при криволинейном движении точки.

Отсюда заключаем, что нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению.

Закон криволинейного и равномерного движения имеет вид

s — s0 + и$(23)

где s0— криволинейная координата точки в момент f=0.

Следует иметь в виду, что нормальное ускорение в криволинейном движении точки равно нулю в тех точках траектории, где р=оо, т. е. в точках перегиба траектории. Кроме того, нормальное ускорение становится равным нулю в те моменты времени, когда скорость точки равна нулю. Например, скорость тяжелого шарика, качающегося на нити, в положениях, когда угол отклонения достигает максимума, обращается в нуль, и, следовательно, в этих крайних точках wn~0. Легко понять, что в этих точках касательное ускорение не равно нулю.

Четвертый случай: во все время движения точки 9T = =号=S^=const，叫=苛干。■ Отсюда

р 声 8 к % = % 十 o\ f,(24)

где и。— начальная скорость точки (при f=0). Следовательно, движение точки в этом случае является криволинейным и равнопеременным. Закон этого движения имеет вид •

s = s()十 и" 4^— ,(25)

где s0— начальная криволинейная координата точки.

Начало отсчета криволинейной координаты s по заданной траектории можно выбрать так, чтобы при f=0 криволинейная координата была равна нулю. Тогда закон криволинейного и равнопеременного движения будет

S = и(/ + f — • (26)

Формулы (23), (24) и (25) отличаются от соответствующих формул (26, 29 и 28, § 59) для прямолинейного движения тем, что в них вместо ускорения w стоит касательное ускорение ^т, а вместо прямолинейной координаты %——криволинейная координата s.

Если при криволинейном движении точки модуль вектора скорости этой точки возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает,— замедленным. Так как изменение модул я скорости характеризуется касательным ускорением, то движение точки по заданной криволинейной траектории будет ускоренным, если их и 5T имеют одинаковые знаки (угол между векторами и к 9 острый, рис. 168, а), и замедленным, если % и 叫 имеют разные знаки (угол между v и ш тупой, рис. 168, 6).

Указания к решению задач. Задачи по кинематике точки, решаемые естественным способом, можно разделить на следующие основные типы:

движение точки задано естественным способом (дана траектория и закон движения вдоль этой траектории). Требуется определить все характеристики движения точки (скорость, касательное, нормальное и полное ускорение).

Эта задача решается путем дифференцирования закона движения точки вдоль заданной траектории согласно формулам (4), (14), (15)； (18) и (19);

движение точки задано координатным способом. Требуется определить траекторию, закон движения точки вдоль этой траектории, скорость, касательное, нормальное и полное ускорение, а также радиус кривизны траектории.

В этом случае скорость точки и ее пол ное ускорение определяются по формулам (7, § 59) и (14, § 59), а затем по формуле (14) — касательное ускорение. Зная касательное и пол ное ускорения, можно из формулы (18) получить нормальное ускорение. Зная же нормальное ускорение, из формулы (22) определяют радиус кривизны траектории для любого требуемого момента времени. Закон движения точки вдоль ее известной траектории определяют по уравнению (2).

Задача 38. Точка движется по окружности радиуса R=4 м, при' чем закон ее движения определяется уравнением s=4,5 /3, где s в метрах, а /— в секундах. Определить модуль пол но го ускорения и угол 9 его с вектором скорости в тот момент 匕，когда модуль последнего сделается равным 6 — (рис. 169).

Решение. Дифференцируя s по времени, найдем модуль вектора скорости точки

0=3 = 1令|=13,5伊^_.

Подставляя /—/х в это выражение, получим 6=13,5 圻，откуда находимПодставляя /—/х в это выражение, получим 6=13,5 圻，откуда находим友-友-66221313ТТсек.сек.Для определения модуля вектора полного ускорения необходимо вычислить касательное и нормальное ускорения. Касательное ускорение для любого момента времени равноДля определения модуля вектора полного ускорения необходимо вычислить касательное и нормальное ускорения. Касательное ускорение для любого момента времени равно叫=叫=&%~dT&%~dT貝3,吁27^,貝3,吁27^,,,2а при t^t^-^ ce&,,2а при t^t^-^ ce&9叫=27 • -j- =189叫=27 • -j- =18McedMced

Подставляя /—/х в это выражение, получим 6=13,5 圻，откуда находим

Подставляя /—/х в это выражение, получим 6=13,5 圻，откуда находим

友-

友-

6

6

2

2

13

13

Т

Т

сек.

сек.

Для определения модуля вектора полного ускорения необходимо вычислить касательное и нормальное ускорения. Касательное ускорение для любого момента времени равно

Для определения модуля вектора полного ускорения необходимо вычислить касательное и нормальное ускорения. Касательное ускорение для любого момента времени равно

叫=

叫=

&%

~dT

&%

~dT

貝3,吁27^,

貝3,吁27^,

,,2

а при t^t^-^ ce&

,,2

а при t^t^-^ ce&

9

叫=27 • -j- =18

9

叫=27 • -j- =18

Mced

Mced

Так как дляТак как дляокружности радиус кривизны p=R, то нормальное ус-окружности радиус кривизны p=R, то нормальное ус-.коренне для.коренне длялюбого момента времени равно 叫=衣,а прилюбого момента времени равно 叫=衣,а при

Так как для

Так как для

окружности радиус кривизны p=R, то нормальное ус-

окружности радиус кривизны p=R, то нормальное ус-

.коренне для

.коренне для

любого момента времени равно 叫=衣,а при

любого момента времени равно 叫=衣,а при

f = &= — секf = &= — сек(и R=4 ж)(и R=4 ж)63 QT Н963 QT Н9ммсе&2 'се&2 '

f = &= — сек

f = &= — сек

(и R=4 ж)

(и R=4 ж)

63 Q

T Н9

63 Q

T Н9

м

м

се&2 '

се&2 '

tg?tg?1515Отсюда находимОтсюда находимФ - arc tg^ = 26O33'54JФ - arc tg^ = 26O33'54J

tg?

tg?

1

5

1

5

Отсюда находим

Отсюда находим

Ф - arc tg^ = 26O33'54J

Ф - arc tg^ = 26O33'54J

2г

Модуль вектора полного ускорения точки при f=fi=§ се/с^равен

3 = |Л 吒+吟=9 Н •

Угол 中 между вектором полного ускорения ш и вектором скорости и определим из формулы (см. рис. 169)

Задача 39. Точка движется по закону, определяемому уравнениями:.

尤=4 sin21т^;

у = 8 sin2 тс/.

Найти траекторию точки и закон движения точки вдоль траектории, приняв за начало отсчета расстояний начальное положение точки.

для этого найдем значениедля этого найдем значениеРешение. Чтобы найти уравнение траектории, достаточно ис

для этого найдем значение

для этого найдем значение

ключить из уравнений движения время /; sin2 冗£ из первого уравнения и подставим его во-второе. Тогда будем иметь искомое уравнение траектории точки

у = 2%.

Таким образом, траектория точки есть прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 170).

Для нахождения начального положения точки на ее траектории подставим в заданные уравнения движения точки значение %=0・ Тогда мы получим хо=0 и Уо=0; следовательно, в начальный момент /о=0 движущаяся точка М находится в начале координат. В момент

времени f=-^ движущаяся точка М находится на своей траектории в

точке Mt с координатами 尤尸4, 弘=8. Отсюда мы видим, что при возрастании времени / от 0 до ^ возрастают также и координаты %, у движущейся точки М. Следовательно, точка М начинает движение от начала координат по направлению к точке Мх. В момент времени f=l движущаяся точка снова попадает в начало координат (хо=0, у()=0). При дальнейшем возрастании времени / движение точки М будет периодически повторяться, причем период полного обхода точки М равен Т=^=2. Отсюда следует, что при изменении времени t от —оо до

十8 точка Л1 будет совершать колебательное движение только на отрезке ОМЪ так как величина sin2rc/ положительна и она не может принимать значений, больших единицы.

Дифференцируя заданные уравнения движения по времени /,

получим проекции вектора скорости и точки М на координатные оси

% = % = 8 Ttsin (к/) cos (тс/) = 4 тс sin (2 к/);

% = U = 16 тс sin (тг£) cos (тс/) = 8 tv sin (2 тс/).

17 Н* 6* Сахарный

Отсюда находим модуль вектора скорости и точки М

и = /炉 + у = ]/ 80it2sin2 (2 тг7) = 4 тс M5 ] sin (2тс/) |.

Так как траектория точки — прямая линия, то вектор скорости точки направлен по этой прямой в ту или в другую сторону в зависимости от знака sin (2тс/).

Найдем теперь закон движения точки по ее прямолинейной траектории. Так как 京 определяет алгебраическое значение вектора

.скорости и точки Л4, то•

—=4тг ]Л5" sin (2 ref),

отсюда—

ds = 4Tc]/5 sin (2 тс/) dt и

s = 4冗 /5 J sin (2 笠t)dt = — 2 У~5 cos (2冗/) +C

Постоянная интегрирования С определяется из условия, что при /о=0 имеем so=0; поэтому предыдущее уравнение для начального момента времени принимает вид

0 = —2/F + C,

откуда—

Подставляя это значение С, получим искомый закон движения точки вдоль траектории

s=2/5 [1—cos(2冗t)] = 4/5 sin2^t.

Задача 40. Точка движется по закону, определяемому уравне- НИЯМИ：

х = ак/; у = * (川 + L9 = a ch (应).

Найти траекторию точки, закон движения точки вдоль траектории, приняв за начало отсчета расстояний начальное положение точки, а также радиус кривизны траектории в зависимости от ординаты у.

Решение. Для определения траектории точки нужно из уравнений ее движения исключить время Л Из первого уравнения имеем

t = —■,ак '

подставляя это значение f во второе уравнение, получим искомое уравнение траектории точки

J十/不)=a ch

Отсюда заключаем, что траектория точки есть цепная линия (рис. 171)*.

Для нахождения начального положения точки на ее траектории подставим в заданные уравнения движения точки значение /—0. Тогда мы получим хо=0, %=а; поэтому 、 в начальный момент движущаяся точка находится в точке 4.

Из уравнений движения видно, что при положительных возрастающих значениях / возрастают также и координаты движущейся точки. Поэтому движение точки будет происходить в направлении, показанном стрелкой (рис. 171).

Дифференцируя заданные уравнения дви-Рнс. 171

жения по времени /, получим проекции вектора скорости V точки на координатные оси:

% = % = ак;

% = у = * (W— е~к) = ак sh (fct).

Отсюда находим модуль вектора скорости v точки

к = U %2 + W — а/с И 1 + sh2 (М) = ак ch (及£)=夢(W + L”

Так как в рассматриваемом случае

— (е^ — е-^ + С— (е^ — е-^ + С

— (е^ — е-^ + С

— (е^ — е-^ + С

и по условию начало отсчета расстояний s следует взять в начальном положении Л движущейся точки, то С=0. Подставляя это значение С, получим искомый закон движения точки вдоль траектории

s = f -(*一e-奴)=ash (砌.

* Форму цепной лниии принимает гибкая тяжелая нерастяжнмая нить> подвешенная в двух точках.

17*

Отсюда находим касательное ускорение

叫 二而' =~2~ 0’ 一〜吟=к2a sh (к£).

Дифференцируя % к у по времени, находим проекции вектора ускорения w точки на координатные оси

5# = х = 0； w》=у =(е底 宁 0一位)=仪炉 м (/с/).

Следовательно, модуль вектора w ускорений точки будет равен

w =^у х2+ у2 =笥-(川 + е-吟=ad & (Kt).

Зная з и 5t, находим нормальное ускорение wn

шя = ]Лш2 — ш2 =а&2 М ch2 (к£) — sh2 (%f) = да2.

Определив шл, найдем искомый радиус кривизны траектории

Р =备=F(е“ + ')，

ИЛИ

так как.

е^ + е-к，=色，.

Задача 41. Точка движется по закону, определяемому уравнениями：

% = R cos з£； у = R sin з£; 2 = ct, где R, о) к c — постоянные величины. Определить траекторию, скорость и ускорение точки,- а также и радиус кривизны траектории.

Решение. Для определения уравнения траектории исключим время f из заданных уравнений движения. Возводя первые два уравнения в квадрат и складывая, получаем траекторию проекции Mi движущейся точки М. на плоскость Оху

炉+夕=r支

Следовательно, во все время движения точка М остается на поверхности прямого кругового цилиндра с образующими, параллельными оси On, и направляющим кругом радиуса R с центром в начале координат, лежащим в плоскости Оху (рис. 172). Исключая время / из второго и третьего уравнений движения, находим

у = Rsinу = Rsin

у = Rsin

у = Rsin

Это уравнение представляет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Ох; сечение этой цилиндрической поверхности с плоскостью %=0 представляет собой синусоиду.

Таким образом, траекторией точки М будет линия пересечения полученных двух поверхностей. Эта кривая линия называется винтовой линией. Из первых двух уравнений движения видно, что точка Мг опишет окружность за время 丁=考，а точка М поднимется за это время на расстояние h=cT= ；& Это расстояние называется шагом

винтовой линии. Очевидно, оно равно расстоянию между точками винтовой линии, лежащими на одной и той же образующей прямого кругового цилиндра (рис. 172). В рассматриваемом случае шаг винтовой линии постоянный.

Для нахождения начального положения точки М на ее траектории подставим в заданные уравнения движения значение /о==0. Тогда получим %产R %=0, z()=0； поэтому в начальный момент времени точка М находится на оси Ох в положении А.

Из заданных уравнений движения точки М мы видим, что при возрастании / возрастают также и координаты у п z движущейся точки М, а ее координата х уменьшается. Поэтому точка М будет двигаться в направлении, указанном стрелкой (см. рис. 172).

Дифференцируя уравнения движения точки М по времени, найдем

проекции вектора скорости и этой точки на оси координат

% = % = —Rssinsf;vy = У = R в coso)/;

Следовательно, модуль вектора скорости ~и точки М равен

。=/%2 + “2 十 К^2^2 + с2 .

Так как o=const, то движение точки М по. винтовой линии равномерное._

Направление вектора скорости v точки М определяется формулами：

R(о sin(о f «

R(о cos (О f

mR2 g2+ C2

Последнее равенство показывает, что cos(u, &)=const, следовательно, винтовая линия пересекает все образующие прямого кругового цилиндра под одним и тем же углом.一

Определим теперь модуль и направление вектора ускорения ⑵ точки М. Дифференцируя х, у и z по времени Л получим проекции вектора ускорения w точки М на координатные оси

吗=% =: —R 32 cos з£;

wy = у — —R a)2 sin o)W

吗=x = 0.

Следовательно, модуль вектора ускорения w точки М равен

w = М ^2 + № + 22 = R О)2,

т. е. движение точки М происходит с постоянным по модулю ускорением. Для определения направления вектора ускорения точки М имеем формулы:

cos \ wt i I ~ -^ = —COSO)^ —-——百;

Из последней формулы следует, что вектор ш перпендикулярен оси 0z・ Очевидно, что.

cos а =耳；

cos р =靑,

где аир — углы, образуемые с осями 0% и Оу радиусом R, проведенным от оси Oz прямого круглого цилиндра к движущейся точке М, Так как cos®, i) и cos(以j) отличаются от cos а и cos § только знаками, то отсюда заключаем, что вектор полного ускорения ш точки М все время направлен по радиусу указанного цилиндра к его оси Ог.

Таким образом, мы видим, что, хотя в данном случае движение точки М. происходит со скоростью, постоянной по модулю, полное ускорение точки не равно нулю, так как направление вектора скорости V точки М изменяется. Однако касательное ускорение точки М равно нулю, т. е.

叫=О,

так как во все время движения точки М модуль вектора ее скорости V не изменяется. Поэтому нормальное ускорение точки равно

wn = w ~ R о)2.

С другой стороны, нормальное ускорение точки М можно было бы определить по формуле

рррр

р

р

р

р

но радиус кривизны р неизвестен, дим, чтоно радиус кривизны р неизвестен, дим, чтоИз последних двух равенств нахоИз последних двух равенств нахо

но радиус кривизны р неизвестен, дим, что

но радиус кривизны р неизвестен, дим, что

Из последних двух равенств нахо

Из последних двух равенств нахо

R32二他产,

откуда

p = R + ^-，

т. е. радиус кривизны во всех точках винтовой линии имеет одно и то же значение.

§ 61. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

График расстояния. Пусть нам известна функция s=/(t), дающая закон движения точки по заданной траектории.

Мы можем по уравнению s=/(f) вычислить для каждого момента времени / соответствующее этому моменту значение расстояния s. Возьмем две взаимно перпендикулярные оси (рис. 173) и будем в некоторых выбранных масштабах* откладывать на оси абсцисс моменты

Рис. 173Рис. 173времени f, а на оси ординат — соответствующие им расстояния s. Соединяя точки, построенные по координатам / и s, непрерывной линией, получим кривую (рис. 173), которая изображает графически зависимость расстояния от времени t. Эта кривая называется графиком расстояния. График расстояния не следует смешивать с траекторией точки. Имея график расстояния, всегда можно найти расстояние s точки от начала отсчета и определить ее положение на тра-

Рис. 173

Рис. 173

ектории. Последняя должна быть, конечно, заданной. Исследование геометрических свойств построенного графика расстояния дает возможность полностью выяснить все кинематические особенности данного движения точки. Но не это главное. Основное преимущество графического способа исследования движения точки заключается в том, что

им можно пользоваться и в тех случаях, когда закон движения точки по заданной траектории в виде уравнения $=/(£) нам неизвестен. Такие случаи часто встречаются в задачах теории механизмов и машин, где графики расстояний для некоторых точек вычерчиваются автоматически с помощью самопишущих приборов, связанных с движущейся частью механизма.

График скорости. Пусть нам дан график расстояния, изображаемый некоторой кривой линией (рис. 173), уравнение которой есть s=/(f)・ Допустим также, что при построении этого графика были приняты масштабы времени ^^ ^ и расстояний 力$£・ Требуется по этому графику найти скорость движения точки в некоторый момент f. Возьмем на графике расстояния (рис. 173) точку Д, абсцисса которой имеет заданную величину /, и проведем через эту точку касательную к графику расстояния. Угол этой касательной с осью времени (абсцисс) обозначим через а. Из дифференциального исчисления извест-

Масштабы / и s могут выбираться произвольно и независимо друг от друга.

но, что производную 石 от функции s=/(f) можно определить по формуле

S=^ = 4ttga，⑴

где tg а— тангенс угла а между касательной к графику расстояния

и осью времени.

Формула (1) позволяет определить не только модуль |矶=^ | tga | вектора скорости и точки, но и сторону направления этого вектора.

Вектор скорости и точки будет направлен по касательной к траектории в сторону положител ьного отсчета расстояний (в сторону возрастающих s) при положительном значении tgaи в противоположную сторону при отрицательном tg a.

Проведя касательные к графику расстояния в различных его точках, мы по тангенсам соответствующих углов можем найти значения скорости % точки в различные моменты времени. Зная для различных моментов времени / соответствующие им значения скорости % , построим по координатам / и % ряд точек. Соединяя эти точки непре-

Рис. 174Рис. 174рывной линией, получим кривую (рис. 174), являющуюся графиком скорости и х.

Рис. 174

Рис. 174

График касательного ускорения. Допустим, что при построе

нии графика скорости были приняты масштабы скорости 左力^^ 厶 сек т

wzwzd%ITd%IT%%=77=77tgp.tgp.⑵⑵и времени 尼£瀛・ 1ак как wx =方一，то, рассуждая так же, как и при графическом определении скорости ит, мы придем к формуле

wz

wz

d%IT

d%IT

%

%

=77

=77

tgp.

tgp.

⑵

⑵

где tg §— тангенс угла 0 между касательной к графику скорости vz и осью времени.

Формула (2) определяет вектор касательного ускорения точки не только по модулю| I =食Qg§|, но и по направлению. Так, например, если для рассматриваемого момента времени / угол § тупой (рис. 174), то tg ^<0 и шх <0. Следовательно, в этот момент времени вектор касательного ускорения 5t направлен по касательной к траектории в сторону, противоположную движению точки.

Построение графика касательного ускорения 叫 по графику скорости % производится аналогично построению графика скорости s по графику расстояния s・

Для построения графиков нормального ускорения wn и полного ускорения w значения величин шл и ш в разные моменты времени / определяют аналитически по соответствующим формулам (17, 18; § 60). При этом величины % и 叫 берутся с построенных графиков скорости Ut и касательного ускорения 耽,а радиус кривизны р определяется по заданной траектории точки.

Графический способ определения пути, пройденного точкой, по заданному графику скорости. Пусть % = /'(f), где /'(/)——известная функция времени. Предположим, что за данный промежуток времени А/ = % —友 точка движется по своей траектории в одном и том же направлении и, следовательно, функция 产(/) сохраняет постоянный знак; пусть % =Л(0>0- Так как % =* то ds=%df, интегрируя это равенство в соответствующих пределах, получим

J ds = J % d f,

Si 6 или

s^ — Sj. = j vx d t.

Но разность s2——s】представляет собой путь s, пройденный точкой за промежуток времени Д/, следовательно,

24

s = ит dt = J /л (/) d f・(3)

В том случае, когда % =/'(£)< 0 в промежутке от 友 до /2, при определении длины пути s нужно брать абсолютную величину скорости

т. е.

S=卜“必=j,(f)|df.⑷

s — пл. (ABCD) мм2 ^s — пл. (ABCD) мм2 ^мсек >мммсек >мм財財секммсекмм

s — пл. (ABCD) мм2 ^

s — пл. (ABCD) мм2 ^

м

сек >мм

м

сек >мм

財

財

сек

мм

сек

мм

Формулы (3) И (4) ПОЗВОЛЯЮТ ВЫЧИСЛИТЬ путь S, когда скорость Кт является известной функцией времени.

Однако, зная график скорости / точки, можно и графически определить путь s, пройденный точкой за какой-либо промежуток времени. Пусть, например, требуется определить по графику скорости

t\ (рис. 175) путь, пройденный точкой за промежуток времени А/=%—f「Разделим весь этот промежуток времени на большое число п малых промежутков △厶. Вследствие малости промежутка △乙 скорость и,, которую движущаяся точка имеет в начале этого промежутка, успеет измениться весьма мало, т. е. движение точки за время Д^ можно считать почти равномерным. Поэтому путь, пройденный точкой за время А乙，приближенно выразится так: As —力 Nt и т. е. он будет раве乩 в некотором масштабе площади заштрихованного на рис. 175 прямоугольника. В пределе, когда каждый промежуток

времени △乙 стремится к нулю, а число п стремится к 8, длина всего пути s, пройденного точкой за время △/=%——友，будет равна в некотором масштабе площади криволинейной фигуры ABCD. Пусть, например, график скорости (рис. 175) строился на миллиметровой бумаге и площадь криволинейной фигуры A BCD определена в квадратных миллиметрах. Тогда пройденный точкой путь s за время 厶/=为——友 выразится в метрах следующим образом:

ИЛИ

s = ^o&f пл. (ABCD) м,s = ^o&f пл. (ABCD) м,⑸⑸

s = ^o&f пл. (ABCD) м,

s = ^o&f пл. (ABCD) м,

⑸

⑸

где пл. (ABCD) выражена в квадратных миллиметрах.

Таким образом, путь, пройденный точкой за данный промежуток, времени, пропорционален площади фигуры, ограниченной осью времени, графиком скорости и двумя его ординатами, соответствующими началу и концу этого промежутка времени.

Задача 42. Точка совершает прямолинейное равномерно-переменное движение по закону s = 40 + 2f + 0,5/2 (s—в метрах, t — в секундах).

Провести графическое исследование движения точки за промежуток

времени 0</<10 сек.

Решение. 1) Построение графика расстояния s = /(/) в промежутке от / = Одо / = 10 сек. Заметим, что, хотя оси для вычерчивания

графика расстояния названы Ots (рис. 176) и на них написано сек и ж, откладываться на них фактически будут не / и s, а их «изображения» У = / к s' = 3 Составим теперь таблицу зна* чений /,广，s, s', задавшись рядом значений /; соответствующие значения 写 вычислим по заданному закону движения точки s = 40+2/ + 0,5*, а У и s' при помощи выбранных значений масштабов времени kt = 0,2 ^ и расстояния &$= 2—.

t сек

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

S м

■ 40

42,5

46

50,5

56

62,5

70

78,5

88

98,5

ПО

U сел

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

5' мм

20

21,25

23

25,25

28

31,25

35

39,25

44

49,25

55

При помощи этой таблицы строим график расстояния (рис. 176), т. е. кривую s = /(/). Эта кривая представляет собой параболу с вершиной, не находящейся в начале координат.

Построение графика скорости в промежутке от f = 0 do t = 10 сек.

Определяем проекцию % вектора скорости и точки на касательную к траектории

% = NT = 2 + /•

Так как в рассматриваемом случае аналитическая зависимость и, = f'(f) выражается уравнением первой степени, то графиком скорости гл： будет прямая линия (рис. 177). Для ее построения, очевидно, необходимо знать только две точки, через которые она проходит, например: при / = 05= 2— , при / — 10 сек % =2 + 10 — 12—.

Здесь также на осях 0/少弋 откладываем не / и vx, а их «изображения» У = ^~н и； — j-. Принимая масштабы времени kt = 0,2嘗 и скорости 左产。，2£^, найдем координаты указанных двух точек Д и В

(рис. 177): / = 0; % = — = Южл1 “10 гл/12

н / = ^ = 5° мм； % = 4 = =60 мм. Проведем через точки Л и В прямую, которая и будет являться графиком скорости данного равномерно-переменного движения точки.

176) tg а=* то176) tg а=* тои осью времени. Так как (см. рис.и осью времени. Так как (см. рис.ааtgtga 二a 二м2 — мм八сек0,2'ммм2 — мм八сек0,2'ммIУIУd 12d 12мсек.мсек.Скорость точки в любой момент времени можно было бы найти и графически по графику расстояния (рис. 176). Для того чтобы найти этим способом скорость точки при ^ = 10 сек, проведем касательную к соответствующей точке графика расстояния (рис. 176) и найдем тангенс угла а между этой касательной

176) tg а=* то

176) tg а=* то

и осью времени. Так как (см. рис.

и осью времени. Так как (см. рис.

а

а

tg

tg

a 二

a 二

м

2 — мм

八сек

0,2

'мм

м

2 — мм

八сек

0,2

'мм

I

У

I

У

d 12

d 12

мсек.

мсек.

Построение графика ускорения s промежутке от / — 0 до / = 10 сек. Ускорение точки в рассматриваемом случае ее движения

равноравно® =叫==1a f® =叫==1a fмсек2мсек2

равно

равно

® =叫==1

a f

® =叫==1

a f

мсек2

мсек2

Однако ускорение точки можно найти и графически по графику скорости (рис. 177). Так как график скорости есть прямая линия,

то касательная к этому п р ямол и ней ному графику скорости в любой

его точке совпадает с данным графиком, и поэтому 陋= 叫 =? tg。,

где В — угол между осью времени и графиком скорости. Из рис. 177 12

находим tg р = у2 ~ Ь следовательно, ускорение точки

W = WqW = Wq= ^tg仁= ^tg仁0,20,2мсек • мммсек • мм0,20,2се/сммсе/смм=1=1мсе/мсе/

W = Wq

W = Wq

= ^tg仁

= ^tg仁

0,2

0,2

мсек • мм

мсек • мм

0,2

0,2

се/с

мм

се/с

мм

=1

=1

м

се/

м

се/

Так как w = wz = f"(t) = const, то график ускорения будет прямая линия, параллельная оси времени (рис. 178).4) Определение пройденного точкой пути за 10 сек,. Определим этот путь по графику скорости (рис. 177). Для этого измеряем на графике скорости площадь ОАВСпл. (ОАВС) = д..+ ”С ==112±拦世=1750 mм.Отсюда находим искомый путь, пройденный точкой за 10 сек,s = R$i ЗВС) = 0,2^1rxX о,2—-1750 мМ = 70 м.Так как w = wz = f"(t) = const, то график ускорения будет прямая линия, параллельная оси времени (рис. 178).4) Определение пройденного точкой пути за 10 сек,. Определим этот путь по графику скорости (рис. 177). Для этого измеряем на графике скорости площадь ОАВСпл. (ОАВС) = д..+ ”С ==112±拦世=1750 mм.Отсюда находим искомый путь, пройденный точкой за 10 сек,s = R$i ЗВС) = 0,2^1rxX о,2—-1750 мМ = 70 м.了盖丿了盖丿53 z53 zWp=W=f“(t)Wp=W=f“(t)ЛI ' ■ ， 1 j 1 ，i，" 亠-， I …a723 4 56 78 9/0 t(CSK)ЛI ' ■ ， 1 j 1 ，i，" 亠-， I …a723 4 56 78 9/0 t(CSK)Рис. 178Рис. 178

Так как w = wz = f"(t) = const, то график ускорения будет прямая линия, параллельная оси времени (рис. 178).

4) Определение пройденного точкой пути за 10 сек,. Определим этот путь по графику скорости (рис. 177). Для этого измеряем на графике скорости площадь ОАВС

пл. (ОАВС) = д..+ ”С =

=112±拦世=1750 mм.

Отсюда находим искомый путь, пройденный точкой за 10 сек,

s = R$i ЗВС) = 0,2^1rx

X о,2—-1750 мМ = 70 м.

Так как w = wz = f"(t) = const, то график ускорения будет прямая линия, параллельная оси времени (рис. 178).

4) Определение пройденного точкой пути за 10 сек,. Определим этот путь по графику скорости (рис. 177). Для этого измеряем на графике скорости площадь ОАВС

пл. (ОАВС) = д..+ ”С =

=112±拦世=1750 mм.

Отсюда находим искомый путь, пройденный точкой за 10 сек,

s = R$i ЗВС) = 0,2^1rx

X о,2—-1750 мМ = 70 м.

了盖丿

了盖丿

5

3 z

5

3 z

Wp=W=f“(t)

Wp=W=f“(t)

ЛI ' ■ ， 1 j 1 ，i，" 亠-， I …a

723 4 56 78 9/0 t(CSK)

ЛI ' ■ ， 1 j 1 ，i，" 亠-， I …a

723 4 56 78 9/0 t(CSK)

Рис. 178

Рис. 178

Пройденный точкой путь s можно, конечно, определить и аналитически. Для этого достаточно из уравнения движения точки s = /(/) =40 + 2/ + 0,5/2 определить расстояние точки от начала отсчета в начальный момент (^ = 0) и при t = 10сек. При / — 0 s=s0 = 40 м, при t = 10 сек s10 = 40+2-10 + 0,5-102 = 110 Л1. Отсюда находим s = s10 — —sQ = 110 — 40 = 70 м.

МЕТОД ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ

Уравнения движения точки в полярных координатах. Когда точка движется все время в одной и той же плоскости, ее положение можно определить полярными координатами г и <р (рис. 179), где г — расстояние от движущейся точки、

М до полюса О, 屮一угол,\

образуемый радиусом-вектором.

ОМ^г точки М с горизонталь-|

ной прямой Ох—осью полярных координат. При движении точки

М ее полярные координаты г н 屮/

с течением времени меняются.‘

Следовательно, закон движения/

точки М в полярных координа-\

тах будет задаваться уравнения- °Гг

ми

r = fi(/)；中= %(f)，(1)Рнс. 179

которые называются уравнениями движения точки s полярных координатах. Функции /О и /2(0 должны быть однозначными, непрерывными и дифференцируемыми, по крайней мере, дважды. Уравнение

траектории движущейся точки получается исключением времени / из уравнений (1).

Можно установить зависимость между естественным способом задания движения точки и методом полярных координат. Эту зависимость можно получить непосредственно исходя из выражения элемента дуги ds траектории в полярных координатах. Рассматривая бесконечно малый криволинейный треугольник (рис. 180) МгМС, мы можем с

Рис. 180

точностью до бесконечно малых высшего порядка считать его за прямоугольный, причем угол MiCM прямой. Применяя теорему Пифагора, получим

(ММ02 = (СМ)2 + (СМ^, но

MMr = ds; СМ] = dr; СМ = rdg,

а поэтому

'ds2 = dr2 十产 & 中2.

Откуда

ds= ± M 山2+ 产d<p2 ,(2)

н, следовательно,

s = s()士 J У dr2 + r2d^-(3)

Выражение (3) дает закон движения точки по траектории в предположении, что при /=0 имеем s^s0.

Скорость точки в полярных координатах. Чтобы найти формулу Для определения скорости точки М в полярных координатах, представим радиус-вектор г, определяющий положение точки М, в виде

где г = ОМ, г0 —единичный вектор радиуса-вектора г (рис. 181). Тогда вектор скорости v точки М будет

、与(4)

так как при движении точки М ее радиус-вектор г меняется и по модулю и по направлению, а следовательно, гиг0 суть некоторые функции времени.

Чтобы выяснить сущность вектора 常，вспомним, что |dr°| ~ d(p, и следовательно, ^ =~ (см. § 60, п. 4). Направление же этого вектора будет перпендикулярно к направлению г°, так как направление дифференциала единичного вектора перпендикулярно к направЧтобы выяснить сущность вектора 常，вспомним, что |dr°| ~ d(p, и следовательно, ^ =~ (см. § 60, п. 4). Направление же этого вектора будет перпендикулярно к направлению г°, так как направление дифференциала единичного вектора перпендикулярно к направлению этого единичного вектора.лению этого единичного вектора.Итак,Итак,dr°dr°(5)(5)

Чтобы выяснить сущность вектора 常，вспомним, что |dr°| ~ d(p, и следовательно, ^ =~ (см. § 60, п. 4). Направление же этого вектора будет перпендикулярно к направлению г°, так как направление дифференциала единичного вектора перпендикулярно к направ

Чтобы выяснить сущность вектора 常，вспомним, что |dr°| ~ d(p, и следовательно, ^ =~ (см. § 60, п. 4). Направление же этого вектора будет перпендикулярно к направлению г°, так как направление дифференциала единичного вектора перпендикулярно к направ

лению этого единичного вектора.

лению этого единичного вектора.

Итак,

Итак,

dr°

dr°

(5)

(5)

где через р° обозначаем единичный вектор, перпендикулярный к г0. Таким образом,

磐启，⑹

или

V = vr+vp1(7)

где

Из формулы (6) или (7) видно, что вектор скорости и точки является векторной суммой двух слагаемых vr и vp.

Первое из этих слагаемых называется радиальной скоростью, второе — поперечнойу или трансверсальной, скоростью.

Радиальная составляющая вектора скорости и характеризует изменение радиуса-вектора г по модулю, а поперечная составляющая — по направлению. Если, например, точка М движется по окружности и начало полярных координат совпадает с центром этой окружности, то 尸=const, уг=—=0, а 0р=「窑¥=0・ Если точка Л4 движется вдоль радиуса-вектора г, то 尸幫=0, а уг=^^0.

Так как радиальная и поперечная составляющие вектора скорости V взаимно перпендикулярны (г°±р°), то модуль вектора скорости о точки может быть найден по формуле

。=旧|= y Vr +vp = /(^)2 +上4?『•(9)

полярных координатах. Дифференцируя получимполярных координатах. Дифференцируя получимУскорение точки в выражение (6) по времени,

полярных координатах. Дифференцируя получим

полярных координатах. Дифференцируя получим

"丄 d г d 中-о I r d2 屮二о"丄 d г d 中-о I r d2 屮二о

"丄 d г d 中-о I r d2 屮二о

"丄 d г d 中-о I r d2 屮二о

(10)(10)d 中 d p。

(10)

(10)

Так как при движении точки Л4 векторы г° и р° поворачиваются на

один и тот же угол, то аналогично формуле ^=^ р° получим формулу

dp°dp°_£?_ 户df_£?_ 户df(11)(11)

dp°

dp°

_£?_ 户

df

_£?_ 户

df

(11)

(11)

ныеныеWWd иd и卜2 %•窑卜,卜2 %•窑卜,(12)(12)

ные

ные

W

W

d и

d и

卜2 %•窑卜,

卜2 %•窑卜,

(12)

(12)

Подставляя выражения (5) и (11) в формулу (10) и вынося единич-

векторы за скобки, получим, приведя подобные члены,

(13)(13)или

(13)

(13)

w = Wr + %,

где

=［备f （將炉，=［备f （將炉，(14)(14)叽=p叽=pd2cp 9 d r d 中］不d2cp 9 d r d 中］不(15)(15)

=［备f （將炉，

=［备f （將炉，

(14)

(14)

叽=p

叽=p

d2cp 9 d r d 中］不

d2cp 9 d r d 中］不

(15)

(15)

Вектор wr называется радиальным ускорением, а вектор wp— трансверсальным ускорением (рис. 182).

Так как векторы wr и wp взаимно перпендикулярны, то модуль вектора ускорения w точки может быть найден по формуле

(16)(16)

(16)

(16)

ИЛИ

(17)

Задача 43. Движение точки на плоскости задано уравнениями движения в полярных координатах

22中=4f中=4f

2

2

中=4f

中=4f

(t — в секундах, r — в метрах,中——в радианах). Найти уравнение траектории точки, а также скорость и ускорение точки при f=彳 се/с. Решение. Исключим время из заданных уравнений движения.

Из второго уравнения имеем

Подставляя это значение в первое уравнение, получаем

8о

——,или 广中=8.

9

Это есть уравнение траектории точки. Кривая, определяемая этим

уравнением,уравнением,называется гиперболической спиралью (рис. 183, а).

уравнением,

уравнением,

Найдем, далее^проекции вектора скорости и точки на направление радиуса-вектора г этой точки (и) и на направление, перпендикулярное к нему @),

dr 2勿= N7 = -Pdr 2勿= N7 = -Pd ?8=тd ?8=т

dr 2

勿= N7 = -P

dr 2

勿= N7 = -P

d ?8

=т

d ?8

=т

Отсюда

⑷T——8唸⑷T——8唸(4=2= 16-^(4=2= 16-^

⑷T——8唸

⑷T——8唸

(4=2= 16-^

(4=2= 16-^

Поэтому модуль вектора скорости и точки равен

V — }/^ *+ 磅=18V — }/^ *+ 磅=18мсекмсек

V — }/^ *+ 磅=18

V — }/^ *+ 磅=18

мсек

мсек

Проекции вектора ускорения w точкиПроекции вектора ускорения w точкина те же направления равнына те же направления равны

Проекции вектора ускорения w точки

Проекции вектора ускорения w точки

на те же направления равны

на те же направления равны

，（將）2，（將）24戸4戸3232Р 丄 9 dr dpР 丄 9 dr dp167=167=

，（將）2

，（將）2

4

戸

4

戸

32

32

Р 丄 9 dr dp

Р 丄 9 dr dp

16

7=

16

7=

Отсюда

К=4К=432贵;32贵;

К=4

К=4

32贵;

32贵;

— 64^-・

Поэтому модуль вектора ускорения w точки равен

W = yW^+Wp = 72 黑2 .

Теперь определим положение точки при t=-^ceic (рис. 183, б)

(叫一 1 = 2 рад = 114е;

(尸), =丄=4 м.

Задача 44. Точка М движется вдоль прямой ОВ, которая вращается вокруг точки。，причем угол 屮 изменяется по закону 屮=(о/. Найти траекторию точки М, ее скорость и ускорение, если точка Л4 движется по прямой ОВ со скоростью, пропорциональной расстоянию точки М от точки О, при этом коэффициент пропорциональности й<(о (рис. 184).

Решение. Напишем уравнения движения точки Л4 в полярных координатах (尸,屮).По условию задачи скорость движения точки вдоль прямой ОВ пропорциональна расстоянию г точки М отточки О, поэтому

ОтсюдаОтсюда~^=kdt.

Отсюда

Отсюда

Интегрируя это выражение, получим

илиили1пг = й / + In С,

или

или

Определяем произвольное постоянное интегрирования С; пусть в

начальный момент, т. е. при f=0,尸=乙・ Тогда, подставляя эти начальные условия в r=Cektt получим С=〃，и, следовательно, закон измене-

ния полярного радиуса примет вид

Итак, мы имеем следующие уравнения движения точки М в поляр

ных7 координатах:

Уравнение траектории найдем, исключив время f из этих уравнений

движения,

Это уравнение является уравнением логарифмической спирали (рис. 184).

Из первого уравнения движения точки находим

Итак, проекции вектора скорости и точки на направление радиуса- вектора г точки 財 н на направление, перпендикулярное к нему, равны

VT — kr\ vp~r^，

Поэтому модуль вектора скорости и точки равен

.V = М 0； + & =尸 / 胪工（0* ,

при этом вектор скорости о составляет с прямой ОВ угол 向 равный[1 = arc tg -^- = arc tg —.

Проекции вектора ускорения w точки М на те же направления равны

wr = ^i~r<^ = г^~^

% =，窈•零=2后зГ.

Так как й<（о, то wr<0, и, следовательно, радиальное ускорение 吗 направлено от точки Л4 к точке О.

Следовательно, модуль вектора ускорения w точки М равен

W = ^~ U^+E =г（依+ 2）,

при этом вектор w составляет с прямой ОВ угол 卩，равный w2左①

'p = arctg K~ = arctgFB

Г ла so X

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАИ ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ оси

§63・ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

До сих пор мы рассматривали движение одной материальной точки. Перейдем теперь к рассмотрению движения твердого тела.

В кинематике твердого тела рассматриваются две основные задачи.

Первая задача состоит в установлении математических способов задания, или описания, движения тела по отношению к выбранной системе отсчета.

Вторая задача состоит в том, чтобы, зная уравнения движения данного тела, определить кинематические характеристики движения этого тела в целом, а затем и каждой из его точек в отдельности.

Задать движение тела—： это значит указать способ, при помощи которого для любого момента времени можно найти положение тела относительно выбранной системы отсчета.

Каждое те^о состоит из совокупности точек, и определение положения тела относительно данной системы отсчета сводится к определению положения каждой точки этого тела относительно той же системы отсчета .

Однако для определения положения тела нет надобности определять положение каждой точки тела. Вместо этого в кинематике твердого тела устанавливают способы определения положения всего тела в целом относительно выбранной системы отсчета. Для этого по аналогии с понятием координат точки устанавливается понятие обобщенных координат тела. Независимые между собой параметры, однозначно определяющие для каждого момента времени положение тела (или точки) относительно выбранной системы отсчета, называются обобщенными координатами тела (или точки).

Число обобщенных координат, однозначно определяющих положение тела (или точки) относительно выбранной системы отсчета, называется числом степеней свободы тела (или точки).

Так, положение свободной точки, движущейся в пространстве, определяется по отношению к данной системе отсчета заданием трех обобщенных координат (например ее декартовых координат х, у и z). Отсюда следует, что такая точка имеет три степени свободы.

При движении тела все его обобщенные координаты будут с течением времени изменяться, т. е. будут некоторыми функциями времени. Эти функции представляют собой уравнения движения тела.

Зная уравнения движения тела, можно определить кинематические характеристики движения всего тела в целом, а затем найти траекторию, скорость и ускорение каждой точки этого тела.

Прежде чем перейти к изучению произвольного или самого общего случая движения тела, сначала изучают простые, частные случаи движения тела. Наше исследование мы начнем с рассмотрения двух простейших видов движения твердого тела: поступател ь но го и вращательного вокруг неподвижной оси.

. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Движение твердого тела называется поступательным, если всякая прямая, неизменно связанная с этим телом, во все время движения остается параллельной своему начальному положению. Простейшим случаем поступательного движения будет, например, движение кузова железнодорожного вагона на прямолинейном рельсовом пути. Для определения положения произвольной точки М поступательно движущегося

тела выберем систему координат Oxyz за неподвижную систему отсчета, и пусть некоторая точка О' поступательно движущегося тела есть начало координат второй системы Ofxfyfz\ неизменно связанной с этим телом (рис. 185). Тогда положение точки М можно задать относительно неподвижной системы отсчета радиусом-вектором гм, а относительно подвижной системы отсчета—радиусом-вектором /. Положение же подвижного начала О' относительно неподвижной системы отсчета определяется радиусом-вектором г0^ При движении тела радиусы-векторы 尸мН 3 изменяются с течением времени и по модулю и по направлению. Что касается радиуса-вектора 产，то он не изменяется при движении тела ни по модулю, ни по направлению (尸'=const), что вытекает из

(1)(1)определения абсолютно твердого тела и его поступательного движения. Проекции радиуса-вектора 尸'на неподвижные оси будут во все время движения тела некоторыми постоянными числами а, Ь, с. Из рис. 185 имеем

(1)

(1)

Пусть движение точки О' задано уравнениями:

хо^ ~ А (0*у。，=&(•)；%, — /з (/).⑵

Проектируя векторное нат, получимПроектируя векторное нат, получимравенство (1)равенство (1)на неподвижные оси координа неподвижные оси коорди

Проектируя векторное нат, получим

Проектируя векторное нат, получим

равенство (1)

равенство (1)

на неподвижные оси коорди

на неподвижные оси коорди

% = %，+ а; У = %，+ b; z = N。+ с,(3)

где х, у, z — координаты точки М относительно неподвижной системы отсчета.

Формулы (3) показывают, что задания трех функций %(f), /2(0» /3(/) вполне достаточно для определения положения любой точки поступательно движущегося тела, а следовательно, вполне достаточно и для определения положения всего тела в целом. Эти функции будем считать однозначными, непрерывными и дифференцируемыми, по крайней мере, дважды.

Из этих рассуждений ясно, что поступательно движущееся тело имеет три обобщенные координаты xos Уог и ^о^ однозначно определяющие положение этого тела относительно выбранной неподвижной системы отсчета. Следовательно, тело, движущееся поступательно, имеет три степени свободы.

Уравнения (3) называются законом или уравнениями поступательного движения тела. Из равенства (1) видно, что если траектория L。， точки О' известна, то траектория Lмточки Л4 получается из траектории 厶夕 параллельным смещением всех ее точек на постоянный по модулю и направлению радиус-вектор 尸'(рис. 185).

Таким образом, при поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые, при параллельном смещении совпадающие, траектории.

Не следует думать, что при поступательном движении тела траектории его точек должны быть непременно прямыми линиями. При поступательных движениях траектории точек тела могут быть самыми разнообразными кривыми.

Так, например, педаль АВ велосипеда (рис. 186, а) движется так, что во всяком положении отрезок АВ остается параллельным самому себе. Следовательно, педаль движется поступательно, хотя траектории ее точек непрямые. Траектория точки С — окружность с центром 20 Ни ФЛ Сахарный

в точке О; следовательно, траектории и других точек — например Д и В — тоже окружности, но с центром в точках。工 и О2(рис. 186, 6). Радиусы этих окружностей, конечно, равны, ибо траектории должны быть одинаковыми (при наложении совпадающими).

Для нахождения скоростей точек М и Of (рис. 185) продифференцируем обе части равенства (1) по времени. Тогда получим

d「м d г0, или

Ом = %，，⑷

так как при поступательном движении тела радиус-вектор /=const, и, следовательно, %=0 •

Из равенства (4) следует, что скорости точек М н О' поступательно движущегося тела в любой момент времени одинаковы и по модулю и по направлению.

Беря от обеих частей равенства (4) производные по времени, найдем d % d %,

(5)(5)или

(5)

(5)

Следовательно, ускорения точек М и Oz поступательно движущегося тела в любой момент времени тоже одинаковы и по модулю и по направ

лению.

Так как точки М п О' были выбраны произвольно, то формулы (1), (4) и (5) показывают, что при поступательном движении тела:

траектории различных точек тела суть одинаковые кривые, которые можно совместить друг с другом параллельным переносом；

скорость любой точки тела равна по модулю и направлению скорости подвижного начала координат, т. е. скорости всех точек тела геометрически равны между собой для любого момента времени;

ускорения всех точек тела также геометрически равны между собой для любого момента времени.

Из этих свойств поступательного движения следует, что изучение поступательного движения тела сводится к изучению движения какой- либо одной из его точек. Поэтому все выводы, полученные нами в предыдущей главе при исследовании движения одной точки, могут быть распространены на случай поступательного движения тела.

Следует обратить внимание на то, что векторы v и wt представляющие скорость и ускорение некоторой точки поступательно движущегося тела, можно переносить в любую точку этого тела. Общую для всех точек поступательно движущегося тела скорость и общее для всех этих точек ускорение мы можем назвать скоростью и ускорением, тела. Однако такая терминология допустима лишь в случае поступательного движения тела. Во всех других случаях движения тела, как мы увидим в дальнейшем, различные точки тела движутся с разными скоростями и ускорениями, а поэтому понятия о скорости и ускорении тела для этих движений теряют смысл.

. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ оси

Уравнение, или закон, вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Если твердое тело движется так, что две его точки остаются неподвижными, то такое движение твердого тела называется вращательным движением вокруг неподвижной оси.

Прямая, проходящая через две неподвижные точки твердого тела, называется неподвижной осью этого тела.

Чтобы осуществить вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси, достаточно закрепить две его какие-нибудь точки при помощи, например, подшипника А и подпятника В (рис. 187). Тогда прямая, проходящая через эти точки, будет неподвижной осью вращения тела. Очевидно, что все точки тела, лежащие на этой оси, будут во все время вращательного движения тела оставаться неподвижными .При этом траектории точек тела, не лежащих на оси вращения, являются окружностями, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Центры этих окружностей лежат на оси вращения, и, следовательно, радиус каждой из них равен расстоянию соответствующей точки вращающегося тела от оси вращения, 20*

Пусть ось вращения совпадает с осью г. Чтобы определить положение вращающегося тела, проведем через ось z две плоскости: подвижную Q, неизменно связанную с вращающимся телом, и неподвижную Р (рис. 187). Двугранный угол 屮 между подвижной плоскостью Q и

ZZРис. 187Рис. 187ж6ж6неподвижной плоскостью Р называется углом поворота тела. Условимся считать этот угол положительным тогда, когда с положительного конца оси z мы видим его отложенным от неподвижной плоскости Р в направлю нии против движения часовой стрелки, и отрицательным—по движению часовой стрелки.

Z

Z

Рис. 187

Рис. 187

ж6

ж6

Заданием величины и знака угла У поворота вполне определяется поло* жение плоскости Q относительно неподвижной системы отсчета Orxyz (рис. 187), а поскольку плоскость Q неизменно связана с вращающимся телом, то значением угла поворота будет вполне определяться и положение этого тела.

Угол поворота тела обычно измеряют в радианах. Иногда в практических задачах этот угол выражают числом оборотов ^ тела. Так как один оборот тела, т. е. его поворот на 360°, соответствует 2 к рад, то получаем следующую зависимость:

(1)(1)<р — 2те^.

(1)

(1)

При вращении тела вокруг неподвижной оси z угол поворота этого тела изменяется с течением времени, следовательно, он является некоторой функцией времени

屮=〃力 ⑵

Функцию f(f) будем считать однозначной, непрерывной и дифференцируемой, по крайней мере, дважды.

Равенство (2) называется уравнением или законом вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Это уравнение вполне определяет положение твердого тела в любой момент времени.

Итак, при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси тело имеет одну обобщенную координату и, следовательно, оно имеет одну степень свободы.

При вращательном движении тела различные его точки движутся, вообще говоря, по-разному.Однако и для вращательного движения тела можно отыскать такие кинематические характеристики, которые были

бы общими для всех точек тела, т. е. для всего тела в целом. Такими кинематическими характеристиками будут: угол поворота 屮， угловая скорость ① и угловое ускорение г. Поэтому имеют отчетливый научный смысл понятия «угловая скорость тела» и «угловое ускорение тела», но нельзя говорить об угловой скорости точки и угловом ускорении точки.'

Угловая скорость твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Угловая скорость тела характеризует быстроту изменения угла поворота тела с течением времени.

Пусть в момент времени f положение вращающегося тела определяется углом поворота 屮，а в момент &=/+А/ — углом поворота 屮工=屮+ + Ar где Д(р— приращение угла поворота за промежуток времени АЛ Отношение -— называют средней угловой скоростью тела за промежуток времени А/. Предел этого отношения, когда А/ стремится к нулю, называют угловой скоростью тела в данный момент времени. Обозначая угловую скорость в данный момент через о), получаем

3 = lim券=骋3 = lim券=骋=中-=中-(3)(3)

3 = lim券=骋

3 = lim券=骋

=中-

=中-

(3)

(3)

Таким образом, угловая скорость тела 8 данный момент равна первой производной от угла поворота тела по времени.

Значение угловой скорости з=% для данного момента времени может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, возрастает или убывает угол поворота на интервале данных значений времени.

Когда тело вращается против движения часовой стрелки, если смотреть с положи тел ьно го конца оси вращения Oz, то угол поворота 屮 возрастает, поэтому ①工雾〉。・ Если тело вращается по движению часовой стрелки, то угол поворота 屮(принимая отрицательные значения) убывает, поэтому 切=穿＜0.

Следовательно, знак угловой скорости указывает, в какую сторону в данный момент вращается тело вокруг оси.

Исходя из определения угловой скорости можно найти и ее размерность. Размерность угловой скорости, если за единицу угла принять 1 рад. а за единицу времени — 1 сек, будет

[d 屮]—[угол]_ рад

[d “ 一 [время] — сек

или

=——=сек-1,

так как радиан — величина безразмерная.

Угловое ускорение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Угловое ускорение тела характеризует быстроту изменения угловой скорости этого тела с течением времени.

е = lim -ГТе = lim -ГТЕсли за промежуток времени 厶£=/工——f угловая скорость тела изменится на величину Д(о, то отношение 器 называется средним, угловым ускорением тела за промежуток времени А/. Предел этого отношения, когда А/ стремится к нулю, называют угловым ускорением тела в данный момент времени. Обозначая угловое ускорение через е, получаем

е = lim -ГТ

е = lim -ГТ

⑷

или, принимая во внимание равенство (3),

中・中・(5)(5)

中・

中・

(5)

(5)

Таким образом, угловое ускорение тела в данный момент равно первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота тела по времени.

[d<o] — [угловая скорость] [df] — [время][d<o] — [угловая скорость] [df] — [время]Размерность углового ускорения выражается так:

[d<o] — [угловая скорость] [df] — [время]

[d<o] — [угловая скорость] [df] — [время]

или

Если(и>0, то при е>0 угловая скорость возрастает, т. е. вращение тела ускоренное; если же е<0, то угловая скорость убывает — вращение тела замедленное.

Если(1)<0, то при е<0 абсолютная величина угловой скорости возрастает—• вращение тела ускоренное; если же е>0, то абсолютная величина угловой скорости убывает — вращение тела замедленное.

Таким образом, вращение тела будет ускоренным, когда угловая скорость со и угловое ускорение е имеют одинаковые знаки, и замедленным, ——когда разные.

Частные случаи вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Если угловая скорость тела(о остается во все время вращательного движения постоянной 3=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения тела. Так как

ТО

d中=o)df,

где tt)=const. Отсюда при интегрировании получаем

中=(D f + С,

где С — постоянная интегрирования. Величину С находим из начального условия. Если при f = 0,屮=中0, то С=(р0.

Отсюда получаем закон равномерного вращения тела в виде

中=屮о + 3，(6)

Считая, что в начальный момент при /=0 угол(р=(ро=0, получим

<р = 3t.(7)

Из этого равенства следует, что при равномерном вращении тела s = ~.(8)

В технике угловую скорость равномерного вращения обычно характеризуют числом оборотов в минуту и обозначают эту величину через “黒.При одном обороте тело поворачивается на угол 2% а при п оборотах оно поворачивается на угол 2то； этот поворот тела совершается за время f=l мин—60 сек. Из формулы (8) следует тогда, что

Для грубых расчетов можно считать 汽~3, и тогда

—0.1 « ~~-(1。)

Если угловое ускорение тела остается во все время вращательного движения постоянным (e=const), то вращение тела называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения тела. Так как

то

При интегрировании этого равенства получаем

⑴=虱 + С],

где постоянная интегрирования С\ находится из начальных условий.

Если при ^—0, (о=(оо, то С］；%

(И)(И)Отсюда следует, что в случае равнопеременного вращательного движения тела угловая скорость определяется по формуле

(И)

(И)

3 =.77- = 3。+ ef.

Если равенство (11) проинтегрировать, то получим

е /2

? — шо ^ Н2^°2・

(12)(12)Если при f=0,中=0, то постоянная интегрирования С2=0. Тогда окончательно закон равнопеременного вращательного движения тела примет вид

(12)

(12)

中=2)f + 3

Если угловая скорость ① и угловое ускорение е имеют одинаковые

знаки, то вращение тела будет равноускоренным, а если разные —— равнозамедленным •

Полезно обратить внимание на существующую аналогию между законами прямолинейного движения точки и вращательного движе

ния тела. Очевидно, что все формулы, полученные в § 59, п. 6, переходят в формулы настоящего параграфа, если в них вместо х, и и w подставить соответственно 屮，① н £.

Скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Рассмотрим какую-нибудь точку М вращающегося тела, находящуюся на расстоянии 九 от оси вращения z (рис. 187, 188). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса 九，плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр。工 лежит на самой оси. Так как угловая скорость тела не зависит от выбора подвижной плоскости Q, то мы всегда можем выбрать эту плоскость так, чтобы она

проходила через рассматриваемую точку М (рис. 187). Будем определять положение точки М на ее траектории дуговой координатой 邑 отсчитываемой от взятой на плоскости Р неподвижной точки 4, при

чем за положительное направление отсчета дуги s примем положительное направление отсчета угла поворота 屮(рис. 187, 188).

Тогда s = h% а следовательно, скорость точки М будет

dtdtd sd s

dt

dt

d s

d s

или

“=力①.(13)

Эту скорость точки М в отличие от угловой скорости тела часто называют линейной скоростью.

Таким образом, линейная скорость какой-либо точки вращающего' ся твердого тела равняется произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Вектор линейной скорости V точки М направлен по касательной к окружности, которую описывает точка Л4, и, следовательно, перпендикулярен к плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Модуль V вектора линейной скорости у точки, как известно, равен о = I s I =居|, поэтому в нашем случае

и I о)I，(14)

где |а)| ——абсолютное значение угловой скорости тела.

Так как угловая скорость ① является кинематической характеристикой всего тела в целом, то из формулы (13) следует, что линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям этих точек от оси вращения.

По формулам, полученным в § 60, найдем

叽=胃="万=%;(15)

U~ 0)2 h

U == — = h^,(16)

так как для окружности ^h^

Следовательно, модуль вектора касательного ускорения точки равен

I侬Т 1=九|e|,(17)

где 同 —— абсолютное значение углового ускорения. Если тело вращается ускоренно, то в этом случае вектор касательного ускорения 叫 и вектор скорости V точки М. направлены в одну и ту же сторону по касательной к описываемой точкой М окружности (см. рис. 188). Если же^гело^ращается замедленно, то векторы и\ и и направлены в противоположные стороны (рис. 189).

19 Н. Ф. Сахарный

Модуль вектора нормального ускорения wn точки М выражается по формуле—

I &jJ =⑪几=力①2.(18)

Что касается направления вектора 侬〃，то он направлен всегда по радиусу окружности, описываемой точкой Л4.

Модуль вектора полного ускорения w точки М равен

w = ]/"⑪;+切：=h Мs2 +(D4.(19)

Чтобы определить направление вектора з, достаточно вычислить угол а, образуемый этим вектором с радиусом OjM описываемой точкой окружности. Из рис. 188 или 189 ясно, что

tga = * ="

ИЛИ

tga = *(20)

Так как угловая скорость ① и угловое ускорение е являются кинематическими характеристиками всего тела в целом, то из формулы (19) следует, что линейные ускорения всех точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям этих точек от оси вращения. При этом из формулы (20) следует, что линейные ускорения всех точек вращающегося тела образуют в данный момент времени один и тот же угол а с радиусами описываемых ими окружностей.

В частном случае, когда тело вращается равномерно (о)—const), угловое ускорение е=0, поэтому а=0 и 叫 =0, следовательно, полное ускорение равно по модулю з=и^=/г(о2и направлено к центру окружности, описываемой точкой М.

Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, как векторы. Чтобы получить векторные формулы, определяющие векторы скорости и ускорения точек вращающегося вокруг неподвижной оси твердого тела, условились изображать угловую скорость этого тела вектором. Модуль вектора ①， изображающего угловую скорость тела, считают равным абсолютной величине угловой скорости тела, т. е. |а)| = |(р|. При этом вектор s откладывают по оси вращения так, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца этого вектора в сторону его начала, видел вращение тела совершающимся против движения часовой стрелки (правило правого винта). Что касается начала вектора ①，то оно может быть помещено в любой

точке на оси вращения, т. е. вектор угловой скорости определяют как, вектор скользящий. '

Задав вектор угловой скорости ①，можно для каждого момента времени сразу определить: 1) положение оси вращения тела (прямая, вдоль которой расположен вектор ①)；2) направление вращения тела вокруг этой оси, определяемое направлением вектора ① по правилу правого винта; 3) абсолютную величину угловой скорости тела, равную модулю вектора ①.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) также изображают в виде вектора. Производную от вектора угловой скорости по времени, т. е.芻,называют вектором углового ускорения и обозначают через s. Обозначим через 々“ единичный вектор вектора (о, тогда

(1) = о)々。・ (21)

Так как ось вращения твердого тела неподвижна, то 央 есть вектор постоянный не только по модулю, но и по направлению, т. е. &u== const. Дифференцируя равенство (21) по времени, получим вектор углового ускорения

или

8 = £ k°.(22)

Из формул (21) и (22) следует, что для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, вектор е так же, как и вектор ①，направлен вдоль оси вращения. Если при этом знак £ совпадает со знаком (D, т. е. если тело вращается ускоренно, то вектор е направлен в ту же сторону, что и вектор ①(рис. 187). Если же тело вращается замедленно (когда е и(D разных знаков), то вектор е направлен в сторону, противоположную вектору ①(рис. 190).

Модуль вектора углового ускорения е равен абсолютной величине углового ускорения тела, т. е. |s| = |a)|=|<p|.

Векторные формулы для определения скоростей и ускорений точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Выведем теперь векторную формулу для определения вектора скорости произвольной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 191). Для этой цели в качестве неподвижного полюса

примем центр О】 окружности, описываемой данной точкой Mt и составим векторное произведение ① X 无，в котором через h обозначен радиус-вектор точки М, Результатом этого векторного произведения будет вектор, перпендикулярный к ① и /г и направленный таким обра

зом, что если смотреть с конца этого вектора в сторону его начала, то поворот от(D к й на наименьший угол совершится против движения часовой стрелки. Но это направление будет совпадать с направлением вектора скорости и точки М (рис. 191). Кроме того, модуль векторного произведения з乂к равен,

о)Х 万 |= I ① I |/z I sin 90° = I ① I 瓦

где|(d| — абсолютное значение угловой скорости тела. Принимая во внимание^ормулу (14), мы заключаем, что модуль и направление вектора (i)X h совпадают с модулем и направлением вектора скорости и точки М; поэтому

0 =① X 反(23)

Если на оси вращения тела выбрать произвольный полюс О и построить радиус-вектор г, соединяющий этот полюс с точкой М, то легко видеть (см. рис. 191), что

г = 0。丄+瓦

или

Отсюда следует, что

и = о)х й = о)х (г — ООХ) =(о х г (D х ОО】=(о X г,

так как векторное произведение коллинеарных векторов о) и 00* тождественно равно нулю юХОО.О.

Таким образом, получаем искомую векторную формулу *

(24)(24)и = 0)乂 г,

(24)

(24)

т.е. вектор скорости любой точки тела,вращающегося вокруг неподвижной оси, равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки, проведенный 〃з произвольно выбранной точки, взятой на оси вращения тела.

Формула (24) называется формулой Эйлера. Она позволяет при заданном векторе угловой скорости найти модуль и направление скоростей точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Выведем теперь векторную формулу для определения вектора ускорения произвольной точки М твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Для этого продифференцируем равенство (24) по времени. Тогда получим

Так какТак какwwdvdv— — dr— — dr

Так как

Так как

w

w

dv

dv

— — dr

— — dr

то, внося значения 穿 и 系 в предыдущее равенство, получим

5 = ЕХг+о)Хи. (25)

Докажем, что векторное произведение е\г представляет собой вектор касательного ускорения wz точки М, а векторное произведение и)Х^ представляет собой вектор нормального ускорения wn точки /И. Пусть для определенности вращение тела ускоренное (рис. 192).

В этом случае направление вектора е совпадает с направлением вектора (о. Тогда из сравнения векторов 広义尸 и 乂7 следует, что направление вектора еХгсовпа- дает с направлением вектора， скорости

и=о)хг точки М. Отсюда следует, что направление вектора "г совпадает с направлением вектора касательного ускорения 叫 точки М・ Модуль вектора еХг будет (рис. 191)

|еХ r\ = \ elrsinP = |e[/l = \&\ht

где |ej — абсолютное значение углового ускорения тела, р ——угол между г и осью N. Принимая во внимание формулу (17), мы заключаем, что модуль и направление вектора е\г совпадают с модулем и направлением вектора касательного ускорения точки М; поэтому

— е X г.(26)

Направление вектора ^Xv перпендикулярно к вектору угловой скорости со тела и вектору скорости и точки М, т. е. идет по радиусу окружности, описываемой точкой М, к ее центру О» Модуль вектора з X? будет

1 О)Х и I = I <о I I и I sin 90° = I (1) I и =а I U) [ и.

Но при движении точки М по окружности радиуса h^OxM имеем

I и| = и = I 0)也

поэтому предыдущая формула примет вид

⑴ X у I = «)2 /г.

Принимая вовнимани上формулу (18), мы заключаем, что модуль и направление вектора о)Хи совпадают с модулем и направлением вектора нормального ускорения wn точки М; поэтому

wn = w X V.(27)

Указания к решению задач. Задачи, относящиеся к вращательному движению твердого тела вокруг неподвижной оси, можно разделить на три основные типа: 1) определение угла поворота, угловой скорости и углового ускорения тела; 2) определение линейных скоростей и ускорений точек вращающегося тела; 3) задачи, относящиеся к передаче вращательного движения от одного тела к другому (зубчатые и ременные передачи).

С методами решения этих основных задач проще всего ознакомиться, рассмотрев решения следующих задач.

Задача 45. Турбина реактивного двигателя, делавшая 2700-^, начала с этого момента вращаться равноускоренно и через 50 сек, число ее оборотов в минуту возросло до 4200-^-. Определить угловое ускорение турбины, а также число оборотов, сделанных турбиной за 50 сек.

Решение. Эта задача относится к задачам первого типа. Так

как турбина вращаетсякак турбина вращаетсяравноускоренно, то для нее

как турбина вращается

как турбина вращается

(а)(а)①= % + &£；

(а)

(а)

屮=% f т屮=% f т俘亍，俘亍，

屮=% f т

屮=% f т

俘

亍，

俘

亍，

считая (ро=0.

В данном случае

小冷0 _兀.2700 一 go 1.

30 —30 一 ”ин сек '

те n 九，4200 1 4 八1

з『=^б-= 140nb

f = 50 сек.

Подставляя эти значения в формулы (а) и (б), определяем угловое ускорение турбины

(о — sq140 тс —• 90 те1

t50сек^

и угол ее поворота

9 = 90к-50 + Ц^ = 5750 рад.

Так как 屮=2农N, то число сделанных турбиной за 50 сек оборотов N будет равно

n =券n =券5750 亦2冗5750 亦2冗=2875 об.=2875 об.

n =券

n =券

5750 亦

2冗

5750 亦

2冗

=2875 об.

=2875 об.

Задача 46. В период разгона маховик вращается вокруг своей оси по закону 屮=8农犬.Определить угловую скорость и угловое ускорение маховика в тот момент, когда он сделает 4 об.

Решение. Эта задача относится к задачам первого типа. По заданному закону вращательного движения находим угловую скорость и угловое ускорение маховика в данный момент

3=絹=24吟

е =写亍=48 Е.

Так как маховик сделал 4 об, то угол поворота равен 屮=2h2V= =2农4 = 8кра5. Далее находим, в какой момент времени / угол поворота маховика будет равен 屮=8农pad. Для этого подставим это значение угла поворота в формулу 屮=8农 тогда получим

8 к — 8 7：t3,' отсюда

^ = fl н 1 сек.

Угловая скорость и угловое ускорение маховика в этот момент времени будут равны

(о = 24 农• 1 & = 24 тс —-—; сек '

е =48 农• 1 =48 тс —二・

Задача 47. Вал, делающий и—90— , после выключения двигателя начинает вращаться равнозамедленно и до остановки сделал 30 об. Определить, сколько времени прошло с момента выключения двигателя до остановки вала.

Решение. Эта задача относится к задачам первого типа. Так как вал вращается равнозамедленно, то для него

(а)(6)(а)(6)з = 2)+ /；

(а)

(6)

(а)

(6)

е/2

中=3(/ + 于，

считая %—0.

Начальной угловой скоростью вала будет та, которую вал имел до выключения двигателя. Следовательно,

О)О)8% я-908% я-90оо= Зп/・= Зп/・

О)

О)

8% я-90

8% я-90

о

о

= Зп/・

= Зп/・

Так как в момент остановки угловая скорость вала равна нулю, то ю=0. Подставляя это значение в уравнение (б), получаем

ОтсюдаОтсюда0 = 3 农 + М.

Отсюда

Отсюда

Так как вал до остановки сделал ^=30 об, то угол поворота вала равен(р=2^= 2农・30 = 60衣 рад. Подставляя найденные значения е и 9 в уравнение (а), получаем

60 霏=3 农f — ~ • g-,

откуда

/120

t = —~ 40 сек.

Задача 48. Маховик радиуса R=1 м вращается равномерно вокруг своей оси, делая пять оборотов за 0,5 сек. Определить линейную скорость и линейное ускорение точки, лежащей на ободе маховика.

Решение. Эта задача относится к задачам второго типа. Так как маховик вращается равномерно, то для него

p =在+ 3力 или

В данном случае за время /—0,5 сек угол поворота маховика <р—(р0= =2农N=2农• 5 = io农pad, поэтому

Кроме того, при равномерном вращении маховика «)—const» н, следовательно, е=0.

Таким образом,

V = Ro)= 1 ・20 农=20农 м 62,8 — ;■

сек

吗=Re = 0;

纭=r32=1・40。d=400№。3943,8鲁；

з =皿产3943,8務.

Итак, искомая скорость и=62,8 —, а искомое ускорение ⑫〜3943,8 ^^и направлено по радиусу к оси вращения маховика.

Задача 49. В период разгона маховик вращается по закону 屮=^~伊. Определить линейную скорость и линейное ускорение точки, находящейся на расстоянии й=1 м от оси вращения, в тот момент, когда касательное ускорение этой точки станет равно нормальному.

Решение. Эта задача относится к задачам второго типа. Найдем сначала угловую скорость и угловое ускорение маховика в данный момент

з =雰=£丄； di сем *

Для касательного и нормального ускорений точки имеем формулы: 叫=/u;侬『hd. Определим момент, в который шх =шЛ. Очевидно, в этот момент £=ш2,

или

■откуда

t = 1 сек.

Подставляя это значение времени t в выражение для з , найдем, что в момент t=l сек

1 11 1

0)= 1 ——；£ = 1 Ь •

Отсюда искомая скорость при f=l сек будет равна

и = Асо = 1.

сек

Так как касательное и нормальное ускорения точки, находящейся на расстоянии /г=1 м от оси вращения маховика, при /=1 сек равны ^ =hs = 1 ^^；. wn—h<iy2=l-^^ то искомое ускорение при этом будет равно

3 ="^^4^-=y分詣=1，41备・

Так как

tga = %tga = %11

tga = %

tga = %

1

1

то вектор искомого ускорения ш направлен под углом а=45° к радиусу h..

Задача 50. Зубчатое колесо / радиусом 厶=0,6 м находится во внешнем зацеплении с колесом II радиусом г2=0,5 м (рис. 193). На вал

Рис. 193Рис. 193

Рис. 193

Рис. 193

радиусом 仆=0,3 м колеса / намотана нить, к концу которой подвешен груз, так что он движется в вертикальном направлении по закону s=3/2(s— в метрах, t — в секундах). Определить угловую скорость и угловое ускорение колеса 〃，а также полное линейное ускорение какой-либо точки В, лежащей на ободе этого колеса.

Решение. Эта задача относится к задачам третьего типа. Колесо / (ведущее) вращается вокруг неподвижной оси Ог в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Скорость точки А зацепления колес будет направлена, как показано на рис. 193, и, следовательно, колесо II (ведомое) будет вращаться вокруг неподвижной оси О2 в сторону, противоположную вращению ведущего колеса /.

Для линейной скорости точки Д, как принадлежащей одновременно и колесу / и колесу будем иметь

% = 3,厂 I = ^2^ 2»

где 叫 и о)2— угловые скорости колес / и II. Отсюда следует, что

т. е. отношение угловой скорости ведущего колеса и угловой скорости ведомого равно обратному отношению их радиусов.

' Линейная скорость поступательно движущегося груза (или скорость нити) равна

ds 〜м

Так как вал приводится во вращательное движение сматываемой с него нитью, то линейная скорость точки С, лежащей на ободе вала, равна скорости груза (или нити). При этом угловая скорость вала, а следовательно, и колеса / будет равна

=0^3 = 20 /姦,=0^3 = 20 /姦,

=0^3 = 20 /姦,

=0^3 = 20 /姦,

а угловое ускорение колеса / будет равно

q =q =df сек2df сек2

q =

q =

df сек2

df сек2

Вращение колес / и // равноускоренное, а поэтому для угловых скоростей этих колес имеем формулы: w1=e1^ и со2—е2/, откуда

Отсюда находим угловую скорость 吗 и угловое ускорение % колеса II

ИИ叫=叫^ = 20/皖=24叫=叫^ = 20/皖=241сек1секj…體=24表.j…體=24表.

И

И

叫=叫^ = 20/皖=24

叫=叫^ = 20/皖=24

1

сек

1

сек

j…體=24表.

j…體=24表.

Линейное ускорение произвольной точки В обода колеса II будет равно

% =厶 /1+S- = 12/1 + 576/4 為.

Г ла £ а X /

СОСТАВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ, ПЕРЕНОСНОЕ И АБСОЛЮТНОЕДВИЖЕНИЯ точки

До сих пор мы рассматривали движение точки по отношению к од- ной заданной системе отсчета, которую считали условно неподвижной. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается ynod ным рассматривать движение точки одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна принимается за неподвижную, а другая определенным образом движется по отношению к первой.

Представим себе, что мы наблюдаем движение точки М по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь сама как-то движется по отношению к системе отсчета О^у^ принимаемой за неподвижную (рис. 194). Каждая из этих систем отсчета неизменно связана, конечно, с определенным телом. Движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным. Движение подвижной «системы отсчета по отношению к неподвижной системе отсчета называется переносным. Движение точки Л4 по отношению к неподвижной системе отсчета называется абсолютным. Аб- солютное движение точки М. можно назвать также составным, поскольку оно состоит из относительного и переносного движений. Так, например, если человек идет по движущейся лестнице эскалатора мет-

ро, то его движение по отношению к стенам тоннеля (неподвижная система отсчета) есть составное движение. Это движение состоит из относительного движения человека по отношению к лестнице (подвижная система отсчета) и его переносного движения вместе с лестницей по отношению к стенам тоннеля. Таким путем составное движение человека разлагается на два более простые и более легко исследуемые составляющие движения.

Для того чтобы можно было разложить всякое составное движение точки на составляющие движения (относительное и переносное), необходимо выбрать подвижную систему отсчета, движение которой известно, и найти движение точки относительно этой подвижной системы отсчета. Мы воспользуемся этим приемом разложения составного движения точки на составляющие движения при дальнейшем изучении кинематики твердого тела.

АБСОЛЮТНЫЕ, ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И ПЕРЕНОСНЫЕ СКОРОСТИ и ускорения ТОЧКИ

При изучении составного движения точки устанавливают понятия абсолютной, относительной и переносной скоростей этой точки, а также понятия ее абсолютного, относительного и переносного ускорений. _ _

Абсолютной скоростью % и абсолютным ускорением wa точки М называются ее скорость и ускорение в абсолютном движении, т. е. в ее движении по отношению к неподвижной системе отсчета. Абсолютной траекторией точки М. называется ее траектория в абсолютном движении. __ _

Относительной скоростью vr и относительным ускорением wr точки М называются ее скорость и ускорение в относительном движении, т. е. в ее движении по отношению к подвижной системе отсчета. Относительной траекторией точки М называется ее траектория в относительном движении. Понятно, что относительная траектория точки перемещается вместе с подвижной системой отсчета.

Переносной скоростью % и переносным ускорением we точки М называются абсолютная скорость и абсолютное ускорение той неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки, с которой в данный момент совпадает точка Л4.

Так как разные неизменно связанные с подвижной системой отсчета точки имеют в общем случае разные траектории, то говорить о переносной траектории точки М нельзя.

Сделанное нами определение переносной скорости % и переносного ускорения we точки М. применимо для всякого переносного движения. В случае поступательного переносного движения скорости и ускорения всех связанных с подвижной системой отсчета точек одинаковы. Поэтому только в этом случае переносная скорость ve и переносное ус-

корение we движущейся точки Л4 не будут зависеть от ее положения по отношению к подвижной системе отсчета. Следовательно, под переносной скоростью ve и переносным ускорением we точки М в этом случае можно понимать абсолютную скорость и4 абсолютное ускорение подвижной системы отсчета.

В заключение отметим, что основная задача кинематики в случае составного движения точки состоит в том, чтобы, зная относительное движение точки и переносное движение, найти абсолютное движение точки и, следовательно, определить ее траекторию, скорость и ускорение в этом движении.

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ И СЛОЖЕНИЯУСКОРЕНИЙ В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ПЕРЕНОСНОЕ ДВИЖЕНИЕЯВЛЯЕТСЯ ПОСТУПАТЕЛЬНЫМ

Относительная, переносная и абсолютная скорости связаны между собой. Установим эту связь.

Предположим, что тело А (рис. 194), с которым неизменно связана выбранная подвижная система осей Oxyz, совершает поступательное движение относительно неподвижной системы отсчета 0声业厶.

Допустим, далее, что по желобку, вырезанному в теле А в свою очередь движется, например, шарик (точка Л4), который при этом участвует в двух движениях — относительном по отношению к телу А (или по отношению к системе осей Oxyz) и в переносном вместе с телом 4 т. е. вместе с осями Охуг. Так как при поступательном движении тела А все его точки имеют в каждый момент времени одинаковые скорости, равные абсолютной скорости и。точки О тела Д, то. следовательно, переносная скорость ve точки М (шарика) в тот же момент также будет равна скорости и。, т. е.

^о-(1)

Пусть движение точки М по отношению к поступательно движущейся системе отсчета Oxyz определяется уравнениями:

* и fi(f)； у = f2 (^)； z = ,3(f),

где *, у, N ——координаты движущейся точки М в подвижной системе осей Охуг. Эти уравнения представляют собой уравнения относительного движения точки М, Если исключим из этих уравнений время 厶 то получим уравнения траектории L (рис. 194) относительного движения точки М. Чтобы найти относительную скорость vr точки М, необходимо, поступая так же, как в § 59, продифференцировать уравнения относительного движения точки М по времени L Тогда получим

проекции %, q подвижные оси Iпроекции %, q подвижные оси I为 и vrz вектора относительной скорости точки М на Ох, Оу и Oz

проекции %, q подвижные оси I

проекции %, q подвижные оси I

dx

dy

dz

Отсюда получаем формулу разложения вектора относительной скорости % точки Л4 по подвижным осям

=力『+ 厅工Jr+gr+gi, ⑵ где Z, /, k ——единичные векторы подвижных осей.

Положение точки М определяется по отношению к неподвижной системе отсчета радиусом-вектором г, а по отношению к подвижной системе отсчета радиусом- вектором R; положение точки О по отношению к неподвижной системе отсчета определяется радиусом-вектором г0 . Из рис. 194 имеем но так как

欠=%i+ yj + n財 то можно написать

厂=「о + %i + 力+ 2友

Дифференцируя это векторное равенство по времени t и принимая во внимание, что при поступательном движении системы отсчета Oxyz оси Ох, Оу и Oz движутся параллельно самим себе, и, следовательно, единичные векторы it j и k этих осей не изменяют своего направления, получим абсолютную скорость % точки Л4

以=4^ =曾+等『+4F+然 （3）

Но

ииdx — dTldx — dTl也7丄dt 1 +也7丄dt 1 +dzn不々=dzn不々=团，团，

и

и

dx — dTl

dx — dTl

也7丄

dt 1 +

也7丄

dt 1 +

dzn

不々=

dzn

不々=

团，

团，

а поэтому окончательно имеем

^ =以+ В . (分

Таким образом, доказано, что если переносное движение является поступательным, то абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки.

Этот векторный способ сложения скоростей часто называют правилом параллелограмма скоростей, или правилом треугольника скоростей. Содержание этого правила заключается в том, что абсолютная скорость точки равна по модулю и направлению диагонали параллелограмма (или замыкающей стороне треугольника), построенного на относительной и переносной скоростях.

Равенство (4), выражающее теорему о сложении скоростей, мы доказали для того частного случая, когда переносное движение, т. е. движение подвижной системы отсчета, является поступательным. Однако это равенство и, следовательно, правило параллелограмма (или треугольника) скоростей остается справедливым, как это будет доказано в главе XIV, для любого переносного движения.

Перейдем теперь к доказательству теоремы о сложении ускорений.

Дифференцируя равенство (1) и равенство (2) по времени t, полу* чим соответственно переносное и относительное ускорения точ* ки М

叫=% ;

叫=e +加+炉"

где ⑪。一абсолютное ускорение точки О.

Дифференцируя далее равенство (3) по времени t、получим абсолютное ускорение 叫 точки Л4

НоНоииwawadtdt一必十一必十d。。d。。#% 丁 dzy 丁 d?N 丽1+垣/ +#% 丁 dzy 丁 d?N 丽1+垣/ +k = wr,k = wr,

Но

Но

и

и

wa

wa

dt

dt

一必十

一必十

d。。

d。。

#% 丁 dzy 丁 d?N 丽1+垣/ +

#% 丁 dzy 丁 d?N 丽1+垣/ +

k = wr,

k = wr,

а поэтому окончательно имеем

叫=g+吗- (5)

Таким образом, доказано, что если переносное движение является поступательным, то абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного и относительного ускорений этой точки.

Иначе говоря, при поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки определяется по правилу параллелограмма (или треугольника) ускорений.

Равенство (5) выражает теорему сложения ускорений при поступательном переносном движении. Если переносное движение будет непоступательным, то, как мы увидим в главе XIV, теорема о сложении ускорений будет выражаться более сложным соотношением. Отсюда следует, что геометрическое сложение ускорений точки в ее составном движении подчиняется правилу параллелограмма ускорений только в том частном случае, когда переносное движение поступательное.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Задачи, относящиеся к этой главе, а также и к главе XIV, можно разбить на два основных типа:

зная относительное и переносное движения точки, найти уравнения и траекторию абсолютного движения этой точки;

зная абсолютное и переносное движения точки, найти уравнения и траекторию относительного движения этой точки.

При решении этих задач следует прежде всего установить подвижную и неподвижную системы отсчета и выяснить характер переносного движения. После этого следует установить, ка^ое движение рассматриваемой точки является абсолютным движением и какое —— относительным.

Задачи, относящиеся к теореме о сложении скоростей при поступательном переносном движении, а также и при любом переносном движении, можно разбить на следующие основные типы:

зная модуль и направление переносной и относительной скоростей точки, найти модуль и направление ее абсолютной скорости;

зная модуль и направление абсолютной скорости точки, а также направления переносной и относительной скоростей этой точки, найти модули этих скоростей;

зная модули и направления абсолютной и переносной скоростей точки, найти модуль и направление ее относительной скорости;

зная модуль и направление переносной скорости точки, а также направления ее абсолютной и относительной скоростей, найти модули этих скоростей.

Задачи всех этих типов удобно решать геометрическим способом, состоящим в построении параллелограмма скоростей на основании векторной формулы (4, § 68).

Решение задач первого типа сводится к построению параллелограмма скоростей по двум смежным его сторонам ve и vr

Решение задач второго типа сводится к построению параллелограмма скоростей по данной диагонали va и направлениям двух смежных его сторон ve и vr.

Решение задач третьего типа сводится к построению параллелограмма скоростей по данной диагонали 。或 одной из его сторон ve и углу между ними.

Решение задач четвертого типа аналогично решению задач второго типа.

Задачи, относящиеся к теореме о сложении ускорений при поступательном переносном движении, можно разбить на два основных типа:

Заданы векторы we и wr (либо эти векторы могут быть непосредственно найдены из условий задачи, характеризующих переносное и относительное движения). Определить вектор ша, т. е. модуль и направление этого вектора.

Заданы векторы ша и we (либо эти векторы могут быть непосредственно найдены из условий задачи, характеризующих абсолютное и переносное движения). Определить вектор wr.

Эти задачи могут быть решены двумя способами: геометрическим или аналитическим.

Геометрический способ решения задачи состоит в построении параллелограмма ускорений на основании векторной формулы (5, § 68).

При аналитическом решении задач применяется метод проекций, т. е. искомое ускорение определяется по его проекциям на выбранные координатные оси. При этом следует иметь в виду, что проекция абсолютного ускорения на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций составляющих ускорений на ту же ось.

В качестве примера применения полученных теорем сложения скоростей и сложения ускорений рассмотрим следующие две задачи.

Задача 51. Кривошип ОМ кривошипно-кулисного механизма (рис. 195) равномерно вращается вокруг неподвижной оси 0「Конец М этого кривошипа соединен шарнирно с ползуном, который при вращении кривошипа скользит вдоль прикрепленной к стержню ОС вертикальной кулисы АВ и сообщает этой кулисе возвратно-поступательное движение в горизонтальном направлении. Зная, что кривошип вращается с угловой скоростью со—10^ и что его длина ОМ = =0,4 м, определить скорость и ускорение кулисы в тот момент, когда кривошип образует с осью кулисы угол 片§0°.

Решение. В данном случае подвижной системой отсчета является кулиса, а неподвижной — станина механизма. Начало подвижной системы отсчета Оху возьмем в точке О кулисы, а начало неподвижной системы отсчета O/i必一в точке Ог станины механизма.

Абсолютным движением точки М (центра шарнира, соединяющего ползун с кривошипом) будет ее круговое перемещение вместе с кривошипом вокруг неподвижной точки О「Это движение точки Л4 можно считать составным, т. е. получающимся в результате сложения:

движения точки Л4 вместе с кулисой в ее возвратно-поступательном (переносном) перемещении вдоль оси О/"

относительного движения точки Л4 вместе с ползуном, движущимся возвратно-поступательно в прорези кулисы. ,

Так как кулиса движется поступательно, то все ее точки имеют в каждый данный момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Эту общую для всех точек кулисы переносную скорость, а также это общее для всех точек кулисы переносное ускорение и требуется определить.

Найдем переносную скорость ve и переносное ускорение we той точки кулисы, с которой в момент, когда р=30°, совпадает конец М кривошипа.

Абсолютная скорость уточки Л4, модуль которой легко определяется по формуле

va = О^Л!• <о =0,4*10 = 4 ^^ ,

направлена перпендикулярно к кривошипу ОХМ. Относительная скорость vr точки М, равная скорости ползуна в прорези кулисы, направлена вдоль кулисы. Переносная скорость ve точки М, равная поступа-

тельной скорости кулисы, направлена горизонтально. На рис. 195 изображен ^звестный по модулю и направлению вектор абсолютной скорости % точки Л4 и показано его разложение на составляющие 3 и %.

Из параллелограмма скоростей находим искомую скорость кулисы

ve = % sin 屮=4 sin 30° = 2 羲.

Так как кривошип вращается вокруг точки Ох равномерно, то абсолютное ускорение точки Л4 состоит из одной лишь центростремительной составляющей, т. е. по модулю равно

wa =。1乂 • <о2 = 0,4 • 100 = 40 ^^

и направлено от точки Л4 к точке

Имея в виду, что движение кулисы есть движение поступательное, мы можем воспользоваться теоремой сложения ускорений в том виде, как она выведена в § 68. Переносное ускорение we точки М, равное поступательному ускорению кулисы, направлено горизонтально, а относительное ускорение wr точки Л4, равное ускорению ползуна в прорези кулисы, направлено вдоль кулисы. Строим параллелограмм ускорений (рис. 195), из которого находим искомое ускорение кулисы

叫=wa cos 中=40 cos 30° 二 20/3 ^^ .

Задача 52. Наклонная плоскость, составляющая с горизонтом угол а—45° (рис. 196), движется поступательно по горизонтальной плоскости с постоянным ускорением 2 —. По этой наклонной плоскости скользит груз М с постоянным ускорением 丿2 詮. Определить траекторию груза Л4, его скорость и ускорение по отношению к неподвижной системе отсчета, если в начальный момент наклонная плоскость и груз М были неподвижны и груз М находился в точке О; высота наклонной плоскости h=l м.

Решение. Движение груза М по отношению к горизонтальной плоскости (неподвижной системе отсчета Ох-^у^ есть его абсолютное движение. Это движение груза М можно рассматривать как составное, т. е. состоящим из двух движений:

относительного, т. е. движения груза Л4 по отношению к движущейся наклонной плоскости (подвижная система отсчета Оху);

переносного, т. е. движения груза Л4 вместе с наклонной плотскостью.

Так как переносное ускорение we груза М равно ускорению наклонной плоскости, то модуль переносного ускорения w€ равен

然=2方

при этом вектор we параллелен неподвижной оси 0^.

Так как груз М перемещается относительно наклонной плоскости по прямой 08, то относительное ускорение wT этого груза направлено по 08; при этом модуль вектора wT равен

Мы знаем, что при поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки определяется по правилу параллелограмма ускорений. Поэтому из параллелограмма ускорений (рис. 196) находим абсолютное ускорение wa груза по формуле

J 4 + 2 + 2-2-/2 •争=J 4 + 2 + 2-2-/2 •争=

J 4 + 2 + 2-2-/2 •争=

J 4 + 2 + 2-2-/2 •争=

Определим теперь модуль вектора wa методом проекции, т. е- по его проекциям на неподвижные оси 。亦伍广 Так как

Wa = We + Wr,

то, проектируя обе части этого векторного равенства на уже названные оси, получим

5*=昨修+ 5/i

'”1 = 9% + 叫

Так как

weX = 2； 5ev =0； в» =3rcosa=l; wrv = — g「sina = — 1,

TO

=2+1=3; 结〃 =-1*

Отсюда следует, что

以=丿9厶+5^1 =/9 + 1 = V^b券•

Так как od%y

山/ = в = з； 侬叭=В = - 1'

ТО

и% = 3§df +& = 3f + &;

%〃 = ■ J di + С2 = • f +。2・

Подставляя сюда начальные условия задачи при /=0, vox =0, %力=0, найдем, что Сг—С2=0, и, следовательно, будем иметь

%y=3f;%% = -£•

Отсюда находим модуль абсолютной скорости va груза Л4

Направляющие косинусы вектора va найдем по формулам

Найдем теперь координаты %工 и “工 груза М в неподвижной системе отсчета。/工处 Так как

то

~ £2 + &；

弘=一 ％ + С& •

Подставляя сюда начальные условия задачи при f=0, %i=0, yr=h= 1 м, найдем, что &=0, С4=1. Следовательно, будем иметь

/=万■伊；%=1 - g.

Исключая из этих уравнений абсолютного движения груза М время t, получим следующее уравнение прямой:

%i + 3 弘=3.

Таким образом, абсолютная траектория груза Л4 есть прямая линия.

Глава ХИ

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 70. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯТВЕРДОГО ТЕЛА

Движение твердого тела называется плоскопараллельным или плоским, если все точки этого тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Частным случаем такого движения является, очевидно, вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Качение колеса по прямолинейному рельсу и движение шатуна кривошипно-шатунного механизма также могут служить примерами плоскопараллельного движения твердого тела.

В некоторых случаях плоскопараллельное движение твердого тела может быть одновременно и поступательным. Однако не всякое поступательное движение тела есть плоскопараллельное движение. Поэтому поступательное движение тела нельзя, вообще говоря, рассматривать как частный случай плоскопараллельного движения.

Рассмотрим плоскопараллельное движение некоторого твердого тела (рис. 197). Если мы пересечем это тело плоскостью 0^, параллельной условно неподвижной плоскости Л^, то в сечении получится какая-то плоская фигура S (рис. 197). Из определения плоскопараллельного движения твердого тела следует, что плоская фигура S, перемещаясь с данным телом, остается во все время этого движения в

плоскости 0^. Следовательно, любой отрезок АГА^ взятый в теле и перпендикулярный к плоскости фигуры S или к плоскости N、будет двигаться параллельно самому себе, т. е. поступательно, причем скорость и ускорение этого отрезка будут параллельны плоскости N. Но в таком случае для определения движения всех точек данного тела, лежащих на отрезке А^А^ достаточно знать движение одной точки этого отрезка, а за такую точку можно взять точку Л плоской фигуры S. Отсюда следует, что для определения плоскопараллельного движения твердого тела достаточно знать движение какого-либо сечения тела плоскостью, параллельной условно неподвижной плоскости N、т. е. достаточно знать движение плоской фигуры 5 в ее плоскости (0^).

В дальнейшем мы будем плоскость 0；v)совмещать с плоскостью чертежа, а вместо всего тела изображать только плоскую фигуру (5) (рис. 198). Выберем на этой плоской фигуре произвольную точку Л и назовем ее полюсом. Проведем через этот полюс координатные оси Ах и /у, т. е. оси, неизменно связанные с плоской фигурой (S) и движущиеся вместе с ней относительно неподвижных осей координат 0^.

Положение плоской фигуры (S) на неподвижной плоскости 0^ вполне определяется заданием положения двух каких-либо точек этой плоской фигуры, например Л и В (рис. 198), т. е. положением отрезка АВ. 22 Н. Ф. Сахарный

Положение этого отрезка вполне определяется тремя параметрами: координатами одного его конца и углом, образуемым этим отрезком с неподвижной осью 0Е・ Иначе говоря, чтобы знать положение плоской фигуры, или, что то же самое, положение подвижных осей Аху относительно неподвижных осей 0^ достаточно задать положение полюса Л, т. е. его координаты 2川 н Па н угол <р, который составляет подвижная ось Ах с неподвижной ОЕ. При этом условимся считать угол поворота <р положительным, когда он отложен от оси ОЕв направлении,обратном движению часовой стрелки.

При движении плоской фигуры в плоскости ОЕ% величины Е4 и <р меняются с течением времени, а поэтому являются некоторыми однозначными, непрерывными и дифференцируемыми, по крайней мере, дважды функциями времени, т. е.

J = &«)；勿=%(£)； ¥ = /з(0-(1)

Для каждого момента времени t мы можем из уравнений (1) найти соответствующие значения £厶,期厶 н <р н, следовательно, определить положение движущейся плоской фигуры относительно неподвижных осей координат О1г[. Поэтому уравнения (1) определяют закон происходя

щего в неподвижной плоскости 0^ движения плоской фигуры и называются уравнениями движения плоской фигуры или уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Рассмотрим произвольную точку М плоской фигуры при плоскопараллельном ее движении в неподвижной плоскости 0^ (рис. 199).

Положение этой точки относительно неподвижных осей определим радиусом-вектором г, а относительно подвижных осей ——радиусом- вектором R.

Из векторного треугольника О АМ. имеем, что в любой момент движения

7=，+ R， ⑵

где гд——радиус-вектор, определяющий положение полюса Л относительно неподвижных осей.

Спроектируем векторное равенство (2) на неподвижные оси. Тогда координаты Е н 刁 точки М относительно неподвижных осей найдем по формулам:

~ Ob = Оа -\~ ab — Оа + Ос ——be — ^А + х cos <р — у sin <р;)

期=+ а*] + Ьхсг = т]л + х sin <р + f/ cos J

где 氢，期4 <p—известные по уравнениям ⑴ функции; х, у — координаты точки М относительно подвижных осей. Координаты 尤 н у от времени не зависят, т. е. остаются постоянными как расстояния точек неизменяемой плоской фигуры до проведенных на ней прямых.

Отсюда следует, что положение произвольной точки М плоской фигуры однозначно определяется тремя величинами: Вд,笃厶 и 中.Таким образом, в общем случае при плоскопараллельном движении твердое тело будет иметь три обобщенные координаты (?л»^д, <р) и, следовательно, оно будет иметь и три степени свободы.

Равенства (3) представляют уравнения движения произвольной точки Л1 плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, или, что то же самое, параметрические уравнения ее траектории. Исключая из них время £, получим уравнение траектории точки М в обычной форме, т. е. в виде зависимости только между координатами точки М,

Зная уравнения (3), мы по формулам (16—19; § 59) можем определить модуль и направление скорости и^н ускорения wM точки М в любой момент времени. В дальнейшем мы узнаем, что скорость и ускорение произвольной точки движущейся в своей плоскости плоской фигуры можно определить и другими способами (см. § 72 и § 73).

§ 71. разложение движения плоской фигурыНА ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ

Мы уже знаем, что положение неизменяемой плоской фигуры (5) в ее плоскости вполне определяется положением произвольного отрезка /5, взятого на этой плоской фигуре (рис. 200). Поэтому перемещение отрезка АВ будет вполне характеризовать перемещение самой 22*

плоской фигуры. Пусть плоская фигура (S) за некоторый промежуток времени переместилась из положения / в положение II так, что отрезок АВ занял положение А1В1 (рис. 200). Если за полюс принять точку Л, то это перемещение можно совершить следующим образом: сначала сообщим плоской фигуре поступательное перемещение, которое переводит полюс Л в положение Аъ при этом отрезок АВ займет положение А±ВГ и все точки плоской фигуры получат перемещения, геометрически равные ЛД, а затем сообщим плоской фигуре вращательное переме

щение вокруг точки 4, которое повернет отрезок 40 на угол 8&& в положение АгВг,

Легко убедиться в том, что, выбирая различные точки плоской фигуры за полюсы при перемещении ее из одного положения в другое, мы изменяем только поступательное перемещение плоской фигуры, угол же поворота и направление вращательного перемещения плоской фигуры от выбора полюса не зависят. В самом деле, тот же переход плоской фигуры (S) из положения / в положение II можно осуществить, приняв за полюс точку В и сообщив плоской фигуре поступательное перемещение, которое переводит полюс В в положение Въ при этом отрезок АВ займет положение АГВХ и все точки плоской фигуры получат перемещения, геометрически равные 5当 и отличные от /&, а затем, повернув плоскую фигуру вокруг точки Вх на ^A/BiAl в положение /18「Но по свойству поступательного перемещения отрезок AiB' параллелен АВ и точно так же отрезок AfBx параллелен АВ. Следовательно, XLBZ и AfBx параллельны между собой, и ^BfАХВ^ =之/'当/1=中.Вместе с тем поворот вокруг точек Л и В в том и другом случае происходит в одну и ту же сторону (на рис. 200 против часовой стрелки).

Таким образом, доказана следующая теорема: всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости из одного положения 6 другое можно осуществить поступательным перемещением плоской 力公 гуры, равным перемещению произвольно выбранного полюса, и вращательным перемещением плоской фигуры вокруг этого полюса.

При этом поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а величина угла поворота и направление поворота от выбора полюса не зависят.

Теорема доказана для любого конечного перемещения плоской фигуры.

Следует обратить внимание на то, что подобная замена фактического движения плоской фигуры поступательным и вращательным перемещением не воспроизводит, вообще говоря, этого движения, т. е. плоская фигура не будет проходить через все последовательные положения, которые она занимала бы при фактическом движении. При помощи такой замены мы получаем лишь те же самые начальное и конечное положения плоской фигуры.

Заменим конечное перемещение плоской фигуры (S) из положения / в положение II достаточно большим числом п элементарных поступательных перемещений и элементарных вращательных перемещений вокруг какой-либо произвольной точки плоской фигуры, причем в начале и в конце каждого элементарного перемещения положение плоской фигуры совпадает с истинным ее положением в своем фактическом движении. Увеличивая число п таких элементарных перемещений до бесконечности, сделаем каждое элементарное перемещение бесконечно малым, при этом мы проведем плоскую фигуру через все положения, которые она занимает при своем фактическом движении.

Таким образом, мы приходим к выводу: движение плоской фигуры 8 ее плоскости можно разложить на поступательное движение, при котором все ее точки движутся так же, как произвольно выбранный полюс, 〃 на вращательное движение вокруг этого полюса^.

Так, например, качение колеса по прямолинейному рельсу можно рассматривать как наложение двух движений: поступательного со скоростью центра колеса и вращательного вокруг оси, проходящей через его центр.

Движение шатуна АВ кривошипно-шатунного механизма (рис. 201) можно рассматривать как наложение поступательного движения со скоростью точки Л и вращательного вокруг точки А.

Можно, однако, то же самое движение рассматривать и как результат наложения поступательного движения со скоростью точки В и вращательного движения вокруг точки 5.

Выбор полюса (Л или В) произволен.

Раскладывая движение плоской фигуры в ее плоскости на поступательное и вращательное, мы как бы заменяем более сложную форму движения простейшими.

Поступательная часть движения плоской фигуры в ее плоскости описывается, очевидно, первыми двумя из уравнений (1, § 70), а вра-

* Вращательное движение плоской фигуры происходит вокруг оси, проходящей через полюс и перпендикулярной к плоскости этой плоской фигуры. Однако для краткости мы будем в дальнейшем называть это движение просто вращением вокруг полюса.

щение плоской фигуры вокруг полюса — третьим из этих уравнений.

Основными кинематическими характеристиками движения плоской фигуры в ее плоскости являются скорость и ускорение поступательного движения плоской фигуры, равные скорости ид и ускорению ша полюса Л, а также угловая скорость со и угловое ускорение е вращательного движения плоской фигуры вокруг полюса А. Значение этих

Рис. 201

характеристик в любой момент времени можно определить из уравнений плоскопараллельного движения (1, § 70). Если вместо точки А плоской фигуры выбрать в качестве полюса какую-нибудь другую ее точку В, то характеристики поступательной части движения изменяются, так как в общем случае ид 声石в и 侬厶声值石(иначе движение плоской фигуры было бы поступательным). Что же касается характеристик вращательной части движения, то эти характеристики остаются при этом неизменными, так как з и & не зависят от выбора полюса. В самом деле, выше было показано, что угол поворота 屮 плоской фигуры и направление ее вращения не зависят от выбора полюса. Отсюда следует, что и угловая скорость « = — и угловое ускорение & = 衣 =折 плоской фигуры от выбора полюса не зависят.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ, ДВИЖУЩЕЙСЯ в СВОЕЙ плоскости

Скорость точки плоской фигуры как сумма скорости полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса. Пусть плоская фигура движется по неподвижной плоскости, с которой связана система координат O^-q (рис. 202). Примем какую-либо произвольную точку Л этой плоской фигуры за полюс . Представим себе некоторую другую систему координат Ах^р начало которой всегда совпадает с полюсом Л, а ее оси, параллельные осям неподвижной системы координат 0^. Такая система координат, очевидно, будет совершать относительно неподвижной системы координат 0^ поступательное движение, определяемое движением полюса А. Кроме того, представим себе подвижную систему координат Аху, неизменно связанную с движущейся плоской фигурой, начало которой также всегда совпадает с полю、

сом А. Тогда положение движущейся плоской фигуры по отношению к системе координат Ах1у1 определяется углом между осями Лхх и Ах,

отношению к системе ко- вокруг полюса Л.отношению к системе ко- вокруг полюса Л.е. углом р, а движение плоской фигуры по ординат //% есть, очевидно, ее вращение

отношению к системе ко- вокруг полюса Л.

отношению к системе ко- вокруг полюса Л.

Примем движение плоской фигуры по отношению к неподвижной системе координат ОЕп за абсолютное дви- 初 жение, движение той же плоской фигуры по отношению к подвижной системе Ах1у1 — за относительное движение и, наконец, поступательное движение самой системы координат Ах1у1 по отношению к неподвижной системе ОЕп—за переносное движение.

Абсолютное движение плоской фигуры в ее плоскости складывается из

двух движений: переносного — пос- о

тупательного движения со скоростью,

равной скорости выбранного полюсаРис- 2°2

Л, и относительного — вращатель

ного движения вокруг полюса Л с угловой скоростью, не зависящей от выбора этого полюса. Так как переносное движение является поступательным, то поэтому переносная скорость ve всякой точки В плоской фигуры равна скорости идполюса Л. Относительная же скорость vr той же точки В во вращательном (относительном) ее движении вокруг полюса 4 направлена перпенди кул яр но к радиусу АВ в сторону вращения плоской фигуры и равна по модулю <о-ЛВ( где ①一 абсолютное значение угловой скорости плоской фигуры. Обозначая vr через Увд, будем иметь

(1)(1)ивл = ш-АВ.

(1)

(1)

Отсюда на основании теоремы о сложении скоростей имеем: абсолютная скорость ив любой точки В плоской фигуры 8 каждый данный момент равна геометр и ческой сумме двух скоростей: скорости уд дру& гой, произвольно выбранной и принятой за полюс, точки Л плоской фигуры, 瓦 скорости vba точки В в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг этого полюса, т. е.

Таким образом, определив вращательную скорость uba точки В вокруг полюса 4 и зная скорость ил этого полюса, мы можем найти

искомую скорость ив точки В как диагональ параллелограмма, построенного на скоростях va и vBa (рис. 202).

Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки. Рассмотрим какие-нибудь две точки Л и В движущейся в своей плоскости плоской фигуры. Если известны модуль и направление скорости。川 точки Л, а также известно направление скорости ив точки В, то модуль скорости vb можно опре* 一делить, воспользовавшись следую-

%щей теоремой: проекции скоростей

_двух точек плоской фигуры на пря~

匕мую, соединяющую эти точки, рав

ны между собой.

Докажем эту теорему. Принимая точку Л за полюс (рис. 203), получаем по формуле (2), что 力石 =

Рис. 203=^ д+^вд. Отсюда, проектируя

обе части этого векторного равенства на линию находим

ПР*ДВ VB = иР'АВ УД + ПР*ЛВ Увл.

Учитывая, что вектор vba перпендикулярен к ЛВ, и, следовательно пр.лвивл=0, будем иметь

(З)(З)ПР*ЛВ % = ^'ABVA，

(З)

(З)

или

%cos 0 = U4C0S а,

что и доказывает теорему.

Мгновенный центр скоростей плоской фигуры. Среди точек непоступательно движущейся в своей плоскости плоской фигуры в каждый момент времени имеется одна точка, абсолютная скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей плоской фигуры. Если в данный момент времени задана скорость Va какой-либо точки Л плоской фигуры по модулю и направлению, причем направление вращения и угловая скорость ⑴ плоской фигуры нам также известны, то положение мгновенного центра скоростей Р определяется следующим образом:

от точки Л под углом 90° к вектору ид проводим полупрямую AN (рис. 204); при этом полупрямая AN должна быть отложена от вектора va в сторону вращения плоской фигуры;

откладываем вдоль полупрямой AN отрезок /Р, равный

⑶

Построенная таким путем точка Р и будет мгновенным центром скоростей плоской фигуры. В самом деле, примем точку 4 за полюс. Тог

Up = 0幺+ VPA •Up = 0幺+ VPA •Рис. 204Рис. 204да абсолютная скорость up точки Р будет складываться из скорости ua полюса Л и вращательной скорости vpa точки Р вокруг этого полюса

Up = 0幺+ VPA •

Up = 0幺+ VPA •

Рис. 204

Рис. 204

Модуль вращательной скорости vpa= = со・/Р. Подставляя сюда значение АР из равенства ⑷，находим

т. е. модуль вращательной скорости vPA точки Р вокруг полюса Л равен модулю скорости va этого полюса. Направлен же вектор ^рд перпендикулярно к отрезку АР в сторону вращения плоской фигуры, т. е. по одной прямой с вектором ^厶，но в противоположную сторону (рис. 204). Отсюда следует, что ир^=——vA, а поэтому геометрическая сумма векторов 。厶 и vpa, а следовательно, и абсолютная скорость vp точки Р равна нулю, т. е.

。户=°4十 VPA "

Таким образом, доказано, что неизменно связанная с движущейся плоской фигурой точка Р действительно является мгновенным центром скоростей этой плоской фигуры.

При движении плоской фигуры положение ее мгновенного центра скоростей непрерывно изменяется. Каждому моменту времени (мгновению) соответствует свое положение мгновенного центра скоростей; на это обстоятельство и указывает само его название: «мгновенный» центр скоростей.

Точка Л, принятая за полюс, может быть выбрана произвольно, а по доказанному мгновенный центр скоростей Р обязательно лежит на перпендикуляре, восставленном из точки 4 к направлению скорости ua этой точки.

Отсюда следует, что если известны направления скоростей 口幺 и ив двух каких-либо точек Д и В плоской фигуры, то мгновенный центр 21 Н. Ф. Сахарный

скоростей Р этой плоской фигуры находят как точку пересечения пер

пендикуляров, восставленных из этих точек к направлениям их скоростей (рис. 205).

При этом может случиться, что мгновенный центр скоростей лежит вне контура плоской фигуры. В этом случае можно с данной плоской фигурой неизменно связать некоторую не

ограниченную плоскость и считать при этом размеры плоской фигуры неограниченными. Тогда мгновенный центр скоростей можно снова рассматривать как точку плоской фигуры.

Скорости точек плоской фигуры как скорости во вращательном движении вокруг мгновенного центра скоростей. Если в данный момент времени взять мгновенный центр скоростей Q за полюс, то абсолютная скорость любой точки В плоской фигуры будет равна

吗=и^р ,

так как vp— 0. При этом модуль вектора ив равен

% = %р = з・8Р； (5)

направлен же вектор vb перпендикулярно к отрезку ВР в сторону вращения плоской фигуры. Отрезок ВР, соединяющий мгновенный центр скоростей с данной точкой, называют мгновенным радиусом, вращения.

Таким образом, мы виним, что в каждый данный момент скорости точек плоской фигуры расположены так, как если 6“ плоская фигура вращалась вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей плоской фигуры и перпендикулярной ее плоскости. При этом скорости точек плоской фигуры, перпендикулярны мгновенным радиусам вращения и пропорциональны расстояниям этих точек до мгновенного центра скоростей. Картина распределения скоростей показана на рис. 205.

(6)(6)Зная для данного момента положение мгновенного центра скоростей Р и скорость ив какой-либо точки В плоской фигуры не только по направлению, но и по модулю, можно найти и угловую скорость со плоской фигуры, соответствующую этому моменту времени. Действительно, из формулы (5) следует, что

(6)

(6)

9=而,

т. е. угловая скорость плоской фигуры в каждый данный момент равна отношению модуля скорости какой-либо точки плоской фигуры к расстоянию этой точки до мгновенного центра скоростей,

°вл 風一%①—7F=АВ~°вл 風一%①—7F=АВ~Из формул (1) и (2) следует, что vba — ^АВ и Vba~ Wb — и/, откуда находим еще одно выражение для определения угловой скорости плоской фигуры

°вл 風一%

①—7F=АВ~

°вл 風一%

①—7F=АВ~

⑺

Так как по доказанному в § 71 вращение плоской фигуры вокруг точки Л или Р происходит с одной и той же угловой скоростью, то, следовательно, равенства (6) и (7) определяют одну и ту же величину.

Если нам известна по модулю w направлению скорость va одной точки Л плоской фигуры и направление скорости ив какой-нибудь другой ее точки 8, то 次“ можем определить скорости всех точек плоской фигуры. Действительно, восставив из точек Л и В перпендикуляры к данным направлениям скоростей。厶。vq этих точек, мы найдем положение мгновенного центра Р и по направлению скорости уд определим сторону вращения плоской фигуры (рис. 205). После этого, зная модуль скорости уд и мгновенный радиус вращения АР, получим угловую скорость плоской фигуры

(8)(8)Далее найдем модуль произвольной точки М плоской фигуры% = з・МР = % 而；

(8)

(8)

направлена же скорость им перпендикулярно к мгновенному радиусу вращения МР в сторону вращения плоской фигуры.

Частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей плоской фигуры. Прежде всего рассмотрим случай, когда скорости ид и vb двух точек Л и В параллельны друг другу, и при этом линия АВ не перпендикулярна к ил и, следовательно, к vq (рис. 206). При этом из теоремы о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединякщую эти точки, следует, что y^cosa~uBcosp, но a=0, поэтому va~vb и, следовательно, Уд=Ув. Таким образом, в рассматриваемом случае скорости всех точек плоской фигуры в данный момент времени должны быть равны друг другу и по модулю и по направлению*. Такое состояние движения плоской фигуры называют мгновенно-поступательным.

Так как перпендикуляры, восставленные из точек А и В к скоростям этих точек, не пересекаются, то в рассматриваемом случае мгновенный центр скоростей находится на бесконечно большом расстоянии, т. е. АР^ВР^ со. Угловая скорость ① плоской фигуры в этот момент времени, как видно из формулы (6), равна нулю, и вращение плоской фигуры в этот момент, следовательно, отсутствует.

Рис. 207Рис. 207

Рис. 207

Рис. 207

Возможен еще случай, когда скорости 。幺 и ив Двух точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и эти точки лежат на одном перпендикуляре к данным скоростям (рис. 207, а).

В этом случае перпендикуляры, восставленные из точек А и В к направлениям их скоростей va и vb, сливаются в одну прямую, и, следовательно, обычный прием не дает возможности найти положение мгновенного центра скоростей Р. Однако если v^vb, то можно найти мгновенный центр скоростей на конечном расстоянии. В самом деле, при мгновенно-вращательном движении плоской фигуры вокруг мгновенного центра скоростей Р концы скоростей va и vb точек Л и В, лежащих на одном радиусе, расположены на прямой, проходящей через мгновенный центр скоростей Р, что следует из пропорции (8). Следовательно, проводя через точки С и D прямую до пересечения с прямой АВ, мы найдем точку Р ——мгновенный центр скоростей плоской фигуры. Очевидно, что в случае, изображенном на рис. 207, 6, мгновенный центр скоростей будет находиться в точке Pv

Следует обратить внимание на то, что в практических задачах часто приходится иметь дело со случаем, когда плоская фигура движется так, что ее контур катится без скольжения по некоторой неподвижной кривой NN (рис. 208). В этом случае точка касания Р контура плоской фигуры с кривой NN имеет в данный момент скорость。卩 равную нулю,

так как точки касания и контура плоской фигуры и кривой NN при отсутствии скольжения должны иметь одинаковые скорости, а между тем кривая NN неподвижная.

Отсюда следует, что точка касания Р контура плоской фигуры с неподвижной кривой NN является мгновенным центром скоростей плоской фигуры.

Указания к решению задач. Среди задач, относящихся к этому параграфу, следует обратить внимание на такие задачи, в которых требуется исследовать движения плоских механизмов, состоящих из нескольких звеньев. Механизм при решении задачи надо изображать на чертеже в том положении, для которого требуется определить скорости соответствующих точек. При этом необходимо поеледовательно рассмотреть движение отдельных звеньев механизма, начиная с того звена, движение которого по условию задачи задано, и при переходе от одного звена к другому определить скорости тех точек, которые являются общими для этих двух звеньев механизма. Рассматривая движение отдельного звена механизма, нужно выбрать две точки этого звена, скорости которых известны по направлению, а скорость одной из этих точек известна и по модулю. По этим данным можно найти положение мгновенного центра скоростей рассматриваемого звена. Картина распределения скоростей точек этого звена находится тогда, как при чистом вращении. Следует подчеркнуть, что мгновенный центр скоростей и угловую скорость можно находить только для каждого звена в отдельности, так как каждое звено имеет в каждый момент свой мгновенный центр скоростей и свою угловую скорость. В ряде случаев целесообразно определение скоростей точек рассматриваемого звена механизма производить с помощью теоремы о равенстве проекций скоростей концов неизменяемого отрезка на его направ-

ление. Необходимые дополнительные указания даются в решенных ниже задачах.

Задача 53. Найти скорость точки М обода колеса, катящегося по неподвижному п р ямол и ней ному рельсу без скольжения (рис. 209), если скорость центра колеса равна。°, а угол ВРМ=а и радиус OP=R.

Решение. Колесо совершает плоское движение. Так как колесо катится без скольжения по неподвижному рельсу, то мгновенный центр скоростей этого колеса находится в точке касания Р колеса с рельсом, и поэтому скорость vm точки М. обода колеса будет перпендикулярной к мгновенному радиусу вращения МР. А так как прямой угол РМВ опирается на диаметр, то вектор скорости v^ точки М проходит через точку В. Зная положение мгновенного центра скоростей колеса и скорость его центра, находим угловую скорость колеса согласно формуле (6)

Направление со (направление вращения колеса) определяется направлением v0 и показано стрелкой.

Замечая, что MP=27?cosa, находим модуль скорости точки М согласно формуле (5)

0M =①• МР = 2 % cos a.

Рис. 210Рис. 210Чем точка Л1 дальше от мгновенного центра скоростей Р, тем ее скорость больше; из всех точек обода колеса наибольшую скорость ив=2и。 имеет точка 5, являющаяся верхним концом вертикального диаметра.

Рис. 210

Рис. 210

Задача 54. Кривошип 00工 вращается с угловой скоростью ш вокруг неподвижной оси О и увлекает диск радиуса г2> заставляя его катиться без скольжения по неподвижному диску радиуса q (рис. 210). Найти скорости точек Л, В и С диска, лежащих на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров.

Решение. Диск радиуса г2 совершает плоское движение. Для решения этой задачи достаточно найти мгновенный центр скоростей этого диска и скорость какой-либо

его точки.

Очевидно, мгновенный центр скоростей движущегося диска находится в точке соприкосновения Р дисков. Так как точка Ох принадлежит кривошипу 001，то ее скорость。内 есть вращательная скорость вокруг оси О й, следовательно,

%】=°0工•① н (q + г2)①，(а)

причем вектор 〃>】перпендикул ярен к кривошипу 00° Но так как точка Ог принадлежит и диску радиуса г2, то ее скорость ио】в то же время должна быть вращательной скоростью вокруг точки Р, т. е.

%, =3p・°F =3р「2，(6)

где о)р — угловая скорость диска.

Из сравнения равенств (а) и (б) следует

Зр =(1

Направление ①夕(направление вращения диска) определяется направлением и。】и показано стрелкой.

Зная сор и мгновенные радиусы вращений РА, РВ и PC, находим скорости точек А, В и С:

以=⑴Р.p4 = 0十^")*2厂2 = 2(g+Г2)①；

= Зр ・РВ = Зр -РА J^ = у斤(厶 + r2) 3；

~ ①p，PC =① p 'PB = vB .

Задача 55. Ползуны А и В, к которым прикреплена линейка эллипсографа, имеющая длину АВ=1. перемещаются по взаимно перпендикулярным направляющим Ох и Оу (рис. 211). При этом конец 4 линейки движется в отрицательную сторону оси Ох и в момент, когда угол О АВ равен <р, его скорость известна и равна по модулю и а - Требуется найти в этот момент: 1) модуль скорости другого конца В линейки и угловую скорость линейки; 2) положение той точки М линейки, скорость которой направлена вдоль линейки, а также найти модуль этой скорости.

Решение. Линейка АВ совершает плоское движение. Скорости точек А и В направлены вдоль осей Ох и Оу. Скорость va точки А нам известна и по модулю и по направлению. Примем эту точку за полюс. Тогда скорость другой точки В линейки будет равна

^В = ^+^Л-(а)

Вращательная скорость уточки В вокруг точки Л по модулю

где ①总в— искомая угловая скорость линейки АВ, Направлена же скорость vBA перпендикулярно к линейке АВ в сторону ее вращения. Так как точка Л движется по оси Ох влево, то угол 中 будет при этом движении увеличиваться, и, следовательно, вращение линейки направлено по часовой стрелке. Таким образом, направление вектора ивл мы знаем. — Итак, вектор vA известен нам по модулю и направлению, а вектор vBA——по направлению. На этих векторах можно построить только один параллелограмм скоростей (рис. 211), диагональ которого изображает вектор искомой скорости vBточки 8. Из этого параллелограмма находим '

， • (В)

Из сравнения равенств (б) и (в) имеем

отсюда

⑴АВ — I sin <p '

Для определения модуля скорости vb удобнее воспользоваться теоремой о равенстве проекций скоростей концов отрезка на его направление.

Проектируя векторное равенство (а) на направление линейки АВ, будем иметь

aB VB

ИЛИ

vB sin <р = vA cos<p, отсюда

% H VA ctg&

Так как скорости 。厶 и ив точек А и В направлены вдоль осей Ох и Оу, то точка пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и В к направлениям осей Ох и Оу, определяет положение мгновенного центра скоростей Р линейки АВ. Опуская из точки Р перпендикуляр на направление линейки АВ, получим ту точку М, скорость которой направлена вдоль линейки АВ.

По теореме о проекциях скоростей концов отрезка находим для скоростей точек Л и М линейки АВ

Те же результаты легко получить и с помощью мгновенного центра скоростей. В самом деле, так как скорости точек линейки АВ пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей этой линейки, то

РА

где о)р— угловая скорость вращения линейки АВ вокруг ее мгновенного центра скоростей Р.

Отсюда следует, что

vAРВРМ

⑴〜=J 財；％ = % РА'

Расстояния РА и РВ находим из треугольника АВР

Р/ = OB = / sing

РВ = О А = / cos ср,

а расстояние РМ — из треугольника ВМР

РМ = РВ sin <р — / cos <р sin 屮.

Следовательно,

3 c —3 c —/sin 中 1/sin 中 1vB = VA ctg?; VM = VA cos <p .vB = VA ctg?; VM = VA cos <p .

3 c —

3 c —

/sin 中 1

/sin 中 1

vB = VA ctg?; VM = VA cos <p .

vB = VA ctg?; VM = VA cos <p .

Отсюда видно, что в каждый момент движения угловая скорость о)р вращения линейки АВ вокруг мгновенного центра скоростей Р и угловая скорость солв вращения линейки АВ вокруг полюса А представляют одну и ту же величину.

Задача 56. В кривошипно-шатунном механизме (рис. 212), состоящим из кривошипа ОЛ, ползуна В и шарнирно соединенного с ними шатуна АВ, кривошип ОА длиной г вращается с угловой скоростью ①. Длина шатуна АВ=1. При данном угле 屮 определить: 1) скорость ползуна 5; 2) скорость средней точки М шатуна /8; 3) угловую скорость шатуна ЛВ. Вычислить, в частности, эти кинематические характеристики для двух положений механизма, когда <р—0 и(р~90°.

Решение. Все звенья кривошипно-шатунного механизма совершают плоское движение. Плоское движение кривошипа ОА будет являться вместе с тем и вращательным движением вокруг неподвижной оси О. Плоское движение ползуна В будет одновременно и поступательным движением вдоль неподвижных направляющих. Плоское же движение шатуна АВ будет одновременно вращательным и поступательным.

Нам известны направления скоростей двух точек Л и В шатуна АВ: скорость точки А перпендикулярна к кривошипу ОА (точка А является общей для шатуна и кривошипа), а скорость точки В направлена по линии движения ОВ ползуна (точка В является общей для шатуна и ползуна). Восставляя из точек Л и В перпендикуляры к направлениям скоростей точек Л и В, находим на пересечении этих перпендикуляров положение мгновенного центра скоростей Р для шатуна (линия АР является продолжением ОА).

Так как точка А принадлежит кривошипу ОА, то ее скорость ол есть вращательная скорость вокруг оси О, и, следовательно, модуль этой скорости '

VA = ОА-СО = ГО).

Так как точка А принадлежит и шатуну, то ее скорость в то же время должна быть вращательной скоростью вокруг мгновенного центра скоростей Р, т. е.

% = Юр • АР = шав-АР.^

Отсюда находим, что угловая скорость шатуна равна

①ab =小=而=力p ,

а модули скоростей точек В и М шатуна соответственно равны

% = 3AB • 8Р = %% = 3AB • 8Р = %ВР.酢，ВР.酢，

% = 3AB • 8Р = %

% = 3AB • 8Р = %

ВР.

酢，

ВР.

酢，

% = %b・MP = %7F・

Направлены скорости vb и vm точек В и М перпендикулярно соответственно к отрезкам ВР и МР в сторону вращения шатуна.

Следовательно, решение задачи сводится к определению длин отрезков АР, ВР и МР. Опуская из точки А перпендикуляры AD и АС на прямые ВР и 08, имеем

АР = ^_

COS tp '

где

AD = СВ = J (АВ)? — (/С)? = J/2—产 $击州

и, следовательно,

АР =]/ /2 —产si112P .

COS tp r丁

Из треугольников ОРВ и МРВ соответственно имеем

ВР = OP sin ср — (ОА + АР) sin р = (г + ^V М俘—Nsin绅卜也屮

MP =

+ BP

|2— LBP sin °,

где, очевидно,

/ sin 3 = г sin <р.

Заметим, что длины отрезков 4Р, ВР и МР можно было бы определить и графически (строя схему механизма в масштабе, по заданным размерам его звеньев и углу <р).

Чтобы построить скорости остальных точек Е, К,…шатуна АВ, надо провести мгновенные радиусы вращения РЕ, РК,… и построить перпендикуляры к ним в точках Е, К,…;направления перпендикуляров совпадают с направлениями скоростей точек Е, К, • — Чтобы найти модули скоростей, достаточно учесть, что концы векторов скоростей точек прямолинейного отрезка лежат на одной прямой. Если предварительно провести прямую тп (рис. 212) через концы векторов va и ив, то скорости всех точек шатуна АВ определятся однозначно, так как концы векторов ve, ик，…расположатся на прямой.

Решим теперь ту же задачу для двух частных случаев, когда 中=0 и <р—90°.

Расположение звеньев механизма и распределение скоростей точек шатуна АВ при <р=0 показано на рис. 213, а. При 中=0 мгновенным центром скоростей шатуна АВ будет точка 5, так как в ней будут пересекаться перпендикуляры АВ и BN, восставленные из точек Л и 5 к скоростям этих точек. Следовательно, скорость у в точки В (скорость ползуна) будет равна нулю («мертвое» положение механизма). Для этого положения угловая скорость ^Ав шатуна равна

10 АВ10 АВ也■др也■др-у- СО,-у- СО,

10 АВ

10 АВ

也

■др

也

■др

-у- СО,

-у- СО,

2 зг2 зга скорость им точки М шатуна

2 зг

2 зг

^ = ^АВ-МР = ЗАВ，MB = VA^ = ЗГ

Расположение звеньев механизма и распределение скоростей точек шатуна АВ при ф—90° показано на рис. 213, 6. При 屮=90° скорости Vа и vb параллельны и точки Д и В не лежат на одном перпендикуляре к направлениям этих скоростей; при этом перпендикуляры, восставленные из точек 4 н В к скоростям этих точек, пересекаются в бесконечности. Так как проекции скоростей va и vb на направление шатуна должны быть одинаковы, то эти скорости геометрически равны, т. е. va = vb, но при этом vb—^д — ^вд^О, или vba~^ab-AB=0. Но так как 4В#0, то при 屮=90° должна.быть равна нулю угловая скорость з/з шатуна 4В. Следовательно, движение шатуна АВ является в этом случае мгновенно-поступательным.

Так как в мгновенно-поступательном движении скорости всех точек геометрически равны, то заключаем, что 、

Легко видеть, что в этот момент векторы ускорений каких-либо двух точек шатуна АВ не будут равны между собой. Так, ускорение точки А при w=const направлено к центру О, а ускорение точки В направлено по прямой ВО.

Рис. 214

Задача 57. В двухкривошипном механизме (рис. 214) кривошип ОА длиною г вращается с угловой скоростью ш. Длина другого кривошипа Ofi~rv При данных углах а, р, 丁 н 6 определить: 1) угловую скорость шх кривошипа ОХС; 2) скорость ползуна В,

Решение. Для получения решения этой задачи, очевидно, достаточно найти скорость vc точки С, принадлежащей кривошипу О/? и шатуну ДС. Чтобы найти скорость vc точки С, обратимся к скорости va точки Д, принадлежащей кривошипу ОА и шатуну АС, Так как точка Л принадлежит кривошипу ОД, то ее скорость и』есть вращательная скорость вокруг оси О и, следовательно,

vA = ш-ОА 二 сиг；

направлена же скорость и力 перпендикулярно кривошипу ОД в сторону вращения.

Так как точка С принадлежит кривошипу ОС то ее скорость vc есть вращательная скорость вокруг оси 0】и, следовательно.

% = °>i • О^С = sji，

где 耽一искомая угловая скорость кривошипа ОС Направлена же скорость vc перпендикулярно к кривошипу О^С в сторону вращения.

Таким образом, нам известна по модулю и направлению скорость 以 точки Л шатуна АС и известно направление скорости сс Другой точки С этого шатуна. Для определения модуля скорости и^ удобнее воспользоваться теоремой о равенстве проекций скоростей концов отрезка на его направление. Принимая точку Л, скорость которой известна по модулю и направлению, за полюс, будем иметь

瓦=^ +兄4 '

причем вращательная скорость vca точки С вокруг полюса А перпендикулярна к /С.

Проектируя это векторное равенство на направление 4С, будем иметь

пР-дс % 叩FC 也

где

пр.д^^ Ид—'Пд sino = со г sin 5 и пр.лс^с = vc sin у ,

и, следовательно,

(о г sin В = t?c sin -(.

Отсюда 1

Н%rsinb

Точка В есть точка шатуна СВ, общая с ползуном В. Но ползун может двигаться только поступательно вдоль своих направляющих, н, следовательно, скорость точки В направлена по линии движения ОХВ ползуна. Точка С есть также точка шатуна СВ, общая с кривошипом RC и шатуном АС. Но скорость точки С уже известна по модулю и по направлению. Таким образом, нам известна по модулю и по направлению скорость vc точки С шатуна СВ и известно направление скорости

св другой точки В этого шатуна. Переходя к определению модуля скорости точки В, будем иметь

^в = % + 曦，

причем вращательная скорость vbc точки В вокруг полюса С перпендикулярна к СВ.

Проектируя это векторное равенство на направление СВ, будем иметь

пр*св%в ПР'СВ ус，

где

np.csuB — vB cos а и пре% =% 0亩闵

и, следовательно,

vB cos а = % sin 艮

Отсюда

sin Вsin Вr sin В=co —sin 7

sin В

sin В

sin Вcos аsin Вcos аЗадача 58. Кривошип 04=2 г, вращающийся вокруг оси О с угловой скоростью <», несет на себе ось подвижной шестерни /, катящейся без скольжения по неподвижной шестерне 2. При этом шестерня / приво

sin Вcos а

sin Вcos а

дит в движение шарнирно соединенный с ней шатун СВ=1, связанный с ползуном В. Радиусы шестерен одинаковы. Определить угловую скорость шатуна СВ и скорости точек С и В в момент, когда радиус АС перпендикулярен к кривошипу ОА (рис. 215).

Решение. Так как точка Л шестерни / одновременно принадлежит и кривошипу О А, то ее скорость 0a есть вращатель^ ная скорость вокруг оси О и, следовательно,

vA = з・0_Д = 2 ro),

Рис. 215Рис. 215причем вектор v^ перпендикулярен к кривошипу ОД. Так как шестерня / катится по непод-

Рис. 215

Рис. 215

вижной шестерне 2 без скольжения, то скорость точки /\ касания этих шестерен равна нулю; следовательно, эта точка является мгновенным центром скоростей для шестерни /. Поэтому угловая скорость ⑴г】 шестерни / будет - .

Для определения угловой скорости ⑴р шатуна СВ надо знать скорость какой-нибудь точки этого шатуна и положение его мгновенного центра скоростей Р. Найдем скорость vcточки С шатуна СВ, пользуясь тем, что точка С одновременно принадлежит и шестерне /. Так как точка С принадлежит шестерне /, то ее скорость Vc должна быть вращательной скоростью вокруг точки Р], т. е.

⑴а，СР] = 2 y芽 cor,

причем вектор % перпендикулярен к CPV

Шатун СВ совершает также плоское движение. Ему принадлежит точка С, общая с шестерней /, а также и точка В, общая с ползуном. Следовательно, нам известна скорость седочки С шатуна СВ по модулю и по направлению, а также известна скорость vb другой его точки В по направлению (вектор ^ направлен по прямой ВА). Восставляя из точек С и В перпендикуляры к векторам vc и Vb, найдем мгновенный центр скоростей Р шатуна СВ.

Тогда угловая скорость юР шатуна СВ будет равна

%2 yТзг

Ю =22 ^=2 .

Р СР СР

Но так как

ВР - BP】и СР = PPi — СР】二(BP，~r) V'2 = AB /2 =工 Km叫2 —(42)2 二 了时 у /2f,

то

wwРР

w

w

Р

Р

Отсюда находим скорость vb точки В

°в = ®р *ВР = юр • BR,

но так какно так какВР^г + АВ^г^- УР^,ВР^г + АВ^г^- УР^,тотоив = 2(о г 11 +ив = 2(о г 11 +

но так как

но так как

ВР^г + АВ^г^- УР^,

ВР^г + АВ^г^- УР^,

то

то

ив = 2(о г 11 +

ив = 2(о г 11 +

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ,ДВИЖУЩЕЙСЯ в СВОЕЙ плоскости

Ускорение точки плоской фигуры как сумма ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении вокруг полюса. Как было указано в § 72, абсолютное движение плоской фигуры в ее плоскости мы можем представить себе состоящим из двух движений: переносного поступательного, определяемого движением полюса А, и относительного ——вращения плоской фигуры вокруг полюса А.

Так как переносное движение плоской фигуры является поступательным, то переносное ускорение какой-нибудь точки В плоской фигуры будет представляться ускорением -wA полюса А. Что касается относительного ускорения wB^ точки В в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса А, то модуль и направление этого ускорения определяются формулами (19 и 20, § 65):

喝1 = 84укк； (1)

tga = &, (2)

где ю и е —— угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры, а а — угол между вектором wBa и отрезком В А.

Как видно из формул (1) и ⑵，модуль и направление вектора wBa могут быть определены, если известен закон вращательного движения плоской фигуры ф=/3(/), или ш и е для каждого момента времени.

Выражение (2) не содержит координат точек плоской фигуры, а поэтому для данного момента угол а, определяющий направление вектора wBA, будет одинаков для всех точек плоской фигуры. При этом в случае ускоренного вращения плоской фигуры (ш и е имеют одинаковые знаки, рис. 216, а) векторы Wba и Vba лежат по одну сторону от прямой 4В; в противном случае эти векторы расположены в разные стороны от этой прямой (рис. 216, б).

Если во все время движения o）=const, то 2=^=°, а следовательно, и а=0, т. е. вектор wBa совпадает по направлению с вектором ВА. Если же в данный момент <о=0, то а=90° и вектор wBa перпендикулярен к вектору ВА.

Поскольку переносное движение плоской фигуры является поступательным, то, следовательно, мы можем применить для каждой точки плоской фигуры доказанную в § 68 теорему о сложении ускорений. При этом абсолютное ускорение Wb точки В будет определяться формулой

& =斫+ wBA . （3）

Таким образом, абсолютное ускорение Wb любой точки В плоской фигуры 8 каждый данный момент равно геометрической сумме двух ускорений: ускорения wa другой, произвольно выбранной и принятой за полюс, точки А плоской фигуры, и ускорения 侬 8a точки Be ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг этого полюса•

Разложим вектор wba на касательную （侬訟 и нормальную（3%） составляющие

&4 = ^Аа +&4 = ^Аа +л8Лл8Л（4）（4）

&4 = ^Аа +

&4 = ^Аа +

л

8Л

л

8Л

（4）

（4）

（5）（6）（5）（6）

（5）

（6）

（5）

（6）

где модули векторов Wba и wba находятся по формулам:

Нд| = 48 ・|#‘

I 磁J =

При этом вектор 侬扇 направлен перпендикулярно к АВ в сторону вращения плоской фигуры вокруг полюса Л, если оно ускоренное (рис. 217, а), и против вращения, если оно замедленное (рис. 217, б). Вектор же Wba всегда направлен от точки В к полюсу А (рис. 217, а, 6).

Таким образом, если в данный момент времени известны ускорение wa полюса Д, а также угловая скорость ю и угловое ускорение е плоской фигуры, то абсолютное ускорение ©в любой ее точки В определяется в этот момент времени по формуле

®в= ^д + Чл =^Л +向К十而第•'⑺

На основании формулы (7) ускорение wb может быть найдено либо геометрически — построением многоугольника ускорений, — либо аналитически ——методом проекций, для чего нужно векторное равенство (7) спроектировать на выбранные координатные оси.

Мгновенный центр ускорений плоской фигуры. Среди точек не поступательно движущейся в своей плоскости плоской фигуры в каждый момент времени имеется одна тонка, абсолютное ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ус^ корений плоской фигуры. Если в данный момент времени задано ускорение Wa какой-либо точки А плоской фигуры по модулю и направлению, причем направление вращения, угловая скорость ① и угловое ускорение е плоской фигуры нам также известны, то положение мгновенного центра ускорений Q определяется следующим образом:

1) проведем из точки А полупрямую AN (рис. 218) под углом а = =arctg^ к вектору 侬人 отсчитывая этот угол от вектора wa в сторону

вращения плоской фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно является замедленным;

2) на полученной полупрямой AN отложим отрезок

(8)

Конец Q этого отрезка и будет мгновенным центром ускорений плоской фигуры. В самом деле, примем точку А за полюс. Тогда абсолютное ускорение wq точки Q будет складываться из ускорения wa полюса А и вращательного ускорения wqa точки Q вокруг этого полюса

Wq^Wa+ Wqa-

О)

Модуль вращательного ускорения Wqa— QA^е2+(о4. Подставляя сюда значение Q4 из равенства (8), находим, что

w

QA =

Л，

т. е. модуль вращательного ускорения wqa точки Q вокруг полюса А равен модулю ускорения Wa этого полюса. С другой стороны, вектор WqA должен образовывать с отрезком QA угол а, следовательно, вектор 叫4 параллелен вектору 侬人 но направлен в противоположную сторону, т. е.

Отсюда на основании формулы (9) заключаем, что

Таким образом, доказано, что неизменно связанная с движущейся плоской фигурой точка Q действительно является мгновенным центром ускорений этой плоской фигуры.

При движении плоской фигуры положение ее мгновенного центра ускорений непрерывно изменяется. Каждому моменту времени соответствует свое положение мгновенного центра ускорений.

Ускорение точек плоской фигуры как ускорение во вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений. Покажем теперь, как, зная в данный момент положение мгновенного центра ускорений Q плоской фигуры, найти абсолютные ускорения ее точек. Для этого примем мгновенный центр ускорений Q за полюс. Тогда для абсолют-

(Ю)(Ю)ного ускорения Wb произвольной точки В плоской фигуры будем иметь

(Ю)

(Ю)

wb-wq + wbq

где wBq обозначает ускорение точки В во вращательном движении плоской фигуры вокруг мгновенного центра ускорений Q. Но ускорение wQ точки Q равно нулю, а поэтому

% = %=% + 而前，% = %=% + 而前，⑴)⑴)

% = %=% + 而前，

% = %=% + 而前，

⑴)

⑴)

侬в侬8QBQ у/—$2 + [ji'侬в侬8QBQ у/—$2 + [ji'(12)(12)

侬в侬8QBQ у/—$2 + [ji'

侬в侬8QBQ у/—$2 + [ji'

(12)

(12)

т. е. абсолютное ускорение любой точки плоской фигуры определяется как ускорение этой точки во вращательном ее движении вместе с плоской фигурой вокруг мгновенного центра ускорений (рис. 219).

Отсюда следует, что ускорение wB складывается из составляющей 侬％q, равной по модулю ，侬%q|=BQ・|e|, и составляющей Wbq, равной по модулю |仞％丨= =_§Q・uA При этом вектор 威q будет направлен перпендикулярно к отрезку BQ в ту сторону, куда происходит вращение, или в противоположную, смотря по тому, является ли вращение ускоренным или замедленным, а вектор Wbq будет всегда направлен от точки В к точке Q.

равно по модулюравно по модулюВ этом случае ускорение Wb

равно по модулю

равно по модулю

и составляет с отрезком BQ, соединяющим точку В с мгновенным центром ускорений Q, угол а, определяемый равенством

(13)(13)а = arctg Ш

(13)

(13)

Следовательно, абсолютные ускорения точек плоской фигуры по модулю пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра ускорений и образуют с отрезками, соединяющими эти точки с мгновенным центром ускорений, один и тот же угол, определяемый равенством (/3).

Как видно из формул (12) и (13), при помощи мгновенного центра Ускорений Q можно определить модуль и направление абсолютного ус-

корения любой точки плоской фигуры в данный момент времени, если угловая скорость ① и угловое ускорение s плоской фигуры в этот момент

времени известны.

Следует иметь в виду, что составляющие ⑪盘q и 侬&, вообще говоря, не совпадают с касательным 诚 и нормальным ускорением 5%

точки В. В самом деле, касательное 侬各 и нормальное 旧々 ускорения

точки В направлены по касательной и главной нормали к траектории

точки В. Направление же касательной к траектории точки В совпадает с направлением ее скорости vB, следовательно, направление главной нормали к траектории совпадает с направлением отрезка BPf соединяющего точку В с мгновенным центром скоростей Р. Итак, касательное и нормальное ускорение Wb точки В направлены по перпендикуляру к отрезку ВР и вдоль этого отрезка, в то время как составляющие Wbq и Wbq направлены перпендикулярно к отрезку BQh вдоль отрезка BQ, соединяющего точку В с мгновенным центром ускорения Q (рис. 220). Модули касательного Wb и нормального 侬％ ускорений равны

啕=1 耨=pls;

魄魄где радиус кривизны р направлен по ВР, но не равен ВР. Если точка С есть центр кривизны траектории точки В, то р=ВС.

魄

魄

4* Частные случаи расположения мгновенного центра ускорений.

Предположим, что е=0, тогда tga=^ и 夕=。，следовательно, 侬笈=侬&, т. е. ускорение 侬笈 любой точки В плоской фигуры направлено от точки В к мгновенному центру ускорений Q и по модулю равно wB = = \wbq\=BQ ш2. Поэтому мгновенный центр ускорений Q в этом случае (рис. 221) можно найти как точку пересечения прямых, по которым направлены ускорения, двух каких-нибудь точек плоской фигуры.

Предположим, что ш=0, тогда tga=^ =оо и а=90°, следовательно, Wb—wbq, т. е. ускорение Wb любой точки В плоской фигуры перпендикулярно к отрезку BQ, соединяющему точку В с мгновенным центром ускорений Q, и по модулю равно 侬广初&匸敗閻 Поэтому мгновенный центр ускорений Q в этом случае можно найти как точку

пересечения перпендикуляров, восставленных из двух каких-нибудь точек плоской фигуры к ускорениям этих точек (рис. 222).

Сопоставляя плоскопараллельное движение с простейшим видом движения ——вращательным вокруг неподвижной оси,——приходим к следующим выводам.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то мгновенный центр ускорений и мгновенный центр скоростей находятся на оси вращения, т. е. совпадают и являются не мгновенными, а постоянными.

В общем же случае плоскопараллельного движения твердого тела мгновенные центры скоростей и ускорений не совпадают и меняют свое положение. Однако скорости точек тела таковы, как если бы тело вращалось вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей, а ускорения таковы, как если бы тело вращалось вокруг оси, проходящей через мгновенный центр ускорений. При этом скорость мгновенного центра скоростей равна нулю, но его ускорение нулю не равно. Наоборот, мгновенный центр ускорений не имеет ускорения, но скорость его не равна нулю.

Для иллюстрации того, что мгновенный центр скоростей и мгновенный центр ускорений в общем случае плоскопараллельного движения не совпадают, приведем следующий пример.

Пусть колесо катится без скольжения по прямолинейному рельсу так, что скорость его центра является постоянной. Мгновенный центр скоростей в этом случае находится в точке прикосновения колеса с рельсом, так как вследствие отсутствия скольжения скорость ее будет равна нулю (но только в тот момент, когда эта точка находится в соприкосновении). Что же касается мгновенного центра ускорений, то он в каждый момент движения совпадает с центром колеса, так как вследствие того, что центр колеса движется равномерно и прямолинейно, его ускорение равно нулю.

. Указания к решению задач. Задачи на определение ускорений точек движущейся плоской фигуры можно решать двумя способами: с помощью формулы (7) или (11). Первый способ не предполагает

предварительного знания положения мгновенного центра ускорений. Второй же способ основан на построении мгновенного центра ускорений.

Решая задачу первым способом, необходимо расчет начинать с определения по данным задачи скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс. Обычно за полюс принимается та точка плоской фигуры, скорость и ускорение которой в данный момент известны или легко вычисляются.

Решение большинства задач рассматриваемого типа вполне определяется знанием ускорения некоторой точки плоской фигуры (ускорения полюса), а также угловой скорости и углового ускорения плоской

фнгурн. Способы вычисления угловой скорости плоской фигуры были показаны ранее. Мы знаем также способ определения углового ускорения плоской фигуры по заданному закону ее вращательного движения вокруг полюса, а также в том случае, когда угловая скорость задана как функция времени. Однако важно обратить внимание еще на один характерный способ определения углового ускорения плоской фигуры. Очень часто мы сталкиваемся с такими задачами, в которых для данного момента времени известно ускорение Wa некоторой точки А плоской фигуры и направление ускорения Wb другой ее точки 8 (рис. 223, а).

В этом случае для определения углового ускорения е плоской фигуры необходимо поступить следующим образом. Согласно формуле (7) имеем

wB = wA + wBA=wA-V >

где за полюс принята точка Л.

Зная направление векторов 侬』，侬月，Wba и 5威，построим векторный многоугольник ускорений, сторонами которого являются эти векторы и в котором вектор Wb является замыкающей стороной (рис. 223, б). Далее через начало вектора wa проведем ось уу, перпендикулярную к вектору Wq. Пусть а и В — углы, составляемые соответственно век-

торами пуди в必 с осью ”. Проектируя на ось уу векторы построенного многоугольника, получим

9人 cos а 一 Wqa sin В + пувд cos § = О,

или

叱18soe — в-/IBsin 0 + ^-АВ cos g = О,

так как

wBA = e'AB>

з%д = ^*AB\ПР-уу (% ) = °-

Из полученного уравнения находим угловое ускорение плоской

фигуры

W А COS а + 0)9 •/В COS В

— ЛВзйГр '

Выше был указан общий прием определения положения мгновенного центра ускорений плоской фигуры, а также были рассмотрены частные случаи расположения мгновенного центра ускорений. Покажем теперь, как построить мгновенный центр ускорений, имея в данный момент ускорения 旧月 и 侬 в двух точек Д и В плоской фигуры (рис. 224).

В этом случае для определения положения мгновенного центра ускорений Q необходимо поступить

Рис. 224Рис. 224следующим образом. Примем точку

Рис. 224

Рис. 224

4 за полюс. Тогда заданные ускорения будут связаны между собой век

торным равенством

®В = ®Д + WBA

24 Н* 仇 Сахарный

Отсюда находим разность заданных ускорений.

WBA =з8 -叱4H зg+ (一瓦4WBA =з8 -叱4H зg+ (一瓦4(14)(14)

WBA =з8 -叱4H зg+ (一瓦4

WBA =з8 -叱4H зg+ (一瓦4

(14)

(14)

что определяет угол а, отсчитываемый от 如月总 к ВА* В этом же направлении отсчета откладываем угол а от Wa и We и проводим из точек 4 и В лучи AN и BL, пересечение которых и определяет положение мгновенного центра ускорений Q.

При решении задач, относящихся к этому параграфу, можно вос- пользоватья и некоторыми указаниями, которые были даны в § 72. Дополнительные указания будут даны в решенных ниже задачах.

Задача 59. Колесо радиуса 尸=0,5 м катится по прямолинейному рельсу без скольжения так, что в данный момент времени скорость и ускорение центра колеса равны % =0,5 м/се& и wc =—0,5 м/сек2. Найти для данного момента времени ускорение точки М — левого конца горизонтального диаметра — и ускорение точки касания Р колеса с рельсом (рнс.225).

Рис. 225Рис. 225

Рис. 225

Рис. 225

Решение. 1) Решим задачу с помощью формулы (7). Так как скорость vc и ускорение wc (замедление) центра С колеса известны, то мы можем точку С принять за полюс. При этом ускорение точки М определим по формуле

wM^wc+w^c+w^c<wM^wc+w^c+w^c<(а)(а)

wM^wc+w^c+w^c<

wM^wc+w^c+w^c<

(а)

(а)

где

I 吼 с| =МС•同=г|е|;

Показав на чертеже точку М отдельно (рис. 225, о), изображаем (без соблюдения масштаба) векторы wc, w^c и 叫勿，из которых геометрически складывается искомое ускорение 侬м. При этом необходимо вектор 侬с перенести (мысленно) из точки С в точку М и направить вектор 侬л$с против вращения, так как вращение замедленное. Что касается вектора 叫勿 то он всегда направлен из точки М к полюсу С.

Так как мгновенный центр скоростей колеса совпадает с точкой касания Р колеса с рельсом, то угловую скорость колеса для любого момента времени получим из равенства

(б)

Подставляя в эту формулу vc =0,5 м/сек и г=0,5 м, получим угловую скорость для данного момента времени

Направление угловой скорости шр определяется направлением вектора Vc и показано на чертеже стрелкой.

Не следует думать, что если по условиям задачи % =。，5鳥，то vc = =const. Значение модуля vc скорости % точки С в задаче указано в данный момент времени; с течением времени модуль % скорости и с меняется, так как wc ^=0. Так как величина РС~г остается постоянной во все время движения колеса, то, дифференцируя равенство (б) по времени, получим угловое ускорение (замедление) , (или а) колеса для любого момента времени

dvc切 с

Подставляя в эту формулу wc =——0,5^^ и г—0,5 м, получим угловое ускорение для данного момента времени

м

“ =—1 .

Рсек

Знаки шриер разные, так как вращение колеса в данный момент является замедленным; различные направления шр и еР показаны на чертеже стрелками.

Проводя оси Мх и Му (рис. 225, а) и проектируя векторное равенство (а) на эти оси, получим

5м『ИсН^С| =ГШР-|®с| = °；

%=1质館=大?[=0,5蠢.

Из этих уравнений находим модуль ускорения 5M точки М

% = ]/硫后%^ =0，5姦；

направление 侬取 показано на рис. 225, 6._.

Аналогично находится и ускорение 侬「 мгновенного центра скоростей Р・ Ускорение w р найдем по формуле

%^=爲с+ 而 2? + 石｝,(в)

где

一I I

\WpC =PC-|sp[=r -у—= |ujc|;

[吟 c| = PC•吟=гшр •

Проектируя векторное равенство (в) на оси РЕ и Р^ (рис. 225, б), получим

% = - Рс|+Нс\ =—瓦 |+ |®с|'= °；

%=Иe, = rШР =。，5磊•

Из этих уравнений находим модуль ускорений wp точки Р

12 I 2п届

% = U 唳+% =%=°，5 丽；

направлено ускорение Зр вертикально к центру С колеса. Отсюда видно, что ускорение ^ точки Р не равно нулю, в то время как скорость этой точки в данный момент равна нулю.

Решим теперь эту задачу при помощи мгновенного центра ускорений, т. е. с помощью формулы (12). Зная модуль и направление ускорения Wc точки С, а также угловую скорость о)р и угловое ускорение еР колеса, определим положение мгновенного центра ускорений Q (рис. 226) *

Wq IV 4+4Wq IV 4+40,5 _正0,5 _正

Wq I

V 4+4

Wq I

V 4+4

0,5 _正

0,5 _正

Рис. 226Рис. 226

Рис. 226

Рис. 226

Угол наклона отрезка CQ к вектору wc равен

tga=8=l,

следовательно, a =45。

и откладывается от вектора wc в сторону углового ускорения ер .

Прямоугольный треугольник CQP равнобедренный, с углом 45° при основании, поэтому

PQ = CQ= U： м.

Модуль ускорения wP точки Р равен

% = PQ/眩 +吟=■ /Т = 0,5 丽，

при этом ускорение wP направлено вдоль PC.

Так как MQ=PQ, то модуль ускорения точки М равен

% = MQ了多十%=PQ/吟十崂=0，5篇；

при этом векторы 侬取 и wp параллельны и направлены в противоположные стороны.

Задача 60. Кривошип ОА длиною 5 см вращается равномерно с угловой скоростью з()=1°* к приводит в движение шатун АВ длиной 50 см; ползун В движется вдоль горизонтальных направляющих. Най-

ти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также ускорение tcjв ползуна В в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с горизонтальной осью углы 45° (рис. 227, а, б).

Решение. Определим угловую скорость шР, или шлв, шатуна ДВ. Для этого найдем положение мгновенного центра скоростей шатуна ДВ. Мгновенный центр скоростей шатуна АВ лежит в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек 4 н В к скоростям и』 н 。夕 этих точек. Но вектор скорости сд перпендикулярен радиусу вращения ОД, а вектор скорости vb направлен вдоль горизонтальных направляющих. Следовательно, мгновенный центр скоростей Р шатуна есть точка пересечения прямых АР и ВР. По условию задачи кривошип ОА и шатун АВ взаимно перпендикулярны и образуют с горизонтальной осью углы 45°, поэтому прямоугольный треугольник ВРА равнобедренный, с углом 45° при основании, следовательно, АВ^РА.

Для заданного положения кривошипа

или

ул = АР*шр = АВ■ шр ,

откуда

АВ • о)р = О А • з@

и, следовательно, угловая скорость шатуна юр'

ОА ! 1р Л8 о лв сек

Направление поворота показано на чертеже.

Точку А выбираем за полюс. Найдем ее ускорение'

% = 04•稣=5・ 102 = 500務，

при этом вектор 侬月 направлен вдоль АО от Л к О.

Определим теперь угловое ускорение ер, или е^в, шатуна АВ・ Для этого представим ускорение 侬日 точки В в виде

wb = wa + wxba+w^a,'(а)

где вектор в豆 перпендикулярен к АВ, а векторы 5в и 侬侖 соответственно направлены горизонтально и вдоль В А (от В к Д). При этом модуль вектора 侬晶 равен

弊а = 4В・％в = 50」2 = 50^.

Построим теперь векторный многоугольник ускорений (рис. 227, б), сторонами которого являются векторы 旧笈,3月,w^A и wSa и в котором Wb является замыкающей стороной. Проектируя векторное равенство (а) на направление вектора Wb и на перпендикулярное к нему направление, получим уравнения

'wB = wAcos 45° + г^зЛ cos45° — I侬;，cos 45°;

0 = -wA cos 45° 十侬々月85 45。+］侬々力 cos 45О, или

%=向十%А一隔鹏)年；

0 = - №л + 叫a +| 质%41,

где |^л| = ЛВ|еР|.

Из второго уравнения находим, что в данный момент времени

X』=1ё心墻^ = ""詐 =9 费;

при этом 汕4Kp9^^, так как направление вектора wba

противоположно направлению вектора 。笈人二^笈——Сд (рис. 227, а).

Далее из первого полученного уравнения находим ускорение wB ползуна г*八СМ

% = 50]/2 к・

Задача 61. Кривошип ОД длиной 30 см кривошипно-шатунного ме

ханизма вращается равномерно вокруг оси О с угловой скоростью ш=

Рис. 228Рис. 228=4 ~ и приводит в движение шатун длиной 50 см (рис. 228). Ползун В движется прямолинейно в горизонтальных направляющих, как указано на чертеже. Найти ускорения ползуна В и точки С — середины шатуна ЛВ, а также угловое ускорение 办笈 шатуна АВ в момент, когда ^ВОД=90°.

Рис. 228

Рис. 228

Решение. Так как скорости и$ и vb точек Д и В шатуна ЛВ,

очевидно, параллельны, то точка пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А н В к скоростям ид и св, находится в бесконечности, т. е. мгновенный центр скоростей Р шатуна АВ является бесконечно удаленной точкой. Отсюда следует, что угловая скорость шЛВ шатуна АВ в рассматриваемый момент времени равна нулю и скорости всех точек шатуна АВ равны ид. При зтом£д8市0, так как в противном случае по формуле (12) ускорения всех точек шатуна АВ должны были бы равняться нулю, а между тем 切月#0. Модуль ускорения wa точки А равен

wA =侬胃=О А •(о2— 480^^ ,

так как кривошип ОА вращается равномерно (е=^ =0); при этом вектор и)л направлен вдоль ЛО.

Отсюда следует, что

tga = !'产=8

и, следовательно, а—90°, т. е. ускорение любой точки Л4 шатуна АВ направлено под углом а=9б° к линии A4Q, соединяющей эту точку с мгновенным центром ускорений Q шатуна. Поэтому мгновенный центр ускорений шатуна лежит в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек Л и В к ускорениям шд и ⑪月 этих точек. Но ускорение шд направлено вдоль АО, т. е. к центру вращения О, так как кривошип вращается равномерно, а ускорение Wb направлено по прямой 08, поскольку точка В движется вдоль горизонтальных направляющих. Следовательно, мгновенный центр ускорений Q шатуна АВ есть точка пересечения прямых 4Q и BQ.

Угловое ускорение едв шатуна АВ найдем из равенства

% = Q4jb，

которое получается из формулы (12) при о)лв=0. Следовательно,

Так как

QA = OB = У АВ2 — О А2 = У 502 — 302 = 40 см,

то

а 一 480 一 191

Ускорения wB и шс ползуна В и точки С— середины шатуна АВ — найдем из равенств

Шв=2В-елв；

% =QC・Jb，

которые также получаются из формулы (12) при о>лв=0. Так как .

QB = О А = 30 см\

OQ Ав с 二

QC == -g- = 25 ом,

то

WR = 30-12 = 360

= 25-12=300

при этом вектор Wc перпендикулярен CQ・

23 Н. Ф, Сахарный

Рис. 229Рис. 229

Рис. 229

Рис. 229

Задача 62. Равносторонний треугольник АВС со стороной 10 см совершает плоское движение. В дайный момент модул и ускорений его вершин А и В равны шл ~wb~20~^ и направлены по сторонам этого треугольника (рис. 229). Найти угловую скорость ю и угловое ускоре

ние е треугольника, а также модуль ◎с ускорения третьей вершины С этого треугольника.

Решение. Так как ускорение

Wa точки Л известно как по модулю, так и по направлению, то выберем точку А за полюс. Тогда согласно формуле (7) будем иметь

откуда находим, что

+ 眩 А = % + J%)，

(а)

где вектор wba направлен перпендикулярно к АВ, а вектор w§a направлен по ВЛ； кроме того,

wba = ВЛ *е;

(б)

Шдд = ВЛ •ю2.

Чтобы найти Wba и WbAi спроектируем векторное равенство (а) на направление ВА и на направление, перпендикулярное к BAt

5 葭=% + 以 cos 60°= 20 + 20*3 = 30

сек2

5§幺=wA cos30° = 20 -^- — 10^3

сек?

Применяя равенства (б), определим угловую скорость и угловое ускорение треугольника

WBA 10/Г ~ав 0

Тогда

/3

tga

3

откудаоткуда

откуда

откуда

а ~ 30°.

Откладывая от векторов ⑪^ и 切幺 в направлении против часовой стрелки лучи под углом а=30°, получим в пересечении их мгновенный центр ускорений Q треугольника. Соединив Q с точкой С и отложив от Q С в направлении по часовой стрелке угол а = 30°, получим направление ускорения wc точки С (оно направлено по СВ от С к В). Модуль этого ускорения равен

% = QCV^Z 十 0)4 = ' 2 с鵠0。-+ 3’ =

图/(")2+ (ЙУ=20 啜

Задача 63. В шарнирном четырехзвеннике ОАВС ведущий кривошип О А = 10]/3~ см равномерно вращается вокруг оси О с угловой скоростью <лОА = -^— ~^ и при помощи шатуна АВ=20 см приводит во вращательное движение кривошип СВ вокруг оси С (рис. 230). Определить скорость, ускорение точки В шатуна АВ, угловую скорость и угловое ускорение шатуна АВ, а также угловую скорость и угловое ускорение кривошипа СВ в момент, когда ^A0C=^0AB=^Qo и ^АВС^ —60°.

Решение. Так как движение кривошипа О А задано, то мы можем найти скорость и八 и ускорение шд точки А. Скорость уд точки А кривошипа ОА по модулю равна

・04 =电・10腐=15最

и направлена перпендикулярно кОЛ.Так как кривошип ОА вращается равномерно, то ускорение wa его точки А по модулю равно

WAO = ^оаОА =年・ 10 ]/3 =」5r -^Г

и направлено вдоль О А от А к О.

Поскольку точка В принадлежит кривошипу СВ, вращающемуся вокруг оси С, то скорость vb этой точки перпендикулярна к СВ и, следовательно, образует с направлением ВЛ угол в 30°. Ускорение точки В 23*

кривошипа СВ слагается из нормального ускорения 陋工,направленного по кривошипу от В к С, и касательного ускорения Wb> перпендикулярного к СВ, т. е.

■ - — — , 8■ - — — , 86)6)Рис. 230Рис. 230С другой стороны, поскольку точки А и АВ, имеемС другой стороны, поскольку точки А и АВ, имеемВ принадлежат иВ принадлежат ишатунушатуну* = % + %А= Ml + 唠А+ &/，* = % + %А= Ml + 唠А+ &/，(6)(6)(а)

■ - — — , 8

■ - — — , 8

6)

6)

Рис. 230

Рис. 230

С другой стороны, поскольку точки А и АВ, имеем

С другой стороны, поскольку точки А и АВ, имеем

В принадлежат и

В принадлежат и

шатуну

шатуну

* = % + %А= Ml + 唠А+ &/，

* = % + %А= Ml + 唠А+ &/，

(6)

(6)

где точка А принята за полюс. При этом нормальное ускорение Wba точки В во вращательном движении вокруг полюса А направлено по ВА, а касательное ускорение ⑪募 точки В в том же движении направо лено перпендикулярно к АВ. Сравнивая равенства (а) и (б), получим

% +齿第+吟a =吟+ % •（b）

Определим теперь модуль вектора ⑪柒. Для этого найдем угловую скорость о)лв шатуна АВ. Зная направления Уд и и^, строим мгновен-

ный центр скоростей Р шатуна АВ. Легко видеть,ный центр скоростей Р шатуна АВ. Легко видеть,что АР =что АР =ТогдаТогдаАвtg30®Авtg30®

ный центр скоростей Р шатуна АВ. Легко видеть,

ный центр скоростей Р шатуна АВ. Легко видеть,

что АР =

что АР =

Тогда

Тогда

Авtg30®

Авtg30®

—_ 乙 _ 15 V7 _ К以 1

Зр — шлв = NF — —60~ 丁 丽~・

Направление Зная <одв,Направление Зная <одв,поворота показано на чертеже, по формуле (6) находим.

Направление Зная <одв,

Направление Зная <одв,

Теперь определим модуль нормального ускорения 眇月 точки В кривошипа СВ. Для этого найдем сначала по теореме проекций (или с помощью мгновенного центра скоростей Р) модуль скорости vb точки В, считая эту точку принадлежащей шатуну АВ. Получим

% cos 30° = vA ,

откуда

ТогдаТогдаVB =cos 30°15-2=юу "3 —'сек,_磅300-вс"—；VB =cos 30°15-2=юу "3 —'сек,_磅300-вс"—；

Тогда

Тогда

VB =

cos 30°

15-2

=юу "3 —

'сек,

_磅

300

-вс"

—；

VB =

cos 30°

15-2

=юу "3 —

'сек,

_磅

300

-вс"

—；

при этом длину ВС находим из треугольника СВК：

ВС =ВС =СКСКОАОАcos 30° cos 30°cos 30° cos 30°10・М@・210・М@・2УМУМ20 см.20 см.Следовательно,Следовательно,3003001515смсек2смсек2

ВС =

ВС =

СК

СК

ОА

ОА

cos 30° cos 30°

cos 30° cos 30°

10・М@・2

10・М@・2

УМ

УМ

20 см.

20 см.

Следовательно,

Следовательно,

300

300

15

15

смсек2

смсек2

Выразим векторное равенство (б) графически. Для этого покажем на чертеже точку В отдельно (рис. 230, б). От точки В в выбранном масштабе откладываем вектор Ва尸⑪公；затем от точки ах откладываем вектор a1K=wnBA(WBA 11 34) и отточки к проводим прямую к bi，перпендикулярную к а*к. Эта прямая дает направление 侬丁 , и где-то на ней должен лежать конец-искомого вектора ш^.

Теперь от точки В откладываем вектор 3臼= 碗 (шв| | ВС) и проводим перпендикулярную к нему прямую с^Ьь дающую направление

%、Конец искомого вектора wq должен лежать и на этой прямой. Следовательно, точка Ь] пересечения линий ^&1иc1&1 и дает конец вектора ⑪月.Измерив длины Bbv кЬг и с1Ь1 и учитывая масштаб, мы этим графическим способом найдем, что wb ^Bb^ ^а=кЬ^ 5； = &b「 А зная ⑪；公 и з% можно определить

АВАВНвс| =Нвс| =ВСВС

АВ

АВ

Нвс| =

Нвс| =

ВС

ВС

Однако мы осуществим этот расчет аналитически. Для этого проводим перпендикулярно к неизвестному вектору ш^ координатную ось Вх и проектируем обе части векторного равенства (в) на эту ось. Тогда получаем

+崂幺=+ Wb cos 60°— I шв I cos 30°.

Отсюда находим

|-т I嗡 cos60。—崂А5]/Т см

'Wb' = 広丽 =F 薪匸

Из чертежа видно, что вектор ив направлен противоположно 唯； следовательно, вращение кривошипа СВ является замедленным.

Теперь найдем модуль искомого вектора шв .

WB =)/(吟)2十(吟)2 =等M認tS

Направление вектора шв показано на рис. 230, б.

Проектируя обе части равенства (в) на ось В%, перпендикулярную 叫，находим

ш . cos 30° +. cos 60。+ I ⑪昼 j cos 30° =⑪嘖•

Отсюда находим, что

,®в-®Л cos 30° -嗡A cos 60°15гл,

1% I =ЕБГ^ = 3 У 3

Из чертежа видно, что вектор v^a^vb—va будет направлен противоположно Wba\ следовательно, вращение шатуна АВ является замедленным.

При этом угловое ускорение шатуна АВ равно

Зная модули векторов и^ н 唯，определим угловую скорость и угловое ускорение кривошипа СВ

_ % _ М 言 1 .

— ~2

I -±11 _ /31

г5е) - вg 一 8"炉，

§ 74. ЦЕТРОИДЫ

Теорема о центре поворота для конечного перемещения плоской фигуры. В § 71 мы убедились в том, что всякое перемещение плоской фигуры в своей плоскости можно себе представить как совокупность поступательного перемещения плоской фигуры, равного перемещению произвольно выбранной ее точки (полюса), и вращательного перемещения плоской фигуры вокруг этого полюса. Возникает вопрос, нельзя ли, используя произвольность в выборе полюса, осуществить

Рис. 231Рис. 231заданное перемещение плоской фигуры только одним поворотом, без поступательного перемещения.

Рис. 231

Рис. 231

На этот вопрос дает ответ следующая теорема о центре поворота для конечного перемещения плоской фигуры: всякое непоступательное перемещение плоской фигуры 6 ее плоскости можно осуществить одним поворотом около некоторой точки, называемой центром конеч-

ного вращения.

Для доказательства этой теоремы (называемой теоремой Бернулли- Шаля) рассмотрим плоскую фигуру, положение которой вполне определяется положением отрезка АВ (рис. 231).

Пусть плоская фигура переместилась из положения I, занимаемого ею в момент 九 в положение//, соответствующее моменту 方+Af (рис. 231), тогда отрезок АВ, принадлежащий этой плоской фигуре, переместится за конечный промежуток времени А/ в положение Л^. Если это перемещение можно осуществить одним поворотом, то точки Л и В описывают дуги окружности с одним и тем же центром, причем перемещения и ВВ* точек Л и В являются хордами этих дуг.

Так как центр окружности лежит всегда на пер пен ди кул яре к середине хорды, то для отыскания его надо провести через середины М

и ^ перемещений ААХ и ВВХ два перпендикуляра до их пересечения в точке С, которая и представит центр конечного вращения.

Докажем, что плоская фигура одним поворотом вокруг точки С на угол ACAlf может быть переведена из положения /, занимаемого ею в момент /, в положение //, соответствующее конечному моменту /+А/. В самом деле, треугольники АСВ и AfiBv равные друг другу, так как АС=АГС и BC^Bfi по построению, а АВ^АГВГ — в силу неизменяемости плоской фигуры. Из равенства этих треугольников (заштрихованных на рис. 231) следует, что

n АСВ = ^A^CBii или 上 АСВ + 上 ВСА^ =上 А^СВ^ + 上ВСА】，

откуда

上 ACAi =上 ВС В*.

Повернем теперь треугольник АСВ (а вместе с ним и плоскую фигуру) вокруг точки С на угол ^=^АСАХ так, чтобы линия АСсовпала с линией Afi. Тогда линия ВС совпадет с линией В^С, а отрезок АВ совпадет с отрезком А^^ и, следовательно, данная плоская фигура займет при этом положение 〃，что и доказывает теорему.

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи.

Если отрезок АВ параллелен А1В1 (рис. 232, а, б), то перпендикуляры к перемещениям ААХ и ВВ1 или сольются (рис. 232, а), или будут параллельны между собой (рис. 232, б). Очевидно, что в обоих этих случаях центр конечного вращения С будет находиться в бесконечности и перемещение плоской фигуры из положения / в положение II сводится к пр ямол и ней ному поступательному перемещению.

В случае, представленном на рис. 233, перпендикуляры, восставленные из середин перемещений ААГ и BBV также сливаются в одну линию, но в этом случае центр конечного вращения С лежит на пересечении продолжений отрезков АВ и AXBV

Теорема о качении подвижной центроиды по неподвижной (теорема Пуансо). При выполнении поворота плоской фигуры вокруг

центра конечного вращения С на угол АСАХ (см. рис. 231) эта плоская фигура не будет проходить через все последовательные положения, которые она занимала бы при фактическом движении. При помощи такого поворота мы получаем лишь тот же самый конечный результат—— то же самое конечное положение плоской фигуры. Конечное положение плоской фигуры, занимаемое ею в конечный момент времени /+А九 зависит от промежутка времени А/, а следовательно, от него зависит и положение центра конечного вращения С. В пределе, когда величина этого промежутка времени будет стремиться к нулю, центр конечного вращения С будет стремиться к своему предельному положению, называемому мгновенным центром вращения.

Точка плоской фигуры, которая в данный момент времени совпадает с мгновенным центром вращения и имеет скорость, равную нулю, является мгновенным центром скоростей этой плоской фигуры. Хотя в каждый момент мгновенный центр скоростей совпадает с мгновенным центром вращения плоской фигуры, однако необходимо иметь в виду, что мгновенный центр вращения принадлежит неподвижной плоскости, по которой перемещается плоская фигура, а мгновенный центр скоростей принадлежит плоскости самой движущейся плоской фигуры. При этом положение мгновенного центра вращения на неподвижной плоскости, по которой перемещается плоская фигура, с течением времени изменяется. Точно так же изменяется и положение мгновенного центра скоростей на плоскости самой движущейся плоской фигуры.

Геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости, по которой перемещается плоская фигура, представляет собой некоторую кривую, называемую неподвижной центроидой.

Геометрическое место мгновенных центров скоростей на плоскости самой движущейся плоской фигуры представляет собой также некоторую кривую, называемую подвижной центроидой.

Переходя от движения плоской фигуры в ее плоскости к соответствующему плоскопараллельному движению твердого тела, мы, очевидно, вместо центров мгновенного вращения должны брать так называемые мгновенные оси вращения, перпендикулярные к плоскости плоской фигуры и проходящие через мгновенные центры вращения. Это следует из того, что при плоскопараллельном движении тела все точки его, лежащие на одном перпендикуляре к неподвижной плоскости, в которой перемещается плоская фигура, движутся одинаково. Поэтому все точки тела, лежащие на мгновенной оси вращения, будут в данный момент иметь скорость, равную нулю, а все точки тела, не

лежащие на мгновенной оси вращения, будут вращаться вокруг мгновенной оси так же, как и соответствующие им точки плоской фигуры вокруг мгновенного центра вращения. При этом мы получим подвижную и неподвижную цилиндрические поверхности, которые называются подвижной и неподвижной аксоидами.

Покажем теперь, что при движении плоской фигуры в ее плоскости подвижная центроида, неизменно связанная с движущейся плоской фигурой, катится без скольжения по неподвижной центроиде.

77叫叫Рис. 234Рис. 234Для этого предположим, что плоская фигура переместилась из положения I в положение II, двигаясь как угодно в своей плоскости в течение промежутка времени Af. Разобьем весь этот промежуток времени на весьма большое число п весьма малых промежутков Д/. (i = 1, 2,п).

7

7

叫

叫

Рис. 234

Рис. 234

00В начале промежутка плоская фигура занимает положение I, а в конце его она займет близкое положение; в течение следующего промежутка времени А% плоская фигура переместится в новое близкое положение и т. д. К каждому из этих элементарных перемещений мы можем применить теорему Бернулли — Шаля, а поэтому каждому из них будет соот

0

0

ветствовать свой определенный центр вращения и определенный элементарный угол поворота вокруг этого центра вращения. Следовательно, данное перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно заменить рядом последовательных поворотов на элементарные углы вокруг соответствующих центров вращения, которые в пределе при 〃 f 8 н AE,f 0 превращаются в мгновенные центры вращения плоской фигуры.

Отметим положения п центров вращения Сг, С2, С3, ... на неподвижной плоскости ОАп，по которой перемещается плоская фигура (S). Пусть эти центры вращения будут вершинами ломаной Сх С2 С3 С4... (рис.234).

при плоскопараллельном неизменно связанная с по неподвижному цилин-при плоскопараллельном неизменно связанная с по неподвижному цилин-На подвижной плоскости Аху, которая связана с плоской фигурой (S) и перемещается вместе с нею, отметим точки С；, С；, С；, ..., последовательно совпадающие при движении плоской фигуры (S) с точками С】，С2, С3, ... неподвижной плоскости ОЕп (на рис. 234 точки Сх и С\ сливаются). Пусть точки С；, Cj, С； ... подвижной плоскости Аху будут вершинами ломаной С； С； С； С；…

при плоскопараллельном неизменно связанная с по неподвижному цилин-

при плоскопараллельном неизменно связанная с по неподвижному цилин-

Из построения точек С\, С%，С\ …очевидно, что стороны С\, С%, С%。、，С】。%, ... и С\С2, С2С3, С3С4, ... ломаных линий С^С^С^С^... и С1С2С3С4 ... соответственно равны друг другу. При этом при последовательных поворотах плоской фигуры вокруг центров Q, С2, С3,... соответственно на углы Д^, Д^2» △勺з，••• ломаная линия С\С\С'3С\ ... перекатывается по неподвижной ломаной С1С2С3С4 ... так, что соответственно равные стороны этих ломаных линий налагаются одна на другую, поеледовательно совпадая своими вершинами.

В пределе при 〃 f 8 и A% f 0 ломаные линии &С2С3С4… и С'ССзС]… переходят в соответствующие непрерывные кривые — неподвижную центроиду и подвижную центроиду (рис. 235).

Рис. 235

Подвижная и неподвижная центроиды имеют в каждый данный момент времени общую точку Р, которая является мгновенным центром скоростей плоской фигуры (S) и, следовательно, мгновенным центром вращения этой плоской фигуры.

Покажем, что в точке Р подвижная и неподвижная центроиды имеют общую касательную. В самом деле, точка Р является предельным положением точки С\, а касательные к неподвижной и подвижной центроидам в точке Р являются предельными положениями прямых СгС2 и С\С\. Так как при А/-> Оугол А牝 между прямыми СХС2 и С\С\ стремится к нулю, то касательные обеих центроид в точке Р совпадают.

Наконец, поскольку скорость точки касания обеих центроид равна нулю, так как эта точка является мгновенным центром скоростей, то качение подвижной центроиды по неподвижной происходит без скольжения.

Итак, движение плоской фигуры в ее плоскости действительно сопровождается качением без скольжения подвижной центроиды, неизменно связанной с плоской фигурой, по неподвижной центроиде.

Отсюда следует, что всякое движение плоской фигуры 6 ее плоскости можно осуществить у построив для данного движения подвижную и не- подвижную центроиды и заставив подвижную центроиду катиться без скольжения по неподвижной с угловой скоростью, соответствующей в каждый момент времени угловой скорости данного движения плоской фигуры. В этом и состоит теорема Пуансо.

Эта теорема не дает результата только в случае по ступа тел ь но го движения плоской фигуры, при котором обе центроиды обращаются в бесконечно удаленные точки.

Простейшим примером изложенного может служить случай качения без скольжения колеса по неподвижному прямолинейному рельсу (рис. 236). В этом случае скорость точки колеса, в которой оно касается рельса, рав- f\на нулю. Эта точка Р колеса, следователь-

/号、но, будет в данный момент его центром

(妤™«а I скоростей, а соответствующая ей точка Р

\ I / рельса — мгновенным центром вращения. 、], У При этом обод колеса представляет собой

力，подвижную центроиду, а неподвижный рельс 一 неподвижную центроиду.

рис 236Центроиды имеют применение в теории

механизмов и машин. Найти центроиды

для плоской фигуры можно как геометрическим, так и аналитическим способами. Для иллюстрации геометрического и аналитического способов нахождения центроид рассмотрим

следующую задачу.

Задача 64. Стержень АВ=21 скользит своими концами по сторонам прямого угла Юр (карданово движение). Найти подвижную и неподвижную центроиды (рис. 237).

Решение. Решим эту задачу геометрическим способом. Так как скорости точек А и В направлены по сторонам прямого угла ЕОр, то мгновенный центр вращения Р (и, следовательно, мгновенный центр скоростей) стержня АВ находим как точку пересечения перпендикуляров, восставленных из точек Л и В к направлениям скоростей этих

точек.

Полученная фигура ОАРВ представляет собой прямоугольник, в котором диагональ ОР~АВ^21. Это показывает, что расстояние мгновенного центра Р от начала координат О неподвижной системы осей О?т] есть величина постоянная.

Таким образом, по отношению к неподвижной системе отсчета 0^ мгновенный центр Р будет перемещаться по окружности, описанной из точки О радиусом 0Р=АВ=21, т. е. неподвижная центроида есть окружность радиуса АВ с центром в точке О.

Так как диагонали прямоугольника пересекаются пополам, то точка С есть середина АВ и ОР. Это показывает, что мгновенный центр

Р во все время движения находится на одинаковом расстоянии 至=1 от середины С движущегося стержня АВ, с которым неизменно связана и движется вместе с ним система отсчета Аху. Поэтому подвижная зАВ

центроида является окружностью радиуса 可=/ с центром в точке С.

Таким образом, мы видим, что карданово движение можно осуществить качением без скольжения окружности диаметраf равного движущемуся стержню, по внутренней стороне окружности диаметра, равного удвоенной длине стержня.

Если подвижную окружность сделать неподвижной и катить по ней без скольжения неподвижную окружность, то воспроизводимое движение называется обращенным движением Кардана.

Решим теперь эту же задачу аналитическим способом. Для этого определим координаты мгновенного центра Р как в неподвижной системе отсчета ОЁц, так и в подвижной системе отсчета Сху.

Обозначим переменный угол О АВ через <р. Чтобы выразить координаты % и т]р точки Р в неподвижной системе отсчета через этот угол, рассмотрим треугольник ОАВ, из которого имеем

Ер = ОА = ВР — АВ cos 勺=2 / cos 中；

№ = OB = АР = 4В sin 屮=2 / sin 中，

где угол 中 будет меняться при движении стержня АВ\ этот угол взят нами за параметр.

Чтобы найти геометрическое место точек Р на неподвижной плоскости ОЕр, в которой перемещается отрезок АВ, т. е. получить уравнение неподвижной центроиды, нужно из этих двух уравнений исключить параметр 中.Для этого достаточно возвести каждое из этих уравнений в квадрат и затем их сложить. Тогда получим

昭+唯= 4/2,

отсюда видим, что неподвижная центроида есть окружность радиуса 2Z с центром в начале координат О.

Чтобы выразить теперь через угол 中 координаты %「и % точки Р в подвижной системе отсчета, рассмотрим треугольники АМР и АРК, из которых имеем

хр = 4K = МР = АР cos <р;

Ур = АМ = КР = /Р sin 勺, .

но так как

АР ~ АВ sin ср — 21 sin 中，

то

хр = 2 2 sin 中 cos 屮；

Ур = 2 2 sin2 勺・

Чтобы найти геометрическое место точек Р на подвижной плоскости Axyf неизменно связанной со стержнем АВ и движущейся вместе с ним, т. е. найти уравнение подвижной центроиды, нужно из этих двух уравнений исключить параметр <р. Для этого возведем в квадрат первое уравнение

Хр — 4 /2 sin2 中 cos2 ср = 4 /2 sin2 中(1 — sin2 ф),

а из второго уравнения находим

.о Ур

sm21P =可，

и, подставив это в первое равенство, получим

хр + Ур~ 22yp = 0.(а)

Перенося начало координат по оси у на величину Z, будем иметь

У р = ур — I； Ур = У р + 厶

Подставляя это значение ур в уравнение (а), получим

%+(%> + /)2 - 2"纭+/) = 0,

или.

応+于=佗

или

君+跳一炉=伊，

отсюда видим, что подвижная центроида есть окружность радиуса I с центром в точке С (0, /)•

Г ла в а XIII

ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО ОДНУНЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ, И ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ

СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

§75. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО ОДНУНЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ

Уравнения движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Если твердое тело движется таким образом, что какая- нибудь одна его точка остается неподвижнойу то такое движение называется движением твердого тела вокруг неподвижной точки или сферическим движением. При этом неподвижная точка может или принадлежать телу, или находиться вне тела, но тогда следует представлять себе, что она каким-нибудь образом неизменно связана с телом, например при помощи стержня. Примером твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, может служить волчок, заостренный конец ножки которого упирается в гнездо, сделанное в подставке, так что этот конец ножки при вращении волчка остается неподвижным.

Предположим, что рассматриваемое твердое тело имеет одну неподвижную точку О (рис. 238) и может как угодно вращаться вокруг этой точки.

Выберем неподвижную прямоугольную систему координат ОЕт)& начало которой находится в неподвижной точке О этого тела. Построим теперь подвижную прямоугольную систему координат Oxyz, неизменно связанную с телом и имеющую начало в той же точке О. Для оп~

ределения положения тела, имеющего одну неподвижную точку О, относительно неподвижной системы координат 0^^достаточно определить положение подвижной системы координат Oxyz относительно неподвижной OEtjJ Наиболее удобным способом определения положения подвижной системы координат относительно неподвижной является способ, предложенный Эйлером и основанный на задании так называемых трех углов Эйлера. .

Установим предварительно понятие углов Эйлера. Линия пересечения ON неподвижной плоскости 0^ с подвижной плоскостью Оху называется линией узлов. Проведем плоскость через оси ОС и Oz; эта

плоскость перпендикулярна к линии узлов ON, так как последняя должна быть перпендикулярна одновременно к оси ОС и коси Ог. Угол меж* ду неподвижной осью ОЕ и линией узлов ON обозначают через 屮 и называют углом прецессии. Угол между линией узлов ON и подвижной осью Ох обозначают через «р и называют углом собственного вращения. Угол между плоскостями ОЕп и Оху, или, что то же, угол между неподвижной осью ОС и подвижной осью Oz, обозначают через 6 и называют углом нутации.

Углы ^, 0 и «р называются углами Эйлера. Эти углы условились считать положительными в том случае, если для наблюдателей, смотрящих соответственно с положительных концов осей ОЕ, ON и Ozf эти углы представляются отложенными от осей ОЕ, ОС и ON в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

Поясним теперь, как можно найти положение подвижной системы координат относительно неподвижной, если заданы все углы Эйлера.

Посредством трех, последовательных независимых поворотов тела:

на угол 屮 вокруг оси О& затем на угол 6 вокруг оси ON и, наконец, на угол 勺 вокруг оси Oz — можно подвижную систему координат Oxyz,

совмещенную первоначально с неподвижной 0^, перевести в положение, указанное на рис. 238. В самом деле, совершим поворот прямоугольной системы 0^ вокруг оси ОС на угол 屮，тогда получим систему ON^ (рис.239).Далее, совершая поворот прямоугольной системы ON^ вокруг оси ON на угол 6, получим систему ON^z. Наконец, поворачивая прямоугольную систему ON^ вокруг оси Oz на угол 勺，получим подвижную систему координат Oxyz,

Рис. 239Рис. 239

Рис. 239

Рис. 239

Таким образом, действительно, с помощью трех независимых друг от друга углов Эйлера положение подвижной системы координат относительно неподвижной, а следовательно, и положение твердого тела, с которым подвижная система неизменно связана, определяется полностью. Отсюда мы видим, что твердое тело, совершающее сферическое движение, имеет три обобщенные координаты (屮，0 и <р) и, следовательно, оно имеет три степени свободы.

Если твердое тело совершает движение вокруг неподвижной точки, то углы Эйлера 屮，6 н 中 непрерывно изменяются, т. е. являются некоторыми функциями времени f

屮=Л. С)； Он/2(f)； ^= / з(0* (1)

При этом функции /i(f), "О и /3(0 должны быть однозначными, непрерывными и дифференцируемы, по крайней мере, дважды. Если эти функции известны, то положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, будет известно для любого момента времени. Поэтому уравнения (1) вполне определяют движение тела вокруг непод-

вижной точки и называются уравнениями движения твердого тела вокруг неподвижной точки или уравнениями сферического движения твердого тела.

Пусть в момент времени / тело занимает положение, определяемое углами Эйлера 屮，6 н . а в момент f+Af приходит в положение, определяемое углами 屮+А屮，6+Д6 и 中+А(р. Следовательно, за промежуток времени А/ тело повернулось вокруг оси ОС на угол А% вокруг оси ON — на угол Д6 и вокруг оси Oz — на угол А. Тогда отношения #, ^"霁 падут значения средних угловых скоростей поворотов вокруг соответствующих осей. Переходя к пределу при Л^->0, получаем

limlimд屮д屮д /д /d Ф ;屮;d Ф ;屮;limAf—>0limAf—>0Д 8Д 8d6 а-NT =我d6 а-NT =我limAf—>0limAf—>0A <p дТA <p дТ

lim

lim

д屮

д屮

д /

д /

d Ф ;

屮;

d Ф ;

屮;

lim

Af—>0

lim

Af—>0

Д 8

Д 8

d6 а-

NT =我

d6 а-

NT =我

lim

Af—>0

lim

Af—>0

A <p дТ

A <p дТ

где 屮，6 и tp имеют следующие наименования:屮——угловая скорость прецессии, 6 — угловая скорость нутации и 中一угловая скорость собственного вращения в данный момент времени 九 Эти угловые скорости могут быть изображены в виде векторов i, 6 н <р, направленных по соответствующим осям поворота ОС, ON и 0% (см. рис. 238).

Таким образом, мы видим, что элементарное перемещение тела, имеющего одну неподвижную точку, слагается из элементарных поворотов вокруг осей (X, ON н Oz с угловыми скоростями j, 6 н 中・

Теорема Эйлера ——Даламбера. Выше было установлено, что перемещение тела, имеющего одну неподвижную точку, из одного положения в другое осуществляется путем трех последовательных независимых поворотов вокруг соответствующих осей. Однако можно доказать, что такое перемещение можно осуществить не тремя поворотами, а одним поворотом вокруг оси, выбранной надлежащим образом. Чтобы это представить себе, докажем следующую теорему Эйлера — Даламбера: всякое перемещение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку О, из одного положения s другое можно осуществить одним поворотом этого тела вокруг оси, проходящей через точку О.

Опишем вокруг точки О сферу (о) таким радиусом, чтобы эта сфера пересекла тело. Тогда сечение тела сферой будет некоторой сферической фигурой (S), расположенной на поверхности сферы и ограниченной некоторым контуром (рис. 240). Проведем диаметральную плоскость сферы, тогда след этой плоскости на сферической фигуре (S) будет дугой большого круга. Выберем на этой дуге две точки А и В.

Задание положения этих точек на сфере, или, что то же, задание дуги АВ, вполне определяет положение сферической фигуры (S), а следовательно, и положение тела относительно неподвижной системы

координат OEtjJ Каждому положению дуги АВ на неподвижной сфере

(о) будет соответствовать единственное и вполне определенное поло

жение сферической фигуры (S), а следовательно, и положение тела. Таким образом, мы привели изучение движения твердого тела вокруг неподвижной точки О к изучению движения дуги АВ по поверхности неподвижной сферы (о). Отсюда следует, что мы пришли к задаче, вполне аналогичной той задаче, к которой сводилось изучение плоскопараллельного движения твердого тела, с той только разницей, что вместо рассмотрения движения прямоли

нейного отрезка на неподвиж

ной плоскости мы в настоящем случае должны рассматривать движение дуги большого круга по неподвижной сфере. Поэтому теорема Эйлера —Даламбера для сферического движения доказывается так же, как и теорема Бернулли——Шаля для плоскопараллельного движения.

Пусть в данный момент времени t положение сферической фигуры (S), а следовательно, и тела, имеющего одну неподвижную точку О, определяется дугой большого круга АВ (рис. 241), а по истечении

/0.

Если мы покажем, что дугу АВ можно совместить с дугой AjBi одним поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку О, то теорема Эйлера — Даламбера будет доказана.

Соединим точку А с ее конечным положением &Н точку В соответственно с точкой Вг дугами больших кругов АА^ВВ^ Из середин Л4 и ^ этих дуг восставим перпендикулярные к

ним дуги больших кругов до пересечения в точке С.

неизменяемости сферической фигуры (S), АС=А1Снеизменяемости сферической фигуры (S), АС=А1ССоединим точку С дугами больших кругов с точками А и В, а также с точками Ai и &, т, е. образуем два сферических треугольника АВС и А^В^С с общей вершиной С. Легко видеть, что полученные треугольники АВС и А^В^С, лежащие на сфере, равны в силу равенства соответственных сторон. В самом деле, АВ=А1В1 в силу ,а также вс=

неизменяемости сферической фигуры (S), АС=А1С

неизменяемости сферической фигуры (S), АС=А1С

=BjC по построению точки С, лежащей на высотах, восставленных соответственно из середин оснований 44] и ВВ^ сферических треугольников AA-fi и ВВС Из равенства треугольников АВС и А^В^С следует, что у них углы при вершине С равны^АСВ=^А1СВ1, или ^АСВ+ ^ВСАг=^A^Bx-i-^BCAlt поэтому

^АСА^ —上 ВСВ* — Да.

Если повернуть дугу АВ (а вместе с нею и тело) вокруг оси ОС на угол АСАЪ то дуга АВ совместится с дугой АГВЪ т. е. тело перейдет из первого положения во второе, что и доказывает теорему Эйлера — Даламбера.

Ось ОС, вокруг которой поворачивают тело на угол АСАЪ чтобы перевести его из первого положения во второе, называют осью конечного вращения, так как поворот тела происходит на конечный угол.

Мгновенная ось вращения и мгновенная угловая скорость. Очевидно, что перевод твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, из одного положения, соответствзлющего моменту /, в другое положение, соответствующее моменту ^+Д/, одним поворотом вокруг оси конечного вращения на угол Ла, вообще не представляет действительного перемещения этого тела. Однако чем меньше будет промежуток времени Af, там перемещение, совершаемое поворотом вокруг оси на угол Да, будет ближе к действительному перемещению тела.

При приближении А/ к нулю второе положение твердого тела приближается к первому, а вместе с тем ось конечного вращения ОС приближается к некоторому предельному положению ОР, которое называется мгновенной осью вращения тела.

Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент равны нулю.

Таким образом, при движении тела, имеющего одну неподвижную точку, в каждый данный момент существует мгновенная ось вращения, проходящая через эту неподвижную точку. Поворотом вокруг этой оси на бесконечно малый угол тело перемещается из данного положения в положение соседнее, бесконечно близкое к данному. Угловая скорость3 = lim 生,⑵

с которой совершается этот поворот, представляет собой мгновенную угловую скорость тела, имеющего одну неподвижную точку. При этом следует иметь в виду, что количество lim^ не равно производной от угла а по времени /, так как при движении твердого тела вокруг неподвижной точки такого угла не существует. Следовательно, угловую скорость тела, имеющего одну неподвижную точку, уже нельзя, как раньше, определять производной от некоторого угла по времени. Поэтому мгновенная угловая скорость ① должна быть задана в функции времени непосредственно. Эту угловую скорость можно изобразить в виде соответствующего вектора ад, направленного вдоль мгновенной оси вращения ОР так, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца вектора ①，видел вращение тела происходящим против движения часовой стрелки.

Подвижные и неподвижные аксоиды. Положение мгновенной

оси вращения не остается неизменным: в различные моменты времени эта ось занимает различные положения как в неподвижной системе отсчета 0^, так и в подвижной системе отсчета Oxyz, неизменно связанной с телом, движущимся вокруг неподвижной точки. Геометрическое место положений мгновенных осей вращения относительно неподвижной системы отсчета представляет собой коническую поверхность с вершиной в неподвижной точке. Геометрическое место положений мгновенных осей вращения относительно подвижной системы отсчета, неизменно связанной с движущимся телом, также представляет собой коническую поверхность с вершиной в неподвижной точке. Эти поверхности носят название аксоидов соответственно неподвижного и подвижного.

Подвижный и неподвижный аксоиды образованы перемещением одной и той же прямой ——мгновенной оси вращения ОР,——значит, в каждый момент времени они касаются друг друга вдоль этойподвижный

общей образующей ОР (рис. 242)., ^оид

Так как скорости точек тела,\

лежащих на мгновенной оси вращения ОР, в данный момент / равны нулю, то подвижный аксоид при движении тела вокруг неподвижной точки катится /\

без скольжения по неподвижно-\непоШжмый аксоид

Рис. 242Рис. 242му аксоиду.

Рис. 242

Рис. 242

Принципиальное значение

этих выводов заключается в том,

что любое движение тела вокруг неподвижной точки можно осуществить, если катить без скольжения подвижный аксоид, неизменно связанный с движущимся телом, по неподвижному так, чтобы в каждый момент была осуществлена такая угловая скорость этого качения,

которая воспроизводит угловую скорость действительного движения тела. Если оба аксоида суть прямые круглые конусы, то в этом случае движение твердого тела вокруг неподвижной точки называется прецессионным, или прецессией. Прецессионное движение есть частный случай движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

Скорости точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Если мгновенная угловая скрость й задана в функции времени, то легко определить скорость какой-либо точки М тела, вращающегося вокруг неподвижной

мени переместилась в положение Ммени переместилась в положение Мточки, по формуле (24, § 65)

мени переместилась в положение М

мени переместилась в положение М

и == ш х г, (3)

где г — радиус-вектор точки М.

Здесь можно обосновать справедливость формулы (3) для случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

Рассмотрим перемещение этого тела вокруг неподвижной точки О за промежуток времени △/ (рис. 243).

Пусть точка М тела (на рис. 243 тело не показано) за этот промежуток вре- I，определяемое радиусом-век

тором 仆・ Пользуясь теоремой Эйлера — Даламбера, построим ось конечного вращения ОС, направление которой задано единичным вектором /.° При этом перемещение тела из первого заданного положения во второе можно осуществить одним поворотом на угол Да вокруг оси ОС.

Проведем плоскость, перпендикулярную оси ОС и проходящую через вектор *=г工——г. Тогда положение точек Л4 н 乂工 можно определить с помощью векторов р н 仇，модули которых равны между собой.

Из рис. 243 видно, что вектор 「工 может быть представлен в виде геометрической суммы двух векторов а и bt т. е. pi = а + fe, из ко

торых первый направлен по вектору р, а второй перпендикулярен вектору р. Эти векторы (а и Ь) можно выразить через вектор р и угол поворота Да：

а = pcos А а;

&=7°х р sin А а.

Первая из этих формул не требует пояснений, а вторая может быть проверена. Вектор Ь перпендикулярен к векторам /° и р, а поэтому может быть представлен в виде их векторного произведения. Но модуль этого вектора равен psinAa, где учтено, что pi=p. Этим и объясняется присутствие множителя sinAa при векторном произведении /° Хр.

Таким образом, имеем

р! = р cos Д а 4- /° X р sin Д а.

Замечая, что Pi=p+Ap и Др—Дг , найдем

"=(cos Да — 1) р + / °Xpsin Да, или

△ г =—2&sin2+ 2 / X р sin号"cos-^・

Чтобы определить скорость точки М, надо умножить и поделить второе слагаемое правой части этого равенства на Да, а затем поделить обе части этого равенства на △/ и перейти к пределу при Aff 0, т. е.

z=lim АЮНоz=lim АЮНод7 дТд7 дТ2 P limАЮ2 P limАЮА/А/,А а-lim - Л—2- lim (粤 7 X р~)lim cos 告2,А а-lim - Л—2- lim (粤 7 X р~)lim cos 告2lim АЮlim АЮА аА а=<o；=<o；limlim=1;=1;lim厂 WAZ—>0lim厂 WAZ—>0

z=lim АЮ

Но

z=lim АЮ

Но

д7 дТ

д7 дТ

2 P limАЮ

2 P limАЮ

А/

А/

,А а

-lim - Л—2- lim (粤 7 X р~)lim cos 告

2

,А а

-lim - Л—2- lim (粤 7 X р~)lim cos 告

2

lim АЮ

lim АЮ

А а

А а

=<o；

=<o；

lim

lim

=1;

=1;

lim厂 W

AZ—>0

lim厂 W

AZ—>0

r Sin…Aa 1

lim一 = 0; lim cos —= 1.

АЮ A fAL>0 /

Отсюда очевидно, что

V = —а> X р = а> X Г .(4)

Заметим, что формула (4), определяющая скорость произвольной точки тела в данный момент была нами получена при условии，| — =const, а поэтому она дает выражение производной от любого вектора г, модуль которого постоянен.

Вектор скорости z точки М можно проектировать как на неподвижные, так и на подвижные координатные оси. Представляя правую часть формулы (4) в виде определителя, получим

— 7 7

где о)е, ш^ и ⑴工 —— проекции вектора угловой скорости тела на неподвижные оси。2寸& а Е,刁 н 匚——проекции на те же оси радиуса-вектора г точки М, т. е. координаты точки М.. Раскрывая определитель, получим проекции вектора скорости и точки М на неподвижные оси ОЕ, От] и 次

Если угловая скорость ① известна как функция времени, то ш^, ш^ и о)с также известны для любого момента времени. Тогда по формулам (5) мы можем определить проекции v^ ,v^ 次 скорости у любой точки тела на неподвижные координатные оси, а затем определить модуль и направление этой скорости.

Если проекции вектора ад на подвижные координатные оси обозначить через %、и 吗，а проекции радиуса-вектора г на те же оси — через х, у, z, то мы получим подобно предыдущему проекции скорости любой точки тела на подвижные координатные оси

0* = %2 —ft)zf/；

0y =吗尤一 mxz\ ■ (6)

% = СО* У — СОу 尤…

где 尤,у и z — величины постоянные, так как положение точки М относительно осей Oxyz, неизменно связанных с движущимся телом, с течением времени не изменяется.

Формулы (5) и (6) называются формулами Эйлера.

Если мы возьмем какую-либо точку тела, лежащую в данный момент на мгновенной оси вращения, то радиус-вектор г этой точки и вектор угловой скорости о)тела будут направлены по одной прямой, а поэтому векторное произведение этих векторов равно нулю, т. е.

со X г = 0.] (7)

Так оно и должно быть, поскольку скорости всех точек тела, лежащих на мгновенной оси вращения, в данный момент равны нулю. Уравнение (7), следовательно, представляет собой уравнение мгновенной оси вращения.

Проектируя векторное уравнение (7) на неподвижные координатные оси, получим уравнения мгновенной оси вращения в неподвижной системе отсчета

= ―— = ——• (8)

22Аналогично уравнениям (8) мы получаем и уравнения мгновенной оси вращения в подвижной системе отсчета

2

2

(9)

Мгновенное угловое ускорение тела. При сферическом движении тела положение мгновенной оси вращения со временем изменяется,

(10)(10)а следовательно, изменяется не только модуль, но и направление вектора угловой скорости тела. При этом производная от вектора мгновенной угловой скорости по времени равна вектору мгновенного углового ускорения тела, т. е.

(10)

(10)

е = lim=0 A f dt

Так как при вращении твердогоТак как при вращении твердоготела вокруг неподвижной точкитела вокруг неподвижной точки

Так как при вращении твердого

Так как при вращении твердого

тела вокруг неподвижной точки

тела вокруг неподвижной точки

по модулю, но ипо модулю, но ивремени от соответствремени от соответствующих проекций вектора мгновенной угловой скорости ① на те же оси, т. е.вующих проекций вектора мгновенной угловой скорости ① на те же оси, т. е.(И)(И)(12)(12)

по модулю, но и

по модулю, но и

времени от соответст

времени от соответст

вующих проекций вектора мгновенной угловой скорости ① на те же оси, т. е.

вующих проекций вектора мгновенной угловой скорости ① на те же оси, т. е.

(И)

(И)

(12)

(12)

вектор звектор зизменяется с течением времени не только

вектор з

вектор з

по направлению, то направление вектора е не совпадает с направлением вектора ⑴.

Направление вектора мгновенного углового ускорения г надо выяснять в каждом конкретном случае, построив годограф вектора о>, т. е. траекторию, описываемую концом вектора ①. По смыслу векторной производной вектор £=^ направлен по касательной к годографу вектора ⑴ в соответствующей точке (рис. 244).

Вектор £ можно проектировать как на неподвижные, так и на подвижные координатные оси.

Из равенства (Ю) следует, что проекции вектора мгновенного углового ускорения

е на неподвижные оси равны производным по

Что касается проекций вектора е на подвижные координатные оси, неизменно связанные с движущимся вокруг неподвижной точки телом, то будут иметь место аналогичные формулы:

Однако справедливость этих формул необходимо обосновать. Для этого прежде всего найдем производные по времени от единичных векторов г, /, k подвижных координатных осей, равные скоростям концов этих векторов. По формуле (4) можем написать

=⑴ X t;=⑴ X t;NTх色NTх色(13)(13)

=⑴ X t;

=⑴ X t;

NTх色

NTх色

(13)

(13)

Учитывая эти формулы, будем иметь

вает справедливость формул (12).вает справедливость формул (12).

вает справедливость формул (12).

вает справедливость формул (12).

так как ⑴・(0)><£)=0, и аналогично для других проекций, что и доказы-

Покажем теперь способ определения вектора а для того случая, когда вектор s изменяется только по направлению. Годографом вектора о)в этом случае является окружность, а следовательно, аксоидами будут прямые круглые конусы (рис. 245).

Обозначим через ⑴丄 угловую скорость, с которой при движении тела подвижный аксоид вращается вокруг оси ОЛ неподвижного аксоида.

Для определения вектора мгновенного углового ускорения евоспользуемся опре

dtdt=% X ⑴.=% X ⑴.(14)(14)делением г как линейной скорости движения конца вектора мгновенной угловой скорости ⑴ по его годографу. В данном случае вследствие постоянства модул я вектора ш искомая скорость конца вектора ⑴ определится как скорость точки с радиусом-вектором о)тела, вращающегося с угловой скоростью ⑴丄，т. е.

dt

dt

=% X ⑴.

=% X ⑴.

(14)

(14)

7、Ускорения точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Ускорение точки М тела, имеющего одну неподвижную точку, легко найти, продифференцировав равенство (4) по времени,

w =w =х г + зХ %,х г + зХ %,

w =

w =

х г + зХ %,

х г + зХ %,

или

/1 7J —■/1 7J —■(15)(15)Таким образом, мы видим, что для тела, имеющего одну неподвижную точку, ускорение его любой точки в данный момент слагается из двух составляющих: m X г =侬工 и ⑴ X z = ®2・Первое слагаемоеТаким образом, мы видим, что для тела, имеющего одну неподвижную точку, ускорение его любой точки в данный момент слагается из двух составляющих: m X г =侬工 и ⑴ X z = ®2・Первое слагаемое侬I = е X г侬I = е X г(16)(16)называется вращательным ускорением точки М и направлено перпендикулярно к плоскости, проходящей через мгновенное угловое ускорение г тела и радиус-вектор г точки М так, что с конца вектора 侬工 кратчайший поворот от е к г виден совершающимся против движения часовой стрелназывается вращательным ускорением точки М и направлено перпендикулярно к плоскости, проходящей через мгновенное угловое ускорение г тела и радиус-вектор г точки М так, что с конца вектора 侬工 кратчайший поворот от е к г виден совершающимся против движения часовой стрелки (рис. 246). В отличие от случая вращения тела вокруг неподвижной оси вектор г не лежит на той же прямой, что и вектор о), а направлен по касательной к годографу вектора ① в соответствующей точке. Поэтому здесь вектор 吗 перпендикулярен не радиусу вращения 力⑴, представляющему собой кратчайшее расстояние точки М от мгновенной оси вращения, а отки (рис. 246). В отличие от случая вращения тела вокруг неподвижной оси вектор г не лежит на той же прямой, что и вектор о), а направлен по касательной к годографу вектора ① в соответствующей точке. Поэтому здесь вектор 吗 перпендикулярен не радиусу вращения 力⑴, представляющему собой кратчайшее расстояние точки М от мгновенной оси вращения, а отрезку 儿，резку 儿，представляющему сопредставляющему собой кратчайшее расстояние точки М от той прямой, вдоль которой от точки О отложен вектор е. По модулю вращательное ускорение 灰бой кратчайшее расстояние точки М от той прямой, вдоль которой от точки О отложен вектор е. По модулю вращательное ускорение 灰равноравно= е Ле ,= е Ле ,(17)(17)гдегде儿=rsing (см. рис. 246).儿=rsing (см. рис. 246).

/1 7J —■

/1 7J —■

(15)

(15)

Таким образом, мы видим, что для тела, имеющего одну неподвижную точку, ускорение его любой точки в данный момент слагается из двух составляющих: m X г =侬工 и ⑴ X z = ®2・

Первое слагаемое

Таким образом, мы видим, что для тела, имеющего одну неподвижную точку, ускорение его любой точки в данный момент слагается из двух составляющих: m X г =侬工 и ⑴ X z = ®2・

Первое слагаемое

侬I = е X г

侬I = е X г

(16)

(16)

называется вращательным ускорением точки М и направлено перпендикулярно к плоскости, проходящей через мгновенное угловое ускорение г тела и радиус-вектор г точки М так, что с конца вектора 侬工 кратчайший поворот от е к г виден совершающимся против движения часовой стрел

называется вращательным ускорением точки М и направлено перпендикулярно к плоскости, проходящей через мгновенное угловое ускорение г тела и радиус-вектор г точки М так, что с конца вектора 侬工 кратчайший поворот от е к г виден совершающимся против движения часовой стрел

ки (рис. 246). В отличие от случая вращения тела вокруг неподвижной оси вектор г не лежит на той же прямой, что и вектор о), а направлен по касательной к годографу вектора ① в соответствующей точке. Поэтому здесь вектор 吗 перпендикулярен не радиусу вращения 力⑴, представляющему собой кратчайшее расстояние точки М от мгновенной оси вращения, а от

ки (рис. 246). В отличие от случая вращения тела вокруг неподвижной оси вектор г не лежит на той же прямой, что и вектор о), а направлен по касательной к годографу вектора ① в соответствующей точке. Поэтому здесь вектор 吗 перпендикулярен не радиусу вращения 力⑴, представляющему собой кратчайшее расстояние точки М от мгновенной оси вращения, а от

резку 儿，

резку 儿，

представляющему со

представляющему со

бой кратчайшее расстояние точки М от той прямой, вдоль которой от точки О отложен вектор е. По модулю вращательное ускорение 灰

бой кратчайшее расстояние точки М от той прямой, вдоль которой от точки О отложен вектор е. По модулю вращательное ускорение 灰

равно

равно

= е Ле ,

= е Ле ,

(17)

(17)

где

где

儿=rsing (см. рис. 246).

儿=rsing (см. рис. 246).

Второе слагаемое

w2 — X V(18)

называется осестремительным ускорением точки М и направлено к оси мгновенного вращения. Оно направлено перпендикулярно к плоскости, проходящей через ⑴ н и, так, что с конца вектора и^ кратчайший поворот от о)к увиден совершающимся против движения часовой стрелки. По модулю осестремительное ускорение w2 равно

耽=о)и sin 90° = «)и = W% ,(19)

так как модуль скорости и точки М. равен (см. рис. 246)

и =①厂 sin т =⑴九s .(20)

Модуль вектора ускорения w точки М как диагонали параллелограмма ускорений можно определить по формуле

W = U2叫COS (前，而z)， или

Вектор ускорения w любой точки М тела, имеющего одну неподвижную точку, можно проектировать как на неподвижные, так и на подвижные координатные оси.

Проекция вектора ускорения w на подвижную координатную ось Ох

d Wydtd Wydt吗= x = NT=NT = N 3yZ —吗砂=

d Wydt

d Wydt

z + 3y IFdT у~ш^~йГ = гуг^ 3y°z — CzD —%%.

Подставляя вместо vz и uy значения из равенств (6) и прибавляя к правой части (+(п^х) и (——⑴±尤)，получим окончательное значение 叫 по формуле

5# = % = %2 — %У + ⑴* (尤①力 + у Sy + ZU), — XU)2, при выводе которой было учтено, что 磋十⑴；+ 證 = ①?.

Путем круговой перестановки букв получим аналогичные формулы и для двух других проекций (wy и gj. Таким образом, находим следующие формулы:

з* = X = CyZ — егу + з*(X% + ywy + zw^ — ха>2;

Wy = у = e：X — exZ + wy(xwx-]- ywy + zw^ — yw\(21)

吗=Z = %y — %x + шг(х(ох + ywy + Zc%) — ZoA

По этим формулам нетрудно вычислить проекции ускорения w на подвижные координатные оси и затем определить модуль и направление этого ускорения.

Аналогичным путем моисно вывести формулы и для проекций ускорения w на неподвижные координатные оси:

(22)(22)喙=Е = е/ —气 ^ + 喚(Е、+ 刁，十 Q% ) — Eu)2； 3,] = 7] = e^ E C + 3g (E% + 7]3彳 + q% )——7]О)2； & = t' = S£ 7] — e^ ^ + % (E% + 7]、+ (% ) — Cu)2.

(22)

(22)

Связь вектора мгновенной угловой скорости с эйлеровыми углами. Покажем, как вычисляется вектор мгновенной угловой скорости ⑴ по заданным уравнениям движения тела (1).

Выше нами было установлено, что движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно рассматривать в каждый момент времени как простое вращение вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через эту точку, с мгновенной угловой скоростью о>.

Рис. 247Рис. 247С другой стороны, это движение твердого тела можно рассматривать как составное движение, состоящее из трех вращательных движений вокруг трех осей: 1) неподвижной оси О& называемой осью прецессии, с угловой скоростью 屮， 2) лини!£узлов ON с угловой скоростью 4 н 3) подвижной оси Oz, называемой осью собственного вращения, с угловой скоростью 9 (рис. 247).

Рис. 247

Рис. 247

Относительное движение представляет собой вращение вокруг оси

Oz с угловой скоростью 中，первое переносное — вращение вокруг оси

ON с угловой скоростью 0, второе переносное 一 вращение вокруг оси

с угловой скоростью ф.

Возьмем в движущемся теле какую-нибудь точку М (на рис. 247 тело и его точка М не показаны) и, используя формулу (4), найдем ее абсолютную скорость

以=石x丽(23)

Так как движение точки М также можно рассматривать как составное движение, то, используя формулу (4), по теореме сложения линейных скоростей получаем

'va='vr+'vei == ф ХОМ + 6+ Ф X ОМ,

ИЛИ

元=@ + 6 十 6 X м(24)

Из формул (23) и (24) следует, что

①=屮 + 6 + %(25)

Найдем теперь проекции мгновенной угловой скорости со на подвижные координатные оси Oxyz.

Проектируя векторное равенство (25) на подвижные координатные оси, находим

з* = (屮)* 十(0)*+®*；

Зу =(Му+ 0)у + ®у； '(26)

Для нахождения проекций вектора ф проведем в плоскости Оху ось OL, перпендикулярную линии узлов ON (рис. 247). Очевидно, что 上LOy=q и при этом оси Oz,。匚 и OL лежат в одной плоскости.

Из рассмотрения рис. 247 следует, что

(ф)А. = фsin9 sin ср;(屮)у =屮sin© cos<р; (ф)г = ^cos6;

(6)x = 6 COS co; (b)y = — 9 sin CP； (6)z = 0；

(27)

(* = °;(明=°； (* = %

Из формул (26) и (27) непосредственно находим проекции вектора ш на подвижные координатные оси

(28)(28)①力=屮 sin 8 sin 屮 + 0 cos ср；

(28)

(28)

⑴y = 屮sin 8 cos屮 —— Osin屮;

o)z =屮 + 屮 cos 0.

Уравнения (28) называются кинематическими уравнениями Эйлера.

Проектируя равенство (25) на неподвижные оси координат О$т]С, мы точно так же найдем проекции вектора ⑴ на эти оси

(29)(29)% =屮 sin 8 sin 屮 + 8 соз 屮;

(29)

(29)

叫=—— 屮 sin 9 cos 屮 + 8 sin ф;

% =屮 cos 8 + 屮.

Полученные формулы (28) и (29) позволяют определять модуль и направление вектора мгновенной угловой скорости ⑴.Модуль вектора о)будет равен

о)= V^ ①：十 W + ①；=V^屮2 + a 十 № + 2少屮 cos 0 .(30)

Направление вектора ① получим, вычислив его направляющие косинусы с осями координат. Так как

то, дифференцируя формулы (28) по времени, можно вычислить проекции вектора мгновенного углового ускорения е через углы Эйлера.

Модуль вектора г будет равен

(31)

Направление вектора г также определяется через его направляющие косинусы с осями координат.

Таким образом, мы видим, что при помощи углов Эйлера можно для любого момента времени определить угловую скорость и угловое

ускорение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, а также скорость и ускорение любой его точки.

Задача 65. Круглый конус с образующей, равной 40 см, катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости; при этом вершина О конуса остается неподвижной, а центр его основания описывает окружность, расположенную в горизонтальной плоскости, в течение 4 сек (рис. 248). Определить векторы о)и е, а также скорости и ускорения точек Д и В основания конуса, если угол при вершине равен 60°.

Решение. Решим эту задачу, пользуясь формулами, определяющими движение твердого тела с одной неподвижной точкой.

В данном случае неподвижной точкой будет точка О, т. е. вершина конуса.

Прежде всего определим положение мгновенной оси вращения и мгновенную угловую скорость. Точки конуса, лежащие на линии ОД, должны иметь такие же скорости, как и точки неподвижной горизонтальной плоскости, так как по ней конус катится без скольжения. Следовательно, скорости этих точек равны нулю и линия ОД является мгновенной осью вращения конуса. Вектор мгновенной угловой скорости о)направлен по линии 04 ・

Так как мгновенная ось вращения ОР во все время движения остается в горизонтальной плоскости, то неподвижным аксоидом является эта плоскость; подвижным же аксоидом является боковая поверхность рассматриваемого конуса.

Если из точки С опустить перпендикуляр ССг на мгновенную ось вращения, то СС工 есть мгновенный радиус вращения точки С, а поэтому имеем

0c ==:⑴・CCi, (а)

где

СС 工=ОС sin 30° = -~- ОС = -~- О A cos 30° =

= }・40•身=ЮУУсм.

При движении центра основания конуса С по окружности радиуса

СО】=О& = ОС cos 30° = О A cos2 30° = 40 • —= 30 см

скорость его

% ~ COi• о^ = 30-0,5к — 15冗,(б)

где учтено, что ⑴工==есть угловая скорость, с кото

рой вектор ⑴ вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О.

Из формул (а) и (б) следует, что

10 V3~ ⑴=15 к,

откуда модуль вектора ⑴ будет равен

Так как o)=const, то годограф вектора ⑴ есть окружность, описанная в указанной выше горизонтальной плоскости из центра О радиусом, равным о). Поэтому вектор е имеет направление касательной к этой окружности, а следовательно, этот вектор перпендикулярен к вектору о); направление е показано на рис. 248.

Рассматривая вектор е как скорость конца вектора ① и зная, что вектор ⑴ вращается с угловой скоростью а)г вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О, найдем модуль вектора г

I e1 = [0)1><0)1 = 0)10)=0,5式，0,5m3 穴=0,25]/3 式2 /2 •

Так как точка Л лежит на мгновенной оси вращения, то ее скорость уд равна нулю, т. е. va =0. Если из точки В опустим перпендикуляр ВВ] на мгновенную ось вращения, то ВВ^ есть мгновенный радиус вращения точки В, а поэтому модуль vb скорости vb точки В равен

% = ВВ]・(о — 2СС工• о)= 20р3 %3 ,冗—30к~~ .

25 Н, Ф« Сахарный

Определив мгновенную угловую скорость ① и мгновенное угловое ускорение е конуса, найдем теперь искомые ускорения точек А и В. Так как точка Л лежит на мгновенной оси вращения, то ее осестремительное ускорение равно нулю, т. е. ®2_д=0, а вращательное ускорение

= e X。4 #0，

следовательно, полное ускорение точки /

wA = wlA = £ X ОА.

При этом вектор wa направлен перпендикулярно к горизонтальной плоскости, как показано на рис. 248, а модуль этого вектора равен

' wA = е-ОЛ = 0,25Уз" к2-40 = 10/3" к2 .

Найдем теперь ускорение точки В. Осестремительное ускорение точки В направлено по мгновенному радиусу вращения этой точки; модуль этого ускорения равен

w2B = ВВ「о>2 ~ 2СС2 = 201/^ • ~ 穴2 = 15 рЗ к2 ~^± .

Вращательное ускорение точки В лежит в плоскости ОВВ1 и перпендикулярно к образующей ОВ, как показано на рис. 248; модуль этого ускорения равен

3iB = O&e=40・0,25}/W 兀2= ioKWE 讓.

Полное ускорение wb точки В изобразится диагональю параллелограмма, построенного на векторах wib и 耽月.Так как угол между векторами w^ и ④2в равен 180°—60°, то по теореме косинусов находим модуль полного ускорения точки В

⑫b = ]/鸣B + 唯一2%曝 COS60。= 5 d ]/仄费.

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Уравнения движения свободного твердого тела в общем случае его движения. Рассмотрев частные случаи движения твердого тела, перейдем к изучению самого общего случая движения свободного твердого тела, т. е. такого тела, которое может совершать любое перемещение в пространстве. Пусть данное свободное твердое тело каким-то

образом перемещается относительно неподвижной системы координат &xyz (рис. 249).

Возьмем какую-нибудь точку О рассматриваемого твердого тела и назовем ее полюсом. Построим теперь неизменно связанную с этим телом прямоугольную систему координат Ox'y'z'、имеющую начало в полюсе О. Кроме того, построим не связанную неизменно с телом прямоугольную систему координат O^f имеющую начало в том же полюсе О и перемещающуюся поступательно вместе с полюсом О. Очевидно, что задание положения системы координат Oxfy7zf относительно неподвижной системы отсчета Orxyz эквивалентно заданию положения рассматриваемого тела относительно той же системы отсчета. Но положение системы координат Ox'y'z' относительно неподвижной системы отсчета O/yz можно задать, указав положение подвижного начала О, т. е. координаты %。, уо и z0 полюса О и положение системы координат Oxfyfzf относительно системы координат 0^,

оси которой ОЕ, Ор и ОС параллельны неподвижным осям 0工尤 и Оху и Or Как было установлено в § 75, положение системы координат Ox'J艺 относительно системы 0^ может быть определено тремя углами Эйлера: ф, б и <р. Отсюда следует, что положение свободного твердого тела относительно неподвижной системы отсчета O、xyz определяется шестью обобщенными координатами: х0,у01 z。，ф, 9 и <р. Поэтому свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы.

При движении тела все эти обобщенные координаты, изменяясь с течением времени, являются однозначными, непрерывными и, по крайней мере, дважды дифференцируемыми функциями времени 厶 т. е.

%о = “(')； Уо = " (%)； % == /з (%)； 1屮=外(力9 = % ~)；9=%(力i

Уравнения (1), однозначно определяющие положение данного твердого тела относительно неподвижной системы отсчета для любого момента времени, называются уравнениями движения свободного твердо^ 20 тела s общем случае его движения, 25*

Первые три из уравнений (1) определяют поступательное движение системы координат 0^ вместе с полюсом О (переносное движение тела). Это движение характеризуется векторами скорости и。и ускорения Wo полюса О. Если эти уравнения движения заданы, то модуль и направление вектора и。，а также и вектора wo, могут быть определены по формулам, выведенным в § 59.

Последние три из уравнений (1) определяют движение тела относительно системы координат 0^ (относительное движение тела), т. е. движение тела вокруг полюса О, который занимает в этой подвижной системе координат неизменное положение. Это относительное сферическое движение таково, что в каждый данный момент существует проходящая через полюс О мгновенная ось вращения ОР, вокруг которой тело вращается с некоторой мгновенной угловой скоростью ① и с мгновенным угловым ускорением е. Если последние три из уравнений (1) заданы, то модуль и направление вектора ①，а также и вектора е могут быть определены по формулам, выведенным в § 75.

Отсюда мы приходим к следующему заключению: s общем случае движения при одновременном изменении всех шести обобщенных координат хо, уо, Z。，屮，б и <рдвижение свободного твердого тела слагается из поступательного движения, определяемого движением полюса О, и движения вокруг этого полюса О.

Такой вывод можно получить и из чисто геометрических соображений. Для этого докажем следующую теорему: всякое перемещение свободного твердого тела из одного положения s другое можно осуществить поступательным перемещением, равным перемещению полюса О, и одним поворотом тела вокруг некоторой оси, проходящей через этот полюс. Доказательство этой теоремы легко получить из рассмотрения рис. 249.

Предположим, что оси Ox', Oyf и Oz‘, неизменно связанные с телом, совпадали сначала с осями Oxxyz. Прежде всего переместим эти оси, не меняя их направления, так, чтобы начало совпало с полюсом О, а затем повернем вокруг некоторой оси, проходящей через этот полюс (по теореме Эйлера——Даламбера это всегда возможно), до совпадения с тем положением, которое изображено на рис. 249. Вместе с осями и тело совершит поступательное перемещение и поворот.

Доказанная теорема справедлива и для конечных и для бесконечно малых перемещений. Отсюда вытекает сделанный ранее вывод о разложении движения свободного твердого тела в общем случае на переносное поступательное движение вместе с полюсом О и относительное сферическое движение вокруг мгновенной оси вращения ОР, проходящей через этот полюс.

Мгновенная ось вращения ОР изменяет свое положение при движении тела, оставляя след в виде конуса, и в движущемся теле и в поступательно двиисущейся системе отсчета О；^. Эти два конуса имеют

общую вершину О и в каждый данный момент касаются образующей, по которой направлен вектор мгновенной угловой скорости О).

Отсюда можно сделать вывод, что движение свободного твердого тела s общем случае можно представить как качение без скольжения одного конуса, неизменно связанного с этим телом, по другому, который движется поступательно.

2. Скорости точек свободного твердого тела в общем случае его движения. Напом-

вдоль общей

Рис. 250

ним, что радиус-вектор Гм, определяющий положение какой-либо точки М тела по отношению к неподвижной системе отсчета O、xyz, можно двух радиусов-векторов (рис.

представить 250)

в виде векторной суммы

ГМ^ ГО~^ Р”

(2)

Радиус-вектор г0 определяет положение полюса О по отношению к неподвижной системе отсчета O^xyz, а радиус-вектор рм определяет положение точки М по отношению к подвижной системе осей Ox'y'z'. Так как расстояния между точками твердого тела не меняются, то радиус- вектор рм сохраняет свой модуль и изменяется только по направлению.

Припоминая, что скорость точки М всегда равна производной от радиуса-вектора г^ этой точки по времени, и используя векторное равенство (2), получим после его дифференцирования по времени /

гм = го + Рлг

(3)

Здесь

а производная рм может быть определена по формуле (4, § 75)

так как радиус-вектор рм изменяется только по направлению.

Подставляя значения производных г° и рм в векторное равенство (3), получим окончательно

4=%+^Х?м，(4)

ИЛИ

R=W+%，(#)

где do =^х Рм-

Таким образом, скорость какой-либо точки М свободного твердого тела s общем случае равна векторной сумме двух скоростей', поступательной скорости, равной скорости v0 полюса О тела, и вращательной скорости 0мо точки М, получаемой от вращательного движения тела вокруг полюса О, т. е. вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через этот полюс.

Докажем следующую теорему: при любом движении свободного твердого тела проекции скоростей каких-либо двух его точек на направление прямой, соединяющей эти точки, алгебраически равны между собой (см. рис. 250).

Действительно, проектируя векторное равенство (4‘) на направление радиуса-вектора рм, получим

пр・ом 伉)=пР-ом 伉 + ^мо)= nP-OM (名)+ пР-омЧо)-

Но вектор vM0 пер пендикул ярен к радиусу-вектору рм, поэтому его проекция на направление радиуса-вектора рм равна нулю. Окончательно получаем, что

пр・ом®м)= пр.ом&)，(5)

е. проекции векторов ^乂 и v0 на направление прямой ОМ равны между собой.

Независимость вектора мгновенной угловой скорости тела от выбора полюса. Используя формулу (4), докажем, что ни модуль,ни направление вектора мгновенной угловой скорости ⑴ относительного сферического

движения тела вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через по- люс, не зависят от выбора этого полюса.

Выберем в теле два полюса Он。'，и соответствующие им мгновен

Пусть точка М является произвольной точкой тела. Тогда, пользуясь формулой (4), можно записать

% =石 + ①x 0m\

万м =Zr +^1 х区仇■

% = ^ог十①工义O'O.

Сравнивая первое равенство со вторым и подставляя в полученный результат равенство третье, получим

%,十①工X °'。十①义°M = v0,十％ x OfM.

Отбрасывая одинаковые слагаемые в обеих частях этого равенства, получим

o)i X О'О + о)义 ОМ =①丄 х OfM, или

«ГX ОМ =G X О'М — & X "ё・

Так как О'。= —。0〔 то

х ОМ =瓦 X 女 +6 х "^ =右1 х 灰'十 0m)=@ X 0М,

или(⑴-⑴])X оm = 0.

Это равенство справедливо при любом значении ОМ, а поэтому ⑴一^=0, или

Ц)1 = Ц), что и требовалось доказать.

Следовательно, мы можем представить скорость любой точки тела с одинаковым правом следующим образом:

%м =W + ^X ОМ>

0M = %，+ © X О'М,

где о。и 绮，а также ОМ и О'М, конечно, различны.

Дифференцируя по времени равенство ①尸 ⑴，получаем

d 5did 5did wd wили 纟=%или 纟=%

d 5di

d 5di

d w

d w

или 纟=%

или 纟=%

т. e. вектор мгновенного углового ускорения твердого тела также не зависит от выбора полюса,

Мгновенная винтовая ось и мгновенное винтовое движение. Основными кинематическими характеристиками произвольного движения свободного твердого тела, как мы знаем, являются его поступательная скорость vG, равная скорости произвольно выбранного полюса О, мгновенная угловая скорость ⑴ и мгновенное угловое ускорение е.

Поставим себе целью отыскать такой полюс А, чтобы скорость его Ул и мгновенная угловая скорость ⑴ тела были параллельны. Для этого проведем через пол юс. О плоскость Пъ перпендикулярную к вектору о), и разложим вектор и。 на две составляющие, из которых одна (и0 совпадает с направлением вектора ①，а другая (и?) перпендикулярна к нему (рис. 252). При этом вектор и2 расположен в пересечении плоскости 〃i с плоскостью 〃2, проходящей через векторы v0 и ⑴.

Восставим из точки О или из какой-нибудь другой точки, лежащей на мгновенной оси вращения ОР, перпендикуляр к плоскости /72 и отложим на этом перпендикуляре от точки О отрезок ОД, равный

Тогда скорость точки А вследствие поступательного движения тела со скоростью с? и вращательного вокруг мгновенной оси вращения ОР с мгновенной угловой скоростью ⑴ будет равна

04—S + 3 X。4 = 02 + ^ag *

Легко видеть, что скорости % и 0丛。направлены по одной прямой в противоположные стороны, причем

а поэтому скорость 以* точки / от указанных двух движений тела равна нулю и, следовательно, точка Л будет обладать лишь скоростью 04 = S, направленной вдоль оси L, параллельной в данный момент мгновенной оси вращения 0P или вектору <о. Очевидно, что все точки оси L будут обладать тем же свойством, что и точка А.

Отсюда следует, что данное кинематическое состояние тела может быть представлено или совокупностью мгновенных векторов v0 и <о, образующих между собой некоторый угол а^90°, или совокупностыа коллинеарных мгновенных векторов 以 и о). Мы можем поэтому произвольное движение свободного твердого тела в каждый момент времени представить разложенным на поступательное движение со скоростью va , направленной вдоль некоторой оси А, и на вращательное движение вокруг этой оси с угловой скоростью <0. Эта совокупность поступательного движения и вращательного вокруг оси А, параллельной на-

правлению поступательного движения, называется мгновенным винтовым движением. При этом ось L, вокруг которой тело в данный момент времени поворачивается и параллельно которой оно перемещается поступательно, называется мгновенной осью вращения-скольже- кия, или мгновенной винтовой осью.

Таким образом, произвольное движение свободного твердого тела можно рассматривать как мгновенное винтовое движение около мгновенной винтовой оси.

При движении свободного твердого тела мгновенная винтовая ось меняет свое положение и в неподвижной системе отсчета и относительно этого тела. Вследствие непрерывности движения геометрическое место мгновенных винтовых осей, отнесенное как к неподвижной системе отсчета, так и к движущемуся телу, будет представлять собой линейчатую поверхность.

Геометрическое место мгновенных винтовых осей, отнесенное к движущемуся телу, будет подвижным аксоидом. Геометрическое место этих же осей, отнесенное к неподвижной системе отсчета, будет представлять собой неподвижный аксоид. Эти аксоиды в каждый момент движения тела будут касаться друг друга по общей образующей, являющейся для данного момента мгновенной винтовой осью.

Таким образом, в самом общем случае движение свободного твердого тела можно осуществить посредством качения со скольжением Вдоль мгновенной винтовой оси подвижного аксоида, неизменно связанного с движущимся телом, по неподвижному аксоиду.

Ускорение точек свободного твердого тела в общем случае его движения. Для определения ускорений точек свободного твердого тела в общем случае его движения продифференцируем векторное равенство (4) по времени. Тогда получим

0M = % + ① * Рм + ① * Рас(6‘)

Так как

% = % %= ©О；

Рм =⑴ X Рм = VMO，

то после подстановки этих значений в равенство (6‘)，получим

風=砲+^X^十卷Х^о.(6)

Сравнивая полученное выражение с равенством (15, § 75), мы приходим к заключению, что сумма е х ^м+^ X vMo представляет собой ту

часть полного ускорения Wm, которая обусловлена вращательным движением свободного твердого тела вокруг полюса О. Будем поэтому сумму

員十百Х“о=%。(7)

называть вращательным ускорением.

Формулу (6) теперь можно сокращенно представить в виде

wM = w0+wM0.(8)

Таким образом, ускорение какой-либо точки М. свободного твердого тела в общем случае равно векторной сумме двух ускорений: ускорения поступательного, равного ускорению w0 полюса О тела, и вращательного ускорения wmo точки _М, получаемого от вращательного движения тела вокруг полюса О, т. е. вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через этот полюс.

Г ла в а XIV

СОСТАВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

§ 77. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ В СЛУЧАЕ,КОГДА ПЕРЕНОСНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ ПРОИЗВОЛЬНЫМ

В главе XI уже было рассмотрено составное движение точки и доказаны теоремы сложения скоростей и сложения ускорений для того частного случая, когда переносное движение, т. е. движение подвижной

системы отсчета, является поступательным. Сохраняя обозначения и терминологию главы XI и пользуясь изложенной в главе XIII ки-

нематикои твердого тела, докажем теперь теоремы сложения скоростей и сложения ускорения для случая, когда переносное движение является произвольным.

Пусть некоторая точка М. совершает движение по отношению к системе отсчета Oxyz, которая сама движется произвольным образом по отношению к неподвижной системе отсчета О±^ (рис. 253). Положение подвижной системы отсчета может быть определено, если

задать положение точки О радиусом-вектором г0, проведенным из на* чала неподвижной системы отсчета, и направления единичных векторов i, /,内 подвижных осей Ох, Оу и Oz. Произвольное переносное движение подвижной системы отсчета слагается из поступательного движения со скоростью Vo точки О и движения вокруг мгновенной оси вращения ОР, проходящей через точку О, с мгновенной угловой ско* ростью о)е・ Вследствие переносного движения подвижной системы отсчета радиус-вектор г0 и направления единичных векторов i, /,内 изменяются. Если векторы「о，詳 /, k заданы в функции времени, то переносное движение подвижной системы отсчета вполне определено.

Положение точки М по отношению к подвижной системе отсчета можно определить радиусом-вектором рм

где координаты %, у, z точки М изменяются с течением времени вследствие движения точки М относительно подвижной системы отсчета^ Если радиус-вектор рм задан в функции времени, то и относительное движение точки Л4, т. е. движение этой точки относительно подвижной системы отсчета, задано.

Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета Oi^C может быть определено радиусом-вектором г^. Из рис. 253 видно, что

Гм =「0+рМ = Го + %» + У/ + 2 3 (1>

Если относительные координаты х, у, z точки М. и векторы г0 ,厶 /,内 определены в функции времени, то слагающееся из относительного и переносного движений составное движение точки М, т. е. движение этой точки по^отношению к неподвижной системе отсчета, также надо считать заданным. 《

Скорость составного движения точки М, или абсолютная скорость этой точки, равна, очевидно, производной от радиуса-вектора гм точки М. по времени t

Поэтому, дифференцируя равенство (1) по времени 力 получим

+ %+ %d%d%\- xi ~\~ у j -\- zk.\- xi ~\~ у j -\- zk.(2)(2)

+ %

+ %

d%

d%

\- xi ~\~ у j -\- zk.

\- xi ~\~ у j -\- zk.

(2)

(2)

Разобьем слагаемые в правой части этого равенства на две группы по следующему признаку.

К первой группе отнесем те слагаемые, которые содержат производные только от относительных координат %, у и z, а ко второй ——те слагаемые, которые содержат производные от векторов r0, i, /, k, т. е. от величин, изменяющихся только вследствие переносного движения подвижной системы отсчета

(3)(3)Ve^r0+ XVe^r0+ X■ d /. d k■ d /. d kvr = aJ+ 9/ + Z忌

(3)

(3)

Ve^r0+ X

Ve^r0+ X

■ d /. d k

■ d /. d k

(4)

Каждая из групп слагаемых, обозначенных через vr и %, представляет собой, по крайней мере, по размерности некоторую скорость. Выясним физический смысл скоростей vr и %.

Скорость и「, как это следует из равенства (3), вычисляется в предположении, что изменяются только относительные координаты %, у, г точки М, но векторы r0J , /,内 остаются постоянными, т. е. подвижная система отсчета Oxyz как бы условно считается неподвижной. Поэтому скорость vr представляет собой относительную скорость точки М.

Скорость ve вычисляется так, как будто бы точка М не двигалась относительно подвижной системы отсчета, так как производные %, у, z в равенство (4) не входят. Поэтому скорость ve представляет собой переносную скорость точки М.

Итак,

(5)(5)% = % + %

(5)

(5)

Это. равенство выражает теорему сложения скоростей в случае, ■когда переносное движение является произвольным: абсолютная скорость точки М. равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки. •

Отсюда мы видим, что абсолютная скорость точки М. в случае, когда переносное движение является произвольным, определяется так же, как и при поступательном переносном движении (см. гл. XI).

§78. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ УСКОРЕНИЙ В СЛУЧАЕ,

КОГДА ПЕРЕНОСНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ ПРОИЗВОЛЬНЫМ

Ускорение составного движения точки М, или абсолютное ускорение этой точки, равно, очевидно, производной от абсолютной скорости точки М по времени f

Поэтому, дифференцируя равенство (2, § 77) по времени, получим

wa = r0++ У + z H

+ xi + yj+zk + 2(x-^r + У-^г + гЦ^. (D

Разделим слагаемые правой части этого равенства на три группы.

К первой группе отнесем слагаемые, содержащие только производные от относительных координат 居 у и z, но не содержащие производных от векторов r0 , i, /, k, т. е.

3r = xi + у j + z h.(2)

Ко второй группе отнесем слагаемые, которые содержат только производные от векторов r0 , i, /, ^, но не содержащие производных от относительных координат х, у, z, т. е.

We = ro + X 可-+ У + Z •(3)

Осталась еще одна группа слагаемых, которые не могли быть отнесены ни к первой, ни ко второй группе, так как они содержат производные от всех переменных %, у, z, i, /, k. Обозначим эту группу слагаемых через wK :

畋=2 (х 4b + 9 % + Z 备).(4)

Каждая из выделенных групп представляет собой, по крайней мере по размерности, некоторое ускорение. Выясним физический смысл всех трех ускорений: wr , we . wK ,

Ускорение wr , как это видно из равенства (2), вычисляется так, как если бы относительные координаты %, у, z изменялись с течением времени, а векторы г。, i, /, ^ оставались неизменными, т. е. подвижная система отсчета Oxyz как бы покоилась, а точка М. двигалась. Поэтому ускорение wr представляет собой относительное ускорение точки Л4. Так как ускорение (и скорость) относительного движения вычисляется в предположении, что подвижная система отсчета находится в покое, то для определения относительного ускорения (и скорости) можно пользоваться всеми правилами, изложенными ранее в кинематике точки.

Ускорение we , как это видно из равенства (3), вычисляется в предположении, что сама точка М. покоится по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz (x=const, y=const, z=const) и перемещается

вместе с этой системой отсчета по отношению к неподвижной системе отсчета 。止田匚. Поэтому ускорение we представляет собой переносное ускорение точки М. Так как подвижная система отсчета движется в общем случае как свободное твердое тело, то ускорение (и скорость) переносного движения вычисляется по правилам, изложенным в кинематике свободного твердого тела (см. гл. XIII).

Третья группа слагаемых определяет ускорение 吗，которое не может быть отнесено ни к относительному ускорению 叫，так как со- di dj dk

держит в своем выражении производные^,号，石，ни к переносному ускорению 叫，так как содержит в своем выражении производные %, у, z.

Преобразуем правую часть равенства (4), припомнив, что

Подставляя эти значения производных в равенство (4), получим

wK = 2(шеХх1 + <»eXy j + ^eXz 6),

или

侬к = 2 О)е X (х^ + У j + ^ ^)-

Здесь вектор xi+yj+zk есть относительная скорость vr точки М, поэтому

或=2久乂团.(5)

Ускорение wK называют ускорением Кориолиса^. Ввиду того что ускорение Кориолиса появляется в случае вращения подвижной системы отсчета, его называют еще поворотным ускорением.

С физической точки зрения появление поворотного ускорения точки объясняется взаимным влиянием переносного и относительного движений.

Итак, поворотное ускорение точки равно по модулю и направлению удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки.

Равенство (1), которое теперь можно сокращенно записать в виде

wa = we + wr + 叫，(6)

* Густав Кориолис —— французский ученый, живший в первой половине XIX в. (1792—1843).

представляет теорему сложения ускорений в случае, когда переносное движение является произвольным: абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного, относительного и поворотного ускорений. Эту теорему часто называют теоремой Кориолиса.

Из формулы (5) следует, что модуль поворотного ускорения будет

⑺⑺叫=2久0阔口 /

⑺

⑺

где а — угол между вектором 久 и вектором vr. Чтобы определить направление поворотного ускорения шк, нужно мысленно перенести

вектор 久 в точку Л1 и руководствоваться правилом векторной алгебры. Согласно этому правилу, вектор шк нужно направлять перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами с% и 0「，и так, чтобы, смотря

с конца вектора 叫，наблюдатель мог видеть кратчайший поворот от(% к vr происходящим против движения часовой стрелки (рис. 254).

Для определения направления wK можно также пользоваться следующим правилом Н. Е. Жуковского: чтобы полупить направление поворотного ускорения шк, достаточно составляющую и】 относительной скорости 0r точки Л4, перпендикулярную к вектору ^е, повернуть (в плоскости, перпендикулярной к вектору ⑴，&〃 прямой угол вокруг точки М. в направлении переносного вращения (рис. 254).

Если переносное движение подвижной систе

мы отсчета есть поступательное движение, то о)^=0 и поэтому поворотное ускорение ку^ точки также равно нулю. Поворотное ускорение равно, очевидно, нулю и в том случае, когда о)е в данный момент времени обращается в нуль.

Кроме того, поворотное ускорение точки может, очевидно, обращать

ся в нуль, если:

вектор относительной скорости vr точки параллелен вектору уг

ловой скорости о)е переносного вращения, т. е относительное движение точки происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения;

точка не имеет движения относительно подвижной системы отсчета или относительная скорость vr точки в данный момент времени равна нулю (с尸0).

§79. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Чаще всего в задачах на определение абсолютного ускорения точки Л4 в ее составном движении встречается случай, когда переносное движение является вращением вокруг некоторой неподвижной оси. Решение этих задач сводится к определению векторов шг,侬©，wk и нахождению их векторной суммы. Для определения ускорений 侬八 we и wK необходимо знать положение движущейся точки М на ее относительной траектории и относительную скорость vr этой точки, а также угловую скорость 曳 и угловое ускорение % переносного вращения. Если векторы %,久 и ее не заданы, то их нужно предварительно определить из условий решаемой задачи.

Затем следует изобразить положение движущейся точки М. в рассматриваемый момент времени и построить векторы vr и ⑴个

Для определения относительного ускорения wr точки М. следует мысленно остановить вращение подвижной системы отсчета и подсчитать ускорение точки в ее относительном движении, пользуясь формулами главы XIII. Если относительное движение точки М задано коор- инатным способом, то vr и wr вычисляются по формулам § 59. Если же нам известна траектория криволинейного относительного движения точки М, то wr будет определяться как векторная сумма касательной и нормальной составляющих ⑪丿 и 侬/\ которые вычисляются по формулам § 60, т. е.

=э ——-；Wn = ,*

广 dt r Pr

где a — радиус кривизны относительной траектории точки М.

Для определения переносного ускорения we точки М. надо вычислить абсолютное ускорение той неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М. При этом we будет определяться как векторная сумма касательной и нормальной составляющих 侬J и 侬/, которые вычисляются по формулам § 65, т. е.

纥=力％； 吃尸力%.

где Л ——расстояние точки М. от оси вращения в рассматриваемый момент времени.

Поворотное ускорение wK точки М. определяется по формулам (5 и 7, § 78)._ _ _

После вычисления векторов 侬「, we и wK их надо изобразить на чертеже.

Абсолютное ускорение wa точки М определяется по формуле (6, § 78), которая, очевидно, примет теперь следующий вид:

或Н叱+逾十呼+殴+近.⑴

В общем случае, когда векторы 叫=侬； +^л, wr=^w^ 4-ш/ и wK не взаимно перпендикулярны и не направлены по одной прямой и, следовательно, сумму входящих в правую часть равенства (1) векторов трудно найти геометрически, следует для определения ускорения wa применить метод проекций. Для этого необходимо построить прямоугольную систему осей Mxyz с началом в точке М и вычислить проекции всех слагаемых векторов we, wr и wK на эти оси. Тогда

wax = wex + ④泰 + 就* + 3 詳 + WKX-,

% = 3% + 吗 + -Wry + 呜 + 叫 у；(2)

9az = 3；z + Wez + 9；z + 9；z + 3g ，

Зная 屮3 way и waz, находим модуль абсолютного ускорения wa точки М

^a = V Wax + Way + 唸^a = V Wax + Way + 唸(3)(3)

^a = V Wax + Way + 唸

^a = V Wax + Way + 唸

(3)

(3)

и направляющие косинусы вектора wa с выбранными осями координат

(4)

Задача 66. Ползун М движется вдоль прямолинейной кулисы ОА от О к Л с постоянной скоростью 0r=〃，а сама кулиса равномерно вращается вокруг оси О против движения часовой стрелки с угловой скоростью ①(рис. 255). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение ползуна М в тот момент, когда OM^l,

Решение. Движение ползуна М будем рассматривать как составное, в котором движение ползуна вдоль кулисы является относи-

тельным движением, а вращательное движение кулисы — переносным.

Поэтому относительная скорость vr ползуна равна заданной величине т. е.■

Переносная скорость ve ползуна М равна той точке кулисы, с которой в данный момент совпадает ползун М, т. е.

% = со X ОМ. или % =⑴• ОМ = о）/;

при этом вектор ve направлен перпендикулярно к кулисе О А.

Складывая геометрически скорости и「 и ^, найдем абсолютную скорость va ползуна М

% = 〃 + to X ОЛ4.

Так как вектор va есть диагональ прямоугольника, построенного на векторах 0r и %，то модуль искомой абсолютной скорости % ползуна будет равен

% = ]Л 朮 + * =丿冰+ /2<°2 •

Относительное ускорение wr ползуна М в данном случае равно нулю （叫=0）, так как ползун М. движется вдоль кулисы равномерно и прямолинейно.

Так как переносное движение есть равномерное вращение, то переносное ускорение we ползуна Л4, равное ускорению той точки кулисы,

с которой в данный момент совпадает ползун Л4, равно центростремительному ускорению и направлено к точке О, т. е.

We ~ — О)2 •。也；

吗=0)2.0Д4 = и#/

Поворотное ускорение wK ползуна легко найти по формуле

叫=2 to X 〃；

при этом вектор wK перпендикулярен одновременно и к угловой скорости (оик относительной скорости и и ориентирован так, как показано на рис. 255. Замечая, что вектор ⑴ перпендикулярен к вектору 〃, получим для модуля вектора wK следующее значение:

叫=2

Окончательно для абсолютного ускорения wa ползуна М будем иметь

侬а = — 0)2 0Д4 十 2 О) X 儿

Так как вектор wa есть диагональ прямоугольника, построенного на векторах we и 叫，то модуль искомого абсолютного ускорения wa ползуна будет равен

⑪а = J冠+威=]/%4/2 + 4 ①2〃2 .

Полагая, что l=utf найдем

Уа — U ]Л 1 + ⑴2 产；

侬а = S^Md + (О2/2.

Задача 67. Тело движется вдоль меридиана с юга на север поступательно с постоянной по модулю скоростью %=〃 (рис. 256). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение тела, когда оно находится в северном полушарии на широте 屮,предполагая, что угловая скорость Земли постоянна и равна о). Радиус Земли равен R.

Решение. Пренебрегая размерами тела, рассматриваем его как точку М.

Так как Земля вращается с запада на восток, то вектор угловой скорости ш Земли будет направлен по оси Земли с юга на север.

Движение точки М. будем рассматривать как составное, в котором движение точки по поверхности Земли является относительным движением, а вращательное движение Земли — переносным движением. Поэтому относительная скорость vr точки М. равна заданной величине 〃，т. е.

Рис. 256

Переносная скорость ve точки М равна скорости той точки поверхности Земли, с которой в данный момент совпадает точка М, т. е.

Z

при этом модуль вектора ve равен*

ve = МО1-ш — jR(Л cos ?, где МО】 一 радиус параллели.

Для определения абсолютной скорости va точки построим векторы vr и ve (рис. 256, а) и сложим их геометрически. Тогда

Следовательно, модуль абсолютной скорости точки М. может быть определен из следующего равенства:

va = ~\f и1R2 cos2 © .

Относительное ускорение wr точки М. направлено к центру Земли, так как точка М движется по меридиану равномерно; оно по модулю равно

wr ==—・

Переносное ускорение we точки М направлено по радиусу параллели к оси вращения Земли; оно может быть определено по формуле

we = МО1'^ = R to®cos?.

Направление поворотного ускорения wK точки М. находим по правилу векторного произведения. Так как

wK = 2^Xvr = 2^X и,

то поворотное ускорение wK перпендикулярно к плоскости, проходящей через векторы ⑴ и 0r. Следовательно, вектор wK направлен по касательной к параллели на запад.

Модуль поворотного ускорения легко вычислить, имея в виду, что угол между векторами ⑴ и с「 равен 屮.Следовательно,

侬к = 2 to 〃sin у.

Для определения абсолютного ускорения wa точки М. построим пучок векторов 叫，wr и wK （рис. 256, б） и сложим их геометрически. Тогда

wa^we + wr + 叫.

Проектируя это векторное равенство на оси Ох, Оу и Oz, направленные как указано на рис. 256, 6, получим проекции вектора wa на эти оси:

wax = wex + wrx + wKX = 0 + 0 + 2%（osE 屮=2〃（о sin ?;

У/ 炉\

9” =叫у+吗у+©ку = —R⑴28s屮一-—COSCf）+ 0 = —（7? 0）2 + 五）cos 屮；

、d以2

侬口2 =+ ^гг + wKZ = Q —sin ср 4- 0 = — — sin СР.

Таким образом, зная waxl way и waz, получим модуль искомого абсолютного ускорения wa точки М

吗=М 吗х+ Way+ ^аг =

4〃2炉+ 裁）sir?屮 +（R 0）2 + 得『COS2CP .

По найденным трем проекциям абсолютного ускорения wa нетрудно

определить и направление вектора wa.

Задача 68. Полое кольцо радиуса г жестко соединено с валом 4В и вращается вокруг оси этого вала, расположенной в плоскости кольца и отстоящей от центра кольца на расстоянии 2几 Внутри кольца

движется жидкость в направлении, указанном на рис. 257 стрелкой, с постоянной по модулю скоростью и「=и. Вал вращается по направлению движения часовой стрелки, если смотреть по оси вала от А к В. Определить модули абсолютных ускорений частиц жидкости, расположенных в точках Л 2, 3 и 4, если угловая скорость вращения вала постоянная и равна ш.

Решение. По условию задачи каждая частица

жидкости совершает состав

ное движение, складываю-рис< 257

щееся из переносного вращательного движения кольца вокруг оси вала АВ и относительного движения частицы жидкости по отношению к кольцу.

Так как переносное движение является вращательным, то возникает поворотное ускорение wK и абсолютное ускорение частицы должно находиться из равенства

©а = ©е + 侬г + ©6

Определим каждое слагаемое правой части этого векторного равенства в отдельности.

В рассматриваемом случае переносное движение представляет собой равномерное вращение (<о=const) вокруг неподвижной оси вала АВ. Поэтому переносное ускорение we каждой частицы жидкости будет равно только нормальному ускорению

we —绥

и, следовательно, будет направлено по радиусу вращения частицы вокруг оси вала АВ. Модуль переносного ускорения we каждой частицы жидкости зависит от ее кратчайшего расстояния до оси вала АВ.

Так как относительная скорость с「=〃 постоянна по модулю, то относительное ускорение wr каждой частицы жидкости будет равно только нормальному ускорению

Wr = 9；

и, следовательно, будет направлено к центру кольца. При этом модуль относительного ускорения wr каждой частицы жидкости будет равен

Поворотное ускорение wK будет определяться по формуле

叫=2 з X % = 2 (О X

При этом вектор wK пер пен ди ку л ярен к плоскости кольца, а его модуль зависит от выбора частицы жидкости.

Рассмотрим различные точки кольца.

Для точки Л В этом случае будем иметь

We — We = Ш2 Г

При этом поворотное ускорение wK равно нулю, так как в точке первой относительная скорость vr частицы жидкости параллельна угловой скорости(о переносного вращения. Поэтому для определения абсолютного ускорения wa этой частицы получаем формулу

wa-=we + wr.

Так как векторы we и wr направлены по одной прямой в противоположные стороны, то модуль вектора wa будет равен

wa = \we + wr \ = we — Wr \ = <02r —

Для точек 2 и 4. В этом случае

©е = 9? = 2Г 0)2；

Поворотное ускорение по модулю и по направлению равно

wK = 2(л X и,

но так как во второй и в четвертой точках относительная скорость %= ~и частиц жидкости перпендикулярна угловой скорости о)переносного вращения, то модуль вектора wK будет равен

叫=2

При этом вектор wK во второй точке перпендикулярен к плоскости кольца и направлен из-за чертежа, а в четвертой точке этот вектор также пер пенди к ул я р ен к плоскости кольца, но направлен на чертеж.

Так как ускорения ш^, wr и wK взаимно перпендикулярны, то во второй и четвертой точках модуль абсолютного ускорения wa частицы жидкости равен

wa = у 党 + 吒 + 吗=j/"4r2(i)4+ 旨 + 4оЛ? •

Для точки 3. Аналогично первой точке для третьей точки имеем

侬е = 3 0)侬广=丁 ； wK = О, а также

Wa = we + wr.

Но так как векторы we и wr направлены по одной прямой в одну сторону, то модуль вектора wa будет равен —■—

侬а = I 侬е + ©/ = ©е 十 侬н 3 0)2 Г +

Глава X V

СОСТАВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 80. ПОНЯТИЕ СОСТАВНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

В ряде случаев движение твердого тела относительно системы отсчета, условно принимаемой за неподвижную, удобно рассматривать как движение составное, слагающееся из двух движений: относительного, т. е. движения тела по отношению к некоторой подвижной системе отсчета, и переносного — движения тела вместе с подвижной системой отсчета по отношению к неподвижной.

28 Н. Ф. Сахарный

поступательно со скоростью и2поступательно со скоростью и2

поступательно со скоростью и2

поступательно со скоростью и2

В настоящей главе рассматривается задача, аналогичная той, которая была рассмотрена в предыдущей главе, а именно: зная относительное и переносное движения твердого тела, найти его составное движение. При этом нужно иметь в виду, что содержание этой главы имеет целью найти для данного момента распределение скоростей точек тела, соответствующее составному движению при различных частных предположениях о характере переносного и относительного движений в тот же момент.

В зависимости от характера переносного и относительного движений твердого тела задача определения мгновенного распределения скоростей точек тела, т. е. определения мгновенного составного движения этого тела, сводится к задаче сложения или поступательных движений, или вращательных движений, или вращательного и поступательного движений.

Рассмотрим сначала сложение поступательных движений твердого тела.

§81. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙТВЕРДОГО ТЕЛА

Пусть твердое тело движется поступательно со скоростью 内 по отношению к системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь движется

по отношению к неподвижной системе отсчета。莒田二(рис. 258). Требуется определить абсолютное, или составное, движение тела, т. е. движение этого тела по отношению к системе отсчета

Так как относительное движение тела ——поступательное, то относительные скорости vr всех точек тела одинаковы и равны 九 т. е.

Переносные скорости ve всех точек тела также равны между собой, так как переносное движение — поступательное и, следовательно,

Но абсолютная скорость va какой-нибудь точки М тела по теореме сложения скоростей определяется' равенством

Отсюда следует, что%sОтсюда следует, что%s（1）（1）

Отсюда следует, что

%s

Отсюда следует, что

%s

（1）

（1）

т. е. абсолютные скорости всех точек тела равны между собой.

Таким образом, мы приходим к следующей теореме: если относительное и переносное движения являются поступательными, то составное движение тела есть также поступательное, причем скорость этого составного поступательного движения равна геометрической сумме скоростей относительного и переносного движений.

Если тело одновременно имеет и поступательных движений со скоростями Си 02，・一，0以,то, складывая сначала две скорости, потом полученную скорость с третьей и т. д., можно показать, что составное движение будет также поступательным, а скорость любой точки тела будет равна:

% == S + 02 +…+ % = £ %% == S + 02 +…+ % = £ %⑵⑵

% == S + 02 +…+ % = £ %

% == S + 02 +…+ % = £ %

⑵

⑵

оси Oz будетоси Oz будетдвижение самой оси Оздвижение самой оси Оз

оси Oz будет

оси Oz будет

движение самой оси Оз

движение самой оси Оз

§ 82. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ пересекающихся осей

Пусть какое-либо твердое тело вращается в данный момент вокруг некоторой оси Oz с угловой скоростью ⑴】(рис. 259), а ось Oz в свою очередь вращается вместе с телом вокруг пересекающейся с ней в точ

ке О неподвижной оси OQ с угловой скоростью о)2-

Вращательное движение тела вокруг подвижной

относительным движением, а вращательное вместе с телом вокруг неподвижной оси ОС— переносным движением. В результате этих двух вращательных движений тело получает относительно неподвижной системы отсчета 。淋 какое-то мгновенное составное движение, которое и требуется определить.

Точка О, в которой пересекаются оси Oz и ОС, остается при движении тела неподвижной. Следовательно, с кинематической точки зрения задача о движении твердого тела вокруг пересекающихся осей эквивалентна задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки О.

Покажем, что скорость точки А тела, совпадающей с вершиной параллелограмма ОАВС, построенного на векторах a)i и ①之，в данный момент времени равна нулю.

Скорость точки А по теореме о сложении скоростей может быть определена из следующего равенства:

% =叫 X04 + 吗 X o a.

так как точка Л получает от вращения с угловой скоростью относительную скорость vr=^^OA, а от вращения с угловой скоростью ①纟—— переносную скорость ve=^XOA.

Модули скоростей ve и vr одинаковы, так как они равны, очевидно, удвоенным площадям равных треугольников, на которые параллелограмм ОВАС разделяется диагональю. Как легко видеть, по направлению оба эти слагаемые прямо противоположны, т. е. иг=—ve. Поэтому скорость точки Д, так же как и скорость точки О, в данный момент времени равна нулю, а следовательно, прямая ОА в этот момент времени является мгновенной осью вращения ОР тела в его составном движении. Таким образом, составное движение тела есть мгновенное вращение вокруг мгновенной оси ОР, проходящей через точку О.

Определив направление мгновенной оси вращения ОР, найдем теперь мгновенную угловую скорость составного вращения. С этой целью рассмотрим относительную и переносную скорости произвольной точки М. тела; из рис. 259 находим

% =铀 X г； 4 =①2 X г.

Отсюда по теореме о сложении скоростей следует, что абсолютная скорость va точки М определится из равенства

а=五+е=(&十匾)*工(1)

Если обозначить через ① мгновенную угловую скорость тела в его составном движении, т. е. абсолютную угловую скорость этого тела, то абсолютная скорость той же точки Л4 может быть определена из равенства

0=^ХН(2)

Сравнивая соотношения (1) и (2), получим

3 X Г = (& + &) X 匚 или

® —(о1 ——(о2) х г = 0.

Отсюда в силу произвольности радиуса-вектора г следует, что

① 一 0)1 一①2 = 0,

(3)(3)или

(3)

(3)

①=①]+ (О2.

Таким образом, мы приходим к следующей теореме: если твердое тело одновременно участвует в двух вращательных движениях вокруг осей, пересекающихся в одной точке О. то составное движение тела будет мгновенным вращением вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О, причем мгновенная угловая скорость этого вращения равна геометрической сумме составляющих угловых скоростей. Совершенно ясно, что если твердое тело одновременно участвует в любом конечном числе вращений вокруг мгновенных осей, пересекающихся в данной точке О, с угловыми скоростями 叫，ш2> …，①山 то составное движение будет в данный момент также вращением вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О, с мгновенной угловой скоростью

①=①]+ (02 + …% £ 吗. ■ (4)

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей можно осуществить, например, на приборе, изображенном на рис. 260. Вообразим диск радиуса А, вращающийся с угловой скоростью з】вокруг горизонтальной оси О】。?， которая в свою очередь вращается с угловой скоростью о)2 вокруг вертикальной оси. Тогда точка М диска получит согласно вышеизложенному скорость um=sxR, как бы происходя-

Рис.Рис.260260激激щую от вращения точки М вокруг мгновенной оси ОР с угловой скоростью(о=吗十о)2・

Рис.

Рис.

260

260

激

激

Из доказанной теоремы, как мы теперь видим, следует, что угловые скорости подчиняются основному требованию, которо-干j му должна удовлетворять всякая векторная величина, а именно: эти скорости складываются по правилу геометрического сложения. Поэтому угловая скорость тела есть действительно векторная величина. Как было

указано в § 64, вектор скорости поступательного движения тела можно переносить в любую точку этого тела, т. е. скорость поступательного движения есть вектор свободный, вектор же угловой скорости связан с осью вращения и является вектором скользящим.

Задача 69. Коническое колесо радиуса г обегает пять раз в минуту окружность радиуса А=2 г с центром в точке О, причем ось этого колеса проходит через центр окружности (рис. 261). Вычислить угловую скорость ①尸 вращения колеса вокруг его оси и угловую скорость вращения вокруг мгновенной оси.

Решение. Предположим для определенности, что колесо обегает окружность радиуса R против движения часовой стрелки, если смотреть с положительного конца вертикальной оси ОС.

Движение колеса можно рассматривать как составное, слагающееся из относительного вращения вокруг подвижной оси Oz с угловой скоростью ①г и переносного вращения колеса (вместе с его подвижной осью Oz) вокруг неподвижной вертикальной оси OD с угловой скоростью ①е・ Данные два вращения колеса вокруг осей Oz и ОС, пересекающихся в точке О, можно заменить одним вращением вокруг некоторой мгновенной оси с мгновенной угловой скоростью о), определяемой равенством (3):

①=①Г+久.

Вследствие отсутствия скольжения точка Л колеса, так же Как и точка О, будет в данный момент неподвижной по отношению к неподвижной плоскости, на которой происходит качение колеса, и, следо-

вательно, в этот момент образующая ОА есть мгновенная ось вращения ОР колеса.

Из условия задачи находим модуль переносной угловой скорости

лпе—тс5—тс 1

30—30—6сек '

Изобразим эту угловую скорость вектором 久，направленным вдоль оси вращения О匕 и притом так, чтобы, смотря с конца этого вектора, мы видели переносное вращение совершающимся против движения часовой стрелки. Так как с положительного конца оси 6 мы видим это вращение направленным против движения часовой стрелки, то вектор ше нужно отложить по оси О匚 в положительную сторону.

Нетрудно видеть, что при вращении оси Oz вокруг оси ОС против часовой стрелки (если смотреть с п о л ожи тел ь но го конца оси) колесо будет иметь относительное вращение вокруг своей оси Oz по часовой стрелке (если смотреть с положительного конца оси Oz). Следовательно, вектор относительной угловой скорости ⑴尸(модуль которого нам еще не известен) будет направлен по оси Oz в отрицательную сторону.

Вектор абсолютной угловой скорости ш (модуль которого нам также неизвестен) должен быть направлен по мгновенной оси вращения ОР и являться диагональю параллелограмма, построенного на векторах &е и з广 По известным модулю и направлению вектора ше и известным направлениям векторов ⑴尸 и з можно построить только один параллелограмм. Построив этот параллелограмм, из рис. 261 находим

①=久ctg a =久①=久ctg a =久j/R2 二〉2j/R2 二〉2ТС ]/316секТС ]/316сек①产=]/^(02十%①产=]/^(02十%汽 13 сек汽 13 сек

①=久ctg a =久

①=久ctg a =久

j/R2 二〉2

j/R2 二〉2

ТС ]/31

6сек

ТС ]/31

6сек

①产=]/^(02十%

①产=]/^(02十%

汽 1

3 сек

汽 1

3 сек

§ 83. TEOPEMbI О СЛОЖЕНИИ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛАВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

Пусть твердое тело D вращается с угловой скоростью з】вокруг некоторой оси z (рис. 262, а), которая в свою очередь вместе с телом вращается с угловой скоростью ш2 вокруг другой неподвижной оси С, параллельной оси

Движение тела D можно рассматривать относительно неподвижной системы отсчета。泳 как составное, в котором вращение тела D вокруг подвижной оси z является относительным движением, а вра-

щение самой оси z вместе с телом D вокруг неподвижной оси С — переносным движением.

Очевидно, что при этом все точки тела как в относительном, так и в переносном движении остаются в плоскостях, перпендикулярных к осям 2 и С, т. е. в параллельных между собой плоскостях. Поэтому рассматриваемое составное движение тела D является частным случаем плоскопараллельного движения тела и для его определения достаточно рассмотреть движение плоской фигуры (S) (рис. 262, б), являющейся сечением тела плоскостью /7, перпендикулярной к осям 2 и С.

Составное движение плоской фигуры (S) по отношению к неподвижной плоскости П можно, как известно, рассматривать в каждый момент времени как вращательное движение этой плоской фигуры вокруг ее мгновенного центра вращения. При определении положения мгновенного центра вращения плоской фигуры и ее мгновенной угловой скорости могут быть три случая. Разберем последовательно эти три различных случая.

Случай, когда составляющие вращения происходят в одну сторону. Пусть точки Л и В—точки пересечения осей Сиге плоскостью/7. Покажем, что на отрезке АВ (рис. 262, б) существует точка С, абсолютная скорость которой в данный момент равна нулю. В самом деле, скорости игси vec точки С, происходящие от вращений Wj и ш2, бу-

дут, очевидно, прямо противоположны по направлению. По модулю же эти скорости равны

Vrc =о)1・ВС;

%с =①2 * /С

Потребуем, чтобы 勿=veC, т. е.

или

0)2 一 ВС *

При этом условии абсолютная скорость точки С в данный момент равна нулю. То же самое имеет место и для всех точек, лежащих на прямой СР, проходящей через точку С параллельно осям; эта прямая является поэтому мгновенной осью вращения в составном движении.

Для определения мгновенной угловой скорости ① составного движения удобно рассмотреть абсолютную скорость Vbточки В. Скорость Vbможно найти двумя способами: один раз от двух составляющих вращений ①1 и ①2 H второй раз от мгновенного составного вращения с мгновенной угловой скоростью ①.С одной стороны, будем иметь

% = % • ° + ①2 "В =①2sA

vB = ш* СВ.(о-СВ = АВ\АС+СВ »/ АС . 1：(О? ! = М1- 1vB = ш* СВ.(о-СВ = АВ\АС+СВ »/ АС . 1：(О? ! = М1- 1ОтсюдаОтсюдаА с другой стороны:

vB = ш* СВ.

(о-СВ = АВ\

АС+СВ »/ АС . 1

：(О? ! = М1- 1

vB = ш* СВ.

(о-СВ = АВ\

АС+СВ »/ АС . 1

：(О? ! = М1- 1

Отсюда

Отсюда

АВ

или на основании пропорции (1)

3 =①2 ("^ + 1)=叫+①2・

Таким образом, мы приходим к следующей теореме: если тело участвует одновременно 6 двух направленных 6 одну сторону вращениях

27 Н, Ф. Сахарный

вокруг параллельных осей, то его составное движение будет мгновенным вращением с угловой скоростью ①=«)i+①纟，происходящим 6 ту же сторону вокруг мгновенной оси, параллельной данным, и положение которой определяется пропорцией (1).

Случай, когда составляющие вращения происходят в разные сто- рины, а их угловые скорости различны по модулю. Так же, как в пре-

воположны по направлению. Повоположны по направлению. Подыдущем случае, построим плоскость 〃, перпендикулярную к данным параллельным осям z и & и движущуюся в ней плоскую фигуру(З),являющуюся сечением тела этой плоскостью (рис. 263). Допустим для определенности, что ш1>о)2. Тогда, рассуждая, как и в предыдущем случае, найдем, что для точки С, лежащей на продолжении отрезка АВ за большей угловой скоростью о)1( скорости vrc и %, происходящие соответственно от вращений % и ш2, прямо проти- модулю же эти скорости равны

воположны по направлению. По

воположны по направлению. По

% = ^2*ЛС.

Потребуем, чтобы vrC = vec, или

耽• ВС = &)2 • Л Ci，

или

О)О)% АС

О)

О)

т. е. абсолютная скорость точки С, для которой выполняется равенство (3), равна в данный момент нулю. Прямая СР, параллельная ①丄 и Шз и проходящая через точку С, есть мгновенная ось вращения в составном движении. Чтобы определить мгновенную угловую скорость ① составного вращательного движения вокруг мгновенной оси СР, найдем абсолютную скорость vb точки В. Будем иметь

% = со2 • Л В = со • ВС, (4)

откуда

АВ АС —ВС

雁（春■一 1 ）•雁（春■一 1 ）•<о-(о2-^ =(о2—^―

雁（春■一 1 ）•

雁（春■一 1 ）•

Заменяя отношение ^ равным ему отношением 譽 по формуле (3卜 получим

Таким образом, мы приходим к следующей теореме: если тело участвует одновременно в двух вращательных движениях вокруг параллельных осей с угловыми скоростями, не равными л。модулю и направленными 6 разные стороны, то его составное движение будет мгновенным вращением с угловой скоростью ①=о\ — ш2, происходящим 6 сторону вращения с большей угловой скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной данным, 〃 положение которой определяется пропорцией (3).

Случай, когда составляющие вращения происходят в разные стороны, а их угловые скорости равны по модулю (пара вращений). Пусть твердое тело участвует одновременно в двух вращательных движениях вокруг параллельных осей с угловыми скоростями ①^ и ①纟， равными по модулю и противоположными по направлению. Такие два направленные в противоположные стороны вращения вокруг параллельных осей с равными по модулю угловыми скоростями называются парой вращений.

На основании формул (4) и (5), делая переход к пределу (при ①2—%)，мы заключаем, что мгновенная угловая скорость составного движения должна в этом случае равняться нулю, а мгновенная ось вращения составного движения — удаляться в бесконечность.

Ранее (см. § 72, рис. 206) было установлено, что в этом случае плоскопараллельное движение твердого тела является поступательным и, следовательно, скорости всех точек этого тела в данный момент геометрически равны между собой.

Этот вывод можно обосновать и более строгим способом. Пусть расстояние какой-либо точки Л1 (рис. 264) плоской фигуры (S) (или тела)

от начала вектора % будет 厶，а от начала вектора ш2 будет г2- Тогда абсолютная скорость этой точки будет равна

%и = 81 X ^1 + «2 х &•

Но так как ш2=—①】и 厶一r2=ABf то

"^M =苏=Ex (%—%) = Ax AB,

t. e. абсолютная скорость точки M не зависит от положения этой точки, и, следовательно, скорости всех точек тела в данный момент геометрически равны между собой. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае составное движение тела действительно является поступательным.

Очевидно, что абсолютная скорость и произвольной точки тела, или скорость составного поступательного движения этого тела, перпендикулярна к плоскости, определяемой векторами a)i и ш2, так, что наблюдатель, стоящий вдоль вектора и, видит векторы а)г и ш2 направленными против движения часовой стрелки. Модуль этого вектора равен и = g • АВ = 0)! Л,

где й——кратчайшее расстояние между векторами; это расстояние часто называют плечом пары вращений.

Вектор V называется моментом пары вращений; это есть вектор свободный.

Таким образом, мы приходим к следующей теореме: пара вращений эквивалентна поступательному движению тела со скоростью^ равной моменту этой пары.

Если, обратно, дана поступательная скорость и, то она может быть заменена парой вращений, плоскость которой перпендикулярна к вектору и , а плечо Л и модул и угловых скоростей пары удовлетворяют условию

Примером пары вращений может служить движение велосипедной педали DE относительно рамы велосипеда (рис. 265). Педаль велосипеда DE за полный оборот кривошипа АВ вокруг оси А совершает вокруг своей оси В тоже полный оборот, но в противоположную сторону. При этом в любой момент времени угол поворота <рт педали относительно кривошипа АВ равен углу поворота <р2 кривошипа АВ и, следовательно, o)i=—ш2. В результате этих

двух вращений, происходящих вокруг параллельных осей / н8в разные стороны с равными по модулю угловыми скоростями, сама педаль велосипеда совершает поступательное движение со скоростью v=AB^2, равной моменту соответствующей пары вращений.

Объединяя все эти три случая с тем, который мы имели в предыдущем параграфе при сложении вращений вокруг пересекающихся осей, мы видим, что угловые скорости складываются так же, как и параллельные или сходящиеся силы. Аналогия здесь не случайная: сила и угловая скорость представляются векторами различной физической, но одинаковой математической природы, так как оба эти вектора —— скользящие. При доказательстве теорем, относящихся к этому и предыдущему параграфам, было использовано только это одно свойство угловой скорости, поэтому и результаты получены сходные с найденными ранее в статике.

Задача 70. Кривошип III соединяет оси Л и 5 двух зубчатых колес / и 〃，причем зацепление может быть или внешнее, или внутреннее, как показано на рис. 266 и 267. Колесо II остается неподвижным,

а кривошип III вращается вместе с шестерней / вокруг оси 4 с угловой скоростью ①2・ Зная радиусы колес /\ и 尸纟，вычислить для колеса / абсолютную угловую скорость ① и его относительную скорость % по отношению к кривошипу IIL

Решение. 1. Случай, когда зацепление между неподвижной а подвижной шестернями является внешним. Движение подвижной шестерни / относительно неподвижной шестерни II (относительно непод-

вижной системы отсчета) можно рассматривать как составное, в котором вращение кривошипа III вместе с шестерней / вокруг неподвижной оси Л является для шестерни / переносным движением, а вращение шестерни / вокруг своей оси 5 — относительным движением. Так как при составном движении шестерни / происходит качение без скольжения этой шестерни по неподвижной шестерне //, то абсолютная скорость точки Р касания подвижной шестерни / с неподвижной II будет равна нулю. Поэтому ось, проходящая через эту точку и параллельная осям составляющих вращений, будет мгновенной осью вращения составного движения шестерни /. При внешнем зацеплении направление вращения шестерни / вокруг своей оси В совпадает с направлением вращения кривошипа III вместе с шестерней / вокруг неподвижной оси Л ・ При этом составное вращение шестерни вокруг мгновенной оси Р будет направлено в ту же сторону. Следовательно, мы имеем здесь дело с первым случаем сложения вращений вокруг параллельных осей. Поэтому по формулам (1) и (2) получим

⑴=(0] + со2.

Решая эти уравнения, находим

Случай, когда зацепление между неподвижной и подвижной шестернями является внутренним. В этом случае направление вращения шестерни / вокруг своей оси В противоположно направлению вращения кривошипа III вместе с шестерней / вокруг неподвижной оси Л и мгновенная ось составного вращения шестерни / проходит через точку касания Р подвижной шестерни / с неподвижной //. При этом угловые скорости составляющих вращений вокруг параллельных осей Л и 5 различны. Следовательно, мы имеем дело со вторым случаем сложения вращений вокруг параллельных осей. Поэтому модули векторов(о н ①】найдутся по формулам (3) и (5):

(0 £=з 昨一g.

откуда

W =(02 ・

Задача 71. Вокруг центра & может вращаться кривошип 010M на котором закреплены оси трех сцепленных зубчатых колес: /, II и III с радиусами 厶，々，仆=厶・ Колесо I неподвижно. Найти абсолютную угловую скорость колеса ///, если кривошип 0t03 вращается вокруг оси 01 с угловой скоростью 0% (рис, 268).

Решение. Между неподвижным колесом / и подвижным II существует внешнее зацепление. Поэтому рассуждая так же, как и при решении задачи 70, находим угловую скорость шестерни 〃 по отношению к кривошипу по формуле (1)

откуда

Относительная скорость точки сцепления Л колеса III с колесом // одна и та же (по модулю и направлению), независимо от того, принадлежит ли эта точка колесу II или колесу 〃/, т. е.

叫=叫=% ,

или

DT =尸2①2 =r3①8.

Отсюда находим угловую скорость колеса III по отношению к кривошипу О1О3

①3 — ш2 倚—ш1~~ ・Т" = wl«

Движение колеса III относительно неподвижного колеса / можно рассматривать как составное, в котором вращение колеса III вокруг своей оси О3 является относительным движением колеса ///, а вращение кривошипа О/)з вместе с колесом III вокруг неподвижной оси Ог является для колеса /// переносным движением. Так как относительное вращение колеса III происходит в сторону, противоположную стороне его переносного вращения, а угловые скорости этих вращений параллельны и по модулю равны, то относительная и переносная угловые скорости образуют пару вращений. Отсюда следует, что мы имеем дело с третьим случаем сложения двух вращений вокруг параллельных осей. Поэтому абсолютная угловая скорость колеса III равна нулю, т. е.

(о = % — g = to】-со】=О,

а следовательно, составное движение колеса III является поступательным со скоростью

и = G)!*。1。3 = t*>i (^1 + 2 Г2 + ^3)= 2 0)1 (『1 + 厂2)・

§ 84. ТЕОРЕМЫ О СЛОЖЕНИИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГОИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Разберем последовательно три различных случая.

Случай, когда скорость поступательного движения перпендикулярна к оси вращения. Пусть твердое тело одновременно участвует в поступательном движении со скоростью v и вращательном с угловой

Аскоростью з при условии, что

Рис. 269скорость V перпендикулярна к угловой скорости ш (рис.269). Здесь относительное 广движение представляет собой4вращение вокруг оси с угловой скоростью з, а переноса—1? ное — поступательное со скоростью у, перпендикулярной к угловой скорости ш. Для определения составного движения тела вектор поступательной скорости V заменимРис. 269скорость V перпендикулярна к угловой скорости ш (рис.269). Здесь относительное 广движение представляет собой4вращение вокруг оси с угловой скоростью з, а переноса—1? ное — поступательное со скоростью у, перпендикулярной к угловой скорости ш. Для определения составного движения тела вектор поступательной скорости V заменим

Рис. 269

скорость V перпендикулярна к угловой скорости ш (рис.269). Здесь относительное 广движение представляет собой

4вращение вокруг оси с угло

вой скоростью з, а переноса—1? ное — поступательное со ско

ростью у, перпендикулярной к угловой скорости ш. Для определения составного движения тела вектор поступательной скорости V заменим

Рис. 269

скорость V перпендикулярна к угловой скорости ш (рис.269). Здесь относительное 广движение представляет собой

4вращение вокруг оси с угло

вой скоростью з, а переноса—1? ное — поступательное со ско

ростью у, перпендикулярной к угловой скорости ш. Для определения составного движения тела вектор поступательной скорости V заменим

парой вращений (①。——①，， расположенной в плоскости, перпендикулярной к вектору, V причем ①】 равна угловой скорости ①. Из формулы v=^Ji вытекает, что при этом плечо Л пары (а)1,—①J должно быть равно ^ . Вращения (ш, —%) как имеющие общую ось взаимно уничтожаются. Следовательно, составное движение тела есть

вращение с угловой скоростью ①尸①，причем, очевидно, направление вращения% совпадает с направлением данного вращения ①.

Таким образом, мы приходим к следующей теореме: если тело одновременно участвует в поступательном движении со скоростью о и во вращательном с угловой скоростью ①，перпендикулярной к и, та составное движение тела будет вращением вокруг мгновенной оси АР, параллельной оси Oz данного вращения и отстоящей от нее на расстоянии, равном - , причем мгновенная абсолютная угловая скорость ① 1 тела равна по модулю и направлению данной угловой скорости ю.

Этот результат был нами получен в § 72 другим путем. В самом деле, от двух скоростей и н ① движение тела будет плоскопараллельным, а мы знаем, что плоскопараллельное движение во всякий момент может быть представлено как вращение вокруг мгновенной оси вращения с угловой скоростью ①.Мы здесь еще раз убеждаемся в том, что поворот тела вокруг осей Oz и АР происходит с одной и той же угловой скоростью ш, т. е. что угловая скорость не зависит от выбора полюса.

Рассматриваемый случай движения можно проиллюстрировать с помощью установки, показанной на рис. 270.

Вообразим тележку, которая перемещается поступательно по рельсам со скоростью и. На этой тележке'укреплен диск S, вращающийся вокруг своей оси Oz с угловой скоростью о), перпендикулярной к и. Если мы будем вращать диск S вокруг оси Oz с угловой скоростью(7и одновременно сообщим тележке поступательное движение со скоростью и, то в данный момент скорость точки М. диска S будет такой, как ес-

ли бы диск вращался с угловой скоростью ш1=(о вокруг мгновенной оси АР, параллельной оси Oz, при этом 0А=^ и 0А±_^.

Случай, когда скорость поступательного движения параллельна оси вращения (винтовое движение тела). Если твердое тело вращает、 ся вокруг неподвижной оси Oz с постоянной угловой скоростью Ш (относительное движение) и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью V, направленной вдоль этой оси (перенос^ ное движение), то составное движение тела в этом случае называется

винтовым движением (рис. 271). При этом ось вращения Oz тела называют винтовой осью.

Если векторы и и з направлены в одну сторону, то винт называется правым (рис. 271), если же направления у и ю прямо противоположны, то винт называют левым,.

Траектория какой-либо точки М тела расположена на поверхности круглого цилиндра и называется винтовой линией (рис. 272).

Из рис. 271 видно, что координаты точки М тела можно выразить в виде

X = Г COS 0) f; z/ — г sin со/; z ~vt,(1)

где г—расстояние точки М от оси винта Oz. Уравнения (1) представляют собой параметрическиг уравнения винтовой линии.

В то время как тело переместится поступательно вдоль оси на расстояние vty оно повернется на угол ①f; отношение перемещения vt к углу ①f называется параметром винта р, т. е.

РР0

Р

Р

ш

tga = # = S =常tga = # = S =常(5)(5)

tga = # = S =常

tga = # = S =常

(5)

(5)

Мы видим, что параметр винта не зависит от расстояния точки М тела от винтовой оси Oz, т. е. для всех точек винтовых линий, описываемых различными точками тела, параметр р один и тот же.

Расстояние А, на которое перемещается тело вдоль оси винта за время Т одного полного оборота тела вокруг этой оси, называется шагом винта. По определению имеем h=vTf но Г= ^, а поэтому

(3)(3)厶=°礬=2nР■

(3)

(3)

Абсолютная скорость точки М тела (рис. 272) геометрически складывается из ее вращательной скорости уг вокруг оси винта, модуль которой 以=/чо, и скорости V в поступательном движении тела

% = S + 5

Модуль этой скорости вследствие перпендикулярности векторов % н и равен

(4)(4)UMujA^ + ^rZ —со)/ р2 + г2.

(4)

(4)

Направлен же вектор у^ по касательной к соответствующей точке винтовой линии и образует с осью Oz, или, что то же, с образующей цилиндра, угол а, причем

Так как p=const, то траектория точки Л1 пересекает все образующие цилиндра под одним и тем же углом наклона а. Следовательно, если мы развернем на плоскость боковую поверхность цилиндра, по которой движется точка М, то траектория точки М изобразится на этой плоскости прямой линией, наклоненной к основанию под углом а.

Случай, когда скорость поступательного движения не перпендикулярна к мгновенной оси вращения (мгновенное винтовое движение). Рассмотрим теперь случай движения твердого тела, имеющего поступательную скорость V и мгновенную угловую скорость ①(рис. 273), направленную не перпендикулярно к о. Составное движение,

совершаемое телом в этом случае, представляет собой движение, рассмотренное в § 76.—

Для нахождения составного движения_тела разложим вектор jb плоскости, определяемой векторами ш и у, на составляющие ут и и%, направленные соответственно по мгновенной угловой скорости и по перпендикуляру к ней. Очевидно, что

S = у cos а;

^2 = и sin а.■

Согласно первому случаю, изложенному в настоящем параграфе, совокупность скоростей 02 H ① приводится к одной мгновенной угловой скорости ш1=(о, проходящей через точку А так, что расстояние меж- АУ ① н ①1 равно 荘 т. е. ОЛ=^=^- sin а, причем должно быть OA±_v2- Так как вектор ^ поступательной скорости есть свободный вектор, то его можно перенести параллельно самому себе в точку А и, таким образом, мы получаем в точке Л мгновенную угловую скорость шх = со и поступательную скорость и» направленную вдоль вектора ①^. Здесь мы еще раз убеждаемся в том, что и в общем случае движения угловая скорость тела при перемене полюса О на полюс Л не изменяется (0)1=(0), а меняется только поступательная скорость тела/г^片о)・

Полученная совокупность мгновенной угловой скорости ① и параллельной ей поступательной скорости 马 дает мгновенное винтовое движение с параметром

卩— cos a.

Таким образом, мы приходим к следующей теореме: совокупность движений тела, определяемых мгновенной угловой скоростью о)и поступательной скоростью и, направленной не перпендикулярно к ①,сводится к мгновенному винтовому движению около мгновенной винтовой оси. Винтовое движение более не упрощается, а поэтому оно является самым общим видом движения твердого тела (см. п. 4, § 76).

§85. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К РАЗДЕЛУ «КИНЕМАТИКА»

Какие способы задания движения точки применяются в кинематике и в чем они состоят?

Какая зависимость существует между радиусом-вектором движущейся точки и вектором скорости этой точки?

Как направлен вектор скорости криволинейного движения точки по отношению к траектории?

Чему равны проекции вектора скорости точки на оси декартовых координат?

Какая зависимость существует между радиусом-вектором движущейся точки и вектором ускорения точки?

Как направлен вектор ускорения криволинейного движения точки по отношению к траектории, к годографу скорости?

Чему равны проекции вектора ускорения точки на оси декартовых координат?

Какие оси называются естественными осями?

9* Чему равны проекции вектора скорости точки на естественные оси?

Чему равны проекции вектора ускорения точки на естественные оси?

В каких движениях касательное ускорение точки равно нулю? В каких движениях равно нулю нормальное ускорение?

Какое движение твердого тела называется поступательным?

В чем состоит теорема о движении точек твердого тела, движущегося поступательно?

Какое движение твердого тела называется движением вокруг неподвижной оси?

Что называется угловой скоростью и угловым ускорением тела?

Какое вращение твердого тела называется равномерным, какое равномерно-переменным?

Какая зависимость существует между угловой скоростью вращающегося тела и числом его оборотов в минуту?

Как изображается угловая скорость тела в виде вектора?

Как выражается зависимость между угловой скоростью вращающегося тела и линейной скоростью какой-нибудь точки этого тела?

Как выражаются касательное и нормальное ускорения точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

Какое движение твердого тела называется плоским, или плоскопараллельным?

На какие два движения можно разложить плоскопараллельное движение твердого тела?

Что называется мгновенным центром скоростей плоской фигуры, движущейся в своей плоскости?

Как можно найти положение мгновенного центра скоростей плоской фигуры, движущейся в своей плоскости?

Суммой каких двух составляющих скоростей является абсолютная скорость произвольно выбранной точки плоской фигуры, движущейся в своей плоскости?

Каковы будут скорости точек плоской фигуры в том случае, когда мгновенный центр скоростей этой фигуры окажется в бесконечности?

Что называется мгновенным центром ускорений плоской фигуры, движущейся в своей плоскости?

Как можно найти положение мгновенного центра ускорений плоской фигуры, движущейся в своей плоскости?

Суммой каких двух или трех составляющих ускорений является абсолютное ускорение произвольно выбранной точки плоской фигуры, движущейся в своей плоскости?

Какое движение твердого тела называется сферическим движением?

В чем состоит теорема о перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку?

Что называется мгновенной осью вращения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку?

Как направлен вектор углового ускорения тела, имеющего одну неподвижную точку?

Как направлен и как выражается вектор углового ускорения тела в том случае, когда это тело движется вокруг неподвижной точки с постоянной по модулю угловой скоростью?

Как выражаются проекции на координатные оси скорости какой-нибудь точки твердого тела, имеющего одну неподвижную точку?

Сумме каких двух составляющих скоростей равна абсолютная скорость какой-нибудь точки свободного твердого тела в общем случае?

Какое движение точки называется относительным? Какое — переносным?

Какое движение точки называется абсолютным, или составным?

Какая скорость точки называется относительной? Какая — переносной?■

В чем состоит теорема о сложении скоростей?

Какое ускорение точки называется относительным? Какое— переносным?

В чем состоит теорема о сложении ускорений точки в том случае, когда переносное движение является произвольным?

В каких случаях поворотное, или кориолисово, ускорение точки равно нулю?

Какое движение твердого тела называется винтовым?

В чем состоят теоремы о сложении параллельных и пересекающихся угловых скоростей?

Какому движению эквивалентна пара вращений? Чему равна скорость этого движения?

Решению какой задачи статики аналогично решение задачи о сложении угловых скоростей?

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ

ДИНАМИКА

Л. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Г ла в а X VI

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ

ПРЕДМЕТ ДИНАМИКИ

Основным разделом теоретической механики является динамика. В динамике изучаются движения механических систем под действием приложенных к ним сил.

Движение механической системы определяется движением всех ее материальных точек. Поэтому естественно начать изучение динамики с изучения движения отдельной материальной точки. Исходя из этого, динамику принято делить на две части: динамику материальной точки и динамику механической системы материальных точек. В динамике механической системы изучается, в частности,, и движение абсолютно твердого тела.

В динамике точки и механической системы рассматриваются следующие две основные задачи:

зная движение данной материальной точки или данной механической системы, определить, под действием каких сил такое движение происходит;

зная силы, действующие на данную материальную точку или на данную механическую систему, определить движение этой материальной точки или этой механической системы.

Для решения этих задач в динамике пользуются как установленными в статике методами сложения сил и приведения различных их систем к простейшему виду, так и методами кинематики в части, касающейся установления способов задания движения тел и определения основных кинематических характеристик движения. При этом в динамике вводится ряд весьма важных новых понятий (масса, количество движения и т. 〃.).

Сущность этих понятий, а также введенного в статике понятия силы и их взаимосвязь раскрывается в основных законах динамики, с рассмотрения которых мы и начнем изложение динамики материальной точки.

ОСНОВНЫЕ ЗА КОНЫ ДИНАМИКИ

В основе динамики лежат законы, впервые точно сформулированные и систематически изложенные Ньютоном в его классическом сочинении «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 г. Эти законы основаны на опытных данных и являются резуль татом гениального обобщения тех сведений в области механики, кото、 рые были получены до Ньютона и самим Ньютоном.

Отметим прежде всего, что Ньютон сформулировал основные законы динамики для тел, подразумевая под телом то, что в настоящее время называют материальной точкой. Поэтому для внесения полной точности в формулировку этих законов мы вместо слова《тело» будем употреблять современный термин «материальная точка»*.

Первый закон (закон инерции). Этот закон был открыт Галилеем в 1638 г. и в современных терминах может быть сформулирован следующим образом: всякая материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку приложенные к ней силы не заставят ее изменить это состояние.

Сохранение материальной точкой состояния своего равномерного и прямолинейного движения (модуля и направления своей скорости) и, в частности, состояния покоя при отсутствии действия на нее сил (или при их равновесии) называется инертностью, или инерцией, материальной точки. Отсюда и первый закон динамики, устанавливающий это свойство инерции всякой материальной точки, получил название закона инерции.

Равномерное и прямолинейное движение, о котором говорит закон инерции, называется движением по инерции, или инерциальным движением .

Из кинематики мы знаем, что не имеет никакого смысла говорить о том, что движение данной точки является равномерным и прямолинейным, если не указано, по отношению к какой системе отсчета это движение и, в частности, покой изучаются. Поэтому возникает вопрос: в какой системе отсчета применим закон инерции?

Система отсчета, по отношению к которой шполняется закон инерции, называется инерциальной системой отсчета. Опыт и на6лю~ дения показывают, что для нашей солнечной системы инерциальной является гелиоцентрическая система отсчета с началом в центре Солнца и осями, проходящими через три так называемые неподвижные звезды.

Однако при решении большинства технических задач инерциальной можно считать систему отсчета, неизменно связанную с Землей. В этом случае мы, очевидно, пренебрегаем суточным вращением

Земли и ее годовым движением по криволинейной орбите вокруг Солнца.

В главе XIX будет показано, что всякая система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета поступательно, равномерно и прямолинейно, также является инерциальной.

Таким образом, оказывается, что если на материальную точку не действуют никакие силы, или силы^ действующие на нее. взаимно уравновешиваются, то эта точка по отношению к инерциальной системе отсчета движется равномерно и прямолинейно или находится в состоянии покоя.

Система отсчета относительно которой не выполняется закон инерции» называется неинерциальной.

Много различных задач механики приводят к изучению движения в неинерциальных системах. Исследование общих закономерностей движения точки относительно неинерциальной системы отсчета будет дано в главе XIX.

Система отсчета, неизменно связанная с Землей, строго говоря, не является инерциальной системой отсчета. Неинерциальность этой системы отсчета зависит главным образом от суточного вращения Земли и в значительно меньшей степени от ее годового движения по орбите вокруг Солнца. Так как обычно рассматриваемые в динамических задачах, относящихся к технической практике, промежутки времени много меньше года, то движение Земли по ее орбите вокруг Солнца за эти промежутки можно практически считать равномерным и прямолинейным. Следовательно, принимая систему отсчета, неизменно связанную с Землей, за инерциальную, мы в первую очередь пренебрегаем суточным вращением Земли.

В дальнейшем, говоря об инерциальной системе отсчета, мы почти везде будем иметь в виду систему координат, неизменно связанную с Землей.

В тех случаях когда при решении задач динамики приходится учитывать суточное вращение Земли (задачи артиллерии и ракет дальнего действия, гироскопические проблемы и т. д.), система отсчета, неизменно связанная с Землей, уже не может считаться инерциальной системой отсчета. В таких случаях за инерциальную систему отсчета принимают геоцентрическую систему отсчета с началом в центре Земли и осями, проходящими через три выбранные «неподвижные» звезды (см. главу XIX, § 94).

Второй закон (основной закон динамики). По закону инерции ускорение материальной точки, свободной от действия сил, равно нулю. Если же к материальной точке будет приложена некоторая сила, то эта точка отклоняется от состояния инерциального движения, приобретая некоторое ускорение.

Опытным путем установлено, что одна и та же сила сообщает двум различным и свободным от других воздействий покоящимся материальным точкам неодинаковые ускорения. Если, например, при действии

одинаковых сил модуль ускорения одной материальной точки оказался меньшим, чем модуль ускорения другой точки, то говорят, что первая точка является более инертной, и наоборот. Отсюда следует, что инертность выражает свойство материальной точки под действием силы приобретать то или иное ускорение в своем движении, т. е. изменять свою скорость как по модулю, так и по направлению непрерывно во времени. Такнм образом, ускорения, приобретаемые двумя различными материальными точками, зависят не только от действующих на них сил, но и от инертности этих точек.

Величина, определяющая меру инертности данной материальной точки, называется массой точки. Масса является величиной скалярной, положительной, и при этом в классической механике она рассматривается как величина постоянная для каждой данной материальной точки. Она является единственной характеристикой материальной точки. Отличие материальных точек друг от друга сводится к различию в массах.

Связь между массой материальной точки, силой, приложенной к этой точке, и сообщаемым ею ускорением устанавливается вторым законом динамики. Приведем этот закон в следующей формулировке: произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Обозначив массу точки через т, вектор ее ускорения через ш и вектор действующей на точку силы через 尸，мы получим следующее аналитическое выражение второго закона динамики:

mw = F.(1)

Это есть так называемое основное векторное уравнение динамики. Отметим, что второй закон динамики, как и закон инерции, справедлив для движения материальной точки по отношению к инерциальной системе отсчета.

Второй закон динамики не является новым, «динамическим» определением силы, в него входит та же сила, которой мы дали определение в статике; здесь обнаруживаются лишь новые, динамические свойства этой силы. Следовательно, произведение массы материальной точки на ее ускорение не есть определение силы, но оно равно силе по второму закону динамики..

Между массой, модулями ускорения и силы основное уравнение динамики (1) дает зависимость

= F.(2)

Если одну и ту же силу F приложить к различным материальным точкам с массами тг и т2, то согласно второму закону (1) сила 尸 сообщит этим точкам различные ускорения 叫 и w^ причем

тI侬1 =加2侬2 =

Отсюда следует, что

叫=小2 цу? —

Таким образом, под действием одной и той же силы различные материальные точки приобретают ускорения, обратно пропорциональные массам этих точек. Следовательно, материальная точка с большей массой при воздействии одной и той же силы приобретает меньшее ускорение и поэтому меньше отклоняется от своего состояния инерции. Таким образом, из второго закона динамики (1) непосредственно видно, что масса является мерой инертности материальной точки.

Из скалярного равенства (2) следует

加=与.(4)

т. е. масса материальной точки равна отношению модуля силы к модулю ускорения, которое эта сила сообщает данной материальной точке. Таким образом найденная масса материальной точки называется инертной массой точки.

Опытным путем было строго установлено, что отношение модуля силы к модулю сообщаемого силой ускорения для данной материальной точки является постоянным, не зависящим ни от рода действующей силы, ни от состояния движения этой точки. В частности, для силы тяжести оно такое же, как и для всякой другой силы, т. е. если на точку действует только ее сила тяжести, то

加=亲(5)

где Р — сила тяжести, или вес точки, a g — ускорение силы тяжести, или ускорение свободного падения в данном пункте Земли.

Следует не упускать из виду, что величина ускорения силы тяжести для разных мест земной поверхности различна и зависит в первую очередь от географической широты и высоты поднятия над уровнем моря, слегка возрастая при перемещении от экватора к полюсам и убывая о возрастанием высоты. При этом величина силы тяжести материальной точки находится в той же зависимости от места наблюдения и высоты

поднятия над уровнем моря, что и ускорение силы тяжести, так что отношение веса материальной точки к ускорению ее свободного падения, т. е. масса материальной точки, есть величина постоянная. Независимость массы материальной точки от места ее измерения свидетельствует о том, что в отличие от веса масса является свойством самой материальной точки.

Найденная по формуле (5) масса материальной точки называется тяготеющей массой точки.

Так как тяготеющая масса материальной точки равна ее инертной массе, то эпитеты «тяготеющая» и «инертная»становятся излишними, и поэтому в дальнейшем мы ими пользоваться не будем.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия). Об этом законе мы говорили уже в статике (§ 2). Для двух материальных точек он гласит: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти 他。兑ки, 6 противоположные стороны.

Заметим, что силы механического взаимодействия между материальными точками, о которых говорится в третьем законе, приложены к разным материальным точкам, а поэтому эти силы не представляют уравновешенной системы сил и могут приводить эти материальные точки в состояние ускоренного движения.

Если первая материальная точка действует на вторую материальную точку с силой 尸2，то согласно третьему закону вторая точка действует на первую точку с силой F1 = ~F2. При этом, как следует из второго закона (1), ускорения, которые сообщают друг другу две материальные точки, будут по модулю обратно пропорциональны массам этих точек, так как действующие силы F】и F2 равны по модулю.

В то время как первый и второй законы динамики относятся к одной материальной точке, третий закон рассматривает взаимодействие двух материальных точек и поэтому делает возможным переход от динамики отдельной материальной точки к динамике сложных механических систем материальных точек.

Четвертый закон (закон независимости действия си ). Если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то она получает ускорение, равное геометрической сумме тех ускорений, которые каждая сила сообщила 6垃，действуя отдельно.

Обозначив через w ускорение материальной точки, которое она получает при одновременном действии на нее сил 尸】，F2, ..., Fn, а через 吗，切2，•••，wn — ускорения, которые получила бы эта точка при раздельном действии на нее каждой из данных сил, получим следующее аналитическое выражение закона независимости действия сил:

© =侬［+ 侬 2 +•••+ ©疗 (6)

Сл ед ст в и е. Умножив обе части векторного равенства (6) на массу т точки, получим

mw—m+(7)

Согласно второму закону (1) имеем

т ⑪i = F, /п 侬2 =尸2，•—，加侬以=Fn.

Отсюда равенство (7) можно представить в виде

771m = e +戸2+ 冗=£ 瓦.(8)

Это векторное равенство является основным уравнением динамики для точки, на которую одновременно действует несколько сил. Равенство (8) можно представить в виде равенства (1), если заменить систему одновременно действующих на точку сил 尸「F2, ..., Fn их равнодействующей 尸,равной геометрической сумме EF, сил этой системы.

t — 1

Системы единиц. Рассмотрим построение систем единиц измерения механических величин. Измерить какую-нибудь механическую величину —— это значит сравнить ее с другой однородной с ней механической величиной, которая принята за единицу.

Для измерения всех механических величин необходимо выбрать единицы измерения длины, времени и массы или силы. Произвольно единицы измерения массы и силы выбираться не могут, так как они должны быть связаны равенством (2). Отсюда вытекает возможность установления в механике трех следующих систем единиц: абсолютная (физическая) система единиц (СГС), техническая система единиц (МКГСС) и Международная систему единиц, которой присвоено сокращенное обозначение СИ*. Принципиальное различие между двумя последними системами единиц состоит в том, что в одной из них (MKFCC) за основную механическую единицу принимается единица силы, а в другой (СИ) — единица массы.

Теперь разберем эти три системы единиц измерения.

Система МКГСС. Основными единицами этой системы единиц измерения являются: метр (м) — единица длины, килограмм-сила (кГ)— единица силы и секунда (сс/с)——единица времени.

Килограмм-сила — это сила, которая материальной точке с массой в 1 кг сообщает ускорение, равное ускорению свободного падения, т. е. ускорение 9,81 м/сек2.

Единицу массы в системе МКГСС можно получить из второго закона динамики (4). Положив в формуле (4) F=1 кГ, 9=1^^, получим:

11 кГ ! кГ-се№

1 единица массы = = 1・

1 се№

Эта единица массы называется технической единицей массы (т.е.м.).

Техническая единица массы (т. е. л.)—— это масса такой материальной точки, которой сила в 1 кГ сообщает ускорение в / м/сек2.

Размерность технической единицы массы (т.е.м.) выражается в следующем виде:

[ml == м^-кГ-сек2,

L J [цу]

Система СИ. Основными единицами этой системы единиц измерения являются: метр (加)一единица длины, килограмм (кг) — единица массы и секунда (сек) — единица времени.

Единицу силы в системе СИ получим из второго законадинамики (2). Положив в этой формуле т=1 кг, ш=1^^, получим:

1 единица силы =1 кг-1= 1

Эта единица силы называется ньютоном.

Ньютон (况)—— это сила, которая материальной точке с массой 伟 / кг сообщает ускорение, равное 7^^.

Размерность единицы силы (н) выражается в следующем виде:

[F] = [m] [i^]=戏・加・呢尸2 — м*кг^сек~2.

Если в качестве основных единиц выбрать: сантиметр (рм) ——единица длины, грамм (г) — единица массы и секунда (сек) — единица времени, то получим другую аналогичную систему единиц измерения (СГС). Единицу силы в этой системе получают из второго закона динамики (2). Положив в формуле (2) т=1 г, 9=1^^, получим:

111< г-см

1 единица силы = 11 丁 = 1

Эта единица силы называется диной.

Дина (дин)—— это сила, которая материальной точке с массой 6 / г сообщает ускорение, равное /^^.

Размерность единицы силы (дины) выражается в следующем виде: [用=[т] [w] = г-см-селГ? = см• е• сек'.

Рассмотрим теперь, каким образом можно получить соотношения между единицами однородных механических величин в разных системах единиц измерения.

Соотношение между ньютоном (н) и диной (5uw). Запишем размерность ньютона (况)：

1 & = 1г- = —：•

1 сек,2.

Далее, выразим метр (м) и килограмм (ке), входящие в размерность ньютона, соответственно через сантиметр (см) и грамм (г):

11 кг Л м 10 г -100 см . г-см

1 h = -:^-=-：巧——=IC?

1 сек21сек2.

Но 設^ есть размерность дины. Следовательно,

1 н 105 дин, а

аа1 дин = 10~5 н.

а

а

а) чтобы сообщить материальной точке с массой в 1 кг ускорение, равное 1 м/сек2, необходима сила 1 н; 6) чтобы сообщить материальной точке с массой 1 гп.е.м. такое же ускорение, необходима сила 1 кГ=9,81 н. Отсюда следует, что для сообщения материальной точке с массой в 1 т.е. м. некоторого ускорения требуется сила, в 9,81 раза большая, чем для сообщения того же ускорения материальной точке с массой в 1 кг. Следовательно, 1 т.е.м. больше 1 кг в 9,81 раза, т. е.

1 т. е. м. = 9,81 кг,

а

кг = 0,102 т. е. м.

Глава XVII

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕК РЕШЕНИЮ ДВУХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

§ 88. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Материальная точка называется свободной, если она под действием приложенных к ней сил может иметь движение в любом направлении в соответствии с основными законами динамики.

Если на свободную материальную точку М массы m действует одновременно несколько сил 尸口 % …,F^ то уравнение, выражающее основной закон динамики, примет в этом случае, как известно, следующий вид:

mw = ^Fly(1)

или

тз = F,(2)

где F ——равнодействующая приложенных к точке сил, а ш——ускорение точки, направленное по линии действия равнодействующей силы 尸(рис. 274). Так как вектор ускорения 侬точки равен первой производной от вектора скорости и или второй производной от радиуса-вектора г точки по времени, т. е. ©=и=г, то уравнение (2) может быть записано в форме

= F ,(3)

или

тг = F .(4)

Уравнение (4) называется дифференциальным уравнением движения свободной материальной точки в векторной форме.

Проектируя обе части векторного уравнения (4) на оси той или иной системы координат, можно получить дифференциальные уравнения движения свободной точки в этой системе. Чаще всего пользуются осями прямоугольной декартовой системы координат или осями естественного трехгранника.

Если прямоугольная система декартовых координат Oxyz (рис. 274) неподвижна, то путем проектирования обеих частей векторного уравнения (4) на оси этой системы получим

тх = FX1 ту = %, mz = Fz, (5) где х, у, ?—— координаты движущейся точки, a Fx,尸屮 Fz—— проекции действующей силы (равнодействующей) на соответствующие оси.

С помощью этой системы дифференци-рис> 274

альных уравнений мы сможем изучить

криволинейное движение свободной точки в пространстве, т. е. по отношению к инерциальной системе отсчета Oxyz,

Уравнения (5) называются дифференциальными уравнениями криво- линейного движения свободной материальной точки 6 проекциях на оси декартовой системы координат.

На движущуюся материальную точку наряду с постоянными по модулю и направлению силами (постоянной, например, можно считать силу тяжести при движении точки вблизи поверхности Земли) могут действовать силы переменные, модули и направления которых при движении точки изменяются.

Как показывает опыт, действующие на точку переменные силы могут определенным образом зависеть: а) только от времени (например, сила тяги электровоза при постепенном включении или выключении реостата); б) только от положения движущейся точки, определяемого ее координатами (например, сила тяжести при движении точки на значительном расстоянии от поверхности Земли или сила упругости пружины); в) только от скорости движущейся точки (например, сила

сопротивления окружающей среды, в частности воды или воздуха, в которой движется точка).

Может случиться, что действующая на точку переменная сила, или, точнее, равнодействующая нескольких сил, приложенных к точке, зависит одновременно от времени f, радиуса-вектора г точки и ее скорости и, т. е. F=F(t, г, у).

Можно было бы представить себе силы, следующие законам еще более общего характера, например зависящие от ускорения, а также от последовательных векторных производных от ускорения. Но в теоретической механике обыкновенно ограничиваются рассмотрением сил типа F=F(f, г, и), так как таковыми в подавляющем большинстве случаев являются силы, с которыми нам приходится встречаться в природе. Заметим, что законы приведения переменных сил остаются теми же, что и для сил постоянных.

Таким образом, в наиболее общем случае, который нам встретится, в правую часть каждого из уравнений (5) могут входить время f, координаты движущейся точки %, у, z и проекции ее скорости х, у, z, т. е. система уравнений (5) будет совместной и примет следующий вид.

тк = Fr© %, у, z; х, у г);

ту =尸у 〃； х, У，2 %, у , z);(6)

mz — Fz (/; х, у, z;尤 у, z).

Если материальная точка движется, оставаясь все время в плоскости Оху, и приложенные к ней силы также лежат в этой плоскости, то для изучения такого плоского криволинейного движения точки достаточно взять лишь первые два из уравнений (5), т. е.

тх = Fx, ту = %•(7)

В общем случае эти уравнения примут, очевидно, следующий вид:

加 x = F%(£；x, у； %, у)； ту = FM х, у; х, у).(8)

Из кинематики известно, что при прямолинейном движении скорость и ускорение точки все время направлены вдоль одной и той же прямой (траектории точки). Так как направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей приложенных к точке сил, то отсюда следует, что свободная материальная точка будет двигаться прямолинейно тогда, когда равнодействующая приложенных к ней сил направлена вдоль траектории этой точки, а скорость точки в начальный момент равна нулю или направлена вдоль равнодействующей силы. При изучении прямолинейного движения точки можно, совместив ось

Ох с траекторией точки, обойтись одним лишь первым уравнением из системы (5)

m х = Fx.

⑼

Уравнение (9) называется дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки. Часто уравнение (9) бывает удобно заменить двумя дифференциальными уравнениями, содержащими первые производные:

(Ю)

(10)

При прямолинейном движении точки проекция Fx—LFix равнодей' ствующей силы F в уравнении (9) может в общем случае зависеть от времени 九 от координаты движущейся точки х и от ее скорости, т. е. %=х. Следовательно, в общем случае уравнение (9) может иметь вид

тх = Fx (Л %, х).

(11)

Найдем теперь дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника, т. е. на направление касательной (т), главной нормали (и) и бинормали (6) к траектории в текущем положении движущейся точки (рис. 275). Спроектировав обе части векторного уравнения (2) на эти оси, получим

团吗=&, mwn^ Fn, mwb^= Fb.

Но из кинематики известно, что

” =s,吗,=~-, Wb == 0.

Таким образом, окончательно найдем

ms = &, rn~ = F„, 0 = &,(12)

где по-прежнему скорость и ускорение точки отнесены к инерциальной системе отсчета. Из последнего уравнения следует, что сила, так же 30*

как и ускорение, лежит в соприкасающейся плоскости траектории точки (рис. 275).

Уравнения (12) называются дифференциальными уравнениями криволинейного движения свободной материальной точки в проекциях на оси естественного трехгранника. Эти уравнения были впервые получены Л. Эйлером. Заметим, что уравнения (12) применяют в том случае, когда траектория материальной точки известна, т. е. известны для каждой точки траектории направления осей естественного трехгранника и радиус кривизны.

Рассмотрение дифференциальных уравнений движения свободной материальной точки показывает, что мы можем поставить и решить следующие две основные задачи динамики точки: 1) зная массу точки и закон движения точки, т. е. координаты движущейся точки как функции от времени, определить, под действием какой силы такое движение происходит; 2) зная массу материальной точки, действующие на нее силы и начальные условия движения точки, т. е. ее начальное положение и начальную скорость, определить закон движения этой точки.

§89. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИК РЕШЕНИЮ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

Пусть закон движения точки массы т задан в декартовых координатах:

% = Л，(力)> у = %(9,= /з(О'(1)

Продифференцировав эти функции дважды по времени, мы найдем проекции ускорения точки:

尤=厶(£)， У =/2(f), ^ - /з(0 •(2)

Вставляя выражения (2) в левые части уравнений (5, § 88), мы получим проекции Fx, Fy, Fz той силы Ft которая производит заданное движение точки, в виде

Fx =mf\(/),尸 у =加/；(9， Fz = m/3 (/),(2‘)

откуда найдем модуль и направляющие косинусы искомой силы F:

F = М 咒 +片 ;(3)

cos (戸"f)=今，cos (戸：了) = 3，cos (戸,*) =餐.(4)

Иногда приходится иметь дело с задачей такого рода. На материальную точку с массой /л действует сила F' с проекциями FJ,尸J, F/;

найти, какую силу 尸"следует присоединить к силе 尸* чтобы материальная точка получила заданное движение

х — fi(0* у ~ fг (^)> % = /з(£)・

Согласно уравнениям (5, § 88) должно быть:

mx^F^ +Fx , m у =F‘y、F*y、m z= F；*F；

где F/\ Fy", F/ ——проекции искомой силы 尸"на три координатные оси. Отсюда получаем

F；=加万(£) — F；, £=加/；(0 — Fy, Fz^= mf^ — Fz, а следовательно, найдем и искомую силу 尸",которая совместно с силой 尸 производит заданное движение точки.

Как видим, решение первой задачи динамики точки сводится к дифференцированию заданных функций времени (1) и, следовательно, осуществляется сравнительно легко.

Задача 72. Тело весом Р=1 Г (рис. 276) падает под действием силы тяжести и испытывает при этом сопротивление воздуха, так что закон поступательного движения этого тела выражается уравнением

% = 490£ —245(1 —宀今

где х — в си, f — в сек; ось Ох направлена по вертикали вниз. Определить в динах силу R сопротивления воздуха, испытываемую телом, в зависимости от его скорости о, приняв g=980 ^^.

Решение, Так как тело движется поступательно, то мы рассматриваем его как материальную точку М с массой, равной массе тела. На эту точку действуют сила тяжести Р и искомая сила сопротивления воздуха R (направления их указаны на рисунке).

Составим дифференциальное уравнение движения

точки М в проекции на вертикальную ось Ox:t7^

щ х = F х = Р — R,/

отсюда

R = Р — шх., ”

Пользуясь физической системой единиц, имеем:

Р = ] -980=980 дин, т— 1г (масса точки 7И). Далее”〃況7?^%

находим проекцию скорости и проекцию ускорения"〃伙/

точки М на ось Ох:

х = 490 (1 — e~2tYРис, 276

х = 980 с%

Таким образом, подставляя значения массы точки М и найденную проекцию ее ускорения в составленное дифференциальное уравнение движения этой точки, находим

R = 980(1 —е^).

Учитывая, что и=х=490 (1—i'), имеем

R = 2 и дин.

Задача 73. Уравнения поступательно движущегося тела весом Р= =4,9 кГ имеют вид

%=2产+1, y 二步+ 1,% = 3/2—1,

где х, у, г ——в м,方一в сек. Определить модуль и направление действующей на тело силы 尸，приняв g^9,8^2・

Решение. Так как тело движется поступательно, то мы рассматриваем его как материальную точку с массой m=-—.

Дважды продифференцировав координаты движущейся точки по времени, находим проекции скорости и ускорения этой точки на оси координат:

% = 4/ , у = 2/ ,z = 6Z;

x = 4у = 2z=6—.

сек?сек-сек-

Подставляя значения массы точки и проекций ее ускорения в дифференциальные уравнения движения точки (5, § 88), находим проекции на соответствующие оси искомой силы, действующей на точку:

F^ = т х = 2 кГ, Fy = ту ^= \ кГ, F『mz = 3 кГ.

Зная проекции силы на три взаимно перпендикулярные оси, по формулам (3) и (4) находим ее модуль и направляющие косинусы:

F = ]/ 兇- + & 十汽=]/22 十 12 + 3r* 3,74 кГ;

COS (戸,Л『)=% = ^4r =°，334；cos (戸,Л『j =夕=山=0,267;

cos (戸，=% =譌-=0,804,

откуда

戸，f)=5彳。4匕 上(戸，7)=54。30，，之(戸，F) = 36042z.

Задача 74. Материальная точка весом 10 кГ движется по окружности радиуса R=100 м в горизонтальной плоскости под действием переменной силы. В период разгона точка движется согласно закону s=0,l 步 (力—в сек, S — В Л1).

Определить модуль действующей силы в момент, когда скорость точки равна 30 急 приняв g=10 奈

Решение. Закон движения точки вдоль заданной траектории (рис. 277) задан и имеет вид

s = 0,113.

Продифференцировав криволинейную координату s точки по времени, получим проекцию вектора скорости и точки на направление касательной

Определим время, в течение которого точка достигнет скорости а — 30^2，Подставив это значение скорости в только что полученное выражение для и： , получим

30 — 0,3 £：, отсюда

4=10 сек.

Дважды продифференцировав криволинейную координату s точки по времени, получим проекцию вектора полного ускорения ш точки на направление касательной

s — w^ — 0,6 t.

Проекция же вектора полного ускорения ш точки на направление главной нормали, очевидно, будет

吟 0,09投

Определим теперь 叫 и wn при %=友=10 сек:

eи1 e 公 初900 С м

叫—0,6-10 = о= 9 се№ 〃100 се№

Подставляя значение массы точки т=—« 1 —--，а также 9T =6 ^2 и 侬〃=9 ^^ в дифференциальные уравнения движения точки (12, § 88), находим проекции искомой силы, действующей на точку, на направления касательной и главной нормали:

尸弋=加侬т = 1 • 6 = 6 кГ; Fn~ mwn = 1-9 = 9 кТ.

Отсюда находим модуль искомой силы

F = /后 + 此=/36 + 81 « 10,8 кГ.

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИК РЕШЕНИЮ ВТОРОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

Решение второй задачи динамики для криволинейного движения свободной точки. Изложение методов решения второй задачи динамики составляет, по существу, основное содержание всех разделов динамики точки и динамики механической системы, в частности, твердого тела. Для материальной точки, как уже было сказано, эта задача состоит в том, чтобы по заданным силам, действующим на точку, массе точки и начальным условиям движения точки (начальному ее положению и начальной скорости) определить закон движения этой точки.

Решается эта задача с помощью дифференциальных уравнений движения точки в форме (5, § 88) или (12, § 88). В случае свободной материальной точки чаще пользуются дифференциальными уравнениями движения в декартовых координатах (5, § 88). В самом общем случае, который нам встретится, в правой части каждого из уравнений (5, § 88) будут, как указывалось, стоять заданные функции семи переменных 力 х, у, 2, %, у, 2. При этом решение второй задачи динамики приводится математически к задаче интегрирования трех совместных дифференциальных уравнений (6, § 88) второго порядка относительно трех неизвестных функций %, у, z, где независимым аргументом является время t. Общие методы интегрирования этих уравнений пока не разработаны. Однако некоторые приемы построения решений системы дифференциальных уравнений (6, § 88) можно указать.

Не входя в подробности, которые уместны в курсах анализа, допустим, что в результате преобразования системы уравнений (6, § 88)

нам удалось привести эти уравнения к следующей равносильной системе уравнений в полных производных:

备％«; X, у, z; X, у, z)=0 (i= 1,2,3).

Тогда, интегрируя эти дифференциальные уравнения, получим

化(/; х, у, z; X, у, Z) = & « = 1, 2, 3),(1)

где Cj(i=l, 2, 3) — произвольные постоянные интегрирования.

Соотношения (1), связывающие время t, координаты точки х, у, г, проекции скорости точки х, у, z и произвольную постоянную интегрирования, называются первыми интегралами дифференциальных уравнений криволинейного движения свободной точки (6, § 88).

Предположим, далее, что мы смогли свести систему уравнений (1), рассматриваемую как систему дифференциальных уравнений первого порядка, к равносильной системе уравнений вида

…j ①i (厶 ％, У，%, С】,C2, C3) = 0 (z = 1, 2, 3),(2)

тогда, интегрируя дифференциальные уравнения (2), получим

=== 招招%=== 招招%(3)(3)

=== 招招%

=== 招招%

(3)

(3)

где С4, Сь, Св — произвольные постоянные интегрирования. Соотношения (2), связывающие время 力，координаты точки х, у, г и шесть произвольных постоянных интегрирования, называются вторыми интегралами дифференциальных уравнений криволинейного движения свободной точки (6, § 88).

Решая алгебраическим путем систему уравнений (3) относительно координат движущейся точки, получим систему искомых функций:

(4)(4)% = Л.亿 &.，С2,С3，04,c5,С6)； y = ,2 (九 &,С2，c3,С4'С5,06)；, z =/3 (力 &L，c2，С3，a,e5,06)，.

(4)

(4)

Эти функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям движения точки и содержащие шесть произвольных постоянных интегрирования, называются общим решением дифференциальных уравнений криволинейного движения свободной точки (6, § 88).

Давая в выражениях (4) различные значения произвольным постоянным, можно сделать несколько неожиданный на первый взгляд вывод: одна и та же сила может сообщить материальной точке не строго определенное движение, а целый класс разнообразных движений. По- видимому, присутствие шести произвольных постоянных интегрирования в общем решении (4) объясняется тем, что, зная массу движущейся точки и действующую на эту точку силу 尸，мы не указали, из какого положения началось движение точки и какова была ее скорость в начальном положении, или, как говорят, в начальный момент времени %. Таким образом, чтобы с помощью уравнений (6, § 88) получить конкретное решение второй задачи динамики точки, надо, кроме массы точки и действующей на эту точку силы, знать еще, в каком положении находится точка в начальный момент % (начальное положение) и какую она в этот момент имеет скорость и0 (начальная скорость). Величины, определяющие значения начального момента /0, радиуса- вектора г0 начального положения точки и начальной скорости % называются начальными условиями движения точки. В декартовых осях координат начальные условия в случае криволинейного движения точки задаются в виде

/ =力 х = •%，广 ％，Z = z°; I(5)

Подчинив найденные первые и вторые интегралы заданным начальным условиям (5), можно определить все шесть постоянных интегрирования С], С2, ...» С6 по этим начальным условиям.

Подставляя начальные условия (5) в первые интегралы (1), найдем значения постоянных интегрирования С1( С2, С3 по формулам:

G =化"о，％()，％，“о， ％，％，“о) (/ = 1, 2, 3).

Подставляя начальные условия (5) и найденные значения С.° (i—1, 2, 3) во вторые интегралы (3), найдем значения постоянных интегрирования С4, С5, С6 по формулам:

С4 = Ф1 (/0, %о，%, 2°, С1，或，С；)；

以=@2 (%' %о，%, В С%, Сз)；

或=①3(6 %，%，入, U,唸圖.

Подставляя все найденные значения произвольных постоянных в общее решение (4), получим искомый закон движения точки, т. е. частное решение, отвечающее начальным условиям (5), в виде

(6)(6)с；, cl cl ct d eg)；9=0& C?,唸國，C：, cl C旣z=%(/, c； cl c^, ct cl eg).

(6)

(6)

Заметим, что при интегрировании уравнений (6, §89) большей частью бывает удобнее выражать через начальные условия (5) постоянные интегрирования сразу же по их появлении и, таким образом, в дальнейшем приходить к закону движения точки (6), минуя общее решение (4).

Решение второй задачи динамики для прямолинейного движения свободной точки. Вторая задача динамики для прямолинейного движения свободной точки в общем случае решается с помощью уравнения (9, § 88). В отношении математической стороны эта задача может быть сведена к следующим операциям: 1) к интегрированию с помощью тех или иных математических приемов этого уравнения, т. е. к нахождению его общего решения; 2) к нахождению закона движения точки, т. е. к нахождению частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, которые в декартовых осях координат в случае прямолинейного движения (по оси Ох) задаются в виде

х = х0.)

При решении подобных задач в тех простейших случаях, когда действующие на точку силы зависят только от времени 力 только от координаты точки % или только от скорости точки, т. е. от vK=x, можно пользоваться следующими общими указаниями:

Составление дифференциального уравнения движения. Для составления дифференциального уравнения прямолинейного движения точки необходимо: 甫

Выбрать начало отсчета и провести координатную ось вдоль линии движения, направляя ее, как правило, в сторону движения точки. Обычно начало отсчета совмещают с начальным положением движущейся точки. Если же под действием приложенных к точке сил эта точка может находиться в каком-нибудь положении в равновесии, то начало отсчета удобно помещать в этом положении равновесия.

Изобразить на чертеже движущуюся точку в произвольном положении (а не в начальном и, вообще, не в каком-либо особенном) и установить, какие силы действуют на эту точку.

Подсчитать сумму проекций всех этих сил на координатную ось и подставить эту сумму в правую часть дифференциального уравнения прямолинейного движения точки (9, § 88), а в левую ——заданную массу точки.

Интегрирование составленного дифференциального уравнения движения. Интегрирование составленного дифференциального уравне- 29*

ния прямолинейного движения точки производится методами, известными из курса анализа и зависящими от вида правой части этого уравнения. —

Если действующая на точку сила F зависит только от времени, т. е.

тх = (8)

то для понижения порядка дифференциального уравнения движения точки (8) следует воспользоваться выражением проекции ускорения точки

В этом случае первое и второе интегрирования уравнения (8) осуществляются методом разделения переменных, при этом, осуществляя второе интегрирование уравнения (8), мы должны воспользоваться подстановкой

(1°)

Если же сила F, действующая на точку, зависит только от координаты точки, т. е.

тх = Fx(x),(11)

то для понижения порядка уравнения (11) следует воспользоваться выражением

d Vr d хd ие

dt dx x dx

В этом случае первое и второе интегрирования осуществляются также методом разделения переменных; при этом, осуществляя второе интегрирование уравнения (11), мы должны воспользоваться подстановкой (10)._

В случае силы F, зависящей только от скорости точки , т. е.

тх =尸片(％),(13)

можно для понижения порядка уравнения (13) и последующего двукратного его интегрирования методом разделения переменных воспользоваться выражениями (9) и (12) в зависимости то того, нужно ли выразить ух как функцию от f или как функцию от %.

Таким образом, в тех случаях, когда на точку, кроме постоянных сил, действует переменная сила, зависящая или только от 力 или только от х, или только от %, составленное дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки можно всегда проинтегрировать методом разделения переменных. В результате первого интегрирования проекция скорости vx точки выразится через время / или координату х, а также через постоянную интегрирования С】：

% = %«，&)(14)

или

= ?2 (л, G).(15)

В результате же второго интегрирования координата х движущейся точки выразится через время % и две произвольные постоянные интегрирования & и С2:

%=/(力 &，e2)，(16)

Эта функция является общим решением составленного дифференциального уравнения прямолинейного движения точки.

Определение произвольных постоянных интегрирования по начальным условиям. Чтобы найти искомый закон движения точки, т. е. частное решение, отвечающее начальным условиям (7), нужно найти постоянные интегрирования С» и С2 по этим начальным условиям. Это осуществляется при помощи уравнений (14) или (15), а также уравнения (16) и начальных условий (7). При этом искомый закон движения точки будет иметь вид■

尤= /(/,С?,С》，(17)

где Сг° и С2°—— постоянные интегрирования, определенные по начальным условиям (7).

° 4. Исследование движения точки. Заметим, что при интегрировании составленного для данной точки дифференциального уравнения движения полезно выражать первую постоянную интегрирования Ci через начальные условия немедленно, т. е. как только это произвольное постоянное появилось при первом интегрировании. Получающееся выражение проекции скорости через время или координату точки и через начальные условия называется законом скорости. Исследование движения точки как раз и состоит в определении при помощи закона скоростей и закона движения (17) различных особенностей изучаемого движения.

Для пояснения сказанного в этом параграфе рассмотрим конкретные задачи, когда действующая на точку сила постоянна по модулю и направлению, а также когда она соответственно зависит: 1) от времени, 2) от координат движущейся точки и 3) от скорости точки.

Задача 75. Материальная точка массы т брошена с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью и0. Принимая во вни-

мание, что сила тяжести точки постоянна, и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти закон движения точки.

Решение. Выберем начало отсчета О в начальном положении материальной точки и направим ось Ох по траектории точки в сторону движения этой точки (рис. 278). Тогда начальные '工 условия будут: при f=0 %=%о=О, x~xQ = у0. Изображаем в произвольном положении движущуюся точку и действующие на нее силы. В рассматриваемом случае на движущуюся точку действует единственная сила — постоянная сила тяжести P^mg, направленная по верти- Лм кали вниз. Проекция этой силы на выбранную ось будет 尸*=—mg, а поэтому дифференциальное уравнение дви- "户жени я точки (9, § 88) примет вид

7tnx = — mg,

j 力°или

dt

Рис. 278du#

так как at.

Отметим особо, что составленное нами уравнение движения точки

не меняет своего вида в зависимости от того, откуда началось движение точки, была ли она брошена вверх или вниз или опущена свободно с некоторой высоты. Дифференциальное уравнение движения не содержит также никаких следов того толчка, который был сообщен материальной точке, как бы велик он ни был, потому что это уравнение относится к промежутку времени, следующему за толчком, когда его действие уже прекратилось. Что же касается последствий толчка, сообщившего начальную скорость %, то они будут учтены при определении произвольных постоянных по начальным условиям движения

точки.

Умножая обе части дифференциального уравнения движения точки на df, разделяя переменные и интегрируя, получим

% = — gf 十 &•

Подставляя сюда заданные начальные условия, определяем, что С]= = у0. Тогда, заменяя в полученном результате vx на х, найдем закон скорости в виде

X =。0 — gt・(а)

Умножая обе части этого равенства на dt и еще раз разделяя переменные и интегрируя, найдем

% = — 除 + и" + С2.

Подставляя заданные начальные условия в это уравнение, находим С2=0. Отсюда получаем искомый закон движения точки в виде

(б)(б)尤=0(/ 一等.

(б)

(б)

Используя найденные закон скоростей (а) и закон движения точки (б), можем определить наибольшую высоту, на которую поднимается брошенная материальная точка.

Так как при достижении наибольшей высоты хтах=А скорость точки обращается в нуль, то из уравнения (а) получим

好一g友=О, т. е.

Подставляя это значение f=& в уравнение (б), найдем 尤max = 〃 =行・

Задача 76. Материальная точка массы т=10 начинает дви

гаться из состояния покоя вдоль некоторой прямой под действием силы X модуль которой растет пропорционально времени, причем коэффициент пропорциональности равен п=6 ^-. Требуется найти закон движения точки.

Решение. Поместим начало отсчета О в начальном положении точки и направим ось Ох по ее траектории в сторону действия силы, т. е. в сторону движения точки一

(рис. 279). Тогда начальные уело- £g *—-—%

вия будут: при £=0, %=%о=О,—」

х=хо=О. Изображаем в произволь-Рнс 279

ном положении М движущуюся'

точку и действующие на нее силы._

В данном случае проекция силы F, действующей на точку, на выбранную ось будет F*=6 f, и дифференциальное уравнение движения точки (8) примет вид

Юх == 6 /, или

х = 0,61.

Так как сила зависит только от времени, то снизим порядок этого уравнения при помощи подстановки х в результате получим

или, после разделения переменных, dvx = 0,6 tdt.

Интегрируя это уравнение, получим

х = ^^ 产 + с = 0,3 步 + &.

Подставляя сюда заданные начальные условия, найдем, что Сх=0; следовательно, закон скорости будет

vx = 0,3 步.

Так как vx=xt то из закона скорости разделением переменных мы находим

dx = 0,3 伊 df.

Интегрируя это уравнение, получим

х = 0,1 /3 -|- С2.

Приняв во внимание заданные начальные условия, находим С2=0, и искомый закон движения точки примет вид

х = 0,1 /з.

Задача 77. Материальная точка массы т брошена с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью и。. Пренебрегая сопротивлением воздуха и принимая во внимание, что сила притяжения точки к Земле изменяется по закону всемирного тяготения Ньютона обратно пропорционально квадрату расстояния точки от центра Земли

и прямо пропорционально массам точки и Земли, найти скорость точки как функцию этого расстояния.

Решение. Поместим начало отсчета О в центре Земли и направим ось Ох по траектории точки в сторону движения этой точки (рис. 280). Тогда начальные условия будут: при f=0 k=k『R, x^x0=Vq. Изобразим в произвольном положении М. движущуюся точку и действующие на нее силы. На эту точку будет действовать одна сила — сила притяжения точки к Земле 尸,направленная по вертикали вниз. По условию задачи модуль силы F определяется согласно закону всемирного тяготения

尸=畔

гдет — масса точки, М — масса Земли, k — гравитационная постоянная, х ——расстояние материальной точки от центра Земли. Проекция силы 尸 на ось Ох будет Fx =—力吋? ,поэтому дифференциальное урав- ние движения точки (11) примет вид

илиилит к = — kт к = — kтМтМ% = —А% = —А

или

или

т к = — k

т к = — k

тМ

тМ

% = —А

% = —А

На поверхности Земли, прих=/? (где R — радиус Земли), сила тяжести Р = mg удовлетворяет условию

F = mg = h ^、

т. е.

kM — gR2,

где g—ускорение силы тяжести на поверхности Земли.

Подставляя это выражение в уравнение движения, получаем

В данном случае сила, действующая на точку, зависит только от координаты этой точки, поэтому мы снизим порядок составленного Диффер енци а л ь но го уравнения при помощи формулы (12), т. е.

При этом получим

dvxR2

%石=—gF，

или, по разделении переменных,

R2

vxdvx = —g-^-dx.

(а>(а>Проинтегрировав это уравнение, найдем

(а>

(а>

彳Т十

Так как при 才=0 尤=R, %=%, то

万一十5,

Отсюда найдем

с%R2g

5 -*

Подставив это значение & в формулу (а), получим

磋.R2gR2g 喘

Решив это уравнение относительно и*, найдем искомый закон скорости

Используя этот закон скорости, можем найти наибольшую высоту, на которую поднимается брошенная материальная точка.

В тот момент, когда материальная точка достигает наибольшей высоты (хтах=й), ее скорость будет равна нулю, т. е.

0= J/ %+ 竺呼Г .

Решая это уравнение относительно 九，найдем

厶——2R2g

2Rgf 厂

Отсюда видно, что при у02<2/?^точкой будет достигнута некоторая наибольшая высота Л, после чего эта точка начнет падать обратно на Землю, а при v^^2Rg движущаяся точка будет все время удаляться от Земли.

Задача 78. Тело массы т падает в воздухе с небольшой (по сравнению с земным радиусом) высоты с начальной скоростью, равной нулю, и испытывает сопротивление воздуха. Найти закон поступательного движения тела, скорость тела в зависимости от времени и от пройденного этим телом пути и предельное значение скорости тела при неограниченно продолжающемся падении, считая силу сопротивления воздуха пропорциональной второй степени скорости: R=[w% где [л —— коэффициент сопротивления.

Решение. Так как тело движется поступательно, то мы можем рассматривать его как материальную точку с массой т. Поместим начало отсчета О в начальном положении движущейся точки и направим ось по вертикали вниз (рис. 281). Тогда начальные условия будут: при /=0 %=%о=О, %=%о=0・ Изображаем в произвольном положении Л4

движущуюся точку и действующие на нее силы. Так как материальная точка движется вблизи поверхности Земли, то силу тяжести точки можно считать постоянной. При этом коэффициент сопротивления 卩， зависящий от плотности воздуха, формы тела и площади проекции тела

также мож-также мож-на плоскость, перпендикулярную к вектору скорости тела и, но принять за постоянную величину. Таким образом, на движущуюся точку будут действовать две силы: постоянная сила тяжести Р = mg, направленная по вертикали вниз, и сила сопротивления воздуха R=(w?, направленная по вертикали вверх. В данном случае F*=£Fjx=P — R, в дифференциальное уравнение движения точки (13) примет вид ■

также мож-

также мож-

или, после сокращения на т,или, после сокращения на т,I

или, после сокращения на т,

или, после сокращения на т,

I

(a) 1b

Рис. 281

Если обозначить через с скорость точки, при которой сила сопротивления воздуха равна весу точки (что имеет место при равномерном падении точки), то 尸=陷2, откуда ?=^・ Поэтому предыдущее уравнение принимает вид .

尤尤g72

尤

尤

или.

.一叫，(б)

так как %=^宇 и в нашей задаче всегда Это ——уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим

Отсюда, интегрируя это дифференциальное уравнение, находим: 2? 1Пf

Подставляя сюда начальные условия, найдем, что 0工=0, и преды дущее уравнение примет вид

1271271п1пС + иС —иС + иС —и

1

27

1

27

1п

1п

С + и

С —и

С + и

С —и

Из этого уравнения мени (закон скорости):Из этого уравнения мени (закон скорости):находим скорость тела в зависимости от вре-

Из этого уравнения мени (закон скорости):

Из этого уравнения мени (закон скорости):

V =

+1

Умножив числитель и этого равенства, на е Л,Умножив числитель и этого равенства, на е Л,знаменатель дроби, стоящей в правой части

Умножив числитель и этого равенства, на е Л,

Умножив числитель и этого равенства, на е Л,

получим

0=г史_ ［巫.(b>

е е

Умножив числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой часто равенства (в), на е с , найдем

0 = с - z^r •

Мы видим, что с возрастанием / величина е ° убывает, стремясь при ff 8 к нулю. Отсюда следует, что скорость падения тела и с- возрастанием t возрастает, стремясь в пределе к постоянной величине с. Эта величина называется предельной скоростью падения Umax= с = ="|/^^-. Эта скорость возрастает с увеличением веса тела (или точки) и с уменьшением коэффициента сопротивления.

Таким образом, при %=0 падающее в воздухе тело не может получить скорости, большей, чем с. Оно сперва быстро набирает скорость, но с течением времени его падение все более приближается к равномерному падению со скоростью с.

Чтобы найти скорость тела в зависимости от пройденного им пути, исключим из дифференциального уравнения (б) переменное /, для чего производную 幫 представим в виде

血—du dx dv

Тогда получим следующее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

。芻=鲁（С」。”）；

разделив здесь переменные, получим

vdvс2 — и2vdvс2 — и2=赛北=赛北

vdv

с2 — и2

vdv

с2 — и2

=赛北

=赛北

Интегрирование этого дифференциального уравнения дает

2~ 1n (— № ) = ^-尤 + С2.

По начальным условиям при х=0 скорость и =0, следовательно, С2 = —^-Inc2. Подставляя это значение С2, получим

или

Отсюда окончательно находим скорость тела в зависимости от пройденного им пути:

Перейдем теперь к определению закона движения. Для этого обратимся к закону скорости (в). Подстановкой ^=衣 получим

,сс

ах с е — е

~dt ~ С'

.с , с е + е

или, по разделении переменных,

d* =d* =откудаоткудассe ^£ 一旦 е с + е сссe ^£ 一旦 е с + е сdf,df,

d* =

d* =

откуда

откуда

сс

e ^£ 一旦 е с + е с

сс

e ^£ 一旦 е с + е с

df,

df,

dJ+e с 丿

сс

е + е

Интегрированием этого уравнения найдем

/更—里、

Х = ^ In \ ес + е j+c3.

следо-следо-По начальным условиям при /=0 %=0, откуда Сз=—-1п2, и, вательно, закон движения тела будет такой:

следо-

следо-

При больших % слагаемое е ° будет много меньше слагаемого

е‘ и поэтому слагаемым е ° практически можно пренебречь.

Тогда будем иметь

х = — In "~ ct - — In 2,g 2g '

т. е. движение по истечении некоторого промежутка времени практически становится равномерным.

Задача 79. Материальная точка массы т брошена с поверхности Земли с начальной скоростью и。, образующей угол а с горизонтом. Принимая во внимание, что сила тяжести точки постоянна, и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) закон движения точки; 2) траекторию точки; 3) высоту полета точки при данном угле а; 4) угол а, при котором высота полета точки будет максимальной; 5) дальность полета точки при данном угле а и 6) угол а, при котором дальность полета точки будет максимальной.

Решение. Поместим начало отсчета О в начальном положении движущейся точки и направим ось Oz по вертикали вверх, а ось Оу выберем так, чтобы вектор начальной скорости точки у0 лежал в плоскости Oyz (рис. 282). В этой системе отсчета начальные условия будут следующими:

X — Xq = 0, у = % — 0, Z = 2。= 0,

с %У = Уо = u0cosa, 2 =〜=%sin a.

Изображаем в произвольном положении М движущуюся точку и действующие на нее силы. Единственной силой, действующей на точку, является постоянная сила тяжести P~mg, направленная по вертикали вниз; проекции этой силы на оси координат равны: ，

尸* = 0, Ру = 0, Pz = 一 Р = — mg,

Подставляя эти величины в дифференциальные уравнения движения точки (5, § 88), получим

т% = 0, ту = 0,加2 =—mg,

или, после сокращений на

、Рис. 282

Проинтегрировав один раз каждое из составленных дифференциальных уравнений движения, найдем

х = G， у = &， 2 — — gf + С3.

Удовлетворяя начальным условиям, будем иметь

& = О, С2 ~ % cos а, С3 = и0 sin а.

Подставляя эти значения С( С2, С3 в найденные выше решения, придем к уравнениям:

尤=0, у — и0 cos а, 2 = — gf + % sin а.

Интегрируя каждое из этих уравнений, получим

х = С4, у = %/ cos а + С5, z = — ^ 4- vot sin а + С6.

Подстановка начальных условий дает С4=С5=С6=0, и мы окончательно находим закон движения точки в виде:“

х = 0, у = v^ cos a, z = — ~~ 4- %f sin а.

Исключая из этих уравнений время /, получим уравнение траектории точки в форме, содержащей только координаты точки:

% = 0, Z = “tga —% = 0, Z = “tga —2 Wq COS2a2 Wq COS2a

% = 0, Z = “tga —

% = 0, Z = “tga —

2 Wq COS2a

2 Wq COS2a

Данное уравнение есть уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси Oz.

Для нахождения высоты полета Н точки найдем максимум функ

ции z=一^ + 0j sina:

2 = — gf + % sin a = 0;

,—4 sin a

g Vq sin2 aVq sin2 a*siMa

Zma工=—-2! g~~ '

Таким образом, '口吟 sin 2tz

Из этой формулы следует, что высота полета будет максимальной при а—90° и,

门 шах —•

Чтобы найти дальность полета Л движущейся точки, вставим в уравнение траектории этой точки координаты точки А &=厶，2=0), в которой траектория пересекает ось Оу. Тогда получим

0 =0 =2 啸 cos2 a2 啸 cos2 a+ Ltga・+ Ltga・Отсюда найдемОтсюда найдем吟sin 22L =吟sin 22L =gg

0 =

0 =

2 啸 cos2 a

2 啸 cos2 a

+ Ltga・

+ Ltga・

Отсюда найдем

Отсюда найдем

吟sin 22

L =

吟sin 22

L =

g

g

Из этой формулы следует, что

^тах^тах

^тах

^тах

и максимальная дальность полета будет при а=45°.

Задача 80. Материальная точка веса 尸，брошенная с начальной скоростью v0 под углом а к горизонту, движется под влиянием постоянной силы тяжести Р и силы сопротивления воздуха R. Опре-

w = Р — gw = Р — gkP~kP~-v.-v.gg

w = Р — g

w = Р — g

kP~

kP~

-v.

-v.

g

g

делить закон движения точки и наибольшую высоту Н этой точки над уровнем начального положения, считая силу сопротивления воздуха пропорциональной первой степени скорости: R = hPu дин, где k — коэффициент пропорциональности 优 =const).

Решение. Поместим начало отсчета О в начальном положении движущейся точки. Направим ось Оу вертикально вверх; горизонтальную ось Ох расположим в плоскости, проходящей через ось Оу и вектор начальной скорости точки у0 (рис. 283). Тогда угол между вектором % и осью Ох будет а. В этой системе отсчета начальные условия будут следующими:

f = 0f = 0х -— Xq —— 0, у

f = 0

f = 0

% =尤о = % cos а, у = yQ — v0 sin а.

Изобразим в произвольном положении М движущуюся точку и действующие на нее силы. На точку действуют две силы: сила тяжести Р, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха R =

—kPv, направленная противоположно скорости точки у.

Составим дифференциальное уравнение точки в векторной форме

kp •kp •X =X =■ Р — — У ,■ Р — — У ,

kp •

kp •

X =

X =

■ Р — — У ,

■ Р — — У ,

Проектируя обе части этого векторного уравнения на ось Ох и ось Оу, получим

или, после сокращений,

х + 々％ = 0,

У+ky = —g.

Для решения этих независимых друг от друга линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами мы можем воспользоваться теорией интегрирования таких уравнений, известной из курса высшей математики.

Первое дифференциальное уравнение является однородным. Составим для него характеристическое уравнение

入2 +々人=0, отсюда

入1 — 0； 人2々・

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения выразится так:

X = Сх + С2е~^.(а)

Второе дифференциальное уравнение является неоднородным. Представим общее решение этого уравнения как сумму общего решения

_—kt

Ух =。3 + & е

соответствующего однородного уравнения и частного решения

неоднородного уравнения. Следовательно, общее решение второго дифференциального уравнения выразится так:

// — С3 + С4г1■力(б)

Дифференцируя выражения (а) и (б) по времени, найдем

%— &屁 kt\ у = ― С4й 6一"1- .(в)

Подставляя начальные условия в выражения (а), (б) и (в), получим следующие уравнения для определения произвольных постоянных С2, С3 и

0 = & + С2,

0 - С3 +c4,

у0 cos а — — С2й,

откуда следует

& = —。2 = * cos а,

e3 = - & =号 sin a +道，

Таким образом, согласно выражениям (а) и (б) имеем закон движения точки в виде

g = ("па 十g = ("па 十COS а,COS а,хх一论/ 1 -ё一论/ 1 -ё

g = ("па 十

g = ("па 十

COS а,

COS а,

х

х

一论/ 1 -ё

一论/ 1 -ё

при этом закон скорости будет иметь вид

х = (% cos а) е ,

4=俘Sтa +含)ke 备•

В положении максимального подъема точки

g =偿 sin а + 含)屉i'— -f- == О,

откуда

方sma十含

£ = } In f— sin а + 1

Следовательно, высота подъема точки будет

Dmax =〃=患 sin а 一 -Д-ln sin а + 1 V

Задача 81. Определить закон движения и траекторию материальной точки массы /п граммов, притягиваемой к неподвижному центру О силой, прямо пропорциональной расстоянию точки от этого центра. Движение происходит в пустоте; сила притяжения на единицу расстояния равна k^m 0〃咒；сила тяжести точки постоянна; в момент /=

=0 х=а, у=0, %=0, у=0, причем ось Оу направлена по вертикали вниз.

Рис. 284Рис. 284Решение. Поместим начало отсчета в неподвижном центре О и горизонтальную ось Ох расположим в плоскости, проходящей через ось Оу и вектор силы притяжения (рис. 284). Изобразим в произвольном положении Л4 движущуюся точку и действующие на нее силы. На точку М действуют две силы: сила тяжести P=mg, направленная вертикально вниз, и

Рис. 284

Рис. 284

сила притяжения F, направленная к неподвижному центру О.

По условию задачи F^=n-OM, где п——коэффициент пропорциональности. При 0M = 1 F^k^m, поэтому п=№т и, следовательно, 尸=々2团尸，где 0М=г есть модуль радиуса-вектора 尸 движущейся точки.

Составим дифференциа л ьное уравнение точки в векторной форме mw =^ mg— k^mr.

Проектируя обе части этого векторного уравнения на ось Ох и ось Оу и сокращая на т, получим

х + 胪％ = О,y + k2y = g.

Общее решение первого дифференциального уравнения (однородного) имеет вид

% = & cos 衽 + С2 sin 々厶(а)

Общее решение второго диффер енциал ь но го уравнения (неоднородного) представим как сумму общего решения

弘=С3 cos kt + & sin kt

соответствующего однородного уравнения и частного решения

неоднородного уравнения. Следовательно, общее решение второго дифференциального уравнения выразится в виде■

у = С3 cos А^ + С4 sin 玩 + 差.(б)

Дифференцируя выражения (а) и (б) по времени, найдем

% = —Сх k sin ^ + С2 fe cos kt,I(B)

у = — C3ksinkt + C&hcosht. J

Используя начальные условия и выражения (а), (б) и (в), получим уравнения для определения произвольных постоянных С1( С2, С3 и С4:

а = &, 0 = Сз + "^ , 0 — C%k, 0 = С& откуда'

& = а, С2 = О, С3 = — —- , С4 = 0.

Следовательно, согласно выражениям (а) и (б) имеем закон движения точки в виде

х — а cos kt,

y =备(1 - cos ^).

Исключая из этих уравнений время f, получаем, что траекторией точки является отрезок (АВ) прямой

для которого, как это видно из закона движения точки, х может меняться от——а до а (см. рис. 284).

Глава X VIII

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯНЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПРИНЦИП

ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

§ 91. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯНЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕК РЕШЕНИЮ ДВУХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

Основное уравнение динамики несвободной материальной точки. Основные законы динамики были сформулированы нами для случая свободной точки, на которую не наложены никакие связи и движение которой зависит только от начальных условий и действующих на нее сил.

Несвободной называется такая материальная точка, на движение которой наложены некоторые ограничения. Эти ограничения, не зависящие от начальных условий движения и системы приложенных активных сил, называются связями.

.В этой главе мы будем изучать движения несвободной точки, которая под действием приложенных к ней активных сил не может, благодаря наложенным на нее связям, занимать произвольное положение в пространстве или иметь произвольную скорость. Такой несвободной точкой является, например, материальная точка, движущаяся под действием активных сил по некоторой неподвижной поверхности или по некоторой неподвижной кривой, о существл яющи х в этом случае связь. Уравнение этой поверхности или этой кривой называется уравнением связи. Во все время движения, пока точка остается на поверхности или на кривой, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению связи.

Предположим, что поверхность или кривая, на которых вынуждена оставаться движущаяся точка, являются идеально гладкими, т. е. осуществляемая ими связь является идеальной, или связью без трения. Тогда сила реакции этой связи будет направлена по нормали к этой поверхности или к этой кривой, служащей связью, и будет называться в этом случае нормальной силой реакции связи N. Предположим теперь, что поверхность или кривая, на которых вынуждена оставаться движущаяся точка, являются шероховатыми, т. е. осуществляемая ими связь является реальной связью. Тогда сила реакции этой связи будет направлена под некоторым углом к нормали к этой поверхности или к этой кривой и будет называться в этом случае полной силой реакции R. При этом

R = N +戸叩，

где Fmp——динамическая сила трения, направленная в сторону, противоположную вектору скорости и точки. Согласно закону Кулона 戸p = —k"点，

где т° —— единичный вектор касательной к траектории точки, за положительное направление которого мы принимаем направление движения этой точки,卜一коэффициент трения при движении и N ——модуль нормальной силы реакции связи.

Исследование движения несвободной материальной точки основывается на аксиоме связей, которая имела применение в статике. На основании этой аксиомы, отбрасывая мысленно связи, наложенные на материальную точку, заменяют их действие силами реакций. При этом несвободная материальная точка рассматривается как точка свободная, движущаяся под действием активных сил и сил реакций связей.

Пусть материальная точка массы т движется по заданной шероховатой неподвижной поверхности или кривой. Обозначим равнодействующую всех приложенных к этой несвободной точке активных сил через Fa, Если действие связи заменить силой реакции R, то данную точку можно рассматривать как свободную, движущуюся под действием сил F11 в R. Заменив при этом в основном уравнении динамики (2, § 88) равнодействующую 尸 всех сил векторной суммой 尸口+欠， получим

mw =尸口+ R,(О

или

mw = ~Fa + 7/ + 戸р.(2)

Это уравнение выражает основной закон динамики несвободной точки в векторной форме.

Если поверхность или кривая, по'которым вынуждена двигаться

материальная точка, являются идеально гладкими, то сила трения 戸р отсутствует, и, следовательно, уравнение (2) примет вид

mw = F。* N . (3)

Полученные уравнения (2) и (3) позволяют решить следующую основную задачу динамики несвободной материальной точки: зная массу материальной точки, действующие на.точку активные силы и уравнение той поверхности или той кривой, по которым вынуждена двигаться точка, определить: а) закон движения точки по заданной поверхности или по заданной кривой и б) динамическую реакцию наложенной связи, т. е. реакцию, возникающую при движении точки. Следовательно, эта задача по существу разбивается на две. В зависимости от характера наложенной связи и выбранного метода решения эти две задачи решаются или совместно, или раздельно.

Исследование движения несвободной материальной точки в декартовых координатах. Если налагаемая на материальную точку связь ограничивает только свободу ее перемещения в пространстве, не налагая ограничений на модуль ее скорости, то такая связь называется голономной, или геометрической. Пусть, например, точка вынуждена двигаться по некоторой неподвижной поверхности, уравнение которой в декартовых координатах будет

/U，У，г) = о. ⑷

Это уравнение представляет собой уравнение голономной связи. Ясно, что координаты движущейся точки не могут принимать произвольных значений, а должны во все время движения, пока точка остается на поверхности, удовлетворять этому уравнению. Кроме того, голоном- ная связь вида (4) налагает ограничение на направление скорости движущейся точки. Это ограничение состоит в том, что вектор скорости точки должен лежать всегда в касательной плоскости к поверхности, о с уществл я ющей голономную связь (4).

Если налагаемая на материальную точку голономная связь такова, что точка во все время движения должна подчиняться этой связи, оставаясь на некоторой поверхности, то эта связь называется удерживающей, или неосвобождающей. Математически уравнение такой связи выражается в форме равенства вида (4).

Если уравнение налагаемой на материальную точку голономной связи не содержит явно времени, т. е. выражается в форме равенства вида (4), то это значит, что поверхность, по которой перемещается материальная точка, неподвижна и не деформируется. Такая голономная связь называется стационарной, или склерономной^.

Пусть нам дана абсолютно гладкая поверхность, уравнение которой в декартовых координатах выражается в форме равенства вида (4).

Рассмотрим движение точки М. массы т по этой поверхности,

предполагая, что равнодействующая действующих на точку активных сил известна и равна Fa (рис. 285).

Допустим, кроме того, что во все время движения точка должна оставаться на поверхности (4). Таким образом, наложенная на рассматриваемую точку связь (4) является стационарной, удерживающей и голономной. Эта связь является, кроме того, идеальной (без трения). Поэтому мы можем написать для данной несвободной точки дифференциальное

вектор- виде:вектор- виде:(5)(5)уравнение движения в ной форме в следующем

вектор- виде:

вектор- виде:

(5)

(5)

mr = F&+ М

как ужекак ужегде реакция связи Л\

как уже

как уже

говорилось, будет направлена по нормали к идеально гладкой поверхности /(х, у, z)=0, служащей связью.

Из курса дифференциальной геометрии известно, что направление так называемой внешней нормали к поверхности /(х, у, z)=0 совпа-

дает с направлением вектора

который называется градиентом скалярной функции /(х, у, 2). Так как реакция N рассматриваемой поверхности нормальна к поверхности /(х,弘 2)=0, то она коллинеарна с градиентом функции /(х, у, 2), т. е.

N = Xgrad/,

где 入——множитель пропорциональности, в общем случае зависящий от%, у, 2. На этом основании уравнение (5) можно представить в виде

(6)(6)mr = Fa -\- Xgrad/.

(6)

(6)

Спроектировав обе части этого векторного уравнения на неподвижные оси декартовых координат, получим дифференциальные уравнения движения материальной точки по идеально гладкой поверхности (4) в следующем виде: *

睽=尸:十煨，④=4+鳴,尸:十哪・ ⑺

Уравнения (7) называются дифференциальными уравнениями криволинейного движения несвободной материальной точки s проекциях на оси декартовой системы координат, или уравнениями Лагранжа первого рода. Эти уравнения и уравнение связи (4) представляют собой систему четырех уравнений, из которых могут быть определены четыре неизвестных функций времени х, у, z, X. В результате найдем закон движения точки, а по формуле

N = \ |grad /I = XN = \ |grad /I = X+++関2+関2

N = \ |grad /I = X

N = \ |grad /I = X

+

+

+関2

+関2

определим модуль нормальной силы реакции N. Как следует из вида уравнений (7), решение этих двух задач проводится совместно.

Если на материальную точку наложена стационарная, удерживающая, голономная и реальная связь, уравнение которой имеет тот же вид (4), то, проектируя обе части векторного уравнения (2) на неподвижные оси декартовых координат, получим'

加工=理+入祭+f7;

山匕司十鳴+f『；血2=胃+人^ +f产，山匕司十鳴+f『；血2=胃+人^ +f产，⑻⑻

山匕司十鳴+f『；

血2=胃+人^ +f产，

山匕司十鳴+f『；

血2=胃+人^ +f产，

⑻

⑻

尸?-尸mPcos尸?-尸mPcosгде F^, Fy р,尸『р——проекции силы трения Fmp на координатные оси. Эти проекции можно представить в следующем виде:

尸?-尸mPcos

尸?-尸mPcos

—Fmp cos(7,Л7 ) = — pWR ,

Поставив эти значения в уравнения (8), получим дифференциальные уравнения движения материальной точки по поверхности (4) с учетом трения в следующем виде:

О)О)

О)

О)

32 Н. Ф. Сахарный

Эти уравнения, а также уравнения (4) и F^p =仙汽 определяют собой систему пяти уравнений, из которых могут быть определены неизвестные величины х, у, z, N и F^p.

Заметим, что дифференциальные уравнения движения точки по заданной идеально гладкой или шероховатой кривой, рассматриваемой как пересечение двух поверхностей

/1U，у, z) = 0, %“，У，z) = 0,

пишутся аналогично уравнениям (7) или (9).

Таким образом, оказывается, что движение несвободной материаль

ной точки зависит не тольконой точки зависит не толькоот приложенных к точке сил и начальных

ной точки зависит не только

ной точки зависит не только

условий, а также от наложенных на эту точку связей. При этом значения начальных условий не могут быть независимыми друг от друга, а должны удовлетворять уравнениям связей.

Исследование движения несвободной материальной точки в осях естественного трехгранника. Пусть материальная точка массы m под действием активных сил движется по заданной неподвижной

Рис. 286Рис. 286夕 идеально гладкой кривой (рис. 286). Примером такого движения может служить движение шарика в криволинейной трубке. Тогда уравнение этой несвободной точки в век

Рис. 286

Рис. 286

торной форме будет иметь вид (3). Спроектировав обе части этого уравнения на оси естественного трехгранника: касательную (т), главную нормаль (п) и бинормаль (6) к кривой, получим

(10)(10)m s=尸:，

(10)

(10)

0 =『M・

Уравнения (10) называются дифференциальными уравнениями криволинейного движения несвободной материальной точки s проекциях на оси естественного трехгранника, или уравнениями s форме Эйлера.

Второе из этих уравнений показывает, что реакция связи при движении, или так называемая динамическая реакция, зависит не только от вида связи и приложенных к точке активных сил, как в статике, но и от характера движения точки, т. е. от скорости этого движения.

Уравнения (10) удобнее уравнений движения в декартовых координатах, потому что они позволяют решить задачи об определении закона движения точки и реакции связи независимо друг от друга. В самом деле, первое из уравнений (10) не содержит неизвестной реакции и позволяет определить путем интегрирования скорость точки и закон движения этой точки вдоль заданной кривой, т. е. s как функцию от /, а два другие служат для определения составляющих Nп и Nь неизвестной реакции связи и, следовательно, самой реакции связи. Однако уравнения в декартовых координатах могут быть получены и без предположения о стационарности связи, а поэтому они являются более общими.

Рассмотрим теперь движение материальной точки по заданной идеально гладкой плоской неподвижной кривой. Пусть на движущуюся точку действует активная сила 尸％ лежащая с этой линией в одной плоскости. Тогда, кроме силы 尸“,к точке будет приложена еще реакция связи N, направленная по нормали к данной линии и лежащая с ней в одной плоскости. В этом случае уравнения (10) примут следующий вид:

⑴)

tn н F n -\-N.

Рис. 287Рис. 287Уравнениями в форме Эйлера (10) или (И) можно пользоваться и в случае, когда материальная точка под действием активных сил движется по заданной неподвижной шероховатой кривой; при этом в первом из уравнений (10) или (11) к проекции

Рис. 287

Рис. 287

равнодействующей активных сил (F?) должна быть присоединена проекция силы трения (f1p=--甘N).

равно-равно-Задача 82. Материальная точка веса Р =mg, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длины I к неподвижной точке О, совершает под действием собственного веса некоторое движение по вертикальной окружности около положения

равно-

равно-

веси я (плоский математический маятник). Определить закон движения для случая малых отклонений точки от положения равновесия и натяжение нити (N) как функцию угла ср, образованного нитью с вертикалью (рис. 287).

Решение. Изобразим в произвольном положении М, определяемом углом 中，движущуюся точку и действующие на нее силы. На точку М действуют две силы: P~mg (сила тяжести точки М) и N (натяжение нити или реакция окружности, по которой движется точка М).

Направим вектор 弋° по касательной к окружности в точке М в сторону возрастания угла 中，а вектор п° — к центру О окружности; тогда (рис. 287)

———mg sin 9，尸/ =——trig cos 中，

и, применяя уравнения (11), получим

/72 石-=—ZHgSin%

团丁 = — mg cosy + ^,

так как p=Z.

Имея в виду, что 办=/?, перепишем эти уравнения в виде 屮 Т—f~ sE 中 zrz О,

N = m— + trig cos 9..

Интегрируя первое уравнение, можно найти угол 中 как функцию от времени £, т. е. закон движения точки; второе уравнение дает нам возможность, зная закон движения точки, определить натяжение нити.

Займемся интегрированием первого уравнения (а), т. е. уравнения

中十 f sin 中=0;(б)

сделаем подстановку <р=з, тогда

■ ■ ds d“) dtp da

中="=诉.^=而0

Уравнение (б) перепишется в виде

юс/ю =у— sin <р dy,

дткуда

彳=7 cos 屮丁 &

где С ——постоянная интегрирования.

Предположим, что маятник отвели от вертикали на угол 中° от положения равновесия и сообщили ему начальную скорость и。, направленную перпендикулярно к нити вверх, т. е. при /=0 中=屮()，?о= =，,тогда постоянная интегрирования С равна

e 二击y cos 中0，

и, следовательно,

=工 + 2早(cos? —cos 汽).(в)

Умножим обе части этого выражения на /2, получим

d =0； +2g/(cosp—COSPo).

Вставляя это выражение для v? в уравнение

N =+ mg cos

3 cos 平一2 cos 90 +3 cos 平一2 cos 90 +найдем натяжение нити N в произвольном положении движущейся точки

3 cos 平一2 cos 90 +

3 cos 平一2 cos 90 +

где P=mg.

Из полученной формулы можно сделать следующие выводы: 1) если 中о=0 (маятнику сообщается начальная скорость о。в положении равновесия точки М), то натяжение нити при движении точки М будет

3 cos ? — 2 十3 cos ? — 2 十N=P

3 cos ? — 2 十

3 cos ? — 2 十

причем в самом нижнем положении точки (при 屮=0) натяжение нити будет N—mg-}-^—-; 2) если маятник отвести от вертикали на угол ^0 и затем отпустить его без начальной скорости (у0—0), то натяжение нити при движении точки М будет

% = Р (3 cos 中一2 cos %), при этом мы видим, что если 9о=90°, то в самом нижнем положении точки М (при 9=0) натяжение нити N будет в три раза больше веса Р точки 府.

Вернемся к дальнейшему интегрированию уравнения (в). Решение этого уравнения не может быть выражено через элементарные функции. Поэтому найдем приближенное решение задачи. Для этого будем рассматривать малые отклонения точки от положения равновесия, т. е. примем

sin

тогда уравнение (б) будет иметь вид

中+早中=0, или

(г)(г)9 +依勺=О,

(г)

(г)

где 々2=§.

Общее решение этого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно, как известно, представить в следующем виде: -

平=& cos kt + C2 sin kt, (д) где & и C?——произвольные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий движения.

Не определяя пока постоянных Сх и С2, можем сделать некоторые важные выводы из равенства (д). Прежде всего находим, что движение точки является гармоническим колебательным движением (см. § 59, п. 7). По прошествии промежутка времени Т、т. е. •

(е)

обе функции sin 々/ и cos^/ принимают первоначальное значение, так как аргумент kt увеличивается на 2^, и, следовательно, движущаяся точка за время Т= ~ совершает пол ное колебание, и поэтому этот промежуток времени представляет собой период колебания точки Л1 (см. § 59, п. 7).

Подставляя в равенство (е) значение ^, найдем окончательную формулу для определения периода малых колебаний плоского математического маятника

Т = 2 穴 jZ_L , (ж)

из которой следует независимость периода малых колебаний от угла начального отклонения и от массы материальной точки. Этот факт был известен уже Галилею, хотя формулы, определяющей период малых колебаний маятника, Галилей не дал.

Предположим, что при f=0 9=%—0,中=中()=孑.Определим по этим начальным условиям движения точки М произвольные постоянные интегрирования С* и С2. Для этого подставим в правую часть уравнения (д) /=0, а в левую —中=^о=0, тогда найдем

О =

Чтобы использовать второе начальное условие движения точки М, вычислим ?

? = 一 С/ sin kt + Сzk cos kt

и, подставляя сюда /=0,中二屮^工号，находим

т. е.т. е.曳曳

т. е.

т. е.

曳

曳

После подстановки найденных значений постоянных Сх и С2 в уравнение (д) найдем частное решение дифференциального уравнения (г), или закон движения плоского математического маятника для случая малых его отклонений от положения равновесия в виде

ср —ср —兽sin 左九兽sin 左九⑶⑶

ср —

ср —

兽sin 左九

兽sin 左九

⑶

⑶

Рис. 288Рис. 288

Рис. 288

Рис. 288

Как известно из кинематики (см. § 59, п. 7), движение точки (или

маятника), происходящее согласно закону (з), называется гармони

ческим колебательным движением. Очевидно, что амплитуда колебаний маятника равна & =芻.

Задача 83. Материальная точка веса P—mg, подвешенная на невесо-У мой нерастяжимой нити длины / к неподвижной точке О (рис. 288), совершает под действием собственного веса некоторое движение по сфере около положения равновесия (сферический математический маятник). Определить

закон движения для случая малых

отклонений точки от положения равновесия, а также скорость точки (у) и натяжение нити (N), если угол, образованный нитью с вертикалью, задан и равен а..

Решение. Выбрав координатные оси, как указано на рис. 288, находим проекции силы Р (веса точки) на неподвижные оси координат

理=0,理=0, F^P^ mg.

Связью для точки является нить ОМ, допускающая движение точки по поверхности сферы радиуса /. Отсюда, обозначив координаты движущейся точки М через х, у и z, найдем уравнение связи

у, z)=炉 + ” + * — /2 = о,

откуда

и, следовательно, уравнения Лагранжа первого рода (7) принимают вид

тх = 1、・2х;

ту = )、・2у;

mz ~ л-2г + mg.

Прежде всего найдем скорость точки и натяжение нити (или реакцию сферы, по которой движется эта точка).

Очевидно, что

где перед N взят знак «плюс» потому, что мы предполагаем, что вектор N направлен в сторону внешней нормали к поверхности /(х, у, z)=0. Подставляя значения z=0, z=/cosx и 入=勿 в последнее дифференциальное уравнение, определим из него натяжение нити N

Так как мы направили вектор N в сторону внешней нормали к поверхности /(х, у, z)=0, то знак «минус» указывает на то, что вектор N в действительности будет направлен в сторону внутренней нормали к поверхности f(x, у, z)=0 (т. е. к точке О закрепления нити).

Теперь найдем скорость точки. Для этого продифференцируем два раза уравнение ее связи по времени, тогда получим

炉+无光十”十дд = 0,(a)

где 无2+^2=。2, z=z=0, а значения хну найдем из первого и второго дифференциальных уравнений движения после подстановки в них

значения =

2/ 2/Cosa

СТ2

-% г—y = 一У / —.

Z COS a ^^ /cos a

После подстановки этих значений в уравнение (а) получим

02 = —?—(х2 + у?),/ cos a、1 J /

где х2+у2=/2—z2=Z2sin2a, откуда находим скорость точки

V = g'sEa = sin a tga .

У cos a .

Перейдем теперь к определению закона движения точки. Пользуясь уравнением связи, найдем зависимость z от % л у

Z = ± "2 _(炉 + 川).

Подставляя это выражение для z в третье уравнение движения, мы могли бы определить 入 как функцию %, у и их производных. Внося найденное 入 в первые два уравнения движения, мы получили бы систему двух дифференциальных уравнений для определения хну.

Решение этой системы не может быть выражено через элементарные функции. Поэтому найдем приближенное решение задачи. Будем рассматривать малые отклонения точки М от положения равновесия, т. е. примем

После чего третье уравнение движения дает 入=—~ или N———mg, и, следовательно, первые два уравнения движения перепишутся так:

%4- -у % = 0;

У У = О-

31 Н. Ф. Сахарный■

Общее решение этих дифференциальных уравнений, как известно, можно записать в виде

% = & cos J-~-% = & cos J-~-f + С2 sinf + С2 sin]Л-~- i = аг sin (J 今 £+%)；]Л-~- i = аг sin (J 今 £+%)；⑹⑹

% = & cos J-~-

% = & cos J-~-

f + С2 sin

f + С2 sin

]Л-~- i = аг sin (J 今 £+%)；

]Л-~- i = аг sin (J 今 £+%)；

⑹

⑹

у = Сз cos ^/^-j-1 + С4 sin ^/^-у- t = a% sin ( ^/^-~- f + а2\(в)

где С。С2, Сз，С& (или &1，а1? а2, а2) — постоянные интегрирования; причем

% = / 窗 + 彌；％ = arctg 悬；

& = J С； + С： ; а2 H arctg ~ .

Возьмем такие начальные условия движения точки: при f=0, х=х0 и у=у()=О, т. е. маятник находится в плоскости хг. Дадим начальную скорость перпендикулярно к оси х, т. е. при f=0 х=хо=0, y—yQ—v0. Тогда, дифференцируя уравнения (б) и (в) по времени и подставляя в уравнения (б) и (в) и в полученные производные эти значения, получим

х0 = % sin 外，0 = % N~ cos %,

откуда

далее,далее,& ~ %Q,e 2 = "^-；

далее,

далее,

0 三 a2sin а3, и。=〃2 M号 cos а2>

отсюдаотсюда汉 2 = °’& == %汉 2 = °’& == %

отсюда

отсюда

汉 2 = °’& == %

汉 2 = °’& == %

Вставляя найденные значения постоянных интегрирования в уравнения (б) и (в), получим искомый закон движения сферического маят

ника

% =先 cos% =先 cos吓，吓，(r)(r)

% =先 cos

% =先 cos

吓，

吓，

(r)

(r)

乡=。0 У Y Sin ]/-^-1.(Д)

Таким образом, координаты хну точки М изменяются по закону гармонических колебаний (см. § 59, п. 7) с одним и тем же периодом

Т = 2п]/ф

Исключая из уравнений (г) и (д) f, найдем, что проекция ЛГ точки М на плоскость Оху описывает эллипс с центром, расположенным на оси Oz.

Задача 84. Материальная точка веса P—mg совершает прямолинейное движение по шероховатой плоскости, наклоненной под углом а к горизонту (рис. 289). Определить ,« закон движения точки, если в на- / чальный момент ее скорость на- / правлена по наклонной плоскости / вниз и по модулю равна

Решение. Выберем弋尊 俨

натные оси, неизменно связанные с наклонной плоскостью, так, как ^^^^^戶 указано на рис. 289 (начало отсчета поместим в начальном поло-]р

женин точки и ось Ох направим по _L^r^^

траектории точки в сторону движения). Тогда начальные условия

будут: при i=0 х=хо=0, х—х0= и0.Рис. 289

Так как точка движется по оси %, то уравнение наложенной на нее связи имеет вид y=Q.

Изобразим в произвольном положении М движущуюся точку и действующие на нее силы. Материальная точка М движется по шероховатой наклонной плоскости под действием собственного веса Р,нормальной реакции ^ наклонной плоскости и силы трения Fmp> направленной по наклонной плоскости вверх, противоположно движению точки. При этом будем считать, что сила трения пропорциональна давлению, т.е* 尸 1np=pjy, где 卩 ——коэффициент трения.

Согласно уравнению (2) будем иметь

илиилиmw^P + N + Fmp,

или

или

mw^ Р + %+ (—^N i),

где i ——единичный вектор оси Ох.

Спроектировав обе части этого векторного уравнения на выбран* ные неподвижные оси координат, получим дифференциальные уравнения движения точки по шероховатой наклонной плоскости

mx = zngsin а —卩N\

m у = — mg cos oc + "・

Так как у=0, то /=0, а поэтому из второго дифференциального уравнения находим

N = mucosa.

Подставляя это значение нормальной реакции в первое дифференциальное уравнение и сокращая это уравнение на т, получим

х — g (sin a — p, cos a) — const.

Следовательно, точка совершает равномерно-ускоренное движение. Интегрируя это уравнение, находим

х = g (sin a — p, cos a) f 十 &.(а)

Подставляя в правую часть уравнения (а) f=0, а в левую ——х=х0~ =。0， найдем, что C±=vQ и, следовательно,

х = % + g (sin a —屮 cos a) t

Интегрируя это уравнение, получим

%% 力 十 g (sin a — p, cos a) g +C2.(6)

Подставляя в правую часть уравнения (б) /=0, а в левую ——х= =хо=0, найдем, что С2=0, следовательно,

х = %f +g (sin a—p< cos a)

Это и есть искомый закон движения материальной точки по шероховатой наклонной плоскости.»

§92. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Пусть на несвободную материальную точку М массы m действует активная сила F° (рис. 290). Если, отбросив мысленно связь, заменить ее действие силой реакции N , то основной закон динамики примет для этой точки вид

=尸° 十 М(1)

где ®—ускорение точки М.

Перепишем уравнение (1) в виде

严+刃 + (一m0=0,.(2)

обозначая—_

—т g = O,(3)

будем иметьбудем иметьFa+N + Ф = О.Fa+N + Ф = О.(4)(4)

будем иметь

будем иметь

Fa+N + Ф = О.

Fa+N + Ф = О.

(4)

(4)

Сила Ф, равная по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленная в сторону, противоположную ускорению, называется силой инерции точки М.

Уравнение (4) выражает собой принцип Даламбера для несвободной материальной точки, который можно сформулировать следующим

RRРис. 290Рис. 290образом: во всякий момент движения материальной точки приложенные к ней активная сила и сила реакции связи как бы v「_ уравновешиваются условно приложенной к “ этой точке ее силой инерции.

R

R

Рис. 290

Рис. 290

Конечно, на самом деле__ никакого уравновешивания сил F°, N м Ф не будет,

так как на точку Л4 действуют только активная сила Fa и сила реакции N. Сила инерции Ф к материальной точке М не приложена, она лишь условно прилагается к этой точке, поэтому получающееся при этом равновесие является воображаемым.

О силе инерции ⑦=—(尸°十汽)=—R, на основании закона равенства действия и противодействия, можно сказать, что она равна силе, с которой движущаяся точка М действует на взаимодействующую с ней конфигурацию тел. Иначе говоря, сила инерции Ф действует на тело, от взаимодействия с которым получается приложенная к точке М активная сила 戸。，и на тело, осуществляющее связь, действие которой на точку Л1 характеризуется ее силой реакции N.

Принцип Даламбера является весьма удобным приемом для решения первой задачи динамики, т. е. задачи определения действующих на точку сил по заданному закону ее движения. При решении второй задачи динамики принцип Даламбера позволяет упростить составление уравнений движения точки.

Из принципа Даламбера вытекает, что, для того чтобы при решении динамических задач составить уравнения движения точки в форме уравнений равновесия, нужно к активной силе и силе реакции связи, фактически действующим на точку, присовокупить силу инерции этой точки. Из того что мы с помощью принципа Даламбера уравнениям динамики можем придать форму уравнений статики, вовсе не следует, что мы этим самым сводим динамическое явление к статическому. Последнее невозможно осуществить никакими приемами или методами,

так как динамические явления принципиально отличаются от стати

ческих.

При решении задач с помощью принципа Даламбера для изображения силы инерции Ф точки необходимо знать направление ускорения

этой ТОЧКИ W.

Если точка совершает прямолинейное движение, то направление

ускорения w известно. При этом Ф==—mw, а по модулю Ф—mw. Ясно, что при равномерном прямолинейном движении точки (т. е. при движении точки по инерции) ее сила инерции обращается в нуль.

Если точка движется по криволинейной траектории, то силу инерции этой точки удобно разлагать на две составляющие: касательную силу инерции ⑦t =—mwz , направленную противоположно касательно

му ускорению wx точки, и нормальную (или центробежную) силу инер

ции Фп=——mwn, направленную противоположно нормальному уско

рению wn точки (рис. 291). Так как нормальное ускорение точки на

правлено по главной нормали к траектории в сторону ее вогнутости, т. е. по главной нормали к центру кривизны С, то нормальная (или центробежная) сила инерции направлена по главной нормали в сторону выпуклости траектории, т. е. по главной нормали от центра кривизны С.

Проектируя обе части векторного равенства (3) на оси естественного

трехгранника, получим проекцию си- Рис- 291лы инерции точки М на касательную,

главную нормаль и бинормаль криволинейной траектории:

Фх =—mw^ ^ — m~~^-=—ms, Фп = —т% =,,5、

禽=一团侬力=0.

Отсюда получаем следующие выражения для модулей касательной и нормальной (или центробежной) сил инерции:

\0j = m|-^-|=m|s|. \фп\=Фп = ^-.

Аналогично, проектируя обе части равенства Ф=—mw на три координатные оси, получим проекции силы инерции точки на эти оси:

Фх = — mwx = — тх, Фу = — m ©у = — m yt

Сила инерции Ф точки М, движущейся под действием сил ?^ и ^, реально существует, но она, как было выяснено выше, приложена не к точке Mt а к телам, механически взаимодействующим с точкой М, л к связям, наложенным на эту точку.Заметим, что решение задач динамики с помощью принципа Да-Сила инерции Ф точки М, движущейся под действием сил ?^ и ^, реально существует, но она, как было выяснено выше, приложена не к точке Mt а к телам, механически взаимодействующим с точкой М, л к связям, наложенным на эту точку.Заметим, что решение задач динамики с помощью принципа Да-ламбера рассматривается иногда как самостоятельный ретической механики, называемый кинетосшатикой.Теперь, пользуясь принципом Даламбера (4), решим некоторые задачи динамики точки.Задача 85. Горизонтальная платформа, на которой с 厂смлежит груз весом Р юГ, движется с ускорением w 三 (рис. 292). Найти давление, производимое грузом 三 на платформу, при условии: 1) ускорение платфор- 三 мы направлено вертикально вниз, 2) ускорение плат- =- формы направлено вертикально вверх.Е-Решение. Принимаем груз, лежащий на плат- 三 форме, за материальную точку М.二Если платформа опускается с ускорением 侬，то 三 сила инерции Ф точки М (груза) будет направлена вертикально вверх (рис. 292), при этом по модулюламбера рассматривается иногда как самостоятельный ретической механики, называемый кинетосшатикой.Теперь, пользуясь принципом Даламбера (4), решим некоторые задачи динамики точки.Задача 85. Горизонтальная платформа, на которой с 厂смлежит груз весом Р юГ, движется с ускорением w 三 (рис. 292). Найти давление, производимое грузом 三 на платформу, при условии: 1) ускорение платфор- 三 мы направлено вертикально вниз, 2) ускорение плат- =- формы направлено вертикально вверх.Е-Решение. Принимаем груз, лежащий на плат- 三 форме, за материальную точку М.二Если платформа опускается с ускорением 侬，то 三 сила инерции Ф точки М (груза) будет направлена вертикально вверх (рис. 292), при этом по модулюраздел тео-раздел тео-УУ斤斤РРРис. 292Рис. 292имеем @=团侬=-имеем @=团侬=-На точку М действует сила тяжести P—mgНа точку М действует сила тяжести P—mgии

Сила инерции Ф точки М, движущейся под действием сил ?^ и ^, реально существует, но она, как было выяснено выше, приложена не к точке Mt а к телам, механически взаимодействующим с точкой М, л к связям, наложенным на эту точку.

Заметим, что решение задач динамики с помощью принципа Да-

Сила инерции Ф точки М, движущейся под действием сил ?^ и ^, реально существует, но она, как было выяснено выше, приложена не к точке Mt а к телам, механически взаимодействующим с точкой М, л к связям, наложенным на эту точку.

Заметим, что решение задач динамики с помощью принципа Да-

ламбера рассматривается иногда как самостоятельный ретической механики, называемый кинетосшатикой.

Теперь, пользуясь принципом Даламбера (4), решим некоторые задачи динамики точки.

Задача 85. Горизонтальная платформа, на которой с 厂см

лежит груз весом Р юГ, движется с ускорением w 三 (рис. 292). Найти давление, производимое грузом 三 на платформу, при условии: 1) ускорение платфор- 三 мы направлено вертикально вниз, 2) ускорение плат- =- формы направлено вертикально вверх.Е-

Решение. Принимаем груз, лежащий на плат- 三 форме, за материальную точку М.二

Если платформа опускается с ускорением 侬，то 三 сила инерции Ф точки М (груза) будет направлена вертикально вверх (рис. 292), при этом по модулю

ламбера рассматривается иногда как самостоятельный ретической механики, называемый кинетосшатикой.

Теперь, пользуясь принципом Даламбера (4), решим некоторые задачи динамики точки.

Задача 85. Горизонтальная платформа, на которой с 厂см

лежит груз весом Р юГ, движется с ускорением w 三 (рис. 292). Найти давление, производимое грузом 三 на платформу, при условии: 1) ускорение платфор- 三 мы направлено вертикально вниз, 2) ускорение плат- =- формы направлено вертикально вверх.Е-

Решение. Принимаем груз, лежащий на плат- 三 форме, за материальную точку М.二

Если платформа опускается с ускорением 侬，то 三 сила инерции Ф точки М (груза) будет направлена вертикально вверх (рис. 292), при этом по модулю

раздел тео-

раздел тео-

У

У

斤

斤

Р

Р

Рис. 292

Рис. 292

имеем @=团侬=-

имеем @=团侬=-

На точку М действует сила тяжести P—mg

На точку М действует сила тяжести P—mg

и

и

еебыеебысила реакции N платформы. Если условно приложим к точке М силу инерции, то согласно принципу Даламбера (4) получим как уравновешенную систему сил Pt N и Ф.

еебы

еебы

Направим координатную ось у так, как показано на рисунке, и напишем одно уравнение равновесия. Приравнивая нулю сумму проекций всех указанных сил на ось у, получим

ЕУ = % +⑦—Р = 0,

откуда

N = Р —⑦=Р (1 —

Давление, оказываемое грузом на платформу, на основании третьего закона динамики, равно по модулю силе реакции на груз со стороны платформы, но направлено в противоположную сторону. Поэтому, определив силу реакции платформы, мы тем самым определим силу давления груза на платформу. Как видим, сила давления оказывается меньше веса груза, причем как раз на величину, равную модулю силы инерции груза. В частности, если ©=g, то сила давления груза на платформу равна нулю.

Если платформа поднимается с ускорением 侬，то сила инерции Ф будет направлена вертикально вниз, и тогда найдем

т. е. сила давления груза на платформу с увеличением ускорения ©

возрастает.

Задача 86. Самолет выходит из пикирующего полета на горизонтальный по окружности радиуса г (рис. 293). Скорость самолета в момент

выхода на горизонтальный полет равна V. Определить, какой должен быть радиус г, чтобы сила реакции N, действующая на летчика, равнялась бы по модулю пР, где Р — вес летчика.

Решение. Примем летчика, находящегося в самолете, за материальную точку и изобразим эту точку в том положении М. для которого надо найти радиус г (рис. 293). На точку/И действует ее вес Р и сила реакции N. Нормаль

Р V2Р V2ное ускорение wn точки Л1 по модулю равно у н направлено к центру (С) окружности. Нормальная си

Р V2

Р V2

направлена по радинаправлена по радила инерцииФп точки М, равная по модулю

направлена по ради

направлена по ради

усу окружности в сторону, противоположную нормальному ускорению wn. Присоединяем (условно) к силам Р и N нормальную силу инерции Фп. Полученная система сил Р, N п Ф согласно принципу Даламбера (4) будет как бы находиться в равновесии. Направим координатную ось у так, как показано на рисунке, и напишем одно уравнение равновесия. Приравнивая нулю сумму проекций всех указанных сил на ось у, получим

р 7.2

2V = % —Р —二亠-О,g Г

откуда

g(Z — Q)・

По условию задачи N=nP, поэтому

gS —1)

Задача 87. Материальная точка весом Р, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длй?йы / к неподвижной точке О, описывает окружность в горизонтальной плоскости, причем нить составляет с вертикалью угол а (рис. 294). Определить скорость у точки и натяжение N нити.

Решение. Изобразим материальную точку в том положении М, для которого надо найти скорость точки и натяжение нити. На точку М действует сила тяжести Р и

натяжение нити N. Присоединяем (условно) к этим силам нормальную и касательную силы инерции Фп и Фт . Полученная система сил согласно принципу Даламбера (4) будет находиться как бы в равновесии. Направим оси координат так, как показано на рисунке, и напишем три уравнения равновесия. Приравнивая нулю сумму проекций всех указанных сил на соответствующие

координатные оси, получим

£ X =—⑦ т = 0;

=⑦也—TV sin а = 0;■(a)

£ Z = — P + N cos а =0.

Из первого уравнения находим

我=0,

/ sin а/ sin а(6)(6)т. е. материальная точка М движется по окружности радиуса p=/sincz равномерно. Поэтому полная сила инерции Ф точки М состоит лишь из одной нормальной составляющей, т. е.

/ sin а

/ sin а

(6)

(6)

Из третьего уравнения (а) находим

(в)(в)N = —^-

(в)

(в)

COS а

Подставляя равенство (в) во второе уравнение (а), находим

⑦也=jVsina = Ptga.

Подставляя сюда равенство (6), получим

gg/ sin a/ sin a=Ptga,=Ptga,откудаоткудаи = ]/ g I tg asin aи = ]/ g I tg asin a

g

g

/ sin a

/ sin a

=Ptga,

=Ptga,

откуда

откуда

и = ]/ g I tg asin a

и = ]/ g I tg asin a

Задача 88. На арочный мост АВ, имеющий в точках Л и В неподвижные опоры, расположенные на одной горизонтали, въезжает автомобиль весом Р кГ с постоянной скоростью Проезжая часть моста описана по дуге окружности радиуса г м. Определить наибольшее давление автомобиля на мост в двух случаях, когда проезжая часть

моста направлена соответственно выпуклостью кверху и книзу (рис. 295). При какой скорости автомобиля возможно его отделение от проезжей части моста?

Решение. Примем автомобиль за материальную точку и изобразим эту точку в том положении, для которого надо найти наибольшее давление автомобиля на мост. Рассмотрим прежде всего случай, когда проезжая часть моста направлена выпуклостью вверх. В этом случае наибольшее давление автомобиля на мост будет тогда, когда автомобиль находится в наивысшей точке проезжей части моста (в точке М), так как здесь все силы, приложенные к автомобилю, направлены по одной прямой. На автомобиль (на точку М) действует сила тяжести Р и сила реакции ^ моста. Присоединяем (условно) к этим силам нормальную силу инерции Фп автомобиля, направленную

в сторону, обратную нормальному ускорению wn автомобиля (точки М) и по модулю равную ⑦也=0 侬也==? •丁. Полученная система сил Р,

N и Фп согласно принципу Даламбера (4) будет как бы находиться в равновесии. Направим координатную ось у так, как показано на рисунке, и напишем одно уравнение равновесия. Приравнивая нулю сум・ му проекций всех указанных сил на ось у, получим

откуда

n = p^.与=p(1 -Ю(a)

Сила давления автомобиля на мост по модулю равна реакции N, но направлена в противоположную сторону. Как видим, в этом случае сила давления оказывается меньше веса автомобиля, причем как раз на величину, равную модулю силы инерции автомобиля.

Полагая "=0, найдем наибольшую скорость vmax, при которой возможно отделение автомобиля от проезжей части моста:

откудаоткудаР .味ах

откуда

откуда

Umax =丿化•

Если выпуклость моста направлена книзу, то наибольшее давление автомобиля на мост будет тогда, когда автомобиль находится в наиниз- шей точке проезжей части моста (в точке ЛГ), так как при этом все силы, приложенные к автомобилю, также направлены по одной прямой. В этом случае сила инерции Ф~Фп автомобиля направлена вниз, так как нормальное ускорение wn автомобиля направлено вверх; при этом будем иметь

% =尸 + ? • 4 =Р (1 + 器). (6)

Следовательно, в этом случае сила давления автомобиля на мост больше веса груза на величину, равную модулю силы инерции автомобиля. Сравнивая формулы (а) и (б), заключаем, что в случае, когда проезжая часть моста направлена выпуклостью книзу, давление автомобиля на мост значительно больше, чем в случае, когда выпуклость моста направлена кверху.

Г ла в а XIX

ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

§ 93. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГОДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Предыдущие главы динамики точки были посвящены изучению движения материальной точки по отношению к инерциальной (условно «неподвижной») системе отсчета, т. е. такой системе, для которой применимы основные законы динамики (законы Ньютона). Движение точки по отношению к такой инерциальной системе отсчета называют абсолютным.

В этой главе мы будем изучать движение материальной точки М массы т по отношению к неинерциальной системе отсчета Oxyz, т. е. такой системе, которая произвольным образом (с ускорением) движется по отношению к инерциальной системе отсчета。1工传自 (рис. 296). Движение точки М по отношению к такой неинерциальной системе отсчета называют относительным.

Основная задача динамики относительного движения точки, рас

сматриваемая в этой главе, состоит в следующем: пусть система отсчета Oxyz имеет известное нам движение относительно системы отсчета 0TxiУ14> T.f * для любого момента времени нам известно абсолютное ускорение wQ точки О, а также переносная угловая скорость ю^ и переносное угловое ускорение % системы отсчета Oxyz относительно системы отсчета 0工左^工厶・ Зная силы, действующие на точку Л4, а также начальные условия движения как в отношении точки М, так и в отношении системы отсчета Oxyz, требуется найти закон относительного движения точки М. Для решения этой задачи нужно сначала составить дифференциальные уравнения относительного движения точки М, а затем, проинтегрировав эти уравнения, найти искомый закон относительного движения этой точки М.

По основному закону динамики материальной точки, справедливому для инерциальной системы отсчета, получаем

(1)(1)mwa = F + N,

(1)

(1)

где wa ——абсолютное ускорение точки М, F ——равнодействующая активных сил, действующих на точку, N — реакция связей. Но из кинематики известно, что

Wa^Wr + we + WKt.(2)

где 吗，叫，wK — относительное, переносное и кориолисово (или поворотное) ускорения точки М.

Подставим в уравнение (1) значение wa из равенства (2) и одновременно перенесем члены с 侬& и 侬斤 в правую часть уравнения. В результате получим

mWr F + N +(—m3G.(3)

Следует обратить внимание на то, что векторы —mwe и —tn叫 мы можем назвать силами благодаря физической размерности этих величин и непосредственной возможности измерять их динамометром.

Сила, равная произведению массы движущейся материальной точки на ее переносное ускорение и направленная противоположно этому ускорению, называется переносной силой инерции Фе

Фе^—mWe.(4)

Сила, равная произведению массы движущейся материальной точки на ее кориолисово ускорение и направленная противоположно этому ускорению, называется кориолисовой или поворотной силой инерции

⑦к = —т wK.(5)

На основании сказанного уравнение (3) примет следующий вид:

mwr^=F + N + 内+ Фк.(6)

Это уравнение представляет собой основной закон динамики в векторной форме для относительного движения несвободной материала ной точки.

При составлении уравнения (6) в случае, когда 或方0 и &#0, надо иметь в виду, что

侬к = 2(0)е X 0「) >(7)

а также, что (см. § 77 и § 76)

we =侬о 十 S^X ("Хр ) + %Х р,(8)

где р — радиус-вектор, определяющий положение точки М относительно начала О подвижной системы отсчета Оху г.

Сравнив уравнение (6) с уравнением (1), мы приходим к следующему выводу： основное уравнение динамики относительного движения точки (6) можно составить так же, как 〃 основное уравнение динамики абсолютного движения точки (7), если только к действующим на точку силам (F и N) присовокупить переносную 〃 кориолисову силы инерции 色h我).

Проектируя обе части векторного уравнения (6) на оси подвижной системы отсчета Oxyz и принимая во внимание, что

^гх = %，叫у = U， 9「n = Z,

получим дифференциальные уравнения относительного движения точки в осях декартовых координат:

mx = Fx + Nx + Фex + %

ту = Fy + ^y + Фey + Фку; • (9) mz = Fz + N. + Ф^ + Ф^.

Аналогично выводятся дифференциальные уравнения относительного движения точки в осях естественного трехгранника.

Мы видим, что изменение относительного движения точки М может происходить по двум причинам: во-первых, в результате механического взаимодействия этой точки с другими материальными объектами и, во-вторых, вследствие произвольного (ускоренного) движения системы отсчета Oxyz по отношению к системе отсчета О^у^. При этом мерой изменения относительного движения точки М, которое произошло в результате механического взаимодействия этой точки с другими материальными объектами, являются активная сила F и реакция связей N. Мерой же того изменения относительного движения точки, которое обусловлено неинерциальностью подвижной системы отсчета Oxyz, являются переносная и кориолисова силы инерции 色h弘). _ _

Заметим, что силы инерции Фе и Фк по своему определению (см. формулы 4 и 5) не являются результатом механического взаимодействия точки М с другими материальными объектами внешнего мира. Появление этих сил целиком обусловлено движением неинерциальной системы отсчета Oxyz по отношению к инерциальной системе O1xiz/iZ1 и движением точки М относительно неинерциальной системы отсчета Oxyz; при этом силы инерции Фе и Фк являются как бы поправками на

неинерциальность подвижной системы отсчета Oxyz, Несмотря на одинаковость терминов природа сил инерции Фе и Фк иная, чем тех «сил инерции», которые фигурируют в принципе Даламбера, так как появление «даламберовых сил инерции» никак не связано с относительным движением точки М (см. § 92).

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи относительного движения точки.

Если подвижная система отсчета совершает по отношению к инерциальной (неподвижной) системе отсчета поступательное движение, то ш=0. Но тогда, как видно из равенств (7) и (5), получим Фк=0. В результате уравнение (6) примет вид

mwr — F+N + Ф.. (10)

Если материальная точка М по отношению к подвижной системе отсчета находится в покое, то для этой точки 侬^=0 и 0r=0. Далее, из равенств (7) и (5) следует, что и Фк=0. Подставив все эти значения в уравнение (6), мы получим

F+N ^Фе = 0. (И)

Уравнение (И) представляет собой уравнение относительного равновесия (покоя) точки. Из него следует, что в случае относительного равновесия (покоя) материальной точки активная сила, реакция связей и переносная сила инерции взаимно уравновешиваются,

Если подвижная система отсчета Oxyz совершает по отношению к инерциальной (неподвижной) системе отсчета О^у^ поступательное, равномерное и прямолинейное движение, то ио—const (и потому 侬о=0),久=0 и %=0. Но тогда, как видно из равенств (7) и (8), мы получим wK =0 и ”=0, а следовательно, 0K=0 и Фе—0, В результате основной закон динамики относительного движения точки (2) примет вид _ _ _

mwr —戸十后， (12)

т. е. такой же, как если бы движение материальной точки М рассматривалось по отношению к инерциальной системе отсчета О^у^ (см. уравнение 1). Отсюда следует, что точка М движется совершенно одинаково (с одинаковыми ускорениями в каждый момент времени) относительно систем отсчета O1x1z/1z1 и Oxyz, поэтому система отсчета Oxyz также является инерциальной.

Таким образом, постулируя, что, если есть хоть одна инерциальная система отсчета, мы получим бесконечное множество таких систем отсчета, потому что всякая другая система отсчета, находящаяся в состоянии поступательного, равномерного и прямолинейного движения относительно постулируемой инерциальной системы отсчета, будет так-

(13)(13)

(13)

(13)

же инерциальной системой. Так как законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, то во всех этих системах механические явления протекают совершенно одинаково. Поэтому никакими механическими опытами, произведенными внутри инерциальной системы отсчета, нельзя обнаружить, находится ли эта система отсчета в состоянии покоя или она движется поступательно, равномерно и прямолинейно. С механической точки зрения все инерциальные системы отсчета эквивалентны («равноправны»), и потому не существует инерциальной системы отсчета, которую можно было бы предпочесть другим инерциальным системам. Любую из инерциальных систем отсчета можно положить покоящейся, а скорости всех остальных инерциальных систем определять относительно нее.

Координаты г и р одной и той же точки в двух различных инерциальных системах O1x1z/1z1 и Oxyz, из которых вторая движется поступательно и прямолинейно относительно первой с постоянной скоростью 0°, связаны друг с другом соотношением

При этом подр аз у мевается, что ход времени одинаков в обеих системах отсчета

九=九(14)

Предположение об абсолютности времени лежит в самой основе представлений классической механики. Формулы (13) и (14) называют преобразованием Галилея. Законы динамики инвариантны по отношению к этому преобразованию, т. е. по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. В этом и состоит принцип от

носительности классической механики (принцип относительности Галилея — Ньютона).

Задача 89. Полая трубка АВ (рис. 297) вращается с постоянной угловой скоростью(о вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней неизменный угол 45°. В трубке находится шарик весом Р кГ.

Определить закон движения этого шарика по отношению к трубке, если начальная относительная скорость его равна нулю и начальное расстояние от точки О равно I. Трением шарика о стенки трубки пренебрегаем.

Решение. Изобразим шарик, принимаемый за материальную

точку, в произвольном положении М, Выберем начало подвижной системы отсчета, связанной с трубкой АВ, в точке О и ось Ох направим вдоль трубки от точки О к точке В (рис. 297). На материальную точку М будут действовать сила тяжести Р и сила реакции трубки N、перпендикулярная к оси Ох. К этим силам следует добавить переносную и кориолисову силы инерции Фе и ФЛ . Из равенств (5) и (7) следует, что сила инерции Фк направлена пер пенди кул яр но к плоскости рисунка от читателя (на рис. 297 сила Фк не показана). Сила инерции Фе направлена перпендикулярно к оси переносного вращения CD (вправо), так как(o=const, и по модулю равна.

色==上

e e g 2

Составим теперь дифференциальное уравнение относительного движения точки М.в проекциях на ось Ох (первое из уравнений системы 9)

Р D]/T . Р о 1

так как проекции кориолисовой силы инерции Фк и силы реакции трубки ^ на ось Ох равны нулю.

Полученное уравнение можно переписать в виде

х(а)

Общее решение этого дифференциального уравнения будет

х = Сге + С2 cН—^ Н2 ,⑹

где Ci и С2 — произвольные постоянные интегрирования.

Определим С^ и С2 по начальным условиям движения. По условию задачи при t=0, %=/, х=0.

Подставляя в правую часть уравнения (б) f=0, а в левую х=/, найдем

1^С1 + С2+^У2-(в)

Вычислив %, т. е.

x - & (0 -2- e 2— g2 ⑴一2一 e2,

и подставив сюда f=0, и %=0, находим

ИЛИ

& = Со.

Учитывая это, из равенства (в) получим

& = С?=& = С?=g昨⑴22g昨⑴22

& = С?=

& = С?=

g昨

⑴22

g昨

⑴22

постоянным ускорением w попостоянным ускорением w поРис. 298Рис. 298

постоянным ускорением w по

постоянным ускорением w по

Рис. 298

Рис. 298

Подставляя Сг и С2 в уравнение (б), найдем искомый закон относительного движения точки М (шарика)

『^/-专川2 )^4?-

Задача 90. Шарик, помещенный внутри кабины, движущейся с

вертикали вверх, скатывается с горизонтальной полки с начальной относительной скоростью % (рис. 298). Определить траекторию этого шарика в относительном движении, если вес шарика равен Р.

В этой же кабине подвешен на невесомой нерастяжимой нити длины / плоский математический маятник веса Р. Требуется составить уравнение относительного движения этого маятника и определить период его малых колебаний.

Решение. 1. Прежде всего рассмотрим относительное движение шарика, который мы примем за материальную точку. Выберем систему подвижных осей Oxyz. связанных с кабиной так, как показано на рис. 298 (ось у направлена вертикально вниз и проходит через начальное положение шарика, ось % направлена горизонтально

вдоль вектора начальной относительной скорости 0°, а ось z направлена пер пенди кул яр но к плоскости чертежа). Изобразим движущуюся точку (шарик) в произвольном положении М. Переносная сила инер- ции Фе равна по модулю ~ w и направлена вертикально вниз. Так как переносное движение является поступательным, то кориолисова сила инерции Фк равна нулю, кроме того, так как точка М совер-

шает свободное движение (точка является свободной материальной точкой), то реакция связей N также равна нулю. Дифференциальные уравнения относительного движения точки М будут поэтому иметь следующий вид:

р • •п • •рр - •

•—■ х — 0, ■一- У ~ Рz = 0,

gggg

или

x = 0, У = g + 9, z = 0.

Интегрируя эти уравнения, получим

%У (g 十侬)f + С?， Z =。3・

Так как в начальный, момент, т. е. при f=0, проекции относитель

ной скорости % точки М на подвижные оси равны %=%, %=0, &)= =0, то

& = % С2 = 0, С3 = 0.

Следовательно,

% = %， У = (g + 侬)/， z =。・

Интегрируя эти уравнения, получим

х vQt + С^ у = 3喈"2 + &， z = С6.

Принимая во внимание, что при f=0 %°=0, Уо=0, 2。=°，находим

С《—0, С5 = 0, С6 = 0.

Таким образом, имеем

% = и(ЛУ =4" (g 十陋”2，z = 0・

Из третьего уравнения следует, что относительная траектория точки лежит в вертикальной плоскости О%“. Исключая £ из первого и третьего уравнений, получаем уравнение относительной траектории

Это есть уравнение параболы. Если бы кабина двигалась равномерно, то ⑵=0 и относительная траектория точки была бы также параболой, но ее параметр был бы иным.

Рассмотрим теперь относительное движение математического

маятника. Уравнение относительного движения этого маятника можно составить так же, как и раньше: надо считать кабину неподвижной, но к силе тяжести Р маятника и реакции нити ^, приложенным к маятнику, следует присовокупить переносную силу инерции Фе= — -w. Приравнивая произведение массы маятника ~ на его относительное касательное ускорение s сумме проекций всех указанных сил на направление касательной, получим

—s ——尸 sin ?— w sin 中.

Полагая здесь s=/g и sirifQ?, придем к уравнению

9十收？ = 0, где.

Припоминая, что период малых колебаний математического маятника определяется из равенства (см. задачу 82)

мы можем сделать заключение, что наблюдатель внутри кабины имеет возможность измерять ускорение w из наблюдений над качанием маятника, если в его распоряжении имеются часы, на ход которых не влияет движение кабины. Если же 侬=0, то период малых колебаний маятника остается одним и тем же при любом равномерном движении кабины вверх или вниз; никакими механическими опытами нельзя обнаружить, находясь внутри закрытой со всех сторон кабины, движется ли она относительно Земли или нет.

§ 94. ОТКЛОНЕНИЕ СВОБОДНО ПАДАЮЩЕЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ОТ ВЕРТИКАЛИ К ВОСТОКУ ВСЛЕДСТВИЕ СУТОЧНОГО

ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ

В главе XVI при формулировке закона инерции было указано, что при решении большинства задач динамики, относящихся к технической практике, за инерциальную систему отсчета можно принять систему координат, неизменно связанную с Землей. Там же было отмечено, что, принимая такую систему координат за инерциальную систему отсчета, мы при этом в первую очередь пренебрегаем суточным вращением Земли вокруг своей оси. Исследуем теперь, как сказывается это вращение на равновесии и движении относительно Земли тел, находящихся вблизи земной поверхности.

В тех случаях, когда при решении задач динамики приходится учитывать суточное вращение Земли, система координат, неизменно связанная с Землей, уже не может считаться инерциальной системой отсчета. В таких случаях, как уже указывалось, за инерциальную систему отсчета можно принимать систему координат О^у^, начало которой находится в центре Земли, а оси направлены к трем выбранным «неподвижным» звездам (рис. 299). По отношению к этой системе ко-

Рис. 301Рис. 301

Рис. 301

Рис. 301

ординат Земля совершает свое суточное вращение, делая один оборот за 23 часа 56 минут 4 секунды, т. е. с угловой скоростью

3= 24^60-^ 0,0000729-^.

Относительный покой материальной точки на поверхности Земли. Рассмотрим сначала относительное равновесие (покой) материальной точки М массы т, подвешенной на нити вблизи земной поверхности (рис. 300). На эту точку действует сила всемирного тяготения F , направленная к центру Земли, и сила реакции нити N. Согласно § 93 для получения уравнений относительного равновесия точки М к силам F и ^ необходимо еще присовокупить переносную силу инерции Фе. Так как угловая скорость суточного вращения Земли(o=const, то сила Фе имеет только нормальную составляющую 必吟(центробежная сила инерции), направленную перпендикул яр но к оси вращения, причем по модулю Ф^^та)2^^ где ^——расстояние точки М от земной оси. Уравнение равновесия точки М по отношению к земной поверхности в векторной форме будет иметь следующий вид:

Мы можем измерять силу реакции нити ^, если заменим нить динамометром; динамометр покажет силу тяжести (вес) материальной точки М, т. е. P~mg=——N. Учитывая это обстоятельство, мы из формулы (1) получим — —

尸=т guF+ФВ，

е. наблюдаемый на поверхности Земли вес материальной точки есть равнодействующая силы всемирного тяготения материальной точки к Земле и центробежной силы инерции этой точки. Следовательно, учитывая силу тяжести Р при составлении уравнения относительного равновесия (1), мы тем самым автоматически учитываем и переносную силу инерции Фе^Ф^}. —

Линия действия силы тяжести Р точки М называется вертикалью в данном пункте земной поверхности, а плоскость, перпендикулярная к вертикали, называется горизонтальной плоскостью. Угол 中，составленный вертикалью (а не радиусом Земли) с плоскостью экватора, называется географической широтой в данном пункте земной поверхности.

Из изложенного ясно, что сила тяжести Р (следовательно, и ускорение силы тяжести g^^) зависит от географической широты в данном пункте земной поверхности. При этом Р (следовательно, и g) зависит также и от высоты этого пункта над уровнем моря.

Отклонение свободно падающей материальной точки от вертикали к востоку вследствие суточного вращения Земли. Принимая во внимание полученные результаты, рассмотрим материальную точку М с массой т, падающую без начальной скорости на поверхность Земли с настолько малой (по сравнению с радиусом Земли) высоты Н (рис. 301), что ускорение силы тяжести g за время падения можно считать постоянным. Сопротивлением воздуха будем пренебрегать.

В качестве системы отсчета, неизменно связанной с вращающимся земным шаром, возьмем следующую систему координат Oxyz. Поместим начало этой системы координат на поверхности Земли в точке О, географическая широта которой задана углом 平, ось Oz направим по вертикали вверх, а ось Оу —— по касательной к параллели на восток, тогда ось Ох будет направлена на юг (рис. 299 и 301). Выбранная нами система отсчета не будет инерциальной вследствие суточного врашения Земли. Чтобы учесть суточное вращение Земли, к точке М,

кроме силы тяжести Р = ш& в которую уже включена переносная сила инерции Фе~Ф^п\ надо приложить кориолисову силу инерции @&= =—_2/и (о)Х%), направленную на восток (рис. 301). При этом мы можем написать уравнение относительного движения точки в векторной форме в следующем виде:

mwr = m g — 2m (g)X vr ),

или

wr= g — 2 (⑴ X и j.(2)

Это уравнение иногда называют уравнением свободно падающей материальной точки, или уравнением баллистики в пустоте с учетом нейнерциальности системы отсчета. Вектор угловой скорости Земли ⑴ направлен по оси вращения Земли с юга на север.

Очевидно, что

20「) = 2 ——to cos ；p 0 cosing .

Принимая это во внимание, спроектируем обе части векторного уравнения (2) на подвижные оси координат Oxyz:

尤=2 у со sin g;

у~—2 (%⑴ sin?十 Ns cos?);(3)

z = —g+2yseos.

Рассмотрим теперь движение точки с начальными условиями:

% = 0, у = 0, z = 0. J

Интегрирование системы дифференциальных уравнений (3) проведем методом последовательных приближений.

Если пренебречь кориолисовым ускорением, то решение системы дифференциальных уравнений (3) при начальных условиях (4) будет

% = 0, 9 = 0, z = H —等.% = 0, 9 = 0, z = H —等.(5)(5)

% = 0, 9 = 0, z = H —等.

% = 0, 9 = 0, z = H —等.

(5)

(5)

Примем это решение за первое приближение. Подставляя выражения (5) ^уравнения (3), получим дифференциальные уравнения второго приближения:

х = 0;

у = 2 g£ co cos(6)

z= —g・

Интегрируя систему дифференциальных уравнений (6) и используя начальные условия (4), получим искомый закон движения точки с учетом суточного вращения Земли:

% = 0;

У = 丁＜og 产 cos?;(7)