Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу настоящей книги положен курс лекций по классической механике, читавшийся автором на физическом факультете Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина на протяжении последних 20 лет. Книга написана в полном соответствии с новой программой по курсу теоретической физики для физических специальностей педагогических институтов, утвержденной Министерством просвещения СССР в 1977 г., в которой механика рассматривается как первый и важнейший раздел единого курса теоретической физики. Поэтому в книге особое внимание уделено принципиальным вопросам классической механики — ее основным понятиям и законам; принципам относительности и причинности; законам сохранения и их связи с симметрией пространства-времени; вариационным принципам механики и общим методам получения первых и вторых интегралов уравнений движения; методам качественного исследования поведения механических систем и ее связи с другими разделами современной физики.
Написанию книги во многом способствовала постоянная помощь со стороны моего незабываемого учителя проф. Э. В. Шпольского и нынешнего заведующего кафедрой теоретической физики, проф. Т. Н. Болотниковой. Автор искренне признателен также доц. Н. А. Попову за обсуждение ряда вопросов.
Приношу искреннюю благодарность рецензентам: коллективу кафедры Кировского педагогического института им.В. И. Ленина и проф. М. С. Свирскому за ценные замечания, учет которых помог улучшить рукогГись книги.
Автор
ГЛАВАГЛАВАОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯИ ЗАКОНЫКЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
ГЛАВА
ГЛАВА
§ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАКАК ТЕОРИЯ МЕХАНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯМАКРОСКОПИЧЕСКИХ ТЕЛ
В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя ве может двигаться иначе, как в пространстве и во времени.
В. И. Л е в и в
Все реально существующее в мире, начиная от элементарных частиц и различных полей, от атомов и молекул и кончая такими объектами Вселенной, как звезды и галактики, представляет собой единую материальную систему, находящуюся в состоянии непрерывного движения и изменения. Формы движения материальных объектов весьма разнообразны и многочисленны. Наиболее простой формой движения является механическое движение, т. е. перемещение со временем одних материальных тел относительно других. «Всякое движение связано с каким-нибудь перемещением— перемещением небесных тел, земных масс, молекул, атомов или частиц эфира. Чем выше форма движения, тем незначительнее становится это перемещение. Оно никоим образом не исчерпывает природы соответствующего движения, но оно неотделимо от него. Поэтому его необходимо исследовать раньше всего остального... И действительно, мы видим, что в историческом развитии естествознания раньше всего разрабатывается теория простого перемещения, механика небесных тел и земных масс...». Такой теорией является классическая механика Ньютона, существующая уже около трехсот лет
Основу классической механики составляют небольшое число сравнительно простых и наглядных гипотез (постулатов), связанных с,введением основных понятий о пространстве и времени, силе и массе, инерциальной системе отсчета, и законы Ньютона. Благодаря этому классическая механика отличается своей логической стройностью и внутренней непротиворечивостью.
Исследуя наиболее общие законы механического движения, присущего в той или иной мере любому физическому процессу и явлению, классическая механика оказывается тесно связанной с другими разделами физики (электродинамикой, оптикой, статистической физикой, теорией относительности, квантовой механикой и т. д.). Многие следствия, вытекающие из основных законов механики (например, законы сохранения энергии, импульса и механического момента; вариационные принципы), при соответствующем обобщении приобретают форму фундаментальных законов природы. При решении частных задач механика широко использует математические методы исследования; многие из этих методов (например, методы Лагранжа и Гамильтона, вариационные методы и методы теории возмущений), впервые разработанные и апробированные в классической механике, ныне широко используются почти во всех разделах теоретической физики.
Изучая процессы механического движения тел, механика дает рациональные основы конструирования разнообразных машин и механизмов. Поэтому механика Ньютона всегда была и еще долго будет оставаться наряду с другими физическими теориями основой развития техники.
Как и всякая другая физическая теория, классическая механика имеет определенные границы применимости. Прежде всего, как показала специальная теория относительности (СТО), классическая механика не может правильно описать движение любого материального объекта, движущегося со скоростью и, сравнимой со скоростью света с в вакууме. Движение тел при и ~ с описывается релятивистской механикой, основанной на постулатах СТО (т. е. на принципе относительности Эйнштейна и постулате о постоянстве скорости света). Кроме того, классическая механика так же, как и классическая электродинамика Максвелла, оказывается несостоятельной при ее применении к описанию движения отдельных атомов, электронов и других микроскопических (элементарных) частиц, составляющих атомные ядра, атомы и молекулы. Поведение микроскопических частиц вещества, движущихся со скоростями и < с, описывается особой физической теорией, называемой нерелятивистской квантовой механикой. Что же касается поведения микрочастиц и процессов, происходящих в различных полях при и ~ с, то, как показывает современная физическая наука, их последовательно строгое и полное описание возможно только в рамках релятивистской квантовой теории поля, далекой пока до своего окончательного завершения.
Таким образом, классическая механика представляет собой теорию достаточно медленных (и < с) движений макроскопических тел, состоящих из огромного числа атомов или молекул, т. е. классическая механика — это нерелятивистская теория механического движения макроскопических тел. О месте классической механики в ряду других теорий современной физики можно наглядно судить по приводимой ниже таблице.
Место классической механики среди других современных физических теорий
Макроскопические тела
Микроскопические объекты
У< с
Классическая механика
Нерелятивистская квантовая механика
у - с
Релятивистская механика
СТО
Релятивистская квантовая теория (квантовая теория поля)
Из этой таблицы видно, что классическую механику можно одновременно рассматривать как предельный случай релятивистской механики СТО и как частный случай нерелятивистской квантовой механики. В этом находит свое отражение один из важнейших принципов современной физики — принцип соответствия, требующий, чтобы любая более общая физическая теория содержала менее общую теорию как свой частный (предельный) случай.
ОСНОВНЫЕ РАЗДЕЛЫ И ОБЪЕКТЫИЗУЧЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
При изучении общих законов реальных движений тел, которые почти всегда оказываются достаточно сложными, приходится абстрагироваться от многих несущественных для данного движения деталей и вместо реальных тел рассматривать движение некоторых идеализированных объектов. Такими объектами в классической механике являются: материальная точка (или бесструктурная точечная частица), системы материальных точек, абсолютно твердое тело и сплошная (непрерывная) среда — деформируемое (упругое) твердое тело, жидкость или газ. Каждому из этих абстрактных понятий соответствует представление о некотором реально существующем материальном объекте, при рассмотрении движения которого можно пренебречь или его размерами (материальная точка), или его деформацией (абсолютно твердое тело), или дискретной атомно-молекулярной структурой (сплошная среда).
Материальной точкой принято называть тело бесконечно малых размеров по сравнению с пространственными соотношениями (например, размерами области движения), играющими существенную роль в данном движении. Можно ли какое-нибудь конкретное тело рассматривать в качестве материальной точки,— это полностью зависит от характера движения данного тела, т. е. от того, как и в какой пространственной области происходит движение. Например, рассматривая движение Земли относительно Солнца, и Солнце и Землю (если отвлечься от вращения Земли и Солнца вокруг собственных осей как от несущественной детали) можно считать мате-
риальными точками, так как их размеры (радиус Солнца «7 • 108 м, радиус Земли «6 • 10е м) малы по сравнению с расстоянием между их центрами, составляющим примерно 1,5 • 10п м. С другой стороны, сколь бы ни было мало тело, его вращательное движение относительно оси, проходящей через тело, нельзя свести к вращению какой-нибудь одной материальной точки.
Системой материальных точек называют совокупность тел, если каждое из них можно рассматривать как материальную точку. В качестве примера такой совокупности тел можно назвать Солнечную систему. Характерной особенностью этой системы является то, что ее дискретность возникает на надмолекулярном уровне, т. е. она не связана с атомно-молекулярной структурой вещества. При решении ряда задач молекулярной физики достаточно разреженный газ также можно рассматривать как систему материальных точек.
Характерно, что, называя во всех приведенных выше примерах те или иные реальные тела материальными точками и изучая только механическое движение этих тел, мы совершенно не интересуемся их внутренней структурой. Отсюда следует, что под материальной точкой в классической механике фактически понимают бесструктурную точечную частицу, наделенную определенной массой, зарядом (если это заряженная частица), энергией, импульсом, но лишенную внутренних структурных характеристик (таких, как момент инерции, дипольный момент и т. д.). Поэтому в дальнейшем вместо понятия «материальная точка» мы чаще всего будем использовать термин «бесструктурная точечная частица» (или просто — частица).
Принципиально важное значение в механике имеет понятие об абсолютно твердом теле как о такой системе материальных точек, расстояния между которыми в процессе движения сохраняются неизменными, ибо с абсолютно твердыми телами в механике связывают так называемые системы отсчета, необходимые для описания механического движения тел.
В зависимости от изучаемых объектов механику можно разделить на механику материальной точки и системы точек, механику абсолютно твердого тела и механику сплошных сред. Последнюю в свою очередь подразделяют на теорию упругости, изучающую поведение упругих твердых тел, гидро- и аэромеханику.
По характеру решаемых задач механику делят на кинематику, динамику и статику. В кинематике изучаются чисто геометрические свойства механических движений без учета причин, которыми обусловлено то или иное движение. Кинематика, по существу, является геометрическим языком классической механики. Динамика представляет собой раздел механики, в котором механическое движение тел изучается в отношении его причин и следствий. Статика, изучающая условия равновесия механических систем, является частным случаем динамики. В настоящей книге основное внимание уделено рассмотрению динамических задач классической механики и изложению методов их решения.
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯО ПРОСТРАНСТВЕ И ВРЕМЕНИ И ИХ АРИФМЕТИЗАЦИЯ
Движение материальных тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому представления о пространстве и времени являются основными понятиями не только классической механики, но и всей физики. Эти понятия отражают реально существующие в мире пространственные соотношения взаимного расположения материальных объектов и реальные соотношения длительности и следования друг за другом различных материальных процессов. Таким образом, эти понятия отображают объективно существующие (т. е. существующие вне нашего сознания) пространство и время как важнейшие атрибуты материи, как основные формы ее существования.
Пространство и время по своей природе одновременно и абсолютны, и относительны. Их абсолютность состоит в том, что они являются основными формами существования материальных объектов, а относительность пространства и времени означает зависимость их свойств от конкретных процессов движения и изменения материальных тел И полей.
Наши представления о пространстве и времени не остаются неизменными, они постоянно развиваются и совершенствуются. И в этом нет ничего удивительного. «Человеческие представления о пространстве и времени,— отмечал В. И. Ленин в своей работе «Материализм и эмпириокритицизм», — относительны, но из этих относительных представлений складывается абсолютная истина, эти относительные представления, развиваясь, идут по линии абсолютной истины, приближаются к ней. Изменчивость человеческих представлений о пространстве и времени так же мало опровергает объективную реальность того и другого, как изменчивость научных знаний о строении и формах движения материи не опровергает объективной реальности внешнего мира». Следовательно, эволюция, а на некоторых этапах даже коренная ломка сложившихся представлений о пространстве и времени столь же закономерны, сколь закономерен сам процесс развития физики.
В основе классической механики лежат наиболее примитивные представления о пространстве и времени, полученные в результате обобщения наблюдений медленных движений макроскопических тел в условиях Земли. В механике Ньютона признается, что пространство и время существуют объективно, однако они рассматриваются в отрыве друг от друга и в отрыве от движущихся материальных объектов. Считается, что движение материальных тел и процессы, протекающие в различных полях, не оказывают никакого влияния на свойства пространства и времени, т. е. абсолютность пространства и времени в классической механике понимается в смысле их полной независимости от движущейся материи.
В классической механике постулируется, что абсолютное пространство всюду непрерывно, однородно и изотропно, а его метри-
ческие свойства полностью описываются системой аксиом геометрии Евклида. Утверждается также, что время в различных участках пространства протекает одинаково равномерно, что оно так же, как и пространство, непрерывно и однородно. В связи с этим в классической механике считается возможным, находясь на Земле, установить одновременность двух каких-либо событий на любых других телах независимо от скорости этих тел по отношению к Земле.
Отрыв в классической механике пространства и времени друг от друга и от движущихся тел связан с допущением возможности мгновенной передачи взаимодействия между телами. Однако реальное взаимодействие тел не может передаваться мгновенно. Поэтому указанное допущение, вытекающее из признания безотносительности пространства и времени к движущимся телам, являлось серьезным методологическим затруднением в классической механике. Эта трудность была преодолена с созданием специальной теории относительности.
Постулировав существование предельной скорости передачи взаимодействия (скорости света в вакууме), СТО показала, что абсолютных пространства и времени, не связанных друг с другом и безотносительных к движению материальных тел, в природе не существует, а существует единое пространство-время, тесно связанное с движением тел; тем самым была доказана относительность пространственных и временных интервалов и относительность понятия одновременности событий. Однако эти выводы СТО (и это весьма примечательно) не привели к краху ньютоновской механики. Основы классической механики не были поколеблены, была установлена лишь область ее применимости. Объясняется это тем, что в земных условиях мы практически почти всегда имеем дело со скоростями тел, малыми по сравнению со скоростью света. Поэтому все следствия, вытекающие из основных постулатов и законов механики Ньютона, с большой точностью оправдываются в самых разнообразных опытах. И только в мире элементарных частиц, движущихся со скоростями, близкими к скорости света, приходится использовать релятивистскую механику СТО.
Следующий крупный шаг в развитии наших представлений о пространстве и времени был сделан общей теорией относительности (или теорией тяготения Эйнштейна), установившей неразрывную связь свойств пространства и времени с происходящими в них материальными процессами. Обобщение СТО на любые формы движения позволило Эйнштейну установить связь гравитационных полей с искривлением пространства-времени. Было показано, что при наличии сильного гравитационного поля пространство-время искривляется и перестает быть евклидовым: кратчайшим расстоянием между двумя точками пространства оказывается не прямая, а отрезок кривой. Тем самым общая теория относительности показывает, что нельзя говорить об однородности и изотропности пространства и однородности времени в целом, безотносительно к конкретным физическим системам и протекающим в них процессам.
Таким образом, создание общей теории относительности явилось новым и еще более фундаментальным подтверждением справедливости общего положения диалектического материализма о том, что пространство и время есть формы существования движущейся материи.
Чтобы наблюдать и изучать движение тел, следует предварительно арифметизировать пространство и время и получить тем самым возможность выражать любые пространственные и временные соотношения с помощью чисел. Для этого требуется указать способ измерения расстояний между материальными телами, интервалов между различными моментами времени и выбрать какую- нибудь систему отсчета.
Измерение расстояний между телами можно осуществить с помощью эталонов длины. При этом расстояние между двумя материальными точками будет определяться числом, показывающим, сколько раз эталон длины укладывается на отрезке прямой, соединяющей эти точки. До 1962 г. за эталон длины принимался метр— длина некоторого твердого тела, хранящегося в стационарных условиях (его длина составляла 1/40 000 000 часть Парижского меридиана). В Международной системе единиц (СИ), введенной в СССР с 1963 г., за эталон длины п^татметр — длина, равная 1 650 763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р10 и 5ds атома криптона-86. Новый эталон позволяет воспроизводить метр с точностью на два порядка выше, чем старый (0,002 — 0,003 мкм вместо 0,2 — 0,3 мкм).
Для измерения времени надо иметь какие-нибудь часы, т. е. прибор, действие которого основано на использовании некоторого периодического процесса, протекающего равномерно и независимо от перемен, происходящих при этом в других явлениях природы (например, колебания маятника, вращение Земли вокруг своей оси, обращение Земли вокруг Солнца и т. д.). До 1962 г. в качестве эталона времени использовалась определенная часть средних солнечных суток. Однако, ввиду экспериментально обнаруженной неравномерности вращения Земли и изменений среднего тропического года, в СИ за эталон времени принята секунда — интервал времени, равный 1/31 556 925,9747 тропического года для 1900 г., января 0 в 12 часов эфемеридного времени.
Систему координат, жестко связанную с некоторым абсолютно твердым телом (называемым телом отсчета), и часы, движущиеся вместе с этим телом, называют системой отсчета. В качестве системы координат в принципе можно взять любые три криволинейные коорди-
наты qv q2, q3. Однако наиболее простой и удобной является система прямоугольных декартовых координат х, у, г с ортами i, j, к (рис. 1.1). Условимся использовать только правовинтовые системы координат. Это означает, что единичные векторы i, /, к должны быть связаны между собой соотношением к = [ i /].
Положение какой-нибудь материальной точки М относительно выбранной системы отсчета полностью определяется заданием ее радиуса-вектора г (рис. 1.1). Разложив этот вектор по осям декартовой системы координат Охуг, получим:
г — xi + у] + zk, (1.1) где х, у, z — проекции радиуса-вектора на оси Ох, Оу и Oz. Таким образом, при определении положения материальной точки М в момент времени / ей ставятся в соответствие четыре числа: три пространственные координаты х, у, z и «временная» координата t.
В заключение кратко сформулируем основные постулаты о свойствах пространства и времени, необходимые для обоснования и построения классической механики.
Постулат 1. В классической механике считается возможным одновременное измерение с какой угодно точностью любых физических величин, характеризующих движение макроскопических тел.
Это означает, что взаимодействием, возникающим в процессе измерения между измерительным прибором и макроскопическим телом, всегда можно пренебречь в силу его малости. Поэтому можно считать, что процесс измерения любой физической величины не изменяет состояния движения макроскопического тела и, следовательно, не изменяет самой измеряемой величины (например, измерение положения тела не сказывается на его координатах, а измерение продолжительности какого-либо механического процесса не влияет на его длительность). Указанное допущение с большой точностью выполняется при рассмотрении движения макроскопических тел, однако для атомных явлений эта гипотеза оказывается неверной.
Постулат 2. В классической механике принимается, что продолжительность любого процесса одинакова во всех системах отсчета, движущихся относительно друг друга произвольным образом, т. е.
^-t^t.-tx, (1.2)
где t2 — tx и t2 — tx — продолжительности одного и того же процесса в двух различных системах отсчета. Этим постулатом утверждается абсолютность временных интервалов между событиями.
Фактически постулатом 2 утверждается существование таких часов, период которых не зависит от характера их движения и не изменяется при переносе из одной произвольно движущейся системы отсчета в другую. Согласно (1.2) во всех системах отсчета
Рис. 1.2Рис. 1.2теля, движущегося с системойтеля, движущегося с системой(1.3)(1.3)dr2 = dx2 4~ dy2 4" dza.dr2 = dx2 4~ dy2 4" dza.(1.4)(1.4)
Рис. 1.2
Рис. 1.2
теля, движущегося с системой
теля, движущегося с системой
(1.3)
(1.3)
dr2 = dx2 4~ dy2 4" dza.
dr2 = dx2 4~ dy2 4" dza.
(1.4)
(1.4)
можно произвольным образом выбрать одно и то же начало отсчета времени и ввести для всех систем отсчета единую временную координату t.
Проследим за движением двух точечных частиц Mt и М2 одновременно из двух систем отсчета К и К', движущихся относительно друг друга произвольным образом. Положение частицы Мг относительно частицы М2 с точки зрения наблюда- счета К, определяется вектором
(см. рис. 1.2)
'и = ^ — G = <А — xj Z+ (у3 — yj И кЧ — ^ к.
а с точки зрения наблюдателя, движущегося с системой отсчета К’, — вектором
71г = Г2 —71' = (хз — xi)7 4- (уг — yi) / + ( Z2 — г^к'.
Постулат 3 классической механики утверждает, что значение пространственного интервала между положениями любых материальных точек Mt и М2 в данный момент времени одинаково во всех системах отсчета, т. е.
г12 = г12; (х з - хг)2 4- (у8 — yj2 4- (z2 — zj2 == (х2 — X,)2 4" (у 2 — У))2 + ( ^2—Zi)2.
В частности, расстояние между двумя бесконечно близкими точками определяется равенством
Таким образом, этим постулатом утверждается абсолютность пространственных интервалов, разграничивающих макроскопические тела. Пространство с метрическими свойствами, определяемыми равенством (1.4), называется евклидовым.
Напомним еще раз, что перечисленные постулаты следует рассматривать как обобщение результатов наблюдения медленных (о 4Сс) движений макроскопических тел в земных условиях. Поэтому все эти постулаты справедливы только в классической механике. При переходе к рассмотрению атомных явлений или движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света, система постулатов 1—3 оказывается неверной.
КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИИ ПРОСТЕЙШИХ ВИДОВ ДВИЖЕНИЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Кинематика является одним из разделов классической механики, в котором движение макроскопических тел рассматривается независимо от причин, вызывающих это движение. Основной задачей кинематики является разработка методов пространственновременного описания движения тел, расчета их траекторий, скоростей и ускорений, т. е. методов исследования чисто геометрических свойств движения тел. При кинематическом изучении механического движения из всех материальных свойств реальных тел учитываются только их геометрическая форма и непроницаемость, в силу которой в одном и том же месте пространства в один и тот же момент времени не могут находиться два или большее число тел. Это свойство присуще материальным телам любой формы и любых размеров, в том числе и малым элементам тела — материальным точкам.
В данном параграфе мы ограничимся изучением кинематики движения отдельной материальной точки и простейших видов движения абсолютно твердого тела.
ИНВАРИАНТНЫЙ МЕТОД ОПИСАНИЯДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Рассмотрим движение материальной точки М относительно некоторой системы отсчета с началом координат в точке О (рис. 2.1). Положение точки М относительно указанной системы отсчета однозначно определяется заданием ее радиуса-вектора как функции времени
г =
Векторную функцию (2.1) называют законом движения материальной точки М. При кинематическом изучении движения предполагается, что этот закон может быть установлен экспериментально. Функцию (2.1) будем считать непрерывной и дифференцируемой, что является следствием постулируемой в классической механике непрерывности как пространственных координат, так и времени t.
Траекторией материальной точки М называют кривую
KML, описываемую в пространстве концом ее радиуса-вектора г (/); в этом смысле траекторию точки М часто называют годографом радиуса-вектора г. В зависимости от того, какова траектория KML — прямая линия или представляет собой некоторую кривую, движение точки М соответственно называют прямолинейным или криволинейным.
Основными кинематическими характеристиками движения материальной точки служат скорость v и ускорение w.
Вектор скорости и характеризует изменение со временем радиуса-вектора г материальной точки и определяется как предел отношения А г/A t при А / 0:
о = Кт r(f + ДО — г (0 =dr_ = 7. (2.2) км М di ’
Таким образом, вектор скорости и материальной точки М равен первой производной по времени от ее радиуса-вектора г (<). Из рисунка 2.1 видно, что при Д<0 хорда Аг, стягивающая дугу ММХ траектории точки М, стремится занять положение, совпадающее с направлением касательной к годографу радиуса-вектора г. Следовательно, вектор скорости и в данной точке траектории направлен по касательной к ней в сторону движения материальной точки М, т. е.
у = утг = | г | тП (2.3) где тг — единичный вектор касательной к траектории (или годографу радиуса-вектора г) в точке М.
Скорость движущейся материальной точки является векторной функцией времени, т. е. о = о (/). Поэтому при движении материальной точки вектор скорости в общем случае может изменяться как по абсолютному значению, так и по направлению. В случае прямолинейного движения точки М вектор скорости не меняется по направлению, но может изменяться по модулю. Напротив, возможно криволинейное движение точки М, при котором вектор скорости не изменяется по модулю; такое движение точки М называют равномерным криволинейным движением (например, равномерное движение по окружности).
Векторы скорости материальной точки Л1, соответствующие различным моментам времени, удобно изображать приложенными к одной и той же неподвижной точке Р (рис. 2.2). Это дает возможность ввести понятие о годографе вектора скорости. А именно годографом вектора скорости называют кривую, описываемую концом вектора и (t)t приложенного в точке Р.
Вектор ускорения w точки М. характеризует изменение со временем вектора скорости и определяется ка'к предел отношения А и/A t при A t 0, т. е.
- = Ит ^н-до-Ту = £ = ^ 2 4 д^о М dt
Из рисунка 2.2 видно, что при Д£->0 хорда А и, стягивающая дугу KKi годографа вектора скорости, стремится занять положение, совпадающее с направлением единичного вектора ту. Таким образом, вектор ускорения w направлен по касательной к годографу вектора скорости в соответствующей по времени точке К"
w =W% = |7| v (2.5)
При решении некоторых задач (в частности, при исследовании плоского движения материальной точки) наряду со скоростью о оказывается полезным понятие секторной скорости, определяемой выражением
(2-6)(2-6)dl = ll^l- dt 2
(2-6)
(2-6)
Из рисунка 2.3 видно, что модуль вектора А / = [г А г]/2 с точно
численно равен пло-численно равен пло-стью до величины второго порядка малости щади, описываемой радиусом-вектором движущейся материальной точки за время А t. Поэтому и модуль секторной скорости (2.6) численно равен площади, описываемой радиусом-вектором точки М в единицу времени. Направление секторной скорости Совпадает с направлением векторного произведения [ги], и, следовательно, вектор /
численно равен пло-
численно равен пло-
оРис. 2.4оРис. 2.4в любой момент времени перпендикулярен к плоскости, определяемой векторами г и и.
о
Рис. 2.4
о
Рис. 2.4
Таков наиболее общий, инвариантный (не зависящий от выбора конкретной системы координат) метод кинематического
описания движения материальной точки.
Заметим, что в школьном курсе физики для описания положения материальной точки в пространстве вместо радиуса-вектора г используется вектор перемещения s (/), соединяющий начальное положение Мо материальной точки с ее положением М в произвольный момент времени (рис. 2.4). Связь между векторами г и s уста
навливается соотношениями:
7(о=7(о-7„,7(о-7(о+70,(2.7)
где г0 = г (0) = const. При этом скорость и ускорение материальной точки определяются формулами: и = s; w = s.
КООРДИНАТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
Скорость и ускорение движущейся материальной точки можно представить проекциями на оси любой системы криволинейных (как ортогональных, так и косоугольных) координат. Однако при решении практических задач чаще всего используется система декартовых, цилиндрических и сферических координат.
Метод декартовых координат. Положение точки At в пространстве можно однозначно определить тремя ее декартовыми координатами х, у, г (рис. 2.5). Движение точки М считается заданным если указанные координаты представлены как функции времени, т. е.
х = х (0, У = у (0. z = z (0. (2.8)
Заметим, что такой способ задания движения материальной точки эквивалентен закону движения (2.1), так как 7 (0 = 7х (0 +7у (0 + 7г (0, (2.9)
где I, /, А — постоянные орты координатных осей Ох, Оу и Ог.
Уравнения (2.8) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки М; если из них исключить время I, то можно получить уравнение траектории в явном виде.
Дифференцируя радиус-вектор (2.9) по времени, находим скорость и ускорение точки Л4 в виде
v = х i + у / + г к, ш = xi -V у j -V- гк.
(2.10) Отсюда видно, что проекции скорости и ускорения точки на оси декартовой системы координат равны:
их = х, уу =у, иг = г, шх = х, шу = у, шг = z (2.11)
и, следовательно,
(2.12)(2.12)и2 = х2 + у2 + г2, ш2 = х2 + у2 + z2.
(2.12)
(2.12)
Направления векторов о и ш определяются направляющими косинусами
(2.13)(2.13)cos (п, 0=—, cos (у, /)=А cos (у, к) = ^.
(2.13)
(2.13)
cos (ty, i) = —, cos (ш, /) = —, cos (ш, к) = —.
WWW
Проекции секторной скорости / на оси декартовой системы координат равны:
^ = "^ (F — zy), /у = 7 <гх — хг^ L = ^ кху — yxY (2.14)
Метод цилиндрических координат. В цилиндрических координатах положение точки М в пространстве определяется с помощью скалярных функций р (0, ф (0 и г (0, при этом радиус- вектор точки можно представить в виде (рис. 2.6)
(2.15)(2.15)г = per + гк, г = ]/р2 + г2.
(2.15)
(2.15)
Цилиндрические координаты р, ф, г точки М связаны с ее декарто, выми координатами формулами:
(2.16)(2.16)х = р cos ф, у = р sin ф, г = z,
(2.16)
(2.16)
а связь между ортами ег, е^ и i, / определяется соотношениями:
| er = i cos ф + / sin ф,
I еф = —i sin ф + J cos ф.(2.17)
"(Орты еп е^ цилиндрической системы координат являются переменными (они изменяются по направлению); их первые производные по времени равны:
. ег = ф (— Zsinф + /cosф) = феф,
. еф = — ф (i cos ф + / sin ф) = — фег.
Дифференцируя радиус-вектор точки и учитывая равенства (2.18), находим:
и = рег + рфеф + z А, и2 = р2 + р2ф2 + г2.(2.19)
Величины
Уг = Р' уф = Р^’ °г =2(2. 20)
называют радиальной, поперечной и аксиальной проекциями вектора о. Аналогичные проекции ускорения и секторной скорости имеют вид
wr =Р - РФ2> %= " (Р2<Р). w2 = z; (2.21)
/г = -1рфг, /ф=1(гр-рг), ^=lpV (2.22)
При z = 0 система цилиндрических координат вырождается в систему полярных координат г, ф на плоскости (рис. 2.7), с помощью которых удобно исследовать плоское движение материальной точки. Такое движение обычно задают уравнениями г ~ г (f), Ф = Ф (О- Исключая отсюда время t, можно получить уравнение траектории точки М в полярных координатах:
Г = г (ф).(2.23)
Радиус-вектор г, линейная и секторная скорости у, f, ускорение су точки М, движущейся в плоскости, имеют вид (в полярных коор- *„ динатах)
г = ren v = гег + лре F= г2фА, г/ \2(2.24)
АХ™?ьw = ir — Гф2) er + 1 - (г2ф) 7ф.
Рис. 2.7Если при движении точки М цо плоской.
траекторий ее секторная скорость сохраняется (т. е. г2ф = о = = const), то вектор ускорения будет иметь только одну радиальную составляющую, которую можно представить в виде
-* 4оЧ 1 . <Р ( 1 XI-*" /г> ш = — — —— е.. (2.25)
гЧг d^\r'
Соотношение (2.25) называют формулой Бине.
Метод сферических координат. В сферических координатах (рис. 2.8) закон движения материальной точки М определяется уравнениями:
(2.26)(2.26)г = г (/), 0 = 0 (/), ф = ф (О-
(2.26)
(2.26)
Связь между сферическими и декартовыми координатами устанавливается формулами:
х = г sin 0 cos ф, у = г sin 0 sin ф, z = г cos 0,
(2.27)(2.27) / l/" ^2 Л. у 2 \
(2.27)
(2.27)
г = ]/ х2 + у2 + z2, 6 = arctg I, ф = arctg—.
Разложение радиуса-вектора точки М по ортам еп е0, еф сферической системы координат них связь с ортами I, j, к декартовой системы определяется формулами, которые легко вывести, используя рисунок 2.8:
г = гег, (2.28)
er = i sin 0 cos ф + j sin 0 sin ф + к cos 0, ев = t cos 0 cos ф + / cos 0 sin ф — к sin 0,(2.29)
еф — —I sin ф + / cos ф.
Все орты сферической системы координат изменяются по направлению, при этом их первые производные по времени оказываются равными:
(2.30)(2.30)ег = ®^е + ф5т0."еф, ев=—0ег + фсоз6-7ф, еф = — Ф sin 0 • ег — ф cos 0 • е0.
(2.30)
(2.30)
Дифференцируя радиус-вектор (2.28) с учетом соотношений (2.30), находим:
и = г ег + г0 е9 + rep sin 0 • еф,(2.31)
v2 = г2 + г2 (02 + ф2 sin2 0).(2 32)
Вектор ускорения материальной точки можно представить в виде w = wrer + we ee + w^ е^(2.33)
где радиальная wr, меридиональная и>в и азимутальная ьуф проекции имеют вид
(2.34)(2.34)wr = г — г (02 + ф2 sin2 0),me = — ^ (г20) —гф2 sin 0 cos0,w—— — (г2ф sin2 0).
(2.34)
(2.34)
ф г sin 0 dt
КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯТВЕРДОГО ТЕЛА
Приступая к рассмотрению простейших видов движения абсолютно твердого тела, покажем, что свободное твердое тело имеет только шесть степеней свободы. Действительно, положение твердого тела К относительно неподвижной системы декартовых координат Оху (рис. 2.9) будет однозначно определено, если известны положения трех его точек А, В и С, не лежащих на одной прямой. Таким образом, задание положения тела К можно осуществить с помощью девяти декартовых координат точек А, В, С. Однако между этими координатами существуют три соотношения, выражающие постоянство расстояний между точками Л, В и С:
(ал — х^ + (ул — у^ + (zA — zBY = const,
(хл - хсу + (ул - усУ + (2Л- z^ = const, (2.35) (хв — хсу + (у в — Усу + (2В — zcy = const.
Таким образом, число независимых параметров, определяющих положение свободного твердого тела в пространстве, равно шести и, следовательно, оно имеет только шесть степеней свободы. Если движение твердого тела ограничено некоторыми дополнительными условиями, то число его степеней свободы может оказаться меньше шести. Например, твердое тело, вращающееся относительно неподвижной (закрепленной) оси, имеет всего одну степень
свободы, а тело, вращающееся относительно неподвижной точки, — три степени свободы.
В данном параграфе мы рассмотрим лишь некоторые частные случаи движения твердого тела. Вопрос о наиболее рациональном выборе независимых параметров, описывающих произвольное движение свободного твердого тела, пока оставим открытым (см. гл. VIII).
Поступательным движением твердого тела называют такое движение, при ко
тором любая прямая, соединяющая две
его точки, перемещается параллельно самой себе.
Для определения положения какой-либо точки М поступа
тельно движущегося твердого тела введем две системы декартовых координат: неподвижную систему отсчета Охуг и подвижную, жестко связанную с рассматриваемым телом систему отсчета С^ с началом координат в точке С (рис. 2 10). Положение подвижного начала координат относительно системы отсчета Oxyz определяется радиусом-вектором гс, а положение точки М относительно систем отсчета Oxyz и С^ — соответственно радиусами-векторами г
и р, при этом
(2.36)(2.36)Г = Гс + р.
(2.36)
(2.36)
Из определения поступательного движения следует, что радиус- вектор р в процессе движения тела не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Пусть а^ а2, а3 — проекции этого вектора на оси неподвижной системы координат, а хс (/), ус (/), zc (/) — заданные уравнения движения точки С. Проецируя равенство (2.36) на оси неподвижной системы отсчета Oxyz, находим:
х (0 = ах + хс (О, У (0 = а2 + ус (0, z (0=а3 + гс (t). (2.37)
Отсюда видно, что положение любой точки поступательно движущегося тела полностью определяется заданием трех скалярных функций хс (t), ус (t) и zc (i). Независимые параметры, характеризующие пространственную ориентацию твердого тела, в процессе поступательного движения не изменяются и их можно не рассматривать.
Дифференцируя (2.36) по времени t, получаем:
у = ос, w = wc, (2.38) откуда следует, что все точки поступательно движущегося тела имеют одинаковые скорости и ускорения, а траекторию любой его
точки М можно получить параллельным переносом траектории точки С. Заметим, что траекториями точек поступательно движущегося тела могут быть самые разнообразные кривые.
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
Вращательным движением твердого тела называют такое движение, при котором остаются неподвижными все точки прямой, называемой осью вращения. Если ось вращения закреплена, то говорят о вращении твердого тела относительно неподвижной оси. Чтобы осуществить такое движение, достаточно закрепить какие-нибудь две его точки.
Рассмотрим вращение твердого тела относительно неподвижной оси, которую мы примем за ось z неподвижной системы отсчета Oxyz (рис. 2.11). При вращении твердого тела относительно неподвижной оси Oz все его точки перемещаются по окружностям с центрами, лежащими на оси вращения. Поэтому положение любой точки вращающегося твердого тела можно однозначно определить с помощью угла поворота ф плоскости ОМ'ММ" относительно оси z. Следовательно, закон вращения тела относительно неподвижной оси Oz можно задать в виде
(2.39)(2.39)Ф = Ф (0.
(2.39)
(2.39)
Произведем бесконечно малый поворот тела и подсчитаем, какое приращение получит при этом радиус-вектор г какой-нибудь его точки Af. Допустим, что в моменты времени / и /+Д/ указанная точка занимала положение М и Mv Из рисунка 2.11 видно, что с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка модуль приращения вектора г за время Ы можно представить в виде
| Аг |=Я' Дф=Аф-г sin в.
(2.40)
Правая часть формулы (2.40) напоминает известное выражение для модуля векторного произведения двух векторов, если бесконечно малый поворот тела рассматривать как вектор.
Рис. 2.12Рис. 2.12Отвлечемся от обсуждаемой задачи и рассмотрим более общий случай вращения твердого тела относительно неподвижной точки. Условимся бесконечно малый поворот тела относительно произвольной оси вращения, проходящей через неподвижную точку О, определять вектором
Рис. 2.12
Рис. 2.12
Дф = Дф ■ п.(2.41)
Модуль аксиального вектора Дф равен углу поворота Дф, а единичный вектор п направлен
вдоль оси вращения, причем направление векторов п и Дф выбирается так, чтобы поворот тела, если смотреть на неподвижную точку О с конца вектора Дф, происходил против часовой стрелки. Таким образом, радиус-вектор произвольной точки М твердого тела при бесконечно малом повороте на угол Дф приобретает приращение
Дг = [Дф <|.(2.42)
(2.43)(2.43)Предел отношения Дф/Д< при Ы -► 0 называют мгновенной угловой скоростью вращения
(2.43)
(2.43)
м-о Д/ di
В случае вращения твердого тела относительно закрепленной оси Ог вектор п = к и, следовательно,
Дф = Дф • к, со = фй.(2.44)
Чтобы найти линейную скорость точки М вращающегося тела, разделим обе части равенства (2.42) на Д/ и перейдем к пределу при Ы -*■ 0; в результате получим:
я =(2-45)
\ at /г=сопз1
или с учетом равенства (2.44)
о = а фт,(2.46)
где а = г sin ® и т — единичный вектор касательной к траектории точки М.
Формулу (2.45) можно обобщить на случай произвольного вектора А, изменяющегося со временем только по направлению:
М =[^Л],(2.47)
\иГ /Л=сопь1
где <о — вектор мгновенной угловой скорости вращения конца вектора Л относительно некоторого направления в пространстве (рис. 2.12). В частности, если с вращающимся твердым телом жестко связать декартову систему координат с ортами io, /о, ко, то на основании равенства (2.47) можно утверждать, что
5 = М. ^ = L^Tol. = W- (2.48) atat
Полученные соотношения называют формулами Пуассона.
Для определения ускорения точки М продифференцируем по времени равенство (2.45); в результате находим:
w = [юг] + [юг] = [е г] + [ю[юг]],(2.49)
где е = со — ф к — вектор углового ускорения.
СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИВ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА.ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ
При решении многих кинематических задач требуется знать законы преобразования скорости у и ускорения до материальной точки при переходе от одной системы отсчета к другой. Проследим за движением какой-нибудь материальной точки М из двух систем отсчета: системы отсчета Охуг и системы О'ху'1 (первую мы будем условно называть неподвижной системой отсчета К, а вторую — подвижной системой отсчета К').
Обозначим орты неподвижной системы отсчета К через I, j, к, а подвижной системы К' через i', /', к'. Допустим, что система отсчета К' движется относительно
системы К произвольным образом, т. е. она может вращаться с угловой скоростью to и перемещаться поступательно. Положение материальной точки М относительно систем отсчета К и К' будем характеризовать радиусами-векторами г и г', а положение начала координат О’ подвижной системы К* относительно неподвижной — радиусом-вектором Ro, (рис. 2.13). Из векторного треугольника ОМО'
имеем:
7=7'4-^,,,(2.50)
где
г = xi 4- у/ 4* 2&, Rq< = Xi 4" Yj 4" Zk, (2.50а)
г' = х' i' + у'}’ 4- z'А'.(2.506)
При дифференцировании равенства (2.50) орты i, j, к неподвижной системы отсчета К будем считать постоянными (независящими от времени), а орты t', /', к' подвижной системы К'—функциями времени.
Дифференцируя равенство (2.50) по времени, находим:
и = у' 4- х'\-У — + z— 4- vn,, (2.51)
\ dt dt di)0
где
и = — ~xi + yj + zk,(2.52)
dt
= Xi 4- У 7 + z£
° dt- J 1
”~V ^^ 1 V ^У t /V/О E D\
U' = — = I' — + / -2- + к'—.(2.53)
dt dt dt dt
Здесь и — скорость точки М относительно неподвижной системы отсчета К; и' — скорость той же точки относительно подвижной системы отсчета К' и Vo, — скорость поступательного движения системы отсчета К' относительно системы К, т. е. такого движения, при котором система отсчета К' не меняет своей ориентации относительно системы К. (Символами d'^dt и djdt обозначены производные по времени соответственно при постоянных штрихованных и нештрихованных ортах.)
Используя формулы Пуассона (2.48), можно показать, что
= ^ ^ + у,7 + ^П = [77] dt dt dt
и, следовательно, полную производную по времени от «штрихованного» радиуса-вектора г' точки М можно представить в виде
+ ^3 - ^ + ^'1(2-54)
dt dt
Заметим, что аналогичное равенство, являющееся обобщением ранее
полученной формулы (2.47), имеет место для любого вектора А;
Таким образом, равенство (2.51) можно окончательно записать в виде
v = v' + V0, (0 +[и?].(2.56)
Формулу преобразования (2.56) называют теоремой сложения скоростей классической механики. Сумму скоростей Vo- + [со г'] принято называть переносной скоростью точки М. Такую скорость по отношению к неподвижной системе отсчета К точка М имела бы в том случае, если бы она была жестко связана с подвижной системой отсчета К'. Переносная скорость точки М
"пер = Vo, (0 + [«7](2.57)
в общем случае складывается из переносной скорости Vo- (0 поступательного движения и переносной скорости [юг'] вращательного движения. Используя определение (2.57) переносной скорости, теорему сложения скоростей (2.56) можно переписать в виде
^' + %,(2.58)
Отсюда видно, что скорость и точки М относительно неподвижной системы отсчета К равна геометрической сумме ее скорости и’ относительно подвижной системы К' и переносной скорости (2.57). В частном случае, когда система отсчета К' движется относительно системы К равномерно и поступательно (т. е. <о = 0; Vo, = const), теорема сложения скоростей примет вид
и = и' + Ко-.(2.59)
Найдем закон преобразования ускорения точки М. Дифференцируя по времени равенство (2.56), получим:
^ = ^ + ^о' +] + [® ^1 =
= ^ + w0, +6?]+ №7']] + |W],(2.60)
где
■* do —t . -t , "Т
W = — = XI + у/ + ?£
— ускорение точки М относительно неподвижной системы отсчета К и
^О’=-^ = х7+г7+^
— ускорение поступательного движения системы отсчета К' относительно системы К (или ускорение точки О' в /(-системе). Производную по времени от вектора и' можно получить с помощью соотношения (2.55); она оказывается равной
= +(2.61)
где
о/о/v d^x' , "?, d?y't'h 1 ——dP ' dPv d^x' , "?, d?y't'h 1 ——dP ' dPdPdP
о/
о/
v d^x' , "?, d?y'
t'h 1 ——
dP ' dP
v d^x' , "?, d?y'
t'h 1 ——
dP ' dP
dP
dP
— ускорение точки M относительно подвижной системы отсчета К1.
Подстановка выражения (2.61) в (2.60) приводит к следующей теореме сложения ускорений классической механики:
W = w' + ‘ пер ' кор'W = w' + ‘ пер ' кор'(2.62)(2.62)
W = w' + ‘ пер ' кор'
W = w' + ‘ пер ' кор'
(2.62)
(2.62)
где
Wnep = Wo- + [cor'] + [©[©г']], (2.63)
wKOp = 2 [wo']- (2.64)
Ускорение wnep, определяемое выражением (2.63), называют переносным ускорением (или ускорением переносного движения точки /И). В общем случае оно складывается из ускорений Wo, перенос
ного поступательного движения и ускорения [сот'] 4- [со [cor'J] переносного вращательного движения. Часть переносного ускорения [сог'] отлична от нуля только при неравномерном вращении системы /('; ускорение [со [сог']] всегда направлено перпендикулярно к мгновенной оси вращения системы отсчета К’ и поэтому его называют центростремительным.
Ускорение wKop = 2 [со о'] называют добавочным или кориолисовым ускорением; оно возникает в результате своеобразного кинематического взаимодействия переносного вращательного движения точки М с ее движением относительно подвижной системы отсчета К'. Кориолисово ускорение отсутствует в следующих трех случаях: 1) если точка М жестко скреплена с системой отсчета К', т. е. если и' = 0 (по этой причине кориолисово ускорение отсут-
ствует у точек вращающегося твердого тела); 2) при поступательном движении системы отсчета К', так как при этом ю = 0; 3) если точка М движется относительно системы отсчета К' со скоростью о', параллельной вектору со.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫДИНАМИКИ НЬЮТОНА. ПРИНЦИПОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ
Динамика представляет собой наиболее содержательный раздел механики, в котором движение макроскопических тел изучается в связи с физическими причинами, определяющими то или иное состояние механического движения тела. Основные понятия динамики — это понятия о силе и массе, понятие об инерциальной системе отсчета, а ее основные законы — это законы Ньютона и принцип относительности Галилея. Указанные понятия и законы, являющиеся обобщением экспериментально установленных фактов, были сформулированы И. Ньютоном в 1687 г. в его гениальном трактате «Математические начала натуральной философии».
ПОНЯТИЯ О СИЛЕ И МАССЕ
Переход от кинематического описания механического движения тел к динамическому требует введения двух новых понятий — силы и массы. Действительно, рассматривая движение тел, мы в первую очередь наблюдаем взаимодействие между ними, проявляющееся или в деформации тел, или в изменении состояния их механического движения (т. е. в изменении скоростей движения). В первом случае мы имеем дело со статическим проявлением механического взаимодействия, возникающего, как правило, в результате непосредственного контакта между взаимодействующими телами (например, стол давит на пол). Во втором случае взаимодействие между телами проявляется динамически как процесс переноса механического движения от одного тела к другому, как сообщение им ускорений. В этом случае механическое взаимодействие между телами может осуществляться как путем непосредственного контакта тел, так и посредством различных силовых полей.
Количественной мерой механического взаимодействия тел является сила. Под силой ЕДВ, с которой на материальную точку (частицу) А действует некоторое тело В, понимают такое механическое воздействие тела В на частицу А, в результате которого она приобретает ускорение WAB. Как показывает опыт, сила так же, как и вызываемое ею ускорение, является вектором, причем
^aWs- (3.1)
Однако вышеприведенное утверждение не является физическим определением понятия силы. Чтобы определить силу как физическую величину, следует указать способ ее измерения. Для этого прежде всего необходимо выбрать* эталон силы. Поскольку в процессе механического взаимодействия участвуют, по крайней мере, два тела, то одно из них всегда может быть выбрано в качестве эталона для измерения силового воздействия другого тела. В качестве эталона силы можно, в частности, использовать силу, действующую на рассматриваемое тело со стороны динамометра с предварительно проградуированной шкалой.
Процесс измерения силы основан на правилах сложения сил, действующих на одну и ту же частицу. Эти правила являются обобщением экспериментально установленных фактов и составляют суть так называемого принципа суперпозиции сил, утверждающего что:
Действие каждой из приложенных к частице сил не зависит от того, находится она в покое или движется, а также не зависит от числа и типа других действующих на нее сил (закон независимого действия сил). Это означает, что результирующее ускорение, возникающее при действии на материальную точку нескольких сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых этой точке каждой силой в отдельности, т. е.
^=2^, (3.2) /г
где ^—результирующее ускорение частицы 1, a IFU — ускорения, сообщаемые ей силами, действующими со стороны частиц с номерами А = 2, 3, 4, ...
Силы, действующие на какую-нибудь частицу со стороны нескольких тел, складываются по правилу параллелограмма (линейная форма закона сложения сил):
Fi = Fla + F18 + F14 + ... (3.3)
Механическое состояние материальной точки не изменится, если к ней приложить систему сил равную нулю.
Как и всякое определение физической величины, вытекающее из способа ее измерения, описанное выше определение силы не исчерпывает всех ее свойств и отражает объективно происходящие процессы механического взаимодействия тел лишь с некоторой степенью точности. В частности, данное определение не отвечает на вопрос о том, от каких параметров и как могут зависеть силы, описывающие взаимодействие тел. Изучить указанные свойства силы можно, лишь выяснив ее соотношение с другими физическими величинами и понятиями.
Опыты по измерению ускорений, приобретаемых телами в процессе их взаимодействия, показывают, что материальные тела обладают различной способностью воспринимать механическое движение, передаваемое другими телами. Количественной мерой восприимчивости тела к передаваемому ему механическому движению является его инертная масса т. Гонятие об инертной массе тел основывается на следующих экспериментальных фактах:
В любой системе отсчета отношение силы, действующей на некоторую частицу, к ускорению, вызываемому этой силой, является величиной постоянной:
F
т=— = const.(3.4)
Это утверждение указывает способ измерения массы тела: достаточно выбрать инертную массу тэт некоторого тела за эталон и
сравнить ускорения, сообщаемые какой-нибудь силой F рассматриваемому и эталонному телам.
Как показывает опыт, массу в нерелятивистской механике Ньютона можно считать величиной аддитивной, т. е. можно принять, что масса т любой сложной механической системы равна сумме масс mt составляющих ее частей, т. е.
т = Zjm=.
Инертная масса т любой материальной частицы равна (точнее, пропорциональна) ее тяжелой, или гравитационной, массе тг> пропорциональной весу частицы:
Ц =(3.5)
тг (тэт)г
Первое и второе утверждения справедливы для медленных движений тел со скоростями и <^ с. При и ~ с эти утверждения, ка^ показывает СТО, оказываются неверными. Утверждение (3.5) о равенстве гравитационной и инертной масс неоднократно и с большой степенью точности подтверждалось экспериментально; кроме того, указанное утверждение естественным образом вытекает из общей теории относительности Эйнштейна.
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТАИ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ
Для изучения движения какой-либо механической системы необходимо предварительно выбрать ту или иную систему отсчета. Как показывает опыт, законы механического движения в различных системах отсчета имеют в общем случае разный вид. Если взять про-
извольную систему отсчета, то законы самых простейших механических движений могут оказаться в ней весьма сложными и запутанными. Поэтому естественно возникает задача: найти такую систему отсчета, в которой законы механики имели бы наиболее простой вид.
Отыскание такой системы отсчета следует связать со свойствами симметрии пространства и времени. Действительно, по отношению к произвольной системе отсчета пространство в общем случае может оказаться неоднородным и неизотропным, а время — неоднородным. Это означает, что, взяв какое-нибудь изолированное тело (т. е. тело, взаимодействием которого с другими телами можно пренебречь), мы обнаружим, что его положения и ориентации в пространстве не являются эквивалентными; неэквивалентными оказываются также и различные моменты времени. Ясно, что использование такой системы отсчета внесло бы ненужные усложнения в описание механических явлений. Например, в такой системе отсчета изолированная материальная точка не могла бы покоиться: имея в начальный момент времени нулевую скорость, материальная точка в последующие моменты начала бы двигаться по довольно сложной траектории.
Как показывает опыт, всегда можно указать такую систему отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время — однородным. Указанную систему отсчета называют инерциальной. В этой системе отсчета изолированная материальная точка может неограниченно долго покоиться: или совершать равномерное и прямолинейное движение по закону:
г (I) = г (0) + uot, х)0 = const. (3.6)
Системы отсчета, относительно которых изолированная материальная точка движется ускоренно, называются неинерциальными.
Из данного определения инерциальной системы отсчета становится очевидным, что понятия «однородность и изотропность пространства» и «однородность времени» приобретают определенный физический смысл лишь по отношению к замкнутым механическим системам, т. е. к таким системам, на частицы которых не действуют силы извне (или они пренебрежимо малы). Пространство однородно и изотропно, если все положения и ориентации в нем замкнутой системы физически эквивалентны (при этом предполагается, что при параллельных переносах и поворотах системы как единого целого относительное расположение частиц в системе и их относительные скорости не изменяются). Однородность времени означает физическую эквивалентность всех его моментов по отношению к замкнутой системе.
Существование в природе инерциальных систем отсчета подтверждается экспериментом (и, как всегда, лишь с известной степенью точности). Простейшие опыты Галилея по отысканию инерциальной системы отсчета состояли в наблюдении движения
отполированного металлического шарика по гладкой наклонной плоскости. Было установлено, что если угол наклона плоскости к горизонту стремится к нулю, то и ускорение шарика также стремится к нулю (если пренебречь силами трения). Отсюда был сделан вывод об инерциальности геоцентрической системы отсчета, т. е. системы отсчета, связанной с Землей. Однако позднейшими опытами Фуко (1851 г.) была установлена неинерциальность геоцентрической системы и обнаружена совершенно иная инерциальная система отсчета. Ею оказалась система координат с началом в центре масс Солнечной системы и осями, направленными на три неподвижных звезды, т. е. гелиоцентрическая система отсчета. В свою очередь, учет вращения Солнечной системы относительно центра нашей Галактики должен приводить к некоторой весьма малой (по сравнению с неинерциальностью геоцентрической системы) неинерциаль* ности и гелиоцентрической системы отсчета.
Из этих рассуждений очевидно, что строго инерциальной (или «абсолютной», как называл ее Ньютон) системы отсчета не существует, как не существует в природе и «абсолютно» изолированного тела, с которым можно было бы связать такую систему отсчета. Поэтому об инерциальности реальной физической системы отсчета, связанной с тем или иным телом природы, можно говорить лишь с определенной степенью точности. Одну и ту же систему отсчета при решении одних задач можно приближенно считать инерциальной, а при решении других приходится учитывать поправки на ее неинерциальность. В частности, при решении многих задач неинерциальную геоцентрическую систему отсчета можно приближенно считать инерциальной, так как поправки на ее неинерциальность невелики и их в большинстве случаев можно не учитывать. На этом, собственно, и основано широкое применение законов Ньютона, сформулированных для инерциальных систем отсчета, в нашей повседневной жизни и в инженерной практике. По той же причине геоцентрическую (или лабораторную) систему отсчета можно использовать в качестве инерциальной при школьном изложении механики.
Допустим, что нами выбрана некоторая система отсчета, которую с определенной степенью точности можно считать инерциальной. После того как такой выбор сделан, можно указать множество твердых тел, движущихся относительно выбранной системы отсчета равномерно и поступательно. Принимая указанные твердые тела за тела отсчета, мы получим тем самым множество других инерциальных систем отсчета.
Одним из основных законов механики является принцип относительности Галилея, утверждающий, что все законы механики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, принцип относительности утверждает равноправие (или физическую равноценность) всех инерциальных систем отсчета.
Математически принцип относительности Галилея выражается
7 = 7 + vt, t = f.7 = 7 + vt, t = f.(3.8)(3.8)
7 = 7 + vt, t = f.
7 = 7 + vt, t = f.
(3.8)
(3.8)
В том, что законы механики должны быть ковариантны (т. е. не изменять свою форму) по отношению к преобразованию координат при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Получить указанное преобразование можно лишь при некоторых дополнительных физических допущениях. Этими допущениями являются предположение классической механики о воз
можности мгновенной передачи
взаимодействия тел и вытекающий отсюда постулат (1.2) об универсальности времени, означающий, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой время t считается одним и тем же в обеих системах отсчета, т. е. t = f.
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: К и К' и частицу М. Допустим, что система отсчета К' движется относительно системы К с постоянной скоростью V. Из рисунка 3.1 видно, что
г = г' + R. (3.7)
Если начала координат О и О' в начальный момент t = 0 совпадают, то R = Vt. Следовательно, искомые формулы преобразования координат и времени, соответствующие переходу КК'> имеют вид
Полученные формулы называют преобразованием Галилея. Если системы отсчета К и К' одинаково ориентированы, а скорость начала координат О' направлена по одной из осей координат (например, по оси Ох), то преобразование Галилея принимает вид
х — х' + Vt, у = у', г = г', t = t'.(3.9)
Преобразованию Галилея соответствует закон сложения скоростей:
(3.10а)(3.10а)и = ^ + 7,
(3.10а)
(3.10а)
или
Ух = у'х + V, иу = о;, и, - У;. (злоб)
Анализ принципа относительности Галилея, проделанный А. Эйнштейном в 1905 г., привел его к выводу, что этот принцип является одним из фундаментальных законов природы, применимым не только к механическим, но и к любым другим физическим явлениям — тепловым, электромагнитным, оптическим и т. д. Это поз-
2 Классическая механика2 Классическая механика3333
2 Классическая механика
2 Классическая механика
33
33
волило ему сформулировать более общий принцип относительности, называемый часто принципом относительности Эйнштейна: законы любых физических явлений одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Этот принцип является одним из постулатов СТО и релятивистской механики, построенной на ее базе.
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ НЬЮТОНА
Основу классической динамики составляют три закона, сформулированные Ньютоном в ранее упоминавшемся трактате.
Первый закон классической динамики, называемый законом инерции Галилея, обычно формулируют в виде следующего утверждения: всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние, т. е.
если F = 0, то v = const и г (t) = r0 + vt. (3.11)
Но, как указывалось выше, существуют такие системы отсчета, в которых движение изолированной материальной точки не подчиняется закону (3.11). Поэтому следует считать, что объективным содержанием первого закона Ньютона является утверждение о существовании в природе инерциальных систем отсчета.
d2rт — = F.d2rт — = F.Второй закон Ньютона утверждает, что произведение массы частицы на ее ускорение относительно инерциальной системы отсчета равно геометрической сумме всех сил, действующих на данную частицу со стороны других тел, т. е.
d2r
т — = F.
d2r
т — = F.
(3.12)
Второй закон динамики является одним из фундаментальных законов природы. Он позволяет, как будет показано в следующем параграфе, найти положение и скорость частицы в любой момент времени, если задана масса частицы, результирующая F всех сил, действующих на нее со стороны других тел, а также ее положение и скорость в начальный момент времени. Поэтому равенство (3.12) называют дифференциальным уравнением движения частицы в векторной форме.
Рассмотрим случай, когда результирующая сила F постоянна. Интегрирование уравнения движения (3.12) в этом частном случае дает:
va-;i = £(^_y. (3.13)
Соотношение (3.13) показывает, что под действием заданной силы F определенное изменение скорости А и = о2 — ^ у тела с большей
массой происходит за более продолжительный промежуток времени. Поэтому говорят, что все тела обладают инерцией, а массу т называют мерой инерции тела.
Так как масса т нерелятивистской, классической частицы постоянна, второй закон Ньютона (3.12) можно представить в виде
= Л(3.14)
at
где вектор р = то называют импульсом (или количеством движения) частицы. Уравнение движения частицы в форме (3.14) оказывается справедливым также и в релятивистской механикеСТО, однако импульс частицы в этом случае должен определяться выражением
Второй закон Ньютона, устанавливающий взаимосвязь между массой, ускорением и силой, дает возможность выбрать основные единицы измерения в механике. В СИ в качестве основных единиц измерения механических величин выбраны единицы длины, времени и массы. За единицу массы принят килограмм, т. е. масса некоторого эталонного тела, называемого международным прототипом килограмма. Единицей силы в СИ является ньютон, т. е. сила, сообщающая телу массой в 1 кг ускорение 1 м/с2.
Третий закон Ньютона (закон равенства действия и противодействия) сводится к утверждению, что две частицы взаимодействуют между собой с силами, равными по модулю и направленными в противоположные стороны вдоль линии, соединяющей частицы, т. е. для любых двух частиц / и 2
fi2 " Fail E12f|r12 = Гу г2,(3.16)
где Р1г (или Е21) — сила, действующая на частицу 1 (или 2) со стороны частицы 2 (или /), и rv, гг — радиусы-векторы частиц.
Из второго и третьего законов Ньютона следует, что любые две материальные точки в процессе взаимодействия сообщают друг Другу ускорения, обратно пропорциональные их массам и направленные в противоположные стороны по прямой, соединяющей эти точки. Таким образом, значения масс и ускорений взаимодействующих частиц связаны соотношением
(3.17)(3.17)^12 _ таа>21«1
(3.17)
(3.17)
О взаимодействии частиц, подчиняющемся закону (3.16), говорят как о центральном взаимодействии.
Так же, как и первые два закона, закон равенства действия и противодействия сформулирован на основе обобщения опытных
данных. Покажем, что этот закон тесно связан с однородностью и изотропностью пространства. Такой подход к толкованию третьего закона Ньютона позволяет получить ответ на вопрос о том, от каких параметров и как могут зависеть силы взаимодействия между бесструктурными классическими частицами, а также указать пределы его применимости.
Как показывает опыт, в системах, состоящих из реальных частиц (электронов, нуклонов, атомов, молекул) и окружающих их полей, силы взаимодействия между частицами в общем случае могут зависеть от скалярных величин (массы, электрического заряда и т. д.) и некоторых внутренних векторных величин (электрических дипольных моментов, спинов и т. д.).
У бесструктурных точечных частиц, рассматриваемых классической механикой, нет никаких внутренних векторных характеристик, поэтому силы взаимодействия у этих частиц могут в принципе зависеть только от их положения и относительных скоростей (не считая возможной зависимости от скалярных величин, таких, так масса, электрический заряд и время).
С целью выяснения зависимости сил взаимодействия от положения частиц, рассмотрим замкнутую механическую систему, состоящую из двух частиц: 1 и 2. Допустим вначале, что одна частица покоится относительно другой в некоторой инерциальной системе отсчета, т. е. относительная скорость частиц v = ^ — о2=0.
Исходя из однородности пространства, можно сразу же установить характер зависимости силы взаимодействия F12 от положения частиц, описываемого радиусами-векторами ^ и г2. А именно можно утверждать, что сила Р1г является функцией только относительного расстояния между частицами, т. е.
^12 = ^12 (rl r2b (3.18)
Действительно, вследствие однородности пространство допускает операцию трансляции замкнутой механической системы (или операцию ее параллельного переноса как единого целого) на любой вектор е. При этом радиусы-векторы частиц преобразуются по закону:
ту + е, 7г-> 7» + 7, (3.19)
а величиной, инвариантной по отношению к указанному преобразованию, является относительное расстояние между частицами 7= 7 — 7^.
В свою очередь из изотропности пространства, означающей физическую эквивалентность всех направлений по отношению к замкнутой механической системе, и отсутствия у рассматриваемых частиц внутренних векторных характеристик вытекает, что единственным физически выделенным направлением в пространстве при
рассмотрении взаимодействия частиц является направление, определяемое единичным вектором
ег = - = 2~2 •(3.20)
г _ М — ^1
Отсюда следует, что вектор силыГ12 может .быть представлен только одним-единственным способом:
= Е<уг-7гI) = егЕ(г).(3.21)
IП — ^ |
Зависимость модуля силы взаимодействия Еи только от г, вытекающая из изотропности пространства и отсутствия у рассматриваемых частиц внутренних векторных характеристик, означает, что если —>• повернуть систему частиц 1 и 2, не меняя г, то модуль силы Е1г не изменится.
Нетрудно видеть, что равенство (3.21) равносильно утверждениям, содержащимся в третьем законе Ньютона (3.16), при этом для доказательства первого из этих утверждений достаточно в равенстве (3.21) произвести перестановку индексов частиц. Тем самым утверждается, что закон равенства действия и противодействия является следствием зеркальной симметрии пространства (неразличимости в нем левого и правого).
Рассмотрим теперь вопрос о взаимодействии частиц 7 и 2, движущихся относительно друг друга. В этом случае как вектор относительного положения г, так и относительная скорость частиц и являются функциями времени. Допустим, что частица 2 как-то переместилась. Об изменении ее положения частица / вследствие конечной скорости передачи взаимодействия (сигнала) может узнать только через промежуток времени т« г/с. Отсюда видно, что если нас интересует сила F12 (г), действующая в момент времени t на частицу 7 со стороны частицы 2, то относительное расстояние г между частицами следует брать для момента времени / — т « « t — r/с. В связи с этим говорят, что при передаче взаимодействия имеет место эффект запаздывания.
С другой стороны, за время т относительное расстояние между частицами изменяется на величину ^ г « — г. Если относитель- С
ная скорость частиц мала по сравнению со скоростью света (о <_ ф, то эту величину можно считать бесконечно малой (А г <§( г). Следовательно, при v « с можно пренебречь относительным перемещением частиц за время прохождения сигнала и считать, что частица 7 воспринимает действие силы, оказываемой частицей 2, практически мгновенно.
Таким образом, в классической механике пренебрегают эффектом запаздывания в процессе передачи взаимодействия, допуская возможность распространения сигналов с бесконечно большой ско-
ростью. Эти представления классической механики называют идеей дальнодействия.
Если относительная скорость взаимодействующих частиц сравнима со скоростью света (и ~ с), то пренебречь указанным эффектом запаздывания нельзя, поэтому силы взаимодействия в релятивистской механике оказываются зависящими от относительной скорости частиц.
Из сказанного следует, что третий закон Ньютона (3.16), описывающий взаимодействие бесструктурных точечных частиц, является следствием однородности, изотропности и зеркальной симметрии пространства, отсутствия у таких частиц внутренних векторных характеристик и пренебрежения релятивистским эффектом запаздывания в процессе передачи взаимодействия.
При наличии у частиц внутренних векторных характеристик (электрических дипольных моментов, спинов и т. д.), а также в релятивистском случае, когда о ~с, первое утверждение F12= — F21, содержащееся в третьем законе механики (3.16), сохраняет силу, однако второе утверждение F12 = F12 (г) г/г оказывается несправедливым. Это означает, что силы взаимодействия между частицами в этих случаях перестают быть центральными (направленными по прямой, соединяющей частицы). В качестве конкретных примеров, когда силы взаимодействия между частицами не являются центральными, можно указать-
взаимодействие двух точечных электрических диполей (например, взаимодействие на большом расстоянии двух нейтральных атомов с дипольными моментами Dy и D^,
взаимодействие нуклонов (протонов и нейтронов) в атомном ядре.
Силы взаимодействия между точечными электрическими диполями Dt и D2 в первом из указанных примеров имеют вид (рис. 3.2)
F„ = - Р21 = —г + -J- (BA + BAV (3.22)
где
А = 3DTD2 [cos («J — а2) 4-+ 3 cos а, • cos а2],Вт — 3DX cos аь
В2 = 3D2 cos а2. (3 23)
Для сил взаимодействия нуклонов (или ядерных сил) мы не можем в общем случае написать явное выражение, однако имеющиеся экспериментальные данные указывают на нецентральный характер этих сил.
Обратимся теперь к вопросу о зависимости сил взаимодействия от времени. В классической механике принимают как постулат следующее утверждение: силы взаимодействия между бесструктурными точечными частицами не могут явно зависеть от времени /. Это утверждение является следствием однородности времени (йсе моменты времени по отношению R замкнутой системе физичесйи эквивалентны) и пренебрежения релятивистскими эффектами.
Отсюда следует, что в тех случаях, когда нельзя пренебречь релятивистскими эффектами, силы взаимодействия между частицами могут оказаться явно зависящими от времени. Примером таких сил являются силы электромагнитного взаимодействия между заряженными частицами. Например, силу электромагнитного взаимодействия двух движущихся частиц с зарядами qx и q^ (ее называют силой Лоренца), как показывает опыт, можно представить в виде
Л2 = ЧАМ + q, ^Вй (7Ъ 0],(3.24)
где ^2 (ri> 0 и ^2 (ri, 0 — напряженность электрического и индукция магнитного полей, создаваемых частицей с зарядом q4 в точке, где находится частица с зарядом qv Так как сВ4 ~ £2, то сила (3.24) по порядку величины оказывается равной
Лг ~ Я А ра + — ЕтЬ^
I с
где т = и/и, е2 = ^а/^а и Ь3 = В^В^
Выясним, почему сила Лоренца (3.24) явно зависит от времени t и относительной скорости частиц и. Зависимость силы (3.24) от о объясняется тем, что согласно специальной теории относительности сам факт существования магнитных полей является релятивистским эффектом. Действительно, если отношение ofc устремить к нулю, то сила Лоренца (3.24) сведется к обычной (с точки зрения постулатов механики Ньютона) силе электростатического взаимодействия двух точечных зарядов qx и q,, не зависящей явно йй от
времени, ни от скорости и:
К=я а м=^;, ;= гх - ;2.(3.25)
Отсюда можно сделать вывод: при рассмотрении электромагнитного взаимодействия заряженных частиц принципиально нельзя пренебрегать релятивистскими эффектами, связанными с отличием от нуля отношения и/с (даже в том случае, когда и <^_ с). Это означает, что при рассмотрении электромагнитного взаимодействия необходимо наряду сдвижением частиц обязательно учитывать процессы, происходящие в окружающем их электромагнитном поле. Однако классическая механика не позволяет последовательно рас-
смотреть эти процессы. Поэтому для учета изменений, происходящих в электромагнитном поле, остается единственно возможный путь — считать напряженности электромагнитного поля ^ и S2 заданными функциями координат и времени, определяемыми из эксперимента.
Таким образом, зависимость силы Лоренца (3 24) от времени t и скорости и в конечном счете возникает из-за неполноты описания классической механикой замкнутой системы, состоящей из заряженных частиц и создаваемого ими электромагнитного поля.
Аналогичный феноменологический подход используется также при описании взаимодействия тела, движущегося в какой-нибудь вязкой среде (жидкости или газе), с частицами среды. Как показывает опыт, при движении тела в среде последняя оказывает сопротивление движущемуся телу, стремясь замедлить его движение. При этом механическая энергия тела переходит в энергию теплового движения молекул среды (или, как говорят, рассеивается).
Процесс движения тела в вязкой среде не является чисто механическим процессом, описываемым уравнением движения типа (3 12). Чтобы полностью описать такой процесс, необходимо решить задачу многих тел, т. е., помимо движения интересующего нас тела, следует также рассмотреть движение всех частиц (молекул) среды, подчиняющихся законам квантовой механики. Решить такую задачу практически невозможно. Поэтому, для того чтобы что-то узнать о силе сопротивления среды, ее необходимо измерить.
Измерения показывают, что сила сопротивления среды (или сила трения) является функцией скорости тела и относительно среды, т. е.
Сия = 7 Я (3.26)
Если размеры тела и его скорость достаточно малы (первые порядка нескольких миллиметров, вторые — сантиметров в секунду), то эту силу можно с достаточной точностью представить в виде
Ттрения = -« ". (3.27)
где а — положительная постоянная, характерная для данного тела и данной среды (ее называют коэффициентом вязкого трения). В более широком диапазоне скоростей (почти до звуковых) и размеров тел сила трения (3.26) оказывается пропорциональной квадрату скорости.
Сила трения (3.26) является результирующей сил взаимодействия тела со всеми частицами среды, т. е. сил, не зависящих от скорости тела. Зависимость силы трения от скорости тела возникает, очевидно, из-за того, что мы не можем детально описать все явления, т. е. одновременно описать как движение самого тела, так и движение всех частиц среды.
4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим теперь некоторую механическую систему, состоящую из п частиц (материальных точек). Применяя к этой системе второй закон Ньютона, мы можем записать ее уравнения движения относительно инерциальной системы отсчета в виде
mvrt = F^t = \, 2, ..., л).(3.28)
Здесь Fi — равнодействующая всех сил, действующих на i-ю частицу, среди них есть как внутренние, так и внешние силы.
Условимся называть внутренними силами силы взаимодействия Fi? между частицами данной механической системы, а внешними — силы, действующие на частицы рассматриваемой системы со стороны тел, не входящих в эту систему. При этом полную силу Ft, действующую на i-ю частицу рассматриваемой механической системы, можно представить в виде
Fl = ^ + 2 Fи s F^ + S'^1<3-29)
/=1/=1
где F^ — равнодействующая всех внешних сил, приложенных к i-й частице Таким образом, дифференциальные уравнения движения механической системы можно окончательно записать в виде mt7l=^-\-'^"Fij(i = 1. 2, ..., п).(3.30)
/=1
В дальнейшем всюду (если не будет специально оговорено противное) мы будем считать, что внутренние силы Рц удовлетворяют третьему закону Ньютона и, следовательно, имеют вид (3 22). Относительно внешних сил F7 будем предполагать, что они в общем случае могут явно зависеть от времени t, а также от положения и скоростей соответствующих частиц системы относительно внешних тел, т. е.
7м, t),(3.31)
где
= и, - оа,(3.32)
а по индексу а производится суммирование по всем внешним телам, не входящим в рассматриваемую механическую систему.
При переходе ог инерциальной системы отсчета К. к другой
инерциальной системе отсчета К' в силу преобразования Галилея (3.8)
’J/'Z 15J’ (з.зз) . П —X А —7а , Vz —7а->7' — Va . '
Таким образом, при сделанных выше предположениях о характере сил, действующих на механическую систему, ее уравнения движения (3.30) ковариантны относительно преобразования Галилея. Поэтому в системах отсчета К и К' будут иметь одинаковую форму любые следствия, вытекающие из уравнений движения (3.30). А это и означает, что все законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета.
Заметим, что из ковариантности уравнений движения (3.30) относительно преобразования Галилея еще не вытекает инвариантность самих механических процессов, т. е. их одинаковый характер в различных инерциальных системах отсчета. Как будет показано в следующем параграфе, механические явления происходят одинаково в различных инерциальных системах отсчета только в том случае, если совпадают начальные условия. Если же начальные условия для одного и того же явления в разных системах отсчета различны, то и само механическое явление в этих системах отсчета протекает по-разному.
ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИИ РОЛЬ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ.
ПРИНЦИП ПРИЧИННОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Рассмотрим движение относительно инерциальной системы отсчета некоторой механической системы, состоящей из п частиц (материальных точек). Будем называть механическую систему свободной, если в любой момент времени t можно произвольным образом задать значения радиусов-векторов г, и скоростей и, всех ее частиц (или, если пользоваться декартовой системой координат, можно произвольно задать значения ее Зи декартовых координат ^уд; х2у2з2; ...; xny„z„ и Зи проекций скоростей хп у1( zT; хг, у2, z2; ...; х„, у„, г„). Тем самым мы исключаем пока из рассмотрения так называемые несвободные механические системы, т. е. системы, материальные точки которых могут перемещаться лишь по заданным поверхностям или кривым. Для таких систем, как будет показано в главе V, нельзя произвольно задать значения радиусов- векторов и скоростей частиц.
Движение свободной механической системы подчинено уравнениям движения Ньютона (3 30). Анализ этих уравнений показывает, что в динамике свободных механических систем можно рассматривать два типа задач:
Прямая (или основная) задача — задача об отыскании радиусов-векторов частиц как функций времени rt (/) по заданным внутренним Рц и внешним Р1^ силам и известным массам частиц т.ь В математическом отношении эта задача сводится й нахождению общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, вытекающей из (3.30)
/=1
= +2' - . ”)(4-1)
Обратная задача — задача о нахождении полной силы Ft, действующей на i-ю частицу механической системы по ее массе mt и заданному радиусу-вектору rz (0 как функции времени.
Нетрудно видеть, что обратная задача всегда может быть решена, если радиусы-векторы частиц г; (/) — непрерывные и дифференцируемые (по крайней мере, дважды) функции, так как решение обратной задачи сводится к простой операции дифференцирования. Действительно, полную силу Ft, действующую на i-ю частицу механической системы, на основании (3.30) всегда можно представить в виде
гп
^ = Р?Ч2'Ри = тЛ(4.2)
Несравненно труднее получить решение основной задачи динамики, сводящейся к более трудной математической операции интегрирования системы дифференциальных уравнений (4.1). Для выяснения ряда принципиальных вопросов, связанных с решением основной задачи динамики, рассмотрим простейшую задачу о свободном движении материальной точки в однородном поле притяжения Земли без учета сопротивления атмосферы. Если систему де
картовых координат выбрать так, как указано на рисунке 4.1, то дифференциальные уравнения движения материальной точки можно записать в виде
тх = 0, my = — mg, тг = О, или
х = 0, у = — g, z = 0. (4 3)
Заметим, что независимость законов свободного падения тел в поле притяжения Земли от их массы впервые экспериментально открыта Галилеем.
Общее решение системы уравнений (4.3) имеет вид
х = С^ + С2, у = - Igt» + C,t + С4, z = C5t + Св. (4.4)
Это шестипараметрическое семейство кривых, включающее различные параболы и прямые. Отсюда видно, что сама по себе система уравнений (4.3) еще не дает ответа на вопрос о том, как будет двигаться материальная точка в поле притяжения Земли. Она утверждает лишь, что движение может происходить по одной из кривых, принадлежащих семейству (4.4). Чтобы на поставленный вопрос получить однозначный ответ, необходимо задать начальные условия, т. е. задать положение и скорость материальной точки в некоторый момент времени.
Пусть, например, при / = О
х(0) = у(0) = г(0) = 0, х'(0) = и0 cos а,
у(0) = оо sin а, г(0) = 0.(4.5)
Начальные условия (4.5) отбирают из семейства кривых (4.4) единственную кривую, по которой при этом будет происходить движение материальной точки. Траекторией тела, брошенного под углом а к горизонту, как известно, является парабола
х = oleosa, у = o0/sina —^, z = 0,(4.6)
или
у = xtga^, 2 = 0.
2vq cos2 a
Вернемся к произвольной механической системе, состоящей из п материальных точек. Общее решение уравнений движения (4.1) для такой системы, если оно вообще существует, можно представить в виде
= г", (/; Си С8, С8Са„) (i = 1, 2, ..., п).(4.7)
Входящие в это решение постоянные интегрирования можно определить из начальных условий, которые мы зададим в виде
7 (0) =7Z0,^ (0) = 4 (i = 1, 2, .... n).(4.8)
Действительно, дифференцируя (4.7) по времени t, можно получить скорости материальных точек как функции времени и 6п произвольных постоянных
t>i = V{ № С^, С2, С3, ..., Свл) (i = 1, 2, 3, ...,м).(4.9)
Полагая затем в равенствах (4.7) и (4.9) t = 0, получим систему 6rt алгебраических уравнений относительно постоянных Сх, С2, ...,
. ^(^v ^ С3, ... , С6п) =J'tot (i = it 2 n) (4.10)
yi(Cv C3, C3, ..., C6n)=yi0.
Решая полученную систему уравнений, находим:
Cfe = ffe(rto, FM, .... 4; v7o. 4. -. tU(* = l, 2, ..., 6п). (4.11)
И наконец, подстановка выражений (4.11) в (4.7) и (4.9) позволяет получить окончательное решение основной динамической задачи для рассматриваемой системы:
, ^ = ^№ 4- 4 ^oi у№ UwУпй\ У = 1. 2, .... п) (4.12)
ui= yi № rL0. rw •••> ГЛ0> У10> y20*^ло)*
Из обсуждения общего хода решения основной задачи динамики можно сделать следующие выводы:
Состояние свободной механической системы в любой момент времени полностью определяется заданием радиусов-векторов rt и скоростей vt всех материальных точек, входящих в эту систему (или заданием ее Зп координат хи уъ Zf, х2, у2, z2; х3, у3, z3; ...; хп, У», гп и Зп проекций скоростей х1( yn zf, х2, у2, z2; х3, у3) г8;
хт Ут гт г№ п — число материальных точек системы).
Это означает, что заданием координат и скоростей материальных точек в некоторый момент времени однозначно определяются и их ускорения xlt yv zx; х2, у2, z2; ...; х„, у„, z„ в этот момент, необходимые для предсказания поведения системы в последующие моменты времени. Однако в отличие от координат и скоростей ускорения материальных точек нельзя задавать произвольно, так как они определяются уравнениями движения (4.1).
Заметим, что возможность определения состояния механической системы с помощью ее координат и скоростей (или импульсов) является следствием допущения классической механикой возможности одновременного измерения у макроскопических тел любых физических величин (в том числе любой координаты х и соответствующей ей проекции импульса рх). Как показывают опыты по дифракции и интерференции пучков электронов, нейтронов, атомов и других микрообъектов, у микрочастиц нельзя одновременно измерить координату х и импульс рх. Поэтому для микросистем указанный выше способ определения состояния оказывается непригодным.
Заданием, начального состояния механической системы однозначно определяется ее поведение и во все последующие моменты времени.
Это означает, что если заданы условия движения системы, т. е.
—►■ —► —►
заданы силы FL (гь ии 0, действующие на отдельные материальные точки системы, как функции их координат, скоростей и време-
ни, то по начальному состоянию системы в момент времени / = О можно однозначно предсказать ее состояния и во все последующие моменты времени I > 0. Заметим, что физической основой предсказания механических явлений системы является линейность урав
нений движения (4.1) относительно ускорений гг
Сформулированное утверждение представляет собой принцип причинности классической механики, или так называемый принцип лапласовского детерминизма, т. е. частную формулировку общего принципа причинности, справедливую только в рамках классической механики.
В связи с возможностью предсказания хода развития механических процессов в будущем возникает вопрос: нельзя ли по известному начальному состоянию системы описать предысторию ее движения, т. е. указать состояния, в которых она находилась в моменты времени / < 0? Обсуждение этого вопроса имеет немаловажное значение для понимания физической сущности обратимости и необратимости различных процессов, протекающих в макроскопических системах, т. е. в системах, состоящих из огромного числа хаотически Движущихся атомов или молекул, исследованием которых занимается статистическая физика.
Прежде чем попытаться ответить на поставленный вопрос, следует заметить, что переход от естественного течения времени от настоящего к будущему, к его обращенному ходу от настоящего к прошлому есть преобразование обращения времени I-* — t. Физически это преобразование означает изменение знака скоростей частиц без изменения знака их координат и ускорений, т. е. при t Г = —I
(4.13)(4.13)drt drt
(4.13)
(4.13)
"di~~dp'
d^r^ d1^di^ Vdt’^ '
В отличие от обычного (или, как его называют, прямого) движения, описываемого переменными rt (t), ot (t) и соответствующего естественному течению времени, движение системы, описываемое параметрами г, (f) и ot (О, принято называть обращенным. Если в обращенном движении с ростом f система последовательно и в обратном порядке проходит через все состояния, в которых она побывала при прямом движении, то движение системы называют обратимым. Очевидно, что движение системы будет обратимо только в том случае, если уравнения движения (4.1) инвариантны относительно преобразования t -> — L Таким образом, предсказывать прошлые состояния системы по ее начальному состоянию можно
только в том случае, если уравнения движения (4.1) инвариантны относительно преобразования обращения времени.
Но всегда ли уравнении движения (4.1) инвариантны относительно указанного преобразования?
Рассмотрим для простоты движение одной точечной частицы. Допустим, что полная сила, действующая на частицу, зависит только от ее положения, т. е. F = F (г). Нетрудно видеть, что уравнение движения частицы md^r/dF = F (г) в этом случае инвариантно относительно преобразования f-»- — t и, следовательно, движение частицы обратимо. Рассмотрим, например, движение точечной частицы в поле притяжения Земли (рис. 4.1). Обратимость ее движения означает, что если изменить направление скорости частицы на противоположное в момент, когда она находится в точке Л, то при дальнейшем движении частица пройдет через все положения, занимаемые при прямом движении, и снова вернется в точку бросания О.
В качестве второго примера рассмотрим движение заряженной частицы в электромагнитном поле; такое движение, как указывалось в § 3, описывается уравнением
(4.14) at2
Уравнение (4.14) будет инвариантно относительно преобразования обращения времени только в том случае, если одновременно произвести преобразование электромагнитного поля, а именно
—(4.15)
Следовательно, движение заряженной частицы в электромагнитном поле обратимо по отношению к преобразованию (4.15).
Таким образом, при взаимодействии, явно зависящем от скорости, т. е. при F ~ F (и), для сохранения инвариантности уравнений движения (4.1) относительно преобразования обращения времени требуется изменение некоторых внешних условий (если в примере (4.14) не изменять направление индукции магнитного поля, то траектория обращенного движения частицы будет резко отличаться от траектории прямого движения). Весьма примечателен тот факт, что все известные в настоящее время взаимодействия (сильное, или ядерное; электромагнитное; слабое взаимодействие, ответственное за 0-распады элементарных частиц, и гравитационное) инвариантны относительно преобразования обращения времени с учетом необходимого для некоторых из них изменения направления напряженностей поля.
Пример 4.1. Получить закон всемирного тяготения Ньютона, исходя из эмпирически установленных Кеплером законов небесной механики.
Указанные законы, как известно, утверждают, что:
Все планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце (рис. 4 2), т. е.
— =l+ecosq>, (4.16) г
где р и е — фокальный параметр и эксцентриситет планетной орбиты.
Движение планеты М по эллиптической орбите (4.16) происходит с постоянной секторной скоростью
г1 ^(^ С.
рга®рга®4ла— = const. а4ла— = const. а(4.17)(4.17)Отношение квадрата периода обращения планеты по эллиптической орбите к кубу ее большой полуоси одинаково для всех планет:
рг
а®
рг
а®
4ла
— = const. а
4ла
— = const. а
(4.17)
(4.17)
Так как секторная скорость планеты сохраняется, то ускорение планеты можно вычислить, пользуясь формулой Бине (2.25). Подставляя в эту формулу 1/г из (4.16), находим:
(4.18)(4.18)4Сарг»
(4.18)
(4.18)
Выразим большую и малую полуоси эллипса (4.16) через фокальный параметр р и эксцентриситете. Из рисунка 4.2 находим:
= "2 ^mln + Гтах^ = 1 — еа’ b = аУ1 — в2 = у у™ е2 •(4.19)
Далее из выражения площади эллипса лаЬ — СТ найдем период обращения планеты по эллиптической орбите
„ лоб пр2 .—3/2
Т = -=-(1-еа)
Подстановка выражений (4.19) и (4.20) в третий закон Кеплера (4.17) показывает, что ^1р = а и, следовательно, ускорение планеты (4 18) можно окончательно записать в виде
ТГ =ТГ =а -*7 Га -*7 Г
ТГ =
ТГ =
а -*
7 Г
а -*
7 Г
Так как постоянная а одинакова для всех планет, то естественно принять: а = = Gm6, где т0 — масса Солнца. Отсюда силу, действующую ла планету с массой т со стороны Солнца, на основании второго закона Ньютона можно представить в виде
F = — GF = — Gтт0г® Г’тт0г® Г’(4.21)(4.21)
F = — G
F = — G
тт0
г® Г’
тт0
г® Г’
(4.21)
(4.21)
где G — гравитационная постоянная.
5. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРОВАНИЯУРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В КОНЕЧНОМ ВИДЕ
Интегрирование уравнений движения даже для такой простейшей механической системы, как материальная точка, сопряжено с определенными математическими трудностями. В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые частные случаи, когда интегрирование уравнений движения материальной точки может быть доведено до квадратур.
Силы, зависящие от времени.
Пусть на материальную точку массы т действует сила F, зависящая только от времени, а начальные условия заданы в виде г (0) = г0; и (0) = у0. Запишем дифференциальное уравнение движения точки в виде
=(5.1)
at
Интегрируя уравнение (5.1) с учетом начального условия и (0) = у0, находим:
t
V(t) =VO+— fF(tW(5.2)
о
Представляя скорость материальной точки в виде dr/dt и еще раз интегрируя уравнение (5,2) с учетом другого начального условия г (0) = г0, получаем:
< г
7$ = 70 + 7Qt + -1- f dt' f F (0 dt.(5.3)
J
о 0
Таково общее решение уравнения (5.1).
Случай, когда декартовы проекции силы являются функциями соответствующих координат, т. е.
Fx - A W, Fy = А (у), Fz - h (z).
Уравнения движения материальной точки в этом случае имеют вид
тх = A W- "й = А <У) • тг = А (г).(5.4)
Общее решение этих уравнений можно получить в квадратурах. Например, умножая обе части первого уравнения на х = dx/dt, получим:
(5.5) atт at
откуда
х
=(х') dx' + Хо(5.6)
xo и
= ± [— (7i (x') dx' + xol1/2,(5.7)
dt L m JJv '
где x0 = x (0) и x0 = x (0), а знак должен совпадать co знаком начальной скорости х0. Разделяя в (5.7) переменные и еще раз интегрируя, окончательно находим:
/ = ±/ = ±XXJ т J.ХаХ^XXJ т J.ХаХ^dx'.dx'.(5.8)(5.8)
/ = ±
/ = ±
XX
J т J.
ХаХ^
XX
J т J.
ХаХ^
dx'.
dx'.
(5.8)
(5.8)
Таким образом, интегрирование системы уравнений (5.4) фактически сводится к решению трех одномерных задач.
В § 13 мы познакомимся с более наглядным способом рассмотрения одномерной задачи.
Случай, когда декартовы проекции силы являются функциями соответствующих проекций вектора скорости, т. е.
F, = /i to, f у = U 6Y Fz = /3 (z).
Систему уравнений движения материальной точки в рассматриваемом случае можно представить в виде
тх = fx (х), my = f2 (у), mz = f3 (z).(5.9)
Система уравнений (5.9) также допускает получение общего решения в квадратурах. Действительно, представляя, например, вторую производную х как dxfdt, первое уравнение системы (5.9) можно переписать в виде
dt = m-^,(5.10)
/1 (х)
откуда находим:
t = tn С-~~.(5.11)
Допустим, что уравнение (5.11) можно разрешить относительно скорости х, т. е. представить ее как функцию времени:
В этом случае искомую координату х можно записать в виде t
х = х0 + J фг (0) df.(5.12)
о
Заметим, что, кроме того, всегда существует возможность представить координату х как функцию скорости х. Действительно, умножая обе части уравнения (5,10) на х, получаем:
dx = F^-,(5.13)
/i W
откуда
х = хв + т С(5.14)
*1 к to
Аналогичным образом интегрируются и два других уравнения (5.9). г) Случай, когда сила, действующая на материальную точку,
имеет вид: F (г, v, I) = —кг — ay + F ^.
Основная задача динамики в этом случае сводится к отысканию общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
7+ 2V + соГ = -1- F(/),(5 15)
т
где
too = —, 2Л = —•.тт
Как известно из курса математики, общее решение уравнения (5.15) можно записать в виде
7(0 = £^0 + саг3(о + 7н0 (0,(5.16)
где г1л (0 — частные решения однородного уравнения, соответствующего уравнению (5.15), и гн о —частное решение неоднородного уравнения (5,15). Напомним, что решения г1>2 (0 ищут в виде г1.2(0=7'-2',(5.17)
где &1а — корни характеристического уравнения
&2 + 2М + о* = 0.(5.18)
§ 6. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯИ КЛАССИФИКАЦИЯ
СВОБОДНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Классификацию свободных механических систем разумнее всего осуществить по следующим двум признакам: 1) возможно ли для данного класса систем введение полной потенциальной энергии? 2) Зависит или не зависит явно от времени потенциальная энергия рассматриваемых систем? Поэтому предварительно необходимо ввести понятия о потенциальной энергии материальной точки во внешнем силовом поле и полной потенциальной энергии системы взаимодействующих частиц.
РАБОТА СИЛЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ВО ВНЕШНЕМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
Работа является важнейшей характеристикой механического движения, определяющей изменение кинетической энергии системы (см. § 9). Вычислим работу, производимую некоторым силовым полем F по перемещению частицы т из точки Л в точку В (рис. 6.1). С этой целью весь путь, проходимый частицей, разобьем на элементарные участки dl. Элементарной работой силы F на бесконечно малом участке пути dl называют скалярное произведение
6A = F^dr. (6.1)
В СИ единицей работы является джоуль: 1 Дж = Н ■ м. Суммируя выражения (6.1) по всем элементарным участкам пути, получим работу по конечному перемещению частицы:
А = J F • d7 = f (F,dx + f/y + FzdzY (6.2) — AB —AB
В курсах математики показывается, что значение криволинейного интеграла (6.2) может не зависеть или зависеть ог конкретного вида кривой, соединяющей точки Л и В. В первом случае элементарную работу (6.1) можно представить в виде полного дифференциала некоторой функции координат частицы:
Рис. 6.1Рис. 6.1F ■ dr = —dl) (х, у, г).(6.3)
Рис. 6.1
Рис. 6.1
При этом работа силы F по конечному перемещению частицы оказывается равной
(-)В
Л = — j dU(x, у, г)= I/ (хд, ул, zA) — (•)А
—Щхв, Ув, zBY(6.4)
Во втором случае элементарную работу F • dr нельзя представить в виде (6.3); поэтому мы и обозначили ее через 6Л, желая тем самым подчеркнуть, что элементарная работа (6.1) в общем случае не является полным дифференциалом.
Поля, удовлетворяющие условию (6.3) или (6.4), называют потенциальными силовыми полями, а функцию U (х, у, z) — потенциальной энергией материальной точки во внешнем потенциальном силовом поле. По заданной силе F (г), действующей на материальную точку, ее потенциальную энергию можно найти с помощью неопределенного интеграла
U (г) = — J F (г) • dr + С.(6.5)
Отсюда видно, что потенциальная энергия материальной точки определена с точностью до аддитивной произвольной постоянной С. Поэтому, прежде чем работать с функцией U (г) каке потенциальной энергией частицы, ее необходимо предварительно прокалибровать, выбрав произвольным образом нулевой уровень потенциальной энергии (этот произвол в выборе постоянной С не сказывается на значении вектора силы F и интеграла работы (6.4)).
Сформулируем теперь дифференциальный признак потенциальности силового поля. С этой целью заметим, что условие независимости интеграла работы (6.2) от формы пути можно понимать как требование
^) F • dr = 0,(6.6)
откуда, применяя теорему Стокса, получаем:
j rot F • df= 0,(6.7)
где df — элемент поверхности S, натянутой на замкнутый контур L. Ввиду произвольности поверхности S равенство (6.7) равносильно требованию
rotF = 0,(6.8)
или
^z9Fy _ ЙРХ 6Fe _ дРу дРх _ Q,g д^.
ду дг дг дх дх ду *'
Таким образом, потенциальное силовое поле — это безвихревое поле. Силовые поля, в которых rot F Ф 0, называют вихревыми. Для частицы, находящейся в вихревом силовом поле, понятие потенциальной энергии теряет смысл.
Так как rot grad U (х, у, г) яе 0, то силу, действующую на частицу в потенциальном силовом поле, можно выразить через ее
потенциальную энергию:
F = —gradi/ = — v^ = —-^,(6.9)
dr
где v — векторный дифференциальный оператор набла. Заметим, что далее для обозначения grad U мы широко будем использовать символическую запись dU/dr, под которой условимся понимать вектор (в декартовых координатах)
зи аи-г . аи-г ,aut
дх дудгх
откуда видно, что
^•d7=dU.(6.11)
дг
Равенствами (6.5) и (6.9) устанавливается взаимно однозначное соответствие между скалярным полем, определяемым функцией U (г), и потенциальным силовым полем F (г). В каждой точке поля вектор силы F направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности U (г) = const в сторону убывания потенциальной энергии.
Потенциальные силовые поля могут быть самой разнообразной физической природы и обладать различной симметрией. Рассмотрим несколько примеров.
Однородное (или плоскопараллельное') поле F (г) = const (например, электростатическое поле в пространстве между обкладками плоского конденсатора; однородное поле притяжения Земли). Потенциальную энергию материальной точки в однородном поле можно представить в виде
U(7) = — F • Г+ С(6.12а)
или, если направление F выбрать за ось Ог декартовой или цилиндрической системы координат, то
U (г) = -Fz-Y С.(6.126)
Эквипотенциальными поверхностями однородного поля являются. плоскости z = const, параллельные координатной плоскости Оху. Работа силы F однородного поля по конечному перемещению материальной точки равна А = F (г4 — zx).
Аксиально-симметрическое поле F (г) = F (р)ег, где р— расстояние от материальной точки до оси симметрии поля, принимаемой за ось Oz цилиндрической системы координат. Примером такого поля может служить электростатическое поле, создаваемое бесконечной, равномерно заряженной прямой нитью. Подставляя в соотношение (6.5) выражения F — F (р) et и dr = erdp + e^pdcp +
+ № (см. § 2, п.2б), потенциальную энергию материальной точки в аксиально-симметрическом поле можно представить в виде
U ^ = -J F (р) dp + С = U (р),(6.13)
откуда видно, что эквипотенциальными поверхностями в поле F (р)ег являются коаксиальные цилиндры р = const.
Работа силы F аксиально-симметрического поля по конечному перемещению материальной точки равна А = U (р:) — U (р2).
Центрально-симметрическое поле F (г) = F (г)ег, где г — расстояние от материальной точки до некоторой точки О, называемой центром поля. Примерами центрально-симметрических полей могут служить электростатическое поле точечного заряда, гравитационное поле точечной тяжелой массы; поле силы F = — кг, действующей на трехмерный осциллятор при его малых смещениях из положения равновесия О, и др.
Подставляя в равенство (6.5) выражения F = F (r)er и dr = = e,dr + e^r sin 0 dtp + e9rd6, потенциальную энергию частицы в центрально-симметрическом поле можно представить в виде
(/ (7) = — J* F(г) dr + С = и (г).(6.14)
Таким образом, потенциальная энергия материальной точки в центрально-симметрическом поле зависит только от ее расстояния до центра поля, а эквипотенциальными поверхностями указанного поля являются концентрические сферы г = const. Силу, действующую в центрально-симметрическом поле, можно представить так: 7-=— — -^; = — — ^(6'15)
dr dr dr г ’
отсюда видно, что линия действия силы всегда проходит через центр поля. Центрально-симметрическое поле может быть или —>■—>■ —>
полем притяжения (если F =—|F|er), или полем отталкивания (если F = | F|er).
Во всех рассмотренных примерах вектор силы F (г) и потенциальная энергия материальной точки U (г) не зависели явно от времени. Такие потенциальные силовые поля называют стационарными.
Рассмотрим теперь случай, когда на материальную точку со стороны внешнего поля действует сила F (г, О, явно зависящая от времени. Если эта сила удовлетворяет условию потенциальности (6.8), то рассматриваемое поле называют нестационарным потенциальным силовым полем.
Сила F (г, f), действующая на материальную точку в нестацио-
парном потенциальном поле, и ее потенциальная энергия U (г, О связаны между собой соотношениями, аналогичными (6.5) и (6.9), т. е.
U(7, t) = — ^F(r, f) • dr-у С, F £ /) = — -^М-. (6.16)
Jд7
Заметим, что элементарную работу в этом случае можно представить в виде F • dr = dtU, где
dtU = — .d7=dU- — dt.
д7 dt
Поэтому для вычисления интеграла работы (6.2) по конечному перемещению материальной точки необходимо знать закон ее движения, т. е. г = г ЦУ
В качестве примера нестационарного потенциального поля можно указать переменное и однородное электрическое поле в плоском конденсаторе. Действительно, силу, действующую в указанном поле на точечный заряд q, и его потенциальную энергию можно записать в виде
F (О = qSQ cos tot, U (г, i) = —qS0 • г cos tot + С. (6.17)
ПОЛНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим свободную механическую систему, состоящую из п взаимодействующих точечных частиц и находящуюся во внешнем потенциальном силовом поле (стационарном или нестационарном). Будем предполагать, что силы взаимодействия между частицами удовлетворяют третьему закону Ньютона и, следовательно, являются потенциальными и центральными.
Нетрудно видеть, что полную потенциальную энергию такой системы можно представить в виде суммы двух слагаемых:
U = W + UW,(6.18)
где U^ — потенциальная энергия системы во внешнем силовом поле, а № — энергия взаимодействия частиц (или внутренняя потенциальная энергия системы).
Внешняя часть полной потенциальной энергии U^ складывается из потенциальных энергий отдельных частиц, входящих в систему, и в общем случае является функцией положения частиц и времени t, т. е.
U^ = №47v 72, .... 7„, ц^и^, 0,(6.19)
где U^ (rif /) — потенциальная энергия t-й частицы системы во внешнем силовом поле.
Энергию взаимодействия частиц Uw можно представить в виде
U^-U^ 7„ ... , й --^j^tk^l), (6.20)Я /=1
где Uij^fi — ryl) — энергия взаимодействия какой-нибудь пары частиц. Эта часть полной потенциальной энергии системы не может быть явной функцией времени, что является следствием однородности последнего (по отношению к замкнутой системе все моменты времени физически эквивалентны). Зависимость энергии взаимодействия Ul} отдельной пары частиц только от модуля их относительного расстояния |гг — гу| является, как было показано в § 3, следствием однородности и изотропности пространства.
Систему дифференциальных уравнений движения (3.30) для свободной механической системы, находящейся во внешнем потенциальном силовом поле, будем далее записывать в виде
(6.21)(6.22)(6.21)(6.22)m/j = —(i = 1, 2, ... , п),
(6.21)
(6.22)
(6.21)
(6.22)
при этом следует помнить, что
_ =_аи^ =з^ _ У т^1$1^1
КЛАССИФИКАЦИЯСВОБОДНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Теперь мы можем произвести классификацию свободных механических систем, необходимую для изучения следствий, вытекающих из основных законов классической механики (законов сохранения и теорем об изменении энергии, импульса и механического момента). Оказывается, что все бесчисленное множество свободных механических систем можно разбить на следующие четыре класса:
Замкнутые, или изолированные, системы. Для таких систем при сделанных выше допущениях о характере внутренних сил всегда можно ввести функцию полной потенциальной энергии, состоящей только из энергии взаимодействия частиц, т. е.
л п
Wv К , r„) = 1У Vuy (|7Z -7УI).(6.23)
Причем ее изменение со временем обусловлено только изменением положения частиц; поэтому полная производная от потенциальной
энергии замкнутой системы по времени имеет вид
<и аи -(6'24)
Системы, находящиеся во внешних стационарных и потенциальных силовых полях. Для таких систем можно ввести функцию полной потенциальной энергии, причем
п п
^1. 787Й)= t^>£,72, ... » r„) + -1 V V U^— ^|), (6.25)
а ее полная производная по времени определяется выражением (6.24).
Системы, находящиеся во внешних нестационарных потенциальных силовых полях. Для систем, принадлежащих к данному классу, также возможно введение функции полной потенциальной энергии, однако она будет явно зависеть от времени
U(7V72,...,7„,/)=№£, 73,...,7Й, 0+^2S^-^’ (6.26) i=i м
и поэтому ее полная производная по времени будет определяться выражением
^=f+5^"^(6-27)
8ri
Все прочие свободные механические системы. К этому классу мы отнесем системы, находящиеся в вихревых силовых полях; системы, подверженные воздействию сил трения и т. д. Поведение таких систем подчиняется уравнениям движения общего вида (3.30).
ГЛАВАГЛАВАIIIIЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯИ ОСНОВНЫЕТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
ГЛАВА
ГЛАВА
II
II
§ 7. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫУРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОНЫСОХРАНЕНИЯ
Состояние движения свободной механической системы, состоящей из п частиц, как было показано в § 4, полностью определяется заданием Зи декартовых координат и Зи проекций скоростей всех частиц, входящих в данную систему:
^if Ун г1> ^а> Уа> ^2» ^з» Уз* z3i •••> хп, уп, гп,^ р
xv ylf zv, х2, у2, z2; х8, уз, z3; ...; х„, уп, г„.
В процессе движения системы переменные (7.1) изменяются. Тем не менее можно указать такие функции:
L £. ^2'„; ^ Г2, .... ип; о = fa0 (7.2)
параметров (7.1) и, в общем случае, времени t, которые при движении системы сохраняют постоянные значения /а0, определяемые начальными условиями.
Функции (7.2) называют первыми интегралами дифференциальных уравнений движения (или, короче, интегралами движения). В том, что такие функции действительно могут существовать, можно убедиться, разобрав приводимые ниже примеры.
Пример 7.1. Рассмотрим движение частицы массой т и зарядом q в переменном электрическом поле с напряженностью 8 = 80 cos со/, где 86 — постоянный вектор.
Пренебрегая силой тяжести, малой по сравнению с силой, действующей на частицу со стороны электрического поля, запишем векторное уравнение движения частицы в виде
mv = q80 cos со/, или
— | mv — 3£®. sin со/] = 0.(7.3)
dt \ со /
Отсюда следует, что
—
ту—3^- sin со/ = Ао,(7-4)
со
где Лу — постоянный вектор; определяемый начальными условиями. Полученная векторная функция (7.4) является первым интегралом движения для заряженной частицы, движущейся в переменном электрическом поле.
Пример 7.2. Рассмотрим поведение той же частицы в однородном магнитном поле с индукцией В = Вк, где к — единичный вектор оси Ог декартовой системы координат и В = const.
Умножая обе части уравнения движения частицы то = q [иВ] скалярно на векторы v и к, можно показать, что
— const и mvz = const.(7.5)
2
Таким образом, для заряженной частицы, движущейся в однородном магнитном поле, первыми интегралами движения являются ее кинетическая энергия и проекция импульса на направление поля.
Общее число $ независимых первых интегралов движения свободной механической системы ^ 6п, причем максимальное число интегралов 6п существует у такой системы, для которой возможно полное разделение переменных в дифференциальных уравнениях движения. Действительно, в этом случае общее решение динамической задачи может быть представлено в виде
^/ " ^i (^i Cj, С2, С3, •••> Свя) О = 1' 2, ..., и),(7.6)
где С1( С2, .... Свя— произвольные постоянные интегрирования. Дифференцируя (7.6) по времени, получим еще п векторных равенств вида
U; = U; (/; Cj, С3, С3, ..., С6я) (i = 1, 2, ..., и).(7.7)
Решая систему уравнений (7.6) и (7.7) относительно постоянных интегрирования Са, находим:
Ca(t; ^Ле, ...Ггп; о1е и2, •••. ил) = Cao (а = 1, 2би), (7.8) где
Сао = С« (^о; Гщ, г20,.,., гл0; о10, и20, ..., оло). (7.9)
Наряду с первыми интегралами движения у механических систем могут существовать и вторые интегралы. Вторыми интегралами уравнений движения называют функции времени, координат частиц и Зи произвольных постоянных, имеющие вид
к (Ь h,\7„;Cv СС3„) = /р0,(7.10)
где /ро — постоянные значения функций /р, определяемые начальными условиями. Можно показать (это делается в курсах математического анализа), что совокупность 6п независимых первых интегралов (7.2) или Зи вторых интегралов (7.10) эквивалентна общему решению системы дифференциальных уравнений движения, а знание каких-нибудь s первых интегралов дает возможность понизить
порядок s дифференциальных уравнений движения и тем самым существенно упростить решение динамической задачи.
Однако далеко не все первые интегралы движения выполняют одинаково важную роль в механике. Среди них есть несколько таких интегралов движения, постоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с симметрией пространства и времени — их однородностью и изотропностью.
Указанные первые интегралы движения, имеющие вид
faCr^, ...,7п-,щ,Щь, ...,^ (7.11)
выделяют в особую группу и называют законами сохранения. Помимо связи законов сохранения (7.11) с симметрией пространства и времени есть еще ряд причин, заставляющих выделять указанные первые интегралы движения в особую группу. Во-первых, все сохраняющиеся величины типа (7.11) обладают важным общим свойством аддитивности: значение указанных физических величин для системы, состоящей из невзаимодействующих между собой частиц, равно сумме значений тех же величин для каждой частицы в отдельности. Во-вторых, если о существовании у механической системы интегралов движения общего типа (7.2) можно судить лишь по ее дифференциальным уравнениям движения (необходим предварительный анализ этих уравнений), то о выполнении для той или иной механической системы законов сохранения (7.11) можно судить по ее наиболее общим признакам, не прибегая к анализу уравнений движения. С этой целью достаточно выяснить, к какому из перечисленных в § 6 классу свободных механических систем относится рассматриваемая система. Отмеченные особенности интегралов движения (7.11) возводят их в ранг наиболее фундаментальных законов приррды — законов сохранения. Детальное знакомство с ними мы начнем с закона сохранения энергии, вытекающего из однородности времени.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯИ ИЗМЕНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
В формулировке любого закона сохранения главным является указание класса механических систем, для которого та или иная физическая величина, сохраняется. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать следующим образом: механическая энергия сохраняется в процессе движения у замкнутых механических систем и систем, находящихся в стационарных потенциальных силовых полях-, указанный закон сохранения является следствием однородности времени.
Действительно, для любой механической системы, относящейся к одному из двух указанных классов, можно ввести понятие о полной потенциальной энергии. У замкнутых механических систем
она состоит из внутренней потенциальной энергии парного взаимодействия частиц
п п
и^Л, ...,7^ = uw =1^^иц^-7,\\ (8Л) 1 = 1 V*n
Вследствие однородности времени (физической эквивалентности различных его моментов по отношению к замкнутой системе) потенциальная энергия (8.1) не может быть явной функцией времени t.
Полная потенциальная энергия системы, находящейся в стационарном потенциальном поле, складывается из ее внутренней части Uw и внешней части (7(г), описывающей взаимодействие системы с внешним силовым полем. Но так как внешнее поле стационарно, то полная потенциальная энергия и такой системы является явной функцией I, т. е.
п.п п
uirv 7г7^ = и^ + № ^и^+1 ^ ^ulA 7^7, |).
<=1
<w>(8.2)
Из выражений (8.1) и (8.2) видно, что полную производную по времени от потенциальной энергии как замкнутой системы, так и системы, находящейся в стационарном потенциальном силовом поле, можно записать в виде
du _ v 7 . ди
dt 1 87t" ’
Заметим, что если бы время не обладало свойством однородности (т. е. можно было бы опытным путем установить физическую неравноценность различных моментов времени), то это неизбежно привело бы к явной зависимости от времени потенциальной энергии любой из рассматриваемых нами систем, при этом в полную производную (8.3) пришлось бы дополнительно включить частную производную dUIdt.
Обратимся теперь к системе дифференциальных уравнений движения, которую, имея в виду потенциальный характер всех внешних и внутренних сил, действующих на механическую систему, мы запишем в виде
(1 = 1, 2п\(8.4)
Умножая I - е уравнение системы (8.4) скалярно на вектор uz и учитывая очевидное равенство
myt-myt-d«i dtd«i dt£ dt£ dt(8.5)(8.5)
myt-
myt-
d«i dt
d«i dt
£ dt
£ dt
(8.5)
(8.5)
получим новую систему уравнений
А = - о,. -^ (, = 1, 2,, п),(8.6)
" \ 2 /drt
равносильную системе (8.4). Складывая почленно уравнения (8.6) и изменяя в левой части получаемого при этом равенства порядок выполнения операций суммирования и дифференцирования, получим в результате уравнение
которое, используя выражение (8.3), можно окончательно записать в виде
. П 2X
^ 2? + у -°-<8-8>
1=1'
Уравнение (8.8) показывает, что в процессе движения у замкнутой механической системы и системы, находящейся в стационарном потенциальном поле, сохраняется скалярная величина
Е = ^ ^ т^ + U — const.(8.9)
f=i
Сохраняющуюся величину Е называют полной механической энергией системы; она складывается из двух существенно различных членов: кинетической энергии
п
Т-^,(8.10)
зависящей от скоростей частиц, и потенциальной энергии U, зависящей от их координат. Нетрудно видеть, что полная энергия обладает свойством аддитивности: если пренебречь взаимодействием частиц, то полную энергию замкнутой системы и системы, находящейся в потенциальном силовом поле, можно представить в виде
(8.Н)(8.Н)п2
(8.Н)
(8.Н)
где Et — полная механическая энергия отдельной частицы. Механические системы, у которых полная энергия сохраняется, принято называть консервативными.
Закон сохранения (8.9) для консервативной системы следует понимать и как закон превращения механической энергии, так
Как в процессе движения такой системы происходит непрерывное превращение ее кинетической энергии в потенциальную и обратно. В этом отношении закон сохранения (8.9) является частным случаем всеобщего закона сохранения и превращения энергии различных форм движения материи.
п пп пДля механических систем, находящихся в нестационарных потенциальных силовых полях, тоже можно ввести понятие о полной потенциальной энергии как сумме потенциальной энергии системы во внешнем силовом поле, явно зависящем от времени, и энергии взаимодействия частиц, входящих в систему
п п
п п
и = и^ £, 72,..., 7Я, 0+^2 ^(1 -^1), (8.12)
i=l м№1
и понятие о полной механической энергии Е = Т + U, которая в отличие от консервативных систем не сохраняется. Можно показать, что полная механическая энергия указанных систем изменяется по закону
(8.13)(8.13)dE _д№at ~ at *
(8.13)
(8.13)
Чтобы получить этот закон, необходимо использовать более общее выражение для полной производной d.U!d,t'.
(8.14)
Рассмотрим теперь случай, когда внешние силы, действующие на механическую систему, не являются потенциальными (такие системы в § 6 отнесены нами к классу IV). В общем случае такие системы не являются консервативными (исключение среди систем указанного класса составляют системы с так называемыми гироскопическими силами типа силы Лоренца, действующей на заряженную частицу со стороны магнитного поля. Для таких систем сохраняется сумма кинетической энергии и энергии взаимодействия частиц, — см. пример 7.2 в § 7). Для исследования энергетических превращений в подобных системах используют теорему об изменении кинетической энергии.
Чтобы получить эту теорему, продифференцируем выражение (8.10) для кинетической энергии системы по времени; в результате получим:
(8.15)
Далее мы снова обратимся к дифференциальным уравнениям движения системы, которые, учитывая непотенциальный характер действующих на нее внешних сил, следует записать в виде
т,^ Л^ + ^М==1А , п).
(8.16) Подставляя (8.16) в (8.15), получаем дифференциальную формулировку теоремы об изменении кинетической энергии:
пп п
1=1 /=1
W) (8.17)
Рис. 8.1
Таким образом, полный дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на частицы системы.
Можно указать и интегральную формулировку теоремы (8.17). Допустим, что система за время t2 — tt перемещается из области А в область В (рис. 8.1), а каждая из частиц системы при этом перемещается вдоль '-'А1В1 соответствующей траектории. Интегрируя уравнение (8.17) по интервалу времени t2— 1ц получим:
АТ = AW + Л«), (8.18)
где
&Т = Т^-Т^,
Л(е> = 2 J FW.d7b
1=1 -At Bl
»»-22 ( fm.s,
--ly^to
(8. 18а)
Если взаимодействие между частицами системы имеет потенциальный характер, то работу внутренних сил Xw можно выразить через изменение потенциальной энергии взаимодействия частиц
№= 1Я (/г) _ U^ 1 &)
и переписать равенство (8.18) в виде
А<г> = АТ + AUW.
(8.19)
(8.20)
Отсюда видно, что работа Ate\ производимая над системой внешними силами, идет на изменение кинетической энергии системы и энергии взаимодействия частиц, составляющих рассматриваемую систему. Работа внешних сил А^ может быть как положительной, так и отрицательной; последнее имеет место, если на систему действуют диссипативные силы (например, силы трения) со стороны окружающей механическую систему среды. В этом случае АТ +
3 Классическая механика
65
+ Uw < 0 и, следовательно, механическая энергия системы убывает. Однако это не означает исчезновения энергии вообще: наличие сил трения приводит к превращению механической энергии в энергию теплового движения молекул среды.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСАЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ И ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИИМПУЛЬСА ДЛЯ НЕЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ
Для замкнутой механической системы наряду с энергией сохраняется векторная величина Р — 2 туь называемая импульсом1, i
указанный закон сохранения является следствием однородности пространства.
В силу этой однородности потенциальная энергия замкнутой системы (8.1), зависящая только от расстояний | г,— rj | между частицами системы, не изменяется при любом параллельном переносе системы как единого целого в пространстве.
Параллельный перенос системы (рис. 9.1) представляет собой такое преобразование, при котором все ее частицы смещаются на один и тот же отрезок, а их радиусы-векторы преобразуются по закону:
Л = г, +"е.
Изменение потенциальной энергии замкнутой системы при ее параллельном переносе на бесконечно малый вектор е формально можно записать в виде
(9.1)(9.1)
(9.1)
(9.1)
Рис. 9.1Рис. 9.1
Рис. 9.1
Рис. 9.1
Однако на самом деле вследствие однородности пространства никакого изменения потенциальной энергии системы не происходит. Отсюда, учитывая, что е Ф 0, приходим к выводу: для замкнутой механической системы
(9.2)
Далее снова обратимся к системе дифференциальных уравнений движения (8.4), которую, учитывая постоянство масс частиц, перепишем в виде
Ц =2,, п).(9.3)
Суммируя почленно эти уравнения и учитывая равенство (9.2), находим:
п
аг)
Отсюда видно, что импульс замкнутой системы сохраняется:
Р =2 т.^ = const.(9.5)
Но так как векторное равенство (9.5) эквивалентно трем скалярным
(9.6)(9.6)Рх= ^т^ = const,Ру= 2^^ ~ ccns^Рг= ^ тд = const,
(9.6)
(9.6)
то можно сказать, что с однородностью пространства связаны три первых интеграла движения замкнутой механической системы (9.6). Аддитивность вектора импульса системы очевидна из его определения. Заметим, однако, что в отличие от энергии импульс системы равен сумме импульсов
Р = Хрр Р1=™МР = Хрр Р1=™М(9.7)(9.7)
Р = Хрр Р1=™М
Р = Хрр Р1=™М
(9.7)
(9.7)
отдельных частиц независимо от того, можно или нельзя пренебрегать взаимодействием между частицами в системе.
Закон сохранения импульса замк тутой механической системы (9.5) связан с третьим законом Ньютона. Действительно, для замкнутой механической системы градиент от ее потенциальной энергии по координатам f-й частицы
аи^w vv?™- = У Ftiаи^w vv?™- = У Fti(9.8)(9.8)
аи^w vv?
™- = У Fti
аи^w vv?
™- = У Fti
(9.8)
(9.8)
равен геометрической сумме сил, действующих на указанную частицу со стороны всех остальных частиц, входящих в данную систему. Таким образом, равенство (9.2) означает, что геометрическая сумма всех внутренних сил, действующих в механической системе
(как в замкнутой, так и в незамкнутой), равна нулю:
У У 5,-0.(9-9)
В случае системы, состоящей из двух частиц, из выше сказанного мы получаем, что р1г = —Гц, т. е. закон равенства действия и противодействия. Поэтому равенство (9.9) следует рассматривать как обобщение третьего закона механики на случай систем, состоящих из многих частиц.
Закон сохранения механического импульса (9.5) является частным случаем всеобщего закона сохранения и превращения количества движения материи, утверждающего, что количество движения (импульс) какой-нибудь формы материи не возникает из ничего и не исчезает, а переходит в количество движения других форм или видов движения материи. Об этом нельзя забывать, применяя закон сохранения (9.5) к конкретным физическим системам.
Рассмотрим, например, замкнутую (в механическом смысле) систему движущихся заряженных частиц. Как показывает опыт, механический импульс такой системы не сохраняется. Это связано с тем, что при движении заряженных частиц возникает электромагнитное поле и часть механического импульса переходит в импульс электромагнитного поля. Следовательно, всякий раз, когда мы сталкиваемся с несохранением импульса замкнутой механической системы, то причину исчезновения механического импульса следует искать в превращении некоторой его части в импульс других форм движения материи (или в ошибочности нашего предположения о замкнутости рассматриваемой системы в более широком, физическом смысле).
Другой причиной, способной привести к несохранению импульса у замкнутой механической системы, как показывает общая теория относительности, может явиться нарушение однородности пространства в некоторой его области вследствие существования достаточно сильного гравитационного поля. Однако и в этом случае мы имеем дело с проблемой, выходящей за рамки классической механики и требующей обращения к более общей физической теории.
Импульс незамкнутой механической системы не сохраняется и его изменение со временем определяется законом
<9Л°) at
где вектор
К=2^е)(9.11)
называется главным вектором внешних сил (этим термином подчеркивается, что геометрическую сумму внешних сил, действующих на
механическую систему, в общем случае нельзя свести к равнодейст- вующеи силе, так как силы Ft имеют различные точки приложения).
Чтобы получить теорему об изменении вектора импульса незамкнутой системы (9.10), продифференцируем вектор Р по времени; это приводит к равенству
которое, используя уравнения движения незамкнутой механической системы в форме (8.16), можно затем переписать в виде
Отсюда, учитывая, что внутренние силы системы удовлетворяю? равенству (9.9), мы и получим теорему об изменении импульса незамкнутой механической системы (9.10).
ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
В произвольном движении механической системы, состоящей по крайней мере из двух частиц, всегда можно выделить два элемента: движение системы как единого целого и относительное перемещение частиц в самой системе. Очевидно, что для исследования такого движения необходимо проследить за ее поведением одновременно из двух систем отсчета: неподвижной системы отсчета К, связанной с наблюдателем (лабораторная система отсчета или, кратко, л-си- стема), и подвижной системы отсчета К» связанной с какой-нибудь точкой О', находящейся внутри исследуемой механической системы.
Допустим, что обе системы отсчета: К и К' — являются инерциальными, и выясним, как преобразуется вектор импульса Р при переходе от системы отсчета К к системе К' ■ Если система отсчета К' движется относительно системы К со скоростью Vo-, то скорости и, и vt частиц в указанных системах отсчета связаны соотношением —> —*■/—►■—►■
vt = vt 4- Vo-. Поэтому связь между векторами импульса Р и Р' в тех же системах отсчета дается формулой
р=2=2 тЙ+^о- 2 ть
iii
или
P = P'-YMV0',(ЮЛ)
где
M=^mt(Ю.2)
— полная масса механической системы.
Существует такая система отсчета Кс> связанная с некоторой точкой С, в которой импульс механической системы Р' = 0. При этом формула преобразования (10.1) принимает вид
Р = МУС.(10.3)
Точку С называют центром масс механической системы, а подвижную систему отсчета Кс. связанную с этой точкой, — системой центра масс (или ц-системой). Так как импульс механической системы Р' в ^-системе равен нулю, то говорят, что механическая система покоится в q-системе. Это утверждение является естественным обобщением понятия покоя отдельной материальной точки. Вполне понятно, что скорость Ус центра масс, определяемая формулой
приобретает смысл скорости движения механической системы как единого целого (или скорости ее поступательного движения). Формула (10.3) дает новое (и практически более важное, чем формула (9.7)) определение вектора импульса Р относительно лабораторной системы отсчета К (или л-системы). Замечательно то, что связь между импульсом Р и скоростью Ус движения системы как целого в формуле (10.3) такая же, как между импульсом и скоростью отдельной материальной точки. Это обстоятельство дает право толковать равенство (10.2) как утверждение об аддитивности массы в классической механике.
Записывая формулу (10.4) в виде дифференциального уравнения
dt
и интегрируя это уравнение, получим явное выражение для радиуса-вектора центра масс в л-системе (рис. 10.1)
Rc=^(10.5)
(заметим, что постоянная интегрирования при этом выбрана так, чтобы радиус-вектор точки С в ^-системе обращался в нуль, если ПРИНЯТЬ ^ miri = 0) •
Введя понятие центра масс механической системы, вернемся к теореме об изменении вектора импульса (9.10). Подставляя в указанное равенство новое определение импульса механической системы (10.3), получим уравнение
=(Ю.6)
dt i '
называемое теоремой о движении центра масс. Эта теорема утверждает, что центр масс механической системы движется как некоторая фиктивная материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Отсюда следует, что внутренние силы, действующие в механической системе, не изменяют вектора импульса системы и, следовательно, не оказывают никакого влияния на движение ее центра масс. Примером, ставшим классическим, который в связи с этим обычно приводится, может служить движение снаряда, разрывающегося в воздухе: центр масс его осколков (если пренебречь сопротивлением среды) движется так, как если бы снаряд продолжал двигаться неразорвавшимся. Та же самая теорема (10.6) лежит в основе ракетодинамики.
Однако наиболее важное значение уравнения (10.6) состоит в том, что оно полностью описывает поступательное движение любой механической системы, при котором все ее частицы перемещаются по параллельным (и в общем случае — криволинейным) траекториям. Поэтому уравнение (10.6) лежит в основе такого важного понятия классической механики, как понятие о материальной точке.
Для замкнутой механической системы 2 F^—О и из уравнения i
(10.6) находим:
Vc = const; Ru (t) = Vc t + RCo.(10.7)
Таким образом, закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что ее центр масс движется равномерно и прямолинейно. Закон сохранения импульса замкнутой механической системы, сформулированный в такой форме, представляет собой обобщение закона инерции Галилея, полу-
ценного в § 3 для свободной материальной точки. Отсюда следует также практически важный вывод о том, что при исследовании механических свойств замкнутых систем наиболее разумно использовать ({-систему отсчета, так как при этом из рассмотрения исключается не представляющее особого интереса равномерное и поступательное движение системы как единого целого.
С понятием центра масс связана важная теорема о кинетической энергии механической системы, называемая теоремой Кенига. Эта теорема утверждает, что кинетическую энергию механической системы можно представить в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии ее поступательного движения и кинетической энергии двих<епия частиц относительно се центра масс, т. е.
(10.8)(10.8)
(10.8)
(10.8)
Чтобы доказать эту теорему, вспомним, что скорость vt отдельной частицы в л-системе связана с ее скоростью и, в ^-системе соотношением и, = ot + Vc • Подставляя это равенство в определение кинетической энергии системы, получим:
T-^Mv> + v6Vm;; +T-^Mv> + v6Vm;; +^2 "W-^2 "W-
T-^Mv> + v6Vm;; +
T-^Mv> + v6Vm;; +
^2 "W-
^2 "W-
Отсюда, учитывая, что по определению вектор импульса Р' = = SmA в Ц-системе равен нулю, мы и приходим к теореме (10.8).
С помощью теоремы Кенига (10.8) полную механическую энергию замкнутой системы можно записать в виде
E=1nW^c-VEm1(10.9)
где
Энергию Ем называют внутренней энергией системы. Важность этого понятия становится очевидной, если обратиться к рассмотрению таких замкнутых механических систем, как атомы, молекулы или атомные ядра. Как показывает квантовая механика, только эта часть полной механической энергии может квантоваться, т. е. принимать дискретный ряд дозволенных значений.
§11- ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТАИМПУЛЬСА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫИ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МЕХАНИЧЕСКОГОМОМЕНТА ДЛЯ НЕЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ
Закон сохранения момента импульса для замкнутых механических систем является следствием изотропности пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы (и, в частности, ее потенциальная энергия) не меняются при повороте системы как единого целого относительно произвольного направления в пространстве на любой угол.
Указанное преобразование механической системы аналогично вращению абсолютно твердого тела относительно закрепленной оси, рассмотренному в § 2. Поэтому если произвести поворот системы на бесконечно малый угол Дф, то радиусы-векторы ее частиц получат приращения
Д^ = [Дф^].
При этом изменение потенциальной энергии системы формально можно записать в виде
dUm5г i .dUm5г i .
dUm
5г i .
dUm
5г i .
Однако никакого изменения потенциальной энергии замкнутой системы при ее повороте как целого в действительности не происходит и, чтобы удовлетворить требованию Дб/(,) = 0 при произволь
ном Дф, необходимо принять
(П.1)(П.1)
(П.1)
(П.1)
Теперь снова обратимся к системе дифференциальных уравнений движения (9.3). Умножая левую и правую части каждого уравнения системы (9.3) векторно на радиус-вектор г, соответствующей частицы, получаем новую систему уравнений:
п).п).
п).
п).
Замечая далее, что
£dt£dtrtPirtPi(И.2)(И.2)
£
dt
£
dt
rtPi
rtPi
(И.2)
(И.2)
перепишем полученную систему уравнений в виде
дит
дп /.
(i = 1, 2,
, п).
(И.З)
Суммируя почленно уравнения (11.3), находим:
откуда, учитывая равенство (11.1), окончательно получаем:
(П.4)
Уравнение (11.4) показывает, что в процессе движения замкнутой механической системы сохраняется векторная величина
L =^ ^р( j = const,(11.5)
i называемая моментом импульса (или механическим моментом) системы. Векторное равенство (11.5) равносильно трем скалярным:
Lx = 2 mi ^А — zi^ = const-
L^^mt (z^ — x^ = const,(1 j .6)
Lz = 2 mi lxi^i — №) = const.
Таким образом, помимо интегралов энергии (8.8) и трех проекций импульса (9.6), замкнутая механическая система обладает еще тремя первыми интегралами движения (11.6), вытекающими из изотропности, пространства, так что в целом у замкнутой системы существует семь интегралов движения, связанных с симметрией пространства и времени.
Вектор момента импульса любой механической системы складывается из моментов Lt отдельных ее частиц:
L = ^tf, L^^pa (11.7) и, следовательно, для любой системы является величиной аддитивной.
Закон сохранения (11.5) механического момента замкнутой системы можно рассматривать и как следствие третьего закона Нью-
тона. Воспользуемся с этой целью соотношением (9.8) и перепишем равенство (11.1) в виде
п п
52'е%| = о. о1-8)
i=i i=i
Векторные величины типа [г^у] называют моментами сил. Поэтому равенство (11.8) означает, что геометрическая сумма моментов всех внутренних сил, действующих в механической системе (как замкнутой, так и незамкнутой), равна нулю. Это утверждение является прямым следствием третьего закона Ньютона. Действительно, в равенство (11.8) моменты внутренних сил входят только парами типа
Ми = №^ + ^F^.
Но мы предполагаем, что внутренние силы, действующие в системе, удовлетворяют третьему закону Ньютона, т. е. Fjt = —Рц и F^t tt (г, — гу); поэтому каждая такая пара моментов сил обращается в нуль:
Таким образом, равенство (11.8) и закон сохранения момента импульса для замкнутых механических систем можно рассматривать как следствия, вытекающие из третьего закона Ньютона.
В определение механического момента системы L входят радиусы-векторы частиц; поэтому в отличие от импульса системы значение вектора L в общем случае существенно зависит от выбора начала координат в одной и той же системе отсчета. Допустим, что начало координат смещено из точки О в точку О' на расстояние а (рис. 11.1). При этом радиусы-векторы г, и г/одной и той же частицы относительно указанных начал координат связаны соотношением г, = г£ + а.
Подставляя это соотношение в определение механического момента (П.7), получаем:
lo=2e% + ^2^,
Lo- 4- №-Lo- 4- №-(Н.9)(Н.9)или
Lo- 4- №-
Lo- 4- №-
(Н.9)
(Н.9)
Из этой формулы видно, что только в том случае, когда механическая система как целое покоится (т. е. Р = 0), ее момент не зависит от выбора начала координат. Поэтому при вычислении вектора L, если ис-
пользуется не ц-система, а какая-нибудь иная система отсчета, необходимо указывать (фиксировать) начало координат. Заметим, однако, что отмеченная неопределенность вектора L не сказывается на законе его сохранения. Это объясняется тем, что у замкнутой системы вектор импульса Р также сохраняется; поэтому если сохраняется Lq-, то сохраняется и вектор Lo.
L = 2 [%] + 2 [Кср']+ 2[«г/ХсL = 2 [%] + 2 [Кср']+ 2[«г/ХсВыясним, как преобразуется механический момент L при переходе от лабораторной системы отсчета К к системе отсчета Кс, связанной с центром масс механической системы (см. рис. 10.1). Как указывалось в § 10, радиусы-векторы и импульсы отдельных частиц системы при таком переходе преобразуются по законам: rz = ft + Rc и pt = р'+ т^с • Подстановка этих соотношений в равенство (11.7) дает:
L = 2 [%] + 2 [Кср']+ 2[«г/Хс
L = 2 [%] + 2 [Кср']+ 2[«г/Хс
] + 2/«1[КсКД
4 8 1 I ИЛИ
L = 2[%] + [кс2р'г1 + [2^1 + м fed. (11.10) It J L 4 CJ L J
Отсюда, учитывая, что 2 Pt= R — 0, MVC = P и 2^ 7=0 (последнее равенство есть следствие того, что начало координат системы отсчета Кс совпадает с центром масс), окончательно находим:
Г= ТС + [КСР],Г= ТС + [КСР],(11.11)(11.11)
Г= ТС + [КСР],
Г= ТС + [КСР],
(11.11)
(11.11)
где вектор
4=2с<й (п.12) называют собственным механическим моментом системы.
Тем самым доказана теорема, аналогичная теореме Кенига: момент импульса механической системы складывается из ее собственного момента относительно системы отсчета, в которой она покоится как целое, и момента [КСЮ, связанного с ее поступательным движением.
Заметим, что сохранение у замкнутой механической системы полного момента L означает в то же время и сохранение каждого из векторов Lc и [КбР] в отдельности. Сохранение вектора Lc очевидно из принципа относительности Галилея: если момент импульса сохраняется в одной из инерциальных систем отсчета, то он должен сохраняться и в другой инерциальной системе отсчета; сохранение вектора [Кс К] также очевидно, так как
[/?СР] = CI/cP]Z + ЕЯСОР] = [PC0P] = const.
Перейдем теперь к рассмотрению незамкнутых механических систем. Для указанных систем имеет место следующая теорема: момент импульса незамкнутой механической системы, определяемый соотношениями (11.7) или (11.11), не сохраняется и его изменение со временем определяется законом:
^ = N(П-13)
dt *
где вектор
N = ^[7^1(11.14)
носит название главного вектора моментов внешних сил.
Для доказательства сформулированной теоремы продифференцируем вектор L по времени t и воспользуемся уравнениями движения системы в форме (8.16); в результате получим:
(паб,
/=■14 = 1 / = 1
откуда, используя равенство (11.8), мы и приходим к теореме об изменении механического момента незамкнутой системы (11.13).
В формулировке теоремы об изменении момента импульса используются два новых понятия механики: понятие о моменте силы относительно точки (или начала координат) и понятие о главном векторе моментов внешних сил. Остановимся на этих понятиях более подробно.
Моментом силы относительно точки называют векторное произведение радиуса-вектора г точки приложения силы на вектор силы F:
тото"р = [7п.(11.16)
Напомним в этой связи, что в школьном курсе физики вводится понятие о моменте силы относительно оси вращения (оси декартовой системы координат) как произведение модуля вектора силы на соответствующее плечо; например, моментом силы F относительно оси Ог называют
momQz F = F. hz,(11.17)
где Ft — проекция силы F на плоскость хОу и hz — плечо силы F относительно оси Ог. Плечом силы F относительно какой-нибудь оси координат в общем случае, когда вектор F ориентирован в
пространстве произвольным образом, называют кратчайшее расстояние от начала координат до прямой, вдоль которой направлена проекция вектора F на координатную плоскость, перпендикулярную к данной оси (графический способ нахождения плеча hz некоторой силы F относительно оси Ог рассмотрен на рис. 11.2).
Связь между указанными понятиями о моментах силы относительно точки и осей вращения устанавливается теоремой:
momo F ^ i momOx F + j momOi/ F + к momOz F, (11.18) где
momto F = hxF3 = yFz — zFy,
momOy F = h^F^ = zFx — xFz,(11.19)
momO2 F = hzFY = xFy — yFx
и Fb F%, F3 — проекции вектора F соответственно на координатные плоскости уОг, xOz и хОу. Для доказательства этой теоремы достаточно записать векторное произведение (11.16) в проекциях на оси декартовых координат.
Введением термина «главный вектор моментов внешних сил» в теореме (11.13) подчеркивается, что геометрическую сумму N = = 2 [г, Fte)] моментов внешних сил, действующих на механиче- i
скую систему, нельзя в общем случае свести к моменту некоторой результирующей силы. Так же, как и у механического момента L, значения вектора N существенно зависят от выбора начала координат в одной и той же системе отсчета. Нетрудно показать, что при переносе начала координат из точки О в некоторую точку О' на расстояние а (рис. 11.1) главный вектор моментов внешних сил
преобразуется по формуле
N0=N0,+ №(11.20)
где К — 27? — главный вектор внешних сил. Из этой формулы
видно, что векторы No и No, совпадают между собой только в двух случаях: а) если К = 0, т. е. рассматриваемая система покоится или движется как целое равномерно и прямолинейно; б) если век- —>•—►
тор К ft а. Инвариантностью главного вектора моментов внешних сил относительно переноса начала координат широко пользуются при решении задач статики твердого тела, а именно: при записи одного из уравнений равновесия тела 5 momo Ft = 0 точку О, относительно которой вычисляются моменты сил, выбирают так, чтобы часть моментов обращалась в нуль.
Практическое значение уравнения (11.13) состоит в том, что оно полностью описывает произвольное вращение механической системы как единого целого (т. е. такое ее вращение, при котором систему можно рассматривать как абсолютно твердое тело).
Обратимся к одному из скалярных уравнений, получаемому проецированием уравнения (11.13), например, на ось Oz,
^-Nz; N,=-’5i(XiFl8-*yiF(S)(Ц.21)
и рассмотрим вращение относительно указанной оси некоторого абсолютно твердого тела.
Допустим для простоты, что на это тело действует только одна внешняя сила F, момент которой относительно оси Ог равен
Nz~Fhz.(11.22)
Переходя от декартовых координат частиц этого тела (хь у^ к их полярным координатам (р,, <р) в плоскости, перпендикулярной оси Oz, можно показать, что
^«^^^^У^-Ф^^Р;"7?'(11.23)
<£
где J — момент инерции тела относительно оси Oz. Подстановка выражений (11.22) и (11.23) в (11.21) приводит к уравнению
J^"»FhZ- (1L24)
Это есть известное из курса общей физики дифференциальное уравнение вращения твердого тела относительно неподвижной оси Oz.
СИММЕТРИЯ ВНЕШНЕГО СИЛОВОГО ПОЛЯИ СОХРАНЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХИМПУЛЬСА И МЕХАНИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Несохранение импульса Р и механического момента L у незамкнутой системы не исключает в общем случае возможности сохранения отдельных составляющих указанных векторов. Более того, сохранение отдельных составляющих импульса и механического момента у незамкнутой системы можно заранее предвидеть, исходя из симметрии внешнего силового поля, в котором она находится. Особенно просто этот вопрос решается для систем, находящихся в потенциальных силовых полях. Для таких систем можно сформулировать две теоремы, устанавливающие связь между симметрией поля и сохранением отдельных составляющих импульса Р и механического момента L системы.
Однако, прежде чем сформулировать эти теоремы, выясним, какую форму принимают известные теоремы об изменении составляющих импульса и механического момента для указанных систем.
Если все внешние силы, действующие на механическую систему, являются потенциальными, то теорему (9.10) об изменении вектора импульса можно представить в виде
dP didP didU^dU^(12.1)(12.1)
dP di
dP di
dU^
dU^
(12.1)
(12.1)
странстве, получим:странстве, получим:(12.2)(12.2)где UT = Uf (г^ — потенциальная энергия /-й частицы системы во внешнем силовом поле. Умножая уравнение (12.1) скалярно на единичный вектор /, определяющий некоторое направление в про
странстве, получим:
странстве, получим:
(12.2)
(12.2)
Так как / — постоянный вектор, левая часть равенства (12.2) может быть представлена в виде
=(12.3)
at atat
В курсах математики показывается, что / • grad f = ^ есть производная от функции / (г) по направлению I, поэтому
аиТа^ /юла
1Orti/
где Uw — потенциальная энергия всей системы во внешнем поле.
Таким образом, уравнение (12.2), характеризующее изменение
со временем проекции импульса на направление /, окончательно принимает вид
(12.5)(12.5)=
(12.5)
(12.5)
<и at ‘
Из уравнения (12.5) вытекает следующая очевидная теорема!: если при параллельном переносе как целого механической системы, находящейся во внешнем потенциальном поле, вдоль некоторого направления I в пространстве ее потенциальная энергия не изменяется (т. е. dUw Idl = 0),. то у такой системы сохраняется проекция вектора импульса на указанное направление (т. е. Р[ = const).
Рассмотрим теперь, какую форму для интересующих нас механических систем принимает уравнение (11.21). С этой целью представим сумму моментов Nz внешних сил относительно оси Ог в виде Vk—— у; — 'Ш<е).(12.6)
Далее рассмотрим некоторую функцию ф (xb yt, zz) и найдем ее производную по углу фг, характеризующему поворот системы как целого относительно оси Ог, учитывая, что декартовы координаты частиц (xz, yz, г^ связаны со сферическими (rz, 0Р фг) формулами (см. § 2):
’ xt = rt sin ©i cos фг,
■ уi = rt sin ©t sin ф2,(12.7)
zt = rt cos ©t.
Указанную производную можно представить в виде
dq>z dxt а<$г ayt д^г dzi a^g \ aytaXi)
8X1dy> dzi A
так как—- =—у„ — = х,, —- = 0.
Отбрасывая в обеих частях уравнения (12.8) функцию ф, получаем операторное равенство
х, — — у, — = —.(12.9)
dyt dXi a^gv '
Отсюда видно, что
и, следовательно, уравнение (11.21) можно окончательно представить в виде
(12.10)(12.10)dLg aytodZ"5ф7*
(12.10)
(12.10)
При выводе уравнения (12.10) выбор оси Ог был совершенно случаен: с тем же успехом можно было бы рассмотреть повороты
плоскостью Оху (рис. 12.1).плоскостью Оху (рис. 12.1).Из соображенийИз соображений
плоскостью Оху (рис. 12.1).
плоскостью Оху (рис. 12.1).
Из соображений
Из соображений
системы относительно осей Ох и Оу . Поэтому, проецируя векторное равенство (11.13) на оси Ох и Оу, мы получим точно такие же уравнения. Это означает, что вместо (12.10) можно записать более общее уравнение:
dLa
~dF "
dUw ,х1т
=(а—х, у, г)(12.11а)
дФа
ИЛИ
— = — ^.(12.116)
dt
Из полученного уравнения (12.11) вытекает теорема 2: если при повороте как целого некоторой механической системы, находящейся во внешнем потенциальном поле, относительно какой- нибудь оси координат а ее потенциальная энергия не изменяется (т. е. dU^ /dq>a = 0), то у такой системы сохраняется проекция
момента импульса на указанную ось, т. е. La — const.
Рассмотрим теперь несколько примеров применения теорем 1 и 2 к отысканию законов сохранения отдельных составляющих импульса Р и механического момента L для незамкнутых механических систем.
Пример 12.1. Частица в однородном поле (например, частица массой т в однородном поле притяжения Земли).
Однородное силовое поле можно рассматривать как ноле, создаваемое бесконечной однородной ~
симметрии очевидно, что все точки воображаемых прямых А А' и ВВ', проведенных через точку пространства, занятую частицей, параллельно осям Ох и Оу, а также все точки окружности, проходящей через ту же точку пространства и лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Oz, эквивалентны по отношению к плоскости Оху. Отсюда следует, что потенциальная энергия частицы в однородном поле не изменяется при ее переносе вдоль осей Ох и Оу и повороте относительно оси Oz. Следовательно, у частицы в однородном поле сохраняются две составляющие вектора Р и одна составляющая вектора L, а именно:
Рх = const, Ру = const, Lz = const.
Пример 12.2. Нейтральный атом с отличным от нуля дипольным моментом D в однородном электрическом поле напряженностью Sa.
Допустим, что в некоторый момент времени электрический дипольный момент атома составляет с вектором напряженности поля 80 (осью Oz) угол в (рис. 12.2). Не прибегая к рассмотрению явного выражения для потенциальной энергии атома в поле 86 и исходя только из соображений симметрии, можно утверждать, что потенциальная энергия ато-
L = V mv} = Le = const.L = V mv} = Le = const.(12.12)(12.12)где £0 ■= frorzzue] и г0, ц, — начальные значения радиуса-вектора и скорости частицы. К этому выводу можно также прийги, если использовать теорему об взме-dLнении механического момента частицы: —- = [г г]atи учесть, что силу, действующую на частицу в центрально-симметрическом поле,где £0 ■= frorzzue] и г0, ц, — начальные значения радиуса-вектора и скорости частицы. К этому выводу можно также прийги, если использовать теорему об взме-dLнении механического момента частицы: —- = [г г]atи учесть, что силу, действующую на частицу в центрально-симметрическом поле,можно представить в видеможно представить в видер"=-^ L dr гр"=-^ L dr гПодчеркнем еще раз, что речь в данном случае идет о сохранении момента импульса частицы относительно центра поля: если перенести начало координатПодчеркнем еще раз, что речь в данном случае идет о сохранении момента импульса частицы относительно центра поля: если перенести начало координатdL0, из центра поля О в произвольную точку О' (рис. 12.4), то —^— =dL0, из центра поля О в произвольную точку О' (рис. 12.4), то —^— =[r'fj^O[r'fj^Oи, следовагельно, вектор La, не сохраняется.Из закона сохранения (12.12) вытекает существование второго движения частицы:и, следовагельно, вектор La, не сохраняется.Из закона сохранения (12.12) вытекает существование второго движения частицы:интегралаинтегралаилиилиг ■ Lo = Ог ■ Lo = О(12.13а)(12.13а)ах 4- Ьу 4- сг = О,ах 4- Ьу 4- сг = О,(12.136),(12.136),
L = V mv} = Le = const.
L = V mv} = Le = const.
(12.12)
(12.12)
где £0 ■= frorzzue] и г0, ц, — начальные значения радиуса-вектора и скорости частицы. К этому выводу можно также прийги, если использовать теорему об взме-
dL
нении механического момента частицы: —- = [г г]
at
и учесть, что силу, действующую на частицу в центрально-симметрическом поле,
где £0 ■= frorzzue] и г0, ц, — начальные значения радиуса-вектора и скорости частицы. К этому выводу можно также прийги, если использовать теорему об взме-
dL
нении механического момента частицы: —- = [г г]
at
и учесть, что силу, действующую на частицу в центрально-симметрическом поле,
можно представить в виде
можно представить в виде
р"=-^ L dr г
р"=-^ L dr г
Подчеркнем еще раз, что речь в данном случае идет о сохранении момента импульса частицы относительно центра поля: если перенести начало координат
Подчеркнем еще раз, что речь в данном случае идет о сохранении момента импульса частицы относительно центра поля: если перенести начало координат
dL0, из центра поля О в произвольную точку О' (рис. 12.4), то —^— =
dL0, из центра поля О в произвольную точку О' (рис. 12.4), то —^— =
[r'fj^O
[r'fj^O
и, следовагельно, вектор La, не сохраняется.
Из закона сохранения (12.12) вытекает существование второго движения частицы:
и, следовагельно, вектор La, не сохраняется.
Из закона сохранения (12.12) вытекает существование второго движения частицы:
интеграла
интеграла
или
или
г ■ Lo = О
г ■ Lo = О
(12.13а)
(12.13а)
ах 4- Ьу 4- сг = О,
ах 4- Ьу 4- сг = О,
(12.136),
(12.136),
ма не изменяется при его повороте как целого относительно оси Ог на любой угол фг: все положения атома, получаемые из начального его вращением вокруг оси Ог, эквивалентны по отношению к внешнему силовому полю (система «атом с дипольным моментом D и однородное электрическое поле» аксиально-симметрична). Отсюда следует, что у атома в однородном электрическом поле сохраняется составляющая Lz его углового момента. Анализ явного выражения Ше) = —DSg cos в потенциальной энергии атома приводит к тому же выводу.
Пример 12.3. Частица в центрально-симметрическом поле U (г).
Эквипотенциальными поверхностями в таком поле являются концентрические сферы с центром в точке О, называемой центром поля. Из рисунка 12.3
видно, что поворот частицы в поле U (г) относительно любой оси декартовой системы координат, связанной с центром поля, не может привести к изменению ее потенциальной энергии. Поэтому все три проекции: Lx, Ly, Lz— момента импульса
частицы и сам вектор L сохраняются:
черсз центр поля О, Та-черсз центр поля О, Та-ОО'Рис. 12.4ОО'Рис. 12.4
черсз центр поля О, Та-
черсз центр поля О, Та-
ОО'
Рис. 12.4
ОО'
Рис. 12.4
где а, Ь, с— постоянные проекции вектора L . Это есть уравнение плос-
кости, перпендикулярной к вектору L ' и проходящей ким образом, траектория частицы, движущейся в центрально-симметрическом поле U (г), представляет собой кривую, лежащую в плоскости.
В § 2 было показано, что плоское движение материальной точки наряду с линейной скоростью можно характеризовать секторной скоростью (2.6). Сопоставляя выражения (2.6) и (12.12), нетрудно видеть, что секторная скорость частицы, движущейся в центрально-симметрическом поле U (г), сохраняется:
^ = -Lt _ const. (12 14) dt 2m °
Это означает, что радиус-вектор частицы за равные промежутки времени описывает равные площади Поэтому закон сохранения (12.12) часто называют интегралом площадей В небесной механике он известен как второй закон Кеплера.
Рассмотрение данного примера, казалось бы, приводит к выводу о том, что закон сохранения момента импульса, утверждающий о сохранении вектора L только для замкнутых механических систем, допускает исключение. В следующей главе будет показано, что задачу о движении частицы в центрально-симметрическом поле следует понимать как эквивалентную формулировку задачи об относительном движении в замкнутой системе двух тел (см. § 14). Поэтому сохранение момента импульса для частицы в поле U (г) в действительности никакого исключения из указанного общего правила не представляет.
Завершая рассмотрение законов сохранения и основных теорем классической динамики, необходимо сделать еще одно замечание.
В этой главе установлена тесная связь закона сохранения энергии консервативных систем с однородностью времени, законов сохранения импульса и механического момента замкнутых систем— с однородностью и изотропностью пространства и законов сохранения отдельных составляющих векторов Р и L для незамкнутых систем — с симметрией внешних силовых полей. Но тем самым, по существу, была доказана справедливость теоремы Нетер, играющей важную роль в развитии современной физики Указанная теорема в своей простейшей формулировке утверждает, что сохранение различных динамических параметров механических систем вытекает из инвариантности их механических свойств относительно тех или иных непрерывных и обратимых преобразований пространственных и временных координат (таких, как преобразования сдвига во времени, трансляций и поворотов системы как единого целого в пространстве и т. д.). При этом было показано, что в качестве основной физической величины, способной адекватно характеризовать инвариантные свойства свободных механических систем (как замкнутых, так и находящихся во внешних потенциальных силовых полях), можно использовать полную потенциальную энергию системы.
В следующих двух главах законы сохранения и основные теоремы динамики будут применены к решению ряда конкретных задач, представляющих как теоретический, так и практический интерес При этом будет показано, что использование законов сохранения и основных теорем динамики — это один из эффективных методов интегрирования дифференциальных уравнений движения.
ГЛАВАГЛАВАIIIIIIПРИМЕНЕНИЕЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
ГЛАВА
ГЛАВА
III
III
И ОСНОВНЫХТЕОРЕМ ДИНАМИКИК ИНТЕГРИРОВАНИЮУРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Задачей об одномерном движении в физике принято называть задачу о движении консервативной механической системы с одной степенью свободы, если ее полную энергию можно представить в виде
Е =^-Ц/(х)= const,(13 1)
где U (х) — потенциальная энергия системы во внешнем силовом поле их — некоторый параметр, описывающий ее положение в пространстве. В частности, это может быть задача о прямолинейном движении свободной материальной точки массой т в поле с потенциальной энергией U (х). Одномерной можно также считать задачу о движении плоского математического маятника (частицы массой т в однородном поле притяжения Земли, рис. 13.1). Полная механическая энергия такой связанной системы также сохраняется и ее можно представить в виде, аналогичном (13.1)
Е = —^nigl cos ф,
если потенциальную энергию маятника отсчитывать от горизонтальной прямой, проходящей через точку подвеса О.
Рис. 13.1Рис. 13.1Поэтому в общем случае под х и m в выражении (13.1) не следует понимать декартову координату и массу какой-либо частицы. Положительный параметр т мы будем называть кинематическим параметром системы (у плоского математического маятника в роли указанного параметра выступает величина т/а — момент, инерции).
Рис. 13.1
Рис. 13.1
Для получения аналитического решения одномерной задачи нет необходимости обращаться к соответствующему уравнению движения, а можно исходить непосредственно из его первого интеграла (13.1).
Действительно, рассматривая закон сохра-
нения (13.1) как дифференциальное уравнение первого порядка и разделяя в нем переменные, находим:
откуда
t^-F^y^^.<13.3)
Роль произвольных постоянных в общем решении задачи (13.3) выполняют полная энергия Е и постоянная интегрирования /0, которые можно выразить через начальные значения координаты х0 = х (0) и скорости у0 = х (0) системы:
E=-^+(/(x0),f(x0, £) = <„. (13.4)
Таково общее решение задачи, содержащее исчерпывающую информацию о поведении одномерной механической системы во внешнем силовом поле, в котором она имеет потенциальную энергию U (х). Однако закон сохранения энергии (13.1) позволяет выявить многие характерные особенности поведения одномерной системы в заданном поле U (х) без обращения к общему решению (13.3). Такое качественное исследование одномерного движения, проводимое с помощью графиков потенциальной и полной энергий, оказывается не менее поучительным и полезным, чем аналитическое решение задачи.
При качественном исследовании движения обычно интересуются следующей группой вопросов:
При каких значениях полной энергии Е в поле U (х) в принципе возможно (допустимо законом сохранения энергии) движение?
В каких областях изменения независимого переменного возможно движение системы? Указанные области принято называть классически разрешенными областями (т. е. областями, в которых допускается движение законами классической механики).
Какой характер имеет движение в каждой разрешенной области?
Чтобы получить ответ на первые два вопроса, перепишем закон сохранения энергии (13.1) в виде
^ = E — U^>0, поскольку кинетическая энергия системы существенно положительная величина. Таким образом, в классически разрешенной области потенциальная энергия системы должна быть меньше (или, в крайнем случае, равна) полной энергии
U (х) < Е.(13.5)
УМУМРис. 13.2Рис. 13.2Точки, в которых потенциальная энергия системы равна полной энергии
УМ
УМ
Рис. 13.2
Рис. 13.2
U (х) = Е,(13.6)
называются поворотными точками или точками остановки системы, так как в этих точках скорость системы х изменяет свой знак, проходя через нулевое значение. Указанные точки являются границами, отделяющими классически разрешенные области от запрещенных областей, в которых условие (13.5) не выполняется.
Одномерное движение системы может происходить только при таких значениях полной энергии Е, при которых имеется хотя бы одна разрешенная область, нс сводящаяся в точку.
Пусть, например, зависимость U (х) для некоторой системы имеет вид, представленный на рисунке 13.2. Различные значения полной энергии на том же рисунке можно представить прямыми, параллельными оси абсцисс. Непосредственно из рисунка 13.2 видно, что движение рассматриваемой системы возможно только при Е > Ux = ^(+«>)» так как при этом имеется, по крайней мере, одна классически разрешенная область.
Рассмотрим теперь некоторое значение полной энергии Е, заключенное между нулем и U^ = Umax. При заданном значении Е у механической системы имеются две разрешенные области (xlt х2), (х3, оо) и две запрещенные области (—оо, xj и (х2, х3). Разрешенную область (хх, х2) принято называть потенциальной ямой, а запрещенную область (х2, х3) — потенциальным барьером.
Движение механической системы при данном Е может происходить только в одной из разрешенных областей — (хп х2) или (х3, +оо), а именно: при хх < х (0) < х2 — в области (хъ х2), а при х (0) > х3 — в области (х3, +оо). Переход системы из области (xj, х2) в область (х3, +оо) возможен только в том случае, если ей дополнительно сообщается кинетическая энергия А7 ^ U^ — Е. Подбарьерные переходы классических объектов, подчиняющихся законам ньютоновской механики, без сообщения им дополнительной кинетической энергии строго запрещены законом сохранения энергии.
Если разрешенная область ограничена двумя поворотными точками (потенциальная яма (хх, х2)), то движение происходит в ограниченной области пространства и его называют финитным. Движение системы в области, не ограниченной с обеих сторон или ограниченной с одной стороны (например, движение в области
(х3, 4 оо)), называют инфинитным, так как система в этом случае может уходить на бесконечность.
Финитное движение в одномерной потенциальной яме носит колебательный характер: система совершает периодически повторяющееся движение между поворотными точками хг и х2. Период этого коле
бания определяется как удвоенное время, необходимое системе для прохождения отрезка х2 — xv Согласно
это время равно:
Т (£) = /2^ [ ... йх (13.7)
J VE-U^x)
где хх = хх (Е) и х2 = х2 (£) — корни уравнения (13.Ъ).
Период колебаний одномерной механической системы в общем случае является функцией ее полной энергии (см. примеры 13.1 и 13.2) и, следовательно, полностью определяется начальными условиями. Существует только одна одномерная механическая система, период колебаний которой не зависит от энергии. Такой системой является линейный гармонический осциллятор, полную энергию и период колебаний которого можно представить в виде
Е + ^1, Т=- = 2л ]/-.(13.8)
22 <оо V m
Пример 13 1. Определить период колебаний частицы массой m в одномерной потенциальной яме (рис. 13 3)
и^и^— Fox, х ^ О, F6x, х>0.— Fox, х ^ О, F6x, х>0.(13.9)(13.9)
и^
и^
— Fox, х ^ О, F6x, х>0.
— Fox, х ^ О, F6x, х>0.
(13.9)
(13.9)
Прообразом такого поля может служить электростатическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости
Определяя период колебаний частицы в поле (13 9) как учетверенное время, необходимое для прохождения отрезка оси Ох, заключенного между началом координат и поворотной точкой х0, находим.
Т (Е) - 2 V2m f dX = — (Е Еох)2 I = (13.10) J /Е-Fex Fo Fo
Понятие об обратной спектральной задаче. Если зависимость Т (£) для какой-нибудь одномерной системы известна из эксперимента, то равенство (13.7) можно рассматривать как интегральное уравнение относительно неизвестной функции U (х). В связи с этим можно сформулировать так называемую обратную спектральную задачу, т. е. задачу о восстановлении вида потенциальной кривой U (х) в области потенциальной ямы (область (хь х2) на рисунке 13.2) по известной из опыта спектральной функции Т (£). Выясним, всегда ли данная задача допускает однозначное решение.
x(U)x(U)ООU=EU=EРис. 13.4Рис. 13.4ииУравнение (13.7) относится к числу интегральных уравнений Абеля, допускающих сравнительно простое решение (и ти, как говорят, обращение относительно функции U (х)). Чтобы решить это уравнение, необходимо прежде всего поменять ролями переменные (/ и х, а именно будем рассматривать U в качестве независимой переменной, а переменную х как функцию от U, т. е. х = = х (Щ. Заметим, что в отличие от U (х)
x(U)
x(U)
О
О
U=E
U=E
Рис. 13.4
Рис. 13.4
и
и
функция х ((/) является двузначной: каждому значению потенциальной энергии U соответствуют два значения функции х ((/). Обозначим (рис. 13.4)
одну из ветвей этой функции, лежащую в положительной полуплоскости, через х2 (U), а ветвь, лежащую в отрицательной полуплоскости, через хг (17). Из сказанного очевидно, что при переходе от х к новой независимой переменной U интеграл в уравнении (13.7) необходимо разбить на две части, при этом в качестве пределов интегрирования по U следует взять 0 и Е.
Учитывая вышесказанное, перепишем уравнение (13.7) в ви
де
ЕОЕ
Т(Е) _ Р dx2 (U) dU . Г dxx (17) dU _ С Г^ _ dx^ 1 dU
/2т417 уЕ —U,1 41/ VE — U .' [41/ dU Уе—U ‘
(13 11)
Умножим обе части равенства (13.11) на йЕГУ"»— Е, где а — некий вспомогательный параметр, и проинтегрируем получаемое при этом уравнение по Е от нуля до сс; в результате получим:
С Т (Е) dE = Г ^£ С [4*2 _ 4^1 dU
V2m J /а —Е J J 1.41/ dU ] /(а _ g) (g _ у) или, меняя порядок интегрирования в правой части, ааа
V2m j У7Г=^Е j L41/ du ] j V(a-E)(E-U) ' Интеграл по E в правой части полученного равенства оказывается равным л. После этого интегрирование по U дает:
= л [х2 (а) — хг (а)].= л [х2 (а) — хг (а)].1 Г т (Е) dEУ 2^ J Уа^ТВ
= л [х2 (а) — хг (а)].
= л [х2 (а) — хг (а)].
Заменяя в этом равенстве а на U, получаем следующую формулу обращения исходного уравнения Абеля (13.7):
x^-x^U^^HU) =
_1 VT dE
'л]/2т JyiT^E‘
Таким образом, поизвестнойизопыта
спектральной функцииТ (Е) вобщемслу
чае можно определить лишь разность х2 (t/) —-Ч (Uy сами же функции хг (U) и х2 (Е) при этом остаются неопределенны
ми. Это означает, что существует бесчисленное множество потенциальных кривых U (х), приводящих к одной и той же зави
симости Т (Е). Все эти кривые можно получить, подвергая одну из них деформации одностороннего сдвига, при котором расстояния между поворотными точками при любых U сохраняются неизменными. Поэтому для получения однозначного решения обратной спектральной задачи необходимо иметь в общем случае наряду с зависимостью Т (Е) вторую спектральную функцию, не сводящуюся к Т (ЕУ
Многозначность решения обратной задачи (13.12) исчезает также, если искомая потенциальная кривая U (х) симметрична относительно оси ординат, т. е. х2 (U) = —xr (JU) = х (U). В этом частном случае формула (13.12) дает однозначное решение задачи:
и
(13.13)(13.13)1 Г T^dE2л /2т J VU— Е '
(13.13)
(13.13)
Пример 13 2. Пользуясь формулой (13 13), восстановить вид симметричной потенциальной ямы по зависимости Т (£) = ла V^ml (U6— Е), где Е < < Ue и a, Uo — некоторые постоянные.
Подставляя данную зависимость Т (Е) в формулу (13.13) и выполняя необходимое интегрирование, получаем функцию х ((/) вида
Разрешая это равенство относительно U, находим: U (х) = U6 th2 (х/а). Полученная кривая изображена на рисунке 13.5.
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Задачей двух тел называют задачу о движении замкнутой механической системы, состоящей из двух взаимодействующих между собой частиц. В теоретическом отношении эта задача интересна тем, что в отличие от задачи многих тел допускает полное и точное решение в общем виде, а ее практическое значение трудно переоценить: решение задачи двух тел лежит в основе небесной механики и теории свободного движения искусственных спутников, в основе классической теории столкновений и рассеяния частиц. Идеи,
используемые при решении классической т, 7 и 77 та задачи двух тел, являются основой для по- ту ° - "*1
нимания многих важных задач атомной и 1 ТУТТ-^ ’ молекулярной физики и т. д.
Итак, рассмотрим замкнутую систему ₽ис* 41 двух частиц с массами тх и т^, допустим, что нам известна потенциальная энергия их взаимодействия как функция относительного расстояния г = 1^ —г2|, т. е. С/(г). В общем случае движение системы двух частиц, как и любой более сложной механической системы, складывается из движения
системы как единого целого и движения частиц относительно их общего центра масс. Очевидно, что поступательное движение рассматриваемой системы особого интереса не представляет, так как о нем все заранее известно: центр масс частиц тх и т2 движется относительно произвольной инерциальной системы отсчета Ко (л-системы) прямолинейно и равномерно, так что Rc = = *Vct-V Rco, Vc = const.
Отсюда видно, что задача двух тел есть, по существу, задача об относительном движении частиц тх и т2, рассмотрение которого удобнее всего вести в ^-системе, т. е. в подвижной инерциальной системе отсчета К'с» связанной с центром масс частиц тх и тй. Обозначая радиусы-векторы частиц в указанной системе отсчета через гг и г2 (рис. 14.1), запишем дифференциальные уравнения движения системы в виде
Заметим, что дифференциальные уравнения (14.1) являются уравнениями с неразделенными переменными у и г2; это становится очевидным, если записать
-^- = ^(1^-7,!), —^.=^1(171-72|).
8гх 6гг
Основной целью рассмотрения задачи двух тел в данном параграфе является доказательство следующей основополагающей теоремы: переменные г, и г2 в системе дифференциальных уравнений (14.1) разделяются, при этом задача о движении частиц тх и т2 относительно их общего центра масс С сводится к эквивалентной задаче о движении некоторой фиктивной частицы с массой р = = тут-Дту + т2) во внешнем центрально-симметрическом поле U (г) с центром, находящимся в точке С.
Для доказательства этой теоремы представим радиусы-векторы частиц гх и г2 как функции вектора г (рис. 14.1), характеризующего относительное расположение частиц тх и т2 (т- е. одной частицы относительно другой). С этой целью обратимся к уравнениям, вытекающим из определения вектора г и центра масс системы:
г = ^ — г2, т^ 4- m2r2 = 0.(14.2)
Разрешая эту систему уравнений относительно q и г2, находим:
7х = -^-7,7^^-7.(14.3)
Заметим, что из определения вектора г вытекают также следующие очевидные равенства:
(14.4)(14.4)QU__6U_ dU _ dUдгх дг дге дг
(14.4)
(14.4)
Действительно, запишем определение вектора г в тензорных обозначениях: х« — х1а — Хза (а = 1, 2, 3). Отсюда для градиентов функции U (х), т. е. gradxi/ = dUldx^a и grad2 U = dUldx2a,
непосредственно следует:
QUdUдха_ dUdU_ dUdxa _dU
dxladxadxla dxa ’dx2a dxadx2a ~dxa ’
Подставляя выражения (14.3) и (14.4) в уравнения (14.1), убеждаемся, что каждое из них сводится к одному и тому же уравнению
d?r р—d?r р—dUdrdUdr(14.5)(14.5)
d?r р—
d?r р—
dU
dr
dU
dr
(14.5)
(14.5)
Рис. 14.2Рис. 14.2
Рис. 14.2
Рис. 14.2
формально описывающему движение фиктивной р-частицы массой
^1 г ^3
называемой приведенной массой частиц mx и т2, во внешнем по отношению к ней центрально- симметрическом поле U(г) с центром в точке С. Тем самым сформулированную выше теорему можно считать доказанной.
Интегрирование уравнения движения (14.5) для р-частицы (эта задача будет детально рассмотрена в главе IV) позволяет найти закон изменения со временем относительного расстояния частиц, т. е. вектор
г = r (t). Пользуясь далее формулами (14.3), можно получить траектории частиц rx (t) и гг (i) относительно центра масс и, наконец, обращаясь к формулам (см. рис. 14.2):
htO-V^'W + ^+Ra,.
т1 т2
Р»^=^+Vct + ~RCO,
“Г
описать абсолютное движение частиц, т. е. их движение относительно лабораторной системы отсчета Ко-
Заметим, что скорости uv иа реально существующих частиц mt и т4 и скорость и фиктивной р,-частицы (которую можно понимать
и как относительную скорость иОтн = ri — ^ = Pi ” Р2 частиц пн и тг1 не меняющуюся при переходе Ко -*■ Ко) связаны соотношениями:
иг=—^—у, у1=^—у.(14.7)
«1 + т2«! + т2
Соотношения (14.7) можно получить, дифференцируя по времени t выражения (14.3).
Таким образом, задача двух тел действительно допускает полное и точное решение, так как она фактически сводится к простейшей динамической задаче — задаче о движении одной материальной точки.
Так как фиктивная ц-частица движется в стационарном и центрально-симметрическом поле, ее полная энергия Ео и момент импульса Lc относительно центра поля, совпадающего с центром масс частиц тх, т2, сохраняются:
Ео = ^~ + U (г) = const, Lc = ц [ г и] = const.(14.8)
Покажем, что для системы реально существующих частиц тг и т2 энергия Ео является внутренней энергией, а вектор Lc — собственным, механическим моментом.
Действительно, согласно определениям (см. формулы (10.10), (11.12)) внутренняя энергия и собственный механический момент системы двух частиц равны:
£,_^ + ^ + 1/М(14.9)
И
ьс = №1 to] + тй to],(14.10)
где Гц г2 и Uj, и2 — радиусы-векторы и скорости частиц в ({-системе. Подставляя в (14.9) и (14.10) выражения (14.3) и (14.7) и учитывая равенство (14.6), находим:
- mim2 и2°~2(m1+m2)2- mim2 и2°~2(m1+m2)2m, m2oa2 («! + m2)2m, m2oa2 («! + m2)2* (mi т ту* (mi т ту
- mim2 и2°~2(m1+m2)2
- mim2 и2°~2(m1+m2)2
m, m2oa
2 («! + m2)2
m, m2oa
2 («! + m2)2
* (mi т ту
* (mi т ту
= ^ + иИ,
Lc = [^J+ Егу1 = ^1(«1+ тгУ (mj+ m2)2
Таким образом, под сохраняющимися у фиктивной р-частицы величинами £0 и Lc всегда следует понимать внутреннюю энергию и собственный механический момент системы двух реально существующих частиц.
Из соотношений (14.3) и (14.7) нетрудно усмотреть, что траектории реальных частиц тг и тг> составляющих замкнутую систему двух тел, и фиктивной р-частицы подобны между собой (причем центром подобия является центр масс частиц тх и т^ и лежат в одной и той же плоскости, перпендикулярной к вектору Lc. Вследствие закона сохранения Lc = const указанная плоскость сохраняет неизменную ориентацию в пространстве. Это означает, что если фиктивная р-частица движется по эллиптической траектории, то и реальные частицы тг и т2 также описывают эллиптические орбиты. Такая ситуация, например, имеет место, если взаимодействие между частицами носит кулоновский характер, т. е. если энергия взаимодействия частиц U (г)=—а/г, где а = Gmxtn2 (гравитационное взаимодействие) или а = ехе2 (электростатическое взаимодействие).
Рассмотрим некоторые частные случаи движения системы двух частиц в зависимости от соотношения их масс тг и т2;
тх < т2 (такое соотношение масс реализуется в системах «планета — Солнце», «водородоподобный атом»). В этом случае выражения (14.3) и (14.6) для радиусов-векторов и приведенной массы частиц можно приближенно представить в виде
Ч«'Г, р^/Т?! 11
т2\т2.
В пределе при тг -> оо
fi = г, г2 = 0, р = тг
и, следовательно, движение в системе двух частиц сводится к движению легкой частицы тх относительно неподвижной (в ({-системе) тяжелой частицы т2. Эта частица является центром поля, в котором происходит движение частицы тг.
тг=тг = т (такое соотношение масс реализуется в некоторых двойных звездах, а также в системах «протон — протон», «протон — нейтрон» при столкновениях). В этом случае
В гравитационном поле при определенных условиях (см. § 18 и 19) для фиктивной р-частицы возможно устойчивое движение по круговой орбите, при этом реальные частицы 6 равными массами будут двигаться по одной и той же круговой орбите, как бы гоняясь друг за другом (рис. 14.3). Такая ситуация, как показывают фотометрические исследования, имеет место в двойной звезде Большой Медведицы.
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
Чтобы познать природу сил, действующих между теми или иными частицами вещества, необходимо исследовать движение частиц, которое вызывается этими силами. С этой целью можно рассматривать как финитное, так и инфинитное движение в системе двух тел. На практике чаще всего используют инфинитное движение, когда одну из частиц тем или иным способом разгоняют до определенной скорости и заставляют пролететь вблизи другой частицы. Процесс взаимодействия частиц в ходе их сближения и разлета называется столкновением частиц, при этом совершенно необязательно, чтобы частицы в процессе столкновения приходили в непосредственное соприкосновение.
Исследование процессов столкновения служит мощным средством изучения природы ядерных сил и сил взаимодействия между элементарными частицами, изучения структуры отдельных атомов и молекул и исследования строения вещества в различных агрегатных состояниях.
Процессы столкновения частиц можно разделить на два типа: упругие и неупругие. Столкновение называют упругим, если кинетическая энергия частиц в процессе столкновения сохраняется. При неупругих столкновениях кинетическая энергия сталкивающихся частиц не сохраняется. Например, при неупругом столкновении электрона с атомом часть кинетической энергии, передаваемой электроном атому, может быть затрачена на его возбуждение, т. е. на переход атома из одного энергетического состояния в другое. В ядерной физике и физике элементарных частиц изучаются неупругие столкновения еще более общего характера, в ходе которых может меняться сама природа сталкивающихся частиц; такие процессы называются ядерными реакциями.
Известны две задачи о столкновениях частиц. В одной из них заданными считаются только скорости частиц задолго до столкновения, когда частицы, находясь на достаточно большом расстоянии друг от друга, еще не вступили во взаимодействие (условимся обозначать этот момент времени через t = —оо). Необходимо определить скорости частиц после того, как они вновь перестанут взаимодействовать, разлетевшись на большое расстояние (т. е. в момент времени / = +со). При таком подходе подводится лишь итог столкновения, а детальный ход самого процесса столкновения не исследуется. Важно, однако, что указанную задачу можно решить, не учитывая (и даже не зная) конкретный закон взаимодействия частиц и используя только законы сохранения энергии и импульса.
Основная цель второй задачи, называемой задачей о рассеянии частиц, состоит в детальном исследовании процесса столкновения с учетом конкретного закона взаимодействия частиц U (г).
В данном параграфе мы рассмотрим столкновения частиц только первым способом, причем более детально лишь упругие столкновения. Задача о рассеянии частиц будет рассмотрена в главе IV после изучения общей теории движения частиц в центрально-симметрических полях.
Итак, пусть в момент времени t = —оо (задолго до столкновения) известны только скорости частиц относительно системы отсчета, связанной с лабораторией (л-системы), причем одну из частиц (массой т2) будем считать до столкновения покоящейся и2 = О, а скорость налетающей частицы (массой т^ обозначим через иР Точное пространственное расположение частиц в указанный момент времени считается неизвестным. Поэтому при решении задачи, состоящей в определении скоростей частиц щ и v2 относительно л-системы в момент времени t = Ч-оо (после столкновения), из семи интегралов движения замкнутой механической системы частиц тх и m2 (£ = const, Р = const, L = const) можно использовать только четыре (законы сохранения энергии Е и импульса Р). Для того чтобы задача была поставлена корректно, необходимо число -^ неизвестных величин сократить с шести X (и!» Vz) ДО четырех. С этой целью можно, на* / пример, задать направление вектора ско- ZXae ростц одной из частиц после столкновения. । *°* -I Обычно же, как будет показано ниже, за-
3510 дается некоторый единичный вектор га или /угол х рассеяния частиц в /{-системе
/(рис. 15.1).
-XРешение задачи удобно вести в ц-систе-
ме, т. е. в подвижной инерциальной систе- Рис. 15.1 ме отсчета, связанной с центром масс
частиц mx и т^,частиц mx и т^,движущимся с постоянной скоростью
частиц mx и т^,
частиц mx и т^,
VcVcПК—"Уртх + т2ПК—"Уртх + т2(15.1)(15.1)
Vc
Vc
ПК
—"Ур
тх + т2
ПК
—"Ур
тх + т2
(15.1)
(15.1)
Действительно, так как система сталкивающихся частиц тг и т2 относительно ^-системы как целое покоится, то из закона сохранения импульса следует вывод:
Рю = —Рго- Pio =—Р20. (15.2)
т. е. импульсы налетающей и первоначально покоящейся частиц относительно ц-системы равны и противоположно направлены как до столкновения (р10 = —р20), так и после него (р10 = —р2о). Все величины, характеризующие движение частиц относительно ^-системы, мы будем снабжать дополнительным индексом 0.
Обозначим р10 = рм = рй, р\0 = р2о = р'о и рассмотрим закон сохранения механической энергии £, сводящейся в моменты времени t = —оо и t = +оо к кинетической энергии практически не взаимодействующих между собой частиц mY и т2. Нетрудно видеть, что
£(-«)= 1 Vm1 + mj I" + ^ + А = 1 (т, + ™,) V= + £,Ж+”) = (^ + "^ Vc+^ + ~~ = | ^ + ^ ^ +
2р. ’
где р = m1m2/(mI + m2) — приведенная масса частиц тх и т4. Из закона сохранения энергии Е (—оо) = Е (+°°) следует, что
Рю = Рю, Рю = Рю-(15.3)
Соотношения (15.2) и (15.3) указывают, что единственным результатом, к которому приводит процесс упругого столкновения частиц mY и т2, является поворот скоростей обеих частиц, при котором они остаются взаимно противоположными по направлению и неизменными по абсолютному значению (рис. 15.1). Сказанное озна
чает, что если v10 и о20 — скорости частиц mY и т2 в ц-системе до столкновения, то их скорости в той же системе отсчета после столкновения можно получить по формулам:
U10 = «10», ^20 = О20«,(15.4)
где п — ранее упоминавшийся единичный вектор, характеризующий направление линии действия скоростей частиц u!0 и ц2а после столкновения.
Вместо единичного вектора п можно задать угол х, называемый углом рассеяния в ц-системе. х — это угол рассеяния фиктивной
ц-частипы во внешнем по отношению к ней центрально-симметрическом поле U (г), поэтому он может изменяться в пределах от О до л. Угол х относится к разряду ненаблюдаемых физических величин, так как для его измерения экспериментатору вместе с регистрирующей аппаратурой пришлось бы размещаться в центре масс системы частиц тх и т2. Однако угол х, как будет показано в следующей главе, можно вычислять, зная закон взаимодействия между частицами U (г) и их относительное пространственное расположение в начальный момент времени / = —оо.
Скорости частиц до столкновения в ^-системе можно получить с помощью теоремы сложения скоростей vt = vj0 + Vc или и,0 = = и, — Vc, откуда
ую = yi -Vc - -~— "1. 4.= у2 -^с=- ~~~уг <15-5) ^1 *Т ^2
Далее, используя соотношения (15.4), скорости частиц тг и т2
в ^-системе после столкновения можно записать в виде
% =Гу1"'” тх + т2% =Гу1"'” тх + т2У20У20т, ,—«уп. тх + т2т, ,—«уп. тх + т2(15.6)(15.6)
% =Гу1"'
” тх + т2
% =Гу1"'
” тх + т2
У20
У20
т, ,—«уп. тх + т2
т, ,—«уп. тх + т2
(15.6)
(15.6)
(15.7)(15.7)У2 ~ У2о+ V сУ2 ~ У2о+ V с«1т, + тг«1т, + тгРис. 15.2. Диаграмма столкновения для случая mi < ma.Рис. 15.2. Диаграмма столкновения для случая mi < ma.
(15.7)
(15.7)
У2 ~ У2о+ V с
У2 ~ У2о+ V с
«1
т, + тг
«1
т, + тг
Рис. 15.2. Диаграмма столкновения для случая mi < ma.
Рис. 15.2. Диаграмма столкновения для случая mi < ma.
И наконец, с помощью той же самой теоремы сложения скоростей нетрудно найти окончательное решение задачи (скорости частиц после столкновения в л-системе):
yi = уы + Ус = -^Г — М + -"- у1’mi т т2тх + т2
Полученные формулы удобно интерпретировать геометрически с помощью диаграмм столкновения, которые можно построить следующим образом: из произвольной точки О опишем окружность радиусом Rb численно равным значению скорости налетающей
частицы тх до столкновения в ^-системе, т. е. Rx = v10 = mao^mj+mj, и полуокружность радиусом R2> численно равным значению скорости частицы т2 до столкновения в той же системе отсчета, т. е. Ri = v20=m1v1/(m1+m2), а затем выполним построение, аналогичное приведенному на рисунке 15.2 для случая пгх < тг. При заданных тх, т2 и Uj положения точек О и А на диаграмме строго фиксированы, в то время как точки В и С могут иметь любые положения на окружностях Rx и R2 (в зависимости от угла х).
Рис. 16.3. Диаграммы столкновения для случаев: а) mi = т2; б) mi > т8.
S') m, =- m2
На рисунке 15.3 представлены аналогичные диаграммы для двух других возможных случаев: тх = т2 и тг > т2.
На всех диаграммах столкновения, изображенных на рисунках
15.2 и 15.3, помимо угла х приводятся углы 0t= (о^ wj), 02 = (уп v2\ Первый из указанных углов называется углом рассеяния для налетающих частиц тх в л-системе, а угол 02 — углом отдачи.
Диаграммы столкновения позволяют выявить наиболее характерные особенности процесса упругого столкновения частиц в зависимости от соотношения между их массами. Ниже мы подробно рассмотрим каждый из трех возможных случаев.
ш1</я2 (масса налетающей частицы меньше массы первоначально покоящейся частицы).
Прежде всего с помощью диаграммы, изображенной на рисунке 15.2, можно установить, что угол рассеяния 0Х в этом случае может изменяться в тех же пределах, что и угол х, т. е. от 0 до л.
Рассматривая АОЛВ и ОАО (равнобедренный треугольник), можно получить формулы, определяющие абсолютные значения скоростей частиц в л-системе после столкновения через угол х:
у; = и.у; = и.V т2 + т2 + 2m1m2 cos хmi +т2V т2 + т2 + 2m1m2 cos хmi +т2,2т,и,. ху„ =^^— sin —2/т^ + m2 2,2т,и,. ху„ =^^— sin —2/т^ + m2 2(15.8)(15.8)
у; = и.
у; = и.
V т2 + т2 + 2m1m2 cos хmi +т2
V т2 + т2 + 2m1m2 cos хmi +т2
,2т,и,. х
у„ =^^— sin —
2/т^ + m2 2
,2т,и,. х
у„ =^^— sin —
2/т^ + m2 2
(15.8)
(15.8)
Зная эти скорости, можно написать формулу для вычисления кинетической энергии, приобретаемой первоначально покоящейся частицей в процессе соударения
тг (уг)2 2mfm2vf , х 4т.тг с . 2 хп
Е, == —■—-sin2 — =^-А Ег sin2 —,(15.9)
222(т,+т2)’ 12* v '
где Et = mpi/2 — кинетическая энергия налетающей частицы тг до столкновения.
Далее из рассмотрения AODB и DAB нетрудно найти формулы, связывающие углы 0, и 02 с углом рассеяния х в ^-системе:
tg61 =tg61 =BDma sin xAO + OD mt+ m4 cos x’BDma sin xAO + OD mt+ m4 cos x’e2e2Л — X2 ‘Л — X2 ‘(15.10)(15.10)
tg61 =
tg61 =
BDma sin x
AO + OD mt+ m4 cos x’
BDma sin x
AO + OD mt+ m4 cos x’
e2
e2
Л — X
2 ‘
Л — X
2 ‘
(15.10)
(15.10)
Из полученных формул видно, что при «лобовом» ударе (х = л) угол рассеяния 01 = л, а угол отдачи 02 = 0. Это означает, что после «лобового» удара налетающая частица тх движется в обратном направлении, а первоначально покоящаяся частица т2 получает «отдачу» вперед, при этом скорости частиц тх и т4 оказываются равными:
т2 — тх тг-\-тгт2 — тх тг-\-тг■*2m,У1, У2 = —V— у1- тх+т4■*2m,У1, У2 = —V— у1- тх+т4(15.11)(15.11)
т2 — тх тг-\-тг
т2 — тх тг-\-тг
■*2m,
У1, У2 = —V— у1- тх+т4
■*2m,
У1, У2 = —V— у1- тх+т4
(15.11)
(15.11)
Сумму 6j + 02 называют углом разлета частиц после столкновения. Из диаграммы 15.2 можно установить, что при тх < т4 угол разлета
01 + 02>у
и достигает максимального значения л при «лобовом» ударе.
В главе IV при решении задачи о рассеянии частиц нам потребуется знать угол рассеяния х как функцию углов 62 и 02, т. е. х = х (0j) и х = х (02). Что касается последней из указанных функций, то ее вид следует из (15.10), а именно х (02) = л — 202. Для того чтобы найти вторую функцию х (9J, необходимо первое из уравнений (15.10) обратить относительно х. С этой целью указанное уравнение предварительно представим в виде
cos2 х Н1— cos х — cos2 6i + — sin2 9, = 0. (15.12)
m2№/
Решая это уравнение относительно cos х, находим:
cos х = — -1 sin2 0г ± cos 01 1/1 — sin бХ (15.13)mz'\т4)
При тх < т2 функция х (0J должна быть однозначной, так как однозначна функция 0j (х) и переменные 0п х изменяются в одних и тех же пределах (от 0 до л). Поэтому из двух знаков в (15.13) следует выбрать тот, при котором искомая функция х (0J удовлетворяет условиям: х (0) = О и х (л) = л. Нетрудно проверить, что этим условиям удовлетворяет только одно из полученных решений уравнения (15.12) — решение (15.13) с положительным знаком перед радикалом. Таким образом, при тх < т4 интересующие нас функции имеют вид
x(0J =x(0g) =x(0J =x(0g) =arccos [cos 0, 1/1 — (— sin— —1 sin3
x(0J =
x(0g) =
x(0J =
x(0g) =
L 1 ГЦ (1544)
л—20g.
mx = m4 (столкновения частиц с одинаковыми массами; см. диаграмму, изображенную на рисунке 15.3, а).
Характерной особенностью упругого столкновения частиц с одинаковыми массами является то, что после столкновения они в общем случае (при х л) разлетаются под прямым углом: угол разлета частиц 9Х + 62=л/2. При «лобовом» ударе частицы обмениваются скоростями: налетающая частица останавливается, а первоначально покоящаяся частица после столкновения движется со скоростью dv Это можно наблюдать при лобовом столкновении бильярдных шаров.
Формулы (15.8) — (15.10) в рассматриваемом случае принимают вид
о, = ух cos у, и' = vx sin у, £а = ^i s*n2"^"‘(15.15)
Столь же простой вид имеют в этом случае и функции х (9J, х (8а):
(15.16)(15.16)х (6J = 20х, х (92) = л — 292.
(15.16)
(15.16)
Шу > тг (масса налетающей частицы больше массы первоначально покоящейся частицы; см. диаграмму, изображенную на рисунке 15.3, б).
Из диаграммы (рис. 15.3, б) нетрудно установить, что угол рассеяния 9Х тяжелой частицы тх на более легкой /п2 не может превышать некоторого критического значения, определяемого выражением
(15.17)(15.17)кР = arcsin J.
(15.17)
(15.17)
Чтобы получить это выражение, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник OB' А, из которого непосредственно видно, что
тгУу _тг
mi + <”a mi
Угол разлета частиц после столкновения 9Х + 9а ПРИ mi > ma не может превышать л/2, а при «лобовом» ударе (х=л) он принимает минимальное значение, равное 0. Поэтому в отличие от случая тх < /п2 обе частицы после «лобового соударения» движутся в одном и том же направлении со скоростями:
При ту > т2 сохраняют силу все формулы: (15.8)—(15.10), связывающие скорости частиц и,, и2 после столкновения и углы рассеяния 9Х, 02 в л-системе с углом рассеяния х в ^-системе. Однако ограничение области изменения угла рассеяния 0Х интервалем (0,arcsin —j приводит к двузначности функции х (0,), обусловлен
ной тем, что угол 9Х -* 0 как при х -► 0, так и при х -> л. Поэтому
в решении (15.13) приходится в данном случае сохранить оба знака.
В результате мы получаем две ветви функции и (0J:
хх (9,) = arccosхх (9,) = arccoscos 0Х 1/1 — sinOj —sin20^r \me / m4cos 0Х 1/1 — sinOj —sin20^r \me / m4x2 (9X) = л — arccos cos 0X 1/ 1 — (—L r \m2x2 (9X) = л — arccos cos 0X 1/ 1 — (—L r \m2sin 0X/+ —1 sin2 0X ./«2sin 0X/+ —1 sin2 0X ./«2(15.19)(15.19)
хх (9,) = arccos
хх (9,) = arccos
cos 0Х 1/1 — sinOj —sin20^r \me / m4
cos 0Х 1/1 — sinOj —sin20^r \me / m4
x2 (9X) = л — arccos cos 0X 1/ 1 — (—
L r \m2
x2 (9X) = л — arccos cos 0X 1/ 1 — (—
L r \m2
sin 0X/+ —1 sin2 0X .
/«2
sin 0X/+ —1 sin2 0X .
/«2
(15.19)
(15.19)
^о = £-?с =^о = £-?с =задачи:задачи:
^о = £-?с =
^о = £-?с =
задачи:
задачи:
На рисунке 15.4 представлен вид этой функции для случая, когда mx//n2 = 2.
Пример 15.1. Рассмотреть упругое столкновение частиц с массами mi и тг, движущихся до столкновения относительно л-системы с отличными от нуля скоростями 01 и о2.
Так же, как и в частном случае, рассмотренном в основном тексте данного параграфа, перейдем к ц-системе отсчета, связанной с центром масс частиц mi и т2, движущихся относительно л-системы с постоянной скоростью Vc = (mtOi -f- + m2v2)/ (mi + m2)- При этом скорости частиц до столкновения в ц-системе оказываются равными-
тг --*-*->т, -»
«о > «on = «а —"Vr On,т1 + т420С «1 + /П2 °
где у0 = ci — «а = «io — «го — относительная скорость частиц.
Результатом упругого столкновения частиц в ц-системе является лишь поворот линии «действия» скоростей щ0 и v20 на некоторый угол х и ее ориентация вдоль некоторого единичного вектора п, поэтому скорости частиц после столкновения в ц-системе можно записать в виде
-*< т2 -> -*,т. -*
«10= ;—~ «оп- «го =—;«6п.
тх + т2 20 тх + т2
Используя далее теорему сложения скоростей v.= шо~Ь V с, получаем окончательное решение
(15 20)
Таким образом, переход к случаю, когда до столкновения обе частицы движутся относительно л-системы, не усложняет решения задачи; при этом лишь несколько видоизменяются диаграммы столкновения*.
§ 16. КИНЕМАТИКА ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
Рассмотрим теперь процесс неупругого столкновения частиц типа ядерной реакции. Следует заметить, что полное и строгое рассмотрение таких процессов выходит за границы применимости классической механики. Однако при некоторых допущениях (о которых будет сказано ниже) законы сохранения энергии и импульса так же, как и в случае упругих столкновений, позволяют рассчитать скорости всех частиц, участвующих в ядерной реакции.
Допустим, что в момент времени t = —оо некоторая частица массой т2, покоящаяся относительно л-системы, обстреливается частицей массой mv имеющей относительно той же системы отсчета скорость ио. Пусть в процессе неупругого столкновения (ядерной реакции) частицы пгх и тг погибают, но рождаются новые частицы с массами т3 и т4. Допустим также, что в ходе реакции выделяется или поглощается некоторое количество энергии Q, называемое тепловым эффектом реакции. Если Q — энергия электромагнитного излучения, сопровождающего реакцию, то, строго говоря, следовало бы учитывать переход некоторой части импульса механического движения частиц в импульс электромагнитного поля. Мы будем предполагать, что импульс, уносимый излучением, пренебрежимо мал по сравнению с импульсами частиц. Это позволяет считать, что скорость центра масс ядерных частиц Vc (как вступающих в реакцию тх и /п2, так и вновь рождающихся т3 и /п4) в ходе реакции сохраняется, т. е. Vc = mxVol(nix + /и2) = const. И наконец, будем пренебрегать возможным дефектом массы и считать, что
т3 + т4 = тх + т2.
С учетом всех сделанных допущений закон сохранения энергиц можно записать в виде
^my + m^Vc + -^Моуо = ^(^s + ^J^c+^^ + Q- (16Л)
где ро = m^^^i + m2) — приведенная масса частиц, вступающих в реакцию; у, = т3т41(т3 + т^ — приведенная масса частиц, рождающихся в ходе ядерной реакции, а и — их относительная скорость.
Из закона сохранения энергии (16.1) находим абсолютное значение относительной скорости частиц т3 и т4:
у = |/ Mq-2Q(16.2)
Направление относительной скорости и так же, как и в случае упругих столкновений, задаем с помощью единичного вектора п,
составляющего с направлением скорости у0 налетающей частицы тг угол х, т. е. у = уп.
Скорость (У0)порог = V2Q/p0 называют пороговой скоростью налетающей частицы. Чтобы реакция могла произойти, энергия налетающей частицы должна быть существенно больше ее порогового значения, равного
/£л == О fl +(16.3)
V 1/порог2mJ
Нам осталось определить скорости частиц т8 и щ4, родившихся в ходе ядерной реакции. По аналогии с формулами (15.6) скорости указанных частиц в ^-системе можно представить в виде
У30—У30—т3 + т4т3 + т4ш, у; =ш, у; =т.2УП.т3 + т4т.2УП.т3 + т4(16.4)(16.4)
У30—
У30—
т3 + т4
т3 + т4
ш, у; =
ш, у; =
т.
2УП.
т3 + т4
т.
2УП.
т3 + т4
(16.4)
(16.4)
Нетрудно видеть, что эти скорости удовлетворяют требованию:^ = т3Узо + тД = О,
т. е. закону сохранения импульса в ц-системе, и приводят к правильному выражению для кинетической энергии частиц т8 и т4 относительно их центра масс:
р _ т® ^°)2 , ^Н^ _ р^~2+2~ 2 '
Переходя теперь к лабораторной системе отсчета, можно показать, что искомые скорости частиц т8 и т4 оказываются равными
/f I 1 ZГПаI^^1
У, = Узд + Vr =2 ип 4!Уо,
(16.5)(16.5)30 с т3 + т4 mt +тг
(16.5)
(16.5)
У4 = <0 + VУ4 = <0 + VПЦГПа
У4 = <0 + V
У4 = <0 + V
7— on НЩ.т3 + «4 mt 4- т.
Такова общая схема рассмотрения кинематики ядерной реакции.
ГЛАВАГЛАВАДВИЖЕНИЕВ ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧЕСКОМПОЛЕ
ГЛАВА
ГЛАВА
ОДНОМЕРНЫЙ ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
В § 14 было показано, что исследование относительного движения в системе двух взаимодействующих между собой точечных частиц с массами тг и т2 сводится к решению эквивалентной задачи о движении одной частицы с приведенной массой р = m1/n2 / (mv + + m2) во внешнем центрально-симметрическом поле. Эту часть проблемы двух тел называют задачей о движении в центральносимметрическом поле. Напомним, что, если т^ 5> пц = т, то можно говорить о движении легкой частицы массой т во внешнем центрально-симметрическом поле, создаваемом неподвижной тяжелой частицей пц. Этот частный случай задачи двух тел мы и обсудим.
Итак, рассмотрим движение точечной частицы массой т в центрально-симметрическом поле, в котором ее потенциальная энергия имеет вид U = U (г), где г — расстояние от частицы до некоторой неподвижной точки 0, называемой центром поля (см. § 6).
При движении частицы в стационарном силовом поле U (г) сохраняются ее полная механическая энергия Е и момент импульса L относительно центра поля. Сохранение неизменным направления вектора L, как указывалось в § 12 (см. пример 12.3), приводит к тому, что движение частицы в центрально-симметрическом поле U (г) оказывается плоским: траектория частицы лежит в плоскости —>—*■
г • L = О, перпендикулярной вектору L.
Введем для описания плоского движения частицы в поле U (г) полярные координаты (г, ф), причем полюс полярной системы координат совместим с центром поля О, а полярную ось направим пока произвольно. Таким образом, исследование движения частицы в центрально-симметрическом поле U (г) сводится к определению функций г (/) иф (0- Решение этой задачи проще всего получить, исходя из законов сохранения энергии и абсолютного значения момента импульса (интеграла площадей)
£ = ^ -j- t; (г) = const,
t(17-D
. L = |[ r (my)] | = const.
Действительно, используя полярные координаты (г, ф) и известные выражения (2.24) для радиуса-вектора г и скорости у, законы сохранения (17.1) можно переписать в виде
Е = j (r2 + rV)-W),(17.2)
£=тг2ф.(17.3)
Полученныеравенства представляют собойдифференциальные
уравненияпервогопорядка относительно неизвестныхфункций
г (0 и ф(/).
Переменные г и ф в системе уравнений (17.2), (17.3) легко разделяются. Действительно, выражая из (17.3) угловую скорость ф через механический момент L
Ф=^=А(17.4)
т dt тг»v '
Е=^А-и^.Е=^А-и^.ФункциюФункциюU,„,<,)-ЩгН^U,„,<,)-ЩгН^(17.5)(17.5)(17.6)(17.6)и подставляя полученное выражение в интеграл энергии (17.2), перепишем его в виде
Е=^А-и^.
Е=^А-и^.
Функцию
Функцию
U,„,<,)-ЩгН^
U,„,<,)-ЩгН^
(17.5)
(17.5)
(17.6)
(17.6)
называют одномерным эффективным потенциалом. Этим термином подчеркивается, что радиальную часть движения частицы в центрально-симметрическом поле U (г) можно рассматривать как одномерное движение в поле с эффективной потенциальной энергией (17.6). Заметим, что величину L^j^mr1, входящую в эффективный потенциал (17.6), часто называют центробежным потенциалом. Правда, это название не совсем удачное, так как в действительности указанная величина представляет собой часть кинетической энергии частицы, связанную с ее вращательным движением относительно центра поля.
Далее из уравнения (17.5) находим:
; = ^ -±(17.7)
или, разделяя переменные г, t и интегрируя:
=± f —-*+ /о-(17.8)
Из второго интеграла движения (17.8) в принципе можно определить функцию г $. подстановка которой в уравнение (17.4) позволяет получить еще один второй интеграл:
ф(Э = — f 4 Фо-(17.9)
т J г3 (О
Полученные вторые интегралы движения (17.8) и (17.9) вместе с ранее упоминавшимся уравнением плоскости, в которой происходит движение частицы
L ■ г = xLt + уРу "Ь гЛг = 0, (17.10) дают полное решение задачи о движении частицы в заданном центрально-симметрическом поле U (г). Как это и должно быть, полученное общее решение задачи содержит шесть произвольных постоянных (Е, Lx, Ly, Lz, ф0, /0), определяемых начальными условиями. Выбор знака перед интегралом в (17.8) должен быть согласован со знаком начальной радиальной скорости го = г(0).
Уравнение траектории частицы г = г (ф) в плоскости (17.10) можно получить двумя способами. Во-первых, в некоторых случаях это можно сделать, исключая время t из функций г ^ и ф (/), определяемых вторыми интегралами движения (17.8) и (17.9). Кроме того, уравнение траектории частицы, движущейся в любом центрально-симметрическом поле U (г), можно представить в виде квадратуры. Действительно, исключая из уравнений (17.4) и (17.7) дифференциал времени dt, получим:
Ldr
d^ =± __2L___(17.11)
откудаУ^2т[Е — иэфф (г)]
ф=± Г+фо. (17.12)
J K2mcf—г/эфф(г)]
Выражение (17.12) представляет собой обшре уравнение траектории частицы, движущейся в произвольном центрально-симмет-
рическом поле.
U (г), имеет перицентр Р, т. е.U (г), имеет перицентр Р, т. е.Рассмотрим случай, когда траектория частицы, движущейся в
U (г), имеет перицентр Р, т. е.
U (г), имеет перицентр Р, т. е.
принимаетпринимаетминимальное значе-минимальное значе-центрально-симметрическом поле точку, в которой переменная г ние rmln Ф 0. В этом случае в качестве полярной оси, от которой производится отсчет углов Ф, удобно выбрать прямую ОР, проходящую через перицентр Р траектории частицы и называемую апсидой (рис. 17.1). При этом уравнение траекторий, имеющих перицентр, принимает вид
принимает
принимает
минимальное значе-
минимальное значе-
С*— dr
, Iг2
J ^[E-l/^tr)] rmin
(17.13)
Наличие двух знаков перед интегралом в уравнении (17.13) указывает, что соответствующая траектория частицы симметрична относительно апсиды ОР. Действительно, для любой точки М траектории с координатами г0, <р0 (см. рис. 17.1) имеется симметричная ей относительно апсиды ОР точка М' с координатами г0, —ф0.
Таким образом, уравнение траектории частицы в центральносимметрическом поле U (г), имеющей перицентр Р, можно окончат тельно представить в виде
гL
Ст dr
Ф = 1 г".." "— -(17.14)
Gnin
В заключение укажем, что при решении одночастичной задачи, эквивалентной задаче двух тел, в общем случае (пц ~ т^ во всех вышеприведенных формулах следует произвести замену m ->- ц, а центр поля считать совпадающим с центром масс частиц mv и т2. При этом формулы (17.12) и (17.14) определяют траекторию p-частицы (или зависимость относительного расстояния частиц г от полярного угла ф). Чтобы определить траектории реальных частиц тг и т2 в ф-системе, необходимо воспользоваться формулами (14.3).
Пример 17.1. Частица массой т движется в центрально-симметрическом поле, в котором ее потенциальная энергия имеет вид U (г) = —5ma2/2r2. Проинтегрировать уравнения движения частицы, если известно, что г (0) = г0; о (0)= = о0 = a Vr5jr0 и sin 0 = 1/}^5, где 0 > л/2 — угол между векторами г(0) и о (0). Определить также траекторию частицы, принимая за полярную ось прямую, соединяющую центр поля с начальным положением частицы.
Из начальных условий находим:
«"о 5та?
Е = — — —— = 0, L = mr0o0 sin 9 = ma(17.15)
2го
и
(17.16)(17.16)„/ а2т“2
(17.16)
(17.16)
^ЭффИГ2 •
Подстановка выражений (17.15), (17.16) в формулу (17 8) дает: г2
(17 17)
(заметим, что в рассматриваемом случае в формуле (17 8) следует взять знак минус перед интегралом, так как начальная радиальная скорость по условию отрицательна). Далее из начальных условий находим: t0 = rg/4a и, следовательно,
(17.18)(17.18)г1 = Tq — 4a<.
(17.18)
(17.18)
Подставляя функцию (17.18) в формулу (17.9) и выполняя интегрирование, получаем:
ф = To — — In (rg a/)
Если полярную ось выбрать так, как рекомендовано в условии задачи (ф = О при г = г0), то q>0 = (in Tq)/4 и, следовательно,
2
1г0
ф(0 = —In —(1719)
го“4^
И наконец, исключая из (17. 18) и (17. 19) время I, получаем искомое уравнение траектории частицы:
г = гое —2ф (17.20)
Таким образом, рассматриваемая частица при Е = 0 и £ = та «падает» на силовой центр по логарифмической спирали (рис. 17. 2). Время падения т = = Гц/4а; за это время частица успевает совершить бесконечно большое число витков (г -ь 0 при ф оо)
Оэфф^^^/г2-Оэфф^^^/г2-§ 18. КАЧЕСТВЕННОЕИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯВ ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Оэфф^^^/г2-
Оэфф^^^/г2-
Прежде чем приступать к отысканию общего решения задачи о движении частицы в том или ином центрально-симметрическом поле U (г), полезно провести его качественное исследование, т. е. определить разрешенные и запрещенные области изменения координаты г, найти поворотные точки, отделяющие разрешенные области от запрещенных, и установить характер движения в каждой из разрешенных областей.
Такой качественный анализ движения в центрально-симметрическом поле проводится с помощью графиков одномерного эффективного потенциала 1/Эфф (г), строящихся в общем случае для различных фиксированных значений механического момента L, и графика полной энергии частицы Е.
По графикам функции Уэфф (г) и полной энергии Е можно прежде всего определить области изменения переменной г, в которых движение в принципе разрешено законами классической механики (классически разрешенные области). Действительно, поскольку кинетическая энергия чисто радиального движения частицы тг1]^ должна быть положительно определенной величиной, то из закона сохранения энергии (17.5) вытекает неравенство
£-^зфф(г)>0, (18.1)
которым и определяются указанные области изменения координаты г. Поворотные точки (или границы движения), разделяющие разрешенные и запрещенные области, определяются уравнением
Е = [/эфф (г). (18.2)
Приведем в качестве примера качественное исследование движения р-частицы в центрально-симметрическом поле, в котором ее потенциальная энергия имеет вид
U (г) =-U (г) =-а7‘а7‘(18.3)(18.3)
U (г) =-
U (г) =-
а
7‘
а
7‘
(18.3)
(18.3)
Заметим, что, выбирая для исследования потенциальную функцию (18.3), мы охватываем тем самым довольно широкий круг физических задач. Действительно, при п = 1 функция (18.3) представляет собой потенциальную энергию частицы в кулоновском поле, т. е. в поле тяготения, если а = Gmyn^ (задачи небесной механики), или в электростатическом поле точечного заряда, если а = ^^2 (задачи атомной физики). Потенциальная функция (18.3) с п = 6 используется в задачах молекулярной физики для описания межмолекулярного взаимодействия (потенциал Ван-дер-Ваальса).
Рассмотрим вначале случай: а>0и1^п<2 (слабо сингулярное поле притяжения). Одномерный эффективный потенциал ц-частицы, движущейся в поле (18.3) с указанными значениями параметров а и и, при L ^ 0 имеет вид
(/.. (г) =— - + —• (18.4) Эфф X ' гп 1 2ЦГ2 V '
График этой функции представлен на рисунке 18.1 (заметим, что для качественного исследования движения нет необходимости осо
бо тщательно вычерчивать график кривой t/эфф (г); для этого достаточно сначала исследовать асимптотику этой кривой при г -► 0 и г -> оо, а затем дорисовать график с учетом возможного числа ее экстремумов и точек пересечения с осью г; на рисунке 18.1 асимптотические участки потенциальной кривой (18.4) начерчены жирной линией).
Из графиков (/эфф (г) и Е, изображенных на рисунке 18.1, видно, что при Е > 0 разрешенной областью является интервал (г^ оо), т. е. вся бесконечная плоскость, перпендикулярная вектору L, за исключени-
ем круга радиуса гР Следовательно, движение р-ча- стицы в этом случае является инфинитным; оно осуществляется по траектории гиперболического типа (см. рис. 18.2, на котором запрещенная область заштрихована), при этом р-частица может приходить р из бесконечности, приближаясь к силовому центру О до расстояния rv и снова уходить на бесконечность. Таким образом, процесс движения частицы в рассматриваемом случае является процессом рассеяния.
Аналогичный характер имеет движение и при Е = О, однако, имея в виду промежуточное положение этого случая между состояниями с положительными и отрицательными значениями энергии, принято считать, что движение частицы с Е = 0 происхо
дит по траектории параболического типа.Рис. 18.2
При Е < 0 разрешенной областью является коль
цо, ограниченное окружностями с радиусами г3 и г4, поэтому движение р-частицы при Е < 0 является финитным. В эквивалентной задаче двух тел финитному движению р-частицы соответствуют связанные состояния частиц тх и т3, т. е. такие состояния, когда взаимодействующие между собой частицы тх и тг образуют единую систему (например, электрон и протон в связанных состояниях образуют атом водорода, а два взаимодействующих атома А и В — двухатомную молекулу АВ).
Траектории финитного движения р-частицы в потенциальной яме (г3, г4) условимся называть траекториями эллиптического типа. Указанные траектории будут замкнутыми орбитами (в том числе, эллиптическими) только в том случае, если периоды Тг и Т^ изменения переменных г и ф между собой соизмеримы, т. е. если
AnaxL ,
— агIг2
Аф 2 1 = 2ли,до гх
J<18'5)
rmln или
rmax
A<P = — 2^J"|/2р[£ — t/(r)] — ~ dr = 2лп, (18.6)
rm!n
где п — рациональное число (целое или дробное).
Существует теорема Бертрана, утверждающая, что единственными центрально-симметрическими потенциалами, для которых орбиты связанных состояний при любых начальных условиях представляют собой замкнутые кривые (эллипсы), являются кулоновский потенциал U (г) = —а/r и потенциал трехмерного изотропного осциллятора U (г) = 6г2/2
Рис. 18.3Рис. 18.3В справедливости этой теоремы относительно кулоновского потенциала мы убедимся в § 19, 20.
Рис. 18.3
Рис. 18.3
В произвольном центральносимметрическом поле, сколь угодно мало отличающемся от — а/г илиАга/2, Д<р не является рациональной частью 2л. Поэтому в общем случае траектория финитного движения не является замкнутой. В процессе движения частица бесчисленное число раз проходит через перицентр и апоцентр и за бесконечно большой промежуток времени плотно заполняет кольцо (г3, г4), Такие
траектории, как правило, имеют вид розетки (рис. 18.3), движение по которой можно наглядно представить как обращение частицы по эллипсу с прецессирующей относительно центра поля большой осью.
При Е -> (<7Эфф)т1п кольцо (г3, г4) сжимается в окружность радиуса г0, по которой и происходит движение частицы. Движение по указанной круговой орбите является устойчивым, так как точке г0 соответствует минимум эффективного потенциала. Последнее означает, что малое возмущение движения частицы не может изменить ее круговую орбиту.
График эффективного потенциала (18.4) для тех же значений параметров а, п и L = 0 представлен на рисунке 18.4. Разрешенные области в этом случае: при £ ^ 0 — вся бесконечная плоскость (0, оо), а при £ < 0 — область (0, г0). Движение при любых начальных условиях — чисто радиальное (одномерное). Действительно, равенство L = 0 равносильно требованию: ф = 0, откуда ф = = const. При любом значении энергии Е возможен захват частицы силовым центром: при £ ^ 0 с любого, сколь угодно большого расстояния, а при £ < 0 с расстояния г ^ г0. Если £ ^ 0 и г (0) > 0, то происходит уход частицы на бесконечность.
Рассмотрим теперь, ограничившись случаем L Ф 0, сильно сингулярное поле притяжения (18.3) с п > 2. График эффективного по-
и3фФ(С)=-«/гп+ ^/2иГ2,П>2и3фФ(С)=-«/гп+ ^/2иГ2,П>2тенциала (18.4) для этого случая представлен на рисунке 18.5. Разрешенными областями являются: при Е 0 — круг радиуса < г2, при £>(^эфф)тах— вся бесконечная плоскость (О, оо), а при 0 < £ < (6/Эфф)тах имеются две разрешенные области (0, г3) и (г4, оо), разделенные потенциальным барьером (г3, г4).
и3фФ(С)=-«/гп+ ^/2иГ2,П>2
и3фФ(С)=-«/гп+ ^/2иГ2,П>2
Движение частицы в области (О, ту) — падение на центр с конечного расстояния, происходящее, как правило, по спиралеобразным траекториям (см. пример 17.1). В отдельных случаях падение частицы на центр может осуществляться по более простым траекториям, например по дуге окружности. Захват частицы силовым центром при £ ^ 0 происходит независимо от знака ее начальной радиальной скорости: при г (0) < 0 частица падает на центр, все время приближаясь к нему, а при г (0) > 0 частица до некоторого момента времени 4» пока она не попадет в поворотную точку гг и не изменит направление своей радиальной скорости, удаляется от центра поля и только затем начинает на него падать.
Условие падения на центр можно получить из неравенства (18.1), если переписать его в виде
W (г)+ —<г2£2ц
и устремить г к нулю. Указанное условие имеет вид lim[r^(r)](18.7)
г-о2ц
Для степенного потенциала (18.3) такое требование выполняется при £2 п = 2, если а> —,
■2^(18.8)
п > 2, если а > 0.
На этом, собственно, и основано деление полей (18.3) на слабо и сильно сингулярные.
В СИЛЬНО сингулярном поле (18.3) При £ > (1/эфф)тах возможен захват частицы силовым центром с бесконечно большого расстояния, если г (0) < 0, и ее уход на бесконечность с любого конечного расстояния, если Г (0) > 0. При £ = (^эфф)тах и г (0) = 0 возможно движение частицы по круговой орбите радиуса г4. Однако это движение крайне неустойчиво: при сообщении частице сколь угодно
малого радиального импульса она или падает на центр поля, или улетает на бесконечность.
При 0 < Е < ((/эфф)тах частица в зависимости от начальной координаты г (0) движется в области (0, г^ или (г4,оо), при этом движение частицы в первой из указанных областей ничем не отличается от ее падения на центр при Е ^ 0. Движение в области (г4, оо) является инфинитным и осуществляется по траекториям гиперболического типа, т. е. про
исходит процесс рассеяния частицы.
Следует заметить, что при энергии Е, приближающейся к пику потенциального барьера, могут наблю
даться некоторые аномальности в процессе рассеяния. Действительно, если энергия Е близка к (1/эФф)тах, то интервал значений г, близких к г4, частица будет проходить очень медленно. В то же время, вращение ее радиуса-вектора продолжается с достаточно большой угловой скоростью <р « £2/2рг4. Поэтому за
время торможения и изменения направления радиальной скорости частица успевает сделать несколько оборотов вокруг центра поля О, прежде чем начнет удаляться от него (рис. 18.6, кривая а). Это явление в теории столкновений называется эффектом орбити- рования Напротив, чем ближе к нулю Е, тем менее искривленной оказывается траектория частицы (рис. 18.6, кривые б, в).
В поле притяжения (18.3) с п = 2 одномерный эффективный по
тенциал частицы имеет вид
ак если а>—,(18.9a)
lpL_a\ если а < —.(18 96)
г2 \2ц/2р.
Графики этих функций представлены на рисунках 18.7, а и 18.7, б, из которых видно, что в случае 2ра > £2 при любых Е и г (0) < 0 может происходить падение частицы на центр поля (с конечного или сколь угодно большого расстояния), а в случае 2ра < £2 возможно только инфинитное движение с Е > 0 по траекториям, аналогичным кривой, изображенной на рисунке 18.2. Во втором случае при достаточно больших Е может наблюдаться эффект орбитирования.
В заключение рассмотрим поведение частицы в поле отталкивания:
Щф = - (<х>0, п>0).(18.10)
г"
График одномерного эффективного потенциала для частицы, движущейся в таком поле, аналогичен потенциальной кривой, изображен-
1Л»ф f П = - ^ (Ьс - <-%/z)
ной на рисунке 18.7, б Отсюда следует, что в поле отталкивания (18.10) возможно только инфинитное движение с Е > 0. Примерный вид траектории частицы в этом случае представлен на рисунке 18 8. Рели движение частицы происходит строго по гиперболической траектории, то центр поля совпадает с ее внешним фокусом. Этим инфинитное движение в поле (18.10) существенно отличается от аналогичного движения в поле притяжения (18.3) (см. рис. 18.2).
Пример 18 1. Определить возможные траектории частицы в сферической прямоугольной потенциальной яме
«и-Го" •$'>«:(1811>
При исследовании движения частицы в поле (18.11) необходимо учитывать, что внутри и вне сферы радиуса R она движется равномерно и прямолинейно со скоростями Ui = К2 (£ + U^/m и о2 =1^^Е(т На поверхности указанной сферы происходит изменение направления ее движения под действием бесконечно большой силы. Как показывает рисунок 18.9, на котором представлен эффективный потенциал частицы, движущейся в поле (18.11), разрешенными областями
Рис. 18.8Рис. 18.9Рис. 18.8Рис. 18.9
Рис. 18.8Рис. 18.9
Рис. 18.8Рис. 18.9
Мо
Рис. 18.10
для нее являются: область (rS1 R) при (^^ — ^о j < Е ^0; области (г2, /?) и (г4, оо) при 0 < Е < L?l2mR? и область (о, со) при Е > L?l2mR?.
Движение в областях (r2> R) и (г3, /?) финитно и осуществляется по ломаным линиям, мноюкратно отражающимся от одной границы области и касающимся другой ее границы (рис. 1& 10, а). Инфинитное движение в области (г4, оо) при 0 < Е < L^mR? и г (0) > R происходит по прямым, касающимся окружности радиуса г4 (рис. 18.10, б). И наконец, при Е > L^j^mR1 наблюдается преломление траекторий (рис. 18 10, в), причем это преломление тем сильнее, чем больше прицельный параметр частицы р.
§ 19. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
Важнейшим случаем центрально-симметрических полей являются поля, в которых потенциальная энергия р-частицы (или энергия взаимодействия частиц с массами tnv и т4 в эквивалентной задаче двух тел) обратно пропорциональна г, а соответствующие силы обратно пропорциональны г2. Сюда следует отнести ньютоновские поля тяготения и кулоновские электростатические поля, которые в отличие от гравитационных могут быть как полями притяжения, так и полями отталкивания.
Задачу о движении р-частицы в кулоновском поле U (г) = —а/г (или эквивалентную задачу об относительном движении в системе двух частиц тх и т2, взаимодействующих по тому же закону) принято называть задачей Кеплера.
Мы рассмотрим сначала задачу о движении р-частицы в кулоновском поле притяжения, в котором постоянная а положительна. Напомним, что в зависимости от конкретного вида этой постоянной указанная задача может быть задачей небесной механики (если а = = Gm1m2) или классическим вариантом задачи о водородоподобном атоме (если а = Ze2, где Z — порядковый номер атомного ядра и е — заряд электрона).
Задача состоит в отыскании конкретного вида траекторий р-частицы и законов ее движения по возможным орбитам. Из
выражения для ее эффективного потенциала в кулоновском полевыражения для ее эффективного потенциала в кулоновском поле^эфф (г) —Н^эфф (г) —Н(19.1)(19.1)очевидно, что при любом допустимом значении полной энергии Е и L =т^ 0 координата г может принимать минимальное значение, определяемое одним из выражений:очевидно, что при любом допустимом значении полной энергии Е и L =т^ 0 координата г может принимать минимальное значение, определяемое одним из выражений:Г1,2 —Г1,2 —(19 2)(19 2)Поэтому уравнение траектории частицы можно получить, обращаясь к общей формуле (17.14). Подставляя в нее U (г) =—а/г, получим:A -drГ4Поэтому уравнение траектории частицы можно получить, обращаясь к общей формуле (17.14). Подставляя в нее U (г) =—а/г, получим:A -drГ4Ф =Ф =2ра L22ра L2(19.3)(19.3)rm!nrm!nИнтеграл в правой части равенства (19.3) подстановкой приводится к табличному видуИнтеграл в правой части равенства (19.3) подстановкой приводится к табличному видуXX= Vr= VrФФхтаххтахLdxц2а2 /Ра\2’"у"7Ldxц2а2 /Ра\2’"у"7(19.4)(19.4)откудаоткуда<р = arccos<р = arccosLx — — LLx — — Lц2а2ц2а2^тах^тахца г= arccos—7=^Г * ца2ца г= arccos—7=^Г * ца2и, следовательно,и, следовательно,искомое уравнениеискомое уравнение— = 1 + е cos ф,— = 1 + е cos ф,траектории имеет видтраектории имеет вид(19.5)(19.5)
выражения для ее эффективного потенциала в кулоновском поле
выражения для ее эффективного потенциала в кулоновском поле
^эфф (г) —Н
^эфф (г) —Н
(19.1)
(19.1)
очевидно, что при любом допустимом значении полной энергии Е и L =т^ 0 координата г может принимать минимальное значение, определяемое одним из выражений:
очевидно, что при любом допустимом значении полной энергии Е и L =т^ 0 координата г может принимать минимальное значение, определяемое одним из выражений:
Г1,2 —
Г1,2 —
(19 2)
(19 2)
Поэтому уравнение траектории частицы можно получить, обращаясь к общей формуле (17.14). Подставляя в нее U (г) =—а/г, получим:
A -dr
Г4
Поэтому уравнение траектории частицы можно получить, обращаясь к общей формуле (17.14). Подставляя в нее U (г) =—а/г, получим:
A -dr
Г4
Ф =
Ф =
2ра L2
2ра L2
(19.3)
(19.3)
rm!n
rm!n
Интеграл в правой части равенства (19.3) подстановкой приводится к табличному виду
Интеграл в правой части равенства (19.3) подстановкой приводится к табличному виду
X
X
= Vr
= Vr
Ф
Ф
хтах
хтах
Ldx
ц2а2 /Ра\2’
"у"7
Ldx
ц2а2 /Ра\2’
"у"7
(19.4)
(19.4)
откуда
откуда
<р = arccos
<р = arccos
Lx — — L
Lx — — L
ц2а2
ц2а2
^тах
^тах
ца г
= arccos—7=^Г * ца2
ца г
= arccos—7=^Г * ца2
и, следовательно,
и, следовательно,
искомое уравнение
искомое уравнение
— = 1 + е cos ф,
— = 1 + е cos ф,
траектории имеет вид
траектории имеет вид
(19.5)
(19.5)
где
ееР = — ■ раР = — ■ ра(19.6)(19.6)
е
е
Р = — ■ ра
Р = — ■ ра
(19.6)
(19.6)
Полученное уравнение (19.5) является фокальным уравнением ко: нического сечения (или кривой второго порядка), т. е. это такое уравнение кривой второго порядка, 'когда за начало координат принят г один из ее фокусов, совпадающий с центром поля О. При этом постоянную е называют эксцентриситетом кривой второго порядка, а постоянную р — фокальным параметром. Фокальный параметр любого конического сечения (гиперболы, параболы, эллипса или окружности) равен расстоянию между его фокусом и точкой пересечения с осью Оу, перпендикулярной апсиде ОР (рис. 19.1).
Полученное решение задачи полностью согласуется с качественным анализом движения р,-частицы в слабо сингулярном поле притяжения (18.3), проведенном в § 18. Действительно, из выражений (19.6) для эксцентриситета кривой второго порядка (19.5) очевидно, что траекторией ц-частицы в кулоновском поле притяжения U (г) = = — ajr может быть:
гипербола (е > 1), если Е > 0;
парабола (е = 1), если Е = 0;(19.7)
эллипс (е < 1), если Е < 0;
окружность (е = 0) радиуса L^yia, если £ =—ра2/£2.
В эквивалентной задаче двух тел, взаимодействующих по тому же закону, траекториями каждой из частиц будут аналогичные кривые второго порядка с фокусом, совпадающим сих общим центром масс. В качестве примера на рисунке 19.2 представлены эллиптические орбиты частиц с массами тг и т2, соответствующие случаю: £ < 0 и ту < т2 (система «Земля — Солнце»),
Рассмотрим более подробно эллиптическое движение. Подстановка в формулы (4.19), (4.20) выражений (19.6) позволяет представить большую и малую полуоси эллиптической орбиты р-частицы и период ее обращения через основные постоянные задачи Е, L и а;
р а , р Lа = ——— = — , о = - ■ - = ——
1 _ 6а 2£ К1 — в2 Узц^и
Т = лаЬ (—1 = ла 1/_Е_,} К 2£3
(19.9) где 5 =[£Ь Заметим, что малая полуось эллиптической орбиты зависит как от энергии частицы <?, так и от ее механического момента L, а большая полуось — только от энергии. Поэтому при заданной энергии эллиптическая орбита частицы
сплющена тем больше, чем меньше ее механический момент (рис. 19.3).
Наименьшее и наибольшее расстояния р-частицы до центра поля О (или координаты перицентра и апоцентра ее траектории) определяются выражениями:
^10== а(1 — е), rmax = -^- = а(1 +е).(19.10)
С помощью формул (19.9), (19.10) можно вычислить отношение Т2/а3 и проверить выполнение третьего закона Кеплера. Нетрудно видеть, что для р-частицы указанное отношение равно:
(19.11)
а3 а
Рассмотрим теперь систему «планета — Солнце», для которой постоянная а = Gm-^m^, где тт — масса планеты, а т2 — масса Солнца. В случае, когда т2 "^ тх (можно считать, что т2 -+ оо и Солнце неподвижно), приведенная масса системы р = mY и а = = Яц где йх — большая полуось эллиптической орбиты планеты. Подстановка в равенство (19.11) указанных значений р, а и а дает:
— =—= const,(19.12)
а3 0^2
откуда видно, что отношение Тг1а\ в этом приближении одинаково для всех планет Солнечной системы.
Если теперь требуется учесть движение Солнца (или тот факт, что масса т2 не стремится к бесконечности), то следует принять (см. § 14)
<4 = —а, р = mim2 ,(19.13)
тг + т2mv + m2
при этом отношение Т2/а3 оказывается равным:
Ц =^V II_ l^Vи।«Л3
а3 ( mJ а3а\mJ’
или
(19.14)(19.14)а? ^т2а? ^т2+ ^1?^ ±^.h+ ^
(19.14)
(19.14)
а? ^т2
а? ^т2
mJGm2\т2
Отсюда видно, что в отличие от первых двух законов Кеплера (19.5) и (17.3), выполняющихся строго, третий закон (19.12) является приближенным, хотя и выполняется с большой точностью.
При Е > 0 движение р-частицы в поле U (f^—a/r происходит по гиперболическим траекториям, огибающим центр поля
(рис. 19.4). Асимптотами этих траекторий являются прямые, параллельные лучам OMY и 0М2, образующим с направлением полярной оси Ох углы <Pi,2=Jt + arccos 1/е. Наименьшее расстояние до центра поля можно представить в виде
^,„=^ = 0(8-1), а = ^.(19.15)
При Е = 0 эксцентриситет конического сечения (19.5) равен единице. Это означает, что движение р-частицы происходит по параболической траектории с асимптотами, параллельными оси Ох (углы Ф1.2 = л), и расстоянием между перицентром и точкой О, равным rmin = р/2 Этот случай инфинитного движения в кулоновском поле притяжения осуществляется, если р-частица начинает двигаться из бесконечно удаленной точки с начальной скоростью и (0) = 0.
В заключение рассмотрим движение р-частицы в кулоновском поле отталкивания, в котором ее потенциальная энергия
U (г) = у (а>0).(19.16)
Как указывалось в § 18, в этом случае возможно только инфинитное движение с £ > 0. Чтобы найти уравнение соответствующей траектории, надо вновь обратиться к общей формуле (17.14), при этом все промежуточные вычисления будут повторять выкладки, проделанные выше при рассмотрении движения р-частицы в кулоновском поле притяжения. В результате получим:
— = — l+ecoscp,(19.17)
Г
где параметры р и в определяются прежними формулами (19.6).
Уравнение (19.17) показывает, что траекторией р-частицы в поле (19.16) является гипербола, проходящая мимо центра поля (рис. 19.5). Центр поля О в этом случае совпадает с внешним фокусом гиперболы.
Пример 19.1.'Космические скорости.ц1
Допустим, что телу массой т, находя
щемуся на расстоянии г0 от центра Земли/
(например, последней ступени космического
корабля), в некоторый момент времени со
общают скорость и0, составляющую угол о0 с направлением его радиуса-вектора (рис. уч.'/\ \
. Какой должна быть начальная ско- L'/Ч^ R/ \ \
рость и0 тела, чтобы оно стало искусствен- \)д Д( 'х/1 I
ным спутником Земли (ИСЗ) или межпла- / \\0/ /
нетным кораблем?/ \]
Задача, как это видно из условия, сво- ^\/
дитсд к исследованию относительного дви-X.
жения в системе двух тел (ИСЗ массой т и Земли массой Л1), взаимодействующих по закону U = —а/г. Поэтому мы можем вое-рис. ig.g
пользоваться известным решением (19 5) за-""
дачи Кеплера, принимая р = т и совмещая начало координат с центром Земли (т < М)
Найдем постоянные а, Е и L, входящие в указанное решение. Как известно, сила гравитационного притяжения Земли СтМ]Кг на ее поверхности (R — радиус Земли) равна mg. Отсюда следует, что
GM = gR1
и потенциальную энергию ИСЗ в поле притяжения Земли можно представить в виде
U (г) =— — , а = mgR\U (г) =— — , а = mgR\(19.18)(19.18)
U (г) =— — , а = mgR\
U (г) =— — , а = mgR\
(19.18)
(19.18)
Полная энергия и механический момент ИСЗ в начальный момент времени соответственно равны
тт222gR4'о /2gR4'о /L = mr6v0 sin а0.L = mr6v0 sin а0.(19.19)(19.19)
т
т
2
2
2gR4
'о /
2gR4
'о /
L = mr6v0 sin а0.
L = mr6v0 sin а0.
(19.19)
(19.19)
Подстановка постоянных а, Е, L из равенств (19.18), (19.19) в формулу (19.6) приводит к следующему выражению для эксцентриситета е кривых второго порядка, по которым может происходить движение тела в поле притяжения Земли:
(19.20)(19.20)
(19.20)
(19.20)
Анализ выражения (19 20) показывает, что возможными траекториями рассматриваемого нами тела могут быть:
гипербола, если v0 > v2 VR/r0;(19.21а)
парабола, если v0 = v2 У Rlra; (19.216)
эллиптическая орбита, если tn V_R/ra < v0 < v2 Y R/ro>(19.21в)
круговая_орбита, если и0 = vtVRjra,(19.21г)
где Hi = VgR ~ 7,9 км/с; о2= V^gR ж 11,2 км/с— первая и вторая космические скорости, вычисленные для поверхности Земли.
Таким образом, если начальная скорость рассматриваемого тела удовлетворяет требованию (19.21в), то оно становится ИСЗ. Заметим, что ИСЗ с круговой орбитой можно получить лишь в том случае, если его начальная скорость и0, равная по значению viVRfr0, будет параллельна линии горизонта (линия К К1 на рисунке 19.6). Действительно, из условия обращения в нуль эксцентриситета
(19.20) находим:
vvо —о —(19.22)(19.22)
v
v
о —
о —
(19.22)
(19.22)
но это выражение имеет физический смысл только в том случае, если а0 = л/2, при этом о0 = V1 VRI'»-
Если начальная скорость тела »0 > о2 /Rir6, то оно становится межпланетным кораблем.
Пример 19.2. Найти траектории финитного движения р.-частицы в центрально-симметрическом поле:
U^=—^ + £ (а>0, ₽>0).(19.23)
Рассмотреть случаи, когда число у = V1 + 2uP/L2 является: а) рациональным; б) иррациональным.
Эффективный потенциал ц-частицы, движущейся в поле (19.23), нетрудно привести к виду
%фМ = -7 + ^. L^yL,%фМ = -7 + ^. L^yL,(19.24)(19.24)
%фМ = -7 + ^. L^yL,
%фМ = -7 + ^. L^yL,
(19.24)
(19.24)
отличающемуся от эффективного потенциала (19 1) той же частицы в кулоновском поле —а/r заменой L -► L*. Формула (17.14) теперь предстает в виде
УФ =УФ =(L*)2 г»(L*)2 г»L*г2
УФ =
УФ =
(L*)2 г»
(L*)2 г»
она отличается от (19.3) лишь коэффициентом у перед ф. Отсюда видно, что возможные траектории р-частицы в поле (19.23) определяются уравнением
— = 1 + е* cos уф,(19.25)
г-
где
„_^.,-/1+^.(19.26)
ра г 1 раа
Несмогря на внешнее сходство уравнения (19.25) с (19.5), описываемые им траектории заметно отличаются от кривых второго порядка (причем тем сильнее, чем больше параметр у отличается от единицы). Наиболее существенно это различие в случае финитного движения при Е < 0. Чтобы убедиться в этом, определим с помощью формулы (18 5) приращение полярного угла ф за полный период изменения координаты г. Вычисления показывают, что
rm ах L
rTdr2л
Дф = 2 i —г . - = —.(19.27)
J /2ц[£-1/эфф(,)]V
rm1n
Если число у окажется рациональным (это может случиться только при некоторых начальных условиях), то траектория финитного движения частицы, описываемая уравнением (19.25), будет замкнутой. В качестве иллюстрации на рисунке 19.7 приведены замкнутые кривые (19.25), соответствующие значениям у = 3/2 (кривая а) и у = 4/3 (кривая б). Однако чаще всего число у оказывается иррациональным и мало отличающимся от единицы (при 2рР < L1). В этом случае финитное движение в поле (19.23) происходит по розеточной траектории
(см. рис. 18 3), т. е. частица обращается по эллиптической орбите, медленно прецессирующей относительно центра поля.
Скорость указанной прецессии характеризуется величиной
(19.28)(19.28)бф = Дф — 2л = 2л
(19.28)
(19.28)
При 2рР < L2 она оказывается равной:
6ф ~6ф ~2лррL2 '2лррL2 '(19.29)(19.29)
6ф ~
6ф ~
2лррL2 '
2лррL2 '
(19.29)
(19.29)
Заметим, что аналогичная прецессия эллиптических орбит наблюдается также при движении р-частицы в поле:
(19.30)(19.30)У(г)=-“—|(а>0, Р>0),
(19.30)
(19.30)
г г2
если 2рР < L2, при этом бф « 2лрР/2Л
Малым добавочным членам ± Р/г2 в выражениях (19.23), (19.30) соответствуют силы (притяжения или отталкивания), убывающие с ростом г обратно пропорционально г3. При рассмотрении движения какой-либо планеты в поле притяжения Солнца в качестве таких сил выступают слабые возмущающие силы, действующие на эту планету со стороны других тел Солнечной системы. Из вышесказанного следует, что это возмущение приводит к медленной прецессии орбит всех планет относительно центра масс Солнечной системы. Наибольшая скорость вращения орбиты наблюдается у Меркурия (5599",74 в столетие). Расчеты, основанные на законах классической механики, приводят к скорости вращения 5557",18 в столетие. Расхождение в 42",56 между этим результатом и результатами, полученными из наблюдений, позволяет объяснить только общая теория относительности.
Заметим, наконец, что если скорость частицы а ~ с, то прецессия ее орбит в центрально-симметрическом поле может быть обусловлена релятивистскими эффектами («классический», но релятивистский электрон в атоме водорода двигался бы по розеточной траектории).
ВЕКТОР РУНГЕ - ЛЕНЦА
И «СКРЫТАЯ» СИММЕТРИЯ КУЛОНОВСКОГО ПОЛЯ
Сформулированная выше теорема Бертрана (см. § 18) обращает внимание на исключительное положение кулоновского поля —а/г и поля трехмерного изотропного осциллятора Аг2/2 среди других центрально-симметрических полей: если в произвольном центрально- симметрическом поле U (г) финитное движение частицы в общем случае (т. е. при произвольных значениях Е и L) происходит по розеточной траектории, то в указанных полях оно «вырождается» в движение по замкнутым эллиптическим орбитам.
Указанная особенность полей —а/г и кг^2 сохраняется и в квантовомеханическом случае. Квантовая механика показывает, что уровни энергии связанных состояний ц-частицы в произвольной сферически-симметричной яме (например, электрона в атоме щелочного металла лития, имеющего потенциальную энергию U (г) = = —e^ir + А/г2) являются функциями двух квантовых чисел п и /, т. е. Ent = / (л, /), где п — главное квантовое число (или номер электронной оболочки атома) и / — орбитальное квантовое число, определяющее орбитальный механический момент электрона L = hV^ U + 1) (здесь к — постоянная Планка, деленная на 2л). Что же касается уровней энергии атома водорода, в котором потенциальная энергия электрона U (л) = —г2/г, то они зависят только от одного квантового числа п, т. е Еп = f (п). Это означает, что энергией Еп атом водорода обладает в нескольких связанных состояниях с одинаковыми п, но разными I. В связи с этим говорят, что для электрона в кулоновском поле U (г) = —а/г имеет место случайное вырождение уровней энергии по орбитальному квантовому числу I. Аналогичное вырождение уровней энергии наблюдается также и у трехмерного изотропного осциллятора.
В данном параграфе мы попытаемся ответить на вопрос: чем обусловлена указанная особенность кулоновского поля?
Покажем, что только при движении частицы в кулоновском поле (как притяжения, так и отталкивания) может сохраняться наряду с Е и L векторная величина
А = [и£] + 7и (г),(20.1)
называемая вектором Рунге — Ленца.
Для сохранения вектора А необходимо, чтобы
= [V Z] + 7и + 7= 0.(20.2)
atat
Используя уравнение движения частицы
и определение вектора L, можно показать, что
[и L] = [у [ гцу]] = Г ( у • цу) — у (г ■ цу) =
(20.3)(20.4)(20.3)(20.4)7dU . - dU
(20.3)
(20.4)
(20.3)
(20.4)
=(г - у)— + иг —.
гdr dr
Кроме того, очевидно также, что
dU 4 6U 1 /* -*dU^7 = г--^=т(г‘у)з"
(20.5)(20.5)Подстановка в равенство (20.2) выражений (20.3), (20.4) показывает, что условие (20.2) равносильно требованию
(20.5)
(20.5)
U + г — = 0.dr
Попробуем искать потенциалы U (г), удовлетворяющие указанному условию, среди функций вида U — rk, при этом равенство (20.5) принимает вид
г* (1 + k) = 0,
откуда к = —1. Следовательно, единственным потенциалом, удовлетворяющим условию (20.2), является кулоновский потенциал U (г) = —а/г.
Итак, для частицы, движущейся в кулоновском поле, наряду с энергией Е и моментом импульса L сохраняется вектор Рунге — Ленца
Д = №—у. (20.6)
Найдем абсолютное значение вектора А. Для этого запишем предварительно вектор [uL] в проекциях на оси цилиндрической системы координат:
[уГ] =[уГ] == Гф£ ег — г Le^.= Гф£ ег — г Le^.ег е ? "кг гф 00 0 L
[уГ] =
[уГ] =
= Гф£ ег — г Le^.
= Гф£ ег — г Le^.
Отсюда видно, что
А = (гфЬ — а) ег — rLe^А = (гфЬ — а) ег — rLe^(20.7)(20.7)
А = (гфЬ — а) ег — rLe^
А = (гфЬ — а) ег — rLe^
(20.7)
(20.7)
и, следовательно,
А? = (rq>L — а)2 + га[? = а2 + L2^ — 2аГлр =
„ . ... 2aLa - . 2L2/u.ua а\
= а2 + 1Лг а2 НI-
цгр \ 2 г /
или, учитывая, что рп2/2 — air = Е;
А2 = а2 /1 + —) = а2е2,(20.8)
\ Ра2)
где е — эксцентриситет кривой второго порядка (19.5). По этой причине вектор Л/е иногда называют вектором эксцентриситета. Направление вектора Л совпадает с направлением прямой, соединяющей центр поля с перицентром траектории частицы (или с большой осью эллипса, если ее движение финитно).
Вектор (20.6) является еще одним первым интегралом движения частицы в кулоновском поле U (г) =—а/г, независимым от Е и L —►—*•
(его независимость от L очевидна из того, что векторы Л и L между собой перпендикулярны).
В главе II подчеркивалось, что сохранение у механической системы той или иной физической величины всегда является следствием ее симметрии, под которой в общем случае принято понимать инвариантность уравнений движения системы относительно некоторой совокупности преобразований координат и времени. Симметрия произвольного центрально-симметрического поля конкретно проявляется в том, что уравнения движения частицы в таком поле инвариантны относительно преобразования сдвига во времени и некоторой совокупности преобразований вращения в обычном трехмерном пространстве. Указанная симметрия поля U (г), приводящая к сохранению энергии Е и момента импульса L частицы, в конечном счете вытекает из свойств пространства и времени, и поэтому ее часто называют геометрической симметрией.
Кулоновское поле U (г) = —а/г, помимо отмеченной выше геометрической симметрии, обладает, как было показано В. А. Фоком, некоторой дополнительной симметрией, проявляющейся в случае финитного движения частицы в инвариантности ее уравнений движения относительно преобразований вращения в некотором четырехмерном евклидовом пространстве |, т), £, х, связанном с ее вектором импульса р'.
g = ^РчРх у. _ ^РоР у£ _ ^РоРг % ^0 Р
" Ро + Р2 ’ Ро + Р8 * Ро+^ ’ Ро + Ра (20‘9) ^ + т)2 + ^2 + х2=1,
где р0 — импульс свободной частицы с энергией, равной |£|. Эту симметрию кулоновского поля, приводящую к сохранению вектора А и замкнутости траекторий финитного движения частицы, называют скрытой или динамической симметрией. Аналогичной скрытой симметрией обладает также поле U (г) = &г2/2.
Использование сохранения вектора А дает красивый метод решения задачи о нахождений траекторий частицы в кулоновском
поле. Умножим с этой целью уравнение (20.7) скалярно на г и обозначим (г, Л) = ф; указанная операция приводит к равенству
Л cos <р = гф£ — а,
откуда после подстановки ф = Ы\)1.гг и сокращения на а находим:
— cos ф =— 1 Н, или — = 1 + е cos ф.
ар.а гг
ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИРАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ
Задача о рассеянии частиц в поле центральной силы представляет собой вторую задачу, связанную с упругими столкновениями частиц (см. § 15). Она допускает как чисто классическое, так и квантовомеханическое решение. Если рассеиваемые частицы имеют масштабы атома, то наиболее полным и строгим является решение, получаемое с помощью квантовой механики. Классическое решение задачи, которое мы получим ниже на основе общей теории движения в центрально-симметрическом поле, в этом случае следует рассматривать лишь как некоторое приближение к точному квантовомеханическому решению.
Постановка задачи о рассеянии частиц. Обычно задача о рассеянии частиц ставится следующим образом. Однородный пучок одинаковых частиц с массами mt и скоростями ию падает с бесконечно большого расстояния на некоторую совокупность частиц- мишеней (с массами тг), покоящихся относительно лабораторной системы отсчета (например, в известных опытах Резерфорда пучок а-частиц падает на листок металлической фольги, содержащей огромное число атомов, находящихся друг от друга на расстояниях, превышающих размеры их ядер (мишеней) примерно на четыре порядка). В результате взаимодействия налетающих частиц с частицами-мишенями происходит рассеяние и тех и других. Зная закон взаимодействия между частицами тг и т2, требуется определить число частиц ти рассеивающихся в единицу времени в элемент телесного угла dQj, и число частиц т2, рассеивающихся за то же время в элемент телесного угла dQ2.
Решение поставленной задачи существенно упрощается, если пучок налетающих частиц тг и совокупность частиц-мишеней достаточно разрежены. В этом случае можно пренебречь взаимодействием между частицами одного и того же сорта, а столкновения между частицами пучка и частицами-мишенями считать однократными. Это позволяет свести сформулированную выше задачу к рассмотрению однократного рассеяния каждой частицы пучка на какой-либо одной частице-мишени, т. е. к задаче об инфинитном отно-
сительном движении в системе двух взаимодействующих частиц тг и т2 или к эквивалентной задаче о движении фиктивной р-ча- стицы в поле U (г) силового центра О, совпадающего с центром масс какой-нибудь одной пары частиц mY и т4 (системы отсчета, связанные с центрами масс различных пар частиц тг и т2, покоятся относительно друг друга, так как указанные центры масс движутся относительно л-системы с одинаковой скоростью, равной miVoo/(mi+/n2))- Систему отсчета, связанную с силовым центром О, условимся называть ц-системой.
Таким образом, задача о рассеянии достаточно разреженного пучка частиц тг на столь же разреженной совокупности частиц- мишеней т2 сводится к задаче о рассеянии пучка фиктивных р-частиц полем неподвижного силового центра О. Поэтому, прежде чем приступить к нахождению угловых распределений для реально рассеивающихся частиц, необходимо предварительно решить такую же задачу для фиктивных р-частиц.
Эффективное сечение рассеяния р-частии. Рассмотрим рассеяние неподвижным силовым центром О однородного пучка р-час- тиц с массами р = m1m2/(m1 + m2) и скоростями о^ (напомним, что скорость фиктивной р-частицы должна совпадать с относительной скоростью иг — и2 реальных частиц /Их и тг, а эта скорость в рассматриваемом случае равна Уоо). Будем предполагать, что потенциальная энергия р-частицы стремится к нулю при г-^-оо; поэтому ее полную энергию можно представить в виде Е = poJ/2.
Поток р-частиц будем характеризовать его интенсивностью (или плотностью) п, т. е. числом частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения пучка, выбранного на достаточно большом удалении от рассеивающего силового центра.
Рассеяние р-частиц силовым центром О происходит по'траек- ториям гиперболического типа (см. рис. 21.1, на котором изображены
Рис. 21.1
траектории двух р-частиц для случая, когда поле U (г) — поле отталкивания). Траектория рассеяния каждой р-частицы характеризуется двумя параметрами: прицельным параметром р и углом рассеяния х. Под прицельным параметром частицы понимают кратчайшее расстояние, на котором частица прошла бы мимо рассеивающего центра, если бы силовое поле отсутствовало. Углом рассеивания р-частицы х называют угол между асимптотами к ее траектории (напомним, что этот угол одновременно является углом рассеяния в q-системе для реальных частиц тх и т2). Между параметрами р и х существует функциональная зависимость р — р (х), причем производная dpidn, как правило, — величина отрицательная. Последнее нетрудно понять, если учесть, что при увеличении параметра р на частицу в любом ее положении относительно рассеивающего центра будет действовать меньшая сила, в результате чего происходит уменьшение угла х. Заметим, что в некоторых случаях функция р (х) может оказаться многозначной.
Процесс рассеяния в центрально-симметрическом поле не может нарушить аксиальную симметрию исходного пучка частиц. Поэтому картина рассеяния р-частиц будет совершенно одинаковой во всех плоскостях, пересекающихся по прямой Ог, проходящей через центр поля параллельно вектору начальной скорости р-частиц. Отсюда понятно, что на угол х, принадлежащий интервалу (х, х + dx), могут рассеяться только те частицы, прицельные параметры р которых заключены в интервале (р, р + dp). Поэтому искомое число р-частиц, рассеивающихся в единицу времени на угол х, заключенный между значениями х и х + dx, будет равно произведению плотности Пучка п на площадь кольца между окружностями с радиусами р и р + dp, т. е.
dN = n2npdp. (21.1)
Однако полученное число dN неудобно для характеристики процесса рассеяния, так как оно зависит от плотности падающего пучка частиц. Поэтому вместо числа dN вводится отношение
da = — = 2«pdp. (21.2) п
5 Классическая механика5 Классическая механика129129Величину da, имеющую размерность площади, называют эффективным дифференциальным сечением рассеяния. Оно определяет относительное число р-частиц, рассеивающихся в единицу времени в заданный, бесконечно узкий интервал угла рассеяния (х, х + dx). Эффективное сечение рассеяния da всецело определяется видом рассеивающего поля U (г) и поэтому является важнейшей характеристикой процесса рассеяния.
5 Классическая механика
5 Классическая механика
129
129
Если связь между параметрами р и х взаимно однозначна, что всегда имеет место, когда угол рассеяния х является монотонно убывающей функцией р, то дифференциальное сечение рассеяния ц-ча- стиц можно представить в виде
da = 2лр(х) ~^| dx(21.3)
или
do = F (х) 2л sin xdx,(21.4)
где
(21.5)(21.5)dxdxF(x) =
(21.5)
(21.5)
dx
dx
sin х dx sin x
Если функция p (x) многозначна, то в правой части равенства (21.3) необходимо взять сумму выражений 2лр |dp/dx | по всем ветвям этой функции.
Физический смысл функции F (х) становится очевидным, если в выражении (21.4) перейти от элемента плоского угла рассеяния dx к элементу телесного угла d£l = 2л sin xdx, под которым виден из центра поля О (см. рис. 21.1) бесконечно малый элемент поверхности сферы единичного радиуса, высекаемый конусами с углами раствора 2х и 2 (х + dx) Формулы (21.3) и (21.4) при этом принимают вид
da=^)|*|dQ(21.
sin х | dx | И
^=FM-(2Иа>
Таким образом, функция F (x) определяет относительное число частиц, рассеиваемых в единицу времени в единичный телесный угол. Кроме того, если учесть, что эффективное сечение рассеяния не зависит от плотности падающего пучка частиц, то величину F (x)d£2 можно сопоставлять с вероятностью рассеяния отдельной частицы в элемент телесного угла dQ, а функцию F (х) — с ее плотностью. Если угол рассеяния х может изменяться от 0 до л, то имеет место следующее равенство:
р2 (х) = 2 J F (х) sin xdx.(21.6)
X
В этом легко убедиться, если учесть, что р (л) = О (при лобовом ударе р = 0 и х = л).
Кроме дифференциального сечения, очень часто рассматриваю-! полное эффективное сечение рассеяния, которое можно получить интегрированием выражения (21.3) или (21.4) по всем допустимым значениям угла х, т. е.
а = 2n^F (х) sin xdx.(21.7)
Полное сечение рассеяния равно отношению общего числа частиц &N, рассеиваемых в единицу времени по всем направлениям, к плотности падающего пучка п. В том случае, когда взаимодействием ц-частицы с рассеивающим центром (или взаимодействием между частицами mi и т2) можно пренебречь, начиная с некоторого расстояния г = гэфф, полное сечение рассеяния оказывается равным а = л(гэфс)3;(21.8)
величину гЭфф называют эффективным радиусом взаимодействия.
Эффективные сечения рассеяния налетающих и первоначально покоящихся частиц. Возвращаясь к основной задаче о рассеянии пучка частиц с массами тт на совокупности частиц-мишеней с массами т2, необходимо отметить, что в общем случае, когда тх~ т^, формула (21.3) определяет эффективные сечения рассеяния этих частиц в зависимости от угла рассеяния х в ^-системе. Для нахождения эффективных сечений рассеяния тех же частиц в лабораторной системе отсчета необходимо в этой формуле выразить х через углы рассеяния ©i и 02 с помощью диаграмм столкновения, рассмотренных в § 15. При этом удобно исходить из формулы (21.4), переписанной в виде
da = 2nF (х) \d cos х |.(21.9)
Запишем сначала дифференциальное сечение рассеяния dax для налетающих частиц тг При этом возможны три различных случая:
тх < т^. Зависимость х (0Х) в этом случае однозначно определяется формулой (15.14), при этом
2л | d cos х (0Х) | =2л | d cos х (0Х) | =1 + f—^cosSQ.2m, n ।■ 2— COS 0! +r:ffl21/ 11 + f—^cosSQ.2m, n ।■ 2— COS 0! +r:ffl21/ 1dQdQ(21 10)(21 10)
2л | d cos х (0Х) | =
2л | d cos х (0Х) | =
1 + f—^cosSQ.
2m, n ।■ 2— COS 0! +r:
ffl21/ 1
1 + f—^cosSQ.
2m, n ।■ 2— COS 0! +r:
ffl21/ 1
dQ
dQ
(21 10)
(21 10)
где dQx = 2л sin 0^0Х. Следовательно, эффективное сечение рассеяния дщ налетающих частиц при тх < т2 имеет вид
da1 = F[x(01)]-da1 = F[x(01)]-2/71, гх ।— 005 0! +2/71, гх ।— 005 0! +'OTiV — cos 20'OTiV — cos 20dQvdQv(21-11)(21-11)
da1 = F[x(01)]-
da1 = F[x(01)]-
2/71, гх ।
— 005 0! +
2/71, гх ।
— 005 0! +
'OTiV — cos 20
'OTiV — cos 20
dQv
dQv
(21-11)
(21-11)
mY > тг. Функция х (0Х) при тх > т^ имеет две ветви: И1 (®i) и хг (®i)» определяемые формулами (15.19), при этом величина 2л |dcosx1(01)| определяется формулой (21.10), а
2л | d cos ха (0Х) | =2л | d cos ха (0Х) | =—L COS 01 + пц—L COS 01 + пц22cos 20tcos 20td£v (21.14)d£v (21.14)
2л | d cos ха (0Х) | =
2л | d cos ха (0Х) | =
—L COS 01 + пц
—L COS 01 + пц
2
2
cos 20t
cos 20t
d£v (21.14)
d£v (21.14)
Чтобы получить сечение рассеяния da^ необходимо просуммировать выражение (21.9) по обеим ветвям функции х (0J. В результате находим:
1 -Н— cos 20
da1 = f[x1(01)]da1 = f[x1(01)]2m,.\тг) '
da1 = f[x1(01)]
da1 = f[x1(01)]
—L cos ©2+r _ .~
m31/ .
+ f[x2(9i)]-+ f[x2(9i)]-2m, г- , L COS ©1 +ma2m, г- , L COS ©1 +macos 20!cos 20!1 +1 +dQp (21.15)dQp (21.15)
+ f[x2(9i)]-
+ f[x2(9i)]-
2m, г- , L COS ©1 +
ma
2m, г- , L COS ©1 +
ma
cos 20!
cos 20!
1 +
1 +
dQp (21.15)
dQp (21.15)
Зависимость x от угла отдачи ©3 при любом соотношении между массами частиц тх и т3 имеет вид х = л — 202, откуда
|d cos х (02)| = 2 sin 202 d©2.
Поэтому дифференциальное сечение рассеяния da2 первоначально покоящихся частиц с массами т^ всегда можно представить в виде
(21.16)(21.16)dcr2 = 4F (л — 20g) |cos 02| dQ2,
(21.16)
(21.16)
где dQ4 = 2л sin 02 d©2.
§ 22. ОПРЕДЕЛЕНИЕФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ р = р (х).ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
Вычисление дифференциального сечения рассеяния сводится, как это видно из формулы (21.3), к нахождению функциональной зависимости прицельного параметра р от угла рассеяния х. Рассмотрим с этой целью траекторию рассеяния какой-либо р-частицы (рис. 22.1). В § 17 указывалось, что траектория частицы, движу-
щейся в центрально-симметрическом поле, симметрична относительно ее апсиды ОР. Если угол между этой прямой и направлением падающего пучка обозначить через ф0, то угол рассеяния х можно представить в виде
х = ±л =р 2ф0,(22.1)
где верхние знаки соответствуют полям отталкивания, а нижние — полям притяжения. Угол ф0 определяется согласно (17.14) интегралом
соL
Стdr
Фо =—(22.2)
J у 2^^Е—U №— —
rm In
Отсюда видно, что угол рассеяния ц-частицы является функцией ее полной энергии Е и момента импульса L, т. е. х = х (Е, L). Поэтому теми же соотношениями (22.1), (22.2) определяется в неявной форме и искомая зависимость р (х). Чтобы эта связь между параметрами р и х стала более очевидной, выразим момент импульса частицы через ее прицельный параметр. С помощью рисунка 22.1 можно показать, что
L = RZ«sin а = Р^Р-(22-3)
Кроме того, как уже указывалось выше,
Е =Нр(22.4)
Подставляя в (22.2) выражения (22.3), (22.4) и учитывая соотношения (22.1), окончательно находим:
где верхний знак перед х соответствует полям отталкивания. Этим соотношением и определяется искомая функциональная зависимость Р (х).
Соотношение (22.5) выполняется при движении р-частицы в слабо сингулярных полях притяжения U (г) = —а]гп (п <2) и любых полях отталкивания U (г) = а/г” (п > 0). И только в этих случаях указанное соотношение приводит к однозначной зависимости р (х). В полях притяжения с п ^ 2, как указывалось в § 18, наблюдается эффект орбитирования, т. е. закручивание траектории р-частицы. Учет этого эффекта приводит к многозначности функции р (х), при этом основную формулу классической теории рассеяния (21.3) необходимо представить в виде
^°о~ ХГ1 п I Ф* (к) I
(22.6)
6
где суммирование производится по всем ветвям многозначной функции р (х). Заметим, наконец, что в отдельных случаях (см. приводимый ниже пример 22.1) функциональную зависимость р (х) удается найти из чисто геометрических соображений, не прибегая к формуле (22.5).
Таким образом, дифференциальное сечение рассеяния пучка р-частиц полем неподвижного силового центра, совпадающего с центром масс какой-нибудь пары частиц тг и /п2, полностью определяется формулами (21.3), (22.5). Если в этих формулах произвести замену р -> т, х -*- &, то они будут определять дифференциальное сечение рассеяния легких частиц массами т и скоростями Ос неподвижной частицей-мишенью массой М > т. Чтобы получить отсюда макроскопическое сечение рассеяния S (т. е. вероятность того, что отдельная частица т. за единицу времени рассеется под любым углом 0 к направлению падающего пучка при прохождении слоя рассеивателя, состоящего из частиц М, толщиной в 1 см), достаточно умножить полное сечение (21.7) на число N частиц-мишеней в 1 см3 рассеивающего вещества, т. е.
2 = 2лМ J F (0) sin 0d0.(22.7)
Наряду с прямой задачей расчета сечений рассеяния частиц тг и тг по известному закону их взаимодействия U (г) нередко возникает необходимость решения обратной задачи рассеяния, т. е. задачи о восстановлении вида рассеивающего потенциала U (г) по экспериментальным данным об упругом рассеянии частиц. Рассмотрим простейшую задачу о восстановлении вида потенциала взаимодействия сталкивающихся частиц (например, атомов или ионов) по известной из опыта зависимости угла рассеяния х от энергии Е при заданном L, предполагая, что искомый потенциал поля отталкивания U (г) является монотонной функцией г, обращающейся в нуль при г-* оо (обратная задача рассеяния Хойта).
Рис. 22.2Рис. 22.2Заметим, что в экспериментах по рассеянию частиц, проводимых при фиксированном значении L, непосредственно определяется зависимость от х и £ дифференциального сечения или функция F (х, Е)= = da/dQ. При этом зависимость х(£) можно найти по точкам пересечения некоторого семейства кривых L = L (х, £) на плоскости (х, L) с прямой L = const; указанное семейство кривых определяется уравнением
Рис. 22.2
Рис. 22.2
L2 = 4ц£ F (х, £) sin xdx,
вытекающим из (21.6).
Уравнением, определяющим искомый потенциал U (г) по заданной зависимости х (£), является соотношение (22.2), которое удобно переписать в виде
2L d —1?
я_х(£)=_ — _3lL , V(r)=(/(r)+^. (22.8)
VE-V(r)
Так же, как и искомая функция U (г), эффективный потенциал V (г) является монотонной функцией г. Поэтому существует однозначная функция г (V), обратная V (г) (см. рис. 22.2). Переходя в (22.8) к новой независимой переменной V, получаем:
(22.9)
Равенство (22.9) представляет собой интегральное уравнение Абеля. Его обращение ничем не отличается от решения ранее рассмотренного уравнения (13.7). Поэтому мы приведем лишь окончательный результат:
1 К2ц С [л — x(E)]dE1 К2ц С [л — x(E)]dE(22.10)(22.10)
1 К2ц С [л — x(E)]dE
1 К2ц С [л — x(E)]dE
(22.10)
(22.10)
Таким образом, зная х (£), можно найти г как функцию У, а затем определить и искомую функцию как разность У (г) — — £2/2рг2. Недостатком рассмотренного метода восстановления рассеивающего потенциала является трудность осуществления экспериментов по рассеянию частиц при L = const. Значительно проще получить экспериментальные данные по зависимости эффективного сечения от угла рассеяния х при заданной энергии Е.
(22.12)(22.12)
(22.12)
(22.12)
Решение обратной задачи рассеяния для этого случая было получено О. Б. Фирсовым.
Пример 22.1. Исследовать рассеяние пучка частиц массами mi абсолютно твердыми шариками радиусом а и массой тг.
Сформулированная задача в конечном счете сводится к рассмотрению в ^-системе упругого рассеяния соответствующих р-частиц полем неподвижного силового центра с потенциалом
и при г < а;
и У’ |0 при г > а. (22.11)
Из анализа соответствующего эффективного потенциала очевидно, что рассеяние р-частицы в поле (22.11) может произойти только в том случае, если ее полная энергия
„£2 Ер»
Е "> -—- = — или р < а.
2ра2 а2
При р > а наблюдается пролет р-частицы мимо силового центра, так как ее движение вне сферы радиуса а свободно. Отсюда можно заранее утверждать, что полное эффективное сечение рассеяния (как фиктивных р-частиц в ^-системе, так и реально сталкивающихся частиц mi и т2 в л-системе) будет равно площади геометрического сечения рассеивающей сферы, т. е.
" = "Ртах = ^
Эту формулу, естественно, можно получить, интегрируя выражение (21.2). по всем значениям прицельного параметра рот нуля до Ртах.
Траектория р-частицы при р < а складывается из двух прямых, расположенных симметрично относительно линии ОР (рис. 22.3). Из этого рисунка видно, что
л — хи
р = « sin <р0 = a sin—— = с cos —.(22.13)
Подстановка выражения (22.13) в формулу (21.3) дает: ла2 . а»
da = — sin х dx= — dQ,(22.14)
откуда видно, что
а2
F (%)=-.(22.15)
Таким образом, рассеяние частиц mi на абсолютно твердых шариках в ц-си- стеме изотропно, однако эта изотропия нарушается при переходе к л-системе отсчета.
Действительно, подстановка функции (22.15) в ранее полученные формулы (21.11), (21.13), (21.15) и (21.16) приводит к следующим выражениям для эффективных сечений налетающих частиц mi и первоначально покоящихся шариков тг в л-системе:
а) для налетающих частиц mtа) для налетающих частиц mt(22.17)
а) для налетающих частиц mt
а) для налетающих частиц mt
<1пг = а2 | cos 0L | dQj при mY = тг\<1пг = а2 | cos 0L | dQj при mY = тг\(22.18)(22.18)для первоначально покоящихся твердых шариков
<1пг = а2 | cos 0L | dQj при mY = тг\
<1пг = а2 | cos 0L | dQj при mY = тг\
(22.18)
(22.18)
da2 = а2 | cos 02|dQ2 при любом соотношении масс/ni и m2.(22.19)
Отсюда видно, что в угловых распределениях рассеянных частиц в л-систе- ме наблюдается анизотропия.
Любопытно, однако, что интегрирование по углам любого из выражений (22.16)—(22.19) приводит к одному и тому же значению (22.12) полного сечения рассеяния (для доказательства этого факта следует воспользоваться представлением эффективного дифференциального сечения в форме (21.9)).
в =в =^тгу^(™1+ m2)2^тгу^(™1+ m2)2Sin ~ = ЕтахSin ~ = Етахsm2 —, 2sm2 —, 2(22,20)(22,20)Часто наряду с эффективными сечениями интересно рассмотреть распределения рассеянных частиц по энергии е, передаваемой в процессе столкновения налетающими частицами первоначально покоящимся частицам. Согласно (15.9) энергия а определяется выражением
в =
в =
^тгу^
(™1+ m2)2
^тгу^
(™1+ m2)2
Sin ~ = Етах
Sin ~ = Етах
sm2 —, 2
sm2 —, 2
(22,20)
(22,20)
откудаоткуда..2
откуда
откуда
sin xdx =de.етах
Подставляя это выражение в формулу (22.14), находим!
dadaла2етахла2етах(22.21)(22.21)
da
da
ла2
етах
ла2
етах
(22.21)
(22.21)
Таким образом, распределение частиц, рассеиваемых полем (22.11), по значениям энергии в однородно во всем интервале ее изменения от 0 до етах, Рассмотренный пример подтверждает вывод о том, что полное сечение рассеяния всегда равно лД2, если эффективный радиус действия сил равен R. Напротив, для потенциалов, которые не исчезают на конечном расстоянии (т. е. хотя и слабо, но отклоняют частицы с любым прицельным параметром р), полное классическое сечение рассеяния всегда бесконечно.
§ 23. ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА
Рассмотрим еще один пример применения классической теории рассеяния к исследованию рассеяния бесспиновых заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона
U (г) = ^.Г
Допустим, что однородный пучок частиц массами ть зарядами Zxe и скоростями о» падает на некоторую совокупность первоначально покоящихся частиц-мишеней массами /п2 и зарядами Z2e (при этом постоянная а в законе взаимодействия (23.1) равна Z^.
Вычислим сначала дифференциальное сечение кулоновского рассеяния в ц-еистеме. Необходимую для этого зависимость р (х) можно получить, обращаясь к общей формуле (22.5):
Переходя в формуле (23.2) к новой независимой переменной х = 1/г и выполняя элементарное интегрирование (см. § 19), получим:
Чтобы получить отсюда зависимость р (х), сравним выражение (23.3) с известным тригонометрическим равенством 1 + ctg2 ф = = cosec2 ф. В результате находим:
(23.4)
Дифференцируя выражение (23.4) по углу х и подставляя полученный результат в формулу (21.3) или (21.4), искомое дифференциальное сечение кулоновского рассеяния в ^-системе можно представить в виде
х
d (1 — cos х)(1 — cos х)2d (1 — cos х)(1 — cos х)2(23.5)(23.5)/ a \sc0s7/ а V
d (1 — cos х)(1 — cos х)2
d (1 — cos х)(1 — cos х)2
(23.5)
(23.5)
da = л [] dx = 2л ।]
\ ^ / sin»-\ ^~ /
2
или
da =da =dQ• А И sm4 —dQ• А И sm4 —
da =
da =
dQ
• А И sm4 —
dQ
• А И sm4 —
Выражение (23.5) или (23.6) называют формулой Резерфорда. Из этой формулы видно, что дифференциальное сечение кулоновского рассеяния не зависит от того, притягиваются заряженные частицы друг другом или отталкиваются, несмотря на то что траектории взаимодействующих частиц в этих двух случаях различны.
Характерной особенностью кулоновского рассеяния является очень резкое возрастание дифференциального сечения для рассеяния частиц на малые углы: при х -> О обращаются в бесконечность как само дифференциальное сечение dojdCl, так и е^о первая производная. Это приводит к тому, что доля частиц, рассеивающихся назад (или на большие углы), оказывается ничтожно малой, а полное сечение рассеяния — бесконечным, в чем нетрудно убедиться непосредственно. Действительно, интегрируя выражение (23.5) по всем значениям х от нуля до л, находим:
(2 \ 2
(23.7)(23.7)Н^со ) а = С d(l —cosx) _1 I
(23.7)
(23.7)
а / J (1 — cosx)2 cosx—1|о0
Причиной такого поведения эффективных сечений (23.5) и (23.7), как указывалось выше, является дальнодействующий характер кулоновского поля (23.1).
Перейдем теперь к л-системе, ограничившись рассмотрением наиболее интересных случаев: тг <_ т2 и тх = та.
Чтобы получить дифференциальное сечение рассеяния налетающих частиц mv в л-системе для случая mY < т2, достаточно в формуле (23.5) или (23.6) произвести замену р -> тх, х -> 0Х. В результате получаем:
do, = I 1—
при этом эффективное сечение doa = 0 (частицы-мишени продолжают оставаться в покое и после столкновений).
Формула (23.8) была впервые получена Резерфордом в 1911 г. На основе сопоставления этой формулы с экспериментальными данными по рассеянию а-частиц Резерфорд, как известно, пришел к открытию атомного ядра. Заметим, что немаловажную роль при этом сыграло следующее обстоятельство: классическое дифференциальное сечение кулоновского рассеяния, как выяснилось позже, в точности совпадает с квантовомеханическим сечением, вычисленным без учета релятивистских эффектов. Открытие атомного ядра, возможно, задержалось бы на многие годы, если бы не это поразительное совпадение, обеспечившее правильность классического доказательства его существования.
Если массы налетающих частиц и частиц-мишеней одинаковы (т. е. тх = та = т; ц = /п/2), то связь угла х с углом рассеяния
®х налетающих и углом отдачи 02 первоначально покоящихся частиц определяется соотношениями: х = 20х и х = л — 202. Подстановка этих соотношений в формулу (23.5) приводит к следующим выражениям эффективных сечений для налетающих и первоначально покоящихся частиц:
(23.9)
(23.10)(23.10)2а V dQa
(23.10)
(23.10)
^ ) cos8 02
Если у обеих частиц одинаковы не только массы, но и другие характеристики, т. е. частицы тождественны между собой (например, при рассеянии а-частиц в парах гелия), то после рассеяния не имеет смысла различать налетающие и первоначально покоящиеся частицы. Эффективное дифференциальное сечение рассеяния, общее для всех частиц, очевидно, можно получить, складывая do1 и da2 и заменяя углы 0Х и 02 единым углом 0. Получаемое при этом эффективное сечение кулоновского рассеяния тождественных частиц оказывается равным
2а у ™4 /2а у ™4 /—р —1— 1 cos 0dQ.—р —1— 1 cos 0dQ.sin4 0 cos4 0]sin4 0 cos4 0](23.11)(23.11)
2а у ™4 /
2а у ™4 /
—р —1— 1 cos 0dQ.
—р —1— 1 cos 0dQ.
sin4 0 cos4 0]
sin4 0 cos4 0]
(23.11)
(23.11)
Однако при сопоставлении этой формулы с экспериментальными данными (например, по рассеянию а-частиц гелием) сразу же обнаруживается ее несостоятельность. Как показывает квантовая механика, дифференциальное сечение такого процесса в действительности описывается формулой, существенно отличающейся от (23.11), а именно
2а у.2а у.2 cos In tg2 02 cos In tg2 0sin2 9 cos2 0sin2 9 cos2 0COS 0d&.COS 0d&.(23.12)(23.12)
2а у.
2а у.
2 cos In tg2 0
2 cos In tg2 0
sin2 9 cos2 0
sin2 9 cos2 0
COS 0d&.
COS 0d&.
(23.12)
(23.12)
Появление в квантовомеханической формуле (23.12) дополнительного интерференционного члена обусловлено полной неразличимостью тождественных частиц в квантовой механике (в классической механике одинаковые частицы можно различать по траекториям), приводящей к специфическому квантовому эффекту — так называемому обменному взаимодействию тождественных частиц. Заметим, что интерференция, описываемая дополнительным членом в формуле (23.12), приводит к существенному увеличению дифференциального сечения рассеяния (например, на угол 45° — почти в два раза).
§ 24. СЕЧЕНИЕ ЗАХВАТА ЧАСТИЦСИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
Как отмечалось в § 18, в сильно сингулярном поле притяжения:
U^ =-^п (а > 0, п > 2)U^ =-^п (а > 0, п > 2)(24.1)(24.1)
U^ =-^п (а > 0, п > 2)
U^ =-^п (а > 0, п > 2)
(24.1)
(24.1)
возможен захват частиц силовым центром с бесконечно большого расстояния. Так же как и рассеяние частиц, указанный процесс можно характеризовать эффективным сечением захвата.
Полное сечение захвата аэахв определяется аналогично полному сечению рассеяния, как отношение числа частиц данного пучка, захваченных силовым центром в единицу времени, к плотности этого пучка на достаточно большом расстоянии от силового центра. Если на силовой центр падают только те частицы пучка, прицельные параметры которых удовлетворяют неравенству
ООо < р , г г max’о < р , г г max’(24.2)(24.2)
О
О
о < р , г г max’
о < р , г г max’
(24.2)
(24.2)
(24.3)(24.3)то полное сечение захвата частиц силовым центром равно:
(24.3)
(24.3)
^захв — лРатах-
Вычислим полное сечение захвата для однородного пучка частиц массами т и скоростями о^, падающих на центр поля (24.1). Эффективный потенциал частицы пучка в таком поле
(24.4) эфф \ / гп ' ^тг22 г»г"
1
имеет вид, изображенный на рисунке 18.5. В точке го = I —^—2 )
указанный потенциал имеет максимум, равный:
2
,п х и ту2«р2 /ту«Р2 Г"
(иэфф)тах—2 I
mv^p» у2 2 ^п ^ а / тиюР2 \па )^\ па )
Центром поля (24.1) могутЦентром поля (24.1) могутзахватываться с бесконечно большо
Центром поля (24.1) могут
Центром поля (24.1) могут
го расстояния только те частицы, у которых полная энергия Е ^ > По.
Максимальное значение прицельного параметра ртах, при котором еще возможен захват частиц, можно найти, решая уравне
ние -у = Uo. Отсюда находим:
2—п1PLx = «(»-2)2—п1PLx = «(»-2)(24.6)(24.6)
2—п1
PLx = «(»-2)
2—п1
PLx = «(»-2)
(24.6)
(24.6)
и, следовательно, искомое сечение захвата можно окончательно представить в виде
2-nl
(24.7)(24.7)ов = ла2/г (я — 2) " , а = f У
(24.7)
(24.7)
ЗаЛВ'**I9 I
к ти^
При п = 2 правая часть полученного выражения обращается в неопределенность вида 0°. Однако, вместо того чтобы пытаться раскрыть эту неопределенность, проще решить задачу заново.
Как указывалось в том же § 18, падение частиц на центр поля U (г) = —а/г2 возможно только в том случае, если удовлетворяется условие 2/na > L2 или 2а > /пу^р2, т. е. центром поля могут быть захвачены только те частицы, прицельное расстояние которых не превышает ртах = "^а/то^. Поэтому сечение захвата для поля (24.1) с п = 2 оказывается равным:
а =захвоа =захво2ла
а =захво
а =захво
(24.8)
В слабо сингулярных полях притяжения (24.1) с п < 2, создаваемых точечными источниками, захват частиц с р =/= 0 невозможен. Однако положение коренным образом меняется, если источник поля — какое-нибудь протяженное тело.
Рассмотрим в качестве примера захват Землей метеоритных частиц (рис. 24.1). Условием падения в этом случае является требование, чтобы расстояние от центра поля до перигея гиперболиче-
ской или параболической траектории частицы было меньше радиуса Земли. Максимально допустимое значение р, при котором еще возможен захват частиц, определяется условием rmln = R, что сводится к решению уравнения
t/эфф (/?) = £
или
2/?22
Определяя отсюда р£ах, находим:
(24.9)
где и2 = 1^2^/? —вторая космическая скорость. При ц» > у2 полученное сечение приближается к площади геометрического сечения Земли.
ГЛАВАГЛАВАОСНОВЫАНАЛИТИЧЕСКОЙМЕХАНИКИ
ГЛАВА
ГЛАВА
В данной главе излагаются основные положения аналитической механики Лагранжа и Гамильтона, являющейся венцом развития классической механики Ньютона в XVIII—XIX столетиях. Начало развитию аналитической механики было положено исследованиями Даламбера (1743 г.) и Лагранжа (1788 г) по разработке общих аналитических приемов решения динамических задач, пригодных как для свободных, так и для связанных механических систем. Дальнейшее развитие идей Лагранжа и Даламбера в XIX столетии Гамильтоном, Якоби, Остроградским и многими другими выдающимися учеными привело к установлению наиболее общего принципа классической механики — интегрального вариационного принципа Гамильтона — Остроградского.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИНЕСВОБОДНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ
До сих пор мы рассматривали главным образом движение свободных механических систем, т. е. таких систем, материальные точки которых под действием приложенных к ним сил могут зани« мать любые положения в пространстве. Как указывалось в § 4, для таких систем в любой момент времени можно произвольным образом задать значения радиусов-векторов rt и скоростей иг всех частиц, входящих в данную систему. Очевидно, что к числу свободных механических систем можно отнести только такие системы, взаимодействие которых с внешними телами осуществляется на расстоянии посредством различных полей.
Однако наряду с указанным способом осуществления механического взаимодействия тел существует другой тип взаимодействия, приводящий к ограничению свободы перемещения механической системы в пространстве. Имеется в виду случай, когда взаимодействие рассматриваемого тела (или системы тел) с другими телами
осуществляется путем непосредственного соприкосновения. Возникающие при этом силы взаимодействия могут быть подробно охарактеризованы только в механике деформируемых твердых тел (или теории упругости). В общей механике обычно не вникают в физическую природу этих сил и ограничиваются чисто описательной характеристикой, учитывающей основной эффект их действия — ограничение свободы движения механической системы. Этот эффект принято характеризовать заданием некоторых дополнительных условий геометрического или кинематического характера, накладываемых на радиусы-векторы и скорости материальных точек, входящих в рассматриваемую механическую систему. В этом смысле говорят, что система несвободна, на нее наложены связи.
Итак, под несвободной (или связанной) механической системой будем понимать систему материальных точек с наложенными на нее дополнительными условиями, связывающими в общем случае радиусы-векторы и скорости ее точек. Эти дополнительные условия, ограничивающие свободу перемещения системы, называют связями. Аналитически связи выражаются уравнениями, а конкретно реализуются в виде поверхностей различных тел, твердых стержней, нерастяжимых нитей и т. д.
Наложение на механическую систему любых связей вместе с ограничением свободы ее перемещения приводит к видоизменению траекторий движения всех ее точек. Эти изменения в характере движения связанной системы по сравнению с ее свободным движением под действием тех же заданных сил естественно объяснить силовым воздействием связей.
Силы, заменяющие эффект действия связей на механическую систему, называют силами реакции связей. Таким образом, на каждую точку несвободной механической системы действуют два рода сил: заданные внешние и внутренние силы Ft, которые мы будем в дальнейшем называть активными, и силы реакции связей Rt (или пассивные силы, поскольку эти силы исчезают, если связи устраняются). В отличие от активных сил силы реакции связей непосредственно не задают, а вместо них дают уравнения связей.
Рассмотрим в качестве примера простейшую связанную систему — материальную точку массы т, движущуюся в заданном силовом поле F по заданной поверхности (например, по поверхности сферы радиуса а). Дифференциальные уравнения движения такой системы можно представить в виде
тг = Д+ R илитг = Д+ R или(25.1)(25.1)mx = Fx + Rx, ту = f, + R„, . mz = F, + Ry
тг = Д+ R или
тг = Д+ R или
(25.1)
(25.1)
В этих уравнениях задана только активная сила F, а вместо силы реакции R известно уравнение связи
(25.2)(25.2)/ (я. У, z) =; X1 + Уа + Z2 — а2 = 0.
(25.2)
(25.2)
Однако этих данных еще недостаточно для решения задачи о движении материальной точки. Уравнение связи (25.2) определяет лишь общую форму механизма ограничения движения точки, но не указывает конкретного способа его действия. Действительно, система четырех скалярных уравнений (25.1), (25.2) содержит шесть неизвестных величин: х (0, у (О» z (О и R^ (f), Ry (t), Rz (t). Очевидно, что для отыскания решения задачи необходимы некоторые дополнительные сведения о конкретной реализации связи (25.2) и характере ее силового воздействия на точку т.
Конкретизируем задачу: допустим, что материальная точка т представляет собой небольшое тело, подвешенное на нерастяжимой жесткой нити длиной а и совершающее малые колебания в поле притяжения Земли, т. е. F = mg (сферический математический маятник). В этом случае естественным является предположение о том, что сила реакции связи R (натяжение нити подвеса) в любой момент времени направлена вдоль нити, т. е. R = —V, где X (0 — неизвестная скалярная функция. Таким образом, сформулированная задача сводится к решению системы четырех скалярных уравнений
mr = nig — Хг; х2 + у2 + z2 = а2(25.3)
с четырьмя неизвестными функциями х (t), у (t), z (<) и к (<). С помощью этих уравнений можно найти закон движения точки по сфере и необходимое для этого натяжение нити R. Заметим, что начальные условия в этой задаче не могут быть произвольными. Они должны быть заданы так, чтобы и в начальный момент удовлетворялось уравнение связи (25.2), т. е. точка находилась на сфере, а вектор ее скорости лежал в плоскости, касательной к сфере. Действительно, дифференцируя уравнение связи по времени, находим:
хх + уу + zz = г ■ и = 0.(25.4)
Чтобы лучше разбираться в механизме силового воздействия, оказываемого на механическую систему различными связями, последние необходимо классифицировать по различным признакам, отражающим какое-нибудь определенное их свойство: какие ограничения накладывают связи на скорости материальных точек системы, изменяются или не изменяются связи со временем, приводят ли налагаемые на систему связи к уменьшению числа ее степеней свободы, каков общий характер сил реакции? В связи с этим различают следующие типы связей: голономные и неголономные, стационарные и нестационарные, удерживающие и неудерживающие, идеальные и реальные.
Голономными (или геометрическими) связями называют такие связи, уравнения которых приводятся к виду
/(д,г2, ...,7„,/) = 0,(25.5)
где / — функция только координат точек и времени. Тем не менее голономная связь накладывает определенные ограничения и на скорости точек системы. Действительно, дифференцируя уравнение (25.5) по времени, получаем:
=У^Л + 7 =0.(25.6)
d9ч 91
Из уравнения(25.6),котороеможно назватьдифференциальным
уравнением голономной связи (25.5), видно, что ограничения, накладываемые такой связью на скорости точек системы, весьма своеобразны. Во-первых, ограничения накладываются лишь на составляющие скоростей, параллельные векторам dfldrt. Что же касается других составляющих и абсолютных значений скоростей vb то на них никаких ограничений не накладывается. Другая особенность голономной связи состоит в том, что ее дифференциальное уравнение (25.6) всегда можно привести к виду
df (7Ъ72^,0 = 0
и проинтегрировать. Поэтому голономные связи называют также интегрируемыми. Примером системы с голономной связью может служить рассмотренный выше сферический маятник.
Неголономными, неинтегрируемыми или кинематическими связями называют такие связи, уравнения которых не сводятся к виду (25.5). Наиболее изучены линейные неголономные связи, дифференциальные уравнения которых имеют вид
п
2 (АА + 5,yz + ОД + D = 0,(25.7)
i=i
где Ab Bb Ct и D — функции координат точек и времени. Примером системы с неголономной связью может служить шар, катящийся по шероховатой плоской поверхности без скольжения. В физических приложениях неголономные связи встречаются редко и поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только голономные механические системы.
Связь называют стационарной (или недеформируемой), если в ее уравнение явно не входит время t; в противном случае связь называется нестационарной (или деформируемой).
Удерживающими связями называют связи, задаваемые равенствами типа (25.5) или (25.7), а неудерживающие связи определяются неравенствами. Примером системы с неудерживающей связью может служить материальная точка, движущаяся в сферической полости. Связь в этом примере задается неравенством х2 + у2 + + г2 < а2.
Наложение на механическую систему удерживающих связей обязательно приводит к уменьшению числа ее степеней свободы, т. е. числа независимых параметров, однозначно определяющих
положение системы в пространстве. Положение в пространстве свободной механической системы, состоящей из п материальных точек, как известно, однозначно определяется заданием Зп независимых координат ее точек. Однако если на эту систему наложено & удерживающих связей, то число независимых координат системы будет равно s = Зп — к. Наложение на механическую систему неудерживающих связей не влечет за собой уменьшения числа ее степеней свободы.
Введение понятий об идеальных и реальных связях в случае произвольной несвободной системы требует знакомства с некоторыми геометрическими свойствами связей, которое мы отложим до следующего параграфа, а пока сформулируем эти понятия для несвободной материальной точки, т. е. точки, движущейся по заданной поверхности или заданной кривой. Связь в этом случае называют идеальной, если сила реакции направлена по нормали к поверхности или кривой. Если сила реакции связи направлена под углом к нормали поверхности или кривой, то связь называется реальной, а поверхность или кривая — шероховатыми. Проекцию силы реакции связи на касательную к траектории движущейся материальной точки называют силой трения скольжения (рис. 25.1).
Общая динамическая задача о движении несвободной механической системы с голономными связями состоит в отыскании по известным активным силам Ft и заданным уравнениям связей закона ее движения и сил реакции связей Rt. Эта задача сводится к совместному решению системы дифференциальных уравнений движения и уравнений связей
(25.8)(25.8)m^t = Ft+ Rt (i = 1, 2, .... n),
(25.8)
(25.8)
fa Ifi> Гц •••»•*„, f) = 0 (CL = 1, 2, ... , K)
с начальными условиями, удовлетворяющими уравнениям связей. Здесь п — число материальных точек, входящих в систему, к — число наложенных связей (причем наиболее интересен случай, —►■—>“
когда к < Зп), а под Ft и Rt следует понимать геометрические суммы сил
К - Ff + 2' F„. R, - 2 R„ (25.9) /—1а=1
где R(a — сила реакции связи с номером а на i-ю точку.
Система Зп + к скалярных уравнений (25.8) содержит 6п неизвестных величин: Зп координат точек и Зп проекций сил реакции связей. Поэтому в общем случае сформулированная задача не яв-
ляется определенной. Как будет показано ниже, основная задача динамики оказывается полностью определенной для голономных систем с идеальными связями. При этом возможны два пути решения задачи:
Система (25.8) дополняется Зп— к независимыми соотношениями между координатами точек и реакциями связей, вытекающими из условий идеальности последних. В итоге получают систему уравнений, называемых уравнениями Лагранжа первого рода, из которых одновременно определяются и координаты точек, и силы реакции связей.
Система (25.8) заменяется системой Зп — к дифференциальных уравнений в независимых (или обобщенных) координатах, не содержащих явно сил реакций Rt и называемых уравнениями Лагранжа второго рода (или просто уравнениями Лагранжа). Эти уравнения позволяют сначала найти закон движения системы, а затем с помощью уравнений (25.8) определить и неизвестные силы реакций.
В физических приложениях более широкое применение получил второй способ решения динамических задач, связанных с движением голономных систем. Поэтому своей ближайшей целью мы поставим получение уравнений Лагранжа второго рода. С этой целью в § 27 мы предварительно рассмотрим аналогичную проблему отыскания необходимых и достаточных условий равновесия голономной системы.
ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ
Исследование общих свойств голономных связей тесно связано с понятиями о возможных действительных и виртуальных перемещениях механической системы.
Всякая связь, действующая на механическую систему, накладывает определенные ограничения на бесконечно малые перемещения ее точек, происходящие за бесконечно малый промежуток времени А/. Действительно, если на систему наложено к удерживающих голономных связей (25.5), то скорости уг ее точек должны удовлетворять к условиям вида
=У ^~+^-=0 (а = 1, 2, 3к\ (26.1)
Поэтому бесконечно малые перемещения точек системы Arz = vtM оказываются связанными между собой соотношениями
V—• Дг,+ ^.Д/ = 0 («-1, 2, 3,, 6).(26.2)
15^81
Бесконечно малые перемещения Аг, точек системы, совместимые с наложенными на нее связями, т. е. удовлетворяющие равенствам (26.2), называются возможными перемещениями системы. Действительными перемещениями точек называют только те из возможных перемещений, которые наряду с равенствами (26.2) удовлетворяют уравнениям движения (25.8). Бесконечно малые действительны^ перемещения точек, происходящие под действием активных сил и сил реакций связей, условимся обозначать через dr^
Поясним сказанное примером. Если материальная точка движется по какой-нибудь заданной поверхности, то ее возможные перемещения в любой момент времени лежат в плоскости, касательной к данной поверхности, а одно из них, направленное по касательной к траектории точки, является действительным.
Рассмотрим теперь два бесконечно близких возможных перемещения какой-нибудь точки: Аг, и Аг,. Разность этих перемещений называют виртуальным перемещением материальной точки. Бесконечно малое виртуальное перемещение точки принято обозначать через 6г,, т. е.
6г, = Аг^ — А г,. (26.3)
Из соотношений (26.2) очевидно, что виртуальные перемещения системы удовлетворяют уравнениям:
V . 6^ = о (а = 1, 2, 3, ... , к). (26.4) 151 9ri
Соотношения (26.4) совпадают с уравнениями, которым удовлетворяют возможные перемещения системы Аг,, если на нее наложены стационарные связи. Поэтому виртуальные перемещения часто определяют как бесконечно малые перемещения точек системы, потенциально возможные для данного фиксированного момента времени t = const; в указанный момент времени связи как бы «застывают» и прекращают изменяться. Виртуальные перемещения не обусловлены действием каких-либо сил и поэтому не обладают длительностью. Таким образом, понятие о виртуальных перемещениях системы является чисто геометрическим понятием, характеризующим структуру наложенных на систему связей. Для систем с стационарными связями понятия о возможных и виртуальных перемещениях совпадают.
В математике величины, подобные (26.3), называют вариациями функций, так что 6г, есть вариация радиуса-вектора rt (/) соответствующей точки системы, причем
бг, = i6xt + /бу, + kbzt. (26.5)
Под вариацией функции х (f) понимают такое ее малое приращение 6х, которое не связано с изменением аргумента / (так как t = const), а обусловлено варьированием самой функции, т. е. переходом от функции х (/) к близкой к ней функции х' (Q. На рисунке 26.1 показано различие между дифференциалом dx и вариацией функции 6х.
В результате варьирования координат точек системы получают приращения любые функции вида /а (Гц тг, .’.., г„, 0- Поэтому левую часть каждого из соотношений (26.4) следует рассматривать как правило вычисления вариации соответствующей функции /а, т. е.
— 6г, = 6fe. (26.6)
Работу активных сил ¥t и сил реакций связей Rb приложенных к 4-й точке, на ее виртуальном перемещении бг2 называют виртуальной работой. Она складывается из виртуальной работы 6АР активных сил и виртуальной работы 6АЛ сил реакций связей:
6AF = 2 ^' ^ 6Ar = 2 ^ ’ ^-<26'7>
Понятия о виртуальных перемещениях системы и виртуальной работе сил реакций связей дают возможность определить важный класс голономных связей. А именно будем называть идеальными и удерживающими связями такие связи, для которых сумма виртуальных работ всех сил реакций равна нулю на любом виртуальном перемещении системы, т. е.
6AR = 2 Яг б7< = 0.(26.8)
4=1
Это утверждение иногда называют постулатом идеальных связей, однако в действительности оно является их определением.
Физические причины, приводящие к идеальности связей, могут быть самыми разными, в чем легко убедиться на примерах.
Рассмотрим, например, движение материальной точки по абсолютно гладкой поверхности или кривой. Виртуальные перемещения точки в обоих случаях перпендикулярны к силам реакции связей, и, следовательно, виртуальная работа этих сил обращается в нуль. Причиной, приводящей к идеальности связей в обоих случаях,
является отсутствие тангенциальных составляющих у сил реакций, т. е. сил трения.
Второй пример. Твердое тело вращается относительно неподвижной точки. Виртуальным перемещением в этом случае является вращение твердого тела относительно мгновенной оси, проходящей через закрепленную точку. Однако виртуальная работа сил реакции связи будет равна нулю, так как точка приложения этих сил при таком виртуальном перемещении остается неподвижной.
В качестве еще одного примера рассмотрим связь между двумя произвольными точками — 1 и 2 абсолютно твердого тела. Силы взаимодействия между этими точками подчиняются третьему закону Ньютона. Поэтому виртуальную работу сил взаимодействия при любом виртуальном перемещении точек можно представить в виде
6Л = Ft • 6гх + F2 • 6га = Ft • (6гг — 6r2) = Fx • 6 (rt — 4, откуда, учитывая, что гг — r4 = а = const и 6а — 0, находим: 6Л == 0. Таким образом, абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему с бесконечно большим числом идеальных внутренних связей.
Условие идеальности связей (26.8) позволяет получить замкнутую систему уравнений, полностью определяющих движение голо- номной механической системы с идеальными связями. Для этого необходимо исключить вариации к зависимых координат точек из соотношений (26.4). С этой целью умножим каждое из соотношений (26.4) на неопределенный множитель — Ха и полученные равенства сложим с условием идеальности связей (26.8), В результате получим:
У й - У Ч . б7, = О, (26.9)
где к вариаций координат точек являются зависимыми, а остальные Зп — й вариаций — независимыми.
Подберем неопределенные множители Ха так, чтобы коэффициенты при к вариациях координат обратились в нуль (можно показать, что такая процедура всегда выполнима). После этого в равенстве (26.9) сохраняется Зп — к слагаемых, содержащих вариации только независимых координат, и так как указанные вариации можно задавать произвольно, то коэффициенты при них также должны обращаться в нуль. В результате мы приходим к выводу о том, что силы реакций идеальных связей представляют собой ли-’ нейные суперпозиции градиентов от функций /«, определяющих связи, т. е.
(»= 1. 2, - . ”)•(26.10)
a-»l 8ri
Подстановка выражений (26.10) в (25.8) приводит к системе урав* нений Лагранжа первого рода:
m^ =^t + V (/ = 1,2, ... , n);
•(26J1)
.fa^^7„, 0 = 0 (a = 1, 2, ... , k).
Она представляет собой систему Зи + к скалярных уравнений относительно Зи + к неизвестных: Зи координат точек механической системы и к неопределенных множителей Лагранжа Хц Х2, .., Хд.
ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙИ УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ
ГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Принцип виртуальных перемещений, сформулированный Ив. Бернулли в 1717 г., позволяет находить необходимые и достаточные условия равновесия для любой голономной механической системы с идеальными и стационарными связями. Этот принцип утверждает: для равновесия любой механической системы с голоном- ными, идеальными, стационарными и удерживающими связями необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ всех активных сил, действующих на систему, обращалась в нуль при любом ее виртуальном перемещении, т. е. система будет находиться в состоянии равновесия, если
^^•^ = 0.(27.1)
Докажем вначале, что условие (27.1) необходимо. Допустим, что рассматриваемая механическая система, состоящая из п материальных точек, находится в состоянии равновесия. Это означает, что каждая точка Mt этой системы также будет покоиться, а это возможно только в том случае, если равнодействующая Ft всех активных сил, приложенных к этой точке, уравновешивается равнодействующей Rt всех сил реакций связей, ограничивающих свободу ее перемещения, т. е.
Ft +Дг = 0(i = 1, 2, .... п).(27.2)
Умножая скалярно каждое из равенств (27.2) на вариацию-6гг соответствующего радиуса-вектора и складывая почленно получаемые результаты, находим:'
2^.б7, + 2^.б7, = 0.(27.3)
/=1<=i
Отсюда, учитывая условие идеальности связей (26.8), мы и приходим к необходимости требования (27.1).
Докажем теперь, что условие (27.1) является не только необходимым, но и достаточным. С этой целью предположим, что, несмотря на то что указанное условие выполняется, система тем не менее выходит из состояния покоя и начинает двигаться. При этом действительные перемещения точек за время di будут направлены по равнодействующим fz + R, всех сил, приложенных к соответствующим точкам. Так как связи, наложенные на систему, являются стационарными, бесконечно малые виртуальные перемещения точек brt за тот же промежуток времени можно выбрать так, чтобы они совпадали с действительными. При этом оказывается, что
2Й+Л)-^>о.t=i
Если теперь учесть условие идеальности связей (26.8), то получим:
п > г2Гг^>0,
что противоречит условию (27.1). Таким образом, предположение о возможности движения системы при выполнении условия (27.1) приводит к противоречию, а это и означает, что указанное условие является необходимым и достаточным условием равновесия системы.
Применим принцип виртуальных перемещений к исследованию равновесия простейшей механической системы — материальной точки, движущейся свободно. Условие (27.1) в этом случае можно записать в виде
F, бх + Fубу + Fz 6z = 0. (27.4)
Так как материальная точка свободна, то вариации ее координат являются независимыми, а поэтому коэффициенты при вариациях координат в уравнении (27.4) должны обращаться в нуль. Отсюда получаем известные условия равновесия свободной частицы: F, = - F, = F z = 0.
Однако так просто решается эта задача только для свободных систем. Для получения из принципа виртуальных перемещений (27.1) условий равновесия несвободной механической системы необходимо перейти к независимым, или обобщенным, координатам системы.
Обобщенными (или независимыми) координатами механической системы называют любые Зп — к величин qx, q^, ..., q$> однозначно определяющих положение системы в пространстве. Число обобщенных координат совпадает с числом степеней свободы системы s = Зп — к; размерности обобщенных координат в принципе могут быть любыми. Однако в механике, как правило» приходится иметь
дело с обобщенными координатами, имеющими размерность длины, или с безразмерными величинами (угловые переменные).
Из определения обобщенных координат следует, что они должны удовлетворять следующим двум требованиям:
Радиусы-векторы и декартовы координаты точек должны быть однозначными функциями обобщенных координат, т. е.
7г == г£ (<?!, <72> С7Л, /),(27.5)
если на систему наложены нестационарные связи, или
Z = П (<7Ъ чг1 .... qs),(27.6)
если наложенные связи стационарны.
Обобщенные координаты системы должны быть выбраны в полном соответствии с наложенными на нее связями. Это означает, что уравнения связей (25.5) должны обращаться в тождества при подстановке в них функций (27.5) или (27.6).
Поясним сказанное на примере сферического маятника, рассмотренного в § 25. Указанный маятник обладает двумя степенями свободы, и в качестве его обобщенных координат можно выбрать угловые переменные 0 и ср, т. е. сферические координаты. При этом декартовы координаты маятника однозначно выражаются через 0 и ф по формулам:
х = a sin 0 cos ф, у = a sin 0 sin ф, z = a cos 0.(27.7)
Уравнением связи, наложенной на сферический маятник, является равенство (25.2); нетрудно проверить, что подстановкой функций (27.7) это уравнение обращается в тождество.
(27.8)равновесия(27.8)равновесияВернемся к основной задаче — нахождению условий равновесия голономной механической системы с идеальными и стационарными связями. Допустим, что обобщенные координаты qv q^, .... qs выбраны и радиусы-векторы всех ее точек представлены в виде (27.6). Тогда вариации зависимых координат системы можно выразить через ее независимые виртуальные перемещения 6^, 6q4, .... 6qs по формуле
(27.8)
равновесия
(27.8)
равновесия
Подставляя выражение (27.8) в основное условие (27.1), получим:
или, меняя порядок суммирования:
(27.9)(27.9)
(27.9)
(27.9)
Введем обозначениеВведем обозначениеПпПп
Введем обозначение
Введем обозначение
Пп
Пп
и будем называть величину Qa обобщенной стой, соответствующей независимой координате qa . Заметим, что обобщенная сила является скалярной величиной, а ее размерность совпадает или с размерностью обычной силы, если обобщенная координата qa имеет размерность длины, или с размерностью момента силы, если qa — безразмерная угловая переменная. Таким образом, принцип виртуальных перемещений (27.1) в обобщенных координатах можно окончательно записать в виде
(27.11)(27.11)2 QA« - °-
(27.11)
(27.11)
Так как виртуальные перемещения 6qa независимы, то все коэффициенты при этих перемещениях в левой части равенства (27 11) должны обращаться в нуль, т. е.
Qa=0(a=l,2s).(27.12)
Соотношения (27.12), не содержащие сил реакций связей, являются необходимыми и достаточными условиями равновесия произвольной голономной механической системы с идеальными и стационарными связями. Число указанных условий равновесия равняется числу степеней свободы механической системы, т. е. числу s = Зи — к.
Разберем теперь частный случай, когда все активные силы, действующие на систему, являются потенциальными, т. е.
(, = 1,2,..., и),
где U = U (гп г2, .... гп") — полная потенциальная энергия системы. Рассматривая в соответствии с равенством (27.6) потенциальную энергию как неявную функцию обобщенных координат, можно показать, что
аи _ yi su d7t
дЧ» ' ^
и, следовательно,
Q V —= —.(27.13)
“ dq” ^
При этом условия равновесия (27.12) принимают вид
(27.14) 5?! dq3 dqs '
Таким образом, механическая система в потенциальном силовом поле может находиться в состоянии равновесия только в том случае, если ее потенциальная энергия имеет стационарное значение.
Решая систему уравнений (27.14), можно найти одну или несколько равновесных конфигураций системы, т. е. один или несколько наборов значений обобщенных координат q0 {ql0, qM, ..., ^0), которым соответствуют те или иные стационарные значения потенциальной энергии системы. Это не обязательно должен быть минимум или максимум функции U, так как с точки зрения математики уравнения (27.14) представляют собой только необходимые, но не достаточные условия существования экстремума функции многих переменных.
Различают четыре типа равновесных состояний: устойчивое, неустойчивое, безразличное и седлообразное. Положению устойчивого равновесия соответствует минимум потенциальной энергии. При малых отклонениях системы из положения устойчивого равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть систему в исходное положение. Состоянием неустойчивого равновесия называется такое равновесное состояние, которому соответствует максимум потенциальной энергии. При отклонениях системы из положения неустойчивого равновесия возникают силы, стремящиеся удалить систему от положения равновесия. В состоянии безразличного равновесия потенциальная энергия системы не изменяется при выводе ее из положения равновесия в любом направлении. Примером системы, находящейся в состоянии безразличного равновесия, может служить однородный шар, лежащий на горизонтальной плоскости. Седлообразным положением равновесия называют такое положение, когда устойчивость или неустойчивость состояния равновесия зависят от направления сдвига системы из указанного положения.
Чтобы ответить на вопрос, к какому из указанных типов относится та или иная равновесная конфигурация механической системы, необходимо исследовать форму потенциальной поверхности U = U (qx, q4, ..., qA вблизи данного положения равновесия. На рисунках 27.1, а, б, в, г в качестве примера приводятся возможные формы потенциальной поверхности в окрестности различных положений равновесия для механической системы с двумя степенями свободы, а именно: на рисунках 27.1, а, б, в — для положений устойчивого, неустойчивого и безразличного равновесия, а на рисунке 27.1,г — в окрестности седлообразной точки равновесия, при этом линия АА указывает направление сдвигов системы, по отношению к которым положение равновесия О является устойчивым, линия ВВ — направление неустойчивости равновесия и ли-
u(qi,q2)
нии CC указывают направления безразличного равновесия, вдоль которых потенциальная энергия системы не изменяется.
Пример 27.1. Найти равновесные конфигурации двойного плоского маятника и вблизи каждой такой конфигурации исследовать форму потенциальной поверхности.
„у...Двойным плоским маятником называют систе-
— х Му двух тел малых размеров, шарнирно соединен- \ных между собой и с точкой подвеса 0 невесомыми
Джесткими стержнями (рис. 27.2). Указанная Онстедама тел может совершать движение в вертикальной
\плоскости, имея две степени свободы.
\Допустим, что масса каждого из рассматривае
мых тел равна т, а длина каждого стержня —I. Если в качестве обобщенных координат выбрать |Ууглы ф и ф, то потенциальную энергию двойного
I I \плоского маятника можно записать в виде
У# \т4=ти (ф, ф) = — mgl (2 cos ф + cos ф) 4- С.
Рис. 27.2(27.15)
Положения равновесия маятника определяются уравнениями
аиаи
= 2mgZ sin q> = 0, -^- = mgl $1пф = О, которые допускают четыре типа решений:
О) фо = Фо = О; (II) Фо = 0; ф0 = л;(27.16)
(III) ф0 = л; ф0 = 0; (IV) фо = Фо =
Разложения функции (27 15) в ряд Тейлора вблизи указанных положений равновесия, если принять С = 3mgl, имеют вид
Щ (ф, ф) « mg/ф2 + -^ mgl^;
1
Un (Ф, Ф) « 2mg/ + mg/ф8 — — mgl (л — ф)2;
1уш(Ф. Ф) » *тб1 — mgl (л — Ф)2 + ^ mgl^;
Uiv (Ф. Ф) « 6mgl — mgl (л — ф)2 — у mgl (л — ф)2.
Отсюда видно, что точки (0, 0) и (л, л) являются положениями устойчивого и неустойчивого равновесия, а точки (0, л) и (л, 0) — положениями седлообразного равновесия двойного плоского маятника.
§ 28. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖАИЗ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА
При исследовании движения связанных механических систем, как об этом указывалось в § 25, наиболее широко используются дифференциальные уравнения движения в обобщённых (или независимых) координатах, получившие название уравнений Лагранжа второго рода (в дальнейшем мы будем называть их просто уравнениями Лагранжа). Эти уравнения замечательны тем, что не содержат явно неизвестные силы реакций связей, что существенно упрощает решение основной динамической задачи, связанной с движением несвободной системы, — отыскание и исследование законов ее движения. Большое значение уравнения Лагранжа имеют также и для динамики свободных систем, по отношению к которым они являются уравнениями движения в произвольных криволинейных координатах.
Существуют два способа получения уравнений Лагранжа. Один из них сводится к последовательному исключению из системы уравнений Ньютона (25.8) сначала неизвестных сил реакций связей, а затем и зависимых координат системы. Этот способ аналогичен решению статической задачи нахождения необходимых и достаточных условий равновесия несвободной механической системы, разобранной в предыдущем параграфе. Другой способ получения уравнений Лагранжа вытекает из рассмотрения вариационного принципа Гамильтона — Остроградского — наиболее общего прин-
ципа классической механики. Познакомимся вначале с первым из указанных способов.
Итак, рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек, на которые наложено к идеальных, удерживающих, голономных, но не обязательно стационарных связей. Чтобы исключить силы реакции связей, умножим скалярно каждое из уравнений движения (25.8) на виртуальное перемещение 6г, соответствующей точки и результаты умножения почленно сложим. В результате получим:
2^— m^i) ■ 6rt + ^Rt ■ &ri 0. (28.1) i-i <=i
Последняя сумма в уравнении (28.1), выражающая виртуальную работу всех сил реакции связей, в соответствии с условием идеальности связей (26.8) равна нулю. Поэтому уравнение (28.1) можно окончательно записать в виде
^Й-щ^-бТ^О. (28.2) z=i
Уравнение (28.2) представляет собой математическую формулировку дифференциального вариационного принципа Даламбера — Лагранжа, утверждающего, что если на механическую систему наложены удерживающие, голономные и идеальные связи, то в каждый момент времени сумма виртуальных работ всех активных сил, действующих на систему, и так называемых «сил инерции»
Даламбера — т^ равна нулю для любого виртуального перемещения системы.
Таким образом, введение даламберовых «сил инерции» позволяет по аналогии с принципом возможных перемещений (27.1) в статике сформулировать динамический принцип виртуальных перемещений.
Уравнение (28.2) называют также общим уравнением динамики голономных систем. Действительно, если уравнение (28.2) принять в качестве основной и единственной аксиомы, то простыми преобразованиями из него можно получить любые уравнения движения несвободной механической системы, т. е. как уравнения Лагранжа первого рода (26.11), так и уравнения Лагранжа в обобщенных координатах.
Для того чтобы из уравнения (28.2) получить интересующие нас уравнения Лагранжа, необходимо перейти к обобщенным координатам системы qv qa, .... qs и исключить из указанного уравнения вариации зависимых координат бгР С этой целью мы вновь обратимся к уравнениям (27.5), связывающим радиусы-векторы
материальных точек системы с ее обобщенными координатами, т. е.
Ч = Е (91. 91. .... 9„ 0 (<" = 1. 2/1),(28.3)
откуда
б7,= V^LS^G^l, 2п).(28.4)
0Ча а=1
Укажем попутно еще ряд важных соотношений. Дифференцируя (28.3) по времени, получаем:
■* дг,. дг,• .,дг. •,.dri • , дг.
Ч -+ -^9з+-+^ 9а +-+—■ 4s + -г?- =
dqxdq4°4a9qs dt
=(28-5)
a—1
Скалярные величины qa — dqaldt называют обобщенными скоростями системы. Размерность обобщенной скорости qa совпадает с размерностью линейной скорости, если обобщенная координата qa имеет размерность длины, или с размерностью угловой скорости, если qa — угловая переменная. Из равенства (28.5) вытекают следующие очевидные тождества:
= d (д?!R
дЧа~ dqj dt\8qa)- dqa‘V™)
Подставляя в (28.2) выражения (28.4) и изменяя порядок выполнения операций суммирования по индексам i и а, получим:
или с учетом определения обобщенной силы (27.10):
2(Qa -A^q» = 0,(28.7)
а=1гдеи ,=(28.8)
Так как вариации обобщенных координат 6^а независимы, то равенство (28.7) будет иметь место только в том случае, если
Aa = Qa (a = 1, 2, ..., s).(28.9)
6 Классическая механика
161
Это и есть, по сути дела, искомые уравнения Лагранжа. Чтобы представить их в явной форме, необходимо расшифровать физический смысл величин Л«. С этой целью проведем еще ряд несложных преобразований. Прежде всего заметим, что
"*dr,d / "*дг[ X-*d / Or, \
т.О, •= nW) •— т-о,,
1dqadt [ 1 1dqaj' ‘dt { dqa) '
откуда, используя тождества (28.6), находим:
4d / "* dvi Xdvt d д /т$\ д /т^\
1 dqa dt V dqa) 1dt dq« \ 2 )^ ( 2 /
и, следовательно,
(28.10)(28.10)Таким образом, A d STdT
(28.10)
(28.10)
- dt dqa8q«’
где T = T (q, q) — кинетическая энергия системы, представленная как функция обобщенных координат q и обобщенных скоростей q. Отсюда видно, что искомые уравнения Лагранжа в обобщенных координатах можно окончательно представить в виде
d дТ дТ ~., п ....
:= (a = 1,2, ... , s).(28.11) dt dqa <Х ГЛ ’ ’’ ’'1
Полученные уравнения Лагранжа справедливы для любой системы с идеальными голономными и удерживающими связями. Неизвестными в этих уравнениях являются функции ?«(/), однозначно определяющие положение системы. Число указанных неизвестных и число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы механической системы.
Покажем, что для свободных механических систем уравнения (28.11) совпадают с уравнениями движения Ньютона, записанными в любой системе криволинейных координат. Рассмотрим для простоты одну свободную материальную точку (частицу) массы т, движущуюся под действием некоторой силы F.
Т — HL— 2Т — HL— 2Если в качестве обобщенных координат частицы выбрать сферические координаты, т. е. принять ^ = г, q4 = 0, q3 = ф, то ее кинетическую энергию можно записать в виде (см. формулу (2.32))
Т — HL
— 2
Т — HL
— 2
(г2 + г202 + г2ф2 sin2 0),
откудаоткуда_d_dTдТ_dtdrdrddTdT_dtdededdTdTdtd^дф_d_dTдТ_dtdrdrddTdT_dtdededdTdTdtd^дф(28.12)(28.12)= m r- r(92 + фа sin2 9) j, = m — (r^—г2ф2 sin 9 cos 0
откуда
откуда
_d_dTдТ_dtdrdr
ddTdT_
dtdede
ddTdT
dtd^дф
_d_dTдТ_dtdrdr
ddTdT_
dtdede
ddTdT
dtd^дф
(28.12)
(28.12)
= m^-(r2<psin29).
Обобщенные силы, соответствующие координатам г, 9, ф, име
ют вид
Qe =F- ^ = ti + F6e6 + F^ - А,(28.13)
О = F- — =+ Ffte„ + F"e\ ■
йф v г Г Т 6 9 I ф ф/ дф .
где er, ед, еф — орты сферической системы координат. С помощью формул (2.28), (2.29) находим:
=е_, = г—г- = гей) = г—-=ersin9.
dr г де де 6 дф дф ф
Поэтому обобщенные силы (28.13) оказываются равными:
Qr = Fr, Qe = rFe, Q<p = r sin 9 • F^.(28.14)
Подстановка выражений (28.12), (28.14) в (28.11) приводит к следующей системе уравнений движения свободной материальной точки в сферических координатах:
m(r — г№ — г<р2 sin2 9) = Fr, m -^- (r29) —r2q)2 sin 9 cos 9 j = rFQl m ^t ^r2^ S*n3 6) = Г^ф S*n ^'
(28.15)(28.15)Аналогичным образом можно показать, что если за обобщенные координаты частицы принять цилиндрические координаты (р, <р, г), то уравнения движения (28.11) принимают вид
(28.15)
(28.15)
/и(р —РФ2) = А , m-^(p2<p) = pF mz = Fz. (28.16)
Из рассмотренных примеров очевидно, что по своей математической структуре уравнения Лагранжа (28.11) ничем не отличаются от уравнений движения Ньютона, т. е. так же как и последние, они являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка.
Уравнения Лагранжа (28.11) были получены из принципа Да- ламбера (28 2) путем исключения зависимых виртуальных перемещений 6гг с помощью формул (28 3), представляющих собой преобразование радиусов-векторов материальных точек системы к ее обобщенным координатам qa Следует иметь в виду, что сам выбор обобщенных координат системы неоднозначен. Для одной и той же системы всегда можно указать несколько наборов независимых параметров, однозначно определяющих ее положение в пространстве и удовлетворяющих уравнениям связей. Последнее означает, что обобщенные координаты qa какого-нибудь одного набора можно задать с помощью однозначных функций s параметров qa и времени t, составляющих другой возможный набор обобщенных координат:
qa = qa (qv q2q's, t) (a = 1, 2, ..., s).(28.17)
Преобразование от одного набора обобщенных координат qa к другому набору аналогичных величин q'a называют точечным преобразованием. Возникает вопрос: как ведут себя уравнения Лагранжа (28.11) по отношению к точечным преобразованиям?
Чтобы ответить на поставленный вопрос, подставим функции (28.17) в (28.3); при этом мы получим новое однозначное представление радиусов-векторов точек системы через переменные q";
^1=^1^ Чъ<, О (i = 1, 2, ... , п).(28 18)
Если теперь при исключении из условия (28.2) зависимых виртуальных перемещений 6rz исходить из представления (28.18), то в результате получим уравнения Лагранжа в новых обобщенных координатах:
d дТ дТ А, .. Q ./nQ
-—-7 — Qa (« = I, 2, ... , s),(28.19)
9qa 0Ча
где кинетическая энергия системы Т и обобщенные силы Qa являются функциями qa, qa и t.
Сопоставляя уравнения (28.11) и (28.19), можно сделать вывод: форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат механической системы; другими словами, уравнения Лагранжа инвариантны относительно точечных преобразований (28.17).
§ 29. СТРУКТУРА УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМС ПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ
И ОБОБЩЕННО-ПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ СИЛАМИ
Структура уравнения Лагранжа (28.11) определяется конкретным видом обобщенных сил Q« и кинетической энергии системы Т как функций ее обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени. Рассмотрим вначале, какую форму могут принимать уравнения Лагранжа в зависимости от вида функций Qa (9, q, Г).
Пусть все активные силы Ft, действующие на систему (как внутренние, так и внешние), являются потенциальными, т. е. Ft = = —dUldrt, где U — U (qv q^, .... qs, t) — полная потенциальная энергия системы. В этом случае, как было показано в § 27, обобщенные силы можно представить в виде (27.13). Кроме того, имеют место равенства
^- = 0(а = 1,2s),(29.1)
вытекающие из определения потенциальной энергии как функции только положения системы. С учетом равенств (27.13) и (29.1) уравнения Лагранжа (28.11) можно представить в виде
А (7_^ a (7_[/) = Oj di dqa
ИЛИ
Z^~^=0(a=l,2,...,s),(29 2)
di dqa dqa v'
где L = T — U — разность кинетической и потенциальной энергии механической системы.
Функцию обобщенных координат q, обобщенных скоростей q и времени t вида
L kq, q, f) = Т (q, q, t) - U (q, t)(29.3)
называют функцией Лагранжа или лагранжианом системы. Как будет показано ниже, эта функция является важнейшей функцией состояния механической системы с потенциальными активными силами.
К виду (29.2) уравнения Лагранжа приводятся также и для класса механических систем с обобщенно-потенциальными силами, т е. для таких систем, обобщенные силы Qa которых можно представить в виде
=+(« = 1.2s)i (29.4)
di oqa
где V — V (a, q, t) — так называемый обобщенный потенциал или потенциал, зависящий от скорости. Функция Лагранжа для указанных систем определяется как разность кинетической энергии системы и ее обобщенного потенциала, т. е.
L (q, q.^-T (q, q,t)-V (q, q, ty(29.5)
Важнейшим примером системы с обобщенно-потенциальными силами является система заряженных частиц, движущихся во внешнем электромагнитном поле. Покажем, например, что силу Лоренца "F = q {7 + СуВ]},(29.6)
действующую на частицу с зарядом q со стороны электромагнитного поля, можно представить в виде
(29.7)(29.7)-* 6V , d 6V
(29.7)
(29.7)
F Н
drои
где
V (г, и, t) = qq> — qA • v(29.8)
и ф (г, 0» А V. О — скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля, связанные с напряженностью 8 электрического поля и индукцией В магнитного поля формулами:
7 = —grad ф — —, В = rot Л.(2919)
Действительно, подставляя (29.8) в (29.7), находим:
F = —qgradф + qgrad (Л • и) —q^-,(29.10)
di
где
= +++(29Л1)
di dt \ дх бу дг / dt
И
grad (Л • и) = (Л v) и + (v\z) А + [Л rot и] + [и rot Л] =
= (оV) Л + [о rot Л].(29.12)
При получении выражения (29.12) необходимо учитывать, что при вычислении частной производной dV/dr скорость частицы и считается величиной постоянной. Подстановка выражений (29.11), (29.12) в (29.10) приводит окончательно к следующему выражению силы, действующей на частицу со стороны электромагнитного поля:
F = q\—gradф—^-) + qLt) rot Л].(29.13)
Но это и есть сила Лоренца (29.6), если учесть соотношения (29.9).
Таким образом, функцию Лагранжа для заряженной частицы, движущейся во внешнем электромагнитном поле, можно записать в декартовых координатах в виде
L = ^- (х2 + у2 + z2) + qu • А (х, у, г, t) —q^ (х, у, г, t). (29.14)
Рассмотрим теперь механическую систему, на которую наряду с потенциальными (или обобщенно-потенциальными) активными силами действуют диссипативные силы, т. е. силы вязкого трения, приводящие к рассеянию механической энергии системы. В этом случае при записи уравнений Лагранжа (28.11) поступают следующим образом. Каждую обобщенную силу Q« разбивают на две части:
Qa-Q^^- (29.15)
где Q^ =где Q^ =эи9Чаэи9Ча(или OS’ =(или OS’ =d / 5Vdt \ dq»d / 5Vdt \ dq»
где Q^ =
где Q^ =
эи
9Ча
эи
9Ча
(или OS’ =
(или OS’ =
d / 5Vdt \ dq»
d / 5Vdt \ dq»
— обобщенная сила, обусловленная действием на систему только потенциальных (или обобщенно-потенциальных) сил, и
пп(29.16)(29.16)
п
п
(29.16)
(29.16)
— обобщенная сила, возникающая в результате действия на систему диссипативных сил. При этом уравнения Лагранжа (28.11) можно представить в виде
(а=1'2s)’а/ 6qa(а=1'2s)’а/ 6qa(29.17)(29.17)
(а=1'2s)’
а/ 6qa
(а=1'2s)’
а/ 6qa
(29.17)
(29.17)
где
L = Т — U (или L = Т — V).
Нетрудно видеть, что силу трения 7-1™ = —ад, действующую со стороны вязкой среды на отдельную материальную точку системы, можно представить в виде
= - ^-, где Фг = ^ . (29 18)
Скалярную величину Ф, называют диссипативной функцией Рэлея для отдельной частицы системы (величина — 2Ф, = vt • F^ представляет собой часть механической энергии частицы, переходящей за единицу времени в энергию теплового движения молекул среды). Очевидно, что для описания процесса рассеяния механической энергии всей системой необходимо ввести полную функцию Рэлея:
(29.19)(29.19)
(29.19)
(29.19)
В общем случае, когда связь между скоростями отдельных точек vt и обобщенными скоростями системы qa определяется формулой (28.5), диссипативную функцию Рэлея можно представить как функцию обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, т. е. Ф = Ф (7, q, О-
Покажем теперь, что обобщенные силы (29.16) можно выразить через диссипативную функцию Рэлея по формуле
= (а = 1,2s).(29.20)
dqa
Действительно, подставляя в равенство (29.16) выражение (29.18) и учитывая тождество (28.6), находим:
Таким образом, уравнения движения механической системы, на которую наряду с потенциальными (или обобщенно-потенциальными) активными силами действуют диссипативные силы вязкого трения, имеют вид
d 8Ldt dqad 8Ldt dqadL _dL _дФдЯадФдЯа(a = 1, 2, ... , s).(a = 1, 2, ... , s).(29.21)(29.21)
d 8Ldt dqa
d 8Ldt dqa
dL _
dL _
дФ
дЯа
дФ
дЯа
(a = 1, 2, ... , s).
(a = 1, 2, ... , s).
(29.21)
(29.21)
Рассмотрим теперь структуру кинетической энергии несвободной системы как функции обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени и ее влияние на вид лагранжиана системы.
По определению кинетическая энергия любой системы является однородной и положительно определенной квадратичной формой скоростей пг частиц, входящих в систему. Однако кинетическая энергия несвободной системы в общем случае оказывается неоднородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей системы.
Действительно, рассмотрим несвободную систему, на которую наложены нестационарные связи. В этом случае связь между скоростями отдельных точек системы у, и ее обобщенными скоростями определяется формулой (28.5). Подставляя ее в определение кинетической энергии системы
и изменяя порядок суммирования, получим:
Т = Т^ + TW + Г°\(29.22)
где
S Sп->-»
1=1 ;=1V=1
(29.23)
SП
т»-^д„|2М4'
TW = Т^ (q, <) = 1 mv j .(29.25)
Таким образом, нестационарность связей, налагаемых на механическую систему, приводит к двум эффектам: кинетическая энергия системы оказывается неоднородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей и, кроме того, как кинетическая энергия, так и лагранжиан системы становятся явно зависимыми от времени. Этот вывод полностью относится и к диссипативной функции Рэлея, аналогичной кинетической энергии системы.
В случае, когда на систему наложены только стационарные связи, а все активные силы, действующие на нее, являются потенциальными, лагранжиан системы можно представить в виде
L= -^^fij^x' Я» - . Я,)^ —U^v Яг, -,Я$, О- (29.26)
Если же на систему, помимо потенциальных сил, действуют силы вязкого трения, то для полного описания ее состояния необходимо дополнительно ввести диссипативную функцию Рэлея
ф(2)(^ « = ^МА.(29-27)
Л/=1
где
а» (<?) = «о (q) = "V «v " • " -(29- 28)
dqt dq
v=l'
Кинетическая энергия и функция Рэлея рассматриваемой механической системы являются однородными квадратичными формами от ее обобщенных скоростей. В связи с этим полезно вспомнить теорему Эйлера об однородных функциях. Эта теорема утверждает, что если f (xv х^, .... xs)— однородная функция порядка п, то
имеет место равенство
SS
S
S
Действительно, функция / (хи х2, ..., xj называется однородной порядка п, если она удовлетворяет условию:
f (Xxv Хх2, ..., XxJ = X” / (xD х2> xs\ (29.30)
Дифференцируя (29.30) по X, находим:
= пХп'Ч kxv Хгх^-
d (Кх,)
1=1
Полагая здесь X = 1, мы и приходим к теореме Эйлера (29.29).
На основании указанной теоремы Эйлера можно утверждать, что
X^qt^L=^(29.31)
V i -— = 2Ф<2) = - V V ^р)-(2Э-32)
9<11
Пример 29.1. Найти функцию Лагранжа для двойного плоского маятника, рассмотренного в примере 27.1.
Если воспользоваться вспомогательной системой декартовых координат (см. рис. 27.2), то кинетическую энергию маятника можно записать в виде
г = -у(^ + ^+^+^г = -у(^ + ^+^+^(29.33)(29.33)
г = -у(^ + ^+^+^
г = -у(^ + ^+^+^
(29.33)
(29.33)
где координаты материальных точек маятника определяются уравнениями:
(29.34)(29.34)Xi = / sin ф, yi = / cos ф, х2 = I (sin ф + sin ф), у»= I (cos ф 4- cos ф).
(29.34)
(29.34)
Дифференцируя функции (29.34) по времени t и подставляя результат в формулу 29.33), находим:
Т = т/2ф2 + т/2фф cos (ф — ф) + — т/2ф2.
Потенциальная энергия маятника определяется выражением (27.15). Отсюда следует, что лагранжиан двойного плоского маятника имеет вид
L = тР ф2 + фф cos (ф — ф) +
ill
2 1
4- mg/ (2 cos ф 4- cos ф).
(29.35)
§ 30. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
Функция Лагранжа (29.3), введенная в § 29 формальным образом с целью упрощения записи уравнений движения (28.11) для систем с потенциальными и обобщенно-потенциальными активными силами, в действительности является важнейшей функцией состояния механической системы. Глубокий физический смысл лагранжиана обнаруживается, если обратиться к отысканию важнейших первых интегралов уравнений Лагранжа, связанных с симметрией заданного силового поля и наложенных на систему связей, т. е. законов сохранения. Покажем, что указанные интегралы движения можно достаточно просто отыскать по внешнему виду функции Лагранжа.
Связь функции Лагранжа с законом сохранения энергии
Рассмотрим механическую систему, лагранжиан которой явно не зависит от времени, т. е. dLldt = 0; допустим также, что на систему не действуют диссипативные силы. Покажем, что полная энергия указанной системы сохраняется.
Запишем полную производную по времени от лагранжиана системы
dLVI / 6L •
дЧадЧаdt2Д \ дЧ« Ча
дЧа
дЧа
Заменяя здесь производные dL!dqa в соответствии с уравнениями Лагранжа (29.2) на — f-^Y получим:
dt \8qal
^। g+dL \ i dL
dt " 2Д Г” dt dq 4a dqaV dt 2^dt Г” d»a I dt *
ИЛИ
ЕЕL = const.L = const.Отсюда видно, что если лагранжиан системы не зависит явно от времени (т. е. dLldt = 0), то в процессе движения системы сохраняется величина
Е
Е
L = const.
L = const.
(30.2)
называемая полной механической энергией.
Найдем условия, при выполнении которых время не будет явно входить в функцию Лагранжа. Прежде всего необходимо, чтобы не содержали явно времени формулы, выражающие радиусы-векторы точек системы через ее обобщенные координаты, а это означает, что на систему могут быть наложены только стационарные связи. Кроме того, чтобы dLldt = 0, внешние силы, действующие на систему, также не должны явно зависеть от времени, т. е. они должны быть постоянными. Только при выполнении указанных двух условий механическая система является консервативной.
Покажем, что новое определение (30.2) полной энергии в большинстве случаев совпадает с ее обычным определением как суммы кинетической и потенциальной энергий. Рассмотрим вначале систему, на которую действуют только потенциальные силы. В этом случае лагранжиан системы имеет вид (29.26), при этом согласно (29.31)
и, следовательно, полная энергия Е = 2Т — (Т — U) = Т + U.
Рассмотрим теперь свободную заряженную частицу, движущуюся в постоянном электрическом и магнитном поле. Лагранжиан частицы определяется согласно (29 14) выражением
L = ^ - V (г, v), V (7, 7) = Р« (7, 7) + U (г),
где
1/(Ц (7, о) = —qv • Л (г), U (г) — ^ф (г).
Нетрудно видеть, что полная энергия частицы будет равна:
£ = и - —L = и - (mu + qA) — —- + qv • А — W =диК 2/
= — -Vqcp = Т -vu.
Из этого примера видно, что если обобщенный потенциал консервативной системы V (q, q) представляет собой сумму V(1) (q, q) + + U (q), где И1* (q, q) — однородная линейная функция от обобщенных скоростей и U (q) — обычная потенциальная энергия, зависящая только от обобщенных координат, то из полной энергии (30.2) обязательно выпадает линейный по обобщенным скоростям член V(1> (fl, q).
Рассмотрим еще один пример. Как показывается в механике СТО, лагранжиан свободной релятивистской частицы имеет вид
Ь = -тс»У\-^.(30.3)
Так как функция Лагранжа (30.3) не зависит явно от времени, полная энергия частицы сохранявши. Обращаясь к формуле (30.2), находим:
Д = у. —-L^v- ——= + ^1/ 1—=— _■ ,
Если внешние обобщенно-потенциальные силы нестационарны и нельзя пренебречь диссипативными силами, то, пользуясь уравнениями движения (29.2)), можно показать, что
— = — — — 2Ф, (30.4) di dt х '
где Ф — диссипативная функция Рэлея.
Из рассмотренных примеров видно, что новое определение энергии является более общим. Поэтому первый интеграл движения (30.2) часто называют законом сохранения обобщенной анергии. Забегая вперед, заметим, что с соотношением (30.2) связано еще одно важное понятие аналитической механики — понятие о i ампль- тониане системы, с которым мы детально познакомимся в § 33.
Циклические координаты и сохранение обобщенных импульсов
Обобщенными импульсами механической системы называют скалярные величины, определяемые формулой
Ра= (а = 1, 2, ...,s).(30.5)
dqa
Если обобщенная координата qa имеет размерность длины, то соответствующий ей обобщенный импульс ра имеет размерность обычного импульса (например, обобщенные импульсы свободной системы совпадают с проекциями импульсов отдельных частиц); если qa — безразмерная угловая переменная, то обобщенный импульс ра имеет размерность момента импульса.
Для свободной заряженной частицы, находящейся в электромагнитном поле, обобщенными импульсами являются величины
Рх — тх + qAr, Ру — ту + qAy, Р2 — mz + qA2. (30.6)
Естественно, что структура обобщенных импульсов несвободной системы оказывается более сложной. Например, обобщенные импульсы системы, описываемой лагранжианом (29 26), имеют вид
р(=^ 0 = 1.2S)-(30.7)
Используя понятие обобщенного импульса, можно переписать уравнения Лагранжа (29.2) в виде
Р» = ^ (а = L 2, ... , s).(30.8)
Нередко случается так, что какие-то обобщенные координаты сами в функцию Лагранжа не входят, а входят лишь их производные по времени. Такие координаты называются циклическими (это название объясняется тем, что чаще всего такими координатами оказываются угловые переменные). Итак, обобщенную координату qa будем называть циклической, если dLldqa = 0, при этом соответствующий ей обобщенный импульс ра согласно (30.8) сохраняется, т. е.
р = const, если = 0.(30.9)
Заметим, что требование dUdqa = 0 следует рассматривать как условие инвариантности лагранжиана системы относительно преобразования:
а»-V ^qa. qt -*qt(i^ «), (зо.Ю) т. е. преобразования трансляции или поворота системы как единого целого. Действительно, приращение функции Лагранжа, обусловленное преобразованием (30.10), можно подсчитать по формуле
6L =
dqa
откуда видно, что 6L = 0 только в том случае, если dUdqa = 0.
Таким образом, цикличность обобщенных координат и сохранение отдельных обобщенных импульсов механической системы тесно связано с инвариантностью ее лангранжиана относительно преобразований (30.10). В свою очередь, инвариантность функции Лагранжиана относительно указанных преобразований связана с симметрией внешних силовых полей и наложенных на систему связей.
Отсюда следует вывод: обобщенные координаты системы следует выбирать с учетом симметрии задачи; только в этом случае отдельные обобщенные координаты системы могут оказаться циклическими, а соответствующие им обобщенные импульсы — постоянными.
Проиллюстрируем сказанное несколькими примерами. Рассмотрим материальную точку в однородном поле притяжения Земли. Если ось 2 декартовой системы координат направить против вектора g, то функцию Лагранжа материальной точки можно записать в виде
L = -у (х2 + у2 + г8) — mgz. (30.11)
Из этого выражения видно, что координаты х и у являются циклическими и, следовательно, у материальной точки сохраняются две проекции вектора импульса: рх — тх = const, ру = my — const. Эти интегралы движения являются следствием инвариантности лагранжиана (30.11) относительно трансляций частицы вдоль осей х и у. Из симметрии силового поля очевидна также инвариантность того же лагранжиана относительно поворотов частицы вокруг оси г, т. е. дЫд^ = 0. Чтобы найти соответствующий этому интеграл движения, запишем лагранжиан (30.11) в цилиндрических координатах (см. формулу (2.20)):
L = у (р2 + р V + z2) — mgz.
Отсюда видно, что координата ср является циклической и поэтому у частицы сохраняется обобщенный импульс
dL+
рф = у- = mp2cp = const.
Этот обобщенный импульс равен Lz — проекции момента импульса материальной точки на ось г.
Второй пример — частица в центрально-симметрическом поле U (г). Наиболее подходящими в этом случае являются сферические координаты, в которых функцию Лагранжа частицы можно записать в виде (см. формулу (2.32))
L = ^- (г1 + г292 + г2ф2 sin2 9) — U (г).(30.12)
Обобщенными импульсами частицы при этом являются величины р, = -^- = тг, Рй = ^- = тг2в, р — ^- = mr2^ sin2 9, (30.13)
причем р^ = Lz. Так как координата ср циклическая, обобщенный импульс рф сохраняется, т. е.
рф = Lz = тг2 ф sin2 9 = const.
Если учесть, что вследствие сферической симметрии заданного силового поля в качестве полярной оси можно выбрать любую ось декартовой системы координат, то можно прийти к выводу: при движении частицы в центрально-симметрическом поле U (г) сохраняются все три декартовы проекции момента импульса. Это означает, что сохраняется вектор L, а движение частицы является плоским. Если теперь за полярную ось принять какую-нибудь прямую, параллельную вектору L, и положить 9 = л/2 и 9 = 0, то функцию Лагранжа для плоского движения частицы в центрально-симметрическом поле можно записать в виде
L=21.^ + r»^ — U(r\(30.14)
Из инвариантности лагранжиана (30.14) относительно преобразований сдвига во времени и бесконечно малого поворота вокруг полярной оси вытекают первые интегралы движения:
Е = -у (г2 + г1^ + U (г) = const,'
L = тг2ф = const.
В качестве последнего примера рассмотрим движение электрона (с зарядом — е) в однородном и постоянном магнитном поле с индукцией В. Его функцию Лагранжа в нерелятивистском случае (и < с) согласно (29.14) можно представить так:
L = еи- Л (г).(30.15)
Векторный потенциал Л однородного магнитного поля обычно выбирают в виде
^ = у(-уи^7).(золе)
при этом rot Л = Вк.
В силу аксиальной симметрии однородного магнитного поля лагранжиан электрона не должен изменяться при его переносе вдоль вектора В и повороте относительно любой оси, параллельной направлению вектора магнитной индукции. Наиболее полно указанную симметрию поля В отражают цилиндрические координаты (р, <р, г), в которых векторный потенциал (30.16) можно представить в виде
Л = у рВ (—1 cos ф + / sin ф) = урВеф.
Далее с помощью формулы (2.19) для вектора скорости точци в цилиндрических координатах находим:
у ■ Л = 1 рВеф • (рег + РФ еф + zk) = у Вр2ф
и
В=у(ра + раФа + г2)—1еВр2ф.(30.17)
Из выражения (30.17) видно, что две координаты электрона г и ф являются циклическими. Следовательно:
pz = mz = const, р^ тр2ф — -^ eBp2 = const. (30.18)
Последний из полученных интегралов движения можно представить в виде
Р„ = тр8(<р — <oL) = const, шь = 2m
Это равенство указывает, что орбита электрона, движущегося в однородном магнитном поле, в общем случае прецессирует относительно направления В поля с угловой скоростью toL = — ^- В. Указанное движение орбитг электрона называют прецессией Лармора.
§ 31. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИОНАЛЕИ ЕГО ПЕРВОЙ ВАРИАЦИИ
Прежде чем обратиться ко второму способу получения уравнений Лагранжа, необходимо предварительно познакомиться с некоторыми элементами вариационного исчисления — специального раздела математики, занимающегося исследованием экстремальных свойств криволинейных интегралов, зависящих от выбора одной или нескольких функций.
Одной из первых задач, положивших начало развитию вариационного исчисления, была задача о брахистохроне (Ив, Бернулли, 1696 г.), состоящая в следующем. Допустим, что точечная частица под действием силы тяжести падает без начальной скорости из точки О в точку Л по некоторой кривой, лежащей в вертикальной плоскости (рис. 31.1). Время падения частицы можно представить криволинейным интегралом
(эм, J °(У) J /2yg ‘о
зависящим от выбора функции у (х). Требуется из множества кривых, соединяющих точки О и Л, выбрать такую кривую, которую частица проходит за кратчайшее время. Отсюда происходит и само название искомой кривой — брахистохрона (брахистос — в переводе с греческого кратчайший, хронос — время). Величины, подобные (31.1), в математике называют функционалами.
Итак, простейшим функционалом будем называть криволинейный интеграл, зависящий от выбора одной функции у (х), т- е>Рис. 31.1
П (Xj) = т) (х2) = О,П (Xj) = т) (х2) = О,(31.5)(31.5)
П (Xj) = т) (х2) = О,
П (Xj) = т) (х2) = О,
(31.5)
(31.5)
J = у F[x, у (x), У (x)]dx.
"(31.2)
Основная задача вариационного исчисления состоит в нахождении функции у (х), доставляющей экстремум функционалу (31.2) и удовлетворяющей граничным усло- д виям:
У (^1)=У1, Ухг)=уг. (31.3) Допустим, что функция у(х) есть искомое решение вариационной задачи. Найдем необходимые условия, которым должна удовлетворять эта функция, чтобы функционал J имел экстремум. С этой целью построим новую функцию у^х), близкую к у(х) (рис. 31.2):
yi(-v) = у(х) ч-ОСТ) (х),(31.4)
где т] (х) — произвольная функция, удовлетворяющая граничным условиям
и а — малый численный параметр. Подстановка функции (31.4) в (31.2) приводит к некоторой функции параметра а:
х; у (х) + ат] (х);х; у (х) + ат] (х);У1'(*)У (х) +ат1' (х)У1'(*)У (х) +ат1' (х)dx.dx.(31.6)(31.6)
х; у (х) + ат] (х);
х; у (х) + ат] (х);
У1'(*)
У (х) +ат1' (х)
У1'(*)
У (х) +ат1' (х)
dx.
dx.
(31.6)
(31.6)
Тем самым задача отыскания экстремума функционала (31.2) сведена к исследованию на экстремум функции одного переменного J(a). Для этого, как известно, необходимо найти значение производной dJIda при а = 0 и приравнять его нулю (экстремум функционалу (31.2) доставляет функция у (х), получаемая из (31.4) при а = 0).
Вычислим сначала производную dJIda. Используя известное правило дифференцирования интеграла по параметру, находим:
dJdadJdaА Г dF , , , dF , , .— nW Н—rn WJ дУ1 ду,А Г dF , , , dF , , .— nW Н—rn WJ дУ1 ду,dx.dx.(31.7)(31.7)
dJda
dJda
А Г dF , , , dF , , .
— nW Н—rn W
J дУ1 ду,
А Г dF , , , dF , , .
— nW Н—rn W
J дУ1 ду,
dx.
dx.
(31.7)
(31.7)
Произведя интегрирование по частям во втором интеграле, входящем в правую часть равенства (31.7), можно записать:
С -^ (х) dx = -^ г) (х)J dyvдУ1*1С -^ (х) dx = -^ г) (х)J dyvдУ1*1£ ZJL\4(x)dx, (31.8)£ ZJL\4(x)dx, (31.8)
С -^ (х) dx = -^ г) (х)
J dyvдУ1
*1
С -^ (х) dx = -^ г) (х)
J dyvдУ1
*1
£ ZJL\4(x)dx, (31.8)
£ ZJL\4(x)dx, (31.8)
где проинтегрированный член обращается в нуль в силу граничных условий (31.4). С учетом (31.8) равенство (31.7) принимает вид
откудаоткудаd dxd dxr| (x) dx,r| (x) dx,dJdadJda(31.9)(31.9)
откуда
откуда
d dx
d dx
r| (x) dx,
r| (x) dx,
dJ
da
dJ
da
(31.9)
(31.9)
Ввиду произвольности функции т] (х) равенство (31.9) будет иметь место только в том случае, если коэффициент, стоящий перед р (х) в подынтегральном выражении, тождественно обращается в нуль, т. е.
(31.10)(31.10)
(31.10)
(31.10)
Равенство (31.10) называется уравнением Эйлера. Оно представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, и поэтому его общий интеграл содержит две произвольные постоянные, определяемые граничными условиями (31.3).
Таким образом, искомая функция у (х), являющаяся решением сформулированной выше вариационной задачи, должна удовлетворять уравнению Эйлера (31.10). Полученный результат можно сформулировать в ином виде, если ввести понятие о первой вариации функционала.
Первой вариацией функционала (31.2) называют величину, определяемую выражением
Принимая во внимание (31.9), можно записать:
Mlv^v)]8^"0’<31Л2)
где бу — вариация функции у (х), определяемая соотношением бу = ат} (х) = ух (х) — у (х).(31.13)
Равенство (31.12) показывает, что функция у (х), являющаяся решением вариационной задачи, обращает в нуль первую вариацию функционала 6J. Это утверждение равносильно требованию (31.10).
Рассмотрим некоторые правила вычисления вариаций. Прежде всего заметим, что варьирование любой функции у (х) влечет за собой варьирование и ее производной у'(х), при этом по определению вариации
бу' = аП'(х) = у; (х) — у'(х). (31.14;
С другой стороны, дифференцируя по х равенство (31.13), находим: А (бу) = ат]' (х) = yj (х) — у' (х).(31.15)
dx1
Сравнивая выражения (31.14) и (31.15), приходим к выводу, что А(6у) = бА),оме)
dx\dx!
т. е. операции дифференцирования и варьирования перестановочны.
Покажем далее, что операции интегрирования и варьирования также перестановочны. Действительно, полагая в (31.7) а = О, а затем умножая обе части получаемого равенства на а и принимая во внимание определения (31.13) и (31.14), находим:
6J = ( (А_ бу _|_ А. буЛ dx = \ № dx,,1 \ ду dV /,)
*iл,
или
6 f F dx = f bF dx.(31.17)
Основную вариационную задачу нетрудно обобщить на случай, когда функционал зависит от s независимых функций у; (х) и их производных yt(x), т. е.
J = ^F^x; yt(x), у2(х), .... уДх); у; (х), у2(х) ys' (x)]dx.
X1(31.18)
Так же, как и в простейшем случае (31.2), задача сводится к отысканию экстремума функции J (alt а2, ..., аД, где а( — малые параметры, возникающие при варьировании с закрепленными конечными точками функций у] (х), у2 (х)У$(х)'реализующих
экстремум функционала (31.18), т. е.
Ум 00 = >7 00 + “31/ W. ^t = аЛ (*) (t==l,2s), (31.19)
где ^ (х) — произвольные функции, обращающиеся в нуль в точках х = хх и х = х2. Вариацию функционала (31.18) можно представить в виде
6yt dx.6yt dx.(31.20)(31.20)isoiso
6yt dx.
6yt dx.
(31.20)
(31.20)
iso
iso
Так как функции у, (х) являются независимыми, то и их вариации бу; также будут независимыми. Поэтому равенство 6J = 0 имеет место только в том случае, если все коэффициенты при буг обращаются в нуль. Таким образом, функции у2 (х), реализующие экстремум функционала (31.18), должны удовлетворять системе уравнений Эйлера:
"L = o (i = 1, 2, .... s).(31.21)
dx ( зу' j dy,
Заметим, что если в системе (31.21) произвести формальную замену: х-* t, yt (х) -> qt (f), yi (x) -► qt (/) и F -> L, то уравнения (31.21) совпадут с ранее рассмотренными уравнениями Лагранжа (29.2) для систем с потенциальными или обобщенно-потенциальными силами. Это указывает, что уравнения Лагранжа являются уравнениями Эйлера для некоторой вариационной задачи механики. Эта задача будет рассмотрена в следующем параграфе.
Пример 31.1. Решение задачи о брахистохроне.
Задача состоит в отыскании экстремума функционала (31.1) с функцией F = V 1 + (YYlV^gy. Так как эта функция не зависит явно от х, можно сразу исходить из первого интеграла уравнения Эйлера
дР11
F — у —— = —, ■■.•==—= —7= = const,(31.22)
&У K2gy[l + (y'^ V^ga *1'
откуда_
dx = - -dy.(31.23)
^a — у
Интегрируя уравнение (31 23), получаем1
х = 2а • arcsin j/-,^- — 1ЛУ (2« — У) + Ь.
Далее из граничных условий у (0) = 0 и у (х0) = у0 находим 6=0;
х0=2а arcsin 1/А — /у0 (2а — у0).(3121)
V 2а
Таким образом, линией быстрейшего спуска частицы в однородном поле притяжения Земли является кривая, определяемая уравнением
х = 2а • arcsin 1/ -X — /у (2« — У) , г 2а
(31.25)
где постоянная а определяется из соотношения (31.24). Полученную кривую удобнее представить в параметрической форме
х = а (<р — sin <р), у = а (1 — cos ср)
(31 26) Отсюда видно, что брахистохроной является циклоида (31.26), т. е кривая, которую описывает какая-нибудь точка Р окружности радиусом а, катящейся без скольжения по горизонтальней оси х (рис. 31 3).
§ 32. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА - ОСТРОГРАДСКОГО
Сформулируем теперь основную вариационную задачу механики, по отношению к которой уравнения Лагранжа являются уравнениями Эйлера. С этой целью введем предварительно понятие о конфигурационном пространстве механической системы. Пространством конфигураций механической системы будем называть (s + 1)- мерное пространство обобщенных координат qv q4, .... qs и времени t. Условимся изображать такое пространство следующим образом: по оси абсцисс будем откладывать время /, а по оси ординат — совокупность значений всех обобщенных координат q. Тогда каждая точка на плоскости ^q, f) будет изображать определенную конфигурацию системы в данный момент времени t.
Пусть за время /2 — 1г система переходит из некоторой конфигурации А в новую конфигурацию В (рис. 32.1) и наложенные на механическую систему связи допускают множество различных возможных путей ее перехода из конфигурации А в конфигурацию В, причем один из них (например, АСВ) является действительным. Возникает вопрос, как из множества возможных путей перехода механической системы, допускаемых наложенными на нее связями, отобрать тот, который реально осуществляется. На этот вопрос и дает ответ вариационный принцип Гамильтона — Остроградского.
q, f) di [энергия X время].(32.q, f) di [энергия X время].(32.В случае голономных механических систем с идеальными связями и потенциальными (или обобщенно-потенциальными) активными силами этот принцип утверждает: из множества возможных путей перехода механической системы из одной ее конфигурации А в другую конфигурацию В реально осуществляется только тот путь, которому соответствует экстремальное (как правило, минимальное) значение функции действия, определяемой соотношением
q, f) di [энергия X время].(32.
q, f) di [энергия X время].(32.
S = J L (q,
Другими словами, для истинного движения механической системы первая вариация функционала (32.1) обращается в нуль, т. е. ...
6S = d^L(flv q2, ... , qs; qv q^, ... ,qs,f)di = O. (32.2) t.
Поэтому принцип Гамильтона — Остроградского часто называют принципом экстремального (или наименьшего) действия.
Докажем необходимость условия (32.2) для действительного движения голономной системы с идеальными связями и обобщеннопотенциальными активными силами. С этой целью вернемся к общему уравнению механики (28.2), записанному в обобщенных координатах (см. формулы (28.7) и (28.10)):
Q +211“ 8qadtQ +211“ 8qadt« = о.« = о.sS
Q +211
“ 8qadt
Q +211
“ 8qadt
« = о.
« = о.
а=1а=1
Выражая в этом равенстве обобщенную силу Qa через обобщенный Потенциал системы (см. формулу (29.4)), получим:
дТ dqaдТ dqaА "Л6, -У (5Ldiа ^ ( 9ц/а=1 \А "Л6, -У (5Ldiа ^ ( 9ц/а=1 \4 Ч = °- (32-3) ^ sq«)4 Ч = °- (32-3) ^ sq«)
дТ dqa
дТ dqa
А "Л6, -У (5Ldiа ^ ( 9ц
/а=1 \
А "Л6, -У (5Ldiа ^ ( 9ц
/а=1 \
4 Ч = °- (32-3) ^ sq«)
4 Ч = °- (32-3) ^ sq«)
где в общем случае Т = Т (q, q, #) и V = V (q, q, f).
Вычислим далее 6Т и SV. Вариацию кинетической энергии системы можно записать в виде
»,<> +»,<> +дТ d9qa dtдТ d9qa dtWW
»,<> +
»,<> +
дТ d
9qa dt
дТ d
9qa dt
W
W
откуда, учитывая, чтооткуда, учитывая, чтоd dtd dtd_ dtd_ dtдТ \ „ дТ d— I 6q„ H■—■еЧа / 6qa dtдТ \ „ дТ d— I 6q„ H■—■еЧа / 6qa dtокончательно находим:окончательно находим:
откуда, учитывая, что
откуда, учитывая, что
d dt
d dt
d_ dt
d_ dt
дТ \ „ дТ d— I 6q„ H■—■
еЧа / 6qa dt
дТ \ „ дТ d— I 6q„ H■—■
еЧа / 6qa dt
окончательно находим:
окончательно находим:
d ST dt dqad ST dt dqa(32.4)(32.4)Аналогичным образом находим:Аналогичным образом находим:d ЭУ dt dqad ЭУ dt dqad dtd dt(32.5)(32.5)
d ST dt dqa
d ST dt dqa
(32.4)
(32.4)
Аналогичным образом находим:
Аналогичным образом находим:
d ЭУ dt dqa
d ЭУ dt dqa
d dt
d dt
(32.5)
(32.5)
Подстановка выражений (32.4), (32.5) в (32.3) дает:
6(Т —V) —6(Т —V) —чч= о.= о.
6(Т —V) —
6(Т —V) —
ч
ч
= о.
= о.
или, учитывая, что Т — V = L и dL/dqa = ра,
(32.6)(32.6)
(32.6)
(32.6)
Умножая (32.6) на dt и интегрируя в пределах от 1г до t2l получаем:
j6Ldi-2p=V-0. tt «=1 Zj
откуда, учитывая, что 6^а (tt) = 6qa (t2) = 0, и принимая во внимание перестановочность операций интегрирования и варьирования, мы и приходим к необходимости условия (32.2),
Чтобы доказать достаточность условия (32.2), необходимо убедиться в том, что из него автоматически вытекают уравнения Лагранжа (29.2). Рассмотрим с этой целью наряду с действительным переходом АСВ системы из конфигурации А в конфигурацию В бесконечно близкий к нему возможный переход АС'В (рис. 32.1). Возникающее при этом приращение функции действия (32.1) определяется разностью
hht.t.Разлагая функцию L (q + 6q; q + бу; /) в ряд по степеням 6^аРазлагая функцию L (q + 6q; q + бу; /) в ряд по степеням 6^аи 6qa и ограничиваясь в этом разложении лишь членами порядка малости, получим:и 6qa и ограничиваясь в этом разложении лишь членами порядка малости, получим:первогопервогоt.t.sst,t,а=1 /,а=1 /,itit(32.8)(32.8)(32.7)
h
h
t.
t.
Разлагая функцию L (q + 6q; q + бу; /) в ряд по степеням 6^а
Разлагая функцию L (q + 6q; q + бу; /) в ряд по степеням 6^а
и 6qa и ограничиваясь в этом разложении лишь членами порядка малости, получим:
и 6qa и ограничиваясь в этом разложении лишь членами порядка малости, получим:
первого
первого
t.
t.
s
s
t,
t,
а=1 /,
а=1 /,
it
it
(32.8)
(32.8)
или, если учесть, что bqa (У = Sqa (/a) = О,
6S6S(32.9)
6S
6S
Для действительного перемещения механической системы 6S = О, но это может быть только в том случае, если вее коэффициенты при независимых вариациях бу^ в выражении (32.9) обращаются в нуль, т. е. если обобщенные координаты qa удовлетворяют уравнениям Лагранжа (29.2).
Из принципа экстремального действия (32.2) вытекает важное следствие: функция Лагранжа механической системы определена лишь с точностью до полной производной по времени от произвольной функции обобщенных координат и времени.
Действительно, рассмотрим две функции Лагранжа одной и той же механической системы: L* (q, q, f) и L (q, q, 0, связанные между собой равенством
(32J°)
где / (7, f) — произвольная функция обобщенных координат q и времени t. Нетрудно видеть, что функции действия, определенные по этим двум лагранжианам, связаны соотношением
S* - S + f Lq (/2); У - f[ q (У; « = S + const, где
S* = C L* (q, q, f) dt, S = ^ L (q, q, f) dt.
Отсюда видно, что условие 6S = О совпадает с условием 6S* = О, так как вариация постоянной величины обращается в нуль. Поэтому уравнения Лагранжа (29.2) при переходе от лагранжиана L к функции L* остаются неизменными.
Принцип Гамильтона — Остроградского можно обобщить и на голономные системы с неконсервативными активными силами, т. е. на такие системы, обобщенные силы которых нельзя представить в виде (29.4). Для указанного класса голономных систем принцип Гамильтона — Остроградского утверждает: для действительного перемещения механической системы с неконсервативными активными силами должен обращаться в нуль интеграл от суммы вариации кинетической энергии и виртуальной работы всех активных сил, обусловленной этой вариацией, т. е.
J ^Т + MF) dt = 0,(32.11)
где 6ДР — виртуальная работа активных сил, соответствующая виртуальному перемещению системы от истинной конфигурационной траектории АСВ к бесконечно близкой к ней возможной траектории АС'В (рис. 32.1), т. е.
6^ = 2^^ = 20а&7я.(32.12)
i=la=i
Покажем, что из принципа Гамильтона — Остроградского (32.11) вытекают уравнения Лагранжа (28.11). Действительно, подстановка в равенство (32.11) выражений (32.4) и (32.12) дает:
— -}- j oq dt = 0,(32.13) 9Ча dt до„ а/Х '
а=1 (, откуда, учитывая независимость вариаций обобщенных координат 6qa, мы и приходим к уравнениям движения в форме (28.11).
Таким образом, интегральный вариационный принцип (32.11) в компактной форме содержит в себе всю динамику как свободных, так и несвободных голономных систем с идеальными связями. Кроме того, указанный принцип удается распространить и на неголо- немные механические системы. Это означает, что существуют два способа построения классической механики: индуктивный метод,
когда за основу построения механики принимаются дифференциальные уравнения Ньютона, непосредственно вытекающие из опыта, и дедуктивный метод, когда в качестве основной и единственной аксиомы принимается вариационный принцип Гамильтона — Остроградского, при этом уравнения движения (28.11) выступают как уравнения Эйлера для некоторой вариационной задачи механики.
Несмотря на простоту и наглядность индуктивного метода, предпочтение все-таки следует отдать второму способу построения классической механики. Преимущество вариационной концепции заключается прежде всего в ее независимости от конкретного выбора системы обобщенных координат и, следовательно, от выбора системы отсчета; напротив, беря за основу построения механики уравнения движения Ньютона, мы ограничиваем себя использованием только инерциальных систем отсчета. Действительно, в формулировке принципа Гамильтона — Остроградского фигурируют только такие физические величины (кинетическая и потенциальная энергия), которые не связаны с какой-либо частной системой обобщенных координат. Поэтому указанный принцип оказывается инвариантным относительно любого точечного преобразования координат (28.17), в том числе и относительно точечного преобразования, связанного с переходом от инерциальной системы отсчета к любой неинерциальной системе координат.
Другое важное преимущество вариационного принципа (32.2) состоит в том, что его нетрудно распространить на системы, имеющие бесконечно большое число степеней свободы, т. е. на системы, не являющиеся чисто механическими, например, на упругие среды, электромагнитные поля и поля элементарных частиц. Другими словами, почти во всех областях физики можно сформулировать вариационные принципы, аналогичные принципу (32.2) и позволяющие получать соответствующие им «уравнения движения» (например, уравнения Максвелла в классической электродинамике, уравнение Шредингера в квантовой механике и т. д.). Различие в формулировках принципа экстремального действия в указанных разделах физики сводится лишь к различию в определении соответствующих функций Лагранжа. Возможность формулировки принципа экстремального действия в различных разделах физики свидетельствует о единстве материального мира и общности форм проявления различных физических процессов.
§ 33. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Все ранее рассмотренные виды уравнений движения (уравнения Ньютона для свободных механических систем и уравнения Лагранжа для несвободных голономных систем с идеальными связями) относятся к числу дифференциальных уравнений второго порядка. Из математики известно, что любую систему s дифференциальных уравнений второго порядка можно заменить равносильной системой
2 s уравнений первого порядка. Уравнения движения механической системы, записанные в форме дифференциальных уравнений первого порядка, называют каноническими уравнениями движения. Их обычно связывают с именем Гамильтона, предложившего новый способ описания движения механической системы, существенно отличающийся от метода Лагранжа.
Напомним, что в методе Лагранжа независимыми переменными считаются обобщенные координаты qa и время t. Производные по времени от обобщенных координат (т. е. обобщенные скорости ^а)тоже явно входят как в лагранжиан L, так и в уравнения Лагранжа (29.2), однако, несмотря на это, переменные qa считаются зависимыми. Это обстоятельство в методе Лагранжа находит свое отражение в том, что для описания движения системы вводится понятие о ее траекториях в конфигурационном пространстве. Такой способ описания движения не лишен некоторых недостатков. Действительно, задание какой-нибудь точки в таком пространстве дает только s начальных условий, и, следовательно, для того чтобы полностью определить движение системы, требуется задать еще s условий типа qa (0) = q . Это означает, что через любую точку конфигурационного пространства проходит бесчисленное множество траекторий системы. Поэтому естественнее было бы считать независимыми переменными наряду с обобщенными координатами и обобщенные скорости (или обобщенные импульсы). Так именно и поступают в методе, предложенном Гамильтоном.
Итак, в методе Гамильтона в качестве независимых переменных рассматриваются s обобщенных координат системы q^, qa, ..., qs и s ее обобщенных импульсов рг, р2, ..., ps, определяемых равенствами (30.5). Для геометрической интерпретации движения механической системы вводится понятие о так называемом фазовом пространстве. Под фазовым пространством понимается 28-мерное пространство, по осям координат которого откладываются значения s обобщенных координат qa и s обобщенных импульсов ра. Каждой точке фазового пространства (ее называют изображающей точкой) соответствует определенное состояние системы. При движении системы изображающая точка описывает в фазовом пространстве кривую, называемую фазовой траекторией механической системы. В отличие от конфигурационного пространства через каждую точку фазового пространства проходит одна-единственная фазовая траектория механической системы.
Уравнения движения механической системы, соответствующие указанному методу описания ее состояний, можно получить различными способами. Это можно, например, сделать с помощью преобразования, известного в математике под названием преобразования Лежандра (кстати, указанным преобразованием широко пользуются в термодинамике при преобразовании термодинамических функций от одних термодинамических параметров к другим). В интере-
сующем нас случае преобразование Лежандра от переменных qa и qa, используемых в методе Лагранжа, к новым переменным qa и рк сводится к следующему.
Запишем полный дифференциал лагранжиана системы как функции обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени:
а=1а=1а=1а=1— dqa+—dtЧа " dt— dqa+—dtЧа " dt
а=1
а=1
а=1
а=1
— dqa+—dt
Ча " dt
— dqa+—dt
Ча " dt
Ограничиваясь рассмотрением только таких систем, у которых все активные силы являются обобщенно-потенциальными (или просто потенциальными), а диссипативные силы отсутствуют, мы можем в этом выражении произвести замену:
после чего оно принимает вид SS
^ - ^ р*41,«+2+^ “'<33,1)
а=1а=1
Используя затем очевидное равенство
4 (2Р»У = ^Ра^а + ^айР^ ааа
выражение (33 1) можно еще раз переписать в виде d (^ " ^ Ра Ра) = ^ Р«^а "+
а=1а=1а=1
ИЛИ SSS
d Щра - L)=-+SЧайра"^dt (33,2)
а=1а=1а=1
Наличие в правой части равенства (33.2) дифференциалов dpa, dq^ и dt указывает, что величина, стоящая под знаком дифференциала в левой части того же равенства, представляет собой некоторую функцию обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени, т. е.
Н кЧк Чк -• Чк Рк Ра Рк 0 = ^PgPg —^- (33‘3) а=1
Эту функцию называют функцией Гамильтона или гамильтонианом механической системы. Напомним (см. § 30), что если лагранжиан системы не зависит явно от времени, то величина (33 3) является сохраняющейся и эту сохраняющуюся величину называют полной энергией системы.
Сравнивая выражение (33 2) с дифференциальным равенством
ан ^ X — ^Qaан ^ X — ^QaдЯ ., дН ,,
ан ^ X — ^Qa
ан ^ X — ^Qa
> ар„ -4at,^драdt *
получаем уравнения:дН_ Ра — дЧа'получаем уравнения:дН_ Ра — дЧа'Ч« =1^ («=!’ 2 S)Ч« =1^ («=!’ 2 S)(33 4)(33 4)а- 1
получаем уравнения:
дН_ Ра — дЧа'
получаем уравнения:
дН_ Ра — дЧа'
Ч« =1^ («=!’ 2 S)
Ч« =1^ («=!’ 2 S)
(33 4)
(33 4)
и
Уравнения (33.4) и есть искомые уравнения движения механической системы в переменных q и р, которые называют уравнениями Гамильтона или каноническими уравнениями движения. Они представляют собой систему 2s дифференциальных уравнений первого порядка относительно 2s неизвестных функций: qa (/) и ра (/). Обращает на себя внимание симметрия уравнений (33.4) относительно переменных q и р.
Для того чтобы составить функцию Гамильтона (33 3), необходимо обобщенные скорости системы qa выразить через ее обобщенные импульсы ра. Заметим, что эта процедура всегда выполнима. Рассмотрим, например, механическую систему, описываемую лагранжианом вида
L = Т^ (q, q) — U (q, f), (33.6) где
(33.7)
Обобщенные импульсы такой системы определяются соотношениями
Р«-=^Га,№я, (« = 1, 2, ..., s),(33.8)
/=i
которые по отношению к обобщенным скоростям q} образуют систему линейных алгебраических уравнений. Определитель этой системы, составленный из коэффициентов fa>, отличен от нуля в силу положительной определенности квадратичной формы (33.7). Поэтому система уравнений (33.8) допускает единственное решение
относительно неизвестных q^
Рассмотрим несколько простейших примеров на составление гамильтониана и канонических уравнений движения Функция Лагранжа свободной частицы массой т, движущейся в поле U = = U (г), в декартовых координатах имеет вид
L = -^ (x2 + y2 + z4) — U (x, y, z).
При этом разность
8L r • 8L , -8L . • 8L rV ■ — — L = X — + уHz —L
дидх ду 8г
оказывается равной:
и-^ — L = — (? + у2+ zaHV(x, у, г).(33.9)
8v2
Однако, прежде чем называть разность (33.9) функцией Гамильтона, необходимо все обобщенные скорости частицы х, у, z выразить через обобщенные импульсы рх, ру, pz. В рассматриваемом примере связь между указанными величинами определяется соотношениями х = рх!т и т. д. Поэтому функцию Гамильтона частицы, движущейся в поле U (г), в декартовых координатах можно окончательно представить в виде
Н =^ + Р» + рЪ + U (х, у, г),(33.10)
" = г- Рг + — 4 2m \гИРг dr тг» V8 + fVиГ = ^, 6 = - тгИи^. 6, ф) (33.13) г3 sin2 6 /Pm 4•8U РфСО5 0n20 /688 m^si^e= ——(33.14)d<pPA m=P9(33.15)nr2’ ™ mr2 sin2 9 "" = г- Рг + — 4 2m \гИРг dr тг» V8 + fVиГ = ^, 6 = - тгИи^. 6, ф) (33.13) г3 sin2 6 /Pm 4•8U РфСО5 0n20 /688 m^si^e= ——(33.14)d<pPA m=P9(33.15)nr2’ ™ mr2 sin2 9 "Аналогичным образом функцию Гамильтона и канонические уравнения движения той же частицы в сферических координатах можно представить в видеАналогичным образом функцию Гамильтона и канонические уравнения движения той же частицы в сферических координатах можно представить в виде
" = г- Рг + — 4 2m \г
И
Рг dr тг» V8 + fV
и
Г = ^, 6 = - тг
Ии^. 6, ф) (33.13) г3 sin2 6 /
Pm 4•8U РфСО5 0
n20 /688 m^si^e
= ——(33.14)
d<p
PA m=P9(33.15)
nr2’ ™ mr2 sin2 9 "
" = г- Рг + — 4 2m \г
И
Рг dr тг» V8 + fV
и
Г = ^, 6 = - тг
Ии^. 6, ф) (33.13) г3 sin2 6 /
Pm 4•8U РфСО5 0
n20 /688 m^si^e
= ——(33.14)
d<p
PA m=P9(33.15)
nr2’ ™ mr2 sin2 9 "
Аналогичным образом функцию Гамильтона и канонические уравнения движения той же частицы в сферических координатах можно представить в виде
Аналогичным образом функцию Гамильтона и канонические уравнения движения той же частицы в сферических координатах можно представить в виде
при этом канонические уравнения движения частицы имеют вид
•8U •8U •8U
Р^—8г
(33.11)
и
х=Ц у=^, г = ^. ттт
(33.12)
Этот пример показывает, что ничего нового по сравнению с уравнениями Лагранжа канонические уравнения движения не представляют. Действительно, и уравнения (33.11), и уравнения (33.14) совпадают с соответствующими уравнениями движения Лагранжа и Ньютона, а остальные уравнения (т. е. уравнения (33.12), (33 15)) являются следствиями определения обобщенных импульсов. И вообще, трудно указать такую динамическую задачу, которую нельзя было бы решить, пользуясь уравнениями Лагранжа, и для решения которой следовало бы обратиться к каноническим уравнениям движения (33.4). Действительное преимущество метода Гамильтона, если говорить о самой классической механике, состоит в том, что он позволяет существенно упростить рассмотрение некоторых общих проблем механики (например, проблемы отыскания интегралов движения). Но главное преимущество метода Гамильтона состоит все-таки в том, что он дает необходимую математическую основу для построения квантовой механики и статистической физики.
Рассмотрим еще два примера, представляющих большой интерес для квантовой механики.
Гамильтониан системы двух взаимодействующих частиц. Лагранжиан системы двух частиц, взаимодействующих по закону U = Щг) на основании соотношений (10.8) и (14.8), можно записать в виде
L = ^ + "^ + ^ _ у(зз Л 6)
где Vc = Rc — скорость центра масс рассматриваемой системы и и = г — скорость фиктивной р-частицы, описывающей относительное движение частиц. Независимыми координатами системы являются составляющие радиусов-векторов Rc и г, а соответствующие им обобщенные импульсы равны:
Р = -#- = (^ + т^уо р = — = р^ (33.17) 5V сди
Согласно определениям (33.3) и (33.17) полный гамильтониан системы двух взаимодействующих частиц можно представить в виде суммы двух независимых гамильтонианов:
н = нс + но,(33.18)
где
нг , Но = + и (г).(33.19)
с2(т1 + тг)’ 02р v’
Гамильтониан Нс описывает свободное движение системы как единого целого, а второе слагаемое Нй является гамильтонианом относительного движения частиц (или гамильтонианом фиктивной
^-частицы во внешнем центрально-симметрическом поле U (г)). Вводя сферические координаты (г, 0, <р), гамильтониан относительного движения в системе двух тел можно представить в виде (см. (33.13))
Н0 = - р + -~J+^(r).(33.20)
Наконец, если учесть сохранение механического момента L и выбрать направление полярной оси вдоль вектора L (при этом 0 = =л/2, р6 = 0 и рф = L), то гамильтониан (33.20) можно записать в виде
(33'21) 2ц 2цг2
Гамильтониан заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле. Функция Лагранжа для частицы с зарядом q во внешнем электромагнитном поле с потенциалами у и Л дается выражением (29.14), при этом
-+ dL * mv2 ,
и —L = —+<7<р,(33.22)
ду
а обобщенный импульс Р = mv + qA. Выражая отсюда скорость и частицы и подставляя ее в (33.22), приходим к искомому выражению функции Гамильтона:
Н =[Р - qA £, О]2 + ОТ (7, О- (33.23)
Уравнение (33.5) в методе Гамильтона особой роли не выполняет; оно указывает только, что гамильтониан механической системы зависит или не зависит явно от времени одновременно с ее лагранжианом. Из явной независимости гамильтониана системы от времени вытекает сохранение ее полной энергии. Действительно, запишем полную производную по времени от функции Гамильтона:
(33.24)(33.24)
(33.24)
(33.24)
При подстановке в выражение (33.24) производных qa и ра из канонических уравнений движения (33.4) два последних слагаемых взаимно сокращаются и мы получаем;
dt ~ at*dt ~ at*(33.25)
dt ~ at*
dt ~ at*
Отсюда видно, что если функция Гамильтона не зависит явно от
времени (т. е. dH/dt = 0), то она совпадает с полной энергией системы:
н (qu дг, .... qs; Ри Ри .... pj = Е. (33.26)
Закон сохранения обобщенного импульса в методе Гамильтона формулируется аналогично закону (30.9). Действительно, какая- либо обобщенная координата qa является циклической одновременно и по отношению к функции Лагранжа, и по отношению к функции Гамильтона. Это становится очевидным, если уравнение ра = = —dH(dqa переписать в виде
™--^(а-1,2s).(33.27)
Отсюда следует, что
ра = const, если-^- = 0.(33.28)
Например, для частицы, движущейся в центрально-симметрическом поле (см. гамильтониан (33.20)), дН;дф = 0 и, следовательно, рф=» = const.
Пример 33.1. Подучение уравнений Гамильтона из принципа экстремального действия.
Используя определение функции Гамильтона (33.3), принцип экстремального действия можно представить в виде
4(2 Padq«-Hdt^=0.(33.29)
г, а=1
Меняя в левой части этого равенства порядок выполнения операций интегрирования и варьирования, получим:
$ ^5 ^А
65=5 Л (Ча ~ ^)6р" - X6qa ]dt + S JPad №а)" (33,30) а=1 /,а=1 <,
Преобразуем последнее слагаемое в правой части равенства (33.30): s t.st, s t,
2 J P«d ^ = 2 P»6l?* I ~ 2 J PaV*
0=1 f,0=1 r, 0=1 /,"
откуда, учитывая граничные условия 6qa (ti) = 6qa (iz) = 0, имеем:
s t.s L
2 J p«d ^=- 2 j ^v-(3331)
0=1 i,0=1 t,
С учетом равенства (33.31) выражение (33.30) можно окончательно записать в виде
s
6S - У f [(i« - ^) to. - ("« + х) «»•] ^ (ЗМ2) 0=1 г,
Так как вариации обобщенных координат и импульсов независимые, равенство 6S = О будет иметь место только в том случае, если все коэффициенты при вариациях 6^а и бра обращаются в нуль, т. е. если
. дН . дН
Таков второй способ получения канонических уравнений движения.
СКОБКИ ПУАССОНА
В конце предыдущего параграфа было показано, как по виду функции Гамильтона можно судить о сохранении полной энергии и обобщенных импульсов механической системы. Рассмотрим теперь более общую проблему отыскания любых первых интегралов уравнений движения (33.4), а именно: найдем необходимые и достаточные условия, при выполнении которых какая-нибудь функция координат, импульсов и времени F (g, р, I) является первым интегралом уравнений движения.
С этой целью запишем полную производную от F по времени:
dt " dt ( dqa q“ + драa=l
Подставляя в правую часть вместо qa и ра их выражения из канонических уравнений движения (33.4), получим:
=+(34.1)
где введено обозначение
=(34.2)
а=1
Выражение (34.2) называют скобками Пуассона для величин Н и F.
Таким образом, необходимым и достаточным условием того, чтобы величина F (q, р, f) была первым интегралом движения, является требование:
F)=0.(34.3)
ot
Если же величина F явно от времени не зависит, т. е. F = F (q, р), то условием, при котором эта величина является сохраняющейся, является требование:
(Я, F) = 0,(34.4)
т. е. ее скобки Пуассона с функцией Гамильтона Н должны обращаться в нуль.
Условиями (34.3) и (34.4) можно воспользоваться для отыскания первых интегралов движения. Покажем, например, с помощью скобок Пуассона, что при движении частицы в центрально-симметрическом поле U (г) сохраняется проекция Lz ее момента импульса относительно центра поля, т. е. Lz = хру — урх = const. Так как эта величина явно от времени не зависит, то достаточно доказать, что (Я, LJ = 0.
Гамильтониан частицы представим в виде
H-^^A-pV^UkrY, г = / хг + у2 + Л
По определению скобки Пуассона для величин Н и L, представляют собой выражение вида
,„ , . dH dL, дН dL, . дН dL,дН dL, . dH dL, dH dL,
dpx dxдх дрх дру dyду дру др, дгдг др.
Подставляя сюда значения всех частных производных от Н и LZ) получим:
дх ду
Далее можно показать, что
dt/ _ dUdr _ x^dU, dU _dUdr _ ^dUdx dr dx r dr ' dy dr dy r dr
и, следовательно, (Я, L^ = 0. Аналогичным образом можно доказать, что сохраняются и две другие составляющие вектора L.
Введение скобок Пуассона дает возможность представить канонические уравнения движения (33.4) в абсолютно симметричном виде по отношению к переменным q и р. Для этого в выражении
(34.2) положим F = pt и F = qt. Вычисления показывают, что
кН,к», qt)=d/(34.5)
dqtdpt
и, следовательно, канонические уравнения движения (33.4) можно переписать в виде
pt = (Я, р,); qt = кН, q^ (i = 1, 2, .... s).(34.6)
Скобки Пуассона можно определить не только для величин Я и F, но и для любой пары функций f кЯ. Р> О и g (q, р, t). В этом случае скобки Пуассона определяются выражением
V> g)dqa dqa дра)*
OC=1
Скобки Пуассона (34.7) удовлетворяют целому ряду тождеств, вытекающих непосредственно из их определения:
М = - (g, ГУ <L h = (g, g) = 0;(34.8)
(А С) = (C, g) = 0,(34.9)
где C — постоянная величина;
Ifi + k.g^Vvg^ + ^gy,(34.10)
tfiUg'Witkgt + MLg')(34.11)
и
^(A g^S* gH(L(34.12)
dx\dx j \ ox)
где под x можно понимать любую обобщенную координату, импульс или время. Если одна из функций: / или g — совпадает с обобщенной координатой или импульсом, то скобки (34.7) принимают вид (А Ра) = ^. У» Рк) = ~^(34.13)
Эрк^Qk
Полагая в (34.13) функцию / равной qt и рь получим:
<Чь 4k) = (Pi- Ра) = 0. (Ро Ра) = 6/а,(34.14)
где
(34.15)(34.15)Г 1, если t = к;[ 0, если i =# к.
(34.15)
(34.15)
Величины (34.14) называют фундаментальными или основными скобками Пуассона. Их важное значение состоит в том, что они являются классическими аналогами квантовомеханических перестановочных соотношений для операторов координаты и импульса микрочастицы, а то обстоятельство, что для пары величин qb и рь скобки Пуассона оказываются равными единице, следует рассматривать как определение канонической сопряженности указанных величин. Любые две величины: qb и рь — будем называть канонически сопряженными, если они удовлетворяют условиям:
(Ра. Ра) = (Ра-Ра) = 0. (Ра. Ра) = 1-(34.16)
Рассмотрим выражение
(L Ф, g» - ЫМУ =
УЧ 5,1 983/1 dg Ъ V1 Г ^ StSh df 1\ ~ V ’ др« дЧа Sqa дра J[ дра dqa 6qa дра
а=1а=1
(34.17)
составленное из скобок Пуассона для трех функций: f, g и h.
Используя тождества (34.10), (34.11) и производя перегруппировку слагаемых, выражение (34.17) можно представить в виде
(/. (й, g)) - (g. (h, m = At-V Д„ (34.17a)
где
7J<^Л V ’ dP J A dP« ’ W
^IAv’ d4a) ^сД6’ dpa) dPa\ ’ ^aA^aV dPa/J'
Величину Аг с помощью тождества (34.12) можно преобразовать К виду
А УГ мд (Аг)дкду.вп ,,
d^dqa дра \-^V.g)Y
a=l
Второе слагаемое в (34.17а), как можно показать непосредственным вычислением, тождественно обращается в нуль. Отсюда следует, что
(A (h, g)) - & (О) = (h, (f.gY (34.18) или в симметричной форме записи
(A (g, к)) + (g, ^ h) + №, (A gY = 0.(34.19)
Соотношение (34.19) называют тождеством Якоби. Из него вытекает теорема Пуассона, утверждающая, что если функции f и g являются первыми интегралами уравнений движения, то скобки (/, g) также являются сохраняющейся величиной.
Рассмотрим вначале случай, когда сохраняющиеся величины ) и g не зависят явно от времени. Полагая в тождестве Якоби h — Н, получим:
Ф, У, gY = У, (Н, gY - (g, (Я, hY (34.20)
Отсюда видно, что если _(Н, f) = (Н, g) = 0, то (Н, (f, gY = 0 и, следовательно, величина (/, g) является сохраняющейся.
Покажем теперь, что если функции / и g удовлетворяют условию (34.3), то такому же условию удовлетворяет и величина (/, g), т. е.
g) = ^a, g) + (H, a, g))=o.
atat
Действительно, используя тождество (34.12) и заменяя скобки Пуассона (Д, (/, g)) разностью (34.20), получим:
.7 (A g) = &+ fA + (/- (Н, g)) - (g, (Н, /)) =
at\ot /\ ot)
= ^^ + (Н, g^ + ^ + (H, h. g) = 0,так как 7 + W, f) = ^ + (H, g) = 0 по условию. Отсюда сле-
дует, что (f, g) = const. Польза полученного результата заключается в возможности построения новых интегралов движения по известным сохраняющимся величинам. Однако во многих случаях применение теоремы Пуассона приводит к тривиальным результатам (например, использование сохраняющихся величин pt = const и pft = const приводит к равенству вида 0 = const, см. формулы (34.14)). В том случае, если скобки Пуассона (/, g) не сводятся к постоянной или к какой-нибудь функции исходных интегралов f и g, то на основании доказанной теоремы они дают новый закон сохранения.
Покажем, например, что из сохранения у свободной материальной частицы величин рх и Lz обязательно вытекает закон сохранения величины ру. Действительно, так как рх и L, интегралы движения, не зависящие явно от времени, то на основании доказанной теоремы Пуассона скобки (рх, £г) также должны быть интегралом движения. Но согласно (34.13)
(рл. Ьг) = ^ = £ ^ - WJ = Ру
§ 35. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯИ ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ
В § 28 показано, что уравнения Лагранжа (28.11) инвариантны относительно точечного преобразования (28.17), связывающего любые два набора обобщенных координат системы q, Q. Разумеется, что при любом преобразовании (28.17) сохраняют свою форму и канонические уравнения движения (33.4). Однако уравнения Гамильтона допускают более широкий класс преобразований. Это связано с тем, что в методе Гамильтона роль независимых переменных наряду с обобщенными координатами qa выполняют и обобщенные импульсы ра. Поэтому преобразования, сохраняющие форму канонических уравнений движения (33.4), относятся к классу преобразований
(Qa — Qa (?1, q», .... qs\ Pl, Рг- •••, Ps, 0 (“ = L 2, .... s), (35. 1)
l Да = Да (qi, q^qs; Pi, P2, Ps, 0
связывающих как наборы обобщенных координат q, Q, так и наборы обобщенных импульсов р, Р. Те из преобразований (35.1), при которых форма уравнений Гамильтона (33.4) не изменяется, носят название канонических преобразований.
Найдем условия, которым должно удовлетворять преобразование (35.1) для того, чтобы уравнения движения в новых переменных Q, Р имели вид
^ = -^ ^- = ^ (« - 1, 2, .... s),(35.2)
где Н* = Н* kQ,P> 0 — новый гамильтониан системы.
В примере 33.1 было показано, что канонические уравнения движения (33.4) в старых переменных q, р можно получить из принципа экстремального действия, записанного в виде
(35.3)(35.3)6 П2 р*—н ^р* ^dt]=°-
(35.3)
(35.3)
/, а=1
Аналогично уравнения движения (35.2) должны удовлетворять условию:
6j[2Wa-^(Q, Р, t)dt^ = O. (35.4)
Z, a=l
Но равенства (35.3) и (35.4) будут эквивалентны друг другу только в том случае, если стоящие в них подынтегральные выражения отличаются не больше чем на полный дифференциал некоторой функции F, т. е.
dF.dF.^ р, t)dt]-[^PadQa-H'((i, Р, t)dt] =a=l
dF.
dF.
(35.5)
Действительно, интеграл от разности (35.5) равен некоторой постоянной, а ее вариация обращается в нуль.
Таким образом, любое каноническое преобразование (35.1) характеризуется некоторой функцией F, называемой производящей функцией данного канонического преобразования. В общем случае производящая функция F зависит от 4s + 1 переменных qa, ра> Qa, Ра и t. Однако эти переменные удовлетворяют уравнениям преобразования (35.1), и поэтому число независимых переменных, от которых фактически зависит функция F, сокращается до 2s + 1 • Поэтому оказываются возможными следующие четыре типа производящих функций:
Л (q, Q, t), F, (я, Р, Z), F3 (р, Q, 0, р4 (р, Р, 0.
Рассмотрим каноническое преобразование с производящей функцией типа F, (q, Q, t). В этом случае выражения, стоящие под знаками интегралов (35.3) и (35.4), связаны соотношением (35.5) или
dF, (q, Q, 0 = 2 P«dqa - 2 P»dQa W' - #) dt, (35.5а) a=la=l
откуда видно, что
= (a =1,2 s);(35.6)
^a = -§ (« = !. 2.-. s)(35.7)
H' = H + dtH' = H + dtи
H' = H + dt
H' = H + dt
(35.8)
Уравнения (35.6) представляют собой s соотношений, содержащих только qa, ра, Qa и t. Из этих равенств можно выразить все новые обобщенные координаты Qa через qa, ра и 1. Таким образом мы получим первую часть преобразования (35.1). После этого, используя равенства (35.7), можно получить оставшиеся s уравнений преобразования (35.1). Наконец, уравнение (35.8) позволяет найти новый гамильтониан Н'.
Интересным преобразованием, относящимся к данному типу, является преобразование с производящей функцией
^1(9. Q, 0=2^<35-9>
а=1
Согласно (35.6), (35.7) уравнения преобразования (35.1) при этом будут иметь вид
Qa = Ра* Ра = -Ча^= 1 - 2s).(35.10)
Таким образом, преобразование (35.10) сводится к взаимному переименованию координат и импульсов (новые координаты совпадают со старыми импульсами, а новые импульсы отличаются от старых координат только знаком). Этот пример наглядно указывает на равноправие координат и импульсов в методе Гамильтона, в силу чего переменные qa и ра и называют канонически сопряженными величинами. Вместе с тем это указывает на условность наших представлений о переменных qa как о пространственных координатах и о ра как динамических переменных, измеряемых произведением массы на скорость. Различие между ними практически состоит только в названии, и поэтому при рассмотрении любого механического процесса нельзя противопоставлять его кинематику динамике и наоборот, ибо кинематическое и динамическое в движении любой механической системы составляют единое целое.
Чтобы получить уравнения канонических преобразований, соответствующих производящим функциям остальных трех типов, необходимо произвести в соотношении (35.5а) подходящее преобразование Лежандра. Например, если к обеим частям указанного со-
S
отношения прибавить слагаемое d^ Qa Ра, то соотношение (35.5а) а
принимает вид
dF, (q, P.t)-^ Padqa + 2 QadPa + («'- H) dt, (35.11) СС=я»1(1=1
где
F^q, Р, f)=F1(q, Q, f) + ^QaPa. (35.12) a=l
Отсюда видно, что формулами канонических преобразований с производящей функцией типа Рг (q, Р, f) являются:
Ра =Н' = Н + ~ •(35-13)
“ dqa* дРа*1 atх ’
В качестве конкретного примера подобного канонического преобразования можно указать преобразование, осуществляемое производящей функцией
f. = 2 Ъ ».. 0^(35.14)
a—1
где fa — функции старых обобщенных координат qa . При этом для новых координат Qa получаем выражения:
Qa = дёЛ — fa^4v PiPs' ^h
совпадающие с уравнениями точечного преобразования (28.17). Отсюда можно сделать вывод, что любое точечное преобразование является каноническим.
Важно отметить, что сам процесс движения механической системы можно рассматривать как непрерывное каноническое преобразование, производящей функцией которого является ее гамильтониан. Смысл этого утверждения сводится к следующему. Допустим, что qb pt — значения канонических переменных системы в момент времени I, а qt+м и pt-^м — их значения в некоторый другой момент времени t + М, бесконечно близкий к I. На основании принципа причинности можно утверждать, что величины qt-vM, Pt+м являются функциями qb pt и бесконечно малого интервала времени М, т. е.
Pt-VM = P^P<’ Рь д0; P<w = P(<?h Ри д0.(35.15)
Но значения канонических переменных в любой момент времени удовлетворяют уравнениям движения (33.4). Поэтому преобразование (35.15) является каноническим. Исходя из таких представлений о механическом движении, можно далее показать, что все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями некоторых бесконечно малых (или непрерывных) канонических преобразований, не изменяющих гамильтониан механической системы.
Обратимся теперь к рассмотрению свойств фазового пространства механической системы. Величину
dy — dqtdq2 ... dqs dp! dpt ... dp,(35.16)
емы соответствующих друг другу маковы:емы соответствующих друг другу маковы:будем называть элементом объема фазового пространства q, р системы. Поэтому 25-кратный интеграл J dy, взятый по неко- °л.рторой области aqip фазового пространства, будет представлять собой ее объем. Покажем, что эта величина инвариантна по отношению к любому каноническому преобразованию (35.1), т. е. если произвести каноническое преобразование от переменных q, р к переменным Q, Р, то объ- областей aqiP и Л^.р будут оди-будем называть элементом объема фазового пространства q, р системы. Поэтому 25-кратный интеграл J dy, взятый по неко- °л.рторой области aqip фазового пространства, будет представлять собой ее объем. Покажем, что эта величина инвариантна по отношению к любому каноническому преобразованию (35.1), т. е. если произвести каноническое преобразование от переменных q, р к переменным Q, Р, то объ- областей aqiP и Л^.р будут оди-Рт-J dr, aq,p Aq.pРт-J dr, aq,p Aq.p(35.17)(35.17)
емы соответствующих друг другу маковы:
емы соответствующих друг другу маковы:
будем называть элементом объема фазового пространства q, р системы. Поэтому 25-кратный интеграл J dy, взятый по неко- °л.р
торой области aqip фазового пространства, будет представлять собой ее объем. Покажем, что эта величина инвариантна по отношению к любому каноническому преобразованию (35.1), т. е. если произвести каноническое преобразование от переменных q, р к переменным Q, Р, то объ- областей aqiP и Л^.р будут оди-
будем называть элементом объема фазового пространства q, р системы. Поэтому 25-кратный интеграл J dy, взятый по неко- °л.р
торой области aqip фазового пространства, будет представлять собой ее объем. Покажем, что эта величина инвариантна по отношению к любому каноническому преобразованию (35.1), т. е. если произвести каноническое преобразование от переменных q, р к переменным Q, Р, то объ- областей aqiP и Л^.р будут оди-
Рт-J dr, aq,p Aq.p
Рт-J dr, aq,p Aq.p
(35.17)
(35.17)
где dr = dQ^Q^... dQs dP^dP^ ... dPs —элемент объема фазового пространства Q, Р. Действительно, как известно из математики, преобразование переменных в кратных интегралах производится по формуле
JJ ...j dq^ ... dq^dp^ ... dps = JJ DdQ^Q^ ... dQ^ ... dPs, aq,p aq,p
где D — якобиан преобразования (35.1). Но для любого канонического преобразования 0 = 1, что и доказывает справедливость утверждения (35.17).
Введение понятия о фазовом пространстве механической системы дает возможность сопоставлять ее действительное перемещение в реальном трехмерном пространстве с перемещением некоторой области aq-p фазового пространства, занимаемого этой системой. Допустим, что за время М область aqp (t) фазового пространства преобразуется (или перемещается) в область aqp (i + Д<) (рис. 35.1). Изменяется ли при этом объем, занимаемый областью aq,p (О? На этот вопрос отвечает так называемая теорема Лиувилля, утверждающая, что фазовый объем механической системы в процессе ее движения не изменяется, т. е.
J dy = const. (35.18)
Доказательство этой теоремы, имеющей важное значение для математического обоснования статистической физики, вытекает из инвариантности фазового объема механической системы по отношению
к каноническим преобразованиям и того факта, что сам процесс движения системы можно рассматривать как непрерывное каноническое преобразование.
§ 36. ДЕЙСТВИЕ
КАК ФУНКЦИЯ КООРДИНАТ И ВРЕМЕНИ
Чтобы сформулировать принцип Гамильтона — Остроградского (32.2) для систем с обобщенно-потенциальными силами и идеальными голономными связями, было введено понятие о действии механической системы как интеграле
S = j'L^, дг, .... qs; qv git .... gs, f)dt, (36.1) зависящем от вида конфигурационных траекторий системы, начинающихся и оканчивающихся в двух заданных конфигурациях системы А и В в моменты времени tx и /2 (Рис- 32.1). При варьировании действия сравниваются значения интеграла (36.1) для близких траекторий с одними и теми же значениями обобщенных координат qato и ?а М, т- е' принимается, что 6^а(У = 0 и 6qa (t2) = О, при этом действительному движению системы отвечает траектория, для которой 65 = 0.
В данном параграфе мы рассмотрим обобщение этого понятия. Допустим, что за время ^ — к система может перейти из конфигурации А в конфигурацию В или С (рис. 36.1), причем оба перехода АВ и АС являются действительными. С такой ситуацией мы сталкиваемся, например, в следующей задаче. Пусть два совершенно одинаковых тела бросают одновременно из точки О (рис. 36.2) с начальными скоростями ох и и2 под углами аг и а2 к горизонту, причем их sin ах = и2 sin ®2; хорошо известно, что за один и тот же промежуток времени первое тело падает в точку В с координатой хр = у, . „« cos а,
= — sin 2аь а второе — в точку С с координатой хс = хв •
Возможность постановки подобного рода задач указывает, что действие S механической системы следует рассматривать как функцию координат q, характеризующих конечную конфигурацию системы в момент времени t2. Изменение действия системы при переходе от траектории АВ к близкой к ней траектории АС определяется выражением (32.8)
Стоящий здесь интеграл обращается в нуль, поскольку обе траектории являются действительными и, следовательно, удовлетворяют уравнениям Лагранжа. В первом члене необходимо принять 6^а (У = 0, а значение 6qa (t2) обозначить через bqa. В результате получаем:
63 = 2рАг(36.2)
а=1
Отсюда следует, что частные производные от действия S по обобщенным координатам равны соответствующим им обобщенным импульсам:
ра = ^(« = 1, 2 s).(36.3)
Наконец, возможен еще один тип вариационных задач механики, когда рассматриваются переходы системы из одной и той же начальной конфигурации в одну и ту же конечную конфигурацию В (рис. 36.3), но за различные промежутки времени t2 — 4, t2 — tv и т. д. Примером, иллюстрирующим возможность таких переходов, может служить свободное падение тела в поле притяжения Земли. В зависимости от начальной скорости тела оно падает с одной и той же высоты Н за различные отрезки времени.
Возможность постановки подобных задач показывает, что в са-
мом общем случае действие механической системы следует рассматривать и как явную функцию времени. Чтобы найти частную производную dSjdt, необходимо вычислить полную вариацию ин
S = \ L (q, q, t) dt.S = \ L (q, q, t) dt.(36.4)(36.4)теграла (36.1), обусловленную как варьированием обобщенных координат qa, так и варьированием конечного момента времени t2 = t. Можно, однако, поступить проще, если определить действие механической системы как неопределенный интеграл
S = \ L (q, q, t) dt.
S = \ L (q, q, t) dt.
(36.4)
(36.4)
Из этого определения действия следует, что его полная производная по времени вдоль действительной траектории системы равна: ^=L.(36.5)
С другой стороны, рассматривая действие S как функцию обобщенных координат и времени и используя формулу (36.3), ту же производную можно представить в виде
dS dS , dS • as .c\
dt ~ di dq^a- di aa
Сравнивая выражения (36.5) и (36.6), находим:
ss
s
s
или
(36.7)(36.7)as = _dt
(36.7)
(36.7)
Таким образом, структура функции действия S Vh. q^q4, t) механической системы с обобщенно-потенциальными активными силами и голономными идеальными связями полностью определяется соотношениями (36.3) и (36.7). Действительно, на основании этих равенств можно записать:
откудаоткудаdS = ^Р^ - Hdt,a=ldS = ^Р^ - Hdt,a=l(36.8)(36.9)(36.8)(36.9)
откуда
откуда
dS = ^Р^ - Hdt,a=l
dS = ^Р^ - Hdt,a=l
(36.8)
(36.9)
(36.8)
(36.9)
Рассмотрим консервативную механическую систему, гамильтониан которой не зависит явно от времени и, следовательно, совпадает с ее полной энергией Е, т. е.
Н (q, р) = Е = const.
Заменяя в (36.9) функцию Гамильтона Н (q, р) постоянной Е, получим:
S (9i, q^ .... qs, t) = So (?„ 9г9J — ЕЦ — t^,(36.10)
где
(36.11)(36.11)So (91, 9»9»)= ^Ра^«-
(36.11)
(36.11)
0t=l
а интегрирование производится вдоль конфигурационной траектории системы. Функцию So (^i, q2, .... qs^ принято называть укороченным действием. Соотношения (36.3) и (36.7) для консервативной системы принимают вид
2£-<36J2>
Последнее из этих равенств указывает, что энергия Е и время t для консервативной механической системы образуют такую же пару канонически сопряженных величин, как и пары qa, ра. Для нерелятивистской механики этот вывод не столь уж существен, однако он приобретает важное значение в релятивистской механике СТО, где время выступает на равных правах с пространственными координатами.
Для свободной материальной частицы, движущейся в стационарном потенциальном поле U (г), соотношения (36.3), (36.10) и (36.11) принимают вид
р=^^80,(36.13)
dr
S (7, t) = So (7) — Et(36.14)
и
So (r) = Jp • dr = j рт - dr,(36.15)
где т = p/p — единичный вектор касательной к ее траектории. Укороченное действие частицы (36.15) можно переписать в виде
So[7(/)] = jK 2т{Е —l/[7(Z)]} dl, (36.16)
О
где dl — элемент длины ее траектории.
§ 37. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИИ ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
В предыдущем параграфе было показано, что действие S (q, I) механической системы с обобщенно-потенциальными активными силами и голономными идеальными связями удовлетворяет соотношению
—+ ^(<7V qe, ...» q; pv P1, .... ps, /) = 0,
где H = H (q, p, I) — гамильтониан системы. Если в этом соотношении обобщенные импульсы ра заменить частными производными
dS/dqa, то мы получим уравнение
6S . „ /dS dS dS X п .„_ ..
- + ^71,72z = °’(37J)
которому должна удовлетворять функция действия S (7, f). Это уравнение в частных производных первого порядка называется уравнением Гамильтона — Якоби. Оно является нелинейным уравнением, так как частные производные dS/dqa (или импульсы) входят в него во второй степени. Например, для свободной частицы массой т, движущейся в потенциальном поле U (г), уравнение Гамильтона — Якоби (37.1) имеет вид (если в качестве обобщенных координат частицы использовать ее декартовы координаты):
^ + 2[№+/^')2+/^21 + (/(7)=0.(37.2)
ot 2т / \ду /\ дг / J
Наряду с методами Лагранжа и Гамильтона уравнение (37.1) составляет основу еще одного метода интегрирования уравнений движения. Чтобы описать этот метод, введем понятие о полном интеграле уравнения Гамильтона — Якоби.
Полным интегралом уравнения (37.1) называют такое его решение, которое содержит столько же независимых произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных в этом уравнении. В уравнении Гамильтона — Якоби такими переменными являются обобщенные координаты qa и время t. Поэтому полный интеграл указанного уравнения должен содержать $ + 1 произвольную постоянную, если рассматриваемая система имеет s степеней свободы. При этом одна из указанных постоянных входит в полный интеграл уравнения (37.1) аддитивным образом, так как неизвестная функция действия S (7, 7) входит в уравнение (37.1) только через свои производные.
Таким образом, полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби (37.1) имеет вид
S = / (7, 71, 7г, •••, Ц^ «1, «2, •••, °Q + А, (37.3) где аь а2, .... а; и А — произвольные постоянные.
Допустим, что полный интеграл (37.3) уравнения (37.1) получен. Чтобы с его помощью найти решения уравнений движения, произведем каноническое преобразование от величин q, рк новым каноническим переменным, используя в качестве производящей функции функцию / (/, qv q2, ..., qs; av .... as) и рассматривая постоянные ап а2, ..., as в качестве новых обобщенных импульсов. Новые обобщенные координаты обозначим через рп р2, ■••• Ps-
Так как выбранная нами производящая функция канонического преобразования относится к типу F2 (q, Р, f)» то согласно формулам (35.13)
= н' = н + 5-<37Л>
dqL &zzdt
Но поскольку функция f удовлетворяет уравнению (37.1), то нетрудно видеть, что новый гамильтониан системы Н' обращается тождественно в нуль:
Н' = Н + — =Н + — = 0.
Лat
Поэтому канонические уравнения движения в новых переменных а,, Р/ принимают вид
=2-5).(37.5)
dp;ОСС/
откуда следует, что
а2 = const, рг = const (с = 1, 2s).(37.6)
С другой стороны, 2s уравнений вида
= P, = ^(i=l, 2, ..., s)(37.7)
дают возможность представить старые обобщенные координаты qt и импульсы pt как функции времени и 2s произвольных постоянных ап а2, .... а5 и Pi, р2, .... р^, т. е. найти общий интеграл канонических уравнений движения системы.
Таким образом, алгоритм решения динамической задачи, основанный на использовании уравнения (37.1), сводится к следующему ряду операций. По заданному гамильтониану системы составляют уравнение Гамильтона — Якоби (37.1) и каким-либо способом отыскивают его полный интеграл (37.3). Дифференцируя этот интеграл по произвольным постоянным а, и приравнивая частные производные dS/da^ новым произвольным постоянным р2, получают систему s алгебраических уравнений
2s),(37.8)
oat
решая которую можно определить обобщенные координаты qt как функции времени и 2s произвольных постоянных: at и 0/. Зависимость от времени обобщенных импульсов pt после этого можно найти по формулам (37.7).
Что касается нахождения самого полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, то в ряде случаев он может быть получен методом разделения переменных. Большую роль в методе разделения переменных играет выбор обобщенных координат. Например, в задаче о движении частицы в центрально-симметрическом поле возможно разделение переменных в полярных координатах, но невозможно в декартовых координатах. Случается, что для одной и той же задачи разделение переменных в уравнении (37.1) допускается несколькими системами обобщенных координат. Однако для многих практически важных задач (например, задачи трех тел) такое
разделение переменных оказывается невозможным ни в одной системе координат.
Важное значение уравнения Гамильтона — Якоби (37.1) состоит в том, что оно вскрывает аналогию между классической механикой частицы и волновым процессом, играющую важную роль при объяснении волновых свойств микрочастиц в квантовой механике.
Рассмотрим эту аналогию на примере свободной частицы, движущейся в стационарном потенциальном поле U (г). Как указывалось в § 36, ее функцию действия можно представить в виде
S (7, 0 = — Et + So (7),(37.9)
где укороченное действие S8 (г) удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби «без времени»:
(VSO)2 = 2т [£ - U (7)].(37.10)
Назовем поверхностью равного действия геометрическое место точек пространства, в которых действие частицы имеет некоторое постоянное значение, т. е.
S (г, /) = —Et + So (г) = const.(37.11)
Из этого выражения видно, что поверхности равного действия перемещаются со временем в пространстве, совпадая в каждый момент времени с некоторыми поверхностями укороченного действия So = const (рис. 37.1). Таким образом, движение поверхности S = = const подобно распространению фронта некоторой волны. Скорость этой волны, различная для различных точек поверхности S = const, определяется выражением и = dl/dt, где dl — расстояние, которое проходит волна за время di в направлении, перпендикулярном к поверхности S.
Представляя равенство (37.11) в виде
— Et 4- So [ г (I)] = const
и дифференцируя его по времени, имеем:
S!O>a S(dt)=6-Edt=aS!O>a S(dt)=6-Edt=aРис. 37ЛРис. 37Л— £ + vS»—— -0,
S!O>a S(dt)=6-Edt=a
S!O>a S(dt)=6-Edt=a
Рис. 37Л
Рис. 37Л
откуда, учитывая, что drldl = V-Sq/IvSoI и vSo = p, находим:
=(37.12)
| vS01 p mo
При движении поверхности равного действия S каждая ее точка перемещается по кривой, перпендикулярной как к поверхно-
сти So, так и к поверхности S, т. е. по кривой с касательной, направленной в каждой ее точке по направлению вектора импульса частицы р.
Таким образом, траектория частицы совпадает с кривой, описываемой при перемещении поверхности равного действия S какой- нибудь одной из ее точек. Это указывает, что движение классической частицы по траектории аналогично распространению световых лучей в геометрической оптике. Так же, как и траектория классической частицы, световой луч представляет собой кривую, которую описывает при своем перемещении в пространстве какая-нибудь точка поверхности равной фазы (или фронта электромагнитной волны). Об этом свидетельствует и тот факт, что уравнение (37.10), определяющее траекторию классической частицы, совпадает по форме с известным в геометрической оптике уравнением эйконала
(VL)2 = n2 М,(37.13)
где L — так называемый эйконал и п (г) — показатель преломления оптически неоднородной среды, в которой распространяется электромагнитная волна, т. е. отношение скорости света в вакууме к скорости света в данной среде.
Уравнение (37.13) можно получить из волнового уравнения
Af—-^ = 0,(37.14)
' с2 д^v '
где / — любая составляющая напряженности S электрического поля и индукции В магнитного поля электромагнитной волны. Если п постоянная величина, то одним из решений уравнения (37.14) является плоская монохроматическая волна
f (7, 0 = Ае* 5 ‘7~и/),(37.15)
где А, со — амплитуда и частота волны и к — волновой вектор, указывающий направление распространения волны; его абсолютное значение можно представить в виде
fe = — =n—=feon, й0 = —(37.16)
С Cl
(Хо — длина волны в вакууме).
Если же показатель преломления среды п является функцией г, то решение уравнения (37.14) приходится искать в виде
/(7, t) = А ^
где величину L (г) называют эйконалом или оптической длиной пути светового луча.
Вычисления показывают, что
ktna- f.(37.18)
А/ = [^- &о (vL)2] f + ik0 [AL + 2-^^] f. (37.19) Подставляя выражения (37.18), (37.19) в (37.14) и приравнивая нулю действительную и мнимую части получаемого при этом выражения, приходим к системе уравнений для определения амплитуды А и эйконала L электромагнитной волны (37.17):
АЛ + к^ (г) — (VLY^A = 0,(37.20)
A&L + 2vA vL = 0.(37.21)
Перепишем уравнение (37.20) в виде
/Ь ?. ДЛ + [я^) — (vL)2] А = 0.(37.22)
\2л /
Приближением геометрической оптики называют случай, когда можно пренебречь изменением показателя преломления среды на расстояниях порядка длины волны, т. е. когда длина волны исчезающе мала по сравнению с размерами оптической неоднородности среды. Формально это означает, что длина волны 70 -> 0. Выполняя в (37.22) указанный предельный переход, мы и приходим к уравнению эйконала (37.13). В этом предельном случае решение волнового уравнения (37.14) можно приближенно записать в виде
f (г, t) =Aew^""tot\(37.23)
где амплитуда А считается не зависящей от г. При этом поверхности
k^L (г) — tot = const (37.24) называют поверхностями равной фазы. При перемещении со временем в пространстве поверхности (37.24) все ее точки описывают кривые, ортогональные к данной поверхности и называемые лучами. Направление луча определяется волновым вектором к = k^L. Представляя равенство (37.24) в виде
k0L [г (/)] — tot = const
и дифференцируя его по времени, получим скорость распространения фронта электромагнитной волны. Она оказывается равной:
(37.25)(37.25)dl <о <о di кй | v L | к "
(37.25)
(37.25)
Сопоставляя формулы (37.10) — (37.12) с формулами (37.13), (37.24) и (37.25), нетрудно установить аналогию между величинами,
характеризующими движение классических частиц и распространение световых лучей:
8(7, t)~ koL (7) —(37.26а)
So (г) ~ &0L (г), Е ~ ®» Р ~ ^(37.266)
2m [Е — U (7)] — и2 (7).(37.26b)
Чтобы соответствие между величинами, стоящими в левых и правых частях равенств (37.26), было полным, включая размерности, необходимо левые части этих равенств умножить на постоянный коэффициент с размерностью действия. В квантовой механике постулируется, что такой величиной является постоянная Планка Л = 1,054 • 10-34 Дж • с, называемая также квантом действия.
Рассмотренная аналогия между классической механикой и геометрической оптикой была установлена Гамильтоном в 1834 г, однако ее физический смысл оставался неясным вплоть до рождения современной квантовой механики. Только в 1926 г. де Бройлем и Шредингером было показано, что истинный смысл оптико-механической аналогии состоит в том, что она указывает на существование у материальных объектов волновых свойств наряду с корпускулярными свойствами.
Согласно нерелятивистской квантовой механике поведение любого микрообъекта, движущегося в потенциальном поле U (г), описывается некоторой волновой функцией ф (г, t), являющейся решением квантовомеханического уравнения движения
^^ = -?^Ч + г/(ИФ,(37.27)
dt 2т
называемого уравнением Шредингера. Физический смысл ф-функции состоит в том, что величина | ф |2/dV определяет вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема dV пространства.
Покажем в заключение, что уравнение Шредингера (37.27) в пределе при h -* 0 переходит в уравнение Гамильтона — Якоби (37.2).
Действительно, волновую функцию микрочастицы при Л -»■ 0 по аналогии с выражением (37.23) можно представить в виде
Ф(Г, 0 = ЛеА .(37.28)
Далее можно показать, что
ih^=_8S ^(37.29)
dt St
и
- £ V^ = U (vS)8 -AS] ip. (37.30)
Подстановка выражений (37.29), (37.30) в (37.27) приводит к уравнению или
^ + Q-(vS)2 + ^(7)-^AS =0.(37.31)
ot 2т2т
Отсюда видно, что уравнение (37.31), а вместе с ним и уравнение Шредингера (37.27) при Й ->- 0 переходят в уравнение Гамильтона — Якоби (37.2). Существование предельного перехода от уравнения Шредингера к уравнению Гамильтона — Якоби и дает основание рассматривать механику Ньютона как предельный случай более общей квантовой механики, пригодной для описания движения как микроскопических, так и макроскопических объектов.
ГЛАВАГЛАВА
ГЛАВА
ГЛАВА
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 38. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯОДНОМЕРНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Малые колебания являются наиболее распространенным типом движения механических систем. Такое движение возникает при малых отклонениях механической системы от положения ее устойчивого равновесия или небольших отклонениях от режима устойчивого движения. Теория малых колебаний широко применяется при исследовании как механических, так и немеханических систем (например, в акустике, теории молекулярных спектров, теории колебаний электрических цепей и т. д.).
Рассмотрение малых колебаний мы начнем с наиболее простого случая механической системы с одной степенью свободы. Допустим, что на одномерную механическую систему наложены стационарные и голономные связи. Как показано в § 29, лагранжиан такой системы можно представить в виде
L = T(q, q) - U(q), Т = If (?) q\ (38.1)
где q — обобщенная координата, Т (q, q) — кинетическая энергия и U (?) — внутренняя потенциальная энергия системы. Состоянию устойчивого равновесия соответствует такое положение системы ?0, в котором ее потенциальная энергия имеет минимальное значение. При отклонениях системы от положения равновесия ?0 возникает сила — dU/dq, стремящаяся вернуть систему в исходное положение равновесия. Поэтому система, получившая в начальный момент времени /0 достаточно малое отклонение q — ?0 и достаточно малую начальную скорость ?0, при любом / ^ /0 не выйдет за пределы небольшой окрестности точки ?0, при этом ее обобщенная скорость q также будет достаточно мала.
С помощью лагранжиана (38.1) можно исследовать любое произвольное движение системы, однако для изучения ее малых колебаний указанный лагранжиан следует преобразовать, привести к более простому виду. С этой целью введем новый независимый параметр
x = q — q0, х = q, (38.2)
называемый смещением системы, и произведем разложение функции Лагранжа (38.1) в ряд по степеням х и х с точностью до величин второго порядка малости.
Разложение потенциальной энергии системы U (q) по степеням смещения х в указанном приближении имеет вид
и^и^W )q=q»W )q=q», 1 (d?U\хН— —2 \dqe )d=q„, 1 (d?U\хН— —2 \dqe )d=q„X2,X2,
и^
и^
W )q=q»
W )q=q»
, 1 (d?U\хН— —
2 \dqe )d=q„
, 1 (d?U\хН— —
2 \dqe )d=q„
X2,
X2,
или, если принять U (q^ = 0 (т. е. условиться отсчитывать потенциальную энергию от ее минимального значения) и учесть, что обобщенная сила, действующая на систему в положении равновесия, обращается в нуль, т. е. (dUldq)^ = О,
U^=k^ (38.3)
где
'<PU\^q2Ь=д»'<PU\^q2Ь=д»>0.>0.(38.4)(38.4)
'<PU\
^q2Ь=д»
'<PU\
^q2Ь=д»
>0.
>0.
(38.4)
(38.4)
Постоянную к, определяемую формулой (38.4), называют силовым коэффициентом или динамическим параметром колебательной системы.
Кинетическую энергию в том же приближении можно представить следующей формулой:
ТТ1— тх, 21— тх, 2(38.5)(38.5)
Т
Т
1
— тх, 2
1
— тх, 2
(38.5)
(38.5)
где величину
(38.6)(38.6)m = / (<?о)
(38.6)
(38.6)
называют кинематическим параметром системы.
Таким образом, функцию Лагранжа одномерной механической системы, совершающей малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия, с точностью до величин второго порядка малости по х и х (или в так называемом гармоническом приближении) можно представить в виде
(38.7)(38.7)^ тх2 hx1
(38.7)
(38.7)
— ~2~Т
Механическую систему с лагранжианом (38.7) обычно называют линейным гармоническим осциллятором. Заметим, что гармоническое приближение (38.7) для точного лагранжиана (38.1) перестает быть справедливым, если не выполняется хотя бы одно из следующих двух условий:
а «у, а « —, (38.8)
гдегде1 =1 =st;11"st;11"Дч)оДч)о
где
где
1 =
1 =
st;11"
st;11"
Дч)о
Дч)о
и a—максимальное смещение системы из положения равновесия.
Используя лагранжиан (38.7), можно получить следующее уравнение движения системы вблизи положения устойчивого равно
весия q0:
тх = — кх
или
(38.9)(38.10)(38.9)(38.10)х + (йоа: = О, где введено обозначение
(38.9)
(38.10)
(38.9)
(38.10)
2 к0)0 = —•т
Уравнение (38.9) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами; поэтому колебания механической системы, описываемые уравнением (38.9), называют линейными. Кроме того, уравнение (38.9) является однородным; колебания системы, описываемые однородными уравнениями, называют собственными или свободными колебаниями.
Обобщенную силу Q = —кх, возникающую при отклонении системы из положения устойчивого равновесия, называют обобщенной квазиупругой силой. В роли квазиупругой силы могут выступать самые различные силы, — например, в пружинном маятнике такой силой является сила упругой деформации пружины, а в мате
матическом маятнике — составляющая момента силы тяжести.
В молекулярной физике моделью гармонического осциллятора служит двухатомная молекула. В этом случае кинематическим параметром т является приведенная масса атомов Л и В, образующих молекулу АВ, а в качестве квазиупругих сил выступают химиче
ские силы. Действительно, пусть энергия взаимодействия атомов,
Рис. 38.1Рис. 38.1образующих молекулу, характеризуется функцией U (г), где г — мгновенное межъядерное расстояние, и равновесному состоянию молекулы соответствует межъядерное расстояние ге (рис. 38.1). Тогда разложение энергии взаимодей- сгвия атомов в ряд по степеням смещения х = г — ге будет иметь вид
Рис. 38.1
Рис. 38.1
кх12кх12Щг)~Щге) + (^-\ (г-ге) + \dr )r=re
кх12
кх12
Двумя независимыми решениями линейного и однородного дифференциального уравнения (38.9) являются функции cos соо 1, sin coo / или е1й«‘, е~№»*. Поэтому его общее решение можно представить в виде
х ^ = Xi cos соо t + Д2 sin ю0 t (38.11) или
х ^ = C/V + С^е-1^, (38.12) где в отличие от Дг и Д2 произвольные постоянные Сг и С2 являются комплексно сопряженными величинами, т. е. С2 = С?. Представляя эти постоянные в виде
где а и а — новые действительные постоянные, можно получить третью форму представления общего решения уравнения (38.9):
х ^f) = a cos (соо / + а).(38.13)
Выражение (38.13) показывает, что вблизи положения устойчивого равновесия механическая система совершает гармоническое колебательное движение. Максимальное отклонение а системы от положения равновесия называют амплитудой колебаний, а аргумент косинуса — их фазой, при этом постоянная а именуется начальной фазой. Постоянные а и а определяются через начальные значения х (0) = х0 и и (0) = оо координаты и скорости системы по формулам:
а= + tga =(38.14)
’Wqюохо
Постоянную о)о, определяемую согласно (38.10) кинематическими и динамическими свойствами самой колеблющейся системы, называют собственной частотой. Собственная частота ®0 не зависит от начальных условий движения системы. Следует, однако, иметь в виду, что указанное свойство частоты соо есть следствие линейности колебаний и оно исчезает, если в разложении лагранжиана (38.1) учесть члены более высокого порядка относительно х и х (см. далее § 42).
Во многих случаях смещение системы х (/) удобно представлять в виде действительной части комплексного выражения
x(0 = Re{4e'®’/},(38.15)
где А = ае1а — комплексная амплитуда колебаний (ее модуль совпадает с действительной амплитудой а, а аргумент — с начальной фазой а).
Комплексное представление колебаний (38.15) удобно тем, что многие математические операции с экспоненциальными функциями
выполняются проще, чем с тригонометрическими (например, дифференцирование и интегрирование этих функций не меняют их вида). Следует, однако, помнить, что такое представление колебаний дает правильные результаты лишь до тех пор, пока мы имеем дело с линейными операциями (сложение, умножение на постоянное число, дифференцирование и интегрирование), при этом в дальнейшем мы будем часто опускать знак Re взятия действительной части, переходя к ней лишь в окончательных результатах. Во всех случаях, когда требуется произвести нелинейную операцию (например, возвести смещение х в квадрат), будем переходить к представлению колебаний в тригонометрической форме (38.13).
Полная энергия системы, совершающей малые колебания, сохраняется:
(38.16)(38.17)(38.16)(38.17)п тх4 , кх-,
(38.16)
(38.17)
(38.16)
(38.17)
Е == const.
22
Подстановка сюда выражения (38.13) показывает, что
Е = —^—,2
т. е. полная энергия системы пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.
Таким образом, свободные колебания одномерной системы с энергетической точки зрения представляют собой процесс непрерывного превращения механической энергии системы из одного ее вида в другой. При этом средние по периоду колебаний Т = 2л/а>0 значения кинетической и потенциальной энергии системы оказываются равными:
—— р т®£а4
Т ==(38.18)
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА В ОТСУТСТВИЕСИЛ ТРЕНИЯ
Собственные колебания линейного гармонического осциллятора, рассмотренные в предыдущем параграфе, происходят в отсутствие переменных внешних полей и сил трения, действующих на колеблющуюся систему со стороны окружающей среды. Рассмотрим, какие изменения в характер малых колебаний системы вносит действие переменного внешнего поля.
При наличии внешнего поля к собственной потенциальной энергии системы &х2/2 прибавляется потенциальная энергия U^^q, О, обусловленная действием этого поля. Мы будем предполагать, что это внешнее поле достаточно слабое, так что колебания системы по- прежнему можно считать малыми. Разлагая внешнюю часть потен-
циальной энергии системы в ряд по малому параметру х, получим:
U^(q, f)«№4q0, 0+ х; x = q — q0.(39.1)
\ иЧ 14—чо
Здесь первый член t/(e)(^0, 0 может быть представлен в виде полной производной по времени от некоторой функции времени и поэтому при подстановке в лагранжиан системы может быть опущен. Во втором члене производная — (dU^/dq) представляет обобщенную силу, действующую на колеблющуюся систему в положении равновесия со стороны переменного внешнего поля. Эту силу называют возмущающей, или вынуждающей.-, она является заданной функцией времени, т. е.
-= F(39.2)
\ dq h=q» х’х *
Таким образом, при наличии переменного внешнего поля лагранжиан гармонического осциллятора принимает вид
L = ^- (х2 — оо х2) + xF (t),(39.3)
где о)о — частота свободных колебаний осциллятора.
Уравнением движения осциллятора теперь является линейное неоднородное дифференциальное уравнение вида
х+юох=— F(ty(39.4)
т
Его общее решение складывается из двух слагаемых: х = х0 + х1( где х0 — общее решение однородного уравнения (38.9), описывающее свободные колебания осциллятора, рассмотренные в § 38, и
хг — частное решение неоднородного уравнения вающее вынужденные колебания системы. Таким образом, задача, по существу, сводится к отысканию частного интеграла хг уравнения (39.4). Вид этого интеграла существенно зависит от характера возмущающей силы F (^).
Рассмотрим вначале случай, когда вынуждающая сила постоянна, т. е. F (0 = Р. Такая ситуация, например, имеет место для пружинного маятника (рис. 39.1). Частный интеграл уравнения (39.4) в этом случае можно представить как хг = P[mto2, а его общее решение записать в виде
Р
х = a cos (tooi + а) 4
mtog
или
(39.4), описы-(39.4), описы-fх,х'Рис. 39.1fх,х'Рис. 39.1РО *(39.5)РО *(39.5)х' = a cos (ю0< 4- а); х' = х — Хст = х
(39.4), описы-
(39.4), описы-
f
х,х'
Рис. 39.1
f
х,х'
Рис. 39.1
Р
О *
(39.5)
Р
О *
(39.5)
Таким образом, единственным изменением, которое вносится в характер малых колебаний одномерной системы действием постоянной вынуждающей силы, является смещение центра колебаний на отрезок Хст. Величину Хст называют статическим смешением положения равновесия.
Наибольший практический интерес представляет случай, когда вынуждающая сила — периодическая функция времени
F (0 = Fo cos (у/ + р),(39.6)
где Fo, у — амплитуда и частота вынуждающей силы, ар — ее начальная фаза. Уравнение движения (39.4) в рассматриваемом случае принимает вид
х + <4 х = —0 cos (yt + р).(39.7)
Частное решение этого уравнения будем искать в виде
Х1 = В cos (у/ + р).(39.8)
При подстановке выражения (39.8) в уравнение (39.7) последнее должно обращаться в тождество, т. е.
(0)0 — у2) В cos (yt + Р) S ^ COS (у/ + Р). т
Отсюда следует, 4то
Прибавляя к выражению (39.8) общее решение уравнения (38.9), получим следующий закон малых колебаний осциллятора:
х (0 = a cos (<V + а) + ——р—- cos (у/ + р),(39. Ю)
«(оо-Т2)
где произвольные постоянные а и а определяются из начальных условий движения системы.
Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы одномерная система вблизи положения устойчивого равновесия совершает движение, представляющее собой наложение двух гармонических колебаний: собственного колебания с частотой <оо и вынужденного колебания с частотой вынуждающей силы у. В отсутствие сил трения вынужденные колебания осциллятора происходят либо синхронно с изменением вынуждающей силы (при у < < соо), либо отстают по фазе на угол л (при у > соо). Случай у = = <оо требует специального рассмотрения. Рассмотрим энергетические превращения, происходящие в механической системе, совершающей вынужденные колебания. Допустим, что в начальный момент t = 0 система находится в положении равновесия и покоится, т. е. х (0) = 0 и х (0) = 0. Пусть на систему действует вынужда-
ющая сила F = Fo cos у/, причем 2у = ш0. Закон движения рассматриваемой системы согласно (39.10) имеет вид
•F
х^ =а cos (2у/ + а) Н— cos у/.
З/пу2
Из начальных условий находим: а = 0 и а=—F0/3my®. Поэтому : окончательно можно записать:
х (0 = -^- (cos у/ — cos 2yZ), х (0 = —— (2sin 2yZ — sin у/). (39.11) 3/ny23my
Запишем внутреннюю энергию колеблющейся системы:
Ео(О-~(^ + «2х®).
Подставляя сюда выражения (39.11), находим:
£0 ^18^ (5 + 3c°s2 8COS3 ^'
откуда
F2
—° = — (4cos у/ — 1) sin 2у/.(39.12)
di 6/пу
С другой стороны, энергия, затрачиваемая в единицу времени на раскачку системы источником вынуждающей силы (т. е. переменным внешним полем), равна:
с2
N =— xF (t) —— (4cos у< — 1) sin 2у/.(39.13)
6my
Выражения (39.12) и (39.13) показывают, что в процессе вынужденных колебаний системы происходит непрерывный обмен энергией между колеблющейся системой и источником вынуждающей
силы, при этом суммарная энергия колеблющейся системы и внешне
го поля остается неизменной (в отсутствие сил трения никакого поглощения механической энергии не происходит).
Величину b (у)—Fo/| m(o^— у2)|, входящую в закон колебаний осциллятора (39.10), называют амплитудой вынужденных колебаний. Из рисунка 39.2, на котором графически изображена зави
симость этой величины от частоты вынуждающей силы у, видно, что при у=Юо амплитуда вынужденных колебаний испытывает бесконечный разрыв. Это явление носит название резонанса. Отсюда следует, что полученное нами решение (39.10) при у = й)0 становится неприменимым.
Чтобы получить общее решение уравнения (39.7), пригодное и при у = <d0, следует заметить, что в силу произвольности постоянных а и а решение (39.10)
всегда можно переписать в виде
х (0 = a cos (coot + а) Н— [cos(y/ + 0) — cos(o>0f+0)].(39.14)
m(too —Vs)
При у-> «о второй член в правой части выражения (39.14) дает неопределенность вида 0/0. Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя, находим:
х (0 = a cos (®0/ + а) ф sin (®0/ + 0)(39.15а)
2/ло0
ИЛИ
х (0 = a cos (соо/4-а) Н—— cos [®0/ + 0 — — \(39.156)
Таким образом, при резонансе амплитуда вынужденных колебаний нарастает по линейному закону. Кроме того, вынужденные колебания (даже в отсутствие сил трения) оказываются сдвинутыми по фазе относительно вынуждающей силы на угол л/2. Заметим, что закон колебаний осциллятора (39.15) справедлив только до тех пор, пока колебания не перестанут быть достаточно малыми.
В заключение рассмотрим вынужденные колебания осциллятора вблизи резонанса, когда у = соо + е, где в <^ соо. С этой целью представим общее решение (39.10) в комплексном виде
х(0 =[Л — Ве'еУ“<(39.16)
где
А = aeia, В= be*, b =(1 + — V\
2mmoe \ 2соо/
Величина А — BelEt является медленно меняющейся функцией по сравнению с фазовым множителем ехр (ш00- Поэтому вынужденные колебания осциллятора вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания с переменной (или модулированной) амплитудой, при этом выражение (39.16) можно переписать в виде х (/) = Re [С (О е‘“0<] = с (0 cos [®0/ + 6(0 J, (39.17) где
С (0 = с (0 el6(<) = А — BeiEt.(39.18)
Приравнивая в (39.18) действительные и мнимые части, получаем:
Г с (/) cos 6 (/) = a cos а — b cos (в/ + 0),( с (/) sin 6 (/) = a sin а — b sin (в/ + 0).
Отсюда находим:
с2 (0 = а2 + 62 — 2й6 cos (в/ + 0 — а);(39.19)
6(0 = arcctgMcosa-»cos(e/ + P)l20
[а sin а — 6 sin (е/ + ₽) ]
Выражения (39.19) и (39.20) показывают, что модулированная амплитуда с (<) и фазовая переменная 6 (Z) периодически колеблются с частотой е между некоторыми предельными значениями, а именно:
(39.21)(39.21)| а — b | ^ с (/) ^ а + Ь,а — arcctg -2- ^ б (<) ^ а + arcctg -2.
(39.21)
(39.21)
Поэтому вынужденные колебания вблизи резонанса называют биениями.
СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ
Свободные колебания линейного гармонического осциллятора, если они происходят в вязкой среде, постепенно затухают в результате действия со стороны среды диссипативных сил трения. Как было показано в § 29, для полного описания движения механической системы, подверженной действию сил вязкого трения, необходимо наряду с лагранжианом ввести диссипативную функцию Рэлея (29.19), описывающую процесс рассеяния механической энергии. Для одномерной механической системы, совершающей малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия, указанные функции имеют вид
L = ^ (? — со=х2), Ф = 1 ах2.(40.1)
Соответствующее им уравнение Лагранжа (29.21) можно представить так:
х + 2Хх + ИоХ = 0,(40.2)
где
Ю2 = А, 2Х = —.(40.3)
тт
Общее решение линейного и однородного дифференциального уравнения (40.2) можно записать в виде
х (0 = С/11 + С/*\(40.4)
где г12 — корни характеристического уравнения г2 + 2Xr + too = = 0, т. е.
гьа = -Х + Кх4-®2,(40.5)
при этом следует различать три случая:
Если X < to0 (это означает, что силы вязкого трения малы по сравнению с действующими в системе квазиупругими силами),
то корни характеристического уравнения оказываются комплексно сопряженными:
г12 = — X ± «», где и = Г«2 — X2.(40.6)
При этом общее решение (40.4) можно представить в виде
х(0 = e~wRe{A?‘“'),(40.7)
где Л = aeta — произвольная комплексная амплитуда. По аналогии с выражениями (38.11) и (38.13) это решение можно также переписать в виде
х (/) = е-м (Лх cos tot + Л2 sin mt)(40.8)
или
х (t) = сиГм cos (и/ + а).(40.9)
Движение системы, описываемое формулами (40.7)—(40.9), представляет собой свободные затухающие колебания, т. е. колебания с экспоненциально убывающей амплитудой Л = ав"^ (рис. 40.1). Скорость убывания амплитуды характеризуется показателем X, называемым коэффициентом затухания. За время т = = 1/Х амплитуда колебаний уменьшается в е раз. На этом основании величину т называют временем релаксации свободных колебаний.
Затухающие колебания (40.9) не представляют собой периодического процесса, так как нельзя указать такое время Т, чтобы имело место равенство х (t) = х (t + Т). Однако некий элемент периодичности сохраняется и у затухающих колебаний. Он состоит в том, что система через равные промежутки времени 7']=2л/© проходит через положение равновесия. Поэтому величину 1\ называют условным периодом затухающих колебаний. Он связан с периодом Т = 2л/©0 незатухающих собственных колебаний системы формулой
,~ _ 2л 1— Т /1^ \ -1/2
V ю0V ю0к “о/(40Л°)
V ю0
V ю0
В частности, при X < ©0
1 + — У
(40.11)
Таким образом, условный период затухающих колебаний всегда больше периода собственных колебаний системы. Это, между прочим, заранее очевидно, так как действие сил трения всегда замедляет дви-
Рис. 40.1жение.
Рассмотрим теперь полную внутреннюю энергию системы. Используя формулу (40.9), ее можно представить в виде
£ = ^о^ „-2Х/ 1 +-^— cos 2 (tot 4- а) + —i /1—— sin2(co/4-a)
2®о“° V “о
С помощью этого выражения можно показать, что
dE didE di=-2Ф№,=-2Ф№,(40.12)(40.12)
dE di
dE di
=-2Ф№,
=-2Ф№,
(40.12)
(40.12)
е. что вся энергия, теряемая системой в единицу времени, расходуется на преодоление сил трения. При X < и0 полная внутренняя энергия системы изменяется по закону
Е^Е^, Ео=^. (40.13) и и 2
Остюда видно, что запас энергии системы уменьшается значительно быстрее убывания амплитуды колебаний.
Если X > <оо (т. е. когда квазиупругие силы малы по сравнению с силами трения), то оба корня (40.5) характеристического уравнения являются действительными и отрицательными. В этом случае движение системы состоит в монотонном убывании смещения х, т. е. в асимптотическом приближении системы к положению устойчивого равновесия при t -> со по закону
х ® = е~ы (С^ + С^, где б = КХ5^.(40.14)
Такое движение называется апериодическим затуханием. На рисунке 40.2 графически представлены два возможных типа апериодического затухания: с переходом (при и0 < 0) и без перехода (при v0 > 0) через положение равновесия.
Когда X = to0, характеристическое уравнение (40.5) имеет двукратно вырожденный корень г1Д = —X. Общее решение (40.4)
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯОДНОМЕРНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ
Рассмотрим теперь вынужденные колебания одномерной механи* ческой системы с учетом сил вязкого трения, действующих на нее со стороны окружающей среды. Малые колебания в этом случае описываются уравнением Лагранжа
d dLdL6Ф
dx "dx
где
L = ^ (x2 — alx^ + xF(t), Ф=1ах3.
Остановимся подробно на представляющем наибольший практический интерес случае периодической вынуждающей силы F (/) = = Fo cos (у/ + Р) или F (#) = Re (^*7<), где / = F^. Уравнение Лагранжа (41.1) в этом случае принимает вид
х + 2Хх + ®3 х = — e‘7f. (41.2)
Будем предполагать, что коэффициент затухания системы X < ю0. В этом случае общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (41.2), имеет вид (40.9), а частный интеграл Xj самого неоднородного уравнения (41.2) удобно искать в виде х3 = = Ае^. Подстановка этого выражения в уравнение (41.2) дает: (^-уг + 2ёХу)А^Д
откуда
А =t=
"1 ( tog — у2 + 2tXy) m ( to^ — у2 + 2iXy )
или
(41.3)(41.3)А = В^, В = Ье~,а =.
(41.3)
(41.3)
m ( tog — у2 + 2iXy )
Таким образом, общее решение уравнения (41.2) можно окончательно представить в виде
х (0 = ae~xt cos (<о/ + а) + b cos (у/ + 0 — а).(41.4)
Здесь первое слагаемое, описывающее свободные колебания системы, экспоненциально убывает со временем, так что к моменту ^ ^> 0 в общем решении (41.4) остается только второе слагаемое:
(41.5)(41.5)х (/) = b cos (у/ + ₽ — о).
(41.5)
(41.5)
Это означает, что К укаЗанйому моменту Времени в системе устанавливается стационарный режим гармонических вынужденных колебаний с частотой, равной частоте вынуждающей силы у.
Найдем амплитуду b и сдвиг фазы а вынужденных колебаний.
Умножая В на В* и извлекая квадратный корень, получаем:
(4L6)(4L6)ь (у) = V вв* = —г.2»=
(4L6)
(4L6)
''mK(^-T2)2+4XV
Чтобы найти сдвиг фазы ст, представим второе равенство (41.3) в виде
— (й2 — у2 — 2iXy) — cos а — i sin о.
Приравнивая здесь действительные и мнимые части, находим: sin ст = ^^ , cos ст = — (го2 — у2)(41.7)
и, следовательно,
ст(у) = arctg—.(41.8)
Зависимость амплитуды b (у) установившихся вынужденных колебаний от частоты у вынуждающей силы при различных значениях коэффициента затухания X представлена графически на рисунке 41.1, из которого видно, что все кривые b (у) начинаются из точки с у = 0 и ординатой, равной Затем по мере
при этомпри этом(41.9)(41.10)(41.9)(41.10)роста у амплитуда b (у) резко возрастает и тем быстрее, чем меньше X. При некотором значении у каждая кривая 6(у) достигает максимума. Этот максимум соответствует частоте ylf при которой минимально подкоренное выражение ср (у) = (йд — у2)2 + 4Х2у2 в формуле (41.5). Нетрудно показать, что производная dq>/dy обращается в нуль при частоте вынуждающей силы, равной
при этом
при этом
(41.9)
(41.10)
(41.9)
(41.10)
^тах б (у1) ——
2тХу <02-Х’
Из последних формул видно, что при X -► 0 резонансная частота У1 -* to0, а максимальная амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний в окрестности частоты yt носит название амплитудного резонанса.
Зависимость сдвига фазы ст (у) вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы у при различных значениях X представ-
лена на рисунке 41.2, из которого видно, что при у < ю0 вынужденные колебания сдвинуты по отношению к вынуждающей силе на угол о < л/2, а при у > соо — на угол а >л/2. Изменение о от нуля до л происходит в сравнительно узкой области, примыкающей ко второй резонансной частоте у2 = w0. Крутизна кривых о (у) в указанной области тем больше, чем меньше коэффициент затухания свободных колебаний Z. Все кривые о (у) пересекаются в точке (tog, л/2); поэтому при у = ш0 вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на угол л/2 независимо от значения коэффициента затухания X. При X = 0 изменение о от нуля до л происходит скачком в точке у = со0.
Обратимся теперь к рассмотрению энергетических превращений в системе, совершающей вынужденные колебания (41.5). Покажем прежде всего, что среднее (по периоду т = 2л/у вынужденных колебаний) значение внутренней энергии системы постоянно.
Действительно, мгновенное значение внутренней энергии системы, колеблющейся по закону (41.5), равно:
£ = ^ (? + ^2) =sin2 (v/ + р _ о) +
Н^-cos2(y/ + P —о).
Если это выражение усреднить по промежутку времени, равному периоду вынужденных колебаний, и учесть, что
sin2 (у/ + р —о ) = cos2 (у/ + р — о) = р
то получим:
£ = р ((1)2 + У2) = const.(4111)
С другой стороны, колеблющаяся система непрерывно производит работу против сил трения, действующих на нее со стороны вязкой среды. В среднем ежесекундный расход энергии,
затрачиваемой системой на преодоление сил трения, равен: Мтр =—ах2=—ay2b2sin2(y/+p —о) =—у ay2b2=—mXyV. (41.12) Очевидно, что этот расход компенсируется энергией, передаваемой системе источником вынуждающей силы. Действительно, используя соотношения (41.7), можно показать, что
^вынуж = X F (0 = — ybFQ cos (yi + Р) sin (Т< + р — ст) =
= Y^o [sin СТ COS2 (у? + Р) — cos ст sin (у/ + Р) COS (у/ + Р)] =
= ^ ybFp sin ст = тХ^Ь2.(14.13)
Таким образом, величину J (у) = тХу2Ь2 можно рассматривать как меру поглощения энергии системой в единицу времени. Подставляя сюда явное выражение (41.6) для амплитуды колебаний,
получим:
(41.14)(41.14)J (у) =
(41.14)
(41.14)
т ( “о — V2)2 + 4Х2у2
Полученную зависимость J (у) называют дисперсионной кривой поглощения энергии-, вид этой кривой представлен на рисунке 41.3. Из этого рисунка видно, что поглощение энергии системой, совершающей вынужденные колебания в вязкой среде, имеет ярко выраженный резонансный характер: поглощение в основном происходит в сравнительно узкой области частот, примыкающей к резонансной частоте у2 = <о0; при у = ю0 поглощение энергии максимально и равно: Jo=J (a>o)=Fl/4mX. Явление резкого возрастания поглощения энергии в окрестности частоты у2 носит название энергетического резонанса или резонанса скоростей, так как амплитуда скорости системы yb (у) также максимальна при у = соо.
Перейдем в выражении (41.14) к новой переменной е, определяемой формулой у = w0 + е, где —и0 ^ е < +°°- Учитывая при этом, что поглощение энергии в основном происходит в резонансной области частот, т. е. при е < ®0, можно приближенно принять:
■ у2 « ©о. too — У2 = (too + Y) (too — у) » — 2<00е, после чего выражение (41.14) принимает вид
J (е) = J —?L— j j (0)= А. (41.15) х ' 0 е2 + X2 ° ' 4тХ
Зависимость (41.15) называют резонансной кривой поглощения; ее вид представлен на рисунке 41.4. Так как J(—соо) < Je, мы можем формально продолжить эту кривую в нефизическую область —оо < е < —и0, при этом она становится симметричной относительно оси ординат.
Введем понятие о полуширине резонансной кривой. Полушириной указанной кривой будем называть такое значение е = Г, при котором интенсивность поглощения J (Г) составляет половину ее максимального значения Jo. Из формулы (41.15) видно, что
Г = Л=1 (41.16)
где т — время релаксации свободных колебаний системы. Отсюда следует, что при уменьшении коэффициента затухания резонансная кривая становится уже и выше, а ее максимум более острым. Важно также отметить, что при изменении коэффициента затухания площадь, ограничиваемая резонансной кривой, остается неизменной. Действительно, указанная площадь определяется интегралом
4-оо4*°°—00—004-оо4*°°—00—00£14m£14m(41.17)(41.17)
4-оо4*°°
—00—00
4-оо4*°°
—00—00
£14m
£14m
(41.17)
(41.17)
В заключение отметим, что амплитудный и энергетический резонансы, наблюдаемые в механических системах, совершающих вынужденные колебания в вязких средах, аналогичны резонансам заряда (на обкладках конденсатора) и силы тока в электрической цепи, состоящей из последовательно включенных катушки с индуктивностью L, резистора сопротивлением R и конденсатора емкостью С. Причиной указанной аналогии является то, что математическая теория переменных токов низкой частоты (или так называемых квазистационарных токов) идентична теории малых колебаний механических систем.
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯОДНОМЕРНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Теория малых колебаний одномерных механических систем, рассмотренная в предыдущих параграфах, основана на разложении потенциальной и кинетической энергии системы в ряд по степеням
смещения х и скорости х с точностью до величин второго порядка малости. При этом уравнения движения оказываются линейными, а о малых колебаниях говорят как о линейных колебаниях. Однако на практике часто приходится сталкиваться с необходимостью исследовать колебания с достаточно большими амплитудами и скоростями. В таких случаях линейное приближение оказывается недостаточным и поэтому в лагранжиане системы приходится учитывать последующие члены разложения, приводящие к нелинейности (или ангармоничности) колебаний.
Рассмотрим снова одномерную замкнутую систему и произведем разложение ее функции Лагранжа (38.1) до членов четвертого порядка по х и х включительно. При этом в разложении кинетической энергии системы появятся члены, содержащие произведения ххй и х2х\ а в разложении потенциальной энергии — члены, содержащие третью и четвертую степени х. В результате функция Лагранжа (38.1) примет вид
L - ” (I + ух + бх2) ?- ^ - ^ - ^, (42.1) 2 2 3 4
где введены обозначения:
■ (42.2)
ту =Г <9^, mb = ^P4qeY
Систему, описываемую функцией Лагранжа (42.1), называют одномерным ангармоническим осциллятором. Дифференциальное уравнение малых колебаний ангармонического осциллятора (42.1) имеет вид
х + то х =— ах2 — рх8 —- (у + 2бх) х2 — (у + бх)хх, (42.3)
где с»0 — собственная частота линейных колебаний системы. Первые два слагаемых в уравнении (42.3) учитывают динамическую, а остальные — кинематическую ангармоничность. В качестве системы, обладающей одновременно обоими типами ангармоничности, можно указать двойной плоский маятник, рассмотренный в примере 27.1. Примером системы, обладающей только динамической ангармоничностью, может служить обычный математический маятник.
Как показывает опыт, нелинейность собственных колебаний одномерной системы (42.1) конкретно проявляется в том, что:
в спектре собственных частот системы наряду с основным тоном обнаруживаются обертоны, т. е. колебания с частотами, кратными основной частоте собственных колебаний;
основная частота нелинейных колебаний системы (42.1) перестает быть независимой от амплитуды колебаний (т. е. нарушается изохронность собственных колебаний);
для нелинейных колебаний, описываемых уравнением (42.3), не выполняется принцип суперпозиции (общее решение указанного уравнения нельзя представить в виде линейной комбинации х = — С^х^ Ц- С2х2).
Точных методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений типа (42.3) не существует. Однако в случае, когда нелинейные члены в уравнении (42.3) достаточно малы по сравнению с ю2х, можно использовать приближенный метод Крылова — Боголюбова. Следуя этому методу, будем искать приближенные решения уравнения (42.3) в виде
(42.4)(42.4)х = 8Уо (Т) + е2У1 (Т) 4- 83Уг (У) +
(42.4)
(42.4)
Т = to = соо + eoj (а) + е2со2 (а) +
где а — заданная амплитуда колебаний и е — формально вводимый «малый» параметр, численно равный единице.
Подстановка разложений (42.4) в (42.3) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях параметра е в левой и правой частях получаемого при этом равенства, приводит к системе зацепляющихся дифференциальных уравнений для определения функций Уя (Т):
Уо + Уо = 0,(42.5а)
У; + У1—^ Уо2-?[уо^ + 4(^)2]-77 Уо- (42.56) (OgZШ0
Уг + У2 =— ^ УоУ1^ Уо — V (УоУ! + У1Уо + Уо Ур ~“о“о
со? 2со„со»
-буо[уоу;+(у;)21—у;-^у;-
(Од“О
-^[ЗуоУ^ + ад2];-^[ЗуоУ^ + ад2];(42.5в)(42.5в)
-^[ЗуоУ^ + ад2];
-^[ЗуоУ^ + ад2];
(42.5в)
(42.5в)
где штрихами обозначается дифференцирование по переменной Т. Функции (Од (а) должны быть подобраны так, чтобы в правых частях уравнений (42.5) не появлялись члены с a cosY, так как в противном случае решения этих уравнений приводили бы к резонансу в замкнутой системе, что противоречит закону сохранения энергии (в отсутствие внешнего источника энергии в замкнутой системе не может происходить самопроизвольное нарастание интенсивности колебаний). Система уравнений (42.5) решается методом последовательных приближений.
В нулевом приближении принимается, что х (0 « уо и Т « соо. При этом из уравнения (42.5а) находим:
Уо = a cosT(42.6)
и, следовательно, х(0) (/) « у0 = a cos (со/ + ф); ®(0) « го0. (42.7)
Таким образом, решение уравнения (42.3) в нулевом приближении дает рассмотренные в § 38 линейные собственные колебания системы.
Первое приближение. Чтобы получить решение задачи в первом приближении (х (0 ~ Уо + Ун ^ ®о + ®х)> подставим полученное нулевое приближение (42.6) в уравнение (42.56). При этом указанное уравнение принимает вид
у 4-y)[3? ] cos 2ТН- acosT. (42.8)
4 \ юо /4 Vo /“°
В этом уравнении, как указывалось выше, следует прежде всего принять оф = О, а его частное решение искать в виде
у, = Ло + Л2соз2У.(42.9)
Подстановка выражения (42.9) в (42.8) показывает, что постоянные Ло и Л 2 следует принять равными:
. а2 /2а \. а2 / 2а\
Ло = Т|?»'Л2 = 7 ~у —(42Л0)
4 \®о /4 I М)
Следовательно, решение задачи в первом приближении имеет вид (х(1) (0 « Уо + У1 = Ло + a cos (со/ + ср) + Л2 cos 2 (со/ + ср), [mW « соо + СО[ = соо.(42.11)
Второе приближение. Подстановкой функций у0 и ут следующее уравнение (42.5в) преобразуется к виду
У 2 + Уз =У 2 + Уз ="2СЙ2<оо"2СЙ2<оо/ у2 —45 । 2ау + Зр 5а2 \ а2V 4М6а>5 )/ у2 —45 । 2ау + Зр 5а2 \ а2V 4М6а>5 )а3 "7у2 — 46У 4а3 "7у2 — 46У 4Зр — 10ау । а26юо 3<0оЗр — 10ау । а26юо 3<0оcos ЗУ.cos ЗУ.a созУ —a созУ —(42.12)(42.12)
У 2 + Уз =
У 2 + Уз =
"2СЙ2
<оо
"2СЙ2
<оо
/ у2 —45 । 2ау + Зр 5а2 \ а2
V 4М6а>5 )
/ у2 —45 । 2ау + Зр 5а2 \ а2
V 4М6а>5 )
а3 "7у2 — 46
У 4
а3 "7у2 — 46
У 4
Зр — 10ау । а2
6юо 3<0о
Зр — 10ау । а2
6юо 3<0о
cos ЗУ.
cos ЗУ.
a созУ —
a созУ —
(42.12)
(42.12)
Его частное решение можно представить в виде
(42.13)(42.14)(42.13)(42.14)уа = Л3созЗУ, со2 = ^! /^ — 26 + ?М2Р _ Ja_
(42.13)
(42.14)
(42.13)
(42.14)
4 \22Ю2 Зю4
ГдеЛ — — [ZfzL4^ 2LzJ2^V_ , а2 ~
3 “ 164+6w2+‘
Таким образом, решение задачи во втором приближении имеет вид
^ ^ « Уо + У1 + Уз = ло 4- a cos (со/ + ф) + Л2 cos 2 (со/ ++ ср) + Л8 cos 3 (со/ + ср),
-П- — 26 +4 12-П- — 26 +4 12со<2)«соо + сот + ®2 = со0со<2)«соо + сот + ®2 = со02ay + ЗР5a2 \ "
-П- — 26 +
4 12
-П- — 26 +
4 12
со<2)«соо + сот + ®2 = со0
со<2)«соо + сот + ®2 = со0
2<о2Зю^ /
(42.15)
При необходимости решение задачи можно продолжить, при этом в последующих приближениях в спектре колебаний системы будут проявляться высшие обертоны, т. е. колебания с частотами 4 о, 5(о и т. д.
Полученное решение (42.15), очевидно, будет справедливо, если выполняются условия
|аа|«о)2, |р^| «0)2, |уа| « 1, |6^|« 1,(42.16)
обеспечивающие малость нелинейных членов, содержащихся в правой части уравнения (42.3), по сравнению с (о^х.
Кинематическая и динамическая ангармоничность в системах с двумя и большим числом колебательных степеней свободы (например, в многоатомных молекулах) приводит также к возникновению собственных колебаний с комбинационными частотами вида (0; — (оА, где (oz, (оА — различные собственные частоты колебаний системы. В одномерных нелинейных системах можно наблюдать вынужденные комбинационные колебания.
Рассмотрим в качестве примера нелинейную систему с лагранжианом
L = у (х2 - (о^х2) - ^ + xF (/),(42.17)
где внешняя вынуждающая сила
F (О = F. cos Yi/ + F2 cos yat
Допустим, что вынужденные колебания системы происходят в некоторой среде, для которой коэффициент затухания собственных линейных колебаний системы X < (оо. Уравнение движения системы запишем в виде
х+2Хх + сф = — ах1 + — (F\ cos у^ + Fa cos уа<),(42.18)
где е — малый параметр, численно равный единице.
Решения нелинейного и неоднородного уравнения (42.18) будем искать в виде разложения в ряд по степеням параметра е:
X (0 = 8Х0 (0 + 8% (0 + 83Ха (/) + ... .(42.19)
Подстановка этого ряда в (42.18) приводит к системе уравнений:
х0+ 2Хх0 + ©2х0 + — (F^ cos у^ + F4 cos ya0,(42.20)
xt + 2Xxt + (o^ = — axo... .(42.21)
Мы будем интересоваться стационарным режимом вынужденных колебаний. Поэтому решения системы уравнений (42.20), (42.21), ... будем искать для момента времени I "5> х, где т — время релаксации собственных колебаний системы (42.17). В указанный момент времени решение уравнения (42.20) можно представить в виде
хо(0 = Ьг cos (Yit — crO + b4 cos (у2< — оа), (42.22)
гдегде
где
где
(42.23)(42.23)bi,»= — ■-...—^ali2 = arctg-^_.
(42.23)
(42.23)
«уЯГ^=^7+4^^шо~vi,2
Уравнение (42.21) после подстановки функции х0 (0 принимает вид^1 + 2Ххг + со^ =— J (bf + ь^ — ^-«62 cos 2 (у^ — nJ —
— у ab| cos 2(у2/ — а2) — ab^ cos [fa + у2) t — (ах + а^] —
—«ЬхЬй cos [fa — y2)t — fa — <т2)].(42.24)
Его частным решением является функция
*i (о =— Л <6i+bi)—^icos 2 ^—ai—д1)—л c°s 2 см— to0
— ог — д 1) — Bl cos [ fa + Уг) t — (^ + <Т2) — бх] — S2 cos [fa —
-TaH-fa-^-M(42.25)
где Д112, В1а, Д12 и б12 — некоторые постоянные; их несложно найти подстановкой выражения (42.25) в уравнение (42.24).
Если бы мы продолжили вычисления, то в следующих приближениях получили бы комбинационные колебания с частотами, определяемыми общей формулой туг ± пу2, где тип — любые целые числа. Интенсивность комбинационных колебаний в общем случае тем меньше, чем меньше отношение a/fe и чем больше числа тип. Однако в тех случаях, когда частота какого-нибудь комбинационного колебания оказывается достаточно близкой к частоте собственных колебаний системы, амплитуда такого комбинационного колебания благодаря резонансу может резко возрасти и оказаться сравнимой с амплитудой простых вынужденных колебаний. Теория вынужденных комбинационных колебаний играет важную роль в радиотехнике и акустике, в теории молекулярных спектров и теории вынужденного комбинационного рассеяния света.
Пример 42.1. Найти закон нелинейных колебаний математического маятника, описываемого функцией Лагранжа
1.1/ф«\
(42.26)(42.26)L = - pZV--pg/^8--j,
(42.26)
(42.26)
где р — масса маятника, если ф (0) = 191/192 и ф (0) = 0.
Полагая в формулах (42.10) и (42.14) a = у = д = 0,0 = — Год/6 и Oq = = gjl, находим: Яо = Л2 = 0, А, = —а8/192. Поэтому во втором приближении метода Крылова — Боголюбова смещение маятника можно представить формулой
а8
Ф (/) = a cos (tot + v)— — cos 3 (tot 4- v).
Далее из начальных условий находим: a = 1 и v = 0.
Таким образом, закон нелинейных колебаний маятника, описываемого функцией Лагранжа (42.26), Можно окончательно представить в виде
ф(б =cosw/ — — созЗсо/, w = — у К.(42.27)
Сравнение формулы (42.27) с законом линейных колебаний маятника ,191
Ф(0 = ^cos«o^
соответствующим тем же начальным условиям, показывает, что учет динамической ангармоничности приводит к существенному замедлению колебаний маятника, не изменяя их размаха. Как показывают точные расчеты, формула (42.27) хорошо описывает колебания маятника при Ф^ 1.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯМНОГОМЕРНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Теория малых колебаний механических систем с несколькими степенями свободы строится по аналогии с теорией одномерных колебаний. Рассмотрим s-мерную несвободную систему с голономными, идеальными и стационарными связями, предполагая, что все действующие на нее силы являются потенциальными и стационарными. Как было показано выше (см. § 29), функция Лагранжа такой системы в общем случае имеет вид
L = -^^hj^v 9г9,)9<9/ —^(91. 9г9s)- (43.1) г, /=1
Так же как и в одномерном случае, выясним прежде всего, какую форму принимает функция Лагранжа (43.1), если рассматриваемая система совершает малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия.
Функция Лагранжа для малых колебаний системы
Допустим, что потенциальная энергия системы U (qv q^, ..., ,.., qs) имеет изолированный минимум в некоторой точке конфигурационного пространства q^ = qiQ (i = 1, 2, ..., s). Введем малые смещения системы от положения устойчивого равновесия
xt = qt —qi0 (i = 1, 2, .... s).(43.2)
Разложение потенциальной энергии системы U в ряд по смещениям х2 с точностью до членов второго порядка можно представить в виде
S
t/(<7v 9аА^ = ^(9ю- 9ао9»о) + V. № xt +
\oqi )q=q.
где^и-дд^^ Qo = 0. Если снова условиться отсчитывать потен-
циальную энергию от ее минимального значения, приняв U (q10, qM, •••, ^о) = О» и ввести обозначения
(43.3)(43.3)_W_\
(43.3)
(43.3)
^q^i j^o.
то потенциальную энергию системы U в гармоническом приближении можно окончательно представить в виде положительно определенной квадратичной формы
S
у 12 kljxlxj‘
Заметим, что силовые постоянные системы кц симметричны относительно перестановки индексов, т. е.
кц = кц.(43.5)
Кинетическую энергию системы Т в том же приближении можно записать в виде второй положительно определенной квадратичной формы:
S
т = S тч ‘х^!’<43-6)
при этом кинематические параметры системы т^, определяемые равенствами
тц = hj (71о. Узо- ■■•. ^о).(43.7)
также симметричны относительно своих индексов:
ти = тп.(43.8)
Таким образом, лагранжиан s-мерной механической системы, совершающей малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия, можно представить в виде разности двух положительно определенных квадратичных форм:
S
L = 7 2 1т1№ ~ kijxixjY(43.9)
I, !=\
Вековое уравнение
Составим теперь уравнения Лагранжа. Для определения входящих в них производных запишем полный дифференциал лагранжиана (43.9):
S S
dL = — 22 (т^х^ + mijxjdxl — ktjxtdXj — k^dx^.
i=l /=1
Рассмотрим первую сумму в правой части полученного выражения. Ввиду того что индексы суммирования i, / пробегают одни и те же значения, мы можем произвести их переименование: i /, / -> i, при этом
22 mtjXjdXj= 22 mjtXjdxt>ifit
Если теперь использовать свойства симметрии (43.8) кинематических коэффициентов ту, то можно записать:
22 тцХДх^ 22 mtjXjdXi.(43.10)
t I« i
Аналогичным образом можно показать, что
22 k^x^Xj = 22 fctjXjdXi.(43.11)
< /I '
Таким образом, с учетом равенств (43.10) и (43.11) полный дифференциал функции Лагранжа (43.9) можно окончательно представить в виде
dL = 2 (2dXt~ 2 f 2 ^ 1dXi- (43 л 2)
1=1 v=i у <=1 \/=1/
Отсюда следует, что
Поэтому уравнения Лагранжа, описывающие малые колебания рассматриваемой системы вблизи ее положения устойчивого равновесия, можно представить в виде
2(miA + M>) = 0 (i=1’ > - • ^ (43ЛЗ) /=1
Они образуют систему s линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными и действительными коэффициентами.
Согласно общим правилам частные решения системы (43.13) будем искать в виде
ху(0 = А/ш' 0' = 1. 2, ... , s),(43.14)
где А) — некоторые неизвестные постоянные, подлежащие определению. Подставляя (43.14) в (43.13) и сокращая на е1®1, получаем систему линейных и однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд А/.
илиилиАи— оАпи;^12— to^lgi-ls^21— <йгтг<,^22— <йгтг^••• > «25— ^m^= 0-«А»»^52—№гт^— toamMАи— оАпи;^12— to^lgi-ls^21— <йгтг<,^22— <йгтг^••• > «25— ^m^= 0-«А»»^52—№гт^— toamM(43.166)(43.166)
или
или
Аи
— оАпи;
^12
— to^lgi
-ls
^21
— <йгтг<,
^22
— <йгтг^
••• > «25
— ^m^
= 0
-«А»»
^52
—№гт^
— toamM
Аи
— оАпи;
^12
— to^lgi
-ls
^21
— <йгтг<,
^22
— <йгтг^
••• > «25
— ^m^
= 0
-«А»»
^52
—№гт^
— toamM
(43.166)
(43.166)
Уравнение (43.16) называется характеристическим или вековым уравнением. Оно представляет собой алгебраическое уравнение сте* пени s относительно ы2 и в общем случае имеет s различных вещественных и положительных корней о2 (а = 1,2, ..., s). Определенные таким образом величины иа называют собственными частотами системы. В частных случаях некоторые из корней векового уравнения могут совпадать. Совпадающие собственные частоты сов называются вырожденными. Если у системы имеются две совпадающие частоты: с^ = ш2 = со, то колебание с частотой <о называется дважды вырожденным; могут быть и трехкратно вырожденные собственные частоты. Вырождение собственных колебаний механической системы всегда связано с наличием определенной симметрии ее равновесной конфигурации.
Вещественность и положительность корней векового уравнения очевидны из чисто физических соображений. Действительно, если бы собственные частоты замкнутой системы <ва содержали мнимую часть, то это привело бы к наличию у ее смещений Xj и скоростей Xj экспоненциально убывающего или возрастающего множителя е™ с X = X* и, следовательно, к изменению со временем полной энергии системы, что противоречит закону ее сохранения. То же самое утверждение можно доказать и строго математически*.
После того как собственные частоты системы toa определены, можно найти соответствующие им амплитуды А^. Подставляя с этой целью какой-нибудь корень векового уравнения шо в систему уравнений (43.15), получим:
^(Ау-ю^Л^ 0(1 = 1, 2, ... s).(43.17)
/=1
Если все собственные частоты системы юа различны, то, как известно из линейной алгебры, амплитуды Л? пропорциональны соответствующим минорам определителя А (со2) = \ки— ш2/Пу| системы уравнений (43.17), т. е. определителям (s— 1)-го порядка, получающимся из А (ю^) вычеркиванием /-го столбца и какой, нибудь (обычно, последней) строки. Обозначая эти миноры через А/а, можно записать:
A^Ba^«U=1.2s),(43.18)
где Ва = Ьае*« — произвольная комплексная постоянная.
С учетом равенств (43.18) частное решение исходной системы дифференциальных уравнений движения (43.13) можно окончательно представить в виде
ху(0=Д/а.Вае,й“' (j = 1, 2, ... , s). (43.19)
Общее решение задачи дается суммой s частных решений (43.19). Переходя после суммирования по а к действительной части, мы можем записать это решение в виде
= ^b.vb^KtA-M U = L 2, ... , s).(43.20)
а=1
Совокупность функций (43.20) содержит 2s произвольных постоянных Ьа и ра, определяемых из начальных условий, и поэтому является общим интегралом системы уравнений Лагранжа (43.13) или общим решением задачи о малых колебаниях консервативной системы с s степенями свободы вблизи ее положения устойчивого равновесия.
Нормальные координаты
Полученное общее решение задачи (43.20) показывает, что изменение со временем каждой обобщенной координаты системы X] (/) представляет собой наложение s гармонических колебаний:
0а = ba COS (соа£ + Ра) (« = 1, 2, .... $),(43.21)
совершающихся с частотами соа, равными собственным частотам системы, т. е.
Xj^ =2Д/а-еа (j = 1, 2s).(43.22)
а=1
Возникает вопрос: нельзя ли обобщенные координаты колеблющейся системы выбрать так, чтобы каждая из них изменялась со временем строго по гармоническому закону? Ответ на этот вопрос, по существу, содержится уже в соотношениях (43.22). Действительно, рассматривая соотношения (43.22) как систему s уравнений относительно неизвестных 0а, мы можем, разрешив эту систему, выразить 61, 02, .... 0^ через смещения системы Хр
6а = 2Яа;Ма= 1, 2, ... ,s).(43.23)
/=4
Поэтому величины 0а можно рассматривать как новые обобщенные координаты системы. Эти координаты называют нормальными (или главными), а описываемые ими гармонические колебания — нормальными колебаниями системы. Нормальные координаты s-мерной системы, определяемые соотношениями (43.21), удовлетво-
ряют дифференциальным уравнениям:
6а + ®а6а — 0 (а = 1, 2, ... , s). (43.24) Это говорит о том, что уравнения движения системы в нормальных координатах распадаются на s независимых друг от друга уравнений и поэтому нормальные колебания системы являются полностью независимыми.
Таким образом, с помощью нормальных координат задача о свободных колебаниях s-мерной механической системы сводится к исследованию колебаний совокупности s независимых между собой линейных гармонических осцилляторов.
Нормальные координаты обладают еще одним важным свойством: квадратичные формы (43.4), (43.6) для потенциальной и кинетической энергии системы в нормальных координатах приводятся к каноническому виду, т. е. к суммам квадратов новых обобщенных координат 6а и скоростей 6„. Но прежде чем обратиться к доказательству этого утверждения, покажем, что имеют место следующие равенства:
22 ^ДаДф = 22 miAi«^ = 0, (43.25) f=i/=i z=i/=i
где Д/а и Д/р — миноры определителя (43.16), соответствующие двум различным собственным частотам: соа и сор.
Действительно, подставляя в систему уравнений (43.15) решения Л/ и Д/, соответствующие двум различным корням с»а и ор векового уравнения и представленные в форме (43.18), получим:
2—toamy)AJ« = 0,
1 /71
2(^—«р^)Д/р = о.
Умножая первое из этих равенств на Дф, а второе — на Д^ и суммируя затем по всем I, приходим к системе линейных и однородных уравнений:
У1 — “аУг = °’ У: — “рУг = °*(43.26)
где
Ух ~ 22 kiAi^^< Уз ~ 22 т,7А’аА‘Р'
Так как определитель этой системы отличен от нуля, то она допускает только нулевое решение (43.25).
Найдем теперь выражение для кинетической энергии в нормальных координатах. Подставляя в равенства (43.6) выражения (43.22) для смещений Xj, получим:
Sj V ^ё^’Sj V ^ё^’(43.27)(43.27)ssS
S
j V ^ё^’
S
j V ^ё^’
(43.27)
(43.27)
=^^ ти А»0 ■А/а '®а =
i,/=l ti=iа=1
гдегдеU =U =*2 ^S| ^“Р®“®@ •*2 ^S| ^“Р®“®@ •(43.28)(43.28)Ма, 0 = 22 ^lAiakiH-i iАналогичным образом находим:
где
где
U =
U =
*2 ^S| ^“Р®“®@ •
*2 ^S| ^“Р®“®@ •
(43.28)
(43.28)
где
АаВ = 22^A«AlP.
Из равенств (43.25) следует, что
м f ^ при ос = (3к = f Ка при а = р
“9 [0 при а Ф р“310 при а Ф р.
Поэтому выражения (43.27) и (43.28) окончательно принимают вид
Таким образом, функцию Лагранжа (43.9) в нормальных координатах можно представить в виде
сс—1
Чтобы уравнения Лагранжа, составленные с этим лагранжианом, совпадали с уравнениями (43.24), необходимо принять: К» = <0аА4а. Поэтому функцию Лагранжа (43.9) в нормальных координатах можно окончательно записать в виде
(43.29)
а=1
Существует бесконечное множество наборов нормальных координат, в которых функция Лагранжа s-мерной механической системы, совершающей свободные колебания, имеет вид (43.29). Действительно, все координаты, получаемые из-Оа умножением на постоянный множитель, будут обладать тем же свойством. Поэтому удобно ввести такие нормальные координаты, в которых кинетическая энергия Т системы имеет при всех квадратах обобщенных скоростей одинаковые коэффициенты, равные 1/2. Обозначим эти нормальные координаты через Qa:
Qa = /^0a (a=l, 2, ... , s)(43.30)
В нормированных нормальных координатах (43.30) функцию Ла-
Гранжа и полную энергию системы записывают в виде
а
(43'31)
а
Нормальные координаты (43. 30) связаны со смещениями системы Xj соотношениями:
Qa = ^Ra^j, Rai = VMa R'^ (43.32) ;=1
Совокупность коэффициентов RaV RaV ..., Ras, указывающих относительную долю участия в нормальном колебании Qa каждой из обобщенных координат системы Xj, называют формой (или модой) данного нормального колебания. Например, одно из нормальных колебаний молекулы воды Н2О (рис. 43.1) можно представить в виде
Q = (h + ?2 - 0,2у, (43.33) где qv, — координаты, характеризующие изменение связей ОН, а у — изменение угла НОН. Выражение (43.33) указывает, что в данном нормальном колебании обе связи ОН изменяются одинаковым образом (и весьма существенно), а угол НОН изменяется незначительно (примерно на порядок меньше связей). Поэтому нормальные колебания типа (43.33) в молекулярной спектроскопии называют валентными.
До сих пор предполагалось, что все корни векового уравнения являются простыми. Однако вышеизложенное мало меняется в случае, когда среди корней векового уравнения есть кратные корни. При этом сохраняется общий вид решения задачи (43.20) и число членов, составляющих это решение. Единственное различие состоит в том, что коэффициенты Aya, соответствующие кратным частотам, не являются минорами определителя (43.16) и должны быть определены особо. При составлении общего решения (43.20) следует также иметь в виду, что каждой кратной частоте отвечает столько различных нормальных координат, каков ее порядок кратности.
Наиболее общий метод нахождения решения задачи, независимый от наличия или отсутствия у системы вырожденных частот, основан на приведении квадратичных форм (43.4) и (43.6) к каноническому виду с помощью последовательного введения нормальных координат (или одновременного приведения к диагональному виду матриц кинематических тц и динамических кц коэффициентов).
Пример 43.1. Найти собственные частоты системы с двумя степенями свободы путем приведения к каноническому виду квадратичных форм (43.4) и (43.6).
Введем нормальные координаты с помощью соотношений:
*i = o6i + 62, х2 = 6i + р 6„ (43.34) где а, P — постоянные, подлежащие определению. Подстановка выражений (43.34) в равенства (43.4) и (43.6) дает:
Т ^^ ^и + 2ат1» + m^ И + [а/”н + 0 + aP) mi2 +
+ PmS2] 6Д + у (mu + 2Pm12 + P= m^ 62
И
U — ~ (®8^ц "1* 2afe12 + &22) 6j -|- [айи + (1 + сф) £22 4
+ P^22] 6102 + J ^11 + 2₽*12 + P2fe22) 6^ .
Подберем постоянные аир так, чтобы
I amn 4- (1 + «Р) m12 4- Рм=2 = О,
I а*ц 4(14 «Р) fen 4~ Pfe22 “ 0.
Решение этой системы можно представить в виде
a = fe22mn — knm22 4- У А= 622mu — *цт22 4 У А^
2 (^11^12 "* ^12^11)2 (^12^22^22^12)
где
А = (6ит22 4- k22mu — 2feum12)2 — 4 (6ц622 — fef2) (mnm22 — m^. (43.36)
Таким образом, функция Лагранжа (43.9) системы с двумя степенями свободы с помощью соотношений (43.34) преобразуется к виду
L = ^(ё2_ю2е2) + ^(6=-щ220=),(43.37)
где
М2 = агти + 2ати 4 т22, М2 = ти 4- 2Рт12 4- Ут22 (43.38) И
ш2 _ ^п^гз 4~ fe22wn 2&12m12 q= У А
2 (т^т^ т№
Формы нормальных колебаний определяются соотношениями:
гдегде61 = /?11*1 4 ^12*2> 02 — Кг1ХТ 4" ^?22*2>(43 40)
где
где
1- ар"1- ар"(43.41)(43.41)^12 — R»1 — j ap ' ^22 —
1- ар"
1- ар"
(43.41)
(43.41)
Пример 43.2. Колебания связанных мате матических маятников.
Исследовать малые колебания системы, состоящей из двух связанных математических маятников, т. е. двух материальных точек одинаковой массы т, подвешенных на нерастяжимых и невесомых стержнях длиной I, связанных между собой пружиной жесткости с (рис. 43.2). Пружина прикреплена к стержням на расстоянии Л от точек подвеса, причем при вертикальном положении маятников пружина не растянута.
Найти собственные частоты и формы нормальных колебаний системы, а также закон малых колебаний маятников в случае, когда 2ch? ^ mgl и ф (0) = ф0, ф (0) = ф (0) = ф (0) = 0.
Кинетическая энергия системы равна:
Г ■= у m22 (Ф2 +ф2).
а ее потенциальная энергия складывается из двух частей: Ui — потенциальной энергии маятников в поле притяжения Земли и Ua — энергии упруго деформированной пружины, т. е.
Ut =— mgl (cos ф + cos ф) я— 2mgl 4—(ф2 4- ф2),
1ch?
Ua = —с(йыпф —/Ыпф) ss — (ф — ф)2.
Таким образом, функция Лагранжа для малых колебаний рассматриваемой системы имеет вид
L=^ («пФ1 + 2т12Ф ф 4- ^„ф2) — ^ (6„ф2 + 2*,2фф + *шф2), где т„ = таа = тР, т,2 = О, hu = fe22 = mgl + ch?, fe,2 =— ch?.
Отсюда по формулам (43.34)—(43.39) находим:
а = — р = 1, Мг = Ма = 2тР,при этом собственные частоты и нормальные координаты системы можно предста-вить в виде
Ю1 = ю0, ю2 = ®0 V] +, to„= V S(43.42)
и
01,2 = VMll2 (Ф ± Ф) = К2m/2 (ф ± ф).(43.43)
Формы нормальных колебаний (43.43) представлены на рисунке 43.3, а, б. Из этих рисунков видно, что частоте оц соответствует симметричное нормальное колебание, при котором пружина оказывается выключенной, а частоте ю2 — антисимметричное колебание, при котором пружина периодически деформируется, что и приводит к замедлению второго нормального колебания по сравнению с первым.
Закон малых колебаний системы маятников, соответствующий указанным выше начальным условиям, в общем случае имеет вид
I„<0, 4- СО.to. — о.
ф (/) = у (cos го,/ 4- cos со2/) = ф0 cos ~ 2 I ■ cos—L /,
(43.44)
Фп., со, 4- .го, —
■ф (0= ^ (cos со,/ — cos m20 = Фо sin^—1 / • sint.
Рассмотрим теперь случай слабо связанных маятников, когда 2ch? < mgl и, следовательно, собственную частоту <о2 можно приближенно принять равной: „ch?o>a
<о8 = to0 4- 2е, где в = -—; < <оо. vz/«f»/rru,«.
2mgl\\
Полагая в равенствах (43.44)\\
~ (го, 4- tog) * соо,а
1
— (<о2-со,) к в,
находим:
Вл^А/^—‘Рис. 43.4Вл^А/^—‘Рис. 43.4Ф (/) = Hi (/) COS to0 t, ф (6 = A2 (/) sin <o0/,(43.45)
Вл^А/^—‘
Рис. 43.4
Вл^А/^—‘
Рис. 43.4
где
Xi (/) = ф0 cose/, A2 (/) = Фо sine/.
(43.46)
Таким образом, слабо связанные маятники совершают гармонические колебания с частотой ю0, Равной частоте линейных колебаний свободных маятников, но с модулированными амплитудами (43.46), медленно меняющимися со време
нем (рис. 43.4). В начальный момент амплитуда первого маятника имеет максимальное значение ф0, а амплитуда второго маятника равна нулю. В последующие моменты времени амплитуда Ai убывает, а амплитуда А2 возрастает. В момент т = 2л/е = 4nmgl/ch2 колебания первого маятника прекращаются, а амплитуда второго достигает значения ф0. Таким образом, в системе происходит непрерывный обмен энергией между маятниками, причем время обмена т -> оо при с-> 0. Заметим, что обмен энергией колебаний не имеет места, если в системе возбуждено одно из нормальных колебаний, т. е. если ф = ф = oQi или ф = —ф = bQ2.
КОЛЕБАНИЯ
СИММЕТРИЧНОЙ ТРЕХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ
Теория малых колебаний механических систем с несколькими степенями свободы, изложенная в предыдущем параграфе, находит широкое применение при исследовании колебательных спектров многоатомных молекул. В данном параграфе мы рассмотрим в качестве примера свободные колебания симметричной трехатомной молекулы X2Y. Однако, прежде чем приступить к расчету собственных частот и форм нормальных колебаний указанной молекулы, необходимо сделать ряд общих замечаний.
Рассматривая n-атомную молекулу как замкнутую систему взаимодействующих между собой частиц (атомов), следует иметь в виду, что не все ее степени свободы имеют колебательный характер. Действительно, помимо колебаний атомов вблизи их равновесных положений внутри молекулы, молекула как целое может совершать поступательное и вращательное движения. Поступательному перемещению молекулы соответствуют три степени свободы; столько же степеней свободы в общем случае приходится и на ее вращательное движение. Поэтому из Зп степеней свободы n-атомной молекулы колебательному движению атомов отвечают только Зп — 6 степеней свободы. Исключение представляют линейные молекулы, все атомы которых расположены вдоль одной прямой. У таких молекул имеются только две вращательные степени свободы. Поэтому колебательному движению атомов в таких молекулах отвечают Зп — 5 степеней свободы.
Приступая к решению задачи о малых колебаниях многоатомной молекулы, необходимо с самого начала исключить из рассмот-
рения ее поступательное перемещение и вращение. Чтобы исключить поступательное перемещение молекулы, следует перейти к системе отсчета, связанной с центром масс молекулы.
Покажем, что переход к ц-системе накладывает три условия на смещения атомов ut из их равновесных положений, смещения мы определим с помощью соотношений:
7Z=7Z—7i0 (t = 1, 2, .... п),(44.1)
где rzo — радиус-вектор равновесного положения i-ro атома в q-системе иг, — радиус-вектор произвольного положения того же атома. Действительно, на основании определения центра масс механической системы можно утверждать, что
2т/;о = °-
Подставляя сюда соотношения (44.1), находим:
^т^—О.(44.2)
i
Заметим, что это равенство можно рассматривать и как следствие, вытекающее из обращения в нуль полного импульса молекулы и всех смещений атомов в ее равновесном состоянии, т. е. следствием равенств:
Р = ^jmzuz = ^ (^j^m^ = 0, и10 = 0 (i = 1, 2, ... , ri).
Чтобы исключить из рассмотрения вращение молекулы, следует положить равным нулю ее полный механический момент. Но в отличие от вектора Р механический момент в общем случае нельзя представить в виде полной производной по времени от какой-либо функции координат и поэтому условие его обращения в нуль также нельзя представить в виде равенства нулю такой функции. Однако в случае малых колебаний молекулы можно указать приближенное условие исчезновения механического момента. Действительно, подставляя в определение момента импульса соотношения (44.1) и пренебрегая величинами второго порядка малости относительно смещений щ, можно записать:
Ь^^т, М mz № = ^fSffl< ^'° “^ = °"
Отсюда видно, что условие исчезновения механического момента молекулы можно представить в виде
2miE7<o«i] = O(44.3)
(начало координат при этом может быть выбрано произвольным образом). Равенство (44.3) накладывает два условия на компоненты векторов смещений я{ линейной молекулы и три условия для нелинейной молекулы. Таким образом, из Зя компонентов смещений иь характеризующих колебательное движение атомов, независимыми являются только Зя — 5 или Зя — 6. Поэтому в качестве независимых, обобщенных колебательных координат молекулы обычно выбирают растяжения валентных связей qb изменения валентных углов у, и
некоторые другие параметры, характеризующие выход отдельных атомов из плоскости молекулы или повороты одной группы атомов относительно других групп.
Обратимся теперь к нелинейной трехатомной молекуле ХУ8, имеющей 3-3 — 6 = 3 колебательных степени свободы (рис. 44.1). Обозначим массы атомов Y через т, а массу атома X — через М\ пусть I есть равновесное значение длины связей X — У1Л , а 9 — равновесное значение валентного угла YXY.
В качестве обобщенных координат примем: qv q4 — растяжения связей ХУ1г и у — изменение валентного угла, определив указанные параметры соотношениями:
(44.4)(44.4)91 — (ui «о)" ®v Яг — (и2 ыо) ‘ ^а» у/ = (^— 0^-^ + (М8 — Uo) -78,
(44.4)
(44.4)
где е13 и f1-2 — единичные векторы, параллельные и перпендикулярные равновесным положениям связей XYia, а ий> «т и и2 — смещения атомов X, Yr и Y4. Подставляя в определения (44.4) явные выражения для векторов иа, е1а и /1-а
иа=ха/ + уа/, (а = 0, 1, 2)
е, = г sin —Н / cos —, е, = — i sin —И / cos —,
12'212'2
7 т 0 т . 0 7 т 0 -г . 0 к= t cos—— /sin-, f4=—icos- — jsm-.
находим:
<7i = (*1 — х») sin | + (У1 — У о) cos у,
9з = (х0 — *2) sin + (Уа — уо) cos у,(44.5)
у/ = (хх— xj cos + (2у0 — Уз — Уз) sin 1.
Кроме того, мы можем записать еще три соотношения, связывающие компоненты смещений атомов с обобщенными координатами qu q^ и у (они вытекают из условий (44.2) и (44.3)):
’ т (xt + ха) 4- Мхй = О,
■ m (Уг +еУа) + Му0 = 0, 0(44 6)
(уг — уа) sin у — (ха 4-х2) cos — = 0.
Решая систему уравнений (44.5), (44.6) относительно компонент смещений атомов, получаем:
Xi = axqv + а2<?а + а8у, ха = — <а^х + а^г + а3у), Хо=^(Я1 — ^(q^— qj,
М/44 уч
У1 = М1 + ^з~&зУ. Уз^з^ + Мз —йзТ»
Уо = ^№-(Ь1 + Ь2)(<71 + <72)]. где
1 г, , м 1-0 z оа, 2 = — 1 ± sin —, а, = — cos —, /44 7
111М + m(l — cos в) ]2322
, М Г, ,ц0, Ml . 9 ...
Ь, » =— 1± cos —, о, =— sin—(44.76)
112 2ц [ М + т (1 — cos 0)23 2ц 2 х '
и ц = 2т 4- М.
Подстановка соотношений (44.7) в выражение кинетической энергии молекулы Т = — (и‘ + и*) 4- -у- дает:
т = | (С1 4- Са) kq2x + 9’2) + у F? + (Cl — с^) qx q» 4- D (^4- q^ у,
(44.8)
где
tr?M [1,1,. йх "I 1 1 , 1 ,. Q, l-iС = — -4--(1 —cosO) , ca=- -4--(l —cose) ,M2 Mj
D = — sinO, F = —— (1 + cos 0) .(44.8a)
2ц2ц ["1 MJ
Потенциальную энергию молекулы в том же гармоническом приближении можно представить в виде
и = ^ (^ + ^) + ^- У2 + h^ + ^ (qx 4- ^)Y, (44.9) где kq, к^ — силовые постоянные, характеризующие упругие свойства валентных связей X — Y и валентного угла YXY, а постоянные hq, h^ соответственно описывают взаимодействие связей X — Y между собой и с валентным углом.
Таким образом, функцию Лагранжа для малых колебаний молекулы ХУ2 в естественных координатах qv q^ и у можно представить в виде
L = у (Ci + с2) tof + ^) + -| ? + (ci — с2) 414» + D(qx +
+ 9г) V — |^ (?? + 9г) — "^ ^v Y2 —hq4i4» — h„ (qx + q.^ у. (44.10)
Различают две задачи о малых колебаниях молекулы: прямую и обратную. В прямой задаче постоянные kq) к^, hq и h^ считаются заданными и задача сводится к вычислению частот и форм нормальных колебаний молекулы. В обратной задаче по известным из опыта собственным частотам колебаний молекулы требуется определить ее силовое поле, т. е. набор постоянных kq, к^, hq и hv Решение любой из этих задач в конечном счете сводится к интегрированию системы уравнений движения:
' (Cl + с2) ^ + fa — С2) q4 + Dy + kqqv+ hqq4+h^=0,
■ fa — c^ qx + fa + c2) q^ + Dy + hqqx+ kqq4+/ivy=0,(44.11)
■ Dqt + Dq^ + Fy + hqqx+ hqq4+k^=0
и вычислению корней векового уравнения
к, — (Cl + С2)(О2 hq — fa — C^to2 hv - Dai2к, — (Cl + С2)(О2 hq — fa — C^to2 hv - Dai2hq — (<4 — C2)(02 kq — fa + c2>2 h^-Da1hq — (<4 — C2)(02 kq — fa + c2>2 h^-Da1h^ — Dm2 hv - Dto2 k4 - Fto2h^ — Dm2 hv - Dto2 k4 - Fto20. (44.12)0. (44.12)
к, — (Cl + С2)(О2 hq — fa — C^to2 hv - Dai2
к, — (Cl + С2)(О2 hq — fa — C^to2 hv - Dai2
hq — (<4 — C2)(02 kq — fa + c2>2 h^-Da1
hq — (<4 — C2)(02 kq — fa + c2>2 h^-Da1
h^ — Dm2 hv - Dto2 k4 - Fto2
h^ — Dm2 hv - Dto2 k4 - Fto2
0. (44.12)
0. (44.12)
Решение задачи о малых колебаниях многоатомной молекулы существенно упрощается, если от естественных координат перейти к новым обобщенным координатам, учитывающим симметрию молекулы (к так называемым координатам симметрии). Для рассматриваемой нами нелинейной симметричной молекулы ХУ2 такими координатами являются:
^ = ?i + Я». Y, = Y. Q« = 41 — 41-(44.13)
Из рисунка 44.2 видно, что первые две координаты: Qs и ys — не меняют своего знака при отражении молекулы в плоскости а и
ее поворотах относительно оси симметрии MN на угол 180° (ось симметрии второго порядка), в то время как координата Qa при тех же преобразованиях симметрии меняет знак.
Переход от естественных координат (44.4) к координатам симметрии (44.13) позволяет преобразовать функцию Лагранжа (44.10) к более простому виду:
L = U + U, (44. 14)
где
L1 = Mq2 —kzllQa ], (44.15) 2 L 2с2]
L^Q^^VDQ^--7^ + ^^-^w2-
-h^s-(44.16)
Отсюда видно, что одна из координат симметрии (44.13) оказывается нормальной координатой антисимметричного колебания молекулы ХУ2, совершающегося с частотой
ю2 _ kg — hgа 2сйю2 _ kg — hgа 2сй1 + 2.(1 _С05 0) 1 (^ _ й ),(44.17)
ю2 _ kg — hgа 2сй
ю2 _ kg — hgа 2сй
т МJ 4
Д(м2) =Д(м2) =кч + Н4 — 2^6)2 hv — Dm40кч + Н4 — 2^6)2 hv — Dm402 (/iv — Осо2)£v — Fai402 (/iv — Осо2)£v — Fai4000co2 — co200co2 — co2Это означает, что преобразованием (44.13) определитель, стоящий в левой части векового уравнения (44.12), приводится к квазидиа- гональному виду
Д(м2) =
Д(м2) =
кч + Н4 — 2^6)2 hv — Dm4
0
кч + Н4 — 2^6)2 hv — Dm4
0
2 (/iv — Осо2)
£v — Fai4
0
2 (/iv — Осо2)
£v — Fai4
0
0
0
co2 — co2
0
0
co2 — co2
и поэтому вековое уравнение (44.12) третьего порядка относительно со2 распадается на два уравнения меньшего порядка:
Ю2 Ю2 _ 0, 0)“ ++ -^(1 + COS 6) ] (kq + ft ) + 1 [± +
аМI 4 Р [т
+ — (1 — cos 6) 1 ftT—1^-sinQ Ito2 + —^^[(ft. + ft )ftv —2ft2]0.
v’ J ЛП J тгРМ 4 v
Из последнего уравнения определяются частоты <о15 и со2$ двух симметричных нормальных колебаний молекулы XYS с формами,
представленными графически на рисунке 44.3. Одно из этих колебаний является преимущественно валентным, а другое, симметричное колебание—деформационным, при котором в основном изменяется валентный угол УХУ.
Заметим, что при решении обратной задачи для молекулы ХУ2 из уравнений (44.18) требуется определить четыре силовых постоянных:' kq — hq, kq + + hq, k^ и hv Ясно, что трех частот одной только молекулы ХУ2 для этого недостаточно. По
этому для получения однозначного решения обратной задачи следует дополнительно использовать собственные частоты изотопозаме
щенных молекул, отличающихся от молекулы ХУг только набором кинематических параметров.
ГЛАВАГЛАВАVIIVIIДВИЖЕНИЕ
ГЛАВА
ГЛАВА
VII
VII
В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХСИСТЕМАХ ОТСЧЕТА
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯМАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНОПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
До сих пор при исследовании механического движения тел мы пользовались инерциальными системами отсчета (ИСО), в которых справедливы законы Ньютона, а уравнение движения свободной материальной точки имеет вид mr = F. Однако на практике часто приходится рассматривать движение тел относительно произвольным образом движущихся неинерциальных систем отсчета (НИСО). Выясним, какой вид имеют уравнения движения материальной точки в таких системах отсчета.
Рассмотрим вначале случай, когда все силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, потенциальные. При решении поставленной задачи естественнее всего исходить из инвариантности уравнений Лагранжа относительно точечных преобразований обобщенных координат механической системы, вытекающей из вариационного принципа Гамильтона — Остроградского (см. § 29,32).
Действительно, проследим за движением какой-нибудь свободной материальной точки М из двух систем отсчета: инерциальной системы отсчета К с началом координат в точке О и с ортами i, j, k и произвольной неинерциальной системы К' с началом координат в точке О' и ортами V, f, к' (см. рис. 2.13), способной перемещаться относительно системы К поступательно с ускорением Wo, и вращаться с мгновенной угловой скоростью со. Как было показано в § 2, радиусы-векторы точки М относительно указанных систем отсчета связаны между собой соотношением
7=7' + R0,^,(45.1)
являющимся точечным преобразованием одного набора ее обобщенных координат х', у', / к другому набору х, у, z. Поэтому мы можем утверждать, что уравнения движения материальной точки (в случае, когда на нее действуют только потенциальные силы) имеют вид
— ^—^ = 0 (в системе отсчета К) (45.2) ^ до . дг
И
^ = 0 (в системе отсчета д'),(45.3) ” до' д?
где
L0 = ^-t/(7)(45.4)
— лагранжиан частицы в инерциальной системе отсчета К и L — ее функция Лагранжа относительно неинерциальной системы отсчета К' (напомним, что символом d'/dt в п. 5 § 2 мы условились обозначать такое дифференцирование по времени I, при котором орты Г, /", к' системы отсчета К' считаются постоянными).
Таким образом, чтобы найти явный вид уравнений движения частицы (45.3) относительно произвольной НИСО К', необходимо произвести преобразование функции Лагранжа (45.4) к новым переменным г' и у', характеризующим движение частицы в указанной НИСО. Это можно сделать с помощью полученной в § 2 теоремы сложения скоростей (2.56):
у = у' + Vo, (/) + Eto/].
Подстановка этого выражения в функцию Лагранжа (45.4) и замена в потенциальной энергии U (г) радиуса-вектора г на г' дают:
Lo =+ - [ю/]2+ mo'Eto/] Y-mV^, +
+ mV o' { y'+ E“ /]} — WY(45.5)
Далее с помощью формулы (2.54) можно показать, что
mV0, (и'+Е®/]) =— mr'W0, +^ \m?Vo,^\.
Кроме того, кинетическую энергию переносного поступательного движения mV^,/2 можно представить как df (t)/dt, где f (/) — некоторая функция времени. Поэтому выражение (45.5) можно переписать в виде
Ц = ^ + ^^?YYm7)W'"\-m7'W0,--uV'H^\lW + m7'V0At)\.
Но, как известно (см. § 32), функция Лагранжа любой механической системы определена с точностью до полной производной по
времени от произвольной функции координат и времени. Поэтому, отбрасывая в полученном выражении последний член, мы можем окончательно представить лагранжиан частицы относительно произвольной НИСО в виде
L = ^^ + ^ [ю?]2 + mu' • [а?] — mr' -Wo, —U (г'\ (45.6)
Для вычисления производных дЬ]дхУ и дЫдг', входящих в уравнение (45.3), вычислим предварительно вариацию функции L;
SL = ту' • би' + т [сог']-[собг'] + /и [юг'] • 6v'+ ту' • [собг'] —
— mW0, • 6г' —^ • бг' = (ту'+т[сог']) • би' —дг*
—_}- tnW0, + т [со [со г']] + т[сои']1 ■ бг'.
I dr'j
Отсюда следует, что
= — -^пг U/Q, — m [со [со г']] — т [сои'], dr' dr'
= mu + m [co r ]dv'
и
~т = tn +m [co r']+ m [coy'].
dt dv' 41
Таким образом, искомое уравнение движения частицы относительно произвольной НИСО имеет вид
т= ——mW0,— т [со[со г']]— т [со г'] — 2т[соу']. (45.7)
Л д7
Если силы, действующие на частицу, не являются потенциальными, то ее уравнение движения относительно той же системы отсчета, как показывает принцип экстремального действия (32.11), должно иметь вид
d' dT дТ
’<46'8>
где Т — кинетическая энергия частицы, представленная с помощью теоремы сложения скоростей (2.56) как функция переменных г' и у' . Нетрудно показать, что уравнение (45.8) принимает вид
пг ^- = — mW0,—tn [со[со г']] — пг [со г'] — 2/n [coy'] + F. (45.9)
Вводя обозначения
JW = —m^nep =— mWo'— m [cor'] — m[to[cor'J], (45.10)
Jw = — mW кор =—^m [cot/ ](45.11)
уравнение движения частицы (45.9) относительно произвольной неинерциальной системы отсчета К' можно представить в виде
тии' = F 4* Jm 4* ^-(45.12)
Вектор J<n> называют силой инерции переносного движения частицы; он равен произведению массы частицы на взятое со знаком минус переносное ускорение. Сила инерции (45.10) в общем случае складывается из двух составляющих: силы инерции —mW0, от переносного поступательного движения частицы и силы инерции —т [со/] — т [со [сот']] от ее переносного вращательного движения, состоящей, в свою очередь, из силы инерции — т [сот'], обусловленной неравномерностью вращения системы отсчета К', и так называемой центробежной силы инерции
>Л>=—m[to[to>]],(45.13)
лежащей в плоскости векторов г' и со и направленной по перпендикуляру от мгновенной оси вращения (см. рис. 45.1, на котором указаны также и направления двух других составляющих силы инерции (45.10)).
Вектор J(K) , равный произведению массы частицы на взятое со знаком минус кориолисовое ускорение, называется силой инерции Кориолиса. Кориолисовая сила инерции (45.11) перпендикулярна плоскости векторов и’ и со. Уравнение движения (45.12) можно получить и более простым способом, используя теорему сложения ускорений (2.62), •умножая выражение (2.62) на массу частицы и учитывая, что произведение ускорения частицы относительно инерциальной системы отсчета К на ее массу по второму закону Ньютона равно геометрической сумме
сил, действующих на частицу со стороны других тел. Мы выбрали более сложный путь для того, чтобы наряду с уравнениями движения частицы получить и ее функцию Лагранжа относительно произвольной неинерциальной системы отсчета.
Сравнение уравнений движения материальной точки (45.12) относительно произвольной НИСО с ее уравнениями движения в инерциальных системах отсчета показывает, что уравнения движения Ньютона в отличие от уравнений Лагранжа не являются инвариантными по отношению к преобразованию (45.1), связанному с переходом от инерциальной системы отсчета К к произвольной НИСО К'. Из уравнений (45.12) видно также, что об неинерциаль- ности какой-либо системы отсчета можно судить по наличию в уравнениях движения дополнительных сил инерции, обращающихся в нуль только в инерциальных системах отсчета.
Введение сил инерции Jm и J(K) позволяет сохранить для неинерциальных систем отсчета второй закон Ньютона и придать уравнениям движения (45.12) такую же форму, как и в инерциальных системах отсчета. Однако это сходство уравнений движения (45.12) с уравнениями Ньютона в ИСО чисто формальное. На самом деле между указанными уравнениями имеется существенное различие, обусловленное особенностями сил инерции.
Действительно, в инерциальных системах отсчета единственной причиной ускоренного движения какого-нибудь тела являются силы, действующие на него со стороны других тел. В неинерциальных системах отсчета ускорение тела нельзя полностью объяснить действием сил со стороны других конкретных тел, так как часть этого ускорения обусловлена изменением состояния движения самой системы отсчета. Поэтому при построении теории механического движения в НИСО можно было бы пойти по пути коренного пересмотра представлений, сложившихся в результате наблюдений за движением материальных тел в инерциальных системах отсчета; например, можно было бы допустить, что ускорения тел относительно неинерциальной системы отсчета могут вызываться не только силами, но и некоторыми другими факторами, не сводящимися к силам (специфические особенности движения самой системы отсчета). Однако исторически был принят иной путь, а именно: принято считать, что так же, как и в инерциальных системах отсчета, ускорения материальных тел в НИСО вызываются только силами, при этом наряду с обычными силами взаимодействия вводятся и «необычные» силы инерции (45.10) и (45.11).
Необычность сил инерции состоит в том, что их нельзя толковать как силы взаимодействия рассматриваемого тела с какими- нибудь другими конкретными телами; поэтому к ним нельзя применять третий закон Ньютона. Но это вовсе не означает, что эти силы фиктивные и никак не связаны с взаимодействием материальных тел. Силы инерции вполне реальны, так как их всегда можно измерить. Кроме того, происхождение сил инерции в конечном счете также объясняется взаимодействием материальных тел, однако не
взаимодействием данного тела с другими отдельными телами, а его взаимодействием со всей совокупностью тел Вселенной, по отношению к которым неподвижна исходная инерциальная система отсчета К- Отсюда видно, что исчерпывающее объяснение природы сил инерции может быть дано только в рамках общей теории относительности, переход к которой требует радикального пересмотра пространственно-временных соотношений (требуется учесть взаимосвязь пространственных и временных интервалов и искривление пространства-времени в сильных гравитационных полях). Поэтому очевидно, что полученные выше уравнения движения (45.12) справедливы для движения тел и систем отсчета в слабых гравитационных полях со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света.
В заключение рассмотрим случай, когда система отсчета К' движется относительно системы К поступательно и равноускоренно —►—►■—►
(со = 0 и Wo, = const). Уравнение свободного движения (F = 0) материальной точки относительно такой неинерциальной системы отсчета имеет вид
mw' = — mWоч или w'=— Wo'.(45.14)
Отсюда следует, что
v' = у'» — W0-t, 7=7; + uo t — ^Wo-t1,(45.15)
где Го и ио — начальные значения радиуса-вектора и скорости материальной точки относительно системы отсчета К'.
С другой стороны, движение свободной частицы массой т в однородном гравитационном поле относительно инерциальной системы отсчета К описывается, как известно, уравнениями:
w = g. u = y6 + gt,7 = 70 +70* + у^а- (45.16)
Аналогия, описываемая уравнениями (45.14) и (45.16), составляет суть так называемого принципа эквивалентности, утверждающего, что ускоренное движение какой-нибудь системы отсчета невозможно отличить от наличия однородного гравитационного поля. Но реальные поля тяготения изменяются при переходе от одной точки пространства к другой. Поэтому нельзя указать такую систему отсчета К', движущуюся относительно инерциальной системы К поступательно и равноускоренно, чтобы ее ускорение в любой точке пространства по своему действию было эквивалентно полю тяготения. Поэтому эквивалентность ускоренного движения системы отсчета гравитационному полю всегда следует понимать в локальном смысле (т. е. как факт, имеющий место только для достаточно малых областей пространства).
ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ ИМПУЛЬСА,МЕХАНИЧЕСКОГО МОМЕНТА
И КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНЫХНЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОТСЧЕТА
Рассмотрим теперь механическую систему, состоящую из п взаимодействующих между собой частиц и движущуюся относительно произвольной неинерциальной системы отсчета К'. Функцию Лагранжа и уравнения движения указанной системы можно представить в виде
L=^'Vml... , 7'п, 0.
2(46.1)
иц 12l =Ff + ^Ftj + 44 ^ G = 1. ... , П), (46.2) где
n
3e,+ VA/=--^ a = n 2«).(46.3)
Прежде чем перейти к выводу интересующих нас теорем, укажем ряд соотношений, связывающих важнейшие динамические характеристики механической системы (импульс, момент импульса и кинетическую энергию), отнесенные к двум системам отсчета: инерциальной системе К (нештрихованные величины) и произвольной неинерциальной системе отсчета К* (штрихованные величины). Эти соотношения можно получить, исходя из определений соответствующих величин с помощью известных формул преобразования для радиусов-векторов и скоростей частиц:
7г = б + Яо„ ^ = у; + Vo, + [wr;j. (46.4)
Упомянутые соотношения имеют вид
Р = Р' + MV0, + М [^1(46.5)
l =1ч v."rOi п+м ^ v0, з+2^<u, (46.6)
Т = Г + ^ + MV0, - [©%з + >• ко, + ®-L'+
+ 72т<*-<0Г',]2'(46-7)
где М — полная масса механической системы и Rc — радиус* вектор ее центра масс в системе отсчета К'. Формулы (46.5) — (46.7) существенно упрощаются, если начало координат неинерциальной системы К' совпадает с центром масс механической системы. Действительно, полагая в указанных соотношениях Ro, = Rc, Vo, = = Vc и R'c = О, P' = 0, находим:
Р = MVC,(46.5а)
L = [ВД + L'-V 2 ”4 [< С^]],(46.6а)
С + Г+[юг;]2.(46.7а)
И наконец, полагая в соотношениях (46.6а) и (46.7а) угловую скорость о, равной нулю, мы вновь приходим к известным теоремам Кенига (10.8) и (11.11).
Чтобы получить теорему об изменении вектора импульса Р' механической системы относительно произвольной неинерциальной системы отсчета К', достаточно почленно сложить уравнения движения (46.2). Учитывая при этом, что внутренние силы взаимодействия Рц удовлетворяют третьему закону Ньютона, получим:
" ^.=^(е)+^(п)+^(к\(46.8)
di
где К^ = ^F^—главный вектор внешних сил, действующих на i
систему, и К<п\ К(К) — главные векторы переносных и кориолисовых сил инерции, которые можно представить в виде
К^ = — ^т^о— ^mt [юг'] — ^гщ [ш [77']] =iii
=—М|й^-НЖ]4Ч7)[7адП; (46.9) K(K>=-22/nz[^ j =-2м вд. (4610)
Таким образом, полученная теорема (46.8) утверждает, что изменение со временем вектора импульса механической системы, движущейся в неинерциальной системе отсчета К, обусловлено действием на нее как внешних сил, так и переносных и кориолисовых сил инерции. Из теоремы (46.8) вытекает важное следствие: в неинерциальных системах отсчета не мозюет существовать замкнутых систем материальных тел, так как для любой ограниченной системы частиц силы инерции выступают в роли внешних сил.
Поэтому в неинерциальных системах отсчета теряет силу первый закон Ньютона.
Умножая векторно каждое уравнение системы (46.2) на радиус- вектор соответствующей частицы и учитывая очевидные равенства
-lr,p{l = mt rt_Lj (t=l, 2л),
получим новую систему уравнений:
^[%j = [7;.(Z(47F4^(i = l, 2, ... , л).
(46.11)
Складывая почленно уравнения (46.11) и учитывая, что сумма моментов2 [г' /у всех внутренних сил взаимодействия обращается в нуль, приходим к следующей теореме об изменении момента импульса L' механической системы, движущейся относительно произвольной неинерциальной системы отсчета К'-
^ _ ^<е) + Л^ + М(к),(46.12)
где №е\ N^ и Nw — главные векторы моментов соответственно внешних сил, переносных и кориолисовых сил инерции, т. е.
> = 2 £№• Nw = 2 е^10]» N^ = 2 E^l- (46-13) iii
—>
Полученная теорема об изменении вектора момента импульса U еще раз подтверждает справедливость вывода о невозможности существования в неинерциаль'ных системах отсчета замкнутых механических систем.
Теоремы (46.8) и (46.12) не исключают, конечно, возможности сохранения у механической системы, движущейся в той или иной неинерциальной системе отсчета, отдельных составляющих векторов Р* и L'. Однако при отыскании указанных интегралов движения удобнее исходить из явного вида лагранжиана (46.1). Рассмотрим в качестве примера частицу массой т, движущуюся под действием некоторого аксиально-симметрического потенциального силового поля в системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью с»0, параллельной оси симметрии заданного силового
поля ^0, = <о = 0). Ее лагранжиан относительно указанной вращающейся системы отсчета имеет вид
и _ ^1* + 'l ^о РТ + тй . ^ р] _ и (р, 0.(46.14)
Если в этой системе отсчета ввести цилиндрические координаты р, гр и z, выбрав ось симметрии заданного силового поля за ось г, то функцию Лагранжа (46.14) можно представить в виде (представляем возможность убедиться в этом читателю)
V = ^ (р2+ pV + г2) + у mw2p2 у тЮоР^ _ и (р, ty (46.14а)
Отсюда видно, что две координаты частицы z и ф являются циклическими и, следовательно, соответствующие им обобщенные импульсы рг, рф сохраняются, т. е.
рг = mz = const, рф = /пр2 (ф + ю0) = L^ + пгюор2= const. (46.15)
Чтобы получить закон изменения кинетической энергии Т, отнесенной к неинерциальной системе отсчета К', умножим каждое из уравнений (46.2) скалярно на скорость соответствующей частицы; это дает:
т,у' (^ + 7^ + J^W (t = 1, 2пу (46.16) di1 '
Здесь через Ft обозначена геометрическая сумма всех внешних и внутренних сил взаимодействия, приложенных к i-й частице механической системы, т. е.
Fz =>> + ^Тц (i = 1, 2, .... пУ
/=1
Нетрудно видеть, что кориолисовы силы инерции не могут производить работу; действительно, их мощность
7£ -у'. = — 2/nzy' ■ [tov;j = 2/nza>- [у^] =0.(46.17)
£ Г ™i (oz)a dt I 2£ Г ™i (oz)a dt I 2Поэтому систему уравнений (46.16) можно окончательно переписать в виде
£ Г ™i (oz)a dt I 2
£ Г ™i (oz)a dt I 2
= t/..(F^+^n)) (i = 1, 2, ... , пу (46.18)
Суммируя уравнения (46.18), находим:
^-^«И^+Ж(46-19)
Таким образом, изменение кинетической энергии системы Т в единицу времени равно работе, производимой в то же время всеми внешними и внутренними силами взаимодействия и силами инерции переносного движения. Представляя силы инерции jw, приложенные к отдельным частицам системы, в виде
"j^ mtW0- - /nz[>:] +^ц-6-),
мощность всех переносных сил инерции, действующих на систему, в общем случае можно представить как сумму трех слагаемых:
2 <. j^=- р'• Wo- - т ■ и + 2 ч • ^ц,б’)-(46-20)
1;
Выясним, при каких условиях у механической системы, движущейся в неинерциальной системе отсчета К', может сохраняться полная энергия £' и из чего она складывается. Чтобы полная энергия системы сохранялась, ее лагранжиан (46.1) не должен явно зависеть от времени. А это возможно только в том случае, если внешнее силовое поле, действующее на систему, является стационарным и потенциальным (или обобщенно-потенциальным)- и, кроме того, если система отсчета К движется относительно инерциальной системы К таким образом, что и ускорение ее поступательного движения, и угловая скорость вращения остаются постоянными, т. е. Wo, = const и to = const. При этом полная энергия системы
оказывается величиной сохраняющейся и равной:
= Т' + CM + t/(r) + £/(цб-> = const,= Т' + CM + t/(r) + £/(цб-> = const,(46.21)(46.21)
= Т' + CM + t/(r) + £/(цб-> = const,
= Т' + CM + t/(r) + £/(цб-> = const,
(46.21)
(46.21)
где введены следующие обозначения:
W =иХА, 7г, ... , 7п\(46.22)
Uw= 2 w/'-lt^o' = MRc- Wo-,(46.23)
= — 1 ^ mt [®rja.(46.24)
i
Таким образом, полная энергия консервативной механической системы, движущейся относительно вышеуказанной неинерциальной системы отсчета, складывается из ее кинетической энергии, потенциальной энергии Uw, связанной с наличием внешних и внутренних сил взаимодействия, потенциальной энергии №, обусловленной равноускоренным поступательным движением системы отсчета К' (т. е. потенциальной энергии системы в некотором однородном гравитационном поле) и так называемой центробежной потенциальной энергии (46.24).
Градиенты от функций t^(r) и С/(ц б) дают соответственно силы инерции переносного поступательного движения и центробежные
силы. Действительно, дифференцируя первую из указанных функ
.dUw
ции, находим:= —т^о>-
Чтобы найти градиент функции f/<n’6), предварительно проварьи- руем ее; в результате этой операции получим:
61/ц6'>= — 2 С^]- Ею(8<)] =2 тА<»<]] ■ 6<.
Отсюда видно, что —— =—т([© [юг']] = Р(Цб'\
Заметим, что третья составляющая —/п;[юг' ], входящая в суммарную переносную силу инерции (45.10), не является потенциальной, так как rot [©rz] = 2©0.
Пример 46.1. Найти формулу преобразования полной энергии консервативной механической системы при переходе от инерциальной системы отсчета К к равномерно вращающейся системе К'.
Совместим начала координат инерциальной и равномерно вращающейся систем отсчета в одной точке (рис. 46.1). Согласно (46.21) полную энергию механической системы в системе отсчета К' (IF0, = 0) можно представить в виде
£' = 7 2 (У')а+ и ~i 2 т‘ С“^]2,(46-25)
При написании этого выражения учтено, что радиусы-векторы частиц в обеих системах отсчета совпадают: rt = г(. Используя далее теорему сложения скоро
Отсюда, учитывая, чтоОтсюда, учитывая, чтоtn{ot- [torz] = © •tn{ot- [torz] = © •e=s to - Le=s to - Lокончательно находим:окончательно находим:стей ti; = Ot + [to^J, выражение (46.25) легко преобразовать к виду £' = ^ т^ + U— V т^ . [77z],
Отсюда, учитывая, что
Отсюда, учитывая, что
tn{ot- [torz] = © •
tn{ot- [torz] = © •
e=s to - L
e=s to - L
окончательно находим:
окончательно находим:
E’ = E — to - T (46 26)
Этой формулой и определяется закон преобразования полной энергии консервативной механической системы при переходе от инерциальной системы отсчета к равномерно вращающейся системе координат.
§ 47. О ДИНАМИЧЕСКИХ И СТАТИЧЕСКИХ ЭФФЕКТАХ,НАБЛЮДАЕМЫХ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛ
ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА
В данном параграфе мы рассмотрим ряд эффектов, наблюдаемых при движении тел вблизи поверхности Земли, принимая в качестве инерциальной системы отсчета систему К» с началом координат О в центре масс Солнца и осями, направленными на три «неподвижные» звезды. Введем также неинерциальную систему отсчета К' с началом координат О' в центре масс Земли и жестко связанными с ней осями (рис. 47.1). Система отсчета К' участвует вместе с Землей в ее годичном движении по эллиптической орбите относительно Солнца и суточном вращении с практически постоянной по модулю и направлению угловой скоростью <о да да 7,29 • КГ5 с*1.
Функцию Лагранжа материальной точки, движущейся относительно системы отсчета К', согласно (45.6) можно представить в виде
L' = ^ + ^[«?]2+ mV . ^-U^-U^)-U(r',t), (47.1) где
U1lH=mr'.W0,^(47.2)
— потенциальная энергия материальной точки, возникающая в результате ее переносного поступательного движения с ускорением W 0, и гравитационного взаимодействия с Солнцем (тс — масса Солнца);
С/2(?)=—^1(47.3)
г'
— энергия гравитационного взаимодействия материальной точки
с Землей (m3 —масса Земли) и U (г', () — потенциальная энергия материальной точки, обусловленная наличием других силовых полей.
Вблизи земной поверхности, естественно считать, что переменная г' того же порядка, что и радиус R Земли. Но радиус Земли во много раз меньше ее расстояния Ro, до Солнца. Поэтому мы можем считать, что переменная г' удовлетворяет условию: г' < Ro, . Покажем, что с точностью до величин порядка' г'Д?о, функция Ux (г') оказывается не зависящей от г' и, следовательно, ее можно исключить из функции Лагранжа (47.1). Действительно, используя векторное равенство r0 = Ro, + г' (рис. 47.1), можно показать, что
11Го Rq'11Го Rq'1 +1 +-^11^Ro--^11^Ro-^'- Rp.Rq'^'- Rp.Rq'+ 2R0,+ 2R0,"sjp^a»_ Ro-"sjp^a»_ Ro-1Ro-1Ro-
11
Го Rq'
11
Го Rq'
1 +
1 +
-^11^
Ro-
-^11^
Ro-
^'- Rp.
Rq'
^'- Rp.
Rq'
+ 2R0,
+ 2R0,
"sjp^a»
_ Ro-
"sjp^a»
_ Ro-
1
Ro-
1
Ro-
Отсюда, учитывая, что центр масс Земли движется относительно Солнца с ускорением
W°'
Ro-
находим:
^(И^(ИGmmc”r7Gmmc”r7Gmmc J 3 (r'- Rol')a 2Ro' LGmmc J 3 (r'- Rol')a 2Ro' L(47.4)(47.4)
^(И
^(И
Gmmc
”r7
Gmmc
”r7
Gmmc J 3 (r'- Rol')a 2Ro' L
Gmmc J 3 (r'- Rol')a 2Ro' L
(47.4)
(47.4)
Близость переменной части функции (47.4) к нулю означает, что при г' <_ Ro, сила притяжения —Gmmcr0/r^, действующая на частицу со стороны Солнца, почти полностью компенсируется переносной силой инерции —m.W0,. Заметим, что нескомпенсированная часть указанной силы притяжения, определяемая выражением
Gmmc д ^Rq' dr'Gmmc д ^Rq' dr'. R2O.. R2O.-(rT-(rT
Gmmc д ^Rq' dr'
Gmmc д ^Rq' dr'
. R2O.
. R2O.
-(rT
-(rT
является одной из причин (хотя и не основной) приливных явлений, наблюдаемых на поверхности земных океанов.
Таким образом, с точностью до величин порядка r'jR0, функцию Лагранжа (47.1) можно заменить приближенным выражением
L' « ^ + ^ [to?]2 + mu'- [??]- Ujh - G(P, Z). (47.5)
Уравнение движения материальной точки, соответствующее этому лагранжиану, имеет вид
-* -* Сттл mw=F — '(г')3-* -* Сттл mw=F — '(г')3г' — m [го [го г']]— 2m [mu'].г' — m [го [го г']]— 2m [mu'].(47.6)(47.6)
-* -* Сттл mw=F — '
(г')3
-* -* Сттл mw=F — '
(г')3
г' — m [го [го г']]— 2m [mu'].
г' — m [го [го г']]— 2m [mu'].
(47.6)
(47.6)
где F = — dU/dr'.
Нетрудно оценить порядок каждой из сил инерции, входящих в правую часть уравнения (47.6). Действительно, центростремительное ускорение [го [гог']] имеет максимальное значение (на экваторе), равное
ю2/? = 3,38 см/с2,
что составляет около 0,3% от ускорения силы тяжести. Значение ускорения Кориолиса 2 [cov'] никогда не бывает больше чем
2<оо' = 1,46 • 10-4 о' см/с2,
что при скорости v' = 104 см/с (или 360 км/ч) составляет всего 1,46 см/с8. Таким образом, и центробежная и кориолисовая силы инерции малы по сравнению с силой притяжения Земли. Однако ими нельзя пренебречь при решении ряда важных задач.
Рассмотрим прежде всего случай, когда материальная точка покоится относительно равномерно вращающейся системы отсчета К', связанной с Землей. Полагая в уравнении движения (47.6) —►—
v' = 0 и w = 0, мы приходим к следующему условию равновесия материальной точки относительно системы К':
^ *^^-^ М] = °-(47J)
Применим это условие к объяснению наблюдаемой на опыте зависимости ускорения свободного падения от географической широты места. Допустим, что в некоторой точке А на поверхности Земли (г' = R) производится взвешивание какого-нибудь тела с помощью пружинного динамометра. В этом случае под F в условии равновесия (47.7) следует понимать упругую силу, действующую на взвешиваемое тело со стороны динамометра. С другой стороны, сила —F, с которой тело, покоящееся относительно системы К’» действует на пружину динамометра, равна весу этого тела. Поэтому условие (47.7) в рассматриваемом случае можно представить в виде
Р = mg=- -^ R— т[ю [го/?]],(47.8)
где
g =дт eR + ю R cos e ep,(47.9)
eR =RjR, ep— единичный вектор, направленный по перпендикуляру от оси вращения Земли, и 9 — геоцентрическая широта точки Л, т. е. угол, под которым ее радиус-вектор наклонен к плоскости экватора (рис. 47.2).
Таким образом, вес Р любого материального тела на поверхности Земли складывается из силы притяжения этого тела Землей, составляющей основную часть веса, и центробежной силы инерции— малой поправки, зависящей от широты места и исчезающей на полюсах Земли.
Линию действия вектора Р называют вертикалью (или направлением отвеса), а угол между вертикалью и плоскостью экватора — географической широтой места ф. Между геоцентрической и географической широтами места имеется небольшое отличие, исчезающее на полюсах и экваторе. Действительно, из рисунка 47.2 видно, что ф = 6 + а, где а — отклонение вертикали от прямой, соединяющей точку А с центром Земли. Рассматривая прямоугольные треугольники АВС и BDC, можно заметить, что
ВС = mg sin а = F№ 6,)sin О,
откуда
(47.10)(47.10). и8 g sin 29sin a =2g
(47.10)
(47.10)
Из формулы (47.10) видно, что максимальное отклонение вертикали от направления радиуса Земли имеет место на широте 45°, где ускорение свободного падения g = 980,62 см/с2. Подстановка в формулу (47.10) числовых значений величин R (6370 км), о и g дает: sin а = 0,00175. Это означает, что максимальное отклонение а составляет около 6'.
Изменение ускорения g с изменением географической широты места ф можно описать формулой
(47.11)(47.11).,./,cos8 ф
(47.11)
(47.11)
Йг(Ф)=^о(1-^
где g0 = 983,22 см/с2 — ускорение силы тяжести на полюсе; формулу (47.11) можно получить из (47.9), если пренебречь членами с ю .
Рассмотрим теперь движение материальной точки вблизи земной поверхности в некоторой области, малой по сравнению с радиусом Земли. При исследовании движения в указанной области удобно от системы отсчета К' перейти к новой системе отсчета К. жестко свя-
занной с Землей, с началом координат Д на ее поверхности и осями, направленными вдоль вертикали и касательных к меридиану и параллели (рис. 47.3). Условимся радиус-вектор, скорость и ускорение материальной точки относительно систе- мы К обозначать через г, о и w, а радиус-вектор нового начала координат — через R. Переход от системы отсчета К' к системе К, осуществляемый с помощью преобразования
г’ = г + R, у' = и, w'— щ,
(47.11)
позволяет при выполнении условия г < R произвести дальнейшее упрощение функции Лагранжа (47.5).
Действительно, с точностью до величин порядка rjR включительно второй, третий и четвертый члены в лагранжиане (47.5) можно представить в виде
у [аг'У « у [wR]2 + m[toR] • [шг] = у [mR]2— тг-[ю [toR]];
(47.12)
mu'- [юг'] = mu- [toR] 4- mv-[to r] = ти-\_шг^ + — {mr ■ [wR]J di
(47.13) и
LU г) « +——(47-14
Подстановка в выражение (47.5) равенств (47.11)—(47.14) дает:
* = — + mu • [юг] — U(r, 0 + г • I—
- m[® [toR]]) + £^з + т t^+ А (т 7.^}.
Отбрасывая в этом выражении три последних члена, не влияющие на уравнение движения, учитывая равенство (47.8) и обозначая лагранжиан материальной точки относительно системы отсчета К через L, окончательно находим:
L = у^ + ти- [o)r]+ mg • г — U (г, t\ (47.15)
Уравнение движения материальной точки, соответствующее полученному лагранжиану, записывают в виде
mw=^ + mg — 2m [ои].(47.16)
6г
Заметим, что если бы мы применили преобразование (47.11) непосредственно к уравнению (47.6), то при этом получили бы уравнение движения
mw =— + mg— 2т [сои]— m[to[®rj], (47.17)
dr
отличающееся от (47.16) наличием дополнительного члена —
—т [® [®г]]. Следует, однако, иметь в виду, что при г « R и у Ф Ф 0 центробежная сила инерции всегда много меньше силы Кориолиса. Поэтому, пренебрегая в равенстве (47.17) последним членом, мы вновь приходим к уравнению движения (47.16).
Эффект действия силы Кориолиса на Земле проявляется в целом
—
ряде явлений. Так как вектор угловой скорости со в северном полушарии направлен от поверхности Земли, поэтому при движении тела по земной поверхности действующая на него сила Кориолиса —2/п [то] направлена вправо по отношению к вектору и (в южном полушарии она имеет противоположное направление). По этой причине артиллерийский снаряд, движущийся- по настильной траектории, отклоняется вправо (в северном полушарии) от плоскости стрельбы, причем это отклонение тем больше, чем больше время полета снаряда. У рек, текущих в северном полушарии, правый берег бывает обычно более крутым, чем левый, так как силами Кориолиса вода прижимается к правому берегу и он сильнее подмывается. На двухпутных железнодорожных линиях при движении поездов только в одном направлении правый рельс изнашивается (изнутри) быстрее левого. Действием сил Кориолиса объясняется также образование циклонов при перемещении воздушных масс из областей низкого давления в области высокого давления и отклонение к востоку (в северном полушарии) теплых морских течений. Другим классическим примером заметного проявления сил Кориолиса является отклонение свободно падающих тел от вертикали (см. ниже пример 47.1).
Силы Кориолиса сказываются также и на некоторых атомных явлениях. Например, в любой многоатомной молекуле одновременно имеет место движение двух типов: вращение молекулы как единого целого и колебательное движение ее атомов относительно их равновесных положений в молекуле. Таким образом, колебательное движение атомов происходит относительно вращающейся системы отсчета, связанной с молекулой. Возникающие при этом силы Кориолиса вызывают дополнительные смещения атомов в направлениях, перпендикулярных их колебаниям. В молекулярных спектрах это возмущающее действие сил Кориолиса проявляется в расщеплении вырожденных колебательных уровней энергии.
Пример 47.1. Отклонение свободно падающего тела от вертикали. Уравнение свободного падения тела с высоты Н < R (где R — радиус
Земли) согласно (47.16) можно записать в виде
и = g—2 [му].(47.18)
Здесь вследствие малого значения угловой скорости и ускорение Кориолиса 2| [®у]| < g. Поэтому уравнение (47.18) можно решать методом последовательных приближений. Для этого представим искомое решение в виде ряда
и = t/®* +'ои)+о<2)+ ... +>>+ ... ,(47.19)
где о6 — величина й-го порядка малости относительно со. Подстановка этого ряда в уравнение (47.18) и приравнивание в нем членов одинакового порядка малости, стоящих слева и справа от знака равенства, приводит к системе уравнений:
>>="g, "^’--г^0’], ^=~21а^,...(47-2°)
Отсюда, ограничиваясь первым приближением, в котором у я: о(0>-|-7(1)и г я; ^ + г(1), находим:
у(°) = yfl+ g/, "7(1)=— 2[ы^1 /—[tog]Р;
^ = 79 + v0t + ~ , 7(,) =— [to u0] /2 — ^ [tog]/® и, следовательно,
7(о =70+70/ + 1 (g- 2[770]}p - 7-[mg] f, (47.21) где
70 = 7(0) и o0 = 7(0).
Рассмотрим более подробно случай, когда у0 = 0. Допустим, что падение тела происходит над точкой Д земной поверхности, имеющей широту ф. Тогда, выбирая систему координат так, как показано на рисунке 47.3, будем иметь:
( х (0) = у (0) = 0, z (0) = Н, gx = gy = 0, gz = —g, (от,. = —to cos ф, wy = 0, ©z = to sin ф.
Поэтому, проецируя выражение (47.21) на оси системы координат К, получим:
РgP
х = 0, у = — mg cos ip, г = Н — —.(47 22)
Из равенств (47.22) видно, что в равномерно вращающейся системе отсчета К любое тело при свободном падении отклоняется от вертикали к востоку. Значение отклонения Ду при падении тела с высоты Н можно найти, подставляя в выражение для координаты у (/) время падения / = V2H/g\
l^HVU
Ду= —— tog cos ip.(47.23)
\ g /
Если рассмотреть второе приближение, в котором учитываются члены, пропорциональные со2, то, помимо отклонения тела к востоку, можно обнаружить и некоторое его отклонение к югу. Однако оно оказывается столь малым, что его практически невозможно измерить.
Пример 47.2. Состояние невесомости в космическом корабле.
Рассмотрим движение материальной точки массой т относительно неинерциальной системы отсчета К', связанной с центром масс С космического корабля, совершающего орбитальный полет вокруг Земли вне ее атмосферы. В качестве инерциальной системы отсчета К выберем систему с началом координат в центре масс Земли и осями, ориентированными на «неподвижные» звезды. Допустим так-
же, что космический корабль меняет свою ориентацию относительно системы К с постоянной угловой скоростью и. Требуется определить силу N, с которой .на материальную точку действует оболочка корабля или любое жестко связанное с ней тело.
Уравнение движения материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета К' имеет вид (см. формулу (45.7))
т®' = F + N — тТс — m[<o [со г' ]] — 2m[® о'],(47.24)
где F — сила притяжения материальной точки Землей и Wc — ускорение центра масс корабля относительно системы К- Нетрудно видеть, что силы F и—mWc компенсируют друг друга. Действительно, имея в виду, что радиус-вектор г материальной точки относительно системы К равен сумме г' -|- RC1 где г' < Rc, силу F можно представить' в виде
-► Gmm3 -» Gmm,
F =—г = —1 R,= mWc.
г8R3
Поэтому уравнение (47.24) с большой степенью точности можно переписать в виде
тш’ = N — m [со [сот']] — 2m [сои'].(47.25)
Отсюда видно, что на материальную точку, соприкасающуюся с оболочкой корабля (и, следовательно, покоящуюся относительно него), действует сила
/V = m [to [to/]],(47.26)
равная по абсолютному значению весу этой точки во вращающейся системе отсчета К', связанной с кораблем.
Допустим, что корабль совершает оборот вокруг Земли за один час, оставаясь все время параллельным линии земного горизонта, т. е. изменяя свою ориентацию относительно инерциальной системы К с угловой скоростью со = 2л/3600 с-1 — = 1,74 ■ 10-э с-1. При этом максимальное отношение Nfm для материальной точки, находящейся на расстоянии 2 м от центра масс корабля, будет равно 6 • 10-4 см/с-2. Это означает, что рассматриваемая материальная точка оказывается практически невесомой.
Если же вектор со = 0 и, следовательно, корабль движется относительно инерциальной системы К поступательно, то материальная точка оказывается абсолютно невесомой в любом месте корабля, при этом она либо покоится относительно корабля, либо движется равномерно и прямолинейно до столкновения со стенкой корабля. Таким образом, система отсчета К', связанная с невращающим- ся кораблем, оказывается инерциальной (точнее, локально-инерциальной, так как ее инерциальность обусловлена однородностью поля притяжения Земли в малой пространственной области, занимаемой кораблем).
§ 48. МАЯТНИК ФУКО
Маятник Фуко представляет собой небольшое, но массивное тело В, которое е помощью невесомого стержня достаточно большой длины I крепится к подвесу А, не оказывающему сопротивления повороту плоскости качания маятника. Рассмотрим малые колебания такого маятника с учетом вращения Земли, пренебрегая сопротивлением воздуха и силами трения в подвесе А.
Равномерно вращающуюся систему координат, связанную с Землей, выберем так, чтобы ее начало совпадало с точкой подвеса А, находящейся на широте ip, ось z была направлена по
вертикали, а оси х и у — по касательным к параллели и меридиану (рис. 48.1). При этом вектор угловой скорости to вращения Земли будет иметь проекции:
со, = 0, (оу = — to cos ip, roz=—co sin ip. (48.1) На маятник Фуко (несвободную механическую систему, имеющую две степени свободы) действуют сила тяжести mg, включающая в себя, помимо силы притяжения маятника Зем
лей, также и центробежную силуРис. 48.1
инерции, и сила реакции связи R (натяжение нити подвеса). Действие последней из указанных сил можно учесть, задавая уравнение связи:
г2 = р = const.(48.2)
С учетом этого замечания лагранжиан маятника Фуко можно записать в виде (см. выражение (47.15), в котором следует принять U (г, 0 = 0):
L = ^у- + то- [®7] + mg • 7(48.3)
Лагранжиан (48.3) записан в зависимых координатах х, у, г. Чтобы перейти к независимым (обобщенным) координатам, введем цилиндрические координаты р, <р и г, где р = АВ' и ф — угол между координатной плоскостью хАу и мгновенной плоскостью качания маятника АВВ' (см. рис. 48.1).
Координаты р, ф будем рассматривать в качестве обобщенных координат маятника Фуко. Третью координату 2 можно исключить из лагранжиана (48.3) с помощью уравнения связи (48.2), которое теперь принимает вид
г = УР^Р.(48.4)
В частности, из этого уравнения видно, что
г ^ р.(48.5)
Итак, перепишем сначала лагранжиан (48.3) в цилиндрических координатах. Для этого предварительно найдем, как можно записать смешанное произведение mu • [cor] = mco • [го] — 2щсо - f, где / — секторная скорость маятника.
Как было показано в § 2, секторная скорость материальной точки в цилиндрических координатах определяется выражением (см. формулу (2.22))
2f = — рф zer + zp^ + p2<p^, которое с помощью соотношений (2.17) можно преобразовать к виду
2/ = —г (рф cos ф + р sin ф) t + z (р cos ф— рф sin ф) / + р2ф£.
Отсюда, используя (48.1), находим:
то ■ [со г] = m®z (рф sin ф — р cos ф) cos гр — тюр2ф sin гр.
Таким образом, лагранжиан маятника Фуко (48.3) в цилиндрических координатах можно записать в виде
L = ^ (р2 + р2ф2 + г2) — тсор2ф sin гр — ттг (р cos ф —
— РФ sin ф) cos гр + mgz, или (после исключения зависимой переменной z)
L=^-р^ ра+^f— m®p2^sin ^ + m£ К/2 — р3 —
— mm VIй — р2 (р cos ф — рф sin ф) cos гр.(48.6)
Чтобы получить функцию Лагранжа для малых колебаний маятника, разложим лагранжиан (48.6) в ряд по степеням малого параметра р//. Ограничиваясь в этом разложении членами второго порядка малости по р и р, получим: U = у (р2 + р2ф2) — /псор2ф sin ф —
— т^ — ^ ^^Р cos Ф cos Ф)'
Отбрасывая в этом выражении последние два члена, не влияющие на вид уравнений движения, окончательно находим:
L' =^ (р2 + р2ф2) — игсор2ф sin ф —(48 ^
Мы не станем выписывать уравнения движения маятника, а сразу обратимся к их первым интегралам;
£ =(Р2 + Р2Ф2) += const,
2.2Z(48.8)
рф = /пр2 (ф — со sin гр) = const.
Рассмотрим один из возможных способов возбуждения колебаний: маятнику, находящемуся в начальный момент времени t = 0 в положении равновесия р (0) = 0, сообщают скорость и (0) = иа, направленную вдоль оси х. При этом первые интегралы (48.8) принимают вид
р2 + у р + — sin2ф) Р2 = У2,
<р = го simp.
В первом из этих уравнений можно пренебречь величиной ю2 / sin2ф/g, малой по сравнению с единицей (действительно, на широте ip = 60° при длине нити подвеса / = 50 м она составляет всего около 2 • 10~в). Поэтому окончательно можно записать:
Р2 + -у Р3 = уо- Ф = ® sin tp.(48.9)
Решение системы уравнений (48.9), соответствующее поставленным выше начальным условиям, можно представить в виде
Р (0 = Ро sin (оо ^ Ф (О = tot sin ip, (48.10)
гдер0 = ^ = у0 Vl.(48.11)
г «соо V g
Отсюда видно, что новым моментом в поведении математического маятника относительно системы координат, связанной с Землей, по сравнению с его движением в инерциальной системе отсчета является поворот плоскости качания АВВ' с угловой скоростью и sin ip. Заметим, что проекция маятника на координатную плоскость хАу (т. е. точка В') описывает при этом розеточную траекторию (рис. 48.2, а), определяемую уравнением
р = р051пуф, V =-^-> 1.(48.12)
<о sin
При втором возможном способе возбуждения колебаний маятника, когда он в начальный момент выводится из положения равновесия и затем отпускается без начальной скорости, т. е. при Р (0) = Ро и у (0) = 0, первые интегралы уравнений движения (48.8) принимают вид
р2 + ^р2=^, <p = a>sinij>.(48.13)
При этом движение точки В' описывается уравнениями:
р(0 = Роcos ®о ^, ф(0= tot sin ip, р = ро cos yip, (48.14) а ее траекторией является розетка, изображенная на рисунке 48.2, б. Заметим в заключение, что фактически плоскость качания маятника остается неподвижной относительно инерциальной системы отсчета, связанной с «неподвижными» звездами. Поэтому эффект поворота плоскости качания маятника Фуко следует рассматривать как доказательст
во вращения Земли относитель- с но своей оси.Рис. 48.2
ГЛАВАVIIIГЛАВАVIII
ГЛАВА
VIII
ГЛАВА
VIII
ОСНОВЫ ДИНАМИКИТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 49. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫСВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА.УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛЫ ЭЙЛЕРА
Абсолютно твердое тело можно определить как механическую систему, состоящую из бесконечно большого числа материальных точек, расстояния между которыми в процессе движения сохраняются неизменными, т. е. систему с бесконечным числом внутренних голономных и идеальных связей. По этой причине свободное твердое тело, как было показано в § 2, имеет только шесть степеней свободы.
Твердое тело можно рассматривать двояко: или как дискретную совокупность бесконечного числа материальных точек (такой
подход позволяет упростить некоторые выкладки при изучении законов движения твердых тел), или как некоторую сплошную среду, совершенно не интересуясь ее внутренней структурой. Переход от рассмотрения твердого тела как сплошной среды к дискретной совокупности материальных точек производится следующим образом. Весь объем рассматриваемого твердого тела разбивают на элементарные объемы dV (рис. 49.1) и принимают, что на каждый такой объем приходится масса р dV (где р — плотность твердого тела), которую в силу бесконечно малого объема dV можно считать сосредоточенной в точке At. Вот такие точки At с сосредоточенными в них массами р dV и образуют систему, называемую твердым телом. Переход от формул, содержащих суммирование по дискретным точкам, к соответствующим формулам для сплошного твердого тела осуществляется заменой т1 -*• р dV "~^>, и интегрированием по всему объему
f-—X тела, т. е.
2 А; ГД dV )
/ Л J ^imif(^ у> Р(Н I <Л v>
//— /* v
I / f где Цг, о, ...) — какая-нибудь скалярная к С/ ) или векторная функция радиуса-вектора, Vскорости и некоторых других параметров,
характеризующих движение произвольной Рис. 49.1точки твердого тела.
Рис. 49.2орты условимся обозначать через х,у, z и i, j, k.Рис. 49.2орты условимся обозначать через х,у, z и i, j, k.Для описания пространственного положения твердого тела введем две системы координат (рис. 49.2): инерциальную систему отчета Ко с осями координат X, Y, Z и ортами /0, /0, Ао и подвижную, жестко связанную с телом систему координат К с началом в центре масс С данного тела. Оси координат подвижной системы и их
Рис. 49.2
орты условимся обозначать через х,у, z и i, j, k.
Рис. 49.2
орты условимся обозначать через х,у, z и i, j, k.
Рассмотрим какую-нибудь произвольную точку твердого тела А, ; ее положение относительно систем отсчета Ко и К будем характеризовать соответственно радиусами-векторами г(о и и . Если, кроме того, положение центра масс твердого тела относительно системы Ко описывать с помощью ради уса-вектора Rc, то будем иметь векторное равенство
L = Rc + 7b (49.1) где в силу абсолютной твердости тела радиус-вектор г1 может изменяться только по направлению (т. е. г, = const).
Дифференцируя равенство (49.1) по времени и используя формулу (2.55), находим:
4 = Vc + И, (49.2) где и10 — скорость рассматриваемой точки твердого тела относительно инерциальной системы отсчета Ко; Vc — скорость центра масс тела относительно той же системы отсчета; го — угловая скорость вращения системы отсчета К относительно системы Ко.
Если в формулу (49.2) подставить: ow = drw!dt\ VG = dRctdt и co = dxldt, то она примет вид
dr10 = dRc + [dxr^. (49.3)
Формула (49.3) показывает, что произвольное бесконечно малое перемещение твердого тела можно представить как наложение двух элементарных перемещений: бесконечно малого параллельного переноса твердого тела dRc> в результате которого его центр масс С переходит из начального положения в конечное при неизменной ориентации осей подвижной системы координат К, и бесконечно малого поворота вокруг оси вращения, проходящей через центр масс твердого тела, в результате которого данное тело приходит в свое конечное положение. Формула (49.3) указывает также, что
в качестве шести независимых (обобщенных) координат свободного твердого тела можно принять: три координаты Хс, Yc, Zc его центра масс (или радиус-вектор Rc) и три каких-нибудь угла, характеризующих ориентацию осей х, у, г подвижной системы отсчета К относительно системы Ко. В качестве таковых обычно используют углы Эйлера 6, ср, ф, о которых будет подробно сказано ниже.
Заметим, что выбор начала координат подвижной системы отсчета К в центре масс тела никак не сказывается на выводе теоремы сложения скоростей (49.2) (целесообразность такого выбора, как будет показано в следующем параграфе, выявляется лишь при вычислении кинетической энергии и момента импульса движущегося тела). Это означает, что если начало координат подвижной системы отсчета К выбрать в какой-нибудь произвольной точке О', то мы снова получим теорему сложения скоростей вида (49.2), т. е.
^0 = Уо' + [®' О"\, (49.4)
где ri — радиус-вектор точки Аг относительно новой подвижной системы отсчета, вращающейся относительно инерциальной системы Ко с угловой скоростью й' , и Vo, — скорость перемещения нового начала координат О'. С другой стороны, производя в (49.2) преобразование переноса начала координат (rt -> г'. + а, где а — расстояние между точками С и О'), находим:
у№ = Vc + [©а] + [^; ]. (49.5)
Чтобы выражения (49.4) и (49.5) совпадали, должны иметь место следующие два равенства:
ю' = с», V0, = Vc + [сой]. (49.6)
Первое из этих равенств показывает, что угловая скорость со, с которой в данный момент времени система отсчета К, жестко связанная с твердым телом, вращается относительно инерциальной системы отсчета Ко, не зависит от самой системы К (или от того, в какой точке выбрано начало этой подвижной системы отсчета), так как любые две системы отсчета К с началами в точках С и О вращаются вокруг параллельных осей вращения с одинаковой угловой скоростью. Именно это обстоятельство и дает нам право называть вектор <в угловой скоростью вращения самого твердого тела. Заметим, что вектор Vo,, как показывает второе равенство (49.6), такого «абсолютного» характера не имеет.
Равенство со' = со указывает также, что в абсолютно твердом теле возможен параллельный перенос вектора со. В связи с этим возникает следующий практически важный вопрос: нельзя ли вы-
брать такое направление в пространстве,
относительно которого движение тела в любой заданный момент времени можно представить или как чистое вращение, или как наложение вращения и поступательного перемещения вдоль того же направления? Оказывается, что это всегда можно сделать, при этом указанное направление в пространстве принято называть мгновенной осью вращения твердого тела.
При отыскании мгновенной оси враще
ния следует иметь в виду два возможныхРис 49 3
случая: 1) когда Vc J_ со, 2) когда векто
ры Vc и со образуют острый или тупой угол.
Рассмотрим первый случай, когда VG ± со (рис. 49.3). При переносе начала координат из точки С в точку О' возникает вектор [соа], направленный антипараллельно вектору Vc. Поэтому в данном случае всегда можно подобрать вектор а так, чтобы
Vo, = Vc + М = 0.
При этом формула (49.4) принимает вид
(49.7)(49.7)«ю = [юг.-].
(49.7)
(49.7)
Таким образом, относительно оси вращения, проходящей через точку О', движение твердого тела можно представить как чистое вращение. Поэтому мы можем утверждать, что прямая О'О" является мгновенной осью вращения твердого тела.
Практически для нахождения мгновенной оси вращения твердого тела при (Vc) -L со достаточно найти две его точки, у которых
скорость в данный момент времени равна нулю. Проиллюстрируем это следующим примером. Допустим, что однородный цилиндр радиуса Р катится без скольжения по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 49.4). Очевидно, что в этом случае все точки пря
Рис. 49.4Рис. 49.4мой, по которой цилиндр соприкасается с плоскостью, имеют в данный момент времени нулевую скорость. Следовательно, эта прямая и является мгновенной осью вращения цилиндра. При этом скорость любой точки цилиндра в рассматриваемый момент времени будет равна
Рис. 49.4
Рис. 49.4
ц„ « й ]. В частности, скорость центра масс цилиндра также можно представить в виде
Vc = to R , откуда со = VCIR.
Обратимся теперь ко второму случаю, когда а = (Ус и) < 90° (рис. 49.5). Представляя вектор скорости центра масс Vc как сумму двух составляющих (УС)Х+(УС) ц, мы можем переписать формулу (49.5) в виде
to = (Vc)x + Й + (Ус)„ + Й-
Но вектор а всегда можно подобрать так, чтобы (Ус)± + [ом] = 0. Поэтому полученное выражение для скорости произвольной точки твердого тела можно окончательно записать в виде
to = (Ус)ц + ЕЙ-(49-8)
Таким образом, при а ^ 90 движение твердого тела в любой заданный момент времени можно представить как наложение вращения вокруг некоторой прямой О'О" и скольжения вдоль той же прямой. Мгновенные оси вращения твердого тела, подобные прямой 0'0", в технике принято называть винтовыми осями вращения.
В дальнейшем мы будем всюду предполагать, что начало подвижной системы координат К выбрано в центре масс С тела и че-
2рез эту точку проходит и его
Рис. 49.6Рис. 49.6мгновенная ось вращения.
Рис. 49.6
Рис. 49.6
Рассмотрим теперь, как вводятся эйлеровы углы 0, <р, ф, характеризующие пространственную ориентацию системы координат К, жестко связанной с твердым телом. С этой целью перенесем начало инерциальной системы отсчета Ко также в точку С. Из рисунка 49.6 видно, что координатные плоскости XCY и хСу систем отсчета Ко и К будут при этом пересекаться вдоль прямой CN, перпендикулярной осям Z и г. Эту прямую принято называть линией
узлов; ее положительное направление выбирают так, чтобы поворот вектора Ао к вектору к, если смотреть на точку С вдоль линии узлов, происходил против часовой стрелки. Угол 0, называемый углом нутации, определяется как угол между осями Z и г.
Скорость изменения этого угла 0 всегда направлена вдоль линии узлов CN. Угол ф, называемый углом прецессии, определяется как угол между неподвижной осью X и линией узлов СМ. Скорость
изменения этого угла ф направлена вдоль неподвижной оси Z. И наконец, угол ф, называемый углом собственного вращения, определяется как угол между линией узлов CN и подвижной осью х.
Скорость изменения этого угла ф всегда направлена вдоль оси г подвижной системы координат К- Области изменения углов Эйлера определяются неравенствами:
О < 9 < л, 0 < ф < 2л, 0 ^ ф ^ 2л. (49.9) Все три эйлерова угла изменяются независимым образом: при фиксированных значениях двух из них третий угол может пробегать все значения в области его изменения. Например, угол прецессии Ф получается поворотом твердого тела вокруг неподвижной оси Z. Очевидно, что такой поворот можно осуществить, перемещая ось г по конической поверхности 9 = const, при этом угол ф также сохраняет некоторое фиксированное значение.
Допустим теперь, что твердое тело совершает бесконечно малый поворот на угол dX вокруг мгновенной оси вращения. Вектор dX всегда можно представить как сумму трех векторов, соответствующих бесконечно малым изменениям эйлеровых углов, т. е.
dt — do” + dqH- d~^. (49.10)
Это означает, что за бесконечно малый интервал времени тело переходит из начального положения с ориентацией осей х, у, г, определяемой углами Эйлера 9, ф, ф, в некоторое новое положение, в котором пространственная ориентация твердого тела характеризуется эйлеровыми углами 9 + d 9, ф + dф, ф + d ф. Напомним (см. § 2, п. 4), что вектор dX нельзя представить в виде полного дифференциала от некоторого конечного угла поворота.
Разделив равенство (49.10) на dt, получим следующее представление мгновенной угловой скорости твердого тела:
со = 9 + ф + ф. (49.11)
Найдем, пользуясь разложением (49.11), проекции вектора со на оси подвижной системы координат К- Для этого предварительно
спроецируем на те же оси угловые скорости 9, ф, ф. Из рисунка
49.6 видно, что проекции угловой скорости 9 на оси х, у, г оказываются равными:
9Х = 9 cos ф, 9у = —9 sin ф, 9Z = 0.(49.12)
Угловая скорость ср направлена вдоль оси Z и, следовательно, ее проекция на подвижную ось г равна фг = ср cos 9. Чтобы получить проекции <р^ и фу, необходимо вначале найти проекцию угловой скорости ф на координатную плоскость хСу; нетрудно видеть, что указанная проекция равна ф sin 9. Отсюда следует, что фх = = ф sin 9 sin гр и фу = Ф sin 9 cos гр. Таким образом, проекции угловой скорости ф на оси х, у, г определяются выражениями:
Фх = ф sin 9 зтф, фу = ф sin 9 cos ф, фг = ф cos 9.(49.13)
Угловая скорость гр всегда направлена вдоль подвижной оси г; поэтому ее проекции на оси х, у, г равны:
ipx = фу = 0, грг = ф.(49.14)
Собирая одноименные проекции угловых скоростей 9, ф и ф из соотношений (49.12) — (49.14), окончательно находим:
<ох = ф sin 9 sin ф + 9 cos ф, toy = ф sin 9 cos ф — 9 sin ф,(49.15)
<oz = ф cos 9 + ф.
Соотношения (49.15) называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они позволяют выразить проекции вектора скорости произвольной точки твердого тела через его обобщенные скорости Хс, Yc, Zc, 9, ф и гр. Действительно, раскрывая в равенстве (49.2) секторное произведение [игг], находим:
xoi = Хс + ^(ф sin 9 cos ф — 9 sin ф) — у, (ф cos 9 + гр),
у^ = Yc + хДф cos 9 + ф)— гг(ф sin 9 sin ф + 9 cos ф),
zo; = Zc + у/ф sin 9 sin ф + 9 cos ф) — xt (ф sin 9 cos ф —9 sin ф), где координаты точки xb уг и zt выступают в качестве постоянных параметров.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ,МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ТЕНЗОР ИНЕРЦИИТВЕРДОГО ТЕЛА
При вычислении основных динамических характеристик твердого тела (т. е. импульса, кинетической энергии и механического момента) будем рассматривать его как дискретную систему материальных точек. Поэтому импульс Р твердого тела можно определить как геометрическую сумму импульсов отдельных его точек, т. е.
Р = ^^ ui0 = 2 mi Vc + 2mil® ^'ill
откуда, учитывая, что
2 mi = [to 2 m2 ^ = 0
(начало подвижной системы отсчета К совпадает с центром масс тела и, следовательно, 2mzrz = 0), окончательно находим:
P = MVC,(50.1)
где М = 2 Щ — масса тела. Заметим, что если бы начало системы отсчета К было выбрано в произвольной точке О', то импульс твердого тела пришлось бы определять как сумму: Р = MV0, + + М ®0Д.
Кинетическую энергию твердого тела
T = ^^mi &о) = ^^]^г (Ус + Е^])2
при условии, что начало подвижной системы отсчета совпадает с центром масс тела, можно представить в виде суммы двух слагаемых:
+(502)
так как дополнительное слагаемое, содержащее Vc и и, при этом обращается в нуль. Действительно,
представить в виде равенства (50.2), где первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию поступательного движения, а второй член — кинетическую энергию вращения твердого тела с угловой скоростью го относительно оси, проходящей через его центр масс.
Используя известное тождество
[шЛ = (02Г? — (to ■ 7Z)2
и представляя величины со*5, г( и со • rz в виде л 2 .2,222,2.2
0) = (0х + toy + wz» П = Xi + У; + Zt,
to • rt= Xttox + yzcoy + zzmz, кинетическую энергию вращения твердого тела нетрудно преобразовать к виду
^вр = ^ (Jxxtox + ^у^ + J^to» + 2Л/оЛ®у +
+ 2Jxzto^z + 27yz(oymz),(50.3)
где
Lx = 2 "^ ■ + ^' Jn =^т1 № + г?).
L=^-\-$(50.4)
и
Ly =— ^Wb Jxz=—^imtxlzl1li
V^lwi-(50.5)
aptoatop (а, 0=х, У, г),aptoatop (а, 0=х, У, г),(50.6)(50.6)Кинетическую энергию вращения (50.3) можно представить и в более компактной форме:
aptoatop (а, 0=х, У, г),
aptoatop (а, 0=х, У, г),
(50.6)
(50.6)
<zg
где индексы суммирования являются индексами осей системы координат К, а совокупность коэффициентов J^ образует симметричную матрицу
(
LxLyLz \
LyLyАЛ(50-7)
LzLzLz/
называемую тензором инерции твердого тела.
Отдельные элементы тензора (50.7) называются моментами инерции", они являются постоянными величинами, зависящими только от распределения массы твердого тела, его формы, а также от выбора
начала и направления осей координат подвижной системы отсчета К. жестко связанной с данным телом. Будучи симметричным, тензор инерции (50.7) полностью определяется совокупностью только шести элементов: трех диагональных элементов J хх, Jуу, J и, называемых осевыми моментами инерции, и трех недиагональных элементов Jxy, Jxz, Jyz, называемых произведениями инерции (или центробежными моментами инерции).
Нетрудно проверить, 4TQ все элементы тензора (50.7) можно получить, исходя из общей формулы:
^«з = 2 m< ^? 6“₽ ~ м» 'Мр И«» Р = х> У» г)'(50.8)
где 6ag — символ Кронекера, равный единице при a = 0 и нулю при а т^ 0.
Если твердое тело приходится рассматривать как сплошное, то в определении (50.8) суммирование следует заменить интегрированием по всему объему тела:
^ = JpLr26«s— (r)a • (7)g]dK.(50.9)
V
Можно показать, что для любой точки твердого тела (в том числе и для его центра масс) существует такая система декартовых координат К' (с осями х', у, г'), в которой тензор инерции (50.7) приводится к диагональному виду:
/Л-,- 00 \
^S=0 Ju-ti. 0(50.10)
\ 00 Jz-t- /
Оси указанной системы координат называются главными осями инерции твердого тела, а диагональные элементы тензора (50.10) — главными моментами инерции. Их принято обозначать:
=^ = Л, ^ = ^(50.11)
Переход от произвольной системы координат К» в которой тензор инерции недиагонален, к системе К' осуществляется с помощью некоторого линейного и ортогонального преобразования координат, называемого преобразованием к главным осям. В справедливости этого утверждения проще всего убедиться, исходя из геометрических соображений. Рассмотрим с этой целью момент инерции твердого тела относительно некоторой оси, проходящей через его центр масс и заданной с помощью единичного вектора п-.
/ = 2т<Р?'(50.12)
i
где pz — расстояние произвольной точки твердого тела до указанной оси. Из рисунка 50.1 видно, что квадрат этого
Рис. 50.1Рис. 50.1расстояния можно представить в виде Pt =г.-—(7-7г)2, где
Рис. 50.1
Рис. 50.1
п • 7г= п.(7^+7уг + kz) = axt + 0yz+ yzz
и a = nt; 0 = л/; у = nk — косинусы углов, образуемых вектором п с ортами i, j, к. Отсюда, учитывая, что а2+ 02 + у2 = 1, находим:
р2 = а2 (у2 + г^ + 02 (х2 + г2) + у2 (х2 + у2) —
— 2а0х,у, — 2аухггг — 20ууд.
Подставляя это выражение в равенство (50.12) и учитывая определения (50.4) и (50.5), получаем уравнение
J = 4г»3 + АуР2 + J«V + 24У“Р + 24г«У + 24PV- (50.13)
Введем теперь вектор v, определяемый равенством
Его компоненты vz, vy, vz связаны с ранее введенными направляющими косинусами а, 0, у соотношениями:
а = ^xV^* 0 = VyK?, у = vz]/7.(50.14)
Подстановка этих равенств в уравнение (50.13) дает:
Jxxvx + 4уvy + 4^2 + 24y v^y + ^xz^z + 2^vyvz=1. (50.15)
В пространстве переменных vx, vy, vz равенство (50.15) есть уравнение трехосного эллипсоида, называемого эллипсоидом инерции. Известно, что с помощью' некоторого линейного преобразования переменных vx, vy и vz это уравнение всегда можно привести к каноническому виду:
W+W+W=--i-W+W+W=--i-(50.16)(50.16)
W+W+W=--i-
W+W+W=--i-
(50.16)
(50.16)
Но уравнение (50.16) имеет как раз такой вид, который должно иметь уравнение (50.13) в системе координат К', т. е. в той системе координат, в которой тензор инерции диагоналей.
С алгебраической точки зрения операция приведения тензора инерции к диагональному виду эквивалентна задаче диагонализации симметричной матрицы (50.7). При этом удается показать, что главные моменты инерции твердого тела являются корнями векового уравнения:
(50.17)(50.17)XX^хуXZ
(50.17)
(50.17)
*1ху^уу*^ ^ yz
^xz^ yz^zz ^
Заметим наконец, что параллельно с приведением тензора инерции к виду (50.10) квадратичная форма (50.3) для кинетической энергии вращательного движения твердого тела приводится к каноническому виду:
Твр = 1 (J^, + J^, + J^,y (5о. 18)
Следует отметить, что каждый из трех главных моментов инерции твердого тела не может быть больше суммы двух других. Так, например:
Л + Л = 2 m' ^ + + 2г^ > J3 = 2 mi ^ + УЬ-i i
Введение понятия о главных моментах инерции дает возможность произвести классификацию твердых тел по их инерционным свойствам. Твердые тела, у которых все три главных момента инерции различны, называют асимметрическими волчками. Примером асимметрического волчка может служить однородное тело, имеющее форму прямоугольного или косоугольного параллелепипеда. Если два главных момента инерции равны друг другу, а третий не равен им, т. е. если JT = J2^= Js, то твердое тело называют симметрическим волчком. Симметрическим волчком является любое однородное тело вращения, правильная прямоугольная призма. Наконец, если совпадают между собой все три главных момента инерции, то твердое тело называют шаровым волчком- Примерами шаровых волчков могут служить однородные шар и куб.
Процедура отыскания главных осей инерции существенно упрощается, если рассматриваемое тело обладает той или иной симметрией. Например, если тело обладает осью симметрии какого-либо порядка, то его центр масс обязательно должен лежать на этой оси. С той же осью совпадает и одна из главных осей инерции тела, а две другие оси лежат в плоскости, перпендикулярной оси симметрии. Если к тому же порядок оси симметрии выше второго (т. е. тело может быть совмещено само с собой при повороте вокруг оси симметрии на угол 2л/п, где п > 2), то выбор главных осей инерции, лежащих в указанной плоскости, становится неоднозначным. А это означает, что рассматриваемое тело является симметрическим волчком.
Особый случай представляет система частиц, расположенных на одной прямой (например, линейная многоатомная молекула); такую систему называют ротатором. Если указанную прямую принять за ось г, то для всех частиц ротатора xt = у, = 0 и поэтому
два его главных момента инерции совпадают между собой, а третий обращается в нуль:
Л = А = 2 mizv Ja = °’(50.19)
i
при этом кинетическую энергию вращения ротатора можно представить в виде
Твр-^Ч-^2).(50.20)
Отсюда видно, что ротатор имеет только две вращательные степени свободы, соответствующие его вращениям вокруг осей х и у.
Если тело обладает плоскостью симметрии, то его центр масс и две главные оси инерции должны лежать в этой плоскости, а третья главная ось — перпендикулярна к ней. Особый случай при этом представляет система частиц, расположенных в одной плоскости. Если эту плоскость принять за координатную плоскость хСу, то для всех частиц такой системы zt = 0. При этом ее главные моменты инерции оказываются равными:
Л = 2,niУ^• A=2m<xi’ ^з —Л + А- (50.21)
Введенный выше тензор инерции (50.8) определен по отношению к системе координат К с началом в центре масс С твердого тела. Однако в некоторых случаях значительно проще сначала найти тензор инерции для системы отсчета К' с началом координат в произвольной точке О', а затем перейти к системе К- Поэтому необходимо выяснить, как преобразуется тензор инерции при параллельном переносе системы координат, при котором радиусы-векторы точек твердого тела преобразуются по закону гг = п + а.
При выводе интересующей нас формулы преобразования следует исходить из определения тензора инерции относительно системы отсчета К';
7ар = 2miC(r;)26aD — (<)а • (<)р ].
Подставляя сюда г' = rt — а и учитывая, что ^т,^ = 0, находим: £
•/a0=^p—2mi^a6aJS—Йа • (а)р].(50.22)
Полагая в этой формуле р = а, получаем известную теорему Штейнера для главных моментов инерции:
Jaa —/цд—ЛМ^ ^ ~ Х’ У* ^’(50.23)
где da = (a® — a®)1/2 — расстояние между параллельными осями С и О' ,.
Итак, если начало системы координат К, жестко связанной с твердым телом, выбрано в центре масс С, то его кинетическую энергию можно представить в виде
т = J ^с + у ^ ^«9®» ®9 •(50.24)
а. Р
Если к тому же оси координат этой системы направлены вдоль главных осей инерции тела, то его кинетическая энергия принимает вид
Т = 1 Муг + 1 №х + J^ + W (5о.25)
С помощью кинематических уравнений Эйлера (49.15) ее можно определить как функцию эйлеровых углов 0, ф, ф и обобщенных скоростей Хс, Yc, Zc, 0, ф, ф.
Рассмотрим теперь момент импульса твердого тела. Покажем прежде всего, что механический момент тела L, определенный относительно начала О, инерциальной системы отсчета Ко, можно представить в виде
L = [ЯСР] + Lc,(50.26)
где
Lc = 5 mi Й Е®Й]1(50.27)
Действительно, на основании общей формулы (46.6а), справедливой для любой механической системы, можно записать:
L =№Р] + Д + 2 ^ ЕЙ
i
где L' = 2mzCrzyz]— момент импульса относительного движения точек твердого тела. Но для абсолютно твердого тела скорости у, = 0 (все точки твердого тела относительно жестко связанной с ним системы координат К неподвижны). Поэтому, полагая в выше- написанном выражении L' = 0, мы и приходим к равенству (50.26).
Таким образом, так же как и кинетическую энергию, момент импульса L твердого тела относительно инерциальной системы координат Ко можно представить в виде суммы двух слагаемых: момента импульса поступательного движения [РСР] и момента импульса Lc вращательного движения твердого тела.
Покажем, что механический момент Lc можно выразить через
тензор инерции. С этой целью вектор Lc предварительно запишем в виде
Lc = 2 mi 1Г; “ ~ 1 ^)i
Отсюда, используя определения (50.4) и (50.5), находим:
Lex = ^mt [r^ — (сад + to^i + юг2г) <|=
= to, 2 m< (у? + 2f) — му 2 mixiNi — “z 2 °Wi =
= J«tox + Jxy®y + JxZtoz.(50.28a)
Ley = /^ + Lyytoy 4- Jyztoz,(50.286)
LCz = -^x + JyZtoy + Jzx^x-(50.28b)
Нетрудно видеть, что выражения (50.28) можно заменить одной общей формулой:
Ьса=2'/а₽“3 (а> Р = *- У. z\(50.29)
Если оси х, у, г подвижной системы координат направлены вдоль главных осей инерции твердого тела, то эта формула дает:
LCx — 1\®х» LCy = J8(Oy, LC1 = J3toz.(50.30)
В частности, у шарового волчка, у которого все три главных момента инерции одинаковы (^ = J2 = J3 = J), момент импульса Lc всегда параллелен вектору угловой скорости <о, т. е.
Lc = J ю.(50.31)
У произвольного твердого тела направления векторов Lc и ю в общем случае не совпадают. Совпадение направлений указанных векторов имеет место только в том случае, если твердое тело вращается вокруг какой-нибудь главной оси инерции.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Полная система уравнений движения свободного твердого тела, обладающего шестью степенями свободы, должна состоять из шести независимых дифференциальных уравнений второго порядка относительно шести переменных: трех проекций радиуса-вектора Rc и трех углов, характеризующих пространственную ориентацию
твердого тела. В качестве такой системы уравнений можно использовать общие законы изменения импульса и механического момента, применимые к любой механической системе, движущейся относительно инерциальной системы отсчета Ко:
^ = К,К=1 "F^ati^ = К,К=1 "F^ati(51.1)(51.1)«N, N = 2[^П ati«N, N = 2[^П ati(51.2)(51.2)
^ = К,К=1 "F^ati
^ = К,К=1 "F^ati
(51.1)
(51.1)
«N, N = 2[^П ati
«N, N = 2[^П ati
(51.2)
(51.2)
где К — главный вектор внешних сил, действующих на рассматриваемое твердое тело, а L и N — момент импульса и главный момент внешних сил, вычисленные для начала О инерциальной системы отсчета Ко.
Заметим, что второе из этих уравнений можно переписать в более простой форме. Действительно, используя равенства (49.1), момент сил N можно представить в виде
N = ЙСК] + Nc,N = ЙСК] + Nc,(51.3)(51.3)
N = ЙСК] + Nc,
N = ЙСК] + Nc,
(51.3)
(51.3)
где
(51.4)(51.4)4 = 2 iw*]
(51.4)
(51.4)
— главный момент внешних сил, вычисленный относительно центра масс С данного тела. Если учесть также, что
1 =[№ +4, 4= [^Л],
at
то систему уравнений (51.1), (51.2) можно окончательно представить в виде
— = К, — = NC. didi— = К, — = NC. didi(51.5)(51.5)
— = К, — = NC. didi
— = К, — = NC. didi
(51.5)
(51.5)
Покажем теперь, что уравнения (51.5) можно рассматривать как систему лагранжевых уравнений движения относительно независимых переменных твердого тела:
d dLdLn d dLdL n
=0'^ — — ^=°-(51.6) dVcdRcdo)dx
Для этого представим его функцию Лагранжа в виде
L = ^ +1 2 тИ-U,(51.7)
где U = U (гю, /) — полная потенциальная энергия твердого тела, обусловленная как внешними, так и внутренними взаимодействиями его точек. Запишем полный дифференциал функции Лагранжа (51.7):
dL = MVc dVc + 2 m' E®rzl У® r<]+
+ nit [mrz] [to dr^У —— drzo — ^ dt.(51.8)
9ri6
Учитывая, что силы взаимодействия Ем между точками твердого тела удовлетворяют третьему закону Ньютона, используя формулу
и определение (50.27) вектора Lc, можно показать, что
2 ™z [to rz] [dw rz] =dm 2 mi Erz E®',]] = Lcdto,
У -^ ^ = 2 ^ + 2' ^ №+ [dxr7])= t дг№*
(2^ + 22Л) dRc + dx/2 E^’] +
+ 22' E^y]) = К dRc+ Ncdx.
l i'
Кроме того,
2тгЕ®^1 Е®^]=0,
так как
[юг,] [to dr^ = [®r,] [®u,J dt = [mr,] [to [®r,]] dt =
= [[®rz] [®r,]] md/ = 0.
Поэтому выражение (51.8) можно окончательно записать в виде
dL = Р dVc+ Тсd«+ КdRcA- Ncdn-^dt. (51.9) Отсюда видно, что
3LdLdLdL
— = г, —— = А, —— — Lc, — = Nc
dVc 6Rcdadu
и, следовательно, уравнения Лагранжа (51.6) принимают вид (51.5). Тем самым нами доказано, что уравнения (51.5) действительно являются уравнениями движения свободного твердого тела.
Заметим в заключение, что если функцию Лагранжа (51.7) представить в виде
или (с учетом кинематических уравнений Эйлера (49.15))
L = —Н у (ф sin 9 sin ф + 6 cos ф)2 +
+ у (ф sin 9 cos ф — 0 sin ф)2+ ^ (ф cos 0 +ф')2 — U (Rc, 6, Ф, ф, О
(51.11)
(для этого координатные оси системы отсчета К, жестко связанной с твердым телом, должны быть направлены вдоль его главных осей инерции), то уравнения движения (51.5) можно представить в виде дифференциальных уравнений относительно компонентов радиуса-вектора Rc и эйлеровых углов 9, ф, ф:
8L ndL -(6112)дф ’обобщенные силы (опи8L ndL -(6112)дф ’обобщенные силы (опиd 8L8Ld dL
8L n
dL -(6112)
дф ’
обобщенные силы (опи
8L n
dL -(6112)
дф ’
обобщенные силы (опи
dt dVc8Rcdt 89
' £^L_7L —n d dLdt ^dt ^
где QR^ Qe, Q^, Q^— непотенциальные
сывающие, например, силы трения), которые нельзя включить в
функцию Лагранжа (51.10). Отсюда видно, что последние три уравнения системы (51.12) имеют в общем случае довольно громоздкий
вид и поэтому их интегрирование представляет собой сложную ма
тематическую задачу.
В качестве простейшего примера применения уравнений (51.5) рассмотрим движение свободного твердого тела в однородном гравитационном поле. В этом случае главный вектор внешних сил К и их момент относительно центра масс тела можно представить в
виде
К = 2 mt 8= М"ё> Wc = 2 №187= [2 mi ^= 01
Поэтому уравнения движения (51.5) для свободного твердого тела, движущегося в однородном гравитационном поле, принимают вид Rc="g, Тс = 0.(51.13)
Из этих уравнений находим:
.Rc(t) =^С0+УС0/ +^-(51.14)
Lc = const.(51.15)
Таким образом, движение свободного твердого тела в однородном гравитационном поле можно представить как наложение его поступательного перемещения по закону (51.14) и свободного вращения, совместимого с законом сохранения (51.15). Характер свободного вращения тела всецело определяется его инерционными свойствами
(или .тем, к какому типу волчков это тело относится). Для шарового волчка сохранение вектора Lc приводит к постоянству его угловой скорости, так как Lc = J®. Это означает, что одновременно с поступательным пе-
Рис. 51.1 Пара сил с_моментом N =ремещением шаровой волчок рав-
= Fa • Ко.номерно вращается вокруг собст
венной оси, сохраняющей неизменное направление в пространстве. Столь же просто выглядит свободное вращение ротатора, у которого так же, как и у шарового волчка, Lc = J®, причем вектор со перпендикулярен коси ротатора. Поэтому свободное вращение ротатора происходит в плоскости, перпендикулярной моменту импульса Lc. Свободное вращение симметрического волчка значительно сложнее. Как будет показано в следующем параграфе, оно представляет собой наложение двух вращательных движений: вращения волчка вокруг собственной оси симметрии и регулярной прецессии относительно направления вектора Lc.
Если на рассматриваемое твердое тело наложены внешние связи, то уравнения движения тела принимают вид
(51.16)(51.16)= К + Kr, = Л^с+ Ncr»
(51.16)
(51.16)
atdt
где KR =Х^ w3iCR=X Й, Й~
геометрические суммы реакций внешних связей и их моментов относительно центра масс тела. Полное решение задачи о движении несвободного твердого тела включает наряду с получением законов движения отыскание неизвестных реакций связей R^. Поэтому система уравнений (51.16) в каждом конкретном случае должна быть дополнена уравнениями связей.
2 W + Ri')-0, 2 Й ^ + */)] = °’2 W + Ri')-0, 2 Й ^ + */)] = °’(51.17)(51.17)При равновесии твердого тела векторы Р, Lc и их производные по времени должны обращаться в нуль. Следовательно, главный вектор всех сил, действующих на твердое тело, и их главный момент должны удовлетворять соотношениям:
2 W + Ri')-0, 2 Й ^ + */)] = °’
2 W + Ri')-0, 2 Й ^ + */)] = °’
(51.17)
(51.17)
ii
при этом моменты сил могут быть вычислены относительно любой точки пространства (при К = 0 вектор N инвариантен относительно переноса начала координат). Отсюда для свободного твердого тела
получаем шесть необходимых и достаточных условий равновесия: ^М "РГ = О, N = 2 Е^^ = °- (51.18)
Очень важно отметить, что обращение в нуль главного вектора сил (условие, достаточное для равновесия свободной материальной точки) еще не обеспечивает равновесие твердого тела. Действительно, вектор К может быть равным нулю и в том случае, если на тело действует так называемая пара сил (рис. 51.1) с не равным нулю моментом N. Для несвободного твердого тела соотношения (51.17) являются уравнениями равновесия, определяющими статические реакции связей.
§ 52. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАС ОДНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ.ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
Важнейшим случаем несвободного движения твердого тела является его движение относительно неподвижной (закрепленной) точки О, когда у него имеются только три вращательные степени свободы. При рассмотрении движения твердого тела относительно его закрепленной точки О удобно совместить в этой точке начала инерциальной системы отсчета Ко и системы К, жестко связанной с телом. При этом формулы преобразования радиусов-векторов и скоростей точек твердого тела, отвечающие переходу Ко -> К, будут иметь вид
По = rb vto = [wrj.По = rb vto = [wrj.(52.1)(52.1)
По = rb vto = [wrj.
По = rb vto = [wrj.
(52.1)
(52.1)
Нетрудно видеть, что импульс, механический момент и кинетическая энергия твердого тела, имеющего неподвижную точку, полностью обусловлены его вращением относительно системы координат Ко. Действительно,
P = 2mz^o = 2m^“^ =УИ^С^ (52.2)
L = т<Ё^о о.о] = 2 mi Е^ Ею^]]. Ltt = 2 ^“S (52.3) tiВ
T = 7 2 m'y'°=C^]2 = "2 S 4fiWa ’ (52-4)
где J^ — тензор инерции, вычисленный для неподвижной точки О.
Уравнения движения твердого тела относительно его закрепленной точки О даются законом изменения момента импульса (52.3):
А = N,(52.5)
dt
где N — главный момент всех внешних сил, действующих на тело (кроме реакции связи в точке О). Последнюю можно определить, пользуясь законом изменения вектора импульса:
(52.6)
Таким образом, выбор начала систем отсчета Ко и К в закрепленной
—
точке тела позволяет исключить реакцию связи R из основного уравнения (52.5), определяющего закон движения твердого тела, т. е. функции 0 (<), q> (О и ф (f).
В зависимости от того, на какие оси (подвижной или неподвижной системы отсчета) спроецировать вектор момента импульса L, из векторного уравнения движения (52.5) можно получить две различные системы скалярных уравнений. Наиболее удобной для практических целей является система, получаемая из (52.5) проецированием вектора L на оси подвижной системы координат К.
Допустим, что оси системы К совпадают с главными осями инерции твердого тела. В этом случае вектор L можно представить в виде
1 = Л®Л7+ Му/ + 73иД,(52.7)
где JT, J2, Jа — главные моменты инерции и I, j, к — орты системы координат К- Производную по времени от вектора L, заданного проекциями на оси подвижной системы координат, как показано в § 2 (см. формулу (2.55), можно представить в виде
= — + [и 1],(52.8)
dt dt
где
d.l_ = и ^ + ^- ^(5 2 9а)
dt 1 dt1 2 dt 3 dt
[toL] = Уд — J a) toytogi + (Jx — J3) тх®г] + Уа — /J оз/ОуА. (52.96)
Рис. 62.1 совпадают с уравРис. 62.1 совпадают с уравОтсюда видно, что при проецировании уравнения (52.5) на оси системы координат К мы получим систему уравнений:
Рис. 62.1 совпадают с урав
Рис. 62.1 совпадают с урав
J! —^ + (A ^г) ®y®Z — N„
А ^ + (/1 —Js) а^г = Wy’ <52-1 °)
73 —2. + (У2 Л) ®jc® у ~ ^z-
нениями Лагранжа, соответствующими лагранжианунениями Лагранжа, соответствующими лагранжиануУравнения (52.10) называют динамическими уравнениями Эйлера. В случае, когда все внешние силы, действующие на твердое тело, являются потенциальными, уравнения (52.10)
нениями Лагранжа, соответствующими лагранжиану
нениями Лагранжа, соответствующими лагранжиану
(52.11)(52.11)L = у (ф sin 0 sin ф ф- 0 cos ф)2 + ^ (ср sin 0 cos ф —— 0 sin ф)2 + ^ (ср cos 0 + ф)2 — U (0, ф, ф, /),
(52.11)
(52.11)
который можно получить, отбрасывая в (51.11) кинетическую энергию поступательного движения.
Применим уравнения Эйлера (52.10) к исследованию движения свободного симметрического волчка (например, некоторого тела вращения), имеющего одну неподвижную точку, совпадающую с его центром масс С. Закрепление твердого тела в точке С осуществляется с помощью специального устройства, называемого кар- дановым подвесом (рис. 52.1), которое обеспечивает свободное изменение ориентации тела в трех взаимно перпендикулярных направлениях ЛД', ВВ' и СС. Рассматриваемая задача включает также случай свободного вращения незакрепленного симметрического волчка в отсутствие внешних сил.
Будем предполагать, что ось z подвижной системы отсчета К совпадает с осью симмет- 2\
рии волчка (рис. 52.2). В интересующем нас случае ^ = </2, ^ = 0, и поэтому система уравнений (52.10) принимает вид
=о, (52.12) dt JL х z ^Z __ Q dt '
Из последнего уравнения системы (52.12)т9
следует: сог = const. Вводя обозначениеРис. 52.2
ггРис. 52.3Рис. 52.3(52.15) Используя(52.16)(52.15) Используя(52.16)
г
г
Рис. 52.3
Рис. 52.3
(52.15) Используя
(52.16)
(52.15) Используя
(52.16)
©х--^-^,(52.13)
перепишем два оставшихся уравнения в виде
to, + toxtoy = 0, toy — ®х®, = 0.
У У(52.14)
Умножая второе уравнение на i и складывая с первым, получаем:
К+ i<oy) — tox (to, + itoy) = О,или
d_(_toz + toy) _ itoidti co, + toy
откуда следует:
го, + toy = Ae№lt, A= a^a, где а и a — некоторые действительные постоянные, формулу Эйлера, окончательно находим:
to, = a cos (со/ + а), ®у—a sin (со/ + a), coz = b, co2 = a4 + b2 = const.
Полученный результат означает, что с точки зрения подвижного наблюдателя вектор со вращается вокруг оси z (рис. 52.3) с постоянной угловой скоростью ©1( определяемой формулой (52.13). Вместе с вектором со вокруг той же оси и с той же угловой скоростью вращается вектор момента импульса L:
{
Lx = УхЮ, = aJT cos (to^ -|- a), Ly = Jjtiy = aJx sin (toy/ -|- a), Lz = Jstoz = bJ8 = const, L2 = a2J2 + b2J2 = const. (52.17)
Однако на самом деле все происходит наоборот, т. е. не вектор L, а ось симметрии волчка (ось z) вращается вокруг вектора L, сохраняющего неизменное направление в пространстве. Последнее становится очевидным, если обратиться к уравнению движения волчка (52.5), записанному для инерциальной системы отсчета Ко: dLldt = N = 0.
Наиболее полное представление о движении свободного симметрического волчка можно получить, вычисляя функции 6 (/), ф /) и ф (/). Допустим, что вектор L направлен вдоль оси Z инерциальной системы отсчета Ко. Проецируя этот вектор на оси подвижной системы координат К, получим:
Lx = L sin 6 sin ф; Ly = L sin 6 cos ф, Lz = Leos 0 (52.18)
(ср. формулы (49.13) для проекций угловой скорости ф). С другой стороны, те же проекции вектора L определяются выражением (52.7). Сравнивая равенства (52.18) с (52.7) и учитывая кинематические соотношения (49.15), получаем систему уравнений:
L sin 0 sin ф = Jx (ф sin 0 sin ф + 6 cos ф),
cos0 = —у = const.cos0 = —у = const.(52.19)(52.19)L sin 0 cos ф = J^ (ф sin 0 cos ф — 0 sin ф),
cos0 = —у = const.
cos0 = —у = const.
(52.19)
(52.19)
Из последнего уравнения системы (52.19) находим:
0 = 0О = const, 0 = 0.(52.20)
Это означает, что угол нутации в процессе движения волчка остается неизменным. Два первых уравнения той же системы, если учесть соотношения (52.20), вырождаются в одно уравнение вида
(52.21)
из которого следует, что угол прецессии <р изменяется по закону: Ф (0 = со2 / + фо-(52.22)
Наконец, используя кинематическое уравнение шг = ф cos 9+ф и соотношения (52.19) — (52.21), можно показать, что
ф = «>!, ф (t) = toj t + ф0.(52.23)
Движение свободного симметрического волчка, описываемое законами (52.20) — (52.23), называется регулярной прецессией. При этом вектор a>lt направленный вдоль оси волчка, называют угловой скоростью собственного вращения, а вектор т2, параллельный вектору момента импульса L, — угловой скоростью прецессии. Вектор мгновенной угловой скорости волчка со является диагональю параллелограмма, построенного на векторах сох и ®2. В процессе движения волчка этот параллелограмм остается неизменным, поворачиваясь вокруг прямой со2 (или вектора момента импульса L) как некоторое твердое тело. Геометрическим местом мгновенных осей вращения волчка относительно неподвижной системы отсчета Ко является круговой конус с осью CZ, а геометрическим местом tex же осей вращения относительно подвижной системы координат К, жестко связанной с волчком, будет аналогичный конус с осью Сг (рис. 52.4). Поэтому движение волчка можно наглядно
представить, если подвижный конус катить без скольжения по неподвижному, при этом ось симметрии волчка также будет описывать круговой конус с осью CZ и углом раствора, равным 260.
Заметим в заключение, что регулярная прецессия является сравнительно распространенным видом движения твердых тел. Например, такое движение совершают искусственные спутники Земли относительно гелиоцентрической системы отсчета и многоатомные симметричные молекулы (как твердые тела). Известно также, что благодаря сплющенности Земли ее ось вращения медленно (с периодом около 427 дней) прецессирует относительно полюсов. Наконец, аналогичное движение совершает вектор механического момента любого заряженного тела, состоящего из частиц с одинаковым отношением elm, относительно внешнего магнитного поля (прецессия Лармора).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава!
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Классическая механика как теория механического движения макроскопических тел 4
Основные разделы и объекты изучения классической механики 6
Классические представления о пространстве и времени и их арифметизация 8
Кинематика материальной точки и простейших видов движения твердого тела 13
Инвариантный метод описания движения материальной точки.—
Координатные методы исследования движения точки . . .16
Кинематика поступательного движения твердого тела. 20
Вращение твердого тела относительно неподвижной оси . .22
Скорость и ускорение материальной точки в различных системах отсчета. Теоремы сложения скоростей и ускорений. 24
Основные понятия и законы динамики Ньютона. Принцип относительности Галилея . 28
Понятия о силе и массе' .. , .—
Инерциальные системы отсчета и принцип относительности Галилея 30
Основные законы динамики Ньютона ..34
Уравнения движения механической системы 41
Основная задача динамики и роль начальных условий. Принцип причинности классической механики 42
Частные случаи интегрирования уравнений движения материальной точки в конечном виде 49
Потенциальная энергия и классификация свободных механических систем 52
Работа силы и потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле —
Полная потенциальная энергия механической системы . .56
Классификация свободных механическихсистем 57
Глава II
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Первые интегралы уравнений движения и законы сохранения 59
Законы сохранения и изменения механической энергии . . .61
Закон сохранения импульса замкнутой системы и теорема об изменении импульса для незамкнутых систем 66
Теорема о движении центра масс 69
Закон сохранения момента импульса замкнутой системы и теорема об изменении механического момента для незамкнутых систем 73
Симметрия внешнего силового поля и сохранение отдельных составляющих импульса и механического момента незамкнутой системы 80
Глава III
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ И ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Одномерноедвижение 85
Задача двухтел 90
Упругие столкновениячастиц 95
Кинематикаядерных реакций 103
Глава IV
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Одномерный эффективный потенциал 105
Качественное исследование движения в центрально-симметрическом поле 109
Задача Кеплера 116
Вектор Рунге — Ленца и «скрытая» симметрия кулоновского поля 124
Основы классической теории рассеяниячастиц 127
Определение функциональной зависимости р = р (х). Обратная задача теории рассеяния 132
Формула Резерфорда 137
Сечение захвата частиц силовымцентром 141
Глава V
ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Постановка задачи о движении несвободной механической системы. =.Классификация связей 144
Виртуальные перемещения и определение идеальных связей. 149
Принцип виртуальных перемещений и условия равновесия голономной механической системы 153
Вывод уравнений Лагранжа из принципа Даламбера . .159
Структура уравнений Лагранжа для различных классов механических систем. Функция Лагранжа для систем с потенциальными и обобщенно-потенциальными силами165
Первые интегралы уравнений Лагранжа . . .171
Понятие о функционале и его первой вариации 177
182186194198203206182186194198203206214218223226230236246214218223226230236246253253259265272259265272276283290276283290
182
186
194
198
203
206
182
186
194
198
203
206
214
218
223
226
230
236
246
214
218
223
226
230
236
246
253
253
259
265
272
259
265
272
276
283
290
276
283
290
Принцип Гамильтона — Остроградского , .
Канонические уравнения движения • ■ .
Скобки Пуассона - - -
Канонические преобразования и теорема Лиувилля" ' "
Действие как функция координат и времени . . .' '
Уравнение Гамильтона — Якоби и оптико-механическая аналогия я
Глава VI
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Свободные колебания одномерной механической системы
Вынужденные колебания гармонического осциллятора в от
Свободные затухающие колебания одномерной системы * ".
Вынужденные колебания одномерной механической системы при наличии сил вязкого трения
Нелинейные колебания одномерной механической системы .
Свободные колебания многомерных механических систем . .
Колебания симметричной трехатомной молекулы
Глава VII
СДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА
Уравнения движения материальной точки относительно произвольной неинерциальной системы отсчета
Теоремы об изменении импульса, механического момента и кинетической энергии относительно произвольных неинерциальных систем отсчета
О динамических и статических эффектах, наблюдаемых при движении тел во вращающихся системах отсчета
Маятник Фуко
Глава VIII
ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Обобщенные координаты свободного твердого тела. Угловая скорость и углы Эйлера
Кинетическая энергия, момент импульса и тензор инерции твердого тела
Уравнения движения твердого тела
Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Динамические уравнения Эйлера
НиколайИвановичЖирновНиколайИвановичЖирновКЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАКЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
НиколайИвановичЖирнов
НиколайИвановичЖирнов
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Редактор Л. С. Мордовцева
Художник Ю. В. СамсоновХудожественный редактор В. AL ПрокофьевТехнический редактор Т. В. СамсоноваКорректор Е. А. Блинова
ИБ № 4449
Сдано в набор 02.10.79. Подписано к печати 18.04.80. бОхЭО1/». Бум. типограф. № 2. Гари. лит. Печать высокая. Усл. печ. л 19. Уч.-изд. л. 16,80. Тираж 28 000 экз. Заказ 230, Цена 75 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета
РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиг-рафпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжнойторговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
2. mx = mv Это наиболее простой случай, когда
х = 20х, 2л | d cos х (0Х) | = 41 cos ©i | dQx (21 12)
и, следовательно,
dax = 4F (20x) | cos ©i | dE2v(21.13)
/=1
Для того чтобы эта система имела нетривиальные решения, ее определитель должен обращаться в нуль, т. е.
В. И. ЖИРНОВ
КЛАССИЧЕСКАЯМЕХАНИКА
Допущено Министерством просвещения СССРв качестве учебного пособиядля студентовфизико-математических факультетовпедагогических институтов
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ»1980
ББК 22.2
Ж73
Рецензенты: кафедра теоретической физики Кировского государствен-ного педагогического института им. В. И. Ленина (зав. кафедройМултановский В. В); Свирский М. С., профессор, зав. кафедройтеоретической физики Челябинского педагогического института
Жирнов Н. И.
Ж73 Классическая механика: Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак. лед. ин-тов. —М.: Просвещение, 1980.—303 с., ил.
ББК 22.2531ББК 22.2531Книга содержит систематическое изложение основ классической механики как вводного раздела курса теоретической физики. Особое внимание уделено раскрытию основных понятий и законов Ньютона, законам сохранения энергии, импульса и момента импульса в их связи с симметрией пространства-времени, а также объяснению физической сущности изучаемых явлений.
ББК 22.2
531
ББК 22.2
531
60602—511 Ж43—80 4309021100
103(03)—80
g) Издательство «Просвещение», 1980 г.